harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \ell \to \infty } \rho _ { \ell - 1 } ( 0 ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \ell \to \infty } \frac { t _ { \ell } ( 1 ) - t _ { \ell } ( 0 ) } { t _ { \ell } ( 2 ) - t _ { \ell } ( 0 ) } = \operatorname* { l i m } _ { \ell \to \infty } \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 ^ { \ell } } \right) } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 2 } { 2 ^ { \ell } } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { \ell \to \infty } \frac { \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 ^ { \ell } } \right) ^ { 2 } } { \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 2 } { 2 ^ { \ell } } \right) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } } \end{array}
X _ { H } = \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } - \left( \frac { \partial H } { \partial q ^ { i } } + p _ { i } \frac { \partial H } { \partial z } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { i } } + \left( p _ { i } \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } - H \right) \frac { \partial } { \partial z } .
\left\| \sum _ { q _ { 0 , j } \cap q _ { 0 , i } \neq \emptyset } \nabla \varphi _ { 0 , j } \odot ( w _ { 0 , j } - w _ { 0 , i } ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , i } ) } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { q _ { 0 , j } \cap q _ { 0 , i } \neq \emptyset } \frac { 1 } { \delta ^ { 2 } } \| w _ { 0 , j } - w _ { 0 , i } \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , j } \cap q _ { 0 , i } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { 0 } ) ^ { ( m ) } \equiv \, } & { { } ( - 2 \rho ) ^ { m } \frac { 2 \pi ^ { 5 / 2 } } { \zeta _ { p } \zeta _ { c } \sqrt { \zeta _ { p } + \zeta _ { c } } } F _ { m } ( \rho | \mathbf { R } _ { p } - \mathbf { R } _ { c } | ^ { 2 } ) , } \\ { F _ { m } ( x ) \equiv \, } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } y \, y ^ { 2 m } \exp ( - x y ^ { 2 } ) , } \\ { \rho \equiv \, } & { { } \frac { \zeta _ { p } \zeta _ { c } } { \zeta _ { p } + \zeta _ { c } } . } \end{array}
M _ { \mathrm { n u c } } ^ { ( \ell m ) } = \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { \mathrm { a t } } } Z _ { \alpha } R _ { \alpha } ^ { \ell } X _ { \ell m } ( \hat { R } _ { \alpha } ) .
\oint _ { C } { \frac { \mathrm { D } { \boldsymbol { u } } } { \mathrm { D } t } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } = \int _ { A } { \boldsymbol { \nabla } } \times \left( - { \frac { 1 } { \rho } } { \boldsymbol { \nabla } } p + { \boldsymbol { \nabla } } \Phi \right) \cdot { \boldsymbol { n } } \, \mathrm { d } S = \int _ { A } { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } \left( { \boldsymbol { \nabla } } \rho \times { \boldsymbol { \nabla } } p \right) \cdot { \boldsymbol { n } } \, \mathrm { d } S = 0 .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { K } = } & { { } \left( \begin{array} { c c } { X _ { 1 } + Z } & { - Z } \\ { - Z } & { X _ { 2 } + Z } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { M } = } & { { } \left( \begin{array} { c c } { X _ { 1 } + Z - Y _ { 1 } ^ { 2 } } & { - Z } \\ { - Z } & { X _ { 2 } + Z - Y _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { S ^ { \dagger } \frac { d e ^ { A } } { d a } S = e ^ { D } \frac { d D } { d a } + S ^ { \dagger } \frac { d S } { d a } e ^ { D } + e ^ { D } \frac { d S ^ { \dagger } } { d a } S . } \end{array}
d { \cal Q } _ { \sigma } / d t = [ - \nabla \cdot { \bf q } _ { \sigma } - ( { \bf P } _ { \sigma } \cdot \nabla ) \cdot { \bf u } _ { \sigma } + { \cal P } _ { \sigma } ( \nabla \cdot { \bf u } _ { \sigma } ) ] / n _ { \sigma }
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } H _ { y } \right) \right| _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \partial _ { z } H _ { \mathrm { ~ i ~ } , y } + \partial _ { z } H _ { \mathrm { ~ r ~ } , y } + \partial _ { z } H _ { \mathrm { ~ t ~ } , y } \right) \right| _ { z = 0 } } \end{array}
\cdot \frac { 1 } { \exp [ \beta ( \omega _ { l } - \mu ) ] + 1 } + ( p ^ { 0 } \to - p ^ { 0 } , \mu \to - \mu ) \} , \ \omega _ { l } = { ( { \stackrel { \rightharpoonup } { l } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { R ^ { 2 } = \frac { \mathrm { ~ E ~ x ~ p ~ l ~ a ~ i ~ n ~ e ~ d ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } { \mathrm { ~ R ~ e ~ s ~ i ~ d ~ u ~ a ~ l ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } + \mathrm { ~ E ~ x ~ p ~ l ~ a ~ i ~ n ~ e ~ d ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } = \frac { \frac { 1 } { n _ { c } - 1 } \sum _ { c } \hat { Y } _ { c } ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { c } - 1 } \sum _ { c } \hat { Y } _ { c } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E 1 _ { P V } = \frac { \langle \Psi _ { f } | D | \Psi _ { i } \rangle } { \sqrt { \langle \Psi _ { f } | \Psi _ { f } \rangle \langle \Psi _ { i } | \Psi _ { i } \rangle } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 4 B } ( H _ { \theta } ( K \cap 2 B , M , [ r , R ] ) ) } & { = H _ { \theta } ( B ( \frac { 1 } { 2 } ) \cap T _ { 4 B } ( K ) , M , \left[ \frac { r } { 4 R } , \frac { 1 } { 4 } \right] ) } \\ & { \subset B ( 1 ) \cap H _ { \theta } ( T _ { 4 B } ( K ) , M , \left[ \frac { r } { 4 R } , 1 \right] ) , } \end{array}
N \to \infty \ , \quad \mathrm { ~ g _ { \mathrm { ~ s } } ~ , ~ \ a l p h a ^ { \prime } ~ , a n d ~ s ~ f i x e d \ , } \quad R = ( 4 \pi \alpha ^ { 2 } g _ { \mathrm { s } } N ) ^ { 1 / 4 } \ , \quad \omega = \frac { 1 } { 2 } R s ^ { 1 / 2 } \ .
\begin{array} { r l } { H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) = } & { q _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \alpha } ) H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( q _ { 1 } e ^ { i \alpha } , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) d \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { F } \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = \left( \begin{array} { l } { \mathsf { F } _ { \mathrm { K i r } } } \\ { \mathsf { F } _ { T } } \\ { \mathsf { F } _ { R } } \\ { \mathsf { F } _ { G } } \end{array} \right) \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert { \vec { v } } \right\rvert _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } : = { \left\lVert { \vec { v } } \right\rVert } _ { H _ { 0 ; 0 , } ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } } & { : = { \left\lVert { \vec { v } } \right\rVert } _ { H _ { 0 ; , 0 } ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } } \\ & { : = \left( \int _ { 0 } ^ { T } { \left\lVert { \partial _ { t } \vec { v } ( t , \cdot ) } \right\rVert } _ { { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ) } } ^ { 2 } \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left\lvert { \vec { v } ( t , \cdot ) } \right\rvert _ { H _ { 0 , \mu } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) } ^ { 2 } \mathrm d t \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 0 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = - \delta _ { p , j } W _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { i , q } \delta ( p > m - n ) W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { i , q } \delta ( p \leq m - n ) \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { p , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \delta ( p \leq m - n ) \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } + \delta ( p \leq m - n , q > m - n ) ( W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { P r o b } \left( \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \operatorname { P r o b } _ { i } \left( \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) . } \end{array}
{ \displaystyle \varrho _ { \mathrm { 0 } } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \varrho \in \mathrm { C } } \left\{ F _ { \mathrm { K S } } [ \varrho ] + 2 \mathrm { t r } [ v _ { \mathrm { e x t } } \varrho ] \right\} } .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } c _ { 3 } - c _ { 2 } c _ { 4 } } & { = C _ { 1 } C _ { 3 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 3 } - C _ { 2 } C _ { 4 } \gamma _ { 2 } \gamma _ { 4 } } \\ & { = ( 1 - \bar { y } ^ { 2 } ) [ ( 1 + x ^ { 2 } + 2 x ) C _ { 1 } C _ { 3 } - ( 1 + x ^ { 2 } - 2 x ) C _ { 2 } C _ { 4 } ] } \\ & { = 2 x ( 1 - \bar { y } ^ { 2 } ) [ ( \kappa + 1 ) C _ { 1 } C _ { 3 } - ( \kappa - 1 ) C _ { 2 } C _ { 4 } ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \Delta } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | \Delta ^ { * } - \Delta _ { \alpha } | , W _ { U } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | U _ { f c } ^ { * } - U _ { \alpha } | , } \end{array}
\Lambda ( { \boldsymbol { \zeta } } , { \boldsymbol { \theta } } ) = \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \alpha \beta } M ^ { \alpha \beta } \right) = \exp \left( { \boldsymbol { \zeta } } \cdot \mathbf { K } + { \boldsymbol { \theta } } \cdot \mathbf { J } \right)
\langle 0 | \varphi _ { \mathrm { i n } } ( x ) | p \rangle = \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 2 \omega _ { q } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } e ^ { - i q \cdot x } \langle 0 | a _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { q } ) | p \rangle = \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } e ^ { - i q \cdot x } \langle 0 | a _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { q } ) a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } } & { ( \vec { N } ; N ; \vec { p } ) = } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } P ( \underbrace { Z _ { 1 } \leq z _ { I } , \dotsc } _ { N _ { 1 } } , \underbrace { z _ { I } < Z _ { i } \leq z _ { I I } , \dotsc , } _ { N _ { 2 } } \underbrace { Z _ { i + k + 1 } > z _ { I I } , \dotsc , Z _ { N } > z _ { I I } } _ { N _ { 3 } } ) . } \end{array}
\sum _ { m } \mathsf { A } _ { n } ( \mathsf { v } _ { n m } T _ { m } ) - \sum _ { j , m , q } \mathsf { B } _ { n - q } ( \mathsf { v } _ { q m } T _ { m } , \mathsf { v } _ { ( n - q ) j } T _ { j } ) + \mathsf { f } _ { n } = 0 , \quad n = 0 , \ldots , N _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { T r } \left[ \hat { \rho } _ { \mathrm { s r c } } ( t _ { 0 } ) \hat { F } ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ) \hat { F } ( { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \right] \equiv } \\ & { f ( { \bf r } _ { 1 } ) f ( { \bf r } _ { 2 } ) e ^ { - i \omega _ { 0 } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \langle \hat { a } \hat { a } \rangle + f ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 1 } ) f ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) e ^ { + i \omega _ { 0 } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ^ { \dagger } \rangle } \\ & { + f ( { \bf r } _ { 1 } ) f ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) e ^ { - i \omega _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } \langle \hat { a } \hat { a } ^ { \dagger } \rangle + f ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 1 } ) f ( { \bf r } _ { 2 } ) e ^ { + i \omega _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } \langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ B ~ F ~ P ~ } } ( y , z ) } & { { } = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } \right) \ensuremath { \circledast } \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} \cdot \exp \left( - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i } ( u ) } & { = - y _ { i } \log ( \sigma ( u ) ) - ( 1 - y _ { i } ) \log ( 1 - \sigma ( u ) ) } \\ & { = - y _ { i } \log ( \frac { e ^ { u } } { 1 + e ^ { u } } ) - ( 1 - y _ { i } ) \log ( \frac { 1 } { 1 + e ^ { u } } ) } \\ & { = - y _ { i } ( u - \log ( 1 + e ^ { u } ) ) + ( 1 - y _ { i } ) \log ( 1 + e ^ { u } ) } \\ & { = - y _ { i } u + \log ( 1 + e ^ { u } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! i \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ( t , z ) - \partial _ { t } \psi _ { s } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \right] = \epsilon _ { R } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 2 } \right] ^ { 2 } + \dots \; . } \end{array}
S \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { d } } \\ { { b } } & { { c } } \end{array} \right) ( \theta _ { 1 2 } ) ( \pi _ { a , b } ( \theta _ { 1 } ) \otimes \pi _ { b , c } ( \theta _ { 2 } ) ) \Delta ( g ) = ( \pi _ { a , d } ( \theta _ { 2 } ) \otimes \pi _ { d , c } ( \theta _ { 1 } ) ) \Delta ( g ) S \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { d } } \\ { { b } } & { { c } } \end{array} \right) ( \theta _ { 1 2 } )
\Omega _ { i } ^ { \mathrm { T R T } } = \frac { 1 } { \bar { \tau } ^ { + } } \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q + } } - f _ { i } ^ { + } \right) + \frac { 1 } { \bar { \tau } ^ { - } } \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q - } } - f _ { i } ^ { - } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } ( x ) } & { { } = \textrm { s g n } ( x _ { 2 } ) \frac { x _ { 2 } } { 4 | x | \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | + x _ { 1 } \right) } } , } \\ { \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } ( x ) } & { { } = \frac { x _ { 2 } } { 4 | x | \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | - x _ { 1 } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { i } = } & { { } - \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } \left( \psi _ { , k } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t j } } - \psi _ { , j } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k } } \right) } \\ { = } & { { } \psi _ { , j } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k } } \epsilon _ { i j k } + 2 \psi _ { , j \kappa } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \kappa } } \epsilon _ { i j k } - \psi _ { , j } \partial _ { \chi } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \psi _ { , t k \chi } } \epsilon _ { i j k } . } \end{array}
\left( \frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } , \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } \right) = k \nu _ { o } \sin \theta \cos \theta ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) ( \cos \phi , \sin \phi ) , \quad \frac { \partial \omega } { \partial k _ { z } } = k \nu _ { o } \sin ^ { 4 } \theta .
\Delta m ^ { 2 } \sim - \frac { \lambda } { 2 \pi L } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, \ln \Bigl ( 1 - e ^ { - 2 \pi L \sqrt { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } / 4 \pi ^ { 2 } } } \Bigr ) = \frac { \lambda } { 4 \pi ^ { 2 } } m ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } d t } { \mathrm { e } ^ { m L t } - 1 } } \, .
\frac { \partial f _ { \mathrm { f r e e } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial \gamma } \left( \dot { \gamma } _ { \mathrm { a c c } } f _ { \mathrm { f r e e } } \right) + \frac { f _ { \mathrm { f r e e } } } { t _ { \mathrm { e s c } } } = f _ { \mathrm { i n j } } ,
A _ { N } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \prod _ { i = 2 } ^ { N - 2 } d \rho _ { i } \prod _ { i = 2 } ^ { N - 2 } \left( \rho _ { i } \right) ^ { K _ { 1 i } } \prod _ { 2 \le i < j \le N - 1 } \left( 1 - \rho _ { i } \cdot \cdot \cdot \rho _ { j - 1 } \right) ^ { K _ { i j } } ,
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \hat { f } ( t ) \right] } _ { \hat { F } } - \underbrace { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ f ^ { * } ( t ) \right] } _ { F ^ { * } } } \\ { \le } & { \frac { 1 } { V } \left( N _ { 1 } + N _ { 2 } + N _ { 3 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { D } R \partial _ { r } c ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { = } & { 0 , } \\ { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { B } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { = } & { - k _ { 2 } \Theta _ { u } c _ { I } ( R , \theta , t ) , } \\ { k _ { D } R \partial _ { r } c _ { I } ( r , \theta , t ) \mid _ { R } } & { = } & { ( k _ { 2 } \Theta _ { u } + k _ { 1 } ) c _ { I } ( R , \theta , t ) } \\ & { } & { + k _ { 1 } c _ { B } ( R , \theta , t ) - k _ { 1 } c _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { s i g } ^ { R F } [ \omega , P _ { p } ] = \frac { \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } / 4 } { ( \omega - \omega _ { p r } - \Omega ) ^ { 2 } + \Gamma _ { a S } ^ { 2 } / 4 } S _ { s i g } ^ { R F } [ 0 , 0 ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { ( \ell , s ) } \mathbb { E } \, E _ { \ell , s } ^ { 4 } \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 2 } \| \Omega _ { i } \| ^ { 2 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } \vee \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 3 } \| \Omega _ { i } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } \end{array}
Q _ { Y } = \frac { 1 } { 6 } Q _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } Q _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( Q _ { 8 B } + Q _ { 8 B } ^ { \prime } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( Q _ { 8 C } + Q _ { 8 C } ^ { \prime } \right)
{ \frac { 1 } { \sqrt { K ^ { 2 } [ H ( \omega ) ] ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } } } } b _ { \pm } = q ^ { \frac { 3 } { 2 } } a _ { \pm } { \frac { 1 } { \sqrt { K ^ { 2 } [ H ( \omega ) ] ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } } } } \ ,
\Delta \phi _ { k } \ge \frac { 1 } { n _ { \mathrm { p h o t } } \sqrt { F _ { k k } ^ { ( 1 ) } } } = \sqrt { \frac { 1 } { n _ { k } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } }
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle \rho _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ) + q ^ { i } \rho ^ { i } } & { = } & { g ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { i } ) ( a , \cdot ) - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { j } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle \rho ^ { i } ( \cdot , 0 ) } & { = } & { \rho ^ { 0 , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , n , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { \in H ^ { 0 } ( Y , - K _ { Y } ) } \\ { x _ { 1 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 1 } - \iota _ { X } \overline { { k a _ { 1 } } } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) } \\ { x _ { 2 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 2 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 2 } - \iota _ { X } a _ { \xi } + \iota _ { X } \overline { { k a _ { 1 } } } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { 0 } ( k ) = - \frac { i } { C _ { \mathrm { V } } ( 1 + \gamma \beta / 2 ) } \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { m } \left( Q _ { T } - \frac { \rho _ { 0 } } { T _ { 0 } } Q _ { \rho } + \frac { \kappa _ { \parallel } k ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \right) k ^ { 2 } , } \\ & { \Delta _ { 1 } ( k ) = - c _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } k ^ { 2 } , } \\ & { \Delta _ { 2 } ( k ) = \frac { i } { C _ { \mathrm { V } } ( 1 + \gamma \beta / 2 ) } \left[ Q _ { T } \left( 1 + \frac { \beta } { 2 } \right) - \frac { \rho _ { 0 } } { T _ { 0 } } \frac { \beta } { 2 } Q _ { \rho } - \frac { B _ { 0 } } { T _ { 0 } } \frac { \beta } { 2 } Q _ { B } + \frac { \kappa _ { \parallel } k ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \left( 1 + \frac { \beta } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { p } } & { = \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes \frac { X _ { p } + i Y _ { p } } { 2 } ~ = : \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes Q _ { p } , } \\ { a _ { p } ^ { \dagger } } & { = \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes \frac { X _ { p } - i Y _ { p } } { 2 } ~ = : \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes Q _ { p } ^ { \dagger } , } \end{array}
L ( \theta ) = \mathbb { E } _ { s , a , s ^ { \prime } } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \Big \lbrace r ( s , a ) + \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) - Q _ { \theta } ( s , a ) \Big \rbrace ^ { 2 } \bigg ] ~ .
\begin{array} { r l } { \Delta A _ { i } ( x ) } & { = - \frac { f } { g } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! ^ { 2 } } x ^ { \prime } \ \tilde { G } _ { i j } ( x - x ^ { \prime } ) \left[ \Delta u _ { j } ( x ^ { \prime } ) + \partial _ { j } \Delta P ( x ^ { \prime } ) \right] \, } \\ & { = { \frac { 1 } { f } } \epsilon _ { i j } \Delta E _ { j } ( x ) - { \frac { H } { f } } \partial _ { i } { \cal X } ( x ) , } \end{array}
S _ { N } ( u ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } u _ { n } , \; \; S _ { N } ( v ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } v _ { n } , \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; S _ { N } ( h ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } h _ { n } .
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \operatorname { t r } \left[ \rho _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \log \left( \rho _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right] , } \\ { = } & { { } \log \left( \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right) + \tau ^ { \left( q \right) } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } , } \end{array}
. . . Q ^ { ( 1 ) } { \bar { Q } } ^ { ( 5 ) } Q ^ { ( 3 ) } { \bar { Q } } ^ { ( 4 ) } Q ^ { ( 2 ) } { \bar { Q } } ^ { ( 1 ) } Q ^ { ( 5 ) } { \bar { Q } } ^ { ( 3 ) } Q ^ { ( 4 ) } { \bar { Q } } ^ { ( 2 ) } . . .
L _ { \mathrm { p o i s s o n } } = \lVert \epsilon _ { u } - \epsilon _ { u } ^ { \mathrm { p r e d } } \rVert ^ { 2 } + \lambda \lVert \epsilon _ { f } - \epsilon _ { f } ^ { \mathrm { p r e d } } \rVert ^ { 2 }
\textrm { c o s } ( \theta ) \textrm { s i n } ( \theta ) ( c _ { 2 3 } + c _ { 4 4 } ) \textrm { c o s } ( \phi ) + ( \textrm { c o s } ^ { 2 } ( \theta ) c _ { 4 4 } + \textrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta ) c _ { 3 3 } - \lambda ) \textrm { s i n } ( \phi ) = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d \eta } { d z } = \frac { \left( \eta _ { m } ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right) } { \eta _ { m } } \left\{ g _ { 0 } \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) - 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) - \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right] \right\} , } \end{array}
| - \boldsymbol { \mu } _ { 0 } \cdot \mathbf { E } _ { 0 } | \gg | - \alpha _ { a b } ( f _ { 0 } ) E _ { 0 a } E _ { 0 b } / 2 - \alpha _ { a b } ( f _ { \omega } ) \tilde { E } _ { a } \tilde { E } _ { b } ^ { \ast } / 4 |