{ \begin{array} { r l } { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { u } ) ] } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \Delta r _ { 3 , i } } & { \Delta r _ { 2 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } } & { 0 } & { - \Delta r _ { 1 , i } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } } & { 0 } \end{array} \right] } \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \Delta r _ { 3 , i } } & { \Delta r _ { 2 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } } & { 0 } & { - \Delta r _ { 1 , i } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } \end{array} \right] } \right) \right) \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ a s ~ m a t r i x ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \Delta r _ { 3 , i } } & { \Delta r _ { 2 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } } & { 0 } & { - \Delta r _ { 1 , i } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 3 } } \\ { + \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 1 } - \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 3 } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 2 } } \end{array} \right] } \right) } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } { \left[ \begin{array} { l } { - \Delta r _ { 3 , i } ( + \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 1 } - \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 3 } ) + \Delta r _ { 2 , i } ( - \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 2 } ) } \\ { + \Delta r _ { 3 , i } ( - \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 3 } ) - \Delta r _ { 1 , i } ( - \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 2 } ) } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } ( - \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 3 } ) + \Delta r _ { 1 , i } ( + \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 1 } - \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 3 } ) } \end{array} \right] } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } { \left[ \begin{array} { l } { - \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 3 } - \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 2 } } \\ { - \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 3 } + \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 1 } - \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } \, u _ { 2 } } \\ { + \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 2 } - \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } \, u _ { 3 } + \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 1 } - \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } \, u _ { 3 } } \end{array} \right] } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } { \left[ \begin{array} { l } { - ( \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } ) \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 3 } } \\ { + \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 1 } - ( \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } ) \, u _ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 3 , i } \, u _ { 3 } } \\ { + \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 1 , i } \, u _ { 1 } + \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 2 , i } \, u _ { 2 } - ( \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } ) \, u _ { 3 } } \end{array} \right] } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } { \left[ \begin{array} { l l l } { - ( \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } ) } & { \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } \Delta r _ { 3 , i } } \\ { \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 1 , i } } & { - ( \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 3 , i } ^ { 2 } ) } & { \Delta r _ { 2 , i } \Delta r _ { 3 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 1 , i } } & { \Delta r _ { 3 , i } \Delta r _ { 2 , i } } & { - ( \Delta r _ { 1 , i } ^ { 2 } + \Delta r _ { 2 , i } ^ { 2 } ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } \end{array} \right] } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta r _ { i } ] ^ { 2 } \mathbf { u } } \\ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { u } ) ] } & { = \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta r _ { i } ] ^ { 2 } \right) \mathbf { u } \; \ldots \; \mathbf { u } { \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ c h a r a c t e r i s t i c ~ o f ~ } } P _ { i } } \end{array} }