harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { S } ( t ) } \mathbf { B } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = - \int _ { \mathcal { S } ( t ) } \left( \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } + \left( \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { B } \right) \mathbf { v } \right) \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S + \oint _ { \mathcal { C } ( t ) } \left( \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l ~ .
\begin{array} { r l r } { { \frac { D \rho } { \rho } } } & { { } \approx } & { - { \frac { \ell } { 2 H _ { P } } } \left[ { \frac { \chi _ { T } } { \chi _ { \rho } } } ( \nabla - \nabla _ { e } ) + { \frac { \chi _ { X } } { \chi _ { \rho } } } \nabla _ { X } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Delta + k _ { 3 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } ) E _ { 3 } } & { { } = - k _ { 3 } ^ { 2 } \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } P _ { \mathrm { N L } } } \end{array}
\int d ^ { d } x \left\{ f + u ^ { \dagger } \Gamma ( \tau \gamma _ { 0 } \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) u + u ^ { \dagger } \Xi ( \tau \gamma _ { 0 } \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) { v } + { v } ^ { \dagger } \Pi ( \tau \gamma _ { 0 } \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) u + { v } ^ { \dagger } \Upsilon ( \tau \gamma _ { 0 } \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) { v } \right\} .
\Pi _ { k } ^ { o u t } = \sqrt { \pi k _ { s } } 2 ^ { 1 - n _ { s } ^ { \pi } } \Gamma \left( - n _ { s } ^ { \pi } \right) a _ { s } ^ { m } g _ { S } ^ { l } \left( \frac k { k _ { s } } \right) ^ { n _ { s } } \mathrm { ~ f o r ~ } n _ { 1 } > 0 ,
\begin{array} { r l } { \Delta \hat { v } _ { s o l } ( x , t ) = } & { { } \phi _ { n _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { n } _ { 0 } ( t ) + \phi _ { \theta _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( t ) + } \end{array}
E _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } \left( r \right) = \left( r + { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { h c } { 2 L } } { \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } } } . \qquad { \mathrm { ( 1 ) } }
\widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = \ensuremath { \mathbf Ḋ V Ḍ } ^ { + } \left( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) - \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } \right) .
\begin{array} { r l } { [ P _ { 1 1 1 } , P _ { 2 2 2 } , P _ { 2 1 1 } , P _ { 2 1 2 } , P _ { 1 1 2 } , P _ { 1 2 1 } , } & { P _ { 1 2 2 } , P _ { 2 2 1 } ] ^ { T } = } \\ & { [ p ( y _ { 1 } | x _ { 1 } ) , p ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) , p ( y _ { 1 } | x _ { 3 } ) - p ( y _ { 1 } | x _ { 1 } ) , p ( y _ { 2 } | x _ { 3 } ) - p ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) , 0 , 0 , 0 , 0 ] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { e x e c } ( ( I , i , \delta ) ) ( \sigma ) ( j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ( j ) } & { i \neq j } \\ { \delta ( \sigma ) } & { i = j \wedge \delta \neq \mathrm { D E L } } \end{array} \right. } \end{array}
X _ { a } ^ { t } ( j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \theta _ { a } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 1 - \theta _ { a } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \theta _ { a } \in ( 0 , 1 ) , \forall a \in \mathcal { A } .
