harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 1 3 } ^ { 2 } L } { 4 E } \right) \sim \frac { 1 } { 2 } , \qquad \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } L } { 4 E } \right) \sim \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { 1 } } & { 0 < z \le h _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } & { - h _ { 2 } \le z < 0 } \end{array} \right. , \qquad \mathcal { R } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } } & { 0 < z \le h _ { 1 } } \\ { \rho _ { 2 } } & { - h _ { 2 } \le z < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\mathrm { T r } \, A = - 3 \lambda \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ { } ( Z ) \sin 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } ; \quad \operatorname* { d e t } A = 2 \lambda ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 4 } \, \mathrm { S } _ { } ^ { 2 } ( Z ) \sin ^ { 2 } 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } .
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { c r i t } } / ( 2 \pi ) = \left( 0 . 2 6 \pm 0 . 0 2 \right) + \left( 0 . 8 6 \pm 0 . 0 4 \right) \times \theta _ { \mathrm { E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } | \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } | ^ { 2 } } & { { } = \left[ \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } \mathbf { v } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Theta } ^ { T } ( k _ { y } ) } & { { } = - \eta _ { y y } \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 2 i k _ { y } ( \eta _ { x y } + \eta _ { y x } ) \frac { d } { d x } + k _ { y } ^ { 2 } \eta _ { x x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { e } ^ { n } ( \tau _ { e ^ { \prime } } ^ { e } \circ f ) ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) = [ e , a _ { 0 } e , a _ { 0 } f ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) , a _ { 0 } e ^ { \prime } , a _ { 0 } e , f ( a _ { 0 } a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) , e ^ { \prime } , e , \dots , } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n } ( \tau _ { e ^ { \prime } } ^ { e } \circ f ) ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) = [ } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n - 1 } a _ { n } ) , e ^ { \prime } , e , f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n - 1 } ) a _ { n } , e ^ { \prime } a _ { n } , e a _ { n } , e a _ { n } ] , } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n } ( \tau _ { e ^ { \prime } } ^ { e } \circ f ) ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) } = [ e , a _ { 0 } e ^ { \prime } , a _ { 0 } f ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) , f ( a _ { 0 } a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) , \dots , } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n } ( \tau _ { e ^ { \prime } } ^ { e } \circ f ) ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) = [ } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n - 1 } a _ { n } ) , f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n - 1 } ) a _ { n } , e ^ { \prime } a _ { n } ] , } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n } ( \tau _ { e ^ { \prime } } ^ { e } \circ f ) ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) } = [ e , e ^ { \prime } , \delta _ { e ^ { \prime } } ^ { n } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bf S } & { { } = \left( \begin{array} { l l l l } { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n + 2 } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n + 2 } ) } & { \cdots } \\ { \sigma ( t _ { n - 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \sigma ( t _ { n - 2 } ) } & { \sigma ( t _ { n - 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \mathrm { v e c } \left( \mathbf { A } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { A } + \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } \right) ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) } \\ & { - \eta \mathrm { v e c } \left( \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } ) \right] \mathbf { B } \right. } \\ & { \left. \qquad { \times } \mathbf { B } ^ { \top } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } ) \right] \right) ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) , } \end{array}
{ \cal B } ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: = \: { \cal B } ( g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: g _ { 2 } ^ { * } { \cal B } ( g _ { 1 } ) ^ { \alpha } \: - \: d \theta ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \alpha }
\phi _ { N l n } ^ { + } = A _ { N l n } ( 0 , r , \theta , \phi ) \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \, p a r t i a l _ { t } \phi _ { N l n } ^ { + } | _ { t = 0 } = - i \omega _ { N } ( 0 ) A _ { N l n } ( 0 , r , \theta , \phi ) .
