harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } & { = } & { - \sqrt { \kappa } \left[ H _ { X F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { X \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) \right] - \sqrt { \kappa } H _ { X Y } ( \omega ) \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + \left[ 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) \right] \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \\ { \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } & { = } & { - \sqrt { \kappa } \left[ H _ { Y F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { Y \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) \right] - \sqrt { \kappa } H _ { Y X } ( \omega ) \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + \left[ 1 - \sqrt { \kappa } H _ { Y Y } ( \omega ) \right] \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { z } ^ { p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) } & { = } & { \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \tilde { j } _ { m } ^ { p } e ^ { j m \phi ^ { p } } } \\ { \tilde { j } _ { m } ^ { p } } & { = } & { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } J _ { z } ^ { p } ( a ^ { p } , \phi ^ { p } ) e ^ { - j m \phi ^ { p } } d \phi ^ { p } } \end{array}
\overline { { { \mu } } } _ { 0 } \overline { { { \sigma } } } _ { \rho } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big \{ j _ { L } ^ { + } \mu _ { n } ^ { + } + j _ { L } ^ { - } \mu _ { n } ^ { - } \big \} Z _ { n } ^ { \rho } + \overline { { { \mu } } } _ { 0 } ^ { c } \overline { { { \sigma } } } _ { \rho } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big \{ j _ { R } ^ { + } \mu _ { n } ^ { c + } + j _ { R } ^ { - } \mu _ { n } ^ { c - } \big \} Z _ { n } ^ { \rho } + h . c .
\frac { 1 } { \left| s \! - \! M ^ { 2 } + \i M \Gamma \right| ^ { 2 } } \; \stackrel { \Gamma \to 0 } { \longrightarrow } \; \frac { \pi } { M \Gamma } \; \delta ( s \! - \! M ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } \partial _ { u } \left( r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } ( - 1 ) A _ { r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } ( - 1 ) A _ { u } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } \partial _ { r } \left( r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } A _ { r } \right) } \\ { + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } \partial _ { z } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } A _ { \bar { z } } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } \partial _ { \bar { z } } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } } r ^ { 2 } \gamma _ { z \bar { z } } A _ { z } \right) = 0 } \end{array}
| \bar { Q } s s u d \rangle _ { L } = w _ { s } | \bar { Q } u \rangle | \Xi ^ { - } \rangle + x _ { s } | \bar { Q } d \rangle | \Xi ^ { 0 } \rangle + y _ { s } | \bar { Q } s \rangle | \Sigma ^ { 0 } \rangle + z _ { s } | \bar { Q } s \rangle | \Lambda \rangle .
{ \bf D } _ { \perp } ^ { ( t ) } ( { \bf r } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ e ^ { i \left[ k _ { 0 z } z - \frac { c } { n _ { 2 } } k _ { 0 } ( t - \tau ) \right] } { \tilde { \bf D } } _ { \perp } ^ { ( t ) } ( { \bf r } _ { \perp } ) \right\}
\langle g ^ { \mu \nu } ( { \bf x } _ { F } ) g ^ { \sigma \rho } ( { \bf y } _ { F } ) \rangle = - D ^ { \mu \nu ; \sigma \rho } ( { \bf x } _ { F } - { \bf y } _ { F } ) = - C ^ { \mu \nu ; \sigma \rho } \vert { \bf y } _ { F } - { \bf x } _ { F } \vert ^ { - 4 \gamma }
\frac { \partial u _ { d } } { \partial t } \sim \frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \frac { p } { D \rho _ { d } } ; \frac { \partial u _ { d } } { \partial t } \sim \frac { D } { \tau ^ { 2 } } ; p \sim \rho _ { c } u _ { c } ^ { 2 } \Rightarrow \tau \sim \frac { D } { u _ { c } } \sqrt { \frac { \rho _ { d } } { \rho _ { c } } } ~ ~ ( \textrm { l o w v i s c o s i t y , h i g h s p e e d } )
\begin{array} { r l } { \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) } & { = \mathbf x - \Delta t \alpha \mathbf A \mathbf x \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) } { \pi _ { 1 } ( \mathbf x ) } \right) ^ { q ( \mathbf x ) } , } & { x _ { 1 } > \frac { b } { a } x _ { 2 } , } \\ { 1 , } & { x _ { 1 } = \frac { b } { a } x _ { 2 } , } \\ { \left( \frac { y _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) } { \pi _ { 2 } ( \mathbf x ) } \right) ^ { q ( \mathbf x ) } , } & { x _ { 1 } < \frac { b } { a } x _ { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
2 \, T _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \bigl \{ T _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \, T _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \bigr \} _ { ( \eta ) } + \bigl \{ T _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \, T _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \bigr \} _ { ( \eta ) }
\begin{array} { r } { \delta _ { \tilde { x } } H ( \tilde { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { \delta _ { x } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) } \\ { \delta _ { c _ { l } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) } \\ { \delta _ { \overline { { c } } _ { l } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { c _ { l } \delta _ { x } H _ { l } ^ { - } ( x ) + \overline { { c } } _ { l } \delta _ { x } H _ { l } ^ { + } ( x ) } \\ { \mathcal { H } ^ { - } ( x ) } \\ { \mathcal { H } ^ { + } ( x ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - r _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \frac { [ \log ( 1 - t ) ] ^ { 2 } } { t } d t } \\ & { = } & { \log ( z ) [ \log ( 1 - z ) ] ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { z } \log ( t ) \cdot \frac { 2 \log ( 1 - t ) } { 1 - t } d t } \\ & { = } & { \log ( z ) [ \log ( 1 - z ) ] ^ { 2 } + L i _ { 2 } ( 1 - z ) \cdot 2 \log ( 1 - z ) + \int _ { 0 } ^ { z } L i _ { 2 } ( 1 - t ) \cdot \frac { 2 } { 1 - t } d t } \\ & { = } & { \log ( z ) [ \log ( 1 - z ) ] ^ { 2 } + L i _ { 2 } ( 1 - z ) \cdot 2 \log ( 1 - z ) + 2 \left[ L i _ { 3 } ( 1 ) - L i _ { 3 } ( 1 - z ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r a n k ( [ z _ { l + 1 } \dots z _ { m - 1 } ] ) } & { = r a n k ( [ \gamma _ { l + 1 } ( a _ { l + 1 , 2 } ) \dots \gamma _ { m - 1 } ( a _ { m - 1 , 2 } ) ] ) } \\ & { = r a n k ( [ \gamma _ { t _ { 1 } } ( a _ { t _ { 1 } , 2 } ) \dots \gamma _ { t _ { c } } ( a _ { t _ { c } , 2 } ) ] ) } \\ & { = r a n k ( [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] ) = c } \end{array} .
| \phi \rangle \, \langle \psi | \doteq { \left( \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { N } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { \psi _ { 1 } ^ { * } } & { \psi _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { \psi _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \phi _ { 1 } \psi _ { 1 } ^ { * } } & { \phi _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { \phi _ { 1 } \psi _ { N } ^ { * } } \\ { \phi _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } } & { \phi _ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { \phi _ { 2 } \psi _ { N } ^ { * } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { N } \psi _ { 1 } ^ { * } } & { \phi _ { N } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { \phi _ { N } \psi _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) }
\chi _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ e ~ } } \equiv \frac { 1 } { 2 z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } \int _ { - z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } ^ { z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } \chi \left( z ^ { \prime } \right) \, \mathrm { ~ d ~ } z ^ { \prime } = \frac { \delta \phi ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) - \delta \phi ( 0 ) } { z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } - x _ { i , t } ^ { \ell } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] \leq 6 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n L \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n D + 3 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + 6 \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 3 } n