harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } } & { K | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } - 1 } G ^ { - 1 } ( v ) ^ { \prime } \psi _ { n } d x \le C _ { 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } K | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } - 1 } G ^ { - 1 } ( v ) ^ { \prime } G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) d x } \\ & { \quad + C _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } K | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } - 1 } G ^ { - 1 } ( v ) ^ { \prime } | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { \alpha } d x } \\ & { \le C _ { 1 } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 - 1 / \alpha p ^ { * } } \cdot \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 / \alpha p ^ { * } } } \\ & { \quad + C _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha ( p ^ { * } - 1 ) } | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { \alpha } d x } \\ & { \le C _ { 1 } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 - 1 / \alpha p ^ { * } } \cdot \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 / \alpha p ^ { * } } } \\ & { \quad + C _ { 2 } \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } \biggr ) ^ { 1 - 1 / p ^ { * } } \cdot \biggl ( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | G ^ { - 1 } ( \psi _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x \biggr ) ^ { 1 / p ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U ^ { k + 1 } + \frac { E M \widehat { \lambda } } { \beta } V ^ { k + 1 } } \\ { \leq } & { \tilde { \rho } ( U ^ { k } + \frac { E M \widehat { \lambda } } { \beta } V ^ { k } ) + s _ { k } ^ { 2 } \tilde { \zeta _ { 0 } } } \\ { \leq } & { \tilde { \rho } ^ { k + 1 } ( U ^ { 0 } + \frac { E M \widehat { \lambda } } { \beta } V ^ { 0 } ) + \sum _ { l = 0 } ^ { k } \tilde { \rho } ^ { k - l } c ^ { l } \Theta } \\ { \leq } & { \tilde { \rho } ^ { k + 1 } ( U ^ { 0 } + \frac { E M \widehat { \lambda } } { \beta } V ^ { 0 } ) + c ^ { k } \Theta \sum _ { l = 0 } ^ { k } \left( \frac { \tilde { \rho } } { c } \right) ^ { k - l } } \\ { \leq } & { \tilde { \rho } ^ { k + 1 } ( U ^ { 0 } + \frac { E M \widehat { \lambda } } { \beta } V ^ { 0 } ) + c ^ { k + 1 } \frac { \Theta } { c - \tilde { \rho } } , } \end{array}
F _ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ( x ) = \bar { \epsilon } _ { 0 } S ( x ) e ^ { - 1 / 2 \phi ( x ) } \; , \qquad F _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x ) = \bar { \epsilon } _ { 0 } \gamma _ { \mu } S ( x ) \partial X ^ { \mu } ( x ) e ^ { 1 / 2 \phi ( x ) } ,
\begin{array} { r l r } { i n \mathbf { v } _ { o c } } & { = } & { \{ \mathbf { v } _ { | s ^ { \prime } \rangle } , \mathbf { v } _ { | s \rangle } \} ^ { T } , } \\ { \mathbf { M } _ { t } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { \mathbf { M } _ { s ^ { \prime } s ^ { \prime } } } & { \mathbf { M } _ { s t i } } \\ { \mathbf { M } _ { s t i } ^ { T } + \mathbf { M } _ { s p o n } } & { \mathbf { M } _ { s s } } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathrm { ~ s ~ t ~ d ~ } ( \{ z _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } ) = \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( z _ { i } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } z _ { i } \Big ) ^ { 2 } }
\Phi _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } ( 1 ) \{ G G \} } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } ; s _ { 0 } ) = { C _ { 3 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } I _ { 3 } + { C _ { 4 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } I _ { 4 } ~ .
\begin{array} { r l } { k } & { = \sqrt { ( \dot { \varphi } ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta ( \dot { \theta } ) ^ { 2 } } , } \\ { \tau } & { = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } ( - \cos \varphi \sin ^ { 2 } \varphi ( \dot { \theta } ) ^ { 3 } - \sin \varphi \dot { \varphi } \ddot { \theta } + \dot { \theta } ( - 2 \cos \varphi ( \dot { \varphi } ) ^ { 2 } + \sin \varphi \ddot { \varphi } ) ) . } \end{array}
\beta _ { m i n } ^ { \ell m _ { \ell } , \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } = a r g \left( T _ { m _ { 1 A } m _ { 2 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } , m _ { \ell } ^ { \prime } } \right) - a r g \left( T _ { m _ { 2 A } m _ { 1 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } , m _ { \ell } ^ { \prime } } \right)
{ \cal O } _ { V } ( P ) = V = V _ { { \bar { i } } _ { 1 } { \bar { i } } _ { 2 } \cdots { \bar { i } } _ { p } } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } \cdots j _ { q } } ( P ) \eta ^ { \bar { i } _ { 1 } } \eta ^ { \bar { i } _ { 2 } } \cdots \eta ^ { \bar { i } _ { p } } \psi _ { \bar { j } _ { 1 } } \psi _ { \bar { j } _ { 2 } } \cdots \psi _ { \bar { j } _ { q } } ,
q _ { 1 2 3 - 4 5 6 } = \frac { 2 \left[ 1 + F _ { 1 7 } \left( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 \right) \right] q _ { 1 } + A _ { 2 1 } \left[ 1 + F _ { 2 7 } \left( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 \right) \right] q _ { 2 } - \sigma \left( 2 F _ { 1 7 } + A _ { 2 1 } F _ { 2 7 } \right) \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) } { 2 + A _ { 2 1 } } { . }
\begin{array} { r l r } { h \Delta \nu } & { = } & { p F _ { w } + \beta F _ { w } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( F _ { w } ^ { 3 } ) , } \\ { F _ { w } } & { = } & { \alpha ( \Delta V / d ) + F _ { 0 } , } \\ { p / h } & { = } & { a ( d / \alpha ) - 2 b ( d / \alpha ) ^ { 2 } F _ { 0 } , } \\ { \beta / h } & { = } & { b ( d / \alpha ) ^ { 2 } , } \end{array}
D _ { \mu \nu } ( p , \xi ) = \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \left( \delta _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \right) + \xi \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 4 } } = D _ { \mu \nu } ^ { T } ( p ) + \xi \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { \rho ( u ( a ) , \phi ) } & { = \bigwedge _ { b \in \phi } \rho ( u ( a ) , b ) = \bigwedge \{ r \in \# I \mid u ( a ) \le _ { r } b \in \phi \} , } \\ { u ( \rho ( a , \phi ) ) } & { = u ( \bigwedge _ { b \in \phi } \rho ( a , b ) ) = \bigwedge _ { b \in \phi } u ( \rho ( a , b ) ) = \bigwedge \{ u ( r ) \mid a \le _ { r } b \in \phi \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \frac { n ^ { \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { r ^ { \prime } } ; \frac { 1 } { 2 } \} } k ^ { \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { s ^ { \prime } } ; \frac { 1 } { 2 } \} } } { m ^ { \operatorname* { m a x } \big \{ \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { r ^ { \prime } } ; \frac { 1 } { 2 } \} ; \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { s ^ { \prime } } ; \frac { 1 } { 2 } \} \big \} } } \Big ) ^ { m } \prec _ { C ^ { m } } { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal P _ { m } ( \ell _ { r } ^ { n } ( \ell _ { s } ^ { k } ) ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } \geq 0 \right) } & { = P \left( e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } } \geq e ^ { 0 } \right) \leq \frac { \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } } ] } { e ^ { 0 } } = \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } } ] , } \end{array}
p _ { i n } = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { 1 } y _ { 1 } / \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { k M } { \beta ^ { 2 } } y _ { 1 } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( k _ { 2 } y _ { 2 } + k _ { 3 } y _ { 3 } ) } ,
\sigma = \frac { Z ^ { 4 } \alpha ^ { 4 } } { \pi m ^ { 2 } } \frac { 2 8 } { 2 7 } \left[ \ln ^ { 3 } \gamma _ { i o n } ^ { 2 } - 2 . 1 9 \ln ^ { 2 } \gamma _ { i o n } ^ { 2 } + \cdots \right] ,
\begin{array} { r l } & { N _ { \mathrm { s t } } ( g , q ) = 2 ^ { \frac { 2 ( q + 1 ) } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } - \left( \frac { q + 1 } { q + 3 } \right) g - \frac { { ( q + 1 ) } ^ { 2 } ( q + 2 ) } { { q ( q + 3 ) } ^ { 2 } } } \times } \\ & { \quad { ( q + 2 ) } ^ { \frac { 2 ( q ^ { 2 } + 2 q - 1 ) } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } + \left( \frac { q + 1 } { q + 3 } \right) g + \frac { q ^ { 3 } + 2 q ^ { 2 } - q + 2 } { { q ( q + 3 ) } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \lesssim \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) [ P _ { \neq } \Xi _ { 3 } ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , N } ^ { - 1 } \big [ P _ { \neq } \mathcal { S } _ { a } [ \Pi _ { l , 2 } ] \big ] \right\| _ { 2 } , } \end{array}
{ \bf W M _ { 7 } } \, \, \, \, d \hat { \hat { s } } { } ^ { 2 } = - 2 d t d z - \frac { H } { { \cal H } \bar { \cal H } } d z ^ { 2 } - { \cal H } \bar { \cal H } d \omega d \bar { \omega } - d \vec { x } _ { 7 } ^ { \ 2 } \, ,
v ^ { ( s ) } \left( { \vec { p } } \right) = { \frac { - { p \! \! \! / } + m } { \sqrt { 2 m ( E + m ) } } } v ^ { ( s ) } \left( { \vec { 0 } } \right) = \textstyle { \sqrt { \frac { E + m } { 2 m } } } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { { \vec { \sigma } } \cdot { \vec { p } } } { E + m } } \chi ^ { ( s ) } } \\ { \chi ^ { ( s ) } } \end{array} \right] }
J _ { S } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, { \frac { 1 - \mu ^ { 2 } \mathrm { e x p } ( 4 \Gamma ( t - \tilde { t } ) ) } { 1 + \mu ^ { 2 } \mathrm { e x p } ( 4 \Gamma ( t - \tilde { t } ) ) } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \frac { \partial v } { \partial t } \cdot w + 2 \int _ { \Omega } \mathbb { D } ( v ) \cdot \mathbb { D } ( w ) + \int _ { \Gamma } k ( v \cdot \tau ) ( w \cdot \tau ) - \int _ { \Omega } p \nabla \cdot w } & { \! \! \! \! = \! \! \! \! } & { \int _ { \Gamma } g ( w \cdot \tau ) , } \\ { \int _ { \Omega } q \nabla \cdot v } & { \! \! \! \! = \! \! \! \! } & { 0 , } \end{array}
= \int \psi _ { b } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots ) \, ( q _ { 1 } \mathbf { r } _ { 1 } + q _ { 2 } \mathbf { r } _ { 2 } + \cdots ) \, \psi _ { a } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 1 } \, d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } \cdots
{ \begin{array} { r l } & { { \mathrm { f i n d ~ } } \mathbf { u } \in L ^ { 2 } \left( \mathbb { R } ^ { + } \; \left[ H ^ { 1 } ( \Omega ) \right] ^ { d } \right) \cap C ^ { 0 } \left( \mathbb { R } ^ { + } \; \left[ L ^ { 2 } ( \Omega ) \right] ^ { d } \right) { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t : ~ } } } \\ & { \quad { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { \Omega } \rho { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } \cdot \mathbf { v } + \int _ { \Omega } \mu \nabla \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { v } + \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } - \int _ { \Omega } p \nabla \cdot \mathbf { v } = \int _ { \Omega } \mathbf { f } \cdot \mathbf { v } + \int _ { \Gamma _ { N } } \mathbf { h } \cdot \mathbf { v } \quad \forall \mathbf { v } \in V , } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega } q \nabla \cdot \mathbf { u } = 0 \quad \forall q \in Q . } \end{array} \right. } } \end{array} }
\tau _ { b } ^ { \mathrm { H M } } = \tau _ { b } \sqrt { \frac { \ln 2 } { 2 } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad w _ { 0 , b } ^ { \mathrm { H M } } = w _ { 0 , b } \sqrt { \frac { \ln 2 } { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \phi ( \boldsymbol { r } ) } & { = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) } \\ { \eta _ { 0 } \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { r } ) } \end{array} \right) } \\ { \mathbb { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \xi ^ { 2 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { E } } & { i \xi \boldsymbol { G } _ { E H } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { H } } \\ { - i \xi \boldsymbol { G } _ { E H } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { E } } & { \xi ^ { 2 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \boldsymbol { \alpha } _ { H } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial C _ { i } ^ { s } } { \partial t } = \nabla \cdot ( \frac { D _ { i } ^ { s } C _ { i } ^ { s } } { R T } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { s } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ ~ ~ } \Omega ^ { s } } \\ { - \nabla \cdot ( \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } \nabla \phi ^ { s } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } z _ { i } F C _ { i } ^ { s } , } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ ~ ~ } \Omega ^ { s } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] = } & { { } \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \int \int \frac { \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { ~ a ~ } } ) \rho _ { X } ( \mathbf { r } _ { x } ) } { | \mathbf { r } _ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathbf { r } _ { x } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { \mathrm { ~ a ~ } } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { x } - \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \sum _ { I \in \mathrm { A } } \int \frac { Z _ { I } \rho _ { X } ( \mathbf { r } _ { x } ) } { | \mathbf { R } _ { I } - \mathbf { r } _ { x } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( \bar { \xi } ) = - \sum _ { k = 0 , \ldots , n - 1 , a _ { k } > 0 } ( a _ { k } ) ^ { 2 } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) \ln ( F ( ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) ) + } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 , \ldots , n - 1 , a _ { k } = 0 } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) ^ { 2 } , \quad \bar { \xi } = ( \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { d } ) \in \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { Q } _ { i } , \mathbf { q } _ { i } } H _ { i } ( X | Y ) } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { 0 \leq \mathbf { q } _ { i } ( y ) , } & & { \forall y \in \mathcal { Y } _ { i } , } \\ & { 0 \leq \mathbf { Q } _ { i } ( x | y ) , } & & { \forall x \in \mathcal { X } _ { i } , \forall y \in \mathcal { Y } _ { i } , } \\ & { \sum _ { x \in \mathcal { X } _ { i } } \mathbf { Q } _ { i } ( x | y ) = 1 , } & & { \forall y \in \mathcal { Y } _ { i } , } \\ & { \sum _ { y \in \mathcal { Y } _ { i } } \mathbf { Q } _ { i } ( x | y ) \mathbf { q } _ { i } ( y ) = P _ { X } ( x ) , } & & { x \in \mathcal { X } _ { i } , } \\ & { \mathrm { e } ^ { - \varepsilon _ { l } } { P _ { S } ( s ) } \leq \sum _ { x \in \mathcal { X } _ { i } } P _ { S | X } ( s | x ) \mathbf { Q } _ { i } ( x | y ) \leq \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } P _ { S } ( s ) , } & & { \forall s \in \mathcal { S } , y \in \mathcal { Y } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { s p } } ^ { \mathrm { C } } = \exp ( - 0 . 4 6 2 \ln ( F _ { \mathrm { E U V } } / F _ { \mathrm { 0 , E U V } } ) ^ { 2 } + } \\ { 5 . 0 8 6 \ln ( F _ { \mathrm { E U V } } / F _ { \mathrm { 0 , E U V } } ) + 5 3 . 4 9 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) } & { = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { e } } ( t ) , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) \right] } \\ { i \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) } & { = \left[ \mathbf { F } ^ { \mathrm { n } } ( t ) , \ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { { \mathcal { H } } } = \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { 1 } + \frac { \lambda } { 2 } Q _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 } Q _ { 1 } \right) ^ { 2 } + V ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { \lambda } { 2 } ( P _ { 1 } Q _ { 2 } - P _ { 2 } Q _ { 1 } ) + V ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\chi _ { ( { \cal V } _ { m _ { 1 } , n _ { 1 } } \otimes { \cal V } _ { m _ { 2 } , n _ { 2 } } ) _ { \mathrm f } } ( \tau ) = \sum _ { m _ { 3 } = | m _ { 1 } - m _ { 2 } | + 1 } ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 } - 1 } \sum _ { n _ { 3 } = | n _ { 1 } - n _ { 2 } | + 1 } ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 } \chi _ { m _ { 3 } , n _ { 3 } } ( \tau ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } [ \hat { \rho } ] } & { { } : = \mathcal { L } _ { \hat { a } _ { H } , \kappa } [ \hat { \rho } ] + \mathcal { L } _ { \hat { a } _ { V } , \kappa } [ \hat { \rho } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( z ) } & { = 1 - g z ^ { 2 } - \rho _ { 0 } + \frac { \tau a } { \rho _ { 0 } } H ( z - z _ { 1 } ) + \frac { \tau b } { \rho _ { 0 } } H ( z - z _ { 2 } ) } \\ & { = g \big ( z _ { 1 } ^ { 2 } - z ^ { 2 } - ( \mu - \mu _ { 1 } ) H ( d _ { 1 } ) + 2 \mu ( \frac { a } { \rho _ { 0 } } H ( z - z _ { 1 } ) + \frac { b } { \rho _ { 0 } } H ( z - z _ { 2 } ) ) \big ) , } \\ & { = : g J _ { 2 , \mu } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { q _ { 2 } } ( \boldsymbol { x } ) | } & { { } = | \ln \langle \boldsymbol { s } ^ { [ q _ { 2 } ] } , \exp ( - r B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) \rangle | } \end{array}
h \ = \ - N \partial _ { u } ^ { 2 } + 2 u \partial _ { u } - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \partial _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } ( \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \partial _ { i } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( x , y ) } { \partial x } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x } - \binom { N } { 2 } \frac { 1 } { 1 + x + y } , \quad \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( x , y ) } { \partial y } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { y } - \binom { N } { 2 } \frac { 1 } { 1 + x + y } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \perp 1 } } & { { } \approx } & { \left( \frac { i \gamma e ^ { - t / T _ { 1 } } } { \Gamma - i \Delta \omega } \right) B _ { L } e ^ { i \phi } , } \\ { P _ { \perp 2 } } & { { } \approx } & { \left( \frac { i \gamma e ^ { - t / T _ { 1 } } } { \Gamma - i \Delta \omega } \right) B _ { R } e ^ { - i \phi } . } \end{array}
K _ { i \backslash j } ^ { \rightarrow } \left( t \right) = K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) - \sum _ { r = 0 } ^ { t - 2 } m _ { j \backslash i } ^ { r } \nu _ { j i } ^ { r } , \qquad \qquad \qquad \qquad K _ { i \backslash j } ^ { \leftarrow } \left( t \right) = K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) - \sum _ { s = t } ^ { T - 1 } \nu _ { i j } ^ { s } \mu _ { j \backslash i } ^ { s }
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 3 } } ( x ) : = } & { c \epsilon \sum _ { \alpha _ { k } \in \Omega } \omega ( \alpha _ { k } , x ) g _ { 3 } ( \mathcal P _ { * } ( \alpha _ { k } , x ) , \alpha _ { k } ) , } \\ { g _ { 3 } ( p , \alpha ) : = } & { \int ( t - p ) ^ { - 1 } \partial _ { t } \int w _ { \epsilon } ( t - s ) \varphi _ { 3 } ( \alpha , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } t } \\ { = } & { \int w _ { \epsilon } ( - \tau ) \int s ^ { - 1 } \partial _ { s } \varphi _ { 3 } ( \alpha , s + \tau + p ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , \ | p | \le P . } \end{array}
I _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = 8 D p ^ { 0 } \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) k ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = 0
\frac { \partial \hat { e } _ { n } } { \partial E } = \sum _ { j = 0 } ^ { n } \hat { A } _ { j } \frac { \partial \hat { d } _ { n - j } } { \partial E } + \hat { d } _ { n - j } \frac { \partial \hat { A } _ { j } } { \partial E } ,
\mathbb { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { T _ { k } \leq s \leq t } | \zeta _ { s } ^ { \tau _ { j } } | > \bar { c } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big | \mathcal { F } _ { T _ { k } } \right) \leq 2 \eta _ { k } \rightarrow 0 \quad a s \quad \eta _ { k } \rightarrow 0 .
U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } = \rho ^ { \sigma } [ ( u _ { \beta } - u _ { \beta } ^ { \sigma } ) ( u _ { \alpha } - u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) + \frac { 1 } { D + I ^ { \sigma } } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ] ,
\int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } | U _ { A ^ { \prime } } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \boldsymbol r ^ { \prime } = \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } | U _ { A } ( \boldsymbol r ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \boldsymbol r
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { { } = k _ { a } - k _ { b } , } \\ { K _ { 1 } ^ { x } } & { { } = K _ { 2 } ^ { y } = k _ { a } , } \\ { K _ { 1 } ^ { y } } & { { } = K _ { 2 } ^ { x } = k _ { b } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { j } } & { = \nabla \cdot \left[ { \frac { \hbar } { 2 m i } } \left( \Psi ^ { * } \left( \nabla \Psi \right) - \Psi \left( \nabla \Psi ^ { * } \right) \right) \right] } \\ & { = { \frac { \hbar } { 2 m i } } \left[ \Psi ^ { * } \left( \nabla ^ { 2 } \Psi \right) - \Psi \left( \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } \right) \right] } \\ & { = - { \frac { \hbar } { 2 m i } } \left[ \Psi \left( \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } \right) - \Psi ^ { * } \left( \nabla ^ { 2 } \Psi \right) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - \alpha \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } } & { = \lambda _ { \parallel } \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } . } \end{array}
\{ \chi ^ { \mu \nu } \} = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { a } } & { { b } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { b } } & { { - a } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\prod _ { u = 1 } ^ { N } d v _ { u } ^ { l } d v _ { u } ^ { l * } = \prod _ { k = 1 } ^ { l - 1 } d \xi _ { k } ^ { l } d \xi _ { k } ^ { l * } \cdot 2 ^ { N - l - 1 } ( \xi _ { l } ^ { l } ) ^ { 2 N - 2 l + 1 } \, d \xi _ { l } ^ { l } \, d ^ { 2 N - 2 l + 1 } \hat { \Omega } _ { l } \ .
{ \frac { \partial t _ { 1 } } { \partial \phi ^ { 1 } } } = - { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \left( { \frac { 4 } { 3 } } \right) ^ { 2 / 3 } e ^ { { \frac { \phi } { 3 } } } \ , \qquad { \frac { \partial t _ { 0 } } { \partial \phi ^ { 1 } } } = - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \left( { \frac { 4 } { 3 } } \right) ^ { 2 / 3 } e ^ { - { \frac { 2 \phi } { 3 } } } \ .
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c l l l l } { \mathbf { \Theta } } & { : = } & { [ \theta ( 0 ) } & { \theta ( 1 ) } & { \ldots } & { \theta ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { X } } & { : = } & { [ x ( 0 ) } & { x ( 1 ) } & { \ldots } & { x ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { U } } & { : = } & { [ u ( 0 ) } & { u ( 1 ) } & { \ldots } & { u ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { X } _ { \delta } } & { : = } & { [ \delta x ( 0 ) } & { \delta x ( 1 ) } & { \ldots } & { \delta x ( T - 1 ) ] . } \end{array} } \end{array}
\phi ^ { 6 } - { \frac { 1 } { 6 } } \phi ^ { 2 } E _ { 4 } - { \frac { 1 } { 2 7 } } E _ { 6 } + E _ { 2 } \Big ( \phi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 1 0 8 } } E _ { 4 } \Big ) + { \frac { 1 } { 2 } } \phi ^ { 2 } E _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { 1 3 } { 3 6 } } E _ { 2 } ^ { 3 }