harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \displaystyle { d S ( t ) } = ( \Lambda - \beta S ( t ) I ( t ) - \mu S ( t ) ) d t + \sigma _ { 1 } S ( t ) d B _ { 1 } ( t ) + \int _ { \mathbb { Z } } C _ { 1 } ( z ) S ( t - ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ & { { d I ( t ) } = ( \beta S ( t ) I ( t ) - ( \gamma + \mu + \epsilon ) I ( t ) ) d t + \sigma _ { 2 } I ( t ) d B _ { 2 } ( t ) + \int _ { \mathbb { Z } } C _ { 2 } ( z ) I ( t - ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \\ & { { d R ( t ) } = ( \gamma I ( t ) - \mu R ( t ) ) d t + \sigma _ { 3 } R ( t ) d B _ { 3 } ( t ) + \int _ { \mathbb { Z } } C _ { 3 } ( z ) R ( t - ) \tilde { N } ( d t , d z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } } \boldsymbol { \cdot } \left[ \frac { \boldsymbol { v } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } { \boldsymbol { v } ^ { 2 } } \right] \sim - \frac { m _ { i } } { T _ { i 0 } } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { s c a t } [ n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } , \mathbf { R } ) } ] = \; } & { \; \; \; \sum _ { \mathbf { q } } k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } \cdot n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } } \\ & { - \sum _ { \mathbf { q } } k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } \cdot n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } } \\ & { - k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) S _ { D } } \cdot n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } } \\ & { - k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } ^ { r a d } \cdot n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } \delta _ { \mathbf { Q } , \Gamma } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { E \mathrm { g c } 1 } } & { { } = } & { \frac { q } { c } \Psi _ { 1 } \; { \sf d } \theta \; + \; m { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \, { \sf d } \psi + \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \, { \sf d } \theta \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { c ( \varepsilon , r ) \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { c ( \varepsilon , r ) \int _ { B } \big [ f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \big ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho ^ { * } } - 2 } \, \mathrm { d } x + c } \\ & { \leq } & { \tilde { \varepsilon } \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + c ( \tilde { \varepsilon } , \varepsilon , r ) \int _ { B } \eta ^ { 2 ( k - \rho ^ { * } ) } \, \mathrm { d } x + c \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { D B R B D } ( x , v ) = + 2 \lambda _ { r } ( x ^ { 6 } + 2 v x ^ { 3 } ( - v x ^ { 3 } ) _ { + } ) + v x , } \\ & { h _ { B D R D B } ( x , v ) = - 2 \lambda _ { r } ( x ^ { 6 } + 2 v x ^ { 3 } ( - v x ^ { 3 } ) _ { + } ) + 8 ( - v x ^ { 3 } ) _ { + } ( - 3 x ^ { 2 } + 2 x ^ { 6 } ) - 2 v x , } \\ & { h _ { D R B R D } ( x , v ) = + 2 \lambda _ { r } ( x ^ { 6 } + v x ^ { 3 } ( 3 ( - v x ^ { 3 } ) _ { + } + ( v x ^ { 3 } ) _ { + } ) ) + v x + ( \lambda _ { r } ^ { 2 } v x ^ { 3 } ) / 2 . } \end{array}
Q ^ { 2 } F _ { \eta ^ { \prime } g ^ { * } g ^ { * } } ( Q ^ { 2 } , \omega = 0 ) \stackrel { Q ^ { 2 } \to \infty } { \longrightarrow } - \frac { 8 \pi C \alpha _ { \mathrm { s } } ( Q ^ { 2 } ) } { 3 } .
{ \begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } = } & { \ { \frac { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ( x - x _ { 3 } ) + ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( y - y _ { 3 } ) } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { T } ) } } } \\ & { = { \frac { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ( x - x _ { 3 } ) + ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( y - y _ { 3 } ) } { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) + ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) } } } \\ { \lambda _ { 2 } = } & { \ { \frac { ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ( x - x _ { 3 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( y - y _ { 3 } ) } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { T } ) } } } \\ & { = { \frac { ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ( x - x _ { 3 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( y - y _ { 3 } ) } { ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) + ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) } } } \\ { \lambda _ { 3 } = } & { \ 1 - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } \end{array} }
\mathsf { L } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { \mathsf { D } ^ { 0 + } } \\ { 0 } & { \mathsf { D } ^ { 0 + } \mathsf { K } ^ { h h } \mathsf { D } } & { \mathsf { D } ^ { 0 + } \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathsf { D } _ { W } } \\ { \mathsf { D } } & { \mathsf { D } + \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathsf { D } } & { \mathsf { D } ^ { 1 + } \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathsf { D } _ { W } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { p _ { t } ^ { \mathrm { { e } } } \leq C ^ { \mathrm { e } } z _ { t } ^ { \mathrm { { o n } } } + P ^ { \mathrm { s b } } z _ { t } ^ { \mathrm { { s b } } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { e } } \geq P ^ { \mathrm { { m i n } } } z _ { t } ^ { \mathrm { o n } } + P ^ { \mathrm { { s b } } } z _ { t } ^ { \mathrm { s b } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } . } \end{array}
\left| i , k _ { 1 } \ldots k _ { n } \right\rangle = C _ { 0 } \left| f , 0 \right\rangle \ + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \int { d ^ { 4 } p _ { 1 } \ldots d ^ { 4 } p _ { m } \left| f , p _ { 1 } \ldots p _ { m } \right\rangle } \left\langle f , p _ { 1 } \ldots p _ { m } \right| i , k _ { 1 } \ldots k _ { n } \rangle ~ .
\left\| f - \sum _ { j = 1 } ^ { J } c _ { j } S t _ { r _ { j } } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } ( f _ { j } ) \right\| _ { \mathcal { H } ( p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) } = \left\| \sum _ { j = J + 1 } ^ { \infty } c _ { j } S t _ { r _ { j } } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } ( f _ { j } ) \right\| _ { \mathcal { H } ( p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) } \le \sum _ { j = J + 1 } ^ { \infty } | c _ { j } | \rightarrow 0 ~ ~ ( J \rightarrow \infty ) .
\tilde { E } _ { \eta } ( \tau , \mathbf { x } ) = - Z e \int \frac { 1 } { { ( \tau ^ { \prime } ) } ^ { 2 } } \bar { G } ( \tau , \mathbf { x } ; \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \partial _ { \eta } \tilde { \rho } ( \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \sqrt { g ( \tau ^ { \prime } ) } d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } d \tau ^ { \prime }
{ \cal L } = v H ^ { - * } \tilde { t } ^ { * } { \cal E } \tilde { b } + { \frac { g _ { 2 } \tan \beta m _ { \ell } } { \sqrt 2 M _ { W } } } \bar { \nu } _ { L } \ell _ { R } H ^ { - * } - \mathrm { \frac { ~ g _ { 2 } } { \surd 2 ~ } } W _ { \sigma } ^ { - * } ( \bar { \ell } _ { L } \gamma ^ { \sigma } \nu _ { L } + \tilde { t } ^ { * } { \cal K } i { \stackrel { \leftrightarrow } { \partial ^ { \sigma } } } \tilde { b } ) \mathrm { ~ + ~ H . c . ~ }
