harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { J _ { 5 } ^ { \prime } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { j k } ( G _ { i } G _ { j } G _ { k } G _ { \ell } W _ { \ell i } ) , } \\ { J _ { 6 } ^ { \prime } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } ( G _ { i } G _ { j } ^ { 2 } G _ { k } W _ { \ell i } ) } \\ { J _ { 9 } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { k } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } ( G _ { i } G _ { j } ^ { 2 } G _ { k } G _ { \ell } ) } \\ { J _ { 1 0 } } & { = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } ( G _ { i } G _ { j } ^ { 2 } G _ { k } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \boldsymbol { F } } + m r { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \hat { \mathbf { r } } } - m 2 { \dot { r } } { \dot { \theta } } ^ { \prime } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + m \left( 2 r \Omega { \dot { \theta } } ^ { \prime } + r \Omega ^ { 2 } \right) { \hat { \mathbf { r } } } - m \left( 2 { \dot { r } } \Omega \right) { \hat { \boldsymbol { \theta } } } = m { \ddot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + m r { \ddot { \theta } } ^ { \prime } \ { \hat { \boldsymbol { \theta } } } = m { \tilde { { \boldsymbol { a } } . } }
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { n } } } & { { } \times [ \mathbf { E } ^ { \prime } ] _ { - } ^ { + } = \mathbf { 0 } } \\ { \Leftrightarrow \hat { \mathbf { n } } } & { { } \times [ \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } ] _ { - } ^ { + } = \mathbf { 0 } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { I f } \quad r _ { j e t } \geq r _ { j e t 0 } ^ { * } = 0 . 0 5 : \quad q _ { \infty } = 0 . 8 2 } \\ & { \mathrm { I f } \quad r _ { j e t } < r _ { j e t 0 } ^ { * } = 0 . 0 5 : \quad q _ { \infty } ( r _ { j e t } ) = \frac { - r _ { 0 } \dot { r } _ { 0 } ( 0 ) } { \left[ r _ { 0 } / \left( 2 r _ { c } \right) ( 0 ) \right] } \times } \\ & { \times \exp \left( - \sqrt { \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } ( 0 ) } { 2 r _ { c } ( 0 ) } \right) \right] ^ { 2 } - \ln \left( \frac { r _ { j e t } } { r _ { 0 } ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { s R _ { p } C \hat { \psi } _ { d } } & { = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \hat { \psi } _ { d } \, , } & & { z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \hat { \psi } _ { d } ( 0 , s ) } & { = \xi [ \hat { \psi } _ { d } ( 0 , s ) - \hat { \Psi } ( s ) ] , } \\ { \partial _ { z } \hat { \psi } _ { d } ( \ell _ { p } , s ) } & { = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { i } ( \tau ) } & { { } = \sum _ { m _ { a } } \left( \begin{array} { c c c c } { j _ { 1 } } & { j _ { 2 } } & { j _ { 3 } } & { j _ { 4 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } & { m _ { 4 } } \end{array} \right) ^ { ( i ) } \prod _ { a = 1 } ^ { 4 } D _ { m _ { a } , j _ { a } } ^ { j _ { a } } ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \infty } ^ { \mathrm { s p } } ( \omega ) = \sum _ { k \in { \mathbb Z } } \delta I _ { | k | } z ^ { k } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\ { \quad = \frac { 1 } { \pi } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \lambda } \frac { d t } { t } \sigma _ { 0 } ( t ; \zeta = 1 - e ^ { i \omega } ) \right) \quad } \end{array}
\partial _ { a } \ln V _ { M } \Gamma _ { \hat { a } } \eta - { \frac { 1 } { V _ { M } } } \partial _ { a } \tilde { E } _ { M } \Gamma _ { \hat { a } } \Gamma _ { M } ^ { \perp } \eta - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { N } ( \bar { q } _ { N M } - 1 ) { \frac { 1 } { V _ { N } } } \partial _ { a } E _ { N } \Gamma _ { \hat { a } } \Gamma _ { N } \eta \qquad \qquad
\begin{array} { r l r } { [ { \mathbb L } _ { i } , { \mathbb L } _ { j } ] } & { { } = } & { \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb L } _ { k } , } \\ { [ { \mathbb L } _ { i } , { \mathbb K } _ { j } ] } & { { } = } & { \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb K } _ { k } , } \\ { [ { \mathbb K } _ { i } , { \mathbb K } _ { j } ] } & { { } = } & { - \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb L } _ { k } . } \end{array}
( d _ { x } ) _ { \mathcal { N } _ { g _ { 1 } , k _ { j } } } = - \left( x _ { k _ { j } } - \textbf { p r o x } _ { \zeta _ { k } g _ { 1 } } \left( x _ { k _ { j } } - \zeta _ { k } \left( r _ { \beta _ { k } , \rho _ { k } } ( x _ { k _ { j } } , y _ { k _ { j } } ) \right) _ { 1 : n } \right) \right) _ { \mathcal { N } _ { g _ { 1 } , k _ { j } } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } u _ { z } = } & { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } b _ { z } + \boldsymbol { b } _ { \perp } \cdot \nabla _ { \perp } b _ { z } + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \nabla _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } } \\ & { + d _ { e } ^ { 2 } [ \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } b _ { z } ] \cdot \nabla _ { \perp } \nabla _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \partial _ { t } h + a _ { \kappa } \partial _ { s } h + b _ { \kappa } h - \kappa c _ { \kappa } \partial _ { s } ^ { 2 } h } & { { } = g } & { \qquad } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T ] , } \\ { h | _ { t = 0 } } & { { } = h _ { 0 } } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { r } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { M _ { 1 1 } } } & { \tilde { M _ { 1 2 } } } \\ { \tilde { M _ { 2 1 } } } & { \tilde { M _ { 2 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { t } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - u _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \beta _ { t + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \beta _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 4 ( 1 - \beta _ { t + 1 } ) ^ { 2 } L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { y } ) = { \mathcal { N } } _ { \mathrm { o u t } } \circ { \mathcal { N } } _ { L } \circ \cdots \circ { \mathcal { N } } _ { 1 } \circ { \mathcal { N } } _ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { y } ) ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) \sqrt { \frac { \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } } { \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } } } \right| } & { \leq } & { \frac { C _ { 0 } \| \tilde { q } \| _ { \infty } } { \sqrt { \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } } } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \frac { \sqrt { \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } } } { | j - k | ^ { 3 } + 1 } } \\ & { \leq } & { \frac { C _ { 0 } \| \tilde { q } \| _ { \infty } } { \sqrt { \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } } } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \frac { \sqrt { \bar { p } } | k | } { | j - k | ^ { 3 } + 1 } + \frac { \sqrt { \bar { q } } } { | j - k | ^ { 3 } + 1 } . } \end{array}
\sigma ^ { K ^ { + } K ^ { - } \rightarrow \mu ^ { + } \mu ^ { - } } ( m ) = \frac { 4 \pi } { 3 } \left( \frac { \alpha } { m } \right) ^ { 2 } \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { K } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \ | F _ { K } ( m ) | ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) \approx - \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left[ 3 ( \mathbf { m } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { m } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \ln \Big [ \frac { r + r _ { 0 } + | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } { r + r _ { 0 } - | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } \Big ] \simeq \frac { 4 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \alpha \simeq \alpha \, 5 . 9 2 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ~ \mathrm { s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { h } ( \Pi _ { h } \mathbf { u } - \mathbf { u } , \Pi _ { h } p - p ; \mathbf { v } _ { h } , q _ { h } ) = \widetilde { a } _ { h } ( \Pi _ { h } \mathbf { u } - \mathbf { u } , \mathbf { v } _ { h } ) + b _ { h } ( \mathbf { v } _ { h } , \Pi _ { h } p - p ) + b _ { h } ( \Pi _ { h } \mathbf { u } - \mathbf { u } , q _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { A ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ { \omega ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { \omega ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ { \phi ( u ( t ) , v ( t ) , x ( t ) , y ( t ) ) = } & { \omega ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) t + \phi ( u _ { 0 } , v _ { 0 } , x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) ^ { \dag } \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) ^ { \dag } \mathcal { E } ^ { \dag } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) } \\ & { = } & { w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) ^ { \dag } \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) ^ { \dag } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \otimes w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \chi ( - g _ { 0 0 } \vec { q } ^ { T } \vec { x } _ { 1 } + N g _ { 1 1 } \vec { p } ^ { T } \vec { y } _ { 1 } - g _ { 0 1 } \vec { q } ^ { T } \vec { x } _ { 2 } - N g _ { 1 0 } \vec { p } ^ { T } \vec { y } _ { 2 } ) w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \otimes w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) } \\ & { = } & { \chi ( - \vec { q } ^ { T } ( g _ { 0 0 } \vec { x } _ { 1 } + g _ { 0 1 } \vec { x } _ { 2 } ) - \vec { p } ^ { T } ( - N g _ { 1 1 } \vec { y } _ { 1 } + N g _ { 1 0 } \vec { y } _ { 2 } ) ) w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \otimes w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) } \\ & { = } & { \mathcal { E } ^ { \dag } ( w ( \vec { x } , \vec { y } ) ^ { \dag } w ( \vec { p } , \vec { q } ) w ( \vec { x } , \vec { y } ) ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { = } & { - \left[ \frac { d } { d t } - 1 \right] L _ { n } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { = } & { - \frac { d } { d t } L _ { n + 1 } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { = } & { L _ { n - 1 } ^ { m + 1 } ( t ) + L _ { n } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m } ( t ) } & { = } & { L _ { n - 1 } ^ { m } ( t ) + L _ { n } ^ { m - 1 } ( t ) . } \end{array}
\left. \gamma _ { k ; w } ^ { \infty } \right\rvert _ { \alpha _ { k } = 0 } = \frac { \zeta _ { g } ( 1 - \ensuremath { \bar { M } } ) ( 1 - 2 ^ { - \ensuremath { \bar { B } } _ { g } } ) } { 2 \ensuremath { \bar { K } } ( c _ { k } ^ { 2 } - c _ { k } ^ { 2 } \rho _ { k } ^ { 2 } ( 1 - 2 ^ { - \ensuremath { \bar { B } } _ { g } } ) ) + \frac { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { t o t } } } ) + \zeta _ { g } ( 1 - \ensuremath { \bar { M } } ) ( 1 - 2 ^ { - \ensuremath { \bar { B } } _ { g } } ) }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } = \left( \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } - \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } , } \\ & { \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } = \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } \left( \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { T } } - \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \parallel } } ^ { \prime } } & { = \mathbf { E _ { \parallel } } } \\ { \mathbf { B _ { \parallel } } ^ { \prime } } & { = \mathbf { B _ { \parallel } } } \\ { \mathbf { E _ { \bot } } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { E } _ { \bot } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) } \\ { \mathbf { B _ { \bot } } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { B } _ { \bot } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { E } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \widehat { R _ { 2 , 1 } } } & { : \mathcal { F } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \to \mathcal { F } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \; , } \\ { \widehat { R _ { 2 , 1 } } } & { : = \left( \begin{array} { l l } { \hat { R } ( 2 \check { \theta } _ { t } ) } & { \hat { R } ( 2 \hat { \theta } _ { t } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { Z } ( \operatorname { S p i n } ( n , \mathbf { C } ) ) } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { Z } _ { 2 } } & { n = 2 k + 1 } \\ { \mathrm { Z } _ { 4 } } & { n = 4 k + 2 } \\ { \mathrm { Z } _ { 2 } \oplus \mathrm { Z } _ { 2 } } & { n = 4 k } \end{array} \right. } } \\ { \operatorname { Z } ( \operatorname { S p i n } ( p , q ) ) } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { Z } _ { 2 } } & { p { \mathrm { ~ o r ~ } } q { \mathrm { ~ o d d } } } \\ { \mathrm { Z } _ { 4 } } & { n = 4 k + 2 , { \mathrm { ~ a n d ~ } } p , q { \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { \mathrm { Z } _ { 2 } \oplus \mathrm { Z } _ { 2 } } & { n = 4 k , { \mathrm { ~ a n d ~ } } p , q { \mathrm { ~ e v e n } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } } & { \frac { 1 } { T } \mathbb { E } _ { \pi _ { 1 } } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } C ( S ( t ) , a ^ { \pi _ { 1 } } ( t ) ) \right] } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { h } _ { { 2 } + i } ( { 2 } + i + c ) + { h } _ { 1 } } \\ & { = \left( d + \frac { 1 } { 1 + ( 1 - p ) ( 1 - q ) } \left( \frac { p q + 2 } { p q } \right) \right) { h } _ { 2 } } \end{array}
\Delta ( \hbar ) \sim 8 \sqrt { \frac { 3 \hbar V _ { 0 } S _ { \! \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ k ~ } } } { q _ { a } ^ { 2 } \pi } } \, e ^ { - S _ { \! \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ k ~ } } / \hbar } \left( 1 - \frac { 7 1 } { 7 2 } \frac { \hbar } { S _ { \! \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ k ~ } } } + \mathcal { O } ( \hbar ^ { 2 } ) \right)
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { \rho } ^ { V } = - \beta _ { B } \rho ^ { V } \phi ^ { B } - \beta _ { W } \rho ^ { V } \phi ^ { W } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { B } = \beta _ { B } \rho ^ { V } \phi ^ { B } - \beta _ { W } \rho ^ { B } \phi ^ { W } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { D } = \beta _ { W } \rho ^ { V } \phi ^ { W } - \beta _ { B } \rho ^ { D } \phi ^ { B } - \epsilon \rho ^ { D } - \gamma \rho ^ { D } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { D _ { B } } = \beta _ { B } \rho ^ { D } \phi ^ { B } + \beta _ { W } \rho ^ { B } \phi ^ { W } - \epsilon \rho ^ { D _ { B } } - \gamma \rho ^ { D _ { B } } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { W } = \epsilon \rho ^ { D } - \beta _ { B } \rho ^ { W } \phi ^ { B } - \mu \rho ^ { W } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { W _ { B } } = \epsilon \rho ^ { D _ { B } } + \beta _ { B } \rho ^ { W } \phi ^ { B } - \mu \rho ^ { W _ { B } } , } \\ & { \dot { \rho } ^ { P } = \mu \rho ^ { W _ { B } } + \mu \rho ^ { W } + \gamma \rho ^ { D _ { B } } + \gamma \rho ^ { D } , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { ( a - b ) \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a ^ { k } b ^ { n - 1 - k } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a ^ { k + 1 } b ^ { n - 1 - k } - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a ^ { k } b ^ { n - k } } \\ & { = a ^ { n } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } a ^ { k } b ^ { n - k } - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } a ^ { k } b ^ { n - k } - b ^ { n } } \\ & { = a ^ { n } - b ^ { n } } \end{array} }
L = \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } ( x ) { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } a _ { i j } ( x ) { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \, \partial x _ { j } } }
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { * } \left( \hat { l } _ { x } ^ { 2 } + \hat { l } _ { y } ^ { 2 } \right) \Psi = } & { { } \hbar ^ { 2 } \left( m ^ { 2 } \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } + 2 i k z \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i x } ( t ) } & { = \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \frac { \sqrt { \dot { \gamma } - \omega _ { i } } } { \sqrt { \omega _ { i } } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ & { - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \frac { \sqrt { \dot { \gamma } + \omega _ { i } } } { \sqrt { - \omega _ { i } } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ & { + \frac { \sqrt { \dot { \gamma } - \omega _ { i } } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } \sqrt { \omega _ { i } } } p _ { i x } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) + \frac { p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } + e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) - \frac { \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } p _ { i x } ( 0 ) e ^ { \lambda _ { 4 } t } } \\ & { - \frac { p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 4 } t } + e ^ { \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) - \frac { \dot { \gamma } + \omega _ { i } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } p _ { i x } ( 0 ) e ^ { - \lambda _ { 4 } t } + \frac { \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } { 4 \omega _ { i } } q _ { i y } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \\ & { + \frac { \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } { 4 \omega _ { i } } q _ { i y } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 4 } t } - e ^ { \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) + \frac { q _ { i x } ( 0 ) } { 4 } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 4 } t } + e ^ { \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) + \frac { q _ { i x } ( 0 ) } { 4 } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } + e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { f } \mathbf { X } } & { { } = \left[ \beta _ { i } ^ { f } \mathbf { X } _ { i } \right] _ { i } ; \quad \beta _ { i } ^ { f } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( f _ { i } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { f } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { f } : = \frac { | c _ { k } | } { 2 } ; } \\ { \mathbb { M } _ { e } ^ { ( 1 ) } \mathbf { Y } } & { { } = { \Big [ } \beta _ { l } ^ { e } \mathbf { Y } _ { l } { \Big ] } _ { l } ; \quad \beta _ { l } ^ { e } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( e _ { l } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { e } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { e } : = \frac { \mu _ { 0 } } { \eta ( c _ { k } ) } \frac { | c _ { k } | } { 4 } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \geq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } [ A T _ { \epsilon } ( u ( t ) , z ( t ) ) ] + \int _ { 0 } ^ { T } | | \pi _ { N } \nabla A T _ { \epsilon } ( u _ { N } ( s ) , z _ { N } ( s ) ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d s \gtrsim } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } [ A T _ { \epsilon } ( u ( t ) , z ( t ) ) ] + \int _ { 0 } ^ { T } | | \Delta u _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } + | | \Delta z _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d s - } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad - \int _ { 0 } ^ { T } | | \nabla u _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } + | | \nabla z _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } d s - 1 , } \end{array}
\sigma _ { \gamma \to \gamma ^ { \prime } } = \frac { 2 \pi } { k _ { \gamma } ^ { 2 } } \sum _ { M } \sum _ { l , l ^ { \prime } } | \delta _ { \gamma \gamma ^ { \prime } } \delta _ { l l ^ { \prime } } - S _ { \gamma l , \gamma ^ { \prime } l ^ { \prime } } ^ { M } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { = \biggl ( \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle \biggr ) + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \biggl [ \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle + \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z J _ { X } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ \frac { B _ { x } } { \eta _ { x } } + \frac { \dot { \eta } _ { x } } { \eta _ { y } \eta _ { z } } - \frac { \dot { \eta } _ { y } } { \eta _ { x } \eta _ { z } } \Bigl ] , } \\ { Z J _ { Z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ \frac { 2 B _ { z } } { \eta _ { z } } - \frac { B _ { x } } { \eta _ { x } } + \frac { \dot { \eta } _ { x } } { \eta _ { y } \eta _ { z } } + \frac { \dot { \eta } _ { y } } { \eta _ { x } \eta _ { z } } \Bigl ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ^ { \ast } ( l _ { T } , s ) } & { = \int _ { N _ { n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( h ) v _ { 0 } ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ^ { 0 } ( 1 _ { n } ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta u t ( 1 , h ) ) d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { s - w } ^ { s + w } x e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x } & { = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { - ( w - s ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - e ^ { - ( w + s ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ & { \le \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } e ^ { - ( w - s ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } e ^ { - w ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } } \\ & { \le \frac { \sigma \epsilon } { 2 e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { ( p q ) } ( \kappa = 0 ) } & { = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ H , E _ { p q } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } , } \\ { \mathcal { H } _ { ( p q ) , ( r s ) } ( \kappa = 0 ) } & { = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ [ H , E _ { p q } ] , E _ { r s } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } , } \\ { \mathcal { T } _ { ( p q ) , ( r s ) , ( t u ) } ( \kappa = 0 ) } & { = \ensuremath { \langle { \psi } \rvert } [ [ [ H , E _ { p q } ] , E _ { r s } ] , E _ { t u } ] \ensuremath { \lvert { \psi } \rangle } . } \end{array}
( a + b \mathbf { i } ) ( c + d \mathbf { i } ) = a c + a d \mathbf { i } + b \mathbf { i } c + b \mathbf { i } d \mathbf { i } = a c + a d \mathbf { i } + b c \mathbf { i } + b d \mathbf { i } ^ { 2 } = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) \mathbf { i } .
\begin{array} { r l r } { [ \Omega _ { v } ^ { ( 1 ) } , H _ { 0 } ] P _ { v } } & { { } = } & { [ H _ { W } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { v } ^ { ( 0 ) } ) + U _ { r e s } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \Omega _ { v } ^ { ( 1 ) } ) P _ { v } } \end{array}
I ^ { ( 6 ) } = \int d ^ { 6 } x \sqrt { - g ^ { ( 6 ) } } ( e ^ { 2 \psi - 2 \phi } ( R ^ { ( 6 ) } + 3 ( D \psi ) ^ { 2 } - 8 D _ { \alpha } \psi D ^ { \alpha } \phi + 4 ( D \phi ) ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 1 2 } H ^ { ( 6 ) 2 } ) ,