harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left< \tilde { p } _ { k } \right> = 0 } \\ { \left< \tilde { q } _ { k } \right> = 0 } \\ { \left< \tilde { p } _ { k } \tilde { q } _ { k } \right> = \frac { k _ { \mathrm { B } } T E ^ { 2 } } { \beta } } \\ { \left< \left( \tilde { p } _ { k } \right) ^ { 2 } \right> = k _ { \mathrm { B } } T m \left( 1 - e ^ { - 2 \beta \Delta } \right) } \\ { \left< \left( \tilde { q } _ { k } \right) ^ { 2 } \right> = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { m \beta ^ { 2 } } \left( 2 \beta \Delta - 3 + 4 e ^ { - \beta \Delta } - e ^ { - 2 \beta \Delta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { g } \int \frac { \gamma _ { \rho } ( x - \bar { x } - \xi ) } { \gamma _ { \rho } ( \xi ) } g ( \bar { x } + \xi ) \gamma _ { \rho } ( \xi ) \mathrm { d } \xi = } & { \int \frac { \gamma _ { \rho } ( x - \bar { x } - \xi ) } { \gamma _ { \rho } ( \xi ) } \partial f ( \bar { x } + \xi ) \gamma _ { \rho } ( \xi ) \mathrm { d } \xi } \\ { = } & { \int \partial f ( \bar { x } + \xi ) \gamma _ { \rho } ( x - \bar { x } - \xi ) \mathrm { d } \xi = \nabla \widehat { f } _ { \rho } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ R ^ { \epsilon } ( \bar { \beta } ) } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } \in \mathcal { M } _ { + } ^ { 1 } ( B _ { p } ) } \hat { \rho } \Big [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) \Big ] + \frac { 2 } { \sqrt { l } } \frac { 2 + 3 C } { C } + \frac { 2 } { \sqrt { l } } K L ( \hat { \rho } | | \pi _ { p } ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 2 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) = } & { \chi _ { x } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x , t ) } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } H ( x - x _ { k } ) \left( \chi _ { [ 2 x _ { k } - x , x ] } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x , t - x _ { k } ) + \chi _ { x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { k } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { k } } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x , t ) \right) } \\ & { + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \right) ^ { \ast } \left( \chi _ { x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { l } } ( x _ { j _ { l + 1 } } , t ) \right) } \\ & { \qquad \ast \Big ( \chi _ { x - ( x _ { j _ { | J | } } - x _ { j _ { 1 } } ) } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t - x _ { j _ { 1 } } ) + \chi _ { x _ { j _ { 1 } } } ( t ) \widetilde { K } ^ { h } ( x _ { j _ { 1 } } , t ) \ast \chi _ { x - x _ { j _ { | J | } } } ( t ) \widetilde { K } _ { j _ { | J | } } ( x , t ) \Big ) , } \end{array}
( \mathsf { A } \mathsf { A } ^ { * } ) ^ { 2 } = \mathsf { A } \mathsf { A } ^ { * } \mathsf { A } \mathsf { A } ^ { * } = \sum _ { i \geqslant 0 } \lambda _ { i } ( \mathsf { A } \psi _ { i } ) \otimes ( \mathsf { A } \psi _ { i } ) = \sum _ { i \geqslant 0 } \lambda _ { i } ^ { 2 } ( \mathsf { A } \frac { \psi _ { i } } { \sqrt { \lambda _ { i } } } ) \otimes ( \mathsf { A } \frac { \psi _ { i } } { \sqrt { \lambda _ { i } } } ) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { y } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) = J _ { y } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) + e _ { y } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ^ { * } p = 0 , } & { \qquad \qquad \mathrm { ~ i n ~ } Y ^ { * } , } \\ { \mathcal { L } _ { u } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) = J _ { u } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) + e _ { u } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ^ { * } p = 0 , } & { \qquad \qquad \mathrm { ~ i n ~ } U ^ { * } , } \\ { \mathcal { L } _ { p } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) = e ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) = 0 , } & { \qquad \qquad \mathrm { ~ i n ~ } Q . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 8 0 { \sqrt { 1 5 } } ( 5 ^ { 4 } + 5 3 { \sqrt { 8 9 } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 3 3 0 8 ( 5 ^ { 4 } + 5 3 { \sqrt { 8 9 } } ) - 3 { \sqrt { 8 9 } } }
\left. T _ { \pi ^ { 0 } } ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } ) \right| _ { Q ^ { 2 } \rightarrow \infty } = J \left( \omega \right) \frac { f _ { \pi } } { Q ^ { 2 } } + O ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } ) + O ( \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } ) ,
\sigma = \left[ \begin{array} { c c } { \sigma _ { B } } & { \zeta _ { B R } } \\ { \zeta _ { R B } } & { \sigma _ { R } } \end{array} \right] , \; \; \Phi = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { \phi ^ { B R } } \\ { \phi ^ { R B } } & { 0 } \end{array} \right] , \; \; { \cal K } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathcal { B } } & { \mathcal { A } ^ { B R } } \\ { \mathcal { A } ^ { R B } } & { \mathcal { R } } \end{array} \right] .
