harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j , k = 1 } ^ { M } \big ( E _ { j } - E _ { k } \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \int ( X - E _ { k } ) \sqrt { p _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \Big ( \frac { \sqrt { p _ { j } } } { \int \sqrt { p _ { k } p _ { j } } } - \sqrt { p _ { k } } \Big ) ( E _ { j } - E _ { k } ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \int ( X - E _ { j } ) \sqrt { p _ { j } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \Big ( \sqrt { p _ { j } } - \frac { \sqrt { p _ { k } } } { \int \sqrt { p _ { k } p _ { j } } } \Big ) ( E _ { j } - E _ { k } ) } \\ & { = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { M } \int ( X - E _ { k } ) \sqrt { p _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \Big ( \frac { \sqrt { p _ { j } } } { \int \sqrt { p _ { k } p _ { j } } } - \sqrt { p _ { k } } \Big ) ( E _ { j } - E _ { k } ) } \\ & { \leq 2 \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sqrt { V _ { k } \int \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \Big ( \frac { \sqrt { p _ { j } } } { \int \sqrt { p _ { k } p _ { j } } } - \sqrt { p _ { k } } \Big ) ( E _ { j } - E _ { k } ) \Big ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq 2 \sqrt { \sum _ { r = 1 } ^ { M } V _ { r } } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \int \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \Big ( \frac { \sqrt { p _ { j } } } { \int \sqrt { p _ { k } p _ { j } } } - \sqrt { p _ { k } } \Big ) ( E _ { j } - E _ { k } ) \Big ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq 2 \sqrt { \sum _ { r = 1 } ^ { M } V _ { r } } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \lambda _ { 1 } ( A _ { k } ) \sum _ { j = 1 } ^ { M } ( E _ { j } - E _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq 2 \big ( \operatorname* { m a x } _ { \ell = 1 , \ldots , M } \lambda _ { 1 } ( A _ { \ell } ) \big ) ^ { 1 / 2 } \sqrt { \sum _ { r = 1 } ^ { M } V _ { r } } \sqrt { \sum _ { k , j = 1 } ^ { M } ( E _ { j } - E _ { k } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\left[ 1 - F _ { C D F } ^ { B I N O M } \left( m _ { \mu } , \frac { k } { 2 } , q \right) \right] \approx \Theta \left( \frac { k } { 2 } \cdot q - \left\lceil \frac { k } { 2 } \frac { { \epsilon } _ { \mu } } { { \Lambda } _ { b } } \right\rceil \right) \approx \Theta \left( \frac { k } { 2 } \left( q - \frac { { \epsilon } _ { \mu } } { { \Lambda } _ { b } } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \Delta \bigl ( X ( \mathbf { t } , \mu , \mathbf { s } ) \bigr ) } & { = \Delta ( F _ { \beta _ { N } } ) ^ { t _ { N } } \ldots \Delta ( F _ { \beta _ { 1 } } ) ^ { t _ { 1 } } \Delta ( K _ { \mu } ) \Delta ( E _ { \beta _ { N } } ) ^ { s _ { N } } \ldots \Delta ( E _ { \beta _ { 1 } } ) ^ { s _ { 1 } } } \\ & { \in \left( \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } t _ { j } d ( F _ { \beta _ { j } } ) + s _ { j } d ( E _ { \beta _ { j } } ) } \right) ^ { \otimes 2 } = \left( \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { d ( X ( \mathbf { t } , \mu , \mathbf { s } ) ) } \right) ^ { \otimes 2 } } \end{array}
\mathbf { M } _ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } & { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \mathbf { I } \otimes \mathbf { g } _ { j } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) \right) \mathbf { f } _ { \mathbf { x x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) \mathbf { g } _ { j } ( t _ { n } ) } & { \mathbf { f } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \in \mathbb { R } ^ { ( d + 2 ) \times ( d + 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { y ( s ) } & { { } = D + \frac { \hat { C } \ln ( \overline { { a } } / \overline { { \rho } } ^ { 2 } ) } { 3 } + \pi \hat { C } \Bigg [ d \int _ { + \infty } ^ { s } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d ~ } s ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { 0 } \mathrm { ~ G ~ i ~ } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d ~ } s ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \boldsymbol { P } _ { r } \right) _ { k } = \left< \boldsymbol { e } _ { k } , \sum _ { j = 1 } ^ { r } \Phi _ { , j } a _ { j } \right> _ { \Omega _ { h } } = \left< \boldsymbol { e } _ { k } , \frac { \boldsymbol { e } _ { k } } { \left| \left| \boldsymbol { e } _ { k } \right| \right| _ { \Omega _ { h } } } a _ { k } \right> _ { \Omega _ { h } } = \left| \left| \boldsymbol { e } _ { k } \right| \right| _ { \Omega _ { h } } a _ { k } , } \end{array}
\mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ^ { S } ( E _ { \bullet } / K _ { \infty } ^ { + } ) \equiv \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ^ { S } ( E _ { \bullet } ( \alpha ) / K _ { \infty } ^ { + } ) \equiv \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { P R } } ( E _ { \bullet } ( \alpha ) / K ) ^ { + , S } \equiv \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { P R } } ( E _ { \bullet } / K ) ^ { + , S } \; ( \mathrm { m o d } \, \varpi ^ { m } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { = \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \\ & { = \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { I } + 2 ( \tilde { \mathbf { x } } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 3 } + \ldots ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } \right) F ( s _ { j } ) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ { = \, } & { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ { = \, } & { \left\langle \tilde { \Pi } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) , E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ { = \, } & { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , \tilde { \Pi } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \{ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \zeta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } u - \mu ^ { \prime } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { \nu } } & { = \log _ { 1 0 } { \frac { \Phi _ { { \mathrm { e } } , \nu } ^ { \mathrm { i } } } { \Phi _ { { \mathrm { e } } , \nu } ^ { \mathrm { t } } } } = - \log _ { 1 0 } T _ { \nu } \, , } \\ { A _ { \lambda } } & { = \log _ { 1 0 } { \frac { \Phi _ { { \mathrm { e } } , \lambda } ^ { \mathrm { i } } } { \Phi _ { { \mathrm { e } } , \lambda } ^ { \mathrm { t } } } } = - \log _ { 1 0 } T _ { \lambda } \, , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { t f ( t ) \, \mathrm { d } t } { r \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } = \frac { h r } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { g ( t ) \, \mathrm { d } t } { \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } = \frac { r ^ { 2 } + 2 h ^ { 2 } } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \phi \Omega _ { 2 } + \frac { b } { I _ { 2 } } R _ { 3 2 } , \quad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \phi \Omega _ { 1 } - \frac { b } { I _ { 2 } } R _ { 3 1 } , \quad \dot { \Omega } _ { 3 } = 0 ; \qquad \qquad } \\ { \dot { R } _ { 3 1 } = R _ { 3 2 } \Omega _ { 3 } - R _ { 3 3 } \Omega _ { 2 } , \quad \dot { R } _ { 3 2 } = R _ { 3 3 } \Omega _ { 1 } - R _ { 3 1 } \Omega _ { 3 } , \quad \dot { R } _ { 3 3 } = R _ { 3 1 } \Omega _ { 2 } - R _ { 3 2 } \Omega _ { 1 } . } \end{array}
\left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w _ { n _ { i ^ { \prime } } ^ { * } } ^ { \prime } } ^ { \left( { \it G } _ { 1 } \right) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } = \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - \lambda \right) ^ { s } } { s ! }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i + 1 } \gamma _ { 1 } } & { = v _ { i } v _ { i + 1 } \sigma _ { i } v _ { i + 1 } \underline { { v _ { i } \gamma _ { 1 } } } } \\ & { = v _ { i } v _ { i + 1 } \sigma _ { i } \underline { { v _ { i + 1 } \gamma _ { 1 } } } v _ { i } } \\ & { = v _ { i } v _ { i + 1 } \underline { { \sigma _ { i } \gamma _ { 1 } } } v _ { i + 1 } v _ { i } } \\ & { = v _ { i } \underline { { v _ { i + 1 } \gamma _ { 1 } } } \sigma _ { i } v _ { i + 1 } v _ { i } } \\ & { = \underline { { v _ { i } \gamma _ { 1 } } } v _ { i + 1 } \sigma _ { i } v _ { i + 1 } v _ { i } } \\ & { = \gamma _ { 1 } v _ { i } v _ { i + 1 } \sigma _ { i } v _ { i + 1 } v _ { i } } \\ & { = \gamma _ { 1 } \sigma _ { i + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \big \langle \theta _ { i } - \theta _ { 0 } , \theta _ { j } - \theta _ { 0 } \big \rangle } { \Delta ^ { 2 } } } & { = \frac { A ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \bigg [ ( m _ { * } - 2 ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { m _ { * } - 1 } } - 1 \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad + 2 \Big ( \sqrt { 1 + \Delta } - 1 \Big ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { m _ { * } - 1 } } - 1 \Big ) \bigg ] } \\ & { = - \frac { A ^ { 2 } } { 4 ( m _ { * } - 1 ) } \Big ( 1 + \frac { 1 } { m _ { * } - 1 } \Big ) + O ( \Delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } \Bigl ( \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \Bigr ) } & { = \frac { h } { 2 } \, \mathbf { F } ( \mathbf { x } ^ { n } ) \Bigl ( \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { u } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \Bigr ) } \\ { \mathbf { x } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { x } ^ { n } + h \mathbf { u } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \approx \frac { 2 } { \pi } N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } l _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( r _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } / 0 . 5 b _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ) = N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } \times 3 . 8 ~ \mu \mathrm { ~ H ~ } , } \end{array}
( { \frac { 3 7 \pi ^ { 2 } } { 9 0 } } ) ^ { 1 / 4 } ( 1 - 4 { \frac { 1 + \varepsilon } { 2 + \varepsilon } } \rho ) ^ { 1 / 4 } T _ { c } < B _ { 0 } ^ { 1 / 4 } < ( { \frac { 3 7 \pi ^ { 2 } } { 9 0 } } ) ^ { 1 / 4 } T _ { c }
\begin{array} { r l } { ( A \setminus \{ \bar { a } \} ) + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( B ) } & { = ( A + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( B ) ) \setminus \{ \bar { a } , \, \bar { a } + b \} } \\ & { = ( A ^ { \prime } + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( B ) ) \setminus \{ \bar { a } , \, \bar { a } + b \} = ( A ^ { \prime } \setminus \{ \bar { a } \} ) + \ensuremath { \operatorname { F S } } ( B ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { 2 x _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } } & { { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } } } & { { 2 x _ { 1 } x _ { 3 } } } \\ { { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } } } & { { 2 x _ { 2 } ^ { 2 } - 1 } } & { { 2 x _ { 2 } x _ { 3 } } } \\ { { 2 x _ { 1 } x _ { 3 } } } & { { 2 x _ { 2 } x _ { 3 } } } & { { 2 x _ { 3 } ^ { 2 } - 1 } } \end{array} \right)
\Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } = \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { 0 } + \hbar \sum _ { n = 0 } \Lambda ^ { - n } \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { \left( 1 \right) n } + \hbar ^ { 2 } \sum _ { n = - 2 } \Lambda ^ { - n } \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { \left( 2 \right) n } + O \left( \hbar ^ { 3 } \right)
{ \cal M } _ { u } { \cal M } _ { u } ^ { \dagger } = v _ { 2 } ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { - 2 } { \cal M } _ { d } \left[ 1 - { \cal M } _ { 3 } ^ { \dagger } ( { \cal M } _ { 3 } { \cal M } _ { 3 } ^ { \dagger } + { \cal M } _ { x } { \cal M } _ { x } ^ { \dagger } ) ^ { - 1 } { \cal M } _ { 3 } \right] { \cal M } _ { d } ^ { \dagger } ,
\begin{array} { r l } { = { } - } & { { } c _ { { \mathbf { k } } _ { m } } ^ { \dagger } . c _ { { \mathbf { k } } _ { l } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , . . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { m } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } . . . \rangle } \\ { = { } - } & { { } { \sqrt { n _ { { \mathbf { k } } _ { m } } + 1 } } { \sqrt { n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , . . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { m } } + 1 . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } - 1 . . . \rangle } \end{array}
m ^ { 2 } ( W ^ { \pm } ) = g ^ { 2 } \sum _ { \alpha } \langle H _ { \alpha R } ^ { \alpha L } \rangle ^ { 2 } , \quad m ^ { 2 } ( Z ) = ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) \sum _ { \alpha } \langle H _ { \alpha R } ^ { \alpha L } \rangle ^ { 2 } , \quad
S _ { s } ( m _ { s , i } ) = { \frac { b ( m _ { s , i } ) } { 4 8 \pi } } { \cal A } ~ ~ , ~ ~ S _ { d } ( m _ { d , i } ) = { \frac { 2 b ( m _ { d , i } ) } { 4 8 \pi } } { \cal A } ~ ~ , ~ ~ S _ { v } ( m _ { v , i } ) = { \frac { 3 b ( m _ { v , i } ) } { 4 8 \pi } } { \cal A } ~ ~ .
\Bigl ( \frac { { \dot { a } } } { a } \Bigr ) ^ { 2 } = \frac { 8 \pi G _ { N } } { 3 } \rho - \frac { K } { a ^ { 2 } } + \frac { \Lambda _ { 4 } } { 3 } + \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 4 } } { 3 6 } \rho ^ { 2 } + \frac { \mu } { a ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \tau } \, \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } = \mathrm { i } \lambda _ { 1 } \, \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \partial _ { q } \, \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } = \mathrm { i } \lambda _ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } } \end{array}
\mathrm { \mathbf { T } _ { \mathrm { T L I N } } } = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \left[ \left( \omega - \omega _ { P } \right) \tau \right] } & { j Z \sin \left[ \left( \omega - \omega _ { P } \right) \tau \right] } \\ { \left( j / Z \right) \sin \left[ \left( \omega - \omega _ { P } \right) \tau \right] } & { \cos \left[ \left( \omega - \omega _ { P } \right) \tau \right] } \end{array} \right] ,
\Gamma _ { a _ { 1 } \rho \pi } = \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } g _ { \rho } ^ { 4 } } { 1 2 \pi m _ { a } ^ { 3 } } \left( 2 + \frac { ( q p ) ^ { 2 } } { m _ { a } ^ { 2 } m _ { \rho } ^ { 2 } } \right) \sqrt { ( q p ) ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } m _ { \rho } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; U _ { 1 } | X , Q ) + H ( X | U _ { 2 } , Q ) - D , ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 2 } \ge I ( Y _ { 2 } ; U _ { 2 } | X , Q ) + H ( X | U _ { 1 } , Q ) - D , } \\ { R _ { 1 } + R _ { 2 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; U _ { 1 } | X , Q ) + I ( Y _ { 2 } ; U _ { 2 } | X , Q ) + { H ( X ) } - D , } \\ { K _ { 1 } } & { \ge H ( X | U _ { 2 } , Q ) - D , ~ ~ ~ ~ ~ K _ { 2 } \ge H ( X | U _ { 1 } , Q ) - D , ~ ~ ~ ~ ~ K _ { 1 } + K _ { 2 } \ge { H ( X ) } - D , } \\ { R _ { 1 } + K _ { 2 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } ; U _ { 1 } | X , Q ) + { H ( X ) } - D , ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 2 } + K _ { 1 } \ge I ( Y _ { 2 } ; U _ { 2 } | X , Q ) + { H ( X ) } - D , } \\ { D } & { \ge H ( X | U _ { 1 } , U _ { 2 } , Q ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , l , r } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { ( \tilde { \mathcal { M } } - \tilde { \mathcal { D } } ) ^ { 2 } ( \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } ) } { 4 \alpha ^ { - 1 } \mathrm { D a } \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha \tilde { q } _ { l , r } ^ { 4 } - ( 1 + \alpha ) \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } - \mathrm { D a } ) ^ { 2 } } { 4 \alpha \mathrm { D a } \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { ( ( \alpha + 1 ) \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } + 2 \mathrm { D a } ) ^ { 2 } } { 9 \alpha \mathrm { D a } \tilde { q } _ { l , r } ^ { 2 } } . } \end{array}
\vec { H } \cdot \vec { \tau } = \left( \begin{array} { c c } { { H _ { T } ^ { 0 } } } & { { \sqrt { 2 } H ^ { - } } } \\ { { \sqrt { 2 } H ^ { + } } } & { { - H _ { T } ^ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \ell _ { x X } } & { { } = \cos \theta \cos \phi \cos \chi - \sin \phi \sin \chi , } \\ { \ell _ { x Y } } & { { } = - \cos \theta \cos \phi \sin \chi - \sin \phi \cos \chi , } \\ { \ell _ { x Z } } & { { } = \sin \theta \cos \phi , } \\ { \ell _ { y X } } & { { } = - \sin \theta \cos \chi , } \\ { \ell _ { y Y } } & { { } = \sin \theta \sin \chi , } \\ { \ell _ { y Z } } & { { } = \cos \theta , } \\ { \ell _ { z X } } & { { } = - \cos \theta \sin \phi \cos \chi - \cos \phi \sin \chi , } \\ { \ell _ { z Y } } & { { } = \cos \theta \sin \phi \sin \chi - \cos \phi \cos \chi , } \\ { \ell _ { z Z } } & { { } = - \sin \theta \sin \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d n _ { e } } { d t } = \frac { I } { q } \left( 1 - \frac { n _ { e } } { n _ { 0 } } \right) - \gamma _ { r } ( 2 n _ { e } - n _ { 0 } ) n _ { p } - ( \gamma _ { r } + \gamma _ { \mathrm { b g } } ) n _ { e } } \\ & { \frac { d n _ { p } } { d t } = \gamma _ { r } ( 2 n _ { e } - n _ { 0 } ) n _ { p } + \gamma _ { r } n _ { e } - \gamma _ { c } n _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( k ) } & { { } = i \frac { E _ { k x } } { E _ { k y } } = \frac { D _ { x y } D _ { z z } + D _ { x z } D _ { y z } } { D _ { x x } D _ { z z } - D _ { x z } ^ { 2 } } \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla Q _ { 0 } } & { = \left( \partial \varphi + i \partial \alpha _ { 0 } \right) Q _ { 0 } } \\ { \bar { \nabla } Q _ { 0 } } & { = \left( - \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \right) Q _ { 0 } } \\ { v } & { = \zeta \nabla Q _ { 0 } } \\ { \partial v } & { = [ \partial ^ { 2 } \varphi + i \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ] Q _ { 0 } - [ ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + ( \partial \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ] Q _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf P } _ { a } = } & { ( T - T _ { r } ) \nabla \eta + ( \mu - \mu _ { r } ) \nabla S } \\ { = } & { \int _ { p _ { r } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial \eta } ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \nabla \eta + \int _ { p _ { r } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial S } ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \nabla S } \\ { = } & { ( p - p _ { r } ) \left( \overline { { \upsilon _ { \eta } } } \nabla \eta + \overline { { \upsilon _ { S } } } \nabla S \right) } \\ { \approx } & { \frac { g ( z - z _ { r } ) } { \overline { { \rho } } } \left( \overline { { \rho _ { \eta } } } \nabla \eta + \overline { { \rho _ { S } } } \nabla S \right) } \end{array}
\sigma _ { ( C o u l ) \lambda \mu } = \frac { \partial \Phi _ { C o u l } } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } = \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { S } } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } + \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { L } } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } + \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { s e l f } } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } .
\begin{array} { r l r l } { - i ( \partial _ { 1 } - i \partial _ { 2 } ) u _ { 2 } } & { = ( \lambda - m ) u _ { 1 } } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { a , b } \, , } \\ { - i ( \partial _ { 1 } + i \partial _ { 2 } ) u _ { 1 } } & { = ( \lambda + m ) u _ { 2 } } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { a , b } \, , } \\ { u _ { 2 } } & { = u _ { 1 } } & & { \mathrm { o n } \quad O A \, , } \\ { u _ { 2 } } & { = - i u _ { 1 } } & & { \mathrm { o n } \quad O B \, , } \\ { u _ { 2 } } & { = \left( \frac { - a } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } + i \, \frac { b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) u _ { 1 } } & & { \mathrm { o n } \quad A B \, . } \end{array}
[ \widehat { \mathbb { H } } _ { 0 } \hat { f } ] ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \sum _ { s _ { 1 } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \hat { \varepsilon } ( x _ { 1 } - s _ { 1 } ) \hat { f } ( s _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \sum _ { s _ { 2 } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \hat { \varepsilon } ( x _ { 2 } - s _ { 2 } ) \hat { f } ( x _ { 1 } , s _ { 2 } ) , \, \, \hat { f } \in \ell ^ { 2 , a } ( \mathbb { Z } ^ { 2 } \times \mathbb { Z } ^ { 2 } ) ,
S \, = \, \frac { 1 } { \sqrt { | p _ { 1 } ^ { 2 } | } } \, \varepsilon _ { \mu \nu \lambda } \, p _ { 1 } ^ { \mu } \, ( \, q _ { 2 } ^ { \nu } \, p _ { 2 } ^ { \lambda } \, + \, q _ { 3 } ^ { \nu } \, p _ { 3 } ^ { \lambda } \, ) \, { . }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { P } \left( \mathbf { F } \leq \mathbf { z } \right) \leq } & { \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } - \delta , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] + \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } - \delta , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } - \delta , \delta } ( \mathbf { F } ) \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } - \delta \right) + \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } - \delta , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } - \delta , \delta } ( \mathbf { F } ) \right] } \end{array}
d e m o n s t r a t e s t h a t N e i m a r k - S a c k e r b i f u r c a t i o n o c c u r s a t \mu _ { 0 } \approx 3 . 0 2 5 , w i t h c o o r d i n a t e s ( 0 . 3 4 1 , 0 . 3 7 7 ) , a s s h o w n i n F i g u r e
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { - 1 } ( \rho , x , t ) } & { { } = - ( \theta _ { 0 } ^ { \prime } ( \rho ) ) ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } ( \rho , x , t ) } & { { } = \overline { { \mathbf { v } } } _ { 0 } ( x , t ) + \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \Gamma } \big ( \eta ( \rho ) - \frac { 1 } { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { ( \mathrm { i n e l a s t i c } ) } = \frac { \pi } { \mu k } \sum _ { L , L ^ { \prime } , f \neq i } \left| S _ { f , L ^ { \prime } ; i , L } ^ { ( \mathrm { L R } ) } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\left| \left[ 1 \, + \, \left( \frac { \eta } { 2 \, - \, \eta } \, \alpha \right) \, t \right] ^ { - ( p \, + \, 1 ) } \right| \, \leq \, 1 \qquad ( R e \, \alpha \, > \, 0 ) \, \, ,
\hat { \chi } _ { \alpha } ^ { 2 } ( \lambda , \rho ) = \operatorname * { m i n } _ { n _ { s } ^ { \alpha } , t _ { s } ^ { \alpha } , n _ { b } ^ { \alpha } , t _ { b } ^ { \alpha } } \left( \chi _ { \alpha } ^ { 2 } ( \lambda , \rho ; n _ { s } ^ { \alpha } , t _ { s } ^ { \alpha } , n _ { b } ^ { \alpha } , t _ { b } ^ { \alpha } ) + \frac { ( n _ { s } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { n _ { s } ^ { \alpha } } ^ { 2 } } + \frac { ( t _ { s } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { t _ { s } ^ { \alpha } } ^ { 2 } } + \frac { ( n _ { b } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { n _ { b } ^ { \alpha } } ^ { 2 } } + \frac { ( t _ { b } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { t _ { b } ^ { \alpha } } ^ { 2 } } \right) .
M _ { 1 } = \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \, \bar { u } ( - p _ { \bar { d } } ) \, \gamma _ { \alpha } \, \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } \, u ( p _ { u } ) \, \frac { - i } { \hat { s } - m _ { W } ^ { 2 } } \, \Gamma ^ { \alpha } \, .
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { r o t } } \left( \boldsymbol { \zeta } ( A _ { i } ) \right) = F ( \tilde { \boldsymbol { \zeta } } ( A _ { i } ) ) , \tilde { \zeta } _ { p } ( A _ { i } ) = \int _ { \mathrm { S O ( 3 ) } } \mathrm { d } \hat { R } \, \varphi _ { p } \left( \boldsymbol { \zeta } ( \hat { R } A _ { i } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { m } = \left( \sigma _ { z } \cos \theta + \sigma _ { x } \sin \theta \right) \left( \frac { \partial } { \partial r } - \frac { 1 } { r } \right) } \\ { + \frac { 1 } { r } \left( \sigma _ { x } \cos \theta - \sigma _ { z } \sin \theta \right) \frac { \partial } { \partial \theta } } \\ { + \frac { 1 } { r \sin \theta } \left( i m \sigma _ { y } + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { x } \right) , } \end{array}