harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 1 } : = } & { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { d i a g } ( \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 2 } : = } & { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 3 } : = } & { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { j , z } ( k _ { x } , k _ { y } ) \! = \! - 2 \mathrm { I m } \sum _ { i \neq j } \frac { \langle j | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { x } ) | i \rangle \langle i | ( \partial { \cal H } / \partial k _ { y } ) | j \rangle } { ( E _ { j } - E _ { i } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \end{array}
{ H _ { 8 } ^ { \prime } ( m _ { c } ) \; = \; H _ { 8 } ^ { \prime } ( \Lambda ) \; + \; { \frac { 1 6 } { 2 7 \beta _ { 0 } } } \log \left( { \frac { \alpha _ { s } ( \Lambda ) } { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } } \right) \; H _ { 1 } \; , }
\begin{array} { r l } { N u _ { b } ( t ) } & { { } \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , - 1 / 2 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \\ { N u _ { m } ( t ) } & { { } \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , 0 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \\ { N u _ { t } ( t ) } & { { } \equiv \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ~ N u ( x , 1 / 2 , t ) ~ \mathrm { d } x , } \end{array}
\left\vert I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { j , k } ) \right\vert = \left\vert I _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } ) \right\vert + \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \, , \qquad \forall \, j , k \in \mathbb { Z } \, ,
= \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \delta _ { k _ { 2 } k _ { 1 } } \mathbf { I } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) ,
F _ { L } = \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } x ^ { 2 } \int \frac { d z } { z ^ { 3 } } \cdot [ \frac { 1 6 } { 3 } F _ { 2 } + 8 \sum Q _ { q } ^ { 2 } ( 1 - \frac { x } { z } ) g ]
\begin{array} { r l } { \xi _ { r } ( t , r , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 3 } ) } & { : = \alpha _ { 1 } r \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } t } } { \theta _ { r } } \right) + \alpha _ { 3 } r e ^ { - \theta _ { r } t } } \\ { \xi _ { \lambda } ( t , \lambda , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) } & { : = \alpha _ { 2 } \lambda \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } t } } { \theta _ { \lambda } } \right) + \alpha _ { 4 } \lambda e ^ { - \theta _ { \lambda } t } } \\ { \psi _ { u } ^ { r } ( t , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } & { : = \alpha _ { 1 } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( t - u ) } } { \theta _ { r } } \right) + \alpha _ { 2 } \rho \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } } { \theta _ { \lambda } } \right) } \\ & { \ \ \ + \alpha _ { 3 } \left( e ^ { - \theta _ { r } ( t - u ) } \right) + \alpha _ { 4 } \rho e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } } \\ { \psi _ { u } ^ { \lambda } ( t , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) } & { : = \alpha _ { 2 } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } } { \theta _ { \lambda } } \right) + \alpha _ { 4 } \left( e ^ { - \theta _ { \lambda } ( t - u ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { A } } } D \overline { { \mathbb { F } } } ( x _ { 0 } ) \| _ { H _ { 1 } } \leq \| I _ { d } - \overline { { \mathbb { A } } } D \overline { { \mathbb { F } } } _ { 0 } ( x _ { 0 } ) \| _ { H _ { 1 } } + \| \overline { { \mathbb { A } } } \| _ { H _ { 2 } , H _ { 1 } } \| D \mathbb { G } ( \tilde { u } ) - D \mathbb { G } ( u _ { 0 } ) \| _ { l , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { l } } & { = D _ { l } \varphi _ { l } + M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } \left( \frac { 1 } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } q _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } q _ { l } ) \right) + S T _ { l , L } , } \\ { q _ { r } } & { = D _ { r } \varphi _ { r } - M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } ( t _ { r , L } ^ { T } q _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } q _ { l } ) \right) + S T _ { r , R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid X _ { t } , \widehat { f } _ { t - 1 } , \pi _ { t } \Bigg ] \Bigg | \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { H ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { Q } , \boldsymbol { P } ) = \frac { 1 } { 2 } U ( \boldsymbol { Q } ) ( q _ { d } ^ { 2 } + p _ { d } ^ { 2 } - 2 \gamma _ { M } ) + H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( U ) } ( \boldsymbol { Q } , \boldsymbol { P } ) } \\ { + \sum _ { k } ^ { G } \frac { \epsilon _ { k } } { 2 } ( q _ { k } ^ { 2 } + p _ { k } ^ { 2 } - 2 \gamma _ { L } ) + \sum _ { k } ^ { G } t _ { k } ( q _ { d } q _ { k } + p _ { d } p _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \left( M \right) = \binom { M } { 2 } \log \left( 2 \right) - \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } } & { \leq \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } } ( \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } - \lambda _ { x , i _ { x } , k } ) } \\ & { + \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } , } \end{array}
\kappa _ { l } ^ { \mathrm { n u m } } ( \boldsymbol { x } ) = \vert \boldsymbol { b _ { l } } \times \boldsymbol { b _ { l } } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { B _ { l } } \vert / \vert \boldsymbol { B _ { l } } \vert
\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } = \xi - 3 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } , \quad k _ { 2 } = 3 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 3 } = \zeta + 2 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , \quad k _ { 4 } = 1 , } \\ & { k _ { 5 } = 2 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , \quad k _ { 6 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 7 } = 1 , \quad k _ { 8 } = - \xi \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \zeta \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 3 } + \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } , } \\ & { k _ { 9 } = \xi - 3 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } , \quad k _ { 1 0 } = 3 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , \quad k _ { 1 1 } = - \zeta + 2 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 1 2 } = 1 , } \\ & { k _ { 1 3 } = 2 \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 1 4 } = \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , \quad k _ { 1 5 } = 1 , \quad k _ { 1 6 } = - \xi \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } - \zeta \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 3 } + \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } , } \\ & { k _ { 1 7 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 8 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 9 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 2 0 } = \frac { 1 } { \mu } . } \end{array}
F _ { 1 } ( u ) = \frac { 1 } { 6 \zeta ( 4 ) } \int _ { u } ^ { \infty } \frac { d x } { e ^ { x } - 1 } \left( x ^ { 3 } - \frac { 9 } { 2 } u ^ { 2 } x - u ^ { 3 } + 6 u ^ { 3 } \ln \left( \frac { x } { u } \right) + \frac { 9 u ^ { 4 } } { 2 x } \right) \, .
\displaystyle \frac { e _ { 1 } + 2 e _ { 2 } - 4 e _ { 1 } e _ { 2 } - 3 e _ { 2 } ^ { 2 } + 6 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } + 2 e _ { 2 } ^ { 3 } - 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 3 } } { 1 + e _ { 1 } - 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
\begin{array} { r } { \nu _ { k } E + Z _ { k } ^ { 2 1 } = 0 , - v _ { k } I + Z _ { k } ^ { 2 2 } = 0 , F _ { k } ^ { \top } + Z _ { k } ^ { 3 1 } = 0 , Z _ { k } ^ { 3 2 } = 0 , - \lambda _ { w } I + Z _ { k } ^ { 3 3 } = 0 , } \\ { C Q _ { k } + D Y _ { k } + Z _ { k } ^ { 4 1 } = 0 , Z _ { k } ^ { 4 2 } = 0 , G + Z _ { k } ^ { 4 3 } = 0 , - \nu _ { k } / \gamma _ { k } ^ { 2 } I + Z _ { k } ^ { 4 4 } = 0 , } \end{array}
R _ { l } ( r ) \equiv \frac { u _ { l } ( r ) } { \sqrt { r } } = \left\{ \begin{array} { l r } { { \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! J _ { l } ( \tilde { k } r ) \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! \! N _ { l } ( \tilde { k } r ) \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; } } & { { \textrm { f o r } \; \; r < a } } \\ { { \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! I _ { i \Theta } ( \kappa r ) \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! \! K _ { i \Theta } ( \kappa r ) \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; } } & { { \textrm { f o r } \; \; r > a } } \end{array} \right. \; \; ,
\begin{array} { r l } { S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } & { { } = - \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ } \left[ K _ { H } ( v , t _ { 0 } ; v , t ) K _ { H } ( c , t ; c , s ) K _ { H } ( v , s ; v , t _ { 0 } ) \right] + \beta _ { \mu } ^ { \textbf { k } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } - \beta _ { \| } ^ { \textbf { k } ^ { \prime } } - \omega t } \\ { R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } & { { } = \omega _ { g } ^ { \textbf { k } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } \left| \textbf { d } _ { \mu } ^ { \textbf { k } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle R _ { 1 } ( r , Y ) \rangle _ { \theta } } & { \approx } & { \sum _ { \nu } \, \left[ c _ { 1 \nu } \, \mathrm { e } ^ { - \nu \gamma r ^ { 2 } } + d _ { 1 \nu } \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( N - 1 ) } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { ( 2 \nu + 1 ) \gamma r ^ { 2 } } { 2 } } \right] \, \mathrm { e } ^ { - 2 \gamma \, \nu N ( Y - Y _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ T _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 4 } ( 1 - f _ { 4 } ) + T _ { 4 1 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) ] , } \end{array}
\int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } d \tau _ { 0 , 1 } \int _ { \tau _ { 0 , 1 } } ^ { T / 2 } d \tau _ { 0 , 2 } . . . \int _ { \tau _ { 0 , N - 1 } } ^ { T / 2 } d \tau _ { 0 , N } = \frac { T ^ { N } } { N ! }
\begin{array} { r l } { I ( L ) = \widetilde { C } ( \alpha ) \left( \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } , - \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha + 1 } } { D ( \alpha + 1 ) } \right) - \Theta ( \alpha + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } \right) \right) } & { { } \qquad \alpha \neq - 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ; \bar { \tau } _ { 1 } , \bar { t } _ { 1 } ) \cdots K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { n ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { n ^ { \prime \prime } } ^ ; \bar { \tau } _ { n } , \bar { t } _ { n } ) } \\ & { \approx \langle \mathbf { n } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , \bar { \tau } _ { 1 } , \bar { t } _ { 1 } ) \rangle \langle \mathbf { n } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , \bar { \tau } _ { 1 } , \bar { t } _ { 1 } ) \rangle } \\ & { \qquad \cdots \langle \mathbf { n } ( \mathbf { r } _ { n ^ { \prime } } ^ , \bar { \tau } _ { n } , \bar { t } _ { n } ) \rangle \langle \mathbf { n } ( \mathbf { r } _ { n ^ { \prime \prime } } ^ , \bar { \tau } _ { n } , \bar { t } _ { n } ) \rangle . } \end{array}
\eta _ { \perp } = n _ { i } \frac { \nu _ { i e } } { \omega _ { c i } } \frac { \rho _ { i } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \frac { Q } { 4 B } = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 4 } \nu _ { i e } \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { \omega _ { c i } ^ { 2 } } \frac { \rho _ { i } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } .
\Phi _ { 1 2 } \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \overline { { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } } } } & { { \phi _ { 2 } ^ { + } } } \\ { { - \phi _ { 1 } ^ { - } } } & { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \sim ( 1 , 2 , 2 , 0 ) ,
W _ { \mu \nu } ^ { A } ( p _ { N } , s _ { N } , q ) = i \, \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \, q ^ { \, \rho } \bigg [ \, s _ { N } ^ { \, \sigma } \, \frac { g _ { 1 } } { p _ { N } \cdot q } + ( p _ { N } \cdot q \, s _ { N } ^ { \, \sigma } - s _ { N } \cdot q \, p _ { N } ^ { \, \sigma } ) \, \frac { g _ { 2 } } { ( p _ { N } \cdot q ) ^ { 2 } } \, \bigg ] .
\tilde { M } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( t ; \tau ) = \sum _ { E _ { i } } \mathrm e ^ { - \mathrm i E _ { i } t } b ( E _ { i } ; \tau ) \mathrm e ^ { \mathrm i \varphi ( E _ { i } ; \tau ) } ( M _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } ^ { * } ) ^ { - 1 } \mathrm e ^ { - ( E _ { i } / E _ { c } ) ^ { \alpha } } ,
\Delta U _ { R } ^ { f \dagger } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 9 } } V _ { R 1 2 } ^ { f \dagger } \kappa _ { 2 } ^ { f * } \eta _ { 2 3 } ^ { f } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 9 } } V _ { R 2 2 } ^ { f \dagger } \kappa _ { 2 } ^ { f * } \eta _ { 2 3 } ^ { f } } } \\ { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { 9 } } \kappa _ { 2 } ^ { f } \eta _ { 2 3 } ^ { f * } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { k } } & { = \sqrt { 1 + \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } ^ { 2 } / \mathbb { C } ^ { 2 } } , \quad \boldsymbol { v } _ { k } = \frac { \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } } { \gamma _ { k } } , } \\ { \varepsilon _ { k } } & { = \frac { \left( \boldsymbol { p } / m \right) _ { k } ^ { 2 } } { 1 + \gamma _ { k } } = \left( \gamma _ { k } - 1 \right) \mathbb { C } ^ { 2 } , } \end{array}
f _ { \mathcal { T } } ( \boldsymbol { \xi } ) = \sum _ { p = 1 } ^ { 3 } \frac { \mathrm { e } ^ { - i \mathbf { z } _ { p } \cdot \boldsymbol { \xi } } } { ( \textbf { e } _ { p ^ { - } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) ( \textbf { e } _ { p ^ { + } } \cdot \boldsymbol { \xi } ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) \to } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } ( X _ { s } ^ { 0 } , X _ { s - \cdot } ^ { 0 } , \beta ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \Bigg [ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ( X _ { s } ^ { 0 } , X _ { s - \cdot } ^ { 0 } , \beta ) \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } ( X _ { s } ^ { 0 } , X _ { s - \cdot } ^ { 0 } , \beta ) \bigg ) \Bigg ] \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) } & { = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \Bigg \{ - \Bigg | \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi + \omega , p ) } { \omega } \Bigg | ^ { 2 } \, \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) } \\ & { - 2 \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] \times \Re \left\{ \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , p ) \right\} } \\ & { + \frac 1 { 2 \omega ^ { 2 } } \Bigg [ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( - \omega + \varpi , p ) \Bigg ] \Bigg \} \times \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { 5 } = \frac { - i } { Q ^ { 2 } } \left. \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d K ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d L ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { \ln ( 1 - Z _ { K Q } Z _ { K L } Z _ { L Q } ) } { ( K ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( L ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) } \right| _ { Q ^ { 2 } = - M _ { H } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E } { \partial \theta } } & { { } = } & { \left[ \left( 1 - i \alpha _ { 1 } \right) N _ { 1 } + \left( 1 - i \alpha _ { 2 } \right) N _ { 2 } - \kappa + \mathcal { L } \right] E , } \\ { \frac { \partial N _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { \gamma _ { 1 } \left( J _ { 1 } - N _ { 1 } \right) - N _ { 1 } \left| E \right| ^ { 2 } , \, N _ { 1 } ( \overrightarrow { r _ { \perp } } , 0 ) = J _ { 1 } } \\ { \frac { \partial N _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { \gamma _ { 2 } \left( J _ { 2 } - N _ { 2 } \right) - \hat { s } N _ { 2 } \left| E \right| ^ { 2 } \, , N _ { 2 } ( \overrightarrow { r _ { \perp } } , 0 ) = J _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \\ { C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\Delta \phi \left( t \right) = \delta \phi \left( t \right) - \delta \phi \left( t - \tau _ { d } \right) = \arctan \left( \frac { Q \left( t \right) } { I \left( t \right) } \right) - \overline { { \Omega } } \tau _ { d } + \Delta \Omega \, t + \xi _ { \phi } \left( t \right)
\begin{array} { r } { \left| \begin{array} { l l l l l l } { ( \lambda - \Tilde { Q } _ { 0 } ) } & { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } \\ { P _ { 1 } } & { ( \lambda - \Tilde { Q } _ { 1 } ) } & { R _ { 1 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \mathrm { F } } ( t , \tau ) } & { = \frac { \tau ^ { 3 } \operatorname { s i n h c } ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \tau \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \tau \right) } { t ^ { 3 } \operatorname { s i n h c } ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) } } \\ { H ^ { \mathrm { G } } ( t , \tau ) } & { = \frac { ( T - t ) ^ { 3 } \operatorname { s i n h c } ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) } { ( T - \tau ) ^ { 3 } \operatorname { s i n h c } ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - \tau ) \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - \tau ) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \left( - a \left( s \right) \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) = \left( - a _ { 1 } \left( s \right) - a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } \\ { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) } & { { } = } & { \left( - a \left( s \right) \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) = \left( - a _ { 1 } \left( s \right) - a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { J } } _ { c } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } | r ( \mathbf { x } _ { i } ^ { c } ; \theta ) | ^ { 2 } , } \\ { \hat { \mathcal { J } } _ { b } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } | \mathcal { B } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { b } , u ( \mathbf { x } _ { i } ^ { b } ; \theta ) ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { n , p _ { w } } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \eta _ { n , p _ { w } } + i _ { n , p _ { w } } R _ { f i l m , w } = \Delta \phi _ { n } ^ { s } - \Delta \phi _ { w } ^ { e q } ( c _ { n , p _ { w } } ) + i _ { n , p _ { w } } R _ { f i l m , w } } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \pi , \eta } = \frac { \alpha } { 4 \pi } \left[ \frac { \pi ^ { o } } { f _ { \pi } } + \frac { 5 } { 3 } \frac { \eta } { f _ { \pi } } \right] F _ { \mu \nu } \tilde { F } ^ { \mu \nu } ~ ,
\mathbb { E } [ | | \textbf { U } _ { N _ { \delta } } - \textbf { U } _ { N } | | _ { W } ^ { 2 } ] \leq \int _ { \boldsymbol { \Gamma } } \hat { \Delta } _ { N } ^ { N _ { \delta } } ( y ) ^ { 2 } \ d y \leq | \boldsymbol { \Gamma } | \operatorname* { s u p } _ { y \in \boldsymbol { \Gamma } } \hat { \Delta } _ { N } ^ { N _ { \delta } } ( y ) ^ { 2 } ,
u ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - h ^ { 2 } h ^ { \prime } \left[ \chi f \left( \frac { z } { h } \right) - ( \chi - 1 ) \left( 1 - \frac { Y } { h } \right) \frac { z } { h } \right] } & { 0 \le z \le Y } \\ { - h ^ { 2 } h ^ { \prime } \left[ f \left( \frac { z } { h } \right) + ( \chi - 1 ) \frac { Y ^ { 2 } } { 2 h ^ { 2 } } \right] } & { Y \le z \le h } \end{array} \right.
0 \to H ^ { n } ( X ^ { \prime } ; \mathcal { H } ) \overset { ( \pi ^ { \prime } ) ^ { * } } \to H ^ { n } ( E ^ { \prime } ; \mathcal { H } ) \to H ^ { 0 } ( X ^ { \prime } ; \mathcal { H } ^ { \vee } \otimes \mathcal { H } ) \overset { d _ { n + 1 } } \to H ^ { n + 1 } ( X ^ { \prime } ; \mathcal { H } ) \overset { ( \pi ^ { \prime } ) ^ { * } } \to H ^ { n + 1 } ( E ^ { \prime } ; \mathcal { H } )