harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \omega \Delta \omega } & { = - \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \omega n \cdot \nabla \omega } \\ & { = - \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n \cdot \nabla \omega } \\ & { = - \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 2 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \tau \cdot u _ { t } - \frac { 2 } { \mathrm { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \tau \cdot ( u \cdot \nabla ) u } \\ & { \qquad - 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \tau \cdot \nabla p + 2 \mathrm { { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } T n _ { 1 } } \\ & { = - \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { d } { d t } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 2 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot ( u \cdot \nabla ) u } \\ & { \qquad - 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p + 2 { \mathrm { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { c o s ( \omega S ) \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } D ^ { \alpha } \bigg \{ { c o s ( \omega S ) \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } ( \omega ) ^ { \alpha } c o s ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) = c o s ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) , } \\ & { D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { s i n ( \omega S ) \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } D ^ { \alpha } \bigg \{ { s i n ( \omega S ) \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } ( \omega ) ^ { \alpha } s i n ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) = \sin ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) , } \\ & { D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { e ^ { ( i \omega S ) } \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } D ^ { \alpha } \bigg \{ { e ^ { ( i \omega S ) } \bigg \} } = \frac { 1 } { D _ { 0 } } ( \omega ) ^ { \alpha } e ^ { ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) } = e ^ { i ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha ) } , } \end{array}
{ \cal { L } } _ { 4 q } ^ { ( \Lambda ) } = G ( { \bar { Q } } _ { L } ^ { i } t _ { R } ) ( { \bar { t } } _ { R } Q _ { L } ^ { i } ) + G ^ { \prime } ( { \bar { Q } } _ { L } ^ { i } t _ { R } ) ( { \bar { Q } } _ { L } ^ { j } t _ { R } ) ( { \bar { t } } _ { R } Q _ { L } ^ { i } ) ( { \bar { t } } _ { R } Q _ { L } ^ { j } ) ,
\begin{array} { r l r } { } & { } & { \frac { d f } { d t } ( t ) \cdot \left( f ( t ) - \gamma ( t ) \right) } \\ { } & { = } & { \left( \frac { d \gamma } { d t } ( t ) + \frac { d \lambda } { d t } ( t ) \widetilde { \nu } ( t ) + \lambda ( t ) \frac { d \widetilde { \nu } } { d t } ( t ) \right) \cdot \left( \lambda ( t ) \widetilde { \nu } ( t ) \right) } \\ { } & { = } & { \frac { d \gamma } { d t } ( t ) \cdot \left( \lambda ( t ) \widetilde { \nu } ( t ) \right) + \frac { d \lambda } { d t } ( t ) \lambda ( t ) } \\ { } & { = } & { \left( \beta ( t ) \mu ( t ) \right) \cdot \left( \lambda ( t ) \widetilde { \nu } ( t ) \right) + \left( - \beta ( t ) \left( \widetilde { \nu } ( t ) \cdot \mu ( t ) \right) \right) \lambda ( t ) } \\ { } & { = } & { \beta ( t ) \lambda ( t ) \left( \mu ( t ) \cdot \widetilde { \nu } ( t ) \right) - \beta ( t ) \lambda ( t ) \left( \widetilde { \nu } ( t ) \cdot \mu ( t ) \right) } \\ { } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big | \langle \mathbb { K } [ g ] ( t ) , \varphi _ { n } \rangle \big | \leq C \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , T ] } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( s ) ) \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , T ] } M _ { 0 , \beta } ( g ( s ) ) + C \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , T ] } M _ { 0 , - \alpha } ( g ( s ) ) \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , T ] } M _ { 1 , \beta } ( g ( s ) ) \leq C ( T ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { 0 } + } & { a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + \cdots + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \cdots a _ { n + 1 } } \\ & { = a _ { 0 } + a _ { 0 } ( a _ { 1 } + a _ { 1 } a _ { 2 } + \cdots + a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \cdots a _ { n + 1 } ) } \\ & { = a _ { 0 } + a _ { 0 } { \big ( } { \frac { a _ { 1 } } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } + } } \, \cdots { \frac { - a _ { n + 1 } } { 1 + a _ { n + 1 } } } { \big ) } } \\ & { = a _ { 0 } { \big ( } 1 + { \frac { a _ { 1 } } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } + } } \, \cdots { \frac { - a _ { n + 1 } } { 1 + a _ { n + 1 } } } { \big ) } } \\ & { = a _ { 0 } { \big ( } { \frac { 1 } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } + } } \, { \frac { - a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } + } } \, \cdots { \frac { - a _ { n + 1 } } { 1 + a _ { n + 1 } } } { \big ) } } \\ & { = { \frac { a _ { 0 } } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } + } } \, { \frac { - a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } + } } \, \cdots { \frac { - a _ { n + 1 } } { 1 + a _ { n + 1 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { { \partial _ { i } \partial _ { j } } } & { { = } } & { { q ^ { - 1 } \partial _ { j } \partial _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i < j ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ i \not = - j ~ , } } \\ { { \partial _ { - i } \partial _ { i } } } & { { = } } & { { \partial _ { i } \partial _ { - i } + \lambda q ^ { i - 2 } \Delta _ { i - 1 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { q ^ { - 2 } \partial _ { i } \partial _ { - i } + \lambda q ^ { i - 2 } \Delta _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i > 0 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { r e s } _ { p } ( \kappa ( f , { \boldsymbol { g } } , { \boldsymbol { h } } _ { \mathbf { v } ^ { 2 } - 1 } ) ) _ { \boldsymbol { g } } } & { = \mathrm { r e s } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ( \kappa _ { 2 } ( f , { \boldsymbol { g } } , { \boldsymbol { h } } _ { \mathbf { v } ^ { 2 } - 1 } ) ) } \\ & { \in { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( \mathbf { Q } _ { p } , V _ { \boldsymbol { g } } ^ { f h } ) \simeq { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( K _ { \bar { \mathfrak { p } } } , T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) . } \end{array}
p _ { 4 } = - \nu _ { 2 } - \nu _ { 0 } \Delta + i B _ { 0 } ^ { \prime } b - \frac { 1 } { 2 } ( \nu _ { 0 } + \nu _ { 2 } ) ( \nu _ { 0 } ^ { 2 } - U _ { 0 } ^ { 2 } ) \Delta ^ { 2 }
\mathbf { Q } _ { i j } ^ { e } = \left( \rho \mathbf { { u } } _ { i j } ^ { e } , \mathbf { B } _ { i j } ^ { e } \right) ^ { T } , \qquad \rho _ { i j } ^ { e } = \rho , \qquad \rho \mathbf { { u } } _ { i j } ^ { e } = \rho \mathbf { u } ^ { e } \left( \mathbf { x } _ { i j } \right) , \qquad \mathbf { B } _ { i j } ^ { e } = \mathbf { B } ^ { e } \left( \mathbf { x } _ { i j } \right)
\begin{array} { r l } & { \epsilon = \Big ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } \Big ) ^ { n } \Big [ F ( \mathbf { w } ^ { ( 0 ) } ) - F ( \mathbf { w } ^ { * } ) \Big ] + \frac { M \xi - u } { 2 \xi } } \\ & { \times \Bigg [ \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ^ { \prime } ) } | } \Big ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } \Big ) ^ { n - n ^ { \prime } - 1 } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ^ { \prime } ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ^ { \prime } ) } \| ^ { 2 } \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \zeta _ { s } ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } & { = \iint _ { ( - 1 , 1 ) \times ( - 1 , 1 ) } \frac { \Big | | x | ^ { 2 \, s - 1 } - | y | ^ { 2 \, s - 1 } \Big | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { 1 + 2 \, s } } \, d x \, d y } \\ & { + \frac { 1 } { s } \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \Big | 1 - | x | ^ { 2 \, s - 1 } \Big | ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 \, s } } \, d x + \frac { 1 } { s } \, \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \Big | 1 - | x | ^ { 2 \, s - 1 } \Big | ^ { 2 } } { ( 1 + x ) ^ { 2 \, s } } \, d x = \mathcal { I } _ { 1 } + \mathcal { I } _ { 2 } + \mathcal { I } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { p ( \theta ) = \frac { \sin ( \theta ) } { 2 } \, , } & { { } } & { p ( \varphi ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \, , } & { { } } & { p ( \psi ) = \frac { 2 \sin ( \psi ) ^ { 2 } } { \pi } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { J } ( \omega ) = } & { { } \frac { 1 } { 3 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } J ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { J ^ { \prime } + 1 } \left| \langle n ^ { \prime } J ^ { \prime } | \hat { \varepsilon } \cdot \mathbf { d } | J \rangle \right| ^ { 2 } } \end{array}
| \partial _ { R } \Theta ( R , Z , t ) | + | \partial _ { Z } \Theta ( R , Z , t ) | \, \le \, C ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } ) ( 1 + \rho ) ^ { N } \, , \qquad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) } & { = } & { V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \omega _ { i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) + \sum _ { i } \tilde { F } _ { i i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i i j j k k } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { ~ c ~ i ~ n ~ q ~ u ~ e ~ f ~ o ~ i ~ l ~ } } ( \rho , \phi ) = } & { { } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } } } \bigr ( 1 + \rho ^ { 2 } - 2 \rho ^ { 4 } - 2 \rho ^ { 6 } + \rho ^ { 8 } \rho ^ { 1 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } R } & { { } = \check { \rho } _ { 0 } + \epsilon \check { \rho } _ { 1 } , } & { V } & { { } = \check { v } _ { 0 } + \epsilon \check { v } _ { 1 } , \; } & { P } & { { } = \check { p } _ { 0 } + \epsilon \check { p } _ { 1 } , } \\ { T } & { { } = \check { \theta } _ { 0 } + \epsilon \check { \theta } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \check { \theta } _ { 2 } , \; } & { Y } & { { } = \check { c } _ { 0 } + \epsilon \check { c } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \check { c } _ { 2 } . } & { } & { { } } \end{array}
\Pi _ { 0 } ( x ) = \sum _ { n = 2 } ^ { x } { \frac { \Lambda ( n ) } { \ln n } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \Lambda ( x ) } { \ln x } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n } } \pi _ { 0 } ( x ^ { 1 / n } )
\begin{array} { l l l } { { A ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = } } & { { c ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \log ( { - \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) + c ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \log ( { - \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) + } } \\ { { } } & { { c ( \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \log ( { - \frac { \omega _ { 3 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) + c ( \omega _ { 4 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \log ( { - \frac { \omega _ { 4 } ^ { 2 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) + } } \\ { { } } & { { d ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \log ( { \frac { \omega _ { 1 3 } \omega _ { 2 4 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) + d ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \log ( { \frac { \omega _ { 2 3 } \omega _ { 1 4 } } { \omega _ { 1 2 } \omega _ { 3 4 } } } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Delta v ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 C } \left[ 2 \langle n \rangle + 1 \right] = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 C } \coth ( \hbar \omega _ { 0 } / 2 k T _ { \mathrm { p } } ) } \\ { ( \Delta i ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 L } \left[ 2 \langle n \rangle + 1 \right] = \frac { \hbar \omega _ { 0 } } { 2 L } \coth ( \hbar \omega _ { 0 } / 2 k T _ { \mathrm { p } } ) . } \end{array}
r ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } R _ { ( 0 ) } ( r ) + 2 r \partial _ { r } R _ { ( 0 ) } ( r ) + \frac { \omega ^ { 2 } \ell ^ { 4 } } { r ^ { 2 } } R _ { ( 0 ) } ( r ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { - \left\langle \alpha , \nabla \cdot \delta \phi _ { t } \right\rangle + f \left\langle \alpha , \nabla ^ { 2 } \psi \right\rangle + g \left\langle \alpha , \nabla \cdot \delta \eta \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { 2 } , } \\ { \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi _ { t } \right\rangle - f \left\langle \gamma , \nabla \cdot \delta \phi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \eta _ { t } + H \nabla \cdot \delta \phi = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r c c c c c } & { \sin 2 \alpha } & { : } & { \sin 2 \beta } & { : } & { \sin 2 \gamma } \\ { = } & { 1 - \cos \beta \cos \gamma } & { : } & { 1 - \cos \gamma \cos \alpha } & { : } & { 1 - \cos \alpha \cos \beta } \\ { = } & { a ^ { 2 } ( - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } & { : } & { b ^ { 2 } ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) } & { : } & { c ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) } \end{array} }
\frac { H _ { b } } { d } = f _ { H _ { b } } ( \frac { S } { d } , \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) \propto ( \frac { S } { d } ) ^ { \alpha _ { H _ { b } } } ( \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) ^ { \beta _ { H _ { b } } }
\begin{array} { r l } { \tilde { I } _ { p e } ( \bar { w } , \chi _ { e } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { \bar { w } } \frac { 9 w ^ { 2 } d w } { 2 ( 1 + s ) ^ { 3 } } \biggl \{ \left[ 1 + ( 1 + s ) ^ { 2 } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( w ^ { 3 } ) - ( 1 + s ) \int _ { w ^ { 3 } } ^ { \infty } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( y ) d y \biggr \} , } \end{array}
K _ { e f f } = \frac { K _ { S } } { t _ { C o } } + K _ { M C } - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } M _ { S } ^ { 2 } = \frac { K _ { S } } { t _ { C o } } + K _ { M C } - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } \left( \frac { M _ { C o } t _ { C o } + M _ { P t } t _ { P t } } { t _ { C o } + t _ { P t } + t _ { C u } } \right) ^ { 2 } = 0
\begin{array} { r l } & { Q _ { t } = [ a _ { x _ { i } } , b _ { x _ { i } } ] \times [ a _ { y _ { i } } , b _ { y _ { i } } ] \times [ a _ { z _ { i } } , b _ { z _ { i } } ] \subset \mathbb { R } ^ { 3 } , } \\ & { Q _ { s } = [ a _ { x _ { j } } , b _ { x _ { j } } ] \times [ a _ { y _ { j } } , b _ { y _ { j } } ] \times [ a _ { z _ { j } } , b _ { z _ { j } } ] \subset \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { i + 1 } ^ { \prime } < a _ { i } ^ { \prime } \leq b _ { i + 1 } ^ { \prime } + 1 , i = 3 , \ldots , r - 1 , a _ { 3 } ^ { \prime } < a _ { 1 } ^ { \prime } \leq b _ { 3 } ^ { \prime } + 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { r } ^ { \prime } < a _ { 2 } ^ { \prime } < a _ { r - 1 } ^ { \prime } , } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { a _ { i + 1 } ^ { \prime } < a _ { i } ^ { \prime } \leq b _ { i + 1 } ^ { \prime } + 1 , i = 4 , \ldots , r - 1 , a _ { 4 } ^ { \prime } < a _ { 2 } ^ { \prime } \leq b _ { 4 } ^ { \prime } + 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { 3 } ^ { \prime } < a _ { r } ^ { \prime } < a _ { 1 } ^ { \prime } < a _ { \ell } ^ { \prime } , } \end{array}
\hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } | \Psi _ { N } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { p \in \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ u ~ p ~ i ~ e ~ d ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ } } \\ { | \Psi _ { N + 1 } ^ { p } \rangle } & { p \in \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ t ~ u ~ a ~ l ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ } } \end{array} \right.
{ \cal G } _ { \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } } ^ { ( A ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = \left( { \frac { A } { \pi } } \right) ^ { ( \sum \alpha _ { i } - Q ) / b } { \frac { F _ { \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \Gamma ( ( Q - \sum \alpha _ { i } ) / b ) } } \, .
