harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { N _ { x x } } & { { } = A _ { x x } \left[ { \cfrac { \mathrm { d } u _ { 0 } } { d x } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) ^ { 2 } \right] - B _ { x x } { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } } \\ { M _ { x x } } & { { } = B _ { x x } \left[ { \cfrac { d u _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) ^ { 2 } \right] - D _ { x x } { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { A } _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { n } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { A } _ { 2 } ^ { - 1 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { n } ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
{ \cal A } = { \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } } + { \frac { \ln 2 - 1 } { \kappa } } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln 2 ) ^ { 2 } - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } } + { \cal O } ( \kappa ) .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { z } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial x } \frac { \partial S _ { r } } { \partial y } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial x } \frac { \partial S _ { q } } { \partial y } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N ^ { 2 } = \hat { f } _ { E } } & { = } & { \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - \frac { M r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { Q ^ { 2 } l _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } } - Q ^ { 2 } \ln ( r ^ { 2 } + l _ { 0 } ^ { 2 } ) + { \frac { J ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } } , } \\ { N ^ { \varphi } ( r ) } & { = } & { - { \frac { J } { 2 r ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { M } } } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { O T _ { \mathcal { M } } } \int _ { \mathcal { X } } c ( x _ { T 2 } , x _ { T 1 } ^ { A } ) d p ( x _ { T 1 } ^ { A } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } } & { { } O T _ { \mathcal { M } } \# p ( x _ { T 1 } ^ { A } ) = p ( x _ { T 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( e _ { i } ) \psi ( e _ { i } ) = \psi ( e _ { i } ^ { 2 } ) = - 1 , } \\ { \psi ( e _ { i } ) \psi ( e _ { j } ) + \psi ( e _ { i } ) \psi ( e _ { j } ) = 0 . } \end{array}
\tilde { d } ( \omega ) = \mu _ { \alpha \beta } ^ { 0 } \int _ { \tau } ^ { \infty } C _ { \alpha } ^ { \ast } ( t ) C _ { \beta } ( t ) e ^ { i [ \omega - ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) ] t } W ( t ) d t ,
\kappa _ { r } ^ { ( 1 ) } = \frac { ( Z _ { A } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } } { ( Z _ { g } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \kappa = \kappa + \frac { 1 } { 2 } C _ { 2 } ( G ) \mathrm { s i g n } ( \kappa )
\begin{array} { r } { { \bf v } _ { g } ^ { \pm } = \frac { \partial \omega } { \partial { \bf k } } = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } } { \mu \omega } \pm i \, \frac { ( { \bf a \times c } ) } { 4 \omega } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; , } \end{array}
{ \cal E } = | | { \cal E } _ { n } ^ { m } | | = e ^ { \psi / 4 } \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \phi / 2 } } } & { { \kappa e ^ { \phi / 2 } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - \phi / 2 } } } \end{array} \right) .
b = \frac { 1 } { \sqrt 2 } e _ { 0 } s _ { 0 } \left( \cfrac { k _ { 2 } e _ { 0 } } { K _ { M } ^ { 2 } } \right) \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { 0 } }
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { S R G M - F T } } ( \mathbf { A } ) = \frac { e ^ { - \alpha L ^ { + } ( \mathbf { A } ) - \beta L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } ) ^ { L } } \equiv \frac { x ^ { L ^ { + } ( \mathbf { A } ) } y ^ { L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( x + y ) ^ { L } } \equiv ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( L ( \lambda ) _ { C _ { n } } - v \cdot I d ) = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n } \frac { ( \sigma ( \lambda ) ) ^ { ^ { ( j - 1 ) } } \sigma ( \lambda + j \gamma ) } { ( \sigma ( \gamma + \lambda ) ) ^ { j } } ( - v ) ^ { 2 n - j } ( H _ { j } ) _ { C _ { n } } = 0 ,
S \; = \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Bigl [ \; { \frac { 1 } { 2 } } \; ( 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } \; ( 1 - \varepsilon ) ) \left( { \partial _ { x } \phi } \right) ^ { 2 } + { \frac { \lambda } { 4 } } { \frac { 1 } { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } \; ( 1 - \varepsilon ) } } \; \phi ^ { 4 } \; \Bigr ] \; d x ,
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) : = \mathcal { F } ^ { - 1 } ( D _ { j , k } ^ { m } ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) ) ( \boldsymbol { x } ) \, , \qquad \forall \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, ,
\boldsymbol { V } _ { \u { \tau } } \left[ \boldsymbol { X } \right] = \sum _ { i , j \in \mathcal { I } } \left( Q _ { i j } ^ { \prime } \left[ \tau \right] X _ { j } + Q _ { i j } ^ { \prime } \left[ \tau \right] U _ { X j } \left[ \tau \right] + Q _ { i j } \left[ \tau \right] U _ { X j } ^ { \prime } \left[ \tau \right] \right) \boldsymbol { v } _ { i } .
