harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\kappa ^ { e l } = \frac { 1 } { 1 6 T ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { k ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \omega } { 2 T } \right) } \mathrm { t r } \left( \gamma ^ { 0 } a ( \omega , k ) \gamma ^ { 0 } a ( \omega , k ) \right) .
\begin{array} { r l } { ( p _ { k _ { 2 } + 1 } , p _ { k _ { 2 } - 1 } ) \mapsto } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 / d } \langle x _ { k _ { 2 } } , p _ { k _ { 2 } + 1 } - p _ { k _ { 2 } - 1 } \rangle } e ^ { i s _ { k _ { 2 } + 1 } \hbar ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k _ { 2 } + 1 } ^ { 2 } - p _ { k _ { 2 } - 1 } ^ { 2 } ) } \int e ^ { i s _ { k _ { 2 } } \hbar ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k _ { 2 } } ^ { 2 } - p _ { k _ { 2 } - 1 } ^ { 2 } ) } } \\ & { \times \Psi _ { \alpha _ { k _ { 2 } + 1 } } ( p _ { k _ { 2 } + 1 } , p _ { k _ { 2 } } , \hbar ^ { - 1 } s _ { k _ { 2 } } ; V ) \Psi _ { \alpha _ { k _ { 2 } } } ( p _ { k _ { 2 } } , p _ { k _ { 2 } - 1 } , \hbar ^ { - 1 } ( s _ { k _ { 2 } - 1 } - s _ { k _ { 2 } + 1 } - s _ { k _ { 2 } } ) ; V ) \, d p _ { k _ { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { D } _ { P } = - 2 \int _ { \Omega } \eta D : D \, d V - \int _ { \partial \Omega } \lambda v _ { \parallel } ^ { 2 } \, d A = - \frac { \pi h G ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 8 \eta } \left( 1 + \frac { 4 L } { R } \right) .
\int _ { 0 } ^ { R ^ { 2 } } \mathrm { d } u \, w ^ { \boldsymbol { \mathsf { h } } } ( u ) \, \vert \phi _ { n } ( \alpha , \bar { \alpha } ) \vert ^ { 2 } = 1 \, , \quad n = 0 , 1 , 2 , \dotsc \, \, .
\begin{array} { r } { { \bf q } = \left( \begin{array} { l } { { \bf q } _ { 1 } } \\ { { \bf q } _ { 2 } } \end{array} \right) , \quad { \bf d } = \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { 1 } } \\ { { \bf d } _ { 2 } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } _ { 1 1 } } & { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } _ { 1 2 } } \\ { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } _ { 2 1 } } & { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ A } ~ } _ { 2 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left[ \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { t } \varphi + \left( \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } + p \right) u \cdot \nabla \varphi \right] \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \varphi \, \mathrm { d } \overline { \varepsilon } [ u ] , \quad \forall \varphi \in C _ { c } ^ { 1 } ( \overline { \Omega } \times ( 0 , T ] ) .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { e \rightarrow v } } ( \mathbf { Z } ) _ { i , j , k } = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } + \mathbf { Z } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ) \cdot \mathbf { e } _ { R } \right) \mathbf { e } _ { R } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k } + \mathbf { Z } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } \right) \mathbf { e } _ { \phi } } \\ { + ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { Z } _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { Z } \right) \mathbf { e } _ { Z } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { \left( \left( \exp _ { s } \xi \right) s , \omega \right) } } & { = } & { U _ { \xi } ^ { \left( s \right) } T ^ { \left( s , \omega \right) } } \\ & { } & { + U _ { \xi } ^ { \left( s \right) } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } U _ { \xi } ^ { \left( s \right) } \left( \tau \right) ^ { - 1 } d \tau \right) d ^ { \omega } \xi . } \end{array}
