harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { p _ { r a d } ( \rho ) = \sinh \rho / ( \cosh R _ { 0 } - 1 ) } & { \rho \in [ 0 , R _ { 0 } ] } \\ { p _ { a n g } ( \theta ) = 1 / 2 \pi } & { \theta \in [ 0 , 2 \pi ) } \end{array} \right.
I ( X _ { 0 } ^ { T } ; Y _ { 0 } ^ { T } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathbb { E } } \left[ \log \frac { d \mu _ { X _ { 0 } ^ { T } , Y _ { 0 } ^ { T } } } { d \mu _ { X _ { 0 } ^ { T } } \times \mu _ { Y _ { 0 } ^ { T } } } ( X _ { 0 } ^ { T } , Y _ { 0 } ^ { T } ) \right] , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { d \mu _ { X _ { 0 } ^ { T } , { Y _ { 0 } ^ { T } } } } { d \mu _ { X _ { 0 } ^ { T } } \times \mu _ { Y _ { 0 } ^ { T } } } \mathrm { ~ e x i s t s } , } \\ { \infty , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal L = } & { \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \nu } \psi \right) - \partial _ { \nu } \left( \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi \right) } \\ & { + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \psi } \\ & { + \partial _ { \mu } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \psi \right) - \partial _ { \mu } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \psi } \\ & { + \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi } \delta \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial x ^ { \mu } } \delta x ^ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log { \mathbb { P } ( \nu _ { n , \sigma } \in V _ { \delta } ) } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \kappa \in S _ { n } : \nu _ { n , \kappa } \in V _ { \delta } } e ^ { - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \kappa ( i ) - i | } \Big ) - \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { Z _ { n , \beta _ { n } } } { n ! } \Big ) } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \mu \in V _ { \delta } \cap \mathcal { M } } \{ - \theta F ( \mu ) - I ( \mu ) \} + \theta F ( \mu _ { \theta } ) + I ( \mu _ { \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k \in \mathcal { K } } R _ { k } + \sum _ { { k ^ { \prime } } \in \mathcal { K } ^ { c } } K _ { k ^ { \prime } } \ge \sum _ { k \in \mathcal { K } } r _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \log 2 \pi e \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \sum _ { j \in \mathcal { S } ^ { c } } \frac { 1 - 2 ^ { - 2 r _ { j } } } { \sigma _ { N _ { j } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } - D } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\{ \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \tilde { g } _ { t } \right] \right\} - \mathbb { E } _ { i _ { t } } \left[ \operatorname* { m i n } \left\{ \tilde { g } _ { t } \right\} \right] \leq \frac { 2 } { \mu _ { g } } \, \mathbb { E } [ \left\| \nabla \tilde { g } _ { t } ( \theta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) - \mathbb { E } [ \nabla \tilde { g } _ { t } ( \theta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) ] \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ]
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = d x ^ { + } d x ^ { - } + l _ { p } ^ { 9 } \frac { p _ { - } } { r ^ { 7 } } \delta ( x ^ { - } ) d x ^ { - } d x ^ { - } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \ \cdots \ + d x _ { 9 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { f _ { 0 } ( 1 ) + f _ { 0 } ( - 1 ) } & { = } & { f _ { 0 } ( 1 ) - f _ { 0 } ( - 1 ) = f _ { 0 } ( 1 ) = \frac { 1 } { \lambda } \cosh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } } \\ { \int _ { - 1 } ^ { 1 } f _ { 0 } ( x ) d x } & { = } & { \int _ { b } ^ { 1 } \frac { 1 } { \lambda } \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } d x = \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } } \\ { \int _ { - 1 } ^ { 1 } x f _ { 0 } ( x ) d x } & { = } & { \int _ { b } ^ { 1 } \frac { 1 } { \lambda } x \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } d x = \int _ { b } ^ { 1 } \frac { 1 } { \lambda } b \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } d x + \int _ { b } ^ { 1 } \frac { 1 } { \lambda } ( x - b ) \cosh \frac { x - b } { 2 \sqrt { \lambda } } d x } \\ & { = } & { \frac { 2 b } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \Big [ ( 1 - b ) \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } - 2 \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \Big [ \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } - 2 \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \mathcal { K } _ { \beta - } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } _ { \beta - } } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ | \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { n } ~ \rangle | \lesssim } & { ~ c _ { \eta } ( 1 + \sigma ) \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } t } \\ { \lesssim } & { ~ \varepsilon _ { N } \cdot ( 1 - \varepsilon _ { K } - \frac { \sigma L } { \pi } ) \cdot \alpha \cdot \frac { 1 } { ( 1 - \beta ) L } t , } \end{array}
h _ { r } = - { \sum _ { r ^ { \prime } = 1 ( \neq r ) } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { M } } A _ { r } ^ { k } A _ { r ^ { \prime } } ^ { k } R _ { r ^ { \prime } } H \left( c _ { r ^ { \prime } } \right) + { \sum _ { r ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { M } } A _ { r } ^ { k } A _ { r ^ { \prime } } ^ { k } x _ { r ^ { \prime } } \xi _ { r ^ { \prime } } ,
A _ { 1 } A _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } a _ { 2 } + \omega b _ { 1 } b _ { 2 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } + b _ { 1 } a _ { 2 } } \\ { \omega b _ { 1 } a _ { 2 } + \omega a _ { 1 } b _ { 2 } } & { \omega b _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 1 } } \end{array} \right] } .
u _ { 2 } ( 0 , 0 ^ { + } ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { \alpha _ { 2 } \rightarrow 0 } u _ { 2 } ( 0 , \alpha _ { 2 } ) = 1 + r - \frac { 1 } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } > \frac { ( 1 + r ) r ^ { \gamma _ { p } } } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } = u _ { 2 } ( 0 , 0 ) \; ,
( f \oplus _ { \alpha } g ) ( x ) = \operatorname* { s u p } _ { y + z = x } M _ { \alpha } ^ { ( 1 , 1 ) } ( f ( y ) , g ( z ) ) = \operatorname* { s u p } _ { y + z = x } \left\{ \begin{array} { l l } { ( f ( y ) ^ { \alpha } + g ( z ) ^ { \alpha } ) ^ { 1 / \alpha } , } & { \alpha \neq 0 , \pm \infty } \\ { f ( y ) g ( z ) , } & { \alpha = 0 } \\ { \operatorname* { m a x } \{ f ( y ) , g ( z ) \} , } & { \alpha = + \infty } \\ { \operatorname* { m i n } \{ f ( y ) , g ( z ) \} , } & { \alpha = - \infty . } \end{array} \right.
( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \cdot ( \mathbf { c } \times \mathbf { d } ) \equiv ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { d } ) - ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { d } ) ( \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } ) .
\sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left[ B _ { i k } ( t ) \dot { B } _ { j k } ( t ) - \dot { B } _ { i k } ( t ) B _ { j k } ( t ) \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left[ B _ { i k } ^ { \ast } ( t ) \dot { B } _ { j k } ^ { \ast } ( t ) - \dot { B } _ { i k } ^ { \ast } ( t ) B _ { j k } ^ { \ast } ( t ) \right] = 0 \; .
