harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\langle \phi _ { n ^ { \prime } } \left| p _ { i } \frac { 1 } { E _ { n ^ { \prime } } - H _ { S } - k } p _ { j } \right| \phi _ { n } \right\rangle = } \\ & { - k ( E _ { n ^ { \prime } } - E _ { n } - k ) \left\langle \phi _ { n ^ { \prime } } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { n ^ { \prime } } - H _ { S } - k } r _ { j } \right| \phi _ { n } \right\rangle \qquad } \\ & { + ( k - \frac { 1 } { 2 } ( E _ { n ^ { \prime } } - E _ { n } ) ) \left\langle \phi _ { n ^ { \prime } } \left| r _ { i } r _ { j } \right| \phi _ { n } \right\rangle + \frac { 3 } { 2 } \delta _ { n ^ { \prime } n } . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { S } ( w _ { S } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| W _ { S } f _ { \theta } ( x _ { i } ) - y _ { i } \| } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { r } ( ( W _ { S } f _ { \theta } ( x _ { i } ) - y _ { i } ) _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r } ( ( W _ { S } f _ { \theta } ( x _ { i } ) - y _ { i } ) _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \| W _ { S } { Z _ { S } } - Y ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \| Y ^ { \top } ( { Z _ { S } } ^ { \top } ( { Z _ { S } } { Z _ { S } } ^ { \top } ) ^ { \dagger } { Z _ { S } } - I ) \| _ { F } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \| ( I - { Z _ { S } } ^ { \top } ( { Z _ { S } } { Z _ { S } } ^ { \top } ) ^ { \dagger } { Z _ { S } } ) Y \| _ { F } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho ( x , z , t ) = \rho _ { 2 } + ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) \theta ( z - \zeta ( x , t ) ) } \\ & { u ( x , z , t ) = u _ { 2 } ( x , z , t ) + ( u _ { 1 } ( x , z , t ) - u _ { 2 } ( x , z , t ) ) \theta ( z - \zeta ( x , t ) ) } \\ & { w ( x , z , t ) = w _ { 2 } ( x , z , t ) + ( w _ { 1 } ( x , z , t ) - w _ { 2 } ( x , z , t ) ) \theta ( z - \zeta ( x , t ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c + \omega \delta ( x ) } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ - L , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { { } = \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { - L } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ - L , L ] } \end{array}
- \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } = - \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i j } + \nu _ { t } \left( \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) ,
a _ { n } = \frac { m \psi _ { n } ( m x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - \psi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( m x ) } { m \psi _ { n } ( m x ) \xi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - \xi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( m x ) }
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { \mathrm { i n } } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } d ^ { 2 } { \mathbf { r } } d z \hat { A } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , z ; t ) V _ { \mathrm { i n } } ^ { \ast } \left( \mathbf { r } , z ; t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { J } F ( B ) } & { = } & { T \left( - \frac 1 2 { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } B - B { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } - \frac 1 2 B { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J - \frac 1 2 J { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } B \right) } \\ & { = } & { - \frac { T } 2 \left( I d + J \right) { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } B - T B \left( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } + \frac 1 2 { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( \theta ( y ) - \theta _ { n } ( y ) ) \theta ( p _ { k } ) a \| _ { \tau _ { N } } } & { \leq \| \theta ( x - y ) \theta ( p _ { k } ) a \| _ { \tau _ { N } } + \| \theta _ { n } ( x - y ) \theta _ { n } ( p _ { k } ) a \| _ { \tau _ { N } } } \\ & { \quad + \| ( \theta ( x p _ { k } ) - \theta _ { n } ( x p _ { k } ) ) a \| _ { \tau _ { N } } + \| \theta _ { n } ( y ) ( \theta ( p _ { k } ) - \theta _ { n } ( p _ { k } ) ) a \| _ { \tau _ { N } } } \\ & { < 2 \| a \| \| \theta ( x - y ) \theta ( p _ { k } ) \| _ { \tau _ { N } } + \varepsilon / 4 + \| ( \theta ( p _ { k } ) - \theta _ { n } ( p _ { k } ) ) a \| _ { \tau _ { N } } } \\ & { < \varepsilon . } \end{array}
\sigma _ { \chi p } ( s c a l a r ) = \frac { 4 \mu _ { r } ^ { 2 } } { \pi } ( \sum _ { i = u , d , s } f _ { i } ^ { p } C _ { i } + \frac { 2 } { 2 7 } ( 1 - \sum _ { i = u , d , c } f _ { i } ^ { p } ) \sum _ { a = c , b , t } C _ { a } ) ^ { 2 }
\begin{array} { c c c } { { { } } } & { { \displaystyle { \int } \displaystyle { \frac { \mathrm { d } ^ { D - 1 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { D - 1 } } } \displaystyle { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { - i \infty + \delta } ^ { i \infty + \delta } N \left( z \right) \left[ \displaystyle { \frac { 1 } { \left( \vec { q } ^ { 2 } - z ^ { 2 } \right) } } \; \; \displaystyle { \frac { 1 } { \left( \vec { p } + \vec { q } \right) ^ { 2 } - \left( p _ { 0 } + z \right) ^ { 2 } } } \right] } } & { { { } } } \\ { { { } } } & { { { } } } & { { { } } } \\ { { { } } } & { { \left( N \left( z \right) \equiv \left( \mathrm { e } ^ { \beta z } - 1 \right) ^ { - 1 } \right) } } & { { { } } } \end{array}
\delta { \cal E } = \delta { \cal E } _ { 0 } - \frac { 3 \hbar ^ { 2 } } { 4 m } \int d ^ { 3 } \vec { r } \, \varphi ^ { \dagger } [ ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon } ) ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \nabla } ) + ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \nabla } ) ( \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon } ) ] \varphi \, { , }
\begin{array} { r l } { \textrm { I n s e t H e l i c e s : } \phi _ { 1 / 2 } } & { { } = ( 0 - 2 \pi ) } \\ { \alpha _ { 1 / 2 } } & { { } = 3 \phi _ { 1 / 2 } } \\ { a _ { 1 / 2 } } & { { } = 0 . 3 } \\ { R _ { 1 } } & { { } = 0 . 8 5 } \\ { R _ { 2 } } & { { } = 1 . 1 5 } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf J } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } ( { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } , } \end{array}
Q _ { 1 } = ( \bar { s } _ { \alpha } u _ { \beta } ) _ { V - A } \; ( \bar { u } _ { \beta } d _ { \alpha } ) _ { V - A } ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 2 } = ( \bar { s } u ) _ { V - A } \; ( \bar { u } d ) _ { V - A }
H \, = \, \int d x \left( \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \tilde { g } ^ { i j } \pi _ { i } \pi _ { j } \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, g _ { i j } \partial _ { x } \phi ^ { i } \partial _ { x } \phi ^ { j } \, \right) \, .
