harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Delta B } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi | y - x | ^ { 3 } } \Delta q ( v ( x ) \times ( y - x ) ) = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \left( \frac { v ( x ) } { \left\vert v ( x ) \right\vert } \times \frac { ( y - x ) } { \left\vert y - x \right\vert ^ { 3 } } \right) \Delta l } \\ & { = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \left( \frac { \alpha ^ { \prime } ( t ) } { \left\vert \alpha ^ { \prime } ( t ) \right\vert } \times \frac { ( \beta ( s ) - \alpha ( t ) ) } { \left\vert \beta ( s ) - \alpha ( t ) \right\vert ^ { 3 } } \right) \left\vert \alpha ^ { \prime } ( t ) \right\vert \Delta t = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \alpha ^ { \prime } ( t ) \times \frac { ( \beta ( s ) - \alpha ( t ) ) } { \left\vert \beta ( s ) - \alpha ( t ) \right\vert ^ { 3 } } \Delta t . } \end{array}
{ \cal J } _ { i } ^ { \mu \nu } [ \xi | s ] = 4 \pi \int d ^ { 4 } x \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \left[ \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) T _ { i } \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \right] ^ { j } \dot { \xi } _ { \sigma } ( s ) \widetilde { j } _ { \rho } ^ { j } ( x ) \delta ^ { 4 } ( x - \xi ( s ) ) .
\begin{array} { r } { \hat { \xi } _ { 2 / 1 } ( \omega ) = \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 1 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 1 } } ( \omega ) + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 2 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 2 } } ( \omega ) + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { i n t } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { i n t } } ( \omega ) } \end{array}
{ \frac { \pi } { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { k ! } { ( 2 k + 1 ) ! ! } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { 2 ^ { k } k ! ^ { 2 } } { ( 2 k + 1 ) ! } } = 1 + { \frac { 1 } { 3 } } \left( 1 + { \frac { 2 } { 5 } } \left( 1 + { \frac { 3 } { 7 } } \left( 1 + \cdots \right) \right) \right)
p _ { 0 } ( \xi _ { 0 } ) = \frac { k _ { 0 \mathrm { f } } \kappa _ { \mathrm { f } } } { \dot { F } _ { \mathrm { f } } } \exp { \Big [ \beta \chi _ { \mathrm { f } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { f } } \xi _ { 0 } - \frac { k _ { 0 \mathrm { f } } } { \dot { F } _ { \mathrm { f } } \beta \chi _ { \mathrm { f } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi _ { \mathrm { f } } ^ { \ddag } \kappa _ { \mathrm { f } } \xi _ { 0 } } \Big ] } ~ .
\begin{array} { r } { \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
Q ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 0 2 \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } / \mathrm { ~ s ~ } , \quad } & { 0 \mathrm { ~ s ~ } < t \leqslant 5 5 0 \mathrm { ~ s ~ } , } \\ { 0 \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } / \mathrm { ~ s ~ } , \quad } & { 5 5 0 \mathrm { ~ s ~ } < t . } \end{array} \right.
