harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { N } ^ { ( k ) } = \sum _ { \substack { i , j = 1 \, i \ne j } } ^ { k + 1 } h _ { i , j } ^ { ( k ) } + \sqrt { ( k + 1 ) ! } \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \alpha ^ { \frac { 2 n - 1 } { 2 } } \sum _ { \substack { < i , j > \, i \in [ ( k + 1 ) ( n - 1 ) + 1 , ( k + 1 ) n ] \, j \in [ ( k + 1 ) n + 1 , ( k + 1 ) ( n + 1 ) ] } } h _ { i , j } ^ { ( k ) } ,
d Q = \frac { { \vec { p } _ { 3 } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } E _ { 3 } E _ { 4 } } { \frac { d \Omega _ { 3 } } { \displaystyle { \left| \frac { | \vec { p } _ { 3 } | } { E _ { 3 } } - \frac { { \vec { p } _ { 3 } } . { \vec { p } _ { 4 } } } { | \vec { p } _ { 3 } | E _ { 4 } } \right| } } } \, .
K ( q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 m _ { B } } } \, \left[ ( m _ { B } ^ { 2 } + m _ { D } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 m _ { B } ^ { 2 } m _ { D } ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } .
B _ { \left( 1 \mathrm { \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 \, 6 } \right) } ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } \mu _ { 5 } \mu _ { 6 } } = \frac { \mathrm { t r } \left[ P \left( 0 \right) \ \gamma ^ { \mu _ { 1 } } \P \left( k _ { 1 } \right) \ \gamma ^ { \mu _ { 2 } } \ P \left( k _ { 1 2 } \right) \ \gamma ^ { \mu _ { 3 } } \ \cdots \ P \left( k _ { 1 2 3 4 5 } \right) \ \gamma ^ { \mu _ { 6 } } \right] } { \left( 2 Q \cdot k _ { 1 } + k _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 2 Q \cdot k _ { 1 2 } + k _ { 1 2 } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 2 Q \cdot k _ { 1 2 3 4 5 } + k _ { 1 2 3 4 5 } ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \vec { \nabla } } & { { } \cdot \left\lbrack \vec { H } _ { 1 } \wedge \vec { E } _ { 2 } - \vec { H } _ { 2 } \wedge \vec { E } _ { 1 } \right\rbrack = \vec { j } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } - \vec { j } _ { 2 } \cdot \vec { E } _ { 1 } - i \omega \Delta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { p } _ { 2 } = M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { \ge 0 } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { d } _ { \ge 0 } ) , \quad \mathfrak { p } _ { 2 } : = \mathcal { D } _ { \omega } ^ { - 1 } ( M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { \ge 0 } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { d } _ { \ge 0 } ) ) . } \end{array}
W _ { 1 } = \eta ^ { - 2 } ( U ) \eta ^ { - 2 } ( T ) \left[ 1 - \frac { B C } { 2 } \partial _ { U } \log \eta ^ { 2 } ( U ) \partial _ { T } \log \eta ^ { 2 } ( T ) + O ( B ^ { 2 } C ^ { 2 } ) \right] ,
Q _ { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \frac { 1 } { \frac { 1 } { n } \boldsymbol { v } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \boldsymbol { v } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ( \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ) ^ { - 1 } \mathbb { \breve { Z } } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ,
\begin{array} { r l } { x _ { i } ^ { k + 1 } } & { = \sum _ { j \in { \mathcal { N } } _ { i } } w _ { i j } ( x _ { j } ^ { k } - \alpha g _ { j } ^ { k } ) } \\ { g _ { i } ^ { k + 1 } } & { = \sum _ { j \in { \mathcal { N } } _ { i } } w _ { i j } \big ( g _ { j } ^ { k } + { \nabla } F _ { j } ( x _ { j } ^ { k + 1 } ; \xi _ { j } ^ { k + 1 } ) - { \nabla } F _ { j } ( x _ { j } ^ { k } ; \xi _ { j } ^ { k } ) \big ) } \end{array}
F _ { M } ( r ) = \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } = \frac { 3 } { 2 \pi } \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } .
{ \begin{array} { r l } { Q _ { 4 } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \vert \alpha \vert ^ { 2 } } & { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { - { \frac { 1 } { 2 } } \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \\ { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { 1 } & { 0 } & { - \operatorname { R e } ( \alpha ) } \\ { - \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { 0 } & { 1 } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \vert \alpha \vert ^ { 2 } } & { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \vert \alpha \vert ^ { 2 } } \end{array} \right] } } \\ & { = \exp { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { 0 } \\ { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { 0 } & { 0 } & { - \operatorname { R e } ( \alpha ) } \\ { - \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { 0 } & { 0 } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } \\ { 0 } & { \operatorname { R e } ( \alpha ) } & { \operatorname { I m } ( \alpha ) } & { 0 } \end{array} \right] } ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \tilde { I } _ { K _ { P } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } } ^ { * } = \tilde { I } _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } } ^ { * } , \ \tilde { I } _ { K _ { P } ^ { * } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } = \tilde { I } _ { K _ { P } ^ { * } \oplus K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } , } \\ & { \tilde { I } _ { K _ { P } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } = \tilde { I } _ { K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } * _ { r } \tilde { I } _ { K _ { P } } ^ { * } = \tilde { I } _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial J ^ { \pi } ( \rho ) } { \partial \pi _ { 1 } ( a , \eta | s ) } = \rho ( s ) Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s , a , \eta ) } \\ & { \frac { \partial J ^ { \pi } ( \rho ) } { \partial \pi _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) } = \frac { \gamma } { 1 - \gamma } d _ { \rho ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s , \eta ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) } \end{array}
\lvert E ^ { ( i ) } - E ^ { ( i + 1 ) } \rvert \le \textsc { T O L } \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad E ^ { ( i ) } = \langle \psi _ { A } ^ { ( i ) } \psi _ { B } ^ { ( i ) } | H | \psi _ { A } ^ { ( i ) } \psi _ { B } ^ { ( i ) } \rangle ,
[ { \cal D } \mu ] = { \cal D } A _ { \mu } { \cal D } \phi { \cal D } \theta { \cal D } \rho { \cal D } \Pi ^ { 1 } { \cal D } \xi \prod _ { \beta = 1 } ^ { 4 } \delta \left( \Gamma _ { \beta } [ A _ { 0 } + \xi , A _ { 1 } , \phi , \theta , \rho ] \right) \operatorname * { d e t } \mid \{ \tilde { \Omega } _ { \alpha } , \Gamma _ { \beta } \} \mid .
\Delta A _ { - } = 8 \pi G \int d x ^ { 2 } \ldots d x ^ { D - 1 } \int _ { x _ { + } ^ { 1 } } ^ { x _ { - } ^ { 1 } } d \hat { x } ^ { 1 } \int _ { \hat { x } ^ { 1 } } ^ { x _ { - } ^ { 1 } } d \hat { \hat { x } } ^ { 1 } T _ { a b } k ^ { a } k ^ { b } .
\begin{array} { r l } { \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } ( s _ { 1 } ) } & { \le 1 6 \pi L ^ { 2 } M ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { 2 \gamma } ( \lambda _ { k _ { \pm 1 } } + \lambda _ { k _ { 0 } } ( 1 6 \pi + 5 ( c \eta ) ^ { - 2 \gamma } ) ^ { 2 } ) } \\ & { + \sum _ { \vert n \vert \ge 1 } L ^ { 2 } \lambda _ { { k _ { n } } } ( 1 0 ^ { - \vert n \vert } M + M _ { n } ) ^ { 2 } } \\ & { = M ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { - 2 \gamma } ( \lambda _ { k _ { \pm 1 } ^ { 2 } } ( 2 c ) ^ { 2 } + \lambda _ { k _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 \sum _ { \vert n \vert \ge 1 } \lambda _ { { k _ { n } } } ^ { 2 } 1 0 ^ { - 2 \vert n \vert } + L ^ { 2 } \sum _ { \vert n \vert \ge 1 } \lambda _ { { k _ { n } } } M _ { n } ^ { 2 } } \\ & { \le L ^ { 2 } ( \hat { \lambda } ( 1 6 \pi ) ^ { 2 } + 3 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( c \eta ) ^ { 2 \gamma } \Vert w , j \Vert _ { X } ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \cal W } ~ \equiv ~ { \frac { 1 } { 4 \rho ^ { 2 } } } ~ \Big [ \cosh ( 2 \varphi _ { 2 } ) ~ ( \rho ^ { 6 } ~ - ~ 2 ) ~ - ( 3 \rho ^ { 6 } ~ + ~ 2 ) \Big ] \, , \qquad \rho ~ \equiv ~ e ^ { { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } \varphi _ { 1 } } \, .
\tilde { V } ( p ^ { 2 } ) = \frac { e ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } - \frac { e ^ { 4 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) - e ^ { 4 } \frac { 1 1 } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } .
S _ { G B } ^ { v o l u m e } = - 2 \left( ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } | _ { r = r _ { h } } \right) ^ { - 1 } \left[ \int _ { r _ { h } } ^ { r _ { 0 } } d r { \frac { \partial } { \partial r } } ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \left( 1 - ( e ^ { U } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \right] \ .
[ \hat { H } _ { A } ^ { ( r ) } ( m + \frac { r } { \lambda } ; d ) - \delta _ { m + \frac { r } { \lambda } , 0 } k d _ { A } ] | 0 \rangle = \hat { E } _ { \alpha } ^ { ( r ) } ( m + \frac { r - d \cdot \alpha } { \lambda } ; d ) | 0 \rangle \nonumber = 0 { \textrm { \ \ w h e n \ \ } } m + \frac { r } { \lambda } \geq 0
\begin{array} { r } { \frac { d { \bf m } } { d t } = 0 , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad { \bf m } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } , \dot { \bf x } _ { N } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta T _ { G W } = } & { } & { h _ { 0 } \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \Bigr ) } \\ & { } & { \Biggl ( f _ { s } ^ { + } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t ) } \sin ^ { 2 } { \Bigl ( \frac { v _ { 0 } } { R } ( t - t _ { 0 } ) \Bigr ) } d t } \\ & { } & { + f _ { c } ^ { + } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t ) } \cos ^ { 2 } { \Bigl ( \frac { v _ { 0 } } { R } ( t - t _ { 0 } ) \Bigr ) } d t } \\ & { } & { + f _ { s c } ^ { + } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t ) } \sin { \Bigl ( 2 \frac { v _ { 0 } } { R } ( t - t _ { 0 } ) \Bigr ) } d t } \\ & { } & { - f _ { c } ^ { + } T \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } \Biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \sqrt { \frac { x _ { T } ^ { M } } { ( 2 \pi ) ^ { M } \mathrm { d e t } ( C ) } } \cdot \int \mathrm { d } \varphi _ { 1 } \dots \mathrm { d } \varphi _ { M } \prod _ { j = 1 } ^ { M } ( 1 + 2 z \cos \varphi _ { j } ) \prod _ { j = 1 } ^ { M } e ^ { i q _ { j } \varphi _ { j } } \dots } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg [ \biggl ( \frac { 1 } { g } \int _ { 1 0 0 0 h P a } ^ { 6 0 0 h P a } \; q u \; d p \biggr ) ^ { 2 } + \biggl ( \frac { 1 } { g } \int _ { 1 0 0 0 h P a } ^ { 6 0 0 h P a } \; q u \; d p \biggr ) ^ { 2 } \bigg ] ^ { 1 / 2 } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ X ~ C ~ } } \! \! } & { { } = } & { \! \frac { 1 } { 1 + \lambda ^ { 2 } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { \mathrm d k } { \pi } \frac { \kappa ^ { 2 } e ^ { - 2 \kappa | x | } } { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \frac { \lambda ^ { 2 } - s _ { k } ^ { 2 } } { 1 - s _ { k } ^ { 2 } } f _ { k } ( x ) , \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } } , \xi _ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { l } } \right\rangle } & { = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L } \delta _ { k l } \, , } \\ { \left\langle \xi _ { \theta _ { A , B } ^ { k } } , \xi _ { \theta _ { A , B } ^ { l } } \right\rangle } & { = q _ { k } ^ { 2 } \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A , B } ^ { 2 } } \delta _ { k l } \, , } \\ { \left\langle \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } , \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { l } } \right\rangle } & { = \left\langle \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } , \xi _ { \theta _ { B } ^ { l } } \right\rangle = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \boldsymbol \Gamma [ 1 + 2 \mathrm { i } M ] } { \boldsymbol \Gamma ^ { 2 } \big [ \frac 1 2 + \mathrm { i } M \big ] } \int \mathrm { d } ^ { 2 } \zeta \frac { \big ( \zeta \bar { \zeta } \big ) ^ { \mathrm { i } M + \frac 1 2 } } { \big ( ( 1 + \zeta ) \big ( 1 + \bar { \zeta } \big ) \big ) ^ { 1 + 2 \mathrm { i } M } } \varphi ( \zeta ) } & { \underset { M \to \infty } { = } \pi \varphi ( 1 ) \left( 1 + O \left( \frac 1 { M ^ { 1 / 2 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H \left( \begin{array} { l } { \mathbf { F } _ { + } } \\ { \mathbf { F } _ { - } } \end{array} \right) = \omega \left( \begin{array} { l } { \mathbf { F } _ { + } } \\ { \mathbf { F } _ { - } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ } \\ & { H = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \cdot } { \sqrt { n } } \right) } & { \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times } \\ { - \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times } & { - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \cdot } { \sqrt { n } } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
V _ { H y p } ^ { O P E } = \sum _ { i < j } ^ { N } V _ { H y p } ^ { O P E } ( r _ { i j } ) \simeq \sum _ { i < j } \alpha _ { \pi } \vec { \tau } _ { i } \cdot \vec { \tau } _ { j } \ S _ { i j } ^ { O P E }
\begin{array} { r } { u \in \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( { \mathbb { A } _ { \mathcal { H } } } ) = \mathbb { P } \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( { \Delta _ { \mathcal { H } } } ) \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \mathbb { A } _ { \mathcal { H } } u : = - { \Delta _ { \mathcal { H } } } u = \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } u \mathrm { , ~ } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi R _ { \infty } } } = { \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } } \left( { \frac { \lambda _ { \mathrm { e } } } { 2 \pi } } \right) = 2 { \frac { { \bar { \lambda } } _ { \mathrm { e } } } { \alpha ^ { 2 } } } \simeq 1 4 . 5 ~ { \textrm { n m } }
\begin{array} { r l } { x } & { { } = x _ { 0 } + \epsilon x _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } x _ { 2 } + . . . } \\ { z } & { { } = z _ { 0 } + \epsilon z _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } z _ { 2 } + . . . } \\ { \phi } & { { } = \phi _ { 0 } + \epsilon x _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \phi _ { 2 } + . . . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } \left( \Big \| \frac 1 M \sum _ { m } \hat { \beta } ^ { m } - \hat { \beta } ^ { \mathrm { \tiny ~ L S } } \Big \| _ { 2 } > C ^ { \prime } \frac { \sqrt { M } \operatorname* { m a x } \{ K , \ln N \} } { N } \right) \leq c M e ^ { - \operatorname* { m a x } \{ K \ln N \} } + M e ^ { - c \frac { N } M } , } \end{array}
\lVert \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \rVert + m ^ { - 1 } \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \Delta t \leq \frac { m } { 4 L } ,
\left( \frac { \rho _ { a } } { \rho _ { r } } \right) _ { 1 M e V } \sim \left( \frac { \rho _ { \phi } } { \rho _ { r } } \right) _ { d e c a y } \left( \frac { g _ { * } ( T _ { D } ) } { g _ { * } ( 1 \mathrm { M e V } ) } \right) ^ { 1 / 3 } \sim \sqrt { \frac { 3 2 \pi } { f ^ { 2 } } } \frac { F _ { a } ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } } { M ^ { 2 } m _ { \phi } } \left( \frac { g _ { * } ( T _ { D } ) } { g _ { * } ( 1 \mathrm { M e V } ) } \right) ^ { 1 / 3 } ,
\overline { { \mathbf { u } } } = \frac { 1 } { V _ { k } } \int _ { \Omega _ { k } } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) \ \mathrm { d } \mathbf { x } \quad \quad \mathrm { a n d } \quad \quad V _ { k } = \int _ { \Omega _ { k } } \mathrm { d } \mathbf { x } .
\mathbf { M } _ { i , j } = \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } ( \phi _ { A , j } , \phi _ { A , i } ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } , \qquad \mathbf { K } _ { i , j } = \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } ( \nabla \phi _ { A , j } , \nabla \phi _ { A , i } ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } ,
f _ { y ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } = N _ { 3 } ^ { c } { \frac { y \left( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) } { 2 r ^ { 3 } { \sqrt { 6 } } } } = { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { 3 } ^ { - 3 } + Y _ { 3 } ^ { 3 } \right)
\sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left( \widetilde { Z } _ { i k } \right) ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } ( z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { 3 } \ ,
\Omega _ { i } ( \vec { f } ) = \Omega _ { i } ( \frac { 1 } { \alpha } \vec { f } ^ { \prime } ) = - \frac { 1 } { \tau } \frac { 1 } { \alpha } ( f _ { i } ^ { \prime } ( \vec { x } , t ) - f _ { i } ^ { ' e q } ( \vec { x } , t ) ) = \frac { 1 } { \alpha } \Omega _ { i } ( \vec { f } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { | B _ { 1 } \cap B _ { 1 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 1 } \setminus X ) \cap ( A _ { 1 } ^ { - } \setminus X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | A _ { 1 } \cap X ^ { - } | - | X \cap A _ { 1 } ^ { - } | + | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - \alpha _ { 1 } ( X ) - \beta _ { 1 } ( X ) } \\ { | B _ { 2 } \cap B _ { 1 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 2 } \cup X ) \cap ( A _ { 1 } ^ { - } \setminus X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | A _ { 2 } \cap X ^ { - } | + | X \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - \alpha _ { 2 } ( X ) + \beta _ { 1 } ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } & { \big | M _ { 2 } ( x , k ) ^ { - 1 } - \sum _ { l = - 1 } ^ { p } \mathcal { N } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x ) ( k - 1 ) ^ { l } \big | \leq C | k - 1 | ^ { p + 1 } , \qquad | k - 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } , \ k \in \bar { D } _ { 2 } , } \\ & { \big | M _ { 2 } ( x , k ) ^ { - 1 } - \sum _ { l = - 1 } ^ { p } \widetilde { \mathcal { N } } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( x ) ( k + 1 ) ^ { l } \big | \leq C | k + 1 | ^ { p + 1 } , \qquad | k + 1 | \leq \frac { 1 } { 2 } , \ k \in \bar { D } _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \phi \, \log \biggr ( \frac { \sin \phi + 1 } { \cos \phi } \biggr ) \underbrace { \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( s ) h ( s \sin \phi ) s ^ { 2 } \mathrm { d } s } _ { = \frac { 3 \pi } { 2 } } \mathrm { d } \phi } \\ & { = \frac { 3 \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \biggr ( \frac { 1 + \tau } { \sqrt { 1 - \tau ^ { 2 } } } \biggr ) \mathrm { d } \tau = \frac { 3 \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \biggr ( \frac { \sqrt { 1 + \tau } } { \sqrt { 1 - \tau } } \biggr ) \mathrm { d } \tau = \frac { 3 \pi \log 2 } { 2 } , } \end{array}
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
L = \! \int \! D \Big ( \partial _ { t } S - \operatorname { R e } \big \langle \psi \big | i \hbar \partial _ { t } \psi - \{ i \hbar \widehat { H } , \psi \} + ( p \partial _ { p } \widehat { H } - \widehat { H } ) \psi + \nabla S \cdot { \bf X } _ { \widehat { H } } \psi \big \rangle \Big ) \, \mathrm { d } ^ { 2 } z
\hat { H } = \Omega _ { G } \hat { A } _ { [ 1 ] } ^ { \dagger } \hat { A } _ { [ 1 ] } + \frac { \Omega _ { G } } { 2 } - \frac { 3 \lambda } { 1 6 { \Omega _ { G } } ^ { 2 } } + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { S _ { ( R _ { 1 } , 2 R _ { 1 } ) ; [ 0 , 2 R _ { 2 } ) } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } } \, \mathrm { d } x } & { \leq \frac { c } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { ( R _ { 1 } , 2 R _ { 1 } ) ; [ 0 , 2 R _ { 2 } ) } | x _ { 1 } | ^ { 2 \kappa _ { 1 } ( \alpha + 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } ) } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq c R _ { 2 } R _ { 1 } ^ { - \kappa _ { 1 } ( \mu _ { 1 } - 2 ( \alpha + 1 ) ) - 1 } , } \end{array}
A _ { \; j _ { 1 } , \; j _ { 2 } , \; j _ { 3 } } ^ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } } = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 3 } + 1 ) } }
\begin{array} { r l } { \bigcup _ { e = 0 } ^ { \infty } \Phi ^ { e * } ( N _ { 0 } ) } & { = \bigcup _ { e = 0 } ^ { \infty } \Phi ^ { e * } ( N ) \cap \Phi ^ { e * } ( M _ { 0 } ) = \bigcup _ { e = 0 } ^ { \infty } N \cap \Phi ^ { e * } ( M _ { 0 } ) } \\ & { = N \cap \bigcup _ { e = 0 } ^ { \infty } \Phi ^ { e * } ( M _ { 0 } ) = N \cap M = N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { T } _ { 2 } } & { \le \frac { 1 } { \Pi _ { p _ { X } } - \epsilon _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \prod _ { j \neq i } p _ { X } ( j ) } O ( m _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } \epsilon _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } ) } \\ & { = O ( m _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } \epsilon _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \overline { { p } } = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } ) g , \quad \overline { { p } } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } R _ { v } ) \overline { { T } } , \quad \overline { { \rho } } _ { v } = \overline { { \rho } } _ { d } \overline { { q } } _ { v } , \quad \overline { { \theta } } = T \left( \frac { p _ { \mathrm { r e f } } } { p } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } , } \end{array}
( \partial _ { t } + i f ) \overline { { u } } _ { m + \frac { 1 } { 2 } } - \frac { K _ { u , m + 1 } \phi _ { m + 1 } - K _ { u , m } \phi _ { m } } { h _ { m + \frac { 1 } { 2 } } } = i f u _ { G }
\mathrm { ~ E ~ N ~ C ~ E ~ } = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { | \mathrm { ~ R ~ M ~ V ~ } _ { k } - \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { k } | } { \mathrm { ~ R ~ M ~ V ~ } _ { k } } \, ,
\epsilon _ { ( 1 , 2 ) } = \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } - \epsilon _ { 1 } ^ { \prime } \epsilon _ { 2 } , \quad ( \epsilon \lambda ) _ { ( 1 , 2 ) } = \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { \prime } - 2 \epsilon _ { 1 } ^ { \prime } \lambda _ { 2 } , \quad \lambda _ { ( 1 , 2 ) } = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { \prime } - \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \lambda _ { 2 } .
{ \cal L } ( { \bf X } ) = \left[ 1 \; \; { \bf X } \; \; { \bf X } ^ { ( 2 ) } \; \; { \bf X } ^ { ( 3 ) } \; \cdots \; \sin ( { \bf X } ) \; \; \cos ( { \bf X } ) \; \cdots \right] \; ,
{ \cal L } _ { H Z \gamma } = \frac { N _ { c } e _ { t } v _ { t } } { 6 \pi } \sqrt { \frac { \alpha _ { e m } G _ { F } M _ { Z } ^ { 2 } } { 8 \sqrt 2 \pi } } F ^ { \mu \nu } Z _ { \mu \nu } \frac { H } { v } ,
\widetilde { W } _ { i } ^ { T } = - { \frac { \beta \beta _ { H } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 + 1 } } } \Gamma \left( 1 - \frac D 2 \right) n _ { i } m _ { i } ^ { D - 2 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { t ^ { 2 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \eta _ { i } ^ { k + 1 } e ^ { - { \frac { \beta ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 t } } } \right] { \cal A } ^ { H } + P _ { i } ( \epsilon , D ) ~ ~ ~ .
K _ { A B C } ( 1 , 1 , 1 ) = 2 ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \vert b _ { 1 2 } c _ { 1 2 } \vert \sin \phi _ { 3 } + 2 ( a _ { 2 } - a _ { 3 } ) \vert b _ { 2 3 } c _ { 2 3 } \vert \sin \phi _ { 1 } + 2 ( a _ { 3 } - a _ { 1 } ) \vert b _ { 1 3 } c _ { 1 3 } \vert \sin \phi _ { 2 } \; .
\hat { H } = - t \sum _ { \langle i , j \rangle } \left( \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j } + \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i } \right) + V \sum _ { \langle i , j \rangle } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } [ \mathcal { N } ] } & { = \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } + \sinh \mathcal { N } - f } \\ & { = \nabla ^ { 2 } [ \phi - \phi _ { \epsilon } ] + \sinh \mathcal { N } + \sinh \phi - \sinh \phi - f } \\ & { = \nabla ^ { 2 } \phi + \sinh \phi - f - \nabla ^ { 2 } \phi _ { \epsilon } + \sinh \mathcal { N } - \sinh \phi } \\ & { = - \nabla ^ { 2 } \phi _ { \epsilon } + \sinh \mathcal { N } - \sinh ( \mathcal { N } + \phi _ { \epsilon } ) } \end{array}
\dot { \theta } _ { l } ( 0 ) = m \gamma _ { \mathrm { e f f } } \xi _ { 1 } \cos ^ { 2 } \varphi _ { 0 } \sin 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { T H z } } } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } \right] \, \mathrm { d } t .
\beta _ { r } ( q _ { 1 3 } ^ { 0 } , | \vec { q } _ { 1 3 } | , q _ { 2 4 } ^ { 0 } , | \vec { q } _ { 2 4 } | ) = \frac { - ( q _ { 1 3 } ^ { 0 } - q _ { 2 4 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + \vec { q } _ { 1 3 } ^ { 2 } + \vec { q } _ { 2 4 } ^ { 2 } + m _ { r } ^ { 2 } - i \varepsilon } { 2 | \vec { q } _ { 1 3 } | | \vec { q } _ { 2 4 } | } \, .