harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \\ { \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \end{array} \right) } & { { } = S _ { \mathrm { { M Z I } } } \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ { \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } } \end{array} \right) , } \\ { \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { 2 } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \\ { \hat { b } _ { 2 } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \end{array} \right) } & { { } = S _ { \mathrm { { M Z I } } } \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { 2 } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ { \hat { b } _ { 2 } ^ { \mathrm { { i n } } } } \end{array} \right) , } \\ { \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \\ { \hat { b } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \end{array} \right) } & { { } = S _ { \mathrm { { M Z I } } } \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { m } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ { \hat { b } _ { m } ^ { \mathrm { { i n } } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathrm { R e s } _ { \bar { z } ^ { \prime } = \bar { z } } ^ { \Psi } \bar { \partial } ^ { \Psi } \! : \! \psi ( z ^ { \prime } ) \! : \, \bar { \partial } ^ { \Psi } \! : \! \phi ( z ) \! : = - : \! ( \phi _ { ; \mu \eta } - i C _ { \eta \nu \mu } \phi _ { ; \nu } ) \psi ^ { ; \eta } \bar { \partial } ^ { \Psi } \! X ^ { \mu } \! : + O ( \epsilon ^ { 5 } ) .
E ( \zeta ) = \frac { s ^ { 2 } e ^ { \zeta } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 3 } \zeta } { 4 8 \pi } \frac { \left( \left( 1 + s ^ { 2 } \right) \cosh ( 2 \zeta ) + 1 - s ^ { 2 } \right) } { \left( \left( 1 - s ^ { 2 } \right) \cosh ( 2 \zeta ) + 1 + s ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } ,
{ \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { d } _ { x } } \\ { \mathbf { d } _ { y } } \\ { \mathbf { d } _ { z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \mathbf { \theta } _ { x } ) } & { \sin ( \mathbf { \theta } _ { x } ) } \\ { 0 } & { - \sin ( \mathbf { \theta } _ { x } ) } & { \cos ( \mathbf { \theta } _ { x } ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos ( \mathbf { \theta } _ { y } ) } & { 0 } & { - \sin ( \mathbf { \theta } _ { y } ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sin ( \mathbf { \theta } _ { y } ) } & { 0 } & { \cos ( \mathbf { \theta } _ { y } ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos ( \mathbf { \theta } _ { z } ) } & { \sin ( \mathbf { \theta } _ { z } ) } & { 0 } \\ { - \sin ( \mathbf { \theta } _ { z } ) } & { \cos ( \mathbf { \theta } _ { z } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \left( { { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { x } } \\ { \mathbf { a } _ { y } } \\ { \mathbf { a } _ { z } } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { c } _ { x } } \\ { \mathbf { c } _ { y } } \\ { \mathbf { c } _ { z } } \end{array} \right] } } \right)
\begin{array} { r l } { \lambda _ { m } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } } & { { } \varphi _ { m } ^ { \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } d x = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime \prime } \varphi _ { n } ^ { \prime } d x } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { - } = \int \left[ | \psi _ { -- } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } + | \psi _ { - + } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } \right] \frac { d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } } { \gamma _ { \mathrm { 1 D } } T ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \: , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { | T _ { T h } | ^ { 2 } = } & { 1 - \frac { 4 \tilde { \gamma } \Gamma _ { 1 } } { \Delta \omega ^ { 2 } + \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) ^ { 2 } } , } & { | T _ { D r } | ^ { 2 } = } & { \frac { 4 \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } } { \Delta \omega ^ { 2 } + \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { R _ { 0 } } ^ { R _ { 0 } + 1 } \frac { P ( \widetilde \Omega _ { n } ^ { k } \setminus B _ { r } ( 0 ) ) } { v ^ { \frac 2 3 } ( r ) } \, d r \le \bar { c } + 6 v ^ { \frac 1 3 } ( R _ { 0 } ) \le \bar { c } + 6 m ^ { \frac 1 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle = } & { { } \, 2 \left( \beta _ { 1 } - \gamma _ { 1 } \right) \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle + \mu \langle \hat { \eta } \rangle + 2 \beta _ { 1 } } \\ { \frac { d } { d t } \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle = } & { { } \, 2 \left( \beta _ { 2 } - \gamma _ { 2 } \right) \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle - \mu \langle \hat { \eta } \rangle + 2 \beta _ { 2 } } \\ { \frac { d } { d t } \langle \hat { \eta } \rangle = } & { { } \, 2 \mu \langle \hat { n } _ { 2 } \rangle - 2 \mu \langle \hat { n } _ { 1 } \rangle } \end{array}
{ \cal F } _ { f \bar { f } } ^ { x _ { F } > 0 } ( \tau / z ) = \int _ { 0 } ^ { 1 - { \frac { \tau } { z } } } { \frac { d x _ { F } } { \sqrt { x _ { F } ^ { 2 } + 4 \tau / z } } } F _ { f / h _ { 1 } } \left( { \frac { x _ { F } + \sqrt { x _ { F } ^ { 2 } + 4 \tau / z } } { 2 } } \right) F _ { \bar { f } / h _ { 2 } } \left( { \frac { - x _ { F } + \sqrt { x _ { F } ^ { 2 } + 4 \tau / z } } { 2 } } \right) .
E _ { C } ( R , T = 0 , m ) = = - \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega \, d \omega } { g ( \omega ) - 1 } \left( 1 - \frac { 2 m M _ { 0 } ^ { 2 } } { R ( \omega ^ { 2 } m ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 4 } ) } \right) \, { , }
\begin{array} { r l } & { ( S _ { 2 } \widetilde { T } _ { 0 } \varphi ) ( t ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } ( t - \zeta ) ( \widetilde { T } _ { 0 } \varphi ) ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - t } { 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } ( t - \zeta ) \frac { \partial } { \partial \zeta } \Biggl \{ \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - s } { 2 } \Big ) \varphi ^ { \prime } ( s ) \, \mathrm { d } s \Biggr \} \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - s } { 2 } \Big ) \varphi ^ { \prime } ( s ) \, \mathrm { d } s \Big ) \frac { \partial } { \partial \zeta } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Bigl \{ \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - t } { 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } ( t - \zeta ) \Bigr \} \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cot \frac { s - \zeta } { 2 } \varphi ( s ) \, \mathrm { d } s \Big ) \Bigl \{ \cot \frac { \zeta - t } { 2 } \sin ^ { 2 } ( \zeta - t ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - t } { 2 } \Big ) \sin 2 ( \zeta - t ) \Bigr \} \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Bigl \{ 2 m _ { 2 } ( \zeta , t ) + 2 \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - t } { 2 } \Big ) \cos 2 ( \zeta - t ) \Bigr \} } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Big ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - s } { 2 } \Big ) \varphi ( s ) \, \mathrm { d } s \Big ) \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \widetilde { S } _ { 0 } \widetilde { S } _ { 0 } \varphi + B _ { 2 } \widetilde { S } _ { 0 } \varphi . } \end{array}
\hat { B } _ { ( 2 ) } = i ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } [ [ \hat { a } , \hat { H } ^ { \prime } ( t ^ { \prime \prime } ) ] , \hat { H } ^ { \prime } ( t ^ { \prime } ) ] .
