harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H = \frac { t } { 2 a } \sum _ { x } \left( e ^ { i A } S ^ { + } ( x + 1 ) S ^ { - } ( x ) + e ^ { - i A } S ^ { - } ( x + 1 ) S ^ { + } ( x ) \right) + \frac { e _ { L } ^ { 2 } a } { 2 } \sum _ { x , y } S ^ { 3 } ( x ) V ( x - y ) S ^ { 3 } ( y ) + e _ { L } ^ { 2 } E ^ { 2 } / 2 N
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \ell } = \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\frac d { d s } \left[ \begin{array} { c } { { \gamma ^ { 0 } } } \\ { { \gamma ^ { 1 } } } \\ { { \pi ^ { 0 } } } \\ { { \pi ^ { 1 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { { 2 i { \cal H } } } & { { 0 } } & { { - 2 i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 i { \cal H } } } & { { 0 } } & { { - 2 i } } \\ { { 0 } } & { { - e E } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - e E } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \gamma ^ { 0 } } } \\ { { \gamma ^ { 1 } } } \\ { { \pi ^ { 0 } } } \\ { { \pi ^ { 1 } } } \end{array} \right] ,
\int _ { - i \infty } ^ { i \infty } \bar { d } \beta \mathrm { e x p } \left( { \frac { 1 } { r } } \tilde { f } _ { N } ( r \beta ) \right) \mathrm { e } ^ { \beta \varepsilon } = { \frac { 1 } { r } } \hat { A } ( \varepsilon / r , v / r ) \mathrm { e } ^ { { \beta _ { H } \varepsilon } / r } .
\begin{array} { r } { \lVert u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , p } ^ { s + 2 - { 1 / p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { s , p , n } \lVert u - u _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \xrightarrow [ j \rightarrow + \infty ] 0 \mathrm { . } } \end{array}
\mathcal { N } _ { \phi } ( q , \eta ) = \phi ( - \mathfrak { g } \mathrm { i d } _ { \mathbb { R } ^ { n } } \cdot e _ { n } + q + \mathfrak { g } ( I - \mathcal { E } ) \eta ) \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal { N } _ { \phi } ( 0 , 0 ) = \phi ( - \mathfrak { g } \mathrm { i d } _ { \mathbb { R } ^ { n } } \cdot e _ { n } ) \index { \textbf { N o n l i n e a r m a p s } ! 7 5 @ \mathcal { N } _ { \phi } } .
\begin{array} { r l } { H ^ { * } ( \mathrm { e n d } \, u _ { n } ^ { ( n ) } , v ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ H ^ { * } ( \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k } } \, u _ { n } ^ { ( n ) } , v ) , \ H ^ { * } ( \mathrm { e n d } _ { 0 } ^ { \alpha _ { k } } \, u _ { n } ^ { ( n ) } , v ) \} } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ H ^ { * } ( \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k } } \, u _ { n } ^ { ( n ) } , \, v ^ { k } ) , \ \alpha _ { k } \} . } \end{array}
\tau = \int _ { X } \frac { 1 } { 3 } ( c _ { 1 } ^ { 2 } - 2 c _ { 2 } ) = - \frac { 2 } { 3 } \int _ { X } c _ { 2 } = - \frac { 2 \cdot 2 4 } { 3 } = - 1 6 ,
P _ { \ell } ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) = { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } Y _ { \ell m } ( \mathbf { y } ) \, Y _ { \ell m } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \quad \forall \, \ell \in \mathbb { N } _ { 0 } \; \forall \, \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \colon \; \| \mathbf { x } \| _ { 2 } = \| \mathbf { y } \| _ { 2 } = 1 \, ,
{ \phi } _ { ( 2 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } ( x _ { 2 } , t ) = e _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d y \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d z D ( x _ { 2 } , y | \mathrm { L } ) \bar { \Phi } ( z , t | y , t ) ( { \gamma } ^ { 0 } \otimes { \gamma } ^ { 0 } ) { \Phi } ( z , t | y , t ) ,
\operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| { R } _ { 2 , k } \left( x , \tau \right) \right| = \frac { 1 } { 2 } { q } \left( { t } _ { k } \right) \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq x \leq \ell } \left| \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } { \Delta } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) \right| \leq \frac { 1 } { 2 } { q } \left( { t } _ { k } \right) { \mathrm { c } } _ { 2 1 } { \tau } ^ { 2 } \, .
P \simeq \left( \frac { a _ { 0 } } { \sqrt { \alpha _ { l } } } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { \alpha _ { l } } { Z ^ { 2 / 3 } } n _ { e } ^ { 2 } \sim \frac { Z ^ { 4 / 3 } } { a _ { 0 } ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } & { A _ { 0 } = - \sqrt { 2 } \zeta , B _ { 0 } = - i \frac { \sqrt { 2 } \zeta \xi } { \xi ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } } \Upsilon , C _ { 0 } = \sqrt { 2 } \xi , } \\ & { A _ { \pm } = \xi \Big ( 1 \mp i \frac { \xi ^ { 2 } + 4 \zeta ^ { 2 } } { 4 ( \xi ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \Upsilon \Big ) , } \\ & { B _ { \pm } = \pm \sqrt { \xi ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } } + i \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 ( \xi ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } ) } \Upsilon , } \\ & { C _ { \pm } = \zeta \Big ( 1 \pm i \frac { 3 \xi ^ { 2 } } { 4 ( \xi ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \Upsilon \Big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \left( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + u _ { e \parallel } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) \right) = \sum _ { i } q _ { i } n _ { i } ( \textbf { x } ) - e n _ { e } ( \textbf { x } ) ,
{ \hat { R } _ { M N } = \frac { \hat { \kappa } ^ { 2 } } { 6 } \left( \hat { F } _ { M P Q R } \hat { F } _ { N } ^ { P Q R } - \frac { 1 } { 1 2 } \hat { F } _ { P Q R S } \hat { F } ^ { P Q R S } \hat { g } _ { M N } \right) , }
\begin{array} { r l } { \frac { \ddot { a } } { a } = } & { { } - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = } & { { } - \frac { K \left( x , y , z \right) } { a ^ { 2 } } + \frac { 8 } { 3 } \pi \, T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } , } \end{array}
{ \displaystyle { \bf n } = \left[ \begin{array} { l } { n _ { \uparrow } ( { \bf r } ) } \\ { n _ { \downarrow } ( { \bf r } ) } \end{array} \right] , ~ ~ { \bf q } [ { \bf n } ] = \left[ \begin{array} { l } { q _ { \uparrow } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) } \\ { q _ { \downarrow } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \left\lVert v ^ { \top } G _ { \star } ^ { - 1 / 2 } S ( \pi ( \theta ) ; Z _ { i } ) \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } } & { = \left\lVert \bar { v } ^ { \top } G ( \pi ( \theta ) ) ^ { - 1 / 2 } S ( \pi ( \theta ) ; Z _ { i } ) \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } } \\ & { \le \left\lVert \bar { v } \right\rVert _ { 2 } K _ { 1 } \le \left\lVert G ( \pi ( \theta ) ) ^ { 1 / 2 } G _ { \star } ^ { - 1 / 2 } \right\rVert K _ { 1 } . } \end{array}
\sigma = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \theta } } \, \mathrm { d } \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { r } { 2 } } \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \, \mathrm { d } \theta = \left. - r \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right| _ { 0 } ^ { 2 \pi } = 2 r ,
\begin{array} { r l r } & { } & { p ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = \mu A _ { a { \pmb a } _ { n } } \, p _ { a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) , \qquad \pi _ { b c } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = \mu A _ { a { \pmb a } _ { n } } \pi _ { b c a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } \end{array}
i { \cal M } ^ { ( 4 g ) } = \frac { i } { 8 } \frac { g _ { \mathrm { w } } \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { m _ { W } } \left[ 2 - \frac { x _ { 1 } } { \tilde { x } _ { 1 } } - \frac { \tilde { x } _ { 1 } } { x _ { 1 } } - \frac { y _ { 1 } } { \tilde { y } _ { 1 } } - \frac { \tilde { y } _ { 1 } } { y _ { 1 } } \right] .
\begin{array} { r l r } { G ( \mathbf { K } _ { f } , \mathbf { Q } _ { p } ) } & { = } & { | A ( \mathbf { K } _ { f } ) | ^ { 2 } \delta ( \mathbf { Q } _ { p } ) } \\ & { } & { + A ( \mathbf { K } _ { f } ) A ^ { * } ( \mathbf { K } _ { f } + \mathbf { Q } _ { p } ) \Psi _ { s } ^ { * } ( - \mathbf { Q } _ { p } ) } \\ & { } & { + A ^ { * } ( \mathbf { K } _ { f } ) A ( \mathbf { K } _ { f } - \mathbf { Q } _ { p } ) \Psi _ { s } ( \mathbf { Q } _ { p } ) , } \end{array}
s = \frac { \boldsymbol { \xi } \cdot \left. \nabla _ { \boldsymbol { \xi } } \boldsymbol { u } _ { J } ^ { \prime } \right| _ { \boldsymbol { \xi } = 0 } \cdot \boldsymbol { \xi } } { | \boldsymbol { \xi } | ^ { 2 } } = \left. \nabla _ { \boldsymbol { \xi } } \boldsymbol { u } _ { J } ^ { \prime } \right| _ { \boldsymbol { \xi } = 0 } : \frac { \boldsymbol { \xi } \otimes \boldsymbol { \xi } } { | \boldsymbol { \xi } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { H ( v ) } & { = 2 h d * \Delta t * \rho ^ { T } \nabla ( M \mathrm { d i a g } ( v ) ) + \beta ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) ^ { T } ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) } \\ & { = 2 h d * \Delta t * \mathrm { d i a g } ( \rho ^ { T } M ) + \beta ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) ^ { T } ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) . } \end{array}
L _ { B } = - { \frac { a } { 4 } } C _ { \mu \nu } ^ { a } C ^ { \mu \nu a } - { \frac { 1 } { 2 g } } B _ { \mu } ^ { a } B ^ { \mu a } + \alpha \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } C _ { \mu } ^ { a } ( \partial _ { \nu } C _ { \lambda } ^ { a } + { \frac { 1 } { 3 } } f ^ { a b c } C _ { \nu } ^ { b } C _ { \lambda } ^ { c } ) .
\left( \begin{array} { l l } { - i k _ { x } ^ { \prime } \hat { u } } & { - i k _ { z } ^ { \prime } \hat { w } } \\ { - i k _ { z } ^ { \prime } \hat { u } } & { i k _ { x } ^ { \prime } \hat { w } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \partial _ { y } \hat { v } } \\ { \hat { \eta } _ { y } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { w _ { R } = w _ { k } + \nabla w \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { k } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { k } ( { \bf x } - { \bf x } _ { k } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { { \Psi _ { 1 } ( x ) } } \\ { { \Psi _ { 2 } ( x ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { { \cos { \theta ( x ) } } } & { { - \sin { \theta ( x ) } } } \\ { { \sin { \theta ( x ) } } } & { { \cos { \theta ( x ) } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { \Psi _ { e } ( x ) } } \\ { { \Psi _ { \mu } ( x ) } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , f \Delta u ^ { \perp } \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , g \Delta D \right\rangle } & { { } = - R _ { u } [ w ] : = - \left\langle w , u ^ { n + 1 } - u ^ { n } \right\rangle , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , \Delta D + \frac { H \Delta t } { 2 } \nabla \cdot \Delta u \right\rangle } & { { } = - R _ { D } [ \phi ] : = - \left\langle \phi , D ^ { n + 1 } - D ^ { n } \right\rangle , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { k + 1 } } & { = s _ { k } + g _ { k } , } \\ { \gamma _ { k + 1 } } & { = \arg \operatorname* { m i n } f _ { k + 1 } \left( \frac { k + 1 } { k + 2 } x _ { k } + \frac { 1 } { k + 2 } \left( z _ { 0 } - \gamma _ { k + 1 } s _ { k + 1 } \right) \right) , } \\ { z _ { k + 1 } } & { = z _ { 0 } - \gamma _ { k + 1 } s _ { k + 1 } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { = \frac { k + 1 } { k + 2 } x _ { k } + \frac { 1 } { k + 2 } z _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Xi ^ { [ k ] } = - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } - \Sigma _ { 0 } ^ { [ k ] } ) \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } , } \\ & { \Upsilon ^ { [ k ] } = - ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } - \Sigma _ { 0 } ^ { [ k ] } ) \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } - ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - { \bf I } _ { p } ) . } \end{array}
L _ { \mathrm { f u l l } } ( k , p ) = \left( { \cal M } _ { \mathrm { \scriptsize { f u l l } } } ^ { ( 4 4 ) } ( \underline { { { k } } } , \underline { { { p } } } ) - e ^ { k ^ { 0 } \beta } { \cal M } _ { \mathrm { \scriptsize { f u l l } } } ^ { ( 3 4 ) } ( \underline { { { k } } } , \underline { { { p } } } ) \right) \; .
n _ { k } \approx \exp \left( - \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \lambda | \phi _ { * } ^ { \prime } | } \right) = \exp \left[ - \frac { \pi \phi ( 0 ) } { | d \phi _ { * } / d x | } \frac { \kappa ^ { 2 } } { \sqrt { q _ { 1 } } } \right] .
\begin{array} { r l } { F _ { ( n - 3 , 0 , 0 ) } = F _ { ( 0 , n - 3 , 0 ) } ^ { \prime } = } & { [ X _ { ( n - 3 , 0 , 0 ) } \leftarrow X _ { ( n - 2 , 1 , 0 ) } \leftarrow \cdots \leftarrow X _ { ( 1 , n - 4 , 0 ) } ] + \prod _ { k = 0 } ^ { n - 3 } X _ { ( n - k - 3 , k , 0 ) } } \\ { = } & { [ X _ { ( n - 3 , 0 , 0 ) } \leftarrow X _ { ( n - 2 , 1 , 0 ) } \leftarrow \cdots \leftarrow X _ { ( 1 , n - 4 , 0 ) } \leftarrow X _ { ( 0 , n - 3 , 0 ) } ] } \\ { = } & { \Phi _ { ( n - 3 , 0 , 0 ) } . } \end{array}
\frac { \partial L ( z _ { 2 } ) } { \partial \theta } = \frac { \partial L ( z _ { 2 } ) } { \partial z _ { 2 } } \left[ d t \left( 1 + d t \frac { \partial f ( z _ { 1 } , \theta ) } { \partial z _ { 1 } } \right) \frac { \partial f ( z _ { 0 } , \theta ) } { \partial \theta } + d t \frac { \partial f ( z _ { 1 } , \theta ) } { \partial \theta } \right] .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { L } } } & { = } & { \frac { \mathrm { i } \hbar } { 2 } \left( \psi ^ { + } \cdot \frac { \partial \psi } { \partial t } - \frac { \partial \psi ^ { + } } { \partial t } \cdot \psi \right) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m } \left( \psi ^ { + } \Delta \psi + \Delta \psi ^ { + } \cdot \psi \right) - \psi ^ { + } V \psi . } \end{array}
: = \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { \theta } ) + \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \left( - \ln { p ( \boldsymbol { \theta } ) } - \frac { | D | } { | \hat { D } | } \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) \in \hat { D } } \ln { p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \theta } ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } _ { k , \infty } ( r _ { [ k , \infty ] } ) = } & { \gamma ^ { k - 1 } r _ { k } + \tilde { \rho } _ { k + 1 } ^ { s _ { [ 1 , k - 1 ] } } \Big ( \gamma ^ { k } r _ { k + 1 } } \\ & { + \tilde { \rho } _ { k + 2 } ^ { s _ { [ 1 , k ] } } \Big ( \gamma ^ { k + 1 } r _ { k + 2 } + \cdots \Big ) \Big ) . } \end{array}
\Delta E = - \mu _ { 0 } \mathbf { H } \cdot { \boldsymbol { \mu } } _ { e } = \mp \mu _ { 0 } \mathbf { H } \cdot \left( - g _ { e } { \frac { \mu _ { \mathrm { B } } } { \hbar } } \mathbf { S } \right) = \pm \mu _ { 0 } \mu _ { \mathrm { B } } H ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial M _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial F _ { i \alpha } } { \partial x _ { \alpha } } } & { { } = \frac { \Tilde { M } _ { i } - M _ { i } } { \tau } ; i = 0 , \cdots , M ; \alpha = 1 , 2 , 3 } \\ { M _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { F _ { i \alpha } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \int u _ { \alpha } \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { \Tilde { M } _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \Tilde { f } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t + 1 } - I _ { t } } & { \leq - \frac { \mu \tau \alpha _ { t } } { 4 } I _ { t } - \frac { \tau ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } Q _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 2 \mu \tau } E _ { t } + \frac { 9 \tau \alpha _ { t } } { \mu } H _ { t } } \\ & { + \frac { 1 8 I \eta ^ { 2 } \tau \alpha _ { t } \tilde { L } ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } D _ { \ell } + \frac { 1 8 I \gamma ^ { 2 } \tau \alpha _ { t } \tilde { L } ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } G _ { \ell } + 1 8 I \tau ^ { 3 } \alpha _ { t } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } J _ { \ell } } \end{array}
\tilde { \Gamma } \equiv \frac { \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { V } } { \partial \phi ^ { 2 } } } } { \left( \displaystyle { \frac { \partial \tilde { V } } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } } \tilde { V } = \frac { \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \varphi ^ { 2 } } } } { \left( \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial \varphi } } \right) ^ { 2 } } V + \frac { 1 } { \displaystyle { \frac { \partial } { \partial \phi } \ln \tilde { V } } } \left( \frac { \partial } { \partial \varphi } \frac { 1 } { \displaystyle { \frac { \partial \phi } { \partial \varphi } } } \right) \, , \nonumber
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } \left( x \right) } & { = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 1 } \left( x \right) } & { = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \sqrt { 2 \omega } x \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 2 } \left( x \right) } & { = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \omega x ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 3 } \left( x \right) } & { = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \sqrt { \frac { \omega } { 3 } } \left( 2 \omega x ^ { 2 } - 3 \right) x \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { 4 } \left( x \right) } & { = \left( \frac { \omega } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { 4 \omega ^ { 2 } x ^ { 4 } - 1 2 \omega x ^ { 2 } + 3 } { 2 \sqrt { 6 } } \exp \left( - \frac { \omega x ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 q ^ { 2 } } } \left( q { \frac { d } { d q } } \right) ^ { 2 } K \, d q ^ { 2 } + \left( q { \frac { d } { d q } } \right) K \, \left[ { \frac { 2 } { 3 } } d \hat { z _ { i } } d \hat { \bar { z _ { i } } } - { \frac { 2 } { 9 } } | \hat { z _ { i } } d \hat { \bar { z _ { i } } } | ^ { 2 } \right] + { \frac { 4 } { 9 } } \left( q ^ { 2 } { \frac { d ^ { 2 } } { d q ^ { 2 } } } \right) K \, | \hat { z _ { i } } d \hat { \bar { z _ { i } } } | ^ { 2 } .
- \frac { i } { \hbar } \left[ { \hat { H } } , { \hat { \tau } } \right] + { \hat { \Gamma } } \left\{ { \hat { \tau } } \right\} = { \hat { \rho } } _ { \mathrm { s t } } - { \hat { \rho } } _ { \mathrm { i n i } } ,
( \eta ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) \vert \eta ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) = \langle x _ { 1 } \vert e ^ { \frac { - i ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } { \hbar } \hat { H } } \vert x _ { 2 } \rangle = K ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ; x _ { 2 } , t _ { 2 } ) \, .
I _ { 2 B } ^ { \delta } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 4 \cos ^ { 2 } \theta } { ( 1 - k _ { A } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } \, d \theta = \frac { 1 } { 3 } \Big ( I _ { 2 A } + \frac { 8 E ( { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) } { 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } } \Big )
m _ { 0 } \, \frac { d ^ { 2 } X ^ { \mu } ( \tau ) } { d \tau ^ { 2 } } = e _ { 0 } c [ \partial ^ { \mu } a ^ { \nu } ( X ( \tau ) ) - \partial ^ { \nu } a ^ { \mu } ( X ( \tau ) ) ] \frac { d X _ { \nu } } { d \tau } .
\mathbf { k } _ { 1 } = \mathbf { f } ( t _ { n } + { \frac { h _ { n } } { 2 } } , \mathbf { y } _ { n } + { \widetilde { \mathbf { \phi } } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ; { \frac { h _ { n } } { 2 } } ) + \gamma _ { + } ) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) { \widetilde { \mathbf { \phi } } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ; { \frac { h _ { n } } { 2 } } ) - \mathbf { f } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) - \mathbf { f } _ { t } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) { \frac { h _ { n } } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \lvert T ( \mathbf x ) - T ( \mathbf y ) \rvert } & { \leq \lvert T ( \mathbf x ) - T ( \mathbf z ) \rvert + \lvert T ( \mathbf z ) - T ( \mathbf y ) \rvert \leq \operatorname* { m a x } \{ L _ { 1 } , L _ { 2 } \} ( \Vert \mathbf x - \mathbf z \Vert _ { 2 } + \Vert \mathbf z - \mathbf y \Vert _ { 2 } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ L _ { 1 } , L _ { 2 } \} \Vert \mathbf x - \mathbf y \Vert _ { 2 } , } \end{array}
\left\vert \frac { \mathrm { d } w } { \mathrm { d } \theta } \right\vert = \frac { \left\vert \kappa \right\vert } { 4 } \left\vert \sin \left( \frac { \phi _ { 1 } - \theta } { 2 } \right) \right\vert ^ { - \alpha _ { 1 } } \left\vert \sin \left( \frac { \phi _ { 2 } - \theta } { 2 } \right) \right\vert ^ { - \alpha _ { 2 } } \ldots \left\vert \sin \left( \frac { \phi _ { n } - \theta } { 2 } \right) \right\vert ^ { - \alpha _ { n } }
{ \cal Z } _ { N } ( J ) \, = \, \int { \cal D } \theta \, \exp [ - \frac { t } { 2 } \partial _ { \mu } \theta \partial _ { \mu } \theta - \frac { t } { 2 g ^ { 2 } } J ^ { 2 } + \theta ( - \frac { t } { g } \epsilon _ { \mu \nu } \partial _ { \mu } J _ { \nu } + i g \rho _ { N } ) ] \; .
