harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 2 } ( \mathcal { M } _ { 5 , 2 } ) \, = \, \sigma _ { 2 } \bigl ( \, \mathbb { P } ^ { 4 } \star \mathcal { M } _ { 5 , ( 1 1 ) } \bigr ) \, } & { = \, \mathbb { P } ^ { 4 } \star \sigma _ { 2 } ( \mathcal { M } _ { 5 , ( 1 1 ) } ) \, \, } \\ & { \subset \, \, \mathbb { P } ^ { 4 } \star \mathbb { P } ^ { 9 } \, = \, \mathbb { P } ^ { 1 4 } . } \end{array}
\frac { a _ { 2 } ^ { 7 } d a _ { 2 } } { m _ { 2 } \left( \omega / n _ { 1 } - 1 \right) } \approx \frac { a _ { 1 } ^ { 7 } d a _ { 1 } } { m _ { 1 } \left( \omega / n _ { 2 } - 1 \right) } \ ,
\begin{array} { r l r } { L _ { \xi } } & { } & { = \kappa \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma x ^ { 1 } , \quad L _ { \eta } = \kappa \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma x ^ { 2 } , } \\ { L _ { \zeta } } & { } & { = - \frac { \kappa } { 2 } \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma | z | ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { \ell _ { j } \to 0 } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in A _ { \ell _ { j } } ^ { \prime } } B [ \gamma ] \Big ) \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { j \to \infty } \Big ( B [ \gamma _ { \ell _ { j } } ] - \frac { 1 } { j } \Big ) \geq B [ \gamma _ { 0 } ] \geq \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in A _ { 0 } ^ { \prime } } B [ \gamma ] .
\bigl < q | \hat { \eta } | \eta ; t \bigr > = \Bigl [ 2 i \hbar f ( t ) \tilde { \varphi } ( t ) \frac { \partial } { \partial q } + \Bigl ( \frac { 1 } { f ( t ) } - 2 g ( t ) \tilde { \varphi } ( t ) \Bigr ) q \Bigr ] \bigl < q | \eta ; t \bigr > = \eta \bigl < q | \eta ; t \bigr > .
\frac { \Tilde { Z } _ { N } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } { \Tilde { Z } _ { \infty } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { m ! } \sum _ { 0 \leq p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dots , p _ { m } } \operatorname* { d e t } \left[ \kappa _ { N } \left( p _ { i } , p _ { j } \right) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { E } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ^ { \kappa - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { a _ { \kappa } } & { - a _ { \kappa - 1 } } \\ { a _ { \kappa - 1 } } & { - a _ { \kappa - 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { { \delta _ { b } x ^ { \mu } = { b ^ { \mu } } _ { \nu } n ^ { \nu } , } } \\ { { \delta _ { b } A _ { a } ^ { \mu } = - { b ^ { \mu } } _ { \nu } \displaystyle \left( \varepsilon _ { a b } \frac { g ^ { b c } } { \sqrt { - g } } { \Pi _ { c } } ^ { \nu } - \xi _ { a } n ^ { \nu } + i ( \bar { \theta } \Gamma ^ { \nu } \partial _ { a } \theta ) \right) . } } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { \mathrm { e f f } } + { \cal L } _ { \mathrm { c t } } { \ \ \mathrm { w i t h \ \ } } { \cal L } _ { \mathrm { c t } } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \; ,
\mathcal { W } _ { C H S H } \! = \! \{ ( x _ { 1 1 } , x _ { 1 2 } ; ~ x _ { 2 1 } , x _ { 2 2 } ) \! : \! x _ { 1 2 } \! \oplus \! x _ { 2 2 } \! = \! x _ { 1 1 } x _ { 2 1 } \} .
{ \cal { F } } \left\{ \left( P - { \mu } ^ { 2 } \right) _ { A d } ^ { - 1 } \right\} ( x ) = \pi { \mu } ^ { \frac { \nu } { 2 } - 1 } Q _ { - } ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { \nu } { 2 } \right) } { \cal { I } } _ { 1 - \frac { \nu } { 2 } } \left( \mu Q _ { - } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { T ^ { \mathrm { S } } ( x , t ) } & { { } = T ^ { \mathrm { S } } ( \eta ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ) \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad \eta ^ { \mathrm { ~ S ~ } } = \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ S ~ } } t } } , } \\ { T ^ { \mathrm { L } } ( x , t ) } & { { } = T ^ { \mathrm { L } } ( \eta ^ { \mathrm { ~ L ~ } } ) \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad \eta ^ { \mathrm { ~ L ~ } } = \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t } } + b ( t ) . } \end{array}
{ \cal J } _ { 1 0 1 } ^ { a } ( \Omega _ { k } , q ) = { \int } _ { 0 } ^ { + \infty } d r \ r ^ { 2 } R _ { 1 0 } ( r ) j _ { 1 } ( q r ) { \cal B } _ { 1 0 1 } ( \Omega _ { k } ; r ) ,
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { L } } & { = R , } & { \mathcal { U } } & { = \frac { \rho g h _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu } = \frac { \rho g R ^ { 2 } } { \mu } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { P } } & { = \frac { \gamma } { R } , } & { \mathcal { T } } & { = \frac { \mathcal { L } } { \mathcal { U } } = \frac { \mu } { \rho g R } ( 1 - \beta ) ^ { - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { k } [ g _ { 1 } , g _ { 2 } ] = \frac { 2 } { v _ { g } ( k ) } \Big ( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } + 2 g _ { 1 } g _ { 2 } \cos { ( k \Delta x ) } \Big ) . } \end{array}
\small q _ { \mu } = \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ \boldsymbol { \phi } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \boldsymbol { \phi } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) , \quad \boldsymbol { \phi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) \right] } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ \boldsymbol { \phi } _ { \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) \right] } \left( \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } [ j _ { \boldsymbol { \psi } \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) ] } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } [ j _ { \boldsymbol { \theta } \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r } { \tau ( u ) = \frac { 2 \pi [ c ( u ) ] ^ { \sigma } } { [ c ( u ) ] ^ { \sigma } + [ 1 - c ( u ) ] ^ { \sigma } } ~ , \quad c ( u ) = \left( \frac 1 2 - \frac 1 \sigma \right) \bigg ( \frac { u } { \pi } - 1 \bigg ) ^ { 2 } + \frac 1 \sigma \bigg ( \frac { u } { \pi } - 1 \bigg ) + \frac 1 2 ~ , \quad u \in [ 0 , 2 \pi ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } f _ { n } ( \epsilon _ { k } , t ) = } & { } & { \int B ( \epsilon _ { k } | \epsilon _ { k } ^ { \prime } ) f _ { n } ( \epsilon _ { k } ^ { \prime } , t ) d \epsilon _ { k } ^ { \prime } } \\ & { } & { - f _ { n } ( \epsilon _ { k } , t ) \int B ( \epsilon _ { k } ^ { \prime } | \epsilon _ { k } ) d \epsilon _ { k } ^ { \prime } + Q _ { n } ( \epsilon _ { k } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { x } } { d t } } & { = \Bigl [ - \alpha - i \delta _ { 0 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { x } | ^ { 2 } + B | \psi _ { y } | ^ { 2 } \right) \Bigr ] \psi _ { x } } \\ & { \qquad \quad + i \, g t _ { \mathrm { R } } C \, \psi _ { x } ^ { * } \psi _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { \theta } \, S _ { \mathrm { i n } } \cos \chi , } \\ { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { y } } { d t } } & { = \Bigl [ - \alpha - i ( \delta _ { 0 } - \delta _ { \pi } ) + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { y } | ^ { 2 } + B | \psi _ { x } | ^ { 2 } \right) \Bigr ] \psi _ { y } } \\ & { \qquad \quad + i \, g t _ { \mathrm { R } } C \, \psi _ { y } ^ { * } \psi _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \theta } \left( t \right) = \frac { p _ { \theta } \left( t \right) } { \sqrt { p _ { t } ^ { 2 } + k ^ { 2 } + p _ { a } ( 0 ) ^ { 2 } - p _ { \theta } ( t ) ^ { 2 } - p _ { a } ( t ) ^ { 2 } } } , \, \dot { a } \left( t \right) = \frac { p _ { a } \left( t \right) } { \sqrt { p _ { t } ^ { 2 } + k ^ { 2 } + p _ { a } ( 0 ) ^ { 2 } - p _ { \theta } ( t ) ^ { 2 } - p _ { a } ( t ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\Delta \tau = \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } = \frac { 4 m T \overrightarrow { R } . ( ( \overrightarrow { v } _ { 1 } + ( \overrightarrow { \Omega } \times \overrightarrow { R } ) ) \times \overrightarrow { \omega } ) } { c ^ { 2 } ( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } \{ e ^ { \mathcal J t } \} ( \omega ) } & { = ( i \omega \mathbb { I } _ { 2 } - \mathcal { J } ) ^ { - 1 } , } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } + i \omega } } & { 0 } \\ { \frac { \gamma } { ( 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } + i \omega ) ( 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega ) } } & { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega } } \end{array} \right) . } \end{array}
\Pi ^ { d a } \frac { \partial \Pi ^ { b c } } { \partial \Theta ^ { d } } + \Pi ^ { d b } \frac { \partial \Pi ^ { c a } } { \partial \Theta ^ { d } } + \Pi ^ { d c } \frac { \partial \Pi ^ { a b } } { \partial \Theta ^ { d } } = 0 .
\boldsymbol { v } ^ { ( 0 ) } = \Delta \boldsymbol { \Omega } ^ { ( 0 ) } \times \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \mathsf { E } } ^ { \infty } \cdot \boldsymbol { r } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ \ } \boldsymbol { r } \in S ,
a , b = \sqrt { ( { \cal F } ^ { 2 } + { \cal G } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \pm { \cal F } } ; \quad { \cal F } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } , \quad { \cal G } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { * } F ^ { \mu \nu } .
\left( \begin{array} { l } { \medskip \zeta _ { t } } \\ { \sigma _ { t } } \end{array} \right) = P _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { \medskip \displaystyle \frac { \delta \Pi } { \delta \zeta } } \\ { \displaystyle \frac { \delta \Pi } { \delta \sigma } } \end{array} \right) = P _ { 0 } \left( \begin{array} { l } { \medskip \displaystyle \frac { \delta \mathcal E } { \delta \zeta } } \\ { \displaystyle \frac { \delta \mathcal E } { \delta \sigma } } \end{array} \right) \, .
\langle d _ { H , \mathcal { F } } ^ { 2 } ( \theta ) \rangle = c _ { 0 } + ( \frac { F } { 8 } + c _ { 2 } ) \theta ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 3 } , \delta \mathcal { F } ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l r l r } { v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } = - \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S _ { f } } + \frac { v _ { \parallel } + u } { S _ { f } } \sim \sqrt { \epsilon } v _ { t } } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \psi - \psi _ { f } = \frac { I } { \Omega _ { f } } ( v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } ) \sim \sqrt { \epsilon } \rho _ { p } R B _ { p } , } \end{array}
\left[ A ^ { i } ( x ) , \partial _ { 0 } A ^ { * j } ( y ) \right] _ { x ^ { 0 } = y ^ { 0 } } = i \delta ^ { 3 } ( x - y ) \delta ^ { i j } , \qquad \left\{ \psi _ { \alpha } ^ { i } ( x ) , \bar { \psi } _ { \dot { \beta } } ^ { j } ( y ) \right\} _ { x ^ { 0 } = y ^ { 0 } } = - \delta ^ { 3 } ( x - y ) \delta ^ { i j } \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { 0 } .
