harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tau _ { i j } = \left\{ \begin{array} { r l } { ( \mu \dot { \gamma } ^ { n - 1 } + \frac { \tau _ { 0 } } { \dot { \gamma } } ) \dot { \gamma _ { i j } } ~ } & { f o r ~ \tau \ge \tau _ { 0 } , } \\ { \dot { \gamma _ { i j } } = 0 ~ } & { f o r ~ \tau < \tau _ { 0 } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } } & { { } = \hat { K } \sin \big ( \omega { v } _ { 1 } \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 1 } ^ { 2 } } - K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = v _ { 1 } , } \\ { \dot { v } _ { 2 } } & { { } = \hat { K } \sin \big ( \omega { v } _ { 2 } \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 2 } ^ { 2 } } + K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { { } = v _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ^ { \pm } ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) d x } & { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { - } ^ { 2 } ( t ) } } } e ^ { - { \frac { [ x - m _ { - } ( t ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { - } ^ { 2 } ( t ) } } } e ^ { - \lambda t } e ^ { \lambda ( x ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } ) } \left[ { \frac { \int _ { - \infty } ^ { \pm x } e ^ { - \lambda s ^ { 2 } } d s } { \int _ { - \infty } ^ { \pm x _ { 0 } } e ^ { - \lambda s ^ { 2 } } d s } } \right] d x = } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { + } ^ { 2 } ( t ) } } } e ^ { - { \frac { \left[ x - m _ { + } ( t ) \right] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { + } ^ { 2 } ( t ) } } } \left[ { \frac { \int _ { - \infty } ^ { \pm x } e ^ { - \lambda s ^ { 2 } } d s } { \int _ { - \infty } ^ { \pm x _ { 0 } } e ^ { - \lambda s ^ { 2 } } d s } } \right] d x , } \\ & { } & { m _ { + } ( t ) = x _ { 0 } e ^ { \lambda t } , \sigma _ { + } ^ { 2 } ( t ) = \frac { 1 } { 2 \lambda } ( e ^ { 2 \lambda t } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { E \mathrm { g c } 2 } } & { { } = } & { q \left( \Phi ^ { \prime } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \; - \frac { } { } \Phi _ { 1 } ^ { \prime } \right) G _ { 1 } ^ { \psi } \; - \; B _ { 0 } \, G _ { 1 } ^ { \mu } } \end{array}
\frac { v _ { z } ^ { ' } } { c } = 1 - \frac { c \alpha R ^ { 2 } } { \delta } + \bigg ( \frac { R ^ { 2 } } { 2 \delta f _ { 0 } } - \frac { c \alpha R ^ { 4 } } { \delta ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ) z - \bigg ( \bigg [ \frac { R ^ { 2 } } { 2 \delta f _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { c \alpha R ^ { 4 } } { \delta ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ] \frac { 2 } { f _ { 0 } } - \frac { c \alpha R ^ { 6 } } { 2 \delta ^ { 3 } f _ { 0 } ^ { 4 } } \bigg ) z ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { c a v } } ( \omega ) } & { = \eta _ { \mathrm { o u t , c } } \kappa \frac { 3 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \times } \\ & { \lvert \chi _ { c } ^ { \prime } ( \omega ) \left( \tilde { E } _ { c } ^ { * } + i J ^ { * } \chi _ { a } ( \omega ) \tilde { E } _ { a } ^ { * } \right) \rvert ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { 1 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - | x | ^ { 2 } ) } \\ { t i l d e { \gamma } _ { 1 2 } } & { { } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } x \sqrt { 1 - | x | ^ { 2 } } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } | x | \mathrm { e } ^ { i \varphi } \sqrt { 1 - | x | ^ { 2 } } } \\ { \& \equiv \mathrm { R e } ( \tilde { \gamma } _ { 1 2 } ) + i \, \mathrm { I m } ( \tilde { \gamma } _ { 1 2 } ) \, , } \end{array}
\pi = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { 1 6 ^ { k } } } \left( { \frac { 4 } { 8 k + 1 } } - { \frac { 2 } { 8 k + 4 } } - { \frac { 1 } { 8 k + 5 } } - { \frac { 1 } { 8 k + 6 } } \right) \right] .
\delta A _ { \, \ \gamma } ^ { a } = \partial _ { \gamma } \epsilon ^ { a } ( x ) + C _ { \ b c } ^ { a } \, \epsilon ^ { c } ( x ) \, A _ { \, \ \gamma } ^ { b } - \delta x ^ { \alpha } \ \partial _ { \alpha } A _ { \, \ \gamma } ^ { a } ( x ) \ .
\begin{array} { r l } { \left\Vert \mathrm { K } _ { G _ { 1 4 , i , \beta } ^ { K , I } } \left[ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \beta } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho \right] \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \lesssim ( 1 + T ) \underset { 0 \leq t , s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \, \left\Vert \partial _ { s } G _ { 1 4 , i , \beta } ^ { K , I } ( s , t ) \right\Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell } } \left\Vert \varrho \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Z } _ { 1 } ^ { n } = \frac { \left| \begin{array} { l l l l } { S _ { n } \left( 1 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 5 \right) } & { \frac { \omega } { c _ { 4 4 } } \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n + 1 } j _ { n } \left( k a \right) } \\ { S _ { n } \left( 2 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 5 \right) } & { 0 } \\ { S _ { n } \left( 4 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 5 \right) } & { \frac { \varphi _ { 0 } } { i \omega a } k \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n } j _ { n } ^ { \prime } \left( k a \right) } \\ { T _ { n } \left( 6 , 3 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 4 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 5 \right) } & { 0 } \end{array} \right| } { \left| \begin{array} { l l l l } { S _ { n } \left( 1 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 5 \right) } & { - \frac { \omega } { c _ { 4 4 } } \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n + 1 } h _ { n } ^ { ( 1 ) } \left( k a \right) } \\ { S _ { n } \left( 2 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 5 \right) } & { 0 } \\ { S _ { n } \left( 4 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 5 \right) } & { - \frac { \varphi _ { 0 } } { i \omega a } k \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n } h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } \left( k a \right) } \\ { T _ { n } \left( 6 , 3 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 4 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 5 \right) } & { 0 } \end{array} \right| } ; \quad n > 0 } \\ { \mathcal { Z } _ { 2 } ^ { n } = \frac { \left| \begin{array} { l l l l } { S _ { n } \left( 1 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 5 \right) } & { 0 } \\ { S _ { n } \left( 2 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 5 \right) } & { 0 } \\ { S _ { n } \left( 4 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 5 \right) } & { 0 } \\ { T _ { n } \left( 6 , 3 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 4 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 5 \right) } & { 1 } \end{array} \right| } { \left| \begin{array} { l l l l } { S _ { n } \left( 1 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 1 , 5 \right) } & { - \frac { \omega } { c _ { 4 4 } } \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n + 1 } h _ { n } ^ { ( 1 ) } \left( k a \right) } \\ { S _ { n } \left( 2 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 2 , 5 \right) } & { 0 } \\ { S _ { n } \left( 4 , 3 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 4 \right) } & { S _ { n } \left( 4 , 5 \right) } & { - \frac { \varphi _ { 0 } } { i \omega a } k \left( 2 n + 1 \right) \rho _ { f } \varphi _ { 0 } i ^ { n } h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } \left( k a \right) } \\ { T _ { n } \left( 6 , 3 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 4 \right) } & { T _ { n } \left( 6 , 5 \right) } & { 0 } \end{array} \right| } ; \quad n > 0 } \end{array}
\left[ a _ { i j } ( p ^ { + } ) , a _ { l k } ^ { \dagger } ( q ^ { + } ) \right] = \left\{ b _ { i j } ( p ^ { + } ) , b _ { l k } ^ { \dagger } ( q ^ { + } ) \right\} = \delta ( p ^ { + } - q ^ { + } ) \left( \delta _ { i l } \delta _ { j k } - \frac { 1 } { N } \delta _ { i j } \delta _ { k l } \right)
{ \cal A } _ { t r i a n g l e , 2 } ^ { ( 1 ) } = - { \frac { \pi } { m } } \Omega ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { \epsilon } } + \ln { \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } - 2 \ln | 2 \sin { \frac { \theta } { 2 } } | - \gamma + { \cal O } ( \epsilon ) \right] \ ,
\Sigma ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } , T ) = \sigma _ { c } + { \frac { \left( e ^ { 2 h } - 1 \right) ^ { 2 } \left( 3 + ( 2 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 2 h } \right) ^ { 2 } } { 2 0 \cdot 2 ^ { 1 / 3 } e ^ { 4 h } \left( 1 + e ^ { 2 h } \right) ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \Phi ( Z _ { 1 } , T ) - \Phi ( Z _ { 2 } , T ) } { Z _ { 1 } - Z _ { 2 } } } \right] \epsilon ^ { 1 / 3 } + { \cal O } ( \epsilon ^ { 2 / 3 } )
\mathrm { R e } \, ( F - \bar { F } ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { \rho _ { N } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } \omega = ( 2 6 0 \, \mathrm { M e V } ) ^ { 2 } \left( \frac { \omega } { m _ { K } } \right) \left( \frac { \rho _ { N } } { 0 . 1 / \mathrm { f m } ^ { 3 } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } = } & { { } \sum _ { r , s } \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } U _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } + U _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) - i Q _ { r , s } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } ( U _ { r , n } ^ { \mathbf { h } } \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { s , n , \mathbf { h } + \mathbf { b } } - \delta _ { i , j , \mathbf { k } } ^ { r , n , \mathbf { h } } U _ { s , n } ^ { \mathbf { h } + \mathbf { b } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { l } { P \left( x , y \right) = \alpha \sum _ { z = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { z } b _ { y - z } + \overline { { \alpha } } ^ { x } b _ { y - x } \mathrm { ~ , ~ } x \geq 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } y \geq x } \\ { P \left( x , y \right) = \alpha \sum _ { z = 0 } ^ { y } \overline { { \alpha } } ^ { z } b _ { y - z } \mathrm { ~ , ~ } x \geq 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } y < x . } \\ { P \left( x , y \right) = \sum _ { z = 0 } ^ { x } d _ { z } b _ { y - z } \mathrm { ~ , ~ } x , y \geq 0 . } \end{array}
P _ { F } ( q ) _ { { \bf s } ^ { \prime } { \bf s } } ^ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } = \sum _ { N _ { X } = 0 } ^ { \infty } d ( N _ { X } ) \cdot { \bar { \psi } } _ { { \bf s } ^ { \prime } } q _ { \hat { \rho } } \Gamma ^ { \hat { \rho } } \psi _ { \bf s } { \frac { \eta ^ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } } { q ^ { 2 } + M _ { N _ { X } } ^ { 2 } } } .
N _ { B } \frac { M v } { B } \nu \mathbf { e } _ { x } + \varepsilon _ { 0 } \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { \omega _ { c i } ^ { 2 } } \frac { E } { \tau } \mathbf { e } _ { x } = \mathbf { 0 } ,
{ \cal H } _ { \mathrm { g c } } \; = \; e \, \Phi \; + \; \epsilon \, K _ { \mathrm { g c } } \; + \; \epsilon ^ { 2 } \; J \, { \cal S } ^ { * } \; - \; W ^ { * } \; \equiv \; e \, \Phi ^ { * } \; - \; W ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { p _ { s } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) } & { { } = \sum _ { N = 0 } ^ { + \infty } p _ { s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) } \end{array}
J a = \frac { \rho _ { \mathrm { l } } c _ { \mathrm { l } } \left( T _ { \mathrm { l } } - T _ { \mathrm { s a t } } \left( P _ { \mathrm { l } } \right) \right) } { \rho _ { \mathrm { v } } L _ { \mathrm { v } } } .
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi } { \partial z } } & { - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } \psi } { \partial t ^ { 4 } } - \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \frac { \partial ^ { 6 } \psi } { \partial t ^ { 6 } } } \\ & { + \alpha \left| \psi \right| ^ { 2 } \psi + \chi \frac { \partial ^ { 2 } \left( \left| \psi \right| ^ { 2 } \right) } { \partial t ^ { 2 } } \psi = 0 , } \end{array}
\langle z _ { 1 } \bar { z _ { 1 } } \cdot \cdot \cdot z _ { N } \bar { z _ { N } } | \Psi \rangle = \Psi ( \bar { z _ { 1 } } \cdot \cdot \cdot \bar { z _ { N } } ) e ^ { - \sum _ { i } | z _ { i } | ^ { 2 } / 2 } .
\lambda = s ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 4 } + m _ { 2 } ^ { 4 } - 2 ( s m _ { 1 } ^ { 2 } + s m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } } & { { } \supset } & { - \frac { 3 \times ( 0 . 0 6 ) \, \kappa _ { s } } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } } \end{array}
{ \tilde { u } } _ { k } ( K ) = { \frac { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { A } { a } } f ( k ) } { { \frac { 2 m E _ { k } } { \hbar ^ { 2 } } } - ( k + K ) ^ { 2 } } } = { \frac { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { A } { a } } } { { \frac { 2 m E _ { k } } { \hbar ^ { 2 } } } - ( k + K ) ^ { 2 } } } \, u _ { k } ( 0 )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( \mathrm { C o n s e c u t i v e ~ } L \mathrm { ~ p a s s e n g e r ~ m u t a t i o n s } ) = ( \frac { \xi } { \mu + \xi } ) ^ { L } \geq ( \frac { L } { L + 1 } ) ^ { L } > \frac { 1 } { L + 1 } } \\ & { \mathbb { P } ( 1 \mathrm { ~ d r i v e r ~ m u t a t i o n } ) = \frac { \mu } { \mu + \xi } < \frac { 1 } { L + 1 } . } \end{array}
\frac { \gamma _ { p , | v _ { 1 } = v | } } { \gamma ^ { f } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left( \tilde { u } ^ { 2 } + u ^ { 2 } - 2 \tilde { u } u \cos \theta \right) ^ { 2 } d \theta u e ^ { - u ^ { 2 } } } { 8 \pi } d u .
\int \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } { | \epsilon ( \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } , \boldsymbol { k } ) | ^ { 2 } } = n _ { i } \left( \frac { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { D 1 } ^ { 2 } } \right) ,
4 \pi ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \left\{ \frac { H ^ { \prime } ( r _ { + + } ) } { ( r _ { + + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } \ \delta \left[ \frac { ( r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } { Z } \right] \right\} \ .
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \vec { u } ( x , y , t ) + \vec { u } ( x , y , t ) \cdot \nabla \vec { u } ( x , y , t ) + \nabla p } & { { } = \frac { 1 } { R e } \Delta \vec { u } ( x , y , t ) + f ( x , y ) , } & { } & { { } x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in ( 0 , T ] } \\ { \nabla \cdot \vec { u } ( x , t ) } & { { } = 0 , } & { } & { { } x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in [ 0 , T ] } \\ { \vec { u } ( x , 0 ) } & { { } = \vec { u } _ { 0 } ( x ) , } & { } & { { } x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \{ S _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) \} } } & { \quad g \left( \overline { { \texttt { m s e } ^ { [ 1 ] } } } , \cdots , \overline { { \texttt { m s e } ^ { [ K ] } } } \right) } \\ { \mathrm { s . t . ~ ~ ~ } } & { ~ ~ \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } S _ { i + 1 } ^ { [ k ] } - S _ { i } ^ { [ k ] } \right] \geq \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } , ~ \forall k . } \end{array}
= \sum _ { i = 1 } ^ { L } [ \operatorname { e r f } ( \frac { n - i } { \xi } ) + \operatorname { e r f } ( \frac { i } { \xi } ) + \frac { e ^ { - \frac { ( n - i ) ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } - e ^ { - \frac { i ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } } { 2 } - \frac { n } { N } \operatorname { e r f } ( \frac { N - i } { \xi } ) - \frac { n } { N } \operatorname { e r f } ( \frac { i } { \xi } ) - \frac { n } { N } \frac { e ^ { - \frac { ( N - i ) ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } - e ^ { - \frac { i ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } } } { 2 } ] \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \xi Z _ { i }
\Gamma ( \mathcal { M } ) = \sum _ { \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } , \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) } } \frac { 1 - \delta _ { \alpha \beta } } { \sqrt { \Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } \Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) } } } \Big ( \sum _ { \Phi \in \Tilde { \mathcal { P } } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \alpha ) * } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \beta ) } \Big ) \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) \dagger } \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } , \quad \Gamma ( \mathcal { M } , \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } ) = \Gamma ( \mathcal { M } ) _ { \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } } ,
{ \begin{array} { r l r l } { { 6 } a \cdot ( \mathbf { v } \otimes \mathbf { w } ) ~ } & { = ~ ( a \cdot \mathbf { v } ) \otimes \mathbf { w } ~ = ~ \mathbf { v } \otimes ( a \cdot \mathbf { w } ) , } & & { ~ ~ { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ s c a l a r } } } \\ { ( \mathbf { v } _ { 1 } + \mathbf { v } _ { 2 } ) \otimes \mathbf { w } ~ } & { = ~ \mathbf { v } _ { 1 } \otimes \mathbf { w } + \mathbf { v } _ { 2 } \otimes \mathbf { w } } & & { } \\ { \mathbf { v } \otimes ( \mathbf { w } _ { 1 } + \mathbf { w } _ { 2 } ) ~ } & { = ~ \mathbf { v } \otimes \mathbf { w } _ { 1 } + \mathbf { v } \otimes \mathbf { w } _ { 2 } . } & & { } \end{array} }
\begin{array} { l c l } { { \lambda ^ { ( 0 ) } = \gamma _ { 1 , 6 ^ { \prime } } \lambda ^ { ( 0 ) } \gamma _ { 1 , 6 ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } & { { , } } & { { \lambda ^ { ( 0 ) } = - \gamma _ { \Omega R , 6 ^ { \prime } } \lambda ^ { ( 0 ) ^ { T } } \gamma _ { \Omega R , 6 ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } \\ { { \lambda ^ { ( 3 ) } = e ^ { 2 \pi i v _ { i } } \gamma _ { 1 , 6 ^ { \prime } } \lambda ^ { ( 3 ) } \gamma _ { 1 , 6 ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } & { { , } } & { { \lambda ^ { ( 3 ) } = - \gamma _ { \Omega R , 6 ^ { \prime } } \lambda ^ { ( 3 ) ^ { T } } \gamma _ { \Omega R , 6 ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } v _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { k } \partial x _ { k } } - \frac { \partial p ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { i } } + b _ { i } = 0 ; \qquad \frac { \partial v _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \partial x _ { i } } = 0
\Psi ( 1 , 2 , \dots , 2 p + u + d ) = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { \varphi ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \varphi ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { 1 } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { u } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ) } \\ { \varphi ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \varphi ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { 1 } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { u } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \varphi ( \mathbf { r } _ { p + u } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \varphi ( \mathbf { r } _ { p + u } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { 1 } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p + u } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { u } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p + u } ^ { \uparrow } ) } \\ { \phi _ { 1 } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { 1 } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \phi _ { 2 } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { 2 } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { d } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { d } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p + d } ^ { \downarrow } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { E } & { = L | \mathcal { S } ^ { c } | M _ { 1 } \sqrt { d \left( \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) \log ( 1 / \delta ) } + \sqrt { | \mathcal { S } ^ { c } | } M _ { 3 } L \left( \frac { 1 } { | \mathcal { S } ^ { c } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) ^ { 1 / 4 } \left( \log ( 1 / \delta ) \right) ^ { 1 / 4 } } \\ & { \leq \sqrt { | \mathcal { S } ^ { c } | } M _ { 3 } L \left[ \sqrt { | \mathcal { R } | } \left( \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) ^ { 1 / 2 } + \left( \frac { 1 } { | \mathcal { S } ^ { c } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) ^ { 1 / 4 } \right] \sqrt { \log ( 1 / \delta ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( \Delta ) } & { = \left| \frac { b _ { \mathrm { o u t , 1 } } } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \right| ^ { 2 } = \left| s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } \frac { \kappa / 2 - i \Delta - \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } { \kappa / 2 - i \Delta } + s _ { 1 1 , 1 } \right| ^ { 2 } , } \\ { T _ { 1 } ( \Delta ) } & { = \left| \frac { b _ { \mathrm { o u t , 2 } } } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \right| ^ { 2 } = \left| s _ { 1 2 , 2 } s _ { 2 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } \kappa ^ { \mathrm { e x t 2 } } } { \kappa ^ { 2 } / 4 + \Delta ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { 𝕍 ( A ; B ) } & { \quad \cong } & { \quad \mathrm { ( b y ~ u n i t a l i t y ~ o f ~ 𝕍 ~ ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; I ⊗ B ⊗ I ) } & { \quad \to } & { \quad \mathrm { ( b y ~ t h e ~ l a x a t o r s ~ o f ~ 𝕍 ~ ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ N ) } & { \quad = } & { \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { 𝓝 𝕍 ( A ; B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { G _ { B z } } } = } & { { } - \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { e } { m } \partial _ { t } \left[ \left. \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } \right| _ { \bar { \psi } } \right] } } + \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \| g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial } { \partial \bar { \psi } } \partial _ { t } \bar { F } _ { 0 } } } + \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \left[ C _ { g } + \mathcal { S } \right] } } \right| _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \textrm { d } } { x } \left( \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } D _ { A } } { \textrm { d } k _ { y } ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \delta \xi _ { x } } { \textrm { d } x } \right) - B _ { 0 } ^ { 2 } D _ { A } \delta \xi _ { x } = 0 , } \end{array}
v _ { \mathrm { e f f } } ( \varphi ) = { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 8 \pi } } \, \Bigl ( e ^ { 4 \pi \varphi ^ { 2 } } - 4 \pi \varphi ^ { 2 } \, { \frac { v } { \Lambda ^ { 2 } } } \Bigr ) \cdotp
\begin{array} { r l } { \widetilde { D } ^ { * } \widetilde { D } \Psi _ { - } + \widetilde { V } _ { - } \Psi _ { - } } & { = - H _ { - } \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } \Bigl ( H _ { - } ^ { - 2 } \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } ( H _ { - } \Psi ) \Bigr ) + \widetilde { V } _ { - } \Psi } \\ & { = - ( \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } ) ^ { 2 } \Psi - \Psi H _ { - } \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } ( H _ { - } ^ { - 2 } \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } H _ { - } ) + ( V + H _ { - } ^ { - 1 } ( \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } ) ^ { 2 } H _ { -- } 2 H _ { - } ^ { - 2 } ( \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } H _ { - } ) ^ { 2 } ) \Psi } \\ & { = - ( \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } ) ^ { 2 } \Psi + V \Psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { \alpha \beta } = ( \xi D _ { \alpha \gamma } + W _ { \alpha \gamma } ) \left( Q _ { \beta \gamma } + \frac { \delta _ { \beta \gamma } } { 3 } \right) + \left( Q _ { \alpha \gamma } + \frac { \delta _ { \alpha \gamma } } { 3 } \right) } \\ & { \cdot ( \xi D _ { \gamma \beta } - W _ { \gamma \beta } ) - 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) ( Q _ { \gamma \epsilon } \partial _ { \gamma } u _ { \epsilon } ) , } \end{array}