harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { 4 \cdot 3 + 5 \cdot 0 = 1 2 } \\ { 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 1 3 } \\ { 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 1 4 } \\ { 4 \cdot 0 + 5 \cdot 3 = 1 5 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \boldsymbol z } _ { v _ { i } } = { \boldsymbol x } _ { v _ { i } } , \quad \mathrm { i f ~ { \boldsymbol ~ x } _ { v _ 1 } \neq ~ { \boldsymbol ~ p } _ + ~ o r ~ { \boldsymbol ~ p } _ - ~ } } \\ { { \boldsymbol z } _ { v _ { i } } = { \boldsymbol { 0 } } , \quad \mathrm { i f ~ { \boldsymbol ~ x } _ { v _ 1 } = ~ { \boldsymbol ~ p } _ + ~ o r ~ { \boldsymbol ~ p } _ - ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } ( \lambda ) } & { = \frac { 1 } { c _ { 0 , 2 } } \frac { E \left[ \left( \frac { \beta } { \lambda \, c _ { 0 , 2 } Z } - 1 \right) ( \psi ^ { * } ( Z ) - c _ { 0 , 2 } ) \, \psi _ { 4 } ( Z ) I _ { ( 0 , \frac { \beta } { \lambda c _ { 0 , 2 } } ) } ( Z ) \right] } { E \left[ \left( \frac { \beta } { \lambda \, c _ { 0 , 2 } Z } - 1 \right) ^ { 2 } \psi _ { 4 } ( Z ) I _ { ( 0 , \frac { \beta } { \lambda c _ { 0 , 2 } } ) } ( Z ) \right] } } \\ { = } & { \frac { 1 } { c _ { 0 , 2 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) ( \psi ^ { * } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) - c _ { 0 , 2 } ) \, \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) ^ { 2 } \, \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) \, f _ { Z } \left( \frac { \beta t } { \lambda c _ { 0 , 2 } } \right) d t } , \; \; \lambda \geq 1 , } \\ { = } & { \frac { 1 } { c _ { 0 , 2 } } E _ { \lambda } [ k _ { 2 } ( S _ { 2 , \lambda } , \lambda ) ] , \; \; \lambda \geq 1 , } \end{array}
| \partial _ { \mathbf { F } } w _ { R } ( \phi , \mathbf { F } ) | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C ( 1 + | 2 R | ^ { p - 1 } ) \quad \mathrm { f o r } \; | \mathbf { F } | \leq 2 R ; } \\ { C | \mathbf { F } | ^ { \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } \left( 1 + | \mathbf { F } | ^ { p - 1 } \right) \leq C \frac { 1 } { ( 2 R ) ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } + C | \mathbf { F } | ^ { p - 1 + \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } } \\ { \leq C ( 1 + | \mathbf { F } | ^ { p + \operatorname* { m i n } ( - 1 , 3 - p ) } ) \quad \mathrm { f o r } \, | \mathbf { F } | \geq 2 R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { \mathrm { o u t } } = \frac { \alpha } { \alpha - 2 \kappa } \tilde { \psi } _ { \mathrm { i n } } - \frac { 2 \kappa } { \alpha - 2 \kappa } \tilde { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - | \lambda _ { r } ( \tilde { R } ) | } & { = 1 - \sqrt { ( 1 - g ( 1 - p ) ) ^ { 2 } + ( \beta ( 1 - p ) ) ^ { 2 } } } \\ & { = 1 - \sqrt { 1 + ( g ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) ( 1 - p ) ^ { 2 } - 2 g ( 1 - p ) } } \\ & { \geq 1 - \sqrt { 1 + 2 g ( 1 - p ) ^ { 2 } - 2 g ( 1 - p ) } } \\ & { \ \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ i n e q u a l i t y ~ ] } } \\ & { = 1 - \sqrt { 1 - 2 g p ( 1 - p ) } } \\ & { \geq 1 - e ^ { - g p ( 1 - p ) } } \\ & { \ \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ \ensuremath { 1 - x \leq ~ e ^ { - x } } ] } } \\ & { \geq 1 - ( 1 - \frac { 1 } { 2 } g p ( 1 - p ) ) } \\ & { \ \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ \ensuremath { e ^ { - x } \leq 1 - \frac { 1 } { 2 } x } ~ f o r ~ \ensuremath { 0 \leq ~ x \leq 1 } ] } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } g p ( 1 - p ) . } \end{array}
S \; = \; \int d t d ^ { 2 } x \, \left[ - h b _ { 0 } { \tilde { J } } _ { 0 } - h b _ { k } { \tilde { J } } _ { k } + \frac { m } { 2 \rho _ { b } } { \vec { J } } _ { b } ^ { 2 } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 m \rho _ { b } } \partial _ { j } \rho _ { b } \partial _ { j } \rho _ { b } \, - \, V ( \rho _ { b } ) \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { t } \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; P _ { \phi } \right) } & { = } & { - \; \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \dot { \bf X } \, P _ { \phi } \right) \; + \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \dot { P } _ { \phi } } \\ & { = } & { - \; \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \dot { \bf X } \, P _ { \phi } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert z \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } } & { = \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } z \Vert = \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } z \Vert } \\ & { \leq \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert \Vert ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } z \Vert } \\ & { = \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert \Vert z \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } . } \end{array}
\mu ^ { 2 } \sim 7 . 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \; \mathrm { e V } ^ { 2 } \; \, \mathrm { o r } \, \; \mu \sim 2 . 7 \times 1 0 ^ { - 3 } \; \mathrm { e V } \; ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 1 } { 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ K _ { 0 } ( \kappa r ) - \frac { 3 } { 4 ( \kappa r ) ^ { 2 } } + \frac { 3 K _ { 1 } ( \kappa r ) } { 4 \kappa r } \right] , } \\ { C _ { 2 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { 3 } { 4 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { 1 } { ( \kappa r ) ^ { 2 } } - \frac { K _ { 2 } ( \kappa r ) } { 2 } \right] , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { { } \simeq \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \kappa r K _ { 1 } ( \kappa r ) - 2 K _ { 0 } ( \kappa r ) \right] , } \end{array}
{ Z _ { 2 } = \{ W _ { i , \{ 1 , 2 \} } , W _ { i , \{ 2 , 3 \} } , W _ { i , \{ 2 , 4 \} } , W _ { i , \{ 2 , 5 \} } \forall i \in [ 1 0 ] \} } \cup \, { \{ D _ { \{ 1 , 2 , 3 \} , \{ 4 , 5 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 1 , 2 , 4 \} , \{ 3 , 5 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 1 , 2 , 5 \} , \{ 3 , 4 \} } ^ { 2 } , D _ { \{ 2 , 3 , 4 \} , \{ 1 , 5 \} } ^ { 1 } , D _ { \{ 2 , 3 , 5 \} , \{ 1 , 4 \} } ^ { 1 } , D _ { \{ 2 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} } ^ { 1 } \} }
X _ { ( 0 ) } ^ { \mu } ( x , y ) = x ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mu } \left( ( x + y ) - ( x - y ) \right) + i \sum \frac { 1 } { m } \alpha _ { m } ^ { \mu } e ^ { i m ( x - y ) } + i \sum \frac { 1 } { m } \alpha _ { m } ^ { \mu } e ^ { - i m ( x + y ) }
\begin{array} { r l r } { G _ { \perp m } ^ { \prime } ( b ) } & { { } = } & { - \sqrt { b / 2 } \left( \frac { \partial } { \partial l } \ln ( b B ) \right) G _ { \perp m } ^ { ( 1 ) } ( b ) , } \\ { G _ { \perp m } ^ { \prime \prime } ( b ) } & { { } = } & { b / 2 \left( \frac { \partial } { \partial l } \ln ( b B ) \right) ^ { 2 } G _ { \perp m } ^ { ( 2 ) } ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 5 } } & { = - k ( k - 1 ) \int _ { \Omega } S ( v ) \phi _ { 2 } ( u ) \Delta v - k ( k - 1 ) \int _ { \Omega } S ^ { \prime } ( v ) \phi _ { 2 } ( u ) | \nabla v | ^ { 2 } } \\ & { \leq c \int _ { \Omega } \phi _ { 2 } ( u ) | \Delta v | } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + c ( \epsilon ) \int _ { \Omega } \phi _ { 2 } ^ { 2 } ( u ) } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + c ( \epsilon ) \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { 2 k - 4 } ( u + e ) } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } ( \Delta v ) ^ { 2 } + \epsilon \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { k - p } ( u + e ) + c ( \epsilon ) \quad \left( 2 k - 4 < k - p \right) . } \end{array}
\frac { e } { \Omega _ { e } B c } I = \frac { e } { \Omega _ { e } B c } \frac { n _ { 0 } T _ { 0 e \parallel } } { m _ { e } } = \frac { n _ { 0 } T _ { 0 e \parallel } } { B ^ { 2 } } = \frac { \beta _ { e } } { 8 \pi } .
