harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma } \bigg ( [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) , } \\ & { \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] \leq ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) . } \end{array}
\mu - \frac { \omega } { 2 } \in \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 + 1 } , \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 + 1 } \right) , } & { | \gamma | \leq 2 , } \\ { \left( - \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 + 1 } , - \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 - 1 } \right) \cup \left( \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 - 1 } , \sqrt { \gamma ^ { 2 } / 4 + 1 } \right) , } & { | \gamma | > 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { X } = } & { { } ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } - ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { X } } \\ { \dot { \rho } _ { H } = } & { { } ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { X } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { X } + ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { D } - 2 ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } } \\ { \dot { \rho } _ { D } = } & { { } ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { H } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { H } - ( R e ^ { - \Delta \epsilon _ { D } / T } + \gamma _ { 0 } ) \rho _ { D } } \end{array}
Z _ { 1 } ( \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \Delta _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \Delta _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } { \lambda + 2 \lambda _ { 0 } } , } & { \qquad \lambda \in \mathbb { C } \setminus \overline { { D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta } } ) , } \\ { \displaystyle \frac { \Delta _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { \Delta _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } { \lambda + 2 \lambda _ { 0 } } - \Delta _ { 1 } ( \lambda ) , } & { \qquad \lambda \in D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\langle A _ { \beta \alpha } ( t + \tau ) A _ { p q } ( t ) \right\rangle } & { { } \equiv \sum _ { m , n } G _ { \alpha \beta , m n } ( \tau ) \left\langle A _ { n m } ( t ) A _ { p q } ( t ) \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { c \in \mathcal { C } } | e _ { P } ( c ) \log e _ { P } ( c ) | } & { \leq \sum _ { c \in \mathcal { C } } | e _ { P } ( c ) \log e _ { P } ( c ) - e _ { P } ( c ) \log d | + | e _ { P } ( c ) \log d | } \\ & { = \sum _ { c \in \mathcal { C } } e _ { P } ( c ) \log \frac { d } { e _ { P } ( c ) } + \sum _ { c \in \mathcal { C } } e _ { P } ( c ) | \log d | } \\ & { = d H ( \pi _ { P } ) + d | \log d | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { p } ( \mu , \boldsymbol { \theta } ) = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } & { { } = \frac { \chi } { 2 } \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } \Big | _ { s = 0 } ^ { s = 1 } } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { 4 \cos ^ { 2 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \cos ^ { 2 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \cos ^ { 2 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } = { \sqrt [ [object Object] ] { 1 1 + 3 ( 2 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } ) } }
\begin{array} { r l } { n ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) } & { \leq \# \Omega _ { n } ( I ) } \\ & { \leq n ^ { k } \operatorname { V o l } \left( B _ { k } \left( \left[ c - \frac { 2 \pi k } { n } , d + \frac { 2 \pi k } { n } \right] \right) \right) } \\ & { = n ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) } \\ { + } & { n ^ { k } \operatorname { V o l } \left( B _ { k } \left( \left[ c - \frac { 2 \pi k } { n } , c \right] \right) \right) + n ^ { k } \operatorname { V o l } \left( B _ { k } \left( \left[ d , d + \frac { 2 \pi k } { n } \right] \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { e l a s t } } ( \boldsymbol { F } , \psi ) } & { = \frac { G ( \psi ) } { 2 } \mathrm { t r } ( \boldsymbol { F } ^ { T } \boldsymbol { F } - I ) + \frac { \kappa } { 2 } ( J - 1 ) ^ { 2 } } \\ { W _ { \mathrm { p h a s e } } ^ { \varepsilon } ( \psi , \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi ) } & { = \sum _ { i \in \{ s , \ell , a \} } \gamma _ { i } \left[ \frac { \varepsilon } { 2 } | \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi _ { i } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \varepsilon } ( 1 - \psi _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] J } \end{array}
