harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { 2 \pi } \left| \frac { d \lambda } { d x } \right| = \frac { 1 } { 2 \pi } \left| \frac { \frac { d \lambda } { d x } \cdot \lambda } { \lambda } \right| \equiv \frac { 1 } { 2 \pi } \left| \frac { \delta \lambda } { \lambda } \right| \ll 1
H _ { \mathrm { F I } } = E _ { \mathrm { A V G } } + \sum _ { 1 , 2 , 3 } F ^ { k } f _ { k } + \zeta _ { 4 f } A _ { \mathrm { S O } } + \alpha L ( L + 1 ) + \beta G ( G _ { 2 } ) + \gamma G ( R _ { 7 } ) + \sum _ { i = 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } T ^ { i } t _ { i } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \nu \mathbf { 1 } + T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } + \frac { 1 } { \tau _ { \lambda } } ( \lambda ^ { \prime } - \lambda ) , } \\ { \bar { u } _ { \lambda } } & { { } = u _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( T \lambda - y _ { \lambda } ) . } \end{array}
L _ { F } = 2 \ \frac { { \bf E } \Gamma r _ { 0 } ^ { 4 } } { { \bf l } ^ { 3 } } \int _ { R ^ { * } / { \bf l } } ^ { \infty } \frac { u ^ { 2 } + u _ { R } ^ { 2 } } { ( u ^ { 2 } - u _ { R } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \frac { u } { ( u ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } } d u
\mathbf { F } _ { P } ^ { \alpha \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - 6 \pi \mu a V _ { r e f } \left( \frac { R _ { r e f } ^ { 2 } - | \mathbf { r } | ^ { 2 } } { R _ { r e f } ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } } \right) ^ { 6 } \frac { \mathbf { r } } { | \mathbf { r } | } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ \ } \quad | \mathbf { r } | < R _ { r e f } , } \\ { \displaystyle \quad 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ \ } } \end{array} \right.
S _ { \{ i \} } = \frac { \mathbb { V } [ \mathbb { E } [ Y | X _ { \{ i \} } ] ] } { \mathbb { V } [ Y ] } \, , \quad S _ { i } ^ { t o t } = 1 - \frac { \mathbb { V } [ \mathbb { E } [ Y | X _ { - i } ] ] } { \mathbb { V } [ Y ] }
\dot { P } _ { \| } \; \equiv \; \{ P _ { \| } , \; { \cal H } _ { \mathrm { g c } } \} _ { \mathrm { g c } } \; = \; e \, { \bf E } ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { { \bf B } ^ { * } } { B _ { \| } ^ { * } } ,
\frac { \mathrm { d } l } { l } = - 2 \frac { \mathrm { d } r } { r } \rightarrow \enspace - 0 . 5 \frac { \mathrm { d } l } { l } = \frac { \mathrm { d } r } { r } \rightarrow - \nu \frac { \mathrm { d } l } { l } = \frac { \mathrm { d } r } { r }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 3 } \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array}
A ( \rho ) \, = \, \Phi _ { 0 } ^ { \prime } \bigl ( \eta _ { 0 } ( \rho ) \bigr ) \, = \, \frac { \partial _ { R } \phi _ { 0 } } { \partial _ { R } \eta _ { 0 } } \, = \, \frac { \partial _ { Z } \phi _ { 0 } } { \partial _ { Z } \eta _ { 0 } } \, = \, \frac { 4 } { \rho ^ { 2 } } \Bigl ( e ^ { \rho ^ { 2 } / 4 } - 1 \Bigr ) \, , \qquad \rho > 0 \, .
