harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, d _ { i } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } \, L \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } \, ] } \\ & { = \sum _ { q \ \in { \mathcal { W } } _ { i } ^ { \ast } } \mathrm { E } [ \, \vert \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \vert \, ( \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert - \frac { 1 } { 2 } \, L \, u ) \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q \, ] \, P ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } = q ) . } \end{array}
\left\| \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] x \right\| ^ { 2 } = x ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] x \leq x ^ { H } x = \| x \| ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x \in \mathbb { K } ^ { n + m } ,
\frac { \Delta u ( x , y , z ) } { u _ { 0 } } = \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { C _ { t } } { 8 K } } \right) \exp \left( - \frac { 1 } { 2 K } \left( \left( \frac { z - z _ { h } } { d _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y } { d _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } [ \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ) - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ) ] + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } [ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ) - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ) ] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q ) ( y ) d x d y \right. } \\ & { \left. \, \, \, \, \, \, - \iint ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d x d y \right] + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { - \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } \| q _ { t - 1 } ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t - 1 } ) + \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d x d y \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \{ ( \tau _ { t } + 2 \tau _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( q ) + \delta _ { t , 2 } ( q ) \right] + ( \eta _ { t } + 2 \eta _ { t + 1 } + \lambda _ { 2 } ) \left[ \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) \right] \} . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \left\langle \psi ^ { n + 1 } \big | H ^ { s } \big | \psi ^ { n + 1 } \right\rangle = } & { \left\langle \psi ^ { n } \bigg | \left[ e ^ { \textstyle - i H \Delta t / \hbar } + 2 i S _ { 2 M } \right] H ^ { s } \right. } \end{array}
F ( w _ { 1 } , w _ { 2 } , \dots , w _ { m } ) = \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { n _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { m } = - \infty } ^ { \infty } f ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { m } ) e ^ { - i w _ { 1 } n _ { 1 } - i w _ { 2 } n _ { 2 } \cdots - i w _ { m } n _ { m } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { u n f o l d ( \hat { \mathcal { C } } ) } = } & { F _ { t } \ltimes \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { C } \right) } } \\ { = } & { F _ { t } \ltimes \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \right) } \right) \ltimes \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { B } \right) } } \\ { = } & { F _ { t } \ltimes \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \right) } \right) \ltimes { F _ { t } ^ { H } } \ltimes F _ { t } \ltimes \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { B } \right) } } \\ { = } & { \bar { A } \ltimes \mathrm { u n f o l d ( \hat { \mathcal { B } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho } _ { i } ( t ) = \left( R _ { i } ( t ) - \rho ( t ) \right) \rho _ { i } ( t ) \quad \forall t \geq 0 , \quad \forall i \in \{ 1 , . . . , N \} } \\ { \rho ( t ) = \sum _ { i = 0 } ^ { N } { \rho _ { i } ( t ) } \quad \forall t \geq 0 } \\ { \rho _ { i } ( 0 ) > 0 \quad \forall i \in \{ 1 , . . . , N \} } \end{array} \right. . } \end{array}
\hbar k = \frac { \kappa } { a + 1 } \left( 1 - e ^ { - ( a + 1 ) P _ { 0 } / \kappa } \right) = \frac { \kappa } { a + 1 } \left( 1 - \left( 1 - \frac P \kappa \right) ^ { a + 1 } \right)
\begin{array} { r l } { \nu _ { e i } } & { = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 \pi } { m _ { e } } } \frac { n _ { e } e ^ { 4 } \Lambda _ { e i } } { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( k _ { B } T _ { e } \right) ^ { 3 / 2 } } , } \\ { \nu _ { i i } } & { = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { \frac { \pi } { m _ { i } } } \frac { n _ { i } e ^ { 4 } \Lambda _ { i i } } { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( k _ { B } T _ { h } \right) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\langle n ^ { ( 0 ) } | V ( \tau _ { 1 } + \ldots + \tau _ { k - 1 } ) \dotsm V ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) V ( \tau _ { 1 } ) V ( 0 ) | n ^ { ( 0 ) } \rangle _ { \mathrm { c o n n } } = \langle n ^ { ( 0 ) } | V ( \tau _ { 1 } + \ldots + \tau _ { k - 1 } ) \dotsm V ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) V ( \tau _ { 1 } ) V ( 0 ) | n ^ { ( 0 ) } \rangle - { \mathrm { s u b t r a c t i o n s } } .
