harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { I I I } = } & { \; k _ { n } \int _ { \Omega _ { 1 , n - 1 } ^ { \Gamma } } \bigg ( k _ { n } | D _ { t } v ( x , t _ { n - 1 } ^ { + } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \bigg ) } \\ { \lesssim } & { \; k _ { n } \int _ { \Omega _ { 1 , n - 1 } ^ { \Gamma } } \bigg ( \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { \Gamma } } | D _ { t } v ( x , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t + \int _ { t _ { \Gamma } } ^ { t _ { n } } | \bar { \mu } | | ( D _ { t } v ) _ { 2 } ( \hat { s } ( t ) , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { + ( t _ { n } - t _ { \Gamma } ) | [ D _ { t } v ] ( x , t _ { \Gamma } ) | ^ { 2 } + ( t _ { n } - t _ { \Gamma } ) ( t _ { \Gamma } - t _ { n - 1 } ) \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { \Gamma } } | D _ { t } ^ { 2 } v ( x , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \bigg ) \, \mathrm { d } x } \\ { \lesssim } & { \; \underbrace { k _ { n } \int _ { \Omega _ { 1 , n - 1 } ^ { \Gamma } } \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { \Gamma } } | D _ { t } v ( x , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x } _ { = \mathrm { I I I . 1 } } + \underbrace { k _ { n } \int _ { \Omega _ { 1 , n - 1 } ^ { \Gamma } } \int _ { t _ { \Gamma } } ^ { t _ { n } } | \bar { \mu } | | ( D _ { t } v ) _ { 2 } ( \hat { s } ( t ) , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x } _ { = \mathrm { I I I . 2 } } } \\ & { + \underbrace { k _ { n } \int _ { \Omega _ { 1 , n - 1 } ^ { \Gamma } } ( t _ { n } - t _ { \Gamma } ) | [ D _ { t } v ] ( x , t _ { \Gamma } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } _ { = \mathrm { I I I . 3 } } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \substack { D \in \mathcal { D } \, y \in D } } \frac { 1 } { \mu _ { \alpha } ( D ) } \sum _ { z \in D } | f ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } = \operatorname* { s u p } _ { \substack { D \in \mathcal { D } \, D \subseteq D _ { x } \wedge D _ { x } \subseteq D } } \frac { 1 } { \mu _ { \alpha } ( D ) } \sum _ { z \in D } | f ( z ) | q ^ { - \alpha | z | } .
{ \bf x _ { 1 } } = \frac { 1 } { \sqrt { N ^ { \prime } } } \left( k ^ { 2 } , 0 , 0 \right) ^ { T } , \; \; { \bf x _ { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { N ^ { \prime } } } \left( 0 , k ^ { 2 } , 0 \right) ^ { T } \; \; \mathrm { a n d } \; \; { \bf x _ { 3 } } = \frac { 1 } { \sqrt { N ^ { \prime } } } \left( 0 , 0 , k ^ { 2 } \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } ^ { 2 } \rangle } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) \alpha _ { 1 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \\ & { + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) N _ { 1 } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { \times \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { + \langle N _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) \rangle \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
( \hat { a } _ { n , 1 } , \hat { a } _ { n , 2 } , \hat { a } _ { n + 1 , 1 } , \hat { a } _ { n + 1 , 2 } ) \rightarrow ( \hat { a } _ { n , 1 } , \hat { a } _ { n , 2 } , \hat { a } _ { n , 3 } , \hat { a } _ { n , 4 } )
