harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left| v _ { 2 } \right| \geq \frac { 1 } { \sqrt { n - 1 } } \sqrt { \left| v _ { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| v _ { 3 } \right| ^ { 2 } + \ldots } \geq \frac { \sqrt { 1 - \left( \frac { D _ { 0 } } { \sqrt { D _ { 0 } ^ { 2 } + 1 } } \right) ^ { 2 } } } { \sqrt { n - 1 } } = \frac { 2 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ l ~ } } ( x ) = ( 1 - q ) \frac { \alpha _ { 1 } } { \theta } \frac 1 { ( \theta / a ) ^ { \alpha _ { 1 } } - 1 } \left( \frac \theta x \right) ^ { \alpha _ { 1 } + 1 } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } a \le x \le \theta ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { b i a x i a l } } ^ { \mathrm { B F P } } ( y , z ) } & { = \ensuremath { \mathcal { F } } _ { z } \left\{ \ensuremath { \mathrm { A i } } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \cdot \exp \left( \frac { a z } { z _ { 0 } } \right) \ensuremath { \circledast } \delta \left( z - \frac { y ^ { 2 } } { 2 r _ { d } } \right) \right\} \cdot \exp \left( - \frac { y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\gamma _ { i } \gamma _ { j } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma _ { i } } } \\ { { - \sigma _ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma _ { j } } } \\ { { - \sigma _ { j } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } } & { \equiv ( \nabla _ { 2 } \widehat { t } _ { 1 } ) \cdot \widehat { t } _ { 2 } , } \\ & { = \frac { 1 } { | t _ { 2 } | ^ { 2 } } \frac { \partial } { s _ { 2 } } \left( \frac { t _ { 1 } } { | t _ { 1 } | } \right) \cdot t _ { 2 } , } \\ & { = \frac { 1 } { \partial | t _ { 2 } | ^ { 2 } | t _ { 1 } | } \frac { \partial t _ { 1 } } { \partial s _ { 2 } } \cdot t _ { 2 } + 0 , } \\ & { = \frac { 1 } { | t _ { 2 } | ^ { 2 } | t _ { 1 } | } \frac { \partial t _ { 2 } } { \partial s _ { 1 } } \cdot t _ { 2 } , } \\ & { = \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } \nabla _ { 1 } ( | t _ { 2 } | \widehat { t } _ { 2 } ) \cdot \widehat { t } _ { 2 } , } \\ & { = \nabla _ { 1 } \log | t _ { 2 } | + 0 . } \end{array}
\widetilde { \Phi } _ { p p } = \frac { 0 . 4 6 \widetilde { \omega } ^ { 0 . 9 9 } ( \beta + 1 ) ^ { 1 . 5 } } { \frac { R _ { T } ^ { 0 . 5 5 } \widetilde { \omega } ^ { 1 . 0 2 } } { \Pi ^ { 2 . 7 6 } + \Delta } + M \Delta ^ { 6 . 7 5 } \left( \frac { R _ { T } + \widetilde { \omega } ^ { 5 . 0 7 } } { R _ { T } ^ { 5 . 8 4 } } \right) }
\Delta V _ { n , j } ^ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \equiv \langle \kappa ^ { \prime } | \Delta V ( { \bf R } _ { n } , \omega , { \bf r } _ { j } ) | \kappa \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \omega } } \langle \kappa ^ { \prime } | \omega _ { i } \rangle \Delta V ( { \bf R } _ { n } , \omega _ { i } , { \bf r } _ { j } ) \langle \omega _ { i } | \kappa \rangle
\hat { H } _ { p h } ^ { F } \Phi _ { n } ^ { F } = \left( \frac 1 2 \langle p _ { a } , \hat { g } ^ { 1 1 } p _ { a } \rangle + V _ { q } [ a ] + \frac 1 2 \langle { \bf B } , { \bf B } \rangle \right) \Phi _ { n } ^ { F } = E _ { n } \Phi _ { n } ^ { F } \ .
