harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 } } & { = \sum _ { S \subseteq F \setminus \{ i \} } \sigma ( \lvert F \setminus \{ i \} \rvert , \lvert S \rvert ) \cdot ( V ( S \cup \{ i \} ) - V ( S ) ) } \\ & { = \sigma ( 2 , 0 ) \cdot ( V ( 1 ) - V ( \{ \emptyset \} ) ) + \sigma ( 2 , 1 ) \cdot ( V ( \{ 1 , 2 \} ) - V ( \{ 2 \} ) ) } \\ & { \quad + \sigma ( 2 , 1 ) \cdot ( V ( \{ 1 , 3 \} ) - V ( \{ 3 \} ) ) + \sigma ( 2 , 2 ) \cdot ( V ( \{ 1 , 2 , 3 \} ) - V ( \{ 2 , 3 \} ) ) } \\ & { = \sigma ( 2 , 0 ) \cdot ( 0 - 0 ) + \sigma ( 2 , 1 ) \cdot ( 1 - 0 ) + \sigma ( 2 , 1 ) \cdot ( 1 - 0 ) + \sigma ( 2 , 2 ) \cdot ( 1 - 0 ) } \\ & { = 2 \cdot \sigma ( 2 , 1 ) + \sigma ( 2 , 2 ) } \\ & { = 2 \cdot \frac { 1 ! ( 2 - 1 ) ! } { ( 2 + 1 ) ! } + \frac { 2 ! ( 2 - 2 ) ! } { ( 2 + 1 ) ! } } \\ & { = 2 \cdot \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 3 } } \\ & { = \frac { 2 } { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Psi _ { m _ { s t } } ( \langle \alpha _ { s } ^ { \vee } , \alpha _ { t } \rangle \langle \alpha _ { t } ^ { \vee } , \alpha _ { s } \rangle ) } & { = 0 } & & { \mathrm { i f ~ m _ { s t } > 2 ~ , } } \\ { \langle \alpha _ { s } ^ { \vee } , \alpha _ { t } \rangle = \langle \alpha _ { t } ^ { \vee } , \alpha _ { s } ^ { \vee } \rangle } & { = 0 } & & { \mathrm { i f ~ m _ { s t } = 2 ~ , } } \end{array}
\nabla _ { \mu } X ^ { \nu } = \frac { 1 } { \sqrt { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c c c } { \frac { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { - \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \tau _ { 1 } \cosh \tau _ { 1 } } { \sinh \tau _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \tau _ { 2 } \cosh \tau _ { 2 } } { \sinh \tau _ { 2 } } \ . } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { c c l } { | \phi _ { j > N } \rangle } & { = } & { \hat { a } _ { j - N } ^ { \dagger } | \mathrm { S } _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ^ { 2 } . . \mathrm { S } _ { 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ^ { N } \rangle \otimes | 0 0 . . 0 \rangle } \\ & { = } & { \hat { a } _ { j - N } ^ { \dagger } | \Pi _ { i } ^ { N } \mathrm { S } _ { 0 } ^ { i } \rangle \otimes | \Pi _ { k } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } 0 _ { k } \rangle } \\ & { = } & { \hat { a } _ { j - N } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N ( \omega _ { k } ) } & { { } = } & { \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \big [ \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \big ] , } \\ { C ( \omega _ { k } ) } & { { } = } & { \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \big [ \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \big ] , } \end{array}
< { \cal O } _ { 1 } \cdots { \cal O } _ { k } \, \mathrm { e x p } \left\{ \sum _ { k = 0 } ^ { 4 } \sum _ { p = 4 - k } ^ { 4 n } \sum _ { \beta _ { k } = 1 } ^ { b ^ { k } ( { \cal M } ) } \sum _ { \alpha _ { p } = 1 } ^ { b ^ { p } ( { \cal N } ) } s _ { \alpha _ { p } , \beta _ { k } } ^ { p , k } { \cal D } _ { p , k } ^ { \alpha _ { p } , \beta _ { k } } \right\} > .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { a + b \varepsilon } { c + d \varepsilon } } } & { = { \frac { ( a + b \varepsilon ) ( c - d \varepsilon ) } { ( c + d \varepsilon ) ( c - d \varepsilon ) } } } \\ & { = { \frac { a c - a d \varepsilon + b c \varepsilon - b d \varepsilon ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + c d \varepsilon - c d \varepsilon - d ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { a c - a d \varepsilon + b c \varepsilon - 0 } { c ^ { 2 } - 0 } } } \\ & { = { \frac { a c + \varepsilon ( b c - a d ) } { c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { a } { c } } + { \frac { b c - a d } { c ^ { 2 } } } \varepsilon } \end{array} }
\int _ { { \cal F } \times S ^ { 2 } } \omega \ ( p , \zeta ) \; \langle p ^ { \prime } , \zeta ^ { \prime } | p , \zeta \rangle \langle p , \varsigma | p ^ { \prime \prime } , \zeta ^ { \prime \prime } \rangle = c \langle p ^ { \prime } , \zeta ^ { \prime } | p ^ { \prime \prime } , \zeta ^ { \prime \prime } \rangle
\big ( \hat { \phi } , \hat { D } \hat { \phi } \big ) _ { \hat { \Omega } } = \big ( \phi , D \phi \big ) _ { \Omega } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \phi , \big ( n ^ { T } \dot { x } \big ) \phi \big ) _ { \partial \Omega } .
M _ { B \pi } ^ { \mu } = \sqrt { Z _ { 2 } } \Bigg \{ \Big ( f _ { + } ^ { v } ( q ^ { 2 } ) + f _ { + } ^ { B ^ { * } } ( q ^ { 2 } ) \Big ) ( P _ { B } + P _ { \pi } ) ^ { \mu } + \Big ( f _ { - } ^ { v } ( q ^ { 2 } ) + f _ { - } ^ { B ^ { * } } ( q ^ { 2 } ) \Big ) ( P _ { B } - P _ { \pi } ) ^ { \mu } \Bigg \} ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 0 } } & { = } & { g - \frac { \hbar v _ { F } } { \sqrt { 2 } } k _ { x } , } \\ { \epsilon _ { 1 } } & { = } & { g + \frac { \hbar v _ { F } } { 2 \sqrt { 2 } } k _ { x } + \frac { \hbar v _ { F } } { 2 \sqrt { 2 } } \sqrt { 3 k _ { x } ^ { 2 } + 2 k _ { y } ^ { 2 } } , } \\ { \epsilon _ { 2 } } & { = } & { g + \frac { \hbar v _ { F } } { 2 \sqrt { 2 } } k _ { x } - \frac { \hbar v _ { F } } { 2 \sqrt { 2 } } \sqrt { 3 k _ { x } ^ { 2 } + 2 k _ { y } ^ { 2 } } . } \end{array}
\Gamma _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( + ) } = \frac { \hbar \pi } { 4 } \frac { n _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { 0 } - n _ { \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { 0 } } { \omega _ { \lambda } \omega _ { \lambda ^ { \prime } } \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } } \vert V _ { \lambda \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } } ^ { ( + ) } \vert ^ { 2 } \delta ( \omega _ { \lambda } + \omega _ { \lambda ^ { \prime } } - \omega _ { \lambda ^ { \prime \prime } } ) \Delta ^ { ( + ) } .
\frac { \mathrm { d } W } { \mathrm { d } t } = W _ { 0 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \delta _ { n } } \mathrm { d } \delta [ F _ { 1 n } + h _ { L } h _ { e } F _ { 2 n } + h _ { \gamma } ( h _ { L } F _ { 3 n } + h _ { e } F _ { 4 n } ) ] ,
\begin{array} { r l } & { 2 N ^ { 2 } + 5 5 7 I ( n + m + 1 ) ^ { 3 } + 2 N ^ { 2 } } \\ & { = 5 5 7 I ( n + m + 1 ) ^ { 3 } + 4 [ I ( n + m ) + ( I - 1 ) ( n + m + 4 ) ] ^ { 2 } } \\ & { \leq 5 5 7 I ( n + m + 1 ) ^ { 3 } + 4 [ I ( n + m + 1 ) + 4 I ( n + m + 1 ) ] ^ { 2 } } \\ & { \leq 5 5 7 I ( n + m + 1 ) ^ { 3 } + 4 \cdot ( 1 + 4 ) ^ { 2 } ( I ( n + m + 1 ) ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 6 5 7 I ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \vert \Phi ( \Lambda - \frac { y _ { i } ^ { T } ( L + E ) y _ { i } } { y _ { i } ^ { T } y _ { i } } I ) \Phi ^ { T } + E \vert \vert \, \, \vert \vert \hat { x } _ { i } \vert \vert = \vert \vert \Phi ( \Lambda - \frac { y _ { i } ^ { T } ( L + E ) y _ { i } } { y _ { i } ^ { T } y _ { i } } I ) \Phi ^ { T } + E \vert \vert } \end{array}
| { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } | ^ { - 1 } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \frac { 4 \pi r _ { < } ^ { l } } { ( 2 l + 1 ) r _ { > } ^ { l + 1 } } Y _ { l m } ^ { \ast } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) Y _ { l m } ( \theta _ { 2 } , \phi _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { E [ \Psi _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } & { { } = E _ { \textrm { s y s } } [ \Psi _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { W F T } } ] + E _ { \textrm { e n v } } [ \rho _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { D F T } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \stackrel { ! } { = } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { E \left[ G + \varepsilon \delta G \right] - E \left[ G \right] } { \varepsilon } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \Big ( \left( G \left( \omega \right) H \left( \omega \right) - 1 \right) H ^ { * } \left( \omega \right) S _ { x , x } \left( \omega \right) } \end{array}
\delta \Sigma _ { m _ { 1 } m _ { 2 } , \mathbf k } ( t ) = \sum _ { m _ { 1 } ^ { \prime } , m _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { k ^ { \prime } } } \rho _ { m _ { 1 } m _ { 2 } , \mathbf { k } - \mathbf { k ^ { \prime } } } ( t ) W _ { m _ { 1 } m _ { 1 } ^ { \prime } m _ { 2 } m _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { k } - \mathbf { k ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \omega _ { \mathrm { m } } } d \omega ~ ( d k _ { \parallel } / d \omega ) g ( \omega ) = 1 , ~ ~ ~ ~ ~ \int _ { - \theta _ { \mathrm { m } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m } } } d \theta ~ ( d k _ { \parallel } / d \theta ) g ( \theta ) = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( s ) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ( s ) } { s } } & { = \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ( s ) } \\ & { \quad + \frac { ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } } { s } ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) ^ { - 1 } \left( \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } \right) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } ( s ) + \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } ( s ) } { s } } \\ & { = \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } } \\ & { \quad - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { O } - \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } } { s } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial H _ { i } ( T , P _ { 0 } ) } { \partial T } } & { { } = C _ { P , i } ( T , P _ { 0 } ) , } \\ { \frac { \partial S _ { i } ( T , P _ { 0 } ) } { \partial T } } & { { } = \frac { C _ { P , i } ( T , P _ { 0 } ) } { T } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { n j l m } ( \alpha , \theta , \phi ) = \left[ \frac { 2 ^ { 2 l + 1 } ( n + 1 ) ( n - l ) ! } { \pi ( n + l + 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } \, l ! \, ( \sin \alpha ) ^ { l } \, C _ { n - l } ^ { 1 + l } ( \cos \alpha ) \, { \cal Y } _ { l \, m } ^ { j } ( \theta , \phi ) .
