harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { \kappa \hat { \phi } _ { 1 } ^ { 2 } } } } & { = \frac { d _ { F e } ^ { 3 } \kappa _ { F e } } { 1 2 } } \\ { \overline { { \kappa \phi _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { = \frac { d _ { F e } \kappa _ { F e } } { 5 } } \\ { \overline { { \kappa \phi _ { 2 } ^ { ' 2 } } } } & { = \frac { 2 \kappa _ { F e } } { d _ { F e } } } \\ { \overline { { \kappa \phi _ { 0 } \phi _ { 2 } } } } & { = - \frac { \sqrt { 6 } d _ { F e } \kappa _ { F e } } { 6 } } \\ { \overline { { \kappa \hat { \phi } _ { 3 } ^ { 2 } } } } & { = \frac { 1 7 d _ { F e } ^ { 3 } \kappa _ { F e } } { 8 4 0 } } \\ { \overline { { \kappa \hat { \phi } _ { 1 } \hat { \phi } _ { 3 } } } } & { = - \frac { \sqrt { 6 } d _ { F e } ^ { 3 } \kappa _ { F e } } { 6 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { c } ( \tau ) } & { \sim \tilde { C } ( l ) + \frac { 1 } { N } \left( \frac { 1 } { N } - \frac { 2 } { N - l } \right) \left( N \tilde { C } ( 0 ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } 2 ( N - k ) \tilde { C } ( k ) \right) + } \\ & { \frac { 2 } { N ( N - l ) } \left( l \tilde { C } ( 0 ) + \sum _ { k = 1 } ^ { l - 1 } 2 ( l - k ) \tilde { C } ( k ) + \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } \tilde { C } ( m ) ( \operatorname* { m i n } ( m + l , N ) - \operatorname* { m a x } ( l , m ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) = } & { \sigma ^ { 2 } \sum _ { j } \alpha ( \mathbf { x _ { 0 } } , \vec { x } _ { j } ) \alpha ( \mathbf { x _ { 1 } } , \vec { x } _ { j } ) } \\ { \approx } & { \frac { \sigma ^ { 2 } } { V _ { s } } \int \alpha ( \mathbf { x _ { 0 } } , \vec { x } ) \alpha ( \mathbf { x _ { 1 } } , \vec { x } ) d \vec { x } } \\ { = } & { \frac { \sigma ^ { 2 } } { V _ { s } } \int e ^ { \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \vec { x } \right) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \vec { x } \right) } e ^ { \left( \mathbf { x _ { 1 } } - \vec { x } \right) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } \left( \mathbf { x _ { 1 } } - \vec { x } \right) } d \vec { x } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ^ { ( f ) } \left( \xi \right) } & { { } = } & { - \frac { c } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s , s ^ { \prime } } \sin \left( u _ { n , s } \xi / r _ { c } \right) \sin \left( u _ { n , s ^ { \prime } } \xi / r _ { c } \right) } \end{array}
\alpha _ { i } \mathbf { u } _ { i } = - \frac { k _ { r , i } } { \mu _ { i } } \, \mathbf { K } \cdot \Big ( \nabla p _ { i } ^ { * } - ( \rho _ { i } - \rho _ { m } ) \mathbf { g } + ( \mathbf { g } \cdot \mathbf { h } ) \nabla \rho _ { m } \Big ) .
{ - } n \frac { \partial Y } { \partial \mathbb { A } } = \mathcal { N } ^ { - 1 } \mathcal { N } ^ { - T } \, , \quad \quad \quad \Xi = \mathcal { N } ^ { - 1 } \Lambda ^ { - 1 } \, \mathcal { N } ^ { - T } \, .
