harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { 0 } ^ { T } | | f | | _ { L ^ { 6 + h } } ^ { \frac { 2 ( 6 + h ) ( 6 - p ) } { h } } \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | | f | | _ { L ^ { 6 } } ^ { \frac { 2 [ ( 1 8 - 3 p ) ( 6 + h ) - h ( 9 - p ) ] } { 3 h } } | | f | | _ { W ^ { 1 , \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } } ^ { \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } , \; \left\{ \begin{array} { l l } { h \geq 0 \; \mathrm { i f } \; 1 \leq p \leq \frac { 9 } { 2 } , } \\ { h \in \left[ 0 , \frac { 1 8 ( 6 - p ) } { 2 p - 9 } \right] \; \mathrm { i f } \; \frac { 9 } { 2 } < p < 6 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \pi } } & { = \varphi _ { 1 } \boxdot \cdots \boxdot \varphi _ { k } ( a ) } \\ & { = \left. \frac { \partial ^ { k } } { \partial t _ { 1 } \ldots \partial t _ { k } } \Bigl ( ( t _ { 1 } \varphi _ { 1 } ) \odot \ldots \odot \bigl ( ( t _ { i } \varphi _ { i } ) \odot ( t _ { i + 1 } \varphi _ { i + 1 } ) \bigr ) \odot \ldots \odot \ ( t _ { k } \varphi _ { k } ) \Bigr ) ( a ) \right\vert _ { \mathbf t = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \mathbf { E } \Big [ \tau ^ { \varepsilon } - \rho ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] \leq h ( U _ { \rho ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - \mathbf { E } \Big [ h ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ) \Big | \mathscr { F } _ { \rho ^ { \varepsilon } } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \| c \| } \gamma } & { \leq \frac { 1 } { \| c \| } ( \mu _ { \mathcal { A } } ( R ( x _ { k } ) ^ { T } c ) - \sigma _ { B } ( S _ { k } ^ { T } c ) + c ^ { T } ( p ( x _ { k } ) - d _ { k } ) } \\ & { = \mu _ { A } ( R ( x _ { k } ) ^ { T } \frac { c } { \| c \| } ) \! - \sigma _ { B } ( S _ { k } ^ { T } \frac { c } { \| c \| } ) + \frac { c ^ { T } } { \| c \| } ( p ( x _ { k } ) \! - \! d _ { k } ) . } \end{array}
\psi _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ b ~ } } = \cos \Big ( \frac { n _ { 2 } ^ { \prime } \pi } { h } z \Big ) R _ { 0 } ( k _ { \rho n _ { 2 } ^ { \prime } } \rho , k _ { \rho n _ { 2 } ^ { \prime } } a ) \quad , n _ { 2 } ^ { \prime } = 0 , 1 , 2 , . . .
\begin{array} { r l } & { - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \mathcal { N } ( m _ { \star } , C _ { \star } ) = \int H ( x ) \frac { e ^ { - \frac { ( \theta - m _ { \star \sigma } ) ^ { 2 } } { 2 C _ { \star \sigma } } } } { \sqrt { 2 \pi C _ { \star \sigma } } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { ( x - m _ { \star } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { i } } & { { } = \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left( \frac { s _ { i } } { s _ { i - 1 } } , \frac { s _ { i - 1 } } { s _ { i } } \right) } \\ { s _ { i } } & { { } = e _ { i + 1 } - e _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } \rho _ { s } ( \tau ) } \\ { \sigma _ { \rho } ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } \left( \rho _ { s } ( \tau ) - \rho ( \tau ) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
- 6 4 1 7 3 8 8 a N ^ { 5 } - 2 1 5 3 9 6 8 4 a ^ { \dag 3 } - 2 8 7 8 7 5 8 4 a ^ { \dag 5 } - 1 5 4 2 0 9 6 a ^ { \dag 7 } - 1 6 3 2 0 a ^ { \dag 9 }
\begin{array} { r l } { P _ { n } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \left[ - e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { - n _ { 0 } } \sum _ { i = n _ { 0 } } ^ { n - 1 } { \binom { i - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { i } \right] } \end{array}
H ( K , u , A ) = [ \frac { i K u } { u ^ { 2 } + A ^ { 2 } } - \frac { u } { ( u ^ { 2 } + A ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } ] e ^ { i K \sqrt { u ^ { 2 } + A ^ { 2 } } } ; \; \; \; A = | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | .
\left\{ \begin{array} { l l l l l } { \textbf { e } _ { r } \; } & { = \sin \theta \cos \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \sin \theta \sin \phi } & { \textbf { e } _ { y } \; + \cos \theta } & { \textbf { e } _ { z } } \\ { \textbf { e } _ { \theta } \; } & { = \cos \theta \cos \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \cos \theta \sin \phi } & { \textbf { e } _ { y } \; - \sin \theta } & { \textbf { e } _ { z } } \\ { \textbf { e } _ { \phi } \; } & { = - \sin \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \cos \phi } & { \textbf { e } _ { y } . } & { } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \hat { U } ( t _ { 0 } , t ; \psi ) = \mathcal { \bar { T } } \exp \left[ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t } ^ { t _ { 0 } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } [ \psi ( t ^ { \prime } ) ] d t ^ { \prime } \right] } \\ & { = \mathcal { \bar { T } } \exp \left[ \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } [ \psi ( t ^ { \prime } ) ] d t ^ { \prime } \right] = \hat { U } ( t , t _ { 0 } ; \psi ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { \mathcal { Z } ^ { ( 2 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } - \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \, \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq { \mathrm { e } } ^ { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { 1 , 3 } } \, \frac { \sqrt { g _ { \mathrm { s } } } \left( U ^ { 2 } + 5 \right) ^ { 7 / 8 } \left( 2 \gamma _ { \mathrm { E } } + \log \left( \frac { 5 0 0 \sqrt { 1 0 } \left( 5 - U \right) ^ { 5 } U ^ { 2 } } { g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \left( U ^ { 2 } + 5 \right) ^ { 7 / 2 } } \right) \right) } { 4 \, \sqrt [ 8 ] { 2 } \cdot 5 ^ { 7 / 8 } \, \pi ^ { 3 / 2 } \left( 5 - U \right) ^ { 5 / 4 } \sqrt { U } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \Hat { D } ^ { \ast } F ( x , y ) ( y ^ { \ast } ) } & { : = \big \{ x ^ { \ast } \in { \mathbb { R } ^ { n } } \; \big | \; ( x ^ { \ast } , - y ^ { \ast } ) \in \Hat { N } \big ( ( x , y ) ; \operatorname { g p h } F \big ) \big \} , } \\ { { D } ^ { \ast } F ( x , y ) ( y ^ { \ast } ) } & { : = \big \{ x ^ { \ast } \in { \mathbb { R } ^ { n } } \; \big | \; ( x ^ { \ast } , - y ^ { \ast } ) \in N \big ( ( x , y ) ; \operatorname { g p h } F \big ) \big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \left( \eta ^ { ( \omega ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } | { \mathcal D } _ { n } \right) } & { \geq \mathbf E _ { i = n } H \left( \nu _ { x , i } ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } * \tau ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } | { \mathcal D } _ { n } \right) } \\ & { = \mathbf E _ { i = n } H ( \nu _ { x , i } ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } * \tau ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } ) - O ( 1 ) , } \end{array}
\lambda _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 i } a ( a - a ^ { \dagger } ) a ^ { \dagger } \; , \; \lambda _ { 7 } = \frac { 1 } { i \sqrt { 2 } } a ^ { \dagger } ( a - a ^ { \dagger } ) a \; , \; \lambda _ { 5 } = \frac { 1 } { i \sqrt { 2 } } ( a ^ { 2 } - a ^ { \dagger \, 2 } )
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { n } } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \simeq \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { N } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ^ { \binom { n - 1 } { k - 1 } } \times \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { D } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ^ { \binom { n - 1 } { k } } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { { } = f ( y _ { t } , \ t ) } \\ { k _ { 2 } } & { { } = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 3 } } & { { } = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 4 } } & { { } = f \left( y _ { t + h } ^ { 3 } , \ t + h \right) = f \left( y _ { t } + h k _ { 3 } , \ t + h \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { q q \pi } \: \: = \: \: i { \frac { g _ { A } ^ { q } } { 2 f _ { \pi } } } \: \bar { \psi } _ { q } \, \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \, \partial _ { \mu } \, \pi _ { a } \tau _ { a } \, \psi _ { q } .
