harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\| { ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| } & { = \left\| { P _ { i \cdot } U - P _ { i i } U _ { i \cdot } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| \leq \left\| { P _ { i \cdot } U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| + p \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| = \left\| { \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| + p \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| } \\ & { = \left\| { \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } U ^ { T } U } \right\| + p \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| = \left\| { \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } U ^ { * T } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } U ^ { T } } \right\| + p \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { b \in [ k ] } \left\| { U \hat { \theta } _ { b } ^ { T } - U ^ { * } \theta _ { b } ^ { * T } } \right\| + p \leq C _ { 2 } \beta ^ { - 0 . 5 } k \sqrt { p } + p \leq 2 C _ { 2 } \beta ^ { - 0 . 5 } k \sqrt { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i , j } } & { { } = \left\lvert \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right\rvert ^ { p - 2 } = \frac { \epsilon } { \left\lvert \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right\rvert ^ { 2 - p } + \epsilon } , } \\ { V _ { i , j } } & { { } = \left\lvert \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right\rvert ^ { p - 2 } = \frac { \epsilon } { \left\lvert \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right\rvert ^ { 2 - p } + \epsilon } , } \end{array}
\int _ { { \cal L } _ { d - 1 } ^ { d } } f ( H ) d \nu _ { d - 1 } ( H ) = c _ { 3 } \int _ { { \cal L } _ { 2 } ^ { A } } \int _ { { \cal L } _ { d - 1 } ^ { L } } f ( H ) [ H , A ] ^ { 2 } d \nu _ { d - 1 } ^ { L } ( H ) d \nu _ { 2 } ^ { A } ( L ) .
\mathbb { E } \left[ m _ { k } ( B _ { n } ) - \mathbb { E } m _ { k } ( B _ { n } ) \right] ^ { 2 } = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } \left( \prod _ { \tau \in K ^ { d } } \mathbb { E } B _ { \tau } ^ { N _ { w _ { 1 } } ( \tau ) + N _ { w _ { 2 } } ( \tau ) } - \prod _ { \tau \in K ^ { d } } \mathbb { E } B _ { \tau } ^ { N _ { w _ { 1 } } ( \tau ) } \mathbb { E } B _ { \tau } ^ { N _ { w _ { 2 } } ( \tau ) } \right) ,
, o n t h e o t h e r h a n d , s h o w s t h a t a r e l a t i v e l y s m a l l e r \gamma d o e s n o t e v e n f o r m t h e p a t t e r n a t t h e p o i n t P d u e t o t h e t e r m , \chi ( a - a _ { m } ) , i n t h e e q u a t i o n (
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { ~ T ~ r ~ e ~ f ~ o ~ i ~ l ~ } } ( \rho , \phi ) = } & { { } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } } } \bigr ( - 4 \rho ^ { 3 } \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) - 2 \rho ^ { 3 } ( a - b ) ^ { 2 } e ^ { - i 3 \phi } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } [ Y ( t ) ] = } & { \operatorname { E } ( \operatorname { V a r } [ Y ( t ) \mid H _ { 1 t } , H _ { 2 t } , \ldots , H _ { c - 1 , t } ] ) } \\ & { + \sum _ { j = 2 } ^ { c - 1 } \operatorname { E } ( \operatorname { V a r } [ \operatorname { E } [ Y ( t ) \mid H _ { 1 t } , H _ { 2 t } , \ldots , H _ { j t } ] \mid H _ { 1 t } , H _ { 2 t } , \ldots , H _ { j - 1 , t } ] ) } \\ & { + \operatorname { V a r } ( \operatorname { E } [ Y ( t ) \mid H _ { 1 t } ] ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \widehat { \mathbf { E } } _ { 0 } \left[ \frac { X _ { T } } { \mathfrak { B } _ { T } } \left( \frac { X _ { T } } { Y _ { T } } \right) ^ { \lambda } \right] } & { = } & { \frac { X _ { 0 } ^ { \lambda + 1 } } { Y _ { 0 } ^ { \lambda } } M ^ { X } ( \lambda ) } \\ { \widehat { \mathbf { E } } _ { 0 } \left[ \frac { X _ { T } } { \mathfrak { B } _ { T } } \left( \frac { X _ { T } } { Y _ { T } } \right) ^ { \lambda } \right] } & { = } & { \widehat { \mathbf { E } } _ { 0 } \left[ \frac { Y _ { T } } { \mathfrak { B } _ { T } } \left( \frac { X _ { T } } { Y _ { T } } \right) ^ { \lambda + 1 } \right] = \frac { X _ { 0 } ^ { \lambda + 1 } } { Y _ { 0 } ^ { \lambda } } M ^ { Y } ( \lambda + 1 ) } \end{array}
\gamma _ { 1 } ( z ) \simeq \frac { \lambda _ { 5 } } { 3 2 \: \pi } \Gamma _ { h } \: T \: \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { M _ { h } ^ { 3 } ( T ) } \partial _ { t _ { z } } H ( z ) + { \cal O } \left[ v _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } , \left( \Gamma _ { h } L _ { \mathrm { w } } \right) ^ { 2 } , \left( M _ { h , H } / T \right) ^ { 4 } \right] .
