harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \bigg | x _ { i } ( t ) - \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { r \mathcal { C } _ { i } } } X _ { j } ( 0 ) \bigg | } \\ & { = | x _ { i } ( t ) - [ ( \eta ^ { T } X ( 0 ) ) \eta _ { i } + ( \xi ^ { T } X ( 0 ) ) \xi _ { i } ] | } \\ & { \le [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] | ( \eta ^ { T } X ( 0 ) ) \eta _ { i } | + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] | \zeta _ { 1 } \eta _ { i } | } \\ & { \quad + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] | ( \xi ^ { T } X ( 0 ) ) \xi _ { i } | + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] | \zeta _ { 2 } \xi _ { i } | } \\ & { \quad + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \bigg | \bigg ( \sum _ { j = 3 } ^ { r _ { 0 } n } w ^ { ( j ) } ( ( w ^ { ( j ) } ) ^ { T } x ( 0 ) ) \bigg ) _ { i } \bigg | } \\ & { \quad + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] \bigg | \bigg ( \sum _ { j = 3 } ^ { r _ { 0 } n } w ^ { ( j ) } ( ( w ^ { ( j ) } ) ^ { T } \bar { R } \mathbf { z } ^ { s } / \lambda _ { 1 } ) \bigg ) _ { i } \bigg | } \\ & { \le c _ { x } \bigg \{ 2 [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] } \\ & { \quad + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] \bigg \} } \\ & { \le [ ( 4 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) t + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] c _ { x } , } \end{array}
U ^ { ( \nu ) } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { \frac { \mu _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } } } } & { { - { \frac { \mu _ { 1 } } { \xi _ { 1 } } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { { \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 3 } } { \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } { \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } } } } } & { { - { \frac { \xi _ { 1 } } { \xi _ { 2 } } } } } & { { 0 } } \\ { { { \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 2 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } { \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } } } } } & { { - { \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 3 } } } } } \\ { { { \frac { \mu _ { 1 } } { \xi _ { 4 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 2 } } { \xi _ { 4 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 3 } } { \xi _ { 4 } } } } } & { { { \frac { \mu _ { 4 } } { \xi _ { 4 } } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { V _ { i n t } = \hbar \left\{ \frac { c ( N + n ) \pi } { L + x _ { m } } - \frac { c ( N + n ) \pi } { L } \right\} | a _ { n } | ^ { 2 } } \\ & { } & { = \hbar \left\{ \frac { \omega _ { c } + \frac { c n \pi } { L } } { 1 + \eta _ { m } X _ { m } } - ( \omega _ { c } + \frac { c n \pi } { L } ) \right\} | a _ { n } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \rho _ { b } c _ { b } \left( \partial _ { t } T _ { b } + \mathbf v _ { b } \cdot \nabla T _ { b } \right) } & { = \nabla \cdot ( \lambda _ { b } \nabla T _ { b } ) + h ( T _ { t } - T _ { b } ) , } \\ { ( 1 - \varepsilon ) \rho _ { t } c _ { t } \partial _ { t } T _ { t } } & { = \nabla \cdot ( \lambda _ { t } \nabla T _ { t } ) - h ( T _ { t } - T _ { b } ) + ( 1 - \varepsilon ) q _ { \textrm { m e t } } , } \end{array}
\hat { \mathcal { L } } _ { 2 } \gets - \frac { 1 } { B } \sum _ { j = 1 } ^ { B } \sum _ { a = 1 } ^ { k } ( 1 - \alpha _ { s } ) \sum _ { b = 1 } ^ { k } \varphi _ { \theta } ^ { b } K _ { b a } \tilde { \varphi } _ { s } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } )
\begin{array} { r l } & { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 1 } , \Lambda ; 0 ) } \\ { = } & { \Delta _ { 1 } + \alpha \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 1 } + 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ { = } & { \Delta _ { 1 } + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { M } P _ { \Lambda } ( k ) V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 1 } + 1 , k ) } \\ { \geq } & { \Delta _ { 2 } + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { M } P _ { \Lambda } ( k ) V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 2 } + 1 , k ) } \\ { = } & { \Delta _ { 2 } + \alpha \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 2 } + 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ] } \\ { = } & { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } ( \Delta _ { 2 } , \Lambda ; 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 0 } \int e ^ { t f _ { l k } } d \Pi _ { \alpha _ { n } } ( f | Y ^ { n } ) \lesssim e ^ { C ( n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + | t | \sigma _ { l } + ( | t | \sigma _ { l } + \sqrt { n \alpha _ { n } } | \zeta _ { l } | \sigma _ { l } ) ^ { \frac { \delta + 1 } { \delta } } ) } . } \end{array}
\frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial x } = \left( b _ { ( 1 ) } ^ { \rho } , b _ { ( 1 ) } ^ { \rho u } , b _ { ( 1 ) } ^ { \rho v } , b _ { ( 1 ) } ^ { E } \right) ^ { T } , \ \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial y } = \left( b _ { ( 2 ) } ^ { \rho } , b _ { ( 2 ) } ^ { \rho u } , b _ { ( 2 ) } ^ { \rho v } , b _ { ( 2 ) } ^ { E } \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 3 2 1 } } } ) - 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 3 2 1 } } } ) - 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) - 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 2 3 1 } } } ) - 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 2 3 1 } } } ) - 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) - 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) + 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 4 1 3 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 1 4 2 } } } ) + 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 3 2 1 } } } ) - 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) - 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 2 3 1 } } } ) - 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) - 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 4 1 3 } } } ) } & { + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 1 4 2 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 5 } } } ) } & { - 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 5 2 3 4 1 } } } ) + 1 5 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } ) + 1 0 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 5 } } } ) } & { - 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 5 2 3 4 1 } } } ) - 1 5 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) - 1 0 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) } \\ { 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 4 3 5 } } } ) } & { - 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 5 2 4 3 1 } } } ) + 1 5 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } ) + 1 0 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) } \\ { 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 4 3 5 } } } ) } & { - 3 6 ( { \small \mathrm { \tt { 5 2 4 3 1 } } } ) - 1 5 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) - 1 0 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) . } \end{array}
\acute { G } ^ { + i } ( x , y ) \, = \, { \frac { 1 } { \partial _ { x } ^ { - } } } { \cal D } _ { x } ^ { i } G ( x , y ) , \qquad \acute { G } ^ { i + } ( x , y ) \, = \, G ( x , y ) \, { \frac { 1 } { \partial _ { y } ^ { - } } } \, { \cal D } _ { y } ^ { \dagger \, i } \, ,
\begin{array} { r l } { \ln ( 1 - x ) } & { { } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } } { n } } = - x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - \cdots , } \\ { \ln ( 1 + x ) } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } { \frac { x ^ { n } } { n } } = x - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } - \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { H } _ { C } \left( \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } \right) } & { { } = k _ { 1 } \left( ( e ^ { \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { 2 r } - 1 \right) ( a _ { c } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } a _ { c } ^ { 2 } + 2 k _ { 2 } \left( ( a _ { G _ { d } } ^ { \dagger } ) ^ { \tau } ( e ^ { \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { s } - 1 \right) a _ { c } ^ { \dagger } a _ { d } ^ { \dagger } a _ { c } a _ { d } } \\ { \tilde { H } _ { D } \left( \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } \right) } & { { } = k _ { 1 } \left( ( a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { 2 r } - 1 \right) ( a _ { c } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } a _ { c } ^ { 2 } + 2 k _ { 2 } \left( ( e ^ { \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } a _ { G _ { d } } ^ { \dagger } ) ^ { \tau } ( a _ { G _ { c } } ^ { \dagger } ) ^ { s } - 1 \right) a _ { c } ^ { \dagger } a _ { d } ^ { \dagger } a _ { c } a _ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \hat { X } _ { A ( B ) } } & { = } & { \frac { \delta \hat { a } _ { A ( B ) } + \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \delta \hat { Y } _ { A ( B ) } } & { = } & { \frac { \delta \hat { a } _ { A ( B ) } - \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { \dagger } } { i \sqrt { 2 } } , } \\ { \delta \hat { X } _ { A ( B ) } ^ { i n } } & { = } & { \frac { \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { i n } + \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { \dagger ^ { i n } } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \delta \hat { Y } _ { A ( B ) } ^ { i n } } & { = } & { \frac { \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { i n } - \delta \hat { a } _ { A ( B ) } ^ { \dagger ^ { i n } } } { i \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { 1 \leq a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } \leq B } \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 \big ( s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi - \varepsilon , \tau ( i ) ) + \varepsilon \big ) } } \\ { \leq } & { \sum _ { 1 \leq a _ { 1 } , \ldots , a _ { l _ { k } - \lfloor l _ { k } ( \xi - \varepsilon ) \rfloor } \leq B } \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { l _ { k } - \lfloor l _ { k } ( \xi - \varepsilon ) \rfloor } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { l _ { k } } ( \mathcal { A } _ { B } , \xi - \varepsilon , \tau ( i ) ) + \varepsilon } } \\ { \leq } & { \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { \varepsilon } < 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d = \arg \operatorname* { m a x } _ { d _ { \theta } } } & { \quad \langle \nabla _ { \theta } R ( x _ { \tau } , \theta _ { \alpha _ { \tau } } ) , d _ { \theta } \rangle } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { e ( s , u _ { s } , x _ { s } ; \theta _ { \alpha _ { \tau } } ) + \nabla e ( s , u _ { s } , x _ { s } ; \theta _ { \alpha _ { \tau } } ) d _ { \theta } \geq 0 , } \\ & { \quad \forall s \in \{ \tau , \tau + 1 , . . , \tau + T \} } \end{array}
\frac { d ^ { j } } { d \beta ^ { j } } \frac { d ^ { k } } { d E ^ { k } } \left( \int _ { a } ^ { b } d \lambda \frac { P ( \lambda ) } { \sqrt { 2 ( E - V ( \beta ) ) } } \right) _ { E = E _ { F } ^ { ( 0 ) } , \beta = 0 }
\begin{array} { r l r } { \mathsf { E } [ T ] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i ) } } { \sum } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ) } & \\ & { \le \frac { 1 } { C } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i ) } } { \sum } V _ { i } ( y ^ { t } ) \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ) \, . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i m } ( t ) } & { { } = \frac { B _ { i m } ( t ) } { \sqrt { 2 ^ { | m | } | m | ! } } \frac { 1 } { \kappa ^ { Z / \kappa _ { i } - 1 / 2 } } \left( \frac { 2 \kappa _ { i } ^ { 3 } } { | F ( t ) | } \right) ^ { Z / \kappa _ { i } - ( | m | + 1 ) / 2 } } \end{array}
H _ { 0 } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 \kappa _ { 0 } } \kappa _ { 0 } \overline { { h } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \sin \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) } { \left( \cos ( \theta _ { i } + \mathrm { i } t ) + \cos \Theta _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { 0 } r _ { i } \cosh t } \mathrm { d } \, t .
\frac { d \; g _ { U V } } { d \; \mathrm { l o g } \mu } = \frac { g _ { U V } ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; \mu ^ { 2 } \frac { x ^ { 2 } \left( 1 - x \right) ^ { 2 } } { m _ { U V } ^ { 2 } + x \left( 1 - x \right) \mu ^ { 2 } }
E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) = 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 - 2 \varepsilon } < 4 \pi + \frac { 8 \pi \varepsilon ^ { 2 } - C \varepsilon ^ { 3 } } { 2 - 2 \varepsilon } .
A = \frac { 1 } { 4 } ( D ^ { 2 } ( S _ { 2 } W ^ { 2 } ) + \bar { D } ^ { 2 } ( S _ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } ) ) ~ , ~ ~ B = \frac { 1 } { 4 } ( D ^ { 2 } ( S _ { 2 } W ^ { 2 } ) - \bar { D } ^ { 2 } ( S _ { 2 } \bar { W } ^ { 2 } ) ) ~ .
\begin{array} { r l r } { T ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { \left[ \varepsilon + \frac { 3 \chi } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } \right] u ^ { \mu } u ^ { \nu } + \left[ P + \frac { \chi } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } \right] \Delta ^ { \mu \nu } - 2 \eta \sigma ^ { \mu \nu } + \frac { \lambda u ^ { ( \mu } \Delta ^ { \nu ) \alpha } } { 2 } \frac { \mathcal { D } _ { \alpha } \varepsilon } { \varepsilon } \; , } \end{array}
K ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \theta } ^ { \prime } ) = K _ { \rho } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \theta } ^ { \prime } ) \cdot K _ { f } ( f _ { \mathrm { * , L F } } ( \boldsymbol { \theta } ) , f _ { \mathrm { * , L F } } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \theta } ^ { \prime } ) ) + K _ { \delta } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \theta } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \partial _ { x } V _ { x } + \partial _ { y } V _ { y } , } \\ { - \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { x } P } & { = \mu V _ { x } - \frac { \gamma } { 4 } M ^ { 0 } V _ { y } , } \\ { - \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { y } P } & { = \mu V _ { y } + \frac { \gamma } { 4 } M ^ { 0 } V _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 5 } ( x _ { 0 } ) = 1 + \frac { \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { x _ { 0 } } } { 2 } \right) - \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { 2 } } { 2 } \right) } { \sqrt { x _ { 0 } } } , \quad \Omega _ { 6 } ( x _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { 8 \pi } + \Omega _ { 4 } ( x _ { 0 } ) \Omega _ { 5 } ( x _ { 0 } ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \Omega _ { 7 } ( x _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } { \log { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { R } _ { \textrm { d } _ { \textrm { { \scriptsize O H } } ^ { + } } } ( \tau ) = \langle | \textrm { d } _ { \textrm { \scriptsize O H } ^ { + } } ( 0 ) - \textrm { d } _ { \textrm { { \scriptsize O H } } ^ { + } } ( \tau ) | ^ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } _ { p } ^ { { \boldsymbol { g } } } ( f , { \boldsymbol { g } } , { \boldsymbol { h } } ) ( S _ { 1 } , S _ { 2 } ) } & { = \pm \mathbf { w } \cdot \mathscr { L } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { B D P } } ( f / K , \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ) ( W _ { 1 } ) \cdot \mathscr { L } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { B D P } } ( f / K , \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } ) ( W _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - \bar { u } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } } & { \le 4 H ( u ^ { k } - \bar { u } , u ^ { k - 1 } - \bar { u } ) \le 4 ( 1 + \kappa \Delta t ) ^ { - ( k - 2 ) / 2 } H ( u ^ { 1 } - \bar { u } , u ^ { 0 } - \bar { u } ) } \\ & { \le 2 ( 1 + \kappa \Delta t ) ^ { - ( k - 2 ) / 2 } \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { 0 } - \bar { u } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ^ { 3 } \omega _ { 0 } P _ { 2 1 } } & { = } & { \left( \kappa ^ { 2 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( - 4 \sigma ^ { 4 } + 3 \sigma ^ { 2 } + 1 ) } { 8 \sigma ^ { 2 } } + \kappa \frac { 4 \sigma ^ { 4 } - 9 \sigma ^ { 2 } + 3 } { 4 \sigma } + \frac { - 4 \sigma ^ { 2 } + 1 9 } { 8 } \right) h ^ { 3 } \omega _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \\ & { } & { + \kappa ^ { 2 } \frac { - \sigma ^ { 4 } + 3 } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) } h \omega _ { 0 } \chi _ { 2 } + \left( \kappa ^ { 2 } \frac { - 3 \sigma ^ { 6 } + 7 \sigma ^ { 4 } - 9 \sigma ^ { 2 } - 3 } { 4 \sigma ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) } + 3 \kappa \frac { \sigma ^ { 4 } - 5 } { 4 ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) } \right) h ^ { 2 } \omega _ { 0 } \chi _ { 1 } } \\ & { } & { + \kappa ^ { 4 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( 1 1 \sigma ^ { 4 } - 1 2 \sigma ^ { 2 } - 3 ) } { 1 6 \sigma } + \kappa ^ { 3 } \frac { - 1 1 \sigma ^ { 4 } + 4 0 \sigma ^ { 2 } - 9 } { 1 6 } } \\ { h ^ { 3 } \omega _ { 0 } P _ { 2 2 } } & { = } & { \left( - \kappa ^ { 2 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { 8 } + \kappa \frac { \sigma ^ { 4 } - 5 \sigma ^ { 2 } + 2 } { 4 \sigma } + \frac { - \sigma ^ { 2 } + 8 } { 8 } \right) h ^ { 3 } \omega _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \\ & { } & { + \left( \kappa ^ { 2 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( \sigma ^ { 4 } + 3 ) } { 4 \sigma ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) } - \kappa \frac { \sigma ^ { 4 } + 3 } { 4 ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) } \right) h ^ { 2 } \omega _ { 0 } \chi _ { 1 } } \\ & { } & { + \kappa ^ { 4 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( - 3 \sigma ^ { 4 } - 8 \sigma ^ { 2 } + 3 ) } { 3 2 \sigma } + 3 \kappa ^ { 3 } \frac { \sigma ^ { 4 } - 1 } { 3 2 } } \\ { h ^ { 2 } \omega _ { 0 } s } & { = } & { \kappa ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } - 1 } { 2 } } \\ { V _ { d } ^ { 2 } } & { = } & { g h - c _ { g } ^ { 2 } = - \frac { g \nu } { 4 k _ { 0 } \sigma } } \\ { h ^ { 3 } \omega _ { 0 } \gamma _ { 1 } } & { = } & { h ^ { 3 } \omega _ { 0 } \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } c _ { g } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) - 2 \omega _ { 0 } k _ { 0 } } { 4 V _ { d } ^ { 2 } } = \frac { \kappa ^ { 3 } \sigma \mu _ { g } } { 2 \nu } } \\ { \gamma _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { V _ { d } ^ { 2 } } \left[ 2 c _ { g } \gamma _ { 1 } \beta _ { 1 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \beta _ { 1 } \frac { ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) } { 4 } + \frac { \omega ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } c _ { g } ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) } { 4 \omega _ { 0 } } \right] } \\ { \tilde { \rho } _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { 2 \omega _ { 0 } k _ { 0 } - k _ { 0 } ^ { 2 } c _ { g } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) } { 2 \omega _ { 0 } } = \frac { k \mu _ { g } } { 4 \sigma } } \\ { h ^ { 2 } \omega _ { 0 } \chi _ { 1 } } & { = } & { 3 \kappa ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 4 } - 1 } { 8 \sigma ^ { 2 } } } \\ { h \omega _ { 0 } \chi _ { 2 } } & { = } & { \left( \kappa \frac { - \sigma ^ { 3 } + 3 } { \sigma } + 1 \right) \frac { h ^ { 2 } \omega _ { 0 } \chi _ { 1 } } { \kappa } + \frac { 3 \kappa ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( 3 \sigma ^ { 2 } + 1 ) } { 1 6 \sigma } + 9 \kappa \frac { 1 - \sigma ^ { 4 } } { 1 6 \sigma ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial q _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \theta } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { j } } } & { = 0 . } \end{array}
Z = \operatorname * { l i m } _ { \delta \to 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \lambda } { 2 \pi } } e ^ { - i \lambda Q } \sum _ { l _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { l _ { N + 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp { \left\{ { - i T \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N + 1 } c _ { \alpha } l _ { \alpha } + i \left( \lambda + i \delta \right) \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N + 1 } l _ { \alpha } } \right\} } \ ,
| \Psi \rangle = \prod _ { j } ( c _ { j g a } | g _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j e a } | e _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j g b } | g _ { j } , b _ { j } \rangle + c _ { j e b } | e _ { j } , b _ { j } \rangle )
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { C } + \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \left( \tilde { \mathbf { D } } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \tilde { \mathbf { D } } ^ { - 1 } \right) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { \leq \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ) ^ { 2 } , } \\ { \| \mathbb { E } \left[ Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) - \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) | x _ { t - 1 } \right] \| _ { 2 } } & { \leq \beta _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ) , } \end{array}
{ \frac { x } { \log x } } \left( 1 + { \frac { 1 } { \log x } } \right) < \pi ( x ) < { \frac { x } { \log x } } \left( 1 + { \frac { 1 } { \log x } } + { \frac { 2 . 5 1 } { ( \log x ) ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mu _ { p q } ^ { ( r ) } = } & { { } - \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } \medspace c ^ { p } w ^ { q } ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { w } ) ^ { r } \mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } [ \phi , \phi ] } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } \int _ { + } \mathrm { d } \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \medspace ( \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot \widehat { \boldsymbol { \sigma } } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Lambda ^ { - 1 } ) ^ { \sigma } _ { \rho } } & { = \eta ^ { \sigma \nu } ( \Lambda ^ { T } ) _ { \nu } ^ { \mu } \eta _ { \mu \rho } } \\ & { = \eta ^ { \sigma \nu } ( \Lambda ^ { T } ) _ { \nu } ^ { \mu } \eta _ { \mu \rho } } \\ & { = \eta ^ { \nu \sigma } \eta _ { \rho \mu } ( \Lambda ) ^ { \mu } _ { \nu } } \\ & { = \Lambda _ { \rho } ^ { \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ^ { \mathrm { C N N } } [ \widetilde { F } , \{ \theta _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N } , \{ \{ V _ { n , t } \} _ { t = 1 } ^ { B } \} _ { n = 1 } ^ { N } ] } \\ & { \qquad \qquad : = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { x _ { 0 } \sim \mathcal { D } _ { n } } \! \left[ \mathcal { L } _ { n , \mathrm { h i d d e n } } ^ { \mathrm { C N N } } [ \widetilde { F } , \theta _ { n } , \{ V _ { n , t } \} _ { t = 1 } ^ { B } ] + \lambda \, \mathcal { L } _ { n , \mathrm { o u t p u t } } ^ { \mathrm { C N N } } [ \widetilde { F } , \theta _ { n } ] \right] } \end{array}
K _ { M } = \left[ \frac { 2 q ^ { 2 } + 3 } { 3 } - \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] \left\{ \frac { 1 } { r _ { + } } \left[ \frac { 2 q ^ { 2 } + 3 } { 3 } + \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] + \frac { 2 q ^ { 2 } + 6 } { 2 q ^ { 2 } + 3 } \frac { r _ { - } ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] ^ { - 1 } \right\} ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { = \frac { H - z _ { 0 } } { 6 D ( 1 + q H ) ( 1 + q z _ { 0 } ) } \biggl [ 3 ( H + z _ { 0 } ) + q ( H + z _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 q H z _ { 0 } + q ^ { 2 } H z _ { 0 } ( H + z _ { 0 } ) \biggr ] , } \\ { \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { = \frac { 2 H ^ { 2 } + 2 H z _ { 0 } + 2 H ^ { 2 } q z _ { 0 } - z _ { 0 } ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } q H } { 6 D ( 1 + q H ) } , } \end{array}