\rho _ { X , Y } = { \frac { \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, Y \, ] - \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] } { { \sqrt { \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X ^ { 2 } \, ] - \left( \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \right) ^ { 2 } } } ~ { \sqrt { \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y ^ { 2 } \, ] - \left( \operatorname { \mathbb { E } } [ \, Y \, ] \right) ^ { 2 } } } } } .
s _ { i + 1 } = \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i - 2 } \dots \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ( \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } \dots \rho _ { 3 } \rho _ { 2 } ) s _ { 1 } ( \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } \dots \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } ) ( \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \dots \rho _ { i - 2 } \rho _ { i - 1 } ) \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } .
{ ( x ( \tau _ { a } ) - x ( \tau _ { b } ) ) } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { 2 } \, x ( \tau _ { 1 } ) B _ { a b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) x ( \tau _ { 2 } )
\boxed { \left\langle \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X _ { l } ) ( \mathcal { O } _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X _ { l } ) ) ^ { \dagger } \right\rangle = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { l } ) }
[ \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } t } ] _ { 3 , 2 } = \frac { 1 } { \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } } [ ( \bar { f } \tilde { h } _ { x } + \tilde { h } _ { y } \bar { \tau } ) \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \cos ( \bar { f } t ) + ( - \bar { f } \tilde { h } _ { y } + \tilde { h } _ { x } \bar { \tau } ) \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \sin ( \bar { f } t ) - \bar { f } \tilde { h } _ { x } - \tilde { h } _ { y } \bar { \tau } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ^ { \prime } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { \mathrm { p r o b e } } ( \zeta ) \exp [ i \phi _ { 0 } \sin ( \omega _ { p e } \zeta ) ] \exp ( - i \omega \zeta ) d \zeta . } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { \mathrm { p r o b e } } ( \zeta ) \sum _ { - \infty } ^ { \infty } J _ { k } ( \phi _ { 0 } ) \exp ( i k \omega _ { p e } \zeta ) \exp ( - i \omega \zeta ) d \zeta } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } J _ { k } ( \phi _ { 0 } ) \mathcal { E } _ { \mathrm { p r o b e } } ( \omega - k \omega _ { p e } ) , } \end{array}
\frac { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } { 8 I _ { 0 } } = - \frac { ( z + 1 / 2 ) } { z } \bigg ( z - \frac { 1 } { 2 N C _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \bigg ) ^ { 2 } .
\left( { \frac { \partial } { \partial T _ { \mathrm { { I } } } } , \nabla _ { X \mathrm { { I } } } } \right) = \exp ( - i { \bf { k } } \cdot { \bf { U } } \tau ) \left( { \frac { \partial } { \partial T } , \nabla _ { X } } \right) \exp ( i { \bf { k } } \cdot { \bf { U } } \tau ) .
{ \left( \begin{array} { l } { \mathbf { J } _ { \mathrm { e } } } \\ { \mathbf { J } _ { \mathrm { m } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \xi } & { - \sin \xi } \\ { \sin \xi } & { \cos \xi } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \mathbf { J } _ { \mathrm { e } } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { J } _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } } \end{array} \right) }
( \mathfrak { m } \nabla ) \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } ( \mathfrak { m } \nabla ) \textbf { R } _ { o } + \textbf { R } _ { o } ( \mathfrak { m } \nabla \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } ) = \frac { \mathfrak { m } } { R _ { o } ^ { 3 } } - \frac { 3 \textbf { R } _ { o } ( \mathfrak { m } \textbf { R } _ { o } ) } { R _ { o } ^ { 5 } } ,
\begin{array} { r l } { j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 1 } ) } & { = \frac { 1 + \tilde { s } _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + d ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tilde { s } _ { 1 } - d + \frac 1 3 ( \tilde { s } _ { 1 } ^ { 3 } - d ^ { 3 } ) ) ) j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \int _ { d } ^ { \tilde { s } _ { 1 } } \ d \tau _ { 2 } \ \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k } ( s - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) ( ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { \tau _ { 2 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } ) . } \end{array}
L _ { \kappa } ( \theta ^ { ( 0 ) } ) \le \bar { C } - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \log \pi _ { 1 } ^ { \theta ^ { ( 0 ) } } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \log \pi _ { 2 } ^ { \theta ^ { ( 0 ) } } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) - 2 \kappa \log | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | < + \infty .
\begin{array} { c } { { [ ( 2 , \chi _ { 1 } ^ { 1 } ) \oplus ( - 1 , \chi _ { 2 } ^ { 1 } ) ] \otimes ( ( a + 2 i ) - k ^ { \prime } , \chi _ { 1 } ^ { 2 } ~ o r ~ \chi _ { 1 } ^ { 4 } ) } } \\ { { = ( ( a + 2 ( i + 1 ) ) - k ^ { \prime } , \chi _ { 1 } ^ { 2 } ~ o r ~ \chi _ { 1 } ^ { 4 } ) \oplus ( ( a + 2 ( i - 1 ) ) - ( k ^ { \prime } - 1 ) , \chi _ { 2 } ^ { k ^ { \prime } - 1 } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { 1 , d } = \sum _ { d _ { 1 } + d _ { 2 } = d \atop d _ { 1 } , d _ { 2 } > 0 } \left( N _ { 0 , d _ { 1 } } N _ { 0 , d _ { 2 } } \frac { d _ { 1 } ^ { 4 } } { 1 2 } - ( N _ { 0 , d _ { 1 } } N _ { 1 , d _ { 2 } } + N _ { 0 , d _ { 2 } } N _ { 1 , d _ { 1 } } ) d _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \binom { 2 d - 3 } { 2 d _ { 1 } - 1 } } \, . } \end{array}
L ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left( \ddot { x } ^ { 2 } + 4 \omega \zeta \ddot { x } \dot { x } + 2 \omega ^ { 2 } \ddot { x } x + 4 \omega ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \dot { x } ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 3 } \zeta \dot { x } x + \omega ^ { 4 } x ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \nabla _ { \mu } \, T ^ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \, T ^ { \mu \nu } + \Gamma _ { \, \, \, \mu \rho } ^ { \mu } \, T ^ { \rho \nu } + \Gamma _ { \, \, \, \mu \rho } ^ { \nu } \, T ^ { \mu \rho } = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\langle \varepsilon ^ { 2 } ( t + d t ) \right\rangle } & { = \left( 1 - \Gamma d t \right) \left\langle \varepsilon ^ { 2 } ( t ) \right\rangle + \Gamma d t \cdot \left\langle z ^ { 2 } \right\rangle \left\langle \varepsilon _ { i } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { i } \varepsilon _ { j } + \varepsilon _ { j } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = \left( 1 - \Gamma d t \right) \left\langle \varepsilon ^ { 2 } ( t ) \right\rangle + \Gamma d t \cdot { \frac { 1 } { 3 } } \left( 2 \left\langle \varepsilon ^ { 2 } ( t ) \right\rangle + 2 \left\langle \varepsilon ( t ) \right\rangle ^ { 2 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A v _ { S } } & { = A \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } | a _ { 1 } . . . a _ { r } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } | a _ { 2 } . . . a _ { r } 0 \rangle + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } | a _ { 2 } . . . a _ { r } 1 \rangle } \\ & { = \sum _ { a _ { 2 } , . . . , a _ { k } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } | a _ { 2 } . . . a _ { r } 0 \rangle + \sum _ { a _ { 2 } , . . . , a _ { k } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { a _ { S } } | a _ { 2 } . . . a _ { r } 1 \rangle } \\ & { \ \ [ \mathrm { s i n c e ~ \ensuremath { 1 \not \in ~ S } } ] } \\ & { = \sum _ { b _ { 1 } , . . . , b _ { k - 1 } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { b _ { T } } | b \rangle + \sum _ { c _ { 1 } , . . . , c _ { k - 1 } = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { c _ { T } } | c \rangle } \\ & { = \sum _ { a } ( - 1 ) ^ { a _ { T } } | a \rangle } \\ & { = v _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } & { { } = G _ { \mathrm { C H _ { 4 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } , } \\ { G _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } & { { } = G _ { \mathrm { H _ { 2 } O , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } , } \\ { G _ { \mathrm { C O } } } & { { } = G _ { \mathrm { C O , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { C O } } } , } \\ { G _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } & { { } = G _ { \mathrm { H _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \| d ( t ) - d _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = } & { 2 \left( \Delta ( d ( t ) - d _ { 0 } ) + \operatorname { R m } * ( d ( t ) - d _ { 0 } ) , d ( t ) - d _ { 0 } \right) _ { L ^ { 2 } } } \\ & { + \left( F _ { \bar { g } ^ { - 1 } } * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } ( d ( t ) - d _ { 0 } ) * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } ( d ( t ) - d _ { 0 } ) , d ( t ) - d _ { 0 } \right) _ { L ^ { 2 } } } \\ & { + \left( \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } \left( G _ { \Gamma ( \bar { g } _ { 0 } ) } * ( d ( t ) - d _ { 0 } ) * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } ( d ( t ) - d _ { 0 } ) \right) , d ( t ) - d _ { 0 } \right) _ { L ^ { 2 } } } \\ & { + \left( d ( t ) - d _ { 0 } , \frac { \partial } { \partial t } d _ { 0 } ( t ) \right) _ { L ^ { 2 } } + \int _ { \mathcal { M } } \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) * \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) * \frac { \partial } { \partial t } d _ { 0 } ( t ) \mathrm { d } \mu } \\ { \leq } & { - 2 \alpha _ { \bar { g } _ { 0 } } \left\| \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + C \left\| \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + \left\| \frac { \partial } { \partial t } d _ { 0 } ( t ) \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| d ( t ) - d _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { \left( - 2 \alpha _ { \bar { g } _ { 0 } } + C \cdot \epsilon \right) \left\| \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } \left( d ( t ) - d _ { 0 } \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { r } _ { k } } & { { } = d _ { k } ^ { - 1 } ( \vec { x } _ { j } - \vec { x } _ { i } ) , } \\ { \vec { R } _ { k } } & { { } = d _ { k } ( \vec { x } _ { k } - ( \vec { x } _ { j } + \vec { x } _ { i } ) / 2 ) , } \\ { \vec { X } _ { \mathrm { c . m . } } } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } m _ { i } \vec { x } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \sinh ( a ) | } & { = | \sinh ( c - i \pi ) | \cdot \frac { | \sinh ( y ) | } { | \sinh ( z - i \pi ) | } } \\ & { < 2 B e ^ { - R / 2 } \frac { | \sinh ( y ) | } { | \sinh ( z - i \pi ) | / 2 } } \\ & { = 4 B e ^ { - R / 2 } \frac { | \sinh ( y ) | } { | \cosh ( x + y ) + \sinh ( x ) \sinh ( y ) ( \cosh ( c - i \pi ) - 1 ) | } } \\ & { \leq 4 B e ^ { - R / 2 } \frac { | \sinh ( y ) | } { | \cosh ( x + y ) | - | \sinh ( x ) \sinh ( y ) ( \cosh ( c - i \pi ) - 1 ) | } } \\ & { \leq 4 B e ^ { - R / 2 } \frac { | e ^ { y } | } { | e ^ { x + y } | / 4 - | e ^ { x } e ^ { y } | \cdot | \cosh ( c - i \pi ) - 1 | } } \\ & { = 4 B e ^ { - R / 2 } \frac { 1 } { | e ^ { x } | / 4 - | \cosh ( c - i \pi ) - 1 | } } \\ & { \leq 4 B e ^ { - R / 2 } \frac { 1 } { \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 8 } } = 3 2 B e ^ { - R / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Y } ) : = \{ \mathrm { c l o s e d ~ s u b s e t s ~ } Z \subseteq X \times Y \, | } & { \, \mathrm { p r } _ { Y } | _ { Z } \mathrm { ~ i s ~ p r o p e r ~ a n d ~ f o r ~ a l l ~ } W \in \Phi _ { X } , } \\ & { \mathrm { p r } _ { Y } ( \mathrm { p r } _ { X } ^ { - 1 } ( W ) \cap Z ) \in \Phi _ { Y } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 2 a } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { v } \sum _ { i j k \ell s } \big ( \theta _ { i } \beta _ { j } \theta _ { j } \beta _ { k } \theta _ { k } + \theta _ { i } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { k } \theta _ { k } + \theta _ { k } \beta _ { j } \theta _ { j } \beta _ { i } \theta _ { i } + \theta _ { k } \beta _ { s } \theta _ { s } \beta _ { i } \theta _ { i } \big ) ^ { 2 } \cdot \theta _ { j } \theta _ { s } \theta _ { k } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } } } \end{array}