\psi _ { \mathrm { I } } \propto ( \sqrt { 1 / 2 } , \mp \sqrt { 1 / 2 } ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \psi _ { \mathrm { c o } } \propto ( \sqrt { 1 / 2 } , \mp \sqrt { 1 / 2 } ) ^ { \mathbf { T } } , \
\begin{array} { r } { d _ { i , j + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { i , j } } & { \nu \leq e ^ { - a _ { j } \frac { \delta \mathbf { r } _ { i , j } } { \mathbf { r } _ { j } ^ { \mathrm { L a r g e } } } } } \\ { d _ { i , j } + \mathrm { s i g n } ( d _ { M _ { j } , j } - d _ { i , j } ) } & { \; \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\prod _ { i } ^ { N } y _ { i } ^ { 2 } \prod _ { i < j } ^ { N } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 4 } = \operatorname * { d e t } \left[ \begin{array} { c c c c c c } { { P _ { 0 } ( y _ { 1 } ) } } & { { P _ { 1 } ( y _ { 1 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { P _ { 2 N - 1 } ( y _ { 1 } ) } } \\ { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 0 } ( y _ { 1 } ) } } & { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 1 } ( y _ { 1 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 2 N - 1 } ( y _ { 1 } ) } } \\ { { P _ { 0 } ( y _ { 2 } ) } } & { { P _ { 1 } ( y _ { 2 } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { P _ { 2 N - 1 } ( y _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 0 } ( y _ { N } ) } } & { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 1 } ( y _ { N } ) } } & { { } } & { { \ldots } } & { { } } & { { y ^ { 2 } \partial _ { y } P _ { 2 N - 1 } ( y _ { N } ) } } \end{array} \right] .
\alpha _ { s } ( k ^ { 2 } ) \; = \; \left[ b \; \ln \left( \frac { k ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] ^ { - 1 } \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b \; = \; \frac { 1 1 N _ { c } - 2 N _ { f } } { 1 2 \pi } \; \; \; ,
\begin{array} { l } { { \theta _ { 1 } = \theta ^ { u } ( v ) - \theta ^ { v } ( w ) + \theta ^ { u } ( w ) - \theta ^ { w } ( v ) } } \\ { { \theta _ { 2 } = \theta ^ { v } ( u ) - \theta ^ { w } ( v ) + \theta ^ { v } ( v ) - \theta ^ { u } ( u ) } } \\ { { \theta _ { 3 } = \theta ^ { v } ( w ) - \theta ^ { w } ( u ) + \theta ^ { v } ( u ) - \theta ^ { u } ( w ) } } \\ { { \theta _ { 4 } = \theta ^ { w } ( v ) - \theta ^ { u } ( w ) + \theta ^ { w } ( w ) - \theta ^ { v } ( v ) } } \end{array}
\Psi _ { \alpha } = - { \frac { i } { 2 } } D _ { \alpha } \Phi + { \frac { 1 } { 2 } } D _ { \alpha } \bar { \Psi } \gamma ^ { b } \Psi ( \delta _ { b } ^ { n } + i \partial _ { b } \bar { \Psi } \gamma ^ { n } \Psi ) \partial _ { n } \Phi .
\begin{array} { r l } { ( b _ { h } \triangleleft c _ { h } ) _ { 0 } ( x , \xi ) } & { = b _ { h } ( x , \nabla _ { x } S _ { h } ( x , \xi ) ) c _ { h } ( x , \xi ) , } \\ { i ( b _ { h } \triangleleft c _ { h } ) _ { 1 } ( x , \xi ) } & { = \nabla _ { \eta } b _ { h } ( x , \nabla _ { x } S _ { h } ( x , \xi ) ) \cdot \nabla _ { x } c _ { h } ( x , \xi ) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left( \nabla _ { \eta } ^ { 2 } b _ { h } ( x , \partial _ { s } S _ { h } ( x , \xi ) ) \cdot \nabla _ { x } ^ { 2 } S _ { h } ( x , \xi ) \right) \cdot c ( x , \xi ) . } \end{array}
\bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m } ^ { 2 \gamma } \bigr ) \biggl ( \frac { \kappa _ { m } } { \kappa _ { m } ^ { \prime } } \biggr ) ^ { 2 } \leq \frac { 1 + \frac { 9 a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 4 } } { 8 0 ( \kappa _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 9 a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 4 } } { 8 0 \kappa _ { m } ^ { 2 } } } \leq \bigl ( 1 + C \varepsilon _ { m } ^ { 2 \gamma } \bigr ) \biggl ( \frac { \kappa _ { m } } { \kappa _ { m } ^ { \prime } } \biggr ) ^ { 2 } \, .
