harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\alpha _ { 2 } ( \lambda ) = \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } ) ( Z + \lambda + \beta - c _ { 0 , 2 } ) I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + \beta - c _ { 0 , 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) } ( Z ) ] } , \; \; \lambda \geq 0 .
\begin{array} { r l } { N R ( \Omega ) } & { : = \left\{ \varphi \in C ( \Omega ) \, : \, \hat { \varphi } ( h ) \mathrm { ~ i s ~ n e a r l y ~ r e g u l a r ~ a t ~ } h = 0 \right\} , } \\ { N R ^ { + } ( \Omega ) } & { : = \left\{ \varphi \in N R ( \Omega ) \, : \, \varphi ( x ) > 0 \, \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } x \in \Omega \right\} . } \end{array}
S _ { p } ^ { ( 0 ) } = - \tau _ { p } \int d ^ { p + 1 } \sigma \, e ^ { \Phi ( - 1 - \gamma ( p + 1 ) / 2 ) } \sqrt { - d e t [ \tilde { G } _ { a b } + e ^ { \gamma \Phi } ( \tilde { B } _ { a b } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { a b } ) ] } ~ ,
\partial _ { { x } _ { i } } \Omega _ { 0 } = 2 i \int d \vec { q } q _ { i } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s m a l l } } d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } )
\left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| = \left| Z _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| + \bigg | B _ { \frac { 1 } { 2 } } \cap \left\{ b : b \in \left( \frac { n } { 4 } , \frac { n } { 3 } \right] \mathrm { ~ a n d ~ b \equiv ~ 0 , 1 ~ o r ~ 3 \! \! \! \! \mod ~ 4 ~ . } \right\} \bigg | \leqslant \left| Z _ { \frac { 1 } { 2 } } \right| + \frac { n } { 1 6 } + 3 .
\begin{array} { r l r l } & { s ( k ) = \frac { s _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } { k - 1 } + s _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + s _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k - 1 ) + \cdots } & & { \mathrm { a s ~ } k \to 1 , } \\ & { s ( k ) = \frac { s _ { - 1 } ^ { ( - 1 ) } } { k + 1 } + s _ { - 1 } ^ { ( 0 ) } + s _ { - 1 } ^ { ( 1 ) } ( k + 1 ) + \cdots } & & { \mathrm { a s ~ } k \to - 1 , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] = U ^ { v } \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } ^ { v } } } \\ { { \nu _ { 2 } ^ { v } } } \\ { { \nu _ { 3 } ^ { v } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { K ( t - t ^ { \prime } ) = } \\ & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \Biggl [ \Bigl ( 1 - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 2 } \cos \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \Bigr ) \Biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) = \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \rho } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right] = \sum _ { \vec { L } } \textrm { T r } \left[ \boldsymbol { \rho } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right] , } \end{array}
\gamma _ { \rho \sigma \nu } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) = k _ { 1 } ^ { \mu } \gamma _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 2 ) } = g _ { \rho \sigma } k _ { 1 \nu } - g _ { \sigma \nu } k _ { 1 \rho }
\left\{ \begin{array} { r c l } { { u _ { \lambda } } } & { { = } } & { { \frac { x _ { \lambda } } { x - x _ { 1 } - \ldots - x _ { \lambda - 1 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d u _ { \lambda } } } & { { = } } & { { \frac { d x _ { \lambda } } { x - x _ { 1 } - \ldots - x _ { \lambda - 1 } } } } \end{array} , \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { F } f ( \eta ) = } & { \sum _ { x \in \mathbb Z } p \eta ( x - 1 ) \eta ( x ) ( 1 - \eta ( x + 1 ) ) \big [ f ( \eta ^ { x , x + 1 } ) - f ( \eta ) \big ] } \\ & { + \sum _ { x \in \mathbb Z } q \eta ( x + 1 ) \eta ( x ) ( 1 - \eta ( x - 1 ) ) \big [ f ( \eta ^ { x , x - 1 } ) - f ( \eta ) \big ] } \end{array}
