\begin{array} { r l } { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } } & { = \sum _ { x _ { i } } \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \left( m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } \right) } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) } \\ & { \quad \times \prod _ { t ^ { \prime } \neq t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } \right] \right\} } \\ & { \qquad \left. \times e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { i k } ^ { t ^ { \prime } } \mu _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } } p \left( O _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \mid x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \\ & { = \frac { \sum _ { x _ { i } ^ { t } , x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \left( m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } \right) } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } , x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) } } \\ & { = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) \left( \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) - \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } , x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) } } \\ & { = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t , 0 0 } ^ { i \setminus j } \left( \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) - \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } , x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) } } \\ & { = \frac { \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t , 0 0 } ^ { i \setminus j } \left( \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) - \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) \right) } { \sum _ { x _ { i } ^ { t } , } \rho _ { \rightarrow t } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } . } \end{array}