harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 1 1 } } & { \approx \hat { S } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 1 1 1 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 1 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 1 } , } \\ { \hat { S } _ { 2 2 } } & { \approx \hat { S } _ { 2 2 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 2 2 2 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 2 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 2 } , } \\ { \hat { S } _ { 2 1 } } & { \approx \hat { S } _ { 2 1 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } | g _ { p } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 2 } ^ { \dagger } \hat { E } _ { p 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gg _ { \mathscr { O } } ( 0 , L ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { L } \: d s \: { A } _ { \j } ^ { \mathscr { O } } ( s ) + \int _ { 0 } ^ { \tau } \: d x \: { A } _ { n } ^ { \mathscr { O } } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \Psi ^ { * } V _ { e f f } \Psi \, d \vec { r } } & { = N \left( { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { m + 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } + | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } \\ & { + N \lambda ^ { \prime } \left[ \frac { 1 } { 4 } ( m + 2 ) ( m + 1 ) \rho ^ { 4 } + | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 4 } + 2 ( m + 1 ) \rho ^ { 2 } | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { A } ( \nu , p ^ { * } , \gamma ) } & { { } = } & { \frac { \exp ( - p ^ { * } \nu ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( p ^ { * } \nu ) ^ { n } } { n ! } \left( 1 - \left( 1 - \gamma \right) ^ { n } \right) } \end{array}
\Psi _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } . . . \mu _ { k } } : = \left( { \frac { k } { 2 } } , { \frac { k } { 2 } } \right) \otimes \left[ \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) \oplus \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } { B _ { e c } ( \boldsymbol \theta _ { i } ) } & { { } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathbf { j } _ { i } ^ { \prime } \mathbf { U } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { U } ^ { \prime } \mathbf { J } _ { i } } \right) ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { U } ^ { \prime } \mathbf { J } _ { i } } \right) \mathbf { U } ^ { \prime } \mathbf { j } _ { i } } } \end{array}
\left\{ { { \cal { F } } _ { 1 } ^ { c } \atop { \cal { G } } _ { 3 } ^ { c } } \right\} \equiv \left\{ { F _ { 1 } ^ { c } \atop { - g _ { 3 } ^ { c } } } \right\} \ ; \ \ \ \left\{ { { \cal { F } } _ { 3 } ^ { c } \atop { \cal { G } } _ { 1 } ^ { c } } \right\} \equiv \frac { 1 } { 2 } \left\{ { { - F _ { 3 } ^ { c } } \atop g _ { 1 } ^ { c } } \right\} \ ; \ \ \ \left\{ { { \cal { F } } _ { 2 } ^ { c } \atop { \cal { G } } _ { 4 } ^ { c } } \right\} \equiv \frac { 1 } { 2 \xi } \left\{ { F _ { 2 } ^ { c } \atop { - g _ { 4 } ^ { c } } } \right\} \ \ .
( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) ^ { T } ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) = ( \mathbf { a } ^ { T } \mathbf { a } ) ( \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { b } ) - ( \mathbf { a } ^ { T } \mathbf { b } ) ( \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { a } )
\begin{array} { r l r } { M } & { { } = } & { \frac { 1 } { \beta } + \frac { \frac { 1 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } } { 1 - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } \frac { ( 1 - \beta ) ( 1 + \beta ) } { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 / 3 q ^ { 2 } \prod _ { p | q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \right) = 1 / 3 \prod _ { p | q } p ^ { 2 ( \alpha _ { p } - 1 ) } ( p ^ { 2 } - 1 ) ; } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathbb { E } B _ { 2 i } ( t ) | = \bigg | \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } \Bigg \{ \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \big [ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( s , t ) } - e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( s ) } \big ] d s \Bigg \} \bigg | = O \big ( e ^ { q _ { n } } n h _ { 1 } ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\Theta _ { \mu A } = \frac 1 2 \mathrm { t r } \left( \gamma _ { \mu } G ( x ) \gamma _ { A } \overline { { { G } } } ( x ) - \gamma _ { \mu } G ( x ) \gamma _ { 4 } \gamma _ { A } ^ { + } \gamma _ { 4 } \overline { { { G } } } ( x ) \right) ,
