harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d x ^ { i } } { d t } } & { { } = v ^ { i } , } \\ { M \frac { d v ^ { i } } { d t } } & { { } = - \partial _ { i } U + \langle \hat { F } ^ { i } \rangle - \beta ^ { i j } v _ { j } + B ^ { i j } w _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 4 } h = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } e ^ { \mathrm { i } j \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j ) } h _ { j } ( \varphi ) e ^ { \mathrm { i } j x } , \quad \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } h = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } e ^ { - \mathrm { i } j \mathfrak { p } _ { 2 } ( \varphi , j ) } h _ { j } ( \varphi ) e ^ { \mathrm { i } j x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { p } } & { = } & { \frac { \kappa } { 2 } \sqrt { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { k _ { B } T } { \sqrt { 2 } } \, \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 + 7 c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \Gamma _ { 4 } \frac { 1 - c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ { \sigma _ { k } } & { = } & { \frac { m } { 2 } \sqrt { \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle - \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { k _ { B } T } { \sqrt { 2 } } \, \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { c _ { 2 } ^ { 3 } } { 1 + c _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ 3 - \Gamma _ { 4 } \right] + \frac { 1 } { 4 } \left[ 1 + \Gamma _ { 4 } \right] } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { e } = } & { { } \ - \alpha \int _ { t _ { e } } ^ { \infty } e ^ { - t ^ { \prime } / { \tau _ { e c o n } } } \delta \psi _ { i } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \\ { \delta \psi i ( t ^ { \prime } ) = } & { { } \ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } e ^ { - \eta ( t ^ { \prime } - t _ { e } ) } + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) e ^ { - ( t ^ { \prime } - t _ { e } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle i | f ^ { ( 1 ) } | j \rangle } & { = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ^ { \prime } ) f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 1 ) } u _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) } \\ { \langle i j | f ^ { ( 2 ) } | k l \rangle } & { = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) u _ { j } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) f ^ { ( 2 ) } u _ { k } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) u _ { l } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) } \end{array}
= \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 9 8 . 8 3 } & { 5 4 . 6 4 } & { 6 8 . 2 3 } & { 7 . 8 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 5 4 . 6 4 } & { 1 9 8 . 8 3 } & { 6 8 . 2 3 } & { - 7 . 8 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 8 . 2 3 } & { 6 8 . 2 3 } & { 2 3 5 . 7 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 7 . 8 3 } & { - 7 . 8 3 } & { 0 } & { 5 9 . 8 6 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 5 9 . 8 6 } & { 7 . 8 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 7 . 8 3 } & { 7 2 . 0 9 5 } \end{array} \right) .
{ \tilde { \psi } } _ { l } ^ { j } \left( x _ { \alpha } + L _ { 1 } \right) = e ^ { - i \frac { \beta } { \kappa } + i \frac { \pi } { \kappa } \left( N _ { A } - 1 \right) } { \tilde { \psi } } _ { l } ^ { j + 1 } \left( x _ { \alpha } \right)
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 , 2 } = 1 + \frac { Z ( Y _ { 1 } + Y _ { 2 } ) \pm \sqrt { Z \left( Y _ { 1 } + Y _ { 2 } \right) \left( Z ( Y _ { 1 } + Y _ { 2 } ) + 4 \right) } } { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { e s t } ^ { 2 } = \left( \frac { \partial \beta } { \partial x } \sigma _ { X } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \beta } { \partial y } \sigma _ { Y } \right) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \partial \beta } { \partial V _ { i } } \sigma _ { V _ { i } } \right) ^ { 2 } .
\int _ { \mathbf { q } ^ { \ell } } ^ { \mathbf { q } ^ { \ell + 1 } } \mathbf { p } \, \cdot \, d \mathbf { q } = \int _ { \mathbf { q } ^ { \ell } } ^ { \mathbf { q } ^ { \ell + 1 } } \partial _ { \mathbf { q } } \mathcal { E } \cdot d \mathbf { q } = \mathcal { E } ^ { \ell + 1 } - \mathcal { E } ^ { \ell } = \Delta \mathcal { E } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ,
( \Psi _ { \pm } ) _ { \mu } ^ { A } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta \pm \gamma _ { 5 } \sigma _ { 3 } ) _ { \; B } ^ { A } \Psi _ { \mu } ^ { B } \ , \quad ( \eta _ { \pm } ) ^ { A } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta \pm \gamma _ { 5 } \sigma _ { 3 } ) _ { \; B } ^ { A } \eta ^ { B } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { \dot { \sigma } } _ { \alpha } } & { = \boldsymbol { j } _ { Q } \cdot { \nabla } { \frac { 1 } { T } } } \\ { \hat { \dot { \sigma } } _ { \nu } } & { = - \boldsymbol { \tau } : \frac { \nabla \vec { u } } { T } } \\ { \hat { \dot { \sigma } } _ { \mathcal { D } _ { c } } } & { = - { \vec { j } _ { c } } \cdot { \nabla } \frac { \mu _ { c } } { T } } \\ { \hat { \dot { \sigma } } _ { \mathrm { ~ D _ k ~ } } } & { = - \boldsymbol { i } _ { k } \cdot \frac { \nabla \Phi } { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } R ( \sigma , \mathbf { A } ) - \frac { \tilde { \sigma } ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } R ( \tilde { \sigma } , \mathbf { A } ) } & { = \frac { \sigma ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } R ( \sigma , \mathbf { A } ) - \frac { \sigma ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } R ( \tilde { \sigma } , \mathbf { A } ) + \frac { \sigma ^ { \prime } - \tilde { \sigma } ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } R ( \tilde { \sigma } , \mathbf { A } ) } \\ & { = - \frac { \sigma ^ { \prime } } { 2 \pi \mathrm { i } } ( \sigma - \tilde { \sigma } ) R ( \sigma , \mathbf { A } ) R ( \tilde { \sigma } , \mathbf { A } ) + 0 . } \end{array}
\delta \Psi ^ { 2 } \, \simeq \frac { 2 \Psi ( \tau ) } { N _ { t } } \sum _ { j \in \mathcal { T } } x _ { j } ( \tau ) \big ( 1 - x _ { k } ^ { 2 } ( \tau ) \big ) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { O } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \right)
{ \cal L } = - \frac 1 4 F ^ { a \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } + \frac 1 2 m ^ { 2 } A _ { \mu } ^ { a } A ^ { a \mu } + \lambda ^ { a } \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } + \frac 1 2 \alpha ( \lambda ^ { a } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 , 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 0 , 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf P _ { \mathbf A } ^ { \bot } } & { = \mathbf I _ { n } - \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf u } & { \mathbf 1 _ { n } } \end{array} \right] ( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf u ^ { \mathrm T } } \\ { \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf u } & { \mathbf 1 _ { n } } \end{array} \right] ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf u ^ { \mathrm T } } \\ { \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } } \end{array} \right] } \\ & { = \mathbf I _ { n } - \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf u } & { \mathbf 1 _ { n } } \end{array} \right] ( \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf u ^ { \mathrm T } \mathbf u } & { \mathbf u ^ { \mathrm T } \mathbf 1 _ { n } } \\ { \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } \mathbf u } & { \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } \mathbf 1 _ { n } } \end{array} \right] ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf u ^ { \mathrm T } } \\ { \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } } \end{array} \right] } \\ & { = \mathbf I _ { n } - ( \mathbf u \mathbf u ^ { \mathrm T } + \frac 1 n \mathbf 1 _ { n } \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } ) . } \end{array}
Z A M \equiv \frac { \left| \sum _ { n = 0 } ^ { M } { \chi _ { 2 n , l = 1 } ^ { k = 0 } } \right| ^ { 2 } } { \left| \sum _ { n = 0 } ^ { M } { \chi _ { 2 n + 1 , l = 1 } ^ { k = 0 } } \right| ^ { 2 } } = \frac { \left| \sum _ { n = 0 } ^ { M } { \chi _ { l = 1 } ^ { k = 0 } ( a s y m . ) } \right| ^ { 2 } } { \left| \sum _ { n = 0 } ^ { M } { \chi _ { l = 1 } ^ { k = 0 } ( s y m . ) } \right| ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \Bigg \langle } & { \mathbf K \circ \mathbf K \circ \mathbf L - 4 \mathbf K \circ \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf L - 2 \mathbf K \circ \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H + 4 \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H } \\ & { + 2 \mathbf K \circ \mathbf L \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle + 2 \mathbf K \mathbf H \circ \mathbf H \mathbf K \circ \mathbf L + 4 \mathbf K \circ \mathbf H \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H + \mathbf K \circ \mathbf K \left\langle \frac { \mathbf L } { N ^ { 2 } } \right\rangle } \\ & { - 8 \mathbf K \circ \mathbf L \mathbf H \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle - 4 \mathbf K \circ \mathbf H \mathbf K \left\langle \frac { \mathbf L } { N ^ { 2 } } \right\rangle + 4 \left\langle \frac { \mathbf K } { N ^ { 2 } } \right\rangle ^ { 2 } \mathbf L \Bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \imath } { 1 6 \pi ^ { 2 } } B _ { 0 ; \mu ; \mu \nu } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \mu ^ { 4 - D } \int \frac { d ^ { D } k } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { 1 ; k _ { \mu } ; k _ { \mu } k _ { \nu } } { [ k ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( k + q ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { \kappa ^ { 0 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A A } + \widetilde { D C } + \widetilde { C B } + \widetilde { B D } ) , \qquad \kappa ^ { 1 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { A C } + \widetilde { D A } + \widetilde { C D } + \widetilde { B B } ) } \\ { \kappa ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { B A } + \widetilde { C C } + \widetilde { A D } + \widetilde { D B } ) , \qquad \kappa ^ { 3 } \equiv \frac { 1 } { 4 } ( \widetilde { B C } + \widetilde { C A } + \widetilde { A B } + \widetilde { D D } ) } \end{array}
\langle \nu , \tilde { \xi } \rangle _ { \hat { \mu } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } - \langle \nu , \tilde { \xi } \rangle _ { \hat { \mu } ^ { \prime } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } = \left( \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } - \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \right) \left( \tilde { \mu } ^ { \tilde { j } \tilde { a } } \xi _ { \tilde { a } } \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } - \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { j } \tilde { a } } \xi _ { \tilde { a } } \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } \right) .
\underline { { \tilde { \phi } } } _ { l } ( r ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { \phi } _ { l } ( r ^ { \prime } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r ^ { \prime } \in \widetilde { D } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\breve { M } = \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) ) } { k \gamma } + \frac { 1 6 \sigma ^ { 2 } m ^ { 1 / 3 } } { k ^ { 2 } } + \frac { 4 \lambda \sigma ^ { 2 } m ^ { 1 / 3 } } { \gamma k ^ { 2 } } + \big ( 2 k ^ { 2 } \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 k ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \ln ( m + T )
M _ { ( 2 ) } ^ { ( 0 ) } \sim 1 6 \pi ^ { 4 } g ^ { 2 } \delta ^ { 4 } ( a ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p ^ { \prime } p ^ { ' 3 } \biggl [ \frac { - P ^ { 2 } + p ^ { 2 } + p ^ { ' 2 } + 4 m _ { f } ^ { 2 } } { ( P + a ) ( P - a ) } \biggr ] \times \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } ) } \exp \biggl [ - \frac { ( p ^ { 2 } + p ^ { 2 } + 2 m _ { f } ^ { 2 } ) } { 2 \Lambda _ { S M } ^ { 2 } } - \frac { P ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { 2 \Lambda _ { S M } ^ { 2 } } \biggr ] ,
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { M } ( m ) = \left[ [ \pi _ { 1 } \circ \lambda _ { M } , \pi _ { 2 } \circ \lambda _ { M } ] \circ + _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } , \pi _ { j } \circ \mathsf { q } _ { M } \right] ( m ) = [ \pi _ { 1 } \circ \lambda _ { M } , \pi _ { 2 } \circ \lambda _ { M } ] ( + _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) } \\ & { = [ \pi _ { 1 } \circ \lambda _ { M } , \pi _ { 2 } \circ \lambda _ { M } ] ( \mathsf { d } ( m ) \otimes _ { R } 1 ) + [ \pi _ { 1 } \circ \lambda _ { M } , \pi _ { 2 } \circ \lambda _ { M } ] ( 1 \otimes _ { R } \mathsf { d } ( m ) ) } \\ & { = \pi _ { 1 } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) + \pi _ { 2 } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) = \pi _ { 1 } ( m ) + \pi _ { 2 } ( m ) = m \otimes _ { R } 1 + 1 \otimes _ { R } m } \end{array}
\phi _ { c } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) = 2 \tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { \alpha } \left( 1 + \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } { \frac { e ^ { - \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \omega _ { 0 } ( \tau - \tau _ { 0 } ) } + f ^ { ( 2 ) } ( \alpha ) } { e ^ { - \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \omega _ { 0 } ( \tau - \tau _ { 0 } ) } - f ^ { ( 2 ) } ( \alpha ) } } \right)
V _ { \mathrm { e f f } } = - f ^ { - 2 } D _ { 1 } D _ { 2 } D _ { 3 } D _ { 4 } \omega ^ { 2 } + f ^ { - 1 } { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 4 } } f ^ { - 2 } { \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } }
e _ { i } ^ { \prime } = { \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { i } } & { { \mathrm { i f ~ } } \; B ( e _ { i } , e _ { i } ) = 0 } \\ { e _ { i } / { \sqrt { B ( e _ { i } , e _ { i } ) } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \; B ( e _ { i } , e _ { i } ) \neq 0 } \end{array} \right. }
\int _ { v \in ( 0 , v _ { 0 } ) } \, \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v < \int _ { v \in ( 0 , v _ { 0 } ) } \, \frac { h ( \bar { u } ( v ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } { h ( \bar { u } ( v _ { 0 } ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } \, f _ { r } ( v ; e , r ) \, d v < 0
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \{ C _ { i } ^ { 1 } \} } } & { \sum _ { i : \sum _ { t = 1 } ^ { T } X _ { i } ^ { t } > 0 } \log ( C _ { i } ^ { 1 } ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { 0 \leq C _ { i } ^ { 1 } \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } X _ { i } ^ { t } , \quad \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { i } ^ { 1 } \leq B . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } \in \Psi ( \mathbf { W } _ { 0 } ) } \left\| \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) - \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad \leq \frac { 1 } { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \| \mathbf { x } _ { i } \| ^ { 2 } \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { W } \in \Psi ( \mathbf { W } _ { 0 } ) } \left| \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } ) ) - \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad \leq \frac { 1 } { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \| \mathbf { x } _ { i } \| ^ { 2 } \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } \operatorname* { P r } \left( \exists \mathbf { W } \in \Psi ( \mathbf { W } _ { 0 } ) \ \mathrm { s . t . } \ \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } ) ) \neq \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right) } \\ & { \qquad = \frac { 1 } { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \| \mathbf { x } _ { i } \| ^ { 2 } \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } \operatorname* { P r } \left( \exists \mathbf { w } _ { j } \ \mathrm { s . t . } \ \| \mathbf { w } _ { 0 j } - \mathbf { w } _ { j } \| \leq \frac { \delta ^ { 2 } c _ { m , j } } { 4 } \ \mathrm { a n d } \ \sigma ^ { \prime } ( \mathbf { w } _ { j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } ) \neq \sigma ^ { \prime } ( \mathbf { w } _ { 0 j } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i } ) \right) } \\ & { \qquad \leq \frac { 1 } { d } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \| \mathbf { x } _ { i } \| ^ { 2 } \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } \operatorname* { P r } \left( A _ { i , j } ( \delta ^ { 2 } c _ { m , j } / 4 ) \right) } \\ & { \qquad \leq \frac { ( \delta ^ { 2 } / 4 ) } { { d } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \| \mathbf { x } _ { i } \| \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } c _ { m , j } } \\ & { \qquad \leq \frac { n ( \delta ^ { 2 } / 4 ) } { { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } ^ { ( k ) } c _ { m , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = 0 , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { { } = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = \mu _ { 0 } \mathbf { J } + \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } , } \end{array}
\check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } b = 2 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } 2 \xi / ( 1 + \xi ) ^ { 2 } \geq 0 . 0 1 , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \xi = \left| { \check { \mathbf { C } } } _ { i , 2 } \right| / \left( \rho _ { i } + \rho _ { i + 1 } \right) , } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } b \neq 2 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \Omega _ { i } > 0 . 0 1 , } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , L i n e a r } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { ( \textbf { J } ^ { * } \times \textbf { B } ^ { * } ) _ { x } } & { { } = } & { s _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 2 s _ { 0 } } - s _ { 0 } \right) \sin x ~ \cos x ~ \sin ^ { 2 } y ~ \exp \left( - \frac { 2 z } { s _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } x ~ \sin ^ { 2 } y ~ \exp \left( - \frac { 2 z } { s _ { 0 } } \right) } \\ { ( \textbf { J } ^ { * } \times \textbf { B } ^ { * } ) _ { y } } & { { } = } & { s _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } - s _ { 0 } \right) \sin ^ { 2 } x ~ \sin y ~ \cos y ~ \exp \left( - \frac { 2 z } { s _ { 0 } } \right) + \sin x ~ \cos x ~ \sin ^ { 2 } y ~ \exp \left( - \frac { 2 z } { s _ { 0 } } \right) } \\ { ( \textbf { J } ^ { * } \times \textbf { B } ^ { * } ) _ { z } } & { { } } & { = \left( \frac { \sin x } { 4 s _ { 0 } } - \left( \frac { 1 } { 2 s _ { 0 } } - s _ { 0 } \right) \frac { \cos x } { 2 } \right) \sin y ~ ( \sin x ~ \sin y - \cos x ~ \sin y ) ~ \exp \left( - \frac { 2 z } { s _ { 0 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { T } ^ { \mathrm { D A L } } ( \theta ) = F _ { T } ( \theta ) \ + } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } e _ { i , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } e _ { j , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ) } \\ { + } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } e _ { i , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { k , \ell } , d } e _ { j , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } e _ { k , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ) . } \end{array}
\sqrt { \mp \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } + \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { i } ( t ) } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } & { i = 1 , \dots , N } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, f ^ { + } ( w ) _ { i j } - \Big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \Big ) \, f ^ { - } ( w ) _ { i j } \, , } & { i , j = 1 , \dots , N , \, i \neq j } \\ { \frac { d w _ { i i } } { d t } } & { { } = 0 } & { i = 1 , \dots , N . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( 1 + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( 1 + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) - F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \geq - \bigg ( Q _ { j } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) + Q _ { i } ^ { - 1 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) \bigg ) | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } , \ \ i , j = 1 , 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { U } = } & { \ \int _ { 0 } ^ { t _ { e } } e ^ { - t / \tau } \left[ u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) - U _ { v } ( t ) \right] \, \mathrm { d } t + U _ { e } } \\ { \tilde { U } _ { e } = } & { \ - \alpha \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } M _ { 0 } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , \eta , p ( t ) ) } \\ & { \ - \alpha \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) M _ { 0 } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , 1 , p ( t ) ) } \end{array}
{ \cal L } _ { W e y l } ^ { n m } = \partial _ { + } { A } _ { i } \left( \partial _ { - } { A } _ { i } - \partial _ { i } A _ { - } \right) + \frac 1 2 \left( \partial _ { + } { A } _ { - } \right) ^ { 2 } - \frac 1 4 \left( \partial _ { i } { A } _ { j } - \partial _ { j } { A } _ { i } \right) ^ { 2 } + { A } _ { - } { J } ^ { - } + { A } _ { i } { J } ^ { i } \; ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = d \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
I _ { k } \left( \mu , d , \lambda \right) : = - \frac { \left( 2 \mu \right) ^ { \frac { d } { 2 } - 1 } } { \left( 2 k \lambda \right) ^ { \frac { d } { 2 } } } \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + k \right) W _ { - k , \frac { d - 1 } { 2 } } \left( 4 \mu k \lambda \right) .