harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) } & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } \frac { 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } } { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } } \\ & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } \left( 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } \right) \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } \left( 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } \right) \left( 1 - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \left( - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } + \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } + O \left( s ^ { - 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } \left( 1 + \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \left( \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) ^ { 2 } - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } + O \left( s ^ { - 3 \left( \alpha + \beta \right) } \right) \right) } \\ & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 + 2 \alpha + \beta - \nu } } } \\ & { \quad + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \left( \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) ^ { 2 } - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { 1 + 3 \alpha + 2 \beta - \nu } } + O \left( s ^ { - \left( 1 + 4 \alpha + 3 \beta - \nu \right) } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad s \rightarrow \infty \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) | _ { \mathrm { i n c o h . } } } & { = - M _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) + \delta _ { i j } \left( p _ { i } ^ { ( \mathrm { p u m p } ) } ( \textbf { r } , \tau ) + \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } \sum _ { k } G _ { i k } ^ { ( \mathrm { r a d . } ) } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { k k } ( \textbf { r } , \tau ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ~ } & { M \rightarrow X \rightarrow Y } \\ & { \Rightarrow } & { p ( m , x , y ) = p ( m ) ~ p ( x | m ) ~ p ( y | x ) , } \\ & { ~ } & { \mathrm { o n ~ u s i n g ~ ~ B a y e s ' ~ r u l e } } \\ & { ~ } & { p ( m , x , y ) = p ( m ) ~ \frac { p ( m | x ) ~ p ( x ) } { p ( m ) } ~ \frac { p ( x | y ) ~ p ( y ) } { p ( x ) } , } \\ & { \Rightarrow } & { p ( m , x , y ) = p ( m | x ) ~ p ( x | y ) ~ p ( y ) , } \\ & { \Rightarrow } & { p ( y , x , m ) = p ( y ) ~ p ( x | y ) ~ p ( m | x ) , } \\ & { \Rightarrow } & { Y \rightarrow X \rightarrow M . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla h _ { i } ( w _ { i } ^ { ( t ) } ) = \mu _ { 1 } d _ { W , i } + \mu _ { 2 } \nabla g _ { i } ( w _ { i } ^ { ( t ) } ) } \\ & { \eta ^ { ( t ) } = 1 . / | \nabla h _ { i } ( w _ { i } ^ { ( t ) } ) | } \\ & { w _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } = \operatorname* { m a x } ( 0 , w _ { i j } ^ { ( t ) } - \eta ^ { ( t ) } \nabla h _ { i } ( w _ { i } ^ { ( t ) } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { A _ { 1 } } \phi ( x ) \d H ( \mu , b _ { n } ) ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { A _ { 1 } } \phi ( h ( x , b _ { n } ( x ) ) ) \d \mu ( x ) } \\ & { \overset { \heartsuit } { = } \int _ { A _ { 1 } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \phi ( h ( x , b _ { n } ( x ) ) ) \d \mu ( x ) } \\ & { \overset { \diamondsuit } { = } \int _ { A _ { 1 } } \phi ( h ( x , b ( x ) ) ) \d \mu ( x ) } \\ & { = \int _ { A _ { 1 } } \phi ( x ) \d H ( \mu , b ) ( x ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d U } & { = d N ( \nu ) e ^ { 1 / 2 h \nu / ( k T ) } ( 1 - e ^ { - h \nu / ( k T ) } ) \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } h \nu ( i + 1 / 2 ) e ^ { - h \nu ( i + 1 / 2 ) / ( k T ) } } \\ & { = d N ( \nu ) ( 1 - e ^ { - h \nu / ( k T ) } ) \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } h \nu ( i + 1 / 2 ) e ^ { - h \nu i / ( k T ) } } \\ & { = d N ( \nu ) h \nu \left( { \frac { 1 } { 2 } } + ( 1 - e ^ { - h \nu / ( k T ) } ) \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } i e ^ { - h \nu i / ( k T ) } \right) } \\ & { = d