harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 q ( 2 q - 1 ) } \dot { V } _ { u } ( y ) } & { \leq - c \int _ { 0 } ^ { L } \Big ( y _ { z } ( z ) \Big ) ^ { 2 q - 2 } \Big ( y _ { z z } ( z ) \Big ) ^ { 2 } d z - \int _ { 0 } ^ { L } \eta \left( \left( y _ { z } ( z ) \right) ^ { 2 q } \right) d z } \\ & { \quad - \int _ { 0 } ^ { L } \Big ( y _ { z } ( z ) \Big ) ^ { 2 q - 2 } y _ { z z } ( z ) v ( z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbb { E } ( \widetilde { T } _ { 1 } ) \right) ^ { - 1 } } & { \; = \; \left[ \frac { 1 } { \mathbb { P } ( \{ \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \} ) } \left[ \frac { \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } } { \lambda } \, + \, 1 \right] \, + \, \frac { \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime } - \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } } { \lambda } \, + \, 1 \right] ^ { - 1 } } \\ & { \; = \; \frac { \mathbb { E } ( \chi ^ { 2 } ) } { ( \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } } \left[ 1 \; + \; \frac { ( \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime } \, + \, \mathbb { E } ( \chi ^ { 2 } ) ( \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime } - 2 \, \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } ) } { - \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } ( \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \lambda \widetilde { y } _ { + } ) \right] ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { | \omega _ { s q } - \omega _ { M } | } { \Gamma _ { M } } \simeq \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 \omega _ { m } \left( 1 + \frac { 4 \omega _ { m } ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M \cdot ( - K _ { Y } ) ^ { 2 } } & { = \bigg ( - K _ { Y } + \frac { 1 } { 7 } E \bigg ) \cdot ( - K _ { Y } ) ^ { 2 } } \\ & { = \bigg ( \varphi ^ { * } ( - K _ { X } ) - \frac { 4 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { 3 } E \bigg ) \cdot \bigg ( \varphi ^ { * } ( - K _ { X } ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \varphi ^ { * } ( - K _ { X } ) \cdot E + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } E ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { = \varphi ^ { * } ( - K _ { X } ) ^ { 3 } - \frac { 4 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } E ^ { 3 } } \\ & { = 8 \cdot \frac { 2 } { 2 3 1 } - \frac { 4 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { 6 } } \\ & { = - \frac { 2 } { 7 7 } . } \end{array}
\widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } = \frac { N } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } { B _ { k } } _ { i } , ~ \widehat { V } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } _ { k } } = \frac { N } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( { B _ { k } } _ { i } - \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { S _ { n } ( \theta ) e ^ { i n \phi } \, Y _ { m } ^ { - } ( \theta , \phi ) } & { = } & { Y _ { m + n } ^ { + } ( \theta , \phi ) \cdot \mathcal { S } _ { n , m } ^ { + 2 } } \\ { S _ { - n } ( \theta ) e ^ { i n \phi } \, Y _ { m } ^ { + } ( \theta , \phi ) } & { = } & { Y _ { m + n } ^ { - } ( \theta , \phi ) \cdot \mathcal { S } _ { - n , m } ^ { - 2 } . } \end{array}
\int _ { { \overline { { \mathcal { M } } } } _ { g , n } } { \frac { c ( E ^ { * } ) } { ( 1 - k _ { 1 } \psi _ { 1 } ) \cdots ( 1 - k _ { n } \psi _ { n } ) } } = \int _ { { \overline { { \mathcal { M } } } } _ { 1 , 1 } } { \frac { 1 - \lambda _ { 1 } } { 1 - k _ { 1 } \psi _ { 1 } } } = \left[ \int _ { { \overline { { \mathcal { M } } } } _ { 1 , 1 } } \psi _ { 1 } \right] k _ { 1 } - \left[ \int _ { { \overline { { \mathcal { M } } } } _ { 1 , 1 } } \lambda _ { 1 } \right] .
\begin{array} { r } { { P T E } = \frac { | I _ { 2 } | ^ { 2 } R _ { \mathrm { L } } } { | I _ { 1 } | ^ { 2 } \mathfrak { R e } \{ Z _ { \mathrm { i n } } \} } = \left| \frac { \omega M } { Z _ { 2 } + Z _ { \mathrm { L } } } \right| ^ { 2 } \frac { R _ { \mathrm { L } } } { \mathfrak { R e } \{ Z _ { \mathrm { i n } } \} } . } \end{array}
m _ { 1 } = M _ { 1 } + 2 . 5 \cdot K _ { 1 } \log _ { 1 0 } { \left( { \frac { d _ { B S } } { d _ { 0 } } } \right) } + 5 \log _ { 1 0 } { \left( { \frac { d _ { B O } } { d _ { 0 } } } \right) }
\begin{array} { r } { A _ { 1 } ^ { * } ( z ) = C _ { 1 } \, \frac { \sinh ( L ) } { \cosh ( z ) ( D \operatorname { t a n h } ( z / D ) - \operatorname { t a n h } ( z ) ) } , } \\ { B _ { 1 } ^ { * } ( z ) = - C _ { 1 } \frac { D \sinh ( L / D ) } { \cosh ( z / D ) ( D \operatorname { t a n h } ( z / D ) - \operatorname { t a n h } ( z ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { \overline { { \vec { j } _ { Q , t } } } } & { = \overline { { \vec { u } ^ { \prime } ( \rho c _ { p } T ) ^ { \prime } } } } & & { \approx - \alpha _ { t } \nabla ( \overline { { \rho c _ { P } T } } ) \simeq - k _ { t } \nabla \overline { { T } } } \\ { \overline { { \vec { j } _ { c , t } } } } & { = \overline { { \vec { u } ^ { \prime } C _ { c } ^ { \prime } } } } & & { \approx - { \mathcal { D } _ { c , t } } \nabla \overline { { C _ { c } } } } \\ { \overline { { \vec { i } _ { k , t } } } } & { = \overline { { \vec { u } ^ { \prime } \biggl ( \frac { z _ { k } ^ { 2 } F ^ { 2 } C _ { k } \Phi } { R T } \biggr ) ^ { \prime } } } } & & { \approx - D _ { k , t } \nabla \overline { { \biggl ( \frac { z _ { k } ^ { 2 } F ^ { 2 } C _ { k } \Phi } { R T } \biggr ) } } \simeq - \kappa _ { k , t } \nabla \overline { { \Phi } } } \end{array} } \end{array}
\Delta _ { i j } \to \tilde { \Delta } _ { i j } : = m _ { i } \tilde { n } _ { j } ^ { ( 0 ) } - m _ { j } \tilde { n } _ { i } ^ { ( 0 ) } = m _ { i } ( n _ { j } ^ { ( 0 ) } + k m _ { j } ) - m _ { j } ( n _ { i } ^ { ( 0 ) } + k m _ { i } ) = m _ { i } n _ { j } ^ { ( 0 ) } - m _ { j } n _ { i } ^ { ( 0 ) } = \Delta _ { i j } \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { L } ( g , \dot { g } , \dot { q } q ^ { - 1 } , \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } , a _ { 0 } ) } & { = \tilde { L } ( e , \dot { g } g ^ { - 1 } , ( \dot { q } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , ( \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , a _ { 0 } g ^ { - 1 } ) } \\ & { = : \tilde { \ell } ( u , \omega , \chi , a ) : \mathfrak { g } \times \mathfrak { q } \times V _ { Q } ^ { * } \times V ^ { * } \rightarrow \mathbb { R } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathcal { G } _ { \zeta } ( i _ { \delta } ( \varphi ) ) [ \hat { z } ] } & { \overset = \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathcal { G } _ { \zeta } ( \theta _ { 0 } ( \varphi ) , y _ { \delta } ( \varphi ) , z _ { 0 } ( \varphi ) ) [ \hat { z } ] } \\ & { \overset = \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( a _ { 2 } ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi , x ) \partial _ { x x } \hat { z } + a _ { 0 } ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi , x ) \hat { z } \right) + R ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi ) [ \hat { z } ] = : \Pi _ { S ^ { \perp } } M ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi ) + R ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi ) [ \hat { z } ] , } \end{array}
F _ { 1 } ^ { \prime } = - \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } } { \delta \epsilon ^ { 2 } } - \frac { a z _ { c } \beta _ { 1 } \hat { z _ { 1 } } } { \delta ^ { 3 / 2 } \epsilon ^ { 3 } } + \frac { a \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 1 } \left( z _ { c } - c \right) - 2 z _ { c } \delta C _ { 0 } } } { \delta ^ { 3 / 2 } \epsilon ^ { 2 } } = 0 ,
f = k - { \frac { \mu } { r ^ { 2 } } } + g ^ { 2 } r ^ { 2 } H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } \ , \ \ H _ { i } = 1 + { \frac { q _ { i } } { r ^ { 2 } } } , \, i = ( 1 , 2 , 3 ) \ ,
\begin{array} { r l r } { P ( x , y , t , t ^ { \prime } | { a } , { c } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } P ( x | { a } , \xi ) P ( t | { a } , \xi ) P ( y | { c } , \zeta ) P ( t ^ { \prime } | { c } , \zeta ) p ( \xi , \zeta ) d \xi d \zeta \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { D } \phi _ { l m } ( r ) x ^ { \mathrm { { D G } } } ( r , t ) \, \mathrm { d } r = \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \mathrm { D G } } ( t ) \int _ { D } \phi _ { l m } ( r ) \phi _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r ) \, \mathrm { d } r } \\ & { } & { = \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m } ^ { \mathrm { { D G } } } ( t ) \int _ { r _ { m } } ^ { r _ { m + 1 } } \phi _ { l m } ( r ) \phi _ { l ^ { \prime } m } ( r ) \, \mathrm { d } r = \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m } ^ { \mathrm { D G } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { l } ( r ) P _ { l ^ { \prime } } ( r ) \, \mathrm { d } r = \mathbf { x } _ { l m } ^ { \mathrm { { D G } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { p r e d } = \frac { 1 } { P } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \frac { 1 } { L } \sum _ { t = T + 1 } ^ { T + L } ( C _ { p } ^ { t } - \hat { c } _ { p } ^ { t } ) ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
{ \hat { h } } = { \hat { \mathbf { S } } } \cdot { \frac { \hat { \mathbf { p } } } { | \mathbf { p } | } } = { \hat { \mathbf { S } } } \cdot { \frac { c { \hat { \mathbf { p } } } } { \sqrt { E ^ { 2 } - ( m _ { 0 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } }
\textrm d s ^ { \textrm { \scriptsize N } } = \sqrt { \sum _ { i } m _ { i } \textrm d { \bf r } _ { i } \cdot \textrm d { \bf r } _ { i } } , ~ ~ \textrm d { \bf r } _ { i } = { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { i } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { y } & { { } = v _ { 0 } + \left[ v _ { 1 } f \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } f \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) \right] } \\ { \frac { \partial y } { \partial x } } & { { } = v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x ^ { 2 } } } & { { } = v _ { 1 } w _ { 1 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x \big ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { \Psi _ { q } ^ { x , y , + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { N } ) = A \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; x + ( j - 1 ) x } } ^ { N , N / x } ( z _ { i } - z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; x + ( j - 1 ) x } } ) ^ { q - 1 } \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ^ { N , N / y } ( z _ { i } - z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ) e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } \frac { | z _ { i } | ^ { 2 } } { 4 l _ { B } ^ { 2 } } } , } \\ { \Psi _ { q } ^ { x , y , - } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { N } ) = A \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; x + ( j - 1 ) x } } ^ { N , N / x } ( z _ { i } - z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; x + ( j - 1 ) x } } ) ^ { q - 1 } \prod _ { \scriptscriptstyle { i , j = 1 ; i < i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } ^ { N , N / y } ( z _ { \scriptscriptstyle { i \; \operatorname { m o d } \; y + ( j - 1 ) y } } - z _ { i } ) e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } \frac { | z _ { i } | ^ { 2 } } { 4 l _ { B } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ \mathbb { I } _ { \mathsf { S } _ { k - 1 } ^ { l } } ( i ) \left| \left\{ \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) } - \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) } \right\} \right| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \frac { C \Delta _ { l } ^ { 1 / 2 } } { N _ { l } ^ { 2 } } } \\ { \mathbb { E } \left[ \mathbb { I } _ { \mathsf { S } _ { k - 1 } ^ { l } } ( i ) \left| \left\{ \frac { \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) } - \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l - 1 } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) } \right\} \right| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \frac { C \Delta _ { l } ^ { 1 / 2 } } { N _ { l } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { k , \pm } ^ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \vec { \omega } _ { r } \cdot \hat { k } _ { 0 } \sqrt { 2 I _ { r } \beta _ { r } } } \\ & { \times } & { e ^ { i [ \pm ( \psi _ { r } + \widetilde { \Psi } _ { r } ) - ( \nu _ { 0 } \pm \nu _ { r } - k ) \theta ^ { \prime } ] } d \theta ^ { \prime } } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) = - { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int \left[ { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } } \times \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) + { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } \times { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { \partial t } } \right] \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } ,
\sigma ^ { D } ( e ^ { - } + ~ p \rightarrow V + X ) = \frac { { \cal C } _ { V } ^ { D } } { s } \int _ { m _ { V } ^ { 2 } / s } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } \int _ { m _ { V } ^ { 2 } / x _ { 1 } s } ^ { 1 } \frac { d x _ { 2 } } { x _ { 2 } } \left[ \sum _ { q } f _ { \gamma _ { / e } } ( x _ { 1 } ) f _ { q _ { / p } } ( x _ { 2 } ) \right] \eta _ { V } ( \hat { s } ) ,
\left\{ \lambda _ { \alpha } ( x ) , \bar { \lambda } _ { \bar { \alpha } } ( y ) \right\} | _ { x ^ { 0 } = y ^ { 0 } } = ( \frac { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } { 3 2 } ) \delta _ { \alpha \bar { \alpha } } \delta ^ { 6 } ( { \bf x } - { \bf y } )
\begin{array} { r } { \boldsymbol { Q } ^ { * } \boldsymbol { Q d } = \boldsymbol { Q \tilde { f } } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \boldsymbol { Q } = \left[ \begin{array} { l l l } { \phi _ { 1 } ( { x } _ { 1 } ) } & { \dots } & { \phi _ { N } ( { x } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { 1 } ( { x } _ { M } ) } & { \dots } & { \phi _ { N } ( { x } _ { M } ) } \end{array} \right] { \quad \mathrm { i s ~ o r t h o n o r m a l } \quad \boldsymbol { Q } ^ { * } \boldsymbol { Q } = M \boldsymbol { I } _ { N } } } \end{array}
\varepsilon \lesssim \frac { 2 \pi ^ { 4 } N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu \omega } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } } ( \theta _ { \mu \nu \omega } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { l _ { \mu \nu } - 1 } } { \Omega \sqrt { \pi \theta _ { \mu \nu \omega } } \alpha _ { \mu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } + 3 / 2 } } < \tau .
\begin{array} { r l } & { r _ { \mathrm { t o t a l } } = - r _ { 1 } + \frac { ( 1 - r _ { 1 } ^ { 2 } ) M e ^ { i \phi _ { 1 } } } { 1 - r _ { 1 } M e ^ { i \phi _ { 1 } } } \mathrm { , w h e r e } } \\ & { M = \sqrt { \alpha _ { m } } r _ { 2 } - \frac { \alpha _ { c } t _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 3 } e ^ { i \phi _ { 2 } } } { 1 - r _ { 2 } r _ { 3 } e ^ { i \phi _ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } } & { = \int _ { \{ u > \frac { 1 } { m } \} } \frac { 1 } { \lvert u \rvert ^ { s } } \lvert u \partial _ { x } u _ { n } - u \partial _ { x } u \rvert ^ { s } \psi } \\ & { = \int _ { \{ u > \frac { 1 } { m } \} } \frac { 1 } { \lvert u \rvert ^ { s } } \lvert \left( u - \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } - \partial _ { x } u ^ { 2 } \right) \rvert ^ { s } \psi } \\ & { \leq m ^ { s } \int _ { Q _ { T } } \lvert \left( u - \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } - \partial _ { x } u ^ { 2 } \right) \rvert ^ { s } \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i m } ( t ) } & { = \frac { B _ { i m } ( t ) } { \sqrt { 2 ^ { | m | } | m | ! } } \frac { 1 } { \kappa ^ { Z / \kappa _ { i } - 1 / 2 } } \left( \frac { 2 \kappa _ { i } ^ { 3 } } { | F ( t ) | } \right) ^ { Z / \kappa _ { i } - ( | m | + 1 ) / 2 } } \\ & { \times \exp { \left[ \frac { - \kappa _ { i } ^ { 3 } } { 3 | F ( t ) | } + \frac { i \pi } { 4 } + i \pi \left( \frac { Z } { \kappa _ { i } } - \frac { | m | + 1 } { 2 } \right) \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R e W = \hat { d } W _ { m } , \quad \hat { d } \theta = \epsilon ^ { 2 } \theta _ { m } , \quad D \theta = \epsilon D _ { m } \theta _ { m } , } \\ & { D ^ { 2 } W = \frac { \alpha _ { B J } \hat { d } } { \delta \sqrt { \eta _ { x } ( 0 ) } } \left( D W - \frac { \hat { d } ^ { 2 } } { R e } D _ { m } W _ { m } \right) , } \\ & { D ^ { 3 } W - 3 a ^ { 2 } D W - i a R e \overline { { u } } D W + i a R e \frac { d \overline { { u } } } { d z } W + \frac { \hat { d } ^ { 4 } } { R e \delta ^ { 2 } \eta _ { x } } D _ { m } W _ { m } = - i \sigma R e D W + i \sigma _ { m } \frac { \hat { d } ^ { 4 } } { \chi R e } D _ { m } W _ { m } . } \end{array}
A ^ { a } = \sum _ { b c } g ^ { a a } \Big ( \omega ^ { b c } \frac { \partial \omega _ { c a } } { \partial x ^ { b } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \omega ^ { c b } } { \partial x ^ { a } } \omega _ { c b } \Big ) = \sum _ { b c } \Big ( \omega _ { \, \, c } ^ { b } \frac { \partial \omega { ^ { c a } } } { \partial x ^ { b } } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { a a } \frac { \partial \omega _ { c b } } { \partial x ^ { a } } \omega ^ { c b } \Big )
| \Phi ^ { + } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle ) = \left[ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { \alpha ( x ) } & { 0 } & { \beta ( x ) } \\ { - \alpha ( x ) } & { 0 } & { - \beta ( x ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { \star } & { \gamma ( x ) } & { \star } \\ { \star } & { - \gamma ( x ) } & { \star } \\ { \star } & { 0 } & { \star } \end{array} \right) , } \\ & { \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \alpha } ( x ) } & { 0 } & { \tilde { \beta } ( x ) } \\ { - \tilde { \alpha } ( x ) } & { 0 } & { - \tilde { \beta } ( x ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } & & { \widetilde { \mathcal { M } } _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( x ) = \left( \begin{array} { l l l } { \star } & { \tilde { \gamma } ( x ) } & { \star } \\ { \star } & { - \tilde { \gamma } ( x ) } & { \star } \\ { \star } & { 0 } & { \star } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mu \bmod m } } & { E _ { f _ { 1 } , h } \left( \frac { \mu } { m } + \alpha _ { 1 } \right) E _ { f _ { 2 } , h } \left( \frac { \mu } { m } + \alpha _ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { \mu \bmod m } h ^ { 2 } \hat { f _ { 1 } } \left( - h \frac { \mu } { m } - h \alpha _ { 1 } \right) \hat { f _ { 2 } } \left( - h \frac { \mu } { m } - h \alpha _ { 2 } \right) + O ( m ) } \\ & { \ll ( m + h ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { f _ { 1 } } ( - h t - h \alpha _ { 1 } ) \hat { f _ { 2 } } ( - h t - h \alpha _ { 2 } ) h ^ { 2 } \mathrm { d } t + O ( m ) , } \end{array}
P _ { 1 } : \ { \vec { f } } _ { 1 } t _ { 1 } + { \vec { f } } _ { 2 } { \frac { 1 } { t _ { 1 } } } , \ P _ { 2 } : \ { \vec { f } } _ { 1 } t _ { 2 } + { \vec { f } } _ { 2 } { \frac { 1 } { t _ { 2 } } }
\begin{array} { l } { \nu = \frac { N } { N _ { 0 } } = \frac { x y } { ( q - 1 ) y \pm x } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ a ~ n ~ d ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ } , } \\ { \nu = 1 - \frac { x y } { ( q - 1 ) y \pm x } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ a ~ n ~ d ~ h ~ o ~ l ~ e ~ s ~ } , } \end{array}
\delta \bigg ( \! \exp \bigg \{ \frac { i } { \hbar } S _ { \mathrm { e x t } } \bigg \} \bigg ) = - i \hbar \hat { T } ( \delta Y ) \exp \bigg \{ \frac { i } { \hbar } S _ { \mathrm { e x t } } \bigg \} ,
Q ^ { 2 } F _ { \mathrm { n o n p } } ( Q ^ { 2 } ) = Q ^ { 2 } / ( 1 . 7 0 4 6 + 1 . 0 6 6 2 Q ^ { 2 } + 0 . 0 2 1 9 Q ^ { 4 } ) ^ { 2 }
\Gamma _ { \alpha } ( t ) = \frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega J _ { \alpha } ( \omega ) \coth \left( \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } \right) \frac { 1 - \cos ( \omega t ) } { \omega ^ { 2 } } .
S \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \geq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \oint _ { \partial V } \mathbf { d } f \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) } & { = k \oint _ { \partial V } \mathbf { d } f \cdot \int d V ^ { \prime } \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } } \\ & { = k \int d V ^ { \prime } \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \oint _ { \partial V } \mathbf { d } f \cdot \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } , } \end{array}
W _ { d } = \frac { \Lambda _ { 1 , d } ^ { 5 } } { \d Q _ { 0 } } + \frac { \Lambda _ { 2 , d } ^ { 5 } } { \d Q _ { 2 } } = \frac { m \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } } { \d Q _ { 0 } } + \frac { m \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } } { \d Q _ { 2 } }
\hat { N } _ { 2 } = \sum _ { j = 1 } \sp f { \frac { \ln \left( 1 + { \frac { \gamma } { 2 } } b _ { j } \sp { \dagger } b _ { j } \right) } { \ln \left( 1 + { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } } .
S = \frac { e B } { 2 } \int d t ( \epsilon _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } [ ( \dot { X } ^ { i } + i [ A _ { 0 } , X ^ { i } ] ) X ^ { j } + \theta \epsilon ^ { i j } A _ { 0 } ] _ { \alpha , \alpha } ) ,
\mathcal { L } _ { \gamma , \hat { L } } ^ { \dagger } \hat { A } = \gamma ( 2 \hat { L } ^ { \dagger } \hat { A } \hat { L } - \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L } \hat { A } - \hat { A } \hat { L } ^ { \dagger } \hat { L } )
\begin{array} { r } { W _ { e x t } = \int _ { \mathrm { P } } \left( \mathbf { P } : \dot { \mathbf { F } } + \omega \dot { { \mathsf { d } } } + \boldsymbol { \xi } \cdot \nabla \dot { { \mathsf { d } } } \right) \, d v _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { 1 } ^ { ( k ) } ( u ) | } & { \le \frac { R ^ { k } } { \Gamma ( \frac { 1 + k } { 2 } ) } ( s - u ) ^ { \frac { k } { 2 } - 1 } \phi \big ( r ( s - u ) , y \big ) R \| f - f ^ { \prime } \| _ { s } ( u - t ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le \frac { R ^ { k + 1 } } { \Gamma ( \frac { 1 + k } { 2 } ) } \| f - f ^ { \prime } \| _ { s } ( s - t ) ^ { \frac { k - 3 } { 2 } } \phi \big ( r ( s - u ) , y \big ) ( u - t ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Upsilon = \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) - \sqrt { 2 \Psi } } { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 4 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\mathbf { { K } } _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] } \\ { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin \left[ \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) ( t - t ^ { \prime } ) \right] } & { 0 } \end{array} \right)