\begin{array} { r } { \nabla _ { i } P _ { j k } \, = \, \frac { \dot { \lambda } } { \lambda } P _ { j k } \nabla _ { i } f + \lambda \left( \nabla _ { i j } ^ { 2 } f \nabla _ { k } | \nabla f | ^ { 2 } - \nabla _ { j } | \nabla f | ^ { 2 } \nabla _ { i k } ^ { 2 } f \right) + \lambda \left( \nabla _ { j } f \nabla _ { i k } ^ { 2 } | \nabla f | ^ { 2 } - \nabla _ { i j } ^ { 2 } | \nabla f | ^ { 2 } \nabla _ { k } f \right) \, . } \end{array}
S _ { \mathrm { n q r } } ( V _ { \mathrm { r f } } ) \, { = } \, S _ { \mathrm { m a x } } \, J _ { \mathrm { 3 / 2 } } ( { \alpha } ) / ( 0 . 4 3 6 \, { \sqrt { 2 \alpha / \pi } } )
\begin{array} { r } { \Omega ( t , z , v ) = P _ { 0 } ( f ) + \sum _ { 0 < | k | < k _ { M } } \mathbf { D } _ { u , k } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { F } _ { 1 } f \big ] ( t , k , v ) e ^ { i z k } + P _ { | k | \geq k _ { M } } [ f ] ( t , z , v ) . } \end{array}
G _ { b r } = \frac { 2 f _ { p } } { A _ { c n t } L _ { c n t } } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi / 2 } \int _ { l = 0 } ^ { L _ { c n t } / 2 } W ( l , \theta ) g ( \theta ) \cos ( \theta ) \, \mathrm { { d } l \mathrm { { d } \ t h e t a , } }
I ( L , N ) \lesssim { \frac { 1 } { ( L _ { 0 } L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } ) ^ { \mu _ { 1 } } } } { \frac { 1 } { ( N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { \mu _ { 2 } } } } \| u _ { 0 , n } ^ { L _ { 0 } , N _ { 0 } } \| _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b } } \| u _ { 2 , n } ^ { L _ { 2 } , N _ { 2 } } \| _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \| u _ { 3 , n } ^ { L _ { 3 } , N _ { 3 } } \| _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \| u _ { 1 , n } ^ { L _ { 1 } , N _ { 1 } } \| _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b } }
\begin{array} { r l } & { V ( a , i , e , \omega , M , \Omega , \Theta ) = \frac { G M } { R } \sum _ { n = 0 } ^ { N } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { n + 1 } } \\ & { \times \sum _ { m = 0 } ^ { n } \sum _ { p = 0 } ^ { n } \bar { F } _ { n m p } ( i ) \sum _ { q = - \infty } ^ { \infty } G _ { n p q } ( e ) S _ { n m p q } ( \omega , M , \Omega , \Theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { \ell } ( J ) } & { { } = } & { m \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \xi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - \xi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { V _ { \ell } ( J ) } & { { } = } & { \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \xi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - m \xi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { A _ { \ell } ( J ) } & { { } = } & { m \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { B _ { \ell } ( J ) } & { { } = } & { \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - m \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \rho } } & { { } = - { \frac { 1 } { \rho } } \, { \frac { \partial \Psi } { \partial z } } , } \\ { u _ { z } } & { { } = + { \frac { 1 } { \rho } } \, { \frac { \partial \Psi } { \partial \rho } } . } \end{array}
\frac { 2 A \tau } { \left( 1 + \tau ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left[ \left( 1 + \tau ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) t - \tau \left( 1 - \tau ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) + \tau e ^ { - t / \tau } \left[ \left( 1 - \tau ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) \cos \omega t - 2 \tau \omega \sin \omega t \right] \right]