\begin{array} { r l } { | { \psi } _ { n _ { c } n _ { d } } ( \tau ) \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \cal N } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N } \sqrt { { \binom { N } { k _ { 1 } } } { \binom { N } { k _ { 2 } } } } } \end{array}
\boxed { \big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) = \underline { { \widetilde { \Phi } } } ^ { * } \big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) - \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \star _ { g } \mathcal { U } , 0 \big ) }
J ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \partial x _ { 1 } / \partial \zeta } & { \partial x _ { 2 } / \partial \zeta } & { \partial x _ { 3 } / \partial \zeta } \\ { \partial x _ { 1 } / \partial \eta } & { \partial x _ { 2 } / \partial \eta } & { \partial x _ { 3 } / \partial \eta } \\ { \partial x _ { 1 } / \partial \xi } & { \partial x _ { 2 } / \partial \xi } & { \partial x _ { 3 } / \partial \xi } \end{array} \right] = : \left[ \partial x _ { i } / \partial \zeta _ { j } \right]
{ V } _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { P \tilde { \mu } _ { n } } & { = P \mu - P \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) } \\ & { = \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G \mu - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) , } \\ { P u } & { = \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { - 1 } ) G u } \\ & { = \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { - 1 } ) b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } : = } & { 1 / \left( \kappa _ { a } + \mathrm { i } ( \Delta _ { a } - \delta ) \right) , } \\ { \alpha _ { 2 } : = } & { 1 / \left( \gamma _ { b } + \mathrm { i } ( \Delta _ { b } ^ { \prime } - \delta ) \right) , } \\ { \alpha _ { 3 } : = } & { 1 / \left( \gamma _ { c } + \mathrm { i } ( \Delta _ { c } ^ { \prime } - \delta ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial \tau } } & { { } + } & { U _ { j } \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial \xi _ { j } } + \frac { \partial } { \partial \xi _ { j } } u _ { j } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } + \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial \xi _ { i } } - \nu \nabla _ { \xi } ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } - 2 \epsilon _ { i j \ell } \omega _ { \mathrm { { F } } j } u _ { \ell } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { w } _ { \mathbf { y } } } { \partial t } + \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { y } } } \left( \mathbf { w } _ { \mathbf { y } } , { \mathbf { u } } \right) - \mathrm { d i v } \left[ \left( \rho \mathcal { D } + \frac { \mu _ { t } } { S c _ { t } } \right) \nabla \left( \frac { 1 } { \rho } \mathbf { w } _ { \mathbf { y } } \right) \right] = \mathbf { f } _ { \mathbf { y } } , } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \left[ \partial _ { 1 1 } Q + \partial _ { 2 2 } Q \right] + f _ { i } \partial _ { i } Q , \qquad \frac { 1 } { 4 } \left[ \partial _ { 3 3 } Q + \partial _ { 4 4 } Q \right] + f _ { i } \partial _ { i } Q ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x ) } & { = - \frac { 2 } { \rho } \left( p ( \rho ) - p ( \rho _ { - } ) + m ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \rho } - \frac { 1 } { \rho _ { - } } \right) \right) \Bigg | _ { \rho = e ^ { x } } } \\ & { = 2 w \left( \sigma ( w ) - \sigma ( w _ { - } ) - m ^ { 2 } ( w - w _ { - } ) \right) \bigg | _ { w = e ^ { - x } } \ , } \end{array}
\bar { A } _ { 0 } \left( \partial _ { x } B \right) e ^ { i \theta / { \epsilon } } + A \left( \bar { B } _ { 0 } \partial _ { x } e ^ { i \theta / { \epsilon } } + \bar { C } _ { 0 } \partial _ { x } e ^ { i \theta / { \epsilon } } \right) = 0 \; .
