harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { A ^ { \prime } = ( x _ { a } + c _ { g , 0 } t _ { 0 } , y _ { a } + c _ { g , 0 } \sin ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } ) , } \\ & { B ^ { \prime } = ( x _ { b } + c _ { g , 0 } t _ { 0 } , y _ { b } - c _ { g , 0 } \sin ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } ) , } \\ & { C ^ { \prime } = ( x _ { c } + c _ { g , N } \cos ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } , y _ { c } - c _ { g , 0 } \sin ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } ) , } \\ & { D ^ { \prime } = ( x _ { d } + c _ { g , N } \cos ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } , y _ { d } + c _ { g , 0 } \sin ( \theta _ { 0 } ) t _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big \{ \exp ( \upsilon Y ) \big \} = } & { 1 + \upsilon \mathbb { E } ( Y ) + \frac { 1 } { 2 } \upsilon ^ { 2 } \mathbb { E } ( Y ^ { 2 } ) + \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } \frac { \upsilon ^ { j } \mathbb { E } Y ^ { j } } { j ! } } \\ { \le } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } \upsilon ^ { 2 } \mathbb { E } ( Y ^ { 2 } ) + \frac { \upsilon ^ { 2 } \mathbb { E } Y ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { j = 3 } ^ { \infty } \frac { \upsilon ^ { j - 2 } C _ { 0 } ^ { j - 2 } } { 3 ^ { j - 2 } } } \\ { = } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } \upsilon ^ { 2 } \mathbb { E } ( Y ^ { 2 } ) + \frac { \upsilon ^ { 2 } \mathbb { E } Y ^ { 2 } } { 2 } \frac { \upsilon C _ { 0 } / 3 } { 1 - \upsilon C _ { 0 } / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s l } } & { \triangleq \left\{ ( \alpha , \beta ) \bigg | \epsilon _ { 2 } \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } t } = F ( \alpha , \beta ) , ~ \frac { \mathrm { d } \beta } { \mathrm { d } t } = G ( \alpha , \beta ) ~ \mathrm { a s } ~ \epsilon _ { 2 } \to 0 \right\} \ , } \\ { \sigma _ { f a } } & { \triangleq \left\{ ( \alpha , \beta ) \bigg | \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } \tau } = F ( \alpha , \beta ) , ~ \frac { \mathrm { d } \beta } { \mathrm { d } \tau } = \epsilon _ { 2 } G ( \alpha , \beta ) , ~ \tau = t / \epsilon _ { 2 } ~ \mathrm { a s } ~ \epsilon _ { 2 } \to 0 \right\} \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \phi _ { T } \big ( s ( T , \cdot ) \big ) - \phi _ { 0 } ( s ( 0 , \cdot ) \big ) } \\ { = } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \Big [ \frac { \partial } { \partial t } \phi _ { t } ( s ( t , \cdot ) \big ) + \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } D \phi _ { t } ( s ( t , \cdot ) \big ) ( x ) ( - \sigma ) a _ { \sigma } ( t , x ) \frac { 1 + \sigma \, s ( t , x ) } { 2 } d x \Big ] d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \frac { \partial ^ { 2 } F _ { 3 } ( x _ { 3 } | F _ { 2 } ^ { - 1 } ( x _ { 2 } | F _ { 1 } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) ) , F _ { 1 } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \Big | \leq L , \quad i , j = 1 , 2 , } \\ & { \Big | \frac { \partial F _ { 3 } ( x _ { 3 } | F _ { 2 } ^ { - 1 } ( x _ { 2 } | F _ { 1 } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) ) , F _ { 1 } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) ) } { \partial x _ { i } } \Big | \leq L , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 3 \varepsilon ^ { 4 } } { 8 } \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } ( x , t ) \mathrm { d } x + \frac { 3 } { 8 } \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \Delta u | ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \\ & { \qquad \leq \frac { R ^ { 2 } } { 8 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } + C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + \frac 3 2 } \leq \frac { R ^ { 2 } } { 4 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } [ F ( \mathbf { z } ^ { t + 1 } ) ] } & { \leq F ( \mathbf { z } ^ { t } ) + \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \rangle + \frac { L } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = F ( \mathbf { z } ^ { t } ) + \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \mathbb { E } _ { t } [ \mathbf { z } ^ { t + 1 } ] - \mathbf { z } ^ { t } \rangle + \frac { L } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = F ( \mathbf { z } ^ { t } ) + \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \rangle + \frac { L } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = F ( \mathbf { z } ^ { t } ) - \lambda \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) + \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \rangle } \\ & { \quad + \frac { L } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = F ( \mathbf { z } ^ { t } ) - \lambda \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } \underbrace { - \lambda \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \rangle } _ { \mathbf { R 1 } } } \\ & { \quad + \frac { L } { 2 } \underbrace { \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } _ { \mathbf { R 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { v } \cdot \nabla f + \left( \textbf { E } + \boldsymbol { v } \times \textbf { B } \right) \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } f = 0 \, , } \\ & { } & { - \nabla \Phi = \left[ \frac { 1 } { n _ { e } } ( \nabla \times \textbf { B } - \textbf { J } _ { k } ) \times \textbf { B } - \nabla \ln n _ { e } ^ { \kappa } \right] \, , } \\ & { } & { \nabla \times \textbf { B } = \textbf { J } \, , \quad \nabla \cdot \textbf { B } = 0 \, , } \\ & { } & { \beta _ { A } ^ { 2 } \nabla \cdot \textbf { E } = ( n _ { i } - n _ { e } ) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e _ { 1 } e _ { 2 } \cdots e _ { r } } & { = e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge \cdots \wedge e _ { r } } \\ & { = \left( \sum _ { j } [ \mathbf { O } ] _ { 1 j } a _ { j } \right) \wedge \left( \sum _ { j } [ \mathbf { O } ] _ { 2 j } a _ { j } \right) \wedge \cdots \wedge \left( \sum _ { j } [ \mathbf { O } ] _ { r j } a _ { j } \right) } \\ & { = ( \operatorname* { d e t } \mathbf { O } ) a _ { 1 } \wedge a _ { 2 } \wedge \cdots \wedge a _ { r } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 2 } \; \mathbb { P } ( ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) \times \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 \, | \, ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) } \\ & { \qquad + \mathbb { P } ( ( T _ { 1 } , . . . T _ { n - 1 } ) = ( 1 , . . . , 1 ) ) \times \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 \, | \, ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n - 1 } ) = ( 1 , . . . , 1 ) ) } \\ & { \qquad + \mathbb { P } ( ( T _ { 1 } , . . . T _ { n - 1 } ) = ( 1 , . . . , 2 ) ) \times \mathbb { P } ( X _ { n } = 1 \, | \, ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n - 1 } ) = ( 1 , . . . , 2 ) ) } \\ & { = \big ( 1 - ( p ^ { n } + 2 ( 1 - p ) p ^ { n - 1 } + p ^ { n - 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } ) \big ) \times p + p ^ { n } \times 1 + 0 } \\ & { = p ( 1 - p ^ { n - 2 } + p ^ { n - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { \mu e } ( c _ { e \beta } ) \simeq \frac { - 8 } { 3 } | c _ { e \beta } | E L \sin \ensuremath { \theta _ { 1 3 } } \sin 2 \theta _ { 2 3 } \sin \Delta \big [ \mathbb { Z } _ { e \beta } \sin ( \delta _ { \mathrm { C P } } + \varphi _ { e \beta } ) + \mathbb { W } _ { e \beta } \cos ( \delta _ { \mathrm { C P } } + \varphi _ { e \beta } ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = - \frac { i q E } { \omega - k p _ { z } / m } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { z } } } \\ { B _ { \pm } } & { { } = - i \frac { q \mu B _ { 0 } E / 4 m c } { \omega - k p _ { z } / m \mp \Delta \omega _ { c e } } \Big ( \sin \theta _ { s } + \cos \theta _ { s } \frac { \partial } { \partial _ { \theta _ { s } } } \Big ) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { \bot } } } \end{array}
{ \cal E } = { \frac { \pi \mu ^ { 2 } } { \lambda } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r \left[ h ^ { 2 } \! + ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + { \frac { f ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { \lambda } { 2 } } \left( \varphi ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \sigma _ { F } ^ { 2 } ] } & { { } = \frac { \beta } { \alpha - 1 } } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \mu _ { F } ] } & { { } = \frac { \beta } { \nu ( \alpha - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \tilde { \beta } ( k _ { 1 } , q ) \delta ( q ^ { \prime } - k _ { 2 } ) \tilde { \rho } ( q , q ^ { \prime } ; t ) \rangle _ { E } = \int d x d y \langle \tilde { \beta } ( k _ { 1 } , q ) \tilde { \beta } ( x , y ) \rangle _ { E } \left\langle \frac { \delta \tilde { \rho } ( q , q ^ { \prime } ; t ) } { \delta \tilde { \beta } ( x , y ) } \right\rangle _ { E } \delta ( q ^ { \prime } - k _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { t + 1 } | S _ { t } = a , A _ { t } = a ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { t + 1 } | S _ { t } = s , A _ { t } = a , U _ { t } = u ) P _ { \pi ^ { e } } ( U _ { t } = u | S _ { t } = s , A _ { t } = a ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( S _ { t + 1 } | S _ { t } = s , A _ { t } = a , U _ { t } = u ) P _ { \pi ^ { e } } ( U _ { t } = u | S _ { t } = s ) d u , } \end{array}
\mathbf { B } = e ^ { - i \omega t } \sum _ { l , m } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \left[ a _ { E } ( l , m ) \mathbf { B } _ { l , m } ^ { ( E ) } + a _ { M } ( l , m ) \mathbf { B } _ { l , m } ^ { ( M ) } \right]
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \omega ^ { 2 } d \omega } { | \Gamma _ { + } | ^ { 2 } | \Gamma _ { - } | ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi / \omega _ { \nu } } { ( \omega _ { + } ^ { 2 } - \omega _ { - } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( \omega _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { - } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n + 1 , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n + 1 , \le ( k - 2 ) } = \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 1 ) } \star \mathfrak { a } _ { k - 1 } + ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 2 ) } ) \star \mathfrak { a } _ { \le ( k - 2 ) } . } \end{array}
K _ { o p } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ^ { \prime } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \prod _ { a } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { | S _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \frac { \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 1 \dagger } - \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \dots | 0 \rangle , } \\ { | S _ { \beta } ^ { \alpha } \rangle } & { = \dots \frac { \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 1 \dagger } - \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \end{array}
C _ { 1 } = - \frac { C _ { 2 } } { R _ { \mathrm { o u t } } } = \vert z _ { \mathrm { d e p t h } } \vert \frac { R _ { \mathrm { i n } } } { \left( R _ { \mathrm { o u t } } - R _ { \mathrm { i n } } \right) }
\begin{array} { r l } { - \mathrm { i } \widetilde { \rho } ^ { \bullet } + \frac { \partial \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial y ^ { \bullet } } } & { { } = 0 , } \\ { - \mathrm { i } \widetilde { v } ^ { \bullet } + \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } } & { { } = \frac { 1 } { K _ { v } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { \bullet } } \frac { \partial \widetilde { v } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet } } \right) , } \\ { - \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } & { { } = - \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { 1 } { \mathrm { i } k _ { v } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { \bullet } } \frac { \partial \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } { \partial r ^ { \bullet } } \right) , } \\ { \gamma \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } } & { { } = \widetilde { \rho } ^ { \bullet } + \widetilde { \tau } ^ { \bullet } , } \end{array}
\partial ^ { \mu } J _ { \mu 5 } = \sum _ { k = 1 } ^ { f } 2 i \biggl [ m _ { k } \bar { q } _ { k } \gamma _ { 5 } q _ { k } \biggr ] + N _ { f } \biggl [ { \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } } G _ { \mu \nu } { \tilde { G } } ^ { \mu \nu } \biggr ]
\rho _ { s c a l a r } = \frac { \sum _ { i , j } i j X _ { i , j } - \sum _ { i , j } i X _ { i , j } \sum _ { i , j } j X _ { i , j } } { \sqrt { \sum _ { i , j } i ^ { 2 } X _ { i , j } - \left( \sum _ { i , j } i X _ { i , j } \right) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i , j } j ^ { 2 } X _ { i , j } - \left( \sum _ { i , j } j X _ { i , j } \right) ^ { 2 } } } ,
\small \left\{ \begin{array} { r l } { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ~ ( ~ d ~ r ~ o ~ p ~ ) ~ } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ { t h e t a _ { s } = 7 5 ^ { 0 } \ \mathrm { ~ ( ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ o ~ n ~ t ~ h ~ e ~ d ~ r ~ o ~ p ~ s ~ i ~ d ~ e ~ ) ~ } ; } \\ { e t a = 0 . 0 0 7 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ G _ { s } ^ { \gamma } ] \mathbb { E } [ G _ { u } ^ { \gamma } ] = \mathbb { E } \left[ \left( \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) \right) \right] \mathbb { E } \left[ G _ { u } ^ { \gamma } \right] + ( \pi ^ { \gamma } - \pi ^ { \frac { \gamma } { 2 } } ) ( f ) \mathbb { E } [ G _ { u } ^ { \gamma } ] . } \end{array}
{ \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } g ^ { 2 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } } - { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } } \ln { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } g ^ { 2 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } } = \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } }
{ \frac { d \, \operatorname { a r s i n h } x } { d x } } = { \frac { d \theta } { d \sinh \theta } } = { \frac { 1 } { \cosh \theta } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \sinh ^ { 2 } \theta } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q } { \textnormal { d } z } } & { = q _ { 1 } - q _ { 2 } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M + M ^ { \prime } + P ) } { \textnormal { d } z } } & { = B + m _ { 1 } - m _ { 2 } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F + F ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z } } & { = f _ { 1 } - f _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \textrm { s a m p } } = \frac { \beta \omega } { 2 \pi ^ { 2 } } e ^ { - | { \bf { X } } ^ { 2 } | - | { \bf { P } } ^ { 2 } | - \beta ( U + p ^ { 2 } / 2 m ) } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { \tilde { a } _ { \ell , \sigma } = \tilde { b } _ { \ell , \sigma } = 0 \; \forall \ell \Longleftrightarrow a _ { \ell } = b _ { \ell } = i \sigma c _ { \ell } \; \forall \ell . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { A } } ( z , t ) } & { = \cos { ( g _ { \mathrm { c o } } z ) } E _ { \mathrm { A } } ( 0 , t ^ { \prime } ) + i \sin { ( g _ { \mathrm { c o } } z ) } E _ { \mathrm { B } } ( 0 , t ^ { \prime } ) } \\ { E _ { \mathrm { B } } ( z , t ) } & { = \cos { ( g _ { \mathrm { c o } } z ) } E _ { \mathrm { B } } ( 0 , t ^ { \prime } ) + i \sin { ( g _ { \mathrm { c o } } z ) } E _ { \mathrm { A } } ( 0 , t ^ { \prime } ) } \end{array}
E _ { 0 } ( P ) = E _ { 0 } ( \mathbf { P = 0 } ) + \frac { P _ { x } ^ { 2 } } { 2 m _ { x } } + \frac { P _ { y } ^ { 2 } } { 2 m _ { y } } + \frac { P _ { z } ^ { 2 } } { 2 m _ { z } } .
P ^ { y ^ { \prime } z ^ { \prime } } ~ T ^ { A , b } ~ ( P ^ { y ^ { \prime } z ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } = T ^ { A , b } ~ , ~ P ^ { y ^ { \prime } z ^ { \prime } } ~ T ^ { A , \hat { b } } ~ ( P ^ { y ^ { \prime } z ^ { \prime } } ) ^ { - 1 } = - T ^ { A , \hat { b } } ~ . ~ \,
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { y } P _ { 1 } ( i ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } } & { \le _ { s , C } \varepsilon \left( \rVert \partial _ { y } v _ { \varepsilon } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert R ( z _ { 0 } , z _ { 0 } ) \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \partial _ { y } v _ { \varepsilon } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert R ( z _ { 0 } , z _ { 0 } ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \right) } \\ & { \le _ { s , C } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \left( \varepsilon ^ { 6 - 4 b } ( 1 + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } ) \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 1 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \varepsilon ^ { 6 - 4 b } ( 1 + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } } ) \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 1 } } \right) . } \end{array}
{ \displaystyle \gamma _ { i j , k l } = \iint \frac { \phi _ { i } ^ { * } ( { \bf r } ) \phi _ { j } ( { \bf r } ) \phi _ { k } ^ { * } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \phi _ { l } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } _ { 1 } } & { { } = - \frac { 2 \tilde { F } _ { c } } { \tilde { m } } \left[ \mu _ { + } ^ { 2 } \mathbb { L } _ { + + } + \mu _ { + } \mu _ { - } \left( \mathbb { L } _ { + - } + \mathbb { L } _ { - + } \right) + \mu _ { - } ^ { 2 } \mathbb { L } _ { -- } \right] , } \end{array}
\mathrm { i } \omega B _ { y } - \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } B _ { y } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } = - C _ { \gamma } \frac { \mathrm { d } B _ { y } } { \mathrm { d } x } - C _ { \alpha } \frac { \mathrm { d } B _ { z } } { \mathrm { d } x }
\mathcal { D } _ { A B } ( \omega _ { n } ) = \overline { { \delta I _ { A , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) \delta I _ { B , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } } ,
z _ { 0 } = ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in \mathcal { R } ( \overline { { \Omega _ { \hat { \varepsilon } } ^ { 5 } } } ) \cap \{ x > \frac { 1 } { 5 } y _ { P _ { 2 } } ^ { 2 } \}
\mathbf { F } _ { i } = - \tilde { \rho } _ { i } R T \nabla \ln { f _ { i } } + \tilde { \rho } _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \left( \kappa _ { i j } \ \nabla ^ { 2 } \tilde { \rho } _ { j } \right) .
\hat { \rho } ( x , t = 0 ) = \bigg [ { \mathrm { ~ i ~ } } \hat { \hat { L } } ( x ) - \hat { \hat { K } } ( x ) + \hat { \hat { R } } - \hat { \mathcal { L } } + k _ { f } \bigg ] \hat { \Bar { \rho } } ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathit { \hat { v } } ^ { k } } & { = } & { r ( \delta ^ { k } + z _ { k } - \mathit { \hat { z } } ^ { k } ) = r \big [ P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( z _ { k } - ( \mathit { \hat { z } } ^ { k } - \delta ^ { k } ) ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \delta ^ { k } + z _ { k } - \mathit { \hat { z } } ^ { k } ) \big ] } \\ & { = } & { r \big [ x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , d o m } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = } \\ & { } & { \quad 4 i \lambda ^ { 2 } \int d ^ { 3 } x \int \frac { d k _ { 1 , 0 } d q _ { 1 , - } d k _ { 2 , 0 } d q _ { 2 , - } d k _ { 3 , 0 } d q _ { 3 , - } } { \sin \pi q _ { 1 , - } \sin \pi q _ { 2 , - } \sin \pi q _ { 3 , - } } x _ { + } ^ { 2 } e ^ { i x _ { 0 } [ k _ { 1 , 0 } + k _ { 2 , 0 } - k _ { 3 , 0 } - \pi T ] } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } + \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } - \frac { k _ { 3 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } ) x _ { + } } e ^ { i x _ { - } [ q _ { 1 , - } + q _ { 2 , - } - q _ { 3 , - } ] } } \\ & { } & { \quad \times \Big [ \chi ( x _ { + } > 0 ) \chi ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } < 0 ) \chi ( \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } < 0 ) \chi ( \frac { k _ { 3 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } > 0 ) } \\ & { } & { \quad - \chi ( x _ { + } < 0 ) \chi ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } > 0 ) \chi ( \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } > 0 ) \chi ( \frac { k _ { 3 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } < 0 ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( - ) ^ { ! * } : { \mathcal D } ^ { b } ( X ) } & { \rightarrow { \mathcal D } ^ { b } ( X ^ { k ^ { * } } ) } & { ( - ) ^ { * ! } : { \mathcal D } ^ { b } ( X ) } & { \rightarrow { \mathcal D } ^ { b } ( X ^ { k ^ { * } } ) } \\ { K } & { \mapsto ( f ^ { + } ) ^ { ! } ( g ^ { + } ) ^ { * } ( K ) , } & { K } & { \mapsto ( f ^ { - } ) ^ { * } ( g ^ { - } ) ^ { ! } ( K ) . } \end{array}
\left. \begin{array} { l l } { d _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 5 } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 6 + 8 3 \lambda + 7 6 \lambda ^ { 2 } } { 1 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } } , ~ d _ { 6 } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 1 ( 1 6 + 1 9 \lambda ) } { 4 3 2 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , ~ d _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \left( 3 2 - 5 5 4 \lambda - 7 0 3 \lambda ^ { 2 } \right) } { 6 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , d _ { 8 } = - \frac { 7 \left( 4 8 + 8 9 \lambda + 3 8 \lambda ^ { 2 } \right) } { 4 0 \lambda ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , ~ } \\ { d _ { 9 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 1 0 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 9 \left( 1 6 + 3 \lambda - 1 9 \lambda ^ { 2 } \right) } { 1 4 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } } , ~ d _ { 1 4 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 2 ( 1 6 + 1 9 \lambda ) } { 2 7 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , } \\ { d _ { 1 5 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \left( - 2 2 4 + 3 9 4 2 \lambda + 8 8 5 3 \lambda ^ { 2 } + 4 5 7 9 \lambda ^ { 3 } \right) } { 8 4 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } } , ~ d _ { 1 6 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \left( 4 0 0 + 1 3 0 7 \lambda + 9 8 8 \lambda ^ { 2 } \right) } { 7 5 6 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } } , ~ d _ { 1 7 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 1 8 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 3 0 4 \lambda ^ { 2 } + 6 1 7 \lambda + 3 0 4 } { 8 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , } \\ { ~ d _ { 1 9 } ^ { ( 1 ) } = \frac { 3 0 4 \lambda ^ { 2 } + 6 1 7 \lambda + 3 0 4 } { 8 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , ~ d _ { 2 0 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 2 2 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 7 ( 1 6 + 1 9 \lambda ) } { 4 3 2 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , ~ d _ { 2 4 } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ d _ { 2 5 } ^ { ( 1 ) } = \frac { 4 8 + 8 9 \lambda + 3 8 \lambda ^ { 2 } } { 4 8 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } , } \end{array} \right\}