C _ { q } ( x _ { + } ) = T _ { H } \left( \frac { \partial S } { \partial T _ { H } } \right) _ { q } = \frac { \partial M ( x _ { + } ) } { \partial T _ { H } ( x _ { + } ) } = \frac { \partial M ( x _ { + } ) / \partial x _ { + } } { \partial T _ { H } ( x _ { + } ) / \partial x _ { + } } ,
| \mathrm { { I m } } ( \delta _ { 1 } ^ { * } \delta _ { 2 } ) | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left( \xi ^ { 2 } - ( | \delta _ { 1 } | - | \delta _ { 2 } | ) ^ { 2 } \right) \left( ( | \delta _ { 1 } | + | \delta _ { 2 } | ) ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { | k _ { 2 } | ^ { s - 2 \alpha + 1 } } { | h | ^ { s + 1 } | \tilde { m } | ^ { s + 1 } } } & { \sim \frac { | h _ { 2 } | ^ { s - 2 \alpha + 1 } } { ( | h _ { 1 } | ^ { 2 } + | h _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } ( | h _ { 1 } | ^ { 2 } + | m _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { q + 1 - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } { m - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } } { \binom { q + 1 } { m } } } & { = \prod _ { j = 0 } ^ { ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) - 1 } \frac { m - j } { q + 1 - j } \geq \bigg ( \frac { m - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) + 1 } { q + 1 - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) + 1 } \bigg ) ^ { ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } } \\ & { = \bigg ( 1 - \frac { q + 1 - m } { q + 2 - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } \bigg ) ^ { ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } } \\ & { \geq 1 - \frac { q - 1 } { p ^ { t } - 1 } \cdot \frac { q + 1 - m } { q + 2 - ( q - 1 ) / ( p ^ { t } - 1 ) } , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { 0 } } { \mathrm { ~ d ~ } t ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \cos \theta - f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \left( \, \, \, \, f _ { x } \cos { \left( \Omega t \right) } \sin \theta - f _ { y } \sin { \left( \Omega t \right) } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { \theta } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { i } { p ^ { 2 } } + \frac { i } { p ^ { 2 } } \Bigg [ \frac { 3 i g ^ { 2 } \Omega \Lambda } { 2 \pi ^ { 3 } } \Bigg ] \frac { i } { p ^ { 2 } } + \frac { i } { p ^ { 2 } } A \frac { i } { p ^ { 2 } } \; \; \equiv \; \mathrm { f i n i t e } } \\ { \implies } & { \frac { i } { p ^ { 2 } } \Bigg \{ 1 + \frac { i } { p ^ { 2 } } \Bigg [ \frac { 3 i g ^ { 2 } \Omega \Lambda } { 2 \pi ^ { 3 } } + A \Bigg ] \Bigg \} \qquad \equiv \; \mathrm { f i n i t e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { d a t a } ( \theta ) = } & { { } \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z , u ) } [ \frac { | { u } ( t , x , y , z ; \theta ) - { u } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) + \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \left( \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } d u d v - \frac { 1 } { 2 } d v d u + \left( \frac { 1 } { 4 } \, u ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, u v + \frac { 1 } { 4 } \, v ^ { 2 } \right) d \theta ^ { 2 } } \\ { + \left( \frac { 1 } { 4 } \, u ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, u v \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \, v ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } \right) d \phi ^ { 2 } } \\ { + \left( - \frac { 1 } { 4 } \, k u ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, k u v - \frac { 1 } { 4 } \, k v ^ { 2 } + 1 \right) d \chi ^ { 2 } } \end{array}
{ \hat { T } } _ { \mathbf { R } _ { 1 } } { \hat { T } } _ { \mathbf { R } _ { 2 } } = { \hat { T } } _ { \mathbf { R } _ { 2 } } { \hat { T } } _ { \mathbf { R } _ { 1 } } = { \hat { T } } _ { \mathbf { R _ { 1 } + R _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathfrak { S } } } _ { 0 } \Psi ^ { ( 3 ) } } & { = \exp \Big ( e ^ { - \frac { A } { \alpha } } \Delta _ { A } \Big ) \Psi ^ { ( 3 ) } } \\ & { = \Big [ 1 + e ^ { - \frac { A } { \alpha } } \Delta _ { A } + \frac { 1 } { 2 ! } \Big ( e ^ { - \frac { A } { \alpha } } \Delta _ { A } \Big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 ! } \Big ( e ^ { - \frac { A } { \alpha } } \Delta _ { A } \Big ) ^ { 3 } + \ldots \Big ] \Psi ^ { ( 3 ) } } \\ & { = \Psi ^ { ( 3 ) } + 4 S _ { 1 } e ^ { - \frac { A } { \alpha } } \Psi ^ { ( 4 ) } + \frac { 2 0 } { 2 ! } S _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { A } { \alpha } } \Psi ^ { ( 5 ) } + \frac { 1 2 0 } { 3 ! } S _ { 1 } ^ { 3 } e ^ { - 3 \frac { A } { \alpha } } \Psi ^ { ( 6 ) } + \ldots } \end{array}
F _ { i } ( S ^ { * } ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } ) = \sum _ { i \in { S _ { i } ^ { * } } } \sum _ { d = 1 } ^ { D _ { b } } b _ { d } \operatorname* { m a x } ( e _ { j d } - e _ { i d } , 0 ) .
\Pi _ { 1 } ( m _ { 0 } ) = \frac { \lambda } { 2 } ~ T \sum _ { n } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \omega _ { n } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } } = \frac { \lambda } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \omega _ { k } ( m _ { 0 } ) } \left[ n _ { B } ( \omega ) + \frac { 1 } { 2 } \right] ,
{ \cal L } = e \left( { \frac { 1 } { 2 } } R + g ^ { 2 } V - { \frac { 1 } { 4 } } G _ { I J } F _ { \mu \nu } { } ^ { I } F ^ { \mu \nu J } - { \frac { 1 } { 2 } } { \cal G } _ { i j } \partial _ { \mu } \phi ^ { i } \partial ^ { \mu } \phi ^ { j } + { \frac { e ^ { - 1 } } { 4 8 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma \lambda } C _ { I J K } F _ { \mu \nu } ^ { I } F _ { \rho \sigma } ^ { J } A _ { \lambda } ^ { K } \, \right) ,
\begin{array} { r l } { g ( 1 ) } & { = - \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( 1 + \frac { r + d } { 2 } ) } { \Gamma ( 2 ) \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } - \frac { ( 2 - r - d ) \Gamma ( 3 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { ( 4 - r ) \Gamma ( 2 ) \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } + \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { = - \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \frac { r + d } { 2 } \Gamma ( \frac { r + d } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } - \frac { ( 2 - r - d ) ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { ( 4 - r ) \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } + \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { = \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) \Gamma ( \frac { r + d } { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } \bigl ( - \frac { r + d + 2 - r - d } { 2 } + 1 \bigr ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } } & { { } = } & { - \frac { \kappa ( 4 \Lambda ) Z _ { i } ^ { 0 } / 2 + 2 \kappa \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf \hat { n } } \times { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } } \end{array}
x _ { N - 1 } = - { \frac { a } { 2 b } } { \sqrt { \left( { \frac { c } { b } } \right) ^ { N - 1 } } } _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { N + 1 } { 2 N } } , { \frac { N + 3 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { N - 2 } { N } } , { \frac { N - 1 } { N } } , { \frac { N + 1 } { N } } , { \frac { N + 2 } { N } } , \cdots , { \frac { 3 N - 3 } { 2 N } } , { \frac { 3 N - 1 } { 2 N } } ; } \\ { { \frac { N + 1 } { 2 N - 4 } } , { \frac { N + 3 } { 2 N - 4 } } , \cdots , { \frac { N - 4 } { N - 2 } } , { \frac { N - 3 } { N - 2 } } , { \frac { N - 1 } { N - 2 } } , { \frac { N } { N - 2 } } , \cdots , { \frac { 3 N - 5 } { 2 N - 4 } } , { \frac { 3 } { 2 } } ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] } - { \sqrt { \frac { c } { b } } } i _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 N } } , { \frac { 3 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { N - 4 } { 2 N } } , { \frac { N - 2 } { 2 N } } , { \frac { N + 2 } { 2 N } } , { \frac { N + 4 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { 2 N - 3 } { 2 N } } , { \frac { 2 N - 1 } { 2 N } } ; } \\ { { \frac { 3 } { 2 N - 4 } } , { \frac { 5 } { 2 N - 4 } } , \cdots , { \frac { 2 N - 3 } { 2 N - 4 } } ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] }
\int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 4 n - 3 } } { ( r + s ) ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } = \frac { \Gamma ( 4 n - 2 ) } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \bigg ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) \, ,
\mathbf { u } _ { t } = ( \mathbf { u } _ { t - 1 } + \mathbf { w } _ { t - 1 } ^ { w } - \mathbf { u } _ { t - 1 } \circ \mathbf { w } _ { t - 1 } ^ { w } ) \circ { \boldsymbol { \psi } } _ { t }
H _ { \mu \nu } ^ { f } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } Q ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } p _ { 1 \perp } \sum _ { T _ { 1 } , T _ { 2 } } [ q _ { T _ { 1 } } ^ { f } ( x _ { 1 } , { \bf p } _ { 1 \perp } ) { \overline { { q } } } _ { T _ { 2 } } ^ { f } ( x _ { 2 } , { \bf p } _ { 2 \perp } ) h _ { \mu \nu } ^ { \tilde { T } _ { 1 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; S ) + ( 1 \leftrightarrow 2 ) ] .