| i \rangle = | n \rangle | \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} \rangle \; \; \; \; | f \rangle = | 0 \rangle | 1 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } , \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \} \rangle
\begin{array} { r l } { \mu \otimes \mu ( \{ ( x , x ) : x \in \mathbb { R } ^ { d } \} ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } 1 _ { \{ ( x , x ) : x \in \mathbb { R } ^ { d } \} } ( y , z ) \mathrm { d } \mu ( y ) \mathrm { d } \mu ( z ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } 1 _ { \{ z \} } ( y ) \mathrm { d } \mu ( y ) \mathrm { d } \mu ( z ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mu ( \{ z \} ) \mathrm { d } \mu ( z ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { z } } & { { } \simeq \frac { A } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu } } \\ { H _ { \rho } } & { { } \simeq \frac { A a \pi } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \phi } } & { { } \simeq - \frac { i A \pi a } { \Gamma ( \nu + 1 ) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \rho } } & { { } \simeq - \frac { A \omega \mu a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \phi } } & { { } \simeq - \frac { i A \omega \mu a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \end{array}
f _ { I } ( s ) = D _ { I } ^ { - 1 } ( s ) \left[ p _ { I } ( s ) D _ { I } ( s ) + ( c _ { I } + s d _ { I } ) - { \frac { s ^ { 2 } } { \pi } } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s ^ { \prime } } { { s ^ { \prime } } ^ { 2 } } } { \frac { p _ { I } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { I m } D _ { I } ( s ^ { \prime } ) } { s ^ { \prime } - s - i \epsilon } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } } & { = \sum _ { i < j } [ - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) w _ { i j } ^ { * } + a _ { i j } ^ { * } \ln ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) ] } \\ & { = - \sum _ { i } \beta _ { i } s _ { i } ^ { * } + \sum _ { i < j } a _ { i j } ^ { * } \ln ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| a b \| _ { A ^ { * * } } } & { \leqslant \operatorname* { l i m i n f } _ { \alpha , \beta } \| a _ { \alpha } b _ { \beta } \| } \\ & { \leqslant D \cdot \operatorname* { l i m i n f } _ { \alpha , \beta } \, \big ( \| a _ { \alpha } \| _ { A } \| i ( b _ { \beta } ) \| _ { B } + \| i ( a _ { \alpha } ) \| _ { B } \| b _ { \beta } \| _ { A } \big ) } \\ & { \leqslant D \big ( \| a \| _ { A ^ { * * } } \| i ^ { * * } ( b ) \| _ { B ^ { * * } } + \| i ^ { * * } ( a ) \| _ { B ^ { * * } } \| b \| _ { A ^ { * * } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) } { v _ { 0 } } \! } & { - } & { \! \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \frac { \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| } } \\ { \! } & { = } & { \! - \tilde { \beta } \! \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \! \cdot \frac { \delta \mathbf { X } ( t ) } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \textbf { k } - \mathbf { q } , \alpha ; \textbf { p } + \mathbf { q } , \beta \left| e ^ { 2 } \frac { e ^ { - \kappa r } } { r } \right| \textbf { k } \alpha ; \textbf { p } \beta \right\rangle = w \left( q \right) = - e ^ { 2 } \exp \left[ ( q ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) a ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ E ~ i ~ } \left( - ( q ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) a ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | 6 a _ { 3 } ( \delta ) x _ { 0 } + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } | } \\ & { \leq } & { M | \sin \delta | ( 6 x _ { 0 } + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) x _ { 0 } ^ { N - 3 } ) } \\ & { \leq } & { b \tan ( \theta _ { 0 } ) | \sin \delta | \leq a _ { 2 } ( \delta ) . } \end{array}