{ \bf S } _ { b k } = \frac { P _ { \mathrm { i n c } } ^ { 2 } S _ { \mathrm { a m } } } { 2 w _ { p } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 Q _ { e } } { f _ { p } } \frac { d f } { d x } \right) ^ { 2 } { \bf I } _ { 6 \times 6 } \qquad [ \mathrm { N ^ { 2 } / H z } ] ,
Q _ { T } ( { u } ) ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 1 } ( x ) , \mathrm { ~ i f ~ x \in ~ M _ i ~ ; } } \\ { \eta ( - s ) v _ { 1 } ( - 1 , y ) e ^ { - f _ { T } ( s ) - T / 2 } , \mathrm { i f ~ x = ( s , y ) \in ~ [ - 1 , 0 ] \times ~ Y ~ ; } } \\ { \eta ( s ) v _ { 2 } ( 1 , y ) e ^ { f _ { T } ( s ) - T / 2 } , \mathrm { i f ~ x = ( s , y ) \in ~ [ 0 , 1 ] \times ~ Y ~ . } } \end{array} \right.
\Gamma ( ^ { 3 } S _ { 1 } \to \gamma + g g ) = { \frac { 3 2 ( \pi ^ { 2 } - 9 ) e _ { Q } ^ { 2 } \alpha \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 9 m _ { Q } ^ { 2 } } } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { 1 } \operatorname* { m i n } _ { z _ { h l } } \quad } & { \sum _ { h , l \in H } \beta _ { h l } z _ { h l } + \sum _ { r \in T \setminus T ^ { \prime } } p ^ { r } g ^ { r } + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } p ^ { r } \delta ^ { r } ( g ^ { r } - \varphi ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { l \in H } z _ { h l } = \sum _ { l \in H } z _ { l h } \quad \forall h \in H } \\ & { z _ { h l } = 1 \quad \forall ( h , l ) \in Z _ { f i x e d } } \\ & { \delta ^ { r } = { \cal C } ^ { r } ( \mathbf { x ^ { r } } , \mathbf { y ^ { r } } ) \quad \forall r \in T ^ { \prime } } \\ & { z _ { h l } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall h , l \in H } \\ & { \delta ^ { r } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall r \in T ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { D } ^ { \dagger } \hat { \boldsymbol { \pi } } \hat { D } = \hat { \boldsymbol { \pi } } + \overline { { \boldsymbol { \pi } } } , \; \; \hat { D } ^ { \dagger } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } \hat { D } = \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } + \overline { { X } } _ { \boldsymbol { q } n } , \; \; \hat { D } ^ { \dagger } \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } \hat { D } = \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { : = \frac { p _ { \mathrm { e c } } s _ { n } } { N } \geq } \\ & { \frac { p _ { \mathrm { e c } } } { N } \left\{ n R _ { \mathrm { p e } } - \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { a e p } } \left( p _ { \mathrm { e c } } \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 , d \right) \right. } \\ & { \left. + \log _ { 2 } [ p _ { \mathrm { e c } } ( 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } / 3 ) ] + 2 \log _ { 2 } \sqrt { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { h } } \right\} , } \end{array}
\mathbf { w } ^ { C } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { w } ^ { D } ( \mathbf { x } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \overline { { \mathbf { u } } } _ { i } - \mathbf { u } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { f } ) \right] \nabla \mathbf { h } _ { i } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { Q D - p h o t o n } } = } & { \hbar \Delta \omega _ { x - l } \left( \vert x _ { H } \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert x _ { V } \rangle \langle x _ { V } \vert \right) } \\ { + } & { ( \hbar 2 \Delta \omega _ { x - l } - E _ { B } ) \vert x x \rangle \langle x x \vert } \\ { + } & { \hbar \Delta \omega _ { c - l } \left( \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } \right) } \\ { + } & { \hat { H } _ { \mathrm { c o u p l . } } ^ { \mathrm { p h o t o n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { T } \mathbb { E } _ { X | T } [ R ( T , a ^ { * } ( \pi _ { X } ) ) ] } & { = } & { k \left\{ \left( 1 + \frac { n } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \right) \sum _ { d = 0 } ^ { M } \frac { d ^ { 2 } \alpha _ { d } } { \alpha } + \left( \frac { 2 \alpha n c _ { 1 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha c _ { 1 } } { \alpha + n } \right) \sum _ { d = 0 } ^ { M } \frac { d \alpha _ { d } } { \alpha } \right. } \\ & { } & { \left. + \left[ \frac { n ( n - 1 ) } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } - \frac { 2 n } { \alpha + n } \right] \left[ \frac { c _ { 2 } } { \alpha + 1 } + \frac { \alpha c _ { 1 } ^ { 2 } } { \alpha + 1 } \right] + \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \alpha + n ) ^ { 2 } } \right\} } \\ & { = } & { k ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ^ { 2 } ) \frac { \alpha ( 1 + \alpha + n ) } { ( 1 + \alpha ) ( n + \alpha ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { s } _ { k } ( t ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { = } & { \langle \hat { s } _ { k } ( 0 ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( 0 ) \rangle e ^ { - \gamma k ^ { 2 } t - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } t ^ { \prime } } + \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } e ^ { - \gamma k ^ { 2 } ( t - s ) - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } ( t ^ { \prime } - s ^ { \prime } ) } \langle d W _ { s } d W _ { s } ^ { \prime } \rangle } \\ & { = } & { \langle \hat { s } _ { k } ( 0 ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( 0 ) \rangle e ^ { - \gamma k ^ { 2 } t - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } t ^ { \prime } } + \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \gamma k ^ { 2 } ( t - s ^ { \prime } ) - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } ( t ^ { \prime } - s ^ { \prime } ) } d s ^ { \prime } } \\ & { = } & { \langle \hat { s } _ { k } ( 0 ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( 0 ) \rangle e ^ { - \gamma k ^ { 2 } t - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } t ^ { \prime } } + \frac { \sigma ^ { 2 } \left( e ^ { 2 R e [ \gamma ] k ^ { 2 } t - k ^ { 2 } ( t \gamma + t ^ { \prime } \gamma ^ { * } ) } - e ^ { - k ^ { 2 } ( t \gamma + t ^ { \prime } \gamma ^ { * } ) } \right) } { 2 k ^ { 2 } R e [ \gamma ] } . } \end{array}
\Psi _ { n \ell m } ( r , \theta , \phi ) = { \sqrt { { \left( { \frac { 2 } { n a _ { 0 } } } \right) } ^ { 3 } { \frac { ( n - \ell - 1 ) ! } { 2 n [ ( n + \ell ) ! ] } } } } e ^ { - r / n a _ { 0 } } \left( { \frac { 2 r } { n a _ { 0 } } } \right) ^ { \ell } L _ { n - \ell - 1 } ^ { 2 \ell + 1 } \left( { \frac { 2 r } { n a _ { 0 } } } \right) \cdot Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \phi )
\hat { \lambda } ( g , \alpha ) = \frac { \hat { f } ( g , \alpha ) } { \hat { \phi } ( g ) } . \quad \begin{array} { l } { \leftarrow \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ A ~ T ~ U ~ S ~ } } \\ { \leftarrow \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ P ~ e ~ w ~ } } \end{array}
= \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \; \frac { g \, \rho \, ( z _ { 0 } - z ) } { { R _ { 2 } } ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 2 \, ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \, d \theta } { \bigg ( 1 - \, k ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, \bigg ) ^ { 3 / 2 } } \, d s
T _ { n \, \mu _ { n } } = \hat { R } _ { \mu _ { n } \mu _ { n - 1 } } \hat { R } ^ { \mu _ { n - 1 } \mu _ { n - 2 } } \cdots \hat { R } _ { \mu _ { 3 } \mu _ { 2 } } \hat { R } ^ { \mu _ { 2 } \mu _ { 1 } } \hat { R } _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 0 } } T ^ { \mu _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } P _ { \mu _ { n } } ^ { \, \, \, \mu _ { n - 1 } } P _ { \mu _ { n - 1 } } ^ { \, \, \, \mu _ { n - 2 } } \cdots P _ { \mu _ { 3 } } ^ { \, \, \, \mu _ { 2 } } P _ { \mu _ { 2 } } ^ { \, \, \, \mu _ { 1 } } \hat { R } _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 0 } } T ^ { \mu _ { 0 } } \, ,
\mathbf { \hat { E } } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , z ) = \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mathbf { k } , \alpha } } { 2 V \varepsilon \epsilon _ { 0 } } } \Big ( \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { * } ( \mathbf { r } , z ) \hat { a } _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { \dagger } + \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , z ) \hat { a } _ { \mathbf { k } , \alpha } \Big ) .
Q ( \theta | x , z , G ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { G | x } \left[ I ( G _ { i } ) \right] \left( \log w + \log ( 1 - w ) + \log { \mathcal { U } ( x _ { i } ) } + \, \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } _ { z | x } \left[ I ( z _ { i } = k ) \right] \left( \log \varphi _ { k } + \log p ( x _ { i } | \theta _ { k } ) \right) \right)
S = { \frac { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { 2 } } \epsilon _ { a b c d } \int { \Big ( } \mathbf { e } ^ { a } \land \mathbf { e } ^ { b } \land R ^ { c d } - m ^ { 2 } [ \mathbf { e } ^ { a } \land \mathbf { e } ^ { b } \land \mathbf { e } ^ { c } \land \mathbf { e } ^ { d } + \mathbf { i } ^ { a } \land \mathbf { e } ^ { b } \land \mathbf { e } ^ { c } \land \mathbf { e } ^ { d } + \mathbf { i } ^ { a } \land \mathbf { i } ^ { b } \land \mathbf { e } ^ { c } \land \mathbf { e } ^ { d } + \mathbf { i } ^ { a } \land \mathbf { i } ^ { b } \land \mathbf { i } ^ { c } \land \mathbf { e } ^ { d } ] { \Big ) }
\alpha _ { \mathrm { f } ( i ) } = \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { G } } } \bigg \langle \frac { R _ { i } } { R _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } } \Big / \frac { G _ { i } } { G _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } } \bigg \rangle _ { \mathrm { f } ( i ) }
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \mu ( n ) } { \sqrt { n } } } g ( \log n ) = \sum _ { \rho } { \frac { h ( \gamma ) } { \zeta ^ { \prime } ( \rho ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \zeta ^ { \prime } ( - 2 n ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x g ( x ) e ^ { - ( 2 n + 1 / 2 ) x }
\begin{array} { r l } & { \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle } \\ & { = \sum _ { u _ { i } } | \Downarrow ; u _ { i } ^ { ( k ) } \rangle \left[ \langle \Downarrow ; u _ { i } ^ { ( k ) } | \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \right] } \\ & { \equiv C _ { k } ^ { * } | \Downarrow ; \uparrow ^ { ( k ) } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { \mathsf { b } _ { \{ 2 \} } } { \bar { \mathsf { d } } _ { \{ 2 \} } } } } & { \asymp \frac { 1 } { | v _ { 0 } ^ { ( 1 ) } - v _ { 0 } ^ { ( 2 ) } | } \frac { 1 } { | h ( s + h ) v _ { 1 } + v _ { 2 } | } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \sqrt { \frac { \mathsf { b } _ { \{ 1 , 2 \} } } { \bar { \mathsf { d } } _ { \{ 1 , 2 \} } } } \asymp \frac { 1 } { | v _ { 0 } ^ { ( 1 ) } - v _ { 0 } ^ { ( 2 ) } | } . } \end{array}
\tan 2 \alpha = \frac { ( M _ { A } ^ { 2 } + M _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } ) { \sin } 2 \beta } { ( M _ { A } ^ { 2 } - M _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } ) { \cos 2 } \beta + \epsilon / { \sin } ^ { 2 } \beta } , \quad \quad - \frac { \pi } { 2 } < \alpha \leq 0 .
