harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 ) } & { a _ { e } , a _ { ( 1 2 ) } , a _ { ( 1 3 ) } , a _ { ( 2 3 ) } \in \mathbb { R } \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; a _ { ( 1 3 2 ) } = \overline { { a _ { ( 1 2 3 ) } } } , } \\ { ( 2 ) } & { a _ { e } \ge \operatorname* { m a x } \left\{ - a _ { ( 1 2 ) } , - a _ { ( 1 3 ) } , | a _ { ( 2 3 ) } | \right\} , } \\ { ( 3 ) } & { a _ { e } + a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } + a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } \ge 0 , } \\ { ( 4 ) } & { \left( a _ { e } + a _ { ( 1 2 ) } \right) \left( a _ { e } + a _ { ( 1 3 ) } \right) \geq \left| a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } \right| ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \Pi \left( b \right) = 1 - e ^ { - \frac { \alpha } { h \nu _ { 0 } } I ( { \nu _ { 0 } } ) } . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad ( 8 ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { Q _ { l } ^ { m } = \frac { 2 ( m + 1 ) \, z \, Q _ { l } ^ { m + 1 } + r _ { x y } ^ { 2 } \, Q _ { l } ^ { m + 2 } } { ( l + m + 1 ) ( l - m ) } . } \end{array}
Z _ { B _ { + } } ^ { U ( 1 ) } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \Omega ^ { \prime \prime \prime \prime } } } \int { \cal D } W _ { B _ { + } , c } ^ { 3 } { \cal D } \psi _ { W _ { B _ { + } , c } } ^ { 3 } e ^ { - S _ { B _ { + } , c } ^ { 1 } ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l r } { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } ( x , s ) } & { = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( c _ { _ 0 } | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { f o r ~ | x | < a ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) } & { = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( c | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( - c | x | \right) } , \quad \mathrm { f o r ~ a < | x | < b ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } ( x , s ) } & { = } & { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { f o r ~ | x | > b ~ } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } ( x , s ) } & { = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) , \quad \mathrm { f o r ~ a < | x | < b ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } } & { = - \hat { \mathbf { V } } + \frac { a } { 2 } \mathbf { G } \cdot \hat { \mathbf { V } } + \frac { a ^ { 3 } } { 6 } \left[ \hat { \lambda } \mathbf { D } ^ { \mathrm { e } } \cdot ( \mathbf { e } _ { z } \times \hat { \mathbf { V } } ) - \mathbf { D } ^ { \mathrm { o } } \cdot \hat { \mathbf { V } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d s ^ { 2 } } \log \zeta ( s ) } & { = \frac { d } { d s } \frac { \zeta ^ { \prime } ( s ) } { \zeta ( s ) } } \\ & { = \frac { 1 } { ( s - 1 ) ^ { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n a _ { n } ( s - 1 ) ^ { n - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { ( s - 1 ) ^ { 2 } } \left( 1 + A ( s ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { c } { { ( H _ { \nu } ) _ { 1 2 } = r _ { 1 } e ^ { i \varphi _ { 1 } } = { \frac 1 3 \ } \left[ e ^ { i ( \theta _ { 1 1 } - \theta _ { 2 1 } ) } + e ^ { i ( \theta _ { 1 2 } - \theta _ { 2 2 } ) } + e ^ { i ( \theta _ { 1 3 } - \theta _ { 2 3 } ) } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { = \lbrace ( x , y , a , b ) \in K ^ { 4 } \mid ( 1 + 4 a ) b \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } y \in S ( [ a , b ) _ { K } ) \rbrace \quad \mathrm { a n d } } \\ { \quad D _ { 2 } } & { = \lbrace ( x , y , a , b ) \in K ^ { 4 } \mid ( 1 + 4 a ) b \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } x - y \in S ( [ a , b ) _ { K } ) \rbrace } \end{array}
