harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { 1 } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) \right| } & { = \left| \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right) Y X _ { i } \right] \right| } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \left( ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right) Y X _ { i } \right| \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| X _ { i } \right| \left| ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| X _ { i } \right| \left( \left| ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right| + \left| \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right) \right] , } \end{array}
\vert \lambda \rangle = { e ^ { \lambda { J _ { + } } } } \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) , { J _ { + } } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \equiv { e _ { 1 2 } } , \langle \lambda \vert \lambda \rangle = ( 1 + { \lambda } { \bar { \lambda } } )
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ( r ) } & { : = \frac { 2 \sqrt 2 ( \beta _ { 0 } - r ) } { B _ { 1 } ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) } , \qquad \qquad B _ { 1 } : = \left[ 2 F ^ { \prime \prime } ( \alpha _ { 0 } ) \right] ^ { - \frac 1 2 } , } \\ { c _ { 2 } ( r ) } & { : = \frac { 2 \sqrt 2 ( r - \alpha _ { 0 } ) } { B _ { 2 } ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) } , \qquad \qquad B _ { 2 } : = \left[ 2 F ^ { \prime \prime } ( \beta _ { 0 } ) \right] ^ { - \frac 1 2 } , } \\ { \mu _ { i } } & { : = \left[ B _ { i } ( \beta _ { 0 } - \alpha _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 } . \qquad \qquad i = 1 , 2 . } \end{array}
Z _ { 2 \mathrm { i n s t } } \simeq - \frac { 2 N } { \pi } [ \quad \frac { \pi } { 2 } - \arcsin ( \frac { 2 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { A } - 1 ) - \frac { 2 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } { A } \sqrt { \frac { A } { \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } - 1 } \quad ] .
\begin{array} { r l } { d ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \leq d ( x _ { 1 } , \bar { x } _ { 2 } ) + d ( \bar { x } _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \\ & { \leq d ( x _ { 1 } , \bar { x } _ { 2 } ) + L d ( f ( \bar { x } _ { 2 } ) , f ( x _ { 2 } ) ) } \\ & { = d ( x _ { 1 } , \bar { x } _ { 2 } ) + L d ( f ( \bar { x } _ { 2 } ) , f ( x _ { 1 } ) ) } \\ & { \leq ( 1 + L ^ { 2 } ) d ( x _ { 1 } , \bar { x } _ { 2 } ) \stackrel { \leq } ( 1 + L ^ { 2 } ) ( d ( x _ { 1 } , \pi ^ { - 1 } ( y _ { 2 } ) ) + \varepsilon ) , } \end{array}
{ \vec { u } } \times { \vec { v } } = { \left[ \begin{array} { l l } { u _ { 1 } } & { u _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] } = u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 }
\begin{array} { r l r } { r ^ { n + 1 } } & { { } = } & { 2 c _ { 1 } X \, r ^ { n } - c _ { 2 } \, r ^ { n - 1 } + \frac { c _ { 3 } \Delta { t } } { 2 m } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \, , } \end{array}
\frac { d \zeta _ { A } } { d s } \left| _ { s = 0 } = \sum _ { \lambda } - \ln \lambda \cdot \lambda ^ { - s } | _ { s = 0 } = - \sum _ { \lambda } \ln \lambda = \ln \prod _ { \lambda } \lambda = - \ln \operatorname * { d e t } ( A ) \right.
\left. { \begin{array} { l c r c c } { { \{ a _ { _ { k , L } } , a _ { _ { k ^ { \prime } , L } } \} } } & { { = } } & { { \; \{ a _ { _ { - k , L } } ^ { \prime } , a _ { _ { - k ^ { \prime } , L } } ^ { \prime } \} } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \{ a _ { _ { k , L } } , a _ { _ { - k ^ { \prime } , L } } ^ { \prime } \} } } & { { = } } & { { \{ a _ { _ { k , L } } , a _ { _ { - k ^ { \prime } , L } } ^ { \prime \dagger } \} } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \{ a _ { _ { k , L } } , a _ { _ { k ^ { \prime } , L } } ^ { \dagger } \} } } & { { = } } & { { - \{ a _ { _ { k , L } } ^ { \prime } , a _ { _ { - k ^ { \prime } , L } } ^ { \prime \dagger } \} } } & { { = } } & { { \delta _ { \vec { k } , \vec { k ^ { \prime } } } } } \end{array} } \right\}
V _ { \mathrm { 0 , i n s p } } = \frac { 1 - c _ { \mathrm { I } } } { 1 - c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } } V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } + \frac { c _ { \mathrm { I } } \left( 1 - c _ { \mathrm { E } } \right) } { 1 - c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } } V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } ,
\begin{array} { r } { \langle 0 | F _ { \alpha \beta } ( x _ { 0 } ) F _ { \mu \nu } ( x _ { f } ) | 0 \rangle = \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\ { \langle 0 | \Lambda ^ { \dagger } ( x _ { 0 } ) F _ { \alpha \beta } ( x _ { 0 } ) \Lambda ( x _ { 0 } ) \Lambda ^ { \dagger } ( x _ { f } ) F _ { \mu \nu } ( x _ { f } ) \Lambda ( x _ { f } ) | 0 \rangle } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } - \gamma _ { 2 } \Delta S _ { 2 } = \left( 1 - \displaystyle \frac { \theta } { ( 1 - \eta ) M _ { 1 } + \nu } \right) S _ { 2 } , } \\ { \nabla S _ { 2 } \cdot \mathbf n = 0 , \quad \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega \times \mathbb R ^ { + } , } \\ { S _ { 2 } ( \mathbf x , 0 ) = S _ { 2 } ^ { 0 } ( \mathbf x ) = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \bar { \Omega } } p _ { 0 } ( \mathbf x ) . } \end{array} \right.
\psi ^ { I } ( \rho , z ) \approx \ \int _ { - k _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } H ( \beta _ { 1 } ) S ^ { \prime } ( \beta _ { 1 } ) J _ { 0 } ( \rho \sqrt { k _ { 1 } ^ { 2 } - \beta _ { 1 } ^ { 2 } } \, ) \exp ( i \beta _ { 1 } z ) d \beta _ { 1 }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mathcal { R } _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) ] \leq A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { 2 \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v \Big ] } \\ { = } & { A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { 2 \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v I \big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } > 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] } \\ { + } & { A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { 2 \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v I \big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] } \\ { = } & { V _ { 1 } + V _ { 2 } . } \end{array}
\mathcal { Z } ( 1 - d _ { A } ) + ( a F _ { A 1 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } + \mathcal { Z } d _ { A } F _ { A 1 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 3 } } ) \kappa _ { 2 } F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 4 } }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( z \overline { { w } } ) ^ { \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa } ( 1 - | w | ^ { 2 } ) ^ { \kappa } } \frac { \partial ^ { 2 m } } { \partial z ^ { m } \partial \overline { { w } } ^ { m } } \left( ( z \overline { { w } } ) ^ { \rho } [ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - | w | ^ { 2 } ) ] ^ { \kappa + m } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( a ) _ { n } } { ( c ) _ { n } } \frac { z ^ { n } } { n ! } \right) , } \end{array}
\rho _ { 1 3 } = \frac { 1 } { \Gamma } \left( \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \rho _ { 1 1 } + \mathrm { i } \Omega \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \phi _ { 2 } } \rho _ { 1 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { p ^ { + } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } , \quad p ^ { - } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \theta _ { \mathrm { \ t e x t s c { b c e } } } ^ { A } = 0 . 0 0 0 \pm 0 . 9 0 5 } \\ { \theta _ { \mathrm { \ t e x t s c { i n f } } } ^ { A } = 0 . 0 0 0 \pm 0 . 6 0 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) } & { = a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \otimes \mathsf { 1 } } \\ { \rho \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \right) } & { = a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } } \\ { \rho \left( a _ { x _ { 0 } x _ { 0 } } ^ { i } \right) } & { = a _ { x _ { 0 } x _ { 0 } } ^ { i } \otimes \mathsf { 1 } } \\ { \rho \left( a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } \right) } & { = a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } } \\ { \rho \left( a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } \right) } & { = \left( a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) } \\ { \rho \left( a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } \right) } & { = \left( a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { i } \right) . } \end{array}
\Delta s = - \Delta s ^ { \star } \frac { \Delta R } { l _ { + } } \left[ \sinh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { + } \, \cosh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { - } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] ^ { - 1 } \left[ \cosh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { - } \, \sinh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { + } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] ^ { - 1 } \, ,
R M S E ( c , \tau ) = \frac { 1 } { \mid D \mid } \sum _ { t _ { 0 } \in D } \sqrt { \frac { 1 } { H \times W } \sum _ { i = 1 } ^ { H } \sum _ { j = 1 } ^ { W } a _ { i } { ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } - X _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Bar { R } } & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { j } \right) + n ( n - k ) \right) - \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \frac { 1 } { j } \right) + n ( n - k - 1 ) \right) } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n - n \frac { 1 } { k + 1 } \right) } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } n \left( \frac { k } { k + 1 } \right) } \end{array}
\mathsf { D } \mathbb { N } + \mathsf { D } \mathbb { T } = \gamma ^ { u } \mathbb { G } ^ { u } + \gamma ^ { h } \mathbb { G } ^ { h } + \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } ^ { p } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \hat { E } ^ { ( + ) } ( t , z ) } & { { } = \mathcal { E } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t \right) } \hat { A } ( t , z ) , } \\ { \hat { A } ( t , z ) } & { { } = \sum _ { m \in \mathbb { N } } \, \hat { a } _ { m } u _ { m } ( t , z ) , } \end{array}
r _ { e } = { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } m _ { e } c ^ { 2 } } } = \alpha { \frac { \hbar } { m _ { e } c } } \approx 2 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } ~ { \mathrm { m } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { 3 H ^ { 2 } = - \frac { ( 8 \pi + \beta ) { \dot { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } } ( t ) + 2 V ( \phi _ { 1 } ) ( 8 \pi + 2 \beta ) } { 2 \alpha } } \\ & { } & { 4 \dot { H } + 3 H ^ { 2 } = \frac { 3 ( 8 \pi + \beta ) { \dot { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } } ( t ) - 2 V ( \phi _ { 1 } ) ( 8 \pi + 2 \beta ) } { 2 \alpha } } \end{array}
\partial _ { t } \mathbf { w } ( \mathbf { x } , t ^ { \prime } ) = - \mathbf { M ( m ) } \mathbf { D w } ( \mathbf { x } , t ^ { \prime } ) - \mathbf { M ( m ) } \mathbf { P } ^ { T } \sum _ { r } ( \mathbf { P u } ( \mathbf { x } , T - t ^ { \prime } ) - \mathbf { d } ^ { * } ( T - t ^ { \prime } ) )
\begin{array} { r } { \dot { E } = - { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \mu } \dot { \bf r } ^ { 2 } - G \frac { \dot { m } _ { 1 } m _ { 2 } + m _ { 1 } \dot { m } _ { 2 } } { r } = - \frac { \dot { \mu } } { \mu } K + \left( \frac { \dot { m } _ { 1 } } { m _ { 1 } } + \frac { \dot { m } _ { 2 } } { m _ { 2 } } \right) V . } \end{array}
\frac { \partial \psi _ { i } } { \partial x _ { 0 j } } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { \omega _ { i } ( x _ { 0 j } - x _ { j } ) } { | \boldsymbol { r _ { 0 } } - \boldsymbol { r } | ^ { 3 } } d V
g ( \eta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi \eta } { \omega T _ { p } } \right) , \qquad } & { 0 < \eta < \omega T _ { p } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = 2 \bar { n } _ { e } ^ { ( 2 ) } + 1 = \frac { 2 \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \bar { n } _ { B } } { 1 - \tau } + 1 = \frac { \tau \xi _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } } { 1 - \tau } + 1 , } \\ { b } & { { } = \tau ( \mu - 1 ) + 2 \bar { n } + 1 = \tau ( \mu - 1 ) + \tau \xi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } + 1 , } \\ { \gamma } & { { } = \sqrt { ( 1 - \tau ) ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \theta = \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } ( \omega - \mu ) , } \\ { \psi } & { { } = \sqrt { \tau ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \phi = \tau \omega + ( 1 - \tau ) \mu . } \end{array}
\langle \Gamma ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } C ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { 1 - \lambda } \right) \quad ( \lambda \to \lambda _ { 0 } ) ,
\mathbf { \check { Y } } = \left[ \begin{array} { l } { 0 . 4 } \\ { 1 } \\ { 0 . 4 } \\ { 0 . 8 } \\ { 1 } \\ { 0 . 7 } \\ { 0 . 2 } \\ { 0 . 2 } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \mathbf { \hat { Y } } = \left[ \begin{array} { l } { 0 . 4 } \\ { 1 } \\ { 0 . 4 } \\ { 0 . 8 } \\ { 1 } \\ { 0 . 9 } \\ { 0 . 4 } \\ { 0 . 4 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } E _ { s } ^ { n } ( h ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } c _ { k _ { * } } ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 ( k _ { * } - 2 ) } \bigg ( \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { A } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } + \frac { T } { \theta ( n ) } \| h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 1 } \lambda _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } \lambda _ { 2 } } } & { { j _ { 1 2 } \lambda _ { 1 2 } } } \\ { { j _ { 3 } \lambda _ { 3 } } } & { { j \lambda } } & { { j _ { 2 3 } \lambda _ { 2 3 } } } \end{array} \right\} = \sum _ { j _ { 1 3 } } ( - 1 ) ^ { \Theta _ { \lambda } ^ { R } } \left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 1 } \lambda _ { 1 } } } & { { j _ { 3 } \lambda _ { 3 } } } & { { j _ { 1 3 } \lambda _ { 1 3 } } } \\ { { j _ { 2 } \lambda _ { 2 } } } & { { j \lambda } } & { { j _ { 2 3 } \lambda _ { 2 3 } } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 2 } \lambda _ { 2 } } } & { { j _ { 1 } \lambda _ { 1 } } } & { { j _ { 1 2 } \lambda _ { 1 2 } } } \\ { { j _ { 3 } \lambda _ { 3 } } } & { { j \lambda } } & { { j _ { 1 3 } \lambda _ { 1 3 } } } \end{array} \right\} \, .
\left\langle L _ { F } e _ { k } , e _ { j } \right\rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { l = 1 } ^ { n } \, \alpha _ { l } ( j ) \left[ J F ( 0 ) \right] _ { l l } } & { \textrm { i f } j = k } \\ { \alpha _ { l } ( k ) \left[ J F ( 0 ) \right] _ { l r } } & { \textrm { i f } \alpha ( j ) = ( \alpha _ { 1 } ( k ) , \cdots , \alpha _ { l } ( k ) - 1 , \cdots , \alpha _ { r } ( k ) + 1 , \cdots , \alpha _ { n } ( k ) ) , } \\ { 0 } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { 1 + u v / c ^ { 2 } } { \sqrt { \Big ( 1 - ( u / c ) ^ { 2 } \Big ) \Big ( 1 - ( v / c ) ^ { 2 } \Big ) } } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - ( w / c ) ^ { 2 } } } , } \\ { \frac { - ( u + v ) / c } { \sqrt { \Big ( 1 - ( u / c ) ^ { 2 } \Big ) \Big ( 1 - ( v / c ) ^ { 2 } \Big ) } } = \frac { - w / c } { \sqrt { 1 - ( w / c ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T = } & { \int \mathrm { d } t = \int \frac { \mathrm { d } s } { v } = \int \frac { \mathrm { d } s } { 2 u \cos ( \varphi - \theta ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 u } \int \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } r / \mathrm { d } s } = \frac { 1 } { 2 u } \int \frac { ( r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } \theta } { r ^ { \prime } } } \\ { = : } & { \frac { 1 } { 2 u } \int J ( r , r ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { a v } ( \Delta z ) } & { { } = \frac { 1 } { \left( \pi R ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \int d \mathbf { x } d \mathbf { y } e ^ { - \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } \mathcal { G } \left( \mathbf { x } - \mathbf { y } , \Delta z \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } ; \omega _ { 1 } } } & { \equiv \mathscr { F } \left[ S _ { t ; t ^ { \prime } } \right] } \\ & { = \int \frac { d t } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { i \nu _ { 1 } t } \int \frac { d t ^ { \prime } } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { i \omega _ { 1 } t ^ { \prime } } S _ { t ; t ^ { \prime } } } \\ & { = \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) - \kappa _ { a e } G ( \nu _ { 1 } ; \omega _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { f } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { o } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { k } ^ { 2 } } \ln \frac { 1 } { \delta } = N _ { o } \frac { ( \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { o } } | a _ { k } | ) ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \ln \frac { 1 } { \delta } } \\ & { = \mathcal { O } \Big ( \frac { N _ { o } c ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \ln \frac { 1 } { \delta } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } } & { { } = } & { \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } } & { { } = } & { \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } } & { { } = } & { - \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } \right) ^ { \mathrm { T } } \, , } \end{array}
G _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { S } } ( x ) = g \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma { \frac { \partial y _ { \alpha } } { \partial \sigma } } { \frac { \partial y _ { \beta } } { \partial \tau } } \delta ^ { 4 } ( x - y ( \tau , \sigma ) ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { A _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 6 4 } { 9 b M } \alpha _ { t - 1 } A _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { b M } + \frac { 1 6 L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( J _ { t - 1 } + Q _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( F _ { t - 1 } + G _ { t - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { m } ^ { ( g ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { M } \langle 6 \Sigma , \mathcal { L } _ { g , \gamma } ^ { m - 1 } 6 \Sigma \rangle + \frac { 9 } { 2 } \int _ { M } \langle ( g - \gamma ) , \mathcal { L } _ { g , \gamma } ^ { m } ( g - \gamma ) \rangle , \qquad \Gamma _ { m } ^ { ( g ) } } & { = \int _ { M } \langle 6 \Sigma , \mathcal { L } _ { g , \gamma } ^ { m - 1 } ( g - \gamma ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ) } & { { } = D V ^ { \ast } \Bigg ( \kappa _ { E } + \frac { \kappa _ { S } T } { [ \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { l } ^ { m } ( \xi ) = \sum _ { k = 0 } ^ { ( l - \vert m \vert ) / 2 } \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( l - k ) ! \, \xi ^ { l - 2 k } } { k ! \left[ \frac { l + m } { 2 } - k \right] ! \left[ \frac { l - m } { 2 } - k \right] ! } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } \cdot ( \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } ) ^ { - \frac 1 2 } \Phi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) } \\ & { = F _ { 2 , d } ( \alpha _ { 1 } ) - F _ { 2 , d } ( \alpha _ { 0 } ) + \frac { 4 \alpha _ { 0 } } { d } F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - \frac { 4 \alpha _ { 0 } } { d } F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } ) } \\ & { = ( 1 - \frac { 2 } { d } ) \big ( F _ { 2 , d } ( \alpha _ { 1 } ) - F _ { 2 , d } ( \alpha _ { 0 } ) \big ) + \frac { 2 ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } ) } { d } F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - \frac { 4 \alpha _ { 0 } } { d } F _ { 2 , d } ^ { \prime } ( \alpha _ { 0 } ) . } \end{array}
\frac { \varepsilon _ { g } ( x _ { 1 } + s _ { n } ) } { g ( x _ { 1 } + s _ { n } ) } = C \frac { \sin { \frac { x _ { 1 } + \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { - \varepsilon _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \left( x _ { 1 } + \frac { s _ { n } } { 2 } \right) } \sin { \frac { s _ { n } } { 2 } } } \sim \frac { \varepsilon _ { 1 } } { s _ { n } } = o ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { \Bigg ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } + U _ { \mu } ( \rho ) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } Q _ { \mu \mu } ( \rho ) \Bigg ) F _ { n \mu } ( \rho ) } & { } \\ { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \Bigg ( \sum _ { \nu \neq \mu } 2 P _ { \mu \nu } ( \rho ) \frac { \partial } { \partial \rho } + Q _ { \mu \nu } ( \rho ) \Bigg ) F _ { n \nu } ( \rho ) } & { = E _ { n } F _ { n \mu } ( \rho ) , } \end{array}
\frac { 2 \widehat { \omega } _ { 2 } \lambda _ { 2 } } { \lambda } > 2 \lambda _ { 2 } \geq \lambda _ { 2 } + ( \hat { \alpha } _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } + \beta _ { 2 } ) \frac { \Delta t } { \Delta x }
\begin{array} { r l } { s ( \vec { \alpha } ) \cdot \vec { \alpha } } & { = \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) ) \cdot \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) + b ( x , \omega ( \vec { \alpha } ) ) \omega ( \vec { \alpha } ) - F \cdot \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) \, d x } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } M ( x , c _ { 1 } ^ { \mathcal { A } } \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) ) \, d x - h _ { 1 } ( x ) \, d x - \int _ { \Omega } M ^ { \ast } \left( x , \frac { 2 } { c _ { 1 } } F \right) \, d x } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } ^ { \mathcal { A } } \| \nabla \omega ( \vec { \alpha } ) \| _ { L _ { M } ( \Omega ) } - 1 ) - C . } \end{array}