harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Theta _ { j } ^ { i } ( { q } + { c } _ { \alpha } , { q } ) \equiv [ { \bf g } _ { j } ( { q } + { c } _ { \alpha } ) - { \bf g } _ { j } ( { q } ) ] \cdot { \bf g } ^ { i } ( { q } ) . \; \; \; \alpha = 0 , 1 , \ldots , b } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial \mathcal { T } } + \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \mathbf { E } _ { e } } - \hat { \mathbf { E } _ { v } } \right) + \frac { \partial } { \partial \eta } \left( \hat { \mathbf { F } _ { e } } - \hat { \mathbf { F } _ { v } } \right) + \frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \hat { \mathbf { G } _ { e } } - \hat { \mathbf { G } _ { v } } \right) = 0 \, \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { h ( X | U _ { k } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { 2 \pi e \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { k } } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { k } } ^ { 2 } } \right) = \frac { 1 } { 2 } \log 2 \pi e \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \frac { 1 - 2 ^ { - r _ { k } } } { \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi } & { = - \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } } \frac { M _ { X } ^ { * } } { M _ { X } } \frac { M _ { N } } { M _ { R } } \frac { M _ { R } ^ { * } - M _ { N } ^ { * } + M _ { X } ^ { * } } { M _ { N } ^ { * } - M _ { X } ^ { * } } , } \\ { \nu } & { = - \frac { M _ { R } } { M _ { N } \sigma _ { c } ^ { 2 } } \frac { M _ { N } ^ { * } - M _ { X } ^ { * } } { M _ { R } ^ { * } - M _ { N } ^ { * } + M _ { X } ^ { * } } , } \\ { \kappa } & { = \frac { 1 } { M _ { R } } ( M _ { R } ^ { * } - M _ { N } ^ { * } + M _ { X } ^ { * } ) . } \end{array}
( 1 - \beta ^ { 2 } ) \left( \stackrel { \circ } { \cal H } _ { e x } + \stackrel { \circ } { \cal H } _ { e y } \right) \; = \; \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \left( \stackrel { \circ } { \cal H } _ { e z } + \stackrel { \circ } { \cal H } _ { p } \right) .
\begin{array} { r } { G _ { f } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) = \sum _ { s } \overline { { G } } _ { f } \left( s \right) U \left( x _ { 1 } , s \right) \, U ^ { \dag } \left( x _ { 2 } , s \right) \quad , \quad \overline { { G } } _ { f } \left( s \right) = a \left( s \right) ^ { - 1 } \; . } \end{array}
U ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { \hbar \Omega _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) \Delta } \frac { [ 8 \Delta ^ { 2 } ( \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) ) - ( \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) - \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) ) ^ { 2 } ] ( \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) + 8 \Delta ^ { 2 } ) } { ( \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) - 8 \Delta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 6 4 \gamma _ { p } ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { a ( E _ { - } ) } & { { } = L ( - q _ { 0 } ( E _ { - } ) , q _ { 0 } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) = \int _ { - \sqrt { 2 E _ { - } } } ^ { \sqrt { 2 E _ { - } } } \frac { 2 ( 1 - E _ { - } ) + q ^ { 2 } } { \left[ ( 2 E _ { -- } q ^ { 2 } ) ( 4 - 2 E _ { - } + q ^ { 2 } ) \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { | Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 1 ) } | + | Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 2 ) } | } & { \leq C _ { M } [ | y - \hat { y } | | \nabla \hat { y } | + | \nabla ( y - \hat { y } ) | ] , } \\ { | Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 4 ) } | } & { \leq C _ { M } [ | y - \hat { y } | | \nabla \hat { y } | + | \nabla ( y - \hat { y } ) | ] ( \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 2 } } + \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 3 } } ) . } \end{array} \right.