T ( g ) \left( \begin{array} { l } { { z _ { 1 } } } \\ { { z _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \alpha z _ { 1 } + \beta z _ { 2 } } } \\ { { \gamma z _ { 1 } + \delta z _ { 2 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { A } } } & { { } = 0 { } \mathrm { ~ \ \ a ~ n ~ d ~ } } \\ { V _ { 2 } } & { { } = \operatorname { R e } V _ { 2 } = \mathcal { B } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { e } _ { n } \| } & { \leq \| \mathbf { e } _ { n - 1 } \| + \| \mathbf { e } _ { n } - \mathbf { e } _ { n - 1 } \| } \\ & { \leq d _ { 1 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h ( n - 1 ) } h ^ { 2 } + d _ { 3 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h ( n - 1 ) } h ^ { 3 } } \\ & { = d _ { 1 } ( 1 + \frac { d _ { 3 } h } { d _ { 1 } } ) \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h ( n - 1 ) } h ^ { 2 } = d _ { 1 } ( 1 + d _ { 2 } h ) \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h ( n - 1 ) } h ^ { 2 } } \\ & { \leq d _ { 1 } \mathbf { e } ^ { d _ { 2 } h n } h ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta _ { i j } } \! \log \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } & { { } = \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } \delta _ { \alpha , j } - \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i } } \mathrm { e } ^ { \theta _ { i j } } \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } } \end{array}
\omega ^ { \gamma } { } _ { \alpha } \, \delta _ { \gamma \beta } \, \epsilon _ { \beta } + \omega ^ { \gamma } { } _ { \beta } \, \delta _ { \gamma \alpha } \, \epsilon _ { \alpha } = 0 \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ - ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ ~ ~ } \alpha ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ ~ ~ } \beta ) \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \perp } ^ { t } = - \frac { \zeta \vert \nabla S \vert } { 3 } \mathbf { m } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { F } _ { \perp } ^ { s } = \frac { 2 \zeta \vert \nabla S \vert } { 3 } \mathbf { m } . } \end{array}
F ( t ) = \left[ 1 - \frac { \rho _ { v } \left( T _ { \mathrm { v } } \right) } { \rho _ { \mathrm { l } } } \right] R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| { \mathbb { E } } \left\{ n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 3 } - p ^ { - 2 / 3 } \right) \right\} \right| } \\ & { \leq } & { p ^ { - 3 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ \nu _ { i } ^ { - 1 } \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 3 } \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| \right\} } \\ & { = } & { p ^ { - 3 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ R _ { i } ^ { - 1 } \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| \right\} } \\ & { = } & { p ^ { - 3 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ R _ { i } ^ { - 1 } \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \right\} } \\ & { } & { + p ^ { - 3 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ R _ { i } ^ { - 1 } \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \leq } & { ( 1 - \epsilon ) ^ { - 1 } p ^ { - 5 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ R _ { i } ^ { - 1 } \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \right\} } \\ & { } & { + p ^ { - 3 / 2 } { \mathbb { E } } \left\{ R _ { i } ^ { - 1 } \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \right\} } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 5 / 2 } \{ { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) \} ^ { 1 / 4 } \left[ { \mathbb { E } } \left\{ \left| ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \right| ^ { 4 } \right\} \right] ^ { 1 / 4 } \left\{ { \mathbb { E } } \left( \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| ^ { 2 } \right) \right\} ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { + p ^ { - 3 / 2 } \{ { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) \} ^ { 1 / 4 } \left\{ { \mathbb { E } } \left( \left| \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 3 } - p ^ { 3 / 2 } \right| ^ { 2 } \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 4 } } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 1 } p ^ { - 1 - \delta / 2 } \, . } \end{array}
\theta \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { + } } } \\ { { \psi _ { - } } } \end{array} \right) = D ^ { ( s ) } ( i \sigma _ { 2 } ) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { - } ^ { * } } } \\ { { \psi _ { + } ^ { * } } } \end{array} \right) , \, \, \, \, \, \pm \mathrm { = ( a n t i ) p a r t i c l e \thinspace ~ \thinspace ~ d o u b l i n g }
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \Big ( a \nabla u \cdot \nabla u + F ( \cdot , u ) \cdot \nabla u - \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } \big [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) \big ] ^ { 2 } \Big ) \, d x } \\ & { \geq \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \Big ( \nu | \nabla u | ^ { 2 } - \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \| ( g _ { n } ( \cdot , u ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } - R ( \cdot , u ) \Big ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = - \beta \, I ( t ) \, S ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } I ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \beta \, I ( t ) \, S ( t ) - \omega _ { I } \, I ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } R ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \omega _ { I } \, I ( t ) . } \end{array}
\mathbf { \boldsymbol { Y } } = \mathcal { U } ( \mathbf { \boldsymbol { X } } ^ { \prime } , t ; \mathbf { \boldsymbol { \theta } } ) - \bar { \mathcal { U } } ( \mathbf { \boldsymbol { X } } ^ { \prime } , t ; \theta ) + \mathcal { M } ( \bar { \vec { X } } , t ; \mathbf { \boldsymbol { \phi } } ) = \mathbf { \boldsymbol { Y } } ^ { \prime } + \bar { \vec { Y } } .