\int d ^ { 4 } z _ { 1 } d ^ { 4 } z _ { 2 } \langle \Phi ( x _ { 1 } ) \Phi ( x _ { 2 } ) \Phi ^ { * } ( y _ { 1 } ) \Phi ^ { * } ( y _ { 2 } ) : ( \Phi \Phi ^ { * } ) ^ { 2 } : ( z _ { 1 } ) : ( \Phi \Phi ^ { * } ) ^ { 2 } : ( z _ { 2 } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N } ] } & { = \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ ( 1 + i _ { N } ) ( X _ { N - 1 } + \phi _ { N - 1 } ^ { b } ( X _ { N - 1 } ) \cdot R _ { N } ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } \Big [ ( 1 + i _ { N } ) \Big ( X _ { N - 1 } ( 1 - R _ { N } ^ { \top } C _ { N } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { N } ) + \frac { b S _ { N - 1 } ^ { 0 } } { S _ { N } ^ { 0 } } R _ { N } ^ { \top } C _ { N } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { N } \Big ) \Big ] } \\ & { = ( 1 + i _ { N } ) \Big ( \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N - 1 } ] ( 1 - \ell _ { N } ) + \frac { b S _ { N - 1 } ^ { 0 } } { S _ { N } ^ { 0 } } \ell _ { N } \Big ) } \\ & { = ( 1 + i _ { N } ) d _ { N - 1 } \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N - 1 } ] + b \ell _ { N } } \\ & { = ( 1 + i _ { N } ) d _ { N - 1 } ( 1 + i _ { N - 1 } ) \Big ( \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N - 2 } ] ( 1 - \ell _ { N - 1 } ) + \frac { b S _ { N - 2 } ^ { 0 } } { S _ { N } ^ { 0 } } \ell _ { N - 1 } \Big ) + b \ell _ { N } } \\ & { = ( 1 + i _ { N } ) ( 1 + i _ { N - 1 } ) d _ { N - 2 } \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N - 2 } ] + b \ell _ { N - 1 } d _ { N - 1 } + b \ell _ { N } = \ldots } \\ & { = \prod _ { k = 1 } ^ { N } ( 1 + i _ { k } ) d _ { 0 } x _ { 0 } + b \sum _ { k = 1 } ^ { N } \ell _ { k } d _ { k } = S _ { N } ^ { 0 } d _ { 0 } x _ { 0 } + b \sum _ { k = 1 } ^ { N } \ell _ { k } d _ { k } } \\ & { = S _ { N } ^ { 0 } d _ { 0 } x _ { 0 } + b ( 1 - d _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta r ( B Y ; M _ { W } ) } & { { } = } & { \Delta r ( S M ; M _ { W } ( S M ) ) + \Delta r _ { S E } ^ { ( \alpha ) } ( B Y ; M _ { W } ) - \Delta r _ { S E } ^ { ( \alpha ) } ( S M ; M _ { W } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \rho _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ~ k _ { u } + k _ { d } + n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } , k _ { u } ^ { \prime } + k _ { d } ^ { \prime } + n _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } O ( \mu ^ { \frac { k _ { \mathrm { ~ u ~ } } + k _ { \mathrm { ~ d ~ } } + k _ { \mathrm { ~ u ~ } } ^ { \prime } + k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \prime } } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ^ { * } \; } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } , } \\ & { ( - v _ { 1 , o u t } \varphi _ { 1 } , - v _ { 2 , o u t } \varphi _ { 2 } + \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) , - v _ { 3 , o u t } \varphi _ { 3 } + \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) , - v _ { 4 , o u t } \varphi _ { 4 } , - v _ { 5 , o u t } \varphi _ { 5 } ) ^ { * } \; } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } . } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } L _ { j i } ^ { q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) ^ { 2 } } \right) .
\mathbb { E } ( \sigma _ { \mathcal { F } , n } ^ { 2 } ) = \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \mathbb { P } _ { n } ( f ^ { 2 } ) \le \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \Big \{ | ( \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } ) ( f ^ { 2 } ) | + \mathbb { P } ( f ^ { 2 } ) \Big \} \le \mathbb { E } \| \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } \| _ { \mathcal { F } ^ { 2 } } + \sigma _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } ,
\bar { \rho } \frac { \partial \vec { V } ^ { \prime } } { \partial t } = - \nabla p ^ { \prime } + \nabla \cdot \left( \lambda \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) \bf { I } \right) + \nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \vec { V } ^ { \prime } + \nabla \vec { V } ^ { ' T } \right) \right]
\begin{array} { r } { \hat { L } = \hat { L } _ { a } \oplus \hat { L } _ { b } = \left( \begin{array} { c c } { \hat { L } _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { L } _ { b } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \cal M } } & { { \cal N } } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \cal N } } & { - { \cal M } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \cal R } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - { \cal R } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 < \gamma } & { \leq } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 1 7 0 \ell \ln \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } , \frac { R } { 9 7 2 0 0 ^ { \frac { 1 } { \alpha } } ( K + 1 ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \sigma \ln ^ { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } \right\} , } \\ { \lambda _ { k } \equiv \lambda } & { = } & { \frac { R } { 6 0 \gamma \ln \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { L } = \sum _ { a , b = \rho , \sigma } \int \int \frac { d k _ { 1 } d k _ { 2 } } { 2 } \rho _ { p ; a } ( k _ { 1 } ) \rho _ { p ; b } ( k _ { 2 } ) ( 1 - n _ { a } ( k _ { 1 } ) ) ( 1 - n _ { b } ( k _ { 2 } ) ) | v _ { a } ^ { \mathrm { e f f } } ( k _ { 1 } ) - v _ { b } ^ { \mathrm { e f f } } ( k _ { 2 } ) | } \\ { \times \left( \frac { T _ { b , a } ^ { \mathrm { d r } } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) h _ { b } ^ { \mathrm { d r } } ( k _ { 2 } ) } { \rho _ { t ; b } ( k _ { 2 } ) } - \frac { T _ { a , b } ^ { \mathrm { d r } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) h _ { a } ^ { \mathrm { d r } } ( k _ { 1 } ) } { \rho _ { t ; a } ( k _ { 1 } ) } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { \alpha } \left( \Delta , \Lambda ; 0 \right) \! = } & { \Delta \! + \! \alpha \mathbb { E } V ^ { \alpha } \left( \Delta + 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) ; } \\ { Q ^ { \alpha } \left( \Delta , \Lambda ; 1 \right) \! = } & { \Delta \! + \! \beta \! + \! \alpha \Big ( p \mathbb { E } V ^ { \alpha } \! \left( \Delta \! + \! 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) \! + \! ( 1 \! - \! p ) \mathbb { E } V ^ { \alpha } \left( 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) \! \Big ) . } \end{array}
S _ { l - e } = \int d ^ { 2 } x \sqrt { - G } e ^ { - 2 \Phi } \big \{ R + 4 ( \nabla \Phi ) ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \epsilon \Phi } F ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla T ) ^ { 2 } + T ^ { 2 } \big \} .
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { { } = \left\langle E _ { X } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle + \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } \end{array}
\mathbf { L } _ { j } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } _ { j } \mathbf { L } _ { j } = \mathbf { D } _ { j } ( \mathbf { K } _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } _ { j } \mathbf { L } _ { j } = \mathbf { D } _ { j } \mathbf { L } _ { j } \equiv \mathbf { A } _ { j }
d \sigma = \frac { d ^ { 3 } p _ { 1 } ^ { \prime } d ^ { 3 } p _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 E _ { 1 } ^ { \prime } 2 E _ { 2 } ^ { \prime } ( 2 \pi ) ^ { 6 } } \frac { ( 4 \pi \alpha ) ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } P ^ { 4 } } \frac { 1 } { F _ { e e } }
\left( { \stackrel { \circ } { \nabla } } { } _ { \mu } \, { \stackrel { \circ } { \nabla } } { } ^ { \mu } - m ^ { 2 } \right) A _ { \nu } - \kappa _ { S } \, { \stackrel { \circ } { R } } { } ^ { \mu } { } _ { \nu } \, A _ { \mu } = 0 \; ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] V _ { t + \Delta { t } } } & { { } = ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) } \\ { V _ { t + \Delta { t } } ^ { \ast } } & { { } = ( 1 - \Theta _ { \ast } ) V _ { t } ^ { \ast } + \Theta _ { \ast } \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l } { { T ( z ) = \hat { T } ( z ) + T _ { Q } ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { G ^ { + } ( z ) = \hat { G } ^ { + } ( z ) + G _ { Q } ^ { + } ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { G ^ { - } ( z ) = \hat { G } ^ { - } ( z ) + G _ { Q } ^ { - } ( z ) } } \\ { { \ } } \\ { { J ( z ) = \hat { J } ( z ) + J _ { Q } ( z ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left( \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 2 } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) \leq C \left( \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 2 } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } + \left\| h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } + \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( \tilde { p } , \tilde { q } ) } & { \gtrsim \operatorname* { m i n } \left( d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) , e ^ { \epsilon } d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) \right) } \\ & { \gtrsim \operatorname* { m i n } \left( d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) , e ^ { \epsilon } d _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) \right) } \\ & { \gtrsim d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \operatorname* { m i n } \left( 1 , e ^ { \epsilon } d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left\lVert { X } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } } & { = \left( \operatorname* { s u p } _ { ( s , t ) \in D ( [ 0 , 1 ] ) } { \left\lVert { X _ { s , t } } \right\rVert } ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } < + \infty , } \\ { { \left\lVert { \mathbb { X } } \right\rVert } _ { p / 2 - v a r ; [ 0 , 1 ] } } & { = \left( \operatorname* { s u p } _ { ( s , t ) \in D ( [ 0 , 1 ] ) } { \left\lVert { \mathbb { X } _ { s , t } } \right\rVert } ^ { p / 2 } \right) ^ { \frac { 2 } { p } } < + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } \, { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 2 \pi } { | \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) | } } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( t _ { 0 } ) } { r } } \end{array}
( \sqrt 2 \, \mathcal D ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { - 1 } / \sqrt 2 ) ) ^ { - 2 } \sim \frac { 1 } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } b _ { k } \, \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 k } ,
\begin{array} { r l } { p _ { \dot { a } b } } & { \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } p _ { \mu } ( \sigma ^ { \mu } ) _ { \dot { a } b } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - p ^ { 0 } + p ^ { 3 } } & { p ^ { 1 } - i p ^ { 2 } } \\ { p ^ { 1 } + i p ^ { 2 } } & { - p ^ { 0 } - p ^ { 3 } } \end{array} \right) , } \\ { p ^ { a \dot { b } } } & { \equiv \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } p _ { \mu } ( \bar { \sigma } ^ { \mu } ) ^ { a \dot { b } } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { p ^ { 0 } + p ^ { 3 } } & { p ^ { 1 } - i p ^ { 2 } } \\ { p ^ { 1 } + i p ^ { 2 } } & { p ^ { 0 } - p ^ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \downarrow } : } & { = \{ ( v , h ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } \colon ( v , h ) \in A \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } h \ge h ^ { \prime } \} , } \\ { A ^ { \uparrow } : } & { = \{ ( v , h ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } \colon ( v , h ) \in A \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } h \leq h ^ { \prime } \} . } \end{array}