\begin{array} { r l } { { f } _ { 2 } ( \cdot , u ) u _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ( \nu _ { 2 } - \varepsilon ) } \Big ( \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n , 2 } ( \cdot ) | \, | g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) | \Big ) ^ { 2 } } & { + \frac 1 2 \| g _ { 1 } ( \cdot , u ) \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq M _ { 0 } ( M _ { 1 } | u _ { 2 } | ^ { 2 } + M _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \bigcup _ { R ^ { \prime } } \left( N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , \ldots , Y _ { N } ; R ^ { \prime } \right) > \lambda \right) \Big ) } \\ & { \leq ( 2 e ) ^ { d } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi d } } \cdot ( N + 1 ) ^ { d } \cdot \exp ( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { k } ( l , l ^ { \prime } ) = \sin { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } + \frac { \sin { ( \varphi q ) } \cos { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } } + \frac { i \sin { ( k q ) } \sin { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } } } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } { D _ { c } \pi ^ { \mu } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { \mu } ( \pi _ { \alpha } \pi ^ { \alpha } ) + \frac { e } { \sigma _ { r e l } } F ^ { \mu \alpha } \pi _ { \alpha } } \\ { D _ { s } \pi ^ { \mu } } & { { } = } & { \sigma _ { r e l } \left( \nabla ^ { \mu } \nabla _ { \alpha } \pi ^ { \alpha } + \frac { \nabla _ { \alpha } n } { n } \nabla ^ { \mu } \pi ^ { \alpha } \right) } \end{array}
m _ { a 1 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { C B } - \widetilde { D A } - \widetilde { D D } } { 2 } \, , \qquad m _ { b 2 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { B C } - \widetilde { A D } - \widetilde { D D } } { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { ( { \mathrm { H J B } } ) } ( m , u ; S ) } & { = C ^ { ( { \mathrm { H J B } } ) } \Big | \displaystyle - \frac { \partial u } { \partial t } ( \tau , \xi ) - \nu \Delta u ( \tau , \xi ) + H ( \xi , m ( \tau ) , \nabla u ( \tau , \xi ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { \mathcal { Q } } \frac { \partial H } { \partial m } ( \zeta , m ( t , \cdot ) , \nabla u ( t , \zeta ) ) ( \xi ) m ( t , \zeta ) \mathrm { d } y \Big | ^ { 2 } . } \end{array}
T r ( P e ^ { i \oint _ { C _ { x } } A _ { \alpha } d x ^ { \alpha } } ) \approx 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \Delta ^ { 2 } T r ( F ( x ) ^ { 2 } ) + { \frac { i } { 6 } } \Delta ^ { 3 } T r ( F ( x ) ^ { 3 } ) + \dots
y ( t _ { n } + h ) = e ^ { - h L } y ( t _ { n } ) + e ^ { - h L } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } G ^ { ( k ) } ( t _ { n } ) \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \tau ^ { k } } { k ! } e ^ { \tau L } \, d \tau .
\omega _ { 0 } ^ { 2 } = \omega _ { \infty } ^ { 2 } - \left( \frac { 4 \pi Z e ^ { 2 } } { 3 m v } \right) = \omega _ { \infty } ^ { 2 } \left[ 1 - ( \frac { 4 \pi { \hat { \alpha } } } { 3 v } ) \right] ,
\Psi \left( x \rightarrow - \infty \right) = e ^ { i p x } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) + e ^ { - i p x } \left[ B \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) - \frac { i m } p \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \int V \left( x ^ { \prime } \right) { \psi ^ { + } } ^ { 2 } \left( x ^ { \prime } \right) d x ^ { \prime } \right] .