\begin{array} { r l } & { c o v ( ( 1 - \beta ) G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) } \\ & { \quad = { \mathbb { E } } ( ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) - { \mathbb { E } } ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) ) ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) - { \mathbb { E } } ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) ^ { T } ) } \\ & { \quad = { \mathbb { E } } ( \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - { \mathbb { E } } ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) { \mathbb { E } } ( ( 1 - \beta ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ) ^ { T } } \\ & { \quad \approx { \mathbb { E } } ( \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) \nabla G _ { k } ( \mathbf { x } ) ^ { T } ) ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - \nabla E ( \mathbf { x } ) \nabla E ( \mathbf { x } ) ^ { T } . } \end{array}
\psi _ { \lambda } ( { \bf r } ) = \int { \frac { d ^ { 3 } { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { \mathrm { e f f } } ( p ) } } } \left[ \phi ( p ) u _ { \lambda } ( { \bf p } ) e ^ { i { \bf p } \cdot { \bf r } } + \widetilde \phi ( p ) \sum _ { \lambda ^ { \prime } = \pm } S _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( { \bf \hat { p } } ) v _ { \lambda ^ { \prime } } ( { \bf p } ) e ^ { - i { \bf p } \cdot { \bf r } } \right] ,
W _ { p } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) : = \left( \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) } \int d x \, d y \, \gamma ( x , y ) \, | x - y | ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \, ,
{ \cal H } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { * } } \, ( \tau _ { \uparrow } + \tau _ { \downarrow } ) + ( s _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \, s _ { 3 } \, \rho ^ { \gamma } ) \, \rho _ { \uparrow } \rho _ { \downarrow } + \frac { 1 } { 8 } ( - s _ { 1 } + s _ { 2 } ) ( \rho _ { \uparrow } - \rho _ { \downarrow } ) ( \tau _ { \uparrow } - \tau _ { \downarrow } ) .
\begin{array} { r } { \sum _ { n \in \mathbb { N } } \alpha _ { n } = \int \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] = 1 - { \bar { w } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \epsilon _ { y } ^ { N } ( t ) } { d t } } & { = } & { - \left[ \frac { 1 } { E ( t ) } \frac { d E ( t ) } { d t } + \frac { 2 } { \tau _ { y , 0 } } ( \frac { E ( t ) } { E _ { 0 } } ) ^ { 3 } \right] \epsilon _ { y } ^ { N } ( t ) } \\ & { + } & { \frac { 2 } { \tau _ { y , 0 } } ( \frac { E ( t ) } { E _ { 0 } } ) ^ { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { H } } ( T ) } & { { } = \exp \left( \frac { \Delta _ { f } G _ { 0 , \mathrm { H } } ( T ) } { R T } \right) } \\ { K _ { \mathrm { C } } ( T ) } & { { } = \exp \left( \frac { \Delta _ { f } G _ { 0 , \mathrm { C } } ( T ) } { R T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E r r } _ { 1 } } & { = \mathbb P ( \{ X ( B _ { 3 T } \setminus B _ { T / 2 } ) \geq \rho _ { 0 } T ^ { d } \} \ | \ X _ { | B _ { S } \setminus B _ { R } } ) , } \\ { \mathrm { E r r } _ { 2 } } & { = \mathbb P ( \{ X ( B _ { 2 T } \setminus B _ { T } ) < \rho _ { 0 } ^ { - 1 } T ^ { d } \} \ | \ X _ { | B _ { S } \setminus B _ { R } } ) , } \\ { \mathrm { E r r } _ { 3 } } & { = \mathbb P ( \{ X ( B _ { R } \setminus B _ { R - 1 } ) \geq ( 1 - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } ) n \} \ | \ X _ { | B _ { S } \setminus B _ { R } } ) . } \end{array}
A _ { i } ^ { a } ( { \bf q } _ { 2 } ) = - \epsilon _ { i j } \frac { Q _ { 1 } ^ { a } } { 2 \pi \kappa } \frac { q _ { 1 } ^ { j } - q _ { 2 } ^ { j } } { \left( { \bf q } _ { 1 } - { \bf q } _ { 2 } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \delta \alpha } { \alpha } } & { { } \equiv } & { d _ { \gamma } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \\ { \frac { \delta m _ { f } } { m _ { f } } } & { { } \equiv } & { d _ { m _ { f } } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \\ { \frac { \delta \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ C ~ D ~ } } } { \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ C ~ D ~ } } } } & { { } \equiv } & { d _ { g } ^ { ( n ) } ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \end{array}
\frac { \partial \overline { { c } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left( \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \right) ^ { 2 } \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 1 0 } \left( \frac { \partial } { \partial x } \ln c _ { 0 } \right) ^ { 2 } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } \right] = \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { c } } } { \partial x ^ { 2 } } .
