harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widehat { b } _ { W _ { 4 } } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { \int _ { l _ { 4 } } ^ { u _ { 4 } } \widehat { b } _ { C _ { 4 } } ( x ) } \widehat { b } _ { C _ { 4 } } ( x ) } \end{array}
D = [ - 1 . 5 , 1 . 5 ] \times [ - 0 . 5 , 0 . 5 ] \times [ - 0 . 2 , 0 . 2 ] ^ { 2 } \times [ - 0 . 1 , 0 . 1 ] ^ { 2 } \times [ - 0 . 0 5 , 0 . 0 5 ] ^ { 2 } \times [ - 0 . 0 2 , 0 . 0 2 ]
e ^ { - { \frac { x } { 2 } } } \, _ { 2 } F _ { 2 } \left( a , 1 + b ; 2 a + 1 , b ; x \right) = _ { 0 } F _ { 1 } \left( ; a + { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } } \right) - { \frac { x \left( 1 - { \frac { 2 a } { b } } \right) } { 2 ( 2 a + 1 ) } } \; _ { 0 } F _ { 1 } \left( ; a + { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } } \right) ,
K ^ { F } ( u ) = - \sqrt { f ^ { \prime } ( u ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d v } { v - f ( u ) } \left[ \frac { \sqrt { g ^ { \prime } ( v ) } } { g ( v ) - u } - \frac { \sqrt { f ^ { \prime } ( u ) } } { v - f ( u ) } \right] ,
\{ \lambda \} \geq \{ \mu \} \Longleftrightarrow | \lambda | = | \mu | \ \ \ { \mathrm { a } n d } \ \ \, s u m _ { i } ^ { r } \lambda _ { i } \geq \sum _ { i } ^ { r } \mu _ { i } \ \ \ { \mathrm { f } o r \ \ a l l } \ r \geq 1 .
k _ { 0 } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \approx 8 . 9 8 7 \ 5 5 1 \ 7 8 7 \times 1 0 ^ { 9 } \; \; \mathrm { N \ m ^ { 2 } \ C } ^ { - 2 } .
S _ { a } ( x ; Q b ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } k _ { \perp } { \frac { e ^ { i k _ { \perp } b _ { \perp } } - 1 } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { y ^ { 2 } d y } { y \bar { y } + k _ { \perp } ^ { 2 } / { \bar { x } } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } } \, \equiv s ( \bar { x } Q b ) .
\left\{ \begin{array} { l } { \hat { u } = \frac { 1 } { \mu } \left( \frac { 1 } { | k | ^ { 2 } } - \frac { k k ^ { T } } { | k | ^ { 4 } } \right) \hat { f } } \\ { \hat { p } = \frac { k \cdot \hat { f } } { i | k | ^ { 2 } } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r l } { \sigma } & { { } = \varepsilon \xi , } & { h _ { s } ^ { - 1 } } & { { } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \varepsilon \xi \operatorname { c } \kappa ) ^ { k } \nabla _ { s } \right) . } \end{array}
\alpha _ { i } ^ { S _ { N } } ( \omega ) = \frac { 2 } { 3 ( 2 J _ { i } + 1 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { ( E _ { n } - E _ { i } ) | \langle n | D | i \rangle | ^ { 2 } } { ( E _ { n } - E _ { i } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } }
\bar { b } ( 0 ) \gamma ^ { \beta } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b ( y ) = e ^ { - i m _ { b } v \cdot y } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } y _ { \mu _ { 1 } } \cdots y _ { \mu _ { n } } \bar { b } _ { v } ( 0 ) \gamma ^ { \beta } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) { \cal S } [ k ^ { \mu _ { 1 } } \cdots k ^ { \mu _ { n } } ] b _ { v } ( 0 ) ,
S _ { 1 } = \int d ^ { 2 } x \epsilon ^ { \alpha \beta } ( \omega _ { \alpha } ( e ) + \frac { 1 } { 2 } \bar { \chi } _ { \alpha } \gamma _ { 3 } \gamma ^ { \mu } \chi _ { \mu } ) ( \partial _ { \beta } \sigma + \bar { \chi } _ { \nu } \gamma _ { \beta } \gamma ^ { \nu } \psi )
\begin{array} { r l } { \overline { { \boldsymbol X } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } } = } & { { } [ ~ \underline { { \boldsymbol x } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } } , \cdots , \underline { { \boldsymbol x } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } + 1 0 \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ m ~ s ~ ) ~ } \times ( \boldsymbol v - 2 ) } , \underline { { \boldsymbol x } } _ { t _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ y ~ c ~ } } + 1 0 \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ m ~ s ~ ) ~ } \times ( \boldsymbol v - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \Rightarrow } & { u = { \frac { \sqrt { v ^ { 2 } + u ^ { \prime 2 } + 2 v u ^ { \prime } \cos \alpha ^ { \prime } - \left( { \frac { v u ^ { \prime } \sin \alpha ^ { \prime } } { c } } \right) { } ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u ^ { \prime } \cos \alpha ^ { \prime } } } , \quad u ^ { \prime } = { \frac { \sqrt { - v ^ { 2 } - u ^ { 2 } + 2 v u \cos \alpha + \left( { \frac { v u \sin \alpha } { c } } \right) { } ^ { 2 } } } { 1 - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u \cos \alpha } } } \\ { \Rightarrow } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { u ^ { \prime 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } - { \frac { v / c } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { \frac { u / c } { \sqrt { 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \cos \alpha } \\ { \Rightarrow } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \xi } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \eta } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \zeta } } } - { \frac { \operatorname { t a n h } \eta } { \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \eta } } } { \frac { \operatorname { t a n h } \zeta } { \sqrt { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \zeta } } } \cos \alpha } \\ { \Rightarrow } & { \cosh \xi = \cosh \eta \cosh \zeta - \sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { Z } ( z ) } { d z } } & { { } = - k \left( \mathcal { Z } ( z ) ^ { 2 } + \epsilon ( z ) \right) , } \\ { \mathcal { Z } ( 0 ) } & { { } = - i , } \\ { \mathcal { Z } ( L ) } & { { } = i . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X , Y { \mathrm { ~ i n d e p e n d e n t } } \quad } & { { } \Rightarrow \quad \rho _ { X , Y } = 0 \quad ( X , Y { \mathrm { ~ u n c o r r e l a t e d } } ) } \\ { \rho _ { X , Y } = 0 \quad ( X , Y { \mathrm { ~ u n c o r r e l a t e d } } ) \quad } & { { } \nRightarrow \quad X , Y { \mathrm { ~ i n d e p e n d e n t } } } \end{array}
H ^ { \mathrm { c u t } } ( t , r ) \to { \frac { - i T } { 4 \pi r } } + { \frac { i 2 T } { r t ^ { 2 } 3 \pi m _ { g } ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial \overline { { { x } } } } } \bigg [ { \frac { 1 - \overline { { { x } } } ^ { 2 } } { N _ { t } ( \overline { { { x } } } , 0 ) } } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { c o n v ( \mathcal { P } _ { 1 } , \mathcal { P } _ { 2 } ) } & { = \Big \langle \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) , \frac { 1 } { 2 } [ ( c _ { 1 } - c _ { 2 } ) , G _ { 1 } , G _ { 1 } , G _ { 2 } , - G _ { 2 } ] , \hat { \mathcal { E } } \Big \rangle _ { Z } } \\ { \mathcal { P } _ { 1 } \oplus \mathcal { P } _ { 2 } } & { = \Big \langle c _ { 1 } + c _ { 2 } , [ G _ { 1 } , G _ { 2 } ] , \bar { \mathcal { E } } \Big \rangle _ { Z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | f _ { x } ( W _ { b } + \Delta _ { i ^ { * } } ) - f _ { x } ( W _ { b } + \Delta ) | } \\ & { \leq | f _ { x } ( W _ { b } + \Delta _ { i ^ { * } } ) - f _ { x } ( W _ { b } + \Delta ) | \Bigg [ I \Bigg ( W _ { b } \leq \frac { x } { 4 } - 1 \Bigg ) + I \Bigg ( W _ { b } > \frac { x } { 4 } - 1 \Bigg ) \Bigg ] } \\ & { \leq C \Big ( e ^ { 1 / 2 - x } + I ( W _ { b } > x / 4 - 1 ) \Big ) \Big ( | \bar { D } _ { 1 , x } - \bar { D } _ { 1 , i ^ { * } , x } | + x | \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } | \Big ) } \\ & { \leq C \Big ( e ^ { - x } + e ^ { - x / 4 } e ^ { W _ { b } } \Big ) \Big ( | \bar { D } _ { 1 , x } - \bar { D } _ { 1 , i ^ { * } , x } | + x | \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } | \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { m i s } } = } & { ~ \frac { g _ { A } } { \Delta } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } ^ { \dagger } a ) + \frac { g _ { B } } { \Delta } ( b ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } ^ { \dagger } b ) } \\ { + } & { ~ \frac { g _ { A } } { \Delta - \delta / 2 } [ a ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 4 | ) - ( | 2 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 3 | ) a ] } \\ { + } & { ~ \frac { g _ { B } } { \Delta + \delta / 2 } [ b ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 4 | ) - ( | 3 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 2 | ) b ] . } \end{array}
{ \bf k } _ { \mathrm { o u t } } = ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , - \sqrt { ( n _ { \mathrm { b g } } \omega / c ) ^ { 2 } - | { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } | ^ { 2 } } )
+ ( l _ { 1 } - l _ { 0 } - 1 ) q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } - 1 ) = 2 ( 2 - y ) ( l _ { 1 } - l _ { 0 } ) q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ) ,
( ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \cdot \mathbf { c } ) \; ( ( \mathbf { d } \times \mathbf { e } ) \cdot \mathbf { f } ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { f } } \\ { \mathbf { b } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { f } } \\ { \mathbf { c } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { f } } \end{array} \right] }
P = \sum _ { { \vec { k } } , { \vec { \ell } } } c _ { { \vec { k } } { \vec { \ell } } } \, \, \partial _ { x _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \partial _ { x _ { 2 } } ^ { k _ { 2 } } \cdots \partial _ { x _ { n } } ^ { k _ { n } } x _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } } \cdots x _ { n } ^ { \ell _ { n } } ~ .
\partial _ { t } \Omega ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega ( t , \xi ) - g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( t , \xi ) > \frac { C _ { d } } { 1 - \beta } h ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \frac { \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) } { \eta ^ { 1 - \beta } } d \eta + f ( t ) \chi ( \xi )
\begin{array} { r l r } { D ^ { x x ^ { \prime } } [ A ] } & { { } = } & { \langle x ^ { \prime } | \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \, \mathrm { e x p } \Bigl \lbrack - T ( - ( \partial + i e A ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \Bigr \rbrack | x \rangle } \end{array}
E _ { \mathrm { e q u i } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = 2 \operatorname* { m i n } \left\{ E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) , E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) \right\} ,
{ \begin{array} { r l } { \Phi ( t _ { 0 } , t _ { 1 } ) } & { = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } P { \frac { d V } { d t } } \, d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } V { \frac { d P } { d t } } \, d t } \\ & { = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } { \frac { d ( P V ) } { d t } } \, d t = P ( t _ { 1 } ) V ( t _ { 1 } ) - P ( t _ { 0 } ) V ( t _ { 0 } ) . } \end{array} }
{ \frac { \mathrm { d e n s i t y ~ o f ~ o b j e c t } } { \mathrm { d e n s i t y ~ o f ~ f l u i d } } } = { \frac { \mathrm { w e i g h t } } { { \mathrm { w e i g h t } } - { \mathrm { a p p a r e n t ~ i m m e r s e d ~ w e i g h t } } } }
\big [ \; ( A _ { k } ^ { \! \scriptscriptstyle E } - \mu \tan \! { \beta } ) + ( 1 - \delta _ { k l } ) ( A _ { l } ^ { \! \scriptscriptstyle E } - \mu \tan \! { \beta } ) \; \big ] \; m _ { \! \scriptscriptstyle \ell _ { k } } m _ { \! \scriptscriptstyle \ell _ { l } } \lambda _ { i l k } \lambda _ { j k l } \; .
\begin{array} { r l } & { i k _ { 2 \nu } { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = } \\ & { i N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { p \! \! \! / + m _ { 1 } } { p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \frac { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } + m _ { 1 } } { ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } + m _ { 2 } } { ( p - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } k \! \! \! / _ { 2 } \right] } \\ & { + i N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { p \! \! \! / + m _ { 2 } } { p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } k \! \! \! / _ { 2 } \frac { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } + m _ { 1 } } { ( p + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } + m _ { 2 } } { ( p - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \right] = } \\ & { - N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } 4 ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) \epsilon _ { \quad \nu \sigma } ^ { \mu \rho } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( m _ { 2 } + m _ { 1 } ) p ^ { \nu } k _ { 1 } ^ { \sigma } + m _ { 1 } k _ { 1 } ^ { \nu } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } } \\ & { - N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } 4 ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) \epsilon _ { \quad \nu \sigma } ^ { \mu \rho } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( m _ { 2 } + m _ { 1 } ) p ^ { \nu } k _ { 1 } ^ { \sigma } - m _ { 2 } k _ { 1 } ^ { \nu } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r \, \dag } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) \, \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r ^ { \prime } } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r \, \dag } \left( x _ { 0 } ^ { m } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \, \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r ^ { \prime } } \left( x _ { 0 } ^ { m } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) = \delta _ { r r ^ { \prime } } } \end{array}
c _ { 1 } ( T \rightarrow \infty ) \sim c _ { 1 } ^ { \infty } ( x , y , t ) = \frac { y ^ { 2 } } { 4 c _ { 0 } } \frac { \Gamma _ { w } } { D s } ( - 1 + 2 y ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } \right) ^ { 2 } + B ( x , t )
\begin{array} { r l } { | | t _ { i , i } ( . ) | | _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ) } } & { \leq 2 \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { i } } { \kappa _ { i + 1 } } } + \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \right) \left( 1 + \frac { D } { h _ { i } } \right) \left( 1 + \frac { D } { h _ { i + 1 } } \right) \left[ e ^ { - 2 Q _ { i } } + e ^ { - 2 Q _ { i + 1 } } \right] = : W _ { i , i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { + } \, = } & { \, S + \sigma _ { s _ { 1 } } \bullet S + \cdots + \sigma _ { s _ { \ell } } \bullet S + \sigma _ { s _ { 1 } } ^ { - 1 } \bullet S + \cdots + \sigma _ { s _ { \ell } } ^ { - 1 } \bullet S } \\ & { + \sigma _ { \nu _ { 1 } } \bullet S + \cdots + \sigma _ { \nu _ { n } } \bullet S + \sigma _ { \nu _ { 1 } } ^ { - 1 } \bullet S + \cdots + \sigma _ { \nu _ { n } } ^ { - 1 } \bullet S , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { G } ( A _ { w } ) ^ { F } / ( C _ { G } ( A _ { w } ) ^ { \circ } ) ^ { F } } & { \cong ( N _ { G } ( A ) / C _ { G } ( A ) ^ { \circ } ) ^ { w F } , } \\ { C _ { G } ( A _ { w } ) ^ { F } / ( C _ { G } ( A _ { w } ) ^ { \circ } ) ^ { F } } & { \cong ( C _ { G } ( A ) / C _ { G } ( A ) ^ { \circ } ) ^ { w F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { t - 1 } } & { = w _ { t } + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } w _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } i ^ { 2 } } + \frac { 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } i ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } i ^ { 2 } } + \frac { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } i ^ { 2 } \right) - \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } i ^ { 2 } \right) } { \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t } i ^ { 2 } \right) \left( C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } i ^ { 2 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } i ^ { 2 } } } \end{array}
\left( { \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } G _ { 5 } ^ { 2 } } { 9 c ^ { 6 } } } ( \varrho ^ { 2 } c ^ { 4 } + 2 \sigma \varrho c ^ { 2 } ) + { \frac { c ^ { 2 } a _ { R \, 0 } ^ { \prime \prime } } { a _ { 0 } } } + { \frac { 8 \pi G _ { 5 } } { 3 c ^ { 2 } } } \left( \Lambda + { \frac { 4 \pi G _ { 5 } } { 3 c ^ { 4 } } } \sigma ^ { 2 } \right) - { \frac { k c ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } } ,
x _ { 7 } ( t + 1 ) = \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \bigl [ \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } [ \frac { W _ { 3 , 7 } } { \alpha _ { 7 , 1 } } \mathrm { ~ } h _ { 3 } ^ { d } ( t ) , \mathrm { ~ } \frac { W _ { 6 , 7 } } { \alpha _ { 7 , 2 } } \mathrm { ~ } h _ { 6 } ^ { d } ( t ) ] , \mathrm { ~ } \beta _ { 7 } + \frac { W _ { 1 0 , 7 } } { \alpha _ { 7 } } \mathrm { ~ } h _ { 1 0 } ^ { d } ( t ) \bigr ]
\delta { \cal P } _ { \Delta i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k - 1 } } = - \gamma _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k - 1 } } ^ { ( \Delta ) } , \; \Delta = 1 , 2 , \; k = 0 , \ldots , a ,
\begin{array} { r l } { \Dot { S } = } & { \; \left( - \beta S ( v + \alpha w ) + P \right) , } \\ { \delta \varepsilon \Dot { v } = } & { \; \beta S ( v + \alpha w ) - \gamma _ { 1 } v , } \\ { \varepsilon \Dot { u } = } & { \; ( \varepsilon \gamma _ { 1 } v - u ) , } \\ { \Dot { P } = } & { \; 1 + u ( 1 - \delta ) - \nu \beta P ( v + \alpha w ) - ( S + \delta \varepsilon v + 2 P + \delta \varepsilon w ) , } \\ { \delta \varepsilon \Dot { w } = } & { \; \nu \beta P ( v + \alpha w ) - \gamma _ { 2 } w , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \xi } ( x , y ) = A \cdot \exp \! \left[ \frac { \vec { v } ^ { \, t } \cdot \Sigma \cdot \vec { v } } { 2 \, ( S _ { x x } S _ { y y } - S _ { x y } ^ { 2 } ) } \right] \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { { r e a l } } } = - t \sum _ { j , n , \sigma } ( \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , n , \sigma } + h . c . ) , } \\ & { H _ { \mathrm { d i a g } } = - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j , n , \sigma } e ^ { - i \pi j } ( \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , n + 1 , \sigma } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , n - 1 , \sigma } + h . c . ) , } \\ & { H _ { \mathrm { { s y n t h } } } = - \frac { \Delta _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j , n , \sigma } e ^ { - i \pi j } ( i \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , n + 1 , \sigma } + h . c . ) , } \\ & { H _ { \mathrm { V } } = \sum _ { j , n , \sigma } V ( j ) \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , n , \sigma } , } \\ & { H _ { \mathrm { { t i l t } } } = - \sum _ { j , n , \sigma } \hbar \omega n \hat { c } _ { j , n , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , n , \sigma } ~ . } \end{array}
\dot { p } _ { i } = \frac { 1 0 R e _ { \ell } p _ { 3 } } { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } 2 W _ { 3 } p _ { 3 } p _ { i } - \frac { 1 0 R e _ { \ell } p _ { 3 } } { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } W _ { i } + \Gamma _ { i j } p _ { j } - p _ { i } S _ { j l } p _ { j } p _ { l }
a _ { e } = \frac 1 2 ( \frac \alpha \pi ) - 0 . 3 2 8 4 7 8 9 6 5 ( \frac \alpha \pi ) ^ { 2 } + 1 . 1 7 6 1 1 ( 4 2 ) ( \frac \alpha \pi ) ^ { 3 } - 1 . 4 3 4 ( 1 3 8 ) ( \frac \alpha \pi ) ^ { 4 }
N ( \alpha _ { 2 } ; \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { k } k ! } \left( \frac { 1 - \alpha _ { n } } { \alpha _ { n } } \right) ^ { k } J ( \alpha _ { 2 } , k ) \xi _ { 2 } ^ { 2 k } .
\begin{array} { r l } & { = - \langle R ( x ) v , \nabla _ { x } \big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \big ) ( x , R ( x ) v ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla _ { x } \big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \big ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , v ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla _ { x } \Big ( \langle R ( x ) v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } : } & { \quad \quad \int _ { \Omega } v \nabla ^ { 2 } u = \int _ { \Omega } u \nabla ^ { 2 } v + \int _ { \partial \Omega } \left( v ( \nabla u ) - u ( \nabla v ) \right) \cdot \mathbf { n } d s \ } \\ { G _ { 2 } : } & { \quad \quad \int _ { \Omega } v \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) = - \int _ { \Omega } \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) v + \int _ { \partial \Omega } v ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| x _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \right| ^ { 2 } } & { = e ^ { 2 ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } x _ { 2 } ( t _ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 C ^ { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } e ^ { 2 ( s - t _ { 2 } ) } \alpha ( s ) d s } \\ & { \leq e ^ { 2 ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } x _ { 2 } ( t _ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 C ^ { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { \infty } \alpha ( s ) d s . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { x ^ { \prime } = \left( x - x _ { j } ^ { k , m } \right) \cos \theta + \left( y - y _ { j } ^ { k , m } \right) \sin \theta } } \\ { { y ^ { \prime } = - \left( x - x _ { j } ^ { k , m } \right) \sin \theta + \left( y - y _ { j } ^ { k , m } \right) \cos \theta } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \cal R } _ { 1 } } & { = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 2 } } & { = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 3 } } & { = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 4 } } & { = } & { ( 1 - c _ { 2 } ) ^ { 3 } \left( \frac { \kappa \Delta { t } } { \alpha } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \Gamma _ { 3 } } \\ { { \cal R } _ { 5 } } & { = } & { ( 2 c _ { 1 } X + 1 ) { \cal R } _ { 4 } } \\ { { \cal R } _ { 6 } } & { = } & { ( 2 c _ { 1 } X ( 2 c _ { 1 } X + 2 ) + 2 ) { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
| \nu _ { \alpha } \rangle = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } U _ { \alpha k } ^ { \ast } | \nu _ { k } \rangle \quad \textrm { a n d } \quad \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } U _ { k \beta } U _ { k \alpha } ^ { \ast } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } U _ { \beta k } U _ { \alpha k } ^ { \ast } = \delta _ { \alpha \beta } ,
\left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) \right) \triangleq \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } b _ { n } .
\begin{array} { r } { \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } q ( x ) d x \right| \leq \sqrt { \varepsilon ^ { 3 } \ensuremath { n } } + c _ { \alpha } \varepsilon \ensuremath { n } ^ { \frac { 1 + \alpha } { 2 ( 2 + \alpha ) } } + c _ { \alpha } ^ { \prime } \times \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \alpha < 1 , } \\ { \sqrt { \log ( 1 / \varepsilon ) } } & { \alpha = 1 , } \\ { \varepsilon ^ { - ( \alpha - 1 ) / 2 } } & { \alpha > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi \left( p ^ { \mu } \right) = \Lambda \left( \dot { p } ^ { \mu } \to p ^ { \mu } \right) \Phi \left( \dot { p } ^ { \mu } \right) = e ^ { i ( \vec { J } \cdot \vec { \vartheta } + \vec { K } \cdot \vec { \varphi } ) } ~ \Phi \left( \dot { p } ^ { \mu } \right) \, ,
F [ m , \phi ] = \int d ^ { d } r \, \left( \chi m ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } + u _ { 4 } m ( \mathbf { r } ) ^ { 4 } + . . . \right) + \int d ^ { d } r _ { 1 } d ^ { d } r _ { 2 } \tilde { J } ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } ) \left\{ \cos [ \phi ( \mathbf { r } _ { 1 } ) - \phi ( \mathbf { r } _ { 2 } ) ] \right\} ,
\Gamma _ { n k } ^ { Q Q } = \gamma _ { n + k } ^ { Q Q } \ , \ \Gamma _ { n k } ^ { Q G } = n \gamma _ { n + k } ^ { Q G } \ , \ \Gamma _ { n k } ^ { G Q } = \frac { 1 } { n } \gamma _ { n + k } ^ { G Q } \ , \ \Gamma _ { n k } ^ { G G } = \gamma _ { n + k } ^ { G G } \, ;
\begin{array} { r l } { J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } } ( T \mathbf { v } ) } & { { } = \frac { \partial } { \partial \mathbf { v } } \left( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) \right) } \end{array}