harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e } \Bigl ( 1 / \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } - \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 2 } } S / \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } \Bigr ) = \mathrm { R e } \Bigl ( 1 / \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p , e f f } } \Bigr ) = 0 , } \\ & { \mathrm { R e } \Bigl ( 1 / \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } - \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 2 } } S / \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } \Bigr ) = \mathrm { R e } \Bigl ( 1 / \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m , e f f } } \Bigr ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ D ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ D ~ L ~ } } = \frac { 1 } { | \Omega ^ { * } | ^ { 3 } } \int _ { \Omega ^ { * } \times \Omega ^ { * } \times \Omega ^ { * } } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { i } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { j } \, \mathrm { d } \mathbf { k } _ { a } W _ { i j a b } ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } ) t _ { i j a b } ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { a } ) : = \mathcal { G } _ { \mathrm { ~ T ~ D ~ L ~ } } ( t _ { * } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( u _ { 0 } + x _ { 0 } ) - u _ { 0 } x _ { 1 } = } & { 0 } \\ { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { u _ { 0 } } f _ { x _ { 0 } } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { v _ { 0 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } } \\ { \partial _ { v _ { 0 } } f _ { x _ { 0 } } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { - u _ { 0 } } \end{array} \right) = } & { 0 } \end{array} . \right.
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 4 } } & { { } = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = e \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x f _ { 0 } } \\ { \mathbf { J } } & { { } = \frac { e } { m } \int d ^ { 3 } p \, \mathbf { p } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) } \\ { W } & { { } = \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x \Big [ \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) + m f _ { 3 } \Big ] } \\ { \mathbf { M } } & { { } = \int d ^ { 3 } p d ^ { 3 } x \, \mathbf { p } ( f _ { 0 } - f _ { 1 } ) } \end{array}
M _ { a } = \int \tilde { n } d z = \left[ - { \frac { 1 6 } { 3 } } ( 1 + 1 / \theta ) { \psi } - { \frac { 5 1 2 } { 4 5 \sqrt { \pi } } } { \psi } ^ { 3 / 2 } + { \frac { 6 4 } { 3 5 \theta ^ { 2 } } } { \psi } ^ { 2 } \right] ( 1 + 1 / \theta ) ^ { - 1 / 2 } + O ( { \psi } ^ { 5 / 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { { } = } & { \prod _ { \eta = \pm } \left( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta } \right) = \left[ \hbar \omega - g - \frac { ( \hbar v _ { F } k _ { y } ) ^ { 2 } } { 4 g } \right] ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( S _ { x } \right) _ { a b } } & { = { \frac { \hbar } { 2 } } \left( \delta _ { a , b + 1 } + \delta _ { a + 1 , b } \right) { \sqrt { ( s + 1 ) ( a + b - 1 ) - a b } } , } \\ { \left( S _ { y } \right) _ { a b } } & { = { \frac { i \hbar } { 2 } } \left( \delta _ { a , b + 1 } - \delta _ { a + 1 , b } \right) { \sqrt { ( s + 1 ) ( a + b - 1 ) - a b } } , } \\ { \left( S _ { z } \right) _ { a b } } & { = \hbar ( s + 1 - a ) \delta _ { a , b } = \hbar ( s + 1 - b ) \delta _ { a , b } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { { } = } & { - \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 1 - \beta / 2 } \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } \ N \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { S } } ( r ) = } & { \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \, } { ( 4 \pi \, \beta ) ^ { d / 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } / 4 \beta } \, , } \\ { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) = } & { \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \, \left( 1 + b \, \lvert \tau \rvert / \beta \tau _ { c } \right) ^ { - d / 2 } } { ( 4 \pi \, \beta ) ^ { d / 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - a \, \lvert \tau \rvert / \tilde { \tau } _ { c } } \, \, . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 \pi } } { \mathbf { v } _ { t } . \mathbf { v } _ { t } ^ { \prime } } = { \frac { 1 } { 3 } } [ Y _ { 1 } ^ { 1 } ( { \mathbf { v } } ) Y _ { 1 } ^ { 1 * } ( { \mathbf { v } ^ { \prime } } ) + Y _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } } ) Y _ { 1 } ^ { - 1 * } ( { \mathbf { v } ^ { \prime } } ) ]
\begin{array} { r } { \mu \cdot B + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } \left\{ \tilde { f } _ { t } ( x ) - \mu \cdot \tilde { b } _ { t } ( x ) \right\} = \mu \cdot B < \kappa \cdot B = \kappa \cdot B + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } \left\{ \tilde { f } _ { t } ( x ) - \kappa \cdot \tilde { b } _ { t } ( x ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sigma ( \epsilon / x ) \epsilon ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 4 } - \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { \sigma ( \epsilon / x ) \epsilon ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 4 } - \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x + \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } \frac { \sigma ( \epsilon / x ) \epsilon ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 4 } - \epsilon ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { t } ^ { \varepsilon , i } = Y _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } } & { + \int _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { t } \Big ( b ^ { i } - \theta ^ { i } b ^ { 0 } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } \Sigma ^ { 0 j } + \psi ^ { i } ( \cdot , \cdot ; X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } - \theta ^ { i } \sigma _ { l } ^ { 0 } + \psi _ { l } ^ { i } ( \cdot , \cdot ; X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } } \end{array}
\{ i \gamma _ { 5 } \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } \theta ^ { \alpha } , S _ { F } \} ( y , x ) : = i \gamma _ { 5 } \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } \theta ^ { \alpha } ( y ) S _ { F } ( y , x ) + S _ { F } ( y , x ) i \gamma _ { 5 } \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } \theta ^ { \alpha } ( x ) .
T _ { \mathrm { p } } = { \frac { 4 \pi ^ { 2 } I _ { \mathrm { s } } } { \ m g r T _ { \mathrm { s } } } } = { \frac { 4 \pi ^ { 2 } I _ { \mathrm { s } } \sin ( \theta ) } { \ \tau T _ { \mathrm { s } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } \right\rangle = } & { { } \left\langle - \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } \alpha _ { x } \, \right\rangle = - \left\langle \alpha _ { x } \, \right\rangle } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } \alpha _ { y } \right\rangle = } & { { } \left\langle - \left( \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } + \alpha _ { y } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { y } } \, \right) \alpha _ { x } \alpha _ { y } \, \right\rangle = - \left\langle \alpha _ { x } \alpha _ { y } \, \right\rangle } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } ^ { 2 } \right\rangle = } & { { } \left\langle \left( - \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { x } ^ { 2 } } \, \right) \alpha _ { x } ^ { 2 } \, \right\rangle = \frac { 1 } { 2 } - 2 \left\langle \alpha _ { x } ^ { 2 } \, \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ z \left| ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } \right| ^ { 2 D } \right] = } & { \mathbb { E } \left[ z ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } h _ { c k } ( G A \overline { G } G ) _ { k d } ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } \right] } \\ & { - \mathbb { E } \left[ ( A \overline { { G } } G ) _ { c d } ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } \right] , } \end{array}
Z _ { c } = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \int \exp \{ i \sum _ { \alpha } [ \frac { ( \chi ^ { \alpha } ) ^ { 2 } L } { m _ { \alpha } } + \frac { \chi ^ { \alpha } } { m _ { \alpha } } \sin ( 2 m _ { \alpha } L ) ( A _ { \alpha } + A _ { \alpha } ^ { + } ) ] \} d \chi
\begin{array} { r } { I _ { m , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \sqrt { \pi } e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } + ( m - 1 ) \ell n | \omega | } , \ \omega > 0 \ \mathrm { a n d } \ \omega ^ { 2 } \gg 0 } \\ { e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } } \left( \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) M \left( \frac { 1 - m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) + 2 | \omega | \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) M \left( 1 - \frac { m } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) \right) , \ \omega > 0 } \\ { \frac { e ^ { - \psi ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) U \left( \frac { m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) , \ \omega < 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { \mathcal { A } } U \left. \frac { \partial \psi } { \partial z } \frac { \partial \psi } { \partial x } \right| _ { z = 0 } \! \! \! \! \, \textrm { d } A = \int _ { \mathcal { V } } - \frac { \partial } { z } \left[ \frac { \partial \psi } { \partial \partial z } \frac { \partial \psi } { \partial x } \right] \, \textrm { d } V = - \int _ { \mathcal { V } } \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { x } \left[ \frac { \partial \psi } { \partial \partial z } \right] ^ { 2 } \, \textrm { d } V ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = r \cos ( \varphi _ { 1 } ) } \\ { x _ { 2 } } & { { } = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cos ( \varphi _ { 2 } ) } \\ { x _ { 3 } } & { { } = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \sin ( \varphi _ { 2 } ) \cos ( \varphi _ { 3 } ) } \\ { x _ { n - 1 } } & { { } = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \cos ( \varphi _ { n - 1 } ) } \\ { x _ { n } } & { { } = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \sin ( \varphi _ { n - 1 } ) . } \end{array}
{ \frac { d { \sigma } } { d y } } _ { \nu , { \bar { \nu } } } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { e } E _ { \nu } } { 2 \pi } } \left( ( g _ { V } ^ { \nu e 2 } + g _ { A } ^ { \nu e 2 } ) ( 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } ) \pm { 2 g _ { V } ^ { \nu e } g _ { A } ^ { \nu e } ( 1 - ( 1 - y ) ^ { 2 } ) } \right)
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ( q _ { B } ) } & { = } & { \frac { \lvert \chi ^ { ( B ) } ( q _ { B } ) \rvert ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \mathcal { S } _ { D } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { B } ^ { \prime } \frac { p _ { B } ^ { D - 1 } } { \left( p _ { B } ^ { 2 } + 1 / 2 \mu _ { B } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \lvert \chi ^ { ( B ) } ( q _ { B } ) \rvert ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \mathcal { S } _ { D } \frac { ( 2 - D ) \pi } { 4 } \csc \left( \frac { D \pi } { 2 } \right) \left( 2 \mu _ { B } \right) ^ { 2 - D / 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } > } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } } \\ & { + \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } 4 \eta _ { t } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } M ^ { 2 } D ^ { 2 } } , } \end{array}
\left. \frac { \partial ^ { 2 } q } { \partial d ^ { 2 } } \right| _ { d = 1 } = \left. \frac { ( N _ { I } - 1 ) d ^ { 1 / N _ { I } - 2 } ( d N _ { I } + d - 1 ) } { N _ { I } ^ { 2 } } \right| _ { d = 1 } = \frac { N _ { I } - 1 } { N _ { I } } > 0
V _ { \mathrm { \footnotesize ~ W o l f e n s t e i n } } = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 - \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } } } & { { \lambda } } & { { A \lambda ^ { 3 } ( \rho - i \eta ) } } \\ { { - \lambda } } & { { 1 - \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } } } & { { A \lambda ^ { 2 } } } \\ { { A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \rho - i \eta ) } } & { { - A \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) + { \cal { O } } ( \lambda ^ { 4 } ) \; .
\begin{array} { r l } & { \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \zeta ) ^ { - 1 } ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + e ^ { \theta } / 2 ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \lambda \geq 0 } \left| \frac { \lambda + e ^ { \theta } / 2 } { \lambda + \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - \zeta } \right| \leq \operatorname* { s u p } _ { \lambda \geq 0 } \left| \frac { \lambda + e ^ { \theta } / 2 } { \lambda + 1 / 2 } \right| \leq 1 + | e ^ { \theta } | . } \end{array}
\ker \Big ( d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , 0 , 0 \big ) \Big ) = \mathtt { s p a n } \big ( u _ { 0 } \big ) ,
E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } = { E ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } } + \sum _ { i } \left[ - \left( E ^ { \mathrm { D F T } } - \left. E ^ { \mathrm { D F T } } \right| _ { f _ { i } = 0 } \right) + f _ { i } \eta _ { i } \right]
\begin{array} { r l } & { \left( ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y ) \right) \left( \frac { x ^ { 2 } } { y + z } + \frac { y ^ { 2 } } { z + x } + \frac { z ^ { 2 } } { x + y } \right) } \\ & { \geq \left( \sqrt { y + z } \sqrt { \frac { x ^ { 2 } } { y + z } } + \sqrt { z + x } \sqrt { \frac { y ^ { 2 } } { z + x } } + \sqrt { x + y } \sqrt { \frac { z ^ { 2 } } { x + y } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = ( x + y + z ) ^ { 2 } } \end{array}
= \, - 2 \int d ^ { 3 } x \, \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ln \left[ p ^ { 2 } + ( \omega _ { n } + e \varphi _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \nabla _ { x } \log \eta ( x ) } & { = \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \eta ( S ( y ) ) } \\ & { = \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \left( \eta ( S ( y ) ) \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { S } ( y ) \right) - \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { S } ( y ) } \\ & { = \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \pi ( y ) - \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { S } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { g } H _ { \infty , k } q _ { i } ^ { k } \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { g } H _ { X _ { s } , k } ( q _ { i } - X _ { s } ) ^ { - k } \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } } \\ & { } & { = - \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { r _ { \infty } - 4 } k H _ { \infty , k } q _ { j } ^ { k - 1 } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } } k H _ { X _ { s } , k } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { k + 1 } } \right) } \\ & { } & { + \delta _ { r _ { \infty } = 2 } \left( \partial _ { q _ { j } } \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \hbar \sum _ { i = 1 } ^ { g } p _ { i } - ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 1 } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 1 } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } + \hbar t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 1 } ) \right) } \\ & { } & { + \delta _ { r _ { \infty } = 1 } \left[ \left( \partial _ { q _ { j } } \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \hbar \sum _ { i = 1 } ^ { g } q _ { i } p _ { i } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 0 } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 0 } \delta _ { r _ { s } = 1 } - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + \hbar ) \right) + \left( \partial _ { q _ { j } } \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \hbar \sum _ { i = 1 } ^ { g } p _ { i } \right) \right] } \\ & { } & \end{array}
\left. \Gamma ^ { ( \infty ) } ( p _ { 1 j } ^ { 2 } ; m _ { 0 } , L _ { 1 } , L _ { 2 } , \lambda _ { 1 B } , \lambda _ { 2 B } , \epsilon ) \right| _ { s . p . } = \left. \Gamma ^ { ( 0 ) } ( p _ { 1 j } ^ { 2 } ; m _ { 0 } , \lambda _ { 1 B } ^ { \prime } , \epsilon ) \right| _ { s . p . } = g \kappa ^ { 2 \epsilon } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { B } _ { ( 1 , j ) } = \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { L } \right] _ { \mathbf { q } _ { ( 1 , j ) } = \Bar { \mathbf { q } } _ { ( 1 , j ) } } \mathbf { Q } _ { ( 1 , j ) } ^ { \prime } , } \\ & { \mathbf { B } _ { ( n _ { x } , j ) } = - \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { R } \right] _ { \mathbf { q } _ { ( n _ { x } , j ) } = \Bar { \mathbf { q } } _ { ( n _ { x } , j ) } } \mathbf { Q } _ { ( n _ { x } , j ) } ^ { \prime } , } \\ & { \mathbf { B } _ { ( i , 1 ) } = \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { L } \right] _ { \mathbf { q } _ { ( i , 1 ) } = \Bar { \mathbf { q } } _ { ( i , 1 ) } } \mathbf { Q } _ { ( i , 1 ) } ^ { \prime } , } \\ & { \mathbf { B } _ { ( i , n _ { y } ) } = - \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { g } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { R } \right] _ { \mathbf { q } _ { ( i , n _ { y } ) } = \Bar { \mathbf { q } } _ { ( i , n _ { y } ) } } \mathbf { Q } _ { ( i , n _ { y } ) } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { - 1 } h _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { B } { 4 } \sin 2 \theta \sin 2 \phi + \frac { C } { 2 } \sin \theta \cos 2 \phi , } \\ { \gamma ^ { - 1 } h _ { 2 } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - B \cos 2 \phi ) - \frac { C } { 2 } \cos \theta \sin 2 \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { k } ^ { m } ( y ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } - ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \frac { \sinh ( \sqrt { \lambda _ { 2 } } y ) } { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \cosh \left( \sqrt { \lambda _ { 2 } } \frac { \ell } { 2 a } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { i } H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } \\ { H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { i } - \sum _ { A } \frac { Z _ { a } } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { A } | } + \boldsymbol { E } ( t ) \cdot \boldsymbol { r } _ { i } } \\ { H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } & { = \frac { 1 } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + h ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { f _ { 1 } } ( - h t - h \alpha _ { 1 } ) \hat { f _ { 2 } } ( - h t - h \alpha _ { 2 } ) h ^ { 2 } \mathrm { d } t } & { = ( m + h ) h \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { f _ { 1 } } ( u ) \hat { f _ { 2 } } ( u + h \alpha _ { 1 } - h \alpha _ { 2 } ) \mathrm { d } u } \\ & { = ( m + h ) h \hat { f _ { 1 } } \ast \hat { \bar { f _ { 2 } } } ( h \alpha _ { 2 } - h \alpha _ { 1 } ) k } \\ & { = ( m + h ) E _ { f _ { 1 } \bar { f _ { 2 } } , h } ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) + O ( m / h ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( x , y ) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { F } [ I _ { d } ( x , y ) / I _ { 0 } ] } { 1 + \frac { ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 1 } ) \Delta } { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } \textbf { k } _ { \perp } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
[ \mathbf { \tilde { F } } - \mathbf { F } ] _ { i , j } \approx m \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \sum _ { X } p ( X ) \right] _ { \boldsymbol { \lambda } = \boldsymbol { \lambda } ^ { * } } = 0 .
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { a _ { 1 } q _ { 1 } } { ( 1 + a _ { 1 } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { 1 } } { K _ { 1 } } - \alpha _ { 1 2 } \right) , } \\ { A _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { a _ { 2 } q _ { 2 } } { ( 1 + a _ { 2 } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { 2 } } { K _ { 2 } } - \alpha _ { 2 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } \left\{ \phantom { | } _ { a b c d } ^ { \mu \nu \alpha \beta } \right\} [ 3 \Omega _ { \mu } { } ^ { a e f } \Omega _ { \nu } { } ^ { b e f } \delta _ { \alpha } { } ^ { c } \delta _ { \beta } { } ^ { d } - \frac { 1 } { 3 } \Omega _ { \mu } { } ^ { a b c } T _ { \nu \alpha \beta } { } ^ { d } ]
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = } & { | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \left[ E _ { 1 } + \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } + \sum _ { j } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle - w _ { j } ^ { z } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } \right] } \end{array}