harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { I \mathcal B } - \mathrm { P e } \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf v \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] , \quad ( \mathbf x , t ) \in \Omega \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { 0 } ( Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 6 \alpha M ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, x ^ { 2 } \Big [ g _ { 1 } - x ^ { 2 } \tau ^ { - 1 } g _ { 2 } \Big ] ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 3 } } \, \sigma _ { T T } ( \nu , Q ^ { 2 } ) , } \\ { \delta _ { L T } ( Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 6 Z ^ { 2 } \alpha M ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, x ^ { 2 } \big [ g _ { 1 } + g _ { 2 } \big ] ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { Q \nu ^ { 2 } } \, \sigma _ { L T } ( \nu , Q ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega - \omega ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 m } [ ( \omega + \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 m v ( \omega + \omega ^ { \prime } ) ] \simeq 2 \frac { \omega ^ { 2 } } { m } - 2 v \omega } \end{array}
\mathrm { d } X _ { t } ^ { i , \tau } = - \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } ( X _ { t } ^ { i , \tau } - X _ { t } ^ { j , \tau } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , X _ { t } ^ { i , \tau } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \; \; X _ { 0 } ^ { i , \tau } = \zeta _ { i } ,
\mathbf { r } _ { l } ( \theta , \varphi ) = r _ { l } ( \theta , \varphi ) \cos { \theta } \mathbf { \hat { i } } + \ r _ { l } ( \theta , \varphi ) \sin { \theta } \mathbf { \hat { j } } + R \ \varphi \ \mathbf { \hat { k } }
\begin{array} { r l } { g ( x _ { 1 } ) } & { { } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \exp ( - \gamma ( t - \tau ) ) x _ { 1 } ( \tau ) \mathrm { d } { \tau } , } \\ { f _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 4 } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } ^ { 3 } - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } , \quad } & { x _ { 1 } < 0 , } \\ { ( x _ { 4 } - 0 . 6 ( x _ { 3 } - 4 ) ^ { 2 } ) x _ { 1 } , \quad } & { x _ { 1 } \geq 0 , } \end{array} \right. } \\ { f _ { 2 } ( x _ { 4 } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { x _ { 4 } < - 0 . 2 5 , } \\ { 6 ( x _ { 4 } + 0 . 2 5 ) , \quad } & { x _ { 4 } \geq - 0 . 2 5 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { e } ( x , y , z , t ) = } & { { } \Delta B _ { z } ( x , y , z ) + ( G _ { x } ( t ) x + G _ { y } ( t ) y + G _ { z } ( t ) z ) \cdot \hat { z } + B _ { 1 x } ( t ) \cdot \hat { x } + B _ { 1 y } ( t ) \cdot \hat { y } } \end{array}
S _ { x x } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } ( \omega ) = | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { F F } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } = \frac { 2 \gamma k _ { \mathrm { B } } T } { \left. m \left[ \left( \omega _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \right) \right] } .
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } = } & { a _ { 1 s } + \delta a _ { 1 } , } \\ { a _ { 2 } = } & { a _ { 2 s } + \delta a _ { 2 } , } \\ { x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { x _ { 1 s } ^ { \mathrm { t h } } + \delta x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } , } \\ { x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { x _ { 2 s } ^ { \mathrm { t h } } + \delta x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { { } = d _ { i } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } \cdot \left[ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \perp } | \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } | ^ { 2 } \right] } \end{array}
F ( s , x ^ { \prime } ) = ( x ^ { \prime } - s ) \log \left| \frac { s ^ { 1 / 2 } + { x ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } } { s ^ { 1 / 2 } - { x ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } } \right| - 2 s ^ { 1 / 2 } { x ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } .
F _ { i j } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { r } ) } [ \frac { \partial \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } p ( \mathbf { r } ) } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } p ( \mathbf { r } ) } { \partial \theta _ { j } } ]
\begin{array} { r } { \frac { d i } { d t } = i \left( \left( \bar { \beta } + { \bar { w } } \frac { \bar { \eta } ( p i + q ) } { a \bar { \eta } ( p i + q ) + 1 } \right) ( 1 - i - r ) - \alpha \right) . } \end{array}
\| \Pi _ { g } ( \psi ) \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } ( \Omega , g ) } ^ { 2 } } = \| \Pi _ { g } ( \mathring \Pi ( \psi ) ) \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } ( \Omega , g ) } ^ { 2 } } \leq \| \mathring \Pi ( \psi ) \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } ( \Omega , g ) } ^ { 2 } } \leq C \| \mathring \Pi ( \psi ) \| _ { L _ { \rho ^ { - 1 } ( \Omega , g _ { S } ^ { m _ { 0 } } ) } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { c _ { + } ( \vec { x } , t = 0 ) = c _ { - } ( \vec { x } , t = 0 ) } & { { } = c _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } , } \\ { q ( \vec { x } , t = 0 ) } & { { } = 0 . } \end{array}
c _ { { \mathbf { k } } _ { l } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } , . . . \rangle = { \sqrt { n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } - 1 , . . . \rangle
\begin{array} { r l } { \mathsf { D } _ { 1 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | u _ { f } - u _ { g } | > r _ { f } + r _ { g } \right\} , } \\ { \mathsf { D } _ { 2 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : \left| r _ { f } - r _ { g } \right| \le | u _ { f } - u _ { g } | \le r _ { f } + r _ { g } \quad \mathrm { a n d } \quad | u _ { f } - u _ { g } | ^ { 2 } > \left| r _ { f } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } \right| \right\} , } \\ { \mathsf { D } _ { 3 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | r _ { f } - r _ { g } | \le | u _ { f } - u _ { g } | \le r _ { f } + r _ { g } \quad \mathrm { a n d } \quad | u _ { f } - u _ { g } | ^ { 2 } \le \left| r _ { f } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } \right| \right\} , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathsf { D } _ { 4 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { d } : | u _ { f } - u _ { g } | \le | r _ { f } - r _ { g } | \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert e _ { t } \Vert ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 2 \delta \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 2 \delta \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) - \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) + \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) - \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert \theta _ { t } - \tilde { \theta } _ { t } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } + 4 \alpha ^ { 2 } \delta \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert \bar { g } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } + 4 \alpha ^ { 2 } \delta \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 1 6 \delta \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { { \theta } ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { R _ { 1 } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \gamma _ { 1 } ( \theta ) ^ { - \alpha } e ^ { i \pi \gamma _ { 1 } ( \theta ) } R _ { 1 } e ^ { i ( \frac { \pi } { 2 } - \theta ) } ( - i ) d \theta , \quad I _ { R _ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \gamma _ { 3 } ( \theta ) ^ { - \alpha } e ^ { i \pi \gamma _ { 3 } ( \theta ) } R _ { 2 } e ^ { i \theta } i d \theta . } \end{array}
\overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } u _ { m } ^ { \prime } } } = - C _ { S } \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { m } } ,
{ \cal L } = \frac { p _ { 1 1 } } { 2 } \left[ \int d p d q \dot { Y } ^ { i } ( p , q ) \dot { Y } ^ { i } ( p , q ) - \frac { 1 } { P _ { 1 1 } } \int d p d q [ \partial _ { q } Y ^ { i } \partial _ { p } Y ^ { j } - \partial _ { q } Y ^ { j } \partial _ { p } Y ^ { i } ] \right] ,
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { = \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } \left[ u _ { - } ^ { s } ( y ) \frac { \partial G _ { - } ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } - \frac { \partial u _ { - } ^ { s } } { \partial y _ { 2 } } ( y ) G _ { - } ( x , y ) \right] d s ( y ) } \\ & { = \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } \left[ u _ { + } ^ { s } ( y ) \frac { \partial G _ { + } ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } - \frac { \partial u _ { + } ^ { s } } { \partial y _ { 2 } } ( y ) G _ { + } ( x , y ) \right] d s ( y ) . } \end{array}
\lambda = \frac { 2 \pi } { k } = \frac { 2 \pi a } { \gamma _ { 1 } \sqrt { \left( \frac { \nu _ { o } \gamma _ { 1 } } { a U } \right) ^ { 2 } - 1 } } = 2 4 . 4 7 6 4 \textrm { c m }