\vartheta _ { p } \colon \left\{ \begin{array} { l l } { a \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { a b b } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p ~ } } \\ { b a b } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p ~ } } \\ { b b a } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 1 - 2 p ~ } } \end{array} \right. } \\ { b \mapsto a a a } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = } & { ~ - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + b g \ \mathbf { n } _ { \alpha } + \nu \Delta \mathbf { u } , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } + \nabla \cdot ( b \mathbf { u } ) = } & { ~ \beta \Delta b - N ^ { 2 } \ ( \mathbf { n } _ { \alpha } \cdot \mathbf { u } ) . } \end{array}
\mathbb { E } ( Z _ { i , j } ^ { s } Z _ { i , k } ^ { s } \, | \, \sigma ( \mathcal { F } _ { s } ^ { W } , \sigma ( Y _ { s } ^ { , \tau } ) ) ) = \mathbb { E } ( Z _ { i , j } ^ { s } \, | \, \sigma ( \mathcal { F } _ { s } ^ { W } , \sigma ( Y _ { s } ^ { , \tau } ) ) ) \mathbb { E } ( Z _ { i , k } ^ { s } \, | \, \sigma ( \mathcal { F } _ { s } ^ { W } , \sigma ( Y _ { s } ^ { , \tau } ) ) ) = 0
\begin{array} { r l } { E _ { f } ( u ( t ) ) } & { = \frac 1 2 \| \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \int _ { M } \bar { K } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } - \frac 1 2 \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \ge \frac { \bar { K } } { 2 } \int _ { M } 2 u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } - \frac 1 2 \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } \ge \frac { \bar { K } } { 2 } \log ( A ) - \frac { A } { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } > - \infty . } \end{array}
\sum _ { s _ { j } } \sum _ { s _ { k } } \frac { ( N _ { i } - 2 s _ { i } ) ! N _ { j } ! N _ { k } ! } { 2 ^ { s _ { j } + s _ { k } } s _ { j } ! s _ { k } ! t _ { i j } ! t _ { i k } ! t _ { j k } ! } = \frac { ( N _ { j } + N _ { k } ) ! } { 2 ^ { ( N _ { j } + N _ { k } - N _ { i } + 2 s _ { i } ) / 2 } ( \frac { N _ { j } + N _ { k } - N _ { i } + 2 s _ { i } } { 2 } ) ! }
\begin{array} { r l } { \delta P ^ { \prime } } & { { } = s \delta T + n \cdot \delta \mu + \tilde { n } \cdot \delta \tilde { \mu } + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } + \tilde { n } _ { \psi } \cdot \delta \tilde { \mu } _ { \psi } } \\ { \epsilon } & { { } = - P ^ { \prime } + T s + \mu \cdot n + \tilde { \mu } \cdot \tilde { n } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { r } \frac { u _ { 0 } ^ { 2 } } { ( I _ { 0 } + \lambda ) ^ { 2 } } W ^ { 2 } ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } = \left. \frac { - W ^ { 2 } } { I _ { 0 } + \lambda } \right| _ { 0 } ^ { r } + \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 2 W W ^ { \prime } } { ( I _ { 0 } + \lambda ) } d r ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol H _ { \boldsymbol \ell } \boldsymbol b _ { \boldsymbol \ell } ^ { \mathrm { o p t } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol f _ { \boldsymbol \ell } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } = \varepsilon _ { \boldsymbol \ell } \geq 0 , \quad \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \int \int C _ { W } \left( \varepsilon | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \alpha ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } ) } e ^ { ( \alpha - \gamma ) ( Y , \theta _ { i , | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | \varepsilon } ^ { \eta } ) } F ( X , Y , Z ) \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) , ( \gamma , i ) } ( 1 ) ( d Y ) g ( \eta ) \mathbf m _ { \alpha } ( d \eta ) } \\ & { = \int \int C _ { W } F ( \widetilde X , \widetilde Y , \widetilde Z ) \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) , ( \gamma , i ) } ( 1 ) ( d \widetilde Y ) g ( \widetilde \eta ) \mathbf m _ { \alpha } ( d \widetilde \eta ) . } \end{array}
