harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf { o p t } _ { k } ( r _ { j } ; \mathbf { A } _ { j } ) - \mathbf { Q } r _ { j } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } } & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } r _ { j - 1 } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \left[ r _ { j - 1 } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathbf { Q } r _ { j - 1 } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } \right] } \\ & { = \mathbf { Q } ( \mathbf { T } - z _ { j } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \left[ \mathsf { e r r } _ { k } ( r _ { j - 1 } ) \right] . } \end{array}
\bar { H } = \frac { c ( t ) } { f _ { 2 } ( t ) } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \bar { p } _ { i } ^ { 2 } + \bar { V } \big ( \{ \bar { x } \} , t \big ) \right]
\begin{array} { r } { E _ { 4 } ^ { \ell } \left( \left( \rho v _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \left( \rho v _ { 1 } \right) ^ { \ell } \right) + E _ { 4 } ^ { \ell + 1 } \left( \left( \rho v _ { 1 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( \rho v _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \psi ^ { \ell } \left( \varphi ^ { \ell + 1 } - \varphi ^ { \ell } \right) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \psi ^ { \ell + 1 } \left( \varphi ^ { \ell + 1 } - \varphi ^ { \ell } \right) = \left( \rho v _ { 1 } E _ { 4 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( \rho v _ { 1 } E _ { 4 } \right) ^ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - } + \mathrm { A r } \rightarrow e ^ { - } + \mathrm { A r } ^ { \ast } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ) \; , } \\ { \mathrm { A r } ^ { * } ( 3 p ^ { 5 } 4 p ) \rightarrow \mathrm { A r } ^ { * } ( 3 p ^ { 5 } 4 s ) + h \nu \; . } \end{array}
\sigma _ { c } \equiv \frac { \langle ( \nabla \cdot \boldsymbol { u } ) ^ { 2 } \rangle } { \langle ( \nabla \times \boldsymbol { u } ) ^ { 2 } \rangle } = \frac { \langle a _ { i } a _ { j } q _ { i } q _ { j } \rangle } { \langle \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { i h l } a _ { k } a _ { l } q _ { j } q _ { h } \rangle } ,
J _ { 1 } = J _ { U } \left\{ 1 + \frac { A _ { B } ( p ^ { \prime } ) ^ { \alpha _ { B } } } { \alpha _ { B } } + \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 2 } A _ { P } \sigma _ { P } \left[ 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { \ln ( \tau _ { P } ^ { \prime } / p ^ { \prime } ) } { \sqrt { 2 } \sigma _ { P } } \right) \right] \right\}
{ \mathcal { H } } = 2 { \left[ \begin{array} { l l l l } { n } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } } & { \cdots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } x _ { i p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } x _ { i 1 } } & { \cdots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } ^ { 2 } } \end{array} \right] } = 2 X ^ { \operatorname { T } } X
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , x x } ^ { N H } = } & { { } \operatorname { R e } \Bigg [ \frac { ( \beta - i b ) ^ { 2 } \bigg ( k _ { y } ^ { 2 } \Big ( \alpha - i a - k ^ { 2 } ( \beta - i b ) \Big ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } \bigg ) } { \lambda ^ { 4 } } \Bigg ] } \\ { g _ { \pm , x y } ^ { N H } = } & { { } g _ { \pm , y x } ^ { N H } = \operatorname { R e } \Bigg [ \frac { k _ { x } k _ { y } ( \beta - i b ) \Big ( ( \alpha - i a ) ^ { 2 } - k ^ { 4 } ( \beta - i b ) ^ { 2 } \Big ) } { \lambda ^ { 4 } } \Bigg ] } \\ { g _ { \pm , y y } ^ { N H } = } & { { } \operatorname { R e } \Bigg [ \frac { ( \beta - i b ) ^ { 2 } \bigg ( k _ { x } ^ { 2 } \Big ( \alpha - i a + k ^ { 2 } ( \beta - i b ) \Big ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } \bigg ) } { \lambda ^ { 4 } } \Bigg ] } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , N H } = } & { { } \operatorname { R e } \Bigg [ \mp \frac { 2 k ^ { 2 } ( \beta - i b ) ^ { 2 } \Delta } { \lambda ^ { 3 } } \Bigg ] . } \end{array}
