harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { \sigma , E S } } & { { } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } \frac { 1 } { 2 } v _ { i y } ^ { 2 } v _ { i \alpha } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } [ u _ { y } ^ { 2 } ( \lambda _ { x x } + 6 \lambda _ { y y } + u _ { x } ^ { 2 } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { { } = - \Delta _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) \pm \Lambda ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } + i \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } , } \\ { \Sigma _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \pm \frac { - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) / 2 } { \Lambda ( \mathbf { k } _ { | | } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] w ( E ) } & { = w ^ { \prime } ( E ) , } \\ { \ensuremath { \overline { { w } } } ( E ) } & { = \ensuremath { \overline { { w } } } ^ { \prime } ( E ) , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { [ c ] w ^ { \prime } ( S k ) } & { = 1 , } \\ { \ensuremath { \overline { { w } } } ^ { \prime } ( S k ) } & { = - 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { { \frac { \ \partial { \mathcal { L } } \ } { \partial x } } \approx { \frac { { \mathcal { L } } ( x + \varepsilon , \lambda ) - { \mathcal { L } } ( x , \lambda ) } { \varepsilon } } , } \\ { { \frac { \ \partial { \mathcal { L } } \ } { \partial \lambda } } \approx { \frac { { \mathcal { L } } ( x , \lambda + \varepsilon ) - { \mathcal { L } } ( x , \lambda ) } { \varepsilon } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) } & { = - D ( t ) ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) - x _ { 1 } ( t ) p ( s _ { 1 } ( t ) ) + x _ { 2 } ( t ) p ( s _ { 2 } ( t ) ) } \\ & { = - D ( t ) ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) - x _ { 1 } ( t ) ( p ( s _ { 1 } ( t ) ) - p ( s _ { 2 } ( t ) ) ) } \\ & { \quad - ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( t ) p ( s _ { 2 } ( t ) ) } \\ & { = - D ( t ) ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) - x _ { 1 } ( t ) p ^ { \prime } ( \xi ) ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) } \\ & { \quad - ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( t ) p ( s _ { 2 } ( t ) ) } \\ & { = - ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ) ( D ( t ) + x _ { 1 } ( t ) p ^ { \prime } ( \xi ) ) } \\ & { \quad + ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t - \tau ) \frac { x _ { 2 } ( t ) p ( s _ { 2 } ( t ) ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t - \tau ) } + C _ { 0 } p ( s _ { 2 } ( t ) ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \end{array}
\epsilon _ { i } = \frac { 1 } { 2 \pi \left( h h ^ { \dagger } \right) _ { i i } } \sum _ { j } \left( \mathrm { I m } \left[ \left( h h ^ { \dagger } \right) _ { i j } \right] ^ { 2 } \right) f \left( m _ { \nu _ { R _ { j } } } ^ { 2 } / m _ { \nu _ { R _ { i } } } ^ { 2 } \right) ,
\d A _ { m } ^ { \alpha } = { \frac { \varphi ( x ) } { u ^ { 2 } } } { \cal L } ^ { \alpha \beta } { \cal F } _ { m n } ^ { \beta } u ^ { n } , \qquad \d B _ { m n } = { \frac { \varphi ( x ) } { ( u ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { \cal F } _ { m } ^ { \alpha r } u _ { r } { \cal F } _ { n } ^ { \beta s } u _ { s } { \cal L } ^ { \alpha \beta } .
\epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( C B S ) = \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( Q Z 6 P + ) - \frac { \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( Q Z 6 P + ) - \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( T Z 3 P + ) } { 1 - \frac { N _ { b a s } ^ { Q Z } } { N _ { b a s } ^ { T Z } } } \; ,
\langle \mathcal { O } _ { 1 } ( z _ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ) \dots \mathcal { O } _ { n } ( z _ { n } , \bar { z } _ { n } ) \rangle _ { \mathbb { H } } ^ { \alpha \beta } = \langle \Psi ^ { ( \alpha \beta ) } ( \infty ) \, \mathcal { O } _ { 1 } ( z _ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ) \dots \mathcal { O } _ { n } ( z _ { n } , \bar { z } _ { n } ) \Psi ^ { ( \beta \alpha ) } ( 0 ) \rangle _ { \mathbb { H } } \, .