\Gamma = \left\{ \begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { f 0 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \eta _ { \mathrm { f l i p } } \leq \eta \leq \eta _ { \mathrm { o f f } } } \\ { 0 \; \; } & { { } \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { H } } } & { = - J _ { 0 } \, e ^ { i t \left[ ( U _ { 0 } - U ) { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } + E { \mathcal { H } } _ { \textrm { t i l t } } \right] } \left( \sum _ { j } { b } _ { j } ^ { \dagger } { b } _ { j - 1 } + \mathrm { h . c . } \right) e ^ { - i t \left[ ( U _ { 0 } - U ) { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } + E { \mathcal { H } } _ { \textrm { t i l t } } \right] } + U { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } } \\ & { = - J _ { 0 } \sum _ { j } \prod _ { k = j - 1 , j } e ^ { i t \left[ E k { n } _ { k } + \frac { U _ { 0 } - U } { 2 } { n } _ { k } ( { n } _ { k } - 1 ) \right] } \left( { b } _ { j } ^ { \dagger } { b } _ { j - 1 } + \mathrm { h . c . } \right) \prod _ { k ^ { \prime } = j - 1 , j } e ^ { - i t \left[ E k ^ { \prime } { n } _ { k ^ { \prime } } + \frac { U _ { 0 } - U } { 2 } { n } _ { k ^ { \prime } } ( { n } _ { k ^ { \prime } } - 1 ) \right] } + U { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } } \\ & { = - J _ { 0 } \sum _ { j } \left( { b } _ { j } ^ { \dagger } e ^ { i t \left[ E + ( U _ { 0 } - U ) ( { n } _ { j } - { n } _ { j - 1 } ) \right] } { b } _ { j - 1 } + \mathrm { h . c . } \right) + U { \mathcal { H } } _ { \textrm { i n t } } . } \end{array}
\mathrm { O p } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } / } \stackrel { \mathrm { P o l } ^ { \mathrm { n u } } } { \longrightarrow } \mathrm { A l g } _ { \widetilde { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } } ^ { \mathrm { g r } } \stackrel { \mathrm { o b l v } _ { \widetilde { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } } ^ { \mathrm { L i e } \{ 1 \} } } { \longrightarrow } \mathrm { A l g } _ { \mathrm { L i e } \{ 1 \} } ^ { \mathrm { g r } } \stackrel { ( - ) [ 1 ] } { \longrightarrow } \mathrm { A l g } _ { \mathrm { L i e } } ^ { \mathrm { g r } } \: .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \lambda } \kappa _ { b } } & { = - \frac { \sin \varphi _ { \gamma } } { 2 \sqrt { 1 - \lambda - k ^ { 2 } } } } \\ & { \quad + \Bigg ( \sqrt { 1 - \lambda - k ^ { 2 } } \cos \varphi _ { \gamma } - \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi _ { \gamma } } + \frac { E ( k ) } { K ( k ) \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi _ { \gamma } } } \Bigg ) \partial _ { \lambda } \varphi _ { \gamma } . } \end{array}
{ \mathrm { A t t e n u a t i o n } } = \alpha \left[ { \frac { \mathrm { d B } } { { \mathrm { M H z } } \cdot { \mathrm { c m } } } } \right] \cdot \ell [ { \mathrm { c m } } ] \cdot { \mathrm { f } } [ { \mathrm { M H z } } ]
u s i n g a t m o s t t w o g e n e r a t o r p o l y n o m i a l s . O u r r e p r e s e n t a t i o n i s m o r e c o m p u t a t i o n a l l y f r i e n d l y t h a n t h e c a n o n i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f . T h i s r e p r e s e n t a t i o n a l l o w s u s t o g i v e a m i n i m u m d i s t a n c e l o w e r b o u n d f o r a d d i t i v e c y c l i c c o d e s o v e r
\begin{array} { r } { G ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ) \right] \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } - \Theta ( x ^ { \prime } - x ) \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x ) \right] , } \end{array}
V _ { r i n g } ^ { u n s t a b l e } = \frac { e H } { 2 \pi \beta } \{ ( M _ { w } ^ { 2 } - e H + \Pi ( H , T ) ) ^ { 1 / 2 } - ( M _ { w } ^ { 2 } - e H ) ^ { 1 / 2 } \} .
