harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\theta = \frac { 1 } { 4 } \mathrm { { a n g l e } } \left[ \frac { { { { 4 { J _ { 0 4 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 0 4 } } } { a _ { 1 } ^ { 4 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 4 } } } + { { 4 { J _ { 4 0 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 4 0 } } } { a _ { 2 } ^ { 4 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 2 } ^ { 4 } } } - { { 4 { J _ { 2 2 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 2 2 } } } { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } } - 5 { I _ { 2 2 } } - { { 5 \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { 5 \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } { { 3 { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } - 9 { I _ { 2 2 } } } } + { \mathrm { i } } \frac { { { { 4 { J _ { 3 1 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 3 1 } } } { { a _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { 3 } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { { a _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { 3 } } } - { { 4 { J _ { 1 3 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 4 { J _ { 1 3 } } } { a _ { 1 } ^ { 3 } { a _ { 2 } } } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } { a _ { 1 } ^ { 3 } { a _ { 2 } } } } } } { { \left( { { I _ { 4 0 } } + { I _ { 0 4 } } } \right) - 6 { I _ { 2 2 } } } } \right] ,
\begin{array} { r } { C _ { 1 } = \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A } { d - w } \; \; \mathrm { r e s p . } \; \; C _ { 2 } = \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A } { w } } \\ { R _ { 1 } = \frac { \rho _ { \mathrm { n d } } ( d - w ) } { A } \; \; \mathrm { r e s p . } \; \; R _ { 2 } = \frac { \rho _ { \mathrm { d } } w } { A } } \end{array}
\small \begin{array} { r } { Y _ { k } - h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) = h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \beta ) - h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) + \epsilon _ { k } = h ^ { \prime } ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) + R _ { k } + \epsilon _ { k } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \; \chi ( r , \alpha , \vartheta _ { 1 } , \vartheta _ { 2 } ) \, r ^ { 3 } \sin \alpha \cos \alpha \; d \Omega _ { 4 } \, ,
\textstyle \langle i _ { 1 } , i _ { 2 } | \hat { Z } | j _ { 1 } , j _ { 2 } \rangle = \sum _ { m , n = 1 } ^ { M } \langle i _ { 1 } , m | \hat { X } | j _ { 1 } , n \rangle \langle i _ { 2 } , n | \hat { Y } | j _ { 2 } , m \rangle .
F ( \nu ) = C _ { 1 } \left( \frac { \nu } { \nu _ { 0 } } \right) ^ { - ( p - 1 ) / 2 } e ^ { - \nu / \nu _ { \mathrm { c } } } + C _ { 2 } \left( \frac { \nu } { \nu _ { 0 } } \right) ^ { - ( p - 1 ) / 2 } e ^ { - \nu / \nu _ { \mathrm { I C } } }
\mathrm { V } = \bigcup _ { j \in J } \left\{ \left[ \sigma _ { 1 } ^ { \left( j \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right] , \left[ \sigma _ { 2 } ^ { \left( j \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right] , \cdots , \left[ \sigma _ { m ^ { \left( j \right) } } ^ { \left( j \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right] \right\}
\begin{array} { r } { d _ { i , j + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { i , j } } & { \nu \leq e ^ { - a _ { j } \frac { \delta \mathbf { r } _ { i , j } } { \mathbf { r } _ { j } ^ { \mathrm { ~ L ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } } } } } \\ { d _ { i , j } + \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( d _ { M _ { j } , j } - d _ { i , j } ) } & { \; \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \rho } & { = \epsilon _ { 0 } \left[ - \boldsymbol { \nabla } V ( r > R _ { \mathrm { f } } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { f } } } + \boldsymbol { \nabla } V ( r < R _ { \mathrm { f } } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { f } } } \right] } \\ & { = \frac { 5 } { 2 } \epsilon _ { 0 } ( 3 \omega _ { \mathrm { r } } + \omega _ { \mathrm { f } } ) B _ { 0 } R _ { \mathrm { f } } \sin \theta \cos \theta \cos \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } & { : = \Lambda _ { a } ( \xi ) - \mu \Lambda _ { 1 } ( \xi - \eta ) - \nu \Lambda _ { 2 } ( \eta ) , } \\ { \forall \xi \in \mathbb { R } ^ { 3 } , \quad \Lambda _ { 1 } ( \xi ) } & { : = \sqrt { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \xi _ { 2 } ^ { 2 } + \xi _ { 3 } ^ { 2 } } , \quad \Lambda _ { 2 } ( \xi ) : = \sqrt { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } \xi _ { 3 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \eta _ { i } } ( t ) } & { = { H _ { i } } ( t ) + { { D } _ { i - 1 } } { p _ { i + 1 } } ( t ) - { p _ { i } } ( t ) + \nu _ { ( i + 1 ) ^ { ' } } { { \vec { n } } _ { i - 1 } } \left[ { { { D } _ { i - 1 } } { { \dot { \vec { \delta } } } _ { ( i + 1 ) ^ { \prime } } } ( t ) - { { \dot { \vec { \delta } } } _ { i } } ( t ) } \right] + N _ { i } ^ { { o p t } } ( t ) , } \\ { { \eta _ { i ^ { \prime } } } ( t ) } & { = { H _ { i ^ { \prime } } } ( t ) + { { D } _ { ( i + 1 ) ^ { \prime } } } { p _ { i - 1 } } ( t ) - { p _ { i } } ( t ) + \nu _ { i - 1 } { { \vec { n } } _ { i + 1 } } \cdot \left[ { { { \dot { \vec { \delta } } } _ { i ^ { \prime } } } ( t ) - { { D } _ { ( i + 1 ) ^ { \prime } } } { { \dot { \vec { \delta } } } _ { i - 1 } } ( t ) } \right] + N _ { i ^ { \prime } } ^ { { o p t } } ( t ) , } \end{array}
{ { A } _ { 1 } } = { { A } _ { 0 } } { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } { \frac { { z } _ { R } } { i q ( z ) } } \exp \left( i { { k } _ { 1 } } { \frac { { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } } { 2 q ( z ) } } \right)
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { = \sum _ { n } \left( \omega _ { m , n } b _ { n } ^ { \dagger } b _ { n } + \omega _ { c , n } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } \right) , } \\ { H _ { J _ { 0 } } } & { = - \frac { J _ { 0 } } { 2 } \sum _ { n } \left( a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n + 1 } + a _ { n } a _ { n + 1 } ^ { \dagger } \right) , } \\ { H _ { J _ { m } } } & { = - \frac { J _ { m } ( \phi ) } { 2 } \sum _ { n } \left( b _ { n } ^ { \dagger } b _ { n + 1 } + b _ { n } b _ { n + 1 } ^ { \dagger } \right) , } \\ { H _ { i n t } } & { = - \sum _ { n } g _ { n } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } \left( b _ { n } ^ { \dagger } + b _ { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i j } ^ { \alpha } } & { { } = \frac { \mathrm { d } V _ { j } ^ { \alpha } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { - } ( x _ { i } ^ { - } ) - \frac { \mathrm { d } V _ { j } ^ { \alpha } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { + } ( x _ { i } ^ { + } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in B } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x \leq 2 c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = \left( \begin{array} { l } { \mathrm { d } \boldsymbol { q } } \\ { \mathrm { d } \boldsymbol { \phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathrm { d } Q } \\ { \mathrm { d } \Phi _ { 1 } } \\ { \mathrm { d } \Phi _ { 2 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \bar { \rho } _ { N } - \sigma _ { N } , v \rangle } & { = \frac { 1 } { N 4 \pi R ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \partial B _ { i } } \left( v ( x ) - \fint _ { Q _ { i } } v ( z ) { \mathrm { d } } z - \fint _ { Q _ { i } } \nabla v ( z ) { \mathrm { d } } z \cdot ( x - X _ { i } ) \right) \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T H } ( \mathrm { d i v } , \partial D ) : } & { = \Bigr \{ { \Phi } \in L _ { T } ^ { 2 } ( \partial D ) : \nabla _ { \partial D } \cdot { \Phi } \in L ^ { 2 } ( \partial D ) \Bigr \} , } \\ { \mathrm { T H } ( \mathrm { c u r l } , \partial D ) : } & { = \Bigr \{ { \Phi } \in L _ { T } ^ { 2 } ( \partial D ) : \nabla _ { \partial D } \cdot ( { \Phi } \times { \nu } ) \in L ^ { 2 } ( \partial D ) \Bigr \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { = } & { { \frac { \Gamma ( 0 . 5 v ) \Gamma ( 0 . 5 v + 1 ) ( 1 + ( t _ { v } ^ { - 2 } ( u ) + t _ { v } ^ { - 2 } ( v ) - 2 \rho t _ { v } ^ { - 1 } ( u ) t _ { v } ^ { - 1 } ( v ) ) / ( v ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ) ) ^ { - 0 . 5 ( v + 2 ) } ) } { { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } \cdot \Gamma ( 0 . 5 ( v + 1 ) ) ^ { 2 } ( 1 + t _ { v } ^ { - 2 } ( u ) / v ) ^ { - 0 . 5 ( v + 1 ) } ( 1 + t _ { v } ^ { - 2 } ( v ) / v ) ^ { - 0 . 5 ( v + 1 ) } } } } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \rho \in ( - 1 , 1 ) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \phi ( z ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { z } \exp \left( { \frac { - t ^ { 2 } } { 2 } } \right) \, d t } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } t _ { v } ( x \mid v ) = \int _ { - \infty } ^ { x } { \frac { \Gamma { ( 0 . 5 ( v + 1 ) ) } } { { \sqrt { v \pi } } ( \Gamma { 0 . 5 v } ) ( 1 + v ^ { - 1 } t ^ { 2 } ) ^ { 0 . 5 ( v + 1 ) } } } d t } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } v = { \mathrm { d e g r e e s ~ o f ~ f r e e d o m } } } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \Gamma { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ G a m m a ~ f u n c t i o n } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { t } _ { \tiny { \mathrm { ~ d ~ , ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } } = \omega ^ { 0 } = \varepsilon ^ { 0 } , \qquad } & { { } { t } _ { \tiny { \mathrm { ~ d ~ , ~ m ~ i ~ c ~ r ~ o ~ } } } = \omega ^ { 2 \gamma } = \varepsilon ^ { 2 } , } \\ { { t } _ { \tiny { \mathrm { ~ a ~ , ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } } = \omega ^ { \alpha } = \varepsilon ^ { \alpha / \gamma } , \qquad } & { { } { t } _ { \tiny { \mathrm { ~ a ~ , ~ m ~ i ~ c ~ r ~ o ~ } } } = \omega ^ { \alpha + \gamma } = \varepsilon ^ { 1 + \alpha / \gamma } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle E \bigl ( d _ { \mathrm { X - M A } } ( \mathbf { x } ) \bigr ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } ( \boldsymbol { \eta } ( \mathbf { x } ) ) E \bigl ( d _ { k } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \\ { \displaystyle V a r \bigl ( d _ { \mathrm { X - M A } } ( \mathbf { x } ) \bigr ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \eta } ( \mathbf { x } ) ) V a r \bigl ( d _ { k } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { T \sim \pi } [ p _ { T } ( i ) ] } & { = } & { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha } , } \\ { \mathbb { E } _ { T \sim \pi } [ p _ { T } ( i ) ^ { 2 } ] } & { = } & { \textrm { V a r } [ p _ { T } ( i ) ] + \mathbb { E } _ { T } [ p _ { T } ( i ) ] ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \alpha _ { i } ( \alpha - \alpha _ { i } ) } { \alpha ^ { 2 } ( \alpha + 1 ) } + \frac { \alpha _ { i } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \alpha _ { i } ( \alpha _ { i } + 1 ) } { \alpha ( \alpha + 1 ) } , } \\ { \mathbb { E } _ { T \sim \pi } [ p _ { T } ( i ) p _ { T } ( j ) ] } & { = } & { \textrm { C o v } [ p _ { T } ( i ) , p _ { T } ( j ) ] + \mathbb { E } _ { T } [ p _ { T } ( i ) ] \mathbb { E } _ { T } [ p _ { T } ( j ) ] , \qquad i \neq j , } \\ & { = } & { - \frac { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } { \alpha ^ { 2 } ( \alpha + 1 ) } + \frac { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } { \alpha ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \sigma _ { p } ^ { 2 } \, = \, \frac 1 { 2 \pi } \, \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r \, \left( \frac { \partial \psi _ { 0 } } { \partial r } \right) ^ { 2 } } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r \, \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { r } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { a b } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { = } & { \frac { i } { 2 \pi } L _ { a b } ^ { > } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { n _ { a } n _ { b } } } \int d { \bf r } d s \; e ^ { i ( \omega s - { \bf q } \cdot { \bf r } ) } i \hbar L _ { a b } ^ { > } ( 1 2 ) \, , } \end{array}
( \dagger _ { \mathrm { G } } ) \leq \frac { e ^ { - \frac { n \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } } { A _ { n } } \int _ { - \infty } ^ { - \epsilon } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi } } e ^ { - \frac { n ( x + \epsilon ) ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( 1 + \frac { n ( x + \epsilon ) ^ { 2 } } { s } \right) ^ { \frac { n + k - 2 } { 2 } } \frac { s ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { s } { 2 } } } { 2 ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n - 1 } { 2 } \right) } \mathrm { d } s \mathrm { d } x
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } \right) \leq 1 , } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j - 1 } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } \right) \leq 1 , } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { j } \cfrac { \Delta t } { \Delta x _ { j } / 2 } \sigma \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } \right) \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) ^ { 2 } } & { { } = 1 } \\ { V _ { 1 } x _ { 1 } + V _ { 2 } x _ { 2 } } & { { } = 0 } \end{array}
\hat { h } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \omega } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \omega ^ { 2 } } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { \omega ^ { n - 1 } } } \end{array} \right) .
\Sigma ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = \frac { i } { 2 \pi } \int G ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega + \omega ^ { \prime } ) W ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ^ { \prime } ) e ^ { i \omega ^ { \prime } \eta } d \omega ^ { \prime }
f ( r ) \, = \, \frac { r ^ { 2 } + q _ { e } ^ { 2 } + q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } - 2 \, m \, r } { r ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \, + \, \frac { r ^ { 4 } + 6 \, n ^ { 2 } \, r ^ { 2 } - 3 \, n ^ { 4 } } { \left( r ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) \, L ^ { 2 } } ,
\psi _ { n \kappa m } ( \boldsymbol { r } ) = \left( \begin{array} { c } { g _ { n \kappa } ( r ) \Omega _ { \kappa , m } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) } \\ { i f _ { n \kappa } ( r ) \Omega _ { - \kappa , m } ( \hat { \boldsymbol { r } } ) } \end{array} \right) ,
{ \frac { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + A \right) } { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } \right) } } = { \frac { \sinh L { \sqrt { A } } } { L { \sqrt { A } } } } .
\begin{array} { r l } & { { \tilde { W } } _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) - W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { ( W _ { \ell } + 1 ) \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } + 1 \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell - 1 } W _ { j } - 1 \Big ) - W _ { \ell } \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } + 1 \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell - 1 } W _ { j } - 1 \Big ) + W _ { \ell } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell - 1 } W _ { j } - \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } - 1 \Big ) . } \end{array}
\langle R ( z ) \rangle = \frac { N } { 2 z } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle } { z ^ { n + 1 } } = \frac { N } { 2 z } + \frac { N } { 2 z } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( 2 n - 1 ) ! } { 2 ^ { n } 2 ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! } \frac { 1 } { n ! z ^ { n } } + O ( N ^ { - 1 } ) = \frac { N } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { z ( z - 1 ) } } + O ( N ^ { - 1 } ) .
\psi _ { v } ( \vec { x ^ { \prime } } , t ) = \left( \frac { m \omega a ^ { 2 } } { \pi } \right) ^ { 3 / 4 } \exp \left[ - i \Phi _ { v } ( \vec { x ^ { \prime } } , t ) - \left( \frac { m } { 2 } \omega a ^ { 2 } \right) ( \vec { x ^ { \prime } } - \tau \vec { v } ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ( k ) } & { \preceq { \left\lVert { V } \right\rVert } _ { C _ { b } ^ { \infty } } ^ { 1 + a ( i _ { 1 } ) + \cdots + a ( i _ { \theta } ) } { \left\lVert { \boldsymbol { \hat { X } } _ { t } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } ^ { \theta + \cdots + b ( i _ { \theta } ) } \exp \left( ( i _ { 1 } + i _ { 2 } + \cdots + i _ { \theta } - \theta + 1 ) \Xi \right) } \\ & { \preceq \left( { \left\lVert { V } \right\rVert } _ { C _ { b } ^ { \infty } } \vee 1 \right) ^ { a ( k ) } \left( { \left\lVert { \boldsymbol { \hat { X } } _ { t } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } \vee 1 \right) ^ { b ( k ) } \exp ( ( k - 1 ) \Xi ) , } \end{array}
W [ \theta ] = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int d ^ { 2 } x ( \partial _ { + } \theta \partial _ { - } \theta + 2 e A _ { + } \partial _ { - } \theta - 2 e A _ { - } \partial _ { + } \theta + 2 ( a - 1 ) e ^ { 2 } A _ { + } A _ { - } ) ,
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \hat { \tilde { \Gamma } } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) - \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) \right| \right\| _ { q } \leq | \mathbb { B } | ^ { 1 / q } \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \hat { \tilde { \Gamma } } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) - \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l , 2 } ( t ) \right| \right\| _ { q } . } \end{array}
\left( { { z _ { 1 } } , \ { z _ { 2 } } } \right) = \zeta \left( { { \frac { \xi } { \sqrt { 1 - \left| \xi \right| ^ { 2 } } } } , \ 1 } \right) , \quad \left( { d z ^ { * } d z } \right) ^ { 2 } = | \zeta | ^ { 2 } d \zeta ^ { * } d \zeta { \frac { d \xi ^ { * } d \xi } { \left( { 1 - \left| \xi \right| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \quad ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
{ \bf A } ( z ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf e } _ { i } e ^ { i k z } + { \bf R } \cdot { \bf e } _ { i } e ^ { - i k z } , } & { z < 0 } \\ { { \bf T } \cdot { \bf e } _ { i } e ^ { i k z } \, , } & { z > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } _ { m , k } ^ { j } } & { { } = } & { \{ ( \psi _ { m , k } , \theta _ { m , k } ) \in \mathcal { R } ^ { j } \} , \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ j = 1 , 2 , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \\ { \mathcal { R } ^ { 2 } } & { { } = } & { \{ ( \psi , \theta ) : 0 \leq \psi \leq \delta _ { \psi } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \theta \geq \delta _ { \theta } \} , \ \ \ \mathcal { R } ^ { 1 } = ( \mathcal { R } ^ { 2 } ) ^ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 0 } = \sum _ { j = 1 } ^ { L - 1 } t _ { 1 } | j \rangle \langle j + 1 | + \sum _ { j = 1 } ^ { L - 2 } t _ { 2 } | j \rangle \langle j + 2 | + H . c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { p d e } } ( u ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = } & { \frac { 1 } { n _ { s } n _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } ( \| \nabla \cdot \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) - f ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } } \\ { + } & { \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) + \exp ( \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) ) \odot \nabla p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } ) , } \\ { J _ { \mathrm { b } } ( u ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = } & { \frac { 1 } { n _ { b l } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b l } } \| p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { l } } ^ { ( i ) } ) - 1 \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { b r } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b r } } \| p ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { r } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } } \\ { + } & { \frac { 1 } { n _ { b t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b t } } \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { t } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { b b } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b b } } \| \boldsymbol { v } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } _ { b } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = b \left[ \Gamma _ { p } ( F ) - \Gamma _ { m } ( F ) \right] = b \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] \approx q F b ^ { 2 } / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) , } \\ { B } & { { } = b ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 1 ) } = \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { m } } } \\ & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 2 ) } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } ) + \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } + 2 ( 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { m } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathrm { m } } ) } } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { k } } & { = \phi ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } - ( \bar { \tau } _ { k } f _ { \operatorname* { i n f } } - \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } f _ { \operatorname* { i n f } } ) } \\ & { = ( \bar { \tau } _ { k } ( f _ { k } - f _ { \operatorname* { i n f } } ) + \| c _ { k } \| _ { 1 } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } + \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } f _ { \operatorname* { i n f } } } \\ & { \geq ( \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } ( f _ { k } - f _ { \operatorname* { i n f } } ) + \| c _ { k } \| _ { 1 } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } + \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } f _ { \operatorname* { i n f } } } \\ & { = ( \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } f _ { k } + \| c _ { k } \| _ { 1 } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } } \\ & { = \phi ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 0 } ^ { 1 } } & { = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( - \infty , \bar { t } ) , y \in ( - \infty , \bar { t } ) \} } [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] + \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ) , y \in [ \bar { t } , \bar { t } + \delta ) \} } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] } \\ & { = : Z _ { 0 } ^ { 1 , 2 } + Z _ { 0 } ^ { 1 , 1 } . } \end{array}