harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad + g ( x ^ { * } ) - g ( x ^ { t + 1 } ) + f ( x ^ { t } ) - f ( x ^ { t + 1 } ) + f ( x ^ { * } ) - f ( x ^ { t } ) } \\ & { = } & { \frac { - 1 } { 2 \gamma } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \Vert ^ { 2 } - ( F ( x ^ { t + 1 } ) - F ( x ^ { * } ) ) } \\ & { \leq } & { - ( F ( x ^ { t + 1 } ) - \operatorname* { i n f } F ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { n } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) = 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { n } ) < d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { m } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } m \neq n \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } m , n \in \{ 1 , . . . , 1 0 \} } \\ { n } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) = 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { n } ) < d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { m } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } m \neq n \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } m , n \in \{ 1 1 , . . . , 1 0 0 \} } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { A } w M o n _ { i } \left( \left( \frac 1 A , \ldots , \frac 1 A \right) , A \right) \right) = 1 } \\ & { \Leftrightarrow \quad \mathbb { P } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { A } w M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) \right) = 1 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \chi ( 0 ) \in \Delta _ { A - 1 } ^ { o } , \, N \in \mathbb { N } . } \end{array}
A ( \lambda ) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { i n } } N _ { \mathrm { o u t } } } \sum _ { { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } } \left| R \left( { \bf k } _ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega = \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \right| ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \mu _ { j } } { \mu _ { j } + B \lambda } } & { = 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \mu _ { j } } { \mu _ { j } + \delta ^ { 2 } } \leq 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { D ( \delta ) } 1 + \sum _ { j = D ( \delta ) + 1 } ^ { \infty } \frac { \mu _ { j } } { \delta ^ { 2 } } \lesssim D ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { M - \epsilon } & { \cdots } & { m + \delta } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { m ^ { \prime } + \epsilon } & { \cdots } & { M ^ { \prime } - \delta } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \end{array} \right] \, \, , } \end{array}
{ \it E } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ( { \bf r } , t ) = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) u _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ; { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { - i \omega t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } \cdot ( { \bf r } - { \bf r } _ { \mathrm { i n } } ) - i \omega t } , } & { z \leq 0 } \\ { \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } e ^ { i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r } - i { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } \cdot { \bf r } _ { \mathrm { i n } } - i \omega t } , } & { z > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } ( e ^ { \frac { 1 } { C \theta \varepsilon } t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \mathscr Y _ { - , 1 } ) \leq C ( \varepsilon e ^ { \frac { 1 } { C \theta \varepsilon } t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } + \frac { 1 } { \varepsilon \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } e ^ { ( \frac { 1 } { C \theta \varepsilon } - \theta ^ { 2 } ) t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } { \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 } ( t ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } \varepsilon } { \mathrm { d } z } } & { { } = } & { \frac { \mathrm { d } \varepsilon _ { c } } { \mathrm { d } z } + \frac { \mathrm { d } \varepsilon _ { o } } { \mathrm { d } z } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { p _ { t } ^ { \mathrm { { e } } } \leq C ^ { \mathrm { e } } z _ { t } ^ { \mathrm { { o s } } } + P ^ { \mathrm { s b } } ( 1 - z _ { t } ^ { \mathrm { { o s } } } ) } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { e } } \geq P ^ { \mathrm { { m i n } } } z _ { t } ^ { \mathrm { o s } } + P ^ { \mathrm { { s b } } } ( 1 - z _ { t } ^ { \mathrm { o s } } ) } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } , } \end{array}
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = - { \frac { ( m - 3 n - 2 n \, p + 1 ) x ^ { m - 2 n + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { 2 c \, n ^ { 2 } ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \, - \, { \frac { x ^ { m - 2 n + 1 } \left( 2 a + b \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { 2 c \, n ( 2 p + 1 ) } } \, + \, { \frac { ( m - n + 1 ) ( m - 2 n + 1 ) } { 2 c \, n ^ { 2 } ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \int x ^ { m - 2 n } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } d x
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ i ~ p ~ s ~ } } } & { { } = \left\lfloor \frac { \pi R _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ f ~ e ~ r ~ } } ^ { 2 } } { A _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ i ~ p ~ } } } - \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ f ~ e ~ r ~ } } } { \sqrt { 2 A _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ i ~ p ~ } } } } \right\rfloor } \end{array}
\left( \frac { d \mathrm { { E } } } { d x } \right) _ { b \rightarrow \infty } \rightarrow \frac { z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left( - i \sqrt { \frac { \lambda ^ { \ast } } { \lambda } } \right) \omega \left[ 1 - \frac { 1 } { \beta \epsilon _ { r } ( \omega ) } \right] e ^ { - ( \lambda + \lambda ^ { \ast } ) a }
\begin{array} { r l } { \mu _ { Q } \equiv \mu _ { Q } \left( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \overline { { X } } _ { 1 } , \overline { { X } } _ { 2 } \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { 1 } , } & { \mathrm { i f ~ \overline { { X } } _ 1 ~ \geq ~ \overline { { X } } _ 2 ~ } } \\ { \mu _ { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ \overline { { X } } _ 1 ~ < ~ \overline { { X } } _ 2 ~ } } \end{array} \right. , } \\ & { = \mu _ { 1 } I \left( \overline { { X } } _ { 1 } \geq \overline { { X } } _ { 2 } \right) + \mu _ { 2 } I \left( \overline { { X } } _ { 2 } > \overline { { X } } _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { | c _ { m } | \le c o n s t \cdot \frac { \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } ( s _ { i ^ { \prime } } ^ { I } m + c _ { i ^ { \prime } } ) ^ { ( s _ { i ^ { \prime } } ^ { I } m + c _ { i ^ { \prime } } - 1 / 2 ) } } { \prod _ { i \in I } m _ { i } ^ { m _ { i } - 1 / 2 } } , } \\ { \; \; \; \mathrm { ~ w h e r e ~ } s _ { i ^ { \prime } } ^ { I } m = \sum _ { i \in I } s _ { i ^ { \prime } i } ^ { I } m _ { i } \mathrm { ~ a n d ~ } c _ { i ^ { \prime } } = \sum _ { i \in I } s _ { i ^ { \prime } i } ^ { I } \alpha _ { i } + \alpha _ { i ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial \alpha } } & { = - 2 t \cos 2 \alpha - U \cos 2 \beta \sin 2 \alpha - \mu \sin ( 2 \alpha - 2 \beta ) = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial \beta } } & { = - 2 t \cos 2 \beta - U \cos 2 \alpha \sin 2 \beta + \mu \sin ( 2 \alpha - 2 \beta ) = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial \mu } } & { = - \sin ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) + S ( S + 1 ) = 0 . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { p p } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { p p } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { p p } } } & { - \boldsymbol { C } ^ { \mathrm { p p } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X _ { m } ^ { N \pm 2 } } \\ { Y _ { m } ^ { N \pm 2 } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { N \pm 2 } \left( \begin{array} { l } { X _ { m } ^ { N \pm 2 } } \\ { Y _ { m } ^ { N \pm 2 } } \end{array} \right)
\left[ \begin{array} { l l } { ( \mathbf { M } _ { F } ) _ { 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { ( \mathbf { M } _ { F } ) _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \mathcal { T } } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { 2 } } \\ { \boldsymbol { \mathcal { T } } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 2 } } \end{array} \right] ,
h _ { q } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { k } ) / h _ { q } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { k } ) = \overline { { { \alpha } } } _ { s } ( \mathbf { k } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon } \left[ \left( - \frac { 3 } { 4 \epsilon } + \frac { 1 } { 4 } \right) \, + \, \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 6 7 } { 1 8 } - \psi ^ { \prime } ( 1 ) - \frac { 5 } { 9 } \, \frac { N _ { F } } { N _ { C } } \right) \right] \, .
{ \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { \vert { M } _ { { L } _ { i } } \vert ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ { 2 S _ { i } + 1 } L _ { i } } ^ { \vert { M } _ { { L } _ { i } } \vert }
\begin{array} { r l } { \int _ { U _ { t } \setminus U _ { t + h } } { \left| \nabla u \right| } ^ { p } \, d x } & { + \beta h \int _ { \partial U _ { t + h } ^ { e x t } } u ^ { p - 1 } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) + \beta \int _ { \partial U _ { t } ^ { e x t } \setminus \partial U _ { t + h } ^ { e x t } } u ^ { p - 1 } ( u - t ) \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) } \\ & { = \int _ { U _ { t } \setminus U _ { t + h } } f ( u - t ) \, d x + h \int _ { U _ { t + h } } f \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { z } Q ^ { z \ldots z } } & { { } = \left( \frac { p } { 2 } \partial \varphi + i \partial \theta \right) Q ^ { z \ldots z } } \\ { \bar { \nabla } _ { \bar { z } } Q ^ { z \ldots z } } & { { } = \left( - \frac { p } { 2 } \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } \theta \right) Q ^ { z \ldots z } , } \end{array}
\mathrm { P } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \Gamma ( 1 - c ) \Gamma ( 1 - d ) } { \Gamma ( 1 - c + a ) \Gamma ( 1 - c + b ) } } & { \frac { \Gamma ( c - 1 ) \Gamma ( 1 - d ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } } \\ { \frac { \Gamma ( 1 - c ) \Gamma ( 1 + d ) } { \Gamma ( 1 - a ) \Gamma ( 1 - b ) } } & { \frac { \Gamma ( c - 1 ) \Gamma ( 1 + d ) } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { { \tilde { D } } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l } { L } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { L } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { L } & { 0 } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \end{array} \right) } \\ & { + } & { \left( \begin{array} { l l l l l } { { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { { \tilde { D } } _ { { \textrm u p } } ^ { \prime } } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm u p } } + { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } ^ { \prime } } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm u p } } ^ { \prime } } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm u p } } + { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } } & { { \tilde { D } } _ { { \textrm l o w } } ^ { \prime } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
\langle \partial _ { \mu } u ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \eta ) \partial _ { \nu } u ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { \prime } , \eta ) \rangle = M _ { \mu \nu } ( | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ^ { \prime } | , \eta ) .
t _ { c o l l } \Omega _ { 0 } \approx \left( 1 + \frac { { \Delta t } \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { \Omega _ { 0 } \left( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } - \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \right) ^ { - 1 } \approx \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \omega _ { x , n } } & { { } = \omega _ { x , 0 } \left( 1 + \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { m } \varepsilon _ { k } c o s ( \Omega _ { k } n ) \right) } \\ { \omega _ { y , n } } & { { } = \omega _ { y , 0 } \left( 1 + \varepsilon \sum _ { k = 1 } ^ { m } \varepsilon _ { k } c o s ( \Omega _ { k } n ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { t _ { d i } } = } & { { } \hat { t } _ { d i } \left( \frac { k _ { B } T _ { i } } U \right) ^ { 2 } \frac 1 { \ln ( \Lambda ) } \left( 1 + a _ { C } \left( \frac { | { u _ { d } } - { u _ { i } } | } c _ { s i } \right) ^ { 3 } \right) } \\ { \zeta _ { s i } = } & { { } 1 + 2 ( \gamma _ { i } - 1 ) \Gamma - \frac { 3 ( \gamma _ { i } - 1 ) } { 2 ( 1 + a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } ) } - \frac { 1 - ( 3 - 2 \Gamma ) ( \gamma _ { i } - 1 ) } { 2 \ln { \Lambda } } } \\ { \zeta _ { w i } = } & { { } - \frac { 3 a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } } { 1 + a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } } } \end{array}
\frac { \partial \vec { H } _ { L } } { \partial t } = - \vec { H } _ { L } \cdot \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) \cdot \vec { H } _ { L } \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \vec { H } _ { L } = \vec { F } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { T } .
\begin{array} { r l } { P ( t ) } & { { } = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { a } \; d x | \psi ( x , t ) | ^ { 2 } } \\ { S _ { n } ( t ) } & { { } = \frac { 2 } { a } \displaystyle \left| \int _ { 0 } ^ { a } \; d x \sin \left( \frac { n \pi x } { a } \right) \psi ( x , t ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
{ \hat { T } } ( \mathbf { x } ) = \exp \left( - { \frac { i \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } } { \hbar } } \right) = 1 - { \frac { i \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } } { \hbar } } - { \frac { ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } + { \frac { i ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } ) ^ { 3 } } { 6 \hbar ^ { 3 } } } + \cdots
\begin{array} { r l } { \delta ( Q _ { 1 } ) } & { \geq \frac { n - 2 } { 2 } - | S | } \\ & { \geq \frac { n - 2 } { 2 } - k } \\ & { \geq \frac { ( 4 c _ { k } \sqrt { n } + 2 k ^ { 2 } + 4 k + 4 ) - 2 } { 2 } - k } \\ & { > c _ { k } \sqrt { n } + k ^ { 2 } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q _ { 1 } ) | } + k | W | - 1 ; } \end{array}
k _ { 2 } ^ { \nu } T _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 3 ) a b c d } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = C _ { 3 } k _ { 1 \mu } S _ { \rho \sigma } ^ { ( 3 ) } + C _ { 3 } \Gamma _ { \rho \sigma \mu } ^ { ( 3 ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , q _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { R S H } } } & { = \alpha E _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } + ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { D F A } } + ( \alpha + \beta ) E _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) E _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { D F A } } + E _ { \mathrm { { c } } } ^ { \mathrm { D F A } } , } \end{array}
[ { \cal D } \mu ] = { \cal D } \xi { \cal D } \pi _ { i } { \cal D } A ^ { \mu } { \cal D } \rho { \cal D } \pi _ { \rho } \prod _ { j } \{ \delta [ \Gamma _ { j } ( A ^ { 0 } + \xi , A ^ { i } , \pi _ { i } , \rho ) ] \} \mathrm { d e t } \mid \{ \widetilde { \Omega } _ { i } , \Gamma _ { j } \} \mid .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \bigl ( \nabla ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } \bigr ) } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi ^ { l } ( k ^ { l } ) = \frac { \psi _ { k ^ { l } } ( 0 \ensuremath { \; | \; } t ^ { l } - t _ { k ^ { l } } ^ { l } ) } { \sum _ { k } \psi _ { k } ( 0 \ensuremath { \; | \; } t ^ { l } - t _ { k } ^ { l } ) } , } \end{array}
\widetilde { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } } - \ell _ { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } } \nabla _ { 0 } ^ { 2 } \widetilde { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } } = \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { A _ { 1 } ^ { [ \eta _ { p } , \phi _ { p } ] } } \\ { \vdots } \\ { A _ { N } ^ { [ \eta _ { p } , \phi _ { p } ] } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } ^ { \ell } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { \dotsc } & { \alpha _ { 1 } ^ { 4 \ell } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { 1 } { \alpha _ { N } ^ { \ell } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { \alpha _ { N } } } & { 1 } & { \alpha _ { N } } & { \dotsc } & { \alpha _ { N } ^ { 4 \ell } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W _ { \ell } ^ { [ \eta _ { r } , \phi _ { r } ] } } \\ { \vdots } \\ { W _ { 1 } ^ { [ \eta _ { r } , \phi _ { r } ] } } \\ { R _ { 0 : 4 \ell } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { N , L } ( r , \tilde { r } ) - \partial _ { r } ^ { \alpha } \partial _ { \tilde { r } } ^ { \beta } \gamma _ { N _ { - } , L } ( r , \tilde { r } ) | \leq c \frac { N ^ { \frac { | \alpha | + | \beta | } { 3 } + \frac { 3 4 } { 6 9 } + \epsilon } } { L ^ { 3 + | \alpha | + | \beta | } } . } \end{array}
\Pi _ { 1 } ^ { ( \mathrm { t a d p o l e } ) } = 0 = \Pi _ { 2 } ^ { ( \mathrm { t a d p o l e } ) } , \quad \Pi _ { 3 } ^ { ( \mathrm { t a d p o l e } ) } \sim - \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi \beta } \, \ln \beta m _ { \sigma } .
\begin{array} { r l r l r l } { \Sigma } & { { } \rightarrow K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } } & { } & { { } \rightarrow K ( K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } ) K ^ { \intercal } + M } & { } & { { } \rightarrow K _ { 2 } ( K ( K _ { 1 } \Sigma K _ { 1 } ^ { \intercal } + M _ { 1 } ) K ^ { \intercal } + M ) K _ { 2 } ^ { \intercal } + M _ { 2 } \; , } \\ { \vec { D } } & { { } \rightarrow K _ { 1 } \Vec { D } } & { } & { { } \rightarrow K K _ { 1 } \Vec { D } } & { } & { { } \rightarrow K _ { 2 } K K _ { 1 } \Vec { D } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \sum _ { k > \ell } \vert \mathbb { E } [ \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { i } ) \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { j } ) ] \vert } } \\ & { = \sum _ { k > \ell } \vert \mathbb { E } [ \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { \ell } ) \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { k } ) ] \vert ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } \vert \mathbb { E } [ \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { \ell } ) \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { k } ) ] \vert ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k > \ell } \alpha _ { k - \ell } ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } ( \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , y ) \vert ) ^ { \frac { 2 } { \log ( n ) } } ( \mathbb { E } [ \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \omega ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } } \\ & { \stackrel { , } { \lesssim } \delta ^ { - 4 ( 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } ) } t ^ { - 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp ( - b \frac { k ^ { \eta } } { \log ( n ) } ) } \\ & { \lesssim \delta ^ { \frac { 4 } { \log ( n ) } } t ^ { - \frac { 1 } { \log ( n ) } } \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) \delta ^ { - 4 } t ^ { - 1 } , } \end{array}
\bar { \mathcal { S } } = \bar { \mathcal { S } } ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) ( \mathcal { S } - \mathcal { S } \mathcal { P } _ { u } \mathcal { S } _ { u u } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { u } \mathcal { S } ) ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) .
\begin{array} { r l } { F _ { j _ { s } } ( q _ { s } ) = ( - 1 ) ^ { N _ { s } - { j _ { s } } } ( 2 h _ { N _ { s } } ) ^ { - 1 / 2 } { b _ { s } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { H _ { N _ { s } } ( \frac { q } { b _ { s } } ) } { q _ { s } - q _ { j _ { s } } } \exp \left( - \frac { q ^ { 2 } } { 2 b _ { s } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf q + \frac { \tau _ { q } } { 1 ! } \partial _ { t } \mathbf q + \frac { \tau _ { q } ^ { 2 } } { 2 ! } \partial _ { t } ^ { 2 } \mathbf q + \dots + \frac { \tau _ { q } ^ { n } } { n ! } \partial _ { t } ^ { n } \mathbf q = - \lambda \left( \nabla T + \frac { \tau _ { T } } { 1 ! } \partial _ { t } \nabla T + \frac { \tau _ { T } ^ { 2 } } { 2 ! } \partial _ { t } ^ { 2 } \nabla T + \dots + \frac { \tau _ { T } ^ { m } } { m ! } \partial _ { t } ^ { m } \nabla T \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { g } } & { { } = } & { \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \hat { h } _ { e } } & { { } = } & { \hbar ( \omega _ { e g } + \lambda ) + \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \sqrt { \frac { \lambda } { \omega _ { 0 } } } ( \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } ) + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \end{array}
A _ { m } = \frac { ( - 2 i ) ^ { m } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \left( z + \Delta + i \frac { \Gamma ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { m } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } z ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \neq y } \pi ( x ) \frac { L ( x , y ) ^ { \alpha } - M ^ { f ^ { * } } ( x , y ) ^ { \alpha } } { \overline { { M } } ( x , y ) ^ { \alpha - 1 } } } & { = \sum _ { x \neq y } \pi ( x ) \frac { L ( x , y ) ^ { \alpha } - L _ { \pi } ( x , y ) ^ { \alpha } } { 2 \overline { { M } } ( x , y ) ^ { \alpha - 1 } } } \\ & { = \sum _ { x \neq y } \pi ( x ) \frac { L ( x , y ) ^ { \alpha } } { 2 \overline { { M } } ( x , y ) ^ { \alpha - 1 } } - \sum _ { x \neq y } \pi ( y ) \frac { L ( y , x ) ^ { \alpha } } { 2 \overline { { M } } ( y , x ) ^ { \alpha - 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \langle \varepsilon v \rangle ^ { - \frac { 3 } { 4 } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { 3 } } } & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \varepsilon v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \frac { ( 1 - w ^ { 4 } ) ( 1 - x ^ { 4 } ) ( 1 - y ^ { 4 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } + e t c .