{ \frac { \delta ^ { 2 } J [ \rho ] } { \delta \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \delta \rho ( \mathbf { r } ) } } = { \frac { \partial } { \partial \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } } \left( { \frac { \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \right) = { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \zeta _ { k - j } ^ { ( k ) } w _ { j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k } \Big ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } w _ { k } + \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \zeta _ { k - j } ^ { ( k ) } w _ { j } \Big ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { 0 } ^ { ( k ) } w _ { k } ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } ( a _ { k - j } ^ { ( k ) } - a _ { k - j - 1 } ^ { ( k ) } ) w _ { j } } \\ & { \ge \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { 0 } ^ { ( k ) } w _ { k } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } ( a _ { k - j - 1 } ^ { ( k ) } - a _ { k - j } ^ { ( k ) } ) } \\ & { ~ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } ( a _ { k - j - 1 } ^ { ( k ) } - a _ { k - j } ^ { ( k ) } ) w _ { j } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( a _ { 0 } ^ { ( k ) } + a _ { k - 1 } ^ { ( k ) } ) w _ { k } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } w _ { j } ^ { 2 } \sum _ { k = j + 1 } ^ { n } ( a _ { k - j - 1 } ^ { ( k ) } - a _ { k - j } ^ { ( k ) } ) . } \end{array}
\delta \left( \bar { \alpha } _ { E } ^ { N } - \bar { \beta } _ { M } ^ { N } \right) = \bar { \alpha } _ { E } ^ { \pi } { \frac { 4 m _ { \pi } } { \pi } } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d t \sqrt { t - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } } { t ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 4 m _ { N } ^ { 2 } - t ) } } | f _ { + } ^ { 0 } ( t ) | ,
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } } \leq } & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { B } ^ { \lambda - 1 } ( t , \Phi ( t , \mathcal { A } _ { s , y } ) ) | d ( s , y ) | \mathcal { B } ^ { 1 - \lambda } ( s , y ) d y \right] d s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ \mathcal { B } ^ { \lambda - 1 } ( t , \Phi ( t , \mathcal { A } _ { s , y } ) ) \right] | d ( s , y ) | d y d s , } \end{array}
\int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( T ^ { n } , \mathrm { e x p } ( \nabla f ^ { n , t } ) \big ) \mathrm { d } \mathrm { m } \leq \mathcal { C } _ { n } \frac { \log ( n ) } { n } \sqrt { \frac { \log \log ( n ) } { \log ^ { 1 - \frac { 2 } { \eta } } ( n ) } } \quad \mathrm { w i t h ~ } \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \mathbb { E } [ \exp ( \frac { 1 } { C } \mathcal { C } _ { n } ^ { \frac 1 2 } ) ) ] \leq 2 .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 } f ( \boldsymbol { \Lambda } ) = } & { { } \; 2 \sum _ { i } \left[ \big ( [ E _ { z } ] _ { i } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n , A \rangle } & { { } = \sum _ { k } e ^ { - i k x _ { n A } } | k , A \rangle , } \\ { | n , B \rangle } & { { } = \sum _ { k } e ^ { - i k ^ { \prime } x _ { n B } } | k ^ { \prime } , B \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P } _ { A } ( \omega ) } & { = } & { \epsilon _ { 0 } \omega ^ { 2 } { \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) \mu _ { 0 } \left( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) + \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) \right) } \\ & { = } & { \mathbf { K } ( \omega ) ^ { - 1 } \cdot \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } | x _ { i } | ^ { p } \right) ^ { 1 / p } \leq d ^ { \frac { 1 } { p } - \frac { 1 } { q } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } | x _ { i } | ^ { q } \right) ^ { 1 / q } \, , \qquad \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } | x _ { i } | ^ { q } \right) ^ { 1 / q } \leq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } | x _ { i } | ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
d _ { n } ^ { 2 } \! = \! \frac { \Gamma ( \alpha \! + \! n \! + \! 1 ) \Gamma ( \beta \! + \! n \! + \! 1 ) \Gamma ( a \! + \! b \! + \! \alpha \! + \! n \! + \! 1 ) \Gamma ( b \! - \! a \! + \! \alpha \! + \! \beta \! + \! n \! + \! 1 ) } { ( \alpha \! + \! \beta \! + \! 2 n \! + \! 1 ) \Gamma ( n \! + \! 1 ) \Gamma ( b \! - \! a \! - \! n ) \Gamma ( \alpha \! + \! \beta \! + \! n \! + \! 1 ) \Gamma ( a \! + \! b \! - \! n \! - \! \beta ) }
