\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { \mathrm { s } } = } & { \; \; \; \; \frac { 1 } { 2 } ( \widehat { V P } + \widehat { P V } ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + v _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + { v } _ { \textsc { p } _ { 4 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \textsc { q } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } \, \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } + { v } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { q } _ { 4 } \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } } \, \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } + { v } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 4 } } S _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } \textsc { q } _ { 3 } } \right) . } \end{array}