\begin{array} { r l } & { \Big | \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) \cdot \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } + \phi ^ { 0 } ) d x } \\ & { \quad \quad + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } ( \beta - \gamma ^ { \varepsilon } ) ( \gamma ^ { \varepsilon } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \psi ^ { \varepsilon } ) \Delta _ { x } \psi ^ { \varepsilon } d x \Big | } \\ & { \lesssim \left| \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } \{ ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) - ( \beta - \gamma ^ { \varepsilon } ) ( \gamma ^ { \varepsilon } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \psi ^ { \varepsilon } ) \} \Delta _ { x } \psi ^ { \varepsilon } d x \right| } \\ & { \quad + \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) | ^ { 2 } d x } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + | \gamma ^ { \varepsilon } - \beta | } \end{array}
B _ { [ 8 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 6 } & { 1 8 } & { 4 6 } & { 1 1 4 } & { 2 7 8 } & { 6 7 4 } & { 1 6 3 0 } \\ { - 6 } & { 0 } & { 1 8 } & { 7 0 } & { 2 0 2 } & { 5 2 6 } & { 1 3 1 4 } & { 3 2 2 2 } \\ { - 1 8 } & { - 1 8 } & { 0 } & { 9 4 } & { 3 7 8 } & { 1 1 3 4 } & { 3 0 4 2 } & { 7 7 4 2 } \\ { - 4 6 } & { - 7 0 } & { - 9 4 } & { 0 } & { 4 6 6 } & { 1 9 6 6 } & { 6 1 1 4 } & { 1 6 8 3 0 } \\ { - 1 1 4 } & { - 2 0 2 } & { - 3 7 8 } & { - 4 6 6 } & { 0 } & { 2 4 3 8 } & { 1 0 5 3 0 } & { 3 3 5 0 2 } \\ { - 2 7 8 } & { - 5 2 6 } & { - 1 1 3 4 } & { - 1 9 6 6 } & { - 2 4 3 8 } & { 0 } & { 1 2 9 6 2 } & { 5 6 9 8 2 } \\ { - 6 7 4 } & { - 1 3 1 4 } & { - 3 0 4 2 } & { - 6 1 1 4 } & { - 1 0 5 3 0 } & { - 1 2 9 6 2 } & { 0 } & { 6 9 9 5 0 } \\ { - 1 6 3 0 } & { - 3 2 2 2 } & { - 7 7 4 2 } & { - 1 6 8 3 0 } & { - 3 3 5 0 2 } & { - 5 6 9 8 2 } & { - 6 9 9 5 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
A = \sum _ { e _ { 1 } , e _ { 2 } \in Q } \operatorname * { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } V T { \frac { | \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } | } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \int _ { \delta } ^ { \infty } d t t ^ { - 1 } \int { \frac { d ^ { 2 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 4 } } } e ^ { - \pi t p ^ { 2 } / 2 } T ^ { \perp } T ^ { \parallel } .
I ( 1 , \lambda ) = \frac { 4 } { \pi } \int _ { u _ { 1 } , u _ { 2 } \geq 0 } d u _ { 1 } d u _ { 2 } \int _ { z ^ { \prime } \in \mathbb { C } } d z ^ { \prime } d \bar { z } ^ { \prime } \frac { 1 } { 2 ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) } ( u _ { 1 } u _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - u _ { 1 } | 1 - z ^ { \prime } | ^ { 2 } - u _ { 2 } ( z ^ { \prime } + \lambda ) \bar { z } ^ { \prime } } .
\bar { \Lambda } = \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \omega _ { 0 } } d \omega \, \omega ^ { 3 } e ^ { - \omega / \tau } } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \omega _ { 0 } } d \omega \, \omega ^ { 2 } e ^ { - \omega / \tau } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \Sigma _ { k } ^ { ( N , 1 / 2 ) } } { \partial G } = \frac { 2 \Gamma ( k + 1 ) \Gamma ( N ) } { \Gamma ( k ) \Gamma ( N + 1 ) } \left( \left( H _ { k } - H _ { N } \right) ^ { 2 } + \psi ^ { ( 1 ) } ( k + 1 ) - \psi ^ { ( 1 ) } ( N + 1 ) \right) > 0 , } \end{array}
v _ { j } ^ { ( i ) } , w _ { j } ^ { ( i ) } \, \sim \, - \frac { 1 } { 4 } \log t + \mathrm { c o n s t } \, = \, \frac { 1 } { 5 } \log N - \frac { 1 } { 5 } \log \mu + \mathrm { c o n s t } .
S _ { \mathrm { { Q H } } } = \int _ { \cal M } d ^ { 3 } x ~ \left( \psi ^ { \dagger } \, i \left( \partial _ { 0 } - i A _ { 0 } - i e a _ { 0 } \right) \psi + \frac { 1 } { 2 m _ { e } } \psi ^ { \dagger } \left( \nabla - i A - i e a \right) ^ { 2 } \psi \right) + \frac { 1 } { m } S _ { \mathrm { C S } } ^ { [ U ( 1 ) ] } [ A ]
\begin{array} { r } { \nabla _ { \eta } \Phi _ { h } ( t , x , y , \eta ) = \frac { \sqrt { g ( x ) } ( x - y ) } { t } + \frac { \eta } { \sqrt { \lvert \eta \rvert ^ { 2 } + h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } } } + t \sqrt { g ( x ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \theta ) ( \nabla _ { \eta } \partial _ { t } ^ { 2 } S _ { h } ) ( \theta t , x , \sqrt { g ( x ) } \eta ) d \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c } { \frac { d X _ { i } } { d t } = \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial P _ { i } } - \frac { 1 } { 2 } \kappa X _ { i } - \sqrt { \kappa T } n _ { i } ^ { X } ( t ) } \\ { \ \ \ \frac { d P _ { i } } { d t } = - \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial X _ { i } } - \frac { 1 } { 2 } \kappa P _ { i } + \sqrt { \kappa T } n _ { i } ^ { P } ( t ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \frac { 1 } { \eta _ { t } } q _ { t } - \frac { 1 } { \eta _ { t } } q _ { t + 1 } ) } & { = \frac { 1 } { \eta _ { 1 } } q _ { 1 } - \frac { 1 } { \eta _ { T + 1 } } q _ { T + 1 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \frac { 1 } { \eta _ { t + 1 } } - \eta _ { t } ) q _ { t + 1 } \leq \frac { 2 D ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } + 2 D ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \frac { 1 } { \eta _ { t + 1 } } - \eta _ { t } ) } \\ & { = \frac { 2 D ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } + 2 D ^ { 2 } ( - \frac { 1 } { \eta _ { 1 } } + \eta _ { T } ) = \frac { 2 D ^ { 2 } } { \eta _ { T } } ~ . } \end{array}
\tau _ { i } = \mathrm { s i g n } ( o _ { \tau _ { i } } ) \operatorname { a r c c o s } ( ( \overline { { [ a _ { i - 1 } , a _ { i } ] } } , \overline { { [ a _ { i } , a _ { i + 1 } ] } } ) ) , \quad \mathrm { w h e r e } \quad o _ { \tau _ { i } } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( [ a _ { i } , a _ { i + 1 } ] , a _ { i + 2 } ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 1 , 3 } \\ { ( [ a _ { i - 1 } , a _ { i } ] , a _ { i + 1 } ) , \mathrm { ~ i f ~ } i = 2 , 4 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } { S _ { x } } } { \mathrm { d } \eta } } & { \simeq } & { \frac { C \psi _ { 1 } ( \chi ) } { \gamma _ { e } } S _ { x } , } \\ { \frac { \mathrm { d } { S _ { y } } } { \mathrm { d } \eta } } & { \simeq } & { \frac { C \psi _ { 1 } ( \chi ) } { \gamma _ { e } } S _ { y } , } \\ { \frac { \mathrm { d } { S _ { z } } } { \mathrm { d } \eta } } & { \simeq } & { \frac { C ( \psi _ { 1 } ( \chi ) + \psi _ { 2 } ( \chi ) ) } { \gamma _ { e } } S _ { z } , } \end{array}
H _ { 3 x , 2 } = { \frac { 1 } { 9 } } \left( 6 \zeta ( 2 ) + H _ { x , 2 } + H _ { x - { \frac { 1 } { 3 } } , 2 } + H _ { x - { \frac { 2 } { 3 } } , 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \mu _ { i j } ^ { t t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 6 \pi \eta a _ { i } } \mathbf { I } } & { i = j , } \\ { \frac { 1 } { 8 \pi \eta r _ { i j } } \left( \left( 1 + \frac { a _ { i } ^ { 2 } + a _ { j } ^ { 2 } } { 3 r _ { i j } ^ { 2 } } \right) \mathbf { I } + \right. } \\ { \left. \left( 1 - \frac { a _ { i } ^ { 2 } + a _ { j } ^ { 2 } } { r _ { i j } ^ { 2 } } \right) \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } \hat { \mathbf { r } } _ { i j } \right) } & { i \neq j , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { \prime } ( a ) } & { { } = - \bigg ( \frac { \kappa - 1 } { \kappa + 1 } \bigg ) \bigg ( \frac { 3 q } { q + 2 } \bigg ) , } \\ { S _ { 3 } ^ { \prime } ( a ) } & { { } = \frac { \delta q } { q + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { U } ^ { - 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } } & { { | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > = } } \\ { { } } & { { } } \\ { { = } } & { { e ^ { i \pi k k _ { 1 } k _ { 2 } } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i k \left[ ( k _ { 1 } \tau - k _ { 2 } ) \overline { { { A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) } } } + ( k _ { 1 } \bar { \tau } - k _ { 2 } ) A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \right] } \| A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) - \frac { i \pi } { \tau _ { 2 } } ( \tau k _ { 1 } - k _ { 2 } ) > \ \ \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial t } + u _ { k } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { k } } } & { = \underbrace { - \left( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { k } } + \overline { { u _ { j } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } \right) } _ { P _ { i j } } } \\ & { \underbrace { + \overline { { \frac { p ^ { \prime } } { \rho } \left( \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } \right) } } } _ { \Phi _ { i j } } } \\ & { \underbrace { - \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } - \nu \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { k } } + \frac { \delta _ { i k } } { \rho } \overline { { u _ { j } ^ { \prime } p ^ { \prime } } } + \frac { \delta _ { j k } } { \rho } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } p ^ { \prime } } } \right) } _ { D _ { i j } } } \\ & { - \underbrace { 2 \nu \overline { { \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } } \right) \left( \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } } \right) } } } _ { \varepsilon _ { i j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { t } ^ { ( 1 ) } + \mathscr { N } N ^ { ( 1 ) } } & { { } = - \mathscr { L } ( N ^ { ( 0 ) } \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } ) - U ^ { ( 0 ) } U _ { x } ^ { ( 0 ) } + \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } \mathscr { L } N ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\Gamma [ V ] = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } T } { T } } [ 4 \pi T ] ^ { - d / 2 } \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } T } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } } { \frac { ( - T ) ^ { n } } { n ! } } \! \! \int \mathrm { d } x _ { 0 } \; \mathrm { t r } \; O _ { n } \; .