\begin{array} { r l } { { 6 } F ( \mathbf w ^ { * } , \mathbf r ^ { * } ) - F ( \tilde { \mathbf w } , \mathbf r ^ { * } ) = } & { 2 \langle \tilde { \mathbf w } - \mathbf w ^ { * } , \mathbf g + \mathbf r ^ { * } \rangle = - 2 \langle \left[ \langle \mathbf w ^ { * } , \mathbf g \rangle - B \right] \mathbf g , \mathbf g + \mathbf r ^ { * } \rangle } \\ { = } & { - 2 ( \langle \mathbf w ^ { * } , \mathbf g \rangle - B ) - 2 \langle [ \langle \mathbf w ^ { * } , \mathbf g \rangle - B ] \mathbf g , \mathbf r ^ { * } \rangle } \\ { \leq } & { - 2 [ \langle \mathbf w ^ { * } , \mathbf g \rangle - B ] ( 1 - \| \mathbf g \| \| \mathbf r ^ { * } \| ) < 0 . } \end{array}
\psi _ { _ { ( \alpha ) } } ^ { 2 } ( x ) = ( \frac { \mu } { 2 \pi } ) ^ { ^ { 1 / 2 } } { \cal K } ( \phi _ { 1 } ) \, { \cal K } ( \phi _ { 3 } ) \, : e ^ { - i \sqrt { \pi } \{ \int _ { - \infty } ^ { x } d z ^ { 1 } \pi _ { _ 2 } ( z ) + \gamma _ { _ { \alpha \alpha } } ^ { 5 } \phi _ { _ 2 } ( x ) \} } : ,
P _ { \mathrm { ~ G ~ C ~ } } ( k ^ { \prime } | k , l ) = \frac { z _ { 3 } ( l - 1 ) + z _ { 2 } ( k + k ^ { \prime } - 2 ) } { z _ { 3 } ( l - 1 ) + z _ { 2 } k } \frac { k ^ { \prime } P ( k ^ { \prime } ) } { z _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( 2 ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { t } { 2 } } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 } { e } } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = \sqrt { \frac { 2 \pi } { e } } } \\ & { \leq \sqrt { \pi } e ^ { - 1 / 6 } 2 ^ { 1 / 4 } } \\ & { \leq \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) } = \Gamma ( 1 ) B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } } & & { = C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] , } \\ & { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } } & & { = 2 C _ { t } + 2 C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] C _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { N S } \rho } & { { } = - \rho ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) , } \\ { D _ { t } ^ { N S } u _ { \alpha } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } p + \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } \left( \varepsilon \mu \Pi _ { \alpha \beta } \right) , } \\ { D _ { t } ^ { N S } T } & { { } = - \frac { 2 } { 3 } T ( \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } ) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) \left( \varepsilon \mu \Pi _ { \alpha \beta } \right) ( \partial _ { \beta } u _ { \alpha } ) + \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T } { p } \right) \partial _ { \alpha } \left( \varepsilon \lambda \partial _ { \alpha } T \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { T } ^ { r } - Y _ { t } ^ { r } } & { = \int _ { t } ^ { T } r _ { s } d s = \int _ { t } ^ { T } r _ { t } e ^ { - \theta _ { r } ( s - t ) } d s + \int _ { t } ^ { T } \int _ { t } ^ { s } e ^ { - \theta _ { r } ( s - u ) } d g _ { u } ^ { r } d s } \\ & { = r _ { t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T - t ) } } { \theta _ { r } } \right) + \int _ { t } ^ { T } \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T - u ) } } { \theta _ { r } } d g _ { u } ^ { r } } \end{array}
\mathrm { ~ A ~ p ~ E ~ n ~ } _ { x , y } = \frac { \mathrm { ~ A ~ p ~ E ~ n ~ } _ { x } } { \operatorname* { m a x } { \mathrm { ~ A ~ p ~ E ~ n ~ } _ { x } } } + \frac { \mathrm { ~ A ~ p ~ E ~ n ~ } _ { y } } { \operatorname* { m a x } { \mathrm { ~ A ~ p ~ E ~ n ~ } _ { y } } } ,
\| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| - \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| \leq \sigma _ { k } \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| ,
U _ { 2 } a _ { - } ( x _ { \perp } ) U _ { 2 } ^ { \dagger } = a _ { - } ( x _ { \perp } ) - \frac { 1 } { 2 L } \left( { \cal G } _ { ( \perp ) } [ 0 ] \ast \rho _ { 2 } \right) ( x _ { \perp } ) .