\begin{array} { r l } { } & { \sum _ { \sigma , \tau , \rho \in S _ { m + n } } \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta ( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \sigma ^ { - 1 } ) \delta ( Q _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } \tau ) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { x } , B _ { y } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) } \\ { } & { = \sum _ { \rho \in S _ { m + n } } \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { x } , B _ { y } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \gamma Q _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } ) } \\ { } & { = m ! n ! \sum _ { \rho \in S _ { m + n } } \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { x } , B _ { y } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } Q _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } ) } \\ { } & { = m ! n ! \delta ^ { R S } \delta _ { R _ { 1 } S _ { 1 } } \delta _ { R _ { 2 } S _ { 2 } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \left[ \sum _ { \rho \in S _ { m + n } } \delta ( Q _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } \rho ^ { - 1 } ) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { x } , B _ { y } ) \right] } \\ { } & { = m ! n ! \delta ^ { R S } \delta _ { R _ { 1 } S _ { 1 } } \delta _ { R _ { 2 } S _ { 2 } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { x } , B _ { y } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ d ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = } & { { } \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { 0 x } + I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { 0 y } \right) } \\ { = } & { { } \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { e } _ { p x } \cos \theta + \mathbf { e } _ { p y } \sin \theta ) + I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( - \mathbf { e } _ { p x } \sin \theta + \mathbf { e } _ { p y } \cos \theta ) \right) } \\ { = } & { { } \left( \cos \theta \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \sin \theta \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ x ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \left( - \sin \theta \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \cos \theta \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ y ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { { } \left( \frac { \partial x _ { p } } { \partial x _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \frac { \partial y _ { p } } { \partial x _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \left( \frac { \partial x _ { p } } { \partial y _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial x _ { p } } + \frac { \partial y _ { p } } { \partial y _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial y _ { p } } \right) I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { { } \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \frac { \partial } { \partial y _ { 0 } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \end{array}
\nabla _ { \gamma } ^ { 2 } = ( 1 - \gamma ) \nabla _ { 5 } ^ { 2 } + \gamma \nabla _ { \times } ^ { 2 } = ( 1 - \gamma ) { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } + \gamma { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } \\ { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \end{array} \right] }
S = \int d ^ { 2 } x \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \cdot \partial _ { \mu } \phi + \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \sum _ { a = 0 } ^ { r } n _ { a } e ^ { \beta \alpha ^ { ( a ) } \cdot \phi } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \lambda } \left( 0 . 1 7 9 9 6 - 0 . 2 0 5 2 3 \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \right) \le 0 . 0 8 7 \pi ^ { 2 } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 0 } } \frac { 1 - \beta } { \eta _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 \eta _ { k } } \left\{ \frac { b } { b _ { 0 } } \left[ \frac { L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 } { 2 ^ { k } - 2 } + L _ { 2 } + \log 1 . 5 4 6 \right] + \log \zeta ( 1 + \eta _ { k } ) \right\} } \\ & { \qquad + c ( R ) \lambda \Bigg [ \frac { b } { b _ { 0 } } \, \bigg \{ \left( \frac { 2 3 . 9 9 } { \sqrt { \eta _ { k } } } - 4 0 . 0 5 1 \right) ( L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 ) + 1 . 2 0 3 1 L _ { 2 } + 1 . 7 8 6 } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 . 0 8 9 7 L _ { 2 } - 0 . 5 3 2 2 \log \eta _ { k } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \bigg \} + 1 . 8 \Bigg ] . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { H } } = \left| \left( \partial _ { \mu } - i g W _ { \mu \, a } { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { a } - i { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \prime } B _ { \mu } \right) \phi \right| ^ { 2 } + \mu _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } \phi ^ { \dagger } \phi - \lambda ( \phi ^ { \dagger } \phi ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } p ( t , x ^ { \prime } ) - c ^ { 2 } ( x ^ { \prime } ) \Delta p ( t , x ^ { \prime } ) - F ( x ^ { \prime } , p , \partial _ { t } p , \partial _ { t } ^ { 2 } p ) } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega , } \\ { p ( t , x ^ { \prime } ) } & { = f , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { p = { \partial _ { t } p } } & { = 0 , } & { \ } & { \mathrm { o n ~ } \{ t = 0 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 8 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 1 1 } } \left\{ - 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { * } \left( 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) + 1 0 { \phi _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) \right) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { R = R _ { 0 } + \varepsilon \left( \frac { \Delta X ^ { 2 } - \Delta Y ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } } \right) \bar { f } _ { + , \mathrm { t o t } } + \varepsilon \left( \frac { \Delta X \Delta Y } { 2 R _ { 0 } } \right) \bar { f } _ { \times , \mathrm { t o t } } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 2 } , \lambda ^ { 3 } , \varepsilon \lambda ^ { 2 } ) . } } \end{array}
E _ { \theta _ { 1 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } E _ { [ ( \theta _ { 2 1 } ) \theta _ { 2 2 } ] } ^ { [ \beta _ { 3 } ( \gamma _ { 2 1 } ) ] } \cdots E _ { [ ( \theta _ { k - 1 , 1 } , \ldots , \theta _ { k - 1 , k - 2 } ) \theta _ { k - 1 , k - 1 } ] } ^ { [ \beta _ { k } ( \gamma _ { k - 1 , 1 } , \ldots , \gamma _ { k - 1 , k - 2 } ) ] } \} _ { s y m m e t r i z e d } .
