harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( 1 - 1 1 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \right) \left\| { U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 1 1 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { y _ { 1 1 } ^ { + } } & { y _ { 1 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { 1 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { y _ { 2 1 } ^ { + } } & { y _ { 2 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { 2 ( n - 1 ) } ^ { + } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { y _ { ( n - 1 ) 1 } ^ { + } } & { y _ { ( n - 1 ) 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { y _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } ^ { + } } \end{array} \right) .
Z _ { N } ^ { \alpha } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \alpha ( \alpha + 1 ) Z _ { N } ^ { B } ( x ) + ( 1 - \alpha ) ( \alpha + 1 ) Z _ { N } ^ { M B } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \alpha ( 1 - \alpha ) Z _ { N } ^ { F } ( x )
\begin{array} { r l } { \frac { \| \theta _ { i } - \theta _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } } & { = \frac { a ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \bigg [ ( s - 1 ) \Big ( \sqrt { 1 - \frac { \Delta } { s - 1 } } - 1 \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \sqrt { 1 + \Delta } - 1 \Big ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \Big ( 1 + \frac { 1 } { s - 1 } \Big ) + O ( \Delta ) . } \end{array}
\alpha _ { B } = \alpha _ { B } ^ { ( 0 ) } \left\{ 1 - \frac { 2 \beta _ { 1 } \ln L } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } L } + \frac { 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \left[ ( \ln L - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + b \right] \right\}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) u _ { n } ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } d x + \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) \left( u _ { n , x x } ^ { \prime } ( t ) \right) ^ { 2 } d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) ( u _ { n } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { \leq } & { \left( 2 r _ { 1 } + \frac { \ell ^ { 3 } \epsilon } { 3 } \right) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { n , x x } ^ { 2 } ( t ) d x + \left( \frac { \ell ^ { 3 } \epsilon } { 3 } + \epsilon \right) \int _ { 0 } ^ { \ell } ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ( t ) ) ^ { 2 } d x \ } \\ & { } & { + \frac { 1 + T } { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { t } g ^ { \prime } ( \tau ) ^ { 2 } d \tau + \mu _ { 1 } \Vert v _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + \left( \kappa _ { 1 } + 1 \right) \Vert v _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } \Vert u _ { 0 , x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \sf s } f } } & { { = } } & { { Z _ { c } \partial ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } c + i g Z _ { g } [ c , G _ { \mu } ] ) } } \\ { { } } & { { } } & { { + Z _ { c } Z _ { g } ( 1 + \delta v / v ) g ^ { 2 } v ^ { 2 } \xi / 2 ( \hat { \phi } _ { 0 } ^ { \dagger } c t ^ { A } \hat { \phi } _ { 0 } + \hat { \phi } _ { 0 } ^ { \dagger } t ^ { A } c \hat { \phi } _ { 0 } ) t ^ { A } } } \\ { { } } & { { } } & { { + Z _ { c } Z _ { g } g ^ { 2 } v \xi / \sqrt { 2 } ( \phi ^ { \dagger } c t ^ { A } \hat { \phi } _ { 0 } + \hat { \phi } _ { 0 } ^ { \dagger } t ^ { A } c \phi ) t ^ { A } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { \gamma } _ { i j } } & { = \gamma ^ { - 1 / 3 } \gamma _ { i j } , } & { \phi } & { = \frac { 1 } { 1 2 } \log \gamma } \\ { \tilde { A } _ { i j } } & { = \gamma ^ { - 1 / 3 } \left( K _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \gamma _ { i j } K \right) , } & { \hat { K } } & { = K - 2 \Theta } \\ { \tilde { \Gamma } ^ { i } } & { = 2 \tilde { \gamma } ^ { i j } Z _ { j } + \tilde { \gamma } ^ { i j } \tilde { \gamma } ^ { k l } \partial _ { l } \tilde { \gamma } _ { j k } , } & { \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { i } } & { = \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { i } \tilde { \gamma } ^ { j k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { r } { a } \frac { \delta B _ { r } } { B _ { 0 } } } & { { } = - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \bigg \{ \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu d ) - K _ { | m | } ( \nu r ) I _ { | m | } ( \nu d ) \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ^ { 2 N + 1 , k } = \partial _ { \epsilon _ { 1 } } ^ { 2 N - 2 } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \partial _ { \epsilon _ { 4 } } L _ { A ^ { ( k ) } , h ^ { ( k ) } } ( f ) | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = \epsilon _ { 4 } = 0 } , \quad k = 1 , 2 . } \end{array}
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r s e c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r s e c h } ( a x ) } { 3 } } - { \frac { 1 } { 3 a ^ { 3 } } } \arctan { \sqrt { \frac { 1 - a x } { 1 + a x } } } - { \frac { x ( 1 + a x ) } { 6 a ^ { 2 } } } { \sqrt { \frac { 1 - a x } { 1 + a x } } } + C
\zeta _ { 0 } ( \nu ) = - \nu { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { 2 \pi } } \sum _ { \omega } \int _ { C _ { + } } d z { \frac { z \breve { \chi } ^ { \prime } ( \breve { \omega } , z ) } { ( z ^ { 2 } + \breve { \omega } ^ { 2 } ( z ) ) ^ { \nu + 1 } } } e ^ { i \epsilon z } .
\begin{array} { r } { W _ { \Phi } ( G , G ^ { \prime } ) \lesssim C \biggr ( \frac { \bar { \theta } ^ { 5 / 4 } } { ( \log ( 1 / h ( p _ { G } , p _ { G ^ { \prime } } ) ) ) ^ { 1 / 8 } } + \left( \frac { 1 } { \log ( 1 / h ( p _ { G } , p _ { G ^ { \prime } } ) ) } \right) ^ { 1 1 / 8 } } \\ { + \left( \frac { 1 } { \log ( c / h ( p _ { G } , p _ { G ^ { \prime } } ) ( \log ( 1 / h ( p _ { G } , p _ { G ^ { \prime } } ) ) ) ^ { d / 4 } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \biggr ) } \end{array}
( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \cdot ) , \cdot \big ) \in C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) \quad \textnormal { a n d } \quad ( \partial _ { \varphi } \Psi \{ f \} ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \cdot ) , \cdot \big ) \in C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) .
E _ { | 2 } \left( 0 \right) = \frac V { 2 \pi ^ { 2 } } \frac 1 2 \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p ^ { 2 } \left( 2 \sqrt { p ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } ( q ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { w } } e \, z \, e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { r } } \left( - 2 e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { M } _ { i } } } + e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { H } _ { 1 , i } } } + e ^ { - i \vec { q } . \vec { r } _ { \mathrm { H } _ { 2 , i } } } \right) } \end{array}
Z = < \exp \left( \int d \tau \left[ - \frac { 1 } { 2 \pi } \xi \dot { \xi } + \frac { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { 2 \pi } \xi \psi ^ { 1 } u - \frac { 1 } { 8 \pi } u ^ { 2 } ( X ^ { 1 } ) ^ { 2 } + i A _ { a } ( X ^ { a } ) \partial _ { \tau } X ^ { a } + \frac { i \alpha ^ { \prime } } { 2 } \theta _ { a b } \psi ^ { a } \psi ^ { b } \right] \right) > \ ,
\begin{array} { r l } { [ M _ { i j } ] } & { = \left( \begin{array} { l l l } { n ^ { 2 } - \mu { \epsilon } - i \frac { \mu } { 2 \omega } a _ { 1 } c _ { 2 } n } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n ^ { 2 } - \mu { \epsilon } + i \frac { \mu } { 2 \omega } a _ { 1 } c _ { 2 } } & { 0 } \\ { - i \frac { \mu } { 2 \omega } a _ { 3 } c _ { 2 } n } & { 0 } & { - \mu { \epsilon } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d H } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta } x \left( \Lambda ( H , x ) + x ^ { N } R ( H , \phi , x ) \right) , } \\ { \frac { d \phi } { d \tau } } & { = \frac { 1 } { 3 \delta x ^ { 2 } } \left( \Omega ( H , x ) + x ^ { N + 1 } P ( H , \phi , x ) \right) , } \\ { \frac { d x } { d \tau } } & { = - 1 , } \end{array}
\Delta E = \nu \langle \Delta z _ { g } \rangle \approx \widetilde { C } \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) m _ { N } R _ { A } ^ { 2 } ( C _ { A } / N _ { c } ) 3 \ln ( 1 / 2 x _ { B } ) .
Y _ { \alpha } ^ { \eta } \equiv { \frac { ( N _ { \alpha } ^ { - \eta } / N _ { \alpha } ^ { + \eta } ) | _ { d a t a } } { ( N _ { \alpha } ^ { - \eta } / N _ { \alpha } ^ { + \eta } ) | _ { M C } } } \ \ ( \alpha = e , \mu ) .
\langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \rangle = \langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \rangle
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \bf q } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \boldsymbol \rho } } \left\{ { \cal F } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] + \int v ( { \bf R , r } ) \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } \right. } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. \left\vert ~ \int \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } = N _ { e } \right. \right\} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { m e a n } } ( \omega ) } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ \xi ~ d \xi } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | Y ( \xi ) | ^ { 2 } ~ d \xi } } \\ & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( \xi - \frac { \omega } { 2 \pi } ) ~ \xi ~ d \xi } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( \xi - \frac { \omega } { 2 \pi } \big ) ~ d \xi } } \\ { f _ { \mathrm { m e a n } } ( \omega ) } & { = \frac { \omega } { 2 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } \leq \underline { o } _ { i } ^ { v ^ { * } } \leq 1 } \\ { 0 } & { { } \leq k _ { i } ^ { - 1 } [ \Delta H ] \left( \frac { \delta _ { i } } { 1 - v ^ { * } } - k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \right) \leq 1 } \\ { 0 } & { { } \leq \frac { \delta _ { i } } { 1 - v ^ { * } } - k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \leq k _ { i } [ \Delta H ] } \\ { ( 1 - v ^ { * } ) k _ { i } [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] } & { { } \leq \delta _ { i } \leq ( 1 - v ^ { * } ) k _ { i } [ H ] , } \end{array}
\begin{array} { c } { { a = { i \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { u + \cos x ^ { 1 0 } } d x ^ { 1 0 } = i \left( 4 - { \frac { u - 1 } { 2 } } \log { \frac { u - 1 } { 2 } } + \ldots \right) } } \\ { { a _ { D } = \sqrt { 2 } \int _ { \cosh x ^ { 6 } < u } \sqrt { u - \cosh x ^ { 6 } } d x ^ { 6 } = 2 \pi \left( { \frac { u - 1 } { 2 } } + \ldots \right) } } \end{array}
\sigma ( \pi ^ { + } \pi ^ { - } \rightarrow \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) = \frac { s } { 3 2 \pi f _ { \pi } ^ { 4 } } \left( 1 - \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { s } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \pm k } } & { { } = \pm w \sqrt { 1 + \left( \frac { \hbar v _ { F } k } { w } \right) ^ { 2 } } , } \\ { \xi _ { k } } & { { } = \frac { m ^ { * } v _ { F } ^ { 2 } } { 1 + \left( \frac { \hbar v _ { F } k } { w } \right) ^ { 2 } } + \mathrm { c o n s t . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } ( x , y , z ) } & { { } \approx U _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } \left( \frac { 2 x ^ { 2 } } { w _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 2 y ^ { 2 } } { w _ { y } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { z _ { R , x } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { z _ { R , y } ^ { 2 } } \right) z ^ { 2 } - 1 \right) , } \end{array}
E _ { Z . M . } \left( \beta \right) = - \frac { d } { d \beta } \log \, Z _ { Z . M . } \left( \beta \right) = \frac { d } { d \beta } \log \, \left( \frac { \mu \beta } { 2 \pi } \right) = \frac { 1 } { \beta } .
\sqrt { \Delta m _ { s o l } ^ { 2 } } \approx m _ { \nu _ { 2 } } \sim { \frac { 3 h _ { b } ^ { 2 } | \vec { \epsilon } | ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } { \frac { m _ { b } } { M _ { S U S Y } ^ { 2 } } } \ln { \frac { M _ { \tilde { b } _ { 2 } } ^ { 2 } } { M _ { \tilde { b } _ { 1 } } ^ { 2 } } } \, .
\Psi ( x ) \approx C { \frac { e ^ { i \int d x { \sqrt { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( E - V ( x ) \right) } } + \theta } } { \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } \left( E - V ( x ) \right) } } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \end{array}
s _ { 0 } \ldots s _ { i } = { \frac { \ell _ { 1 } } { \ell _ { 0 } } } { \frac { \ell _ { 2 } } { \ell _ { 1 } } } \cdots { \frac { \ell _ { i + 1 } } { \ell _ { i } } } = \ell _ { i + 1 } .
Z = \log ( e ^ { X } e ^ { Y } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } } \sum _ { s \in S _ { k } } { \frac { X ^ { i _ { 1 } } Y ^ { j _ { 1 } } \cdots X ^ { i _ { k } } Y ^ { j _ { k } } } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! } } , \quad i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , \quad i _ { r } + j _ { r } > 0 , \quad 1 \leq r \leq k ,
R ( \mathbf { u } ) = \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } = 1 } ^ { 2 } \frac 1 2 a _ { i _ { 1 } { i _ { 2 } } } { \bf u } _ { ( i _ { 1 } i _ { 2 } ) } e _ { \emptyset } + \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } j _ { 1 } j _ { 2 } = 1 } ^ { 2 } a _ { i _ { 2 } { j _ { 2 } } } { \bf u } _ { ( i _ { 1 } i _ { 2 } ) } { \bf u } _ { ( j _ { 1 } j _ { 2 } ) } ( e _ { i _ { 1 } } \otimes e _ { j _ { 1 } } ) + \sum _ { i _ { 1 } j _ { 1 } = 1 } ^ { 2 } \frac 1 2 a _ { i _ { 1 } { j _ { 1 } } } { \bf u } _ { ( i _ { 1 } ) } { \bf u } _ { ( j _ { 1 } ) } e _ { \emptyset } ,
\begin{array} { r l } { g _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { \rho } ) } & { = \frac { \int d \boldsymbol { r } ^ { \prime } \left\langle \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \langle \hat { \psi } _ { b , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , L } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle \right\rangle } { \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 + \cos \Phi _ { B } ( \boldsymbol { \rho } ) \right] . } \end{array}
\hat { \sigma } [ \gamma _ { \pm } \gamma _ { \mp } \rightarrow \tilde { W } _ { i } ^ { + } \tilde { W } _ { i } ^ { - } ] = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { \hat { s } } \left[ - 2 \hat { \beta } ( 5 - \hat { \beta } ^ { 2 } ) + ( 5 - \hat { \beta } ^ { 4 } ) \ln \frac { 1 + \hat { \beta } } { 1 - \hat { \beta } } \right] ,
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega = \int _ { \Omega } - \frac { u } { 2 } \frac { \partial u ^ { 2 } } { \partial x } + u \nu \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \mathrm { d } \Omega = - \frac { 1 } { 3 } [ u ^ { 3 } ] _ { a } ^ { b } + \nu [ u \frac { \partial u } { \partial x } ] _ { a } ^ { b } - \nu \int _ { \Omega } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega = - \underbrace { \nu \int _ { \Omega } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } _ { \geq 0 } ,
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { 2 a _ { n } } } \int _ { - a _ { n } } ^ { a _ { n } } d x _ { n } \ f ( { \bf x } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \exp \Big [ \! - { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { \deg P _ { 1 } = k } 1 \sum _ { \deg P _ { 2 } = N - k } 1 } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \frac { q ^ { k } } { k } \left( 1 + O \left( q ^ { - k / 2 } \right) \right) \frac { q ^ { N - k } } { N - k } \left( 1 + O \left( q ^ { - ( N - k ) / 2 } \right) \right) } \\ & { = \frac { 2 q ^ { N } } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { k } \left( 1 + O \left( q ^ { - 1 / 2 } \right) \right) } \\ & { = \frac { 2 q ^ { N } } { N } ( \log N + \gamma ) + O \left( \frac { q ^ { N } } { N ^ { 2 } } \right) + O \left( \frac { q ^ { N - \frac { 1 } { 2 } } } { N } \log N \right) , } \end{array}
\mathbf { E } _ { \pm } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \pm 1 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \quad \mathbf { E } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { \pm 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l r } { { \frac { q ^ { \prime } ( q ^ { \prime } - R _ { D } ) } { d ^ { \prime } ( R _ { D } - d ^ { \prime } ) } } } & { { } = } & { { \frac { q ( q - R _ { D } ) } { d ( R _ { D } - d ) } } \; { \frac { [ n R _ { D } + d ( n ^ { \prime } - n ) ] ^ { 2 } } { [ n R _ { D } + q ( n ^ { \prime } - n ) ] ^ { 2 } } } = { \frac { q ( q - R _ { D } ) } { d ( R _ { D } - d ) } } \; { \frac { d ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { n ^ { \prime } } { d ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } { q ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { n ^ { \prime } } { q ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } } } \end{array}
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 4 4 5 , 0 . 6 9 8 , 3 . 5 2 8 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 , 0 , 0 . 5 7 1 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq x \leq 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } , \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ) } & { = I ( \sigma _ { n } ; \mathbf { X } | \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ) } \\ & { \le I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } , \mathbf { G } ^ { ( 1 ) } , \mathbf { G } ^ { ( 2 ) } , S ^ { n } ; \mathbf { X } ) } \\ & { \le I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } , S ^ { n } ; \mathbf { X } ) } \\ & { = I ( \sigma _ { n } , \mathbf { Y } ; \mathbf { X } | S ^ { n } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { n } } I ( X _ { i } ^ { n } ; Y _ { \sigma _ { n } ( i ) } ^ { K _ { n } } | S ^ { n } ) } \\ & { = m _ { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } | S ^ { n } ) } \\ & { = m _ { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , S ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n u m \_ e n s \_ s e m b l a n c e s \_ c a l l s } & { = } & { \left\lceil \frac { P _ { d } } { N _ { s k i p } + 1 } \right\rceil } \\ & { \times } & { \left( S _ { f } + N _ { c y c l e } \times S _ { b f } \right. } \\ & { + } & { \left. ( 2 \times N _ { c y c l e } + 1 ) \times N _ { s k i p } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { \partial ^ { \left( q _ { 1 } + q _ { 2 } \right) } A } { \partial x ^ { q _ { 1 } } \partial y ^ { q _ { 2 } } } \right] ^ { p _ { 1 } } \left[ \frac { \partial ^ { \left( q _ { 4 } + q _ { 5 } \right) } B } { \partial x ^ { q _ { 4 } } \partial y ^ { q _ { 5 } } } \right] ^ { p _ { 2 } } \; \; \mathrm { o r } \; \; \; \left[ \frac { \partial ^ { \left( q _ { 1 } + q _ { 2 } \right) } C } { \partial x ^ { q _ { 1 } } \partial z ^ { q _ { 2 } } } \right] ^ { p _ { 1 } } \left[ \frac { \partial ^ { \left( q _ { 4 } + q _ { 5 } \right) } D } { \partial x ^ { q _ { 4 } } \partial z ^ { q _ { 5 } } } \right] ^ { p _ { 2 } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { L } ( k ) = \mathcal { B } \mathcal { L } ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } ^ { - 1 } , } & & { \mathcal { Z } ( k ) = \mathcal { B } \mathcal { Z } ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } ^ { - 1 } , } \\ & { \mathsf { U } ( x , t , k ) = \mathcal { B } \mathsf { U } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } ^ { - 1 } , } & & { \mathsf { V } ( x , t , k ) = \mathcal { B } \mathsf { V } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { { m _ { Q } } ^ { 2 } + { m _ { u } } ^ { 2 } + { m _ { H _ { u } } } ^ { 2 } = \xi ( { g _ { i } } ) } } \\ { { { m _ { Q } } ^ { 2 } + { m _ { d } } ^ { 2 } + { m _ { H _ { d } } } ^ { 2 } = \xi ( { g _ { i } } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \delta r _ { + } } } & { { = } } & { { \delta \left( M + \sqrt { M ^ { 2 } - a ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \delta M + { \frac { 1 } { 2 } } \, { \left( M ^ { 2 } - a ^ { 2 } - Q ^ { 2 } \right) } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \, 2 \left( M \, \delta M - a \, \delta a \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \delta M + { \left( r _ { + } - M \right) } ^ { - 1 } \left( M \, \delta M - a \, \delta a \right) \; , } } \\ { { a \, \delta a } } & { { = } } & { { a \, \delta \left( J / M \right) = { \frac { a } { M } } \, \delta J - { \frac { a ^ { 2 } } { M } } \, \delta M \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \exists v \in \Xi _ { n } [ \overline { w } , \infty ) } & { : u \not \leftrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \mid { \mathcal G } _ { n , 2 } , { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) } \\ & { \le \mathbb E [ | \Xi _ { n } [ \overline { w } , \infty ) | ] \cdot \mathbb { P } \big ( v \not \leftrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \mid { \mathcal G } _ { n , 2 } , { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } , v \in \Xi _ { n } [ \overline { w } , \infty ) \big ) } \\ & { \le n \, \mathbb { P } \big ( v \not \leftrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \mid { \mathcal G } _ { n , 2 } , { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } , v \in \Xi _ { n } [ \overline { w } , \infty ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) + \rho ^ { \alpha + \beta } \left( a _ { 1 } b _ { 2 } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { { } = \frac { | \mathbf { I } ( T S L _ { i } ) - \mathbf { I } ( T S L _ { j } ) \exp ( \frac { T S L _ { j } - T S L _ { i } } { \mathbf { \widehat { T _ { 1 \rho } } } } ) | } { \mathbf { \sigma _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overbrace { \partial _ { t } ^ { 2 } u } ^ { \partial _ { t } \{ \partial _ { t } u \} } } & { = } & { \left[ - a \partial _ { x } + \nu \partial _ { x } ^ { 2 } + \ | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k } \right] \left\{ - a \partial _ { x } u + \nu \partial _ { x } ^ { 2 } u + \ | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k } u \right\} } \\ & { = } & { a ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } u + \nu ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 4 } u + ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 4 k - 2 } \partial _ { x } ^ { 4 k } u - 2 a \nu \partial _ { x } ^ { 3 } u } \\ & { } & { - \ 2 a | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k + 1 } u + 2 \nu | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k + 2 } u } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { \mathrm { p o s t } } | Y _ { i } } & { \sim \mathcal { G P } ( \mu _ { i } ( x ) , v _ { i } ( x , x ^ { \prime } ) ) } \\ { \partial ^ { \top } f _ { i } ^ { \mathrm { p o s t } } | Y _ { i } } & { \sim \mathcal { G P } \left( \partial ^ { \top } \mu _ { i } ( x ) , v _ { \partial , i } ( x , x ^ { \prime } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { : d \phi \in \mathfrak { B } ^ { 1 } , \ \delta \beta \in \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \ \mathrm { a n d } \ \alpha \in \mathfrak { H } ^ { 1 } , } \\ { ( i i ) } & { : d \phi \in \mathring { \mathfrak { B } } ^ { 1 } , \ \delta \beta \in \mathfrak { B } ^ { \ast 1 } \ \mathrm { a n d } \ \alpha \in \mathring { \mathfrak { H } } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan \alpha _ { \pm } } & { { } = \frac { \pi \sqrt { 4 \mathcal { F } ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } } \sin ( 2 k \ell \pm \ensuremath { g _ { \phi \gamma } } \Delta \phi ) } { ( 2 \mathcal { F } ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) \cos ( 2 k \ell \pm \ensuremath { g _ { \phi \gamma } } \Delta \phi ) - 2 \mathcal { F } ^ { 2 } } \: , } \end{array}