c _ { t } f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { 0 } ) = \epsilon _ { 0 } + \frac { c _ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial X ^ { [ j ] } } = \frac { \partial L o s s _ { s } } { \partial R ^ { [ N _ { B } ] } } \cdot \prod _ { k = i } ^ { N _ { B } - 1 } \left[ \mathcal { K } + \frac { 1 } { \partial R ^ { [ k ] } } \left( \mathcal { L } _ { k } ( R ^ { [ k ] } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \delta } } & { = \delta ^ { - 1 } \Big ( f ( t _ { 0 } + \delta ) - \mathbb { \tilde { E } } \big [ \varphi ( \tilde { \zeta } _ { t _ { 0 } + \delta } - \tilde { \zeta } _ { t _ { 0 } } ) + \varphi ( \tilde { \zeta } _ { t _ { 0 } } ) + \langle p , \tilde { \eta } _ { t _ { 0 } + \delta } \rangle } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \frac { 1 } { 2 } \langle A ( \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } + \delta } - \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } } ) , \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } + \delta } - \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle A \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } } , \tilde { \xi } _ { t _ { 0 } } \rangle \big ] \Big ) . } \end{array}
\omega _ { t } ^ { 2 } = \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } e ^ { - R \kappa } \left( 1 + R \kappa \right) \left( \frac { 1 } { 3 } + \frac { \cos R q } { R ^ { 2 } q ^ { 2 } } - \frac { \sin R q } { R ^ { 3 } q ^ { 3 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { R , K N } } } & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 4 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } d u \right. } \\ & { } & { \left. + 2 \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 5 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } d u \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 6 } { 5 } \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 6 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } d u \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu } & { { } = d \psi ( s ) , } \\ { B } & { { } = a ( s ) ( y \partial _ { x } - x \partial _ { y } ) + b ( s ) \partial _ { \varphi } , } \\ { u } & { { } = c ( s ) ( y \partial _ { x } - x \partial _ { y } ) + d ( s ) \partial _ { \varphi } . } \end{array}
\dot { \textbf { m } } = - \gamma \textbf { m } \times ( \textbf { H } _ { e f f } + a _ { j } ( \textbf { m } \times \boldsymbol { \sigma } ) + b _ { j } \boldsymbol { \sigma } ) + \alpha \textbf { m } \times \dot { \textbf { m } }
H ( x _ { + } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d k _ { + } } { 2 \pi } } \int { \frac { d ^ { 2 } \widetilde { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \sqrt { 2 } \Psi ^ { \dagger } \left( x _ { + } , k _ { + } , \widetilde { k } \right) i \partial _ { + } \Psi \left( x _ { + } , k _ { + } , \widetilde { k } \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \nabla \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j } , \mathbf v , t _ { n } ) } & { = } & { \phi \left( \frac { \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j } , \mathbf v , t _ { n } ) - \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j - 1 } , \mathbf v , t _ { n } ) } { \mathbf x _ { j } - \mathbf x _ { j - 1 } } , \right. } \\ & { } & { \left. \frac { \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j + 1 } , \mathbf v , t _ { n } ) - \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j } , \mathbf v , t _ { n } ) } { \mathbf x _ { j + 1 } - \mathbf x _ { j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] + \right. } \end{array}
{ \bf D } ^ { ( 1 ) } = { \bf X } ^ { ( 1 ) } + { \bf D } _ { \mu } ^ { ( 0 ) } \mu _ { 1 } ~ \mathrm { ~ C ~ a ~ n ~ o ~ n ~ i ~ c ~ a ~ l ~ ( ~ t ~ r ~ a ~ c ~ e ~ l ~ e ~ s ~ s ~ ) ~ f ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ }
( p _ { 0 } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 }
