harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho \| \tilde { \boldsymbol { \Pi } } \| _ { 1 , 1 } - \rho \| \tilde { \boldsymbol { \Pi } } + \boldsymbol { \Delta } \| _ { 1 , 1 } } & { \geq - \langle \tilde { \mathbf { T } } , \boldsymbol { \Delta } \rangle - \langle \hat { \mathbf { T } } - \tilde { \mathbf { T } } , \boldsymbol { \Delta } \rangle } \\ & { \geq - \langle \tilde { \mathbf { T } } , \boldsymbol { \Delta } \rangle - \| \hat { \mathbf { T } } - \tilde { \mathbf { T } } \| _ { \operatorname* { m a x } } \| \boldsymbol { \Delta } \| _ { 1 , 1 } . } \end{array}
\frac { \bar { \omega } _ { i j } } { \langle \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \rangle _ { \{ \alpha \} } } = \epsilon _ { i j } - \frac { 1 } { \langle \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \rangle _ { \{ \alpha \} } } \left( \frac { \mu _ { i } + \mu _ { j } } { 2 } - \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mu _ { k } \right) ,
( D s ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } ( D s ) _ { \beta } , \quad ( D s ) _ { \beta } = - i \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } , \ \beta \cdot \lambda = 1 } \left[ g _ { s _ { 1 } } z _ { d } ( \lambda \cdot q , \xi ) + g _ { s _ { 2 } } z _ { d } ^ { ( 1 / 2 ) } ( \lambda \cdot q , \xi ) \right] .
\begin{array} { r } { \tan \theta ( \hat { t } ) \sim \sqrt { 2 } \left[ 1 + \frac { U } { L } \left( \frac { \hat { t } - \hat { t } _ { 0 } } { \sqrt { 3 } } \right) \right] ^ { - 3 / 2 } } \end{array}
\pi _ { \textrm { n c s } } ( s ; k , \lambda ) = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - ( s + \lambda ) / 2 } \left( { \frac { s } { \lambda } } \right) ^ { k / 4 - 1 / 2 } I _ { k / 2 - 1 } ( { \sqrt { \lambda s } } ) \, , \quad I _ { \nu } ( s ) = ( s / 2 ) ^ { \nu } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( s ^ { 2 } / 4 ) ^ { j } } { j ! \Gamma ( \nu + j + 1 ) } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \end{array}
\begin{array} { r l } { g \left( \frac { 1 } { 2 } \right) = } & { \log _ { 2 } \left( 1 \right) \left( 1 - \frac { p } { q } \right) + \frac { p } { q } \log \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \right) + \frac { p } { q } \ln \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \right) \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) + \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K ^ { \star } } } & { = \frac { | \varGamma | } { | \mathcal B | } , } \\ { \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } } & { = \langle \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) \rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \langle \boldsymbol { \chi } \mathbf k \rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathbb { P } } ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 0 ) , \, } & { \mathrm { w . p . ~ } p _ { 1 } = 1 - \frac { \bar { \mu } ^ { 2 } } { \bar { \Sigma } } = 0 . 6 } \\ { ( x _ { 1 } ^ { ( k ) } , x _ { 2 } ^ { ( k ) } ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } p _ { 2 } ^ { ( k ) } , \; \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \, k = 1 , . . . , K } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { y } } = \underbrace { { \bf { P } } { \bf \Theta } { \bf { x } } } _ { \mathrm { D e s i r e d ~ s i g n a l } } + \underbrace { { \bf { P } } { \bf \Theta } { \bf { v } } } _ { \mathrm { D y n a m i c ~ n o i s e } } + \underbrace { { { \bf { n } } _ { \mathrm { s } } } } _ { \mathrm { S t a t i c ~ n o i s e } } , } \end{array}
{ \cal N } _ { i f } ^ { k } = [ ( \sum _ { l } \langle \Phi _ { f } | ( \Omega _ { 0 } ^ { ( k - l , 0 ) } + \Omega _ { f } ^ { ( k - l , 0 ) } ) ^ { \dagger } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( l , 0 ) } + \Omega _ { f } ^ { ( l , 0 ) } ) | \Phi _ { f } \rangle ) ( \sum _ { m } \langle \Phi _ { i } | ( \Omega _ { 0 } ^ { ( k - m , 0 ) } + \Omega _ { i } ^ { ( k - m , 0 ) } ) ^ { \dagger } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( m , 0 ) } + \Omega _ { i } ^ { ( m , 0 ) } ) | \Phi _ { i } \rangle ) ] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } \boxtimes \mathcal { H } \circ \Delta ^ { \prime } ( v ) ( t ) } & { = \mathcal { H } \boxtimes \mathcal { H } ( v _ { ( 1 ) } \otimes v _ { ( 2 ) } ) ( t ) } \\ & { = \mathcal { H } ( t ) ( v _ { ( 1 ) } ) \boxtimes \mathcal { H } ( v _ { ( 1 ) } ) ( t ) } \\ & { = \left( J _ { t } ( v _ { ( 1 ) } ) \otimes 1 - ( - 1 ) ^ { | v _ { ( 1 ) } | } H _ { t } ( v _ { ( 1 ) } ) \otimes d t \right) \boxtimes \left( J _ { t } ( v _ { ( 2 ) } ) \otimes 1 - ( - 1 ) ^ { | v _ { ( 2 ) } | } H _ { t } ( v _ { ( 2 ) } ) \otimes d t \right) } \end{array}
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } + \frac { 3 Q ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } R ^ { 2 } M _ { \gamma } } + \frac { J } { 6 } ( r ^ { 2 } - 3 R ^ { 2 } ) - \frac { Q ^ { 2 } r ^ { 4 } } { 6 4 0 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } R ^ { 6 } } } & { r \leq R , } \\ { \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } - \frac { B } { r } - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 2 } } } & { r > R , } \end{array} \right.
\Delta P _ { e x } Q \approx \int _ { \mathcal { V } _ { P } / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V + \int _ { ( V _ { O S C } - \mathcal { V } _ { P } ) / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V ,
- \frac { r _ { s } ^ { 2 } ( z = z _ { j e t } ) } { 2 q _ { \infty } } = - \tau - \int _ { \infty } ^ { 0 } | \Delta \, q ( \bar { x } ) | \, \frac { d \tau ^ { \prime } } { d z _ { j e t } ^ { \prime } } \frac { d z _ { j e t } ^ { \prime } } { d \bar { x } } \, d \bar { x } \, .
\frac { d } { d t } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial r ^ { I } } + \frac { \partial L } { \partial \dot { s } ^ { \alpha } } \gamma _ { I J } ^ { \alpha } \dot { r } ^ { J } = Q _ { I } , \ \ I = \bar { m } + 1 , \ldots , n
\frac { 2 \ell } { G _ { \mathrm { ~ c ~ } } } ( 1 - d ) \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Psi : = \frac { 2 \ell } { G _ { \mathrm { ~ c ~ } } } ( 1 - F ( \Phi ) ) \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Psi + O ( \ell ^ { 3 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { \int \operatorname { a r c s e c } ( x ) \, d x } & { = x \, \operatorname { a r c s e c } ( x ) - \operatorname { s g n } ( x ) \ln \left| x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right| + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, d x } & { = x \, \operatorname { a r c c s c } ( x ) + \operatorname { s g n } ( x ) \ln \left| x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right| + C } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { T r } \left( { \mathbf { Q } } _ { u } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime \prime } \right) = \mathrm { T r } \left( { \mathbf { h } } _ { u } v _ { u } ^ { 2 } { \mathbf { h } } _ { u } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } { \mathbf { h } } _ { u } { \mathbf { h } } _ { u } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { H } \right) = \mathrm { T r } \left( { \mathbf { Q } } _ { u } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
F _ { \Delta \phi } = \phi * B _ { 1 } = \frac { 3 } { 4 } D \frac { 1 } { \left( \frac { p } { p ^ { * } } + \frac { p ^ { * } } { p } \right) } a ( \overline { { T _ { s } } } - T _ { i } ) \Delta \alpha
{ \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } ^ { W } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { \psi _ { X } ^ { \dot { \alpha } } } } & { { \psi _ { Y } ^ { \dot { \alpha } } } } & { { \psi _ { S } ^ { \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) M _ { \psi } ^ { W } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { X \dot { \alpha } } } } \\ { { \psi _ { Y \dot { \alpha } } } } \\ { { \psi _ { S \dot { \alpha } } } } \end{array} \right) + \mathrm { h . c . } ,
\Delta T _ { \mathrm { m a } } = \frac { 3 2 \, \eta \, L _ { \mathrm { m a } } } { \left( d _ { \mathrm { h } } \, \rho \, s \right) ^ { 2 } \, T } \dot { q } + \frac { L _ { \mathrm { m a } } } { h \left( \frac { T } { T _ { \lambda } } \right) g _ { \mathrm { p e a k } } ( p ) } \dot { q } ^ { 3 . 4 }
\begin{array} { r } { \delta \mathbf { B } = \sum _ { k } \delta \mathbf { B } _ { k } \cos ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } + \chi _ { k } ) , } \\ { \delta \mathbf { V } = \sum _ { k } \delta \mathbf { V } _ { k } \cos ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } + \phi _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } ^ { a } } & { { } \rightarrow \frac { v _ { 1 } ^ { a } } { \sqrt { \omega _ { 1 1 } } } , } \\ { v _ { 2 } ^ { a } } & { { } \rightarrow \frac { v _ { 2 } ^ { a } - \omega _ { 1 2 } } { \sqrt { \omega _ { 2 2 } } } , } \\ { v _ { 3 } ^ { a } } & { { } \rightarrow \frac { v _ { 3 } ^ { a } - \omega _ { 1 3 } v _ { 1 } ^ { a } - \omega _ { 2 3 } v _ { 2 } ^ { a } } { \sqrt { \omega _ { 3 3 } } } , } \end{array}
\tau = N ^ { - 1 / 3 } t \, , \quad x = N ^ { 1 / 3 } z \, , \quad \beta = N ^ { 2 / 3 } ( \alpha - 1 ) \, , \quad \kappa ^ { - 1 } = N ( r - 1 / 2 ) ^ { 3 / 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \delta A } { d t } = } & { ( \alpha \bar { P } _ { z , N S } - 1 / T _ { 2 } ) \delta A + \epsilon \delta B / 2 , } \\ { \frac { d \delta B } { d t } = } & { - \epsilon \delta A / 2 - \delta B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \delta \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { - ( 1 / T _ { 1 } + G ) \delta \bar { P } _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { \mathrm { ~ Q ~ D ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } = r _ { 1 } ^ { 5 } k _ { L , 1 } \left( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \right) \cdot \bigg [ } & { { } \frac { 5 ( \mathbf { \Omega } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } ) ^ { 2 } \mathbf { d } } { 2 d ^ { 7 } } - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { d } } { 2 d ^ { 5 } } } \end{array}
D _ { 2 ; 0 } = 4 \cdot \left( \begin{array} { c c c c c c } { { + 1 } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - 1 } } & { { + 2 } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { + 2 } } & { { - 1 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { + 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { g r a d } _ { q } V } & { = L _ { \mathrm { r e f } } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot R _ { \xi } \cdot \mathrm { g r a d } _ { \xi } , } \\ { \mathrm { H e s s } _ { q } V } & { = L _ { \mathrm { r e f } } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot R _ { \xi } \cdot \mathrm { H e s s } _ { \xi } \cdot R _ { \xi } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot L _ { \mathrm { r e f } } . } \end{array}
\Pi _ { L } ( k _ { 0 } \to 0 , K ) = \Pi _ { 0 0 } ( k _ { 0 } \to 0 , K ) = m _ { e l } ^ { 2 } = g ^ { 2 } T ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { N _ { f } } { 6 } } + { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { f } { \frac { \mu _ { f } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } } \right)
\eta _ { \mu \nu } = \eta ^ { \mu \nu } = { \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
{ \begin{array} { r l } { v \in D ( A ^ { * } ) ^ { \perp } } & { \Longleftrightarrow ( v , 0 ) \in G ( A ^ { * } ) ^ { \perp } \Longleftrightarrow ( v , 0 ) \in ( J G ( A ) ) ^ { \mathrm { c l } } = J G ^ { \mathrm { c l } } ( A ) } \\ & { \Longleftrightarrow ( 0 , - v ) = J ^ { - 1 } ( v , 0 ) \in G ^ { \mathrm { c l } } ( A ) } \\ & { \Longleftrightarrow ( 0 , v ) \in G ^ { \mathrm { c l } } ( A ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { B } _ { j k } } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { A } } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) } } \right] _ { k l } \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { l } ^ { \dagger } a _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { A } } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) } } \right] _ { k l } [ f ( h ) ] _ { j l } \dag } & { { } = \left[ f ( h ) \frac { 1 } { \sqrt { ^ t \Delta ( \mathbf { 1 } - ^ { t } \Delta ) } } \right] _ { j k } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf B } } & { { } = B _ { 0 } \hat { \bf z } + \varepsilon ( \hat { \bf x } + i \hat { \bf y } ) \big ( B _ { W } ( Z , T ) + \varepsilon \beta _ { 1 } ( B _ { W } ) _ { Z } \big ) e ^ { i \theta } } \\ { { \bf E } } & { { } = \varepsilon ( \hat { \bf x } + i \hat { \bf y } ) \big ( \alpha _ { 1 } B _ { W } ( Z , T ) + \varepsilon \beta _ { 2 } ( B _ { W } ) _ { Z } \big ) e ^ { i \theta } } \\ { { \bf V } _ { e } } & { { } = v _ { | | } \hat { \bf z } + \varepsilon ( \hat { \bf x } + i \hat { \bf y } ) \big ( \alpha _ { 2 } B _ { W } ( Z , T ) + \varepsilon \beta _ { 3 } ( B _ { W } ) _ { Z } \big ) e ^ { i \theta } + \varepsilon ^ { 2 } V _ { e } ( Z , T ) \hat { \bf z } } \\ { { \bf V } _ { i } } & { { } = u _ { | | } \hat { \bf z } + \varepsilon ( \hat { \bf x } + i \hat { \bf y } ) \big ( \alpha _ { 3 } B _ { W } ( Z , T ) + \varepsilon \beta _ { 4 } ( B _ { W } ) _ { Z } \big ) e ^ { i \theta } + \varepsilon ^ { 2 } V _ { i } ( Z , T ) \hat { \bf z } } \\ { n _ { e } } & { { } = n _ { e , 0 } + \varepsilon ^ { 2 } N _ { e } ( Z , T ) \, , \qquad n _ { i } = n _ { i , 0 } + \varepsilon ^ { 2 } N _ { i } ( Z , T ) \, , \qquad \theta = k z - \omega t } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \to 0 } \; p ^ { 2 } \langle \pi ( p ) \cdots \rangle \; = \; \operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \to 0 } \; \langle ( - i p _ { \mu } ) L _ { \mu } \cdots \rangle \; .
\begin{array} { l } { { I _ { \nu } = 0 ~ \ i f ~ \ \alpha _ { D } = 0 ~ \ o r ~ \ \theta _ { 2 3 } ^ { D } = 0 ~ \ o r ~ \ \widehat { \theta } _ { 2 3 } ^ { D } = 0 ~ \ o r ~ \ ~ ( \theta _ { 1 2 } ^ { D } , \theta _ { 1 2 } ^ { D \prime } ) = 0 } } \\ { { I _ { e \nu } = 0 ~ \ i f ~ \ \alpha _ { e } = 0 ~ \ o r ~ \ \theta _ { 2 3 } ^ { e } = 0 ~ \ o r ~ \ \widehat { \theta } _ { 2 3 } ^ { e } = 0 ~ \ o r ~ \ ~ ( \theta _ { 1 2 } ^ { e } , \theta _ { 1 2 } ^ { e \prime } ) = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { T S C } ^ { e } ( T ) } & { = } & { q _ { 0 } A n _ { t } ( T _ { 0 } ) { \int _ { 0 } ^ { w ( T ) } { \frac { x } { w ( T ) } } e _ { n } ( T , x ) f \left( T , x \right) } d x } \\ { e _ { n } } & { = } & { { \sigma _ { n } \cdot v _ { t h , n } \cdot N _ { C } \cdot \exp { \left( - { \frac { E _ { a } } { k _ { B } T } } \right) } } } \\ { e _ { p } } & { = } & { { \sigma _ { p } \cdot v _ { t h , p } \cdot N _ { V } \cdot \exp { \left( - { \frac { E _ { a } ^ { \prime } } { k _ { B } T } } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right) ^ { 2 } \right] \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \\ { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } } \\ { \leq } & { C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \varepsilon - \nu \left( \left( u - u _ { \nu } \right) , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u ) \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { \nu } - u \right) } \\ & { + C _ { 2 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \lVert \tilde { u } _ { n } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} - u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } } \\ & { - \int _ { Q _ { T } } \gamma u \left( \partial _ { x } u \right) \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } - \partial _ { x } u \right) \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \\ { = } & { B _ { 1 } ( n , \nu , \varepsilon ) } \end{array}
{ \cal O } _ { 2 } { } ^ { i } { } _ { j } \equiv \left[ \begin{array} { l l } { { - { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal W } } { \partial A _ { \mathrm { c l } } ^ { i } \partial A _ { \mathrm { c l } } ^ { j } } } } } & { { - i \left( \partial _ { 1 } - i \partial _ { 2 } \right) \delta _ { j } ^ { i } } } \\ { { - i \left( - \partial _ { 1 } - i \partial _ { 2 } \right) \delta _ { j } ^ { i } } } & { { - { \frac { \partial ^ { 2 } { \cal W } ^ { * } } { \partial A _ { \mathrm { c l } } ^ { * i } \partial A _ { \mathrm { c l } } ^ { * j } } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \hat { J } _ { z } = \frac { 1 } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 2 2 } ( \sigma ) - \hat { S } _ { 3 3 } ( \sigma ) \right] , } \\ & { \hat { J } _ { x } = \frac { 1 } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 2 3 } ( \sigma ) + \hat { S } _ { 3 2 } ( \sigma ) \right] , } \\ & { \hat { J } _ { y } = \frac { i } { 2 } \int d \tau \left[ \hat { S } _ { 2 3 } ( \sigma ) - \hat { S } _ { 3 2 } ( \sigma ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { { } } & { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ( y - y _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ( y _ { i } - y _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { { } } & { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ( z - z _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ( z _ { i } - z _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { { } } & { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ( x - x _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ( x _ { i } - x _ { j } ) V _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \omega } } \cdot l } & { - \left( \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( k + j ) - ( k + j ) \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) - \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( j ) - j \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \lambda _ { \alpha } ( j + j _ { k } ) - \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { k } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ( \tau ) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 8 m ^ { 2 } } 4 \pi ( \frac { m } { 4 \pi \tau } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \biggl \lbrace 1 - \sum _ { s } \lambda _ { s } \Gamma ( \frac { s } { 2 } + 1 ) \; m \; ( \frac { \tau } { m } ) ^ { \frac { s } { 2 } + 1 } \biggr \rbrace \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } W _ { s v } \, d v \bigg ) \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } W _ { t u } \, d u \bigg ) ^ { T } \bigg ] = \frac { \beta } { 3 ( \beta ( 1 - a ) - a ) ( 1 - a ) } s \cdot \frac { 1 } { d } I _ { d } } \\ & { + \frac { 2 ( a ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) + a \beta ) } { 3 ( 2 ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) - 1 ) ( a - \beta ( 1 - a ) ) ( 1 - a ) ( 1 + ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) ) } t ^ { a - \beta ( 1 - a ) } s ^ { 1 - a + \beta ( 1 - a ) } \cdot \frac { 1 } { d } I _ { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \cdot ( \psi _ { m , k } \sigma \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa _ { m } } ) = \nabla \psi _ { m , k } \cdot \nabla ^ { \perp } { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa _ { m } } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { f } ^ { r } ( k ) : = } & { { } I - h D _ { f } ^ { r } ( k ) + h B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ { \hat { M } _ { f } ^ { r } ( k ) : = } & { { } I - h D _ { f } ^ { r } ( k ) + h B _ { f } ^ { r } ( k ) - h \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } ( k ) } \end{array}
+ i { \frac { 1 } { 2 \pi } } \epsilon _ { \mu \nu } \psi _ { \tilde { s } , \mu } ( \triangle _ { \nu } X _ { s } - 2 \pi m _ { s , \nu } ) - { \frac { 1 } { 4 \pi R ^ { 2 } } } \psi _ { \tilde { s } , \mu } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { t } } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { s ! } { i ! ( s - i ) ! } \big ( R _ { m } ( \left| \left| B \right| \right| _ { 2 } ) \big ) ^ { i } \left| \left| e ^ { B } \right| \right| _ { 2 } ^ { s - i } \left| \left| | \Psi \rangle \right| \right| _ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { s ! } { i ! ( s - i ) ! } \big ( R _ { m } ( \left| \left| B \right| \right| _ { 2 } ) \big ) ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 0 } \delta \hat { \phi } _ { 0 } - \delta \hat { \psi } _ { 0 } } & { { } = - \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { 2 } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } \bigg [ \Lambda _ { k _ { + } } ^ { k _ { z } ^ { * } } \left( \frac { \delta \hat { \psi } _ { z } ^ { * } } { \omega _ { 0 } } - \frac { \delta \hat { \phi } _ { z } ^ { * } } { \omega _ { 0 } + \omega _ { z } } \right) \delta \hat { \psi } _ { + } } \end{array}
\int { \frac { d ^ { d } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { d } } } { \frac { N u m e r a t o r } { [ ( k - p ) ^ { 2 } + i \epsilon ] [ ( k - { \xi } p ) ^ { 2 } + i \epsilon ] [ ( k + q ) ^ { 2 } + i \epsilon ] } } \, \, .
\hat { U } _ { \mathrm { B R S T } } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) = e ^ { - i / \hbar ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } = e ^ { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \{ \hat { \Psi } , \hat { Q } _ { B } \} / \hbar ^ { 2 } } \ .
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } + \left( { \frac { E } { \kappa } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { \pi \kappa } { 2 E } } \left[ { \frac { 2 } { e ^ { 2 \pi E / \kappa } - 1 } } + 1 - { \frac { \kappa } { \pi E } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } _ { \mathrm { g c } } } & { = } & { \frac { \partial } { t } \left( \int { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \, \delta { \sf S } \; d ^ { 4 } P \; - \; \frac { 1 } { \partial c } \, \delta { \bf A } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \right) } \\ & { } & { + \nabla \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \left( \int { \cal F } _ { \mathrm { g c } } \delta { \sf S } \, \dot { \bf X } \; d ^ { 4 } P - \delta \Phi \, \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } - \frac { \delta { \bf A } } { 4 \pi } \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } { \bf H } _ { \mathrm { g c } } \right) } \\ & { } & { + \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left[ \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \delta { \bf E } + \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \delta { \bf B } \right) \right. } \\ & { } & { \left. - \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf B } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { 1 } { c } \left( \dot { \bf X } - { \bf u } _ { \mathrm { E } } \right) \right] , } \end{array}
a _ { h } ^ { S V } ( \eta , v _ { 0 } ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( \widetilde { u } _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } \widetilde { u } _ { I } , v _ { 0 } ^ { * } \right) _ { i } \lesssim h ^ { k + 2 } \left\lVert v _ { 0 } ^ { * } \right\rVert _ { 0 } , \ \ v _ { 0 } \in \mathcal { P } ^ { 0 } .
\begin{array} { r } { \varphi _ { 1 } ^ { 1 } : \Gamma _ { 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } \backslash ( F ^ { 2 } \setminus \{ 0 \} ) \rightarrow \mathcal P _ { 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } } \\ { \varphi _ { 0 } ^ { 1 } : \Gamma _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } \backslash ( F ^ { 2 } \setminus \{ 0 \} ) \rightarrow \mathcal P _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } } \end{array}
G _ { l + \nu } \left( \left. r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } ; E \right| \lambda ; a \right) = - \frac { 2 M } { \hbar ^ { 2 } } \, \frac { \sqrt { r ^ { \prime } r ^ { \prime \prime } } } { K _ { s _ { l } } ( \kappa a ) } \, \left[ K _ { s _ { l } } ( \kappa a ) I _ { s _ { l } } ( \kappa r _ { < } ) - I _ { s _ { l } } ( \kappa a ) K _ { s _ { l } } ( \kappa r _ { < } ) \right] K _ { s _ { l } } ( \kappa r _ { > } ) \; ,