\begin{array} { r l } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { = } & { \left\Vert u _ { n } - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - 2 \alpha _ { n } ( u _ { n } - u ^ { * } , \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \alpha _ { n } ^ { 2 } \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { n } ( e _ { n } , \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { n } ( e _ { n } , \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + 2 \alpha _ { n } ( e _ { n } , \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) - \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } . } \end{array}
x _ { 1 } ^ { 4 } = \phi \pm \sqrt { \phi ^ { 2 } - \left[ 1 + ( x _ { 3 } ^ { 2 } - \psi ) ^ { 2 } + x _ { 7 } ^ { 2 } ( x _ { 4 } ^ { 4 } + x _ { 5 } ^ { 4 } ) \right] } \; ,
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } = } & { { } 0 } \\ { x _ { 1 , 2 } = } & { { } \pm \frac { \sqrt { - 2 \sqrt { v ^ { 2 } - 8 v + 1 } + 2 v + 1 } } { 2 \sqrt { 3 } ( 1 - v ) } } \\ { x _ { 3 , 4 } = } & { { } \pm \frac { \sqrt { 2 \sqrt { v ^ { 2 } - 8 v + 1 } + 2 v + 1 } } { 2 \sqrt { 3 } ( 1 - v ) } } \end{array}
\langle 0 | q | 0 \rangle = \left( \begin{array} { c c c c c } { { q _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { q _ { \tilde { N } _ { c } } } } & { { } } & { { } } \end{array} \right) , \qquad \langle 0 | { \bar { q } } | 0 \rangle = \left( \begin{array} { c c c } { { \bar { q } _ { 1 } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \bar { q } _ { \tilde { N } _ { c } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) } & { { } = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { \lfloor d _ { 1 } / 2 \rfloor } \cdots \sum _ { k _ { N } = 0 } ^ { \lfloor d _ { N } / 2 \rfloor } \frac { 1 } { \prod _ { j } k _ { j } ! ( d _ { j } - 2 k _ { j } ) ! ( - 2 ) ^ { k _ { j } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { 1 } } & & { 1 } & & & \\ & { 2 } & & { 1 } & & \\ { 1 } & { 1 } & & & { 1 } & \\ { 2 } & { 3 } & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } { \boxed { 2 } } & & { 1 } & & \\ { 1 } & { - 1 } & & { 1 } & \\ { 3 } & { - 2 } & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c } { - 2 } & { - 1 } & { 2 } & \\ { - 4 } & { - 3 } & & { 2 } \end{array} . } \end{array}
\psi \left( \varepsilon ^ { a b } \right) = \left( \otimes _ { i } \psi _ { i } \right) \bigotimes \left( \otimes _ { k } { \left( \psi _ { 0 } \right) } _ { k } \right) \bigotimes \psi \left( \varepsilon _ { 0 } ^ { a b } \right) \; ,
\mathcal { L } _ { \textrm { B i o E n } } ( \lambda ) = \frac { \chi ^ { 2 } [ \rho _ { \lambda } ] } { 2 } - \tilde { \alpha } \left( \Gamma ( \lambda ) + \sum _ { i } \lambda _ { i } \left( \bar { g } _ { i } [ \rho _ { \lambda } ] - g _ { i , e x p } \right) \right)
\left| \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { b } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { p } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } \right) - \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { b } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { p } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 0 } \right) \right| \, , \quad n = 0 , 1 0 , 2 0 , \hdots \, ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha , z ) \in \mathcal { U } } \| \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \| \leq C | g | } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha , z ) \in \mathcal { U } } \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \| \leq C | g | } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } } & { \simeq ( E \times Z ) ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq E ^ { \mathbb { N } } \times Z ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq E \times E ^ { \mathbb { N } } \times Z ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq E \times \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq Y \times \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } \times \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq Y \times \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } } \\ & { \simeq E } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { x \in \bar { B } \left( x + r ^ { \prime } \frac { y _ { x } - x } { \| y _ { x } - x \| } ; r ^ { \prime } \right) } & { \subset } & { { B } \left( y _ { x } ; \| y _ { x } - x \| \right) \cup \{ x \} } \\ & { \subset } & { { B } \left( y _ { x } ; \frac { r } { 2 } \right) \cup \{ x \} } \\ & { \subset } & { \textnormal { i n t } \, ( ( \textnormal { i n t } \, S ) ^ { c } ) \cup S ^ { c } = S ^ { c } . } \end{array}
\alpha _ { 3 } \big ( \hat { F r } ^ { 2 } \frac { \rho _ { p } } { \overline { { \rho } } } ( 1 + \frac { \rho _ { p } } { \overline { { \rho } } } \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } ) \big ) + \beta _ { 3 }
[ \mathrm { B R } ( \mu \to 3 e ) ] _ { V - \mathrm { e x c h . } } \approx \frac { \Gamma ( V \to e ^ { + } e ^ { - } ) \Gamma ( V \to \mu ^ { \pm } e ^ { \mp } ) } { \Gamma ^ { 2 } ( W \to e \nu ) } \left( \frac { M _ { W } } { M _ { V } } \right) ^ { 6 } ~ .