\begin{array} { r l } { m } & { { } = 1 . 5 6 ( y ^ { + } ) ^ { - 0 . 2 2 } , } \\ { k _ { a } ^ { + } } & { { } = 9 2 . 7 6 ( y ^ { + } ) ^ { - 1 . 5 6 } , } \\ { k _ { b } ^ { + } } & { { } = 1 . 4 9 ( y ^ { + } ) ^ { - 0 . 9 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { q } ^ { ( i + 1 ) } = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } _ { q } } \bar { z } _ { j , \mathbb { P } _ { q } , w } ^ { ( i + 1 ) } } { T \sum _ { w = 1 } ^ { W } \alpha _ { w } \sum _ { \mathbb { P } _ { q } } s ( \mathbb { P } _ { q } , E _ { 0 } ^ { w } ) } , } \end{array}
2 ( 1 + q ) \frac { d \Omega } { d y } \Bigg \vert _ { A = A _ { 0 } } = \sqrt { 2 ( 1 + q ) f _ { 0 } ^ { 2 } + [ 2 s + ( 1 + q ) Q A _ { 0 } ] ^ { 2 } } - 2 s - ( 1 + q ) Q A _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { K _ { 4 y } ^ { 1 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ ~ \kappa ~ ( u + t ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 2 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + \gamma ~ \kappa ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - u ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ t ~ v ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } ~ u ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 4 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( u ~ \kappa ^ { 2 } + \gamma ~ \gamma _ { 1 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ t ~ v ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H ~ u - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H ~ t ~ v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \approx \ } & { { } - \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \eta ^ { 2 } \left( e ^ { - \hat { \nu } t } - e ^ { - 2 \hat { \nu } \eta } \right) } \\ { \approx \ } & { { } \frac { 1 } { 2 \hat { \nu } ^ { 4 } } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 } e ^ { - 2 x } \mathrm { d } x \ ; \ x = \hat { \nu } \eta } \\ { = \ } & { { } b _ { 0 } \hat { A _ { 1 } } ( t ) | \hat { A _ { 1 } } ( t ) | ^ { 2 } \implies b _ { 0 } = \left( 8 \hat { \nu } ^ { 4 } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { a ( \textbf { u } _ { N } , \textbf { v } _ { N } ; y ) + b ( \textbf { v } _ { N } , p _ { N } ; y ) } \\ { \qquad \qquad \qquad + c ( \textbf { u } _ { N } , \textbf { u } _ { N } , \textbf { v } _ { N } ; y ) = F ( \textbf { v } _ { N } ; y ) , \mathrm { \ \ \ ~ \forall ~ \textbf { v } _ { N } \in ~ V _ { N } ~ } , } \\ { b ( \textbf { u } _ { N } , q _ { N } ; y ) = G ( q _ { N } ; y ) , \mathrm { ~ \ \ ~ \forall ~ q _ { N } ~ \in ~ Q _ { N } , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e l - e l } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { q ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j \neq i , \nu \nu ^ { \prime } , \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { 1 } { R _ { i j } } n _ { \nu i \sigma } n _ { \nu ^ { \prime } j \sigma ^ { \prime } } + \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j \neq i , \nu \nu ^ { \prime } , \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { { \bf R } _ { i j } \cdot { \bf q } _ { \nu \nu } \cdot { \bf R } _ { i j } } { R _ { i j } ^ { 5 } } n _ { \nu i \sigma } n _ { \nu ^ { \prime } j \sigma ^ { \prime } } } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathbf { a } } = \hbar T _ { 2 } \partial _ { T _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } T _ { \infty , 1 } \mathcal { L } _ { \mathbf { v } _ { \infty , 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } k T _ { X _ { s } , k } \mathcal { L } _ { \mathbf { v } _ { X _ { s } , k } } \, \, , \, \, \mathcal { L } _ { \mathbf { b } } = \hbar T _ { 2 } \partial _ { T _ { 1 } }
{ \cal H } = \, \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } p _ { i } ^ { 2 } + \frac { J } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \big [ 1 - \cos ( { \theta } _ { i } - { \theta } _ { j } ) \big ] \, ,
