harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E _ { B } = \dot { q } ^ { r } \frac { \partial L _ { B } } { \partial \dot { q } ^ { r } } + \dot { \bar { c } } _ { \alpha } \frac { \partial L _ { B } } { \partial \dot { \bar { c } } _ { \alpha } } + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \c { N - k } ^ { \alpha } \sum _ { l = 1 } ^ { k + 1 } ( - 1 ) ^ { k + 1 - l } \frac { d ^ { k + 1 - l } } { d t ^ { k + 1 - l } } \left( \frac { \partial L _ { B } } { \partial \c { N - l + 1 } ^ { \alpha } } \right) - L _ { B } .
{ \cal { S } } ^ { i l } = \frac { S } { 1 5 \rho } ( g ^ { i l } + 2 n ^ { i } n ^ { l } ) + \frac 1 { 7 \rho } \left( 2 P ^ { i j } n _ { j } n ^ { l } + 2 P ^ { l j } n _ { j } n ^ { i } + P ^ { i l } + P ^ { j k } n _ { j } n _ { k } g ^ { i l } \right) + \frac 1 \rho R ^ { i j k l } n _ { j } n _ { k } \, .
\begin{array} { r l } { [ \phi ( S ) , \phi ( T ) ] _ { Q ^ { \prime } } } & { = \epsilon ( S ) \epsilon ( T ) [ S , T ] _ { Q ^ { \prime } } } \\ & { = \sum _ { \beta \in Q _ { 1 } ^ { \prime } } { \left( \epsilon ( S ) \epsilon ( T ) S \xrightarrow [ \beta ] { Q ^ { \prime } } T - \epsilon ( S ) \epsilon ( T ) T \xrightarrow [ \beta ] { Q ^ { \prime } } S \right) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G ( x , y ; \lambda ) } & { = \left\langle x , { \frac { y } { \lambda I - L } } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \langle x , e _ { i } \rangle \left\langle f _ { i } , { \frac { e _ { j } } { \lambda I - L } } \right\rangle \langle f _ { j } , y \rangle } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \langle x , e _ { i } \rangle \langle f _ { i } , y \rangle } { \lambda - \lambda _ { i } } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { e _ { i } ( x ) f _ { i } ^ { * } ( y ) } { \lambda - \lambda _ { i } } } , } \end{array} }
\hat { \sigma } _ { D Y } ( v i r t u a l ) = { \frac { 2 \alpha _ { s } ( M ) } { 3 \pi } } \hat { \sigma } _ { 0 } \{ - \ln ^ { 2 } ( m _ { G } ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) - 3 \ln ( m _ { G } ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) - { \frac { 7 } { 2 } } - { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } } + \pi ^ { 2 } \} ,
\begin{array} { l c c l l } { { \mathrm { f l o o r } } } & { { \mathrm { S U ( 2 / 1 ) } } } & { { \mathrm { U ~ ^ { m } ~ ( 1 ) ~ \otimes ~ U ~ ^ { l } ~ ( 1 ) } } } & { { \mathrm { f i e l d } } } & { { \mathrm { h e l i c i t y } } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { ( \frac { 3 } { 2 } ) ( - 3 ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { + 1 } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 1 ~ - \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { ( \frac { 3 } { 2 } ) ( - 2 ) } } & { { \lambda } } & { { + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { } } & { { ( 1 ~ + \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { ( \frac { 1 } { 2 } ) ( - 2 ) } } & { { \chi } } & { { + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 2 n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { ( \frac { 1 } { 2 } ) ( - 1 ) } } & { { \phi } } & { { ~ 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - e ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mu ^ { 4 } - \alpha \beta ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mu ^ { 5 } + { \cal O } ( \mu ^ { 6 } ) , } \\ { \lambda } & { = } & { \frac { 1 } { \mu } \left[ 1 - \alpha \beta \mu + \frac { 1 } { 2 } ( 3 + e ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \alpha \beta ( 5 + 3 e ^ { 2 } ) \mu ^ { 3 } + { \cal O } ( \mu ^ { 4 } ) \right] . } \end{array}
u \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { i } \aftergroup \egroup \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \hat { u } _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { 3 } \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \frac { 5 ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) ( \pi m k _ { B } ) ^ { 1 / 2 } ( 4 k _ { B } / m ) ^ { \omega - 1 / 2 } T ^ { \omega } } { 1 6 \alpha \Gamma ( \frac { 9 } { 2 } - \omega ) \sigma _ { T , r e f } v _ { r , r e f } ^ { 2 \omega - 1 } } } \\ { \kappa } & { = \frac { 1 5 k _ { B } } { 4 m } \mu _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { j } = \frac { \omega _ { j } ^ { H } } { r _ { 0 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \alpha _ { j } = \frac { \alpha _ { j } ^ { H } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
M _ { L L } \approx \frac { H ^ { 2 } } { \Lambda } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, \, \, .