P ( \mu | n ; \overline { { { b } } } , \sigma _ { b } ) = \frac { P ( n | \mu ; \overline { { { b } } } , \sigma _ { b } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( n | \mu ; \overline { { { b } } } , \sigma _ { b } ) \ \mathrm { d } \mu } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \omega } h } & { = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M [ h ] + \mathcal { R } , \mathrm { ~ w i t h ~ } M [ h ] : = \Lambda _ { - \frac { 1 } { 2 } + a _ { 1 } } ^ { \alpha - 1 } + \left( \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + a _ { 2 } \right) h + \Upsilon _ { a _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } } \end{array}
f _ { e } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ n ~ o ~ c ~ o ~ n ~ t ~ e ~ n ~ t ~ e ~ d ~ i ~ t ~ } } \\ { m _ { e \alpha _ { * } } } & { \mathrm { ~ a ~ f ~ t ~ e ~ r ~ c ~ o ~ n ~ t ~ e ~ n ~ t ~ e ~ d ~ i ~ t ~ } } \end{array} \right. .
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } \quad { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } & { 3 } \\ { 3 } & { 1 } & { 4 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right] }
K _ { + } - K _ { - } = \eta { \frac { \sqrt { D - 1 } } { 2 } } \kappa _ { D } ^ { 2 } b \sigma _ { \mathrm { D W } } e ^ { b C } = - { \frac { D - 1 } { D - 2 } } \kappa _ { D } ^ { 2 } \sigma _ { \mathrm { D W } } e ^ { b C } ,
\Gamma ( \rho \rightarrow \pi \pi ) = \frac { | g _ { \rho \pi \pi } ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) | ^ { 2 } m _ { \rho } ^ { 5 } } { 4 8 \pi } ( 1 - \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } ) ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } = } & { { } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 4 v _ { g } } { L } \right) ^ { 4 } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } } \\ { = } & { { } \frac { 4 ^ { 3 } \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { L ^ { 2 } \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } \ . } \end{array}
\vec { { ^ H } \omega _ { H } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { \theta } \, c o s ( \psi ) \, + \, \dot { \phi } \, c o s ( \theta ) \, s i n ( \psi ) } \\ { \dot { \phi } \, c o s ( \psi ) \, c o s ( \theta ) \, - \, \dot { \theta } \, s i n ( \psi ) } \\ { \dot { \psi } \, - \, \dot { \phi } \, s i n ( \theta ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { | G ( L ( h ( X ^ { ( M ) } ) , Y ^ { ( M ) } ) ) - G ( L ( h ( X ^ { \prime ( M ) } ) , Y ^ { \prime ( M ) } ) ) | } & { \leq L i p ( G ) | L ( h ( X ^ { ( M ) } ) , Y ^ { ( M ) } ) - L ( h ( X ^ { \prime ( M ) } ) , Y ^ { \prime ( M ) } ) | } \\ & { \leq L i p ( G ) ( | h ( X ^ { ( M ) } ) ) - h ( X ^ { \prime ( M ) } ) | + | Y ^ { ( M ) } - Y ^ { \prime ( M ) } | } \\ & { \leq L i p ( G ) ( L i p ( h ) + 1 ) ( \| X - X ^ { \prime } \| _ { 1 } + | Y - Y ^ { \prime } | ) , } \end{array}