V ( r = 1 , \phi ) = 6 \zeta ( 5 ) - \zeta ( 3 ) x ^ { 2 } + \left( \frac { 3 } { 1 6 } - \frac { 1 } { 4 } \log x \right) x ^ { 4 } + \frac { 1 } { 1 5 } x ^ { 5 } + { \cal O } ( x ^ { 6 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } - c ( N + N w _ { R } - 2 ) } \\ { \Leftrightarrow } & { { } ~ \frac { b } { c } > \frac { N - 2 + N w _ { R } } { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } k } \end{array}
\Phi = \left( \begin{array} { c c } { { \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda _ { 1 } } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { \lambda _ { k } } } \end{array} \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \phi _ { 0 } \cdot { \bf 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { U ( x ) \cdot e ^ { - x A } { ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) } ^ { - 1 } D _ { 2 } L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } } & { = } & { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } \Big ( U ( x ) e ^ { - x A } \Big ) { ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) } ^ { - 1 } \Phi ^ { \ast } ( x ) L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } } \\ & { } & { + \frac { d } { d x } \Big ( U ( x ) e ^ { - x A } \Big ) { ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) } ^ { - 1 } \Psi ^ { \ast } ( x ) L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } } \\ & { = } & { \Big ( U ^ { \prime \prime } ( x ) - 2 U ^ { \prime } ( x ) A + U ( x ) A ^ { 2 } \Big ) e ^ { - x A } { ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } 0 ) ) } ^ { - 1 } \Phi ^ { \ast } ( x ) L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } } \\ & { } & { + \Big ( U ^ { \prime } ( x ) - U ( x ) A \Big ) e ^ { - x A } { ( L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) ) } ^ { - 1 } \Psi ^ { \ast } ( x ) L _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) e ^ { x A } . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { \Theta } } L ( \mathbf { D } ; \mathbf { \Theta } ) = \frac { 1 } { N _ { \mathbf { D } } } \sum _ { d = 1 } ^ { N _ { \mathbf { D } } } \| E ( \mathbf { \tilde { p } } _ { d } ; \mathbf { \Theta } ) - \mathbf { \tilde { f } } _ { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { d } { d t } p _ { { \bf k } ( t ) } } & { { } = i \hbar \frac { \partial } { \partial t } p _ { { \bf k } ( t ) } + i \hbar \dot { \bf k } ( t ) \cdot \frac { \partial } { \partial { \bf k } } p _ { { \bf k } ( t ) } } \end{array}
Z _ { D ^ { 2 } } ( \mathbf { L } _ { \mathsf { t } } ) _ { C } : = ( - 1 ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \sum _ { I \in \mathcal { A } _ { C } ^ { m i n } } \left| \frac { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \xi _ { a } ^ { * } } { \Lambda _ { a = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { a } } } \right| \sum _ { m \in ( \mathbb { Z } _ { \ge 0 } ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } } \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } \Gamma ( \langle \mathsf { D } _ { i ^ { \prime } } , \sigma _ { m } \rangle + \alpha _ { i ^ { \prime } } ) \prod _ { i \in I } \frac { ( - 1 ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! } \exp ( \langle \theta + 2 \pi \sqrt { - 1 } \mathsf { t } , \sigma _ { m } \rangle ) ,
B _ { z _ { j } } = \left( B _ { z , j } \cdot e ^ { - \frac { ( y _ { j - 1 } - y _ { b } ) } { \lambda _ { B } } } \right) ^ { 2 } + \left( B _ { z , j } \cdot e ^ { - \frac { y _ { j } - y _ { b } } { \lambda _ { B } } } \right) ^ { 2 } ,
\left( \int \left| f ( x ) + g ( x ) \right| ^ { p } \, d x \right) ^ { 1 / p } \leq \left( \int \left| f ( x ) \right| ^ { p } \, d x \right) ^ { 1 / p } + \left( \int \left| g ( x ) \right| ^ { p } \, d x \right) ^ { 1 / p } .
