harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { 1 1 1 1 } ^ { t } = C _ { 2 2 2 2 } ^ { t } = C _ { 3 3 3 3 } ^ { t } = 0 . 2 0 , ~ C _ { 1 1 2 2 } ^ { t } = C _ { 2 2 3 3 } ^ { t } = C _ { 3 3 1 1 } ^ { t } = - 0 . 0 6
d ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \log { \frac { \left\| \mathbf { v } - \mathbf { a } \right\| \, \left\| \mathbf { b } - \mathbf { u } \right\| } { \left\| \mathbf { u } - \mathbf { a } \right\| \, \left\| \mathbf { b } - \mathbf { v } \right\| } } ,
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { b u l k } } ^ { \mathrm { e q b } } } & { = \int _ { \Sigma _ { \beta } ^ { \mathrm { b u l k } } } \iota _ { u } I _ { \mathrm { C S } } } \\ & { = \int _ { \Sigma _ { \beta } ^ { \mathrm { b u l k } } } ( - 1 ) ^ { q } \mu \wedge \tilde { F } + ( - 1 ) ^ { p q + q } \tilde { \mu } \wedge F } \\ & { \qquad - \int _ { \Sigma _ { \beta } } T _ { 0 } F \wedge \tilde { \varphi } - \mu \wedge \tilde { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { t } \ddot { x } + m d \ddot { \theta } \cos \theta } & { = } & { m d \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta - c \dot { x } + \omega \varphi _ { 1 } ( \omega t ) } \\ { m _ { t } \ddot { z } + m d \ddot { \theta } \sin \theta } & { = } & { - m d \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta - c \dot { z } + \omega \varphi _ { 2 } ( \omega t ) } \\ { m d \ddot { x } \cos \theta + m d \ddot { z } \sin \theta + I _ { A } \ddot { \theta } } & { = } & { - c _ { t } \dot { \theta } - m g d \sin \theta - \bar { M } _ { w } + \bar { M } + \omega \varphi _ { 3 } ( \omega t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { h } ^ { k } - V _ { h } ^ { \pi ^ { k } } } & { \le b _ { h } ^ { k } + O C E _ { \hat { P } _ { h } ^ { k } } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ) - O C E _ { P _ { h } } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ) } \\ & { = b _ { h } ^ { k } + \left[ O C E _ { \hat { P } _ { h } ^ { k } } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ) - O C E _ { P _ { h } } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ) \right] + \left[ O C E _ { P _ { h } } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ) - O C E _ { P _ { h } } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J u } } ) d x } } \\ { = \ } & { - \frac { 4 p t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] . } \end{array}
\phi _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sigma ( ( \boldsymbol { k } _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { x } ) ^ { \top } l _ { i _ { x } } ( \boldsymbol { x } ) + k _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ^ { t } l _ { i _ { t } } ( t ) + b _ { i _ { x } , i _ { t } , j } ) .
\begin{array} { r l } { A _ { B P T } = } & { { } A _ { 1 } A _ { 2 } } \\ { = } & { { } \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { 2 } \left[ c o s ( 2 \pi ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) d + \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) \right. } \end{array}
Z _ { U ( 1 ) } = \left[ \frac { \alpha _ { g } } { \alpha _ { 1 } ( \mu _ { q } ) } \right] ^ { \frac { 2 } { 1 1 } \frac { n } { b _ { 1 } ^ { \prime } } } \left[ \frac { \alpha _ { g } } { \alpha _ { 1 } ( M _ { Z } ) } \right] ^ { - \frac { 2 } { 1 1 } }
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { r ( n _ { 0 } ) } - \Delta ^ { r ( n _ { 0 } + 1 ) } = } & { n _ { 0 } \Delta _ { 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } - ( n _ { 0 } + 1 ) \Delta _ { 1 } ^ { r ( n _ { 0 } + 1 ) } } \\ { = } & { \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \Bigg [ - \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 0 } } \prod _ { k = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { \frac { k } { n } + 1 } \Bigg ] } \end{array}
\Gamma ( B _ { c } \to l \nu ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 8 \pi } | V _ { c b } | ^ { 2 } f _ { B _ { c } } ^ { 2 } m _ { B _ { c } } ^ { 3 } \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { m _ { B _ { c } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { m _ { B _ { c } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } .
\left| \left| U _ { e 1 } \right| ^ { 2 } m _ { 1 } - \left| U _ { e 2 } \right| ^ { 2 } m _ { 2 } \right| = ( m _ { \nu } ) _ { m i n } \left( 1 - c _ { e } \right) \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s u n } } .
\begin{array} { r l r } { g _ { x x } } & { = } & { 2 a + ( 6 x c + 6 x ^ { 2 } c _ { x } + x ^ { 3 } c _ { x x } ) + ( 2 y d + 4 x y d _ { x } + x ^ { 2 } y d _ { x x } ) + ( 2 y ^ { 2 } e _ { x } + x y ^ { 2 } e _ { x x } ) + y ^ { 3 } f _ { x x } } \\ & { = } & { 2 a + x ( \ldots ) + y ( \ldots ) } \\ { g _ { x y } } & { = } & { ( 3 x ^ { 2 } c _ { y } + x ^ { 3 } c _ { x y } ) + ( 2 x d + 2 x y d _ { y } + x ^ { 2 } d _ { x } + x ^ { 2 } y d _ { x y } ) + ( 2 y e + y ^ { 2 } e _ { y } + 2 x y e _ { x } + x y ^ { 2 } e _ { x y } ) + x ^ { 3 } f _ { x y } } \\ & { = } & { x ( \ldots ) + y ( \ldots ) } \\ { g _ { y y } } & { = } & { - 2 b + x ^ { 3 } c _ { y y } + ( 2 x ^ { 2 } d _ { y } + x ^ { 2 } y d _ { y y } ) + ( 2 x e + 4 x y e _ { y } + x y ^ { 2 } e _ { y y } ) + ( 6 y f + 6 y ^ { 2 } f _ { y } + y ^ { 3 } f _ { y y } ) } \\ & { = } & { - 2 b + x ( \ldots ) + y ( \ldots ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x _ { 1 } } } & { { } = - c x _ { 1 } \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) , } \\ { \dot { x _ { 2 } } } & { { } = b x _ { 2 } + d ( t ) + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) , } \\ { y } & { { } = x _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( t ) = d _ { s } - \left( v _ { m a x } \frac { w } { 2 } \left[ \ln \left( \cosh \left( \frac { t - t _ { 0 } } { w } \right) \right) - \ln \left( \cosh \left( \frac { t _ { 0 } } { w } \right) \right) \right] + \frac { 1 } { 2 } v _ { m a x } t \right) . } \end{array}
K _ { 1 : i , i } \gets \arg \operatorname* { m i n } _ { c } \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { i } \varphi _ { \theta } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } ) c _ { a } - \tilde { \varphi } _ { s } ^ { a } ( X _ { j } ^ { \tau \wedge T _ { j } } ) \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { i - 1 } c _ { a } ^ { 2 }
d s ^ { 2 } = - f \left( d t - \omega d \varphi \right) ^ { 2 } + f ^ { - 1 } \left[ e ^ { 2 \gamma } \left( d \rho ^ { 2 } + d z ^ { 2 } \right) + \rho ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { L _ { s + 1 } } & { = \sum _ { y ^ { T - ( s + 1 ) : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { s + 2 } } \sum _ { x _ { T - ( s + 1 ) } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) \prod _ { t = T - s } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } \\ & { \times F ( \theta x _ { T - ( s + 1 ) } + \alpha ) ^ { y _ { T - ( s + 1 ) } } [ 1 - F ( \theta x _ { T - ( s + 1 ) } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { T - ( s + 1 ) } } ( - 1 ) ^ { 1 - x _ { T - ( s + 1 ) } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \left( d - \mathrm { ~ i ~ } \right) } & { { } = e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \frac { | m | \pi } { 2 } - \Phi \right) } , } \\ { \lambda \left( d + \mathrm { ~ i ~ } \right) } & { { } = e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \left( \frac { | m | \pi } { 2 } - \Phi \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \varepsilon } _ { n } ^ { \mathrm { ( D i r a c ) } } } & { { } = } & { m _ { e } c ^ { 2 } - \frac { h c R _ { \infty } } { 1 + \mu _ { e p } } \, \bigg \{ \frac { Z ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } + \frac { Z ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { n ^ { 3 } } \, \Big ( 1 - \frac { 3 } { 4 n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { n } ( \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) - t _ { n } ( \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) } \\ & { = 2 n ^ { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 4 } { 3 } } - ( n - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { \sqrt 2 } V _ { c } ^ { \frac { 4 } { 3 } } + 4 } \\ & { = ( 2 n ^ { 2 } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ) V _ { c } ^ { \frac { 4 } { 3 } } - ( n - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } \sqrt { 2 } V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } + 4 } \\ & { \geq V _ { c } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( \left( 2 n ^ { 2 } - \frac { 1 } { \sqrt 2 } \right) - \sqrt { 2 } n ^ { 2 } + \sqrt { 2 } n - \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \right) + 4 \geq 0 ~ ~ ( \mathrm { ~ a s ~ V _ c ~ > ~ 1 ~ } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } _ { k } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | u _ { k } | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \bar { u } _ { k } - u _ { k } ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } ( \bar { u } _ { k } + u _ { k } ) } \\ & { = - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } u _ { k } + \frac { 1 } { 2 } u _ { k } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } + \frac { 1 } { 2 } T _ { k } ^ { 2 } | f _ { \mathrm { d } } | ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } + \frac { 1 } { 4 } | R _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { = - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } u _ { k } + \frac { 1 } { 2 } u _ { k + 1 } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } + \frac { 1 } { 2 } T _ { k } ^ { 2 } | f _ { \mathrm { d } } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } - \frac { 1 } { 4 } | R _ { k } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } T _ { k } R _ { k } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } \nabla f ( x _ { k } ) , } \end{array}
U _ { \nu } \simeq T _ { 0 } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } & { { - \frac 2 { \sqrt { 6 } } } } & { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } \\ { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 { \sqrt { 2 } } } } \\ { { \frac 1 { \sqrt { 3 } } } } & { { \frac 1 { \sqrt { 3 } } } } & { { \frac 1 { \sqrt { 3 } } } } \end{array} \right) .
U ( \mathbf { P } _ { \phi } ) = { \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \phi / 2 } } \end{array} \right] } { \mathrm { ( g l o b a l ~ p h a s e ~ i g n o r e d ) } } = e ^ { i { \frac { \phi } { 2 } } { \hat { \sigma } } _ { z } }
\Delta = 1 - { \frac { a ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \theta } { u ^ { 4 } } } \ , \ \ \ \ \tilde { \Delta } = 1 - { \frac { a ^ { 4 } } { u ^ { 4 } } } \ , \ \ \ \ A \equiv { \frac { u _ { 0 } ^ { 4 } } { u _ { H } ^ { 4 } - \frac { 1 } { 3 } a ^ { 4 } } } \ , \ \ \ \ u _ { H } ^ { 6 } - a ^ { 4 } u _ { H } ^ { 2 } - u _ { 0 } ^ { 6 } = 0 \ .
\frac { 1 } { 2 \Omega } \int \left( \alpha _ { \mu } ( { \bf X } , t ) \alpha _ { \nu } ( { \bf X } , t + \tau ) + \alpha _ { \nu } ( { \bf X } , t + \tau ) \alpha _ { \mu } ( { \bf X } , t ) \right) \sqrt { L } d ^ { n } X
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , \mathrm { 2 D } } ^ { \mathrm { O B C } } = } & { } & { \frac { v } { 2 } \sum _ { j } ^ { N _ { x } - 1 } \sum _ { k } ^ { N _ { y } } [ \hat { \psi } _ { j , k } ^ { \dag } ( \sigma _ { x } - i \sigma _ { y } ) \hat { \psi } _ { j + 1 , k } + \mathrm { H . c . } ] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } ^ { N _ { x } } \sum _ { k } ^ { N _ { y } - 1 } [ t _ { 1 } ( \hat { \psi } _ { j , k } ^ { \dag } \hat { \psi } _ { j , k + 1 } + \mathrm { H . c . } ) - i t _ { 2 } ( i \hat { \psi } _ { j , k } ^ { \dag } \sigma _ { y } \hat { \psi } _ { j , k + 1 } + \mathrm { H . c . } ) ] } \\ & { } & { + \sum _ { j } ^ { N _ { x } } \sum _ { k } ^ { N _ { y } } \hat { \psi } _ { j , k } ^ { \dag } ( u \sigma _ { x } + \frac { i \gamma } { 2 } \sigma _ { y } ) \hat { \psi } _ { j , k } , } \end{array}
[ O _ { n m } ^ { b } ( \textbf { k } ) ] _ { ; k _ { a } } = \partial _ { k a } O _ { n m } ^ { b } ( \textbf { k } ) - i [ \xi _ { n n } ^ { a } ( \textbf { k } ) - \xi _ { m m } ^ { a } ( \textbf { k } ) ] O _ { n m } ^ { b } ( \textbf { k } )
\sum _ { 1 \leq j < k \leq N } { \bigl ( } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } + \left( - \mathbf { F } _ { j k } \right) \cdot \mathbf { r } _ { j } { \bigr ) } = \sum _ { 1 \leq j < k \leq N } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \left( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { j } \right) = \sum _ { k = 2 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \left( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { j } \right)
\eta _ { f } ( \alpha , n ) = \bigg \{ \Big ( \frac { 9 \alpha + 3 } { 3 n + 5 } \Big ) \Big [ \frac { \Gamma ( 4 / 3 ) \Gamma ( n + 1 ) } { \Gamma ( n + 7 / 3 ) } \Big ] ^ { 3 } \bigg \} ^ { \frac { - 1 } { 3 n + 5 } } ,
p _ { - } \equiv \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } ) = \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \mathcal { H } ) \cdot \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } ) + \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \cdot \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } ) = \alpha \cdot p _ { S } + \eta \cdot p _ { B } = 1 - p _ { + } .
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } , \overline { { x } } ] } ( x , \widehat { x } ) } & { = [ \underline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { + } x + [ \underline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { - } \widehat { x } + \underline { { b } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) , } \\ { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } , \overline { { x } } ] } ( x , \widehat { x } ) } & { = [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { + } \widehat { x } + [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { - } x + \overline { { b } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) } \end{array}
p = - \frac { P } { \nu _ { c } ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \delta ) } \, B _ { 0 } ^ { 2 } + 4 \nu _ { c } ^ { 2 } ( \nu _ { c } - \nu ) k ^ { 2 } - \nu _ { c } ( 1 + 4 \nu _ { c } ^ { 2 } ) k ^ { 4 } + \cdots , \quad \nu _ { c } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } - U _ { 0 } ^ { 2 } } \, , \quad \delta = \frac { P ^ { 2 } } { \nu _ { c } ^ { 2 } ( 1 - P ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } P ^ { 2 } } \, .
\frac { \bar { r } | \dot { \tilde { z } } ( t ) | } { \Gamma } \, \lesssim \, \bigl ( \delta \beta _ { \epsilon } \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } + \delta ^ { 2 } \bigr ) \, , \qquad \mathrm { h e n c e } \qquad | \tilde { z } ( t ) | \, \lesssim \, \epsilon ^ { 2 } \bar { r } ( t ) \bigl ( \delta + \beta _ { \epsilon } \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, .
\mathbf { P } _ { 1 } = \left[ \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { c } { - \eta } \\ { \xi } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { c } { \eta } \\ { \xi } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { c } { \xi } \\ { 0 } \end{array} \right) , \ \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta } \end{array} \right) \right] .
\boldsymbol { M } _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } \hat { \boldsymbol { u } } _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } = \boldsymbol { S } _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } \boldsymbol { u } _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } , \ M _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } , j i } = \int _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } \hat { l } _ { j } \hat { l } _ { i } d \boldsymbol { z } , \ \mathrm { a n d } \ S _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } , j i } = \int _ { \Xi _ { m } ^ { \iota } } \hat { l } _ { j } l _ { i } d \boldsymbol { z } .
\Delta \Phi ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } = \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mathrm { ~ s ~ i ~ l ~ i ~ c ~ a ~ } } \frac { \delta \alpha } { \alpha _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } { V ( x , y , z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { N e } { \pi ^ { 1 / 2 } \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } } \\ & { } & { \left[ 1 - \exp \left[ ( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q } - \frac { \gamma ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q } \right) \right] } \end{array}
\qquad \mathcal { K } _ { D } ^ { \lambda } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \ge \frac { \overline { { C } } \lambda ^ { 2 } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - 1 6 c _ { 2 } \frac { | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } e ^ { - 1 2 c _ { 2 } \left( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \right) } e ^ { 2 t \left( \overline { { c } } \lambda ^ { 2 } + \widetilde { c } \lambda ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } - \mu _ { 1 } \right) }
P _ { k } ^ { \dagger } \ = \ P _ { k } \quad , \qquad P _ { k } ^ { 2 } \ = \ P _ { k } \quad , \qquad P _ { k _ { 1 } } P _ { k _ { 2 } } \ = \ 0 \quad \textrm { f o r } \quad k _ { 1 } \neq k _ { 2 } \quad .
\begin{array} { r l r } { q _ { 0 } + 1 } & { \leq } & { 2 0 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } + 1 } \\ & { \leq } & { 3 0 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { \leq } & { 1 5 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \psi _ { t } ^ { 1 } ( x ) - \psi _ { t } ^ { 2 } ( x ) \right| } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s _ { 1 } ( t - s _ { 1 } ) \left| \left( P ^ { x } ( \psi _ { t } ^ { 1 } ) - P ^ { x } ( \psi _ { t } ^ { 2 } ) \right) \right| } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s _ { 1 } ( t - s _ { 1 } ) \delta _ { n + 1 } ( s _ { 1 } ) c n ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { \leqslant \frac { 5 3 n } { 1 8 0 } + C + 7 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 1 0 } + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } { 3 } - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| - \left| Z _ { B } \right| } \\ & { \leqslant \frac { 5 3 n } { 1 8 0 } + C + 7 + \frac { \frac { n } { 6 } + 1 } { 1 0 } + \frac { \frac { n } { 6 } + 7 } { 3 } - \frac { n } { 2 4 } + 1 1 } \\ & { \leqslant \frac { 1 3 n } { 4 0 } + C + 2 2 , } \end{array}
\mathbf { I } _ { \mathrm { ~ n ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p x } + I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p y }
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = - \frac { 1 6 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 / 2 } } { 9 \kappa ^ { 3 } [ - 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \kappa + 2 \kappa ^ { 2 } \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) + \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) ] } , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = - \frac { 1 6 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } { 3 \kappa ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) ( \kappa ^ { 4 } + \kappa ^ { 2 } - 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \kappa \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) - 2 ) } , } \\ { A _ { 3 } } & { { } = - \frac { 3 2 \pi ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } { 3 \kappa ^ { 3 } ( 2 \kappa ^ { 5 } - 7 \kappa ^ { 3 } + 3 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } \cosh ^ { - 1 } ( \kappa ) + 5 \kappa ) } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { m _ { \phi } ^ { 2 } \equiv \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \phi \partial \phi ^ { * } } } } & { { = ( 2 \lambda ) ^ { 2 } \left[ | \chi | ^ { 2 } + | \phi | ^ { 2 } \right] , } } \\ { { m _ { \chi } ^ { 2 } \equiv \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial \chi \partial \chi ^ { * } } } } & { { = ( 2 \lambda ) ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } + ( 2 \mu ) ^ { 2 } | \chi | ^ { 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \int d ^ { D } k \frac { D k ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \end{array}
S _ { e f f } = \int d X - \frac { 1 } { 2 } \partial \varphi \cdot \partial \varphi - \frac { 1 } { 2 } ( n ^ { 2 } - 2 ) \varphi ^ { 2 } - \frac { g } { 3 ! } e ^ { n \cdot X } \varphi ^ { 3 }
s _ { i } ( \textbf { r } , t ) = \chi _ { i } ( \textbf r ) \frac { \partial } { \partial t } S _ { m } ( \textbf { r } , t ) = 2 \hat { \rho _ { 0 } } \chi _ { i } ( \textbf r ) \frac { \partial } { \partial t } v _ { \bot } ( \textbf { r } , t ) ,
\begin{array} { r l } { b _ { 2 } } & { = - \left[ W ^ { 2 } + ( \hat { k } \cdot \vec { W } ) ^ { 2 } + 2 ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } \right] \; , } \\ { b _ { 4 } } & { = \left[ ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } + W ^ { 2 } \right] \left[ ( \hat { k } \cdot \vec { W } ) ^ { 2 } + ( \vec { v } _ { A } \cdot \vec { k } ) ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { i } = } & { { } e ^ { - \beta } \left( Q ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q ^ { 1 , t } \right) ^ { D } + \sum _ { n = 0 } ^ { K - 1 } C _ { D } ^ { n } \left( \sum _ { t = 2 } ^ { H } Q ^ { 1 , t } \right) ^ { n } \left( Q ^ { 0 } + Q ^ { 4 , 1 } \right) ^ { D - n } } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \alpha ) = \varepsilon _ { 0 } + \alpha ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \varepsilon _ { 3 } + \alpha ^ { 4 } \ln ( \alpha ) \varepsilon _ { 4 } ^ { \prime } + \alpha ^ { 4 } \varepsilon _ { 4 } \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } & { = \ln _ { 0 } [ z _ { 2 , \star } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \hat { z } _ { 2 } ] - \ln \hat { z } _ { 2 } - \ln z _ { 2 , \star } , } \\ { \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } & { = \ln [ z _ { 2 , \star } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \hat { z } _ { 2 } ] - \ln \hat { z } _ { 2 } - \ln z _ { 2 , \star } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { f } \left( s \right) } & { = } & { \int d \, \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \left( s \right) \, \int d \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) \, e ^ { - \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \, \left( s \right) \, a \left( s \right) \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) } } \\ & { = } & { a \left( s \right) } \end{array}
\Sigma ( q ) = 4 i \lambda \, \int \, \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( p - q ) ^ { 2 } } \frac { \Sigma ( p ) } { p ^ { 2 } - \Sigma ^ { 2 } ( p ) } ,
e ^ { - F } = e ^ { - F _ { 0 } } \Big < e ^ { - N ^ { 2 } ( S - S _ { 0 } ) } \Big > _ { S _ { 0 } } \ge e ^ { - [ F _ { 0 } + N ^ { 2 } \big < S - S _ { 0 } \big > _ { S _ { 0 } } ] } \; ,
\begin{array} { r l } { E I ( \textbf { x } ) = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { ( \mu ( \textbf { x } ) - \mu ^ { + } - \varepsilon ) \varphi ( Z ) + \sigma ( \textbf { x } ) \phi ( Z ) } & { \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } \sigma ( \textbf { x } ) > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } \sigma ( \textbf { x } ) = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } } & { = } & { \sum _ { { \bf k } + { \bf G } } \frac { ( { \bf k } + { \bf G } ) ^ { 2 } } { 2 } + U _ { 0 } ^ { P C } , } \\ { U _ { 0 } ^ { P C } ~ \Omega } & { = } & { \int V _ { x c } \left[ \tilde { n } + n ^ { h } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } \right] ~ d { \bf r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { - 1 } ( 0 ) \cong } & { { } U ( 1 ) } \\ { t ^ { - 1 } ( p ) \cong } & { { } \{ ( a , u ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \times U ( 1 ) : u a = p \} } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { K } \operatorname* { P r } ( X = k ) = \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \frac { { \binom { k + r - 1 } { k } } { \binom { N - r - k } { K - k } } } { \binom { N } { K } } } = { \frac { 1 } { \binom { N } { K } } } \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \binom { k + r - 1 } { k } } { \binom { N - r - k } { K - k } } = { \frac { 1 } { \binom { N } { K } } } { \binom { N } { K } } = 1 ,