\mathrm { C a ^ { * } } = \beta \, \left( \frac { d } { 2 \, \ell _ { c } } \right) ^ { 3 / 2 } = \beta \, \mathrm { B o } ^ { 3 / 4 } \quad \mathrm { w i t h } \quad \beta = 0 . 2 4 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { { t } } { \bf U } + \nabla \cdot { \bf A } ( { \bf U } ) } & { { } = 0 } \\ { { \bf U } ( x , 0 ) } & { { } = { \bf U } _ { L } \quad \textrm { i f } \quad x \leq 0 } \\ { { \bf U } ( x , 0 ) } & { { } = { \bf U } _ { R } \quad \textrm { i f } \quad x > 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal { C } } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ e ~ e ~ r ~ } } ^ { 1 \rightarrow 2 } } & { { } \equiv \frac { \operatorname { V a r } \left( S _ { 1 } ^ { y } + S _ { 2 } ^ { y } \right) \operatorname { V a r } \left( S _ { 1 } ^ { z } - S _ { 2 } ^ { z } \right) } { \left\langle S _ { 1 } ^ { x } \right\rangle ^ { 2 } } } \end{array}
\mathcal { G } = 2 n _ { 0 } \langle m _ { i } \rangle c _ { s } ( T _ { 0 } ) \pi \Delta y ^ { 2 } \Rightarrow n _ { 0 } = \frac { \mathcal { G } } { 2 \langle m _ { i } \rangle c _ { s } ( T _ { 0 } ) \pi \Delta y ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { v ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) = v ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) - \Delta t \, m ( } & { u ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { v ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { w ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { p ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) ; \nu ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { j } ( x , z ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } \epsilon ^ { 2 n } { H _ { j } } ( z ) ^ { 2 n } \partial _ { x } ^ { 2 n } u _ { 0 \, j } ( x ) \, , } \\ { w _ { j } ( x , z ) } & { { } = ( - 1 ) ^ { j - 1 } \epsilon \, \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } \epsilon ^ { 2 n } H _ { j } ( z ) ^ { 2 n + 1 } \partial _ { x } ^ { 2 n + 1 } u _ { 0 \, j } ( x ) \, . } \end{array}
d s _ { \L } ^ { 2 } = { \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } } \left( { \frac { d \rho } { \rho } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \rho } } \left[ \left( 1 - { \frac { \ell ^ { 2 } \rho } { 4 } } \right) ^ { 2 } d \vec { n } \cdot d \vec { n } \right] = { \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { d \rho ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \rho } } \, g _ { a b } ( x , \rho ) \, d x ^ { a } d x ^ { b } \, ,
{ \displaystyle \mathrm { B r } ( \pi ^ { 0 } \bar { K } ^ { 0 } ) = \frac { \mathrm { B r } ( \pi ^ { + } K ^ { - } ) \mathrm { B r } ( \pi ^ { - } \bar { K } ^ { 0 } ) } { 4 \mathrm { B r } ( \pi ^ { 0 } K ^ { - } ) } } \times \left\{ 1 + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right\} ,
g _ { 0 } = - g _ { L } + \frac { \pi \eta _ { m } } { \eta _ { 0 } J _ { 1 } ( \eta _ { 0 } ) } \left\{ g _ { L } \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) + 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) - \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right] \right\} .
