harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = } & { { } - \frac { \partial } { \partial { \bf R } _ { I } } { \cal U } ^ { ( m ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } , } \\ { { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = } & { { } - \omega ^ { 2 } \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 1 \, ; } \\ { \mathrm { a n d ~ } ( F _ { 3 } , e ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 0 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 1 , } \end{array}
\hat { P } _ { \mathrm { n s } } ^ { K , \eta } = \frac { \eta ^ { K } } { ( K - 1 ) ! } \frac { d ^ { K - 1 } } { ( 1 - \eta ) ^ { K - 1 } } \left[ \frac { ( 1 - \eta ) ^ { \hat { a } ^ { \dag } \hat { a } } } { \eta } \right] ,
V ^ { \prime } ( \vec { f } ) = \mathrm { g r a d } V ( \vec { f } ) \dot { \vec { f } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right]
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ^ { ( r ) } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \log \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( \left( 1 - \frac { \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \log \left( 1 - 2 \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \dot { \mathbf r } } } & { { } = } & { P e _ { s } \hat { \mathbf n } + P e _ { f } \mathbf { \hat { u } ( \hat { r } ) } + \sqrt { 2 \hat { D } _ { T } } \; \hat { \xi } _ { r } } \\ { \hat { \dot { \phi } } } & { { } = } & { \hat { \Omega } _ { 0 } + \hat { \Omega } _ { f } ( \mathbf r ) + \sqrt { 2 } \; \hat { \xi } _ { \phi } } \end{array}
A _ { 0 } = \frac { \lambda _ { 2 } x _ { 0 } - u _ { 0 } } { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ B _ { 0 } = \frac { u _ { 0 } - \lambda _ { 1 } x _ { 0 } } { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } .
i \hbar \partial _ { t } \psi ( q , t ) = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \nabla \psi ( q , t ) + V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( q ; \psi ) \psi \left( q , t \right) .
\phi ( \rho ) = \phi _ { 0 } - i c _ { 0 } { \frac { \rho } { \alpha _ { r } } } + i \sum _ { n \neq 0 } \frac { c _ { n } } { n } \mathrm { e } ^ { - n { \frac { \rho } { \alpha _ { r } } } } \ .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { C } } = \bf { A } \otimes \bf { B } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 2 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 1 , 1 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 1 } B _ { 2 , 2 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 2 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } B _ { 2 , 2 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { C _ { 1 1 , 1 1 } } & { C _ { 1 1 , 1 2 } } & { C _ { 1 1 , 2 1 } } & { C _ { 1 1 , 2 2 } } \\ { C _ { 1 2 , 1 1 } } & { C _ { 1 2 , 1 2 } } & { C _ { 1 2 , 2 1 } } & { C _ { 1 2 , 2 2 } } \\ { C _ { 2 1 , 1 1 } } & { C _ { 2 1 , 1 2 } } & { C _ { 2 1 , 2 1 } } & { C _ { 2 1 , 2 2 } } \\ { C _ { 2 2 , 1 1 } } & { C _ { 2 2 , 1 2 } } & { C _ { 2 2 , 2 1 } } & { C _ { 2 2 , 2 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta { \cal E } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p p } + \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h p } - \hbar \omega _ { p 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ p ~ b a n d ~ } } \\ { \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h h } + \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p h } - \hbar \omega _ { h 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ h ~ b a n d ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
e ^ { i k r \cos \theta } \xrightarrow { \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } r } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 l + 1 ) } { 2 i k r } \left[ e ^ { i k r } - ( - 1 ) ^ { l } e ^ { - i k r } \right] P _ { l } ( \cos \theta ) .
\frac { 1 } { 2 G } \left( m - m _ { 0 } \right) = 4 i N _ { C } m \sum _ { n = 0 } ^ { 2 } c _ { n } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } - \Lambda _ { n } ^ { 2 } + i \epsilon \right] ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq k \leq K - 1 } \mathbb { E } \left[ \| F ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \frac { ( 1 - L \gamma ) ( 1 + 3 C _ { 3 } \omega \gamma \delta ) ^ { K - 1 } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { \omega \gamma ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 8 ( 1 + 3 C _ { 3 } \omega \gamma \delta ) ^ { K - 2 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } { ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 3 2 \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) } } \\ & { \leq } & { \frac { ( 1 - L \gamma ) \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K - 1 } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { \omega \gamma ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 8 \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K - 2 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } { ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 3 2 \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , A \rangle | g \rangle = } & { { } \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , B \rangle | g \rangle = } \\ { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , B \rangle | g \rangle = } & { { } \frac { i } { 2 v w \sin { k } } \Big ( v e ^ { i k | x - x ^ { \prime } | } + w e ^ { i k | x - x ^ { \prime } - 1 | } \Big ) , } \\ { \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , A \rangle | g \rangle = } & { { } \frac { i } { 2 v w \sin { k } } \Big ( v e ^ { i k | x - x ^ { \prime } | } + w e ^ { i k | x - x ^ { \prime } + 1 | } \Big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { K ! } \int \prod _ { j = 1 } ^ { K } d { \bf a } _ { j } \, T h e t a ( \{ { \bf a } _ { j } \} , \{ \rho _ { 0 } \} ) \approx \frac { 1 } { K ! } ( V - v _ { e f f } ) ^ { K } \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { M } _ { t } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left\{ \lambda A _ { t } + B _ { t } ( \lambda + \log ( 1 - \lambda ) \right\} f ( \lambda ) d \lambda } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left\{ \lambda A _ { t } + B _ { t } ( \lambda + \log ( 1 - \lambda ) \right\} \frac { \rho ^ { \rho } e ^ { - \rho \left( 1 - \lambda \right) } \left( 1 - \lambda \right) ^ { \rho - 1 } } { \Gamma ( \rho ) - \Gamma ( \rho , \rho ) } d \lambda } \\ & { = \frac { \rho ^ { \rho } e ^ { - \rho } } { \Gamma ( \rho ) - \Gamma ( \rho , \rho ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \{ \lambda \left( A _ { t } + B _ { t } + \rho \right) \} \left( 1 - \lambda \right) ^ { B _ { t } + \rho - 1 } d \lambda } \\ & { = \left( \frac { \rho ^ { \rho } e ^ { - \rho } } { \Gamma ( \rho ) - \Gamma ( \rho , \rho ) } \right) \left( \frac { 1 } { B _ { t } + \rho } \right) { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 , B _ { t } + \rho + 1 , A _ { t } + B _ { t } + \rho ) , } \end{array}
\mathrm { d } s ^ { 2 } = g _ { t t } \, \mathrm { d } t ^ { 2 } - \bigg [ \left( g _ { r r } - 1 \right) \frac { x ^ { i } \, x ^ { j } } { r ^ { 2 } } + \delta ^ { i j } \bigg ] \mathrm { d } x _ { i } \mathrm { d } x _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \frac { H ^ { \prime } ( x ) } { H ( x ) } } & { = \frac { \pi } { 2 K ( k ) } \left[ \cot \left( \frac { \pi x } { 2 K ( k ) } \right) + 4 \sin \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 n } } { 1 - 2 q ^ { 2 n } \cos \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) + q ^ { 4 n } } \right] , } \\ { \frac { H _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } { H _ { 1 } ( x ) } } & { = - \frac { \pi } { 2 K ( k ) } \left[ \tan \left( \frac { \pi x } { 2 K ( k ) } \right) + 4 \sin \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 n } } { 1 + 2 q ^ { 2 n } \cos \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) + q ^ { 4 n } } \right] , } \\ { \frac { \Theta _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } { \Theta _ { 1 } ( x ) } } & { = - \frac { 2 \pi } { K ( k ) } \sin \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 n - 1 } } { 1 + 2 q ^ { 2 n } \cos \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) + q ^ { 4 n - 2 } } , } \\ { \frac { \Theta ^ { \prime } ( x ) } { \Theta ( x ) } } & { = \frac { 2 \pi } { K ( k ) } \sin \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 n - 1 } } { 1 - 2 q ^ { 2 n } \cos \left( \frac { \pi x } { K ( k ) } \right) + q ^ { 4 n - 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \vec { U } , \lambda _ { k i } } { \mathrm { m i n } } \quad } & { J \left( \vec { \boldsymbol { x } } ( 1 ) , \ldots , \vec { \boldsymbol { x } } ( N ) , \vec { U } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \vec { U } \in \mathcal { U } ^ { N } , } \\ & { \mathrm { E x p e c t a t i o n ~ a n d ~ s t a n d a r d ~ d e v i a t i o n } } \\ & { \mathrm { d e r i v e d ~ f r o m ~ d y n a m i c s ~ } \mathrm { ~ w i t h ~ } \bar { x } ( 0 ) } \\ & { \mathrm { C o n s t r a i n t ~ f o r ~ a l l ~ i ~ a n d ~ k ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial z ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial y } + u _ { z } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial z } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial y } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) } \\ { = f _ { y } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } \in \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { I , \mathcal { Q } _ { l } x } } & { = \left( \mathcal { Q } _ { l } x \right) _ { 2 } ( l ^ { + } ) = \left( \mathcal { Q } _ { l } x \right) _ { 2 } ( l ^ { - } ) , } \\ { - e _ { I , \mathcal { Q } _ { l } x } } & { = \left( \mathcal { Q } _ { l } x \right) _ { 1 } ( l ^ { + } ) - \left( \mathcal { Q } _ { l } x \right) _ { 1 } ( l ^ { - } ) . } \end{array}
\Sigma ( \omega _ { k } ) = { 3 } \alpha \frac { \left[ a ^ { 2 } ( k , t ) + ( \omega _ { P } ^ { 2 } + c ^ { 2 } k ^ { 2 } ) b ^ { 2 } ( k , t ) \right] } { \sqrt { \omega _ { P } ^ { 2 } + c ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { a _ { \varepsilon } ( \eta , \phi ) = \int _ { \Omega } m ( \varepsilon ) \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \eta \cdot \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \phi \, \mathrm { d } x , } \\ & { b ( \phi , v ) = \int _ { \Omega } \phi v _ { \psi } \, \mathrm { d } x , } \\ & { s ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { v } ) = \int _ { \Omega } \mu ( \psi ) \, ( ( \nabla \boldsymbol { w } ) \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ) : ( ( \nabla \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ) \operatorname* { d e t } \boldsymbol { F } \, \mathrm { d } x , } \end{array}
I _ { Y M , \theta } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int _ { X } d ^ { 4 } x \sqrt { g } \bigg ( { \frac { 4 \pi } { g _ { Y M } ^ { 2 } } } \mathrm { t r } [ F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ] + { \frac { i \theta } { 4 \pi } } \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \mathrm { t r } [ F ^ { \mu \nu } F ^ { \rho \sigma } ] \bigg ) ,
M _ { L , R } = \frac { g ^ { 2 } } { 2 \cos \theta _ { W } } \frac { m } { m _ { W } } \tan \beta \bar { u } ( k _ { 1 } ) \left( a _ { L , R } \frac { \hat { k } _ { 4 } \hat { Z } } { t } - a _ { R , L } \frac { \hat { Z } \hat { k } _ { 4 } } { u } \mp \frac { ( k _ { 4 } Z ) } { s - m _ { 3 } ^ { 2 } } \right) P _ { L } u ( k _ { 2 } ) ,
{ \frac { \partial } { \partial \tau } } X ( \mathbf { r } , \tau ) = { \frac { \hbar } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } X ( \mathbf { r } , \tau ) \, , \quad X ( \mathbf { r } , \tau ) = \Psi ( \mathbf { r } , \tau / i )
c _ { k \mathbf { m } } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = c _ { \mathbf { m } } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \qquad k \in \mathbb { N } ^ { * } .
L ( z , u _ { a } , D ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } d \hat { T } \, J ( z , u _ { a } , \hat { T } , D ) = L _ { 0 2 } ( z , u _ { a } , D ) + g ( z , D ) G _ { B a b } ^ { 1 - { \frac { D } { 2 } } } + O \bigl ( z ^ { 4 } , G _ { B a b } ^ { 2 - { \frac { D } { 2 } } } \bigr ) \nonumber \,
\mathbf { + \; } \frac { 1 } { 2 } g _ { R } \overline { { { \widehat { \mathbf { \psi } } } } } \gamma ^ { \mu } \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \gamma ^ { 5 } \right) \overrightarrow { \tau } \cdot \overrightarrow { \mathbf { W } } _ { R , \mu } \left( x \right) \widehat { \mathbf { \psi } } .
\begin{array} { r l r } { P _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ e ~ a ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } ( x , y , t ) } & { { } = } & { \frac { 8 \left[ k _ { 1 R } ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - 8 \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } \\ { Q _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ e ~ a ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } ( x , y , t ) } & { { } = } & { \frac { 8 \left[ k _ { 1 R } ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - 8 \left( \frac { k _ { 1 R } B _ { 1 } \sinh ( E _ { 1 } ) - k _ { 1 I } B _ { 2 } \sin ( E _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\v { r } _ { \boldsymbol { n } } = h \, ( n _ { 1 } \v { e } _ { 1 } + n _ { 2 } \v { e } _ { 2 } + n _ { 3 } \v { e } _ { 3 } ) \qquad n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \dots
F _ { i j } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k \left( r - b _ { i j } \right) } & { \mathrm { i f ~ } \frac { r } { R _ { i } + R _ { j } } < 1 + \epsilon } \\ { - k \left( r - b _ { i j } - 2 \epsilon b _ { i j } \right) } & { \mathrm { i f ~ } 1 + \epsilon < \frac { r } { R _ { i } + R _ { j } } < 1 + 2 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\langle ( \lambda { \bf I } + \boldsymbol { X } ) , ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) ( \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle = \langle \boldsymbol { V } ^ { \star } \boldsymbol { U } ^ { \star \mathrm { T } } \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { U } ^ { \star } \boldsymbol { V } ^ { \star \mathrm { T } } \boldsymbol { V } ^ { \star } - \boldsymbol { G } + \boldsymbol { H } , \boldsymbol { U } ^ { \star } - \boldsymbol { V } ^ { \star } \rangle .
{ } ^ { * } F ^ { \mu \nu } = \frac 1 2 \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } F _ { \rho \sigma } , \qquad { } ^ { * } F _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { * } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { * }
\| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k + 1 } \vert \| _ { k + 1 } ^ { 2 } + \widetilde { \rho } \beta _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k + 1 } , \boldsymbol { p } _ { k + 1 } ; \mathcal { T } _ { k + 1 } ) \leq \beta _ { 2 } \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k } \vert \| _ { k } ^ { 2 } + \widetilde { \rho } \beta _ { 3 } \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) .
\mathrm { t r } \frac { 1 } { \lambda ^ { n } } = \mathrm { t r } \frac { 1 } { \eta ^ { n } } \pm \biggl ( - \, 2 \varphi \, \frac { N } { \left( - \xi \right) ^ { n } } + 2 N \delta _ { n , 1 } - N \delta _ { n , 2 } \biggl ) ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { t } } & { = m _ { t } . T _ { m _ { t } } ^ { - 1 } \# P _ { t } \# ( T _ { m _ { \mu _ { 0 } } } , T _ { m _ { \mu _ { 1 } } } ) \# \tilde { \pi } } \\ & { = m _ { t } . \big ( T _ { m _ { t } } ^ { - 1 } \circ P _ { t } \circ ( T _ { m _ { \mu _ { 0 } } } , T _ { m _ { \mu _ { 1 } } } ) \big ) \# \tilde { \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \left. \frac { \partial F } { \partial \vec { \epsilon } } \right| _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } - \left. \frac { \partial F } { \partial \vec { \epsilon } } \right| _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \right] ^ { \top } \! \! \cdot \Delta \vec { \epsilon } } & { { } = \left[ \vec { \phi } _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } - \vec { \phi } _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \right] ^ { \top } \! \! \cdot \Delta \mu } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } = - \hbar \Delta _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } \right) .
\langle \Omega | \mathrm { T } \psi ( x ) \bar { \psi } ( y ) | \Omega \rangle = \frac { 1 } { i ^ { 2 } } \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { Z } _ { \mathrm { Q E D } } } { \delta \nabla _ { \beta _ { n } \cdots \beta _ { 1 } } \bar { J } ( x ) \, \gamma ^ { \dagger \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { n } } \delta \gamma ^ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } J ( y ) } \bigg \vert _ { \mathrm { s o u r c e \, \, t e r m s = 0 } }
\hat { m } _ { p } = \frac { \omega _ { m } } { 2 \pi } \int _ { - \frac { \pi } { \omega _ { m } } } ^ { \frac { \pi } { \omega _ { m } } } \left( m + m _ { i } \frac { 2 \, l ^ { 2 } } { 4 \, l ^ { 2 } - { \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - d v _ { b } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) \right) } ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - i p \omega _ { m } t } d t
\beta ( \omega ) - \beta ( \omega _ { \mathrm { s } } ) - ( \omega - \omega _ { \mathrm { s } } ) v _ { g } ^ { - 1 } = \sum _ { \mathrm { m } \ge 2 } \frac { ( \omega - \omega _ { \mathrm { s } } ) ^ { \mathrm { m } } } { \mathrm { m } ! } \frac { { \partial ^ { \mathrm { m } } } } { \partial { \omega ^ { \mathrm { m } } } } \beta ( \omega _ { \mathrm { s } } ) = \beta _ { \mathrm { i n t } } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \frac { 1 } { m } \langle \mathcal { H } _ { m \times n } \left( i \right) , \mathcal { H } _ { m \times n } \left( j \right) \rangle } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { K } } \mathcal { H } _ { m \times n } \left( i \right) \left[ \mathcal { H } _ { m \times n } \left( j \right) \right] ^ { * } \mathsf { d } \mu . } \\ { = } & { \langle \mathcal { H } _ { m \times n } \left( i \right) , \mathcal { H } _ { m \times n } \left( j \right) \rangle _ { \mathbb { K } } , } \end{array}
\operatorname { p f } ( A ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } } \sum _ { \sigma \in S _ { 2 n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { \sigma ( 2 i - 1 ) , \sigma ( 2 i ) }
4 \pi r { \mathcal E } _ { \theta } ^ { g } ( { \bf r } ; \tau ) = \eta h _ { 0 } ( { \bf r } ) \left. \frac { d i _ { g } ( \tau ^ { \prime } ) } { d \tau ^ { \prime } } \right\vert _ { \tau ^ { \prime } = \tau - R } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } + y _ { i } } \\ { s . t . \; \; } & { x _ { i } + y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } d _ { i } ( x _ { i } - y _ { i } ) = d _ { n } } \\ & { 0 \leq x _ { i } , y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \\ & { x _ { i } , y _ { i } \in \mathbb { Z } \quad \forall i . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { = V _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) + \underbrace { \sum _ { \mu \neq 0 } \frac { \vert \Delta V _ { 0 \mu } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) \vert ^ { 2 } } { \Delta E _ { 0 \mu } ^ { ( e ) } ( \underline { { R } } ) } } _ { = E _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } \quad , } \end{array}
< \Psi _ { n p } ^ { j } , \Psi _ { n ^ { \prime } p ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } > = \int _ { H _ { 3 } ^ { + } } d h \left( \Psi _ { n p } ^ { j } ( h ) \right) ^ { \ast } \Psi _ { n ^ { \prime } p ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } ( h ) = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { n , n ^ { \prime } } \delta ( p - p ^ { \prime } ) i \delta ( j - j ^ { \prime } ) ,
\left( Q _ { 1 } + \frac { \langle i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle } { | \langle i Z _ { 1 } + Z _ { 2 } \rangle | } \bar { Q } _ { \dot { 1 } } \right) | \langle H \rangle = H _ { \mathrm { I } } \rangle = 0 .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 1 ( 3 ) } + A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 2 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 0 ( 3 ) } + A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 0 ( 3 ) } \right| \right) } \\ & { \geqslant \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 2 ( 3 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) , 0 ( 3 ) } \right| \right) - 1 } \\ & { \geqslant \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { i ( 4 ) } \right| } { 3 } - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \nu } \int _ { \mathbb { R } } | K _ { t _ { l } } ^ { \nu } ( y _ { 1 } - z _ { 1 } , y _ { 2 } - z _ { 2 } ) | d z _ { 2 } } \\ & { \le 2 ^ { - \frac { j } { 2 } } \sum _ { \nu } C _ { N } \{ ( 1 + 2 ^ { \frac { j } { 2 } } | y _ { 1 } - z _ { 1 } - c _ { 1 } ( d ) t _ { l } ^ { \frac { d a _ { 1 } - a _ { 2 } } { d - 1 } } \kappa _ { \nu } ^ { \frac { 1 } { d - 1 } } | ) \} ^ { - N / 2 } } \\ & { \quad \times \int _ { \mathbb { R } } \{ ( 1 + 2 ^ { j } | y _ { 2 } - z _ { 2 } + \kappa _ { \nu } ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - c _ { 2 } ( d ) t _ { l } ^ { \frac { d a _ { 1 } - a _ { 2 } } { d - 1 } } \kappa _ { \nu } ^ { \frac { d } { d - 1 } } | ) \} ^ { - N / 2 } d z _ { 2 } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - \frac { 3 } { 2 } j } . } \end{array}