\begin{array} { r l } { \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { 1 / \Delta } R [ i ] } & { \textstyle \le \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { s _ { j } \le i < s _ { j + 1 } } R [ i ] } \\ & { \textstyle \le \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( s _ { j + 1 } - s _ { i } ) \cdot ( 2 L \Delta ^ { 3 } T + B + 1 ) } \\ & { \textstyle \le 2 n \cdot ( L \Delta ^ { 3 } T + B ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi - \Pi _ { N } \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } M _ { 0 } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla ( \phi - \Pi _ { N } \phi ) d x d t } \\ & { } & { - \int _ { \Omega _ { T } } ( \phi - \Pi _ { N } \phi ) \sqrt { M _ { 0 } } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \\ & { = } & { J _ { 1 } - J _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { Q } ( t , { 1 } ) } & { = \textbf { Q } ( t ) + \delta \frac { \textbf { Q } _ { t , 0 } } { 2 } , } \\ { \textbf { Q } ( t , { 2 } ) } & { = \textbf { Q } ( t ) + \delta \frac { \textbf { Q } _ { t , 1 } } { 2 } , } \\ { \textbf { Q } ( t , { 3 } ) } & { = \textbf { Q } ( t ) + \delta \textbf { Q } _ { t , 2 } . } \end{array}
{ \cal M } _ { h } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) \ = \ \left[ \begin{array} { c c } { { m _ { Z } ^ { 2 } c _ { \beta } ^ { 2 } + m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } + \Delta { \cal M } _ { 1 1 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } & { { - ( m _ { Z } ^ { 2 } + m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } ) s _ { \beta } c _ { \beta } + \Delta { \cal M } _ { 1 2 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } \\ { { - ( m _ { Z } ^ { 2 } + m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } ) s _ { \beta } c _ { \beta } + \Delta { \cal M } _ { 2 1 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } & { { m _ { Z } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 2 } + m _ { A ^ { 0 } } ^ { 2 } c _ { \beta } ^ { 2 } + \Delta { \cal M } _ { 2 2 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } \end{array} \right] \ ,
\partial _ { - 2 } \theta ^ { \alpha 1 } = \partial _ { - 2 } \lambda _ { + } ^ { \alpha 1 } \equiv \partial _ { - 2 } \lambda _ { + } ^ { \alpha } = 0 , \ \partial _ { + 2 } \theta ^ { \alpha 2 } = \partial _ { + 2 } \lambda _ { - } ^ { \alpha 2 } \equiv \partial _ { + 2 } \lambda _ { - } ^ { \alpha } = 0 .
