harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } ( u \cdot \nabla \phi ) \| ^ { 2 } \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \big ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } \big ) } \\ & { \qquad \qquad \times \big ( \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { \frac { 5 } { 2 } } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { \frac { 5 } { 2 } } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { \frac { 5 } { 2 } } + \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { \frac { 5 } { 2 } } \big ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) \big ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L S _ { 1 1 } \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } \exp ( \mathrm { i } q ( 1 - j ) W ) [ L S _ { 1 2 } L \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( j ) } - \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( j ) } ] } & { { } = \beta \exp ( - \mathrm { i } q W ) [ \mathbf { A } ^ { - } - L S _ { 1 2 } L \mathbf { B } ^ { - } ] } \\ { S _ { 2 1 } \mathbf { \tilde { C } } ^ { ( 0 ) } + \exp ( \mathrm { i } q W ) [ S _ { 2 2 } L - I ] \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( 0 ) } + S _ { 2 2 } L \mathbf { \tilde { D } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - \beta \exp ( - \mathrm { i } q W ) S _ { 2 2 } L \mathbf { B } ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { G ( T , p , \{ \phi _ { k } \} ) } { V } = k _ { \mathrm { B } } T } & { \sum _ { i = 0 } ^ { M } \left[ \frac { \phi _ { i } } { \nu _ { i } } \log { \phi _ { i } } + \frac { \omega _ { i } \phi _ { i } } { \nu _ { i } } \right] } \\ { + \frac { 1 } { 2 } } & { \sum _ { i = 0 } ^ { M } \sum _ { j = 0 } ^ { M } \chi _ { i j } \phi _ { i } \phi _ { j } + p \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ b ~ } } ( \tau ) } & { { } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + V _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ } } \left[ r - \textbf { r } _ { m } ( \tau ) \right] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overbrace { { \frac { 1 } { T } } S _ { \frac { 1 } { T } } \left( { \frac { k } { N T } } \right) } ^ { S [ k ] } \, } & { { } \triangleq \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } s ( n T ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k n } { N } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \operatorname* { m a x } [ \operatorname { I } ( W _ { 1 } ; C _ { 2 } ) ] } { \operatorname* { m a x } [ \operatorname { I } ( C _ { 1 } ; C _ { 2 } ) ] } \approx 0 . 2 6 \sim \frac { 1 } { 3 } . } \end{array}
U ( \ell ) = U _ { 2 } = U _ { 2 } ^ { 0 } + U _ { 2 } ^ { 1 } + U _ { 2 } ^ { 2 } + O \Big ( \frac { R } { \ell } \Big ) = u _ { 2 } ^ { 0 } + O \Big ( \frac { R } { \ell } \Big ) \sim \frac { D R a ^ { 1 / 4 } } { \ell } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbb { S } } _ { 1 } } & { = q _ { 1 } B + \gamma _ { 1 } { \mathbb { I } } - [ \mu _ { 1 } + \alpha _ { 1 } + \beta _ { 1 } { \mathbb { I } } / N ] \mathbb { S } _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \mathbb { S } _ { 2 } } \\ { \dot { \mathbb { S } } _ { 2 } } & { = q _ { 2 } B + \gamma _ { 2 } { \mathbb { I } } - [ \mu _ { 2 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } { \mathbb { I } } / N ] \mathbb { S } _ { 2 } + \alpha _ { 1 } \mathbb { S } _ { 1 } } \\ { \dot { { \mathbb { I } } } } & { = [ \beta _ { 1 } \mathbb { S } _ { 1 } / N + \beta _ { 2 } \mathbb { S } _ { 2 } / N - \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } - \mu _ { I } + p _ { I } \delta _ { I } ] \, { \mathbb { I } } } \end{array}
a _ { k n } ( t ) \approx - \int _ { - \infty } ^ { t } d t \: e ^ { i ( \chi _ { n } - \chi _ { k } ) } \left< \Phi _ { n } ( \vec { r } , \vec { R } ) \left| \frac { \partial } { \partial t } \right| \Phi _ { k } ( \vec { r } , \vec { R } ) \right> .
