harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D _ { n } ( x ) = { \frac { \sin \left( \, ( 2 n { + } 1 ) { \frac { x } { 2 } } \, \right) } { \sin { \frac { \, x \, } { 2 } } } } = U _ { 2 n } \left( \, \cos { \frac { \, x \, } { 2 } } \, \right) ~ .
\delta S _ { 1 } ^ { ( F ) } = \frac { b } { 2 } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \, h ^ { a b } \Biggl ( 2 R ^ { c d } C _ { a c b d } \varphi + 4 \nabla ^ { c } \nabla ^ { d } ( C _ { a c b d } \varphi ) \Biggr ) \, ,
\sum _ { j \neq i } \frac { 1 } { \mu _ { j } - \mu _ { i } } \propto \int _ { \vec { k } _ { i } \neq \vec { k } _ { j } } \frac { d ^ { D } \vec { k } _ { j } } { \vert \vec { k } _ { j } - \vec { k } _ { i } \vert } \propto \int _ { k = O \left( n ^ { - \frac 1 D } \right) } ^ { O ( 1 ) } \frac { d k } { k } = O \left( \frac 1 D \log n \right) .
\begin{array} { r l r } & { V L _ { n } = } & { \Bigg \langle y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { n - 1 } , \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , \ldots , \rho _ { n - 1 } ~ \mid ~ y _ { i } ^ { 2 } = 1 , \quad \rho _ { i } ^ { 2 } = 1 \quad \mathrm { f o r } \quad 1 \leq i \leq n - 1 , } \\ & { } & { \rho _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } \rho _ { i } , \quad y _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } y _ { i } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | \ge 2 , } \\ & { } & { y _ { i } y _ { j } y _ { i } = y _ { j } y _ { i } y _ { j } , \quad \rho _ { i } \rho _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } \rho _ { i } \rho _ { j } , \quad \rho _ { i } y _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } y _ { i } \rho _ { j } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | = 1 \Bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } ^ { u } } & { { } = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } , } \\ { \mathbb { F } ^ { h } } & { { } = \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \mathbb { B } , } \\ { \mathbb { F } ^ { p } } & { { } = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \left( \mathbb { H } ^ { p _ { 0 } } - \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \\ { \mathbb { F } ^ { T } } & { { } = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \left( \mathbb { H } ^ { T _ { 0 } } + \frac { 5 } { 2 } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \end{array}
{ } _ { x } ^ { C } D _ { b } ^ { p } f ( x ) ~ : = ~ { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \Gamma ( p - k ) } } \int _ { x } ^ { b } { ( \tau - x ) } ^ { k - p - 1 } { \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } } f ( \tau ) d \tau ~ ~ , ~ k - 1 < p \leq k
\delta _ { n } = { \frac { G m A ^ { n } / r _ { 0 } ^ { n + 1 } } { V _ { E } ^ { \prime } ( A ) } } = { \frac { G m A ^ { n } / r _ { 0 } ^ { n + 1 } } { G M / A ^ { 2 } } } = { \frac { m A ^ { n + 2 } } { M r _ { 0 } ^ { n + 1 } } } , \qquad n \geq 2
e E _ { \mathrm { a } } \approx - { 1 } / { n _ { \mathrm { e } } } { \mathrm { d } P _ { \mathrm { e } } } / { \mathrm { d } x } = - \gamma T _ { \mathrm { e } } { \mathrm { d } \ln n _ { \mathrm { e } } } / { \mathrm { d } x }
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ \left. e ^ { - \int _ { t } ^ { T _ { 0 } } r _ { u } d u } { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { - \int _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { \ell } } ( r _ { u } + \lambda _ { u } ) d u } | { \mathcal F } _ { T _ { 0 } } \right] \right\rvert { \mathcal F } _ { t } \right] } \\ & { = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ \left. e ^ { - ( Y _ { T _ { 0 } } ^ { r } - Y _ { t } ^ { r } ) } { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { - ( Y _ { T _ { \ell } } ^ { r } - Y _ { T _ { 0 } } ^ { r } ) - ( Y _ { T _ { \ell } } ^ { \lambda } + Y _ { T _ { 0 } } ^ { \lambda } ) } | { \mathcal F } _ { T _ { 0 } } \right] \right\rvert { \mathcal F } _ { t } \right] } \\ & { = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { - ( Y _ { T _ { 0 } } ^ { r } - Y _ { t } ^ { r } ) } e ^ { - \xi _ { r } ( T _ { \ell } - T _ { 0 } , r _ { T _ { 0 } } , 1 , 0 ) - \xi _ { \lambda } ( T _ { \ell } - T _ { 0 } , \lambda _ { T _ { 0 } } , 1 , 0 ) } | { \mathcal F } _ { t } \right] } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { \ell } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { r } ( T _ { \ell } , 1 , 1 , 0 , 0 ) y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u } } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { \ell } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T _ { \ell } , 1 , 0 ) y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( y ) d y d u } } \\ & { = e ^ { - \xi _ { r } ( T _ { 0 } - t , r _ { t } , 1 , b _ { 3 } ) - \xi _ { \lambda } ( T _ { 0 } - t , \lambda _ { t } , 0 , b _ { 4 } ) } } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { t } ^ { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { r } ( T _ { 0 } , 1 , 0 , b _ { 3 } , b _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u } } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { t } ^ { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T _ { 0 } , 0 , b _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( y ) d y d u } } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { \ell } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { r } ( T _ { \ell } , 1 , 1 , 0 , 0 ) y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u } } \\ & { \ \ \ \times e ^ { \int _ { T _ { 0 } } ^ { T _ { \ell } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T _ { \ell } , 1 , 0 ) y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( y ) d y d u } , } \end{array}
\Lambda = \mu \exp \left( - \int ^ { g } \frac { d g ^ { \prime } } { \beta ( g ^ { \prime } ) } \right) \stackrel { g \to 0 } { \rightarrow } \mu \exp \left( - \frac 1 { 2 \beta _ { 0 } g ^ { 2 } } \right) , \quad \beta _ { 0 } > 0 .
\begin{array} { r } { L . H . S . = { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { w } ) } { \partial \widetilde { t } } } { \frac { \partial \widetilde { t } } { \partial t } } + } \\ { \overline { { U } } \widetilde { u } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { w } ) } { \partial \widetilde { x } } } { \frac { \partial \widetilde { x } } { \partial x } } + } \\ { \overline { { U } } \widetilde { v } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { w } ) } { \partial \widetilde { y } } } { \frac { \partial \widetilde { y } } { \partial y } } + } \\ { \overline { { U } } \widetilde { w } { \frac { \partial ( \theta A _ { 1 } H P r R e + T _ { w } ) } { \partial \widetilde { z } } } { \frac { \partial \widetilde { z } } { \partial z } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overbrace { ( 3 \thinspace 1 9 \thinspace 3 0 \thinspace 2 1 \thinspace 1 4 \thinspace 1 1 \thinspace 9 \thinspace 1 5 \thinspace 2 9 \thinspace 6 \thinspace 8 \thinspace 3 2 ) } ^ { 1 2 | 1 2 } \overbrace { ( 2 \thinspace 1 0 \thinspace 1 6 \thinspace 1 3 \thinspace 3 4 \thinspace 2 0 ) } ^ { 3 | 6 } \overbrace { ( 2 4 \thinspace 2 6 \thinspace 3 3 \thinspace 2 5 \thinspace 2 8 ) } ^ { 5 | 5 } \overbrace { ( 4 \thinspace 1 8 \thinspace 2 2 \thinspace 2 3 ) } ^ { 2 | 4 } \overbrace { ( 1 \thinspace 5 \thinspace 2 7 ) } ^ { 1 | 3 } \overbrace { ( 7 \thinspace 1 2 \thinspace 3 1 ) } ^ { 1 | 3 } \overbrace { ( 1 7 ) } ^ { 1 | 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf r } _ { j } = { \bf z } _ { j } ^ { \ell } V _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \nabla { \bf z } _ { i } ^ { \ell } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) V _ { j } - { \bf b } _ { j } . } \end{array}
S _ { b } = { \frac { - 1 } { 1 6 \pi G } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \tilde { g } } \left\{ ( \varphi _ { + } ^ { 2 } - \varphi _ { - } ^ { 2 } ) \ \tilde { \cal R } - { \frac { 6 q } { q + 1 / 2 } } \left[ ( \tilde { \partial } \varphi _ { + } ) ^ { 2 } - ( \tilde { \partial } \varphi _ { - } ) ^ { 2 } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { s } _ { 0 } } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { = - \frac { \Delta \hat { p } _ { g } } { 2 \hat { s } _ { 0 } \ln \left( \hat { s } _ { 0 } \right) } , \quad \textrm { w i t h } \quad \Delta \hat { p } _ { g } = 2 \mathcal { C } ^ { - 1 } \left( \hat { t } - \hat { s } _ { 0 } ^ { 2 } + \mathcal { S } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \overline { { \Delta t } } } } } & { { } = \left\{ \Delta t _ { 1 : K _ { p } } ^ { \, i = 1 } , . . . , \Delta t _ { 1 : K _ { p } } ^ { N } \right\} , } \\ { \overline { { \overline { { \mathcal { W } } } } } } & { { } = \left\{ \mathcal { W } _ { 1 : K _ { p } } ^ { \, i = 1 } , . . . , \mathcal { W } _ { 1 : K _ { p } } ^ { N } \right\} . } \end{array}
S _ { G B } ^ { v o l u m e } = 2 \left( 1 - ( e ^ { U } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) | _ { r = r _ { h } } - 2 ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } | _ { r = r _ { h } } ) ^ { - 1 } \left[ ( e ^ { 2 U } ) ^ { \prime } \left( 1 - ( e ^ { U } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \right] _ { r = r _ { 0 } } \ .
\left( \begin{array} { c c } { c _ { 1 } ^ { ( - ) } } \\ { c _ { 2 } ^ { ( - ) } } \end{array} \right) = z _ { 0 } ^ { - m } e ^ { z _ { 0 } } \left[ \mathbf { M } _ { 0 } - z _ { 1 } \mathbf { M } _ { 1 } \right] ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { a } \\ { b } \end{array} \right) ,
t _ { L L } ^ { \mu \nu } + { \frac { c ^ { 4 } \Lambda g ^ { \mu \nu } } { 8 \pi G } } = { \frac { c ^ { 4 } } { 1 6 \pi G } } ( ( 2 \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } \Gamma _ { \sigma \rho } ^ { \rho } - \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \sigma } \Gamma _ { \beta \sigma } ^ { \rho } - \Gamma _ { \alpha \sigma } ^ { \sigma } \Gamma _ { \beta \rho } ^ { \rho } ) ( g ^ { \mu \alpha } g ^ { \nu \beta } - g ^ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } ) +
\begin{array} { r l } & { \theta _ { r k } = \mathrm { P r } ( t _ { 1 } \geq \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } + \textstyle { \sum _ { i = 2 } ^ { r } } t _ { i } ) , t _ { 2 } \geq \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! \textstyle { \sum _ { i = 3 } ^ { r } } t _ { i } ) , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \ldots , t _ { k } \geq \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! \textstyle { \sum _ { i = k + 1 } ^ { r } } t _ { i } ) ) . \! } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { m } \, { \mathcal { G } } ( s - m , D ) } & { { } = ( m + D \, { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } m } } ) \, { \frac { 1 } { | 2 \pi D | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \, \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } ( s - m ) ^ { \dagger } D ^ { - 1 } ( s - m ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } \right\} } { \operatorname* { m a x } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { S E } _ { k , ( 1 ) } } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { r } \leq s ) } & { = 1 - I _ { p } ( s + 1 , r ) } \\ & { = 1 - I _ { p } ( ( s + r ) - ( r - 1 ) , ( r - 1 ) + 1 ) } \\ & { = 1 - \operatorname* { P r } ( B _ { s + r } \leq r - 1 ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( B _ { s + r } \geq r ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( { \mathrm { a f t e r ~ } } s + r { \mathrm { ~ t r i a l s , ~ t h e r e ~ a r e ~ a t ~ l e a s t ~ } } r { \mathrm { ~ s u c c e s s e s } } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \varepsilon \rho _ { 1 } ^ { \prime \mu } } & { { } = } & { \varepsilon r _ { 1 } ^ { \prime \mu } + \varepsilon ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime \mu } + . . . , } \\ { \varepsilon \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } } & { { } = } & { \varepsilon v _ { 1 } ^ { \prime \mu } + \varepsilon ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { \prime \mu } + . . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { A _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 6 4 } { 9 b M } \alpha _ { t - 1 } A _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { b M } + \frac { 3 2 L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( J _ { t - 1 } + Q _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 6 \tilde { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 1 6 \tilde { L } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( F _ { t - 1 } + G _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 6 \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } D _ { \ell } + \frac { 1 6 \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } G _ { \ell } + \frac { 3 2 L ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } J _ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal L } _ { 1 } } & { : = { \cal C } _ { 1 } ( \hat { M } - M ) { \cal P } _ { 1 } + { \cal P } _ { 1 } ( \hat { M } - M ) { \cal C } _ { 1 } = \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( { \cal C } _ { 1 } Y _ { j } \otimes { \cal P } _ { 1 } Y _ { j } + { \cal P } _ { 1 } Y _ { j } \otimes { \cal C } _ { 1 } Y _ { j } ) , } \\ { { \cal S } _ { 1 } } & { : = \hat { { \cal P } } _ { 1 } - { \cal P } _ { 1 } - { \cal L } _ { 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Q ( \mathrm { P C } _ { ( j ) } , \mathrm { P C } _ { ( k ) } ) } & { \propto ( \mathbf { X } \mathbf { w } _ { ( j ) } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } \mathbf { w } _ { ( k ) } ) } \\ & { = \mathbf { w } _ { ( j ) } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } \mathbf { w } _ { ( k ) } } \\ & { = \mathbf { w } _ { ( j ) } ^ { \mathsf { T } } \lambda _ { ( k ) } \mathbf { w } _ { ( k ) } } \\ & { = \lambda _ { ( k ) } \mathbf { w } _ { ( j ) } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { w } _ { ( k ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o v } ( m ( y ) ) } & { = \mathbb { E } [ \mathrm { c o v } ( m ( y ) \vert z ) ] + \mathrm { c o v } ( \mathbb { E } [ m ( y ) \vert z ] ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \mathbf { T } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } ( \boldsymbol { \mu } _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \boldsymbol { \mu } _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \omega _ { i } \mathbf { T } _ { i } , } \end{array}
f _ { T } ( t ) = { \frac { \Gamma ( m / 2 ) } { \Gamma ( ( m - 1 ) / 2 ) } } { \frac { 1 } { \sqrt { \pi ( m - 1 ) } } } \left( 1 + { \frac { t ^ { 2 } } { m - 1 } } \right) ^ { m / 2 } .
\textbf { E } ( { \boldsymbol { r } } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \boldsymbol { \mathcal { E } } ( { \boldsymbol { r } } _ { \perp } , z , t ) e ^ { i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 1 , l } \leq 2 \sqrt { R } + 2 R ^ { 1 \slash 3 } = 2 \sqrt { R } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ R , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \end{array}
\tilde { \cal H } = \frac { 1 } { 2 } \, \pi _ { a } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, { \sigma ^ { \prime } } _ { a } ^ { 2 } - ( \sigma _ { a } \pi ^ { a } ) \theta + \frac { 1 } { 2 } \lambda \bigl ( \sigma _ { a } ^ { 2 } - 1 \bigr ) + \frac { 1 } { 2 } \, \sigma _ { a } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } .
\overline { { U } } _ { x } ( r ) = \frac { U _ { j } } { 2 } \bigg [ 1 + t a n h \bigg \{ b \bigg ( \frac { 0 . 5 } { r / D } - \frac { r / D } { 0 . 5 } \bigg ) \bigg \} \bigg ] ,
\begin{array} { r } { D = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 8 } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad V = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 / 2 } & { 1 / 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 3 / 2 } & { 7 / 6 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\Phi ( X _ { d } , Y _ { d } ) = \frac { \Psi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ; y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) } { \triangle ( x _ { 1 } ^ { 2 } , \ldots , x _ { n } ^ { 2 } ) \triangle ( y _ { 1 } ^ { 2 } , \ldots , y _ { n } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } f ( \boldsymbol { \Lambda } ) = } & { - 2 \sum _ { k } \left[ \big ( [ E _ { z } ] _ { k } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right. } \\ & { \left. \times \big ( \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } [ E _ { z } ] _ { k } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan ( \phi _ { \mu } ^ { \star } ) } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { I ^ { \star } } } { c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { R ^ { \star } } } = - \tan ( \mu \gamma ^ { \star } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \vec { g } _ { k } ^ { \, s } ( t ) \right| _ { c } } & { { } \approx } & { \sqrt { a _ { k } \, \left( 1 + e ^ { - 2 \nu _ { k e } t } \right) + b _ { k } ^ { s } \, e ^ { - 2 \nu _ { k e } t } } } \end{array}
\Psi ( x , { \bf k _ { \bot } } ) = \int d x ^ { \prime } d ^ { 2 } k _ { \bot } ^ { \prime } [ K _ { c o n f } ( x , { \bf k _ { \bot } } ; x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } ) + K _ { g e } ( x , { \bf k _ { \bot } } ; x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } ) ] \Psi ( x ^ { \prime } , { \bf k _ { \bot } ^ { \prime } } )
\langle X D ^ { ( * ) } | H ^ { \mathrm { n l } } | B \rangle = { \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt 2 } } \, V _ { c b } V _ { u q } ^ { * } \left( c _ { 1 } ( m _ { b } ) + { \frac { 1 } { 3 } } \, c _ { 2 } ( m _ { b } ) \right) \langle D ^ { ( * ) } | \bar { c } \gamma _ { \mu } P _ { L } b | B \rangle \langle X | \bar { q } \gamma ^ { \mu } P _ { L } u | 0 \rangle + \dots \, ,
\left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right. \left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle = \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle .
\overline { { { \theta } } } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } \theta = ( \theta _ { R } + \theta _ { L } ) ^ { T } \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } ( \theta _ { R } + \theta _ { L } ) = \theta _ { R } ^ { T } \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } \theta _ { R } + \theta _ { L } ^ { T } \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } \theta _ { L }
( i ) \ \forall n \geq 1 , \quad \Delta S _ { n } = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad { \mathcal E } = ( { \mathcal E _ { n } } ) _ { n > 0 } \quad \mathrm { ~ i ~ s ~ a ~ s ~ t ~ a ~ t ~ i ~ c ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ - ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } ,
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + A \bar { \sigma } _ { x } + \alpha B ( \zeta \bar { \sigma } ) _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( \zeta ^ { 2 } \bar { \sigma } ) _ { x } = 0 } \\ & { \bar { \sigma } _ { t } + \zeta _ { x } + \alpha B \, \bar { \sigma } \bar { \sigma } _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( \zeta \bar { \sigma } ^ { 2 } ) _ { x } = \epsilon ^ { 2 } \bar { \kappa } \bar { \sigma } _ { x x t } } \end{array}
\mathbf { F } = { \frac { 1 } { 2 } } \alpha \nabla E ^ { 2 } = { \frac { 2 \pi n _ { 0 } a ^ { 3 } } { c } } \left( { \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } } \right) \nabla I ( \mathbf { r } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \underline { { \theta } } \in \Theta } R ( \underline { { \theta } } , d ) } & { \geq \int _ { \Theta } R ( \underline { { \theta } } , d ) \xi _ { m } ( \underline { { \theta } } ) d \underline { { \theta } } } \\ & { \geq \int _ { \Theta } R ( \underline { { \theta } } , d _ { \xi _ { m } } ) \xi _ { m } ( \underline { { \theta } } ) d \underline { { \theta } } } \\ & { = r _ { d _ { \xi _ { m } } } ^ { * } ( \xi _ { m } ) = \frac { 1 } { n _ { 1 } + n _ { 2 } + \frac { 1 } { m } } , ~ ~ ~ m = 1 , 2 , \ldots ~ ~ ~ ( \mathrm { u s i n g } ~ ( 3 . 2 ) ) } \\ { \Rightarrow \operatorname* { s u p } _ { \underline { { \mu } } \in \Theta } R ( \underline { { \mu } } , d ) } & { \geq \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } r _ { d _ { \xi _ { m } } } ^ { * } ( \xi _ { m } ) = \frac { 1 } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } = \operatorname* { s u p } _ { \underline { { \theta } } \in \Theta } R ( \underline { { \theta } } , d _ { M } ) , ~ ~ ~ ( \mathrm { u s i n g } ~ ( 3 . 4 ) ) } \end{array}
\mathcal { H } _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 E } \cos 2 \theta } } & { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 E } \sin 2 \theta } } \\ { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 E } \sin 2 \theta } } & { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 E } \cos 2 \theta } } \end{array} \right) ,
\frac { P _ { \mathrm { v } } W } { \mathcal { R } T _ { \mathrm { v } } } L _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { d } t } + L _ { \mathrm { v } } \frac { R _ { \mathrm { b } } } { 3 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { P _ { \mathrm { v } } W } { \mathcal { R } T _ { \mathrm { v } } } \right) = \lambda _ { \mathrm { l } } \frac { T _ { \mathrm { d } } - T _ { \mathrm { v } } } { \delta } ,
\varepsilon _ { D } \left( L \right) = \frac { c ( D ) \pi ^ { ( D - 1 ) / 2 } } { 2 ^ { D - 1 } L ^ { D - 1 } } \, \Gamma \left( \frac { 1 - D } { 2 } \right) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + \frac 1 { 2 } ) ^ { D - 1 } .
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { 0 , 4 } ^ { \ast } ( \xi ; \alpha _ { i } ) = { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha _ { s } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } - { \alpha _ { s } ^ { 2 } s } + { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { s } ) } - 2 f _ { \alpha _ { s } ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \xi ) - 2 \overline { { f _ { \alpha _ { s } ^ { 2 } } } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \overline { { \xi } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\vert \varepsilon _ { 0 } \right\vert > \varepsilon _ { 0 } ^ { m i n } } & { { } = } & { \sqrt { \left( 3 \pi k _ { B } T \right) ^ { 2 } - \left( \pi k _ { B } T + \Gamma _ { a } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \mathbf { f _ { 1 } } ( p ) - f _ { 1 } ( p ) \vert } & { = \vert f _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( p ) ( \mathbf { f _ { 1 } ^ { \prime } } ( p ) - f _ { 1 } ^ { \prime } ( p ) ) \vert } \\ & { = \vert f _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( p ) ( ( 1 - f _ { 1 } ^ { \prime } ( p ) ) - ( 1 - \mathbf { f _ { 1 } ^ { \prime } } ( p ) ) ) \vert } \\ & { \leqslant ( 1 - f _ { 1 } ^ { \prime } ( p ) ) + ( 1 - \mathbf { f _ { 1 } ^ { \prime } } ( p ) ) . } \end{array}
\sigma _ { \alpha } ^ { \mathrm { e x t } } = \frac { F _ { 0 , \alpha } } { 4 \pi ^ { 2 } R } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \exp \left[ i \Lambda _ { \mu } x ^ { \mu } - i \left( n \theta _ { 0 } + q z _ { 0 } \right) \right]