harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) = [ { \bf 1 } _ { B } \oplus { \bf \overline { { { 8 } } } } _ { F } \oplus { \bf \overline { { { 2 8 } } } } _ { B } \oplus { \bf \overline { { { 5 6 } } } } _ { F } \oplus { \bf 7 0 } _ { B } \oplus { \bf 5 6 } _ { F } \oplus { \bf 2 8 } _ { B } \oplus { \bf 8 } _ { F } \oplus { \bf 1 } _ { B } ] .
\begin{array} { r } { D _ { 2 } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) = \langle ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) ) U ^ { \angle } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) U ^ { 0 } \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \in \mathcal { U } ( t ) } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle \ge } & { | \mathcal { U } _ { t } | \cdot \eta \cdot \| { \boldsymbol p } _ { + } \| ^ { 2 } t } \\ { \ge } & { | \mathcal { U } _ { 0 } | \cdot \eta \cdot \| { \boldsymbol p } _ { + } \| ^ { 2 } t } \\ { \ge } & { \frac { K } { L } \cdot \eta \cdot \| { \boldsymbol p } _ { + } \| ^ { 2 } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { s } } & { = } & { \frac { \eta ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } + \big ( \Delta + G ( N _ { \uparrow } + N _ { \downarrow } ) \big ) ^ { 2 } } , } \\ { N _ { \uparrow } } & { = } & { \frac { ( \alpha - \frac { \delta } { 2 } ) ^ { 2 } N _ { \downarrow } } { \big ( \frac { \Omega } { 2 } + G n _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \Omega _ { z } } { 2 } \big ) ^ { 2 } } , } \\ { N _ { \downarrow } } & { = } & { \frac { ( \alpha - \frac { \delta } { 2 } ) ^ { 2 } N _ { \uparrow } } { \big ( \frac { \Omega } { 2 } + G n _ { s } + \frac { 1 } { 4 } U N ( \varepsilon + 1 ) - \gamma \big ) ^ { 2 } + \big ( \frac { \Omega _ { z } } { 2 } \big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\sigma ( \hat { F } ) = F _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) + \hbar F _ { 1 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z , \frac { \partial } { \partial z } \right) + \mathcal { O } ( \hbar ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { Z _ { \mathrm { e } } X } & { - Y _ { \mathrm { e } } } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( 1 ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( 1 ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } } \\ { B _ { \mathrm { T } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \iint _ { S } \, { \frac { \sigma ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } ) d A } { ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } ^ { \prime }
C _ { P _ { 3 } P _ { 4 } ; P _ { 1 } P _ { 2 } } ( z ) = \sum _ { V } \gamma _ { P _ { 3 } P _ { 4 } ; P _ { 1 } P _ { 2 } } ^ { V } ( 0 ) \kappa _ { P _ { 3 } P _ { 4 } ; P _ { 1 } P _ { 2 } } ^ { V } \, ,
G _ { s } = F _ { n } - \frac { { \bar { \alpha } } ^ { 2 } } { 4 { \bar { \beta } } _ { \mathrm { C F L } } } + \frac 1 2 | \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ B } ~ } | ^ { 2 } - { \bf H } _ { \mathrm { e x t } } \cdot { \bf B } = F _ { n } - \frac { { \bar { \alpha } } ^ { 2 } } { 4 { \bar { \beta } } _ { \mathrm { C F L } } } - \frac { g ^ { 2 } } { 1 2 g _ { 3 } ^ { 2 } } | { \bf H } _ { \mathrm { e x t } } | ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \eta _ { i } = } & { \eta _ { 4 k ( 1 ) - ( 4 k - i ) } = \frac { \eta _ { - 4 k + i } } { \left[ { - 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - 4 ( r + 1 ) + i } } \right) } \right] } , i = 1 , 2 , 3 , 4 } \\ { \eta _ { 4 + i } = } & { \eta _ { 4 k ( 1 ) - ( 4 k - i - 4 ) } = { \eta _ { - 4 k + i + 4 } } { \left[ { - 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - 4 ( r + 1 ) + i } } \right) } \right] } , i = 1 , 2 , 3 , 4 } \\ { \vdots } & { \qquad \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R _ { h } u - u , \varphi ) } & { = ( A _ { h } \nabla v , \nabla ( R _ { h } u - u ) ) } \\ & { = ( A _ { h } \nabla ( R _ { h } u - u ) , \nabla v ) } \\ & { = ( A _ { h } \nabla ( R _ { h } u - u ) , \nabla ( v - R _ { h } v ) ) } \\ & { \leq C \| R _ { h } u - u \| _ { W ^ { 1 , q ^ { \prime } } ( \varOmega ) } \| R _ { h } v - v \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } } \\ & { \leq C _ { q } h \| R _ { h } u - u \| _ { W ^ { 1 , q ^ { \prime } } ( \varOmega ) } \| \varphi \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } \quad \mathrm { ( L e m m a ~ i s ~ u s e d ~ h e r e ) } } \\ & { \leq C _ { q } h \| R _ { h } u - u \| _ { W ^ { 1 , q ^ { \prime } } ( \varOmega ) } . } \end{array}
