harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { x } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( y \partial _ { z } - z \partial _ { y } \right) } \\ { \hat { l } _ { y } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( z \partial _ { x } - x \partial _ { z } \right) } \\ { \hat { l } _ { z } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( x \partial _ { y } - y \partial _ { x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F ( I ) = \mu _ { 2 } + \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } { 2 } \Big ( \frac { 1 } { 1 + I / I _ { 0 } } - \frac { 3 \ln ( 1 + I / I _ { 0 } ) } { I / I _ { 0 } } \Big ) , } \\ & { \widetilde { F } ( \phi ) = \frac { 1 } { d \sqrt { \rho _ { s } } } I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) F ( I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ) \quad \mathrm { w i t h } \quad I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) = \frac { \phi _ { \mathrm { m a x } } - \phi } { \Delta \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { n _ { s 1 } } & { = n _ { 0 } / \cosh ^ { 2 } \left( \frac { z } { L } \right) , } \\ & { n _ { s 2 } } & { = n _ { 0 } \left[ \frac { 1 } { 2 } + b - \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } \left( \frac { z } { L } \right) } \right] , } \\ & { v _ { d s 1 } } & { = u _ { y s } , } \\ & { v _ { d s 2 } } & { = u _ { y s } \frac { \sinh \left( \frac { z } { L } \right) } { \left( \frac { 1 } { 2 } + b \right) \cosh ^ { 2 } \left( \frac { z } { L } \right) - 1 } . } \end{array}
m = m _ { 0 } + \int _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \lambda } \frac { d m } { d \lambda } \mathrm { ~ d ~ } \lambda = m _ { 0 } + n _ { \mathrm { ~ g ~ } } L \cdot \left( \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \eta _ { \Omega } } & { { } < } & { \frac { 4 9 } { 3 } T \, \tau _ { \pi } , } \\ { \tau _ { \pi } } & { { } \geq } & { \frac { 2 \eta } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } , } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 \pi M } } \quad { \frac { \sqrt { ( M ^ { 2 } - | z _ { 1 } | ^ { 2 } ) \; ( M ^ { 2 } - | z _ { 2 } | ^ { 2 } ) } } { \left[ \sqrt { M ^ { 2 } - | z _ { 1 } | ^ { 2 } } + \sqrt { M ^ { 2 } - | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } } } \ .
g _ { P \gamma \gamma } = \frac { m \sqrt { N _ { c } } } { 4 \pi } e _ { c } ^ { 2 } \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s G _ { v } ( s ) } { \pi ( s - M ^ { 2 } ) } \frac 1 s \log \left( { \frac { 1 + \sqrt { 1 - 4 m ^ { 2 } / s } } { 1 - \sqrt { 1 - 4 m ^ { 2 } / s } } } \right)
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { \Omega _ { d } ( X ) } U _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi } & { - \int _ { \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi \bigg | } \\ & { \leq \int _ { \Omega _ { d } ( X ) \cap \Omega _ { c } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi + \int _ { \Omega _ { c } ( X ) \cap \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi } \\ & { \quad + \int _ { \Omega _ { d } ( X ) \cap \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } \left| U _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) - U _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } ( \xi ) \right| d \xi . } \end{array}
K _ { 0 } - K _ { 1 } = L \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} + \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \left( \frac { E _ { \gamma _ { + } } } c - \frac { E _ { \gamma _ { - } } } c \right) v \eqno ( 5 8 )
\begin{array} { r l } { \chi _ { L } ( \omega ) } & { = - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } + i \Gamma \omega } \quad ; \quad \omega _ { 0 } , \chi _ { 0 } , \Gamma > 0 } \\ & { = - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } } { ( \omega - \omega ^ { + } ) ( \omega - \omega ^ { - } ) } , } \end{array}
\tilde { b } _ { i j } = Q _ { k i } b _ { k l } Q _ { l j } \; \; , \; \; \tilde { h } _ { i j } = Q _ { k i } h _ { k l } Q _ { l j } \; \; , \; \; \tilde { \tau } _ { i j } = Q _ { k i } \tau _ { k l } Q _ { l j } .