\begin{array} { r l } { \vec { \bf P } _ { 0 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i } } \\ { \vec { \bf P } _ { 1 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i } + \frac { s _ { i } } { 3 } \ensuremath { \boldsymbol { V } } _ { i } } \\ { \vec { \bf P } _ { 2 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i + 1 } - \frac { s _ { i } } { 3 } \ensuremath { \boldsymbol { V } } _ { i + 1 } } \\ { \vec { \bf P } _ { 3 } } & { = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i + 1 } . } \end{array}
{ \frac { \partial F } { \partial t } } ( x , t ) = \alpha \left( { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } ( x , t ) + { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } ( x , t ) + { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } } ( x , t ) \right) + \beta Q ( x , t )
\begin{array} { r l } { ( A _ { j } ) _ { s } } & { = A _ { j } \left( F _ { j } ^ { ( 2 ) } + F _ { j } ^ { ( 6 ) } \right) , } \\ { ( L _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( B _ { j } ) _ { s } } & { = 4 F _ { j } ^ { ( 5 ) } + 2 B _ { j } F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \\ { ( X _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \beta _ { j } ) _ { s } } & { = - \frac { 1 } { L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ { ( \gamma _ { j } ) _ { s } } & { = L _ { j } \beta _ { j } \cdot F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } - F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 6 M ^ { 2 } G l ^ { 2 } ( 2 { \cal F } ) ^ { 3 / 2 } } { ( q _ { m } ^ { 3 / 2 } + 2 ^ { 7 / 4 } G M l ^ { 2 } { \cal F } ^ { 3 / 4 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \epsilon } _ { A \pm } } & { { } = } & { \left( \omega _ { A } ^ { 4 } \Lambda _ { T } ( \omega ) D ( \omega , k _ { Z } ) / \epsilon _ { 0 } \right) _ { \omega = \omega _ { \pm } } , } \\ { D ( \omega , k _ { Z } ) } & { { } = } & { \Lambda _ { T } ( \omega ) - \delta \hat { W } ( \omega , k _ { Z } ) , } \end{array}
\lambda ( t ) = \phi _ { m _ { 0 } } ( t ) + \frac { B _ { m _ { 1 } } \lambda ( t ) } { \theta t _ { 0 } ^ { \theta } } - \frac { \Gamma ( 1 - \theta ) B _ { m _ { 1 } } } { \theta } ( ^ { c } D _ { t _ { 0 } + } ^ { \theta } \lambda ) ( t ) , \quad t > t _ { 0 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } N ( N - 1 ) F _ { N } ( \sigma _ { T } c _ { r } ) _ { m a x } \Delta t / V _ { c } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } \lambda _ { r e f } } \frac { \rho } { \rho _ { r e f } } ( N - 1 ) \Delta t \left( { \frac { c _ { r , m a x } } { c _ { r , r e f } } } \right) ^ { - 2 \upsilon } c _ { r , m a x } , } \\ & { \frac { \sigma _ { T } c _ { r } } { ( \sigma _ { T } c _ { r } ) _ { m a x } } = \frac { c _ { r } } { ( c _ { r } ) _ { m a x } } ^ { 1 - 2 \upsilon } . } \end{array}
S h _ { d } ^ { * } = S h _ { d } \left[ 1 + a \left( \frac { g R _ { 0 } ^ { 3 } } { \nu _ { o } ^ { 2 } } \right) ^ { - b } \left( \frac { \rho _ { m } - \rho _ { a } } { \rho _ { a } } S c \right) ^ { c - b } R a ^ { b } \right] ,
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { ~ D ~ } } \left( n _ { \mathrm { ~ C ~ } } \right) } & { { } = \frac { r n _ { \mathrm { ~ C ~ } } c } { n } ; } \\ { f _ { \mathrm { ~ C ~ } } \left( n _ { \mathrm { ~ C ~ } } \right) } & { { } = f _ { \mathrm { ~ D ~ } } \left( n _ { \mathrm { ~ C ~ } } \right) - c , } \end{array}
\dot { m } _ { i , \mathrm { ~ k ~ } } = \rho _ { i } A _ { i } \frac { \mathrm { d } X _ { i } } { \mathrm { d } t } \equiv \rho _ { i } A _ { i } \bigg ( \frac { r _ { i } - X _ { i } } { r _ { i } X _ { i } } \bigg ) k _ { \infty , i } \exp \bigg ( \frac { - T _ { \mathrm { ~ a ~ } , i } } { T _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \bigg )
