harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { g \left( \lambda \mathbf { a } + \mu \mathbf { a } ^ { \prime } , \mathbf { b } \right) } & { = \lambda g ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) + \mu g \left( \mathbf { a } ^ { \prime } , \mathbf { b } \right) , \quad { \mathrm { a n d } } } \\ { g \left( \mathbf { a } , \lambda \mathbf { b } + \mu \mathbf { b } ^ { \prime } \right) } & { = \lambda g ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) + \mu g \left( \mathbf { a } , \mathbf { b } ^ { \prime } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { Q _ { u u } \to \widetilde { Q } _ { u u } , \; \; Q _ { b b } \to \widetilde { Q } _ { b b } , \; \; Q _ { u b } \to \widetilde { Q } _ { u b } , \; \; } \\ & { } & { H _ { u u } \to \widetilde { H } _ { u u } , \; \; H _ { b b } \to \widetilde { H } _ { u b } , \; \; H _ { u b } \to \widetilde { H } _ { u b } , \; \; H _ { b u } \to \widetilde { Q } _ { b u } } \\ & { } & { G _ { u u } \to \widetilde { G } _ { u u } , \; \; G _ { b b } \to \widetilde { G } _ { b b } , \; \; G _ { u b } \to \widetilde { G } _ { u b } , \; \; G _ { b u } \to \widetilde { G } _ { b u } . } \end{array}
\hat { U } _ { n } ( 2 ) = \left( \begin{array} { l l } { \cos 2 \theta _ { n } e ^ { - i \phi _ { n 1 } } } & { - \sin 2 \theta _ { n } e ^ { i \phi _ { n 1 } } } \\ { \sin 2 \theta _ { n } e ^ { - i \phi _ { n 2 } } } & { \cos 2 \theta _ { n } e ^ { i \phi _ { n 1 } } } \end{array} \right)
E = \left( \sigma _ { 1 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { j = { N _ { 1 } } } \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { e _ { 0 } } \times \boldsymbol { e _ { 1 } } | _ { j } \right) _ { 1 2 } - \cos \theta _ { \mathrm { { e } } } \left( \sigma _ { 1 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { { k = N _ { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { e _ { 0 } } \times \boldsymbol { e _ { 1 } } | _ { k } \right) _ { 1 \mathrm { S } } .
\begin{array} { r } { W = \frac { 2 } { T _ { p } } \left[ \frac { 2 \left( \mathcal { R } ^ { 2 } + \mathcal { R } \right) } { \left( 1 - \mathcal { R } \right) ^ { 2 } } - \frac { 2 N ^ { 2 } \mathcal { R } ^ { N } } { 1 - \mathcal { R } ^ { N } } - \frac { 4 N \mathcal { R } ^ { N + 1 } } { \left( 1 - \mathcal { R } ^ { N } \right) \left( 1 - \mathcal { R } \right) } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ( \delta \phi ) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta \phi / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \delta \phi / 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { j } E _ { j + 1 } } & { = ( I - \varrho _ { j } \bar { y _ { j } } s _ { j } ^ { T } ) ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = ( I - ( \frac { \sigma \bar { y _ { j } } s _ { j + 1 } ^ { T } } { \sigma s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y _ { j } } } ) ) ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) } \\ & { = I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } - \frac { \bar { y _ { j } } s _ { j + 1 } ^ { T } } { s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y _ { j } } } + \varrho _ { j + 1 } \frac { \bar { y _ { j } } ( s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y } _ { j + 1 } ) s _ { j + 1 } ^ { T } } { s _ { j + 1 } ^ { T } \bar { y _ { j } } } } \\ & { = ( I - \varrho _ { j + 1 } \bar { y } _ { j + 1 } s _ { j + 1 } ^ { T } ) = E _ { j + 1 } } \end{array}
a ( 1 ) = \int _ { - \sqrt { 2 } } ^ { \sqrt { 2 } } \frac { q ^ { 2 } } { \left[ 4 - q ^ { 4 } \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q = 4 E \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) - 2 K \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) \approx 1 . 6 9 4 ,
\left\{ \begin{array} { l } { { \psi _ { + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \downarrow } ( x , { \vec { k } } _ { \perp } ) = \frac { ( + k ^ { 1 } - { \mathrm i } k ^ { 2 } ) } { x } \, \varphi \ , } } \\ { { \psi _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \downarrow } ( x , { \vec { k } } _ { \perp } ) = ( M + \frac { m } { x } ) \, \varphi \ . } } \end{array} \right.
\underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) = \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) \, e ^ { - i \omega t } ,
Q ( x , n ) = { \frac { x } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ^ { n } } } } } + O \left( { \sqrt [ [object Object] ] { x } } \right) = { \frac { x } { \zeta ( n ) } } + O \left( { \sqrt [ [object Object] ] { x } } \right) .
\operatorname * { l i m } _ { \Lambda \to \infty } E _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i > 0 } \omega _ { i } \mid Y _ { i } \mid ^ { 2 } - \frac { \langle P ^ { 2 } \rangle } { 2 M } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p h } V _ { p h , h p } \; \; ,
\Delta V = V \cdot i \, \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 \pi } \int \mathrm { d } ^ { 2 } k \, \frac { 1 } { k _ { - } ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { ( p _ { q } + k ) _ { + } - \frac { m _ { q } ^ { 2 } - i \epsilon } { 2 \, ( p _ { q } + k ) _ { - } } } \cdot \frac { 1 } { ( p _ { Q } + k ) _ { + } - \frac { m _ { Q } ^ { 2 } - i \epsilon } { 2 \, ( p _ { Q } + k ) _ { - } } } \; .
( u _ { m } ( v ) ) _ { n } ( w ) = \sum _ { i \geq 0 } ( - 1 ) ^ { i } { \binom { m } { i } } \left( u _ { m - i } ( v _ { n + i } ( w ) ) - ( - 1 ) ^ { m } v _ { m + n - i } ( u _ { i } ( w ) ) \right)
C _ { i j } ( { \bf x } ; t ) = A ( r ; t ) \bigg ( \delta _ { i j } - \frac { x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 2 } } \bigg ) + B ( r ; t ) \biggl ( \frac { x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 2 } } \biggr ) ,
\overset \leftrightarrow { \Lambda } = \overset \leftarrow { \nabla } _ { \b { q } } \cdot \overset \rightarrow { \nabla } _ { \b { p } } - \overset \leftarrow { \nabla } _ { \b { p } } \cdot \overset \rightarrow { \nabla } _ { \b { q } }
[ { { \omega } ^ { - 1 } } ] = { \frac { 1 } { a c - b { b ^ { \prime } } } } \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { - c } } & { { 0 } } & { { { b ^ { \prime } } } } \\ { { c } } & { { 0 } } & { { - b } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { b } } & { { 0 } } & { { - a } } \\ { { - { b ^ { \prime } } } } & { { 0 } } & { { a } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \! \boldsymbol { \varphi } ( \alpha { } ) \, \mathrm { d } \alpha { } } & { { } \approx \boldsymbol { \varphi } ( a _ { } / 2 ) \! \! \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \mathrm { d } \alpha { } = a _ { } \boldsymbol { \varphi } ( a _ { } / 2 ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { a _ { } } \! \! \boldsymbol { \varphi } ( \alpha { } ) \, \mathrm { d } \alpha { } } & { { } \approx \int _ { 0 } ^ { a _ { } / 2 } \! \! \boldsymbol { \varphi } ( 0 ) \, \mathrm { d } \alpha { } + \int _ { a _ { } / 2 } ^ { a _ { } } \! \! \boldsymbol { \varphi } ( 1 ) \, \mathrm { d } \alpha { } = \frac { a _ { } } { 2 } \left[ \boldsymbol { \varphi } ( 0 ) + \boldsymbol { \varphi } ( 1 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - d _ { I } \Delta ) \Phi } & { = \beta ( ( 1 - \alpha ) S + S ^ { * } ) ( ( 1 - \alpha ) I + I ^ { * } ) - ( \delta + \gamma ) ( I + I ^ { * } ) } \\ & { = ( \beta ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } S + \beta ( 1 - \alpha ) S ^ { * } - ( \delta + \gamma ) ) I + ( \beta ( 1 - \alpha ) S + \beta S ^ { * } - ( \delta + \gamma ) ) I ^ { * } } \\ & { \le ( \beta ( 1 - \alpha ) S + \beta S ^ { * } - ( \delta + \gamma ) ) \Phi } \\ & { \le ( \beta ( 1 - \alpha ) \varepsilon + \beta ( \tilde { S } ^ { * } + \varepsilon ) - ( \delta + \gamma ) ) \Phi . } \end{array}
\texttt { \textbf { M } } = \texttt { \textbf { M } } _ { M - 1 } \cdot . . . \cdot \texttt { \textbf { M } } _ { 3 } \cdot \texttt { \textbf { M } } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { \texttt { \textbf { M } } _ { 1 1 } } & { \texttt { \textbf { M } } _ { 1 2 } } \\ { \texttt { \textbf { M } } _ { 2 1 } } & { \texttt { \textbf { M } } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \, \, ,
