harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { T } + \textup { d i v } ( \phi _ { T } v ) = } & { \textup { d i v } \big ( M _ { T } \phi _ { T } ^ { 2 } ( 1 - \phi _ { T } ) ^ { 2 } \nabla \mu _ { T } \big ) + S _ { T } ( \phi _ { T } , \phi _ { \sigma } ) } \\ { \mu _ { T } = } & { \Psi ^ { \prime } ( \phi _ { T } ) - \chi _ { c } \phi _ { \sigma } - \varepsilon _ { T } ^ { 2 } \Delta \phi _ { T } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { \sigma } + \textup { d i v } ( \phi _ { \sigma } v ) = } & { \textup { d i v } \big ( M _ { \sigma } \nabla ( D _ { \sigma } \phi _ { \sigma } - \chi _ { c } \phi _ { T } ) \big ) + S _ { \sigma } ( \phi _ { T } , \phi _ { \sigma } ) } \end{array}
H _ { d } ( z ) = H _ { a } ( s ) { \bigg | } _ { s = { \frac { 2 } { T } } { \frac { z - 1 } { z + 1 } } } = H _ { a } \left( { \frac { 2 } { T } } { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { { } { r _ { i _ { j } } } } \\ { s . t . \; \; } & { { } d ( \mathbf { x } _ { i _ { j } } , \mathbf { y } ) \leq r _ { i } \quad \forall \mathbf { y } \in \bigcup _ { j \neq i } X _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 1 } = \frac { \sqrt { N } } { \sqrt { \pi } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \rho e ^ { i \theta } e ^ { - \rho ^ { 2 } / ( 2 \rho _ { 0 } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { I B } = \underbrace { \mathcal { I } \left( \mathbf { X } _ { k } ^ { \left( p \right) } ; \mathbf { X } _ { 1 } ^ { \left( p \right) } \right) } _ { \mathrm { P r e s e r v e d ~ i n f o r m a t i o n } } - \psi \underbrace { \mathcal { I } \left( \mathbf { X } _ { k } ^ { \left( p \right) } ; \mathbf { X } _ { i } ^ { \left( p \right) } \right) } _ { \mathrm { C o m p l e x i t y } } , \; \forall \psi > 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \bar { u } } _ { m } \left( x , y , z , t \right) } & { \equiv } & { \frac { 1 } { \Delta L } \int _ { - \Delta L / 2 } ^ { \Delta L / 2 } { \mathbf { u } \left( x - s , y , z , t \right) d s } , } \\ { \mathbf { u } _ { m } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) } & { \equiv } & { \mathbf { u } - \mathbf { \bar { u } _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } } \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v _ { 1 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 1 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 1 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 1 } } ) x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } \sum _ { \boldsymbol { v _ { 2 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 2 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 2 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 2 } } ) } \\ & { = } & { m ^ { n _ { 2 } } y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { ( \boldsymbol { u _ { 1 } } , \textbf { 0 } ) \in \mathcal { C } } \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v _ { 1 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 1 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 1 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 1 } } ) x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } } \\ & { = } & { m ^ { n _ { 2 } } y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { \boldsymbol { u _ { 1 } } \in \mathcal { C } _ { 1 } } \left( \sum _ { \boldsymbol { v _ { 1 } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { n _ { 1 } } } \chi ( \boldsymbol { u _ { 1 } } \cdot \boldsymbol { v _ { 1 } } ) x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } - x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right) } \\ & { = } & { m ^ { n _ { 2 } } y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( | \mathcal { C } _ { 1 } | \sum _ { \boldsymbol { v _ { 1 } } \in \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \bot } } x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor - w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } y ^ { w _ { ( \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { v _ { 1 } } ) } - | \mathcal { C } _ { 1 } | x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right) } \\ & { = } & { | \mathcal { C } _ { 1 } | m ^ { n _ { 2 } } y ^ { s _ { 2 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( W _ { ( \mathcal { C } _ { 1 } ^ { \bot } , \pi _ { 1 } ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } _ { 1 } ) - x ^ { s _ { 1 } \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right) . } \end{array}