\boldsymbol { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = 3 6 u _ { b } x _ { 2 } \left( L _ { 2 } - x _ { 2 } \right) x _ { 3 } \left( L _ { 3 } - x _ { 3 } \right) / \left( L _ { 2 } ^ { 2 } L _ { 3 } ^ { 2 } \right) \boldsymbol { e } _ { 1 }
N _ { \pm 2 } = \textrm { n } _ { 0 } \nu _ { \pm 2 } N ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ ~ ~ N = \frac { N _ { 2 } + N _ { - 2 } } { \textrm { n } _ { 0 } ( \nu _ { 2 } + \nu _ { - 2 } ) } ,
\chi _ { k , ( b ) } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 1 0 0 , } } & { { 1 \leq k \leq 3 } } \\ { { 1 0 , } } & { { 4 \leq k \leq 9 } } \\ { { 1 , } } & { { 1 0 \leq k \leq 1 8 \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \hat { b } _ { 1 } } \\ { \hat { b } _ { 2 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { 1 } } \\ { \hat { a } _ { 2 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { \hat { n } _ { 1 } } \\ { \hat { n } _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \hat { \mathsf b } } & { = { \mathsf S } \hat { \mathsf a } + \hat { \mathsf n } , } \end{array}
w ^ { 2 } ( x ) = e ^ { - U ( x ) } = \left( { \frac { 2 \pi p } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } } } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { - { \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } } { 2 p } } \left( x + { \frac { b } { a } } \right) ^ { 2 } }
9 \mu ^ { 2 } \frac { d \lambda } { d \mu ^ { 2 } } = - \frac { 1 1 } { 3 } \lambda ^ { 2 } - \frac { 3 4 } { 3 } \lambda ^ { 3 } - \frac { 2 8 5 7 } { 5 4 } \lambda ^ { 4 } - 3 1 5 . 4 9 \lambda ^ { 5 } - \beta _ { 4 } \lambda ^ { 6 } . . .
\theta _ { 2 } ^ { [ k ] } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \theta _ { 2 } } L _ { \Omega _ { 2 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + L _ { N } ( \hat { u } _ { 2 } , \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } ) + L _ { \Gamma _ { N } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + \frac { \beta _ { N } } { 2 } \left( L _ { D _ { 1 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) + L _ { D _ { 2 } } ( \hat { u } _ { 2 } ) \right) .
{ d ^ { \dagger } } ( \eta ^ { n } \cdot \tau ^ { n } { \cal { G } } ) \; \; = \; \; \eta ^ { n } \cdot \tau ^ { n } \, { d ^ { \dagger } } { \cal { G } } + { \textsf { P } } _ { s } ( n ) \; \eta ^ { n - 1 } \cdot \tau ^ { n - 1 } \, { d ^ { \dagger } } { \cal { G } }
\begin{array} { r l } { \| u - \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } J _ { i } ^ { - 2 , - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } d x \le \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } J _ { i } ^ { - 2 , - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { - 2 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } ^ { 2 } \gamma _ { i - 4 } ^ { 2 , 2 } = \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 2 } { i ( i - 1 ) ( i - 2 ) ( i - 3 ) ( 2 i - 3 ) } a _ { i - 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = r - 1 } ^ { \infty } \left( \displaystyle \frac { 2 } { 2 i + 1 } \displaystyle \frac { ( i + s - 1 ) ! } { ( i - s + 1 ) ! } a _ { i } ^ { 2 } \right) \displaystyle \frac { 1 } { ( i + 2 ) ( i + 1 ) i ( i - 1 ) } \displaystyle \frac { ( i - s + 1 ) ! } { ( i + s - 1 ) ! } } \\ { \le } & { \displaystyle \frac { 1 } { ( r + 1 ) r ( r - 1 ) ( r - 2 ) } \displaystyle \frac { ( r - s ) ! } { ( r + s - 2 ) ! } \| u ^ { ( s + 1 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal W } _ { 4 } = { \frac { 1 } { 8 N } } \oint \oint \oint \oint \mathrm { T r } [ { \cal P } ( T _ { x } ^ { a } T _ { y } ^ { a } T _ { z } ^ { b } T _ { w } ^ { b } ) ] D _ { \mu \nu } ( x - y ) D _ { \rho \sigma } ( z - w ) \; d x ^ { \mu } d y ^ { \nu } d z ^ { \rho } d w ^ { \sigma } \; \; ,
\phi ( r < R ) = \bar { \phi } _ { \mathrm { i n } } - \frac { A \sinh m _ { \mathrm { i n } } r } { r } + \frac { Q ^ { 2 } \left( 6 + m _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) } { 3 2 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } m _ { \mathrm { i n } } ^ { 4 } R ^ { 6 } } ,
D _ { n } ^ { \pm } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \pi \sqrt { \frac { 2 } { \kappa _ { n } } } \frac { I ( \kappa _ { n } r _ { i } , \theta _ { i } , \Theta _ { n } ^ { \pm } ) } { \sin \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { n } ^ { \pm } } ,
\lambda _ { 3 , 1 } ^ { H _ { 3 } H _ { 3 } X _ { 3 } } = \frac { \lambda _ { 3 , 1 } ^ { + } + \lambda _ { 3 , 1 } ^ { - } } { 2 } = - \frac { i \sqrt { 3 } } { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb T ^ { d } } f ( \boldsymbol x ) \, \mathrm d \boldsymbol x } & { = \sum _ { \boldsymbol k \in { \mathcal I _ { \boldsymbol M } } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \cdot \int _ { \mathbb T ^ { d } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol x = \sum _ { \boldsymbol k \in { \mathcal I _ { \boldsymbol M } } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \cdot \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } = \hat { f } _ { \boldsymbol 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \eta \bigg ( 4 c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 4 c _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 4 c _ { \nu } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 c _ { u } ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 c _ { \omega } ^ { 2 } \zeta _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 2 0 c _ { u } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { v i b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = i \sum _ { i , j } g _ { i } \bigg ( B _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + B _ { i j } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \bigg ) g _ { j } } \\ { \left[ \Sigma _ { C } \right] _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = i \, g _ { i } \, P ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \, g _ { j } } \end{array}
\mathbf { \hat { g } } ^ { 0 } = \phi _ { g } ^ { 0 } \left( \mathbf { \hat { h } } _ { a v } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { \hat { h } } _ { a v } ^ { \hat { L } } , t \right) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \mathbf { \hat { g } } ^ { \ell } = \phi _ { g } ^ { \ell } \left( \mathbf { \hat { g } } ^ { \ell - 1 } \right) \quad \ell = 1 , \dots , L
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle \right| } & { \prec \left( \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \Lambda _ { k } } { \sqrt { N L } } + \frac { \Lambda _ { k + 3 } } { N L } \right) \prec \frac { \Lambda _ { k + 4 } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { d s ^ { 2 } = } } & { { - \frac { ( \zeta + \frac { 1 } { 4 } - \epsilon ^ { + } \cos t ^ { - } ) ( \zeta + \frac { 1 } { 4 } - \epsilon ^ { - } \cos t ^ { + } ) } { \zeta } d t ^ { 2 } + l ^ { 2 } \frac { ( \zeta - \frac { 1 } { 4 } + \epsilon ^ { + } \cos t ^ { - } ) ( \zeta - \frac { 1 } { 4 } + \epsilon ^ { - } \cos t ^ { + } ) } { \zeta } d \phi ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { - 2 l ( \epsilon ^ { + } \cos t ^ { - } - \epsilon ^ { + } \cos t ^ { + } ) d t d \phi + l ^ { 2 } \frac { d \zeta ^ { 2 } } { 4 \zeta ^ { 2 } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { 1 } ( w x + w y + w z + x y + x z + y z ) } & { = w ^ { 3 } x + w x ^ { 3 } + w ^ { 3 } y + w y ^ { 3 } + w ^ { 3 } z + w z ^ { 3 } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, + x ^ { 3 } y + x y ^ { 3 } + x ^ { 3 } z + x z ^ { 3 } + y ^ { 3 } z + y z ^ { 3 } } \\ & { = s _ { 2 } ( w ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) - s _ { 3 } s _ { 1 } + x y z w } \\ & { = s _ { 2 } ( s _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ) - s _ { 3 } s _ { 1 } + s _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) } } & { = ( 1 + \delta _ { 2 \nmid m } ) \prod _ { j = 1 } ^ { m } ( j ( k - 1 ) + 1 ) ( j ( k - 1 ) + 2 ) } \\ & { \ll \prod _ { j = 1 } ^ { m } j ^ { 2 } ( k - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \ll ( k - 1 ) ^ { 2 m } ( m ! ) ^ { 2 } } \\ & { = ( k - 1 ) ^ { n } ( m ! ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( r i ) } } = \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k - 1 , n - 1 ) } \binom { n - 1 } { f } p ^ { n - f - 1 } ( 1 - p ) ^ { f } } \\ { \times \sum _ { m = k - f } ^ { k } \binom { k } { m } \Big \{ \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { k - m } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { m } } \\ { - \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] ^ { k - m } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) \right] ^ { m } \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { A ( q ) } = \left( \begin{array} { l l l } { q _ { 0 } ^ { 2 } + q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } } & { 2 ( q _ { 1 } q _ { 2 } + q _ { 0 } q _ { 3 } ) } & { 2 ( q _ { 1 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 2 } ) } \\ { 2 ( q _ { 1 } q _ { 2 } - q _ { 0 } q _ { 3 } ) } & { q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } } & { 2 ( q _ { 2 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 1 } ) } \\ { 2 ( q _ { 1 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 2 } ) } & { 2 ( q _ { 2 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 1 } ) } & { q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } } & { { } P _ { q } \left( \Delta \right) = \left\{ \begin{array} { l c c } { 0 } & { \mathrm { i f } } & { q < \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { i f } } & { q = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } } & { q > \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) } & { = D \left[ - \frac { d } { d x } \frac { 2 \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } { b } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) + \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) \right] , } \\ { \frac { d } { d t } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) } & { \approx D \left[ - \frac { d } { d x } \frac { q F } { k _ { \mathrm { B } } T } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) + \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } G _ { \mathrm { d } } ( x , t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { G } \Rightarrow \frac { \vec { G } _ { k + 1 } + \vec { G } _ { k } } { 2 } ; } \\ & { } & { \Delta \vec { G } \Rightarrow \vec { G } _ { k + 1 } - \vec { G } _ { k } ; } \\ & { } & { ( \lambda \hat { I } + \hat { A } _ { k } ) \cdot \vec { G } _ { k + 1 } = ( - \lambda \hat { I } + \hat { B } _ { k } ) \cdot \vec { G } _ { k } ; } \end{array}
S ( P _ { 0 } ) = \left( 1 - \frac { 2 P _ { 0 } } { \kappa } + \frac { \vec { P } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \vec { P } ^ { 2 } } { 2 \kappa } - \frac { \kappa } { 2 } \right) + \frac { \kappa } { 2 }
\textbf { P } : \left( F _ { P } ( \phi ) , \Delta _ { P } ( \phi ) \right) = \left( \frac { 1 + \tan ^ { 2 } { \phi } } { ( 1 - B ) \sin { 2 \phi } } , \quad \frac { \frac { B + 1 } { 1 - B } + 2 \sin ^ { 2 } { \phi } } { \sin { 2 \phi } } \right) .
V _ { 0 } \left( \left( ( L _ { 0 } - 1 ) L _ { 0 } \right) ^ { n } L _ { 0 } \psi \right) = V _ { - 1 } \left( \left( ( L _ { 0 } - 1 ) L _ { 0 } \right) ^ { n } \psi \right) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { { } = \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } ) } \\ { \epsilon _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { { } = \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } , h _ { k } ) } \end{array}
{ \tilde { h } } _ { \mu \nu } = M _ { \mathrm { P l } } h _ { \mu \nu } \ , \ { \tilde { A } } _ { \mu } = M _ { \mathrm { P l } } m \ A _ { \mu } \ , \ { \tilde { \pi } } = M _ { \mathrm { P l } } m ^ { 2 } \pi \ , \ { \hat { h } } _ { \mu \nu } = { \tilde { h } } _ { \mu \nu } - \eta _ { \mu \nu } { \tilde { \pi } }
\mathbf { U } _ { L } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { \gamma ( \gamma - 1 ) M _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right) , \quad \mathbf { U } _ { R } = \left( \begin{array} { l } { f ( M _ { 0 } ) } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { \frac { g ( M _ { 0 } ) } { \gamma ( \gamma - 1 ) M _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 f ( M _ { 0 } ) } } \end{array} \right) ,
\theta = \theta _ { 0 } - \left( \theta _ { 0 } - \hat { \theta _ { 1 } } \right) e ^ { - \sqrt { \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } { \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \delta \epsilon ^ { 2 } } } \left( z - \hat { z _ { 1 } } \right) } .
\begin{array} { r l } & { 0 = \sum _ { \sigma } \left[ v _ { \sigma } ^ { \prime } ( \phi ) \Pi ( \sigma \vert \phi ) \right] \Pi ( \phi ) \partial _ { \xi } [ \xi \Pi ( \xi \vert \phi ) ] } \\ & { - \sum _ { \sigma } \left[ \Pi ( \sigma \vert \phi ) \Pi ( \phi ) \frac { \omega _ { \sigma } ( \phi ) } { 2 } \right] \partial _ { \xi } ^ { 2 } [ \Pi ( \xi \vert \phi ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } Z } { d ^ { 2 } z } - k ^ { 2 } Z } & { { } = 0 } \\ { \frac { d ^ { 2 } T } { d ^ { 2 } \theta } + m ^ { 2 } T } & { { } = 0 } \\ { r ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } R } { d ^ { 2 } r } + r \frac { d R } { d r } + R ( k ^ { 2 } r ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } : S _ { 1 } + U } & { \to S _ { 1 } + S _ { 2 } + U \ , } & { \tilde { \mathcal { M } } _ { 2 } : S _ { 2 } + V } & { \to S _ { 1 } + S _ { 2 } + V \ , } \\ { S _ { 3 } + U } & { \to S _ { 3 } + S _ { 2 } + U \ , } & { S _ { 1 } + V } & { \to V \ . } \\ { S _ { 2 } + U } & { \to U \ ; } \end{array}
\frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \nu _ { d } \nabla ^ { 2 } u _ { d } \sim \frac { \nu _ { d } } { D \tau } ; \frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \frac { p } { D \rho _ { d } } ; p \sim \rho _ { c } u _ { c } ^ { 2 } \Rightarrow \tau \sim \frac { \mu _ { d } } { \rho _ { c } u _ { c } ^ { 2 } } ~ ~ ( \textrm { h i g h v i s c o s i t y , h i g h s p e e d } )
\frac { B \mu ^ { ( \mathrm { l o o p ) } } } { B \mu ^ { ( \mathrm { s e e s a w ) } } } = { \cal O } \left( \frac { 1 } { 1 0 } \; \mathrm { G e V } \right) \times \frac { p } { m ^ { 2 } } = \frac { p } { p _ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { \Theta } ^ { \prime } ( k _ { y } ) = - \eta _ { y y } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + i k _ { y } ( \eta _ { x y } ^ { * } + \eta _ { y x } ^ { * } ) \frac { d } { d x } + \eta _ { x x } ^ { * } k _ { y } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } ( S ) = [ - h _ { 1 } k _ { 1 } , h _ { 1 } k _ { 1 } ] \times [ - h _ { 2 } k _ { 2 } , h _ { 2 } k _ { 2 } ] \times [ - h _ { 3 } k _ { 3 } , h _ { 3 } k _ { 3 } ]
\begin{array} { r l r } { { \hat { V } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { { \hat { V } } ^ { e _ { 1 } g _ { 1 } } + { \hat { V } } ^ { e _ { 2 } g _ { 1 } } + { \hat { V } } ^ { e _ { 3 } g _ { 1 } } } \\ { { \hat { V } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { { \hat { V } } ^ { e _ { 4 } g _ { 2 } } + { \hat { V } } ^ { e _ { 5 } g _ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } = a _ { 2 } g ( \xi ) ^ { \frac { d _ { 2 } \kappa _ { 1 } } { d _ { 3 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) } } h ( \xi ) , \quad C _ { 2 } = a _ { 2 } g ( \xi ) ^ { \frac { d _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { d _ { 3 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \right) } } h ( \xi ) , } \\ & { h ( \xi ) = \frac { \left( z _ { 1 } + z _ { 2 } g ( \xi ) \right) ^ { \frac { \kappa _ { 1 } \left( z _ { 2 } - z _ { 1 } \right) z _ { 2 } \left( \kappa _ { 3 } ^ { 2 } + \mathrm { P e } ^ { 2 } \right) } { d _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) + \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } } { \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) d _ { 3 } - z _ { 2 } d _ { 4 } g ( \xi ) \right) ^ { \frac { - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } d _ { 1 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \right) \kappa _ { 2 } ^ { 2 } z _ { 2 } ^ { 2 } } { d _ { 3 } d _ { 5 } d _ { 4 } } } } , } \\ & { d _ { 1 } = \kappa _ { 1 } ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } , \quad d _ { 2 } = \kappa _ { 2 } ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } , } \\ & { d _ { 3 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } - \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } , } \\ & { d _ { 4 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 3 } - \kappa _ { 2 } z _ { 2 } \right) + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) , } \\ & { d _ { 5 } = - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 1 } z _ { 1 } \right) + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \kappa _ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { a c } } & { = } & { 2 1 6 ( 1 0 \mathrm { c m } / \lambda _ { g } ) ( D / 1 0 0 \mathrm { m } ) ^ { 3 } + 3 8 ( D / 1 0 0 \mathrm { m } ) ^ { 2 } } \\ { w _ { p s } } & { = } & { 1 2 2 ( D / 1 0 0 \mathrm { m } ) ^ { 2 } + 2 ( D / d ) ^ { 2 } } \\ { K 1 } & { = } & { \frac { \lambda _ { g } } { 5 . 3 ( D / 1 0 0 \mathrm { m } ) ^ { 2 } } } \\ { K 2 } & { = } & { 1 + \frac { w _ { p s } } { w _ { a c } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 1 } ( r , t ) \sim } & { { } \; \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \log ( 1 - r ) + \frac { \alpha \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } \log \left( \frac { 2 ( 1 - t ) } { ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) ^ { 2 } } \right) + } \end{array}