\begin{array} { l l l } { { f _ { 0 } } } & { { = } } & { { 1 \; , } } \\ { { f _ { i } } } & { { = } } & { { f _ { k - i } \; \; \; ; i = 1 , \ldots , ( k - 2 ) / 2 \; , } } \end{array}
\int \frac { d ^ { d } \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { \mathrm { e } ^ { i \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ p } ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ z } ~ } } } { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } ^ { 2 m } } = \frac { 1 } { 2 ^ { 2 m } \pi ^ { d / 2 } } \frac { { \mit \Gamma } ( d / 2 - m ) } { { \mit \Gamma } ( m ) } \frac { 1 } { \mathrm { \boldmath ~ z ~ } ^ { d - 2 m } } \, ,
\frac { \partial ^ { n } f ( x , x ^ { \prime } , t ) } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { n } \binom { n } { \ell } \bigg [ \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { \ell } } G ^ { ( 1 ) } ( x - x ^ { \prime } , t ) \bigg ] \bigg [ \frac { \partial ^ { n - \ell } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n - \ell } } u ( x ^ { \prime } ) \bigg ]
\begin{array} { r l r } { L } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } } \end{array}
c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } }
{ \Bigg [ } { \frac { \pi } { \theta } } { \Bigg ] } \left[ { \frac { \theta } { \pi } } \right] ^ { - 1 } = ( - 1 ) ^ { { \frac { N \pi - 1 } { 4 } } { \frac { N \theta - 1 } { 4 } } } .
\begin{array} { r l } { m _ { 0 } ^ { \prime } = 0 , ~ n _ { k } ^ { \prime } } & { = \operatorname* { m i n } \{ n \ge m _ { k - 1 } ^ { \prime } \colon a _ { n + 1 } ( x ) = i \} , } \\ { m _ { k } ^ { \prime } } & { = \operatorname* { m a x } \{ n \ge n _ { k } ^ { \prime } \colon a _ { n _ { k } ^ { \prime } + 1 } = \cdots = a _ { n } ( x ) = i \} . } \end{array}
\frac { F _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ i ~ l ~ } } ^ { r } } { F _ { \mathrm { ~ N ~ } } } \approx 1 0 ^ { - 1 9 } \left( \frac { q } { e } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { e } } { m } \right) \left( \frac { 1 0 M _ { \odot } } { M } \right) \, ,
O = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { \alpha } c _ { \theta } } } & { { - s _ { \alpha } c _ { \omega } - c _ { \alpha } s _ { \omega } s _ { \theta } } } & { { s _ { \alpha } s _ { \omega } - c _ { \alpha } c _ { \omega } s _ { \theta } } } \\ { { s _ { \alpha } c _ { \theta } } } & { { c _ { \alpha } c _ { \omega } - s _ { \alpha } s _ { \omega } s _ { \theta } } } & { { - c _ { \alpha } s _ { \omega } - s _ { \alpha } c _ { \omega } s _ { \theta } } } \\ { { s _ { \theta } } } & { { s _ { \omega } c _ { \theta } } } & { { c _ { \omega } c _ { \theta } } } \end{array} \right)
\int _ { [ 0 , 1 ) } K ( x , d x ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } \lambda \left( [ \frac { j - 1 } { n } , \frac { j } { n } ) \cap [ 0 , \frac { 2 j - 1 } { 2 n } ] \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } \lambda \left( [ \frac { j - 1 } { n } , \frac { 2 j - 1 } { 2 n } ] \right) = \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } \left( t \right) } & { = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { t ^ { - \left( \nu - \alpha \right) } } { \Gamma \left( 1 - \left( \nu - \alpha \right) \right) } + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) \frac { t ^ { 2 \alpha + \beta - \nu } } { \Gamma \left( 1 + 2 \alpha + \beta - \nu \right) } } \\ & { \quad + \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \left( \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \right) ^ { 2 } - \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } - \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { t ^ { 3 \alpha + 2 \beta - \nu } } { \Gamma \left( 1 + 3 \alpha + 2 \beta - \nu \right) } + O \left( t ^ { - \left( 4 \alpha + 3 \beta - \nu \right) } \right) , \quad \mathrm { w h e n } \quad t \rightarrow 0 , } \end{array}
( \textrm { c o s } ^ { 2 } ( \theta ) c _ { 2 2 } + \textrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta ) c _ { 4 4 } - \lambda ) \textrm { c o s } ( \phi ) + \textrm { c o s } ( \theta ) \textrm { s i n } ( \theta ) ( c _ { 2 3 } + c _ { 4 4 } ) \textrm { s i n } ( \phi ) = 0
\boldsymbol { u } ( t , \boldsymbol { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { - x _ { 2 } \pi \cos ( \frac { t } { 4 } + \pi x _ { 2 } x _ { 3 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) } \\ { - x _ { 3 } \pi \cos ( \frac { t } { 4 } + \pi x _ { 1 } x _ { 3 } ) \cos ( \pi x _ { 3 } ) } \\ { - x _ { 1 } \pi \cos ( \frac { t } { 4 } + \pi x _ { 1 } x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 1 } ) } \end{array} \right]
R _ { g } ^ { 2 } \ \sim \, f r a c { 1 } { m _ { \gamma } ^ { 2 } } \, L ^ { 2 } = \frac { 1 } { m _ { \gamma } ^ { 2 } } \left( \ln \frac { m _ { \gamma } } { m _ { q } } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { M _ { x x } = - \mathscr { D } \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } \right) ; \quad M _ { y y } = - \mathscr { D } \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } \right) ; \quad { M } _ { x y } = - \mathscr { D } ( 1 - \nu ) \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x \partial y } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } ( r _ { s } , \zeta ) : = } & { { } ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 0 } + \zeta ^ { 2 } \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 1 } } \end{array}
S _ { \mathrm { Q G } } = \int d ^ { D } x \sqrt { - g } \bigg ( 2 \Lambda _ { C } + \zeta R + \alpha \bigg ( R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 3 } R ^ { 2 } \bigg ) - \frac { \xi } { 6 } R ^ { 2 } \bigg ) \, ,
f _ { 1 } = 1 + { \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } , ~ ~ ~ ~ f _ { 5 } = 1 + { \frac { r _ { 5 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } , ~ ~ ~ ~ f _ { K } = 1 + { \frac { r _ { K } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } , ~ ~ ~ ~ d = 1 - { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \bar { \psi } ( s , z ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \frac { \mathscr { E } _ { \lambda , i } ( s ) } { \mathscr { E } _ { \lambda } ( s ) } \int \exp ( - \lambda _ { i } z ) \mathscr { R } ( s , z ) d z \Bigg ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \mathscr { E } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] } \end{array}
\phi _ { X _ { k } } = \sum _ { S \subseteq \mathcal { X } \backslash X _ { k } } \frac { | S | ! \cdot \left( | \mathcal { X } | - | S | - 1 \right) ! } { | \mathcal { X } | ! } \left( v \left( S \cup \left\{ X _ { k } \right\} \right) - v \left( S \right) \right)
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { - 1 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \overset { , , \gamma = \varepsilon ^ { 2 b } } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \gamma ^ { - 1 } \underbrace { \varepsilon ^ { 1 9 - 1 6 b } } _ { \le 1 , \ \because } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } } \\ & { \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
P _ { \mathrm { T H G } } ( 3 \omega ) = \frac { 6 4 \sqrt { 3 } S ^ { 2 } \big | \chi ^ { ( 3 ) } \big | ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { c ^ { 4 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } ( f t _ { \mathrm { f w h m } } \pi r ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + n _ { 2 } ) ^ { 8 } } P _ { 1 } ^ { 3 } ( \omega )
g _ { f _ { i } } \equiv ( 2 \sqrt { 2 } G _ { F } ) ^ { 1 / 2 } \xi _ { f _ { i } } m _ { f _ { i } } = g _ { 1 i } ^ { F } \operatorname { a r c c o s } \alpha \ e ^ { i ( \delta - \delta _ { f _ { i } } ) } - ( \sqrt { 2 } G _ { F } ) ^ { 1 / 2 } m _ { f _ { i } } \tan \alpha
\begin{array} { r l r } & { } & { - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { m ! ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { ( m + 1 ) ! ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \cdot b _ { H } ^ { ( m + 3 / 2 ) / 2 } K _ { m + 3 / 2 } ( \sqrt { 4 b _ { H } } ) \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( m + 1 ) ! ^ { 2 } } } { \frac { b _ { H } ^ { m } } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } b _ { H } ^ { 3 / 4 } K _ { 3 / 2 } ( \sqrt { 4 b _ { H } } ) \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } - R ( q = 1 , p = 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { B } _ { 1 , 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { \pi } } \ \boldsymbol { \hat { z } } , } \\ & { \mathbf { B } _ { 1 , 1 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { \pi } } \ \boldsymbol { \hat { x } } , } \\ & { \mathbf { B } _ { 2 , 0 } \left( x , y , z \right) = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 5 } { \pi } } \ \left( - x \boldsymbol { \hat { x } } - y \boldsymbol { \hat { y } } + 2 z \boldsymbol { \hat { z } } \right) , } \\ & { \mathbf { B } _ { 2 , 1 } \left( x , z \right) = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 1 5 } { \pi } } \ \left( z \boldsymbol { \hat { x } } + x \boldsymbol { \hat { z } } \right) , } \end{array}
E _ { j } ^ { ( b ) } = e ^ { D \sigma ( z _ { j } ) } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \langle T _ { 0 } ^ { 0 } \rangle _ { { \mathrm { r e n } } } ^ { ( b ) } e ^ { - ( D + 1 ) \sigma ( z ) } d z = - \frac { J _ { D } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) e ^ { D \sigma ( z _ { j } ) } } { 2 ^ { D } \pi ^ { D / 2 } \Gamma ( D / 2 + 1 ) a ^ { D } } .
\Omega _ { s } ^ { L } ( t ) = \{ \mathbf { x } \in \Omega _ { s } \, s . t . \, O ( t , \mathbf { x } ) \in ( \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 0 . 3 ) , \varphi _ { O } ^ { - 1 } ( 0 . 0 ) ] \}
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \mathrm { A } } } & { { } = \frac { z _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { H } } } { z _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { G } } } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \exp [ - E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { H } } ( z ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } z } { \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { G } } ( z ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } z } } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = x } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = \left( 1 + y \right) \exp \left( - { \frac { x } { 1 + y } } \right) } \end{array} \right. }
( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } = \theta _ { 1 } ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \theta _ { 1 } = \theta _ { 2 } ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } \theta _ { 2 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } f _ { 1 } = - v _ { 0 } \hat { n } ( \theta ) \cdot \vec { \nabla } f _ { 1 } } \\ & { } & { - \Gamma \, \partial _ { \theta } \int d \theta _ { 2 } \int d \vec { r } _ { 2 } \, a ( | \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, f _ { 2 } ( \vec { r } , \theta , \vec { r } _ { 2 } , \theta _ { 2 } , t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { U = \left\lbrace ( t , x ^ { \prime } - z n ( x ^ { \prime } ) ) : t \in ( \hat { t } - 4 r _ { k } ^ { 2 } , \hat { t } ) , x ^ { \prime } \in \partial \Omega \cap B _ { 2 r _ { k } } ( \hat { x } ) , z \in ( 0 , 2 r _ { k } ) \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( a , b ) + \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( b , c ) } \\ & { = \frac { \| a - b \| _ { 1 } } { \| a - b \| _ { 1 } + \langle a , b \rangle } + \frac { \| b - c \| _ { 1 } } { \| b - c \| _ { 1 } + \langle b , c \rangle } } \\ & { \geq \frac { \| a - b \| _ { 1 } } { \| a - b \| _ { 1 } + \| b - c \| _ { 1 } + \langle a , c \rangle } + \frac { \| b - c \| _ { 1 } } { \| a - b \| _ { 1 } + \| b - c \| _ { 1 } + \langle a , c \rangle } } \\ & { = \frac { \| a - b \| _ { 1 } + \| b - c \| _ { 1 } } { \| a - b \| _ { 1 } + \| b - c \| _ { 1 } + \langle a , c \rangle } } \\ & { \geq \frac { \| a - c \| _ { 1 } } { \| a - c \| _ { 1 } + \langle a , c \rangle } } \\ & { = \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { J M L , 2 } } ( a , c ) . } \end{array}
\displaystyle { \frac { 2 } { \kappa } } V _ { \mu \nu } ^ { ^ 1 { s c a l a r } } ( k _ { 1 } ; p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \, p _ { _ 1 \mu } \, p _ { _ 2 \nu } + \, p _ { _ 1 \nu } \, p _ { _ 2 \mu } - p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } \, \eta _ { \mu \nu } - { m ^ { 2 } } \, \eta _ { \mu \nu } + 2 \, \xi \, \left( \, k _ { _ 1 \mu } \, k _ { _ 1 \nu } - \, k _ { 1 } ^ { 2 } \, \eta _ { \mu \nu } \right)
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { D C } } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { = } & { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { o } ( \omega ) \, \, \big | \tilde { \ddot { d } } _ { z } ^ { ( \alpha ) } ( \omega ) \big | ^ { 2 } \, \, \big | \hat { S } ( k _ { x } ^ { ( \alpha ) } , k _ { z } ^ { ( \alpha ) } ) \big | ^ { 2 } \, , \quad \quad } \end{array}
V _ { 2 , n } = { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } ,
| \psi ( x , t ) | ^ { 2 } = \frac { N ^ { \prime } ( x , t ) } { \sum _ { x ^ { \prime } } N ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , t ) + \sum _ { t ^ { \prime } = 1 } ^ { t } \sum _ { x ^ { \prime } } N ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { a } } ( t ) = } & { \overbrace { \mathscr { E } _ { 0 } \left\{ 1 - \exp { \left( - \Gamma t \right) } \left[ \cos \left( \varpi t \right) + \frac { \Gamma } { \varpi } \sin \left( \varpi t \right) \right] \right\} } ^ { \mathrm { T e r a h e r t z ~ o s c i l l a t i o n } } } \\ { + } & { \overbrace { \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \mathscr { E } _ { 2 } \frac { \left( \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) + 4 \omega _ { 0 } \Gamma \sin ( 2 \omega _ { 0 } t ) } { \left( \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 1 6 \Gamma ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } ^ { \mathrm { S e c o n d - h a r m o n i c ~ o s c i l l a t i o n } } } \end{array}
\mathrm { { P ~ [ P W ] } \simeq 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 5 } a _ { 0 } ^ { 2 } W _ { 0 } ^ { 2 } [ \mathrm { { \ m u m } ] / \ l a m b d a ^ { 2 } [ \mathrm { { \ m u m } ] } } }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = - \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } t ^ { b } \left( \hat { a } _ { L \sigma } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { M \sigma } ^ { b } + \hat { a } _ { M \sigma } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { R \sigma } ^ { b } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) } \\ { + \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \bigg [ ( \epsilon ^ { b } + \Delta \epsilon ^ { b } ) ( \hat { n } _ { L \sigma } ^ { b } + \hat { n } _ { R \sigma } ^ { b } ) + \epsilon ^ { b } \hat { n } _ { M \sigma } ^ { b } \bigg ] , } \end{array}