harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { n _ { o r } } \\ { n _ { i n t , x } } \\ { n _ { i n t , y } } \\ { n _ { i n t , z } } \\ { n _ { e x t } } \end{array} \right] = n _ { 0 } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \Delta c _ { x } ^ { \prime } / \Delta v } \\ { \Delta c _ { y } ^ { \prime } / \Delta v } \\ { \Delta c _ { z } ^ { \prime } / \Delta v } \\ { \left( ( \Delta c _ { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \Delta c _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \Delta c _ { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) / ( \Delta v ) ^ { 2 } . } \end{array} \right]
i \, \Gamma _ { 0 , 0 } ^ { \, \infty , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) : = - c _ { 1 } ^ { \, R } \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma _ { l , 2 l } ^ { \, \infty , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) = 0 \, , \, \Gamma _ { l , 2 l - 1 } ^ { \, \infty , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) = 0 \, , \, \partial _ { \mu } \, \partial _ { \nu } \, \Gamma _ { l , 2 l - 1 } ^ { \, \infty , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) = 0 \quad \mathrm { f o r } \quad l > 0 \ ,
\mathbf E _ { 0 } = \frac { E _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \left[ \left( \mathbf { \check { x } } + i \mathbf { \check { y } } \right) e ^ { i k _ { 0 } z } + \left( \mathbf { \check { x } } - i \mathbf { \check { y } } \right) e ^ { - i k _ { 0 } z } \right] .
\begin{array} { r l r } { E _ { i } ^ { k l } \, \rho _ { k } ^ { 2 } } & { { } \ge } & { \frac { 4 \pi \, k T } { m _ { k } } \, \left( \frac { 3 \, k T \, Q ^ { k l } } { \epsilon _ { f } ^ { k l } - 3 \, k T \, Q ^ { k l } } \right) ^ { 3 } \, H _ { k l } ^ { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \frac { d _ { 5 } \log ( x ) } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } - \frac { d _ { 4 } \left( \kappa _ { 3 } ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \right) \log \left( x z _ { 2 } + z _ { 1 } \right) } { d _ { 1 } } } \\ & { - \frac { - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } d _ { 3 } ^ { 2 } \log \left( \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) - x d _ { 2 } z _ { 2 } \right) } { d _ { 1 } d _ { 2 } \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } . } \end{array}
\Delta t ^ { v } = \frac { 1 } { \alpha } \operatorname* { m i n } \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { \hat { \nu } } , \frac { \Delta y ^ { 2 } } { \hat { \nu } } , \frac { \Delta z ^ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ,
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { y } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \sigma ( t ^ { \prime } , t ) } & { { } = \frac { 3 } { 2 } J ^ { 2 } G ( t ^ { \prime } , t ) ^ { 3 } ~ , } \\ { \kappa ( t ^ { \prime } , t ) } & { { } = - 3 J ^ { 2 } R ( t , t ^ { \prime } ) G ( t ^ { \prime } , t ) ^ { 2 } ~ , } \\ { \Sigma ( t ^ { \prime } , t ) } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } J ^ { 2 } G ( t ^ { \prime } , t ) \Big [ 2 R ( t ^ { \prime } , t ) R ( t , t ^ { \prime } ) - 3 G ( t ^ { \prime } , t ) g ( t ^ { \prime } , t ) \Big ] ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \mathbb E } _ { \mu _ { n } } \left[ \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } P _ { t } ^ { n } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal X } _ { 0 } ^ { n } - \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } S _ { t } ^ { \sigma } f \, \mathrm { \normalfont ~ d } \ensuremath { \mathcal X } _ { 0 } ^ { n } \right| \right] = 0 . } \end{array}
{ N _ { P } } ( u ) = 2 5 6 \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \left( { 3 + \cos \left[ u \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } + 3 2 \left( { 3 + 2 \cos \left[ u \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \sin { \left[ u \right] ^ { 2 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } ,
L _ { c } ( t , N 1 ( \mathbf { x } ) ) = \left( r ( t , N 1 ( \mathbf { x } ) ) - 1 \right) ^ { 2 } = \left( \frac { m \sigma } { A \rho N 1 ( \mathbf { x } ) } \log \left( 1 + \sigma \frac { A \rho N 1 ( \mathbf { x } ) } { m } ( v - w ) t + w t \right) + r _ { 0 } - 1 \right) ^ { 2 } ,
\theta _ { i } ( \tau ) = - \frac { 1 } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \tau } \textbf { F } ( \tau ^ { \prime } ) \cdot \textbf { b } _ { i } \, d \tau ^ { \prime } = - [ K _ { x } \sin ( \omega \tau ) \hat { x } + K _ { y } \sin ( \omega \tau + \varphi ) \hat { y } ] \cdot \textbf { b } _ { i } / b
p _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ s ~ t ~ e ~ l ~ l ~ a ~ r ~ } } = 4 . 4 \times 1 0 ^ { - 6 } \, p _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ e ~ d ~ } } \, \frac { \kappa ^ { 9 / 8 } \alpha ^ { 3 6 1 / 2 4 } } { \lambda ^ { 3 3 / 1 6 0 } \, \beta ^ { 7 / 4 } \, \gamma ^ { 5 1 / 1 6 } }
\begin{array} { r l r l } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \Delta _ { i j } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) ] _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = [ \mathbf { 1 } - \Delta ] _ { i j } \dag , . } \end{array}
\zeta = { \frac { \alpha } { \sigma _ { 0 } } } \; \int _ { K } ^ { F _ { 0 } } { \frac { d x } { C ( x ) } } = { \frac { \alpha } { \sigma _ { 0 } ( 1 - \beta ) } } \; \left( F _ { 0 } { } ^ { 1 - \beta } - K ^ { 1 - \beta } \right) ,
\begin{array} { r l } & { f _ { X } ( x , t \vert x _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { x - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { f _ { Y } ( y , t \vert y _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { y - y _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { f _ { Z } ( z , t \vert z _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z - z _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { p = } & { \, \left( D ( ( I d \times \phi ) \circ F ) \right) ^ { T } \cdot \left( \begin{array} { l } { P _ { r } } \\ { \eta } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \partial r } { \partial q } } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial q } } \end{array} \right) ^ { T } \cdot \left( \begin{array} { l } { P _ { r } } \\ { \eta } \end{array} \right) } \\ { = } & { \, \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial r } { \partial q } ^ { T } } & { \frac { \partial \phi } { \partial q } ^ { T } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { P _ { r } } \\ { \eta } \end{array} \right) = P _ { r } \frac { \partial r } { \partial q } ^ { T } + \frac { \partial \phi } { \partial q } ^ { T } \cdot \eta . } \end{array}
{ \displaystyle \int } { \cal D } y \, \mathrm { e x p } \Bigl [ - \int _ { 0 } ^ { T } d \tau { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { y } } ^ { 2 } \Bigr ] = \mathrm { D e t ^ { \prime } } _ { P } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \bigl [ - { \partial } _ { \tau } ^ { 2 } \bigr ] = { \lbrack 4 \pi T \rbrack } ^ { - { \frac { D } { 2 } } } \,
0 \to \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \alpha } } \cdot \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { A } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \alpha } } \odot \underline { { \beta } } } \to 0 .
k ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) = \exp { \left( - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \theta _ { l } } \left( \mathbf { x } _ { i } ^ { ( l ) } - \mathbf { x } _ { j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } \right) } ,
R _ { k } ^ { a } ( p ) = \int \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \Bigg ( \frac { 2 \pi \delta ( ( p + l ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } { e ^ { \beta | p _ { 0 } + l _ { 0 } | } - 1 } \Bigg ) \Bigg ( \frac { - i g ^ { k } } { ( 3 2 \pi ^ { 2 } ) ^ { k - 1 } } ( \log ( - l ^ { 2 } ) ) ^ { k - 1 } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } & { \langle f ( P ) , M \rangle = \mathrm { T r } ( f ( P ) M ) } \\ { = } & { \mathrm { T r } ( \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( \bar { A } ^ { \prime } P _ { 0 } \bar { A } + A ^ { \prime } P _ { i } A ) M _ { i - 1 } + ( \bar { A } - \bar { B } K ) ^ { \prime } P _ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K ) M _ { d } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ( A - B K ) ^ { \prime } P _ { d } ( A - B K ) M _ { d } ) } \\ { = } & { \mathrm { T r } ( \sum _ { i = 1 } ^ { d } [ P _ { 0 } ( \bar { A } ^ { \prime } M _ { i - 1 } \bar { A } ) + P _ { i } ( A ^ { \prime } M _ { i - 1 } A ) ] + P _ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K ) M _ { d } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \times ( \bar { A } - \bar { B } K ) ^ { \prime } + P _ { d } ( A - B K ) M _ { d } ( A - B K ) ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \langle P , g ( M ) \rangle , } \end{array}
\left| L ( u , \psi _ { u } ) - L ( \widetilde { u } , \psi _ { \widetilde { u } } ) \right| < \varepsilon , \quad u = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \chi _ { D _ { k } } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \widetilde { u } = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \chi _ { \widetilde { D } _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i , B } } ( \theta ) = \: } & { { } \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t . } \end{array}
q ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) = r _ { 1 } ^ { 6 } + 2 ( r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } - 6 ( r _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 3 } + 3 r _ { 2 } ^ { 6 }
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { H } } = - { \frac { g m _ { H } ^ { 2 } } { 4 m _ { W } } } H ^ { 3 } - { \frac { g ^ { 2 } m _ { H } ^ { 2 } } { 3 2 m _ { W } ^ { 2 } } } H ^ { 4 } ~ .
\begin{array} { r l } { E ( t ) \ } & { \leq \ \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 } \frac { C \left( \frac { l t ^ { \alpha - \gamma + l - 3 } } { \alpha - \gamma + l - 3 } + \frac { \left( 2 + C _ { 1 } \right) t ^ { \alpha - \gamma - 1 } } { \alpha - \gamma - 1 } - \frac { \gamma \beta t ^ { \alpha - \gamma - 2 } } { \alpha - \gamma - 2 } \right) - C _ { 2 } } { C t ^ { \alpha - \gamma + 1 } } + \frac { C t _ { 1 } ^ { \alpha - \gamma + 1 } E ( t _ { 1 } ) } { C t ^ { \alpha - \gamma + 1 } } } \\ & { = \ \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 } \frac { \frac { l t ^ { \alpha - \gamma + l - 3 } } { \alpha - \gamma + l - 3 } + \frac { \left( 2 + C _ { 1 } \right) t ^ { \alpha - \gamma - 1 } } { \alpha - \gamma - 1 } - \frac { \gamma \beta t ^ { \alpha - \gamma - 2 } } { \alpha - \gamma - 2 } } { t ^ { \alpha - \gamma + 1 } } + \frac { C _ { 3 } } { t ^ { \alpha - \gamma + 1 } } } \\ & { = \ \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { l t ^ { l - 4 } } { \alpha - \gamma + l - 3 } + \frac { \left( 2 + C _ { 1 } \right) t ^ { - 2 } } { \alpha - \gamma - 1 } - \frac { \gamma \beta t ^ { - 3 } } { \alpha - \gamma - 2 } \right) + \frac { C _ { 3 } } { t ^ { \alpha - \gamma + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { A ^ { T } A ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { T } P _ { c } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { T } ( I - \frac { c c ^ { T } } { \| c \| ^ { 2 } } ) ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } } \\ { \geq } & { - \frac { \| c \| ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z _ { i } + [ i \in \mathcal O _ { 0 } ] - E _ { i } + C _ { i } } \\ { \equiv } & { [ r _ { i } = 2 , 3 ] + [ i \in \mathcal S , \lambda _ { i } \mathrm { ~ i s ~ o d d } ] + [ i \in \mathcal S , \lambda _ { i } \mathrm { ~ i s ~ e v e n } ] + [ i \in \mathcal S ] \pmod 2 } \\ { \equiv } & { [ r _ { i } = 2 , 3 ] \pmod 2 . } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) = \frac { 1 } { 2 } | k | ^ { \mu } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) \; .
i \frac { \partial } { \partial t } \Phi ( 1 , \cdots , N ; t ) = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \left\{ \partial _ { i } ^ { ( p ) } + { \cal A } _ { i } ^ { a } ( { \bf r } _ { p } ; 1 , \cdots , p - 1 , p + 1 , \cdots , N ) T _ { ( p ) } ^ { a } \right\} ^ { 2 } \Phi ( 1 , \cdots , N ; t ) .
\operatorname* { m a x } \frac { E _ { \mathrm { b a c k } } } { E _ { \mathrm { f r o n t } } } \approx \sqrt { \frac { \sqrt { 1 + ( 4 z _ { \mathrm { R } } / L ) ^ { 2 } } + 1 } { \sqrt { 1 + ( 4 z _ { \mathrm { R } } / L ) ^ { 2 } } - 1 } } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 7 } = t r ( S _ { i j } ^ { 2 } W _ { i j } ^ { 2 } S _ { i j } W _ { i j } ) } & { { } = \frac 1 8 w _ { 1 } w _ { 2 } w _ { 3 } \left( e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 2 } - e _ { 1 } ^ { 2 } e _ { 3 } - e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } + e _ { 1 } e _ { 3 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } e _ { 3 } - e _ { 2 } e _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
D _ { i } = P _ { L } ^ { * } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { A _ { i } } } & { { 0 } } \\ { { A _ { i } ^ { \prime } } } & { { 0 } } & { { B _ { i } } } \\ { { 0 } } & { { B _ { i } ^ { \prime } } } & { { C _ { i } } } \end{array} \right) P _ { R } = P _ { L } ^ { * } R _ { i } P _ { R } \ ,
e ^ { ( S ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \, t } \mathrm { e r f } ( S \sqrt t ) = 2 S \sqrt { \frac t \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \, e ^ { - ( M ^ { 2 } + ( \xi ^ { 2 } - 1 ) S ^ { 2 } ) \, t } \, .
\begin{array} { l l } { { I ^ { 2 } = J ^ { 2 } = K ^ { 2 } = - 1 , \, \, \, } } & { { I J = - J I = K \, \, \, \, \, \, \& \, \, \mathrm { c y c l i c } \, \, \mathrm { p e r m u t a t i o n s } . } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { f a r } } } \\ { V _ { \mathrm { f a r } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left( \begin{array} { l l l } { f _ { j m } } & & { - g _ { j m } } \\ { - g _ { j m } } & & { f _ { j m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \end{array} \right) .
\frac { \partial } { \partial t } ( \rho h ) + \boldsymbol { \nabla \cdot } ( \rho h \boldsymbol { u } ) = \boldsymbol { \nabla \cdot } \bigg ( \frac { \lambda } { c _ { p } } \boldsymbol { \nabla } h \bigg ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N = 2 } \boldsymbol { \nabla \cdot } \Bigg ( \bigg [ \rho D _ { m } - \frac { \lambda } { c _ { p } } \bigg ] h _ { i } \boldsymbol { \nabla } Y _ { i } \Bigg )
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , \epsilon } } & { = \iiint _ { Q _ { r } } u _ { \epsilon } ( v , x , t ) \mathcal { T } ( ( u - 2 k ) _ { \epsilon } \varphi ^ { p } ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = - \iiint _ { Q _ { r } } \mathcal { T } ( u - 2 k ) _ { \epsilon } ( v , x , t ) ( ( u - 2 k ) _ { \epsilon } \varphi ^ { p } ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq c \iiint _ { Q _ { r } } ( u - 2 k ) _ { \epsilon } ^ { 2 } \, \varphi ^ { p - 1 } \, \lvert \mathcal { T } \varphi \rvert ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \xrightarrow { \epsilon \to 0 ^ { + } } c \iiint _ { Q _ { r } } ( u - 2 k ) ^ { 2 } \varphi ^ { p - 1 } \lvert \mathcal { T } \varphi \rvert ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t \leq c r ^ { - s p } \lvert Q _ { r } \rvert k ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 : \ell } ) \right| \leq } & { \sigma _ { j _ { m } } ^ { \nu - \ell } | c _ { \ell } | \left[ \overset { \ell } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } \lambda _ { k } ) | \sqrt { f _ { X } ( \lambda _ { k } ) } \right] | \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { 1 : \ell } ^ { + } ) | . } \end{array}
\mathcal { T } _ { 0 } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 1 } { s _ { N } } } & { } & { } & { } & { } & { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { - \i \alpha L } } \\ { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { \i \alpha L } } & { } & { } & { } & { } & { - \frac { 1 } { s _ { N } } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { I } ( X ; Y ) } & { = \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } { p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \log \left( { \frac { p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) } { p _ { X } ( x ) \, p _ { Y } ( y ) } } \right) } } \\ & { = \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p _ { X \mid Y = y } ( x ) p _ { Y } ( y ) \log { \frac { p _ { X \mid Y = y } ( x ) p _ { Y } ( y ) } { p _ { X } ( x ) p _ { Y } ( y ) } } } \\ & { = \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } p _ { Y } ( y ) \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p _ { X \mid Y = y } ( x ) \log { \frac { p _ { X \mid Y = y } ( x ) } { p _ { X } ( x ) } } } \\ & { = \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } p _ { Y } ( y ) \; D _ { \mathrm { K L } } \! \left( p _ { X \mid Y = y } \parallel p _ { X } \right) } \\ & { = \mathbb { E } _ { Y } \left[ D _ { \mathrm { K L } } \! \left( p _ { X \mid Y } \parallel p _ { X } \right) \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { w ^ { n | 2 } = \frac { \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } } { \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , 2 } } w ^ { 2 | 2 } \mathrm { ~ w i t h ~ } \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } = \sum _ { n ^ { \prime } = 2 } ^ { + \infty } \frac { b _ { 0 n n ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \sqrt { 2 n ^ { \prime } + 3 } b _ { 1 1 n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } - \sqrt { 2 n ^ { \prime } } b _ { 1 1 , n ^ { \prime } - 1 } ^ { ( 1 ) } ) } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } , } \\ & { w _ { i j k } ^ { n | 2 } = \frac { \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } } { \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , 0 } } w _ { i j k } ^ { 0 | 2 } \mathrm { ~ w i t h ~ } \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } = \frac { 3 } { 7 } \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } \frac { b _ { 3 n n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } { b _ { 2 0 0 } ^ { ( 0 ) } } \left( \sqrt { 2 n ^ { \prime } + 7 } b _ { 2 0 n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } - \sqrt { 2 ( n ^ { \prime } + 1 ) } b _ { 2 0 , n ^ { \prime } + 1 } ^ { ( 0 ) } \right) . } \end{array}
\frac { h _ { n } ^ { k + 1 } - h _ { n } ^ { \mathrm { t m p } } } { \Delta t } + \frac { 1 } { r _ { n } } \frac { r _ { n + 1 } h _ { n + 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n + 1 } ^ { k + 1 } - r _ { n - 1 } h _ { n - 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n - 1 } ^ { k + 1 } } { 2 \Delta r } = 0 .
m _ { i } ^ { t } = m _ { i } ^ { t - 1 } + \left( 1 - m _ { i } ^ { t - 1 } \right) \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t - 1 } \right) e ^ { \sum _ { j \in \partial i } m _ { j \setminus i } ^ { t - 1 } { \nu } _ { j i } ^ { t - 1 } } \right] .
\ m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } \beta ^ { 2 - D } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } f ( D , k ) \left( m ( \beta ) \beta \right) ^ { 2 k } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \frac { \tau ^ { D - 3 - 2 k } } { e ^ { \tau } - 1 } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + u \cdot \nabla u + \nabla p = f } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { u _ { r } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \mathbb { H } , } \\ { u ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { H } , } \\ { \partial _ { r } ( r u _ { r } ) + \partial _ { z } ( r u _ { z } ) = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\Bar W _ { i j } ^ { n + 1 } = \Bar W _ { i j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x \Delta y } ( \Hat F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } - \Hat F _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ) - \frac { \Delta t } { \Delta x \Delta y } ( \Hat G _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } - \Hat G _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | \frac { L I S ( \sigma ) } { \sqrt { n } } - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | } \\ & { \leq } & { 2 \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T } \rho _ { \theta } \Big ( \frac { l } { 2 T } , \frac { l } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \frac { 1 } { 2 T } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | } \\ & { } & { + \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | \Big \} } \\ & { } & { + \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | \Big \} } \\ & { } & { + C ^ { \prime } ( T ^ { - 1 \slash 2 } + \epsilon K _ { 0 } + K _ { 0 } ^ { - 1 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
f _ { o , c \_ n } ( y , t ) = \sum _ { n } { U _ { o , c \_ n } ( y ) G _ { o , c \_ n } ( y ) M _ { Q \_ n } A _ { n } e ^ { i \omega _ { n } t } e ^ { i \left( \Delta \varphi _ { n } ( y ) - \delta \phi _ { o , c \_ n } - \delta \phi _ { Q \_ n } \right) } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial r _ { + } } \bigg ) _ { Q , l _ { 0 } } = \frac { r _ { + } } { 4 l ^ { 2 } } + \frac { l _ { 0 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } \ln ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 4 r _ { + } ^ { 3 } } - \frac { Q ^ { 2 } ( r _ { + } ^ { 2 } - l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 4 r _ { + } ^ { 3 } } , } \\ & { } & { \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial Q } \bigg ) _ { r _ { + } , l _ { 0 } } = - \frac { ( l _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } ) Q \ln ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 4 \, r _ { + } ^ { 2 } } = \phi _ { e } , } \\ & { } & { \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial l _ { 0 } } \bigg ) _ { r _ { + } , Q } = \frac { l _ { 0 } } { 4 l ^ { 2 } } - \frac { Q ^ { 2 } l _ { 0 } } { 4 r _ { + } ^ { 2 } } - \frac { l _ { 0 } Q ^ { 2 } \ln ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 4 r _ { + } ^ { 2 } } = \psi _ { l _ { 0 } } , } \end{array}
v ^ { 3 } = \frac { d \alpha ^ { 3 } } { d \alpha ^ { 0 } } = \frac { d \overline { { \alpha } } ^ { 3 } / d \overline { { \alpha } } ^ { 0 } } { \lambda _ { u } ( 1 + u \mathrm { ~ } d \overline { { \alpha } } ^ { 1 } / d \overline { { \alpha } } ^ { 0 } ) } = \frac { \overline { { v } } ^ { 3 } } { \lambda _ { u } ( 1 + u \overline { { v } } ^ { 1 } ) } .
y ( \phi ^ { 3 } \phi ^ { \prime } ) ^ { \prime } + n \phi ^ { 3 } \phi ^ { \prime } + \frac { 3 \alpha + 1 } { 3 n + 5 } y ^ { 2 } \phi ^ { \prime } - \frac { 2 \alpha - n - 1 } { 3 n + 5 } y \phi = 0 ,