harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 0 } = \sum _ { ( b , d ) \in D } \sqrt { 2 } \pi ^ { 1 / 4 } \psi ( b , d ) [ \Phi ( d ) - \Phi ( b ) ] , } \\ & { \alpha _ { 1 } = \sum _ { ( b , d ) \in D } 2 \pi ^ { 1 / 4 } \psi ( b , d ) [ \phi ( b ) - \phi ( d ) ] , } \\ & { \alpha _ { n + 1 } = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { n + 1 } } \left[ \sum _ { ( b , d ) \in D } \psi ( b , d ) ( h _ { n } ( b ) - h _ { n } ( d ) ) \right] + \frac { n } { \sqrt { n ( n + 1 ) } } \alpha _ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \exists n \in \mathbb { Z } ^ { + } , \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } - 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } < \mathrm { S c } < \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } + 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } = { \bf e } _ { 1 } \cos \varphi + { \bf e } _ { 2 } \sin \varphi , \quad { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } = - { \bf e } _ { 1 } \sin \varphi + { \bf e } _ { 2 } \cos \varphi , \quad { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } = { \bf e } _ { 3 } ; } \\ { { \bf e } _ { 1 } = { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } \cos \varphi - { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \sin \varphi , \quad { \bf e } _ { 2 } = { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } \sin \varphi + { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } \cos \varphi ; } \\ { \dot { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } = \dot { \varphi } { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } , \quad \dot { \bf e } _ { 2 } ^ { \prime } = - \dot { \varphi } { \bf e } _ { 1 } ^ { \prime } , \quad \dot { \bf e } _ { 3 } ^ { \prime } = 0 . } \end{array}
C _ { f 4 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { c _ { 1 } } & { c _ { 1 } } & { c _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } & { c _ { 1 } } & { - c _ { 1 } } & { - c _ { 2 } } \\ { c _ { 1 } } & { - c _ { 1 } } & { - c _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { c _ { 1 } } & { - c _ { 2 } } & { c _ { 2 } } & { - c _ { 1 } } \end{array} \right] , \quad S _ { f 4 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } \end{array} \right] ,
\hat { S } = \int d ^ { D } x \sqrt { - \hat { G } } e ^ { - \hat { \phi } } \left( R _ { \hat { G } } + \left( \hat { \partial } \hat { \phi } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } \hat { H } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } \hat { H } ^ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } \right) ,
\begin{array} { r l } { g ( x , y ) } & { : = 1 + | x - y | ^ { 2 } , } \\ { g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) } & { = \big ( 1 + 2 ^ { 2 j \rho } | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - y ) ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } \big ) \big ( 1 + 2 ^ { j \rho } | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - y ) ^ { \prime } | ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P } _ { A } ( \omega ) } & { { } = } & { \epsilon _ { 0 } \omega ^ { 2 } { \boldsymbol { \chi } } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) \mu _ { 0 } \left( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) + \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = D _ { 0 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k \mathrm { ~ d ~ } \omega } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } ( D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } - 3 \omega ^ { 2 } ) } { ( D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } } S ( k , \omega ) \right) , } \\ { V _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k \mathrm { ~ d ~ } \omega } { ( 2 \pi ^ { 2 } ) } \frac { \omega } { k } \frac { k ^ { 2 } } { D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } + \omega ^ { 2 } } S ( k , \omega ) . } \end{array}
