harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S = - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int \! { { d ^ { 2 } } \xi } [ { R ^ { 2 } } { \partial _ { \alpha } } { y } { \partial ^ { \alpha } } { y } + 2 k R { A _ { \mu } } { \partial _ { \alpha } } { y } { \partial ^ { \alpha } } { x ^ { \mu } } + ( g _ { \mu \nu } + { k ^ { 2 } } { A _ { \mu } } { A _ { \nu } } ) { \partial _ { \alpha } } { x ^ { \mu } } { \partial ^ { \alpha } } { x ^ { \nu } } ] .
\begin{array} { r } { H _ { 1 2 } ^ { \theta } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { z ^ { 2 } \, h _ { 1 } ^ { \theta } ( z ) } & { z ^ { 2 } \, h _ { 2 } ^ { \theta } ( z ) } \\ { ( \frac { 1 1 } { 2 } z - \frac { 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 } ) h _ { 1 } ^ { \theta } ( z ) + z ^ { 2 } \frac { d h _ { 1 } ^ { \theta } ( z ) } { d z } } & { ( \frac { 1 1 } { 2 } z + \frac { 2 i \, \sqrt { 3 } } { 3 } ) h _ { 2 } ^ { \theta } ( z ) + z ^ { 2 } \frac { d h _ { 2 } ^ { \theta } ( z ) } { d z } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\psi _ { n } \, \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ - \frac { \log { ( n ) } } { \sqrt { 2 } } - \frac { \gamma } { \sqrt { 2 } } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { \theta ( x , t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L + x _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { - \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t _ { j } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
W e _ { \mathcal { S } } = \frac { 2 \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } y \sigma } \ln \frac { y } { y _ { 0 } } \quad \mathrm { a n d } \quad W e _ { \mathcal { S , \mathrm { m a x } } } = \frac { \ln ( 1 8 0 ) \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 3 } D ^ { 2 } } { 1 0 \kappa ^ { 2 } \nu _ { c } \sigma } \approx \frac { 3 \rho _ { c } U _ { \tau } ^ { 3 } D ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } \nu _ { c } \sigma }
\phi _ { \mathrm { m i r r o r } } ( { \bf k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) \equiv \mathrm { a r g } \left[ R _ { \mathrm { m i r r o r } } ( \textbf { k } _ { \mathrm { o u t } } = \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } , \textbf { k } _ { \mathrm { i n } } , \omega ) \right]
\tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r _ { 0 } ) = \int _ { \Omega _ { \mathrm { { a b } } } } d \r \, \underbrace { ( - D \partial _ { n } \tilde { p } ) } _ { = \tilde { j } _ { \mathrm { { a b } } } ( \r , s | \r _ { 0 } ) } .
\begin{array} { r } { \psi = \frac { \pi } { 2 } , r = \frac { 2 ( n - 2 ) \pm \sqrt { 4 ( n - 2 ) ^ { 2 } - 4 \sigma ^ { 2 } ( n - 1 ) ^ { \alpha } ( 2 ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) } } { 2 \sigma ( 2 ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) } ; } \\ { r = 1 , \psi = \arcsin { \frac { n - 2 } { \sigma ( ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) } } , \arcsin { \frac { - ( n - 2 ) } { \sigma ( ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) } } + \pi . } \end{array}
\{ \boldsymbol { x } _ { 0 } , \boldsymbol { y } _ { 0 } \} \rightarrow \{ \boldsymbol { r _ { 0 } } \equiv \boldsymbol { x } _ { 0 } - \boldsymbol { y } _ { 0 } , \boldsymbol { y } _ { 0 } \}
\begin{array} { r l } & { f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ) + \omega ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) + \gamma V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , x ) } \\ & { \quad \leq f _ { z } ( u , \xi ) + \omega ( u ) + \gamma V _ { d } ( u , x ) - ( \gamma - \kappa ) V _ { d } ( u , \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \tau } \left( \tau E _ { x } \right) } & { { } = } & { ( \partial _ { y } B _ { \eta } - \partial _ { \eta } B _ { y } ) - \tau V ^ { x } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau E _ { y } \right) } & { { } = } & { - ( \partial _ { x } B _ { \eta } - \partial _ { \eta } B _ { x } ) - \tau V ^ { y } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau ^ { - 1 } E _ { \eta } \right) } & { { } = } & { ( \partial _ { x } B _ { y } - \partial _ { y } B _ { x } ) - \tau V ^ { \eta } \; , } \end{array}
{ \widetilde { S } } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } } \right) , ~ { \widetilde { \Omega } } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } } = \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } + \mu , \; \forall \mu \in \mathbb { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) = } & { \mu _ { 1 } g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) + C g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { \Omega } ( t , \eta ) d \eta + f ( t ) \chi ( \xi ) + \delta \left( \beta + C \right) \varphi ( \xi ) g ( t ) } \\ & { \geq g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) + C g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { \Omega } ( t , \eta ) d \eta + f ( t ) \chi ( \xi ) + \delta \left( \beta + C \right) \varphi ( \xi ) g ( t ) . } \end{array}
\lambda _ { 1 } - \theta _ { 1 } \leqslant \lambda _ { 1 } - r ( p ( A ) v _ { 1 } ) = { \frac { \sum _ { k = 2 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } ) | p ( \lambda _ { k } ) | ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } | p ( \lambda _ { k } ) | ^ { 2 } } } \leqslant { \frac { \sum _ { k = 2 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } ) } { | d _ { 1 } | ^ { 2 } | p ( \lambda _ { 1 } ) | ^ { 2 } } } \leqslant { \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) \sum _ { k = 2 } ^ { n } | d _ { k } | ^ { 2 } } { | p ( \lambda _ { 1 } ) | ^ { 2 } | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { f _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { x } } & { \simeq \left( f ^ { x } ( \bar { q } ) + J ^ { x } ( \bar { q } ) \frac { \{ \{ \{ \delta q \} _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | \bar { u } | [ \delta q ] _ { i + \frac 1 2 , j } \right) \times } \\ & { \phantom { m m m m m m } \left( 1 - \Delta t \left( \frac { \{ \{ [ \delta u ] _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ \delta v \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j \pm 1 } } { 4 \Delta y } \right) \right) } \\ & { \simeq f ^ { x } ( \bar { q } ) + J ^ { x } ( \bar { q } ) \frac { \{ \{ \{ \delta q \} _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | \bar { u } | [ \delta q ] _ { i + \frac 1 2 , j } } \\ & { \phantom { m m m m m m } - f ^ { x } ( \bar { q } ) \Delta t \left( \frac { \{ \{ [ \delta u ] _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ \delta v \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j \pm 1 } } { 4 \Delta y } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { b } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \varphi _ { ( b ) } ) ( \partial _ { i } \varphi _ { ( b ) } ) - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \varphi _ { ( b ) } ^ { 2 } + i \bar { \psi } _ { ( b ) } ( \gamma ^ { t } \partial _ { t } + \gamma ^ { i } \partial _ { i } ) \psi _ { ( b ) } } \\ { - g _ { ( b ) } \bar { \psi } _ { ( b ) } \psi _ { ( b ) } \varphi _ { ( b ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { k ^ { \prime } } \frac { \delta } { { \alpha } _ { \nu ( k ) - 1 } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { \nu ( k ) - 1 } } ( u _ { \nu ( k ) - 1 } ) \| _ { H } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { k ^ { \prime } } { \Psi } ( u _ { \nu ( k - 1 ) } ) - { \Psi } ( u _ { \nu ( k ) } ) } \\ & { \leq { \Psi } ( u _ { \nu ( 0 ) } ) - { \Psi } ( u _ { \nu ( k ^ { \prime } ) } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 0 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ 0 \} [ h ] \big ) ( \theta _ { 0 } , \varphi ) \Big ) = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) .
\frac { 3 } { 2 } N _ { e } T _ { e 1 } ^ { ( 1 ) } = - U _ { \phi } ( T _ { e 1 } ^ { ( 0 ) } ; S _ { i i , 0 } ) + U _ { \phi } ( T _ { e 0 } ^ { ( 0 ) } ; S _ { i i , 0 } ) .
\begin{array} { r l } { z _ { n } ^ { ( 1 ) } = } & { \ \frac { 1 } { 3 } \left( \sqrt { 5 } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } ( w ^ { 1 , W } - w ^ { 1 } ) - A _ { 4 5 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } - A _ { 4 6 } u ^ { ( 2 ) } - A _ { 4 8 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) , } \\ { z _ { n } ^ { ( 2 ) } = } & { \ \frac { 1 } { 3 } \left( \sqrt { 5 } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } ( w ^ { 1 , W } - w ^ { 1 } ) - A _ { 5 7 } u _ { n n } ^ { ( 1 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 6 } u ^ { ( 2 ) } - \bar { A } _ { 7 8 } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) , } \\ { z _ { t _ { i } n } ^ { ( 1 ) } = } & { \ \frac { 2 } { 1 5 } \left( \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } ( w _ { t _ { i } } ^ { 0 , W } - w _ { t _ { i } } ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } A _ { 4 5 } u _ { t _ { i } } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } A _ { 5 7 } u _ { t _ { i } } ^ { ( 2 ) } - A _ { 5 9 } u _ { t _ { i } n n } ^ { ( 2 ) } \right) , \quad i = 1 , 2 , } \\ { z _ { t _ { i } n } ^ { ( 2 ) } = } & { \ \frac { 2 } { 1 5 } \left( \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } ( w _ { t _ { i } } ^ { 0 , W } - w _ { t _ { i } } ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } A _ { 4 8 } u _ { t _ { i } } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } \bar { A } _ { 7 8 } u _ { t _ { i } } ^ { ( 2 ) } - \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 9 } u _ { t _ { i } n n } ^ { ( 2 ) } \right) , \quad i = 1 , 2 , } \\ { z _ { t _ { i } t _ { j } n } ^ { ( 2 ) } = } & { \ \frac { 2 } { 3 5 } A _ { 5 9 } \left[ \frac { 2 } { 1 5 } \delta _ { i j } \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) - \frac { 1 } { 3 } \left( u _ { t _ { i } t _ { j } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { t _ { i } t _ { j } } ^ { ( 2 ) } \right) \right] , \quad i , j = 1 , 2 , } \\ { z _ { n n n } ^ { ( 2 ) } = } & { \ \frac { 2 } { 1 7 5 } A _ { 5 9 } \left[ \left( u _ { t _ { 1 } t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { t _ { 1 } t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } \right) + \left( u _ { t _ { 2 } t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { t _ { 2 } t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \right) - 2 \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) \right] . } \end{array}
H _ { N } = \sum _ { p q } f _ { p q } \{ a _ { p } ^ { \dag } a _ { q } \} ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { p q r s } v _ { p q } ^ { r s } \{ a _ { p } ^ { \dag } a _ { q } ^ { \dag } a _ { s } a _ { r } \} ^ { \prime }
\mathcal { E } ^ { ( q ) } ( B _ { r } ) = \frac { m \cos ( \frac { \pi } { 4 } - \frac { \pi } { 2 h } ) } { 4 \sin ( \frac { \pi x } { 2 h } ) \cos ( \frac { \pi ( 1 - x ) } { 2 h } ) } + \frac { m ( \cos ( \frac { \pi w _ { r } } { h } ) - \cos ( \frac { \pi x } { 2 h } ) ) } { 2 \sqrt { 2 } \sin ( \frac { \pi x } { 2 h } ) \, \sin ( \frac { \pi ( 1 - x ) } { h } ) } ;
\begin{array} { r l } { P \Bigg ( } & { E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { \leq \left\vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right\vert \sqrt { \frac { 2 \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \\ & { V _ { h + 1 } ^ { * } : \mathcal { S } \to [ 0 , H - h ] , \lambda _ { h + 1 } ^ { * } \in [ 0 , H - h ] \Bigg ) = 1 \geq 1 - \frac { \delta } { S A H K } . } \end{array}
\frac { \partial \textrm { f } _ { b } ( \mathbf { r } , \mathbf { q } , t ) } { \partial t } + \textrm { v } _ { b , \mathbf { q } } \ . \ \nabla _ { r } \textrm { f } _ { b } ( \mathbf { r } , \mathbf { q } , t ) = \frac { \partial \textrm { f } _ { b } ( \mathbf { r } , \mathbf { q } , t ) } { \partial t } \mid _ { s c a t } ,
\sum _ { \substack { \mathbf { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } \, \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } \geq J } } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \| X _ { \mathbf { j } } \| _ { I , \infty } \leq \widetilde { C } J ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d + \frac { 1 } { 2 } ) } .
{ \mathcal { M } } = \int \! \mathrm { d } ^ { 3 } x _ { 1 } \; \mathrm { e } ^ { i p _ { 1 } \cdot x _ { 1 } } \langle \beta \ \mathrm { o u t } | { \bar { \Psi } } _ { \mathrm { i n } } ( x _ { 1 } ) \gamma ^ { 0 } u _ { { \textbf { p } } _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } - { \bar { \Psi } } _ { \mathrm { o u t } } ( x _ { 1 } ) \gamma ^ { 0 } u _ { { \textbf { p } } _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle .
Z _ { \alpha } = Z _ { \Gamma } ^ { - 2 } Z _ { Q } ^ { - 2 } Z _ { A } ^ { - 1 } = 1 - \beta _ { 0 } \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { 4 \pi \varepsilon } , \quad \beta _ { 0 } = \frac { 1 1 } { 3 } C _ { A } - \frac { 4 } { 3 } T _ { F } n _ { l } .
- 2 + d \frac { r - 2 } { r } + \alpha _ { o p t } \frac { q - 2 } { q } = - 2 + d \frac { r - 2 } { r } + \frac { q - 2 } { q - 1 } \frac { r + d } { r } \geq d \frac { r - 2 } { r } - \frac { 2 } { q - 1 } \frac { r + d } { r } ,
\begin{array} { r l } { r _ { 2 } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } \boldsymbol { f } \| _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { v } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { E } \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } \boldsymbol { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } \, \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { v } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } } \\ & { \leq \biggl ( \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } \boldsymbol { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } \, \biggl ( \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { v } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \biggl ( \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } \boldsymbol { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } \, \| \boldsymbol { v } \| _ { \boldsymbol { W } , n } \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { \kappa _ { r } = \frac { \kappa _ { A r } + \kappa _ { B r } } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { \kappa _ { \theta } } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { A \theta } } + \frac { 1 } { 2 \kappa _ { B \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { i j } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { j } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t + \theta ^ { \star } \delta _ { i j } } \\ { b _ { i } ^ { k } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { k } ^ { p o d } ( t ) - a _ { k } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } \left( 0 , 0 , a ^ { p o d } \right) d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t , } \end{array}
g _ { q } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m q d } } { ( m + d _ { 1 } / d ) ^ { 3 } } + \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( m + 1 ) q d } } { ( m + d _ { 2 } / d ) ^ { 3 } } \right] .
\left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array} { c } { { \widetilde \psi _ { 1 } } } \\ { { \widetilde \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { c } } \end{array} \begin{array} { c c } { { b } } \\ { { d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 / 2 + \epsilon - i T } ^ { 1 / 2 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } & { \ll x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } q ^ { \frac { 1 } { 3 } + \epsilon } T ^ { \frac { 1 } { 3 } - 1 + \epsilon } \left( q T \right) ^ { \frac { 9 } { 4 } + \frac { 1 5 } { 1 2 } + 2 \epsilon } } \\ & { \ll x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } q ^ { \frac { 2 3 } { 6 } + \epsilon } T ^ { \frac { 1 7 } { 6 } + \epsilon } . } \end{array}
S _ { N } ( \alpha ) - S _ { N ^ { \prime } } ( \alpha ^ { \prime } ) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { \ell + 1 } b _ { \ell } ( N ) \left( \frac { 1 - b _ { \ell } ( N ) q _ { \ell } \| q _ { \ell } \alpha \| } { 2 } - \| q _ { \ell } \alpha \| \sum _ { j = 0 } ^ { \ell - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } - \frac { \| q _ { \ell } \alpha \| } { 2 } \right) + O ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathcal { E } } ( T ^ { c } ) \leq } & { ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ 2 \sqrt { 8 n - 7 } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ 2 \sqrt { 4 n + 1 + 4 \sqrt { n ^ 2 - 4 n + 3 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d ; } } \end{array} \right. } \\ { \leq } & { ~ 2 \sqrt { 8 n - 7 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ( x _ { 1 } ) = 1 , \; u ( z ) = 0 , \; \forall z \geq b _ { k } , \mathrm { ~ a n d ~ } u ( a _ { k } ) = 0 \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } x _ { 1 } < a _ { k } ; } \\ & { v ( y _ { 1 } ) = 1 , \; v ( z ) = 0 , \forall z \leq a _ { k } , \mathrm { ~ a n d ~ } v ( b _ { k } ) = 0 \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } x _ { 1 } = a _ { k } . } \end{array}
v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \bf b } [ n ; \Psi ( 0 ) , \Phi ( 0 ) ] ( { \bf r } , t ) = v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n ; \Psi ( 0 ) , \Phi ( 0 ) ] ( { \bf r } + { \bf b } ( t ) , t ) \, .
\begin{array} { r } { n ^ { \eta } ( { \bf r } ) = \sum _ { { \bf k } n } Q _ { { \bf k } n } | \psi _ { { \bf k } n } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { { \bf k } , { \bf G } } ( P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } - P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { - } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 4 } f ( x ) } & { = x \left( { \sqrt { x + 1 } } - { \sqrt { x } } \right) } \\ & { = x \left( { \sqrt { x + 1 } } - { \sqrt { x } } \right) { \frac { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } } } \\ & { = x { \frac { ( { \sqrt { x + 1 } } ) ^ { 2 } - ( { \sqrt { x } } ) ^ { 2 } } { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } } } \\ & { = x { \frac { x + 1 - x } { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } } } \\ & { = x { \frac { 1 } { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } } } \\ & { = { \frac { x } { { \sqrt { x + 1 } } + { \sqrt { x } } } } } \\ & { = g ( x ) } \end{array} }
\bar { w } = r \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) \biggl [ \frac { 9 } { 2 ^ { 1 / 3 } } \Gamma \biggl ( \frac { 2 } { 3 } \biggr ) \biggr ] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { B ^ { k - 2 } } & { < \frac { b } { B - 1 } \cdot \frac { ( B - 1 ) ( b B - ( B - 1 ) c _ { k } ) } { b ^ { 2 } B - ( B - 1 ) ( b B - ( B - 1 ) c _ { k } ) } } \\ & { = \frac { b ^ { 2 } B - ( B - 1 ) b c _ { k } } { b ^ { 2 } B - b B ( B - 1 ) + ( B - 1 ) ^ { 2 } c _ { k } } } \\ & { \leq b ^ { 2 } B - ( B - 1 ) b c _ { k } } \\ & { \leq ( B - 1 ) ^ { 3 } . } \end{array}
\sum _ { k _ { l } } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) f ( \textbf { k } _ { l } , s ) = T ^ { \textbf { k } ^ { \prime } , s } = F ( s ) \left| \textbf { d } _ { \| } ^ { \textbf { k } ^ { \prime } } \right|
\begin{array} { r } { C _ { A B } ^ { L S C } ( t ) = \cfrac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { N } } \int d \mathbf { X } _ { 0 } \int d \mathbf { P } _ { 0 } \, A _ { \mathcal { W } } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \mathbf { P } _ { 0 } ) B _ { \mathcal { W } } ( \mathbf { X } _ { t } , \mathbf { P } _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } = \partial _ { t } ^ { k } ( \nabla u \cdot \nabla \phi ) + \partial _ { t } ^ { k } ( u \cdot \nabla ^ { 2 } \phi ) + \frac { \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \nabla \partial _ { t } ^ { k } [ ( \phi ^ { 2 } - 1 ) \phi ] + \gamma \nabla \partial _ { t } ^ { k } [ \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ] \, . } \end{array}
\widetilde { W } ( { \bf k } ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { { D _ { 0 } } / 2 } } { k ^ { { D _ { 0 } } / 2 - 1 } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { { D _ { 0 } } / 2 - 2 } J _ { { D _ { 0 } } / 2 - 1 } ( k r ) \; .
E ( x , y , z , t ) = E _ { 0 } \hat { \psi } ( x , y ) f \left( { z } - v _ { g } t \right) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( i \beta ( \omega ) z - i \omega t ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } \alpha ( { \xi } , \omega ) d \xi ) ,
{ \hat { H } } ( s ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \int _ { - N } ^ { N } e ^ { - 2 \pi i x s } H ( x ) \, d x = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \delta ( s ) - { \frac { i } { \pi } } \operatorname { p . v . } { \frac { 1 } { s } } \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { \phi } \phi = \rho _ { \phi } \left[ \zeta \right] ; \quad \mathcal { D } _ { \xi } \xi = \rho _ { \xi } \left[ \zeta \right] ; \quad \mathcal { D } _ { \chi } \chi = \rho _ { \chi } \left[ \zeta \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 3 } \cdot \mathbf { V } _ { 3 } = ~ } & { 0 ; } \\ { \partial _ { t } \mathbf { V } _ { 3 } + ( \mathbf { V } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { U } _ { 3 } + ( \mathbf { U } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { V } _ { 3 } + \nabla _ { 3 } P = ~ } & { - ( \mathbf { V } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { V } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { = 1 2 C _ { 1 } ^ { n } x y ^ { 2 n - 1 } + \cdots + 4 n ( 2 n + 1 ) C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 n - 1 } y , } \\ { A _ { 2 } } & { = 8 C _ { 0 } ^ { n } x y ^ { 2 n } + \cdots + 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } , } \\ { B _ { 2 } } & { = ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { n } x y ^ { 2 n } + \cdots + C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 4 ( \xi + 1 ) M , } & { \mathrm { ~ N ~ = ~ 2 ~ } } \\ { 4 ( \xi + 1 ) ( \lceil \frac { M } { 2 } \rceil \lfloor \frac { N } { 2 } \rfloor + \lfloor \frac { M } { 2 } \rfloor \lfloor \frac { N - 1 } { 2 } \rfloor ) , } & { \mathrm { ~ N ~ \geq ~ 3 ~ . ~ } } \end{array} \right.