\psi _ { m _ { J } } ^ { ( \nu ) } ( \mathbf { r } ) = \left( \begin{array} { c } { g _ { \nu } ( r ) \Omega _ { \frac { 1 } { 2 } 0 m _ { J } } } \\ { i f _ { \nu } ( r ) \Omega _ { \frac { 1 } { 2 } 1 m _ { J } } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { \left| a _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \right| ^ { 2 } } & { = \left| H _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \times { \frac { \exp { { \frac { 2 \pi i } { h } } ( - W + H _ { s } + K _ { \sigma } ) t } - 1 } { - W + H _ { s } + K _ { \sigma } } } \right| ^ { 2 } } \\ & { = 4 \left| H _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \right| ^ { 2 } \times { \frac { \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \pi t } { h } } ( - W + H _ { s } + K _ { \sigma } ) \right) } { ( - W + H _ { s } + K _ { \sigma } ) ^ { 2 } } } , } \end{array} }
P o i s ( \lambda , k _ { m i n } , k _ { m a x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c \frac { \lambda ^ { k } e ^ { - \lambda } } { k ! } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k _ { m i n } \leq k \leq k _ { m a x } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \bf J } _ { \mathcal { T } } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } & { { } = } & { - { \bf \nabla } _ { i } \Phi ( { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) - { \bf J } _ { \Phi } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } \end{array}
I ( C _ { s } , W ) = q ^ { - 1 } \int _ { C _ { s } } \Bigl [ \left( e x p : - \int _ { P _ { s } } ^ { P _ { 0 } } A : \right) { ^ * J } ( P _ { s } ) \left( e x p : - \int _ { P _ { 0 } } ^ { P _ { s } ) } A : \right) \Bigr ]
m _ { 1 } { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 1 } ) + m _ { 2 } { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 2 } ) = m _ { 1 } { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 3 } ) + m _ { 2 } { \mathrm { c o s h } } ( s _ { 4 } )
\begin{array} { r } { ( \nabla \times \mathbf { u } ) \circ \mathbf { F } = J ^ { - 1 } ( \mathbf { D F } ) ( \hat { \nabla } \times \iota _ { \boldsymbol { \omega } } ( \mathbf { u } ) ) = J ^ { - 1 } ( \mathbf { D F } ) ( \hat { \nabla } \times ( ( \mathbf { D F } ) ^ { T } \mathbf { u } ) ) } \\ { = J ^ { - 1 } ( \mathbf { D F } ) ( \hat { \nabla } \times ( ( \mathbf { D F } ) ^ { T } ( J ^ { - 1 } ( \mathbf { D F } ) \hat { \mathbf { u } } ) ) ) } \\ { = J ^ { - 1 } ( \mathbf { D F } ) ( \hat { \nabla } \times ( J ^ { - 1 } \mathbf { C } \hat { \mathbf { u } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } } \\ & { \leq } & { - \left( \frac { 3 ( 1 - \gamma ) } { 4 } - \frac { 9 } { 4 \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } ( \eta + \omega ) \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 6 \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } } \\ & { \leq } & { - \frac { 1 - \gamma } { 2 } \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 6 \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } , } \end{array}
g _ { \alpha , \beta } = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } - { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { { \frac { i } { 2 } } \left( - \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { - \alpha \beta - { \overline { { \alpha } } } { \overline { { \beta } } } } \\ { { \frac { i } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { - i \left( + \alpha \beta - { \overline { { \alpha } } } { \overline { { \beta } } } \right) } \\ { \alpha { \overline { { \beta } } } + { \overline { { \alpha } } } \beta } & { i \left( - \alpha { \overline { { \beta } } } + { \overline { { \alpha } } } \beta \right) } & { \alpha { \overline { { \alpha } } } - \beta { \overline { { \beta } } } } \end{array} \right) } .
\hat { H } ^ { \mathrm { P h o n o n } } = \hbar \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hbar \sum _ { { \mathbf { k } } , S } n _ { S } \left( \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } + \gamma _ { \mathbf { k } } ^ { S ^ { * } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } \right) \vert S \rangle \langle S \vert ,
k _ { \mathfrak n } = k _ { \mathfrak n _ { 1 } } - k _ { \mathfrak n _ { 2 } } + k _ { \mathfrak n _ { 3 } } , \quad \mathrm { o r \ e q u i v a l e n t l y } \quad \zeta _ { \mathfrak n } k _ { \mathfrak n } = \zeta _ { \mathfrak n _ { 1 } } k _ { \mathfrak n _ { 1 } } + \zeta _ { \mathfrak n _ { 2 } } k _ { \mathfrak n _ { 2 } } + \zeta _ { \mathfrak n _ { 3 } } k _ { \mathfrak n _ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { O _ { 1 } ( \theta ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) , \ \theta \in [ 0 , 2 \pi ) , } \\ { O _ { - 1 } ( \theta ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { - \cos \theta } \end{array} \right) , \ \theta \in [ 0 , 2 \pi ) . } \end{array}
\phi _ { f } \equiv \frac { m _ { \tilde { f } _ { 2 } } ^ { 2 } - m _ { \tilde { f } _ { 1 } } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { f } _ { 2 } } ^ { 2 } + m _ { \tilde { f } _ { 1 } } ^ { 2 } } = { \frac { 1 } { \mathrm { T r } { \cal M } ^ { 2 } } } ~ \sqrt { ( \mathrm { T r } { \cal M } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ~ \mathrm { D e t } { \cal M } ^ { 2 } } \, .
\mathcal { L } = \int d x \{ \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 } ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } - \phi _ { 2 } ^ { 2 } - f ^ { 2 } ) ^ { 2 } \} \quad ,
\frac { \partial m _ { U _ { 3 } } ^ { 2 } } { \partial \ln Q } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } ( 2 h _ { t } ^ { 2 } \Sigma _ { m ^ { 2 } } - \frac { 1 6 } { 3 } g _ { 3 } ^ { 2 } M _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 6 } { 9 } g _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } ) ,
\mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \right\} = \rho _ { b } ^ { 2 } \rho _ { k } \left| \left( a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \Theta ^ { H } a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) a _ { N } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { N } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \right) \right| ^ { 2 } \times M
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( ( \mathscr { D } _ { \Gamma , l } ) ^ { c } ) } & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\textsc { t p } ( ( [ \delta \vdash f ( \delta ) : \Gamma ] . [ \gamma \vdash A ( \gamma ) : \textsc { T y p e } ] ) . [ \gamma , x : A ( \gamma ) \vdash A ( \gamma ) : \textsc { T y p e } ] ) \texttt { i d } _ { [ \gamma \vdash A ( \gamma ) : \textsc { T y p e } ] } = \texttt { i d } _ { ( \textsc { t p } [ \delta \vdash f ( \delta ) : \Gamma ] ) [ \gamma \vdash A ( \gamma ) : \textsc { T y p e } ] } .
\begin{array} { r } { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \int _ { T } f _ { x } \: d \underline { { x } } = \sum _ { T \in \mathcal { T } } \int _ { \partial T \cap \partial \Omega _ { D } } ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } ) _ { n t , x } \: d \underline { { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d S _ { z z } } { d t } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } G \frac { \partial u } { \partial z } + \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } G V b n _ { d } , } \\ { \frac { m _ { 0 } } { ( 1 - V ^ { 2 } / c _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \frac { d V } { d t } } & { { } = } & { - \frac { 3 b } { 4 } \left( \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } S _ { z z } \pm \frac { 2 } { 3 } Y \right) - \mu ( V , T ) V } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { p _ { b } } ( x _ { a } ) \approx C _ { p _ { b } } ^ { + } ( x _ { a } ) } & { { } = ( 2 / \pi ) ^ { 1 / 4 } e ^ { - \xi ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ( x _ { a } - \xi / 2 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } } & { = \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \mathcal { D } u - Y u \right) _ { i } } \\ & { = \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \partial _ { j } \sigma _ { i j } - Y u _ { i } \right) } \\ & { = \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \partial _ { j } \left( \alpha \delta _ { i j } u _ { k k } + \frac { \beta } { 2 } ( \partial _ { j } u _ { i } + \partial _ { i } u _ { j } ) \right) - Y u _ { i } \right) } \\ & { = \int _ { \Omega } \alpha \mathbf { v } \cdot \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) + \frac { \beta } { 2 } \left( \mathbf { v } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ) + ( \mathbf { v } \cdot \nabla ) ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \right) - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \\ & { = \int _ { \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) \underbrace { \mathbf { v } \cdot \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) } _ { i } + \frac { \beta } { 2 } ( \underbrace { \mathbf { v } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ) } _ { i i } - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \end{array}
f _ { \alpha } ( \phi ) = { \frac { e ^ { - i \pi / 4 } } { \sqrt { 2 \pi p } } } \left( { \frac { 1 } { 1 + e ^ { i \phi } } } \right) e ^ { i \alpha \phi } \left( e ^ { - i \alpha \pi } - e ^ { i \alpha \pi } \right) \; , \quad 0 \le \alpha < 1 \; .
\int d \Phi _ { 1 } ( r _ { * } ) d \tilde { \Phi } _ { 2 } ( r _ { * } ) \exp { i \int d r _ { * } ( \Phi _ { 1 } ( r _ { * } ) { \cal D } _ { 1 } \Phi _ { 1 } ( r _ { * } ) + \tilde { \Phi } _ { 2 } ( r _ { * } ) { \cal D } _ { 1 } \tilde { \Phi } _ { 2 } ( r _ { * } ) ) }
\widetilde { A } = \Pi _ { 0 } A \Pi _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } [ A , Z ^ { \otimes n } ] \neq 0 } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { 2 } \otimes \cdots \otimes W _ { n } } & { \mathrm { i f ~ } W _ { 1 } = \mathbb { I } , X } \\ { \mathrm { i } ( W _ { 2 } Z ) \otimes \cdots \otimes ( W _ { n } Z ) } & { \mathrm { i f ~ } W _ { 1 } = Y } \\ { ( W _ { 2 } Z ) \otimes \cdots \otimes ( W _ { n } Z ) } & { \mathrm { i f ~ } W _ { 1 } = Z . } \end{array} \right. } & { \mathrm { i f ~ } [ A , Z ^ { \otimes n } ] = 0 . } \end{array} \right.
h _ { n } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \lambda _ { n } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \{ g ^ { 2 } \lambda _ { n } ^ { 6 } - 2 g \lambda _ { n } ^ { 4 } + ( 1 + 2 g ) \lambda _ { n } ^ { 2 } - 1 \}
m m ^ { \dagger } = \rho ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { x ^ { 2 } } } & { { x y } } & { { x z } } \\ { { y x } } & { { y ^ { 2 } } } & { { y z } } \\ { { z x } } & { { z y } } & { { z ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \rho ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { x } } \\ { { y } } \\ { { z } } \end{array} \right) ( x , y , z ) ,
\operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow - \infty } \sigma \cdot \gamma _ { \pm } \left( s \right) = \sigma \cdot \left( \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow - \infty } \gamma _ { \pm } \left( s \right) \right) = \sigma \cdot r ^ { \ddag } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) \cos ( \gamma _ { m n } \pi ) + \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) \sin ( \gamma _ { m n } \pi ) } & { { } = 0 , } \\ { \mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) \cos ( \gamma _ { m n } \pi ) + \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) \sin ( \gamma _ { m n } \pi ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r c c l } { \mathrm { W e ~ w r i t e } } & { \Psi } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ m a t r i x } } & { \Psi _ { i j } : = r \frac { \partial \phi _ { j } } { \partial q _ { i } } } \\ { \mathrm { a n d } } & { \Phi } & { \mathrm { f o r ~ t h e ~ m a t r i x } } & { \Phi _ { i j } : = \frac { 1 } { r } \frac { \partial q _ { j } } { \partial \phi _ { i } } . } \end{array}
\left\| u \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \leq C \left( \mathcal { M } _ { p ^ { \prime } } ( t ) ^ { \frac 1 2 } \left\| w ( t , \cdot ) \nabla u \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \right) ^ { \alpha } \left\| u \right\| _ { L ^ { 1 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { \beta } \| | x | _ { * } ^ { p / 2 } u \| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { \gamma } ,