harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \bar { x } _ { \mathrm { c l f } } - x _ { k } \| } & { = \left\| \int _ { t _ { k } } ^ { \bar { t } _ { \mathrm { c l f } } } \dot { x } ( \tau ) d \tau \right\| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } \| f ( x ) + g ( x ) u \| ( \bar { t } _ { \mathrm { c l f } } - t _ { k } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } \log L ( { _ m \theta } ; Y _ { 0 : n } ) } { \partial { _ m \theta _ { i } } \partial { _ m \theta _ { j } } } { \Big | } _ { { _ m \theta } = { _ m \hat { \theta } } + \alpha ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } g ^ { 0 } ( M _ { t } ^ { 0 } ( { _ m \theta } ) , M _ { t - 1 } ^ { 0 } ( { _ m \theta } ) ) } { \partial { _ m \theta _ { i } } \partial { _ m \theta _ { j } } } { \Big | } _ { { _ m \theta } = { _ m \hat { \theta } } + \alpha ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) } + \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } g _ { 0 } ^ { 0 } ( M _ { 0 } ^ { 0 } ( { _ m \theta } ) ) } { \partial { _ m \theta _ { i } } \partial { _ m \theta _ { j } } } { \Big | } _ { { _ m \theta } = { _ m \hat { \theta } } + \alpha ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ m \hat { \theta } } ) } } \\ { \rightarrow } & { - I ( { _ m \ddot { \theta } } ) _ { i j } ~ ~ ~ P ^ { _ m \ddot { \theta } } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
\exp \left( - \frac \alpha 2 \left[ \frac x { x _ { 0 } } + \frac { x _ { 0 } } x \right] \right) \sim \left[ \left( 1 - x \right) \left( 1 - \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } x \right) \right] ^ { \alpha / 2 x _ { 0 } } \equiv f ( x , x _ { 0 } ) ,
\hat { A } ( \hat { p } , \hat { q } ) _ { W } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int A ( p , q ) e ^ { - i ( \tau p + \theta q ) } e ^ { i ( \tau \hat { p } + \theta \hat { q } ) } d p d q d \tau d \theta .
W e _ { l } ( r _ { j e t } ( \tau ) ) = v _ { j e t } ^ { 2 } r _ { j e t } = \frac { \left[ 3 . 4 \, q _ { \infty } ( r _ { j e t } ( \tau ) ) \right] ^ { 2 } } { r _ { j e t } ( \tau ) } \,
C _ { F } ( q ) = \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { q } } & { { - ( 1 + q ) } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \eta _ { 0 } } & { = } & { 2 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \varpi ^ { 2 } \left( \frac { N _ { \cal F } t _ { 1 } ^ { 2 q } } { q ^ { 2 } } + \frac { N _ { \cal G } t _ { 1 } ^ { 2 q - 1 } } { 2 q - 1 } \right) , } \\ { \eta _ { i } } & { = } & { \left( 3 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \varpi ^ { 2 } \left\{ \frac { N _ { \cal F } t _ { i + 1 } ^ { 2 q } } { q ^ { 2 } } + \frac { N _ { \cal G } t _ { i + 1 } ^ { 2 q - 1 } } { 2 q - 1 } \right\} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \\ & { - \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) - 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) + e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n \right) } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } , \pi , \alpha ; \mathbf { y } , \mathbf { Z } , \boldsymbol { \delta } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } f ( y _ { i } \mid \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) ^ { \delta _ { i } } S ( y _ { i } \mid \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) ^ { 1 - \delta _ { i } } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } h ( y _ { i } \mid \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) ^ { \delta _ { i } } S ( y _ { i } \mid \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) ,
( x _ { i } ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ( x _ { i } ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } ) = ( x _ { i } ^ { \prime } + x _ { i } ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime } + y ^ { \prime \prime } + q x _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \Delta u _ { i j } ^ { 0 0 } } & { = \psi _ { i } ^ { 0 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) } \\ & { \quad \null + \psi _ { i } ^ { 1 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) , } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 0 1 } } & { = \psi _ { i } ^ { 0 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) } \\ & { \quad \null + \psi _ { i } ^ { 1 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) , } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 1 0 } } & { = \psi _ { i } ^ { 0 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) } \\ & { \quad \null + \psi _ { i } ^ { 1 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) , } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 1 1 } } & { = \psi _ { i } ^ { 0 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) } \\ & { \quad \null + \psi _ { i } ^ { 1 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 1 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) , } \end{array}
J _ { \nu } ( z ) = \frac { 2 \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu } } { \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma \left( \nu + \frac { 1 } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \cos ( z w ) \, \mathrm { d } w \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma } { \varepsilon ^ { 2 } } ( \alpha \varepsilon ^ { 2 } - | U _ { s } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } ) } & { - 2 U _ { s } ^ { \varepsilon } ( b ^ { 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) ) - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Big ( \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \gamma \alpha + \widehat A \varepsilon \delta _ { 2 } - \delta _ { 1 } \leq - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { t ( \tau + h ) - 2 t ( \tau ) + t ( \tau - h ) } { h ^ { 2 } } } & { { } = } & { E \bigl ( x ( \tau ) \bigr ) ^ { \top } \, \frac { x ( \tau + h ) - x ( \tau - h ) } { 2 h } } \\ { \frac { x ( \tau + h ) - 2 x ( \tau ) + x ( \tau - h ) } { h ^ { 2 } } } & { { } = } & { E \bigl ( x ( \tau ) \bigr ) \, \frac { t ( \tau + h ) - t ( \tau - h ) } { 2 h } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 1 } ^ { k } E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { j } , X _ { j } ) \leq 4 \pi | X _ { i } | \varepsilon ^ { 2 } + \sum _ { j \neq i } \left( c ^ { 2 } P ( \Omega _ { j } ) + V _ { \varepsilon } ( X _ { j } ) \right) } \\ { \leq 4 \pi | X _ { i } | \varepsilon ^ { 2 } + \left( 1 + 2 \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } | X _ { i } | \varepsilon ^ { 3 } \right) \right) \sum _ { j \neq i } P ( \Omega _ { j } ) + \sum _ { j \neq i } V _ { \varepsilon } ( X _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { m } } & { = 2 \delta - \delta _ { 0 } + s _ { 0 } + \Delta s _ { 1 } + \cdots + \Delta s _ { m } } \\ & { \leq 2 \delta + s _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \left( r _ { 0 } + r _ { 1 } + \cdots + r _ { m - 1 } \right) } \\ & { \leq 2 \delta + s _ { 0 } + \frac { r _ { 0 } } { 2 } \left( 1 + C _ { 1 } + \cdots + C _ { 1 } ^ { m - 1 } \right) } \\ & { \leq 3 \delta + \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 - C _ { 1 } } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 8 } { 5 } \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 + \xi ^ { * } ) \log \beta ( x , y | P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) } \\ { * } & { = ( 1 + \xi ^ { * } ) \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } | x ) } { P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } ) } + \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 2 } | X \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 2 } | x , \hat { x } _ { 1 } ) } { P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 2 } | y , \hat { x } _ { 1 } ) } + \sum _ { i \in [ 2 ] } \lambda _ { i } ^ { * } d _ { i } ( x , \hat { x } _ { i } ) . } \end{array}
\varepsilon _ { T } ( x , y ) = ( - 1 ) ^ { \left| x , y \right| } \frac { ( - 1 ) ^ { \left| x \right| } + ( - 1 ) ^ { \left| y \right| } + ( - 1 ) ^ { \left| x \right| + \left| y \right| } - 1 } { 2 }
\begin{array} { r l } { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { c \rightarrow f } } ( \mathbf { Y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Y } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { Y } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k - \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { Z } \right) \mathbf { e } _ { Z } , } \\ { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { c \rightarrow f } } ( \mathbf { Y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k + \frac { 1 } { 2 } } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Y } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { Y } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j - \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } \right) \mathbf { e } _ { \phi } , } \\ { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { c \rightarrow f } } ( \mathbf { Y } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } = } & { ~ \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Y } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { Y } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { R } \right) \mathbf { e } _ { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V e } } & { = { { \bf w } _ { V } } _ { e } ^ { \top } \left( \, \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, + \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf F } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf F } _ { 1 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf F } _ { 2 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \right. } \\ & { \quad \left. - \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf Q } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf Q } _ { 1 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf Q } _ { 2 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , { \bf S } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \right) = { { \bf w } _ { V } } _ { e } ^ { \top } { \bf R } _ { V e } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E e } } & { = { { \bf w } _ { E } } _ { e } ^ { \top } \left( \, \big \langle \hat { \bf N } _ { E } \, , { \bf E } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, - \big \langle \hat { \bf N } _ { E } ^ { - } \, , \overline { { { \bf G } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E x } \, , { \bf G } _ { 1 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E y } \, , { \bf G } _ { 2 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \right) = { { \bf w } _ { E } } _ { e } ^ { \top } { \bf R } _ { E e } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
d ( P S ) = \int \widetilde { d k } \widetilde { d k } ^ { \prime } \delta ( \mathrm { o b s e r v a b l e s } ) \quad \widetilde { d k } = \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \delta ( k ^ { 2 } - m _ { L e p } ^ { 2 } ) \Theta ( k _ { 0 } ) .
