harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu , \nu } ^ { R } ( X A _ { x } , Y A _ { y } ) \right) ^ { \dagger } } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { m + n } } \delta \left( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } \sigma \right) \mathcal { O } _ { \sigma ^ { - 1 } } ( A _ { x } ^ { \dagger } X ^ { \dagger } , A _ { y } ^ { \dagger } Y ^ { \dagger } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { m + n } } \delta \left( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } \tilde { \sigma } ^ { - 1 } \right) \mathcal { O } _ { \tilde { \sigma } } ( A _ { x } ^ { \dagger } X ^ { \dagger } , A _ { y } ^ { \dagger } Y ^ { \dagger } ) } \\ & { = \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \nu , \mu } ^ { R } ( A _ { x } ^ { \dagger } X ^ { \dagger } , A _ { y } ^ { \dagger } Y ^ { \dagger } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \left( C \left( \frac { x } { \varepsilon } \right) e ( u _ { \varepsilon } ) \right) } & { { } = f \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \qquad \Omega , } \\ { u _ { \varepsilon } } & { { } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \qquad \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = \frac 1 2 \| G \tilde { \mu } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| G \left( \mu - \Sigma G ^ { T } ( \frac 1 \lambda I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) \right) - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| G \mu - G \Sigma G ^ { T } ( \frac 1 \lambda I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| \left( I - G \Sigma G ^ { T } ( \frac 1 \lambda I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \right) ( G \mu - b ) \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { T _ { k } = \mathrm { t r } ( \mathcal L ^ { 0 } ) - k ^ { 2 } \mathrm { t r } \mathcal D = \texttt I _ { 1 } ^ { 0 } - k ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } ) , } \\ { h ( k ^ { 2 } ) = \operatorname* { d e t } \mathcal D k ^ { 4 } + k ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 } ) + \operatorname* { d e t } \mathcal L ^ { 0 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } k ^ { 4 } + k ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 } ) + \texttt I _ { 2 } ^ { 0 } . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { { 4 } \Delta _ { X } ( N ) \circ \Delta _ { X } ( N ) ~ } & { ~ { \stackrel { \scriptscriptstyle { \mathrm { d e f } } } { = } } ~ \left\{ ( x , z ) \in X \times X ~ : ~ { \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } } y \in X { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } x , z \in y + N \right\} = \bigcup _ { y \in X } [ ( y + N ) \times ( y + N ) ] } \\ & { = \Delta _ { X } + ( N \times N ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 2 \pi m } & { = n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m , \pm } \overline { { L } } / c \mp \operatorname { a r c c o s } [ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos ( n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m , \pm } \Delta L / c ) ] } \\ & { \approx n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m , \pm } \overline { { L } } / c \mp \operatorname { a r c c o s } [ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos ( n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m } \Delta L / c ) ] } \end{array}
P _ { \mu } = m _ { o } c \frac { d r _ { \mu } ( s ) } { d s } + \frac { q } { c } \left[ \overline { { A } } _ { \mu } ^ { ( e x t ) } + \overline { { A } } _ { \mu } ^ { ( p l ) } + 2 \overline { { A } } _ { \mu } ^ { ( s e l f ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \log \mathcal { Z } _ { \beta } } { \mathrm { d } \beta } } & { { } = \int \log [ p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ] \, p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } ) \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C e n t e r ~ d i s t a n c e ~ l o s s } = } \\ & { \left| \frac { \sum _ { i , j } \mathrm { I n t e n s i t y } { i j } \cdot \overrightarrow { \mathrm { C o o r d i n a t e } { i j } } } { \sum _ { i , j } \mathrm { I n t e n s i t y } _ { i j } } - \overrightarrow { \mathrm { C e n t e r ~ p o s i t i o n } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { M } ( \theta ) } { d \theta } \bigg | _ { \theta = 0 } } & { = \frac { d \rho _ { \theta } } { d \theta } \frac { \partial \mathcal { M } ( \theta ) } { \partial \rho _ { \theta } } + \frac { d ( \rho _ { \theta } U _ { \theta } ) } { d \theta } \frac { \partial \mathcal { M } ( \theta ) } { \partial ( \rho _ { \theta } U _ { \theta } ) } + \frac { d G _ { \theta } } { d \theta } \frac { \partial \mathcal { M } ( \theta ) } { \partial G _ { \theta } } } \\ & { = \left( \frac { d ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } { d \theta } \right) ^ { T } \left( \frac { \partial ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } { \partial ( \rho _ { \theta } , U _ { \theta } , T _ { \theta } ) } \right) ^ { - 1 } \nabla _ { ( \rho _ { \theta } , U _ { \theta } , T _ { \theta } ) } \mathcal { M } ( \theta ) \bigg | _ { \theta = 0 } , } \end{array}
J _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } } ^ { ( d ) } = \frac { 1 } { \pi ^ { d } } \int \! \! \int { d ^ { d } k _ { 1 } ~ d ^ { d } k _ { 2 } } ~ P _ { k _ { 1 } , m _ { 1 } } ^ { \nu _ { 1 } } P _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } , m _ { 2 } } ^ { \nu _ { 2 } } P _ { k _ { 2 } , m _ { 3 } } ^ { \nu _ { 3 } } .