\begin{array} { r } { | s _ { 2 } | \le C \sum _ { \pi _ { a } ( k ) \in S } \frac { N ^ { - 1 + 2 \epsilon } } { ( \rho _ { k } ^ { a } + \delta _ { \pi _ { a } ( k ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { a } ) ( \rho _ { k } ^ { a } + \delta _ { \pi _ { a } ( k ) , \pi _ { a } ( j ) } ^ { a } ) } + C \sum _ { \pi _ { b } ( \mu ) \in S } \frac { N ^ { - 1 + 2 \epsilon } } { ( \rho _ { \mu } ^ { b } + \delta _ { \pi _ { b } ( \mu ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { b } ) ( \rho _ { \mu } ^ { b } + \delta _ { \pi _ { b } ( \mu ) , \pi _ { a } ( j ) } ^ { b } ) } . } \end{array}
A _ { \alpha } = \mathrm { R e } \left[ \left( \sqrt { I } m _ { \alpha } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \right) e ^ { i ( S + \epsilon \gamma ) / \epsilon } \right] \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad A _ { \alpha } = \mathrm { R e } \left[ \left( \sqrt { I } \bar { m } _ { \alpha } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \right) e ^ { i ( S - \epsilon \gamma ) / \epsilon } \right] .
\dot { \psi } _ { 2 } = \left( \frac { 1 } { I _ { 1 } } + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \right) p _ { 2 } - \frac { \mathsf { A } } { I _ { 1 } } \, , \qquad \dot { p } _ { 2 } = - \frac { \partial \Pi } { \partial \psi _ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \sigma } & { = ( z _ { + } F ) ^ { 2 } \mathcal { L _ { + + } } ( 1 - ( c _ { \mathrm { m a x } } - c _ { \mathrm { b u l k } } ) c _ { \mathrm { b u l k } } \Delta \nu ) , } \\ { D _ { + } } & { = \mathcal { L _ { + + } } R T \frac { c _ { \mathrm { m a x } } } { ( c _ { \mathrm { m a x } } - c _ { \mathrm { b u l k } } ) c _ { \mathrm { b u l k } } } . } \end{array}
\int _ { \omega _ { 1 } } ^ { \omega _ { 2 } } d \omega \rho _ { 0 } ( \omega ) = { \frac { \hbar } { 8 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } } \left( \omega _ { 2 } ^ { 4 } - \omega _ { 1 } ^ { 4 } \right)
z P _ { n } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } ( z ) = \beta _ { n } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } P _ { n + 1 } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } ( z ) + \alpha _ { n } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } P _ { n } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } ( z ) + \beta _ { n - 1 } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } P _ { n - 1 } ^ { \left( a , b , \vec { c } \right) } ( z ) .
\hat { \eta } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad , \quad \hat { \gamma } = \left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \quad .
\begin{array} { r } { \delta ^ { 1 / \beta } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { V a r } _ { f } \big ( \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ) \geq \frac 1 n \Bigg ( \| K \| _ { 2 } ^ { - 1 } \bigg ( 1 - \frac { \| K \| _ { { \mathscr C } ^ { \beta } ( { \mathbb R } ) } } { R } \bigg ) _ { + } \Bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \varepsilon } _ { \mathrm { ~ S ~ t ~ } } = \frac { l _ { r } } { t _ { r } v _ { r } } \; , \quad { \varepsilon } _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } = \frac { v _ { r } } { c _ { r } } \; , \quad { \varepsilon } _ { \mathrm { ~ F ~ r ~ } } = \frac { v _ { r } } { \sqrt { \Phi _ { r } } } \; , \quad { \varepsilon } _ { B } = \frac { B _ { r } ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \rho _ { r } v _ { r } ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) } & { { } _ { q < 1 , \Delta _ { u } \ge 0 } = \frac { \sqrt { r \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Delta _ { t } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 r } } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle _ { k } \approx \frac { \sum _ { \mathbf X } s _ { k } ( { \mathbf X } ) A _ { k } ( { \mathbf X } ) } { \sum _ { \mathbf X } s _ { k } ( { \mathbf X } ) } = \frac { \langle s _ { k } A _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } } { \langle s _ { k } \rangle _ { | D _ { k } | } } \, ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } u _ { x } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { y } \times \mathcal { T } } \\ { u _ { y } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { x } \times \mathcal { T } } \\ { u ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { { } = u _ { t } ( \boldsymbol { x } , 0 ) = 0 } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { g ^ { t } ( w \rightarrow \infty ) = g ^ { p } ( v _ { \parallel } \rightarrow - u ^ { + } ) } & { { } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { g ^ { t } ( w \rightarrow - \infty ) = g ^ { p } ( v _ { \parallel } \rightarrow - u ^ { - } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( \Delta ) } & { { } = \left| \frac { b _ { \mathrm { o u t , 1 } } } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \right| ^ { 2 } = \left| s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } \frac { \kappa / 2 - i \Delta - \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } { \kappa / 2 - i \Delta } + s _ { 1 1 , 1 } \right| ^ { 2 } , } \\ { T _ { 1 } ( \Delta ) } & { { } = \left| \frac { b _ { \mathrm { o u t , 2 } } } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \right| ^ { 2 } = \left| s _ { 1 2 , 2 } s _ { 2 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } \kappa ^ { \mathrm { e x t 2 } } } { \kappa ^ { 2 } / 4 + \Delta ^ { 2 } } , } \end{array}
E _ { x } ^ { \mathrm { R } } ( r , \theta , \varphi ) = \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r } \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } r } \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } \cos \theta } p _ { x } ( r ^ { ( \mathrm { s } ) } \sin ^ { 2 } \varphi - r ^ { ( \mathrm { p } ) } \cos ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \varphi ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { p } ( f / K , \Sigma ^ { ( 1 ) } ) ( \chi \circ \mathbf { N } ) \cdot H _ { p } ( f ) } & { = W ( \chi \circ \mathbf { N } ) \cdot \frac { p ^ { r } } { \alpha _ { p } ^ { 2 r } } \cdot L ( f / K , \overline { { \chi } } \circ \mathbf { N } , 1 ) } \\ & { = \chi ( \vert D _ { K } \vert ) \cdot \frac { p ^ { 2 r } } { \tau ( \overline { { \chi } } ) \alpha _ { p } ^ { 2 r } } \cdot L ( E , \overline { { \chi } } , 1 ) \cdot L ( E ^ { K } , \overline { { \chi } } , 1 ) } \\ & { = \chi ( \vert D _ { K } \vert ) \cdot \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { M S D } } ( E / \mathbb { Q } ) ( \chi ) \cdot \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { M S D } } ( E ^ { K } / \mathbb { Q } ) ( \chi ) \cdot \frac { \Omega _ { E } ^ { + } \cdot \Omega _ { E ^ { K } } ^ { + } } { 8 \pi ^ { 2 } \langle f , f \rangle _ { N } } . } \end{array}
\langle \delta X \rangle = \delta X \bigg ( \frac { \delta { \cal W } } { \delta { \cal J } _ { i } } + \frac { \hbar } { i } \frac { \delta } { \delta { \cal J } _ { i } } , \, \psi ^ { \alpha } , \, \phi _ { A } ^ { * } \, ; ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { i } } \frac { 1 } { i \hbar } { \cal J } _ { i } , \, \frac { i } { \hbar } \frac { \delta _ { l } { \cal W } } { \delta \psi ^ { \alpha } } + \frac { \delta _ { l } } { \delta \psi ^ { \alpha } } \, , \frac { i } { \hbar } \frac { \delta { \cal W } } { \delta \phi _ { A } ^ { * } } + \frac { \delta } { \delta \phi _ { A } ^ { * } } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { \epsilon _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \beta } ) } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) } , } \\ { \epsilon _ { i } } & { = \epsilon _ { i } ( \boldsymbol { \beta } ) = Y _ { i } - \boldsymbol { x } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \beta } . } \end{array}
\Gamma _ { B B } = m _ { \mathrm { H B } } - m _ { 0 } - \frac { i } { a } \sum _ { \mu } { v _ { \mu } } \left[ \sin ( a q _ { \mu } ) - 2 i \sin ^ { 2 } \left( \frac { a q _ { \mu } } { 2 } \right) \right] .
\frac { R ( t ) } { R _ { 0 } } = \left\{ \frac { \Omega _ { M } } { 1 - \Omega _ { \Lambda } ^ { 2 } } \left[ \Omega _ { \Lambda } + \sin \left( \frac { 3 } { 2 } h _ { 0 } ^ { 2 } \sqrt { 1 - \Omega _ { \Lambda } ^ { 2 } } t \right) \right] \right\} ^ { \frac { 1 } { 3 } } - \left( \frac { \Omega _ { M } \Omega _ { \Lambda } } { 1 - \Omega _ { \Lambda } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ,
\begin{array} { c } { { \dot { x } ^ { A } = \mu p ^ { A } \ , \quad \dot { p } _ { A } = 0 \ , } } \\ { { \dot { Z } _ { i } ^ { A } = 0 \ , \quad \dot { \psi } _ { a } = 0 \ , \quad ( m o d u l o \ t r a n s f o r m a t i o n s \ ( \ref { e q r e l } ) ) } } \end{array}
\gamma ( \pi G , \hat { \pi } \hat { G } ) = \pi \gamma ( G , \hat { G } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \pi \in \mathbb { S } _ { N } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \hat { \pi } \in \mathbb { S } _ { \hat { N } }
( \partial _ { t } + v _ { \parallel } \nabla _ { \parallel } ) \delta g _ { B z } = - e ^ { i Q _ { z } } \left[ \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \partial _ { t } \delta \phi _ { z } + N . L . \right]
\tilde { H } \left( u \left( t \right) \right) : = \left( \begin{array} { l l } { \operatorname { R e } \left( - i H \left( u \left( t \right) \right) \right) } & { - \operatorname { I m } \left( - i H \left( u \left( t \right) \right) \right) } \\ { \operatorname { I m } \left( - i H \left( u \left( t \right) \right) \right) } & { \operatorname { R e } \left( - i H \left( u \left( t \right) \right) \right) } \end{array} \right)
E _ { x } [ \{ \psi _ { i } \} ] = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { N } \int \int \frac { \psi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \psi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \psi _ { i } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \psi _ { j } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \mathrm { d } \mathbf { x } \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime }
\left( \frac { U } { F } , \frac { U } { F R } , \frac { U } { F R ^ { 2 } } \right) = \left( \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } R } , \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } R ^ { 2 } } , \frac { 1 } { 6 \pi \eta _ { 0 } R ^ { 3 } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \alpha _ { t } } { \alpha _ { \bar { t } _ { s } - 1 } } } & { = \frac { ( u _ { \bar { t } _ { s } - 1 } + \sigma ^ { 2 } ( \bar { t } _ { s } - 1 ) ) ^ { 1 / 3 } } { ( u _ { t } + \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 1 / 3 } } = \bigg ( 1 + \frac { u _ { \bar { t } _ { s } - 1 } - u _ { t } + \sigma ^ { 2 } ( \bar { t } _ { s } - 1 - t ) } { u _ { t } + \sigma ^ { 2 } t } \bigg ) ^ { 1 / 3 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 + \frac { ( I - 1 ) \sigma ^ { 2 } } { u _ { t } + \sigma ^ { 2 } t } \bigg ) ^ { 1 / 3 } \leq 1 + \frac { ( I - 1 ) } { 3 ( t + I + 1 ) } \leq 2 } \end{array}
\Pi _ { \textrm { P S I } } = \Pi _ { \textrm { B P } \xrightarrow { \textrm { B P } } \textrm { B P } } ^ { > } \left( m \right) + \Pi _ { \textrm { H P } \xrightarrow { \textrm { B P } } \textrm { B P } } ^ { > } \left( m \right) + \Pi _ { \textrm { H P } \xrightarrow { \textrm { H P } } \textrm { H P } } ^ { > } \left( m \right)
\mathbf { R } ( \alpha , \beta , \gamma ) = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } & { 0 } \\ { \sin \alpha } & { \cos \alpha } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \beta } & { 0 } & { \sin \beta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \beta } & { 0 } & { \cos \beta } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } & { 0 } \\ { \sin \gamma } & { \cos \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
V _ { i } \cdot V _ { j } = { \vec { U } } _ { i } \cdot { \vec { U } } _ { j } - \sum _ { r } V _ { i } ^ { r } V _ { j } ^ { r } + \sum _ { \ell : ~ r i g h t } T _ { i } ^ { \ell } T _ { j } ^ { \ell } - \sum _ { \ell : ~ l e f t } T _ { i } ^ { \ell } T _ { j } ^ { \ell } ~ .
\begin{array} { r l } { B ( u v ^ { T } - v u ^ { T } ) } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - u u ^ { \ast } - v v ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { m } - \Bar u u ^ { T } - \Bar v v ^ { T } ) = - B ( u v ^ { T } - v u ^ { T } ) ^ { T } } \\ { B ( u v ^ { T } - v u ^ { T } ) \Bar u } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - u u ^ { \ast } - v v ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \Bar u - \Bar u ) = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } B ( u v ^ { T } - v u ^ { T } ) \Bar v = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \alpha _ { i i ^ { \prime } j _ { 1 } j _ { 1 } } | } & { = | \sum _ { \ell > i ^ { \prime } } N _ { \ell } \sigma _ { i \ell } \sigma _ { i ^ { \prime } \ell } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 1 } \ell } | \leq \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \sum _ { \ell \in S _ { k ^ { \prime } } } N _ { \ell } \sigma _ { i \ell } \sigma _ { i ^ { \prime } \ell } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 1 } \ell } } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { M _ { k } } \cdot \frac { 1 } { M _ { k } } \sum _ { \ell \in S _ { k } } N _ { \ell } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } + \frac { 1 } { M } \cdot \frac { 1 } { M } \sum _ { \ell \in [ n ] } N _ { \ell } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \lesssim \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 1 } } + \frac { 1 } { M } \mu _ { j _ { 1 } } \lesssim \frac { 1 } { M _ { k } } \mu _ { j _ { 1 } } . } \end{array}
f _ { i } = - \psi _ { 1 } \partial _ { i } \psi _ { 2 } + \psi _ { 2 } \partial _ { i } \psi _ { 1 } - \psi _ { 3 } \partial _ { i } \psi _ { 4 } + \psi _ { 4 } \partial _ { i } \psi _ { 3 } \, ,
\frac { 1 } { 2 } \, ( z _ { 0 } G \, ( z _ { 0 } ) z _ { 1 } ^ { 2 } G ^ { \prime } \, ( z _ { 1 } ) z _ { 2 } ^ { 3 } z _ { 3 } ^ { 3 } + 1 1 \, \mathrm { m o r e t e r m s } ) - 2 \, ( z _ { 0 } G \, ( z _ { 0 } ) z _ { 1 } G \, ( z _ { 1 } ) z _ { 2 } ^ { 3 } z _ { 3 } ^ { 3 } + 5 \, \mathrm { m o r e } ) \, \equiv \, 0
\begin{array} { r l r } { \hat { T } } & { { } = } & { \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } } \end{array}
\Sigma = - 3 g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { i } { v \cdot k - \delta } } { \frac { i } { k ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } } k ^ { \mu } k ^ { \nu } { \frac { 2 } { 3 } } ( v _ { \mu } v _ { \nu } - g _ { \mu \nu } )
\begin{array} { r } { E ^ { ( 1 ) } = E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] \approx E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { m u l t } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( 0 ) } ] . } \end{array}
C _ { \epsilon } = \frac { \langle \epsilon \rangle L _ { u } } { { u ^ { \prime } } ^ { 3 } } , \qquad C _ { \chi } = \frac { \langle \chi \rangle L _ { u } } { \langle { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } \rangle u ^ { \prime } } .
\nu _ { 6 } = \mu _ { m a x , N } \frac { S _ { I C } } { K _ { N , I C } + S _ { I C } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } } \frac { S _ { O _ { 2 } } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } } \frac { K _ { M } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M } \ f _ { N }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i } F _ { i } \Big [ \langle N | Q _ { i } | N \rangle \Big ] } \\ & { } & { = \sum _ { i } F _ { i } \frac { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \langle N | Q _ { i } | N \rangle \exp ( - \beta E _ { N } ^ { ( 0 ) } ) } { \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta E _ { N } ^ { ( 0 ) } ) } } \\ & { } & { = \sum _ { i } F _ { i } \, \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | Q _ { i } | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } } \\ & { } & { \equiv \sum _ { i } F _ { i } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 0 } \Big ] = 0 . } \end{array}
P = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } & { 3 } & { 5 } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { a n d } } \quad Q = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 5 } & { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l r } { R _ { \oplus } ^ { 2 } \Big ( \vec { k } \cdot \Big ( \frac { \vec { n } } { r ^ { 2 } } - \frac { \vec { n } _ { 0 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ) \Big ) } & { = } & { \frac { R _ { \oplus } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \frac { 1 + \Big ( 1 - \frac { r ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } } { r r _ { 0 } } \Big ) ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) } { \Big ( 1 - \frac { 2 r r _ { 0 } } { ( r + r _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ( 1 + ( \vec { n } \cdot \vec { n } _ { 0 } ) \Big ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } . } \end{array}
\frac { g _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 \pi m _ { 0 } ^ { 2 } } = \alpha \left( \sigma _ { 1 } \right) \, \frac { \mu _ { 0 } } { \sigma _ { 1 } m _ { 0 } } \sqrt { 1 - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \mu _ { 0 } } { \sigma _ { 1 } m _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } = \alpha _ { 0 } + \frac { \alpha _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } \frac { \mu _ { 0 } } { m _ { 0 } } + O \left( \left( \frac { \mu _ { 0 } } { m _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \, ,
P _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } } = R _ { \mathrm { ~ h ~ 0 ~ } } I ^ { 2 } = R _ { \mathrm { ~ h ~ 0 ~ } } I _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } = P _ { \mathrm { ~ d ~ c ~ } } \left[ 1 + \cos { ( 2 \omega t ) } \right] = P _ { \mathrm { ~ d ~ c ~ } } \mathrm { R e } ( 1 + \mathrm { e } ^ { i 2 \omega t } ) { , }
\begin{array} { r l } { \langle T _ { \xi } , \varphi \rangle = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol v ) \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x _ { j } } \, \mathrm { d } \boldsymbol v } & { \approx \int _ { [ - M , M ) ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol v ) \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x _ { j } } \, \mathrm { d } \boldsymbol v } \\ & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol v ) \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x _ { j } } \, \chi _ { \left[ - M , M \right) ^ { d } } ( \boldsymbol v ) \, \mathrm { d } \boldsymbol v , } \end{array}
S _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , t h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E f _ { \alpha } ( 1 - f _ { \alpha } ) ( N _ { \alpha } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } - R _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { l c r } { { d s ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } K _ { \rho \sigma } [ d \phi _ { \rho } d \phi _ { \sigma } + a _ { \rho } a _ { \sigma } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d \Omega _ { \rho , i } d \Omega _ { \sigma , i } ] ; } } \\ { { H = - 2 a _ { \rho } d \Omega _ { \rho } , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G ( n ^ { 2 } ; x ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ^ { 2 } x ^ { n } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ( n - 1 ) x ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n x ^ { n } } \\ & { = x ^ { 2 } D ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { 1 - x } } \right] + x D \left[ { \frac { 1 } { 1 - x } } \right] } \\ & { = { \frac { 2 x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 3 } } } + { \frac { x } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } } = { \frac { x ( x + 1 ) } { ( 1 - x ) ^ { 3 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { { _ 2 F _ { 1 } } ( a , b ; c ; z ) = \frac { \Gamma ( c ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - i \infty } ^ { + i \infty } \frac { \Gamma ( a + \zeta ) \Gamma ( b + \zeta ) \Gamma ( - \zeta ) } { \Gamma ( c + \zeta ) } ( - z ) ^ { \zeta } d \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ u , v , w , T , p \right] = [ u _ { b } , v _ { b } , w _ { b } , T _ { b } , p _ { b } ] ( r ) + \left[ u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , w ^ { \prime } , T ^ { \prime } , p ^ { \prime } \right] , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { r _ { 1 } ( x _ { A } ) } \\ { r _ { 2 } ( x _ { B } ) } \\ { r _ { 3 } ( x _ { C } , x _ { D } ) } \\ { r _ { 4 } ( x _ { C } ) } \\ { r _ { 5 } ( x _ { D } ) } \\ { r _ { 6 } ( x _ { D } , x _ { E } ) } \\ { r _ { 7 } ( x _ { E } ) } \\ { F _ { D } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 x _ { A } } \\ { 8 \frac { x _ { B } } { 1 + x _ { B } } } \\ { 8 \frac { x _ { C } x _ { D } } { 1 + 3 x _ { D } } } \\ { 6 4 \frac { x _ { C } } { 1 + 1 5 x _ { C } } } \\ { 2 \frac { x _ { D } } { 1 + x _ { D } } } \\ { 5 1 2 \frac { x _ { D } } { 1 + 6 3 x _ { D } } \frac { x _ { E } } { 1 + 3 x _ { E } } } \\ { 7 2 \frac { x _ { E } } { 1 + 1 1 x _ { E } } } \\ { 5 } \end{array} \right) .