harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\cot { \frac { 1 1 \pi } { 6 0 } } = \cot 3 3 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left[ 2 - \left( 2 + { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 + { \sqrt { 5 } } \right) \right] \left[ 2 - { \sqrt { 2 \left( 5 - { \sqrt { 5 } } \right) } } \, \right]
\begin{array} { r l } { \left\| { \mathcal I } ^ { k , \alpha } [ p ] ( . , . ; t ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } \leq } & { D \| B \| _ { \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { t - s } } | p ( b , a ; s ) | { d b } d a d s } \\ { \leq } & { 2 ^ { ( d + 1 ) / 2 } D \| B \| _ { \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { \sqrt { t - s } } \operatorname* { s u p } _ { u \leq s } \| p ( . , . ; u ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { d + 1 } , d b d a ) } d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( \tilde { \theta } , \tilde { \phi } ) = \prod _ { j } e ^ { - i \frac { \tilde { \theta } } { 2 } ( \sigma _ { j } ^ { x } \cos \tilde { \phi } + \sigma _ { j } ^ { y } \sin \tilde { \phi } ) } , } \end{array}
2 \Re \{ \tilde { p } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \omega ) \} = \tilde { p } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \omega ) + \{ \tilde { p } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 } , \omega ) \} ^ { * }
g _ { \mathrm { ~ I ~ } , 1 } ( \theta , n ) = \left[ \kappa + ( - 1 ) ^ { n } + \frac { n } { 2 } \right] \cos \left( \frac { n } { 2 } \theta \right) - \frac { n } { 2 } \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 2 \right) \theta \right)
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 3 4 9 8 - 7 0 x ^ { 2 } \; , } \\ { f _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 7 2 4 8 - 2 7 0 x ^ { 2 } \; , } \\ { f _ { 3 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 1 6 8 0 - 3 6 x ^ { 2 } \; , } \\ { f _ { 4 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 5 5 4 8 + 6 5 6 4 x ^ { 2 } - 6 4 6 4 x ^ { 4 } \; , } \\ { f _ { 5 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 4 8 5 + 5 5 6 x ^ { 2 } - 5 5 3 x ^ { 4 } \; , } \\ { f _ { 6 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 4 + 3 0 x ^ { 2 } - 3 0 x ^ { 4 } \; , } \\ { f _ { 7 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 7 8 + 3 0 6 x ^ { 2 } - 3 1 0 x ^ { 4 } + 2 2 x ^ { 6 } \; . } \end{array}
\Gamma _ { \kappa } ^ { ( m + 1 , n ) } \Bigr ( \cdots , \underbrace { \omega _ { \ell } , p _ { \ell } = 0 } _ { \ell = \mathrm { v e l o c i t y \; i n d e x } } , \cdots \Bigr ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { m + n } \frac { p _ { i } } { \omega _ { \ell } } \Gamma _ { \kappa } ^ { ( m , n ) } \Bigr ( \cdots , \underbrace { \omega _ { i } + \omega _ { \ell } , p _ { i } } _ { i ^ { \mathrm { t h } } \mathrm { f i e l d } } , \cdots \Bigr ) \, .
\sum _ { \alpha = 1 } ^ { 4 } n ^ { \alpha } \, n ^ { \alpha } \, = \, 1 , \quad \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 4 } n ^ { \alpha } \, z ^ { \alpha } \, = \, 0 , \quad \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 4 } n ^ { \alpha } \, z _ { , i } ^ { \alpha } \, = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle u _ { 1 } \rangle _ { x _ { 1 } } ( x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } } \\ & { \qquad + \int _ { \Phi ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( x _ { 1 } \tilde { \psi } ( x , t ) ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } . } \end{array}
\int _ { n ^ { \frac { 1 } { 4 } + \epsilon } } ^ { n ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } ( x - 1 ) e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } d x \le \int _ { n ^ { \frac { 1 } { 4 } + \epsilon } } ^ { \infty } x e ^ { - ( 1 - \frac { k } { n } ) x } d x \le \int _ { n ^ { \frac { 1 } { 4 } + \epsilon } } ^ { \infty } x e ^ { - n ^ { - \frac { 1 } { 4 } } x } d x = \mathcal { O } \big ( n e ^ { - n ^ { \epsilon } } \big ) .