| \delta _ { h } ( k , \eta ) | ^ { 2 } = \frac { 2 ^ { 4 \beta - 1 } } { \pi ^ { 3 } } ( 2 \beta ) ^ { - 2 \beta } \Gamma ( \beta + 1 / 2 ) ^ { 2 } \biggl ( \frac { H _ { 1 } } { M _ { \mathrm { P } } } \biggr ) ^ { 2 } \biggl ( \frac { k } { k _ { 1 } } \biggr ) ^ { 2 ( 1 - \beta ) } \biggl [ 1 + \frac { \beta } { x _ { 0 } } \sin { ( 2 x _ { 0 } + \beta \pi ) } \biggr ] ,
H = \sum _ { \langle i j \rangle } f ( a _ { i } ^ { \dagger } , b _ { i } ^ { \dagger } , a _ { i } , b _ { i } ) f ( a _ { j } ^ { \dagger } , b _ { j } ^ { \dagger } , a _ { j } , b _ { j } ) + \sum _ { i } f ( n _ { i } ) ,
\zeta ( s , v ) = 2 ( 2 \pi ) ^ { s - 1 } \Gamma ( 1 - s ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k ^ { s - 1 } \sin ( 2 \pi k v + \pi s / 2 ) , \qquad 0 < v \leq 1 , \mathrm { R e } \, s < 0
\begin{array} { r l } { \tilde { p } ( \beta ) = \operatorname* { m i n } _ { w ( \cdot ) \geq 0 } } & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D } ^ { D + \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ k ] } ( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } ) d t \right] - \beta { \mathbb { E } } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad { \mathbb { E } } \left[ w \left( \tilde { Y } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] \geq \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } } \end{array}
g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) = \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, \frac { a _ { \Re } \, \sin \left( \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } \right) - a _ { \Im } \, \cos \left( \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } \right) } { \left[ \left( a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 a _ { \Im } ^ { 2 } \, r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 4 } } \, ,
\begin{array} { r } { \left\lbrace \begin{array} { l } { i u _ { t } ^ { j } + u _ { x x } ^ { j } = | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } + \beta | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } , } \\ { i v _ { t } ^ { j } + v _ { x x } ^ { j } = | v ^ { j } | ^ { 2 p } v ^ { j } + \beta | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } v ^ { j } . } \end{array} \right. } \end{array}
\ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } = \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, , \qquad \left\{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \vphantom { f ^ { 2 } } { } u _ { 2 } } & { { } = u _ { 4 } } & { } & { { } = u _ { 1 } + \ell _ { 1 2 } \sin { \theta } _ { 1 } } & { } & { { } = u _ { 3 } - \ell _ { 3 2 } \sin { \theta } _ { 2 } \, , } \\ { v _ { 1 } } & { { } = v _ { 3 } } & { } & { { } = v _ { 2 } + \ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } } & { } & { { } = v _ { 4 } - \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, . } \end{array} \right.
\mathbf { d } _ { r } \left( { \widehat { \theta } } \right) = - \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { t = 1 } ^ { n } { \frac { \partial \ell ( \theta ; \mathbf { y } ) } { \partial \theta } } \left( { \frac { \partial \ell ( \theta ; \mathbf { y } ) } { \partial \theta } } \right) ^ { \mathsf { T } } \right] ^ { - 1 } \mathbf { s } _ { r } \left( { \widehat { \theta } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) } \\ & { \geq } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \cdot \frac { 2 T - 3 } { 2 T } \cdot e ^ { - 4 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \geq } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { l e f t \; s i d e } } & { { } : \; \; \rho _ { L } = \bar { \rho } _ { \mathrm { w } } / r _ { s } ^ { 2 } , \; a _ { L } = a _ { \mathrm { w } } , \; p _ { L } = a _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \rho _ { L } / \gamma , \; v _ { L } = v _ { \mathrm { w } } ( { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ r ~ } ~ \unboldmath ~ } } \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ d ~ } ~ \unboldmath ~ } } ) ; } \\ { \mathrm { r i g h t \; s i d e } } & { { } : \; \; \rho _ { R } = \bar { \rho } _ { \mathrm { a } } / r _ { s } ^ { 2 } , \; a _ { R } = a _ { \mathrm { a } } , \; p _ { R } = a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } \rho _ { R } / \gamma , \; v _ { R } = 0 \ . } \end{array}