\phi ( t ) = \frac { \sqrt { \rho _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \sqrt { f ( v _ { i } ) \Delta v } \cos \left[ m \left( 1 + \frac { v _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \right) t + \varphi _ { i } \right] ,
\begin{array} { r l } { F ( \pi ) } & { = \underbrace { { { \mathbb { E } } _ { q ( \eta ) } } [ \ln { { q } _ { \mu } } ( \eta ) - \ln p ( \eta , b ) ] } _ { \mathrm { V a r i a t i o n a l ~ f r e e ~ e n e r g y } } } \\ & { = \underbrace { { { \mathbb { E } } _ { q } } [ - \ln p ( b | \eta ) - \ln p ( \eta ) ] } _ { \mathrm { E n e r g y ~ c o n s t r a i n t ~ ( l i k e l i h o o d ~ } \! \! \And \! \! \mathrm { ~ p r i o r ) } } - \underbrace { { { \mathbb { E } } _ { q } } [ - \ln { { q } _ { \mu } } ( \eta ) ] } _ { \mathrm { E n t r o p y } } } \\ & { = \underbrace { { { D } _ { K L } } [ { { q } _ { \mu } } ( \eta ) | p ( \eta ) ] } _ { \mathrm { C o m p l e x i t y } } - \underbrace { { { \mathbb { E } } _ { q } } [ \ln p ( b | \eta ) ] } _ { \mathrm { A c c u r a c y } } } \\ & { = \underbrace { { { D } _ { K L } } [ { { q } _ { \mu } } ( \eta ) | | p ( \eta | b ) ] } _ { \mathrm { D i v e r g e n c e } } \underbrace { - \ln p ( b ) } _ { \mathrm { ~ L o g ~ e v i d e n c e } } \ge - \ln p ( b ) } \end{array}
I _ { n } ( L , m , d , \vec { \rho } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \int { } d ^ { d - 1 } p \frac { e ^ { i \vec { p } . \vec { \rho } } } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } } & { { } ( \tau _ { 2 } ) = \sum _ { f = 1 } ^ { n } \hat { F } _ { f } [ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n ) ] \binom { n } { f } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\sqrt { \beta q } \frac { d ^ { 2 } E ( \omega ) } { d t d \omega } = \frac { 2 \pi ^ { 3 } \varpi ^ { 3 } x _ { s } ^ { 2 } } { \exp \left( \varpi / \bar { T } _ { H } ( x _ { + } ) \right) - 1 } ,
\frac { - n ^ { 1 / 2 } \pi ^ { 1 / 2 } \delta _ { c } L _ { P E ; c l } \epsilon _ { A 0 } ^ { 1 / 2 } } { 2 \sqrt { 2 } S \delta _ { a } ^ { 1 / 2 } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } ^ { 1 / 2 } } \left( 1 - \frac { F + \frac { 2 \delta _ { a } } { \pi } \delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } } { \epsilon _ { A 0 } } \right) = 2 L + 1 , { \quad \mathrm { ~ L = 0 , 1 , 2 , 3 ~ . . . } }
\begin{array} { r } { \rho D _ { t } k + \sum _ { i } \partial _ { x _ { i } } \left( \phi \rho v _ { i } + p v _ { i } - \sum _ { j } \Pi _ { i j } v _ { j } \right) = \phi \sum _ { i } \partial _ { x _ { i } } ( \rho v _ { i } ) + \sum _ { i } p \partial _ { x _ { i } } v _ { i } - \sum _ { i j } \Pi _ { i j } \partial _ { x _ { i } } v _ { j } \, , } \end{array}
\; _ { j } \phi _ { k } \left[ { \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { \ldots } & { a _ { j } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { \ldots } & { b _ { k } } \end{array} } ; q , z \right] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \ldots , a _ { j } ; q ) _ { n } } { ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , \ldots , b _ { k } , q ; q ) _ { n } } } \left( ( - 1 ) ^ { n } q ^ { \binom { n } { 2 } } \right) ^ { 1 + k - j } z ^ { n }
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ( m ) } & { { } = \exp { \bigg ( - \frac { b } { \beta } \big ( 1 + \frac { \Delta f } { { f _ { e n d } } } \big ) ^ { \beta / \alpha } \big ( e ^ { \beta t } - e ^ { \beta t _ { e n d } } \big ) \bigg ) } } \\ { S _ { 3 } ( m ) } & { { } \approx S _ { 3 } ( m = 0 ) + \delta \bigg ( \frac { d } { d t } S _ { 3 } ( m = 0 ) + b e ^ { \beta t _ { e n d } } S _ { 3 } ( m = 0 ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { | b ( t , x , y ) | ^ { 2 } } & { \leq b _ { 0 } + b _ { x } | x | ^ { 2 } + b _ { y } | y | ^ { 2 } , } \\ { | \sigma ( t , x , y ) | ^ { 2 } } & { \leq \sigma _ { 0 } + \sigma _ { x } | x | ^ { 2 } + \sigma _ { y } | y | ^ { 2 } , } \\ { \left| \int _ { E } \beta ( t , x , y , e ) \lambda ( d e ) \right| ^ { 2 } } & { \leq \beta _ { 0 } + \beta _ { x } | x | ^ { 2 } + \beta _ { y } | y | ^ { 2 } , } \\ { | f ( t , x , y , z , v ) | ^ { 2 } } & { \leq f _ { 0 } + f _ { x } | x | ^ { 2 } + f _ { y } | y | ^ { 2 } + f _ { z } | z | ^ { 2 } + f _ { \Gamma } | v | ^ { 2 } , } \\ { | g ( x ) | ^ { 2 } } & { \leq g _ { 0 } + g _ { x } | x | ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { Q } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { 4 } h ^ { 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } h ^ { 3 } } & { \frac { 1 } { 2 } h ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } h ^ { 3 } } & { h ^ { 2 } } & { h } \\ { \frac { 1 } { 2 } h ^ { 2 } } & { h } & { 1 } \end{array} \right] \sigma _ { w } ^ { 2 } , \; R = \sigma _ { v } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathcal { D } ( \omega , \mathbf { k } ) = D _ { \mathrm { i } } ( \omega , \mathbf { k } ) D _ { \mathrm { n } } ( \omega , \mathbf { k } ) + D _ { \mathrm { c } } ( \omega , \mathbf { k } ) ^ { 2 } = 0 ,
\operatorname { v a r } ( \mathbf { X } ) = \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } ) = \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ^ { \mathrm { { T } } } \right] .
\begin{array} { r l } { E ( X ) } & { = \kappa _ { 1 } , } \\ { E ( X ^ { 2 } ) } & { = \kappa _ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { E ( X ^ { 3 } ) } & { = \kappa _ { 3 } + 3 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 1 } ^ { 3 } , } \\ { E ( X ^ { 4 } ) } & { = \kappa _ { 4 } + 4 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } + 3 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } + 6 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 4 } , } \\ & { \vdots } \\ { E ( X ^ { p } ) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { p } B _ { p , m } ( \kappa _ { 1 } , \ldots , \kappa _ { p - m + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } = } & { { } ~ p \nabla \phi - \frac { \rho p } { 2 D \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } \mathbf { J } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } \mathbf { v } + \frac { \hat { \gamma } } { 2 } \left( \frac { 1 } { \rho _ { 1 } ( 1 + \phi ) } - \frac { 1 } { \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ) } \right) \mathbf { J } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { u } ( \mathbf { x } ) } & { \triangleq f ( \mathbf { x } ) + \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { y } _ { l , u } - f ( \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ) , } \\ { \sigma _ { T _ { l } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { = k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) - \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) . } \end{array}
\bar { F } _ { T } ^ { ( i ) } ( \theta _ { i } ) = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } w _ { t - \tau : t - 1 } w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } w _ { t - \tau : t - 1 } y _ { t } ^ { ( i ) } = \mathbb { W } _ { 1 : T } \theta _ { i } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } w _ { t - \tau : t - 1 } y _ { t } ^ { ( i ) } ,
\begin{array} { r l r } { L ( \rho ) } & { { } = } & { - i [ H _ { \mathrm { ~ X ~ X ~ Z ~ } } , \rho ] + \sum _ { \mu = 1 , N } L _ { \mu } \rho L _ { \mu } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ L _ { \mu } ^ { \dagger } L _ { \mu } , \rho \} } \end{array}
\displaystyle { - \overline { { \beta } } ^ { 2 } \left( 1 5 + \frac { 2 8 1 } { 1 6 } a _ { 2 0 } \right) - 4 \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } ( \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } - \overline { { \alpha } } - \overline { { \beta } } ) \left( 1 + \frac { 1 5 } { 1 6 } a _ { 2 0 } \right) - 4 \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } \left( 1 + \frac { 2 3 } { 1 6 } a _ { 2 0 } \right) - \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } \theta } { 2 \kappa } \Bigg \{ 9 + \frac { 3 5 } { 1 6 } a _ { 2 0 } + \frac { 2 7 } { 4 } a _ { 1 1 } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \varepsilon } _ { k + 1 } } & { { } = \bar { A } \boldsymbol { \varepsilon } _ { k } + \bar { G } \bar { \mathbf { w } } _ { k } , } \\ { \mathbf { e } _ { k } } & { { } = C \boldsymbol { \varepsilon } _ { k } + \mathbf { v } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( { \bf k } , g ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 1 } } } \\ { e ^ { - g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 1 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { 2 } ( { \bf k } , g ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { - g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 2 } } } \\ { e ^ { g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \\ { H _ { 3 } ( { \bf k } , g ) } & { = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { - g + i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 3 } } } \\ { e ^ { g - i { \bf k } \cdot { \bf a } _ { 3 } } } & { 0 } \end{array} \right] ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { E _ { i } } P ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) \, } & { = \, E _ { i } \left( P ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) \right) \, - \, P ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { 1 } , E _ { 2 } ) \, - \, P ( E _ { 1 } , \nabla _ { E _ { i } } E _ { 2 } ) } \\ & { = \, E _ { i } ( u ) \, - \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { 1 } , E _ { 1 } ) P ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) \, - \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { 2 } , E _ { 2 } ) P ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) } \\ & { = \, E _ { i } ( u ) \, . } \end{array}