\begin{array} { r } { \alpha = \frac { \omega } { \sigma } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \tau _ { s } } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { V _ { s } } = \left( \frac { 4 } { 1 - 4 \rho } \right) ^ { 1 / 6 } \frac { 1 } { \nu ^ { 4 / 3 } } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta V } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l r l } { \nabla \cdot ( a \nabla \psi ) - b B ^ { \prime } ( \psi ) + c } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega ; } \\ { \psi } & { { } = \psi _ { D } } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } } & { } & { { } \partial \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \tau } \left( \varphi _ { n - 1 } - 2 \varphi _ { n } - \varphi _ { n + 1 } \right) } \\ { = - 2 i \sum _ { \alpha } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { \alpha } } { 2 } \right) \omega _ { \alpha } A _ { \alpha } e ^ { i ( k _ { \alpha } n - \omega _ { \alpha } \tau ) } + c . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } V _ { 1 , t } } & { = - \frac { 1 } \eta \left( I - V _ { 1 , t } V _ { 1 , t } ^ { T } \right) \nabla ^ { 2 } U ( X _ { t } ) V _ { 1 , t } \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { d } V _ { 2 , t } } & { = - \frac { 1 } \eta \left( I - V _ { 2 , t } V _ { 2 , t } ^ { T } - 2 V _ { 1 , t } V _ { 1 , t } ^ { T } \right) \nabla ^ { 2 } U ( X _ { t } ) V _ { 2 , t } \mathrm { d } t \, . } \end{array}
\leq \sum _ { a ^ { n } , b ^ { n } \in T _ { \delta } ^ { \mathbf { p } ^ { n } } , \ b ^ { n } \neq a ^ { n } } \operatorname* { P r } \left\{ E _ { a ^ { n } } \right\} \operatorname* { P r } _ { \mathcal { S } } \left\{ E _ { a ^ { n } } ^ { \dagger } E _ { b ^ { n } } \in N \left( { \mathcal { S } } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { Y _ { i } } & { = \varphi _ { 0 } ( h c _ { j } \mathbf { L } ) \mathbf { y } _ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } a _ { i j } ( h \mathbf { L } ) N ( c _ { j } , Y _ { j } ) , \quad i = 1 , \ldots , s , } \\ { \mathbf { y } _ { n + 1 } } & { = \varphi _ { 0 } ( h \mathbf { L } ) \mathbf { y } _ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } ( h \mathbf { L } ) N ( c _ { j } , Y _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) } & { { } \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace ^ { k ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { b } ^ { - } } & { t < 0 , ~ x \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \mathcal { D } } \\ { \rho _ { i , m } ^ { - } } & { t < 0 , ~ x \in D _ { i } ^ { m } } \\ { \rho _ { b } ^ { + } } & { t \geq 0 , ~ x \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \mathcal { D } } \\ { \rho _ { i , m } ^ { + } } & { t \geq 0 , ~ x \in D _ { i } ^ { m } } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa _ { b } ^ { - } } & { t < 0 , ~ x \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \mathcal { D } } \\ { \kappa _ { i , m } ^ { - } } & { t < 0 , ~ x \in D _ { i } ^ { m } } \\ { \kappa _ { b } ^ { + } } & { t \geq 0 , ~ x \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \mathcal { D } } \\ { \kappa _ { i , m } ^ { + } } & { t \geq 0 , ~ x \in D _ { i } ^ { m } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | L _ { 8 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 8 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } ) | } \\ & { \ + | j _ { 2 } | | m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } ) | } \\ & { \overset { , } { \le _ { \alpha } } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ( | j _ { 1 } | ^ { \alpha - 2 } + ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ) } \\ & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } , } \end{array}
E ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ 0 ~ } } = E ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ , ~ d ~ e ~ n ~ s ~ e ~ } } - E ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ , ~ c ~ o ~ a ~ r ~ s ~ e ~ } } + E ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ 0 ~ , ~ c ~ o ~ a ~ r ~ s ~ e ~ } } ,
\begin{array} { r l } { h ( t ) } & { = u ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( 2 \left( 1 - \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } - \frac { 3 a ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( 2 - u ^ { 2 } \right) + a ^ { 2 } \right) ( 1 - t ) } \\ & { + \frac { u ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } \left( \left( 1 - \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } - \frac { 3 a ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( 4 - 2 u ^ { 2 } - a ^ { 2 } u ^ { 2 } \right) + \frac { a ^ { 4 } u ^ { 2 } } { 2 } \right) t ( 1 - t ) } \\ & { + \frac { u ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \left( 1 - \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } - \frac { 3 a ^ { 2 } } { 2 } - \frac { a ^ { 4 } } { 8 } \right) \left( 8 - 4 a ^ { 2 } \right) \left( 2 - a ^ { 2 } - u ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 6 } \left( a ^ { 2 } + 3 u ^ { 2 } \right) \right) t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { d ^ { 2 } \psi ( r _ { * } ) } { d r _ { * } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { ~ { ~ \scriptsize ~ B ~ T ~ Z ~ } ~ } } ( r _ { * } ) \psi ( r _ { * } ) = \omega ^ { 2 } \psi ( r _ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon \frac { d } { d t } \left( ( \theta ^ { \prime } , \theta ) + \frac { \alpha } { 2 } \, \| \theta \| ^ { 2 } \right) + \epsilon \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \theta \| ^ { 2 } - \epsilon \, \| \theta ^ { \prime } \| ^ { 2 } \leq \frac { \epsilon } { \lambda } \left( \| \eta ^ { \prime \prime } \| ^ { 2 } + \alpha \| \eta ^ { \prime } \| ^ { 2 } \right) + \frac { \epsilon } { 2 } \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \theta \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m } - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m m m } - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ & { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ & { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
{ \varphi ^ { \prime } } _ { v } = - \varphi _ { v } + { \frac { 2 } { \beta } } \sin \left( { \frac { \varphi ^ { \prime } - \varphi } { 2 } } \right) { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \varphi = \varphi _ { 0 } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { x _ { k + 1 } - x _ { k } } { \sqrt { s } } } & { = \dot { X } ( t _ { k } ) + \frac { 1 } { 2 } \ddot { X } ( t _ { k } ) \sqrt { s } + o \left( \sqrt { s } \right) } \\ { \frac { x _ { k } - x _ { k - 1 } } { \sqrt { s } } } & { = \dot { X } ( t _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } \ddot { X } ( t _ { k } ) \sqrt { s } + o \left( \sqrt { s } \right) , } \end{array}
\psi ( \mathbf { R } , t ) = \int \psi ( \mathbf { R } ^ { 0 } , t = 0 ) G ( \mathbf { R } - \mathbf { R } ^ { 0 } , t ) d R _ { x } ^ { 0 } \, d R _ { y } ^ { 0 } \, d R _ { z } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r c r l } { { \Gamma _ { + } ^ { ( S ) } } } & { { = } } & { { \left( g ^ { \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \beta _ { 1 } } + g ^ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } p ^ { \alpha _ { 1 } } \right) } } & { { \left\{ \; c _ { 1 } \left( g ^ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } g ^ { \alpha _ { 3 } \beta _ { 3 } } \cdots g ^ { \alpha _ { j } \beta _ { j } } \right) \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { + c _ { 2 } \left( g ^ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } g ^ { \alpha _ { 3 } \beta _ { 3 } } \cdots g ^ { \alpha _ { j - 1 } \beta _ { j - 1 } } p ^ { \alpha _ { j } } p ^ { \beta _ { j } } \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { + \cdots } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \left. + c _ { j } \left( p ^ { \alpha _ { 2 } } p ^ { \alpha _ { 3 } } \cdots p ^ { \alpha _ { j } } p ^ { \beta _ { 2 } } p ^ { \beta _ { 3 } } \cdots p ^ { \beta _ { j } } \right) \right\} , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \bar { \mathbb { P } } ) } & { \leq \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \eta _ { 3 } \mathbb { P } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } _ { 1 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } _ { 2 } ) } \\ & { = \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \eta _ { 3 } \mathbb { P } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \rho _ { \hat { 1 } } ^ { 1 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \rho _ { 1 } ^ { 1 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \rho _ { \hat { 1 } } ^ { 2 } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ( t ) - u _ { \ell } ( t ) \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s - \varepsilon } } } & { = \left\| \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { Z } } \left| 2 ^ { j ( s - \varepsilon ) } \Delta _ { j } \left( \sum _ { k = \ell + 1 } ^ { \infty } \Delta _ { k } u ( t ) \right) \right| \right\| _ { { L } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - \ell \varepsilon } \left\| u \right\| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T _ { 1 } ] ; F _ { 1 , \infty } ^ { s } ) } \to 0 \quad \mathrm { a s ~ } \ell \to \infty , } \end{array}
