harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { a _ { 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - a _ { 1 } - a _ { 2 } - \ldots - a _ { n - 1 } } & { - a _ { 1 } - a _ { 2 } - \ldots - a _ { n - 1 } } & { \ldots } & { - a _ { 1 } - a _ { 2 } - \ldots - a _ { n - 1 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } : \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \oplus \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \longrightarrow \textup { G L } ( 2 , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { d e f i n e d ~ a s ~ } } & { \varphi _ { 1 } ( 1 , 0 ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \varphi _ { 1 } ( 0 , 1 ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \varphi _ { 2 } ( 1 , 0 ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \varphi _ { 2 } ( 0 , 1 ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\Theta _ { p } ( x ) = ( 2 \epsilon _ { p } ) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i \epsilon _ { p } t } \varphi _ { p } ( z ) , \quad \varphi _ { p } ( z ) = ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 2 } e ^ { i p z } , \quad \epsilon _ { p } = \sqrt { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } , \quad - \infty < p < \infty ,
\begin{array} { r } { \overline { { \epsilon } } _ { i j } ( \omega ) = \epsilon ( \omega ) \, \delta _ { i j } + \frac { i } { 2 \omega } \left[ \, a _ { i } \left( { \bf c } \times { \bf n } \right) _ { j } + c _ { i } \left( { \bf a } \times { \bf n } \right) _ { j } \, \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial } { \partial \omega } \varphi \right| } & { { } \leq \left| \frac { 1 } { \widetilde { r } } \left( \widetilde { q } ^ { \prime } - q ^ { \prime } \right) \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { \widetilde { r } } \left( \frac { r - \widetilde { r } } { r } \right) \right| + \left| \frac { q ^ { \prime } } { r } \left( 1 - e ^ { i \varphi } \right) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) \big ) = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \delta ( \ast e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n } \langle d e _ { \omega } ^ { 2 } , ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { - \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { 2 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V } & { { } = } & { n _ { c } \, , \, \, \, A = - 6 n _ { c } + 2 n _ { f } \, , \, \, \, B = ( 3 n _ { c } - 2 n _ { f } + n _ { e } ) / 2 \, , } \\ { \chi } & { { } = } & { - n _ { c } + n _ { f } - n _ { e } + n _ { v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ E ~ N ~ C ~ } ^ { 2 } } & { { } = 2 q ( I _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ k ~ } } + I _ { k } ) F _ { i } \tau _ { \mathrm { ~ p ~ } } + 4 k T R _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } C _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { 2 } \frac { F _ { \nu } } { \tau _ { \mathrm { ~ p ~ } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S _ { x } \rightarrow U ^ { \dagger } S _ { x } U } & { = e ^ { i \theta S _ { z } } S _ { x } e ^ { - i \theta S _ { z } } } \\ & { = S _ { x } + ( i \theta ) \left[ S _ { z } , S _ { x } \right] + \left( { \frac { 1 } { 2 ! } } \right) ( i \theta ) ^ { 2 } \left[ S _ { z } , \left[ S _ { z } , S _ { x } \right] \right] + \left( { \frac { 1 } { 3 ! } } \right) ( i \theta ) ^ { 3 } \left[ S _ { z } , \left[ S _ { z } , \left[ S _ { z } , S _ { x } \right] \right] \right] + \cdots } \end{array} }
\langle \hat { A } \rangle _ { k } \equiv \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } \hat { A } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - m \tau \hat { H } } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( I _ { 1 } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } R _ { j } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } \partial _ { j } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) \right) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \\ & { \quad = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } | \widetilde { \boldsymbol { x } } | ^ { - 1 } \ \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } R _ { j } ^ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } \partial _ { j } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) \right) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \\ & { \quad = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } | \widetilde { \boldsymbol { x } } | ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } - i \frac { \widetilde { x } _ { j } } { | \widetilde { \boldsymbol { x } } | } \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } \partial _ { j } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \\ & { \quad = ( 2 \pi ) ^ { - 1 } | \widetilde { \boldsymbol { x } } | ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } - i \frac { \widetilde { x } _ { j } } { | \widetilde { \boldsymbol { x } } | } 2 \pi i \widetilde { x } _ { j } \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } ( f ) ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } ( f ) ( \boldsymbol { x } ) . } \end{array}
\varepsilon = - \frac 1 { 1 6 } \eta _ { 0 } ^ { 4 } + \int _ { 0 } ^ { \eta _ { 0 } / \sqrt 2 } q ^ { 2 } \, d q \; \left[ q ^ { 2 } + { \cal M } ^ { 2 } ( \infty ) \right] \; M _ { q } ( \infty ) ^ { 2 } + { \cal O } ( g ) \; .
