harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\chi ^ { 2 } ( \vec { \lambda } , \xi _ { s } , \xi _ { b } ) = \operatorname* { m i n } _ { \vec { \rho } , \xi _ { s } , \xi _ { b } } ~ \Big [ { { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } } \big ( y _ { i } - x _ { i } - x _ { i } \mathrm { ~ l ~ n ~ } \frac { y _ { i } } { x _ { i } } \big ) + \xi _ { s } ^ { 2 } + \xi _ { b } ^ { 2 } } ~ \Big ] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } } & { { } = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { b 1 } = 0 . 1 3 5 5 \, , \quad \sigma = \frac { 2 } { 3 } \, , \quad c _ { b 2 } = 0 . 6 2 2 \, } & { { } , \quad \kappa = 0 . 4 1 \, , \quad c _ { w 2 } = 0 . 3 \, , \quad c _ { w 3 } = 2 \, , } \\ { c _ { v 1 } = 7 . 1 \, , \quad c _ { t 3 } = 1 . 2 \, , \quad c _ { t _ { 4 } } = 0 . 5 \, } & { { } , \quad c _ { w 1 } = \frac { c _ { b 1 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 1 + c _ { b 2 } } { \sigma } } \end{array}
{ \boldsymbol { \omega } } = ( { \dot { \alpha } } \sin \beta \sin \gamma + { \dot { \beta } } \cos \gamma ) \mathbf { i } + ( { \dot { \alpha } } \sin \beta \cos \gamma - { \dot { \beta } } \sin \gamma ) \mathbf { j } + ( { \dot { \alpha } } \cos \beta + { \dot { \gamma } } ) \mathbf { k }
T ^ { \mu \nu } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \left( \eta ^ { \mu \alpha } \eta ^ { \nu \beta } + \eta ^ { \mu \beta } \eta ^ { \nu \alpha } - \eta ^ { \mu \nu } \eta ^ { \alpha \beta } \right) \partial _ { \alpha } { \bar { \psi } } \, \partial _ { \beta } \psi - \eta ^ { \mu \nu } m c ^ { 2 } { \bar { \psi } } \psi .
E _ { c } = \frac { 2 n r _ { \mathrm { B H } } ^ { n - 1 } \Omega _ { n } } { 1 6 \pi G _ { n + 2 } } , \ \ \ 2 E - E _ { c } = - \frac { 2 n r _ { \mathrm { B H } } ^ { n + 1 } \Omega _ { n } } { 1 6 \pi G _ { n + 2 } l _ { n + 2 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { C ^ { \prime } C Q } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } p _ { x ^ { \prime } , x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C } \langle x ^ { \prime } , x | \otimes \rho _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \\ & { \rho _ { C Q } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } p _ { x ^ { \prime } , x } | x \rangle _ { C } \langle x | \otimes \rho _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \end{array}
4 [ \frac { 1 } { 4 } b ^ { 2 } r ^ { 2 } - \frac { 1 } { r } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } r + \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { r ^ { 2 } } ] \Psi = E ^ { 2 } \Psi
\frac { 1 } { a _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } } = \frac { \Gamma [ \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ] } { \Gamma [ \alpha _ { 1 } ] \Gamma [ \alpha _ { 2 } ] } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \frac { x ^ { \alpha _ { 1 } - 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha _ { 2 } - 1 } } { [ x a _ { 1 } + ( 1 - x ) a _ { 2 } ] ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { | d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) - \mathrm { i } W ( j ) | } & { = | ( \varepsilon ^ { 2 } \mathtt { m } _ { \alpha , 1 } ( \omega ) + \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ) \lambda _ { \alpha } ( j ) + \mathfrak { m } _ { 1 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) + r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) | } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 2 } | \lambda _ { \alpha } ( j ) | \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\langle D ^ { + } \pi ^ { - } | \, ( \bar { d } u ) _ { L } \, ( \bar { c } b ) _ { L } | \, B ^ { 0 } \rangle \stackrel { ? } { = } \langle D ^ { + } | \, ( \bar { c } b ) _ { L } | \, B ^ { 0 } \rangle \ \langle \pi ^ { - } | \, ( \bar { d } u ) _ { L } \, | \, 0 \rangle \ ,
\begin{array} { r } { k _ { 0 } ^ { * } ( 1 - c ) \left( a _ { + } \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } ( - \eta _ { f } , \lambda ) - c \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } ( \eta _ { f } , \lambda ) \right) } \end{array}
\eta \equiv \frac { 1 } { m _ { p } ^ { 2 } } \left| \frac { V ^ { \prime \prime } } { V } \right| \ll 1 ; ~ ~ ~ ~ \epsilon \equiv \frac { 1 } { m _ { p } ^ { 2 } } \left| \frac { V ^ { \prime } } { V } \right| \ll 1
a _ { + } + a _ { - } = S _ { c } ^ { 2 } + S _ { o } ^ { 2 } - \frac { 2 \mu R _ { 0 } ^ { 2 } E ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } + \frac { 4 \mu R _ { 0 } ^ { 2 } E } { \hbar ^ { 2 } } \; .