\stackrel { \wedge } { \Sigma } _ { ( 2 ) } ( p , m , \lambda , \Lambda _ { 0 } ) = \frac { i \lambda ^ { 2 } } { 3 8 4 \pi ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \frac y { \left[ y C \right] ^ { 3 / 2 } } F ( p ^ { 2 } , m ^ { 2 } , x , y , \Lambda _ { 0 } )
\begin{array} { r } { \mathrm { e x e c } ( p ) = \mathrm { e x e c } ( ( I _ { n } , i _ { n } , \delta _ { n } ) ) \circ \dots \circ \mathrm { e x e c } ( ( I _ { 1 } , i _ { 1 } , \delta _ { 1 } ) ) . } \end{array}
^ { 1 } S _ { 0 } \ ( 0 ^ { - + } ) , \quad ^ { 3 } P _ { 1 } \ ( 1 ^ { + + } ) , \quad ^ { 3 } P _ { 2 } \ ( 2 ^ { + + } ) \quad \textrm { w i t h } \quad I ^ { G } \ = \ 1 ^ { - } \ \textrm { o r } \ 0 ^ { + } .
N _ { 1 1 } = \left( \begin{array} { l } { { { \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 1 } } ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) _ { 0 } \; , \; N _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { l } { { { \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 1 } } \partial { T _ { 2 } } } } } } \end{array} \right) _ { 0 } \; , \; N _ { 2 2 } = \left( \begin{array} { l } { { { \frac { { \partial ^ { 2 } } V } { \partial { T _ { 2 } } ^ { 2 } } } } } \end{array} \right) _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \tilde { g } ( \phi ) a \mathbf { v } ) } & { \approx \frac { \tilde { g } ( \phi _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) a _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } v _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } - \tilde { g } ( \phi _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ) a _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } v _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } } { h _ { x } } } \\ & { \qquad + \frac { \tilde { g } ( \phi _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ) a _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } v _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } - \tilde { g } ( \phi _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ) a _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } v _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { y } } { h _ { y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } g ( k _ { x } , k _ { y } ) e ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } | z | ) } d k _ { x } d k _ { y } } \\ & { = g ( k _ { x 0 } , k _ { y 0 } ) k _ { z 0 } \frac { 2 \pi e ^ { \mathrm { i } k r } } { r \mathrm { i } } } \\ & { = - 2 \pi \mathrm { i } \; \frac { e ^ { \mathrm { i } k r } } { r } \; g ( k _ { x 0 } , k _ { y 0 } ) k _ { z 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } d \tau _ { 1 } } \\ & { \times \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } F _ { f } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { i i } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ; n ) ] \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 } ( \overline { { U } } _ { 0 } , \overline { { W } } _ { 0 } ) = S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) , Z ( b _ { 0 } , 1 ) ^ { * } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { V ( a _ { 2 } - b _ { 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ a _ 2 \geq ~ b _ 0 ~ ; } } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ a _ 2 < b _ 0 ~ } } \end{array} \right. } \\ { S _ { 1 } ( \overline { { U } } _ { 1 } , \overline { { W } } _ { 1 } ) = S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) ^ { * } , Z ( b _ { 0 } , 1 ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { V ( b _ { 2 } - a _ { 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ b _ 2 \geq ~ a _ 0 ~ ; } } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ b _ 2 < a _ 0 ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E = } & { { } \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } E - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } E + \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } D E } \\ { 0 = } & { { } - \partial _ { \sigma } D + \frac { \gamma } { 1 + \delta ^ { 2 } } \left[ - 2 D + \left( 1 + \frac { 2 } { \pi } \arctan ( u ) - \frac { 4 } { \pi } \frac { 1 } { u ^ { 2 } + 1 } D \right) | E | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ 2 ~ C ~ } } ( C B S ) = } & { { } \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ a ~ r ~ } } ( C B S ) + \Delta _ { n } ^ { 2 C } ( Q Z 6 P ) } \\ { \epsilon _ { n } ^ { G W + G 3 W 2 , \mathrm { ~ 2 ~ C ~ } } ( C B S ) = } & { { } \epsilon _ { n } ^ { G W , \mathrm { ~ 2 ~ C ~ } } ( C B S ) + \Sigma _ { n n } ^ { G 3 W 2 } ( Q Z 6 P ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | f ( y ^ { \prime } ) - \sum _ { y _ { 0 } \in Y _ { 0 } } f ( y _ { 0 } ) \psi _ { y _ { 0 } } ( y ^ { \prime } ) \big | } & { = \big | f ( y ^ { \prime } ) - \sum _ { y _ { 0 } \in Y _ { 0 } \ : \ y ^ { \prime } \in \delta _ { y _ { 0 } } ^ { - 1 } ( [ 0 , r _ { y _ { 0 } } ) ) } f ( y _ { 0 } ) \psi _ { y _ { 0 } } ( y ^ { \prime } ) \big | } \\ & { = \sum _ { y _ { 0 } \in Y _ { 0 } \ : \ y ^ { \prime } \in \delta _ { y _ { 0 } } ^ { - 1 } ( [ 0 , r _ { y _ { 0 } } ) ) } \left| f ( y ^ { \prime } ) - f ( y _ { 0 } ) \right| \psi _ { y _ { 0 } } ( y ^ { \prime } ) < \varepsilon } \end{array}
W ^ { T } \Lambda W = \left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda ^ { + } - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | R } & { - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | ^ { 1 / 2 } \tilde { S } } \\ { - \tilde { S } ^ { T } | \Lambda ^ { - } | ^ { 1 / 2 } R } & { I - \tilde { S } ^ { T } \tilde { S } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] - G ^ { T } G ,
\frac { d F _ { 1 } ( a ) } { d a } = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d x \frac 1 { ( x + a ) ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac 1 { ( x + a ) ^ { 2 } } = \frac 1 a
\Gamma ( K _ { 1 } \rightarrow K ^ { * + } \pi ^ { 0 } ) = 4 2 . M e V , \; \; \; \Gamma ( K _ { 1 } \rightarrow K ^ { * 0 } \pi ^ { + } ) = 2 \Gamma ( K _ { 1 } \rightarrow K ^ { * + } \pi ^ { 0 } ) , \; \; \; \Gamma _ { t o t } = 1 2 6 . M e V .
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } } & { { } = \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { h } \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { i j } ^ { ( l , k ) } \mathbf { W } _ { \mathrm { S N } } ^ { ( l ) } \mathbf { L N } ( \mathbf { p } _ { j } ^ { ( l ) } ) ~ , } \\ { \mathbf { p } _ { i } ^ { ( L ) } } & { { } = \mathbf { h } _ { x } ^ { \mathrm { L N } } \left( \mathbf { L N } ( \mathbf { \bigcirc } _ { l = 0 } ^ { L } ( \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } + \mathcal { F } _ { \mathrm { S N } } [ \mathbf { L N } ( \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } ) ] ) ) \right) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log L } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { b i n s } } } \Biggl [ n _ { i } \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { M C } } } w _ { 0 } ( T _ { j } ) w _ { 1 } ( R _ { j } | T _ { j } , \theta ) \mathbb { I } _ { i } ( R _ { j } ) \right) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { M C } } } w _ { 0 } ( T _ { j } ) w _ { 1 } ( R _ { j } | T _ { j } , \theta ) \mathbb { I } _ { i } ( R _ { j } ) \Biggr ] + \log p _ { 0 } ( \theta ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ \! \! \zeta ^ { l } } & { { } = - \sum _ { i } \frac { ( \mathrm { R e } \lambda _ { i } ^ { l } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { I m } \lambda _ { i } ^ { l } ) ^ { 2 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { i } ^ { l } } \frac { C _ { i i } ^ { l } } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { l } \vert ^ { 2 } } } \end{array}
\Delta \phi _ { n } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = ( k _ { z , n } ^ { + } - k _ { z , n } ^ { - } ) \ell _ { n } , \quad \Sigma { \phi } _ { n } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = ( k _ { z , n } ^ { + } + k _ { z , n } ^ { - } ) \ell _ { n } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } f ( w _ { T } ) - \mathbb { E } f ( w _ { 0 } ) } \\ & { \le \frac { T \gamma \epsilon } { 8 } - \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { t = 0 } ^ { q K - 1 } \mathbb { E } \| v _ { t } \| - \frac { 3 \gamma } { 8 } \sum _ { t = 0 } ^ { q K - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| + \frac { 3 \gamma } { 2 } \sum _ { t = 0 } ^ { q K - 1 } \mathbb { E } \| v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) \| } \\ & { \le \frac { T \gamma \epsilon } { 8 } - \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| v _ { q k + s } \| - \frac { 3 \gamma } { 8 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + s } ) \| + \frac { 3 \gamma } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \delta _ { q k + s } \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \frac { T \gamma \epsilon } { 8 } - \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| v _ { q k + s } \| - \frac { 3 \gamma } { 8 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + s } ) \| } \\ & { \quad + \frac { 3 q \gamma } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Bigg ( \frac { \Lambda } { \sqrt { B } } + \epsilon \sqrt { \frac { q } { B ^ { \prime } } } + \Big ( \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } + \frac { \Gamma } { \sqrt { B } } \Big ) \sum _ { u = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| \Bigg ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \frac { T \gamma \epsilon } { 4 } - \frac { 5 \gamma } { 1 6 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { q - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + s } ) \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textstyle 1 = g _ { \xi , \gamma } ^ { + } \bigl ( ( 1 + \theta _ { \gamma } ) e _ { \gamma } \bigr ) } & { \leq } & { ( 1 - \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ) ( 1 + \theta _ { \gamma } ) \mu _ { \gamma } + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ( 1 + \theta _ { \gamma } ) } \\ & { = } & { \mu _ { \gamma } + \mu _ { \gamma } \theta _ { \gamma } + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ( 1 + \theta _ { \gamma } - \mu _ { \gamma } - \mu _ { \gamma } \theta _ { \gamma } ) } \\ & { < } & { \mu _ { \gamma } + \mu _ { \gamma } \theta _ { \gamma } + 2 \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ( 1 - \mu _ { \gamma } - \mu _ { \gamma } \theta _ { \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) } & { { } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } - ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \end{array}
\partial _ { y } \langle \Sigma \rangle = ( \xi _ { 0 } - g \langle | \chi _ { 0 } | ^ { 2 } \rangle ) \delta ( y ) + \xi _ { \pi } \delta ( y - \pi R ) , \qquad \langle | \chi _ { 0 } | ^ { 2 } \rangle = { \frac { \xi _ { 0 } + \xi _ { \pi } } { g } } .
\begin{array} { r l } { ( \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) \alpha _ { 1 } ^ { n } + \bar { \rho } \alpha _ { 2 } ^ { n } } & { = 0 , } \\ { \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \alpha _ { 1 } ^ { n } + ( \lambda _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) \alpha _ { 2 } ^ { n } + R \alpha _ { 3 } ^ { n } } & { = 0 , } \\ { \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \alpha _ { 2 } ^ { n } + ( \kappa _ { 0 } i n + \bar { u } - \nu _ { 3 } ^ { n } ) \alpha _ { 3 } ^ { n } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { T } = \left( \partial _ { P _ { 1 } } T , \ldots , \partial _ { P _ { 3 N } } T , 0 , \ldots , 0 \right) , \qquad \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { U } = \left( 0 , \ldots , 0 , - \partial _ { X _ { 1 } } U , \ldots , - \partial _ { X _ { 3 N } } U \right) . } \end{array}
\operatorname { s g n } ( m _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } { \, 1 } & { { } } & { } & { { } m _ { i } \ge 0 , } \\ { \, - 1 } & { { } } & { } & { { } m _ { i } < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { I } _ { \infty } ^ { \gamma } ( k , \alpha ; \hbar ) = \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \tilde { \Theta } _ { \alpha _ { m } } ^ { \gamma } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { m } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) , } \end{array}
{ \mathrm { T r } } \left\{ \sigma \right\} - { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { N } \cdots \Pi _ { 1 } \ \sigma \ \Pi _ { 1 } \cdots \Pi _ { N } \right\} \leq 2 { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { i } \right) \sigma \right\} } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } } & { ( \vec { N } ; N ; \vec { p } ) = } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } P ( U _ { 1 } \leq p _ { I } , \dotsc , p _ { I } < U _ { i } \leq p _ { I I } , \dotsc , U _ { N } > p _ { I I } ) } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } P ( U _ { 1 } \leq p _ { I } , \dotsc , p _ { I } < U _ { i } \leq p _ { I I } , \dotsc , U _ { N } \leq 1 - p _ { I I } ) } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \left[ C ( p _ { I } , \dotsc , p _ { I I } , \dotsc , 1 - p _ { I I } ) - C ( p _ { I } , \dotsc , p _ { I } , \dotsc , 1 - p _ { I I } ) \right] } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \left[ p _ { I } \dotsm p _ { I I } \dotsm ( 1 - p _ { I I } ) - p _ { I } \dotsm p _ { I } \dotsm ( 1 - p _ { I I } ) \right] } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } p _ { I } \dotsm ( p _ { I I } - p _ { I } ) \dotsm ( 1 - p _ { I I } ) } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \underbrace { p _ { 1 } \dotsm p _ { 1 } } _ { N _ { 1 } } \cdot \underbrace { p _ { 2 } \dotsm p _ { 2 } } _ { N _ { 2 } } \cdot \underbrace { p _ { 3 } \dotsm p _ { 3 } } _ { N _ { 3 } } } \\ & { = \binom { N } { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \quad p _ { 1 } ^ { N _ { 1 } } \cdot p _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } \cdot p _ { 3 } ^ { N _ { 3 } } . } \end{array}
- \partial _ { q } W = \frac { 4 \pi \hbar } { T _ { B H } } \int _ { - \infty } d z \, r ^ { 2 } F \, \biggl [ \frac { \partial _ { q } F } { F } \, \langle T _ { \tau } ^ { \tau } + T _ { z } ^ { z } \rangle + 2 \frac { \partial _ { q } r } { r } \, \langle T _ { \theta } ^ { \theta } + T _ { \phi } ^ { \phi } \rangle \biggr ] + \cdots
\tilde { C } _ { [ \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( \alpha _ { 3 } ) } ^ { \epsilon } = i \epsilon \left[ \left( \beta _ { 1 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ^ { 2 } \right) C _ { [ \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( \alpha _ { 3 } ) } ^ { \epsilon } - 2 \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } C _ { [ \alpha _ { 1 } ] , [ \alpha _ { 2 } ] , ( \alpha _ { 3 } ) } ^ { - \epsilon } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } k _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) d \mu ( x ) d \mu ( y ) } & { \leqslant } & { \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } k _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) d \bar { \lambda } ( x ) d \bar { \lambda } ( y ) } \\ & { \leqslant } & { \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } k _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) d \lambda ( x ) d \lambda ( y ) , } \end{array}
\hat { n } ^ { \prime } \cdot \sigma ^ { \prime } \cdot \hat { n } ^ { \prime } = - \gamma ^ { \prime } \kappa ^ { \prime } \hat { n } ^ { \prime } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \; z = \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
V ^ { ' } ( t _ { s } ) \frac { \partial t _ { s } } { \partial t _ { c } } + e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { t _ { s } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) = \alpha \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) \Bigg ] ~ ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = \Sigma _ { r a d } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \Sigma _ { v i b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = \mathbf { \Sigma } _ { p h } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \mathbf { \Sigma } _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int { \frac { d x } { x { \sqrt { - x ^ { 2 } + x + 2 } } } } } & { { } = \int { \frac { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } t ^ { 2 } - 2 t - 2 { \sqrt { 2 } } } { ( t ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } } { { \frac { 1 - 2 { \sqrt { 2 } } t } { t ^ { 2 } + 1 } } { \frac { - { \sqrt { 2 } } t ^ { 2 } + t + { \sqrt { 2 } } } { t ^ { 2 } + 1 } } } } d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { f } - w } & { \simeq \pm \sqrt { w ^ { 2 } - 2 S \left[ ( \mu B + u ^ { 2 } ) \left( \frac { B _ { f } } { B } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } ) \right] } - w } \\ & { \simeq - \frac { S \left[ ( \mu B + u ^ { 2 } ) \left( B _ { f } / B - 1 \right) + Z e ( \phi _ { \theta f } - \phi _ { \theta } ) / m \right] } { w } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { i } } & { = \frac { 1 } { N } \frac { \sum _ { j \in V } ( 1 - w ) e _ { i j } F _ { l } } { w F _ { i } + ( 1 - w ) \sum _ { l \in V } e _ { i l } F _ { l } } , } \\ { \mathcal { B } _ { i } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in V } \frac { ( 1 - w ) e _ { j i } F _ { i } } { w F _ { j } + ( 1 - w ) \sum _ { l \in V } e _ { j l } F _ { l } } . } \end{array}
\dot { A } ^ { 2 } = - k - A ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } } - \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } \, T ^ { 2 } } { ( d - 1 ) ^ { 2 } \, \, L _ { p } ^ { 2 ( 3 - d ) } } \right) .
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { T S P } } } & { { } = } & { A \sum _ { i = 1 } ^ { N } \biggl ( 1 - \sum _ { v = 1 } ^ { N } x _ { v , i } \biggr ) ^ { 2 } + A \sum _ { v = 1 } ^ { N } \biggl ( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { v , i } \biggr ) ^ { 2 } + A \sum _ { ( u v ) \notin E } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { u , i } x _ { v , i + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big | } & { { } \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ^ { 2 } \big ( t \, \mathtt { M } _ { \theta _ { 0 } } ( r ) \big ) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { V P _ { 3 } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { s } \sum _ { t k l } | s _ { t } ^ { ( 3 ) } \alpha _ { t k } ^ { ( 3 ) } \beta _ { t l } ^ { ( 3 ) } | . } \end{array}
F _ { \mathbf { g } } ^ { + } \, \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \mathbf { g } } ) : = \ker \left( \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \mathbf { g } } ) \hookrightarrow \mathrm { a d } ( T _ { \mathbf { g } } ) \to \mathrm { H o m } ( F ^ { + } T _ { \mathbf { g } } , F ^ { - } T _ { \mathbf { g } } ) \right) = \langle v _ { + } \otimes v _ { - } ^ { * } , v _ { + } \otimes v _ { + } ^ { * } - v _ { - } \otimes v _ { - } ^ { * } \rangle
\begin{array} { r l } { R a = \frac { ( U L ) ^ { 2 } } { \nu \kappa } } & { = \frac { \alpha \Delta \Omega _ { c } ^ { 2 } \frac { ( R _ { i } + R _ { o } ) } { 2 } L ^ { 3 } } { \nu \kappa } , } \\ { R o ^ { - 1 } = \frac { 2 \Omega _ { c } L } { U } } & { = 2 ( \frac { \alpha \Delta ( R _ { i } + R _ { o } ) } { 2 L } ) ^ { - 1 / 2 } , } \\ { P r } & { = \frac { \nu } { \kappa } , } \end{array}