harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \partial _ { t } \tilde { u } + ( \sigma + \hat { \sigma } ) \tilde { u } + \sigma \tilde { u } ^ { * } + \nabla \cdot \tilde { p } = 0 \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { P M L } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { \partial _ { t } \tilde { p } ^ { * } = - \nabla \tilde { u } \quad \partial _ { t } \tilde { u } ^ { * } = - \sigma \tilde { u } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { P M L } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { \partial _ { t } \tilde { p } + \Lambda _ { 1 } \tilde { p } = \partial _ { t } \tilde { p } ^ { * } + \Lambda _ { 2 } \tilde { p } ^ { * } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { P M L } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { \tilde { u } = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad ( \Gamma _ { R } ^ { + } \cup \Gamma _ { 0 } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \tilde { u } = \xi \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) } \\ { \tilde { u } | _ { t = 0 } = \tilde { p } | _ { t = 0 } = \tilde { u } ^ { * } | _ { t = 0 } = \tilde { p } ^ { * } | _ { t = 0 } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { P M L } ^ { + } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \textrm M C } ^ { \textrm S , c o n s t r a i n e d } } & { { } = } & { N _ { \textrm M C } ^ { \textrm S } + \frac { { \sigma } ^ { \textrm c o r r } } { \left( { \sigma } ^ { \textrm B } \right) ^ { 2 } } \times \left( N _ { \textrm d a t a } ^ { \textrm B } - N _ { \textrm M C } ^ { \textrm B } \right) , } \\ { \left( { \sigma } ^ { \textrm { S , c o n s t r a i n e d } } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( { \sigma } ^ { \textrm { S } } \right) ^ { 2 } - \frac { \left( { \sigma } ^ { \textrm c o r r } \right) ^ { 2 } } { \left( { \sigma } ^ { \textrm B } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \! \bot } = \nabla s _ { 1 } \frac { \partial } { \partial s _ { 1 } } + \nabla s _ { 2 } \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } = \frac { \widehat { t } _ { 1 } } { | t _ { 1 } | } \frac { \partial } { \partial s _ { 1 } } + \frac { \widehat { t } _ { 2 } } { | t _ { 2 } | } \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } = \widehat { t } _ { 1 } \nabla _ { 1 } + \widehat { t } _ { 2 } \nabla _ { 2 } . } \end{array}
{ J _ { N , T } ^ { * } } : = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } } \left\lvert \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) - \mathbb { P } ^ { * } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) \right\rvert ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } e ^ { X ( t ) } = e ^ { X ( t ) } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ! } ( \operatorname { a d } ( X ( t ) ) ) ^ { k } \frac { d X ( t ) } { d t } = : e ^ { X ( t ) } \frac { 1 - e ^ { - \operatorname { a d } ( X ( t ) ) } } { \operatorname { a d } ( X ( t ) ) } \frac { d X ( t ) } { d t } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { q q ^ { * } } & { = ( t + x h \mathbf { i } + y h \mathbf { j } + z h \mathbf { k } ) ( t - x h \mathbf { i } - y h \mathbf { j } - z h \mathbf { k } ) } \\ & { = t ^ { 2 } - x ^ { 2 } ( h \mathbf { i } ) ^ { 2 } - y ^ { 2 } ( h \mathbf { j } ) ^ { 2 } - z ^ { 2 } ( h \mathbf { k } ) ^ { 2 } } \\ & { = t ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } \left[ v _ { x } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { x } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right] = 2 v _ { F } ^ { 2 } \left\{ ( \hbar \omega - g ) ( \hbar \omega - g - \hbar \Omega ) + K ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } + \left[ \hbar \Omega - 2 ( \hbar \omega - g ) \right] K \sin { ( \phi ) } \right\} } \\ & { } & { \times \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \frac { \delta ( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } } \frac { \delta ( \hbar \omega - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } } , } \\ & { } & { \mathrm { t r } \left[ v _ { y } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { y } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right] = \frac { 4 v _ { F } ^ { 2 } } { g } ( \hbar \omega - g ) ( \hbar \omega - g - \hbar \Omega ) K \sin { ( \phi ) } \! \! \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \! \! \frac { \delta ( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } } \frac { \delta ( \hbar \omega - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { \mathrm { A i } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { w ^ { 2 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { \mathrm { A i } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { w ^ { 2 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w ^ { 2 } \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { - w ^ { 2 } \mathrm { A i } ( w \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { - \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I I I } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { A i } ( \zeta ) } & { - w ^ { 2 } \mathrm { A i } ( w \zeta ) } \\ { \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \zeta ) } & { - \mathrm { A i } ^ { \prime } ( w \zeta ) } \end{array} \right) e ^ { - i \frac { \pi } { 6 } \sigma _ { 3 } } , } & { \zeta } & { \in \mathrm { I V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid X _ { t } , \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \Bigg | \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid X _ { t } , \mathcal { F } _ { t - 1 } \Bigg ] \Bigg | \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { x x } ( 0 ) = } & { { } \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } + \frac { k _ { B } \, T } { k } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } } \\ { C _ { \theta x } ( 0 ) = } & { { } \frac { { \cal F } ^ { 2 } \! q ^ { 2 } } { k } + \frac { { \cal F } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { w + w _ { r } } = C _ { x \theta } ( 0 ) } \\ { C _ { \theta \theta } ( 0 ) = } & { { } q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 2 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) = \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \big [ } & { - \nabla _ { 1 } \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ & { + u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 2 } \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \big ] \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \partial _ { t } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \right) - \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } - \mathbf { q } _ { \alpha } \right) } & { } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( r _ { \alpha } - \theta s _ { \alpha } \right) - \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 } & { ~ \geq 0 , } \end{array}
\Tilde { \omega } = \frac { \oint _ { \Tilde { C } } \omega \mathcal { L } ( \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) ) \mathrm { ~ d ~ } \omega } { \oint _ { \Tilde { C } } \mathcal { L } ( \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) ) \mathrm { ~ d ~ } \omega } .
\begin{array} { r l } { \Delta t ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { = \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \xi } ) , } \\ { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { r } } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { = t ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) , } \\ { \Delta _ { \boldsymbol { r } } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) | _ { \partial D } } & { = 0 , } \\ { \mathcal { B } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { = 0 . } \end{array}
f _ { L M _ { L } } ^ { \mathrm { F S I } } ( s ( k _ { f } ) ) = \frac { 2 } { \pi } \sqrt { s ( k _ { f } ) } \; e ^ { i \delta _ { L } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } k \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } r \: r ^ { 2 } \: k ^ { 2 } \: \frac { f _ { L M _ { L } } ( s ( k ) ) } { \sqrt { s ( k ) } } \, j _ { L } ( k r ) \: u _ { L } ( k _ { f } , r ) .
T = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \sqrt { \Lambda ^ { - 1 } ( r _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } ) ( r _ { 0 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) } } .
- \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } u \, \frac { \hat { f } ( u ) } { u - z } = \hat { f } ( z ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } m \: e ^ { - i z m } f ( m ) \, .