\int _ { \Omega _ { \Delta } } \frac { 1 } { 2 } u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } \mathrm { d } x \leq C _ { A } \int _ { \Omega _ { \Delta } } \overbrace { \frac { 1 } { 2 } ( \underbrace { \Delta x _ { i } \partial _ { i } } _ { R 3 } u _ { j } ) ( \Delta x _ { i } \partial _ { i } u _ { j } ) } ^ { R 2 } \mathrm { d } x ,
\begin{array} { r l } { \lfloor T _ { k } - \log _ { \rho } e ^ { \delta } \rfloor + \frac { \rho ^ { \{ T _ { k } - \log _ { \rho } e ^ { \delta } \} } - 1 } { \rho - 1 } \le \tau _ { k } } & { \le \lfloor T _ { k } - \log _ { \rho } e ^ { - \delta } \rfloor + \frac { \rho ^ { \{ T _ { k } - \log _ { \rho } e ^ { - \delta } \} } - 1 } { \rho - 1 } + \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \exp \big ( ( | \Omega _ { u } | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon _ { u } \big ) - 1 } { \exp \big ( ( | \Omega _ { u } | - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon _ { u } \big ) + 1 } \leq \frac { | 2 \widetilde { \eta } _ { u i j } - 1 | } { | 2 \eta _ { u i j } - 1 | } \leq \frac { \exp \big ( \epsilon _ { u } \big ) - 1 } { \exp \big ( \epsilon _ { u } \big ) + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { m } \left( \frac { k \rho } { \rho _ { c } } \right) \sin \left( \frac { k z } { \rho _ { c } } \right) } & { { } = \sum _ { { \nu } = 1 } ^ { \infty } \ \frac { ( - 1 ) ^ { { \nu } } } { ( 2 ( { \nu } + m ) - 1 ) ! } \ \times } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \, \frac { 1 } { \left( 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } \, \xi \right) ^ { N + 1 } } \, = \, \exp \left( \mathrm { i } \frac { A \, k a ^ { 2 } } { 2 B } \, \xi \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { r } } & { { } = } & { 0 } \\ { \hat { p } _ { \phi } } & { { } = } & { \frac { \hbar m } { r } \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) - \frac { \hbar } { 2 i } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { z } } & { { } = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) . } \end{array}
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } , { P R Z } } = T _ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } _ { 4 } , { P R Z } } = T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } _ { 4 } \vec { k } _ { 3 } , { P R Z } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { { } \approx \pm i \, A _ { 0 } \, \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ B ~ , ~ p ~ a ~ r ~ } ) } ( m _ { l } = 0 , \, \lambda = \pm 1 ) \, , } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 1 0 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { { } \approx \pm 1 . 0 4 A _ { 0 } \, \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } ( \lambda = \pm 1 ) } & { { } \approx \pm 1 . 0 4 A _ { 0 } \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array}
p = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } \sigma } { M a } ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r \frac { \partial h } { \partial r } ) ) - \frac { \mathcal { A } } { h ^ { 3 } } , \ \tau _ { z r } = \frac { 1 } { M a } \frac { \partial \sigma } { \partial r } ,
\begin{array} { r l } { T _ { e 1 } - T _ { e 0 } = \frac { 2 } { 3 } Q } & { { } - \frac { 1 } { 2 } N _ { e } e ^ { 2 } \left( \frac { 3 Z } { 2 } + 1 \right) ( k _ { e 0 } - k _ { e 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 1 } u } & { = a _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + a _ { 1 } \frac { \partial u } { \partial x } + a _ { 0 } u , } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } u } & { = b _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + b _ { 1 } \frac { \partial u } { \partial x } + b _ { 0 } u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ( v ( t ) ) \, d x } & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ( v _ { 0 } ) \, d x + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ^ { \prime } ( v ( s ) ) \phi ( s ) \, d x d s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ^ { \prime \prime } ( v ( s ) ) \nabla v ( s ) \cdot \Phi ( s ) \, d x d s } \\ & { \quad + \sum _ { n \geq 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ^ { \prime } ( v ( s ) ) \psi _ { n } \, d x d w _ { s } ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n \geq 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \xi ^ { \prime \prime } ( v ( s ) ) | \psi _ { n } ( s ) | ^ { 2 } \, d x d s . } \end{array}
\rho ( \Gamma ^ { \prime } , t + \delta t ) = { \frac { \mathrm { d } { \mathcal { N } } } { \mathrm { d } \Gamma ^ { \prime } } } = { \frac { \mathrm { d } { \mathcal { N } } } { \mathrm { d } \Gamma } } = \rho ( \Gamma , t ) ,
\begin{array} { r } { \left| \left( n ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } Z _ { i } \right) \bar { W } _ { n } \right| _ { \infty } \leq \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \left| n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } Z _ { i } \right| \left| \bar { W } _ { n } \right| _ { \infty } \lesssim n ^ { - 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { \mathrm { D C B Q } } = \Lambda ^ { + } \left[ \hat { H } ^ { \mathrm { D } } + \hat { V } ^ { \mathrm { C } } + \hat { V } ^ { \mathrm { B } } + \hat { V } ^ { \mathrm { Q } } \right] \Lambda ^ { + } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \theta } _ { i j } ^ { k l } = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } } & { { } \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \end{array}
1 7 g A _ { i } = \frac { 1 } { 2 i r } [ \epsilon _ { i a k } \tau _ { a } \hat { r } _ { k } ( \phi _ { 1 } - 1 ) - ( \tau _ { i } - \hat { r } _ { i } \hat { r } \cdot \vec { \tau } ) \phi _ { 2 } + \vec { r } _ { i } \hat { r } \cdot \vec { \tau } H _ { 1 } .
\begin{array} { r } { \langle \rho _ { 2 } ^ { 2 } \rangle _ { 2 } = \int \psi _ { 2 } ^ { * } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \psi _ { 2 } d x _ { 2 } d y _ { 2 } = b ^ { 2 } \int \psi _ { 1 } ^ { * } \rho _ { 1 } ^ { 2 } \psi _ { 1 } d x _ { 1 } d y _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { n } ^ { ( 2 ) } [ i ] = \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } d r ~ g _ { n } ( r ) ~ \partial _ { r } ^ { n } \rho _ { i } ( r , R _ { i j } ) , } \\ { \partial _ { r } ^ { n } \rho _ { i } ( r ) = \frac { \partial ^ { n } \rho _ { i } } { \partial r ^ { n } } ( r , R _ { i j } ) } \end{array}
\frac { 2 E _ { k ^ { \prime } } E _ { q ^ { \prime } } + m _ { e } ^ { 2 } - s _ { 1 } } { 2 k _ { z } ^ { \prime } q _ { z } ^ { \prime } } = 1 + \tan ( \theta _ { k ^ { \prime } } ) \tan ( \theta _ { q ^ { \prime } } ) \cos ( \phi _ { k ^ { \prime } } + \phi _ { q ^ { \prime } } ) .
H = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { L } \{ ( \sigma _ { x } ^ { j } \sigma _ { x } ^ { j + 1 } + \sigma _ { y } ^ { j } \sigma _ { y } ^ { j + 1 } ) ( 1 - U \tau _ { z } ^ { j + 1 } ) + ( \tau _ { x } ^ { j } \tau _ { x } ^ { j + 1 } + \tau _ { y } ^ { j } \tau _ { y } ^ { j + 1 } ) ( 1 - U \sigma _ { z } ^ { j } ) \}
\frac { \partial a } { \partial t } = \left\{ \begin{array} { l l } { - a + w _ { 1 } ( t ) + i w _ { 2 } ( t ) } & { 0 < t < 4 } \\ { a + w _ { 1 } ( t ) + i w _ { 2 } ( t ) } & { 4 < t < 8 } \end{array} \right. \, .
\lambda _ { \pm } = \left| \Lambda _ { 1 , 1 } \right| \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { \Lambda } _ { 1 } + \tilde { \Lambda } _ { 2 } + \tilde { \Lambda } _ { 3 } ) \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \tilde { \Lambda } _ { 1 } + \tilde { \Lambda } _ { 2 } + \tilde { \Lambda } _ { 3 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( \tilde { \Lambda } _ { 1 } \tilde { \Lambda } _ { 2 } + \tilde { \Lambda } _ { 2 } \tilde { \Lambda } _ { 3 } + \tilde { \Lambda } _ { 1 } \tilde { \Lambda } _ { 3 } \right) } \right] .
\begin{array} { r l } & { D _ { G } ( m + 1 , m , m + 1 , m , m , m , m , m , m , m , m , m , m - 1 , m , m , m - 1 ) } \\ & { \quad = D _ { 4 \times 2 } ( 2 m + 1 , 2 m , 2 m + 1 , 2 m , 2 m - 1 , 2 m , 2 m , 2 m - 1 ) F ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \quad = D _ { 4 } ( 4 m , 4 m , 4 m + 1 , 4 m - 1 ) D _ { 4 } ( 2 , 0 , 1 , 1 ) f _ { 0 } ( 0 , 1 , 0 , - 1 ) ^ { 2 } f _ { 1 } ( 2 , 1 , 0 , 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \quad = 2 \left\{ ( 8 m + 1 ) ^ { 2 } - ( 8 m - 1 ) ^ { 2 } \right\} \cdot 1 6 \cdot 2 ^ { 2 } \cdot 4 ^ { 2 } } \\ & { \quad = 2 ^ { 1 6 } m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( G _ { 1 } \vee G _ { 3 } ) \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) } & { = ( G _ { 1 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \vee ( G _ { 3 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) } \\ & { = ( G _ { 1 } \wedge ( G _ { 2 } \vee G _ { 3 } ) ) \vee G _ { 3 } } \\ & { \leq ( G _ { 1 } \wedge G _ { 2 } ) \vee G _ { 3 } \, ( \textrm { b y } k _ { 1 } \geq k _ { 2 } ) } \\ & { \leq \mathrm { d } ( G _ { 1 } ) \vee G _ { 3 } . } \end{array}
\int _ { \mathcal { S } } \mathbf { A } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \int _ { \mathcal { S } ^ { + } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S + \int _ { \mathcal { S } ^ { - } } \mathbf { A } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S ~ ,
\boldsymbol { B } ( k ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 5 9 . 9 9 9 8 \Gamma _ { 1 k } } & { 0 . 2 6 1 9 \Gamma _ { 2 k } } & { 0 } \\ { - 0 . 2 6 1 9 \Gamma _ { 1 k } } & { 5 9 . 9 9 9 2 \Gamma _ { 2 k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 5 9 . 9 9 9 8 \Gamma _ { 3 k } } \\ { 1 } & { 0 . 0 0 8 7 } & { 0 } \\ { - 0 . 0 0 8 7 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - v ^ { 3 } ) ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \frac { ) 1 - v ^ { 4 } ) ( 1 - w ^ { 4 } ) ( 1 - x ^ { 4 } ) ( 1 - y ^ { 4 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - v ^ { 3 } ) ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! }
\begin{array} { r l } & { a = \frac { 1 } { 4 } ( \alpha + \alpha ^ { \omega _ { x } } + \alpha ^ { \omega _ { y } } + \alpha ^ { \omega _ { z } } ) , \qquad b s = \frac { 1 } { 4 } ( \alpha + \alpha ^ { \omega _ { x } } - \alpha ^ { \omega _ { y } } - \alpha ^ { \omega _ { z } } ) , } \\ & { c t = \frac { 1 } { 4 } ( \alpha - \alpha ^ { \omega _ { x } } + \alpha ^ { \omega _ { y } } - \alpha ^ { \omega _ { z } } ) , \qquad d u = \frac { 1 } { 4 } ( \alpha - \alpha ^ { \omega _ { x } } - \alpha ^ { \omega _ { y } } + \alpha ^ { \omega _ { z } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( \pi | \pi _ { \alpha } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathrm { l o g } \left( \frac { Z _ { \alpha } } { Z } \right) + \frac { \alpha } { 2 } | x | ^ { 2 } \pi ( \mathrm { d } x ) } \\ & { = \mathrm { l o g } \left( \mathbb { E } _ { \pi } \left[ e ^ { - \frac { \alpha } { 2 } | . | ^ { 2 } } \right] \right) + \frac { \alpha } { 2 } \mathbb { E } _ { \pi } \left[ | . | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + A _ { p } ) \frac { d U _ { p } } { d t } - ( m + A _ { q } ) \Omega _ { r } U _ { q } } & { { } = ( m - \rho V ) g \cos \phi , } \\ { ( m + A _ { q } ) \frac { d U _ { q } } { d t } + ( m + A _ { p } ) \Omega _ { r } U _ { p } } & { { } = - ( m - \rho V ) g \sin \phi , } \\ { ( J _ { q } + D _ { q } ) \frac { d \Omega _ { r } } { d t } } & { { } = - U _ { p } U _ { q } ( A _ { q } - A _ { p } ) , } \\ { \frac { d \phi } { d t } } & { { } = \Omega _ { r } , } \end{array}
d \boldsymbol { x } = \left[ - \frac { \beta ( t ) } { 2 } \boldsymbol { x } - \beta ( t ) \nabla _ { \boldsymbol { x } } \log p _ { t } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] d t + \sqrt { \beta ( t ) } d \overline { { \boldsymbol { w } } } ,
\sum _ { w \in W } \sum _ { v \in \Delta _ { \Lambda _ { 2 } } } ( - 1 ) ^ { | w | } e ^ { i \left[ w ( \Lambda _ { 1 } ) + v \right] \cdot x } = \sum _ { w \in W } \sum _ { \Lambda _ { 3 } \in \Delta _ { \Lambda _ { 1 } , \Lambda _ { 2 } } } ( - 1 ) ^ { | w | } e ^ { i w ( \Lambda _ { 3 } ) \cdot x } .
\Delta _ { \mathrm { N P } } \simeq 2 \biggl ( 1 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) \frac { \delta n } { n _ { 0 } } \simeq - \frac { 2 } { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } .
\begin{array} { r } { \Omega _ { c } - \Omega = \frac { 1 } { \hat { A } ^ { 2 } R _ { e } ^ { 2 } } \left[ \frac { ( \Omega - \omega ) r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta e ^ { - 2 \nu } } { 1 - ( \Omega - \omega ) r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta e ^ { - 2 \nu } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { S } } ( t ) = } & { { } \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { { \boldsymbol { r } } } \frac { \sum _ { i } \langle \vert { { \boldsymbol { J } } } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } , t ) \vert ^ { 2 } \rangle } { \epsilon } } \end{array}
K _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ o ~ w ~ } } \leq - \log _ { 2 } ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ) \leq \frac { 2 } { \ln 2 } \frac { a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } = \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } ( \zeta h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } } & { \leq \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } ( \zeta \mathcal P _ { \gamma } h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } ( \zeta \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } } \\ & { \lesssim \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } ( ( \zeta - 1 ) \mathcal P _ { \gamma } h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } } \\ & { \lesssim \| ( \zeta - 1 ) \mathcal P _ { \gamma } h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } = \! \! \left[ \begin{array} { c c c c } { \frac { { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { B _ { k } } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } + \frac { B _ { k } ^ { \prime } A } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { 2 } } & { \! \! \! 0 \! \! \! } \\ { \! \! \! 0 \! \! \! } & { \! \! \! \! \! \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { D : = L \, M \sqrt { 2 | \mathcal { E } | + | \mathcal { N } | \times | \mathcal { K } | } \left[ \sqrt { | \mathcal { R } | } \left( \frac { 1 } { | \mathcal { R } _ { t } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) ^ { 1 / 2 } + \left( \frac { 1 } { | \mathcal { R } \setminus \mathcal { R } _ { t } | } - \frac { 1 } { | \mathcal { R } | } \right) ^ { 1 / 4 } \right] . } \end{array}
X _ { \pm } ( s ) = \frac { \beta } { 2 } \sum _ { n } \left[ E _ { n } ^ { 2 } + \frac { \lambda \phi ^ { 2 } } { 3 } + \mu ^ { 2 } \pm 2 \mu E _ { n } \pm \frac { \mu \lambda \phi ^ { 2 } } { 3 E _ { n } } \pm \frac { \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 4 } } { 1 4 4 \mu E _ { n } } \mp \frac { \mu \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 4 } } { 3 6 E _ { n } ^ { 3 } } \right] ^ { - \frac { s } { 2 } } \; .
V _ { s } \cap V _ { o u t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } - d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } \frac { ( 3 - k ) ^ { 2 } } { 4 } , } & { 1 < k \le 3 } \\ { 3 d _ { s } \alpha _ { s } ^ { * } , } & { k > 3 . } \end{array} \right.
\Bigl | \frac { \partial _ { Z } \phi _ { * } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \Bigr | \, \le \, \frac { C } { \epsilon ^ { 3 } } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, | \eta _ { * } ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) | } { \bigl ( ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r } { f _ { 1 } = \frac { | \textrm { C a } ^ { \prime } \hat { v } _ { n } | ^ { 2 / 3 } } { 0 . 7 6 + 2 . 1 6 | \textrm { C a } ^ { \prime } \hat { v } _ { n } | ^ { 2 / 3 } } , \quad \mathrm { a n d } \quad f _ { 2 } = 1 + 1 . 5 9 | \textrm { C a } ^ { \prime } \hat { v } _ { n } | + \frac { | \textrm { C a } ^ { \prime } \hat { v } _ { n } | ^ { 2 / 3 } } { 0 . 2 6 + 1 . 4 8 | \textrm { C a } ^ { \prime } \hat { v } _ { n } | ^ { 2 / 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { = { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { M ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { M ( w _ { H B } ^ { i } ) \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } } \\ & { + { \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { M ( w _ { L D } ^ { i } ) \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \tilde { \mu } } _ { 3 } } & { = \operatorname { E } \left[ \left( { \frac { X - \mu } { \sigma } } \right) ^ { 3 } \right] } \\ & { = { \frac { \operatorname { E } [ X ^ { 3 } ] - 3 \mu \operatorname { E } [ X ^ { 2 } ] + 3 \mu ^ { 2 } \operatorname { E } [ X ] - \mu ^ { 3 } } { \sigma ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { \operatorname { E } [ X ^ { 3 } ] - 3 \mu ( \operatorname { E } [ X ^ { 2 } ] - \mu \operatorname { E } [ X ] ) - \mu ^ { 3 } } { \sigma ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { \operatorname { E } [ X ^ { 3 } ] - 3 \mu \sigma ^ { 2 } - \mu ^ { 3 } } { \sigma ^ { 3 } } } . } \end{array} }
\left\langle \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { g _ { 1 } } \\ { h _ { 1 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { f _ { 2 } } \\ { g _ { 2 } } \\ { h _ { 2 } } \end{array} \right) \right\rangle : = R \bar { \theta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f _ { 1 } ( x ) \overline { { f _ { 2 } ( x ) } } d x + \bar { \rho } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } g _ { 1 } ( x ) \overline { { g _ { 2 } ( x ) } } d x + \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } c _ { 0 } } { \bar { \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h _ { 1 } ( x ) \overline { { h _ { 2 } ( x ) } } d x ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \widetilde { u } _ { j } } { \partial t } + \frac { \partial \widetilde { u } _ { i } \widetilde { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } } & { = \nu \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { u } _ { j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { r } } { \partial x _ { i } } - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \widetilde { p } } { \partial x _ { j } } , } \\ { \frac { \partial \widetilde { u } _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \ln ( 1 - c _ { 1 } ) } \mathrm { d } \left( ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } \right) } & { = ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } \mathrm { d t } + \frac { b _ { 1 } - 1 } { \ln ( 1 - c _ { 1 } ) } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 2 } \mathrm { d t } } \\ & { \geq \frac { ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } \mathrm { d t } } { 2 } . } \end{array}