harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E \Big [ \big ( P _ { k } ^ { l _ { 1 } } P _ { k } ^ { l _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \Big ] } & { \leq 3 ^ { 3 } \bigg \{ E \Big [ \Big ( \big ( \Delta _ { k } X \big ) ^ { l _ { 1 } } \big ( \Delta _ { k } X \big ) ^ { l _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \Big ] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \Big ( b ^ { l _ { 1 } } \big ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \big ) \Big ) ^ { 4 } E \Big [ \Big ( \big ( \Delta _ { k } X \big ) ^ { l _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \Big ] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \Big ( b ^ { l _ { 2 } } \big ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \big ) \Big ) ^ { 4 } E \Big [ \big ( P _ { k } ^ { l _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \Big ] \bigg \} } \end{array}
\left( \sum _ { n } E _ { n } \right) ^ { 2 } = \left( M _ { 0 } c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \Rightarrow \sum _ { n } E _ { \mathrm { C O M } \, n } = E _ { \mathrm { C O M } } = M _ { 0 } c ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \quad [ A _ { i } , F _ { j } ] - [ A _ { j } , F _ { i } ] } \\ & { = _ { i , j , 1 } + _ { j , i + 1 , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } + _ { i , j , 4 } } \\ & { \quad - _ { j , i , 1 } + _ { j , i + 1 , 1 } - _ { j , i , 2 } + _ { j , i + 1 , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } + _ { j , i + 1 , 4 } } \\ & { \quad + _ { i , j , 1 } - _ { i , j + 1 , 1 } + _ { i , j , 2 } - _ { i , j + 1 , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } + _ { j , i + 1 , 4 } } \\ & { \quad - _ { j , i , 1 } + _ { j , i + 1 , 1 } - _ { j , i , 2 } + _ { j , i + 1 , 2 } + _ { i , j , 3 } + _ { i , j , 4 } } \\ & { \quad + _ { i , j , 1 } - _ { i , j + 1 , 1 } + _ { i , j , 2 } - _ { i , j + 1 , 2 } + _ { i , j , 3 } + _ { i , j , 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf e } _ { j } ^ { \{ r \} } } & { = } & { \left( r ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) , 0 , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { j } ^ { \{ \theta \} } } & { = } & { \left( 0 , r ( x _ { 1 } ) , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { j } ^ { \{ \varphi \} } } & { = } & { \left( 0 , 0 , r ( x _ { 1 } ) \ \sin \theta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } \left[ L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ M \left( \vec { x } \right) \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] \right] } & { { } = } & { \mathcal { F } \left[ L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ a \left( 1 - 2 \mathrm { s i n c } \left( 2 x \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] \right] } \end{array}
\tau _ { i j } ^ { \ell } = \tau ^ { \ell } ( u _ { i } , u _ { j } ) = \ell ^ { 2 } \overline { { A } } _ { i k } ^ { \ell } \overline { { A } } _ { j k } ^ { \ell } + \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \tau ^ { \phi } \left( \overline { { A } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { A } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \ell m k } ^ { ( j ) } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } \triangleq \nabla \times \left[ \mathbf { r } z _ { \mathrm { M } , \ell } ^ { ( j ) } ( k r ) \mathrm { Y } _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \phi ) \right] } \\ { \mathbf { N } _ { \ell m k } ^ { ( j ) } \left( \mathbf { r } \right) } & { { } \triangleq \frac { 1 } { k } \nabla \times \mathbf { M } _ { \ell m k } ^ { ( j ) } \left( \mathbf { r } \right) } \end{array}
\frac { d { \sigma } _ { 2 0 } ( N ) } { d \Omega } = \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } J _ { N } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \frac { 1 2 8 } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) } & { = W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \phi ( 1 , \cdot ) _ { \# } \mu ^ { n , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( \phi ( 1 , \cdot ) , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { n , \nu } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { \nu / 2 - 1 } R \left\lVert \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right\rVert _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } \nu = 2 } \\ { ( \nu / 2 - 1 ) n ^ { ( \nu / 2 - 1 ) } R \left\lVert \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right\rVert _ { 2 } ^ { 3 - \nu } \left\lVert \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { 1 } ) } ^ { \nu - 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \omega _ { \vec { k } - \vec { k } _ { 4 } } ^ { 2 } } { k } = \frac { | \vec { k } - \vec { k } _ { 4 } | } { k } = \frac { | \vec { q } | } { k } = \frac { k _ { 0 } } { k } \sqrt { 2 ( 1 - \cos ( \beta - \alpha ) ) } ,
