harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { d \mathbb { I } ( z , \widehat { \mathbf { e } } _ { 3 } } { d z } = - \mathsf { A } \psi _ { o } \exp ( - \mathsf { A } z ) \exp \left( \alpha ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } \theta ( z _ { 1 } ) d z _ { 1 } \right) } \\ & { + \psi _ { o } \exp ( - \mathsf { A } z ) \alpha ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { 2 } \theta ( z ) \exp \left( \alpha ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } \theta ( z _ { 1 } ) d z _ { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { d ^ { 2 } h } { d \rho ^ { 2 } } } { \left( 1 + \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { \kappa _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { d h } { d \rho } } { \rho \left( 1 + \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
d _ { i } = \frac { c \sqrt { m _ { i } } } { \sqrt { 4 \pi Z ^ { 2 } e ^ { 2 } n _ { 0 i } } } , \quad d _ { e } = \frac { c \sqrt { m _ { e } } } { \sqrt { 4 \pi e ^ { 2 } n _ { 0 e } } } = \sqrt \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 2 , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 2 , \le ( k - 2 ) } = \left( \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } \star \mathfrak { a } _ { 0 } \right) \star \mathfrak { a } _ { 0 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 1 ~ , } } \\ { \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 2 , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 2 , \le ( k - 2 ) } = ( \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } \star \mathfrak { a } _ { k - 1 } ) \star \mathfrak { a } _ { \le ( k - 1 ) } + ( \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } \star \mathfrak { a } _ { \le ( k - 1 ) } ) \star \mathfrak { a } _ { k - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ k \ge ~ 2 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { \mathrm { T D L } } ( t ) \in \mathbb { B } _ { \mathrm { T D L } } , \quad \forall t \in \mathbb { B } _ { \mathrm { T D L } } , } \\ & { \| \mathcal { F } _ { \mathrm { T D L } } ( t ) - \mathcal { F } _ { \mathrm { T D L } } ( s ) \| _ { \infty } \leqslant L \| t - s \| _ { \infty } , \quad \forall t , s \in \mathbb { B } _ { \mathrm { T D L } } , } \end{array}
\mathrm { e x p } ( \sqrt { 3 } \beta + 2 \sqrt { 3 } \Omega ) * [ - P _ { \Omega } ^ { 2 } + P _ { \beta } ^ { 2 } - 4 8 \mathrm { e x p } ( - 2 \sqrt { 3 } \Omega ) ] * \psi ( \Omega . \beta ) = 0 .
\begin{array} { r } { \Delta _ { D } = \frac { H } { J } \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - \frac { H } { J ^ { 2 } } \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( \theta ) = E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) + E ( \theta _ { \mathbf { a } ^ { \prime } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) + E ( \theta _ { \mathbf { a } ^ { \prime } } , \theta _ { \mathbf { b } ^ { \prime } } ) - E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\ln ( \gamma _ { i } ) = - { \frac { z _ { i } ^ { 2 } q ^ { 2 } \kappa } { 8 \pi \varepsilon _ { r } \varepsilon _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T } } = - { \frac { z _ { i } ^ { 2 } q ^ { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 1 / 2 } } { 4 \pi ( \varepsilon _ { r } \varepsilon _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T ) ^ { 3 / 2 } } } { \sqrt { 1 0 ^ { 3 } { \frac { I } { 2 } } } } = - A z _ { i } ^ { 2 } { \sqrt { I } } ,
{ \mathbb E } \| u _ { 0 , i } \| _ { L ^ { q } ( { \mathbb T } ^ { d } ) } ^ { q } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { s \downarrow 0 } { \mathbb E } \| u _ { i } ( s ) \| _ { L ^ { q } ( { \mathbb T } ^ { d } ) } ^ { q } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { s \downarrow 0 } { \mathbb E } \| u _ { i } ( s ) \| _ { L ^ { q } ( { \mathbb T } ^ { d } ) } ^ { q } \leq { \mathbb E } \| u _ { 0 , i } \| _ { L ^ { q } ( { \mathbb T } ^ { d } ) } ^ { q } .
\begin{array} { r l } { W ^ { \mathrm { o u t } } } & { = \operatorname * { a r g m i n } J ( W ^ { \mathrm { o u t } } ) } \\ & { = \operatorname * { a r g m i n } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \Big ( \sum _ { k = B I } ^ { T } ( x _ { i k } ^ { \mathrm { o u t } } - x _ { i k } ^ { \mathrm { t r a i n } } ) ^ { 2 } + \beta \| w _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \| ^ { 2 } \Big ) \, , } \end{array}
{ \scriptsize \begin{array} { r l } { \hat { C } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) + k ^ { 2 } - 1 } { 2 k ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g k \hat { \eta } _ { 0 , 1 } ^ { 2 } \frac { 3 ( k ^ { 2 } + 1 ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - 6 k \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { 2 ( \coth ( k h ) - k \coth ( h ) ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } + 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) - ( 2 k + 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( - k ^ { 2 } + 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } , } \\ { \hat { C } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k ^ { 2 } - 2 k ) \coth ^ { 2 } ( k h ) + ( 2 k - 1 ) \coth ^ { 2 } ( h ) + ( k ^ { 2 } - 1 ) \coth ( k h ) \coth ( h ) - k ^ { 2 } + 1 } { \coth ( k h ) - k \coth ( h ) } . } \end{array} }
\int \prod _ { i < j } \left( x _ { i } - x _ { j } \right) ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \exp \left( - \log ^ { 2 } x _ { i } / 2 g _ { s } \right) \left( 1 + \theta \sin \left( 2 \pi \log x \right) \right) \frac { d x _ { i } } { 2 \pi }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } N _ { \mu } } { \mathrm { d } E _ { \mu } \mathrm { d } \cos \theta _ { \mu } } } & { = } & { T \times N _ { D } \times \int \mathrm { d } E _ { \nu } \mathrm { d } \cos \theta _ { \nu } \mathrm { d } \phi _ { \nu } \left[ P _ { \mu \mu } \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \Phi _ { \mu } } { \mathrm { d } E _ { \nu } \mathrm { d } \cos \theta _ { \nu } d \phi _ { \nu } } + \right. } \\ & { } & { \left. P _ { e \mu } \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \Phi _ { e } } { \mathrm { d } E _ { \nu } \mathrm { d } \cos \theta _ { \nu } \mathrm { d } \phi _ { \nu } } \right] \times \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma _ { \mu } ^ { C C } } { \mathrm { d } E _ { \mu } \mathrm { d } \cos \theta _ { \mu } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { C } } [ \widehat { Q } _ { 0 , L } ^ { \mathrm { M L M C } } ] \leq } & { \ \varepsilon ^ { - 2 } \Bigg ( \bigg ( \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { b _ { w } } ( s ^ { \alpha _ { M } } - 1 ) } \bigg ) ^ { \frac { \gamma _ { M } } { \alpha _ { M } } } \frac { s ^ { 2 \gamma _ { M } } } { s ^ { \gamma _ { M } } - 1 } + \frac { \, c _ { 2 } \, c _ { 3 } } { ( 1 - b _ { w } ) } \bigg ( \frac { s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } \Bigg ) } \\ { = } & { \ C \, \varepsilon ^ { - 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta } \sin \theta ^ { \prime } \, d \theta ^ { \prime } \, d \phi } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { \theta } \sin \theta ^ { \prime } \, d \theta ^ { \prime } } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \theta } \sin \theta ^ { \prime } \, d \theta ^ { \prime } } \\ & { = 2 \pi \left[ - \cos \theta ^ { \prime } \right] _ { 0 } ^ { \theta } } \\ & { = 2 \pi \left( 1 - \cos \theta \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { F } \psi ) ( \omega , r , \theta , m ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i ( \omega t - m \phi ) } \psi ( t , r ^ { \star } \! , \theta , \phi ) \, d \omega , } \\ { \psi ( t , r , \theta , \phi ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \sum _ { m \in \mathbb { Z } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( \omega t - m \phi ) } ( \mathcal { F } \psi ) ( \omega , r ^ { \star } \! , \theta , m ) \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V ^ { o } ( x _ { 0 } ) < V ^ { e } ( x _ { 0 } ) } \\ { \Leftrightarrow } & { - 2 \lambda x _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } - \lambda ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 - d _ { 0 } } { d _ { 0 } } \Big ) < - 2 \lambda x _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } - \lambda ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \ell _ { k } } { 1 - \ell _ { k } } } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { 1 - d _ { 0 } } { d _ { 0 } } > \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \ell _ { k } } { 1 - \ell _ { k } } } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { 1 - \prod _ { k = 1 } ^ { N } ( 1 - \ell _ { k } ) } { \prod _ { k = 1 } ^ { N } ( 1 - \ell _ { k } ) } > \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \ell _ { k } } { 1 - \ell _ { k } } } \\ { \Leftrightarrow } & { \prod _ { k = 1 } ^ { N } ( h _ { k } + 1 ) - 1 > \sum _ { k = 1 } ^ { N } h _ { k } } \end{array}
\frac { \bar { F } } { A } = \frac { - 1 } { 2 \pi a } \frac { \partial \tilde { E } } { \partial a } = \frac { 1 } { 4 \pi \mu a ^ { 3 } } [ ( 0 . 0 0 1 3 5 - \frac { \ln a } { 6 4 } ) + \frac { 1 } { 6 4 } ] .
\begin{array} { r l } & { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) } \\ & { \leq ( 1 - \eta _ { t } \lambda \mu ) ( 1 + \frac { 4 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu } ) \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \eta _ { t } ( \frac { 1 } { 8 \gamma } + \eta _ { t } L _ { G } ) ( 1 - \eta _ { t } \lambda \mu ) \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { \eta _ { t } } { 2 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda L _ { g } ^ { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { L _ { g } \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - \eta _ { t } \lambda \mu ) ( 1 + \frac { 4 L _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu } ) \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \eta _ { t } \big ( \frac { 1 } { 8 \gamma } + \eta _ { t } L _ { G } - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 8 \gamma } - \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { G } \lambda \mu + \eta _ { t } ^ { 2 } L _ { g } ^ { 2 } \lambda \big ) \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { \eta _ { t } } { 2 } \big ( \frac { 1 } { \lambda } - L _ { g } \eta _ { t } \big ) \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } ) \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 4 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \boldsymbol \eta } } \left\{ { \cal E } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , { \boldsymbol \eta } , { \bf n } ) ~ \left\vert ~ \ \sum _ { I L } \eta _ { I L } \big \vert _ { l = 0 } = 0 \right. \right\} , } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } = \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \tau } , ~ \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } = \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { \xi , s } = } & { \left. \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { z , s } , x ) \wedge \omega ( z , 0 ) \right] \mathrm { d } z + \int _ { 0 } ^ { t } \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { \xi , s } , x ) \wedge g ( \xi , s ) \right] \right| _ { x = X _ { t } ^ { \xi , s } } \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { + \sqrt { 2 \nu } \mathrm { d } B _ { t } , \quad X _ { \tau } ^ { \xi , s } = \xi \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \tau \leq s . } \end{array}
L ( \theta ) = \mathbb { E } _ { s , a , s ^ { \prime } } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \Big \lbrace r ( s , a ) + \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) - Q _ { \theta } ( s , a ) \Big \rbrace ^ { 2 } \bigg ] ~ .
\begin{array} { r } { \left\lVert { \mathcal { L } } \chi - { \mathcal { L } } \psi \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ; V _ { 2 } ) } \leq L _ { 1 } \left\lVert \chi - \psi \right\rVert _ { H _ { \ell } } , } \\ { \left\lVert \partial _ { t } { \mathcal { L } } \chi - \partial _ { t } { \mathcal { L } } \psi \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ; V _ { r } ^ { \prime } ) } \leq L _ { 2 } \left\lVert \chi - \psi \right\rVert _ { H _ { \ell } } , } \end{array}
T _ { 2 } ^ { 1 } = 6 ( - 3 a _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 3 } + 3 a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 2 } ^ { 1 } c _ { 2 } ^ { 4 } - a _ { 2 } ^ { 0 } a _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 3 } - 3 c _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } } & { : = \{ \rho : | \Im \rho - t | \ge \delta \} , } \\ { Z _ { 2 } } & { : = \{ \rho : \rho \notin Z _ { 1 } , | 1 + i t - \rho | \ge \eta _ { 0 } , | i t - \rho | \ge \eta _ { 0 } \} , } \\ { Z _ { 3 } } & { : = \{ \rho : \rho \notin Z _ { 1 } , \rho \notin Z _ { 2 } , | 1 + i t - \rho | \ge \eta \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \log \frac { L ( { _ k \ddot { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } { L ( { _ m \hat { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } = \frac { n } { 2 } ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) I ( { _ m \ddot { \theta } } ) ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) ^ { t } + o _ { P ^ { _ m \ddot { \theta } } } ( 1 ) = \frac { n } { 2 } \| { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } \| _ { J } ^ { 2 } + o _ { P ^ { _ m \ddot { \theta } } } ( 1 ) . } \end{array}
\xi ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { B ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ G ~ D ~ D ~ } } ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ O ~ D ~ } } ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ F ~ O ~ D ~ } } ^ { * } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { - 2 6 7 . 4 2 2 \ p s ^ { 2 } } \\ { + 2 . 3 8 4 \ p s ^ { 3 } } \\ { - 9 5 4 . 8 9 \ p s ^ { 4 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } = } & { { } \sin ^ { 2 } ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( 2 \pi x _ { 2 } ) \cos \bigg ( \frac { \pi t } { T } \bigg ) } \\ { u _ { 2 } = } & { { } - \sin ( 2 \pi x _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \pi x _ { 2 } ) \cos \bigg ( \frac { \pi t } { T } \bigg ) , } \end{array}
\frac { 1 } { R } \ensuremath { \frac { \partial } { \partial R } } R q _ { s } [ e ] \approx = \frac { 4 . 6 6 n _ { e } T _ { e } ^ { 2 } } { m _ { e } \Omega _ { e } ^ { 2 } \tau _ { e } a ^ { 2 } } ,
Y _ { 3 } ^ { \mathrm { t r i a n g l e } } ( R ) = - \frac { 8 } { \sqrt 3 } \Lambda ^ { 2 } L _ { 3 } \left[ R ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } - R ^ { 4 } \Lambda ^ { 4 } - \frac { 4 \sqrt 3 } { 4 5 } R ^ { 5 } \Lambda ^ { 5 } + { \cal O } \left( R ^ { 6 } \Lambda ^ { 6 } \right) \right] .
\psi = [ ( t ^ { \prime } / t _ { 0 } ) - i ( x / x _ { 0 } ) ] ^ { | l | } e ^ { - ( x / x _ { 0 } ) ^ { 2 } - ( t / t _ { 0 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i k _ { 0 } x ^ { 2 } / 2 f }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P \check { f } } _ { i } = \mu _ { i } ( i \omega \mathbf { I } - \mathbf { A } ) \mathbf { \check { q } } _ { i } , \; \; \; \; } & { { } \mu _ { i } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } = ( - i \omega \mathbf { I } - \mathbf { A } ^ { * } ) \mathbf { \check { a } } , \; \; \; \; } & { \mathbf { P } ^ { * } \mathbf { \check { a } } = \mu _ { i } ^ { 2 } \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } . } \end{array}
\Pi _ { D } = - \frac { 1 } { 4 } \Bigg [ \Bigg ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigg ) \Bigg ] ^ { 2 } + \frac { \partial u } { \partial x } \frac { \partial v } { \partial y } .
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \frac { 1 } { J } } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { F } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { \textsf { T } } ~ ; ~ ~ J : = \operatorname* { d e t } { \boldsymbol { F } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \sigma _ { i j } = { \frac { 1 } { J } } ~ { \frac { \partial W } { \partial F _ { i K } } } ~ F _ { j K } ~ .
{ \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } = 1 + { \frac { 1 } { p ^ { s } } } + { \frac { 1 } { p ^ { 2 s } } } + { \frac { 1 } { p ^ { 3 s } } } + \ldots + { \frac { 1 } { p ^ { k s } } } + \ldots
y ( u ) = A y _ { 1 } ( u ) + B \left( y _ { 1 } ( u ) \log ( u - u _ { 0 } ) + ( u - u _ { 0 } ) ^ { \rho _ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ( u - u _ { 0 } ) ^ { n } \right) .
\mathfrak { u } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { v \eta } \, , \quad \mathfrak { u } ^ { ( 1 ) } = \frac { \varrho _ { 1 , \pm } u _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } { v \eta + \mu } \, , \quad \mathfrak { u } ^ { ( 2 ) } = \frac { \varrho _ { 1 , \pm } u _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } { v \eta + \mu } + \frac { \varrho _ { 2 , \pm } u _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { v \eta + 2 \mu } \, .
\Omega = - 2 V \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { C _ { 0 } } \frac { d z } { 2 \pi i } \left[ \mathrm { t a n h } ( \frac 1 2 \beta z ) f ( z , \mu ) - \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow \infty } \mathrm { t a n h } ( \frac 1 2 \beta z ) f ( z , 0 ) \right] ,
{ \mathcal L } _ { D 3 } = { \cal O } ( \Theta ^ { 0 } ) + Z ^ { - 1 } \left( - \frac { i } { 2 } \overline { { { \Theta } } } \Gamma ^ { i } D _ { i } \Theta - \frac { i } { 4 8 } e ^ { \phi } \overline { { { \Theta } } } \Gamma ^ { m n p } \Theta R e \left[ ( * _ { 6 } G ) _ { m n p } - i G _ { m n p } \right] \right)
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } \rangle \Big ] \leq } \\ & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big ( \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle \Big \} \Big ] . } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ( A | B ) _ { \tau } = - \log _ { 2 } \underset { \mathcal { E } } { \operatorname* { m a x } } ~ \mathrm { T r } \left[ \mathcal { E } _ { B \rightarrow B ^ { \prime } } ( \tau _ { A B } ) \gamma _ { A B ^ { \prime } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { w } _ { N } + 2 \mathbf { v } \right) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 , } \\ { \boldsymbol { \beta } _ { N } = } & { ~ - \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } . } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \gamma ^ { a } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \tau ^ { a } } } \\ { { - \tau ^ { a } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial X ^ { [ j ] } } } & { = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ i + 1 ] } } \cdot \frac { \partial R ^ { [ i + 1 ] } } { \partial X ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ N _ { B } ] } } \cdot \left[ \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } - 1 } \frac { \partial R ^ { [ k + 1 ] } } { \partial R ^ { [ k ] } } \right] \cdot \frac { \partial R ^ { [ i + 1 ] } } { \partial X ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ N _ { B } ] } } \cdot \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } - 1 } \left[ \mathcal { K } + \frac { 1 } { \partial R ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R ^ { [ k ] } ) \right) \right] \cdot \frac { \partial X ^ { [ ( i + 1 ) N _ { h } + 1 ] } } { \partial X ^ { [ j ] } } , } \\ & { = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ N _ { B } ] } } \cdot \prod _ { k = j } ^ { ( i + 1 ) N _ { h } } \frac { \partial X ^ { [ k + 1 ] } } { \partial X ^ { [ k ] } } \cdot \prod _ { k = i + 1 } ^ { N _ { B } - 1 } \left[ \mathcal { K } + \frac { 1 } { \partial R ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R ^ { [ k ] } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { A } { A _ { \lambda = 0 } } \sim \frac { \left( L ^ { - 1 / \nu } + \Sigma L ^ { - d } \right) ^ { p } } { L ^ { - p / \nu } } \sim 1 + c ^ { \prime } L ^ { 1 / \nu - d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e r r } } = \ } & { \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { - i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) + \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) } \\ { + } & { \hbar \Omega \hat { S } _ { - } e ^ { i \delta t } e ^ { - i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) + \hbar \Omega \hat { S } _ { - } e ^ { - i \delta t } e ^ { - i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) , } \end{array}
G _ { x } ^ { \mu } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( G _ { R } ^ { \mu } + G _ { L } ^ { \mu } ) , \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ G _ { z } ^ { \mu } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } ( G _ { R } ^ { \mu } - G _ { L } ^ { \mu } ) ,
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) = \frac { \widehat { L } e ^ { - \frac { \widehat { L } ^ { 2 } } { 2 D ( t _ { f } - t ) } } } { \sqrt { 2 \pi D ( t _ { f } - t ) ^ { 3 } } } } \end{array}
G _ { T } W _ { \mathrm { e f f } ; i } ^ { \ast } \frac { \pi _ { \lambda } } { \pi _ { i } } \left( 1 - \alpha _ { B } \right) = G _ { S } W _ { \mathrm { e f f } ; \lambda } ^ { \ast } \left( 1 - \alpha _ { B } \right) + M _ { i } ^ { 2 } + \beta _ { B } X _ { B }
{ \cal P } _ { n } \ = \ \mathrm { s p a n } \{ \tau _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \tau _ { 3 } ^ { n _ { 3 } } \tau _ { 4 } ^ { n _ { 4 } } \ldots \tau _ { N } ^ { n _ { N } } : 0 \leq \sum n _ { i } \leq n \} \ .
\begin{array} { r } { g _ { i j } ( t ) = \mathcal { M } _ { j } { \mathcal { H } } ^ { \boldsymbol { u } ( \textbf { r } ) } s _ { i } ( \textbf { r } , t ) \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } s _ { i } ( \textbf { r } , t ) = \mathcal { E } _ { i } x ( t ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } & { - \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \\ { \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } & { \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \end{array} \right]
\wp ( z ; \tau ) = \pi ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } ( 0 ; \tau ) \vartheta _ { 1 0 } ^ { 2 } ( 0 ; \tau ) { \frac { \vartheta _ { 0 1 } ^ { 2 } ( z ; \tau ) } { \vartheta _ { 1 1 } ^ { 2 } ( z ; \tau ) } } - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } \left[ \vartheta ^ { 4 } ( 0 ; \tau ) + \vartheta _ { 1 0 } ^ { 4 } ( 0 ; \tau ) \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { 0 \leq p _ { 1 } , \dots , p _ { m } } } & { \operatorname* { d e t } \left[ \kappa _ { N } \left( p _ { i } , p _ { j } \right) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } = [ 1 ] \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot \frac { 1 } { m ! } \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) + \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( v _ { i } ^ { - k } - u _ { i } ^ { - k } \right) \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}