harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - \frac { 1 } { 2 } \bigtriangledown _ { i } ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } _ { i } ) \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j > i } ^ { N } \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right| } } \\ { = } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { H } _ { 0 } ^ { i } + \hat { H } _ { 2 } = \hat { H } _ { 0 } + \hat { H } _ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { H } _ { 1 } = } & { { } w _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) ( 8 H + \tau ^ { 2 } ) + 2 \tau ^ { 2 } H \cos ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) \, , } \\ { \tilde { H } _ { 2 } = } & { { } 2 0 \tau ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) - ( 8 H + \tau ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( T _ { \rho _ { M } } \circ \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } \right) ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } & { = \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { - 1 } ) \cdot f _ { v } ( m m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { - 1 } ) \circ \rho _ { M } ( m m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \right) \cdot v } & { ( m m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } \in K _ { M } ) , } \\ { 0 } & { ( \mathrm { o t h e r w i s e } ) } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } ) \cdot v } & { ( m m ^ { \prime \prime } m ^ { - 1 } m _ { 1 } \in K _ { M } ) , } \\ { 0 } & { ( \mathrm { o t h e r w i s e } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal M } _ { C Y , J } ^ { \epsilon } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r } { { { { R } } _ { 2 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \beta _ { k } \bigg | { { \tilde { X } } } + \frac { { { { W } _ { | | k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } } + \frac { { { { W } _ { \perp k } } } } { \sqrt { P } { | \tilde { h } _ { k } | } } \bigg | + \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho _ { k } ) P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ \Delta ^ { a , b } ( H _ { i , 1 } ) , \Delta ^ { a , b } ( e _ { u , j } t ^ { a } ) ] } \\ & { = - _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 4 } + _ { i , j , 4 } } \\ & { \quad + _ { i + 1 , j , 1 } + _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 4 } + _ { i , j , 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \mu } \tilde { \mathcal { S } } _ { 1 } = \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, \nabla _ { \mu } \mathcal { H } ( \vec { \bf R } ( w [ \mu ] ) ) _ { F } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { F \in \mathcal { F } } A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, \left( \nabla _ { \vec { \bf R } } \mathcal { H } ( \vec { \bf R } ) _ { F } \right) \cdot \left( \nabla _ { w } \vec { \bf R } \right) \cdot \left( \nabla _ { \mu } w \right) } \end{array}
{ G ^ { \mu \nu } } ^ { \prime } = ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } ) ^ { \prime } ( F _ { \alpha \beta } ) ^ { \prime } = \Lambda _ { \sigma } ^ { \mu } \Lambda _ { \tau } ^ { \nu } \Lambda _ { \rho } ^ { \alpha } \Lambda _ { \gamma } ^ { \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \sigma \tau \rho \gamma } ) \Lambda _ { \alpha } ^ { \xi } \Lambda _ { \beta } ^ { \omega } ( F _ { \xi \omega } )
\begin{array} { r l } { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v } & { \leq \frac { 1 } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } \int ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { p + 1 + \gamma } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } \int ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { q } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq \frac { C } { ( \ell - k ) ^ { \gamma } } \left[ \left( \left\| \langle \cdot \rangle ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \nabla ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p } \right) \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p \left( \frac { q - p - \frac { 2 } { 3 } } { p - 1 } \right) } \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L _ { m } ^ { 1 } } ^ { { { \frac { 5 p - 3 q } { 3 ( p - 1 ) } } } } \right] , } \end{array}
K _ { | | \nabla \tau ( x ^ { \prime } ) | | ^ { 2 } } ^ { ( j ) } ( s ) = 2 ^ { j - 1 } ( j - 1 ) ! \sum _ { i = 1 } ^ { d } \lambda _ { i } ^ { j } ( 1 - 2 s \lambda _ { i } ) ^ { - j } \left( 1 + \frac { j \bar { \mu } _ { i } ^ { 2 } } { 1 - 2 s \lambda _ { i } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { d \mathbf { x } _ { 1 } \cdot d \mathbf { x } _ { 2 } } & { = d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cos \theta _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 1 } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 2 } } & { = { \sqrt { d \mathbf { X } _ { 1 } \cdot \mathbf { F } ^ { T } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 1 } } } \cdot { \sqrt { d \mathbf { X } _ { 2 } \cdot \mathbf { F } ^ { T } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 2 } } } \cos \theta _ { 1 2 } } \\ { { \frac { d \mathbf { X } _ { 1 } \cdot \mathbf { F } ^ { T } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 2 } } { d X _ { 1 } d X _ { 2 } } } } & { = { \frac { { \sqrt { d \mathbf { X } _ { 1 } \cdot \mathbf { F } ^ { T } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 1 } } } \cdot { \sqrt { d \mathbf { X } _ { 2 } \cdot \mathbf { F } ^ { T } \cdot \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } _ { 2 } } } } { d X _ { 1 } d X _ { 2 } } } \cos \theta _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { I } _ { 1 } \cdot \mathbf { C } \cdot \mathbf { I } _ { 2 } } & { = \Lambda _ { \mathbf { I } _ { 1 } } \Lambda _ { \mathbf { I } _ { 2 } } \cos \theta _ { 1 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { M } \langle \nabla ^ { \ell } Z , ( \partial _ { T } M ^ { 0 } - \nabla _ { a } M ^ { a } ) \nabla ^ { \ell } Z \rangle } & { \leq C \epsilon \dot { E ^ { p } } _ { \ell } ( Z ) + C \epsilon E _ { k - 1 } ^ { p } ( Z ) , } \\ { \int _ { M } \langle \nabla ^ { \ell } Z , G ^ { \ell } \rangle } & { \leq C \epsilon e ^ { \lambda T } E _ { k - 1 } ( Z ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C \epsilon E _ { k - 1 } ^ { p } ( Z ) + B ^ { \ell } , } \end{array}
{ n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) | _ { \boldsymbol { q } , \Omega , A } = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( l ) } ( \boldsymbol { k } , \omega ) | _ { \boldsymbol { q } , \Omega , A }
\begin{array} { r } { r _ { 0 } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { r } \pm \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \tilde { r } ^ { 2 } - 2 \nu \xi } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { r } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } & { { } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \right] } \end{array}
\left. \frac { \partial ^ { 3 } \overline { { v } } _ { 1 } } { \partial \underline { { \eta } } ^ { 3 } } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \left( \frac { 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } } { \mu _ { w } } \right) ^ { 2 / 3 } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) .
j _ { \alpha } ^ { Z } = v _ { \alpha } ^ { 3 } + a _ { \alpha } ^ { 3 } - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } j _ { \alpha } ^ { \mathrm { e m } } - { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle 2 } } \, v _ { \alpha } ^ { s } - { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle 2 } } \, a _ { \alpha } ^ { s }
\begin{array} { r l } { \int _ { - c _ { j } } ^ { a } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s } & { \leq \int _ { 0 } ^ { | c _ { j } | } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s + \int _ { 0 } ^ { a } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { j } } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s + \int _ { 0 } ^ { a } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s } \\ & { = \int _ { L - \frac { 1 } { j } } ^ { L } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s + \int _ { 0 } ^ { a } f \big ( | k ( s ) | \big ) \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) : = } & { { } \{ \mu \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) \mid \rho ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu \in L ^ { 2 } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) , \rho = \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) \} } \\ { = } & { { } \{ \mu \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) \mid \mu _ { 0 } \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \} , } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial \mathbf { x } } = \int _ { \Gamma _ { 2 } ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 3 } ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma = \int _ { \Gamma _ { 2 } ( \mathbf { u } ) } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 3 } ( \mathbf { u } ) } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] d \Gamma = \left[ \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { x _ { 1 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \mathrm S _ { N } = \left( \mathrm T _ { N + 1 } ^ { B } \right) ^ { * } \left( \mathrm T _ { N } ^ { B } \otimes \mathrm T _ { 1 } ^ { B } \right) , \qquad { \mathbb H } _ { N } ^ { B , \sigma } \otimes L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { 2 } ) \overset { \mathrm T _ { N } ^ { B } \otimes \mathrm T _ { 1 } ^ { B } } { \longmapsto } { \mathbb H } _ { N + 1 } \overset { ( \mathrm T _ { N + 1 } ^ { B } ) ^ { * } } { \longmapsto } { \mathbb H } _ { N + 1 } ^ { B , \sigma } . } \end{array}
\underbrace { s _ { P } ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } S [ k ] \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { k } { P } } t } } _ { \mathrm { P o i s s o n ~ s u m m a t i o n ~ f o r m u l a ~ ( F o u r i e r ~ s e r i e s ) } }
D \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( u _ { 0 } ) [ v _ { 0 } ] = e ^ { ( t - t _ { 0 } ) \mathcal { A } _ { U } } v _ { 0 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) ) \circ D \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) [ v _ { 0 } ] \, d s ,
\begin{array} { r } { \psi = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } } & { [ X _ { 1 } < X _ { 2 } ] , } \\ { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } & { [ X _ { 2 } < X _ { 1 } ] . } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi ^ { \alpha } \rightarrow V \Phi ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { c } { { - f ^ { \alpha } ( r ) e ^ { i \theta } + f ^ { \beta } ( r ) } } \\ { { f ^ { \alpha } ( r ) e ^ { i \theta } + f ^ { \beta } ( r ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \phi ^ { 1 } ( r , \theta ) } } \\ { { \phi ^ { 2 } ( r , \theta ) } } \end{array} \right) .
C _ { r } ( t ) = \frac { 1 } { 2 \pi \hbar } \iint d x d p \left( \frac { \widehat { \rho } \widehat { A } + \widehat { A } \widehat { \rho } } { 2 } \right) _ { W } [ x , p ] \left( \widehat { B } ( t ) \right) _ { W } [ x , p ]
d s _ { ( 5 ) } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + U ( r ) ( d x ^ { 5 } + 2 P \cos \theta d \varphi ) ^ { 2 } + { \frac { d r ^ { 2 } } { U ( r ) } } + ( r ^ { 2 } - P ^ { 2 } ) d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \Psi } _ { \kappa } | } & { { } = \langle 0 | \hat { L } ( \kappa ) ( 1 - \hat { S } _ { 2 } ) e ^ { - \hat { T } } } \\ { | \Psi _ { \kappa } \rangle } & { { } = e ^ { \hat { T } } ( 1 + \hat { S } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \hat { S } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { S } _ { 3 } ^ { - } ) \hat { R } ( \kappa ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } ( r \tilde { v } _ { r } ) \right] - \tilde { v } _ { r } - \frac { r \tilde { v } _ { r } } { V - c } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) = 0 . } \end{array}
\left[ \chi ( \omega ) \right] _ { \mathrm { R I N } } = \frac { \sqrt { \frac { P _ { \mathrm { R I N } } N ( \omega , \omega _ { a } ) } { 8 T _ { \mathrm { o b s } } \Delta \omega } } } { S ( \omega , \omega _ { a } ; \rho _ { \mathrm { D M } } , X _ { a } ; L , r ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { x } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( - z \sin \phi \partial _ { r } - \frac { z } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } + r \sin \phi \partial _ { z } \right) , } \\ { \hat { l } _ { y } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( z \cos \phi \partial _ { r } - \frac { z } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } - r \cos \phi \partial _ { z } \right) , } \\ { \hat { l } _ { z } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \partial _ { \phi } . } \end{array}
\left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } } = - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \right) _ { Q _ { T } }
\begin{array} { r l r } { M _ { x x } ^ { B } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - k _ { 0 } \sigma _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } } , } & { { } } & { M _ { y y } ^ { B } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { + k _ { 0 } \sigma _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) } & { \leq - \frac { 1 } { 3 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + 2 K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + C ; } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) } & { \leq - M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + 3 \delta _ { 1 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + C ; } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) } & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + C ( c _ { 0 , \beta - \alpha } ) \delta _ { 1 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + C , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ G _ { \rho } ( D ) , ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] } & { { } \; = \; [ G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) , ( - H ^ { s } ) ] \oplus [ G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) , ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x - \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x } & { { } = ( v _ { * } ( y _ { 1 } ) - v _ { * } ( y _ { 2 } ) ) t + \mathsf { R e m } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } , \mathrm { R B } , n _ { \mathrm { t } } } \rangle = \frac { g } { 2 } } & { { } \left( \frac { a } { 2 } - \frac { b } { a } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - g ) ^ { m - 1 } } \end{array}
