harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { a _ { j } } ^ { b _ { j } } ( \rho _ { h j } ) _ { t } \varphi _ { j } \ \mathrm { d } x - } & { \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h j } } \int _ { K } Q _ { e } ( \rho _ { h j } ) \varphi _ { j } ^ { \prime } \ \mathrm { d } x + \sum _ { x \in \mathcal { F } _ { h j } ^ { I } } H \big ( \rho _ { h j } ^ { ( L ) } , \rho _ { h j } ^ { ( R ) } \big ) \left[ \varphi _ { j } \right] } \\ & { \quad + H \big ( \rho _ { h j } ^ { ( L ) } ( b _ { j } ) , \rho _ { h j } ^ { ( L ) } ( b _ { j } ) \big ) \varphi _ { j } ^ { ( L ) } ( b _ { j } ) - H _ { j } \varphi _ { j } ^ { ( R ) } ( a _ { j } ) = 0 , } \end{array}
G _ { x , y } ( \omega , t ) = \left| \int a _ { x , y } ( t ^ { \prime } ) \; \frac { \mathrm { e x p } [ - ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } ] } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \; \mathrm { e x p } ( i \omega t ^ { \prime } ) \; d t ^ { \prime } \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \left( \frac { \hat { \lambda } _ { 1 } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } } { ( \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } ) ( \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } ) } \right) ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } _ { 1 } } - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { - \hat { \mu } _ { 1 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { T } } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { j } a _ { \mathrm { t o t } , j } ^ { \mathrm { J } } \mathbf { e } _ { j } ^ { + } ( \mathbf { r } _ { \perp } ) \exp ( i \beta _ { j } ( z - z _ { \mathrm { J } } ) ) } \\ & { + b _ { \mathrm { t o t } , j } \mathbf { e } _ { j } ^ { - } ( \mathbf { r } _ { \perp } ) \exp ( - i \beta _ { j } ( z - z _ { \mathrm { J } } ) ) \quad ( z > z _ { \mathrm { J } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \delta u } { d t } } & { { } = } & { - i \tilde { \Delta } _ { w } \delta u - i g _ { d } \delta v - i g \delta \rho } \\ { \frac { d \delta v } { d t } } & { { } = } & { - \xi \delta v - i g _ { d } \delta u - i g _ { c } \delta \rho } \\ { \frac { d \delta \rho } { d t } } & { { } = } & { - i \tilde { \Delta } _ { c } \delta \rho - i g \delta u - i g _ { c } \delta v + \sqrt { \kappa } A _ { p } e ^ { - i ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) t } , } \end{array}
n = ( n _ { - } + n _ { + } ) = \frac { < N > } { V \Lambda ^ { 2 } } = \Bigg [ ( 1 + \beta ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 + \beta ^ { \prime } } { 2 } } ( 1 - \beta ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 - \beta ^ { \prime } } { 2 } } 4 \pi \beta \frac { e ^ { 2 \gamma _ { E } } } { 8 } \frac { N _ { c } } { N _ { c } - 1 } 2 ^ { \frac { 8 ( N _ { c } - 1 ) ^ { 2 } } { \beta N _ { c } ^ { 2 } } } \Bigg ] ^ { \frac { \beta N _ { c } ^ { 2 } } { 8 ( N _ { c } - 1 ) ^ { 2 } - \beta N _ { c } ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { c c c } { { t _ { 0 , 1 } = \frac { 1 } { 2 } [ ( M ^ { 2 } + m ^ { 2 } - s ) \mp \sqrt { ( M ^ { 2 } + m ^ { 2 } - s ) ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } M ^ { 2 } } ] . } } \end{array}
\pi _ { i } ( \mathbf { R P } ^ { n } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { i = 0 } \\ { \mathbf { Z } } & { i = 1 , n = 1 } \\ { \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } & { i = 1 , n > 1 } \\ { \pi _ { i } ( S ^ { n } ) } & { i > 1 , n > 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \quad \overline { { \varphi } } } & { { } = } & { e ^ { - 1 / 2 } \varphi } \\ { e } & { { } = } & { \left\vert \operatorname* { d e t } \, e _ { \mu } ^ { \alpha } \right\vert = \left( - \operatorname* { d e t } \, g _ { \mu \nu } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { \mathcal { M } ( \rho ) } ( \vec { p } , \vec { q } ) : = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) , } & & { | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | = 1 , } \\ & { 0 , } & & { | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\tilde { \xi } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) e ^ { i [ m ( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) ] } e ^ { - i k _ { z } z _ { 0 } } ,
\left\{ \, \begin{array} { r l } { - \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \left( C \left( \frac { x } { \varepsilon } \right) e ( u _ { \varepsilon } ) \right) } & { { } = f \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \qquad \Omega , } \\ { u _ { \varepsilon } } & { { } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \qquad \partial \Omega } \end{array} \right.
\mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \nabla _ { p } \cdot \left( \boldsymbol { \dot { p } } { \psi } \right) - \tau D _ { r } \nabla _ { p } ^ { 2 } { \psi } + \left( { \psi } - \frac { 1 } { { 4 \pi } } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { H } } _ { \mathrm { t r a n s } } ( t ) = \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { n } } & { { } } & { \Omega _ { 1 , n } ( t ) \vert i _ { n } \rangle \langle g _ { n } \vert + \Omega _ { 2 , n } ( t ) \vert r _ { n } \rangle \langle i _ { n } \vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \right) } & { { } = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { x } } } \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } } \\ { \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { y } \right) } & { { } = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { x } } } \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \mid \boldsymbol { y } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \beta [ f ] = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow 0 } \frac { [ Z ^ { n } ] - 1 } { n N } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow 0 } \Biggl \{ - \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 n } \sum _ { \alpha \neq \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 n } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { n } l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} . } \end{array}
\epsilon _ { S } ^ { ( j ) } ( x ) = 0 , \; \; \; \; \epsilon _ { I } ^ { ( j ) } ( x ) = B \sum _ { k = 1 } ^ { 1 0 } A _ { k } ^ { j } \sin \big ( k \frac { 2 \pi } { 1 0 0 0 } x + \phi _ { k } ^ { j } \big ) + C _ { k } ^ { j } \cos \big ( k \frac { 2 \pi } { 1 0 0 0 } y + \eta _ { k } ^ { j } \big ) ,
\mathrm { G } = \left( \begin{array} { c c c } { B _ { 1 } ( \mathfrak { r } _ { 1 } ) } & { \ldots } & { B _ { m } ( \mathfrak { r } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { B _ { 1 } ( \mathfrak { r } _ { N } ) } & { \ldots } & { B _ { m } ( \mathfrak { r } _ { N } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { l } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { k _ { a } T _ { j , a } } \delta _ { a b } - \sum _ { c } \frac { \mathbb { D } _ { c a b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } \xi _ { c } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { j + 1 } \sum _ { c , d } \biggl [ - \frac { k _ { b } } { 2 T _ { j , b } } \mathbb { C } _ { c d a b } - \frac { k _ { a } T _ { j , a } + k _ { b } T _ { j , b } } { 2 k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } \mathbb { D } _ { c d a b } - \frac { 1 } { 2 k _ { a } T _ { j , a } } \mathbb { D } _ { a b c d } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \sum _ { e } \frac { \mathbb { D } _ { d e b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } k _ { e } T _ { j , e } } ( \mathbb { D } _ { c a e } + k _ { a } T _ { j , a } k _ { e } T _ { j , e } \mathbb { C } _ { c a e } ) \biggl ] \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial _ { y } ^ { \beta } \partial _ { z } ^ { \gamma } K ( y , z ) | } & { \lesssim \frac 1 { [ ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) ( | y _ { 2 } | + | z _ { 2 } | ) + | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | ] ^ { \beta _ { 3 } + \gamma _ { 3 } + 4 } } } \\ & { \qquad \times \frac 1 { ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) ^ { \beta _ { 1 } + \gamma _ { 1 } } ( | y _ { 2 } | + | z _ { 2 } | ) ^ { \beta _ { 2 } + \gamma _ { 2 } } } } \\ & { \qquad \times \operatorname* { m i n } \Big \{ 1 , \Big ( \frac { ( | y _ { 1 } | + | z _ { 1 } | ) ( | y _ { 2 } | + | z _ { 2 } | ) } { | y _ { 3 } | + | z _ { 3 } | } \Big ) ^ { \operatorname* { m i n } \{ \beta _ { 1 } + \gamma _ { 1 } , \beta _ { 2 } + \gamma _ { 2 } \} } \Big \} L _ { \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } ( y , z ) . } \end{array}
\Lambda \doteq \varlimsup _ { n \to \infty } \left[ \int _ { \Omega } \frac { | D u _ { n } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } - \frac { \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) } { 2 - p _ { n } } \right] + \varlimsup _ { p \nearrow 2 } \frac { \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) - \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) ^ { p ^ { \prime } - 1 } } { 2 - p } .
{ \begin{array} { r l } { { \left( \begin{array} { l } { S ( x ) \Gamma ( x ) } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } & { = { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 6 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 7 } } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x ^ { 6 } } \\ { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } + 2 \alpha ^ { - 1 } x ^ { 6 } + 2 \alpha ^ { 6 } x ^ { 7 } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } } \\ { \alpha ^ { 7 } + \left( \alpha ^ { - 5 } + \alpha ^ { 5 } \right) x + 2 \alpha ^ { - 7 } x ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 6 } x ^ { 3 } + 2 \alpha ^ { 4 } x ^ { 4 } + 2 \alpha ^ { 2 } x ^ { 5 } + 2 x ^ { 6 } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l } { \left( 1 + \alpha ^ { 2 } \right) + \left( \alpha ^ { 0 } + \alpha ^ { - 6 } \right) x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } } \\ { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { 0 } x } \end{array} \right) } } \end{array} }
X = { \frac { 1 } { \xi } } \left\{ \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \beta U \right) \tan U - \beta \log \left( { \frac { { \frac { \pi } { 2 } } W \cos U } { { \frac { \pi } { 2 } } + \beta U } } \right) \right\} ,
U _ { H } = T U _ { \mathrm { R } } = k U _ { \mathrm { O } } \left| U _ { \mathrm { R } } \right| ^ { 2 } + k \left| U _ { \mathrm { R } } \right| ^ { 2 } U _ { \mathrm { R } } + k \left| U _ { \mathrm { O } } \right| ^ { 2 } U _ { \mathrm { R } } + k U _ { \mathrm { O } } ^ { * } U _ { \mathrm { R } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { p ( \lambda ) } & { = \mathrm { T r } \left( \frac { \Pi _ { \mu } ^ { L } \otimes \Pi _ { \nu } ^ { L } } { d _ { \mu } ^ { 2 } d _ { \nu } ^ { 2 } } \Pi _ { \lambda } ^ { L } \right) = \sum _ { g \in S _ { n } } \frac { d _ { \lambda } } { d _ { \mu } d _ { \nu } } \frac { \chi _ { \mu } ( g ) \chi _ { \nu } ( g ) \chi _ { \lambda } ( g ) } { n ! } = \frac { d _ { \lambda } } { d _ { \mu } d _ { \nu } } g _ { \mu \nu \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u = U _ { \infty } \left\{ \cos \theta - \frac { \epsilon _ { v } y _ { r } } { r _ { c } } \exp \left( \frac { 1 - x _ { r } ^ { 2 } - y _ { r } ^ { 2 } } { 2 r _ { c } ^ { 2 } } \right) \right\} , } \\ & { v = U _ { \infty } \left\{ \sin \theta + \frac { \epsilon _ { v } x _ { r } } { r _ { c } } \exp \left( \frac { 1 - x _ { r } ^ { 2 } - y _ { r } ^ { 2 } } { 2 r _ { c } ^ { 2 } } \right) \right\} , } \\ & { \rho = \rho _ { \infty } \left\{ 1 - \frac { ( \gamma - 1 ) \left( \epsilon _ { v } M _ { \infty } \right) ^ { 2 } } { 2 } \exp \left( \frac { 1 - x _ { r } ^ { 2 } - y _ { r } ^ { 2 } } { r _ { c } ^ { 2 } } \right) \right\} ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } , } \\ & { p = p _ { \infty } \left\{ 1 - \frac { ( \gamma - 1 ) \left( \epsilon _ { v } M _ { \infty } \right) ^ { 2 } } { 2 } \exp \left( \frac { 1 - x _ { r } ^ { 2 } - y _ { r } ^ { 2 } } { r _ { c } ^ { 2 } } \right) \right\} ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } , } \\ & { x _ { r } = x - x _ { 0 } - ( U _ { \infty } \cos \theta ) t , \quad y _ { r } = y - y _ { 0 } - ( U _ { \infty } \sin \theta ) t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { L } = } & { \sum _ { n } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n + 2 } ^ { \dagger } - a _ { d A , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { u A , n } } \\ { + } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n } ^ { \dagger } - a _ { d A , n } ^ { \dagger } ) a _ { u A , n + 2 } } \\ { + } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( - a _ { u A , n + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d A , n } } \\ { + } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , n } ^ { \dagger } + a _ { d A , n } ^ { \dagger } ) a _ { d A , n + 2 } ] } \\ { - } & { \sum _ { n } ( a _ { u B , n } ^ { \dagger } a _ { u B , n } + a _ { d B , n } ^ { \dagger } a _ { d B , n } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) \hat { s } _ { 2 } \cdot \hat { s } _ { 3 } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { S , S ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { N + L + s _ { 1 } + s _ { 2 } + s } \left[ \mathcal { J } , J , J ^ { \prime } , \ell , N , N ^ { \prime } , L , L ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } , 1 \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { N ^ { \prime } } & { \ell } \\ { L } & { L ^ { \prime } } & { \ell } \\ { J } & { J ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { J } & { J ^ { \prime } } & { 0 } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { 0 } \\ { \mathcal { J } } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { s ^ { \prime } } & { 1 } \\ { s _ { 3 } } & { s _ { 3 } } & { 1 } \\ { S } & { S ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { 1 } & { s ^ { \prime } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } \end{array} \right\} \left( \begin{array} { c c c } { N } & { \ell } & { N ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { L } & { \ell } & { L ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \times \sqrt { s _ { 2 } ( s _ { 2 } + 1 ) ( 2 s _ { 2 } + 1 ) s _ { 3 } ( s _ { 3 } + 1 ) ( 2 s _ { 3 } + 1 ) } . } \end{array}
\lambda ^ { \! * \! } ( E ) = \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \operatorname { v o l } ( C _ { k } ) : { ( C _ { k } ) _ { k \in \mathbb { N } } } { \mathrm { ~ i s ~ a ~ s e q u e n c e ~ o f ~ p r o d u c t s ~ o f ~ o p e n ~ i n t e r v a l s ~ w i t h ~ } } E \subset \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } C _ { k } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) u _ { n } ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } + r ( x ) u _ { n , x x } ^ { 2 } ( t ) \Big ) d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) ( u _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { } & { = 2 g ( t ) u _ { n } ( \ell , t ) - 2 \int _ { 0 } ^ { t } g ^ { \prime } ( \tau ) u _ { n } ( \ell , \tau ) + \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) v _ { 0 , n } ^ { 2 } + r ( x ) ( u _ { 0 , n } ) _ { x x } ^ { 2 } \Big ) d x . ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } } & { = } & { \frac { W _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) } { W ( \lambda ) } = \frac { Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 2 } ( \lambda ) - Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 1 } ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) } , } \\ { \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } } & { = } & { \frac { Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 1 } ( \lambda ) Y _ { 2 } ( \lambda ) - Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 2 } ( \lambda ) Y _ { 1 } ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname { s i n h c } _ { p } x } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sinh _ { p } x } { x } , } & { \mathrm { i f ~ } x \neq 0 } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } x = 0 } \end{array} \right. } & { \operatorname { t a n h c } _ { p } x } & { : = \frac { \operatorname { s i n h c } _ { p } x } { \cosh _ { p } x } , } \\ { \operatorname { c o t h c } _ { p } x } & { : = \frac { 1 } { \operatorname { t a n h c } _ { p } x } , } & { \operatorname { c s c h c } _ { p } x } & { : = \frac { 1 } { \operatorname { s i n h c } _ { p } x } . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { S O ( 1 0 ) } } & { { S O ( 9 ) \begin{array} { l } \end{array} } } & { { S O ( 8 ) } } \\ { { \phi _ { X } = 1 0 } } & { { \left\{ \begin{array} { l } { { \phi _ { I } = 9 } } \\ { { \phi = 1 } } \end{array} \right. } } & { { \left\{ \begin{array} { l } { { \left( \phi _ { i } = 8 _ { v } \right) + \left( \phi ^ { \prime } = 1 \right) } } \\ { { + \left( \phi = 1 \right) } } \end{array} \right. } } \\ { { \psi _ { \alpha } = 1 6 } } & { { \psi _ { \alpha } = 1 6 } } & { { \left( \psi _ { a } = 8 _ { + } \right) + \left( \bar { \psi } _ { \dot { a } } = 8 _ { - } \right) } } \\ { { \bar { \psi } _ { \bar { \alpha } } = \overline { { { 1 6 } } } } } & { { \psi _ { \alpha } ^ { \prime } = 1 6 } } & { { \left( \psi _ { a } ^ { \prime } = 8 _ { + } \right) + \left( \bar { \psi } _ { \dot { a } } ^ { \prime } = 8 _ { - } \right) } } \end{array}
\frac { J _ { 2 } ( \tilde { k } _ { f } \tilde { \rho } ) } { \tilde { \rho } ^ { 2 } } \simeq \tilde { k } _ { f } ^ { 3 } \left( \frac { J _ { 1 } ( x _ { 2 } ) - J _ { 3 } ( x _ { 2 } ) } { 2 x _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \left( \tilde { \rho } - \frac { x _ { 2 } } { \tilde { k } _ { f } } \right) ,
V _ { 2 } = { \frac { ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) R _ { 3 } V _ { \mathrm { B } } - R _ { 2 } R _ { 3 } V _ { \mathrm { A } } } { ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) R _ { 3 } + R _ { 1 } R _ { 2 } } }
\langle \psi _ { F a } ^ { 1 - a } \mid \phi _ { F a ^ { \prime } } ^ { 1 - a ^ { \prime } } \rangle _ { t } = \frac { 1 } { 2 } \delta ( a - a ^ { \prime } ) \theta ( t - 1 + a ) \theta ( t - 1 + a ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \Hat F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } } & { = \sum _ { G _ { y } } \Delta y w _ { G _ { y } } ( \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , t ) ) d t ) , } \\ { \Hat G _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \sum _ { G _ { x } } \Delta x w _ { G _ { x } } ( \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } G ( W ( x _ { G _ { x } } , y _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , t ) ) d t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { n } ( \pi ) } & { = \frac { k n ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ^ { 2 } ) } { ( n + \alpha ) ( 1 + \alpha ) } } \\ & { = \frac { k n } { ( n + \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } ) } \cdot \frac { \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } } - \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } } } { ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } + 1 ) } } \\ & { = \frac { k n } { ( n + \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } ) } \cdot \frac { \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } } { ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { r } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { \frac { 1 6 } { 3 \hbar \, m _ { p } ^ { 2 } } \, \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \, \frac { \sqrt { k T _ { e } } } { n _ { p } ^ { 2 } \, \left( m _ { e } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, G \left( \frac { \hbar \omega _ { p } } { \sqrt { 2 } \, k T _ { e } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf \Xi } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) \rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \langle { \Xi } _ { i , \alpha } ^ { ( l _ { 1 } ) } \left( t \right) { \Xi } _ { j , \beta } ^ { ( l _ { 2 } ) } \left( t ^ { \prime } \right) \rangle } & { { } = } & { \delta _ { l _ { 1 } l _ { 2 } } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
i * \gamma \wedge \breve { D } \psi + * m \psi = i * \gamma \wedge \left[ D ^ { \{ \} } + \frac { i } { 4 } m \gamma + \frac { i } { 4 } A \gamma _ { 5 } \right] \psi = 0 \; \; \; \; \; \; \; ( 3 . 2 )
\varepsilon _ { c r } ( t ) = \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) + \left\{ \! \! \! \begin{array} { l l } { 0 , } & { i f \tilde { \varepsilon } _ { c r } h a s n o p o l e s , \smallskip } \\ { \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { R P } \right) } \left( t \right) , } & { i f \tilde { \varepsilon } _ { c r } h a s a n e g a t i v e r e a l p o l e , \smallskip } \\ { \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { C C P } \right) } \left( t \right) , } & { i f \tilde { \varepsilon } _ { c r } h a s a p a i r o f c o m p l e x c o n j u g a t e d p o l e s , } \end{array} \ \right.
H ( 2 , 4 ) = \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } , { \bf q } ^ { \prime } ) = \gamma ^ { j } \, G _ { F } ( { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } , \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } ) \, \vec { \gamma } \cdot \vec { \mathcal { E } } _ { p , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } } ^ { \pm } + \vec { \mathcal { E } } _ { p , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime } - { \bf k } _ { \gamma } } ^ { \pm } \cdot \vec { \gamma } \, G _ { F } ( { \bf k } _ { \gamma } - { \bf q } , \omega _ { \gamma } - \varepsilon _ { q } ) \, \gamma ^ { j } } \end{array}