harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf P ( 6 < X \leqslant 7 \mid Y = 4 ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { 0 < h \to 0 } \frac { \mathsf P ( 6 < X \leqslant 7 , 4 \leqslant Y < 4 + h ) } { \mathsf P ( 4 \leqslant Y < 4 + h ) } } \\ & { = \frac { \int _ { 6 } ^ { 7 } f _ { X , Y } ( x , 4 ) \, \mathrm d x } { f _ { Y } ( 4 ) } } \\ & { = \int _ { 6 } ^ { 7 } f _ { X \mid Y } ( x \mid 4 ) \, \mathrm d x } \\ & { = \frac { \int _ { 6 } ^ { 7 } f _ { X , Y } ( x , 4 ) \, \mathrm d x } { \int _ { \mathbb R } f _ { X , Y } ( x , 4 ) \, \mathrm d x } } \\ & { = \frac { \int _ { 6 } ^ { 7 } \mathrm e ^ { - x } \, \mathrm d x } { \int _ { 4 } ^ { \infty } \mathrm e ^ { - x } \, \mathrm d x } } \\ & { = ( \mathrm e ^ { - 6 } - \mathrm e ^ { - 7 } ) \div \mathrm e ^ { - 4 } } \\ & { = \mathrm e ^ { - 2 } - \mathrm e ^ { - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { f , A } } & { \le E _ { f } ( \tau _ { A } \psi ) = \frac 1 2 \int _ { M } ( | \nabla _ { \bar { g } } \tau _ { A } \psi | _ { \bar { g } } ^ { 2 } + 2 \bar { K } \tau _ { A } \psi - f \mathrm { e } ^ { 2 \tau _ { A } \psi } ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \tau _ { A } ^ { 2 } c _ { 1 } - \tau _ { A } c _ { 2 } - c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } f \mathrm { e } ^ { 2 \tau _ { A } \psi } d \mu _ { \bar { g } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \beta ( x _ { 1 } , 0 ) \textrm { d } x _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } \subset \mathbb { R } ^ { d } , \mathcal { A } } & { = \{ 0 , 1 \} , S _ { 0 } \sim \mathcal { N } ( 0 , 0 . 0 1 ) , \qquad \pi ^ { b } ( 1 | S _ { t } ) = 0 . 5 , \; \forall S _ { t } } \\ { P _ { \mathrm { o b s } } ( S _ { t + 1 } | S _ { t } , A _ { t } ) } & { = \mathcal { N } ( \theta _ { \mu } S _ { t } + \theta _ { A } a , \operatorname* { m a x } \{ \theta _ { \sigma } S _ { t } + \sigma , 0 \} ) , \qquad R ( S _ { t } , A _ { t } , S _ { t + 1 } ) = \theta _ { R } ^ { T } S _ { t + 1 } } \end{array}
\nabla \phi _ { m } ^ { l } \cdot \vec { n } = \frac { \phi _ { m } - \phi _ { c _ { i } } } { | \vec { v } _ { m } - \vec { c } _ { i } | } \sec \theta _ { i } + \frac { \phi _ { v _ { 2 } } - \phi _ { v _ { 1 } } } { | \vec { v } _ { 2 } - \vec { v } _ { 1 } | } \tan \theta _ { i } .
\beta f ^ { \mathrm { ~ E ~ F ~ H ~ } } v _ { 0 } = \frac { \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \ln \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } + \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) + \frac { \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \ln \left( \frac { \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right) + ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) \ln \left( \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \rho ( \mathbf x ) c _ { v } ( \mathbf x ) } { \lambda ( \mathbf x ) } \partial _ { t } \phi = \Delta \phi + \hat { \lambda } ( \mathbf x ) \phi , \quad \textrm { w i t h } \quad \hat { \lambda } ( \mathbf x ) = \frac { \nabla \lambda ( \mathbf x ) \cdot \nabla \lambda ( \mathbf x ) } { 4 \lambda ^ { 2 } ( \mathbf x ) } - \frac { \Delta \lambda ( \mathbf x ) } { 2 \lambda ( \mathbf x ) } . } \end{array}
{ } _ { 1 } F _ { 1 } ( k , J , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( k ) _ { m } } { ( J ) _ { m } } \frac { z ^ { m } } { m ! } , \quad ( k ) _ { m } \equiv k \cdot ( k + 1 ) \cdots ( k + m - 1 ) .
