harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q _ { 2 } ( t ) = Q _ { 0 } \left( \frac { \gamma _ { 1 2 } } { \gamma _ { 2 3 } V _ { 1 } - \gamma _ { 1 2 } V _ { 2 } } \right) \left[ e ^ { - \frac { \gamma _ { 1 2 } } { V _ { 1 } } t } - e ^ { - \frac { \gamma _ { 2 3 } } { V _ { 2 } } t } \right]
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] - \| u _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L _ { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { ~ T ~ r ~ i ~ a ~ n ~ g ~ l ~ e ~ i ~ n ~ e ~ q ~ u ~ a ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ) } } \\ { \ge } & { { } \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) - \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \epsilon ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { ~ L ~ e ~ m ~ m ~ a ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ L ~ e ~ m ~ m ~ a ~ ~ ~ } ) } } \\ { = } & { { } \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) - \epsilon \sqrt { N _ { t } } . } & { } \end{array}
S _ { e e } ( k , \omega ) = - \frac { 1 } { 1 - \exp ( - \omega / T ) } \frac { k ^ { 2 } } { 4 \pi Z _ { 0 } n _ { i } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ \frac { - 1 } { \epsilon ( k , \omega ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } _ { 1 } } { d t } = } & { { } - \gamma \mathbf { m } _ { 1 } \times \mathbf { H } _ { 1 } - \gamma H _ { \mathrm { s } 1 } \mathbf { m } _ { 1 } \times \left( \mathbf { m } _ { 2 } \times \mathbf { m } _ { 1 } \right) } \end{array}
a = \frac { | \Gamma _ { B \to \rho \gamma } - \Gamma _ { \bar { B } \to \rho \gamma } | } { \Gamma _ { B \to \rho \gamma } + \Gamma _ { \bar { B } \to \rho \gamma } } = \frac { | { \cal B } _ { B \to \rho \gamma } - { \cal B } _ { \bar { B } \to \rho \gamma } | } { { \cal B } _ { B \to \rho \gamma } + { \cal B } _ { \bar { B } \to \rho \gamma } } \ \ .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { \stackrel { i , j \in I _ { k } } { i \not = j } } { \frac { 1 } { | x _ { i , n } - x _ { j , n } | } } = \sum _ { \stackrel { i , j \in I _ { k } } { i \not = j } } { \frac { 1 } { | \tilde { x } _ { i , \infty } ^ { k } - \tilde { x } _ { j , \infty } ^ { k } | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathbf { V } } ^ { \varepsilon } \left( X ^ { t } \left( A \right) \right) } & { = \mu _ { \mathbf { V } } ^ { \varepsilon } \left( X ^ { t } \circ \mathbf { V } \left( \mathbf { V } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) \right) = \mu _ { \mathbf { V } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { V } \circ \hat { \pi } \left( \cdot , \cdot , \cdot + t \right) \left( \mathbf { V } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) \right) } \\ & { = \mu _ { \mathbf { S } } ^ { \varepsilon } \left( \hat { \pi } \left( \cdot , \cdot , \cdot + t \right) \left( \mathbf { V } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) \right) = \mu _ { \mathbf { S } } ^ { \varepsilon } \left( \left( \mathbf { V } ^ { - 1 } \left( A \right) \right) \right) = \mu _ { \mathbf { V } } ^ { \varepsilon } \left( A \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \Delta } = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \bigg ( p _ { t } P _ { \Delta - t , \Delta } ^ { t } ( 1 ) + p _ { t ^ { + } } P _ { \Delta - t , \Delta } ^ { t ^ { + } } ( 1 ) \bigg ) \pi _ { \Delta - t } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \Upsilon ( \Delta , t ) \pi _ { \Delta - t } \quad \Delta \geq \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| v \| _ { L ^ { 2 } ( T _ { i j } ) } } & { \le } & { \mathsf { T } \left( \frac { 1 + \delta _ { 1 } h _ { 1 } ^ { - 1 } } { 1 - \delta _ { 1 } h _ { 1 } ^ { - 1 } } \right) ^ { 3 p + 3 / 2 } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( \hat { T } _ { i j } ) } } \\ & { \le } & { \mathsf { T } \left( \frac { 1 + 3 \eta _ { K } } { 1 - \eta _ { K } } \right) ^ { 3 p + 3 / 2 } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( K _ { i } \cap T _ { i j } ) } \ \ \ \ \forall v \in Q _ { p } ( K ) . } \end{array}
H ( \alpha ) = H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } | \alpha | ^ { 2 } + g ( \alpha + \alpha ^ { \ast } ) \sum _ { r } \left[ c _ { 2 , r } ^ { \dagger } c _ { 1 , r } + c _ { 1 , r } ^ { \dagger } c _ { 2 , r } \right] ,
{ \mathcal { C } } \Omega ^ { p } ( { \mathcal { O } } ) \ni w { \mathrm { ~ i f f ~ } } w ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { p } ) = 0 ~ \forall ~ X _ { 1 } , \cdots , X _ { p } \in { \mathcal { C } } ( { \mathcal { O } } ) .
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] } \\ & { \leq \left| \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] \right| } \\ & { \leq \left\| \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( \cdot ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( \cdot ) ) \right\| _ { \mathrm { L i p } } \underbracket { \operatorname* { s u p } _ { \underset { \left\| \boldsymbol { \mathcal { F } } \right\| _ { \mathrm { L i p } } \leq 1 } { \boldsymbol { \mathcal { F } } \in \mathscr { F } } } \left| \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \boldsymbol { \mathcal { F } } ( a ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \boldsymbol { \mathcal { F } } ( a ) \right] \right| } _ { = W _ { 1 } ( \mu , \nu ) } . } \end{array}
\langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \rangle ^ { ( a ) } \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) \rangle - \langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) \cdot \mathbf { j } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \rangle \right] .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ n ~ d ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = } & { { } \nabla _ { p } \cdot \left( I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p x } + I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) \mathbf { e } _ { p y } \right) } \\ { = } & { { } \frac { \partial } { \partial x _ { p } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) + \frac { \partial } { \partial y _ { p } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) } \\ { = } & { { } \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial x _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } } { \partial y _ { 0 } } + \frac { \partial x _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial y _ { p } } \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } } { \partial y _ { 0 } } } \\ { = } & { { } \cos \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } } { \partial x _ { 0 } } + \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } } { \partial y _ { 0 } } \right) + \sin \theta \left( \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } } { \partial x _ { 0 } } - \frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } } { \partial y _ { 0 } } \right) } \\ { = } & { { } I _ { \mathrm { ~ d ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cos \theta + I _ { \mathrm { ~ c ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \sin \theta } \\ { = } & { { } I _ { \mathrm { ~ d ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cos \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { { } = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } \left( e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } e ^ { - i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \right) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { d F _ { s } } { d r } } & { = - \frac { \kappa _ { s } } { r } \, F _ { s } ( r ) - \frac { 1 } { c } \left( V _ { \mathrm { e f f } } ( r ) - c ^ { 2 } - \varepsilon _ { s } \right) \, G _ { s } ( r ) , } \\ & { \frac { d G _ { s } } { d r } } & { = + \frac { \kappa _ { s } } { r } \, G _ { s } ( r ) + \frac { 1 } { c } \left( V _ { \mathrm { e f f } } ( r ) + c ^ { 2 } - \varepsilon _ { s } \right) \, F _ { s } ( r ) , } \end{array}
G _ { s } = g _ { s } \biggl ( \frac { \mathrm { d e t } G _ { \mu \nu } } { \mathrm { d e t } ( g _ { \mu \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } B _ { \mu \nu } ) } \biggr ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\delta \mathbf { B } _ { o b s } \sim \sqrt { D _ { B _ { \parallel } } } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \cdot ( \hat { \mathbf { k } } \times ( \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \hat { \mathbf { k } } ) ) - \sqrt { D _ { B _ { \perp 2 } } } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp 2 } \cdot ( \hat { \mathbf { k } } \times ( \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \hat { \mathbf { k } } ) )
{ \begin{array} { l c l c } { \psi _ { x + } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { + 1 } { 2 } } \right\rangle _ { x } = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \! \! \! \! \! } & { { \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) } , } & { \psi _ { x - } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { - 1 } { 2 } } \right\rangle _ { x } = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \! \! \! \! \! } & { { \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right) } , } \\ { \psi _ { y + } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { + 1 } { 2 } } \right\rangle _ { y } = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \! \! \! \! \! } & { { \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { i } } \end{array} \right) } , } & { \psi _ { y - } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { - 1 } { 2 } } \right\rangle _ { y } = \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \! \! \! \! \! } & { { \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { - i } } \end{array} \right) } , } \\ { \psi _ { z + } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { + 1 } { 2 } } \right\rangle _ { z } = } & { { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , } & { \psi _ { z - } = \left| { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { - 1 } { 2 } } \right\rangle _ { z } = } & { { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \check { h } _ { k + 1 } } & { = P _ { 1 } \check { h } _ { k } + P _ { 1 } J _ { L , l } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) + \left( J _ { L , l } \tilde { \Lambda } _ { 1 } + J _ { L , r } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \right) Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } } \\ & { \quad + \left( J _ { L , r } - J _ { L , l } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \right) \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } E _ { k } + J _ { L , r } ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \eta Q _ { 1 } ^ { \intercal } \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a } & { = { \dot { v } } = i { \dot { \omega } } z + i \omega { \dot { z } } = \left( i { \dot { \omega } } - \omega ^ { 2 } \right) z } \\ & { = \left( i { \dot { \omega } } - \omega ^ { 2 } \right) R e ^ { i \theta ( t ) } } \\ & { = - \omega ^ { 2 } R e ^ { i \theta ( t ) } + { \dot { \omega } } e ^ { i { \frac { \pi } { 2 } } } R e ^ { i \theta ( t ) } \, . } \end{array} }
\frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \Psi } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial \theta ^ { 2 } } = - \Omega ,
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left[ \begin{array} { c c } { { \cos \Theta _ { G } } } & { { - \sin \Theta _ { G } } } \\ { { \sin \Theta _ { G } } } & { { \ \ \cos \Theta _ { G } } } \end{array} \right] \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \end{array} \right) ,
2 \left( \psi _ { 1 } \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { 0 } } \psi _ { 2 } + \psi _ { 3 } \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { 0 } } \psi _ { 4 } \right) + \partial _ { i } \dot { A } _ { i } = 0 \, .
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { s y s } } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { - \frac { 1 } { 3 h } - \frac { \lambda h } { 3 0 } } & & & & & \\ { \frac { - 1 6 } { 3 h } + \frac { 8 \lambda h } { 1 5 } } & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & & & & & \\ { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { - \frac { 1 4 } { 3 h } + \frac { 4 \lambda h } { 1 5 } } & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { - \frac { 1 } { 3 h } - \frac { \lambda h } { 3 0 } } & & & \\ & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { \frac { - 1 6 } { 3 h } + \frac { 8 \lambda h } { 1 5 } } & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & & & \\ & { - \frac { 1 } { 3 h } - \frac { \lambda h } { 3 0 } } & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { - \frac { 1 4 } { 3 h } + \frac { 4 \lambda h } { 1 5 } } & { \frac { 8 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 1 5 } } & { - \frac { 1 } { 3 h } + \frac { \lambda h } { 3 0 } } & { \dots } \\ & & & { \dots } & { \dots } & { \dots } & { \dots } \end{array} \right) . } \end{array}
\Delta e ^ { 3 \phi / 2 } = * \left[ 4 \pi ^ { 2 } X _ { 8 } - { \frac { 1 } { 2 } } G \wedge G - 4 \pi ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta ^ { 8 } ( y - y _ { i } ) \right] \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { W _ { n , i } ^ { 2 } = \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ k ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) + \left( E \left( k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. - 2 k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) E \left( k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} } \\ & { } & { \Rightarrow E ( W _ { n , i } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ E \left( k ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) - \left( E \left( k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ \int \left( k ^ { 2 } \left( \frac { z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. - \int \left\{ k \left( \frac { z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } \right\} ^ { 2 } \right\} } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \left\{ \int k ^ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s + m _ { 1 } h _ { n } , t + m _ { 2 } h _ { n } ) \right\} } \\ & { } & { - \frac { h _ { n } ^ { 2 } } { n } \int \left\{ k ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s + m _ { 1 } h _ { n } , t + m _ { 2 } h _ { n } ) \right\} ^ { 2 } d m _ { 1 } d m _ { 2 } } \\ & { } & { \Rightarrow \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ( W _ { n , i } ^ { 2 } ) = \left\{ \int k ^ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s + m _ { 1 } h _ { n } , t + m _ { 2 } h _ { n } ) \right\} } \\ & { } & { - h _ { n } ^ { 2 } \int \left\{ k ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s + m _ { 1 } h _ { n } , t + m _ { 2 } h _ { n } ) \right\} ^ { 2 } d m _ { 1 } d m _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pr [ Y = 0 | X = 0 ] } & { { } = 1 - p } \\ { \Pr [ Y = 0 | X = 1 ] } & { { } = p } \\ { \Pr [ Y = 1 | X = 0 ] } & { { } = p } \\ { \Pr [ Y = 1 | X = 1 ] } & { { } = 1 - p } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } = 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } } & { + } & { \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } J _ { 2 } - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } J _ { 4 } + { \textstyle \frac { 5 } { 1 6 } } J _ { 6 } - { \textstyle \frac { 3 5 } { 1 2 8 } } J _ { 8 } + P _ { 2 2 } ( 0 ) \big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \phi + S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \big ) + } \\ & { + } & { \sum _ { \ell = 3 } ^ { 8 } \sum _ { k = 1 } ^ { + \ell } P _ { \ell k } ( 0 ) ( C _ { \ell k } \cos k \phi + S _ { \ell k } \sin k \phi ) \Big ) \Big ] + { \cal O } ( 5 . 8 3 \times 1 0 ^ { - 1 7 } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \dot { \varepsilon } _ { S \! F } } \\ { \dot { \varepsilon } _ { H \! W \! F } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { \sin ^ { 2 } \alpha } & { \cos ^ { 2 } \alpha } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \dot { \varepsilon } _ { x x } } \\ { \dot { \varepsilon } _ { z z } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } } & { { } = c _ { 0 } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + c _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } } \end{array}
E _ { \mathrm { { e x t } } } = E _ { \mathrm { { s c } } } \cdot \left( 1 + 0 . 0 3 3 4 1 2 \cdot \cos \left( 2 \pi { \frac { \mathrm { { d n } } - 3 } { 3 6 5 } } \right) \right) ,
x _ { 3 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( q _ { i } + q _ { j } + q _ { k } ) / \binom { N } { 3 } = \binom { N - 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } / \binom { N } { 3 } = 3 / N
\begin{array} { r l } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) } \\ { = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } I _ { 2 } } \\ { = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - c _ { \eta } \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } I _ { 2 } } \\ { \ge } & { ~ - \sigma - c _ { \eta } - c _ { \eta } \sigma \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } . } \end{array}
\delta \phi = \left( \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( t ) } \right) ^ { 3 / 2 } \delta \phi _ { 0 } e ^ { \alpha ( t ) + i k x } , \qquad \delta \theta = \delta \theta _ { 0 } e ^ { \alpha ( t ) + i k x } .
\begin{array} { r l } { \{ 0 \} = \, } & { \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } \, ( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) ) \, \, \bigcap \, \, \mathrm { i m } \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } \to \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } \right) } \\ & { = \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } ( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) ) \, \bigcap \, \, \ker \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } \to { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } } \right) } \end{array}
\prod _ { a = 1 } ^ { \tilde { n } _ { c } } ( \Lambda \omega ^ { 2 \ell - 1 } + \delta _ { \ell } - \phi _ { a } ) ^ { 2 } = ( \Lambda \omega ^ { 2 \ell - 1 } ) ^ { \tilde { n } _ { c } } \left[ 1 + 2 \sum _ { a = 1 } ^ { \tilde { n } _ { c } } \frac { \delta _ { \ell } - \phi _ { a } } { \Lambda \omega ^ { 2 \ell - 1 } } \right] .
I = \operatorname * { l i m } _ { b \rightarrow 0 } \int \exp \{ b \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { \alpha } [ i \frac { \phi _ { n + 1 } ^ { * \alpha } e ^ { i B ^ { \alpha } b } \phi _ { n } ^ { \alpha } - \phi _ { n } ^ { * \alpha } e ^ { - i B ^ { \alpha } b } \phi _ { n + 1 } ^ { \alpha } } { 2 b } +
\frac { E _ { \mathrm { C } } } { E _ { \mathrm { F } } } = \frac { \sigma _ { 0 , \mathrm { C } } ^ { 4 } } { \sigma _ { 0 , \mathrm { F } } ^ { 4 } } = \frac { t _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { F } } ^ { 4 } } = \left( \frac { t _ { \mathrm { i n t } } } { \eta _ { 0 , \mathrm { F } } } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { g _ { a } ( r ) } & { { } = } & { g _ { + } ( r ) \Theta ( r - r _ { a } ) + g _ { - } ( r ) \Theta ( r _ { a } - r ) , } \\ { f _ { a } ( r ) } & { { } = } & { f _ { + } ( r ) \Theta ( r - r _ { a } ) + f _ { - } ( r ) \Theta ( r _ { a } - r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { b } ( X ) = \alpha } & { \Longleftrightarrow \iota _ { X } \iota _ { B } \mu + \eta ( X ) \eta = \alpha } \\ & { \Longleftrightarrow ( \iota _ { X } \iota _ { B } \mu + \eta ( X ) \eta ) ( B ) = \alpha ( B ) \mathrm { ~ a n d ~ } ( \iota _ { X } \iota _ { B } \mu + \eta ( X ) \eta ) \wedge \eta = \alpha \wedge \eta . } \end{array}
\phi ^ { * } = ( 2 N + 1 ) \pi \pm \operatorname { a r c c o s } { \left( [ ( 2 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) ^ { - 1 } - 1 ] ( \cos \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) ^ { - 1 } \right) }