i \omega \phi + a \phi _ { , x } - \kappa \phi _ { , x x } + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \left( i \omega \phi + 2 a \phi _ { , x } - \kappa \phi _ { , x x } \right) _ { , x x } + O ( h ^ { 4 } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 1 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) } & { = 2 \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 2 } } \, \mathrm { , } } \\ { \Phi _ { E _ { 2 } , 2 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) } & { = 2 \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 1 } + \vec { \delta } _ { 2 } ) } - \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } + \vec { \delta } _ { 1 } ) } - \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } - \vec { \delta } _ { 2 } ) } \, \mathrm { . } } \end{array}
\omega _ { n } ^ { ( + ) } \; = \; \frac { 2 \pi } { \beta } n \; = \; \pi n M \; \; , \; \; \; \omega _ { n } ^ { ( - ) } \; = \; \frac { 2 \pi } { \beta } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \; = \; \pi ( n + \frac { 1 } { 2 } ) M \; ,
\begin{array} { r l } { - u \, p _ { \varepsilon } ( t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) } & { = - u \, ( p _ { 0 } ( t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) + \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, \varepsilon ) } \\ & { = t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \varepsilon \, u \, \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( \mathbf { r } ; z _ { m } ) \approx e ^ { - ( { i l } / { 4 k } ) \Delta _ { \mathbf { r } } } e ^ { - i \phi ( \mathbf { r } ) } e ^ { - ( { i l } / { 4 k } ) \Delta _ { \mathbf { r } } } u ( \mathbf { r } ; z _ { m - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { { } s _ { 1 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 1 2 } \gamma ^ { m - 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 1 2 } \frac { 1 - \gamma ^ { m - 1 } } { 1 - \gamma } \kappa , } \\ { \hat { b } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { { } s _ { 2 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 2 2 } \gamma ^ { m - 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 2 2 } \frac { 1 - \gamma ^ { m - 1 } } { 1 - \gamma } \kappa , } \end{array}
- 2 f _ { n } \; \frac { d f _ { n } } { d n } \; \frac { d n } { d M _ { n } } \; n = \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \; M _ { n } \; \biggl ( \frac { 4 \mu } { M _ { n } } \biggr ) ^ { 2 } \; .
R _ { 0 0 } \sim \sum _ { i > 0 } \frac { \partial \Gamma _ { 0 0 } ^ { i } } { \partial x ^ { i } } \sim \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i > 0 } \Big ( \frac { \partial \varepsilon _ { 0 i } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { 0 } } + \frac { \partial \varepsilon _ { 0 i } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { 0 } } - \frac { \partial \varepsilon _ { 0 0 } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { i } } \Big ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \xi ^ { P _ { I } } = - \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } a _ { 2 5 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } \, . } \end{array}
\prod _ { \substack { ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c , d \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - w ^ { a } x ^ { b } y ^ { c } z ^ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { a b c d } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \frac { w ^ { h } } { \sqrt [ 4 ] { h } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { \sqrt [ 4 ] { i } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { \sqrt [ 4 ] { j } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { \sqrt [ 4 ] { k } } \right) \right\} .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \xi } S } & { = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \sqrt { - g } \Big [ \delta _ { \xi } g ^ { \mu \nu } \overline { { G } } _ { \mu \nu } + \delta _ { \xi } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \nu } ^ { \lambda } P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \Big ] d ^ { 4 } x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \sqrt { - g } \Big [ - 2 \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { ( \mu } \xi _ { \nu ) } \overline { { G } } ^ { \mu \nu } + \big ( \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \xi ^ { \lambda } + \xi ^ { \rho } \overline { { R } } _ { \rho \mu \nu } ^ { \lambda } - \nabla _ { \mu } ( T ^ { \lambda } _ { \nu \rho } \xi ^ { \rho } ) \big ) P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \Big ] d ^ { 4 } x } \\ & { = \textrm { b o u n d a r y t e r m s } + \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \sqrt { - g } \xi ^ { \mu } \Big [ 2 \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \nu } \overline { { G } } ^ { ( \nu } _ { \mu ) } } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \nabla _ { \nu } \nabla _ { \lambda } ( \sqrt { - g } P ^ { \lambda \nu } _ { \mu } ) + \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \nabla _ { \nu } ( \sqrt { - g } P ^ { \nu \lambda } _ { \rho } ) T ^ { \rho } _ { \lambda \mu } + \overline { { R } } _ { \mu \nu \lambda } ^ { \rho } P ^ { \nu \lambda } _ { \rho } \Big ] d ^ { 4 } x = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \delta } ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) = } & { \mu _ { 1 } ( N ) + \mu _ { 2 } ( N ) - 2 \int _ { N \times N } \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } } { \gamma } ( u , v ) \overline { { \cos } } ( d ( u , v ) / 2 \delta ) d \gamma ( u , v ) } \\ { = } & { \int _ { N \times N } \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } \, d \gamma + \int _ { N \times N } \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } \, d \gamma - 2 \int _ { N \times N } \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } ( u , v ) \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } ( u , v ) } \overline { { \cos } } ( d ( u , v ) / 2 \delta ) d \gamma ( u , v ) } \\ { = } & { \int _ { \rho ^ { - 1 } ( N \times N ) } \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } \circ \rho \, d m + \int _ { \rho ^ { - 1 } ( N \times N ) } \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } \circ \rho \, d m } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - 2 \int _ { \rho ^ { - 1 } ( N \times N ) } \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma } \circ \rho ( x ) } \overline { { \cos } } ( d ( \rho ( x ) ) / 2 \delta ) d m } \\ { = } & { \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) ^ { 2 } \, d m + \int _ { M } \hat { q _ { 2 } } ( x ) ^ { 2 } \, d m - 2 \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( x ) \overline { { \cos } } ( d ( \overline { { q _ { 1 } } } , \overline { { q _ { 2 } } } ) / 2 \delta ) d m = d _ { L ^ { 2 } } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } = k _ { x } ^ { E } k _ { x } ^ { H } + k _ { y } ^ { E } k _ { y } ^ { H } + k _ { z } ^ { E } k _ { z } ^ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { I C G } } = T _ { \mathrm { a r } } e ^ { - \alpha d } \left( 1 - R _ { \mathrm { I C G } } \right) } \\ { T _ { \mathrm { r e f } } = T _ { \mathrm { a r } } e ^ { - \alpha d } \left( 1 - R _ { \mathrm { p l a i n } } \right) } \end{array}
\operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { a ^ { 2 } } & { p ^ { 2 } } & { d ^ { 2 } } & { 1 } \\ { a ^ { 2 } } & { 0 } & { b ^ { 2 } } & { q ^ { 2 } } & { 1 } \\ { p ^ { 2 } } & { b ^ { 2 } } & { 0 } & { c ^ { 2 } } & { 1 } \\ { d ^ { 2 } } & { q ^ { 2 } } & { c ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } = 0 .
