harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \lvert | M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { P } \rvert | { \leq } ( 1 { - } \mu ) \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 { - } \mu } ( \lvert s \rvert ^ { P } ) \lvert | \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 { - } \mu } ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) ^ { { - } 1 } \rvert | } \\ & { \lvert | M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { P } \rvert | \leq ( 1 - \mu ) ^ { P + 1 } \lvert | \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 - \mu } ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) ^ { - 1 } \rvert | } \\ & { \leq ( 1 - \mu ) ^ { P + 1 } \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 - \mu } \lvert | ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) ^ { - 1 } \rvert | } \\ & { \leq ( 1 - \mu ) ^ { P + 1 } \operatorname* { m a x } _ { \lvert s \rvert = 1 - \mu } \Big \{ \frac { \lvert | ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) \rvert | ^ { n + q - 1 } } { \lvert \mathrm { d e t } ( s I _ { n + q } - M _ { f } ^ { r } ( k ) ) \rvert } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \ll ( f ^ { 1 } , e ^ { 1 } ) , ( f , e ) \gg } \\ & { = \langle e ^ { 1 } , f \rangle _ { 2 } + \langle e , f ^ { 1 } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \langle e ^ { 1 } , f \rangle _ { 2 } + \langle e , - J e ^ { 1 } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \langle e ^ { 1 } , f \rangle _ { 2 } + \langle e ^ { 1 } , J e \rangle _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { O p } ( b ) \circ \operatorname { O p } ( a ) } & { = \operatorname { O p } ( \chi ( x ) \psi ( \xi ) ) + \operatorname { O p } ( i \nabla _ { \xi } b _ { - m } \cdot \nabla _ { x } a ) + C _ { 0 } + \operatorname { O p } ( b _ { - m - ( 1 - \delta ) } a ) + C _ { 1 } } \\ & { = \operatorname { O p } ( \chi ( x ) \psi ( \xi ) ) + C _ { 0 } + C _ { 1 } , } \end{array}
\frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left( \psi _ { a } ( \partial _ { \mu } ( D _ { \mu } \phi ) _ { a } ) + \psi _ { A } ( \bar { D } _ { \mu } ( D _ { \mu } \phi ) _ { A } ) + \psi _ { A } ( D _ { \mu } \phi ) _ { a } f _ { A a B } A _ { \mu B } \right)
\begin{array} { r l } { \langle x _ { n - 1 } | x _ { n } \rangle } & { = \sum _ { k } \langle x _ { n - 1 } | k \rangle \langle k | x _ { n } \rangle } \\ & { = \sum _ { k } \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { i k ( x _ { n } - x _ { n - 1 } ) } } \\ & { = \sum _ { \ell } \delta ( x _ { n } - x _ { n - 1 } + 2 \pi \ell ) } \\ & { = \sum _ { \ell _ { n } } \int \frac { d p _ { n } } { 2 \pi } \exp \left( i p _ { n } ( x _ { n } - x _ { n - 1 } + 2 \pi \ell _ { n } ) \right) } \end{array}
+ 2 ( n + 1 ) ^ { 2 } G _ { 2 n } c _ { - k + 2 - 2 n } ^ { ( 3 ) } + ( n + 1 ) ^ { 3 } G _ { 3 n } c _ { - k - 3 n } ^ { ( 3 ) } + c _ { - k + 2 } ^ { ( 1 ) } + c _ { - k - n } ^ { ( 1 ) } G _ { n } + c _ { - k } ^ { ( 0 ) } = 0
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } \Big ( M _ { 2 } ^ { \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } } ( M _ { 2 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } - M _ { 5 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } ) \Big ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { 1 } { \gamma + 1 } \Big ( ( \gamma - 1 ) M _ { 2 } ^ { - 1 } v _ { 2 } \sec { \theta _ { 2 5 } } + 2 M _ { 2 } ^ { \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } } \big ( M _ { 2 } ^ { \frac { 1 - \gamma } { 1 + \gamma } } - M _ { 5 } ^ { \frac { 1 - \gamma } { 1 + \gamma } } \frac { \mathrm { d } M _ { 5 } } { \mathrm { d } M _ { 2 } } \big ) \Big ) \frac { \mathrm { d } M _ { 2 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } \, . } \end{array}
P _ { A _ { r } , \, s } ^ { { \bf V } _ { i } } ( x ) = \prod _ { 1 \leq j _ { 1 } < \cdots < j _ { i } \leq r + 1 } \Bigl ( x - \sin ( \bar { q } _ { j _ { 1 } } + \cdots \bar { q } _ { j _ { i } } ) \Bigr ) = P _ { A _ { r } , \, s } ^ { { \bf V } _ { r + 1 - i } } ( x ) .
S _ { \mathrm { { o b l a t e } } } = 2 \pi a ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { 1 - e ^ { 2 } } { e } } { \mathrm { a r t a n h } } \, e \right) = 2 \pi a ^ { 2 } + \pi { \frac { c ^ { 2 } } { e } } \ln \left( { \frac { 1 + e } { 1 - e } } \right) \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad e ^ { 2 } = 1 - { \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } .
\left( \mathcal { L } h , h \right) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) \right) ^ { 2 } d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \geq 0 .
\begin{array} { r l } { \Delta \omega _ { { e e ^ { \prime } } } } & { = \omega _ { { e } } - \omega _ { { e ^ { \prime } } } } \\ { \Delta \omega _ { { e g } } } & { = \omega _ { { e } } - \omega _ { { g } } - \omega _ { 0 } } \\ { \Delta \omega _ { { g g ^ { \prime } } } } & { = \omega _ { { g } } - \omega _ { { g ^ { \prime } } } . } \end{array}
\operatorname { g r a d } ( f ) = \nabla f = { \left( \begin{array} { l } { { \frac { \partial } { \partial x } } , \ { \frac { \partial } { \partial y } } , \ { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } f = { \frac { \partial f } { \partial x } } \mathbf { i } + { \frac { \partial f } { \partial y } } \mathbf { j } + { \frac { \partial f } { \partial z } } \mathbf { k }
\mathrm { ~ C ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ H ~ } _ { 5 } \mathrm { ~ B ~ r ~ } + \mathrm { ~ C ~ l ~ } ^ { - } \rightleftharpoons \mathrm { ~ C ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ H ~ } _ { 5 } \mathrm { ~ C ~ l ~ } + \mathrm { ~ B ~ r ~ } ^ { - } .
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) \Lambda ^ { \alpha - 1 } h + \int ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) ) d y h ( x ) } \\ & { \ - \int ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) ) h ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \frac { | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \frac { | g _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \frac { | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \frac { | g _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \end{array}
U ( x _ { 2 } ) \, U ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) \; = \; { \cal P } \exp [ - g ^ { \frac { 3 - d } { 2 } } \int _ { C _ { x _ { 1 } \to x _ { 2 } } } d y _ { \mu } L ^ { \mu } ( y ) ] \; ,
S _ { e n / I } ^ { e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I } = i V \mathrm { e x p } - \frac { 2 i \pi } { k } [ e ^ { \prime } ( \widetilde { n } - 1 / 2 ) + e ( \widetilde { n ^ { \prime } } - 1 / 2 ) ] , \ S _ { e n / I } ^ { e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I I } = 0
\hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \to \; e ^ { i \alpha } \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; , \; \; \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \to \; e ^ { - i \alpha } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { E _ { \theta } ( \Delta \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } K _ { \theta } ( \Delta \theta ) ^ { 2 } + V _ { \mathrm { M o r s e } } ( \Delta \theta ) , } \\ { V _ { \mathrm { M o r s e } } ( \Delta \theta ) } & { { } = A \left[ e ^ { 2 \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } - 2 \theta _ { M } ) } - 2 e ^ { \alpha ( \Delta \theta + 2 \theta _ { 0 } - 2 \theta _ { M } ) } \right] } \end{array}
\eta _ { 1 1 } = - { \frac { 4 \Gamma ( d - 2 ) } { \Gamma ( 2 - { \frac { d } { 2 } } ) \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } - 1 ) \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } - 2 ) \Gamma ( { \frac { d } { 2 } } + 1 ) } } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \bf { I } } _ { N _ { R } } + ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { S } } } \\ & { \approx { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } + ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \bf { I } } _ { N _ { S } } } & { = - ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Z } } _ { N _ { s } \times N _ { T } } { \bf { I } } _ { N _ { T } } } \\ & { = - ( { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Z } } _ { N _ { s } \times N _ { T } } } \\ & { \quad ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } \quad ( \because \mathrm { E q } . ( ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| r ^ { 1 - \frac { 2 } { p } } \underline { { W } } \right| _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } ) } & { \lesssim \left| r ^ { 1 - \frac { 2 } { p } } \underline { { W } } \right| _ { p , S } ( u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) , { \underline { { u } } } ) + \int _ { u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) } ^ { u } \frac { \mathcal { I } _ { 0 } + \mathcal { I } _ { * } + \Delta _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { I } _ { 0 } + \mathcal { I } _ { * } + \Delta _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } } { r | u | ^ { s - 1 } } } \\ & { \lesssim \frac { \mathcal { I } _ { 0 } + \mathcal { I } _ { * } + \Delta _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } } { r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { x } = \frac { - ( 6 \tau _ { D } - 1 0 \tau _ { C } - 4 ) - \sqrt { ( 6 \tau _ { D } - 1 0 \tau _ { C } - 4 ) ^ { 2 } - 4 8 ( \tau _ { D } - \tau _ { C } ) ( 2 \tau _ { C } + 2 ) } } { 2 4 ( \tau _ { D } - \tau _ { C } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } = \Psi ^ { T } [ ( B ^ { \prime } ) ^ { \alpha } \tilde { a } ] , } \\ & { a _ { 2 } = \Psi ^ { T } [ \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } B ^ { \prime } ] + \int ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) ) d y } \\ & { a _ { 3 } = \frac { \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) - \partial _ { y } \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) \sin ( x - y ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } , } \\ & { \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) = \left( \frac { 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a ] ( x , y ) , } \\ & { a _ { 4 } = \left( \frac { 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } \right) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a ] ( x , y ) . } \end{array}
\overline { { \tau _ { i j } } } = \mu \left[ \left( \frac { \partial \Tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \Tilde { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial \Tilde { u } _ { k } } { \partial u _ { k } } \right] + \mu \left[ \left( \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime \prime } } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \overline { { u _ { j } ^ { \prime \prime } } } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial \overline { { u _ { k } ^ { \prime \prime } } } } { \partial u _ { k } } \right] ,
C _ { i _ { p } , \beta \; j _ { q } , \gamma } ^ { k _ { s } , \alpha } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 0 , } } & { { \mathrm { i f } \ \beta + \gamma \neq \alpha } } \\ { { c _ { i _ { p } j _ { q } } ^ { k _ { s } } , } } & { { \mathrm { i f } \ \beta + \gamma = \alpha } } \end{array} \right. \quad ( \alpha , \beta , \gamma = 1 , \ldots , N \; ; \; p , q , s = 0 , 1 ) \; ,
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { H } \! X } ^ { T } \! \theta } & { = } & { ^ { T } \! ( \nabla _ { X } \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , \tilde { \theta } ) X ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { H } \! ( R ( J \tilde { p } , \tilde { p } ) X ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { p _ { N } \sum _ { q } P ( q ) \left[ 1 - ( 1 - V ) ^ { q } \right] , } \\ { S } & { { } = } & { \sum _ { m } p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m } Q ( m ) \left[ 1 - ( 1 - W ) ^ { m } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n _ { e } = } & { { } \nabla \cdot ( \mu n _ { e } { \bf E } + D \nabla n _ { e } ) + S _ { i } + S _ { p h } , } \\ { \partial _ { t } n _ { i } = } & { { } S _ { i } + S _ { p h } , } \end{array}
\frac { Z ( \lambda _ { k - 1 } ) } { Z ( \lambda _ { k } ) } = \langle \left( \frac { \lambda _ { k - 1 } } { \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { C } } \left( \frac { 1 - \lambda _ { k - 1 } } { 1 - \lambda _ { k } } \right) ^ { N _ { A } - N _ { C } } \rangle _ { \lambda _ { k } }
\mathbf { Z _ { t } } = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { { L _ { 1 } } } ^ { - N } } & { \cdots } & { x _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { - N } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { { L _ { 1 } } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { x _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { 0 } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { { L _ { 1 } } } ^ { + N } } & { \cdots } & { x _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { + N } } \end{array} \right] _ { z = 0 } \cdot \left[ \begin{array} { l l l } { y _ { { L _ { 1 } } } ^ { - N } } & { \cdots } & { y _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { - N } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { y _ { { L _ { 1 } } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { y _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { 0 } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { y _ { { L _ { 1 } } } ^ { + N } } & { \cdots } & { y _ { { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { + N } } \end{array} \right] _ { z = 0 } ^ { - 1 } .
\int _ { x _ { L } } ^ { x _ { R } } \int _ { z _ { 0 } } ^ { \eta } \nabla \cdot \left( [ \mathbf { u - b } ] E _ { k } \right) \; d x \; d z = \left. \int _ { x _ { L } } ^ { x _ { R } } [ \mathbf { u - b } ] \cdot \mathbf { n } E _ { k } \right| _ { z _ { 0 } } \; d x \; ,
p _ { y z } = \frac { \iiint \sqrt { | u _ { y } | ^ { 2 } + | u _ { z } | ^ { 2 } } d V _ { 1 } } { \iiint \sqrt { | u _ { x } | ^ { 2 } + | u _ { y } | ^ { 2 } + | u _ { z } | ^ { 2 } ) } d V _ { t o t } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { 4 } ^ { \mathrm { n o s c } } ( q _ { B } ) = \frac { | C ^ { ( A ) } | ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { D + 2 } } \frac { 2 ^ { 2 + D } \pi ^ { D / 2 - 1 / 2 } } { \Gamma [ D / 2 - 1 / 2 ] } | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \mu _ { A } ^ { D - 1 } } \\ & { } & { \times \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { B } ^ { \prime } \frac { p _ { B } ^ { \prime D - 1 } } { \left[ p _ { B } ^ { \prime 2 } + ( \mathcal { A } + 2 ) / 4 \mathcal { A } \right] ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \sin ^ { D - 2 } \theta } \\ & { } & { \times \mathcal { W } ^ { 1 / 2 - D / 2 } \cos \left[ s _ { 0 } \log \left( \sqrt { \frac { p _ { B } ^ { \prime 2 } + \frac 1 4 + p _ { B } ^ { \prime } \cos \theta } { p _ { B } ^ { \prime 2 } + \frac 1 4 - p _ { B } ^ { \prime } \cos \theta } } \right) \right] \, . \ \ \ \ \ \ } \end{array}
W _ { m a s s } ^ { u p } = a T v \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } [ \hat { a } _ { i } \hat { b } _ { j } Q _ { u } + \hat { a } _ { j } \hat { b } _ { i } Q _ { u ^ { c } } ] u _ { i } ^ { c } \; u _ { j } ,
E = \left\{ \begin{array} { l } { { ( n + 2 ) \omega - | B | k _ { 1 } ( I + 1 ) / m \ , \quad ( k _ { 2 } = I - k _ { 1 } \geq 0 ) \ , } } \\ { { ( n + 2 ) \omega - | B | ( k _ { 1 } + 1 ) I / m \ , \quad ( k _ { 2 } = k _ { 1 } - I \geq 0 ) \ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { T _ { i } ^ { l + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { T } _ { i } ^ { l + 1 } + T ^ { l } \; \; \; } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \in C _ { K ^ { l } } ( \mathrm { ~ ` ~ ` ~ f ~ r ~ e ~ s ~ h ~ l ~ y ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ d ~ ' ~ ' ~ } ) } \\ { T _ { i } ^ { l } \; \; \; } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \notin C _ { K ^ { l } } ( \mathrm { ~ ` ~ ` ~ r ~ e ~ u ~ s ~ e ~ d ~ ' ~ ' ~ } ) } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial \ln Q ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { { q } } \\ { { g } } \end{array} \right) = { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \left[ \begin{array} { c c } { { P _ { q q } } } & { { P _ { q g } } } \\ { { P _ { g q } } } & { { P _ { g g } } } \end{array} \right] \otimes \left( \begin{array} { c } { { q } } \\ { { g } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \check { X } _ { t _ { n + 1 } } = \check { X } _ { t _ { n } } + b ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + \sigma ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta \check { W } _ { t _ { n } } , } \\ & { \operatorname* { m i n } _ { ( \alpha _ { t _ { n } } ) _ { n } } \mathbb { E } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } f ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + g ( \check { X } _ { T } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { = - K _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \phi _ { 1 , \Gamma } \right) + V _ { \Gamma , L } ^ { \mathbf { x } } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 1 , \Gamma } \right) + \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } \frac { q _ { k } } { 4 \pi | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { k } | } \quad \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { = K _ { \Gamma , Y } ^ { \mathbf { x } } ( \phi _ { 2 , \Gamma } ) - V _ { \Gamma _ { , } Y } ^ { \mathbf { x } } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 2 , \Gamma } \right) \quad \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { a b } ^ { ( j , 0 ) } } & { = \frac { 1 } { k _ { a } T _ { j , a } } \delta _ { a b } ~ , } \\ { \mathcal { A } _ { c a b } ^ { ( j ) } } & { = \mathbb { C } _ { c a b } - \frac { \mathbb { D } _ { c a b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } ~ , } \\ { \mathcal { A } _ { c d a b } ^ { ( j ) } } & { = - \frac { k _ { a } T _ { j , a } + k _ { b } T _ { j , b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } \left( \mathbb { D } _ { a b c d } + \mathbb { D } _ { c d a b } \right) + 2 \sum _ { e } \frac { \mathbb { D } _ { c a e } \mathbb { D } _ { d e b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } k _ { e } T _ { j , e } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { s } ^ { 2 } = \partial _ { \rho } p _ { + } + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \varepsilon } p _ { + } } \\ { = \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } \big ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } + \frac { p _ { + } } { \rho } \big ) } { p _ { + } + p _ { * k } } \Big \rangle \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) } { ( p _ { + } + p _ { * k } ) ^ { 2 } } \Big \rangle ^ { - 1 } . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ 1 ~ x ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) = p _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) \times p _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ - ~ s ~ e ~ c ~ - ~ n ~ u ~ c ~ } } \big ( T ; T ( t ) \big ) .
\operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { N } } & { { - A ^ { t } } } \\ { { A } } & { { M } } \end{array} \right) = \operatorname * { d e t } ( M ) \operatorname * { d e t } ( N + A ^ { t } M ^ { - 1 } A ) = \operatorname * { d e t } ( N ) \operatorname * { d e t } ( M + A N ^ { - 1 } A ^ { t } ) ,
\begin{array} { r l } { w _ { z } ^ { 2 } } & { { } = w _ { 0 } ^ { 2 } [ 1 + ( z / z _ { R } ) ^ { 2 } ] , } \\ { R _ { z } } & { { } = - z [ 1 + ( z _ { R } / z ) ^ { 2 } ] , } \\ { \phi _ { z } } & { { } = \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \mathrm { d } x + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \Omega } \big ( | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { f ^ { \prime \prime } ( c _ { A } ) } { \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 } } u ^ { 2 } \big ) \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta } & { : = \left| \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } l o g i t ( e _ { j } ) - \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } } l o g i t ( e _ { i } ) \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } L _ { j } - \sum _ { j \in M _ { 1 } } \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } L _ { i } \right| } \\ & { = \left| \sum _ { j \in M _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { m _ { 1 } } L _ { j } - \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } L _ { i } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { j \in M _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } \frac { L _ { j } } { | M _ { 0 } ^ { j } | } - \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } L _ { i } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { j \in M _ { 1 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } \left( \frac { L _ { j } } { m _ { 1 } | M _ { 0 } ^ { j } | } - \frac { L _ { i } } { m _ { 0 } } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { j \in M _ { 1 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } \frac { 1 } { m _ { 0 } } \left( L _ { j } - L _ { i } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { j \in M _ { 1 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } ^ { j } } \frac { 1 } { m _ { 0 } } \left( f ^ { * } ( Z _ { j } ) - f ^ { * } ( Z _ { i } ) \right) \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } f ^ { * } ( Z _ { j } ) - \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } } f ^ { * } ( Z _ { i } ) \right| . } \end{array}
n _ { 1 } = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots , \pm \left( N - 1 \right) , \quad n _ { 2 } = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots , \pm \left( N - 1 \right) , \qquad n _ { 3 } = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \cdots , \pm \left( N - 1 \right)
\sigma _ { \mathrm { D i c k } } ( \tau ) \approx \frac { \sigma _ { \mathrm { L O } } } { \sqrt { 2 \mathrm { l n } 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sqrt { \frac { g _ { m } ^ { s 2 } + g _ { m } ^ { c 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } \sqrt { \frac { T _ { c } } { m \tau } } ,
\begin{array} { r } { Q = \pi S _ { \Lambda } \int f \! \left( \! \sqrt { \frac { \omega _ { 2 } } { \omega } } \right) \frac { \omega _ { 2 } } { \sqrt { \omega } } \, n _ { \omega _ { 2 } } ^ { 2 } n _ { \omega } ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) d \omega _ { 2 } } \end{array}
\chi _ { \mathbf { \Lambda } _ { \alpha _ { j } } } ^ { \widehat { S U ( m ) _ { 1 } } } = \frac { 1 } { \eta ^ { m ^ { 2 } - 1 } } \sum _ { k _ { i } = - \infty } ^ { \infty } \dim ( \mathbf { \Lambda }