harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad 2 \mathrm { I m } \mathcal { M } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { n } ) } \\ & { = \sum _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \int \frac { d ^ { D - 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { 2 E _ { i } } ( 2 \pi ) ^ { D } \mathcal { M } ^ { \dagger } ( \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \mathcal { M } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \, . } \end{array}
G ^ { n _ { 1 } \ldots n _ { p } , a _ { 1 } \ldots a _ { r } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { p } , y _ { 1 } , \ldots y _ { r } ) = \int { \cal D } [ U ] \phi _ { a _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) \ldots \phi _ { a _ { r } } ( y _ { r } ) \exp ( - \int _ { M } { \cal L } [ U ] ) ,
\mathrm { P r } ( a _ { i } ) = \sum _ { b _ { i } = 0 } ^ { 1 } \mathrm { P r } ( a _ { i } , b _ { i } ) = \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) + \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi
{ \mathcal { L } } \, = \, { \mathcal { L } } _ { \mathrm { f i e l d } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { i n t } } = - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } F ^ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } - A _ { \alpha } J ^ { \alpha } \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 n } , \mathbb { P } _ { 0 n } ) } & { \le \frac { 1 } { 2 } \| D _ { n } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \| B _ { n , \xi } ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } \le c \cdot n ^ { d } h _ { n } ^ { 2 \beta + d } \delta _ { n } ^ { - d } \cdot \delta _ { n } ^ { 2 d } = c \cdot ( n \delta _ { n } ) ^ { d } h _ { n } ^ { 2 \beta + d } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { \dot { \rho } } + \rho ( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { v } ) } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ M a s s } } } \\ { \rho ~ { \dot { \mathbf { v } } } - { \boldsymbol { \nabla } } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } - \rho ~ \mathbf { b } } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ L i n e a r ~ M o m e n t u m ~ ( C a u c h y ' s ~ f i r s t ~ l a w ~ o f ~ m o t i o n ) } } } \\ { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = { \boldsymbol { \sigma } } ^ { T } } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ A n g u l a r ~ M o m e n t u m ~ ( C a u c h y ' s ~ s e c o n d ~ l a w ~ o f ~ m o t i o n ) } } } \\ { \rho ~ { \dot { e } } - { \boldsymbol { \sigma } } : ( { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { v } ) + { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { q } - \rho ~ s } & { = 0 } & & { \qquad { \mathrm { B a l a n c e ~ o f ~ E n e r g y . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \omega _ { + 1 } ( n ) } & { { } = k _ { + 1 } n \, , } \\ { \omega _ { - 1 } ( n ) } & { { } = k _ { - 1 } n ( n - 1 ) \, , } \\ { \omega _ { + 2 } ( n ) } & { { } = k _ { + 2 } n \, , } \\ { \omega _ { - 2 } ( n ) } & { { } = k _ { - 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { N _ { v } } & { = 3 2 , } & { f _ { \mathrm { M } } ( v _ { j } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } v _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { v _ { \operatorname* { m a x } } } & { = 4 . 5 , } & { f _ { 1 } ( v _ { j } , t } & { = 0 ) = 0 . 1 f _ { \mathrm { M } } ( v _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | z _ { 0 } ) } & { { } \approx \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle s ) + \frac { \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle s ) \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle s ) } { ( 1 + \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle s ) - \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) ( 1 - \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle s ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| P _ { \mathrm { i n } } , \frac { \pi } { 2 } , 0 \right\rangle = \sqrt { \frac { P _ { \mathrm { i n } } } { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \left[ \mathbf { \tilde { p } } _ { i } - Q _ { i } \mathbf { A } ( y , t ) \right] ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } + \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \frac { Q _ { i } Q _ { 1 } } { | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | } } \\ & { + \sum _ { i = 2 } ^ { 3 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 4 } \left[ 1 - c _ { i , j } ( t ) \right] \frac { Q _ { i } Q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } + \sum _ { i = 2 } ^ { 3 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 4 } c _ { i , j } ( t ) } \\ { \Big [ } & { V _ { \mathrm { e f f } } ( \zeta _ { j } ( t ) , | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | ) + V _ { \mathrm { e f f } } ( \zeta _ { i } ( t ) , | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { j } | ) \Big ] , } \end{array}
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } { \partial t _ { 2 } } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } = 0 ,
E _ { r a d } ^ { t o t } = \int E _ { r a d } ^ { x } \rho x d \varphi d x d y = \frac { e \dot { \vec { \beta _ { p } } } \rho \delta _ { y } y } { 2 \varepsilon _ { 0 } c } \int _ { 0 } ^ { \theta } \frac { \sqrt { 1 - \mathrm { c o s ^ { 2 } \ t h e t a } } \mathrm { s i n ^ { 2 } \ t h e t a } } { ( 1 - \beta _ { p } \mathrm { c o s \ t h e t a } ) ^ { 3 } \mathrm { c o s ^ { 2 } \ t h e t a } } d \theta
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } = 2 \Big [ \sin \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) + \cos ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] , } \\ { \partial _ { \theta ^ { \prime } } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } = 2 \Big [ - \sin \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) + \sin ( \theta ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { r } } & { { } = 0 , } \\ { \omega _ { \theta } } & { { } = 0 , } \\ { \omega _ { \phi } } & { { } = { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r \left( - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial r } } \right) \right) - { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) - \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \lambda _ { \alpha } + \frac { 2 } { d } \right) \left( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) ^ { 2 } \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { w } _ { p , q } ^ { t + \Delta t } } & { { } = w _ { p , q } ^ { t } + \left( \frac { F _ { p + 1 , q } ^ { t } - F _ { p , q } ^ { t } } { h } + \frac { G _ { p , q + 1 } ^ { t } - G _ { p , q } ^ { t } } { h } \right) \Delta t \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } _ { p _ { 1 } } = } & { \ \mathrm { a r g m i n } \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { p _ { n } } \left( { \bf Q } { \bf Q } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } , } \\ & { \ \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { Q } \in \mathbb { R } ^ { I _ { p _ { 1 } } \times \mu _ { p _ { 1 } } } \ \mathrm { ~ i s ~ o r t h o n o r m a l } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { ( K _ { 3 } + K _ { 2 } e _ { 1 } + K _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } ) } { ( e _ { 1 } - e _ { 2 } ) ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) } , } \\ { w _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { ( K _ { 3 } + K _ { 2 } e _ { 2 } + K _ { 1 } e _ { 1 } e _ { 3 } ) } { ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ( e _ { 2 } - e _ { 3 } ) } , } \\ { w _ { 3 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { ( K _ { 3 } + K _ { 2 } e _ { 3 } + K _ { 1 } e _ { 1 } e _ { 2 } ) } { ( e _ { 1 } - e _ { 3 } ) ( e _ { 2 } - e _ { 3 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 0 ^ { 1 9 } } ^ { x _ { 1 } } | \Delta ( u ) | \frac { d u } { u } } & { \leq \int _ { 1 0 ^ { 1 9 } } ^ { x _ { 1 } } \left( \frac { 2 \cdot 1 0 ^ { - 8 } } { u } + \frac { 0 . 0 5 } { u ^ { 3 / 2 } } \right) \, d u } \\ & { = 2 \cdot 1 0 ^ { - 8 } ( \log x _ { 1 } - 1 9 \log 1 0 ) + \frac { 0 . 2 } { \sqrt { 1 0 ^ { 1 9 } } } - \frac { 0 . 2 } { \sqrt { x _ { 1 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left\lbrace \frac { d \widehat { \mathfrak { F } ( z ) } } { d z } \right\rbrace = i \frac { \omega } { c } \mathrm { N } _ { o } { \mathfrak { F } ( z ) } + i \frac { \omega } { c } \alpha \mathrm { N } _ { o } \widehat { \mathfrak { F } ( z ) } \mathbb { E } \big \lbrace { \mathbf { G } } ( z ) \big \rbrace = i \frac { \omega } { c } \mathrm { N } _ { o } { \mathfrak { F } ( z ) } } \end{array}
\overline { { { r } } } _ { 2 } = \frac { \overline { { { N } } } } { \overline { { { F } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } 3 r _ { 3 } \left( \frac { c } { d } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 r _ { 3 } \frac { c } { d } } { \overline { { { F } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { f = \Omega ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } g _ { z } N _ { j } - \frac { N _ { j } } { 8 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } \left[ ( g _ { x } ^ { 2 } + g _ { y } ^ { 2 } ) \Omega ^ { \prime } + 2 g _ { x } g _ { y } \Omega \right] , } \\ & { p = \frac { N _ { j } ( g _ { x } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } ) } { 4 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } , \quad q = \frac { N _ { j } ( g _ { y } ^ { 2 } \Omega + g _ { x } g _ { y } \Omega ^ { \prime } ) } { 4 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } . } \end{array}
I _ { 4 f } ^ { ( n ) } = \frac { 1 } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n - 2 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { C } f : [ 0 , 1 ] ^ { p } \rightarrow [ 0 , 1 ] = } & { \operatorname* { m i n } _ { \alpha } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } f ( x _ { i } ) , } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } = 1 , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } x _ { i } = x , } \\ & { \alpha _ { i } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( { \bf y } _ { A } - { \bf y } _ { 1 } , { \bf y } _ { B } - { \bf y } _ { 1 } ) = a _ { A B } , \qquad A , B = 2 , 3 , 4 , } \\ { ( { \bf y } _ { A } - { \bf y } _ { 1 } , { \bf y } _ { \alpha } - { \bf y } _ { 1 } ) = a _ { A \alpha } , \qquad \alpha = 5 , 6 , \ldots , n . } \end{array}
4 A \sum _ { m = 0 } ^ { 2 r } \frac { d } { d \tau } \left\{ K _ { 1 } \sqrt { \dot { x } ^ { 2 } ( \tau + m l , 0 ) } + K _ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } ( \tau + l + m l , l ) } \right\} .
\begin{array} { r } { \{ R _ { i j } , R _ { a b } \} = 0 , \qquad \{ M _ { i } , M _ { j } \} = - \epsilon _ { i j k } ( \tilde { R } \tilde { R } ^ { T } { \bf M } ) _ { k } , \qquad \{ M _ { i } , R _ { j k } \} = - \epsilon _ { i k m } \tilde { R } _ { j m } ^ { T } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { { } = \partial _ { \tau } + \partial _ { t } \sigma \partial _ { \sigma } + \partial _ { t } s _ { i } \cdot \frac { \partial } { s _ { i } } = \partial _ { \tau } + \partial _ { t } \sigma \partial _ { \sigma } + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot \nabla _ { \! \bot } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( t ) = \frac { \gamma } { i ^ { \alpha } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } t ^ { \alpha - 1 } E _ { \alpha , \alpha } \bigg [ \left( E _ { 2 } / i ^ { \alpha } \right) ( t - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha } \bigg ] e ^ { i \omega t ^ { \prime } } \psi _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { 0 } ^ { i , v _ { \theta } } \sim \rho _ { 0 } \quad \mathrm { ~ i . i . d . } } \\ { d X _ { t } ^ { i , v _ { \theta } } = b ( X _ { t } ^ { i , v _ { \theta } } , \bar { \mu } ^ { N , v _ { \theta } } ( t ) , v _ { \theta } ( t , X _ { t } ^ { i , v _ { \theta } } ) ) \mathrm { d } t + \sigma \mathrm { d } W _ { t } ^ { i } , \qquad t \ge 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { g } = \frac { \Omega _ { G } } { 2 } - \frac { 3 \lambda } { 1 6 { \Omega _ { G } } ^ { 2 } } - \frac { 3 \lambda ^ { 2 } } { 1 2 8 \Omega _ { G } ^ { 5 } } + { \cal O } ( \lambda ^ { 3 } ) ,
L ^ { 2 } = - \left( \frac { d \tau } { d \lambda } \right) ^ { 2 } + l ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \tau } { l } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \sin ^ { 2 } \theta _ { i } \right) \left( \frac { d \theta _ { j } } { d \lambda } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { \pm } | i \rangle = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle b | g | b \rangle | i ^ { \pm } \rangle - \langle b | g | i ^ { \pm } \rangle | b \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b ^ { \mp } | g | b \rangle | i \rangle - \langle b ^ { \mp } | g | i \rangle | b \rangle \right] . } \end{array}
\sum _ { n = r + 1 } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r + 1 , n ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| = \frac { - 1 } { q ^ { r + 1 } - 1 } \sum _ { n = r } ^ { q ^ { r } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r , n ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| .
x = 2 { \, \mathrm { l n } } \left\{ { \frac { c ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { - 2 \lambda \, | \tau | } } { 2 b \, c \ \mathrm { e } ^ { - \lambda | \tau | } } } \right\} - w _ { o f f } | \tau | \, ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \beta } _ { \mathtt { R I V W } } } & { = \frac { \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { \lambda } } \widehat \Gamma _ { j } \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } / { \sigma } _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } { \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { \lambda } } ( \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } ^ { 2 } - \hat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } ) / { \sigma } _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } _ { n , E } } & { = \rho \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \left( \sqrt { 2 \log n } - \frac 1 2 \frac { \log \left( 4 \pi \log n \right) } { \sqrt { 2 \log n } } \right) } \\ { \tilde { b } _ { n , E } } & { = \rho ^ { 2 } \log n - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } \log \left( 4 \pi \log n \right) + \frac { \rho ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { { ( \log \left( 4 \pi \log n \right) ) } ^ { 2 } } { \log n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n ^ { ( 0 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { p r e } \quad } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ r ~ e ~ - ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ } } \\ { N _ { p o s t } \quad } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ o ~ s ~ t ~ - ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\sigma ( \gamma \gamma \to \eta \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } \pi ^ { 0 } , s ) = \frac { 5 . 2 \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } } { ( s - m _ { \eta } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { \eta } ^ { 2 } m _ { \eta } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { 3 \gamma ^ { 2 } I } { 5 \eta } + \gamma ^ { 2 } I ^ { 2 } ( 3 A L _ { 0 } + 2 B L _ { 1 } \kappa ) + 6 \gamma I \sigma } & { \leq \frac { \gamma ^ { 2 } I } { \eta } \left( - \frac { 3 } { 5 } + 3 \Gamma \eta I + 6 \sigma \frac { \eta } { \gamma } \right) } \\ & { \leq \frac { \gamma ^ { 2 } I } { \eta } \left( - \frac { 3 } { 5 } + \frac { 3 } { 8 5 6 } + \frac { 6 \sigma } { 1 1 \sigma + \frac { A L _ { 0 } } { B L _ { 1 } \rho } } \right) } \\ & { \leq \frac { \gamma ^ { 2 } I } { \eta } \left( - \frac { 3 } { 5 } + \frac { 3 } { 8 5 6 } + \frac { 6 } { 1 1 } \right) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { f } ^ { T } \, p ( 1 ) - x _ { 0 } ^ { T } \, p ( 0 ) } & { = x ^ { T } ( 1 ) \, p ( 1 ) - x ^ { T } ( 0 ) \, p ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d } { d t } \langle x ( t ) , p ( t ) \rangle \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \langle \dot { x } ( t ) , p ( t ) \rangle + \langle x ( t ) , \dot { p } ( t ) \rangle \big ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \langle A ( t ) \, x ( t ) + b ( t ) \, u ( t ) , p ( t ) \rangle + \langle x ( t ) , - A ^ { T } ( t ) \, p ( t ) \rangle \big ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \langle A ( t ) \, x ( t ) , p ( t ) \rangle + \langle b ( t ) \, u ( t ) , p ( t ) \rangle - \langle A ( t ) \, x ( t ) , p ( t ) \rangle \big ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle b ( t ) \, u ( t ) , p ( t ) \rangle \, d t \, = \langle b \, u , p \rangle = \langle u , b ^ { T } p \rangle \, , } \end{array}
p _ { 1 } ^ { 2 } = - B _ { 0 } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } [ 1 + ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \Delta \eta ^ { - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } - \nu \eta - 2 \eta ^ { 2 } ) ] ,
L = - \dot { x } ^ { \mu } p _ { \mu } - \dot { n } ^ { \mu } P _ { \mu } - { \frac { \lambda } { 2 } } ( n ^ { 2 } + 1 ) - \lambda _ { 1 } ( p _ { \mu } n ^ { \mu } ) - \lambda _ { 2 } ( p _ { \mu } P ^ { \mu } ) - \Lambda ( p ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) .
\Delta \lambda = \frac { 3 h _ { t } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { m _ { \widetilde Q _ { 3 } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { K ( k ) \, } & { = \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a _ { m } ^ { 2 } \, \kappa ^ { 2 m } \Bigl ( \log \frac { 1 } { \kappa } + 2 b _ { m } \Bigr ) \, , } \\ { E ( k ) \, } & { = \, 1 + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 m + 1 } { 2 m + 2 } \, a _ { m } ^ { 2 } \, \kappa ^ { 2 m + 2 } \Bigl ( \log \frac { 1 } { \kappa } + b _ { m } + b _ { m + 1 } \Bigr ) \, , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } E _ { \phi } } { \partial \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial E _ { \phi } } { \partial \rho } - \frac { E _ { \phi } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } E _ { \phi } } { \partial z ^ { 2 } } + n ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } E _ { \phi } = 0 \, \, ,
\rho ( \bar { E } ) \cong \exp \left[ 4 \pi { \frac { \bar { E } ^ { 2 } } { E _ { P } ^ { 2 } } } + { \cal O } \left( \ln { \frac { \bar { E } } { E _ { P } } } \right) \right] \equiv \exp S ( \bar { E } )
p = \rho ^ { \gamma } , T = 1 - \frac { ( \gamma - 1 ) \varepsilon ^ { 2 } } { 8 \gamma \pi ^ { 2 } } e ^ { \left( 1 - r ^ { 2 } \right) } , u = 1 - \frac { \varepsilon } { 2 \pi } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) } y , v = 1 + \frac { \varepsilon } { 2 \pi } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) } x ,
\begin{array} { r l } { Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } ) = } & { e ^ { - \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } - 1 ) + Z _ { t } } \\ { = } & { e ^ { - ( n + 1 ) \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } - n - 1 ) + \sum _ { j _ { N } = 0 } ^ { n } e ^ { - j _ { N } \theta _ { N } } Z _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } , t _ { N } - j _ { N } } } \\ { = } & { e ^ { - ( n + 1 ) \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } - n - 1 ) + e ^ { - t _ { N } \theta _ { N } } \sum _ { j _ { N } = t _ { N } - n } ^ { t _ { N } } e ^ { j _ { N } \theta _ { N } } Z _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } , j _ { N } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \textsc { G r a d } _ { U , T } ( \mathbf { y } , { \mathbf z } ) } & { = U \widetilde \textsc { G r a d } _ { T } ( U ^ { \top } \mathbf { y } , { \mathbf z } ) } \\ & { = U \textsc { G r a d } _ { T } ( U ^ { \top } \mathbf { y } , { \mathbf z } ) + \eta U J [ \rho _ { B , T } ^ { - 1 } ] ( U ^ { \top } \mathbf { y } ) ^ { \top } \nabla q _ { B , T } ( \rho _ { R , T } ^ { - 1 } ( U ^ { \top } \mathbf { y } ) ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf n } _ { 1 } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = - \frac { 3 V _ { j } } { 4 } , \quad { \bf n } _ { 2 } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = { \bf n } _ { 3 } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = { \bf n } _ { 4 } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = \frac { 3 V _ { j } } { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { { } - \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { { } - \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \end{array}
\mu _ { \mathrm { w k b } } = 2 ^ { - 1 / 2 } \biggl ( \frac { n \epsilon } { 2 \pi } \biggr ) ^ { - 1 / 2 } n ^ { - 1 / 2 } b _ { 1 } ^ { - 1 / 4 } \vert \eta \vert ^ { - 1 / 2 } \exp \biggl [ \mp i b _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \biggl ( \frac { n \epsilon } { 4 \pi } \biggr ) n \biggl ( \vert \eta \vert ^ { 2 } - \vert \eta _ { \mathrm { i } } \vert ^ { 2 } \biggr ) \biggr ] .
\begin{array} { r l } { U _ { i } ( t ) = } & { \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \frac { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s ) } { v _ { i i } ^ { * } ( t ) } + \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { l n } ( s ) } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } , ~ i \in [ n ] , } \\ { U _ { n + j } ( t ) = } & { \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \frac { \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s ) } { v _ { i i } ^ { * } ( t ) } - \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { l n } ( s ) } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } , ~ j \in [ n - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \theta _ { A \left( t \right) s } } { d t } } & { = } & { \frac { d } { d t } \left( d \left( A s \right) / A s \right) } \\ & { = } & { d \left( \frac { d A } { d t } s \right) / A s } \\ & { } & { - \left( \left( d \left( A s \right) / A s \right) \cdot \left( \frac { d A } { d t } s \right) \right) / A s } \\ & { = } & { d \left( \left( \xi \circ _ { s } A \right) s \right) / A s } \\ & { } & { - \left( \theta _ { A s } \cdot \left( \left( \xi \circ _ { s } A \right) s \right) \right) / A s } \\ & { = } & { d \left( \xi \left( A s \right) \right) / A s } \\ & { } & { + \left( \theta _ { A s } \cdot \left( \xi \left( A s \right) \right) \right) / A s } \\ & { = } & { d \xi + \left( \xi \cdot d \left( A s \right) \right) / A s } \\ & { } & { - \theta _ { A s } \circ _ { A s } \xi } \\ & { = } & { d \xi + \left[ \xi , \theta _ { A s } \right] ^ { \left( A s \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { s } _ { i } ( \xi ) = s _ { i 0 } + M \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \, \Delta ( y ) = \delta s + s ( \xi ) , \qquad \hat { z } _ { i } ( \xi ) = z _ { i 0 } + \! \! \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \! \! d y \left[ \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \! - \! \frac 1 2 \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { d e t _ { q } L ( u ) = } } & { { a ( u + i \kappa / 2 ) d ( u - i \kappa / 2 ) - b ( u + i \kappa / 2 ) c ( u - i \kappa / 2 ) } } \\ { { \, } } & { { = Q _ { 1 } u ^ { 2 } + Q _ { 2 } u - Q _ { 3 } + \kappa ^ { 2 } / 4 Q _ { 1 } \quad , } } \end{array}