harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { R ^ { 4 } } \sum _ { a = 0 } ^ { 2 l } \sum _ { b = 0 } ^ { 2 l } \sum _ { m _ { a } = - a } ^ { a } \sum _ { m _ { b } = - b } ^ { b } = \frac { 1 } { { \pi } ^ { 2 } } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } \vec { p } _ { a } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } \vec { p } _ { b } ~ , ~ { \Lambda } = \frac { 2 } { \theta } ,
\Phi [ u ] = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } { \cal N } P _ { N } ^ { ( 0 ) } \int d q \, \Omega _ { N } ( q ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } u ( q _ { i } ) = \frac { 1 - \nu } { 1 - \nu \int d q _ { i } \Omega _ { 0 1 } ( q _ { i } ) u ( q _ { i } ) } .
\begin{array} { r l } { F _ { l } ^ { ( 1 ) } ( R ) } & { \stackrel { R > > R _ { 6 } } { \longrightarrow } k ^ { 1 / 2 } R \, \, j _ { l } ( k R ) \stackrel { R \to \infty } { \longrightarrow } \frac { \sin ( k R - l \pi / 2 ) } { k ^ { 1 / 2 } } , } \\ { F _ { l } ^ { ( 2 ) } ( R ) } & { \stackrel { R > > R _ { 6 } } { \longrightarrow } k ^ { 1 / 2 } R \, \, n _ { l } ( k R ) \stackrel { R \to \infty } { \longrightarrow } - \frac { \cos ( k R - l \pi / 2 ) } { k ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\mu ( \vec { y } , t ) = \exp \left\{ - \beta \sum _ { \vec { n } } \left[ \cos ( \Delta _ { 0 } \theta ( \vec { n } , t ) - \bar { \theta } _ { ( q ) } ( \vec { n } - \vec { y } ) ) - \cos ( \Delta _ { 0 } \theta ( \vec { n } , t ) \right] \right\}
\begin{array} { r l } { p _ { R } ^ { + } } & { { } = - \frac { \rho c } { 2 S } q _ { d } + p _ { L } ^ { + } } \\ { p _ { L } ^ { - } } & { { } = - \frac { \rho c } { 2 S } q _ { d } + p _ { R } ^ { - } } \end{array}
{ e _ { 5 , 6 } = \left[ { \frac { ( r + \eta _ { 2 3 } Q _ { 2 3 } ) ( r + \eta _ { 1 4 } Q _ { 1 4 } ) } { ( r + \eta _ { 1 2 } P _ { 1 2 } ) ( r + \eta _ { 3 4 } P _ { 3 4 } ) } } \right] ^ { \frac { 1 } { 4 } } } ,
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \hat { c } _ { \bf k } } & { = } & { \left[ \hat { c } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { C C } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { c } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { C X } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { x } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) + \hat { F } _ { \bf k } ^ { C } ( t ) , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \hat { x } _ { \bf k } } & { = } & { \left[ \hat { x } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { X X } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { x } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \Gamma _ { \bf k } ^ { X C } ( t - t ^ { \prime } ) \hat { c } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) + \hat { F } _ { \bf k } ^ { X } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad - i \big ( \mathcal { M } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { n } ) - \mathcal { M } ^ { \dagger } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { n } ) \big ) } \\ & { = \sum _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \int \frac { d ^ { D - 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { 2 E _ { i } } ( 2 \pi ) ^ { D } \mathcal { M } ^ { \dagger } ( \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \mathcal { M } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma ( \mathbf { v } ) = \frac { \pi \bar { \sigma } } { \mu ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ( q _ { 0 } / q ) ^ { 4 } S ( \mathbf { q } , \omega _ { \mathbf { q } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \bar { \mathcal { O } } - \mathcal { O } ^ { * } \vert } & { { } = \left\vert \int _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } \mathcal { D } [ \phi ] \mathcal { O } ( \phi ) \frac { p ( \phi ) } { q _ { \theta } ( \phi ) } q _ { \theta } ( \phi ) - \int \mathcal { D } [ \phi ] \mathcal { O } ( \phi ) \, p ( \phi ) \right\vert } \\ { \leq } & { { } \sum _ { n \in \mathbb { N } } \operatorname* { s u p } _ { \phi \in \Delta _ { n } } \left\vert \mathcal { O } ( \phi ) \right\vert \cdot \underbrace { \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] } _ { = : \alpha _ { n } } \, , } \end{array}
V _ { o p } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \left[ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b , c = 1 , b \ne c } ^ { N } V ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } - \mathrm { \bf ~ r } _ { c } ) \right] \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle
f ( \hat { Z } _ { - } ) = \Bigl ( 1 - { \frac { Z _ { - } ^ { 2 } } { 2 N } } \Bigr ) \rho + { \cal O } ( 1 / N ^ { 2 } ) \, , \quad f ( \hat { Z } _ { 1 } ) = \Bigl ( 1 - { \frac { Z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 N } } \Bigr ) \rho + { \cal O } ( 1 / N ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r } { \iota _ { M \rightarrow \infty , M \Delta s = s _ { \mathrm { t o t } } } ^ { ( T ) } = s _ { \mathrm { t o t } } \tau _ { s } \frac { \rho N } { \tau _ { c } \left( \Delta T \right) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } . } \end{array}
w _ { r } ^ { + } = w _ { r } ^ { \mathrm { { e q } } } \left( 1 + \sum _ { i } { \frac { \alpha _ { r i } ( \mu _ { i } - \mu _ { i } ^ { \mathrm { { e q } } } ) } { R T } } \right) ; \; \; w _ { r } ^ { - } = w _ { r } ^ { \mathrm { { e q } } } \left( 1 + \sum _ { i } { \frac { \beta _ { r i } ( \mu _ { i } - \mu _ { i } ^ { \mathrm { { e q } } } ) } { R T } } \right) ;
{ \cal I } _ { n } ( \kappa ) = { \frac { n } { ( n + 1 ) \kappa } } + \int _ { 0 } ^ { 1 / \kappa } \Bigl ( { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle \sqrt { 1 - e ^ { - x } } } } - 1 \Bigr ) ( 1 - \kappa x ) ^ { 1 / n } d x .
\lambda _ { 4 } = \lambda _ { v } ( u ) \lambda _ { w } ( v ) \lambda _ { v } ( v ) \lambda _ { u } ( u ) , \quad \lambda _ { 5 } = \lambda _ { v } ( v ) \lambda _ { w } ( w ) \lambda _ { v } ( w ) \lambda _ { u } ( v ) , \quad \lambda _ { 6 } = \lambda _ { v } ( w ) \lambda _ { w } ( u ) \lambda _ { v } ( u ) \lambda _ { u } ( w )
\varphi \ \to \ 0 \quad \textrm { o r } \quad \pi \qquad \Longleftrightarrow \qquad \textrm { I m } \, \mu _ { 2 } \ \to \ 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad | v _ { 2 } | \ \to \ 1 \quad ,
\begin{array} { r l } & { \frac { n _ { 0 } ^ { \mathrm { s q u a r e } } ( r ) - n _ { 0 0 } } { \Delta n } = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { ( r / w _ { 0 } ) ^ { 1 0 } } & { 0 \leq r < 1 . 2 w _ { 0 } } \\ { 1 . 2 ^ { 1 0 } } & { 1 . 2 w _ { 0 } \leq r < 1 . 2 w _ { 0 } + d } \\ { 1 . 2 ^ { 1 0 } \left( 1 - \frac { r - 1 . 2 w _ { 0 } - d } { d } \right) } & { 1 . 2 w _ { 0 } + d \leq r < 1 . 2 w _ { 0 } + 2 d } \\ { 0 } & { r \geq 1 . 2 w _ { 0 } + 2 d } \end{array} \right. } \\ & { \frac { n _ { 0 } ^ { \mathrm { p a r a b o l i c } } ( r ) - n _ { 0 0 } } { \Delta n } = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { ( r / w _ { 0 } ) ^ { 2 } } & { 0 \leq r < 2 w _ { 0 } } \\ { 4 } & { 2 w _ { 0 } \leq r < 2 w _ { 0 } + d } \\ { 4 \left( 1 - \frac { r - 2 w _ { 0 } - d } { d } \right) } & { 2 w _ { 0 } + d \leq r < 2 w _ { 0 } + 2 d } \\ { 0 } & { r \geq 2 w _ { 0 } + 2 d } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } P } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \int _ { \Omega } u \mathrm { ~ d ~ } \Omega = \int _ { \Omega } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial u ^ { 2 } } { \partial x } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \mathrm { ~ d ~ } \Omega = - \frac { 1 } { 2 } [ u ^ { 2 } ] _ { a } ^ { b } + \nu [ \frac { \partial u } { \partial x } ] _ { a } ^ { b } = 0 ,
\begin{array} { r l } { s _ { - } ( x , y ) } & { = k _ { - } ( x , y ) - \int _ { \mathbb { R } } \frac { s _ { - } ( x , t ) k _ { - } ( y , t ) } { 2 ( \pi m t ) ^ { 2 } } d t } \\ & { = k _ { - } ( x , y ) - \frac 1 { x } \int _ { \mathbb { R } } \frac { ( s _ { + } ( x , t ) - \cos ( \pi x ) s ( t ) ) k _ { - } ( y , t ) / t } { 2 ( \pi m ) ^ { 2 } } d t } \\ & { = k _ { - } ( x , y ) \bigg ( 1 - \frac 1 { 2 ( \pi m x ) ^ { 2 } } \bigg ) + \frac { \cos ( \pi x ) } { 2 ( \pi m ) ^ { 2 } x } \partial _ { t } k ( y , t ) | _ { t = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { p } _ { h , 2 } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } } & { = - \int _ { \hat { \Omega } } j _ { y } ( \cdot , y _ { h , 1 } ) \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) , } \\ { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { p } _ { h , 1 } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } } & { = \int _ { \hat { \Omega } } \hat { p } _ { h , 2 } \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) . } \end{array}
\mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \mathbf { J } _ { e } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, { \bf \times } \, \frac { \mathbf { r } } { r ^ { 3 } } \, d ^ { 3 } x ^ { \prime } .
K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } - 2 N + 3 } , \, \, K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } - 2 N + 3 } \oplus ( \mathbb { Z } _ { \vert n - m \vert } ) ^ { N ^ { 2 } } .
\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 0 } = \left( 1 + \frac { \mathrm { d } A } { A _ { 0 } } \right) \left( x _ { 0 } \cos \mathrm { d } \varphi + \frac { v _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \sin \mathrm { d } \varphi \right) } \\ { v _ { 0 } + \mathrm { d } v = \left( 1 + \frac { \mathrm { d } A } { A _ { 0 } } \right) \left( v _ { 0 } \cos \mathrm { d } \varphi - \Omega _ { 0 } x _ { 0 } \sin \mathrm { d } \varphi \right) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array} \right.
\left[ { \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \right] ^ { 2 } \; { \frac { 1 } { ( B B ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } = { \frac { R _ { A } R _ { B } } { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } = { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \alpha } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } \bigl ( \mathbf { u } ^ { n + 1 / 2 } \bigr ) } & { { } = \mathcal { H } \bigl ( \mathbf { u } ^ { 1 / 2 } \bigr ) } \\ { H ( x ^ { n + 1 / 2 } , \gamma ^ { n + 1 / 2 } ) } & { { } = H ( x ^ { 1 / 2 } , \gamma ^ { 1 / 2 } ) . } \end{array}
\frac { T _ { x , \mathrm { H - D M } } ( k ) } { T _ { x , \mathrm { H - n o A G N } } ( k ) } = \sqrt { \frac { P _ { x , \mathrm { H - D M } } ( k ) } { P _ { x , \mathrm { H - n o A G N } } ( k ) } } ,
\begin{array} { r l } & { i \hbar D _ { t } \Phi + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } D _ { i } ^ { 2 } \Phi - V ^ { \prime } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi = 0 , } \\ & { | \Phi | ^ { 2 } + \frac { \nu } { 2 \pi } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } a _ { j } = 0 , } \\ & { \frac { i \hbar } { 2 m } \left[ \Phi ^ { \dagger } D _ { k } \Phi - ( D _ { k } \Phi ) ^ { \dagger } \Phi \right] - \frac { \nu } { 2 \pi } \epsilon _ { k i } \left( \partial _ { i } a _ { 0 } - \partial _ { t } a _ { i } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { C } : = q _ { 1 } q _ { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } \neq 0 \; , } \\ & { \zeta _ { j } ^ { C } ( b _ { j } ) : = b _ { j } ^ { 2 } \left( \eta _ { j } + \frac { \eta _ { P } \eta _ { i } } { \eta _ { P } + \eta _ { i } } \right) + \frac { q _ { i } } { Q _ { C } } \left( 1 - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 Q _ { C } } \right) \; . } \end{array}
[ \mathrm { d } , \tilde { \ell } _ { 2 } ] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) = \mathrm { d } \circ \tilde { \ell } _ { 2 } \left( r _ { 1 } , r _ { 2 } \right) + \tilde { \ell } _ { 2 } \left( \mathrm { d } r _ { 1 } , r _ { 2 } \right) + ( - 1 ) ^ { \lvert r _ { 1 } \rvert } \tilde { \ell } _ { 2 } \left( r _ { 1 } , \mathrm { d } r _ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { A _ { 4 } ^ { 2 } } & { { } = F ^ { ( 3 ) } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } + \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes F ^ { ( 3 ) } } \\ { A _ { 4 } ^ { 3 } } & { { } = F ^ { ( 2 ) } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } + \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes F ^ { ( 2 ) } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } + \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes F ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { r } ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y } .
D = [ 0 . 1 5 , 1 . 6 ] \times [ 0 . 1 9 , 2 . 1 6 ] \times [ 0 . 0 4 , 0 . 2 ] \times [ 0 . 1 , 0 . 3 5 ] \times [ 0 . 0 8 , 0 . 3 ] \times [ 0 . 1 4 , 2 . 6 7 ] \times [ 0 . 0 5 , 0 . 1 ]
\begin{array} { c } { { R _ { i j } = R _ { i } { } ^ { k } { } _ { j k } , R _ { i a } = P _ { i } { } ^ { k } { } _ { a k } = - P _ { i a } , } } \\ { { R _ { a i } = P _ { a } { } ^ { b } { } _ { i b } = P _ { a i } , R _ { a b } = S _ { a } { } ^ { c } { } _ { b c } = S _ { a b } } } \end{array}
v _ { p _ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( r \right) = v _ { l o c } ^ { \alpha } \left( r \right) + \delta v _ { l = 1 } ^ { \alpha } \left( r \right) + \frac { 1 } { 2 } v _ { S O } ^ { \alpha } \left( r \right)
\begin{array} { r l } { f ^ { - 1 } ( f ( C ) ) = { } } & { { } f ^ { - 1 } \left( { \frac { 9 } { 5 } } C + 3 2 \right) = { \frac { 5 } { 9 } } \left( ( { \frac { 9 } { 5 } } C + 3 2 ) - 3 2 \right) = C , } \\ { f \left( f ^ { - 1 } ( F ) \right) = { } } & { { } f \left( { \frac { 5 } { 9 } } ( F - 3 2 ) \right) = { \frac { 9 } { 5 } } \left( { \frac { 5 } { 9 } } ( F - 3 2 ) \right) + 3 2 = F , } \end{array}
\mathrm { h i g h e r ~ ~ s t a t e s } = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { \omega _ { c } } ^ { \infty } d \nu \int _ { \omega _ { c } } ^ { \infty } d \nu ^ { \prime } \frac { \mathrm { I m } \Pi ( \nu , \nu ^ { \prime } ) } { ( \nu - \omega ) ( \nu ^ { \prime } - \omega ^ { \prime } ) } \; .
\mathbb { E } w ^ { \underline { { Z } } _ { G } } = \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } ( \varrho [ f ] ) ^ { u } ( 1 - \varrho [ f ] ) w ^ { - u } = \frac { 1 - \varrho [ f ] } { 1 - \varrho [ f ] w ^ { - 1 } } .
\begin{array} { r l } & { V ^ { a , b } ( P ) = \mathbb { E } ^ { X } \Bigg [ \frac { \left( \sigma ^ { a } ( P ) ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X ) } + \frac { \left( \sigma ^ { b } ( P ) ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X ) } + \left( \Delta ^ { a , b } ( P ) ( X ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) ^ { 2 } \Bigg ] . } \end{array}
r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ g ~ n ~ e ~ t ~ o ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } = \left( \frac { 2 \, B _ { 0 } ^ { 2 } } { \rho _ { \mathrm { ~ s ~ w ~ } } \, v _ { \mathrm { ~ s ~ w ~ } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 6 }
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \! \! \! \! \! \! } & { { } } & { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \times } & { { } } & { \Big ( 2 p _ { \mu } p _ { \nu } + ( p \cdot q \mathrm { ~ \ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } ) + 2 q _ { \mu } q _ { \nu } \, x ( 1 - x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ - ~ H ~ F ~ } } ^ { \dagger } H \, U _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ - ~ H ~ F ~ } } } & { { } = \sum _ { p q } h _ { p q } E _ { p q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } g _ { p q r s } e _ { p q r s } + h _ { n u c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { * } } & { = ( A - \tilde { L } _ { 0 } ^ { * } C ) \Sigma _ { 0 } ^ { * } ( A - \tilde { L } _ { 0 } ^ { * } C ) ^ { \top } + \tilde { L } _ { 0 } ^ { * } V ( \tilde { L } _ { 0 } ^ { * } ) ^ { \top } + W } \\ & { = ( A - L _ { 0 } ^ { * } C ) \Sigma _ { 0 } ^ { * } ( A - L _ { 0 } ^ { * } C ) ^ { \top } + L _ { 0 } ^ { * } V ( L _ { 0 } ^ { * } ) ^ { \top } + W = \Sigma _ { 1 } ^ { * } , } \end{array}
\epsilon \equiv \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { V ^ { \prime } } { V } \right) ^ { 2 } \sim \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \; , \quad \eta \equiv M _ { P } ^ { 2 } \frac { V ^ { \prime \prime } } { V } \sim \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) = J _ { \ell } \big [ | \beta ( { \bf R } ) | \big ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \, \mathrm { a r g } \{ - \beta ( { \bf R } ) \} } \, \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \ell ^ { 2 } z / z _ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t h e ~ t r a n s i t ~ d r i f t ~ t i m e } \ \ \ } & { \tau _ { K } ^ { * } = L _ { y } ^ { * 2 } / ( K ^ { * } \phi _ { 0 } ^ { * } ) \simeq 0 . 0 4 \mathrm { s } , } \\ { \mathrm { t h e ~ c o n v e c t i v e ~ t i m e } \ \ \ } & { \tau _ { c } ^ { * } = L _ { x } ^ { * } / U ^ { * } \simeq 0 . 0 2 5 \mathrm { s } , } \\ { \mathrm { t h e ~ d i f f u s i o n ~ t i m e } \ \ \ } & { \tau _ { D } ^ { * } = L _ { y } ^ { * 2 } / D _ { \nu } ^ { * } = L _ { y } ^ { * 2 } e _ { 0 } ^ { * } / ( K ^ { * } k _ { B } ^ { * } T ^ { * } ) \simeq 1 0 ^ { 4 } \mathrm { s } , } \\ { \mathrm { t h e ~ o h m i c ~ t i m e } \ \ \ } & { \tau _ { \sigma } ^ { * } = \varepsilon ^ { * } / \sigma ^ { * } \simeq 0 . 0 3 \mathrm { s } , } \end{array}
\Delta S _ { j } ^ { * } ( t _ { k } ) = S _ { j } ^ { * } ( t _ { k } ^ { + } ) - S _ { j } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) = - \omega S _ { j } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) + \omega S _ { j } ^ { i n } , \ k = 1 , . . . , h , \ j = 1 , . . . , m _ { 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } a \Psi ( a ) d a } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } [ a ^ { 2 } \Psi ( a ) ] _ { 0 } ^ { \infty } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } a ^ { 2 } \Psi ^ { \prime } ( a ) d a } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } a ^ { 2 } \psi ( a ) d a = \frac { 1 } { 2 } { \mathbb E } [ a ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 + } } & { = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \frac { T _ { b } } { T _ { a d } } \left\{ \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \left( \gamma + T _ { b } ^ { 2 } \frac { \gamma ( \alpha ^ { 3 } - 1 ) - ( B - 1 ) \alpha ^ { 2 } ( \alpha + 2 ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { \left. \quad - \alpha \int _ { - \infty } ^ { 0 - } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } d \eta \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , F _ { T , 0 } \rangle = } & { p _ { n , s } ^ { X } \big ( \mathbb { E } [ f ( T , Y _ { j _ { 1 } } - T , \dots , Y _ { j _ { m } } - T ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ Y _ { j _ { 1 } } - T > 0 , \dots , Y _ { j _ { m } } - T > 0 \right\} } ] } \\ & { - \mathbb { E } [ f ( T , X _ { 1 } , \dots , X _ { m } ) ] \mathbb { E } [ \mathbf { 1 } _ { \left\{ Y _ { j _ { 1 } } - T > 0 , \dots , Y _ { j _ { m } } - T > 0 \right\} } ] \big ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { n - s - m } \mathbb { E } [ g _ { \ell } ( T , Y _ { k _ { \ell } } - T ) ] . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 6 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 6 } } } } = { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 6 } } { \Bigl ( } \mathrm { 7 2 0 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + \mathrm { 1 8 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 1 2 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 3 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 3 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } \mathrm { \ + } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } = \cdots - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Bigg ( C _ { R } \left( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } } } ~ \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } \right) \Bigg ) , ~ i , j \in \{ 1 , 2 \} ,
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime } ( A _ { i } ) u ( A _ { i } ) } & { = \Big ( m ( u ^ { \prime } ( A _ { i } ) ) + W _ { i } ^ { \prime } \Big ) \Big ( m ( u ( A _ { i } ) ) + W _ { i } \Big ) } \\ & { = m ( u ^ { \prime } ( A _ { i } ) ) m ( u ( A _ { i } ) ) + m ( u ^ { \prime } ( A _ { i } ) ) W _ { i } + W _ { i } ^ { \prime } m ( u ( A _ { i } ) ) + W _ { i } ^ { \prime } W _ { i } . } \end{array}
Q _ { \lambda } ^ { \mu } ( z ) = { \frac { { \sqrt { \pi } } \ \Gamma ( \lambda + \mu + 1 ) } { 2 ^ { \lambda + 1 } \Gamma ( \lambda + 3 / 2 ) } } { \frac { e ^ { i \mu \pi } ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { \mu / 2 } } { z ^ { \lambda + \mu + 1 } } } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { \lambda + \mu + 1 } { 2 } } , { \frac { \lambda + \mu + 2 } { 2 } } ; \lambda + { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } \right) , \qquad { \mathrm { f o r } } \ \ | z | > 1 .
\frac { \partial } { \partial t } \int _ { E } J \mathbf { \bar { Q } } \psi d \xi + \int _ { \partial E } ( \bar { \mathcal { F } } \cdot \vec { N } ) ^ { * } \psi d S - \int _ { E } \bar { \mathcal { F } } \cdot ( \nabla _ { \xi } \psi ) d \xi = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) \to \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) + \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; \; \; \; } & { { } , } & { \; \; \, \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) \to \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } \\ { \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } ( t ) \to \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } ( t ) + q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ( t ) ) \; \; } & { { } , } & { \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ( t ) \to \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ( t ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { j } \right) } & { = 0 } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { j } \sigma _ { k } \right) } & { = 2 \delta _ { j k } } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { \ell } \right) } & { = 2 i \varepsilon _ { j k \ell } } \\ { \operatorname { t r } \left( \sigma _ { j } \sigma _ { k } \sigma _ { \ell } \sigma _ { m } \right) } & { = 2 \left( \delta _ { j k } \delta _ { \ell m } - \delta _ { j \ell } \delta _ { k m } + \delta _ { j m } \delta _ { k \ell } \right) } \end{array} }
\varphi _ { 0 } ( u , t ) = \exp \left\{ \frac { i } { \hbar } u G ( t ) \right\} \varphi _ { 1 } ( u , t ) , \; \mathrm { w h e r e } \; G \left( t \right) = \intop _ { - \infty } ^ { t } g \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } .