harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } \left[ - \lambda ^ { - } ( \xi _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 2 } + \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } q _ { 3 } ) + ( \nu + \lambda ^ { + } ) \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } q _ { 1 } \right] } & { + \alpha _ { 2 } \left[ - \lambda ^ { - } ( \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } q _ { 2 } + \xi _ { 3 } ^ { 2 } q _ { 3 } ) + ( \nu + \lambda ^ { + } ) \xi _ { 1 } \xi _ { 3 } q _ { 1 } \right] = 0 , } \\ { \alpha _ { 1 } \left[ - ( \nu + \lambda ^ { + } ) \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } q _ { 2 } \right. } & { + \left. \lambda ^ { - } ( \xi _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 1 } + \xi _ { 1 } \xi _ { 3 } q _ { 3 } ) \right] = 0 , } \\ { \alpha _ { 2 } \left[ - ( \nu + \lambda ^ { + } ) \xi _ { 1 } \xi _ { 3 } q _ { 3 } \right. } & { + \left. \lambda ^ { - } ( \xi _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 1 } + \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } q _ { 2 } ) \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { e , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } & { = \frac { 1 } { n _ { 0 } } ( L _ { g ^ { \prime } } \mathbf { x } ) ^ { T } \, \mathbf { y } } \\ { \Theta _ { g , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } & { = \Sigma _ { g , g ^ { \prime } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) = \Sigma _ { e , g ^ { \prime } g ^ { - 1 } } ^ { 1 } ( \mathbf x , \mathbf y ) } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \Phi _ { t d } + \Phi _ { t s } } } & { { = } } & { { \pi + O ( \lambda ^ { 4 } ) \; , } } \\ { { \Phi _ { u b } + \Phi _ { c b } } } & { { = } } & { { \pi + O ( \lambda ^ { 4 } ) \; , } } \\ { { \Phi _ { u s } + \Phi _ { u b } } } & { { = } } & { { \pi + O ( \lambda ^ { 2 } ) \; , } } \\ { { \Phi _ { c d } + \Phi _ { t d } } } & { { = } } & { { \pi + O ( \lambda ^ { 2 } ) \; . } } \end{array}
\vert { \bf \Delta } \vert = \frac { M _ { B } ^ { 2 } - M _ { V } ^ { 2 } } { 2 M _ { B } } ; \qquad E _ { V } = \frac { M _ { B } ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } } { 2 M _ { B } } ;
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { \mathrm { o u t , e } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ ( \hat { X } _ { e } ( - \omega _ { n } ) + \hat { X } _ { e } ( \omega _ { n } + 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + i ( - \hat { P } _ { e } ( - \omega _ { n } ) + \hat { P } _ { e } ( \omega _ { n } + 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) ] , } \\ { \hat { I } _ { \mathrm { o u t , o } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \hat { X } _ { o } ( - \omega _ { n } - 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + \hat { X } _ { o } ( \omega _ { n } ) + i ( - \hat { P } _ { o } ( - \omega _ { n } - 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + \hat { P } _ { o } ( \omega _ { n } ) ) ] , } \end{array}
\mathrm { t a n } \Big [ { \frac { \Delta ( \tilde { t } ) } { 2 } } \Big ] = \mathrm { t a n } \Big [ { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } \Big ] \, \mathrm { e x p } \big [ 2 \Gamma ( t - \tilde { t } ) \big ]
\left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { \frac 2 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \frac 2 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } & { { \frac 2 { \sqrt { 6 } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 2 { \sqrt { 6 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { 2 n \rightarrow \infty } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } \\ { { 0 } } & { { \frac 1 2 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 2 } } & { { 0 } } \\ { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } \\ { { 0 } } & { { \frac 1 2 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 2 } } & { { 0 } } \\ { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 3 } } \end{array} \right)
\mu _ { \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { i f ~ \ell = 0 ~ } } } \\ { { 2 ( 2 \ell + 1 ) } } & { { \mathrm { i f ~ \ell \neq ~ 0 ~ } } } \end{array} \right. \nonumber
\boldsymbol { \gamma } _ { k } : = \frac { \left\langle \mathbf { W } _ { k + 1 } - \mathbf { W } _ { k } , \mathbf { W } _ { k } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { W } _ { k } , \mathbf { W } _ { k } \right\rangle }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \partial _ { t } h + a _ { \kappa } \partial _ { s } h + b _ { \kappa } h - \kappa c _ { \kappa } \partial _ { s } ^ { 2 } h } & { = g } & { \qquad } & { \mathrm { o n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T ] , } \\ { h | _ { t = 0 } } & { = h _ { 0 } } & & { \mathrm { o n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \varphi _ { \mathsf { U } } } ( t ) } & { = \int _ { - \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } } ^ { \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } } \frac { 1 } { 2 \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } } e ^ { j \ensuremath { \xi } t } d \ensuremath { \xi } } \\ & { = \frac { \sin \left( t \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } \right) } { t \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } } = \ensuremath { \operatorname { s i n c } \left( t \ensuremath { \xi } _ { \operatorname* { m a x } } \right) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i , j = 1 } ^ { n } c _ { i j } x _ { i j } \colon } & & { } \\ & { \sum _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } x _ { i j } = 1 } & & { j = 1 , \ldots , n ; } \\ & { \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } x _ { i j } = 1 } & & { i = 1 , \ldots , n ; } \\ & { \sum _ { i \in Q } { \sum _ { j \neq i , j \in Q } { x _ { i j } } } \leq | Q | - 1 } & & { \forall Q \subsetneq \{ 1 , \ldots , n \} , | Q | \geq 2 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { m } f _ { m } ( \xi ) [ b _ { 1 } \otimes \cdots \otimes b _ { m } ] v } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m } \int _ { \Delta _ { m } } e ^ { ( s _ { 1 } - 1 ) | \xi | ^ { 2 } x } b _ { 1 } e ^ { ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) | \xi | ^ { 2 } x } \cdots b _ { m } e ^ { - s _ { m } | \xi | ^ { 2 } x } v \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi = } & { \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial ( u _ { \textup { I } } + u _ { \textup { S } } ) } { \partial n } ( u _ { \textup { I } } ^ { * } + u _ { \textup { S } } ^ { * } ) \right] } \\ { = } & { \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial u _ { \textup { I } } } { \partial n } u _ { \textup { I } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { I } } } { \partial n } u _ { \textup { S } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { S } } } { \partial n } u _ { \textup { I } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { S } } } { \partial n } u _ { \textup { S } } ^ { * } \right] } \\ { = } & { \, \phi _ { \textup { I } } + \phi _ { \textup { M } } + \phi _ { \textup { S } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu ^ { 1 } = 0 \to 0 } \\ & { } & { \mu ^ { 2 } = 2 J _ { 2 } \left( M _ { 2 } ( 3 ) - M _ { 2 } ( 4 ) \right) \to J _ { 2 } M _ { 1 , 0 } } \\ & { } & { \mu ^ { 3 } = 3 J _ { 3 } \left( M _ { 3 } ( 4 ) - 3 M _ { 3 } ( 6 ) + 2 M _ { 3 } ( 8 ) \right) \to J _ { 3 } M _ { 0 , 1 } } \\ & { } & { \mu ^ { 4 } = 2 J _ { 2 } ^ { 2 } \left( M _ { 4 } ( 5 ) - 4 M _ { 4 } ( 8 ) + 3 M _ { 4 } ( 9 ) \right) \to J _ { 2 } ^ { 2 } M _ { 2 , 0 } } \\ & { } & { \quad \ \ \vdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta v _ { \mathrm { K S , A } } ^ { i } ( \mathbf { r } ) = 2 \sum _ { \vec { G } } { u _ { \vec { G } } ^ { i } ( \vec { q } ) } \textnormal { c o s } \big ( \left( \mathbf { q } + \mathbf { G } \right) \cdot \mathbf { r } \big ) \ . } \end{array}
\delta { \boldsymbol { \varepsilon } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \nabla \delta \mathbf { u } + ( \nabla \delta \mathbf { u } ) ^ { \mathsf { T } } \right) \, ; \qquad \nabla \cdot { \boldsymbol { \sigma } } + \mathbf { b } = \mathbf { 0 } \, .
L _ { a p p } = \varepsilon ^ { t a r g e t } L _ { \lambda , b } ^ { t a r g e t } + \left[ 1 - \varepsilon ^ { t a r g e t } \right] \left[ \varepsilon ^ { r e f l e c t i o n } L _ { \lambda , b } ^ { r e f l e c t i o n } + \left( 1 - \varepsilon ^ { r e f l e c t i o n } \right) L _ { \lambda , b } ^ { w a l l } \right] \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \lfloor K \cap L \rfloor ( x ) = } & { \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \cap L \} } \\ { \ge } & { \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \} \vee \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \cap L \} = \lfloor K \rfloor ( x ) \vee \lfloor L \rfloor ( x ) , } \\ { \lfloor K \cup L \rfloor ( x ) = } & { \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \cup L \} } \\ { \le } & { \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \} \wedge \operatorname* { i n f } \{ t \in \mathbb { R } : ( x , t ) \in K \cap L \} = \lfloor K \rfloor ( x ) \wedge \lfloor L \rfloor ( x ) . } \end{array}
\Delta E = \frac { 2 } { 3 } \, \frac { ( Z \alpha ) ^ { 4 } \, \mu c ^ { 2 } } { \pi \, n ^ { 3 } } \, \delta _ { \ell 0 } \, \left( \frac { \mu \, c \, r _ { p } } { \hbar } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { D \left( \mu \| \nu \right) = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \log \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \nu } \right) \mathrm { d } \mu , \ \chi ^ { 2 } \left( \mu \| \nu \right) = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \nu } - 1 \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \nu . } \end{array}
\textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = G _ { 1 i } , \textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = G _ { 2 i }
\begin{array} { r } { \frac { \partial D } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } u \cdot D + \frac { \partial } { \partial y } v \cdot D + \frac { \partial } { \partial z } w \cdot D = } \\ { \frac { \partial } { \partial x } P _ { x } \frac { \partial D } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial y } P _ { y } \frac { \partial D } { \partial y } + \frac { \partial } { \partial z } P _ { z } \frac { \partial D } { \partial z } + Q ( x , y , z , t ) - \alpha D , } \end{array}
\langle \dot { a } _ { \Sigma / \Delta } ^ { 2 } \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } S _ { \Sigma / \Delta } ^ { v v } ( \Omega ) \mathrm { d } \Omega = \int _ { 0 } ^ { \infty } \Omega ^ { 2 } [ S _ { \Sigma / \Delta } ^ { x x } ( \Omega ) - S _ { \mathrm { n n } } ] \mathrm { d } \Omega .
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha \beta } } & { { } = - 3 \eta _ { 0 } \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) \left( h _ { \mu } h _ { \nu } - \frac { \delta _ { \mu \nu } } { 3 } \right) \partial _ { \mu } V _ { \nu } , } \\ { Q _ { v i s c } } & { { } = 3 \eta _ { 0 } \left( \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) \partial _ { \alpha } V _ { \beta } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 2 R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) } | \rho ^ { \nu } ( t ) | ^ { q } d x } & { \lesssim \int _ { B _ { R _ { 1 } } ^ { c } } | \rho _ { 0 } ^ { \nu } | ^ { q } d x + \frac { \nu } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad + \| b _ { 1 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { s } ( \mathbb { H } ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q s ^ { \prime } } ( ( 0 , T ) , L ^ { q s ^ { \prime } } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad + \| b _ { 2 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { \infty } ( \mathbb { H } ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad + \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) ) } ^ { q - 1 } } \\ & { \lesssim \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) } ^ { q } + \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q s ^ { \prime } } ( ( 0 , T ) , L ^ { q s ^ { \prime } } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad + \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } + \frac { \nu } { R _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) ) } \left( \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } + \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } \right) ^ { q - 1 } } \\ & { \lesssim \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) } ^ { q } + \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q s ^ { \prime } } ( ( 0 , T ) , L ^ { q s ^ { \prime } } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } } \\ & { \quad + \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } + \frac { \nu } { R _ { 1 } ^ { 2 } } + \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } } & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell } \bigg ( 1 + \frac { 1 7 } { 1 6 I } \bigg ) ^ { t - \ell } \bigg ( 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } E _ { \ell } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } F _ { \ell } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } G _ { \ell } + 3 2 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } J _ { \ell } } \\ & { \qquad + 3 2 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } Q _ { \ell } + 8 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 2 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 6 4 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { l } } ^ { 2 } D _ { \bar { \ell } } + 1 2 8 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } G _ { \bar { \ell } } + 3 2 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } J _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg ( 4 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } E _ { \ell } + 4 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } F _ { \ell } + 4 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } G _ { \ell } + 9 6 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } J _ { \ell } } \\ & { \qquad + 9 6 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } Q _ { \ell } + 2 4 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 9 6 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 9 2 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 3 8 4 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { l } } ^ { 2 } D _ { \bar { \ell } } + 3 8 4 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } G _ { \bar { \ell } } + 9 6 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } J _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \end{array}
\alpha _ { i } ^ { n + 1 } = \alpha _ { i } ^ { n } \frac { \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } - \lambda _ { i i } ( 0 , 0 ) } { \lambda _ { i i } ( \alpha _ { i } ^ { n } , 0 ) - \lambda _ { i i } ( 0 , 0 ) } ; \qquad \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } = E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N + 1 ) - E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N )
\| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \leq C _ { 4 } \frac { \delta ^ { 4 } } { \rho ^ { 2 } \lambda _ { K } ^ { 2 } l } + C _ { 5 } \frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } + C _ { 6 } \frac { s \rho } { \lambda _ { K } } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } .
\sigma \Omega = \frac { 1 } { 2 } e ^ { i } \wedge e ^ { j } ( \partial _ { i } { \cal { A } } _ { j } - \partial _ { j } { \cal { A } } _ { i } + \frac { i } { h } \{ { \cal { A } } _ { i } , { \cal { A } } _ { j } \} _ { M o y a l } ) - \omega = { \cal { F } } - \omega
h ( \underline { { { \theta } } } , { \underline { { { z } } } } ) = \prod _ { 1 \le i < j \le 4 } F ( \theta _ { i j } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \phi ( \theta _ { i } - z _ { j } ) \, \tau ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \, ,
D _ { \mathrm { K L } } ( X _ { 1 } \, \| \, X _ { 2 } ) = { \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } - 1 - \ln { \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \right)
\boldsymbol { \Phi } _ { t } = \boldsymbol { \Phi } _ { t - 1 } - \eta _ { t } \left( \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \mathbf { Q } _ { t } \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \boldsymbol { \Phi } _ { t - 1 } \boldsymbol { \Phi } _ { t - 1 } ^ { \top } - \mathbf { I } _ { m _ { t } } \right) \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \boldsymbol { \Phi } _ { t - 1 } .
\pi ( a ) = \sum _ { i \in \Gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } \hat { \nu } _ { 1 \, i } \, a _ { i } \, \hat { \nu } _ { 1 } + \sum _ { i \in \Gamma _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \hat { \nu } _ { 2 \, i } \, a _ { i } \, \hat { \nu } _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Delta { \bf H } ( \Delta { \bf P } ^ { n } ) } & { { } = \Delta { \bf H } ( \Delta { \bf P } ^ { n - 1 } + \underbrace { \Delta { \bf P } ^ { n } - \Delta { \bf P } ^ { n - 1 } } _ { \Delta _ { n } ( \Delta { \bf P } ) } ) } \end{array}
a _ { t _ { l } , j , k , h , \xi } ( \zeta , w ) = i \frac { \langle \nabla _ { \zeta } \tilde { a } _ { t _ { l } , j , k , h , \xi } , \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } \rangle } { | \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } | ^ { 2 } } - 2 i \tilde { a } _ { t _ { l } , j , k , h , \xi } \frac { \langle H _ { \zeta } ( \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } ) \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } , \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } \rangle } { | \nabla _ { \zeta } \Phi _ { \xi , w , t _ { l } , \delta } | ^ { 4 } } .
e ^ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad e ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad e ^ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \theta = 0 . 1 1 5 9 9 5 3 6 0 8 4 8 6 4 1 6 \times 1 0 ^ { 0 } , } \\ & { } & { \lambda = 0 . 2 8 2 5 6 3 3 4 0 4 1 7 7 0 5 1 \times 1 0 ^ { 0 } , } \\ & { } & { \chi = 0 . 3 0 3 5 2 3 6 0 5 6 7 0 8 4 5 4 \times 1 0 ^ { - 2 } , } \\ & { } & { \xi = 0 . 1 2 2 6 0 8 8 9 8 9 5 3 6 3 6 1 \times 1 0 ^ { - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { { } } & { - \frac { j } { 8 } \left[ H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) + H _ { 2 } ( k _ { o } \rho ) \cos ( 2 \theta ) \right] } \\ { E _ { y } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { { } } & { - \frac { j } { 8 } \left[ H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) - H _ { 2 } ( k _ { o } \rho ) \cos ( 2 \theta ) \right] } \\ { E _ { z } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { { } } & { - \frac { j } { 4 } H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \sin ^ { 2 } x \cos 4 x \, d x } & { { } = \int \left( { \frac { e ^ { i x } - e ^ { - i x } } { 2 i } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { e ^ { 4 i x } + e ^ { - 4 i x } } { 2 } } \right) d x } \end{array}
[ - { \frac { \delta _ { \rho } } { k ^ { - } } } + 2 \delta _ { c } ] { \frac { v ( X ) } { X } } = [ { \frac { \delta _ { a } } { ( k ^ { - } ) ^ { 2 } } } - 2 { \frac { \delta _ { \rho } } { k ^ { - } } } + \delta _ { c } ( 3 - { \frac { k ^ { 4 } } { ( k ^ { - } ) ^ { 4 } } } ) ] { \frac { \partial v ( X ) } { \partial X } } ,
\left( { \frac { p } { q } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { \frac { q } { p } } \right) } & { p \equiv 1 { \bmod { 4 } } \quad { \mathrm { ~ o r ~ } } \quad q \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { - \left( { \frac { q } { p } } \right) } & { p \equiv 3 { \bmod { 4 } } \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad q \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. }
\frac { g ^ { 2 } c _ { v } \delta ^ { a b } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { M ^ { 2 } } { 4 0 } C _ { 2 } - \frac { 9 M ^ { 6 } } { 1 5 4 \Lambda ^ { 4 } } C _ { 4 } \right) \delta _ { \mu \nu } .
G _ { 2 } ^ { \psi } = - \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \; G _ { 1 } ^ { \psi } - \frac { B _ { 0 } } { 2 \Omega _ { 0 } } \left( G _ { 1 } ^ { \mu } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \mu _ { 0 } } + g _ { 1 } ^ { \zeta } \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \right) \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } ,
\frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | ^ { 2 } | S _ { t } ^ { d - 2 } | } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , x ^ { 4 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 4 } ) S _ { t } ( x ^ { 4 } - x ^ { 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } f _ { i } ( x ^ { i } ) ,
\begin{array} { r l } & { x = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { k , k } + e _ { 2 n + 1 , 2 n + 1 } , \; \; y = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { n + k , n + k } + e _ { 2 n + 1 , 2 n + 1 } , } \\ & { E _ { i } = \sum _ { k = 1 } ^ { n - i } ( e _ { k , k + i } - e _ { n + i + k , n + k } ) , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n - 1 , } \\ & { A _ { i } = e _ { 2 n + 1 , i } , \; \; B _ { i } = e _ { 2 n + 1 , n + i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { c o l , i } } \triangleq \operatorname* { P r } ( \exists { z } ^ { k } : { z } ^ { k } \in A _ { \epsilon } ( { X } ^ { k } | Y _ { t } ^ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { z } ^ { k } \mathrm { ~ i s ~ a ~ s u b s e q u e n c e ~ o f ~ } \tilde { X } _ { i } ^ { ( n - a ) s _ { \operatorname* { m a x } } } . ) . } \end{array}