harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\varepsilon = \left[ \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 3 } , \varepsilon _ { 4 } , \varepsilon _ { 5 } \right] = [ 3 . 5 , \ 1 . 5 , \ 1 . 5 , \ 3 . 5 , \ 1 . 5 ]
\delta ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { i m p } v _ { i m p } t - \frac { e ^ { 2 } \sigma _ { i m p } ^ { 2 } } { 4 \epsilon _ { 0 } m _ { e } } t ^ { 2 } } & { ( 0 \leq t < t _ { r e t } ) } \\ { \frac { \epsilon _ { 0 } m _ { e } v _ { i m p } ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } } & { ( t \geq t _ { r e t } ) } \end{array} \right. ,
\Psi _ { c } ( x , t ) = \left[ \frac { \Delta \hat { q } \Gamma ( 1 / 4 ) } { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \exp \left\{ - \frac { ( x - \langle \hat { q } \rangle ) ^ { 4 } } { 8 ( \Delta \hat { q } ) ^ { 4 } } + \frac { i } { \hbar } \left( \langle \hat { p } \rangle x - \frac { 1 } { 2 } \langle \hat { q } \rangle \langle \hat { p } \rangle \right) \right\} \; .
( \tilde { a } _ { 1 1 } , \tilde { a } _ { 2 2 } , \tilde { a } _ { 1 } ) ( ( \hat { p } _ { 1 } , - \hat { p } _ { 2 } ) , ( x _ { 1 } , 0 ) ) = ( \tilde { a } _ { 1 1 } , \tilde { a } _ { 2 2 } , \tilde { a } _ { 1 } ) ( ( \hat { p } _ { 1 } , \hat { p } _ { 2 } ) , ( x _ { 1 } , 0 ) ) \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \operatorname* { i n f } _ { G , G _ { * } } { \left\{ \frac { \| p _ { G } - p _ { G _ { * } } \| _ { \infty } } { \mathcal { D } ( G , G _ { * } ) } : \ \mathcal { D } ( G , \overline { { G } } ) \vee \mathcal { D } ( G _ { * } , \overline { { G } } ) \leq \epsilon \right\} } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { = \left\lvert \langle \{ v \} _ { i } , N _ { i } , K _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert \{ v \} _ { j } , N _ { j } , K _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \\ & { = \left\lvert \langle \{ v \} _ { i } \lvert \mu \lvert \{ v \} _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } \left\lvert \langle N _ { i } , K _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert N _ { j } , K _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \\ & { \equiv S _ { i j } ^ { \mathrm { v i b } } S _ { i j } ^ { \mathrm { r o t } } , } \end{array}
Z _ { o s c } ( \alpha , L ) = \pi ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t t ^ { - 4 } \frac { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } e ^ { i \alpha / 2 } ) ^ { 4 } ( 1 - q ^ { 2 n } e ^ { - i \alpha / 2 } ) ^ { 4 } } { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) ^ { 6 } ( 1 - q ^ { 2 n } e ^ { i \alpha } ) ( 1 - q ^ { 2 n } e ^ { - i \alpha } ) } \exp \left( - { \frac { L ^ { 2 } } { 4 \pi t } } \right) ,
Z _ { r } = Z _ { r } ^ { ( 0 ) } + Z _ { r } ^ { ( 1 ) } + \cdots = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( T _ { i } + \overline { { T } } _ { i } ) ^ { n _ { r } ^ { i } } + Z _ { r } ^ { ( 1 ) } + \cdots = \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( T _ { i } + \overline { { T } } _ { i } ) ^ { n _ { r } ^ { i } } \left( 1 + { \cal O } ( g _ { s } ^ { 2 } ) + \cdots \right)
f _ { \perp } = \frac { 1 } { \pi A v _ { t \perp } ^ { 2 } } \exp \Big [ - \frac { ( \sqrt { ( v _ { x } - v _ { d x } ) ^ { 2 } + ( v _ { y } - v _ { d y } ) ^ { 2 } } - v _ { d r } ) ^ { 2 } } { v _ { t \perp } ^ { 2 } } \Big ] ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { a } { h } \right) _ { c } = } & { { } N ^ { - 1 } \Phi \left( N ^ { \alpha } \varepsilon \right) , } \\ { \left( \frac { a } { h } \right) _ { c } ^ { * } = } & { { } N ^ { - 1 } \Phi ^ { * } \left( \varepsilon \right) , } \end{array}
C _ { m } ^ { l } ( \tau ) = \sqrt { \frac { \tau } { i k ( k + 2 ) } } \sum _ { l ^ { ' } = 0 } ^ { k } \sum _ { m ^ { ' } = - k + 1 } ^ { k } \mathrm { e } ^ { i \pi m m ^ { ' } / k } \sin \left[ \frac { \pi ( l + 1 ) ( l ^ { ' } + 1 ) } { k + 2 } \right] C _ { m ^ { ' } } ^ { l ^ { ' } } ( - 1 / \tau )