S _ { a v } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \; \; \frac { S } { \sqrt { 2 } } = \frac { \nu } { \sqrt { 2 } \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \; \; \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) \{ \sqrt { \mu ^ { 2 } + \tan ^ { 2 } ( \frac { \theta } { 2 } ) } + \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } \tan ^ { 2 } ( \frac { \theta } { 2 } ) } \; \} = \frac { 2 \sqrt { 2 } \nu } { \pi } E _ { I } ( 1 - \mu ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 2 } = } & { { } \kappa _ { 2 } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 0 } + \frac { 5 } { \pi ^ { 2 } } \approx 0 . 6 0 6 6 0 6 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { N _ { s } } } & { = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \; e ^ { - \frac { \beta E _ { 0 } G _ { N _ { s } } ^ { 2 } } { 2 } } } } \\ & { \qquad \times \tilde { w } _ { N _ { s } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \mathrm { d } \varepsilon _ { S } \; \delta \Big ( G _ { N _ { s } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } [ \varepsilon _ { S } - \varepsilon ] \Big ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( E \times X ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { \log | \mathcal { P } ( \Delta _ { n } ^ { \mathcal { T } } , E \times X ) | } { | \Delta _ { n } ^ { \mathcal { T } } | } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { \log \prod _ { i = 1 } ^ { n } | \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { i } , X ) | ^ { a _ { n ; i } } } { | \Delta _ { n } ^ { \mathcal { T } } | } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \log | \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { i } , X ) | ^ { a _ { n ; i } } } { | \Delta _ { n } ^ { \mathcal { T } } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q + { K } ^ { \top } R { K } + ( A + B { K } ) ^ { \top } P ^ { * } ( A + B { K } ) - P ^ { * } } \\ { = } & { { K } ^ { \top } R { K } - \left( { K ^ { * } } \right) ^ { \top } R K ^ { * } + ( A + B { K } ) ^ { \top } P ^ { * } ( A + B { K } ) - } \\ & { \quad \left( A + B K ^ { * } \right) ^ { \top } P ^ { * } \left( A + B K ^ { * } \right) } \\ { = } & { \Delta K ^ { \top } \left( R + B ^ { \top } P ^ { * } B \right) \Delta K + G + G ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \Gamma \left[ ( u _ { 1 } \cdot v ) \mu ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \mathscr { A } \right] = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \left( \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 } \right) \overline { { \mathscr { A } } } + T \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \big ( u _ { 1 } \cdot \overline { \mathscr { B } } \big ) . } \end{array}
K ( u ) = \left( \begin{array} { l l } { \mathfrak { L } \zeta _ { G L } ( u ) } & { \mathfrak { L } \zeta _ { G G } ( u ) } \\ { \mathfrak { L } \zeta _ { L L } ( u ) } & { \mathfrak { L } \zeta _ { L G } ( u ) } \end{array} \right) .
{ \cal L } _ { \psi \bar { \psi } H } = - \bar { \psi } [ i \gamma ^ { \mu } \sigma ^ { \nu \lambda } \left\{ \frac { 1 } { M _ { P } e ^ { k r _ { c } \pi } } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 0 } + \frac { 1 } { \Lambda _ { \pi } } \frac { 2 J _ { 0 } ( x _ { n } ) } { \pi x _ { n } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { n } \right\} ] \psi
\frac { \mathrm { d } \zeta } { \mathrm { d } \tau } \sim - \frac { 1 } { 2 } \eta - \frac { 1 } { 4 } \eta ^ { 2 } \sim \, - \frac { \eta _ { 0 } } { 2 } \exp ( - 5 \tau ) \, .
\begin{array} { r l r } { A _ { \eta } } & { { } = } & { \frac { [ B D ] _ { y } } { 2 \sigma _ { \eta } ^ { 2 } [ B D ] } , } \\ { B _ { \eta } } & { { } = } & { - \frac { 2 i k _ { u } ( z - s ) [ B D ] - i D k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \big \{ [ B D ] _ { \sigma _ { r } } - i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \big \} } { [ B D ] } , } \\ { \frac { B _ { \eta } ^ { 2 } } { 4 A _ { \eta } } } & { { } = } & { - \frac { 2 [ B D ] k _ { u } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } + \frac { 2 D k _ { u } ^ { 2 } T _ { \alpha } ( z - s ) ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } \big \{ [ B D ] _ { \sigma _ { r } } - i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \big \} } { [ B D ] _ { y } } } \end{array}
\underbrace { \lambda ~ \overset { \triangledown } { \boldsymbol { \uptau } } } _ { \dot { \boldsymbol { \upgamma } } _ { e } } + \underbrace { \left( 1 - \frac { \tau _ { y } } { \Vert \boldsymbol { \uptau } \Vert _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \right) _ { + } \boldsymbol { \uptau } } _ { \dot { \boldsymbol { \upgamma } } _ { p } } = \mu \dot { \boldsymbol { \upgamma } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T e r m ~ B } \; } & { \le \; \begin{array} { r l } { [ t ] \gamma \Biggl [ \biggl ( \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } } & { \gamma ^ { i } \biggr ) \Bigl ( \zeta + L _ { r } \, \| x - \tilde { x } \| _ { 2 } \Bigr ) + \biggl ( \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { i } L _ { f } ^ { i } \biggr ) \, L _ { r } L _ { f } \Bigl ( \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } + \| y - \tilde { y } \| _ { 2 } \Bigr ) } \\ & { + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t - 1 } L _ { f } ^ { i } \sum _ { j = i } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { j } \biggr ) \, L _ { r } \, \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } \Biggr ] } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } } & { \gamma ^ { i } \biggr ) \Bigl ( \zeta + L _ { r } \, \| x - \tilde { x } \| _ { 2 } \Bigr ) + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } \gamma ^ { i } L _ { f } ^ { i } \biggr ) \, L _ { r } \Bigl ( \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } + \| y - \tilde { y } \| _ { 2 } \Bigr ) } \\ & { + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t - 1 } L _ { f } ^ { i } \sum _ { j = i + 1 } ^ { T - t } \gamma ^ { j } \biggr ) \, L _ { r } \, \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } } & { \gamma ^ { i } \biggr ) \Bigl ( \zeta + L _ { r } \, \| x - \tilde { x } \| _ { 2 } \Bigr ) + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } \gamma ^ { i } L _ { f } ^ { i } \biggr ) \, L _ { r } \| y - \tilde { y } \| _ { 2 } + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } L _ { f } ^ { i } \sum _ { j = i } ^ { T - t } \gamma ^ { j } \biggr ) \, L _ { r } \, \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
[ \left( \mathbf { R } + \mathbf { U C V } \right) ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } = [ \mathbf { R } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } - \left[ \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { U } \right] _ { \mathrm { R : } } \left( \mathbf { C } ^ { - 1 } + \mathbf { V R } ^ { - 1 } \mathbf { U } \right) ^ { - 1 } \left[ \mathbf { V } \mathbf { R } ^ { - 1 } \right] _ { \mathrm { : T } } ,
G _ { \overline { { { \psi } } } [ J _ { \mu } ^ { 5 } ] \psi } = \int d x d y e ^ { i q x + i p y } \langle 0 | T \{ \overline { { { \psi } } } ( x ) J _ { \mu } ^ { 5 } ( y ) \psi ( 0 ) \} | 0 \rangle
T _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { - { \displaystyle { \frac { \pi S } { 2 \Gamma ( \alpha ) \cos ( \frac { \pi \alpha } { 2 } ) } } } \left( { \displaystyle { \frac { \pi S ( \alpha - 1 ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { \alpha - 1 } ) \zeta ( \frac { 1 } { \alpha - 1 } ) } } } \right) ^ { \alpha - 1 } ~ , } & { d = 1 ~ , } \\ { - { \displaystyle { \frac { 2 ^ { 1 - \alpha } \pi ^ { 2 } S } { \Gamma ( \frac \alpha 2 ) ^ { 2 } \sin ( \frac { \pi \alpha } { 2 } ) } } } \left( { \displaystyle { \frac { 2 \pi S ( \alpha - 2 ) } { \Gamma ( \frac { 2 } { \alpha - 2 } ) \zeta ( \frac { 2 } { \alpha - 2 } ) } } } \right) ^ { \frac { \alpha - 2 } { 2 } } ~ , } & { d = 2 ~ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { G } ( z ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { m _ { 2 n } } { z ^ { 2 n + 1 } } + O ( z ^ { - 2 N - 1 } ) \quad \mathrm { a n d } } \\ { \widetilde { G } ^ { \prime } ( z ) } & { = - \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { ( 2 n + 1 ) m _ { 2 n } } { z ^ { 2 n + 2 } } + O ( z ^ { - 2 N - 2 } ) } \end{array}
Z ( \beta ) = \sum _ { \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { L } } e ^ { \beta J \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } e ^ { \beta J \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \cdots e ^ { \beta J \sigma _ { L - 1 } \sigma _ { L } } = 2 \prod _ { j = 2 } ^ { L } \sum _ { \sigma _ { j } ^ { \prime } } e ^ { \beta J \sigma _ { j } ^ { \prime } } = 2 \left[ e ^ { \beta J } + e ^ { - \beta J } \right] ^ { L - 1 } .
