harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \left. \beta _ { 0 } ^ { 2 } \right/ 4 } \\ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \left. \beta _ { 0 } ^ { 2 } \right/ 4 } \\ { \beta _ { \pm } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \sqrt { \beta _ { 0 } \left( \frac { \beta _ { 0 } } { 2 } \pm \beta _ { 1 } \right) - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) - ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) \left( n ^ { 2 } + 5 n + 6 - n ^ { 2 } + 3 n - 2 \right) = n ( n + 1 ) ( 8 n + 4 )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } \right) } \\ { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 3 } { 4 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 1 ) } \right) } \\ { \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { n } + \frac { 2 } { 3 } \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \mathbf { Q } _ { j , i } ^ { ( 2 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( b \cdot \nabla ) b } & { = \underbrace { e ^ { - 2 \eta N ^ { 2 } t } \nabla P _ { n m } + \left( \frac { 1 - e ^ { - \eta N _ { 2 } ^ { 2 } t } } { \eta N _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \nabla P _ { 2 } } _ { ( * ) } } \\ & { + \underbrace { e ^ { - \eta N ^ { 2 } t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \eta t } } { \eta } \right) \left( ( T _ { n m } \cdot \nabla ) T _ { N _ { 2 } } + ( T _ { N _ { 2 } } \cdot \nabla ) T _ { n m } \right) . } _ { ( * * ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { l } } & { { } = \chi _ { 0 } ^ { l } \mathrm { e x p } \left[ \frac { 1 } { c _ { 3 } } \left( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \frac { | | \mathrm { d e v } ( \boldsymbol \sigma ) | | } { \sigma _ { Y } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) } - 1 \right) \right] } \\ { \sigma _ { Y } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) } & { { } = ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ( \varepsilon _ { p } ^ { l } ) ^ { n } ) \left[ 1 - \left( \frac { T - T _ { 0 } } { T _ { \mathrm { m e l t } } - T _ { 0 } } \right) ^ { m } \right] } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle \approx \frac { \sum _ { k } W _ { k } ^ { m + n } \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } \hat { A } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } } { \sum _ { k } W _ { k } ^ { m + n } } \, .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { 0 = } & { { } \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { i } } ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + \frac { 2 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { j } } T _ { \, \, \, j } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( i \mathcal { L } ) _ { a } ^ { n } z = } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \sum _ { \{ \alpha , \beta \} _ { l } } F _ { l , \{ \alpha , \beta \} _ { l } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ^ { \alpha _ { k l } } B _ { k } ^ { \beta _ { k l } } a _ { l } z } \\ { ( i \mathcal { L } ) _ { b } ^ { n } z = } & { ( - 1 ) ^ { n } } & { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \sum _ { \{ \alpha , \beta \} _ { l } } F _ { l , \{ \alpha , \beta \} _ { l } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } B _ { k } ^ { \alpha _ { k l } } A _ { k } ^ { \beta _ { k l } } b _ { l } z } \end{array}
( { \gamma _ { \mu } } ^ { \prime } ) ( { \gamma _ { \mu - 1 } } ^ { \prime } ) \cdots ( { \gamma _ { 2 } } ^ { \prime } ) ( \gamma _ { g + 1 } ) ( D _ { g } ) ^ { - 1 } = \{ S ^ { g + 1 } ; { S _ { 2 } } ^ { \prime } , { S _ { 3 } } ^ { \prime } , \cdots , { S _ { \mu } } ^ { \prime } \} ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { { } = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } ) g , } \\ { \overline { { p } } } & { { } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } R _ { v } ) \overline { { T } } , } \\ { \frac { \overline { { q } } _ { v } } { \overline { { q } } _ { v s } } \left( \frac { 1 + \overline { { q } } _ { v s } / \epsilon } { 1 + \overline { { q } } _ { v } / \epsilon } \right) } & { { } = 0 . 2 , } \\ { \overline { { T } } \left( \frac { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { \overline { { p } } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } } & { { } = T _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ } } \left( \frac { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { 8 . 5 \times 1 0 ^ { 4 } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } \exp ( 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } z ) , } \end{array}