\begin{array} { r l } { h ( x ) } & { = - 2 F _ { 1 } \left( - \frac { r } { 2 } , \frac { 2 - r - d } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; x ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 \tau } x ^ { 2 } , } \\ { \tilde { h } ( x ) } & { = - 2 F _ { 1 } \left( - t \frac { r } { 2 } , \frac { 2 - r - d } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) x ^ { r } + \frac { 1 } { 2 \tau } x ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { f _ { \infty } = } & { { } \omega _ { 1 } ( 1 ) - \int _ { 1 } ^ { \infty } \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } ( s ) \cdot \nabla _ { z , y } \omega _ { 1 } ( s ) d s + \int _ { 1 } ^ { \infty } u ^ { \prime \prime } \partial _ { z } \psi _ { 1 } ( s ) d s } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { s _ { 1 } } & { { } = 1 . 8 3 8 1 0 7 0 9 9 4 0 \times 1 0 ^ { - 5 } , } & { \quad \chi ( s _ { 1 } ) } & { { } = - 7 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } , } \\ { s _ { 2 } } & { { } = 1 . 7 2 6 2 5 9 0 2 8 8 6 \times 1 0 ^ { - 4 } , } & { \quad \chi ( s _ { 2 } ) } & { { } = 4 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} \le ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \wedge t \Big ) } \\ & { \Big [ 2 c _ { s } c _ { l } ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | ) \| z ^ { s } \| + \frac { 1 } { 2 r _ { 0 } n } ( c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n + \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } + c _ { l } \| z ^ { s } \| ^ { 2 } ) \Big ] , } \end{array}
\mathcal { U } _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \forall x } \\ { u _ { 0 } ( x ) = 0 . 9 \quad \mathrm { i f ~ x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad u _ { 0 } ( x ) = 0 . 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \\ { p _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { i f ~ x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad p _ { 0 } ( x ) = 1 0 . 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { H } _ { j } ( \mathcal { P E } ^ { \downarrow } ( b , L , k ) ) _ { s , t } } & { = H _ { j + 1 } \left( \mathrm { C o n e } \left( ( \mathcal { E } ^ { \downarrow } ( b , L , k ) \oplus \{ 0 \} ) ^ { \preceq ( s , t ) } \to \{ 0 \} \right) \right) } \\ & { = H _ { j } ( ( \mathcal { E } ^ { \downarrow } ( b , L , k ) \oplus \{ 0 \} ) ^ { \preceq ( s , t ) } ) . } \end{array}
T = 1 - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { \beta I _ { 0 } \big ( 1 - R \big ) L _ { e f f } } { 1 + \left( \frac { d _ { s } - f } { z _ { 0 } ( f ) } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \eta } \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \operatorname* { m i n } _ { v \in \mathbb { R } ^ { d } } ( 1 - \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathcal E _ { K } ( \tilde { \eta } ) + \nabla V _ { K , \nu } ( p ) ^ { \mathrm { T } } v , } \\ & { \; \mathrm { s . t . } \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tilde { \eta } ( x ) = 1 , \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } x \, \mathrm { d } \tilde { \eta } ( x ) = 0 , \quad \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | V _ { t } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } \Big ) \lesssim \varepsilon ^ { \infty } , } \\ & { \mathbf { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | \geq \varepsilon ^ { 1 - \delta } \Big ) \lesssim \varepsilon ^ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } | v ( x ) | e ^ { a x } d x \right) ^ { 2 } } & { = \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } | v _ { 0 } ( x ) u ( x ) | e ^ { a x } d x \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { 0 } } v _ { 0 } ( x ) ^ { 2 } e ^ { 2 a x } d x \leq \int _ { \Omega _ { 0 } } v _ { 0 } ( x ) ^ { 2 } e ^ { 2 a x } d x . } \end{array}
F ( h ) = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } h ( ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } ) h ( k ^ { t } t ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { x } , t ) = \mu ( I _ { k , - b } ) + \mu ( \Pi _ { k , - b } ^ { x } ) + \mu ( \Pi _ { k , - b } ^ { t } ) + \mu ( H _ { k , - b } ) = 0 .
