harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { d E } { d t } = 0 , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad E = \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \frac { 1 } { 2 } m _ { k } \langle v ^ { 2 } \rangle _ { k } \ . } \end{array}
v _ { r } = \frac { \cos ( \omega _ { m } t - \frac { \omega _ { m } } { c } x _ { r } ) } { \frac { 2 \omega _ { 0 0 } C _ { s } } { \beta \omega _ { m } ^ { 2 } L _ { V } } + \cos ( \omega _ { m } t - \frac { \omega _ { m } } { c } x _ { r } ) } c .
\mathbf { H } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { H } _ { G W } } & { 0 } \\ { \mathbf { H } _ { S P - G W } } & { \mathbf { H } _ { S P - M T } } \\ { 0 } & { \mathbf { H } _ { M T } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { X _ { 0 0 } } & { X _ { 0 1 } } \\ { X _ { 1 0 } } & { X _ { 1 1 } } \end{array} \right) ^ { \dagger } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { m } } \\ { - \nu I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { X _ { 0 0 } } & { X _ { 0 1 } } \\ { X _ { 1 0 } } & { X _ { 1 1 } } \end{array} \right) ^ { \sharp } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \nu I _ { m } } \\ { I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { m } } \\ { - \nu I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { X _ { 0 0 } ^ { \sharp } } & { - X _ { 1 0 } ^ { \sharp } } \\ { X _ { 0 1 } ^ { \sharp } } & { X _ { 1 1 } ^ { \sharp } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \nu I _ { m } } \\ { I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { m } } \\ { - \nu I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { - X _ { 1 0 } ^ { \sharp } } & { - \nu X _ { 0 0 } ^ { \sharp } } \\ { X _ { 1 1 } ^ { \sharp } } & { - \nu X _ { 0 1 } ^ { \sharp } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { X _ { 1 1 } ^ { \sharp } } & { - \nu X _ { 0 1 } ^ { \sharp } } \\ { \nu X _ { 1 0 } ^ { \sharp } } & { X _ { 0 0 } ^ { \sharp } . } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u } { \partial s } = - \nu \frac { \partial ^ { 4 } u } { \partial x ^ { 4 } } - \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } - u \frac { \partial u } { \partial x } , } \\ & { u ( 0 , s ) = u ( \mathsf { L } , s ) = 0 , } \\ & { \frac { \partial u } { \partial x } ( 0 , s ) = \frac { \partial u } { \partial x } ( \mathsf { L } , s ) = 0 , } \\ & { u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , } \end{array}
p \left( \widehat { S } _ { z , z } \left( \omega \right) , \lambda \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) \right) = \lambda \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) \mathrm { e } ^ { - \lambda \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) \, \widehat { S } _ { z , z } \left( \omega \right) } ,
\operatorname* { m i n } _ { \{ z _ { i } \} _ { i \in U \cup ( n + U ) } } \sum _ { \substack { i , j \in U \cup ( n + U ) \, c _ { i j } ^ { U } \neq 0 } } \sqrt { c _ { i j } ^ { U } } \left( \frac { 1 } { c _ { i j } ^ { U } } - \| z _ { i } - z _ { j } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \lambda \sum _ { \substack { i , j \in U \cup ( n + U ) \, c _ { i j } ^ { U } = 0 } } \| z _ { i } - z _ { j } \| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. g _ { t , a _ { t } } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } & { = \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf p _ { t } \rangle } \\ & { = \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf x _ { t } \rangle + \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf p _ { t } - x _ { t } \rangle } \\ & { = \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf x _ { t } \rangle + \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf - \gamma _ { t } \mathbf x _ { t } + \gamma _ { t } \mathbf e _ { t } \rangle } \\ & { \le \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf x _ { t } \rangle + \gamma _ { t } \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf e _ { t } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { 2 } } & { = D v _ { 2 } ^ { 4 } + 6 \sqrt { D } v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } - 6 \sqrt { D } v _ { 2 } ^ { 4 } + 9 v _ { 1 } ^ { 4 } - 1 8 v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 9 v _ { 2 } ^ { 4 } } \\ & { = 1 8 v _ { 1 } ^ { 4 } - 6 v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { D } - 3 2 v _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + 6 v _ { 2 } ^ { 4 } \sqrt { D } + 1 8 v _ { 2 } ^ { 4 } } \\ & { = 2 B . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \bf Y } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { + } } & { \tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { - } } \\ { \tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { + } } & { \tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right) ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \alpha _ { j } = } & { \frac { i } { 2 \hbar } \sum _ { k } \mathcal { E } e ^ { - i \Delta _ { j k } t } d _ { j k } \alpha _ { k } } \\ & { + \frac { i } { 2 \hbar } \sum _ { k ^ { \prime } } \mathcal { E } ^ { * } e ^ { i \Delta _ { j k ^ { \prime } } t } d _ { j k ^ { \prime } } \alpha _ { k ^ { \prime } } - \frac { \Gamma _ { j } } { 2 } \alpha _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( x ^ { i } x ^ { j } ) x ^ { k } } & { { } = x ^ { i } ( x ^ { j } x ^ { k } ) , } & { } & { { } { \mathrm { ( p o w e r - a s s o c i a t i v e ~ p r o p e r t y ) } } } \\ { x ^ { m + n } } & { { } = x ^ { m } x ^ { n } , } \\ { ( x ^ { m } ) ^ { n } } & { { } = x ^ { m n } . } \end{array}
