harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \mathbf g } _ { T } , \vec { \theta } _ { T } - \mathbf x _ { T } \rangle } & { \le \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf x _ { T } ) - \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T } ) + \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \mathbf x _ { T } , \widetilde { \mathbf z } _ { T } ) } \\ & { \le \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) - \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T } ) + \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \mathbf x _ { T } , \widetilde { \mathbf z } _ { T } ) } \\ & { \quad + \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { T } - \vec { \theta } _ { T - 1 } \rVert _ { 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T - 1 } } + ( \eta _ { T } ^ { - 1 } - \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } ) \ln \frac 1 { \beta _ { T - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { S I R } } & { { } = \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { S _ { r e s i d u a l } } + \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { I _ { r e s i d u a l } } + \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { R _ { r e s i d u a l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { m , n } ( \omega _ { s } , \omega _ { p } ) = } & { { } \frac { \sum _ { \alpha , \beta , \gamma } \int d \vec { r } \: \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } ) \widetilde { E } _ { m , \alpha } ( \vec { r } ) \widetilde { E } _ { n , \beta } ( \vec { r } ) E _ { p , \gamma } ( \vec { r } ) } { ( \omega _ { p } - \omega _ { s } - \widetilde { \omega } _ { m } ) \widetilde { \omega } _ { m } ( \omega _ { s } - \widetilde { \omega } _ { n } ) \widetilde { \omega } _ { n } } . } \end{array}
\left| { \frac { f ( b _ { n } ) - f ( x _ { 0 } ) } { b _ { n } - x _ { 0 } } } \right| > { \frac { 1 / n - 0 } { 1 / ( { \sqrt { 5 } } \cdot n ^ { 2 } ) } } = { \sqrt { 5 } } \cdot n \neq 0
H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle = 2 \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } H _ { n - 1 } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle - 2 ( n - 1 ) H _ { n - 2 } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle .
L _ { e f f } = \sum _ { q } ^ { } \left( { \cal A } _ { q } \cdot \bar { \chi } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \chi \cdot \bar { q } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } q + \frac { m _ { q } } { M _ { W } } \cdot { \cal C } _ { q } \cdot \bar { \chi } \chi \cdot \bar { q } q \right) \ + \ O \left( \frac { 1 } { m _ { \tilde { q } } ^ { 4 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( u ^ { \mathrm { i n } } - \ell ^ { \mathrm { o u t } } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } & { < \Big ( u ^ { \mathrm { i n } } - \big ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } - f _ { 1 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \big ) \Big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \\ { } & { = \big ( d _ { i } + f _ { 1 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) + \big ( c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) + d _ { i } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) + D _ { i } \cdot 0 } \\ { } & { = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) + d _ { i } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) + D _ { i } \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { = c ( F ^ { * } ) - c ( F _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { x y } = \frac { \Sigma _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \bar { x } ) ( y _ { i } - \bar { y } ) } { \sqrt { \Sigma _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \bar { x } } ) ^ { 2 } \sqrt { \Sigma _ { i = 1 } ^ { N } ( y _ { i } - \bar { y } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } , \mathbb { P } _ { 1 } ) = \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } ( A _ { j } ) , \mathbb { P } _ { 1 } ( A _ { j } ) ) + \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } ( { \boldsymbol A } \backslash A _ { j } ) , \mathbb { P } _ { 1 } ( { \boldsymbol A } \backslash A _ { j } ) ) = \mathbb { D } _ { \mathsf { K L } } ( \mathbb { P } _ { 0 } ( A _ { j } ) , \mathbb { P } _ { 1 } ( A _ { j } ) )
\begin{array} { r l } { \left( a \diamond b \right) \diamond c - a \diamond \left( b \diamond c \right) } & { = \left( a \bullet b + a \oslash b \right) \diamond c - a \diamond \left( b \bullet c + b \diamond c \right) } \\ & { = \left( a \bullet b \right) \bullet c + \left( a \oslash b \right) \bullet c + \left( a \bullet b \right) \oslash c + \left( a \oslash b \right) \oslash c } \\ & { \quad - a \bullet \left( b \bullet c \right) - a \bullet \left( b \oslash c \right) - a \oslash \left( b \bullet c \right) - a \oslash \left( b \oslash c \right) } \\ & { = \left( a \bullet b \right) \bullet c - a \bullet \left( b \bullet c \right) + \left( a \bullet c \right) \oslash b + \left( a \bullet b \right) \oslash c + a \bullet \left( b \oslash c \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } C \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } C { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 2 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { + 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } C \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 4 ( C + 1 ) \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } L ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 2 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { R e s } } _ { v _ { m } \rightarrow q ^ { L _ { n } } v _ { n } } \Bigg \{ \frac { { \mathrm { d } } v _ { m } } { 2 \pi i v _ { m } } D _ { m } ^ { 2 } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } \frac { \left( v _ { j } - q ^ { L _ { i } } v _ { i } \right) \left( v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } { \left( v _ { j } - v _ { i } \right) \left( q ^ { L _ { i } } v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } \Bigg \} = - \frac { 1 - q ^ { L _ { n } ^ { \prime } } } { \left( 1 - q ^ { L _ { n } } \right) \left( 1 - q ^ { L _ { m } } \right) } \cdot } \\ & { \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { L _ { i } ^ { \prime } } v _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m - 1 } \right] ^ { 2 } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m - 1 } \frac { \left( v _ { j } - q ^ { L _ { i } ^ { \prime } } v _ { i } \right) \left( v _ { i } - q ^ { L _ { j } ^ { \prime } } v _ { j } \right) } { \left( v _ { j } - v _ { i } \right) \left( q ^ { L _ { i } ^ { \prime } } v _ { i } - q ^ { L _ { j } ^ { \prime } } v _ { j } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { u = [ 2 \Theta _ { 0 } [ [ \omega _ { 1 , 6 } F _ { 4 } \left( \xi _ { 4 } \right) + \omega _ { 2 , 6 } F _ { 5 } \left( \xi _ { 5 } \right) + \omega _ { 3 , 6 } ( t ) ] [ \omega _ { 1 , 6 } F _ { 4 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 4 } \right) [ \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 4 } F _ { 1 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 4 } F _ { 2 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 1 , 3 } \omega _ { 3 , 4 } F _ { 3 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] ^ { 2 } + \omega _ { 1 , 6 } F _ { 4 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 4 } \right) [ \omega _ { 1 , 4 } F _ { 1 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \omega _ { 2 , 4 } F _ { 2 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 1 , 3 } ^ { 2 } \omega _ { 3 , 4 } F _ { 3 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] + \omega _ { 2 , 6 } F _ { 5 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 5 } \right) [ \omega _ { 1 , 5 } F _ { 1 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \omega _ { 2 , 5 } F _ { 2 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 1 , 3 } ^ { 2 } \omega _ { 3 , 5 } F _ { 3 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] + \omega _ { 2 , 6 } [ \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 5 } F _ { 1 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 5 } F _ { 2 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 3 } \omega _ { 3 , 5 } F _ { 3 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] ^ { 2 } F _ { 5 } ^ { \prime \prime } \left( \xi _ { 5 } \right) ] - [ \omega _ { 1 , 6 } [ \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 4 } F _ { 1 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 4 } F _ { 2 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 3 } \omega _ { 3 , 4 } F _ { 3 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] F _ { 4 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 4 } \right) + \omega _ { 2 , 6 } [ \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 5 } F _ { 1 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 5 } F _ { 2 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 2 } \right) } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 3 } \omega _ { 3 , 5 } F _ { 3 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 3 } \right) ] F _ { 5 } ^ { \prime } \left( \xi _ { 5 } \right) ] ^ { 2 } ] ] / [ [ \omega _ { 1 , 6 } F _ { 4 } \left( \xi _ { 4 } \right) + \omega _ { 2 , 6 } F _ { 5 } \left( \xi _ { 5 } \right) + \omega _ { 3 , 6 } ( t ) ] ^ { 2 } ] . } \end{array}
\left( \frac { 1 } { 2 } ( s _ { \alpha } ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } - c ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( 2 - c ^ { 2 } ) - \omega ^ { 2 } = 0 \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { C } = \sum _ { k } \left| P _ { n + 1 , k } \cdot O _ { n } - \psi _ { k } \right| ^ { 2 } + \lambda _ { P } \sum _ { k } \left| P _ { n + 1 , k } - P _ { n , k } \right| ^ { 2 } + \lambda _ { O } \left| O _ { n + 1 } - O _ { n } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | y | ^ { p } D _ { y } [ \phi ] ( x ) } & { = ( p - 1 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y + O ( | y | ^ { p + 2 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \bigg [ J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \Theta _ { 1 } ^ { + } ( y ) ) - J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \bigg ] ( \phi _ { 2 3 } ^ { + } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) ( \phi _ { 2 3 } ^ { + } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \bigg [ J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \Theta _ { 2 } ^ { - } ( y ) ) - J _ { p } ^ { \prime \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \bigg ] ( \phi _ { 2 3 } ^ { - } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } J _ { p } ^ { \prime \prime } ( - \nabla \phi ( x ) \cdot y ) ( \phi _ { 2 3 } ^ { - } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \mathrm { E } ( t ) } { d t ^ { 2 } } + \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( t ) } { \gamma } \frac { d \mathrm { E } ( t ) } { d t } + \left( c _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma } \frac { d \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( t ) } { d t } \right) \mathrm { E } ( t ) = 0 .
G \left( z , \overline { { { z } } } ; z ^ { \prime } , \overline { { { z ^ { \prime } } } } \right) = - \ln { \left| z - z ^ { \prime } \right| } = - { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \left( z - z ^ { \prime } \right) \left( \overline { { z } } - \overline { { { z ^ { \prime } } } } \right) } \; .
[ Y _ { 1 } ] \cdot [ Y _ { 2 } ] = [ { \mathcal { O } } _ { Y _ { 1 } } \otimes _ { { \mathcal { O } } _ { X } } ^ { \mathbf { L } } { \mathcal { O } } _ { Y _ { 2 } } ] \in K ( { \mathrm { C o h ( X ) } } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ( \alpha ) } & { = - \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \int _ { \pi / d } ^ { \infty } \mathrm { d } q \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } } \right) ^ { p } \cos ( \alpha q d ) } \\ & { = S _ { 1 } \frac { \sin ( | \alpha | \pi ) } { | \alpha d | } - S _ { 2 } \frac { \cos ( \alpha \pi ) } { | \alpha d | ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { | \alpha | ^ { 3 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \mathrm { v } _ { \alpha \beta } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta } \tilde { \mathrm { v } } ^ { \gamma \delta } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathrm { v } } ^ { \alpha \beta } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } \mathrm { v } _ { \gamma \delta } } } \end{array}
r _ { + } = R _ { 0 } \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 3 ( 1 - b ) \omega } } \, , \qquad r _ { - } = R _ { 0 } \left( - \frac { 1 } { 6 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \, \rho R _ { 0 } \sqrt { \frac { 3 \omega } { ( 1 - b ) } } \right) ^ { 1 / ( 1 - b ) } .
M ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \left| \begin{array} { l } { M } \end{array} \right| } \left[ \begin{array} { l l } { i \omega + \frac { 1 - \mathscr { L } } { \tau _ { 0 } } } & { - \frac { \mathscr { L } G } { I _ { 0 } L } } \\ { \frac { I _ { 0 } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } } & { i \omega + \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { f _ { l x 0 } = } & { \sqrt { \frac { ( f _ { t z } ^ { 2 } - f _ { t y } ^ { 2 } ) ( q ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } } \\ { f _ { l y 0 } = } & { \sqrt { \frac { ( f _ { t z } ^ { 2 } - f _ { t x } ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } + r ^ { 2 } } + \frac { 1 0 U _ { t } ( \alpha _ { x } - \alpha _ { z } ) } { 4 \pi ^ { 2 } m ( p ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) \alpha _ { x } } } } \\ { f _ { l z 0 } = } & { \sqrt { \frac { ( f _ { t y } ^ { 2 } - f _ { t x } ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } + \frac { 1 0 U _ { t } ( \alpha _ { x } - \alpha _ { y } ) } { 4 \pi ^ { 2 } m ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) \alpha _ { x } } } } \end{array}
L ( \boldsymbol { M _ { s } } ) = \underbrace { \frac { 1 } { d } \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \| \boldsymbol { M _ { s } } - \hat { \boldsymbol { M _ { s } } } \| } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ I ~ t ~ e ~ m ~ } } + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \left( \mu _ { ( k ) } ^ { 2 } ( \boldsymbol { M _ { s } } ) + \sigma _ { ( k ) } ^ { 2 } ( \boldsymbol { M _ { s } } ) - \ln \sigma _ { ( k ) } ^ { 2 } ( \boldsymbol { M _ { s } } ) - 1 \right) } _ { \mathrm { ~ D ~ i ~ s ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ I ~ t ~ e ~ m ~ } }
P _ { \alpha } = \frac { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \alpha } | ^ { 2 } } \, d r } { \iiint _ { V _ { i } } \sqrt { | u _ { \alpha } | ^ { 2 } + | u _ { \beta } | ^ { 2 } + | u _ { \gamma } | ^ { 2 } } \, d r }
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { i \ne j } \left[ F ( R _ { i j } ) - f ( r _ { i j } ) \right] ^ { 2 } } \\ { \textrm { w h e r e } \qquad f ( r ) } & { { } = 1 - ( 1 + 2 ^ { a / b } - 1 ) ( r / \sigma ) ^ { a } ) ^ { - b / a } } \\ { \textrm { a n d } \qquad F ( R ) } & { { } = 1 - ( 1 + 2 ^ { A / B } - 1 ) ( R / \sigma ) ^ { A } ) ^ { - B / A } } \end{array}
{ S _ { 4 } } + \beta _ { 1 } \overline { { { { \left( { \frac { { \partial { u ^ { * } } } } { { \partial { x ^ { * } } } } } \right) } ^ { 2 } } \left( { \frac { { { \partial ^ { 2 } } { p ^ { * } } } } { { \partial { x ^ { * 2 } } } } } \right) } } + \beta _ { 2 } \overline { { \left( \frac { \partial ^ { 3 } u ^ { * } } { \partial x ^ { * 3 } } \right) \left( \frac { \partial u ^ { * } } { \partial x ^ { * } } \right) ^ { 2 } } } + \beta _ { 3 } \overline { { \left( \frac { \partial ^ { 3 } u ^ { * } } { \partial x ^ { * 3 } } \right) \left( \frac { \partial u ^ { * } } { \partial y ^ { * } } \right) ^ { 2 } } } = { \beta _ { 4 } } \frac { { { S _ { 3 } } } } { { R { e _ { \lambda } } } } + { \cal O } ( T e r m 6 ) + { \cal O } ( T e r m 7 ) ,
\begin{array} { r } { { \bf x } _ { n } \equiv - \frac { 1 } { m _ { n } } \sum _ { 1 } ^ { n - 1 } m _ { N } { \bf x } _ { N } , ~ ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ \sum _ { 1 } ^ { n } m _ { N } { \bf x } _ { N } = 0 . } \end{array}
H _ { 3 } ( 0 ) = \frac { C _ { 3 } ( 0 ) } { \rho _ { 3 } ( 0 ) } = \frac { \rho _ { 3 } ( 0 ) - 3 \rho _ { 1 } ( 0 ) \rho _ { 2 } ( 0 ) + 2 \rho _ { 1 } ^ { 3 } ( 0 ) } { \rho _ { 3 } ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } { S ( f ^ { r } 1 _ { \Omega } 1 _ { \Theta ^ { c } } ) ( A ) } & { = S _ { r } ( f 1 _ { \Omega } 1 _ { \Theta ^ { c } } ) ( A ) ^ { r } \leq K ^ { - 1 } \delta ^ { r } \rho ^ { r } , } \\ { S ( f ^ { r } 1 _ { \Theta ^ { c } } ) ( A ) } & { = S _ { r } ( f 1 _ { \Theta ^ { c } } ) ( A ) ^ { r } > \rho ^ { r } . } \end{array}
\langle N \rangle = C \pi \left( \frac { 3 } { 4 n _ { \mathrm { H e } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { L } { k _ { \mathrm { B } } T } \sqrt { \frac { v _ { D } ^ { 2 } + v _ { M } ^ { 2 } } { v _ { D } ^ { 2 } } } \cdot \frac { E _ { M } } { E _ { V } } \cdot \frac { 1 } { \alpha } \right) ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { \alpha ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) e ^ { - \kappa _ { d } t } - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } \right\} \frac { ( ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) e ^ { - \kappa _ { d } t } + \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) ^ { x } } { x ! } \kappa _ { E } e ^ { - \kappa _ { E } t } \mathrm d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { n } ^ { \prime } ( f _ { 0 } Y _ { 0 } , f _ { 1 } \bar { Y } _ { 1 } \epsilon , \dots f _ { n - 1 } \bar { Y } _ { n - 1 } \epsilon ) } \\ & { = \sum _ { k \geq 0 } \sum _ { k _ { 0 } + \bar { k } _ { 1 } + \dots \bar { k } _ { n - 1 } = k } N ^ { k } m _ { n } ^ { ( k _ { 0 } , \bar { k } _ { 1 } , \dots , \bar { k } _ { n - 1 } ) } ( Y _ { 0 } , \dots , \bar { Y } _ { n - 1 } \epsilon ) \partial _ { z } ^ { \bar { k } _ { n - 1 } } ( \dots ( \partial _ { z } ^ { \bar { k } _ { 0 } } ( ( \partial _ { z } ^ { k _ { 0 } } f _ { 0 } ) f _ { 1 } ) ) \dots f _ { n - 1 } ) } \end{array}
\mathbf { U } ^ { \mathrm { i n t } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } _ { L } \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { l } \geq 0 } \\ { \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { l } < 0 \leq S _ { L } ^ { s } } \\ { \mathbf { U } _ { L } ^ { \star \star } \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { s } < 0 \leq S ^ { \star } } \\ { \mathbf { U } _ { R } ^ { \star \star } \, } & { \mathrm { i f } \quad S ^ { \star } < 0 \leq S _ { R } ^ { s } } \\ { \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { R } ^ { s } < 0 \leq S _ { R } ^ { l } } \\ { \mathbf { U } _ { R } \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { R } ^ { l } < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \gamma = N \bar { P } \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \Psi _ { q } ^ { 2 q ^ { \prime } } \Psi _ { p } ^ { 2 q ^ { \prime } } } { d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } \bigg | \int _ { - \frac { L _ { z } } 2 } ^ { \frac { L _ { z } } 2 } \int _ { - \frac { L _ { y } } 2 } ^ { \frac { L _ { y } } 2 } \frac { \mathrm { d } y \mathrm { d } z } { \left[ 1 - \frac 2 { r _ { p } } y \Phi _ { p } - \frac 2 { r _ { p } } z \Theta _ { p } + \frac 2 { r _ { p } ^ { 2 } } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \right] ^ { ( q ^ { \prime } + 1 ) / 2 } } \bigg | ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } Q _ { j } ^ { i } ( \eta , T ; t ) = - Q _ { k } ^ { i } ( \eta , T ; t ) q _ { j } ^ { k } \left( X _ { t } ^ { \eta } , t \right) , \quad Q _ { j } ^ { i } ( \eta , T ; T ) = \delta _ { i j }
\frac { \partial P _ { p } } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { H ^ { 3 / 2 } ( \phi ) } { 2 \pi } \, \frac { \partial } { \partial \phi } \Bigl ( \frac { H ^ { 3 / 2 } ( \phi ) } { 2 \pi } P _ { p } \Bigr ) + \frac { V ^ { \prime } ( \phi ) } { 3 H ( \phi ) } \, P _ { p } \right) + 3 H ( \phi ) P _ { p } \ .
\begin{array} { r l } { \delta } & { \! \begin{array} { r l } { [ t ] } & { = \sigma _ { G } ( x , y , z ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } ( \frac { ( x - z ) ^ { + } } { 2 } , ( y - z ) ^ { + } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } ( \frac { ( 0 . 5 6 - 0 . 3 6 ) ^ { + } } { 2 } , ( 0 . 8 7 - 0 . 3 6 ) ^ { + } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } ( \frac { 0 . 2 0 } { 2 } , 0 . 5 1 ) } \\ & { = 0 . 1 0 . } \end{array} } \end{array}
T ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) = \int \left( K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime \prime } } ) \right) ^ { \dagger } K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } } ) d { \bf r ^ { \prime \prime } } .
\begin{array} { r l r } { { \bf p } ( \tau ) } & { = } & { { \bf p } _ { 0 } - { \bf A } ( \tau ) + \hat { k } \frac { { \bf A } ^ { 2 } ( \tau ) - 2 { \bf p } _ { 0 } \cdot { \bf A } ( \tau ) } { 2 ( \gamma _ { 0 } - { \bf p } _ { 0 } \cdot \hat { k } ) } } \\ { \gamma ( \tau ) } & { = } & { \gamma _ { 0 } + \frac { { \bf A } ^ { 2 } ( \tau ) - 2 { \bf p } _ { 0 } \cdot { \bf A } ( \tau ) } { 2 ( \gamma _ { 0 } - { \bf p } _ { 0 } \cdot \hat { k } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \tilde { \lambda } ^ { 2 } + ( 2 \tilde { \gamma } + \tilde { \nu } ) ^ { 2 } \right] \left[ \tilde { \gamma } ^ { 2 } + \mu \left( 1 - \frac { 2 } { a } J _ { 0 } ( a ) J _ { 1 } ( a ) \right) \right] } \\ & { - 2 \mu J _ { 1 } ^ { 2 } ( a ) \left[ \tilde { \lambda } - \frac { 1 } { 4 } \tilde { \nu } ^ { 2 } + 2 \mu \left[ 1 - J _ { 0 } ( a ) ^ { 2 } \right] a ^ { - 2 } \right] = 0 . } \end{array}
- \frac { \hat { y } _ { 2 3 } } { \hat { y } _ { 1 2 } \, \hat { y } _ { 3 4 } } \, ( \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } c _ { n } ( s , t ) v ^ { n } = ( 1 + v ) ( s + v ( 1 + s - t ) + v ^ { 2 } ) O ( \frac { 1 } { ( \hat { y } _ { 1 2 } \, \hat { y } _ { 3 4 } ) ^ { 2 } } )
\mathrm { i } \omega B _ { z } - \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } B _ { z } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = - C _ { \gamma } \frac { \mathrm { d } B _ { z } } { \mathrm { d } x } + C _ { \alpha } \frac { \mathrm { d } B _ { y } } { \mathrm { d } x } \, , \, [ 8 p t ]
\nu _ { \mu } \leftrightarrow \nu _ { e } ^ { \prime } , \quad \nu _ { \mu } \leftrightarrow \nu _ { e } , \quad \nu _ { \mu } ^ { \prime } \leftrightarrow \nu _ { e } , \quad \nu _ { \mu } ^ { \prime } \leftrightarrow \nu _ { e } ^ { \prime } ,
\bar { T } \bigl ( A ( x _ { 1 } ) . . . A ( x _ { n } ) \bigr ) = \bar { T } \bigl ( A ( x _ { k + 1 } ) . . . A ( x _ { n } ) \bigr ) \bar { T } \bigl ( A ( x _ { 1 } ) . . . A ( x _ { k } ) \bigr )