harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V _ { h } ^ { \sharp } \equiv S _ { \mathcal { T } ^ { \sharp } , { \mathbf { u } } _ { h } } ^ { \mathfrak { p } } } & { : = \left\{ w _ { h } \in \left( L ^ { 2 } ( \Omega ^ { \sharp } ) \right) ^ { d } : w _ { h } | _ { K } \in \left( \mathcal { P } ^ { \mathfrak { p } } ( K ) \right) ^ { d } , K \in \mathcal { T } ^ { \sharp } \right\} \quad ( d = 2 , 3 ) } \\ { Q _ { h } ^ { \sharp } \equiv S _ { \mathcal { T } ^ { \sharp } , p _ { h } } ^ { \mathfrak { p } } } & { : = \left\{ w _ { h } \in L _ { 0 } ^ { 2 } ( \Omega ^ { \sharp } ) : w _ { h } | _ { K } \in \mathcal { P } ^ { \mathfrak { p } - 1 } ( K ) , K \in \mathcal { T } ^ { \sharp } \right\} . } \end{array}
p ( D ) = p ( \boldsymbol { y } _ { 1 } , . . . , \boldsymbol { y } _ { l } | \boldsymbol { x } _ { 1 } , . . . , \boldsymbol { x } _ { l } ) p ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , . . . , \boldsymbol { x } _ { l } )
\frac { T } { \Sigma } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } \left( \frac { \rho _ { 1 } } { k _ { a } \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 1 } | ) } + \frac { \rho _ { 2 } } { k _ { a } \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 2 } | ) } \right) \dot { \xi } _ { a } ^ { 2 } ,
\mathrm { { C D } _ { \mathrm { { t o t } } } ( { \bf r } ) = - \frac { 4 } { \ e p s i l o n } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ G \} C _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) = \frac { k } { 2 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ G \} \sum _ { \ s i g m a ^ { \prime } = \pm 1 } \ s i g m a ^ { \prime } | { \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \ s i g m a \ s i g m a ^ { \prime } } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } . }
\frac { \partial \psi } { \partial z } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { K } { a } \psi - \left( \frac { U K } { a } + \lambda \right) y } & { \textrm { f o r } \quad z = 0 , \, r < a , } \\ { \; \; \; \frac { \lambda } { U } \psi } & { \textrm { f o r } \quad z = 0 , \, r > a . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { l ( \lambda , \mu ) = \sum _ { i \ell } \left\{ c _ { i \ell } - C _ { i \ell } \cdot \log c _ { i \ell } \right\} = } \\ & { \sum _ { i \ell } \left\{ \exp ( - P _ { \ell } ^ { \top } \mu ) \cdot T _ { i \ell } ^ { \top } \lambda - C _ { i \ell } \cdot ( - P _ { \ell } ^ { \top } \mu + \log ( T _ { i \ell } ^ { \top } \lambda ) ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \underset { \mathbf { b } \in \mathbb { R } ^ { n } } { \mathrm { a r g } \, \mathrm { m i n } } \: | | \mathbf { a } - \mathbf { b } | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { b } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\Delta \boldsymbol { v } _ { t } = - \frac { \alpha } { | D | } \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } \hat { u } ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) - \alpha \boldsymbol { v } _ { t - 1 } + \alpha \sqrt { \frac { 2 \boldsymbol { M } _ { t } } { | D | \gamma } } \boldsymbol { \mathcal { N } } _ { t } \left( 0 , I \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \sigma ( \beta , x ) , \sigma ( \beta , \hat { x } ) ) ^ { 2 } } & { \le \mathcal { O } ( \log ( n \varepsilon ^ { - 1 } ) ^ { 2 } { n } ) \, \beta \, \sum _ { k , l } ( \hat { x } _ { k , l } - x _ { k , l } ) ( e _ { k , l } ( x ) - \widetilde { e } _ { k , l } ) + o ( \varepsilon ^ { 2 } n ^ { 2 } ) } \\ & { \le \mathcal { O } ( \log ( n \varepsilon ^ { - 1 } ) ^ { 2 } { n ^ { 2 } } ) \, \eta \, + o ( \varepsilon ^ { 2 } n ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { v } ^ { * } | [ ( H e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } - E _ { v } ^ { ( 0 ) } ] S _ { v } ^ { ( 1 ) } | \Phi _ { v } \rangle = - \langle \Phi _ { v } ^ { * } | [ ( H _ { W } e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } } & { } & \\ { + ( H e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } T ^ { ( 1 ) } ] \{ 1 + S _ { v } ^ { ( 0 ) } \} | \Phi _ { v } \rangle \ \ \ \ } \end{array}
M \frac { d } { d M } g _ { c } = \beta ( g _ { c } ) = - \frac { 3 t _ { 2 } ( A ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { g _ { c } ^ { 3 } } { 1 - \frac { t _ { 2 } ( A ) } { 8 \pi ^ { 2 } } g _ { c } ^ { 2 } } .
\delta { \mathcal L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) = - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { \frac { { \partial { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } } { { \partial { C _ { n } } } } \cdot \delta { C _ { n } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } ,
\begin{array} { l } { { L _ { 1 } = - \frac { 1 } { 4 } h _ { \mu \nu } ( \partial _ { \lambda \rho } \partial ^ { \rho \lambda } ) h ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } h _ { \mu \nu } ( \partial ^ { \mu \lambda } \partial ^ { \nu \rho } ) h _ { \lambda \rho } } } \\ { { + h _ { \mu \nu } ( \partial ^ { \mu \lambda } \partial _ { \lambda \rho } ) h ^ { \rho \nu } - h _ { \mu } ^ { \nu } ( \partial ^ { \mu \lambda } \partial _ { \lambda \nu } ) h + \frac { 1 } { 4 } h ( \partial ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu \mu } ) h } } \end{array}
d _ { a , \chi } ( \varepsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { c } } & { \chi = E H } \\ { d _ { c } \left( \frac { f _ { c } ( \mathbf { \varepsilon ) } } { f ( \mathbf { \varepsilon ) } } \right) ^ { 1 / 3 } } & { \chi = C N } \end{array} \right.
\delta _ { q ^ { \prime } + 1 } > \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \hphantom { x } \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } = f _ { 7 } ( c _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } , Z _ { q ^ { \prime } } ) = \delta _ { q ^ { \prime } + 1 } ,
\begin{array} { r } { P _ { s o l } = \frac { \sum _ { j } ^ { N } n _ { j } ^ { 2 } } { N } } \\ { n _ { j } = \frac { \vec { d } _ { j } \cdot \vec { v } _ { j } } { \sum _ { i } ^ { N } \vec { d } _ { i } \cdot \vec { v } _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \mathrm { c u m } \left( X _ { i } ( u ) , X _ { j } ( v ) , X _ { i } ( w ) , X _ { j } ( 0 ) \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \mathrm { c u m } \left( \sum _ { s _ { 1 } \in \mathbb { Z } } A _ { s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { u - s _ { 1 } } , \sum _ { s _ { 2 } \in \mathbb { Z } } A _ { s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { v - s _ { 2 } } , \sum _ { s _ { 3 } \in \mathbb { Z } } A _ { s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { w - s _ { 3 } } , \sum _ { s _ { 4 } \in \mathbb { Z } } A _ { s _ { 4 } , j \cdot } \epsilon _ { - s _ { 4 } } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \mathrm { c u m } \left( \sum _ { s _ { 1 } \in \mathbb { Z } } A _ { u - s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { s _ { 1 } } , \sum _ { s _ { 2 } \in \mathbb { Z } } A _ { v - s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { s _ { 2 } } , \sum _ { s _ { 3 } \in \mathbb { Z } } A _ { w - s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { s _ { 3 } } , \sum _ { s _ { 4 } \in \mathbb { Z } } A _ { - s _ { 4 } , j \cdot } \epsilon _ { s _ { 4 } } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \sum _ { s _ { 1 } \in \mathbb { Z } } \sum _ { s _ { 2 } \in \mathbb { Z } } \sum _ { s _ { 3 } \in \mathbb { Z } } \sum _ { s _ { 4 } \in \mathbb { Z } } \mathrm { c u m } \left( A _ { u - s _ { 1 } , i \cdot } \epsilon _ { s _ { 1 } } , A _ { v - s _ { 2 } , j \cdot } \epsilon _ { s _ { 2 } } , A _ { w - s _ { 3 } , i \cdot } \epsilon _ { s _ { 3 } } , A _ { - s _ { 4 } , j \cdot } \epsilon _ { s _ { 4 } } \right) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \mathrm { c u m } \left( A _ { u - s , i \cdot } \epsilon _ { s } , A _ { v - s , j \cdot } \epsilon _ { s } , A _ { w - s , i \cdot } \epsilon _ { s } , A _ { - s , j \cdot } \epsilon _ { s } \right) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( x , t ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi s ^ { 2 H } } } \exp \left( - \frac { ( x - v s ) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 H } } \right) } \end{array}
N _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \left( \bar { \psi } \gamma _ { \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \psi \right) - \partial _ { \nu } \left( \bar { \psi } \gamma _ { \mu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \psi \right) \, ,
F _ { \gamma ^ { * } \gamma \pi ^ { 0 } } ( Q ^ { 2 } ) = \frac 1 { \pi ^ { 2 } \sqrt { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \int \, \frac { \Psi ( x , k _ { \perp } ) } { x Q ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } } \, d ^ { 2 } k _ { \perp } \, ,
\begin{array} { r l r l } { \mathscr D _ { x } } & { = \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } } & { \mathscr D _ { y } } & { = \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } } \\ { \mathscr D _ { x } ^ { \prime } } & { = \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } } & { \mathscr D _ { y } ^ { \prime } } & { = \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \parallel } ^ { \mathrm { L R } } ( r ) } & { { } = } & { \frac { \alpha _ { \mathrm { C l _ { 2 } } } + 4 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 3 } } { 1 - 4 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 6 } } , } \\ { \alpha _ { \bot } ^ { \mathrm { L R } } ( r ) } & { { } = } & { \frac { \alpha _ { \mathrm { C l _ { 2 } } } - 2 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 3 } } { 1 - \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 6 } } , } \end{array}
\left( P ^ { 0 } - 2 \pi B R _ { 1 } n \right) ^ { 2 } - { \vec { p } } ^ { ~ 2 } = \left( \frac { m } { R _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n R _ { 1 } } { \alpha ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \alpha ^ { \prime } } \left( N + \tilde { N } - 2 \right)
\begin{array} { r } { Q = \frac { 1 } { \Delta t } \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 / 2 } & { \mathrm { ~ } 2 / 3 } & { \mathrm { ~ } 1 } \\ { \mathrm { ~ } 1 / 3 } & { - 2 / 3 } & { 0 } \\ { \mathrm { ~ } 1 / 6 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\frac { m - m _ { e x a c t } } { \Lambda _ { I } } = \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { \Lambda _ { I } } { M } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } \left( \frac { \Lambda _ { I } } { M } \right) ^ { 4 } + O \left( \left( \frac { \Lambda _ { I } } { M } \right) ^ { 6 } \right)
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } [ T _ { 1 } > t ] } & { \le } & { \sum _ { 1 \le i \le L , \Delta T _ { i } > 0 } \mathbb { P } [ \Delta T _ { i } > t / L ] } \\ & { = } & { \sum _ { 1 \le i \le L } \mathbb { P } [ \Delta T _ { i } > t / L | Z _ { T _ { i + 1 } } \in \tilde { B } _ { i + 1 } ] \lesssim \exp \{ - C _ { 0 } e ^ { - 2 H _ { U } / \varepsilon ^ { 2 } } t \} , } \end{array}
\Delta _ { L } { \tilde { A } } _ { \mu } ( x ) = - 8 \pi \int \delta \xi d s \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) { \cal D } _ { \mu } ( s ) \Lambda _ { \nu } [ \xi | s ] \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \dot { \xi } ^ { \nu } ( s ) \delta ^ { 4 } ( x - \xi ( s ) ) ,
\begin{array} { r l } { { \bf E } _ { \mathrm { S B , n } } \propto \sum _ { s = 1 , 2 } } & { { } \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { \mathrm { E - H H , s } } } \\ { { \bf d } _ { \mathrm { E - L H , s } } } \end{array} \right) ^ { \dag } \left( \begin{array} { l l } { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { H H } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { L H } } } \end{array} \right) } \end{array}
\mathcal { S } _ { \{ v _ { j } ^ { ( i ) } : j = 1 , . . . , k \} } = \left\{ z : \left| z - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } v _ { j } ^ { ( i ) } \right| \le \left| Z - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } v _ { j } ^ { ( i ) } \right| \right\} , \ Z \sim ,
\operatorname { T r } \left[ \mathbf { F } \wedge \mathbf { A } - { \frac { 1 } { 3 } } \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \right] = \operatorname { T r } \left[ d \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } + { \frac { 2 } { 3 } } \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \wedge \mathbf { A } \right] .
y ( 1 - y ) \partial _ { y } ^ { 2 } R ( y ) + \frac { 1 } { 2 } ( 2 - 5 y ) \partial _ { y } R ( y ) + \left( \frac { \omega ^ { 2 } r _ { c } ^ { 2 } } { 4 y } - \frac { \nu ( \nu + 1 ) } { 4 ( 1 - y ) } - \frac { m ^ { 2 } r _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \right) R ( y ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( s - 1 - \varepsilon ) \int _ { \Omega _ { 1 } } u _ { k } ^ { s - 2 } | \nabla u _ { k } | ^ { 2 } } & { \leq \varepsilon ( s - 1 - \varepsilon ) \int _ { M } \varphi ^ { 2 } u _ { k } ^ { s - 2 } | \nabla u _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \int _ { M } u _ { k } ^ { s } | \nabla \varphi | ^ { 2 } } \\ & { \leq \| \nabla \varphi \| _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { \Omega } u _ { s } ^ { p } . } \end{array}
\textrm { S o C } ^ { - } = \frac { c _ { \sf I I } } { c _ { \sf I I } + c _ { \sf I I I } } \quad \textrm { a n d } \quad \textrm { S o C } ^ { + } = \frac { c _ { \sf V } } { c _ { \sf I V } + c _ { \sf V } } ,
U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } = U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { H F } ] + \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D ( T ) } ] + \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { C C S D T } ] + \Delta U _ { 3 } ^ { \mathrm { B O } } [ \mathrm { F C I } ] ,
G _ { M N } d x ^ { M } d x ^ { N } = H _ { p } ^ { - { \frac { 4 ( n - 1 ) } { ( p + n ) \Delta _ { p } } } } \left[ \eta _ { \mu \nu } + h _ { \mu \nu } \right] d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + H _ { p } ^ { \frac { 4 ( p + 1 ) } { ( p + n ) \Delta _ { p } } } d { \bf y } \cdot d { \bf y }
\partial _ { m } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ( s ) \right) = \sum _ { l _ { 1 } \ldots l _ { n } \in p _ { n } ( m ) } \left( \begin{array} { l } { m } \\ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , \ldots l _ { n } } \end{array} \right) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { l _ { i } } f _ { i } ( s ) .
\begin{array} { r l } { \psi _ { I } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } } \sin \theta } \\ { \psi _ { A } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } } \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { N } _ { k } } & { { } = \frac { r } { N } \left\{ \left[ k - 1 + \left( \frac { 1 } { r } - 2 \right) \right] N _ { k - 1 } - \left[ k + \left( \frac { 1 } { r } - 2 \right) \right] N _ { k } \right\} + \delta _ { k , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { 1 } } & { { } = \alpha ^ { 0 } + M \mathrm { ~ , ~ } \beta ^ { 1 } = \beta ^ { 0 } + \sum _ { i } ^ { M } \hat { T } _ { i } \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } \vec { \alpha } ^ { 1 } = \vec { \alpha } ^ { 0 } + \vec { M } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } } = H _ { 0 } { \sqrt { ( \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 1 } + \Omega _ { 0 , k } + \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Lambda } _ { j } ( x ; \ell ^ { \prime } ) , ~ ~ \boldsymbol { V } _ { j } ( x ; \ell ^ { \prime } ) \quad } & { ( j = 1 , 2 , \ldots , k ) \quad \ell ^ { \prime } = \ell / ( 2 k ) , } \\ { \boldsymbol { U } _ { j } ( x ; \ell ^ { \prime \prime } ) , ~ ~ \boldsymbol { N } _ { j } ( x ; \ell ^ { \prime \prime } ) \quad } & { ( j = 1 , 2 , \ldots , k - 1 ) , \quad \ell ^ { \prime \prime } : = \ell / ( 2 k - 1 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\ln E = \ln { \cal L } _ { \mathrm { m a x } } + { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln \sigma _ { p } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln ( 2 a _ { p } + 2 b _ { p } ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { p } } { \sigma _ { p } \sqrt 2 } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { p } } { \sigma _ { p } \sqrt 2 } } \right] \right)
\begin{array} { r l } & { d M = \frac { r } { a } d E = \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } d v \ , } \\ & { \mathbf { r } = a ( \cos E - e ) \, \hat { \mathbf { e } } + a \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } ( \sin E ) \, \hat { \mathbf { k } } \times \hat { \mathbf { e } } \ , } \\ & { \mathbf { r } = r \cos v \, \hat { \mathbf { e } } + r \sin v \, \hat { \mathbf { k } } \times \hat { \mathbf { e } } \ , } \\ & { \dot { \mathbf { r } } = \frac { n a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \hat { \mathbf { k } } \times ( \hat { \mathbf { r } } + \mathbf { e } ) \ , } \\ & { r = a ( 1 - e \cos E ) = \frac { a ( 1 - e ^ { 2 } ) } { 1 + e \cos v } \ , } \end{array}
{ \cal L } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi R } \! \! \! d y \, \left[ - \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } F ^ { M N } F _ { M N } + \bar { \psi } \, i \Gamma ^ { M } \big ( \partial _ { M } - i A _ { M } \big ) \psi - M \eta ( y ) \bar { \psi } \psi \right] \; .
\begin{array} { r } { \hat { m } _ { 1 } = \psi _ { 1 1 } \hat { \Lambda } _ { 1 } , \quad \hat { e } _ { 1 } = 2 ( \theta _ { 1 1 } \hat { \eta } _ { 1 } + \kappa _ { 1 1 } \hat { \zeta } _ { 1 } ) , \quad \hat { \omega } _ { 1 } = 2 ( \kappa _ { 1 1 } \hat { \eta } _ { 1 } + \phi _ { 1 1 } \hat { \zeta } _ { 1 } ) , } \end{array}
R _ { I R } ( Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \mu ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \ \bar { \alpha } _ { e f f } ( \mu ^ { 2 } ) \ \dot { { \cal F } } _ { R , I R } ( \mu ^ { 2 } , Q ^ { 2 } )
\frac { d ^ { 2 } I } { d \omega d \Omega } = \frac { e ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { 3 \pi ^ { 2 } c \omega _ { \beta } K } \left( \frac { 1 } { \gamma _ { p } ^ { 2 } } + \theta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { \theta ^ { 2 } } { \gamma _ { p } ^ { - 2 } + \theta ^ { 2 } } K _ { 2 / 3 } ^ { 2 } ( \Upsilon ) + K _ { 1 / 3 } ^ { 2 } ( \Upsilon ) \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { \Delta f ( x _ { i } ) } { \Delta x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Delta x } ( f ( x _ { i + 1 } ) - f ( x _ { i } ) ) , } & { i = 1 , } \\ { \frac { 1 } { 2 \Delta x } ( f ( x _ { i + 1 } ) - f ( x _ { i - 1 } ) ) , } & { 1 < i < N , } \\ { \frac { 1 } { \Delta x } ( f ( x _ { i } ) - f ( x _ { i - 1 } ) ) , } & { i = N , } \end{array} \right. } \end{array}
u _ { 2 } ^ { ( g v S K ) } = \frac { 1 } { 4 } \left[ 8 + 2 \sqrt { 5 } - 1 2 \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ^ { 2 } { \frac { t ^ { 3 } } { 2 4 } - x } \right] .
\left( \rho , u , p \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 2 5 , 0 , 0 . 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq x \leq 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { T } \langle \rho _ { t } , \phi \rangle _ { \mathbb V ^ { \star } , \mathbb V } \; d t \right| \leq } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| \rho ( \cdot , t ) \| _ { \mathbb V } \| \phi ( \cdot , t ) \| _ { \mathbb V } \; d t + \int _ { 0 } ^ { T } \| g ( \cdot , t ) \| _ { \mathbb L ^ { 2 } } \| \phi ( \cdot , t ) \| _ { \mathbb L ^ { 2 } } \; d t } \\ { \leq } & { C \left( \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb V ) } + \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb L ^ { 2 } ) } \right) \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb V ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \lambda \varphi _ { j } = d _ { I _ { j } } \Delta \varphi _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } \bar { \varphi } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \varphi _ { j } \right) + ( ( 1 - \varepsilon ) \beta _ { j } - \gamma _ { j } ) \varphi _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \varphi _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \end{array} \right.
\sum _ { J _ { z } ^ { \prime } } \langle J , J _ { z } | { \vec { \mu } } _ { J } | J , J _ { z } ^ { \prime } \rangle \cdot \langle J , J _ { z } ^ { \prime } | { \vec { J } } | J , J _ { z } \rangle = - \sum _ { J _ { z } ^ { \prime } } g _ { J } \mu _ { \mathrm { { B } } } \langle J , J _ { z } | { \vec { J } } | J , J _ { z } ^ { \prime } \rangle \cdot \langle J , J _ { z } ^ { \prime } | { \vec { J } } | J , J _ { z } \rangle
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } | n | ^ { 2 } \| ( H \psi ) _ { n } \| ^ { 2 } } & { { } \; = \; \sum _ { n , m , k \in { \mathbb Z } ^ { d } } \psi _ { k } ^ { * } \langle k | H ^ { * } | n \rangle \, | n | ^ { 2 } \, \langle n | H | m \rangle \, \psi _ { m } } \end{array}
W _ { 1 3 2 4 } = \frac { 2 ^ { 9 } c ^ { 4 } } { x _ { 1 3 } ^ { 8 } x _ { 2 4 } ^ { 8 } } \frac { s ( - s + t ^ { 2 } - 3 s t + 4 s ^ { 2 } ) } { ( 1 - t ) ^ { 3 } } .
\, \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } \, \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } \, \nu _ { { X _ { 1 } } , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 0 \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \nu _ { { X _ { 1 } } , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 0 .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } ( \mathrm { S M o d } _ { g ; k } ) } & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } , \widetilde { r } \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ^ { - n + 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { Z } [ \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ \widetilde { h } _ { 1 } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ \widetilde { r } ] } & { \mathrm { i f ~ } n = 1 , } \\ { \mathbb { Z } [ X ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ \widetilde { r } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ Y _ { 1 } ] } & { \mathrm { i f ~ } n \geq 3 \mathrm { ~ i s ~ o d d } , } \\ { \mathbb { Z } [ Y _ { 2 } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ \widetilde { r } ] } & { \mathrm { i f ~ } n \geq 2 \mathrm { ~ i s ~ e v e n } , } \end{array} \right. } \end{array}
B _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ } } \sim \sqrt { 4 \pi \, P _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } } = 3 . 1 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \lambda ^ { 1 9 / 2 0 } \, \alpha \, m _ { e } \, m _ { p } ^ { 3 / 2 } } { M _ { p l } ^ { 1 / 2 } }
\langle \Delta x _ { k } \rangle \equiv \frac { 1 } { n _ { \mathcal { C } _ { i j } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathcal { C } _ { i j } } } ( x _ { k } ^ { ( \mathcal { P } _ { i } ) } - x _ { k } ^ { ( \mathcal { C } _ { i j } ) } ) ,