d s ^ { 2 } = Z ^ { - 1 / 2 } \eta _ { \alpha \beta } d x ^ { \alpha } d x ^ { \beta } + Z ^ { 1 / 2 } e ^ { - \phi ( x ^ { i } ) } \delta _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } + Z ^ { 1 / 2 } \delta _ { m n } d x ^ { m } d x ^ { n }
t _ { a b } = \left( \begin{array} { c c } { { \left( I _ { i d } \right) _ { r \times r } } } & { { \left( A \right) _ { r \times m } } } \\ { { \left( B \right) _ { m \times r } } } & { { \left( I _ { i d } \right) _ { m \times m } } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \to H _ { 1 } ( D ) \to H _ { 1 } ( X ) \to H _ { 1 } ( X , D ) } \\ & { \to H _ { 0 } ( D ) \to H _ { 0 } ( X ) \to H _ { 0 } ( X , D ) } \end{array} } = { \begin{array} { r l } { 0 } & { \to 0 \to \mathbb { Z } \to H _ { 1 } ( X , D ) } \\ & { \to \mathbb { Z } ^ { \oplus 2 } \to \mathbb { Z } \to 0 } \end{array} }
\mathbf { P } \left( t _ { 0 } , \tau \right) _ { i j } \approx \frac { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ s ~ f ~ r ~ o ~ m ~ b ~ o ~ x ~ } i \mathrm { ~ t ~ o ~ b ~ o ~ x ~ } j } { \Omega }
\begin{array} { r l } { N _ { n } } & { : = N _ { 0 } ^ { \chi ^ { n } } , \mathrm { ~ f o r ~ n \ge 0 ~ } , \quad \chi : = \frac { 3 } { 2 } , \quad N _ { - 1 } : = 1 , \quad N _ { 0 } : = \left( \varepsilon \gamma ^ { - 1 } \right) ^ { \rho } , } \\ { \sigma _ { 1 } } & { : = 3 ( 2 \tau + 1 ) , \quad \mu _ { \mathtt { p } , 0 } : = 2 \mu _ { \mathtt { p } , 1 } + 2 \tau + 1 } \\ { \rho ^ { - 1 } } & { : = \operatorname* { m a x } \left\{ 2 2 ( 2 b - 1 ) ( \sigma _ { 1 } + 2 \tau + 1 ) , \frac { 2 \tau ( 2 b - 1 ) } { 9 - 8 b } , \frac { ( 2 b - 1 ) ( 2 \tau + 1 ) } { 2 b - 2 } , \frac { 4 0 ( \mu _ { \mathtt { p } , 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 2 } ) ( 2 b - 1 ) } { 5 - 4 b } \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { T } & { = { \frac { 1 } { \alpha } } e ^ { \alpha x } \sinh ( \alpha t ) } \\ { X } & { = { \frac { 1 } { \alpha } } e ^ { \alpha x } \cosh ( \alpha t ) } \\ { Y } & { = y } \\ { Z } & { = z } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { t } & { = { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { a r t a n h } { \frac { T } { X } } } \\ { x } & { = { \frac { 1 } { 2 \alpha } } \ln \left[ \alpha ^ { 2 } \left( X ^ { 2 } - T ^ { 2 } \right) \right] } \\ { y } & { = Y } \\ { z } & { = Z } \end{array} } } \end{array} }
p _ { \mathtt { c l a } } ^ { \mathtt { P C } } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { \Gamma ( \lfloor n ^ { t h } + 1 \rfloor , \mu _ { 0 } \tau _ { 0 } ) - \Gamma ( \lfloor n ^ { t h } + 1 \rfloor , \mu _ { 0 } \tau _ { 1 } ) } { 2 \lfloor n ^ { t h } \rfloor ! }
E \approx \frac { \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial h } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right) r d r d \theta .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \mathrm { K L } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } { n } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } + ( 1 + h ) \log \left( h + \overline { { \mathrm { T r } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } \right) - ( 1 + h ) \log ( 1 + h ) \right]
\begin{array} { r l r } { T _ { j j } ( { \bf k } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 + \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) \cos \left( \omega _ { j } \tau \right) - i \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { j } } + \frac { \omega _ { j } } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \left( \omega _ { j } \tau \right) \right] , } \\ { R _ { j j } ( { \bf k } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) \cos \left( \omega _ { j } \tau \right) - i \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { j } } - \frac { \omega _ { j } } { \omega _ { 2 } } \right) \sin \left( \omega _ { j } \tau \right) \right] , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \phi _ { 0 } } } \\ { { \phi _ { 1 } } } \\ { { \phi _ { 2 } } } \\ { { \phi _ { 3 } } } \end{array} \right) \sim [ ( \phi _ { 0 } + \phi _ { 1 } e _ { 1 } ) - ( \phi _ { 2 } - \phi _ { 3 } e _ { 1 } ) e _ { 5 } ] P _ { + 3 } P _ { - \alpha } P _ { + \beta } .
\begin{array} { r l } { \frac { M ^ { 2 } } { \kappa } \left. \frac { \partial u _ { 1 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } & { = \left. \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } \\ { \frac { M ^ { 2 } } { \kappa } \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { 1 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial u _ { 1 , \theta } } { \partial r } - \frac { u _ { 1 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } } & { = \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial v _ { 0 , \theta } } { \partial r } - \frac { v _ { 0 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } , } \end{array}