harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \frac { a _ { \mathrm { o p e n } } } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 \ell + 1 } = \left[ 1 - ( 2 \ell + 1 ) \frac { j _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } { D _ { - } ^ { ( 0 ) } j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { T } _ { \varphi } Z _ { 1 } = } & { V ( a _ { 0 , 0 } , a _ { 0 , 1 } , a _ { 0 , 3 } , a _ { 1 , 0 } , a _ { 1 , 1 } , a _ { 1 , 2 } , a _ { 1 , 3 } ) } \\ { \mathbb { T } _ { \varphi } Z _ { 2 } = } & { V ( a _ { 1 , 0 } , a _ { 1 , 1 } , a _ { 1 , 2 } , a _ { 1 , 3 } , a _ { 3 , 0 } , a _ { 3 , 1 } , a _ { 3 , 3 } ) } \\ { \mathbb { T } _ { \varphi } ( Z _ { 1 } \cap Z _ { 2 } ) = } & { V ( a _ { 0 , 0 } , a _ { 0 , 1 } , a _ { 0 , 3 } , a _ { 1 , 0 } , a _ { 1 , 1 } , a _ { 1 , 2 } , a _ { 1 , 3 } , a _ { 3 , 0 } , a _ { 3 , 1 } , a _ { 3 , 3 } ) , } \end{array}
\prod _ { y _ { \perp } } \sin ^ { 2 } \left( g L _ { 3 } a _ { 3 } ( y _ { \perp } ) / 2 \right) = \int d [ c ] d [ c ^ { \dagger } ] \exp \left\{ i \int d ^ { 4 } x c _ { a } ^ { \dagger } \left( x \right) \left( - i \partial _ { 3 } \delta ^ { a b } + i g \epsilon ^ { a b 3 } a _ { 3 } ^ { c } \left( x _ { \perp } \right) \right) c _ { b } \left( x \right) \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho ^ { f } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho ^ { f } \boldsymbol { U } ) } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial \rho ^ { f } \boldsymbol { U } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho ^ { f } \boldsymbol { U } \boldsymbol { U } + p \mathbb { I } ) } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial t } + \nabla \cdot ( ( E + p ) \boldsymbol { U } ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\ell _ { \infty } = \underset { t \to \infty } { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } \ell ( t ) = \underset { t \to \infty } { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } ( \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( \ell _ { 1 } ( t ) , \ell _ { 2 } ( t ) ) ) .
\begin{array} { r l } { d \xi } & { = \left( \left[ \begin{array} { l l } { A - B B ^ { \top } Q } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { r } - B _ { r } B _ { r } ^ { \top } \Sigma _ { r } } \end{array} \right] \xi + \left[ \begin{array} { l } { B } \\ { B _ { r } } \end{array} \right] u \right) \, d t + \left[ \begin{array} { l l } { N _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { N _ { 1 , r } } \end{array} \right] \xi \, d W , \quad y _ { \xi } = \left[ \begin{array} { l l } { C } & { - C _ { r } } \end{array} \right] \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { { } = \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \eta _ { p } \frac { \eta _ { p } ^ { * } } { \hat { \Delta } _ { t } } + \eta _ { p } ^ { * } \frac { \eta _ { p } } { \hat { \Delta } _ { t } } + \left( \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } / \Delta _ { 0 } - \Delta _ { c } \right) \frac { \left| \eta _ { p } \right| ^ { 2 } } { \hat { \Delta } _ { t } ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { k } _ { 2 } = \mathbf { f } ( t _ { n } + { \frac { h _ { n } } { 2 } } , \mathbf { y } _ { n } + { \widetilde { \mathbf { \phi } } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ; { \frac { h _ { n } } { 2 } } ) + \gamma _ { - } ) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) { \widetilde { \mathbf { \phi } } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ; { \frac { h _ { n } } { 2 } } ) - \mathbf { f } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) - \mathbf { f } _ { t } \left( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } \right) { \frac { h _ { n } } { 2 } } ,
\int \left[ { \frac { \delta ^ { 2 } G } { \delta \Theta ^ { 2 } } } \, - \, \left( { \frac { \delta G } { \delta \Theta } } \right) ^ { 2 } \, - \, \Theta \partial _ { i } \partial _ { i } \Theta \right] d x \, = \, \int \alpha ( x ) d x \, .
{ \left[ \begin{array} { l l l } { T _ { 1 } } & { T _ { 2 } } & { T _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { n _ { 1 } } & { n _ { 2 } } & { n _ { 3 } } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 3 1 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 3 2 } } \\ { \sigma _ { 1 3 } } & { \sigma _ { 2 3 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right] }
o ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \gets \big \lvert \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } - \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } \big \rvert
\begin{array} { r } { \big ( d _ { f _ { k } } \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} [ h _ { k } ] \big ) ( \theta , \varphi ) = \frac { \omega _ { k } - \omega _ { k + 1 } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( D \big ( \theta , \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) - \psi ( x ^ { \star } ) ] \leq \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big [ \frac { \lambda ( k + k _ { 0 } ) } { 2 } \Delta _ { k } - \frac { \lambda ( k + 1 + k _ { 0 } ) } { 2 } \Delta _ { k + 1 } \Big ] + \frac { \theta \beta } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { 1 } { \lambda ( k + k _ { 0 } ) } . } \end{array}
= { \frac { 1 } { 2 } } L ^ { \prime \prime } \left\{ \frac { \left( 1 + \frac { v } { c } \right) \left( 1 - \frac { \delta v } { c } \right) + \left( 1 - \frac { v } { c } \right) \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \right\} = L ^ { \prime \prime } \frac { \left( 1 - \frac { \delta v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \eqno ( 4 2 )
{ \begin{array} { r l } & { 2 \sin \alpha \sum _ { k = 1 } ^ { n } \cos ( 2 k - 1 ) \alpha } \\ & { \quad = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( \sin ( 2 k \alpha ) - \sin ( 2 ( k - 1 ) \alpha ) ) } \\ & { \quad = ( \sin 2 \alpha - \sin 0 ) + ( \sin 4 \alpha - \sin 2 \alpha ) + ( \sin 6 \alpha - \sin 4 \alpha ) + \ldots + ( \sin ( 2 n \alpha ) - \sin ( 2 ( n - 1 ) \alpha ) ) } \\ & { \quad = \sin ( 2 n \alpha ) . } \end{array} }
B _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \sqrt { \zeta } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad B _ { 2 } = 0 , \quad I = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \sqrt { 2 \zeta } } } \end{array} \right) , \quad J = 0 ,
\left. \langle \, P ( p _ { P } ) \, | \, J _ { \mu } ^ { \mathrm { E M } } \, | \, V ( p _ { V } , \lambda ) \, \rangle \right| _ { ( p _ { V } - p _ { P } ) ^ { 2 } = 0 } = - g _ { V P \gamma } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } p _ { P } ^ { \nu } p _ { V } ^ { \rho } \epsilon _ { V } ^ { ( * ) ( \lambda ) \sigma } \, .
< O _ { \lambda , \mu } , O _ { \tau , \nu } > = { } ^ { * } \delta _ { \lambda , \tau } { } ^ { * } \delta _ { \mu , \nu } , \quad { } ^ { * } \delta _ { \lambda , \tau } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 \quad \mathrm { i f \quad { \ l a m b d a \neq \ t a u } , } } } \\ { { 0 \qquad \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} \right. \right.
\frac { d c _ { j } } { d t } = - i \omega _ { j } \left( p _ { j } \right) c _ { j } - \Gamma _ { + , j } \left( p _ { j } \right) c _ { j } + \Gamma _ { - , j } \left( p _ { j } \right) c _ { j } + K _ { e } e ^ { - i \omega _ { e } t } c _ { j } ^ { * } + \sum _ { j ^ { \prime } } \Omega _ { j , j ^ { \prime } } e ^ { i \beta _ { j , j } } c _ { j ^ { \prime } }
\partial _ { z } \left( \theta ^ { n } A _ { n } \right) + \partial _ { \bar { z } } \left( \theta ^ { n } \bar { A } _ { n } \right) = - \theta ^ { n } \sum _ { p = 2 } ^ { n - 2 } \left( \! \! \begin{array} { c } { { n } } \\ { { p } } \end{array} \! \! \right) \! \bar { A } _ { p + 1 } A _ { n - p + 1 } - \theta ^ { n } \left. \frac { d ^ { n } } { d \varphi ^ { n } } V \left( \varphi \right) \right| _ { \varphi = \varphi _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { x } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } + \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) } \\ { \hat { S } _ { y } } & { = - \frac { i } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } - \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) } \\ { \hat { S } _ { z } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } - \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \bigg \{ \ddot { X } ( t ) + \left[ \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) + \frac { 3 } { T - t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \right] \dot { X } ( t ) + \nabla f ( X ( t ) ) \bigg \} } \\ & { = - 2 \ddot { X } ( T ) + \nabla f ( X ( T ) ) . } \end{array}
\cot { \frac { \theta } { 2 } } = \csc \theta + \cot \theta = \pm \, { \sqrt { \frac { 1 + \cos \theta } { 1 - \cos \theta } } } = { \frac { \sin \theta } { 1 - \cos \theta } } = { \frac { 1 + \cos \theta } { \sin \theta } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { \hat { p } } } & { { } = \int d \mu _ { \mathrm { p o p } } \mu _ { \mathrm { p o p } } \hat { p } ( \mu _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { E } ( x , \xi ) = \big ( \omega ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } \xi ) , \eta \big ) \quad \mathrm { w h e r e } \quad \eta _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - x _ { j } \frac { | \xi | ^ { 2 } + p _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } + ( x \cdot \xi ) \xi _ { j } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j < 4 } \\ { - p _ { 0 } ( x \cdot \xi ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 4 } \end{array} \right. . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \lambda ^ { i } \right| | 1 - \lambda | = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left| \frac { 1 - \lambda ^ { n } } { 1 - \lambda } \right| | 1 - \lambda | = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } | 1 - \lambda ^ { n } | = 1 .
R _ { i } ^ { \mathrm { { d e s , t h } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \nu _ { i } ^ { \mathrm { { o s c } } } \mathrm { e x p } \left( \frac { - E _ { i } ^ { \mathrm { { d e s } } } } { k _ { \mathrm { { B } } } T _ { s } } \right) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ p ~ h ~ y ~ s ~ i ~ s ~ o ~ r ~ p ~ t ~ i ~ o ~ n ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ } } \\ { \nu _ { i } ^ { \mathrm { { o s c } } } Q _ { B e l l } \; \mathrm { e x p } \left( \frac { - E _ { i } ^ { \mathrm { { d e s } } } } { k _ { \mathrm { { B } } } T _ { s } } \right) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ c ~ h ~ e ~ m ~ i ~ s ~ o ~ r ~ p ~ t ~ i ~ o ~ n ~ r ~ e ~ g ~ i ~ m ~ e ~ } } \end{array} \right.
d \theta ^ { * } = - \theta ^ { * } d t ^ { * } + \big ( \sqrt { 2 ( \langle { \theta ^ { * } } ^ { 2 } | q , r \rangle - \langle \theta ^ { * } | q , r \rangle ^ { 2 } ) } + \beta _ { 0 } \big ) \; d W ^ { * } \; .
\mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) = \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n ^ { \prime } } \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { i } = \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } - 1 } ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n ^ { \prime } + 1 } \mathbf w _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } h } { d \rho ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { \prime } } & { { } = \frac { 2 e ^ { - \varphi / 2 } } { \varphi ^ { \prime } } \frac { d } { d u } \sqrt { \frac { 4 } { \varphi ^ { 2 } } - 1 } } \end{array}
\int d ^ { 3 } x _ { 1 } K ( 2 , 1 , R _ { + } ^ { + } u _ { + } ^ { + } ) \gamma ^ { 4 } \psi ( 1 ) = a e ^ { i \theta _ { 2 } / 2 } u _ { + } ^ { + } = a R _ { + } ^ { + } u _ { + } ^ { + } = \psi ( 2 ) _ { b = c = d = 0 } ,
\frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } = - \frac { q _ { s } ^ { 2 } \nabla | E | ^ { 2 } } { 2 m _ { s } ^ { 2 } \omega _ { l } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \omega _ { c s } ^ { 2 } } { \omega _ { l } ^ { 2 } } \right) } .
\varphi ( p ) = \left( { \frac { x _ { 0 } } { \hbar { \sqrt { \pi } } } } \right) ^ { 1 / 2 } \cdot \exp { \left( { \frac { - x _ { 0 } ^ { 2 } ( p - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } \right) } ,
\prod _ { m = m _ { * } + 1 } ^ { M } \Bigl ( 1 - C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \Bigr ) \geq \exp \bigl ( - C \varepsilon _ { m _ { * } } ^ { \delta } \bigr ) \geq \frac { 3 } { 4 } \, ,
\begin{array} { r l } { \dot { \varpi } = \frac { { \cal E } _ { 0 } } { e ^ { 2 } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 1 6 } \, a ( - k n ) \bigg [ 2 e ^ { 2 } ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } + e ^ { 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) + 2 e \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \right) \bigg ] } \end{array}
k _ { \mathrm { f i l t } } = n _ { \mathrm { m } } \cdot \Delta k = 6 4 \cdot 0 . 0 0 3 5 1 \, \mathrm { m } ^ { - 1 } = 0 . 2 2 4 6 \, \mathrm { m } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathrm { N } } ^ { \mathrm { b } ; p } ( d s , d \mathbf { i } , d q , d \theta _ { 1 } , d \theta _ { 2 } ) } & { : = \mathrm { N } ^ { \mathrm { b } ; p } ( d s , d \mathbf { i } , d q , d \theta _ { 1 } , d \theta _ { 2 } ) - \lambda ^ { \mathrm { b } ; p } ( d s , d \mathbf { i } , d q , d \theta _ { 1 } , d \theta _ { 2 } ) \, , } \\ { \tilde { \mathrm { N } } ^ { \mathrm { b } ; 1 - p } ( d s , d \mathbf { i } , d \theta ) } & { : = \mathrm { N } ^ { \mathrm { b } ; 1 - p } ( d s , d \mathbf { i } , d \theta ) - \lambda ^ { \mathrm { b } ; 1 - p } ( d s , d \mathbf { i } , d \theta ) \, . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { ( \beta _ { 0 } , \beta ) \in \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { d } } \left\{ \frac { 1 } { l } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \left( 1 - y _ { i } \left( \xi _ { i } ^ { \top } \beta - \beta _ { 0 } \right) \right) _ { + } + \lambda \left( \tau _ { 1 } \| \beta \| _ { 1 } + \frac { \tau _ { 2 } } { 2 } \| \beta \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right\} ,
u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } + w \frac { \partial u } { \partial z } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } + \nu \textsubscript { e f f } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { n ^ { \prime } } \gg 1 } & { { } \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; n ^ { \prime } < n } \\ { g _ { n ^ { \prime } } \ll 1 } & { { } \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; n ^ { \prime } \ge n \; . } \end{array}
\left. \frac { d \sigma } { d T } \right\vert _ { s p i n - 1 / 2 } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } ( 2 g _ { L } ^ { \nu } Q _ { W } ) ^ { 2 } M } { 4 \pi } \left( 1 - \frac { T } { E _ { \nu } } - \frac { M T } { 2 E _ { \nu } ^ { 2 } } + \frac { T ^ { 2 } } { 2 E _ { \nu } ^ { 2 } } \right) F ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) =
\mathcal { P } ( p _ { 0 z } , p _ { 0 x } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { p 0 x } \sigma _ { p 0 z } } \exp { - \frac { p _ { 0 z } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p 0 z } ^ { 2 } } } \exp { - \frac { p _ { 0 x } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p 0 x } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \langle \sigma _ { x } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \end{array}
\left( \theta _ { \mathrm { C } } , \theta _ { T } \right) \in \left[ \left( 4 5 ^ { \circ } , 0 . 0 5 \pi \right) , \left( 4 5 ^ { \circ } , 0 . 0 7 5 \pi \right) , \left( 5 5 ^ { \circ } , 0 . 1 \pi \right) \right]
, w h i c h w e p r o v e a f t e r t h i s a r g u m e n t i n L e m m a ( t h e h y d r o g e n a n a l o g o f L e m m a 2 . 1 i n ) . I t i s w e l l - k n o w n ( b y t h e K r e i n - M i l m a n t h e o r e m ) t h a t c o n v e x c o m b i n a t i o n s o f d e l t a m e a s u r e s a r e w e a k - * d e n s e i n t h e c o m p a c t c o n v e x s e t o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e s o n
\begin{array} { r l } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 2 s ) = \ } & { { } - 2 B _ { 1 } C _ { 1 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 4 } + \frac { 6 4 B _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 3 / 2 } m _ { \mathrm { e } } ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { 5 } } { 9 } } \end{array}
U = { \frac { \hat { \omega } + \gamma ^ { k } \hat { \pi } _ { k } } { \sqrt 2 \hat { \omega } } } \; , \quad \gamma ^ { k } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma ^ { k } } } \\ { { - \sigma ^ { k } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
E _ { \mathrm { ~ R ~ B ~ F ~ - ~ L ~ B ~ M ~ } } = \mathcal { O } \left( \delta x _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ } } ^ { 2 } + \delta x _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ } } ^ { k } + \frac { h ^ { p + 1 } } { \delta x _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ } } } \right) .
\hat { \lambda } _ { h } = \operatorname* { i n f } \left\{ \int _ { \hat { \Omega } } | \nabla \hat { z } _ { h } | ^ { 2 } \, d \hat { x } : z _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) , \, \int _ { \hat { \Omega } } \hat { z } _ { h } ^ { 2 } \, d \hat { x } = 1 \right\} = \int _ { \hat { \Omega } } | \nabla \hat { z } _ { h } | ^ { 2 } \, d \hat { x } .
\begin{array} { r } { ( 1 + \alpha N ) \frac { \partial N } { \partial \vartheta } = \mathrm { g } ( n - b ^ { 2 } + \gamma ( N - \langle N b ^ { 2 } \rangle ) b ^ { 2 } ) + N \frac { \partial M ^ { 2 } } { \partial \vartheta } - \Bigg \langle N \frac { \partial M ^ { 2 } } { \partial \vartheta } \Bigg \rangle b ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \langle { \rho } \rangle U ^ { i } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \langle { \rho } \rangle U ^ { j } U ^ { i } = - \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \langle { \rho } \rangle P + \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \mu { \cal { S } } ^ { j i } + \langle { \rho } \rangle \left( { { \bf { J } } \times { \bf { B } } } \right) ^ { i } - \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \left( { \langle { \rho } \rangle { \cal { R } } ^ { i j } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \\ & { = ( - \Delta + { H } _ { f } + 1 ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( 0 , 0 ) - z _ { 0 } ) ^ { - 1 } } \\ & { \times ( \widehat { H } _ { 0 } ( 0 , 0 ) - z _ { 0 } ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z _ { 0 } ) ^ { - 1 } } \\ & { \times ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z _ { 0 } ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } . } \end{array}
\begin{array} { r c r c r } { { S \left( \frac { b _ { l } } { a _ { l } } \right) } } & { { + } } & { { ( \lambda _ { l } + S ) \left( \frac { B _ { l } } { a _ { l } } \right) } } & { { = } } & { { - 1 , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { T \left( \frac { b _ { l } } { a _ { l } } \right) } } & { { - } } & { { ( \lambda _ { l } + T ) \left( \frac { B _ { l } } { a _ { l } } \right) } } & { { = } } & { { - 1 , } } \end{array}
\frac { \partial ( \rho \boldsymbol { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } ) = - \nabla p + \nabla \cdot \left( \mu _ { l } \frac { \rho } { \rho _ { l } } \nabla \boldsymbol { u } \right) + \rho \boldsymbol { g } - \frac { \mu _ { l } } { K } \frac { \rho } { \rho _ { l } } \left( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { s } \right) ,
\begin{array} { r } { f _ { d } ( y _ { 1 } , \mathfrak { s } ) = \sum _ { y _ { i } \in \mathfrak { s } } \sin ( y _ { 1 } - y _ { i } ) = \sum _ { y _ { i } \in \mathfrak { s } } \phi _ { d } ^ { 2 } ( y _ { 1 } , y _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ( r , t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 1 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 2 } ( r , t ) } & { { } = \int _ { \frac { t } { r } } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 2 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 3 } ( r , t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 3 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 4 } ( r , t ) } & { { } = \int _ { \frac { t } { r } } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 4 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } - 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } = } & { { } \frac { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \kappa _ { 2 } } { 1 6 \gamma ^ { 4 } } + \mathcal { O } \left( \gamma ^ { - 6 } \right) , } \\ { \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } + 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } = } & { { } \frac { 1 6 \gamma ^ { 4 } \kappa _ { 2 } } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } + 2 \kappa _ { 2 } + \mathcal { O } \left( \gamma ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
7 2 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] + 9 6 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ]
V ( \mathbf { U } _ { \mathrm { e f f } } ) = \frac { \langle F _ { i } ( \mathbf { k } , \omega ) , G ( \mathbf { k } , \omega , \mathbf { U } _ { \mathrm { e f f } } ) \rangle } { \sqrt { \langle F _ { i } , F _ { i } \rangle \langle G , G \rangle } } .
\begin{array} { r l r } { R ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \mathbf { c } _ { 2 } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { k } \mathbf { E } ^ { j } \right) \mathbf { M } _ { G } ^ { - 1 } \mathbf { c } _ { 1 } , } & { } & { \begin{array} { r l } { \mathbf { c _ { 1 } } } & { = \left[ 1 , 0 , \ldots , 0 \right] ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { { N _ { p } } + 1 } , } \\ { \mathbf { c _ { 2 } } } & { = \left[ 0 , \ldots , 0 , 1 \right] \in \mathbb { R } ^ { { N _ { p } } + 1 } . } \end{array} } \end{array}