harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
K _ { B } ^ { \mathrm { i m p } } ( x , y ) = \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { y } { 2 x } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 0 x ^ { 2 } } \right) \theta ( x - y ) + ( x \leftrightarrow y ) \qquad \mathrm { f o r ~ D = 8 ~ } .
P _ { \nu _ { e } \nu _ { e } } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } = 1 - C _ { \phi } ^ { 4 } S _ { 2 \omega } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \frac { \delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } x } { 4 \hbar c E } ) - C _ { \omega } ^ { 2 } S _ { 2 \phi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \frac { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } x } { 4 \hbar c E } ) - S _ { \omega } ^ { 2 } S _ { 2 \phi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \frac { \delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } x } { 4 \hbar c E } )
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( O ) } & { = 1 { \left| \begin{array} { l l } { x _ { B } } & { y _ { B } } \\ { x _ { C } } & { y _ { C } } \end{array} \right| } - 1 { \left| \begin{array} { l l } { x _ { A } } & { y _ { A } } \\ { x _ { C } } & { y _ { C } } \end{array} \right| } + 1 { \left| \begin{array} { l l } { x _ { A } } & { y _ { A } } \\ { x _ { B } } & { y _ { B } } \end{array} \right| } } \\ & { = x _ { B } y _ { C } - y _ { B } x _ { C } - x _ { A } y _ { C } + y _ { A } x _ { C } + x _ { A } y _ { B } - y _ { A } x _ { B } } \\ & { = ( x _ { B } y _ { C } + x _ { A } y _ { B } + y _ { A } x _ { C } ) - ( y _ { A } x _ { B } + y _ { B } x _ { C } + x _ { A } y _ { C } ) . } \end{array} }
\mathrm { I } _ { 1 } ^ { s } ( m ) \equiv - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \in \cal Z } \mathrm { s i g n } ( \varepsilon _ { k } ) | \lambda \varepsilon _ { k , \mathrm { R } } | ^ { - s } ( | \lambda \varepsilon _ { k + m , \mathrm { R } } | ^ { - s } - | \lambda \varepsilon _ { k - m , \mathrm { R } } | ^ { - s } ) .
\begin{array} { r l } { | | \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 2 } ) | | _ { 1 } } & { \leq 2 \sqrt { 2 } h \big ( \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 1 } ) , \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 2 } ) \big ) , } \\ { | | \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 2 } ) | | _ { 1 } ^ { 2 } } & { \leq 8 h ^ { 2 } \big ( \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 1 } ) , \pi _ { A } ( \cdot | s ; \theta _ { 2 } ) \big ) . } \end{array}
R _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \rho ^ { - 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { R } = \sum _ { A \notin \gamma } \frac { | \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { A } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { A } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { | \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { A } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { A } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | J _ { n } | } & { = ( - 1 ) ^ { ( n - 1 ) + n } ( - r s _ { 1 } \dotsm s _ { n - 2 } s _ { n - 1 } ) ( s _ { n - 1 } | J _ { n - 1 } | ) } \\ & { \qquad + ( - 1 ) ^ { n + n } ( r s _ { 1 } \dotsm s _ { n - 2 } c _ { n - 1 } ) ( c _ { n - 1 } | J _ { n - 1 } | ) } \\ & { = ( r s _ { 1 } \dotsm s _ { n - 2 } | J _ { n - 1 } | ( s _ { n - 1 } ^ { 2 } + c _ { n - 1 } ^ { 2 } ) } \\ & { = ( r s _ { 1 } \dotsm s _ { n - 2 } ) | J _ { n - 1 } | . } \end{array} }
\frac { \partial ( G _ { 0 } , g _ { 0 } , G _ { 1 } , g _ { 1 } , G _ { 2 } , g _ { 2 } ) \big | _ { \mathcal { S } _ { - } } } { \partial ( G _ { 0 } , g _ { 0 } , G _ { 1 } , g _ { 1 } , G _ { 2 } , g _ { 2 } ) \big | _ { \mathcal { S } _ { + } } } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \chi ^ { 2 } \bar { \mathbf { u } } _ { 2 } \otimes \bar { \mathbf { l } } _ { 2 } } \end{array} \right] + O ( ( \epsilon ^ { 2 } + \beta ) f _ { \mu , \lambda } \chi ) ,
F ( x , z ) _ { j } = e ^ { i \theta n _ { j } } \widetilde { \gamma } _ { \sigma } F ( x , e ^ { i \theta } z ) _ { j } , \quad \bar { F } ( x , z ) ^ { j } = e ^ { i \theta ( - 1 - n _ { j } ) } \widetilde { \gamma } _ { \sigma } ^ { - 1 } \bar { F } ( x , e ^ { i \theta } z ) ^ { j } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c } { c t } \\ { z } \end{array} \right) } & { = } & { L ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { c t ^ { ' } } \\ { z ^ { ' } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { \beta } \\ { \beta } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { c t ^ { ' } } \\ { z ^ { ' } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( t , N ) = \int [ d T ] \frac { [ d \chi ] } { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { 3 } / 2 } } } & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } ( T _ { i j k } T _ { i j k } + \chi _ { i j k } \chi _ { i j k } ) + \sqrt { \frac { 2 t N ^ { - \alpha } } { 6 } } \tilde { I } _ { t } ( T , \chi ) } \mathrm { , } } \\ { = \int [ d T ] \frac { [ d \chi ] } { ( 2 \pi ) ^ { N ^ { 3 } / 2 } } } & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } ( T _ { i j k } T _ { i j k } + \chi _ { i j k } \chi _ { i j k } ) + \frac { \lambda ^ { \prime } N ^ { - \alpha ^ { \prime } } } { 4 } \tilde { I } _ { t } ( T , \chi ) } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( t ) } & { = t ^ { - 3 } \frac { r ( r + d - 2 ) } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + ( 2 t ^ { - 3 } - 4 t ^ { - 5 } ) \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( 2 - \frac { r } { 2 } , 3 - \frac { d + r } { 2 } , 4 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad - 2 t ^ { - 3 } \frac { r + d - 2 } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) + \frac { ( 2 - r ) \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 1 - r } } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { \geq - ( t ^ { - 3 } - t ^ { - 5 } ) r \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( 2 - \frac { r } { 2 } , 3 - \frac { d + r } { 2 } , 4 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad + t ^ { - 3 } \frac { r ( r + d - 2 ) } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad + ( 2 t ^ { - 3 } - 4 t ^ { - 5 } ) \frac { r + d - 2 } { 4 - r } \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( 2 - \frac { r } { 2 } , 3 - \frac { d + r } { 2 } , 4 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad - 2 t ^ { - 3 } \frac { r + d - 2 } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) + \frac { ( 2 - r ) \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 1 - r } } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } , } \end{array}
{ \bf V } _ { \mu } = V _ { \mu } ^ { a } ( z ) \frac { \partial } { \partial z ^ { a } } + { \bar { V } } _ { \mu } ^ { \bar { a } } ( \bar { z } ) \frac { \partial } { \partial \bar { z } ^ { a } } , \quad [ { \bf V } _ { \mu } , { \bf V } _ { \nu } ] = C _ { \mu \nu } ^ { \lambda } { \bf V } _ { \lambda } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} } } & { { } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \hbar \omega _ { k } \left( N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \right) \equiv \mathcal { E } + \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \hbar \omega _ { k } N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } } \\ { \mathcal { E } _ { 0 } } & { { } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 } \; \; \; , \; \; \; N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } \end{array}
[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle ] + [ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle ]
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 \xi } } & { { } = \frac { - i \zeta ^ { 2 } } { 2 } \Psi _ { 1 } + \zeta \ q _ { \xi } \ \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 2 \xi } } & { { } = \frac { i \zeta ^ { 2 } } { 2 } \Psi _ { 2 } - \zeta \ q _ { \xi } ^ { * } \ \Psi _ { 1 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { E _ { x } ^ { ( \omega ) } } \\ { E _ { y } ^ { ( \omega ) } } \end{array} \right] = - E _ { 0 } \frac { \left| { k _ { z } } \right| } { k _ { G P s } } e ^ { - \left| { k _ { z } } \right| z } { \sum _ { \theta = - \frac { \pi } { 3 } , 0 , \frac { \pi } { 3 } } } \left[ \begin{array} { c c } { \cos ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } \end{array} \right] \sin \{ k _ { G P s } [ \cos ( \theta ) x + \sin ( \theta ) y ] \}
\begin{array} { r l } { \dot { S } ( t ) = - \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x \Bigg ( } & { \sum _ { k = R , L } \frac { J _ { k } ( x , t ) } { P _ { k } ( x , t ) } \frac { \partial P _ { k } ( x , t ) } { \partial x } } \\ & { + \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ( x , t ) \log \left( \frac { P _ { R } ( x , t ) } { P _ { L } ( x , t ) } \right) \Bigg ) . } \end{array}
Z _ { D D } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \chi _ { p } ^ { f } ( q ) { \frac { 1 } { \eta ( q ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x q ^ { x ^ { 2 } / 2 N } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } [ | a _ { m } | ^ { 2 } e ^ { 2 \pi i m x } + ( - 1 ) ^ { p } | b _ { m } | ^ { 2 } e ^ { 2 \pi i ( m + 1 / 2 ) x } ]
\operatorname* { m i n } _ { a , b , \varphi } \sum _ { i } | a + 2 b \cos ( 2 \omega \tau _ { i } + \varphi ) - P ( E , \tau _ { i } ) | ^ { 2 } \exp { \left[ - \frac { ( \tau - \tau _ { i } ) ^ { 2 } } { \tau _ { w } ^ { 2 } } \right] } ,
\begin{array} { r } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \leq \left\| \mathcal { F } ( I ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \xi } \in \Omega _ { 0 , 0 } } \left\vert e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right\vert + \left\| \delta _ { j , k } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \delta _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } } & { = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } ) \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } - \frac { i g _ { 0 } } { 2 } \sin ( 2 \varphi ) \sqrt { \tilde { n } _ { \mathrm { L } } - { \tilde { n } _ { a } } } \cdot b , } & \\ { \frac { d } { d t } b } & { = - i \Omega _ { \mathrm { v } } b - \frac { i g _ { 0 } } { 2 } \sin ( 2 \varphi ) \sqrt { \tilde { n } _ { \mathrm { L } } - { \tilde { n } _ { a } } } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } , } & \end{array}
< \rho > = \frac { k } { \sqrt { - K } \alpha ^ { \prime } \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } , \; \; \; \; \; < P > = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } \sqrt { - K } \alpha ^ { \prime } } [ - k + \frac { 2 } { k } ( 1 - \frac { E ( k ) } { K ( k ) } ) ] ,
\mathrm { ~ a ~ t ~ } \varphi = 0 : \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { o } ^ { \prime } ( 0 ) = 0 , } \\ { \phi _ { 1 2 } ^ { \prime } ( 0 ) = 0 , } \\ { \phi _ { 3 1 } ( 0 ) = \phi _ { 2 3 } ( 0 ) , } \\ { \phi _ { 3 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = \phi _ { 2 3 } ^ { \prime } ( 0 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { G ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = \frac { c ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } G ( \tau t , \tau t ^ { \prime } ) g ( t ) g ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \theta _ { t } } e ^ { - i \theta _ { t ^ { \prime } } } e ^ { - i \tau \omega t } e ^ { i \tau \omega ^ { \prime } t ^ { \prime } } d t d t ^ { \prime } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } c ^ { ( b ) } : e ^ { \mp i 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi + g N } } U _ { 1 b } \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 1 ) } } \; \prod _ { I = 2 } ^ { N } : e ^ { \mp i 2 \sqrt { \pi } U _ { I b } \Phi ^ { ( I ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( I ) } } e ^ { \pm i \frac { \theta } { N } } \; ,
K _ { E } ( x , b ^ { \prime } ) = { \frac { ( 1 - \bar { X } ^ { 2 } - \bar { Y } ^ { 2 } ) ^ { 2 h _ { + } } } { [ 2 \bar { X } \bar { X } ^ { \prime } + 2 \bar { Y } \bar { Y } ^ { \prime } - ( 1 + \bar { X } ^ { 2 } + \bar { Y } ^ { 2 } ) \cosh ^ { 2 } r _ { + } \Delta \bar { \phi } ] ^ { 2 h _ { + } } } } .
\begin{array} { r l } { \nabla \phi _ { 1 } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { 1 } } = } & { ~ \kappa _ { 1 } \varepsilon \nabla \phi \otimes \nabla \phi , } \\ { \nabla \phi _ { 2 } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { 2 } } = } & { ~ \kappa _ { 2 } \varepsilon \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { ( \pm ) } ( z ) } & { = U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) ^ { \dag } \frac { 1 } { 2 } w ( z ) ( a _ { x } + a _ { x } ^ { \dag } ) U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { = \frac { 1 } { w _ { 0 } } ( a _ { x } - a _ { x } ^ { \dag } ) , } \\ { ( U _ { G } ) ^ { ( \pm ) } ( z ) _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } } & { = e ^ { \pm i \Psi _ { G } ( z ) ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) } \delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { x } } \delta _ { n _ { y } ^ { \prime } , n _ { y } } , } \end{array}
R _ { ( 0 ) } ^ { \mathrm { b o u n d a r y } } ( r ) = A _ { \mathrm { i n } } e ^ { i \frac { \omega \ell ^ { 2 } } { r } } + A _ { \mathrm { o u t } } e ^ { - i \frac { \omega \ell ^ { 2 } } { r } } .
\langle \psi \rangle _ { r e n } = A ^ { * } B u _ { 0 } , \quad \langle \bar { \psi } \rangle _ { r e n } = B ^ { * } A \bar { u } _ { 0 } , \quad \langle \bar { \psi } \psi \rangle _ { r e n } = | B | ^ { 2 } .
\sigma _ { q \bar { q } , N } ( E _ { i n c } ) = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } b ^ { 2 } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) x G _ { N } ( x , Q ^ { 2 } \equiv { \frac { \lambda } { b ^ { 2 } } } ) ,
\frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } E _ { T D } [ \theta _ { A } ^ { \varepsilon } , \theta _ { B } ^ { \varepsilon } , \theta _ { S } ^ { \varepsilon } ] \, = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) } Q _ { A } \psi _ { A } { \ } d x + \int _ { \Omega _ { B } ( t ) } Q _ { B } \psi _ { B } { \ } d x + \int _ { \Gamma ( t ) } Q _ { S } \psi _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } .
\left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } + { \boldsymbol { \nabla } } \right) \mathbf { F } = { \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } } \left( \rho - { \frac { 1 } { c } } \mathbf { J } \right) .
\Delta a = a _ { ( 1 ) } \otimes a _ { ( 2 ) } \, , \, ( \mathrm { i d } \otimes \Delta ) \, \Delta ( a ) = ( \Delta \otimes \mathrm { i d } ) \, \Delta ( a ) = a _ { ( 1 ) } \otimes a _ { ( 2 ) } \otimes a _ { ( 3 ) } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } { \widetilde { u } } _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \widetilde { p } } { \partial x _ { i } } } & { { } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } + { \widetilde { \mathcal { F } } } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \delta x _ { i } ^ { n } \delta x _ { j } ^ { m } \rangle _ { c } = \partial _ { \lambda _ { i } } ^ { n } \partial _ { \lambda _ { j } } ^ { m } f _ { j - i } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) | _ { \lambda _ { i } = \lambda _ { j } = 0 } = ( - 1 ) ^ { n } f _ { j - i } ^ { ( n + m ) } ( 0 ) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { c ^ { n } } ( - 1 ) ^ { m - 1 } ( n + m - 1 ) ! \left( \frac { 1 } { ( j - i ) ^ { n + m } } - \frac { 1 } { ( j - i + 1 ) ^ { n + m } } \right) } \end{array}
\langle P ( p ^ { \prime } ) | \bar { q } \, \gamma ^ { \mu } b | \bar { B } ( p ) \rangle = f _ { + } ( q ^ { 2 } ) \left[ p ^ { \mu } + p ^ { \prime \, \mu } - \frac { M ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, q ^ { \mu } \right] + f _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) \, \frac { M ^ { 2 } - m _ { P } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, q ^ { \mu } ,
- \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { K } \operatorname* { l i m } _ { z \to \infty } \int _ { 0 } ^ { z } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \| \omega _ { N } \mathfrak { A } _ { x } ^ { 1 / 2 } \nabla \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } } & { \lesssim \| y \omega _ { N } F \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { - \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| y ^ { - 1 } \omega _ { N } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| \omega _ { N } ^ { \prime } \mathcal { W } \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } _ { + } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega = \tau _ { \sigma } \omega , \ \ \ \hat { \tau } _ { q } = \frac { \tau _ { q } } { \tau _ { \sigma } } \left( = \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) ^ { - 1 } \frac { m \kappa } { k _ { B } \mu } \right) , \ \ \ \hat { \tau } _ { \Pi } = \frac { \tau _ { \Pi } } { \tau _ { \sigma } } \left( = \frac { 3 \hat { c } _ { v } } { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } \frac { \nu } { \mu } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { \beta } p _ { \beta } ^ { b } \left( b _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) \left( \tilde { F } _ { A , \beta } ^ { 1 , \mathrm { a u g } } ( \mathbf { r } ) + \hat { y } _ { A , \beta } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) } \\ { \tilde { G } _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { \beta } p _ { \beta } ^ { b } \left( \tilde { b } _ { A } ^ { 1 } ( \mathbf { r } ) \right) \tilde { F } _ { A , \beta } ^ { 1 , \mathrm { a u g } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\triangle _ { 2 \infty } = \frac { 1 } { 1 9 2 0 \pi ^ { 2 } \varepsilon } \int d ^ { 4 } x ~ \sqrt { G } \left( C _ { \alpha \beta \mu \nu } ( G ) C ^ { \alpha \beta \mu \nu } ( G ) + \frac { 5 } { 2 } R ^ { 2 } ( G ) \right)
N = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { \ell + 1 } N ^ { ( \ell ) } , \; B = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { \ell + 1 } B ^ { ( \ell ) } , \; U = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { \ell + 1 } U ^ { ( \ell ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } \mathbb { E } \bigg \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \eta \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( 4 \kappa ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
\widetilde { n _ { 0 } } ( z ) \! = \! 0 \: \: \mathrm { ~ i ~ f ~ } \: z \! \le \! 0 , \qquad 0 \! < \! \widetilde { n _ { 0 } } ( z ) \! \le \! n _ { b } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \: z \! > \! 0
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \frac { L g } { R _ { v } c _ { p } T ^ { 2 } } , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = \frac { R ^ { \prime } T } { \epsilon e _ { s } ( T ) } + \frac { L ^ { 2 } \epsilon } { p T c _ { p } } , } \\ { K ^ { \prime } } & { { } = \left( \frac { L \rho _ { L } } { K T } \left( \frac { L } { R _ { v } T } - 1 \right) + \frac { \rho _ { L } R _ { v } T } { D e _ { s } ( T ) } \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { ( S _ { 0 } - S _ { B } ) - \delta S _ { 0 } } \\ { - ( S _ { 0 } - S _ { B } ) - \epsilon S _ { 0 } } \end{array} \right] = ( \epsilon - \delta ) \left[ \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { - \delta C } \\ { \epsilon C } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { ( 1 - \delta ) \eta _ { 0 } - \eta _ { B } } \\ { - ( 1 - \epsilon ) \eta _ { 0 } + \eta _ { B } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \gamma _ { a b } ^ { o } < \gamma _ { t h } \right) = \mathbb { P } \left( | { h } _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } < \frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } \gamma _ { t h } } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } } \right) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } 1 - \mathbb { E } _ { \sigma _ { b } ^ { 2 } } \left[ \exp { \left( - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \left( \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \sigma _ { b } ^ { 2 } \gamma _ { t h } } { P _ { a } L _ { a b } ^ { T , \mathbb { B } } } \right) ^ { \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \right) } \right] } \\ & { = 1 - \int _ { \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } } ^ { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } \exp { \left( - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \! \left( \! \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \gamma _ { t h } x } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } } \! \right) ^ { \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \right) } \frac { 1 } { 2 x \ln { \rho } } d x } \\ & { \overset { ( c ) } { = } 1 \! - \! \frac { 1 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) \ln { \rho } } \! \left[ \mathrm { E i } \! \left( \! \! - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \! \left( \! \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \gamma _ { t h } x } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } } \! \right) ^ { \! \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \! \right) \! \right] \! \Bigg | _ { \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } } ^ { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } \\ & { = 1 - \frac { 1 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) \ln { \rho } } \mathrm { E i } \left( - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \left( \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \gamma _ { t h } \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } } \right) ^ { \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) \ln { \rho } } \mathrm { E i } \left( - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \left( \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \gamma _ { t h } \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } \rho } \right) ^ { \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \right) , } \end{array}
\underline { { J } } _ { i j } ^ { ( t t ) } = \mathcal { N } \left( \frac { \mu } { N _ { t } } , \frac { \lambda ^ { 2 } } { N _ { t } } \right) \, , \qquad \mathrm { a n d } \, \big [ \underline { { J } } _ { i j } ^ { ( t t ) } , \underline { { J } } _ { j i } ^ { ( t t ) } \big ] _ { \underline { { \mathbf { J } } } } = \frac { \Gamma \lambda ^ { 2 } } { N _ { t } }
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { { } = \sin ( \varphi ) { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \left\{ { \frac { s } { s ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \right\} + \cos ( \varphi ) { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \left\{ { \frac { \omega } { s ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \right\} } \end{array}