H _ { o p } = \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \, h \, \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } )
\begin{array} { r } { M _ { w \cdot w _ { \ell } ^ { \underline { { j } } } \, s _ { i _ { \ell + 1 } } \omega _ { i _ { \ell + 1 } } } + M _ { w \cdot w _ { \ell } ^ { \underline { { j } } } \, \omega _ { i _ { \ell + 1 } } } = - \sum _ { j \neq i _ { \ell + 1 } } a _ { j , { i _ { \ell + 1 } } } M _ { w \cdot w _ { \ell + 1 } ^ { \underline { { j } } } \, \omega _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } \lambda ( \epsilon ^ { \prime } , \alpha ) } { \partial ^ { 2 } \alpha } = - \frac { \partial \log ( 1 + 2 \epsilon ^ { \prime } + 2 \alpha ) } { \partial \alpha } + \frac { \partial \log ( 1 - 2 \epsilon ^ { \prime } - 2 \alpha ) } { \partial \alpha } = - \frac { 2 } { \ln { 2 } } \big ( \frac { 1 } { 1 + 2 \epsilon ^ { \prime } + 2 \alpha } + \frac { 1 } { 1 - 2 \epsilon ^ { \prime } - 2 \alpha } \big ) < 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { a f ( x + h ) - a f ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { a \left( f ( x + h ) - f ( x ) \right) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } a { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \psi _ { 4 } } & { = ( R _ { i j k l } + 2 K _ { i [ k } K _ { l ] j } ) n ^ { i } \bar { m } ^ { j } n ^ { k } \bar { m } ^ { l } } \\ & { \; \; \; - 8 ( K _ { j [ k , l ] } + \Gamma _ { j [ k } ^ { p } K _ { l ] p } ) n ^ { [ 0 } \bar { m } ^ { j ] } n ^ { k } \bar { m } ^ { l } } \\ & { \; \; \; + 4 ( R _ { j l } - K _ { j p } K _ { l } ^ { p } + K K _ { j l } ) n ^ { [ 0 } \bar { m } ^ { j ] } n ^ { [ 0 } \bar { m } ^ { l ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) \sum _ { k \ge 0 } F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) \sum _ { k \ge 0 } F _ { \mu } ( \underbrace { e \rightarrow b ^ { - 1 } S _ { e x i t } \rightarrow \dots \nrightarrow b ^ { - 1 } S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) ( 1 - \nu ( C ( b ^ { - 1 } h _ { 1 } \dots h _ { l - 1 } ) ) ) , } \end{array}
E _ { c l } = \left< \left( \frac { 1 } { N _ { c l } } \sum _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } - \bar { \mathbf { x } } _ { c l } \mid ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right> _ { \Delta T } ,
\begin{array} { r c l } { { \hat { R } ^ { \hat { \mu } \hat { \nu } } } } & { { = } } & { { \hat { \Lambda } \hat { g } ^ { \hat { \mu } \hat { \nu } } - \hat { \chi } \left[ g ^ { \rho \sigma } \delta _ { \rho } { } ^ { \hat { \mu } } \delta _ { \sigma } { } ^ { \hat { \nu } } - { \textstyle \frac { 1 } { \hat { d } - 2 } } \hat { g } ^ { \hat { \mu } \hat { \nu } } ( \hat { g } ^ { \rho \sigma } \hat { g } _ { \rho \sigma } ) \right] \sum _ { n } T _ { n } \delta ( y - y _ { n } ) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { R ^ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { \Lambda g ^ { \mu \nu } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { t } } & { = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \eta _ { j } ( s ) - \eta _ { j + 1 } ( s ) ) ^ { 2 } \big ( \nabla ^ { n , 1 } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } \big ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + \frac { ( \mathfrak { u } _ { n } ) ^ { 2 } \theta ( n ) } { 2 n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \zeta _ { j } ( s ) - \zeta _ { j + 1 } ( s ) ) ^ { 2 } \big ( \nabla ^ { n , 1 } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } \big ) ^ { 2 } d s } \\ & { \quad + \frac { \mathfrak { u } _ { n } \theta ( n ) } { n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \eta _ { j } ( s ) - \eta _ { j + 1 } ( s ) ) ( \zeta _ { j } ( s ) - \zeta _ { j + 1 } ( s ) ) ( \nabla ^ { n , 1 } T _ { v _ { n } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ G _ { \rho } ( D ) , ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] } & { \; = \; [ G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) , ( - H ^ { s } ) ] \oplus [ G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) , ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] } \\ & { \; = \; [ H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) ] \oplus [ H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) ] ^ { * } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = 0 . 4 2 7 4 8 \, { \frac { R ^ { 2 } { T _ { \mathrm { c } } } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { p _ { \mathrm { c } } } } } \\ { b } & { { } = 0 . 0 8 6 6 4 \, { \frac { R T _ { \mathrm { c } } } { p _ { \mathrm { c } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ A , B \right] _ { 0 } } & { { } = B } \\ { \left[ A , B \right] _ { 1 } } & { { } = [ A , B ] } \\ { \left[ A , B \right] _ { 2 } } & { { } = [ A , [ A , B ] ] } \\ { \left[ A , B \right] _ { 3 } } & { { } = [ A , [ A , [ A , B ] ] ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ( \omega ) - z _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Phi _ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Phi _ { 1 } ( \omega - \Omega ) + \Phi _ { 0 } ) \right] + i \frac { | \log \mathcal { A } | } { 2 } - z _ { k } } \\ & { = \frac { \Phi _ { 2 } } { 2 } ( \omega - \omega _ { k } ^ { + } ) ( \omega - \omega _ { k } ^ { - } ) . } \end{array}
\mu _ { n } = \frac { \int _ { S _ { n } } \mu d S } { \int _ { S _ { n } } d S } , \; \; \; \; \; \nu _ { n } = \frac { \int _ { S _ { n } } \nu d S } { \int _ { S _ { n } } d S } , \; \; \; \; \; \xi _ { n } = \frac { \int _ { S _ { n } } \xi d S } { \int _ { S _ { n } } d S } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal H } } & { = } & { \{ v \in { \cal P } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) : } \\ & { } & { \quad v ( d x _ { 0 } , d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } , d u _ { 0 } ) } \\ & { } & { \quad \quad = v ( d x _ { 0 } , d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } ) v ( d u _ { 0 } | d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u _ { ( - \infty , - 1 ] } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { \perp } \right| ^ { 2 } } & { { } = \left( - \left[ \mathbf { \hat { k } } \right] ^ { 2 } \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \cdot \left( - \left[ \mathbf { \hat { k } } \right] ^ { 2 } \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal R ( \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { k } ) \geq \frac { \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( n ) } \alpha _ { k } ^ { ( n ) } } } { p _ { k } ^ { ( n ) } } + \frac { \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( n ) } } } { 2 p _ { k } ^ { ( n ) } \sqrt { \alpha _ { k } ^ { ( n ) } } } ( \alpha _ { k } - \alpha _ { k } ^ { ( n ) } ) } \\ & { + \frac { \sqrt { \alpha _ { k } ^ { ( n ) } } } { 2 p _ { k } ^ { ( n ) } \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( n ) } } } ( \gamma _ { k } - \gamma _ { k } ^ { ( n ) } ) - \frac { \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( n ) } \alpha _ { k } ^ { ( n ) } } } { ( p _ { k } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } ( p _ { k } - p _ { k } ^ { ( n ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { f } = \frac { \partial f } { \partial q _ { a b } } \widehat { q } _ { a b } + \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } q _ { a b } } \left( \nabla _ { c } \widehat { q } _ { a b } - d _ { d c } \nabla _ { d } q _ { a b } + 2 \epsilon _ { a d } q _ { d b } \zeta _ { c } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \textbf { L } , \textbf { M } } | | [ \textbf { q } _ { 2 } , \dots , \textbf { q } _ { N } ] - \textbf { L } \cdot \textbf { M } \cdot \textbf { L } ^ { T } \cdot [ \textbf { q } _ { 1 } , \dots , \textbf { q } _ { N - 1 } ] | | ^ { 2 } , } \\ { \textbf { L } \in \mathbb { R } ^ { m \times r } , \ \textbf { M } \in \mathbb { R } ^ { r \times r } , \ \textbf { L } \cdot \textbf { L } ^ { T } = \textbf { I } . } \end{array}
E _ { 1 } \! = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { x = 1 } ^ { L } { ( \textbf Y _ { x , t } ^ { \prime } \! - \! \textbf Y _ { x , t } ) ^ { 2 } } \! + \! \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { x = 1 } ^ { L } { | \textbf Y _ { x , t } ^ { \prime } \! - \! \textbf Y _ { x , t } | } ,
4 \pi r { \mathcal E } _ { \theta } ^ { g } ( { \bf r } ; \tau ) = \eta \frac { d } { d \tau ^ { \prime } } \left[ h _ { e } ^ { R x } ( { \bf r } ; \tau ^ { \prime } ) \circledast i _ { g } ( \tau ^ { \prime } ) \right] _ { \tau ^ { \prime } = \tau - R } ,
\left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| - \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| = \operatorname* { d e t } ( C ( 1 i n , \overline { { p } } ) ) - \operatorname* { d e t } ( C ( 1 ( i - 1 ) n , \overline { { p } } ) ) ,