harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { M _ { T \wedge T _ { \xi } } ^ { i } } & { = W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) - \int _ { 0 } ^ { T \wedge T _ { \xi } } 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t } \\ & { + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { T \wedge T _ { \xi } } 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \cdot \textrm { d } B . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { b } ( \varphi \# \rho _ { a } , \varphi \# \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) = A \mathsf { b } ( \rho _ { a } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) , } \\ & { \mathsf { A } ( \varphi \# \rho _ { a } , \varphi \# \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) = A \mathsf { A } ( \rho _ { a } , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) A ^ { - 1 } . } \end{array}
\vert { \cal U } ^ { ( 1 ) } - U \vert \propto \vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 1 ) } ] - n ^ { ( 1 ) } \vert ^ { 2 } \propto \vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] - n ^ { ( 0 ) } \vert ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j } ^ { \mathrm { o c c . } } \iint d \mathbf { r } d \mathbf { r } ^ { \prime } \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \phi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \frac { \alpha ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \\ & { + \int d \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) \left\{ \left[ 1 - \alpha ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right] e _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) + e _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \left[ S _ { F } ^ { f } \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \cdot } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \times } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) - 4 ( \mathbb { 1 } { - } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) { \cdot } \bar { \boldsymbol { \Omega } ^ { \textit { c } } } \right. } \\ { + \left. 4 ( \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } { \times } ( \bar { \boldsymbol { \Gamma } } \cdot \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } ) ) \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 5 ; 7 } } & { = } & { \Phi ( \iota _ { 4 ; 1 0 } ) = \Phi ( \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } ) } \\ & { = } & { \bar { b } \overline { { Y _ { 5 , 1 } } } \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \\ & { = } & { \bar { b } \cdot \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } y 1 2 3 4 \cdot \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { n } ( x ) } & { = [ t ^ { n } ] { \frac { ( ( t + x ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { n } } { 2 ^ { n } } } = [ t ^ { n } ] { \frac { ( t + x + 1 ) ^ { n } ( t + x - 1 ) ^ { n } } { 2 ^ { n } } } , } \\ { P _ { n } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } ^ { 2 } ( x - 1 ) ^ { n - k } ( x + 1 ) ^ { k } , } \\ { P _ { n } ( x ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } { \binom { n + k } { k } } \left( { \frac { x - 1 } { 2 } } \right) ^ { k } , } \\ { P _ { n } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \left\lfloor { \frac { n } { 2 } } \right\rfloor } ( - 1 ) ^ { k } { \binom { n } { k } } { \binom { 2 n - 2 k } { n } } x ^ { n - 2 k } , } \\ { P _ { n } ( x ) } & { = 2 ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n } x ^ { k } { \binom { n } { k } } { \binom { \frac { n + k - 1 } { 2 } } { n } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lVert E _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } } & { = \lVert \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \partial _ { t } ^ { - 1 } \varPhi _ { 1 } - \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 0 } ( \partial _ { t } ) E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } \lesssim \lVert \partial _ { t } ^ { - 1 } \varPhi _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert \partial _ { t } E _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } } & { = \lVert \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \varPhi _ { 1 } - \epsilon _ { 1 1 } ( \partial _ { t } ) ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 0 } ( \partial _ { t } ) \partial _ { t } E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } \lesssim \lVert \varPhi _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \partial _ { t } E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } , } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { J } _ { n } ( n ) } n \cos \left( 2 \pi n \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } a _ { m } \frac { \mathrm { J } _ { n } ( n ) } n \sin \left( \frac { \pi m n } L \right) \mathop = ^ { ? } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } a _ { m } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { J } _ { n } ( n ) } n \sin \left( \frac { \pi m n } L \right) , a _ { m } = \frac 2 L \int _ { 0 } ^ { L } \cos ( 2 \pi x ) \sin \left( \frac { \pi m x } L \right) d x = \frac { 2 m ( ( - 1 ) ^ { m } \cos ( 2 \pi L ) - 1 ) } { \pi ( 4 L ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) }
M _ { \lambda 1 } ^ { - 2 } ( \beta ) = \frac { i } { 2 } \int [ p _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } ] f _ { \lambda } \left( \frac { \partial } { \partial p _ { 3 } ^ { 2 } } \tilde { \delta } \right) a _ { 1 \beta } ^ { \dagger } a _ { 2 \beta } ^ { \dagger } a _ { 3 \beta } + h . c . \; .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } x ^ { \gamma } \check { \Psi } ^ { \tilde { Q } } \, \mathrm { d } x = 0 , } & { | \gamma | \leq N } \\ { \displaystyle | \partial ^ { \gamma } \check { \Psi } ^ { \tilde { Q } } ( x ) | \lesssim \frac { | \tilde { Q } | ^ { - 1 / 2 - | \gamma | / n } } { 1 + l _ { \tilde { Q } } ^ { - 1 } | x - c _ { \tilde { Q } } | ^ { M + | \gamma | } } , } & { | \gamma | \leq K . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
{ \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \mathbf { v } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial X _ { j } } } \mathbf { E } _ { i } \otimes \mathbf { E } _ { j } = v _ { i , j } \mathbf { E } _ { i } \otimes \mathbf { E } _ { j } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot \mathbf { v } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial X _ { i } } } = v _ { i , i } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } _ { \circ } \cdot { \boldsymbol { S } } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial S _ { i j } } { \partial X _ { j } } } ~ \mathbf { E } _ { i } = S _ { i j , j } ~ \mathbf { E } _ { i }
\begin{array} { r l } { \left| P _ { \xi } \right\rangle } & { { } = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \left| 0 \right\rangle = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { A } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { a , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \left| 0 \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { J } ( \tau _ { i } ) = \big [ q _ { i } \tau _ { i } ^ { - 2 } / 2 - \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { i } } ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { - 2 } / 2 \big ] ^ { 1 / 2 } = \bigg [ \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { i } } \Big \{ \frac { 1 } { 2 \tau _ { i } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 ( \tau _ { i } + c _ { i m } ) ^ { 2 } } \Big \} \bigg ] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
E _ { q - \mathrm { v i b - r o t } } ( v , J ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( [ v + 1 + b \gamma ( J ) ] _ { q ( J ) } + [ v + b \gamma ( J ) ] _ { q ( J ) } \right) h c \nu _ { \mathrm { v i b } } + \frac { h ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } I } J ( J + 1 ) ~ .
\begin{array} { r } { V _ { 1 } = Z _ { 1 } I _ { 1 } + j \omega M I _ { 2 } = V _ { \mathrm { G } } - I _ { 1 } Z _ { \mathrm { G } } } \\ { V _ { 2 } = I _ { 2 } Z _ { \mathrm { L } } = - I _ { 2 } Z _ { 2 } + j \omega M I _ { 1 } , } \end{array}
2 \eta \left( V _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \nabla _ { h } V _ { h } \delta _ { i j } \right) = \eta _ { i j k l } \left( V _ { k l } - \frac { 1 } { 3 } \nabla _ { h } V _ { h } \delta _ { k l } \right)
\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } = 1 , \quad k _ { 2 } = 1 , \quad k _ { 3 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } , \quad k _ { 4 } = 1 , \quad k _ { 5 } = a , \quad k _ { 6 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + a \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , } \\ & { k _ { 7 } = b , \quad k _ { 8 } = 1 , \quad k _ { 9 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + c , \quad k _ { 1 0 } = \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } , \quad k _ { 1 1 } = \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } \left( \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + c \right) , \quad k _ { 1 2 } = \frac { 1 } { \mu } , } \\ & { k _ { 1 3 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 4 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 5 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 6 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 7 } = \frac { 1 } { \mu } . } \end{array}