\left( \omega ^ { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) \left( \omega ^ { 2 } - \frac { c ^ { 4 } k ^ { 4 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 4 } k ^ { 4 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \dot { S } } & { = - \beta _ { 0 } \left( 1 - m ( h ) \right) s ( t ) I S + \nu R \, , } \\ { \dot { I } } & { = \beta _ { 0 } \left( 1 - m ( h ) \right) s ( t ) I S - \gamma I \, , } \\ { \dot { R } } & { = \gamma I - \nu R \, , } \\ { \dot { h } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { \tau } ( I - h ^ { \prime } ) \, , } \\ { \dot { h } } & { = \frac { 1 } { \tau } ( h ^ { \prime } - h ) \, , } \\ { m ( h ) } & { = m _ { \mathrm { m a x } } - \frac { m _ { \mathrm { m a x } } } { h _ { \mathrm { t h r e s } } } \epsilon \log \left( 1 + \exp \left( \frac { 1 } { \epsilon } \left( h _ { \mathrm { t h r e s } } - h \right) \right) \right) \, , } \\ { s ( t ) } & { = 1 + a \, \mathrm { c o s } ( \omega t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { s - t } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s \leq \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { s - t } e ^ { \alpha ( s ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq \! \frac { C _ { \sigma } ( t ) } { 5 } \Big ( \! 1 \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \! \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! \Big ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( X | U _ { k } , Q ) = \frac { 1 } { 2 } \log 2 \pi e \left( \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } } \right) , ~ ~ h ( X | U _ { 1 } , U _ { 2 } , Q ) = \frac { 1 } { 2 } \log 2 \pi e \left( \xi ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) \right) } \end{array}
R ( g ) - { \frac { 4 } { D - 3 } } ( \nabla \tilde { \phi } ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { ( D - 3 ) ! } } e ^ { - 4 { \frac { \sqrt { D - 2 } } { D - 3 } } \tilde { \phi } } F _ { D - 3 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I B M } _ { T } ^ { p , q } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } ) } \\ { = } & { \left[ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \cdot \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( \alpha ^ { p } \otimes \alpha ^ { q } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } } \\ { = } & { \left[ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \cdot \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \alpha ^ { p + q } \right] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } \quad \mathrm { ( b y ~ T h e o r e m ~ ~ ( v i ) ) } } \\ { = } & { \left[ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \cdot \left( \left( n ( n \! - 1 ) \right) \cdot \alpha ^ { p + q } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { p + q } } \quad \mathrm { ( b y ~ T h e o r e m ~ ~ ( v ) ) } } \\ { = } & { \left( \alpha ^ { p \! + q } \right) ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } \quad \mathrm { ( b y ~ T h e o r e m ~ ~ ( i x ) ) } } \\ { = } & { \alpha \quad \mathrm { ( b y ~ T h e o r e m ~ ~ ( x ) ) } . } \end{array}
\sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) = \frac { m ! n ! } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { A } } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { z } ( \rho , \phi , z , t ) } & { = A J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { H _ { \rho } ( \rho , \phi , z ) } & { = A \frac { a \pi } { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } d } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \cos ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { H _ { \phi } ( \rho , \phi , z ) } & { = A \frac { i \pi \nu a ^ { 2 } } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } d \rho } J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \cos ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { E _ { \rho } ( \rho , \phi , z ) } & { = - A \frac { \omega \mu \nu a ^ { 2 } } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \rho } J _ { \nu } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \\ { E _ { \phi } ( \rho , \phi , z ) } & { = A \frac { i \omega \mu a } { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { a } \rho ) \sin ( \frac { \pi z } { d } ) e ^ { - i \nu \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 2 , 1 } ^ { \tau _ { h } } } & { \colon = } & { \prod _ { E \in \Gamma ^ { [ 1 ] } \setminus \Gamma _ { \infty } ^ { [ 1 ] } } M / \mathbb { Z } u _ { ( \partial ^ { - } E , E ) } } \\ { M _ { 2 , 2 } ^ { \tau _ { h } } } & { \colon = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { \ell } M / \big ( ( \mathbb { Q } u _ { ( \partial ^ { - } E , E ) } + L ( A _ { j } ) ) \cap M \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ^ { ( 1 ) } , \dots , t ^ { ( d ) } ) } & { = \frac { 1 } { z ^ { ( 1 ) } + \dots + z ^ { ( d ) } } \left[ \sum _ { g = 1 } ^ { G } ( z ^ { ( i _ { g , 1 } ) } + \dots + z ^ { ( i _ { g , d _ { g } } ) } ) A ^ { ( O _ { g } ) } ( \textbf { t } ^ { ( O _ { g } ) } ) \right] } \\ & { = \sum _ { g = 1 } ^ { G } w ^ { ( O _ { g } ) } ( \textbf { t } ) A ^ { ( O _ { g } ) } ( \textbf { t } ^ { ( O _ { g } ) } ) = : A ^ { ( O ) } ( t ^ { ( 1 ) } , \dots , t ^ { ( d ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { \int _ { \partial D _ { b } } \big ( v _ { b } ( { \pmb x } ) { \beta } _ { a b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) { \beta } _ { a b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) = 0 \qquad { \forall \, { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } ) , { \pmb v } ( { \pmb x } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 } \mathbb { E } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k ^ { \ast } } , x ^ { k ^ { \ast } } ) ] } \\ { = } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) I _ { k } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma - 2 \lambda - \kappa } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \{ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { 1 } ) - \mathbb { E } [ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { K + 1 } ) ] \} - \frac { \rho ( \gamma - \rho ) } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] I _ { k } } \\ & { + \frac { 3 \rho \lambda } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] I _ { k } + \frac { 2 \rho L _ { f } } { \gamma - \kappa } } \\ { \leq } & { \frac { ( \rho + 4 \lambda ) D } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } + \frac { \sqrt { K } D } { \alpha \sqrt { \eta } \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } + \frac { 2 \rho L _ { f } } { \gamma - \kappa } } \\ & { + \frac { \rho } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \Big [ - \frac { \gamma - \rho } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 3 \lambda } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } \Big ] I _ { k } } \\ { \leq } & { \frac { \eta ( \rho + 4 \lambda ) D } { K } + \frac { \sqrt { \eta } D } { \sqrt { K } \alpha } + \frac { 2 \sqrt { \eta } \rho L _ { f } \alpha } { \sqrt { K } } + \frac { 6 \eta ^ { 2 } \rho \lambda ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ^ { 2 } m ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { r K ^ { 1 - \beta } } , } \end{array}
F ^ { a } = m \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \xi ^ { a } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + \Gamma ^ { a } { } _ { b c } { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { b } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { c } } { \mathrm { d } t } } \right) = g ^ { a k } \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { \xi } } ^ { k } } } - { \frac { \partial T } { \partial \xi ^ { k } } } \right) \, , \quad { \dot { \xi } } ^ { a } \equiv { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { a } } { \mathrm { d } t } } \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta \Vec { k } ^ { L , R } ( \Theta ) = - \sin \Theta \ \hat { p } + \cos \Theta \ \hat { n } - \sum _ { m = - 1 } ^ { m = 1 } } & { { } ( \eta _ { r _ { m } } ^ { L , R } \sin \theta _ { r _ { m } } ^ { L , R } + \eta _ { { t _ { m } } } ^ { L , R } \sin \theta _ { t _ { m } } ^ { L , R } ) \hat { p } } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ S ~ } ( f ) = \frac { \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { f } } { \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } - \mathrm { ~ R ~ P ~ S ~ } _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } ,
\bar { \alpha } ( r = 1 ) = \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { p } } < 1 \; , \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , \bar { \alpha } ) = 1 \; ,
\overline { { { \lambda _ { \uparrow L - } } } } \: \Lambda + \lambda _ { \uparrow L - } \: \overline { { { \Lambda } } } \; = \; 2 \: I _ { \uparrow } \: \hat { Y } _ { L } \: I _ { \downarrow } \: \hat { Y } _ { R } \: I _ { \uparrow } \: \left( T _ { [ 1 ] } ^ { ( 0 ) } \: T _ { [ 1 ] } ^ { ( 0 ) } \: \overline { { { T _ { [ 0 ] } ^ { ( - 1 ) } \: T _ { [ 0 ] } ^ { ( 0 ) } } } } \: + \: T _ { [ 0 ] } ^ { ( - 1 ) } \: T _ { [ 0 ] } ^ { ( 0 ) } \: \overline { { { T _ { [ 1 ] } ^ { ( 0 ) } \: T _ { [ 1 ] } ^ { ( 0 ) } } } } \right) \; .
J = \Im \left[ \hat { V } _ { u d } \hat { V } _ { c s } \hat { V } _ { u s } ^ { * } \hat { V } _ { c d } ^ { * } \right] = \Im \left[ \hat { V } _ { u d } \hat { V } _ { t b } \hat { V } _ { u b } ^ { * } \hat { V } _ { t d } ^ { * } \right] = \Im \left( D \right) ,
\begin{array} { r l } { \left\| { \sum _ { k \neq j } A _ { j k } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \left\| { \sum _ { k \neq j } ( A _ { j k } - p ) \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + p \left\| { \sum _ { k \neq j } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq \left\| { \sum _ { k \neq j } ( A _ { j k } - p ) \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + p \sqrt { n } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
{ \lambda = { \frac { r ^ { 2 } } { \left[ ( r + \eta _ { 1 3 } P _ { 1 3 } ) ( r + \eta _ { 2 4 } P _ { 2 4 } ) ( r + \eta _ { 5 6 } P _ { 5 6 } ) ( r + \eta _ { q } Q ^ { R K } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { h _ { i j } ^ { \textrm { H F } } ( t ) } & { { } = h _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( t ) - i \sum _ { k l } [ 2 w _ { i k j l } ( t ) - w _ { i k l j } ( t ) ] G _ { k l } ^ { < } ( t ) , } \\ { I _ { i j } ( t ) } & { { } = - i \sum _ { k l p } w _ { i k l p } ( t ) \mathcal { G } _ { l p j k } ( t ) , } \\ { h _ { i j k l } ^ { ( 2 ) , \textrm { H F } } ( t ) } & { { } = \delta _ { j l } h _ { i k } ^ { \textrm { H F } } ( t ) + \delta _ { i k } h _ { j l } ^ { \textrm { H F } } ( t ) , } \\ { \Psi _ { i j k l } } & { { } = \sum _ { p q r s } [ w _ { p q r s } ( t ) - w _ { p q s r } ( t ) ] \times } \\ { \times \bigg [ G _ { i p } ^ { > } ( t ) } & { { } G _ { r k } ^ { < } ( t ) G _ { j q } ^ { > } ( t ) G _ { s l } ^ { < } ( t ) - G _ { i p } ^ { < } ( t ) G _ { r k } ^ { > } ( t ) G _ { j q } ^ { < } ( t ) G _ { s l } ^ { > } ( t ) \bigg ] . } \end{array}
\frac { ( \mathcal P ^ { n + 1 } + \mathcal P _ { \dagger } ^ { n + 1 } ) - ( \mathcal P ^ { n } + \mathcal P _ { \dagger } ^ { n } ) } { \Delta t } = - \mathcal I _ { P } ^ { n + \frac 1 2 } - \mathcal I _ { P \dagger } ^ { n + \frac 1 2 } = 0 \, , \quad \forall n = 0 , 1 , \hdots , n _ { t } - 1 \, .
J _ { \mathcal { P } } = \frac { \mathrm { d } N _ { \mathcal { P } } } { \mathrm { d } \tau \mathrm { d } S } = \frac { 2 \varepsilon _ { 0 } c _ { 0 } | \mathcal { P } | ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { \mathcal { P } } } ,
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { N } \cdot \hat { s } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { L , L ^ { \prime } } \delta _ { S , S ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { 2 J ^ { \prime } + S + \mathcal { J } + N + L + s + s _ { 3 } + S ^ { \prime } } \left[ J , J ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { J } & { 1 } & { J ^ { \prime } } \\ { N ^ { \prime } } & { L } & { N } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { 1 } & { S ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } & { s _ { 3 } } & { s } \end{array} \right\} \sqrt { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) s ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) } . } \end{array}
B ^ { a _ { 1 } . . . a _ { 4 } } D _ { a _ { 1 } ^ { \prime } . . . a _ { 4 } ^ { \prime } } = \delta ( a _ { 1 } ^ { \prime } - a _ { 1 } ) . . . \delta ( a _ { 4 } ^ { \prime } - a _ { 4 } ) , \; \; \; a _ { n } ^ { \prime } \in C
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \mathcal { E } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { H } _ { \alpha } } \int _ { \mathbb { H } _ { 3 } } \int _ { \mathbb { B } _ { 3 } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \ \textup { d } x _ { 3 } \textup { d } x _ { 3 } ^ { \prime } \textup { d S } _ { \alpha } = } \end{array}
S _ { m } ( \rho > > 1 ) \simeq \left| \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { \frac { \epsilon } { s } } } \\ { { \frac { \epsilon } { s } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right| ,
\begin{array} { r l } { { \bf m } _ { i } = } & { { } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { j } \int d \tau e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \int d k e ^ { - k ^ { 2 } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } e ^ { i { \bf k } \cdot ( { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } ) } 2 \pi a J _ { 1 } ( k a ) \sigma _ { j } ( t ) } \\ { = } & { { } \frac { a } { 2 \pi } \sum _ { j } \int d \tau e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \int d k e ^ { - k ^ { 2 } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } J _ { 0 } \left( k \lvert { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } \rvert \right) J _ { 1 } ( k a ) \sigma _ { j } ( t ) } \end{array}
W _ { n } = T r \rho _ { n } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma , \tau } \int \prod _ { k = 1 } ^ { n } \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( \vec { p } _ { { \sigma 1 } k } , \vec { p } _ { \tau k } ) d ^ { 3 } p _ { k }
\tilde { \bf A } = \left[ \begin{array} { l l l l } { - 2 { \bf a } _ { 1 } ^ { \top } } & { 1 } & { - 2 d _ { 1 } } & { d _ { 1 } ^ { 2 } - \| { \bf a } _ { 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { - 2 { \bf a } _ { m } ^ { \top } } & { 1 } & { - 2 d _ { m } } & { d _ { m } ^ { 2 } - \| { \bf a } _ { m } \| ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { Q _ { k } } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } \sum _ { l } e ^ { i k a l } x _ { l } } \\ { \Pi _ { k } } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } \sum _ { l } e ^ { - i k a l } p _ { l } . } \end{array}
\frac { \partial \tilde { E } } { \partial t } + \frac { \partial ( \tilde { E } \; \overline { { u } } _ { j } ) } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial ( \tilde { p } \; \overline { { u _ { i } } } ) } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial ( \mu \overline { { S _ { i j } ^ { d } } } \overline { { u _ { i } } } ) } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial ( \tau _ { i j } ^ { s g s } \overline { { u _ { i } } } ) } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial Q _ { j } ^ { s g s } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \kappa \frac { \partial \tilde { T } } { \partial x _ { j } } ) ,
\begin{array} { r } { \psi ( r , \phi , \xi ) \approx \frac { r _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { 2 } { r _ { b } } \right) - \frac { r ^ { 2 } } { 4 } - g \frac { r _ { b } ^ { 2 } \cos \phi } { 8 } \left\{ \frac { r } { 4 } - r \log \left( \frac { 2 } { r _ { b } } \right) + \frac { r ^ { 3 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } ) = V _ { S } ^ { { ( 0 ) } } ( { \bf R } ) + \sum _ { I L } \chi _ { I L } \eta _ { I L } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \eta _ { I L } \left( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \right) \eta _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } , } \end{array}
p ( N | \hat { G } ) = \boldsymbol { \zeta } _ { N } ^ { T } \texttt { M L P } ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { \hat { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { \hat { N } } \texttt { M L P } \left( \mathbf { \hat { h } } _ { i } ^ { L } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { x } | ^ { 2 } d x = } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u | ^ { p - 1 } ) _ { x } | v | ^ { p + 1 } u \overline { { u } } _ { x } d x } \\ & { + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } ( | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { i , e } } { \partial t } + \nabla _ { \mathbf { x } } f _ { i , e } \cdot \mathbf { v } _ { i , e } \pm \frac { e } { m _ { i , e } } \nabla _ { \mathbf { v } } f _ { i , e } \cdot \left( \mathbf { E } + \frac { \mathbf { v } _ { i , e } } { c } \times \mathbf { B } \right) = \mathscr { C } ( f _ { i , e } ) . } \end{array}