\Lambda ( \mathbf { x } ) = { \frac { { \mathcal { L } } \left( { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } \mid \mathbf { x } \right) } { { \mathcal { L } } \left( { \sigma _ { 1 } } ^ { 2 } \mid \mathbf { x } \right) } } = \left( { \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) ^ { - n / 2 } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 0 } ^ { - 2 } - \sigma _ { 1 } ^ { - 2 } ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right\} .
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \nu } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \nu } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta + \nu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
x ^ { 5 } + { \frac { 5 \mu ^ { 4 } ( 4 \nu + 3 ) } { \nu ^ { 2 } + 1 } } x + { \frac { 4 \mu ^ { 5 } ( 2 \nu + 1 ) ( 4 \nu + 3 ) } { \nu ^ { 2 } + 1 } } = 0
\frac { \partial S ( \boldsymbol { l } ) } { \partial t } + \nabla _ { l } \cdot \mathbf { Y } ( \boldsymbol { l } ) + \frac { 1 } { 2 } \, \nabla _ { l } \cdot \mathbf { H } ( \boldsymbol { l } ) = 2 D ( \boldsymbol { l } ) - 4 \epsilon ,
\gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \rho } = \eta ^ { \mu \nu } \gamma ^ { \rho } + \eta ^ { \nu \rho } \gamma ^ { \mu } - \eta ^ { \mu \rho } \gamma ^ { \nu } - i \epsilon ^ { \sigma \mu \nu \rho } \gamma _ { \sigma } \gamma ^ { 5 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } } & { \int _ { \partial \Omega ^ { \star } } n \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z } \\ & { \leq ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot \nabla T + \int _ { \Omega } ( \partial _ { 2 } T - u _ { 2 } T ) . } \end{array}
\mu ^ { ( 4 - n ) } \int d ^ { n } k \frac { [ k ^ { 2 } ; 1 ] } { [ k ^ { 2 } + A ] ^ { 2 } } = \frac { \pi ^ { n / 2 } \Gamma ( 2 - n / 2 ) } { ( A / \mu ^ { 2 } ) ^ { ( 2 - n / 2 ) } } [ \frac { n } { 2 - n } ; 1 ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \mathcal { M } } ( ( \cos ( { \it \Delta \phi } ) , \sin ( { \it \Delta \phi } ) , 0 ) , \pi ) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c c } { \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { \ \ \ \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \\ { \sin ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { - \cos ( 2 { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log ( \widetilde { Z } q _ { j } ) } & { \le \log ( C Z ) \le \log \left( n \cdot \operatorname* { m a x } _ { j \in [ n ] } \exp ( [ \mathbf { A } ^ { \top } x ] _ { j } ) \right) + \log C \le \frac B 2 , } \\ { \log ( \widetilde { Z } q _ { j } ) } & { \ge \log Z + \log \frac \delta n \ge \operatorname* { m i n } _ { j \in [ n ] } [ \mathbf { A } ^ { \top } x ] _ { j } - \log \frac n \delta \ge - \frac B 2 . } \end{array}
\frac { \frac { \Gamma ( n + 2 k + \frac { s } { 2 } ) } { k ! \Gamma ( n + k + \frac { d + 1 } { 2 } ) } ( 2 + \varepsilon ) ^ { - n - \frac { s } { 2 } - 2 k } } { \frac { \Gamma ( ( n + 1 ) + 2 k + \frac { s } { 2 } ) } { k ! \Gamma ( ( n + 1 ) + k + \frac { d + 1 } { 2 } ) } ( 2 + \varepsilon ) ^ { - ( n + 1 ) - \frac { s } { 2 } - 2 k } } = \frac { n + k + \frac { d + 1 } { 2 } } { n + 2 k + \frac { s } { 2 } } ( 2 + \varepsilon ) > 1
\int _ { w o r l d \atop v o l } C _ { ( p + 1 ) } \equiv \int d ^ { p + 1 } \zeta \ C _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { p + 1 } } ( X ) \ \partial _ { 1 } X ^ { \mu _ { 1 } } . . . \partial _ { { p + 1 } } X ^ { \mu _ { p + 1 } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \rho } \bigg ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } - ( \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \eta ^ { \prime } \big ) \bigg ) } & { { } = \left( 2 \theta _ { 0 } ^ { \prime } \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - 1 } \right) \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla d _ { \Gamma } , } \\ { \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } - ( \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \eta ^ { \prime } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { { } = \left( - \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } \right) \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial n _ { 0 } / \partial t = C f _ { 0 1 2 } = C ( n _ { 1 } n _ { 2 } - n _ { 0 } n _ { 1 } - n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx C n _ { 1 } ( n _ { 2 } - n _ { 0 } ) , } \\ & { \partial n _ { 1 } / \partial t = - C f _ { 0 1 2 } = - C ( n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 0 } n _ { 1 } + n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx - C n _ { 1 } ( n _ { 2 } - n _ { 0 } ) , } \\ & { \partial n _ { 2 } / \partial t = - C f _ { 0 2 1 } = - C ( n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 0 } n _ { 1 } + n _ { 0 } n _ { 2 } ) \approx - C n _ { 1 } ( n _ { 2 } - n _ { 0 } ) . } \end{array}
M _ { B } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { B _ { 1 2 } } & { - B _ { 3 1 } } \\ { - B _ { 1 2 } } & { 0 } & { B _ { 2 3 } } \\ { B _ { 3 1 } } & { - B _ { 2 3 } } & { 0 } \end{array} \right) } .
m _ { \omega _ { 1 , 2 } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mu ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } + 2 m _ { W } ^ { 2 } \sin 2 \beta \mp \sqrt { ( \mu ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 m _ { W } ^ { 2 } ( \mu + M _ { 2 } ) ^ { 2 } \sin 2 \beta } \right] .
\begin{array} { r l } { \vert u u \rangle _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle - \vert 6 \rangle - \vert 1 5 \rangle + \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert u u \rangle _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle - \vert 5 \rangle - \vert 1 4 \rangle + \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert u u \rangle _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle - \vert 9 \rangle + \vert 1 1 \rangle - \vert 1 2 \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { l c l c l c l } { { \gamma ^ { 1 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { e } ; \sigma _ { e } ; \sigma _ { e } ) } } & { { \quad } } & { { \gamma ^ { 2 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { z } ; \sigma _ { e } ) } } \\ { { \gamma ^ { 3 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { e } ; \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { z } ) } } & { { \quad } } & { { \gamma ^ { 4 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { z } ; \sigma _ { e } ; \sigma _ { 1 } ) } } \\ { { \gamma ^ { 5 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { x } ; \sigma _ { e } ) } } & { { \quad } } & { { \gamma ^ { 6 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { e } ; \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { x } ) } } \\ { { \gamma ^ { 7 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { x } ; \sigma _ { e } ; \sigma _ { 1 } ) } } & { { \quad } } & { { \gamma ^ { 8 } } } & { { = } } & { { Z ( \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { 1 } ; \sigma _ { 1 } ) } } \end{array}
J _ { 1 , \mathrm { c } } ^ { \mu } ( z ) = \frac { J _ { 1 , + } ^ { \mu } ( z ) + J _ { 1 , - } ^ { \mu } ( z ) } { 2 } = - 4 \: \lambda _ { 5 } \: \sin 2 \beta _ { h H } \: \int \: d ^ { 4 } x \: H ( x ) \: \Sigma ^ { \mu } ( x , z ) + { \cal O } \left[ ( H _ { \mathrm { c } } / T ) ^ { 4 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \int _ { \mathcal { B } } d ^ { 2 } \vec { \bf x } \, \sqrt { g _ { t } } \, \mathcal { L } \left[ \dot { \bf g } _ { t } ( \vec { \bf x } ) ; \mathcal { S } ( t = 0 ) \right] } \end{array}
\epsilon ^ { i j } \equiv a \delta ^ { i j } + \theta ^ { i } b ^ { j } + \theta ^ { j } b ^ { i } \; , \; ( \mu ^ { - 1 } ) ^ { i j } \equiv a \delta ^ { i j } - ( \theta ^ { i } b ^ { j } + \theta ^ { j } b ^ { i } ) \; ,
T _ { 1 } M T _ { 2 } = ( { \bf \overline { { { 2 _ { 1 } } } } } , { \bf \overline { { { 2 _ { 2 } } } } } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i \Lambda b } } \\ { { - i \Lambda b } } & { { M _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { \bf 2 _ { 1 } } } } \\ { { { \bf 2 _ { 2 } } } } \end{array} \right) + ( { \bf \overline { { { 3 _ { 1 } } } } } , { \bf \overline { { { 3 _ { 2 } } } } } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i \Lambda a } } \\ { { - i \Lambda a } } & { { M _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { \bf 3 _ { 1 } } } } \\ { { { \bf 3 _ { 2 } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \sigma | e _ { j } ^ { T } ( T _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } - T _ { \widetilde { Y } : \mathit { E } } ) | } & { \leq } & { | \sigma e _ { j } ^ { T } T _ { \widetilde { Y } : \mathit { E } } \{ ( 1 - \delta _ { e , 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } - 1 \} | + | \delta _ { e , 1 } ( 1 - \delta _ { e , 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } | } \\ & { \leq } & { C \| \widetilde { Y } \| _ { 2 } R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { \prime } ( x ) } & { = \left[ - \frac { y ^ { \prime } ( x ) } { q _ { 2 } y ( x ) } \right] ^ { \prime } = - \frac { 1 } { q _ { 2 } } \left[ \frac { y ^ { \prime \prime } ( x ) } { y ( x ) } - \left( \frac { y ^ { \prime } ( x ) } { y ( x ) } \right) ^ { 2 } \right] = - \frac { y ^ { \prime \prime } ( x ) } { q _ { 2 } y ( x ) } + q _ { 2 } v ^ { 2 } ( x ) } \\ & { = - \frac { q _ { 1 } ( x ) y ^ { \prime } ( x ) } { q _ { 2 } y ( x ) } + q _ { 0 } ( x ) + q _ { 2 } v ^ { 2 } ( x ) = q _ { 2 } v ^ { 2 } ( x ) + q _ { 1 } ( x ) v ( x ) + q _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
m _ { 1 } \mathbf { u } _ { 1 } = m _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } = m _ { 1 } \mathbf { V } , \quad m _ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 } = m _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } = m _ { 2 } \mathbf { V }
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) - \chi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) = \boldsymbol { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { j , x y } ( k _ { x } , k _ { y } ) } & { = i \sum _ { i \neq j } \frac { [ \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | j \rangle - \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | j \rangle ] } { ( E _ { j } - E _ { i } ) ^ { 2 } } } \\ & { = - \mathrm { I m } \sum _ { i \neq j } \frac { [ \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | j \rangle - \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | j \rangle ] } { ( E _ { j } - E _ { i } ) ^ { 2 } } } \\ & { = - 2 \mathrm { I m } \sum _ { i \neq j } \frac { \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | j \rangle } { ( E _ { j } - E _ { i } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3 ^ { 3 } } } } = 3 \uparrow \uparrow 5 \approx 3 ^ { 1 0 ^ { 3 . 6 \times 1 0 ^ { 1 2 } } } \approx ( 1 0 \uparrow ) ^ { 4 } 1 . 1 0
\begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } \left[ \ln \left( { \frac { 1 } { X } } \right) \right] } & { { } = \operatorname { v a r } [ \ln ( X ) ] = \psi _ { 1 } ( \alpha ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) , } \\ { \operatorname { v a r } \left[ \ln \left( { \frac { 1 } { 1 - X } } \right) \right] } & { { } = \operatorname { v a r } [ \ln ( 1 - X ) ] = \psi _ { 1 } ( \beta ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) , } \\ { \operatorname { c o v } \left[ \ln \left( { \frac { 1 } { X } } \right) , \ln \left( { \frac { 1 } { 1 - X } } \right) \right] } & { { } = \operatorname { c o v } [ \ln ( X ) , \ln ( 1 - X ) ] = - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) . } \end{array}
J _ { n } \left( k r \right) \exp \left( j n \alpha \right) = \sum _ { l = - \infty } ^ { l = + \infty } J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) \exp j \left[ \left( l + n \right) \theta + l \varphi \right] .