harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } ( \phi , \delta , N ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + N \cos \left( 2 \phi + \delta \right) \right\} \, , } \\ { \mathrm { w h e r e } \quad } & { N \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \delta } : = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, . } \end{array}
{ \frac { 2 \pi } { p } } E _ { B H } a \equiv ( p - 1 ) { \frac { V _ { t o t } } { 4 G a } } \ \ \ \ \ \ \mathrm { o r } \ \ \ \ \ \ E _ { B H } \equiv p ( p - 1 ) { \frac { V _ { p } a ^ { p - 2 } } { 8 \pi G } } .
| 0 ; g \rangle = A d \, T ( g ) \, | 0 ; e \rangle = \sum _ { I , I _ { 3 } , Y } | ( 3 , 0 ) ; ( I , I _ { 3 } , Y ) ; e \rangle D _ { ( I , I _ { 3 } , Y ) ; ( 0 , 0 , - 2 ) } ^ { ( 3 , 0 ) } ( g )
- \xi ^ { \prime } ( 1 ) = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { p ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } { 6 ( 1 - p ) } } \lambda ^ { 2 } { \frac { D _ { - ( 2 p + 3 ) } ( \lambda ) } { D _ { - ( 2 p + 1 ) } ( \lambda ) } } \, ,
l n ( \sigma / G ^ { 2 } ) = a ( W ) + b ( W ) l n { \frac { \mid \mathrm { \boldmath ~ q ~ } \mid } { \mid \mathrm { \boldmath ~ q _ { 0 } ~ } \mid } } + c ( W ) \mid l n { \frac { \mid \mathrm { \boldmath ~ q ~ } \mid } { \mid \mathrm { \boldmath ~ q _ { 0 } ~ } \mid } } \mid ^ { d ( W ) }
\frac { \partial \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } } { \partial t } = \phi _ { i } ^ { ( \alpha ) } \beta \sum _ { \gamma = 0 } ^ { K } \left[ \phi _ { i } ^ { ( \gamma ) } \! \left( \mu _ { i } ^ { ( \gamma ) } - \mu _ { i } ^ { ( \alpha ) } \right) + \left( P ^ { ( \gamma ) } - P ^ { ( \alpha ) } \right) \right] \! ,
{ \boldsymbol J } ( \boldsymbol q ) = \left( \begin{array} { c c } { - \boldsymbol q ^ { 2 } D _ { A } \left( 1 + \psi + \phi _ { 0 } w ^ { 2 } \boldsymbol q ^ { 2 } \right) + \frac { ( h - 2 ) k } { 2 } } & { - \boldsymbol q ^ { 2 } D _ { A } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) - \frac { h k } { 2 } } \\ { - \boldsymbol q ^ { 2 } D _ { I } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) + \frac { h k } { 2 } } & { - \boldsymbol q ^ { 2 } D _ { I } \left( 1 + \psi + \phi _ { 0 } w ^ { 2 } \boldsymbol q ^ { 2 } \right) - \frac { ( h + 2 ) k } { 2 } } \end{array} \right) \; ,
| \beta | ^ { 2 } \equiv \sum _ { j ^ { \prime } j } | \beta _ { j ^ { \prime } ; j } | ^ { 2 } \equiv \sum _ { j ^ { \prime } j } \, _ { \mathrm { \small ~ i n } } \langle 0 | N _ { j ^ { \prime } j } | 0 \rangle _ { \mathrm { \small ~ i n } } \, ,
\int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } ^ { * } } d t \sqrt { \mu ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } ( t ) } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } ^ { * } } d t { \frac { d S _ { 0 } } { d t } } \sqrt { \Omega + S _ { 0 } ^ { 2 } } = \int _ { i \sqrt { \Omega } } ^ { - i \sqrt { \Omega } } d S _ { 0 } \sqrt { \Omega + S _ { 0 } ^ { 2 } } = - { \frac { i \Omega \pi } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left( u _ { \mu } , \, u _ { \nu } \right) } & { { } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } u _ { \mu } ^ { * } ( \mathbf { x } , z ) u _ { \nu } ( \mathbf { x } , z ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } = \delta _ { \mu \nu } , } \end{array}
\ensuremath { F _ { \! s } } ( k , t ) C ( k , t ) \approx 1 - \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } k ^ { 2 } \left( \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 3 } ~ } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { \parallel } } ^ { 2 } + \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 2 } { 3 } ~ } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } \right) t ^ { 2 }
- S \to \lambda ^ { 2 } \mu A + \epsilon ^ { 2 } \alpha _ { 1 } \chi + \lambda ^ { - 2 } \epsilon ^ { 4 } \big [ ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) I _ { 1 } - 2 \alpha _ { 3 } I _ { 2 } \big ] .
