harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ^ { n } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( n ) } } \\ { = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n } } { n ! } [ \stackrel { n \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \sum _ { p } \frac { 1 } { \omega ^ { p } } \hat { K } ^ { ( p ) } , [ \sum _ { q } \frac { 1 } { \omega ^ { q } } \hat { K } ^ { ( q ) } , . . . , \sum _ { r } \frac { 1 } { \omega ^ { r } } \hat { K } ^ { ( r ) } , [ \sum _ { s } \frac { 1 } { \omega ^ { s } } \hat { K } ^ { ( s ) } } , } \left( \hat { H } _ { 0 } + \sum _ { m \neq 0 } \hat { V } _ { m } e ^ { i m \omega t } \right) ] ] ] } \\ { + } & { { } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n + 1 } } { n ! } [ \stackrel { ( n - 1 ) \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \sum _ { p } \frac { 1 } { \omega ^ { p } } \hat { K } ^ { ( p ) } , [ \sum _ { q } \frac { 1 } { \omega ^ { q } } \hat { K } ^ { ( q ) } , . . . , \sum _ { r } \frac { 1 } { \omega ^ { r } } \hat { K } ^ { ( r ) } , [ \sum _ { s } \frac { 1 } { \omega ^ { s } } \hat { K } ^ { ( s ) } } , } \partial _ { t } \sum _ { m } \frac { 1 } { \omega ^ { m } } \hat { K } ^ { ( m ) } ] ] ] . } \end{array}
\bar { \Phi } = 2 \sqrt 2 r , ~ ~ ~ \bar { F } _ { t r } = Q e ^ { - 2 \sqrt 2 r } , ~ ~ ~ \bar { T } = 0 , { } ~ ~ ~ \bar { G } _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { { - f } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { f ^ { - 1 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { M } | } & { \overline { { \nabla } } \gamma | ^ { 2 } e ^ { - f } d V _ { g } } \\ & { = \int _ { M } ( \nabla _ { m } \gamma _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } H _ { m j k } \gamma _ { i k } + \frac { 1 } { 2 } H _ { m i k } \gamma _ { k j } ) ( \nabla _ { m } \gamma _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } H _ { m j l } \gamma _ { i l } + \frac { 1 } { 2 } H _ { m i l } \gamma _ { l j } ) e ^ { - f } d V _ { g } } \\ & { = \int _ { M } \Big ( | \nabla \gamma | ^ { 2 } + \nabla _ { m } \gamma _ { i j } ( - H _ { m j k } \gamma _ { i k } + H _ { m i k } \gamma _ { k j } ) + \frac { 1 } { 4 } ( - H _ { m j k } \gamma _ { i k } + H _ { m i k } \gamma _ { k j } ) ( - H _ { m j l } \gamma _ { i l } + H _ { m i l } \gamma _ { l j } ) \Big ) e ^ { - f } d V _ { g } } \\ & { = \int _ { M } \Big ( - \triangle _ { f } \gamma _ { i j } + H _ { m j k } \nabla _ { m } \gamma _ { i k } - H _ { m i k } \nabla _ { m } \gamma _ { k j } + \frac { 1 } { 4 } ( H _ { j l } ^ { 2 } \gamma _ { i l } + H _ { i l } ^ { 2 } \gamma _ { l j } ) + \frac { 1 } { 2 } H _ { m k j } H _ { m l i } \gamma _ { l k } \Big ) \gamma _ { i j } e ^ { - f } d V _ { g } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { s c a t } } } ( \mathbf { r } ) } & { = E _ { 0 } \sum _ { n , m } c _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + d _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) , } \\ { \mathbf { E _ { \mathrm { i n c } } } ( \mathbf { r } ) } & { = E _ { 0 } \sum _ { n , m } e _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + f _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C O H Y _ { x y } ( \omega ) } & { { } = \frac { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { x } ( \omega , k ) A _ { y } ( \omega , k ) e ^ { i ( \Phi _ { x } ( \omega , k ) - \Phi _ { y } ( \omega , k ) ) } } { \sqrt { \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { x } ^ { 2 } ( \omega , k ) \right) \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { y } ^ { 2 } ( \omega , k ) \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbb P } ( X ^ { w } ( t ) > \gamma ) \leq \frac { e ^ { R } } { \gamma } { \mathbb E } ( \| w _ { 0 } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } \wedge \lambda ) + { \mathbb P } ( \| w _ { 0 } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } > \lambda ) + { \mathbb P } \Big ( C _ { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { T } ( 1 + a ^ { u } ( t ) + a ^ { v } ( t ) ) d t > R \Big ) . } \end{array}
f _ { \mathrm { s } } = 5 0 0 0 \, \mathrm { { H z } \gg f _ { \mathrm { o t } } = 1 / \ t a u _ { \mathrm { o t } } = \ k a p p a / \ g a m m a = 2 9 7 \, \mathrm { { H z } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { q _ { j } = \tau _ { j } e ^ { i \theta _ { j } } \frac { ( 1 + Z _ { j } e ^ { \xi _ { 1 } } ) } { 1 + e ^ { \xi _ { 1 } } } , ~ ~ j = 1 , 2 , ~ ~ \xi _ { 1 } = k _ { 1 } x + k _ { 2 } y - \Omega _ { 1 } z , } \\ & { } & { Z _ { 1 } = - \frac { i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 1 } k _ { 1 } - \beta l _ { 2 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } { - i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 1 } k _ { 1 } - \beta l _ { 2 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } , } \\ & { } & { Z _ { 2 } = - \frac { i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 3 } k _ { 1 } - \beta l _ { 4 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } { - i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 3 } k _ { 1 } - \beta l _ { 4 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
S ^ { \mathrm { e f f } } [ V _ { \mu } ( x ) ] = - \ln \int d \Psi ( x ) \, d \Psi ^ { \dagger } ( x ) \, \exp [ - \int d ^ { d } x \, L ( x ) ] = - \ln D e t ( - i \gamma ^ { \mu } \nabla _ { \mu } ) ,
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { I I } } } & { = \exp \left\{ \frac { \xi } { 2 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \left[ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) + F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \right] \right\} | \mathrm { v a c } \rangle } \end{array}
\left[ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } \right] = 2 \pi \alpha ^ { \prime } \left( \frac { - 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { 1 } } { 1 - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) ^ { \mu \nu } .
\sum _ { j = 0 } ^ { N - t _ { 1 } - 1 } q ^ { p _ { 1 } j } \frac { ( q ^ { N - t _ { 1 } - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { j } } { ( q ^ { N - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { j } } w ^ { - j } \times \sum _ { j = 0 } ^ { t _ { 2 } - 1 } ( - 1 ) ^ { j } q ^ { ( p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 ) j } q ^ { \binom { j } 2 } \frac { ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 } } { ( q ; q ) _ { j } ( q ; q ) _ { t _ { 2 } - 1 - j } } w ^ { - j } = \sum _ { j = 0 } ^ { N + t _ { 2 } - t _ { 1 } - 2 } \mathsf { d } _ { j } w ^ { - j } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { i n } \varphi ( 0 ) \, \mathrm { d } v - \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f \partial _ { t } \varphi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t } & { = \int _ { s } ^ { \infty } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } \varphi : A [ f ] f \right) + 2 \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f ] f \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t } \\ & { \qquad + \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { s } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } \varphi : A [ f _ { n } ] f _ { n } \right) + 2 \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f _ { n } ] f _ { n } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t . } \end{array}
v = \pm { \frac { \partial } { \partial x } } \ln \bigg [ { \frac { W _ { \tilde { C } \tilde { C } } ( \tilde { \theta } _ { 1 , 2 } \rightarrow \tilde { \theta } _ { 1 , 2 } + \pi / 2 ) } { W _ { \tilde { C } \tilde { C } } } } \bigg ] ~ .