\left\{ \begin{array} { r l } & { H _ { k } ( D u _ { k } , \overline { { \xi _ { k } } } ; a _ { i } ) : = \bigg ( | D u _ { k } + \overline { { \xi _ { k } } } | ^ { a _ { i } } + a _ { k } ( x ) | D u _ { k } + \overline { { \xi _ { k } } } | ^ { a _ { i } } \bigg ) , \ i = 1 , 2 , } \\ & { \overline { { \xi _ { k } } } : = \rho ^ { - k \alpha ^ { \prime } } b _ { k } , } \\ & { | | \widetilde { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ 1 , \rho ^ { - k a _ { 1 } \alpha ^ { \prime } } , \rho ^ { - k a _ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \bigg \} \rho ^ { k ( 1 - \alpha ^ { \prime } ) } | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle z _ { k } \in L ^ { 2 } ( \Omega ; H _ { \# } ^ { 1 } ( C ) ) , \quad - \Delta _ { y } ^ { \prime } z _ { k } = \lambda _ { k } z _ { k } + \lambda _ { k } U _ { k } \quad \mathrm { i n } \, \, \, \Omega \times D , } \\ { z _ { k } = 0 \quad \mathrm { o n } \, \, \, \Omega \times \partial D . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mu _ { \lambda _ { a } } } & { { } = \mathrm { e x p } \Bigg ( \mu _ { f } - \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { 2 } \Bigg ) } \\ { \sigma _ { \lambda _ { a } } ^ { 2 } } & { { } = \Big [ \mathrm { e x p } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) - 1 \Big ] \, \mathrm { e x p } ( 2 \mu _ { f } + \sigma _ { f } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \omega _ { 0 } \to 0 } \langle \delta x ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle } & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } \{ S _ { x \to v } ( \omega ) \} , } \\ & { = \frac { - \bar { g } _ { v \to x } \sigma _ { v } ^ { 2 } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { m } } } / \tau _ { v } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { v } ) } e ^ { - \tau / \tau _ { v } } . } \end{array}
b = \sin { ( \varphi | \Delta z | ) } + \frac { \sin { ( \varphi q ) } \cos { ( \varphi | \Delta z | ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } } + \frac { i \sin { ( k q ) } \sin { ( \varphi | \Delta z | ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } }
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } h } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + [ \omega _ { p } ^ { 2 } + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \omega _ { p ^ { \prime } } ^ { 2 } 3 ( h ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } ] h = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { { } : d \phi \in \mathfrak { B } ^ { 1 } , \ \delta \beta \in \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \ \mathrm { a n d } \ \alpha \in \mathfrak { H } ^ { 1 } , } \\ { ( i i ) } & { { } : d \phi \in \mathring { \mathfrak { B } } ^ { 1 } , \ \delta \beta \in \mathfrak { B } ^ { \ast 1 } \ \mathrm { a n d } \ \alpha \in \mathring { \mathfrak { H } } ^ { 1 } . } \end{array}
\sigma _ { M + 1 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 1 _ { a } , \, 2 _ { c } ) } \sigma _ { M + 2 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 2 _ { c } , \, 1 _ { a } , \, 2 _ { b } ) } = \sigma _ { M + 1 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 1 _ { a } , \, 2 _ { b \times c } ) } , \quad \sigma _ { M + 2 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 1 _ { b } , \, 1 _ { a } , \, 2 _ { c } ) } \sigma _ { M + 1 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 1 _ { b } , \, 2 _ { c } ) } = \sigma _ { M + 1 } ^ { ( \, \overline { x } , \, 1 _ { a \times b } , \, 2 _ { c } ) } .
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \mathrm Y } ^ { \mathrm { ( X Y Z ) } } \right) _ { i k l n q r , j m p s } } & { = \sum _ { y , y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | y \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( | y ^ { ' } \rangle ) _ { q } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } \, \rho _ { y y ^ { ' } } } \\ & { = \sum _ { y , y ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { k y } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { q y ^ { ' } } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } \, \rho _ { y y ^ { ' } } } \end{array}
= 1 / ( 2 \pi ) ^ { 3 } \overline { { { V } } } ^ { \lambda _ { 2 } } ( \overrightarrow { p _ { 2 } } , m _ { 2 } , ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) U ^ { \lambda _ { 1 } } ( \overrightarrow { p _ { 1 } } , m _ { 1 } , )