harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P ( \boldsymbol { x ^ { a a } } , \boldsymbol { x ^ { a b } } ) } & { = \sum _ { x _ { a n } } \frac { \left[ x ^ { a n } + \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { x ^ { a n } ! \prod _ { k } x _ { k } ^ { a a } ! x _ { k } ^ { a b } ! } { p ^ { a n } } ^ { x _ { a n } } \prod _ { k } { p _ { k } ^ { a a } } ^ { x _ { k } ^ { a a } } { p _ { k } ^ { a b } } ^ { x _ { k } ^ { a b } } } \\ & { = \sum _ { x ^ { a n } } \frac { \left[ x ^ { a n } + \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { x ^ { a n } ! \left[ \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { p ^ { a n } } ^ { x _ { a n } } \frac { \left[ \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { \prod _ { k } x _ { k } ^ { a a } ! x _ { k } ^ { a b } ! } \prod _ { k } { p _ { k } ^ { a a } } ^ { x _ { k } ^ { a a } } { p _ { k } ^ { a b } } ^ { x _ { k } ^ { a b } } } \\ & { = \sum _ { x ^ { a n } } \binom { x ^ { a n } + \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) } { x ^ { a n } } { p ^ { a n } } ^ { x _ { a n } } \frac { \left[ \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { \prod _ { k } x _ { k } ^ { a a } ! x _ { k } ^ { a b } ! } \prod _ { k } { p _ { k } ^ { a a } } ^ { x _ { k } ^ { a a } } { p _ { k } ^ { a b } } ^ { x _ { k } ^ { a b } } } \\ & { = ( 1 - p ^ { a n } ) ^ { - [ 1 + \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) ] } \frac { \left[ \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { \prod _ { k } x _ { k } ^ { a a } ! x _ { k } ^ { a b } ! } \prod _ { k } { p _ { k } ^ { a a } } ^ { x _ { k } ^ { a a } } { p _ { k } ^ { a b } } ^ { x _ { k } ^ { a b } } } \end{array}
I _ { m , k } = { \frac { \partial { \boldsymbol { \mu } } ^ { T } } { \partial \theta _ { m } } } { \boldsymbol { C } } ^ { - 1 } { \frac { \partial { \boldsymbol { \mu } } } { \partial \theta _ { k } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( { \boldsymbol { C } } ^ { - 1 } { \frac { \partial { \boldsymbol { C } } } { \partial \theta _ { m } } } { \boldsymbol { C } } ^ { - 1 } { \frac { \partial { \boldsymbol { C } } } { \partial \theta _ { k } } } \right)
\begin{array} { r l } { | u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) | ^ { 2 } } & { { } \leq \left( u _ { - } + \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } u ( y _ { 1 } , z ) \ d z \right) ^ { 2 } } \end{array}
S _ { k , k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { ( I I ) \mu \nu \lambda } = - i g ^ { 3 } \int \, d ^ { 4 } p \, \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } p ^ { \lambda } } { p k + i p _ { 0 } \epsilon } \, \frac { ( k _ { 2 } \partial _ { p } { \cal N } _ { e q } ) } { p k _ { 2 } + i p _ { 0 } \epsilon } ,
\eta _ { 1 } \frac { J _ { 1 } ( k _ { 1 } R ) } { J _ { 1 } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) } = \frac { \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \eta _ { 1 } - i \eta _ { h } \eta _ { 1 } k _ { h } R } { i \eta _ { 1 } + \sigma _ { e } \eta _ { 0 } k _ { h } R }
0 = \left( g ^ { \mu \nu } { \sqrt { - g } } \right) _ { ; \rho } = \left( g ^ { \mu \nu } { \sqrt { - g } } \right) _ { , \rho } + g ^ { \sigma \nu } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \mu } { \sqrt { - g } } + g ^ { \mu \sigma } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \nu } { \sqrt { - g } } - g ^ { \mu \nu } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \sigma } { \sqrt { - g } } \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } { \sum _ { i } \left\langle \left\vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \right\vert ^ { 2 } \right\rangle } = \sum _ { k } V \sum _ { i } \left\langle \big \vert \right[ \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( t ) \left] ^ { k } \right\vert ^ { 2 } \big \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< \operatorname { a d } _ { u } ^ { * } \mu \, , \, v \right> : = \left< \mu \, , \, \operatorname { a d } _ { u } v \right> = \left< \mu \, , \, - { \cal L } _ { u } v \right> \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \operatorname { a d } _ { u } ^ { * } \mu = { \cal L } _ { u } \mu \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \mu \in \mathfrak { g } ^ { * } , \quad u , v \in \mathfrak { g } \, . } \end{array}
\Psi _ { K } ( C ; A ) = \ { \frac { [ ( \Delta \sigma ) ^ { 2 } / 2 \pi ] ^ { 3 / 4 } } { [ ( \Delta \sigma ) ^ { 2 } + i A / 2 m ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } } } \exp \left[ - { \frac { \left( \sigma ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } - 2 i ( \Delta \sigma ) \sigma ^ { \mu \nu } K _ { \mu \nu } + i A ( \Delta \sigma ) ^ { 2 } K _ { \mu \nu } K ^ { \mu \nu } / 4 m ^ { 2 } \right) } { 2 [ ( \Delta \sigma ) ^ { 2 } + i A / 2 m ^ { 2 } ] } } \right]
\frac { m } { 2 } \, \dot { K } \sim - \, \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi } \, \frac { K e ^ { 2 \lambda \tau } \, ( K e ^ { 2 \lambda \tau } + 2 ) } { ( K e ^ { 2 \lambda \tau } + 1 ) ^ { 2 } } \, ,
\overline { { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } } = { \frac { 1 } { T } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } { \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } } d t = { \frac { 1 } { T } } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } P d t = { \frac { \partial \overline { { P } } } { \partial x _ { i } } }
C _ { \mathrm { ~ D ~ s ~ 0 ~ } } = \frac { 2 4 } { R e _ { \mathrm { p } } } \left[ 1 + 0 . 1 3 8 \exp ( - 2 \delta ) + \frac { 9 } { 1 6 ( 1 + 2 \delta ) } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 1 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 1 } \cos \phi , ~ S _ { 4 1 } \sin \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 3 . 0 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \cos \phi , ~ 2 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 4 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 4 . 6 6 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 2 \phi , ~ 8 . 8 2 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \sin 2 \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 3 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 3 } \cos 3 \phi , ~ S _ { 4 3 } \sin 3 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 3 . 5 3 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 3 \phi , ~ 7 . 1 6 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \sin 3 \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 4 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 4 } \cos 4 \phi , ~ S _ { 4 4 } \sin 4 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 2 . 3 7 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \cos 4 \phi , ~ 3 . 8 8 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \sin 4 \phi \Big \} . } \end{array}
( t ^ { - 1 } ) ^ { \prime } = t ^ { \mathrm { i j } } { \frac { \partial \pi ^ { \alpha } } { \partial p ^ { \mathrm { i } } } } { \frac { \partial \pi ^ { \beta } } { \partial p ^ { \mathrm { j } } } } \; { \frac { \partial } { \partial \pi ^ { \alpha } } } \otimes { \frac { \partial } { \partial \pi ^ { \beta } } } \; \in T _ { \pi ( \mathrm { p } ) } ( \Sigma ) \otimes T _ { \pi ( \mathrm { p } ) } ( \Sigma )
\sum _ { \lambda } \frac { N ! } { { \lambda _ { 1 } } ! \cdots { \lambda _ { M } } ! } ~ m _ { \lambda } ( x ) = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { M } ) ^ { N } ~ ~ ~ ~ ( m u l t i n o m i a l ~ t h e o r e m ) \, \, \, ,
\Sigma _ { m } ( \zeta ) = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { r = 1 } ^ { N } ( \Delta _ { m } ( \zeta ) ) ^ { r } = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } { \frac { 1 - \Delta _ { m } ( \zeta ) ^ { N } } { 1 - \Delta _ { m } ( \zeta ) } } \; .
\Delta S _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ n ~ e ~ t ~ a ~ } } = 6 . 1 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \, \frac { \kappa ^ { 4 / 3 } \, \lambda ^ { 6 1 9 / 6 0 } } { \alpha ^ { 3 4 } \, \beta ^ { 5 5 / 4 } \, \gamma ^ { 3 / 2 } }
\int _ { \Omega } f \left( x , \frac { \eta _ { j } } { \mu } \right) d \mu + f ^ { \infty } \left( x , \frac { \eta _ { j } ^ { s , \mu } } { | \eta _ { j } ^ { s , \mu } | } \right) d | \eta _ { j } ^ { s , \mu } | \to \int _ { \Omega } f \left( x , \frac { \eta } { \mu } \right) d \mu + f ^ { \infty } \left( x , \frac { \eta ^ { s , \mu } } { | \eta ^ { s , \mu } | } \right) d | \eta ^ { s , \mu } | .
\begin{array} { r l } & { ~ \log \mathbb { E } \exp ( \theta _ { 1 } X _ { n } ( t _ { 1 } ) + \theta _ { 2 } X _ { n } ( t _ { 2 } ) ) } \\ { = } & { ~ ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } - \tilde { \theta } _ { 2 } } - e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } } ) \sum _ { j = n _ { 2 } - n _ { 1 } } ^ { n _ { 2 } - 1 } \bar { F } ( j ) + ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } } - 1 ) \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 2 } - n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) + ( e ^ { \tilde { \theta } _ { 1 } + \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + ( e ^ { \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = n _ { 1 } } ^ { n _ { 2 } - 1 } \bar { F } ( j ) + o ( 1 ) } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } ( ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } - \theta _ { 1 } ^ { 2 } ) ) \, a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = n _ { 2 } - n _ { 1 } } ^ { n _ { 2 } - 1 } \bar { F } ( j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 1 } ^ { 2 } \, a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) + \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 2 } ^ { 2 } a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 2 } - n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } ) a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 1 } - 1 } \bar { F } ( j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { 2 } ^ { 2 } \, a _ { n } ^ { 2 } \sum _ { j = n _ { 1 } } ^ { n _ { 2 } - 1 } \bar { F } ( j ) + o ( 1 ) } \end{array}
\hat { a } _ { a } ^ { \dagger } A _ { \; \; \; c b } ^ { a b } \hat { a } ^ { c } + \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } A _ { \; \; \; b d } ^ { a b } \hat { a } ^ { d } + \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } A _ { \; \; \; c a } ^ { a b } \hat { a } ^ { c } + \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } A _ { \; \; \; a d } ^ { a b } \hat { a } ^ { d }
h _ { ~ \nu } ^ { \mu } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { h _ { 1 } } } & { { h _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - d ^ { 2 } h _ { 3 } / f } } & { { h _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \chi } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \chi } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \chi } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \theta } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \theta } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \theta } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \phi } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \phi } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \phi } } } \end{array} \right)
\beta _ { k } \geq \Big ( \frac { M _ { f } L _ { y } } { 2 } \alpha _ { k } + 1 1 M _ { f } L _ { y } + \eta L _ { y x } D _ { h } ^ { 2 } \alpha _ { k } + \frac { ( 6 + \frac { \alpha _ { k } } { 3 } ) ( N + 1 ) \lambda L _ { y } L _ { g } ^ { 2 } } { M _ { f } } \Big ( \frac { 3 2 8 \rho ^ { 2 } M ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } + \frac { 6 L _ { f } ^ { 2 } } { \mu } \Big ) \Big ) \frac { \alpha _ { k } } { \mu N }
F ^ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { s } } [ h ] = \nabla ^ { \rho } h _ { \rho \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { s } } - { \frac { s - 1 } { 2 } } \nabla _ { \mu _ { 2 } } h _ { \rho \mu _ { 3 } \ldots \mu _ { s } } ^ { \rho } = 0
\left[ \widehat { \theta } _ { n } ^ { \mathrm { d m l } } - \sqrt { L / n } \, \widehat { \sigma } _ { \mathrm { l s } } \, \widetilde { G } _ { n } ^ { - 1 } ( 1 - \alpha / 2 ) , \: \widehat { \theta } _ { n } ^ { \mathrm { d m l } } - \sqrt { L / n } \, \widehat { \sigma } _ { \mathrm { l s } } \, \widetilde { G } _ { n } ^ { - 1 } ( \alpha / 2 ) \right] .
R _ { 1 2 } ^ { \pm } ( - \zeta ) = \sigma _ { 1 } ^ { z } R _ { 1 2 } ^ { \pm } ( \zeta ) \sigma _ { 1 } ^ { z } = \sigma _ { 2 } ^ { z } R _ { 1 2 } ^ { \pm } ( \zeta ) \sigma _ { 2 } ^ { z } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal L = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + j ^ { \mu } A _ { \mu } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \phi ^ { \mu \nu } \phi _ { \mu \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = R \sin ( \alpha _ { 1 } ) \sin ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 2 } } & { { } = R \cos ( \alpha _ { 1 } ) \sin ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 3 } } & { { } = R \cos ( \alpha _ { 2 } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 4 } } & { { } = R \cos ( \alpha _ { 3 } ) \sin ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 5 } } & { { } = R \cos ( \alpha _ { 4 } ) \sin ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \\ { x _ { 6 } } & { { } = R \cos ( \alpha _ { 5 } ) ~ , } \end{array}
T _ { \mu } ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - \frac { \alpha \beta } { \kappa } \frac { e ^ { - \beta r } } { r ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { \alpha \beta } { \kappa } \frac { e ^ { - \beta r } } { r ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { \alpha \beta ^ { 2 } } { 2 \kappa } \frac { e ^ { - \beta r } } { r } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { \alpha \beta ^ { 2 } } { 2 \kappa } \frac { e ^ { - \beta r } } { r } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 2 } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } ) = } \\ & { 1 \wedge \left\{ \frac { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } ) \left[ 1 - \alpha _ { 1 } \left( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } \right) \right] } { p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 2 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } ) \left[ 1 - \alpha _ { 1 } \left( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 0 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { 1 } \right) \right] } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho = } & { } & { - \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \frac { \partial \hat { \Phi } } { \partial r } + \frac { 2 } { B ^ { 3 } } \frac { \partial B } { \partial r } \frac { \partial \hat { \Phi } } { \partial r } } \\ & { } & { - \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \Phi } } { \partial r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { B ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \Phi } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \rho } ^ { \mathrm { W } } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) } & { = \langle M ^ { \mathrm { W } } ( \rho ) \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \rangle } \\ & { = \langle \psi _ { \sigma _ { 1 } } , M ^ { \mathrm { W } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi _ { \sigma _ { 2 } } \rangle } \\ & { = \int \rho ( \theta ) \nabla _ { \theta } \psi _ { \sigma _ { 1 } } ( \theta ) ^ { T } \nabla _ { \theta } \psi _ { \sigma _ { 2 } } ( \theta ) \mathrm { d } \theta . } \end{array}
\Pi _ { o d d } ( p ) = - \frac { 4 m g ^ { 2 } } { \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ~ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int \frac { d ^ { 2 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } [ \frac { 1 - \frac { 1 } { 2 } \{ e ^ { i l \tilde { p } } + e ^ { - i l \tilde { p } } \} } { ( M _ { 1 } ^ { 2 } + ( ( 2 n + 1 ) \frac { \pi } { \beta } + i \mu ) ^ { 2 } } ~ ] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \omega X _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { { } = ( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } ) X _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } \\ { - \omega Y _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { { } = ( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } ) Y _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } \end{array}
{ M _ { C } } = \left[ \begin{array} { l l l } { { M } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { u } } } & { { 0 } } \\ { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { d } } } & { { \mu } } & { { - { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } h _ { \tau } v _ { 3 } } } \\ { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { 3 } } } & { { - \epsilon _ { 3 } } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } h _ { \tau } v _ { d } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \sin d } & { = \frac { \mathrm { o p p o s i t e ~ s i d e } } { \mathrm { h y p o t e n e u s e ~ s i d e } } } \\ { \mathrm { h y p o t e n e u s e ~ s i d e } \times \sin d } & { = \mathrm { o p p o s i t e ~ s i d e } } \\ { \mathrm { h y p o t e n e u s e ~ s i d e } } & { = \frac { \mathrm { o p p o s i t e ~ s i d e } } { \sin d } } \end{array}
- \frac { d E } { d x } = 2 \pi N _ { a } r _ { e } ^ { 2 } m _ { e } c ^ { 2 } \rho \frac { Z } { A } \frac { z ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } [ l n ( \frac { 2 m _ { e } \gamma ^ { 2 } v ^ { 2 } W _ { m a x } } { I ^ { 2 } } ) - 2 \beta ^ { 2 } - \delta - 2 \frac { C } { Z } ]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } } & { = \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } \right) } \\ { \sigma _ { y } } & { = - i \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } - c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } \right) } \\ { \sigma _ { z } } & { = \left( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } - c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { O ^ { 1 , 2 } } & { = \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \int _ { V _ { 5 R } } | \mathcal { K } _ { m , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) | | \delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \tilde { Z } _ { l , m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } . } \end{array}
U _ { \mathrm { Z B L } } ( r _ { i j } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { Z _ { i } Z _ { j } e ^ { 2 } } { r _ { i j } } \phi ( r _ { i j } / a ) f _ { \mathrm { c } } ( r _ { i j } ) ,
\begin{array} { r l } { Y } & { = \varphi _ { 0 } ( c ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } ) y _ { n } + ( z ^ { \{ E \} } + z ^ { \{ I \} } ) \eta ( z ^ { \{ F \} } ) Y + z ^ { \{ I \} } \Gamma Y } \\ & { = \left( I - ( z ^ { \{ E \} } + z ^ { \{ I \} } ) \eta ( z ^ { \{ F \} } ) - z ^ { \{ I \} } \Gamma \right) ^ { - 1 } \varphi _ { 0 } ( c ^ { \{ S \} } z ^ { \{ F \} } ) y _ { n } } \end{array}
S _ { 2 } [ y ^ { d } ] ( \alpha , \beta , \gamma ) = S _ { 2 } ( \alpha + d , \alpha , \beta , \beta , \gamma ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x _ { 2 } } x _ { 1 } ^ { d + \alpha } x _ { 2 } ^ { \alpha } ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { \beta } ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { \beta } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 \gamma } \, \mathrm { d } x _ { 1 } \, \mathrm { d } x _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { t r , m } } & { = \frac { \rho _ { m } u _ { m } } { 2 } P \left( \frac { u _ { m } } { \sqrt { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) + \rho _ { m } \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \pi } } \exp \left( - \frac { u _ { m } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , } \\ { \rho _ { t r , m } u _ { t r , m } } & { = \frac { \rho _ { m } ( u _ { m } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } { 2 } P \left( \frac { u _ { m } } { \sqrt { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) + \rho _ { m } u _ { m } \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \pi } } \exp \left( - \frac { u _ { m } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , } \\ { 2 \rho _ { t r , m } E _ { t r , m } } & { = \frac { \rho _ { m } u _ { m } ( u _ { m } ^ { 2 } + 3 \sigma ^ { 2 } ) } { 2 } P \left( \frac { u _ { m } } { \sqrt { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) + \rho _ { m } ( u _ { m } ^ { 2 } + 2 \sigma ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \pi } } \exp \left( - \frac { u _ { m } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \boldsymbol { 0 } } } & { \preceq \boldsymbol { \nu } = \boldsymbol { \nu } _ { v _ { j } \to c _ { p } } \odot \boldsymbol { \nu } _ { c _ { p } \setminus v _ { \ell } , v _ { j } } } \\ & { \preceq \boldsymbol { \mu } _ { v _ { j } \to c _ { p } } \odot \boldsymbol { \nu } _ { c _ { p } \setminus v _ { \ell } , v _ { j } } = \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 1 , \mathbf { w } ) } & { { } = p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) \left[ 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { M } | s _ { n } | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { w _ { n } ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \sum _ { m \neq n } \frac { w _ { n } } { \sigma _ { n } } \, \frac { w _ { m } } { \sigma _ { m } } \, s _ { n } s _ { m } ^ { * } \right] } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { m } ) \mathbf { u } ^ { e } = \mathbf { b } ^ { * } + \mathbf { S ( m ) } ^ { T } \left( \mathbf { S ( m ) } \mathbf { S ( m ) } ^ { T } + \mu \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) .
\begin{array} { r l } { \bigg ( i \frac { \partial } { \partial \tau _ { 1 } } + \Delta \bigg ) } & { \mathcal { A } _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \delta ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ & { + \int _ { c } d \tau \, \Sigma _ { r a d } ^ { e m p t y } ( \tau _ { 1 } , \tau ) \, \mathcal { A } _ { C } ( \tau , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\alpha _ { n } ( t ) = e ^ { i { \frac { \hbar } { 2 } } ( { \frac { 2 \pi } { L } } ) ^ { 2 } n ^ { 2 } t } \sum _ { m } : { \hat { \psi } _ { - n + m } } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { m } : \lambda ^ { m } ( n )
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { P } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } ^ { ( 0 ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } _ { - } ^ { ( \infty ) } ( z ) J _ { \mathbf { T } } ( z ) \mathbf { P } _ { + } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array}
\langle { \cal O } \rangle _ { q \bar { q } } = g _ { q \bar { q } } ^ { ( 0 ) } ( \eta ) + 4 \pi \alpha _ { s } ( g _ { q \bar { q } } ^ { ( 1 ) } ( \eta ) + { \tilde { g } } _ { q \bar { q } } ^ { ( 1 ) } ( \eta ) \ln ( \mu _ { F } ^ { 2 } / m _ { t } ^ { 2 } ) ) .
{ { \left( { { Q } ^ { l } } \right) } _ { i + 1 / 2 , j m } } , { { \left( Q _ { y } ^ { l } \right) } _ { i + 1 / 2 , j m } } , { { \left( { { Q } ^ { r } } \right) } _ { i + 1 / 2 , j m } } , { { \left( Q _ { y } ^ { r } \right) } _ { i + 1 / 2 , j m } }
\begin{array} { r l r } { - n \Big ( d ^ { ( \nu ) } ( i - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } \Big ) \frac { ( n + i - j - 1 ) } { n + i - j } \xi ( n , i , j ) } & { = } & { ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) \xi ( n , i , j ) } \\ & { } & { + \frac { ( n + i - j - 1 ) } { n + i - j } { { \big ( { ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) } ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } \big ) } ^ { \ast } } _ { ( j - 1 , j ) } \xi ( n , i , j - 1 ) } \\ & { } & { + ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) \xi ( n , i , j + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { ( n + i - j - 1 ) } { n + i - j } A _ { j ( j - 1 ) } { { \Big ( { ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) } ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu ) } \Big ) } ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) j } \xi ( n , i , j ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { p } } ^ \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } \mathrm d \mathbf y - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \int _ { \Gamma } \mathbf { n } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) \mathrm d \mathbf y + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \int _ { \Gamma } \mathbf n \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) \mathrm d \mathbf y = 0 . } \end{array}