\begin{array} { r l } & { \hat { \varphi } _ { j + 1 } ( t - \hat { \tau } ) - \hat { \varphi } _ { j } ( t ) } \\ & { = \varphi _ { 0 , j + 1 } + ( j + 1 ) \frac { \pi } { 2 } - ( \varphi _ { 0 , j } + j \frac { \pi } { 2 } ) - \Omega \left( \tau + \frac { \pi } { 2 \Omega } \right) } \\ & { = \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { p _ { I I I } } - { p _ { 0 } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho \left( 1 - E ^ { 2 } \right) \left( v _ { 0 } ^ { 2 } - { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } \right) + p _ { I I } - p _ { I } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \left( 1 - E ^ { 2 } \right) v _ { 0 } ^ { 2 } + { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } \theta ( s ) \right) } \end{array}
\tilde { J } _ { \pm } ( \mu ) = ( J _ { \pm } ) _ { N D R } \pm \frac { \gamma _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } { 1 2 } \kappa _ { \pm } + \frac { \gamma _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } { 2 } \ln ( \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } )
S _ { \mathrm { w o r l d \atop v o l } } = T _ { ( p ) } \int d ^ { p + 1 } \zeta \ e ^ { - \Phi / 2 } \sqrt { \vert d e t { \hat { G } } _ { \alpha \beta } \vert } + \mu _ { ( p ) } \int d ^ { p + 1 } \zeta \ C _ { ( p + 1 ) } \ ,
\begin{array} { r } { E _ { \vartheta } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) = \int _ { V _ { \alpha } } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, \, \rho _ { \alpha } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \, \, E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } , \omega ) } \end{array}
\Delta S _ { 1 } = \int d ^ { 4 } x ~ h ( 2 m ) ^ { - 1 } \sum _ { r s } ~ ^ { \prime } ~ ~ \int d ^ { d } x \left( P _ { r } ^ { \mu } \Psi _ { r } ^ { B } \right) ^ { \dagger } \left( P _ { \mu s } \Psi _ { s } ^ { B } \right)
b _ { o u t } = \left\{ \begin{array} { l l } { B \frac { D _ { o p t } } { p ( D _ { o p t } - w _ { i n } ) } , } & { p \ge \frac { D _ { o p t } + w _ { i n } } { D _ { o p t } - w _ { i n } } , } \\ { B \left( 1 - \frac { ( p - 1 ) ^ { 2 } ( D _ { o p t } - w _ { i n } ) } { 4 p w _ { i n } } \right) , } & { 1 < p \le \frac { D _ { o p t } + w _ { i n } } { D _ { o p t } - w _ { i n } } , } \\ { B , } & { p \le 1 . } \end{array} \right.
- { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \left[ 2 V _ { \infty } { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial x \partial t } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial t ^ { 2 } } } \right] + \left( 1 - M _ { \infty } ^ { 2 } \right) { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial z ^ { 2 } } } = 0 ,
\nu _ { 6 } = \mu _ { m a x , N } ^ { * } \frac { S _ { I C } ^ { * } } { K _ { N , I C } + S _ { I C } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { N } ^ { * }
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \hat { a } ( t ) } { \partial t } } & { = - \hat { h } \hat { a } ( t ) + \hat { a } ( t ) \hat { h } = \hbar \omega [ - \hat { a } ^ { + } ( t ) \hat { a } ( t ) \hat { a } ( t ) + \hat { a } ( t ) \hat { a } ^ { + } ( t ) \hat { a } ( t ) ] = } \\ & { = \hbar \omega \hat { a } ( t ) \; \; \Rightarrow \; \; \hat { a } ( t ) = \hat { a } e ^ { - i \omega t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } } & { = \underbrace { \mathcal { L } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , x , t ; \nu \right) } _ { L o w - F i d e l i t y ~ / ~ K n o w n ~ M o d e l } } \\ & { + \underbrace { \mathcal { F } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , x , t ; \phi \right) } _ { M a r k o v i a n ~ C l o s u r e ~ T e r m } } \\ & { + \underbrace { \int _ { t - \tau } ^ { t } \mathcal { D } _ { N N } \left( u ( x , s ) , \frac { \partial u ( x , s ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , s ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , x , s ; \theta \right) d s } _ { N o n - M a r k o v i a n ~ C l o s u r e ~ T e r m } , \quad x \in \Omega , \; t \geq 0 \, , } \\ { u ( x , t ) } & { = h ( x , t ) , \; - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) , \; x \in \partial \Omega , \; t \geq 0 \, , } \end{array}
| \Delta ^ { \prime } ( s ) | = 2 { \big | } u ( \mathbf { X } ( s ) ) - U ( s ) { \big | } { \Big ( } { \big \| } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big \| } \ \| \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) \| + { \big | } c ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big | } { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } | \Xi _ { k } f ( x ) | \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } } & { \leq \mathbf { C } \cdot \operatorname* { m i n } _ { x _ { I } \in I } \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } \big | \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { n } ( x _ { I } ) \big | \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } } \\ & { \qquad + \mathbf { C } \cdot N ^ { - 1 0 0 } \cdot \| M _ { \mathrm { H L } } f \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } } \end{array}
f ( z ) = \left( \frac { 3 } { 8 } \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \left( z + \sqrt { z ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { \alpha } \left( \frac { \left( ( 2 - \sqrt { 3 } ) z - i \sqrt { z ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } } { \left( ( 2 - \sqrt { 3 } ) z + i \sqrt { z ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { { \beta } } ,
\begin{array} { r } { n _ { 1 } = \sqrt { \epsilon _ { 1 } + \frac { \gamma _ { \perp } \frac { d _ { 0 } } { 1 + \Gamma \left| E \right| ^ { 2 } } } { \omega _ { \sigma } - \omega _ { a } + i \gamma _ { \perp } } } , \, \, \, \Gamma = \frac { \gamma _ { \perp } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { \sigma } - \omega _ { a } \right) ^ { 2 } + \left( \gamma _ { \perp } \right) ^ { 2 } } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ { \gamma _ { \perp } = 4 , \, \, d _ { 0 } = \frac { \theta ^ { 2 } } { \hbar \gamma _ { \perp } } \left( \frac { \gamma _ { 1 2 } - \gamma _ { 2 1 } } { \gamma _ { 1 2 } + \gamma _ { 2 1 } } N _ { 0 } \right) = 0 . 0 6 , \, \, \epsilon _ { 1 } = 2 . 2 5 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ { \omega _ { \sigma } = 4 0 . 7 7 , \, \, \omega _ { a } = 4 0 , \, \, l _ { 1 } = 1 , \, \, n _ { 1 } = 1 . 5 0 2 9 8 - 0 . 0 1 9 i , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ { \, \, \theta = 1 , \, \, N _ { 0 } = 3 7 , \gamma _ { 1 2 } = 0 . 0 0 5 0 6 5 , \gamma _ { 2 1 } = 0 . 0 0 5 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \end{array}
0 = \biggl | \begin{array} { l l } { { A _ { j m } ( x ) } } & { { A _ { j m } ( y ) } } \\ { { A _ { m k } ( x ) } } & { { A _ { m k } ( y ) } } \end{array} \biggr | - \biggl | \begin{array} { l l } { { \psi _ { j m } ( x ) } } & { { \psi _ { j m } ( y ) } } \\ { { \psi _ { m k } ( x ) } } & { { \psi _ { m k } ( y ) } } \end{array} \biggr | A _ { j m k } ( x + y ) .
\operatorname * { l i m } _ { \{ \alpha _ { f } \} \to \infty } \frac { \operatorname * { d e t } [ C ( \alpha _ { f } , i \mu _ { g } ) ] _ { f , g = 1 , \dots , N _ { f } } } { \Delta _ { N _ { f } } ( \alpha ) } = \mathcal { F } \cdot \operatorname * { d e t } \mathcal { B }
\begin{array} { r l } { \dot { S } _ { \mathrm { i n t } } } & { = \frac { v ^ { 2 } } { D } - \frac { f \ell J } { D } - \frac { v } { D } \sum _ { \mathcal { Z } = \mathcal { A } } ^ { \mathcal { C } } \Bigg ( \frac { h } { a } \mathcal { Z } _ { - } ^ { [ 1 ] } \frac { e ^ { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 1 ] } a } - 1 } { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 1 ] } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \frac { h } { \ell - a } \mathcal { Z } _ { - } ^ { [ 2 ] } \frac { e ^ { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 2 ] } \ell } - e ^ { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 2 ] } a } } { \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 2 ] } } \Bigg ) , } \end{array}
( \partial _ { \boldsymbol { J } } C ) ( 0 ) = \sum _ { \substack { 1 \leq | \boldsymbol { \lambda } | \leq | \boldsymbol { J } | } } ( \partial _ { \boldsymbol { \lambda } } B ) ( 0 ) \sum _ { s = 1 } ^ { | \boldsymbol { J } | } \sum _ { \mathcal { C } _ { s } ( \boldsymbol { J } , \boldsymbol { \lambda } ) } \boldsymbol { J } ! \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { [ \boldsymbol { A } _ { \boldsymbol { \ell } _ { j } } ( 0 ) ] ^ { \boldsymbol { k } _ { j } } } { ( \boldsymbol { k } _ { j } ! ) [ \boldsymbol { \ell } _ { j } ! ] ^ { | \boldsymbol { k } _ { j } | } } ,
\{ ( H _ { y } ) _ { i ^ { \prime } - 1 , j ^ { \prime } - 1 } , \ldots , ( H _ { y } ) _ { i ^ { \prime } + 1 , j ^ { \prime } + 1 } \} , \{ ( E _ { z } ) _ { i ^ { \prime } - 1 , j ^ { \prime } - 1 } , \ldots , ( E _ { z } ) _ { i ^ { \prime } + 1 , j ^ { \prime } + 1 } \}
\left\langle k \right\rangle = \frac { 1 } { N _ { \mathscr { V } } } \sum _ { i \in \mathscr { V } } k _ { i } = \frac { 1 } { N _ { \mathscr { V } } } \sum _ { i \in \mathscr { V } } \sharp ( \{ ( i , j ) | ( i , j ) \in \mathscr { E } \} ) = \frac { 2 N _ { \mathscr { E } } } { N _ { \mathscr { V } } } .
U = - \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \mathbf { F } \cdot \, d \mathbf { r } = - \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { \mathbf { r ^ { 2 } } } } \cdot \, d \mathbf { r } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { 1 } { r _ { 0 } } } - { \frac { 1 } { r } } \right) + c
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 1 9 2 0 } \big [ \epsilon _ { i j j j j j } ( - 5 \omega ; \omega , \omega , \omega , \omega , \omega ) \cos ( 5 \omega t ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; + 5 \epsilon _ { i j j j j j } ( - 3 \omega ; \omega , \omega , \omega , \omega , - \omega ) \cos ( 3 \omega t ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; + 1 0 \epsilon _ { i j j j j j } ( - \omega ; \omega , \omega , \omega , - \omega , - \omega ) \cos ( \omega t ) \big ] } \\ & { = \big [ \epsilon _ { i j j j j j } ^ { \mathrm { 5 H G } } ( \omega ) \cos ( 5 \omega t ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; + 5 \epsilon _ { i j j j j j } ^ { \mathrm { H T H G } } ( \omega ) \cos ( 3 \omega t ) } \\ & { \; \; \; \; \; \; + 1 0 \epsilon _ { i j j j j j } ^ { \mathrm { D 6 W M } } ( \omega ) \cos ( \omega t ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \cos ( \theta ( t ) ) } \\ & { = } & { \cos \left( ( E _ { \operatorname* { m a x } } - E _ { \operatorname* { m i n } } ) t \right) \frac { \varsigma _ { 1 } + \varsigma _ { 2 } e ^ { - 2 t \gamma _ { \mathrm { a l l } } } } { \sqrt { \varsigma _ { 1 } + \varsigma _ { 2 } } \sqrt { \varsigma _ { 1 } + \varsigma _ { 2 } e ^ { - 4 t \gamma _ { \mathrm { a l l } } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf B } _ { 2 } } & { { } = } & { { \bf B } _ { 1 } ( i \rightarrow - i ; { \cal F } ^ { ( 1 ) } e ^ { i k _ { z } z } \rightarrow { \cal F } ^ { ( 2 ) } e ^ { i k _ { z } z } ) } \\ { { \bf E } _ { 2 } } & { { } = } & { { \bf E } _ { 1 } ( i \rightarrow - i ; { \cal F } ^ { ( 1 ) } e ^ { i k _ { z } z } \rightarrow { \cal F } ^ { ( 2 ) } e ^ { i k _ { z } z } ) } \end{array}
d s ^ { 2 } = ( 1 - \frac { 2 m ( r ) } { r } ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + s i n ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } ) - ( 1 - \frac { 2 m ( r ) } { r } ) e ^ { - 2 \delta ( r ) } d t ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { J ( \omega ) } & { = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { N } J _ { \alpha } ( \omega ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \\ { J _ { \alpha } ( \omega ) } & { = \frac { 2 } { \pi } \lambda _ { \alpha } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { \omega \gamma _ { \alpha } } { \left( \omega _ { \alpha } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \gamma _ { \alpha } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { e m } } ( \omega ) } & { \sim } & { \rho _ { p h o t } ( \omega ) \Big [ \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { B B } } ( \omega ; T _ { \mathrm { e } } ( t ) ) \rangle + 2 \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { B B } } ( \omega - \omega _ { \mathrm { L } , 0 } ; T _ { \mathrm { e } } ( t ) ) \rangle \delta _ { E } ( t ) } \\ & { + } & { \langle \mathcal { E } _ { \mathrm { B B } } ( \omega - 2 \omega _ { \mathrm { L } , 0 } ; T _ { \mathrm { e } } ( t ) ) \rangle \delta _ { E } ^ { 2 } ( t ) + \cdots \Big ] . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i + 1 } - { \alpha } _ { i - 1 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } \leq { \mathrm { c } } _ { 2 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 2 } = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq { T } } { \left| { \alpha } ^ { \prime } \left( t \right) \right| } \, .
{ \cal M } = - \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } \, e } Z \varepsilon _ { \mu } \bar { \nu } \gamma _ { \nu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu \, ( g _ { V } \Pi ^ { \mu \nu } - g _ { A } \Pi _ { 5 } ^ { \mu \nu } ) ,
\mathbf { \hat { v } } ( \mathbf { r } ) = \mathbf { \hat { v } } _ { 0 } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbf { \hat { G } } _ { v } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } ) \mathbf { \hat { F } } _ { n } ,
\frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { j } ^ { ' } } } } { \partial t } + \overline { { u _ { k } } } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { j } ^ { ' } } } } { \partial x _ { k } } = D _ { i j } + P _ { i j } + \phi _ { i j } - \epsilon _ { i j } ,
\lambda _ { R } \equiv \left. \frac { d ^ { 4 } V _ { e f f } } { d \phi ^ { 4 } } \right| _ { \phi _ { 1 } } = \lambda \left[ 1 + \frac { 9 } { 3 2 } \frac { \lambda } { \pi ^ { 2 } } + \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 ^ { 1 0 } } \frac { \lambda ^ { 2 } } { \pi ^ { 4 } } \right]
\nu _ { { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } = 0 , \nu _ { { G + 1 \mathord { \left/ { \vphantom { G + 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } = \infty
\begin{array} { r l } & { \dot { Q } _ { x } = \frac { P _ { x } } { M } + \dot { \gamma } Q _ { y } ( t ) } \\ & { \dot { Q } _ { y } = \frac { P _ { y } } { M } } \\ & { \dot { P } _ { x } = - V ^ { \prime } [ \mathbf { { Q } } ] _ { x } + \sum _ { i } c _ { i } \Bigl ( q _ { i x } - \frac { c _ { i } Q _ { x } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigr ) } \\ & { \dot { P } _ { y } = - V ^ { \prime } [ \mathbf { { Q } } ] _ { y } - \dot { \gamma } P _ { y } ( t ) + \sum _ { i } c _ { i } \Bigl ( q _ { i y } - \frac { c _ { i } Q _ { y } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigr ) } \\ & { \dot { q } _ { i x } = p _ { i x } + \dot { \gamma } q _ { i y } } \\ & { \dot { q } _ { i y } = p _ { i y } } \\ & { \dot { p } _ { i x } = - \omega ^ { 2 } q _ { i x } + c _ { i } Q _ { x } } \\ & { \dot { p } _ { i y } = - \omega ^ { 2 } q _ { i y } - \dot { \gamma } p _ { i x } + c _ { i } Q _ { y } . } \end{array}
x _ { 1 } = d _ { u _ { k } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M + \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M \right)
\begin{array} { r l } { \bar { p } _ { \mathrm { W W } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { \mathrm { W W } } \Phi _ { \mathrm { W } } ^ { * } ( p _ { \mathrm { W W } } , p _ { \mathrm { W M } } ) \mathrm { d } p _ { \mathrm { W W } } \mathrm { d } p _ { \mathrm { W M } } , } \\ { \bar { p } _ { \mathrm { W M } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { \mathrm { W M } } \Phi _ { \mathrm { W } } ^ { * } ( p _ { \mathrm { W W } } , p _ { \mathrm { W M } } ) \mathrm { d } p _ { \mathrm { W W } } \mathrm { d } p _ { \mathrm { W M } } , } \\ { \bar { p } _ { \mathrm { M W } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { \mathrm { M W } } \Phi _ { \mathrm { M } } ^ { * } ( p _ { \mathrm { M W } } , p _ { \mathrm { M M } } ) \mathrm { d } p _ { \mathrm { M W } } \mathrm { d } p _ { \mathrm { M M } } , } \end{array}
G _ { m } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = [ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \Gamma ( \alpha _ { i } ) ] ^ { - 1 } r _ { 1 2 } ^ { \alpha _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } D } r _ { 1 4 } ^ { \frac { 1 } { 2 } D - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 4 } } r _ { 2 4 } ^ { \frac { 1 } { 2 } D - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 4 } } r _ { 3 4 } ^ { - \alpha _ { 3 } } F ( u , v )