( \bar { e } _ { R } , \bar { \mu } _ { R } , \bar { \tau } _ { R } ) \left( \begin{array} { l l l } { { k _ { E } ^ { e e } v _ { 1 } \epsilon ^ { 6 } } } & { { k _ { E } ^ { e \mu } v _ { 1 } \epsilon ^ { 4 } } } & { { k _ { E } ^ { e \tau } v _ { 1 } \epsilon ^ { 4 } } } \\ { { k _ { E } ^ { \mu e } v _ { 1 } \epsilon ^ { 4 } } } & { { k _ { E } ^ { \mu \mu } v _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } } & { { k _ { E } ^ { \mu \tau } v _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { k _ { E } ^ { \tau e } v _ { 1 } \epsilon ^ { 4 } } } & { { k _ { E } ^ { \tau \mu } v _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } } & { { k _ { E } ^ { \tau \tau } v _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { e _ { L } } } \\ { { \mu _ { L } } } \\ { { \tau _ { L } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) } \\ { * } & { = \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : \xi ^ { * } L _ { 1 } + L _ { 2 } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) \Big \} . } \end{array}
\partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \phi = - 2 \delta F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } \frac { \phi ^ { 8 \delta - 1 } } { \Lambda ^ { 8 \delta } \left( 1 + \frac { \phi ^ { 8 \delta } } { \Lambda ^ { 8 \delta } } \right) ^ { 2 } } - m ^ { 2 } \phi ,
\mathcal { G } _ { \alpha \beta } = \left\{ \begin{array} { l l l } { g _ { e \mu } ^ { \prime 2 } } & { , } & { ~ \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu } \\ { g _ { e \tau } ^ { \prime 2 } } & { , } & { ~ \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \tau } \\ { g _ { \mu \tau } ^ { \prime } ( \xi - \sin \theta _ { W } \chi ) \frac { e } { 4 \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } } & { , } & { ~ \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r l } { C \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r } ( x ) ) } { r ^ { n } } \right) } & { \geq \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { s } ( x ) ) } { s ^ { n } } \right) - C \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - 1 } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } \right) d \rho } \\ & { - C _ { \beta } \varepsilon ^ { 2 } \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { - M \gamma - 2 - \beta ( n - 1 ) } \left( \frac { \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { \varepsilon \rho ^ { ( 1 - \beta ) ( n - 1 ) } } \right) d \rho } \\ & { - \tilde { C } _ { \beta } \left( 1 + \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { \gamma - 1 } d \rho - C } \\ & { \geq \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { s } ( x ) ) } { s ^ { n } } \right) - C \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - 1 } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } \right) d \rho - C . } \end{array}
\delta { \cal E } = D ( p , q , r ) { \cal E } D ^ { T } ( p , q , r ) - { \cal E } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { ( r b - q c ) } } & { { ( p c - r a ) } } & { { ( q a - p b ) } } \\ { { - ( r b - q c ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - ( p c - r a ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - ( q a - p b ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { C } = } & { { } ~ \frac { 1 } { N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) } \\ { = } & { { } ~ \frac { p _ { C D } } { N } w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left[ ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | C } ) + \left( - c + w _ { I } b + ( 1 - w _ { I } ) \frac { - 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | C } - q _ { C | D } ) } { k } b \right) \right] \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 1 } } & { = k _ { 0 } \left( - 1 , 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 3 } } & { = k _ { 0 } \left( 1 , 1 , - 1 \right) , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 2 } } & { = k _ { 0 } \left( 1 , - 1 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 4 } } & { = k _ { 0 } \left( - 1 , - 1 , - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , N ) } } & { { } \binom { k } { f } \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\frac { 1 } { 3 } \, \delta I _ { \mathrm { G L S } } = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } \frac { 8 e ^ { 5 / 3 } } { 9 \pi } \, \frac { \Lambda _ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \approx \frac { 0 . 1 \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \kappa } & { = \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } \left( 1 + T _ { \mathrm { r } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( 0 . 