A ^ { \mu } ( x ) = \frac { \partial x ^ { \mu } } { \partial q ^ { \alpha } } \, A ^ { \alpha } ( q ) \quad \mathrm { a n d } \quad A ^ { a } = e _ { \mu } ^ { a } ( x ) \, \frac { \partial x ^ { \mu } } { \partial q ^ { \alpha } } \, e _ { b } ^ { \alpha } ( q ) \, \psi ^ { \dagger } ( q ) \sigma ^ { b } \psi ( q ) ,
( \mathcal { R } ^ { i } ) _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \begin{array} { c c c c } { s ( r _ { i j } ) } & { \frac { s ( r _ { i j } ) x _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { s ( r _ { i j } ) y _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { s ( r _ { i j } ) z _ { i j } } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } , } \\ { \{ \begin{array} { c } { s ( r _ { i j } ) } \end{array} \} , } & { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ l ~ - ~ o ~ n ~ l ~ y ~ } , } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { \tilde { \gamma } \rightarrow { + \infty } } \partial _ { \tilde { \Delta } } \tilde { \gamma } = - \partial _ { \tilde { \Delta } } f / \partial _ { \tilde { \gamma } } f = ( 2 E - 2 \tilde { \Delta } - \tilde { \Omega } ^ { 2 } / 2 E ) / 2 \tilde { \gamma } = 0
F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } , } & { a ( x _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ) \ge 0 } \\ { F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } , } & { a ( x _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ) < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S [ \bar { b } , b ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \, \Big [ \bar { b } _ { 1 } \partial _ { \tau } b _ { 1 } - b _ { 2 } \partial _ { \tau } \bar { b } _ { 2 } + { \partial _ { \tau } ( \bar { b } _ { 2 } b _ { 2 } ) } } \\ & { \qquad + \Delta ( \bar { b } _ { 2 } \bar { b } _ { 1 } + b _ { 1 } b _ { 2 } ) + \lambda ( \bar { b } _ { 1 } b _ { 1 } + \bar { b } _ { 2 } b _ { 2 } ) \Big ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \, \bar { \Phi } ( \tau ) G ^ { - 1 } ( \tau ) \Phi ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x } & { { } = F ( b ) - F ( a ) , } \\ { \int _ { a } ^ { c } f ( x ) d x } & { { } = F ( c ) - F ( a ) , { \mathrm { ~ a n d ~ } } } \\ { \int _ { c } ^ { b } f ( x ) d x } & { { } = F ( b ) - F ( c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla u ) - \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \cdot , \nabla v ) , \nabla u - \nabla v ) _ { \Omega } } & { \sim \| F ( \cdot , \nabla u ) - F ( \cdot , \nabla v ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, \sim \rho _ { \varphi _ { \vert \nabla u \vert } , \Omega } ( \nabla u - \nabla v ) \, . } \end{array}
\delta _ { N _ { i } } \ = \ \frac { \Gamma ( N _ { i } \to L \Phi ^ { \dagger } ) \, - \, \Gamma ( N _ { i } \to L ^ { C } \Phi ) } { \Gamma ( N _ { i } \to L \Phi ^ { \dagger } ) \, + \, \Gamma ( N _ { i } \to L ^ { C } \Phi ) } \ , \qquad \mathrm { f o r } \ i = 1 , 2 \, .