\mathfrak { L } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { \mathfrak { i } \in \mathcal { I } _ { n } ( m ) } c _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } ; u ) \prod _ { j = 0 } ^ { m } q _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u ) g _ { n , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u )
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { B } } & { = \frac { \tilde { \mathcal { F } } _ { B } - p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } } { ( p _ { \mathrm { T P } } - p _ { \mathrm { F P } } ) ^ { 2 } } } \\ & { \ge \frac { \tilde { \mathcal { F } } _ { B } - p _ { \mathrm { F P } } } { ( 1 - p _ { \mathrm { F P } } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \tilde { \mathcal { F } } _ { B } + ( 2 \tilde { \mathcal { F } } _ { B } - 1 ) p _ { \mathrm { F P } } + ( 3 \tilde { \mathcal { F } } _ { B } - 2 ) p _ { \mathrm { F P } } ^ { 2 } + O ( p _ { \mathrm { F P } } ^ { 3 } ) } \\ & { \ge \tilde { \mathcal { F } } _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } - ( - ) ^ { p } ( k _ { 0 } ^ { \phi } ) ^ { 2 } * \right) { * \xi } } & { { } = 0 , } \\ { \left( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } - ( - ) ^ { q } ( k _ { 0 } ^ { \phi } ) ^ { 2 } * \right) \psi } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { - n D ( \delta \| 1 - \hat { q } ) + \log m _ { n } - \frac { 1 } { 2 } \log ( 2 n ) \to - \infty } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { - n \left[ D ( \delta \| 1 - \hat { q } ) - \frac { 1 } { n } \log m _ { n } + \frac { \log ( 2 n ) } { 2 n } \right] \to - \infty } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { \left[ D ( \delta \| 1 - \hat { q } ) - \frac { 1 } { n } \log m _ { n } + \frac { \log ( 2 n ) } { 2 n } \right] \ge 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp [ { \frac { i } { \hbar } \mathbb { S } ^ { ( t , \tau ) } ( t , \tau ) } ] } \\ { = } & { \sum _ { m } e ^ { - i ( \Omega + 2 m \omega ) t } i ^ { m } J _ { m } [ \sqrt { \kappa } \Lambda ^ { 2 } \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar } \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \\ & { e ^ { i m ( \eta - \varphi ) } \exp \{ i [ \mathbb { S } ^ { ( \tau ) } ( \omega \tau ) + m ] \omega \tau \} , } \end{array}
, i . e . \ t h e a t t e n u a t i o n s a p p l i e d b y t h e P S F , t h a t d e t e r m i n e t h e c o n n e c t i o n f r o m t h e f i r s t R C l a y e r t o t h e s e c o n d o n e . I n t h e f i r s t , s i m p l e s t , a p p r o a c h , w e a p p l y t h e s a m e a t t e n u a t i o n t o a l l c o m b l i n e s , c o r r e s p o n d i n g t o
\begin{array} { r l } { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } } \right\rangle } & { = C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } , } \\ { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } } \right\rangle } & { = C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } - \frac { 1 } { 5 } C ^ { 2 } \left( C _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } + C _ { \beta } \delta _ { \alpha \gamma } + C _ { \gamma } \delta _ { \alpha \beta } \right) , } \\ { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } C _ { \lambda } } \right\rangle } & { = C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } C _ { \lambda } - \frac { C ^ { 4 } } { 1 5 } \left( \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \lambda } + \delta _ { \alpha \lambda } \delta _ { \beta \gamma } + \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \beta \lambda } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = - \infty } ^ { t = - t _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) - \mathrm { s g n } \left\{ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right\} \pi \right] _ { t = - t _ { 1 } } ^ { t = t _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) + \mathrm { s g n } \left\{ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right\} \pi \right] _ { t = t _ { 2 } } ^ { t = t _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = t _ { 1 } } ^ { t = + \infty } } \\ & { = - \mathrm { s g n } \left[ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right] . } \end{array}
{ \bf C } _ { 0 0 } ( \Delta x , \Delta z ) = { \bf C } _ { 0 0 } ^ { y } \exp \left[ - ( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { \lambda _ { x } ^ { 2 } } + \frac { \Delta z ^ { 2 } } { \lambda _ { z } ^ { 2 } } ) \right] \mathrm { ~ , ~ }
\big | e ^ { i { \ensuremath { \mathbb E } } [ X _ { 2 } Z ] } - 1 \big | { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \big | e ^ { Z - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z ^ { 2 } ] } { 2 } } \big | \right] \le e \sqrt { { \ensuremath { \mathbb E } } [ | Z | ^ { 2 } ] } e ^ { \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z _ { 2 } ^ { 2 } ] } { 2 } } \le e ^ { 3 / 2 } \sqrt { { \ensuremath { \mathbb E } } [ | Z | ^ { 2 } ] } .
\begin{array} { r l } { \left| { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , v , \theta ) } } \right| } & { { } = \left| \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial x } { \partial u } } \cos \theta } & { { \frac { \partial x } { \partial v } } \cos \theta } & { - x \sin \theta } \\ { { \frac { \partial x } { \partial u } } \sin \theta } & { { \frac { \partial x } { \partial v } } \sin \theta } & { x \cos \theta } \\ { { \frac { \partial z } { \partial u } } } & { { \frac { \partial z } { \partial v } } } & { 0 } \end{array} \right] } \right| } \end{array}
\psi ( x , y , z ) = \frac { N e } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } \sigma _ { y } \sigma _ { z } } \exp [ - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } ]
\begin{array} { r l } { \widetilde { \phi } _ { n , n + k } ( \omega \omega ^ { * } ) } & { = \widetilde { \phi } _ { n , n + k } ( x ) \widetilde { \phi } _ { n , n + k } ( \omega _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { * } ) \widetilde { \phi } _ { n , n + k } ( x ) ^ { * } } \\ & { = \Big ( \sum _ { g \in L } g ^ { * } \Big ) \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { t } v _ { i } \Big ) \Big ( \sum _ { h \in L } h \Big ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { t } \sum _ { \{ g , h \in L \mid r ( g ) = r ( h ) = v _ { i } \} } g ^ { * } h } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { t } \sum _ { \{ g \in L \mid r ( g ) = v _ { i } \} } s ( g ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { v , \lambda , \beta , \mathcal { C } } ( s ) } & { = \frac { 1 } { s } \big \{ D _ { 2 } ( s , l , \lambda , \beta ) - \mathcal { C } \mathcal { N } _ { 2 } ( l , \lambda ) \big \} } \\ & { = \frac { 1 } { s } \sum _ { t = 0 } ^ { s - 1 } \tau _ { 2 } ( v t , \lambda , \beta ) - \frac { \mathcal { C } } { s } \mathcal { N } _ { 2 } ( s v , \lambda ) , } \end{array}
{ \tilde { J } } _ { a } ^ { \mu } ( x ) = { \tilde { m } } _ { D } ^ { 2 } \int \frac { d \Omega _ { \bf { \hat { v } } } } { 4 \pi } \, v ^ { \mu } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \Phi _ { a b } ( x , x - v u ) \, { \bf v } \cdot { \bf B } ^ { b } ( x - v u ) \ , \,
\begin{array} { r l } & { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } | } \\ & { = \Big | \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \eta ^ { T } X ( 0 ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] \eta ^ { T } \bar { R } z ^ { s } \Big \} \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } \Big | } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } | \eta ^ { T } X ( 0 ) \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } | + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] } \\ & { \Big | \eta ^ { T } \frac { \bar { R } } { \lambda _ { 1 } } z ^ { s } \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } \Big | } \\ & { \le | \eta ^ { T } X ( 0 ) \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } | + \Big | \eta ^ { T } \frac { \bar { R } } { \lambda _ { 1 } } z ^ { s } \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } \Big | } \\ & { \le \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | ) \| z ^ { s } \| , } \\ & { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } | } \\ & { = \Big | \Big \{ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \xi ^ { T } X ( 0 ) + \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] \xi ^ { T } \bar { R } z ^ { s } \Big \} \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } \Big | } \\ & { \le ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 2 } | ) \| \tilde { \xi } \| \| z ^ { s } \| } \\ & { \le \tilde { l } _ { - } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 2 } | ) \| z ^ { s } \| . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mathbf { n } } ( x ) = \sum _ { k _ { 1 } = - n _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } \sum _ { k _ { 2 } = - n _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } \cdots \sum _ { k _ { m } = - n _ { m } } ^ { n _ { m } } e ^ { 2 \pi k \cdot x / L } , } \end{array}
\rho ^ { j } = \rho _ { 0 } ^ { j } ( T _ { 0 } ) + \rho _ { T } ^ { j } ( T ^ { j } - T _ { 0 } ) + \rho _ { \textrm { S o C } } ^ { j } \textrm { S o C } ^ { j } \quad j = \{ + , - \}
\mathrm { ( A 1 ) } _ { s } + \mathrm { ( A 2 ) } _ { s } = i g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \frac { ( 4 - 1 ) ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } ( M \! B ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + x ( 1 - x ) p ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } +