harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { 1 } } } \\ { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { 2 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } } { \partial x _ { d } } } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } } { \partial x _ { d } } } & { \cdots } & { \frac { \partial H _ { \boldsymbol \theta _ { M } } } { \partial x _ { d } } } \end{array} \right)
\omega _ { + } ^ { - 1 } \partial _ { + } \omega _ { + } = \omega _ { 0 } M _ { + } \omega _ { 0 } ^ { - 1 } , \quad \omega _ { - } \partial _ { - } \omega _ { - } ^ { - 1 } = \omega _ { 0 } ^ { - 1 } M _ { - } \omega _ { 0 } .
\mathcal Z _ { j } = \mathcal Z _ { j } ( x _ { 0 } ^ { j } , k _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } ^ { j } } , k [ \mathcal U ] , t [ \mathcal V ] ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sum _ { k = 1 } ^ { n + m } \int _ { a _ { k } } ^ { b _ { k } } \rho _ { h k } \, \mathrm { d } x + \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } - \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H _ { j } + \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } Q _ { e } \big ( \rho _ { h j } ^ { ( L ) } ( b _ { j } ) \big ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H \big ( \rho _ { D i } , \rho _ { h i } ^ { ( R ) } ( a _ { i } ) \big ) = 0 . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } } } } } } } } }
\overline { { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda _ { F } } ) ) } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda _ { F } } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } \right)
\begin{array} { r l } & { G _ { \textrm { M I } } = \mathcal { I } ( \! { { \tilde { X } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , \! { { { R } } _ { 2 } } \! ) | _ { \boldsymbol { \rho } = \boldsymbol { \rho ^ { * } } , \boldsymbol { \alpha } = \boldsymbol { \alpha ^ { * } } , \boldsymbol { \beta } = \boldsymbol { \beta ^ { * } } } - \operatorname* { m a x } \{ \mathcal { I } ( \! { { \tilde { X } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , \! { { { R } } _ { 2 } } \! ) | _ { \rho = 1 } , \mathcal { I } ( \! { { \tilde { X } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , \! { { { R } } _ { 2 } } \! ) | _ { \rho = 0 } \} , } \end{array}
t e r m i n E q . \ ( ) , w h i c h r e s u l t s i n a n o v e r a l l f r i n g e s h i f t b u t \emph { d o e s n o t c h a n g e } t h e p e r i o d i c i t y o f t h e o s c i l l a t i o n s a s a f u n c t i o n o f
\begin{array} { r l } & { L ( \hat { h } , \bar { g } _ { 0 } ) - L ( h _ { 0 } , \bar { g } _ { 0 } ) } \\ & { = \underbrace { - L ( h _ { 0 } , \bar { g } _ { 0 } ) + L ( h ^ { \dagger } , \hat { g } ( h ^ { \dagger } ) ) } _ { ( a ) } \underbrace { - L ( h ^ { \dagger } , \hat { g } ( h ^ { \dagger } ) ) + L ( \hat { h } , g ^ { \dagger } ) } _ { ( c ) } \underbrace { - L ( \hat { h } , g ^ { \dagger } ) + L ( \hat { h } , \bar { g } _ { 0 } ) } _ { ( f ) } . } \end{array}
K = \kappa A = \kappa \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] ,
\mu _ { - } = - z _ { - } e \psi \, + k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) \right] + u _ { L J } ^ { - w } ( x )
\begin{array} { r l r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { - x } \, d x } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - n } } & { } & { { } ( = 1 . 2 9 1 2 8 \, 5 9 9 7 0 \, 6 2 6 6 \dots ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { x } \, d x } & { { } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - n ) ^ { - n } } & { } & { { } ( = 0 . 7 8 3 4 3 \, 0 5 1 0 7 \, 1 2 1 3 \dots ) } \end{array}
T _ { \phantom { A } B } ^ { A } = d i a g ( - \rho _ { B } , P _ { B } , P _ { B } , P _ { B } , P _ { T } ) , ~ ~ T _ { \phantom { \mu } \nu } ^ { \mu } = d i a g ( - \rho _ { b } , p _ { b } , p _ { b } , p _ { b } )
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { x } \operatorname* { i n f } _ { \alpha } \parallel \tilde { \phi } _ { x } - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha ( v ) \tilde { \phi } _ { v } \parallel _ { \mu } } & { = } & { O ( C ( M ) r ( d , J ) ) } \\ { \operatorname* { s u p } _ { Q \in { \cal F } _ { M } ^ { 0 } ( ( 0 , 1 ] ^ { d } ) } \operatorname* { i n f } _ { \alpha } \parallel \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha ( v ) \phi _ { v } ^ { 0 } - Q \parallel _ { \mu } } & { = } & { O ( C ( M ) r ( d , J ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( \theta ) = } & { { } \frac { y } { r _ { L } ( x ) } = \frac { v _ { z } } { V _ { \perp } } } \\ { \sin ( \theta ) = } & { { } \frac { z } { r _ { L } ( x ) } = - \frac { v _ { y } } { V _ { \perp } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { R a b i } } } & { { } = \hat { H } _ { \mathrm { M } } + \hat { H } _ { \mathrm { p } } + \sqrt { \frac { \omega } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \hat { \mathbf { D } } ( \hat { \sigma } + \hat { \sigma } ^ { \dag } ) ( \hat { a } ^ { \dag } + \hat { a } ) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { R W A } } } & { { } = \hat { H } _ { \mathrm { M } } + \hat { H } _ { \mathrm { p } } + \sqrt { \frac { \omega } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { g e } ( \hat { \sigma } _ { g e } \hat { a } ^ { \dag } + \hat { \sigma } _ { g e } ^ { \dag } \hat { a } ) + \hat { H } _ { \mathrm { D S E } } , } \end{array}
1 \geq \left( \frac { 2 X } { 1 + X ^ { 2 } } \right) ^ { \! 2 } \equiv \sin ^ { 2 } 2 \theta ^ { ( e ) } \; \; , \; \; 1 \geq \left( \frac { 2 Y } { 1 + Y ^ { 2 } } \right) ^ { \! 2 } \equiv \sin ^ { 2 } 2 \theta ^ { ( \mu ) } \; ,
\Psi = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { L } } } \\ { { \psi _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { u ( r ) \chi } } \\ { { i v ( r ) \hat { x } _ { a } \sigma _ { a } \chi } } \end{array} \right) . \nonumber
\begin{array} { r } { E _ { 1 } ( t ) = \exp \left\{ \frac { \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( | u | ^ { 2 } - | v | ^ { 2 } ) d t ^ { \prime } \right\} u ( t ) , } \\ { E _ { 2 } ( t ) = \exp \left\{ \frac { \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( | u | ^ { 2 } - | v | ^ { 2 } ) d t ^ { \prime } \right\} v ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - G _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { 1 0 C _ { f y } ^ { 2 } \eta _ { t } } { \mu ^ { 2 } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { g x y } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 4 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \int _ { A _ { J } \backslash \mathcal H _ { J } } \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { ( n ) } ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) } & { \ge \int _ { A _ { J } \backslash \mathcal H _ { J } } \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { ( n ) } ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) = \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } + P _ { I _ { 2 } } } } & { = m _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } } + m _ { P _ { I _ { 2 } } } } \\ { \sigma _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } + P _ { I _ { 2 } } } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { P _ { S } + P _ { I _ { 1 } } } ^ { 2 } + \sigma _ { P _ { I _ { 2 } } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle h [ \nu ] = t _ { \mathrm { s } } + v _ { \mathrm { h } } [ \nu ] + v _ { \mathrm { x c } } [ \nu ] + v _ { \mathrm { e x t } } } } \\ { ~ ~ } \\ { + \frac { 1 } { 2 } ( s u - s u \nu s - s \nu s u + h . c . ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { \alpha } ^ { S } ( y ) = \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { l ( s , y ) } \right) ^ { \alpha } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \leq \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } \right) ^ { \alpha } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } = \frac { 1 } { \Psi ( y ) } \leq \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { l } } . } \end{array}
\theta = \arg \operatorname* { m i n } _ { \theta } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } | \nabla _ { p } \times \mathbf { I } _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ; \theta ) | ^ { 2 } d ^ { 2 } \mathbf { r } _ { p }
\pi _ { \dot { q } } ^ { 2 - } = e ^ { + 2 } \psi _ { + 2 \dot { q } } ^ { 2 - } + e ^ { - 2 } \psi _ { - 2 \dot { q } } ^ { 2 - } + e ^ { + } h _ { + \dot { q } } ^ { 2 - } + e ^ { - } \chi _ { \dot { q } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } ( t ) } & { { } = C _ { s } ( t ) U _ { s 0 } ( t ) , } \\ { \mathrm { ~ ~ w h e r e ~ } C _ { s } ( t ) } & { { } = \iint g ( \xi _ { s c } , \eta _ { s c } ) \hat { p } _ { c } ( \xi _ { p c } , \eta _ { p c } ) \mathrm { d } \xi _ { p c } \mathrm { d } \eta _ { p c } . } \end{array}
\frac { \partial k _ { 3 } } { \partial E } = 3 \alpha ( \alpha + 1 ) \lambda ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) \mathcal { A } ^ { 2 } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 3 } } { \partial \kappa } = 0 ,
p _ { 0 } = 1 , \quad p _ { 1 } = w _ { 1 } , \quad p _ { 2 } = \frac 1 { 2 ! } ( w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ) , \quad p _ { 3 } = \frac 1 { 3 ! } ( w _ { 1 } ^ { 3 } + 3 w _ { 1 } w _ { 2 } + 2 w _ { 3 } ) , \quad \ldots
\begin{array} { r l r } { \tau \left( t \right) \dot { \tau } \left( t \right) \left\lVert \nabla f \left( y \left( t \right) \right) \right\rVert ^ { 2 } } & { = } & { \tau \left( t \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left[ \lambda \left( t \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\lVert \nabla f \left( y \left( t \right) \right) \right\rVert ^ { 2 } = \tau \left( t \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left\lVert \nabla f \left( y \left( t \right) \right) \right\rVert ^ { 2 - \frac { p - 1 } { 2 p } } . } \end{array}
X ^ { \prime } = { \left[ \begin{array} { l } { c t ^ { \prime } } \\ { \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array} \right] } \quad B ( \mathbf { v } ) = { \left[ \begin{array} { l l } { \gamma _ { \mathbf { v } } } & { - { \frac { \gamma _ { \mathbf { v } } } { c } } \mathbf { v } ^ { \mathrm { T } } } \\ { - { \frac { \gamma _ { \mathbf { v } } } { c } } \mathbf { v } } & { \mathbf { I } + { \frac { \gamma _ { \mathbf { v } } ^ { 2 } } { \gamma _ { \mathbf { v } } + 1 } } { \frac { \mathbf { v v } ^ { \mathrm { T } } } { c ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } \quad X = { \left[ \begin{array} { l } { c t } \\ { \mathbf { r } } \end{array} \right] }
\bar { P } _ { 0 } + \frac { 3 \mu _ { 0 } ^ { 3 } \omega _ { 0 } ^ { 5 } ( \pi r _ { 2 } ^ { 4 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } }
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \operatorname* { s u p } _ { \| \delta x \| \leq \varepsilon } \left[ \left. { \frac { \left\| f ( x + \delta x ) - f ( x ) \right\| } { \| f ( x ) \| } } \right/ { \frac { \| \delta x \| } { \| x \| } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \right) \delta v _ { x } } & { = 0 , } \\ { \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \perp } ^ { 2 } v _ { s } ^ { 2 } - k ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \right) \delta v _ { y } - k _ { \perp } k _ { \parallel } v _ { s } ^ { 2 } \, \delta v _ { z } } & { = 0 , } \\ { k _ { \perp } k _ { \parallel } v _ { s } ^ { 2 } \, \delta v _ { y } - \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { s } ^ { 2 } \right) \delta v _ { z } } & { = 0 , } \end{array}
\int _ { x _ { 1 } } ^ { \infty } d x \frac { R F ^ { 2 \delta } } { x ^ { 2 } } \quad \longrightarrow \quad \int _ { x _ { 1 } } ^ { \infty } d x \frac { 1 } { x ^ { 2 } ( \ln x ) ^ { 2 \delta } } = \Gamma ( 1 - 2 \delta , \ln x _ { 1 } )
R _ { \operatorname * { m a x } } \left( x \right) \sim q _ { \operatorname * { m a x } } ^ { - 1 } \left( x \right) = \operatorname * { m a x } \left\{ L , \left[ \left( x - x _ { 0 } \right) \overline { { { k ^ { - 1 } \left( x _ { 0 } , x \right) } } } \right] ^ { \frac 1 2 } \right\} .
\langle O ( N ; \tilde { \mu } ) \rangle = \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \, y ^ { N - 1 } \langle O ( y ; \tilde { \mu } ) \rangle = 1 - \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 4 \pi } \left[ 4 \log ^ { 2 } { \frac { \tilde { \mu } N } { m _ { b } n _ { 0 } } } - 4 \log { \frac { \tilde { \mu } N } { m _ { b } n _ { 0 } } } \right] + \ldots \, .
\begin{array} { r l } { \arcsin ( z ) } & { { } = z + \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { z ^ { 3 } } { 3 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) { \frac { z ^ { 5 } } { 5 } } + \left( { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } \right) { \frac { z ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots } \end{array}
\varphi _ { \mathbf { u } } \left( \overline { { \mathbf { U } _ { i } ^ { n } } } , \overline { { \mathbf { U } _ { j } ^ { n } } } , \mu _ { t , \, i } ^ { n } , \mu _ { t , \, j } ^ { n } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } \right) = \left( \mu + \mu _ { t , \, { i j } } ^ { n } \right) \left( \nabla \overline { { \mathbf { U } ^ { n } } } \right) _ { T _ { i j } } \boldsymbol { \eta } _ { i j } .
\chi _ { 1 } ( \omega ) = { \frac { 1 } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \omega ^ { \prime } \chi _ { 2 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } + { \frac { \omega } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \chi _ { 2 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } .
\mathcal { J } _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } ^ { \updownarrow } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { - 1 3 9 } & { - 1 9 0 } \\ { 1 3 9 } & { * * * } & { - 2 9 } \\ { 1 9 0 } & { - 2 9 } & { * * * } \end{array} \right) , \quad \mathcal { J } _ { A _ { 1 } B _ { 2 } } ^ { \updownarrow } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { - 5 0 } & { - 3 4 } \\ { - 5 0 } & { * * * } & { 2 } \\ { - 3 4 } & { 2 } & { * * * } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l c } { { R ( \alpha _ { i } ) = \alpha _ { \sigma ( i ) } , } } & { { R ( \alpha _ { i } \alpha _ { j } ) = \alpha _ { \sigma ( i ) } \alpha _ { \sigma ( j ) } , } } \\ { { R ( \alpha _ { i } \alpha _ { j } \alpha _ { k } ) = \alpha _ { \sigma ( i ) } \alpha _ { \sigma ( j ) } \alpha _ { \sigma ( k ) } , } } & { { \cdots ; } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { m } f ( n ) = \int _ { 1 } ^ { m } f ( x ) \, d x } & { + \frac { f ( 1 ) + f ( m ) } { 2 } + \frac { f ^ { \prime } ( m ) - f ^ { \prime } ( 1 ) } { 1 2 } } \\ & { - \frac { f ^ { ( 3 ) } ( m ) - f ^ { ( 3 ) } ( 1 ) } { 7 2 0 } + \frac { 1 } { 5 ! } \int _ { 1 } ^ { m } b _ { 5 } ( \{ x \} ) f ^ { ( 5 ) } ( x ) \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { p } } & { = - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { p } w _ { p , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = p + 1 } ^ { n } w _ { p , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { Z l o o p } } ( \Phi , g , \theta , W _ { \mu } , B _ { \mu } ) \equiv { \cal L } _ { \mathrm { U ( 1 ) } } ( \rho , \frac { g } { 2 \cos \theta _ { W } } , \frac { \theta } { 2 } , Z _ { \mu } ) .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } \sigma \exp \left\{ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 \eta } a ^ { 2 } \right\} \int _ { - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } } ^ { \frac { \sqrt { 2 \eta } } { \sigma } ( x - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \eta } ) } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left\{ - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right\} \, d u } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } \sigma \exp \left\{ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 \eta } a ^ { 2 } \right\} \left[ \Phi \left( \frac { \sqrt { 2 \eta } } { \sigma } \left( x - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \eta } \right) \right) - \Phi \left( - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf g , \mathbf y - \mathbf x \rangle } & { = \langle \mathbf g , \mathbf y - \mathbf z \rangle + \langle \mathbf g , \mathbf z - \mathbf x \rangle } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le \eta ^ { - 1 } \langle \nabla \Psi ( \mathbf z ) - \nabla \Psi ( \mathbf x ) , \mathbf y - \mathbf z \rangle + \eta ^ { - 1 } \langle \nabla \Psi ( \widetilde { \mathbf z } ) - \nabla \Psi ( \mathbf x ) , \mathbf z - \mathbf x \rangle } \\ & { \stackrel { ( b ) } = \eta ^ { - 1 } ( D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf z ) + D _ { \Psi } ( \mathbf z , \mathbf x ) - D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf x ) ) + \eta ^ { - 1 } ( D _ { \Psi } ( \mathbf z , \mathbf x ) + D _ { \Psi } ( \mathbf x , \widetilde { \mathbf z } ) - D _ { \Psi } ( \mathbf z , \widetilde { \mathbf z } ) ) } \\ & { = \eta ^ { - 1 } ( D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf x ) - D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf z ) + D _ { \Psi } ( \mathbf x , \widetilde { \mathbf z } ) - D _ { \Psi } ( \mathbf z , \widetilde { \mathbf z } ) ) } \\ & { \le \eta ^ { - 1 } ( D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf x ) - D _ { \Psi } ( \mathbf y , \mathbf z ) + D _ { \Psi } ( \mathbf x , \widetilde { \mathbf z } ) ) . } \end{array}
\rho ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - k / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 { \sigma } ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) ^ { \mathrm { { T } } } ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } + \mathbf { \Lambda } _ { 0 } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ) \right) ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { n + 2 a _ { 0 } } { 2 } } - 1 } \exp \left( - { \frac { 2 b _ { 0 } + \mathbf { y } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { y } - { \boldsymbol { \mu } } _ { n } ^ { \mathrm { { T } } } ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) { \boldsymbol { \mu } } _ { n } + { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) .
\delta _ { L } \psi ( x ) = - { \frac { i } { 2 } } \epsilon _ { a b } \sigma ^ { a b } \psi , \quad \delta _ { L } { e ^ { a } } _ { \mu } ( x ) = \epsilon { ^ a } _ { b } e { ^ b } _ { \mu } + { \frac { \kappa ^ { 4 } } { 4 } } \varepsilon ^ { a b c d } \bar { \psi } { ^ j } \gamma _ { 5 } \gamma _ { d } \psi { ^ j } ( \partial _ { \mu } \epsilon _ { b c } ) .
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } & { = \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ f \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } \\ & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) d \varphi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta S _ { \mathrm { C S G L } } = \int d ^ { 3 } x \Bigg \{ \left[ i \hbar D _ { t } \Phi + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } D _ { i } ^ { 2 } \Phi - V ^ { \prime } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi \right] \delta \Phi ^ { \dagger } + \left[ - i \hbar D _ { t } \Phi ^ { \dagger } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } ( D _ { i } ^ { 2 } \Phi ) ^ { \dagger } - V ^ { \prime } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi ^ { \dagger } \right] \delta \Phi } \\ & { + \left[ - \hbar | \Phi | ^ { 2 } - \frac { \hbar \nu } { 2 \pi } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } a _ { j } \right] \delta a _ { 0 } + \left[ \frac { i \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \Phi ^ { \dagger } D _ { k } \Phi - ( D _ { k } \Phi ) ^ { \dagger } \Phi \right) - \frac { \hbar \nu } { 2 \pi } \epsilon _ { k i } \left( \partial _ { i } a _ { 0 } - \partial _ { t } a _ { i } \right) \right] \delta a _ { k } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( C _ { i j k l } F _ { l ^ { \prime } l } F _ { j ^ { \prime } j } ) _ { , j ^ { \prime } } ( A _ { k , l ^ { \prime } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k } ) + C _ { i j k l } F _ { l ^ { \prime } l } F _ { j ^ { \prime } j } ( A _ { k , l ^ { \prime } j ^ { \prime } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k , l ^ { \prime } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k , j ^ { \prime } } } & { { } - A _ { k } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } \end{array}
\mathbf { L } = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { i } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { i } } \left( \frac { \partial \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { j } ) } { \partial t } + S ( \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { j } ) , a ( \mathbf { x } _ { j } ) ) \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ I ~ n ~ t ~ e ~ r ~ i ~ o ~ r ~ P ~ D ~ E ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( \mathcal { B } ( \Phi ( \theta , \mathbf { x } _ { i } ) ) - u _ { b } \left( \mathbf { x } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ S ~ u ~ p ~ e ~ r ~ i ~ v ~ s ~ e ~ d ~ l ~ o ~ s ~ s ~ o ~ n ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ } } ,
\tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 + \xi \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } + \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 + \xi - \lambda \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { s ^ { - \left( 1 + \xi - \kappa \right) } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } ,
\begin{array} { c } { G _ { a } ( q ^ { i } , \frac { \partial S } { \partial q ^ { i } } ) = 0 } \\ { \frac { \partial S } { \partial t } + H _ { 0 } ( q ^ { i } , \frac { \partial S } { \partial q ^ { i } } ) = 0 } \\ { r a n k ( \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial \alpha ^ { A } \partial q ^ { i } } ) = n - m } \end{array}