M _ { i j } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { - ( 2 k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) ^ { 2 } / 4 k ^ { 2 } } } & { { - \ell ^ { 2 } / 2 k ^ { 2 } } } & { { - ( 2 k ^ { 2 } \ell + \ell ^ { 3 } ) / 2 k ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - \ell ^ { 2 } / 2 k ^ { 2 } } } & { { - 1 / k ^ { 2 } } } & { { - \ell / k ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - ( 2 k ^ { 2 } \ell + \ell ^ { 3 } ) / 2 k ^ { 2 } } } & { { - \ell / k ^ { 2 } } } & { { - ( k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) / k ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { { \bf E } \left( \tau _ { 0 , 0 } \right) } & { = } & { \overline { { \alpha } } z ^ { \prime } \left( 1 \right) / \left( b _ { 0 } \alpha \right) = \frac { \mu _ { \delta } } { b _ { 0 } \left( \mu _ { \delta } - \mu _ { \beta } \right) } \mathrm { ~ i f ~ } \mu _ { \beta } < \mu _ { \delta } \mathrm { ~ ( p o s i t i v e ~ r e c u r r e n c e ) , } } \\ & { = } & { \infty \mathrm { ~ i f ~ } \mu _ { \delta } = \mu _ { \beta } \mathrm { ~ ( n u l l ~ r e c u r r e n c e ) . } } \end{array}
F ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) = \rho \int d ^ { 2 } a \dot { x } ( \tau _ { 1 } ) \cdot A ( x ( \tau _ { 1 } ) - a ) \dot { x } ( \tau _ { 2 } ) \cdot A ( x ( \tau _ { 2 } ) - a )
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { t o t , < } } \left( \omega \right) } & { { } = - i e ^ { 2 } \hbar \sum _ { \alpha , \beta = L , R } \int _ { \mu _ { \beta } + \hbar \omega } ^ { \mu _ { \alpha } } \frac { d E } { 2 \pi \hbar } \Theta ( \mu _ { \alpha } - \mu _ { \beta } - \hbar \omega ) } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathbf { d } ) = \alpha _ { i d e a l } \mathcal { L } _ { i d e a l } + \alpha _ { h o m } \mathcal { L } _ { h o m } + \alpha _ { m i n } \mathcal { L } _ { m i n } + \alpha _ { m a x } \mathcal { L } _ { m a x } + \sum _ { o } \alpha _ { o a r m e a n } \mathcal { L } _ { m e a n } ( o ) + \alpha _ { o a r m a x } \mathcal { L } _ { m a x } ( o ) ,
\begin{array} { r l r } { \delta \phi _ { 0 } } & { { } = } & { A _ { 0 } e ^ { i ( n \phi - m _ { 0 } \theta - \omega _ { 0 } t ) } \sum _ { j } e ^ { - i j \theta } \Phi _ { 0 } ( x - j ) , } \\ { \delta \phi _ { \pm } } & { { } = } & { A _ { \pm } e ^ { \pm ( n \phi - m _ { 0 } \theta - \omega _ { 0 } t ) } e ^ { i ( \int k _ { Z } d r - \omega _ { Z } t ) } \sum _ { j } e ^ { \mp i j \theta } \left\{ \Phi _ { 0 } ( x - j ) \atop \Phi _ { 0 } ^ { * } ( x - j ) \right\} , } \\ { \delta \phi _ { Z } } & { { } = } & { A _ { Z } e ^ { i ( \int k _ { Z } d r - \omega _ { Z } t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v o l } ( S _ { 1 } ) } & { \ge 2 ^ { d - 1 } \left( \operatorname* { P r } \left( y \ge \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } + \delta / 2 \right) \left( 1 - \frac { 1 + \delta / 2 } { a _ { i } } + \frac { \mu _ { y } } { a _ { i } } \right) \right) } \\ & { \ge 2 ^ { d - 1 } ( 1 / 8 - \delta ) ( \delta / 8 + O ( \delta ^ { 2 } ) ) } \\ & { = 2 ^ { d - 7 } \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x = 0 , y ; \xi ) = 1 , ~ u ( x = 1 , y ; \xi ) = 0 , } \\ { \partial _ { \boldsymbol { n } } u ( x , y = 0 ; \xi ) = \partial _ { \boldsymbol { n } } u ( x , y = 1 ; \xi ) = 0 , \forall \xi \in \Xi , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } \mathbb { M } _ { 0 } : = \int { \mathbf \Lambda ^ { 0 } } ( { \mathbf \Lambda ^ { 0 } } ) ^ { \top } \, \textnormal { d } ^ { 3 } { \mathbf x } } & { } & { { } \in \mathbb R ^ { N _ { 0 } \times N _ { 0 } } \, , } \end{array}
{ \cal V } = - { \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 } } { \cal R } _ { \mathrm { i } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } - { \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } } \biggl [ { \cal R } _ { \mathrm { i } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } \; { \cal R } _ { \mathrm { j } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { j } } - { \cal R } _ { \mathrm { i } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { j } } \; { \cal R } _ { \mathrm { j } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } \biggr ] .
