harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle L _ { 1 } ( \tau ) L _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { = \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \left( ( 1 - \alpha ) \gamma s \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d s } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - 2 \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 - 2 \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { \gamma \left( 1 - 3 \alpha + \beta \right) } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal L } _ { B I } = 4 b e ^ { 2 \alpha \varphi } \left\{ 1 - \left[ 1 + \frac { e ^ { - 4 \alpha \varphi } } { 2 b } F ^ { 2 } - \frac { e ^ { - 8 \alpha \varphi } } { 1 6 b ^ { 2 } } ( F \star F ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right\} .
\alpha = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { e ^ { 2 } } { \hbar c } } = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { e ^ { 2 } c } { \hbar } } = { \frac { k _ { \mathrm { e } } e ^ { 2 } } { \hbar c } } = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 \varepsilon _ { 0 } c h } } = { \frac { c \mu _ { 0 } } { 2 R _ { \mathrm { K } } } } = { \frac { e ^ { 2 } Z _ { 0 } } { 2 h } } = { \frac { e ^ { 2 } Z _ { 0 } } { 4 \pi \hbar } }
\begin{array} { r l r } { \langle \mathpalette { w } ( \mathfrak { p } ) \rangle } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \left| \psi _ { \mathrm { r e l } } ( \mathbf { r } ; \mathfrak { p } ) \right| ^ { 2 } \, \mathpalette { w } ( r ; \mu ) \, r ^ { 2 } d r \sin \theta \, d \theta \, d \phi } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \left| \psi _ { \ell } ( r ; \mathfrak { p } ) \right| ^ { 2 } \, \mathpalette { w } ( r ; \mu ) \, r ^ { 2 } d r , } \\ & { \approx } & { \left| c _ { 0 } ( \mathfrak { p } ) \right| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| r ^ { \ell + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \, \widetilde { c } _ { k } ( \mathfrak { p } ) r ^ { k } \right| ^ { 2 } \, \mathpalette { w } ( r ; \mu ) \, d r , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | S _ { f } ( a , b - a ) | ^ { 2 } \le \left( h - 1 + \frac { \theta _ { 1 } } { \theta _ { 2 } ^ { 5 / 4 1 } t _ { 0 } ^ { 2 2 2 / 6 9 7 } } \right) \bigg ( \left( \frac { \theta _ { 1 } ^ { - 1 } ( h - 1 ) } { 1 - q _ { 0 } ^ { - 1 } } + \frac { 1 8 0 0 } { 2 9 1 1 } \theta _ { 1 } ^ { 1 1 / 3 0 } c _ { 3 } \right) a ^ { 4 6 / 4 1 } t ^ { 1 1 / 4 1 } } \\ & { + \left( \frac { 2 8 8 0 0 } { 5 4 4 8 1 } \theta _ { 1 } ^ { 6 1 / 1 2 0 } c _ { 4 } \right) a ^ { 1 4 7 / 1 6 4 } t ^ { 6 1 / 1 6 4 } + \frac { 8 } { 3 } E _ { 4 } \left( \theta _ { 1 } - \frac { 1 } { \theta _ { 2 } t _ { 0 } ^ { 1 0 0 / 6 9 7 } } \right) ^ { - 1 / 2 } a ^ { 1 6 9 / 8 2 } t ^ { - 1 5 / 4 1 } } \\ & { + \frac { 9 } { 1 4 } \theta _ { 1 } ^ { 1 / 3 } a ^ { 1 1 8 / 1 2 3 } t ^ { 1 0 / 4 1 } + E _ { 6 } a \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T = } & { \sum _ { a i } t _ { i } ^ { a } E _ { a i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a i b j } t _ { i j } ^ { a b } E _ { a i } E _ { b j } + \Gamma b ^ { \dagger } } \\ { + } & { \sum _ { a i } s _ { i } ^ { a } E _ { a i } b ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a i b j } s _ { i j } ^ { a b } E _ { a i } E _ { b j } b ^ { \dagger } , } \end{array}
T = \left| \frac { \vec { E } _ { o u t } \hat { e } _ { y } } { \vec { E } _ { i n } } \right| ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \Biggl ( \underbrace { e ^ { - \kappa _ { + } L } + e ^ { - \kappa _ { - } L } } _ { \mathrm { ~ R ~ i ~ g ~ h ~ i ~ e ~ f ~ f ~ e ~ c ~ t ~ } } - \underbrace { 2 \cos \left( \frac { \omega } { c } \Delta n L \right) \cdot e ^ { - \Delta \kappa L } } _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ c ~ a ~ l ~ u ~ s ~ o ~ - ~ C ~ o ~ r ~ b ~ i ~ n ~ o ~ e ~ f ~ f ~ e ~ c ~ t ~ } } \Biggr )
\begin{array} { r } { u ( x , y , z , t ) = U ( x , y ) + u ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \\ { v ( x , y , z , t ) = V ( x , y ) + v ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \\ { \zeta ( x , y , t ) = \eta ( x , y ) + \zeta ^ { \prime } ( x , y , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ y _ { i } } } } & { { } = } & { { \frac { 1 } { N } } \left( \frac { x _ { i } - \langle { x } \rangle } { \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \/ ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
S _ { \mathrm { g r a v i p h o t o n } } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ - \frac { 1 } { 8 } g ^ { \mu \rho } g ^ { \nu \sigma } F _ { \mu \nu } ^ { ( \alpha ) } F _ { \rho \sigma } ^ { ( \alpha ) } \right] \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \, e ^ { - 2 k | z | } ,
\mathbf { { K } } _ { 1 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] ( t - t ^ { \prime } ) } \\ { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] ( t - t ^ { \prime } ) } & { 0 } \end{array} \right)
V ( 1 ) = { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } , \quad G ( 1 ) = { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } , \quad Z ( 1 ) = { \frac { 2 \gamma ( \gamma - 1 ) } { ( \gamma + 1 ) ^ { 2 } } } .
_ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; 1 \right) = \frac { \Gamma \! \left( 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \right) \Gamma \! \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + 4 \omega _ { a , b } } \right) } { \Gamma \! \left( \gamma _ { \pm } - \alpha _ { a , b } ^ { \pm } \right) \Gamma \! \left( \gamma _ { \pm } - \beta _ { a , b } ^ { \pm } \right) } \; .
\begin{array} { r } { A _ { j } ^ { i } = \left( \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } \right) \quad \Rightarrow \quad \left[ \boldsymbol { A } \right] = \left( \begin{array} { l l l } { x _ { \xi } } & { x _ { \eta } } & { x _ { \gamma } } \\ { y _ { \xi } } & { y _ { \eta } } & { y _ { \gamma } } \\ { z _ { \xi } } & { z _ { \eta } } & { z _ { \gamma } } \end{array} \right) , \quad J = d e t \left( \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } \right) = d e t \left[ \boldsymbol { A } \right] , } \end{array}
\Delta _ { h l } ^ { ( n ) } ( \lambda , m ) = G _ { h l } ^ { ( n ) } ( \lambda , m ) - \tilde { G } _ { h l } ^ { ( n ) } ( \lambda , 1 / m ) = O \left( g ^ { h + l - 2 } \alpha _ { s } ^ { n } \lambda ^ { \delta } ( \lambda / m ) ^ { k + 1 } \ln ^ { n } ( \lambda / m ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } = \frac { 2 \chi } { 3 } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { { } \quad } & { \mathbf { m } = \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 } = - \frac { 2 \chi } { 3 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { { } \quad } & { \mathbf { B } _ { 0 } = - \frac { 4 \chi ^ { 2 } } { 9 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { m } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } . } \end{array}
\mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) } { m ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { m } }
\begin{array} { r l } { \Phi \left( x \right) } & { \le \frac { \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) } { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 3 } { 2 } \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \right) \left| x \right| + \left\| \Phi \right\| _ { L ^ { \infty } \left( B _ { 1 } \left( \mathbf { 0 } \right) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { x } & { { } = \alpha , } & { y } & { { } = \beta , } & { z } & { { } = \gamma , } & { R } & { { } = c t , } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \alpha ^ { \prime } , } & { y ^ { \prime } } & { { } = \beta ^ { \prime } , } & { z ^ { \prime } } & { { } = \gamma ^ { \prime } , } & { R ^ { \prime } } & { { } = c t ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } } { \frac { \partial { u _ { 0 } } ( \mathbf x ) } { \partial \nu } } u _ { N } ^ { \prime } ( \mathbf x ) \mathrm d \sigma \right\vert } & { \le { C _ { 1 } } \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + { C _ { 2 } } \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + { C _ { 3 } } \mathrm T ( \varepsilon ) h + { C _ { 4 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + { C _ { 5 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + { C _ { 6 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + { C _ { 7 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 3 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + { C _ { 8 } } \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } } \right) + { C _ { 9 } } { e ^ { - { \frac { h } { 2 } } \tau } } } \\ & { + { C _ { 1 0 } } \tau { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } , } \end{array}
\beta _ { 2 } ( \lambda , p ) = \frac { \lambda ^ { 3 } } { 4 \pi c ^ { 2 } } \left( \rho ( p ) \frac { \partial ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { ~ e ~ } } } { \partial \lambda ^ { 2 } } - \frac { u _ { n m } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } \right)
{ \vec { J } } _ { 1 } \left( { \vec { x } } \right) = a _ { 1 } v _ { 1 } { \frac { 1 } { 2 \pi r L _ { B } } } \; \delta ^ { 2 } \left( r - r _ { B 1 } \right) \; \left( { { \hat { b } } \times { \hat { r } } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { { } = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta } \left( \frac { k _ { i } } { k _ { f } } \right) ^ { 3 } \theta ^ { 2 } , \qquad \beta \gg \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \theta ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } \cdot \mathbf { J } d S - \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \bigg ( \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } \bigg ) d S = \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } \cdot \big ( \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } \big ) d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { r , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { { } \frac { z ( z - 1 ) } { 2 \mu } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } , } \\ { u _ { \theta , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { { } - r ^ { 2 } z \cos \theta + \frac { z ( z - 1 ) } { 2 r \mu } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial \theta } , } \\ { u _ { z , 1 } ( r , \theta , z , t ) = } & { { } - \frac { z ^ { 2 } } { 1 2 r ^ { 2 } \mu } \left\{ 6 r ^ { 3 } \mu ^ { 2 } \sin \theta - ( 2 z - 3 ) \left[ \frac { \partial \mu } { \partial \theta } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial \theta } + r ^ { 2 } \frac { \partial \mu } { \partial r } \frac { \partial p _ { 1 } } { \partial r } \right] \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \epsilon ) \sim I _ { 0 } ( \epsilon ) \Bigg \langle } & { { } 1 + \frac { g ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) u ^ { 2 } \epsilon } { 2 ! g ( \tilde { x } ) } - \frac { g ^ { ( 1 ) } ( \tilde { x } ) f ^ { ( 3 ) } ( \tilde { x } ) u ^ { 4 } \epsilon } { 3 ! g ( \tilde { x } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta t } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { \alpha } } \, , } \\ { \Delta p _ { \alpha } } & { { } \approx } & { m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } \, , } \\ { \frac { \Delta p _ { \alpha } } { \Delta t } } & { { } \approx } & { 3 \, \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } \, , } \\ { P _ { \alpha } } & { { } \approx } & { \frac { 3 \, \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } } { 2 \pi \, R _ { D T } \, L } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = \mathrm { e } ^ { \int _ { 0 } ^ { t } b ( \varphi _ { t , s } ( x ) , s ) \, \mathrm { d } s } u _ { 0 } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { \int _ { s } ^ { t } b ( \varphi _ { t , r } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } r } c ( \varphi _ { t , s } ( x ) , s ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { X } } ( \omega ) } & { { } = } & { H _ { X F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { X \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) + H _ { X Y } ( \omega ) \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ { \hat { \tilde { Y } } ( \omega ) } & { { } = } & { H _ { Y F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { Y \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) + H _ { Y X } ( \omega ) \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathtt { I } ( \lambda _ { t } ^ { * } ) } & { = \mathbb { E } [ \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \| ^ { 2 } ] = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ ( \partial _ { \lambda _ { j } } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) ) ^ { 2 } ] = - \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ \partial _ { \lambda _ { j } } ^ { 2 } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) ] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ \partial _ { \lambda _ { j } } ^ { 2 } ( - \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) ) ] = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ \langle \mathcal { H } _ { \lambda } ( - \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) ) e _ { j } , e _ { j } \rangle ] } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d } \mathbb { E } [ \langle L I _ { d } e _ { j } , e _ { j } \rangle ] = d L . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( A + B ) \right] \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! - 8 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ 1 + 2 \cdot u + X _ { 2 } \cdot u ^ { 2 } \, + \, X _ { 3 } \cdot u ^ { 3 } \, - \, X _ { 4 } \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( A + B ) \right] \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! - 8 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, } \end{array}
- \mathrm { i } \; \overline { { \chi } } _ { M } \; \left[ \frac { \partial } { \partial P ^ { 0 } } \left( { G _ { 0 } } _ { P } ^ { - 1 } + \mathrm { i } V ^ { ( 3 ) } \right) \right] _ { P ^ { 0 } = M } \chi _ { M } = 2 M ,
\psi _ { k } ( z , \bar { z } ) = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \left[ \left( { \frac { f _ { n , m } ( z ) } { \overline { { f } } _ { n , m } ( z ) } } \right) ^ { k } + \left( { \frac { \overline { { { f } } } _ { n , m } ( z ) } { \ f _ { n , m } ( z ) } } \right) ^ { k } \right] , \qquad k = 0 , 1 , 2 , \ldots ,
{ \frac { W } { m _ { \mathrm { 0 } } c ^ { 2 } } } = \left( 1 + { \frac { \alpha ^ { 2 } Z ^ { 2 } } { \left( n _ { \mathrm { r } } + { \sqrt { n _ { \mathrm { \ v a r p h i } } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } Z ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 / 2 } - 1
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } } \; d x } & { \leq \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \mathrm { t r _ { 0 } } { ( \chi \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } ) } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \lesssim \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left( \left\| \chi \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \Omega \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } + \left\| \nabla ( \chi \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \Omega \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } \right) } \\ & { \lesssim \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left( \left\| \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \Omega \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } + \frac { 1 } { \mathcal { Y } } \left\| \nabla \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \Omega \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } \right) } \\ & { \leq C \left( 1 + \frac { 1 } { \mathcal { Y } } \right) \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\| \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } \right\| _ { \mathbb { H } _ { \mathcal { Y } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C = E \left\{ \log _ { 2 } \left[ \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { I } + \frac { \gamma } { N _ { t } } \mathbf { R } \mathbf { H } _ { w } \mathbf { H } _ { w } ^ { H } \right) \right] \right\} , } \end{array}
\overline { { { u ^ { 2 } } } } , \overline { { { u } } } ^ { 2 } , \overline { { { u v } } } , \overline { { { u } } } \, \overline { { { v } } } , \overline { { { v ^ { 2 } } } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \overline { { { v } } } ^ { 2 }
F ( x ) = \frac { x ( 1 - \eta x ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 R x } ( 1 + \eta x ) ^ { 2 } - ( 1 - \eta x ) ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 2 \eta } { R ( \eta ^ { 2 } x ^ { 2 } - 1 ) } \right) \, { . }
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = \omega ( \tau \cdot \tau ) = \omega ( - \tau _ { 1 } n _ { 2 } + \tau _ { 2 } n _ { 1 } ) = \tau _ { i } n _ { j } ( - \partial _ { i } u _ { j } + \partial _ { j } u _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x , y ) = \frac { 2 } { d } \{ \sum _ { i = 1 } ^ { d / 4 } \xi _ { i } \sin ( i x ) + \xi _ { i + d } \cos ( i x ) + \xi _ { i + 2 d } \sin ( i y ) + \xi _ { i + 3 d } \cos ( i y ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \hat { F } | F ) } & { = \frac { p ( \hat { F } , F ) } { \int d \hat { F } p ( \hat { F } , F ) } } \\ & { = \frac { \int d X p ( \hat { F } , F | X ) p ( X ) } { \int d \hat { F } \int d X p ( \hat { F } , F | X ) p ( X ) } } \\ & { = \frac { 1 } { p ( F ) } \int d X p ( \hat { F } , F | X ) p ( X ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { n } } & { { } = - \nu ( ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { n } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + \ell - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + \ell + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } } \\ { p H _ { n } } & { { } = - \eta ( ( n + \ell ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { d x _ { t } = - 4 s _ { t } ^ { 2 } x _ { t } ( x _ { t } ^ { 2 } - 1 ) d t + \sqrt { 2 T _ { x } } d W _ { t } ^ { x } } \\ { d s _ { t } = - \tau _ { s } ^ { - 1 } ( s _ { t } - \mu _ { s } ) d t + \sqrt { 2 T _ { s } \tau _ { s } ^ { - 1 } } d W _ { t } ^ { s } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { m i n i m i z e } f ( \mathscr { U } ( 0 ) , \cdots , \mathscr { U } ( K - 1 ) ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathscr { X } ( k + 1 ) = \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( k ) ) \mathscr { X } ( k ) + \mathscr { U } ( k ) , } \\ { \quad } & { \mathscr { X } ( K ) = \mathscr { X } _ { T } , \ \mathscr { U } ( k ) \in \mathbb { V } _ { + + } ^ { 2 n } . } \end{array}
\partial _ { t } ^ { * } \Gamma ^ { * } + \nabla _ { s } ^ { * } \cdot ( \Gamma ^ { * } \boldsymbol { u } _ { s } ^ { * } ) + \Gamma ^ { * } \kappa ^ { * } ( \boldsymbol { u } ^ { * } \cdot \boldsymbol { n } ) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { R _ { x } ^ { K , t } ( F ) } & { = } & { \mathbb { E } _ { x } \left( \sum _ { v _ { 1 } < \cdots < v _ { K } , \ | v _ { i } | = t } F ( { \mathbb U } ( \vec { v } ) ) \right) } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { x } \left( \int _ { 0 } ^ { t } f ( s ) \sum _ { v \in { \cal N } _ { t - s } ^ { p l } } { r ( { x _ { v } } ) } \sum _ { n = 1 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } _ { { x _ { v } } } \left( \sum _ { v _ { 1 } < \cdots < v _ { n } , | v _ { i } | = s } \psi _ { 0 } ( \mathbb { U } ( \vec { v } ) ) \right) \mathbb { E } _ { { x _ { v } } } \left( \sum _ { w _ { 1 } < \cdots < w _ { K - n } , | w _ { i } | = s } \psi _ { 1 } ( \mathbb { U } ( \vec { w } ) ) \right) d s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { L M } ^ { Y } } & { { } \approx \epsilon _ { s } \chi _ { L } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } \ \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } S _ { L } ( k r ) \left[ 1 + \frac { i f _ { \mathrm { ~ F ~ } } \mathrm { ~ M ~ } _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { L ( L + 1 ) } \right] + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { F , L M } ^ { Y } } \\ { D _ { L - 1 , M } ^ { X } } & { { } \approx - \sqrt { \frac { L } { L - 1 } } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } \mathcal { I } _ { - } S _ { L } ( k r ) + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { F , L - 1 , M } ^ { X } } \\ { D _ { L - 1 , M } ^ { Z } } & { { } \approx - i \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } { \cal I } _ { - } S _ { L } ( k r ) + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { F , L - 1 , M } ^ { Z } } \\ { D _ { L + 1 , M } ^ { X } } & { { } \approx \sqrt { \frac { L + 1 } { L + 2 } } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } { \cal I } _ { + } S _ { L } ( k r ) + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { F , L + 1 , M } ^ { X } } \\ { D _ { L + 1 , M } ^ { Z } } & { { } \approx - i \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } { \cal I } _ { + } S _ { L } ( k r ) + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { F , L + 1 , M } ^ { Z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf T _ { j , j + 1 } = \frac { 1 } { t _ { j , j + 1 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { r _ { j , j + 1 } } \\ { r _ { j , j + 1 } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } W _ { n + 1 } } & { = \operatorname { E } ( \operatorname { v a r } ( W _ { n + 1 } \mid W _ { n } , \ldots , W _ { 1 } ) ) + \operatorname { v a r } ( \operatorname { E } ( W _ { n + 1 } \mid W _ { n } , \ldots , W _ { 1 } ) ) } \\ & { = \operatorname { E } \left( \frac 3 4 \right) + \operatorname { v a r } \left( \frac { W _ { n } } 2 \right) = \frac 3 4 + \frac 1 4 = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E ( \Delta D ^ { 3 } ) = \frac { 1 } { 3 ! } \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j , k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 3 } E [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } \partial D _ { i j } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } \Delta D _ { i j } } \end{array}
\frac { d } { d t } \langle O _ { \mathrm { p h } } \rangle = \frac { i } { \hbar } \langle [ \tilde { H } _ { \mathrm { p h } } , O _ { \mathrm { p h } } ] \rangle \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { d } { d t } \langle O _ { \mathrm { e l } } \rangle = \frac { i } { \hbar } \langle [ \tilde { H } _ { \mathrm { e l } } , O _ { \mathrm { e l } } ] \rangle + \langle \mathcal { L } ^ { \dagger } [ O _ { \mathrm { e l } } ] \rangle ,
M : \mathcal { H } _ { j , 0 } \otimes \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } } \to \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } \oplus \mathcal { H } _ { j - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \oplus \cdots \oplus \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { H } _ { j - \bar { j } , 0 } } & { j > \bar { j } } \\ { \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } - j } } & { j \leq \bar { j } } \end{array} \right. .