p ^ { G } - \frac { \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } L } \overline { { p } } + 2 \frac { \sigma } { L } \frac { 1 } { \left( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } \right) } \left( - \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { u } } \; \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } + \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { v } } + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) \right) - \frac { \sigma } { \varepsilon ^ { 3 } } \frac { \varepsilon \; \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 2 } \overline { { h } } } { L \left( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Delta { \bf n } ^ { ( 0 ) } = } & { { } \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \rho } _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 0 ) } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] - { \bf n } ^ { ( 0 ) } \right) } \\ { \approx } & { { } \left( \sum _ { k l } { \bf v } _ { k } { M _ { k l } } { { \bf f } _ { { \bf v } _ { l } } ^ { T } } \right) { \bf K } _ { 0 } { \bf f } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, { \binom { 2 } { b _ { \eta } } } } \\ & { \phantom { = } \times \exp \left( - \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta < \delta } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, b _ { \delta } \, \alpha _ { \delta } \, \big | { \mathbf { R } _ { \eta } } - { \mathbf { R } _ { \delta } } \big | ^ { 2 } \right) \mathrm { . } } \end{array} \right.
= \gamma ^ { 2 } c ^ { 2 } \Delta t ^ { \, 2 } \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - \gamma ^ { 2 } \Delta x ^ { \, 2 } \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r } { F _ { \rho _ { 2 } } ^ { G } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { G } = \bar { \omega } ( F _ { \rho _ { 0 } } ^ { A } + F _ { \rho _ { 0 } } ^ { B } ) + \omega F _ { \rho _ { 0 } } ^ { G } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E = t \int \mathcal { E } ( \mathbf { m } ) d ^ { 2 } \mathbf { r } = t \int \left( \mathcal { E } _ { \mathrm { e x } } + \mathcal { E } _ { \mathrm { d } } + \mathcal { E } _ { \mathrm { k } } + \mathcal { E } _ { \mathrm { Z } } \right) d ^ { 2 } \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } , \mathbf { y } } \quad } & { { } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \mathbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \gamma \mathcal { R } ( \mathbf { y } ) , } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { l } ( \mathbf { u } , \mathbf { y } ) = 0 , } \end{array}
\bar { \Sigma } { | M | } _ { g g \rightarrow g g } ^ { 2 } = { \frac { { K ^ { \prime } } _ { q g } } { 2 } } 9 N _ { C } \omega _ { 2 Q } \Bigl [ 3 - { \frac { \hat { t } \hat { u } } { \hat { s } ^ { 2 } } } - { \frac { \hat { s } \hat { u } } { \hat { t } ^ { 2 } } } - { \frac { \hat { s } \hat { t } } { \hat { u } ^ { 2 } } } \Bigr ] \;
\alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } = \frac { \mathrm { ~ n ~ e ~ t ~ r ~ a ~ t ~ e ~ o ~ f ~ a ~ d ~ s ~ o ~ r ~ p ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \mathrm { ~ r ~ a ~ t ~ e ~ o ~ f ~ c ~ o ~ l ~ l ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = { \cfrac { 2 } { \sqrt { I _ { 3 } } } } \left[ \left( { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } \right) { \boldsymbol { B } } - { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + 2 { \sqrt { I _ { 3 } } } ~ { \cfrac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i = 1 , j } ^ { t } } & { = } & { \frac { ( 4 v _ { \theta , i = 2 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i = 3 , j } ^ { t } ) b } { 2 \Delta \theta + 3 b } } \\ { v _ { \theta , i = N _ { r } , j } ^ { t } } & { = } & { \frac { ( 4 v _ { \theta , i = N _ { r } - 1 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i = N _ { r } - 2 , j } ^ { t } ) b } { 2 \Delta \theta + 3 b } } \\ { v _ { r , i = 0 , j } ^ { t } } & { = } & { 0 } \\ { v _ { r , i = N , j } ^ { t } } & { = } & { 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { F ^ { \prime } } } } & { = { \boldsymbol { F } } - m { \frac { \mathrm { d } { \boldsymbol { \omega } } } { \mathrm { d } t } } \times { \boldsymbol { r ^ { \prime } } } - 2 m { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { v ^ { \prime } } } - m { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { r ^ { \prime } } } ) } \\ & { = m { \boldsymbol { a ^ { \prime } } } } \end{array} }
\psi ( \dots , \, \mathbf { r } _ { i } , \sigma _ { i } , \, \dots , \, \mathbf { r } _ { j } , \sigma _ { j } , \, \dots ) = ( - 1 ) ^ { 2 S } \cdot \psi ( \dots , \, \mathbf { r } _ { j } , \sigma _ { j } , \, \dots , \mathbf { r } _ { i } , \sigma _ { i } , \, \dots )
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 1 } } & { = } & { ( k _ { C } - 1 ) ( 1 - \beta ) \left[ ( \beta ( 1 - f ) + ( 1 - \beta ) ) ^ { k _ { C } - 2 } - ( \beta ( 1 - \beta ) ( 1 - f ) + ( 1 - \beta ) ) ^ { k _ { C } - 2 } \right] , } \\ { \epsilon _ { 2 } } & { = } & { ( 1 - f ) ( 1 - \beta f ) ^ { k _ { C } - 2 } ( k _ { I } - 1 ) ( k _ { C } - 1 ) ^ { 2 } \beta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { \mathrm { h o l e } } ^ { \mathrm { e x c } } ( z , t ) \rangle } & { = \sum _ { z _ { j } \ge z - \Delta z / 2 } ^ { z _ { j } \le z + \Delta z / 2 } | \Psi ^ { \mathrm { e x c } } ( z _ { j } , t ) \rangle } \\ { | \Psi _ { \mathrm { h o l e } } ^ { \mathrm { p h o } } ( z , t ) \rangle } & { = \sum _ { z _ { j } \ge z - \Delta z / 2 } ^ { z _ { j } \le z + \Delta z / 2 } | \Psi ^ { \mathrm { p h o } } ( z _ { j } , t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mathbf { 0 } } , } & { \ell = 0 } \\ { \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } + \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } ( \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \ell - 1 } ) ^ { \tau } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } , } & { \ell \in \mathbb { N } . } \end{array} \right. } \end{array}
- d _ { 1 } \leq w _ { R } ( \phi , \mathbf { F } ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C ( 1 + | 2 R | ^ { p } ) \quad \mathrm { f o r } \; | \mathbf { F } | \leq 2 R ; } \\ { C | \mathbf { F } | ^ { \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } \left( 1 + | \mathbf { F } | ^ { p } \right) \leq C \frac { 1 } { ( 2 R ) ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } + C | \mathbf { F } | ^ { p + \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } } \\ { \leq C ( 1 + | \mathbf { F } | ^ { p + \operatorname* { m i n } ( 0 , 4 - p ) } ) \quad \mathrm { f o r } \, | \mathbf { F } | \geq 2 R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \delta _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { k - 1 } , } & { \mathrm { i f ~ } \Delta _ { k } ^ { ( \mathrm { P A o T I } ) } > \Delta _ { k - 1 } ^ { ( \mathrm { P A o T I } ) } } \\ { - \delta _ { k - 1 } , } & { \mathrm { e l s e ~ i f ~ } \Delta _ { k } ^ { ( \mathrm { P A o T I } ) } < \Delta _ { k - 1 } ^ { ( \mathrm { P A o T I } ) } } \\ { \tilde { \delta } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ E } ^ { { \alpha } } = e ^ { \Phi ( x , \theta , \bar { \theta } ) + i W ( x , \theta , \bar { \theta } ) } \left( d { \theta } ^ { \alpha } + { 2 i } \Pi ^ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { D } _ { \dot { \alpha } } \Phi \right) ,
\begin{array} { r l } & { f _ { \alpha } ( \vec { m } ^ { N } ) = i \sum _ { \beta = 1 } ^ { d ^ { 2 } } A _ { \alpha \beta } m _ { \beta } ^ { N } + i \sum _ { \beta , \gamma = 1 } ^ { d ^ { 2 } } B _ { \alpha \beta \gamma } m _ { \beta } ^ { N } m _ { \gamma } ^ { N } + \sum _ { \ell , \beta } M _ { \ell \alpha } ^ { \beta } \Gamma _ { \ell } ^ { 2 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) m _ { \beta } ^ { N } } \\ & { A _ { \alpha \beta } = \sum _ { \beta ^ { \prime } = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \epsilon _ { \beta ^ { \prime } } a _ { \beta ^ { \prime } \alpha } ^ { \beta } \quad B _ { \alpha \beta \gamma } = \sum _ { \beta ^ { \prime } = 1 } ^ { d ^ { 2 } } a _ { \beta ^ { \prime } \alpha } ^ { \gamma } ( h _ { \beta \beta ^ { \prime } } + h _ { \beta ^ { \prime } \beta } ) \, . } \end{array}
\left( \frac { d n _ { l } } { d t } \right) _ { \scriptsize \mathrm { R R } } = n \textsubscript { K } \left( \frac { n _ { l } } { n \textsubscript { K } } \right) ^ { * } \int _ { \nu _ { o } } ^ { \infty } \left( { \frac { 4 \pi } { h \nu } } \right) \sigma _ { \nu } \left( { \frac { 2 h \nu ^ { 3 } } { c ^ { 2 } } } + J _ { \nu } \right) \exp ( - h \nu / k T ) d \nu
\begin{array} { r l } { \overline { { w ^ { \textnormal { L } } } } } & { { } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { L } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { L } } } w ( x ( t ) , z ( t ) , t ) \, d t = - \frac { \epsilon } { T ^ { \textnormal { L } } k } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sinh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \sin \theta } { \sinh { \alpha } - \epsilon \cosh ( \epsilon \cos \theta + { \alpha } ) \cos \theta } \, d \theta = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \partial _ { x } ^ { \beta } \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \leq \Vert \partial _ { x } ^ { \beta } \varrho ( 0 ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } e ^ { C _ { T } ( u , f ) t / 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C _ { T } ( u , f ) ( t - \tau ) / 2 } \left\Vert \left[ \partial _ { x } ^ { \beta } , u \cdot \nabla _ { x } + B ^ { u , f } \right] \varrho ( \tau ) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \, \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( r , \phi , \xi ) \approx } & { \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { 2 } { \tilde { r } _ { b } } \right) - \frac { r ^ { 2 } } { 4 } } \\ & { - g \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } \cos \phi } { 8 } \left\{ \frac { r } { 4 } - r \log \left( \frac { 2 } { \tilde { r } _ { b } } \right) + \frac { r ^ { 3 } } { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \underset { 1 \leq n \leq M } { \mathrm { m a x } } } & & { \underset { S _ { n } } { \mathrm { m a x } } R _ { z f } \left( S _ { n } \right) } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & & { \sum _ { i \in S _ { n } } \left[ \mu - \frac { 1 } { c _ { i } \left( S _ { n } \right) } \right] _ { + } = P . } \end{array}
\delta \sigma ^ { e l } ( s ) = \frac { \sigma _ { h p } ^ { t o t } ( \hat { s } ) \sigma _ { h n } ^ { t o t } ( \hat { s } ) } { 4 \pi ( R _ { d } ^ { 2 } + B _ { h p } ( \hat { s } ) + B _ { h n } ( \hat { s } ) ) } , \, \hat { s } = \frac { s } { 2 } ,
\frac { | \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = y _ { 1 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] - \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = b _ { i } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] | } { \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = y _ { 1 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] , \operatorname* { P r } _ { x \sim p } [ x _ { 1 } = b _ { i } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } ] \} } \geq \frac { m } { m + 1 } .