\begin{array} { r l r } { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] } & { = } & { \sum _ { i , k } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { k } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { i } f _ { i } ( f _ { i } + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i i j j } \omega _ { k } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } \omega _ { j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) f _ { j } ( f _ { j } + 1 ) } \\ & { } & { + \Omega ^ { ( 1 ) } V _ { \mathrm { r e f } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } \tilde { \bar { F } } _ { i i } \omega _ { i } f _ { i } ( f _ { i } + 1 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } \omega _ { j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) f _ { j } ( f _ { j } + 1 ) + \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } } \\ & { \equiv } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] _ { L } + \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { \theta } } & { = e ^ { i \theta Z / 2 } e ^ { i \pi X / 4 } \mathcal { O } _ { 0 0 } e ^ { - i \pi X / 4 } e ^ { - i \theta Z / 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - i e ^ { i \theta } } & { - i e ^ { i \theta } } & { - e ^ { 2 i \theta } } \\ { i e ^ { - i \theta } } & { 1 } & { 1 } & { - i e ^ { i \theta } } \\ { i e ^ { - i \theta } } & { 1 } & { 1 } & { - i e ^ { i \theta } } \\ { - e ^ { - 2 i \theta } } & { i e ^ { - i \theta } } & { i e ^ { - i \theta } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { c _ { n } ( 2 \pi ) ^ { \frac { n + 2 } { 2 } } \alpha } { \left( 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } + | { \boldsymbol { \omega } } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } }
N _ { \nu } ( E _ { \scriptscriptstyle D } , \theta ) = { \frac { A } { 4 \pi r ^ { 2 } } } \int _ { E _ { \scriptscriptstyle D } } ^ { \infty } \mathrm { d } E ~ P _ { \nu \rightarrow \mu } \exp \left[ - \sigma _ { \mathrm { t o t } } ( E _ { \nu } ) N _ { \scriptscriptstyle A } X ( \theta ) \right] { \frac { \mathrm { d } N _ { \nu } } { \mathrm { d } E } } ,
H _ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } ( ( \omega ^ { \prime } - \Delta ) \sigma _ { z } ^ { i } + \Omega \sigma _ { x } ^ { i } ) - \sum _ { i , j } \frac { 1 } { 2 } g _ { i , j } \sigma _ { z } ^ { i } \sigma _ { z } ^ { j } ,
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \operatorname { P o i s s o n } ( \lambda ) } ( k ) \times f _ { \operatorname { G a m m a } \left( r , \, { \frac { p } { 1 - p } } \right) } ( \lambda ) \, \mathrm { d } \lambda } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } } e ^ { - \lambda } \times { \frac { 1 } { \Gamma ( r ) } } \left( { \frac { p } { 1 - p } } \lambda \right) ^ { r - 1 } e ^ { - { \frac { p } { 1 - p } } \lambda } \, \left( { \frac { p } { 1 - p } } \, \mathrm { d } \lambda \right) } \\ { = } & { \left( { \frac { p } { 1 - p } } \right) ^ { r } { \frac { 1 } { k ! \, \Gamma ( r ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { r + k - 1 } e ^ { - \lambda { \frac { p + 1 - p } { 1 - p } } } \; \mathrm { d } \lambda } \\ { = } & { \left( { \frac { p } { 1 - p } } \right) ^ { r } { \frac { 1 } { k ! \, \Gamma ( r ) } } \Gamma ( r + k ) ( 1 - p ) ^ { k + r } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \operatorname { G a m m a } \left( k + r , { \frac { 1 } { 1 - p } } \right) } ( \lambda ) \; \mathrm { d } \lambda } \\ { = } & { { \frac { \Gamma ( r + k ) } { k ! \; \Gamma ( r ) } } \; ( 1 - p ) ^ { k } \, p ^ { r } } \\ { = } & { f ( k ; r , p ) . } \end{array} }
S ( x , 0 ) = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } { \frac { \hat { x } } { x ^ { 4 } } } \{ - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } x ^ { 2 } K _ { 2 } ( m \sqrt { - x ^ { 2 } } ) \} - { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { x ^ { \alpha } \tilde { G } _ { \alpha \varphi } \gamma ^ { \varphi } \gamma ^ { 5 } } { x ^ { 2 } } }
T ( p ; 0 , 0 ) \ = \ \frac 1 { 1 6 \pi ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi ( 1 - \xi ) } \int d ^ { 2 } k _ { \perp } \ \left( \frac { G _ { \mathrm { m e s o n } } ( s ) } { s - \mu ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } S _ { \mathrm { m e s o n } } \ ,
\exp \left[ - 2 \frac { \gamma } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { \pi } { 2 } + \arctan \frac { \gamma } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \right) \right] = 1 0 ^ { - \delta } .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { \delta } \phi ( \alpha _ { i } ) + v _ { 1 } h _ { i \delta } \phi ( \beta _ { 1 } ) \prod _ { \ell \in [ \Delta ] \setminus \{ i \} } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { 1 } ) + \ldots + } \\ & { v _ { k } h _ { i \delta } \phi ( \beta _ { k } ) \prod _ { \ell \in [ \Delta ] \setminus \{ i \} } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { k } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { W , V } c _ { I ( V ) , I ( W ) } ( ( g \otimes v _ { d } ) \otimes ( k \otimes w _ { f } ) ) } & { = \mu _ { W , V } \big ( \big ( g d g ^ { - 1 } \vartriangleright ( k \otimes w _ { f } ) \big ) \otimes ( g \otimes v _ { d } ) \big ) } \\ & { = \tau \big ( g d g ^ { - 1 } , k \big ) ( f ) \mu _ { W , V } \big ( \big ( g d g ^ { - 1 } k \otimes w _ { f } \big ) \big ) \otimes ( g \otimes v _ { d } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { T } _ { ( 4 , 0 ) } } & { = \{ \emptyset \} } \\ { \mathscr { T } _ { ( 3 , 1 ) } } & { = \{ ( m _ { 2 } ) , ( m _ { 3 } ) , ( m _ { 4 } ) , ( m _ { 2 } , m _ { 3 } ) , ( m _ { 3 } , m _ { 4 } ) \} } \\ { \mathscr { T } _ { ( 2 , 2 ) } } & { = \{ ( m _ { 3 } ) , ( m _ { 2 } , m _ { 4 } ) , ( m _ { 4 } ) , ( m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } ) \} } \end{array}
\int d k ^ { 2 } { \frac { k ^ { 4 } \, m _ { b } \, \widetilde m _ { 1 } ^ { 2 } \, c _ { \theta } s _ { \theta } e ^ { - i \sigma } } { ( k ^ { 2 } + m _ { \tilde { g } } ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \widetilde m _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } - ( \widetilde m _ { 1 } ^ { 2 } \to \widetilde m _ { 2 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T r } \Big [ ( U \rho U ^ { \dagger } ) ^ { 2 } \Big ] } & { { } = \mathrm { T r } \Big ( U \rho \underbrace { U ^ { \dagger } U } _ { \mathbb { 1 } } \rho U ^ { \dagger } \Big ) } \end{array}
< T _ { i } ^ { k } [ \tilde { g } _ { l m } ] > = ( \frac { \eta } { \tilde { g } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } < T _ { i } ^ { k ( M ) } [ \eta _ { l m } ] > - { \frac { 1 } { 2 8 8 0 \pi ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { 6 } } ^ { ( 1 ) } \tilde { H } _ { i } ^ { k } - ^ { ( 3 ) } \tilde { H } _ { i } ^ { k } \right]
\begin{array} { r l } { { \cal E } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R , q } , { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) = } & { { } \sum _ { I } \chi _ { i } q _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } U _ { I } q _ { I } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( x t ) } & { { } = J _ { 0 } ( t ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k } ( t ) T _ { 2 k } ( x ) , } \\ { \sin ( x t ) } & { { } = 2 \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } J _ { 2 k + 1 } ( t ) T _ { 2 k + 1 } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { c } \partial _ { t } I ^ { + } + \partial _ { x } I ^ { + } + \sigma f ^ { n } I ^ { + } } & { = \sigma ^ { n } f ^ { n } \frac { a c T _ { m a t t e r } ^ { 4 } ( t ^ { n } ) } { 2 } + \sigma ^ { n } ( 1 - f ^ { n } ) \frac { 1 } { 2 } ( I ^ { + } + I ^ { - } ) } \\ { \frac { 1 } { c } \partial _ { t } I ^ { - } - \partial _ { x } I ^ { - } + \sigma ^ { n } f ^ { n } I ^ { - } } & { = \sigma ^ { n } f ^ { n } \frac { a c T _ { m a t t e r } ^ { 4 } ( t ^ { n } ) } { 2 } + \sigma ^ { n } ( 1 - f ) ^ { n } \frac { 1 } { 2 } ( I ^ { + } + I ^ { - } ) } \\ { C _ { V } \partial _ { t } T _ { m a t t e r } } & { = \sigma ^ { n } f ^ { n } ( a c T _ { m a t t e r } ^ { 4 } ( t ^ { n } ) - 2 \pi ( I ^ { + } + I ^ { - } ) ) } \end{array}