\langle 0 | A ^ { \mu } ( 0 ) | \pi _ { { \bf p } _ { + } } ^ { + } \pi _ { { \bf p } _ { 0 } } ^ { 0 } \pi _ { { \bf p } _ { - } } ^ { - } \rangle = { \frac { 2 } { F _ { \pi } } } \left[ { \frac { Q \cdot p _ { 0 } } { Q ^ { 2 } } } Q ^ { \mu } - p _ { 0 } ^ { \mu } \right] \ \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { C } \rho \ddot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) \, \mathrm { d } v } & { { } = } \\ { \int _ { \partial { C } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } } & { { } \boldsymbol { \sigma } ( \boldsymbol { x } , t ) \boldsymbol { n } \, \mathrm { ~ d ~ } a + \int _ { \partial { C } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } \boldsymbol { t } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , t ) \, \mathrm { ~ d ~ } a , } \end{array}
S _ { n } ^ { \beta } ( \theta _ { 0 } ) = \left( \frac { 4 \beta ^ { 2 } + 1 } { ( 2 \beta + 1 ) ^ { 3 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { ( \beta + 1 ) ^ { 4 } } \right) ^ { - 1 } \frac { 1 } { n } \left( \frac { 1 } { \theta _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - \theta _ { 0 } \right) \exp \left( - \frac { \beta y _ { i } } { \theta _ { 0 } } \right) + \frac { n \beta } { ( \beta + 1 ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \star } ( x ) = \mathbf { 1 } \big ( x ^ { 2 } > l _ { \varphi } \big ) } \\ & { \eta ^ { \star } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \ \ y \in \{ \varnothing , \mathfrak { C } \} } \\ { x , } & { \mathrm { i f } \ \ y = x } \end{array} \right. } \\ & { \varphi ^ { \star } = 1 - \frac { c } { l _ { \varphi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \indent } & { \int _ { G _ { n , r } } \int _ { G _ { r , r - 1 } } \int _ { G _ { n - 1 , r } } V ( K _ { n - r } ^ { \prime } ) d L _ { r - 1 [ 0 ] } ^ { ( r ) } \wedge d L _ { n - 1 [ r ] } \wedge d L _ { r [ 0 ] } } \\ & { = \int _ { G _ { r , r - 1 } } \int _ { G _ { n - 1 , r } } I _ { r } ( K ) d L _ { r - 1 [ 0 ] } ^ { ( r ) } \wedge d L _ { n - 1 [ r ] } } \\ & { = \frac { O _ { r - 1 } } { 2 } \frac { O _ { n - r - 1 } } { 2 } I _ { r } ( K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 4 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta _ { i } } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } } & { { } = \langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \eta _ { \Theta } ( 0 ) \left( \eta _ { N } ( N _ { 0 } ) - N _ { 0 } \left. \frac { \partial \eta _ { N } } { \partial N } \right| _ { N _ { 0 } } \right) , } \\ { b } & { = 1 0 ^ { 5 } \times \eta _ { \Theta } ( 0 ) \left. \frac { \partial \eta _ { N } } { \partial N } \right| _ { N _ { 0 } } , } \\ { c } & { = \frac { 1 } { \eta _ { \Theta } ( 0 ) } \left. \frac { \partial \eta _ { \Theta } } { \partial \xi } \right| _ { \xi = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { \Delta _ { 1 2 } = \left\{ ( a - \bar { a } ) p _ { H } q _ { H } - b p _ { H } ^ { 2 } + \bar { b } q _ { H } ^ { 2 } \right\} / D } } \\ { { \Delta _ { 2 1 } = \left\{ ( a - \bar { a } ) p _ { L } q _ { L } + b p _ { L } ^ { 2 } - \bar { b } q _ { L } ^ { 2 } \right\} / D \, . } } \end{array}
{ \mathcal { H } } = 2 { \left[ \begin{array} { l l l l } { n } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } } & { \dots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } x _ { i p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } x _ { i 1 } } & { \dots } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } ^ { 2 } } \end{array} \right] } = 2 X ^ { T } X
