\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { L } ( u ) - \mathcal { L } ( v ) \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ^ { 2 } } & { : = \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } e ^ { - \lambda t } \mathbb { E } \Bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) ( \mathcal { F } ( u ( s ) ) - \mathcal { F } ( v ( s ) ) ) d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) ( \mathcal { G } ( z , x , u ( s - ) ) - \mathcal { G } ( z , x , v ( s - ) ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) \Bigg \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( T e ^ { - \lambda t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \Vert \mathcal { F } ( u ( s ) ) - \mathcal { F } ( v ( s ) ) \Vert _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } d s \right. } \\ & { + \left. e ^ { - \lambda t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathbb { E } \Vert ( \mathcal { G } ( z , x , u ( s ) ) - \mathcal { G } ( z , x , v ( s ) ) ) \Vert _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } \nu ( d z ) d s \right) } \\ & { \leq 2 \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \left( T L _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } e ^ { - \lambda t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \Vert u ( s ) - v ( s ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } d s \right. } \\ & { + \left. \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Vert \mathcal { C } _ { i } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { Z } \times \mathcal { U } ) } ^ { 2 } e ^ { - \lambda t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathbb { E } \Vert ( u ( s ) - ( v ( s ) ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } \nu ( d z ) d s \right) } \\ & { \leq 2 T L _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \lambda ( t - s ) } \mathbb { E } \Vert u ( s ) - v ( s ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } e ^ { - \lambda s } d s } \\ & { + 2 \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Vert \mathcal { C } _ { i } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { Z } \times \mathcal { U } ) } ^ { 2 } \nu ( \mathbb { Z } ) \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \lambda ( t - s ) } \mathbb { E } \Vert u ( s ) - v ( s ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } e ^ { - \lambda s } d s } \\ & { \leq 2 e ^ { - \lambda T } \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { \lambda s } d s \left( T L _ { M } ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Vert \mathcal { C } _ { i } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { Z } \times \mathcal { U } ) } ^ { 2 } \nu ( \mathbb { Z } ) \right) \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } e ^ { - \lambda s } \mathbb { E } \Vert u ( s ) - v ( s ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } } \\ & { \leq \frac { 2 } { \lambda } \left( T L _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Vert \mathcal { C } _ { i } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { Z } \times \mathcal { U } ) } ^ { 2 } \nu ( \mathbb { Z } ) \right) \Vert u - v \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ^ { 2 } , } \end{array}