\begin{array} { r l } { G } & { \left( R , \frac 1 2 \right) \triangleq \frac { 4 \rho } { 1 - \rho ^ { 2 } } \Bigg [ F \left( \frac 1 2 \arctan \frac { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } { \rho } \bigg | 2 \right) } \\ & { \qquad - F \left( \frac 1 2 \arctan \left( \frac { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } { \rho } \cos \left( \arctan \frac { R } { r _ { q } } \right) \right) \bigg | 2 \right) \Bigg ] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) , \phi \rangle _ { V ^ { \star } , V } = } & { - \left[ ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } + \int _ { a } ^ { b } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) ( { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ) ) ( s ) \; d s } \\ { = } & { - \left[ ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } + \displaystyle \left[ ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ) ( s ) ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } } \\ & { + \langle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ) , y \rangle _ { V ^ { \star } , V } . } \end{array}
\epsilon ^ { + } ( z ) = \frac { z } { 2 \pi } + \frac { i } { \pi } \sum _ { n > 0 } \frac { e ^ { - i n ( z - i \varepsilon ) } } { n } , ~ ~ ~ ~ \epsilon ^ { - } ( z ) = \frac { z } { 2 \pi } + \frac { i } { \pi } \sum _ { n < 0 } \frac { e ^ { - i n ( z + i \varepsilon ) } } { n } .
\frac { \partial f _ { s 1 } } { \partial t } + \frac { \partial } { z } \left( v _ { \parallel } f _ { s 1 } \right) + \frac { q _ { s } } { \partial m _ { s } } \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial z } \frac { v _ { \parallel } } { v _ { t s 0 } ^ { 2 } } f _ { s 0 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \mathfrak { A } _ { x } \nabla \mathcal { U } \cdot \nabla \mathcal { V } d x d y } } & { \geq \mathfrak { A } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + \delta \chi ( y ) ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } } \\ & { \qquad + \int _ { 1 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \delta ( 1 - \alpha ) y ^ { - \alpha } \mathcal { U } \partial _ { y } \mathcal { U } \; d x d y } } \\ & { = \mathfrak { A } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + \delta \chi ( y ) ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } } \\ & { \qquad + \frac { \delta ( 1 - \alpha ) } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 1 } ^ { \mathcal { Y } } { \frac { \partial } { \partial _ { y } } \big ( \mathcal { U } ^ { 2 } \big ) \; d y d x } } \\ & { = \mathfrak { A } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + \delta \chi ( y ) ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } } \\ & { \qquad - \frac { \delta ( 1 - \alpha ) } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathcal { U } ( x , 1 ) ^ { 2 } \, d x } + \frac { \delta ( 1 - \alpha ) } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathcal { U } ( x , \mathcal { Y } ) ^ { 2 } \, d x } } \\ & { \geq \mathfrak { A } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + \delta \chi ( y ) ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } - \frac { \delta ( 1 - \alpha ) } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathcal { U } ( x , 1 ) ^ { 2 } \, d x } . } \end{array}
U = \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } E _ { r } d r = \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } d r \left( \frac { \tilde { R } I } { 2 \pi r } - \frac { B } { c } u _ { \vartheta } \right) .