\begin{array} { r } { | u ^ { \mathsf T } \nabla _ { \theta } ^ { 2 } R _ { 1 } ( \theta ) u | = | \sum _ { s _ { 1 } } u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } \nabla _ { \theta _ { s _ { 1 } } } ^ { 2 } R _ { 1 } ( \theta ) u _ { s _ { 1 } } | \le 2 \sum _ { s _ { 1 } } | | u _ { s _ { 1 } } | | _ { \infty } ^ { 2 } \le 2 | | u | | _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\zeta _ { k , M } = ( - 1 ) ^ { M + k } \! \! \! \sum _ { j = \mathrm { f l o o r } \left( \frac { k + 1 } { 2 } \right) } ^ { \operatorname* { m i n } ( M , k ) } \frac { j ^ { M + 1 } } { M ! } { \binom { M } { j } } { \binom { 2 j } { j } } { \binom { j } { k - j } } \, ,
\Omega _ { 2 } = \frac { - I _ { 3 } ( \Delta _ { 1 } ) + I _ { 3 } ( \Delta _ { 2 } ) - \omega [ I _ { 3 } ( - x / 2 ) - I _ { 3 } ( x / 2 ) ] } { 2 x ( 1 - \omega ^ { 2 } ) } - \frac { [ x / 2 - \Delta _ { 1 } \omega ] Z } { 1 - \omega ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 1 } < \mu } p ( \mu _ { 1 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \mu _ { 2 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 2 } < \mu } p ( \mu _ { 2 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \mu _ { 3 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 3 } < \mu } p ( \mu _ { 3 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
\hat { \gamma } _ { N D R } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { 2 2 } { 3 } - \frac { 5 7 } { 2 N ^ { 2 } } - \frac { 2 f } { 3 N } } } & { { \frac { 3 9 } { N } - \frac { 1 9 N } { 6 } + \frac { 2 f } { 3 } } } \\ { { \frac { 3 9 } { N } - \frac { 1 9 N } { 6 } + \frac { 2 f } { 3 } } } & { { - \frac { 2 2 } { 3 } - \frac { 5 7 } { 2 N ^ { 2 } } - \frac { 2 f } { 3 N } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { x _ { n - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { i f ~ y ~ < ~ 0 ~ , } } \\ { 0 , \quad \mathrm { i f ~ y ~ \geq ~ 0 ~ , } } \end{array} \right. } \\ & { x _ { n - 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { i f ~ - x _ { n - 1 } 2 ^ { n - 1 } ~ + ~ 2 ^ { n - 2 } ~ \leq ~ y ~ } , } \\ { 0 , \quad \mathrm { i f ~ - x _ { n - 1 } 2 ^ { n - 1 } ~ + ~ 2 ^ { n - 2 } ~ > ~ y ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } m _ { 3 } ) } } & { { } = \sum _ { \ell _ { 2 } , m _ { 2 } , n _ { 2 } } A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) } \delta _ { \ell _ { 1 } - \ell _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } - m _ { 2 } } B _ { ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \delta _ { \ell _ { 2 } - \ell _ { 3 } } \delta _ { m _ { 2 } - m _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } & { { } \leq C \| p \| _ { H ^ { 1 } } \left[ \mathrm { { R a } } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] \, . } \end{array}
V _ { i j } : = \frac { \delta ( \ln H ) } { \delta \phi _ { i j } ( t ) } = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { N _ { t } } \left\{ \int d t ^ { \prime } \Big [ \phi _ { i j } ( t ^ { \prime } ) + x _ { j } \hat { f } _ { i } ( t ^ { \prime } ) \Big ] + \Gamma \int d t ^ { \prime } \Big [ \phi _ { j i } ( t ^ { \prime } ) + x _ { i } ( t ^ { \prime } ) \hat { f } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \Big ] \right\}
\begin{array} { r l } { Y _ { t + k , 1 } } & { { } = \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } Y _ { t + k - 1 , 1 } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( 1 ) } Y _ { t + k - 1 , d } + \cdots + \Phi _ { 1 , 1 } ^ { ( k ) } Y _ { t , 1 } + \cdots + \Phi _ { d , 1 } ^ { ( k ) } Y _ { t , d } + Y _ { t , 1 } ^ { B _ { 1 } } \varepsilon _ { t , 1 } } \end{array}
\varepsilon _ { p } = { \bf J } _ { b } \cdot \nabla ( z - z _ { r } ) = - g \left( \alpha \kappa _ { T } \frac { \partial \theta } { \partial z } - \beta \kappa _ { S } \frac { \partial S } { \partial z } \right) + g ( \alpha \kappa _ { T } \nabla \theta - \beta \kappa _ { S } \nabla S ) \cdot \nabla z _ { r } .
\begin{array} { r l r } { u ( { \mathbf \xi } ) } & { \approx } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \left\{ \int _ { \Gamma _ { i } } Q ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) \varphi _ { j } ( \mathbf { x } ) \ d \Gamma _ { \mathbf { x } } \right\} } \\ & { + } & { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \beta _ { j } \left\{ \int _ { \Omega _ { i } } G ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) \chi _ { j } \left( \mathbf { x } \right) d \Omega _ { \mathbf { x } } \right\} + \int _ { \Omega _ { i } } G ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) f ( \mathbf { x } ) \ d \Omega _ { \mathbf { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overrightarrow A _ { 2 S } } & { { } = A _ { \mathrm { { C V } } } + n A _ { \mathrm { { C V } } } ( 4 a h ) , \quad \overrightarrow A _ { 1 S } = 0 , \quad \overrightarrow A _ { 1 2 } = 0 , } \\ { \overleftarrow A _ { 2 S } } & { { } = 0 , \quad \overleftarrow A _ { 1 S } = A _ { \mathrm { { C V } } } + n A _ { \mathrm { { C V } } } ( 4 a h ) , \quad \overleftarrow A _ { 1 2 } = 0 . } \end{array}
\langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \chi _ { c J } } ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ) \rangle \; = \; ( 2 J + 1 ) \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \chi _ { c 0 } } ( { } ^ { 3 } S _ { 0 } ) \rangle .
V _ { \alpha _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) V _ { \alpha _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) = e ^ { 2 \pi i \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } V _ { \alpha _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) V _ { \alpha _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) ~ .
\rho = \frac { \langle ~ ( \alpha _ { i } - \langle \alpha \rangle ) ( \beta _ { i } ^ { \prime } - \langle \beta ^ { \prime } \rangle ) ~ \rangle } { [ ( \langle \alpha _ { i } ^ { 2 } \rangle - { \langle \alpha \rangle } ^ { 2 } ) ( \langle \beta _ { i } ^ { \prime 2 } \rangle - { \langle \beta ^ { \prime } \rangle } ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } }
H = \frac { 1 } { 2 } { \mathbf P } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf P } + \frac { 1 } { 2 } { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbb P } _ { 1 } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbb P } _ { 1 } { \mathbf a } - { \mathbf P } ^ { \top } \mathbb { W } \mathbb { P } _ { 1 } { \mathbf a } + H _ { e } + \frac { 1 } { 2 } { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbb C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } { \mathbb C } { \mathbf a } ,
L _ { q u a n t u m } = \Gamma _ { o u t } \frac { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } } { \Gamma _ { o u t } + N B _ { r 1 2 } \left( 1 - \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { n r } } \right) }
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = : \left[ D \right] \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle + \ \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = \left[ 1 - \phi _ { 2 } \left( x , y \right) \right] \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { - 2 y } { \epsilon } \right) . } \end{array}
\Delta ( x _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) \equiv \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ( \breve { \eta } ) \mathrm { d } \breve { \eta } - \left( \frac { \mu _ { w } } { 2 \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { \left( \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) ^ { 5 / 3 } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) } { \mathrm { i } \widetilde A _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) - ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } T _ { w } ^ { 2 } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { H ( A ) } & { { } = \sum _ { i } \left( \alpha _ { i } ^ { \rightarrow } k _ { i } ^ { \rightarrow } + \alpha _ { i } ^ { \leftarrow } k _ { i } ^ { \leftarrow } + \alpha _ { i } ^ { \leftrightarrow } k _ { i } ^ { \leftrightarrow } \right) = } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } y } + f _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } y } e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } = r e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } y } + f _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } y } e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } \stackrel { ! } { = } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \omega } _ { k } ^ { 2 } ( t ) } & { = } & { \left[ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } \right] + m ( t ) } \\ & { + } & { { \int _ { \vec { k } } } \left[ \Sigma ( \omega _ { k } ( t ) ) - \Sigma _ { q } ^ { R } \left( \sqrt { \omega _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } } \right) \right] . } \end{array}
( 2 h ) = - \ \frac { i } { 6 ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ t r \int d ^ { d } k \ \frac { \stackrel { \displaystyle ( S k ) } { \scriptscriptstyle ( - p ) \phantom { + } } \stackrel { \displaystyle ( S ( k + q ) ) } { \scriptscriptstyle ( - q ) \phantom { + q q q q q q q } } \stackrel { \displaystyle ( S ( k - p ) ) } { \scriptscriptstyle ( p + q ) \phantom { + q q q q q q q } } } { k ^ { 2 l } ( k - p ) ^ { 2 l } ( k + q ) ^ { 2 l } }
{ \begin{array} { r l } { B _ { 0 1 } ^ { \prime \prime } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( | 0 \rangle - | 1 \rangle ) \otimes | 1 \rangle + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \otimes | 1 \rangle \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( | 0 1 \rangle - | 1 1 \rangle ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( | 0 1 \rangle + | 1 1 \rangle ) \right) = { \frac { 1 } { 2 } } | 0 1 \rangle - { \frac { 1 } { 2 } } | 1 1 \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } | 0 1 \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } | 1 1 \rangle = | 0 1 \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { c } \, c ^ { 4 } \phi _ { \mathbf { c } } ( \mathbf { c } ) = } & { \frac { { d _ { t } } ( { d _ { t } } + 2 ) } { 4 } \left[ 1 + a _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } \right] , } \\ { \int \mathrm { d } \mathbf { w } \, w ^ { 4 } \phi _ { \mathbf { w } } ( \mathbf { w } ) = } & { \frac { { d _ { r } } ( { d _ { r } } + 2 ) } { 4 } \left[ 1 + a _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } \right] , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \, x \phi _ { c w } ( x ) = } & { \frac { { d _ { t } } { d _ { r } } } { 4 } \left[ 1 + a _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } \right] . } \end{array}
M ( t _ { d } ) = \left\langle e ^ { i \phi \left[ t _ { d } , \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { G } _ { 0 } \right] } \right\rangle _ { \phi } = \left\langle e ^ { i \phi \left[ t _ { d } , \boldsymbol { x } ( t ) , \boldsymbol { G } _ { 0 } \right] } \right\rangle _ { x , G _ { 0 } } .
2 \pi = \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon } ^ { \pi / 2 - \varepsilon } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a ) ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c ) } } d \psi .
\Theta _ { 1 1 } ^ { 0 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \frac { \theta ( z _ { 1 } ) \theta ( - z _ { 2 } ) - \theta ( z _ { 2 } ) \theta ( - z _ { 1 } ) } { z _ { 1 } - z _ { 2 } } ,
p ( \mathcal { L } ) = \frac { k ^ { k } } { \Gamma ( k ) } \frac { \left( \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { k - 1 } } { \left( \langle \mathcal { L } \rangle - \mathcal { L } _ { \mathrm { m i n } } \right) ^ { k } } \exp { \left( - k \frac { \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { m i n } } } { \langle \mathcal { L } \rangle - \mathcal { L } _ { \mathrm { m i n } } } \right) }
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) h ^ { 1 1 } } & { = - ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \left( \psi _ { 1 1 } F + 2 \psi _ { 1 } F _ { 1 } + \psi \ddot { F } ^ { p q , r s } b _ { p q 1 } b _ { r s 1 } + ( k \alpha + 1 ) \psi F \right) + \psi h ^ { 1 1 } \sum _ { k } \dot { F } ^ { k k } + \eta h ^ { 1 1 } } \\ & { - 2 \psi ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \dot { F } ^ { i j } h ^ { p q } \nabla _ { i } b _ { 1 p } \nabla _ { j } b _ { 1 q } . } \end{array}
\frac { d } { d t } ( X + E ) + \beta ( X + E ) \le C S ^ { \frac { p } { 2 } + 1 } + C S _ { 0 } ^ { p } ( 1 + S _ { 0 } ) ( X + E ) + Q _ { 1 } ( X + E ) + \Tilde { Q } _ { 2 } ( X + E ) ,
\begin{array} { r } { p _ { i j } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { \frac { \beta } { 2 } ( x _ { i j } - \hat { R } ) } } , \, \, \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \, \, x _ { i j } = r _ { i } + r _ { j } + 2 \ln \frac { \Delta \theta _ { i j } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \! \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \bar { \mathbf { g } } ^ { t } \rVert _ { 1 } \right] } & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { T } } \! \left( \frac { f ^ { 0 } - f ^ { \star } } { M \gamma } \sqrt { \lVert \mathbf { L } \rVert _ { 1 } } + \frac { 2 \sqrt { \gamma } } { \epsilon } \lVert \boldsymbol { \sigma } \rVert _ { 1 } \right) } \\ & { \triangleq h ( \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \chi _ { i } \lambda _ { i } \big ( 1 - 1 . 5 p ( 1 - \alpha _ { j } / \alpha _ { i } ) A _ { 1 } / \xi _ { i } - 1 . 5 ( 1 - p ) A _ { 2 } / \xi _ { i } \big ) , \quad p \approx \exp ( - 1 6 \pi ^ { 3 } \delta ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 , 3 } } & { \leq 4 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } , \bar { y } _ { t - 1 } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { m } ( r ) } & { { } = S _ { m } ( a ) \Big ( \frac { r } { a } \Big ) ^ { m - 1 } \frac { q ( r ) s ( r ) + 2 q _ { 0 } \frac { m + 1 } { m - 1 } } { q s + 2 q _ { 0 } \frac { m + 1 } { m - 1 } } , } \\ { q ( r ) } & { { } = q _ { 0 } + ( q - q _ { 0 } ) \bigg ( \frac { r } { a } \bigg ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( + | 1 0 0 0 ; 0 1 1 1 \rangle + | 1 0 1 1 ; 0 1 0 0 \rangle - | 0 1 0 0 ; 1 0 1 1 \rangle - | 0 1 1 1 ; 1 0 0 0 \rangle \right. } \\ & { } & { \left. ~ + | 0 0 1 0 ; 1 1 0 1 \rangle - | 0 0 0 1 ; 1 1 1 0 \rangle - | 1 1 0 1 ; 0 0 1 0 \rangle + | 1 1 1 0 ; 0 0 0 1 \rangle \right) / 2 \sqrt { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { C F D } _ { r } ^ { r ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } ) : = \left\{ \begin{array} { r l } { [ l ] } & { \widehat { z ^ { \prime } 0 z } \mathrm { ~ i f ~ } z _ { \downarrow } = z _ { \downarrow } ^ { \prime } , } \\ & { \widehat { z ^ { \prime } 0 z _ { \uparrow } ^ { \prime } } + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \widehat { A ^ { ( k ) } ( z _ { \uparrow } ^ { \prime } ) 0 A ^ { ( k + 1 ) } ( z _ { \uparrow } ^ { \prime } ) } + \widehat { z _ { \downarrow } 0 z } \mathrm { ~ e l s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 x } \mathrm { L o W } ( y _ { 1 } ^ { + } ) + c _ { 2 x } g ( y _ { 1 } ^ { + } ) = U _ { 1 } \, , \quad c _ { 1 z } \mathrm { L o W } ( y _ { 1 } ^ { + } ) + c _ { 2 z } g ( y _ { 1 } ^ { + } ) = W _ { 1 } \, , } \\ & { c _ { 1 x } \mathrm { L o W } ( y _ { 2 } ^ { + } ) + c _ { 2 x } g ( y _ { 2 } ^ { + } ) = U _ { 2 } \, , \quad c _ { 1 z } \mathrm { L o W } ( y _ { 2 } ^ { + } ) + c _ { 2 z } g ( y _ { 2 } ^ { + } ) = W _ { 2 } \, . } \end{array}