L _ { 1 } \left( \xi _ { j } \right) + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 } = 0 . 5 ( \Theta _ { 1 } \xi _ { j } - { \dot { U } } _ { 1 } ) ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 }
\begin{array} { r l } & { m _ { \alpha } = \frac { T r ( S ^ { \alpha } + \frac { 2 \gamma ^ { \prime } } { \beta \mu _ { _ { J } } } m _ { \alpha } S ^ { \alpha } ) e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } } \\ & { M _ { \alpha } \equiv \frac { T r S ^ { \alpha } e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } = \frac { m _ { \alpha } } { 1 + \frac { 2 \gamma ^ { \prime } } { \beta \mu _ { _ { J } } } m _ { \alpha } } } \\ & { q _ { \alpha \beta } = \frac { T r ( S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \frac { 2 \gamma } { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } q _ { \alpha \beta } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } ) e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } } \\ & { Q _ { \alpha \beta } \equiv \frac { T r S ^ { \alpha } S ^ { \beta } e ^ { L ^ { \prime } } } { T r e ^ { L ^ { \prime } } } = \frac { q _ { \alpha \beta } } { 1 + \frac { 2 \gamma } { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } q _ { \alpha \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { M } _ { n } } { { \ddot { u } } _ { n } } } & { { } + } & { \nu _ { u } \dot { u } _ { n } = { { k } _ { u } } \left( { { u } _ { n + 1 } } + { { u } _ { n - 1 } } - 2 { { u } _ { n } } \right) } \\ { { { J } _ { n } } { { \ddot { \theta } } _ { n } } } & { { } + } & { \nu _ { \theta } \dot { \theta } _ { n } = - { { k } _ { \theta } } \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } _ { n - 1 } } + 4 { { \theta } _ { n } } + 6 { { \theta } ^ { ( 0 ) } } - 6 \theta _ { L i n } \right) } \end{array}
p ^ { \prime } ( x , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { g } } \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { j } ( t ) \Pi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) , \quad 0 \leq x < x _ { f } , } \\ { \mu _ { j } ( t ) \Pi _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) , \quad x _ { f } < x \leq 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { d \phi _ { L } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \right) ( t , x ) + \sqrt { 2 } d B _ { t } ( x ) } & { ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ( 0 , x ) } & { = \phi ( x ) } & { \mathrm { f o r } ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } . } \end{array}
\frac { R _ { t t } } { A e ^ { 2 \Omega } } + A R _ { r r } + \frac { ( d - 2 ) R _ { \theta _ { a } \theta _ { a } } } { r ^ { 2 } \displaystyle { \prod _ { b = 1 } ^ { a - 1 } \sin ^ { 2 } \theta _ { b } } } = \frac { d - 2 } { r ^ { d - 2 } } \frac { d } { d r } \left[ r ^ { d - 3 } ( 1 - A ) \right] \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { d + } = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) n _ { d + } \right] + R _ { i z } - R _ { r c } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | , d + } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | , d + } \right] - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { d + } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { d + } \right] + v _ { | | , d + } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } } \end{array}
\Phi ( p , t ) = \left( { \frac { x _ { 0 } } { \hbar { \sqrt { \pi } } } } \right) ^ { 1 / 2 } \cdot \exp { \left( { \frac { - x _ { 0 } ^ { 2 } ( p - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } - { \frac { i p ^ { 2 } t } { 2 m \hbar } } \right) } ,
I _ { a , m n } ^ { 2 } = \frac { 1 } { y _ { 1 } - y _ { 0 } } \int _ { y _ { 0 } } ^ { y _ { 1 } } | \widetilde { a } _ { m n } ^ { + } | ^ { 2 } { \, \mathrm { { d } } } y ,
