harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } & { \leqslant \sqrt { T } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } d t } } \\ & { = \sqrt { T } \sqrt { - \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla f ( x ( t ) ) , x ^ { \prime } ( t ) \rangle d t } } \\ & { = \sqrt { T } \sqrt { - \int _ { 0 } ^ { T } ( f \circ x ) ^ { \prime } ( t ) d t } } \\ & { = \sqrt { T } \sqrt { f ( x ( 0 ) ) - f ( x ( T ) ) } } \\ & { \leqslant \sqrt { T \left( \operatorname* { s u p } _ { X _ { 0 } } f - \operatorname* { i n f } _ { \mathbb { R } ^ { n } } f \right) } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { c u r l } ; D ) = \{ \boldsymbol { u } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( D ) : \nabla \times \boldsymbol { u } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( D ) \} , } \\ & { } & { \boldsymbol { H } ( d i v ; D ) = \{ \boldsymbol { u } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( D ) : \nabla \cdot \boldsymbol { u } \in L ^ { 2 } ( D ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, v _ { k l } ^ { 4 } \, \sin ^ { 4 } \frac { \theta _ { k l } } { 2 } } \, , } \\ { \nu _ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } v _ { k l } ^ { 3 } } \, \ln \frac { \pi } { \theta _ { k l } } \, , } \\ { m _ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { m _ { k } m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { v _ { k l } } & { { } \approx } & { \left| \vec { v } _ { k } - \vec { v } _ { l } \right| \, , } \\ { \Lambda _ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { \pi } { \theta _ { k l } } \, . } \end{array}
{ \footnotesize \begin{array} { r l } & { - \beta [ f ] = \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } ( 1 - q ) ^ { 2 } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } ( 1 - q ^ { 2 } ) - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 } m ^ { 2 } } \\ & { + \int D z \ l o g ( 2 \cosh ( \beta \tilde { H } ( z ) ) ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { 3 } } & { [ { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } ] = 0 \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { [ { \mathbf E } \times \mathbf { n } ] = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \mathbf V _ { i \perp } = \mathbf { 0 } \qquad } & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { n + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } \left( p _ { n } + \sigma F _ { \phi } ( \widetilde { A } x _ { n } ) \right) } \\ { x _ { n + 1 } } & { { } = G _ { \theta } \left( x _ { n } - \tau A ^ { \dagger } p _ { n } \right) } \end{array}
\underline { { K } } ( \underline { { \Omega } } , \underline { { \Omega } } ^ { \prime } ) = E [ \underline { { \phi } } - \underline { { m } } ( \underline { { \Omega } } ) ) ( \underline { { \phi } } ^ { \prime } - \underline { { m } } ( \underline { { \Omega } } ^ { \prime } ) ) ]
\mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } , m } ( \boldsymbol \ell ) : = \left\{ j \in \left\{ 1 , \dots , N \right\} : \exists \, \boldsymbol z \in \mathbb Z ^ { d } \ \mathrm { w i t h } - m \boldsymbol 1 \leq \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } \odot \boldsymbol x _ { j } - \boldsymbol \ell + \boldsymbol z \leq m \boldsymbol 1 \right\}
\mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { o p } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hbar \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \; \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime } } ^ { + } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime } }
\textnormal { C r e s t p h a s e } : \theta \! \in \! \bigg [ 0 , \frac { \pi } { 2 } - \epsilon \Gamma \bigg ] \cup \bigg [ \frac { 3 \pi } { 2 } + \epsilon \Gamma , 2 \pi \bigg ] , \, \, \textnormal { T r o u g h p h a s e } : \theta \! \in \! \bigg [ \frac { \pi } { 2 } - \epsilon \Gamma , \frac { 3 \pi } { 2 } + \epsilon \Gamma \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { p q } ^ { ( n , < ) } } & { { } = \sum _ { i a , j b , k } \sum _ { t = 0 } ^ { n } \binom { n } { t } ( - 1 ) ^ { t } \epsilon _ { k } ^ { n - t } ( p k | i a ) \eta _ { i a , j b } ^ { ( t ) } ( q k | j b ) } \\ { \Sigma _ { p q } ^ { ( n , > ) } } & { { } = \sum _ { i a , j b , c } \sum _ { t = 0 } ^ { n } \binom { n } { t } \epsilon _ { c } ^ { n - t } ( p c | i a ) \eta _ { i a , j b } ^ { ( t ) } ( q c | j b ) . } \end{array}
\boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) \equiv \left[ \hat { R } _ { z } ( \phi ) \hat { R } _ { y } ( \theta ) \right] \boldsymbol { \Phi } _ { \mathbf { k } _ { 0 } } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } ) e ^ { - i \omega t } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { a ( t ) } & { { } = ( 1 - \lambda ) ^ { t H ( t ) } } \\ { \gamma ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t = 0 } \\ { 1 - \gamma } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t > 0 } \end{array} \right. \ . } \\ { \phi ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t = 0 \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ t = T + 1 } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad 0 < t < T + 1 } \end{array} \right. \ . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { c } } & { { } = } & { \frac { 4 \Omega _ { p } ^ { 2 } \Omega _ { C } ^ { 4 } \left( 1 + \Gamma ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { \left[ \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma \right) \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) + \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma \right] ^ { 3 } } \frac { \gamma ^ { 2 } \Omega _ { L O } ^ { 2 } } { \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } } - { \frac { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) + \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) - \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } } } & { = { \frac { 2 \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } } } \\ { [ \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { e x s e c } ( \theta ) ] \, [ \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { e x c s c } ( \theta ) ] } & { = \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) } \end{array} }
{ \partial _ { t 1 } } ( \rho { u _ { \alpha } } { u _ { \beta } } ) = { u _ { \alpha } } { \partial _ { t 1 } } ( \rho { u _ { \beta } } ) + { u _ { \beta } } { \partial _ { t 1 } } ( \rho { u _ { \alpha } } ) - { u _ { \alpha } } { u _ { \beta } } { \partial _ { t 1 } } ( \rho ) \approx - { u _ { \alpha } } { \partial _ { \beta 1 } } ( \rho c _ { s } ^ { 2 } ) - { u _ { \beta } } { \partial _ { a 1 } } ( \rho c _ { s } ^ { 2 } ) + { u _ { \alpha } } F _ { \beta } ^ { ( 1 ) } + { u _ { \beta } } F _ { \alpha } ^ { ( 1 ) }
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } } & { { } \sim \frac { 2 ( 1 + \zeta ) } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } + 5 } \\ { n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } } & { { } \sim \frac { 2 \zeta ( 1 + \zeta ) } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } + 1 , } \end{array}
- [ Z _ { \mu } , Z _ { \nu } ] ^ { 2 } = { \cal S } \equiv 2 b ^ { 2 } r ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } \, ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) + ( a ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) \, y ^ { 2 } + b ^ { 2 } x ^ { 2 } - 4 a b x y .
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial \mathcal { D } } \hat { w } ( x , t , k ) d k } & { = - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k } \\ & { \quad - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { - 1 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } F _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } } \\ & { \quad + \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } F _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - H ( r ) ^ { - \alpha } d t ^ { 2 } + H ( r ) ^ { \alpha } d \vec { x } \cdot d \vec { x } \; , \; \; \phi = \beta \, \ln H ( r ) \; , \; \; A _ { 0 } = \gamma \, H ( r ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { f _ { - } ( r ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \varepsilon - V ( r _ { N } ) - m _ { e } c ^ { 2 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \times } \\ { g _ { - } ( r ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \varepsilon - V ( r _ { N } ) + m _ { e } c ^ { 2 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \, \frac { \sin ( k ( \varepsilon ) r ) } { k ( \varepsilon ) r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { s h o r t } } ^ { \mathrm { t a r g e t } } ( { \textrm { e e 4 G - H D N N P } } ) } & { = } & { E _ { \mathrm { r e f } } - E _ { \mathrm { e l e c } } - E _ { \mathrm { 2 b } } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { a t o m s } } } E _ { i } ( \mathrm { \mathbf { G } } _ { i } , Q _ { i } , \mathrm { \mathbf { V } } _ { i } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( d x ) ^ { 2 } - ( d X ) ^ { 2 } } & { = d x _ { j } \, d x _ { j } - { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { r } } } { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { s } } } \, d x _ { r } \, d x _ { s } } \\ & { = \left( \delta _ { r s } - { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { r } } } { \frac { \partial X _ { M } } { \partial x _ { s } } } \right) \, d x _ { r } \, d x _ { s } } \\ & { = 2 e _ { r s } \, d x _ { r } \, d x _ { s } } \end{array} }
( \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 2 } } ) \, g _ { 2 } ^ { * } ( \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } } ) \: = \: ( \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } } ) \, h ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) _ { \alpha } \, h ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) _ { \beta } ^ { - 1 }
\left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 1 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( G , B , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) + R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( B , G , C ) > 2 } \\ { P ( G , G ) = 1 } \\ { P ( G , B ) = 0 } \\ { P ( B , G ) = 1 } \\ { P ( B , B ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ E ~ q ~ . ~ ~ ~ ( ~ ) ~ h ~ o ~ l ~ d ~ s ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { R _ { 1 } ( G , G , D ) < 1 } \\ { R _ { 1 } ( B , G , C ) > R _ { 1 } ( B , G , D ) } \\ { \frac { b } { c } > \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , G , C ) - R _ { 1 } ( G , G , D ) } , \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( B , G , C ) - R _ { 1 } ( B , G , D ) } \right\} } \\ { R _ { 1 } ( G , B , C ) \leq R _ { 1 } ( G , B , D ) { \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad } \frac { b } { c } < \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , B , C ) - R _ { 1 } ( G , B , D ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle { \boldsymbol x } , { \texttt B } { \mathcal G } { \texttt B } ^ { T } { \boldsymbol x } \rangle } & { = ( z s ( z ) + 1 ) \langle { \boldsymbol x } , { \boldsymbol x } \rangle + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = ( \mathfrak { s } ( z ) + z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } ) \langle { \boldsymbol x } , { \boldsymbol x } \rangle + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { j } | \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } | \psi _ { j } \rangle = \langle \psi _ { j } | \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \psi _ { j } \rangle ^ { * } = c _ { j g } ^ { * } c _ { j e } . } \end{array}
V ( \phi , \sigma ) = \frac { 1 } { 4 \lambda } \left( M ^ { 2 } - \lambda \sigma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + V ^ { ( 1 ) } ( \phi ) ,
h _ { \mu \nu } ^ { \prime \prime } + 3 \mathcal { H } h _ { \mu \nu } ^ { \prime } + h _ { \mu \nu | \lambda } ^ { \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } | \lambda } - 2 K h _ { \mu \nu } = 0 .
\begin{array} { r } { \lambda _ { l } = \frac { c } { f _ { 0 } + F S R / 2 } = 1 5 2 7 . 8 8 \ n m } \\ { \lambda _ { r } = \frac { c } { f _ { 0 } - F S R / 2 } = 1 5 7 2 . 7 6 \ n m } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } = } & { { } 2 m _ { 1 } b - a ( c + m _ { 2 } ) } \\ { \dot { b } = } & { { } \frac { c - b } { \tau } } \\ { \epsilon \dot { c } = } & { { } a ( m _ { 2 } - c ) + c ( 1 - c ) } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { m \in \{ m _ { * } , \ldots , M \} } \kappa _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \leq \frac 4 3 \kappa _ { m _ { * } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m _ { * } } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, .
G ^ { E } ( 2 \pi n T , k ) = \pi \, C _ { \cal { O } } { \frac { ( 2 \pi T n ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } { 4 } } \left[ \psi \left( 1 + { \frac { n } { 2 } } - { \frac { i k } { 4 \pi T } } \right) + \psi \left( 1 + { \frac { n } { 2 } } + { \frac { i k } { 4 \pi T } } \right) \right] \, .