a _ { \mu } ( b ; m _ { \eta } , M , m _ { q } ) = a _ { \mu } ( b ; m _ { \eta } , \infty , m _ { q } ) + 0 . 1 1 \left( \frac { m _ { \mu } } { M } \right) \times \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 3 } \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ \ M \ge 3 M _ { \rho } ,
\prod _ { j = 1 } ^ { n } ( \lambda - X _ { j } ) = \lambda ^ { n } - e _ { 1 } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } ) \lambda ^ { n - 1 } + e _ { 2 } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } ) \lambda ^ { n - 2 } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } e _ { n } ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } ) .
\underbrace { f _ { k } ( \vec { r } , t + 1 ) = f _ { k } ^ { * } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) } _ { \mathrm { s t r e a m i n g } } = \underbrace { f _ { k } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) + \frac { 1 } { \tau } \left( f _ { k } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) - f _ { k } ( \vec { r } - \vec { \xi } _ { k } , t ) \right) } _ { \mathrm { c o l l i s i o n } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { j } \frac { \partial f } { \partial x _ { j } } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \right\rangle } & { = \left\langle \frac { \partial f } { \partial x _ { j } } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \xi _ { j } \right\rangle = \sum _ { m , k = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { k ! } \frac { \partial w _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } } { \partial x _ { j } } \langle f _ { M } \psi _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \xi _ { j } \rangle } \\ & { = \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 3 } \frac { \partial w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n } } { \partial x _ { j } } - \sqrt { 2 n } \frac { \partial w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } j } ^ { n - 1 } } { \partial x _ { j } } \right) } \\ & { \qquad + \frac { l } { 2 l + 1 } \left( \sqrt { 2 ( n + l ) + 1 } \frac { \partial w _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n } } { \partial x _ { i _ { l } \rangle } } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } \frac { \partial w _ { \langle i _ { 1 } \cdots i _ { l - 1 } } ^ { n + 1 } } { \partial x _ { i _ { l } \rangle } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \alpha } { 2 } } & { \left( q a _ { i } + p b _ { i } \right) - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } ( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha ) } \\ { \ge } & { - \frac { 1 - \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \rho _ { \operatorname* { m i n } } + \alpha } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) } \\ & { - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \alpha \frac { \rho _ { \operatorname* { m i n } } - 1 } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) } \\ { \ge } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 \! + \! \alpha ^ { 2 } } { 2 } \! - \! \alpha ^ { 2 } \right) \right) } \\ { \ge } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 \! + \! \alpha ^ { 2 } } { 2 } \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } \alpha \right) \right) } \\ { = } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { ( 1 \! - \! \alpha ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) \ge 0 \, . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 7 } & { 5 } \\ { 2 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 - 0 } & { 3 - 0 } \\ { 1 - 7 } & { 0 - 5 } \\ { 1 - 2 } & { 2 - 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { - 6 } & { - 5 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] }
\lambda _ { m } ( \gamma ) = \lambda _ { \chi _ { m } } ( \gamma ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { k } 2 \cos \left( \frac { 2 \pi m a _ { j } } { n } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } r \mathrm { ~ i s ~ o d d , } } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { k } 2 \cos \left( \frac { 2 \pi m a _ { j } } { n } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } r \mathrm { ~ i s ~ e v e n . } } \end{array} \right.
\varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \intop \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \nu } d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } ^ { 2 } { A } _ { 1 \parallel } \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) d t = 0 .
C _ { \mathrm { I - I I } } \left\{ \begin{array} { l } { { v = \mu _ { a } ^ { - 1 } w ^ { - 1 } ( w ^ { 2 } - w _ { 0 } ^ { \prime 2 } ) , } } \\ { { y = \mu _ { a } ^ { - 2 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) } \Lambda _ { N = 2 } ^ { \prime - 4 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) + 2 N _ { c } } w ^ { 2 ( N _ { c } ^ { \prime } - 1 ) - 2 N _ { c } } ( w ^ { 2 } - w _ { 0 } ^ { \prime 2 } ) ^ { N _ { c } } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { z _ { 1 } = x _ { 1 } , \quad y _ { 1 } = ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ; } \\ { z _ { 2 } = x _ { 2 } , \quad y _ { 2 } = ( x _ { 3 } , x _ { 1 } ) ; } \\ { z _ { 3 } = x _ { 3 } , \quad y _ { 3 } = ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ; } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { l } { z _ { 4 } = - x _ { 1 } , \quad y _ { 4 } = ( x _ { 2 } , - x _ { 3 } ) ; } \\ { z _ { 5 } = - x _ { 2 } , \quad y _ { 5 } = ( x _ { 3 } , - x _ { 1 } ) ; } \\ { z _ { 6 } = - x _ { 3 } , \quad y _ { 6 } = ( x _ { 1 } , - x _ { 2 } ) . } \end{array}
\left( P _ { \mu } G ^ { \mu } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { j } f ^ { j } + \sum _ { j = 4 } ^ { 8 } \lambda _ { j } f ^ { j } + \sum _ { j = 9 } ^ { 1 5 } \lambda _ { j } f ^ { j } \right) \Theta _ { B } = 0
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } \left( [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } _ { x } h ] h \right) \Lambda ^ { s } h \ d x } & { { } = \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } h ) \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h \ d x - \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } \mathscr { Q } h ) \Lambda ^ { s } h \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( 0 ) ^ { 4 } - 2 L ( 0 ) ^ { 2 } + 1 + \frac { B ( 0 ) ^ { 2 } } { 4 } = \left( L ( 0 ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { B ( 0 ) ^ { 2 } } { 4 } \geq 0 } \\ { \iff } & { L ( 0 ) ^ { 4 } + 1 + \frac { B ( 0 ) ^ { 2 } } { 4 } \geq 2 L ( 0 ) ^ { 2 } } \\ { \iff } & { h ( 0 ) \geq \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
S _ { G F + F P } = - \int d ^ { 4 } x i \delta _ { B } \left[ \bar { C } ^ { a } \left\{ D _ { \mu } [ a ] A ^ { \mu } + { \frac { \alpha } { 2 } } B \right\} ^ { a } - i { \frac { \zeta } { 2 } } g f ^ { a b i } \bar { C } ^ { a } \bar { C } ^ { b } C ^ { i } - i { \frac { \zeta } { 4 } } g f ^ { a b c } C ^ { a } \bar { C } ^ { b } \bar { C } ^ { c } \right] ,
\varphi _ { \pi } ( x ) = \frac { f _ { \pi } } { 2 \sqrt { 3 } } \frac { \Gamma ( 2 \zeta + 2 ) } { [ \Gamma ( \zeta + 1 ) ] ^ { 2 } } x ^ { \zeta } ( 1 - x ) ^ { \zeta } \, , \quad \zeta > 0 \, ,
\begin{array} { r } { \zeta _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } , M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { N _ { \bullet } } ( v ) = ( I _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } * _ { r } I _ { M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { * } ) ( I _ { N _ { \bullet } } ) = ( I _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } } ^ { * } \otimes I _ { M _ { \bullet } ^ { \prime } } ^ { * } ) ( r ( I _ { N _ { \bullet } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \kappa , \rho } ( H ^ { s } ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ^ { s } ) \; = \; } & { ( L _ { \kappa , \rho } ( H ) - s \imath \boldsymbol { 1 } _ { \rho } ) ^ { * } ( L _ { \kappa , \rho } ( H ) - s \imath \boldsymbol { 1 } _ { \rho } ) } \\ { \; = \; } & { L _ { \kappa , \rho } ( H ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ) \, + \, s ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { \rho } \, - \, 2 s \, \Im m ( L _ { \kappa , \rho } ( H ) ) } \\ { \; = \; } & { L _ { \kappa , \rho } ( H ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ) \, + \, s ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { \rho } \, - \, 2 s \, ( \Im m ( - H _ { \rho } ) \oplus \Im m ( H _ { \rho } ^ { * } ) ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| I _ { \gamma } f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \leq \| I _ { 1 } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \| I _ { 2 } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \bigg ( \left\| | 2 B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left\| | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { ( j + 1 ) n } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { q } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { d e g r a d a t i o n \, m R N A } } & { = } & { \gamma _ { m } } \\ { k _ { d e g r a d a t i o n \, p r o t e i n } } & { = } & { \gamma _ { p } } \\ { k _ { c r e a t i o n \, m R N A } } & { = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { p r o t e i n _ { t r a n s c r i p t i o n \; z o n e } } { p r o t e i n _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } } \\ { k _ { c r e a t i o n \, p r o t e i n } } & { = } & { \omega _ { p } \quad { m R N A } _ { t r a n s l a t i o n \, z o n e } \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \hat { \mathbf { a } } _ { x } ^ { 0 } } { \partial p _ { i } } = \hat { a } _ { n \ell , x } ^ { 0 E } \left[ \frac { 1 } { s _ { n \ell } } \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } - k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \right] - \frac { 1 } { 8 j } e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } } \\ & { } & { \times \left( k _ { o } H _ { \ell + 1 } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial R _ { n s } } { \partial p _ { i } } - j ( \ell + 1 ) H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial p _ { i } } \right) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 8 j } e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \left( k _ { o } H _ { \ell - 1 } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial R _ { n s } } { \partial p _ { i } } - j ( \ell - 1 ) \right. } \\ & { } & { \left. \times H _ { \ell - 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial p _ { i } } \right) } \\ & { } & { \frac { \partial \hat { \mathbf { a } } _ { y } ^ { 0 } } { \partial p _ { i } } = \hat { a } _ { n \ell , y } ^ { 0 E } \left[ \frac { 1 } { s _ { n \ell } } \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } - k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \right] - \frac { 1 } { 8 } e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } } \\ & { } & { \times \left( k _ { o } H _ { \ell + 1 } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial R _ { n s } } { \partial p _ { i } } - j ( \ell + 1 ) H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial p _ { i } } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 8 } e ^ { - j ( \ell - 1 ) \theta _ { n s } } \left( k _ { o } H _ { \ell - 1 } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial R _ { n s } } { \partial p _ { i } } - j ( \ell - 1 ) \right. } \\ & { } & { \left. H _ { \ell - 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial p _ { i } } \right) } \\ & { } & { \frac { \partial \hat { \mathbf { a } } _ { z } ^ { 0 } } { \partial p _ { i } } = \hat { a } _ { n \ell , z } ^ { 0 E } \left[ \frac { 1 } { s _ { n \ell } } \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } - k _ { o } \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \right] + \frac { 1 } { 4 j } e ^ { - j \ell \theta _ { n s } } } \\ & { } & { \times \left[ k _ { o } H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial R _ { n s } } { \partial p _ { i } } - j \ell H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \frac { \partial \theta _ { n s } } { \partial p _ { i } } \right] } \end{array}
\| u \| _ { L ^ { p + 1 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } \leq C _ { { \vec { c } } } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { \frac { n ( p - 1 ) } { 2 ( p + 1 ) } } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \left( | u | ^ { 2 } - | \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u | ^ { 2 } \right) \; \mathrm { d } x \right) ^ { \frac { n + 2 - p ( n - 2 ) } { 4 ( p + 1 ) } } .
\left\langle p _ { \mu } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial p _ { \mu } } \right\rangle = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) p _ { \mu } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial p _ { \mu } } = - \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: p _ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) = \frac { n } { \beta }