K = \left( \begin{array} { l l l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 2 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
i d e n t i t y m a t r i x . W e i m p l i c i t l y a s s u m e d i n E q . ~ ( ) t h a t t h e d i m e n s i o n o f t h e f r a g m e n t i s s m a l l e r t h a n t h a t o f i t s e n v i r o n m e n t , { { \it i . e . } } ,
\begin{array} { r l } { m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) } & { = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( \theta ) ) ^ { - \frac { \alpha } 2 } ( 1 - e ^ { - \mathrm { i } j \theta } ) d \theta , } \\ { T _ { \alpha } } & { = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( \theta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } , } \\ { \lambda _ { \alpha } ( j ) } & { = j m _ { 1 , \alpha } ( j ) } \\ { m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) } & { = m _ { 4 , \alpha } ^ { \circ } ( j , - j , k , - k ) = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos x ) ^ { - 1 - \frac { \alpha } 2 } ( 2 - 2 \cos ( j x ) ) ( 2 - 2 \cos ( k x ) ) d x , } \\ { \kappa _ { j } } & { = - \frac { \pi } 2 \left( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) - \frac { T _ { \alpha } } 2 \right) . } \end{array}
\mathcal { P } _ { | { g , 0 \rangle } } = \frac { N _ { d b , c } ^ { | g , 0 \rangle } } { N _ { d b , c } ^ { | g , 0 \rangle } + N _ { b b , c } ^ { | g , 0 \rangle } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { P } _ { | { g , 1 \rangle } } = \frac { N _ { b b , c } ^ { | g , 1 \rangle } } { N _ { d b , c } ^ { | g , 1 \rangle } + N _ { b b , c } ^ { | g , 1 \rangle } } .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { ( n ) } ( z ) } & { \sim B _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 2 } - S _ { 1 } ) ^ { n + \alpha } } + \tilde { \sigma } _ { 1 } ( z , n ) C _ { 1 } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 3 } - S _ { 1 } ) ^ { n + \alpha } } , } \\ { A _ { 2 } ^ { ( n ) } ( z ) } & { \sim B _ { 2 a } ^ { ( 0 ) } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 3 } - S _ { 2 } ) ^ { n + \alpha } } + B _ { 2 b } ^ { ( 0 ) } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) ^ { n + \alpha } } , } \\ { A _ { 3 } ^ { ( n ) } ( z ) } & { \sim B _ { 3 } ^ { ( 0 ) } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 2 } - S _ { 3 } ) ^ { n + \alpha } } + \tilde { \sigma } _ { 3 } ( z , n ) C _ { 3 } ( z ) \frac { \Gamma ( n + \alpha ) } { ( S _ { 1 } - S _ { 3 } ) ^ { n + \alpha } } , } \end{array}
\rho _ { \pm } = \frac { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ( M \pm \sqrt { M ^ { 2 } - \left( 1 - \alpha ^ { 2 } \right) Q ^ { 2 } } ) } { \left( 1 \pm \alpha ^ { 2 } \right) } , \; \; \; a = \frac { 2 ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) J } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) \rho _ { + } + ( 1 - \alpha ^ { 2 } / 3 ) \rho _ { - } } .
\delta _ { \mathrm { \tiny ~ Q E D } } ^ { \mathrm { \tiny ~ V } } = \frac { 3 } { 4 } e _ { f } ^ { 2 } \frac { \alpha } { \pi } [ 1 + 1 2 X _ { f } + O ( X _ { f } ^ { 2 } ) ] + O ( \alpha ^ { 2 } ) + O ( \alpha \alpha _ { s } ) ,
\begin{array} { r l r } { \langle 4 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle } & { { } = } & { 2 \mu _ { a b } \bigg [ 2 V _ { a b } ^ { ( 1 ) } - R _ { a b } ^ { ( 1 ) } \bigg ] , } \\ { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { 3 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \left( 1 + \gamma _ { E } \right) \langle 4 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle + 2 \mu _ { a b } \bigg [ 2 \tilde { V } _ { a b } ^ { ( 1 ) } - \tilde { R } _ { a b } ^ { ( 1 ) } \bigg ] , } \\ { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { 4 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \mu _ { a b } \bigg [ - 2 { V } _ { a b } ^ { ( 2 ) } + { R } _ { a b } ^ { ( 2 ) } \pm \langle 1 2 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = { \mathscr F } = \{ f \in L ^ { 2 } ( I _ { 0 } , \mathfrak { m } ) : f \ll \mathbf { s } , d f / d \mathbf { s } \in L ^ { 2 } ( I , d \mathbf { s } ) , } \\ & { \qquad \qquad \qquad f ( j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \notin I _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } | \mathbf { s } ( j ) | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f , g ) = { \mathscr E } ( f , g ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I _ { 0 } } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } , \quad f , g \in { \mathscr F } , } \end{array}
{ \eta = 0 . 9 4 - 0 . 0 8 9 5 5 \left[ \frac { Q ( \mathrm { { g p m ) } } } { N ( \mathrm { { r p m } } ) } \left( \frac { 3 . 5 6 } { \epsilon ( \mu \mathrm { { m } } ) } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - 0 . 2 1 3 3 3 } - 0 . 2 9 \left[ \log \left( { \frac { 2 2 8 6 } { N _ { s } } } \right) \right] ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \left\{ \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle - \bigl [ \hat { B } , \, \hat { a } _ { \mu } \bigr ] \bigl [ \hat { A } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] \right\} } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \bigl \{ \delta _ { \mu \nu } - \left( - i \, \varphi _ { \mu } \right) \left( i \, \varphi _ { \nu } ^ { * } \right) \bigr \} } \\ & { = \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \bigl ( f _ { n } , f _ { n } \bigr ) \right] \bigl ( \delta _ { \mu \nu } - \varphi _ { \mu } \varphi _ { \nu } ^ { * } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( \eta , i , R _ { f } ) = \bar { h } ( \eta ) \left[ \left( \sum _ { k = 2 n , n \in \mathbb { N } } \frac { ( \alpha i R _ { f } ) ^ { k } } { k ! } \right) + \left( \sum _ { k = 2 n + 1 , n \in \mathbb { N } } \frac { ( \alpha i R _ { f } ) ^ { k } } { k ! } \right) \coth { \alpha \eta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } : = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \boldsymbol { A } _ { k } ^ { * } \boldsymbol { x } _ { t - k } ^ { * } + \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } } & { t = 1 , \dots , T } \\ { \boldsymbol { x } _ { t } } & { t = - K + 1 , \dots , 0 , } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { t \leq - K } \end{array} \right. } \end{array}
\overline { { { \overline { { A } } } } } _ { n } = - 1 + A _ { 1 } , \overline { { { \overline { { B } } } } } _ { n } = - 1 + B _ { 1 } , \overline { { { \overline { { C } } } } } _ { n } = - 1 - C _ { 1 }
\tan \left( \arg V _ { u s } - \varphi ^ { ( d ) } \right) = - 4 \, \frac { m _ { s } } { m _ { c } } = - 0 . 3 7 9 \; \; , \; \; \arg V _ { u s } = - 2 0 . 8 ^ { \circ } + \varphi ^ { ( d ) } \; .
\displaystyle { f ( e ^ { X } ) = \sum \lambda _ { i } ( \mathrm { A d } ( e ^ { X } ) e _ { i } , e _ { i } ) _ { \sigma } \geq ( \operatorname* { m i n } \lambda _ { i } ) \cdot \mathrm { T r } \, e ^ { \mathrm { a d } \, X } , }
{ \cal P } _ { m n } ^ { ( p ) } = \sum _ { a = 0 } \, \sum _ { r = 0 } ^ { p } \, \sum _ { i = 0 } ^ { r } \, \sum _ { L = 0 } ^ { p - r } \, \frac { ( a + 1 ) ^ { L + r - 1 } } { ( L + r - 1 ) ! } \, \frac { D _ { d } ( m - a - L - i , n - a - L - r + i ) } { ( m - a - ( L + i ) ) ! \, ( n - a - ( L + r - i ) ) ! } \, P _ { L + i , L + r - i } \, .
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { i , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { i , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial x _ { i } } r _ { 1 , i } } \mathrm { d } x _ { i } = g _ { 2 } r _ { 1 , i } \Big | _ { x _ { i } = x _ { i , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { i , \mathrm { m a x } } } - \int _ { x _ { i , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { i , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial r _ { 1 , i } } { \partial x _ { i } } g _ { 2 } } \mathrm { d } x _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { A _ { p } ^ { + \dag } = \cos \frac 1 2 \theta _ { p } + \sin \frac 1 2 \theta _ { p } a _ { p + \mu } ^ { ( 0 ) \dag } b _ { - p + \mu } ^ { ( 0 ) \dag } , } } \\ { { B _ { p } ^ { + \dag } = \cos \frac 1 2 \theta _ { p } + \sin \frac 1 2 \theta _ { p } a _ { p - \mu } ^ { ( 0 ) } a _ { p + \mu } ^ { ( 0 ) \dag } , } } \\ { { B _ { p } ^ { - \dag } = \sin \frac 1 2 \theta _ { p } + \cos \frac 1 2 \theta _ { p } a _ { p + \mu } ^ { ( 0 ) } a _ { p - \mu } ^ { ( 0 ) \dag } . } } \\ { { A _ { p } ^ { - \dag } = \sin \frac 1 2 \theta _ { p } + \cos \frac 1 2 \theta _ { p } b _ { - p - \mu } ^ { ( 0 ) \dag } a _ { p - \mu } ^ { ( 0 ) \dag } , } } \end{array}
\ell \, \neq \, 5 \quad \, S p D _ { 5 6 } \left( E ^ { { \vec { \alpha } } _ { \ell } } \right) = \left( \begin{array} { l l } { { A [ { { \vec { \alpha } } _ { \ell } } ] } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { - A ^ { T } [ { { \vec { \alpha } } _ { \ell } } ] } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi _ { a , k } } } \\ { \dot { \psi _ { b , k } } } \end{array} \right) } & { = E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a , k } } \\ { \psi _ { b , k } } \end{array} \right) } \\ & { - \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { t + t ^ { \prime } e ^ { - i k } } \\ { t + t ^ { \prime } e ^ { i k } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a , k } } \\ { \psi _ { b , k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { A \, = \, m \, ; \, B \, = \, 1 \, \, \mathrm { f o r \, \, T M - w a v e \, \, } a _ { n } } \\ { \ A \, = \, 1 \, ; \, B \, = \, m \, \, \mathrm { f o r \, \, T E - w a v e \, \, } b _ { n } } \end{array}
H _ { p } ( k ) = \left[ \begin{array} { l l } { \kappa ( e ^ { i k } - i ) } & { J } \\ { J } & { \kappa ( e ^ { - i k } - i ) } \end{array} \right] , \; \; \; \; \Pi = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
{ \cal L } = - \frac { M _ { i j } } { 2 } \bar { N ^ { c } } _ { i L } N _ { j R } - y _ { \alpha i } \left[ \bar { \nu } _ { \alpha L } \bar { \varphi } ^ { 0 } - \bar { l } _ { \alpha L } \varphi ^ { - } \right] N _ { i R } + H . c . .
{ \cal L } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } T r ( \partial _ { \mu } U \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) + \frac { 1 } { 3 2 e ^ { 2 } } T r [ U ^ { \dagger } \partial _ { \mu } U , U ^ { \dagger } \partial _ { \nu } U ] [ U ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } U , U ^ { \dagger } \partial ^ { \nu } U ] ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( - u _ { i - 2 } + 5 u _ { i - 1 } + 2 u _ { i } ) , } \\ { P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( 2 u _ { i - 1 } + 5 u _ { i } - u _ { i + 1 } ) , } \\ { P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( 1 1 u _ { i } - 7 u _ { i + 1 } + 2 u _ { i + 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } = } & { \: 2 ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( r - M ) ^ { - p } \Re ( L \underline { { L } } \psi \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) = ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( r - M ) ^ { - p } L ( | \underline { { L } } \psi | ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \: L ( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( r - M ) ^ { - p } | \underline { { L } } \psi | ^ { 2 } ) + \left[ \frac { p ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } { 2 } ( r - M ) ^ { 1 - p } + O ( ( r - M ) ^ { 2 - p } ) \right] | \underline { { L } } \psi | ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { d } { d \left( \nabla \mathbf { u } \right) } \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \mathbf { R } ^ { V } d A = \oint _ { A } n _ { m } u _ { m } \frac { \partial R _ { i j } ^ { V } } { \partial \left( \frac { \partial u _ { l } } { \partial x _ { k } } \right) } d A \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } = \oint _ { A } n _ { m } u _ { m } \zeta _ { i j k l } d A \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { j } \mathbf { e } _ { k } \mathbf { e } _ { l } .
{ \begin{array} { r l r l } { S _ { i } ( x _ { i } ) } & { = y _ { i } = S _ { i - 1 } ( x _ { i } ) , } & & { i = 1 , \ \ldots , \ n - 1 , } \\ { S _ { 0 } ( x _ { 0 } ) } & { = y _ { 0 } , } \\ { S _ { n - 1 } ( x _ { n } ) } & { = y _ { n } , } \\ { S _ { i } ^ { \prime } ( x _ { i } ) } & { = S _ { i - 1 } ^ { \prime } ( x _ { i } ) , } & & { i = 1 , \ \ldots , \ n - 1 , } \\ { S _ { i } ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) } & { = S _ { i - 1 } ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) , } & & { i = 1 , \ \ldots , \ n - 1 , } \\ { S _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( x _ { 0 } ) } & { = S _ { n - 1 } ^ { \prime \prime } ( x _ { n } ) = 0 . } \end{array} }
M _ { k } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { F \qquad \mathrm { i f } \ \mathbf { 1 } _ { T _ { F } - T _ { C } } \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 : \mathrm { S a f e ~ z o n e , ~ F ~ m o d e } } \\ { C \qquad \mathrm { i f } \ \mathbf { 1 } _ { T _ { C } - T _ { F } } \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 : \mathrm { S a f e ~ z o n e , ~ C ~ m o d e } } \\ { M _ { k - r } ^ { i } \ \mathrm { i f } \ \left[ \prod _ { s = 0 } ^ { r - 1 } \mathbf { 1 } _ { T _ { C } \cap T _ { F } } \left( ( \phi _ { k - s } ^ { i } , y _ { k - s } ^ { i } ) \right) \right] \times } \\ { \mathbf { 1 } _ { \bar { T } _ { C } \cup \bar { T } _ { F } } \left( ( \phi _ { k - r } ^ { i } , y _ { k - r } ^ { i } ) \right) = 1 , \ r > 0 : \mathrm { S e n s i t i v e ~ z o n e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { a _ { 1 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } A _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } A _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { b _ { 1 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } B _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } B _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { a _ { 2 } ( \omega ) \approx \sqrt { \gamma _ { 1 } } C _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \gamma _ { 2 } } C _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } , } \end{array}
\mathbf { E } \, \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } = E \, \mathbf { \hat { p } } \, \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } = E ( \cos \theta \, \mathbf { \hat { f } } + \sin \theta \, \mathbf { \hat { s } } ) \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } ,
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { = A ^ { n } - \Delta t \, \tilde { b } _ { 1 } \, \partial _ { x } ( A u ^ { ( 1 ) } ) - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { \tilde { b } } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \tilde { b } _ { 1 } \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { \tilde { b } } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) } \\ & { - \Delta t \, \tilde { b } _ { 1 } \, \frac { A ^ { ( 1 ) } } { \rho } \partial _ { x } p ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { \tilde { b } } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { \hat { A } } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { \hat { p } } } \\ { p ^ { n + 1 } } & { = p ^ { n } - \Delta t \, b _ { 1 } E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { b } } ^ { T } E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ & { - \frac { \Delta t \, b _ { 1 } } { \tau _ { r } } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) \right) - \frac { \Delta t \, \boldsymbol { \hat { b } } ^ { T } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { \hat { p } } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \right) , } \end{array}
\left\{ f , g \right\} = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } \frac { \partial g } { \partial q _ { i } } - \frac { \partial f } { \partial q _ { i } } \frac { \partial g } { \partial x _ { i } } \right) ,
{ \frac { \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } P _ { \beta } ^ { \omega } P _ { \gamma } ^ { \pi ^ { + } } P _ { \delta } ^ { \pi ^ { - } } P _ { \sigma } ^ { \omega } P _ { \rho } ^ { \omega } } { M _ { \omega } ^ { 2 } } } = 0
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } = } & { { } \sum _ { \vec { Q } \vec { k } \vec { k } ^ { \prime } } \sum _ { o _ { i } } V _ { P } ^ { \{ o _ { i } \} } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) } \end{array}