harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } [ \hat { \rho } ] } & { : = \mathcal { L } _ { \hat { a } _ { H } , \kappa } [ \hat { \rho } ] + \mathcal { L } _ { \hat { a } _ { V } , \kappa } [ \hat { \rho } ] } \\ & { + \mathcal { L } _ { \vert g \rangle \langle x _ { H } \vert , \gamma } [ \hat { \rho } ] + \mathcal { L } _ { \vert g \rangle \langle x _ { V } \vert , \gamma } [ \hat { \rho } ] } \\ & { + \mathcal { L } _ { \vert x _ { H } \rangle \langle x x \vert , \gamma } [ \hat { \rho } ] + \mathcal { L } _ { \vert x _ { V } \rangle \langle x x \vert , \gamma } [ \hat { \rho } ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left[ x ( m _ { d } - m _ { u } ) + y ( m _ { s } - m _ { u } ) + m _ { u } \right] } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { = P \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left[ x ( m _ { d } - m _ { u } ) + y ( m _ { s } - m _ { u } ) + m _ { u } \right] } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { 2 \pi i q } { k _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { c ^ { 2 } - 4 d } } \left[ \frac { - c + \sqrt { c ^ { 2 } - 4 d } } { 2 } ( m _ { s } - m _ { u } ) + m _ { u } + x ( m _ { d } - m _ { u } ) \right] + \frac { 2 \pi i l } { k _ { 2 } ^ { 2 } } ( m _ { s } - m _ { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \bigg ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \frac { m \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } ( 1 - e ^ { - \beta ( t _ { e n d } - t _ { o n } ) } ) \bigg ) \bigg ( \tau + ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) . } \end{array}
{ \cal { L } } ( D _ { \mu } \chi _ { \alpha } , \chi _ { \alpha } ) \stackrel { a ( x ) } { \rightarrow } { \cal { L } } ^ { \prime } ( D _ { \mu } ^ { \prime } \chi _ { \alpha } ^ { \prime } , \chi _ { \alpha } ^ { \prime } ) = { \cal { L } } ( D _ { \mu } \chi _ { \alpha } , \chi _ { \alpha } ) ~ .
\begin{array} { r l } { T _ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } = } & { { } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \frac { - L \, \mathrm { d } \theta } { u \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) } } \\ { = } & { { } \frac { L } { 2 u } \, \left( \ln \left| \tan \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right| + \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) \Big \vert _ { \theta _ { 2 } } ^ { \theta _ { 1 } } . } \end{array}
{ N _ { 1 } ^ { \mu } } _ { a f t e r } = \frac 1 { \sqrt { g } } \big ( \partial _ { \sigma } X ^ { 3 } , - \partial _ { \sigma } X ^ { 4 } , - \partial _ { \sigma } X ^ { 1 } , \partial _ { \sigma } X ^ { 2 } \big )
\mathrm { B S } ^ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, \frac { \beta _ { \epsilon } - 2 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, + \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } \, \mathrm { B S } _ { m } [ \eta ] \, ,
L = \sum _ { \alpha } \left( p _ { \alpha } ^ { \bar { z } } \dot { z } _ { \alpha } + p _ { \alpha } ^ { z } \dot { { \bar { z } } } _ { \alpha } + i J _ { \alpha } \frac { { \bar { \xi } } ^ { \alpha } \dot { \xi } ^ { \alpha } - \dot { \bar { \xi } ^ { \alpha } } \xi ^ { \alpha } } { 1 + \mid \xi ^ { \alpha } \mid ^ { 2 } } \right)
A _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ e ~ e ~ p ~ } } ( t ) = A _ { 0 } + \frac { k _ { B } T } { P \Omega } \log \left[ 1 + t f \frac { P \Omega } { k _ { B } T } \exp \left( - \frac { E _ { a } - P \Omega } { k _ { B } T } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \mu _ { 1 2 } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi } \Biggr | _ { \phi = \pi } - \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( 2 ) } } { \partial \phi } \Biggr | _ { \phi = \pi } + ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \phi } } { \partial \xi } \Biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { - i \alpha ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } } { \partial \xi } H _ { \phi } \tilde { \eta } \Biggr | _ { \phi = \pi } + 2 ( \mu _ { 1 2 } - 1 ) \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \tilde { u } _ { \phi } \left( \phi = \pi \right) = 0 , } \end{array} } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } u _ { i } u _ { i } = b u _ { i } g _ { i } - \partial _ { j } ( p + \psi ) \delta _ { i j } u _ { i } - 2 \nu \partial _ { j } e _ { i j } u _ { i } - 2 \nu e _ { i j } e _ { i j } ,
\begin{array} { r } { \left( y _ { 1 } \frac { d } { d y _ { 1 } } + \sqrt { - 1 } \left( 2 \pi c _ { 0 } \sqrt { - 1 } \right) y _ { 1 } + \left( i - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } \right) \right) W _ { i - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - 1 } { 2 } } ( 4 \pi | c _ { 0 } | y _ { 1 } ) = - W _ { i + 1 - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - 1 } { 2 } } ( 4 \pi | c _ { 0 } | y _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot \eta ^ { 2 } ( 1 + u _ { 1 } ) \cdot e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta + \chi ) } } \\ { \approx \ } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \cdot \eta ^ { 2 } ( 1 + u _ { 1 } ) ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ^ { - 1 } \cdot \left( e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) t } - e ^ { - ( \hat { \nu } + p _ { 1 } i ) ( 2 \eta ) } \right) } \\ { \approx \ } & { \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma } \ \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \cdot ( 1 + u _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - 2 \Gamma x } \mathrm { d } x \ \ \left( x = \hat { \nu } \eta \ ; \Gamma = 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) } \\ { = \ } & { b _ { 1 , 1 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 2 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 1 , 1 } = \frac { 1 + u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \Gamma ^ { 4 } } = \frac { 1 + u _ { 1 } } { 8 \hat { \nu } ^ { 4 } } \left( 1 + \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } i \right) ^ { - 4 } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + 1 ) C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \mathscr { E } _ { i } ( s ) \big ( ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 2 } + 1 \big ) I _ { i } ( s , z = 0 )
c _ { n } ^ { \pm } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 n } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \pm \frac { 1 } { 4 n } \sqrt { \omega _ { C } ^ { 2 } - \omega _ { N } \omega _ { S } \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } .
\begin{array} { r } { p _ { i j } = \frac { 1 } { 1 + { \chi _ { i j } ^ { \beta } } } , \, \, \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \, \, \chi _ { i j } = \frac { R \Delta \theta _ { i j } } { \left( \mu \kappa _ { i } \kappa _ { j } \right) ^ { 1 / D } } . } \end{array}
\star F _ { d + 1 } = \sqrt { 2 } \kappa _ { D } Q _ { d } \varepsilon _ { \tilde { d } + 1 } / \Omega _ { \tilde { d } + 1 } , \ \ \ \ \ F _ { d + 1 } = \sqrt { 2 } \kappa _ { D } P _ { \tilde { d } } \varepsilon _ { d + 1 } / \Omega _ { d + 1 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ A _ { n } ( t ) ^ { 2 } ] } & { = \mathbb { E } [ U _ { 0 } ^ { 2 } ] \gamma ^ { 2 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s \Big ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \mathbb { E } \Big [ \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H ( t - s ) \big ( \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \gamma ( t - u ) } \mathrm { d } W ( u ) \big ) \mathrm { d } s \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \qquad + \sigma ^ { 2 } \mathbb { E } \Big [ \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H ( t - s ) \mathrm { d } W ( s ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \qquad - 2 \sigma \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } \Big [ \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } W ( u ) \Big ) \mathrm { d } s \Big ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) \mathrm { d } W ( s ) \Big ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { l l } { f _ { 1 2 } = } & { { m _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - { x _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) \right) + } \\ & { 2 { m _ { 4 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 8 } \right) { y _ { 1 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta \sigma } & { = \operatorname { a r c h a v } \left( \operatorname { h a v } \left( \Delta \phi \right) + \left( 1 - \operatorname { h a v } ( \Delta \phi ) - \operatorname { h a v } ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) \right) \operatorname { h a v } \left( \Delta \lambda \right) \right) } \\ & { = 2 \arcsin { \sqrt { \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta \phi } { 2 } } \right) + \left( 1 - \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta \phi } { 2 } } \right) - \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { 2 } } \right) \right) \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta \lambda } { 2 } } \right) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { n _ { 1 } ( x , y , \xi ) = - k _ { p } n _ { b , 0 } \exp { \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } } \exp { \frac { - y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } } } \\ { \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \exp { \frac { - \xi ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } } \sin { \left( k _ { p } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \right) } d \xi ^ { \prime } } \end{array}
v . s = { \frac { \bf p . S _ { \Lambda } } { p ^ { 0 } } } = | { \bf p } | { \frac { \bf \hat { p } . S _ { \Lambda } } { p ^ { 0 } } } = { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) } { ( 1 + x ^ { 2 } ) } } { \bf \hat { p } . S _ { \Lambda } }
A _ { + } ^ { ^ \prime ( c \ell ) } ( \underline { { { x } } } , x _ { - } ) = - g \int { \frac { d ^ { 2 } b } { 2 \pi } } \ell n [ \vert \underline { { { x } } } - \underline { { { b } } } \vert \mu ] \hat { \rho } ( \underline { { { b } } } , x _ { - } )
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { \mathrm { A } } = \frac { 1 } { 4 \pi \eta ^ { \mathrm { e } } } \frac { 1 } { 1 + \lambda ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { C } } d s \, \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { A } } ^ { \| } + \lambda \mathbf { f } _ { \mathrm { A } } ^ { \| } \times \mathbf { e } _ { z } \right) , } \end{array}
a _ { I } ( s ) \propto \int _ { t _ { o } } ^ { 0 } d t A _ { I } ^ { s } ( s , \ \mathrm { s m a l l } \ t ) + \int _ { u _ { o } } ^ { 0 } d u A _ { I } ^ { s } ( s , \ \mathrm { s m a l l } \ u ) .
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { \infty } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } L _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 2 a - \frac { 1 } { 2 } \Big ) \big ( L _ { \infty } ^ { + } + L _ { \infty } ^ { - } \big ) \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + \frac { 1 } { 4 } \Big ( L _ { D } ^ { \infty } \big ( \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ) - 2 L _ { \infty } ^ { + } \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
L ( \rho ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { s _ { 1 2 } ( \rho _ { 1 1 } - \rho _ { 2 2 } ) } & { - ( s _ { 2 3 } + s _ { 2 4 } ) \rho _ { 1 2 } + ( w _ { 4 } - w _ { 3 } ) \rho _ { 2 1 } } \\ { - ( s _ { 2 3 } + s _ { 2 4 } ) \rho _ { 2 1 } + ( w _ { 4 } - w _ { 3 } ) \rho _ { 1 2 } } & { s _ { 1 2 } ( \rho _ { 1 1 } - \rho _ { 2 2 } ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } ^ { \pi ^ { * } } [ X _ { 1 } ] } & { = ( 1 + i _ { 1 } ) \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } \Big [ X _ { 0 } + \phi _ { 0 } ^ { * } ( X _ { 0 } ) \cdot R _ { 1 } \Big ] = ( 1 + i _ { 1 } ) \Big ( \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] + \frac { \lambda } { d _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } } \ell _ { 1 } \Big ) } \\ & { = S _ { 1 } ^ { 0 } \Big ( \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] + \frac { \lambda } { S _ { N } ^ { 0 } } \frac { \ell _ { 1 } } { d _ { 0 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \psi _ { 2 2 } } & { \frac { i \psi _ { 3 3 } ^ { \prime } + \frac { z } { 2 } \psi _ { 3 3 } } { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } } } \\ { 0 } & { \frac { - i \psi _ { 2 2 } ^ { \prime } + \frac { z } { 2 } \psi _ { 2 2 } } { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } } & { \psi _ { 3 3 } } \end{array} \right) , \qquad z \in { \mathbb C } \setminus { \mathbb R } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i 1 } } { \partial t } + \frac { \partial v _ { i 1 } } { \partial x } } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { i 1 } } { \partial t } } & { = } & { - \sigma \frac { \partial n _ { i 1 } } { \partial x } - \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } } & { = } & { \phi _ { 1 } - \delta _ { i } n _ { i 1 } - \alpha \delta _ { d } \varphi _ { d 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { F } ( u , v ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { j k f } } { j \lambda f } e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ U _ { L } ^ { \prime } ( x , y ) e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 < \frac { | | \pi _ { 2 : n } ^ { k } | | } { 2 } \leq | | \tau _ { 2 : n } ^ { k } | | < \tau _ { 1 } ^ { k } \leq \frac { \pi _ { 1 } ^ { k } } { 2 } < \pi _ { 1 } ^ { k } , } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \pi _ { j } ^ { k } } { 2 } \leq \tau _ { j } ^ { k } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \pi _ { j } \geq 0 } \\ { \frac { \pi _ { j } ^ { k } } { 2 } \geq \tau _ { j } ^ { k } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \pi _ { j } < 0 } \end{array} \right. , \qquad j = 2 , . . . , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { f _ { 1 } ( \alpha , a ) } } } & { { } \approx \overline { { A _ { 0 0 } + A _ { 1 0 } \alpha ^ { \prime } + A _ { 0 1 } a ^ { \prime } + A _ { 2 0 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 1 1 } \alpha ^ { \prime } a ^ { \prime } + A _ { 0 2 } { a ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 3 0 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } + A _ { 2 1 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } a ^ { \prime } + A _ { 1 2 } \alpha ^ { \prime } { a ^ { \prime } } ^ { 2 } + A _ { 0 3 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } } } } \end{array}
d s _ { B T Z } ^ { 2 } ~ = ~ - \frac { \Delta ^ { 2 } } { l ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } d t ^ { 2 } + \frac { l ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \left( d \phi - \frac { \rho _ { + } \rho _ { - } } { l \rho ^ { 2 } } d t \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \left[ \log L ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) - \log L ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : n } ) \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { 0 } ( W _ { t , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { t - 1 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) + g _ { 0 } ^ { 0 } ( W _ { 0 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) \right\} - \frac { 1 } { n } \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { 0 } ( W _ { t , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { t - 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) + g _ { 0 } ^ { 0 } ( W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ p ~ i ~ s ~ o ~ c ~ c ~ l ~ u ~ d ~ e ~ d ~ } \, } & { { } \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { \left| \hat { D } _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ } } ( q ) - \| X \| _ { 2 } \right| } < \delta , } \\ { \mathrm { ~ p ~ i ~ s ~ n ~ o ~ t ~ o ~ c ~ c ~ l ~ u ~ d ~ e ~ d ~ } \, } & { { } \mathrm { ~ , ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ x \in [ 0 , 1 ) \colon \nu ( x ) > 0 \} } & { \subseteq \bigcup _ { m = 1 } ^ { \infty } \Big \{ x \in [ 0 , 1 ) \colon \nu ( x ) > \frac { 1 } { m } \Big \} } \\ & { \subseteq \bigcup _ { m = 1 } ^ { \infty } \Big \{ x \in [ 0 , 1 ) \colon | T ^ { n } ( x ) - y | < | I _ { n } ( y ) | ^ { \frac { 1 } { m } } \mathrm { ~ f o r ~ i n f i n i t e l y ~ m a n y ~ } n \in \mathbb { N } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { R } ( 0 ) } & { { } = 1 } \\ { \hat { L } ( 0 ) } & { { } = 1 + \sum _ { i a } \lambda _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \lambda _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T ^ { \oplus } = \frac { 1 } { 2 \kappa } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) } \\ & { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \ominus } = \frac { ( 1 + \mathcal { P } ^ { \bullet } ( R ) ) } { 4 \kappa } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) } \\ & { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \oplus } = \frac { ( 1 + \mathcal { P } ^ { \bullet } ( R ) ) } { 4 \kappa } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) } \\ & { T ^ { \mathsf { b l o } } = \frac { 1 } { ( 1 + \mathcal { P } ^ { \bullet } ( R ) ) \kappa } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) } \\ & { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \mathsf { b l o } } = \frac { 1 } { 2 \kappa } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { \star } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { 0 } } } & { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { d } } } \\ { i \omega _ { \mathrm { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { d } } } & { 0 } & { - i { \omega } _ { \mathrm { m } } } \\ { 0 } & { 0 } & { i { \omega } _ { \mathrm { m } } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle d \lambda , \mu \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } } & { { } = \langle \lambda , \delta \mu \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { k - 1 } ( \Omega ) } + \int _ { \partial \Omega } \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \lambda ) \wedge \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \ast \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \mathbb { C } o v \Big ( \sum _ { j \in J _ { n } } Z ( x _ { j } ^ { n } ) } & { M ( I _ { j } ^ { n } ) \ , \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } Z ( y _ { k } ^ { m } ) M ( E _ { k } ^ { m } ) \Big ) } \\ & { = \int _ { D \times D } C _ { Z } d C _ { M } + \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } K _ { Z , M } ^ { ( 2 ) } ( ( x _ { j } ^ { n } , y _ { k } ^ { m } ) , I _ { j } ^ { n } \times E _ { k } ^ { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 2 } } & { = \langle \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | \hat { H } - E _ { 0 } | \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle + \langle \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | \hat { H } - E _ { 0 } | ( e ^ { \hat { T } _ { * } } - I ) \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle } \\ & { + \langle ( e ^ { - \hat { T } _ { * } ^ { \dagger } } - I ) \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | \hat { H } - E _ { 0 } | e ^ { \hat { T } _ { * } } \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ^ { \alpha } v _ { \alpha } = 0 , } \\ & { \sigma _ { \alpha } ^ { e x t } = \underbrace { - \eta _ { 2 D } \left( K ( \vec { x } ) ~ v _ { \alpha } + D ^ { \mu } D _ { \mu } v _ { \alpha } \right) + D _ { \alpha } p } _ { M e m b r a n e ~ s t r e s s } ~ ~ + \underbrace { T _ { \alpha } } _ { E x t e r n a l ~ s t r e s s } , } \\ & { ~ \nabla \cdot { \bf v } _ { \pm } = 0 , ~ ~ ~ \eta _ { \pm } \nabla ^ { 2 } { \bf v } _ { \pm } = \nabla _ { \pm } p ^ { \pm } , } \\ & { T _ { \alpha } = \sigma _ { \alpha r } ^ { - } | _ { r = R } - \sigma _ { \alpha r } ^ { + } | _ { r = R } , ~ ~ \sigma _ { i j } ^ { \pm } = \eta _ { \pm } \left( D _ { i } v _ { j } ^ { \pm } + D _ { j } v _ { i } ^ { \pm } \right) - g _ { i j } p _ { \pm } , } \\ & { { \bf v } _ { \pm } | _ { r = R } = v . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \parallel } ( B _ { 0 } ) = \sqrt { \mu _ { 2 2 } ( B _ { 0 } ) \, \epsilon _ { 3 3 } ( B _ { 0 } ) } = \sqrt { \, 1 + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \, } \; . } \end{array}
X = \mathrm { t h e ~ m i n i m u m ~ n u m b e r ~ o f ~ c e l l s ~ n e e d e d ~ t o ~ i n c l u d e ~ a l l ~ b u t ~ \sqrt { | p _ { \perp } | ^ { \mathrm { ~ t o t } } } ~ o f ~ t h e ~ t o t a l ~ | p _ { \perp } | ^ { \mathrm { ~ t o t } } ~ } ,
\left. w \right| _ { z = z _ { i e } } = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \Omega w _ { 0 } ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 2 } } { k _ { p } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } ,
\tilde { { \bf E } } { } = { } \frac { 1 } { 2 } \, \left( { \bf u } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Theta } { } + { } { \bf u } ^ { * } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Theta } \right) \quad , \qquad \tilde { { \bf B } } { } = { } \frac { 1 } { 2 } \, \bar { \bf k } { } \times { } \left( { \bf u } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Theta } { } + { } { \bf u } ^ { * } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Theta } \right) \quad ,
\mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | > R _ { 1 } , | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] \leq \varepsilon ( \eta _ { k } ) \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R , t < \tau _ { j } \} } \right] ,
\begin{array} { r } { \Phi _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } ( \rho ) = \beta \frac { F _ { \mathrm { ~ J ~ Z ~ G ~ } } ( \rho ) } { V } - \beta \frac { F _ { \mathrm { ~ h ~ s ~ } } ( \rho ) } { V } - \beta \rho ^ { 2 } a _ { \mathrm { ~ m ~ f ~ t ~ } } , } \end{array}
i ( 2 \mu H ( r ) ( \frac { d } { d r } + \frac { l } { r } ) + 4 \pi \mu j _ { \phi } ( r ) ) f _ { 4 } ( r ) + ( ( m - \mu H ( r ) ) ^ { 2 } + \Omega _ { 1 } ( l - 1 ) ) f _ { 1 } ( r ) = 0
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \| U _ { i } \| ^ { 4 } ) } & { = } & { { \mathbb { E } } \left\{ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } U _ { i , j } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \leq p } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { p { \mathbb { E } } ( U _ { i , j } ^ { 4 } ) + p ( p - 1 ) \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d ^ { 2 } = } & { { } } & { \left( \Delta \frac { \partial \eta } { \partial \textbf { U } } \right) ^ { T } \cdot \Delta \textbf { U } } \\ { = } & { { } } & { \Delta \left( \frac { \gamma - s } { \gamma - 1 } - \frac { \rho u _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 p } - \frac { \rho u _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 p } \right) \Delta ( \rho ) + \Delta \left( \frac { \rho u _ { 1 } } { p } \right) \Delta ( \rho u _ { 1 } ) + } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t + 1 ) ^ { 2 } \leq { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } y _ { i } ( t ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) y _ { i } ( t )