harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H ( \tau ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \tau - z ) f _ { \tilde { Y } } ( z ) d z } \\ & { = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \frac { \mu ^ { \rho } } { ( \rho - 1 ) ! } \left[ \tau \int _ { 0 } ^ { \tau } z ^ { \rho - 1 } e ^ { - \mu z } d z - \int _ { 0 } ^ { \tau } z ^ { \rho } e ^ { - \mu z } d z \right] } \\ & { = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \frac { \mu ^ { \rho } } { ( \rho - 1 ) ! } \left[ \tau \frac { ( \rho - 1 ) ! } { \mu ^ { \rho } } \gamma ( \mu \tau , \rho ) - \frac { \rho ! } { \mu ^ { \rho + 1 } } \gamma ( \mu \tau , \rho + 1 ) \right] } \\ & { = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \left[ \tau \gamma ( \mu \tau , \rho ) - \frac { \rho } { \mu } \gamma ( \mu \tau , \rho + 1 ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { f } ^ { L } \left( s \right) } & { = } & { \int d \, \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \left( s \right) \int \, d \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) \, e ^ { i \, \overline { { \psi } } _ { f } ^ { \, \ast } \, \left( s \right) \, a \left( s \right) \, \overline { { \psi } } _ { f } \left( s \right) } } \\ & { = } & { - i a \left( s \right) } \end{array}
\sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \pi ^ { 0 } e ^ { + } e ^ { - } , s ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 2 m _ { e } } ^ { \sqrt { s } - m _ { \pi ^ { 0 } } } \frac { d m } { m ^ { 2 } } \Gamma _ { \gamma * \to e ^ { + } e ^ { - } } ( m ) \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \pi ^ { 0 } \gamma * , s , m ) ,
\begin{array} { r l } { l _ { \mathrm { m a x } } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left( 2 , \frac { 2 \, r } { d r _ { \mathrm { m i n } } } { \cal L } \right) , } \\ { m _ { \mathrm { m a x } } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left( 2 , \frac { 2 r } { d r _ { \mathrm { m i n } } } \sin { \theta } { \cal L } \right) , } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { 1 \mapsto 2 } ^ { 2 D } : \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } = b x _ { 1 } , } \\ { y _ { 2 } = b y _ { 1 } , } \\ { d t _ { 2 } = \frac { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) d t _ { 1 } , } \\ { \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , t _ { 1 } ) e ^ { \frac { i } { 2 } \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b } ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } e ^ { - i l _ { 2 } \int \omega _ { 2 } d t _ { 2 } + i l _ { 1 } \int \omega _ { 1 } d t _ { 1 } } . } \end{array} \right.
d s _ { \mathrm { h y p e r } } ^ { 2 } = d D ^ { 2 } + D ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + D ^ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + D \operatorname { t a n h } D \, \check { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } + D \coth D \, \check { \sigma } _ { 2 } ^ { 2 } + \check { \sigma } _ { 3 } ^ { 2 } .
\mathcal { T } ( \iota , k , \boldsymbol { x } , t _ { 0 } ; \hbar ) = \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) .
\left( o , f , r \right) \in \{ \left( 8 , 1 0 , 1 0 \right) , \left( 1 6 , 1 0 , 1 0 \right) , \left( 3 2 , 1 0 , 1 6 \right) , \left( 1 2 8 , 1 0 , 1 6 \right) \}
R _ { H } = \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \operatorname * { l i m } _ { \alpha \rightarrow 0 } \Big ( \alpha ^ { n _ { i } } \exp [ \int _ { \alpha } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \mu } { \mu } { \cal L } _ { \vec { m } _ { i } } ( \mu ) ] \Big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right] \ ,
v _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { n } } & { \mathrm { i f ~ } n \leqslant \ell , } \\ { w _ { n - \ell } } & { \mathrm { i f ~ } \ell < n , } \end{array} \right. \quad c _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { n } } & { \mathrm { i f ~ } n \leqslant \ell , } \\ { a _ { n - \ell } } & { \mathrm { i f ~ } \ell < n , } \end{array} \right. \mathrm { ~ a n d ~ } d _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { q _ { n } } & { \mathrm { i f ~ } n \leqslant \ell , } \\ { b _ { n - \ell } } & { \mathrm { i f ~ } \ell < n . } \end{array} \right.
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - v _ { A } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) V _ { x } = v _ { A } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \left( V _ { x } V _ { z } \right) + \frac { 3 \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t \partial z } \left( \frac { V _ { x } } { v _ { A } } \left[ \frac { V _ { x } } { v _ { A } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } \right] \right) + O ( \epsilon ^ { 5 / 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { N u - 1 } & { { } \propto } & { R a ^ { 3 } \, E k ^ { 4 } , } \\ { R e } & { { } \propto } & { R a ^ { 5 / 2 } \, E k ^ { 3 } , } \\ { ( L ^ { 4 } / \nu ^ { 3 } ) \epsilon _ { u } } & { { } \propto } & { R a ^ { 4 } \, E k ^ { 4 } . } \end{array}
\hat { H } = \frac { \hat { \varrho } ^ { 1 / 2 } } { \sqrt { 3 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \dot { \hat { \chi } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \dot { \hat { \sigma } } ^ { 2 } + \hat { V } ( \hat { \chi } , \hat { \sigma } ) \right) ^ { 1 / 2 } , \quad \hat { V } ( \hat { \chi } , \hat { \sigma } ) = ( \hat { M } ^ { 2 } - \frac { \hat { \chi } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 2 } + \frac { \hat { \chi } ^ { 2 } \hat { \sigma } ^ { 2 } } { 4 }
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r _ { 1 } ( 1 - x ) - \frac { 1 5 r _ { 1 } z } { 1 6 ( 1 + x ) } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( r _ { 2 } ( 1 - y / K _ { 2 } ) - \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) z } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { 1 5 c _ { 1 } r _ { 1 } x } { 1 6 ( 1 + x ) } + \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) y } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } - \left( \frac { 3 c _ { 1 } r _ { 1 } } { 1 6 } + \frac { r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) } { 1 6 K _ { 2 } } - m \right) - m z \right) . } \end{array}
f ( \mathbf { c } , t ) = \frac { 1 } { ( \pi C ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { 2 C } \left( 5 C - 3 + \frac { 2 ( 1 - C ) c ^ { 2 } } { C } \right) \exp ( - c ^ { 2 } / C ) ,
\operatorname* { l i m } _ { \displaystyle \boldsymbol { x } _ { k ^ { \prime } } \rightarrow \boldsymbol { x } _ { k } } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { k k ^ { \prime } } } { r _ { k k ^ { \prime } } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k ^ { \prime } } \right) = 0 .
\begin{array} { r l } & { i R \mu \mp R h ^ { - 1 } - R ^ { 2 } D _ { R } = \frac { h + R } { h } \Bigl ( \mp \frac { R } { R + h } + i \frac { h R } { h + R } \mu - R \frac { h } { h + R } R D _ { R } \Bigr ) , } \\ & { \qquad \frac { h + R } { h } \frac { h } { h + R } R D _ { R } , \qquad \frac { h + R } { h } \frac { h } { h + R } D _ { \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { 0 } \right] } & { \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathfrak k } } & { = \{ X \in { \mathfrak g } \in \mid \theta ( X ) = X \} = \left\{ \left. \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { - B } & { A } \end{array} \right) ~ \right| ~ A , ~ B \in \mathrm { M } _ { 2 } ( { \mathbb R } ) , ~ ^ { t } A = - A , ~ ^ { t } B = B \right\} , } \\ { { \mathfrak p } } & { = \{ X \in { \mathfrak g } \in \mid \theta ( X ) = - X \} = \left\{ \left. \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { B } & { - A } \end{array} \right) ~ \right| ~ A , ~ B \in \mathrm { M } _ { 2 } ( { \mathbb R } ) , ~ ^ { t } A = A , ~ ^ { t } B = B \right\} . } \end{array}
\varepsilon _ { x } = { \frac { \mathrm { e x t e n s i o n } } { \mathrm { o r i g i n a l ~ l e n g t h } } } = { \frac { \mathrm { l e n g t h } ( a b ) - \mathrm { l e n g t h } ( A B ) } { \mathrm { l e n g t h } ( A B ) } } = { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } }
{ \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } = \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } ( \mathrm { I } _ { s } ^ { c } + \mathrm { I } _ { s } ^ { d } ) \, { \ensuremath { \boldsymbol } s } \, d \Omega = { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } ^ { c } + { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } ^ { d } = - \cos { \theta _ { 0 } } \, \mathrm { I } _ { t } \exp \left( \frac { - \kappa \int _ { z } ^ { 1 } n _ { s } ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } + \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \mathrm { I } _ { s } ^ { d } ( z , \theta ) \, { \ensuremath { \boldsymbol } s } \, d \Omega .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } \\ { \mathcal { P } ^ { \mathcal { R } } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \right] _ { \alpha \beta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { A } ( 1 , r ) } \frac { \| D h \| } { | h | } } & { \cdot \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p - 1 } } { | h _ { \circ } | ^ { p - 1 } } } \\ & { = \int _ { \mathbb { A } ( 1 , r ) } \left( { | \nabla \Theta | ^ { 2 } } + \frac { | \nabla \rho | ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \cdot \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p - 1 } } { | h _ { \circ } | ^ { p - 1 } } } \\ & { \geqslant \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 1 } ^ { r } t \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p - 1 } } { | h _ { \circ } | ^ { p - 1 } } \left( \sqrt { 1 - g ( t ) } | \nabla \Theta | + \sqrt { g ( t ) } \frac { | \nabla \rho | } { \rho } \right) d t d \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 4 } ( \tau ) = } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { s _ { 1 } } d \omega _ { s _ { 2 } } d \omega _ { i _ { 1 } } d \omega _ { i _ { 2 } } } \\ & { \mathrm { { | } } f _ { 1 } ( \omega _ { s _ { 1 } } , \omega _ { i _ { 1 } } ) f _ { 2 } ( \omega _ { s _ { 2 } } , \omega _ { i _ { 2 } } ) - } \\ & { f _ { 1 } ( \omega _ { s _ { 2 } } , \omega _ { i _ { 1 } } ) f _ { 2 } ( \omega _ { s _ { 1 } } , \omega _ { i _ { 2 } } ) e ^ { - i ( \omega _ { s _ { 2 } } - \omega _ { s _ { 1 } } ) \tau } { \mathrm { | } } ^ { \mathrm { { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 5 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 K _ { 0 , \alpha } } \psi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { K _ { n , \alpha } } \psi _ { n , \alpha } ^ { 2 } ( r ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } } & { { } = { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } - \frac { \delta t / 2 } { 2 } \Omega _ { \phi , i } ^ { \lambda _ { F } } , } \\ { \bar { \phi } _ { i } ^ { + , \lambda _ { F } } } & { { } = { \phi } _ { i } ^ { \lambda _ { F } } + \frac { \delta t / 2 } { 2 } \Omega _ { \phi , i } ^ { \lambda _ { F } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathsf { L } } } = \overline { { \mathsf { K } } } - \overline { { \mathsf { P } } } - \overline { { \mathsf { W } } } = \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { a } - \mathbf { K } _ { b } \right) \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \frac { 1 } { 4 } ( - \hat { \mathbf { F } } _ { a } + \hat { \mathbf { F } } _ { b } + \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { w } } ) ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \hat { \mathsf { K } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { P } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } + \mathrm { c . c . } \, . } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } + \boldsymbol { u } _ { c o n s t } \cdot \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { x } } + \frac { q } { m } ( \boldsymbol { E } + \boldsymbol { u } _ { c o n s t } \times \boldsymbol { B } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { v } } = 0 .
