harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { g } _ { i j c } = \frac { C \cdot w _ { c } } { \sum _ { c ^ { \prime } } w _ { c ^ { \prime } } } g _ { i j c } } & { { } } & { w _ { c } = \frac { 1 } { \sum _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } | g _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } c } | } } \end{array}
\phi _ { o p t } ( t , z , \theta ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \int _ { S ^ { d } } d \mu ( \theta ^ { \prime } ) e ^ { \frac { d z ^ { \prime } } { \beta _ { H } } } \left( G \partial _ { z ^ { \prime } } \varphi ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) - \partial _ { z ^ { \prime } } G \varphi ( z ^ { \prime } , t ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) \right) _ { z ^ { \prime } = Z } \ ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathfrak { o } } \psi _ { 1 } ( x ) \chi ( x ) \lvert \cdot \rvert [ x ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \times } x } & { = \int _ { \mathfrak { o } - \mathfrak { p } } \psi _ { 1 } ( x ) d ^ { \times } x + \int _ { \mathfrak { p } } \chi ( x ) \lvert \cdot \rvert [ x ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \times } x = - \frac { 1 } { q - 1 } + \frac { \chi ( \varpi ) q ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } { 1 - \chi ( \varpi ) q ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \ll q ^ { - \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\log p ( D | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } ) \propto - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } n _ { i } \left( \frac { D _ { i } } { { \cal N } _ { i , k } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } ) } + \log { \cal N } _ { i , k } ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } ) \right) ,
\begin{array} { r } { C ^ { - 1 } ( \Omega ) : = \operatorname* { i n f } _ { \mu ( \Omega ) = 1 } \int _ { \Omega } \int _ { \Omega } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { d } | x - y | } } \, d \mu ( x ) \, d \mu ( y ) , } \end{array}
\mathbb { S } ( \vartheta , \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } ) = \mu ( \vartheta ) \left( \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } + \nabla _ { x } ^ { \top } \textbf { \textup { u } } - \frac { 2 } { 3 } ( \mathrm { d i v } _ { x } \textbf { \textup { u } } ) \mathbb { I } \right) + \eta ( \vartheta ) ( \mathrm { d i v } _ { x } \textbf { \textup { u } } ) \mathbb { I } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q _ { i , + } \frac { e ^ { \pm i q _ { i , + } x _ { + } } } { - 2 i k _ { i , 0 } - 2 \pi q _ { i , + } \sin \pi q _ { i , - } } = - \frac { i } { \sin \pi q _ { i , - } } e ^ { \pm \frac { k _ { i , 0 } x _ { + } } { \pi \sin \pi q _ { i , - } } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \times \Big [ \chi ( x _ { + } > 0 ) \chi ( \pm \frac { k _ { i , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { i , - } } < 0 ) - \chi ( x _ { + } < 0 ) \chi ( \pm \frac { k _ { i , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { i , - } } > 0 ) \Big ] , } \end{array}
( \nabla _ { T } - i q _ { i j } \hat { z } ) . [ \stackrel { \leftrightarrow } { C } ] : ( \nabla _ { T } - i q _ { i j } \hat { z } ) \otimes \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } + \rho _ { 0 } { \Omega _ { i j k } ^ { 2 } } \vec { u } _ { k } ^ { \: i j } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - \frac { a _ { 0 } C } { { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 \mathrm { { R a } } } \left[ b - 2 a _ { 0 } ^ { 2 } \right] \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { b } { 8 { \mathrm { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \, E g ( E ) \gamma ( E ) \exp \left( - \gamma ( E ) t \right) } \\ & { = \frac { \alpha \gamma \left( \alpha + 1 , \gamma _ { \mathrm { r } } t \right) } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { \alpha } t ^ { \alpha + 1 } } \sim \frac { \alpha \Gamma \left( \alpha + 1 \right) } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { \alpha } t ^ { \alpha + 1 } } , } \end{array}
c _ { 2 } = k \gamma 2 ^ { - \rho } [ \alpha ( 1 + \gamma ) ] ^ { - 1 } + k [ \alpha ( 1 + \gamma ) ( 1 + \rho ) ] ^ { - 1 } [ 2 + \rho 2 ^ { - \rho } ] - x _ { 0 } \rho 2 ^ { - \rho }
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \alpha } \mathbb { V } [ \tilde { Z } _ { \alpha } ^ { \prime } ] } \\ & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \alpha } \Bigl \{ \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } \mathsf { A } ( \mathsf { A } + 2 \Delta ) } { 1 2 } + \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \Bigr \} } \\ & { = \frac { \mathsf { A } ^ { 2 } + 2 \mathsf { A } \Delta } { \mathsf { A } ^ { 2 } + 2 \mathsf { A } \Delta + 1 2 \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R ( \theta ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - \tan { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \sin \theta } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - \tan { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f ( A ) \otimes g ( B ) } & { = \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } B + \gamma _ { 3 } A + \gamma _ { 4 } ( A \otimes B ) } \\ & { \, \, + \gamma _ { 5 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \mu B ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \, \mathrm { d } \nu _ { g } ( \mu ) + \gamma _ { 6 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \lambda A ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \, \mathrm { d } \nu _ { f } ( \lambda ) } \\ & { \, \, + \gamma _ { 7 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } A \otimes ( \mu B ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \, \mathrm { d } \nu _ { g } ( \mu ) + \gamma _ { 8 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \lambda A ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \otimes B \, \mathrm { d } \nu _ { f } ( \lambda ) } \\ & { \, \, + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \lambda A ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \otimes ( \mu B ^ { - 1 } + I ) ^ { - 1 } \, \mathrm { d } \nu _ { f } ( \lambda ) \mathrm { d } \nu _ { g } ( \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) \right] } \\ { \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } m _ { s } \left( y _ { j } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) - y _ { j - 1 } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + a _ { s } \left( y _ { j } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + c _ { s } \left( u _ { j } ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) = F _ { s } \left( q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) , } \end{array}
O _ { 0 } ( \omega ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \, e ^ { - i \omega t } O _ { 0 } ( t ) = \bar { h } _ { v } \delta ( \omega + i n \cdot \hat { D } ) h _ { v } \, ,
P = { \frac { 1 } { ( 1 + h _ { u } ^ { 2 } + h _ { v } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } { \left( \begin{array} { l l } { h _ { u u } ( 1 + h _ { v } ^ { 2 } ) - h _ { u v } h _ { u } h _ { v } } & { h _ { u v } ( 1 + h _ { u } ^ { 2 } ) - h _ { u u } h _ { u } h _ { v } } \\ { h _ { u v } ( 1 + h _ { v } ^ { 2 } ) - h _ { v v } h _ { u } h _ { v } } & { h _ { v v } ( 1 + h _ { u } ^ { 2 } ) - h _ { u v } h _ { u } h _ { v } } \end{array} \right) }
m s ( f i l l e d c i r c l e s ) . T h e l i n e s s h o w G a u s s i a n f i t s t o e a c h o f t h e r e s u l t s t o i d e n t i f y t h e m a g i c d e t u n i n g . ( c ) ~ E x a m p l e R a m s e y f r i n g e s f o r c a s e ( i ) ; t h e m o l e c u l e n u m b e r d e t e c t e d i n s t a t e
\begin{array} { r l } { \sqrt [ 3 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 3 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 3 } - 3 x - 2 c } \\ { \sqrt [ 4 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 4 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 4 } - 4 x ^ { 2 } - 2 c + 2 } \\ { \sqrt [ 5 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 5 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 5 } - 5 x ^ { 3 } + 5 x - 2 c } \\ { \sqrt [ 6 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 6 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 6 } - 6 x ^ { 4 } + 9 x ^ { 2 } - 2 c - 2 } \\ { \sqrt [ 7 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 7 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 7 } - 7 x ^ { 5 } + 1 4 x ^ { 3 } - 7 x - 2 c } \\ { \sqrt [ 8 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 8 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 8 } - 8 x ^ { 6 } + 2 0 x ^ { 4 } - 1 6 x ^ { 2 } - 2 c + 2 } \\ { \sqrt [ 9 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 9 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 9 } - 9 x ^ { 7 } + 2 7 x ^ { 5 } - 3 0 x ^ { 3 } + 9 x - 2 c } \\ { \sqrt [ 1 0 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 1 0 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 1 0 } - 1 0 x ^ { 8 } + 3 5 x ^ { 6 } - 5 0 x ^ { 4 } + 2 5 x ^ { 2 } - 2 c - 2 } \\ { \sqrt [ 1 1 ] { c - i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } + \sqrt [ 1 1 ] { c + i \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } } } & { \Rightarrow x ^ { 1 1 } - 1 1 x ^ { 9 } + 4 4 x ^ { 7 } - 7 7 x ^ { 5 } + 5 5 x ^ { 3 } - 1 1 x - 2 c } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { 0 } , n } = \: } & { \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } V _ { \mathrm { 0 , 1 } } + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) c _ { \mathrm { E } } \left( 1 - c _ { \mathrm { I } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } \ + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) \left( 1 - c _ { \mathrm { E } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } , } \end{array}
\vec { x } _ { 2 1 } = \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } = - ( \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } ) = - \vec { x } _ { 1 2 } , \qquad | \vec { x } _ { 2 1 } | = | \vec { x } _ { 1 2 } |
\partial _ { \rho ^ { * } } ^ { 2 } \Phi + \Phi = \frac 1 2 \partial _ { \rho } ( H ^ { \rho \rho } u ) \partial _ { \rho } \Phi - \rho ^ { - \frac 1 2 } ( \triangle _ { y } \phi + \frac 3 4 \phi ) + 2 \rho ^ { \frac 3 2 } H ^ { \rho y _ { i } } u \partial _ { \rho } \partial _ { y _ { i } } \phi + \rho ^ { \frac 3 2 } H ^ { y _ { i } y _ { j } } u \partial _ { y _ { i } } \partial _ { y _ { j } } \phi + \rho ^ { \frac 3 2 } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \fint _ { U } \left| \nabla v ( \cdot , U , p , q ) \right| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { \lambda ( U ) } \fint _ { U } \nabla v ( \cdot , U , p , q ) \cdot \mathbf { a } \nabla v ( \cdot , U , p , q ) } \\ & { = \frac { 2 } { \lambda ( U ) } J ( U , p , q ) } \\ & { \leq \frac { \Lambda ( U ) } { \lambda ( U ) } | p | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \lambda ( U ) ^ { 2 } } | q | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \lambda ( U ) } | p | | q | . } \end{array}
{ \tilde { q } } { \tilde { \bar { q } } } \rightarrow q { \tilde { N } } _ { 2 } ^ { 0 } { \bar { q } } { \tilde { N } } _ { 1 } ^ { 0 } \rightarrow q { \tilde { N } } _ { 1 } ^ { 0 } \ell { \bar { \ell } } { \bar { q } } { \tilde { N } } _ { 1 } ^ { 0 } \rightarrow
\sum _ { { \underline { { m } } } \supseteq T \supsetneq \varnothing } ( - 1 ) ^ { | T | - 1 } g ( { \underline { { m } } } \setminus T ) = \sum _ { \varnothing \subseteq S \subsetneq { \underline { { m } } } } ( - 1 ) ^ { m - | S | - 1 } g ( S ) = g ( { \underline { { m } } } )
\begin{array} { r } { b _ { E } = 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { E } ) \cdot ( \vec { r } _ { E } - \vec { r } _ { E ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D E } ^ { 2 } \, , } \\ { b _ { F } = 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { F } ) \cdot ( \vec { r } _ { F } - \vec { r } _ { F ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D F } ^ { 2 } \, , } \\ { b _ { G } = 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { G } ) \cdot ( \vec { r } _ { G } - \vec { r } _ { G ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D G } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { a = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { \mp 1 } } \\ { { - 1 } } & { { \pm 1 } } \end{array} \right) } } & { { b = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { \pm 1 } } \\ { { 1 } } & { { \pm 1 } } \end{array} \right) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { c = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { \pm 1 } } \\ { { 1 } } & { { \pm 1 } } \end{array} \right) } } & { { d = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - 1 } } & { { \mp 1 } } \\ { { - 1 } } & { { \pm 1 } } \end{array} \right) } } \end{array} ,
\mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } \leftarrow 0 \ \ \mathrm { i f } \ S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } < S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { \mathrm { m i n } } \lor S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } > S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { \mathrm { m a x } }
\displaystyle - \left( \frac { 9 1 9 } { 6 3 0 } + \frac { 7 1 } { 7 0 } \zeta ( 3 ) + \frac { 1 1 1 } { 5 6 0 } \zeta ( 4 ) + \frac { 1 } { 1 2 } \zeta ( 5 ) + \frac { 1 } { 5 6 0 } \zeta ( 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 1 2 } \zeta ( 6 ) \right)
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 3 } } { 2 \hslash ^ { 2 } } \int [ d \mathbf { k } ] } & { { } \Bigg ( \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } \right\} } \end{array}
\tau = { \frac { [ \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) , \mathbf { r } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) ] } { \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \| ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { \eta ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 5 ) = a { { \operatorname { s e c h } } ^ { 2 } } \left( \sqrt { 3 a / 4 { { h } ^ { 3 } } } \times \left( x _ { 1 } - 2 5 \right) \right) } \\ & { u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 5 ) = - \left( l + 1 / 2 a \right) \eta / \left( ( x _ { 1 } - 5 ) / 3 0 + \eta \right) } \\ & { u _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 5 ) = 0 } \end{array}
\dot { \theta } _ { g y } = \frac { e } { m c } \frac { 1 } { \varepsilon _ { \delta } } \partial _ { \mu _ { g y } } H _ { g y } + \frac { \nabla ^ { * } \theta _ { g y } } { \nabla ^ { * } X _ { g y } } \boldsymbol { \cdot } \frac { \partial \textbf { X } _ { g y } } { \partial t } .
\begin{array} { r l } { { G } _ { \alpha \beta } } & { { } = { A } _ { \alpha \beta } + 2 \xi _ { 3 } { \kappa } _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } + \xi _ { 3 } ^ { 2 } { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 , \beta } , } \\ { { G } _ { \alpha 3 } } & { { } = { G } _ { 3 \alpha } = { \bf { A } } _ { \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 } + \xi _ { 3 } { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 } = 0 , } \\ { { G } _ { 3 3 } } & { { } = { A } _ { 3 3 } = 1 , } \end{array}
J _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \pmb { \tau _ { } } : \pmb { \tau _ { } } = \frac { 1 } { 2 } \tau _ { i j } \tau _ { j i } = \frac { 1 } { 2 } \left( \tau _ { x x } ^ { 2 } + \tau _ { y y } ^ { 2 } \right) + \tau _ { x y } ,
\tilde { \Lambda } = \Lambda e ^ { 4 \sigma } \: , \qquad \qquad \tilde { m } ^ { 2 } = m ^ { 2 } e ^ { 2 \sigma } \: , \qquad \qquad \tilde { \varepsilon } _ { 1 } = \varepsilon _ { 1 } \, e ^ { 2 \sigma } \: . \nonumber
\begin{array} { r l } & { \tilde { \Gamma } _ { L } = \frac { - 2 g _ { L } ^ { 2 } v \sin k } { w f _ { k } } , ~ \tilde { \Gamma } _ { R } = \frac { - 2 g _ { R } ^ { 2 } w \sin k } { v f _ { k } } , } \\ & { \tilde { \Delta } _ { d } = \frac { g _ { L } ^ { 2 } ( w + v \cos k ) } { w f _ { k } } + \frac { g _ { R } ^ { 2 } ( v + w \cos k ) } { v f _ { k } } , } \end{array}
f _ { V _ { \lambda } } ^ { h } ( z ) = \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \sum _ { q ( V ) } f _ { q } ^ { h } ( \xi , \mu _ { i } ^ { 2 } ) f _ { V _ { \lambda } } ^ { q } \left( \frac { z } { \xi } , \frac { M ^ { 2 } } { s _ { q q } } \right) .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 2 } ^ { k } } & { \; { : = } \; \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 4 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + f ( x ^ { k } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) + \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { { } \to \quad \Omega _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { f _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { { } \to \quad f _ { s } ^ { ( \pm ) } ( \textbf { r } , \tau ) , } \\ { \rho _ { p q } ( \textbf { r } , t = \tau + z / c ) \quad } & { { } \to \quad \rho _ { p q } ( \textbf { r } , \tau ) } \end{array}
\delta \mu ^ { 2 } \sim \frac { Y ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \times M _ { \nu _ { R } } ^ { 2 } \ \ \ \ \mathrm { ~ w h e r e ~ } \ \ \ \ \left\{ \begin{array} { l } { { Y = \mathrm { { \ s c ~ Y u k a w a } ~ c o u p l i n g ~ o f ~ n e u t r i n o s , } } } \\ { { M _ { \nu _ { R } } = \mathrm { M a s s ~ o f ~ r i g h t - n e u t r i n o s . } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t e ^ { \mathrm { i } \lambda t } \frac { d } { d t } \omega _ { s } ( \tau _ { t } ( O ) ) = } \\ & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { C } d t e ^ { \mathrm { i } \lambda t } \frac { d } { d t } \omega _ { s } ( \tau _ { t } ( O ) ) + \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T - C } d t e ^ { \mathrm { i } \lambda t } \frac { d } { d t } \omega _ { s } ( \tau _ { t + C } ( O ) ) . } \end{array}
e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) = \frac { 1 } { N } \frac { F _ { j } \left( \mathbf { x } , \beta \right) w _ { j i } ^ { \left[ \beta \right] } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } F _ { k } \left( \mathbf { x } , \beta \right) w _ { k i } ^ { \left[ \beta \right] } } .
\boldsymbol { \nu } _ { \infty } ^ { ( \mathbf { a } ) } = \mathbf { 0 } \, \, , \, \, \boldsymbol { \nu } _ { X _ { s } } ^ { ( \mathbf { a } ) } = \left( \begin{array} { l } { - \nu _ { { X _ { s } } , 0 } ^ { ( \mathbf { a } ) } + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \mathbf { a } ) } + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \mathbf { a } ) } X _ { s } } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , 1 } ^ { ( \mathbf { a } ) } + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \mathbf { a } ) } } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , 2 } ^ { ( \mathbf { a } ) } } \\ { \vdots } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , r _ { s } - 1 } ^ { ( \mathbf { a } ) } } \end{array} \right) = \mathbf { 0 }
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { j } = \{ \pmb { \mathscr { s } } : \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = j \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } \pmb { \mathscr { s } } \in \mathbb { R } ^ { d } \} \cap \mathcal { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad 2 \alpha \Vert y _ { 1 } - y _ { 2 } \Vert } \\ & { \le g ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) - g ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } \\ & { \le g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - g ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) + 2 C _ { g } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert } \\ & { \le 2 C _ { g } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( g * B ) ( x ) = \ \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \ e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } } \ \mathrm { e r f c } \left( \frac { Q _ { 0 } \sigma ^ { 2 } - Q \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } \sigma \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { G } } _ { x x } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; w ) = } & { \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa } { p } r ^ { s } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) + J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \\ & { - \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } { \kappa } { p } r ^ { p } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) - J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \ell } _ { p } } & { { } : = \sum _ { i } { U _ { i p } w _ { i } \Delta \ell _ { i } } } \\ { \Delta \tilde { r } _ { p } } & { { } : = V _ { n p } \Delta r _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { L , [ x , \widehat { x } ] } ^ { ( i ) } } & { \le \alpha _ { L , [ y , \widehat { y } ] } ^ { ( i ) } , \qquad \alpha _ { U , [ y , \widehat { y } ] } ^ { ( i ) } \le \alpha _ { U , [ x , \widehat { x } ] } ^ { ( i ) } , } \\ { \beta _ { L , [ x , \widehat { x } ] } ^ { ( i ) } } & { \le \beta _ { L , [ y , \widehat { y } ] } ^ { ( i ) } , \qquad \beta _ { U , [ y , \widehat { y } ] } ^ { ( i ) } \le \beta _ { U , [ x , \widehat { x } ] } ^ { ( i ) } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \{ 1 , \ldots , k \} } \end{array}
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { q _ { k } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { k } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { k }
\begin{array} { r l } & { Y _ { X } = F ( \Bar { X } ) + \Big | \frac { \partial } { \partial X } F ( \Bar { X } ) \Big | \left( X - \Bar { X } \right) } \\ & { Y _ { X } - \Bar { Y } = F ( \Bar { X } ) - \Bar { Y } + \Big | \frac { \partial } { \partial X } F ( \Bar { X } ) \Big | \left( X - \Bar { X } \right) } \\ & { \sigma _ { Y \mid X } ^ { 2 } ( x ) = \Big \langle \big ( b + g ( x - \Bar { X } ) \big ) ^ { 2 } \Big \rangle _ { P ( Y ) } = \big ( b + g ( x - \Bar { X } ) \big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { o p } } ( a ^ { \dagger } a + b ^ { \dagger } b ) + \omega _ { \mathrm { o p } } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + | 2 \rangle \langle 2 | } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}