7 - T _ { \mathrm { r } } \right) } \\ { \kappa _ { 0 } } & { = 0 . 3 7 8 8 9 3 + 1 . 4 8 9 7 1 5 3 \, \omega - 0 . 1 7 1 3 1 8 4 8 \, \omega ^ { 2 } + 0 . 0 1 9 6 5 5 4 \, \omega ^ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { \mathop { V a r } } \big [ \hat { P } ( y \mid \theta _ { t } ) \big ] } & { = \frac { 1 } { S n _ { \mathrm { e x p } } } \mathrm { \mathop { V a r } } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) I ( \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) \ge y ) \big ] } \\ & { \le \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e x p } } } \left( \frac { P ( y \mid \theta _ { t } ) - P ( y _ { \mathrm { m a x } } \mid \theta _ { t } ) } { C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } ( y - \epsilon ) \big ] } + \frac { P ( y _ { \mathrm { m a x } } \mid \theta _ { t } ) } { C + 1 } - \frac { P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } } { S } \right) } \end{array}
k _ { D } ^ { * } ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = k _ { D } ^ { 0 * } F ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = k _ { D } ^ { 0 * } \frac { I _ { 1 } ( 4 \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) ) } { 2 \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) } , \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ \ \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = ( \frac { e _ { 0 } ^ { * 3 } | \mathbf { E } ^ { * } | } { 1 6 \pi \varepsilon ^ { * } k _ { B } ^ { * 2 } T ^ { * 2 } } ) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \langle \hat { X } \rangle = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } _ { O } } X _ { j } } { \mathcal { N } _ { O } } \approx \mathbb { E } [ \hat { X } ] = \textrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) , } \\ & { \langle \hat { Y } \rangle = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { \mathcal { N } _ { I } } Y _ { j } } { \mathcal { N } _ { I } } \approx \mathbb { E } [ \hat { Y } ] = \textrm { T r } ( \rho ^ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } P ( s _ { 0 } \to s | u _ { 0 } ) = \Gamma _ { S } ^ { 0 } \biggl [ } & { e ^ { - \beta \sigma } u _ { 0 } P ( s _ { 0 } \to s ^ { \prime } ) \delta _ { s ^ { \prime } , s - 1 } + } \\ & { + s ^ { \prime } P ( s _ { 0 } \to s ^ { \prime } ) \delta _ { s ^ { \prime } , s + 1 } + } \\ & { - P ( s _ { 0 } \to s ^ { \prime } ) \delta _ { s ^ { \prime } , s } \left( s ^ { \prime } + e ^ { - \beta \sigma } u _ { 0 } \right) \biggr ] } \end{array}
\left( \frac { \rho } { \rho _ { \mathrm { p e a k } } } \right) \, \alpha _ { s } ( \Lambda \, \frac { \rho } { \rho _ { \mathrm { p e a k } } } ) = \left( \frac { \rho _ { \mathrm { p e a k } } } { \rho } \right) \, \alpha _ { s } ( \Lambda \, \frac { \rho _ { \mathrm { p e a k } } } { \rho } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } } \\ { \widehat { n } } \\ { \widehat { b } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \alpha } & { \beta } \\ { - \alpha } & { 0 } & { \gamma } \\ { - \beta } & { - \gamma } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } } \\ { \widehat { n } } \\ { \widehat { b } } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \tilde { H } } _ { q } ( Y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { Z } , } & { q = n - k { \mathrm { ~ o r ~ } } q = n , } \\ { \{ 0 \} , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \int { \frac { 4 \cos x } { ( 1 + \cos x ) ^ { 3 } } } \, d x } & { { } = \int { \frac { 2 } { 1 + u ^ { 2 } } } { \frac { 4 \left( { \frac { 1 - u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } } \right) } { \left( 1 + { \frac { 1 - u ^ { 2 } } { 1 + u ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 } } } \, d u = \int ( 1 - u ^ { 2 } ) ( 1 + u ^ { 2 } ) \, d u } \end{array}
\varepsilon _ { M } ^ { \mathrm { R P A } } ( \vec { q } , \omega ) = \frac { 1 } { 1 + \frac { 4 \pi } { \left| \vec { q } \right| ^ { 2 } } \chi _ { \scriptscriptstyle \vec { G } \vec { G } } ^ { \mathrm { R P A } } ( \vec { k } , \omega ) } .
\begin{array} { r } { \{ A _ { i } , B _ { j } \} w \neq 0 , \qquad \{ B _ { i } , C _ { j } \} w \neq 0 , \qquad \{ C _ { i } , A _ { j } \} w \neq 0 , \quad \textrm { w h e n e v e r } \; i \neq j } \end{array}
\dot { \Pi } : = \sum _ { ( i , j ) } \frac { ( R _ { i j } p _ { j } ^ { \mathrm { s s } } - R _ { j i } p _ { i } ^ { \mathrm { s s } } ) ^ { 2 } } { R _ { i j } p _ { j } ^ { \mathrm { s s } } + R _ { j i } p _ { i } ^ { \mathrm { s s } } } = \sum _ { ( i , j ) } \frac { J _ { i j } ^ { 2 } } { A _ { i j } } .