P _ { m a s s } ^ { - } \cdot \vert \Psi _ { q } \rangle = \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { k _ { 1 } ^ { + } } + \cdots + \frac { 1 } { k _ { q } ^ { + } } \right) \cdot \vert \Psi _ { q } \rangle ,
\begin{array} { r l r } { w _ { i \rightarrow \alpha } } & { = } & { p _ { N } \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - v _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { v _ { \alpha \rightarrow i } } & { = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \left[ 1 - \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } ( 1 - w _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { 0 } ^ { \epsilon } d \sigma \int d ^ { 3 } p ~ \frac { e ^ { - i k \times p \sigma } } { p ^ { 2 } ( k - p ) ^ { 2 } } \left\{ ( k \times p ) ( k _ { \mu } l _ { \nu } - k _ { \nu } l _ { \mu } ) - l ^ { 2 } ( k _ { \mu } p _ { \nu } - k _ { \nu } p _ { \mu } ) \right\} = 0 .
B \underset { r , \beta } { \rtimes } \mathbb { G } \underset { r , \alpha } { \ltimes } A : = C ^ { * } \langle ( ( i d \otimes \lambda ) \beta ( B ) \otimes 1 ) ( 1 \otimes \widehat { \lambda } ( c _ { 0 } ( \widehat { \mathbb { G } } ) ) \otimes 1 ) ( 1 \otimes ( \rho \otimes i d ) ( \alpha ( A ) ) ) \rangle \subset \mathcal { L } _ { B \otimes A } ( B \otimes L ^ { 2 } ( \mathbb { G } ) \otimes A ) .
\left( \sum _ { n } E _ { n } \right) ^ { 2 } = \left( \sum _ { n } E _ { n } \right) \left( \sum _ { k } E _ { k } \right) = \sum _ { n , k } E _ { n } E _ { k } = 2 \sum _ { n < k } E _ { n } E _ { k } + \sum _ { n } E _ { n } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { q \left( x _ { t } | x _ { t - 1 } \right) } & { { } : = \mathcal { N } \left( x _ { t } ; \sqrt { 1 - \beta _ { t } } x _ { t - 1 } , \beta _ { t } \mathbf { I } \right) , } \\ { q \left( x _ { 1 : T } | x _ { 0 } \right) } & { { } : = \prod _ { t = 1 } ^ { T } q \left( x _ { t } | x _ { t - 1 } \right) , } \end{array}
( - g ) \, { \epsilon } ^ { { \delta } _ { ( 1 ) } b a } \langle { A _ { { \sf G I } \, i } ^ { { \delta } _ { ( 1 ) } } ( { \bf { r } } ) \rangle \partial _ { i } \int \frac { d { \bf x } _ { 1 } } { 4 { \pi } | { \bf r } - { \bf x } _ { 1 } | } \, j _ { 0 } ^ { a } ( { { \bf x } _ { 1 } } } ) = i g \, { \epsilon } ^ { { \delta } _ { ( 1 ) } b a } { \phi } ( r ) L ^ { { \delta } _ { ( 1 ) } } { \int \frac { d { \bf x } _ { 1 } } { 4 { \pi } | { \bf r } - { \bf x } _ { 1 } | } \, j _ { 0 } ^ { a } ( { { \bf x } _ { 1 } } } ) ,
c \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) = c ^ { \left( b \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) + c ^ { \left( r \right) } \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) ,