harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\| { \otimes _ { m = 1 } ^ { M } \mu _ { k _ { m } } ( \mathbb { P } _ { m } ) - \otimes _ { m = 1 } ^ { M } \mu _ { k _ { m } } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { m , n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k } } } & { \le \prod _ { m \in [ M ] } \left( a _ { k _ { m } } + \left\| { \mu _ { k _ { m } } \left( \mathbb { P } _ { m } \right) - \mu _ { k _ { m } } \left( \tilde { \mathbb { P } } _ { m , n ^ { \prime } } \right) } \right\| _ { \mathcal { H } _ { k _ { m } } } \right) - \prod _ { m \in [ M ] } a _ { k _ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { l } ^ { ( 1 ) } ( R ) } & { { } \stackrel { R > > R _ { 6 } } { \longrightarrow } k ^ { 1 / 2 } R \, \, j _ { l } ( k R ) \stackrel { R \to \infty } { \longrightarrow } \frac { \sin ( k R - l \pi / 2 ) } { k ^ { 1 / 2 } } , } \\ { F _ { l } ^ { ( 2 ) } ( R ) } & { { } \stackrel { R > > R _ { 6 } } { \longrightarrow } k ^ { 1 / 2 } R \, \, n _ { l } ( k R ) \stackrel { R \to \infty } { \longrightarrow } - \frac { \cos ( k R - l \pi / 2 ) } { k ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 4 } ^ { q } = { S _ { 1 4 } ^ { t h } } = S _ { 2 3 } ^ { q } = { S _ { 2 3 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) , } \\ { S _ { 1 2 } ^ { q } = { S _ { 1 2 } ^ { t h } } = S _ { 3 4 } ^ { q } = { S _ { 3 4 } ^ { t h } } = \frac { ( 1 - R ) } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } , } \\ { S _ { 1 3 } ^ { q } = { S _ { 1 3 } ^ { s h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) , } \\ { { S _ { 2 4 } ^ { q } = S _ { 2 4 } ^ { t h } = S _ { 2 4 } ^ { s h } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \pi } & { = } & { \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { q ( \phi _ { m - 1 } | \phi ^ { c a n d } ) p ( \phi ^ { c a n d } | Y ^ { T } ) } { q ( \phi ^ { c a n d } | \phi _ { m - 1 } ) p ( \phi _ { m - 1 } | Y ^ { T } ) } \right\} . } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } X _ { t } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } f _ { w , 1 } ( Z _ { t } ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } F _ { w , 1 } ( Z _ { t } ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } g _ { \delta } ( Z _ { t } ) = \infty \quad \mathrm { ~ \mathbb ~ P _ z ~ - a . s . }
\begin{array} { r l r } { \int _ { u _ { b } } ^ { \infty } p v ^ { p - 1 } \exp ( - p u ^ { \beta } / 4 ) d v } & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } p v ^ { p - 1 } \exp ( - p u ^ { \beta } / 4 ) d v } \\ & { = _ { 1 } } & { \frac { 2 p ^ { 1 - p / \beta } 2 ^ { p / \beta } } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } w ^ { 2 p / \beta - 1 } e ^ { - w ^ { 2 } / 2 } d w } \\ & { = } & { \frac { 2 \sqrt { 2 \pi } p ^ { 1 - p / \beta } 2 ^ { p / \beta } } { 2 \beta } \mathbb { E } | y | ^ { 2 p / \beta - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } - \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } - r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime \prime } \right) \psi _ { m , \beta } d r } \\ { = } & { { } K _ { m , \alpha } \delta _ { \alpha \beta } } \end{array}
\mathbb { P } \left( \Upsilon _ { k } ( \ell + 1 ) | \Upsilon _ { k } ( \ell ) \right) = \operatorname* { m i n } \left( 1 , S ^ { d - 1 } \frac { \pi ( \Upsilon _ { k } ( \ell + 1 ) ) } { \pi ( \Upsilon _ { k } ( \ell ) ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { v _ { k , k - 2 i } ^ { r e v } } & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) } v _ { 1 } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } v _ { n } \mathrm { . . . } v _ { n - i + 1 } v _ { k - 2 i } \mathrm { . . . } v _ { 2 } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + ( k - 2 ) } v _ { 1 } v _ { 2 } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } v _ { n } \mathrm { . . . } v _ { n - i + 1 } v _ { k - 2 i } \mathrm { . . . } v _ { 3 } } \\ & { = \mathrm { . . . } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + ( k - 2 ) + \mathrm { . . . } + ( k - ( k - 2 i ) ) } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } v _ { n } \mathrm { . . . } v _ { n - i + 1 } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + ( k - 2 ) + \mathrm { . . . } + ( 2 i ) + ( 2 i - 1 ) } q \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } v _ { - ( n - i + 1 ) } v _ { - ( n - i + 2 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } v _ { n } \mathrm { . . . } v _ { n - i + 2 } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + \mathrm { . . . } + ( 2 i - 2 ) } q ^ { 2 } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } v _ { n - i + 2 } v _ { - ( n - i + 1 ) } v _ { - ( n - i + 2 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } v _ { n } \mathrm { . . . } v _ { n - i + 3 } } \\ & { = \mathrm { . . . } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + \mathrm { . . . } + ( 2 i - i ) } q ^ { i } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } \mathrm { . . . } v _ { n } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - n } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + \mathrm { . . . } + ( i ) + ( i - 1 ) } q ^ { i } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } \mathrm { . . . } v _ { n } v _ { - n } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - ( n - 1 ) } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + \mathrm { . . . } + ( i - 2 ) } q ^ { i } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } \mathrm { . . . } v _ { n } v _ { - n } v _ { - ( n - 1 ) } v _ { - ( n - i + 1 ) } \mathrm { . . . } v _ { - ( n - 2 ) } } \\ & { = \mathrm { . . . } } \\ & { = ( - q ) ^ { ( k - 1 ) + \mathrm { . . . } + ( 1 ) } q ^ { i } \cdot v _ { 1 } \mathrm { . . . } v _ { k - 2 i } v _ { n - i + 1 } \mathrm { . . . } v _ { n } v _ { - n } \mathrm { . . . } v _ { - ( n - i + 1 ) } } \\ & { = ( - q ) ^ { \binom { k } { 2 } } q ^ { i } \cdot v _ { k , k - 2 i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle x ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) \rangle } & { { } = } & { \sum _ { k , k ^ { \prime } \in K } { \widehat x } ( k ^ { \prime } , k | c _ { 1 } ) { \widehat f } ( k , k ^ { \prime } | c _ { 2 } ) \; , } \end{array}
H _ { 0 } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c c } { { \phantom { \bigg [ } O } } \\ { { T } } \end{array} \right) = { \frac { 3 \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \, \left( \begin{array} { c c } { { \phantom { \bigg [ } C _ { F } } } & { { - 1 } } \\ { { \displaystyle - { \frac { C _ { F } } { 2 N _ { c } } } ~ } } & { { \displaystyle ~ { \frac { 1 } { 2 N _ { c } } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \phantom { \bigg [ } O } } \\ { { T } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { j } = } & { \sum m _ { j } \mathbf { \dot { q } } _ { j } + \frac { \Gamma _ { j } \rho } { 2 } \left( \mathbf { q } _ { j } \times \mathbf { e } _ { 3 } \right) } \\ { \mathcal { H } = } & { \sum \frac { 1 } { 2 m _ { j } } \left\| \mathbf { p } _ { j } - \frac { \Gamma _ { j } \rho } { 2 } \left( \mathbf { q } _ { j } \times \mathbf { e } _ { 3 } \right) \right\| ^ { 2 } + ( - \rho W ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { T } b } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \hdots } & { 1 } \\ { \frac { - M } { 2 } } & { \frac { - M } { 2 } + 1 } & { \hdots } & { \frac { M } { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { \times \left[ \begin{array} { l } { \underbrace { k 2 \pi - \phi \; \ldots \; k 2 \pi - \phi } _ { M / 2 } \; \underbrace { \phi \ldots \phi } _ { M / 2 + 1 } } \end{array} \right] ^ { T } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { \phi + k M \pi } \\ { ( 2 \phi - k 2 \pi ) \sum _ { 1 } ^ { M / 2 } m } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { \phi + k M \pi } \\ { ( \phi - k \pi ) \frac { M ( M + 2 ) } { 4 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { a ( \zeta _ { p } , \zeta _ { q } ; \mu ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { h } } \zeta _ { p } ^ { j } a ( \phi _ { j } , \phi _ { i } ; \mu ) \zeta _ { q } ^ { i } , \quad m ( \zeta _ { p } , \zeta _ { q } ; \mu ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { h } } \zeta _ { p } ^ { j } m ( \phi _ { j } , \phi _ { i } ; \mu ) \zeta _ { q } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } } & { \displaystyle \sum _ { j \in P } y _ { j } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { - , } \\ & { \displaystyle \sum _ { e \in E } \displaystyle \sum _ { \ell \in Q } \omega _ { e } w _ { e \ell } L _ { e } \left[ \displaystyle \sum _ { j \in P } \displaystyle \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \lambda _ { j e } ^ { s } \xi _ { j e ( \ell + 1 ) } ^ { s } - \displaystyle \sum _ { j \in P } \displaystyle \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \lambda _ { j e } ^ { s } \xi _ { j e \ell } ^ { s } \right] \geq \gamma \displaystyle \sum _ { e \in E } \omega _ { e } L _ { e } , } \\ & { z _ { j e } \leq y _ { j } , \; \; \forall j \in P , \; \; \forall e \in E ; } \\ & { \lambda _ { j e } ^ { s } \in [ 0 , 1 ] , \forall j \in P , \forall e \in E , s = 0 , 1 , } \\ & { X _ { j } \in \mathbb { R } ^ { d } , \forall j \in P , } \\ & { z _ { j e } \in \{ 0 , 1 \} , \forall j \in P , \forall e \in E , } \\ & { \xi _ { j e \ell } ^ { s } \in \{ 0 , 1 \} , \forall j \in P , \forall e \in E , \forall \ell \in Q \cup \{ 2 p \} , s = 0 , 1 , } \\ & { w _ { e \ell } \in \{ 0 , 1 \} , \forall e \in E , \forall \ell \in Q , } \\ & { y _ { j } \in \{ 0 , 1 \} , \forall j \in P . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( t ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \dag \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( 0 ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \dag \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } ^ { * } e ^ { - \gamma _ { \bar { k } } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { \bar { k } } ^ { \dag \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( 0 ) \hat { f } _ { \bar { k } ^ { \prime } } ^ { \dag \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { \bar { k } } ^ { * } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \end{array}
{ \frac { L } { r ^ { 2 } } } { \frac { d } { d \theta } } \left( { \frac { L } { m r ^ { 2 } } } { \frac { d r } { d \theta } } \right) = - { \frac { 2 L ^ { 2 } } { m r ^ { 5 } } } \left( { \frac { d r } { d \theta } } \right) ^ { 2 } + { \frac { L ^ { 2 } } { m r ^ { 4 } } } { \frac { d ^ { 2 } r } { d \theta ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = c } } & { } & { = \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { \ln ( a / \delta ) } \frac { k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , c \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) } _ { \mathrm { R e g i o n ~ I } } + \underbrace { \int _ { \ln ( b / \delta _ { \nu } ) } ^ { \infty } k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , c \delta _ { \nu } ) \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) } _ { \mathrm { R e g i o n ~ I I } } } \\ & { } & { + \underbrace { \int _ { \ln ( a / \delta ) } ^ { \ln ( b / \delta _ { \nu } ) } \frac { k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , c \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) } _ { \mathrm { R e g i o n ~ I I I } } } \\ & { } & { = A ( R e _ { \tau } ) + C + B ( R e _ { \tau } ) \left[ \ln R e _ { \tau } + \ln \left( \frac { b } { a } \right) \right] , } \end{array}
\chi = \left( \frac { C ( 2 - q ) } { 4 \omega u _ { 0 } m ^ { 4 } } \right) ^ { - \frac { 2 } { q + 2 } } \left( \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } \right) ^ { - \frac { 2 q } { q + 2 } }
\mathbb { T } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ P ~ } } \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( \ell ) } } \\ { a _ { \nu } ^ { ( \ell ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( \ell + 1 ) } } \\ { a _ { \nu } ^ { ( \ell + 1 ) } } \end{array} \right)
\langle j m _ { 1 } \mid j m _ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { f } q ^ { - M } \sum _ { p e r m ( a _ { 1 } . . . a _ { k } ) } q ^ { 2 \chi ( a _ { 1 } . . . a _ { k } ) } \delta _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } = \delta _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \omega \cup \gamma _ { D } } \varphi \, d [ \hat { \sigma } _ { n } : \hat { p } ] + \int _ { \omega } \varphi \, \hat { \sigma } _ { n } : ( \hat { e } + D ^ { 2 } w _ { 3 } ) \, d x ^ { \prime } } \\ & { + 2 \int _ { \omega } \hat { \sigma } _ { n } : \big ( \nabla ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \odot \nabla \varphi \big ) \, d x ^ { \prime } + \int _ { \omega } ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \, \hat { \sigma } _ { n } : \nabla ^ { 2 } \varphi \, d x ^ { \prime } = 0 . } \end{array}
\hat { W } _ { \pm \mp } ^ { \mathrm { e q } } ( s ) = \frac { 1 } { \mu s ^ { 2 } } \frac { [ 1 - \hat { \psi } _ { + } ( s ) ] [ 1 - \hat { \psi } _ { - } ( s ) ] } { 1 - \hat { \psi } ( s ) } ,
g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , 1 } ( \theta , n ) = \left[ - \kappa + ( - 1 ) ^ { n } - \frac { n } { 2 } \right] \sin \left( \frac { n } { 2 } \theta \right) + \frac { n } { 2 } \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 2 \right) \theta \right)
\begin{array} { r l r } & { \ell _ { \textrm { c } } = u _ { \textrm { c } } = h _ { \textrm { g } } , \quad v _ { \textrm { c } } = \frac { h _ { \textrm { g } } G } { \mu } , \quad p _ { \textrm { c } } = G , } & \\ & { \quad t _ { \textrm { c } } = \frac { \mu } { G _ { \textrm { r } } } , \quad Q _ { \textrm { c } } = \frac { G _ { \textrm { r } } h _ { \textrm { g } } ^ { 3 } } { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi \left( r \right) \propto r ^ { k } \quad \mathrm { a s } \; r \rightarrow 0 \quad , \quad \chi \left( r \right) \propto \sin \left( r + \delta \right) \quad \mathrm { a s } \; r \rightarrow \infty } \end{array}
\langle { { \bf { u } } _ { \mathrm { { B } } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle / 2 = \langle { u _ { \mathrm { { B } } \ell } ^ { \prime } u _ { \mathrm { { B } } \ell } ^ { \prime } } \rangle / 2 = \int Q ( k ; \tau , \tau ) \ d { \bf { k } } ,
\left[ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \varphi ^ { 2 } ( t ) + \frac { \lambda } { 2 N } \langle \Phi ^ { \dagger } \Phi \rangle \right] \; f _ { k } ( t ) = 0 \; .
\pi _ { 1 } ( T , t _ { 0 } ) \approx \pi _ { 1 } ( S ^ { 1 } , x _ { 0 } ) \times \pi _ { 1 } ( S ^ { 1 } , y _ { 0 } ) \cong \mathbf { Z } \times \mathbf { Z } = \mathbf { Z } ^ { 2 } .
x _ { F , r h } \simeq \ln \left[ 0 . 0 1 5 \, \frac { g \, g _ { * } ^ { 1 / 2 } ( T _ { R H } ) } { g _ { * } ( T _ { F , r h } ) } \frac { M _ { P } \, T _ { R H } ^ { 2 } } { m _ { \chi } } \, ( \tilde { a } \, x _ { F , r h } ^ { 5 / 2 } + 5 \tilde { b } x _ { F , r h } ^ { 3 / 2 } / 4 ) \right] \, .
\widehat { \mathcal { I } } = \frac { \mathcal { I } } { \sum _ { i , j } ^ { n _ { x } , n _ { y } } \mathcal { I } _ { i , j } } \quad \mathrm { a n d } \quad \widehat { \mathcal { I } } _ { \mathrm { r e f } } = \frac { \mathcal { I } _ { \mathrm { r e f } } } { \sum _ { i , j } ^ { n _ { x } , n _ { y } } \mathcal { I } _ { \mathrm { r e f } , i , j } } .
\begin{array} { r } { P _ { 3 } = P _ { 4 } = ( 0 , 0 ) \, , \quad \overline { { \Gamma _ { 0 } } } = \{ ( 0 , 0 ) \} \, ; \qquad \, P _ { 2 } = P _ { 1 } = ( h , 0 ) \, , \quad \overline { { \Gamma _ { 2 } } } = \{ ( h , 0 ) \} \, . } \end{array}
\prod _ { i = 3 } ^ { N - 1 } ( \int d z _ { i } \oint d z _ { i } ^ { \prime } ) \langle { \cal O } ^ { 1 } ( z _ { 1 } ) { \cal O } ^ { 2 } ( z _ { 2 } ) b ( z _ { 3 } ^ { \prime } ) { \cal O } ^ { 3 } ( z _ { 3 } ) \cdots b ( z _ { N - 1 } ^ { \prime } ) { \cal O } ^ { N - 1 } ( z _ { n - 1 } ) { \cal O } ^ { N } ( z _ { N } ) \rangle ,
A _ { j k } = { \frac { \biggl | \begin{array} { l l } { { A _ { j m } } } & { { A _ { m k } } } \\ { { C _ { j m } } } & { { C _ { m k } } } \end{array} \biggr | } { G _ { j m } - G _ { m k } } } = b \, A _ { j m } A _ { m k } + { \frac { \biggl | \begin{array} { l l } { { A _ { j m } } } & { { A _ { m k } } } \\ { { A \sp \prime _ { j m } } } & { { A \sp \prime _ { m k } } } \end{array} \biggr | } { G _ { j m } - G _ { m k } } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { A , M } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \mathcal { N } _ { A } ^ { ( m ) } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \mathcal { N } _ { A } ^ { ( m j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j - 1 ) ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ } \\ { \mathcal { N } _ { B , M } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { { } \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \mathcal { N } _ { B } ^ { m ) } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \mathcal { N } _ { B } ^ { ( i j ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( j - 1 ) ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t , \sigma ) | \sigma | ^ { r } d \sigma = C _ { r } ( \nu t ) ^ { r / 2 } , \quad C _ { r } = \frac { 4 ^ { r } } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \sigma | ^ { r } e ^ { - | \sigma | ^ { 2 } } d \sigma .
Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } ) = \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - 1 } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N - 1 } i _ { l } } e ^ { - \langle ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - 1 } , 0 ) , \Theta \rangle } X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , t _ { N - 1 } - i _ { N - 1 } , { t _ { N } } } .
( A _ { n } + A _ { n + 1 } - \sum _ { i = 3 } ^ { k } \bar { g } _ { i } \beta _ { n + 1 } ^ { i } ) \, R _ { n + 1 } = n A _ { n } - R _ { n + 1 } R _ { n } \sum _ { i = 3 } ^ { k } \bar { g } _ { i } \gamma _ { n } ^ { i - 1 } \ .
{ \frac { \beta - \beta _ { c } } { \beta _ { c } } } \; = \; { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { 2 } \left( \ln { \frac { 4 } { \delta } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) + O \left( \delta ^ { 4 } \right) \; ,
{ \frac { d } { d x } } \left( \int _ { f _ { 1 } ( x ) } ^ { f _ { 2 } ( x ) } h ( x ) g ( t ) \, d t \right) = { \frac { d } { d x } } \left( h ( x ) \int _ { f _ { 1 } ( x ) } ^ { f _ { 2 } ( x ) } g ( t ) \, d t \right) = h ^ { \prime } ( x ) \int _ { f _ { 1 } ( x ) } ^ { f _ { 2 } ( x ) } g ( t ) \, d t + h ( x ) { \frac { d } { d x } } \left( \int _ { f _ { 1 } ( x ) } ^ { f _ { 2 } ( x ) } g ( t ) \, d t \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { e } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( n _ { e } \frac { 1 } { B } \mathbf { b } \times \nabla \phi \right) + \underbrace { \nabla \cdot { \frac { 1 } { e } \mathbf { j } _ { s h } } } _ { \texttt { s h e a t h \_ c l o s u r e } } } \\ { p _ { e } } & { = \underbrace { e n _ { e } T _ { e } } _ { \texttt { i s o t h e r m a l } } } \\ { \frac { \partial \Omega } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \left( \Omega \frac { 1 } { B } \mathbf { b } \times \nabla \phi \right) + \nabla \left( p _ { e } \nabla \times \frac { \mathbf { b } } { B } \right) + \underbrace { \nabla \cdot \mathbf { j } _ { s h } } _ { \texttt { s h e a t h \_ c l o s u r e } } } \\ & { \nabla \cdot \left( \frac { \overline { { m _ { i } n } } } { B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \phi \right) = \Omega } \end{array}
{ \cal M } _ { k } ^ { ( J ) } = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \, \oint _ { | s | = m _ { \tau } ^ { 2 } } { \frac { \mathrm { d } s } { s } } \, \bigg [ 1 - \bigg ( { \frac { s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { k + 1 } \bigg ] \, D ^ { ( J ) } ( - s ) \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] \approx \frac { 1 } { N } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } [ x ^ { 4 } ] \approx \frac { 1 } { N } x _ { \mathrm { m a x } } ^ { 4 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { S _ { \infty } ^ { \mathrm { e i g } } ( \omega ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } S _ { n } ^ { \mathrm { e i g } } ( \omega ) , } \\ { S _ { n } ^ { \mathrm { e i g } } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell , m = 1 } ^ { n } \mathrm { c o v } ( \lambda _ { \ell } , \lambda _ { m } ) z ^ { \ell - m } } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 2 0 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 2 0 / \gamma \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 \mathrm { ~ m } \leq x < 1 / 2 \mathrm { ~ m } } \\ { ( 1 . 2 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 2 / \gamma \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 / 2 \mathrm { ~ m } \leq x \leq 1 \mathrm { ~ m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { t o t a l } } } & { = \frac { m } { 2 } \sum _ { i } \left( \omega _ { i } ^ { 2 } \langle r _ { i } ^ { 2 } \rangle + \int \frac { d ^ { 3 } r d ^ { 3 } v } { N } f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) v _ { i } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { m } { 2 } \sum _ { i } \left( \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } + \int \frac { d ^ { 3 } r d ^ { 3 } v } { N } f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } , t ) v _ { i } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { - i H _ { \mathrm { T B } } t } \| } & { { } = \left\Vert \sum _ { n } e ^ { - i E _ { n } t } \left( P _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } ^ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } - 1 } \frac { t ^ { j } } { j ! } N _ { n _ { i } } ^ { j } \right) \right\Vert } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { \dot { \rho } _ { 0 0 } } & { \dot { \rho } _ { 0 1 } } & { \dot { \rho } _ { 0 2 } } & { \dot { \rho } _ { 0 3 } } \\ { \dot { \rho } _ { 1 0 } } & { \dot { \rho } _ { 1 1 } } & { \dot { \rho } _ { 1 2 } } & { \dot { \rho } _ { 1 3 } } \\ { \dot { \rho } _ { 2 0 } } & { \dot { \rho } _ { 2 1 } } & { \dot { \rho } _ { 2 2 } } & { \dot { \rho } _ { 2 3 } } \\ { \dot { \rho } _ { 3 0 } } & { \dot { \rho } _ { 3 1 } } & { \dot { \rho } _ { 3 2 } } & { \dot { \rho } _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { b _ { 0 1 } \rho _ { 0 1 } } & { b _ { 0 2 } \rho _ { 0 2 } } & { b _ { 0 3 } \rho _ { 0 3 } } \\ { b _ { 1 0 } \rho _ { 1 0 } } & { 0 } & { b _ { 1 2 } \rho _ { 1 2 } } & { b _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } } \\ { b _ { 2 0 } \rho _ { 2 0 } } & { b _ { 2 1 } \rho _ { 2 1 } } & { 0 } & { b _ { 2 3 } \rho _ { 2 3 } } \\ { b _ { 3 0 } \rho _ { 3 0 } } & { b _ { 3 1 } \rho _ { 3 1 } } & { b _ { 3 2 } \rho _ { 3 2 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\xi _ { k } : = \left( \xi _ { k } ^ { i } \right) _ { 1 \leqslant i \leqslant N } { \stackrel { \mathrm { s e l e c t i o n } } { \longrightarrow } } { \widehat { \xi } } _ { k } : = \left( { \widehat { \xi } } _ { k } ^ { i } \right) _ { 1 \leqslant i \leqslant N } { \stackrel { \mathrm { m u t a t i o n } } { \longrightarrow } } \xi _ { k + 1 } : = \left( \xi _ { k + 1 } ^ { i } \right) _ { 1 \leqslant i \leqslant N }