harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \angle H _ { v } ( n \omega _ { o } ) = - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { ( n \omega _ { o } ) ^ { \alpha } R _ { s } C _ { \alpha } \sin \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) } { 1 + ( n \omega _ { o } ) ^ { \alpha } R _ { s } C _ { \alpha } \cos \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) } \right) } \\ & { \angle H _ { i } ( n \omega _ { o } ) = \frac { \alpha \pi } { 2 } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { ( n \omega _ { o } ) ^ { \alpha } R _ { s } C _ { \alpha } \sin \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) } { 1 + ( n \omega _ { o } ) ^ { \alpha } R _ { s } C _ { \alpha } \cos \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { ( \mathbf { M } ^ { \mathrm { p r o j } } - \omega _ { Y } \textbf { V } ^ { \mathrm { p r o j } } ) } \\ { ( \mathbf { M } ^ { \mathrm { p r o j } } + \omega _ { Y } \textbf { V } ^ { \mathrm { p r o j } } ) } \end{array} \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \\ { \mathbf { B } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \end{array} \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { Y } ^ { \mathrm { p r o j } } } & { } \\ { \mathbf { - Z } _ { Y } ^ { \mathrm { p r o j } * } } & { } \end{array} } \end{array} , } \end{array}
\sigma _ { 1 , y } \left| \Psi _ { y , m } ^ { \pm } \right> = \frac { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \sqrt { 2 \Xi _ { y , m } ^ { \pm } } } \left( \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { y } ^ { 2 r } \pm \lambda _ { y } ^ { 2 m } \right) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \left| n n m \right> = \sqrt { \frac { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \Xi _ { y , m } ^ { \pm } } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \left| n n m \right> ,
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { R P A } } ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - v ( q ) \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \dot { q } } \\ { \dot { u } _ { 1 } } \\ { \dots } \\ { \dot { u } _ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { Q _ { 1 1 } } & { Q _ { 1 2 } } & { \ldots } & { Q _ { 1 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { Q _ { n 1 } } & { Q _ { n 2 } } & { \ldots } & { Q _ { n n } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { c } { q } \\ { u _ { 1 } } \\ { \dots } \\ { u _ { n } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { c } { q ( 0 ) } \\ { u _ { 1 } ( 0 ) } \\ { \dots } \\ { u _ { n } ( 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { v _ { 1 } ( 0 ) } \\ { \dots } \\ { v _ { n } ( 0 ) } \end{array} \right) ,
\Delta \approx \frac { 1 } { 2 } \overline { { \sum _ { \mathbf { X } } } } ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } - \boldsymbol { \lambda } _ { \mathbf { X } } ^ { * } ) ^ { T } ( \mathbf { F } + \mathbf { F } _ { \mathbf { X } } ) ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } - \boldsymbol { \lambda } _ { \mathbf { X } } ^ { * } ) .
\left| \mathcal { E } _ { c h } ^ { ( k ) } ( z ) \right| \leq \frac { 1 0 } { \ln ( 1 0 ) } \left[ \exp \left( \theta ^ { ( k ) } \right) - \sum _ { j = 0 } ^ { k } \frac { \left( \theta ^ { ( k ) } \right) ^ { j } } { j ! } \right] \leq \tau \: , \quad \mathrm { w i t h } \quad \theta ^ { ( k ) } = \sqrt [ k ] { k ! \: \operatorname* { m a x } \left( \left| \Gamma _ { c h } ^ { k } ( z ) \right| \right) } \: .
\left\{ \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \quad \boldsymbol { x } , t \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { I } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , 0 ) } & { = \boldsymbol { h } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \hat { A } \hat { B } \rangle = \int \mathrm { d } x \mathrm { d } p A B W ^ { \prime } ( x , p ) } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { m a x } } } d \tau P ( \tau ) \int \mathrm { d } x \mathrm { d } p A B W _ { \tau } ( x , p ) } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { m a x } } } d \tau P ( \tau ) \langle \hat { A } \hat { B } \rangle _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { { } \stackrel { } { = } \textstyle \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } , s _ { i } ^ { \prime } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } ^ { \prime } \dag } \dotsb \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } \dag } | 0 \rangle \, \langle 0 | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \dotsb \hat { A } _ { i } ^ { s _ { i } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle \, \langle s _ { i } ^ { \prime } | \hat { h } | s _ { i } \rangle } \end{array}
\oint _ { 0 } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { n - 2 } } \chi - \oint _ { \infty } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { n - 2 } } \chi = \frac { 1 } { 2 k _ { 1 } } \oint _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { d u } { \zeta ^ { n - 2 } ( u ) } \log \frac { \rho ( u ) } { \xi ( u ) } ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ S ~ S ~ L ~ } } = \theta _ { \mathrm { ~ S ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ S ~ } } + \theta _ { \mathrm { ~ U ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ U ~ } }
\begin{array} { r l } { P ( \{ y _ { 1 } , y _ { 2 } \} ; t ) = } & { \oint \oint e ^ { ( z _ { 1 } ^ { - 1 } + z _ { 2 } ^ { - 1 } - 2 ) t } ( z _ { 1 } ^ { y _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 } z _ { 2 } ^ { y _ { 2 } - x _ { 2 } - 1 } - \frac { 1 - z _ { 2 } } { 1 - z _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { y _ { 2 } - x _ { 1 } - 1 } z _ { 2 } ^ { y _ { 1 } - x _ { 2 } - 1 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } } \\ { = } & { ( e ^ { - t } \oint e ^ { \frac { t } { z _ { 1 } } } z _ { 1 } ^ { y _ { 1 } - x _ { 1 } - 1 } d z _ { 1 } ) ( e ^ { - t } \oint e ^ { \frac { t } { z _ { 2 } } } z _ { 2 } ^ { y _ { 2 } - x _ { 2 } - 1 } d z _ { 2 } ) } \\ & { - ( e ^ { - t } \oint e ^ { \frac { t } { z _ { 1 } } } \frac { z _ { 1 } ^ { y _ { 2 } - x _ { 1 } - 1 } } { 1 - z _ { 1 } } d z _ { 1 } ) ( e ^ { - t } \oint e ^ { \frac { t } { z _ { 2 } } } ( 1 - z _ { 2 } ) z _ { 2 } ^ { y _ { 1 } - x _ { 2 } - 1 } d z _ { 2 } ) } \end{array}
\Psi _ { N } ( \beta ) = ( 2 \pi ) ^ { - N } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \prod _ { j < k } \left\vert \exp ( i \theta _ { j } ) - \exp ( i \theta _ { k } ) \right\vert ^ { \beta } \, d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { N }
L _ { \gamma } = - | e | A ^ { \mu } { \overline { { p } } } \gamma _ { \mu } p - \frac { \kappa _ { p } } { 2 } \overline { { p } } \sigma ^ { \mu \nu } p F _ { \mu \nu } - \frac { \kappa _ { n } } { 2 } \overline { { n } } \sigma ^ { \mu \nu } n F _ { \mu \nu } \, ,
\Gamma ( \bar { B } \to X _ { u } \, \ell \, \bar { \nu } ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } \, | \, V _ { u b } | ^ { 2 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } } \, C ( m _ { b } ) \, \Big \{ 1 + O ( 1 / m _ { b } ^ { 2 } ) \Big \} \, ,
\begin{array} { r c l } { \mathbf { L } ( X ) } & { : = } & { \left\{ f \in \mathbb { C } ^ { \mathbb { C } } \, | \, f \mathrm { ~ i s ~ a ~ l i n e a r ~ c o m b i n a t i o n ~ o f ~ f u n c t i o n s ~ i n ~ } X \right\} , } \\ { \mathbf { T } ( X ) } & { : = } & { \left\{ f \in \mathbb { C } ^ { \mathbb { C } } \, | \, \exists \ ( g , c ) \in X \times \mathbb { C } , \, \forall \ \, x \in \mathbb { C } , \, f ( x ) = g ( x + c ) \right\} , \ \mathrm { a n d } } \\ { \mathbf { S } } & { : = } & { \mathbf { L } \circ \mathbf { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu _ { i / f } r , r ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) ^ { 2 l + 1 } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } e ^ { - ( r + r ^ { \prime } ) / a _ { \mathrm { B } } \nu } } \end{array}
\begin{array} { r } { \zeta _ { \xi ^ { \mathrm { X } } } ( \left. q ^ { \mathrm { X } } \right| \xi ^ { \mathrm { X } } ) \, , \quad p _ { \mathrm { X } } ( \xi ^ { \mathrm { X } } ) \, , } \\ { \zeta _ { \xi ^ { \mathrm { Y } } } ( \left. q ^ { \mathrm { Y } } \right| \xi ^ { \mathrm { Y } } ) \, , \quad p _ { \mathrm { Y } } ( \xi ^ { \mathrm { Y } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } = \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } + \alpha ^ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 , 0 } + \alpha \beta \mathbf { u } _ { 1 , 1 } + \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ a ~ n ~ d ~ h ~ i ~ g ~ h ~ e ~ r ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \sigma ) } & { { } = \sum _ { s } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { f ( z _ { s } ) } { \sqrt { \operatorname* { d e t } ( - g ^ { \prime \prime } ( z _ { s } ) ) } } e ^ { \sigma g ( z _ { s } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ) } & { { } = } & { x _ { i } + \dot { x } _ { i } t } \\ { y ( t ) } & { { } = } & { y _ { i } + \dot { y } _ { i } t } \\ { z ( t ) } & { { } = } & { z _ { i } + \dot { z } _ { i } t } \end{array}
Z _ { \Lambda } [ J ] = \int { \mathcal { D } } \phi \exp \left( - S _ { \Lambda } [ \phi ] + J \cdot \phi \right) = \int { \mathcal { D } } \phi \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \phi \cdot R _ { \Lambda } \cdot \phi - S _ { { \mathrm { i n t } } \, \Lambda } [ \phi ] + J \cdot \phi \right)
S _ { \mathrm { ~ 2 ~ 1 ~ } } ( f ) = C \, S _ { \mathrm { ~ I ~ D ~ T ~ } } ^ { 2 } ( f ) \, \sum _ { n = 1 } ^ { N } S _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } , n } \, \frac { f ^ { 2 } } { f _ { n } ^ { 2 } - f ^ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \, f \, \frac { f _ { n } } { Q _ { n } } } \; .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { \Delta t } = } & { { } \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } - { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } } & { { } = \int d \mu _ { \mathrm { p o p } } \mu _ { \mathrm { p o p } } p ( \mu _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) } \end{array}
t r K ( t ) = ( 4 \pi t ) ^ { - 3 / 2 } \sum _ { k = 0 , 1 / 2 , 1 , . . . } ^ { \infty } ( \int _ { B ^ { 3 } } d v a _ { k } + \int _ { S ^ { 2 } } d s c _ { k } ) \exp ( - t V ^ { \prime \prime } ( \phi ) ) t ^ { k } ,
\begin{array} { r l r l } & { \underset { \phi , \theta } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & & { f ( \phi , \theta ) } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & & { c ( \phi , \theta ) \le 0 , \quad c _ { \mathrm { e q } } ( \phi , \theta , F _ { \mathrm { t a r g } } , T _ { \mathrm { t a r g } } ) = 0 , \quad \theta _ { \mathrm { l b } } \le \theta \le \theta _ { \mathrm { u b } } } \end{array}
\sigma _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } - p } < 1 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \, \, \mathrm { p b } \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \, 4 5 0 \, \mathrm { G e V } < m _ { 1 / 2 } < 1 \, \mathrm { T e V } ; \, \, 5 \stackrel { < } { \sim } \tan \beta \stackrel { < } { \sim } 3 0
\begin{array} { r l } { \theta _ { t ( g ) } \circ \alpha _ { g } \circ \theta _ { s ( g ) } ^ { - 1 } } & { = \mathrm { A d } w _ { g } \circ \beta _ { g } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } g \in \mathcal { G } } \\ { w _ { g } \beta _ { g } ( w _ { h } ) } & { = w _ { g h } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } ( g , h ) \in \mathcal { G } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \bf { \tilde { F } } } = [ 0 , { F _ { x } } , { F _ { y } } , { F _ { z } } , { F _ { x } } { u _ { y } } + { F _ { y } } { u _ { x } } , { F _ { x } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { x } } , { F _ { y } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { y } } , 2 { \bf { F } } \cdot { \bf { u } } , 2 ( { F _ { x } } { u _ { x } } - { F _ { y } } { u _ { y } } ) , 2 ( { F _ { x } } { u _ { x } } - { F _ { \mathrm { { z } } } } { u _ { z } } ) , } \\ { { F _ { x } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { x } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { y } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { z } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { y } } c _ { s } ^ { 2 } , { F _ { z } } c _ { s } ^ { 2 } , 0 , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { x } } + { F _ { y } } { u _ { y } } ) , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { x } } + { F _ { z } } { u _ { z } } ) , 2 c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { y } } { u _ { y } } + { F _ { z } } { u _ { z } } ) , } \\ { c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { y } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { y } } ) , c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { z } } + { F _ { z } } { u _ { x } } ) , c _ { s } ^ { 2 } ( { F _ { x } } { u _ { y } } + { F _ { y } } { u _ { x } } ) , c _ { s } ^ { 4 } { F _ { x } } , c _ { s } ^ { 4 } { F _ { y } } , c _ { s } ^ { 4 } { F _ { z } } , 2 c _ { s } ^ { 4 } { \bf { F } } \cdot { \bf { u } } { ] ^ { \mathrm { T } } } } \end{array}
S = - \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 2 } \sigma d ^ { 2 } \theta \left[ G _ { i j } ( X ) D ^ { A } X ^ { i } D _ { A } X ^ { j } - B _ { i j } ( X ) D ^ { A } X ^ { i } ( \gamma D ) _ { A } X ^ { j } \right] ,
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { 0 } ( i ) = } & { { } - \frac { 6 3 } { 3 2 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 2 1 } { 3 2 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , \tau } ( \vec { y } ) = \ } & { { } G _ { 1 , \tau } ( u _ { \bot } ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) ( 1 - T _ { 1 } ) y _ { 2 } + u _ { \bot } T _ { 1 } y _ { 3 } , ( u _ { \Delta } ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 4 } + ( ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) ) ^ { 2 } y _ { 5 } + ( u _ { \Delta } T _ { 1 } ) ^ { 2 } y _ { 6 } } \end{array}
\sigma _ { p } ( D _ { x _ { 3 } } ^ { \kappa } \tilde { H } ) \vert _ { H ^ { ( 0 ) } = \chi _ { \hat { \varepsilon } } } = \sum _ { j = 0 } ^ { \kappa - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { j } \left( \begin{array} { l } { j } \\ { n } \end{array} \right) ( B ^ { ( 1 ) } ) ^ { \kappa - 1 - j } \sigma _ { p } ( D _ { x _ { 3 } } ^ { j - n } Y ) ( B ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \chi _ { \hat { \varepsilon } } .
{ \lambda _ { i j k } l _ { i } l _ { j } e _ { k } ^ { c } + \lambda _ { i j k } ^ { \prime } d _ { i } ^ { c } l _ { j } q _ { k } + \lambda _ { i j k } ^ { \prime \prime } d _ { i } ^ { c } d _ { j } ^ { c } u _ { k } ^ { c } + \epsilon _ { i } l _ { i } H \, . }
\hat { \Delta } _ { e q u } ( x - y ) = \int d ^ { \, 3 } u \, d ^ { \, 3 } v \sum _ { \tau = \pm } \hat { B } _ { L } ^ { ( \tau ) } ( { \bf x } - { \bf u } ) \, \hat { \Delta } _ { d i a g } ^ { ( \tau ) } ( { \bf u } - { \bf v } ; x _ { 0 } - y _ { 0 } ) \, \hat { B } _ { R } ^ { ( \tau ) } ( { \bf v } - { \bf y } ) ,
| f ( x ) | \leq { \frac { 1 } { 2 \pi } } { \sqrt { \int _ { - a } ^ { a } 2 a | F ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega } } = { \frac { 1 } { \pi } } { \sqrt { { \frac { a } { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | F ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega } } = { \sqrt { \frac { a } { \pi } } } \| f \| _ { L ^ { 2 } } .
E [ A , \phi ] = \int d y \exp [ ( D - 1 ) A ] \left[ ( D - 1 ) [ 2 A ^ { \prime \prime } + D ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] + { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + V ( \phi ) \right] ~ .
A ^ { I } ( s , t ) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \, \Im f _ { l } ^ { I } ( s + \mathrm { i } \epsilon ) \, P _ { l } \left( 1 + { \frac { 2 t } { s - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } } \right) .
= \frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { m c ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x d t d v _ { g y , \parallel } d \mu _ { g y } \bigl \langle F _ { e } ( x - \rho ) \bigr \rangle { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) ,
\begin{array} { r l } & { \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , l _ { 0 } ^ { ( b ) } \right] = \log \left( C ^ { - r - s } \right) = - ( r + s ) \beta c , } \\ & { \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , k _ { 0 } ^ { ( b ) } \right] = - \left[ l _ { 0 } ^ { ( a ) } , l _ { 0 } ^ { ( b ) } \right] = \log \left( C ^ { r - s } \right) = ( r - s ) \beta c , } \\ & { \left[ k _ { m \neq 0 } ^ { ( a ) } , k _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \left[ l _ { m \neq 0 } ^ { ( a ) } , l _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , l _ { n \neq 0 } ^ { ( b ) } \right] = \left[ k _ { m \neq 0 } ^ { ( a ) } , l _ { 0 } ^ { ( b ) } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { c l } { { ( i ) } } & { { < \lambda > = < \bar { \lambda } > = 0 , \; \mathrm { w i t h } \; G \; \mathrm { u n b r o k e n } ; \strut } } \\ { { ( i i ) } } & { { < \lambda > \propto \; \mathrm { d i a g } \; ( 1 , 1 , 1 ) \strut } } \\ { { } } & { { < \bar { \lambda } > \propto \; \mathrm { d i a g } \; ( 1 , 1 , 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \hat { \boldsymbol { F } } _ { p } - \hat { \boldsymbol { F } } _ { p ^ { \prime } } \| _ { L ^ { 1 } } \overset { a } { \leq } } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \zeta ( \lambda _ { 2 } ) \left| \mathbb { E } _ { p ( x ) } [ f ( x , y ) ] - \mathbb { E } _ { p ^ { \prime } ( x ) } [ f ( x , y ) ] \right| \exp \{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \} \mathrm { d } y } \\ { \leq } & { \zeta ( \lambda _ { 2 } ) \| p - p ^ { \prime } \| _ { L ^ { 1 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \exp \{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \} \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } } { ( 1 + t ) ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 } } d r = B \left( \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) + 1 , \frac { 8 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 \right) } & { = \frac { \Gamma ( \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) + 1 ) \Gamma ( \frac { 8 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 ) } } \\ & { = \frac { \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 4 } { \kappa } ) \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - \frac { 2 \alpha } { \gamma } + 1 ) } { \Gamma ( \frac { 4 } { \kappa } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } ( \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } ) G _ { 1 } ) } & { \prec \frac { 1 } { N } \sum _ { a _ { 1 } \in [ N ] } | p _ { a _ { 1 } } | \frac { 1 } { L } \sum _ { | b _ { k } - a _ { k } | \le L } | \langle u _ { b _ { 1 } } , \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } ) u _ { b _ { 1 } } \rangle | } \\ & { \le \frac { 1 } { N } \sum _ { a _ { 1 } \in [ N ] } | p _ { a _ { 1 } } | \sqrt { \frac { 1 } { L } \sum _ { | b _ { k } - a _ { k } | \le L } \frac { 1 } { N ^ { 3 } } | \sqrt { N } \langle u _ { b _ { 1 } } , N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } ) u _ { b _ { 1 } } \rangle | ^ { 2 } } } \\ & { \prec \frac { \Lambda ^ { + } } { N ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { t = \tau , \ldots , T - 1 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { \tau } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { \leq \left[ \sum _ { t = \tau } ^ { T - 1 } \left( \frac { 2 \delta _ { \omega } ^ { t } - L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] \right) \right] \cdot \left[ \sum _ { t = \tau } ^ { T - 1 } \left( \frac { 2 \delta _ { \omega } ^ { t } - L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] ^ { - 1 } } \\ & { \leq C _ { 2 } \left[ \sum _ { t = \tau } ^ { T - 1 } \left( \frac { 2 \delta _ { \omega } ^ { t } - L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
C ( y , x ; \tilde { \mu } ) = C _ { V } ^ { 2 } ( \tilde { \mu } ) \left[ \delta ( y - x ) + { \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 4 \pi } } C ^ { ( 1 ) } ( y , x ; \tilde { \mu } ) \right] + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \, ,
\left[ \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { x _ { n - 1 } } \end{array} \right] = M \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { n } M ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 0 } } \end{array} \right] = M \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { n } } \end{array} \right] M ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 0 } } \end{array} \right]
E = \left( \phi ^ { ( 1 ) } \frac { 1 } { E ^ { ( 1 ) } } + \phi ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { E ^ { ( 2 ) } } + \phi ^ { ( 3 ) } \frac { 1 } { E ^ { ( 3 ) } } \right) ^ { - 1 } \approx 1 1 . 5 \mathrm { { G P a } } \, ,
\begin{array} { r l } { Z _ { m a } ^ { \mathrm { R P A } } } & { = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } + \omega \right) \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) } { \omega - \omega _ { \mu } } S _ { \mu } \chi _ { m a } ^ { \mu } \, , } \\ { Z _ { a m } ^ { \mathrm { R P A } } } & { = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } - \omega \right) \sum _ { \mu } \frac { \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) } { \omega - \omega _ { \mu } } S _ { \mu } \left( \eta _ { m a } ^ { \mu } \right) ^ { * } . } \end{array}
\kappa _ { l } = ( - 1 ) ^ { l + 1 } \left| { \begin{array} { c c c c c c c c } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \mu _ { 3 } ^ { \prime } } & { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \mu _ { 4 } ^ { \prime } } & { \mu _ { 3 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \end{array} } \right) \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { l } { 3 } \\ { 2 } \end{array} } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \mu _ { 5 } ^ { \prime } } & { \mu _ { 4 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { l } { 4 } \\ { 1 } \end{array} } \right) \mu _ { 3 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { l } { 4 } \\ { 2 } \end{array} } \right) \mu _ { 2 } ^ { \prime } } & { \left( { \begin{array} { c } { 4 } \\ { 3 } \end{array} } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mu _ { l - 1 } ^ { \prime } } & { \mu _ { l - 2 } ^ { \prime } } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ddots } & { 1 } \\ { \mu _ { l } ^ { \prime } } & { \mu _ { l - 1 } ^ { \prime } } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \left( { \begin{array} { l } { l - 1 } \\ { l - 2 } \end{array} } \right) \mu _ { 1 } ^ { \prime } } \end{array} } \right|
\begin{array} { r } { \mathbb { V } _ { k } : = F ( x _ { k } ) + l _ { g , 1 } \lambda _ { k } \| y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { l _ { g , 1 } \lambda _ { k } } { 2 } \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } \gamma _ { k - 1 } } \left( \frac { \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } } { \lambda _ { k } } + \frac { \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } } { \lambda _ { k } } + \lambda _ { k } \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { \varepsilon } \sigma _ { i j } ( \frac { \xi } { \varepsilon } ) \xi _ { i } \xi _ { j } \sim \frac { | \xi | ^ { 2 } } { \varepsilon \langle \xi / \varepsilon \rangle ^ { 3 } } = \frac { \varepsilon | \xi / \varepsilon | ^ { 2 } } { \langle \xi / \varepsilon \rangle ^ { 3 } } \leq \frac { \varepsilon } { \langle \xi / \varepsilon \rangle } \leq \operatorname* { m i n } \{ \varepsilon , \frac { 1 } { | \xi | } \} .