harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Theta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } = \frac { \tau } { 2 } \left( { G } _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } ( \tau ) + { G } _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } ( 0 ) \right) - \int _ { 0 } ^ { \tau } G _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } ( s ) \textrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } & { \tilde { \dot { y } } ( \tilde { t } ) = \tilde { u } _ { y } \left( \tilde { y } ( \tilde { t } ) , \theta ( \tilde { t } ) \right) \, , } \\ & { \dot { \theta } ( \tilde { t } ) = \tilde { \omega } \left( \tilde { y } ( \tilde { t } ) , \theta ( \tilde { t } ) \right) \, \cdot } \end{array} \right. } \end{array}
C R _ { \phi } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi } } \end{array} \right] }
\xi _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \partial \mathbf { A } ^ { \mathbf { B } } ( \mathbf { r } ) } { \partial B _ { \alpha } } \cdot \frac { \partial \mathbf { J ^ { B } } ( \mathbf { r } ) } { \partial B _ { \beta } } ~ \mathrm { d } ^ { 3 } r \Bigg | _ { { \bf B } = { \bf 0 } } ,
D _ { i \theta } = \frac { \partial } { \partial x _ { k } ^ { + } } \left( \left< { \theta ^ { \prime } } ^ { + } \frac { \partial { u _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } } { \partial x _ { k } ^ { + } } \right> + \frac { 1 } { P r } \left< { u _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } \frac { \partial { \theta ^ { \prime } } ^ { + } } { \partial x _ { k } ^ { + } } \right> \right) .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \Pi ( x , \sigma ) = L _ { \sigma } ( x ) \Pi ( x , \sigma ) } \\ { + \lambda \sum _ { \sigma ^ { \prime } } [ \mu _ { \sigma ^ { \prime } \to \sigma } \Pi ( x , \sigma ^ { \prime } ) - \mu _ { \sigma \to \sigma ^ { \prime } } \Pi ( x , \sigma ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau } & { { } = \hbar ( t - t _ { 0 } ) / ( 2 m ) , \qquad \theta = - \arctan ( 2 \alpha ^ { 2 } \tau ) } & { } \\ { \xi } & { { } = \frac { \alpha [ ( x - A ) - 2 k _ { 0 } \tau ] } { \sqrt { 1 + 4 \alpha ^ { 4 } \tau ^ { 2 } } } , \quad N _ { n } ( \alpha ) = \sqrt { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } 2 ^ { n } n ! } } . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { f } \Big \{ F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n ) \right] - F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n - 1 ) \right] \Big \} } \\ & { \times \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) } \rangle } } & { { } = 1 - \ensuremath { \langle { \psi _ { 0 } } \rvert } U ^ { \dag } ( { \boldsymbol { \theta } } ) U ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) \ensuremath { \lvert { \psi _ { 0 } } \rangle } } \end{array}
Y _ { \hat { \varepsilon } } = \chi _ { \hat { \varepsilon } } , \quad J _ { \hat { \varepsilon } } = [ { \xi _ { \hat { \varepsilon } } } _ { 3 } ] , \quad \mathrm { a n d } \quad Y _ { \hat { \mu } } = \left[ \begin{array} { l l } { \xi _ { \hat { \mu } } } & { \gamma _ { \hat { \mu } } } \end{array} \right] , \quad J _ { \hat { \mu } } = \left( \begin{array} { l l } { { \xi _ { \hat { \mu } } } _ { 3 } } & { 1 } \\ { 0 } & { { \xi _ { \hat { \mu } } } _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \quad \omega ^ { \lambda } ( x ) = u _ { \lambda } ( x ) - u ( x ) } \\ & { } & { = \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left[ \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right] } \\ & { } & { \quad \times \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { n + 2 s } f \left( y ^ { \lambda } , \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) \mathrm d y } \\ & { } & { \quad - \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left[ K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \right] f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { } & { \quad + \int _ { ( \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) ) \setminus ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } } \left[ \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) - K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) \right] f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } } & { { } = v - \frac { 1 } { \beta } w - c v ^ { 3 } + \frac { 1 } { \beta } p ( v ) + \Big ( \frac { \alpha } { \beta } + I \Big ) } \\ { \dot { w } } & { { } = \frac { a \beta + \alpha b } { \tau } + \frac { \beta } { \tau } v + \frac { b } { \tau } p ( v ) + ( \frac { \alpha } { \beta } + I ) p ^ { \prime } ( v ) + v p ^ { \prime } ( v ) - c v ^ { 3 } p ^ { \prime } ( v ) + \frac { 1 } { \beta } p ( v ) p ^ { \prime } ( v ) - \Big ( \frac { b } { \tau } + \frac { 1 } { \beta } p ^ { \prime } ( v ) \Big ) w . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( \rho ) } & { = \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { 8 } \eta _ { \mu \nu } \left( F _ { \mu } \rho F _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \{ F _ { \mu } ^ { 2 } , \rho \} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 2 } \left( \begin{array} { c c c } { 6 ( - 2 \rho _ { 1 1 } + \rho _ { 2 2 } + \rho _ { 3 3 } ) } & { 4 \rho _ { 2 1 } - 7 \rho _ { 1 2 } } & { 4 \rho _ { 3 1 } - 1 9 \rho _ { 1 3 } } \\ { 4 \rho _ { 1 2 } - 7 \rho _ { 2 1 } } & { 6 ( \rho _ { 1 1 } - \rho _ { 2 2 } ) } & { 2 ( 2 \rho _ { 3 2 } - 5 \rho _ { 2 3 } ) } \\ { 4 \rho _ { 1 3 } - 1 9 \rho _ { 3 1 } } & { 2 ( 2 \rho _ { 2 3 } - 5 \rho _ { 3 2 } ) } & { 6 ( \rho _ { 1 1 } - \rho _ { 3 3 } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { A } ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { A ! } } \left[ \Pi _ { n = 0 } ^ { A - 1 } \mathcal { N } _ { n } e ^ { - \frac { x _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } \right] \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \left( \Omega ^ { 2 } | f | ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } \right) \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta = \int _ { \Gamma _ { k } } \left( \Omega ^ { 2 } z \overline { z } ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } \overline { z } \right) \, d z = 2 i \int _ { R _ { k } } \left( 2 \Omega ^ { 2 } | z | ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } \right) \, d z } \end{array}
g _ { 1 , S } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \langle e ^ { 2 } \rangle \sum _ { q } ( \delta q + \delta \overline { { { q } } } ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \langle e ^ { 2 } \rangle \delta \Sigma .
g _ { e f f } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) = \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 + \Pi _ { 0 } ^ { T } ( q ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) ) ( 1 + 2 \Gamma _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) ) } = \frac { g _ { r } ^ { 2 } ( \mu ) } { Z _ { 3 } ( 1 + \Pi _ { 0 } ^ { T } ( q ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) ) ( Z _ { 2 } Z _ { 1 } ^ { - 1 } ) _ { a } ^ { 2 } ( 1 + 2 \Gamma _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { { { \cal Y } _ { k } } \left( \tau , { { \nu ^ { D } } } \right) = } \\ & { \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { 1 } - 1 } { \sum _ { { b } = 0 } ^ { { B _ { k } - 1 } } { { { \bf a } ^ { H } } \left( { { \hat { \theta } } _ { _ { k , 1 } } } \right) { { \bf { \overline { y } } } _ { k } ^ { \mathrm { R } } } \left( { m , { b } } \right) } e ^ { - j 2 \pi m { T } { \nu ^ { D } } } { e ^ { j 2 \pi { b } \Delta _ { f } \tau } } } . } \end{array}
\mathbf { G } _ { u } ^ { \varepsilon , h } ( \xi ) : = \mathbf { S } _ { h } ( \xi ) ^ { * } \cdot \mathrm { d i a g } ( g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \mathbf { S } _ { h } ( \xi ) u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ( \xi ) ) ) \cdot \mathbf { M } g _ { \varepsilon } ( \mathbf { S } _ { h } ( \xi ) u - \mathbf { y } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { h } ( \xi ) ) ,
P _ { r } | _ { r _ { + } } = - \frac { M l _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { Q ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } } { 8 \pi ( r _ { + } ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
c h a n g e d \int d ^ { 2 5 - p } q _ { \bot } \, ( 2 ) ^ { q _ { \bot } } \left( \frac { 1 + W _ { 0 } ^ { 2 } } { k _ { 0 } W _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { q _ { \bot } ^ { 2 } } : c \partial X ( i ) \cdot \tilde { c } \bar { \partial } X ( i ) e ^ { i q _ { \bot } \cdot X ( i ) } : .
