harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\| P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) \right\| _ { r } \lesssim \tau ^ { 2 } \left\| f \right\| _ { \frac { r } { 2 } + \frac { 5 } { 4 } } ^ { 2 } , \quad r \in ( 3 / 2 , 5 / 2 ) ; } \\ & { \left\| P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) \right\| _ { r } \lesssim \tau ^ { 2 } \left\| f \right\| _ { r + } ^ { 2 } , \quad r = 5 / 2 ; } \\ & { \left\| P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) \right\| _ { r } \lesssim \tau ^ { 2 } \left\| f \right\| _ { r } ^ { 2 } , \quad r > 5 / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v _ { 0 } | } & { { } = { \sqrt { v ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ( v t + c ) ^ { 2 } } } } \\ { v _ { x } } & { { } = v \cos \omega t - \omega ( v t + c ) \sin \omega t } \\ { v _ { y } } & { { } = v \sin \omega t + \omega ( v t + c ) \cos \omega t } \end{array}
\begin{array} { l } { { w _ { 2 i + 1 } = x _ { i } ^ { - 1 } x _ { i + 1 } , ~ ~ i = 0 , 1 , 2 , \cdots , N - 1 , } } \\ { { w _ { 2 j } = y _ { j } , ~ ~ j = 1 , 2 , \cdots , N - 1 , } } \\ { { w _ { 2 N } = \prod _ { l = 1 } ^ { N - 1 } y _ { l } ^ { - 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { s } } & { { } = - \frac { 4 \pi } { k ^ { 2 } } \frac { 1 } { \phi } \left( - \frac { i } { 4 \pi } \mathbf { k } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { = } & { \frac { K } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } \epsilon ^ { m - 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { x ^ { m } - ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { ( m - 2 ) } x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } - ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x } \\ & { = } & { \frac { K } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } \epsilon ^ { m - 2 } } \left\{ \frac { ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { m - 3 } } { 2 } \left\{ \log \left( \frac { 1 - ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) } { 1 + ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) } \right) + \pi \tan \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) \right\} \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { 2 ^ { - m + 3 } } { m - 3 } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \frac { - m + 3 } { 2 } ; \frac { - m + 5 } { 2 } ; ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } \right) \right\} . } \end{array}
\operatorname { v a r } [ \ln ( 1 - X ) ] = \operatorname { E } [ \ln ^ { 2 } ( 1 - X ) ] - ( \operatorname { E } [ \ln ( 1 - X ) ] ) ^ { 2 } = \psi _ { 1 } ( \beta ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta )
\begin{array} { r l } { I _ { 5 , 2 } } & { \le O _ { p } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sqrt { \frac { \log ( T ) } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } } } } \Big ) \Big ( \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { 1 } = \left\{ 4 S _ { 0 } \pi ^ { - 2 - \alpha } [ 1 - 2 ^ { - 2 - \alpha } ] \zeta ( 2 + \alpha ) \right\} ^ { - 1 / ( 1 + \alpha ) } , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { Q ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , s ) } L : \; \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 } \partial _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } Q + \frac { 1 } { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ ( 1 - s ^ { 2 } ) \partial _ { s s } Q - s \partial _ { s } Q \right] + f _ { i } \partial _ { i } Q + \phi - L \right] \in S o S ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } } & { { } = } & { R C _ { S C } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ^ { 3 } ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } 2 \beta _ { x } \cos ^ { 2 } \phi _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { \vec { T } } ( t ) = \frac { \pmb { \vec { r } } ^ { \prime } ( t ) } { \lVert \pmb { \vec { r } } ^ { \prime } ( t ) \rVert } = \frac { 1 } { \lVert \pmb { \vec { r } } ^ { \prime } ( t ) \rVert } [ r _ { x } ^ { \prime } ( t ) , r _ { y } ^ { \prime } ( t ) ] } \\ { \pmb { \vec { N } } ( t ) = \frac { 1 } { \lVert \pmb { \vec { r } } ^ { \prime } ( t ) \rVert } [ r _ { y } ^ { \prime } ( t ) , - r _ { x } ^ { \prime } ( t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l } { v _ { s } ( x ) } & { = } & { 1 - \frac { 2 \sinh ( x ^ { * * } ) } { \sinh ( L ) } \, \cosh ( L - x ) + o ( 1 ) , } \\ { q _ { s } ( x ) } & { = } & { \frac { 2 \sinh ( x ^ { * * } ) } { \sinh ( L ) } \, \sinh ( L - x ) + o ( 1 ) , } \\ { w _ { s } ( x ) } & { = } & { 1 - \frac { 2 \sinh \left( x ^ { * * } / D \right) } { \sinh \left( \ L / D \right) } \, \cosh \left( ( L - x ) / D \right) + o ( 1 ) , } \\ { r _ { s } ( x ) } & { = } & { \frac { 2 \sinh \left( x ^ { * * } / D \right) } { D \sinh \left( L / D \right) } \, \sinh \left( ( L - x ) / D \right) + o ( 1 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { \; 3 6 4 6 2 \arctan { \frac { 1 } { 5 1 3 8 7 } } + 2 6 5 2 2 \arctan { \frac { 1 } { 4 8 5 2 9 8 } } + 1 9 2 7 5 \arctan { \frac { 1 } { 6 8 3 9 8 2 } } } \\ & { - 3 1 1 9 \arctan { \frac { 1 } { 1 9 8 4 9 3 3 } } - 3 8 3 3 \arctan { \frac { 1 } { 2 4 7 8 3 2 8 } } - 5 1 8 3 \arctan { \frac { 1 } { 3 4 4 9 0 5 1 } } } \\ & { - 3 7 1 8 5 \arctan { \frac { 1 } { 1 8 9 7 5 9 9 1 } } - 1 1 0 1 0 \arctan { \frac { 1 } { 2 2 7 0 9 2 7 4 } } + 3 8 8 0 \arctan { \frac { 1 } { 2 4 2 0 8 1 4 4 } } } \\ & { - 1 6 5 0 7 \arctan { \frac { 1 } { 2 0 1 2 2 9 5 8 2 } } - 7 4 7 6 \arctan { \frac { 1 } { 2 1 8 9 3 7 6 1 8 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { { \mathcal { H } } } & { A ^ { \top } } \\ { A } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { \lambda } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \zeta } \\ { 0 } \end{array} \right] \implies \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { \lambda } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - ( { \mathcal { H } } ^ { - 1 } - { \mathcal { H } } ^ { - 1 } A ^ { \top } ( A { \mathcal { H } } ^ { - 1 } A ^ { \top } ) ^ { - 1 } A { \mathcal { H } } ^ { - 1 } ) \zeta } \\ { - ( ( A { \mathcal { H } } ^ { - 1 } A ^ { \top } ) ^ { - 1 } A { \mathcal { H } } ^ { - 1 } ) \zeta } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { m } ( x _ { t } ) } & { \leqslant V ( x _ { t } , ( u _ { t + i } ^ { r } ) _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ) } \\ & { = x _ { t + N \mid t } ^ { \top } Q _ { f } x _ { t + N \mid t } + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { t + i \mid t } - x _ { t + i } ^ { r } ) ^ { \top } Q ( x _ { t + i \mid t } - x _ { t + i } ^ { r } ) } \\ & { \leqslant \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( Q _ { f } ) \left\| x _ { t + N \mid t } \right\| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ) \left\| x _ { t + i \mid t } - x _ { t + i } ^ { r } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { m - F G R } = \frac { 2 | J | ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { i t ( \langle \tilde { E } _ { 1 } \rangle - \langle \tilde { E } _ { 2 } \rangle ) / \hbar } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( t / \tau _ { e } - ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { e } } ) ) \langle \delta E ^ { 2 } \rangle \tau _ { e } ^ { 2 } / \hbar ^ { 2 } - t / \tau _ { f } - { \mathcal C } ( t ) } \Bigg ] , } \end{array}
{ \cal P } _ { i } ^ { \prime } = { \cal P } _ { i } + i g G _ { i j } ^ { a } I ^ { a } \xi _ { j } ( { \cal P } _ { k } \xi _ { k } ) \frac { ( b \kappa + a ) } { \tilde { \beta } ( \omega + \tilde { m } ) } \equiv \pi _ { i } ,
