harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \tilde { \Omega } ) ) } } & { { } \lesssim \| p - \tilde { p } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { 1 } ( \Omega ) ) } + \| \tilde { p } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { Z = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \epsilon _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } = \underbrace { e ^ { - \beta \hbar \omega } } _ { n _ { 1 } = 0 , n _ { 2 } = 0 } + \underbrace { e ^ { - \beta ( 2 \hbar \omega ) } } _ { n _ { 1 } = 1 , n _ { 2 } = 0 } + \underbrace { e ^ { - \beta ( 2 \hbar \omega ) } } _ { n _ { 1 } = 0 , n _ { 2 } = 1 } + \cdots } \end{array}
\| u _ { \varepsilon } ( \cdot , \tau ) - e ^ { - i \tau \varepsilon ^ { - 2 } \lambda _ { 0 } } e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \varsigma _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( \mathbf { x } ) \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \cdot , \tau ) \| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \le \mathcal { C } ( 1 + | \tau | ) \varepsilon \| f _ { 1 } \| _ { H ^ { 3 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } .
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right] } \oplus { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 6 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 6 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { T } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( w | _ { \{ 0 \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda } \\ { Q } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( ( w | _ { \{ 0 \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda \circ j ) . } \end{array}
R _ { c u r v } = \frac { n ( n - 1 ) B } { R ^ { 2 n } } \sim \left( t _ { E } - t _ { 0 } \right) ^ { - 2 } \sim \left| t _ { s } - t _ { s 0 } \right| ^ { \frac { - 2 n } { n - 1 } } , \quad t _ { s } \rightarrow t _ { s 0 }
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \frac { C _ { 9 } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } R _ { 3 1 } ^ { 3 } } \frac { 1 - 3 ( \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) } { 4 } } \\ { C _ { 9 } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 9 } r _ { S P } ^ { 2 } ( C s ) r _ { S P } ^ { 4 } ( A r ) \frac { E _ { S P } ( C s ) + 2 E _ { S P } ( A r ) } { 2 ( E _ { S P } ( C s ) + E _ { S P } ( A r ) ) ^ { 2 } E _ { S P } ( A r ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } g _ { j } = } & { { } \sum _ { j ^ { \prime } } H _ { F } ( j , j ^ { \prime } , t ) g _ { j ^ { \prime } } + \gamma | g _ { j } | ^ { 2 } g _ { j } } \end{array}
\left\langle \langle n _ { \mathrm { B } } n _ { \mathrm { E } } \right\rangle \rangle = \left\langle { n } _ { \mathrm { B } } { n } _ { \mathrm { E } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { B E } } } - \left\langle { n } _ { \mathrm { B } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { B } } } \cdot \left\langle { n } _ { \mathrm { E } } \right\rangle _ { \hat { \rho } _ { \mathrm { E } } } ,
\tilde { p } _ { n , \mathcal { M } _ { n } } \leq P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } \boldsymbol { \mathring { Z } } _ { ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ) \right\vert > \sqrt { n } \mathcal { W } _ { j } \left\vert \theta _ { 0 , j } \right\vert \left( \left\vert \frac { \hat { \theta } _ { j } } { \theta _ { 0 , j } } \right\vert + o _ { p } ( 1 ) \right) \right) + o _ { p } ( 1 ) \rightarrow 0
H _ { x } = - \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } \operatorname { P } [ x _ { j } ] \ln \operatorname { P } [ x _ { j } ] = - { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 1 } { 2 } } = \ln 2
\begin{array} { r l } { 0 = { } } & { { } L [ \mathbf { q } [ t _ { 2 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] , t _ { 2 } ] T - L [ \mathbf { q } [ t _ { 1 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] , t _ { 1 } ] T - { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] T } \end{array}
W ^ { 1 } ( x _ { A } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , \theta _ { 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 } , u ) \quad \mathrm { o r } \quad W ^ { 1 2 3 } ( x _ { A } , \theta _ { 4 } , \bar { \theta } ^ { 1 } , \bar { \theta } ^ { 2 } , \bar { \theta } ^ { 3 } , u ) \equiv \bar { W } _ { 4 }
\left( { \frac { a } { p } } \right) = \left\{ { \begin{array} { r l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \equiv 0 { \pmod { p } } , } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \not \equiv 0 { \pmod { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ f o r ~ s o m e ~ i n t e g e r ~ } } x \colon \; a \equiv x ^ { 2 } { \pmod { p } } , } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \not \equiv 0 { \pmod { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ s u c h ~ } } x . } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( M ) } & { \leq \operatorname* { P r } \{ Z < | P _ { \mathrm { c } } - D | \} + \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} } \\ { * } & { \qquad + \int _ { | P _ { \mathrm { c } } - D | } ^ { \sigma ^ { 2 } + b _ { n } } ( 1 - \underline { { g } } ( n , z ) ) ^ { M } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \{ Z < | P _ { \mathrm { c } } - D | \} + \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} } \\ { * } & { \qquad + \int _ { | P _ { \mathrm { c } } - D | } ^ { \sigma ^ { 2 } + b _ { n } } \exp \{ - M \underline { { g } } ( n , z ) \} f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \{ Z < | P _ { \mathrm { c } } - D | \} + \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} + \exp \{ - M \underline { { g } } ( n , \sigma ^ { 2 } + b _ { n } ) \} , } \end{array}
\mathbf { S } _ { h } ^ { * } \cdot \mathbf { v } = \mathbf { S } _ { h } ^ { \prime } \cdot \mathbf { v } = \left( \mathbf { A } _ { h } + \mathrm { d i a g } \left( \frac { 1 } { \varepsilon } g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \mathbf { y } ) \right) \right) ^ { - 1 } \mathbf { v } , \quad \forall \mathbf { v } \in \mathbb { R } ^ { n _ { y } ^ { 2 } } .
| \psi _ { n } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \hbar m \omega ) ^ { n } } } \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } \hat { p } ^ { n - 1 } \left[ \hat { p } , e ^ { - \frac { m \omega } { \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } \right] e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \forall ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \in ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) ^ { 2 } , \quad \forall \alpha \in \mathbb { R } , \quad G \big ( \mathcal { R } ( \alpha ) \xi , \mathcal { R } ( \alpha ) \xi ^ { \prime } \big ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { \big | \mathcal { R } ( \alpha ) \xi - \mathcal { R } ( \alpha ) \xi ^ { \prime } \big | _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } } { 2 } \right) } \end{array}
R _ { 0 } = \left( { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \simeq 1 . 2 8 \times 1 0 ^ { - 4 }
{ \frac { \partial } { \partial x } } { \frac { \frac { \partial u } { \partial x } } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial u } { \partial y } } \right) ^ { 2 } } } } + { \frac { \partial } { \partial y } } { \frac { \frac { \partial u } { \partial y } } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial u } { \partial y } } \right) ^ { 2 } } } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { { Q } _ { n } = } & { i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \\ & { \exp \{ i [ \mathbb { S } ^ { ( \tau ) } ( \omega \tau ) + n / 2 ] \omega \tau \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { X _ { 3 } } ^ { ( \ell | 0 ) } ( T ) } & { \simeq \frac { G _ { 2 } ( \ell + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { \ell } { g _ { \mathrm { s } } } \left( 6 \mathrm { L i } _ { 2 } \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 7 \pi ^ { 2 } } { 2 } - 1 5 { \mathrm { i } } \pi \log 2 + \log 2 7 \log \frac { 8 1 } { 3 2 } + \cdots \right) } \left( - \frac { g _ { \mathrm { s } } } { 4 8 \, 2 ^ { 3 / 4 } \sqrt [ 4 ] { 3 } \, T ^ { 5 / 4 } } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \\ { F _ { X _ { 3 } } ^ { ( 0 | \ell ) } ( T ) } & { \simeq \frac { G _ { 2 } ( \ell + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { + \frac { \ell } { g _ { \mathrm { s } } } \left( 6 \mathrm { L i } _ { 2 } \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 7 \pi ^ { 2 } } { 2 } - 1 5 { \mathrm { i } } \pi \log 2 + \log 2 7 \log \frac { 8 1 } { 3 2 } + \cdots \right) } \left( \frac { g _ { \mathrm { s } } } { 4 8 \, 2 ^ { 3 / 4 } \sqrt [ 4 ] { 3 } \, T ^ { 5 / 4 } } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \\ { F _ { X _ { 3 } } ^ { ( 1 | 1 ) } ( T ) } & { \simeq \frac { { \mathrm { i } } } { 2 \pi g _ { \mathrm { s } } } \left( 6 \mathrm { L i } _ { 2 } \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 7 \pi ^ { 2 } } { 2 } - 1 5 { \mathrm { i } } \pi \log 2 + \log 2 7 \log \frac { 8 1 } { 3 2 } \right) + \frac { 1 7 { \mathrm { i } } g _ { \mathrm { s } } } { 1 9 2 \, 2 ^ { 3 / 4 } \sqrt [ 4 ] { 3 } \pi \, T ^ { 5 / 4 } } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x , x \pm \textup { e } _ { i } ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { \lambda } } \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 2 , \dots , d \} , } \\ { p ( x , x + \textup { e } _ { 1 } ) } & { = \frac { \textup { e } ^ { \lambda } } { Z _ { \lambda } } , \qquad p ( x , x - \textup { e } _ { 1 } ) = \frac { \textup { e } ^ { - \lambda } } { Z _ { \lambda } } \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { a } } & { { { \bf O } _ { + } } } & { { { \bf O } _ { v } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf O } _ { + } ^ { \dagger } } } & { { b } } & { { { \bf O } _ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf O } _ { v } ^ { \dagger } } } & { { { \bf O } _ { - } ^ { \dagger } } } & { { c } } \end{array} \right)
\frac { d \sigma _ { p } ( s _ { e e } ) } { d \cos \theta ^ { L } } = \int P ( y _ { 1 } ) P ( y _ { 2 } ) \frac { d \sigma _ { p } } { d \cos \theta } ( \cos \theta ( \cos \theta ^ { L } ) , s _ { \gamma \gamma } = y _ { 1 } y _ { 2 } s _ { e e } ) \frac { d \cos \theta } { d \cos \theta ^ { L } } d y _ { 1 } d y _ { 2 } \; .
I = \langle T \mid q ^ { - J ^ { 0 } } \mid U \rangle = ( T ^ { a _ { k } . . . a _ { 1 } } ) ^ { \ast } q ^ { - J ^ { 0 } } U ^ { a _ { 1 } . . . a _ { k } } = \sum _ { m = - j } ^ { + j } ( T ^ { j m } ) ^ { \ast } U ^ { j m } q ^ { - m } .
\tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } = \omega _ { \mathrm { L } } - i \gamma _ { \mathrm { L } } = 1 . 2 6 6 6 6 6 \times 1 0 ^ { 1 5 } - i 6 . 2 6 \times 1 0 ^ { 9 } ~ ( \mathrm { r a d } / \mathrm { s } )
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma _ { z } ^ { ( a ) } ( \tau ) \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle } & { \approx \left\langle \sigma _ { z } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle \left\langle \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle , } \\ { \left\langle \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle } & { \approx \left\langle \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle \left\langle \tilde { \sigma } _ { - } ^ { ( b ) } ( \tau ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { u } } & { { } = \omega _ { 0 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 4 / 3 } \left( \frac { k _ { 3 } b _ { f } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 6 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right] , } \\ { \omega _ { d } } & { { } = \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \left[ 1 + \left( 1 + \frac { 3 k _ { 3 } b _ { f } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 4 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi ^ { n } \operatorname* { d e t } \tilde { \Gamma } } \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 n } { \delta } e ^ { - \boldsymbol { \delta } ^ { \dagger } ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) \boldsymbol { \delta } } } \end{array}
\Delta = \frac { s \left( 6 n z \left( ( 2 m ( 4 m - 5 ) + 3 ) ( n - 1 ) u + ( n - 2 ) x ^ { 2 } + 2 ( n - 1 ) x - n + 1 \right) - 6 ( n - 1 ) z ^ { 2 } ( 2 m ( 2 m - 1 ) n u + n - 3 ) + n ( n - 1 ) ^ { 2 } \varsigma \right) } { 1 2 m ^ { 2 } ( n - 1 ) u z ^ { 2 } } ,
\mathsf { p } _ { j k l m } ^ { b } = p _ { j } p _ { l } \delta _ { k m } + p _ { j } p _ { m } \delta _ { k l } + p _ { k } p _ { l } \delta _ { j m } + p _ { k } p _ { m } \delta _ { j l } - 4 p _ { j } p _ { k } p _ { l } p _ { m } ,
\nabla \times ( \mu ^ { - 1 } \nabla \times \textbf { E } ) - \frac { ( 2 \pi f ) ^ { 2 } } { c _ { 0 } ^ { 2 } } ( \epsilon - \frac { i \sigma } { 2 \pi f \epsilon _ { 0 } } ) \textbf { E } = 0 .