L \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { m } ( \tilde { g } ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { 1 } { 2 \, ( n - 1 ) \, \omega _ { n - 1 } } \, \lambda ^ { - 1 } \, \sum _ { i , \, j = 1 } ^ { n } } & { \int _ { S _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } \tilde { x } ^ { i } \, [ ( \partial _ { j } \tilde { g } ) \big ( e _ { i } , e _ { j } ) - ( \partial _ { i } \tilde { g } ) ( e _ { j } , e _ { j } ) \big ] \, \mathrm { d } \mu ( \bar { g } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tau | \| \eta \| _ { H ^ { k - 1 } } + | \tau | ^ { 2 } \| j \| _ { H ^ { k - 1 } } + | \tau | \| \partial _ { T } \eta \| _ { H ^ { k - 2 } } + | \tau | \| \partial _ { T } j \| _ { H ^ { k - 2 } } } & { \lesssim \epsilon e ^ { - ( 1 + 3 K ) T } , } \\ { | \tau | \| S \| _ { H ^ { k - 1 } } } & { \lesssim \epsilon e ^ { - ( 2 + 3 K ) T } . } \end{array}
b _ { d } ( x , \beta ) = - { \frac { 7 \pi ^ { 2 } r _ { d } } { 7 2 0 \beta _ { l } ^ { 4 } } } + { \frac { r _ { d } } { 4 8 \beta _ { l } ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { 1 2 } } R + \frac 1 2 ( \nabla w - w ^ { 2 } ) + m ^ { 2 } \right] + { \frac { a _ { d , 2 } ( x ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \ln { \frac { \mu \beta _ { l } } { 2 \pi } } ~ ~ ~ ,
f _ { 1 } ( \beta ) = \frac { p _ { 1 } ( 0 ) } { u \beta _ { S } \Gamma ( \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { u } ) } \exp \left( - \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \right) \left( \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \right) ^ { \frac { 1 } { u } + \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } } & { { } } & { = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \textbf { f } } _ { 1 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { \textbf { f } } _ { 2 i } ^ { e q } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { U _ { i } } { 2 } + \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } } } \\ { \frac { U _ { i } } { 2 } - \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] U _ { i } + \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \widetilde { \lambda } } } \\ { - \frac { 1 } { 2 \widetilde { \lambda } } } \end{array} \right] G _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( w , v ; { \mu } ) } & { = \sum _ { q = 1 } ^ { Q _ { a } } \theta _ { a } ^ { q } ( { \mu } ) a _ { q } ( w , v ) , \quad \forall v , w \in V , { \mu } \in \mathscr { P } , } \\ { b ( w , v ; { \mu } ) } & { = \sum _ { q = 1 } ^ { Q _ { b } } \theta _ { b } ^ { q } ( { \mu } ) b _ { q } ( w , v ) , \quad \forall v , w \in V , { \mu } \in \mathscr { P } . } \end{array}
\, \, \equiv \, \, \, K _ { 1 2 } ^ { T + + } ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 2 } , P _ { 0 } \! - \! h _ { 3 } ) ( 1 - G _ { 1 } ^ { 0 } G _ { 2 } ^ { 0 } K _ { 1 2 } ^ { T + + } ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 2 } , P _ { 0 } \! - \! h _ { 3 } ) ) ^ { - 1 } .
s \simeq ( { P \, \tau } / { \omega _ { \gamma } ^ { S } } ) \times h _ { + } ^ { 2 } ( { \omega _ { \gamma } ^ { S } } / { \omega _ { g } } ) ^ { 2 } \; \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( 1 , \omega _ { g } ^ { 2 } L ^ { 2 } )
\dot { m } \frac { \dot { m } _ { \mathrm { C } } } { \dot { m } _ { \mathrm { F M } } } = \alpha _ { \mathrm { M } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( C _ { \theta } \bar { c } _ { \theta } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } ) \frac { 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ) } { \alpha _ { \mathrm { M } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { g } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } ) } = 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } \bigg ( \frac { C _ { \theta } \bar { c } _ { \theta } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } } { \bar { c } _ { \mathrm { g } } } \bigg ) \frac { C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } } { C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ( \bar { c } _ { \mathrm { p } } / \bar { c } _ { \mathrm { g } } ) } .
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { e f f } } { \nabla ^ { 2 } } C _ { s } ( \bar { r } , \omega | { { \bar { r } } _ { \mathrm { t x } } } , { t _ { 0 } } ) - \mathcal K ( \omega ) C ( \bar { r } , \omega | { { \bar { r } } _ { \mathrm { t x } } } , { t _ { 0 } } ) } \\ & { = i \omega C _ { s } ( \bar { r } , \omega | { { \bar { r } } _ { \mathrm { t x } } } , { t _ { 0 } } ) , } \end{array}
\ln \frac { \operatorname * { d e t } { } ^ { \prime } D } { \operatorname * { d e t } { } ^ { \prime } D ^ { \left( N \right) } } = - \Gamma \left[ a _ { \mu } \right] - \overline { { { \Gamma } } } \left[ A _ { \mu } ^ { \left( N \right) } , a _ { \mu } \right] + \ln \operatorname * { d e t } \left| \left\langle \varphi _ { 0 i } ^ { \left( N \right) ^ { \dagger } } \exp \left( 2 \phi \gamma _ { 5 } \right) \varphi _ { 0 j } ^ { \left( N \right) } \right\rangle \right| ,
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } & { { } = \delta { \mathcal J } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { { R _ { k } } \left( { \delta { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; \delta { C _ { n } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 1 } ( V ) = \sum _ { i } \frac { r A _ { 1 } B _ { 1 } + \sqrt { r ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } - r ( m + r A _ { 1 } ) ( A _ { 1 } B _ { 1 } ^ { 2 } - A _ { i } ( V - B _ { i } ) ^ { 2 } + C _ { 1 } - C _ { i } ) } } { r A _ { 1 } + m } \Theta _ { i } ( V ) } \end{array}
C _ { \theta } ( \tau ) = \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal A B } } ) { \cal A } ( \tau ) { \cal B } \rangle _ { 0 } \; - \; \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal A } } ) { \cal A } \rangle _ { 0 } \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime \prime } } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) { \cal B } \rangle _ { 0 } \stackrel { \tau \rightarrow \infty } { \longrightarrow }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } [ Q ^ { ( n ) } ] } & { = \frac { 1 } { 1 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \left\{ - 4 ( \Bar { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - \Bar { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) + 3 ( \Bar { \Bar { S } } ^ { ( n ) } + \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \right. - } \\ & { \left. [ 6 ( { \Bar { \Bar { S } } } ^ { ( n ) } - { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } ) - 1 ] ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 4 } ] \right\} - \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { z _ { i } ^ { * } } { ( 1 - z _ { i } ^ { * } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { p r o b } \left[ X \leq ( d _ { f } + \kappa _ { \mathrm { n c } } ) - 2 \sqrt { ( d _ { f } + 2 \kappa _ { \mathrm { n c } } ) \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } ^ { - 1 } } \right] \leq \varepsilon _ { \mathrm { p e } } , } \\ & { \mathrm { p r o b } \Big [ X \geq ( d _ { f } + \kappa _ { \mathrm { n c } } ) + 2 \sqrt { ( d _ { f } + 2 \kappa _ { \mathrm { n c } } ) \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } ^ { - 1 } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { p e } } ^ { - 1 } \Big ] \leq \varepsilon _ { \mathrm { p e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v ( s ) + \lambda + \mu p \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 1 } \frac { c ^ { * } ( s ) } { \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert } = 0 } \\ { \implies } & { \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 2 } c ^ { * } ( s ) = - \frac { v ( s ) + \lambda } { \mu p } , \qquad \mathrm { ( r e - a r r a n g i n g ~ t e r m s ) } } \\ { \implies } & { \sum _ { s } | ( \lvert c ^ { * } ( s ) \rvert ^ { p - 2 } c ^ { * } ( s ) ) | ^ { \frac { p } { p - 1 } } = \sum _ { s } | - \frac { v ( s ) + \lambda } { \mu p } | ^ { \frac { p } { p - 1 } } , \qquad \mathrm { ( d o i n g ~ \sum _ s \lvert \cdot \rvert ^ \frac { p } { p - 1 } ~ ) } } \\ { \implies } & { \lVert c ^ { * } \rVert _ { p } ^ { p } = \sum _ { s } | - \frac { v ( s ) + \lambda } { \mu p } | ^ { \frac { p } { p - 1 } } = \sum _ { s } | \frac { v ( s ) + \lambda } { \mu p } | ^ { q } = \frac { \lVert v + \lambda \rVert _ { q } ^ { q } } { | \mu p | ^ { q } } } \\ { \implies } & { | \mu p | ^ { q } \lVert c ^ { * } \rVert _ { p } ^ { p } = \lVert v + \lambda \rVert _ { q } ^ { q } , \qquad \mathrm { ( r e - a r r a n g i n g ~ t e r m s ) } } \\ { \implies } & { | \mu p | ^ { q } \epsilon ^ { p } = \lVert v + \lambda \rVert _ { q } ^ { q } , \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ \sum _ { s } \lvert ~ c ^ * ( s ) \rvert ^ p = ~ \epsilon ^ p ~ ) } } \\ { \implies } & { \epsilon ( \mu p \epsilon ^ { p / q } ) = \epsilon \lVert v + \lambda \rVert _ { q } \qquad \mathrm { ( t a k i n g ~ \frac { 1 } { q } ~ t h e ~ p o w e r ~ t h e n ~ m u l t i p l y i n g ~ w i t h ~ \epsilon ~ ) } } \\ { \implies } & { \mu p \epsilon ^ { p } = \epsilon \lVert v + \lambda \rVert _ { q } . } \end{array}
\mathbb { E } [ W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n } , \mu _ { \infty } ) ] \lesssim \frac 1 n + \frac 1 n \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } + \frac 1 n \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \lvert \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \rvert .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , q - Q _ { a } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 1 } = \frac { a - 1 } { 2 a } + \frac { q ( a - 1 ) + \mu _ { 2 } ( c - a ) } { 2 a Q _ { a } } } \\ { ( 0 , q + Q _ { a } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 2 } = \frac { a - 1 } { 2 a } - \frac { q ( a - 1 ) + \mu _ { 2 } ( c - a ) } { 2 a Q _ { a } } } \\ { ( a \mu _ { 1 } , c \mu _ { 2 } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 3 } = \frac { 1 } { a } } \end{array} \right. ,
L = \int d x ^ { - } \left[ \partial _ { x ^ { + } } \phi \; \partial _ { x ^ { - } } \phi + \partial _ { x ^ { + } } \lambda ( \partial _ { x ^ { - } } \phi \; \partial _ { x ^ { - } } \phi + \alpha \partial _ { x ^ { - } } ^ { 2 } \phi ) \right]
B ( - q _ { E } ^ { 2 } ) = Z _ { m } ^ { - 1 } \, m _ { R } ( \mu ^ { 2 } ) + \int _ { 0 } ^ { \Lambda _ { \mathrm { U V } } ^ { 2 } } d p _ { E } ^ { 2 } \, K ( q _ { E } ^ { 2 } , p _ { E } ^ { 2 } ) \, \frac { B ( - p _ { E } ^ { 2 } ) } { p _ { E } ^ { 2 } + B ^ { 2 } ( - p _ { E } ^ { 2 } ) } \, ,
\psi ( x , t ) = { \frac { 1 } { Z } } \int _ { \mathbf { x } ( 0 ) = x } { \mathcal { D } } \mathbf { x } \, e ^ { i S [ \mathbf { x } , { \dot { \mathbf { x } } } ] } \psi _ { 0 } ( \mathbf { x } ( t ) )
\sqrt { n } \boldsymbol { m } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ; \epsilon ) = \boldsymbol { \delta } + \mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { m } _ { \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) \epsilon + \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } ) + o _ { p } ( \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ,
\left( \begin{array} { l l l l } { \mathrm { A _ { 1 1 } B _ { 1 1 } } } & { \mathrm { A _ { 1 1 } B _ { 1 2 } } } & { \mathrm { A _ { 1 2 } B _ { 1 1 } } } & { \mathrm { A _ { 1 2 } B _ { 1 2 } } } \\ { \mathrm { A _ { 1 1 } B _ { 2 1 } } } & { \mathrm { A _ { 1 1 } B _ { 2 2 } } } & { \mathrm { A _ { 1 2 } B _ { 2 1 } } } & { \mathrm { A _ { 1 2 } B _ { 2 2 } } } \end{array} \right) ,
