harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { a } \left( t , \Omega \right) = \sqrt { \frac { \Omega } { \sigma } } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t ^ { \prime } \mathbf { a } \left( t \right) e ^ { i \Omega \left( t ^ { \prime } - t \right) } e ^ { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( t ^ { \prime } - t \right) ^ { 2 } } .
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { s } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { \mathrm { s } } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { \mathrm { s } } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { \mathrm { s } } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { \mathrm { s } } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { , }
E ^ { A 1 } \equiv d \Theta ^ { \underline { { { \mu } } } 1 } v _ { \underline { { { \mu } } } } ^ { ~ A } , \qquad E ^ { A 2 } \equiv d \Theta _ { \underline { { { \mu } } } } ^ { 2 } v _ { A } ^ { ~ \underline { { { \mu } } } } . \qquad
( \Omega ^ { \bullet } ( X _ { A } ) , \nabla _ { \omega } ) : \, 0 \longrightarrow \Omega ^ { 0 } ( X _ { A } ) \overset { \nabla _ { \omega } } { \longrightarrow } \Omega ^ { 1 } ( X _ { A } ) \overset { \nabla _ { \omega } } { \longrightarrow } \cdots \overset { \nabla _ { \omega } } { \longrightarrow } \Omega ^ { n } ( X _ { A } ) \longrightarrow 0 .
e = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \, \, a = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \, \, b = { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \, \, c = { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { t } \bar { f } _ { + } \, \bar { \varphi } _ { + } \, \textup { d } y + \frac { D _ { T } } { L ^ { 2 } ( t ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { y } \bar { f } _ { + } \, \partial _ { y } \bar { \varphi } _ { + } \, \textup { d } y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \, \bar { f } _ { + } \, ( 1 - \bar { \rho } ) \, \partial _ { y } \bar { \varphi } _ { + } + \left( \lambda ( \bar { f } _ { - } - \bar { f } _ { + } ) + \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \partial _ { y } \bar { f } _ { + } \right) \, \bar { \varphi } _ { + } \, \textup { d } y } \\ & { \qquad - \beta _ { + } ( \Lambda ) \, \bar { f } _ { + } ( t , 1 ) \, \bar { \varphi } _ { + } ( 1 ) + \alpha _ { + } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ) \, g _ { + } ( \bar { \boldsymbol { f } } ( t , 0 ) ) \, \bar { \varphi } _ { + } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { 2 \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] } & { \left( \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} \right. } \\ & { \left. + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} \right) \mathrm { . } } \end{array}
\sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } } ^ { A B } ( b ) = \sigma _ { \mu ^ { + } \mu ^ { - } } ^ { N N } \! \int \! d ^ { 2 } s d z d z ^ { \prime } \, \rho _ { A } ( s , z ) \rho _ { B } ( b - s , z ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { F _ { T + h } = l _ { T } + h b _ { T } } \\ { l _ { T } = \alpha y _ { T } + ( 1 - \alpha ) ( l _ { T - 1 } + b _ { T - 1 } ) } \\ { b _ { T } = \beta ( l _ { T } + b _ { T - 1 } ) + ( 1 - \beta ) b _ { T - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf D } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { { \bf I } } & { { \bf I } } \\ { \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } } & { \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) , } \\ { \tilde { \bf b } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l } { \tilde { \bf q } _ { 1 } ^ { + } } \\ { \tilde { \bf q } _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 1 } \left( r , \theta , z , t \right) = A _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } \left( r , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 0 } t - \theta \right) } \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ { + B _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 1 } } \left( r , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 0 } t + \theta \right) } + c . c . \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] F _ { 1 } } & { { } = \sqrt { 2 } \cos ( y ) } \\ { F _ { 2 } } & { { } = 2 \cos ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 3 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 4 } } & { { } = \sqrt { 2 } \cos ( 2 y ) } \\ { F _ { 5 } } & { { } = 2 \cos ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 6 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 7 } } & { { } = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 8 } } & { { } = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 9 } } & { { } = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 1 0 } } & { { } = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 1 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 3 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 4 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 4 y ) } \\ { \phi _ { 5 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 6 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 7 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 8 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 4 y ) } \end{array}
M _ { 2 } ( E ) \equiv { \frac { d } { d E } } G ( \vec { x } , \vec { y } ; - E ) \bigg | _ { \vec { x } = \vec { y } = 0 } = \sum _ { n } { \frac { | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } } { ( E + E _ { n } ) ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r } { \mathrm { n } ^ { * } ( S _ { \rho , \nu } , \epsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde \Theta \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } \, \cdot \, \nu ^ { 2 } } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \epsilon \leq 1 , } \\ { \widetilde \Theta \left( \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { \nu ^ { 2 } } , \frac { 1 } { e ^ { \epsilon } \, \cdot \, \rho ^ { 2 } } \right) \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } \in \left[ e , \frac { 1 } { \rho } \right] , } \\ { \widetilde \Theta \left( \frac { 1 } { \rho } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } e ^ { \epsilon } > \frac { 1 } { \rho } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { t + h } } & { { } = y _ { t } + h { \dot { y } } _ { t } + { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } { \ddot { y } } _ { t } + { \frac { h ^ { 3 } } { 6 } } y _ { t } ^ { ( 3 ) } + { \frac { h ^ { 4 } } { 2 4 } } y _ { t } ^ { ( 4 ) } + { \mathcal { O } } ( h ^ { 5 } ) = } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ ( \mu _ { \mathrm { M W } j } , \mu _ { \mathrm { M M } j } ) \} _ { j } = \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { \mathrm { M W } j } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { \mathrm { M M } j } ) ) \} _ { j } \cup \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { \mathrm { M W } j } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { \mathrm { M M } j } ) ) \} _ { j } . } \end{array}
\tilde { u } _ { i } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { L } _ { i j } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { x } _ { s } ) E _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { s } ) , \; i = 1 , 2 , 3 ; \, j = 1 , 2 , 3 , 4 .
\Phi _ { R } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - m } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { 0 } } & { { - m } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - m } } & { { 0 } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . \nonumber } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { ( k - 1 ) m } } \end{array} \right) \, ,
a _ { k _ { \eta } } ( \tau ) b _ { k _ { \eta } } ( \tau ^ { \prime } ) - a _ { k _ { \eta } } ( \tau ^ { \prime } ) b _ { k _ { \eta } } ( \tau ) = \frac { \pi \sqrt { \tau \tau ^ { \prime } } } { 2 } \left[ J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) - J _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau ^ { \prime } \right) Y _ { i k _ { \eta } } \left( k _ { \bot } \tau \right) \right] \; ,
F _ { 0 } \left( \mathbf { J } \right) = \frac { \Omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 \pi } \left( k _ { B } T \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \exp \left( - \frac { H _ { 0 } \left( \mathbf { J } \right) } { k _ { B } T } \right)
\begin{array} { r } { ( - 1 ) ^ { \frac { M } { 2 } \left( \frac { M } { 2 } - 1 \right) / 2 } \mathrm { ~ P ~ f ~ } ( i \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r ( 0 ) \mathcal { V } _ { C } ) = ( - 1 ) ^ { p } , } \end{array}
f _ { z ^ { 3 } } = N _ { 3 } ^ { c } { \frac { z ( 2 z ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } ) } { 2 r ^ { 3 } { \sqrt { 1 5 } } } } = Y _ { 3 } ^ { 0 }
I _ { 0 } = \frac { R _ { S } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \tilde { I } ( \nu ) d \nu = \frac { R _ { S } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \frac { 2 \pi h } { c ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \frac { \nu ^ { 3 } \; d \nu } { \exp ( h \nu / k _ { B } T ) - 1 }
\begin{array} { r l r l } & { \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { G } : i \sim k } P _ { G _ { i } , \mathrm { r e g } } ^ { t } + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } : i \sim k } P _ { D G _ { i } } ^ { t } + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { S } : i \sim k } ( P _ { d c h _ { i } } ^ { t } - P _ { c h _ { i } } ^ { t } ) - P _ { k } ^ { d , t } = \sum _ { l \in \delta ( k ) } p _ { k l } ^ { t } } & & { \forall k \in \mathcal { B } \setminus \{ 0 \} , t \in T , } \\ & { \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { G } : i \sim 0 } P _ { G _ { i } , \mathrm { r e g } } ^ { t } + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } : i \sim 0 } P _ { D G _ { i } } ^ { t } + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { S } : i \sim 0 } ( P _ { d c h _ { i } } ^ { t } - P _ { c h _ { i } } ^ { t } ) + P _ { s l } ^ { t } - P _ { 0 } ^ { d , t } = \sum _ { l \in \delta ( k ) } p _ { 0 l } ^ { t } } & & { \forall t \in T , } \\ & { p _ { i j } ^ { t } = \frac { 1 } { x _ { i j } } ( \theta _ { i } ^ { t } - \theta _ { j } ^ { t } ) } & & { \forall \{ i , j \} \in \mathcal { L } , t \in T } \end{array}
\dot { p } _ { i } ^ { ( 1 , A ) } = \sigma \left[ \mathsf { L } _ { i j k } ^ { ( 1 ) } \mathsf { E } _ { j k } ^ { \infty } + \mathsf { L } _ { i j k } ^ { ( 2 ) } \mathsf { O } _ { j k } ^ { \infty } \right] ,
\begin{array} { r l } & { J ^ { G } ( \bar { x } ) \! = \! - \alpha _ { G } v ^ { G } ( \bar { x } ) \! \left[ \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! d \bar { x } ^ { \prime } J ^ { G } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 1 1 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \right. + \left. \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } \! J _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 1 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) + \! \! \! \int _ { 1 + \Delta \bar { x } } ^ { \frac { 2 } { f } - ( 1 + \Delta \bar { x } ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } \! J _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 1 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \! \right] } \\ & { + \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 1 ) } v ^ { G } ( \bar { x } ) \exp ( i \bar { Q } _ { 0 } \bar { x } ) , \quad - 1 \leq \bar { x } \leq 1 ; } \\ & { J _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \! = \! - \alpha _ { G } ^ { 2 D } v _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \! \left[ \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } ^ { \prime } J ^ { G } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 1 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \right. \left. + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } J _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) + \! \! \! \int _ { 1 + \Delta \bar { x } } ^ { \frac { 2 } { f } - ( 1 + \Delta \bar { x } ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } \! J _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \! \right] } \\ & { + \! \frac { \sigma _ { G } ^ { 2 D } } { \sigma _ { M } } \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 2 ) } v _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \exp ( i \bar { Q } _ { 0 } \bar { x } ) , \quad - 1 \leq \bar { x } \leq 1 ; } \\ & { J _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \! = \! - \alpha _ { O } ^ { 2 D } v _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \! \left[ \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } ^ { \prime } J ^ { G } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 1 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \right. \left. + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } J _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) + \! \! \! \int _ { 1 + \Delta \bar { x } } ^ { \frac { 2 } { f } - ( 1 + \Delta \bar { x } ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! d \bar { x } ^ { \prime } \! J _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ^ { \prime } ) G ^ { ( 2 2 ) } ( \bar { x } , \bar { x } ^ { \prime } ) \! \right] } \\ & { + \! \frac { \sigma _ { O } ^ { 2 D } } { \sigma _ { M } } \eta _ { \omega , 0 } ^ { ( 2 ) } v _ { O } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \exp ( i \bar { Q } _ { 0 } \bar { x } ) , 1 + \Delta \bar { x } \leq \bar { x } \leq \frac { 2 } { f } - ( 1 + \Delta \bar { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle v ^ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle } & { { } } & { = ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } ) 2 ( \delta \lambda _ { i } ) ( f _ { + , i } ^ { e q } + f _ { - , i } ^ { e q } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { F o c k } } } & { { } \phi _ { n l } ( r ) = \frac { 1 } { r } \left[ \sum _ { L = 0 } ^ { 2 l } A _ { n l , n l , L } ^ { \mathrm { ~ F ~ R ~ } } Y ^ { L } ( n l , n l ; r ) \phi _ { n l } ( r ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \nu ( x , t ) - \partial _ { x } q _ { 1 } ( x , t ) = 0 , } \\ & { } & { \partial _ { t } \langle \nu ( x , t ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ) \varsigma _ { n } \rangle + \partial _ { x } \langle ( v ^ { \mathrm { e f f } } ( x , t ) - q _ { 1 } ( x , t ) ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ) \varsigma _ { n } \rangle = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { f ( x ) } { 1 - f ( x ) } } & { { } = \frac { \frac { p ( x \mid \theta _ { 0 } ) } { p ( x \mid \theta _ { 0 } ) + p ( x \mid \theta _ { 1 } ) } } { 1 - \frac { p ( x \mid \theta _ { 0 } ) } { p ( x \mid \theta _ { 0 } ) + p ( x \mid \theta _ { 1 } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { t } } & { { } = q _ { 0 } , } \\ { p _ { t } } & { { } = p _ { 0 } - t V _ { 1 } ( q _ { 0 } , \operatorname { I m } A _ { 0 } ) , } \\ { A _ { t } } & { { } = A _ { 0 } - t V _ { 2 } ( q _ { 0 } , \operatorname { I m } A _ { 0 } ) , } \\ { \gamma _ { t } } & { { } = \gamma _ { 0 } - t V _ { 0 } ( q _ { 0 } , \operatorname { I m } A _ { 0 } ) . } \end{array}
S _ { h } = \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { h a _ { 0 } \hat { A } } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { h b _ { 0 } \hat { B } } \, \cdots \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { h b _ { 2 n - 1 } \hat { B } } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { h a _ { 2 n } \hat { A } }
C _ { \epsilon } ( { \bf \Delta r } ) = \frac { \left< \epsilon _ { x z } ( { \bf r + \Delta r } ) \epsilon ( { \bf r } ) \right> - \left< \epsilon _ { x z } ( { \bf r } ) \right> ^ { 2 } } { \left< \epsilon _ { x z } ( { \bf r } ) ^ { 2 } \right> - \left< \epsilon _ { x z } ( { \bf r } ) \right> ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S u b c a s e ~ 0 : } \quad r \leq n _ { 1 } < n _ { 2 } < . . . < n _ { d } } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 1 : } \quad n _ { 1 } < r \leq n _ { 2 } < n _ { 3 } < . . . < n _ { d } } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ 2 : } \quad n _ { 1 } < n _ { 2 } < r \leq n _ { 3 } < n _ { 4 } < . . . < n _ { d } } \\ & { . . . } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ \textit { k } : } \quad n _ { 1 } < n _ { 2 } < . . . < n _ { k } < r \leq n _ { k + 1 } < . . . < n _ { d } } \\ & { . . . } \\ & { \mathrm { S u b c a s e ~ \textit { d - 1 } : } \quad n _ { 1 } < n _ { 2 } < . . . < n _ { d - 1 } < r \leq n _ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { n + 1 } } & { = } & { \nabla \cdot \left( \mathbf { v } ^ { n } - { \Delta t } \, \nabla \cdot ( \mathbf { v } ^ { n } \otimes \mathbf { v } ^ { n } ) + { \Delta t } \, \nu \Delta \mathbf { v } ^ { * } - { \Delta t } \, \nabla p ^ { n } \right) + { \Delta t } \, \Delta p ^ { n } - { \Delta t } \, \Delta p ^ { n + 1 } , } \\ & { = } & { \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { * } + { \Delta t } \, \Delta p ^ { n } - { \Delta t } \, \Delta p ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \sigma } ( \omega ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \left( \frac { - 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { ( i \omega _ { k } ^ { - } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { - } ) ^ { * } } \right) + \sum _ { k \in \mathbb { P } } i \operatorname { I m } \left( \frac { - 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { i \omega _ { k } ^ { - } } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) } \\ & { + \sum _ { k \in \mathbb { Z } \backslash \mathbb { P } } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { - 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { - } } \right) - \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } = ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 3 } + ( a _ { 1 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 4 } + ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } } \\ { + ( a _ { 2 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 4 } + ( a _ { 3 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 4 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { o _ { u } + d _ { u } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } \ge u _ { i _ { 0 } , k } } \\ { 0 \leq o _ { v } + d _ { v } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } - v _ { j _ { 0 } , \ell } < \frac { n _ { u } } { n _ { v } } \frac { v _ { j _ { 0 } + 1 } - v _ { j _ { 0 } } } { u _ { i _ { 0 } + 1 } - u _ { i _ { 0 } } } ( u _ { i _ { 0 } , k + 1 } - ( o _ { u } + d _ { u } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ) ) . } \end{array}
a ( s ) = \frac { 1 } { 3 2 \pi } \left( \frac { 4 | { \bf p } _ { f } | | { \bf p } _ { i } | } { s } \right) ^ { 1 / 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \! \cos \theta \: M ( s , t , u ) ,
\tilde { \Delta } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } } ( s ) = \frac { 1 + \chi } { 2 } + 9 \frac { 1 - \chi } { 1 6 } \cos ( \pi s ) - \frac { 1 - \chi } { 1 6 } \cos ( 3 \pi s ) \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { A } _ { r } = \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { U } _ { r } ^ { * } \mathbf { H } ^ { \prime } \mathbf { V } _ { r } \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 / 2 } , \ \& \mathbf { B } _ { r } = \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { 1 / 2 } \mathbf { V } _ { r } ^ { * } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } _ { p } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] , \ \& \mathbf { C } _ { r } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } _ { q } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \mathbf { U } _ { r } \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\int \hat { C } _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 ! } \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \partial _ { \mu } X ^ { A } \partial _ { \nu } X ^ { B } \partial _ { \rho } X ^ { C } \partial _ { \sigma } X ^ { D } C _ { A B C D }
\begin{array} { r l } { \mathrm { F A } ( \lambda ) } & { { } = \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \frac { \left( \lambda _ { 1 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 2 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 3 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ \sigma _ { j } , \sigma _ { k } \right] + \{ \sigma _ { j } , \sigma _ { k } \} } & { = ( \sigma _ { j } \sigma _ { k } - \sigma _ { k } \sigma _ { j } ) + ( \sigma _ { j } \sigma _ { k } + \sigma _ { k } \sigma _ { j } ) } \\ { 2 i \varepsilon _ { j k \ell } \, \sigma _ { \ell } + 2 \delta _ { j k } I } & { = 2 \sigma _ { j } \sigma _ { k } } \end{array} }
R _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) = \frac { P _ { 0 } ( \theta ) I _ { 2 , 2 } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } P _ { 0 } ( y ) I _ { 2 , 2 } ( y ) \, \mathrm { ~ d ~ } y } = \frac { \theta ^ { 4 } ( 1 - \theta ) ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { 4 } ( 1 - y ) ^ { 2 } \, \mathrm { ~ d ~ } y } .
