harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { \mu } _ { 0 } \; = \; - \, \mu _ { 0 } \, { \bf v } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \ln B - \frac { m v _ { \| } } { B } \; { \bf v } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \widehat { { \sf b } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf v } _ { \bot } \; \neq \; 0
\prod _ { \alpha = 1 } ^ { n } { \mathbf Z } _ { | a _ { \alpha } | } = { \mathbf Z } _ { k _ { 2 } - k _ { 1 } } \times \cdots \times { \mathbf Z } _ { k _ { n - 1 } - k _ { n } } \times { \mathbf Z } _ { k _ { n } } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { G } } } & { : = \exp \left( \sum _ { i } g _ { i } ^ { \mathrm { G } } \hat { n } _ { i { \uparrow } } \hat { n } _ { i { \downarrow } } \right) , } \\ { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { c } } } } & { : = \exp \left( \sum _ { i < j } g _ { i j } ^ { \mathrm { J _ { c } } } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } \right) , } \\ { \hat { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { J _ { s } } } } & { : = \exp \left( \sum _ { i < j } g _ { i j } ^ { \mathrm { J _ { s } } } \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { j } ^ { z } \right) } \end{array}
\mathbf p _ { i } ( t ) = ( \mathbf { I } - \hat { \mathbf { n } } \hat { \mathbf { n } } ) \cdot \frac { \mathbf { X } ^ { i } ( L ^ { i } , t ) - \mathbf { X } ^ { i } ( 0 , t ) } { L ^ { i } } , ~ ~ \mathrm { ~ g ~ i ~ v ~ i ~ n ~ g ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } ~ ~ | \mathbf { p } _ { i } | \leq 1 .
\mathbf { P } _ { 1 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 5 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { P } _ { 1 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 7 } \\ { 6 } & { 2 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { P } _ { 2 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 3 } \\ { 3 } & { 3 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { P } _ { 2 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } .
\mu _ { + } = z _ { + } e \psi + k _ { B } T \ln \left( { \frac { a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } } \right) + u _ { L J } ^ { + w }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } [ T _ { 3 } ] } & { = \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i < j } \sum _ { k < l } \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right] ^ { \top } \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ Z _ { j } ( O _ { t , l } ^ { ( j ) } ) \right] \ ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } \mathrm { ~ a n d ~ } O _ { t , l } ^ { ( j ) } \mathrm { ~ a r e ~ i n d e p e n d e n t } ) } \\ & { \le \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i < j } \sum _ { k < l } L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K + k + l } \ \mathrm { ~ ( L e m m a ~ ) ~ } } \\ & { \le 2 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { \prod _ { j \neq i } ^ { m - 1 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ( x _ { m } - x _ { i } ) } - \frac { 1 } { \prod _ { j \neq m } ^ { m } ( x _ { m } - x _ { j } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { { } = \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { n } = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \\ { \hat { w } ^ { 0 \to 1 } = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { 1 } { n _ { \bf k } } + \frac { 1 } { n _ { 3 } } - \frac { 1 } { n _ { 1 } } - \frac { 1 } { n _ { 2 } } \right] } & { \approx \partial _ { \omega } { n _ { \omega } } ^ { - 1 } ( \omega - \omega _ { 1 } ) - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 3 } ) } \\ & { = \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) ( \omega - \omega _ { 1 } ) } \\ & { = \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) ( { \bf k } - { \bf k } _ { 1 } ) \cdot ( { \bf k } + { \bf k } _ { 1 } ) } \\ & { \approx \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) ( - { \bf p } _ { 1 } ) \cdot 2 { \bf k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf q } = \left( \begin{array} { l } { { \bf q } _ { 1 } } \\ { { \bf q } _ { 2 } } \end{array} \right) , \quad { \bf d } = \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { 1 } } \\ { { \bf d } _ { 2 } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } _ { 1 1 } } & { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } _ { 1 2 } } \\ { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } _ { 2 1 } } & { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } _ { 2 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { j } ^ { n m } } & { = \int d x \; \cos ( k _ { c } x ) \phi _ { n } ( x - j a _ { L } ) \phi _ { m } ( x - j a _ { L } ) = \int d x \; \cos ( k _ { c } x + k _ { c } j a _ { L } ) \phi _ { n } ( x ) \phi _ { m } ( x ) } \\ & { = \cos ( j \varphi ) \int d x \; \cos ( k _ { c } x ) \phi _ { n } ( x ) \phi _ { m } ( x ) - \sin ( j \varphi ) \int d x \; \sin ( k _ { c } x ) \phi _ { n } ( x ) \phi _ { m } ( x ) } \\ & { = \cos ( j \varphi ) \, \mathrm { R e } \bigg [ ( i \eta ) ^ { s } e ^ { - \eta ^ { 2 } / 2 } \sqrt { \frac { n _ { < } ! } { n _ { > } ! } } L _ { n _ { < } } ^ { s } ( \eta ^ { 2 } ) \bigg ] - \sin ( j \varphi ) \, \mathrm { I m } \bigg [ ( i \eta ) ^ { s } e ^ { - \eta ^ { 2 } / 2 } \sqrt { \frac { n _ { < } ! } { n _ { > } ! } } L _ { n _ { < } } ^ { s } ( \eta ^ { 2 } ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { \small s p e c t r a l - d i f f } } & { { } = 1 - R ^ { 2 } \left( \log [ E ^ { D } ( k ) ] , \log [ E ^ { \theta } ( k ) ] \right) , } \\ { \texttt { \small s p e c t r a l - s g s - d i f f } } & { { } = 1 - R ^ { 2 } \left( \log [ \Pi ^ { D } ( k ) ] , \log [ \Pi ^ { \theta } ( k ) ] \right) , } \end{array}
| U _ { \mathrm { e } 1 } | = \cos \varphi \sqrt { 1 - | U _ { \mathrm { e } 3 } | ^ { 2 } } , ~ ~ | U _ { \mathrm { e } 2 } | = \sin \varphi \sqrt { 1 - | U _ { \mathrm { e } 3 } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { { } = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \xi } = \left( \begin{array} { c c c } { \cos ( \phi _ { 0 } ) } & { \sin ( \phi _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { - \sin ( \phi _ { 0 } ) } & { \cos ( \phi _ { 0 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i , j , k } ^ { ' } ( t ) = } & { { } 2 \pi \omega \Delta x _ { o } A _ { x } \cos ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { x y } \pi j \Delta y _ { o } } { L _ { y } } \sin \frac { n _ { x z } \pi k \Delta z _ { o } } { L _ { z } } , } \\ { y _ { i , j , k } ^ { ' } ( t ) = } & { { } 2 \pi \omega \Delta y _ { o } A _ { y } \cos ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { y x } \pi i \Delta x _ { o } } { L _ { x } } \sin \frac { n _ { y z } \pi k \Delta z _ { o } } { L _ { z } } , } \\ { z _ { i , j , k } ^ { ' } ( t ) = } & { { } 2 \pi \omega \Delta z _ { o } A _ { z } \cos ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { z x } \pi i \Delta x _ { o } } { L _ { x } } \sin \frac { n _ { z y } \pi j \Delta y _ { o } } { L _ { y } } , } \end{array}
\operatorname { e r f } ( x ) \approx 1 - ( a _ { 1 } t + a _ { 2 } t ^ { 2 } + a _ { 3 } t ^ { 3 } ) e ^ { - x ^ { 2 } } , \quad t = { \frac { 1 } { 1 + p x } } , \qquad x \geq 0
\left\{ \begin{array} { l l l } { { X _ { 1 } = \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { 2 \pi n _ { 1 } } } q _ { 1 } \otimes 1 _ { n _ { 2 } } , } } \\ { { X _ { 2 } = \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi n _ { 1 } } } p _ { 1 } \otimes 1 _ { n _ { 2 } } , } } \\ { { X _ { 3 } = 1 _ { n _ { 1 } } \otimes \frac { L _ { 3 } } { 2 \pi n _ { 2 } } q _ { 2 } , } } \\ { { X ^ { i } = X _ { 1 0 } = 0 , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; i > 3 , } } \end{array} \right.