c _ { \Delta } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { k } | C _ { k } | ( \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } + \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } + 2 \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } )
\begin{array} { r l } & { H ( \partial M , g _ { t } ^ { \varepsilon , \delta } ) } \\ & { \qquad = - \frac 1 2 \, \operatorname { t r } _ { \bar { g } | _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \left[ ( A ^ { t } \, ( \operatorname { I d } + t \, f _ { \varepsilon , \delta } \, E ) \, A ) ^ { - 1 } \, D ( \bar { g } ) _ { e _ { n } } ( A ^ { t } \, ( \operatorname { I d } + t \, f _ { \varepsilon , \delta } \, E ) \, A ) \right] \big | _ { s = 0 } } \\ & { \qquad = - \frac 1 2 \, \operatorname { t r } _ { \bar { g } | _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \left[ ( A ^ { t } ) ^ { - 1 } \, D ( \bar { g } ) _ { e _ { n } } A ^ { t } + A ^ { - 1 } \, D ( \bar { g } ) _ { e _ { n } } A + ( \operatorname { I d } + t \, f _ { \varepsilon , \delta } \, E ) ^ { - 1 } \, t \, ( D ( \bar { g } ) _ { e _ { n } } f _ { \varepsilon , \delta } ) \, E \right] \big | _ { s = 0 } . } \end{array}
\chi _ { c } \: C \: i ^ { | I _ { 1 } | + \cdots + | I _ { k } | } \: ( - i ) ^ { | K | } \; \gamma ^ { I } \; ( \partial ^ { I _ { k } } V _ { J _ { k } , c _ { k } } ^ { ( k ) } ( x ) ) \cdots ( \partial ^ { I _ { 1 } } V _ { J _ { 1 } , c _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x ) ) \: ( y - x ) ^ { K } \; S ^ { \vee ( h ) } ( x , y ) \; \; \; ,
\begin{array} { r l r } { X _ { k } = \mathcal { F } \left\{ \mathbf { x } \right\} _ { k } } & { { } = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x _ { n } e ^ { - 2 \pi i k n / N } , \, \, \, \forall ~ k \in \mathbb { Z } } \\ { x _ { n } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \mathbf { X } \right\} _ { n } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { k = - \lfloor ( N - 1 ) / 2 \rfloor } ^ { \lfloor N / 2 \rfloor } X _ { k } e ^ { 2 \pi i k n / N } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ^ l { \bf u } } & { { } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { l } } ~ ^ { l } c _ { k } ~ ^ { l } { \bf u } ^ { k } + ~ ^ { l } { \bf u } ^ { s } , ~ ~ ~ ( l = 1 , \cdots , L ) . } \end{array}
Z ^ { \mathrm { L a r g e } N _ { c } } = \int \prod _ { i , j } [ d q _ { + } ^ { \dag i } ] [ d q _ { + } ^ { i } ] [ d s ^ { i j } ] \exp \left\{ i S ^ { \mathrm { L a r g e } N _ { c } } \right\} \prod _ { i , j } \delta \left( s ^ { i j } - q _ { + } ^ { \dag j } ( x ) q _ { + } ^ { i } ( y ) \right) ,
\begin{array} { r l r l r l r } { h = h _ { p } \tilde { h } , \quad } & { { } } & { \zeta = h _ { p } \tilde { \zeta } , \quad } & { { } } & { x = x _ { 0 } \tilde { x } , \quad } & { { } } & { t = t _ { 0 } \tilde { t } . } \end{array}
[ \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } ] _ { i } \equiv u ( \hat { x } _ { [ \mathcal { I } _ { u } ] _ { i } } ) , \quad [ \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } ] _ { i } \equiv y ( \hat { x } _ { [ \mathcal { I } _ { u } ] _ { j } } ) , \quad i \in [ 1 , N _ { \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } } ] , \ j \in [ 1 , N _ { \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } } ] .
\sum _ { j } F _ { j } ^ { 2 } \equiv \sum _ { j } \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } { \partial j } \frac { \sigma _ { j } } { P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } \right) ^ { 2 } = \frac { \sigma _ { V _ { \mathrm { e f f } } } ^ { 2 } } { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { 1 + \beta } \right) ^ { 2 } \sigma _ { \beta } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { G _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ t ~ } } } ^ { 2 } } { G _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ t ~ } } ^ { 2 } } .