\left( P ^ { 2 } - m ^ { 2 } - \frac { e } { 2 } \sigma ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \right) \phi ( x ) = 0 \; , \; \; \; F _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } \; , \; \sigma ^ { \mu \nu } = \frac { i } { 2 } [ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } ] \; .
\begin{array} { r } { \mathbf { R } = \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { \dagger } = \mathcal { F } \cdot \left[ \begin{array} { l l } { \cos \beta } & { - \sin \beta } \\ { \sin \beta } & { \cos \beta } \end{array} \right] } \\ { \implies \lvert a _ { 1 } \cdot b _ { 1 } \rvert = \lvert a _ { 2 } \cdot b _ { 2 } \rvert . } \end{array}
\left\langle { { u _ { 1 } } } \right\rangle = \frac { { \Delta U } } { 2 } \left[ { \operatorname { t a n h } \left( { \frac { { { x _ { 2 } } } } { { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } } } \right) - \operatorname { t a n h } \left( { \frac { { { x _ { 2 } } + { L _ { 2 } } / 2 } } { { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } } } \right) - \operatorname { t a n h } \left( { \frac { { { x _ { 2 } } - { L _ { 2 } } / 2 } } { { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } } } \right) } \right] , \; \mathrm { { f o r } } \; - \frac { L _ { 2 } } { 2 } \le { x _ { 2 } } \le \frac { L _ { 2 } } { 2 } ,
{ \cal L } _ { 4 } = + a _ { 1 } \mathrm { T r } \left[ \partial _ { \rho } U \partial ^ { \rho } U ^ { \dagger } \right] \, \mathrm { T r } \left[ A _ { \nu } A ^ { \nu } \right] + a _ { 2 } \mathrm { T r } \left[ \partial _ { \rho } U \partial _ { \nu } U ^ { \dagger } \right] \, \mathrm { T r } \left[ A ^ { \rho } A ^ { \nu } \right] \ ,
\int d ^ { 4 } x \psi _ { [ \omega , \frac { l + 1 } { 2 } , \frac { l } { 2 } , m m ^ { \prime } ] } ^ { \dagger } ( x ) \psi _ { k _ { x } , + } ( x ) = ( 2 \pi ) \delta ( \omega - k ^ { 0 } ) \cdot f _ { \frac { l + 1 } { 2 } , \frac { l } { 2 } , m m ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( X , Y ) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { X - 3 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { Y } \\ { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 3 Y } & { Y } & { Y } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { 0 } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { 0 } & { X - 2 Y } \end{array} \right) } \\ { T _ { 2 } ( X , Y ) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { X - 3 Y } & { Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } \\ { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { Y } & { Y } & { X - 3 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } & { Y } \\ { Y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Y } & { X - 2 Y } \end{array} \right) } \end{array}
\vert \psi \rangle = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } \omega _ { s } \, \mathrm { d } \omega _ { i } f ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) \hat { a } _ { s } ^ { \dag } ( \omega _ { s } ) \hat { a } _ { i } ^ { \dag } ( \omega _ { i } ) \vert 0 \rangle \vert 0 \rangle ,
Y _ { L } ^ { \alpha \beta } ( { \tilde { x } _ { L } } , { \tilde { \theta } } ) = { { \tilde { x } _ { L } } ^ { \alpha \beta } } + \frac { 1 } { 4 } \left( { { \tilde { \theta } } ^ { \alpha } } \psi ^ { \beta } ( { \tilde { x } _ { L } } , { \tilde { \theta } } ) + \alpha \leftrightarrow \beta \right) ,
{ \Gamma ^ { m } } _ { \alpha } { } ^ { \beta } \equiv [ { \Gamma ^ { M } } _ { \alpha } { } ^ { \beta } , i { \Gamma ^ { 1 1 } } _ { \alpha } { } ^ { \beta } ] , \qquad m = 0 , \dots , 1 0 ; \quad \alpha = 1 , \dots , 3 2 ,
S ( \overline { { Q } } | P ) = - \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) \ln Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) d \mathbf { W }
\begin{array} { r } { \bar { \kappa } _ { 1 } ( x , y ) : = ( 2 y / ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ) \big ( X _ { 0 } + \textstyle \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \big ) , \quad \bar { \kappa } _ { 2 } ( x , y ) : = y ^ { - 1 } \left( ( ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) / 2 ) ( X _ { 0 } ^ { \prime } / x ) - \big ( X _ { 0 } + \textstyle \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \big ) \right) . } \end{array}
u _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , 0 ) = \frac { r ^ { \gamma _ { p } } } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } \left( 1 - \frac { \gamma _ { p } ( 1 + r ) } { 1 + r ^ { \gamma _ { p } } } \right) > 0 \; ,
R _ { \mu \nu \rho \sigma } R ^ { \mu \nu \rho \sigma } = \lambda _ { s } ^ { 2 } \, ( \gamma _ { 2 } + \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { s } ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 4 \, ( 1 - \lambda _ { s } ) ^ { 2 } } { r _ { s } ^ { 4 } } + { \cal { O } } ( r - r _ { s } )
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \ } & { \mathbb P \bigg ( \bigg \{ \omega \in \Omega : \frac { 1 } { n } \# \bigg \{ 0 \leq } & & { k < n : } \\ & { } & & { \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \mathbf P _ { i = k } \left( H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) , x , i } ) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime \prime } \right) > p _ { 1 } \bigg \} \geq 1 - 2 \varepsilon \bigg \} \bigg ) } \\ & { = 1 . } & & { } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 2 } Q _ { s } } & { = 1 2 5 + 1 . 5 \cdot P } \\ { Q _ { d } } & { = 1 8 9 - 2 . 2 5 \cdot P } \\ { Q _ { s } } & { = Q _ { d } } \\ { 1 2 5 + 1 . 5 \cdot P } & { = 1 8 9 - 2 . 2 5 \cdot P } \\ { ( 1 . 5 + 2 . 2 5 ) \cdot P } & { = ( 1 8 9 - 1 2 5 ) } \\ { P } & { = { \frac { 1 8 9 - 1 2 5 } { 1 . 5 + 2 . 2 5 } } } \\ { P } & { = { \frac { 6 4 } { 3 . 7 5 } } } \\ { P } & { = 1 7 . 0 6 7 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { a } _ { s } } { \partial z } ( \vec { w } _ { s } , z ) } & { = \chi \int \frac { d ^ { 3 } \vec { w } _ { p } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \hat { a } _ { p } ( \vec { w } _ { p } , z ) \hat { a } _ { s } ^ { \dagger } ( \vec { w } _ { p } - \vec { w } _ { s } , z ) e ^ { - i \mathcal D ( \vec { w } _ { s } , \vec { w } _ { p } - \vec { w } _ { s } ) z } } \\ { \frac { \partial \hat { a } _ { p } } { \partial z } ( \vec { w } _ { p } , z ) } & { = - \frac { \chi } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } \vec { w } _ { s } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \hat { a } _ { s } ( \vec { w } _ { s } , z ) \hat { a } _ { s } ( \vec { w } _ { p } - \vec { w } _ { s } , z ) e ^ { i \mathcal D ( \vec { w } _ { s } , \vec { w } _ { p } - \vec { w } _ { s } ) z } } \end{array}
\Gamma _ { i r } = \Gamma _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \Gamma _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { l o s s } } + \Gamma _ { t } ^ { \mathrm { c o n f } } + \Gamma _ { t } ^ { \mathrm { l o s s } } ,
D _ { i , n } = - a \left[ \delta _ { n - 1 } + \frac { \delta _ { \mathrm { B } , n } + \delta _ { \mathrm { R } , n } } { 2 } \right] \left[ 1 + a ^ { \prime } ( \delta _ { \mathrm { B } , n } - \delta _ { \mathrm { R } , n } ) \right] .
\begin{array} { r l r } { f ( x ^ { t + 1 } ) } & { \leq } & { f ( x ^ { t } ) + \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \rangle + \frac { L } { 2 } \| x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { f ( x ^ { t } ) - \gamma \Vert \nabla f ( x ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla f ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { f ( x ^ { t } ) - \frac { \gamma } { 2 } \left( 2 - L \gamma \right) \Vert \nabla f ( x ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { f ( x ^ { t } ) - \frac { \gamma } { 2 } \Vert \nabla f ( x ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
W _ { n } ^ { ( + ) } ( a \pm i \epsilon ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { e } ^ { - t } \, \{ \mathrm { R e } [ w ^ { n } ( t a ) ] + i \, \mathrm { I m } [ w ^ { n } ( t a ) ] \} \, \mathrm { d } t \, ,
{ I ^ { A _ { 1 } . . . A _ { n } } } _ { B _ { 1 } . . . B _ { k } } = \int d \eta d C E ^ { A _ { 1 } } . . . E ^ { A _ { n } } C _ { B _ { 1 } } . . . C _ { B _ { k } } e ^ { i E ^ { A } C _ { A } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { j } R _ { t _ { j } + 1 } = } & { \operatorname* { l i m } _ { j } X T ( \Phi _ { t _ { j } } ) ^ { T } ( T ( \Phi _ { t _ { j } } ) T ( \Phi _ { t _ { j } } ) ^ { T } ) ^ { \dagger } } \\ { = } & { X T ( \Phi ^ { * } ) ^ { T } ( T ( \Phi ^ { * } ) T ( \Phi ^ { * } ) ^ { T } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { ( 1 - p ) ^ { 2 } } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 2 } + \frac { 2 p ^ { 2 } } { 2 p - 1 } + \frac { ( m - 2 ) p } { 2 p - 1 } + \frac { ( 1 - p ) ^ { 2 } } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 2 } - 1 \right) } \\ & { \qquad + \frac { p ( p - 1 ) } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } + \frac { p ( p - 1 ) } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( 1 - \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } \right) = \frac { 1 } { \pi _ { m } } , } \end{array}
\left. \delta m \right\vert _ { P V } = \left. \delta m \right\vert _ { d i m } - \left. \delta m \right\vert _ { d i m , \mid \mu _ { r e g } \mid \to \infty } = \left. \delta m \right\vert _ { d i m } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } s i g n ( \mu _ { r e g } ) \ .
\begin{array} { r l r l } & { y _ { t } ( l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) ) } & { = } & { y _ { t } ( v _ { 0 } ) + y _ { t } ( v _ { 0 } ^ { \prime } ) ; } \\ & { x _ { t , l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) } ( l _ { 1 } ( a _ { 0 } , a _ { 0 } ^ { \prime } , l _ { 2 } ( v _ { 0 } , v _ { 0 } ^ { \prime } , t ) , t ) ) } & { = } & { x _ { t , v _ { 0 } } ( a _ { 0 } ) + x _ { t , v _ { 0 } ^ { \prime } } ( a _ { 0 } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \delta e _ { \mu } ^ { i } } } & { { = } } & { { \varepsilon ^ { i j } e _ { \mu j } \zeta + e _ { \nu } ^ { i } \partial _ { \mu } \xi ^ { \nu } + ( \partial _ { \nu } e _ { \mu } ^ { i } ) \xi ^ { \nu } , } } \\ { { \delta \omega _ { \mu } } } & { { = } } & { { - \partial _ { \mu } \zeta + \omega _ { \nu } \partial _ { \mu } \xi ^ { \nu } + ( \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ) \xi ^ { \nu } , } } \\ { { \delta \varphi } } & { { = } } & { { ( \partial _ { \mu } \varphi ) \xi ^ { \mu } , } } \\ { { \delta \varphi _ { i } } } & { { = } } & { { \varepsilon _ { i j } \varphi ^ { j } \zeta + ( \partial _ { \nu } \varphi _ { i } ) \xi ^ { \nu } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { x \, \in \, [ 0 , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \notin \, [ 0 , \widehat { x } _ { - } ) \, , } \\ & { x \, \in \, [ \widehat { x } _ { - } , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \notin \, [ 0 , \widehat { x } _ { c } ) \, , } \\ & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \in \, [ 0 , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { x \, \notin \, [ \widehat { x } _ { + } , \infty ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { \mathrm { a b s } } = \frac { P _ { \mathrm { a b s } } ^ { \, \prime } } { P _ { \mathrm { a b s } } } = \frac { P _ { B } } { P _ { G } } \times \frac { \int _ { A _ { p } } \vert u _ { B } ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } d ^ { 2 } \mathbf { r } } { \int _ { A _ { p } } \vert u _ { G } ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } d ^ { 2 } \mathbf { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathscr { z } \rangle _ { E } } & { { } \approx 2 7 \times 0 . 4 4 + 0 \times 0 . 1 2 + 2 7 \times 0 . 4 4 \approx 2 4 } \\ { \langle \mathscr { z } ^ { 2 } \rangle _ { E } } & { { } \approx 2 7 ^ { 2 } \times 0 . 4 4 + 0 ^ { 2 } \times 0 . 1 2 + 2 7 ^ { 2 } \times 0 . 4 4 \approx 6 4 2 } \\ { \langle \mathscr { x } ^ { 2 } \mathscr { z } \rangle _ { E } } & { { } \approx \left( - \sqrt { 7 2 } \right) ^ { 2 } \times 2 7 \times 0 . 4 4 + 0 ^ { 3 } \times 0 . 1 2 + \left( \sqrt { 7 2 } \right) ^ { 2 } \times 2 7 \times 0 . 4 4 \approx 1 7 1 1 . } \end{array}
u _ { \textup I } ( { \bf x } ) = U \sqrt { \frac { w _ { 0 } } { w ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } } \mathrm { E x p } \left[ \frac { - ( { \bf p } \cdot { \bf x } ) ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } - \mathrm { i } \, { \bf k } \cdot { \bf x } - \mathrm { i } \, \beta \frac { ( { \bf p } \cdot { \bf x } ) ^ { 2 } } { 2 R ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } + \mathrm { i } \frac { \eta ( { \bf m } \cdot { \bf x } ) } { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l } { K _ { S } ( l ^ { \prime } , l ) } & { { } = \frac { z } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( l ^ { \prime } - a ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { l ^ { \prime } - l _ { s } } { \sigma _ { s } } \right) ^ { 2 } } } \\ { K _ { A } ( l ^ { \prime } , l ) } & { { } = \frac { 2 z } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( 2 l ^ { \prime } - l - a ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { l ^ { \prime } - l _ { s } } { \sigma _ { s } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\int d t \; { \cal L } = \int d t \; \left[ \, \frac { 1 } { 2 } D _ { t } X _ { i } ^ { a } D _ { t } X _ { i } ^ { a } - \frac { 1 } { 4 } ( \epsilon ^ { a b c } X _ { i } ^ { b } X _ { j } ^ { c } ) ^ { 2 } + \frac { i } { 2 } \tilde { \psi } ^ { a } D _ { t } \psi ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } X _ { i } ^ { a } K _ { i } ^ { a } \right] ,
\frac { 1 } { 2 } ( S , S ) ^ { a } + \int d x \varepsilon ^ { a b } \Phi _ { A b } ^ { * } \frac { \delta } { \delta { \bar { \Phi } } _ { A } } S = 0 , \quad \varepsilon ^ { a b } = - \varepsilon ^ { b a } , \quad \varepsilon _ { a b } \varepsilon ^ { b c } = \delta _ { a } ^ { c } , \quad \varepsilon _ { 1 2 } = \varepsilon ^ { 2 1 } = 1 ,
{ X ^ { i _ { 1 } A _ { 1 } i _ { 2 } A _ { 2 } \ldots i _ { K } A _ { K } } } _ { p _ { 1 } B _ { 1 } p _ { 2 } B _ { 2 } \ldots p _ { L } B _ { L } } = a ^ { i _ { 1 } A _ { 1 } } a ^ { i _ { 2 } A _ { 2 } } \ldots a ^ { i _ { K } A _ { K } } a _ { p _ { 1 } B _ { 1 } } a _ { p _ { 2 } B _ { 2 } } \ldots a _ { p _ { L } B _ { L } }
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nabla \cdot { \pmb \sigma } ( { \pmb x } ) = \mu \Delta { \pmb v } ( { \pmb x } ) - \nabla s ( { \pmb x } ) = - { \pmb \psi } ( { \pmb x } ) } \\ { \nabla \cdot { \pmb v } ( { \pmb x } ) = 0 \qquad { \pmb x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) = { \pmb u } ( { \pmb x } ) \qquad { \pmb x } \rightarrow \infty } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } \sim { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G C } } ) + { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } ) . } \end{array}
M = 3 D \int d ^ { 2 } k ( a ^ { + } ( k ) { \frac { 1 } { i } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } a ( k ) + b ^ { + } ( k ) { \frac { 1 } { i } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } b ( k ) ) + { \frac { m } { \mid = m \mid } } \int d ^ { 2 } k ( a ^ { + } ( k ) a ( k ) - b ^ { + } ( k ) b ( k ) ) ,