\ell : = \lambda _ { + } ^ { 2 } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } - \lambda _ { + } ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { k } ^ { 2 } \varepsilon _ { k } } = \lambda _ { - } ^ { 2 } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } } { 2 \beta _ { k } ^ { 2 } \varepsilon _ { k } }
V _ { \mu } = \lambda ^ { a } V _ { \mu } ^ { a } = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \rho _ { \mu } ^ { + } } } & { { K _ { \mu } ^ { * + } } } \\ { { \rho _ { \mu } ^ { - } } } & { { - \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \omega _ { \mu } } { \sqrt { 2 } } } } & { { K _ { \mu } ^ { * 0 } } } \\ { { K _ { \mu } ^ { * - } } } & { { \bar { K } _ { \mu } ^ { * 0 } } } & { { \phi _ { \mu } } } \end{array} \right)
{ \mathcal { A } } _ { \mathrm { t o t } } = { \frac { A B \cdot B C \cdot C A } { 4 R } } + { \frac { C D \cdot D A \cdot A C } { 4 R } } = { \frac { A C \cdot ( A B \cdot B C + C D \cdot D A ) } { 4 R } }
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { \mathrm { { d d } } } } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } ( g _ { J } \mu _ { B } ) ^ { 2 } \frac { \hat { \vec { J } } _ { 1 } \cdot \hat { \vec { J } } _ { 2 } - 3 ( \hat { \vec { J } } _ { 1 } \cdot \vec { u } _ { r } ) ( \hat { \vec { J } } _ { 2 } \cdot \vec { u } _ { r } ) } { r ^ { 3 } } } \\ & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } ( g _ { J } \mu _ { B } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left\{ \right. \hat { J } _ { 1 z } \hat { J } _ { 2 z } \left( 1 - 3 \bar { z } ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { J } _ { 1 + } \hat { J } _ { 2 - } + \hat { J } _ { 1 - } \hat { J } _ { 2 + } \right) } \\ & { } & { - \frac { 3 } { 2 } \bar { z } \left[ \hat { J } _ { 1 z } \left( \hat { J } _ { 2 + } \bar { r } _ { - } + \hat { J } _ { 2 - } \bar { r } _ { + } \right) + \hat { J } _ { 2 z } \left( \hat { J } _ { 1 + } \bar { r } _ { - } + \hat { J } _ { 1 - } \bar { r } _ { + } \right) \right] } \\ & { } & { - \frac { 3 } { 4 } \left( \hat { J } _ { 1 + } \bar { r } _ { - } + \hat { J } _ { 1 - } \bar { r } _ { + } \right) \left( \hat { J } _ { 2 + } \bar { r } _ { - } + \hat { J } _ { 2 - } \bar { r } _ { + } \right) \left. \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { 2 ( \lambda - a ) } Y = } & { \{ [ C _ { 1 } + r _ { 1 , 2 } ( \xi ) ] i c _ { 2 } + [ C _ { 2 } + r _ { 2 , 2 } ( \xi ) ] c _ { 2 } \} ( \Phi _ { 2 } ) _ { 2 1 } } \\ & { + \{ [ C _ { 1 } + r _ { 1 , 2 } ( \xi ) ] c _ { 1 } + [ C _ { 2 } + r _ { 2 , 2 } ( \xi ) ] i c _ { 1 } \} ( \Phi _ { 2 } ) _ { 2 2 } } \end{array}
= \; C _ { m _ { d } } ( w \! - \! z ) \; - \; \frac { m c } { 2 \pi } \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \pi \! + \! g } \; \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; C _ { m _ { d } } ( x \! - \! w ) C _ { m _ { d } } ( x \! - \! z ) \; 2 \cos ( \theta )
\left. \overline { { p } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 2 / 3 } \mathrm { A i } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \mu _ { w } } { ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } T _ { w } \left( T _ { w } ^ { 2 } ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } - \mathrm { i } \widetilde { A } _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) } .
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ( z , t = 0 ) } & { { } = B _ { 1 } e ^ { z } + B _ { 2 } e ^ { - z } + e ^ { z } \int \frac { e ^ { - z ^ { \prime } } \hat { \omega } ( z ^ { \prime } , 0 ) } { | \mathscr { W } | } d z ^ { \prime } - e ^ { - z } \int \frac { e ^ { z ^ { \prime } } \hat { \omega } ( z ^ { \prime } , 0 ) } { | \mathscr { W } | } d z ^ { \prime } } \end{array}
E ^ { a l t } ( C ^ { c a l } , L ^ { c a l } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p o d } } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \left( \frac { d a _ { i } ^ { p o d } } { d t } - f ( C ^ { c a l } , L ^ { c a l } , a ^ { p o d } ) \right) ^ { 2 } d t \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) \phantom { + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } s } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { n } ^ { 2 } - \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { \varepsilon _ { m - 1 } } { A R _ { \theta _ { 0 } } } \aftergroup \egroup \right) ^ { 2 n } \leq \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \beta } } { \kappa _ { m - 1 } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } \biggl ( \frac { C } { A } \biggr ) ^ { 2 ( n - k ) } D _ { k } ^ { 2 } + \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \beta } } { n \kappa _ { m - 1 } A ^ { 2 } } D _ { n - 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { n ! \, t ^ { n } \, L _ { n } ^ { \alpha } ( r ) L _ { n } ^ { \alpha } ( s ) } { \Gamma ( n + \alpha + 1 ) } = \frac { e ^ { - ( r + s ) t / ( 1 - t ) } } { ( r s t ) ^ { \alpha / 2 } ( 1 - t ) } I _ { \alpha } \left( \frac { 2 \sqrt { r s t } } { 1 - t } \right)
\begin{array} { r l } & { C d _ { \phi } ( S _ { 1 } , S _ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left( \gamma t - \phi ( ( 1 - t ) a + t b ) \right) \mathbf { 1 } _ { S _ { 1 } } ( ( 1 - t ) a + t b ) \textup { d } t } \\ { \cdot } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left( \gamma t - \phi ( ( 1 - t ) a + t b ) \right) \mathbf { 1 } _ { S _ { 2 } } ( ( 1 - t ) a + t b ) \textup { d } t } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left( \gamma t - \phi ( ( 1 - t ) a + t b ) \right) \textup { d } t \int _ { 0 } ^ { 1 } \exp \left( \gamma t - \phi ( ( 1 - t ) a + t b ) \right) \mathbf { 1 } _ { S _ { 3 } } ( ( 1 - t ) a + t b ) \textup { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = H _ { \operatorname { M c G } } ( x _ { n } , z _ { n } , P _ { n } , \psi _ { n } , \eta _ { n } ) } & { = 2 P _ { n } \psi _ { 0 } ^ { T } B \psi _ { 0 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left( H _ { 0 } ( x _ { 0 } ) + \psi _ { 0 } ^ { T } B \Psi \eta _ { 0 } \right) , } \\ { P _ { n } } & { = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \cdot \frac { H _ { 0 } ( x _ { 0 } ) + \psi _ { 0 } ^ { T } B \Psi \eta _ { 0 } } { 2 \psi _ { 0 } ^ { T } B \psi _ { 0 } } . } \end{array}
A ( p ) - 1 = \frac { - e ^ { 2 } \xi } { 4 \pi ^ { 2 } p ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \, \frac { 1 } { A ( q ) } \left( \frac { p ^ { 2 } A ( p ) - q ^ { 2 } A ( q ) } { p ^ { 2 } - q ^ { 2 } } - \frac { p ^ { 2 } A ( p ) + q ^ { 2 } A ( q ) } { 2 p q } \ln \left| \frac { p + q } { p - q } \right| \right) ,
- \epsilon \triangle u _ { \epsilon } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { v } ( \mathbf { x } ) \cdot \nabla u _ { \epsilon } ( \mathbf { x } ) = 1 , \quad \mathbf { v } ( \mathbf { x } ) = \frac { \nabla u _ { \epsilon ^ { \prime } } ( \mathbf { x } ) } { | \nabla u _ { \epsilon ^ { \prime } } ( \mathbf { x } ) | _ { \sigma } } , \quad \mathbf { x } \in \Omega \setminus \Gamma ,
\Gamma \lbrack A \rbrack = \mathrm { t r } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d T } { T } } \, \mathrm { e } ^ { - m ^ { 2 } T } \int { \cal D } x \, { \cal P } \mathrm { e x p } \left[ - \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! d \tau \left( { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { x } } ^ { 2 } + i g A _ { \mu } \dot { x } ^ { \mu } \right) \right]
\displaystyle \frac { 2 k ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } \upsilon _ { k } } { \bigl ( \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \upsilon _ { k } ^ { 2 } }
\varepsilon _ { 0 } \approx - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , 0 } - \sum _ { s = 1 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ K ~ } ] _ { 0 , s } ^ { 2 } } { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { s , s } } + \sum _ { s = 1 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , s } ^ { 2 } } { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { s , s } } .
\begin{array} { r l } { P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } ) } & { { } = P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } ) \cdot P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } | \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta t = k _ { \mathrm { C F L } } \frac { \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { ~ i ~ , ~ k ~ } } ( \Delta x _ { \mathrm { ~ i ~ , ~ k ~ } } ) } { v _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \end{array}
{ \cal L } _ { 2 } = L _ { 2 } + \hat { L } _ { 2 } , \quad { \cal L } _ { - 2 } = L _ { - 2 } + \hat { L } _ { - 2 } , \quad { \cal G } _ { 0 } = G _ { 0 } + \hat { G } _ { 0 }
{ \begin{array} { r l } { 4 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { \pi } { 4 } } } & { = 4 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } - \arctan { \frac { 1 } { 1 } } } \\ & { = 4 \arctan { \frac { 1 } { 5 } } + \arctan { \frac { - 1 } { 1 } } } \\ & { = \arctan { \frac { 1 2 0 } { 1 1 9 } } + \arctan { \frac { - 1 } { 1 } } } \\ & { = \arctan { \frac { 1 2 0 \cdot 1 + ( - 1 ) \cdot 1 1 9 } { 1 1 9 \cdot 1 - 1 2 0 \cdot ( - 1 ) } } } \\ & { = \arctan { \frac { 1 } { 2 3 9 } } , } \end{array} }
\begin{array} { r c l c r c l } { { W ^ { - } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \bar { u } _ { L } + d _ { L } \, , } } & { { ~ ~ ~ ~ } } & { { \mu _ { W } } } & { { = } } & { { - \mu _ { u _ { L } } + \mu _ { d _ { L } } , } } \\ { { W ^ { - } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \bar { \nu } _ { l L } + l _ { L } \, , } } & { { } } & { { \mu _ { W } } } & { { = } } & { { - \mu _ { \nu _ { l L } } + \mu _ { l _ { L } } , } } \\ { { W ^ { - } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \chi ^ { - } + \phi ^ { 0 } \, , } } & { { } } & { { \mu _ { W } } } & { { = } } & { { \mu _ { - } + \mu _ { 0 } , } } \\ { { \phi ^ { 0 } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \bar { u } _ { L } + u _ { R } \, , } } & { { } } & { { \mu _ { 0 } } } & { { = } } & { { - \mu _ { u _ { L } } + \mu _ { u _ { R } } , } } \\ { { \phi ^ { 0 } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \bar { d } _ { L } + d _ { R } \, , } } & { { } } & { { \mu _ { 0 } } } & { { = } } & { { - \mu _ { d _ { L } } + \mu _ { d _ { R } } , } } \\ { { \phi ^ { 0 } } } & { { \leftrightarrow } } & { { \bar { l } _ { L } + l _ { R } \, , } } & { { } } & { { \mu _ { 0 } } } & { { = } } & { { - \mu _ { l _ { L } } + \mu _ { l _ { R } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \boldsymbol { k } ^ { 2 } } { \mu } u - \frac { \boldsymbol { k } } { \mu } ( \boldsymbol { k } \cdot u ) - i \boldsymbol { k } \times \left( \frac { 1 } { \mu } \times u \right) - i \nabla \times \left( \frac { 1 } { \mu } \boldsymbol { k } \times u \right) + } \\ & { \nabla \times \left( \frac { 1 } { \mu } \nabla \times u \right) - \tilde { \varepsilon } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } u = 0 . } \end{array}