harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { i \omega \delta \tilde { Q } _ { x x } - ( B _ { 1 } + \frac { \zeta \lambda \sin ^ { 2 } 2 \theta } { 2 \eta } ) \delta \tilde { Q } _ { x x } - B _ { 2 } \delta \tilde { Q } _ { x y } = 0 , } \\ & { i \omega \delta \tilde { Q } _ { x y } - ( B _ { 1 } + \frac { \zeta \lambda \cos ^ { 2 } 2 \theta } { 2 \eta } ) \delta \tilde { Q } _ { x y } - B _ { 2 } \delta \tilde { Q } _ { x x } = 0 , } \end{array}
\operatorname { T r } \rho _ { A } ^ { n } = \prod _ { k = - \frac { n - 1 } { 2 } } ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \bigg | \frac { 2 \pi \epsilon \eta ( \tau ) ^ { 3 } } { \theta _ { 1 } ( \ell | \tau ) } \bigg | ^ { \frac { 2 k ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } \frac { | \theta _ { \nu } ( \frac { k \ell } { n } | \tau ) | ^ { 2 } } { | \theta _ { \nu } ( 0 | \tau ) | ^ { 2 } } ,
\ddot { \varphi } _ { c } + 3 \frac { \dot { R } } { R } \dot { \varphi } _ { c } + ( m ^ { 2 } + 3 \lambda \langle \hat { \phi } _ { f } ^ { 2 } \rangle ) \varphi _ { c } + \lambda ( \varphi _ { c } ^ { * } \varphi _ { c } ) \varphi _ { c } = 0 .
\begin{array} { r } { \delta H _ { k i } ^ { ( 1 ) } \simeq \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } J _ { k } \left( \delta \phi _ { k } ^ { ( 1 ) } + \frac { \omega _ { d i } } { \omega } \delta \phi _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \eta , \eta ) = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } } \eta + { { \frac { { 1 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) G ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } \widehat { G } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { \boldmath { ~ F ~ } } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bar { r } } / { R } + \varepsilon ^ { 2 } { u ^ { * } } / { R } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ( { a } ( S ) ) + \varepsilon ^ { 2 } v _ { S } ^ { * } } & { \varepsilon v _ { R } ^ { * } } \\ { 0 } & { \varepsilon \bar { r } _ { a } { a } ^ { \prime } ( S ) } & { \bar { r } _ { R } + \varepsilon ^ { 2 } u _ { R } ^ { * } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( \bar { x } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( \bar { x } ) + \frac { \kappa } { 2 } \| \bar { x } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \left[ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \right] + \theta \big [ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ) + \frac { \kappa } { 2 } \| x - x ^ { k } \| ^ { 2 } \big ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \big [ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \big ] + \theta \big [ f ( x ) + \omega ( x ) + \frac { \kappa } { 2 } \| x - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \| x - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } \big ] , } \end{array}
I = \frac { 1 } { 2 } \int _ { X } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \left( i \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \ \ a b } R _ { \rho \sigma a b } + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { a b c d } \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \ \ a b } R _ { \rho \sigma } ^ { \ \ c d } \right) d ^ { 4 } x .
\begin{array} { r } { k \; \varepsilon ^ { 1 / 2 } \bar { \nu } ^ { \prime } ( \varepsilon ) - \frac { 1 } { 2 } k \; \varepsilon ^ { 3 / 2 } \bar { \nu } ^ { \prime \prime } ( \varepsilon ) = \int _ { \varepsilon u } ^ { \varepsilon ^ { 2 } } d t \frac { f ( t ^ { 1 / 2 } ) } { 2 t ^ { 3 / 2 } } \times \left[ \bar { \nu } ( \varepsilon - t / \varepsilon ) + \bar { \nu } ( t / \varepsilon - u ) - \bar { \nu } ( \varepsilon ) \right] . } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = \sum _ { i } \big [ \cos \vartheta ( \hat { \vec { S } } _ { i } \cdot \hat { \vec { S } } _ { i + 1 } ) + \sin \vartheta ( \hat { \vec { S } } _ { i } \cdot \hat { \vec { S } } _ { i + 1 } ) ^ { 2 } \big ]
r P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \delta ^ { k } ) + r P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( u _ { k } - \mathit { \hat { u } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { u } } ^ { k } ) \in ( \mathrm { \mathcal { F } } + N _ { \mathrm { \mathcal { C } } } ) ( P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { u } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \delta ^ { k } ) + r ^ { - 1 } P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( u _ { k } - \mathit { \hat { u } } ^ { k } ) ) .