{ \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { \vert { M } _ { { L } _ { i } } \vert ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { ~ P ~ } } ^ { \vert { M } _ { { L } _ { i } } \vert }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T - \delta } \| \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } ( t + \delta ) - \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } ( t ) \| _ { ( \mathbb { V } _ { \textup { d i v } } ^ { h _ { n } } ) ^ { * } } \, \mathrm { d } t \to 0 \quad ( \delta \to 0 ) \quad \mathrm { u n i f o r m l y ~ i n ~ } n \in \mathbb { N } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( \phi _ { 1 } ) } & { { } = \frac { \omega _ { 1 } - \Omega } { \sigma \left( k _ { 1 } + 1 \right) r } \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } ; } \\ { \cos ( \phi _ { j } ) } & { { } = \frac { \left( \omega _ { j } - \Omega \right) \sin ( \phi _ { 1 } ) \pm \sqrt { \left( 1 - \sin ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } ) \right) \left( \sigma ^ { 2 } \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { 2 \alpha } - \left( \omega _ { j } - \Omega \right) ^ { 2 } \right) } } { \sigma \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { L } } & { { } = \int _ { \gamma _ { c } } ^ { \infty } \frac { \gamma \sqrt { \gamma ^ { 2 } - 1 } e ^ { - \frac { \gamma } { \chi } } } { \chi K _ { 2 } \left( 1 / \chi \right) } d \gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \phi } } & { { } = \phi + \sum _ { k } \epsilon _ { 2 k } ( \Delta x ) ^ { 2 k } \delta _ { x } ^ { 2 k } \phi = \phi + ( \Delta t ) \cdot \sum _ { k } \epsilon _ { 2 k } \lvert \lambda ^ { \prime } \rvert ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \delta _ { x } ^ { 2 k } \phi \ , } \end{array}
I _ { p } ( T ) = \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } } T _ { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } } T _ { a _ { 1 } b _ { 2 } c _ { 2 } } T _ { a _ { 2 } b _ { 1 } c _ { 2 } } T _ { a _ { 3 } b _ { 3 } c _ { 1 } } T _ { a _ { 3 } b _ { 2 } c _ { 3 } } T _ { a _ { 2 } b _ { 3 } c _ { 3 } }
= \exp \left\{ \left( \sum _ { g = 1 } ^ { \infty } \frac { v ^ { g } } { g ^ { q } } \right) \left( \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \frac { w ^ { h } } { h ^ { r } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { i ^ { s } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { j ^ { t } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k ^ { u } } \right) \right\} .
\frac { I _ { d } ( t ) } { I _ { 0 } } \propto \bigg | \sum _ { \xi = 1 } ^ { \xi _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } \tilde { \eta } _ { \xi } e ^ { - ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { \xi } ) t / 2 } e ^ { - i J _ { \xi } t } \bigg | ^ { 2 } .
{ \frac { 2 } { 1 } } = 2 . 0 , \quad { \frac { 3 } { 1 } } = 3 . 0 , \quad { \frac { 5 } { 2 } } = 2 . 5 , \quad { \frac { 8 } { 3 } } = 2 . 6 6 \dots , \quad { \frac { 3 7 } { 1 4 } } = 2 . 6 4 2 9 . . . , \quad { \frac { 4 5 } { 1 7 } } = 2 . 6 4 7 0 5 . . . , \quad { \frac { 8 2 } { 3 1 } } = 2 . 6 4 5 1 6 . . . , \quad { \frac { 1 2 7 } { 4 8 } } = 2 . 6 4 5 8 3 3 . . . , \quad \ldots
\begin{array} { r l } { \Delta v ( x ) } & { = \nabla \cdot \nabla ( u \circ O ) ( x ) } \\ & { = \nabla \cdot O ^ { t } \nabla u ( O x ) } \\ & { = O _ { j i } \partial _ { i } ( \partial _ { j } u \circ O ) ( x ) } \\ & { = O _ { j i } O _ { k i } ( \partial _ { k j } ^ { 2 } u ) ( O x ) } \\ & { = \delta _ { k j } ( \partial _ { k j } ^ { 2 } u ) ( G x ) } \\ & { = \Delta u ( O x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| U ( t , s ) \left( \rho _ { 1 } ( s ) \otimes \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ( s ) \right) \| _ { F } } \\ & { = \| U ^ { ( 1 ) } ( t , s ) \rho _ { 1 } ( s ) \otimes U ^ { ( 2 ) } ( t , s ) \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes U ^ { ( N ) } ( t , s ) \rho _ { N } ( s ) \| _ { F } } \\ & { = \| U ^ { ( 1 ) } ( t , s ) \rho _ { 1 } ( s ) \| _ { F } \cdot \| U ^ { ( 2 ) } ( t , s ) \rho _ { 2 } ( s ) \| _ { F } \cdots \| U ^ { ( N ) } ( t , s ) \rho _ { N } ( s ) \| _ { F } , } \end{array}