N ( \nu ) h \nu \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { e ^ { h \nu / ( k T ) } - 1 } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { f } ^ { 4 } ( p ) = } & { ( \alpha _ { f } ( p ) + \beta _ { f } ( p ) ) ^ { 4 } } \\ { = } & { \alpha _ { f } ^ { 4 } ( p ) + \beta _ { f } ^ { 4 } ( p ) + 4 \alpha _ { f } ^ { 3 } ( p ) \beta _ { f } ( p ) + 4 \alpha _ { f } ( p ) \beta _ { f } ^ { 3 } ( p ) + 6 \alpha _ { f } ^ { 2 } ( p ) \beta _ { f } ^ { 2 } ( p ) } \\ { = } & { \alpha _ { f } ^ { 4 } ( p ) + \beta _ { f } ^ { 4 } ( p ) + 4 \alpha _ { f } ^ { 2 } ( p ) + 4 \beta _ { f } ^ { 2 } ( p ) + 6 } \\ { = } & { ( \alpha _ { f } ^ { 4 } ( p ) + \beta _ { f } ^ { 4 } ( p ) + \alpha _ { f } ^ { 2 } ( p ) + \beta _ { f } ^ { 2 } ( p ) + 1 ) + 3 ( \alpha _ { f } ^ { 2 } ( p ) + \beta _ { f } ^ { 2 } ( p ) + 1 ) + 2 . } \end{array}
{ \bf E } ^ { \tau p } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { { a _ { 1 } ^ { \tau p } } ^ { \dagger } } } & { { { a _ { 2 } ^ { \tau p } } ^ { \dagger } } } \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { { a _ { 1 } ^ { \tau p } } } \\ { { a _ { 2 } ^ { \tau p } } } \end{array} \right)
J _ { A } ( \zeta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad } & { \arg \zeta = \pm \frac { 2 \pi } { 3 } , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad } & { \zeta \in ( - \infty , 0 ) } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad } & { \zeta \in ( 0 , \infty ) . } \end{array} \right.
\Gamma ( { \bf r } _ { 1 } , ~ { \bf r } _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { { \pi r _ { 1 2 } ^ { - 1 } \tan ( \frac { \theta _ { 1 2 } } { 2 } ) ~ \left[ h ( { \bf r } _ { 1 } ) + h ( { \bf r } _ { 2 } ) \right] , } } & { { ~ ~ { \bf r } _ { 1 2 } \in R _ { a } , } } \\ { { - \pi r _ { 1 2 } ^ { - 1 } \cot ( \frac { \theta _ { 1 2 } } { 2 } ) ~ \left[ h ( { \bf r } _ { 1 } ) + h ( { \bf r } _ { 2 } ) \right] , } } & { { ~ ~ { \bf r } _ { 1 2 } \in R _ { b } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } C ( r ) \, d r } & { = \frac { c \beta ^ { \alpha } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \beta + r / c ) ^ { - ( \alpha - 2 ) } \, d \tau } \\ & { = \frac { c \beta ^ { 3 } V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 ( \alpha - 1 ) ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 3 ) } , } \end{array}
\mu = { \frac { \exp ( \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) } { 1 + \exp ( \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) } } = { \frac { 1 } { 1 + \exp ( - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) } } \,
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } } & { { } = \tilde { Q } \tilde { P } ^ { \dagger } = \dag , [ D D ^ { \dagger } ] _ { B A } \frac { 1 } { \sqrt { ^ t \Delta ( \mathbf { 1 } - ^ { t } \Delta ) } } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { h _ { \tau _ { * } } \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } } } \\ & { } & { = h _ { \tau _ { * } } ( \| \boldsymbol { f } - \nabla \times \boldsymbol { q } _ { h } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } ) } \\ & { } & { = h _ { \tau _ { * } } ( \| \boldsymbol { f } - \nabla \times ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) - \kappa ( \boldsymbol { v } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { H } ) - \nabla \times \boldsymbol { q } _ { H } - \kappa \boldsymbol { v } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } ) } \\ & { } & { \leq h _ { \tau _ { * } } ( \| \boldsymbol { f } - \nabla \times \boldsymbol { q } _ { H } - \kappa \boldsymbol { v } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| \nabla \times ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| \kappa ( \boldsymbol { v } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } ) } \\ & { } & { \lesssim h _ { \tau _ { * } } ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + h _ { \tau _ { * } } ^ { - 1 } \| ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| \kappa ( \boldsymbol { v } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } ) } \\ & { } & { \lesssim h _ { \tau _ { * } } \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { H } , \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + \| ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } + h _ { \tau _ { * } } \| \kappa ( \boldsymbol { v } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ) } . } \end{array}
\left\vert \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) \rangle \right\vert \prec \frac { 1 } { N \eta } + \frac { 1 } { | e _ { 1 } - e _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ 2 ] } \vert \langle ( G _ { i } - M _ { i } ) ( A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } ) ^ { \circ _ { i , i } } \rangle \vert
g _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { L } { \pi } \frac { \sqrt { \pi } } { 3 } \Gamma ( - 1 / 2 ) \left( \zeta ( - 4 , 3 / 2 ) - \frac { 1 } { 4 } \zeta ( - 2 , 3 / 2 ) \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \tilde { P } _ { T } ( \omega ) } { d t } = } & { i ( \omega _ { s } - \omega ) \tilde { P } _ { T } ( \omega ) + \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } ( \omega ) P _ { z } ( \omega ) - \frac { \tilde { P } _ { T } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) } { d t } = } & { - i ( \omega _ { s } - \omega ) \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) + \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } ( \omega ) P _ { z } ( \omega ) - \frac { \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d P _ { z } ( \omega ) } { d t } = } & { - \frac { \alpha } { 2 } \left[ \tilde { \bar { P } } _ { T } \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) + \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } \tilde { P } _ { T } ( \omega ) \right] - \frac { P _ { z } ( \omega ) } { T _ { 1 } } + G \left[ P _ { 0 } - P _ { z } ( \omega ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { W } ( w ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 4 w _ { 2 } ^ { - \frac { 4 } { \alpha _ { L } } - 1 } ( m _ { s } m _ { x } ) ^ { - \frac { 2 } { \alpha _ { L } } } } { w ^ { \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + 1 } \alpha _ { L } ^ { 2 } R _ { L } ^ { 4 } } } \\ & { \times \frac { \Big [ \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { s } \Big ) - \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { s } , \frac { m _ { s } w w _ { 2 } } { R _ { L } ^ { - \alpha _ { L } } } \Big ) \Big ] \Big [ \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { x } \Big ) - \Gamma \Big ( \frac { 2 } { \alpha _ { L } } + m _ { x } , \frac { m _ { x } w _ { 2 } } { R _ { L } ^ { - \alpha _ { L } } } \Big ) \Big ] } { \Gamma ( m _ { s } ) \Gamma ( m _ { x } ) } \mathrm { d } w _ { 2 } , } \end{array}
\mathcal { T } \left( \gamma ^ { \ast } \left( q _ { 1 } , e _ { 1 } \right) \rightarrow P \left( p \right) \gamma ^ { \ast } \left( q _ { 2 } , e _ { 2 } \right) \right) = t _ { P \gamma \gamma } ( q _ { 1 } , e _ { 1 } ; q _ { 2 } , e _ { 2 } ) + t _ { P \gamma \gamma } ( q _ { 2 } , e _ { 2 } ; q _ { 1 } , e _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { J } } ) ) _ { \theta , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \varepsilon } \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \frac { \theta } { \varepsilon } , q } } \sim _ { p , s , n , \theta , \varepsilon } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L \left( \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right] \right) = - \lambda ^ { \sigma } \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right] , } \\ & { L \left( \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] \right) = - \lambda ^ { q } \mathcal { M } \left[ C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\left\langle a _ { l } ^ { 2 } \right\rangle = 3 6 \pi ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) { \frac { ( l + 2 ) ! } { ( l - 2 ) ! } } \int k d k \ A ^ { 2 } ( k ) | F _ { l } ( k ) | ^ { 2 }
b ( u , v ) = { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { k ^ { 2 } } { 4 \delta ^ { 2 } } u + \delta \sqrt { v } \right) { \mathrm { ~ A ~ i ~ } } \left( \frac { k ^ { 2 } } { 4 \delta ^ { 2 } } u - \delta \sqrt { v } \right) \, .
i { \cal L } _ { e f f } ^ { W W V } = g _ { W W V } \, \left( g _ { 1 } ^ { V } ( W _ { \mu \nu } ^ { \dagger } W ^ { \mu } - W ^ { \dagger \, \mu } W _ { \mu \nu } ) V ^ { \nu } + \kappa _ { V } \, W _ { \mu } ^ { \dagger } W _ { \nu } V ^ { \mu \nu } + { \frac { \lambda _ { V } } { m _ { W } ^ { 2 } } } \, W _ { \rho \mu } ^ { \dagger } { W ^ { \mu } } _ { \nu } V ^ { \nu \rho } \right) \; .
k _ { o } \frac { \eta _ { \ell + 1 } ( k _ { o } ) } { \eta _ { \ell } ( k _ { o } ) } \rightarrow ( 2 \ell + 1 ) \left( 1 - \frac { k _ { o } ^ { 2 } } { ( 2 \ell - 1 ) ( 2 \ell + 1 ) } \right) \; ,
\mathcal { R } _ { \mathrm { D } } = \frac { 9 } { 1 6 } - \frac { 3 } { 1 6 } \, \lambda ^ { 2 } + \frac { 1 9 } { 1 2 8 } \, \lambda ^ { 4 } - \frac { 1 } { 5 } \, \lambda ^ { 5 } + \mathcal { O } \left( \lambda ^ { 6 } \right) \, .
\hat { \mathbf { F } } , \hat { \mathbf { G } } , \hat { \mathbf { H } } , \hat { \mathbf { F } } ^ { \mathrm { v } } , \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { v } } , \hat { \mathbf { H } } ^ { \mathrm { v } }
\begin{array} { r l } { G ( \mathbf { q } , { \dot { \mathbf { q } } } ) d \mathbf { q } } & { { } \, { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \, d ( F _ { * } ( \mathbf { q } ) ) { \dot { \mathbf { q } } } = \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } d q _ { k } \right) _ { i , j = 1 } ^ { n } { \dot { \mathbf { q } } } = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \dot { q } } _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } d q _ { k } \right) _ { i = 1 , \ldots , n } ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } ) ^ { 2 } } & { = \frac { Q ^ { - 1 } ( t - 1 ) ^ { 2 } \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) - 1 } - \frac { Q ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { t - 1 } ( 2 k - 1 ) \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } k \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) - 1 } } \\ & { = \frac { ( t - 1 ) ^ { 2 } \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) - 1 } - \frac { Q ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { t - 1 } ( 2 k - 1 ) \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } k \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) - 1 } } \\ & { = \frac { ( t - 1 ) ^ { 2 } \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) - 1 } - \frac { 2 \mathbb { E } ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) - 1 } } \\ & { + \frac { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) - \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) - 1 } \frac { 1 } { \exp \Big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Big ) - 1 } . } \end{array}
{ \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] } Q _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } \tilde { Q } _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } - { \textstyle \left[ \overline { { \frac { \alpha _ { i } } { 2 } } } \right] ^ { - 1 } } Q _ { i , a q _ { i } } ^ { ( q ) } \tilde { Q } _ { i , a q _ { i } ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } = \prod _ { j \sim i \mathrm { ~ i n ~ } I } Q _ { j , a } ^ { ( q ) } .
\widehat { y } _ { n } \; = \; \frac { 1 } { 2 C _ { 0 } } \, \log \Big ( \frac { \widehat { x } _ { n + 2 } } { \widehat { x } _ { c } } \Big ) \; = \; \frac { 1 } { 2 C _ { 0 } } \log \Big ( \frac { D ^ { n } \cdot \widehat { x } _ { 2 } } { \widehat { x } _ { c } } \Big ) \; = \; \frac { 1 } { 2 C _ { 0 } } \log \Big ( \prod _ { j = N _ { ( 1 ) } + 1 } ^ { N _ { ( 1 ) } + n } \kappa _ { j } ^ { 2 } \Big ) \; = \; \sum _ { j = N _ { ( 1 ) } + 1 } ^ { N _ { ( 1 ) } + n } \chi _ { j } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { G } ( E ) = } & { { } \frac { A ( 1 - f _ { L E } - f _ { H E } ) } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \exp \left( - \frac { ( E - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { 3 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { \bf W } ^ { t } ( { \bf x } , { \bf x } _ { A } ) { \bf N } { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { B } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } { \bf W } ^ { t } ( { \bf x } , { \bf x } _ { A } ) \bigl ( \underbrace { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } ^ { t } { \bf N } + { \bf N } \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ A ~ } ~ } } _ { \bf O } \bigr ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { B } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } = { \bf O } . } \end{array}
\frac { \left| \dot { \gamma } - \dot { \gamma } _ { \mathrm { t } } \right| } { \dot { \gamma } } > \left( 0 . 7 6 \frac { S } { \Delta S } \frac { T _ { \mathrm { n l } } } { T _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 6 / 5 } \mathrm { . }
\mathbb { E } _ { z | x } \left[ I ( z _ { i } = k ) \right] = p ( z _ { i } = k | x _ { i } ) = \frac { \varphi _ { k } p ( x _ { i } | \theta _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { K } \varphi _ { j } p ( x _ { i } | \theta _ { j } ) } = \gamma _ { i k }
\ifmmode \mathrm { N u } _ { \textrm { N } } \else \mathrm { N u } _ { \textrm { N } } \fi = \frac { 1 } { \langle \tilde { T } \left( \tilde { z } = 0 \right) \rangle _ { \tilde { A } } - \langle \tilde { T } \left( \tilde { z } = 1 \right) \rangle _ { \tilde { A } } } .
\sum _ { j , j ^ { \prime } ; \mu , \mu ^ { \prime } } z _ { j } ^ { ( \mu ) } \{ J _ { ( \mu ) } ^ { j , - j } , J _ { ( \mu ^ { \prime } ) } ^ { j ^ { \prime } , - j ^ { \prime } } \} ^ { * } ( y ) t _ { j ^ { \prime } , - j ^ { \prime } } ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } = [ R ( \vec { z } ; y ) , y ]
\langle { \frac { 1 } { N } } \, \makebox { t r } \left[ \ln ( U + g \sigma _ { s } + g \Phi ^ { 2 } ) \right] \rangle \ = \ \langle \ln ( U + g \sigma _ { s } ) \ + \ \int _ { 0 } ^ { - { \frac { g } { U + g \sigma _ { s } } } } { \frac { f ( z ) - 1 } { z } } \ d z \rangle
\tilde { V } ( \tilde { q } ) = \tilde { V } _ { 0 } ( \tilde { q } ) + \epsilon g ^ { 2 } \tilde { V } _ { 1 } ( \tilde { q } ) , \quad \tilde { V } _ { 0 } ( \tilde { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \tilde { q } ^ { 2 } ( 1 - \tilde { q } ) ^ { 2 } , \quad \tilde { V } _ { 1 } ( \tilde { q } ) = - \tilde { q } .
g ( x , y _ { 1 } , r , r _ { R } ) = [ ( 1 + r ^ { 2 } - x ) ( 4 + r ^ { 2 } r _ { R } ^ { - 2 } ) - 2 r _ { R } ^ { - 2 } y _ { 1 } ( 1 - y _ { 1 } - r _ { R } ^ { 2 } ) - 2 r _ { R } ^ { - 2 } y _ { 2 } ( 1 - y _ { 2 } - r _ { R } ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r } { \bar { b } : = \operatorname* { m a x } _ { m } \frac { b _ { { k _ { 1 } } { m } } } { b _ { { k _ { 2 } } { m } } } = \frac { b _ { { k _ { 1 } } { m _ { 0 } } } } { b _ { { k _ { 2 } } { m _ { 0 } } } } . } \end{array}
\forall k \in \mathbb { N } \setminus \{ 0 , 1 \} , \quad - k \big ( \omega _ { N } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { \mathbf { m } } \big ) \geqslant 2 \big ( | \omega _ { N } | - \widetilde { \mathtt { r } } _ { \mathbf { m } } \big ) \qquad \textnormal { a n d } \qquad \omega _ { S } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { 2 \mathbf { m } } \geqslant \omega _ { S } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { k \mathbf { m } } .
\mathbf L = \mathbf I _ { N } - \mathbf D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathbf A \mathbf D ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \mathbf U \mathbf { \Lambda } \mathbf U ^ { T } \in \mathbf { R } ^ { N \times N }
s c s _ { c o s t } ( t , [ c , a ] ) = \left. \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( a ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot \big ( \kappa _ { 3 } l o g ( c ) + \kappa _ { 4 } \big ) } & { c \leq \kappa _ { c } \wedge a \leq \kappa _ { a } } \\ { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( a ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot \big ( \kappa _ { 3 } l o g ( \kappa _ { c } ) + \kappa _ { c } ^ { o } ( c - \kappa _ { c } ) + \kappa _ { 4 } \big ) } & { c > \kappa _ { c } \wedge a \leq \kappa _ { a } } \\ { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( \kappa _ { a } ) + \kappa _ { a } ^ { o } ( a - \kappa _ { a } ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot \big ( \kappa _ { 3 } l o g ( c ) + \kappa _ { 4 } \big ) } & { c \leq \kappa _ { c } \wedge a > \kappa _ { a } } \\ { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( \kappa _ { a } ) + \kappa _ { a } ^ { o } ( a - \kappa _ { a } ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot ( \kappa _ { 3 } l o g ( \kappa _ { c } ) + \kappa _ { c } ^ { o } ( c - \kappa _ { c } ) + \kappa _ { 4 } \big ) } & { c > \kappa _ { c } \wedge a > \kappa _ { a } } \end{array} \right. \right\}
\begin{array} { r } { \ln u \approx - ( n - 1 ) \frac { \langle k \rangle } { n - 1 } ( 1 - u ) \, , } \\ { \ln u \approx - \langle k \rangle \left( 1 - u \right) \, , } \\ { \Rightarrow u \approx e ^ { - \langle k \rangle ( 1 - u ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { - } & { \gamma _ { 1 } t ( u + t v ) E _ { c } ( \gamma _ { 1 } E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) ~ d \rho } \\ & { + } & { t ( \gamma _ { 1 } u ^ { 2 } + v \kappa + \gamma _ { 1 } t u v ) ( \gamma _ { 1 } E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) ~ d \rho u } \\ & { - } & { t ( u \kappa - \gamma _ { 1 } t v ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } u v ) ( \gamma _ { 1 } E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) ~ d \rho v } \\ & { + } & { ( - v \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ( ( 1 + \gamma t ^ { 2 } ) v + \gamma _ { 1 } t u ) E _ { c } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } t ( u + t v ) H - \gamma _ { 1 } \kappa H ) ~ d \rho E = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n _ { i } } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ T ~ E ~ -- ~ P ~ I ~ } ) } ( E _ { \gamma } , T _ { \mathrm { g a s } } ) } & { { } = \sum _ { v _ { i } = 0 } \frac { g _ { n _ { i } v _ { i } } ( \mathrm { H } _ { 2 } ^ { + } ) \, \mathrm { e } ^ { - \varepsilon _ { n _ { i } v _ { i } } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { g a s } } } } { \mathcal { Z } _ { n _ { i } } ( T _ { \mathrm { g a s } } ) } } \end{array}