N _ { \mu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } } & { { \rho _ { \mu } ^ { + } } } & { { K _ { \mu } ^ { * + } } } \\ { { \rho _ { \mu } ^ { - } } } & { { - { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } } & { { K _ { \mu } ^ { * 0 } } } \\ { { K _ { \mu } ^ { * - } } } & { { \overline { { K } } _ { \mu } ^ { * 0 } } } & { { \phi _ { \mu } } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l r } { f r a c { \partial f _ { 0 } } { \partial \tau } } & { { } = } & { \sum _ { m } \left[ L ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial L } \left( \frac { 1 } { 9 } m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } L ^ { 6 } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial L } \right) + L ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial L } \left( \frac { 8 ^ { 2 } } { 2 1 ^ { 2 } } L ^ { 8 } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial L } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { w } _ { n + 1 } } & { { } = } & { \left( \tilde { w } _ { n } + \frac { \delta t } { 2 } \left( 3 \left[ - \widetilde { w w _ { z } } + \tilde { \theta } \right] _ { n } - \left[ - \widetilde { w w _ { z } } + \tilde { \theta } \right] _ { n - 1 } e ^ { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \delta t } \right) \right) e ^ { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \delta t } } \\ { \tilde { \theta } _ { n + 1 } } & { { } = } & { \left( \tilde { \theta } _ { n } + \frac { \delta t } { 2 } \left( 3 \left[ - \widetilde { w \theta _ { z } } + \tilde { w } \right] _ { n } - \left[ - \widetilde { w \theta _ { z } } + \tilde { w } \right] _ { n - 1 } e ^ { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \delta t } \right) \right) e ^ { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \delta t } , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } + \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) } } } } } } } }
\Im S _ { a b } ( k ) = - \frac 1 2 \int \! \! \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \rho _ { a } ( p ) \rho _ { b } ( p ^ { \prime } ) ( 1 + n _ { a } ( p _ { 0 } ) + n _ { b } ( p _ { 0 } ^ { \prime } ) ) ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( k - p - p ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { S ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) = } & { { } \frac { 1 } { 6 } \big ( \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) + \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \big ) + \frac { 2 } { 3 } \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) \omega ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) } \end{array}
a _ { 5 } ^ { ( 2 ) } ( b , h ) = \frac { i \Delta _ { T } ^ { 2 } } { 3 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } b _ { y } h _ { y } B _ { y } H _ { y } ( \vec { \tau } _ { 1 } \cdot \vec { \tau } _ { j } ) \; .
D _ { y } ^ { \ast } = \frac { \Delta y } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u _ { y } ) \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f _ { y } } { \partial y } - \frac { \partial \overline { { f _ { y } } } } { \partial y } + \frac { \Delta y } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u _ { y } ) \frac { \partial ^ { 2 } f _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f _ { y } } } { \partial y } } \right] ,
\begin{array} { r l } { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \sqrt { \left[ 4 + 4 \zeta \left( 1 + \cos \phi \right) + 4 \eta \sin { \phi } + 2 \zeta ^ { 2 } \left( 1 + \cos \phi \right) + 2 \eta ^ { 2 } \left( 1 - \cos \phi \right) + 4 \zeta \eta \sin { \phi } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \sqrt { h } } { h } { \mathbb E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { M _ { t } - { X _ { t } ^ { 1 } } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } \right) \right] \right| \leq } \\ & { \| \Psi \| _ { \infty } \| A ^ { 1 } \| _ { \infty } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } \times [ 0 , + \infty [ } { \cal H } \left( \frac { u } { \| A ^ { 1 } \| _ { \infty } } \right) \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } p _ { V } ( m , m - r , \tilde { x } ; t ) d m ~ d \tilde { x } ~ d u . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { m k } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } , } \\ { U _ { m k l } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } e ^ { j \omega _ { 0 } \left( n - 1 \right) \bar { \tau } _ { k l } ^ { r } } , } \\ { T _ { m k } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left( n - 1 \right) \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } , } \\ { T _ { m k l } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left( n - 1 \right) \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } e ^ { j \omega _ { 0 } \left( n - 1 \right) \bar { \tau } _ { k l } ^ { r } } } \\ { V _ { m k } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left( n - 1 \right) ^ { 2 } \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } , } \\ { V _ { m k l } } & { = } & { \underset { n } { \sum } \left( n - 1 \right) ^ { 2 } \left| x _ { n m } \right| ^ { 2 } e ^ { j \omega _ { 0 } \left( n - 1 \right) \bar { \tau } _ { k l } ^ { r } } , } \end{array}
G _ { F } ( x ) : = { \frac { x } { 1 - x } } F \left( { \frac { x } { 1 - x } } \right) = \sum _ { n \geq 0 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } [ z ^ { k } ] F ( z ) \right) x ^ { n + 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \quad x k ^ { 2 } + y k ^ { 2 } + r ( p - k ) ^ { 2 } + s ( p - k ) ^ { 2 } + u ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) + v ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \\ & { = x k ^ { 2 } + y k ^ { 2 } + r ( p ^ { 2 } - 2 p \cdot k + k ^ { 2 } ) + s ( p ^ { 2 } - 2 p \cdot k + k ^ { 2 } ) + u ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \quad + v ( p ^ { 2 } - 2 p \cdot k + k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \\ & { = ( x + y + r + s + u + v ) k ^ { 2 } + ( r + s + v ) p ^ { 2 } - 2 ( r + s + v ) ( p \cdot k ) - ( u + v ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } \\ & { = k ^ { 2 } - 2 ( r + s + v ) + ( r + s + v ) p ^ { 2 } - ( u + v ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } \\ & { = ( k - ( r + s + v ) p ) ^ { 2 } - ( u + v ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\| u ^ { \varepsilon } ( \cdot , \hat { T } ) - v \| _ { _ { L ^ { 1 } } } \leq \| u ^ { \varepsilon } ( \cdot , \hat { T } ) - u _ { 0 } ^ { \varepsilon } \| _ { _ { L ^ { 1 } } } + \| u _ { 0 } ^ { \varepsilon } - v \| _ { _ { L ^ { 1 } } } \leq \int _ { 0 } ^ { \hat { T } } \| u _ { t } ^ { \varepsilon } \| _ { _ { L ^ { 1 } } } + \frac 1 2 \delta \leq \delta .
\begin{array} { r l } { T _ { M , v i r } } & { = \frac { N } { 2 \beta } + \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( x _ { i } ^ { ( j ) } - \Bar { x } _ { i } \right) \partial _ { x _ { i } ^ { ( j ) } } V } \\ { T _ { M , p r i } } & { = \frac { 3 N M } { 2 \beta } - \frac { m M } { 2 \beta ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( x _ { i } ^ { ( j ) } - x _ { i } ^ { ( j - 1 ) } \right) ^ { 2 } } \end{array}
< V > = \int D A _ { i } D A _ { 0 } \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \int d ^ { 3 } x T r \left[ \left( \partial _ { 0 } \vec { A } - \vec { D } A _ { 0 } - T \vec { a } \right) ^ { 2 } + ( \vec { B } ) ^ { 2 } \right] \right\}
\begin{array} { r l } { \dot { \omega } _ { 1 } } & { = \frac { ( I _ { 2 } - I _ { 3 } ) } { I _ { 1 } } \omega _ { 2 } \omega _ { 3 } + \frac { \tau _ { 1 } } { I _ { 1 } } , } \\ { \dot { \omega } _ { 2 } } & { = \frac { ( I _ { 3 } - I _ { 1 } ) } { I _ { 2 } } \omega _ { 3 } \omega _ { 1 } + \frac { \tau _ { 2 } } { I _ { 2 } } , } \\ { \dot { \omega } _ { 3 } } & { = \frac { ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) } { I _ { 3 } } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } + \frac { \tau _ { 3 } } { I _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left( \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { 1 } { t } \ln \left| \frac { \varphi ( x _ { 0 } , t ) - \varphi ( x _ { 0 } + h , t ) } { h } \right| \right) } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln \left| \frac { \partial \varphi ( x _ { 0 } , t ) } { \partial x } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A \mid g ( \mathbf { V } ) = 0 \right) \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B \mid h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } \\ & { \qquad = \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A \mid g ( \mathbf { V } ) = 0 , h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B \mid g ( \mathbf { V } ) = 0 , h ( \mathbf { U } ) = 0 \right) } \\ & { \qquad = \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \in A \mid \mathcal { Q } _ { k } \right) \mathbb { P } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \in B \mid \mathcal { Q } _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } } & { { } = 0 \mathbf { e } _ { 1 } + 3 \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { \mathbf { y } } & { { } = 5 \mathbf { e } _ { 1 } - 3 \mathbf { e } _ { 2 } } \end{array}
\partial _ { t } \mathbf { U } + \nabla _ { H } . ( \frac { \mathbf { U U } } { h } ) + f \mathbf { k } \times \mathbf { U } = - g h \nabla \zeta + \rho _ { 0 } ^ { - 1 } ( \mathbf { \tau } _ { s } - \mathbf { \tau } _ { b } ) + \mathbf { X }
P _ { \mathrm { g c } \Theta } \; \equiv \; \frac { \partial L _ { E \mathrm { g c } } } { \partial \dot { \Theta } } \; = \; \frac { q } { c } \left( \Psi \; + \frac { } { } \Psi _ { 1 } \right) \; - \; J
k _ { \mathrm { d } } \leq k _ { \mathrm { b } } ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \mathcal { R } \leq F _ { h } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ k _ { \eta } \leq k _ { \mathrm { b } } ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \mathcal { R } \leq F _ { h } ^ { 2 / 3 } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ^ { \prime } ] } \| \psi ^ { \varepsilon } \| _ { H _ { x } ^ { s + 2 } } } & { \lesssim _ { M } 1 , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ^ { \prime } ] } \| \partial _ { t } \psi ^ { \varepsilon } \| _ { H _ { x } ^ { s + 1 } } + | \dot { \gamma } ^ { \varepsilon } | } & { \lesssim _ { M } \langle \| \langle \xi \rangle ^ { 5 } F _ { - } ^ { \varepsilon } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle , } \end{array}
S = \tilde { m } \left[ - A _ { U } h _ { U } H _ { 2 } \widetilde { Q } \widetilde { U } ^ { c } + A _ { D } h _ { D } H _ { 1 } \widetilde { Q } \widetilde { D } ^ { c } + A _ { E } h _ { E } H _ { 1 } \tilde { L } \widetilde { E } ^ { c } + B \mu H _ { 1 } H _ { 2 } \right] \ ,
\dot { \mathbf { r } } _ { i } ( t ) = \sum _ { \substack { j = 1 \, ( j \neq i ) } } ^ { N } \mathbf { v } _ { S ( i ) , S ( j ) } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } ) + \boldsymbol { \xi } _ { m }
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) a ^ { 2 } v ^ { b + \beta } \textup { d } \eta \leq \bigg ( \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) a ^ { 2 } v ^ { m } \textup { d } \eta \bigg ) ^ { \theta } \bigg ( \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) a ^ { 2 } v ^ { - \alpha } \textup { d } \eta \bigg ) ^ { 1 - \theta } , } \end{array}
P ( X _ { 5 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) P ( X _ { 6 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } , X _ { 5 } ) = \frac { P ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } , X _ { 5 } , X _ { 6 } ) } { P ( X _ { 1 } ) P ( X _ { 2 } | X _ { 2 } ) P ( X _ { 3 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } ) P ( X _ { 4 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) }
\Sigma ^ { r } ( q ) = - \int ^ { M } \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { e ^ { 2 } } { 8 k ^ { 2 } \Big ( ( k + q ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } \Big ) } - \Sigma ( \mu _ { \sigma } )
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } \vec { A } } & { = \pm \left\langle \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \phi + r \cos \theta \cos \phi , \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \sin \phi + r \cos \theta \sin \phi , \frac { \partial r } { \partial \theta } \cos \theta - r \sin \theta \right\rangle \, d \theta } \\ & { \quad \times \left\langle \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \phi - r \sin \theta \sin \phi , \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \sin \phi + r \sin \theta \cos \phi , \frac { \partial r } { \partial \phi } \cos \theta \right\rangle \, d \phi } \\ & { = \pm \left\langle \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \sin \phi + r \frac { \partial r } { \partial \phi } \cos ^ { 2 } \theta \sin \phi \right. } \\ & { \quad - \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \sin \phi + r \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi - r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \theta \cos \phi + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos \phi , } \\ & { \quad \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \cos \phi - r \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin ^ { 2 } \theta \cos \phi - r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \theta \sin \phi + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi } \\ & { \quad - \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \cos \phi - r \frac { \partial r } { \partial \phi } \cos ^ { 2 } \theta \cos \phi , } \\ & { \quad \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi \cos \phi + r \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi + r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \phi } \\ & { \quad + r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta \cos ^ { 2 } \phi - \frac { \partial r } { \partial \theta } \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi \cos \phi - r \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi } \\ & { \quad \left. + r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi + r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta \sin ^ { 2 } \phi \right\rangle \, d \theta \, d \phi } \\ & { = \pm \left\langle r \frac { \partial r } { \partial \phi } \sin \phi - r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \theta \cos \phi + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos \phi , \right. } \\ & { \quad - r \frac { \partial r } { \partial \phi } \cos \phi - r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin \theta \cos \theta \sin \phi + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi , } \\ & { \quad \left. r \frac { \partial r } { \partial \theta } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta \right\rangle \, d \theta \, d \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 4 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { { } = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 S _ { 0 , \alpha } } \chi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \Theta } _ { ( 1 : l ) } ^ { \mathrm { T } } = \underset { ^ B } { \angle } \big ( \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \mathbf { g } _ { ( 1 : l ) } ^ { \mathrm { H } } \big ) = \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \underset { ^ B } { \angle } \big ( \mathbf { g } _ { ( 1 : l ) } ^ { \mathrm { H } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { k } ^ { m } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { m } & { a ( m ) } & { b ( m ) } & { \hdots } & { p ( m ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 2 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 3 } } } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { 4 } } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { s _ { P } } } \end{array} \right] } \end{array}
\vec { F } _ { 2 1 m } ^ { [ 2 ] } = \left( \frac { k } { c ^ { 2 } } \right) \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \left[ \hat { R } \frac { \vec { J } _ { 1 } \cdot \vec { J } _ { 2 } } { R ^ { 2 } } - \vec { J } _ { 1 } \left( ( \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } R ^ { - 1 } ) \cdot \vec { J } _ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \frac { d \operatorname* { d e t } ( J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) ) } { d z } } & { { } = \left( \nabla _ { X _ { s } } \cdot \vec { v } ( \vec { x } _ { s } \right) \operatorname* { d e t } ( J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) = } & { { } \frac { 1 } { \alpha } \, \ln \big \vert \frac { \tan ( \theta / 2 ) } { \tan ( \theta _ { 0 } / 2 ) } \big \vert - \ln \big \vert \frac { \sin \theta } { \sin \theta _ { 0 } } \big \vert , } \\ { r = } & { { } r _ { 0 } \, \frac { \sin \theta _ { 0 } } { \sin \theta } \, \left( \frac { \tan \theta / 2 } { \tan \theta _ { 0 } / 2 } \right) ^ { 1 / \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } } \\ { \| u \| _ { W ^ { 1 , p } } } & { \leq C \left( \| \omega \| _ { p } + \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 1 + \frac { 2 } { q } - \frac { 2 } { p } } \right) \| u \| _ { q } \right) } \\ { \| u \| _ { W ^ { 2 , p } } } & { \leq C \left( \| \nabla \omega \| _ { p } + ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| \omega \| _ { p } + \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { p } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \langle u _ { x } , \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { y } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } \} + \{ \varrho \circ u _ { z } , u _ { x } , u _ { y } \} } \\ & { = \{ \varrho \circ u _ { y } , u _ { x } , u _ { z } \} + \langle \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , u _ { z } \rangle . } \end{array}
( - ) ^ { \varepsilon _ { A } } ( S _ { [ A } , S _ { B C ] } ) = S _ { D [ C } f _ { A B ] } ^ { D } + \mathrm { \small { ~ \frac { 1 } { 3 } ~ } } f _ { A B C } ^ { D } S _ { D } + \mathrm { \small { ~ \frac { 1 } { 3 } ~ } } ( S , S _ { A B C } )
S _ { \mathrm { { e x t r a } } } = - \frac { 1 } { 1 0 8 0 } \Lambda r _ { h } ^ { 2 } ( \zeta + 3 ) = \frac { 1 } { 3 6 0 } \left[ \frac { Q ^ { 2 } } { r _ { h } ^ { 2 } } - \Lambda r _ { h } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { m a t t e r } } } & { = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { \mathrm { \bf ~ p } _ { a } ^ { 2 } } { 2 m _ { a } } + V _ { \mathrm { C o u l } } } \\ { U _ { \mathrm { r a d i a t i o n - m a t t e r \; i n t e r a c t i o n } } } & { = } & { - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \mathrm { \bf ~ p } _ { a } \cdot \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + } \\ & { } & { + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } ^ { 2 } } { 2 m _ { a } } \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \cdot \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array}