\begin{array} { r l } & { L \left( \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right] \right) = - \frac { p } { \mu } \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right] , } \\ & { L \left( \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] \right) = - \frac { 2 p } { 3 \mu } \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { _ 3 F _ { 2 } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ; b _ { 1 } , b _ { 2 } ; z ) } \\ & { = \frac { \Gamma ( b _ { 2 } ) } { \Gamma ( a _ { 3 } ) \Gamma ( b _ { 2 } - a _ { 3 } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } S ^ { a _ { 3 } - 1 } ( 1 - S ) ^ { b _ { 2 } - a _ { 3 } - 1 } \, { _ 2 F _ { 1 } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ; b _ { 1 } ; S z ) \, \mathrm { d } } \end{array}
U ( R ) | j , k \rangle = e x p \left( { - i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } \right) | j , k \rangle = \sum _ { j ^ { \prime } , k ^ { \prime } } | j ^ { \prime } , k ^ { \prime } \rangle \langle j ^ { \prime } , k ^ { \prime } | e x p \left( { - i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } } \right) | j , k \rangle = \sum _ { m ^ { \prime } } D _ { k ^ { \prime } k } ^ { ( j ) } ( R ) | j , k ^ { \prime } \rangle
u _ { t } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) + \mathcal { A } ( u ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) = \mathcal { S } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) , \quad \mathcal { B } ( u ; \boldsymbol { \xi } ) = 0 , \quad t \in [ 0 , T ] , \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , \quad \boldsymbol { \xi } \in \mathcal { P } ,
\begin{array} { r l } & { p M ( \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } \} , \bar { e } _ { m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( \bar { j } + 1 ) } ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { 2 \bar { j } } \sqrt { \frac { [ 2 j _ { 1 } + 1 ] _ { 2 } [ 2 j _ { 2 } - 1 ] _ { 2 } ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - 2 ) ( 2 \bar { j } + 3 ) } { 2 j _ { 1 } + j _ { 2 } - 3 } } C _ { m _ { 1 } , m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m ^ { \prime } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } - 1 ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - 2 } C _ { m _ { 1 } + m ^ { \prime } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 2 , \bar { j } + 1 , j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { c } ^ { ( a b ) } + \mu _ { c } ^ { ( a b ) } = - \alpha _ { c + } ^ { ( a b ) } - \beta _ { c + } ^ { ( a b ) } - \gamma _ { c + } ^ { ( a b ) } - \delta _ { c + } ^ { ( a b ) } - \alpha _ { c - } ^ { ( a b ) } - \beta _ { c - } ^ { ( a b ) } - \gamma _ { c - } ^ { ( a b ) } - \delta _ { c - } ^ { ( a b ) } } \end{array}
\left\lvert \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { Z } ( \hat { f } ) \right] - \mathbb { E } \! \left[ \mu ( \hat { f } ) \right] \right\rvert = \left\lvert \mathbb { E } \! \left[ \frac 1 \ell \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } ( \hat { f } ( z _ { i } ) - \hat { f } ( z _ { i } ^ { \prime } ) ) \right] \right\rvert \le \mathbb { E } \! \left[ \left\lvert \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } ( f ^ { * } ( z _ { i } ) - f ^ { * } ( z _ { i } ^ { \prime } ) ) \right\rvert \right] + 2 \varepsilon
{ \begin{array} { r l r l } { c t } & { { } = \left( x ^ { \prime } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \right) \sinh { \frac { \alpha t ^ { \prime } } { c } } , } & { y } & { { } = y ^ { \prime } , } \\ { x } & { { } = \left( x ^ { \prime } + { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \right) \cosh { \frac { \alpha t ^ { \prime } } { c } } - { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } , } & { z } & { { } = z ^ { \prime } . } \end{array} } \ ( t ^ { \prime } = \tau )
M _ { n } = M _ { n - 1 } + \sum _ { i = 0 } ^ { n - 2 } M _ { i } M _ { n - 2 - i } = { \frac { 2 n + 1 } { n + 2 } } M _ { n - 1 } + { \frac { 3 n - 3 } { n + 2 } } M _ { n - 2 } .