\begin{array} { r l } { \chi _ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { \phi \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \left( \nu \Delta - \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } u ^ { j } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial t } + A \right) \sigma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) } \\ & { - \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \sigma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) u ^ { d } ( x , t ) + \nu \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \sigma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ( [ \delta , \delta ^ { \prime } ] ) ( g ) ( p ) } & { = } & { [ \delta , \delta ^ { \prime } ] ( \tilde { g } ) ( p ) } \\ & { = } & { \delta ( \delta ^ { \prime } ( \tilde { g } ) ) ( p ) - \delta ^ { \prime } ( \delta ( \tilde { g } ) ) ( p ) } \\ & { = } & { \rho ( \delta ) ( \rho ( \delta ^ { \prime } ) ( g ) ) ( p ) - \rho ( \delta ^ { \prime } ) ( \rho ( \delta ) ( g ) ) ( p ) } \\ & { = } & { [ \rho ( \delta ) , \rho ( \delta ^ { \prime } ) ] ( g ) ( p ) . } \end{array}
\exp \left[ - \Gamma ( a ) / N _ { f } \right] = i \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( d _ { j } \, \cos ( \frac { ( 2 j + 1 ) a } { 2 } ) + f _ { j } \, \sin ( \frac { ( 2 j + 1 ) a } { 2 } ) \right)
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } \cdot \left( \ln \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { C C } } - \ln \mathbf { C } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } ) } \end{array}
- \left( \xi _ { n } \Omega \right) ^ { 2 } \hat { \eta } _ { n } + \mathrm { ~ i ~ } \left( \xi _ { n } \Omega \right) \sigma _ { n } \hat { \eta } _ { n } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \hat { \eta } _ { n } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \left( 1 + \Gamma \right) } \, f \left[ \hat { \eta } _ { n + 1 } + \hat { \eta } _ { n - 1 } \right) ] .
\begin{array} { r l r } & { } & { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ) = \iint { R F \left( u , t _ { t x } ( x _ { i n } , \theta ) + t _ { r x } ( x _ { o u t } , u ) , \theta \right) d u d \theta } } \\ & { } & { = \iint { R F ( u , t , \theta ) ~ \delta \left( t - \left( t _ { t x } ( x _ { i n } , \theta ) + t _ { r x } ( x _ { o u t } , u ) \right) \right) d u d \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \sum _ { m } | { \cal M } _ { m } ^ { ( - ) } ( \k ) | ^ { 2 } + | { \cal M } _ { m } ^ { ( + ) * } ( \k ) | ^ { 2 } } \\ { B } & { { } = } & { 2 \mathrm { R e } \sum _ { m } \left[ { \cal M } _ { m } ^ { ( - ) } ( \k ) { \cal M } _ { m } ^ { ( + ) * } ( \k ) \right] } \\ { C } & { { } = } & { \arg \sum _ { m } \left[ { \cal M } _ { m } ^ { ( \mathrm { - ) } } ( \k ) { \cal M } _ { m } ^ { ( \mathrm { + ) * } } ( \k ) \right] \equiv 2 \omega \tau _ { a } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { n } } & { { } = } & { \frac { 0 . 0 1 ( v + 5 5 ) } { ( 1 - \exp [ - ( v + 5 5 ) / 1 0 ] ) } , } \\ { \alpha _ { m } } & { { } = } & { \frac { 0 . 1 ( v + 4 0 ) } { ( 1 - \exp [ - ( v + 4 0 ) / 1 0 ] ) } , } \\ { \alpha _ { h } } & { { } = } & { 0 . 0 7 \exp [ - ( v + 6 5 ) / 2 0 ] , } \\ { \beta _ { n } } & { { } = } & { 0 . 1 2 5 \exp [ - ( v + 6 5 ) / 8 0 ] , } \\ { \beta _ { m } } & { { } = } & { 4 \exp [ - ( v + 6 5 ) / 1 8 ] , } \\ { \beta _ { h } } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( 1 + \exp [ - ( v + 3 5 ) / 1 0 ] ) } . } \end{array}
S _ { \mathrm { k i n } } ^ { - 1 } ( k ) = \langle \, k \, | \, \bar { h } _ { v } \, ( i D _ { \perp } ) ^ { 2 } h _ { v } \, | \, k \, \rangle = { \frac { W \, \alpha _ { s } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 2 X \, \alpha _ { s } } { a } } \, v \cdot k + \dots \, .
V = - \frac { \Gamma ( - 1 / 2 ) } { \sqrt { 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } } [ ( \frac { r ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } - \pi \epsilon ) ^ { 1 / 2 } + ( \frac { r ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } + \pi \epsilon ) ^ { 1 / 2 } - 2 ( \frac { r ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } ) ^ { 1 / 2 } ]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n } } } & { = - P _ { 0 } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) Q _ { \gamma \epsilon } H _ { \gamma \epsilon } } \\ & { - \xi H _ { \alpha \gamma } \left( Q _ { \gamma \beta } + \frac { \delta _ { \gamma \beta } } { 3 } \right) - \xi \left( Q _ { \alpha \gamma } + \frac { \delta _ { \alpha \gamma } } { 3 } \right) H _ { \gamma \beta } } \\ & { - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta ( \partial _ { \beta } Q _ { \gamma \nu } ) } \, \partial _ { \alpha } Q _ { \gamma \nu } + Q _ { \alpha \gamma } H _ { \gamma \beta } - H _ { \alpha \gamma } Q _ { \gamma \beta } , } \end{array}
\phi ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { e x p } \left[ - { \frac { i } { \hbar } } \int d x \; \Pi ( x ) \phi ^ { \prime } ( x ) \right] = i \hbar { \frac { \delta } { \delta \Pi ( x ) } } \; \mathrm { e x p } \left[ - { \frac { i } { \hbar } } \int d x \; \Pi ( x ) \phi ^ { \prime } ( x ) \right] \; ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle v _ { z } ( r , z , t ) = } & { - \frac { a ^ { 2 } ( z , t ) } { 4 \mu } \frac { \partial p } { \partial z } \left( 1 - \left( \frac { r } { a ( z , t ) } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \displaystyle v _ { r } ( r , z , t ) = } & { \frac { \partial a ( z , t ) } { \partial t } \frac { r } { a ( z , t ) } \left( 2 - \left( \frac { r } { a ( z , t ) } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { [ \eta _ { q } , \eta _ { q ^ { \prime } } ] + } & { = [ \sum _ { i } \left( g _ { q i } c _ { i } + h _ { q i } c _ { i } ^ { \dagger } \right) , \sum _ { j } \left( g _ { q ^ { \prime } j } c _ { j } + h _ { q ^ { \prime } j } c _ { j } ^ { \dagger } \right) ] _ { + } } \\ & { = \sum _ { i j } g _ { q i } g _ { q ^ { \prime } j } [ c _ { i } , c _ { j } ] _ { + } + g _ { q i } h _ { q ^ { \prime } j } [ c _ { i } , c _ { j } ^ { \dagger } ] _ { + } h _ { q i } g _ { q ^ { \prime } j } [ c _ { i } ^ { \dagger } , c _ { j } ] _ { + } + h _ { q i } h _ { q ^ { \prime } j } [ c _ { i } ^ { \dagger } , c _ { j } ^ { \dagger } ] _ { + } } \end{array}
\Delta { \cal L } = - 2 \tilde { A } _ { \sigma } ^ { ( s ) } \partial _ { + } \partial _ { - } \tilde { A } _ { \sigma } ^ { ( s ) } - i \bar { \tilde { \psi } } _ { - } ^ { ( s ) } \gamma _ { - } \partial _ { + } \tilde { \psi } ^ { ( s ) } + { \cal O } ( g ^ { 3 } ) \; .
\rho _ { x x } = { \frac { E _ { x } } { J _ { x } } } , \quad \rho _ { y x } = { \frac { E _ { y } } { J _ { x } } } , { \mathrm { ~ a n d ~ } } \rho _ { z x } = { \frac { E _ { z } } { J _ { x } } } .
\left| V _ { u s } \right| \simeq s _ { 1 2 } = \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } \qquad \left| V _ { c b } \right| \simeq s _ { 2 3 } = \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { b } } } \qquad \left| V _ { u b } \right| \simeq s _ { 1 3 } = \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { t } } }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \ll q ^ { 4 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ) } T _ { 1 } ^ { 3 - 2 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ) + \epsilon } \ll q ^ { 2 + 4 \epsilon } T _ { 1 } ^ { 2 + \epsilon } } \\ { I _ { 2 } } & { \ll ( q T _ { 1 } ) ^ { 6 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ) } \ll ( q T _ { 1 } ) ^ { 3 + 6 \epsilon } } \\ { I _ { 3 } } & { \ll ( q T _ { 1 } ) ^ { 3 0 ( 1 - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon ) } \ll ( q T _ { 1 } ) ^ { 1 5 + 3 0 \epsilon } . } \end{array}
k _ { \alpha \beta } = - i R _ { \alpha \beta \mu \nu } m ^ { \mu } \tilde { m } ^ { \nu } + i \left( \tilde { m } _ { ; \alpha } ^ { \nu } m _ { \nu ; \beta } - \tilde { m } _ { ; \beta } ^ { \nu } m _ { \nu ; \alpha } \right) .
M ( x ) = 2 \beta ^ { \prime } ( r ) \left[ \begin{array} { l l l l } { ( \lambda - \lambda _ { 1 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } } & { ( \lambda - \lambda _ { 1 } ) x _ { 1 } x _ { 2 } } & { \dots } & { ( \lambda - \lambda _ { 1 } ) x _ { 1 } x _ { k } } \\ { ( \lambda - \lambda _ { 2 } ) x _ { 1 } x _ { 2 } } & { ( \lambda - \lambda _ { 2 } ) x _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { ( \lambda - \lambda _ { 2 } ) x _ { 2 } x _ { k } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { ( \lambda - \lambda _ { k } ) x _ { 1 } x _ { k } } & { ( \lambda - \lambda _ { k } ) x _ { 2 } x _ { k } } & { \dots } & { ( \lambda - \lambda _ { k } ) x _ { k } ^ { 2 } } \end{array} \right]
S ^ { g f } = \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { 2 } \left( d ^ { \ast } A \right) ^ { 2 } ( p ) = \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \left( A ( l _ { \{ p , p + \mu _ { j } \} } ) - A ( l _ { \{ p , p - \mu _ { j } \} } ) \right) ^ { 2 }
R ^ { \rho } { } _ { \sigma \mu \nu } = \Gamma ^ { \rho } { } _ { \nu \sigma , \mu } - \Gamma ^ { \rho } { } _ { \mu \sigma , \nu } + \Gamma ^ { \rho } { } _ { \mu \lambda } \Gamma ^ { \lambda } { } _ { \nu \sigma } - \Gamma ^ { \rho } { } _ { \nu \lambda } \Gamma ^ { \lambda } { } _ { \mu \sigma } \, ,
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \rangle } & { = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) P ( k _ { 1 } ) , } \\ { \langle \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 3 } ) \rangle } & { = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 3 } ) B ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) , } \\ { \langle \tilde { \delta } _ { A } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } _ { B } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \rangle } & { = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) P ^ { \mathrm { c r o s s } } ( k _ { 1 } ) , } \end{array}
| \alpha , \varsigma > _ { \sigma } = e ^ { \alpha ^ { \sigma \ast } \varsigma ^ { \sigma } - \alpha ^ { \sigma } \varsigma ^ { \sigma \ast } } e ^ { - \frac { | \varsigma | ^ { 2 \sigma } + | \alpha | ^ { 2 \sigma } } { 2 } } \sum _ { n , m = 0 } ^ { \infty } \frac { \varsigma ^ { \sigma n } } { \sqrt { m } } \alpha ^ { \sigma ( m - n ) } L _ { n } ^ { ( m - n ) } ( | \alpha | ^ { 2 \sigma } ) | m > ,
\begin{array} { r l } { E _ { 1 / 6 , 1 / 8 , 1 / 1 0 } ( t ) } & { = 0 . 6 9 5 0 6 2 - 0 . 0 4 2 7 9 7 \frac { \cos ^ { 2 } ( \pi t / 4 + \pi / 8 ) } { \sqrt { t } } - 0 . 0 5 6 7 7 8 2 \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi t / 3 + \pi / 6 ) } { \sqrt { t } } + \dots \, , } \\ { E _ { 1 / 8 , 1 / 8 , 1 / 1 0 } ( t ) } & { = 0 . 6 9 3 1 5 6 - \frac { \cos ^ { 2 } ( \pi t / 2 ) } { 4 t ^ { 2 } } + \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi t / 4 + \pi / 8 ) } { 2 t ^ { 5 / 2 } } + \dots \, , } \\ { E _ { 1 / 8 , 1 / 1 2 , 1 / 1 0 } ( t ) } & { = 0 . 6 9 2 1 2 - 0 . 0 2 0 7 7 8 1 \frac { \cos ^ { 2 } ( \pi t / 6 + \pi / 1 2 ) } { \sqrt { t } } - 0 . 0 4 6 4 7 7 \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi t / 4 + \pi / 8 ) } { \sqrt { t } } + \dots \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { L } } ^ { ( k ) } } & { { } = - \mathrm { i } \left( \mathrm { I d } \otimes \left( \frac { g } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { h } { 2 } \sigma _ { z } \right) - \left( \frac { g } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { h } { 2 } \sigma _ { z } \right) ^ { T } \otimes \mathrm { I d } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) u ) ^ { \alpha } } & { = \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) ^ { \alpha } - \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \int _ { u } ^ { 1 } \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) x ) ^ { \alpha - 1 } \cos ( \pi ( 1 - \alpha ) x ) \mathrm { d } x } \\ & { \leqslant \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) ^ { \alpha - 1 } \big ( \sin ( \pi ( 1 - \alpha ) ) + \pi \alpha ( 1 - \alpha ) \cos ( \pi \alpha ) ( 1 - u ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { s s } } & { = } & { \lambda _ { 1 } ( [ L _ { s } ] _ { 1 1 } ^ { 2 } + [ L _ { s } ] _ { 1 3 } ^ { 2 } ) + \lambda _ { 2 } ( [ L _ { s } ] _ { 2 2 } ^ { 2 } + [ L _ { s } ] _ { 2 4 } ^ { 2 } ) , } \\ { F _ { \theta \theta } } & { = } & { \lambda _ { 1 } [ L _ { \theta } ] _ { 1 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } [ L _ { \theta } ] _ { 2 2 } ^ { 2 } , } \\ { F _ { s \theta } } & { = } & { \lambda _ { 1 } [ L _ { s } ] _ { 1 1 } [ L _ { \theta } ] _ { 1 1 } + \lambda _ { 2 } [ L _ { s } ] _ { 2 2 } [ L _ { \theta } ] _ { 2 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { O } _ { \ell \ell ^ { \prime } } ^ { ( F ) } = \frac { \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } } { 2 } \frac { 1 } { \beta ^ { ( F ) } F ( k _ { \ell } ) } \frac { 1 } { \mathcal { V } _ { \ell } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { 2 } - 4 t ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) = } & { 4 \cdot 3 6 ^ { 2 } ( ( 9 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } + 3 6 ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } + 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } ( 2 - \alpha ) } \\ & { + 7 2 c _ { 1 } ^ { 3 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) + 2 1 6 c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) ) } \\ & { + 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } ( 2 - \alpha ) - 6 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } + 8 c _ { 2 } ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 3 } ) } \\ { = } & { 4 \cdot 3 6 ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) + 3 6 ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } + 1 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } } \\ & { + 7 2 c _ { 1 } ^ { 3 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) + 2 1 6 c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) ) + 8 c _ { 2 } ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ) } \end{array}
( \chi _ { \{ m ^ { \prime } \} } , T ( t ) \chi _ { \{ m \} } ) \, = \, \exp ( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \{ m \} } g _ { 0 } ^ { 2 } L _ { x } t ) \delta _ { \{ m ^ { \prime } \} , \{ m \} } \, \stackrel { ! } { = } \, ( \chi _ { \{ m ^ { \prime } \} } , \exp ( - t H ) \chi _ { \{ m \} } )
V _ { 1 } = \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial Q _ { 1 } ^ { 2 } } ( \xi _ { e } ) \, , \quad V _ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial Q _ { 2 } ^ { 2 } } ( \xi _ { e } ) \, .
\begin{array} { r l } { K _ { 2 , n } ^ { \prime } } & { = \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \langle ( 1 - \lambda \gamma ) \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) , \Xi _ { n + 1 } \rangle + 2 \gamma \beta ^ { - 1 } | \Xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \langle E _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle } \\ & { \leq C ` _ { 2 } \left( \sqrt { \gamma \beta ^ { - 1 } } ( \sqrt { M _ { n } } + 1 ) | \Xi _ { n + 1 } | + 2 \gamma \beta ^ { - 1 } | \Xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \frac { 2 \gamma } { \beta } \sqrt { M _ { n } } | \Xi _ { n + 1 } | \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla f = { } } & { { } { \frac { \partial f } { \partial r } } { \hat { \mathbf { r } } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial f } { \partial \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial f } { \partial \varphi } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { A } = { } } & { { } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } A _ { r } \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta A _ { \theta } \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \varphi } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { A } = { } } & { { } { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( A _ { \varphi } \sin \theta \right) - { \frac { \partial A _ { \theta } } { \partial \varphi } } \right) { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { \nabla ^ { 2 } f = { } } & { { } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } } \\ { = { } } & { { } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } \right) f + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) f + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \varphi ^ { 2 } } } f ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r } { { 7 } 2 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 3 y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 5 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 0 , } \\ { - 4 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 2 y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 3 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \left[ u _ { t } + u u _ { x } + w u _ { z } \right] } & { = } & { - p _ { x } + \eta _ { e } ( u _ { x x } + u _ { z z } ) - \eta _ { o } ( w _ { x x } + w _ { z z } ) , } \\ { \rho \left[ w _ { t } + u w _ { x } + w w _ { z } \right] } & { = } & { - p _ { z } + \eta _ { e } ( w _ { x x } + w _ { z z } ) + \eta _ { o } ( u _ { x x } + u _ { z z } ) - \rho g , } \end{array}
\delta \Delta _ { \nu } = \sqrt { \bigg ( \frac { \partial \Delta _ { \nu } } { \partial g _ { I } } \, \delta g _ { I } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial \Delta _ { \nu } } { \partial r _ { N } } \, \delta r _ { N } \bigg ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { x } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { x } \cos ^ { 2 } \phi + \sigma _ { y } \sin ^ { 2 } \phi \cos \phi \sin \phi \left( \sigma _ { x } \sigma _ { y } + \sigma _ { y } \sigma _ { x } \right) } \\ & { = } & { { \bf 1 } } \\ { \alpha _ { x } \sigma _ { z } } & { = } & { \sigma _ { x } \sigma _ { z } \cos \phi \sigma _ { y } \sigma _ { z } \sin \phi = - \sigma _ { z } \left( \sigma _ { x } \cos \phi \sigma _ { y } \sin \phi \right) } \\ & { = } & { - \sigma _ { z } \alpha _ { x } . } \end{array}
\frac { c _ { 2 r - 2 } ^ { - \nu } } { c _ { 2 r } ^ { - \nu } } = \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 2 r - 2 ) ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 2 r - 4 ) ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 2 r - 6 ) ^ { 2 } ] \cdot \cdot \cdot } } }
\Psi ( p , q ) = \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { u } ( p + q ) } } \\ { { \psi _ { d } ( p - q ) } } \\ { { \bar { \psi } _ { d } ^ { T } ( - p + q ) } } \\ { { \bar { \psi } _ { u } ^ { T } ( - p - q ) } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } x _ { i } } & { = v _ { i } , } \\ { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } v _ { i } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi ( | x _ { j } - x _ { i } | ) ( v _ { j } - v _ { i } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \mathcal V ( x _ { i } - x _ { j } ) = : F _ { i } ( t , x , v ) , } \\ { x _ { i } ( 0 ) } & { = \hat { x } _ { i } , \qquad v _ { i } ( 0 ) = \hat { v } _ { i } . } \end{array}
\left. + \, \mathrm { T r } [ \Gamma _ { \nu } D _ { \nu } ( \Gamma _ { \mu } D _ { \mu } - \Gamma _ { D } \partial _ { D } ) ^ { - 1 } \, \Gamma _ { D } ] ^ { ( - ) } \; - \; ( + ) \to ( - ) \right\} \; ,