\varphi _ { \mathrm { i n } } ( x ) = \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \left\{ f _ { k } ( x ) a _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { k } ) + f _ { k } ^ { * } ( x ) a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { p } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbb { V } ^ { \dagger } } ) / \mathscr { F } _ { p } ^ { 3 } ( { \mathbb { V } ^ { \dagger } } ) } & { \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , - } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } \\ & { \quad \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) _ { W _ { 2 } } \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } \bigr ) _ { W _ { 2 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon \partial _ { t } n _ { \varepsilon } ( t , z ) - \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { z z } ^ { 2 } n _ { \varepsilon } ( t , z ) = \left( R ( z ) - \rho _ { \varepsilon } ( t ) \right) n _ { \varepsilon } ( t , z ) + \tau \cdot n _ { \varepsilon } ( z ) \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \frac { n _ { \varepsilon } ( t , y ) } { \rho _ { \varepsilon } } H ( z - y ) \ \mathrm { d y } } \\ { n _ { \varepsilon } ( 0 , z ) = n _ { \varepsilon , 0 } ( z ) , } \\ { \rho _ { \varepsilon } ( t ) = \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } n _ { \varepsilon } ( t , y ) \ \mathrm { d y } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \ddot { \psi } _ { k } + \left( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( m _ { \varphi } t ) \right) \psi _ { k } } & { = 0 } \\ { \Rightarrow \ddot { \psi } _ { k } + \left( k ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \cos ( 2 m _ { \varphi } t ) \right) \psi _ { k } } & { = 0 , } \end{array}
\tilde { \nabla } _ { \delta \dot { \delta } } Z = { \cal D } _ { \delta \dot { \delta } } \left( \begin{array} { c } { { \omega ^ { \alpha } } } \\ { { \pi _ { \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) + i \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \delta _ { \delta } ^ { \alpha } \delta _ { \dot { \delta } } ^ { \dot { \beta } } } } \\ { { { \cal P } _ { \delta \dot { \delta } , \beta \dot { \alpha } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \omega ^ { \beta } } } \\ { { \pi _ { \dot { \beta } } } } \end{array} \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Delta n _ { 2 , \mathrm { ~ H ~ } } ( \boldsymbol { R } ) = } & { { } \Delta \Pi _ { \mathrm { ~ H ~ } } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { \vec { q } } \sum _ { \vec { q } ^ { \prime } \neq \vec { q } } e ^ { i ( \vec { q } - \vec { q } ^ { \prime } ) \cdot \vec { R } } } \\ { = } & { { } \Delta \Pi _ { \mathrm { ~ H ~ } } \big [ | g ( \bar { k } _ { F } R ) | ^ { 2 } - \frac { 1 } { M } \big ] \; , } \end{array}
L = - { \frac { 1 } { 4 } } \, T r \, { \bf F } _ { \mu \nu } ( \, { \bf A } \, ) { \bf F } ^ { \mu \nu } ( \, { \bf A } \, ) - { \frac { 1 } { 2 } } \, T r \, \left[ \, m \, \left( \, { \bf A } _ { \mu } - { \bf \Phi } _ { \mu } \, \right) - D _ { \mu } ( { \bf \Phi } ) { \bf C } \, \right] ^ { 2 }
\log \, Z \left( \beta \right) = - \frac { \beta } { 2 r } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } D _ { \ell } M _ { \ell } \left( \mu , \chi \right) - \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } D _ { \ell } \log \left( 1 - e ^ { - \beta M _ { \ell } \left( \mu , \chi \right) / r } \right) ,
V _ { \beta } ^ { 1 - l o o p } ( \phi _ { 0 } ) = \int \frac { d ^ { \nu } k } { ( 2 \pi ) ^ { \nu } } { \frac { E } { 2 } } + { \frac { 1 } { \beta } } \int \frac { d ^ { \nu } k } { ( 2 \pi ) ^ { \nu } } \ln [ 1 - e ^ { - \beta E } ] \; .
{ \cal L } _ { M B } ^ { ( 2 ^ { \prime } ) } = [ S ^ { \mu } , S ^ { \nu } ] \, \biggl \{ b _ { 9 } \, \langle \bar { B } \, u _ { \mu } \rangle \langle u _ { \nu } \, B \rangle + b _ { 1 0 , 1 1 } \, \langle \bar { B } ( [ u _ { \mu } , u _ { \nu } ] , B ) _ { \pm } \rangle \biggr \} \, \, \, ,
\hat { H } _ { \mathrm { a u x } } : = \sum _ { i j \sigma \sigma ^ { \prime } } \left( \chi _ { i j } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma ^ { \prime } } + \Delta _ { i j } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } \right) ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \nabla \times { \mathbf a } } & { { } = \nabla \cdot \left( { \mathbf i } \left( \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } - \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } \right) + { \mathbf j } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } - \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } \right) + { \mathbf k } \left( \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { L } } ( \phi , \boldsymbol { u } _ { \phi } , \boldsymbol { v } ) } & { = F ( \phi ) + \int _ { D } \mathbb { D } \chi _ { \phi } ( x ) \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { u } _ { \phi } ) ( x ) \colon \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { v } ) ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { \qquad - \int _ { \Gamma _ { \mathrm { i n } } } ( \boldsymbol { t } + K _ { 1 } \boldsymbol { u } _ { \phi } ( x ) ) \cdot \boldsymbol { v } ( x ) \, \mathrm { d } \sigma - \int _ { \Gamma _ { \mathrm { o u t } } } K _ { 2 } \boldsymbol { u } ( x ) \cdot \boldsymbol { v } ( x ) \, \mathrm { d } \sigma . } \end{array}
{ \mathrm { M i n } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( 3 . 0 , 2 . 0 \right) } & { = 0 . 0 } \\ { f \left( - 2 . 8 0 5 1 1 8 , 3 . 1 3 1 3 1 2 \right) } & { = 0 . 0 } \\ { f \left( - 3 . 7 7 9 3 1 0 , - 3 . 2 8 3 1 8 6 \right) } & { = 0 . 0 } \\ { f \left( 3 . 5 8 4 4 2 8 , - 1 . 8 4 8 1 2 6 \right) } & { = 0 . 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \xi _ { j } ^ { a } , j \in \mathcal { V } _ { x } } \quad } & { \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { x } } \pi _ { j } ^ { a } ( \xi _ { j } ^ { a } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \xi _ { j } ^ { a } = \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } } \end{array} , \quad x = 1 , \dots , m .
\begin{array} { r l r } { C ( x , t ) } & { { } = } & { e r f \left( { \frac { x } { 2 \sqrt { D t } } } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } , } \\ { C ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 6 D t } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 7 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 3 D t } + \frac { x ^ { 4 } } { 6 0 ( D t ) ^ { 2 } } \right) , } \\ { C ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \kappa _ { 1 } x } { t ^ { \frac { 9 } { 2 } } } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 D t } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 0 ( D t ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 6 } } { 8 4 0 ( D t ) ^ { 3 } } \right) , } \end{array}
\Lambda _ { a } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } \Lambda _ { b } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } = S _ { a b } { \bf 1 } + \frac { 1 } { 2 } \, ( d _ { a b c } + i f _ { a b c } ) \, \Lambda _ { c } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } \quad \quad ( a , b , c = 1 , 2 , \dots 8 )
\mathsf { A C V } ^ { 2 } G \approx \frac { 2 } { n } + \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } + \frac { 4 } { n } \frac { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } + \frac { 4 } { n } \left( \frac { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } \right) ^ { 2 } .
U _ { \mathrm { e x } } ^ { ( 2 \mathrm { s t ) } } = \frac { \Gamma g _ { m } } { \kappa } \biggl [ \exp ( - \kappa x _ { 1 } ) - \frac { g _ { m } - 1 } { g _ { m } } \exp ( - \kappa x _ { 2 } ) \biggr ] .
\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = f \left( \frac { x _ { 1 } } { \sqrt { \gamma } } + i \sqrt { \gamma } x _ { 2 } \right) e ^ { - \frac { 1 } { \theta } \left( \left( \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { \gamma } + \gamma x _ { 2 } ^ { 2 } \right) - z \left( \frac { x _ { 1 } } { \sqrt { \gamma } } - i \sqrt { \gamma } x _ { 2 } \right) \right) }
\begin{array} { r l } { | E _ { n + 1 } | } & { \leq w | E _ { n } | + ( k \Delta t ) | V _ { n } | } \\ & { \leq w ( w | E _ { n - 1 } | + ( k \Delta t ) | V _ { n - 1 } | ) + ( k \Delta t ) | V _ { n } | } \\ & { = w ^ { 2 } | E _ { n - 1 } | + w ( k \Delta t ) | V _ { n - 1 } | + ( k \Delta t ) | V _ { n } | } \\ & { \leq w ^ { n + 1 } | E _ { 0 } | + ( k \Delta t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } w ^ { i } | V _ { n - i } | = ( k \Delta t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } w ^ { i } | V _ { n - i } | , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \epsilon } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = \mathrm { O T } _ { \epsilon } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { O T } _ { \epsilon } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { O T } _ { \epsilon } ( \mathcal { E } ^ { \prime } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\mathcal { B } _ { n } [ u ] = i 2 ^ { n } \left( 2 u _ { n + 2 } u _ { n + 1 } ^ { * } - \frac { u _ { n + 1 } u _ { n - 1 } ^ { * } } { 2 } + \frac { u _ { n - 1 } u _ { n - 2 } } { 4 } \right) ,
\int { \frac { d x } { \cos ^ { n } a x } } = { \frac { \sin a x } { a ( n - 1 ) \cos ^ { n - 1 } a x } } + { \frac { n - 2 } { n - 1 } } \int { \frac { d x } { \cos ^ { n - 2 } a x } } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n > 1 { \mathrm { ) } }
{ \mathcal E } ( t , x , y ) = { \mathcal E } ( t , { \bar { x } } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } \left( \begin{array} { c } { n } \\ { j } \end{array} \right) k ^ { 2 ( n - j ) } D _ { { \bar { x } } } ^ { ( 2 j ) } [ F _ { n } ( t , w ) ] ( t , { \bar { x } } ) e ^ { - 2 \beta t j } .
\begin{array} { r l } & { \bar { \chi } : = \operatorname* { l i m } _ { u \to 1 } \frac { 2 \log ( 1 - u ) } { \log \bar { C } ( u , u ) } - 1 = 2 \eta - 1 } \\ & { \lambda _ { u } : = 2 - \operatorname* { l i m } _ { u \to 1 } \frac { \log C ( u , u ) } { \log u } = \left\{ \begin{array} { l l } { c } & { \mathrm { ~ i f ~ } \bar { \chi } = 1 , \, \mathcal { L } ( t ) \to c > 0 , \, \mathrm { a s ~ } t \to \infty , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \bar { \chi } = 1 , \, \mathcal { L } ( t ) \to 0 , \, \mathrm { a s ~ } t \to \infty , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \bar { \chi } < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { E S } = } & { - \frac { \epsilon _ { p } \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { V } d V \left( \frac { d \psi ( r ) } { d r } \right) ^ { \! 2 } } \\ & { + \oint _ { A _ { 1 } } d A _ { 1 } ~ \psi \left( R _ { 1 } \right) \sigma _ { 1 } + \oint _ { A _ { 2 } } d A _ { 2 } ~ \psi \left( R _ { 2 } \right) \sigma _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } ( t , z , w ) } & { = \mathcal { L } _ { f } v ( t , z ) + \phi ( t + \tau , w ( 0 ) ) - \phi ( t , w ( - \tau ) ) } \\ & { + \textstyle \int _ { - \tau } ^ { 0 } \psi ( t + \tau , q , w ( 0 ) , w ( q ) ) d q } \\ & { - \textstyle \int _ { - \tau } ^ { 0 } \psi ( t , q , w ( - \tau ) , w ( q ) ) d q , } \end{array}
I = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \biggl \{ R - { \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } ( \partial \sigma _ { i } - \partial \sigma _ { j } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } e ^ { - \sigma _ { i } } F _ { ( i ) } ^ { 2 } \biggr \} ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { w } _ { \pm } \left( t , x \right) } & { \propto a ^ { - 1 } \left( t \right) \exp \left( i \phi _ { \mathrm { w a v e } } \left( t \right) \mp i k x \right) } \\ & { \phi _ { \mathrm { w a v e } } \left( t \right) = \left\{ \begin{array} { r l } & { - k U _ { \mathrm { A } } \dot { a } ^ { - 1 } \left( a ^ { - 1 } - 1 \right) , \mathrm { i f ~ } a = 1 + \dot { a } t , } \\ & { k U _ { \mathrm { A } } \dot { a } ^ { - 1 } \left( a ^ { - 3 } - 1 \right) / 3 , \mathrm { i f ~ } a = 1 / \left( 1 + \dot { a } t \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
\alpha _ { 1 } = \frac { 1 } { l } \left( \frac { f ( t / l ) ^ { \prime } + g ( t / l ) ^ { \prime } } { f ( t / l ) - g ( t / l ) } \right) = - \frac { 1 } { l } - \frac { \kappa ^ { 2 } \rho } { 6 } .
C ( r , \tau ) = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \, \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) \, } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \frac { \left( \beta \tilde { \tau } _ { c } + \xi \, \lvert \tau \rvert \, \right) \, \mathrm { e } ^ { - a \, \lvert \tau \rvert / \tilde { \tau } _ { c } } } { \tilde { \tau } _ { c } \, \left[ r ^ { 2 } + \left( \beta + \frac { \xi \lvert \tau \rvert } { \tilde { \tau } _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, .
| \Omega | = { \binom { p ^ { k } m } { p ^ { k } } } = \prod _ { j = 0 } ^ { p ^ { k } - 1 } { \frac { p ^ { k } m - j } { p ^ { k } - j } } = m \prod _ { j = 1 } ^ { p ^ { k } - 1 } { \frac { p ^ { k - \nu _ { p } ( j ) } m - j / p ^ { \nu _ { p } ( j ) } } { p ^ { k - \nu _ { p } ( j ) } - j / p ^ { \nu _ { p } ( j ) } } }
K = \frac { \hbar \pi } { \mu _ { r } k } \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m _ { \ell } } \sum _ { n ^ { \prime } = n - \delta n } ^ { n + \delta n } \left| T _ { 2 , \ell ^ { \prime } m _ { \ell } , n ^ { \prime } \leftarrow 1 , \ell , m _ { \ell } , n } \right| ^ { 2 } ,
\mathrm { C } _ { f _ { k } } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { 1 } _ { \mathrm { S } _ { i } \geq \mathrm { S } _ { i w } } \left( \mathrm { S } _ { i } ( s ) \right) \mathrm { d } s = \int _ { \mathrm { S } _ { i w } } ^ { \infty } f _ { k } ( \mathrm { S } _ { i } ) \mathrm { d } \mathrm { S } _ { i } ,
x ( t ) = 1 - \exp \left( - \int _ { t _ { c } } ^ { t } \left[ 1 - x ( t ^ { \prime } ) \right] \Gamma ( t ^ { \prime } ) \frac { 4 \pi } { 3 } \left[ v R ( t ) \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } \frac { d t ^ { \prime \prime } } { R ( t ^ { \prime \prime } ) } \right] ^ { 3 } d t ^ { \prime } \right)
p _ { i \alpha , j \beta } = R _ { i j } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { N _ { 1 } } { N } \frac { N _ { 1 } } { N } } & { p _ { i 1 , j 2 } } & { p _ { i 1 , j 3 } } \\ { p _ { i 2 , j 1 } } & { \frac { N _ { 2 } } { N } \frac { N _ { 2 } } { N } } & { p _ { i 2 , j 3 } } \\ { p _ { i 3 , j 1 } } & { p _ { i 3 , j 2 } } & { \frac { N _ { 3 } } { N } \frac { N _ { 3 } } { N } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \nu _ { t } } & { = \frac { \eta _ { t } } { K } \mathrm { d i v } _ { \theta } ( \nu _ { t } \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) ) - \frac { \kappa } { K } \nu _ { t } \left( \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) ) - \int \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ^ { \prime } ) d \nu _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \right) } \\ { \partial _ { t } \pi _ { t } } & { = - \mathrm { d i v } _ { z , \tilde { z } } ( \pi _ { t } ( 0 , \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) ) ) + \kappa \pi _ { t } \left( \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) - \int \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ^ { \prime } ) d \pi _ { t } ( \tilde { z } ^ { \prime } | z ) \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { \quad \le C h ^ { 2 t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { h ^ { 2 s } } { \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { s } } \frac { ( 1 + h | \xi | ) ^ { 2 t } } { h ^ { 2 t } } \left| \frac { ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { k / 2 } } { h ^ { k } | \xi | ^ { k } } \right| ^ { 2 } \left| \frac { | \xi | ^ { r } } { 2 ^ { a ( d + r ) } ( 1 + 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 2 r } } \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C \frac { h ^ { 2 ( s - k ) } } { 2 ^ { 2 a ( d + r ) } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { ( 1 + h | \xi | ) ^ { 2 t } ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { k - s } } { | \xi | ^ { 2 ( k - r ) } ( 1 + 2 ^ { - a } | \xi | ) ^ { 4 r } } \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}