\bar { B } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y _ { 1 } } } & { \dots } & { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y } _ { m - 1 } } \\ { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { s _ { m - 1 } ^ { T } \bar { y } _ { m - 1 } } \end{array} \right] , \bar { C } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y _ { 1 } } } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { { s _ { m } ^ { T } } \bar { y _ { m } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { \mathrm { E ; m o l } } } & { { } = - E _ { \mathrm { d c } } \hat { d } _ { 0 } , } \\ { \hat { h } _ { \mathrm { B ; m o l } } } & { { } = B ( \mu _ { B } g _ { S } \hat { M } _ { S } - \mu _ { N } g _ { I } \hat { M } _ { I } - \mu _ { B } g _ { r } \hat { M } _ { N } ) , } \end{array}
\langle s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } s _ { 4 } s _ { 5 } s _ { 6 } \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } \tau _ { 3 } \tau _ { 4 } \tau _ { 5 } \tau _ { 6 } | O | s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } s _ { 3 } ^ { \prime } s _ { 4 } ^ { \prime } s _ { 5 } ^ { \prime } s _ { 6 } ^ { \prime } \tau _ { 1 } ^ { \prime } \tau _ { 2 } ^ { \prime } \tau _ { 3 } ^ { \prime } \tau _ { 4 } ^ { \prime } \tau _ { 5 } ^ { \prime } \tau _ { 6 } ^ { \prime } \rangle \ ,
\Psi _ { S } ^ { \boldsymbol { Q } } ( \boldsymbol { r } _ { e } , \boldsymbol { r } _ { h } ) = \sum _ { c v \boldsymbol { k } } A _ { c v \boldsymbol { k } \boldsymbol { Q } } ^ { S } \psi _ { c \boldsymbol { k } + \boldsymbol { Q } } ( \boldsymbol { r } _ { e } ) \psi _ { v \boldsymbol { k } } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { h } ) ,
\begin{array} { r l } { { \hat { H } } = } & { { } - \frac { \hbar c } { L } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d z \left[ { \hat { E } } _ { p 1 } ^ { \dag } \left( i \frac { \partial } { \partial z } \right) { \hat { E } } _ { p 1 } + { \hat { E } } _ { p 2 } ^ { \dag } \left( i \frac { \partial } { \partial z } \right) { \hat { E } } _ { p 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( g \, | \, g _ { 0 } \big ) _ { 2 } } & { { } = \left( \mathbf { m } M _ { \mathbf { m } } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \big ) \left( \begin{array} { l } { h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { h _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \right) \cdot v _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } \end{array}
( d G ) _ { 1 1 \bar { I } \bar { J } \bar { K } \bar { L } } = - 4 \sqrt { 2 } \pi \left( \frac { \kappa } { 4 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } ( J ^ { ( 1 ) } \delta ( x ^ { 1 1 } ) + J ^ { ( 2 ) } \delta ( x ^ { 1 1 } - \pi \rho ) ) _ { \bar { I } \bar { J } \bar { K } \bar { L } } ,
\partial ^ { + + } e _ { \alpha } ^ { -- \beta } = - \varphi _ { \alpha } ^ { \breve { \alpha } } \partial _ { h { \breve { \alpha } } } ^ { - } H ^ { + + { \breve { \beta } } - } ( \varphi ^ { - 1 } ) _ { \breve { \beta } } ^ { \beta } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { = \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } \bar { \phi } _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \bar { \phi } _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , \quad \mathrm { i . e . , } } \\ { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { = \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi - \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) + \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi + \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } \right) \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , } \end{array}
\Phi _ { k } ( \eta ) = \frac { 1 } { \eta ^ { 3 } } \biggl [ B _ { 1 } ( k ) ( \omega \eta \cos { \omega \eta } - \sin { \omega \eta } ) + B _ { 2 } ( k ) ( \omega \eta \sin { \omega \eta } + \cos { \omega \eta } ) \biggr ] , ~ ~ ~ \eta > \eta _ { \mathrm { d } } ,
\rho _ { \varepsilon } ( \boldsymbol { x } , t ) = \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) + \sum _ { u = 1 } ^ { U } \varepsilon _ { 1 } ^ { u } \rho _ { 1 , d } ^ { u } ( \boldsymbol { x } , t ) + \sum _ { v = 1 } ^ { V } \varepsilon _ { 2 } ^ { v } \rho _ { 1 , s } ^ { v } ( \boldsymbol { x } , t ) + h . o . t .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } [ z _ { 1 } ^ { m } ( ( n + 1 ) } & { \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } ) | \mathcal { F } _ { n } ] } \\ & { = 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } \leq n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } } ) } } \\ & { \phantom { = } + 1 _ { \{ \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } > n \} } e ^ { \int _ { 0 } ^ { n } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s } \times } \\ & { \phantom { = } \times \mathbb { E } _ { X _ { n } } [ e ^ { \int _ { n } ^ { n + 1 } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + 1 _ { \{ X _ { 1 } \in B _ { m } \} } w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) + 1 _ { \{ X _ { 1 } \notin B _ { m } \} } M w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { 1 } ) } | \mathcal { F } _ { n } ] } \\ & { = e ^ { \int _ { 0 } ^ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { 1 } ^ { m } ) d s + w _ { 1 } ^ { m } ( X _ { n \wedge \tau _ { B _ { m } } \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } } ) } = z _ { 1 } ^ { m } ( n \wedge \hat { \tau } _ { 1 } ^ { m } ) , } \end{array}
\big ( \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) = \big ( \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) + \frac { 1 } { \gamma } \underline { { \delta } } \big ( \imath _ { q } \mathrm { v o l } _ { g } , 0 \big ) .
\begin{array} { r l r } { \phi ( t ) } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } a _ { k } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } , } \\ { U ( t ) } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { k } e ^ { - 2 i \pi \lambda _ { k } t } , } \\ { S } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } } | a _ { k } | . } \end{array}
M ( x ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ G _ { 0 } ( q ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { i q x } d q = 2 \sqrt { C _ { 0 } \sqrt { \pi } / \ell } e ^ { - 2 ( x / \ell ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { s _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( x _ { i } , y _ { i } ) = ( \bar { x } _ { i } , \bar { y } _ { i } ) } \\ { - 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( x _ { i } , y _ { i } ) = ( \bar { y } _ { i } , \bar { x } _ { i } ) } \end{array} \right. , \qquad w _ { i , i + 1 } = ( \bar { x } _ { i } - \bar { y } _ { i } ) ^ { T } ( \bar { x } _ { i + 1 } - \bar { y } _ { i + 1 } ) . } \end{array}
S \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi _ { u } \, \frac { 1 } { \xi _ { u } ^ { 5 } } \frac { d \Gamma } { d \xi _ { u } } ( \bar { B } \to X _ { u } \ell \bar { \nu _ { \ell } } ) = | V _ { u b } | ^ { 2 } \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { B } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } ( 1 + \Delta H T ) \, .
\begin{array} { r l r } & { \rho E _ { t } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int { { \vec { c } } ^ { 2 } f \mathrm { d } { \vec { \Xi } } } , } \\ & { \rho E _ { r } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int { { \vec { \xi } } ^ { 2 } f \mathrm { d } \vec { \Xi } } , } \\ & { \rho E _ { v } } & { = \int { \varepsilon _ { v } f \mathrm { d } \vec { \Xi } } , } \\ & { \rho E _ { t r } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int { ( { \vec { c } } ^ { 2 } + { \vec { \xi } } ^ { 2 } ) f \mathrm { d } { \vec { \Xi } } } , } \\ & { \rho E _ { M } } & { = \int { \left[ \frac { 1 } { 2 } ( { \vec { c } } ^ { 2 } + \vec { \xi } ^ { 2 } ) + \varepsilon _ { v } \right] f \mathrm { d } \vec { \Xi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t < T } | | \nabla _ { \theta } L _ { \kappa } ( \theta ^ { ( t ) } ) | | _ { 2 } } & { \le \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { \kappa } ( L _ { \kappa } ( \theta ^ { ( 0 ) } ) - L _ { \kappa } ( \theta ^ { * } ) ) } { T } } } \\ & { \overset { ( a ) } { \le } \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { \kappa } ( \bar { C } - \kappa \log \pi _ { 1 } ^ { L B } - \kappa \log \pi _ { 2 } ^ { L B } ) } { T } } } \\ & { \overset { ( b ) } { \le } \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { \kappa } ( \bar { C } - \log \pi _ { 1 } ^ { L B } - \log \pi _ { 2 } ^ { L B } ) } { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \varepsilon ) } & { { } \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \eta \, \exp \left\lbrace - \beta f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \varepsilon + \frac { \beta } { \mathrm { d } 2 } \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right| _ { \eta = f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } \left[ \eta - f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \right] ^ { 2 } \right\rbrace F ( f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { \eta ( t ) } ^ { t } \mu ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } u \right) \mathrm { d } t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { u } ^ { \eta ( u ) + h } \mu ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } t \right) \mathrm { d } u } \\ & { = h \int _ { 0 } ^ { T } \left( 1 + \frac { \eta ( u ) - u } { h } \right) \mu ( u , r _ { u } ) \mathrm { d } u . } \end{array}
\vec { F } _ { 1 2 } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int \int \frac { d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \ \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } ) \rho _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } ) \ \vec { x } _ { 1 2 } } { | \vec { x } _ { 1 2 } | ^ { 3 } } .
\left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { S _ { 0 } } \\ { S _ { B } } \end{array} \right] = ( \epsilon - \delta ) \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { C } \\ { C } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \eta _ { 0 } } \\ { \eta _ { B } } \end{array} \right] .
\mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = \mathbf { V } \mathbf { R } ^ { T } \left( \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } } \mathbf { R } \mathbf { R } ^ { T } + \beta \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \, ,
T _ { \ell } = { \frac { 2 L { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { c } } { \frac { 1 } { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } = { \frac { 2 L } { c } } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } = T _ { t }
\operatorname { e r f } ( x ) = \operatorname { s g n } ( x ) P \left( { \frac { 1 } { 2 } } , x ^ { 2 } \right) = { \frac { \operatorname { s g n } ( x ) } { \sqrt { \pi } } } \gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } , x ^ { 2 } \right) .
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { F _ { 2 k + 1 } } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 4 } } \vartheta _ { 2 } ^ { 2 } \left( 0 , { \frac { 3 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { { D _ { N , T } } } & { \leq C \left\lbrace \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ \frac { \ell _ { N } ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \frac { \ell _ { N } ^ { 5 / 2 } \ell _ { T } ^ { 3 } } { \sqrt { T } } + \sqrt { \phi _ { N , T } } \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } + \phi _ { N , T } \sqrt { T } \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } + \psi _ { N } ^ { 2 } \xi _ { N , T } \ell _ { N } \ell _ { T } \right. \right. } \\ & { \left. \left. + \sqrt { K } \left( \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { \ell _ { N } ^ { 3 / 2 } \ell _ { T } } { \sqrt { T } } \right) \right] + \frac { 1 } { \ell _ { N } } \right\rbrace , } \end{array}
\frac { d E } { d t } \simeq 4 G _ { \mathrm { N } } \, ( n { - } 1 ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { p } ( p - k ) ^ { 2 } k d k = \frac { G _ { \mathrm { N } } \, p ^ { 4 } ( n { - } 1 ) ^ { 2 } } { 3 } \, .
\mathrm { D i a g o n a l i z e : } ~ { \bf Q } ^ { T } { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } { \bf Q } = { \bf E } , ~ \mathrm { w h e r e } ~ E _ { i j } = \delta _ { i j } \epsilon _ { i } ~ \mathrm { a n d } ~ { \bf Q } ^ { T } { \bf Q } = \delta _ { i j } , ~ ~ f _ { i } = \left( e ^ { \beta ( \epsilon _ { i } - \mu _ { 0 } ) } + 1 \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \ f ( { \bf x } ) = { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \, \left\{ { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] \right) \right. } \\ & { } & { - \left. { \frac { 1 } { 6 } } B _ { i j n } \, C _ { i j } ^ { - 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \left[ \left( 1 - a _ { n } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right) e ^ { - { \frac { a _ { n } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } - \left( 1 - b _ { n } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right) e ^ { - { \frac { b _ { n } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \right] \right\} \, . } \end{array}
h _ { + } ( 1 ) - \sqrt { S } \, h _ { - } ( 1 ) = \Big [ \widehat { C } _ { 1 } ( 1 ) + \widehat { C } _ { 2 } ( 1 ) + \widehat { C } _ { 3 } ( 1 ) \Big ] \Big \{ 1 + S \cdot K \Big \} \, ,
\begin{array} { r l r } { { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 1 } \right) } & { \approx } & { { \cal B } _ { 1 } \mathbf { u } _ { 2 } , } \\ { { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 1 } \right) } & { \approx } & { { \cal C } _ { 1 } \mathbf { u } _ { 2 } , } \end{array}
t ^ { \prime \prime } = \gamma ( u ) \gamma ( v ^ { \prime } ) [ A ( u ) A ( v ^ { \prime } ) + B ( v ^ { \prime } ) u ] \left[ t - \frac { A ( v ^ { \prime } ) B ( u ) + B ( v ^ { \prime } ) } { A ( u ) A ( v ^ { \prime } ) + B ( v ^ { \prime } ) u } x \right] .
e _ { i } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \lg \left( n \right) + 1 } } & { { , } } & { { i = 1 , \ldots , n - r } } \\ { { \lg \left( n \right) } } & { { , } } & { { i = n - r + 1 , \ldots , n } } \end{array} \right. \quad .
{ \overline { { v _ { i } } } } = \operatorname* { m i n } _ { a _ { - i } } \operatorname* { m a x } _ { a _ { i } } { v _ { i } ( a _ { i } , a _ { - i } ) } = \operatorname* { m i n } _ { a _ { - i } } { \Big ( } \operatorname* { m a x } _ { a _ { i } } { v _ { i } ( a _ { i } , a _ { - i } ) } { \Big ) }
\lambda ^ { i } = \left( \begin{array} { c } { { \lambda _ { L } ^ { i } } } \\ { { \epsilon ^ { i j } \bar { \lambda } _ { j L } } } \end{array} \right) , \quad \bar { \lambda } _ { j L } \equiv - i \sigma ^ { 2 } \left( \lambda _ { L } ^ { j } \right) ^ { * }
\begin{array} { r l r } { r E _ { \theta } ( r , \theta ; k ) } & { = } & { - V _ { g } ( \omega ) C _ { 0 } e ^ { - j k r } \, \frac { F _ { e } ( { \bf r } ; \zeta ) } { F ( \zeta ) } , } \\ { r H _ { \phi } ( r , \theta ; k ) } & { = } & { - \frac { V _ { g } ( \omega ) C _ { 0 } } { \eta } e ^ { - j k r } \, \frac { F _ { h } ( { \bf r } ; \zeta ) } { F ( \zeta ) } , } \end{array}
\big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \leq \big | \omega ^ { \prime } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | + \big | ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \big | \big | { \frac { { m ^ { \prime } } \omega } { m } } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } - { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | .
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { \tilde { r } , q } ^ { - \frac { 1 } { \tilde { r } } - \varepsilon } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n , \varepsilon } \lVert u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\nabla \cdot \vec { u } = \left( \eta ^ { \mathrm { p } } \nabla \cdot \vec { v } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } \nabla \cdot \vec { v } ^ { \mathrm { s } } \right) / ( \eta ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } )
\begin{array} { r l } { b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial t } + \frac { 1 } { M } \frac { \partial p } { \partial t } - k _ { 0 } \frac { \partial } { \partial r } \left( \left( \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \eta _ { o } } \right) \frac { \partial p } { \partial r } \right) - \frac { k _ { 0 } } { r } \left( \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \eta _ { o } } \right) \frac { \partial p } { \partial r } } & { { } = 0 , } \\ { \phi \frac { \partial S _ { w } } { \partial t } + S _ { w } \left( b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial t } + \frac { 1 } { M } \frac { \partial p } { \partial t } \right) - \frac { k _ { 0 } } { \eta _ { w } } \frac { \partial } { \partial r } \left( k _ { r w } \frac { \partial p } { \partial r } \right) - \frac { k _ { 0 } } { r } \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } \frac { \partial p } { \partial r } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { r r } } { \partial r } + \frac { \sigma _ { r r } - \sigma _ { \theta \theta } } { r } } & { { } = 0 . } \end{array}
g ^ { 2 } \, E _ { 2 } ~ = ~ \sum { \{ \alpha \} } \int d \{ \alpha \} ~ { \frac { \langle \{ 1 \} \vert ~ H _ { 1 } ~ \vert \{ \alpha \} \rangle ~ \langle \{ \alpha \} \vert ~ H _ { 1 } ~ \vert \{ 1 \} \rangle } { E _ { \alpha } - E } }