\int { \cal D } \tilde { \vec { p } } \exp \{ i \int [ - \frac { h } { 2 m } { \vec { p } } ^ { 2 } + \vec { p } \dot { \vec { x } } - \frac { m } { 2 h } { \dot { \vec { x } } } ^ { 2 } ] d \tau \} = \int { \cal D } \tilde { \vec { p } } \exp [ i \int \frac { - 1 } { 2 m } ( \tilde { \vec { p } } ) ^ { 2 } d \tau ]
\frac { \partial \mathrm { V a r } } { \partial \left( ^ { 2 } F _ { m } ^ { s t ; p q } \right) } = 2 \langle { \Psi _ { m } } | ( { \hat { \Gamma } } _ { s t } ^ { p q } - { } ^ { 2 } D _ { s t } ^ { p q } ) ( { \hat { H } } - E _ { m } ) ^ { 2 } | { \Psi _ { m } } \rangle ,
\mathbf { S } = \mathbf { I } - 2 i \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \mathbf { G _ { \mathcal { S } \mathcal { S } } } - \mathbf { G _ { \mathcal { S } \mathcal { \bar { S } } } } \mathbf { G _ { \mathcal { \bar { S } } \mathcal { \bar { S } } } } ^ { - 1 } \mathbf { G _ { \mathcal { \bar { S } } \mathcal { { S } } } } } \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } = \mathbf { I } - 2 i \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \mathbf { \tilde { A } _ { 0 } } - ( \mathbf { \Delta _ { \mathcal { S } \mathcal { S } } } - i \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } ^ { \dagger } ) } \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } ,
M _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 5 } \end{array} \right) , \quad M _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { - 2 } & { - 3 } \end{array} \right) , \quad M _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 2 } \\ { 2 } & { - 3 } \end{array} \right) , \quad M _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 2 } \\ { - 2 } & { 5 } \end{array} \right) ,
N _ { f } \, \mathrm { T r } \, \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( p - m + i \epsilon ) ^ { n } } \, f _ { n } ( A ) = N _ { f } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \int \frac { d p } { 2 \pi } \, \frac { 1 } { ( p - m + i \epsilon ) ^ { n } } \int d t \, f _ { n } ( A )
f _ { \mathrm { ~ K ~ u ~ r ~ t ~ } } ( s ) = \frac { 2 } { 3 s ^ { 2 } } \left( ( 9 + 4 s - 3 s ^ { 2 } ) e ^ { - s } - 9 + 5 s + s ^ { 2 } ( 5 + 3 s ) { \cal E } _ { 3 } ( s ) \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \tilde { X } } ^ { ( i ) } ( t _ { n } ) } & { { } = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( i ) } U _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } U _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots U _ { n } ^ { k _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lbrace \begin{array} { l } { i ( J ^ { m } u ^ { k } ) _ { t } + ( J ^ { m } u ^ { k } ) _ { x x } = J ^ { m } [ ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } + \beta | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } ) u ^ { k } ] , } \\ { i ( J ^ { m } u ^ { j } ) _ { t } + ( J ^ { m } u ^ { j } ) _ { x x } = J ^ { m } [ ( | u ^ { j } | ^ { 2 p } + \beta | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) u ^ { j } ] , } \\ { i ( J ^ { m } v ^ { k } ) _ { t } + ( J ^ { m } v ^ { k } ) _ { x x } = J ^ { m } [ ( | v ^ { k } | ^ { 2 p } + \beta | v ^ { k } | ^ { p - 1 } | u ^ { k } | ^ { p + 1 } ) v ^ { k } ] , } \\ { i ( J ^ { m } v ^ { j } ) _ { t } + ( J ^ { m } v ^ { j } ) _ { x x } = J ^ { m } [ ( | v ^ { j } | ^ { 2 p } + \beta | v ^ { j } | ^ { p - 1 } | u ^ { j } | ^ { p + 1 } ) v ^ { j } ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( \gamma _ { r } ( x ) ) \sqrt { | D \gamma _ { r } | } \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( \gamma _ { r } ( x ) ) \rangle d m \to \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } , v _ { j } \rangle .
\begin{array} { r l } & { \Big ( \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ) + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { 1 - \alpha } } \\ & { \le 3 ^ { 1 - \alpha } L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \theta + \Big ( \| w ^ { \prime } - w \| H ( 0 ) + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { 1 - \alpha } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } 2 ^ { \alpha } \Big ( 3 \big ( L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \theta \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { 1 - \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \sigma ) } & { { } = \mathcal { N } _ { 1 } ( f , B _ { 0 } , u _ { * } , h ) , } \\ { v _ { 0 } } & { { } = \mathcal { N } _ { 2 } ( f , B _ { 0 } , u _ { * } ) , } \end{array}
f [ \phi _ { t } ( n ) ] \equiv { \frac { S _ { L } ^ { \prime } [ \phi _ { t } ( n ) ] } { a } } = \biggl \{ { \frac { 2 \phi _ { t } ( n ) - \phi _ { t } ( n + 1 ) - \phi _ { t } ( n - 1 ) } { a ^ { 2 } } } + 2 g ^ { 2 } \phi _ { t } ( n ) \Bigl [ \phi _ { t } ^ { 2 } ( n ) - { \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } } \Bigr ] \biggr \} \, .
D _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { - i \cdot 4 ^ { n } } { p ^ { 2 + 4 n } } \bigg ( g _ { \mu \nu } - ( 1 - \xi ) \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \bigg ) e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
\varepsilon _ { 0 } = \frac { m ^ { 3 } } { 3 \pi } - \frac { m ^ { 3 } } { 2 \pi } \frac { 1 } { \Gamma ( - 1 / 2 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } \left( \frac { 2 e B } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 2 n } \Gamma ( 2 n - 3 / 2 ) + O \left[ \left( \frac { 2 e B } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 2 ( m + 1 ) } \right] .
\begin{array} { r l } { E ( \pi \eta | ( 1 + \varepsilon ) ^ { 2 } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi \eta } \! \! \! \! \! d \theta \ \sqrt { 1 \! - \! ( 1 \! + \! \varepsilon ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \\ & { \approx \int _ { 0 } ^ { \pi \eta } \! \! \! \! \! d \theta \ \sqrt { \cos ^ { 2 } \theta \! - \! 2 \varepsilon \sin ^ { 2 } \theta } } \\ & { \approx \int _ { 0 } ^ { \pi \eta } \! \! \! \! \! d \theta \ \cos \theta \! - \! \varepsilon \int _ { 0 } ^ { \pi \eta } \! \! \! \! \! d \theta \ \cos \theta \tan ^ { 2 } \theta } \\ & { = ( 1 - \varepsilon ) \sin \pi \eta - \varepsilon \ln | \sec \theta + \tan \theta | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \frac { 5 ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) ( \pi m k _ { B } ) ^ { 1 / 2 } ( 4 k _ { B } / m ) ^ { \omega - 1 / 2 } T ^ { \omega } } { 1 6 \alpha \Gamma ( \frac { 9 } { 2 } - \omega ) \sigma _ { T , r e f } v _ { r , r e f } ^ { 2 \omega - 1 } } } \\ { \kappa } & { { } = \frac { 1 5 k _ { B } } { 4 m } \mu _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \lambda _ { p } \Vert \widehat { \gamma } _ { t ^ { \prime } } - \gamma _ { t ^ { \prime } } \Vert _ { F } + \lambda _ { r } \sum _ { i = 0 } ^ { m } \Vert \mathbf { g } ^ { - 1 } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { t - i m \varepsilon } \right) - \gamma _ { t - i m \varepsilon } \Vert _ { F } , } \end{array}
\delta L _ { 0 } = i \Lambda ^ { a } D _ { - } \chi _ { a } ( \varphi , \tilde { \varphi } ) + \Lambda ^ { a } A _ { - } ^ { b } \left( \partial _ { \alpha } \chi _ { a } \xi _ { b } ^ { \alpha } + \partial _ { \overline { { { \alpha } } } } \chi _ { a } A _ { - } ^ { b } \tilde { \xi } _ { b } ^ { \overline { { { \alpha } } } } \right) ( \varphi , \tilde { \varphi } ) .
\begin{array} { r } { \mathbf { a } ^ { - 1 } \mathbf { w } \ll _ { \eta } ^ { a v } \prod _ { l = 1 } ^ { d } \operatorname { d i a g } ( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { l - 1 } , \dots \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - n ( l - 1 ) } , \dots \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { l - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { d } } } \\ { \ll _ { \eta } ^ { a v } \operatorname { d i a g } \left( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { \frac { n } { 2 } } , \dots \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { \frac { n } { 2 } - ( i - 1 ) } , \dots \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - \frac { n } { 2 } } \right) } \\ { = \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { \frac { n } { 2 } } \operatorname { d i a g } \left( 1 , \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 1 } , \dots \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { { } = \omega _ { A } + \omega _ { B } + \sqrt { ( \omega _ { A } - \omega _ { B } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } } , } \\ { E _ { 2 } } & { { } = E _ { 3 } = \omega _ { A } + \omega _ { B } , } \\ { E _ { 4 } } & { { } = \omega _ { A } + \omega _ { B } - \sqrt { ( \omega _ { A } - \omega _ { B } ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } } , } \end{array}
\bar { \psi } ( s , z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s )
\begin{array} { l l l } { { h _ { b } ( z , T , x ^ { 1 0 } ) = \tilde { h } _ { b + N ^ { \prime } / 2 } ( \bar { z } , - 1 / \bar { T } , - x ^ { 1 0 } ) } } & { { , } } & { { \tilde { h } _ { b } ( z , T , x ^ { 1 0 } ) = h _ { b + N ^ { \prime } / 2 } ( \bar { z } , - 1 / \bar { T } , - x ^ { 1 0 } ) } } \\ { { h _ { c } ( z , T , x ^ { 1 0 } ) = \tilde { h } _ { c } ( \bar { z } , - 1 / \bar { T } , - x ^ { 1 0 } ) } } & { { , } } & { { } } \end{array}
\frac { 1 } { ( 2 n ) ! } \frac { d ^ { 2 n } } { \prod _ { i } d K _ { i } ^ { \perp \lambda _ { i } } d K _ { i } ^ { \perp \kappa _ { i } } } \Big | _ { K _ { i } ^ { \prime \perp } , K _ { i } ^ { \perp } \to 0 } \delta ( q _ { \perp } ^ { 2 } + ( K _ { 1 } ^ { \perp } + \cdots + K _ { k } ^ { \perp } ) ^ { 2 } ) = \delta _ { n k } \frac { 2 ^ { n } } { ( 2 n ) ! } \delta ^ { ( n ) } ( q _ { \perp } ^ { 2 } ) \prod _ { i } g ^ { \lambda _ { i } \kappa _ { i } }
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { = - k _ { \mathrm { f e } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } + k _ { \mathrm { f e } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } \\ { R _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } & { = R _ { \mathrm { H } ^ { + } 2 } = k _ { \mathrm { f e } } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } - k _ { \mathrm { f e } } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } \end{array}
{ \tilde { D } } = 1 + { \frac { k _ { 1 1 } ^ { 2 } T _ { 6 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { [ ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 1 1 } - x _ { 0 } ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } } } + { \frac { 1 } { [ ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 1 1 } + x _ { 0 } ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \chi _ { \left[ 0 , \omega \right] } \left( \xi \right) \int _ { \left[ u \right] \times \left[ v \right] \times \{ t \} } \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } ^ { s } \left( x _ { t } \right) \right) \exp \left( - 2 \pi i \langle x _ { t } , \xi \rangle \right) \mathsf { d } x _ { t } , } \end{array}