\delta \langle { n _ { p } } \rangle = - \langle { n _ { p } } \rangle ( 1 + \langle { n _ { p } } \rangle ) { \frac { \delta \epsilon _ { p } } { T } } = - { v } _ { p } ^ { 2 } { \frac { 1 } { T } } { \frac { \delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { p } } } ,
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \lambda } } { d T ^ { 2 } } } = - { \frac { d x ^ { \nu } } { d T } } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d T } } \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } X ^ { \mu } } { \partial x ^ { \nu } \partial x ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \lambda } } { \partial X ^ { \mu } } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \textbf { k } } \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] } \\ { = } & { \nabla _ { \textbf { k } } \left\{ \int _ { s } ^ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } + \beta _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } - \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } \right\} } \\ { = } & { \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \left[ \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } + \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { ( m - 1 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + ( k - 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a _ { m - 1 , m - 1 } } & { } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d _ { 0 , m - 1 } } \\ { d _ { 1 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
\left\{ { \begin{array} { l } { { v _ { s - 1 } ( x ) = \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm { d } y + C _ { s - 1 } | x - P | ^ { \gamma _ { 1 } ( \mathcal { C } _ { k } ) } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) , } } \\ { } \\ { { v _ { s - 2 } ( x ) = \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( x , y ) v _ { s - 1 } ( y ) \mathrm { d } y + C _ { s - 2 } | x - P | ^ { \gamma _ { 1 } ( \mathcal { C } _ { k } ) } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) , } } \\ { } \\ { \cdots \cdots } \\ { } \\ { { u ( x ) = \int _ { \mathcal { C } _ { k } } G _ { \mathcal { C } _ { k } } ^ { 1 } ( x , y ) v _ { 1 } ( y ) \mathrm { d } y + C _ { 0 } | x - P | ^ { \gamma _ { 1 } ( \mathcal { C } _ { k } ) } \varphi _ { 1 } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) , } } \end{array} } \right.
u = \frac { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } } { x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 4 } ^ { 2 } } , \quad v = \frac { x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } } { x _ { 1 4 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { i \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 1 } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 9 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 3 } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 9 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \\ { i \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 4 } ( p ^ { 2 } ) - \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 2 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] , } \end{array}
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial t ^ { + } } } + \overline { { U _ { j } ^ { + } } } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { + } } \left( \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } \right) ; ~ i , j = { 1 , 2 , 3 } .
\begin{array} { r l r } { X ( g ^ { 0 } , \pi / 4 ) } & { = } & { 0 , } \\ { X ( g ^ { 1 } , \pi / 4 ) } & { = } & { - 0 . 2 0 7 1 1 , } \\ { X ( g ^ { 2 } , \pi / 4 ) } & { = } & { - 0 . 3 9 6 0 2 , } \\ { X ( g ^ { 3 } , \pi / 4 ) } & { = } & { - 0 . 4 8 6 6 9 , } \\ { X ( g ^ { 4 } , \pi / 4 ) } & { = } & { - 0 . 4 9 9 7 8 , } \\ & { \vdots } & \\ { X ( g ^ { \infty } , \pi / 4 ) } & { = } & { - 0 . 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { a s } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { a } _ { a s } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } d \omega , } \\ { b _ { a c } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \bar { b } _ { a c } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } d \omega . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { \bf { e } } \\ { \zeta ^ { ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { \zeta ^ { ( n ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { \bf { S } } & { \bf { b ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } & { \bf { b ^ { ( n ) } } } \\ { { \bf { b ^ { ( 1 ) } } } ^ { T } } & { a _ { 2 , 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 , n + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \bf { b ^ { ( n ) } } } ^ { T } } & { a _ { 2 , n + 1 } } & { \cdots } & { a _ { n + 1 , n + 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \bf { \sigma } } \\ { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { p _ { f } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] \, ,