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } = \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) i { \omega _ { \parallel } } \omega _ { * e } \bar { \tau } \quad \Rightarrow \quad \omega = \pm \frac { 1 + i \mathrm { s g n } ( k _ { y } ) } { \sqrt { 2 } } \left( 1 + \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( { \omega _ { \parallel } } | \omega _ { * e } | \bar { \tau } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a = 1 \, , } \\ & { b = - ( 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } + 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } + 2 V _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 2 } ) \, , } \\ & { c = 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } { \omega } _ { p } ^ { 2 } + ( { \omega } _ { c } ^ { 2 } + { \omega } _ { p } ^ { 2 } ) ( { \omega } _ { c } ^ { 2 } + { \omega } _ { p } ^ { 2 } + 2 V _ { 1 } ^ { 2 } ) + 2 { \omega } _ { c } ^ { 2 } V _ { 2 } ^ { 2 } + V _ { 1 } ^ { 4 } \, , } \\ & { d = - [ 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } { \omega } _ { c } ^ { 2 } ( { \omega } _ { p } ^ { 2 } + { \omega } _ { c } ^ { 2 } ) + 2 { \omega } _ { p } ^ { 2 } { \omega } _ { c } ^ { 2 } V _ { 1 } ^ { 2 } + { \omega } _ { c } ^ { 4 } V _ { 2 } ^ { 2 } ] \, , } \\ & { e = { \omega } _ { c } ^ { 4 } { \omega } _ { p } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| \tilde { F } _ { k , \, i , \, j } \right| ^ { 2 } \right] } & { = N _ { r } ( E _ { 1 } + E _ { 2 } ) } \\ & { = 4 N _ { r } \left[ \sigma _ { H } ^ { 4 } + R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, j - i } ^ { 2 } + \left( N _ { r } - 1 \right) R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, j - i } ^ { 2 } \right] } \\ & { = 4 N _ { r } \left[ \sigma _ { H } ^ { 4 } + N _ { r } R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, j - i } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( s ) | } & { \leq | X _ { j _ { 0 } , k _ { j _ { 0 } } ( t ) } - X _ { j _ { 0 } , k _ { j _ { 0 } } ( s ) } | } \\ & { \quad + \sum _ { j \geq j _ { 0 } } | X _ { j + 1 , k _ { j + 1 } ( t ) } - X _ { j , k _ { j } ( t ) } | } \\ & { \quad + \sum _ { j \geq j _ { 0 } } | X _ { j + 1 , k _ { j + 1 } ( s ) } - X _ { j , k _ { j } ( s ) } | . } \end{array}
P _ { f a i l , a v } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tilde { r } P _ { f a i l } \left( \tilde { r } \sigma _ { u c } f _ { r } / \gamma \right) \tilde { r } e ^ { - \frac { \tilde { r } ^ { 2 } } { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tilde { r } P _ { f a i l } \left( \tilde { r } / \eta \right) \tilde { r } e ^ { - \frac { \tilde { r } ^ { 2 } } { 2 } } ,
W ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( B ^ { \prime } x _ { 0 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } + x _ { 4 } ^ { 4 } + x _ { 5 } ^ { 4 } \right) - \psi _ { 0 } x _ { 0 } x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } ~ .
e _ { i } ( z ) = \frac { \left\langle \iint _ { x , y } { \left| \tilde { u } _ { i } - u _ { i } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y \right\rangle } { \left\langle \iint _ { x , y } u _ { i } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } y \right\rangle } .
\begin{array} { r l } { \| g _ { n _ { k } , \varepsilon _ { n _ { k } } / 6 } \| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } ^ { 2 } } & { = \| \mathrm { L i p } f _ { n _ { k } , \varepsilon _ { n _ { k } } / 6 } \| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } ^ { 2 } = \int _ { X } ( \mathrm { L i p } f _ { n _ { k } , \varepsilon _ { n _ { k } } / 6 } ( y ) ) ^ { 2 } d \mu ( y ) } \\ & { \leq C \int _ { X } \fint _ { B ( x , \varepsilon _ { n _ { k } } ) } \frac { | f _ { n _ { k } } ( y ) - f _ { n _ { k } } ( x ) | ^ { 2 } } { \varepsilon _ { n _ { k } } ^ { 2 } } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M } 4 } & { { } = } & { e ^ { \alpha \tau \mathcal { A } } e ^ { \beta \tau \mathcal { B } } e ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \tau \mathcal { A } } e ^ { ( 1 - 2 \beta ) \tau \mathcal { B } } e ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \tau \mathcal { A } } e ^ { \beta \tau \mathcal { B } } e ^ { \alpha \tau \mathcal { A } } , } \end{array}
\langle \Omega | \Phi _ { 1 } ( z _ { 1 } ) \Phi _ { 2 } ( z _ { 2 } ) \Phi _ { 3 } ( z _ { 3 } ) | \Omega \rangle \sim ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { h _ { 3 } - h _ { 2 } - h _ { 1 } } ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ) ^ { h _ { 2 } - h _ { 3 } - h _ { 1 } } ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) ^ { h _ { 1 } - h _ { 2 } - h _ { 3 } } .
S _ { 1 D } = - \int d ^ { 5 } \sigma \left( \sqrt { - G } \sqrt { 1 + z _ { 1 } + \frac { z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } - z _ { 2 } } + \frac { \epsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma \tau } C ^ { \mu } \tilde { \cal H } ^ { \nu \lambda } \tilde { \cal H } ^ { \sigma \tau } } { 8 ( 1 + C _ { 1 } ^ { 2 } ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { E } _ { 2 , 2 } } & { ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \lesssim \tau ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \Big ( \Vert \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 2 } \Vert \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \right) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } \Big ) . } \end{array}
2 \pi ^ { - { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \bigl ( } \theta ( i t ) - 1 { \bigr ) } t ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \, \mathrm { d } t ,
p _ { T e s _ { 1 } } ( s ; \mu _ { t } , \sigma ) \underset { N = 1 } { = } \operatorname* { l i m } _ { \Delta \ell \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { L B _ { s \approx \ell } } ( s ; \mu _ { t } , \ell ) p _ { T e s } ( \ell ; \sigma ) d \ell } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { L B _ { s \approx \ell } } ( s ; \mu _ { t } , \ell ) p _ { T e s } ( \ell ; \sigma ) d \ell d s } = ( \mu _ { t } + \sigma ) e ^ { - ( \mu _ { t } + \sigma ) s } ,
\begin{array} { r } { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } \leq \frac { 1 } 2 \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \ k \geq 0 . } \end{array}
\underset { t \in [ 0 , T _ { 0 } ] } { \operatorname* { s u p } } \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { 2 } d x + \underset { t \in [ 0 , T _ { 0 } ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) \leq C [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { D } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \right| + \left| \mathcal { D } ^ { 1 } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \right| + \left| \mathcal { D } ^ { - 1 } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \right| \lesssim e ^ { - \lambda _ { \mathcal { D } } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ^ { s _ { 0 } } } . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { D N N } } ^ { \mathrm { B } } ( R ) = \exp \left[ - \frac 1 2 \sum _ { i < j } ^ { N } r _ { i j } ^ { - 5 } \right] \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 8 } \omega _ { \alpha } \chi _ { \alpha } ( R ) \right) ,
\psi _ { \pm } \left( q , t \right) = A _ { \pm } \left( \frac { 2 b _ { \pm } } { \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \exp \! \Big ( { - b _ { \pm } \left( q - d _ { \pm } \right) ^ { 2 } } + { i a _ { \pm } \left( q - d _ { \pm } \right) ^ { 2 } + i e _ { \pm } \left( q - d _ { \pm } \right) + i c _ { \pm } \Big ) } ,
\begin{array} { r l r } { T _ { Y : \mathit { A } . \mathit { B } } } & { = } & { T _ { Y : \mathit { A } } + \delta _ { \mathit { A } . \mathit { B } } } \\ { T _ { Y : \mathit { B } . \mathit { A } } } & { = } & { T _ { ( I - P _ { \mathit { A } } ) Y : \mathit { B } } + \delta _ { \mathit { B } . \mathit { A } } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = } & { \delta _ { \mathit { B } . \mathit { A } } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { \mathit { B } . \mathit { A } } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \delta ) = } & { { } x _ { 0 } 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) + \frac { k \gamma } { \alpha \rho ( 1 + \gamma ) } [ 1 - 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) ] + \frac { k ( 1 + \epsilon _ { n } ) } { \alpha ( 1 + \gamma ) ( 1 + \rho ) } [ 2 ( 1 + \delta ) - 2 ^ { - \rho } ( 1 - \rho \delta ) ] } \\ { \approx } & { { } c _ { 0 } + c _ { 1 } \epsilon _ { n } + c _ { 2 } \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( x , t ) } & { { } = \frac { \epsilon } { k } \cos ( k x - \omega t ) , } \\ { \phi ( x , z , t ) } & { { } = \frac { \epsilon c } { k } \frac { \cosh k ( z + H ) } { \sinh \alpha } \sin ( k x - \omega t ) , } \end{array}
\theta ^ { \prime } = \arcsin \left( \frac { { \sin \theta - \frac { v } { c } } } { 1 - \frac { v } { c } \sin \theta } \right) \underset { v , \theta \ll 1 } { \approx } \arcsin \left( { \sin \theta - \frac { v } { c } } \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( 4 ) } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { \frac { t + 1 } { t } } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t + \frac { 1 } { \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { \frac { 1 } { t ( t + 1 ) } } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { e } } \left( \frac { 1 } { 2 } U \left( \frac { 1 } { 2 } , 2 , \frac { 1 } { 2 } \right) + U \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 , \frac { 1 } { 2 } \right) \right) . } \end{array}
- i \epsilon ^ { i l m } [ x ^ { l } \delta ^ { 3 } ( { \bf x - y } ) ] { \Big \vert } _ { - \infty } ^ { + \infty } + \int \delta ^ { 3 } ( { \bf x - y } ) ( \partial _ { ( x ) } ^ { m } x ^ { l } ) d ^ { 3 } x
\frac { \sigma } { \omega } = \left( \frac { \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } } { \omega _ { \alpha } } , \frac { \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } } { \omega _ { \beta } } , \frac { \sigma _ { \gamma } ^ { \alpha \beta } } { \omega _ { \gamma } } \right)
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { X } } & { { } \lesssim } & { 0 . 1 \, { \left( \frac { \sqrt { N _ { s } } | K _ { X } | } { \sigma _ { y } ( \Delta _ { t } ) } \right) } ^ { 1 / 2 } { \left( \frac { c } { R \omega _ { 0 } } \right) } { \left( \frac { \hbar ^ { 2 } \Delta E ^ { 2 } } { \Delta _ { t } \tau } \right) } ^ { 1 / 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { c } _ { r } = \Big [ e ^ { - \jmath { \frac { 2 \pi } { \lambda _ { c } } } D _ { r } ( 1 , 1 ) } , . . . , e ^ { - \jmath { \frac { 2 \pi } { \lambda _ { c } } } D _ { r } ( 1 , M _ { z } ) } , . . . , } \\ { e ^ { - \jmath { \frac { 2 \pi } { \lambda _ { c } } } D _ { r } ( M _ { y } , 1 ) } , . . . , e ^ { - \jmath { \frac { 2 \pi } { \lambda _ { c } } } D _ { r } ( M _ { y } , M _ { z } ) } \Big ] ^ { T } . } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { L J } } ^ { \alpha \beta } ( r _ { i j } ^ { \alpha \beta } ) = 4 \varepsilon ^ { \alpha \beta } \left[ \left( \frac { \sigma ^ { \alpha \beta } } { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma ^ { \alpha \beta } } { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 6 } + c _ { 2 } ^ { \alpha \beta } \left( \frac { r _ { i j } ^ { \alpha \beta } } { r _ { \mathrm { c } } ^ { \alpha \beta } } \right) ^ { 2 } + c _ { 0 } ^ { \alpha \beta } \right] ,
f _ { 0 } = \beta _ { 1 } \log { \left( \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } \right) } - \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \log { \left( \frac { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } \right) } .