\sum _ { X } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } x \ e ^ { i k \cdot x } \, \langle 0 \vert \psi _ { i } ( x ) \, i \partial ^ { \mu } \, \vert P _ { 1 } , S _ { 1 } ; X \rangle \langle P _ { 1 } , S _ { 1 } ; X \vert \, \overline { { \psi } } _ { j } ( 0 ) \vert 0 \rangle = k ^ { \mu } \, \Delta _ { i j } ( P _ { 1 } , S _ { 1 } ; k ) .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { s } ( A \times \mathbb { R } ) } \le \frac { [ u \, \varphi ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } { \| u \, \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \omega \times \mathbb { R } ) } } } & { \le \sqrt { \alpha _ { s } } \, \frac { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A ) } \, [ \varphi ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } + \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A ) } \, \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } } \\ & { = \sqrt { \alpha _ { s } } \, \left( \frac { [ \varphi ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } } { \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } + \frac { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , a ) ^ { - 1 } } + \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , a ^ { - 1 } b ) ^ { - 1 } } = } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , a ) ^ { - 1 } } + \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , a ) ^ { - 1 } F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , b ) ^ { - 1 } } < } \\ & { < \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , a ) ^ { - 1 } } + \frac { 1 } { 1 + F _ { \mu ^ { \prime } } ( e , b ) ^ { - 1 } } = \nu ^ { \prime } ( C ( a ) ) + \nu ^ { \prime } ( C ( b ) ) = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
s ^ { \alpha } \frac { \theta } { s - 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( 1 + \frac { t } { s - 1 } \right) ^ { - \theta - 1 } t ^ { - \alpha } \mathrm { d } t = \frac { \theta } { \theta + \alpha } \left( \frac { s - 1 } { s } \right) ^ { \theta } _ { 2 } F _ { 1 } \left( \alpha + \theta , \alpha , 1 + \alpha + \theta , \frac { s - 1 } { s } \right) .
\begin{array} { r l r } { S _ { 4 D } ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } , \sigma ) } & { { } \propto } & { u _ { 0 } ^ { 2 } \left[ ( 1 - \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } ) \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { k _ { \perp , 0 } ^ { 2 } } + \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } \right] } \end{array}
{ \sigma ^ { \prime } } ^ { ( n ) } ( s ) = \int _ { \epsilon } ^ { v _ { m a x } } { \frac { d v } { v } } J _ { 0 } ( v ) { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } } \left( { \frac { 2 \alpha } { \pi } } \ln ( s / m _ { e } ^ { 2 } ) \ln ( v / \epsilon ) \right) ^ { n - 1 } \sigma _ { B } ( s ) \; \, ,
\mathbf { Q } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial E _ { \theta 0 } ^ { * } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \theta 0 } } { \partial \theta } + \frac { \partial E _ { \phi 0 } ^ { * } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \phi 0 } } { \partial \theta } } & { \frac { \partial E _ { \theta 0 } ^ { * } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \theta 0 } } { \partial \phi } + \frac { \partial E _ { \phi 0 } ^ { * } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \phi 0 } } { \partial \phi } } \\ { \frac { \partial E _ { \theta 0 } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \theta 0 } ^ { * } } { \partial \phi } + \frac { \partial E _ { \phi 0 } } { \partial \theta } \frac { \partial E _ { \phi 0 } ^ { * } } { \partial \phi } } & { \frac { \partial E _ { \theta 0 } ^ { * } } { \partial \phi } \frac { \partial E _ { \theta 0 } } { \partial \phi } + \frac { \partial E _ { \phi 0 } ^ { * } } { \partial \phi } \frac { \partial E _ { \phi 0 } } { \partial \phi } } \end{array} \right) .
( 1 a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 1 b _ { 2 } ) ^ { 2 } ( 2 a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 3 a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 2 b _ { 2 } ) ^ { 2 } ( 4 a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 5 a _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 3 b _ { 2 } ) ^ { 2 }
\rho = \operatorname * { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \rho ( L ) = \left\{ \begin{array} { c r } { { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { e ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 } { \pi } e ^ { 2 \gamma + 1 } } } & { { \mathrm { f o r } \; \; N = 1 } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } \; \; N > 1 } } \end{array} \right. \; .
\left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 1 } ^ { i } } \\ { b _ { 0 1 } ^ { i } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) = \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { i j } } & { G _ { u b } ^ { i j } } \\ { G _ { b u } ^ { i j } } & { G _ { b b } ^ { i j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { F _ { 0 1 u } ^ { j } } \\ { F _ { 0 1 b } ^ { j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) .
\int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d t \left[ \frac { d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } { d t } \cdot \nabla \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) + \frac { \partial \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } \right] = \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } \frac { d \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { d t } d t = \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } , t _ { f } ) - \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } , t _ { i } ) \; ,
\begin{array} { r } { p ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \frac { 1 - \alpha } { 2 } } \\ { \frac { 1 - \alpha } { 2 } } \end{array} \right] , \quad \mathrm { a n d } \quad q ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l } { \alpha + 2 \gamma ^ { 1 + \delta } ( 1 - 3 \alpha ) } \\ { \frac { 1 - \alpha } { 2 } + ( \gamma - \gamma ^ { 1 + \delta } ) ( 1 - 3 \alpha ) } \\ { \frac { 1 - \alpha } { 2 } + ( - \gamma - \gamma ^ { 1 + \delta } ) ( 1 - 3 \alpha ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \Delta \phi _ { i } ^ { k } ( t ) = \sum _ { j } \mathcal { J } _ { i j } ^ { k } \Delta { \phi } _ { j } ^ { k } + i \boldsymbol { q } _ { k } \cdot \sqrt { 2 } \boldsymbol { \Lambda } _ { i } ^ { k } ( t ) \, , } \end{array}
\tau _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } \partial _ { t } ^ { 2 } \delta \Pi + ( \tau _ { ( 1 ) } + \tau _ { ( 2 ) } ) \partial _ { t } \delta \Pi + \delta \Pi = - ( \zeta _ { ( 1 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } ) \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) - ( \zeta _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } \tau _ { ( 1 ) } ) \partial _ { t } \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ \varsigma ~ > ~ 0 ~ } : \quad \tilde { I } ( \tau , \varsigma ) } & { { } = } & { + \varsigma \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } e ^ { - \varsigma ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) + e ^ { - \varsigma \tau } \tilde { I } ( 0 , \varsigma ) } \\ { \mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ \varsigma ~ < ~ 0 ~ } : \quad \tilde { I } ( \tau , \varsigma ) } & { { } = } & { - \varsigma \int _ { \tau } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } e ^ { - \varsigma ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \psi ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \alpha ( t ) , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } \! \! + \! \| \partial _ { y } \psi ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \alpha ( t ) , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } \! \! + \! \| \partial _ { t y } ^ { 2 } \psi ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \alpha ( t ) , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } \! \! + \! \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \alpha ( t ) , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } \! \! = } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \! \Big \{ \! e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \! \big \| \psi _ { k } ( t ) \! \big \| _ { L ^ { 2 } } \! \Big \} \! + \! \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \! \Big \{ \! e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \! \big \| \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \! \big \| _ { L ^ { 2 } } \! \Big \} \! + \! \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \! \Big \{ \! e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \! \big \| \partial _ { t y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \! \big \| _ { L ^ { 2 } } \! \Big \} \! + \! \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \! \Big \{ \! e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \! \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \! \big \| _ { L ^ { 2 } } \! \Big \} } \\ & { \leq C _ { \sigma } ( t ) \Big ( \! 1 \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! \Big ) ^ { 2 } \! \! \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} , } \end{array}
\mathrm { d } s _ { * } ^ { 2 } = r _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \mathcal { R } ^ { 2 } \left\{ u ^ { 2 } \mathrm { d } x _ { d } ^ { 2 } + \left( { \frac { \mathrm { d } u } { u } } \right) ^ { 2 } \right\} + \mathrm { d } \Omega _ { \tilde { d } + 1 } ^ { 2 } \right] \, .