\mathrm { ~ F ~ A ~ } = \sqrt { \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r } { \partial _ { \tau } u _ { \bot } = ( \partial _ { \tau } u _ { i } ) t _ { i } + ( u _ { \bot } \cdot ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } + K \cdot v _ { \bot } ) ) \widehat { n } + u _ { \bot } \cdot ( \nabla _ { \! \bot } u _ { \bot } \cdot \Pi - v _ { \sigma } K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X Y Z } ( x , y , z , \tau \vert x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } & { { } = \frac { 1 } { - \nu ( \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { - \nu } { ( \sqrt { t } ) ^ { 3 } } \exp \left\lbrace - \left( \frac { \nu } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace d t } \end{array}
d s ^ { 2 } = \alpha ^ { \prime } \left\{ \frac { U ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \left( ( 1 - U _ { T } ^ { 4 } / U ^ { 4 } ) d t ^ { 2 } + \sum _ { i } d x _ { i } ^ { 2 } \right) + \frac { R ^ { 2 } } { U ^ { 2 } } \frac { d U ^ { 2 } } { 1 - U _ { T } ^ { 4 } / U ^ { 4 } } + R ^ { 2 } d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } \right\} .
\alpha _ { 0 } ( u ) = \frac { \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) + \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } I _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } u ) } { \left( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } \right) W _ { 1 } ^ { I } } ,
\begin{array} { r l r l } { P ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { t ^ { * } \in [ 0 , T ] , \; x _ { h } ( \cdot ) } c ( x ( t ^ { * } \mid x _ { h } ) ; X _ { u } ) } & \\ & { \dot { x } = f ( t , x ( t ) , x ( t - \tau ) ) } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { x ( t ) = x _ { h } ( t ) } & & { \forall t \in [ - \tau , 0 ] } \\ & { x _ { h } ( \cdot ) \in \mathcal { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) } & { = } & { \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } J _ { m } ( k a ^ { p } ) e ^ { j m ( \phi ^ { 0 } + { \frac { \pi } { 2 } } ) } \tilde { j } _ { m } ^ { p } , \quad } \\ { B _ { p } ( \phi ^ { 0 } ) } & { = } & { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } J _ { n } ( k \rho _ { p 0 } ) e ^ { j n ( \phi _ { p 0 } - \phi ^ { 0 } - { \frac { \pi } { 2 } } ) } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } W _ { p p } } { d t d \varepsilon _ { e } } ( \varepsilon _ { e } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) = \frac { \alpha m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \sqrt { 3 } \pi \hbar \varepsilon _ { \gamma } ^ { 2 } } \Biggl [ \frac { \varepsilon _ { e } ^ { 2 } + \varepsilon _ { p } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { e } \varepsilon _ { p } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \bigl ( \eta \bigr ) + \int _ { \eta } ^ { \infty } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } \bigl ( y \bigr ) d y \Biggr ] ,
\xi _ { 1 K } \; \equiv \; \frac { { \cal R } ( D _ { s } ^ { + } D _ { s } ^ { - } , \psi K _ { L } ) } { { \cal R } ( D _ { s } ^ { + } D _ { s } ^ { - } , \psi K _ { S } ) } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \xi _ { 2 K } \; \equiv \; \frac { { \cal R } ( \psi K _ { S } , \psi K _ { S } ) } { { \cal R } ( \psi K _ { S } , \psi K _ { L } ) } \; .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { r a d } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { R e } \int _ { V } \mathbf { J } ^ { * } \cdot \mathbf { E } \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = \frac { \omega } { 2 } \operatorname { I m } \int _ { V } \mathbf { P } ^ { * } \cdot \mathbf { E } \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = \frac { \omega } { 2 } \operatorname { I m } \left[ \mathbf { p } ^ { * } \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( F ) } ( { \bf k } ) } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! t _ { z } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sum _ { j _ { z } } \! \left( \! C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } \! - \! C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! \right) \! } \\ & { \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { x } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \gamma _ { y } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( \frac { n \pi } { 2 } \right) \left\{ 2 t _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] + 2 t _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. - \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F ^ { \prime } G F ^ { \intercal } - Z ) _ { k , k } } & { = ( A - 2 X - 2 X ^ { \intercal } + Y G Y ^ { \intercal } ) _ { k , k } } \\ & { = A _ { k , k } - 2 X _ { k , k } - 2 ( X ^ { \intercal } ) _ { k , k } + 4 ( X ( F G F ^ { \intercal } ) ^ { - 1 } X ^ { \intercal } ) _ { k , k } } \\ & { \equiv A _ { k , k } - 4 X _ { k , k } + 4 ( X Z ^ { - 1 } X ^ { \intercal } ) _ { k , k } \mod 8 } \\ & { = A _ { k , k } - 4 X _ { k , k } + 4 \sum _ { l , m = 1 } ^ { r } X _ { k , l } ( Z ^ { - 1 } ) _ { l , m } ( X ^ { \intercal } ) _ { m , k } } \\ & { \equiv A _ { k , k } - 4 X _ { k , k } + 4 \sum _ { l = 1 } ^ { r } X _ { k , l } ^ { 2 } ( Z ^ { - 1 } ) _ { l , l } \mod 8 } \\ & { \equiv A _ { k , k } - 4 X _ { k , k } + 2 ^ { i + 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { r } X _ { k , l } ( Z ^ { - 1 } ) _ { l , l } \mod 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } _ { \ge 5 } ( f ) } & { = \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } F _ { 1 , \ge 3 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , J ( \theta , \eta ) ) ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) d \eta } \\ & { \ + \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } F _ { 2 , \ge 4 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) ) d \eta , } \end{array}
B \equiv 2 ( \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } ( m _ { t } ) } - \frac { 1 } { \alpha { 3 } ( m _ { t } ) } ) - 3 ( \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } ( m _ { t } ) } - \frac { 1 } { \alpha _ { 2 } ( m _ { t } ) } ) = \Delta _ { B } ,
\sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \alpha _ { n , \boldsymbol { k } m } \left( \frac { \omega _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } } { c } \right) ^ { 2 } \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { \omega _ { \boldsymbol { k } n } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \tilde { \varepsilon } ( \boldsymbol { r } ) \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \alpha _ { n , \boldsymbol { k } m } u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) ,
\begin{array} { r } { P _ { 0 } ( \mathcal { T } _ { 1 } [ \Psi ] ) = \widetilde { u ^ { \prime } } \partial _ { v } \Big ( \widetilde { \varphi _ { 2 } } \widetilde { u ^ { \prime } } \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Psi ) \Big ) . } \end{array}
\Gamma _ { \phi ^ { - } } ^ { 1 2 } ( p ) = \frac { - e ^ { \beta ( \mu _ { U } - \mu _ { D } ) / 2 } \, ( p ^ { 2 } - \bar { M } ^ { 2 } ) R _ { U D } ( p ) } { \{ p ^ { 2 } [ K _ { U D } ( p ) + H _ { U D } ( p ) ] + E _ { U D } ( p ) \} ^ { 2 } + ( p ^ { 2 } - \bar { M } ^ { 2 } ) ^ { 2 } [ S _ { U D } ^ { 2 } ( p ) - R _ { U D } ^ { 2 } ( p ) ] } = e ^ { \beta ( \mu _ { U } - \mu _ { D } ) } \, \Gamma _ { \phi ^ { - } } ^ { 2 1 } ( p )
\begin{array} { r l } { a _ { 3 } - \mu a _ { 2 } ^ { 2 } = } & { ( 1 - \mu ) \frac { \tau ^ { 2 } ( c _ { 2 } + d _ { 2 } ) } { 4 \left[ ( 2 \lambda - 1 ) ^ { 2 } - ( 1 0 \lambda ^ { 2 } - 1 1 \lambda + 3 ) \tau \right] } + \frac { \tau ( c _ { 2 } - d _ { 2 } ) } { 4 ( 3 \lambda - 1 ) } } \\ { = } & { \left( \frac { ( 1 - \mu ) \tau ^ { 2 } } { 4 \left[ ( 2 \lambda - 1 ) ^ { 2 } - ( 1 0 \lambda ^ { 2 } - 1 1 \lambda + 3 ) \tau \right] } + \frac { \tau } { 4 ( 3 \lambda - 1 ) } \right) c _ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { ( 1 - \mu ) \tau ^ { 2 } } { 4 \left[ ( 2 \lambda - 1 ) ^ { 2 } - ( 1 0 \lambda ^ { 2 } - 1 1 \lambda + 3 ) \tau \right] } - \frac { \tau } { 4 ( 3 \lambda - 1 ) } \right) d _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S _ { \mathrm { t w i s t e d } } } } & { { \sim } } & { { \int d ^ { 6 } y \sqrt { | \mathrm { d e t } g | } \left( 1 + ( { \tilde { \cal F } } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } + \dots \right) - \int d ^ { 6 } y \sqrt { | \mathrm { d e t } g | } = } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { \int d ^ { 6 } y \sqrt { | \mathrm { d e t } g | } ( { \tilde { \cal F } } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } + \dots \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M _ { f g e } ^ { \psi \psi c d } \equiv - 1 } \\ & { M _ { f g e } ^ { \sigma \psi c d } \equiv M _ { f g e } ^ { \psi \sigma c d } \equiv \varepsilon i } \\ & { M _ { f g e } ^ { \sigma \sigma c d } = \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } c = d \mathrm { ~ a n d ~ } f = 1 } \\ { \varepsilon i z _ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } c = d \mathrm { ~ a n d ~ } f = \psi } \\ { \frac { \kappa } { z _ { 2 } } \exp \left( \frac { - \varepsilon i \pi } { 4 } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } c \ne d \mathrm { ~ a n d ~ } f = 1 } \\ { \frac { \kappa } { z _ { 2 } } \exp \left( \frac { \varepsilon i \pi } { 4 } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } c \ne d \mathrm { ~ a n d ~ } f = \psi } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { E _ { 1 2 } ( \theta ) } { 1 - E _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \frac { \partial E _ { 1 2 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } = - \sin g ( \theta ) \frac { \partial ^ { 2 } g ( \theta ) } { \partial \theta ^ { 2 } } = 0 \; , } \end{array}
\hat { V } _ { \mathrm { m a g n . d i p } } = - \sqrt { 3 0 } ( \mu _ { B } g _ { e } \alpha ) ^ { 2 } R ^ { - 3 } \left[ \left[ \hat { s } \otimes \hat { s } _ { 3 } \right] ^ { ( 2 ) } \otimes C ^ { ( 2 ) } ( \hat { R } ) \right] _ { 0 } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l r } { m ^ { * } ( z ) } & { = } & { - 2 \int _ { 0 } ^ { z } n \left( - \phi _ { \mathrm { o } } \left( z ^ { \prime } \right) \right) ^ { n - 1 } \left( W \left( z ^ { \prime } \right) + \frac { 1 } { 2 } | z ^ { \prime } | \right) \mathrm { d } z ^ { \prime } , } \\ & { = } & { 2 \left( W ^ { \prime } ( z ) - W ^ { \prime } ( 0 ) \right) . } \end{array}
\sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \ a _ { \alpha } ^ { + } \ ^ { t } ( a _ { \alpha } ^ { + } ) = [ N ] \ , \ \, s u m _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \ a _ { \alpha } ^ { - } \ ^ { t } ( a _ { \alpha } ^ { + } ) = 0 \ \ .
F _ { \mathrm { M 2 } } = - \frac { 2 ^ { 7 / 2 } \pi ^ { 2 } } { 3 ^ { 4 } } N ^ { 3 / 2 } V _ { 2 } T ^ { 3 } \left[ 1 + \frac { 9 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \omega _ { i } ^ { 2 } - \frac { 2 7 } { 1 2 8 \pi ^ { 4 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \omega _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 8 1 } { 6 4 \pi ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \omega _ { i } ^ { 4 } + \ldots \right]
{ { \cal { G } } _ { \rho } } ^ { { ( 4 ) } } = - { \textstyle \frac { 3 } { 4 } } ( { \textstyle \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } { A } ( t ) ) ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } ( { \textstyle \frac { \partial } { \partial t } } { A } ( t ) ) ( { \textstyle \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial t ^ { 3 } } } { A } ( t ) ) + { \textstyle \frac { 9 } { 4 } } ( { \textstyle \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } { A } ( t ) ) ( { \textstyle \frac { \partial } { \partial t } } { A } ( t ) ) ^ { 2 }
\nabla \phi = \frac { { \sum _ { i } { { { \bf { c } } _ { i } } \left( { { f _ { i } } - f _ { i } ^ { \mathrm { { e q } } } } \right) } + 0 . 5 \Delta t { \partial _ { t } } \left( { \phi { \bf { u } } } \right) } } { { - c _ { s } ^ { 2 } { \tau _ { \phi } } \Delta t + \frac { { { M _ { \phi } } \left( { 1 - 4 { \phi ^ { 2 } } } \right) } } { { W \left| { \nabla \phi } \right| } } } } ,
{ \begin{array} { r l } { Z ( X , Y ) } & { = \log ( \exp X \exp Y ) } \\ & { = X + Y + { \frac { 1 } { 2 } } [ X , Y ] + { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( [ X , [ X , Y ] ] + [ Y , [ Y , X ] ] \right) } \\ & { \quad - { \frac { 1 } { 2 4 } } [ Y , [ X , [ X , Y ] ] ] } \\ & { \quad - { \frac { 1 } { 7 2 0 } } \left( [ Y , [ Y , [ Y , [ Y , X ] ] ] ] + [ X , [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] ] \right) } \\ & { \quad + { \frac { 1 } { 3 6 0 } } \left( [ X , [ Y , [ Y , [ Y , X ] ] ] ] + [ Y , [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] ] \right) } \\ & { \quad + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } \left( [ Y , [ X , [ Y , [ X , Y ] ] ] ] + [ X , [ Y , [ X , [ Y , X ] ] ] ] \right) } \\ & { \quad + { \frac { 1 } { 2 4 0 } } \left( [ X , [ Y , [ X , [ Y , [ X , Y ] ] ] ] ] \right) } \\ & { \quad + { \frac { 1 } { 7 2 0 } } \left( [ X , [ Y , [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] ] ] - [ X , [ X , [ Y , [ Y , [ X , Y ] ] ] ] ] \right) } \\ & { \quad + { \frac { 1 } { 1 4 4 0 } } \left( [ X , [ Y , [ Y , [ Y , [ X , Y ] ] ] ] ] - [ X , [ X , [ Y , [ X , [ X , Y ] ] ] ] ] \right) + \cdots } \end{array} }
G _ { n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = ( - i \hbar ) ^ { n } { \frac { 1 } { Z [ 0 ] } } \left. { \frac { \partial ^ { n } Z } { \partial J ( x _ { 1 } ) \cdots \partial J ( x _ { n } ) } } \right| _ { J = 0 }
\Delta n _ { e f f } = \Gamma \frac { 3 \chi ^ { ( 3 ) } } { 2 n _ { s i } } \frac { \iint _ { w g } | E | ^ { 2 } F ^ { 2 } ( t ) d x d y } { \iint _ { w g } | E | ^ { 2 } d x d y }
G _ { ( C o u l . ) } ^ { a } [ \hat { A } ] \ = \ \Big ( - g ^ { \mu \nu } \, + \, \frac { \eta ^ { \mu } \eta ^ { \nu } } { \eta ^ { 2 } } \Big ) \, D _ { \mu } ^ { a b } [ \hat { A } ] \, A _ { \nu } ^ { b } \, ,
\begin{array} { r l } { ( \sigma \circ \tau ) ( k ) } & { : = \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { n } } \tau _ { l } ( k ) \, \sigma ( l + k ) \, U _ { l } } \\ & { = \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { n } } \tau _ { l } ( k ) \, \sum _ { r \in \mathbb { Z } ^ { n } } \sigma _ { r } ( l + k ) U _ { r } U _ { l } } \\ & { = \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { n } } \tau _ { l } ( k ) \, \, \sum _ { r \in \mathbb { Z } ^ { n } } \sigma _ { r } ( l + k ) c ( r , l ) U _ { r + l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - c _ { k } \sqrt { n } p ^ { 2 } + ( ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) n + k c _ { k } \sqrt { n } ) p } \\ & { = - c _ { k } \sqrt { n } \left( p - \frac { ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) \sqrt { n } + k c _ { k } } { 2 c _ { k } } \right) ^ { 2 } + \frac { ( ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) \sqrt { n } + k c _ { k } ) ^ { 2 } \sqrt { n } } { 4 c _ { k } } } \\ & { = \frac { ( ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) \sqrt { n } + k c _ { k } ) ^ { 2 } \sqrt { n } } { 4 c _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , \cos { \theta } ) = } & { { } ( T _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( T _ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } \times } \\ { \beta _ { i } = } & { { } \frac { \sqrt { T _ { i } ( T _ { i } + 2 ) } } { T _ { i } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { { } \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B } { 2 A ^ { 3 / 2 } } \log \left[ \frac { ( \sqrt { A + B } + \sqrt { A } ) ( \sqrt { A + B \sigma } - \sqrt { A } ) } { ( \sqrt { A + B } - \sqrt { A } ) ( \sqrt { A + B \sigma } + \sqrt { A } ) } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { W } ( \xi _ { 1 } , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { W } _ { l i q } + \xi _ { 1 } ( \mathbf { W } _ { \xi _ { 1 } } ) _ { l i q } \quad \mathrm { ~ f o r } \quad \xi _ { 1 } < 0 } \\ { \mathbf { W } _ { g a s } + \xi _ { 1 } ( \mathbf { W } _ { \xi _ { 1 } } ) _ { g a s } \quad \mathrm { ~ f o r } \quad \xi _ { 1 } \geq 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \psi ( \tau ) = 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \theta ( \tau ) = \frac { \eta } { a \eta + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla f ( x ) = } & { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Big ( \nabla _ { x } f _ { i } ( x , y _ { ( x ) } ^ { * } ) - \nabla _ { x } \nabla _ { y } g ( x , y _ { ( x ) } ^ { * } ) } \\ & { \times \big [ \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y _ { ( x ) } ^ { * } ) \big ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f _ { i } ( x , y _ { ( x ) } ^ { * } ) \Big ) , } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 8 , 8 . 2 5 \cos \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , - 8 . 2 5 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , 1 1 6 . 5 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < \frac { 1 } { 6 } + \frac { y + 2 0 t } { \sqrt { 3 } } } \\ { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > \frac { 1 } { 6 } + \frac { y + 2 0 t } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { S } ^ { - 1 } H _ { \mathrm { P B C } } ^ { \mathrm { A I I } ^ { \dag } } \tilde { S } = \sum _ { j = - L } ^ { L } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i k j } ( S ^ { - 1 } H ( k ) S ) \otimes ( \mathcal { E } _ { \mathrm { P B C } } ) ^ { j } d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \int \! \overline { \phi } \, \mathrm { d } \nu = \operatorname* { l i m } _ { l \to + \infty } \frac { 1 } { m _ { i _ { l } } } \sum _ { j = 0 } ^ { m _ { i _ { l } } - 1 } \overline { \phi } \bigl ( f ^ { j } ( z _ { i _ { l } } ) \bigr ) = \operatorname* { l i m } _ { l \to + \infty } \frac { 1 } { m _ { i _ { l } } } \sum _ { j = 0 } ^ { i _ { l } - 1 } S _ { n _ { z _ { j } } } \overline { \phi } ( z _ { j + 1 } ) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { l \to + \infty } \frac { 1 } { m _ { i _ { l } } } \sum _ { j = 0 } ^ { i _ { l } - 1 } n _ { z _ { j } } c = c > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R 3 ) : U _ { i } U _ { i + 1 } U _ { i } - U _ { i } } & { = U _ { i + 1 } U _ { i } U _ { i + 1 } - U _ { i + 1 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } i = 1 , \dots , n - 1 } \\ { U _ { i } U _ { j } } & { = U _ { j } U _ { i } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } i , j : | i - j | > 1 } \\ { ( \textrm { H e c k e } ) : U _ { i } ^ { 2 } } & { = [ 2 ] _ { x } U _ { i } = ( x + x ^ { - 1 } ) U _ { i } . } \end{array}
\boldsymbol { G } ^ { F F } = \frac { 1 } { 4 \pi \rho r \alpha ^ { 2 } } e ^ { i \omega r / \alpha } \left[ \frac { { \bf x x ^ { T } } } { r ^ { 2 } } \right] + \frac { 1 } { 4 \pi \rho r \beta ^ { 2 } } e ^ { i \omega r / \beta } \left[ { \bf I } - \frac { { \bf x x ^ { T } } } { r ^ { 2 } } \right] .
S ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x \, \epsilon ^ { \mu \nu } \frac { \epsilon ^ { \rho \lambda } } { \sqrt { - g } } \, D _ { \rho } \partial _ { \mu } \phi D _ { \lambda } \partial _ { \nu } \phi \, .
{ \Psi } ^ { - ( 1 / 2 ) } ( \alpha , { \bf n } , \gamma , { \bf n } ^ { ' } ) = \widetilde { B } ^ { - } \frac { { \Psi } ^ { - ( 0 ) } ( \alpha , { \bf n } , \gamma ) } { \sqrt { 2 k _ { 0 } } } .
\Delta \sigma ^ { t o t } ( \Omega _ { e x p } ) = \int _ { x _ { m i n } } ^ { x _ { m a x } } d x \int _ { Q _ { m i n } ^ { 2 } } ^ { Q _ { m a x } ^ { 2 } } d Q ^ { 2 } \frac { d \sigma ^ { t o t } } { d x d Q ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 6 } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a \alpha } - 3 n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } ) } & { { } + } & { \frac { 6 \lambda f ^ { t } } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a \alpha } - n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } ) = } \\ { 2 f ^ { n } \int _ { r = R _ { p } } n _ { a \alpha } ( \pmb x ) d S ( { \pmb x } ) } & { { } - } & { f ^ { t } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a b } - n _ { a b } ( \pmb x ) ) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}