harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \mathbf { G } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x x } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { x y } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { x z } } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x y } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { y y } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { y z } } \\ { \zeta _ { x } \hat { \tau } _ { x z } + \zeta _ { y } \hat { \tau } _ { y z } + \zeta _ { z } \hat { \tau } _ { z z } } \\ { \zeta _ { x } { \beta } _ { x } + \zeta _ { y } { \beta } _ { y } + \zeta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
+ 3 c _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 1 } + c _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 3 } + c _ { 1 } ^ { 0 } a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 4 } - c _ { 2 } ^ { 0 } a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 3 } + c _ { 2 } ^ { 0 } a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 4 } - 3 a _ { 1 } ^ { 0 } c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 3 }
u ( y ) = u _ { 0 } \! \left( 1 - \frac { y ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad u _ { 0 } = \frac { d p } { d x } \cdot \frac { e ^ { 2 } } { 2 \eta } \, ,
\dot { \imath } \left( \begin{array} { c } { { \dot { \nu } _ { e L } } } \\ { { \dot { \bar { \nu } } _ { \mu R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \mu B ( r ) } } \\ { { \mu B ( r ) } } & { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e L } } } \\ { { \bar { \nu } _ { \mu R } } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { D } _ { t } u - \mathcal { L } _ { 1 } u - \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u + \lambda f ( u ) = g ( x , t ) \quad \mathrm { i n } \quad \Omega _ { T } , } \\ { u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) \qquad \mathrm { i n } \qquad \bar { \Omega } , } \\ { u ( x , t ) = 0 , \qquad \mathrm { o n } \qquad \partial \Omega _ { T } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) \approx \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \mathrm { i } \, \ell ^ { 2 } z / z _ { T } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { N A } } \! \! \! \theta d \theta \, J _ { 0 } ( 2 \pi \theta R / \lambda _ { e } ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi \theta ^ { 2 } z / \lambda _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { ( 1 ) } } & { = } & { \mu ^ { * } + \sigma ^ { * } U _ { ( 1 ) } } \\ { R _ { ( 2 ) } - R _ { ( 1 ) } } & { = } & { \sigma ^ { * } ( U _ { ( 2 ) } - U _ { ( 1 ) } ) } \\ { \frac { R _ { ( i ) } - R _ { ( 1 ) } } { R _ { ( 2 ) } - R _ { ( 1 ) } } } & { = } & { \frac { U _ { ( i ) } - U _ { ( 1 ) } } { U _ { ( 2 ) } - U _ { ( 1 ) } } , \qquad ( i = 3 , . . . , n ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { \frac { \tau } { 2 } [ V ( \mathbf { Q } ^ { \prime } ) + V ( \mathbf { Q } ) ] , } \\ { V ( \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { \sum _ { i < j } v _ { i j } . } \end{array}
\psi ( v ) = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { 2 } } r + v + a - 1 } } \left\{ \ln \Gamma ( v + a ) + v - { \frac { 1 } { 2 } } \ln 2 \pi - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { r } } \sum _ { n = 0 } ^ { r - 2 } ( r - n - 1 ) \ln ( v + a + n ) + { \frac { 1 } { r } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } N _ { n + 1 , r } ( a ) } { ( v ) _ { n } } } ( n - 1 ) ! \right\} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } | f ( z ) - f _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } & { \leq 2 \int _ { B ( x , R ) } | f ( z ) - f _ { n } ( z ) | ^ { 2 } d \mu ( z ) } \\ & { + 2 \int _ { B ( x , R ) } | f _ { n } ( z ) - ( f _ { n } ) _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } \\ & { + 2 \int _ { B ( x , R ) } | ( f _ { n } ) _ { B ( x , R ) } - f _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } \\ & { \leq 4 \| f - f _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } ^ { 2 } + C R ^ { 2 } \int _ { B ( x , \lambda ^ { \prime } R ) } d \Gamma ( f _ { n } , f _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ f ( X _ { s } ^ { n } ) \right] } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { n , 0 , x } ) \right] \; p _ { 0 } ^ { n } ( x ) \; \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { n , t , 0 } ) \right] \dot { c } _ { 0 } ^ { n } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { n , 0 , x } ) \right] \; \rho ^ { n } ( \mathrm { d } x ) + \int _ { c _ { 0 } ^ { n } ( s ) } ^ { 1 } \mathbb { E } \left[ f ( R _ { s } ^ { n , \beta _ { t } ^ { n } , 0 } ) \right] \mathrm { d } t , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ s \ge 0 , } \end{array}
P _ { d f } ^ { i n c } ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { v s } ^ { \prime } , \omega ) = \int _ { \mathcal { D } _ { t a r } } \frac { \partial _ { 3 , v s } G _ { 0 } ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { v s } , \omega ) } { \frac { 1 } { 2 } i \omega \rho ( \textbf { x } _ { v s } ) } G _ { d f } ^ { + , + } ( \textbf { x } _ { v s } , \textbf { x } _ { v s } ^ { \prime } , \omega ) W ( \omega ) \, d \textbf { x } _ { v s } ,
{ \sigma } _ { { \gamma } _ { T } ^ { \ast } p } ( W ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \to \infty ; { \bar { z } } _ { T } ) = \frac { \alpha } { 3 \pi } \left( \frac { e _ { q } } { e _ { 0 } } \right) ^ { 2 } { \sigma } _ { ( q { \bar { q } } ) p } ^ { ( \infty ) } \frac { 3 ( 1 - 2 { \bar { z } } _ { T } ( 1 - { \bar { z } } _ { T } ) ) } { 4 { \bar { z } } _ { T } ( 1 - { \bar { z } } _ { T } ) } \left\lbrack \frac { 1 } { R _ { 0 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } + { \cal O } \left( \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } \right) \right\rbrack \ .
| J v j \kappa _ { j } \rangle \equiv \frac { \chi _ { v j } ( r ) } { r } \sqrt { \frac { 2 J + 1 } { 4 \pi } } D _ { M \kappa _ { j } } ^ { J * } ( \alpha , \beta , \gamma ) Y _ { j , \kappa _ { j } } ( \theta , 0 ) .
\dot { C } _ { l , X F } ^ { ( \alpha ) } = \sum _ { \nu } ^ { N _ { n } } \sum _ { k } \frac { \mathbf { Q } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } } { M _ { \nu } } \cdot \Delta \mathbf { f } _ { \nu , l k } ^ { ( \alpha ) } \rho _ { k k } ^ { ( \alpha ) } C _ { l } ^ { ( \alpha ) }
F _ { i j } = \frac { 1 } { A _ { i } } \int _ { A _ { i } } \int _ { A _ { j } } \frac { \cos { \theta _ { i } } \cos { \theta _ { j } } } { \pi r _ { i j } ^ { 2 } } d A _ { i } d A _ { j } { , } F _ { j i } = \frac { 1 } { A _ { j } } \int _ { A _ { i } } \int _ { A _ { j } } \frac { \cos { \theta _ { j } } \cos { \theta _ { i } } } { \pi r _ { j i } ^ { 2 } } d A _ { j } d A _ { i } { , }
{ \mathcal { P } } ( \Delta M | M , t ) \operatorname { d } \ln \Delta M \operatorname { d } \ln t = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } { \Bigg [ } { \frac { S _ { 1 } } { ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } } { \Bigg ] } ^ { 3 / 2 } \exp { \Bigg [ } - { \frac { \delta _ { c } ^ { 2 } ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } { 2 S _ { 1 } S _ { 2 } } } { \Bigg ] } { \Bigg | } { \frac { \operatorname { d } \ln \delta _ { c } } { \operatorname { d } \ln t } } { \Bigg | } { \Bigg | } { \frac { \operatorname { d } \ln S _ { 2 } } { \operatorname { d } \ln \Delta M } } { \Bigg | } { \frac { \delta _ { c } } { \sqrt { S _ { 2 } } } } \mathrm { d } \ln t \, \mathrm { d } \ln \Delta M
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ N ] \mathbb { E } \left( f \left( R _ { o , 1 } \left( G _ { 1 } , G _ { 2 } , \ldots , G _ { ( \hat { N } + 1 ) d } \right) , o , 1 \right) \right) } & { = \mathbb { E } [ N ] \mathbb { E } \left( f \left( S _ { o , 1 } ( \hat { G } _ { 0 } , \hat { G } _ { 1 } , \hat { G } _ { 2 } , \ldots , \hat { G } _ { d } ) \right) , 1 , o \right) } \\ & { = \mathbb { E } [ N ] \mathbb { E } \left( f \left( S _ { o , 1 } ( \hat { G } _ { 0 } , \hat { G } _ { 1 } , \hat { G } _ { 2 } , \ldots , \hat { G } _ { d } ) \right) , 1 , o \right) , } \end{array}
\hat { m } _ { 0 } ( \hat { r } , t ) = C ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) \hat { r } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { 4 \chi } { \theta _ { c } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) } \sqrt { \hat { r } } \right) ,
E = \left( { \frac { 2 e ^ { 2 } } { L _ { B } } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k \; d k \; } { k ^ { 2 } + k _ { B } ^ { 2 } r _ { B } ^ { 2 } } } \; M \left( { \mathit { l } } + 1 , 1 , - { \frac { k ^ { 2 } } { 4 } } \right) \; M \left( { \mathit { l } } ^ { \prime } + 1 , 1 , - { \frac { k ^ { 2 } } { 4 } } \right) \; { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k { \frac { r _ { 1 2 } } { r _ { B } } } \right)
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \lambda ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \frac { \eta } { \lambda } } { \xi } \pi } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \lambda ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \frac { \eta } { \lambda } } { \xi } \pi } ,
\begin{array} { r l } { B _ { 0 } ( x ) } & { { } = 1 , } \\ { B _ { 1 } ( x ) } & { { } = x - { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { B _ { 2 } ( x ) } & { { } = x ^ { 2 } - x + { \frac { 1 } { 6 } } , } \\ { B _ { 3 } ( x ) } & { { } = x ^ { 3 } - { \frac { 3 } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } x , } \\ { B _ { 4 } ( x ) } & { { } = x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 0 } } , } \end{array}
\delta _ { I } \mathcal { P } _ { 2 i } ^ { a } = - \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 i j k } F ^ { j k a } + \partial _ { i } \pi ^ { a } , \; \delta _ { I } \mathcal { P } _ { 1 } ^ { a } = - \pi ^ { a } + \pi ^ { ( 1 ) a } , \; \delta _ { I } \mathcal { P } _ { 2 } ^ { a } = \pi ^ { ( 2 ) a } ,
\mathrm { ~ Q ~ u ~ i ~ e ~ s ~ c ~ e ~ n ~ t ~ f ~ a ~ r ~ - ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ : ~ } p = 0 , ~ ~ u = 0 , ~ ~ c = 0 ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ ~ x = \pm \infty ,
K = i \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda ^ { \prime } \; s e ^ { i \lambda ^ { \prime } ( \pi ^ { \prime \prime } - \pi ^ { \prime } ) } e ^ { - i [ s \lambda ^ { \prime } ( \gamma ^ { \mu } P _ { \mu } ^ { \prime } - m ) + { \frac { i } { s } } ( { \bar { \eta } } ^ { \prime \prime } - { \bar { \eta } } ^ { \prime } ) ( \eta ^ { \prime \prime } - \eta ^ { \prime } ) ] } \delta ^ { 4 } ( P ^ { \prime \prime } - P ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r l } & { i \omega R _ { 3 } \! \! - \! \! A _ { 0 _ { y } } ^ { 1 1 } \left[ f _ { r } \! \! + \! \! i f _ { i } \right] + 2 A _ { 0 } ^ { 1 1 } \left[ g _ { r _ { x } } \! \! + \! \! i g _ { i _ { x } } \right] + ( A _ { 0 } ^ { 1 2 } \! \! + \! \! A _ { 0 } ^ { 2 1 } ) \left[ - g _ { i _ { x } } \! \! + \! \! i g _ { r _ { x } } \! \! + \! \! i \alpha ( g _ { r _ { x } } + i g _ { i _ { x } } ) \right] } \\ & { + U _ { y } ( R _ { 3 } + R _ { 5 } ) + ( \frac { 1 } { W e } ) ( g _ { r _ { x } } + i g _ { i _ { x } } ) - \frac { R _ { 3 } } { W e } = 0 , } \end{array}
\index { \textbf { N o n l i n e a r m a p s } ! 1 6 0 @ \sigma _ { q , \eta } } \sigma _ { q , \eta } = H ^ { - 1 } ( q + \mathfrak { g } \eta + H \circ \varrho ( \mathfrak { F } _ { \eta } \cdot e _ { n } ) ) = H ^ { - 1 } ( - \mathfrak { g } \mathrm { i d } _ { \mathbb { R } ^ { n } } \cdot e _ { n } + q + \mathfrak { g } ( I - \mathcal { E } ) \eta ) : \Omega \to \mathbb { R } .
\begin{array} { r l } { \bigg ( 1 - \frac { 3 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } } { 4 * 1 6 ^ { 3 } I ^ { 5 } \hat { L } ^ { 4 } } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } } & { \leq \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } } { 2 * 1 6 ^ { 2 } I ^ { 4 } \hat { L } ^ { 2 } } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } B _ { \ell } + \frac { 3 \eta ^ { 2 } } { 3 2 I } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } E _ { \ell } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } } { 6 4 I } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } F _ { \ell } } \\ & { \qquad + \left( \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 2 I \hat { L } ^ { 2 } } + \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 3 2 I b _ { x } \hat { L } ^ { 2 } } + \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } { 1 6 I \hat { L } ^ { 2 } } \right) \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 3 } } \end{array}
\Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , z \right) = \frac { z ^ { x _ { 0 } } \left( \overline { { \alpha } } - z \right) \left( 1 - z \left( u \right) \right) \phi _ { \beta } \left( z \left( u \right) \right) - z \left( u \right) ^ { x _ { 0 } } \left( \overline { { \alpha } } - z \left( u \right) \right) \left( 1 - z \right) \phi _ { \beta } \left( z \right) } { \left( 1 - z \left( u \right) \right) \left( \overline { { \alpha } } - z + \alpha u z \phi _ { \beta } \left( z \right) \right) \phi _ { \beta } \left( z \left( u \right) \right) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { M ^ { 0 } } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { N _ { c } ( \frac { g _ { W } } { 2 \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } V _ { u d } { V ^ { \ast } } _ { u \bar { s } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { u } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { d } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { s } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + \left( \begin{array} { c } { \mu \leftrightarrow \nu } \\ { k _ { 1 } \leftrightarrow k _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\Omega ( N , T , V ) = { \frac { V ^ { N } } { N ! } } \Bigl \{ 1 + { \frac { N ^ { 2 } } { 2 V } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \Bigl ( \mathrm { e } ^ { - { \frac { \phi ( { \bf r } _ { i j } ) } { k T } } } - 1 \Bigr ) + \cdots \Bigr \} \ .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o n s } } & { \equiv \operatorname { p a i r } } \\ { \operatorname { h e a d } } & { \equiv \operatorname { f i r s t } } \\ { \operatorname { t a i l } } & { \equiv \operatorname { s e c o n d } } \\ { \operatorname { n i l } } & { \equiv \operatorname { f a l s e } } \\ { \operatorname { i s n i l } } & { \equiv \lambda l . l ( \lambda h . \lambda t . \lambda d . \operatorname { f a l s e } ) \operatorname { t r u e } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { S _ { H J } [ \varphi ] = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \Bigg [ { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R ^ { 1 / \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + e ^ { \varphi } \right] + { \frac { \epsilon } { \pi } } \int _ { | z | = 1 / \epsilon } | d z | \varphi - 4 \log \epsilon } \\ & { \quad \quad \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bigg [ { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { i } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \, \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + { \frac { 1 } { 2 \pi \epsilon } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } | d z | \, \varphi + \log \epsilon \bigg ] + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } \log r _ { i } [ H _ { i } ] \Bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } u + \partial _ { y } v = 0 , } \\ & { \partial _ { t } u + c ^ { 2 } \partial _ { x } \rho + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) v = 0 } \\ & { \partial _ { t } v + c ^ { 2 } \partial _ { y } \rho - \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) u = 0 } \\ & { ( \partial _ { x } v - \partial _ { y } u ) + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) \rho = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } } & { = \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \Delta t \operatorname { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } \right) J } \\ { \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } } & { = \frac { 3 } { 4 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t \operatorname { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } \right) J } \\ { \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } + \mathbf { 1 } } } & { = \frac { 1 } { 3 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \frac { 2 } { 3 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } \right) J , } \end{array}
V _ { \mathrm { e f f } } ( R ) = \langle \varphi _ { v _ { 0 } j _ { 0 } l _ { 0 } } ^ { J M } | V ( R , r , \gamma ) | \varphi _ { v _ { 0 } j _ { 0 } l _ { 0 } } ^ { J M } \rangle + \frac { l _ { 0 } ( l _ { 0 } + 1 ) \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu R ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { m ( \lambda ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 - \frac { \omega ^ { 2 } } { d _ { 0 } } \right) + \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 d _ { 0 } } ( w _ { 4 } - 3 ) - \log \left( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { d _ { 0 } } \right) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { d _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { w _ { 4 } - 1 } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | E ^ { \prime } | } & { \ge \left( \left( \frac { d ( G ) } { 2 } - \frac { d ( G ) } { 4 - d ( G ) } \right) \bigg / \left( 1 - \frac { d ( G ) } { 4 - d ( G ) } \right) \right) \binom { r } { 2 } } \\ & { = \left( \left( \frac { d ( G ) ( 4 - d ( G ) ) - 2 d ( G ) } { 2 ( 4 - d ( G ) ) } \right) \bigg / \left( \frac { 4 - d ( G ) - d ( G ) } { 4 - d ( G ) } \right) \right) \binom { r } { 2 } } \\ & { = \left( \left( \frac { d ( G ) ( 2 - d ( G ) ) } { 2 ( 4 - d ( G ) ) } \right) \bigg / \left( \frac { 2 ( 2 - d ( G ) ) } { 4 - d ( G ) } \right) \right) \binom { r } { 2 } } \\ & { = \frac { d ( G ) } { 4 } \binom { r } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi ( \omega ) = \frac { i } { \omega _ { p } } \frac { \kappa - i ( \omega + \omega _ { 0 } - \omega _ { p } ) } { [ \kappa - i ( \omega - \omega _ { p } / 2 ) ] ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ( f _ { p } ^ { 2 } - \mu _ { p } ^ { 2 } ) } , } \\ & { f _ { p } = F _ { p } / 2 \kappa \omega _ { p } , \quad \mu _ { p } = ( \omega _ { p } - 2 \omega _ { 0 } ) / 2 \kappa . } \end{array}
( W \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { s } = { \star } ( { \star } ( L ^ { \sharp } ) \wedge \mathbf { r } \wedge \mathbf { s } ) = { \star } ( \omega \wedge \mathbf { r } \wedge \mathbf { s } ) = { \star } ( \omega \wedge \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { s } = ( \omega \times \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { s } ,
{ \mathfrak { Q } } _ { \mathrm { s } } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } \left[ \/ { \mathfrak { P } } _ { \mathrm { s } } ( x ^ { \prime } ) - g d \/ \right] \mathrm { d } x ^ { \prime } \approx \sum _ { | n | > 0 } ^ { N } \frac { \mathrm { i } \mathfrak { p } _ { n } } { n k } \frac { \mathrm { e } ^ { - n k a } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n k ( x + \mathrm { i } \eta ) } } { \mathrm { e } ^ { - n k d } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \\ & { + \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot e ^ { - i p _ { 1 } \eta } \bigr ) } \\ & { + \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - i p _ { 1 } ( 2 \eta + \chi ) } \cdot \eta ( \eta + u _ { 1 } ( \eta + \chi ) ) \bigr ] \cdot e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } } \end{array}
A ( s , t ) = ( - s - t ) B ( \frac { 1 } { 2 } - s , \frac { 1 } { 2 } - t ) = \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } - s ) \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } - t ) } { \Gamma ( - s - t ) } .
\dot { x } _ { i } = \dot { \epsilon } = - ( x ^ { - } + \epsilon ) + K \left[ \frac { ( m - 1 ) \operatorname { t a n h } ( x ^ { - } ) + n \operatorname { t a n h } ( x ^ { + } ) \left( \frac { \epsilon + \delta } { x ^ { + } - x ^ { -- } \epsilon + \delta } \right) ^ { \beta } } { ( m - 1 ) + n \left( \frac { \epsilon + \delta } { x ^ { + } - x ^ { -- } \epsilon + \delta } \right) ^ { \beta } } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , q _ { \epsilon } D _ { \epsilon } \right\rangle - \left\langle \gamma , f + Z _ { \epsilon } ^ { \prime } + \mathring { Z } _ { \epsilon } \right\rangle } & { = 0 , \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \gamma , \mathring { Z } _ { \epsilon } \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u _ { \epsilon } \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { - l } } & { { } = u _ { 1 } * U ( u _ { 2 } ) * U ^ { 2 } ( u _ { 3 } ) * \ldots * U ^ { l - 2 } ( u _ { l - 1 } ) * U ^ { l - 1 } ( v _ { l } ) , } \\ { \phi _ { - l } } & { { } = u _ { 1 } * U ( u _ { 2 } ) * U ^ { 2 } ( u _ { 3 } ) * \ldots * U ^ { l - 2 } ( u _ { l - 1 } ) * U ^ { l - 1 } ( u _ { l } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \omega _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ { { \omega _ { 3 } ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { a _ { 1 1 } } } & { { a _ { 1 2 } } } \\ { { a _ { 2 1 } } } & { { a _ { 2 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \omega _ { 1 } } } \\ { { \omega _ { 3 } } } \end{array} \right) , \quad a _ { i j } \in { \bf Z } , \quad i , j = 1 , 2 , \quad a _ { 1 1 } a _ { 2 2 } - a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } = 1 .
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \right) E _ { \alpha } \left( \gamma _ { - } t ^ { \alpha } / i ^ { \alpha } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \right) E _ { \alpha } \left( \gamma _ { + } t ^ { \alpha } / i ^ { \alpha } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | c _ { 0 } | ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \left| \cos \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { | \Omega _ { \mu } | } \right) - i \frac { 2 \Delta _ { \mathrm { D L S } } } { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } \sin \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { | \Omega _ { \mu } | } \right) \right| ^ { 2 } | c _ { 0 } | ^ { 2 } , } \\ { | c _ { 1 } | ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \left| \cos \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { 2 | \Omega _ { \mu } | } \right) - i \frac { \Delta _ { \mathrm { D L S } } } { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } \sin \left( \pi \frac { \sqrt { | \Omega _ { \mu } | ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { D L S } } ^ { 2 } } } { 2 | \Omega _ { \mu } | } \right) \right| ^ { 2 } | c _ { 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \pm } ( \psi ) \! = \! n _ { b } \mathrm { e } ^ { \mp \psi } , ~ n _ { \mathrm { H } } ( \psi ) \! = \! n _ { \mathrm { H } } ^ { b } \mathrm { e } ^ { - \psi } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { i } v _ { i } ^ { H } A v _ { i } } & { = \sum _ { i } \mathrm { t r a c e } \{ v _ { i } ^ { H } A v _ { i } \} } \\ & { = \sum _ { i } \mathrm { t r a c e } \{ A v _ { i } v _ { i } ^ { H } \} } \\ & { = \mathrm { t r a c e } \{ A \sum _ { i } \left( v _ { i } v _ { i } ^ { H } \right) \} } \\ & { = \mathrm { t r a c e } \{ A V V ^ { H } \} } & & { \mathrm { V = [ ~ v _ 1 , \dots , v _ n ~ ] } } \\ & { = \mathrm { t r a c e } \{ A \} } \end{array}