- \tilde { \beta } { \cal { V } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! G ( \Phi _ { 0 } ) ( \partial _ { z } \Phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \; d z = \tilde { \sigma } { \cal { H } } _ { \gamma } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! ( \partial _ { z } \Phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \; d z + L _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! G ( \Phi _ { 0 } ) \partial _ { z } \Phi _ { 0 } \; d z .
\begin{array} { r l } { E _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { { } = \frac { 1 5 0 ( E _ { i } + E _ { i + 1 } ) - 2 5 ( E _ { i - 1 } + E _ { i + 2 } ) + 3 ( E _ { i - 2 } + E _ { i + 3 } ) } { 2 5 6 } + \textit { O } ( \Delta x ^ { 6 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z _ { t } } } & { = \mathbf { Z } ( z = 0 ) = Z _ { 0 } \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S _ { t } } \right] \cdot \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S _ { t } } \right] ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { S _ { t } } } & { = \left[ \mathbb { 1 } + \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } - \mathbb { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta ^ { * } ( t ) \in \mathcal { B } = \bigg \{ \theta ( t ) : \operatorname* { m a x } _ { i , j } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \big | \alpha _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) + \beta _ { j } ^ { ( l ) } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ^ { ( l ) } ( t ) \big | \le q _ { n } ~ ( l = 0 , 1 , 2 ) \bigg \} , } \end{array}
H ^ { ( 0 ) } = \sum _ { r = \pm 1 } \sum _ { \vec { p } , p ^ { 0 2 } = \vec { p } ^ { 2 } } | p ^ { 0 } | \; ( b _ { \vec { p } , r } ^ { ( 0 ) + } b _ { \vec { p } , r } ^ { ( 0 ) } - d ^ { ( 0 ) + } { } _ { \vec { p } , r } d _ { \vec { p } , r } ^ { ( 0 ) } ) .
\begin{array} { r } { \widetilde { a } _ { n } ( p _ { d } ^ { \boxtimes _ { d } m } ) = \widetilde { a } _ { n } ( p _ { d } ) ^ { m } = \left( \kappa _ { 1 } ^ { d } ( p _ { d } ) ^ { n } - \binom { n } { 2 } \frac { \kappa _ { 1 } ^ { d } ( p _ { d } ) ^ { n - 2 } \kappa _ { 2 } ^ { d } ( p _ { d } ) } { d } + O ( d ^ { - 2 } ) \right) ^ { m } . } \end{array}
e _ { \lambda } ( X _ { 1 } , \dots , X _ { n } ) = e _ { \lambda _ { 1 } } ( X _ { 1 } , \dots , X _ { n } ) \cdot e _ { \lambda _ { 2 } } ( X _ { 1 } , \dots , X _ { n } ) \cdots e _ { \lambda _ { m } } ( X _ { 1 } , \dots , X _ { n } )
\begin{array} { l } { \dot { x } = x \left( \Pi _ { A P } - \overline { { \Pi } } \right) , } \\ { \dot { y } = y \left( \Pi _ { N C } - \overline { { \Pi } } \right) , } \\ { \dot { z } = z \left( \Pi _ { D } - \overline { { \Pi } } \right) , } \\ { \dot { w } = w \left( \Pi _ { E } - \overline { { \Pi } } \right) . } \end{array}
s _ { i } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { k } \dot { \psi } ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { i j k } , \; \; \; \; \; \; \vec { s } = \vec { \nabla } \psi \times \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \vec { \nabla } \dot { \psi } ) } .
\psi _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } } \rightarrow | x | ^ { 2 } x \! \! \! \slash \gamma _ { 5 } I _ { \mu _ { 1 } } ^ { \nu _ { 1 } } ( x ) \cdots I _ { \mu _ { s } } ^ { \nu _ { s } } ( x ) \psi _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { s } } .