\psi _ { n l m } ( r , \theta , \phi ) = \frac { 2 } { n ^ { 2 } a ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { ( n - l - 1 ) ! } { ( n + l ) ! } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 2 r } { n a } \right) ^ { l } L _ { n - l - 1 } ^ { 2 l + 1 } ( 2 r / n a ) e ^ { - r / n a } Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi )
\begin{array} { r l } { V a r ( \eta _ { \mathbf { x } } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ) } & { = \mathbb { E } ( ( \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } ) ^ { 2 } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) - \mathbb { E } ^ { 2 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \mathbb { E } ( \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } ^ { 2 } + \sum _ { p . i = 1 , i \neq p } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } \eta _ { \mathbf { x } , p } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) - \mathbb { E } ^ { 2 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \mathbb { E } ( \eta _ { \mathbf { x } , i } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) + \sum _ { p , i = 1 , i \neq p } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \mathbb { E } ( \eta _ { \mathbf { x } , i } \eta _ { \mathbf { x } , p } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) - \mathbb { E } ^ { 2 } ( \sum _ { i = 1 } ^ { q ^ { k ^ { * } } } \eta _ { \mathbf { x } , i } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ^ { \prime } ) } \\ & { = q ^ { k ^ { * } } \overline { { \eta } } + q ^ { k ^ { * } } ( q ^ { k ^ { * } } - 1 ) \overline { { \eta ^ { ( 2 ) } } } - q ^ { 2 k ^ { * } } \overline { { \eta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - n _ { k } \, \sum _ { l = 1 } ^ { N } n _ { l } \, u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } \right) \, \delta _ { \vec { r } _ { k } , \vec { r } _ { l } } \, , } \\ { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { p } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { \frac { q _ { k } } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \, \left( \vec { E } _ { k } + \vec { u } _ { k } \times \vec { B } _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { - c _ { b } \pm \sqrt { ( c _ { b } ) ^ { 2 } - 4 c _ { a } c _ { c } } } { 2 c _ { a } } , \ r ^ { * } = \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } i ^ { * } . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } \ \ , \ \ F _ { \mu \nu } ^ { a } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } - g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } \ ,
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } f ( \boldsymbol { \Lambda } ) = } & { { } - 2 \sum _ { k } \left[ \big ( [ E _ { z } ] _ { k } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { { } = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \omega \mathbf { E } ( \mathbf { r } _ { A } , \mathbf { r } _ { D } , - \omega ) \cdot { \mathbf { p } } _ { A } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, | x _ { i } - x _ { j } | ^ { 2 } \Bigg ) ^ { 2 } } & { = \Bigg ( \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, \langle x _ { i } \, , x _ { j } - x _ { i } \rangle \Bigg ) ^ { 2 } \, , } \\ & { = \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big \langle x _ { i } \, , \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \big \rangle \Bigg ) ^ { 2 } \, , } \\ & { = \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } k _ { i } \, \Big \langle x _ { i } \, , \frac { d x _ { i } } { d t } \Big \rangle \Bigg ) ^ { 2 } \, , } \\ & { \leq \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } k _ { i } \, | x _ { i } | ^ { 2 } \Bigg ) \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } k _ { i } \, \Big | \frac { d x _ { i } } { d t } \Big | ^ { 2 } \Bigg ) \, , } \\ & { \leq N ^ { 2 } \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } k _ { i } \, \Big | \frac { d x _ { i } } { d t } \Big | ^ { 2 } \Bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime \prime } ) ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { P _ { \| } } { P _ { \perp } } } & { { } > 1 + \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { P _ { \perp } } , } \\ { \frac { P _ { \perp } } { P _ { \| } } } & { { } > 1 + \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { 2 P _ { \perp } } , } \\ { \frac { P _ { \perp } } { P _ { \| } } } & { { } > 1 + C _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { B } ^ { 2 } } { 2 P _ { \| } } \right) ^ { C _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int { \tilde { R } ( k _ { i n } = k / 2 , k _ { o u t } = k / 2 ; z ) ~ e ^ { i k x } ~ d k } = } \\ & { } & { \iiint { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ; z ) ~ e ^ { - i k \frac { x _ { i n } + x _ { o u t } } { 2 } } ~ e ^ { i k x } ~ d k d x _ { o u t } d x _ { i n } } } \\ { = } & { } & { \iint { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ; z ) ~ \delta \left( x - \frac { x _ { i n } + x _ { o u t } } { 2 } \right) ~ d x _ { o u t } d x _ { i n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 3 } \left\{ \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } + \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} } \\ & { \quad = \frac { 1 } { 3 } \left( u _ { g } - u _ { f } + \frac { \rho _ { g } - \rho _ { f } } { 2 } \right) \left\{ \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) + \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 3 } \left( u _ { g } - u _ { f } - \frac { \rho _ { g } - \rho _ { f } } { 2 } \right) \left\{ \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) + \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\bar { \alpha } = - \mathsf { A } \, d \bar { \theta } _ { 1 } + \bar { p } _ { 2 } \, d \bar { \psi } _ { 2 } \, , \qquad d \bar { \alpha } = d \bar { p } _ { 2 } \wedge d \bar { \psi } _ { 2 } \, .
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { H ^ { 2 } } [ - ( d q ^ { 0 } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( d q ^ { i } ) ^ { 2 } ] , \; \; \; \; \; \; \; \; \eta _ { \mu \nu } q ^ { \mu } q ^ { \nu } = 1 .
\boldsymbol { W } _ { i } ^ { h , n + 1 } = \boldsymbol { W } _ { i } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { W } _ { i } ^ { p , n + 1 } = \boldsymbol { W } _ { i } ^ { n + 1 } - \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \sum _ { x _ { k } ^ { n + 1 } \in \Omega _ { i } } \boldsymbol { \phi } _ { k } ,
P ( \beta | K , u , \beta _ { S } , n ) = \frac { \Big [ 1 + u \beta _ { S } K \Big ] ^ { \frac { 1 } { u } + \frac { 3 ( n - 1 ) } { 2 } } } { u \beta _ { S } \Gamma \big ( \frac { 1 } { u } + \frac { 3 ( n - 1 ) } { 2 } \big ) } \exp \left( - \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \Big [ 1 + u \beta _ { S } K \Big ] \right) \left( \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \right) ^ { \frac { 1 } { u } + \frac { 3 ( n - 1 ) } { 2 } - 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \sigma } } & { = } & { \sigma _ { \nu + 1 } \cdot \sigma _ { \nu + 2 } \cdots \sigma _ { \nu + p } } \\ & { = } & { \left( - \frac { \xi _ { \nu + 1 } } { \xi _ { \nu } } \right) \, \left( - \frac { \xi _ { \nu + 2 } } { \xi _ { \nu + 1 } } \right) \cdots \left( - \frac { \xi _ { \nu + p } } { \xi _ { \nu + p - 1 } } \right) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { p } \, \frac { \xi _ { \nu + p } } { \xi _ { \nu } } } \end{array}
x F _ { 3 } ^ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) = a _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) x ^ { a _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) } ( 1 - x ) ^ { a _ { 3 } ( Q ^ { 2 } ) } ( 1 + a _ { 4 } ( Q ^ { 2 } ) x ) + { \frac { h ( x ) } { Q ^ { 2 } } } ,
h _ { \sigma } ( t , r ; \tau , l ) = \left( \pi \sigma _ { t } \sigma _ { r } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \left( \frac { ( t - \tau ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } + \frac { ( r - l ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } \right) } ,
n = \chi \mu , \quad n _ { \ell } = \chi _ { \ell } \mu _ { \ell } , \quad \tilde { n } = \tilde { \chi } \tilde { \mu } , \quad \tilde { n } _ { \psi } = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \tilde { \mu } _ { \psi } .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 1 } ^ { + } = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 1 } ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 1 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 1 } ^ { e q } + } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 1 } ^ { e q } + ( \lambda _ { 1 1 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 1 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 1 } ^ { e q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 4 } ( \alpha _ { 1 } [ 4 ] \otimes c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u ) } & { = \beta _ { 1 } [ 0 ] \otimes c _ { 2 } ^ { 3 } \cdot u } \\ { d _ { 4 } ( \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } [ 4 ] \otimes c _ { 3 } ^ { 3 } \cdot u ) } & { = - \beta _ { 1 } ^ { 2 } [ 0 ] \otimes c _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 3 } \cdot u } \\ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } [ 4 ] \otimes c _ { 2 } ^ { 3 } c _ { 3 } \cdot u } & { = d _ { 8 } ( \beta _ { 1 } [ 0 ] \otimes c _ { 2 } c _ { 3 } \cdot u ) } \end{array}
\begin{array} { l } { { ( 1 ) \quad { \displaystyle { \frac { \delta } { \delta b _ { a } } } } \Delta = 0 \, , \qquad ( 2 ) \quad \displaystyle { \int } d ^ { 3 } x \, { \displaystyle { \frac { \delta } { \delta \, c ^ { a } } } } \Delta = 0 \, , \qquad ( 3 ) \quad { \cal G } ^ { a } \Delta = 0 \, , } } \\ { { ( 4 ) \quad { \cal W } _ { X } \Delta = 0 \, , \qquad X = \mathrm { d i f f . , \, L o r e n t z \, , \, r i g i d } \, . } } \end{array}
\langle x _ { s } \rangle = \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { s } \langle I [ \zeta ( t ) = l ] \rangle d t = \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { s } P r [ \zeta ( t ) = l | \zeta ( 0 ) = g , \zeta ( s ) = g ] d t ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } } & { = } & { \varepsilon ( u ^ { 3 } + \varepsilon u + \varepsilon + v ^ { 2 } ) \equiv 0 , } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial u } } & { = } & { 3 u ^ { 2 } \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } \equiv 0 , } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial v } } & { = } & { 2 v \varepsilon \equiv 0 , } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \varepsilon } } & { = } & { u ^ { 3 } + 2 \varepsilon u + 2 \varepsilon + v ^ { 2 } \equiv 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) , a ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \right] } & { { } = 0 } \\ { \left[ { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) , { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \right] } & { { } = 0 } \\ { \left[ a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) , { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \right] } & { { } = \delta _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } \delta _ { \mu , \mu ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha ^ { 2 } \| \frac { 1 } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) - \nabla f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) + \nabla f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) - \nabla f _ { i } ( x ^ { \star } ) \big ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \alpha ^ { 2 } \| \frac { 1 } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) - \nabla f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \alpha ^ { 2 } \| \frac { 1 } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \nabla f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) - \nabla f _ { i } ( x ^ { \star } ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) - \nabla f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \alpha ^ { 2 } \| \nabla f ( \bar { x } ^ { k } ) - \nabla f ( x ^ { \star } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } } { n } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 2 } \| \nabla f ( \bar { x } ^ { k } ) - \nabla f ( x ^ { \star } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } } { n } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + 4 L \alpha ^ { 2 } ( f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \oint _ { \alpha , \psi } \mathrm { d } l } & { { } = 2 \int _ { l _ { L } } ^ { l _ { R } } \mathrm { d } l = 2 \left[ \int _ { l _ { L } } ^ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { l _ { R } } \right] \mathrm { d } l = } \end{array}
i \frac { \partial q _ { j } } { \partial z } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } q _ { j } } { \partial x ^ { 2 } } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } q _ { j } } { \partial y ^ { 2 } } \bigg ) + \gamma _ { j } ( \lvert q _ { 1 } \rvert ^ { 2 } + \sigma \lvert q _ { 2 } \rvert ^ { 2 } ) q _ { j } = 0 , ~ q _ { j } \equiv q _ { j } ( x , y , z ) , ~ j = 1 , 2 .
\begin{array} { r l } { \| ( I - \gamma P ^ { \pi } ) ^ { - 1 } \sigma ^ { \pi } \| _ { \infty } } & { \leq 2 \sqrt { t } \sqrt { \| \Psi ^ { \pi } \| _ { \infty } } } \\ & { \leq \frac { 8 0 \sqrt { m / p } } { ( 1 - \gamma ) } } \\ & { \leq \frac { 8 0 \sqrt { t _ { \mathrm { m i n o r i z e } } ( P _ { \pi } ) + \epsilon } } { ( 1 - \gamma ) } } \end{array}
\int _ { G _ { 0 } } D \mu ( \omega ) f ( \omega ^ { - 1 } ( 0 ) \partial _ { 1 } \omega ( 0 ) ) = \int _ { G _ { 0 } } D \mu ( \omega ) f ( \omega ^ { - 1 } ( 0 ) \partial _ { 1 } \omega ( 0 ) + \xi ) , \forall \xi \in g