\begin{array} { r } { \tilde { A } _ { j } ^ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \Bigg ( 1 - \sum _ { i \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { u } } } A _ { j i } ^ { t } \Bigg ) } ^ { \! \! + } , \quad } & { \mathrm { f o r ~ p u n c t u r i n g } , } \\ { 1 \ , \quad } & { \mathrm { f o r ~ s u p e r p o s i t i o n ~ c o d i n g } . } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow \mu _ { l } ^ { + } } { } ^ { l } T _ { i } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { } ^ { l - 1 } S _ { i } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { \frac { { } ^ { l } R _ { i } } { t - \mu _ { l } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { \omega _ { i } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) + \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \rho } } & { { } = A \frac { p \pi a } { x _ { \nu n } d } J _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \sin \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { E _ { \phi } } & { { } = - A \frac { i \nu a ^ { 2 } } { x _ { \nu n } ^ { 2 } \rho } \frac { p \pi } { d } J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \sin \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { E _ { z } } & { { } = A J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { H _ { \rho } } & { { } = A \frac { \omega \epsilon \nu a ^ { 2 } } { x _ { \nu n } ^ { 2 } \rho } J _ { \nu } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \\ { H _ { \phi } } & { { } = - A \frac { i \omega \epsilon a } { x _ { \nu n } } J _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { x _ { \nu n } } { a } \rho \right) e ^ { - i \nu \phi } \cos \left( \frac { p \pi z } { d } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \rho _ { b } } { L } = 0 . 0 0 7 ( 1 - e ^ { - 0 . 6 \sigma _ { x } } ) e ^ { - 0 . 0 6 \operatorname { t a n h } ( b _ { g } ) \sigma _ { x } } ( 1 + b _ { g } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) } & { = e ^ { i \theta _ { i } } \dag \hat { U } _ { i } \left( \theta _ { i } \right) } & { = e ^ { i \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \theta _ { i } \right] _ { a b } b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } } \dag \hat { \mathcal { U } } \left( \theta _ { 1 } , . . , \theta _ { \mathcal { N } } \right) } & { = e ^ { i \sum _ { i } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \theta _ { i } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bullet \quad \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 2 i } W _ { i j k } Q _ { j k } ^ { 2 3 } \right] \simeq \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 2 i } \frac { \partial Q _ { j k } ^ { 2 3 } } { \partial W _ { i j k } } \right] = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ ( u _ { 2 i } ^ { 2 } - \gamma \kappa u _ { 1 i } u _ { 2 i } ) Q _ { j j } ^ { 2 2 } Q _ { k k } ^ { 3 3 } \right] \xrightarrow [ n \to \infty ] ( \gamma \kappa ^ { 2 } - 1 ) q _ { 2 } ( z ) q _ { 3 } ( z ) } \end{array}
d \vec { x } / d \theta \times d \vec { x } / d z = ( \hat { e } _ { r } \partial \epsilon / \partial \theta + r \hat { e } _ { \theta } ) \times ( \hat { e } _ { r } \partial \epsilon / \partial z + \hat { e } _ { z } ) = \hat { e } _ { r } r - \hat { e } _ { \theta } \partial \epsilon / \partial \theta - \hat { e } _ { z } r \partial \epsilon / \partial z
\begin{array} { r l } { \| U _ { l , n } - U _ { l } \| } & { \leq ( \| X _ { n } \| \| X _ { n } - X \| + \| T _ { W _ { n } } ^ { ( k ) } - T _ { W } ^ { k } \| ) \cdot ( \operatorname* { m a x } ( | h | ) k ) ^ { l } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { l - 1 } ( \operatorname* { m a x } ( | h | ) k ) ^ { l - 1 - j } \operatorname* { m a x } ( | h | ) \| T _ { W _ { n } } ^ { ( k ) } - T _ { W } ^ { k } \| } \end{array}
{ \frac { \partial u ( S , t ) } { \partial t } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } S ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } u ( S , t ) } { \partial S ^ { 2 } } } + \mu S { \frac { \partial u ( S , t ) } { \partial S } } = 0