\mathcal { W } ^ { \mathrm { U ( 1 ) } } = \partial _ { \mu } \frac \delta { \delta A _ { \mu } } + \varepsilon ^ { a b } \left( A _ { \mu } ^ { a } \frac \delta { \delta A _ { \mu } ^ { b } } + c ^ { a } \frac \delta { \delta c ^ { b } } + b ^ { a } \frac \delta { \delta b ^ { b } } + \overline { { { c } } } ^ { a } \frac \delta { \delta \overline { { { c } } } ^ { b } } + A _ { \mu } ^ { a * } \frac \delta { \delta A _ { \mu } ^ { b * } } + c ^ { a * } \frac \delta { \delta c ^ { b * } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \big \langle x ^ { ( T ) } - x ^ { * } , G x \big \rangle } & { = \langle A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \underbrace { - A w ^ { * } + z ^ { * } } _ { = 0 } , \lambda \rangle - \langle \lambda ^ { ( T ) } - \lambda , \underbrace { A w ^ { * } - z ^ { * } } _ { = 0 } \rangle = \langle \lambda , A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) } & { = \mathbb { E } \left( \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } X _ { j } \right) \left( \sum _ { k } \alpha _ { 1 , k } X _ { k } \right) \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } \alpha _ { 1 , j } X _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } \alpha _ { 1 , j } \sigma _ { j } ^ { 2 } } \end{array}
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( - { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 5 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } } & { \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { i } } \rightarrow \frac { 1 } { m ! } \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 \thinspace 5 \thinspace 2 7 ) ( 2 \thinspace 1 0 \thinspace 1 6 \thinspace 1 3 \thinspace 3 4 \thinspace 2 0 ) ( 3 \thinspace 1 9 \thinspace 3 0 \thinspace 2 1 \thinspace 1 4 \thinspace 1 1 \thinspace 9 \thinspace 1 5 \thinspace 2 9 \thinspace 6 \thinspace 8 \thinspace 3 2 ) ( 4 \thinspace 1 8 \thinspace 2 2 \thinspace 2 3 ) ( 7 \thinspace 1 2 \thinspace 3 1 ) ( 1 7 ) ( 2 4 \thinspace 2 6 \thinspace 3 3 \thinspace 2 5 \thinspace 2 8 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \left| X _ { d } ( 1 , H ( t _ { 0 } ) ) - X _ { d } \left( 1 , H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right) \right| > y \right) } \\ & { \leq \exp \left( - c _ { d } \left\| X _ { d } ( 1 , H ( t _ { 0 } ) ) - X _ { d } \left( 1 , H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { \frac { - 2 } { d } } y ^ { \frac { 2 } { d } } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - c _ { d } c _ { 2 } ^ { \frac { - 2 } { d } } \left| H ( t _ { 0 } ) - H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right| ^ { \frac { - 2 } { d } } y ^ { \frac { 2 } { d } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { 2 } } & { = \left( \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \right) \left( \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \right) = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \left( \mathbf { Q } ^ { - 1 } \mathbf { Q } \right) \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } ^ { 2 } \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \\ { \mathbf { A } ^ { n } } & { = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } ^ { n } \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \\ { \exp \mathbf { A } } & { = \mathbf { Q } \exp ( \mathbf { \Lambda } ) \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { 1 - \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \geq \operatorname* { P r } \bigg \{ \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) - R _ { 1 } ^ { * } \right) \leq \frac { \operatorname* { m i n } \{ L _ { 1 } , L _ { 2 } \} } { \sqrt { n } } + O \left( \eta _ { n } \right) \bigg \} . } \end{array}
U _ { 1 } ( k ) = e ^ { - \frac { i } { 2 } ( \mu + r _ { x } \cos k ) \sigma _ { x } } e ^ { - i ( r _ { y } \sin k + i \gamma ) \sigma _ { y } } e ^ { - \frac { i } { 2 } ( \mu + r _ { x } \cos k ) \sigma _ { x } } ,
\mathbf { S } _ { 1 , i j \nu } ( \mathbf { k , \mathbf { q } } ) = \sum _ { m } \frac { \textbf { v } _ { i m } ( \mathbf { k } ) g _ { m j , \nu } ( \mathbf { k , q } ) } { \epsilon _ { m , \mathbf { k } } - \epsilon _ { i , \mathbf { k } } - \hbar \omega + i \eta } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { v } _ { e l } } { \partial t } + ( \mathbf { v } _ { e l } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e l } + \overline { { ( \mathbf { v } _ { e h } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e h } } } = - \frac { e } { m _ { e } } ( \mathbf { E } _ { l } + \mathbf { v } _ { e l } \times \mathbf { B _ { r } } ) - \frac { \triangledown p _ { e l } } { n _ { e } m _ { e } } - \frac { \triangledown \cdot { \bf \Pi } _ { e l } } { n _ { e } m _ { e } } } \end{array} ,
U _ { \omega _ { 0 } } m = \left\{ \begin{array} { l l } { m \mathrm { ~ o n ~ } [ 0 , 2 \underline { { a } } _ { \Omega } ^ { * } ( m ) ] , } \\ { \operatorname* { m i n } \left( m , m ( \underline { { a } } _ { \Omega } ^ { * } ( m ) ) ^ { 2 } e ^ { ( \omega _ { 0 } - r ( \omega _ { 0 } ) ) ( t - 2 \underline { { a } } _ { \Omega } ^ { * } ( m ) ) } \right) \mathrm { ~ o n ~ } ] 2 \underline { { a } } _ { \Omega } ^ { * } ( m ) , + \infty [ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| k _ { + \rho } \frac { \partial } { \partial k _ { + \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \right| } & { = \frac { w _ { + \rho } ( n ) } { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } } w _ { + \rho ^ { \prime } } ( n ) } \le 1 } \\ { \left| k _ { - \rho } \frac { \partial } { \partial k _ { - \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \right| } & { = \frac { w _ { - \rho } ( n + 1 ) } { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } } w _ { - \rho ^ { \prime } } ( n + 1 ) } \le 1 , } \end{array}
A ( E _ { - } ) = \int _ { - a ( E _ { - } ) } ^ { 0 } \zeta ( y ) \, \mathrm { d } y = \int _ { - a ( E _ { - } ) } ^ { 0 } \left( q ( y ) + q _ { 0 } ( E _ { - } ) \right) \, \mathrm { d } y = q _ { 0 } ( E _ { - } ) a ( E _ { - } ) .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \hat { Q } } _ { t } = ( \hat { Q } _ { 1 , t } , . . . , \hat { Q } _ { G , t } ) , } \\ & { \boldsymbol { \hat { Z } } _ { t } = ( \hat { Z } _ { 1 , t } , . . . , \hat { Z } _ { G , t } ) , } \\ & { \boldsymbol { \check { Q } } _ { t } = ( \check { Q } _ { 1 , t } , . . . , \check { Q } _ { G , t } ) , } \\ & { \boldsymbol { \check { Z } } _ { t } = ( \check { Z } _ { 1 , t } , . . . , \check { Z } _ { G , t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( L _ { \, m } ^ { ( r ) } \cdot \mathcal { O } \right) ( z , \bar { z } ) } & { : = \frac { 1 } { 2 i \pi } \oint _ { C _ { z } } d w \, ( w - z ) ^ { m + 1 } \, T ^ { ( r ) } ( w ) \mathcal { O } ( z , \bar { z } ) \, , } \\ { \left( \bar { L } _ { \, m } ^ { ( r ) } \cdot \mathcal { O } \right) ( z , \bar { z } ) } & { : = \frac { 1 } { 2 i \pi } \oint _ { C _ { z } } d \bar { w } \, ( \bar { w } - \bar { z } ) ^ { m + 1 } \, \bar { T } ^ { ( r ) } ( \bar { w } ) \mathcal { O } ( z , \bar { z } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { \ast } ( b ) } & { \leq { \frac { 1 } { N } \int _ { t _ { 0 } } ^ { b } \left( \| \hat { \psi } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| \hat { u } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } \, d t } } \\ & { \leq \mathcal V ( N , \, t _ { 0 } , \, b , \, \hat { \psi } ^ { 0 } ) } \\ & { \leq \frac { \mathcal C _ { 0 } ^ { 2 } } { { \lambda ( b - a ) } } \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi ^ { 0 } - \psi ^ { ( \sigma ) } \| . } \end{array}