p _ { i } = - i \frac { \partial } { \partial \phi ^ { i } } - \frac { i } { 4 } \frac { \partial } { \partial \phi ^ { i } } l n ( | d e t g _ { i k } | ) - 2 i \omega _ { i \alpha \beta } \bar { \psi } _ { a } ^ { \alpha } \psi ^ { a \beta } ,
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = } & { } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } \end{array} \right] \textbf { U } + \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } \end{array} \right] \textbf { G } _ { 1 } + \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } \end{array} \right] \textbf { G } _ { 2 } } \\ { = } & { } & { \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } \textbf { U } + \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } \textbf { G } _ { 1 } + \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } \textbf { G } _ { 2 } } \end{array}
V ( \rho , \varphi , z ) = { \frac { 1 } { R } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, A _ { n } ( k ) J _ { n } ( k \rho ) \cos ( n ( \varphi - \varphi _ { 0 } ) ) e ^ { - k | z - z _ { 0 } | }
f ( \phi , p , I ) = \frac { W ( \phi _ { \mathrm { e q } } ( I ) , I ) } { \Delta \phi \, I } \big ( \phi - \phi _ { \mathrm { e q } } ( I ) \big ) + \mathcal { O } \big ( \big ( \phi - \phi _ { \mathrm { e q } } ( I ) \big ) ^ { 2 } \big ) ,
\mathbf { P } ( u , v ) = \left( \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } ( u , v ) \right) \mathbf { e } _ { u } + \left( \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } ( u , v ) \right) \mathbf { e } _ { v }
H _ { C } \, = \, \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \int d ^ { 2 } x \, d ^ { 2 } y \, \, \rho ^ { a } ( \vec { x } ) \, \, ( D ^ { - 2 } ) ^ { a b } ( \vec { x } , \vec { y } ) \, \, \rho ^ { b } ( \vec { y } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { x ( \phi ^ { ' } ) } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi ^ { ' } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi = \sqrt { \frac { 2 B } { P _ { 0 } } [ \sin \phi ^ { ' } - \sin \phi _ { 0 } ] } , } \\ { y ( \phi ^ { ' } ) } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi ^ { ' } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } _ { 1 } } & { \lesssim \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) | \frac { | w - y | ^ { \rho } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim \frac { v ^ { - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \int \bar { p } _ { \alpha } ( v , y - w ) | w - y | ^ { \rho } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } . } \end{array}
\pi = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) d \psi } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 1 } ) ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c _ { 0 } ( a _ { 1 } ) ) } } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) ) d \psi } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 2 } ) ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + c _ { 0 } ( a _ { 2 } ) ) } } .
\langle V _ { \mathcal { O } } \rangle _ { t } - \langle V _ { \mathcal { O } } \rangle _ { 0 } = i \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { \infty } \theta ( t - t ^ { \prime } ) f ( t ^ { \prime } ) \langle { \Psi _ { 0 } } , \left[ V _ { \mathcal { P } } , ( V _ { \mathcal { O } } ) _ { I } ( t - t ^ { \prime } ) \right] { \Psi _ { 0 } } \rangle \mathrm { d } t ^ { \prime } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) ,