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { \left. \begin{array} { l } { \bar { U } ( c _ { m 1 } ) } \\ { \bar { U } ( c _ { m 2 } ) } \end{array} \! \right\} = \frac { 9 } { 1 6 } \bigg [ D ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 6 } \bigg ( q \pm \frac { 3 } { 2 } G \bigg ) ^ { \! 2 } \bigg ] \! \bigg ( q \mp \frac { 1 } { 2 } G \bigg ) ^ { \! 2 } . } } \end{array}
\varphi _ { t } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { ( \nu \geq r > 1 ) } \\ { 0 , \left[ - \epsilon \frac { B _ { 1 } ^ { ( \nu ) } } { B _ { 0 } ^ { ( r ) } } \frac { ( r - 1 ) ! } { ( \nu - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / ( r - \nu ) } , } & { ( r > \nu > 1 ) } \\ { \left[ - \epsilon \frac { B _ { 1 } ^ { \prime } } { B _ { 0 } ^ { ( r ) } } ( r - 1 ) ! \right] ^ { 1 / ( r - 1 ) } , } & { ( \nu = 1 , r > 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { h _ { \mathrm { m a n t l e } } = \left\{ \begin{array} { c l } { C { _ { p } } T _ { \mathrm { m i d } } } & { \mathrm { i f } \; r > r _ { \mathrm { l } } } \\ { C { _ { p } } \left[ T _ { \mathrm { m i d } } + \left( T _ { \mathrm { c } } - T _ { \mathrm { m i d } } \right) \left( \displaystyle \frac { r _ { \mathrm { l } } - r } { r _ { \mathrm { l } } - r _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 2 } \right] } & { \mathrm { i f } \; r < r _ { \mathrm { l } } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { 1 } ^ { ( 0 ) } } & { { } = | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | + | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | , } \\ { \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | - \frac { 1 } { 2 } | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | , } \\ { \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } } & { { } = | \Uparrow \rangle \langle \Downarrow | , } \\ { \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } } & { { } = | \Downarrow \rangle \langle \Uparrow | , } \\ { \hat { 1 } ^ { ( k ) } } & { { } = | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | + | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | - \frac { 1 } { 2 } | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } } & { { } = | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } } & { { } = | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | } \end{array}
( - \log u ) _ { s \bar { t } } = \frac { 1 } { m + 1 } \bigl ( \log G \bigr ) _ { s \bar { t } } + \frac { 1 } { m + 1 } \bigl ( \log H \bigr ) _ { s \bar { t } } - X \bigl ( \frac { \phi ^ { \prime } } { \phi } \bigr ) \bigl ( \log X \bigr ) _ { s \bar { t } } - \Bigl ( \frac { 1 } { X } \bigl ( \frac { \phi ^ { \prime } } { \phi } \bigr ) + \bigl ( \frac { \phi ^ { \prime } } { \phi } \bigr ) ^ { \prime } \Bigr ) X _ { s } X _ { \bar { t } } .
W ^ { \mu \nu } ( Q ) = \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } \, T _ { q } ^ { \sigma } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; s _ { T } ) \int d x ^ { \prime } \, \bar { q } ( x ^ { \prime } ) \ H _ { \sigma } ^ { \mu \nu } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x ^ { \prime } ; Q ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \arcsin ( - x ) } & { = - \arcsin ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( - x ) } & { = \pi - \operatorname { a r c c o s } ( x ) } \\ { \arctan ( - x ) } & { = - \arctan ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( - x ) } & { = \pi - \operatorname { a r c c o t } ( x ) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( - x ) } & { = \pi - \operatorname { a r c s e c } ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( - x ) } & { = - \operatorname { a r c c s c } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P _ { n } } & { = C _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { F _ { n - 1 } } { g _ { n } } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) T _ { n } ( f ) } \\ & { = C _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { F _ { n - 1 } } { g _ { n } } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) \left( T _ { n } ( g ) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu _ { a _ { 1 } } \cdots \nu _ { a _ { j } } \left( b _ { a _ { j + 1 } } \tau _ { a _ { j + 1 } } + \cdots + b _ { a _ { s } } \tau _ { a _ { s } } \right) ( \tau _ { a _ { j + 1 } } , \dots , \tau _ { a _ { s } } ) ^ { s - j - 2 } } \\ & { \quad = \nu _ { a _ { 1 } } \cdots \nu _ { a _ { j } } \left( b _ { a _ { 1 } } \tau _ { a _ { 1 } } + \cdots + b _ { a _ { s } } \tau _ { a _ { s } } \right) ( \tau _ { a _ { 1 } } , \dots , \tau _ { a _ { s } } ) ^ { s - j - 2 } } \\ & { \quad = \nu _ { a _ { 1 } } \cdots \nu _ { a _ { j } } ( \# \Gamma - N _ { \Gamma } ) ( \tau _ { 1 } , \dots , \tau _ { s } ) ^ { s - j - 2 } , } \end{array}
\omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) = \int \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \cdot \textup { d } \boldsymbol { \eta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { e l } = \frac { 1 } { 2 } c \ s ^ { 2 } \frac { | \boldsymbol { \xi } | ^ { 4 } } { \sigma } } & { \textup { f o r } s < s _ { \textup { c r } } } \\ { \omega _ { \textup { c r } } = \frac { 1 } { 2 } c \ s _ { c r } ^ { 2 } \frac { | \boldsymbol { \xi } | ^ { 4 } } { \sigma } } & { \textup { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
S _ { s t r } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { { \cal M } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \xi \sqrt { - g } g ^ { m n } ( \xi ) \partial _ { m } \hat { X } ^ { \underline { { { m } } } } ( \xi ) \partial _ { n } \hat { X } ^ { \underline { { { n } } } } ( \xi ) \eta _ { \underline { { { m } } } \underline { { { n } } } } .
A = { \frac { 1 } { K } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } { \sqrt { 1 + 2 ^ { - 2 i } } } \approx 1 . 6 4 6 7 6 0 2 5 8 1 2 1 0 7 .
\int _ { 0 } ^ { 1 } { f ( x ) d x } = \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sum _ { n = 0 } ^ { N } { { \frac { { { \left( { - 1 } \right) } ^ { n } } + 1 } { { { \left( { 2 M } \right) } ^ { n + 1 } } \left( { n + 1 } \right) ! } } { { \left. { { f ^ { \left( n \right) } } \left( x \right) } \right| } _ { x = { \frac { m - 1 / 2 } { M } } } } } } ,
\begin{array} { r } { ( J h v _ { 1 } ) _ { i , j } ^ { n + 1 } - ( J h v _ { 1 } ) _ { i , j } ^ { n } = - \frac { \Delta t } { \Delta \xi _ { 1 } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \left( H _ { 1 } - H _ { 2 } \right) - \frac { \Delta t } { \Delta \xi _ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \left( H _ { 3 } - H _ { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { u } = } & { { \nu _ { e } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { d ^ { g } } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { u ^ { g } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + u ^ { b } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ & { e ^ { + } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } , } \end{array}
\Psi ^ { a b } [ A ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ] \; = \; \mathrm { T r } \left( T ^ { a } { \cal P } e ^ { i \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } A } T ^ { b } { \cal P } e ^ { i \int _ { x _ { 2 } } ^ { x _ { 1 } } A } \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \, \partial _ { t } \, \bar { E } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) } & { = } & { \left( \, \partial _ { t } \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \right) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) } \\ & { } & { + \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \left( \, \partial _ { t } \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Phi ( f ( T ) ) \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } , \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } \right\rangle } & { \geq f ( x ) \left\langle \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } , \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } \right\rangle } \\ & { + C _ { x } \left\langle \left[ \Phi \left( T - x I _ { \mathcal { H } } \right) \right] \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } , \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } \right\rangle } \\ & { + \left\langle \Phi \left( f \left( \left\vert T - x I _ { \mathcal { H } } \right\vert \right) \right) \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } , \widehat { k } _ { \mu , \mathcal { K } } \right\rangle } \end{array}
u _ { z \_ i , j ( \phi = \pi ) } ^ { ( 1 ) } - u _ { z \_ i , j ( \phi = \pi ) } ^ { ( 2 ) } + \Biggl ( \frac { U _ { i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } - U _ { i , j ( \phi = \pi ) } } { \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } } - \frac { U _ { i , j ( \phi = \pi ) } - U _ { i , j - 1 } ^ { ( 2 ) } } { \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } } \Biggr ) \Delta \eta _ { i } = 0 .
\left. \begin{array} { l c } { { \mathrm { t a c h y o n } } } & { { | \Omega \rangle _ { N S } \cong c e ^ { - \phi } , } } \\ { { \mathrm { m a s s l e s s ~ N S } } } & { { \psi _ { - 1 / 2 } ^ { \mu } | \Omega \rangle _ { N S } \cong \psi ^ { \mu } c e ^ { - \phi } , } } \\ { { \mathrm { m a s s l e s s ~ R } } } & { { | \vec { s } \rangle _ { R } \cong c e ^ { - \phi / 2 } \Theta _ { \vec { s } } , } } \end{array} \right.