M = \left( \begin{array} { c c c } { { \cosh \alpha } } & { { \sinh \alpha } } & { { 0 } } \\ { { \sinh \alpha } } & { { \cosh \alpha } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { D _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { B } } & { { } = D _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { B } , } \\ { d _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } ^ { B } } & { { } = d _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } } ^ { B } = d _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { B } = d _ { \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { B } . } \end{array}
d _ { \; \; \alpha _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 1 } } = \left( \delta _ { \; \; \beta _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } } + m _ { \; \; \; \beta _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 0 } } \chi _ { \beta _ { 0 } } \right) \bar { D } _ { \; \; \gamma _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } A _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \; \; \gamma _ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { T ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { \mathrm { s a t } } \, , } & { \mathrm { i f ~ } r \leq R _ { 0 } , } \\ { T _ { \infty } \, , } & { \mathrm { i f ~ } r \geq R _ { \infty } , } \\ { \frac { R - R _ { 0 } } { R _ { \infty } } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { s a t } } ) + T _ { \mathrm { s a t } } \, , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { { \bf { m } } = [ { k _ { 0 0 0 } } , { k _ { 1 0 0 } } , { k _ { 0 1 0 } } , { k _ { 0 0 1 } } , { k _ { 1 1 0 } } , { k _ { 1 0 1 } } , { k _ { 0 1 1 } } , { k _ { 2 0 0 } } + { k _ { 0 2 0 } } + { k _ { 0 0 2 } } , { k _ { 2 0 0 } } - { k _ { 0 2 0 } } , { k _ { 2 0 0 } } - { k _ { 0 0 2 } } , { k _ { 1 2 0 } } , } \\ { \mathrm { } { k _ { 1 0 2 } } , { k _ { 2 1 0 } } , { k _ { 2 0 1 } } , { k _ { 0 1 2 } } , { k _ { 0 2 1 } } , { k _ { 1 1 1 } } , { k _ { 2 2 0 } } , { k _ { 2 0 2 } } , { k _ { 0 2 2 } } , { k _ { 2 1 1 } } , { k _ { 1 2 1 } } , { k _ { 1 1 2 } } , { k _ { 1 2 2 } } , { k _ { 2 1 2 } } , { k _ { 2 2 1 } } , { k _ { 2 2 2 } } { ] ^ { \mathrm { T } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 + \delta ^ { 2 } } { h ^ { 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) } | \mathcal { L } + \mathcal { N } D ( I _ { s } ) | ^ { 2 } \, I _ { s } \, , } \\ { D ( I _ { s } ) } & { { } = \frac { \Im { ( \chi _ { 0 } ) } \, I _ { s } } { 1 - \Im { ( \chi _ { 0 } ^ { \prime } ) } \, I _ { s } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P . V . \int _ { t ^ { n - 1 } } ^ { t _ { j } ^ { n } } k _ { - \alpha _ { \ell } } ( t _ { j } ^ { n } - s ) ( \Pi ^ { p } U _ { \ell } ) ( s ) \ d x [ s ] - f _ { \ell } ( t ^ { n } , U _ { \ell , j } ^ { n } ) } \\ { = } & { { } - { } _ { F } H ^ { \alpha _ { \ell } } U _ { \ell , j } ^ { n } + \frac { ( t _ { j } ^ { n } ) ^ { - \alpha _ { \ell } } } { \Gamma ( 1 - \alpha _ { \ell } ) } \phi _ { \ell } , \quad 1 \le j \le N , 1 \le \ell \le d . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K ^ { \star } } } & { { } = \frac { | \varGamma | } { | \mathcal B | } , } \\ { \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } } & { { } = \langle \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) \rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \langle \boldsymbol { \chi } \mathbf k \rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi } & { { } = \arcsin { \frac { 2 \theta + \sin 2 \theta } { \pi } } , } \\ { \lambda } & { { } = \lambda _ { 0 } + { \frac { \pi x } { 2 R { \sqrt { 2 } } \cos \theta } } , } \end{array}
g ( t ) = \frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } J _ { 0 } ( \omega ) \left[ \coth { \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) } \frac { 1 - \cos { ( \omega t ) } } { \omega ^ { 2 } } + i \frac { \sin { ( \omega t ) } - \omega t } { \omega ^ { 2 } } \right] d \omega .
