harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \textrm { i } \omega \delta n + \textrm { i } k n _ { 0 } \delta v } & { { } = 0 , } \\ { - \textrm { i } m _ { e } \omega \delta v + e \delta E } & { { } = 0 , } \\ { \textrm { i } k \delta E + 4 \pi e \delta n } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { i j } ^ { \prime \prime } ( u ) } & { = \frac { \partial } { \partial u } \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } S _ { 1 } ( u ) } \\ & { = \frac { u } { 2 \pi ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } S _ { 1 } ( u ) - \frac { u } { 2 \pi ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } S _ { 2 } ^ { G } ( u ) + \frac { 1 } { 2 \pi ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } S _ { 3 } ^ { g } ( u ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall \mu , \nu \in \{ + , - \} , \quad 1 } & { = \varphi _ { \mu , \nu } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) + \varphi _ { \mu , \nu } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) , } \\ { \varphi _ { + , + } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { [ 0 , \infty ) } ( ( \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } ) \eta _ { 1 } ) , \qquad } & { \varphi _ { + , + } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { ( - \infty , 0 ) } ( ( \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } ) \eta _ { 1 } ) , } \\ { \varphi _ { + , - } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { ( - \infty , 0 ) } ( \xi _ { 1 } \eta _ { 1 } ) , \qquad } & { \varphi _ { + , + } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { [ 0 , \infty ) } ( \xi _ { 1 } \eta _ { 1 } ) , } \\ { \varphi _ { - , + } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { ( - \infty , 0 ) } ( ( \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } ) \xi _ { 1 } ) , \qquad } & { \varphi _ { + , + } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) : = \mathbf { 1 } _ { [ 0 , \infty ) } ( ( \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } ) \xi _ { 1 } ) , } \\ { \varphi _ { - , - } ^ { 1 } ( \xi , \eta ) : = 0 , \qquad } & { \varphi _ { + , + } ^ { 2 } ( \xi , \eta ) : = 1 . } \end{array}
f _ { 0 } ( T ) = \frac { c _ { 1 } } { 2 \pi r } \sqrt { \frac { E } { \rho ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } ( \epsilon _ { 0 } + \Delta \epsilon ( T ) + \frac { c _ { 2 } z ( T ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta _ { 1 } } & { - \sin \theta _ { 1 } } \\ { 0 } & { \sin \theta _ { 1 } } & { \cos \theta _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { L } _ { \mathrm { n e w } } ^ { \mathrm { f i t } } \leftarrow \frac { q ^ { 2 } \mathbf { L } _ { E } ^ { \mathrm { f i t } } + \frac { 1 } { 3 } \mathbf { L } _ { F } ^ { \mathrm { f i t } } } { \mathbf { N } _ { \mathrm { a t o m } } ^ { \mathrm { f i t } } }
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \mathcal { T } ( T ^ { H } M , g ^ { T Z } , h ^ { F } ) - \mathcal { T } _ { 1 } ( T ^ { H } M _ { 1 } , g ^ { T Z _ { 1 } } , h ^ { F _ { 1 } } ) - \mathcal { T } _ { 2 } ( T ^ { H } M _ { 2 } , g ^ { T Z _ { 2 } } , h ^ { F _ { 2 } } ) - \mathcal { T } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) \log 2 . } \end{array}
\mathbf { 0 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } \mathbf { J } _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } \left( \mathbf { u } c _ { i } - \kappa _ { i } \nabla c _ { i } - \frac { \kappa _ { i } z _ { i } e } { k _ { B } T } c _ { i } \nabla \phi \right)
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bar { { \bf Y } } } _ { 1 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { { \bf J } _ { 1 1 } \tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { - * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { \bar { { \bf Y } } } _ { 2 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { { \bf J } _ { 2 2 } \tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { - * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( m _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { m _ { t + 1 } \in [ [ M _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } V _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t m } } ( m _ { t + 1 } ) , } \\ { V _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( m _ { t } ) : = } & { \relax _ { u _ { t } \in [ [ U _ { t } ] ] } Q _ { t } ^ { \mathrm { t m } } ( m _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
\left( O \hat { M } ^ { l k } \right) _ { ( i ) } = \frac { 1 } { \sigma _ { ( i ) } } \int d \theta \varphi _ { ( i ) } O \sum _ { j } \hat { M } _ { ( j ) } ^ { l k } \varphi _ { ( j ) } = \sum _ { j } O _ { ( i , j ) } \hat { M } _ { ( j ) } ^ { l k } .
\begin{array} { r l r l r l } { \mathcal { E } ( \tilde { w } \ll 1 ) } & { { } = C _ { \infty } ^ { - 1 } \tilde { w } ^ { \gamma } [ 1 + \mathcal { E } _ { 1 } \tilde { w } + O ( \tilde { w } ^ { 2 } ) ] , } & { \gamma } & { { } = \frac { 4 f _ { \pi ; 0 } } { f _ { \pi ; 0 } - \frac { 8 } { 3 } } , } & { \mathcal { E } _ { 1 } } & { { } = - \frac { \frac { 3 2 } { 3 } f _ { \pi ; 1 } } { ( f _ { \pi ; 0 } - \frac { 8 } { 3 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal U } ( { \bf R } , { \bf n } ) = } & { { } \operatorname* { m i n } _ { D ^ { \sigma } } \left\{ { \cal E } ( { \bf R } , D , P ) \left\vert \sum _ { \sigma } \mathrm { T r } [ D ^ { \sigma } S ] = N _ { e } \right. \right\} } \end{array}
\int d \mu _ { 0 } ( \phi ) \int d \nu _ { T } ( \hat { h } ) \hat { h } _ { \mu \nu , \rho } ( x ) \hat { h } _ { \alpha \beta , \sigma } ( y ) \simeq - \xi ^ { - 2 } \partial _ { \rho } \partial _ { \sigma } \ln ( x - y ) ^ { 2 }
\mathrm { i i } ) \; \; m _ { \alpha } \, { \bf j ^ { \alpha } } \ne 0 \; \; , \qquad \qquad \frac { \partial } { \partial u } { \bf { \hat { C } } } = ( \log r ) \frac { 1 } { 2 } m _ { \alpha } \, { \bf j ^ { \alpha } } ( u , \phi ) \quad . \qquad \qquad \qquad \qquad
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { u } \mathcal I [ \bar { u } ] = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { T } \! \d t \int D _ { \mu } \ell ^ { * } \big | _ { \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta } \circ \bar { X } _ { t , T } \, \bar { J } _ { t } \, \left( V _ { t } - \bar { V } _ { t } \right) \d \mu _ { t } . } \end{array}
\widetilde { \epsilon ^ { \prime \prime } } = \frac { 2 \bar { \mu } } { \bar { \rho } } \left( \widetilde { s _ { i j } ^ { \prime \prime } s _ { i j } ^ { \prime \prime } } - \frac { 1 } { 3 } \widetilde { \theta ^ { \prime \prime 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ( \beta ) } & { { } = \frac { \beta } { 2 } \equiv \frac { 2 \pi A } { \lambda _ { 0 } } , } \\ { \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } } & { { } = \frac { 4 \pi \delta l _ { \mathrm { P C C } } } { \lambda _ { 0 } } . } \end{array}
Z ( W _ { A } ) = \int _ { W _ { A } } \prod _ { i , j \neq i } e ^ { - \left( \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } \right) w _ { i j } } d w _ { i j } = \left( \frac { 1 } { \beta _ { i } ^ { o u t } + \beta _ { j } ^ { i n } } \right) ^ { a _ { i j } } .
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } ) \| \ge \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { q } | F _ { q } ( \boldsymbol { x } ) | \ge \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \operatorname* { m i n } \{ c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } \} r = c \| \boldsymbol { x } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( j + 1 ) ^ { 2 } \exp \left( - \frac { \frac { 1 } { 2 } j ^ { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j } { t } } \right) } & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( j + 1 ) ^ { 2 } \exp \left( - j \frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 t } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { x } } & { { } = \frac { z + \bar { z } } { 1 + | z | ^ { 2 } } } \\ { n _ { y } } & { { } = - i \frac { z - \bar { z } } { 1 + | z | ^ { 2 } } } \\ { n _ { z } } & { { } = \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } , } \end{array}
| { \mathrm { D } } _ { 1 } ^ { 2 } f | ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } B _ { 1 } = | { \mathrm { D } } _ { 1 } ^ { 2 } f | \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } N
\begin{array} { r l r } { \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 1 , 2 \right) \vec { \mathcal { P } } _ { 2 } } & { { } = } & { \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } \left\lbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 2 , 1 \right) \right\rbrack ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \vec { \mathcal { P } } _ { 2 } \, , } \end{array}
x ^ { \prime } = { \frac { k ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \quad y ^ { \prime } = { \frac { k ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , \quad z ^ { \prime } = { \frac { k ^ { 2 } z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } ^ { ( \mathrm { p } ) } = - \frac { \left( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } \right) } { 2 } E _ { 0 } ^ { 2 } \left[ t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { i } } ) \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } \right. } \\ { \left. + \frac { ( 1 + r _ { \mathrm { p } } ( \theta _ { \mathrm { i } } ) ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } + t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { i } } ) \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } } { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla p \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq C \| p \| _ { H ^ { 1 } } \left[ \mathrm { { R a } } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { \mathrm { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } } } & { { = } } & { { \rho _ { \infty } \, \mathrm { , } } } \\ { { u _ { f } } } & { { = } } & { { u _ { \infty } \, \mathrm { , } } } \\ { { v _ { f } } } & { { = } } & { { v _ { \infty } \, \mathrm { , } } } \\ { { w _ { f } } } & { { = } } & { { w _ { \infty } \, \mathrm { , } } } \\ { { e _ { f } } } & { { = } } & { { e _ { \infty } \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { n } } & { = \frac { ( n + t + \beta + 1 ) ( n + t + \alpha + \beta + 1 ) } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 1 ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 2 ) } , } \\ { r _ { n } } & { = \frac { ( n + t + \beta + 1 ) ( n + t + 1 ) } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 1 ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 2 ) } + \frac { ( n + t + \alpha ) ( n + t + \alpha + \beta ) } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 1 ) } , } \\ { q _ { n } } & { = \frac { ( n + t ) ( n + t + \alpha ) } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { j k } ^ { \mathsf { M - M M S E } } \! = \! \! \left[ \! \left( \sum _ { l = 1 } ^ { L } \widehat { \mathbf { H } } _ { l } ^ { j } \mathbf { P } _ { l } ( \widehat { \mathbf { H } } _ { l } ^ { j } ) ^ { \mathsf { H } } \! + \! \boldsymbol { \Upsilon } ^ { j } \! + \! \sigma _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M } \! \right) ^ { - 1 } \! \! \widehat { \mathbf { H } } _ { j } ^ { j } \mathbf { P } _ { j } \right] _ { : , k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { d } _ { l } \mathcal { N } _ { 1 } ( x ) ( \cdot , t ) = - c _ { l } ^ { - } ( \cdot ) \frac { \partial } { \partial z } \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( x ) ( \cdot , t ) - c _ { l } ^ { + } ( \cdot ) \frac { \partial } { \partial z } \mathcal { N } _ { 1 } ^ { + } ( x ) ( \cdot , t ) \in L ^ { 2 } ( [ a , b ] , \mathbb { R } ) . } \end{array}
\boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ^ { \prime } , \boldsymbol { u } , \boldsymbol { u } ^ { \prime } ) = - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } , \boldsymbol { x } , \boldsymbol { u } ^ { \prime } , \boldsymbol { u } ) \ .
\begin{array} { r l } { \left| \phi _ { \Xi } ( t ) \right\rangle = } & { { } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) U \left( t , t _ { M } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \zeta : = \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T _ { \ell } - T _ { \ell - 1 } ) } } { \theta _ { r } } , \ a _ { 3 } : = \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T _ { \ell - 1 } - T _ { 0 } ) } } { \theta _ { r } } + \zeta e ^ { - \theta _ { r } ( T _ { \ell - 1 } - T _ { 0 } ) } , } \\ & { a _ { 4 } : = \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( T _ { \ell - 1 } - T _ { 0 } ) } } { \theta _ { \lambda } } , \ b _ { 3 } : = \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T _ { \ell } - T _ { 0 } ) } } { \theta _ { r } } , \ b _ { 4 } : = \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( T _ { \ell } - T _ { 0 } ) } } { \theta _ { \lambda } } . } \end{array}
G _ { i l } ( x , x ^ { \prime } ) = 2 \mathrm { R e } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { z } \, G _ { i l , n } ( \omega , k _ { z } , r , r ^ { \prime } ) e ^ { i n \Delta \phi + i k _ { z } \Delta z - i \omega \Delta t } \right] ,
\begin{array} { r } { { \hat { h } } _ { \mathrm { N + 1 } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \epsilon ( k _ { x } ) } & { { \Omega } ( \frac { \pi } { L _ { y } } ) } & { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { \pi } { L _ { y } } ) } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { \pi } { L _ { y } } } ) } & { 0 } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { 0 } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { 2 \pi } { L _ { y } } } ) } & { \hdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] ~ , } \end{array}
\| U ( t , s ) \left( \rho _ { 1 } ( s ) \otimes \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ( s ) \right) \| _ { F } \le \| \rho _ { 1 } ( s ) \otimes \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ( s ) \| _ { F }
X ( \sigma ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( \xi _ { n } + \tilde { \xi } _ { n } ) \cos ( 2 n \sigma ) - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( \eta _ { n } - \tilde { \eta } _ { n } ) } { n } } \sin ( 2 n \sigma )
\begin{array} { r } { { \bf E } = i \omega \left( \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \partial _ { x } ^ { 2 } A + A , \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \partial _ { x } \partial _ { y } A , \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \partial _ { x } \partial _ { z } A \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { r } } & { { } = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } z \cos ( 2 \phi ) \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { \phi } } & { { } = } & { - \hbar k r \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { { } = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { o v l p } } } & { \simeq } & { \frac { 1 } { 4 } \Delta x \Delta y \Biggl ( \lambda _ { 0 , 0 } + \lambda _ { m , 0 } + \lambda _ { 0 , n } + \lambda _ { m , n } + } \\ & { } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \lambda _ { i , 0 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \lambda _ { i , n } + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \lambda _ { 0 , j } + } \\ & { } & { 2 \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \lambda _ { m , j } + 4 \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \Biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \lambda _ { i , j } \Biggr ) \Biggr ) . } \end{array}
d ( d \omega ) = \frac { 1 } { r ! } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { \rho } x ^ { \nu } } \omega _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { r } } \right) d x ^ { \rho } \wedge d x ^ { \nu } \wedge d x ^ { \mu _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d x ^ { \mu _ { r } } ,
T _ { i \pm 1 } = \frac { 1 } { k _ { b } } \frac { p _ { i \pm 1 } ^ { n * } } { N _ { i \pm 1 } ^ { n } } , \; \; T _ { i } = \frac { 1 } { k _ { b } } \frac { p _ { i } ^ { n * } } { N _ { i } ^ { n } } ,
\begin{array} { r } { \frac { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } = \frac { P _ { z } \bigl ( z ^ { \prime } \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } { P _ { z } \bigl ( z \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d u + \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u \partial _ { x } u + w \partial _ { z } u + \partial _ { x } p ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ) d W , } \\ & { \partial _ { z } p = 0 , } \\ & { \partial _ { x } u + \partial _ { z } w = 0 , } \\ & { u ( 0 ) = u _ { 0 } , } \end{array}
( \Gamma _ { \phi } ^ { \alpha \eta } ) _ { a b c } = 2 e ^ { 3 } ( \gamma ^ { \lambda } \gamma ^ { \phi } \gamma ^ { \tau } ) _ { \alpha \eta } \int \frac { d ^ { 4 } S } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( Q + S ) _ { \tau } ( P + S ) _ { \lambda } [ \tau _ { 3 } D ( S ) ] _ { a b } [ \tau _ { 3 } D ( P + S ) ] _ { b c } [ \tau _ { 3 } D ( Q + S ) ] _ { c a } .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ 2 \Re ( \alpha ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - X A - A ^ { H } X ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - \alpha X A - \overline { { \alpha } } A ^ { H } X - \overline { { \alpha } } X A - \alpha A ^ { H } X ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( - ( \alpha I _ { n } + A ^ { H } ) X ( \overline { { \alpha } } I _ { n } + A ) + ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { H } X ( \alpha I _ { n } - A ) ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } \\ & { = - \mathbf { A } ^ { H } X \mathbf { A } + X , } \end{array}
{ \left\langle { { \bf { f } } , { \bf { g } } } \right\rangle _ { t } } = \int _ { 0 } ^ { T } { { \bf { f } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) \cdot { \bf { g } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) d t }
w e c h a r a c t e r i s e d e x a c t l y w h e n a q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e i s N _ { 2 } . N o t e t h a t N _ { 2 } q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e s o f o r d e r q e x i s t f o r a l l o d d p r i m e p o w e r s q , b e c a u s e t h e s q u a r e s \mathcal { L } [ a , a ] a r e N _ { 2 } f o r a n y a \in \mathbb { F } _ { q } \setminus \{ 0 , 1 \} . W e a l s o f o u n d t h a t t h e r e a r e 7 q ^ { 2 } / 3 2 + O ( q ^ { 3 / 2 } ) q u a d r a t i c N _ { 2 } L a t i n s q u a r e s o f o r d e r q . D r \' { a } p a l a n d W a n l e s s ~ s h o w e d t h a t t h e q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e s \mathcal { L } [ a , b ] a n d \mathcal { L } [ c , d ] o f o r d e r q a r e i s o m o r p h i c i f a n d o n l y i f \{ c , d \} = \{ \theta ( a ) , \theta ( b ) \} f o r a n a u t o m o r p h i s m \theta o f \mathbb { F } _ { q } . I t f o l l o w s t h a t t h e n u m b e r o f i s o m o r p h i s m c l a s s e s o f N _ { 2 } q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e s o f o r d e r q i s a t l e a s t \Theta ( q ^ { 2 } / \log ( q ) ) . L e m m a
\begin{array} { r } { \langle \mathtt { e } ^ { k _ { a } } , \mathsf { G } ( \delta _ { x _ { b } } ) \rangle _ { \star } = { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k _ { a } \cdot x _ { b } } \, \tilde { \mathsf { G } } ( k _ { a } ) = \langle \mathsf { G } ( \mathtt { e } ^ { k _ { a } } ) , \delta _ { x _ { b } } \rangle _ { \star } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { Z = K _ { 4 } ^ { ( 1 ) } Q _ { 1 1 1 1 } + K _ { 3 } ^ { ( 1 ) } { \cal Q } _ { 3 } + K _ { 2 } ^ { ( 1 ) } { \cal Q } _ { 2 } + { \cal Z } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { x } ( t ) } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \psi ( x , t ) \Big ( - \frac { \nabla U ( x ) } { m _ { e } } - \frac { \nabla V ( x , t ) } { m _ { e } } \Big ) \psi ^ { * } ( x , t ) d x } \\ & { = } & { \frac { 1 } { m _ { e } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \psi ( x , t ) \Big ( - \nabla U ( x ) - e E ( t ) \Big ) \psi ^ { * } ( x , t ) d x . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P ( - , G ) = 1 } \\ { P ( - , B ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( - , B , D ) + R _ { 2 } ( - , B , D ) > 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , D ) < 1 } \\ { \frac { b } { c } > \frac { 1 + R _ { 2 } ( - , B , D ) } { 1 - R _ { 1 } ( - , G , D ) } } \\ { R _ { 1 } ( - , B , C ) \leq R _ { 1 } ( - , B , D ) { \quad \mathrm { o r } \quad } \frac { b } { c } < \frac { 1 + R _ { 2 } ( - , B , D ) } { R _ { 1 } ( - , B , C ) - R _ { 1 } ( - , B , D ) } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = - i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) - i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } - \sum _ { g ^ { \prime } } T _ { { e g ^ { \prime } } s } \rho _ { { g ^ { \prime } g } } ( \textbf { r } , t ) \right) } \end{array}
\boldsymbol { \Psi } _ { n \ell m } ( \boldsymbol { x } ) = A _ { n \ell } ( r ) \boldsymbol { Y } _ { \ell m } ^ { L } ( \theta , \phi ) + B _ { n \ell } ( r ) \sqrt { \ell ( \ell + 1 ) } \boldsymbol { Y } _ { \ell m } ^ { E } ( \theta , \phi )
\mathbf { A } _ { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } \, ( \mathbf { \overline { { q } } } ) \mathbf { q } ^ { \prime } = ( \mathbf { A } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) + \mathbf { A } _ { z } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) ) \, \mathbf { q } ^ { \prime } = \left( \mathbf { A } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) + i \beta \mathbf { B } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) - \beta ^ { 2 } \mathbf { C } _ { 1 } ( \mathbf { \overline { { q } } } ) \right) \mathbf { q } ^ { \prime } .
{ S _ { 1 1 } ^ { s h } } { = S _ { 3 3 } ^ { s h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } V ( x , \hat { \theta } ) } & { \leq - \alpha \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } } \\ & { \leq - \alpha \left( \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } - \omega ^ { - 1 } \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } \right) ^ { + } } \\ & { \leq - \alpha \sqrt { W ( x , \hat { \theta } ) } } \end{array}