harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } : = } & { { \frac { { 1 } } { 4 } } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } { \widetilde { \mu } ( \tau , s ) } \Delta G _ { n } ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , } \\ { I _ { 2 } : = } & { { \frac { { 1 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } { \widetilde { \mu } ( \tau , s ) } \Delta G _ { n } ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , } \\ { I _ { 3 } : = } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } \widehat { \Delta G _ { n } } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z , } \\ { I _ { 4 } : = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } \widehat { \Delta G _ { n } } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z , } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { c \sqrt { n } } { \sqrt { k } } = O ( \sqrt { n K } ) , \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { c ^ { 2 } n } { k } = O ( n \log K ) .
\begin{array} { r l } { \frac { f _ { t t } ( t , x ) } { f ( t ) } } & { - \left( \frac { f _ { t } ( t , x ) } { f ( t , x ) } \right) ^ { 2 } = - \frac { - i + 1 } { t ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( t - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } e ^ { ( t - 1 ) x } } { t - e ^ { ( t - 1 ) x } } + \frac { ( 1 - x e ^ { ( t - 1 ) x } ) ^ { 2 } } { ( t - e ^ { ( t - 1 ) x } ) ^ { 2 } } } \\ & { = - \frac { - i + 1 } { t ^ { 2 } } + \frac { - ( t - e ^ { ( t - 1 ) x } ) ^ { 2 } + ( t - 1 ) ^ { 2 } [ ( t - e ^ { ( t - 1 ) x } ) x ^ { 2 } e ^ { ( t - 1 ) x } + ( 1 - x e ^ { ( t - 1 ) x } ) ^ { 2 } ] } { ( t - 1 ) ^ { 2 } ( t - e ^ { ( t - 1 ) x } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
G _ { \mathrm { b r i d g e } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 0 } , 0 ; \vec { r } _ { 0 } , T ) = \frac { G _ { \mathrm { f r e e } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 0 } , 0 ) G _ { \mathrm { f r e e } } ( \vec { r } _ { 0 } , T | \vec { r } , t ) } { G _ { \mathrm { f r e e } } ( \vec { r } _ { 0 } , T | \vec { r } _ { 0 } , 0 ) } = \left( \frac { T } { 4 \pi D t ( T - t ) } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { T ( \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t ( T - t ) } \right) ,
F ( 1 ) = \left( \frac { d } { d \epsilon } \right) ^ { ( d + 3 ) / 2 } { \frac { \left[ \sqrt { \epsilon ^ { 2 } + 1 } - \epsilon \right] ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { \sqrt { \epsilon ^ { 2 } + 1 } } } , \quad \epsilon = 1 / s \to 0 .
\begin{array} { r } { { \nabla } w _ { i } = \sum _ { k \in \{ k _ { i } \} } \left[ \begin{array} { c } { c _ { i k } ^ { x } } \\ { c _ { i k } ^ { y } } \\ { c _ { i k } ^ { z } } \end{array} \right] w _ { k } , } \end{array}
k _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 W ( p ) } ( W ( p ) ^ { 2 } - m _ { \phi } ^ { 2 } ) , ~ ~ E _ { 0 } = \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { \phi } ^ { 2 } } , ~ ~ E _ { b } = \sqrt { W ( p ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \tilde { p } , \tilde { q } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , } & { \tilde { \alpha } ) = \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m _ { 2 } } } ( p _ { i _ { 1 } - 1 } , \tilde { p } + p _ { i _ { 1 } - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } ( m ) } } ( p _ { i - 1 } + \pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) , \boldsymbol { \eta } ) } \\ & { \times \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m _ { 2 } } } ( p _ { i _ { 2 } - 1 } , \tilde { q } + p _ { i _ { 2 } - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 2 } - 1 } \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } } ( m ) } ( p _ { i - 1 } + \pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } } ( \sigma _ { i } ^ { 1 } ) } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \iota ^ { * } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ) } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
f _ { e } ( i , j ) = C \frac { ( p _ { i } p _ { j } ) ^ { B _ { p } } * ( \hat { p } _ { i } \hat { p } _ { j } ) ^ { B _ { \hat { p } } } } { d _ { i , j } ^ { B _ { d } } * \hat { d } _ { i , j } ^ { B _ { \hat { d } } } } ,