+ 2 \arctan \left( \frac { \sqrt { q _ { m } } \beta ^ { 1 / 4 } + \sqrt { 2 } r } { \sqrt { q _ { m } } \beta ^ { 1 / 4 } } \right) - 2 \arctan \left( \frac { \sqrt { q _ { m } } \beta ^ { 1 / 4 } - \sqrt { 2 } r } { \sqrt { q _ { m } } \beta ^ { 1 / 4 } } \right) \biggr ] - \frac { r ^ { 3 } } { 2 G _ { N } l ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ t ~ } } } & { { } = \frac { S _ { E } S _ { r } } { \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } T _ { s c e } ^ { 5 / 2 } } \Big [ \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { J _ { \parallel B } } { 2 - J _ { \parallel B } ^ { 2 } } ( 2 - \bar { \mu } ) ( 2 \bar { v } _ { G \parallel } - J _ { \parallel B } ) \Big ] e ^ { - \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { \bigg ( \frac { - b } { \beta } ( e ^ { \beta t } - e ^ { \beta t _ { e n d } } ) \bigg ) } d t } & { { } \lesssim \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { \bigg ( \frac { - b e ^ { \beta t _ { e n d } } } { \beta } ( 1 + \beta ( t - t _ { e n d } ) + \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } ( t - t _ { e n d } ) ^ { 2 } - 1 ) \bigg ) } d t } \end{array}
\left( { \frac { \dot { \hat { a } _ { 0 } } } { \hat { a } _ { 0 } } } + { \frac { \dot { \hat { c } } } { \hat { c } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 8 \pi \hat { G } _ { 4 } } { 3 } } \hat { \varrho } + { \frac { \hat { c } ^ { 2 } } { 3 } } \hat { \Lambda } _ { \mathrm { e f f } } + { \frac { \hat { \cal C } \hat { c } ^ { 2 } } { \hat { a } _ { 0 } ^ { 4 } } } - { \frac { \hat { k } \hat { c } ^ { 2 } } { \hat { a } _ { 0 } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 \Delta h _ { g } } { d } } & { { } \leq } & { \frac { 1 } { 1 0 } \frac { 1 . 2 2 \lambda } { d } } \\ { \Delta h _ { g } } & { { } \leq } & { \frac { \lambda } { 1 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R \left( \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) \right) } & { = \left( \begin{array} { r r r } { a } & { b } & { c } \\ { - a } & { - b } & { - c } \\ { e } & { f } & { g } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { r r r } { a y + b n + c r } & { a y + b n + c r } & { 0 } \\ { - a y - b n - c r } & { - a y - b n - c r } & { 0 } \\ { e y + f n + g r } & { e y + f n + g r } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta A _ { i } ( x ) } & { { } = - \frac { f } { g } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } x ^ { \prime } \ \tilde { G } _ { i j } ( x - x ^ { \prime } ) \left[ \Delta u _ { j } ( x ^ { \prime } ) + \partial _ { j } \Delta P ( x ^ { \prime } ) \right] \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } } & { \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) \| _ { H } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } } \\ & { \quad + C \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } d r } \\ & { \le C \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta } & { \triangleq \frac { \eta } { F } \mathbb { P } ( \mathrm { S I R } _ { 0 } > \theta ) \log ( 1 + \theta ) } \\ & { = \frac { \eta } { F } \mathbb { E } [ \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ] \log ( 1 + \theta ) } \\ & { = \frac { \eta } { F } \exp { \left( - \frac { C \eta } { F } \right) } \log ( 1 + \theta ) , } \end{array}
S _ { m } [ f ( x ) ] ( p , x ) \equiv \phi _ { p x } \star \left( \prod _ { k = 1 } ^ { m } { \mathrm { ~ i ~ } \ln \, R _ { 0 } \, \psi _ { p _ { k } } \star } \right) \mathrm { ~ i ~ } \ln \, R _ { 0 } \, f ( x ) ,
\nabla _ { x _ { t } } \log { p _ { t } ( x _ { t } | E _ { y } ) } = \frac { D _ { \theta , \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - \hat { x } _ { t } } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } + ( I - V V ^ { T } ) \frac { - \alpha } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { \hat { x } _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 }
1 - x _ { \mathrm { { F e } } } ^ { \mathrm { { m e t a l } } } - x _ { \mathrm { { S i } } } ^ { \mathrm { { m e t a l } } } - x _ { \mathrm { { O } } } ^ { \mathrm { { m e t a l } } } - x _ { \mathrm { { H } } } ^ { \mathrm { { m e t a l } } } = 0
\nabla ^ { 2 } E _ { h } ( \mathbf { r } _ { L } , t ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } E _ { h } ( \mathbf { r } _ { L } , t ) } { \partial t ^ { 2 } } = \mu _ { 0 } \frac { d ^ { 2 } P _ { n l } ( t ) } { d t ^ { 2 } } ,
H _ { \nu } ^ { \mathrm { m a t } } = \frac { 1 } { 2 E } \left( M ^ { \dagger } M + 2 \sqrt { 2 } \, E G _ { F } \, \mathrm { d i a g } \left( N _ { e } - \frac { 1 } { 2 } N _ { n } , - \frac { 1 } { 2 } N _ { n } , - \frac { 1 } { 2 } N _ { n } \right) \right) \, ,
\begin{array} { r } { u _ { k _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) - u _ { k _ { 1 } } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ^ { \prime \prime } ( r ) = } \\ { \frac { d } { d r } \left[ u _ { k _ { 1 } } ^ { \prime } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) - u _ { k _ { 2 } } ^ { \prime } ( r ) u _ { k _ { 1 } } ( r ) \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { R } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 - b _ { 0 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s } e ^ { - M ^ { 2 } s } \right) , \nonumber
{ \mathcal { P } } ^ { 2 } \, D _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } = \hbar ^ { 2 } j ( j + 1 ) D _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \alpha , \beta , \gamma ) ^ { * } \quad { \mathrm { w i t h } } \quad { \mathcal { P } } ^ { 2 } = { \mathcal { P } } _ { x } ^ { 2 } + { \mathcal { P } } _ { y } ^ { 2 } + { \mathcal { P } } _ { z } ^ { 2 } ,
p _ { i } \leq 1 + \sigma ( p _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } p _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } \dots p _ { i - 1 } ^ { \alpha _ { i - 1 } } ) = 1 + \sigma ( p _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } ) \sigma ( p _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } ) \dots \sigma ( p _ { i - 1 } ^ { \alpha _ { i - 1 } } ) = 1 + \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { \frac { p _ { j } ^ { \alpha _ { j } + 1 } - 1 } { p _ { j } - 1 } } ,
\begin{array} { l l } { f _ { 2 3 } = } & { { m _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - { x _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) \right) - } \\ & { 2 { m _ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 8 } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) { y _ { 3 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { { } = - 2 \sum _ { j } \left( \frac { { P } ^ { * } } { \rho _ { i } } \right) V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \frac { \nu } { \rho _ { i } } \textbf { v } _ { i j } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + \textbf { g } _ { i } } \\ { { P } ^ { * } } & { { } = { p } ^ { * } + { \Pi } ^ { * } , } \end{array} \right.
T = p \sum _ { k } \frac { k p ( k ) } { \langle k \rangle } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { n } T ^ { k - n - 1 } ( 1 - T ) ^ { n } \prod _ { i = 0 } ^ { n } [ 1 - f ( \alpha , b , i ) ] .
\left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { i + 1 } - \omega _ { i } = L _ { i + 1 } + L _ { i } , } \\ { \omega _ { 1 } = L _ { 1 } , } \\ { \omega _ { i } , L _ { i } > 0 , \quad \forall ~ i . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \{ u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } \} } & { = \frac { 3 2 6 4 6 0 7 8 } { 9 6 6 8 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 4 } - \frac { 6 0 6 8 2 6 8 9 } { 1 5 4 6 9 6 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 4 } - \frac { 2 6 1 4 2 6 6 9 } { 9 6 6 8 5 } u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 4 } - \frac { 1 1 2 7 9 5 2 } { 1 5 8 5 } u _ { 4 } u _ { 3 } + - \frac { 2 0 9 9 7 3 6 } { 9 6 6 8 5 } u _ { 4 } u _ { 5 } , } \\ { \{ u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 4 } \} } & { = - \frac { 5 3 1 8 7 8 4 } { 3 9 7 8 3 5 } u _ { 2 } ^ { 3 } - \frac { 5 3 1 8 7 8 4 } { 3 9 7 8 3 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } - \frac { 1 2 0 7 8 5 5 8 } { 3 9 7 8 3 5 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 1 } + \frac { 2 4 4 } { 2 5 1 } u _ { 1 } u _ { 3 } + \frac { 1 0 9 5 7 4 9 1 } { 3 9 7 8 3 5 } u _ { 3 } u _ { 2 } + \frac { 5 9 2 9 2 } { 2 5 1 } u _ { 4 } ^ { 2 } - \frac { 2 4 4 } { 2 5 1 } u _ { 5 } u _ { 1 } } \\ & { - \frac { 4 6 8 2 7 } { 3 9 7 8 3 5 } u _ { 5 } u _ { 2 } , } \\ { \{ u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 5 } \} } & { = \frac { 1 6 1 6 6 7 9 } { 1 5 8 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 4 } + \frac { 4 9 9 3 5 7 7 1 } { 5 0 7 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 4 } - \frac { 1 7 6 9 3 5 5 9 } { 3 1 7 0 } u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 4 } - \frac { 3 9 0 0 0 9 6 } { 1 5 8 5 } u _ { 4 } u _ { 3 } + \frac { 1 1 2 7 9 5 2 } { 1 5 8 5 } u _ { 4 } u _ { 5 } , } \\ { \{ u _ { 1 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } \} } & { = \frac { 5 7 0 4 6 5 3 9 5 4 5 4 4 8 3 9 } { 3 4 6 4 7 1 6 6 5 8 9 6 9 6 } u _ { 2 } ^ { 4 } + \frac { 5 8 3 3 9 3 4 1 5 5 4 0 6 6 1 } { 2 2 2 0 0 9 6 4 3 9 6 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 1 } + \frac { 3 3 7 0 8 4 4 6 0 0 7 6 2 2 2 9 } { 8 8 8 0 3 8 5 7 5 8 4 0 } u _ { 4 } ^ { 2 } u _ { 2 } - \frac { 4 6 3 1 3 0 9 8 0 5 6 8 4 6 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 3 5 3 4 5 7 7 5 8 5 9 8 5 7 } { 8 7 9 7 1 3 2 1 4 1 9 1 5 0 } u _ { 5 } ^ { 2 } - \frac { 3 8 4 6 2 9 5 0 5 5 0 0 2 6 1 0 7 } { 1 7 5 9 4 2 6 4 2 8 3 8 3 0 0 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 2 } + \frac { 4 0 0 9 8 7 2 7 9 5 3 4 5 9 4 2 3 } { 1 1 2 6 0 3 2 9 1 4 1 6 5 1 2 } u _ { 2 } ^ { 3 } u _ { 1 } + \frac { 9 9 6 2 2 8 8 7 7 0 8 5 9 7 3 } { 5 4 1 3 6 1 9 7 7 9 6 4 0 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 4 2 2 5 4 9 7 8 1 9 7 3 8 3 } { 1 4 4 2 1 5 2 8 1 0 1 5 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 3 0 9 7 2 1 8 8 9 6 1 3 7 1 7 } { 4 3 9 8 5 6 6 0 7 0 9 5 7 5 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 5 } + \frac { 1 3 3 7 8 0 3 3 0 6 7 5 2 5 0 1 } { 4 6 1 4 8 8 8 9 9 2 4 8 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 1 6 4 0 7 1 6 0 6 3 8 8 3 1 } { 1 4 0 7 5 4 1 1 4 2 7 0 6 4 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 5 } } \\ & { + \frac { 1 9 8 1 8 4 8 1 4 5 7 4 3 9 } { 7 2 1 0 7 6 4 0 5 0 7 5 } u _ { 3 } u _ { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } } & { ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } d \sigma d r } \\ { \leq } & { \: \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \tau _ { n } } ^ { \tau } \int _ { \Sigma _ { \tau } } K ( ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] ) \, r ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { \: + \int _ { \tau _ { n } } ^ { \tau } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } K ( r | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } ) \, \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } d \sigma d r } \\ & { \: + C \int _ { \tau _ { n } } ^ { \tau } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } ( \tau _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] + \tau _ { n } \mathcal { E } _ { 0 } [ K \widehat { \phi } ] ) \, r ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { \: + C \int _ { \tau _ { n } } ^ { \tau } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } \tau _ { n } ^ { - 1 + \frac { \nu _ { m } } { 2 } } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } + \tau _ { n } ^ { 1 - \frac { \nu _ { m } } { 2 } } r ^ { 1 - \delta } | L K \widehat { \psi } | ^ { 2 } \, \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
f _ { q \bar { q } } ( x _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ \ell ~ } _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ 0 ~ } , \mathrm { \boldmath ~ q ~ } _ { R } ^ { \prime } ) = f _ { q \bar { q } } ( x _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ \ell ~ } _ { \pm } , \mathrm { \boldmath ~ q ~ } _ { R } , \mathrm { \boldmath ~ 0 ~ } ) = 0 .
\left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } - i \alpha \right) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right] \psi ( r , \theta ) = 0 .
\begin{array} { r l } { 2 \pi \mathrm { i \, } \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) + 2 \pi \mathrm { i \, } \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } & { { } + \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\eta _ { \mu \nu } = \left( { \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right)
{ \begin{array} { r l } { f ( x , t ) } & { = \cos ( k _ { 1 } x - \omega _ { 1 } t ) + \cos ( k _ { 2 } x - \omega _ { 2 } t ) } \\ & { = 2 \cos \left( { \frac { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) x - ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) t } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { ( k _ { 2 } + k _ { 1 } ) x - ( \omega _ { 2 } + \omega _ { 1 } ) t } { 2 } } \right) } \\ & { = 2 f _ { 1 } ( x , t ) f _ { 2 } ( x , t ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left( 1 - \frac { h _ { 2 } } { \sigma } \right) ( [ u _ { n } ] _ { s , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } + \| u _ { n } \| _ { V , \mathcal { H } } ^ { h _ { 1 } } ) } & { \leq c _ { 5 } ( 1 + \| u _ { n } \| ) } \\ { \left( 1 - \frac { h _ { 2 } } { \sigma } \right) \| u _ { n } \| ^ { h _ { 1 } } } & { \leq c _ { 5 } ( 1 + \| u _ { n } \| ) . } \end{array}
\mathcal { D B } ^ { ( j ) } = \left\{ \left( P _ { i } , \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } , \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } \right) \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \subset \mathsf { D } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \times \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times r _ { j } } \times \mathbb { R } ^ { r _ { j } \times r _ { j } } .
E _ { \alpha } = ( - 1 ) ^ { \alpha _ { 1 } } \sigma _ { \alpha } ( 0 ) \sum _ { j } \prod _ { k \neq j } \frac { \sigma _ { \alpha } ( z _ { j k } ) } { \sigma _ { 0 } ( z _ { j k } ) } \left[ \frac { l } { n } \sum _ { i \neq j } \frac { \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } ( z _ { j i } ) } { \sigma _ { \alpha } ( z _ { j i } ) } - \partial _ { j } \right] , \alpha \equiv ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \neq ( 0 , 0 ) \equiv ( n , n ) ,
\mathrm { P u r i t y } = { \frac { w _ { \mathrm { s t d } } \times n [ \mathrm { H } ] _ { \mathrm { s t d } } \times M W _ { \mathrm { s p l } } } { w _ { \mathrm { s p l } } \times M W _ { \mathrm { s t d } } \times n [ \mathrm { H } ] _ { \mathrm { s p l } } } } \times P
\begin{array} { r l } { \langle j ^ { \prime } ( u _ { \gamma } ) + S ^ { * } \lambda _ { \gamma } , v - u _ { \gamma } \rangle _ { \mathcal { U } ^ { * } , \mathcal { U } } } & { \ge 0 , } \\ { \gamma g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) g _ { \varepsilon } ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) } & { = \lambda _ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { M } _ { y m d h } = \bar { \mathbf { P } } _ { y m d h } ^ { \mathrm { g } } - { \mathbf { P } } _ { y m d h } ^ { \mathrm { l } } , } \\ & { \mathbf { P } _ { y m d h } ^ { \mathrm { l } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { z } } } { P } _ { z y m d h } ^ { \mathrm { l } } , } \\ & { \bar { \mathbf { P } } _ { y m d h } ^ { \mathrm { g } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { s } } } \bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { s } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { w } } } \bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { w } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { s } } } \bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ^ { \star } - u ^ { t _ { k _ { \ell } } } \| _ { 2 } } & { < \epsilon , } \\ { \| \Lambda ^ { t _ { k _ { \ell } } } - \Lambda ^ { t _ { k _ { \ell } } - 1 } \| _ { 2 } } & { < \beta _ { 1 } \epsilon , } \\ { \| \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \| _ { 2 } } & { < \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \epsilon } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { E } _ { 0 } \frac { \epsilon } { 2 } \left( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } - B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \right) e ^ { \mathrm { i } \omega t } - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n + 2 } \mathcal { U } _ { n + 4 , m } } \\ & { - B _ { n + 2 } \mathcal { U } _ { n , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n + 2 , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n + 2 , m - 2 } \big ) \Big ) e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + B _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n - 2 } \mathcal { U } _ { n , m } - B _ { n - 2 } \mathcal { U } _ { n - 4 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n - 2 , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n - 2 , m - 2 } \big ) \Big ) e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } } \\ & { + A _ { m } \Big ( \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m + 2 } - B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m + 2 } + A _ { m + 2 } \mathcal { U } _ { n , m + 4 } - B _ { m + 2 } \mathcal { U } _ { n , m } \big ) \Big ) e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + B _ { m } \Big ( \mathcal { U } _ { n , m - 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m - 2 } - B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m - 2 } } \\ & { + A _ { m - 2 } \mathcal { U } _ { n , m } - B _ { m - 2 } \mathcal { U } _ { n , m - 4 } \big ) \Big ) e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + \left( C _ { n } + C _ { m } \right) \Big ( \mathcal { U } _ { n , m } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } - B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \big ) \Big ) \bigg ) \left( e ^ { \mathrm { i } ( \omega + \Omega ) t } + e ^ { \mathrm { i } ( \omega - \Omega ) t } \right) } \end{array}