\tilde { U } ( s ) ^ { n } = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } \ldots k _ { N } \in p _ { N } ( n ) } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots k _ { N } } \end{array} \right) \prod _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } ^ { k _ { i } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { ( s - q _ { i } ) ^ { k _ { i } } }
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { 1 } = \sqrt { 1 - R _ { 1 } } \hat { a } _ { 0 } + i \sqrt { R _ { 1 } } \hat { b } _ { 0 } , } \\ { \hat { b } _ { 1 } = \sqrt { 1 - R _ { 1 } } \hat { b } _ { 0 } + i \sqrt { R _ { 1 } } \hat { a } _ { 0 } , } \end{array}
\partial { R _ { i } } / \partial { C _ { n } } = \frac { \partial } { { \partial { C _ { n } } } } \left( { \frac { { \partial { \tau _ { i j } } } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right) = \mathrm { { } } \partial T _ { i j } ^ { \left( n \right) } / \partial { x _ { j } } \left( { n = 1 , 2 , . . . , N } \right)
\begin{array} { r l r l r l } { \Longrightarrow \; } & { { } } & { \rho \frac { \partial ( \omega ^ { 2 } ) } { \partial k _ { m } } } & { { } = } & { } & { { } C _ { i j q l } p _ { j } p _ { i } \frac { \partial ( k _ { q } k _ { l } ) } { \partial k _ { m } } } \\ { \Longrightarrow \; } & { { } } & { 2 \rho \omega \frac { \partial \omega } { \partial k _ { m } } } & { { } = } & { } & { { } C _ { i j q l } p _ { j } p _ { i } \left( k _ { q } \frac { \partial k _ { l } } { \partial k _ { m } } + k _ { l } \frac { \partial ( k _ { q } ) } { \partial k _ { m } } \right) } \end{array}
r _ { i j } ( \beta ) = \frac { \mathbf { W } ( \mathbf { A } , \beta ; k _ { \operatorname* { m i n } } = 2 ) _ { i j } } { \mathbf { W } ( | \mathbf { A } | , \beta ; k _ { \operatorname* { m i n } } = 2 ) _ { i j } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \| { \nabla \times ( \gamma \nabla \times { \bf { U } } ) } \| } { \| { \nabla \times ( { \bf { U } } \times { \bf { B } } ) } \| } } \\ & { } & { \sim \frac { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle } { D ( \partial U / \partial r ) B ^ { r } } \frac { \tau _ { \mathrm { { t u r b } } } } { \tau _ { \mathrm { m e a n } } } \sim \frac { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle } { \delta U B ^ { r } } R o ^ { - 1 } = \frac { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle } { \delta U B ^ { r } } \frac { K / \varepsilon } { D / \delta U } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { S } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { E _ { y } ^ { \prime } \gamma _ { 0 } \left( B _ { z } ^ { \prime } - E _ { x } ^ { \prime } \frac { v _ { y } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { - \gamma _ { 0 } \left( E _ { x } ^ { \prime } - v _ { y } B _ { z } ^ { \prime } \right) \gamma _ { 0 } \left( B _ { z } ^ { \prime } - E _ { x } ^ { \prime } \frac { v _ { y } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { \mathrm { t r a n s } } } & { = } & { \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { Y } } \chi ( \omega ) \left( \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } X _ { \mathrm { i n } } + Y _ { \mathrm { i n } } \right) } \\ { Y _ { \mathrm { t r a n s } } } & { = } & { \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { Y } } \chi ( \omega ) \left( - X _ { \mathrm { i n } } + \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } Y _ { \mathrm { i n } } \right) . } \end{array}
n ( t ) = [ \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { + } } X _ { + } ^ { i n } , \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { + } } Y _ { + } ^ { i n } , \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { - } } X _ { - } ^ { i n } , \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { - } } Y _ { - } ^ { i n } , \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { b } } X _ { b } ^ { i n } , \sqrt [ ] { 2 \kappa _ { b } } Y _ { b } ^ { i n } ] ^ { \mathrm { T } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \int _ { X } \int _ { B ( x , r ) } \frac { | f ( x ) - f ( y ) | ^ { 2 } } { \mu ( B ( x , r ) ) } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , r ) } \int _ { B ( x , r ) } \frac { | f ( x ) - f ( y ) | ^ { 2 } } { \mu ( B ( x , r ) ) } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ { \leq } & { \frac { 2 } { r ^ { d _ { w } } } \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , r ) } \int _ { B ( x , r ) } \frac { | f ( x ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } } { \mu ( B ( x , r ) ) } + \frac { | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } } { \mu ( B ( x , r ) ) } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \mathrm { E O L } } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } } \\ & { + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } } \\ & { + ( C _ { n } + C _ { m } ) \cdot \mathcal { U } _ { n , m } \bigg ) \left( e ^ { \mathrm { i } ( \omega + \Omega ) t } + e ^ { \mathrm { i } ( \omega - \Omega ) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = n ) } & { = \int _ { \mathbb { X } ^ { n } } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } \\ & { = \int _ { \mathbb { X } ^ { n } } \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} \frac { 1 } { n ! } v ( t , x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot v ( t , x _ { n } ) d x _ { 1 } \cdot \cdot \cdot d x _ { n } } \\ & { = \frac { \left( \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right) ^ { n } } { n ! } \exp \left\{ - \int _ { \mathbb { X } } v ( t , x ) d x \right\} . } \end{array}
\bar { \mathrm { O F } } = \frac { \dot { m } _ { \mathrm { o } } } { \bar { \dot { m } } _ { \mathrm { f } } } \equiv \frac { 1 } { a N \rho _ { \mathrm { f } } L _ { \mathrm { f } } } \bigg ( \frac { \dot { m } _ { \mathrm { o } } } { \pi } \bigg ) ^ { 1 - n } \bigg [ \frac { R _ { \mathrm { f } } ^ { N } - r _ { \mathrm { f , 0 } } ^ { N } } { R _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { f , 0 } } ^ { 2 } } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \Gamma ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } & { = \frac { \pi \omega \vert \mathbf { d } \vert ^ { 2 } } { 3 \hbar \epsilon _ { 0 } } \rho ^ { \mathrm { L D O S } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \equiv \Gamma ^ { \mathrm { L D O S } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } \\ & { = \frac { 2 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \mathbf { d } \cdot \mathrm { I m } \left[ { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \right] \cdot \mathbf { d } , } \end{array}
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] \leq d \exp \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \left( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \cdot \frac { \lambda ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { \mathcal { M } \theta } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { V } \left( \gamma _ { V } \left( \mu ; \left( \nu _ { 1 } ; v _ { 1 , 1 } , \hdots , v _ { 1 , n _ { 1 } } \right) , \hdots , \left( \nu _ { k } ; v _ { k , 1 } , \hdots , v _ { k , n _ { k } } \right) \right) \right) } \\ & { = \partial _ { V } \left( \left( \mu \left( \nu _ { 1 } , \hdots , \nu _ { k } \right) ; v _ { 1 , 1 } , \hdots , v _ { k , n _ { k } } \right) \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sum _ { j _ { i } = 1 } ^ { n _ { i } } \left( \mu \left( \nu _ { 1 } , \hdots , \nu _ { k } \right) ; ( v _ { 1 , 1 } , 0 ) , \hdots , ( 0 , v _ { i , j _ { i } } ) , \hdots , ( v _ { k , n _ { k } } , 0 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( U _ { \eta } = r _ { 1 } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( U _ { \eta } = r _ { 2 } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert - Z _ { \eta } \left( M \right) } , } \end{array}
m = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \frac { \partial \psi } { \partial y } \, \textrm { d } x \, \textrm { d } y \, \textrm { d } z = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \left[ y \frac { \partial \psi } { \partial z } \right] _ { z = 0 } \! \, \textrm { d } x \, \textrm { d } y .
\frac { D _ { v } \mathcal { F } } { D t } = \frac { d } { d t } \int _ { V ( t ) } f \; d V \; = \int _ { V ( t ) } \frac { \partial f } { \partial t } \; d V + \int _ { S ( t ) } \mathbf { b } \cdot \mathbf { n } f \; d S ,
\langle \mathbf { S } _ { D } \rangle ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) = \Big \lvert \sum _ { \alpha } E _ { z } ^ { ( \alpha ) } ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) \Big \rvert ^ { 2 } \, \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ e ~ } ~ } _ { r } ,