harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \phi _ { a } \phi _ { b } | W | \phi _ { i } \phi _ { j } ) = \int \phi _ { a } ^ { * } ( r ) \phi _ { b } ^ { * } ( r ) W ( r , r ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( r ^ { \prime } ) \phi _ { j } ( r ^ { \prime } ) d r d r ^ { \prime } .
d s ^ { 2 } = - { ( H _ { 1 } H _ { 2 } ) ^ { - { 4 / 5 } } } f d t ^ { 2 } + ( H _ { 1 } H _ { 2 } ) ^ { 1 / 5 } \bigg ( f ^ { - 1 } { d r ^ { 2 } } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 5 , k } \bigg ) \ ,
\frac { D \varepsilon _ { H } } { D t } = C _ { \varepsilon H 1 } \frac { \varepsilon _ { H } } { K } P _ { K } - C _ { \varepsilon H 2 } \frac { \varepsilon _ { H } } { K } \varepsilon + C _ { \varepsilon H 3 } \frac { \varepsilon _ { H } } { H } P _ { H } - C _ { \varepsilon H 4 } \frac { \varepsilon _ { H } } { H } \varepsilon _ { H } ,
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( T _ { 1 2 } ^ { \downarrow \downarrow } ( f _ { 0 } - f ) + } } \\ { { f ^ { 2 } - \sum _ { \gamma \delta } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \downarrow \rho \dagger } s _ { 1 \delta } ^ { \downarrow \rho ^ { \prime } } s _ { 1 \delta } ^ { \downarrow \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 1 \gamma } ^ { \downarrow \rho } ) \bigg ) . } } \end{array}
\bar { \sigma } _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { R } = \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \sigma \right) \cdot r _ { R } = \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot \left( g \cdot r _ { P } \right) = g \cdot \left( \sigma _ { j } ^ { \ddag } \cdot r _ { P } \right)
\begin{array} { r l } { \sin x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } } & { { } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + { \frac { x ^ { 9 } } { 9 ! } } - \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } & { = - m _ { 1 } \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v _ { j } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) \partial _ { v _ { i } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } \} , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + m _ { 1 } \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } - 2 } v _ { i } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } \} , \partial _ { v _ { j } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + m _ { 1 } ( m _ { 1 } - 2 ) \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v _ { i } v _ { j } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 4 , 0 ) } \} , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \Big \| | \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } v | \| A _ { F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , s ) } \| _ { H _ { x } ^ { s } } \Big \| _ { L _ { v } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \Big \| | \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } v | \| A _ { F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , s ) } \| _ { H _ { x } ^ { s } } \Big \| _ { L _ { v } ^ { 2 } } \| \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \Big \| ( v \cdot ( \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } v ) ) \| A _ { F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 4 , s ) } \| _ { H _ { x } ^ { s } } \Big \| _ { L _ { v } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) \big ( \mathcal { J } n _ { 1 } ^ { 2 } + \mathcal { K } n _ { 2 } ^ { 2 } \big ) - \psi ^ { 2 } } \\ & { - \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \left( n _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } \right) \left( \tilde { \mathcal { J } } + \tilde { \mathcal { K } } \right) \right) ^ { - 1 } \left( ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) \big ( \mathcal { J } n _ { 1 } ^ { 2 } \mathscr { A } + \mathcal { K } n _ { 2 } ^ { 2 } \mathscr { B } + \mathcal { J } \mathcal { K } \mathscr { C } \big ) - \psi ^ { 2 } \mathscr { D } \right) } \\ & { + \mathscr { O } ( \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 4 } ) \, , } \end{array}
{ \cal M } ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow W _ { S } ^ { - } W _ { P } ^ { + } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { 1 6 } \overline { { { \xi } } } _ { i j } ( s , t ) F _ { i , \tau } ( s , t ) \right\} j _ { \mu } ( k , \bar { k } , \tau ) \overline { { { S } } } _ { j } ^ { \mu \beta } \epsilon _ { \beta } ( \overline { { { p } } } , P ) ^ { \ast } .
\kappa _ { \eta } ^ { - 1 } \circ \bar { R } _ { \eta } \circ \kappa _ { \eta } \left( \kappa _ { \eta } ^ { - 1 } \circ q ^ { - 1 } \circ \iota _ { \eta } \left( u \right) \right) \subset \kappa _ { \eta } ^ { - 1 } \circ q ^ { - 1 } \circ \iota _ { \eta } \left( \iota _ { \eta } ^ { - 1 } \circ \bar { T } _ { \eta } \circ \iota _ { \eta } \left( u \right) \right) \ ,
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } = } & { \left( \frac { ( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } k _ { j } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } } \right) } \end{array}
{ \underline { { A _ { \mu } ( x ) A _ { \nu } ( x ^ { \prime } ) } } } = \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { - i g _ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } + i 0 } } e ^ { - i k ( x - x ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \hat { X } _ { n + 1 | n } ^ { \infty } } { \partial \theta } = \frac { \partial ( \Phi - K _ { \infty } H ) } { \partial \theta } \hat { X } _ { n + 1 | n } ^ { \infty } + ( \Phi - K _ { \infty } H ) \frac { \partial \hat { X } _ { n + 1 | n } ^ { \infty } } { \partial \theta } + \frac { \partial K _ { \infty } } { \partial \theta } Y _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - D \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \log P ( \widehat { L } , t ) \right) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ < f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \left( 1 + \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \right) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ = \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \big ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } } & { { } = } & { \frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } - \vec { F } ^ { T } \cdot \vec { F } ^ { - T } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } _ { L } - \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \cdot \vec { F } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \Phi _ { m } } \Gamma ( \Phi ) + E _ { m n } ( \Phi + \gamma \frac { \partial } { \partial \Phi } ) \gamma _ { n p } ( \Phi ) \frac { \partial } { \partial \Phi _ { p } } = G _ { m } ( \Phi + \gamma \frac { \partial } { \partial \Phi } ) .
\begin{array} { r l } { F _ { C S } } & { = N ^ { 2 } F _ { C S } ^ { ( 0 ) } + { \mathcal O } ( \log N ) } \\ { F _ { C S } ^ { ( 0 ) } ( \lambda ^ { \prime } ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } d x ( 1 - x ) \log 2 \sin ( \pi \lambda ^ { \prime } x ) } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \left( 2 \zeta ( 3 ) - L i _ { 3 } ( e ^ { 2 i \pi \lambda ^ { \prime } } ) - L i _ { 3 } ( e ^ { - 2 i \pi \lambda ^ { \prime } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { ( 0 , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) = } & { \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i f ( \tau ) \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } + \frac { m } { 4 } \right) } e ^ { \pi i g ( \tau ) \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } - \frac { m } { 4 } \right) } e ^ { 2 \pi i m x } } \\ { = } & { \sum _ { m \in \mathbb { Z } } e ^ { \pi i \left( \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) m ^ { 2 } } e ^ { 2 \pi i m \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 8 } + x \right) } } \\ { = } & { \theta \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { i j } ^ { ( n + 1 ) } } & { = t _ { i j } ^ { ( n ) } t _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { r } t _ { i k } ^ { ( \alpha ) } t _ { k j } = \lambda _ { j } t _ { i j } ^ { ( \alpha ) } + a _ { j } t _ { i j + 1 } ^ { ( \alpha ) } = \lambda _ { j } A ( j , i - j - 1 ) L ( \alpha - ( i - j ) , j , i - j ) + } \\ & { + a _ { j } A ( j + 1 , i - j - 2 ) L ( \alpha - ( i - j - 1 ) , j + 1 , i - j - 1 ) = } \\ & { = A ( j , i - j - 1 ) \left( \lambda _ { j } h _ { \alpha - ( i - j ) } ( \lambda _ { j } , \dots , \lambda _ { j } ) + h _ { \alpha - ( i - j ) + 1 } ( \lambda _ { j + 1 } , \dots , \lambda _ { i } ) \right) = } \\ & { = A ( j , i - j - 1 ) h _ { \alpha - ( i - j ) + 1 } ( \lambda _ { j } , \dots , \lambda _ { i } ) = } \\ & { = A ( j , i - j - 1 ) L ( \alpha - ( i - j ) + 1 , i , i - j ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { p q r s } ^ { R / I , R / I } = } & { { } \sum _ { \alpha } d _ { p q \alpha } ^ { R / I } c _ { r s \beta } ^ { R / I } } \\ { e _ { p q r s } = } & { { } W _ { p q r s } ^ { R , R } - W _ { p q r s } ^ { I , I } } \\ { f _ { p q r s } = } & { { } W _ { p q r s } ^ { R , I } + W _ { p q r s } ^ { I , R } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } \partial _ { x ^ { l } } F ( m , x ) \partial _ { x ^ { k } } \Sigma ^ { { k , l } } ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; s ) ] d m d x d s = } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } F ( m , x ) \partial _ { x ^ { k } , x ^ { l } } ^ { 2 } [ \Sigma ^ { k , l } p _ { V } ] ( m , x ; s ) d m d x d s { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F ( m , m , \tilde { x } ) \partial _ { x ^ { k } } \left[ \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } \right] ( m , m , \tilde { x } ; s ) d m d \tilde { x } d s } . } \end{array}
\eta ( \alpha ) u ^ { \beta ( \alpha ) } ( - \vec { p } ) = - ( - 1 ) ^ { \alpha } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } \gamma ^ { 5 } u ^ { \alpha \, * } ( \vec { p } ) \, , \qquad e _ { \mu } ^ { - \ell * } ( - \vec { q } ) = - R _ { \mu \nu } e _ { \nu } ^ { \ell } ( \vec { q } ) \, ,
\begin{array} { r l } & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \gamma _ { 0 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = \gamma _ { 0 } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \gamma _ { x } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \gamma _ { x } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( { \cal K } \gamma _ { y } { \cal K } ^ { - 1 } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \gamma _ { y } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ( \gamma _ { z } ) ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - \gamma _ { z } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { x } \gamma _ { 0 } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = i \gamma _ { x } \gamma _ { 0 } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { 0 } \gamma _ { x } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = i \gamma _ { 0 } \gamma _ { x } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { y } \gamma _ { 0 } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = i \gamma _ { y } \gamma _ { 0 } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { 0 } \gamma _ { y } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = i \gamma _ { 0 } \gamma _ { y } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { x } \gamma _ { y } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - i \gamma _ { x } \gamma _ { y } , } \\ & { ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) [ { \cal K } ( i \gamma _ { y } \gamma _ { x } ) { \cal K } ^ { - 1 } ] ( \sigma _ { y } \otimes \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } = - i \gamma _ { y } \gamma _ { x } , } \end{array}
( G _ { 1 } , G _ { 2 } , S _ { \mathrm { ~ N ~ } } ) \mapsto ( G _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ } } , G _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ x ~ } } , S _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } )
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 1 } ( t ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { \mathrm { w h e n ~ } X _ { 1 } ( t ) = X _ { 2 } ( t ) , } \\ { 1 } & { \mathrm { w h e n ~ } X _ { 1 } ( t ) > X _ { 2 } ( t ) , } \\ { 2 } & { \mathrm { w h e n ~ } X _ { 1 } ( t ) < X _ { 2 } ( t ) ; } \end{array} \right. } \\ { \epsilon _ { 2 } ( t ) } & { = } & { \operatorname* { m i n } \{ X _ { 1 } ( t ) , X _ { 2 } ( t ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { \tilde { p } } | \mathbf { \tilde { c } } ) \equiv } & { { } \, \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \vec { r } ) \Lambda _ { \mathbf { \tilde { c } } } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } . } \end{array}
t _ { \Omega \Sigma } ^ { ( 2 ) } { } ^ { \Pi \Gamma } { } ^ { \Delta \Lambda } + t _ { \Delta \Lambda } ^ { ( 2 ) } { } ^ { \Pi \Gamma } { } ^ { \Omega \Sigma } - t _ { \Pi \Gamma } ^ { ( 2 ) } { } ^ { \Delta \Lambda } { } ^ { \Omega \Sigma } = 0 \, .
\begin{array} { r l r } { T _ { 0 0 } } & { { } = } & { - \frac { 2 } { \sqrt { - g } } \frac { \delta \hat { S } } { \delta g ^ { 0 0 } } = \frac { 2 \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - \left( \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I - P ) \tilde { \mu } _ { n } } & { = ( I - P ) \mu - ( I - P ) \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) } \\ & { = ( I - P ) \mu - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) + P \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) } \\ & { = ( I - P ) \mu - \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) + \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) } \\ & { = ( I - P ) \mu } \\ & { = \tilde { \mu } ^ { \star } - \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } b , } \\ { ( I - P ) u } & { = u - \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G u } \\ & { = u - \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } b , } \end{array}
\alpha = \frac { \mu _ { \mathrm { 0 } } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { \partial V } { \partial \psi } \bigg ( \frac { V } { 2 \pi ^ { 2 } R _ { \mathrm { 0 } } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \frac { d p } { d \psi } ,
w _ { 0 } ^ { ( l ) } ( r , r ^ { \prime } ; m ) = \frac 2 { \pi ^ { 2 } } r r ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d k k ^ { 2 } \frac { j _ { l } ( k r ) j _ { l } ( k r ^ { \prime } ) } { 2 \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \; , \quad \Lambda \to \infty
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { { } \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \bigg ( e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { \pi } \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } { 2 m _ { g } \overline { { v } } } \mathrm { e r f } \big ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) . } \\ { = } & { { } \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \eta _ { d } ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { S } ^ { i } ( t + 1 ) } & { { } = P _ { S } ^ { i } ( 0 ) \prod _ { j \in \partial i } \theta ^ { j \to i } ( t + 1 ) } \\ { P _ { R } ^ { i } ( t + 1 ) } & { { } = P _ { R } ^ { i } ( t ) + \gamma ^ { i } P _ { I } ^ { i } ( t ) } \\ { P _ { I } ^ { i } ( t + 1 ) } & { { } = 1 - P _ { S } ^ { i } ( t + 1 ) - P _ { R } ^ { i } ( t + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { z } \operatorname* { m i n } ( d _ { e } ( a , z ) + 2 e ( z , b ) , 1 ) } & { \leq d _ { e } ( a , c ^ { \prime } ) + 2 e ( c ^ { \prime } , b ) } \\ & { \leq r + \frac { 2 } { 4 } \varepsilon + 2 e ( c ^ { \prime } , b ) } \\ & { \leq r + \frac { 2 } { 4 } \varepsilon + 2 \frac { 1 } { 4 } \varepsilon } \\ & { \leq r + \varepsilon . } \end{array}
\left\langle \phi + \tau u \cdot \nabla \phi , \frac { \partial q } { \partial t } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot ( u \phi ) , q \right\rangle + { \left\langle \tau u \cdot \nabla \phi , u \cdot \nabla q \right\rangle } = 0 , \quad \forall \phi \in V .
\int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 n } e ^ { - a x ^ { 2 } } \, d x = { \frac { 2 n - 1 } { 2 a } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 ( n - 1 ) } e ^ { - a x ^ { 2 } } \, d x = { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n + 1 } } } { \sqrt { \frac { \pi } { a ^ { 2 n + 1 } } } } = { \frac { ( 2 n ) ! } { n ! 2 ^ { 2 n + 1 } } } { \sqrt { \frac { \pi } { a ^ { 2 n + 1 } } } }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } ) + \varepsilon _ { 0 } , } \\ { \mu ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) } & { { } = \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i , x } ( t ) } & { { } = w _ { x } ( t ) \bar { v } _ { i , x } ( t - 1 ) + \epsilon _ { i , x } ( t ) , } \\ { v _ { i , y } ( t ) } & { { } = w _ { y } ( t ) \bar { v } _ { i , y } ( t - 1 ) + \epsilon _ { i , y } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal { E } } ^ { ( 5 , 0 ) } ( R ) } & { = \frac { 4 } { 3 } \Big ( \frac { 1 9 } { 3 0 } - 2 \ln \alpha - \ln k _ { 0 } \Big ) \sum _ { i , X } Z _ { X } \langle \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { i X } ) \rangle } \\ & { + \Big ( \frac { 1 6 4 } { 1 5 } + \frac { 1 4 } { 3 } \ln \alpha \Big ) \langle \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { 1 2 } ) \rangle - \frac { 1 4 } { 3 } \frac { 1 } { 4 \pi } \Big \langle \frac { 1 } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } } \Big \rangle _ { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \xi = \lambda e _ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } \left( 2 ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) \mathbf z _ { i } + \| \mathbf z _ { i } \| ^ { 2 } e _ { 2 } - 2 ( e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) \mathbf z _ { i } - \| \mathbf z _ { i } \| ^ { 2 } e _ { 1 } + e _ { 1 } \right) } } \\ & { = } & { \left( \lambda + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } \| \mathbf z _ { i } \| ^ { 2 } \right) e _ { 2 } + 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) \mathbf z _ { i } \right) + \left( 1 - \lambda - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } \| \mathbf z _ { i } \| ^ { 2 } \right) e _ { 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p _ { n } } & { = r ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { m = n } P _ { n } ^ { m } ( \cos \theta ) ( a _ { m n } \cos m \phi + { \tilde { a } } _ { m n } \sin m \phi ) } \\ { \Phi _ { n } } & { = r ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { m = n } P _ { n } ^ { m } ( \cos \theta ) ( b _ { m n } \cos m \phi + { \tilde { b } } _ { m n } \sin m \phi ) } \\ { \chi _ { n } } & { = r ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { m = n } P _ { n } ^ { m } ( \cos \theta ) ( c _ { m n } \cos m \phi + { \tilde { c } } _ { m n } \sin m \phi ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \varepsilon } \left( B _ { 1 } ( 0 ) \right) } & { \leq \int _ { B _ { 1 } ^ { n + 1 } ( 0 ) \cap A _ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon } W ( u _ { \varepsilon } ) d \mathcal H ^ { n + 1 } + | \xi _ { \varepsilon } \left( B _ { 1 } ( 0 ) \right) | + \mu _ { \varepsilon } \left( B _ { 1 } ( 0 ) \setminus A _ { \varepsilon } \right) } \\ & { \leq ( N - 1 ) \alpha \omega _ { n } + C \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { ( i , h ) \in \Psi _ { k , \ell } } w _ { i , h } ^ { 2 } \left| \epsilon _ { i , h } ^ { 2 } - \sigma _ { i , h } ^ { 2 } \right| \le \frac { 1 } { 2 } \sum _ { ( i , h ) \in \Psi _ { k , \ell } } w _ { i , h } ^ { 2 } \sigma _ { i , h } ^ { 2 } + \frac { 7 } { 3 } \log \left( 4 k ^ { 2 } H ^ { 2 } L / \delta \right) , } \end{array}
\varphi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) = \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } u ^ { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } } \tau ^ { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } - 1 } e ^ { - ( u \tau ) ^ { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } } } .
\phi _ { m } ( \xi ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \frac { w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } } { \sqrt { 2 \pi \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } } \exp \left( - \frac { ( \xi - v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \phi = g \mathrm { ~ o ~ r ~ } h .
\begin{array} { r } { \phi _ { b n d } = \frac { 2 d w } { d w + \delta _ { x } } \phi _ { 1 } + \frac { - d w } { d w + 2 \delta _ { x } } \phi _ { 2 } + \frac { 2 \delta _ { x } ^ { 2 } } { ( d w + \delta _ { x } ) ( d w + 2 \delta _ { x } ) } \phi _ { w a l l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { K - 1 } } & { = \frac { \pi _ { K } } { p } - \frac { 1 - p } { p } \pi _ { K + 1 } } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } \pi _ { m } + \frac { p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } - \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } \pi _ { m } - \frac { 1 - p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } } \\ & { = \pi _ { m } . } \end{array}
Q _ { p _ { \alpha } , r } = \frac { 3 } { 2 } p _ { \alpha } \frac { ( \vec { b } _ { 0 } \times \nabla \phi ) _ { r } } { B _ { 0 } } + \frac { 5 } { 2 } p _ { \alpha } V _ { \parallel \alpha } \frac { \left( \vec { b } _ { 0 } \times \nabla A _ { \parallel } \right) _ { r } } { B _ { 0 } } + \kappa _ { \parallel \alpha } \frac { \left( \vec { b } _ { 0 } \times \nabla A _ { \parallel } \right) _ { r } } { B _ { 0 } } \cdot \nabla T _ { \alpha } ,