harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { d ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \geq d ( y _ { 2 } , y _ { 3 } ) - d ( y _ { 1 } , y _ { 3 } ) \geq n - k ^ { \prime } - 1 + \epsilon _ { y _ { 2 } } - ( k - k ^ { \prime } - 1 + \epsilon _ { y _ { 1 } } ) } \\ & { = n + \epsilon _ { y _ { 2 } } - k - \epsilon _ { y _ { 1 } } = d ( y , y _ { 2 } ) - d ( y , y _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 4 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { 1 1 } \\ { 1 5 } \end{array} \right) } \to { \left( \begin{array} { l } { H } \\ { E } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { L } \\ { P } \end{array} \right) } \to H E L P
\begin{array} { r l } { T _ { e } = } & { \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { i } + \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { b } ^ { \dag } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } + \cdots \equiv \sum _ { \mu } ^ { N _ { e } } t _ { \mu } \hat { \tau } _ { \mu } , } \\ { \quad \hat { T } _ { p } = } & { \sum _ { \alpha } \gamma _ { \alpha } \hat { b } _ { \alpha } ^ { \dag } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha \beta } \gamma _ { \alpha \beta } \hat { b } _ { \alpha } ^ { \dag } \hat { b } _ { \beta } ^ { \dag } + \cdots \equiv \sum _ { n } ^ { N _ { p } } \gamma _ { n } \hat { B } _ { n } , } \\ { \quad \hat { T } _ { e p } = } & { \sum _ { i a , \alpha } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { i } \hat { b } _ { \alpha } ^ { \dag } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j a b , \alpha \beta } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { b } ^ { \dag } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \hat { b } _ { \alpha } ^ { \dag } \hat { b } _ { \beta } ^ { \dag } + \cdots \equiv \sum _ { \mu , n } \chi _ { \mu , n } \hat { \tau } _ { \mu } \hat { B } _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { u } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \cos \beta H ^ { + } } \\ { \nu _ { u } + \cos \alpha h + \sin \alpha H + i \cos \beta A } \end{array} \right) , } \\ & { \Phi _ { d } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { - \sin \beta H ^ { + } } \\ { \nu _ { d } - \sin \alpha h + \cos \alpha H - i \sin \beta A , } \end{array} \right) } \end{array}
R _ { \alpha \beta \rho } ^ { \gamma } : = { \frac { \partial } { \partial X ^ { \rho } } } [ \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } ] - { \frac { \partial } { \partial X ^ { \beta } } } [ \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \gamma } ] + \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \mu \rho } ^ { \gamma } \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } - \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \mu \beta } ^ { \gamma } \, _ { ( X ) } \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \mu } = 0
P = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho c _ { s , v } ^ { 2 } } & { \mathrm { i f } \rho \leq \rho _ { 1 } } \\ { \rho _ { 1 } c _ { s , v } ^ { 2 } + \left( \rho - \rho _ { 1 } \right) c _ { s , m } ^ { 2 } } & { \mathrm { i f } \rho _ { 1 } \leq \rho \leq \rho _ { 2 } } \\ { \rho _ { 1 } c _ { s , v } ^ { 2 } + \left( \rho _ { 2 } - \rho _ { 1 } \right) c _ { s , m } ^ { 2 } + \left( \rho - \rho _ { 2 } \right) c _ { s , l } ^ { 2 } } & { \mathrm { i f } \rho _ { 2 } \leq \rho } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) } & { = \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } S _ { l } ( k _ { 0 } R ) + \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { M } } \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \\ { k \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) } & { = k _ { 0 } \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } S _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) + k _ { 0 } \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { M } } \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) } \\ { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) } & { = \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } S _ { l } ( k _ { 0 } R ) + \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { M } } \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \\ { \frac { k } { \epsilon } \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { s p } } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) } & { = \frac { k _ { 0 } } { \epsilon _ { 0 } } \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } S _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) + \frac { k _ { 0 } } { \epsilon _ { 0 } } \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { M } } \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { j } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathcal { V } : \dim ( \mathcal { V } ) = n - j + 1 } { \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { V } } { \frac { x ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } \mathcal { A } _ { n } x } { x ^ { H } x } } } \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } W _ { j } } { \frac { x ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } \mathcal { A } _ { n } x } { x ^ { H } x } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { y \in W _ { j } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } y } } = \operatorname* { m a x } _ { y \in W _ { j } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } y } \cdot \frac { y ^ { H } y } { y ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } y } } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { y \in W _ { j } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } y } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { y \in W _ { j } } { \frac { y ^ { H } y } { y ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } y } } } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathcal { V } : \dim ( \mathcal { V } ) = n - j + 1 } { \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathcal { V } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } y } } } \cdot \bar { c } _ { j } = \bar { c } _ { j } \mu _ { j } , \mathrm { ~ ό π ο υ ~ } \frac { 1 } { d ^ { 2 } } \leq \bar { c } _ { j } \leq c ^ { 2 } . } \end{array}
Z _ { \kappa } ^ { ( { \cal A } ) } [ { \cal J } ] \; = \; \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \; \frac { i ^ { n } } { n ! } \; \int d ^ { 4 } x _ { n } \ldots d ^ { 4 } x _ { 1 } \; \left( \widetilde { \cal G } _ { \kappa } ^ { ( n ) } ( x _ { 1 } , \ldots x _ { n } ) \right) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } \; , { \cal J } _ { a _ { 1 } } ^ { \mu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \ldots { \cal J } _ { a _ { n } } ^ { \mu _ { n } } ( x _ { n } ) \; .
P ( x + h ) - P ( x ) = \underbrace { h } _ { u ( h ) } P ^ { \prime } ( x ) + \left( \sum _ { m = 1 } ^ { a - 2 } \underbrace { h ^ { m + 1 } } _ { v _ { m } ( h ) } \underbrace { \binom { a } { m + 1 } x ^ { a - ( m + 1 ) } } _ { w _ { m } ( x ) } \right) + \underbrace { h ^ { a } } _ { v _ { a - 1 } ( h ) } \cdot \underbrace { 1 } _ { w _ { a - 1 } ( x ) } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + \underbrace { i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ s ~ t ~ r ~ e ~ a ~ m ~ i ~ n ~ g ~ } } = \underbrace { \frac { A _ { m } r } { B _ { 0 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } - \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } } _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ w ~ a ~ v ~ e ~ - ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \underbrace { - \sum _ { m ^ { \prime } } \mathcal { Q } [ S , A _ { m - m ^ { \prime } } ; \delta f _ { m ^ { \prime } } ] . } _ { \mathrm { ~ N ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ w ~ a ~ v ~ e ~ - ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \triangle _ { Y } \mu ^ { + } ( X ) } & { = \mu ^ { + } ( X \| Y ) - \mu ^ { + } ( X ) } \\ & { = \frac { \sum X + \sum Y } { N + M } - \frac { \sum X } { N } } \\ & { = \frac { \sum X } { N } \frac { N } { N + M } + \frac { \sum Y } { M } \frac { M } { N + M } - \frac { \sum X } { N } } \\ & { = \frac { \sum X } { N } \frac { - M } { N + M } + \frac { \sum Y } { M } \frac { M } { N + M } } \\ & { = \mu ^ { + } ( X ) \frac { - M } { N + M } + \mu ^ { + } ( Y ) \frac { M } { N + M } } \\ & { = \frac { M } { N + M } ( \mu ^ { + } ( Y ) - \mu ^ { + } ( X ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { - k r _ { g } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 3 } \bigg \{ 8 \Big \{ C _ { 3 3 } ^ { \prime } \cos 3 \phi _ { \xi } + S _ { 3 3 } ^ { \prime } \sin 3 \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ 1 - ( \vec { k } \cdot \vec { n } ) \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } \frac { b ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \Big ) \Big \} - } \\ & { - } & { 3 \Big \{ C _ { 3 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 3 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \frac { b ^ { 5 } } { r ^ { 5 } } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \Big \{ C _ { 3 1 } ^ { \prime } \cos \phi _ { \xi } + S _ { 3 1 } ^ { \prime } \sin \phi _ { \xi } \Big \} \frac { b ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } ( \vec { k } \cdot \vec { n } ) - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } C _ { 3 0 } ^ { \prime } \frac { b ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \Big ( 1 - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \Big ) \bigg \} \bigg | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ^ { ( s ) } ( x ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \pi ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { \infty } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { n } } \frac { \lambda } { c ^ { n } } } \end{array}
E _ { M } \, = \, \frac { { \bf P } ^ { 2 } } { 2 M } \, + \, a \hbar \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \omega _ { n 1 } \left( { \bf a } _ { n } ^ { + } { \bf a } _ { n } \, + \, \frac { D - 2 } { 2 } \right) \, +
\hat { \boldsymbol u } ^ { m + 1 / 2 } \gets ( \frac { \Delta t } { 2 } \hat { V } ( \hat { \boldsymbol f } ^ { m + 1 / 2 } , \hat { \boldsymbol u } ^ { m } ) + \hat { \boldsymbol u } ^ { m } ) / ( 1 + \frac { \mu \Delta t | \boldsymbol k | ^ { 2 } } { 2 \rho } )
\begin{array} { r } { \mathcal { F } = \int d ^ { 2 } \mathbf { r } \bigg [ \rho ^ { c } \Big ( \frac { 1 } { 3 } \ln \rho ^ { c } + a \, ( \phi - 1 / 2 ) ^ { 2 } \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \kappa | | \mathbf { \nabla } \phi | | ^ { 2 } } \\ { + \frac { C } { 2 } \big ( S _ { n e m } ^ { 2 } \phi - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } ( \mathbf { Q } ^ { 2 } ) \big ) ^ { 2 } + \frac { K _ { L C } } { 2 } ( \nabla \mathbf { Q } ) ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \displaystyle \varphi ( x , t ) = } } & { { \phi ( z ) + \bar { \phi } ( \bar { z } ) \: , } } \\ { { \phi ( z ) = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { 0 } - i p _ { + } \log z + i \displaystyle \sum _ { k \neq 0 } \displaystyle \frac { 1 } { k } a _ { k } z ^ { - k } \: , } } \\ { { \bar { \phi } ( \bar { z } ) = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { 0 } - i p _ { - } \log \bar { z } + i \displaystyle \sum _ { k \neq 0 } \displaystyle \frac { 1 } { k } \bar { a } _ { k } \bar { z } ^ { - k } \: , } } \end{array}
\Pi _ { q } ( { \bf S } ^ { d - p - 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \mathrm { f o r } \; d - p - 2 > q } } \\ { { { \bf Z } } } & { { \mathrm { f o r } \; d - p - 2 = q . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega _ { P } ( { \bf r } ) } & { { } - \omega _ { S } ( { \bf r } ) = \chi [ 1 - 2 \rho _ { P } ( { \bf r } ) ] - \frac { v _ { 0 } } { 2 } \frac { \partial \epsilon ( { \bf r } ) } { \partial \rho _ { P } ( { \bf r } ) } [ \nabla \psi ( { \bf r } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \phi , \psi ) = 4 \cos ^ { 2 } \phi \cos ^ { 2 } \psi - 4 ( \cos ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \psi ) + 1 6 \xi _ { 1 } ( \cos \phi + \cos \psi ) - 8 \xi _ { 2 } \cos \phi \cos \psi - \xi _ { 3 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { \ell , - m } ^ { \cal R } ( \vartheta , \varphi ) } & { { } = \sqrt { 2 } { \cal I } [ Y _ { \ell m } ( \vartheta , \varphi ) ] } \\ { Y _ { \ell 0 } ^ { \cal R } } & { { } = Y _ { \ell 0 } } \\ { Y _ { \ell m } ^ { \cal R } ( \vartheta , \varphi ) } & { { } = \sqrt { 2 } { \cal R } [ Y _ { \ell m } ( \vartheta , \varphi ) ] . } \end{array}
F x ( K _ { 1 } , K _ { 2 } , \ldots , K _ { m } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { n _ { m } = 0 } ^ { N _ { m } - 1 } f x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { m } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { N _ { 1 } } } n _ { 1 } K _ { 1 } - i { \frac { 2 \pi } { N _ { 2 } } } n _ { 2 } K _ { 2 } \cdots - i { \frac { 2 \pi } { N _ { m } } } n _ { m } K _ { m } }
\left. \begin{array} { c } { \displaystyle ( r , z ) = \left( \frac { r ^ { * } } { a } , \frac { z ^ { * } } { a } \right) , \quad { t } = \frac { \sigma _ { 0 } } { a \eta } t ^ { * } , \quad \boldsymbol { \dot { \gamma } } = \frac { a \eta } { \sigma _ { 0 } } \boldsymbol { \dot { \gamma } } ^ { * } , \quad ( { u } , { w } ) = \frac { \eta } { \sigma _ { 0 } } ( u ^ { * } , w ^ { * } ) , \quad \Gamma = \frac { \Gamma ^ { * } } { \Gamma _ { 0 } } , } \\ { \displaystyle \boldsymbol { \tau } = \frac { a } { \sigma _ { 0 } } \boldsymbol { \tau } ^ { * } , \quad R = \frac { R ^ { * } } { a } , \quad \sigma = \frac { \sigma ^ { * } } { \sigma _ { 0 } } , \quad p = \frac { a } { \sigma _ { 0 } } p ^ { * } , \quad \kappa = a \kappa ^ { * } , \quad L = \frac { L ^ { * } } { a } . } \end{array} \right\}
D _ { n } ^ { \pm } ( r _ { k } , \theta _ { i } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { s - ( k _ { 1 } \pm n \pi / 2 \overline { { h } } ) } \frac { 1 } { \sqrt { s - \kappa _ { n } } } \mathrm { e } ^ { ( - i s \cos \theta _ { i } - \gamma _ { n } \sin \theta _ { i } ) r _ { i } } \mathrm { d } \, s .
V _ { L J } = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon _ { A t t r a c t i v e } ^ { E C C - S p i k e } \left[ \left( \frac { \sigma _ { o } } { r _ { i j } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma _ { o } } { r _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right] } & { r \leqslant 2 \sigma _ { o } } \\ { 0 } & { r > 2 \sigma _ { o } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { = \mathfrak { f } ( w ) } \\ { \dot { x } _ { i } } & { = \mathfrak { f } ( w ) ^ { \lambda _ { i } / \lambda _ { 1 } } \quad 2 \leq i \leq n - 1 } \\ { \dot { w } } & { = u } \end{array} \right. , \quad \textrm { w i t h } \quad \mathfrak { f } ( w ) = \exp \left( - \frac { 1 } { w ^ { 2 } } \right) , \; \mathfrak { f } ( 0 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { i t \mathcal { D } _ { m } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } ( I , L ^ { q } ( \mathcal { M } ) ) } } & { \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } + C t _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { s } \| u ( s ) \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } } \\ & { \leq \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } + C t _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { s } \| | \mathcal { D } _ { m } | ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } u ( s ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ( 0 , R ) } \| G ^ { n , m } ( t , u ) - G ^ { n } ( t , u ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ( 0 , m ) } \| G ^ { n , m } ( t , u ) - G ^ { n } ( t , u ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { n } } ( 0 , m ) } | \tilde { \psi } ^ { n , m } ( t , u ) - g ^ { n } ( t , u ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { n } } ( 0 , m ) } | \psi ^ { n , m } ( t , u ) - g ^ { n } ( t , u ) | ^ { 2 } } \\ & { < \frac { 1 } { m } < \epsilon . } \end{array}
\dot { x } _ { i } = f _ { i } ( x _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } ^ { ( 1 ) } x _ { i } x _ { j } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } a _ { i j k } ^ { ( 2 ) } x _ { i } x _ { j } x _ { k }
\mathcal { H } ( x ; \alpha , \kappa ) = - \frac { 8 x ^ { 3 } } { 2 7 } + \frac { 4 } { 3 } \left( \alpha + b _ { 1 } ^ { 2 } \right) x - \frac { 2 \sqrt { 2 } \, b _ { 1 } } { 3 } \cos \left( \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } - \frac { b _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \ln ( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } ) + \psi _ { 1 } \right) + O \left( \frac { 1 } { x } \right) ,
\operatorname* { s u p } _ { ( R , Z ) \in \Omega _ { \epsilon } } e ^ { \gamma _ { 0 } ( R ^ { 2 } + Z ^ { 2 } ) / 4 } \, | \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) | \, \le \, C \bigl ( \epsilon \delta + \epsilon ^ { \gamma _ { 5 } } \delta ^ { - 1 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \hbar \omega \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } & { { } = } & { - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } \\ { \hbar \omega \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } & { { } = } & { + \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \bf H } = \frac { i \omega } { 2 } \int d ^ { 3 } p \, p ^ { i } \sum _ { \lambda } \left[ a ^ { \dagger } ( \vec { p } , \lambda ) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { p ^ { i } } a ( \vec { p } , \lambda ) + b ^ { \dagger } ( \vec { p } , \lambda ) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { p ^ { i } } b ( \vec { p } , \lambda ) \right]
\frac { \dot { a } _ { 0 } ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { \ddot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } = - \frac { k _ { ( 5 ) } ^ { 4 } } { 3 6 } \rho ( \rho + 3 p ) - k _ { ( 5 ) } ^ { 2 } \frac { T _ { 5 5 } } { 3 b _ { 0 } ^ { 2 } }
f _ { k } = \left( c _ { B } - \sum _ { i \in k _ { \mathcal { D } } } f _ { i } \right) \frac { \omega _ { k } } { \sum _ { i \in k _ { \mathcal { D } ^ { \prime } } } \omega _ { i } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \vec { r } + \vec { \xi } _ { k ^ { \prime } } \in \mathcal { D } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r } { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } = \frac { \tilde { F } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \tilde { a } ) } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } } \\ { \frac { e ^ { 4 \tilde { L } } ( \tilde { a } + 1 ) + e ^ { 4 \tilde { a } } ( \tilde { a } - 1 ) - 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) } + \sin { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) ] } } { e ^ { 4 \tilde { L } } + e ^ { 4 \tilde { a } } + 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \cos ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) - 2 ] } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } } \\ { \frac { 2 \tilde { L } ^ { 2 } - \tilde { a } ^ { 2 } - \tilde { L } \tilde { a } } { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ C ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\phi ( x ) = \left( \begin{array} { l } { { \phi _ { 1 } ( x ) } } \\ { { \phi _ { 2 } ( x ) } } \\ { { \phi _ { 3 } ( x ) } } \\ { { \phi _ { 4 } ( x ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \chi _ { 1 } ( x ) } } \\ { { \chi _ { 2 } ( x ) } } \\ { { \bar { \chi } ^ { \bar { 1 } } ( x ) } } \\ { { \bar { \chi } ^ { \bar { 2 } } ( x ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \chi _ { 1 } ( x ) } } \\ { { \chi _ { 2 } ( x ) } } \\ { { \chi _ { 2 } ^ { * } ( x ) } } \\ { { - \chi _ { 1 } ^ { * } ( x ) } } \end{array} \right)
\left[ \begin{array} { l l } { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { c \Delta t } + \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } & { \mu ( \frac { 1 } { 2 } - e ^ { - i \omega } ) } \\ { \mu ( e ^ { i \omega } - \frac { 1 } { 2 } ) } & { \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { c \Delta t } + \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } \end{array} \right] \theta \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { v \Delta t } \left[ \begin{array} { l } { c } \\ { d } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \frac { \frac { - I \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ( t ) ) } { ( A F ) ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) ^ { 2 } } } { \psi ^ { \prime } \left( \frac { I } { A F \iota ( c _ { s } ( t ) ) } \right) } \left[ \eta ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) - \overline { { \eta } } ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) \right] \, d t } \end{array}
\Omega _ { \alpha } = M _ { \alpha \, s } \Omega _ { s } , \, \, M _ { \alpha \, s } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { i } & { i } \end{array} \right) , \alpha = x , y , \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, s = - 1 , + 1
\begin{array} { r } { \mathbf { G } _ { 1 , i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 \nu ( 2 ( i - 1 ) + 1 ) \cdot \operatorname* { m i n } ( i , j ) \cdot ( \operatorname* { m i n } ( i , j ) + 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i + 1 + j \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\delta C = \delta C _ { 0 } + \alpha { \frac { a } { 1 2 } } d [ \epsilon ( x ^ { 1 1 } ) Q _ { 2 } ^ { 1 } ] = \delta C _ { 1 } - { \frac { a } { 1 2 } } ( 1 - \alpha ) d [ \epsilon ( x ^ { 1 1 } ) Q _ { 2 } ^ { 1 } ] \ .
\begin{array} { r l } { \left< \mu \mathcal { A } D _ { \gamma } v , \varphi _ { k } \right> } & { = \left< - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \partial _ { i } ( \tilde { a } _ { i } \partial _ { i } D _ { \gamma } v ) + \tilde { c } D _ { \gamma } v , \varphi _ { k } \right> } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \left< D _ { \gamma } v , n _ { i } \tilde { a } _ { i } \partial _ { i } \varphi _ { k } \right> _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { 1 } ) } + \left< D _ { \gamma } v , - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \partial _ { i } ( \tilde { a } _ { i } \partial _ { i } \varphi _ { k } ) + \tilde { c } \varphi _ { k } \right> } \\ & { = \left< v , \sum _ { i = 1 } ^ { d } n _ { i } \tilde { a } _ { i } \partial _ { i } \varphi _ { k } \right> _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { 1 } ) } + \lambda _ { k } \left< D _ { \gamma } v , \psi _ { k } \right> . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \overline { { A B } } } \cdot { \overline { { C D } } } + { \overline { { A D } } } \cdot { \overline { { B C } } } } & { { } = \left| z _ { A } - z _ { B } \right| \left| z _ { C } - z _ { D } \right| + \left| z _ { A } - z _ { D } \right| \left| z _ { B } - z _ { C } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau = \frac { C _ { 1 } C _ { 2 } } { h ( C _ { 1 } + C _ { 2 } ) } , \quad \Lambda = \frac { C _ { 1 } \alpha _ { 1 } + C _ { 2 } \alpha _ { 2 } } { C _ { 1 } + C _ { 2 } } , \quad l ^ { 2 } = \tau ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) , \quad \gamma = \tau \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x , y ) = } & { C ( A \sin ( \omega y ) + \operatorname { t a n h } ( \beta y ) ) ( - A \omega ^ { 2 } \sin ( \omega x ) - 2 \beta ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \beta x ) \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( \beta x ) ) } \\ & { + C ( A \sin ( \omega x ) + \operatorname { t a n h } ( \beta x ) ) ( - A \omega ^ { 2 } \sin ( \omega y ) - 2 \beta ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \beta y ) \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( \beta y ) ) , } \end{array}
\int _ { x } ^ { x + h } \int _ { a } ^ { b } f _ { x } ( x , t ) \, d t \, d x = \int _ { a } ^ { b } \int _ { x } ^ { x + h } f _ { x } ( x , t ) \, d x \, d t = \int _ { a } ^ { b } \left( f ( x + h , t ) - f ( x , t ) \right) \, d t = \int _ { a } ^ { b } f ( x + h , t ) \, d t - \int _ { a } ^ { b } f ( x , t ) \, d t