S = - \frac 1 4 \int _ { M } d ^ { 4 } x \ g ^ { \frac 1 2 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac a 2 \int _ { \partial M } d ^ { 3 } x \ \varepsilon ^ { i j k } A _ { i } \partial _ { j } A _ { k } ,
\begin{array} { r l } { \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } ) ( g ) } & { = \int \psi ( \mathrm { t r } ( x _ { 1 } ) ) f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( u _ { 0 } \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { g _ { 1 } } & { 0 } & { g _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 4 n ( k - 2 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { g _ { 3 } } & { 0 } & { g _ { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) d u _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } ( u , v ) \cdot \mathcal { P } ( v , w ) } & { = } & { \{ x _ { n } | x _ { n } = w _ { n } \in \mathcal { P } ( u , v ) , \; n = 0 , \ldots , L _ { 1 } ; } \\ & { } & { \qquad x _ { n + L _ { 1 } } = w _ { n } \in \mathcal { P } ( v , w ) , \; n = 0 , \ldots , L _ { 2 } \} \, , } \\ & { } & { \quad L _ { 1 } = | \mathcal { P } ( u , v ) | - 1 \, , \; \; \; L _ { 2 } = | \mathcal { P } ( v , w ) | - 1 \, . } \end{array}
I = - \nu { \frac { \Gamma ( - \nu ) } { \Gamma ( \nu ) } } \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } \tilde { A } _ { i } ( { \bf k } ) \left[ ( \delta _ { i j } - { \frac { k _ { i } k _ { j } } { | { \bf k } | ^ { 2 } } } ) + { \frac { \bar { c } } { c } } { \frac { k _ { i } k _ { j } } { | { \bf k } | ^ { 2 } } } \right] \left( { \frac { | { \bf k } | } { 2 } } \right) ^ { 2 \nu } \tilde { A } _ { j } ( - { \bf k } ) .
\mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ r ~ e ~ s ~ s ~ i ~ b ~ l ~ e ~ : ~ \quad ~ } \partial _ { \eta } \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { u u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v u \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \\ { \partial _ { u v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } & { \partial _ { v v \eta } f _ { 3 } ( \mathbf { r } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) , t ) \vert _ { \eta = 0 } } \end{array} \right) ,
\eta _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { \hfil } } & { { \hfil } } & { { \hfil } } \\ { { \hfil } } & { { 1 } } & { { \hfil } } & { { \hfil } } \\ { { \hfil } } & { { \hfil } } & { { 1 } } & { { \hfil } } \\ { { \hfil } } & { { \hfil } } & { { \hfil } } & { { 1 } } \end{array} \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \Theta } & { = \frac { 1 } { m _ { 3 } } \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } ( P _ { \vec { \mathbf { k } } } - S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m _ { 3 } } \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } P _ { \vec { \mathbf { k } } } \left[ \frac { \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 ) } \Theta + \beta _ { 3 } k ^ { ( 3 ) } \Theta ^ { 2 } } { \mu + \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 ) } \Theta + \beta _ { 3 } k ^ { ( 3 ) } \Theta ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ~ \frac { \vert \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { 1 } \vert ^ { 2 } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { 1 1 } } { \lambda _ { 1 } } + 2 \epsilon \! \left[ \sum _ { i > 1 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { 1 } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { i } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { t } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { 1 i } } { \bar { \lambda } _ { 1 } + \lambda _ { i } } + \! \sum _ { i , j > 1 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { j } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } ) _ { i j } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } + \mathrm { c . c . } \right] . } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { 2 \sqrt { 2 } } \, V _ { c b } ( \bar { b } ^ { i } \Gamma _ { \mu } c _ { j } ) \, V _ { u s } ^ { * } ( \bar { u } ^ { k } \Gamma ^ { \mu } s _ { l } ) \, C _ { \pm } \left( { \delta ^ { i } } _ { j } \, { \delta ^ { k } } _ { l } \pm { \delta ^ { i } } _ { l } \, { \delta ^ { k } } _ { j } \right) + \ldots
\exp \left[ - \lambda ^ { 2 } \frac { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { \theta } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \frac { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \theta } \right] \sim \frac { \pi \theta } { 2 \pi R _ { 1 } } \delta ( x ^ { 2 } ) ,
\hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } ( \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ) \, .
U _ { j } ^ { * } \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } - U _ { j } \frac { \partial U _ { i } ^ { * } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial P ^ { * } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \left( \nu + \nu _ { t } \right) S _ { i j } ^ { * } ) } { \partial x _ { j } } + \tilde { \nu } ^ { * } \frac { \partial \tilde { \nu } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \tilde { \nu } ^ { * } \partial _ { \nabla U _ { i } } \left( S _ { p } + S _ { d } \right) \right) = \frac { \partial J } { \partial U _ { i } } ,
\sum _ { n = m - N } ^ { N } ( \vec { \alpha } _ { n } \cdot \vec { \alpha } _ { m - n } - \vec { \beta } _ { n } \cdot \vec { \beta } _ { m - n } ) = 4 \delta _ { m 0 } , \quad m = 0 , 1 , \dots , 2 N ,
P _ { x y } ^ { \phi } = \frac { 1 } { 4 } \left[ - { Q ^ { \phi } } _ { x y } + 2 { Q _ { x y } ^ { \phi } } + { Q ^ { \phi } } g _ { x y } - \bar { Q } ^ { \phi } g _ { x y } - \delta _ { ( x Q _ { y } ) } ^ { \phi } \right]
( x _ { k } - x _ { j } ) \in \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = j } ^ { \ell } \prod _ { k _ { 0 } = \ell + m + 3 } ^ { N + 3 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } ^ { - 1 } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = 1 } ^ { j } \prod _ { k _ { 0 } = k + 1 } ^ { \ell + m + 1 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) .
\Xi ^ { 2 p } = \left[ \oplus _ { j = 0 , ( e v e n ) } ^ { 2 p } \Lambda ^ { j } ( M ) \right] \oplus \left[ \oplus _ { j = 0 , ( e v e n ) } ^ { 2 p } \Lambda ^ { j } ( M ) \right] \oplus \left[ \oplus _ { j = 1 , ( o d d ) } ^ { 2 p - 1 } \Lambda ^ { j } ( M ) \right] \oplus \left[ \oplus _ { j = 1 , ( o d d ) } ^ { 2 p - 1 } \Lambda ^ { j } ( M ) \right]
\begin{array} { r l } { T ( x , y ) } & { { } = 0 + 0 ( x - 0 ) + 1 ( y - 0 ) + { \frac { 1 } { 2 } } { \Big ( } 0 ( x - 0 ) ^ { 2 } + 2 ( x - 0 ) ( y - 0 ) + ( - 1 ) ( y - 0 ) ^ { 2 } { \Big ) } + \cdots } \end{array}
i D _ { T } ^ { i j } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \beta _ { 0 } ^ { n } \, \alpha _ { s } ^ { n } \, \left[ \; - \ln \left( { \frac { - l ^ { 2 } - i \epsilon } { \mu ^ { 2 } } } \right) \, - \, C \; \right] ^ { n } \, \, { \frac { i ( \delta ^ { i j } \, - \, l ^ { i } l ^ { j } / \mathrm { \boldmath ~ l ~ } ^ { 2 } ) } { l ^ { 2 } + i \epsilon } } \; .
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = } & { { } \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } ( - \mathrm { i } ) ^ { M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { = \omega _ { 1 } \frac { 1 } { 1 + x _ { n } ^ { h } } - \gamma _ { 1 } x _ { 1 } } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { = \omega _ { 2 } x _ { 1 } - \gamma _ { 2 } x _ { 2 } } \\ { : } & { } \\ { \frac { d x _ { n } } { d t } } & { = \omega _ { n } x _ { n - 1 } - \gamma _ { n } x _ { n } } \end{array}