( D f ) ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { n } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial y _ { m } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \frac { \partial f _ { m } } { \partial x _ { 1 } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial f _ { m } } { \partial x _ { n } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { { \frac { \partial f _ { m } } { \partial y _ { 1 } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial f _ { m } } { \partial y _ { m } } } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c c } { X } & { Y } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \lesssim \Theta + T \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } , } \\ { \Vert 1 - \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \lesssim \Theta + T \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } , } \end{array}
{ \cal H } _ { o ( b r s t ) } = { \cal H } _ { o } = \frac { 1 } { 2 } \, p ^ { I A } . p ^ { I A } + \frac { 1 } { 4 } \, f _ { A B } ^ { C } \, f _ { C E D } \, x ^ { I A } x ^ { J B } x ^ { I E } x ^ { J D }
\begin{array} { r l } & { L L R ( F D = 1 | d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \\ & { \qquad = \log \frac { \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } \left[ \frac { 1 } { 2 } P ^ { + } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) + P ^ { + } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \right] } { \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } \left[ \frac { 1 } { 2 } P ^ { - } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) + P ^ { - } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \overline { { \mathbf { e } _ { j } } } } ( s ) = \mathbf { r } ^ { ( j ) } ( s ) - \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \langle \mathbf { r } ^ { ( j ) } ( s ) , \mathbf { e } _ { i } ( s ) \rangle \, \mathbf { e } _ { i } ( s ) . } \end{array}
= \left( \begin{array} { l l l l l l } { - 0 . 0 2 6 } & { 0 . 0 8 8 } & { 0 . 1 3 4 } & { - 0 . 0 8 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 0 8 8 } & { - 0 . 0 2 6 } & { 0 . 1 3 4 } & { 0 . 0 8 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 1 7 7 } & { 0 . 1 7 7 } & { 0 . 0 7 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 1 5 1 } & { 0 . 1 5 1 } & { 0 } & { 0 . 1 4 5 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 . 1 4 5 } & { - 0 . 1 5 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 0 8 3 } & { - 0 . 0 5 7 } \end{array} \right) .
\forall \, m \in \mathbb { N } \, \forall \, n \in \mathbb { N } _ { 0 } : \, \ln \left| \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { n + j } \right| + \frac { \alpha _ { n } } { l + 1 } \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \ln \left| \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { r + j } \right| + \frac { \alpha _ { r } } { l + 1 } ; 1 \leq r \leq N _ { m } \right\} + \frac { \alpha _ { n + m } } { k + 1 }
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { p r } ^ { q s } = - \mathcal P _ { ( r s ) } ^ { ( p q ) } \big ( } & { { } \rho _ { p } ^ { q } ( i ) A _ { r } ^ { s } ( i ) + \vec { V } _ { p } ^ { q } ( i ) \cdot \vec { B } _ { r } ^ { s } ( i ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { p } } & { { } = ( a _ { 0 } , \nu _ { e e } , k \lambda _ { D } ) } \\ { \mathcal { L } } & { { } = \left[ \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { t = 2 5 0 \omega _ { p } ^ { - 1 } } ^ { 4 5 0 \omega _ { p } ^ { - 1 } } \left( \log _ { 1 0 } | \hat { n } _ { f } ^ { 1 } | ( \vec { p } ; \theta ) - \log _ { 1 0 } | \hat { n } _ { V } ^ { 1 } ( \vec { p } ) | \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\mathbf { R } = \left( \begin{array} { c c c c c } { \cos \mu _ { 1 } } & { \sin \mu _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { - \sin \mu _ { 1 } } & { \cos \mu _ { 1 } } & { } & { } & { } \end{array} \right) .
m _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } = \alpha _ { * } - v - { \frac { \varphi _ { * } ^ { 2 } } { \tilde { s } ^ { ( 2 ) } ( p ^ { 2 } = - m _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \alpha _ { * } ) } } \cdotp
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 1 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } \left( \mathrm { e r f i } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \sqrt { 2 \pi } ( \tau | \mathbf { k } | ) ^ { 2 } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \left( x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } + 1 1 \right) - 8 \pi \tau | \mathbf { k } | \left( x ^ { 2 } + 1 \right) - \sqrt { 2 \pi } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \left( x ^ { 2 } - 5 \right) \right) \right. } \\ & { \qquad \left. - 4 \pi x \mathrm { e r f i } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 x \left( e ^ { x ^ { 2 } } \left( ( \tau | \mathbf { k } | ) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + 5 \right) - 1 \right) + \sqrt { 2 \pi } \tau | \mathbf { k } | e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } x ^ { 2 } - 2 \pi \right) \right) = 0 , } \\ & { \frac { 1 } { 1 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } \left( - 4 \pi \tau | \mathbf { k } | \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { e r f i } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } + \mathrm { e r f i } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 } } \right) \left( 8 \pi x - 2 \sqrt { 2 \pi } \tau | \mathbf { k } | e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } x ^ { 3 } \right) + 4 \tau | \mathbf { k } | e ^ { x ^ { 2 } } \left( 3 \tau | \mathbf { k } | ^ { 2 } + x ^ { 2 } + 3 \right) \right. } \\ & { \qquad \left. + \sqrt { 2 \pi } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \left( - \left( ( \tau | \mathbf { k } | ) ^ { 2 } \left( x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } + 1 1 \right) \right) + x ^ { 2 } - 5 \right) + 4 \pi \tau | \mathbf { k } | \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \right) = 0 , } \end{array}
F _ { 2 } ^ { D ( 3 ) } ( \beta , Q ^ { 2 } , x _ { P } ) = f _ { P } ( x _ { P } ) F _ { 2 } ^ { P } ( \beta , Q ^ { 2 } ) + \; \mathrm { s e c o n d a r y } \; \mathrm { e x c h a n g e s } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( x ; \alpha , \kappa ) } & { = - \frac { 8 } { 2 7 } x ^ { 3 } + \frac { 4 } { 3 } \left( \alpha + \sqrt { 3 } i { \beta } \right) x + 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } } 3 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } \Big [ { \beta } h _ { 0 } s _ { * } ^ { - 1 } e ^ { \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } - \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } - \frac { \pi i { \beta } } { 2 } + { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } } \\ & { \qquad \qquad \ + h _ { 0 } ^ { - 1 } s _ { * } e ^ { - \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } + \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } + \frac { \pi i { \beta } } { 2 } - { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } \Big ] + O ( | x | ^ { - 1 } ) , \quad \mathrm { a s } \quad x \rightarrow - \infty . } \end{array}
2 \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow + \infty } \langle T \rangle _ { \tau } = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow + \infty } \langle U \rangle _ { \tau } \qquad { \mathrm { i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f } } \quad \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow + \infty } { \tau } ^ { - 2 } I ( \tau ) = 0 \, .
\begin{array} { r l r l } { \widehat { y } _ { - } ^ { \prime \prime \prime } } & { \; : = \; - \sqrt { \mathbb { E } \big ( \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } ^ { 2 } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \leq \widehat { y } _ { - } \big ) } \, , } & { \qquad } & { \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime \prime \prime } \; : = \; - \sqrt { \mathbb { E } \big ( \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } ^ { 2 } \, \big | \, \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \leq \widetilde { y } _ { - } \big ) } \, , } \\ { \widehat { y } _ { + } ^ { \prime \prime \prime } } & { \; : = \; \sqrt { \mathbb { E } \big ( \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } ^ { 2 } \, \big | \, \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \big ) } \, , } & { \qquad } & { \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime \prime \prime } \; : = \; \sqrt { \mathbb { E } \big ( \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } ^ { 2 } \, \big | \, \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \big ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \zeta } _ { k } ( i ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \sum _ { y = \tilde { s } _ { k } ( i ) + 1 } ^ { \tilde { s } _ { k } ( i + 1 ) } \left( \eta _ { k } ^ { \sigma } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \sigma } ( y ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \sum _ { y = s _ { k } ( i ) + 1 } ^ { s _ { k } ( i + 1 ) } \left( \eta _ { k } ^ { \sigma } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \sigma } ( y ) \right) } \\ & { = \zeta _ { k } ( i ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( w _ { s r } ) } & { { } = \frac { H ( f ^ { s c a l } ( w _ { s r } ) ) } { H ( f ^ { s c a l } ( \operatorname* { m i n } W ) ) } , } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \; H ( w _ { s r } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \exp { \frac { - w _ { s r } ^ { 2 } } { 2 } } , w _ { s r } \geq 0 , } \\ { f ^ { s c a l } ( w _ { s r } ) } & { { } = \frac { w _ { s r } - \operatorname* { m i n } W } { ( \operatorname* { m a x } W ) / | S | } , } \end{array}