\sigma _ { g } ( s ) = { \frac { 1 } { 1 6 \pi s ( s - 4 { \hat { m } } _ { g } ^ { 2 } ) } } \int _ { t _ { - } } ^ { t _ { + } } d t \ \vert M _ { s } + M _ { u } + M _ { t } \vert ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { u \leq t } \| [ p _ { V } - P _ { n + 1 } ] ( . , . ; u ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } \leq 2 ( d + 1 ) C \int _ { 0 } ^ { t } ( 2 ( d + 1 ) C ) ^ { n + 1 } \frac { \Gamma ( 1 / 2 ) ^ { n + 1 } } { \Gamma ( ( 3 + n ) / 2 ) } \frac { \sqrt { s ^ { n + 1 } } } { \sqrt { t - s } } d s . } \end{array}
\nu ^ { \prime } = N ^ { - 1 / 2 } [ c _ { \delta } c _ { 1 } c _ { 2 } \nu _ { 1 } - s _ { \delta } s _ { 1 } c _ { 2 } \nu _ { 2 } - s _ { 1 } c _ { 1 } s _ { 2 } \nu _ { 3 } ] = N ^ { - 1 / 2 } [ c _ { 2 } ( c _ { \delta } c _ { 1 } ^ { 2 } - i s _ { \delta } s _ { 1 } ^ { 2 } ) \nu _ { e } - s _ { 1 } c _ { 1 } e ^ { i \delta } \nu _ { \mu } ] ,
\begin{array} { r l r } { ( i \mathcal { L } ) ^ { n } z _ { l } } & { = } & { \prod _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \nu _ { k } = 1 } ^ { M } \left( B _ { \nu _ { k } } ^ { ( 1 ) } a _ { \nu _ { k } } - A _ { \nu _ { k } } ^ { ( 1 ) } b _ { \nu _ { k } } \right) z _ { l } } \\ & { = } & { \mathcal { K } _ { l } ^ { ( n ) } ( B _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 1 ) } , B _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 2 ) } , \{ A _ { \nu _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , A _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \dots , A _ { \nu _ { 1 } , \dots , \nu _ { n } } ^ { ( n ) } \} ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\{ Y _ { R } ^ { \star } \right\} } & { \approxeq \mathbb { E } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \bar { \lambda } A _ { i } ^ { 2 } + \bar { \lambda } C _ { i } ^ { 2 } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) A _ { i } B _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) C _ { i } D _ { i } } { \sqrt { \left( \bar { \lambda } A _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) B _ { i } \right) ^ { 2 } + \left( \bar { \lambda } C _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) D _ { i } \right) ^ { 2 } } } \right\} } \\ & { = N \mathbb { E } \left\{ \frac { \bar { \lambda } A _ { i } ^ { 2 } + \bar { \lambda } C _ { i } ^ { 2 } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) A _ { i } B _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) C _ { i } D _ { i } } { \sqrt { \left( \bar { \lambda } A _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) B _ { i } \right) ^ { 2 } + \left( \bar { \lambda } C _ { i } + \left( 1 - \bar { \lambda } \right) D _ { i } \right) ^ { 2 } } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) = ( 2 \pi \hbar ) ^ { - N } { \cal A } \left[ \tilde { g } _ { ( 2 ) } ^ { - 1 / 4 } \sqrt { D ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } \tilde { g } _ { ( 1 ) } ^ { - 1 / 4 } \times \right. } \\ { \left. e ^ { \lambda \tau R ( \mathbf { Q } ( \tau ) ) / 6 \hbar } e ^ { - \frac { 1 } { \hbar } S ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } \right] , } \end{array}
\epsilon ^ { 2 } = \frac { l ^ { 2 } } { 3 f _ { A } ( 1 - f _ { A } ) \chi } \, , \quad \sigma = \frac { 3 6 } { f _ { A } ^ { 2 } ( 1 - f _ { A } ) ^ { 2 } l ^ { 2 } \chi N ^ { 2 } } \, , \quad m = 2 f _ { A } - 1 \, ,
4 \pi \alpha ^ { \mathrm { 2 l o o p } } ( \mu ) = \frac { 1 } { b _ { 0 } \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 0 } } \ln \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \, ,
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { * } & { * } & { * } & { \cdots } & { * } & { * } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { * } & { * } & { * } & { \cdots } & { * } & { * } \\ { \sin \theta _ { 1 } } & { \cos \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } } & { \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } \sin \theta _ { 3 } } & { \cdots } & { \displaystyle \left( \prod _ { i = 1 } ^ { d - 2 } \cos \theta _ { i } \right) \sin \theta _ { d - 1 } } & { \displaystyle \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \cos \theta _ { i } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ u _ { \infty } ( x _ { 1 } ) u _ { \infty } ( x _ { 2 } ) ] } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ u ( t , x _ { 1 } ) u ( t , x _ { 2 } ) ] } \\ & { = C ( d , H ) \, \mathcal { K } _ { H } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) - ( \mathcal { K } _ { H } \ast \mathcal { J } _ { H } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) , } \end{array}
{ \tilde { q } } _ { i } ^ { 2 } = q _ { i } ( r _ { + } ^ { 4 } + q _ { i } ) \left[ 1 + { \frac { 1 } { r _ { + } ^ { 2 } } } ( r _ { + } ^ { 4 } + q _ { j } ) \right] \ , \ ( j \ne i ) \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ \gamma _ { i } ^ { \delta } \cap B ( z , \epsilon d ) \neq \emptyset , \, \cup _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \gamma _ { j } ^ { \delta } \cap B ( z , \sqrt \epsilon d ) = \emptyset , A \, | \, E ^ { * } ] \le C \frac { \mathbb { P } [ \gamma _ { i } ^ { \delta } \cap B ( z , \epsilon d ) \neq \emptyset , \, \cup _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \gamma _ { j } ^ { \delta } \cap B ( z , \sqrt \epsilon d ) = \emptyset , \, A _ { i } ] } { \Pi _ { j = 1 } ^ { i } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ) } . } \end{array}
\hat { \bf x } _ { e } ^ { \scriptscriptstyle \perp } ( \xi , { \bf X } ) - { \bf X } ^ { \scriptscriptstyle \perp } = \! \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \, \frac { \hat { \bf u } _ { e } ^ { \scriptscriptstyle \perp } ( \eta ) } { \hat { s } ( \eta , Z ) } .
q ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } q + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sigma ; \quad \sigma ^ { \prime } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } q + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sigma - \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } }
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } ( { t _ { 0 } , \alpha } ) } & { ~ { = } ~ n _ { \mathrm { n } } \, \gamma _ { \mathrm { n } } \, \frac { h ^ { 2 } f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } \sin { ( 2 \pi f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } t _ { 0 } ) } \times } \\ { \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \biggl [ \sin { ( \alpha \sin { \theta } \sin { \varphi } ) } \sin { \theta } \sin { \varphi } \biggr ] \sin { \theta } \, d \theta \, d \varphi \ { = } ~ } & { n _ { \mathrm { n } } \, \gamma _ { \mathrm { n } } \, \frac { h ^ { 2 } f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } \sin { ( 2 \pi f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } t _ { 0 } ) } \sqrt { \frac { \pi } { 2 \alpha } } \, J _ { 3 / 2 } ( \alpha ) , } \end{array}
\operatorname { E } _ { Y } [ Y ] = \int _ { \mathbb { R } } y f _ { Y } ( y ) \, d y = \int _ { \mathbb { R } } y \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f _ { X } ( \mathbf { x } ) \delta { \big ( } y - V ( \mathbf { x } ) { \big ) } \, d \mathbf { x } \, d y = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } } y f _ { X } ( \mathbf { x } ) \delta { \big ( } y - V ( \mathbf { x } ) { \big ) } \, d y \, d \mathbf { x } = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } V ( \mathbf { x } ) f _ { X } ( \mathbf { x } ) \, d \mathbf { x } = \operatorname { E } _ { X } [ V ( X ) ] .
L _ { \mathrm { f l u c } } ^ { \mathrm { s t r i n g } } = \frac { \pi } { 1 2 R _ { p } } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { \omega v _ { i } \bar { \gamma } _ { i } } { \pi } \left[ \ln \left( \frac { M m _ { i } } { \sigma } \right) + 1 \right] + \frac { 1 } { 2 } \omega + \omega f ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \, .
w \left( y _ { q } - y _ { 0 } , { \bf b } _ { \perp } - { \bf b } _ { 0 \perp } \right) = \frac c { 4 \pi R ^ { 2 } ( s ) } \exp \left[ - \beta ( y _ { q } - y _ { 0 } ) - \frac { ( { \bf b } _ { \perp } - { \bf b } _ { 0 \perp } ) ^ { 2 } } { 4 R ^ { 2 } ( s ) } \right]
\begin{array} { r l } { e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } } & { { } = \frac { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { C = A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } W _ { s _ { 1 } } W _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { C = \varnothing } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } \end{array}
{ ^ { Q Q } \! \gamma } _ { j } ^ { ( 0 ) } + \frac { 6 } { j } { ^ { G Q } \! \gamma } _ { j } ^ { ( 0 ) } = \frac { j } { 6 } { ^ { Q G } \! \gamma } _ { j } ^ { ( 0 ) } + { ^ { G G } \! \gamma } _ { j } ^ { ( 0 ) } .
{ \frac { \sqrt { Q } } { x } } \simeq { \frac { \sqrt { ( x - x _ { 1 - } ) ( x - x _ { 2 - } ) } } { x } } \left[ 1 - x - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 ( 1 - x ) } } - \beta ^ { 2 } \right]
t _ { \mathrm { l i f e } } / ( R _ { p } \sqrt { \rho / ( p _ { 0 } - p _ { v } ) } = 0 . 2 0 2 [ E / ( p _ { 0 } - p _ { v } ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( h _ { p } / \delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( h _ { p } / R _ { p } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( 1 - H / R _ { p } ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } + 0 . 3 2 8
\begin{array} { r l r l } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = 0 , \quad } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = 0 , \quad } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = - \frac { 9 } { \sqrt { 2 } } - 2 \sqrt { 2 } , } \\ & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = - 2 , \quad } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = 1 - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \quad } & { \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = 1 - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\int d ^ { 4 } x \; \eta ( x ) \: T _ { \bullet } ^ { ( a _ { 1 } ) } \cdots T _ { \bullet } ^ { ( a _ { p } ) } \: \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { 1 } ) } } } } \cdots \overline { { { T _ { \bullet } ^ { ( b _ { q } ) } } } }
( a + b \, \mathbf { i } + c \, \mathbf { j } + d \, \mathbf { k } ) ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } \, ( a - b \, \mathbf { i } - c \, \mathbf { j } - d \, \mathbf { k } ) .
\begin{array} { r l r } { T _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \sum _ { \bf p } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { D _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { 2 \nu k ^ { 2 } E _ { u } ( { \bf k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { { } = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } \, , } & { \quad } & { { } z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { { } = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { { } = \xi [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \partial _ { z } \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
{ \textbf { A } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } ( R { \dot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } ) = - R { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \textbf { e } } _ { r } + R { \ddot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } .
\frac { 1 } { \omega + \omega ^ { \prime } } \left( 1 - \frac { \omega + \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \frac { \xi ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \right) = O \left( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \right) .
J _ { C _ { ( p + 1 ) } } = \frac { \sqrt { 2 } \, T _ { p } } { ( p + 1 ) ! } \, V _ { p + 1 } \, C _ { \alpha _ { 0 } \ldots \alpha _ { p } } \, \varepsilon ^ { \alpha _ { 0 } \ldots \alpha _ { p } }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } Z _ { T _ { c } } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } = Z _ { T } \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \beta _ { i j k \ell } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } \left( Z _ { N _ { c } } - Z _ { T _ { c } } \right) n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } n _ { k _ { c } } n _ { \ell _ { c } } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } n _ { k } ^ { ( p ) } n _ { \ell } ^ { ( p ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { [ i _ { 1 } , i _ { j } ] } ( \eta _ { i _ { j } } \lvert \eta _ { [ i _ { j + 1 } , i _ { k } ] } \eta _ { \Delta ^ { c } } ) } & { = \int \gamma _ { [ i _ { 1 } , i _ { j } ] } ( d \xi _ { [ i _ { 1 } , i _ { j } ] } \lvert \eta _ { [ i _ { j + 1 } , i _ { k } ] } \eta _ { \Delta ^ { c } } ) \gamma _ { i _ { j } } ( \eta _ { i _ { j } } \lvert \xi _ { [ i _ { 1 } , i _ { j - 1 } ] } \eta _ { [ i _ { j + 1 } , i _ { k } ] } \eta _ { \Delta ^ { c } } ) , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { x + m y } \\ { y } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { m } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \omega + u \cdot \nabla \omega } & { { } = \nu \Delta \omega } \\ { u \left( t , x \right) } & { { } = \int K \left( x , y \right) \omega \left( t , y \right) d y } \\ { \omega | _ { t = 0 } } & { { } = \omega _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \leq \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } } & { \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \leq g _ { k } ( t ) \left( 1 + \frac { ( \lambda _ { k } ( t ) t ) ^ { 3 } } { 6 } \right) e ^ { \lambda _ { k } ( t ) t } . } \end{array}