harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { h ^ { \prime } ( x ) } & { = h ( x ) \left[ { \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } } - { \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) } } \right] } \\ & { = { \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } \left[ { \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } } - { \frac { g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) } } \right] } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) } } - { \frac { f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\xi ^ { t } = \hat { \xi } ^ { t } , \; \; \; \; \; \; \xi ^ { r } = ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) \hat { \xi } ^ { r } , \; \; \; \; \; \; \xi ^ { \phi } = \frac { 1 } { r } \hat { \xi } ^ { \varphi } ,
h = \eta _ { f } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ^ { - \frac { n + 1 } { 3 n + 5 } } B ^ { \frac { 2 } { 3 n + 5 } } t ^ { \frac { 2 \alpha - n - 1 } { 3 n + 5 } } \phi ( y ) ,
\begin{array} { r } { \big ( E _ { f _ { \pm 1 } } \big [ \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ] - E _ { 0 } \big [ \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ] \big ) ^ { 2 } \leq n U ^ { 2 } B ^ { 2 + 1 / \beta } \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \exp \big ( C U ^ { 2 } \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ) \operatorname { V a r } _ { f } \big ( \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ) . } \end{array}
1 , \quad \eta _ { \mathrm { n o n } } ^ { \prime } : = \frac { \chi ^ { 8 } } { 1 + \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ( 1 + \chi ^ { 4 } ) ( 1 + \chi ^ { 8 } ) } , \quad \frac { \eta _ { \mathrm { n o n } } ^ { \prime } } { 3 } , \quad \frac { \eta _ { \mathrm { n o n } } ^ { \prime } } { 3 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \eta _ { \mathrm { n o n } } ^ { \prime } } { 9 } .
\exp \left\{ - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 4 } c _ { i j } \mathrm { \bf r } _ { i } \cdot \mathrm { \bf r } _ { j } - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 4 } d _ { i j } \hat { \mathrm { \bf k } } \cdot ( \mathrm { \bf r } _ { i } \times \mathrm { \bf r } _ { j } ) \right\} ,
n ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l } { { \frac { n - 2 } { 2 } \; \; \; \; \mathrm { f o r \; \; n \; \; e v e n } } } \\ { { \frac { n - 3 } { 2 } \; \; \; \; \mathrm { f o r \; \; n \; \; o d d } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } [ _ { 0 } ^ { C } \mathcal { D } _ { \theta } ^ { \beta } f ( \theta ) ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( \beta - n - J ( s ) ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } \bigg [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { k } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - \beta + k } \bigg ] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { + \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) - \beta ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } M ( J ( s ) - \beta ) . } \end{array}
I ^ { ( f ) } = \frac { c } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \left[ \mathbf { E } ^ { \mathrm { ( P ) } } \times \mathbf { H } ^ { \mathrm { ( P ) } } \right] \cdot \mathbf { n } _ { z } ,
\hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { y } } } \sin ( k _ { y } \cdot ( m - \frac { 1 } { 2 } ) ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger }
L = m ( \dot { x } , n ) - i m ( n _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \dot { \theta } ^ { \beta } + n _ { \alpha \beta } \chi ^ { \alpha } \dot { \chi } ^ { \beta } ) + m b ( \theta _ { \alpha } \dot { \chi } ^ { \alpha } - \chi _ { \alpha } \dot { \theta } ^ { \alpha } ) - m b \theta ^ { \alpha } n _ { \alpha \gamma } \dot { n } ^ { \gamma } { } _ { \beta } \chi ^ { \beta } + i s \frac { \bar { z } \dot { z } - z \dot { \bar { z } } } { 1 - z \bar { z } } \; ,
\nu [ A ] \; = \; \frac { e } { 4 \pi \hbar } \int d ^ { 2 } x \epsilon _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \; = \; \frac { e } { 2 \pi \hbar } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } T } ^ { \frac { 1 } { 2 } T } d t \int _ { - \frac { 1 } { 2 } { R } } ^ { \frac { 1 } { 2 } { R } } d x ( \dot { A } _ { 1 } - \partial A _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \bar { \tau } _ { n } ^ { \mathrm { X } } ] } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu ^ { \mathrm { X } } ( s ) \right\rangle ^ { p } } & { { } \leq \left\langle \mathbf { 1 } , \nu _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } \right\rangle ^ { p } + } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { L _ { 3 } v _ { . . , \lambda , l , m } } } & { { = } } & { { m v _ { . . , \lambda , l , m } , } } \\ { { L _ { \pm } v _ { . . , \lambda , l , m } } } & { { = } } & { { \sqrt { l ( l + 1 ) - m ( m \pm 1 ) } v _ { . . , \lambda , l , m \pm 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } } & { = \sum _ { y } \left[ \left( \sum _ { x } | x \rangle \langle x | \right) \otimes \langle y | \right] \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } | \left[ \left( \sum _ { x ^ { ' } } | x ^ { ' } \rangle \langle x ^ { ' } | \right) \otimes | y \rangle \right] } \\ & { = \sum _ { y } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes \langle y | \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } \left( \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { X } } \otimes | y \rangle \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { S } \rho ) ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { \gtrapprox \sum _ { \mathbf { b } } 2 w _ { \mathbf { b } } \Re ( 1 - \hat { \rho } ( \mathbf { b } ) e ^ { i \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } ^ { \prime } } ) \triangleq ( \mathcal { T } \rho ) ( \mathrm { r } ^ { \prime } ) , } \\ { \mathrm { w h e r e ~ } \hat { \rho } ( \mathbf { b } ) } & { = \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { r } ^ { \prime } } } \rho ( \mathbf { r } ) e ^ { - i \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } } \mathrm { d } \mathbf { r } = \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } \rho ( \mathbf { r } ) e ^ { - i \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } } \mathrm { d } \mathbf { r } . } \end{array}
\mathbf { K } _ { \mathrm { G a u s s } } = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { { \sqrt { \pi } } \delta _ { X } Q ^ { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 3 } { 2 c } } } & { 0 } & { { \frac { - 1 } { a } } } \\ { 0 } & { { \frac { 2 c } { a ^ { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { - 1 } { a } } } & { 0 } & { { \frac { 2 c } { a ^ { 2 } } } } \end{array} \right) } \ , \qquad \mathbf { K } _ { \mathrm { P o i s s } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 3 a } { 2 c } } } & { 0 } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 0 } & { { \frac { c } { a } } } & { 0 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } & { { \frac { c } { 2 a } } } \end{array} \right) } \ ,
{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( x ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } n ( x - c ) ^ { n - 1 } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n + 1 } ( n + 1 ) ( x - c ) ^ { n } , } \\ { \int f ( x ) \, d x } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { a _ { n } ( x - c ) ^ { n + 1 } } { n + 1 } } + k = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { a _ { n - 1 } ( x - c ) ^ { n } } { n } } + k . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i , j } c _ { i , j } \chi ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i , j } ) e ^ { i \mathbf { k } \mathbf { r } _ { i , j } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overbrace { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { x _ { 1 } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) } } & { = \overbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } } & & & \\ & { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \boldsymbol { A } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) } ^ { \mathcal { A } _ { 1 1 } } \overbrace { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } + \overbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } } & & & \\ & { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \boldsymbol { A } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) } ^ { \mathcal { A } _ { 1 2 } } \overbrace { \left( \begin{array} { l } { x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { 2 } ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } - 1 ) } } \\ & { + \underbrace { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \boldsymbol { B } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \boldsymbol { B } _ { 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) } _ { \mathcal { B } _ { 1 1 } } \underbrace { \left( \begin{array} { l } { u ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { u ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } _ { w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } + \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { B } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) } _ { \mathcal { B } _ { 1 2 } } \underbrace { u ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } _ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + A _ { p } ) \frac { d U _ { p } } { d t } - ( m + A _ { q } ) \Omega _ { r } U _ { q } } & { = ( m - \rho V ) g \cos \phi , } \\ { ( m + A _ { q } ) \frac { d U _ { q } } { d t } + ( m + A _ { p } ) \Omega _ { r } U _ { p } } & { = - ( m - \rho V ) g \sin \phi , } \\ { ( J _ { q } + D _ { q } ) \frac { d \Omega _ { r } } { d t } } & { = - U _ { p } U _ { q } ( A _ { q } - A _ { p } ) , } \\ { \frac { d \phi } { d t } } & { = \Omega _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial p _ { + } } { \partial t } } & { = } & { - \frac { \partial [ v _ { 0 } - \phi ^ { \epsilon } ( x ) ] p _ { + } } { \partial x } - \alpha p _ { + } + \alpha p _ { - } , } \\ { \frac { \partial p _ { - } } { \partial t } } & { = } & { \frac { \partial [ v _ { 0 } + \phi ^ { \epsilon } ( x ) ] p _ { - } } { \partial x } - \alpha p _ { - } + \alpha p _ { + } , } \end{array}
V ( \rho ) = u _ { 0 } ( \Lambda ) + u _ { 1 } ( \Lambda ) \left( \rho - \rho _ { 0 } ( \Lambda ) \right) + \frac { 1 } { 2 } u _ { 2 } ( \Lambda ) \left( \rho - \rho _ { 0 } ( \Lambda ) \right) ^ { 2 } + . . . ,
Y _ { 1 } \, K _ { 1 } = q ^ { - 2 } t r _ { q ( 2 ) } ( R _ { 2 1 } K _ { 2 } \hat { R } _ { 2 1 } ^ { - 1 } Y _ { 2 } R _ { 2 1 } ^ { - 1 } ) + [ 2 ] I _ { 1 } \quad ,
\begin{array} { r l } & { \nu _ { 1 } : = \nu _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( k _ { 4 } ) r _ { 2 } ( k _ { 4 } ) ) , \; \nu _ { 2 } : = \nu _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) , } \\ & { \nu _ { 3 } : = \nu _ { 3 } ( \omega ^ { 2 } i ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( i ) ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } i ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } i ) ) , } \\ & { \nu _ { 4 } : = \nu _ { 4 } ( k _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) , \quad \nu _ { 5 } : = \nu _ { 3 } ( k _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \ln ( f ( \omega k _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathbb { P } \frac { | \nabla \eta _ { 1 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } } & { = \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { B ( y , r _ { 1 } ) \setminus B ( y , r _ { 1 } / ( 1 + \delta ) ) } \mathbb { P } \lambda _ { 1 } \, d x = \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \int _ { B ( y , r _ { 1 } ) } \mathbb { P } \lambda _ { 1 } \, d x - \int _ { B ( y , r _ { 1 } / ( 1 + \delta ) ) } \mathbb { P } \lambda _ { 1 } \right) } \\ & { \leq \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \int _ { B ( y , r _ { 1 } ) } \mathbb { P } \lambda _ { 1 } \, d x - m \right) } \end{array}
{ \cal C } _ { \nu _ { j } } \, = \, \prod _ { q = 1 } ^ { b _ { j } } C _ { \nu _ { j } } \big ( s + a , \nu + \sum _ { k < j } b _ { k } \cdot e _ { k } + ( b _ { j } - q ) \cdot e _ { j } \big ) , \quad { \cal C } _ { s _ { i } } \, = \, \prod _ { q = 1 } ^ { a _ { i } } C _ { s _ { i } } \big ( s + \sum _ { k < i } a _ { k } \cdot e _ { k } + ( a _ { i } - q ) \cdot e _ { i } , \nu \big ) .
\begin{array} { r } { \mathrm C _ { N } ^ { A B } ( \gamma _ { 1 } , \dots , \gamma _ { 2 N - 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { o d d ~ } N , } \\ { ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \bigl [ \gamma _ { 2 N - k } ^ { ( k - 1 ) } - \gamma _ { N } ^ { ( N - 1 ) } \bigr ] } , } & { \mathrm { e v e n ~ } N . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , K + 1 } = \frac { \phi _ { K + 1 } p _ { \mathcal { U } } ( x _ { i } ^ { t } ) p _ { A } ^ { G } ( x _ { i } ^ { a } ) } { \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } ^ { t } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) p _ { A } ( x _ { i } ^ { a } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) + \phi _ { K + 1 } p _ { \mathcal { U } } ( x _ { i } ^ { t } ) p _ { A } ^ { G } ( x _ { i } ^ { a } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { v } _ { E \times B } = \frac { \vec { E } \times \vec { B } } { B ^ { 2 } } } \\ & { { v } _ { c } = - \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { \omega _ { c } } \vec { b } \times ( \vec { b } \cdot \nabla ) \vec { b } } \\ & { { v } _ { d i a } = T _ { e } \frac { \nabla p \times \vec { B } } { e n _ { e } B ^ { 2 } } } \end{array}
\vec { \tau } \vec { A _ { \mu } ^ { \prime } } = U ( \vec { \theta } ) \vec { \tau } \vec { A _ { \mu } } U ( \vec { \theta } ) ^ { - 1 } - \frac { i } { g } ( \partial _ { \mu } U ( \vec { \theta } ) ) U ( \vec { \theta } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { i , j , k } ^ { n + 1 / 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta V } \sum _ { r } W ( \mathbf { x } _ { r } ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } ^ { n + 1 / 2 } \Delta t ) q _ { r } , } \\ { \rho _ { i , j , k } ^ { n - 1 / 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { \Delta V } \sum _ { r } W ( \mathbf { x } _ { r } ^ { n } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } ^ { n } \Delta t ) q _ { r } , } \\ { \delta ^ { n } \rho } & { = } & { \rho ^ { n + 1 / 2 } - \rho ^ { n - 1 / 2 } } \end{array}
G ( x , x ^ { \prime } ) = \frac 1 { m _ { \chi } ^ { 2 } \sqrt { - g } } \delta ( x - x ^ { \prime } ) - \frac 1 { m _ { \chi } ^ { 2 } } \frac 1 { \sqrt { - g } } \partial _ { \mu } \sqrt { - g } \partial ^ { \mu } G ( x , x ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r l } { { 4 } } & { \kappa _ { \alpha } ^ { ( i ) } } & & { \neq 0 : \; \, \Gamma _ { \alpha } \supset \Gamma _ { A } } \\ & { \lambda _ { \alpha } ^ { ( i , j ) } } & & { \neq 0 : \; \, \Gamma _ { \alpha } \otimes \Gamma _ { i } \otimes \Gamma _ { j } \supset \Gamma _ { A } } \\ & { \gamma _ { \alpha , \beta } ^ { ( i ) } } & & { \neq 0 : \; \, \Gamma _ { \alpha } \otimes \Gamma _ { \beta } \supset \Gamma _ { A } } \\ & { \mu _ { \alpha , \beta } ^ { ( i , j ) } } & & { \neq 0 : \; \, \Gamma _ { \alpha } \otimes \Gamma _ { \beta } \otimes \Gamma _ { i } \otimes \Gamma _ { j } \supset \Gamma _ { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } ( W ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { y } } \operatorname* { m i n } ( } & { W ( \mathbf { y } | U _ { 1 } = 1 ) , W ( \mathbf { y } | U _ { 1 } = 0 ) ) } \\ { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { y } _ { - 1 } } \sum _ { y _ { 1 } \in \mathcal { Y } } \operatorname* { m i n } ( } & { W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , Y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 0 ) , W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 1 ) ) } \\ { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { y } _ { - 1 } } \Big ( \sum _ { y _ { 1 } \in \mathcal { Y } _ { a } } \operatorname* { m i n } ( } & { W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , Y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 0 ) , W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 1 ) ) } \\ { + \sum _ { y _ { 1 } \in \mathcal { Y } _ { a } ^ { \prime } } \operatorname* { m i n } ( } & { W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , Y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 0 ) , W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 1 ) ) } \\ { + \sum _ { y _ { 1 } \in \mathcal { Y } _ { s } } \operatorname* { m i n } ( } & { W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , Y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 0 ) , W ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } ^ { N _ { 2 } } = \mathbf { y } _ { - 1 } | 1 ) ) \Big ) } \\ { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { y } _ { - 1 } } \sum _ { a \in \mathcal { Y } _ { a } \cup \mathcal { Y } _ { s } } \big [ \operatorname* { m i n } ( } & { A _ { a \vert 0 } , A _ { a \vert 1 } ) + \operatorname* { m i n } ( A _ { g ( a ) \vert 0 } , A _ { g ( a ) \vert 1 } ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { * } } & { { } = \sum _ { i < j } \frac { p _ { i j } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } , } \\ { \sum _ { i < j } w _ { i j } ^ { * } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } } & { { } = \sum _ { i < j } \frac { p _ { i j } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } . } \end{array}
{ \cal F } = ( R ^ { A B } + { \frac { k } { l ^ { 2 } } } e ^ { A A ^ { \prime } } \wedge e ^ { B } { } _ { A ^ { \prime } } , ~ ~ { \frac { 1 } { l ^ { 2 } } } D ( e ^ { A A ^ { \prime } } \wedge e ^ { B } { } _ { A ^ { \prime } } ) ) M _ { A B } + c . c .
\begin{array} { r l } { { \mathcal C } _ { 0 } ^ { + } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \lambda < \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \mu < - \mu _ { 1 } ^ { + } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 1 } ^ { + } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda > \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \mu < - \mu _ { 1 } ^ { + } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda \in \mathbb { R } , \, \, \mu = - \mu _ { 1 } ^ { + } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda < \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, - \mu _ { 1 } ^ { + } < \mu < - \mu _ { 1 } ^ { - } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 2 } ^ { + } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda > \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, - \mu _ { 1 } ^ { + } < \mu < - \mu _ { 1 } ^ { - } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda \in \mathbb { R } , \, \, \mu = - \mu _ { 1 } ^ { - } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \lambda < \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \, \, \mu > - \mu _ { 1 } ^ { - } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 3 } ^ { + } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \lambda > \frac { 8 ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu + \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \, \, \mu > - \mu _ { 1 } ^ { - } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y ^ { k + 1 } } & { = } & { \frac { A _ { k } y ^ { k } + \alpha _ { k + 1 } z ^ { k + 1 } } { A _ { k + 1 } } = \frac { A _ { k } y ^ { k } + \alpha _ { k + 1 } z ^ { k } } { A _ { k + 1 } } + \frac { \alpha _ { k + 1 } } { A _ { k + 1 } } \left( z ^ { k + 1 } - z ^ { k } \right) = x ^ { k + 1 } + \frac { \alpha _ { k + 1 } } { A _ { k + 1 } } \left( z ^ { k + 1 } - z ^ { k } \right) . } \end{array}
- i \partial _ { t _ { 2 } } { \bf G } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = { \bf G } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) { \bf F } [ \rho ( t _ { 2 } ) ] + { \bf I } _ { \beta } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) ~ ,
E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \phi \, \eta \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \phi | ^ { 2 } } { 1 + \epsilon R } \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, , \qquad \phi \, = \, \mathrm { B S } ^ { \epsilon } [ \eta ] \, .
\begin{array} { l } { { \vert 0 , z \rangle _ { 0 } = \displaystyle \exp _ { q ^ { - 1 } } ( - \frac { 1 } { 2 } | q z | ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - q z ) ^ { m } } { [ m ] _ { q ^ { - 1 } } ! } ( { \cal D } _ { 0 } ) ^ { m } \vert 0 \rangle _ { 0 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ { \cal X } ^ { 0 } \vert 0 \rangle _ { 0 } = 0 ~ , } } \\ { { { \cal X } ^ { 0 } \vert 0 , z \rangle _ { 0 } = z \vert 0 , z \rangle _ { 0 } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 i } + A _ { 0 r } } & { = } & { A _ { 0 t } , } \\ { A _ { 0 i } - A _ { 0 r } } & { = } & { A _ { 0 t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 t } , } \\ { \mu _ { 0 } \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \theta _ { i } \cos \overline { { \theta } } _ { t } } & { = } & { \mu \left( \overline { { A } } _ { 0 i } - \overline { { A } } _ { 0 r } \right) \cos \theta _ { i } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \end{array}
{ _ { - \infty } } ^ { C } D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { ( \alpha , { \lambda } ) } ~ ~ \overline { { U ^ { + } } } = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { - \infty } ^ { x _ { j } ^ { + } } ( x _ { j } ^ { + } - \zeta ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } { e ^ { - \lambda \frac { | x _ { j } ^ { + } - \zeta | } { R e _ { \tau } } } } \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d x _ { j } ^ { + } } d \zeta
H = - { { J } _ { 1 } } \sum _ { \langle i j \rangle } { { { \sigma } _ { i } } } { { \sigma } _ { j } } - { { J } _ { 2 } } \sum _ { \langle \langle i j \rangle \rangle } { { { \sigma } _ { i } } } { { \sigma } _ { j } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Gamma ^ { + } } \ln \left| \frac { \mu - \bar { \lambda } } { \mu - \lambda } \right| f ( \mu ) | \mathrm { d } \mu | + \sigma ( \lambda ) f ( \lambda ) = \mathrm { I m } \lambda , } \\ & { \int _ { \Gamma ^ { + } } \ln \left| \frac { \mu - \bar { \lambda } } { \mu - \lambda } \right| v ( \mu ) | \mathrm { d } \mu | + \sigma ( \lambda ) v ( \lambda ) = - 4 \mathrm { I m } \lambda \, \mathrm { R e } \lambda , } \end{array}
\Phi = ( { \Phi _ { q q ^ { \prime } } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \eta } { \sqrt { 6 } } } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \eta } { \sqrt { 6 } } } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { \bar { K } ^ { 0 } } } & { { - \frac { 2 \eta } { \sqrt { 6 } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { i \partial _ { t } \alpha _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) + \sum _ { m } \alpha _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \langle \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | i \partial _ { t } \lvert \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { = \langle \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | H _ { V G } ( t ) \left[ \sum _ { m } \alpha _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \lvert \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle \right] = E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \alpha _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) . } \end{array}
T _ { E N } ^ { ( 2 ) } ( \hat { r } \rightarrow \infty ) \approx [ c _ { 1 } \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( b - a ) } { \Gamma ( b ) \Gamma ( c - a ) } + c _ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( b - a ) } { \Gamma ( b - c + 1 ) \Gamma ( 1 - a ) } ] e ^ { - ( 1 + 2 i \lambda ) \log \hat { r } } .