harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x ^ { k + 1 } } & { = x ^ { k } - \tau _ { x } \left( \left( \mathrm { p r o x } _ { \Psi } \left( f ( x ^ { k } , \Theta ) \right) - y ^ { \delta } \right) \mathcal { J } _ { f } ^ { x } ( x ^ { k } , \Theta ) + \alpha K ^ { \top } z ^ { k } \right) \, } \\ { z ^ { k + 1 } } & { = \mathrm { p r o x } _ { \tau _ { z } R ^ { \ast } } \left( z ^ { k } + \tau _ { z } \alpha K \left( 2 x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { I , p } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . { \bf r } } + e ^ { \imath \, { \bf k _ { r } } . { \bf r } } \left[ r _ { 1 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } t _ { 1 2 } t _ { 2 1 } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n - 1 } e ^ { \imath \Phi _ { m } n } e ^ { - \imath n \, { \bf k _ { r } } . \Delta { \bf r } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( l ) } = \mathrm { M L P } _ { 4 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { U E } } ^ { ( l ) } \left\{ \mathrm { M L P } _ { 3 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( l - 1 ) } , \right. \right. \right. } \\ { \left. \left. \left. \mathbf { e } _ { m , k } ^ { ( l - 1 ) } \right) \right\} _ { m \in \mathcal { N } _ { k } ^ { \mathrm { U E } } } \right) , ~ \forall k \in \mathcal { K } , } \end{array}
\int _ { \Sigma \cap \{ r \leq r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { - 1 + \eta } | \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq \int _ { \Sigma \cap \{ r = r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { - \eta } | \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma + C \int _ { \Sigma \cap \{ r \leq r _ { H } \} } ( r - 1 ) ^ { 1 + \eta } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } \, d \sigma d r .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \gamma S _ { c } ^ { - 1 } + k ^ { 2 } - D ^ { 2 } \right) \left( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } \right) W = R k ^ { 2 } D \widetilde { \Theta } , } \\ & { } & { \Gamma _ { 0 } ( z ) + \Gamma _ { 1 } ( z ) \widetilde { \Theta } + \big ( \gamma + k ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ( z ) \big ) D \widetilde { \Theta } + V _ { c } M _ { s } \, D ^ { 2 } \widetilde { \Theta } - D ^ { 3 } \widetilde { \Theta } = - D n _ { s } W , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { q _ { k , j } } | e ( \rho _ { \delta _ { k } } * v _ { k , j } ) - \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) | ^ { 2 } \, d x } & { \lesssim \left( \frac { { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( J _ { u } \cap q _ { k , j } ^ { \prime \prime } ) } { \delta _ { k } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \int _ { q _ { k , j } ^ { \prime \prime } } | e ( u ) | ^ { 2 } \, d x } \\ & { \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 3 } } \int _ { q _ { j , k } ^ { \prime \prime } } | e ( u ) | ^ { 2 } \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta n _ { k } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } } & { { } \le } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } c ^ { 3 } \, n _ { l } ^ { i } \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } } { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } ^ { i } \, \ln \Lambda _ { k e } ^ { i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar \dot { \theta } _ { \pm 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { \pm 1 } ( \vec { r } ) } } } & { \left( \mathcal { H } - \mu \right) \sqrt { n _ { \pm 1 } ( \vec { r } ) } \pm c _ { 1 } \left( n _ { 1 } - n _ { - 1 } \right) + q } \\ & { \quad \mp p + c _ { 1 } n _ { 0 } \left( 1 + \sqrt { \frac { n _ { \mp 1 } ( \vec { r } ) } { n _ { \pm 1 } ( \vec { r } ) } } \cos \theta _ { r } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = d a \wedge ( X ^ { \flat } \wedge ( I X ) ^ { \flat } - \omega ) + a ( - X ^ { \flat } \wedge d ( ( I X ) ^ { \flat } ) - \theta \wedge \omega ) } \\ & { = d a \wedge ( X ^ { \flat } \wedge ( I X ) ^ { \flat } - \omega ) } \\ & { + a \big ( - X ^ { \flat } \wedge a ( X ^ { \flat } \wedge ( I X ) ^ { \flat } - \omega ) - ( a X ^ { \flat } + b ( I X ) ^ { \flat } ) \wedge \omega \big ) } \\ & { = d a \wedge ( X ^ { \flat } \wedge ( I X ) ^ { \flat } - \omega ) . } \end{array}
\left( \mathcal { N } _ { 1 } e ^ { - \xi M _ { 1 } \xi - \xi \lambda _ { 1 } } \right) * \left( \mathcal { N } _ { 2 } e ^ { - \xi M _ { 2 } \xi - \xi \lambda _ { 2 } } \right) = \mathcal { N }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { - } } & { = } & { \{ ( x , 0 , z ) : x , z \in ( 0 , 1 ) \} \cup \{ ( 1 , y , z ) : y , z \in ( 0 , 1 ) \} } \\ { \mathrm { a n d ~ } \, \, g ( x , y , z ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { r l } { 0 , } & { ( x , y , z ) \in \Gamma _ { - } ^ { 1 } \equiv \{ ( x , 0 , z ) : x \in ( 0 , 0 . 7 ) , \ z \in ( 0 , 1 ) \} , } \\ { 1 , } & { ( x , y , z ) \in \Gamma _ { - } ^ { 2 } = \Gamma _ { - } \setminus \Gamma _ { - } ^ { 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { W } _ { -- } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \; , } \\ { \tilde { W } _ { - + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) + \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right) \; , } \\ { \tilde { W } _ { + - } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) - \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \right) \; , } \\ { \tilde { W } _ { + + } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = } & { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ i ~ r ~ r ~ u ~ s ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ : ~ } } & { { } q _ { i } \rightarrow \mathrm { R H } \rightarrow T [ 3 . 4 ] \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 6 . 4 ] } \\ { \mathrm { ~ C ~ u ~ m ~ u ~ l ~ u ~ s ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ : ~ } } & { { } q _ { i } \rightarrow q _ { c } \rightarrow \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 4 . 5 ] \rightarrow \partial _ { z z } p [ 5 . 1 ] } \\ { \mathrm { ~ D ~ e ~ e ~ p ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ : ~ } } & { { } \mathrm { R H } \rightarrow T \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow p _ { s } [ 5 . 5 ] \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 5 . 6 ] } \\ { \mathrm { ~ S ~ t ~ r ~ a ~ t ~ u ~ s ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ : ~ } } & { { } \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z z } p \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 5 . 9 ] \rightarrow q _ { c } [ 6 . 3 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } [ i _ { k + 0 } , i _ { k + 1 } ] } & { : = \frac { f ( x _ { i _ { k + 1 } } ) - f ( x _ { i _ { k + 0 } } ) } { x _ { i _ { k + 1 } } - x _ { i _ { k + 0 } } } } \\ { f _ { x } [ i _ { k + 0 } , i _ { k + 1 } , \dots , i _ { k + n + 1 } ] } & { : = \frac { f _ { x } [ i _ { k + 1 } , \dots , i _ { k + n + 1 } ] - f _ { x } [ i _ { k + 0 } , i _ { k + 1 } , \dots , i _ { k + n } ] } { x _ { i _ { k + n + 1 } } - x _ { i _ { k + 0 } } } } \end{array}
W _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } [ n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \lambda } E _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } [ n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] + c _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } [ n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] ,
\rho _ { 0 } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } x < - t } \\ { \frac { - x } { 2 t } + \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } - t \leq x \leq ( 2 \alpha - 1 ) t } \\ { 1 - \alpha } & { \mathrm { i f ~ } ( 2 \alpha - 1 ) t \leq x < \alpha - \beta } \\ { \beta } & { \mathrm { i f ~ } 0 < x \leq ( 1 - 2 \beta ) t } \\ { \frac { - x } { 2 t } + \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } ( 1 - 2 \beta ) t \leq x \leq t } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } t < x } \end{array} \right.
{ \cal B } _ { B ^ { 0 } \to \rho ^ { 0 } \gamma } ^ { \mathrm { s . d . } } \simeq 7 . 3 \times 1 0 ^ { - 7 } \ , \qquad { \cal B } _ { B ^ { 0 } \to \rho ^ { 0 } \gamma } ^ { \mathrm { t o t } } \simeq 7 . 8 \times 1 0 ^ { - 7 } \ \ .
O _ { 7 } = \frac { e } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } ( m _ { b } P _ { R } + m _ { s } P _ { L } ) b F _ { \mu \nu } , \qquad P _ { R , L } = ( 1 \pm \gamma _ { 5 } ) / 2 ,
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { i } y ) ^ { \mathrm { i } y } } & { = ( y \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi / 2 } ) ^ { \mathrm { i } y } } \\ & { = ( \mathrm { e } ^ { \ln y } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi / 2 } ) ^ { \mathrm { i } y } } \\ & { = ( \mathrm { e } ^ { \ln ( y ) + \mathrm { i } \pi / 2 } ) ^ { \mathrm { i } y } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } y \ln ( y ) - y \pi / 2 } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - y \pi / 2 } \left( \cos ( y \ln y ) + \mathrm { i } \sin ( y \ln y ) \right) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - | y | \pi / 2 } \left( \cos ( y \ln | y | ) + \mathrm { i } \sin ( y \ln | y | ) \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { t + 1 } } & { = A _ { t } } \\ { g _ { t + 1 } } & { = \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { C _ { t } - \bar { x } H _ { t + 1 } } } \\ { \mu _ { t + 1 } } & { = \bar { x } - \frac { H _ { t + 1 } } { g _ { t + 1 } } } \\ { \sigma _ { t + 1 } ^ { 2 } } & { = \hat { x } - \frac { B _ { t } - H _ { t + 1 } ^ { 2 } } { g _ { t + 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 3 } = 1 5 c _ { 2 } ^ { 6 } \sigma _ { v } ^ { 6 } + 9 c _ { 2 } ^ { 4 } \sigma _ { v } ^ { 4 } + f ^ { 3 } ( \mu _ { v } ) + 3 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } \left( c _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } + f ^ { 2 } ( \mu _ { v } ) \right) + 3 c _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } \left( 2 + f ( \mu _ { v } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \xi _ { \mathrm { b } } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \xi _ { \mathrm { b } } \mathbf { U } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \xi _ { \mathrm { l } } \phi \left( \mathbf { u } - \mathbf { U } \right) \right] + \nabla \cdot \left[ \kappa _ { \mathrm { e d d } } \nabla \left( \xi _ { \mathrm { b } } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { 0 } ^ { \dagger } \left( \sum _ { p } \epsilon _ { p } \hat { n } _ { p } \right) \hat { U } _ { 0 } + } & { \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \hat { U } _ { \alpha } ^ { \dagger } \left( \sum _ { p } \lambda _ { p p } ^ { ( \alpha ) } \hat { n } _ { p } \right) \hat { U } _ { \alpha } } \\ & { = \hat { \tilde { U } } ^ { \dagger } \left( \sum _ { p } \tilde { \epsilon } _ { p } \hat { n } _ { p } \right) \hat { \tilde { U } } . } \end{array}
\left| \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial z } } } \\ { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial x } } } & { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial y } } } & { { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial z } } } \end{array} \right|
M _ { m ^ { \prime } \bar { m } ^ { \prime } } ^ { \prime } = 2 \sqrt { m _ { m ^ { \prime } } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } , \; \; E _ { m \bar { m } } = \sqrt { M _ { m \bar { m } } ^ { 2 } + p ^ { 2 } } , \; \; E _ { m ^ { \prime } \bar { m } ^ { \prime } } ^ { \prime } = \sqrt { { M ^ { \prime } } _ { m ^ { \prime } \bar { m } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { p } ^ { 2 } } ,
\operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l l } { z w } & { z } & { w } & { 1 } \\ { z _ { 1 } w _ { 1 } } & { z _ { 1 } } & { w _ { 1 } } & { 1 } \\ { z _ { 2 } w _ { 2 } } & { z _ { 2 } } & { w _ { 2 } } & { 1 } \\ { z _ { 3 } w _ { 3 } } & { z _ { 3 } } & { w _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { c } { { \{ J _ { i } , \underline { { { g } } } ^ { \infty } ( \Lambda ^ { \infty } ) \} = \{ \int d ^ { 3 } x \ \{ E _ { j } [ ( \vec { x } \times \vec { \nabla } ) _ { i } \delta _ { j k } + \theta ( i ) _ { j k } ] A _ { k } , \ \underline { { { g } } } ^ { \infty } ( \Lambda ^ { \infty } ) \} } } \\ { { = - \int d ^ { 3 } x \quad E _ { j } [ ( \vec { x } \times \vec { \nabla } ) _ { i } \delta _ { j k } + \theta ( i ) _ { j k } ] \partial _ { k } \Lambda ^ { \infty } } } \\ { { = - \int d ^ { 3 } x \quad E _ { j } \partial _ { j } \ ( \vec { x } \times \vec { \nabla } ) _ { i } \ \Lambda ^ { \infty } } } \\ { { = - \int _ { \mid \vec { x } \mid \rightarrow \infty } d \Omega \mid \vec { x } \mid ^ { 2 } \quad \frac { \vec { x } \cdot \vec { E } } { \mid \vec { x } \mid } ( \vec { x } \times \vec { \nabla } ) _ { i } \Lambda ^ { \infty } + \underline { { { g } } } ^ { \infty } ( ( \vec { x } \times \vec { \nabla } ) _ { i } \Lambda ^ { \infty } ) \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { x } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } & { A _ { y } } & { 1 } \\ { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } & { B _ { y } } & { 1 } \\ { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } & { C _ { y } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { S _ { y } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } & { 1 } \\ { B _ { x } } & { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } & { 1 } \\ { C _ { x } } & { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { a } & { { } = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { A _ { y } } & { 1 } \\ { B _ { x } } & { B _ { y } } & { 1 } \\ { C _ { x } } & { C _ { y } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { b } & { { } = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { A _ { y } } & { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } \\ { B _ { x } } & { B _ { y } } & { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } \\ { C _ { x } } & { C _ { y } } & { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } \end{array} \right] } } \end{array}
\mathbf { A \cdot B } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A ^ { 0 } } & { A ^ { 1 } } & { A ^ { 2 } } & { A ^ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { \eta _ { 0 0 } } & { \eta _ { 0 1 } } & { \eta _ { 0 2 } } & { \eta _ { 0 3 } } \\ { \eta _ { 1 0 } } & { \eta _ { 1 1 } } & { \eta _ { 1 2 } } & { \eta _ { 1 3 } } \\ { \eta _ { 2 0 } } & { \eta _ { 2 1 } } & { \eta _ { 2 2 } } & { \eta _ { 2 3 } } \\ { \eta _ { 3 0 } } & { \eta _ { 3 1 } } & { \eta _ { 3 2 } } & { \eta _ { 3 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { B ^ { 1 } } \\ { B ^ { 2 } } \\ { B ^ { 3 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } } & { \leq C \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ] } \\ & { + C _ { 3 } [ \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( [ \phi ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) - ( [ \phi ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ & { \approx - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( \left( ( a _ { 1 } ) _ { y y } - a _ { 2 } ( c _ { 1 } ) _ { y } - a _ { 1 } c _ { 1 } c _ { 2 } \right) X _ { \alpha } ^ { \delta } - \left( ( a _ { 2 } ) _ { x x } - a _ { 1 } ( c _ { 2 } ) _ { x } - a _ { 2 } c _ { 1 } c _ { 2 } \right) X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { v \in \vartheta ^ { k } } \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ^ { k } ( a ) = v ] ^ { q } } & { = \sum _ { v \in \vartheta ^ { k } ( a ) } \left( \sum _ { s \in \vartheta ( a ) \colon v \in \vartheta ^ { k - 1 } ( s ) } \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ( a ) = s ] \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ^ { k - 1 } ( s ) = v ] \right) ^ { q } } \\ & { \leq \sum _ { v \in \vartheta ^ { k } ( a ) } \left( \frac { \sum _ { s \in \vartheta ( a ) \colon v \in \vartheta ^ { k - 1 } ( s ) } \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ( a ) = s ] \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ^ { k - 1 } ( s ) = v ] ^ { q } } { \sum _ { s \in \vartheta ( a ) \colon v \in \vartheta ^ { k - 1 } ( s ) } \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ( a ) = s ] } \right) } \\ & { \leq \prod _ { b \in \mathcal { A } } \left( \sum _ { w \in \vartheta ^ { k - 1 } ( b ) } \mathbb { P } [ \vartheta _ { \mathbf { P } } ^ { k - 1 } ( b ) = w ] ^ { q } \right) ^ { \lvert \vartheta ( a ) \rvert _ { b } } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } = } & { \frac { \binom { N - 1 } { i - 1 } } { \binom { N - 1 } { i - 1 } + \binom { N - 1 } { i } } \tilde { x } _ { ( 1 , i - 1 ) } + \frac { \binom { N - 1 } { i } } { \binom { N - 1 } { i - 1 } + \binom { N - 1 } { i } } \tilde { x } _ { ( 0 , i ) } } \\ { = } & { \frac { i } { N } \tilde { x } _ { ( 1 , i - 1 ) } + \frac { N - i } { N } \tilde { x } _ { ( 0 , i ) } . } \end{array}
\mathbf { R } _ { i } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos { \psi } } & { - \sin { \psi } } & { 0 } \\ { \sin { \psi } } & { \cos { \psi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \mathbf { R } _ { i } .
\Big \langle J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau + 1 ) \Big \rangle : = \operatorname* { l i m } _ { \Psi \rightarrow 0 } \frac { \partial Z } { \partial \Psi _ { k j } } = \frac { 1 } { N _ { t } } \mathrm { t a n h } \left( \frac { \beta } { N _ { t } } h _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) \right) \, , \qquad \rightarrow \hat { \mu } ( \tau + 1 ) = \mathrm { t a n h } \left( \frac { \beta } { N _ { t } } h _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) \right)
\begin{array} { r } { \phi ( \mathbf { x } , t ) = \sqrt { \frac { 2 } { N _ { c } } } \sum _ { j } ^ { N _ { c } } s i n ( \mathbf { k } _ { j } \mathbf { x } - \omega _ { j } t + \zeta _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { R } } & { { } = \left( \delta _ { i k } r _ { j } - \delta _ { i j } r _ { k } \right) J _ { 3 } ^ { 0 } + \left( \delta _ { i j } p _ { k } - \delta _ { i k } p _ { j } \right) J _ { 3 } ^ { 1 } } \\ { \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { S } } & { { } = \delta _ { j k } r _ { i } J _ { 3 } ^ { 0 } - \delta _ { j k } p _ { i } J _ { 3 } ^ { 1 } - 3 r _ { i } r _ { j } r _ { k } J _ { 5 } ^ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \mathbb E \left[ \left. \lVert Q _ { t } \rVert _ { 1 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \le \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \sum _ { i \in [ K ] } \left( Q _ { T _ { 0 } , i } + M m \right) } \\ & { = m \lVert Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { 1 } + K M m ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le m \cdot 2 K M m + K M m ^ { 2 } } \\ & { \le 3 K M m ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 . 4 } & { 0 . 3 5 } & { 0 . 3 } \\ { 0 . 4 } & { 0 } & { 0 . 2 } & { 0 . 2 5 } \\ { 0 . 3 5 } & { 0 . 2 } & { 0 } & { 0 . 2 } \\ { 0 . 3 } & { 0 . 2 5 } & { 0 . 2 } & { 0 } \end{array} \right] , ~ H = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 . 4 } & { } & { 0 . 2 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 7 } & { 0 } & { } & { 0 . 8 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 . 5 } & { } & { 0 } & { 0 . 7 } \\ { 1 } & { 0 . 8 } & { } & { 0 . 5 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial E _ { i j } } } & { { } = \delta _ { i j } , } \\ { \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial E _ { i j } } } & { { } = I _ { 1 } \delta _ { i j } - E _ { j i } , } \\ { \frac { \partial I _ { 4 } } { \partial E _ { i j } } } & { { } = \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { l . h . s . } & { = } & { \sum _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \delta _ { l ^ { \prime \prime } l ^ { \prime } } \delta _ { m ^ { \prime \prime } m ^ { \prime } } \left( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega \right) u _ { i \mu , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) } \\ & { = } & { \left( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime \prime } ( l ^ { \prime \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega \right) u _ { i \mu , l ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) } \\ { r . h . s . } & { = } & { [ \epsilon _ { i } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l ^ { \prime \prime } l } \delta _ { m ^ { \prime \prime } m } - G _ { l ^ { \prime \prime } L l } ^ { m ^ { \prime \prime } M m } V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( r ) ] u _ { i , l } ( r ) } \end{array}
Y ^ { ( 1 ) } = - \frac { 2 } { \sqrt { - g } } ( \kappa v ^ { i } \bar { \tilde { \cal H } } ^ { j } \gamma _ { i j k } \gamma ^ { ( 4 ) } E ^ { k } + \bar { \kappa } v ^ { i } \tilde { \cal H } ^ { j } \gamma _ { i j k } \gamma ^ { ( 4 ) } \bar { E } ^ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { C = \frac { \lambda ^ { D } } { N _ { m } } J } & { + \frac { \lambda ^ { P } } { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } R A N S \left( ( U _ { i } , P - \phi , f _ { s , i } , \tilde { \nu } ) ( \mathbf { x _ { k } ; \theta } ) \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { P } } { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } \left( U _ { j } \frac { \partial \tilde { \nu } } { \partial x _ { j } } - S _ { p } - S _ { d i f f } - S _ { c } - S _ { d } \right) ( \mathbf { x _ { k } ; \theta } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \lambda ^ { B } } { N _ { b } } \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { b } } B C \left( ( U _ { i } , P - \phi , f _ { s , i } , \tilde { \nu } ) ( \mathbf { x _ { b } ; \theta } ) \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { R } } { 2 } \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { s , i } ( \mathbf { x _ { k } ; \theta } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d E _ { i } } { d t } = - 2 \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } \rho _ { i } } \Bigl [ P _ { i j } ^ { * } \left( U _ { i j } ^ { * R } - U _ { i j } ^ { * R , \mathrm { n u m } } \right) - \left( \tau _ { i j } ^ { \gamma R * } - \tau _ { i j } ^ { \gamma R * , \mathrm { n u m } } \right) \left( U _ { i j } ^ { * \gamma } - U _ { i j } ^ { * \gamma , \mathrm { n u m } } \right) \Bigr ] \overrightarrow { e ^ { R } } \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } .
D _ { \mathrm { K L } } \left( \rho _ { \mathrm { e m p } } \mid \rho _ { \mathrm { s y n } } \right) = \int \rho _ { \mathrm { e m p } } ( x ) \ln \left[ \frac { \rho _ { \mathrm { e m p } } ( x ) } { \rho _ { \mathrm { s y n } } ( x ) } \right] \mathrm { d } x .
k ( z , \lambda ) = \frac { ( \lambda - 1 ) h _ { 1 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) } { ( 1 - z ) \, h _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) } = \frac { ( \lambda - 1 ) } { ( 1 - z ) ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 ) } \left( 1 + \frac { c _ { 0 , 1 } z } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right)
\begin{array} { r l } { \lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \rVert } & { { } = ( 1 - \alpha ) \beta \frac { m } { 4 L } + \sigma _ { { \boldsymbol { \theta } } } . } \end{array}
( - 1 - \epsilon ) \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i } < \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i } ( - 1 + \epsilon ) \sum _ { i } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { i } ,