\begin{array} { r l } { \underset { x \in \mathbb { R } ^ { n } } { \mathrm { a r g m i n } } \, L _ { \rho } ( x , y , z ) } & { \mathrm { ~ w h e n ~ y ~ \in ~ \mathcal { Y } , ~ z ~ \in ~ \mathbb { R } ^ p ~ a r e ~ f i x e d } } \\ { \underset { y \in \mathbb { R } ^ { m } } { \mathrm { a r g m i n } } \, L _ { \rho } ( x , y , z ) } & { \mathrm { ~ w h e n ~ x ~ \in ~ \mathcal { X } , ~ z ~ \in ~ \mathbb { R } ^ { p } ~ a r e ~ f i x e d } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 } } & { = } & { \left( \frac { 4 r _ { 1 } ^ { 2 } ( \ell ^ { 3 } + 3 ) } { 3 r _ { 0 } } + \frac { \kappa _ { 0 } \ell ^ { 3 } } { 4 ( \ell ^ { 3 } + 3 ) } + r _ { 1 } \right) \frac { ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) } { \kappa _ { 0 } } , \ \ R _ { 2 } = R _ { 1 } \frac { 2 } { 3 r _ { 0 } } + \frac { 2 ( l ^ { 3 } + 3 ) } { 3 l ^ { 3 } \kappa _ { 0 } } , } \\ { R _ { 3 } } & { = } & { R _ { 1 } \rho _ { 1 } + \mu _ { 1 } , \ \ \ R _ { 4 } = R _ { 1 } r _ { 1 } + r _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\bigg \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \mathbf { v } _ { i } \bigg \| \leq \left( \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { n } \frac { \vert \alpha _ { j } \vert } { \vert \alpha _ { i } \vert } \right) \varepsilon _ { i } ^ { ( k ) } .
\dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } = \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ a ~ i ~ r ~ } } + \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ b ~ l ~ o ~ o ~ d ~ } }
\left\{ \begin{array} { l l } { { \boldsymbol o } _ { v _ { i } } = { \boldsymbol x } _ { v _ { i } } , \quad \mathrm { i f ~ { \boldsymbol ~ x } _ { v _ i } \neq ~ { \boldsymbol ~ p } _ + ~ o r ~ { \boldsymbol ~ p } _ - ~ } } \\ { { \boldsymbol o } _ { v _ { i } } = { \boldsymbol { 0 } } , \quad \mathrm { i f ~ { \boldsymbol ~ x } _ { v _ i } = ~ { \boldsymbol ~ p } _ + ~ o r ~ { \boldsymbol ~ p } _ - ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { c p _ { 2 } } & { { } = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c \left( p _ { y } + p _ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) \right) } & { \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ s ~ t ~ i ~ t ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \\ { c p _ { 2 } + c p _ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } & { { } = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c p _ { y } } & { } \\ { c p _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c p _ { y } } { 1 + \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { = U \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 } } & & { 0 } \\ { 0 } & & { \varepsilon _ { 2 } } \end{array} \right) U ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 } \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } } & & { ( \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } ) e ^ { - i \delta } \cos \frac { \psi } { 2 } \sin \frac { \psi } { 2 } } \\ { ( \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } ) e ^ { i \delta } \cos \frac { \psi } { 2 } \sin \frac { \psi } { 2 } } & & { \varepsilon _ { 1 } \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { U } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \cos \frac { \psi } { 2 } } & & { - e ^ { - i \delta } \sin \frac { \psi } { 2 } } \\ { e ^ { i \delta } \sin \frac { \psi } { 2 } } & & { \cos \frac { \psi } { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - u _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \beta _ { t + 1 } ) \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + \beta _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \beta _ { t + 1 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { k } ^ { + } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \notin { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { + } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in { \cal R } } \xi _ { j } ^ { k } \frac { p _ { + } ^ { + } - p _ { - } ^ { + } } { p _ { + } ^ { + } + p _ { - } ^ { + } } } \\ { m _ { k } ^ { - } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \notin { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { - } ) + \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { i \in { \cal R } } \xi _ { i } ^ { k } \frac { \operatorname { t a n h } ( \beta h _ { i } ^ { - } ) - ( p _ { + } ^ { -- } p _ { - } ^ { - } ) } { 1 - \left( p _ { + } ^ { - } + p _ { - } ^ { - } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V a r ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } ) } & { = E ^ { * } \left( \left( \widehat f _ { j , n } + \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } r _ { i , j } ^ { * } \right) ^ { 2 } \right) - \widehat f _ { j , n } ^ { 2 } } \\ & { = \widehat f _ { j , n } ^ { 2 } + 2 \widehat f _ { j , n } \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } E ^ { * } ( r _ { i , j } ^ { * } ) + \left( \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } \right) ^ { 2 } E ^ { * } ( r _ { i , j } ^ { * 2 } ) - \widehat f _ { j , n } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } } { C _ { i , j } } } \end{array}
E _ { s } = \frac { k _ { s } } { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \left( 1 - \frac { \lVert \mathbf { e } ^ { i } \rVert } { \lVert \tilde { \mathbf { e } } ^ { i } \rVert } \right) ^ { 2 } \lVert \tilde { \mathbf { e } } ^ { i } \rVert ,
\Pi _ { i } ( q _ { 0 } , | { \bf q } | ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \omega \, { \frac { \Delta \Pi _ { i } ( \omega , | { \bf q } | ) } { \omega ^ { 2 } - q _ { 0 } ^ { 2 } } } + { \frac { q _ { 0 } } { 2 \pi i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, { \frac { \Delta \Pi _ { i } ( \omega , | { \bf q } | ) } { \omega ^ { 2 } - q _ { 0 } ^ { 2 } } } \, , \, *
\begin{array} { r } { \left[ \nabla _ { T } ^ { 2 } + \left( \frac { n ^ { 2 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \beta _ { m } } ^ { 2 } \right) \right] \vec { f } _ { m } ^ { ( 1 ) } ( r , \theta ) = 0 } \\ { \left[ \nabla _ { T } ^ { 2 } + \left( \frac { n ^ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \gamma _ { m } } ^ { 2 } \right) \right] \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) } ( r , \theta ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| G \| _ { \mathcal L ( X , V ) } ^ { - 2 } } & { \operatorname* { m i n } \big ( 1 , \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq k } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( K _ { i } ^ { \delta } A _ { i } ^ { \delta } ) ^ { - 1 } \big ) \mathcal E ^ { \delta } ( w , f ) ^ { 2 } \leq \| u - w \| _ { X } ^ { 2 } \leq } \\ & { \| G ^ { - 1 } \| _ { \mathcal L ( V , X ) } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } \big ( 1 , 2 \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( K _ { i } ^ { \delta } A _ { i } ^ { \delta } ) ^ { - 1 } \| \Pi _ { i } ^ { \delta } \| _ { \mathcal L ( Y _ { i } , Y _ { i } ) } ^ { 2 } \big ) \mathcal E ^ { \delta } ( w , f ) ^ { 2 } } \\ & { + 2 \| G ^ { - 1 } \| _ { \mathcal L ( V , X ) } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \| ( \mathrm { I d } - { \Pi _ { i } ^ { \delta } } ^ { \prime } ) f _ { i } \| _ { Y _ { i } ^ { \prime } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { { } = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } { } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } { } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } , } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta _ { 1 } } = } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } - 1 - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { { } \left( { - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \psi \frac { \partial C _ { A } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { A } } { \partial x } } & { { } = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { A } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { A } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { { } \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \psi \frac { \partial C _ { B } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { B } } { \partial x } } & { { } = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { B } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { B } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { { } \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { C _ { A } ( x , 0 ) } & { { } = 1 , C _ { B } ( x , 0 ) = 0 , } & { x } & { { } \in [ 0 , 5 ] } \\ { C _ { A } ( 0 , t ) } & { { } = 1 , C _ { B } ( 0 , t ) = 0 , } & { t } & { { } \in [ 0 , 1 ] } \\ { \frac { \partial C _ { A } ( 5 , t ) } { \partial x } } & { { } = \frac { \partial C _ { B } ( 5 , t ) } { \partial x } = 0 , } & { t } & { { } \in [ 0 , 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( G _ { 1 } G _ { 2 } A ) _ { i k } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( m _ { 1 } \delta _ { i l } - m _ { 1 } ( \underline { { W G _ { 1 } } } ) _ { i l } + m _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ) _ { j j } - m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } ) _ { i l } \right) ( G _ { 2 } A ) _ { l k } } \\ & { = m _ { 1 } ( G _ { 2 } A ) _ { i k } - m _ { 1 } ( \underline { { W G _ { 1 } } } G _ { 2 } A ) _ { i k } + m _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ) _ { j j } - m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } G _ { 2 } A ) _ { i k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { 3 3 } ^ { 2 } = - \mu _ { 3 } \sin x ^ { 3 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma _ { j k } ^ { i } = 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } , } \\ & { e = \left( - \mu _ { 1 } x ^ { 1 } + \mu _ { 2 } x ^ { 2 } \right) \frac { \partial } { x ^ { 1 } } + \mu _ { 4 } \left( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } } \\ & { g = - \mu _ { 3 } \cos x ^ { 3 } \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial x ^ { 3 } } = g ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial x ^ { 3 } } . } \end{array}
{ \mathbf { u } } ( { \mathbf { x } } , t ) = \left\{ \begin{array} { c } { { \mathbf { u } } _ { + + } ( { \mathbf { x } } , t ) \, , \qquad \mathrm { a t } \quad x _ { 1 } - u _ { 1 } ( { \mathbf { x } } , t ) > 0 \, , \quad x _ { 2 } - u _ { 2 } ( { \mathbf { x } } , t ) > 0 \, , } \\ { { \mathbf { u } } _ { + - } ( { \mathbf { x } } , t ) \, , \qquad \mathrm { a t } \quad x _ { 1 } - u _ { 1 } ( { \mathbf { x } } , t ) > 0 \, , \quad x _ { 2 } - u _ { 2 } ( { \mathbf { x } } , t ) < 0 \, , } \\ { { \mathbf { u } } _ { - + } ( { \mathbf { x } } , t ) \, , \qquad \mathrm { a t } \quad x _ { 1 } - u _ { 1 } ( { \mathbf { x } } , t ) < 0 \, , \quad x _ { 2 } - u _ { 2 } ( { \mathbf { x } } , t ) > 0 \, , } \\ { { \mathbf { u } } _ { -- } ( { \mathbf { x } } , t ) \, , \qquad \mathrm { a t } \quad x _ { 1 } - u _ { 1 } ( { \mathbf { x } } , t ) < 0 \, , \quad x _ { 2 } - u _ { 2 } ( { \mathbf { x } } , t ) < 0 \, . } \end{array} \right.
h ( x , t ) \sim \frac { 3 } { 4 } \left\{ \frac { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { a ^ { 3 } } + M \left[ \frac { \eta x ( a ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) } { 3 a ^ { 3 } } + 2 ( a ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) \ln ( 2 a ) - \frac { 4 } { 3 } ( a ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) - ( a - x ) ^ { 2 } \ln ( a - x ) - ( a + x ) ^ { 2 } \ln ( a + x ) \right] \right\} .
H _ { o p } = \frac { \hat { p } _ { x } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { 1 } { 2 m } \left( \hat { p } _ { y } + e B x \right) ^ { 2 } + \frac { \hat { p } _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } \; .
{ \vec { E } } = { \frac { - q } { 4 \pi \varepsilon c _ { \circ } ^ { 2 } } } { d ^ { 2 } \, o v e r d t ^ { 2 } } \left( { \vec { e } } _ { r ^ { \prime } } \right) = - q 1 0 ^ { - 7 } { d ^ { 2 } \, o v e r d t ^ { 2 } } \left( { \vec { e } } _ { r ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { ( f , O ) \in \mathcal { O } _ { { \tt c } , 2 } ^ { \tt m } } \mathcal { E } ( f , O , \pi , Q ) } & { \leq D \left( \frac { 1 } { \sqrt { \mu T } } \sqrt { \frac { B ^ { 2 } } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { a _ { g } ( h _ { g } - 1 ) B ^ { 2 } } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } + B ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 9 + 3 \ln s } { ( k - 1 ) ^ { 2 } } + 1 } + \frac { B ^ { 2 } } { M _ { g , h - 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( N ) } } & { { } = } & { \left| u _ { 2 } [ \tau + ( N - 1 ) T ] \right| ^ { 2 } = 0 . 2 5 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \; e ^ { - ( N - 1 ) \gamma T } } \end{array}
\hat { H } \psi ( x , p _ { z } ) = \exp \left[ - \frac { i } { \hbar } E ( t ) p _ { z } \right] \left( \frac { 1 } { 2 } \hat { p } _ { x } ^ { 2 } - E ( t ) \hat { x } + \dot { E } ( t ) p _ { z } \right) \phi ( x )
\mathbf { s } _ { \mathrm { o u t } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { \mathrm { d e c } } } \to \mathbf { Y } \in \mathbb { R } ^ { h _ { \mathrm { o u t } } \times w _ { \mathrm { o u t } } \times f _ { \mathrm { o u t } } }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \quad V ( \delta ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \bigg ( \frac { \beta _ { i k } } { { \delta _ { i k } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { i k } } } \bigg ( \lambda _ { k } \bigg ) ^ { \lambda _ { k } } } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } { \delta _ { i 0 } } = \lambda _ { 0 } = 1 , \quad ( \mathrm { N o r m a l i t y ~ c o n d i t i o n } ) } \\ & { \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \delta _ { i k } } { \alpha _ { k i j } } = 0 , j = 1 , 2 , \ldots , n . \quad ( \mathrm { O r t h o g o n a l i t y ~ c o n d i t i o n s } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( k _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + d ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s + d + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } + d ^ { 3 } ) ) j ( k _ { 0 } , - d ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \int \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| } & { = \sum _ { s = 0 } ^ { M } \sum _ { j = { j _ { s } } } ^ { j _ { s + 1 } - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| } \\ & { \leq \sum _ { s = 0 } ^ { M } \left[ \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } ( j _ { s + 1 } - j _ { s } - 1 ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } \sum _ { s = 0 } ^ { M } \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } J } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } \frac { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| + \frac { \alpha _ { 8 } } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ) + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } J } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } Q _ { k } } & { = [ q _ { k , i j } ] , \, i , j = 1 , \dotsc , n _ { k } , } & { \qquad q _ { k , i j } } & { = \int _ { \Omega } \phi _ { j } \, \phi _ { i } , } \\ { R } & { = [ r _ { i j } ] , \, i = n _ { k } + 1 , \dotsc , n _ { p } , \, j = 1 , \dotsc , n _ { k } , } & { \qquad r _ { i j } } & { = \int _ { \Omega } \phi _ { j } \, \phi _ { i } , } \\ { Q _ { 0 } } & { = [ q _ { 0 , i j } ] , \, i , j = n _ { k } + 1 , \dotsc , n _ { p } , } & { \qquad q _ { 0 , i j } } & { = \int _ { \Omega } \phi _ { j } \, \phi _ { i } . } \end{array}
\frac { d \rho } { d t } = - \frac { i } { \hbar } \left[ H , \rho \right] + \sum _ { m } \left[ \mathcal { C } _ { m } \rho \mathcal { C } _ { m } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathcal { C } _ { m } ^ { \dagger } \mathcal { C } _ { m } \rho + \rho \mathcal { C } _ { m } ^ { \dagger } \mathcal { C } _ { m } \right) \right] .
\overline { { v ( p _ { 2 } ) } } \gamma ^ { \nu } v ( p _ { 4 } ) = u ( p _ { 2 } ) ^ { T } C ^ { - 1 } \gamma ^ { \nu } C \overline { { u ( p _ { 4 } ) } } ^ { T } = - u ( p _ { 2 } ) ^ { T } ( \gamma ^ { \nu } ) ^ { T } \overline { { u ( p _ { 4 } ) } } ^ { T } = - ( \overline { { u ( p _ { 4 } ) } } \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 2 } ) ) ^ { T } = - \overline { { u ( p _ { 4 } ) } } \gamma ^ { \nu } u ( p _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \eta _ { i } } G _ { k , l } ( \boldsymbol { X } ( \boldsymbol { \theta } ) \! - \! \boldsymbol { X } ( \boldsymbol { \eta } ) ) } & { = q _ { i , k , l } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) } \\ & { = q _ { i , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) + q _ { i , k , l } ^ { 2 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { O } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \mathcal { O } _ { 2 } ( x _ { 2 } ) } & { \mathcal { O } _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \mathcal { O } _ { 4 } ( x _ { 4 } ) \rangle = \sum _ { \mathcal { O } \in \mathcal { O } _ { 1 } \times \mathcal { O } _ { 2 } } C _ { 1 , 2 , \mathcal { O } } C _ { 3 , 4 , \mathcal { O } } \mathcal { F } ( c , \Delta _ { i } , \Delta , z ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } + \frac 2 3 \beta \frac { \partial } { \partial z } \left( \frac { \partial u } { \partial z } \right) ^ { 3 } } \\ & { \; + \tau \frac { \partial } { \partial z } \left[ \left( 1 + \delta \left( \frac { \partial u } { \partial z } \right) ^ { 2 } \right) \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z \partial t } \right] , } \end{array}