\begin{array} { r } { d Y _ { t } ^ { 2 } = \bigg ( \frac { 1 } { n } D _ { x x } H ^ { i } ( x , n Y _ { t } ^ { 1 } ) + 2 D _ { x p } H ^ { i } ( x , n Y _ { t } ^ { 1 } ) Y _ { t } ^ { 2 } + n D _ { p p } H ^ { i } ( x , n Y _ { t } ^ { 1 } ) | Z ^ { 1 } | ^ { 2 } - D ^ { 2 } F ^ { i } ( t , X _ { t } ) \bigg ) d t + Z _ { t } ^ { 2 } d W _ { t } ^ { i } , } \end{array}
C _ { 2 } = \operatorname* { m a x } \left( \frac { ( 1 8 b + ( 6 3 \cdot 2 2 / 2 ) ) ^ { 3 } } { b } , 1 , \frac { 2 ( 7 \cdot 1 6 ) ^ { 2 } } { b } , \frac { 2 ^ { 3 } ( 7 \cdot 2 2 \cdot 6 4 ) ^ { 4 } } { b } \right) .
{ \frac { d N } { d ^ { 4 } x d ^ { 4 } P } } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } } \int d ^ { 3 } p _ { 1 } d ^ { 3 } p _ { 2 } d Q f ( x , p _ { 1 } , Q ) \bar { f } ( x , p _ { 2 } , Q ) v _ { r e l } \sigma ( M ^ { 2 } ) \delta ^ { 4 } ( P - p _ { 1 } - p _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \idotsint \, \textnormal { d } X _ { \left[ n + 1 , n + \sum _ { \lambda } n _ { \lambda } ^ { * } + \sum _ { \ell } n _ { \ell } \right] } \, \textnormal { d } Y _ { \left[ m + 1 , m + \sum _ { \lambda } m _ { \lambda } ^ { * } + \sum _ { \ell } m _ { \ell } \right] } \Bigg [ \prod _ { \lambda = 1 } ^ { \kappa } \prod _ { e \in T _ { \lambda } ^ { * } } | g _ { e } | \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } \prod _ { e \in T _ { \ell } } | g _ { e } | \prod _ { ( \mu , \nu ) \in A } \left\vert \gamma _ { \mu \nu } \right\vert \Bigg ] } \\ & { \quad \leq C _ { \textnormal { T G } } ^ { 2 ( n + m - \kappa ) } \gamma _ { \infty } ^ { \kappa - 1 } \left[ \prod _ { \lambda = 1 } ^ { \kappa } \prod _ { \nu = 1 } ^ { | B _ { \lambda } ^ { * } | + | W _ { \lambda } ^ { * } | } \idotsint \prod _ { e \in T _ { \lambda , \nu } ^ { * } } | g _ { e } | \prod _ { ( \mu , \nu ) \in A _ { \lambda } } | \gamma _ { \mu \nu } | \prod _ { \ell : T _ { \ell } \sim A _ { \lambda } } \prod _ { e \in T _ { \ell } } | g _ { e } | \right] , } \end{array}
\frac { \delta } { \delta w _ { k } } \left( 1 - y _ { i } \left\langle x _ { i } , w \right\rangle \right) _ { + } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } y _ { i } \left\langle x _ { i } , w \right\rangle \geq 1 } \\ { - y _ { i } x _ { i k } , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { \mathcal { S } } ^ { x } = - ( D + \dot { \phi } ) \mathcal { S } ^ { y } } \\ & { } & { \dot { \mathcal { S } } ^ { y } = ( D + \dot { \phi } ) \mathcal { S } ^ { x } - \frac { g } { 2 } f ( x , t ) \mathcal { S } ^ { z } ( x , t ) \; \; } \\ & { } & { \dot { \mathcal { S } } ^ { z } = \frac { g } { 2 } f ( x , t ) \mathcal { S } ^ { y } ( x , t ) , \; \; D = \Delta - \omega . } \end{array}