harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \theta , 0 ) \rangle _ { 0 } } & { = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \sin ( \theta ) n _ { \mathbf { a } } } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \theta , 0 ) \rangle _ { 0 } } & { = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \sin ( \theta ) \cos ^ { 2 } ( \theta / 2 ) n _ { \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \quad \mathrm { f o r } ~ \mathbf { a } \neq \mathbf { b } } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \theta , 0 ) \rangle _ { 0 } } & { = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \sin ( \theta ) \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) n _ { \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \quad \mathrm { f o r } ~ \mathbf { a } \neq \mathbf { b } } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \pi , \phi ) \rangle } & { = e ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \pi , \phi ) \rangle } & { = e ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } \rangle ~ \mathrm { f o r } \quad \mathbf { a } \neq \mathbf { b } } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \pi , \phi ) \rangle } & { = e ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { b } } \rangle ~ \mathrm { f o r } \quad \mathbf { a } \neq \mathbf { b } } \\ { \langle \hat { Z } _ { \mathbf { a } } \mathcal { R } ( \pi / 2 , \phi ) \rangle } & { = - \mathrm { i } \left[ e ^ { - \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle - e ^ { \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle \right] ~ . } \end{array}
\frac { e ( x ) [ 1 - e ( x ) ] ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( Y _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } \mid X = x ] } { e ( x ) ^ { 2 } [ 1 - e ( x ) ] ^ { 2 } } + \frac { [ 1 - e ( x ) ] e ( x ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( Y _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } \mid X = x ] } { e ( x ) ^ { 2 } [ 1 - e ( x ) ] ^ { 2 } } - \mathbb { E } \Bigg [ \frac { ( W - e ( X ) ) Y } { e ( X ) [ 1 - e ( X ) ] } \, \Bigg \lvert X = x \Bigg ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } ^ { + } } & { { } ( 1 - \beta n _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } ^ { + } ) + E _ { 1 } ^ { - } ( 1 + \beta n _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } ^ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { G } _ { i j } ^ { T } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi \eta \alpha ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Big [ \delta _ { i j } ( ( 1 + r \alpha + r ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ) \mathrm { e } ^ { - r \alpha } - 1 ) } \\ { \Tilde { G } _ { i j } ^ { L } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi \eta \alpha ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Big [ \delta _ { i j } ( 1 - ( 1 + r \lambda ) \mathrm { e } ^ { - r \lambda } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( X _ { t } ) } & { = \sigma ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \Bigg ( \frac { \Gamma ( \nu + n ) } { \Gamma ( \nu ) \Gamma ( n + 1 ) } \Bigg ) ^ { 2 } } \\ & { = \sigma ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { N } \Bigg ( \frac { \Gamma ( \nu + n ) } { \Gamma ( \nu ) \Gamma ( n + 1 ) } \Bigg ) ^ { 2 } + \displaystyle \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \Bigg ( \frac { \Gamma ( \nu + n ) } { \Gamma ( \nu ) \Gamma ( n + 1 ) } \Bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { \mathbf { v } } _ { D } \cdot \nabla r \rangle = \frac { q a B _ { 0 } } { H } \frac { \mathrm { d } r } { \mathrm { d } \psi } \langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla \psi \rangle . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \alpha _ { i } } { m _ { i } } = \frac { 1 } { D ^ { ( N ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \frac { c _ { i l } } { m _ { l } } F _ { l } ^ { ( N ) } = \frac { 1 } { D ^ { ( N ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { F _ { i } ^ { ( N ) } } { m _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { N } c _ { i l } \alpha _ { l } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { D } _ { \mathbf { g } } ^ { ( n ) } } & { { } = | \sqrt { D _ { \mathbf { g } } ( \mathbf { f } ^ { ( n ) } ) } | / | | \mathbf { g } ^ { [ \mathcal { M } ] } | | _ { 2 } } \\ { \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it x } } } ^ { ( n ) } } & { { } = | ( | | \mathcal { D } _ { x } \mathbf { f } ^ { ( n ) } | | _ { 1 } - t _ { x } ) | / t _ { x } } \\ { \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it y } } } ^ { ( n ) } } & { { } = | ( | | \mathcal { D } _ { y } \mathbf { f } ^ { ( n ) } | | _ { 1 } - t _ { y } ) | / t _ { y } } \\ { \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it z } } } ^ { ( n ) } } & { { } = | ( | | \mathcal { D } _ { z } \mathbf { f } ^ { ( n ) } | | _ { 1 } - t _ { z } ) | / t _ { z } } \\ { \widetilde { D } _ { \mathrm { T V _ { \it B } } } ^ { ( n ) } } & { { } = | ( | | \mathcal { D } _ { B } \mathbf { f } ^ { ( n ) } | | _ { 1 } - t _ { B } ) | / t _ { B } , } \end{array}
S = { \frac { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { 2 } } \int d x ^ { 4 } { \sqrt { g } } { \Big ( } R + 2 m ^ { 2 } [ e _ { 2 } ( { \mathcal { K } } ) + e _ { 3 } ( { \mathcal { K } } ) + e _ { 4 } ( { \mathcal { K } } ) ] { \Big ) }
\rho ^ { 0 } \left( \mathbf { x } \right) = 1 , \qquad { u } _ { 1 } ^ { 0 } \left( \mathbf { x } \right) = \left\lbrace \begin{array} { l c } { \operatorname { t a n h } \left[ \hat { \rho } ( \hat { y } - \frac { 1 } { 4 } ) \right] } & { \mathrm { i f } \; \hat { y } \le \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \operatorname { t a n h } \left[ \hat { \rho } ( \frac { 3 } { 4 } - \hat { y } ) \right] } & { \mathrm { i f } \; \hat { y } > \frac { 1 } { 2 } , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 2 } ^ { 0 } \left( \mathbf { x } \right) = \delta \sin \left( 2 \pi \hat { x } \right) , \quad p ^ { 0 } \left( \mathbf { x } \right) = \frac { 1 0 ^ { 5 } } { \gamma } ,
\| F _ { \alpha } U ( \eta _ { n } ) - \widehat { F } _ { \alpha , N } U ( \eta _ { n } ) \| _ { \infty } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \operatorname* { m a x } _ { z \geq \eta _ { N } } | U ( z ) | + \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime } ( z ) | \right) \frac { h } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } , } & { \mathrm { r e c t a n g l e ~ q u a d r a t u r e } , } \\ { \left( \operatorname* { m a x } _ { z \geq \eta _ { N } } | U ( z ) | + \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime \prime } ( z ) | \right) \frac { h ^ { 2 } } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } , } & { \mathrm { t r a p e z o i d ~ q u a d r a t u r e } . } \end{array} \right.
Y _ { \mathrm { i n } } = j B _ { 1 } + Y _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime \prime } = j B _ { 1 } + \frac { j B _ { 0 } Y _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } } { j B _ { 0 } + Y _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } \phi _ { k } } & { { } = } & { \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } \left( - i \mathcal { V } _ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] \phi _ { k } \right) , } \end{array}
E ^ { a } ( \vec { x } ) ~ \Psi _ { 0 } [ A ] = \left( \frac { 2 } { i } \frac { \delta } { \delta A _ { + } ^ { a } ( \vec { x } ) } - i \frac { k } { 8 \pi } A _ { - } ^ { a } ( \vec { x } ) \right) \Psi _ { 0 } [ A ] = 0
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( c a s e \, " } u _ { r } = 0 \mathrm { " ) } } & { { } \; \mathbf { v } _ { 0 } } & { \equiv ( \left. u _ { r } \right| _ { t = 0 } , \left. u _ { \theta } \right| _ { t = 0 } , \left. u _ { z } \right| _ { t = 0 } ) = ( 0 , 4 a r ( 1 - r ) z ^ { 2 } , 0 ) , } \\ { \mathrm { ( c a s e \, " } u _ { \theta } = 0 \mathrm { " ) } } & { { } \; \mathbf { v } _ { 0 } } & { = ( - a \sin ( 2 \pi z ) \sin ( \pi r ) , 0 , a \sin ( 2 \pi r ) \sin ( \pi z ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 3 } \Phi _ { 4 } = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) + T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { r } _ { - 2 } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { \prime } } & { { } = } & { \Lambda \psi } \\ { A _ { \mu } ^ { \prime } } & { { } = } & { \Lambda ^ { \dagger } A _ { \mu } \Lambda + \Lambda ^ { \dagger } i \partial _ { \mu } \Lambda } \\ { E _ { \mu \nu } } & { { } = } & { \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } - [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { ( k ) } ( z , f ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \sum _ { \{ n _ { j } \} } \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { n _ { j } ! } \left( \Gamma ^ { ( k _ { j } ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right) ^ { n _ { j } } \: , } \\ & { } & { \forall \{ n _ { j } \} \quad \mathrm { s u c h \; t h a t } \quad \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } k _ { j } \, n _ { j } = k - 1 \: . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { j } } _ { { L ( R ) } } ^ { { m } } } & { { = } { { j } } _ { { L ( R ) , } \alpha } ^ { { m } } { + } { { j } } _ { { L ( R ) , } \beta } ^ { { m } } } \\ & { { = } \int { \frac { d \varepsilon } { { 2 } \pi } } \left[ N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { L ( R ) } } { k _ { B } T _ { L ( R ) } } \right) { - } N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { R } ( L ) } { k _ { B } T _ { R } ( L ) } \right) \right] T _ { b , \alpha } \left( \varepsilon \right) } \\ & { { + \ } \int { \frac { d \varepsilon } { { 2 } \pi } } \left[ N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { L ( R ) } } { k _ { B } T _ { L ( R ) } } \right) { - } N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { C } } { k _ { B } T _ { A F M I } } \right) \right] T _ { f , \alpha } \left( \varepsilon \right) } \\ & { { + } \int { \frac { d \varepsilon } { { 2 } \pi } } \left[ N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { L ( R ) } } { k _ { B } T _ { R } ( L ) } \right) { - } N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { R } ( L ) } { k _ { B } T _ { L ( R ) } } \right) \right] T _ { b , \beta } \left( \varepsilon \right) } \\ & { { + } \int { \frac { d \varepsilon } { { 2 } \pi } } \left[ N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { L ( R ) } } { k _ { B } T _ { A F M I } } \right) { - } N _ { B } \left( { \ } \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { C } } { k _ { B } T _ { L ( R ) } } \right) \right] T _ { f , \beta } \left( \varepsilon \right) \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { { a } _ { j } { a } _ { k } ^ { \dagger } - e ^ { - i \theta \sigma ( j - k ) } { a } _ { k } ^ { \dagger } { a } _ { j } } & { { } = \delta _ { j k } } \\ { { a } _ { j } { a } _ { k } - e ^ { i \theta \sigma ( j - k ) } { a } _ { k } { a } _ { j } } & { { } = 0 } \\ { { a } _ { j } ^ { \dagger } { a } _ { k } ^ { \dagger } - e ^ { i \theta \sigma ( j - k ) } { a } _ { k } ^ { \dagger } { a } _ { j } ^ { \dagger } } & { { } = 0 . } \end{array}
\mathbf { \tilde { c } } _ { \lambda } = ( \mathbf { v } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { v } + \lambda ^ { 2 } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { v } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { q } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } \right) \frac { \mathbf { u } _ { i } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { q } } { \sigma _ { i } } \mathbf { v } _ { i }
