harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \mathrm { S u b j e c t ~ t o : ~ } } \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { t } } \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } E [ y _ { i } ( \tau ) ] \leq 0 { \mathrm { } } \forall i \in \{ 1 , \ldots , K \}
n \left( \mathrm { H _ { 2 } ^ { + } } \right) = \frac { \zeta \, n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) } { k _ { \mathrm { f o r m } } \, n \left( \mathrm { H } _ { 2 } \right) + \alpha ^ { \mathrm { H _ { 2 } ^ { + } } } \, n \left( e ^ { - } \right) } .
\frac { D q _ { v s } } { D t } = \frac { \epsilon } { p } \frac { L e _ { s } } { R _ { v } T ^ { 2 } } \left( \kappa \nabla ^ { 2 } T - \frac { g } { c _ { p } } w + \frac { L } { c _ { p } } C _ { d } \right) .
\mathcal { V } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) = q _ { \alpha } q _ { \beta } \frac { \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } } { | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { r } _ { 2 } | ^ { 3 } } \boldsymbol { \cdot } \left( \frac { 1 } { m _ { \alpha } } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 1 } } - \frac { 1 } { m _ { \beta } } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { v } _ { 2 } } \right) .
\frac { \Delta \Gamma _ { H _ { Q } } } { \Gamma _ { H _ { Q } } } \; = \; - \frac { 4 \pi } { N _ { c } } \, \langle 0 | { m _ { u } \bar { u } u + m _ { d } \bar { d } d } | 0 \rangle \frac { m _ { Q } m _ { c } } { ( m _ { Q } ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; .
| \epsilon \cdot J | _ { \bot } ^ { 2 } = { \frac { | \Delta \vec { \beta } | ^ { 2 } } { 2 q _ { 0 } ^ { 2 } } } \int { \frac { d \Omega } { 4 \pi } } \left( { \frac { Q _ { a } ( \beta - \cos \theta ) } { ( 1 - \beta \cos \theta ) ^ { 2 } } } + { \frac { Q _ { b } ( \beta + \cos \theta ) } { ( 1 + \beta \cos \theta ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } .
\hat { H } _ { 2 } ^ { \mathrm { ( q u b i t ) } } = \left( \begin{array} { l l l l } { \tilde { \omega } _ { A } } & { V _ { 1 } } & { V _ { 2 } } & { 0 } \\ { V _ { 1 } } & { \tilde { \omega } _ { D _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { V _ { 2 } } & { 0 } & { \tilde { \omega } _ { D _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
m _ { i \backslash j } ^ { t } = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { t _ { i } = 0 } ^ { t } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) \left[ \prod _ { r = 0 } ^ { t _ { i } - 2 } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { r } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { r } \nu _ { k i } ^ { r } } \right] \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { t _ { i } - 1 } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t _ { i } - 1 } \nu _ { k i } ^ { t _ { i } - 1 } } \right] \prod _ { s = t _ { i } } ^ { T - 1 } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { s } \mu _ { k \setminus i } ^ { s } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \pi } \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \bar { \phi } _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \xi \pi } \bar { \phi } _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \frac { K \left( \rho \right) } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , \quad \mathrm { i . e . , } } \\ { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \xi \pi + \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right) } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \left( \xi \pi + \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right) } \right) \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert } \sin \left( \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) + \xi \pi \right) \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { c } = \bar { A } ( \bar { x } , \bar { y } ) c _ { \varepsilon } ( \bar { w } ) + \bar { B } ( \bar { x } , \bar { y } ) s _ { \varepsilon } ( \bar { w } ) , \quad c _ { \varepsilon } ( \bar { w } ) = \frac { e ^ { \bar { w } \sqrt { \varepsilon } } + e ^ { - \bar { w } \sqrt { \varepsilon } } } { 2 } , \quad s _ { \varepsilon } ( \bar { w } ) = \frac { e ^ { \bar { w } \sqrt { \varepsilon } } - e ^ { - \bar { w } \sqrt { \varepsilon } } } { 2 \sqrt { \varepsilon } } , } \end{array}
\alpha _ { i } = \frac { d ^ { 2 } E _ { \mathrm { D F T } } / d f _ { i } ^ { 2 } } { \partial ^ { 2 } E _ { \mathrm { D F T } } / \partial f _ { i } ^ { 2 } } = \frac { \langle n _ { i } \vert \epsilon ^ { - 1 } f _ { \mathrm { H x c } } \vert n _ { i } \rangle } { \langle n _ { i } \vert f _ { \mathrm { H x c } } \vert n _ { i } \rangle } ,
\hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ O ~ } } = \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } + \frac { 1 } { i \hbar } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) + \frac { 1 } { i \hbar } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { \mathcal { N } _ { 0 } ( x ) = x \in \mathbb R ^ { d } , } \\ & { \mathcal { N } _ { \ell } ( x ) = \varrho ( \mathbf { w } _ { \ell } \mathcal { N } _ { \ell - 1 } ( x ) + \mathbf { b } _ { \ell } ) \in \mathbb R ^ { m _ { \ell } } , \quad { \mathrm { f o r } } \quad 1 \leq \ell \leq L - 1 , } \\ & { \mathcal { N } _ { L } ( x ) = \mathbf { w } _ { L } \mathcal { N } _ { L - 1 } ( x ) + \mathbf { b } _ { L } \in \mathbb R , } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { t o t } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } S ^ { ( p ) } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } K _ { d } ^ { { ( p ) } ^ { - 1 } } + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } \left( K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } \right) = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left( \phi ^ { ( p ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } H _ { i i j j } ^ { { ( p ) } } \right) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } \left( K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } \right) \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { q ^ { * } = q ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q ^ { n } u ^ { n } ) - \Delta t ( q ^ { n } - q ^ { 0 } ) \varphi ( x ) ; } \\ { \eta ^ { * } = \eta ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q ^ { * } ) - \Delta t ( \eta ^ { n } - \eta ^ { 0 } ) \varphi ( x ) ; } \\ { \eta ^ { n + 1 } = \eta ^ { * } + g \Delta t ^ { 2 } D _ { x } ( h ^ { n } D _ { x } ( \eta ^ { n + 1 } ) ) ; } \\ { q ^ { n + 1 } = q ^ { * } - \Delta t g h ^ { n } D _ { x } ( \eta ^ { n + 1 } ) ; } \\ { z _ { b } ^ { n + 1 } = z _ { b } ^ { n } - \Delta t \hat { D } _ { x } ( q _ { b } ^ { n } ) - \Delta t ( z _ { b } ^ { n } - z _ { b } ^ { 0 } ) \varphi ( x ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \delta \nu _ { \mathrm { F S } } ^ { A , A ^ { \prime } } = F \delta \langle r ^ { 2 } \rangle ^ { A , A ^ { \prime } } } \\ { \delta \nu _ { \mathrm { M S } } ^ { A , A ^ { \prime } } = ( K _ { N M S } + K _ { S M S } ) \frac { M _ { A ^ { \prime } } - M _ { A } } { M _ { A ^ { \prime } } M _ { A } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } ( 1 - t ) } & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( 1 - \left( 1 - ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n u ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n u ^ { 2 } \right) } \\ & { = n ^ { n + 1 } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } u ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x _ { s } } \right| } & { \ge ( \phi _ { p } * f _ { * } ) ( x _ { s } ) - \left| \sum _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x _ { s } } - ( \phi _ { p } * f _ { * } ) ( x _ { s } ) \right| } \\ & { \ge \beta \phi _ { p } ( 0 ) - ( \epsilon + \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) ) \phi _ { p } ( 0 ) } \\ & { \ge \left( \beta - \frac { \beta - \omega } { 3 } - \frac { \beta - \omega } { 1 2 } \right) \phi _ { p } ( 0 ) > \left( \frac { 6 \beta + 5 \omega } { 1 1 } \right) \phi _ { p } ( 0 ) , } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } } { d \cos \theta } [ \gamma _ { \pm } \gamma _ { \mp } \rightarrow \tilde { W } _ { i } ^ { + } \tilde { W } _ { i } ^ { - } ] = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { \hat { s } ( 1 - \hat { \beta } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ) ^ { 2 } } \hat { \beta } ^ { 3 } \sin ^ { 2 } \theta ( 2 - \hat { \beta } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { d + } = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) n _ { d + } \right] + R _ { i z } - R _ { r c } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | , d + } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | , d + } \right] - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } } \\ & { + e n _ { d + } E _ { | | } + R _ { c x } m _ { d } \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) } \\ & { - R _ { r c } m _ { d } v _ { | | , d + } + R _ { i z } m _ { d } v _ { | | , d } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { d + } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d + } + \mathbf { v } _ { \perp , d + } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { d + } \right] + v _ { | | , d + } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } } \\ & { + \nabla \left( \mathbf { b } \kappa _ { | | , d + } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { d + } \right) + \nabla \cdot \left( \chi _ { d + } n _ { d + } \nabla _ { \perp } T _ { d + } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } m _ { d } \left( R _ { c x } + R _ { i z } \right) \left( v _ { | | , d } - v _ { | | , d + } \right) ^ { 2 } } \\ & { + R _ { i z } \frac { 3 } { 2 } e T _ { d } - R _ { r c } \frac { 3 } { 2 } e T _ { d + } + W _ { d + , e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( n _ { p } ) = } & { { } ( \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } - \mathbf { V } ^ { T } ( \mathbf { A } - \mathbf { B } ) \mathbf { V } } \\ { = } & { { } ( \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } + ( \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } } \end{array}
z ^ { - h _ { \psi } } z ^ { - \delta } \langle P ( \chi _ { 2 } , \chi _ { 2 } ; 1 ) | V \left( \psi , { \frac { w } { z } } - 1 \right) | P ( \chi _ { 1 } , \chi _ { 1 } ; d ) \rangle \, ,
\left\{ \begin{array} { c c c c } { \textbf { d i v } ( \boldsymbol { \sigma } ( \textbf { w } ) ) } & { = } & { - \varrho \kappa \textbf { w } \quad \mathrm { i n } \; \Omega , } \\ { \boldsymbol { \sigma } ( \textbf { w } ) \textbf { n } } & { = } & { 0 \quad \mathrm { o n } \; \Gamma _ { N } , } \\ { \textbf { w } } & { = } & { \boldsymbol { 0 } \quad \mathrm { o n } \; \Gamma _ { D } , } \end{array} \right.
\beta f ^ { \mathrm { ~ A ~ } } = \rho _ { \mathrm { ~ p ~ } } N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \left( \ln X _ { \mathrm { ~ p ~ } } - \frac { X _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \rho _ { \mathrm { ~ s ~ } } n \left( \ln X _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \frac { X _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) .
[ \begin{array} { l l l } { \chi } & { \xi } & { \zeta } \end{array} ] ^ { T } \hat { \varepsilon } { M _ { H } } [ \begin{array} { l l l } { \chi } & { \xi } & { \zeta } \end{array} ] = \left( \begin{array} { l l l } { \lvert \xi \rvert _ { \hat { \varepsilon } } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \lvert \xi \rvert _ { \hat { \mu } } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { - \lvert \xi \rvert _ { \hat { \mu } } ^ { 2 } } & { \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \lvert \xi \rvert _ { \hat { \mu } \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \hat { \mu } } ^ { 2 } + \lvert \xi \rvert _ { \hat { \varepsilon } } ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\mathcal { L } _ { 0 } = \{ 0 , \dotsc , L - 1 = 2 ^ { T ^ { \prime } } - 1 \} , \ \ \mathcal { L } _ { 1 } = \{ 0 , \dotsc , 2 ^ { T ^ { \prime } - 1 } - 1 \} , \ \dotsc \ , \mathcal { L } _ { T } = \{ 0 , \dotsc , 2 ^ { T ^ { \prime } - T } - 1 \} .
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { s } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi ^ { l } - \phi _ { p } ^ { l } ) } { d t } = - \Delta z ^ { l } F \mathcal { R } _ { l } + I _ { e x } , \mathbb { C } _ { p } \frac { \phi ^ { r } - \phi _ { p } ^ { r } } { d t } = - \Delta z ^ { r } \mathcal { R } _ { r } F - I _ { e x } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , ~ } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega \setminus \Gamma , } \end{array} \right.
\tau _ { 1 } ^ { \mathrm { c } } = - \frac { \partial V } { \partial \theta _ { 1 } } = - \kappa _ { 0 } \theta _ { 1 } - \chi ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) , \qquad \tau _ { 2 } ^ { \mathrm { c } } = - \frac { \partial V } { \partial \theta _ { 2 } } = - ( \kappa _ { 0 } + \kappa ) \theta _ { 2 } + \chi ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } h ( x ) g ( f ( x ) ) \mathrm { d } x } \\ { = } & { { } \left[ \frac { h ( x ) } { f ^ { \prime } ( x ) } G ( f ( x ) ) \right] _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } - \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } \frac { h ^ { \prime } ( x ) } { f ^ { \prime } ( x ) } G ( f ( x ) ) \mathrm { d } x } \\ { = } & { { } ( x _ { j } - x _ { i } ) \frac { h _ { j } G ( f _ { j } ) - h _ { i } G ( f _ { i } ) } { f _ { j } - f _ { i } } - } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } { G ( 0 , t , y , \tau ) \; [ \dot { \Lambda } \; 3 x ^ { 2 } \psi _ { 3 } \; \xi _ { \delta } ^ { 2 } ] ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } \right| } \\ & { \le c \; \delta ^ { 2 } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } | \dot { \Lambda } ( \tau ) | | \psi _ { 3 } ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) | \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \delta } | G ( 0 , t , y , \tau ) | \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau \le c _ { \delta } ( \| \psi _ { 3 } \| ) \; \| \Lambda \| _ { C ^ { 1 + \frac { \alpha } { 4 } } [ 0 , T _ { \delta } ] } . } \end{array}
P ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { r l } & { \Big ( 1 - \frac { 2 \alpha } { t + N _ { 0 } } \Big ) P ( t ) + \frac { \alpha } { t + N _ { 0 } } \quad \mathrm { ( U C ) } , } \\ & { \Big ( 1 - \frac { 2 \alpha } { 2 t + N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } \Big ) P ( t ) + \frac { \alpha } { 2 t + N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } \quad \mathrm { ( P A ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \{ v _ { 2 k - 1 , 6 k - 2 } \otimes v _ { 1 , 2 } + v _ { 2 k - 1 , 6 k - 3 } \otimes v _ { 1 , 3 } + v _ { 2 k - 1 , 6 k - 4 } \otimes v _ { 1 , 4 } , } \\ & { \quad v _ { 2 k - 1 , 6 k - 2 } \otimes v _ { 1 , 2 } + v _ { 2 k - 1 , 6 k - 3 } \otimes v _ { 1 , 3 } , } \\ & { \quad v _ { 2 k - 1 , 6 k - 2 } \otimes v _ { 1 , 2 } + v _ { 2 k - 1 , 6 k - 4 } \otimes v _ { 1 , 4 } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 2 n d + } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } \\ & { = \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \Biggl ( 1 - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \binom { d _ { j } } { 2 } } { 2 M - 1 } } \\ & { + \frac { \frac { 1 } { 2 ! } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \binom { d _ { j } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( 3 \binom { d _ { j } } { 4 } - \frac { 1 } { 2 ! } \binom { d _ { j } } { 2 } ^ { 2 } \right) } { ( 2 M - 1 ) ( 2 M - 3 ) } - \cdots \Biggr ) } \\ & { \approx \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \left( \sum _ { K = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { K ! } \left( - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \binom { d _ { j } } { 2 } } { 2 M } \right) ^ { K } \right) } \\ & { = \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \mathrm { e } ^ { - \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { = - \left\langle \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right\rangle = \left\langle \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \left[ \log Z \left( \vec { \lambda } \right) + \sum _ { l = 1 } ^ { k } \lambda _ { l } x ^ { l } \right] \right\rangle = } \\ & { = \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } \log Z \left( \vec { \lambda } \right) = \frac { 1 } { Z } \partial _ { \lambda _ { i } } \partial _ { \lambda _ { j } } Z - \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \left( \partial _ { \lambda _ { i } } Z \right) \left( \partial _ { \lambda _ { j } } Z \right) = } \\ & { = \left\langle x ^ { i + j } \right\rangle - \left\langle x ^ { i } \right\rangle \left\langle x ^ { j } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { { } = x ( p ) = x } \\ { u ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { { } = u ( \sigma ( p ) ) = u ( \sigma ( x ) ) = \sigma ( x ) } \\ { u _ { 1 } ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { { } = \left. { \frac { \partial \sigma } { \partial x } } \right| _ { p } = { \dot { \sigma } } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { { } = \partial _ { \tau } f - \frac { \left( v _ { t } - \sigma \alpha ^ { \prime } \right) } { h _ { s } } \nabla _ { s } f - v _ { \sigma } \partial _ { \sigma } f - \frac { ( v _ { \theta } + \sigma \gamma ^ { \prime } ) } { \sigma } \partial _ { \theta } f . } \end{array}
G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { ( 4 \pi D t ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { ( \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } \right) ,
\int _ { k } ^ { ( \mp ) } \equiv i T \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int { \frac { d ^ { 3 } \mathrm { \bf ~ k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \quad \mathrm { w i t h ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { { k _ { 0 } = i \omega _ { n } = 2 n i \pi / T \quad } } & { { \mathrm { f o r ~ b o s o n s } } } \\ { { k _ { 0 } = i \omega _ { n } = ( 2 n + 1 ) i \pi / T \quad } } & { { \mathrm { f o r ~ f e r m i o n s } . } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { b _ { 1 } | 2 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( b _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + b _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + b _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \oslash _ { + } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \oslash _ { + } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \oslash _ { + } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + 0 ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + 0 + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( 0 + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) \right) } \\ { = } & { \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } } \\ { = } & { { \sqrt { 2 } } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle . } \end{array} }
\hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } \sigma _ { N } \rangle = c o n s t _ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { P _ { a } } \delta _ { \sigma \sigma _ { a } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \prod _ { b \ne a } ^ { N } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } & { \underset { \bf X } { \mathrm { m i n i m i z e } } \, \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { Y } - \mathbf { X } \| _ { F } ^ { 2 } + \lambda _ { e } \cdot T V _ { e } ( { \bf X } ) + \lambda _ { t } \cdot T V _ { t } ( { \bf X } ) , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } \mathbf { X } = \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbf { a } _ { r } \circ \mathbf { b } _ { r } \circ \mathbf { c } _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \qquad \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } u - \nabla \cdot \xi ( u ) \mu \nabla u + u } & { = f } & & { \mathrm { i n ~ } L ^ { s } ( I , X _ { \theta } ) , } \\ { u ( 0 ) } & { = u _ { 0 } } & & { \mathrm { o n ~ } ( X _ { \theta } , Y _ { \theta } ) _ { 1 / s ^ { \prime } , s } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { x } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } } & { { } = ( u _ { \mathbf { 0 } } ^ { \mathbf { e } } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { k _ { x } \Delta x _ { e } w _ { 0 } } ( f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 ) } ^ { \mathbf { e } } - f _ { ( e _ { x } - \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } ) } ) } \\ { \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } } & { { } = ( u _ { \mathbf { 0 } } ^ { \mathbf { e } } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { k _ { y } \Delta y _ { e } w _ { 0 } } ( g _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } ) } ^ { \mathbf { e } } - g _ { ( e _ { x } , { e _ { y } - \frac { 1 } { 2 } } ) } ) } \end{array}
\, \mathrm { d } B _ { t } = \ldots + \frac { \hat { \varepsilon } } { \hat { H } \hat { S } } B _ { t } \, \mathrm { d } \hat { \xi } _ { t } = \ldots + \frac { \hat { v } ^ { 1 / 2 } \hat { A } ^ { 5 / 4 } } { \hat { H } \hat { S } } \left( { \frac { 2 7 \hat { H } ^ { 2 } \hat { S } ^ { 3 } } { 4 \hat { A } ^ { 2 } \hat { F } } } \right) ^ { 1 / 6 } B _ { t } \, \mathrm { d } \xi _ { t } ,