harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { \prime } } & { = \zeta + \frac { 2 } { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } ( ( \varepsilon v - \zeta ) \cdot \omega ) \omega = R _ { \omega } \zeta + 2 \varepsilon ( v \cdot \omega ) \omega + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \\ { v ^ { \prime } } & { = v - \frac { 2 \varepsilon } { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } ( ( \varepsilon v - \zeta ) \cdot \omega ) \omega = v + 2 \varepsilon ( \zeta \cdot \omega ) \omega + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mu } F ( \mu ) ( x ) = D _ { x } \operatorname* { l i m } _ { h \downarrow 0 } \frac { 1 } { h } \big ( F \left( \mu \! + \! h ( \delta _ { x } \! - \! \mu ) \right) \! - \! F ( \mu ) \big ) . } \end{array}
\frac { \Gamma ( \tau \rightarrow \mu \gamma ) } { \Gamma ( \mu \rightarrow e \gamma ) } = \left| \frac { W _ { \tau \tau } ^ { e } } { W _ { \tau e } ^ { e } } \right| ^ { 2 } \mathrm { B r } ( \tau \rightarrow \mu \nu \bar { \nu } ) .
\begin{array} { r l l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \phi _ { \operatorname* { m a x } } } \cosh R _ { \operatorname* { m a x } } ( \phi ) d \phi } & { = } & { \displaystyle \cosh r \left[ \frac { \pi ( 1 - \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } ) ) } { 2 } + \arctan \left( \cosh x \tan \phi _ { \operatorname* { m a x } } \right) \right] + \medskip } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \phi = 0 , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \frac { \partial \phi } { \partial \boldsymbol { \mathrm { n } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { [ ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x _ { p } } ) \times \boldsymbol { \mathrm { n } } ] \cdot \boldsymbol { \mathrm { e _ { z } } } } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ a ~ i ~ r ~ f ~ o ~ i ~ l ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { a c } ^ { \star } ( d ) = ( p ( i j ) ) ^ { \mathrm { T } } , ~ ~ i , j \in \{ 1 , \cdots , d \} } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } , ~ ~ p ( i = j ) = 0 ~ ~ \& ~ ~ p ( i \neq j ) \neq 0 . } \end{array}
\left< \delta \mathcal { H } \left( t \right) \right> = \int _ { 0 } ^ { \infty } { d \omega \frac { \rho _ { n } ^ { 2 } \hbar \omega \cos \left( \omega \tau \right) } { 2 \operatorname { t a n h } \left( \hbar \omega / 2 k _ { B } T \right) } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } { d \omega \exp \left( - \omega \tau \right) \alpha _ { \mathrm { m } } } + 4 \pi \left( \alpha _ { \mathrm { p } } - \tilde { \alpha } \right) \right]
a ( k , s ) = \frac { - i \sigma g ( s ) } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } x e ^ { - i ( k \cdot x + \sigma \kappa \tau ) } \varepsilon _ { s } \cdot [ \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { \tau } } a ( x , \tau ) ]
\begin{array} { r l } { E _ { a , 1 + \frac { b } { a } , \frac { b } { a } } } & { \left( - \lambda t ^ { a + b } \right) = 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } ( - \lambda ) ^ { i } t ^ { i \left( a + b \right) } \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \frac { \Gamma \left( a \left( j + j \frac { b } { a } + \frac { b } { a } \right) + 1 \right) } { \Gamma \left( a \left( j + j \frac { b } { a } + \frac { b } { a } + 1 \right) + 1 \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { k } ( t ) } & { = } & { \frac { i d _ { 1 k } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { k 1 } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } - } \\ & { } & { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { m = 2 } ^ { N ^ { \prime } } d _ { k m } d _ { 1 m } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { t ^ { \prime } } E ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \downarrow } } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { z } ( \phi ) \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } ( n ) } & { { } = } & { 1 - \frac { 4 5 } { 4 } \mathcal { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \pi x ^ { 4 / 3 } \mathrm { G i } ^ { \prime } ( x ^ { 2 / 3 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } ( n ) } & { { } = } & { \frac { 4 5 } { 4 } \mathcal { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \mathrm { K } _ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } x \right) \right] . } \end{array}
\nabla _ { f _ { 1 } \mathbf { X } _ { 1 } + f _ { 2 } \mathbf { X } _ { 2 } } \mathbf { Y } = f _ { 1 } \nabla _ { \mathbf { X } _ { 1 } } \mathbf { Y } + f _ { 2 } \nabla _ { \mathbf { X } _ { 2 } } \mathbf { Y }
\begin{array} { r l } { u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { L A T } } } & { = u _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) n _ { i } L _ { i } } \\ & { = u _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) u _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } \, . } \end{array}
{ \bar { u } } { \frac { \partial { \bar { u } } } { \partial x } } + { \bar { v } } { \frac { \partial { \bar { u } } } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { d { \bar { P } } } { d x } } + { \frac { \partial } { \partial y } } \left[ ( \nu { \frac { \partial { \bar { u } } } { \partial y } } - { \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } ) \right] .