\begin{array} { r l } & { \hat { u } ( k , z ) = - i G m \hat { h } _ { o } e ^ { i m z } } \\ & { \hat { w } ( k , z ) = i G k \hat { h } _ { o } e ^ { i m z } } \\ & { \hat { p } ( k , z ) = i G ^ { 2 } \rho _ { 0 } m \hat { h } _ { o } e ^ { i m z } } \\ & { \hat { \theta } ( k , z ) = - \frac { N ^ { 2 } \theta _ { 0 } } { g } \hat { h } _ { o } e ^ { i m z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - 2 { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = { D _ { 3 1 2 3 1 2 } } - 2 { D _ { 3 1 2 } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { t } } & { = h ( \bar { x } _ { t } ) + \frac { 9 b M \eta } { 6 4 \alpha _ { t } } \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \bar { \mu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 8 \eta \tilde { L } ^ { 2 } } { \mu \gamma } \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 9 b M \eta } { 6 4 \alpha _ { t } } \bigg \| \bar { q } _ { t } - \bar { p } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 9 b M \eta } { 6 4 \alpha _ { t } } \bigg \| \bar { \omega } _ { t } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 8 \eta L ^ { 2 } } { \mu \tau } \bigg \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ f _ { q } ( \lambda _ { 2 } ) - ( 1 + \gamma \kappa ^ { 2 } ) b ( \lambda _ { 2 } ) \right] \rho _ { 2 s } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 2 i } \langle y _ { s } , y _ { i } \rangle - \gamma \kappa \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } \langle y _ { s } , y _ { i } \rangle - \frac { \rho _ { 1 s } \eta } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) \right] \quad \mathrm { f o r } \quad s \in [ 2 ] } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, x ^ { \alpha - 1 } \exp ( - a x ) \, J _ { \nu } ( b \sqrt x ) \, L _ { n } ^ { ( \lambda ) } ( c x ) \, \mathrm { d } x \, = \, } \\ { \, = \, \left( \frac b 2 \right) ^ { \nu } \, \frac { \Gamma \left( \alpha + \frac \nu 2 \right) ( \lambda + 1 ) _ { n } } { n ! \, a ^ { \alpha + \nu / 2 } \Gamma ( \nu + 1 ) } \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { \alpha + \frac { \nu } 2 , - n } \\ { \lambda + 1 , \nu + 1 } \end{array} \right| \frac c a , - \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \epsilon _ { 1 } \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( - x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 2 4 x + 2 1 - y ) x \ , \ \ \ } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) v w \ , } \\ { \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( x - 3 ) y \ , } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = ( s _ { 1 } + s _ { 3 } - s _ { 2 } ) u w \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( p - u ) - u v ) \ , } & { \frac { \mathrm { d } w } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 3 } ( l - s _ { 1 } - w ) w \ , } \\ { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } } & { = \eta _ { 1 } ( \epsilon _ { 1 } ( x - v ) - u v ) \ , } & { \frac { \mathrm { d } s _ { 3 } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { \mathrm { d } l } { \mathrm { d } t } = 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { t \searrow 0 } \, t ^ { - 1 } \, R ( g _ { t } ^ { \varepsilon , \delta } ) = \operatorname { d i v } _ { g } \operatorname { d i v } _ { g } \sigma ^ { \varepsilon , \delta } - \Delta _ { g } \operatorname { t r } _ { g } \sigma ^ { \varepsilon , \delta } - g ( \operatorname { R i c } ( g ) , \sigma ^ { \varepsilon , \delta } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta V _ { w } } & { = V _ { w 1 } - \left( - V _ { w 2 } \right) } \\ & { = V _ { w 1 } + V _ { w 2 } } \\ & { = V _ { r 1 } \cos \beta _ { 1 } + V _ { r 2 } \cos \beta _ { 2 } } \\ & { = V _ { r 1 } \cos \beta _ { 1 } \left( 1 + { \frac { V _ { r 2 } \cos \beta _ { 2 } } { V _ { r 1 } \cos \beta _ { 1 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , t h } } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E f ( E ) [ 1 - f ( E ) ] } \\ { \sum _ { \gamma , \delta } T r [ ( \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \alpha \delta } - s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho \dagger } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } ) ( \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \beta \gamma } - s _ { \beta \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { \beta \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \pm } ^ { A } } & { = \frac { \mu \epsilon ^ { \prime } } { 2 } + \frac { \mu \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { 1 } { 2 } ( A _ { + } ^ { 2 } + A _ { - } ^ { 2 } ) + \frac { \mu ^ { 2 } ( \hat { \bf { k } } \cdot { \bf { b } } ) ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } + } \\ & { \phantom { = } \mp \frac { \mu ( \hat { \bf { k } } \cdot { \bf { b } } ) A _ { - } } { 2 \omega } \; . } \end{array}
\langle \Delta \theta ^ { 2 } ( \tau ) \rangle = { \frac { \Gamma ^ { 2 } M } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tilde { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t ^ { \prime } \, \mathrm { e } ^ { - w _ { o f f } | \tilde { t } - t ^ { \prime } | } \, \mathrm { e } ^ { - \langle \Delta \theta ^ { 2 } ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \rangle } \, .
\begin{array} { r l } { \tau _ { k } ( j ) } & { : = \operatorname* { m i n } \left\{ x \in { \mathbb { Z } } _ { \ge 0 } \ ; \ m _ { k } ^ { \sigma } ( x ) \ge j \ \mathrm { f o r ~ b o t h } \ \sigma \in \left\{ \uparrow , \downarrow \right\} \right\} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left\{ x \in { \mathbb { Z } } _ { \ge 0 } \ ; \ m _ { k } ^ { \uparrow } ( x ) = m _ { k } ^ { \downarrow } ( x ) = j \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l r l } & { g n g ^ { - 1 } } & { \in N _ { G } ( A _ { w } ) ^ { F } } \\ { \iff } & { g n g ^ { - 1 } } & { = F ( g n g ^ { - 1 } ) = F ( g ) F ( n ) F ( g ) ^ { - 1 } = g \dot { w } F ( n ) \dot { w } ^ { - 1 } g ^ { - 1 } } \\ { \iff } & { \dot { w } F ( n ) \dot { w } ^ { - 1 } } & { = n \in N ^ { \dot { w } F } . } \end{array} } \end{array}
f _ { 1 } ( L , m , d ) = \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } L } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int d ^ { d - 1 } p \frac { 1 } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { v _ { i } ^ { \ell } \left( \omega _ { i 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \omega _ { i 1 } ^ { \ell } \right) + v _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( \omega _ { i 1 } ^ { \ell + 1 } - \omega _ { i 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \beta _ { 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { 2 } J _ { m } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( v _ { m } ^ { \ell + 1 } - v _ { m } ^ { \ell } \right) } \\ { + \beta _ { 1 } ^ { \ell + 1 } \frac { 1 } { 2 } J _ { m } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( v _ { m } ^ { \ell + 1 } - v _ { m } ^ { \ell } \right) = v _ { i } ^ { \ell + 1 } \omega _ { i 1 } ^ { \ell + 1 } - v _ { i } ^ { \ell } \omega _ { i 1 } ^ { \ell } . } \end{array}
\frac { 1 } { \sigma } \frac { d \Sigma _ { E E C } ( \chi ) } { d \cos \chi } = \frac { 1 } { \Delta \cos \chi ~ N _ { e v e n t s } } \sum _ { N _ { e v e n t s } } \sum _ { i j } \frac { E _ { i } E _ { j } } { E ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { \theta + \Delta \theta } } & { = \mathbf { u } _ { \theta } + \frac { \partial \mathbf { u } _ { \theta } } { \partial \theta } \Delta \theta , } \\ & { = \mathbf { u } _ { \theta } - \left[ \frac { \partial \Phi _ { \theta } } { \partial \mathbf { u } } \right] ^ { - 1 } \frac { \partial \Phi _ { \theta } } { \partial \theta } \Delta \theta } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \Sigma _ { \delta } / 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { N } } \\ { b _ { N } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \Omega _ { 1 } / 2 } \\ { \Omega _ { 2 } ^ { * } / 2 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { N + 1 } } \\ { b _ { N + 1 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \Omega _ { 2 } / 2 } \\ { \Omega _ { 1 } ^ { * } / 2 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { N - 1 } } \\ { b _ { N - 1 } } \end{array} \right) = \left( \epsilon + N \hbar \omega _ { F } \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { N } } \\ { b _ { N } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d h } & { = c \, \frac { ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \, d z , } \\ { d g \cdot \eta } & { = c \, \Bigg [ \frac { 2 ( 1 - x ^ { 2 } ) \, z } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } - \Big ( \frac { k } { k + 1 } \Big ) \, \frac { ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } { z \, ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } - \Big ( \frac { 2 } { k + 1 } \Big ) \, \frac { ( z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) \, z } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } \Bigg ] \, d z ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { c c } { X _ { 1 } \Phi _ { B } ( Y ( t ) \sigma Y ( t ) ^ { * } ) X _ { 1 } ^ { * } } & { A ( i t ) } \\ { A ( - i t ) } & { X _ { 2 } \Phi _ { B } ( Y ( - t ) \sigma Y ( - t ) ^ { * } ) X _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { X _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { X _ { 2 } } \end{array} \right] \cdot } \\ & { \Phi _ { B } \left( \left[ \begin{array} { c c } { Y ( t ) } & { 0 } \\ { 0 } & { Y ( - t ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma ^ { 1 / 2 } \rho ( i t ) } \\ { \sigma ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma ^ { 1 / 2 } \rho ( i t ) } \\ { \sigma ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] ^ { * } \left[ \begin{array} { c c } { Y ( t ) ^ { * } } & { 0 } \\ { 0 } & { Y ( - t ) ^ { * } } \end{array} \right] \right) } \\ & { \cdot \left[ \begin{array} { c c } { X _ { 1 } ^ { * } } & { 0 } \\ { 0 } & { X _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] } \\ { \ge } & { 0 } \end{array}
\overline { { { P } } } _ { \mu } = p _ { \mu } - k _ { \mu } \left[ \frac { e ^ { 2 } \overline { { { A ^ { 2 } } } } } { 2 ( k p ) } - \frac 1 2 W ( k p ) \overline { { { ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } } \right] .
g \sum _ { s = 1 } ^ { r } { { \cal G } } ( a _ { 1 } , . . . , a _ { k - 1 } , \underbrace { a _ { k } , . . . , a _ { k } } _ { s - 1 } ) { { \cal G } } ( \underbrace { a _ { k } , . . . , a _ { k } } _ { r - s } , a _ { k + 1 } , . . . , a _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { 0 } - 1 } \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| + \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { \infty } \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { 0 } - 1 } \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| + \frac { \kappa + \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { \sigma \zeta } \psi \big ( \varphi ( x _ { k _ { 0 } } ) - \varphi ( \bar { x } ) \big ) < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 t } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 i } \tan \theta _ { i } , } \\ { A _ { 0 r } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = \overline { { A } } _ { 0 i } \tan \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } . } \end{array}
\alpha _ { s } = \overline { { { \mu } } } \, ^ { - 2 \epsilon } \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \, , \quad \overline { { { \mu } } } \, ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } \frac { e ^ { \gamma } } { 4 \pi } \, , \quad \mathrm { o r } \quad \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } = \mu ^ { - 2 \epsilon } Z _ { \alpha } ^ { - 1 } \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } e ^ { - \gamma \epsilon } \, .
\dot { d } _ { i } = \epsilon _ { i j k } \itOmega _ { j } ^ { \infty } d _ { k } + B ( \delta _ { i j } - d _ { i } d _ { j } ) E _ { j k } ^ { \infty } d _ { k } + \dot { d } _ { i } ^ { \textrm { \, p r o p } } ,