w _ { l , { \bf R } } ( { \bf r } ) = \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { \mathrm { B Z } } d ^ { 3 } { \bf k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf R } } \sum _ { n } \mathcal { U } _ { n l , { \bf k } } \psi _ { n , { \bf k } } ^ { \mathrm { K S } } ( { \bf r } ) ,
{ \left\lVert { \vec { v } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( Q ) } ^ { 2 } = \sum _ { \iota = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } { \left\lVert { v _ { \iota } ( \cdot , x ) } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \mathrm d x \leq \frac { 4 T ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { \iota = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } { \left\lVert { \partial _ { t } v _ { \iota } ( \cdot , x ) } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \mathrm d x = \frac { 4 T ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } { \left\lVert { \partial _ { t } \vec { v } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( Q ) } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } = b ( \rho _ { c } - \rho _ { s } ) + \rho _ { s } , } \\ & { \rho _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 2 \sigma _ { s } } [ b ^ { 3 } \sigma _ { c } ^ { 2 } ( \rho _ { c } \sigma _ { s } - \rho _ { s } \sigma _ { s } ) + \rho _ { s } ( b ( \sigma _ { c } - \sigma _ { s } ) + \sigma _ { s } ) ^ { 3 } ] - \frac { \rho _ { 1 } } { 1 2 ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ( 1 - b ) b } \\ & { \times [ b ^ { 2 } ( \sigma _ { c } - \sigma _ { s } ) - \sigma _ { s } + b ( 2 \sigma _ { s } - 3 \sigma _ { c } ) ] ( \mu _ { c } \sigma _ { c } - \mu _ { s } \sigma _ { s } + \mu _ { c } - \mu _ { s } ) , } \\ & { \rho _ { 3 } = \frac { 1 } { 1 2 } [ b ^ { 3 } ( \rho _ { c } - \rho _ { s } ) + \rho _ { s } ] + 2 \alpha [ b ( \rho _ { c } - \rho _ { s } ) + \rho _ { s } ] , } \\ & { \mu _ { 1 } = b ( \mu _ { c } - \mu _ { s } ) + \mu _ { s } , } \\ & { \mu _ { 2 } = b ( \mu _ { c } \sigma _ { c } - \mu _ { s } \sigma _ { s } ) + \mu _ { s } \sigma _ { s } , } \\ & { \mu _ { 3 } = \frac { 1 } { 1 2 } [ b ^ { 3 } ( \mu _ { c } - \mu _ { s } ) + \mu _ { s } ] , } \\ & { \mu _ { 4 } = \frac { 1 } { 1 2 } [ b ^ { 3 } ( \mu _ { c } \sigma _ { c } - \mu _ { s } \sigma _ { s } ) + \mu _ { s } \sigma _ { s } ] , } \\ & { \mu _ { 5 } = \frac { 2 0 \mu _ { c } \mu _ { s } } { 3 ( 1 - b ) ^ { 3 } ( 8 + 9 b + 3 b ^ { 2 } ) \mu _ { c } + 3 b ( 1 5 - 1 0 b ^ { 2 } + 3 b ^ { 4 } ) \mu _ { s } } } \\ & { \alpha = \frac { 1 } { 1 2 0 } [ - 5 b ^ { 3 } ( \sigma _ { c } - \sigma _ { s } ) + 3 b ^ { 5 } ( \sigma _ { c } - \sigma _ { s } ) - 2 \sigma _ { c } ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { \frac { \tilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } } & { { \frac { \tilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 3 } } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } } & { { - \frac { \tilde { g } _ { 3 } \tilde { g } _ { 1 } } { 3 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } } \\ { { \frac { \tilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 3 } } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } } & { { \frac { \tilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } { 1 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } ) } } & { { - \frac { \tilde { g } _ { 3 } \tilde { g } _ { 1 } } { 3 \sqrt { 3 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } ) } } \\ { { - \frac { \tilde { g } _ { 3 } \tilde { g } _ { 1 } } { 3 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } } & { { - \frac { \tilde { g } _ { 3 } \tilde { g } _ { 1 } } { 3 \sqrt { 3 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 z ^ { 2 } ) } } & { { \frac { 4 \tilde { g } _ { 1 } ^ { 2 } } { 9 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) .