\begin{array} { r l } { \bar { D } _ { \mathbf { A } } } & { = e ^ { - \langle \Phi ^ { 2 } \rangle / 2 } \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } J _ { \mathbf { a } } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } J _ { \mathbf { a } } + \mathcal { O } ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) } \\ { \Delta \bar { D } _ { \mathbf { A } } } & { = e ^ { - \langle \Phi ^ { 2 } \rangle / 2 } \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } \sqrt { \left[ \cosh ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) - 1 \right] J _ { \mathbf { a } } ^ { 2 } + \sinh ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) ( 1 - K _ { \mathbf { a } } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \langle \Phi ^ { 2 } \rangle } \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } ( 1 - K _ { \mathbf { a } } ) + \mathcal { O } ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { ( \mathbf { M } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } - \omega _ { Y } \textbf { V } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } ) } \\ { ( \mathbf { M } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } + \omega _ { Y } \textbf { V } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } ) } \end{array} \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \\ { \mathbf { B } _ { Y } ( \omega _ { Y } ) = } \end{array} \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { Y } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } } & { { } } \\ { \mathbf { - Z } _ { Y } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } * } } & { { } } \end{array} } \end{array} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 4 } \Gamma ( ( r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) ^ { 1 / 2 } ) } & { = 2 \Gamma _ { + } , \qquad } & { \Gamma ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) } & { = 2 \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) , } \\ { \Delta ( ( r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) ^ { 1 / 2 } ) } & { = \Gamma _ { + } + 2 M r _ { + } - 2 M ( r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) ^ { 1 / 2 } , \qquad } & { \Delta ( r _ { + } + \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ) } & { = \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { + } ^ { 1 / 2 } + 2 r _ { + } - 2 M ) . } \end{array}
2 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } \frac { \xi } { \kappa } \ll 1 \quad \mathrm { a n d } \quad 4 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \left( \frac { \kappa ^ { 3 } } { \xi } \right) ^ { 1 / 2 } \ll 1 \, ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } n } } & { = } & { f _ { \boldsymbol { q } n } \left[ \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { x } - \frac { i \epsilon _ { t } q } { \epsilon _ { z } \kappa _ { \boldsymbol { q } n } } \sin ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { z } \right] e ^ { i q x } \vartheta \left( \frac { d } { 2 } - | z | \right) \vartheta \left( | z | - \frac { \delta } { 2 } \right) } \\ & { + } & { f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime } \sum _ { s = \pm 1 } \left[ \boldsymbol { e } _ { x } + i s ( q / \nu _ { \boldsymbol { q } n } ) \boldsymbol { e } _ { z } \right] e ^ { i q x - s \nu _ { \boldsymbol { q } n } z } \vartheta \left( | z | - \frac { d } { 2 } \right) } \\ & { + } & { f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime \prime } \left[ \cosh ( \nu _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { x } - i ( q / \nu _ { \boldsymbol { q } n } ) \sinh ( \nu _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { z } \right] e ^ { i q x } \vartheta \left( \frac { \delta } { 2 } - | z | \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \varphi , \varphi ) \rightarrow \operatorname* { m i n } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ( ( \hat { 1 } - \hat { P } ^ { * } ) \nu _ { i } , \varphi ) = \Delta N _ { i } , \ i = 1 , \ldots , l . } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t ^ { 1 } , \lambda ) = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle = \langle \mathcal { H } _ { K } e ^ { T ^ { 0 } } \Phi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } \rangle ,
f _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } _ { F } , t ) = \theta ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \int _ { { \mathbb { S } _ { 0 } } } \int _ { - \infty } ^ { t } R ^ { \cup } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } , t - t ^ { \prime } ) f _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } , t ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } \mathrm { d } { \bf x } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { E _ { x } ^ { 0 } \cos ( k z - \omega t + \delta _ { x } ) } \\ { E _ { y } ^ { 0 } \cos ( k z - \omega t + \delta _ { y } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \hat { h } } _ { \mathrm { A } } ( { k _ { x } } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \epsilon ( k _ { x } ) } & { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { { \Omega } ( \frac { 4 \pi } { L _ { y } } ) } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { 2 \pi } { L _ { y } } ) } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { 2 \pi } { L _ { y } } } ) } & { 0 } & { \hdots } \\ { { \Omega } ( \frac { 4 \pi } { L _ { y } } ) } & { 0 } & { \omega _ { c } ( { k _ { x } , \frac { 4 \pi } { L _ { y } } } ) } & { \hdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r < ( k - 1 ) ^ { 2 } + \frac { ( k - 1 + r ) ^ { 2 } ( 1 - r ) ( 2 r - 1 ) } { 2 ( 1 - r ) r ( k - 1 + r ) } } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { r < ( k - 1 ) ^ { 2 } + \frac { ( k - 1 + r ) ( 2 r - 1 ) } { 2 r } } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { 2 r ^ { 2 } < 2 r k ^ { 2 } - 4 r k + 2 r + 2 r k - 2 r + 2 r ^ { 2 } - k + 1 - r } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { l _ { k - 1 } = \frac { k - 1 } { 2 k ^ { 2 } - 2 k - 1 } < r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { \exp { \left( \frac { - r ^ { 2 } } { \epsilon } \right) } , } & { r \in [ 0 , 0 . 2 5 ] , } \\ { 0 , } & { r \in ( 0 . 2 5 , 1 ] } \end{array} \right. } \\ { v _ { 0 } } & { = 1 - 0 . 5 u _ { 0 } , } \\ { w _ { 0 } } & { = 0 . 5 u _ { 0 } , \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \lvert \left( \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \mathbf { u } \rvert \rangle _ { \mathrm { L S } } = N _ { u } ( K ) = \sqrt { \sum _ { k \leq { K } } \lvert { \bf N } _ { u } ( \mathbf { k } ) \rvert ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal N } \prod _ { 0 < \tau < \beta } D \mu [ M _ { k } ( \tau ) ] = { \cal N } \prod _ { 0 < \tau < \beta } \prod _ { \gamma = 1 } ^ { N } d ( M _ { k } ( \tau ) ) _ { \gamma \gamma } \prod _ { \gamma > \nu = 1 } ^ { N } d \mathrm { R e } ( M _ { k } ( \tau ) ) _ { \gamma \nu } \; d \mathrm { I m } ( M _ { k } ( \tau ) ) _ { \gamma \nu } \; .
W ( y ) = \frac { 1 } { Z ^ { 2 / 5 } } \left( - \frac { 1 5 } { 2 } + 5 ~ Z \right) + \frac { 1 5 } { 4 \, Z ^ { 4 / 5 } } \left( 1 + Z \right) \left( y + i \, Z ^ { 1 / 5 } \right) ^ { 2 } + \ldots \ .
\mathrm { w i t h } \; \; \; \; j _ { i } ^ { a } = g \psi ^ { \dagger } { \alpha } _ { i } \frac { { \tau } ^ { a } } { 2 } \psi , \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; j _ { 0 } ^ { a } = g \psi ^ { \dagger } \frac { { \tau } ^ { a } } { 2 } \psi \, ;
{ \begin{array} { r l } { H _ { x } } & { = - \int | \psi ( x ) | ^ { 2 } \ln ( | \psi ( x ) | ^ { 2 } \cdot x _ { 0 } ) \, d x } \\ & { = - { \frac { 1 } { x _ { 0 } { \sqrt { 2 \pi } } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp { \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) } \ln \left[ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \exp { \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) } \right] \, d x } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp { \left( - { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \right) } \left[ \ln ( { \sqrt { 2 \pi } } ) + { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \right] \, d u } \\ & { = \ln ( { \sqrt { 2 \pi } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array} }
{ \left[ \begin{array} { l } { V _ { 1 } } \\ { V _ { 0 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { z ( j \omega ) _ { 1 1 } } & { z ( j \omega ) _ { 1 2 } } \\ { z ( j \omega ) _ { 2 1 } } & { z ( j \omega ) _ { 2 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 } } \\ { I _ { 0 } } \end{array} \right] }
V _ { n } ^ { F } = F _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { c } ) \partial _ { r _ { c } } H _ { n } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) - H _ { n } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) \partial _ { r _ { c } } F _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { c } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } { \cal E } _ { h } ^ { ( 0 ) } ( t ) + ( \alpha - \epsilon ) \| u _ { h } \| ^ { 2 } } & { + } & { \epsilon \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } + \epsilon \frac { d } { d t } ( u _ { h } , \hat { u } _ { h } ) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \frac { d } { d t } \| \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad = ( u _ { 1 , h } , u _ { h } ) + \alpha ( u _ { 0 , h } , u _ { h } ) + \epsilon ( u _ { 1 , h } , \hat { u } _ { h } ) + \epsilon \alpha ( u _ { 0 , h } , \hat { u } _ { h } ) . } \end{array}
T = { \frac { 1 } { 2 } } m \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } = { \frac { 1 } { 2 } } m ( { \dot { x } } ^ { 2 } + { \dot { y } } ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } m L ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { O } _ { 1 } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } , e _ { 8 } , e _ { 9 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 3 } \} } \\ { \mathbb { O } _ { 2 } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 2 } , e _ { 4 } , e _ { 6 } , e _ { 8 } , e _ { 1 0 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 4 } \} } \\ { \mathbb { O } _ { 3 } } & { { } : } & { \{ e _ { 0 } , e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 7 } , e _ { 8 } , e _ { 1 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 1 5 } \} . } \end{array}
K \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { I _ { A } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \propto k _ { \perp } ^ { - 7 / 3 } \exp ( - \frac { L _ { 0 } ^ { 1 / 3 } | k _ { \parallel } | } { M _ { A , t u r b } ^ { 4 / 3 } k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ^ { \dagger } | 0 , 0 \rangle } & { = | 1 , 0 \rangle ; \quad f _ { 0 } ^ { \dagger } | 1 , 0 \rangle = 0 } \\ { f _ { 0 } | 1 , 0 \rangle } & { = | 0 , 0 \rangle ; \quad f _ { 0 } | 0 , 0 \rangle = 0 } \\ { f _ { 0 } | 0 , 1 \rangle } & { = 0 ; \quad f _ { 0 } ^ { \dagger } | 1 , 1 \rangle = 0 } \\ { f _ { 1 } ^ { \dagger } | 0 , 0 \rangle } & { = | 0 , 1 \rangle ; \quad f _ { 1 } | 0 , 0 \rangle = f _ { 1 } | 1 , 0 \rangle = 0 } \\ { f _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 , 0 \rangle } & { = - | 1 , 1 \rangle ; \quad f _ { 1 } | 0 , 1 \rangle = | 0 , 0 \rangle } \\ { f _ { 1 } ^ { \dagger } | 0 , 1 \rangle } & { = f _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 , 1 \rangle = 0 ; \quad f _ { 1 } | 1 , 1 \rangle = - | 1 , 0 \rangle } \\ { f _ { 0 } ^ { \dagger } | 0 , 1 \rangle } & { = | 1 , 1 \rangle ; \quad f _ { 0 } | 1 , 1 \rangle = | 0 , 1 \rangle } \end{array}
{ \cal P } _ { a } = - \frac { 1 } { 2 } \, \frac { \xi _ { a } ^ { R } } { x _ { a } - x _ { b } } \, \, \, \, \, ( \mathrm { c y c l i c ~ p e r m u t a t i o n s } \, a \not = b \not = c ) \, .
\begin{array} { r } { \delta S _ { \omega } ^ { \pm } = \frac { ( g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } + \beta / \tau _ { r } ) \delta J _ { \mp } } { \frac { W _ { \mp } } { \tau _ { r } } + \frac { \beta G _ { 0 } ^ { \mp } } { \tau _ { r } } + g _ { 0 } G _ { 0 } ^ { \mp } S _ { 0 } ^ { \pm } + g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } W _ { \mp } - i \omega W _ { \mp } } , } \end{array}
2 4 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] + 3 [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ]
p ^ { 0 } = \frac { k p x ^ { 1 } x ^ { 0 } + \lambda \sqrt { m ^ { 2 } c ^ { 2 } + p ^ { 2 } + m ^ { 2 } c ^ { 2 } k { x ^ { 1 } } ^ { 2 } } } { 1 + k { x ^ { 1 } } ^ { 2 } } .
\mathrm { R M S D } [ \mathbf { x } , \mathbf { y } ( \boldsymbol { \lambda } ) ] = \frac { \| \mathbf { x } - \mathbf { y } ( \boldsymbol { \lambda } ) \| _ { 2 } } { \sqrt { m } } = \sqrt { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } [ x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) ] ^ { 2 } } .
- \left. E ^ { 3 } ( \tau - i \pi / 2 ) ^ { 3 } \mathrm { e } ^ { E \tau } \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \frac { \mathrm { e } ^ { - E \tau ^ { \prime } } } { \tau ^ { \prime } - i \pi / 2 } \, d \tau ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } { P ( 3 ) } & { { } = 3 ^ { 2 } - 1 = 8 , } \\ { P ( X ^ { 2 } + 1 ) } & { { } = \left( X ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } - 1 = X ^ { 4 } + 2 X ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { o p } } { \left( \frac { 1 } { N _ { R , j } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R , j } } { M ( w _ { R , j } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { R , j } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\textbf { k } _ { 0 } ^ { i } = \textbf { k } _ { 0 } + n \cdot \textbf { G } _ { 1 } + m \cdot \textbf { G } _ { 2 } + k \cdot \textbf { Q } _ { 1 } + l \cdot \textbf { Q } _ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left\langle \xi \left( \frac { t } { \tau } \right) \xi \left( \frac { t ^ { \prime } } { \tau } \right) \right\rangle = \delta \left( \frac { t - t ^ { \prime } } { \tau } \right) = \tau \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) = \tau \left\langle \hat { \xi } ( t ) \hat { \xi } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle . } \end{array}
\int _ { \Omega } \left( \left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - ( \omega + \mathrm { i } \gamma ) ^ { 2 } \right) \mathbf { j } _ { x y } - \mathrm { i } \left( \begin{array} { l l } { \omega + \mathrm { i } \gamma } & { - \mathrm { i } \omega _ { \mathrm { c } } } \\ { \mathrm { i } \omega _ { \mathrm { c } } } & { \omega + \mathrm { i } \gamma } \end{array} \right) \mathbf { E } _ { x y } \right) \cdot \mathbf { j } _ { x y } \, \mathrm { d } \Omega = 0
\frac { \partial ^ { 2 } p ^ { n } } { \partial x _ { i } \partial x _ { i } } = \frac { 2 } { 3 \Delta t } \frac { \partial u _ { i } ^ { * } } { \partial x _ { i } } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial \tilde { f } _ { i } ^ { n } } { \partial x _ { i } } .
\left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { R } ^ { F U } } & { \boldsymbol { R } ^ { F \omega } } \\ { \boldsymbol { R } ^ { T U } } & { \boldsymbol { R } ^ { T \omega } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { U } ^ { ( 0 ) } } \\ { \omega ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { F } } \\ { \boldsymbol { T } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { f ( x ) - \mu \cdot b ( x ) - \left\{ f ( x ) - \mu ^ { \prime } \cdot b ( x ) \right\} \geq f ( x ^ { \prime } ) - \mu \cdot b ( x ^ { \prime } ) - \left\{ f ( x ^ { \prime } ) - \mu ^ { \prime } \cdot b ( x ^ { \prime } ) \right\} } \\ { \implies } & { ( \mu - \mu ^ { \prime } ) \cdot ( b ( x ^ { \prime } ) - b ( x ) ) \geq 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } = } & { { } \mathcal { H } _ { S } - i \sum _ { p = 0 } ^ { P } \gamma _ { p } b _ { p } ^ { \dagger } b _ { p } + \sqrt { \lambda } \hat { \sigma } _ { z } \sum _ { p = 0 } ^ { P } \left( b _ { p } + \eta _ { p } b _ { p } ^ { \dagger } \right) } \end{array}
\sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \phi _ { n } \partial _ { 2 } ^ { 2 } \phi _ { n } ^ { * } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } D _ { 2 2 } ( \vec { x } ) - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } F _ { 0 } ( \vec { x } ) ,
\begin{array} { r l r } & { \lambda _ { t } = } & { \frac { 3 \rho } { 4 } / ( \rho E _ { t } ) , } \\ & { \lambda _ { r } = } & { \frac { K _ { r } \rho } { 4 } / ( \rho E _ { r } ) , } \\ & { \lambda _ { v } = } & { \frac { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) \rho } { 4 } / ( \rho E _ { v } ) , } \\ & { \lambda _ { t r } = } & { \frac { ( 3 + K _ { r } ) \rho } { 4 } / ( \rho E _ { t r } ) , } \\ & { \lambda _ { M } = } & { \frac { [ 3 + K _ { r } + K _ { v } ( \lambda _ { M } ) ] \rho } { 4 } / ( \rho E _ { M } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d C _ { k , m } ( t ) } { d t } = } & { } & { - P _ { C _ { k , m } \rightarrow D _ { k , m } } C _ { k , m } ( t ) \frac { m } { k } } \\ & { } & { + P _ { D _ { k , m } \rightarrow C _ { k , m } } D _ { k , m } ( t ) \frac { ( k - m ) } { k } } \\ & { } & { - P _ { C _ { k , m } \rightarrow C _ { k , m + 1 } } ( k - m ) \beta ^ { C } C _ { k , m } ( t ) } \\ & { } & { + P _ { C _ { k , m - 1 } \rightarrow C _ { k , m } } ( k - m + 1 ) \beta ^ { C } C _ { k , m - 1 } ( t ) } \\ & { } & { - P _ { C _ { k , m } \rightarrow C _ { k , m - 1 } } m \gamma ^ { C } C _ { k , m } ( t ) } \\ & { } & { + P _ { C _ { k , m + 1 } \rightarrow C _ { k , m } } ( m + 1 ) \gamma ^ { C } C _ { k , m + 1 } ( t ) , } \end{array}
\Delta \tilde { f } _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \dot { R } ^ { ( \alpha ) } + \Delta \epsilon _ { l k } ^ { ( \alpha ) } = \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } \left( \Delta f _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \dot { R } ^ { ( \alpha ) } + \Delta \epsilon _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \right)
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 0 } } & { = } & { 2 ( 1 3 8 4 + 1 6 9 8 x ^ { 2 } - 1 4 6 1 x ^ { 4 } - 1 1 x ^ { 6 } ) > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 1 } } & { = } & { 4 1 9 9 + 8 2 6 x ^ { 2 } - 5 5 3 x ^ { 4 } > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 2 } } & { = } & { 6 ( 1 7 9 + 8 x ^ { 2 } - 5 x ^ { 4 } ) > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 3 } } & { = } & { 7 2 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { x } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { x } } ^ { 0 , 0 } } & & \\ { \vdots } & { \ddots } & \\ { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { x } } ^ { T - 1 , T - 1 } } & { \cdots } & { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { x } } ^ { T - 1 , 0 } } \end{array} \right] \in \mathcal { L } ^ { T , n _ { \mathrm { x } } \times n _ { \mathrm { x } } } , } \\ { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { u } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { u } } ^ { 0 , 0 } } & & \\ { \vdots } & { \ddots } & \\ { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { u } } ^ { T - 1 , T - 1 } } & { \cdots } & { \tilde { \Phi } _ { \mathrm { u } } ^ { T - 1 , 0 } } \end{array} \right] \in \mathcal { L } ^ { T , n _ { \mathrm { u } } \times n _ { \mathrm { x } } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \varphi ^ { \prime } - \frac { A \varphi } { r } = 0 } } \\ { { \frac { A ^ { \prime } } { r h } - h \varphi ^ { 2 } e ^ { - 2 g M } + 2 m M } } \\ { { M ^ { \prime } + \frac { G } { g r } = 0 , } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { \hbar \omega } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \left[ \hat { H } _ { l } , \hat { H } _ { - l } \right] = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } , l } ^ { ( 1 ) } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { T _ { k } } , \nu _ { T _ { k } } ) \bigm | N _ { t } = n \right) } & { = \int _ { [ 0 , t ] ^ { n } } \frac { n ! } { t ^ { n } } \mathbf { 1 } _ { t _ { 1 } < \dots < t _ { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { t _ { k } } , \nu _ { t _ { k } } ) \, d t _ { 1 } \dots \, d t _ { n } } \\ & { = \int _ { [ 0 , t ] ^ { n } } \frac { 1 } { t ^ { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { t _ { k } } , \nu _ { t _ { k } } ) \, d t _ { 1 } \dots \, d t _ { n } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { t ^ { n } } t ^ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s } \\ & { = \frac { n } { t } \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s . } \end{array}