m _ { \tilde { b } _ { 1 } } ^ { 2 } = m _ { b } ^ { 2 } + M _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } + \cos ( 2 \beta ) ( - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } S _ { W } ^ { 2 } ) M _ { Z } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| F _ { v } ( x ) - F _ { v } ( y ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { C } p _ { C } \sum _ { i , j \in C } \bigg \langle \frac { 1 } { n p _ { i } } ( F _ { i } ( x ) - F _ { i } ( y ) ) , \frac { 1 } { n p _ { j } } ( F _ { j } ( x ) - F _ { j } ( y ) ) \bigg \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \sum _ { C : i , j \in C } p _ { C } \bigg \langle \frac { 1 } { n p _ { i } } ( F _ { i } ( x ) - F _ { i } ( y ) ) , \frac { 1 } { n p _ { j } } ( F _ { j } ( x ) - F _ { j } ( y ) ) \bigg \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \frac { P _ { i j } } { p _ { i } p _ { j } } \bigg \langle \frac { 1 } { n } ( F _ { i } ( x ) - F _ { i } ( y ) ) , \frac { 1 } { n } ( F _ { j } ( x ) - F _ { j } ( y ) ) \bigg \rangle . } \end{array}
p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { t - 1 } \vert \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) = \mathcal { N } \left( \mathcal { C } _ { t - 1 } ; \mu _ { \theta } \left( \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } , t \right) , \sigma _ { t } ^ { 2 } I \right) ,
\begin{array} { r } { x F _ { | h _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) \textbf { \Big | } _ { 0 } ^ { a } = \! a \! \left( \! 1 \! \! - \! \exp { \! \left( \! - \left[ 2 a ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \right] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \! \right) } \! \right) . } \end{array}
{ \frac { P _ { i } } { \epsilon _ { 0 } } } = \sum _ { j } \chi _ { i j } ^ { ( 1 ) } E _ { j } + \sum _ { j k } \chi _ { i j k } ^ { ( 2 ) } E _ { j } E _ { k } + \sum _ { j k \ell } \chi _ { i j k \ell } ^ { ( 3 ) } E _ { j } E _ { k } E _ { \ell } + \cdots
\overline { { K } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \operatorname* { d e t } [ \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ] = { } _ { 1 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) { } _ { 2 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } )
\begin{array} { r l } & { \left\langle \frac { \partial } { \partial \delta } ( \mathcal { B } _ { 1 } - \mathcal { D } _ { 1 } ) \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ \frac { 1 } { N ( k + \mathrm { e } ^ { \tau } ) ^ { 2 } } \left( k ( k + \mathrm { e } ^ { \tau } ) \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \mathrm { e } ^ { \tau } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \left\langle \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \pi _ { \ell } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } \right) } \\ & { ~ - \frac { 1 } { N ( k + \mathrm { e } ^ { \tau } ) ^ { 2 } } \left( - k \mathrm { e } ^ { \tau } \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } + \mathrm { e } ^ { \tau } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k ( k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } ) } \left\langle \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \pi _ { j } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \frac { 1 } { k ( k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } ) } \left\langle \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \pi _ { \ell } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 . } \end{array}
M _ { B _ { s } ^ { * } } - M _ { B _ { s } } = \frac { M _ { D _ { s } ^ { * } } - M _ { D _ { s } } } { M _ { D ^ { * + } } - M _ { D ^ { + } } } ( M _ { B _ { d } ^ { * } } - M _ { B _ { d } } ) = ( 4 6 \pm 1 ) \ \mathrm { M e V }
