harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { \frac { \lambda _ { N - 1 } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } \\ { \frac { \lambda _ { N - 2 } } { \varepsilon _ { N } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { v _ { 1 } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } & { \cdots } & { \frac { v _ { N - 2 } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } \\ { \frac { w _ { 1 } } { \varepsilon _ { N } } } & { \cdots } & { \frac { w _ { N - 2 } } { \varepsilon _ { N } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \lambda _ { N - 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { v _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } & { \cdots } & { \frac { v _ { N - 2 } \varepsilon _ { N - 2 } } { \varepsilon _ { N - 1 } } } \\ { \frac { w _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } } { \varepsilon _ { N } } } & { \cdots } & { \frac { w _ { N - 2 } \varepsilon _ { N - 2 } } { \varepsilon _ { N } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { n _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { n u _ { N - 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { k } ( x ) } & { = \frac { 1 } { k ! } \frac { \partial ^ { k } } { \partial y ^ { k } } \alpha ( x , 0 ) = \frac { x ^ { k } } { ( 1 - 2 x ) ^ { k + 1 } } } & & { \mathrm { a n d } } \\ { \beta _ { k } ( x ) } & { = \frac { 1 } { k ! } \frac { \partial ^ { k } } { \partial y ^ { k } } \beta ( x , 0 ) = \frac { x ^ { k + 1 } } { ( 1 - x ) ( 1 - 2 x ) ^ { k + 1 } } \mathrm { . } } \end{array}
\widehat { \Delta } _ { \mu \nu } ^ { c o r } \; = \; - \left( \widehat { \Delta } ^ { r e t } \; \left. { \Delta } _ { 0 } ^ { c o r } \right. ^ { - 1 } \; \widehat { \Delta } ^ { a d v } \right) _ { \mu \nu } \; + \; \left( \widehat { \Delta } ^ { r e t } \; \widehat { \Pi } ^ { c o r } \; \widehat { \Delta } ^ { a d v } \right) _ { \mu \nu } \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { F } _ { i j k k } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } f _ { i } f _ { j } ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { { F } } _ { i j k k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { \tilde { \bar { F } } _ { i j } \tilde { F } _ { i j k k } } { \omega _ { i } - \omega _ { j } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) , } \end{array}
\frac { g _ { f _ { 0 } \pi ^ { + } \pi ^ { - } } ^ { 2 } } { 4 \pi } = \frac { 2 m _ { f _ { 0 } } ^ { 2 } C \Gamma _ { 0 } } { \sqrt { m _ { f _ { 0 } } ^ { 2 } / 4 - m _ { \pi } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } } & { + \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } - \beta _ { x , i _ { x } } \leq 0 , } \\ { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } } & { + \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } - \beta _ { u , i _ { u } } \leq 0 , } \\ { \bar { \Sigma } _ { x _ { N } } } & { \preceq \Sigma _ { F } . } \end{array}
\nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { U } = \mathbf { R } ^ { T } - \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { X } = \mathbf { R } ^ { T } - \mathbf { F } ^ { - 1 } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad { \frac { \partial U _ { J } } { \partial x _ { k } } } = \alpha _ { J k } - { \frac { \partial X _ { J } } { \partial x _ { k } } } = \alpha _ { J k } - F _ { J k } ^ { - 1 } \, ,
\delta \theta ^ { \alpha } = \epsilon ^ { \alpha } \, , \quad \delta \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } = \bar { \epsilon } ^ { \dot { \alpha } } \, , \quad \delta x _ { \mu } = i \theta \sigma _ { \mu } \delta \bar { \theta } - i \delta \theta \sigma _ { \mu } \bar { \theta }
\begin{array} { r l } { 6 \pi \eta \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A } & { : = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \cdots } & { C _ { 1 } ^ { T } } & { \cdots } & { \cdots } & { D _ { 1 } ^ { T } } & { \cdots } \\ & { \vdots } & & & { \vdots } & \\ { \cdots } & { C _ { m } ^ { T } } & { \cdots } & { \cdots } & { D _ { m } ^ { T } } & { \cdots } \\ { \ddots } & & & { \ddots } & & \\ & { I _ { n n } } & & & { I _ { n n } } & \\ & & { \ddots } & & & { \ddots } \end{array} \right] , } & { b } & { : = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 \vdots } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { L , R } ^ { n } ( \rho ) : = \pm f ( \rho ) - s ^ { n } \rho } \\ & { \forall ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) \in [ 0 , 1 ] ^ { 2 } , \, \exists k \in [ 0 , 1 ] \textrm { s . t . } \mathbf { G o d } _ { f _ { L } ^ { n } } ( \rho _ { L } , k ) = \mathbf { G o d } _ { f _ { R } ^ { n } } ( k , \rho _ { R } ) } \\ & { \mathbf { F } _ { i n t } ^ { n } ( \rho _ { j - 1 / 2 } ^ { n } , \rho _ { j + 1 / 2 } ^ { n } ) : = \mathbf { G o d } _ { f _ { L } ^ { n } } ( \rho _ { j - 1 / 2 } ^ { n } , k ) = \mathbf { G o d } _ { f _ { R } ^ { n } } ( k , \rho _ { j + 1 / 2 } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 2 } } & { = \partial _ { x } \beta ( x , y ) + \partial _ { y } \beta ( x , y ) } \\ & { = \left( \epsilon + 1 \right) \sin { \left( \pi x \right) } \sin { \left( 2 \pi y \right) } \cos { \left( \pi x \right) } } \\ & { + 2 - \left( \epsilon + 1 \right) \cos ^ { 2 } { \left( \pi x \right) } \cos { \left( 2 \pi y \right) } } \\ & { = 2 - ( \cos ( 2 \pi y ) + \cos ( 2 \pi ( x + y ) ) ) / 2 } \\ & { - \epsilon \cos ( \pi x ) \cos ( \pi ( x + 2 y ) ) . } \end{array}
g _ { n m } ^ { p o } ( k , q ) = \bigg [ \frac { \hbar \omega _ { p o } } { 2 } \bigg ] ^ { 1 / 2 } \sum _ { G \neq - q } ^ { } \bigg ( \frac { 1 } { \hat { n } . \epsilon _ { \infty } . \hat { n } } - \frac { 1 } { \hat { n } . \epsilon _ { s } . \hat { n } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \frac { \langle m k + q | e ^ { i ( q + G ) . \boldsymbol { r } } | n k \rangle } { | q + G | }
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { * } ( 0 ) } & { = \mu \frac { \int _ { \epsilon } ^ { \infty } x ^ { - \nu i } e ^ { - x } \mathrm { d } x } { \int _ { \epsilon } ^ { \infty } x ^ { - \nu ( i - 1 ) } e ^ { - x } \mathrm { d } x } = \frac { \Gamma ( 1 - \nu i , \epsilon ) } { \Gamma [ 1 - \nu ( i - 1 ) , \epsilon ] } \; , } \end{array}
\sigma = { \sqrt { \int _ { \mathbf { X } } ( x - \mu ) ^ { 2 } \, p ( x ) \, \mathrm { { d } } x } } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu = \int _ { \mathbf { X } } x \, p ( x ) \, \mathrm { { d } } x ,
\{ P _ { A _ { a } A _ { b } } , T _ { A _ { a } A _ { b } } , e _ { A _ { a } A _ { b } } , a _ { A _ { a } A _ { b } } , \omega _ { A _ { a } A _ { b } } , \Omega _ { A _ { a } A _ { b } } , \, i _ { A _ { a } A _ { b } } \} \cup \{ q _ { A _ { a } A _ { b } } \} \cup \{ P _ { A B } , T _ { A B } , e _ { A B } , a _ { A B } , \omega _ { A B } , \Omega _ { A B } , i _ { A B } \}
E ( \rho ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { d } J _ { 0 } ( \sqrt { \epsilon _ { d } } k _ { 0 } \rho ) } & { 0 < \rho \leq \rho _ { d } } \\ { B _ { d } J _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) + C _ { d } N _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) } & { \rho _ { d } < \rho \leq \rho _ { c } } \end{array} \right.
- \sin f \frac { \partial f } { \partial \delta L } = \frac { \partial } { \partial \delta L } \cos f = \frac { \partial } { \partial e } \left( \frac { \cos E - e } { 1 - e \cos E } \right) \frac { \partial e } { \partial \delta L } + \frac { \partial } { \partial E } \left( \frac { \cos E - e } { 1 - e \cos E } \right) \frac { \partial E } { \partial \delta L } \; ,
q _ { 1 } ^ { - 1 } = ( s + { \vec { v } } ) ^ { - 1 } = { \frac { ( s + { \vec { v } } ) ^ { * } } { \lVert s + { \vec { v } } \rVert ^ { 2 } } } = { \frac { s - { \vec { v } } } { s ^ { 2 } + \lVert { \vec { v } } \rVert ^ { 2 } } } ,
\tilde { u } _ { k } ( \eta ) \simeq \left( \frac { \pi ( \eta - H ^ { - 1 } - \eta _ { 0 } ) } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl [ c _ { k } ^ { 1 } H _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \bigl \{ k ( \eta - H ^ { - 1 } ( \eta ) - \eta _ { 0 } ) \bigr \} + c _ { k } ^ { 2 } H _ { \nu } ^ { ( 2 ) } \bigl \{ k ( \eta - H ^ { - 1 } ( \eta ) - \eta _ { 0 } ) \bigr \} \Bigr ] ,
\left( \Gamma _ { \gamma \to e ^ { - } e ^ { + } } \right) _ { m a x } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \; \left( \frac { 2 \alpha e B } { m _ { e } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 / 3 } \; \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { \omega } .
\begin{array} { r l } { \tau } & { { } = \beta \left( t - { \frac { v } { V ^ { 2 } } } x \right) } \\ { \xi } & { { } = \beta ( x - v t ) } \\ { \eta } & { { } = y } \\ { \zeta } & { { } = z } \\ { \beta } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v } { V } } \right) ^ { 2 } } } } } \end{array}
\tilde { m _ { 0 } } ^ { 2 } \stackrel { p \to \infty } { \rightarrow } \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \cosh ^ { 2 } p \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } \simeq \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 \sqrt { \alpha ^ { \prime } } p } \, .
\vec { \mu } \equiv - \frac { i } { 2 } \operatorname * { l i m } _ { q \rightarrow 0 } \left[ \vec { \nabla } _ { q } \times \vec { \jmath } \: ( \vec { q } , \vec { k } _ { 1 } , \vec { k } _ { 2 } ) \right] ,
a _ { 1 } = 2 \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } , \, a _ { 2 } = 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } / \beta _ { 0 } ^ { 4 } , \, a _ { 3 } = ( 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } / \beta _ { 0 } ^ { 4 } ) ( 1 - \beta _ { 0 } \beta _ { 2 } / 8 \beta _ { 1 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } & { \textrm { V o i g t - t y p e } : } & { \lambda _ { \textrm { e f f } } = V _ { 1 } \lambda _ { 1 } + V _ { 2 } \lambda _ { 2 } , } \\ & { \textrm { R e u s s - t y p e } : } & { \lambda _ { \textrm { e f f } } = \frac { 1 } { \frac { V _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } } + \frac { V _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } } } , } \\ & { \textrm { M a r k w o r t h e t a l . } : } & { \lambda _ { \textrm { e f f } } = V _ { 1 } \lambda _ { 1 } + V _ { 2 } \lambda _ { 2 } + V _ { 1 } V _ { 2 } \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } { \frac { 3 } { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } - 1 } + V _ { 1 } } , } \\ & { \textrm { W a k a s h i m a - T s u k a m o t o } : } & { \lambda _ { \textrm { e f f } } = \lambda _ { 1 } + \frac { \lambda _ { 1 } V _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) } { \lambda _ { 1 } + \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) V _ { 1 } } { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { D _ { \psi _ { i } } } } & { { = } } & { { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } D _ { \lambda _ { i } ^ { n } } = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } x ^ { n } \sum _ { N = 0 } ^ { n } \left( \! \! \begin{array} { c } { { n } } \\ { { N } } \end{array} \! \! \right) \Gamma _ { i } ^ { N } { \left( 1 - \Gamma _ { i } \right) } ^ { n - N } \left| \rho _ { i } ^ { N } \right> \left< \rho _ { i } ^ { N } \right| } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } \left| \rho _ { i } ^ { N } \right> \left< \rho _ { i } ^ { N } \right| \sum _ { n = N } ^ { + \infty } \left( \! \! \begin{array} { c } { { n } } \\ { { N } } \end{array} \! \! \right) \Gamma _ { i } ^ { N } { \left( 1 - \Gamma _ { i } \right) } ^ { n - N } x ^ { n } } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } \left| \rho _ { i } ^ { N } \right> \left< \rho _ { i } ^ { N } \right| \left\{ { \left( \Gamma _ { i } x \right) } ^ { N } \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } \left( \! \! \begin{array} { c } { { { n ^ { \prime } + N } } } \\ { { N } } \end{array} \! \! \right) { \left( \left( 1 - \Gamma _ { i } \right) x \right) } ^ { n ^ { \prime } } \right\} } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } \left| \rho _ { i } ^ { N } \right> \left< \rho _ { i } ^ { N } \right| \frac { { \left( \Gamma _ { i } x \right) } ^ { N } } { { \left( 1 - \left( 1 - \Gamma _ { i } \right) x \right) } ^ { N + 1 } } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( \mu , \sigma ) } & { = \left\{ Q : \mathbb { E } ^ { Q } [ X ] \leqslant \mu \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { v a r } ^ { Q } ( X ) \leqslant \sigma ^ { 2 } \right\} ; } \\ { H _ { \mathrm { S } } ( \mu , \sigma ) } & { = \{ Q \in H ( \mu , \sigma ) : \mathrm { ~ X ~ i s ~ s y m m e t r i c a l l y ~ d i s t r i b u t e d } \} ; } \\ { H _ { \mathrm { U } } ( \mu , \sigma ) } & { = \{ Q \in H ( \mu , \sigma ) : \mathrm { ~ X ~ i s ~ u n i m o d a l l y ~ d i s t r i b u t e d } \} ; } \\ { H _ { \mathrm { U S } } ( \mu , \sigma ) } & { = H _ { \mathrm { U } } ( \mu , \sigma ) \cap H _ { \mathrm { S } } ( \mu , \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Y ( x , t ) : = e ^ { x \mathcal { L } ( \omega ) + t \mathcal { Z } ( \omega ) } = \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { - \frac { i ( t + 2 x ) } { 4 \sqrt { 3 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \frac { i ( t + 2 x ) } { 2 \sqrt { 3 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - \frac { i ( t + 2 x ) } { 4 \sqrt { 3 } } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = \alpha = - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { = \beta = { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { l } { I _ { 1 } = \operatorname { t r } ( S _ { i j } ) = e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 3 } , } \\ { I _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( ( \operatorname { t r } ( S _ { i j } ) ) ^ { 2 } - \operatorname { t r } \left( S _ { i j } ^ { 2 } \right) \right) = e _ { 1 } e _ { 2 } + e _ { 1 } e _ { 3 } + e _ { 2 } e _ { 3 } , } \\ { I _ { 3 } = \det ( S _ { i j } ) = e _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } _ { l } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi ^ { \prime } } { 2 \pi } \left| \alpha \mathrm { e } ^ { i \phi ^ { \prime } } \right> \left< \alpha \mathrm { e } ^ { i \phi ^ { \prime } } \right| = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { n } \left| n \right> \left< n \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M L } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { I _ { p } } & { 0 } \\ { - D ^ { - 1 } C } & { I _ { q } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { A - B D ^ { - 1 } C } & { B } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right] } } \end{array}
\frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g _ { e f f } ^ { 2 } ( \mu ) } = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } } + 2 \ln \left( \frac { \Lambda } { \mu } \right) - 2 \ln Z ( \mu ) = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g _ { W } ^ { 2 } ( \mu ) } - 2 \ln Z ( \mu )
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { 1 \le n \le a _ { R } ^ { \prime } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| \le \sum _ { n = 1 } ^ { a _ { R } ^ { \prime } } \frac { 1 } { \sqrt { n } } } & { \le \int _ { 1 / 2 } ^ { a _ { R } ^ { \prime } + 1 / 2 } \frac { \, d x } { x ^ { 1 / 2 } } \le \int _ { 1 / 2 } ^ { \theta _ { 3 } t ^ { 2 7 / 8 2 } + 1 / 2 } \frac { \, d x } { x ^ { 1 / 2 } } } \\ & { \le 2 \sqrt { \theta _ { 3 } t ^ { 2 7 / 8 2 } + \frac { 1 } { 2 } } - \sqrt { 2 } \le C _ { 0 } t ^ { 2 7 / 1 6 4 } - \sqrt { 2 } , } \end{array}
\theta _ { t + 1 } = \theta _ { t } - \epsilon _ { t } \left[ \frac { s } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \nabla _ { \theta } \ell _ { j _ { t i } } ( d , \theta ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { \theta } u \left( x _ { t i } , \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \nabla _ { x } \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \dots \right) } { q ( x _ { t i } ) } \right] + \eta _ { t } ,
\begin{array} { r l } { L _ { n } ( \mathcal { F } ) } & { \leq C \left( 2 \alpha + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \int _ { \alpha } ^ { 1 } ( u / 2 ) ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } u + \frac { 1 } { { n } } \int _ { \alpha } ^ { 1 } ( u / 2 ) ^ { - 1 } \mathrm { d } u \right) } \\ & { \leq C \left( 2 \alpha + \frac { 2 ( \sqrt { 2 } - \sqrt { \alpha } ) } { \sqrt { n } } + \frac { 2 } { n } \log \frac { 1 } { \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \partial _ { \sigma } ^ { 2 } X ^ { 9 } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { 8 } { \frac { 1 } { 2 } } ( \{ X ^ { \nu + ( - ) ^ { \nu + 1 } } , \{ X ^ { \nu + ( - ) ^ { \nu + 1 } } , X ^ { 9 } \} \} + \{ X ^ { \nu } , \{ X ^ { \nu } , X ^ { 9 } \} \} ) = 0 , } } \end{array}
\langle \tilde { V } _ { a } | \tilde { V } _ { b } \rangle = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { B _ { a b } } } & { { \quad a , b \le 2 k + 2 } } \\ { { \delta _ { a b } } } & { { \quad a , b > 2 k + 2 } } \\ { { 0 } } & { { \quad o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { g } } m _ { i j } ^ { k } \overline { { a } } _ { x , j } ^ { k } w _ { x , i } = } & { { } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \Bigg [ \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \bigg [ V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } ^ { k } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial x } + V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } ^ { k } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial y } \bigg ] \Bigg ] w _ { x , i } } \end{array}
\Psi ( \phi , p , \mathrm { \bf S } ) = 2 \mu _ { 1 } p | \mathrm { \bf S } | - \frac { \mu _ { 1 } } { 3 d \Delta \phi \sqrt { \rho _ { s } } } ( \phi _ { \mathrm { m a x } } - \phi ) p ^ { 3 / 2 } + \eta ( \phi ) | \mathrm { \bf S } | ^ { 2 } .
M = m \left( \begin{array} { c c c c } { { \epsilon _ { 1 } } } & { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \epsilon _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon _ { 4 } } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon _ { 3 } } } & { { 1 } } & { { \epsilon _ { 5 } } } \end{array} \right) \, ,
{ \cal L } _ { G F } = - \frac { 1 } { 2 \xi _ { B } } f _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \xi _ { W } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { i } ^ { 2 } \right) \; , \nonumber
\left[ \frac { \prod _ { 1 \leq j < i \leq m } \left( u _ { j } - u _ { i } \right) \left( v _ { i } - v _ { j } \right) } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \left( v _ { j } - u _ { i } \right) } \right] ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { m ^ { 2 } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { u _ { i } v _ { i } } \right) \frac { \prod _ { 1 \leq j < i \leq m } \left| u _ { i } - u _ { j } \right| ^ { 2 } \left| v _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \left| u _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } }
\mathcal { D } _ { \mu } = \partial _ { \mu } - i e \mathcal { A } _ { \mu } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { F } _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } \mathcal { A } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \mathcal { A } _ { \mu } - i e [ \mathcal { A } _ { \mu } , \mathcal { A } _ { \nu } ] \; .
p _ { e } = \sum _ { k } { \widehat { p _ { k 1 2 } } } = \sum _ { k } { \widehat { p _ { k 1 } } } { \widehat { p _ { k 2 } } } = \sum _ { k } { \frac { n _ { k 1 } } { N } } { \frac { n _ { k 2 } } { N } } = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { k } n _ { k 1 } n _ { k 2 }
R = { \frac { \sum _ { \mathrm { a l l ~ r e f l e c t i o n s } } \left| F _ { \mathrm { o b s } } - F _ { \mathrm { c a l c } } \right| } { \sum _ { \mathrm { a l l ~ r e f l e c t i o n s } } \left| F _ { \mathrm { o b s } } \right| } } ,
( \mathcal { L } _ { s , n } \xi ) ( z , \bar { z } ) \, = \, { \oint _ { z } } { \frac { d \omega } { 2 \pi i } { ( \omega - z ) } ^ { n + s - 1 } \mathcal { T } _ { s } ( w ) \xi ( z , \bar { z } ) } ,
c ^ { n + 1 } = c ^ { n } + 1 . 5 \frac { \tau } { h _ { x } } ( v _ { x , i - 1 , j } c _ { i - 1 , j } - v _ { x , i , j } c _ { i , j } ) | _ { t _ { n } } - 0 . 5 \frac { \tau } { h _ { x } } ( v _ { x , i - 1 , j } c _ { i - 1 , j } - v _ { x , i , j } c _ { i , j } ) | _ { t _ { n - 1 } } .
\nabla _ { \mathbf { v } } { f } ( \mathbf { x } ) = f _ { \mathbf { v } } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = D _ { \mathbf { v } } f ( \mathbf { x } ) = D f ( \mathbf { x } ) ( \mathbf { v } ) = \partial _ { \mathbf { v } } f ( \mathbf { x } ) = \mathbf { v } \cdot { \nabla f ( \mathbf { x } ) } = \mathbf { v } \cdot { \frac { \partial f ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } } .
{ \frac { d ^ { 2 } t } { d \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } = \sqrt { h } \left[ { \frac { h ^ { \prime } } { 2 } } \left( { \frac { d t } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } - y \sum _ { j } \left( { \frac { d x ^ { j } } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } - { \frac { h ^ { \prime } } { h } } \right] { \frac { d t } { d \tilde { \lambda } } } ,
\begin{array} { r } { \gamma \simeq \frac { A ^ { 2 } \bar { P } \Psi _ { q } \Psi _ { p } } { 1 6 \pi ^ { 2 } d ^ { 2 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } \left| \int _ { - \frac { L _ { z } } 2 } ^ { \frac { L _ { z } } 2 } \frac { \mathrm { d } z } { \left[ \left( 1 - \frac 2 { r _ { q } } z \cos \theta _ { q } + \frac { z ^ { 2 } } { r _ { q } ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac 2 { r _ { p } } z \cos \theta _ { p } + \frac { z ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { x x } = ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { y y } } & { { } = } & { \omega _ { P } ^ { 2 } - ( 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } ) \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } , } \\ { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { z z } } & { { } = } & { \omega _ { P } ^ { 2 } - 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\bar { h } _ { v ^ { \prime } } i g _ { s } G ^ { \mu \nu } h _ { v } \Big | _ { \mathrm { b a r e } } = Z _ { E \to \hat { 1 } } ( v \cdot v ^ { \prime } ) \, ( v ^ { \mu } v ^ { \nu } - v ^ { \nu } v ^ { \mu } ) \, \bar { h } _ { v ^ { \prime } } h _ { v } + \dots \, .
\tilde { \rho } _ { { \left| - 1 \right\rangle } _ { \theta } } ( \omega ) = \frac { ( 2 N + 1 ) e ^ { - \frac { | \omega | } { 2 } } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi + i \chi \right) | \omega | } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi - i \chi \right) | \omega | } - 1 } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } \; \sum _ { a , { \bf k } } e _ { a } \int \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } ^ { \ast } \frac { \partial g _ { a , { \bf k } } } { \partial t } d ^ { 3 } v = \frac { d } { d t } \sum _ { \bf k } \frac { n _ { a } e _ { a } ^ { 2 } } { 2 T _ { a } } \left| \delta \phi _ { \bf k } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
g _ { 2 } \left( x = x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) = \frac { \langle \hat { \psi } ^ { \dagger } \left( x _ { 2 } \right) \hat { \psi } ^ { \dagger } \left( x _ { 1 } \right) \hat { \psi } \left( x _ { 1 } \right) \hat { \psi } \left( x _ { 2 } \right) \rangle } { n ^ { 2 } }