harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { T } ( z ) } & { = L ( \tilde { b } , \tilde { c } ) ( z ) + L ( \tilde { c } , \tilde { b } ^ { * _ { r ( \tilde { c } ) } } ) ( z ) = \{ \tilde { b } , \tilde { c } , z \} + \{ \tilde { c } , \tilde { b } ^ { * _ { r ( \tilde { c } ) } } , z \} } \\ & { = ( \tilde { b } \circ \tilde { c } ) \circ z + ( z \circ \tilde { c } ) \circ \tilde { b } - ( \tilde { b } \circ z ) \circ \tilde { c } + ( \tilde { c } \circ \tilde { b } ) \circ z + ( z \circ \tilde { b } ) \circ \tilde { c } - ( \tilde { c } \circ z ) \circ \tilde { b } } \\ & { = 2 ( \tilde { b } \circ \tilde { c } ) \circ z = 2 M _ { \tilde { b } \circ \tilde { c } } ( z ) = M _ { 2 \tilde { b } \circ \tilde { c } } ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( { \bf x } ) - \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ \mathcal { F } [ \Delta c _ { J K } ( { \bf x } ) \epsilon _ { K } ( { \bf x } ) ] \right] } & { { } - } \\ { \omega ^ { 2 } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ G _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ \mathcal { F } [ \Delta \rho ( { \bf x } ) u _ { j } ( { \bf x } ) ] \right] = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ M _ { J } ( { \bf k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt 2 p t h } = \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \sum _ { s = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i - s , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial t } \right) _ { i - s + m , j } \right) , } \\ & { \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt 2 p t h } = \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \sum _ { s = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j - s } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial t } \right) _ { i , j - s + m } \right) , } \\ & { \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { { \tt 2 p t h } } = \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \sum _ { s = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i - s , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i - s + m , j } \right) , } \\ & { \left( \widetilde { J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { k } } } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { { \tt 2 p t h } } = \sum _ { m = 1 } ^ { p } \alpha _ { p , m } \sum _ { s = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j - s } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j - s + m } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } , \overline { { \alpha } } _ { s } ^ { n } ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { n } ) ) \bigg ] \ge \mathcal { U } ( t , m ) . } \end{array}
{ \frac { d M ^ { ( 1 ) } } { d m } } = { \frac { d ( \delta M ) } { d m } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n } { \frac { d \omega _ { n } ^ { B } } { d m } } - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n } { \frac { d \omega _ { n } ^ { F } } { d m } } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n } { \frac { d \tilde { \omega } _ { n } ^ { B } } { d m } } - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n } { \frac { d \tilde { \omega } _ { n } ^ { F } } { d m } } \right)
\langle N ( \vec { p \: } ^ { \prime } , \vec { s \: } ^ { \prime } ) | J ^ { \mu } ( \vec { q } ) | N ( \vec { p } , \vec { s } ) \rangle = \overline { { { u } } } ( \vec { p \: } ^ { \prime } , \vec { s \: } ^ { \prime } ) \left[ \gamma ^ { \mu } F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) + i \sigma ^ { \mu \nu } { \frac { q _ { \nu } } { 2 m _ { N } } } F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) \right] u ( \vec { p } , \vec { s } ) \, ,
\dot { \hat { d } } ^ { ( 1 ) } = ( \mathcal { I } - \hat { d } ^ { ( 1 ) } \hat { d } ^ { ( 1 ) } ) \cdot ( \Gamma _ { 1 } \mathbf { E } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) + \mathbf { W } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) ) \cdot \hat { d } ^ { ( 1 ) }
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 } \mathbb { E } [ \| \hat { x } ^ { k ^ { \ast } } - x ^ { k ^ { \ast } } \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } I _ { k } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma - 2 \lambda - \kappa } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \{ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { 1 } ) - \mathbb { E } [ \psi _ { 1 / \rho } ( x ^ { K + 1 } ) ] \} - \frac { \rho ( \gamma - \rho ) } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] I _ { k } } \\ & { + \frac { \rho \lambda } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] I _ { k } + \frac { 2 \rho L _ { f } } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] I _ { k } } \\ { \leq } & { \frac { \rho D } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } + \frac { \sqrt { K } D } { \alpha \sqrt { \eta } \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } } \\ & { + \frac { \rho } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big [ - \frac { \gamma - \rho } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \lambda \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| \big ] I _ { k } , } \end{array}
\pi _ { 2 } ^ { \theta } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) = \frac { \exp { ( \theta _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } ) } { \sum _ { a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } } \exp { ( \theta _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) } ) }
\left( \begin{array} { l } { \mathbf { \Phi } ( L ) } \\ { \mathbf { \Phi } ^ { \prime } ( L ) } \end{array} \right) = \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { \Sigma } & { 0 } \\ { \Sigma ^ { \prime } } & { \Sigma } \end{array} \right) } _ { \mathbf { S } } \left( \begin{array} { l } { \mathbf { \Phi } ( - L ) } \\ { \mathbf { \Phi } ^ { \prime } ( - L ) } \end{array} \right) .
\bar { c } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ^ { - n } , b ) = \operatorname* { i n f } _ { \beta ^ { n } \colon b = \frac 1 2 \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } } \left\{ c _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ) \right\} = \operatorname* { i n f } _ { \beta ^ { n } } \left\{ c _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ) + \mathcal { L } ( b - \frac 1 2 \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n _ { i } + \nabla \cdot ( n _ { i } \boldsymbol { u } ) } & { = 0 , } \\ { Z m _ { e } n _ { i } ( \partial _ { t } \boldsymbol { u } _ { e } + \boldsymbol { u } _ { e } \cdot \nabla \boldsymbol { u } _ { e } ) } & { = - Z e n _ { i } \left( \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { u } _ { e } \times \boldsymbol { B } } { c } \right) } \\ & { \phantom { = } \, - Z T _ { e } \nabla n _ { i } - \nu _ { e i } Z n _ { i } m _ { e } ( \boldsymbol { u } _ { e } - \boldsymbol { u } ) , } \\ { m _ { i } n _ { i } ( \partial _ { t } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { u } \cdot \nabla \boldsymbol { u } ) } & { = { Z e n _ { i } } \left( E + \frac { \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { B } } { c } \right) } \\ & { \phantom { = } - { T _ { i } } \nabla n _ { i } - \nu _ { i e } n _ { i } m _ { i } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { e } ) , } \\ { \nabla \times \boldsymbol { B } } & { = \frac { 4 \pi } { c } \boldsymbol { J } , } \\ { \boldsymbol { J } } & { = Z e n _ { i } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { e } ) , } \\ { \partial _ { t } \boldsymbol { B } } & { = - c \nabla \times \boldsymbol { E } , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { B } } & { = 0 , } \end{array}
p _ { - } = \frac { \delta S } { \delta \dot { x } ^ { - } } = \frac { m } { ( - g ( Z ) ) ^ { 1 / 2 } } \eta _ { r s } \Pi ^ { r } \frac { \partial \Pi ^ { s } } { \partial \dot { x } ^ { - } } = \mathrm { f i x e d ~ } ,
{ } ^ { ( 2 ) } \! A ^ { i j k l } = \frac 1 2 \left( g ^ { i l } Q ^ { j k } + g ^ { i k } Q ^ { j l } + g ^ { j l } Q ^ { i k } + g ^ { j k } Q ^ { i l } - 2 g ^ { i j } Q ^ { k l } - 2 g ^ { k l } Q ^ { i j } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { D } \mathbf { a } ( { \mathbf { w } } _ { \mathrm { B } } ) ( \mathbf { u } ) , { \mathbf { v } } ] \, : = \, \, } & { \mu \, ( \nabla \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } , \nabla { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } } ) _ { \mathrm { B } } + ( \mathbf { K } _ { \mathrm { B } } ^ { - 1 } \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } } ) _ { \mathrm { B } } + \mathtt { F } \, ( | { \mathbf { w } } _ { \mathrm { B } } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } } ) _ { \mathrm { B } } } \\ & { + \, \mathtt { F } \, ( \mathrm { p } - 2 ) ( | { \mathbf { w } } _ { \mathrm { B } } | ^ { \mathrm { p } - 4 } ( { \mathbf { w } } _ { \mathrm { B } } \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { B } } ) { \mathbf { w } } _ { \mathrm { B } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } } ) _ { \mathrm { B } } + \left( \mathbf { K } _ { \mathrm { D } } ^ { - 1 } \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { D } } \right) _ { \mathrm { D } } \, , } \end{array}
\left\{ \omega - \bar { \alpha _ { s } } \chi ( \gamma ( \omega ) ) \right\} \, \tilde { \phi } ( \omega ) \, e ^ { ( \gamma ( \omega ) - 1 ) t } \, = \, - \overline { { { \alpha } } } _ { s } \, \tilde { \phi } ^ { 2 } ( \omega / 2 ) \, e ^ { ( 2 \gamma ( \omega / 2 ) - 2 ) t } \, { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \gamma ^ { \prime \prime } ( \omega / 2 ) t } } } \, .
\begin{array} { r l } { M _ { i } ^ { ( l + 1 ) } } & { { } = \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } f _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } \left( h _ { i } ^ { ( l ) } , h _ { j } ^ { ( l ) } , e _ { ( i j ) } \right) , } \\ { h _ { i } ^ { ( l + 1 ) } } & { { } = f _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ d ~ } } \left( h _ { i } ^ { ( l ) } , M _ { i } ^ { ( l + 1 ) } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 1 } ( \kappa ) = \frac { k _ { z , 0 } - k _ { z , 1 } } { k _ { z , 0 } + k _ { z , 1 } } } \\ { r _ { 2 } ( \kappa ) = \frac { n _ { 1 } ^ { 2 } k _ { z , 0 } - n _ { 0 } ^ { 2 } k _ { z , 1 } } { n _ { 1 } ^ { 2 } k _ { z , 0 } + n _ { 0 } ^ { 2 } k _ { z , 1 } } } \\ { t _ { 1 } ( \kappa ) = \frac { 2 k _ { z , 0 } } { k _ { z , 0 } + k _ { z , 1 } } } \\ { t _ { 2 } ( \kappa ) = \frac { 2 n _ { 0 } n _ { 1 } k _ { z , 0 } } { n _ { 1 } ^ { 2 } k _ { z , 0 } + n _ { 0 } ^ { 2 } k _ { z , 1 } } , } \end{array} \right. \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { t _ { 1 } = 1 + r _ { 1 } } \\ { t _ { 2 } = \frac { n _ { 0 } } { n _ { 1 } } ( 1 + r _ { 2 } ) , } \end{array} \right.
\beta _ { C } ( \omega , | { \bf v } | ) \to \Big ( { \frac { \alpha v } { c } } \Big ) \Big ( { \frac { 1 } { \omega \tau _ { D } } } \Big ) \Big \{ 1 - \Big ( { \frac { c ^ { 2 } } { \varepsilon v ^ { 2 } } } \Big ) \Big \} .
\begin{array} { r l } { b ( x ) \cdot \nabla _ { x } \psi ( t , x ) } & { = \alpha ( t ) b ( x ) \cdot \big ( \nabla \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) D \Phi _ { - t } ( x ) \big ) } \\ & { = \alpha ( t ) \nabla \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) \cdot \big ( D \Phi _ { - t } ( x ) [ b ( x ) ] \big ) } \\ & { = \alpha ( t ) \nabla \beta ( \Phi _ { - t } ( x ) ) \cdot b ( \Phi _ { - t } ( x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f \left( \omega _ { 0 } , \cdots , \omega _ { 3 } \right) } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( 0 ) \right] + \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( 1 ) \right] + 4 \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( 2 ) \right] } \\ { + } & { 1 8 \mathbb { E } \left[ u ^ { 2 } ( 3 ) \right] + \frac { 2 } { 5 } \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in Q } | \mathfrak b | = 2 ^ { - k _ { Q } n ( 1 / p + m ^ { \prime } / n - 1 / 2 ) } \, \operatorname* { s u p } _ { x \in Q } | \mathfrak { a } | \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } n ( 1 / p + m ^ { \prime } / n - 1 / 2 ) } 2 ^ { k _ { Q } n / p } } \\ & { = 2 ^ { - k _ { Q } n ( m ^ { \prime } / n - 1 / 2 ) } = 2 ^ { k _ { Q } n / ( 2 n / ( n - 2 m ^ { \prime } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf v } } & { { } = } & { \left[ f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \, f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) , \dots , f _ { v } ( \mathbf { x } _ { v } ^ { ( { N _ { v } } ) } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) \right] ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \lambda ( k ) } } \\ & { \approx \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + i A k - ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
| i , t , { \bar { t } } ; \beta \rangle = \int \prod _ { A = 1 } ^ { n } d X _ { A } d { \bar { X } } _ { A } \phi _ { i } ( X ) e x p ( \! - \! \int _ { H } { \cal L } ^ { F } ) e x p ( \! - \! \int _ { H } { \cal L } ^ { \bar { F } } )
\prod _ { i < j } ( z _ { i } - z _ { j } ) = \mathrm { d e t } ( z _ { i } ^ { N - j } ) = \epsilon ^ { i _ { 1 } . . . i _ { N } } z _ { i _ { 1 } } ^ { 0 } \cdots z _ { i _ { N } } ^ { N - 1 } .
A _ { i } ( { \bf x } , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi \theta } \sum _ { \alpha } \frac { e _ { \alpha } \epsilon _ { i j } ( { \bf x } - { \bf q _ { \alpha } } ) _ { j } } { \vert { \bf x } - { \bf q _ { \alpha } } \vert ^ { 2 } } .
\hat { H } _ { \mathrm { T } } = \frac { \hbar } { 2 \sqrt { N } } \left( f ^ { \prime \ast } \hat { b } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } + f ^ { \prime } \hat { b } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ F ~ } } } \right) \sum _ { i } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } - \hbar \delta ^ { \prime } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } ,
i \dot { \xi } _ { m } = g ^ { \ast m n } \frac { \partial H ( \bar { \xi } , \xi ) } { \partial \xi _ { n } ^ { \ast } } , \quad i \dot { \xi } _ { m } ^ { \ast } = - g ^ { m n } \frac { \partial H ( \bar { \xi } , \xi ) } { \partial \xi _ { n } } .
\begin{array} { r } { \frac { \varphi _ { K , 2 } ( \mathrm { t h } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) / 2 ) ) } { \sqrt { 1 - \varphi _ { K , 2 } ( \mathrm { t h } ( \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) / 2 ) ) ^ { 2 } } } = \eta _ { K , 2 } \left( \mathrm { s h } ^ { 2 } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( v _ { 0 } , \kappa _ { 1 , T } ^ { * } [ g _ { 0 } ] ) = \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 1 } ) ) g _ { 0 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 0 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 0 } \in \mathscr K _ { 1 , T , m } ^ { * } } \\ { ( v _ { 1 } , \kappa _ { 1 , T } ^ { * } [ g _ { 1 } ] ) = \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 1 } ) ) g _ { 1 } \rangle - \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 1 } ^ { * } [ g _ { 1 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 1 } \in \mathscr K _ { 1 , T , \perp } ^ { * } } \\ { ( v _ { 2 } , \kappa _ { 2 , T } ^ { * } [ g _ { 2 } ] ) = - \langle f , ( 1 - \chi _ { T + 1 } ( \rho _ { 2 } ) ) g _ { 2 } \rangle + \langle ( 1 - \chi ) f _ { 0 } , \kappa _ { 2 } ^ { * } [ g _ { 2 } ] \rangle _ { 0 } , } & { \forall g _ { 2 } \in \mathscr K _ { 2 , T , \perp } ^ { * } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , 0 } = \hat { X } _ { \textsc { p } , } \hat { Z } _ { \textsc { p } - 1 , } \cdots \hat { Z } _ { 0 , } , } \\ { \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , 1 } = \hat { Y } _ { \textsc { p } , } \hat { Z } _ { \textsc { p } - 1 , } \cdots \hat { Z } _ { 0 , } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathtt { H M S } } ( g , Q ) } & { : = \big ( \widetilde { \mathrm { R } } - 2 \Lambda - \frac { 1 } { 2 \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ^ { \alpha \beta \mu \nu } \widetilde { \mathrm { R } } _ { \alpha \beta \mu \nu } \big ) \mathrm { v o l } _ { g } , } \\ { \overline { { \ell } } _ { \mathtt { H M S } } ( g , Q ) } & { : = - 2 \widetilde { \mathrm { K } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } + \frac { 1 } { \gamma } \jmath ^ { * } ( \iota _ { q } \mathrm { v o l } _ { g } ) , } \end{array}
< \rho ^ { - } ( p _ { \rho } , \varepsilon ) | A ^ { \mu } | B ^ { 0 } ( p _ { B } ) > = { \frac { 8 \pi \alpha _ { \mathrm { s } } } { 3 } } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \int _ { 0 } ^ { 1 - \epsilon } d y \, \phi _ { B } ( x ) \, [ { \frac { { \bar { A } } ^ { a } } { k _ { 1 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } } + { \frac { { \bar { A } } ^ { b } } { ( k _ { 2 } ^ { 2 } - M _ { b } ^ { 2 } ) Q ^ { 2 } } } ] \, \phi _ { \rho } ( y ) ,
\left\langle p _ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) \: p _ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } = - \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: p ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \nu } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \frac { \partial p _ { \mu } } { \partial \theta ^ { \nu } } \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { { \mathrm E } [ \overline { { \xi } } _ { b } ] = 1 - \frac { 3 } { n ^ { 2 } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - i } { \mathrm E } [ \lvert S _ { i , k } \rvert ] \Big [ \Big ( 1 - \frac { k - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } - 2 \Big ( 1 - \frac { k } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + \Big ( 1 - \frac { k + 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] } \\ { = } & { 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - i } ( n - k - 1 ) \Big [ \Big ( 1 - \frac { k - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } - 2 \Big ( 1 - \frac { k } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + \Big ( 1 - \frac { k + 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \hbar ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } \psi _ { A } ^ { \prime \prime } + \hbar ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } \psi _ { A } = ( ( E - U _ { a } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \psi _ { A } , } \\ & { \psi _ { B } = - i \frac { \hbar v _ { 1 } ( E - U _ { a } ) \psi _ { A } ^ { \prime } + \hbar m v _ { 2 } k _ { y } \psi _ { A } } { ( E - U _ { a } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , \quad \psi _ { C } = \frac { \hbar m v _ { 1 } \psi _ { A } ^ { \prime } + \hbar v _ { 2 } k _ { y } ( E - U _ { a } ) \psi _ { A } } { ( E - U _ { a } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \mathbf R } ^ { 3 } } \left( 1 + | \psi | ^ { 2 \alpha } \right) \left| | \psi | ^ { 2 } - 1 \right| ( 1 - \eta _ { \delta } ( | \psi | ) ) \mathrm d x } \\ & { \leq C \int _ { { \mathbf R } ^ { d } } ( 1 - \eta _ { \delta } ( | \psi | ) ) \chi ( \psi ) \mathrm d x + \int _ { { \mathbf R } ^ { 3 } } | c + v | ^ { 2 ( \alpha + 1 ) } ( 1 - \chi ( \psi ) ) \mathrm d x } \\ & { \leq C \mathcal { E } ( \psi ) + \| v \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 ( 1 + \alpha ) } \mathcal { E } ( \psi ) ^ { \frac { 2 - \alpha } { 3 } } \leq C \left( \mathcal { E } ( \psi ) + \mathcal { E } ( \psi ) ^ { \frac { 5 + 2 \alpha } { 3 } } \right) , } \end{array}
\frac { \partial \overline { { \rho _ { i } } } \widetilde { Y _ { i } } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { \rho _ { i } } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { Y _ { i } } } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial } { \partial { x _ { i } } } \left( - \rho \mu _ { e f f } \frac { \partial \widetilde { Y _ { i } } } { \partial { x _ { i } } } \right)
\mathcal { N } \left( \xi ; W _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } \right) = \frac { w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } } { \sqrt { 2 \pi \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } } \exp \left( - \frac { ( \xi - v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad W _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } = \left( w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } , v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } , \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } \right) \in \mathbb { R } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } & { k _ { 2 } ( s ) = \left( \frac { 3 \mathrm { I } _ { \circ } G } { R ^ { 5 } } \right) } \\ & { \times \Bigg ( \frac { 1 } { \alpha + \gamma } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( \gamma + \alpha ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \eta } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \right) \left( \frac { A _ { 1 } } { s - s _ { 1 } } + \cdots + \frac { A _ { n + 1 } } { s - s _ { n + 1 } } \right) \Bigg ) . } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { s } } \! \! \left[ \psi _ { 1 } \left( \mathcal E ( \mu _ { T } ^ { \eta } ) - \hat { \mathcal E } \right) + \psi _ { 2 } \left( \mathcal V ( \mu _ { T } ^ { \eta } ) - \hat { \mathcal V } \right) \right] \d \Xi ( \eta ) ,
\frac { 1 } { \hbar } \int _ { x _ { A } } ^ { x _ { B } } \sqrt { E - V ( x ) } \, d x \ = \ \pi \left( N \ + \ \frac { 1 } { 2 } + \gamma ( N ) \right) \ , \qquad N \ = \ 0 , 1 , 2 , . . . \ ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( P ^ { r } ) \left\| z \right\| ^ { 2 } \leq V ( z ^ { r } ) \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( P ^ { r } ) \left\| z \right\| ^ { 2 } , } \\ { \Delta V ( z ^ { r } ) \leq - \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( P ^ { r } - ( M _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } M _ { f } ^ { r } ) \left\| z \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right] } & { = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right) ^ { 2 } \right] - \left( \mathbb { E } _ { X } \left[ Y _ { k } \right] \right) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ \mu _ { Y _ { k } } + \sigma _ { Y _ { k } } \boldsymbol { \phi } _ { k } ^ { \mathrm { r o w } } \mathbf { A } \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] \right) ^ { 2 } \right] - \mu _ { Y _ { k } } ^ { 2 } } \end{array}
A = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { c s } ^ { * } V _ { u d } a _ { 1 } < \pi ^ { + } \mid ( \overline { { { u } } } d ) _ { H } \mid 0 > < K ^ { - } \mid ( \overline { { { s } } } c ) _ { H } \mid D ^ { 0 } >
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \big \| \theta _ { m } - \theta _ { m - 1 } \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } \quad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu = \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \frac { k _ { B } } { m } \rho _ { 0 } T _ { 0 } \tau _ { \Pi } , \ \ \ \mu = \frac { k _ { B } } { m } \rho _ { 0 } T _ { 0 } \tau _ { \sigma } , \ \ \ \kappa = \left( 1 + \displaystyle { \hat { c } _ { v } } \right) \left( \frac { k _ { B } } { m } \right) ^ { 2 } \rho _ { 0 } T _ { 0 } \tau _ { q } . } \end{array}