\begin{array} { r l } { T ( x _ { 2 } ) - T ( x _ { 1 } ) } & { = \tilde { G } ( x _ { 2 } ) f ( x _ { 2 } ) - \tilde { G } ( x _ { 1 } ) f ( x _ { 1 } ) - \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } g ( t ) f ( t ) d t } \\ & { = \tilde { G } ( x _ { 2 } ) f ( x _ { 2 } ) - \tilde { G } ( x _ { 1 } ) f ( x _ { 1 } ) - \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } f ( t ) d \tilde { G } ( t ) } \\ & { \leq \tilde { G } ( x _ { 2 } ) f ( x _ { 2 } ) - \tilde { G } ( x _ { 1 } ) f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) ( \tilde { G } ( x _ { 2 } ) - \tilde { G } ( x _ { 1 } ) ) } \\ & { = - \tilde { G } ( x _ { 1 } ) f ( x _ { 1 } ) + f ( x _ { 2 } ) \tilde { G } ( x _ { 1 } ) } \\ & { = \tilde { G } ( x _ { 1 } ) ( f ( x _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } ) ) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } = } & { | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } + \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } + \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } \approx \sigma _ { \mathrm { t r k } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { T _ { 0 } } } ^ { 2 } + ( \frac { \sigma _ { \mathrm { e l e c } } } { \sqrt { N _ { P E } } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \sigma _ { \mathrm { T T S } } } { \sqrt { N _ { P E } } } ) ^ { 2 } + ( \frac { \sigma _ { \mathrm { d e t } } } { \sqrt { N _ { P E } } } ) ^ { 2 }
\begin{array} { l l l l l } { { \Gamma ( H \to g g ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } m _ { H } ^ { 3 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } v ^ { 2 } } \left| \sum _ { i } - \frac { 1 } { 2 } y _ { i } F _ { 1 / 2 } ( \tau _ { i } ) \right| ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } \alpha _ { s } ^ { 2 } m _ { H } ^ { 3 } y _ { G _ { F } } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } \left| \sum _ { i } - \frac { 1 } { 2 } y _ { i } F _ { 1 / 2 } ( \tau _ { i } ) \right| ^ { 2 } , } } \\ { { \smallskip \Gamma ( H \to \gamma \gamma ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \alpha ^ { 2 } m _ { H } ^ { 3 } } { 2 5 6 \pi ^ { 3 } v ^ { 2 } } \left| \sum _ { i } y _ { i } N _ { c i } Q _ { i } ^ { 2 } F _ { i } \right| ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } \alpha ^ { 2 } m _ { H } ^ { 3 } y _ { G _ { F } } ^ { 2 } } { 2 5 6 \pi ^ { 3 } } \left| \sum _ { i } y _ { i } N _ { c i } Q _ { i } ^ { 2 } F _ { i } \right| ^ { 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } a _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , s , n , \eta } t ^ { \eta } \lVert a _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \, \mathrm { , ~ } } \\ { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } b _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , s , n , \varepsilon } t ^ { \varepsilon } \lVert b _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \, \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ^ { k } = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \sum _ { { l } , { l ^ { \prime } } } ( { l } ^ { 2 } + 2 { l } { l ^ { \prime } } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { l } \mathcal { A } _ { A } ^ { l ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - { l } - { l ^ { \prime } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( k ^ { 2 } - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \omega ^ { 2 } \right) \phi _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \omega \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) , } \\ { \left( k ^ { 2 } - \mu \varepsilon \omega ^ { 2 } \right) \mathbf { A } _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) \mathbf { k } + \mu \varepsilon \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } - 1 \right) \omega \mathbf { k } \phi _ { 0 } . } \end{array}
\tilde { H } _ { 0 } ( t , x ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { H _ { 0 } ( x ) } & { \mathrm { f o r ~ 1 - x ~ \gg ~ s ^ { - 1 } ~ } } \\ { B _ { 0 } ^ { \alpha } \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { - \beta } ( 1 - x ) } & { \mathrm { f o r ~ 1 - x ~ \ll ~ s ^ { - 1 } ~ } , } \end{array} \right. \quad s \gg 1 , \quad \beta = \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } > 0 .
\begin{array} { r l } { \langle \psi _ { m , \textbf { k } } | \hat { \textbf { r } } _ { i } | \psi _ { n , \textbf { k } ^ { \prime } } \rangle } & { { } = \delta _ { m n } \left[ \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \textbf { d } _ { m m } ( { \textbf { k } } ) + i \nabla _ { \textbf { k } } \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \right] , } \\ { \langle \psi _ { m , \textbf { k } } | \hat { \textbf { r } } _ { e } | \psi _ { n , \textbf { k } ^ { \prime } } \rangle } & { { } = \left( 1 - \delta _ { m n } \right) \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \textbf { d } _ { m n } ( { \textbf { k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { A } ^ { 2 } = k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \qquad } & { { } \textrm { ( s h e a r A l f v é n w a v e ) } , } \\ { \omega _ { F M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { { } \textrm { ( f a s t m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \\ { \omega _ { S M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 - \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { { } \textrm { ( s l o w m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \end{array}
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \frac { \rho ^ { * } c _ { p } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { e f f } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { e f f } } ^ { * } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } T ^ { * } - \alpha _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { e f f , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { \delta _ { \mathrm { D L } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { { e f f , 0 } } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { h } } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { { e f f } } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { e f f } } ^ { * } }
e _ { \mathrm { o b j } } = [ - 0 . 0 0 8 6 - 0 . 0 0 7 8 j , 0 . 0 0 8 9 - 0 . 0 1 3 2 j , - 0 . 0 0 6 6 - 0 . 0 1 2 0 j , 0 . 0 0 4 3 - 0 . 0 0 0 4 j ]
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { p } } \left( \epsilon \right) = \frac { \mathcal { C } } { T _ { \mathrm { e } } ^ { 3 / 2 } } \; \exp \left( - \frac { \epsilon } { T _ { \mathrm { e } } } \right) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \epsilon } \log f _ { \mathrm { p } } \left( \epsilon \right) = - \frac { 1 } { T _ { \mathrm { e } } } } \end{array}
C _ { \textup { L } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = C _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha ) + C _ { \textup { L } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) \, ,
{ \cal I } ( t ) \equiv \alpha _ { 1 } \mathrm { e } ^ { - \beta _ { 1 } | t | } + \alpha _ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \beta _ { 2 } | t | } + \lambda 2 \rho \mathrm { e } ^ { \rho \gamma } A _ { \gamma } ( t ) ~
\psi _ { l } ( k , r ) = 2 ^ { - 1 / 2 } \, ( - 1 ) ^ { m } \, i ^ { | l | } \, e ^ { i \delta _ { l } } \, ( J _ { \scriptscriptstyle { W } } ( k r ) \, \cos \Delta _ { \scriptscriptstyle { l } } - Y _ { \scriptscriptstyle { W } } ( k r ) \, \sin \Delta _ { \scriptscriptstyle { l } } ) \, ,
\left< n , \phi , t | \hat { H } _ { m } | n , \phi , t \right> = \Bigl ( n + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) \frac { 1 } { 2 \omega } \Biggl ( m ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \Bigl ( \frac { \dot { \omega } } { \omega } + 3 \frac { \dot { a } } { a } \Bigr ) ^ { 2 } \Biggr )
H ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { S } \frac { d S } { d \tau } \right) ^ { 2 } = R ^ { ' 2 } \left[ \frac { d A } { d R } + \frac { 1 } { 4 } \frac { d \phi } { d R } \right] ^ { 2 } \equiv \frac { 8 \pi } { 3 } \rho _ { \mathrm { e f f } }
\Lambda ^ { ( 1 , 1 ) } : \quad \quad \quad ( { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } ) ^ { 1 / 2 } ( p _ { L } , p _ { R } ) \equiv ( l _ { L } , l _ { R } ) = ( { \frac { n } { x } } + { \frac { w x } { 2 } } , { \frac { n } { x } } - { \frac { w x } { 2 } } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { E ( z ) } & { = E _ { \mathrm { m a x } } - \frac e { \epsilon _ { 0 } } \int _ { z } ^ { z _ { \mathrm { t i p } } } n _ { q } ( z ) d z , } \\ { n _ { i } ( z ) } & { = n _ { i , \mathrm { t i p } } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { e } \int _ { E ( z ) } ^ { E _ { \mathrm { m a x } } } \alpha _ { \mathrm { e f f } } ( E ) \, d E , } \\ & { + \frac { 1 } { e v } \int _ { z } ^ { z _ { \mathrm { t i p } } } \alpha _ { \mathrm { e f f } } ( E ( z ) ) j _ { \mathrm { t o t } } \, d z , } \\ { n _ { e } ( z ) } & { = \frac { v n _ { i } ( z ) - j _ { e , \mathrm { c h } } } { v + v _ { \mathrm { d r } } } , } \\ & { \mathrm { f o r ~ } z _ { \mathrm { c h } } \leq z < z _ { \mathrm { t i p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \Gamma _ { b } } { n _ { b } } } & { { } = } & { - L _ { 1 1 } ^ { b } \left[ \left( \frac { \partial _ { r } n _ { b } } { n _ { b } } - \frac { Z _ { b } e E _ { r } } { T _ { b } } \right) + \delta _ { 1 2 } ^ { b } \frac { \partial _ { r } T _ { b } } { T _ { b } } \right] \, , } \\ { \frac { Q _ { b } } { n _ { b } T _ { b } } } & { { } = } & { - L _ { 1 1 } ^ { b } \left[ \delta _ { 2 1 } ^ { b } \left( \frac { \partial _ { r } n _ { b } } { n _ { b } } - \frac { Z _ { b } e E _ { r } } { T _ { b } } \right) + \delta _ { 2 2 } ^ { b } \frac { \partial _ { r } T _ { b } } { T _ { b } } \right] \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { P _ { 1 } C _ { \Gamma _ { 1 } } ^ { + } - f _ { 1 } P _ { 1 } C _ { \Gamma _ { 1 } } ^ { - } } & { P _ { 1 } C _ { \Gamma _ { 2 } } - f _ { 1 } P _ { 1 } C _ { \Gamma _ { 2 } } } \\ { P _ { 2 } C _ { \Gamma _ { 1 } } - f _ { 2 } P _ { 2 } C _ { \Gamma _ { 1 } } } & { P _ { 2 } C _ { \Gamma _ { 2 } } ^ { + } - f _ { 2 } P _ { 2 } C _ { \Gamma _ { 2 } } ^ { - } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } - 1 } \\ { f _ { 2 } - 1 } \end{array} \right) ,
{ \bar { u } } { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial x } } + { \bar { v } } { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial y } } = { \frac { \partial } { \partial y } } \left[ ( \alpha + { \frac { \varepsilon _ { M } } { \mathrm { P r } _ { \mathrm { t } } } } ) { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial y } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \| w ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \nu \Big ( 1 - c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ( 1 + \frac { R ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } ) \Big ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d s } \\ & { \quad \leq - \left( \mu - \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } - \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 3 } } - \frac { c \mu ^ { 4 } \tau ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } \nu } \right) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s . } \end{array}
\mathfrak { G } _ { i j } = \frac { 1 } { \gamma _ { \nu } ^ { 2 } + 4 \Omega ^ { 2 } \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \left[ \gamma _ { \nu } \delta _ { i j } - 2 \Omega \epsilon _ { i 3 j } + 2 \Omega \frac { k _ { i } k _ { m } } { k ^ { 2 } } \epsilon _ { j m 3 } \right] .
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \mathrm { S } } = \frac { z _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { H } } } { z _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { G } } } } & { = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \exp [ - E _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { H } } ( x ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } x } { N _ { \mathrm { c s } } \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { G } } ( x ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } x } } \\ & { = \frac { \sqrt { K b ^ { 2 } / 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T } } { L _ { x } \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { G } } ( x ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( 0 ) * } ( { \boldsymbol { q } } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) } & { \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 3 } , \omega _ { 3 } ) \to } \\ & { \langle \phi ^ { ( 0 ) * } ( { \boldsymbol { q } } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) \rangle \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 3 } , \omega _ { 3 } ) } \\ { + } & { \langle \phi ^ { ( 0 ) * } ( { \boldsymbol { q } } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 3 } , \omega _ { 3 } ) \rangle \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { B } = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { q _ { e } n _ { e } v _ { e } r } { 2 \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { \frac { q _ { e } n _ { e } v _ { e } R _ { L } ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\Delta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \partial _ { 1 } a _ { 2 } \partial _ { 2 } a + \partial _ { 1 } a \partial _ { 2 } a _ { 2 } + \partial _ { 1 } b _ { 2 } \partial _ { 1 } a - \partial _ { 2 } a \partial _ { 2 } b _ { 2 } ,
\delta ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) \left[ \, J _ { + + } ^ { 0 } ( x ) \, , \, J _ { - } ^ { \mu } ( y ) \, \right] = \frac { 1 } { 2 } \left( J _ { l 1 } ^ { \mu } ( x ) + i J _ { l 2 } ^ { \mu } ( x ) \right) \delta ^ { n } ( x - y ) \ ,