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } } & { { } = 4 D t + 2 \tau _ { \theta } ^ { 2 } v _ { c } ^ { 2 } \left( \frac { t } { \tau _ { \theta } } + e ^ { - t / \tau _ { \theta } } - 1 \right) , } \end{array}
\footnotesize \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { B } _ { i } ^ { i } } & { \mathbf { B } _ { i } ^ { i + 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { C } _ { i } ^ { i } \mathbf { K } _ { 2 1 } ^ { i } } & { \mathbf { C } _ { i } ^ { i } \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { i } } & { \mathbf { C } _ { i } ^ { i + 1 } \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { i + 1 } } & { \mathbf { C } _ { i } ^ { i + 1 } \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { i + 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } _ { i - 1 } ^ { i } } \\ { \mathbf { u } _ { i } ^ { i } } \\ { \mathbf { u } _ { i } ^ { i + 1 } } \\ { \mathbf { u } _ { i + 1 } ^ { i + 1 } } \end{array} \right] = \mathbf { 0 } .
\frac { { \partial | \bar { S } | } } { { \partial { { \bar { u } } _ { k } } } } = \frac { { \partial | \bar { S } | } } { { \partial { { \bar { S } } _ { i j } } } } \frac { { \partial { { \bar { S } } _ { i j } } } } { { \partial { { \bar { u } } _ { k } } } } = \frac { { { { \bar { S } } _ { i j } } } } { { | \bar { S } | } } \left( { \frac { { \partial { \delta _ { i k } } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial { \delta _ { j k } } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { j } ^ { \prime } } \\ { = } & { \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \cdot ( \sum _ { i ^ { \prime } = 1 , i ^ { \prime } \neq i } ^ { n } \frac { v _ { i ^ { \prime } } ( j ) } { 1 - \sum _ { \tilde { j } = 1 } ^ { j ^ { \prime } - 1 } v _ { i ^ { \prime } } ( \tilde { j } ) } ) - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \cdot ( \varepsilon ^ { j - j ^ { \prime } } f _ { j } ) } { f _ { j } + \sum _ { i ^ { \prime } \neq i } \frac { v _ { i ^ { \prime } } ( j ) } { 1 - \sum _ { \tilde { j } = 1 } ^ { j - 1 } v _ { i ^ { \prime } } ( \tilde { j } ) } } , } \end{array}
\bigl ( M ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 2 } \bigr ) \, \Psi _ { 2 } ^ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ( \vec { k } , x ) = { \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } } } \; \bigl [ B . \; E . \bigr ] + { \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } } } \, \bigl ( M ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 2 } \bigr ) \, \sigma _ { ( M ^ { 2 } ) } \, \Psi _ { 2 } ^ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ( \vec { k } , x ) ,
\phi ( x ^ { p } ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { { - \phi _ { * } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { x ^ { p } \to - \infty } } \\ { { \phi _ { * } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { x ^ { p } \to + \infty } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R a _ { c } ) \mathbf { \Psi } _ { 2 } } & { = \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { 1 } { P r } f _ { 1 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 1 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \displaystyle \frac { 1 } { P r } \left( f _ { 1 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { P r } f _ { 2 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 2 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \displaystyle \frac { 1 } { P r } \left( f _ { 2 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { \hphantom { f _ { 2 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + } \left( A _ { 1 Z } f _ { 3 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) \hphantom { + \left( f _ { 2 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } } \\ { f _ { 4 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 4 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \left( f _ { 4 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { L e f _ { 4 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 