\frac { \ddot { T } } { T | T | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } X _ { 1 1 } \bar { X } + \frac { 1 } { 2 } | X | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } X { \bar { X } } _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( X _ { 1 } ) ^ { 2 } \frac { \bar { X } } { X } = \frac { A } { 2 }
\begin{array} { r l } { \phi \left[ t _ { d } , \boldsymbol { x } ( t ) , \Delta B _ { 0 } \right] = \gamma \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t ^ { \prime } } & { { } \left\{ \boldsymbol { x } ( t ^ { \prime } ) \cdot \boldsymbol { G } f _ { G } ( t ^ { \prime } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { P _ { n } ( x ^ { \prime } ) - P _ { \infty } ( x ^ { \prime } ) } { \left( \mathrm { m a x } _ { x ^ { \prime } } R ( x ^ { \prime } ) \right) ^ { - n } } = 0 } \end{array}
\mathcal { \hat { H } } = \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \frac { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } } { 2 m } + n V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) ,
\frac { \partial h _ { t } } { \partial w _ { h } } = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \Bigg ( \prod _ { j = i + 1 } ^ { t } \frac { \partial f ( x _ { j } , h _ { j - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial x _ { j } } \frac { \partial g ( h _ { j - 1 } ) } { \partial h _ { j - 1 } } + \frac { \partial f ( x _ { j } , h _ { j - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { j - 1 } } \Bigg ) \frac { \partial f ( x _ { i } , h _ { i - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } }
H _ { n } ^ { ( 2 ) } = \int d x \, h _ { n } ^ { ( 2 ) } = \int d x \, \sum _ { k = 0 } ^ { [ { \frac { n } { 2 } } ] } \, c ( k , n ) u ^ { n - 2 k + 1 } v ^ { k ( \gamma - 1 ) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) } & { = \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathcal { S } \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) } \\ & { = \left[ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { 1 } \left( \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } \right) , \ldots , \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { l } \left( \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { c c } { \kappa _ { c r } ^ { * } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { \tau - t } - 1 ) + 1 \right] , } & { 0 \le t \le \tau ( 1 - \eta ) } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } , } & { \tau ( 1 - \eta ) \le t \le \tau } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { t - \tau } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } , } & { \tau \le t \le \tau ( 1 + \eta ) } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { t - \tau } - 1 ) + 1 \right] , } & { \tau ( 1 + \eta ) \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \\ { \kappa _ { c \theta } ^ { * } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { \tau - t } - 1 ) + 1 } , } & { 0 \le t \le \tau ( 1 - \eta ) } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 \right] , } & { \tau ( 1 - \eta ) \le t \le \tau } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { t - \tau } { \eta \tau } - 1 ) + 1 \right] , } & { \tau \le t \le \tau ( 1 + \eta ) } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \eta \frac { \tau } { t - \tau } - 1 ) + 1 } . } & { \tau ( 1 + \eta ) \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { m v _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { m v _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \hbar \omega = \frac { m v _ { 1 } ^ { \prime 2 } } { 2 } + \frac { m v _ { 2 } ^ { \prime 2 } } { 2 }
\begin{array} { r } { \overline { { \operatorname { V a r } ( \mathscr { v } ( \zeta _ { t } , t ) ) } } : = \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \, \operatorname { V a r } ( \mathscr { v } ( \zeta _ { s } , s ) ) \, \geq \, \frac { 2 \, \operatorname { K } ( \operatorname { P } _ { [ 0 , t ] } \| \operatorname { Q } _ { [ 0 , t ] } ) } { t ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \epsilon } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { 5 ! } } \left( { \frac { \epsilon } { 2 \pi } } \right) ^ { 5 } \left\{ { \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \epsilon - \mu ) } } } - \theta ( - \epsilon ) \right\} = { \frac { 1 } { 6 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 6 } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 4 } { \frac { T ^ { 2 } } { 4 ! } } + { \frac { 1 } { 2 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } { \frac { 7 } { 8 } } { \frac { T ^ { 4 } } { 6 ! } } + { \frac { 3 1 } { 2 4 } } { \frac { T ^ { 6 } } { 8 ! } } .
{ \delta } \ddot { \phi } + 3 [ 3 { H _ { 0 } } ^ { 2 } - 4 { \pi } { \rho } _ { 0 } ] { \delta } { \phi } = \frac { 8 { \pi } } { 3 } { \delta } { \rho } + \frac { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } { { \phi } _ { 0 } } { \delta } { { \sigma } ^ { 2 } }
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } r e ^ { - r ^ { 2 } } \, d r \, d \theta < I ^ { 2 } ( a ) < \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a { \sqrt { 2 } } } r e ^ { - r ^ { 2 } } \, d r \, d \theta .
\begin{array} { r l } { P _ { l m } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } } & { { } = - i \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } \chi _ { l + 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } g _ { l + 1 } ^ { m } \left[ W _ { l + 1 } ( k R ) + S _ { l } ( k R ) S _ { l + 1 } ( k R ) \right] } \\ { M _ { l m } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } } & { { } = i \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } \chi _ { l - 1 } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } g _ { l } ^ { m } \left[ W _ { l - 1 } ( k R ) - S _ { l } ( k R ) S _ { l - 1 } ( k R ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) } & { = 2 \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \tau _ { c } ^ { 3 } \left( \frac { t _ { d } } { \tau _ { c } } - 5 + e ^ { - \frac { t _ { d } } { \tau _ { c } } } - 4 e ^ { - \frac { 3 t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \right. } \\ & { \left. + 4 e ^ { - \frac { t _ { d } } { 2 \tau _ { c } } } + 4 e ^ { - \frac { t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { { \mathbf x } _ { k } ^ { n + 1 } - { \mathbf x } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) , } \\ & { \frac { { \mathbf p } _ { k } ^ { n + 1 } - { \mathbf p } _ { k } ^ { n } } { \Delta t } = - \left( \frac { \partial { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \partial \mathbf x } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } _ { h } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ( { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) - { \mathbf p } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) , } \\ & { \frac { { \mathbf a } ^ { n + 1 } - { \mathbf a } ^ { n } } { \Delta t } = T \mathbb { G } \tilde { \Pi } _ { 0 } \left( \ln \left( F \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = \iint _ { R } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } r ^ { 2 } \left( r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \right) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } r ^ { 3 } \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta } \end{array}
- \; \frac { 1 } { 2 \pi } \delta _ { \mu \nu } \frac { m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } } } l ( k , m ) \; + \; O ( \epsilon ) \; ,
\begin{array} { c c c c c } { \alpha _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \alpha _ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \alpha _ { 3 } = \frac { 3 } { 8 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \alpha _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \alpha _ { 5 } = 1 \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\Lambda = \epsilon _ { i } { \frac { 1 } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \left( \dot { V } _ { i } ^ { R } + { \frac { 1 } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \partial _ { i } J _ { 0 } \right) .
\mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } | B _ { 1 i } ( t ) | > \varepsilon \Big ) \le \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { n } } \mathbb { P } \Big ( | B _ { 1 i } ( t _ { k } ) | > \frac { \varepsilon } { 2 } \Big ) + \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { n } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in \Theta _ { k } } | B _ { 1 i } ( t ) - B _ { 1 i } ( t _ { k } ) | > \frac { \varepsilon } { 2 } \Big ) .
( a _ { d } x ^ { d } + a _ { d - 1 } x ^ { d - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 } ) ^ { \prime } = d a _ { d } x ^ { d - 1 } + ( d - 1 ) a _ { d - 1 } x ^ { d - 2 } + \cdots + a _ { 1 } .