\gamma _ { i } ^ { ( 1 ) a } \equiv \epsilon _ { 0 i j k } \pi ^ { j k a } \approx 0 , \; \gamma _ { i } ^ { ( 2 ) a } \equiv G _ { i } ^ { ( 2 ) a } - \left( D _ { i } \right) _ { \; \; b } ^ { a } \pi ^ { b } \approx 0 .
\begin{array} { r l r } { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } } & { = } & { \{ x _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) x _ { \mathit { E } } \} ^ { - 1 } x _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } \\ & { = } & { \frac { R ( Y , ( I - P _ { \mathit { F } } ) x _ { \mathit { E } } ) \| Y \| _ { 2 } } { \| x _ { \mathit { E } } \| \sqrt { 1 - R ^ { 2 } ( x _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) } } . } \end{array}
{ \frac { \partial L _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { k } } } = - \lambda _ { k } f _ { x _ { j } ^ { k } } ^ { i } - \mu _ { j } = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ } } k = 2 , \ldots , m { \mathrm { ~ a n d ~ } } j = 1 , \ldots , n ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } { \mathcal { L P } } ( z ) \leq \mathcal { L P } ( - r ) } & { = 1 - \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \left( \log \left( \frac { 1 + i \sqrt { r } } { 1 - i \sqrt { r } } \right) \right) ^ { 2 } = 1 + \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \left( \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \sqrt { r } } { 1 - r } \right) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { C \ \to \ C + z + \bar { z } } } & { { P \ \to \ P } } \\ { { \psi ^ { \pm } \ \to \ \psi ^ { \pm } + \chi ^ { \pm } } } & { { \lambda ^ { \pm } \ \to \ \lambda ^ { \pm } } } \\ { { B \ \to \ B + H } } & { { M \ \to \ M } } \\ { { A _ { \mu } \ \to \ A _ { \mu } + i ( \partial _ { \mu } z - \partial _ { \mu } \bar { z } ) } } & { { } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { \mathrm { s e c . } } \left[ x , t ; v _ { 0 } , ( a , b ) \right] = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { 0 } v _ { \mathrm { t h } } } \int _ { \frac { x - b } { t } - v _ { 0 } } ^ { \frac { x - a } { t } - v _ { 0 } } \mathrm { d } v \, } \\ { \qquad \times \exp \left( - \frac { v ^ { 2 } } { 2 v _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } - \frac { [ x - t ( v + v _ { 0 } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } \\ { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi \sigma _ { 0 } ^ { 2 } f _ { t } ^ { 2 } } } \exp \left( \frac { - [ x - t v _ { 0 } ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } f _ { t } ^ { 2 } } \right) } \\ { \qquad \times \left[ \mathrm { E r f } \left( \frac { b f _ { t } ^ { 2 } + t v _ { 0 } - x } { \sqrt { 2 } f _ { t } v _ { \mathrm { t h } } t } \right) - \mathrm { E r f } \left( \frac { a f _ { t } ^ { 2 } + t v _ { 0 } - x } { \sqrt { 2 } f _ { t } v _ { \mathrm { t h } } t } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } \times _ { X _ { 1 } } ( L _ { 1 2 } \circ L _ { 2 } ) } & { = L _ { 1 } \times _ { X _ { 1 } } \{ ( y , z ) \in L _ { 1 2 } \times L _ { 2 } | l _ { 2 } ( y ) = l ^ { 2 } ( z ) \} } \\ & { = \{ ( x , y , z ) \in L _ { 1 } \times L _ { 1 2 } \times L _ { 2 } | l ^ { 1 } ( x ) = l _ { 1 } ( y ) , l _ { 2 } ( y ) = l ^ { 2 } ( z ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { x _ { 1 } } ^ { T - s } ( y ^ { T - s - 1 } , 1 , x ^ { 2 : T - s - 1 } , 1 ) F ( \theta + \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ^ { T - s } ( y ^ { T - s - 1 } , 0 , x ^ { 2 : T - s - 1 } , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] } \\ & { = \phi _ { x _ { 1 } } ^ { T - s } ( y ^ { T - s - 1 } , 1 , x ^ { 2 : T - s - 1 } , 0 ) F ( \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ^ { T - s } ( y ^ { T - s - 1 } , 0 , x ^ { 2 : T - s - 1 } , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d } \mathbf { W } _ { i , j } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { u } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { v } & { 0 } & { \rho } & { 0 } \\ { ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) / 2 } & { \rho u } & { \rho v } & { 1 / ( \gamma - 1 ) } \end{array} \right] _ { i , j } .
\sigma _ { b } \ll \sigma _ { t } \neq 0 \; , \; v \neq 0 \; , \; \varphi _ { t } \simeq \sigma _ { b } / \sigma _ { t } \; , \; \varphi _ { b } \simeq - \pi / 2 + \sigma _ { b } / \sigma _ { t } \; .
\mathbf { U } _ { 1 } \mathbf { D } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } = \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { D } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \mathbf { D } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } = \mathbf { M } ( \mathbf { I } - \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } ) = \mathbf { M } - ( \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 2 } ) \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } = \mathbf { M } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\{ \gamma _ { 1 } \cos \Big ( \theta - \frac { \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) + \gamma _ { 2 } \cos \Big ( \theta + \frac { \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) \right\} ^ { 2 } d \theta } \\ & { = \pi - 2 \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \Big ( \theta - \frac { \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) \cos \Big ( \theta + \frac { \alpha \pi / 4 } { \alpha + 2 } \Big ) d \theta } \\ & { = \pi - 2 \pi \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \cos \big ( \frac { \alpha \pi } { 2 \alpha + 4 } \big ) } \\ & { \geq \pi \Big \{ 1 - \cos \big ( \frac { \alpha \pi } { 2 \alpha + 4 } \big ) \Big \} , } \end{array}
\alpha _ { s } ^ { { \overline { { \mathrm { M S } } } } } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) = 0 . 1 1 9 6 _ { - 0 . 0 0 5 9 } ^ { + 0 . 0 0 3 5 } \ ( I ) \ ; \quad 0 . 1 1 3 5 _ { - 0 . 0 1 9 6 } ^ { + 0 . 0 0 5 8 } \ ( I I ) \ .
\begin{array} { r l } { f ( \mu + K ) } & { \geq f ( \mu ) \cdot \left( \frac { \mu \cdot ( 1 - p ) - ( K - 1 ) p } { \mu + K } \right) ^ { K } \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - p } \right) ^ { K } } \\ & { = f ( \mu ) \cdot \left( \frac { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) - K ( 1 + p ) } { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } \right) ^ { K } } \\ & { = f ( \mu ) \cdot \left( 1 - \frac { K ( 1 + p ) } { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } \right) ^ { ( \frac { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } { K ( 1 + p ) } - 1 ) \cdot \frac { K } { \frac { ( \mu + K ) \cdot ( 1 - p ) } { K ( 1 + p ) } - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { - \gamma _ { k } ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \gamma _ { k } \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } \mathrm { B i L i n } _ { f } ( p _ { k } ^ { * } - p _ { k - 1 } ^ { * } , q _ { k } ^ { * } - q ) } \\ & { + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ^ { y } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] . } \end{array}
\tilde { T } _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } \approx - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( k _ { 0 } k ) ^ { 1 / 2 } } 2 k ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \cos \beta ( \cos \beta - \cos \alpha ) = - \frac { ( k k _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } 2 \cos \beta ( \cos \beta - \cos \alpha ) .
\vert \vert ( ( L + E ) - \frac { y _ { i } ^ { T } ( L + E ) y _ { i } } { y _ { i } ^ { T } y _ { i } } I ) \hat { x } _ { i } \vert \vert = \vert \vert ( \Phi \Lambda \Phi ^ { T } - \frac { y _ { i } ^ { T } ( L + E ) y _ { i } } { y _ { i } ^ { T } y _ { i } } I + E ) \hat { x } _ { i } \vert \vert
\begin{array} { r l } { V _ { n } \left( \pi \right) } & { = \mathbb { E } _ { T } \left[ R ( T , a ^ { * } ( \pi ) ) \right] - \mathbb { E } _ { T } \left\{ \mathbb { E } _ { X | T } \left[ R \left( T , a ^ { * } \left( \pi _ { X } \right) \right) \right] \right\} } \\ & { = k \textrm { V a r } \left[ D \right] - k \mathbb { E } _ { X } \left[ { \textrm { V a r } _ { D | X } \left[ D \right] } \right] } \\ & { = k \left\{ { \textrm { V a r } \left[ D \right] } - { \mathbb { E } _ { X } \left[ { \textrm { V a r } _ { D | X } \left[ D \right] } \right] } \right\} } \\ & { = k \textrm { V a r } _ { X } \left[ { \mathbb { E } _ { D | X } \left[ D \right] } \right] } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
S [ \varphi ] = \frac { 1 } { 2 } \, \delta \, \epsilon ^ { d } \sum _ { \alpha \in Z _ { M } } \, \sum _ { { \bf j } \in ( Z _ { N } ) ^ { d } } \Biggl \{ \left[ \frac { \varphi ^ { { \bf j } } ( t _ { \alpha + 1 } ) - \varphi ^ { { \bf j } } ( t _ { \alpha } ) } { \delta } \right] ^ { 2 } - \sum _ { \mu = 1 } ^ { d } \left[ \frac { \varphi ^ { { \bf j } + { \bf e } _ { \mu } } ( t _ { \alpha } ) - \varphi ^ { { \bf j } } ( t _ { \alpha } ) } { \epsilon } \right] ^ { 2 } - m ^ { 2 } \left[ \varphi ^ { { \bf j } } ( t _ { \alpha } ) \right] ^ { 2 } \Biggr \} \; ,
\begin{array} { r l } { c _ { 1 \theta } } & { = \left( \frac { \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } + \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } } { Z ( \gamma _ { + } - i \Omega ) ^ { 2 } } \right) c _ { \theta } + . . . = } \\ & { = \frac { \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \left( \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } + i \Omega } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { m } \right) } { \left( \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { m } \right) } c _ { \theta } + . . . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { D } } ^ { ( j ) } : = \operatorname* { m i n } _ { ( g _ { j } , h _ { j } ) \neq ( a , b ) } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { ( g _ { j } , h _ { j } ) } ^ { ( i , j ) } , \boldsymbol { \mu } _ { ( a , b ) } ^ { ( i , j ) } \right) ; \quad \overline { { D } } : = \operatorname* { m i n } _ { j \in [ m ] } \overline { { D } } ^ { ( j ) } , } \end{array}
F _ { 4 } : \qquad \mathrm { s h o r t ~ r o o t } - \mathrm { s h o r t ~ r o o t } = \left\{ \begin{array} { l } { { \mathrm { l o n g ~ r o o t } } } \\ { { \mathrm { s h o r t ~ r o o t } } } \\ { { 2 \times \mathrm { s h o r t ~ r o o t } } } \\ { { \mathrm { n o n - r o o t } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { g = \frac { \frac { A } { \eta _ { \gamma } A _ { t h } } \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } } { 2 \left( \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { ( \gamma - 1 ) / 2 } } . } \end{array}
\eta _ { \pm m } ( \boldsymbol { r } , t ) \! = \! \frac { i ^ { \pm m } } { \sqrt { 2 \pi } } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! d k _ { z } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \tilde { \rho } d \tilde { \rho } \tilde { \eta } ( k _ { z } , \tilde { \rho } ) J _ { \pm m } ( \rho \tilde { \rho } ) e ^ { i ( k _ { z } z - \omega _ { \boldsymbol { k } } t ) } ,
\kappa \Dot { R } ( t ) + 3 u _ { 2 } t ^ { - ( \alpha + 2 \beta ) } [ R ( t ) ] ^ { 2 } - \frac { 1 } { t } [ \gamma + \kappa \beta ] R ( t ) + 3 u _ { 1 } R ( t ) t ^ { - ( \alpha + \beta ) } = 0 .
\left( { \frac { S { \overline { { S } } } } { M _ { C } ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \left( { \frac { N _ { i } { \overline { { N } } } } { M _ { C } ^ { 2 } } } \right) \qquad ( i = 1 , 2 , 3 ) .
- 1 2 b ^ { \prime } \frac { a ^ { \prime \prime } a ^ { 2 } } { a ^ { 3 } } + 1 2 b ^ { \prime } \; \frac { a ^ { 4 } } { a ^ { 4 } } - \frac { 6 } { \kappa } a \; a ^ { \prime \prime } - \frac { C } { 2 } \phi \; \phi ^ { \prime \prime \prime \prime } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \; \widehat { \mathcal { E } } ^ { \prime } ( \epsilon , X , y , Z ) } \\ { = } & { \; \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { { \kappa _ { p } y } } & { \mathcal { A } } & { \kappa _ { p } { \epsilon } I _ { m } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \mathcal { A } ^ { * } } & { - \mathcal { I } } \\ { { \kappa _ { c } X } - { \Phi _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon , X - Z ) } } & { ( 1 + \kappa _ { c } { \epsilon } ) \mathcal { I } - \Phi _ { 2 } ^ { \prime } ( \epsilon , X - Z ) } & { 0 } & { { \Phi _ { 2 } ^ { \prime } ( \epsilon , X - Z ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } & & { \theta ( n , V ( Q _ { n _ { 1 } + \ldots + n _ { i - 1 } } ) \times \xi _ { n _ { i } } ^ { - 1 } ( F _ { j } ^ { n _ { i } } ) \times V ( Q _ { n _ { i + 1 } + \ldots + n _ { k } } ) ) } \\ & { = } & { \theta ( n , \xi _ { n _ { i } } ^ { - 1 } ( F _ { j } ^ { n _ { i } } ) \times V ( Q _ { n _ { i + 1 } + \ldots + n _ { k } } ) \times V ( Q _ { n _ { 1 } + \ldots + n _ { i - 1 } } ) ) } \\ & { = } & { \theta ( n , \xi _ { n _ { i } } ^ { - 1 } ( F _ { j } ^ { n _ { i } } ) \times V ( Q _ { n - n _ { i } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = - \frac { 1 } { 2 } i c _ { \mu \nu \alpha } } & { \left\{ G _ { \mu \kappa } ^ { > ^ { 0 } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda } ^ { < ^ { 0 } } ( i \tau ) - G _ { \mu \kappa } ^ { > ^ { x } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda } ^ { < ^ { x } } ( i \tau ) \right. } \\ & { \left. \quad - G _ { \mu \kappa } ^ { > ^ { y } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda } ^ { < ^ { y } } ( i \tau ) - G _ { \mu \kappa } ^ { > ^ { z } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda } ^ { < ^ { z } } ( i \tau ) \right\} c _ { \kappa \lambda \beta } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( z ) } & { { } = w _ { 0 } + \sqrt { 1 + \left( \frac { z - z _ { 0 } } { z _ { R } } \right) ^ { 2 } } } \\ { R _ { c } ( z ) } & { { } = z - z _ { 0 } + \frac { z _ { R } ^ { 2 } } { z - z _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ t , { \bar { \sigma } } ] = i \frac { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } { 2 V } } \\ & { [ { \bar { \alpha } } _ { \mu , { \bf K } } , { \bar { X } } _ { \bf K ^ { \prime } } ^ { \nu } ] = i \frac { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } { 2 V } \delta _ { \mu \nu } \delta _ { { \bf K } { \bf K ^ { \prime } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( \lambda ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu , \Sigma ) \| ^ { 2 } \biggr ) \geq \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \sqrt { 1 - ( 1 - C _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 r } ) ^ { n } } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { z z } } \\ { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 3 } } & { C _ { 1 3 } } & { C _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { ( C _ { 1 1 } \! - \! C _ { 1 2 } ) / 2 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { \varepsilon _ { z z } } \\ { 2 \varepsilon _ { x z } } \\ { 2 \varepsilon _ { y z } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { w _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) = \chi \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - \eta ( \mathbf { r } ) - v \frac { \partial \epsilon } { \partial \phi _ { \mathrm { p } } } \frac { | \nabla \psi ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } } { 2 } - \alpha \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { w _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) = \chi \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) - \eta ( \mathbf { r } ) } \\ & { \phi _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { Q _ { \mathrm { p } j } } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s q _ { j } ( \mathbf { r } , s ) q _ { j } ( \mathbf { r } , N - s ) \ j = 1 , \ 2 } \\ & { \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mu _ { \mathrm { s } } - w _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) \right] } \\ & { \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) = 1 } \\ & { - \nabla \cdot [ \epsilon ( \mathbf { r } ) \nabla \psi ( \mathbf { r } ) ] = z _ { + } \lambda _ { + } e ^ { - z _ { + } \psi ( \mathbf { r } ) } - z _ { - } \lambda _ { - } e ^ { z _ { - } \psi ( \mathbf { r } ) } - \frac { \alpha } { v } \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) } \\ & { { \int \mathrm { d } \mathbf { r } \phi _ { \mathrm { p } j } ( \mathbf { r } ) \cdot ( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } _ { j } ) } = \mathbf { 0 } , \ j = 1 , \ 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) } & { + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) + \frac { 1 } { 3 \sigma _ { i } ( t ) } \sum _ { j } \left[ \omega _ { j } ^ { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } ( t ) + \dot { \sigma } _ { j } ^ { 2 } ( t ) \right] - \frac { 2 k _ { B } T _ { 0 } } { m \sigma _ { i } ( t ) } \approx - \frac { 2 } { 5 } \frac { { \cal V } _ { \mathrm { h y } } } { N m } \sum _ { j } \frac { \mu _ { i i j j } ( T ( t ) ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \frac { \dot { \sigma } _ { j } ( t ) } { \sigma _ { j } ( t ) } . } \end{array}
Q ( x , t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { t ( 1 - x ) } } & { { \qquad \mathrm { w h e n ~ } 0 \le t \le x , } } \\ { { x ( 1 - t ) } } & { { \qquad \mathrm { w h e n ~ } x \le t \le 1 , } } \end{array} \right.
B _ { j , j - 1 } = \nu - \frac { 1 } { 4 } u _ { j } , \; B _ { j , j } = - 2 \nu - \frac { 1 } { 4 } u _ { j } , \; B _ { j , j + 1 } = \nu + \frac { 1 } { 4 } u _ { j } .
\begin{array} { r l } { F _ { x } } & { = M R \big ( - \frac { g } { R } \sin \alpha - \chi \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + ( 1 + \chi \cos \theta ) \ddot { \theta } \, \big ) \, , } \\ { F _ { y } } & { = M R \big ( \frac { g } { R } \cos \alpha - \chi \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta - \chi \ddot { \theta } \sin \theta \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P _ { 0 } } } & { = \gamma _ { 0 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { 1 } } } & { = - b P _ { 1 } + \gamma _ { 1 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { 2 } } } & { = \gamma _ { 2 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { \mathrm { e } } } } & { = b P _ { 1 } - \gamma P _ { \mathrm { e } } \overset { ! } { = } 0 . } \end{array}
G _ { 0 } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } , \nu ) = \int \! \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \! p _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { \exp ( i { \bf p } _ { i } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) ) } { { \bf p } _ { i } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } }
( \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 4 } \int d ^ { 1 0 } X \sqrt { g } \left[ e ^ { - 2 \phi } R + \kappa ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { 3 } f _ { 4 } ( \tau , \bar { \tau } ) e ^ { - \phi / 2 } { \cal R } ^ { 4 } \right] \, .