\mathcal { E } \ensuremath { \stackrel { \r { d e f } } { = } } \frac { 1 } { 2 } \overline { { | \boldsymbol u ^ { \prime } | ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { u ^ { 2 } } } + \overline { { v ^ { 2 } } } + \overline { { w ^ { 2 } } } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { P \left( \hat { \lambda } | \lambda , r _ { 1 } , x \right) } & { = } & { \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } P \left( \hat { \lambda } , t | \lambda , r _ { 1 } , x \right) d t } \\ & { = } & { \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } P \left( \hat { \lambda } | \lambda , r _ { 1 } , t , x \right) P \left( t | \lambda , r _ { 1 } , x \right) d t } \\ & { = } & { \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } P \left( \hat { \lambda } | r _ { 1 } , t , x \right) P \left( t | \lambda , r _ { 1 } , x \right) d t } \\ & { = } & { \frac { r _ { 1 } x } { \left( e ^ { \lambda } - 1 \right) \left( e ^ { \hat { \lambda } } - 1 \right) } \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } \frac { ( 1 - w ) ^ { x } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \lambda w } { 1 - w } \right) ^ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \hat { \lambda } w } { 1 - w } \right) ^ { j } \Big ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \binom { x - 1 } { j - 1 } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \zeta ( j + 1 ) } d t } \\ & { = } & { \frac { x } { \left( e ^ { \lambda } - 1 \right) \left( e ^ { \hat { \lambda } } - 1 \right) } \int _ { 0 } ^ { \theta } \frac { ( 1 - w ) ^ { x } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \lambda w } { 1 - w } \right) ^ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \hat { \lambda } w } { 1 - w } \right) ^ { j } \Big ) } { w \sum _ { j = 1 } ^ { x } \binom { x - 1 } { j - 1 } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \zeta ( j + 1 ) } d w , } \end{array}
( 6 0 ) \gamma _ { j } = \epsilon _ { j } - \epsilon _ { j + 1 } , \; \; \; { \bf w } _ { j } = \sum _ { i = 1 } ^ { j } \epsilon _ { i } - \frac { j } { r + 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { r + 1 } \epsilon _ { i } .
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sigma ^ { 3 } } } \\ { { \sigma ^ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ , \ \ \ \vec { \gamma } _ { _ T } = \left( \begin{array} { l l } { { i \, \vec { \sigma } _ { _ T } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \, \vec { \sigma } _ { _ T } } } \end{array} \right) \ , \ \ \ \gamma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - \sigma ^ { 3 } } } \\ { { + \sigma ^ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ , \ \ \ \gamma ^ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, ( \gamma ^ { 0 } \pm \gamma ^ { 3 } ) \ .
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { \rho } \left[ ( \delta _ { i , \rho _ { p } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) v _ { \rho } y _ { \rho } - ( \delta _ { i , \rho _ { s } } + \delta _ { i , \rho _ { c } } ) f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) \right] + F _ { i } ( \textbf { x } ; S _ { \mathrm { e x t } } , \alpha ) - ( \mu + d _ { i } ) x _ { i } , } \\ { \dot { y } _ { \rho } } & { { } = } & { f _ { \rho } ( { \bf x } , { \bf y } ) - v _ { \rho } y _ { \rho } - ( \mu + d _ { \rho } ) y _ { \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { \operatorname * { a r g m i n } _ { \theta } D _ { K L } \Big ( q _ { \theta } ( z | x ^ { \star } ) \ | | \ p ( z | x ^ { \star } ) \Big ) } \\ & { \approx \operatorname * { a r g m i n } _ { \theta } \ - \frac { d } { M } \sum _ { i = 0 } ^ { M } \log ( d _ { k n n } ( z _ { i } ) ) + \mathbb { E } _ { z \sim q _ { \theta } } \Big [ - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log p ( x _ { i } ^ { \star } | z ) + \frac { 1 } { 2 } | | z | | ^ { 2 } \Big ] } \end{array}
\{ ( r - s ) z ^ { 1 2 } z _ { 1 } ^ { r - s } - 2 ( z _ { 1 } ^ { r - s } z _ { 2 } + \cdots + z _ { 1 } z _ { 2 } ^ { r - s } ) \} = z _ { 1 2 } \{ ( r - s ) z _ { 1 } ^ { r - s } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { r - s - 1 } 2 ( r - s - \ell ) z _ { 1 } ^ { r - s - \ell } z _ { 2 } ^ { \ell } \} \, .
\begin{array} { r l } & { { \cal A } _ { \nu } ^ { k + 1 } = \{ \gamma \in { \cal S } : \tau _ { \nu } ^ { \gamma } \geq 0 \} , } \\ & { { \cal I } _ { \nu } ^ { k + 1 } = { \cal S } \setminus { \cal A } _ { \nu } ^ { k + 1 } , } \\ & { { \cal A } _ { \tau } ^ { k + 1 } = \{ p \in { \cal S } : \tau _ { \tau } ^ { \gamma } > 0 \} , } \\ & { { \cal I } _ { \tau } ^ { k + 1 } = { \cal S } \setminus { \cal A } _ { \tau } ^ { k + 1 } . } \end{array}
{ \cal \tilde { S } } ^ { A B P } ( t ) = 2 \mu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d s \int _ { 0 } ^ { s } d u \, \overline { { f _ { u } ^ { a } f _ { 0 } ^ { a } } } = 2 \epsilon ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \tau _ { a } [ t - \tau _ { a } ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { a } } ) ] \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - y ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \big [ f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k } ) \big ] + \theta f ( x ^ { k + 1 } ) - f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) - ( 1 - \theta ) \omega ( x ^ { k + 1 } ) } \\ & { + \frac { \rho \theta } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \theta ( \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa ) } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } + \lambda \theta \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - \rho \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \theta \kappa \beta \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\beta F = - \frac { N } { \beta ^ { 3 } } \int d \theta d \phi \int _ { r _ { + } + h } ^ { L } d r \frac { \sqrt { g _ { 4 } } } { ( - g _ { t t } ^ { ' } ) ^ { 2 } } = - N \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d \theta d \phi \int _ { r _ { + } + h } ^ { L } d r \sqrt { g _ { 4 } } \frac { 1 } { \beta _ { l o c a l } ^ { 4 } } ,
\frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { 1 } { \sqrt { - \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } } \, \sqrt { \frac { \cos \left( \frac { 2 \pi n } { q } \right) - \cos \left( \frac { 2 \pi m } { p } \right) } { 1 6 \pi \left( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi m } { p } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi n } { q } \right) } } \, { \mathrm { e } } ^ { \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \left[ a ( { \vec { k } } _ { 1 } ) , a ( { \vec { k } } _ { 2 } ) \right] = \left[ a ^ { \dagger } ( { \vec { k } } _ { 1 } ) , a ^ { \dagger } ( { \vec { k } } _ { 2 } ) \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ a ( { \vec { k } } _ { 1 } ) , a ^ { \dagger } ( { \vec { k } } _ { 2 } ) \right] } & { { } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E \delta ( { \vec { k } } _ { 1 } - { \vec { k } } _ { 2 } ) . } \end{array}
\left( \frac { \mu _ { j } - \frac { i } { 2 } } { \mu _ { j } + \frac { i } { 2 } } \right) ^ { 2 N } \left( \frac { \mu _ { j } + i \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { - } \right) } { \mu _ { j } - i \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { - } \right) } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + i \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { + } \right) } { \mu _ { j } - i \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { + } \right) } \right) = \prod _ { j \neq \ell = 1 } ^ { M } \left( \frac { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } + i } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } + i } \right) .
\begin{array} { r } { D B _ { w } + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } n _ { 0 } } \frac { ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } N B _ { W } = 0 \, , } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } = \gamma - \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } \ln n _ { 0 } \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mu _ { p } } \\ { \sigma _ { p } } \\ { \mu _ { n } } \\ { \sigma _ { n } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { M e d i a n } \left[ \mathrm { l o g } \left( \pmb { D } \right) \right] \ \ \mathrm { f o r } \ \ \pmb { D } > 0 } \\ { \mathrm { I Q R } \left[ \mathrm { l o g } \left( \pmb { D } \right) \right] / 1 . 3 5 \ \ \mathrm { f o r } \ \ \pmb { D } > 0 } \\ { \mathrm { M e d i a n } \left[ \mathrm { l o g } \left( - \pmb { D } \right) \right] \ \ \mathrm { f o r } \ \ \pmb { D } < 0 } \\ { \mathrm { I Q R } \left[ \mathrm { l o g } \left( - \pmb { D } \right) \right] / 1 . 3 5 \ \ \mathrm { f o r } \ \ \pmb { D } < 0 } \end{array} \right]
- \pi \leq \sigma \leq \pi , ~ ~ ~ ~ \psi ^ { i } ( \sigma ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { i \psi ^ { i + 1 } ( - \sigma - \pi ) , \quad - \pi \leq \sigma \leq - \frac { \pi } { 2 } , } } \\ { { - i \psi ^ { i - 1 } ( - \sigma - \pi ) , \quad - \frac { \pi } { 2 } \leq \sigma \leq 0 , } } \\ { { i \psi ^ { i - 1 } ( \pi - \sigma ) , \quad 0 \leq \sigma \leq \frac { \pi } { 2 } , } } \\ { { - i \psi ^ { i + 1 } ( \pi - \sigma ) , \quad \frac { \pi } { 2 } \leq \sigma \leq \pi . } } \end{array} \right. \right.
\hat { \sigma } _ { Z } ^ { q } = \frac { \left( g _ { A } ^ { \prime P P } \right) ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 5 1 2 \pi \sin ^ { 4 } \theta _ { W } \cos ^ { 4 } \theta _ { W } } \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 4 } } \beta \left| \sum _ { m _ { q } = m _ { u } , m _ { d } , m _ { J } } g _ { A } ^ { q } \left( 1 + 2 \lambda _ { q } I _ { q } \right) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ] } & { \leq } & { ( n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L ) ( C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) ) } \\ & { \leq } & { C L ^ { - 1 \slash 2 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } + C L n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
O _ { 1 } = - \langle ( \vec { q } \cdot [ \stackrel { \leftrightarrow } { \pi } : \vec { f } _ { i } ^ { ( 1 ) } \otimes \vec { f } _ { j } ^ { ( 2 ) ^ { * } } ] ) \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: i j * } \rangle
\begin{array} { r l r } { [ C _ { N } ^ { I I I } ( x ) - C _ { N } ^ { I I } ( x ) ] _ { 1 1 } } & { = } & { \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d k _ { 0 } d q _ { + } d q _ { - } { e ^ { i k _ { 0 } x _ { 0 } + i ( q _ { + } + 1 ) x _ { + } + i ( q _ { - } - 1 ) x _ { - } } } } \\ & { } & { \times \chi _ { N } ( q _ { + } ) [ \hat { C } ^ { I I I } ( k _ { 0 } , q _ { \pm } ) - \hat { C } ^ { I I } ( k _ { 0 } , q _ { \pm } ) ] _ { 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 1 } = } & { 4 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \phi } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \varphi } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) , } \\ { \eta _ { 2 } = } & { 4 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \Psi } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \Phi } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) , } \\ { \eta _ { 3 } = } & { 4 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \phi } } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \varphi } } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { \gamma } ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) , } \\ { \eta _ { 4 } = } & { 4 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \Psi } } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \Phi } } ( x , y ) ^ { 2 } d y d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { \lambda } ( x ) ^ { 2 } d x \bigg ) , } \\ { \eta _ { 5 } = } & { 2 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { x } ^ { 1 } R ( x , y ) ^ { 2 } d y d x \bigg ) , } \\ { \eta _ { 6 } = } & { 2 \bigg ( 1 + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) ^ { 2 } d y d x \bigg ) . } \end{array}
T _ { I } \simeq T _ { \gamma } ^ { ( 3 - 4 b ) / 3 } \left[ \frac { 3 H } 2 T _ { M } ^ { 1 / 2 } T _ { t o d } ^ { 3 / 2 } \times t _ { t o d } \right] ^ { 2 b / 3 } \simeq T _ { \gamma } \left[ \frac { H M _ { P l } } { T _ { \gamma } ^ { 2 } } \right] ^ { 2 b / 3 } .