\lambda _ { X } \langle \zeta _ { t } ^ { X | K } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle = \frac { \lambda _ { X } } { K _ { X } } \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { X } } \mathbf { s } ( x _ { k } ^ { X } ( t ) ) \mathbf { i } ( x _ { k } ^ { X } ( t ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { I n d } ^ { 2 } ( \alpha , \beta ) \colon \ \mathfrak { a } _ { 0 } \times \mathfrak { a } _ { 0 } } & { \longrightarrow M , } \\ { ( a , b ) } & { \longmapsto \alpha \bigl ( a , b ^ { [ p ] } \bigr ) - \sum _ { i + j = p - 1 } ( - 1 ) ^ { i } b ^ { i } \alpha \bigl ( [ [ \dots [ a , \overset { j \mathrm { ~ t e r m s } } { \overbrace { b ] , \dots ] , b } ] } , b \bigr ) + a \beta ( b ) . } \end{array}
\frac { I ^ { n } } { I _ { c } } = \frac { \rho _ { x x } ^ { n } \omega _ { x } ^ { 2 } + \rho _ { y y } ^ { n } \omega _ { y } ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } } = \frac { \frac { m } { m ^ { * } } \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } }
R _ { { \bar { i } } j } = R _ { \; { \bar { i } } { \bar { k } } j } ^ { \bar { k } } = - { \frac { \partial \Gamma _ { \; { \bar { i } } { \bar { k } } } ^ { \bar { k } } } { \partial z ^ { j } } } \qquad R _ { i { \bar { j } } } = R _ { \; i k { \bar { j } } } ^ { k } = - { \frac { \partial \Gamma _ { \; i k } ^ { k } } { \partial { \bar { z } } ^ { \bar { j } } } }
g _ { D + d } = | | g _ { M N } | | = \left( \begin{array} { c c c } { { g _ { 1 } } } & { { g _ { 1 } K } } & { { g _ { 1 } { \cal A } } } \\ { { K ^ { T } g _ { 1 } } } & { { g _ { 2 } + K ^ { T } g _ { 1 } K } } & { { g _ { 2 } { \cal B } + K ^ { T } g _ { 1 } { \cal A } } } \\ { { { \cal A } ^ { T } g _ { 1 } } } & { { { \cal B } ^ { T } g _ { 2 } + { \cal A } ^ { T } g _ { 1 } K } } & { { e ^ { - \psi / 2 } g _ { D } + { \cal A } ^ { T } g _ { 1 } { \cal A } + { \cal B } ^ { T } g _ { 2 } { \cal B } } } \end{array} \right) ,
k _ { d } = \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { L } \left[ \frac { ( x + 0 . 5 0 9 0 ) ^ { 2 } } { 1 0 . 5 2 6 } + 0 . 9 7 5 4 \right] } & { x < 2 } \\ { k _ { L } \left( 0 . 4 7 6 7 x + 0 . 6 2 0 0 \right) } & { x \geq 2 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( v ) } & { = x ( \theta T + t _ { v } ) - x ( ( \theta + 1 ) T + t _ { v } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 - x _ { 0 } } { x _ { 0 } } e ^ { - \Lambda _ { i \theta } ( \theta T + t _ { v } ) } } - \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 - x _ { 0 } } { x _ { 0 } } e ^ { - \Lambda _ { i ( \theta + 1 ) } [ ( \theta + 1 ) T + t _ { v } ] } } } \\ & { = \frac { \frac { 1 - x _ { 0 } } { x _ { 0 } } \{ e ^ { - \Lambda _ { i ( \theta + 1 ) } [ ( \theta + 1 ) T + t _ { v } ] } - e ^ { - \Lambda _ { i \theta } ( \theta T + t _ { v } ) } \} } { \{ 1 + \frac { 1 - x _ { 0 } } { x _ { 0 } } e ^ { - \Lambda _ { i \theta } ( \theta T + t _ { v } ) } \} \{ 1 + \frac { 1 - x _ { 0 } } { x _ { 0 } } e ^ { - \Lambda _ { i ( \theta + 1 ) } [ ( \theta + 1 ) T + t _ { v } ] } \} } } \\ & { = \mathcal { L } \mathcal { F } ( e ^ { \mathcal { T } _ { i \theta } ( v ) } - 1 ) , } \end{array}
\ \mathbf { u } ( \mathbf { X } , t ) = \mathbf { b } + \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) - \mathbf { X } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad u _ { i } = \alpha _ { i J } b _ { J } + x _ { i } - \alpha _ { i J } X _ { J }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { W e } _ { \mathrm { c r } } } & { { } = } & { \frac { 9 } { 2 } \beta ^ { 4 } \mathrm { C a } + 3 ( 1 - \cos { \Theta } ) \beta ^ { 2 } - 1 2 , } \end{array}
\mathcal { F } _ { \mathrm { f i t } , 3 } = \mathcal { F } _ { \mathrm { t h } } ^ { \sigma , v _ { 0 } } ( \nu _ { 0 } ) \otimes \mathcal { L } o r ( \Gamma ) + \mathcal { F } _ { \mathrm { t h } } ^ { \sigma _ { p } , v _ { 0 , p } } ( \nu _ { p } ) \otimes \mathcal { L } o r ( \Gamma _ { p } )
\frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { r } ^ { N } } \\ { \mathbf { v } ^ { N } } \\ { \mathbf { a } ^ { N } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { v } ^ { N } } \\ { ( \mathbf { R } _ { N } ^ { A } ) ^ { T } \mathbf { a } _ { M } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } _ { \odot } ^ { N } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } _ { \mathrm { S R P } } ^ { N } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } ^ { N } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \ } & { \ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } | B _ { i } - C _ { i } | } \\ & { \leq \left\{ L \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \frac { \| \hat { Z } _ { i } - Z _ { i } \| } { h ^ { q + 1 } } \cdot \left( \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n + 1 } \frac { 1 } { n h ^ { q } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K \left( \frac { \| X _ { j } - X _ { n + i } \| + \| \hat { Z } _ { j } - Z _ { n + i } \| } { h } \right) \right) ^ { - 1 } \right\} } \\ & { = o _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
E _ { L } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] = \mathcal { L } \left[ \sqrt { u _ { d } ^ { + 2 } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) + \mathcal { H } ^ { 2 } \left[ u _ { d } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \right] } \right] ,
f _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } _ { F } , t ) = \int _ { { \mathbb { S } _ { 0 } } } \int _ { - \infty } ^ { t } R _ { T } ^ { \cup } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } , t - t ^ { \prime } ) f _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } , t ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } \mathrm { d } { \bf x } ,
\begin{array} { r l } { | \hat { A _ { 1 } } | _ { s a t } = } & { { } \sqrt { \frac { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } { b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } } , } \\ { | \hat { A _ { 2 } } | _ { s a t } = } & { { } \sqrt { \frac { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } } . } \end{array}
c _ { 3 } \left( 1 \right) \, = - 1 . 5 4 1 4 6 \, 1 0 ^ { - 6 } \, , \, c _ { 3 } \left( 2 \right) \, = - 8 . 7 8 2 8 3 \, 1 0 ^ { - 7 } \, , \, c _ { 3 } \left( 3 \right) \, = \, 4 . 5 6 9 5 1 \, 1 0 ^ { - 8 } \, .
L = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { N ( T _ { i } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { N ( T _ { i } ) } l ( u ( x _ { k } ^ { T _ { i } } , T _ { i } ) ) \equiv \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { \Omega } \frac { 1 } { N ( T _ { i } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { N ( T _ { i } ) } l ( u ( x , t ) ) \delta ( x - x _ { k } ^ { T _ { i } } ) \delta ( t - T _ { i } ) d x d t \allowbreak \equiv \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } \hat { l } ( u ( x , t ) ) \delta ( t - T _ { i } ) d x d t
{ \begin{array} { r l } { | \mathbf { A } | = \qquad } & { A _ { 1 1 } \mathbf { i } \cdot \mathbf { i } + A _ { 1 2 } \mathbf { i } \cdot \mathbf { j } + A _ { 1 3 } \mathbf { i } \cdot \mathbf { k } } \\ { + } & { A _ { 2 1 } \mathbf { j } \cdot \mathbf { i } + A _ { 2 2 } \mathbf { j } \cdot \mathbf { j } + A _ { 2 3 } \mathbf { j } \cdot \mathbf { k } } \\ { + } & { A _ { 3 1 } \mathbf { k } \cdot \mathbf { i } + A _ { 3 2 } \mathbf { k } \cdot \mathbf { j } + A _ { 3 3 } \mathbf { k } \cdot \mathbf { k } } \\ { = \qquad } & { A _ { 1 1 } + A _ { 2 2 } + A _ { 3 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R } _ { j } ) + \hat { H } _ { \nu } + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } ( \hat { q } _ { \bf k } , \hat { x } _ { { \bf k } , \zeta } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { a b } ^ { ( 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { , \; a \; \& \; b \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ p ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } \\ { 1 / 2 } & { , \; a = b = 0 } \\ { 3 / 2 } & { , \; a = b = 1 } \\ { \frac 1 2 ( 2 a + 1 ) } & { , \; a = b > 1 } \\ { \frac 1 2 \sqrt { M ( M - 1 ) } \, \delta _ { M - 2 , m } } & { , \; M \; \& \; m \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ e ~ p ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ a ~ n ~ d ~ } M \ge m + 2 } \end{array} \right. , } \end{array}