\begin{array} { r l } & { \phantom { = } \frac { \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { = \frac { ( \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } ) ( \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { = \frac { \bigl ( \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ( 1 - \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) + \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bigr ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \bigl ( \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \bigr ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { = \frac { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } + \frac { \bigl ( - \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \sin ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \bigr ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \sin \alpha _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } + \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { = \frac { \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } + \frac { \sin \alpha _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \cos \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \cos \alpha _ { 3 } ^ { \prime } - \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \bigl ( \sin ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) - \cos \alpha _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \bigr ) \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { = \frac { \sin ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) } { \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } + \frac { \sin \alpha _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \sin ( \pi - \alpha _ { 1 } ^ { \prime } ) \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } - \frac { \cos \alpha _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } } \\ & { = \frac { \sin ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) } { \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } + \frac { \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } } + \frac { \sin \alpha _ { 1 } \cos ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) - \cos \alpha _ { 1 } \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 3 } ^ { \prime } ) } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime \prime } } . } \end{array}