\begin{array} { r l } & { \| R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \hat { u } _ { t } - \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { i n t 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \varepsilon ^ { 2 } \hat { v } _ { t } - a ^ { 2 } \Delta \hat { u } + \varepsilon _ { 1 } ^ { 2 } \hat { u } + g ( u _ { \theta } ) - g ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \leq \varepsilon ^ { 2 } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + a ^ { 2 } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } + \varepsilon _ { 1 } ^ { 2 } \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + L \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| \nabla R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \| \nabla ( \hat { u } _ { t } - \hat { v } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { t b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| \nabla R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z } & { { } = } & { z ^ { \prime } \frac { y _ { 0 } + y ^ { \prime } } { y _ { 0 } } , } \\ { y } & { { } = } & { y ^ { \prime } \frac { z _ { 0 } - z } { z _ { 0 } } , } \\ { x } & { { } = } & { x ^ { \prime } \frac { z _ { 0 } - z } { z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d p } { d n _ { r } } = \frac { d p } { d \epsilon } \frac { d \epsilon } { d n _ { r } } = \frac { m } { p } \frac { 2 Z _ { i } ^ { 2 } } { \nu ^ { 3 } } \frac { e ^ { 2 } } { 2 a _ { 0 } } , } \end{array}
{ \sqrt { 1 . 3 2 7 \times 1 0 ^ { 2 0 } ~ { \mathrm { m } } ^ { 3 } { \mathrm { s } } ^ { - 2 } \cdot \left( { \frac { 2 } { 1 . 4 7 1 \times 1 0 ^ { 1 1 } ~ { \mathrm { m } } } } - { \frac { 1 } { 1 . 4 9 6 \times 1 0 ^ { 1 1 } ~ { \mathrm { m } } } } \right) } } \approx 3 0 , 3 0 0 ~ { \mathrm { m } } / { \mathrm { s } }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { k } } & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \hat { \alpha } _ { 1 } , \hat { \alpha } _ { 2 } , \sqrt { \frac { n } { K } } \hat { \alpha } _ { 3 } \right\} , } \\ { \beta _ { k , t } } & { = \Big ( \frac { 5 M _ { f } L _ { y } } { \mu _ { g } } + \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \hat { \alpha } _ { 1 } } { 2 n \mu _ { g } } \Big ) \frac { \alpha _ { k } } { T } , } \end{array}
K ( f , t ) \simeq \frac 1 { ( 4 \pi ) ^ { \frac { m - 1 } 2 } } \int _ { \partial { \cal M } } d z f ( z ) \sum _ { l } S ^ { l } ( z ) L _ { a a } ( z ) t ^ { \frac 1 2 ( l - m + 2 ) } \frac { l } { 4 \Gamma \left( \frac { l + 3 } 2 \right) }
\begin{array} { r l } { \left( \hat { T } _ { n } + E _ { 0 } ^ { ( e ) } ( R ) \right) \varphi _ { v } ^ { ( n ) } ( R ) } & { { } = \varepsilon _ { v } \, \varphi _ { v } ^ { ( n ) } ( R ) \quad , } \end{array}
\small \left[ \begin{array} { c c } { P } \\ { E } \end{array} \right] \mid \mathbf { X } \sim G P \left( \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \partial \mu _ { F } \left( \mathbf { X } \right) } { \partial V } } \\ { \mu _ { F } - T \frac { \partial \mu _ { F } \left( \mathbf { X } \right) } { \partial T } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial V } \frac { \partial } { \partial V ^ { \prime } } k _ { F F } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { - \frac { \partial } { \partial V } \left( 1 - T ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial T ^ { \prime } } \right) k _ { F F } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \\ { - \frac { \partial } { \partial V ^ { \prime } } \left( 1 - T \frac { \partial } { \partial T } \right) k _ { F F } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { \left( 1 - T \frac { \partial } { \partial T } \right) \left( 1 - T ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial T ^ { \prime } } \right) k _ { F F } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array} \right] \right)
{ \sum _ { k > n } \Big ( \sum _ { Q \in \mathbb { D } _ { k } } | Q | \big ( \delta [ f ; 0 . 6 \ell ( Q ) ] ( c _ { Q } ) \big ) ^ { p } \Big ) ^ { \frac { q } { p } } \lesssim \sum _ { k > n } 2 ^ { - ( k - n ) q } \| \mathfrak { A } ^ { N } \| _ { \ell _ { p } ^ { 2 ^ { d N } } } ^ { q } \lesssim \| \mathfrak { A } ^ { N } \| _ { \ell _ { p } ^ { 2 ^ { d N } } } ^ { q } . }
\mathrm { J _ { 0 } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { J _ { 1 2 } } & { \dots } & { J _ { 1 N } } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { J _ { 2 N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right] .
\displaystyle \frac { \partial R _ { k } / \partial I } { i ( k \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + k \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) } + \frac { [ \frac { \partial R _ { k } } { \partial \phi } ] _ { k } \frac { \partial } { \partial I } ( \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) } { [ ( k \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + k \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) ] ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { M ^ { T } M } & { = \left[ \begin{array} { l l } { V ^ { T } ( S + X Q ) ^ { T } ( S + X Q ) V } & { - V ^ { T } ( S + X Q ) ^ { T } X A ^ { T } } \\ { - A X ( S + X Q ) V } & { A X ^ { 2 } A ^ { T } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { V ^ { T } ( S + X Q ) ^ { T } ( S + X Q ) V } & { - V ^ { T } \mu \left( \theta E \right) A ^ { T } - V ^ { T } Q ^ { T } X ^ { 2 } A ^ { T } } \\ { - A \mu \left( \theta E \right) V - A X ^ { 2 } Q V } & { A X ^ { 2 } A ^ { T } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { V ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { A } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { ( S + X Q ) ^ { T } ( S + X Q ) } & { - \mu \theta E - Q X ^ { 2 } } \\ { - \mu \theta E - X ^ { 2 } Q } & { X ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { V ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { A } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { L } \left( \mathbf { f } , \mathbf { g } \middle | \mathbf { m } _ { 0 } , \mathbf { m } _ { 1 } \right) = \log p _ { \mathbf { f } , \mathbf { g } } \left( \mathbf { m } _ { 1 } , t + \Delta t \middle | \mathbf { m } _ { 0 } , t \right) } & & { } \\ & { = \frac { ( \mathbf { m } _ { 1 } - \mathbf { m } _ { 0 } - \mathbf { f } ( \mathbf { m } ) \Delta t ) ^ { 2 } } { \mathbf { g } ( \mathbf { m } _ { 0 } ) ^ { 2 } \Delta t } + \log \left| \mathbf { g } ( \mathbf { m } _ { 0 } ) ^ { 2 } \Delta t \right| + \log 2 \pi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal I _ { \zeta } } & { = - \partial \alpha _ { 0 } ( \partial \varphi + i \partial \alpha _ { 0 } ) Q _ { 0 } - \bar { \partial } \alpha _ { 0 } ( \bar { \partial } \varphi - i \bar { \partial } \alpha _ { 0 } ) \bar { Q } _ { 0 } } \\ & { \quad - i [ \partial ^ { 2 } \varphi + i \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] Q _ { 0 } + i [ ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + ( \partial \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ] Q _ { 0 } } \\ & { \quad + i [ \bar { \partial } ^ { 2 } \varphi - i \bar { \partial } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] \bar { Q } _ { 0 } - i [ ( \bar { \partial } \varphi ) ^ { 2 } + ( \bar { \partial } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ] \bar { Q } _ { 0 } } \\ & { = - \partial \alpha _ { 0 } \partial \varphi Q _ { 0 } - \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \bar { \partial } \varphi \bar { Q } _ { 0 } - i [ \partial ^ { 2 } \varphi - ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + i \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] Q _ { 0 } + i [ \bar { \partial } ^ { 2 } \varphi - ( \bar { \partial } \varphi ) ^ { 2 } - i \bar { \partial } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] \bar { Q } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \frac { 2 \sqrt \gamma _ { 1 } \, } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } } \, B , \quad B _ { 1 } = \frac { \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { o } + \gamma _ { 1 } } \, B , } \\ { C _ { 1 } } & { = \frac { 2 \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 0 } } \, B } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) d x } & { : = \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } ) g ( x _ { i } ) \Delta x _ { i } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( f ( x _ { i } ) \sqrt { \Delta x _ { i } } ) ( g ( x _ { i } ) \sqrt { \Delta x _ { i } } ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } \sqrt { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } g ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) } } \\ { ( \mathrm { U s i n g ~ C - S ~ i n e q u a l i t y ~ a n d ~ t h e ~ l i m i t ~ i n e q u a l i t y ~ I ~ a s k e d ~ a b o v e . } ) } \\ & { = \sqrt { \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } g ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) } } \\ { \Rightarrow ( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) d x ) ^ { 2 } } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) \operatorname* { l i m } _ { | | P | | \rightarrow 0 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } g ( x _ { i } ) ^ { 2 } \Delta x _ { i } ) } \\ & { = ( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) ^ { 2 } d x ) ( \int _ { a } ^ { b } g ( x ) ^ { 2 } d x ) } \end{array}
{ \sf p } _ { \hat { \kappa } _ { l } l } ( x ) \, \sim \, \frac { 1 } { \langle \hat { \kappa } _ { l } l \rangle } \, \left( \frac { x } { \langle \hat { \kappa } _ { l } l \rangle } \right) ^ { - \alpha _ { \hat { \kappa } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) = } & { \frac { x _ { 3 } } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) } { | \xi _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | \xi _ { 2 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | x _ { 3 } | ^ { 2 } } \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left[ \phi \left( \frac { \xi _ { 3 } } { \varepsilon } \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \varLambda _ { 3 } ( \xi , x ) \cdot \varTheta ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , 0 , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } \xi _ { 2 } \right] \mathrm { d } \xi _ { 3 } } \\ & { - \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } ( Y _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 3 } ( Y _ { t } ^ { \eta } , x ) \cdot R ( \eta , t ; 0 ) \varTheta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( Y ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 3 } } ( Y _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 3 } ( Y _ { t } ^ { \eta } , x ) \cdot R ( \eta , t ; s ) \alpha _ { \varepsilon } \left( Y _ { s } ^ { \eta } , s \right) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
d \phi _ { i } \; = \; { \frac { d ^ { 4 } k _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } 2 \pi \delta \left( k _ { i } ^ { 2 } \right) \left[ \Theta \left( k _ { i } ^ { 0 } \right) + B ( k _ { i } \cdot u ; T ) \right] \Theta ( \eta q ^ { 2 } - q ^ { \prime } \cdot k _ { i } ) .
{ \lbrack 4 \pi T \rbrack } ^ { - { \frac { D } { 2 } } } \mathrm { d e t } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \biggl [ { \frac { \mathrm { t a n } ( e F T ) } { e F T } } \biggr ] \quad . \,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial A } } & { { } = 2 A \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 2 4 / \sigma ^ { 2 } + 5 k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial A } } & { { } = 2 A \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) + ( A \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ) ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( 2 k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { A } } { \partial \sigma } } & { { } = A ^ { 3 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } \sqrt { 2 } ( 1 5 0 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma - 1 9 9 2 / \sigma ^ { 3 } ) / 1 2 8 , } \end{array}
[ B , \mathcal { D } ^ { k } B ( \mathcal { D } ^ { k } ) ^ { * } ] = [ C , \mathcal { D } ^ { k } C ( \mathcal { D } ^ { k } ) ^ { * } ] = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } k \in { \mathord { \mathbb Z } } , \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal { D } ^ { n } = { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } }
{ \begin{array} { r l } { { \dot { r } } } & { = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial { p _ { r } } } } = { \frac { p _ { r } } { M + m } } } \\ { { \dot { p _ { r } } } } & { = - { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial { r } } } = { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { m r ^ { 3 } } } - M g + m g \cos { \theta } } \\ { { \dot { \theta } } } & { = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial { p _ { \theta } } } } = { \frac { p _ { \theta } } { m r ^ { 2 } } } } \\ { { \dot { p _ { \theta } } } } & { = - { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial { \theta } } } = - m g r \sin { \theta } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ( T ) + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nu | \nabla u | ^ { 2 } \le \frac 1 2 \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ( T ) , \qquad \frac 1 2 \left\lVert \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ( 0 ) = \frac 1 2 \left\lVert \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( t ) = 2 \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } ( p _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) + i q _ { k } ( t ; \boldsymbol { \alpha } ) ) e ^ { i t ( \omega _ { d } + \Omega _ { k } ) } \right\} . } \end{array}
a _ { f } = c _ { 2 } ( B ) + \left( 1 1 + \frac { n ^ { 3 } - n } { 2 4 } \right) c _ { 1 } ( B ) ^ { 2 } - \frac { 3 n } { 2 \l } \left( \l ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) = 2
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \left[ C _ { G } S _ { F } ^ { f } \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \cdot } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \times } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) - 4 ( \mathbb { 1 } { - } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) { \cdot } \bar { \boldsymbol { \Omega } ^ { \textit { c } } } \right. } \\ { + \left. 4 ( \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } { \times } ( \bar { \boldsymbol { \Gamma } } \cdot \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) ) \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { o } } ^ { \mathrm { h } } ( \boldsymbol { q } , \Omega , A ) } & { = \mathcal { X } _ { \mathrm { o } } ( \boldsymbol { q } , \Omega ) \mathcal { U } _ { \mathrm { o } } ( A ) \, , } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { h } } ( \boldsymbol { q } , \Omega , A ) } & { = \mathcal { X } _ { \mathrm { e } } ( \boldsymbol { q } , \Omega ) \mathcal { U } _ { \mathrm { e } } ( A ) \, . } \end{array}
( 0 ) { \bigg ( } { \frac { \partial } { \partial u _ { 1 } } } ( A _ { i 2 } ) - { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } } } ( A _ { i 1 } ) { \bigg ) } + ( A _ { i 2 } ) { \bigg ( } { \frac { \partial } { \partial \lambda } } ( A _ { i 1 } ) - { \frac { \partial } { \partial u _ { 1 } } } ( 0 ) { \bigg ) } + ( A _ { i 1 } ) { \bigg ( } { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } } } ( 0 ) - { \frac { \partial } { \partial \lambda } } ( A _ { i 2 } ) { \bigg ) } = 0
\begin{array} { r l } & { f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle \leq \rho ^ { t } \langle z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle + } \\ & { \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big \{ \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big \} + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle , \ \forall z _ { p } \in \mathcal { W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { N S } \rho } & { = - \rho ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) , } \\ { D _ { t } ^ { N S } u _ { \alpha } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } p + \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } \left( \varepsilon \mu \Pi _ { \alpha \beta } \right) , } \\ { D _ { t } ^ { N S } T } & { = - \frac { 2 } { 3 } T ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) \left( \varepsilon \mu \Pi _ { \alpha \beta } \right) ( \partial _ { \beta } u _ { \alpha } ) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) \partial _ { \alpha } \left( \varepsilon \lambda \partial _ { \alpha } T \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \infty } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } & { = 1 - \left( 1 - ( 1 - u ) \frac { s _ { 1 } } { s _ { 2 } } \right) ^ { \theta } + u ^ { \theta } F _ { \infty } ( u s _ { 1 } , s _ { 2 } - ( 1 - u ) s _ { 1 } ) + \theta ( 1 - u ) ( s _ { 2 } / s _ { 1 } - 1 + u ) ^ { \theta } \times } \\ & { \times \int _ { 1 } ^ { 1 + \frac { s _ { 2 } / s _ { 1 } - 1 } { u } } ( s _ { 2 } / s _ { 1 } + ( 1 - u ) ( t - 1 ) ) ^ { - \theta - 1 } F _ { \infty } \left( \frac { s _ { 2 } - ( 1 - u ) s _ { 1 } } { t } , s _ { 2 } - ( 1 - u ) s _ { 1 } \right) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { M } _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E [ \widehat { O } ] = T r [ \widehat { \rho } \, \widehat { O } ] = T r [ \widetilde { \rho } \, \widetilde { O } ] \, , \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \widetilde { O } = \widehat \tau ^ { \dagger } { \widehat O } \widehat \tau } \end{array}