\begin{array} { r l } { E _ { \Delta _ { 1 } } = } & { { } \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } + { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 \mathrm { { 1 ^ { \prime } \bar { 3 } } } } } - \mathrm { { 1 } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { - 2 { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } + { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } } \right) { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { { } \left( { - { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } + 1 + 2 { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 1 } } \bar { 2 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } - 2 { D _ { 3 1 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D O S } } } \, = \, \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D O S } , e } } - \sum _ { i } \frac { \alpha _ { i } \, t _ { i } } { C _ { \mathrm { D O S } , i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { 4 \delta } ( A , ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) C ) \stackrel { \mathrm { d e f . } } { = } | \{ ( a _ { 1 } ^ { \prime } , a _ { 2 } ^ { \prime } , c _ { 1 } , c _ { 2 } ) : | ( a _ { 1 } ^ { \prime } + c _ { 1 } ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) - ( a _ { 2 } ^ { \prime } + c _ { 2 } ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) | \leq 4 \delta \} | } \\ & { \gtrsim \sum _ { a \in A } | \{ ( a _ { 1 } ^ { \prime } , a _ { 2 } ^ { \prime } , c _ { 1 } , c _ { 2 } ) : | ( a _ { 1 } ^ { \prime } + c _ { 1 } ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) - a | , | ( a _ { 2 } ^ { \prime } + c _ { 2 } ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) - a | \leq 2 \delta \} | } \\ & { = \sum _ { a \in A } | \{ ( a ^ { \prime } , c ) : | a - ( a ^ { \prime } + c ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) | \leq 2 \delta \} | ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { | A | } \Big ( \sum _ { a \in A } | \{ ( a ^ { \prime } , c ) : | a - ( a ^ { \prime } + c ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) ) | \leq 2 \delta \} | \Big ) ^ { 2 } \stackrel { \approx } | A | | C | ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 4 \, 9 9 9 \, 9 5 7 \, 6 5 } 4
\mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } \left( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) ,
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { \sigma } \frac { \dddot { x } } { x } + \frac { 1 } { \sigma } \frac { \dot { x } \ddot { x } } { x ^ { 2 } } - \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \ddot { x } } { x } + \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \dot { x } ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sigma } x \dot { x } + x ^ { 2 } + \frac { \beta } { \sigma } \frac { \ddot { x } } { x } + \beta \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \dot { x } } { x } - \beta ( \rho - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \cdot ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } } & { = \lambda \langle { \boldsymbol v } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } } \\ & { \qquad + \lambda \langle X ^ { T } { \boldsymbol u } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } } \\ & { \qquad + \lambda ^ { 2 } \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \langle { \boldsymbol v } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } } \end{array}
k _ { z } ^ { \pm } = \left( \Sigma \phi _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \Sigma \phi _ { j } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \pm \Delta \phi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \right) / ( 2 \ell ) = \left( k _ { z i } ^ { \pm } \ell _ { i } + k _ { z j } ^ { \pm } \ell _ { j } \right) / ( 2 \ell ) .
{ D _ { q q } ^ { - 1 } } _ { \mu \rho } ^ { \prime } D _ { q q } ^ { \rho \nu } = D _ { q q } ^ { \nu \rho } { D _ { q q } ^ { - 1 } } _ { \rho \mu } ^ { \prime } = \mathrm { P T } _ { \mu } ^ { \nu } \ .
\begin{array} { r l } & { \dot { \vec { p } } ^ { + } = \operatorname { R e } \left\{ \left( \dot { \vec { p } } + i \sqrt { \kappa } \vec { p } \right) \exp \left( i \sqrt { \kappa } \Delta t \right) \right\} , } \\ & { \mathbf { p } ^ { + } = \frac { 1 } { \sqrt { \kappa } } \operatorname { I m } \left\{ \left( \dot { \vec { p } } + i \sqrt { \kappa } \vec { p } \right) \exp \left( i \sqrt { \kappa } \Delta t \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda + \rho ) ^ { \flat } = \lambda ^ { \prime } + \rho ^ { \prime } } & { = \left( n + k - \frac { 1 } { 2 } , \ldots , k + \frac { 3 } { 2 } , - k - \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \lambda ^ { \prime } } & { = \left( \frac { 2 k + 1 } { 2 } , \ldots , \frac { 2 k + 1 } { 2 } , - \frac { 2 k + 1 } { 2 } \right) = ( 2 k + 1 ) \omega _ { n - 1 } ^ { \prime } . } \end{array}
J _ { B \mu } ^ { \prime } ~ = ~ F _ { \mu \nu } \partial ^ { \nu } \frac { 1 } { \partial _ { i } \partial ^ { i } } { \overline { { { \cal P } } } } + m ^ { 2 } ( A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \rho ) \frac { 1 } { \partial _ { i } \partial ^ { i } } { \overline { { { \cal P } } } } + B \partial _ { \mu } \frac { 1 } { \partial _ { i } \partial ^ { i } } { \overline { { { \cal P } } } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } S _ { t } } & { = r _ { t } S _ { t } \mathrm { d } t + \sqrt { V _ { t } } S _ { t } ( \rho \mathrm { d } W _ { t } ^ { 1 } + \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \mathrm { d } W _ { t } ^ { 2 } ) } \\ { \mathrm { d } V _ { t } } & { = k ( \theta - V _ { t } ) \mathrm { d } t + \sigma \sqrt { V _ { t } } \mathrm { d } W _ { t } ^ { 1 } , } \end{array}
\frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } s _ { i } ( c ) = k , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. \rightarrow \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } a ^ { 2 } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } \pm X , \Delta y ^ { \prime } \pm Y , \Delta z ^ { \prime } ) \rangle _ { L } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } \pm X ) } } \\ & { } & { \times e ^ { - i k _ { y } ( \Delta y ^ { \prime } \pm Y ) } e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } P ( \Delta x ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) P ( \Delta y ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) P ( \Delta X \mid z ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \times P ( \Delta Y \mid z ^ { \prime } ) d \Delta x ^ { \prime } d \Delta y ^ { \prime } d X d Y d \mathbf { k } . } \end{array}
{ \textrm { h a v e r c o s i n } } ( \theta ) : = { \frac { { \textrm { v e r c o s i n } } ( \theta ) } { 2 } } = \cos ^ { 2 } \! \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) = { \frac { 1 + \cos ( \theta ) } { 2 } }
\mathbb { P } _ { u } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) = \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) ( 1 + o ( n ^ { 3 \kappa - 1 / 2 } { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } ) ) \ \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ \ \mathbb { P } _ { v } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } ^ { + } \right) = \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) ( 1 + o ( n ^ { 3 \kappa - 1 / 2 } { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } ) ) .
\Delta _ { m } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l r } { \Delta _ { \mathrm { I } } + \frac { \Delta _ { \mathrm { F } } - \Delta _ { \mathrm { I } } } { \tau } t } & { 0 < t < \tau } \\ { \Delta _ { \mathrm { F } } } & { t > \tau } \end{array} \right. \, ,
\begin{array} { r l r } { H _ { A } ^ { e m b } } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \dag ! \dag ! \sum _ { q , q ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \dag ! \dag ! \left[ \mathcal { B } ^ { \dagger } h ^ { B B } \mathcal { B } \right] _ { q q ^ { \prime } } b _ { q } ^ { \dagger } b _ { q ^ { \prime } } \dag } & { + \sum _ { i , q = 1 } ^ { n _ { A } } \left( \left[ h ^ { A B } \mathcal { B } \right] _ { i q } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { q } + \mathrm { H . c . } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { \in C ( [ 0 , \infty ) ; B _ { 3 , p } ^ { 0 } ( \mathbb { T } ^ { 3 } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) } \\ { u } & { \in H _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , r } ( 0 , \infty ; H ^ { 1 - 2 \theta , \zeta } ( \mathbb { T } ^ { 3 } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ r , \zeta \in ( 2 , \infty ) , } \\ { u } & { \in C _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } ( ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } ^ { 3 } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ \theta _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \mathcal H ( n \Delta t ) } \left| \left( \mathcal H _ { \mathrm { r } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } + \mathcal H _ { \mathrm { b } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } + \mathcal H _ { \mathrm { p } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { n } \right) - \left( \mathcal H _ { \mathrm { r } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 1 } + \mathcal H _ { \mathrm { b } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 1 } + \mathcal H _ { \mathrm { p } , \mathrm { s i m p l e } } ^ { 1 } \right) \right| \, , \quad n = 1 , 1 1 , 2 1 , \hdots \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ) } & { = } & { \frac { r _ { k } } { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \overbrace { \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } t e ^ { - j z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - j } d t } ^ { ( D ) } , } \end{array}
\vec { F } = m \vec { a } \quad \textrm { o r } \quad \vec { \mathrm { F } } = m \vec { \mathrm { a } } \quad \textrm { o r } \quad \mathbf { F } = m \mathbf { a } \quad \textrm { o r } \quad \vec { \mathsf { F } } = m \vec { \mathsf { a } }
\hat { p } _ { 2 } ^ { \mu } = \left( m _ { 2 } , 0 ; \vec { 0 } , 0 \right) \quad o r \quad \hat { p } _ { 2 } ^ { \mu } = \left( \left| p _ { 2 } \right| , 0 ; \vec { 0 } , p _ { 2 } \right) ,
\sigma _ { h } ( s ) = \frac { 1 } { 1 6 s } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; \int _ { \Delta E } ^ { \omega } \frac { d k ^ { 0 } \; k ^ { 0 } } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \int _ { y _ { a } } ^ { y _ { b } } d y \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \; \overline { { { \sum } } } | { \cal M } _ { B \! R } | ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \| \tilde { \mathcal { M } } ^ { j } ( A _ { 1 } ) Z - \tilde { \mathcal { M } } ^ { j } ( A _ { 2 } ) Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \leq \frac { C } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ( 1 + \Big ( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } \Big ) ^ { 5 } \Big ) \| Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \left\lVert A _ { 1 } - A _ { 2 } \right\rVert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\gamma : = - { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } n ^ { a } \Delta l _ { a } - { \bar { m } } ^ { a } \Delta m _ { a } { \big ) } = - { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } n ^ { a } n ^ { b } \nabla _ { b } l _ { a } - { \bar { m } } ^ { a } n ^ { b } \nabla _ { b } m _ { a } { \big ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { ( a , 1 ) } ^ { ( 3 ) } } & { = s _ { a - 2 } \otimes s _ { 3 } + ( s _ { a - 1 } + s _ { a } + s _ { ( a - 2 , 1 ) } ) \otimes s _ { 2 1 } + ( s _ { a + 1 } + s _ { ( a - 1 , 1 ) } ) \otimes s _ { 1 1 1 } , \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { E } _ { ( a , 1 ) } ^ { ( 4 ) } } & { = s _ { a - 2 } \otimes s _ { 3 1 } + ( s _ { a - 1 } + s _ { a } + s _ { ( a - 2 , 1 ) } ) \otimes s _ { 2 1 1 } + ( s _ { a + 1 } + s _ { ( a - 1 , 1 ) } ) \otimes s _ { 1 1 1 1 } } \\ & { \qquad + s _ { a - 1 } \otimes s _ { 2 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = N + 1 - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { + \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { l = k - N + 1 } ^ { k } \binom { k } { l } \left[ B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) \right. } \\ & { \left. - B _ { ( N - 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) \right] } \end{array}
d s _ { 4 } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { \sqrt { - { \frac { 1 } { 6 } } H ^ { 0 } \, C _ { A B C } H ^ { A } H ^ { B } H ^ { C } } } \, d t ^ { 2 } + \sqrt { - { \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } } H _ { 0 } \, C _ { A B C } H ^ { A } H ^ { B } H ^ { C } } \, d \vec { x } ^ { 2 } \; .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \epsilon } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { 3 ! } } \left( { \frac { \epsilon } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } \left\{ { \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \epsilon - \mu ) } } } - \theta ( - \epsilon ) \right\} = { \frac { 1 } { 4 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } { \frac { T ^ { 2 } } { 4 ! } } + { \frac { 7 } { 8 } } { \frac { T ^ { 4 } } { 6 ! } } ,
\begin{array} { r l } { \| u _ { n } \| _ { W _ { p } ^ { 2 , 1 } } } & { \le C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } + \frac { T | \bar { K } | } { A } + \| \bar { K } \mathrm { e } ^ { - 2 v _ { n } } \| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { p } } + \| f \| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { p } } + \left\| \frac 1 A \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 v _ { n } } d \mu _ { \bar { g } } \right\| _ { L _ { t } ^ { p } L _ { x } ^ { p } } \right) } \\ & { \le C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , p } ( M , \bar { g } ) } + \frac { T | \bar { K } | } { A } + | \bar { K } | \mathrm { e } ^ { 2 R } + T \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } + \frac { T } A \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \mathrm { e } ^ { 2 R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p ( x ) - p ( x _ { \mathrm { r e f } } ) = \int _ { x _ { \mathrm { r e f } } } ^ { x } { - \rho \left( u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } \right) } } \\ & { + \mu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) - \rho \left( \frac { \partial \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { \partial x } + \frac { \partial \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } { \partial y } \right) d x } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { T } ^ { - 1 } T = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } \tilde { T } } \left( \begin{array} { l l l l l l } { \operatorname* { d e t } \tilde { T } } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 1 } , \hat { e } _ { \perp } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ) } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } T } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } _ { 1 } , \hat { e } _ { 3 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ) } & { \operatorname* { d e t } T } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { \dots } & { : } & { : } \\ { 0 } & { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { \perp } , \dots , \hat { e } _ { { N } - 2 } , \hat { e } _ { 1 } ) } & { \dots } & { 0 } & { \dots } & { \operatorname* { d e t } T } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ^ { \pi } ( \mu ) = } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \mu } \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ( \cdot | s _ { 1 } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } \log \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ( - A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) ] } \\ { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ^ { \pi } ( \mu ) = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \mathbb { E } _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sim d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } } \mathbb { E } _ { ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \sim \pi _ { 2 } ( \cdot | s _ { t } , \eta _ { t } ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } \log \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { y } } \sum _ { k _ { R } \geq A } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { y } , k _ { R } } ^ { \infty , \infty } } \\ & { \leq C \sum _ { k _ { y } } \sum _ { k _ { R } \geq A } \frac { k _ { y } ^ { - \theta + \eta } } { | \log | x - y | | + k _ { y } } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 1 + \theta + \eta } \leq C | \log | x - y | | ^ { 2 \eta } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol A _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol { 2 M } } | } ^ { T } \overline { { \boldsymbol A _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol { 2 M } } | } } } \, \boldsymbol v = \boldsymbol e _ { \boldsymbol 0 } , \quad \overline { { \boldsymbol A _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol { 2 M } } | } } } \, \boldsymbol v = \boldsymbol w . } \end{array}