harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { W _ { A } ( \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } , \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } ) \left[ { \beta _ { 1 } ^ { ( k ) } ; \beta _ { 2 } ^ { ( k ) } } \right] } & { = \left[ { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ; \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } } \right\rangle } \right] } \\ { W _ { A } ( \delta _ { 1 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } , \delta _ { 2 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } ) \left[ { \gamma _ { 1 } ^ { ( k ) } ; \gamma _ { 2 } ^ { ( k ) } } \right] } & { = \left[ { \left\langle { { r ^ { ( k + 1 / 2 ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } \right\rangle ; \left\langle { { r ^ { ( k + 1 / 2 ) } } , A \delta _ { 2 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } } \right\rangle } \right] . } \end{array}
E _ { \mathrm { s w i t c h } } = \ V ^ { 2 } \int _ { T _ { \mathrm { o f f } } } ^ { T _ { \mathrm { o n } } } { \frac { \mathrm { d } t } { M ( q ( t ) ) } } = \ V ^ { 2 } \int _ { Q _ { \mathrm { o f f } } } ^ { Q _ { \mathrm { o n } } } { \frac { \mathrm { d } q } { I ( q ) M ( q ) } } = \ V ^ { 2 } \int _ { Q _ { \mathrm { o f f } } } ^ { Q _ { \mathrm { o n } } } { \frac { \mathrm { d } q } { V ( q ) } } = \ V \Delta Q
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { L } _ { n } ^ { \Omega } [ h ] , h \rangle _ { \Omega } = } & { \frac { 1 } { 2 n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } h ( s ) h ( r ) s r \left\{ \left( \frac { r } { s } \right) ^ { n } { \bf 1 } _ { [ r , 1 ] } ( s ) + \left( \frac { s } { r } \right) ^ { n } { \bf 1 } _ { [ 0 , r ] } ( s ) \right\} d s d r } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 n } \int _ { 0 } ^ { 1 } h ( r ) r ^ { 1 + n } \int _ { r } ^ { 1 } h ( s ) s ^ { 1 - n } d s d r + \frac { 1 } { 2 n } \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 1 - n } h ( r ) \int _ { 0 } ^ { r } h ( s ) s ^ { 1 + n } d s d r . } \end{array}
J _ { n } ( k _ { 1 } , \cdots , k _ { n } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau _ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau _ { n } \; \exp \left[ \frac { i } { 2 } \sum _ { a < b } ^ { n } ( k _ { a } \times k _ { b } ) ( 2 \tau _ { a b } - \epsilon ( \tau _ { a b } ) ) \right] .
H ^ { H O } \psi _ { n } ( x ) = { \bigg ( } { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { m \omega ^ { 2 } } { 2 } } x ^ { 2 } { \bigg ) } \psi _ { n } ( x ) = E _ { n } ^ { H O } \psi _ { n } ( x ) ,
V = - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { 3 } { \sqrt { r _ { i } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } } } + \sum _ { i , j = 1 ; i < j } ^ { 3 } \frac { q _ { e e } ^ { 2 } } { \sqrt { ( r _ { i } - r _ { j } ) ^ { 2 } + r _ { i } r _ { j } + \epsilon ^ { 2 } } }
\mathscr { F } _ { p } [ h ] = \int _ { \mathbb { A } ( 1 , r ) } \frac { \| D h \| ^ { p } } { | h | ^ { p } } \geqslant \frac { \left( \int _ { \mathbb { A } ( 1 , r ) } \frac { \| D h \| } { | h | } \cdot \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p - 1 } } { | h _ { \circ } | ^ { p - 1 } } \right) ^ { p } } { \left( \int _ { \mathbb { A } ( 1 , r ) } \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p } } { | h _ { \circ } | ^ { p } } \right) ^ { p - 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } = \frac { \lambda _ { E } } { B } \sum _ { b = 1 } ^ { B } } & { \left( \frac { E _ { b } - \hat { E } _ { b } } { N _ { b } } \right) ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { \lambda _ { F } } { 3 B } \sum _ { b = 1 } ^ { B } \sum _ { i _ { b } , \alpha = 1 } ^ { N _ { b } , 3 } \left( - \frac { \partial E _ { b } } { \partial r _ { i _ { b } , \alpha } } - \hat { F } _ { i _ { b } , \alpha } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\gamma _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) \le ( \underline { { c } } ^ { - 3 \rho ( 1 - \frac { \delta } { 1 - \delta } ) } \vee \underline { { c } } ^ { - ( 1 + 3 \rho ) - 5 \delta } ) \bar { \Psi } ^ { 1 + ( 4 - 2 \rho ) r + \frac { 4 \delta r } { 1 - \delta } } .