\begin{array} { r l } { \textrm { C E } } & { = { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } ( \frac { \textrm { R e } [ E _ { t 0 } ( 1 - r ^ { * } ) ] } { F } - \frac { I _ { t 0 } ( 2 - r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r ] ) } { F ^ { 2 } } ) } \\ & { \leq { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } ( \sqrt { \frac { I _ { t 0 } } { F ^ { 2 } } } | 1 - r | - \frac { I _ { t 0 } } { F ^ { 2 } } ( 2 - r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r ] ) ) . } \end{array}
E _ { \phi } ^ { I } ( \rho , z ) \approx \xi \sum _ { g = - \infty } ^ { \infty } D _ { g } ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial \rho } s i n c \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \left[ k _ { 1 } z + \pi g \right] ^ { 2 } } \, \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ V ~ } } ( \mu , \sigma _ { 1 } ; x ) = } & { { } e ^ { - \frac { x } { 2 \mu } - \frac { a ^ { 2 } } 4 } \sqrt { \frac { | a | } { 1 6 \mu \sigma _ { 1 } } } } \\ { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ V ~ } } \left( \mu , \sigma _ { 1 } ; \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } \right) = } & { { } \frac { \sqrt [ 4 ] { 2 } \Gamma \left( \frac { 5 } { 4 } \right) e ^ { - \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 \mu } \right) ^ { 2 } } } { \pi \sqrt { \mu \sigma _ { 1 } } } , } \end{array}
( \operatorname { R e } ( x ) \leq { \frac { 1 } { 2 } } \wedge \operatorname { R e } ( y ) \leq { \frac { 1 } { 2 } } \vee \operatorname { I m } ( x ) > 0 \wedge \operatorname { I m } ( y ) > 0 \vee \operatorname { I m } ( x ) < 0 \wedge \operatorname { I m } ( y ) < 0 \vee \ldots ) .
\begin{array} { r } { ( p - p _ { c a v } ) ( 1 - { \theta } ) = 0 \quad { \rightarrow } \quad \left\{ \begin{array} { l r } { p > p _ { c a v } \quad { \rightarrow } \quad { \theta } = 1 } & { \mathrm { p r e s s u r e d ~ z o n e s , } } \\ { p = p _ { c a v } \quad { \rightarrow } \quad 0 \; { \leq } \; { \theta } < 1 } & { \mathrm { c a v i t a t e d ~ z o n e s . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { M } } } } & { = \operatorname* { m i n } _ { O T _ { \mathcal { M } } } \int _ { \mathcal { X } } c ( x _ { T 2 } , x _ { T 1 } ^ { A } ) d p ( x _ { T 1 } ^ { A } ) } \\ { \mathrm { s . ~ t . ~ } } & { O T _ { \mathcal { M } } \# p ( x _ { T 1 } ^ { A } ) = p ( x _ { T 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x } & { \approx { \frac { \Delta x } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( f ( x _ { k - 1 } ) + f ( x _ { k } ) \right) } \\ & { = { \frac { \Delta x } { 2 } } { \Biggl ( } f ( x _ { 0 } ) + 2 f ( x _ { 1 } ) + 2 f ( x _ { 2 } ) + 2 f ( x _ { 3 } ) + \dotsb + 2 f ( x _ { N - 1 } ) + f ( x _ { N } ) { \Biggr ) } } \\ & { = \Delta x \left( { \frac { f ( x _ { N } ) + f ( x _ { 0 } ) } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } f ( x _ { k } ) \right) . } \end{array} }
e ^ { \hat { A } } \hat { B } e ^ { - \hat { A } } = \hat { B } + [ \hat { A } , \hat { B } ] + \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] + \frac { 1 } { 3 ! } [ \hat { A } , [ \hat { A } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] ] + \cdots
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { p } ^ { i } = \mathbf { F } _ { p } ^ { i } ( \mathbf { U } , \nabla _ { } \mathbf { U } ) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \tau _ { 1 i } } \\ { \tau _ { 2 i } } \\ { \tau _ { 3 i } } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \tau _ { i j } v _ { j } - q _ { i } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( z ) = } & { { } } & { 4 A R _ { g } \int _ { \zeta } ^ { \infty } \frac { \left[ g ( \eta ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ~ g \left( \frac { \eta } { \sqrt { 2 } } \right) - \eta \right] \eta } { \sqrt { \eta ^ { 2 } - \zeta ^ { 2 } } } d \eta } \\ { = } & { { } } & { 2 A R _ { g } \left[ f \left( \zeta \right) - f \left( \frac { \zeta } { \sqrt { 2 } } \right) \right] ~ . } \end{array}