- \frac { d E } { d z } = 2 \alpha _ { s } { \tilde { m } } _ { g } ^ { 2 } \ln \left[ 0 . 9 2 0 \frac { \sqrt { E T } } { \tilde { m } _ { g } } \, 2 ^ { \lambda _ { q } N _ { f } / ( 1 2 \lambda _ { g } + 2 \lambda _ { q } N _ { f } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { y v _ { s } - D _ { s } u _ { s } } & { = 0 } \\ { - \frac { \mathrm { d } \phi _ { s } } { \mathrm { d } y } - y u _ { s } } & { = 0 } \\ { \frac { \mathrm { d } v _ { s } } { \mathrm { d } y } + \frac { 1 } { \rho _ { s } } \frac { \mathrm { d } ( \rho _ { s } w _ { s } ) } { \mathrm { d } z ^ { * } } } & { = 0 } \\ { w _ { s } S = - \alpha _ { \mathrm { r a d } } \frac { \mathrm { d } \phi _ { s } } { \mathrm { d } z } } \\ { \rho _ { s } = \exp \Big ( \frac { H } { H _ { s , s } } ( 1 - z ^ { * } ) \Big ) } \end{array}
\alpha _ { i } ^ { - 1 } ( \Lambda ) = \alpha _ { i } ^ { - 1 } ( \mu _ { 0 } ) - \biggl ( \frac { b _ { i } - \tilde { b } _ { i } } { 2 \pi } \biggr ) \ln \biggl ( \frac { \Lambda } { \mu _ { 0 } } \biggr ) - \frac { \tilde { b } _ { i } } { 4 \pi } \int _ { r ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } ^ { r ^ { 2 } / \mu _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d t } { t } \biggl [ \theta _ { 3 } \biggl ( \frac { i t } { \pi R ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] ^ { d } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { s } \left( \xi \right) } \\ { = } & { \chi _ { \left[ 0 , \omega \right] } \left( \xi \right) \int _ { \left[ u \right] \times \left[ v \right] \times \{ t \} } \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } ^ { s } \left( x _ { t } \right) \right) \exp \left( - 2 \pi i \langle x _ { t } , \xi \rangle \right) \mathsf { d } x _ { t } , } \end{array}
\sigma _ { \lambda } = \xi \pi \mathcal { C } k _ { \Lambda } \leq \left[ \frac { k _ { \Lambda } ^ { 2 } \overline { { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } ( \Omega ) } { H _ { \delta x _ { c } } [ \overline { { \delta x _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) + \overline { { \delta y _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) ] } \right] ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r } { \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \textrm { \tiny ( + ) } } = \bar { \Sigma } _ { \mu } \, \Sigma _ { \nu } - \bar { \Sigma } _ { \nu } \, \Sigma _ { \mu } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \textrm { \tiny ( - ) } } = \Sigma _ { \mu } \, \bar { \Sigma } _ { \nu } - \Sigma _ { \nu } \, \bar { \Sigma } _ { \mu } \ . } \end{array}
\mathbf { b } \otimes \mathbf { a } = \mathbf { b } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { a } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 } a _ { 1 } } & { b _ { 1 } a _ { 2 } } & { b _ { 1 } a _ { 3 } } \\ { b _ { 2 } a _ { 1 } } & { b _ { 2 } a _ { 2 } } & { b _ { 2 } a _ { 3 } } \\ { b _ { 3 } a _ { 1 } } & { b _ { 3 } a _ { 2 } } & { b _ { 3 } a _ { 3 } } \end{array} \right] } \, .
\theta _ { \mathrm { I R } } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \right) e ^ { - \sqrt { \frac { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } { \delta \nu } } \left( x _ { \mathrm { { R } } } - \xi _ { \mathrm { R } } \right) } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \right) e ^ { - a \frac { \left( z _ { R } - z \right) } { \epsilon \sqrt { \delta } } } ,
R _ { A } \sim \left( \frac { f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } ^ { 2 } \, T _ { \star } ^ { 4 } } { \rho _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ o ~ n ~ a ~ } } \, c _ { s } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \, R _ { \star } = 1 . 1 \times 1 0 ^ { 4 } \, \frac { \lambda ^ { 1 1 / 8 } \, f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } ^ { 1 / 2 } \, M _ { p l } } { \alpha ^ { 9 / 4 } \, m _ { p } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { r } X _ { \mathrm { c r i t } } \approx { \frac { \alpha } { \beta } } ( \partial _ { r } T _ { \mathrm { a d } } - \partial _ { r } T ) { \frac { \mathrm { P e } } { C + \mathrm { P e } } } , } \\ & { \partial _ { r } X - \partial _ { r } X _ { \mathrm { c r i t } } \approx \frac { 8 } { \mathrm { R a _ { T } } } \frac { \alpha \partial _ { r } T _ { \mathrm { a d } } } { \beta } \mathrm { P e } ^ { 2 } \left( \frac { \Delta r } { \ell } \right) ^ { 4 } \, , } \\ & { \partial _ { r } T \approx \partial _ { r } T _ { \mathrm { a d } } \left( \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { \mathrm { P e } ^ { 2 } + 2 \mathrm { P e } + 2 C } \right) \, } \\ & { \mathrm { P e } \approx \frac { - 2 F _ { X } } { \rho _ { 0 } \partial _ { r } X \kappa _ { T } } \approx \frac { t _ { \mathrm { t h e r m } } } { t _ { X } } \left( \frac { - 2 X } { \partial _ { r } X \Delta r } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { U _ { n } } ( y ^ { \prime } ) \overset { \theta } { \Longrightarrow } } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \left( H _ { n } ( \sqrt { 2 } y ^ { \prime } ) - 2 \sqrt { 2 } \theta x ^ { \prime } n H _ { n - 1 } ( \sqrt { 2 } y ^ { \prime } ) \right) e ^ { - y ^ { \prime 2 } } } \end{array}
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = { \frac { 1 } { 2 } } z + { \frac { z } { 2 \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } t ^ { s - 1 } \coth { \frac { t - \ln z } { 2 } } d t \qquad ( \operatorname { R e } ( s ) > 0 ) .
\begin{array} { r l } { q } & { = - \frac { 3 \sqrt [ 6 ] { 2 } \zeta \left( 9 \zeta \left( \sqrt { 2 } \sqrt { r } - 6 \zeta \right) + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } \left( 3 \sqrt { 2 } \zeta + \sqrt { r } \right) } { 2 \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 2 5 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \zeta \left( \sqrt { 2 } \sqrt { r } - 6 \zeta \right) + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 6 \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } \Big ( \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \zeta \left( \sqrt { 2 } \sqrt { r } - 6 \zeta \right) + 5 0 0 } + 4 \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n - 1 } I _ { 1 } } & { = - n \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } \wedge \overline { { \partial } } \Omega _ { h } \wedge \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } - \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \partial } } e ^ { f } \wedge \Omega ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \\ & { = - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } \frac { ( \Omega _ { h } ) _ { 2 i 2 i + 1 , \overline { { j } } } u _ { j } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } + \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } \frac { u _ { j } ( e ^ { f } ) _ { \overline { { j } } } } { e ^ { f } } \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } } \end{array}
{ P _ { L Z } } = \exp \left[ - 2 { \cal I } m \int _ { t _ { R } } ^ { t _ { 0 } } \frac { { \mu _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } - { \mu _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) } } { 2 E } d t \right] = \exp \left[ - 2 { \cal I } m \int _ { A _ { R } } ^ { A _ { 0 } } \frac { { \mu _ { 2 } ^ { 2 } ( A ) } - { \mu _ { 1 } ^ { 2 } ( A ) } } { 2 E | { \dot { A } } | } d A \right] \; ,
\begin{array} { r } { I _ { + } = 0 . 7 3 a ^ { 0 . 8 3 2 5 } I _ { 0 } ^ { 0 . 0 3 2 5 } \left( { x } / d _ { 0 } \right) ^ { - 0 . 3 2 } . } \end{array}
M _ { i i } = \left( \begin{array} { c c } { { 2 ( i - 2 ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 ( i - 1 ) } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c } { { \delta M _ { \lambda \lambda } } } & { { \delta M _ { \lambda \xi } } } \\ { { \delta M _ { \xi \lambda } } } & { { \delta M _ { \xi \xi } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { A _ { \alpha } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { a } _ { \alpha } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { 0 } } \\ { B _ { \beta _ { i } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { b } _ { \beta _ { i } } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { b } _ { \beta _ { i } } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle _ { 0 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tau } & { \sim \operatorname { G a m m a } ( a _ { 0 } , b _ { 0 } ) } \\ { \mu | \tau } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mu _ { 0 } , ( \lambda _ { 0 } \tau ) ^ { - 1 } ) } \\ { \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { N } \} } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mu , \tau ^ { - 1 } ) } \\ { N } & { = { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ d a t a ~ p o i n t s } } } \end{array} }
\left| \mathcal { E } _ { \Omega ^ { * } } \left( F ( \mathbf { k } - \mathbf { k } _ { i } ) , \mathcal { K } \right) \right| = \left| \mathcal { E } _ { \Omega ^ { * } } \left( F ( \mathbf { q } ) , \mathcal { K } _ { \mathbf { q } } \right) \right| \leqslant C N _ { \mathbf { k } } ^ { - \frac 1 3 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial y } ( x , y , z ) = { } } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( y - u \sin { ( \beta ) } ) \Omega ( u , v ) } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { { } = - ( 1 + q _ { w } ) \overline { { \rho } } _ { d } g , } \\ { \overline { { p } } } & { { } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } ) \overline { { T } } , } \\ { \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } \overline { { T } } } & { { } = e _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \left( \frac { \overline { { T } } } { T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } \right) ^ { \frac { c _ { p v } - c _ { l } } { R _ { v } } } \exp \left( \frac { L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - ( c _ { p v } - c _ { l } ) T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { R _ { v } } \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } - \frac { 1 } { \overline { { T } } } \right) \right) , } \\ { \theta _ { e } } & { { } = \overline { { T } } \left( \frac { \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } \overline { { T } } } { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } \right) ^ { - R _ { d } / ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) } \exp \left( \frac { ( L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } + ( c _ { p v } - c _ { l } ) ( \overline { { T } } - T _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) ) \overline { { \rho } } _ { v s } } { \overline { { \rho } } _ { d } ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) \overline { { T } } } \right) . } \end{array}
\eta ( { \mathbf { X } } _ { t } ^ { i } - \bar { \mathbf { u } } ^ { i } ( \mathbf { X } ^ { i } ) ) = ( \mathbf { I } + \mathbf { X } _ { s } ^ { i } \mathbf { X } _ { s } ^ { i } ) ( \mathbf { f } ^ { i } - \sigma \mathbf { X } _ { s } ^ { i } ) ,
\pi _ { k } ( B \mathrm { D i f f } ( S ^ { n } ) ) \otimes \mathord { \mathbb { Q } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathord { \mathbb { Q } } , } & { \mathrm { i f ~ } k \equiv 0 \mod 4 , n \mathrm { ~ e v e n } , } \\ { \mathord { \mathbb { Q } } \oplus \mathord { \mathbb { Q } } , } & { \mathrm { i f ~ } k \equiv 0 \mod 4 , n \mathrm { ~ o d d } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { N _ { E } } ( u ) = } & { 2 5 6 \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \left( { 5 + 5 \cos \left[ u \right] + 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } } \\ { + } & { 1 2 8 \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \left( { 4 + 4 \cos \left[ u \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf y } = \frac { { \mathbf x } } { L } \; \; \; , \; \; \; \tau = \tau _ { 0 } + \frac { t - t _ { 0 } } { T } \; \; \; , \; \; \; v _ { 0 } = \frac { L } { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } } & { { } = \frac { \nu } { 1 2 ^ { 1 / 2 } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } } \\ { \tilde { \omega } } & { { } = \frac { 1 } { 1 2 ^ { 1 / 4 } \Delta V \nu ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( \mathcal { G } _ { \mu \nu } + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \mathcal { F } _ { \mu \nu } ) = \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { \mathcal { G } _ { \alpha \beta } + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \mathcal { F } _ { \alpha \beta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) = \operatorname * { d e t } ( \mathcal { G } _ { \alpha \beta } + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \mathcal { F } _ { \alpha \beta } ) .
\begin{array} { r l } { ( \dot { \mathrm { B } } _ { p , r , \mathfrak { t } } ^ { s , \sigma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p , r } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } & { = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta , \sigma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \\ { ( \dot { \mathrm { B } } _ { p , r } ^ { s , \gamma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p , r } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { M } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } } & { = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s + 2 \theta , \gamma } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
u ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots ) = 2 \partial _ { t } ^ { 2 } \log \Theta \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } U ^ { k } t _ { k } | \Omega \right) , \qquad t _ { 1 } = x , \, t _ { 2 } = y , \, t _ { 3 } = t ,
\begin{array} { r l } { \nabla { H } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } ( f ) } & { = \frac { \alpha } { 1 6 } \Pi _ { S } \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) \right) - \frac { \alpha } { 1 6 } T _ { \alpha } \Pi _ { S } z ^ { 2 } } \\ & { \ + \frac { \alpha } { 1 6 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + 2 \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v z ) + 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) \right) - \frac { \alpha } { 1 6 } T _ { \alpha } \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( 2 v z + z ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\left| { \begin{array} { l l l } { x } & { y } & { z } \\ { x _ { 1 } } & { y _ { 1 } } & { z _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } & { y _ { 2 } } & { z _ { 2 } } \end{array} } \right| = 0 .
\tilde { \mathbf { b } } ( \omega ) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { b } ( \omega , \mathbf { r } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } ( \omega , \mathbf { r } _ { N } ) } \end{array} \right) _ { 3 N \times 1 } .
\Psi ^ { J M p q } ( \rho , \Tilde { \theta } , \phi , \alpha , \beta , \gamma ) = 4 \sqrt { 2 } \sum _ { n } ^ { N _ { \mathrm { c h } } } \rho ^ { - 5 / 2 } \zeta _ { n } ^ { J p q } ( \rho ) \Phi _ { n } ^ { J M p q } ( \Tilde { \theta } , \phi , \alpha , \beta , \gamma ; \rho _ { \xi } ) ,
L \equiv \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \left( \frac { k _ { B } } { e } \right) ^ { 2 } = 2 . 4 4 \times 1 0 ^ { - 8 } \frac { \mathrm { V } ^ { 2 } } { \mathrm { K ^ { 2 } } } .
\Pi _ { \mu \nu } ~ = ~ i \int { d x e ^ { i q x } \langle 0 | T \{ j _ { \mu } ( x ) j _ { \nu } ( 0 ) | 0 \rangle } = ( q _ { \nu } q _ { \nu } - g _ { \mu \nu } q ^ { 2 } ) \Pi ( Q ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ Q ^ { 2 } = - q ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { - 1 . 0 2 x ^ { 2 } - 1 . 0 2 x y _ { 1 } - 1 0 . 2 x y _ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { - 1 . 5 3 x - 1 . 0 2 y _ { 1 } - y _ { 2 } - 0 . 0 1 5 3 x ^ { 2 } - 1 . 0 4 y _ { 1 } ^ { 2 } - 1 . 5 7 0 2 x y _ { 1 } - 0 . 0 1 x y _ { 2 } - y _ { 1 } y _ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { - 0 . 5 2 y _ { 2 } + 5 . 0 9 4 8 x y _ { 2 } + 0 . 4 8 y _ { 1 } y _ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \end{array}