4 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + L e \left( f _ { 4 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \end{array} \right) } _ { \displaystyle \mathcal { N } _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } + \int _ { t ^ { * } } ^ { \operatorname* { m i n } ( T , t ^ { * } + \tau ) } \right) \phi ( t , x ( t - \tau ) ) d t } \\ & { \qquad = \left( \int _ { - \tau } ^ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( t ^ { * } , T - \tau ) } \right) \phi ( t ^ { \prime } + \tau , x ( t ) ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\sum _ { s = 0 } ^ { N / r - 1 } \exp \left( 2 \pi i \frac { s } { N / r } \left( h - \tilde { h } \right) \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { ~ ~ \mathrm { i f ~ } h - \tilde { h } = 0 ~ \mathrm { m o d } ~ N / r } } \\ { { 0 } } & { { ~ ~ \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
\mathbf { w } _ { 1 } \in C ( [ 0 , T ] ; L _ { \sigma } ^ { 2 } ( \Omega ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } ) \cap H ^ { \frac 1 2 } ( 0 , T ; L _ { \sigma } ^ { 2 } ( \Omega ) )
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { 0 , k } ^ { ( 3 ) } } & { { } - \alpha _ { k } \Delta \psi _ { 0 , k } ^ { ( 3 ) } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = \infty } ^ { \infty } \bigg ( \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 1 , j } ^ { ( 2 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } + \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 2 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle \psi | { \bigl ( } A | \phi \rangle { \bigr ) } = { \bigl ( } \langle \psi | A { \bigr ) } | \phi \rangle \, } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \, \langle \psi | A | \phi \rangle } \\ { { \bigl ( } A | \psi \rangle { \bigr ) } \langle \phi | = A { \bigl ( } | \psi \rangle \langle \phi | { \bigr ) } \, } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \, A | \psi \rangle \langle \phi | } \end{array} }
V ( \Phi ) \ = \ T _ { 2 } + g T _ { 4 } + { \frac { h } { 2 } } { T _ { 2 } } ^ { 2 } \qquad \makebox { a n d } \qquad T _ { n } \ = \ { \frac { 1 } { N } } \ \makebox { t r } \left[ { \frac { \Phi ^ { n } } { n } } \right]
\begin{array} { r l } { F ( { \mathbf x } _ { N } ) } & { = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + R ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \langle { \boldsymbol \nabla } _ { n } - \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle } \\ & { \quad + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle , } \end{array}
\mathbf { x } = ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) \mapsto \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { 1 j } x _ { j } , \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { 2 j } x _ { j } , \ldots , \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { m j } x _ { j } \right)
V ( y ) = { \frac { 4 K ^ { 2 } } { 8 1 a ^ { 4 } } } { \frac { 4 - 9 a ^ { 2 } } { ( 1 - K | y | ) ^ { 2 } } } - { \frac { 8 K } { 9 a ^ { 2 } } } \delta ( y ) .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { L M } } = \sum _ { n } ^ { N _ { M } } \sum _ { q } - i \frac { \Omega _ { R } } { 2 } \sqrt { \frac { E _ { n } } { N _ { M } \hbar \omega _ { q } } } \left( e ^ { i q x _ { n } } \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } - e ^ { - i q x _ { n } } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { b } _ { n } \right) \, . } \end{array}
\mathbf { F } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { \kappa ^ { 2 } } & { \cdots } & { \kappa ^ { \textit { n } - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \kappa ^ { \textit { n } - 1 } } & { \cdots } & { \kappa ^ { ( \textit { n } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right)
p _ { F } ( F ) = \frac { k _ { 0 } } { \dot { F } } \exp { \Big [ \beta \chi ^ { \ddag } F - \frac { k _ { 0 } } { \dot { F } \beta \chi ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { \beta \chi ^ { \ddag } F } \Big ] } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } _ { A } F _ { A } ^ { H } = - \varsigma _ { A } \mathcal { D } _ { A } \theta _ { A } - \pi _ { A } \mathcal { D } _ { A } ( 1 / { \rho _ { A } } ) , } \\ { \mathcal { D } _ { B } F _ { B } ^ { H } = - \varsigma _ { B } \mathcal { D } _ { B } \theta _ { B } - \pi _ { B } \mathcal { D } _ { B } ( 1 / { \rho _ { B } } ) , } \\ { \mathcal { D } _ { S } F _ { S } ^ { H } = - \varsigma _ { S } \mathcal { D } _ { S } \theta _ { S } - \pi _ { S } \mathcal { D } _ { S } ( 1 / { \rho _ { S } } ) , } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { D } _ { A } F _ { A } ^ { G } = - \varsigma _ { A } \mathcal { D } _ { A } \theta _ { A } + ( 1 / { \rho _ { A } } ) \mathcal { D } _ { A } \pi _ { A } , } \\ { \mathcal { D } _ { B } F _ { B } ^ { G } = - \varsigma _ { B } \mathcal { D } _ { B } \theta _ { B } + ( 1 / { \rho _ { B } } ) \mathcal { D } _ { B } \pi _ { B } , } \\ { \mathcal { D } _ { S } F _ { S } ^ { G } = - \varsigma _ { S } \mathcal { D } _ { S } \theta _ { S } + ( 1 / { \rho _ { S } } ) \mathcal { D } _ { S } \pi _ { S } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { a ( l _ { 0 } , m _ { 0 } , l ^ { \prime } ) = ( - 1 ) ^ { m _ { 0 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sqrt { \frac { ( 4 l + 1 ) ( 2 l _ { 0 } + 1 ) ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) } { 4 \pi } } \left( \begin{array} { l l l } { 2 l } & { l _ { 0 } } & { l ^ { \prime } } \\ { 0 } & { m _ { 0 } } & { - m _ { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 2 l } & { l _ { 0 } } & { l ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) c _ { l } } \end{array}
\hat { Y } _ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) = \underbrace { - \frac { \big ( g N \sin \theta \sqrt { \kappa } / 2 \big ) } { \big ( i \omega - \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega - \lambda _ { - } \big ) } } _ { R ( \omega ) } \hat { \Delta } ( \omega ) + \underbrace { \frac { \big ( i \omega + \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega + \lambda _ { - } \big ) } { \big ( i \omega - \lambda _ { + } \big ) \big ( i \omega - \lambda _ { - } \big ) } \delta \hat { Y } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } _ { \hat { N } ( \omega ) } ,
\begin{array} { r l r } { u _ { j + 1 } - 2 u _ { j } + u _ { j - 1 } } & { = - \frac { g _ { x } \Delta y ^ { 2 } } { \mu } \rho _ { j } \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \rho _ { j + 1 } \theta _ { j + 1 } - \rho _ { j } \theta _ { j } } & { = \rho _ { j } g _ { y } \Delta y \quad } & { 1 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \mu \left( u _ { j + 1 } - u _ { j - 1 } \right) ^ { 2 } + 4 \lambda \left( \theta _ { j + 1 } - 2 \theta _ { j } + \theta _ { j - 1 } \right) } & { = 0 \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { I = \left( \begin{array} { c c c } { I _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { I _ { 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \Big ( 1 - \frac 3 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } + \Big ( 1 - \lambda _ { 2 } - \frac 1 2 \lambda _ { 1 } \Big ) } \\ & { \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } + \Big ( 1 - \lambda _ { 3 } - \frac 1 2 \lambda _ { 1 } \Big ) \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } X ( t ) ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } } \\ & { + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 l ^ { ( s ) } } ( z ^ { s } ) ^ { T } \tilde { D } ^ { ( s ) } z ^ { s } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbf { \mathrm { T } } _ { O _ { 1 } } ^ { \mathbf { f } _ { i } } = ( \mathbf { O } - \mathbf { O } _ { 1 } ) \times \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbf { f } _ { i } \right) = ( \mathbf { O } - \mathbf { O } _ { 1 } ) \times \mathbf { F } = \mathbf { \mathrm { T } } _ { O _ { 1 } } ^ { \mathbf { F } }
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \left( \sum _ { i } ( v _ { i } ^ { T } x ) v _ { i } \right) ^ { T } M \left( \sum _ { j } ( v _ { j } ^ { T } x ) v _ { j } \right) } \\ { = { } } & { { } \left( \sum _ { i } ( v _ { i } ^ { T } x ) v _ { i } ^ { T } \right) \left( \sum _ { j } ( v _ { j } ^ { T } x ) v _ { j } \lambda _ { j } \right) } \\ { = { } } & { { } \sum _ { i , j } ( v _ { i } ^ { T } x ) v _ { i } ^ { T } ( v _ { j } ^ { T } x ) v _ { j } \lambda _ { j } } \\ { = { } } & { { } \sum _ { j } ( v _ { j } ^ { T } x ) ( v _ { j } ^ { T } x ) \lambda _ { j } } \\ { = { } } & { { } \sum _ { j } ( v _ { j } ^ { T } x ) ^ { 2 } \lambda _ { j } \leq \lambda _ { n } \sum _ { j } ( v _ { j } ^ { T } x ) ^ { 2 } } \\ { = { } } & { { } \lambda _ { n } x ^ { T } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \alpha } } & { = X _ { \alpha / 0 } + \chi _ { \alpha \beta } \delta \mu _ { \beta } + \nu _ { \alpha i } \delta m _ { i } + \kappa _ { \alpha P } \delta K _ { P } , } \\ { N _ { i } } & { = N _ { i / 0 } + \chi _ { i \alpha } \delta \mu _ { \alpha } + \nu _ { i j } \delta m _ { j } + \kappa _ { i P } \delta K _ { P } , } \\ { R _ { P } } & { = R _ { P / 0 } + \chi _ { P \alpha } \delta \mu _ { \alpha } + \nu _ { P i } \delta m _ { i } + \kappa _ { P Q } \delta K _ { Q } . } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ a ~ b ~ c ~ } } = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } \tilde { q } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { \left| \beta _ { 2 } \left( \tilde { q } \right) \right| ^ { 2 } } { \sqrt { 3 \tilde { q } ^ { 2 } / 4 + \tilde { E } _ { 1 2 3 } - \tilde { E } _ { 2 2 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { t } ^ { + \infty } x ^ { k } e ^ { - \tau ( x ) } \, d x } & { = \int _ { \tau ( t ) } ^ { + \infty } ( x ( \tau ) ) ^ { k } e ^ { - \tau } \frac { d x } { d \tau } \, d \tau } \\ & { \leq \int _ { \tau ( t ) } ^ { + \infty } \frac { \tau ^ { 2 k } } { a ^ { 2 k } } e ^ { - \tau } \frac { \tau ^ { 2 } } { a ^ { 3 } } \, d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { a ^ { 2 k + 3 } } \int _ { \tau ( t ) } ^ { + \infty } \tau ^ { 2 k + 2 } e ^ { - \tau } \, d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { a ^ { 2 k + 3 } } \Gamma ( 2 k + 3 , \tau ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { 1 / 2 } ( Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } ) = } & { - \beta U ^ { 1 / 2 } \int _ { s = 0 } ^ { 1 } J _ { Q } ( \theta ( s ) ) \left( J _ { \mu } ^ { k } ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \right) ^ { - 1 } U ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( Q ^ { k } - T Q ^ { k } ) d s } \\ { = } & { \underbrace { - \beta U ^ { 1 / 2 } \int _ { s = 0 } ^ { 1 } J _ { Q } ( \theta ^ { k } ) ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \left( J _ { \mu } ^ { k } ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \right) ^ { - 1 } U ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( Q ^ { k } - T Q ^ { k } ) d s } _ { - \beta U ^ { 1 / 2 } ( Q ^ { k } - T Q ^ { k } ) } } \\ & { \underbrace { - \beta U ^ { 1 / 2 } \int _ { s = 0 } ^ { 1 } \left( J _ { Q } ( \theta ( s ) ) - J _ { Q } ( \theta ^ { k } ) \right) ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \left( J _ { \mu } ^ { k } ( J _ { \mu } ^ { k } ) ^ { \top } \right) ^ { - 1 } U ^ { 1 / 2 } ( Q ^ { k } - T Q ^ { k } ) d s } _ { \textcircled { 1 } } . } \end{array}
+ \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } \sqrt { g } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 \pi G } \int d ^ { 3 } x \sqrt { h } ( 1 - l _ { p } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } ) T r K ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l } { \Phi : } & { \mathbb { C } \setminus \left( \bigcup _ { \alpha \in Y ^ { * } } \sigma ( \mathcal { C } ^ { \alpha } ) \cup W \right) \times \mathbb { C } ^ { * } } & { \longrightarrow } & { \mathbb { C } \times \mathbb { C } } \\ & { ( \omega ^ { - } , \omega ^ { + } ) } & { \longmapsto } & { ( V _ { 1 } ^ { d e f } ( \omega ^ { - } ) , b ) , } \end{array} } \end{array}