\mathinner { \varepsilon _ { e } ^ { \perp } \mathopen { \left( k _ { 1 } \right) } } = \left\langle \mathinner { \tilde { D } \mathopen { \left( k _ { e } , \omega \right) } } \right\rangle / \left\langle \mathinner { \tilde { E } \mathopen { \left( k _ { e } , \omega \right) } } \right\rangle
\frac { 1 } { 2 } \int _ { \epsilon ^ { 2 } R ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 3 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - k ^ { 2 } \pi t / R ^ { 2 } } = R ^ { - 4 } { \cal I } ( \epsilon ^ { 2 } , \alpha = - 2 ) = \frac { 1 } { R ^ { 4 } } \left\{ \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \zeta ( 5 ) + \frac { 1 } { 5 } \epsilon ^ { - 5 } \right\}
\begin{array} { r l } & { U _ { S | X } = \mathscr { W } \times \mathscr { V } , } \\ & { \mathscr { W } \in \mathcal { C } \left( \mathcal { X } \rightarrow \mathcal { \hat { S } } \right) : r \geq I _ { Q _ { X } \times \mathscr { W } } \left( X , \hat { S } \right) , } \\ & { \mathscr { V } \in \mathcal { C } \left( \hat { \mathcal { S } } \times \mathcal { X } \rightarrow \mathcal { S } \right) : \mathbb { E } _ { Q _ { X } \times \mathscr { W } \times \mathscr { V } } d _ { S } \left( S , \hat { S } \right) > D _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \right) \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \Psi } _ { \ell m } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ { \boldsymbol { N } } _ { \ell m } + \sigma { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } \right] , } \\ { { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } } & { { } \equiv } & { j _ { \ell } ( k r ) \boldsymbol { X } _ { \ell m } , \quad { \boldsymbol { N } } _ { \ell m } \equiv \frac { 1 } { k } \boldsymbol { \nabla } \times { \boldsymbol { M } } _ { \ell m } , } \\ { \boldsymbol { X } _ { \ell m } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { \sqrt { \ell ( \ell + 1 ) } } { \bf { L } } Y _ { \ell m } ( \theta , \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c } { { } } & { { \circ _ { 0 } } } & { { \left( \frac { 1 } { g } \right) } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \mid } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left( \frac { R _ { 1 } } { g } \right) \; \; \circ _ { 1 } - } } & { { \circ _ { 2 } } } & { { - } } & { { \circ _ { 3 } } } & { { - \dots - } } & { { \circ _ { d - 1 } \; \; \left( \frac { 1 } { R _ { d } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } } & { , e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { i + 1 } { 2 } , \bar { j } - \frac { i - 1 } { 2 } ) } ) = \sum _ { m ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { 2 \bar { j } + 1 } \lambda _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } , i } ^ { - 1 } \sqrt { \frac { 2 j _ { 2 } ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } + 2 ) } { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } } } } \\ & { \times C _ { m ^ { \prime } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } C _ { m _ { 1 } , m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m ^ { \prime } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } C _ { m _ { 1 } + m ^ { \prime } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 ) } } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - i + 1 } \lambda _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } , i } ^ { - 1 } \sqrt { 2 j _ { 2 } ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } + 2 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - 2 i + 1 ) } } \\ & { \times C _ { m _ { 2 } + \bar { m } , m _ { 1 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } - i , j _ { 1 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 } \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 2 } + \bar { j } - i } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } a _ { i } - ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } b _ { i } \| _ { 2 } \leq } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } ( a _ { i } - b _ { i } ) \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } \| \cdot \| a _ { i } - b _ { i } \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) ^ { - 1 } \cdot \epsilon _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \int _ { V } d \mathbf { r } \, ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } ) ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } ) } & { } \\ { - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \int _ { S } d \mathbf { r } \, \hat { n } \cdot } & { \left[ ( \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } ) \varepsilon \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \left\{ 6 4 ( 1 + e ) \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { e \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 2 n } \right\} } \\ & { \quad + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ 1 2 8 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k } \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { 2 e \cdot 4 ^ { k } \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { n } - 4 ^ { k - 1 } \sigma \lambda r ^ { 2 } / 2 \right\} } \\ & { \leqslant \exp \left\{ 6 4 ( 1 + e ) \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { \sigma \lambda r ^ { 2 } } { 6 4 } \right\} + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ 1 2 8 ( 1 + e ) \; 2 ^ { k } \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } - 4 ^ { k - 2 } \sigma \lambda r ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\frac { d N } { d p } = 4 \pi p ^ { 2 } f = \frac { N _ { 0 } C p ^ { 2 } } { m ^ { 3 } c ^ { 2 } } \frac { 1 } { \Bigg [ 1 + \frac { \sqrt { 1 + \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } - 1 } { \kappa \Theta } \Bigg ] ^ { \kappa + 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal S _ { \infty } } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log [ h ( \tau ) ] { \tt d } \cos ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \left( \frac { \sin \theta } { 1 - \cos ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin \theta } - \frac { \sin \theta } { 1 + \cos ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin \theta } \right) d \theta } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log [ h ( \tau ) ] \frac { 2 { \tt d } \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin ^ { 2 } \theta } { 1 - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin ^ { 2 } \theta } \, d \theta \, . } \end{array}
( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \mu _ { p + 2 } \int _ { { \cal M } ^ { 3 } } C _ { ( p + 1 ) } \wedge F = { \frac { \mu _ { p } } { 2 \pi } } \int \! d t \, C _ { ( p + 1 ) } \wedge F \ ,
\omega _ { \hat { \alpha } } ^ { \alpha \rho } = f ^ { \prime } , \quad \omega _ { \hat { \theta } } ^ { \theta \rho } = g ^ { \prime } e ^ { g - f } , \quad \omega _ { \hat { \varphi } } ^ { \varphi \rho } = g ^ { \prime } e ^ { g - f } \sin \theta , \quad \omega _ { \hat { \varphi } } ^ { \varphi \theta } = \cos \theta ,
\begin{array} { r } { \left\langle \hat { w } \right\rangle ^ { c } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \beta } Z _ { \alpha } Z _ { \beta } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \frac { \mathrm { d } \mathbf { q } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) \, w _ { \mathbf { q } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \hbar \sum _ { \alpha } ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } I _ { \mathbf { p } \alpha } ( t ) \, . } \end{array}
\left\langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \; e ^ { - 2 \sum _ { b = 1 } ^ { N } \beta ^ { ( b ) } \epsilon ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) \; : \cos \big [ 2 \sqrt { \pi } \big ( \theta _ { 1 } ^ { ( b ) } ( x ) + \theta _ { 2 } ^ { ( b ) } ( x ) \big ) \big ] : _ { C ^ { 1 } - C ^ { 2 } , C ^ { 2 } } } \right\rangle _ { C ^ { 1 } - C ^ { 2 } , C ^ { 2 } }
\left( \frac { \partial \left( \varepsilon Y _ { i } \right) } { \partial t } + \vec { V } \cdot \nabla Y _ { i } \right) - D _ { \mathrm { { e f f } } } \nabla ^ { 2 } Y _ { i } = \frac { S _ { \mathrm { m } , i } } { \rho }
\gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k * } = \underset { \gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k } , \gamma _ { 0 } ^ { k } = \mathcal { O } _ { k } , \gamma _ { 1 } ^ { k } = \mathcal { O } _ { k + 1 } } { \arg \operatorname* { m i n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { { \mathcal { M } } } ( \gamma _ { t ^ { \prime } } ^ { k } , \dot { \gamma } _ { t ^ { \prime } } ^ { k } ) \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } ,
\left\{ u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \pm x } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \pm y } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \ast x } , u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \ast y } \right\} _ { i , j }
V _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } , \; \alpha = \frac { ( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) L \sin \left( \frac { 2 \theta } { k } \right) } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) + ( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) \cos \left( \frac { 2 \theta } { k } \right) } , \; \beta = \omega r ^ { 2 } - \frac { 2 a b L } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) + ( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) \cos \left( \frac { 2 \theta } { k } \right) } ,
\begin{array} { r l } & { \Tilde { G } _ { \mathrm { S O } } = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \theta } } \{ \mathbb { E } [ g ( \boldsymbol { Y } ) ] : \; \mathbb { E } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] \leq { b } _ { j } , \; \mathbb { P } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) \leq { b } _ { j } ] \geq { \eta } , \; \forall j \in \mathcal { J } \} } \\ & { \Tilde { G } _ { \mathrm { E P } } = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \theta } } \{ \mathbb { E } [ g ( \boldsymbol { Y } ) ] : \; \mathbb { E } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) ] \leq { b } _ { j } , \; \forall j \in \mathcal { J } , \mathrm { V a r } [ \boldsymbol { Y } ] \leq \boldsymbol { \Gamma } ^ { 2 } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { i j k } ^ { l m n } = } & { { } \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R H S } ( z ^ { * } ) \leq \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 T E \eta ^ { T } } + \frac { 1 } { T E } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \| \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 / \eta ^ { t } - L ) } + \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t _ { 1 , ( n - i + 1 ) - 1 } = t _ { 1 , n - ( n - i + 1 ) } ^ { - 1 } t _ { 1 , n + 1 - ( n - i + 1 ) } t _ { 1 , n - 1 } t _ { 1 , n - i + 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , i ^ { \prime } - 1 } = t _ { 1 , n - i ^ { \prime } } ^ { - 1 } t _ { 1 , n + 1 - i ^ { \prime } } t _ { 1 , n - 1 } t _ { 1 , i ^ { \prime } } \delta _ { 0 } ^ { - n } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , n - i ^ { \prime } } = t _ { 1 , i ^ { \prime } - 1 } ^ { - 1 } t _ { 1 , i ^ { \prime } } t _ { 1 , n - 1 } t _ { 1 , n + 1 - i ^ { \prime } } \delta _ { 0 } ^ { - n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { + } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) + g _ { + } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ^ { ( t + 1 ) } ) + \cdots + g _ { + } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ^ { ( t + s - 1 ) } ) \leq 2 M ^ { 2 } \mathrm { d i s t } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } , \mathcal { S } ) \leq \frac { 8 M ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } g _ { + } ^ { 2 } ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P = } & { z ^ { 3 } - z ^ { 2 } ( 2 0 r + 3 p ^ { 2 } ) - z ( 8 p ^ { 2 } r - 1 6 p q ^ { 2 } - 2 4 0 r ^ { 2 } + 4 0 0 s q - 3 p ^ { 4 } ) } \\ & { - p ^ { 6 } + 2 8 p ^ { 4 } r - 1 6 p ^ { 3 } q ^ { 2 } - 1 7 6 p ^ { 2 } r ^ { 2 } - 8 0 p ^ { 2 } s q + 2 2 4 p r q ^ { 2 } - 6 4 q ^ { 4 } } \\ & { + 4 0 0 0 p s ^ { 2 } + 3 2 0 r ^ { 3 } - 1 6 0 0 r s q } \end{array} }
( W _ { 1 2 } ^ { N N } ) ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) K _ { 1 } ^ { t _ { 1 } } ( \lambda _ { 1 } ) \tilde { X } _ { 1 2 } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) K _ { 2 } ^ { t _ { 2 } } ( \lambda _ { 2 } ) =
\mathcal { M } _ { r , 1 } ^ { p } [ \phi ] ( x ) : = \frac { \kappa _ { p , d } } { r ^ { p } } \fint _ { \partial B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \, \mathrm { d } \sigma ( y ) , \quad \mathcal { M } _ { r , 2 } ^ { p } [ \phi ] ( x ) : = \frac { ( p + d ) \kappa _ { p , d } } { d \, r ^ { p } } \fint _ { B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \, \mathrm { d } y ,
\begin{array} { r } { \langle \hat { Z } _ { \mathbf { a } } \mathcal { U } \rangle _ { 0 } = n _ { \mathbf { a } } \sin ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) e ^ { - \gamma T / 2 } \left[ \sin ( \phi _ { \mathrm { o u t } } + \Phi ) J _ { \mathbf { a } } + \cos ( \phi _ { \mathrm { o u t } } + \Phi ) \left( 1 - K _ { \mathbf { a } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 3 } ( t ) } & { : = c ( R ^ { \prime } ) M _ { 1 } \bigg ( \frac { b } { b _ { 0 } } \bigg \{ 0 . 8 9 1 \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } } + 0 . 6 0 7 9 B _ { 2 } + 0 . 7 8 1 3 \frac { L _ { 2 } ^ { 3 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + 0 . 5 8 B _ { 2 } \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } + \frac { 2 . 2 3 1 2 B _ { 2 } } { L _ { 1 } } \bigg \} + 3 . 2 0 2 1 \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \gamma _ { s } } \leq \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 0 } ( \sqrt { t } - \sqrt { 2 } ) } = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { t } } \right) = \mathcal { O } \left( \frac { \ln ( t ) } { \sqrt { t } } \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \frac { \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \gamma _ { s } ^ { 2 } } { \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \gamma _ { s } } = \mathcal { O } \left( \frac { \ln ( t ) } { \sqrt { t } } \right) .
S _ { [ 2 ] } ^ { v } = \int d ^ { d } x \sqrt { g } \left[ \frac { 1 } { 2 } N ( \phi ) g ^ { i j } B _ { i } B _ { j } + \frac { 1 } { 2 } P ( \phi ) g ^ { i j } \nabla _ { i } \phi B _ { j } \right] ~ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| P ( \tilde { Z } _ { \mathrm { b o o t } } \leq x | \mathcal { F } _ { n } ) - P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil - 1 } \tilde { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| } \\ & { = O _ { \mathbb { P } } \left( \vartheta _ { n } ^ { 1 / 3 } \left\{ 1 \vee \log ( n | \mathbb { B } | / \vartheta _ { n } ) \right\} ^ { 2 / 3 } + \Theta \left( q _ { n } ^ { - q } , n | \mathbb B | \right) \right) . } \end{array}
I _ { 1 , n } ^ { c } ( 2 K / J ) \propto \left( \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \frac { \cos ( n \phi ) } { { \cal P } _ { 1 } ( \phi ) { \cal P } _ { 2 } ( \phi ) } - \int _ { \pi / 2 } ^ { 3 \pi / 2 } d \phi \frac { \cos ( n \phi ) } { { \cal P } _ { 1 } ( \phi ) { \cal P } _ { 2 } ( \phi ) } \right) \, ,
\left( - k _ { y } ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } + { \frac { \omega ^ { 2 } n _ { x } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) E _ { x } + k _ { x } k _ { y } E _ { y } + k _ { x } k _ { z } E _ { z } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { H } _ { S } } { \hbar } } & { { } = J _ { z } \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } + J \left( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { X } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { X } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Y } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Y } \right) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 3 } } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } = \frac { 9 6 } { ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { a } } ( \mathrm { p H } , k _ { \mathrm { a } } ) } & { { } = \left( \frac { \partial \mathcal { D } _ { \mathrm { a } } } { \partial \mathrm { p H } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { R S H } } } & { = \alpha \hat { V } _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } + ( 1 - \alpha ) V _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { D F A } } \left( \rho \left( \boldsymbol { r } \right) \right) + ( \alpha + \beta ) \hat { V } _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) V _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { D F A } } \left( \rho \left( \boldsymbol { r } \right) \right) + V _ { \mathrm { { c } } } ^ { \mathrm { D F A } } \left( \rho \left( \boldsymbol { r } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varTheta ( \xi , t ) = } & { \phi \left( \frac { \xi _ { d } } { \varepsilon } \right) \varTheta ( \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { d - 1 } , 0 , t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } R ( \eta , t ; 0 ) \varTheta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \right| Y _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( Y ^ { \eta } ) \right\} } R ( \eta , t ; s ) \alpha _ { \varepsilon } \left( Y _ { s } ^ { \eta } , s \right) \right| Y _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\mathcal { T } _ { \varepsilon } \left( f _ { \varepsilon } | _ { \Omega } \right) \left( x , y \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { f \left( y \right) } & { \; a . e f o r \left( x , y \right) \in \widehat { \Omega } _ { \varepsilon } \times Y , } \\ { 0 } & { \; a . e f o r \left( x , y \right) \in \Lambda _ { \varepsilon } \times Y . } \end{array} \right.
0 = - \frac { \partial p } { \partial r } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { r } } { \partial { z } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ 0 = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial p } { \partial \theta } + \mu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \theta } } { \partial { z } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ 0 = \frac { \partial p } { \partial z } , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r u _ { r } \right) + \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { \theta } } { \partial \theta } + \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } = 0 .
\begin{array} { r l r } { { \cal N } \left( u , z \right) } & { = } & { z ^ { x _ { 0 } } \left( \overline { { \alpha } } - z \right) + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \right) u \phi _ { \beta } \left( z \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) = : a \left( z \right) + b \left( z \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) } \\ & { \sim } & { a \left( z \left( u \right) \right) + b \left( z \left( u \right) \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) + \left( z - z \left( u \right) \right) \left[ a ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) + b ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) \right] } \\ { { \cal D } \left( u , z \right) } & { = } & { : c \left( z \right) - d \left( z \right) u \sim \left( z - z \left( u \right) \right) \left[ c ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) - d ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) u \right] , } \end{array}