harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { + } & { { } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \Big ( \ast d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) - ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) + ( - 1 ) ^ { n } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) } \\ { - } & { { } \ast [ \delta N _ { \beta } ( \omega ) , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } - \ast d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) \Big ) } \\ { + } & { { } \int _ { \Sigma } \Big ( e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ ( Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } ) ^ { 2 } \right] } & { \leq S _ { 0 } ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \bar { \mu } ) ^ { 2 } t ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } S _ { 0 } ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \bar { \mu } ) ^ { 2 } ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) s ^ { 2 } e ^ { ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) ( t - s ) } d s . } \end{array}
\delta H _ { \mu \nu \lambda } = 3 c \nabla _ { [ \mu } \bigl ( W _ { \nu } { } ^ { \rho } V _ { \lambda ] \rho } \bigr ) - 3 V _ { [ \mu \nu } \delta W _ { \lambda ] } - 3 W _ { [ \mu \nu } \delta V _ { \lambda ] }
\begin{array} { r l } & { c \Big \{ | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 1 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 1 ] } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 2 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 2 ] } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 1 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 1 ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } + | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 2 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 2 ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \frac { 8 \lambda ^ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \varphi \rho _ { w 1 } S _ { w } + \varphi \rho _ { o 1 } S _ { o } + \rho _ { r 1 } \right) + \partial _ { x } \left( u \left( \rho _ { w 1 } f _ { w } + \rho _ { o 1 } f _ { o } \right) \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { s _ { \tilde { \beta } , t } } & { = } & { \frac { \nabla _ { 1 , \tilde { \beta } , t } + \dots + \nabla _ { i , \tilde { \beta } , t } + \dots + \nabla _ { K , \tilde { \beta } , t } } { S _ { \tilde { \beta } , t } } } \\ { s _ { \tilde { \gamma } , t } } & { = } & { \frac { \nabla _ { 1 , \tilde { \gamma } , t } + \dots + \nabla _ { i , \tilde { \gamma } , t } + \dots + \nabla _ { K , \tilde { \gamma } , t } } { S _ { \tilde { \gamma } , t } } } \\ { s _ { \tilde { \nu } , t } } & { = } & { \frac { \nabla _ { 1 , \tilde { \nu } , t } + \dots + \nabla _ { i , \tilde { \nu } , t } + \dots + \nabla _ { K , \tilde { \nu } , t } } { S _ { \tilde { \nu } , t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { w } } & { { } = - c \tau ^ { 2 } \dot { w } ^ { 3 } - 3 b c \tau \dot { w } ^ { 2 } w + 3 a c \tau \dot { w } ^ { 2 } - b ^ { 2 } c \dot { w } w ^ { 2 } + 2 a b \dot { w } w + \Big ( 1 - 3 a ^ { 2 } c - \frac { b } { \tau } \Big ) \dot { w } } \end{array}
\langle \phi _ { T } ^ { * } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } ) \phi _ { T } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } ^ { \prime } ) \rangle \! = \! \delta ^ { 2 } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } \! - \! { \boldsymbol { q } } _ { \perp } ^ { \prime } ) S _ { T } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } )
\begin{array} { r l r } { \left( T \right) _ { 1 , j , k } = \frac { T _ { t } } { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) _ { 1 , j , k } } \, } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { \left( p \right) _ { 1 , j , k } = \frac { 1 } { \gamma } ( T ) _ { 1 , j , k } ^ { \gamma / ( \gamma - 1 ) } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ T ~ } ~ } } \stackrel { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } { \simeq } \mathcal { H } _ { 0 } [ \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ T ~ } ~ } } ] \, , } \end{array}
S [ \phi ] \! \! = \! \! \int _ { 0 } ^ { \beta } \! \! \! d \tau \int \! \! \! d ^ { 3 } x \! \left( \partial _ { \nu } \phi _ { a } \partial ^ { \nu } \phi _ { a } \! \! + \! m _ { o } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \! \! + \! \frac { \lambda _ { o } } { 4 N } \phi ^ { 4 } \! \! - \! \mu ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \! \! + \! 2 i \mu ( \phi _ { 2 } \partial _ { \tau } \phi _ { 1 } \! \! - \! \phi _ { 1 } \partial _ { \tau } \phi _ { 2 } ) \right)
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E } & { = \left( - i \tilde { d } _ { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } + \tilde { d } _ { 3 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } + \mathcal { L } \right) E + \mathcal { N } D E + h Y _ { 0 } \frac { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } { 1 + i \delta } , } \\ { 0 } & { = \left( \zeta _ { 3 } \partial _ { \sigma } - 2 - \zeta _ { 2 } | E | ^ { 2 } \right) D + \zeta _ { 1 } | E | ^ { 2 } , } \end{array}
\textsc { R M S E } \left( \{ \hat { d } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ d _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } \right) = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \hat { d } _ { i } - d _ { i } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { { \bf r } _ { \textrm { c a p } } = { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } + r _ { { \textrm e q } } \ { \bf u } _ { \textrm { l i n k - G F } } } \\ { { \bf u } _ { \textrm { l i n k - G F } } = \frac { { \bf r } _ { \textrm { G F } } - { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } } { | { \bf r } _ { \textrm { G F } } - { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } \geq 0 \right) } & { = P \left( e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } } \geq e ^ { 0 } \right) } \\ & { \leq \frac { \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } } ] } { e ^ { 0 } } = \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( | x | / \varepsilon ) \textrm { d } x = \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \beta ( r \cos \psi , r \sin \psi ) \textrm { d } \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \psi } _ { \alpha } - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) } & { } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) + \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 + \gamma _ { \alpha } \psi _ { \alpha } } & { ~ \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \rho _ { \mathrm { ~ c ~ } } \left( - \phi \right) ^ { n } , } \\ { p } & { { } = } & { K \rho _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 1 + 1 / n } \left( - \phi \right) ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \psi _ { j } ^ { n } } & { { } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { j } ^ { n } } { \partial x ^ { 2 } } \right) + V _ { j } \psi _ { j } ^ { n } } \end{array}
< F > = \frac { < p _ { g . s . } | F | p _ { g . s . } > } { < p _ { g . s . } | p _ { g . s . } > } = \frac { < g . s . | F | g . s . > + \epsilon ^ { 2 } < p _ { g . s . } ^ { 1 } | F | p _ { g . s . } ^ { 1 } > } { < g . s . | g . s . > + \epsilon ^ { 2 } < p _ { g . s . } ^ { 1 } | p _ { g . s . } ^ { 1 } > }
S _ { \mathrm { B F V } } = \int d \tau \left( p \dot { x } + P _ { n } \dot { \psi } ^ { n } + \pi _ { a } \dot { \lambda } _ { a } + \overline { { { \theta } } } _ { a } \dot { \theta } _ { a } - T _ { a } \lambda _ { a } - \overline { { { B } } } _ { a } B _ { a } - \frac { i } { 2 } \overline { { { B } } } _ { 2 } c _ { 1 } \lambda _ { 1 } \right) \, .
S _ { c } ^ { 2 } = \frac { 2 \mu R _ { o } ^ { 2 } V _ { c } } { \hbar ^ { 2 } } , S _ { o } ^ { 2 } = \frac { 2 \mu R _ { o } ^ { 2 } V _ { o } } { \hbar ^ { 2 } } , a _ { c o } = \frac { 2 \mu R _ { o } ^ { 2 } V _ { c o } } { \hbar ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { A , B } ^ { k } } & { { } = \arctan \frac { \mathrm { I m } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } { \mathrm { R e } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } \, , } \\ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } } & { { } = 2 \sqrt { \mathrm { R e } { \phi } _ { A , B } ^ { k } + \mathrm { I m } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 1 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 1 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 2 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { k } = \frac { c _ { \alpha } } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { a } } , \ \gamma _ { k } = \frac { c _ { \gamma } } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { c } } , \ \eta _ { k } = ( k + 1 ) ^ { - 2 c } } \\ & { \xi \le c _ { \xi } \frac { \mu _ { g } } { l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } , \ \delta _ { k } = \frac { \gamma _ { k } } { \alpha _ { k } } - \lambda _ { k } , \ \lambda _ { 0 } \ge \frac { 2 l _ { f , 1 } } { \mu _ { g } } , } \\ & { k _ { 0 } \ge \frac { 1 2 8 } { \mu _ { g } } \operatorname* { m a x } \left( \xi l _ { F , 1 } , l _ { g , 1 } \sqrt { \frac { c _ { \eta } l _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } } \right) , c _ { \gamma } = \frac { 8 } { \mu _ { g } k _ { 0 } ^ { 1 - c } } , \ c _ { \alpha } = \frac { 8 } { \mu _ { g } \lambda _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 1 - a } } , } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ r ~ e ~ c ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } & { Y _ { 1 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } W _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \; Y _ { 2 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { Y _ { 3 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } W _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \; \; Y _ { 4 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { Y _ { 5 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } W _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } , \qquad \quad Y _ { 6 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \delta _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } . } \end{array}
\vert 0 , t \rangle = \hat { U } ( t , \lambda ) \vert 0 , t \rangle _ { \mathrm { G } } \equiv \sum _ { \{ { \cal N } \} } U _ { \{ { \cal N } \} } ( t ) \vert \{ { \cal N } \} , t \rangle _ { \mathrm { G } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { u } _ { k } } { d t } } & { \approx } & { - \nu _ { k l m } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k l m } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { l } } { d t } } & { \approx } & { - \nu _ { l m k } \, \left( \vec { u } _ { l } - \vec { b } _ { l m k } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { m } } { d t } } & { \approx } & { - \nu _ { m k l } \, \left( \vec { u } _ { m } - \vec { b } _ { m k l } \right) \, , } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \psi } { \partial t } = \left[ \frac { 1 } { 2 m } \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \right) ^ { 2 } + q A _ { 0 } - g \frac { q } { 2 m } \; \; \mathrm { ~ \bf ~ s ~ } _ { o p } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } \right] \psi
Z _ { A } ^ { ( 1 ) } = \delta _ { \mathrm { T } } = \left( \frac { 1 3 } 6 - \frac \lambda 2 \right) \frac { ( g \mu ^ { - \epsilon } ) ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { C _ { 2 } ( G ) } { \epsilon } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } { \texttt A } _ { i \beta } } & { = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } { \texttt A } _ { i \beta } + \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { R _ { i i } } { \texttt A } _ { i \beta } } \\ & { = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } { \texttt A } _ { i \beta } + \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { s ( z ) } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \left[ \! \! { \begin{array} { c } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} } \! \! \right] \in K ^ { n } : { \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } x _ { 1 } } & { } & { \; = \; } & { } & { a _ { 1 1 } t _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } t _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 1 m } t _ { m } } & { } \\ { x _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { a _ { 2 1 } t _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } t _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 2 m } t _ { m } } & { } \\ & { } & { \vdots \; \; } & { } & & { } & & { } & & { } & & { } & & { } \\ { x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & { a _ { n 1 } t _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { n 2 } t _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { n m } t _ { m } } & { } \end{array} } { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } } t _ { 1 } , \ldots , t _ { m } \in K \right\} .
{ \frac { 1 } { \widetilde \lambda _ { j } ^ { 2 } } } = [ ( j + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ) \pi ] ^ { - 2 } \left( \log { \frac { 2 } { \hat { \epsilon } } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 + { \frac { 2 } { 3 } } [ ( j + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ) \pi ] ^ { 2 } \left( { \frac { \log \hat { \delta } } { \log { \frac { 2 } { \hat { \epsilon } } } } } \right) ^ { 3 } + O \left( { \frac { \log \hat { \delta } } { \log { \frac { 2 } { \hat { \epsilon } } } } } \right) ^ { 5 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { p _ { x } } & { { } = } & { R e ^ { - 1 } u _ { y y } , } \\ { u _ { y } } & { { } = } & { R e \ p _ { x } y + C _ { 1 } } \\ { u } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } R e \ p _ { x } y ^ { 2 } + C _ { 1 } y + C _ { 2 } . } \end{array}
{ S _ { 1 2 } ^ { s h } } = - 4 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } s _ { 2 \delta } ^ { \dagger } s _ { 2 \gamma } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } \supset - \frac { 1 } { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } \left( \frac { 1 + 5 g _ { A } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } + \frac { 0 . 7 } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ( \omega ) = \frac { 2 \lambda \omega _ { 0 } ^ { 2 } \zeta \omega } { ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } . } \end{array}
\Delta \phi _ { \mathrm { i d e a l } } ( y = 0 , \theta _ { \mathrm { i n } } ) = \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } ( y = 0 , \theta _ { \mathrm { i n } } ) - \phi _ { \mathrm { i n } } ( y = 0 , \theta _ { \mathrm { i n } } ) = 0
\begin{array} { r l } { \biggl | \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } } & { G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) | D v _ { n } | ^ { p - 1 } | D \psi _ { \varepsilon } | d x \biggr | } \\ & { \le \alpha \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } | v _ { n } | | D v _ { n } | ^ { p - 1 } | D \psi _ { \varepsilon } | d x } \\ & { \le \alpha \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | D v _ { n } | ^ { p } \biggr ) ^ { ( p - 1 ) / p } \cdot \biggl ( \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } | v _ { n } | ^ { p } | D \psi _ { \varepsilon } | ^ { p } d x \biggr ) ^ { 1 / p } } \\ & { \le C \biggl ( \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } | v _ { n } | ^ { p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 / p ^ { * } } \biggl ( \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } | D \psi _ { \varepsilon } | ^ { N } d x \biggr ) ^ { 1 / N } } \\ & { \le C \biggl ( \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } | v _ { n } | ^ { p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 / p ^ { * } } \to 0 , } \end{array}
\frac { { \sigma } _ { 1 } ^ { \prime } ( z _ { 0 } ) - i { \sigma } _ { 2 } ^ { \prime } ( z _ { 0 } ) } { { \sigma } _ { 1 } ( z _ { 0 } ) - i { \sigma } _ { 2 } ( z _ { 0 } ) } = - \frac { 1 } { 4 z _ { 0 } } .
L ( D , { \vec { \beta } } ) = | | X { \vec { \beta } } - Y | | ^ { 2 } = ( X { \vec { \beta } } - Y ) ^ { T } ( X { \vec { \beta } } - Y ) = Y ^ { T } Y - Y ^ { T } X { \vec { \beta } } - { \vec { \beta } } ^ { T } X ^ { T } Y + { \vec { \beta } } ^ { T } X ^ { T } X { \vec { \beta } }
f ( t ) = - i \; \mathrm { ~ \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ~ } ( k ) e ^ { - i \omega _ { k } \mathrm { ~ \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ~ } ( k ) t } \int _ { - \infty } ^ { t } d \tau e ^ { i \omega _ { k } \mathrm { ~ \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ~ } ( k ) \tau } g ( \tau ) ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \| \rho ( \cdot , T ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq C \left( \| \rho ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } ^ { 2 } } & { \leq C \left( \| \rho ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \| \rho _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ^ { \star } ) } ^ { 2 } } & { \leq C \left( \| \rho ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { v \to 0 } \frac { { \underline { m } } _ { 2 } ( z ) } { v } } & { = \operatorname* { l i m } _ { v \to 0 } \frac { i \Im ( { \underline { m } } ( x + i v ) - \Im ( { \underline { m } } ( x ) ) ) } { x + i v - x } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { v \to 0 } \Im i \frac { { \underline { m } } ( x + i v ) - { \underline { m } } ( x ) } { x + i v - x } \to \Im ( i { \underline { m } } ^ { \prime } ( x ) ) = { \underline { m } } ^ { \prime } ( x ) > 0 . } \end{array}
{ \frac { d E ( k _ { 0 } ) } { d t } } = { \frac { A _ { H } } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { k _ { 0 } ^ { 4 } d k _ { 0 } } { e ^ { k _ { 0 } / T _ { H } } - 1 } } \quad ,
c _ { \ell _ { i } , \ell _ { s } } = \iint \mathcal { E } _ { p } ( r , \phi ) \mathrm { ~ e ~ } ^ { - 2 r ^ { 2 } / w _ { p } ^ { 2 } } \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { - i ( \ell _ { i } + \ell _ { s } ) \phi } \, r d r \, d \phi .
\begin{array} { r l } { F _ { c } = F } & { = \frac { k _ { c } u _ { o } } { a _ { c } + b _ { c } } \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { a _ { c } } - \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { - b _ { c } } \right\} } \\ & { = \frac { k H } { a + b } \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { a } - \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { - b } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln \frac { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = + 0 ) } { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - 0 ) } } & { { } = } & { 0 + \mathcal { O } ( \tau _ { M } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R _ { j } } ( \mathbf { q } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) ) } & { = \prod _ { l = 1 } ^ { j } \mathbf { R _ { l } ^ { l - 1 } } ( \mathbf { q _ { l } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) ) , } \\ { \mathbf { p _ { j } } ( \mathbf { q } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { j } \mathbf { R _ { l } } ( \mathbf { q } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) ) \mathbf { p _ { l } ^ { l - 1 } } , } \end{array}
\eta = \frac { 3 } { 6 4 k _ { * } v } \left[ 6 v ^ { 1 / 3 } ( v - 2 ) - 8 + ( v - 2 ) \log \frac { ( 1 - v ^ { 1 / 3 } ) ^ { 3 } } { 1 - v } + 2 \sqrt { 3 } ( 2 - v ) \tan ^ { - 1 } \frac { 2 v ^ { 1 / 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } } \right]
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \partial _ { r } M _ { \mathrm { L } } ( r , t ) = 0 , } & { { } } & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } M _ { \mathrm { L } } ( r , t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i } = } & { \boldsymbol { A _ { i } } , } \\ { \mu _ { i } = } & { \boldsymbol { \mu _ { 0 } } + \boldsymbol { \mu _ { 1 } } E _ { i } } \\ { \sigma _ { i } = } & { \sqrt { \boldsymbol { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } + \boldsymbol { \sigma _ { 1 } } ^ { 2 } E _ { i } + \boldsymbol { \sigma _ { 2 } } ^ { 2 } E _ { i } ^ { 2 } } } \\ { \gamma _ { \mathrm { L E } , i } = } & { \boldsymbol { \gamma _ { \mathrm { L E } , 0 } } + \boldsymbol { \gamma _ { \mathrm { L E } , 1 } } E _ { i } } \\ { f _ { \mathrm { L E } , i } = } & { \boldsymbol { f _ { \mathrm { L E } , 0 } } } \\ { \gamma _ { \mathrm { H E } , i } = } & { \boldsymbol { \gamma _ { \mathrm { H E } , 0 } } + \boldsymbol { \gamma _ { \mathrm { H E } , 1 } } E _ { i } } \\ { f _ { \mathrm { H E } , i } = } & { \boldsymbol { f _ { \mathrm { H E } , 0 } } } \\ { H _ { s , i } = } & { \frac { \boldsymbol { H _ { s , 0 } } } { E _ { i } ^ { 2 } } + \boldsymbol { H _ { s , 1 } } E _ { i } ^ { - 0 . 8 8 } } \end{array}
\frac { \partial R ( H , X ) } { \partial X } = - \frac { 7 X } { 2 H } + 3 H + \tau _ { 0 } H ^ { 1 - s } = H \left[ \frac 7 2 ( q + 1 ) + 3 + \tau _ { 0 } H ^ { - s } \right] \geq 0 ,
\mu ( \underline { { \sigma } } ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \rho ~ \mathbf { M } _ { \sigma _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \otimes \mathbf { M } _ { \sigma _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \otimes \ldots \otimes \mathbf { M } _ { \sigma _ { n } } ^ { ( n ) } ) ,
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } + 2 i k \frac { \partial } { \partial z } - k ^ { 2 } \right) \psi = - \mu _ { 0 } \epsilon \omega ^ { 2 } \psi . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { r a d } } ( \omega ) = { \frac { \omega ^ { 3 } n | \mu _ { 1 2 } | ^ { 2 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } } } = { \frac { 4 \alpha \omega ^ { 3 } n | \langle 1 | \mathbf { r } | 2 \rangle | ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } }