harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d N _ { 1 } ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { F C } N _ { 1 } ( t ) + \beta _ { F C } U _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } } \\ { \frac { d \theta _ { 1 } ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { t h } \theta _ { 1 } ( t ) + \beta _ { t h } \left( \kappa _ { l i n } + \sigma _ { S i } v _ { g } N _ { 1 } ( t ) + \alpha _ { T P A } U _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \right) U _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } } \\ { \frac { d N _ { 2 } ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { F C } N _ { 2 } ( t ) + \beta _ { F C } U _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } \\ { \frac { d \theta _ { 2 } ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { t h } \theta _ { 2 } ( t ) + \beta _ { t h } \left( \kappa _ { l i n } + \sigma _ { S i } v _ { g } N _ { 2 } ( t ) + \alpha _ { T P A } U _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } \right) U _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } x g _ { \mu } ( x , \omega ) g _ { \eta } ^ { * } ( x , \omega ) } & { \approx S _ { 1 1 } ^ { - 1 } \frac { 2 c } { \gamma _ { 1 } } | M _ { 1 } ( \tilde { \omega } _ { 1 } ) | ^ { 2 } \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 \pi } } \\ & { \times \left( \mathrm { e } ^ { i \omega R _ { \mu \eta } / c } + \mathrm { e } ^ { - i \omega R _ { \mu \eta } / c } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \eta L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } \le \ } & { ( 2 \widetilde \mu ) ^ { - 1 } 4 L ^ { 2 } D ^ { 2 } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| \Big ) ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { \frac { 2 M L ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \widetilde \mu } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ( T ) } & { { } = } & { \frac { 5 } { 1 6 } \frac { \sqrt { 2 \pi \mu k _ { \mathrm { B } } T } } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \eta } ^ { ( k ) } } \\ { \lambda ( T ) } & { { } = } & { \frac { 7 5 } { 6 4 } \sqrt { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 \pi \mu } } \frac { 1 } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \lambda } ^ { ( k ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { O \left( \log ^ { 6 } \left( \frac n \delta \right) \left( \operatorname* { m i n } \left( n , \frac { n ^ { 2 } \epsilon _ { \textup { d p } } ^ { 2 } } { d } \right) + \operatorname* { m i n } \left( \frac { ( n d ) ^ { \frac 2 3 } } { \epsilon _ { \textup { d p } } } , n ^ { \frac 4 3 } \epsilon _ { \textup { d p } } ^ { \frac 1 3 } \right) \right) \right) \mathrm { ~ g r a d i e n t s . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e } ( z ) } & { = } & { \rho _ { s } e ^ { - \beta z } \ \ ( z > 0 ) , } \\ { \rho _ { s } } & { = } & { \frac { m _ { e } k _ { B } T _ { e } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } \sqrt { \frac { \pi m _ { e } k _ { B } T _ { e } } { 2 } } e ^ { - \frac { W } { k _ { B } T _ { e } } } , } \\ { \beta } & { = } & { \sqrt { \frac { e ^ { 2 } \rho _ { s } } { \epsilon _ { 0 } k _ { B } T _ { e } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { _ { \mathrm { \footnotesize { n , m } } } } ^ { ( g ) } [ k , l ] } & { = } & { { \Big [ } h _ { _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } } [ k - ( k ^ { ( g ) } + n M ) , l - ( l ^ { ( g ) } + m N ) ] \, } \\ & { } & { \, \, \, e ^ { j 2 \pi \frac { n l ^ { ( g ) } } { N } } \, e ^ { j 2 \pi \frac { ( l - l ^ { ( g ) } - m N ) } { N } \frac { ( k ^ { ( g ) } + n M ) } { M } } { \Big ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \delta _ { 1 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 1 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 2 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 2 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 3 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 3 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 4 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 4 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \delta _ { 5 , + } ( \zeta , k ) = \delta _ { 5 , - } ( \zeta , k ) f ( \omega ^ { 2 } k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
S _ { l , l ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( E ) = \delta _ { l 0 } \, \delta _ { l ^ { \prime } 0 } \; \frac { \ln \left( E / | E _ { _ \mathrm { ( g s ) } } | \right) + i \pi } { \ln \left( E / | E _ { _ \mathrm { ( g s ) } } | \right) - i \pi } \; .
\begin{array} { r l } { B ( \mathbf { x } , z , t ) = ~ } & { \epsilon _ { 0 } B _ { 1 1 } ( \mathbf { x } , z , t ) + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } } \\ { \bar { W } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \epsilon _ { 0 } \bar { W } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , 0 , t ) + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { W } _ { 2 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , 0 , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } } \\ & { + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { W } _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , 0 , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { \leq - \int _ { \bar { n } } ^ { \eta } d \tau ~ P _ { 0 } ( \tau ) \left[ \log _ { 2 } ( 1 - \tau ) \right. } \\ & { \left. + \frac { \bar { n } } { 1 - \tau } \log _ { 2 } \tau + h \left( \frac { \bar { n } } { 1 - \tau } \right) \right] } \\ & { \leq - \int _ { \bar { n } } ^ { \eta } d \tau ~ P _ { 0 } ( \tau ) \log _ { 2 } ( 1 - \tau ) } \\ & { - \left[ \frac { \bar { n } \log _ { 2 } \bar { n } } { 1 - \bar { n } } + h \left( \bar { n } \right) \right] \int _ { \bar { n } } ^ { \eta } d \tau ~ P _ { 0 } ( \tau ) } \\ & { \leq \mathcal { B } ( \eta , \sigma ) - \mathcal { T } ( \bar { n } , \eta , \sigma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left[ \kappa \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \kappa } \right] - } & { \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \kappa ^ { 2 } } = \tilde { r } _ { b } ^ { 3 } g \kappa \left[ \frac { 4 \kappa ^ { 2 } - 3 } { 4 \kappa \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) - 1 \right] . } \end{array}
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { c c c c } { d o f _ { 1 } ( \mathbf { p } _ { 1 } ) } & { d o f _ { 1 } ( \mathbf { p } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { d o f _ { 1 } ( \mathbf { p } _ { n _ { k } } ) } \\ { d o f _ { 2 } ( \mathbf { p } _ { 1 } ) } & { d o f _ { 2 } ( \mathbf { p } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { d o f _ { 2 } ( \mathbf { p } _ { n _ { k } } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { d o f _ { 2 n _ { d } } \mathbf { p } _ { 1 } ) } & { d o f _ { 2 n _ { d } } ( \mathbf { p } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { d o f _ { 2 n _ { d } } ( \mathbf { p } _ { n _ { k } } ) } \end{array} \right] .
\frac { \partial \left( \rho u _ { i } \right) } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho u _ { i } u _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } = 0 ,
k _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } = \cfrac { N _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ / ~ s ~ ) ~ } } } { N _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ ) ~ } } + N _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ s ~ ) ~ } } } \cfrac { \kappa ( t ) \eta } { \sigma } ,
f _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ^ { \prime } \left( \hbar \omega \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } g _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) \left( \frac { 1 } { 2 \hbar \omega } \right) \log \left[ \frac { \vert ( 1 - ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega ) ) \vert } { ( 1 + ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega ) } \right] } & { \quad n = 2 } \\ { ( 3 g _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) / 2 ) \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } { \hbar \omega } \right) ^ { 3 / 2 } \left\{ \frac { \pi } { 2 } - \cot ^ { - 1 } ( \hbar \omega / \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 1 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } \log \left[ \frac { 1 + \sqrt { \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega } } { \vert 1 - \sqrt { \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega } \vert } \right] \right\} } & { \quad n = 2 . 5 , } \\ { g _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } \log \left[ \frac { \vert 1 - ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega ) ^ { 2 } \vert } { ( \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / \hbar \omega ) ^ { 2 } } \right] } & { \quad n = 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { F = [ f _ { i j } ] : = P _ { \sigma _ { p } } \cdots P _ { \sigma _ { 2 } } P _ { \sigma _ { 1 } } A ^ { T } N _ { 1 } N _ { 2 } \cdots N _ { p } \in R { ^ { m \times n } } } \end{array}
\frac { d } { d t } \bar { u } + \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } \partial _ { x } \tilde { u } + \tilde { w } \partial _ { z } \tilde { u } + \partial _ { x } \tilde { p } - \nu \partial _ { z z } \tilde { u } ) = 0 , \qquad \bar { u } ( 0 ) = 0 .
{ \textrm { h a v e r s i n } } ( \theta ) : = { \frac { { \textrm { v e r s i n } } ( \theta ) } { 2 } } = \sin ^ { 2 } \! \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) = { \frac { 1 - \cos ( \theta ) } { 2 } }
\begin{array} { r } { \int _ { S } \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } d \Pi ( \eta ) \geq \int _ { B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) } \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } d \Pi ( \eta ) = \Pi ( B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) ) \int \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } d \bar { \Pi } ( \eta ) . } \end{array}
\epsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \delta ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) + \int d \mathbf { r } _ { 1 } f _ { h x c } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 1 } ) \chi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) .
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } } & { b _ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } + \left( a ^ { \rho \lambda } - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b ^ { \lambda } \right) b _ { \lambda } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } } \\ & { = - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b _ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } + b ^ { \rho } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } - \frac { b ^ { 2 } } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } = } \\ & { = - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b _ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } \ + \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } \left( \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } - b _ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } \nabla _ { ( \mu } b _ { \nu ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { n = 4 7 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac 1 { p _ { n } ^ { 2 } } \right) ^ { n } } & { \approx \prod _ { n = 4 7 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac 1 { ( n \log n ) ^ { 2 } } \right) ^ { n } } \\ & { \approx \prod _ { n = 4 7 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac 1 { n \log ^ { 2 } n } \right) } \\ & { \approx \exp \left( - \int _ { 4 7 } ^ { \infty } \frac 1 { x \log ^ { 2 } x } \mathrm d x \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac 1 { \log 4 7 } \right) } \\ & { \approx 0 . 7 7 \; . } \end{array}
\int _ { \Omega _ { \Delta } } \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } \mathrm { d } x \leq C \int _ { \Omega _ { \Delta } } \overbrace { \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } u _ { j } ) ( \partial _ { i } u _ { j } ) } ^ { R 1 } \mathrm { d } x .
\begin{array} { r l } { \hat { H _ { 0 } } } & { = \hat { H } _ { S C } + \hat { H } _ { t i p } - \mu \hat { N } _ { S C } - \mu \hat { N } _ { t i p } } \\ { \hat { H } } & { = \hat { H } _ { S C } + \hat { H } _ { t i p } + \hat { H } _ { T } - \mu \hat { N } _ { S C } - \mu \hat { N } _ { t i p } } \\ { \hat { K } _ { 0 } } & { = \hat { H } _ { S C } + \hat { H } _ { t i p } - \mu \hat { N } _ { S C } - ( \mu + e V ) \hat { N } _ { t i p } } \end{array}
\| | \nabla | ^ { - 2 \sigma } e ^ { t \Delta } f \| _ { p } \, \leq \, \frac { A _ { \mathrm { Y } } ( p , q , r , d ) } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } q ^ { \frac { d } { 2 q } } } \frac { \| f \| _ { r } } { \Gamma ( \sigma ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \, \tau ^ { \sigma - 1 } ( t + \tau ) ^ { - \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } \, .
\bar { \Phi } _ { A } ( \theta ) = \bar { \phi } _ { A } - \theta ^ { a } \phi _ { A a } ^ { * } - \theta ^ { 2 } \eta _ { A } , \qquad \frac { \delta } { \delta \bar { \Phi } _ { A } ( \theta ) } = \theta ^ { 2 } \frac { \delta } { \delta \bar { \phi } _ { A } } + \frac { \delta } { \delta \phi _ { A a } ^ { * } } \theta _ { a } - \frac { \delta } { \delta \eta _ { A } } .
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d - 1 } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } \psi _ { \varepsilon } ^ { + } \left( \frac { | m _ { \varepsilon } - u ^ { + } ( x _ { 0 } ) | } { \varepsilon } \right) \, d x = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \varepsilon \omega _ { d } \psi _ { \varepsilon } ^ { + } \left( \frac { | m _ { \varepsilon } - u ^ { + } ( x _ { 0 } ) | } { \varepsilon } \right) = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { 8 } ) } \\ & { \asymp } & { \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } \neq j _ { 2 } \neq j _ { 3 } \neq j _ { 4 } \leq p } \Lambda _ { j _ { 1 } j _ { 1 } } \Lambda _ { j _ { 2 } j _ { 2 } } \Lambda _ { j _ { 3 } j _ { 3 } } \Lambda _ { j _ { 4 } j _ { 4 } } { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 2 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 3 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , j _ { 4 } } ^ { 2 } ) } \\ & { \asymp } & { \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { 4 } \, . } \end{array}
{ \cal U } _ { \tau } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) : = \left\{ \begin{array} { l } { { { \cal N } ^ { ( n ) } ( \{ y \} ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \cal O } _ { \mp } ^ { a } ( \{ y + \hat { \tau } \} ) \; \mathrm { f o r } \; \; Q _ { 5 } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) = \pm 2 n N , \; n \geq 1 \; , } } \\ { { \; } } \\ { { 1 \; \; \mathrm { o t h e r w i s e } \; \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal M \left[ \begin{array} { l } { \delta P _ { z } ( \omega ) } \\ { \delta \tilde { P } _ { T } ( \omega ) } \\ { \delta \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \alpha [ \delta \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } \tilde { P } _ { T } ( \omega ) + \delta \tilde { \bar { P } } _ { T } \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) ] / 2 } \\ { \alpha P _ { z } ( \omega ) \delta \tilde { \bar { P } } _ { T } } \\ { \alpha P _ { z } ( \omega ) \delta \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v ( | x | ) = ( | x | ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \frac { | x | - 1 } { 2 } ) ^ { 4 } + \frac { 1 } { 4 } ( | x | - 1 ) ^ { 2 } ( | x | - 3 ) ^ { 4 } , } \\ & { \phi ( | x | ) = ( 1 + 4 \frac { | x | - 1 } { 2 } + 1 0 ( \frac { | x | - 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + 2 0 ( \frac { | x | - 1 } { 2 } ) ^ { 3 } ) ( 1 - \frac { | x | - 1 } { 2 } ) ^ { 4 } , } \\ & { w ( x ) = 2 \sin ( \frac { \pi } { 8 } ( x _ { 1 } + 4 ) ) ^ { 3 } \sin ( \frac { \pi } { 8 } ( x _ { 2 } + 4 ) ) ^ { 3 } . } \end{array}
\textrm { F } _ { s c a t } ( \tilde { T } ) = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { i } \textrm { N } _ { j } ( \tilde { T } ) \ \times \textrm { P } _ { s c a t , j } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { b } } \textrm { N } _ { j } ( \tilde { T } ) \ \times \textrm { P } _ { s c a t , j } }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { p } ^ { \ast } = - \frac { \hat { \Gamma } _ { p } } { \lambda U } , } & { { } } & { \ell _ { 0 } ^ { \ast } = \frac { \ell _ { 0 } } { \lambda } \sim 1 / P e _ { p } . } \end{array}
| J ; j \rangle = \sum _ { J _ { d } } ( - 1 ) ^ { J + l + S _ { d } + S _ { q } } \sqrt { ( 2 J _ { d } + 1 ) ( 2 j + 1 ) } \left\{ { S _ { d } \atop S _ { q } } \ { l \atop J } \ { J _ { d } \atop j } \right\} | J , J _ { d } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { C _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 4 8 ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M \mu ^ { 2 } } C _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { b M } + \frac { 8 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 8 L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( F _ { t - 1 } + G _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } D _ { \ell } + \frac { 8 L ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } G _ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ x _ { i } } } } & { { } = } & { { \frac { 1 } { N } } \left( \frac { y _ { i } - \langle { y } \rangle } { \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \/ ^ { 2 } } \right) \ - \ { \frac { 2 } { N } } \left( \frac { \left( x _ { i } \ - \ \langle { x } \rangle \right) \cdot \left( \langle { x \, y } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \langle { y } \rangle \right) } { \left[ \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \/ ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \right) \ , } \end{array}
\widetilde { \eta } = p ^ { 2 } \, \frac { \lambda } { \lambda _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { ( \ast ) } } \, \left\{ 1 + \left( \lambda _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { ( \ast ) } \right) ^ { 1 / 2 } \left[ \ln \pi + \gamma + 2 \left( \lambda _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ^ { ( \ast ) } \right) ^ { - 1 / 2 } - \ln \left| \frac { E } { \mu ^ { 2 } } \right| \right] \, p ^ { - 1 } + O \left( p ^ { - 2 } \right) \right\} \; .
\begin{array} { r } { \bar { v } _ { i , x } ( t - 1 ) = \frac { 1 } { p _ { n e _ { i } ( t - 1 ) } } { \sum _ { j \in n e _ { i } ( t - 1 ) } v _ { j , x } ( t - 1 ) } , } \\ { \bar { v } _ { i , y } ( t - 1 ) = \frac { 1 } { p _ { n e _ { i } ( t - 1 ) } } { \sum _ { j \in n e _ { i } ( t - 1 ) } v _ { j , y } ( t - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { c l l } { { E _ { a } { \circ _ { 1 , Z } } E _ { b } } } & { { = ( Z e _ { a } ) ( Z ^ { \dagger } ( Z e _ { b } ) ) } } & { { } } \\ { { } } & { { = ( Z e _ { a } ) e _ { b } } } & { { } } \\ { { } } & { { = - ( Z e _ { b } ) e _ { a } } } & { { \mathrm { S e e ~ { \bf ~ [ 1 ] } } } } \\ { { } } & { { = - ( Z e _ { b } ) ( Z ^ { \dagger } ( Z e _ { a } ) ) } } & { { } } \\ { { } } & { { = - E _ { b } { \circ _ { 1 , Z } } E _ { a } . } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { i } ( a _ { i } , b _ { i } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { i } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { i } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right] \right) \, , } \\ { F _ { i } ( a _ { i } , b _ { i } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 6 \sqrt { 2 \pi } } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \left[ \left( 1 - a _ { i } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { a _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } - \left( 1 - b _ { i } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { b _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { d } ( U ) \leqslant j _ { d } g ^ { - 1 } \exists _ { g } ( U ) } & { \implies j _ { d } ( U ) \leqslant g ^ { - 1 } j _ { c } \exists _ { g } ( U ) , } \\ & { \implies \exists _ { g } j _ { d } ( U ) \leqslant j _ { c } \exists _ { g } ( U ) , } \\ & { \implies j _ { c } \exists _ { g } j _ { d } ( U ) \leqslant j _ { c } \exists _ { g } ( U ) . } \end{array}
Z _ { 0 } ^ { p , q } \supseteq Z _ { 1 } ^ { p , q } \supseteq Z _ { 2 } ^ { p , q } \supseteq \cdots \supseteq B _ { 2 } ^ { p , q } \supseteq B _ { 1 } ^ { p , q } \supseteq B _ { 0 } ^ { p , q }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } w ^ { Z _ { G } } } & { { } = \mathbb { E } \left[ \sum _ { x = 0 } ^ { G } { \binom { G } { x } } ( 1 - \vartheta ) ^ { x } \vartheta ^ { G - x } w ^ { c x - ( G - x ) } \right] } \end{array}
x ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \sim \left\langle \bar { 5 } \right\rangle \left\langle ( 2 _ { 5 } , - 1 ) \right\rangle _ { a n t i s y m } \left\langle ( 1 ^ { \prime } , 2 ) \right\rangle / M _ { P l } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } } & { { } = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } + A ^ { ( 1 ) } \, \partial _ { x } p ^ { ( 1 ) } } & { { } = 0 } \\ { p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, G ( A ^ { ( 1 ) } ) \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } & { { } = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) + \boldsymbol { \hat { A } } \, \partial _ { x } \boldsymbol { \hat { p } } } & { { } = 0 } \\ { \boldsymbol { \hat { p } } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \qquad x ^ { \mu } ( \tau , \sigma ) = X ^ { \mu } - \frac 1 { \pi } ( P ^ { \mu } + ( P _ { y } P ) P _ { y } ^ { \mu } ) \tau + } } \\ { { \qquad \qquad \qquad \frac i { 2 \sqrt \pi } \sum \frac 1 n [ \bar { \alpha } _ { n } ^ { \mu } e ^ { i 2 n ( \tau + \sigma ) } + \alpha _ { - n } ^ { \mu } e ^ { - i 2 n ( \tau - \sigma ) } ] , } } \\ { { \qquad p ^ { \mu } ( \tau , \sigma ) = \frac 1 { \pi } P ^ { \mu } + \frac 1 { \sqrt \pi } \sum [ \bar { \alpha } _ { n } ^ { \mu } e ^ { i 2 n ( \tau + \sigma ) } - \alpha _ { - n } ^ { \mu } e ^ { - i 2 n ( \tau - \sigma ) } ] , } } \end{array}
X _ { L } ( a , b , c ; q ) = \sum _ { w \in W } ( - 1 ) ^ { l ( w ) } q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } | \xi + \rho - w ( a + \rho ) | ^ { 2 } + c _ { L } } { \frac { [ L ] ! } { \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } [ \alpha _ { i } ] ! } } ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = \frac { \gamma s ^ { 2 } } { 1 + \gamma s ^ { 2 } } } \\ { x _ { 2 } } & { { } = \frac { G _ { 1 } } { 2 + G _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 3 } } & { { } = \frac { G _ { 2 } } { 2 + G _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 4 } } & { { } = \frac { G _ { 3 } } { 2 + G _ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\sum _ { n = 1 / 2 , \cdots } { \frac { \Delta p ^ { + } } { p _ { n } ^ { + } } } = \sum _ { n = n _ { \mathrm { I R } } + 1 } ^ { n _ { \mathrm { U V } } - 1 } \frac { 1 } { n } \simeq \mathrm { l n } \frac { n _ { \mathrm { U V } } } { n _ { \mathrm { I R } } } \simeq \mathrm { l n } \frac { 2 \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } + { \bf p } _ { \bot } ^ { 2 } } ,