\Delta p _ { \mathrm { l u b } } = \frac { \sigma } { R ^ { 2 } } \frac { C a } { P r } \left[ \frac { 3 M a R } { H _ { 0 } } - \frac { 1 } { B r } \right] \left( L - X \right) + \frac { \rho _ { s } \mathcal { L } G } { T _ { m } } X ,
\delta ( \epsilon _ { n _ { 1 } } - \epsilon _ { n _ { 2 } } - \hbar \Omega ) = \frac { 1 } { \hbar \left| \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \right| } \delta \left( v _ { F } k - \frac { \Omega } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \quad \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { t + 1 } ^ { \prime } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } \right) \mathbb E \left[ \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + C _ { V } T ^ { \frac 1 2 - \delta } \right) \mathbb E \left[ \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + C _ { V } T ^ { \frac 1 2 - \delta } \right) \left( 4 \ln T + \ln K \right) \mathbb E \left[ T ^ { - \left( \frac 1 4 - \frac \delta 2 \right) } L _ { T - 1 } \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + C _ { V } \right) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \left( 4 \ln T + \ln K \right) L _ { T - 1 } \mathbb E \left[ \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } ( \hat { Q } ) \leq \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } + \frac { 5 6 ( T ^ { 2 } + 1 ) B _ { R } \log \{ { T | \mathcal { Q } | | \mathcal { Z } | } / { \delta } \} } { 3 n } + \sqrt { \frac { 3 2 ( T ^ { 2 } + 1 ) B _ { R } \log \{ { T | \mathcal { Q } | | \mathcal { Z } | } { \delta } } { n } \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } \} } + o _ { p } ( n ^ { - 1 } ) , } \end{array}
M _ { m ^ { \prime } m } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ ~ ~ \bar { ~ } k ~ ( ~ t ~ ) ~ = ~ m ~ ~ ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ ~ ~ \bar { ~ } k ~ ( ~ t ~ + ~ \Delta ~ ) ~ = ~ m ~ ' ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ ~ ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { { } = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } ( - 2 4 . 5 a _ { 0 } ) \bigg ( 1 - \frac { 1 9 2 . 3 } { 7 3 6 . 8 - ( 5 7 7 . 4 + 5 \sin \omega _ { \mathrm { i n t } } t ) } \bigg ) } \end{array}
P _ { e } = \bar { P } _ { s } + { \frac { 1 } { 2 } } [ ( 1 - 2 \bar { P } _ { s } ) \sin ^ { 2 } 2 \theta - \sqrt { \bar { P } _ { s } ( 1 - \bar { P } _ { s } ) } \sin 4 \theta ] ,
H _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , . . . , \mathbf { k } _ { n - 1 } ) = \rho _ { 0 } S _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , . . . , \mathbf { k } _ { n - 1 } )
s = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } / m _ { \pi } ^ { 2 } , \, t = ( p _ { 1 } + p _ { 3 } ) ^ { 2 } / m _ { \pi } ^ { 2 } , \, \mathrm { a n d } \, u = ( p _ { 1 } + p _ { 4 } ) ^ { 2 } / m _ { \pi } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname { t r } _ { M _ { \mathrm { a c } , \nu } } ( S _ { a } \setminus S ^ { \prime } ) = \operatorname { t r } \big ( M _ { \mathrm { a c } , \nu } ( S _ { a } \setminus S ^ { \prime } ) \big ) = \operatorname { t r } \left( \int _ { ( S _ { a } \setminus S ^ { \prime } ) } F { \: \mathrm { d } } \nu \right) = \int _ { ( S _ { a } \setminus S ^ { \prime } ) } \operatorname { t r } F ( t ) \, { \: \mathrm { d } } \nu ( t ) . } \end{array}
T ( y ) = T _ { i n } + \frac { q _ { s } ^ { \prime \prime } H } { k } \left[ - \left( \frac { y } { H } \right) ^ { 4 } + 2 \left( \frac { y } { H } \right) ^ { 3 } - \frac { y } { H } + 0 . 2 4 3 \right]
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { F } _ { 1 } , \mathbf { F } _ { 2 } , . . . , \mathbf { F } _ { N } ) } & { \sim \mathcal { N } ( \mu _ { F } , \sigma _ { F } ^ { 2 } ) } \\ { \mu _ { F } \sim \mathcal { N } ( \gamma _ { F } , \sigma ^ { 2 } \nu ^ { - 1 } ) , \ \ } & { \ \sigma _ { F } ^ { 2 } \sim \Gamma ^ { - 1 } ( \alpha , \beta ) } \end{array}