\partial _ { \alpha } \, \Gamma ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( \Phi _ { c } ) \ = \ \left( \, \partial _ { \alpha } \, W ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } \right) ( J ) \, \vert _ { \, J = J ( \Phi _ { c } ) } \quad .
\begin{array} { r l } { \bigg | \langle v \rangle ^ { 2 } \left[ \nabla _ { ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) \right] _ { i j } \bigg | } & { \leq C \bigg | \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( \sqrt { C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } } , C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } , C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } ) } { ( C _ { 0 } e ^ { - C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( C _ { q } \overbar { M } ^ { - \frac { 5 } { 3 } } e ^ { - \frac { 5 } { 3 } C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } ) ^ { \beta _ { i j } } } \bigg | . } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { x \to a } f ( x ) = \operatorname* { i n f } \{ \operatorname* { s u p } \{ f ( x ) : x \in E \cap U \setminus \{ a \} \} : U \ \mathrm { o p e n } , a \in U , E \cap U \setminus \{ a \} \neq \emptyset \}
\begin{array} { r } { { S } _ { k } = \int _ { 0 } ^ { \ell } { \left( { u } _ { k } ^ { \prime } \left( x \right) \right) } ^ { 2 } \mathrm { d } x \approx \frac { h } { 3 } \left[ { \left( { u } _ { k } ^ { \prime } \left( { x } _ { 0 } \right) \right) } ^ { 2 } + { \left( { u } _ { k } ^ { \prime } \left( { x } _ { m } \right) \right) } ^ { 2 } + { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { m / 2 } { { \left( { u } _ { k } ^ { \prime } \left( { x } _ { { 2 } { i } - 1 } \right) \right) } ^ { 2 } } + { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m / 2 - 1 } { { \left( { u } _ { k } ^ { \prime } \left( { x } _ { { 2 } { i } } \right) \right) } ^ { 2 } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { c c } { 0 \leq \theta \leq \theta _ { r } : } & { j ^ { + } = \frac { 1 } { 2 \left( 1 + \cos \theta _ { r } \right) } < 0 , \ j ^ { - } = 0 , } \\ { \theta _ { r } < \theta \leq \pi : } & { j ^ { + } = - \frac { 1 } { 2 \left( 1 - \cos \theta _ { r } \right) } > 0 , \ j ^ { - } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X , S , I } ( y ) = \, } & { - \left[ \left( \lambda _ { X } I + \frac { \tau _ { \overline { { X } } } ( y ) } { s } + \tau _ { G } ( y ) \right) S - \gamma I \right] n _ { S , I } ^ { X } + \gamma ( I + 1 ) n _ { S , I + 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } } \\ { \, } & { + \left( \lambda _ { X } ( I - 1 ) + \frac { \tau _ { \overline { { X } } } ( y ) } { s } + \tau _ { G } ( y ) \right) ( S + 1 ) n _ { S + 1 , I - 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ I \geq 1 \right\} } . } \end{array}
a _ { f } = c _ { 2 } ( B ) + \left( 1 1 + \frac { n ^ { 3 } - n } { 2 4 } \right) c _ { 1 } ( B ) ^ { 2 } - \frac { 3 n } { 2 \l } \left( \l ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) = 1 7
\begin{array} { r l } { \lefteqn { - \nabla \cdot \! \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { * } - 1 } \mathbf { A } _ { m , n , 0 } ( t , x ) \mathbf { q } _ { m , n , 0 } ^ { \kappa _ { m } } ( t ) } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( \xi ) - e _ { 0 } } & { = K e ^ { \lambda _ { 1 , + } \xi } u _ { 1 } + o _ { \xi \to - \infty } ( e ^ { \lambda _ { 1 , + } \xi } ) } \\ { \quad \mathrm { ( a n d ~ } u ( \xi ) - e _ { 0 } } & { = K e ^ { \lambda _ { 1 , - } \xi } u _ { 1 } + o _ { \xi \to + \infty } ( e ^ { \lambda _ { 1 , - } \xi } ) \, , \mathrm { ~ r e s p e c t i v e l y ) } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { \widehat { \theta } _ { N , T } - \theta _ { 0 } } \\ { \widehat { \beta } _ { N , T } - \beta _ { 0 } } \end{array} \right) } \\ & { \quad \quad = \frac { \sigma } { 1 - J _ { 1 } J _ { 2 } } \left( \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) - \frac { J _ { 1 } } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \\ { - \frac { J _ { 2 } } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) + \frac { 1 } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } g _ { \alpha , i } \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta }
S _ { k } = \Phi _ { B _ { m } } ^ { \dot { A } _ { n } } \left( i \partial _ { \beta _ { m + 1 } \dot { \alpha } _ { n } } \Lambda _ { \dot { A } _ { n - 1 } } ^ { B _ { m + 1 } } + i \partial _ { \dot { \alpha } _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } \cdots i \partial _ { \dot { \alpha } _ { n } } ^ { \beta _ { n } } \Gamma ^ { \beta _ { n + 1 } \cdots \beta _ { m } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { q _ { e q , a } ( \mathbf { r } _ { a } ) } & { { } \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathbf { r } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } _ { a } \cdot \mathbf { h } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) } { F ( \mathbf { r } _ { a } , \mathbf { r } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) ) } d t } \\ { \implies ( I _ { 1 } + } & { { } I _ { 2 } ) q _ { e q , a } ( \mathbf { r } _ { a } ) = I _ { 1 } q _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { a } ) + I _ { 2 } q _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { a } ) . } \end{array}
- n _ { 0 } m _ { e } u _ { e 0 } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { e 1 } } { \partial z ^ { 2 } } - n _ { 0 } m _ { i } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i 1 } } { \partial t \partial z } - \kappa T _ { e } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } = 0 .