R _ { 1 2 } ^ { + } ( \zeta _ { 1 } / \zeta _ { 2 } ) \L { 1 } ( \zeta _ { 1 } ) \L { 2 } ( \zeta _ { 2 } ) = \L { 2 } ( \zeta _ { 2 } ) \L { 1 } ( \zeta _ { 1 } ) R _ { 1 2 } ^ { * + } ( \zeta _ { 1 } / \zeta _ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\langle 0 | \bar { u } \gamma _ { 5 } d | \pi ^ { - } \rangle = \langle \pi ^ { - } | \bar { d } \gamma _ { 5 } u | 0 \rangle = i \sqrt { 2 } { \frac { f _ { \pi } m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { u } + m _ { d } } } ;
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \boldsymbol { z } _ { j } , \boldsymbol { \lambda } ) } & { = \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) \mathrm { P r } ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } | \boldsymbol { z } _ { j } , \boldsymbol { \lambda } ) } \\ & { = \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } z _ { j , \mathbb { P } , w } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) = \prod _ { w = 1 } ^ { W } \prod _ { \mathbb { P } } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) ^ { z _ { j , \mathbb { P } , w } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { J } = \sqrt { 2 X _ { J } } - f ( \phi ) = \left( \frac { 2 \omega + 3 } { 1 6 \pi \phi } \right) ^ { - 1 / 2 } \left\{ \sqrt { 2 \tilde { X } } - \tilde { f } ( \phi ) \right\} = \left( \frac { 2 \omega + 3 } { 1 6 \pi \phi } \right) ^ { - 1 / 2 } \tilde { \mu } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N _ { \mathrm { p e r } } ( g , q ) = { [ ( q + 1 ) ! ! ] } ^ { \frac { 2 } { q ( q + 3 ) } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } - \frac { 2 } { q ( q + 3 ) } } \times } \\ & { \quad { ( q + 1 ) } ^ { - \frac { 2 ( q + 2 ) } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } + \frac { q + 2 } { q + 3 } g + \frac { ( q + 1 ) { ( q + 2 ) } ^ { 2 } } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\langle \mathbf { v } ^ { i } ( \mathbf { k } , t ) \mathbf { v } ^ { j } ( \mathbf { k } , t ) \rangle = J ( k ) ( \mathbf { I } - \hat { \mathbf { k } } \hat { \mathbf { k } } ) \delta _ { \mathbf { k } , t }
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } } & { = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } \\ & { + \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } \\ { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } & { = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } } \\ & { + \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \mathbb { E } [ \langle \tilde { e } _ { k } ^ { x } , q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k + 1 } ^ { x } \rangle | \mathcal { F } _ { k + 1 } ^ { \prime } ] ] = 0 , } \\ { \mathbb { E } [ \mathbb { E } [ \langle \tilde { e } _ { k } ^ { x } , q _ { k } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { x } \rangle | \mathcal { F } _ { k + 1 } ^ { \prime } ] ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } + 2 } \\ { c _ { T } } & { { } = } & { \beta U _ { 3 } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } } \\ { c _ { T T } } & { { } = } & { \beta U _ { 3 } ( \beta U _ { 3 } - 2 ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( x ) \uparrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \uparrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \downarrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \downarrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \nrightarrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nrightarrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \gets ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \gets Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \uparrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \uparrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \downarrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \downarrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \nrightarrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nrightarrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \gets ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { { } \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \gets Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { j } - \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } | } & { \leq 0 . 1 \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + 2 . 1 C _ { 3 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) } \\ & { \leq C _ { 5 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { P F I B M } _ { T _ { \mathbf { P } } } ^ { p , q } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } ) } \\ & { = \left\langle \Bigg [ 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { p } \mu _ { \alpha _ { j } } ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p + q } } , ~ 0 , ~ 1 \! - \right. } \\ & { \left. \Bigg [ 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { p } \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { W } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { { } \left( \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d } { \mathbf { W } _ { i , j } } } \right) ^ { - 1 } \left[ - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } _ { \mathbf { a } } } & { = \mathrm { t r } \left( \mathbf { a } \right) = 0 } \\ { \mathrm { I I } _ { \mathbf { a } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \left( \mathbf { a } ^ { 2 } \right) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \\ { \mathrm { I I I } _ { \mathbf { a } } } & { = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { a } \right) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \end{array}
\Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { \alpha ( 1 - \gamma ) } { 4 } \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } + \frac { 5 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { X ( u , v ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n _ { 1 } } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 2 } } P _ { i , j } ^ { x } N _ { i , p } ( u ) N _ { j , q } ( v ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n _ { 1 } } P _ { i , 0 } ^ { x } N _ { i , p } ( u ) \underbrace { \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { 2 } } N _ { j , q } ( v ) } _ { = 1 } , } \end{array}
( x _ { i + 1 } , f _ { i + 1 } ) \rightarrow f _ { i + 1 } = f _ { i } + \frac { f _ { i } ^ { \prime } } { 1 ! } h + \frac { f _ { i } ^ { \prime \prime } } { 2 ! } h ^ { 2 } \rightarrow f _ { i + 1 } = f _ { i } + h f _ { i } ^ { \prime } + \frac { h ^ { 2 } } { 2 } f _ { i } ^ { \prime \prime }
( \mathcal { V } ^ { + } + t ) \cap ( \mathcal { O } ^ { + } \setminus \partial \mathcal { O } ^ { + } ) = \emptyset \implies ( \mathcal { V } + t ) \cap ( \mathcal { O } \setminus \partial \mathcal { O } ) = \emptyset \implies \mathrm { p e n } ( \mathcal { V } , \mathcal { O } ) \leq a \implies \textup { s d } ( \mathcal { V } , \mathcal { O } ) \geq - a
\mathrm { ~ S ~ t ~ e ~ p ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } \: : \: p ( a _ { i } ^ { m } | \mathcal { \vec { D } } _ { i , d 1 } ^ { m } ) \propto p ( \vec { D } _ { i , d 1 } ^ { m } | a _ { i } ^ { m } ) p ( a _ { i } ^ { m } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ \mathcal { P } _ 1 ~ : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow T \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow q _ { i } [ 4 . 3 ] \rightarrow \partial _ { z z } p [ 4 . 7 ] \rightarrow q _ { c } \rightarrow U \rightarrow \partial _ { z z } q _ { c } \rightarrow \partial _ { z } q _ { v } \rightarrow z _ { g } } \\ { \mathrm { ~ \mathcal { P } _ 2 ~ : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow T \rightarrow q _ { c } q _ { i } \rightarrow \mathrm { R H } \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow T \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 5 . 6 ] \rightarrow q _ { v } \mathrm { R H } [ 6 . 4 ] \rightarrow T \mathrm { R H } [ 7 . 4 ] \rightarrow } \\ & { \mathrm { R H } ^ { 2 } [ 7 . 9 ] \rightarrow \partial _ { z } q _ { v } [ 9 . 2 ] \rightarrow U [ 1 0 . 1 ] } \\ { \mathrm { ~ \mathcal { P } _ 3 ~ : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow T \rightarrow q _ { c } q _ { i } \rightarrow T ^ { 2 } \mathrm { R H } [ 4 . 4 ] \rightarrow \mathrm { R H } ^ { 2 } [ 5 . 4 ] \rightarrow T ^ { 2 } [ 6 . 7 ] \rightarrow \mathrm { R H } \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 7 . 4 ] \rightarrow } \\ & { \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 8 . 3 ] \rightarrow p ^ { 2 } \partial _ { z z } p [ 8 . 8 ] \rightarrow T \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 9 . 4 ] } \\ { \mathrm { N N s : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow q _ { i } \rightarrow q _ { c } \rightarrow T [ 4 . 1 ] \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 4 . 9 ] \rightarrow \partial _ { z z } p [ 6 . 7 ] \rightarrow \partial _ { z } p [ 8 . 1 ] \rightarrow } \\ & { \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 8 . 3 ] \rightarrow \partial _ { z } T [ 1 0 . 0 ] \rightarrow p _ { s } [ 1 0 . 1 ] } \end{array}
= \sigma _ { \psi } \left( W _ { 1 } x _ { w } - W _ { 1 } W ^ { ( 1 ) + } W ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { r \in \mathcal { Z } _ { w } \backslash u } \psi \left( x _ { u } , x _ { r } \right) + W _ { 2 } x _ { v } + b _ { \psi } \right) \equiv \psi ^ { \prime } \left( x _ { w } , x _ { v } \right) .
\begin{array} { r l r } { \left\lvert \frac { \delta B _ { r } } { B _ { 0 } } \right\rvert ^ { 2 } } & { { } \sim } & { \frac { m _ { i } } { 8 \tau \pi ^ { 3 / 2 } e ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \frac { \overline { { \gamma _ { L } } } } { \omega _ { T } } \frac { T _ { E } ^ { 2 } } { T _ { i } ^ { 2 } } q ^ { 2 } n _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon ^ { 6 } R _ { 0 } ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { | a ( r , \xi , \tau ) | ^ { 2 } } { | a _ { 0 } | ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \xi ) } = \left\{ 1 - 2 \left( \epsilon _ { w } + \frac { \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) } { \omega _ { w } } \right) \left( \cos [ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) ] - 1 \right) \right\} } & { \mathrm { L G } _ { 0 0 } ^ { 2 } ( r ) } \\ { + \left\{ 2 \epsilon _ { w } \cos \left[ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) - \omega _ { w } \tau \right] + \frac { 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) } { \omega _ { w } } \left( \cos \left[ \Omega _ { s } \tau \cos ( k _ { p 0 } \xi ) - \omega _ { w } \tau \right] - 1 \right) \right\} } & { \mathrm { L G } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { L G } _ { 1 0 } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { p h o } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \times \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } | \psi ^ { m } \rangle \right] } \\ & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \alpha _ { p } ^ { m } e ^ { i 2 \pi z _ { j } p } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { I } \log U _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( z , z ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { d } D _ { I } \log ( x ( \hat { z } ^ { l } ) + y ( \hat { z } ^ { l } ) ) - D _ { I } \log ( x ( z ) + y ( z ) ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { j } } \frac { \lambda } { ( x ( z ) - x ( u _ { j } ) ) ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \exp \{ t ( X - ( p + a ) \} \right] } & { = e ^ { - t ( p + a ) } \mathbb { E } \left[ e ^ { t X } \right] } \\ & { = \frac { e ^ { - t ( p + a ) } e ^ { \frac { a t } { 1 - 2 t } } } { ( 1 - 2 t ) ^ { p / 2 } } } \\ & { = e ^ { \frac { 2 a t ^ { 2 } } { 1 - 2 t } } \frac { e ^ { - p t } } { ( 1 - 2 t ) ^ { p / 2 } } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } t < \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L e _ { I } } & { = \frac { \sigma ^ { 2 } } 2 \Big ( 2 e _ { I ^ { \prime \prime } } \shuffle ( e _ { 2 } \otimes e _ { 2 } ) + 2 S _ { 0 } e _ { I ^ { \prime \prime } } \shuffle e _ { 2 } + S _ { 0 } ^ { 2 } e _ { I ^ { \prime \prime } } \Big ) 1 _ { \{ i _ { | I | } = i _ { | I | - 1 } = 2 \} } + e _ { I ^ { \prime } } 1 _ { \{ i _ { | I | } = 1 \} } . } \end{array}
\frac { d \widehat { \Gamma } } { d \cos \theta } = \frac { 3 } { 8 } ( \widehat { \Gamma } _ { U } + 2 \widehat { \Gamma } _ { L } ) ( 1 + \alpha _ { \theta } \cos \theta + \beta _ { \theta } \cos ^ { 2 } \theta ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { i \sim \pi ( x _ { s } ; \phi ) } \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ \ell ( f ( x _ { s } \cup { \mathbf { x } } _ { i } ; \theta ^ { * } ) , { \mathbf { y } } ) \big ] } & { = \sum _ { i \in [ d ] } \pi _ { i } ( x _ { s } ; \phi ) \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ \ell \big ( f ( x _ { s } \cup { \mathbf { x } } _ { i } ; \theta ^ { * } ) , { \mathbf { y } } \big ) \big ] } \\ & { = \sum _ { i \in [ d ] } \pi _ { i } ( x _ { s } ; \phi ) \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } [ H ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } } & { { } = \sum _ { i \in V } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { 1 } [ i \in B ] ( 1 - P _ { I } ^ { i } ( t ) ) \ln ( 1 - P _ { I } ^ { i } ( t ) ) } \end{array}
M _ { \pi } ^ { 2 } \simeq \left( \frac { - 2 \langle \overline { { { \psi } } } \psi \rangle _ { R } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } \right) _ { \mathrm { \footnotesize ~ c h i r a l ~ l i m i t } } m _ { R } \, .
{ \cal V } _ { \mathrm { e f f } } = A \sum _ { i = 2 , 3 } | U _ { i 3 } | ^ { 2 } \bar { m } _ { u _ { i } } ^ { 2 } + B \sum _ { i = 2 , 3 } | V _ { i 3 } | ^ { 2 } \bar { m } _ { d _ { i } } ^ { 2 } + C \sum _ { i , j = 2 , 3 } | K _ { i j } | ^ { 2 } \bar { m } _ { u _ { i } } ^ { 2 } \bar { m } _ { d _ { i } } ^ { 2 } \ ,