S _ { p } ( k _ { m } ) = \operatorname* { l i m } _ { T ^ { ( m ) } \to \infty } \frac { \int _ { 0 } ^ { T ^ { ( m ) } } \mathcal { A } _ { m } ^ { p - 1 } [ u ] d \tau ^ { ( m ) } } { \int _ { 0 } ^ { T ^ { ( m ) } } \mathcal { A } _ { m } ^ { - 1 } [ u ] d \tau ^ { ( m ) } } = \frac { \langle \mathcal { A } _ { m } ^ { p - 1 } [ u ] \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } { \langle \mathcal { A } _ { m } ^ { - 1 } [ u ] \rangle _ { \tau ^ { ( m ) } } } ,
\langle \Delta \theta ^ { 2 } ( \tau ) \rangle = { \frac { \Gamma ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tilde { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t ^ { \prime } \, \hat { g } ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \, \mathrm { e } ^ { - \langle \Delta \theta ^ { 2 } ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \rangle }
\zeta _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \lambda ^ { 2 } + V _ { 1 } + V _ { 2 } \pm \sqrt { ( \lambda ^ { 2 } + V _ { 1 } + V _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 V _ { 1 } V _ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { t } ) ) ^ { 2 } \cap W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Omega ) ) ^ { 2 } , \quad p \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q , ( 0 ) } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { t } ) ) , } \\ { h } & { \in L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 3 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \cap W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } \end{array}
u _ { \rho _ { 0 } A } ^ { \delta } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \Gamma _ { + } ( z _ { c } - z _ { + } ) } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \bigg ( I _ { 1 A } ^ { \delta } - I _ { 2 A } ^ { \delta } \bigg )
N ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) | \mathbf { p } _ { 1 : i } , N ( \mathbf { p } _ { 1 : i } ) , \mathbf { p } _ { j } ^ { * } \sim \mathcal { N } ( \bar { N } ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) , N _ { \mathrm { s t d } } ( \mathbf { p } _ { j } ^ { * } ) ) ,
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { = - \frac { 1 } { n } d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } b _ { y } , } \\ { \partial _ { t } n } & { = d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } ^ { 2 } b _ { y } , } \\ { \mathrm { d } _ { t } u _ { y } } & { = \frac { 1 } { n } v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } b _ { y } , } \\ { \partial _ { t } b _ { y } } & { = v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } u _ { y } - d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { n } c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } n \right) } \\ & { \quad - d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } \mathrm { d } _ { t } u _ { x } + d _ { e } ^ { 2 } \partial _ { x } \mathrm { d } _ { t } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } + \eta \partial _ { x } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } . } \end{array}
\frac { 1 } { k _ { \mathrm { B } } } \frac { d _ { \mathrm { i } } S } { d t } = \Omega \sum _ { \rho = 1 } ^ { r } \left( w _ { + \rho } - w _ { - \rho } \right) \ln \frac { w _ { + \rho } } { w _ { - \rho } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { S } \Psi } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \cot { \theta } \sin { \phi } \frac { \partial \Psi } { \partial \phi } - \cos { \phi } \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { M } } ( t ) } & { { } \equiv \sum _ { j _ { x } = 0 } ^ { N _ { v _ { x } } - 1 } \left| f ( v _ { j _ { x } } , t ) - f _ { \mathrm { M } } ( v _ { j _ { x } } ) \right| ^ { 2 } \Delta v _ { x } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { L } & { = 1 0 \log _ { 1 0 } { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { { \mathrm { d B } } } \\ & { = 1 0 \log _ { 1 0 } { \left( { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } } \right) } ^ { 2 } } & { { \mathrm { d B } } } \\ & { = 2 0 \log _ { 1 0 } { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } } } & { { \mathrm { d B } } } \\ & { = \ln { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } } } & { { \mathrm { N p } } . } \end{array} }
\frac { \mathrm { ~ d ~ } E _ { s } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = ( \bar { \mathbf { u } } , f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) ) _ { \Omega } - | | \mathcal { Q } \bar { \mathbf { U } } | | _ { 2 } ^ { 2 } ,
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { a } } & { c } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \mathbf { b } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \mathbf { a } } & { - c + \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { - \mathbf { b } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { L _ { X F } } & { = - \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \Bigg ( D \partial _ { t } S - D \left\langle \phi , i \sqrt { \mu } \partial _ { t } \phi - \hat { H } _ { e } \phi \right\rangle } \\ & { \qquad + \frac { \mu } { 2 } \| \nabla \sqrt { D } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } + \frac { D } { 2 } \| \nabla S \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } + \frac { D \mu } { 2 } \| \nabla \phi \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } + D g ^ { - 1 } ( \nabla S , \mathcal { A } _ { B } ) \Bigg ) \, \mathrm { d } r } \\ & { = \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \! \Big ( \big \langle \phi , i \sqrt { \mu } \partial _ { t } \phi - \widehat H _ { e } \phi \big \rangle - \partial _ { t } S } \\ & { \qquad - \frac { \mu } { 2 D } \| \nabla \sqrt { D } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \nabla S + \mathcal { A } _ { B } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \epsilon ( \phi ) \Big ) D \mathrm { d } r , } \end{array}
\left[ \mathcal { T } ^ { 0 0 } \right] ^ { * } = \overline { { \mathcal { T } ^ { 0 0 } } } , \quad \left[ \mathcal { T } ^ { 1 1 } \right] ^ { * } = \overline { { \mathcal { T } ^ { 1 1 } } } , \quad \left[ \mathcal { T } ^ { 0 1 } \right] ^ { * } = \overline { { \mathcal { T } ^ { 1 0 } } } , \quad \left[ \mathcal { T } ^ { 1 0 } \right] ^ { * } = \overline { { \mathcal { T } ^ { 0 1 } } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { j } s _ { i } ^ { \prime } x _ { \sigma ^ { \prime } ( i ) } ^ { \prime } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k } s _ { i } ^ { \prime } x _ { \sigma ^ { \prime } ( i ) } ^ { \prime } - \sum _ { i = 1 } ^ { k } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } + \sum _ { i = 1 } ^ { j } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } } \\ & { = - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { k } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } + \sum _ { i = 1 } ^ { j } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } } & { \| \nabla _ { g } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } = 2 \int _ { M } \nabla u ( t ) \nabla \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } = - 2 \int _ { M } \Delta _ { g } u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le - 2 \int _ { M } \mathrm { e } ^ { - 2 u _ { 1 } ( t ) } | \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { \bar { g } } + 2 \int _ { M } V ( t , x ) | u ( t ) | | \Delta u ( t ) | d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le - \kappa \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + 2 \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } \| u \| _ { L ^ { \alpha } ( M , \bar { g } ) } \| \Delta _ { g } u \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le - \kappa \| \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \kappa } \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { \alpha } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \kappa \| \Delta _ { g } u \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \kappa } \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { \alpha } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \le C \| V ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \| u \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \hat { \operatorname { E } } } \left[ \ln \left( { \frac { X } { 1 - X } } \right) \right] = \psi ( { \hat { \alpha } } ) - \psi ( { \hat { \beta } } ) = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln { \frac { X _ { i } } { 1 - X _ { i } } } = \ln { \hat { G } } _ { X } - \ln \left( { \hat { G } } _ { ( 1 - X ) } \right)
\begin{array} { r l } & { | Q _ { \mathsf { A } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, A , \, e n c } [ H _ { A } ] } \otimes | \xi _ { Q , \mathsf { A } , i } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, A } } \otimes | Q _ { \mathsf { B } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, B , \, e n c } [ H _ { B } ] } \otimes | \xi _ { Q , \mathsf { B } , j } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, B } } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { e n c } [ F ] } , } \\ & { | Q _ { \mathsf { A } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, A , \, e n c } [ H _ { A } ] } \otimes | \xi _ { Q , \mathsf { A } , i } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, A } } \otimes | \mathcal { E } _ { \mathsf { B } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, B , \, e n c } [ H _ { B } ] } \otimes | \xi _ { \mathcal { E } , \mathsf { B } , j } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, B } } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { e n c } [ F ] } , } \\ & { | \mathcal { E } _ { \mathsf { A } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, A , \, e n c } [ H _ { A } ] } \otimes | \xi _ { \mathcal { E } , \mathsf { A } , i } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, A } } \otimes | Q _ { \mathsf { B } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, B , \, e n c } [ H _ { B } ] } \otimes | \xi _ { Q , \mathsf { B } , j } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, B } } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { e n c } [ F ] } , } \\ & { | \mathcal { E } _ { \mathsf { A } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, A , \, e n c } [ H _ { A } ] } \otimes | \xi _ { \mathcal { E } , \mathsf { A } , i } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, A } } \otimes | \mathcal { E } _ { \mathsf { B } } \rangle _ { \mathsf { s i m \, B , \, e n c } [ H _ { B } ] } \otimes | \xi _ { \mathcal { E } , \mathsf { B } , j } \rangle _ { \mathsf { p h a s e \, B } } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle _ { \mathsf { e n c } [ F ] } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathbf { k } } ( t ) } & { = \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { \alpha _ { 1 } } } e A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { \alpha _ { 1 } } \partial k _ { \alpha _ { 2 } } } e ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( t ) + \hdots } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { n } } { n ! } \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) \hdots A _ { \alpha _ { n } } ( t ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { c ( 0 , { \bf k } ) = \frac { 2 \sigma \sqrt { \pi } } { L } \exp \big ( - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } ( { \bf k } - \bar { { \bf k } } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } { \bf k } \cdot \bar { { \bf r } } \big ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { { } = 0 , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Omega } \\ { { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { { } = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Omega } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { { } = ( u _ { w } ( \mathbf { x } ) , 0 ) , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Gamma _ { 1 } } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { { } = 0 , } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Gamma _ { 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle } & { = { \mathcal { T } } _ { 2 } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) } \\ & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 2 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \left[ { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , w _ { 2 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } / \hbar } & { = } & { \tilde { \omega } _ { w } \hat { a } ^ { \dag } \hat { a } + \tilde { \omega } _ { d } \hat { b } ^ { \dag } \hat { b } + \tilde { \omega } _ { c } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + g _ { d } ( \hat { a } ^ { \dag } \hat { b } + \hat { a } \hat { b } ^ { \dag } ) + } \\ & { \quad } & { g ( \hat { a } ^ { \dag } \hat { c } + \hat { a } \hat { c } ^ { \dag } ) + g _ { c } ( \hat { b } ^ { \dag } \hat { c } + \hat { b } \hat { c } ^ { \dag } ) + } \\ & { \quad } & { [ i \sqrt { \kappa } ( A _ { p } e ^ { - i \omega _ { p } t } + A _ { d } e ^ { - i \omega _ { d } t } ) \hat { c } ^ { \dag } + \mathrm { H . C . ] , } } \end{array}
\partial _ { \mu } \left( f ^ { 2 } j ^ { \mu } \right) = 0 \ \ \mathrm { o r } \ \, p a r t i a l _ { \tau } \left( f ^ { 2 } j ^ { 0 } \right) + \vec { \partial } \cdot \left( f ^ { 2 } \vec { j } \right) = 0 .
E = \int _ { \mathbf { R } _ { i } } ^ { \mathbf { R } _ { f } } \left( - \frac { G M m } { r ^ { 2 } } \right) \mathbf { \hat { r } } \cdot d \mathbf { r } = - G M m \int _ { R _ { i } } ^ { R _ { f } } \frac { d r } { r ^ { 2 } } = G M m \left( \left. \frac { 1 } { r } \right| _ { R _ { i } } ^ { R _ { f } } \right) = G M m \left( \frac { 1 } { R _ { f } } - \frac { 1 } { R _ { i } } \right)
\Gamma _ { s } ( \Delta ) = \frac { 2 \pi } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \Omega \left( \alpha ^ { 2 } ( \Omega ) F ( \Omega ) \sqrt { \frac { \Omega } { \Omega + 2 \Delta } } ( 1 - f ( \Delta + \Omega ) ) ( 1 - f ( \Delta ) ) n ( \Omega ) \right) ,
\delta g _ { m n } = - 4 i E _ { \{ m } ^ { \alpha } ( \Gamma _ { n \} } ) _ { \alpha \beta } i _ { \kappa } E ^ { \beta } , \qquad \delta \hat { H } ^ { ( 3 ) } = - i _ { \kappa } d A ^ { ( 3 ) } , \qquad \delta _ { \kappa } a ( y ) = 0 ,
Q ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , Q ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { j } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { j ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , Q ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { j ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { j } } & { { 0 } } \end{array} \right)