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { R } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { t } | \lambda | ^ { k } \| \mathcal { R } _ { k } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq 2 C \sum _ { k = 1 } ^ { t } | 4 C \eta M _ { \eta } \lambda | ^ { k } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } \leq 2 C \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | 4 C \eta M _ { \eta } \lambda | ^ { k } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } } \\ & { \leq 2 C \left( \frac { 1 } { 1 - 4 C | \lambda | \eta M _ { \eta } } - 1 \right) \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } = 2 C \frac { 4 C | \lambda | \eta M _ { \eta } } { 1 - 4 C | \lambda | \eta M _ { \eta } } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } . } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \left( \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| u _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) = 0
\cot ( z - a _ { 1 } ) \cot ( z - a _ { 2 } ) = - 1 + \cot ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) \cot ( z - a _ { 1 } ) + \cot ( a _ { 2 } - a _ { 1 } ) \cot ( z - a _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial g _ { n } } { \partial e ^ { j \phi } } } } & { { } = - { \frac { \partial g _ { n } } { \partial { \bf G } _ { n } } } { \frac { \partial { \bf G } _ { n } } { \partial e ^ { j \phi } } } } \end{array}
\mathcal { Z } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } , \mathbf { w } _ { j } ^ { n } , \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } ) = \mathcal { F } _ { c } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } , \mathbf { w } _ { j } ^ { n } , \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } ) + \mathcal { D } ( \mathbf { w } _ { i } ^ { n } , \mathbf { w } _ { j } ^ { n } , \widetilde { \boldsymbol { \eta } } _ { i j } )
\boldsymbol { \nabla } { \cdot } { \mathbf { F } } _ { \partial \Omega _ { k } } ( \mathbf { u } _ { i } ) = \sum _ { j \in I } \overline { { \mathbf { c } } } _ { i j } \overline { { \mathbf { F } } } ( \mathbf { u } _ { j } ^ { - } , \mathbf { u } _ { j } ^ { + } , \mathbf { n } _ { j } ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \overline { { \mathbf { c } } } _ { i j } = \nabla \overline { { \phi } } _ { i } ( \mathbf { x } _ { j } ) .
\begin{array} { r l r l r l r } { r ( P ) \colon x + ( - x ) } & { = 0 } & { r ( Q _ { 1 } ) \colon x + y } & { = - w } & { r ( Q _ { 1 } ^ { \prime } ) \colon - x + ( - w ) } & { = y } \\ { y + ( - y ) } & { = 0 } & { r ( Q _ { 2 } ) \colon x + w } & { = - y } & { r ( Q _ { 2 } ^ { \prime } ) \colon - x + ( - y ) } & { = w } \\ { w + ( - w ) } & { = 0 } & { w + y } & { = - x } & { - y + ( - w ) } & { = x } & \end{array}
\frac { \partial \tilde { \theta } } { \partial \xi } = \frac { \partial ( z _ { r } , \tilde { \theta } ) } { \partial ( z _ { r } , \xi ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial ( z _ { r } , \theta ) } { ( \theta , S ) } = - \frac { 1 } { J } \frac { \partial z _ { r } } { \partial S } = \frac { 1 } { J } \frac { g \beta _ { r } } { N _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\tau \equiv \frac { R _ { 2 } } { R _ { + } } e ^ { i \theta } = \tau _ { 1 } + i \tau _ { 2 } = \frac { R _ { 2 } } { R _ { + } } \cos \theta + i \frac { R _ { 2 } } { R _ { + } } \sin \theta \, .
d s ^ { 2 } = \left( \frac { l ^ { 2 } } { \sinh ^ { 2 } y } \right) \left( d y ^ { 2 } + \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } ( - d \eta ^ { 2 } + \delta _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } ) \right) .
\left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) \ \rho _ { n } ^ { ( 2 ) } ( s ) } { ( t - n - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { 2 } \ 2 ! \ r _ { n } ^ { ( 1 ) } ( s ) } { ( s - n - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 3 } } \right\} _ { s = 0 , \ t = 0 } = 0 .
| \hat { \nabla } \hat { \psi } | = \hat { H } \hat { \bar { u } } _ { s } = \int _ { 0 } ^ { \hat { H } } \hat { u } _ { s } ~ \mathrm { ~ d ~ } \hat { z } = \frac { \displaystyle { n \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) _ { + } ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \left( ( n + 1 ) | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } + n \hat { \tau } _ { y } \right) } } { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \hat { \kappa } ^ { 1 / n } | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } } .
\Gamma _ { \rho } ^ { \mathrm { d e c a y } } ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) = \frac { f _ { \rho \pi \pi } ^ { 2 } } { 4 8 \pi } \frac { ( m _ { \rho } ^ { 2 } - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } .