harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { d , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } | V _ { \xi } ( s , \xi ) } & { - V _ { \Delta x , \xi } ( s , \xi ) | d s d \xi } \\ & { = \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { d , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { T } } } & { = } & { \mathrm { T r } \left[ \mathcal { T } _ { \rightarrow } ^ { \dagger } \mathcal { T } _ { \rightarrow } \right] \, , } \\ { \Delta { T } } & { = } & { \mathrm { T r } \left[ \hat { \sigma } _ { z } \mathcal { T } _ { \rightarrow } ^ { \dagger } \mathcal { T } _ { \rightarrow } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \mathcal { M } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } & { = } & { \left\{ \widetilde { \alpha } : \alpha \in \mathcal { M ( } \mathbb { R } ^ { n } ) \right\} } \\ { \widetilde { T a n } ( \nu , x ) } & { = } & { \left\{ \widetilde { \alpha } : \mathrm { t h e r e ~ i s ~ a s e q u e n c e ~ } c _ { n } \nu _ { x , t _ { n } } \xrightarrow [ n \to \infty ] { w } \alpha , \mathrm { w i t h ~ } t _ { n } \rightarrow \infty , \mathrm { ~ } \alpha \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha \in \mathcal { M ( } \mathbb { R } ^ { n } ) \right\} , } \end{array}
{ \cal L } ^ { { \cal O } _ { 5 } } = f _ { a b } L _ { a } Q _ { b } { \bar { \Omega } } _ { 1 } + g _ { a b } L _ { a } d _ { b } ^ { c } \Omega _ { 2 } + \lambda \Omega _ { 2 } { \bar { \Omega } } _ { 2 } { \bar { H } } { \bar { H } } + \mu { \bar { \Omega } } _ { 1 } { \bar { \Omega } } _ { 2 } ^ { \dagger } H + h . c .
- i e ^ { 3 } \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \gamma ^ { \mu } { \frac { i ( \gamma ^ { \alpha } ( r - q ) _ { \alpha } + m ) } { ( r - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } \gamma ^ { \rho } { \frac { i ( \gamma ^ { \beta } ( p - q ) _ { \beta } + m ) } { ( p - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } \gamma ^ { \nu } { \frac { - i g _ { \mu \nu } } { q ^ { 2 } + i \epsilon } } .
U ( \boldsymbol { r } ) = \iint _ { \partial S } U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \frac { \partial G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } - \frac { \partial U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } }
\sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } H _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } = \frac { n } { 8 } \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 3 Z _ { N } + Z _ { T } } & { Z _ { N } - Z _ { T } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { Z _ { N } - Z _ { T } } & { 3 Z _ { N } + Z _ { T } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 Z _ { T } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 Z _ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Z _ { N } + 7 Z _ { T } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { c } { { \phi ^ { \prime \prime } ( u ) = 0 } } \\ { { 1 + c _ { w z w } - 2 6 + 6 \alpha ^ { \prime } ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 0 } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { \prime } T ^ { \prime \prime } - 2 T + \alpha ^ { \prime } \phi ^ { \prime } T ^ { \prime } = 0 } } \end{array}
( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ) ^ { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } \times ( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ) ^ { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } = ( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ) ^ { 2 \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } }
\begin{array} { r l r } { Z _ { 1 } } & { = } & { ( E - L \omega ) \nu _ { 1 } \frac { g ^ { - 1 } R } { f I + R ^ { 2 } } + \frac { f g ^ { - 1 } } { f I + R ^ { 2 } } \nu _ { 1 } ^ { 2 } - g ^ { - 1 } m ^ { 2 } , } \\ { Z _ { 2 } } & { = } & { \frac { g ^ { - 1 } I } { f I + R ^ { 2 } } \big [ ( R - L \Omega ) ^ { 4 } + ( e A _ { 0 } ) ^ { 2 } ( R - L \Omega ) ^ { 2 } - 2 A _ { 0 } e ( R - L \Omega ) ^ { 3 } \big ] } \\ & { + } & { \frac { g ^ { - 1 } R } { h ( f I + R ^ { 2 } ) } \big [ ( R - L \Omega ) ^ { 3 } - e A _ { 0 } ( R - L \Omega ) ^ { 2 } \big ] \nu _ { 1 } - \frac { f g ^ { - 1 } } { f I + R ^ { 2 } } \nu _ { 1 } ^ { 4 } - W _ { 1 } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \pm } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } & { = } & { \mp \frac { c _ { _ 0 } } { 4 s } \ \frac { c \mp c _ { _ 0 } q } { c \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } + c _ { _ 0 } q \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( \mp c _ { _ 0 } a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { = } & { \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 } { c \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } + c _ { _ 0 } q \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } , \ \exp { ( c a ) } } \end{array}
\Delta _ { p } ^ { \prime } = \Delta _ { p } - \frac { 2 \pi } { \lambda _ { p } } v \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \Delta _ { c } ^ { \prime } = \Delta _ { c } + \frac { 2 \pi } { \lambda _ { c } } v \, \, \, .
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } = \ } & { \sum _ { k = j _ { 2 } + 1 } ^ { j _ { 1 } } \left( \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , j _ { 2 } } \rangle \right) } \\ { \le \ } & { \sum _ { k = j _ { 2 } + 1 } ^ { j _ { 1 } } \left( \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + D \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| \right) } \\ { \le \ } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \left( \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + D \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \mathrm { N P M } _ { r } ( \mathcal { P } ) } \\ { : = } & { \Bigl \{ \rho = - \lambda E _ { 1 } + ( 1 + \lambda ) E _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 3 } ^ { d ^ { 2 } } E _ { k } \Big | 0 \le \lambda \le r , \ \vec { E } = \{ E _ { k } \} \in \mathcal { P } \Bigr \} . } \end{array} } \end{array}
T _ { 5 } ( k , k ^ { \prime } ; a , b ) = \frac { T _ { 0 } ^ { 5 } } { g } \sqrt { \left[ ( k - \chi _ { B 0 } \, k ^ { \prime } ) ^ { 2 } g ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right] \left[ ( a - \chi _ { 0 } \, b ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } g ^ { - 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \exists \lambda \in \Lambda _ { j } , \lambda ^ { \prime } \in \mathcal { S } _ { \lambda , \lfloor \log _ { 2 } ( \ell _ { d } M _ { \lambda } ) \rfloor + 1 } \, : \, \left| \widecheck { \Delta _ { \lambda ^ { \prime } } } ^ { M _ { \lambda } } \right| \geq c ^ { \prime } j ^ { \frac { d } { 2 } } \left\| \widecheck { \Delta _ { \lambda ^ { \prime } } } ^ { M _ { \lambda } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) } \\ & { \leq 2 \ell _ { d } \operatorname* { s u p } _ { \lambda \in \Lambda _ { j } } M _ { \lambda } 2 ^ { j } \exp ( - c _ { d } ( c ^ { \prime } ) ^ { \frac { 2 } { d } } j ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \rho ( { \bf x } ) } \\ { 1 } & { - \omega { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \rho ( { \bf x } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { F ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\langle \psi ^ { n + 1 } \big | H ^ { s } \big | \psi ^ { n + 1 } \right\rangle = \left\langle \psi ^ { n } \big | H ^ { s } \big | \psi ^ { n } \right\rangle + { \cal O } \left[ ( \Delta t ) ^ { 2 M + 4 } \right] ,
\mathcal { E } _ { \mathbf { C } } ( t ) = \begin{array} { l } { 0 . 6 7 1 9 1 4 \, - \frac { 0 . 0 3 1 8 3 2 1 \sin \left( \frac { \pi } { 8 } - \frac { \pi t } { 2 } \right) } { \sqrt [ 4 ] { t } } + \dots \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x = y = 1 / 8 } \\ { 0 . 6 7 6 2 5 6 + \frac { 0 . 0 1 2 3 7 9 8 \sin \left( \frac { \pi t } { 2 } \right) } { \sqrt [ 4 ] { t } } - \frac { 0 . 0 2 1 9 3 9 3 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } - \frac { 2 \pi t } { 3 } \right) } { \sqrt [ 4 ] { t } } + \dots \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ x = 1 / 6 , y = 1 / 8 } \\ { 0 . 6 6 2 4 7 7 + \frac { 0 . 0 0 7 7 9 7 1 4 \sin \left( \frac { \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 1 2 } \right) } { \sqrt [ 4 ] { t } } + \frac { 0 . 0 1 3 1 9 7 3 \sin \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt [ 4 ] { t } } + \dots \, , ~ x = 1 / 8 , y = 1 / 1 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } & { { } = w _ { i + 1 } - n _ { i } L _ { i } - \left\lfloor \frac { w _ { i + 1 } - w _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } - \left\lfloor n _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor ( L _ { i + 1 } - L _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 0 } } & { = } & { \Delta P | _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } \Delta \varphi + \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 3 } } { 6 } , } \\ { a _ { 1 } } & { = } & { \left. \frac { d \Delta P } { d \mathrm { P e } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } + \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { a _ { 2 } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } \Delta P } { d \mathrm { P e } ^ { 2 } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } \Delta \varphi , } \\ { a _ { 3 } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 3 } \Delta P } { d \mathrm { P e } ^ { 3 } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf w } = [ \begin{array} { c c c c } { w _ { a } } & { w _ { \omega } } & { w _ { \phi } } & { w _ { \beta } } \end{array} ] ^ { T } = [ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} ] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z e ^ { i \alpha _ { 0 } } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \left[ \partial ^ { 2 } \alpha _ { 0 } - \partial \alpha _ { 0 } \partial \varphi - i \partial ^ { 2 } \varphi + i ( \partial \varphi ) ^ { 2 } \right] } \\ { I _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } z e ^ { - i \alpha _ { 0 } } \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \left[ \bar { \partial } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } - \bar { \partial } \alpha _ { 0 } \bar { \partial } \varphi + i \bar { \partial } ^ { 2 } \varphi - i ( \bar { \partial } \varphi ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Rightarrow \quad } & { { } \left( { \frac { { \delta \bf { K } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } - \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { 2 m _ { 0 } } } \right) { \left| \psi \right\rangle } = ( \omega - \omega _ { 0 } ) { \left| \psi \right\rangle } } \\ { \Rightarrow \quad } & { { } \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \left| \psi \right\rangle = \frac { { 1 } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } \left( { \delta \mathbf { K } - i \omega _ { 0 } \mathbf { \Gamma } } \right) { \left| \psi \right\rangle } = \delta \omega \left| \psi \right\rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \textrm { l } } ( x ) = \xi _ { \textrm { l } } S _ { \textrm { 0 } } \exp { \left( \frac { - x } { \lambda } \right) } } \\ { S _ { \textrm { r } } ( x ) = \xi _ { \textrm { r } } S _ { \textrm { 0 } } \exp { \left( \frac { - ( L - x ) } { \lambda } \right) } \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { t } } & { = b ^ { 0 } ( y ) t + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( y ) W _ { t } ^ { l } , } \\ { A _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \partial _ { x } b ^ { 0 } ( s ) X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { y ^ { i } } b ^ { 0 } ( s ) \cdot ( Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } s , } \\ { M _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \partial _ { x } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( s ) X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { y ^ { i } } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( s ) ( Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } , } \end{array}
\mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \; \; \; \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { \widehat { \mathcal { M } } } ( \gamma _ { t } , \dot { \gamma } _ { t } ) \mathrm { ~ d ~ } t = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \dot { \gamma } _ { t } \| _ { h } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \mathcal { S } ( \gamma _ { t } ) \mathrm { ~ d ~ } t ,
+ ( 6 ) \left< \left< F _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) F _ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \right> \right> \left< F _ { \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } } ( x _ { 3 } ) \right> \left< F _ { \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } } ( x _ { 4 } ) \right> + \left< F _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \right> \left< F _ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \right> \left< F _ { \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } } ( x _ { 3 } ) \right> \left< F _ { \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } } ( x _ { 4 } ) \right> .
c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } ^ { ( 2 ) } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } \frac { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } ^ { * } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } } { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } ^ { * } }
A = \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ \overline { { { \Psi } } } ( p ) S ^ { - 1 } ( p ) \Psi ( p ) \ + \int \frac { d ^ { 3 } p \ d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ \overline { { { \Psi } } } ( p + \frac { \ 1 } { \ 2 } \ q ) \Gamma ( p , q ) \Psi ( p - \frac { \ 1 } { \ 2 } \ q ) ,
2 ( q _ { \mu } q _ { \nu } - \delta _ { \mu \nu } q ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( 1 - x ) d x \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { ( u ^ { 2 } + v ) ( u ^ { 3 } + v ) ( u ^ { 4 } + v ) } & { ( u ^ { 5 } + v ) } \\ & { = u ^ { 1 4 } + u ^ { 1 2 } v + u ^ { 1 1 } v + u ^ { 1 0 } v + u ^ { 9 } v ^ { 2 } + u ^ { 9 } v + u ^ { 8 } v ^ { 2 } + 2 u ^ { 7 } v ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + u ^ { 6 } v ^ { 2 } + u ^ { 5 } v ^ { 3 } + u ^ { 5 } v ^ { 2 } + u ^ { 4 } v ^ { 3 } + u ^ { 3 } v ^ { 3 } + u ^ { 2 } v ^ { 3 } + v ^ { 4 } . } \end{array}
g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta ) = \frac { H _ { \mathrm { d r y } } k _ { B } T } { \ell _ { K } ^ { 3 } } \left[ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } + ( 1 / c - 1 ) \, \log \left( 1 - c \right) \right] ,
\cdot \sqrt { \frac { ( n - l - 1 ) ! } { ( n - l ^ { \prime } - 1 ) ! } \frac { \Gamma ( n + l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + 1 ) } { \Gamma ( n + l ^ { \prime } + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + 1 ) } } \frac { 1 } { \Gamma ( l - l ^ { \prime } + 1 ) \Gamma ( l ^ { \prime } - l + 1 ) } .
\omega = k _ { \perp } v _ { \mathrm { A } } \sqrt { 1 + \beta _ { \mathrm { i 0 } } \biggl ( 1 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { 2 T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) } \doteq k _ { \perp } v _ { \mathrm { m s , d a } } ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ U \in [ - | \delta | , \, | \delta | ] + \frac { \lambda \, v ^ { \star } } { 2 } \right\} \le \alpha \right\} } & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ | \delta | \ge \left| U - \frac { \lambda \, v ^ { \star } } { 2 } \right| \right\} \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ 2 \left[ 1 - \Phi \left( \frac { \left| U - \frac { \lambda \, v ^ { \star } } { 2 } \right| } { \sqrt { 1 - \lambda + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } \right) \right] \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ \frac { \left| U - \frac { \lambda \, v ^ { \star } } { 2 } \right| } { \sqrt { 1 - \lambda + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } \ge \Phi ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right\} } \\ & { = 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right] } \\ & { = \alpha . } \end{array}
\frac { k ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } = 1 - \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \Omega _ { c e } ) } - \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \Omega _ { c i } ) } .
\begin{array} { r l } & { \| \hat { w } \| _ { ( L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ) ( \hat { \Gamma } \setminus ( \partial \mathcal { D } \cup \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) ) } \leq C t ^ { - 1 } , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { ( L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ) ( \partial \mathcal { D } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { L ^ { 1 } ( \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ & { \| \hat { w } \| _ { L ^ { \infty } ( \hat { \mathcal { X } } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \frac { i \sqrt { 2 } \hbar \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi \beta } \frac { \sqrt { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } { \omega _ { P } } \gamma _ { \mathrm { N L } } } \\ & { \times \int d \omega _ { 3 } \phi _ { P } ( \omega _ { 3 } ) \phi _ { P } ( \omega _ { 4 } ) \sqrt { \omega _ { 3 } \omega _ { 4 } } \, \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \textrm { r e c o } } ^ { \nu _ { e } } } & { = } & { E _ { \textrm { c o r r e c t e d } } ^ { \textrm { e l e c t r o n } } + \sum _ { \textrm { t r a c k s } } E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { p r o t o n } } } \\ { E _ { \textrm { r e c o } } ^ { \nu _ { \mu } } } & { = } & { E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { m u o n } } + \sum _ { \textrm { o t h e r t r a c k s } } E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { p r o t o n } } + 0 . 1 0 5 \; \textrm { G e V } } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { \mathbf q , q _ { z } } \hbar \omega _ { X } X _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { \dagger } X _ { \mathbf q , q _ { z } } + \sum _ { \mathbf q , q _ { z } } \hbar \omega _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { c } + H _ { r a d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 1 ) } ( \tau _ { 1 2 } ) } & { { } = - \frac { i } { \hbar } e ^ { - i \varphi _ { 1 } } \rho ^ { ( 0 ) } e ^ { i \omega _ { i u } \tau _ { 1 2 } } \sum _ { i , u } M _ { i u } ^ { * } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| \hat { s } ^ { * } ( \omega - \omega _ { i u } ) = \sum _ { i u } \rho _ { i u } ^ { ( 1 ) } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } & { { } = \frac { h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } - h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j - 0 . 5 , k } } { \Delta y } } \\ { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } & { { } = \frac { h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 0 . 5 } - h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k - 0 . 5 } } { \Delta z } } \\ { g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } & { { } = \frac { h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } - h _ { y } ^ { i - 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } } { \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { P } \int d \omega _ { f } \frac { d \omega _ { f } } { \omega _ { f } - \omega _ { s ^ { \prime } } } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \mathrm { I m } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } } \\ & { = \pi \frac { \omega _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \mathrm { R e } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega _ { s ^ { \prime } } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { { } = } & { w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { R } } & { { } = } & { w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { h _ { \mathrm { e f f } } } ( \Omega ) = } & { | \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { y } | h _ { y } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { x } | h _ { x } \rangle | ^ { 2 } S _ { \delta y _ { c } } ( \Omega ) } \\ & { + | \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { x } | h _ { x } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { y } | h _ { y } \rangle | ^ { 2 } S _ { \delta x _ { c } } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { S _ { p } } } \left( \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } ( x , w ) \mathrm { d } x \mathrm { d } w \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( \Omega ^ { 2 } \gamma ( \beta ) + \Omega \alpha ( \beta ) v _ { 0 } + v _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { ( \beta ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( p ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( p ) } \sigma _ { k \ell } + S ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } S ^ { ( p , q ) } p _ { f } ^ { ( q ) } \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } & { { d S ( t ) } = ( \Lambda - \beta S ( t ) I ( t ) - \mu S ( t ) ) d t + \sigma _ { 1 } S ( t ) d B _ { 1 } ( t ) , } \\ & { { d I ( t ) } = ( \beta S ( t ) I ( t ) - ( \gamma + \mu + \epsilon ) I ( t ) ) d t + \sigma _ { 2 } I ( t ) d B _ { 2 } ( t ) , } \\ & { { d R ( t ) } = ( \gamma I ( t ) - \mu R ( t ) ) d t + \sigma _ { 3 } R ( t ) d B _ { 3 } ( t ) , } \end{array} } \end{array} \right.
R _ { n l } ( r ) = r ^ { b _ { l } } \mathrm { e x p } \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \omega r ^ { 2 } \right] L _ { n } ^ { b _ { l } } \left[ \sqrt { \frac { 3 } { 8 } } \omega r ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \rVert ( \Phi - I ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { L > 0 } \left( r \right) } & { = \frac { 4 \pi } { ( 2 L + 1 ) r _ { 0 } ^ { L } } \left[ \frac { r ^ { L } } { r _ { 0 } ^ { L + 1 } } \theta \left( r _ { 0 } - r \right) \right. } \\ & { + \left. \frac { r _ { 0 } ^ { L } } { r ^ { L + 1 } } \theta \left( r - r _ { 0 } \right) \right] \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { \zeta } = \{ g ( w _ { \bot } ^ { D } , T _ { 2 } ) , g ( w _ { \bot } ^ { E } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( w _ { \Delta } ^ { A } , T _ { 2 } ) , h ( w _ { \Delta } ^ { C } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( w _ { \Delta } ^ { B 1 } , w _ { \Delta } ^ { B 2 } , T _ { 2 } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) \} } \end{array}