p ( U ) = \int _ { \varphi ( x , 0 ) = 1 } \delta ( U - \vert \varphi ( 0 , L ) \vert ^ { 2 } ) \, \mathrm { e } ^ { \mathcal { A } } \, \mathscr { D } ^ { 2 } \varphi \, \mathscr { D } ^ { 2 } \tilde { \varphi } \, \mathscr { D } ^ { 2 } S ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 3 } } { d t } = } & { { } } & { ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { r 1 3 } n _ { p h 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { r 1 3 } + ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { n r 1 3 } n _ { p n 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 1 3 } - } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { i } ) } & { \xleftarrow - \epsilon ^ { \beta } \log ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } E _ { j } ^ { \prime } e ^ { \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { \beta } } ( g ( y _ { j } ) - \frac { 1 } { \beta R ^ { \beta } } d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } ) \right) } ) , } \\ { g ( y _ { j } ) } & { \xleftarrow - \epsilon ^ { \beta } \log ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } E _ { i } e ^ { \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { \beta } } ( f ( x _ { i } ) - \frac { 1 } { \beta R ^ { \beta } } d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } ) \right) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { W _ { \beta \alpha } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } , I _ { j } ^ { \beta } , I _ { i } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { l } ^ { \beta } , I _ { k } ^ { \alpha } \right. ) } \\ { W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \right. ) } \\ { W _ { \alpha \alpha } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } & { = } & { W _ { \alpha \alpha } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { l } ^ { \alpha } , I _ { k } ^ { \alpha } \right. ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { T _ { u l } = T _ { u l , - } } & & { + T _ { u l , \# } } & & { \: - T _ { u , \updownarrow } , } \\ & { T _ { v l } = T _ { v l , - } } & & { + T _ { v l , \# } } & & { \: - T _ { v , \updownarrow } , } \\ & { T _ { w l } = T _ { w l , - } } & & { + T _ { w l , \# } } & & { \: - T _ { w , \updownarrow } , } \\ & { T _ { u s } = T _ { u s , - } } & & { + T _ { u s , \# } } & & { \: + T _ { u , \updownarrow } , } \\ & { T _ { v s } = T _ { v s , - } } & & { + T _ { v s , \# } } & & { \: + T _ { v , \updownarrow } , } \\ & { T _ { w s } = T _ { w s , - } } & & { + T _ { w s , \# } } & & { \: + T _ { w , \updownarrow } . } \end{array}
\widetilde { B } _ { 2 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ~ = ~ \frac { 1 } { 6 } \bigg [ \widetilde { A } ( x _ { 1 } ) ~ - ~ 2 x _ { 2 } ~ \widetilde { B } _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ~ + ~ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ~ \widetilde { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \bigg ]
\int _ { 0 } ^ { \infty } \! d x \, x ^ { \nu - 1 } { \frac { \exp ( a x ) } { \exp ( b x ) - 1 } } = { \frac { \Gamma ( \nu ) } { b ^ { \nu } } } \zeta [ \nu , 1 - { \frac { a } { b } } ] ,
\int _ { { \nu } _ { m i n } ( E _ { R } ) } ^ { \infty } \frac { d ^ { 3 } \overrightarrow { \nu } } { \nu } f _ { \oplus } ( \overrightarrow { \nu } , \overrightarrow { \nu _ { o b s } } ) = { \zeta } ( E _ { R } ) ,
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = \frac { 2 - 3 2 \left( 1 + 2 \sqrt { 3 } \right) \left( y + 4 y ^ { 3 } \right) \cos ( \frac { \sqrt { 3 } t + \pi } { 3 } ) + 1 6 y ^ { 2 } \big ( 8 \sqrt { 3 } + 5 - 4 \sin ( \frac { 4 \sqrt { 3 } t + \pi } { 6 } ) \big ) + 3 2 y ^ { 4 } } { 4 \Big ( 4 \sqrt { 3 } y \sin ( \frac { t } { \sqrt { 3 } } ) - 4 y \cos ( \frac { t } { \sqrt { 3 } } ) + 4 y ^ { 2 } + 1 \Big ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { L _ { \xi } } { \alpha ^ { i } \phi \; d x } + \int _ { L _ { \xi } } { \partial _ { 2 } \tilde { k } ^ { i } \partial _ { 1 } \phi \; d x } = \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m } } \; \phi ( 1 ) \int _ { - \frac { \xi } { 2 } } ^ { \frac { \xi } { 2 } } \tilde { B } _ { n } ^ { i 2 } ( 1 , x _ { 2 } ) d x _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \lambda _ { i } } \mathcal L = \left[ g ^ { \prime } ( \lambda _ { i } ) ( u _ { i } ( \xi ) - \mathcal G _ { \mathbf \theta } ( \mathbf { v } _ { i } ) ( \xi ) ) ^ { 2 } \right] ^ { T } . } \end{array}
\bigg ( \mu { \frac { \partial } { \partial \mu } } + \beta ( g ) { \frac { \partial } { \partial g } } \bigg ) \, S _ { I J } = - \bigg [ \Gamma _ { I I ^ { \prime } } \delta _ { J J ^ { \prime } } + \delta _ { I I ^ { \prime } } \Gamma _ { J J ^ { \prime } } \bigg ] S _ { I ^ { \prime } J ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r } { \tilde { R } _ { \infty i j \infty ; \underbrace { \scriptstyle \infty \cdots \infty } _ { k - 1 } } ^ { \prime } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = 1 } = { \cal B } ( x ) ^ { 2 k } \big ( \tilde { R } _ { \infty i j \infty ; \underbrace { \scriptstyle \infty \cdots \infty } _ { k - 1 } } + \Upsilon _ { i } \tilde { R } _ { \infty 0 j \infty ; \underbrace { \scriptstyle \infty \cdots \infty } _ { k - 1 } } + \Upsilon _ { j } \tilde { R } _ { \infty i 0 \infty ; \underbrace { \scriptstyle \infty \cdots \infty } _ { k - 1 } } \big ) | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \left( \frac { 6 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) } & { { } = } & { - \frac { 3 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 3 } } \frac { \partial m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { \partial \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ j ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \frac { \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \sigma _ { a 2 } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \sigma _ { b 2 } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \mathbb { V } \{ b _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ b _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
F _ { S } ( \boldsymbol { r } ) = \int _ { V } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } _ { h } | \psi _ { S } ^ { \boldsymbol { Q } = 0 } ( \boldsymbol { r } _ { e } = \boldsymbol { r } _ { h } + \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } _ { h } ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 3 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } } \end{array}
W _ { \mu \nu } \, l ^ { \mu \nu } = 4 \, \{ 2 \, q ^ { 2 } \, w _ { 1 } + [ \, 4 \, E _ { e } \, ( \, q _ { 0 } - E _ { e } \, ) - q ^ { 2 } \, ] \, w _ { 2 } + 2 \, q ^ { 2 } \, ( \, 2 \, E _ { e } - q _ { 0 } ) \, w _ { 3 } \, \} .
\begin{array} { r l } { \dot { x } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { { } = w _ { 1 } y + w _ { 2 } z } \\ { \dot { y } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { { } = w _ { 3 } x + w _ { 4 } y } \\ { \ddot { x } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { { } = w _ { 1 } \dot { y } + w _ { 2 } \dot { z } = w _ { 2 } w _ { 7 } x z + w _ { 2 } w _ { 6 } z + w _ { 1 } w _ { 4 } y + w _ { 1 } w _ { 3 } x + w _ { 2 } w _ { 5 } } \end{array}
\rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \equiv \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } )
\begin{array} { r l } { e ^ { - \langle t , \Theta \rangle } ( Y _ { e ^ { t } } - \Delta _ { t } Y ) = } & { \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } , i \neq \bf { 0 } } ( - 1 ) ^ { 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { N } i _ { l } } e ^ { - \langle t - i , \Theta \rangle } e ^ { - \langle i , \Theta \rangle } Y _ { e ^ { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , e ^ { t _ { N } - i _ { N } } } } \\ { = } & { \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } , i \neq \bf { 0 } } ( - 1 ) ^ { 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { N } i _ { l } } e ^ { - \langle i , \Theta \rangle } X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , { t _ { N } - i _ { N } } } = \langle \hat { \Theta } , \hat { X } _ { t } ^ { - } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \scriptsize \dot { x } _ { i } ^ { r } ( t ) = } & { - \delta _ { i } ^ { r } ( t ) x _ { i } ^ { r } ( t ) + \Big ( ( 1 - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { \ell } ( t ) ) \times } \\ & { \big ( \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \beta _ { i j } ( t ) ^ { r } x _ { j } ^ { r } ( t ) + \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { q } \beta _ { i j } ^ { w r } ( t ) w _ { j } ^ { r } ( t ) \big ) \Big ) , } \end{array}
D ( Q ^ { 2 } ) \simeq { \frac { C ( \mu _ { I } ) } { Q ^ { 2 n } } } + \int _ { \mu _ { I } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \ a ( k ^ { 2 } ) \, P h i \left( { \frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r } { \left[ \sum _ { i = 0 } ^ { K } \mu _ { i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } f _ { j } \right) \sigma _ { k } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( f _ { h } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \right] \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { l } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { l } } \right) - \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } f _ { l } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf q ( \theta ) ^ { \ell } = ( c _ { x } ^ { \ell } , c _ { y } ^ { \ell } ) + r ^ { \ell } ( \theta ) ( \cos ( 2 \pi \theta ) , \sin ( 2 \pi \theta ) ) , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] , } \\ { r ^ { \ell } ( \theta ) = a _ { 0 } ^ { \ell } + 2 \sum _ { q = 1 } ^ { Q } a _ { q } ^ { \ell } \cos ( 2 \pi q \theta ) + 2 \sum _ { q = 1 } ^ { Q } b _ { q } ^ { \ell } \sin ( 2 \pi q \theta ) , } \end{array}
I = \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } { b ( \delta _ { 1 } + r ) } } \right) ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d + 1 0 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b ( \delta _ { 1 } + r ) } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } \right) \, d r \leq c ^ { \prime } \epsilon .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) d s } & { = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } c _ { 3 } \beta _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s + E _ { t } ^ { n } , } \end{array}
2 [ A - B - 1 + 2 p ^ { \prime } ] x = 2 A ( 1 - p ^ { \prime } ) + 2 B p ^ { \prime } + p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) - p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) - \frac { 2 ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 3 } A + 2 p ^ { 3 } B } { p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { Q } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ \mathcal { Q } ( \mathcal { N } ) , \mathcal { Q } ( \mathcal { N } ^ { c } ) \} , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { Q } _ { \mathrm { t o t } } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) } & { = \mathcal { Q } ( \mathcal { N } ) + \mathcal { Q } ( \mathcal { N } ^ { c } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf u } _ { \mathrm { l f } } ( { \bf r } ) } & { = \frac { 3 v } { 2 } \frac { a ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \left[ P _ { 1 } ( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } ) \, { \bf \hat { r } } - \frac { \bf t } { 3 } \right] + 3 \, \beta _ { 2 0 } ^ { r } \left( \frac { a ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } - \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \, P _ { 2 } ( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } ) \, { \bf \hat { r } } } \\ & { + \beta _ { 2 0 } ^ { r } \frac { a ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } P _ { 2 } ^ { \prime } \left( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } \right) [ ( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } ) { \bf \hat { r } } - { \bf t } ] - \gamma _ { 2 0 } ^ { \, r } \, \frac { a ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \, P _ { 2 } ^ { \prime } \left( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } \right) { \bf t } \times { \bf \hat { r } } \, , } \\ { p _ { \mathrm { l f } } ( { \bf r } ) } & { = - 2 \eta \, \beta _ { 2 0 } ^ { r } \, \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } \, P _ { 2 } \left( { \bf t } \cdot { \bf \hat { r } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { \partial _ { t } \left\{ C \int _ { \infty } ^ { \pm \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s \right\} = \pm C \dot { \alpha } ( t ) x e ^ { - \frac { [ \alpha ( x ) ] ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { \partial _ { x } \left\{ C \int _ { \infty } ^ { \pm \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s ) \right\} = \pm C \alpha _ { t } e ^ { - \frac { [ \alpha ( x ) ] ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { \partial _ { x x } \left\{ C \int _ { \infty } ^ { \pm \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s ) \right\} = - ( \pm ) C \alpha ^ { 3 } ( t ) x e ^ { - \frac { [ \alpha ( x ) ] ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { \partial _ { t } \left[ h _ { \pm } ( x , t ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x x } \left[ h _ { \pm } ( x , t ) \right] = \pm C \left[ \dot { \alpha } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 3 } ( t ) \right] x e ^ { - \frac { [ \alpha ( x ) ] ^ { 2 } } { 2 } } = 0 , } \\ { † \dot { \alpha } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 3 } ( t ) = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha _ { t } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { T - t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}