\int x ^ { 2 } \arctan ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \arctan ( a x ) } { 3 } } + { \frac { \ln \left( a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 \right) } { 6 \, a ^ { 3 } } } - { \frac { x ^ { 2 } } { 6 \, a } } + C
\chi _ { h } ( t ) \, = \, c _ { 1 } e ^ { \mu t } \mathrm { c o s } ( { \frac { \omega } { 2 } } t + \varphi _ { 1 } ) \, + \, c _ { 2 } e ^ { - \mu t } \mathrm { c o s } ( { \frac { \omega } { 2 } } t + \varphi _ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { ( f * B ) ( x ) = \ \frac { \alpha } { 2 } e ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - \alpha ( x - Q _ { 0 } ) } \ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { Q _ { 0 } + \alpha \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p a ( h ) _ { E U V I , C O R 1 } = a _ { 0 } h ^ { 3 } + b _ { 0 } h ^ { 2 } + c _ { 0 } h + d _ { 0 } } \\ { p a ( h ) _ { C O R 1 , C O R 2 } = a _ { 1 } h ^ { 3 } + b _ { 1 } h ^ { 2 } + c _ { 1 } h + d _ { 1 } } \\ { p a ( h ) _ { C O R 2 } = d _ { 2 } } \end{array}
\int _ { \Sigma _ { x } } \int _ { \Sigma _ { y } } \{ y ^ { a } ( { \bf x } ) , p _ { b } ^ { n } ( { \bf y } ) \} _ { P B } f ( { \bf x } ) f ( { \bf y } ) d { \bf x } d { \bf y } = - \int _ { \Sigma } \{ y ^ { a } , p _ { b } \} f ( { \bf x } ) d { \bf x } ,
\frac { d } { d t } \Lambda ^ { c o n d } ( t ) = - \frac { m ^ { 2 } } { 2 \lambda } \frac { d m ^ { 2 } } { d t } + \frac { m ^ { 4 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } \frac { d \lambda } { d t } \, ,
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { { } = - \nu k ^ { 2 } G _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \frac { k ^ { 2 } } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \, k ^ { 2 } H _ { 1 } , } \\ { p H _ { 0 } } & { { } = - \eta k ^ { 2 } H _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \, H _ { - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { - 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { 1 } , } \\ { p G _ { \pm 1 } } & { { } = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) G _ { \pm 1 } \pm \frac { k } { 2 } \, \frac { 1 - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } \pm i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { \pm 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } ( - 1 + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } , } \\ { p H _ { \pm 1 } } & { { } = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) H _ { \pm 1 } \mp \frac { k } { 2 } \, H _ { 0 } \pm i B _ { 0 } \, \frac { 1 } { 1 + k ^ { 2 } } \, G _ { \pm 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { 2 \eta } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } . } \end{array}
\biggl ( \frac { S } { \Lambda ^ { 3 } } \biggr ) ^ { \frac { 2 N _ { c } - N _ { f } } { N _ { f } } } - \biggl ( \frac { S } { \Lambda ^ { 3 } } \biggr ) ^ { \frac { N _ { c } - N _ { f } } { N _ { f } } } + \frac { \Lambda ^ { 3 } } { m ^ { 2 } } = 0 .
\begin{array} { r } { 2 f \ddot { t } + g \ddot { r } + 2 \left( \frac { \partial f } { \partial t } \dot { t } + \frac { \partial f } { \partial r } \dot { r } \right) \dot { t } + \left( \frac { \partial g } { \partial t } \dot { t } + \frac { \partial g } { \partial r } \dot { r } \right) \dot { r } - \frac { \partial f } { \partial t } \dot { t } ^ { 2 } - \frac { \partial g } { \partial t } \dot { t } \dot { r } - \frac { \partial h } { \partial t } \dot { r } ^ { 2 } = 0 } \\ { 2 h \ddot { r } + g \ddot { t } + 2 \left( \frac { \partial h } { \partial t } \dot { t } + \frac { \partial h } { \partial r } \dot { r } \right) \dot { r } + \left( \frac { \partial g } { \partial t } \dot { t } + \frac { \partial g } { \partial r } \dot { r } \right) \dot { t } - \frac { \partial f } { \partial r } \dot { t } ^ { 2 } - \frac { \partial g } { \partial r } \dot { t } \dot { r } - \frac { \partial h } { \partial r } \dot { r } ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\varepsilon \sim 2 p _ { \perp } \sim \frac { 1 } { 3 0 \pi ^ { 2 } a ( r - a ) ^ { 3 } } , \quad p ( r ) \sim \frac { - 1 } { 6 0 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } ( r - a ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname { R e } \left( z ^ { 2 } \right) = 2 \operatorname { R e } ^ { 2 } ( z ) - | z | ^ { 2 } > 2 ( \sqrt { k } ) ^ { 2 } - \left( \frac { 1 + \sqrt { 4 k - 3 } } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { 2 k + 1 - \sqrt { 4 k - 3 } } { 2 } \geqslant 0 } \\ & { \operatorname { R e } \left( z ^ { 3 } \right) = \operatorname { R e } ^ { 3 } ( z ) - 3 \operatorname { R e } ( z ) \cdot \operatorname { I m } ^ { 2 } ( z ) = 4 \operatorname { R e } ^ { 3 } ( z ) - 3 \operatorname { R e } ( z ) | z | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X ) ( Q + \widehat \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X ) ^ { T } = Q Q ^ { T } + \widehat \gamma Q X ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } + \widehat \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X Q ^ { T } + \widehat \gamma ^ { 2 } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } X X ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } . } \end{array}
\quad \: f ( \beta ^ { \prime } ) = \frac { \left( 1 - \beta ^ { \prime } \right) ^ { N _ { B } ^ { \prime } } } { \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - b \right) ^ { N _ { B } ^ { \prime } } \mathrm { d } b \, } = ( N _ { B } ^ { \prime } + 1 ) \cdot ( 1 - \beta ^ { \prime } ) ^ { N _ { B } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \overline { { v \tau } } } \\ { \overline { { w \tau } } } \end{array} \right) = \left[ \begin{array} { l l } { - K _ { R } } & { ( K _ { G M } - K _ { R } ) { \cal S } } \\ { - ( K _ { G M } + K _ { R } ) { \cal S } } & { - K _ { R } { \cal S } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { G _ { y } } \\ { G _ { z } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { { } \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; . } \end{array}
\frac { \varphi ^ { \prime } \left( t - \ell \left( t \right) \right) } { \varphi ^ { \prime } \left( t _ { 0 } + \ell \left( t _ { 0 } \right) \right) } E _ { \ell } \left( t _ { 0 } \right) \leq E _ { \ell } \left( t \right) \leq \frac { \varphi ^ { \prime } \left( t + \ell \left( t \right) \right) } { \varphi ^ { \prime } \left( t _ { 0 } - \ell \left( t _ { 0 } \right) \right) } E _ { \ell } \left( t _ { 0 } \right) , \mathrm { ~ \ \ f o r ~ } t \in \lbrack t _ { 0 } , t _ { 1 } ] .
\begin{array} { r } { H _ { O M , j } = \Delta _ { j } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + \omega _ { m _ { j } } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } - g _ { 0 _ { j } } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ( \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } } \\ { + \hat { b } _ { j } ) + E _ { j } ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { j } ) } \\ { H _ { c o u p } = - J ( \hat { b } _ { j } \hat { b } _ { 3 - j } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 3 - j } ) } \\ { H _ { t o t a l } = H _ { O M _ { 1 } } + H _ { O M _ { 2 } } + H _ { c o u p } } \end{array}