u _ { z } ^ { 0 } = \frac { \delta ^ { - 2 } } { 2 } \left( \ln { \frac { r } { \beta } } - \frac { r ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } { 2 } \right) , \quad p ^ { 0 } = 1 , \quad \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { 0 } = 1 .
\begin{array} { r l } { \big ( g \, | \, g _ { 0 } \big ) _ { 2 } } & { = \left( \mathbf { m } M _ { \mathbf { m } } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \big ) \left( \begin{array} { l } { h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { h _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \right) \cdot v _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } \\ & { = \mathbf { m } \left( \begin{array} { l } { h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { h _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \cdot \Big ( M _ { \mathbf { m } } ^ { \top } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \big ) v _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \Big ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ y ~ b ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) = V _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ) \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) + \alpha V _ { \mathrm { ~ E ~ x ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } \big | \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { n } ( x _ { I } ) \big | \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } } \\ & { \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \big ( \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) \cdot | I | ^ { 1 / 2 } + \log N \cdot \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } ( x _ { I } ) \cdot | I | ^ { 1 / 2 } \big ) , } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \big ( \| \mathcal { F } _ { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } + \log N \cdot \| \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } + N ^ { - 1 0 0 } \cdot \| M _ { \mathrm { H L } } f \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } \big ) , } \end{array}
\sigma _ { N N \rightarrow H F + X } = \ \int _ { ( 2 m _ { M } ) ^ { 2 } } ^ { ( \sqrt { s } - 2 m _ { N } ) ^ { 2 } } d \hat { s } \frac { d \sigma _ { N N \rightarrow Q \overline { { { Q } } } + X } } { d \hat { s } } \ , \nonumber
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } \widetilde { { M ^ { 0 } } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { i N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 4 \pi } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } ( m _ { d } + m _ { s } ) \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left[ x ( m _ { d } - m _ { u } ) + y ( m _ { s } - m _ { u } ) + m _ { u } \right] k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { - i N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 4 \pi } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } ( m _ { d } + m _ { s } ) \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { \left[ x ( m _ { d } - m _ { u } ) + y ( m _ { s } - m _ { u } ) + m _ { u } \right] k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { x m _ { d } ^ { 2 } + y m _ { s } ^ { 2 } + ( 1 - x - y ) m _ { u } ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( \begin{array} { c } { \mu \leftrightarrow \nu } \\ { k _ { 1 } \leftrightarrow k _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( - \bar { \rho } _ { 2 } ( \gamma + 1 ) } & { { } + \bar { \rho } _ { 1 } ( \gamma - 1 ) \big ) p _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { + \big ( \bar { p } _ { 2 } ( \gamma + 1 ) } & { { } + \bar { p } _ { 1 } ( \gamma - 1 ) \big ) \rho _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { = } & { { } \big ( - \bar { \rho } _ { 1 } ( \gamma + 1 ) + \bar { \rho } _ { 2 } ( \gamma - 1 ) \big ) p _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { + } & { { } \big ( \bar { p } _ { 1 } ( \gamma + 1 ) + \bar { p } _ { 2 } ( \gamma - 1 ) \big ) \rho _ { 2 } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \ast d w \wedge [ \eta , u ] _ { 1 } } & { { } = \int _ { \Omega } d w \wedge \ast \delta ( \eta \wedge u ) = \int _ { \partial \Omega } ( \langle d w , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } u ) v _ { \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I I _ { 3 } } & { \le C \left| r _ { f } - r _ { g } \right| \int _ { u _ { g } - r _ { g } } ^ { u _ { f } + r _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } d \theta \, d v } \\ & { \quad + C | u _ { f } - u _ { g } | \int _ { u _ { g } - r _ { g } } ^ { u _ { f } + r _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } d \theta \, d v } \\ & { \le C \left( \left| r _ { f } - r _ { g } \right| + | u _ { f } - u _ { g } | \right) } \\ & { \le C \left( | \rho _ { f } - \rho _ { g } | + | u _ { f } - u _ { g } | \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } b _ { y } = } & { v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } u _ { y } - d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { n } c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } n + \mathrm { d } _ { t } u _ { x } \right) } \\ & { + d _ { e } ^ { 2 } \partial _ { x } \mathrm { d } _ { t } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } + \eta \partial _ { x } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } H _ { 3 , i } ^ { \prime } } & { \leq 2 k ^ { 2 } t ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( j + 1 ) ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 2 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } j + \left( \frac { 6 4 0 ( C _ { 0 } + 3 ) k ^ { 3 . 5 } } { \beta ^ { 2 } \sqrt { n } t } \right) ^ { 2 } \exp \left( \frac { 3 2 0 k ^ { 2 } ( p - q ) } { p } \right) \right) } \\ & { \leq 1 6 k ^ { 2 } t ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 2 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } + \left( \frac { 6 4 0 ( C _ { 0 } + 3 ) k ^ { 3 . 5 } } { \beta ^ { 2 } \sqrt { n } t } \right) ^ { 2 } \exp \left( \frac { 3 2 0 k ^ { 2 } ( p - q ) } { p } \right) \right) , } \end{array}
\dot { \omega } \left( \bar { \rho } , \phi ^ { * } \right) \approx \dot { \omega } ( \bar { \rho } , \widetilde { \phi } ) - \frac { 1 } { \tau _ { c } } \cdot \tau _ { m i x } \dot { \omega } \left( \bar { \rho } , \phi ^ { * } \right)
[ \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ] \lambda _ { i } = 2 i D _ { \mu } \lambda _ { i } \overline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { j } \gamma ^ { \mu } \epsilon _ { 2 j } + \frac { a } { 2 } \gamma ^ { \mu \nu } \lambda _ { i } M _ { k j } \overline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { k } \gamma _ { \mu \nu } \epsilon _ { 2 j }
\left( \begin{array} { c } { { R } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { 1 / 2 } \left( \begin{array} { c } { { R _ { 0 } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { R _ { 0 } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { c _ { 1 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - m _ { 2 2 } v _ { 2 } - m _ { 2 3 } { r } } \\ { c _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = m _ { 1 1 } v _ { 1 } } \\ { c _ { 3 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - c _ { 1 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \\ { c _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - c _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { d _ { 1 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - X _ { v _ { 1 } } - X _ { | v _ { 1 } | v _ { 1 } } | v _ { 1 } | - X _ { v _ { 1 } v _ { 1 } v _ { 1 } } v _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - Y _ { v _ { 2 } } - Y _ { | v _ { 2 } | v _ { 2 } } | v _ { 2 } | - Y _ { | r | v _ { 2 } } | r | - Y _ { v _ { 2 } v _ { 2 } v _ { 2 } } v _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - Y _ { r } - Y _ { | v _ { 2 } | r } | v _ { 2 } | - Y _ { | r | r } | r | } \\ { d _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - N _ { v _ { 2 } } - N _ { | v _ { 2 } | v _ { 2 } } | v _ { 2 } | - N _ { | r | v _ { 2 } } | r | } \\ { d _ { 3 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - N _ { r } - N _ { | v _ { 2 } | r } | v _ { 2 } | - N _ { | r | r } | r | - N _ { r r r } r ^ { 2 } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { j ( k _ { n } ) } & { \le \frac { 1 + \hat { s } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \tilde { s } } _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { - \kappa _ { k _ { n } } ( ( \hat { s } - \hat { \tilde { s } } _ { 0 } + \frac 1 3 ( \hat { s } ^ { 3 } - \hat { \tilde { s } } _ { 0 } ^ { 3 } ) ) } j ( k _ { n } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac 1 \beta \kappa _ { k _ { n } } \int \ d \tau \ \frac { 1 + \hat { s } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \tau } ^ { 2 } } e ^ { - \kappa _ { k _ { n } } ( ( \hat { s } - \hat { \tau } + \frac 1 3 ( \hat { s } ^ { 3 } - \hat { \tau } ^ { 3 } ) ) } \tilde { w } ( n ) } \end{array}
F _ { n } \left( { \vec { z } } \right) = \sum _ { { \vec { c } } } D _ { { \vec { c } } , n } \theta \left[ \begin{array} { c } { { { \vec { 0 } } } } \\ { { \frac { { \vec { c } } } { \ell } } } \end{array} \right] \left( { \vec { z } } - \frac { \tau } { \omega \kappa } \left( n + \frac { \beta } { 2 \pi } \right) { \hat { e } } + \frac { \alpha } { 2 \pi \omega \kappa } { \hat { e } } , \Omega \right)