\begin{array} { r l } & { \quad - ( \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) _ { ( 1 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { = \alpha _ { 2 } \sum _ { w > m - n } [ e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ] e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } [ e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ] e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } [ e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } ] } \\ & { \quad - \alpha _ { 2 } ^ { 2 } [ e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] } \\ & { = \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } ( \delta _ { q , w } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } ) e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } ( \delta _ { q , w } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } ) e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ( \delta _ { q , i } e _ { p , w } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , w } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \quad - \alpha _ { 2 } ^ { 2 } ( \delta _ { q , i } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] } \\ & { = \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 1 ) } + 0 } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
\mathbf f _ { i } ^ { 0 } ( \mathbf r _ { i } , \{ \mathbf r _ { i / } \} ) = \left( \mathbf q _ { i } , q _ { i } , \sum _ { j } \frac { \mathbf r _ { i j } } N , \sum _ { j } \frac { r _ { i j } } N \right) \ ,
E _ { i } ^ { a } ( x , t + 0 ) = E _ { i } ^ { a } ( x , t ) - \frac { \Delta t } { 2 } \frac { \partial H _ { \mathrm { K S } } ( U ( t + \Delta t / 2 ) ) } { \partial U _ { i } ( x , t + \Delta t / 2 ) } \, ,
d s ^ { 2 } = - \left( r ^ { 2 } / l ^ { 2 } - \frac { \mu } { r ^ { d - 3 } } - 1 \right) d t ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { \left( r ^ { 2 } / l ^ { 2 } - \frac { \mu } { r ^ { d - 3 } } - 1 \right) } + r ^ { 2 } d \sigma _ { - 1 } \; ,
\begin{array} { r l r } { \delta \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { \equiv } & { \Omega _ { a } \left. \frac { d } { d \Omega _ { a } } \left< \hat { \mathcal X } \right> \right| _ { \Omega _ { a } = 0 } } \\ & { = } & { \frac { 4 \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma \Omega _ { L O } \Omega _ { p } \cdot N \Omega _ { a } t _ { \mathrm { m } } \left( 1 + \Gamma ^ { \prime } \right) } { \left[ \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma \right) \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) + \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma \right] ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } ( p ) } & { { } = } & { \sin ^ { 2 } \frac { \pi } { 2 } \left( \sin ^ { 2 } \frac { \pi } { 2 } p \right) , } \\ { g ^ { - 1 } ( p ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { \pi } \arcsin \sqrt { p } . } \end{array}
f \left( q , k \right) = \frac { 5 } { 3 } - \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \left( k ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 4 k \, q ^ { 3 } } \ln \left\vert \frac { k + q } { k - q } \right\vert \,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { g g ^ { \prime } } } { d t } } & { = } & { i \omega _ { g ^ { \prime } \! g } \rho _ { g g ^ { \prime } } + i \sum _ { g ^ { \prime \prime } } ( \chi _ { g ^ { \prime \prime } g ^ { \prime } } \rho _ { g g ^ { \prime \prime } } - \chi _ { g g ^ { \prime \prime } } \rho _ { g ^ { \prime \prime } g ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { + \frac { i } { 2 } \sum _ { e } ( \Omega _ { e g ^ { \prime } } \rho _ { g e } - \Omega _ { g e } \rho _ { e g ^ { \prime } } ) + \sum _ { e , e ^ { \prime } } \gamma _ { e g e ^ { \prime } \! g ^ { \prime } } \rho _ { e e ^ { \prime } } ; } \end{array}
\hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } { = } \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } }
\mathcal { L } \left( r , \frac { d r } { d s } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } \frac { d r ^ { \nu } } { d s } + q \frac { A _ { \mu } } { \varepsilon } \right) \frac { d r ^ { \mu } } { d s } ,
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } P ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \mathbf { A } \in \mathbb { A } , } \\ { \langle C _ { \alpha } \rangle } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) C _ { \alpha } ( \mathbf { W } ) d \mathbf { W } , \: \forall \: \alpha ; } \end{array}
p _ { q } ( G _ { i } , \theta ) = \frac { [ 1 - ( 1 - q ) \, \theta \cdot ( C ( G _ { i } ) - \langle C \rangle _ { q } ) ] _ { + } ^ { { 1 } / { ( 1 - q ) } } } { \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { \Omega } p _ { q } ^ { q } ( G _ { j } , \theta ) \right] ^ { { 1 } / { ( 1 - q ) } } }
\begin{array} { r l r } { \left< \hat { \mathcal X } _ { i } \hat { \mathcal X } _ { i } \right> } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t ^ { \prime } \left< \hat { \mathcal X } _ { 1 , 2 } ( t ) \hat { \mathcal X } _ { b , a } ( t ^ { \prime } ) \right> _ { \Omega _ { p } = 0 } \cos \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) \cos \left( \omega _ { p } t + \varphi \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\langle ^ { t } P ( D _ { f } ) , \phi \right\rangle } & { = \int _ { U } f ( x ) P ( \phi ) ( x ) \, d x } \\ & { = \int _ { U } f ( x ) \left[ \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } ( x ) ( \partial ^ { \alpha } \phi ) ( x ) \right] \, d x } \\ & { = \sum _ { \alpha } \int _ { U } f ( x ) c _ { \alpha } ( x ) ( \partial ^ { \alpha } \phi ) ( x ) \, d x } \\ & { = \sum _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \int _ { U } \phi ( x ) ( \partial ^ { \alpha } ( c _ { \alpha } f ) ) ( x ) \, d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) } \quad } & { { } } \end{array}
\mathrm { C o n e } ( - j _ { - s } + j ^ { t } \colon \thinspace \mathbf { S } _ { * } ( X _ { \geq - s } ) \oplus \mathbf { S } _ { * } ( X ^ { \leq t } ) \to \mathbf { S } _ { * } ^ { \circ } ( X ) ) \sim \mathrm { C o n e } ( - j _ { - s } + j ^ { t } \colon \thinspace \mathbf { S } _ { * } ( X _ { \geq - s } ) \oplus \mathbf { S } _ { * } ( X ^ { \leq t } ) \to \mathbf { S } _ { * } ( X ) ) .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \frac { d } { d q } } \left[ \ln { \frac { d \phi } { d q } } + \ln r ^ { 2 } \right] } \\ { 0 } & { { } = { \frac { d } { d q } } \left[ \ln { \frac { d t } { d q } } + \ln w \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i i } } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( \sigma _ { i } p x _ { i } ^ { p } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } M _ { i k } \frac { x _ { k } } { x _ { i } } ) , } \\ { I _ { N - n } } & { { } = p ^ { n } \sum _ { i _ { 1 } < i _ { 2 } < . . . < i _ { n } } ^ { N } \prod _ { a \in \{ i _ { n } \} } \sigma _ { a } x _ { a } ^ { p } \prod _ { l \not \in \{ i _ { n } \} } \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { t r a p } } \propto \frac { \mathcal { V } ^ { ( \circ ) } } { 1 + Q ( \vec { x } _ { 0 } ) } \bigg [ \sqrt { \frac { \pi k _ { \textrm { B } } T } { 2 m } } } & { { } \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } - \frac { 1 } { v _ { \textrm { m a x } } } \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Biggl ( r _ { j } ^ { s p - n } \iint _ { U _ { j } } \, [ \texttt { w } _ { j , \ell } \varphi _ { j } ] _ { W ^ { s , p } ( B _ { j } ) } ^ { p } \, \mathrm { d } \mu _ { j } \iiint _ { Q _ { j } } ( \texttt { w } _ { j , \ell } \varphi _ { j } ) ^ { p } \, \mathrm { d } \nu _ { j } \Biggr ) ^ { \frac { p ^ { * } } { p } } } \\ & { \qquad \le \frac { 2 ^ { j \frac { p ^ { * } } { p } \big ( n + s p + 2 / p - p - 1 \big ) } \delta ^ { \frac { p ^ { * } ( 1 - p ) } { p } } } { \texttt { k } ^ { \frac { p ^ { * } ( 2 - 2 p ) } { p ^ { 2 } } } } \Biggl ( \iiint _ { Q _ { j } } \omega _ { j , \ell } ^ { 2 / p } \, \mathrm { d } \nu _ { j } \Biggr ) ^ { \frac { p ^ { * } } { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } \setminus \{ \vec { 0 } \} } \mathcal { D } _ { u } ^ { t , \vec { x } } ( \mathbf { y } ) \varphi ( d \mathbf { y } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( u \left( t , \mathbf { x } + \left[ \begin{array} { l } { y _ { r } } \\ { \rho y _ { r } } \end{array} \right] \right) - u ( t , \mathbf { x } ) \right) \varphi _ { r } ( y _ { r } ) d y _ { r } } \\ & { \ \ \ + \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( u \left( t , \mathbf { x } + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { y _ { \lambda } } \end{array} \right] \right) - u ( t , \mathbf { x } ) \right) \varphi _ { \lambda } ( y _ { \lambda } ) d y _ { \lambda } } \end{array}
f _ { \mathbf { x } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) = { \frac { 2 e ^ { \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } } } { ( 2 \pi ) ^ { k / 2 } | { \boldsymbol { \Sigma } } | ^ { 0 . 5 } } } { \Big ( } { \frac { \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } } { 2 + { \boldsymbol { \mu } } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } } } { \Big ) } ^ { v / 2 } K _ { v } { \Big ( } { \sqrt { ( 2 + { \boldsymbol { \mu } } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } ) ( \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } ) } } { \Big ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) = - { \frac { 1 } { 4 \pi } } { \bigg [ } } & { { } - \nabla \left( - \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime } + \int _ { V } \nabla ^ { \prime } \cdot { \frac { \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { b } ( P , Q , R ) = \operatorname* { m a x } \Bigg \{ \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) , \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \right\} , \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , P ) , \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , Q ) \right\} , \ } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , P ) , \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , R ) \right\} \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 1 } } } \sum _ { \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 1 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i + \tilde { \alpha } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { \alpha } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( k _ { 2 } ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | + \tilde { \alpha } , 1 } } \\ & { \times \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 2 } } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | } \int _ { [ t _ { 0 } , 2 t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | } } \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 2 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - 2 t _ { 0 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , 2 t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | } } \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 2 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - 2 t _ { 0 } ) = \mathcal { T } ( \iota , k , ( \boldsymbol { x } ^ { 1 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } ) , 2 t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } } & { : = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } ) + L \beta _ { n } ^ { - 1 } Q _ { \Gamma , l } } \\ & { = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l } ( \Gamma ) ] } \\ & { } & { \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l } ( \Gamma ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 0 } = 0 } & { { } \quad \Longrightarrow \quad x _ { 0 } = X ( T ) } \\ { \partial _ { t } z _ { 0 } = 0 } & { { } \quad \Longrightarrow \quad z _ { 0 } = Z ( T ) } \\ { \partial _ { t } \phi _ { 0 } = 0 } & { { } \quad \Longrightarrow \quad \phi _ { 0 } = \Phi ( T ) \, , } \end{array}
\delta { \Pi } ^ { i j } ( { q } , t ) \equiv - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \tau } \right) \sum _ { \alpha } { c } _ { \alpha } ^ { i } { c } _ { \alpha } ^ { k } [ \Theta _ { k } ^ { j } ( { q } + { c } _ { \alpha } , { q } ) - \Theta _ { k } ^ { j } ( { q } - { c } _ { \alpha } , { q } ) ] f _ { \alpha } ^ { e q } ( { q } , t ) .
\begin{array} { r l } { \mathsf { L } _ { \kappa } } & { { } = \mathcal { L } _ { \kappa } ( \rho ) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \, Y _ { 1 } ^ { \kappa } ( \eta , \phi ) , } \\ { \mathcal { L } _ { \kappa } ( \rho ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho + \frac { R } { 2 } } & { \kappa = 0 , } \\ { \sqrt { \rho ( \rho + R ) } } & { \kappa = \pm 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { N } } { N ! } } & { = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { p _ { 1 } \geq 2 } \cdots \sum _ { p _ { k } \geq 2 } \sum _ { ( \pi _ { 1 } , G _ { 1 } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { 1 } } } \cdots \sum _ { ( \pi _ { k } , G _ { k } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { k } } } \frac { \Gamma _ { \pi _ { 1 } , G _ { 1 } } } { p _ { 1 } ! } \cdots \frac { \Gamma _ { \pi _ { k } , G _ { k } } } { p _ { k } ! } } \\ & { = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } } \Gamma _ { \pi , G } \right) ^ { k } = \exp \left( \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } } \Gamma _ { \pi , G } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( L \psi _ { i } ) ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) ] = } & { \sum _ { ( j , \ell ) \in \mathcal { L } } \lambda _ { j , \ell } ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) \mathbb { E } \big [ \psi _ { i } ( \phi _ { j , \ell } ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) ) } \\ & { \qquad - \psi _ { i } ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \sigma , \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } , \hat { s } , \omega , \hat { \omega } ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad \mapsto ( 2 \pi \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } ) ^ { - ( n - 1 ) } \iint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - 2 } } e ^ { i \xi _ { \mathrm { s c } } \hat { s } } e ^ { i \eta _ { \mathrm { s c } } \cdot \hat { \omega } ^ { \prime } } a \Bigl ( \sigma \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } , \omega ; \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } } , \frac { \xi _ { \mathrm { s c } } } { \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } } , \frac { \eta _ { \mathrm { s c } } } { \hat { \rho } _ { \mathrm { t o t } } } \Bigr ) \, { \mathrm d } \xi _ { \mathrm { s c } } \, { \mathrm d } \eta _ { \mathrm { s c } } . } \end{array}
G _ { Q + \mathcal C _ { 0 , \widehat \Sigma } } ^ { s } ( x , y ) \geq \frac { C _ { 1 } | x - Q | ^ { \gamma _ { s } ( \mathcal { C } _ { 0 , \widehat \Sigma } ) } } { | y - Q | ^ { n - 2 s + \gamma _ { s } ( \mathcal { C } _ { 0 , \widehat \Sigma } ) } } , \qquad \forall \, \, x , y \in Q + \mathcal { C } _ { 0 , \Sigma _ { 1 } } \, \, \, \mathrm { w i t h } \, \, \frac { | x - Q | } { | y - Q | } \leq \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { = \sum _ { x _ { i } ^ { t - 1 } } \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t - 1 } \right) M _ { x _ { i } ^ { t - 1 } x _ { i } ^ { t } } ^ { i \setminus j } } & { \qquad \mathrm { f o r } \; t \in } & { \{ 1 , \ldots , T \} } \\ { \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { = \sum _ { x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { \qquad \mathrm { f o r } \; t \in } & { \{ 0 , \ldots , T - 1 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \bar { N } _ { 0 } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n } N _ { 0 } ( n t ) , \quad } & & { t \ge 0 , } \\ { \bar { Q } _ { 0 } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n } Q _ { 0 } ^ { n } ( t ) , \quad } & & { t \ge 0 , } \\ { \bar { \mu } _ { j } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n } \mu _ { j } ^ { n } ( t ) , \quad } & & { j = 1 , \dots , J , \quad t \ge 0 . } \end{array}
| \delta n \rangle = \sum _ { l \neq n } { \frac { \langle l | V | n \rangle } { ( E _ { l } - E _ { n } ) } } | l \rangle + \sum _ { l , n \neq m } { \frac { \langle l | V | m \rangle \langle m | V | n \rangle } { ( E _ { l } - E _ { m } ) ( E _ { m } - E _ { n } ) } } | l \rangle + \cdots
e _ { 2 } = \frac { 1 } { N _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 2 } } \left( \left( \alpha _ { t ( n ) , i } B _ { R , i } + \beta _ { t ( n ) , i } B _ { Z , i } \right) ^ { N N } - B _ { t ( n ) , i } ^ { M D } \right) ^ { 2 }
\mathrm { L A V D } _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau _ { i } T } ( \mathbf x _ { 0 } ) = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau _ { i } T } | \Omega ( F _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf x _ { 0 } ) , t ) - \bar { \Omega } ( t ) | \, d t