\begin{array} { r l r } { j } & { = } & { \frac { b + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } } { 3 } = \frac { ( \beta - 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } ) } { 3 } , } \\ { i } & { = } & { \alpha - a } \\ & { = } & { \alpha - ( m + 1 ) j + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } } \\ & { = } & { \alpha + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } - ( m + 1 ) \frac { b + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } } { 3 } } \\ & { = } & { \alpha + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } - ( m + 1 ) \frac { ( \beta - 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } ) } { 3 } } \\ & { = } & { \gamma + e - 1 - m - a } \\ & { = } & { \gamma + e - 1 - m + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } - ( m + 1 ) \frac { ( \beta - 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } ) } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \mu } } & { { } \mapsto x ^ { \mu } - i \epsilon s \bar { m } ^ { \alpha } \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } { m } _ { \alpha } , } \\ { p _ { \mu } } & { { } \mapsto p _ { \mu } + i \epsilon s \bar { m } ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } { m } _ { \alpha } . } \end{array}
\Gamma _ { \mu \nu \lambda } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , q ) = g _ { \mu \nu } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) _ { \lambda } + g _ { \nu \lambda } ( k _ { 2 } + q ) _ { \mu } - g _ { \lambda \mu } ( k _ { 1 } + q ) _ { \nu }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \vartheta + u \cdot \nabla _ { x } \vartheta + \frac { \vartheta + \pi ( \vartheta ) } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } ( j _ { f } - \rho _ { f } u ) = - \frac { \vartheta + \pi ( \vartheta ) } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \, u + \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert v - u \vert ^ { 2 } f \, \mathrm { d } v . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi ( { \boldsymbol x } ) = \mathcal { F } _ { \mathrm { 3 D } } \left[ \cos \left( { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \sin \left( { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \cos \left( { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \sin \left( { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \cos \left( { \boldsymbol b _ { 3 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \sin \left( { \boldsymbol b _ { 3 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \right] \, . } \end{array}
\mathcal { L } ( \theta ; \mathcal { D } _ { \mathrm { t r a i n } } ) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \left\| \tilde { e } _ { k } ( t _ { n } + h _ { n , k } ) - G _ { \theta } ^ { \epsilon } ( x _ { k } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m , k } ^ { n } , \lambda _ { k } ) ( h _ { n , k } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ,
\sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r ^ { * } [ R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) _ { h } ^ { H } ] ( \mathbf { z } _ { 0 } ) d s + \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r _ { \Gamma } ^ { * } [ R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) _ { h } ^ { H } ] ( \mathbf { z } _ { 0 } ) d s , \qquad \forall w \in \mathcal { V } _ { 0 } ^ { B _ { h } } ,
\begin{array} { r l } { ( a _ { 3 } ^ { \dagger } + a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } & { { } \xrightarrow { M , \Phi } - e ^ { i \phi _ { 1 } } a _ { 3 } ^ { \dagger } - e ^ { i \phi _ { 2 } } a _ { 4 } ^ { \dagger } } \end{array}
A \; \simeq \; i 2 \pi ^ { 2 } \: M _ { \psi } \: e _ { c } g _ { J } \: \alpha _ { S } \; \left[ \frac { x g ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } { \overline { { { Q } } } ^ { 4 } } \; + \; \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } \; \frac { d k _ { T } ^ { 2 } } { \overline { { { Q } } } ^ { 2 } \: ( \overline { { { Q } } } ^ { 2 } + k _ { T } ^ { 2 } ) } \; \frac { \partial x g ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) } { \partial k _ { T } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { F _ { \theta \theta } } & { = n ^ { 2 } r [ f ^ { \prime \prime } ( \rho ) ( \rho ^ { \prime } ) ^ { 2 } - f ^ { \prime } ( \rho ) \rho ] + m n r [ f ^ { \prime \prime } ( \xi ) ( \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - f ^ { \prime } ( \xi ) \xi + f ^ { \prime \prime } ( \eta ) ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } - f ^ { \prime } ( \eta ) \eta ] } \\ & { = n ^ { 2 } r [ - f ^ { \prime } ( \rho ) \rho ] + m n r [ 2 f ^ { \prime \prime } ( \xi ) ( \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 f ^ { \prime } ( \xi ) \xi ] > 0 . } \end{array}
z _ { R } ^ { * } = 1 - \epsilon \left( - \frac { A _ { 0 } } { z _ { c } \beta _ { 2 } } - \frac { \sqrt { \delta } } { a } + \frac { \delta A _ { 1 } } { z _ { c } \beta _ { 2 } A _ { 0 } } \right) .
P _ { L } = { \frac { \Gamma ( D ^ { 0 } \rightarrow \rho ^ { + } \bar { K } _ { l o n g i t u d i n a l } ^ { * - } ) } { \Gamma ( D ^ { 0 } \longrightarrow \rho ^ { + } \bar { K } ^ { * - } ) } } = { \frac { 2 . 9 \pm 1 . 2 } { 6 . 1 \pm 2 . 4 } } = 0 . 4 7 5 \pm 0 . 2 7 1
H _ { B I } \stackrel { < } { \sim } \frac { ( 6 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 2 } ) \beta ^ { 9 / 2 } { \cal C } ^ { 2 } } { \sqrt { N _ { e } N } ( 1 + N _ { r } / ( 2 \kappa _ { M } N ) ) ^ { 1 1 / 4 } } M _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { l c b } _ { d - 1 } ( x _ { 2 } ^ { \ell } , x _ { 3 } ^ { \ell } , x _ { 4 } , \ldots , x _ { d } ; } & { R / J ^ { ( m i + 1 ) } ) \leq } \\ & { \operatorname { l c b } _ { d - 1 } ( x _ { 2 } ^ { \ell } , x _ { 3 } ^ { \ell } , x _ { 4 } , \ldots , x _ { d } ; \operatorname { E x t } _ { S } ^ { h + 1 } ( \operatorname { E x t } _ { S } ^ { h + 1 } ( R / J ^ { m i + 1 } , S , S ) ) + 1 . } \end{array}
I _ { a v g } [ n , m ] = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { M - 1 } ( I _ { r a w } \times \overline { { B _ { f l a g } } } ) [ n \times N + i , m \times M + j ] } { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { M - 1 } \overline { { B _ { f l a g } } } [ n \times N + i , m \times M + j ] }
m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } = B _ { 0 } ( m _ { s } + m _ { u } ) , \qquad m _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } = B _ { 0 } ( m _ { s } + m _ { d } ) , \qquad m _ { \pi ^ { \pm } } ^ { 2 } = B _ { 0 } ( m _ { u } + m _ { d } ) = 2 B _ { 0 } \hat { m } .
\underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } \equiv \int d \mathbf { v } M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) f _ { \ast s } .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 1 } } & { = \frac { \epsilon _ { Q L S A } } { \kappa _ { M } ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 \mathcal { K } } } \\ { \epsilon _ { 2 } } & { = \frac { \epsilon _ { 1 } } { 2 \sqrt { \| V \| _ { F } ^ { 2 } + \| A \| _ { F } ^ { 2 } } } } \\ { \epsilon _ { 3 } } & { = \epsilon _ { 2 } } \\ { \epsilon _ { 4 } } & { = \sqrt { 2 } \epsilon _ { 2 } , } \end{array}
{ { A } _ { n } } = - i { \frac { { \omega } _ { n } } { 2 { { n } _ { n \omega } } c } } { { \left( { { A } _ { 0 } } { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } \right) } ^ { n } } z _ { R } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { z } { { \frac { { { \chi } ^ { ( n ) } } ( u ) } { q { { ( u ) } ^ { 2 } } } } d u } \exp \left( i { { k } _ { n } } { \frac { { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } } { 2 q ( z ) } } \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { \psi 0 } = \tilde { \mu } _ { 0 } = } & { { } - \partial _ { \xi \xi } \tilde { \psi } _ { 0 } + \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \tilde { \psi } _ { 0 } ^ { 2 } - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \hat { b } _ { \mathrm { i n } } } ^ { r / b } ( \omega ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { i g _ { b } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F ^ { ( 3 ) } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } , \delta _ { v } , n _ { 1 } , n _ { 2 } , l ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } [ 1 + \delta _ { v } \cos ( n _ { 2 } \tau ) ] e ^ { i ( A _ { 0 } \sin ( \tau ) + A _ { 1 } \sin ( n _ { 1 } \tau ) } e ^ { - i \tau } d \tau } \\ & { = F ^ { ( 1 ) } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } , n _ { 1 } , l ] } \\ & { \; \; \; \; + \frac { \delta _ { v } } { 2 } \bigl \{ F ^ { ( 1 ) } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } , n _ { 1 } , l + n _ { 2 } ] + F ^ { ( 1 ) } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } , n _ { 1 } , l - n _ { 2 } ] \bigl \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \sigma \cdot \mathrm { B R } ) ( i \to { H } \to f ) = \frac { \sigma _ { i } ^ { \mathrm { S M } } \kappa _ { i } ^ { 2 } \cdot \Gamma _ { f } ^ { \mathrm { S M } } \kappa _ { f } ^ { 2 } } { \Gamma _ { H } ^ { \mathrm { S M } } \kappa _ { H } ^ { 2 } } } \\ & { } & { = \frac { \kappa _ { i } ^ { 2 } \cdot \kappa _ { f } ^ { 2 } } { \kappa _ { H } ^ { 2 } } \left[ ( \sigma \cdot \mathrm { B R } ) ( i \to { H } \to f ) \right] _ { \mathrm { S M } } \, , } \end{array}
\mathrm { K } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { i } \right) = \exp \left( - \frac { \left\| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \, ,
\mathrm { ~ G ~ D ~ - ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { t e s t } } \cdot \sum _ { k } ^ { N _ { t e s t } } { \left( x _ { 1 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } + x _ { 2 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } ^ { k } } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } \right) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \sqrt { - g } \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \mu } T ^ { \mu } _ { \lambda } + \nabla _ { \nu } \nabla _ { \mu } ( \sqrt { - g } \Delta ^ { \mu \nu } _ { \lambda } ) + \sqrt { - g } \overline { { R } } _ { \lambda \mu \nu } ^ { \rho } \Delta ^ { \mu \nu } _ { \rho } + \nabla _ { \mu } ( \sqrt { - g } \Delta ^ { \mu \nu } _ { \rho } ) T ^ { \rho } _ { \nu \lambda } = 0 \, , } \end{array}
s ^ { 2 } = s _ { z } ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { w } + \textbf { x } ^ { T } ( \lambda \textbf { I } + \textbf { X } ^ { T } \textbf { W } \textbf { X } ) ^ { - 1 } \textbf { x } \right] \: ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| p _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - ( \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { p } _ { t - 1 } \big ) + p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| p _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| p _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { H _ { 1 } \tilde { H } _ { 1 } } d t ^ { 2 } - \frac { H _ { 1 } } { \tilde { H } _ { 1 } } d s _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { \tilde { H } _ { 1 } } { H _ { 1 } } d s _ { 1 } ^ { 2 } - H _ { 1 } \tilde { H } _ { 1 } d s _ { 3 } ^ { 2 } \quad , \quad e ^ { - 2 \phi } \sim 1 \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 - \rho } } \left( 1 - \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u _ { \varepsilon } ) \right) d x } & { = \int _ { B _ { 1 - \rho } \cap Z _ { \varepsilon } ^ { \tau / 4 } } \left( 1 - \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u _ { \varepsilon } ) \right) d x + \int _ { B _ { 1 - \rho } \cap F _ { \varepsilon } ^ { \tau / 4 } } \left( 1 - \mathcal { F } _ { \varepsilon } ( u _ { \varepsilon } ) \right) d x } \\ & { \leq ( 1 - \mathcal { F } ( \tau / 4 ) ) | B _ { 1 - \rho } \cap Z _ { \varepsilon } ^ { \tau / 4 } | + | B _ { 1 - \rho } \cap F _ { \varepsilon } ^ { \tau / 4 } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { { } = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \Big [ \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { C } _ { \kappa } ( \varpi , p ) + \bar { C } _ { \kappa } ( - \omega + \varpi , p ) \Big ] \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ { \partial _ { s } \bar { R } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { { } = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \Big [ \bar { R } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { R } _ { \kappa } ( \varpi , p ) + \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega + \varpi , p ) \Big ] \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k } \gamma _ { k } \mathcal { V } _ { k } } & { = - c \sum _ { k } \gamma _ { k } + i \Omega \sum _ { k } \gamma _ { k } \overline { { \zeta _ { k } } } } \\ { \sum _ { k } \gamma _ { k } \zeta _ { k } \mathcal { V } _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \sum _ { j < k } \gamma _ { j } \gamma _ { k } - c \sum _ { k } \gamma _ { k } \zeta _ { k } + i \Omega \sum _ { k } \gamma _ { k } | \zeta _ { k } | ^ { 2 } . } \end{array}