\begin{array} { r l } { y _ { \lambda , \, i \ell } } & { = \left( b _ { i \ell } + \sqrt { b _ { i \ell } ^ { 2 } + 4 \sigma _ { \lambda } C _ { i \ell } } \right) / ( 2 \sigma _ { \lambda } ) } \\ { b _ { i \ell } } & { = u _ { \lambda , \, i \ell } + \sigma _ { \lambda } T _ { i \ell } ^ { \top } \lambda - \exp ( - y _ { \mu , \, \ell } ) . } \end{array}
\int _ { \mathbf { R } ^ { n } } \delta ( g ( \mathbf { x } ) ) \, f ( g ( \mathbf { x } ) ) \left| \operatorname* { d e t } g ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) \right| \, d \mathbf { x } = \int _ { g ( \mathbf { R } ^ { n } ) } \delta ( \mathbf { u } ) f ( \mathbf { u } ) \, d \mathbf { u }
\langle \hat { \tau } \rangle = i \sum _ { k \alpha i } \left[ \partial _ { \theta } t _ { k \alpha i } ( \theta ) G _ { i k \alpha } ^ { < } ( t , t ) + \partial _ { \theta } t _ { i k \alpha } ( \theta ) G _ { k \alpha i } ^ { < } ( t , t ) \right] .
T = { \frac { \eta \sinh ( \beta - r _ { - } \Delta \phi _ { n } ) \pm [ ( \cosh ( \beta - r _ { - } \Delta \phi _ { n } ) - \eta X \cosh r _ { + } \Delta \phi _ { n } ) ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } r _ { + } \Delta \phi _ { n } ] ^ { 1 / 2 } } { \cosh r _ { + } \Delta \phi _ { n } } } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 4 } X } & { : = { \bf D } _ { 4 } X - \frac { 1 } { 2 } { \bf g } ( X , { \bf D } _ { 4 } e _ { 3 } ) e _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } { \bf g } ( X , { \bf D } _ { 4 } e _ { 4 } ) e _ { 3 } , } \\ { \nabla _ { 3 } X } & { : = { \bf D } _ { 3 } X - \frac { 1 } { 2 } { \bf g } ( X , { \bf D } _ { 3 } e _ { 3 } ) e _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } { \bf g } ( X , { \bf D } _ { 3 } e _ { 4 } ) e _ { 4 } . } \end{array}
H = H _ { 0 } + \eta H _ { 1 } = [ { \frac { p ^ { 2 } } { m } } + { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \pi \epsilon _ { 0 } } } l n { \frac { r } { r _ { 0 } } } ] + [ a ( 1 + l n { \frac { r } { r _ { 0 } } } ) + { \frac { j b } { m c r } } ] ~ ,
\begin{array} { r } { V ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) = V _ { 0 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\mathcal { L } _ { E f f } ^ { \gamma } = \mathcal { L } _ { S M } ^ { \gamma } + e \frac { 1 } { 2 m _ { \tau } } ( - i k _ { \nu } \sigma ^ { \mu \nu } ) S ^ { \gamma } \left( \begin{array} { l } { { \bar { e } } } \\ { { \bar { \mu } } } \\ { { \bar { \tau } } } \end{array} \right) ^ { T } U _ { l } ^ { \dag } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) U _ { l } \left( \begin{array} { l } { { e } } \\ { { \mu } } \\ { { \tau } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \Psi _ { P \mathrm { ( 2 . 5 ) } } = + 0 . 4 ( 1 . 6 ) } \\ { \Xi _ { P \mathrm { ( 2 . 5 ) } } = + 2 3 4 7 0 ( 1 4 1 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } ( t ) } & { { } = \mathcal { A } [ \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) ] } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } ( t ) } & { { } = - \sqrt { \eta } \, \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { 1 - \eta } \, \alpha _ { 0 } ( t ) } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) } & { { } = \sqrt { 1 - \eta } \, \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { \eta } \, \alpha _ { 0 } ( t ) } \\ { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) } & { { } = \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } ( t - \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { X } _ { b } \rangle _ { \mathrm { F } } } & { { } = } & { \sum _ { c } \left( \mathrm { e } ^ { - \hat { F } _ { a } \theta _ { a } } \right) _ { b c } \langle \hat { X } _ { c } \rangle _ { \mathrm { I } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { \mathbf { R } i , \mathbf { R ^ { \prime } } j } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } ( \mathbf { R } - \mathbf { R ^ { \prime } } ) } t _ { \mathbf { k } , i j } \dag , , } \end{array}
T _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } = { A ^ { \prime } } _ { 1 } ^ { [ r , 0 ] } + { A ^ { \prime } } _ { 2 } ^ { [ r , 0 ] } + { A ^ { \prime } } _ { 3 } ^ { [ r , 0 ] } + V _ { 4 V } ^ { [ r , 0 ] } ,
\bar { \omega } _ { 1 } \equiv \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \breve { \omega } _ { 1 } ( t , x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , x ^ { 4 } , x ^ { 5 } - n ) \simeq - { \frac { 2 \pi m _ { 0 } a } { 3 \bar { R } ^ { 3 } } } x ^ { 2 } \, , \qquad \bar { \omega } _ { 2 } \simeq 0 \, ,
G _ { x } ( \beta ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { g _ { x - 1 } ( \beta ) g _ { x + 1 } ( \beta ) } } & { { \mathrm { f o r } \ \mathrm { p e r t u r b e d \ c o n f o r m a l } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { { \frac { g _ { x - 1 } ( \beta ) g _ { x + 1 } ( \beta ) } { \strut g _ { x - 1 + B } ( \beta ) g _ { x + 1 - B } ( \beta ) } } } } & { { \mathrm { f o r } \ \mathrm { A f f i n e \ T o d a } . } } \end{array} \right.
{ \cal T } ( z ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { 2 \mathrm { ~ a r c t a n } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 4 z ^ { 2 } } { \hat { s } } - 1 } } \right] } } & { { ( \mathrm { f o r ~ } \hat { s } < 4 z ^ { 2 } ) } } \\ { { \mathrm { ~ l n } \left| \frac { 1 + \sqrt { 1 - \frac { 4 z ^ { 2 } } { \hat { s } } } } { 1 - \sqrt { 1 - \frac { 4 z ^ { 2 } } { \hat { s } } } } \right| - i \pi ~ } } & { { ( \mathrm { f o r ~ } \hat { s } > 4 z ^ { 2 } ) \ \ , } } \end{array} \right.
\langle [ x ( t _ { 2 } ) - x ( t _ { 1 } ) ] ^ { 2 } \rangle = \langle x ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) \rangle + \langle x ^ { 2 } ( t _ { 1 } ) \rangle - 2 \langle x ( t _ { 1 } ) x ( t _ { 2 } ) \rangle = v ^ { 2 } \langle [ s ( t _ { 2 } ) - s ( t _ { 1 } ) ] ^ { 2 } \rangle + \langle | s ( t _ { 2 } ) - s ( t _ { 1 } ) | ^ { 2 H } \rangle .
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i , j = 1 } ^ { t } } & { = } & { v _ { \theta , i , j = 1 } ^ { t } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) } \\ { v _ { r , i , j = 1 } ^ { t } } & { = } & { v _ { r , i , j = 1 } ^ { t } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) } \\ { v _ { \theta , i , j = N } ^ { t } } & { = } & { v _ { \theta , i , j = 1 } ^ { t } } \\ { v _ { r , i , j = N } ^ { t } } & { = } & { v _ { \theta , i , j = N } ^ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } & { = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { a _ { d } ( \kappa ) } \frac { \Gamma ( ( d - 1 ) / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 ) } { ( \kappa / 2 ) ^ { d / 2 - 1 } } I _ { d / 2 } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \\ & { = \frac { 2 \pi ^ { d / 2 } \Gamma ( ( d - 1 ) / 2 ) ^ { - 1 } } { 2 \pi ^ { d / 2 } ( \kappa / 2 ) ^ { 1 - d / 2 } I _ { d / 2 - 1 } ( \kappa ) } \frac { \Gamma ( ( d - 1 ) / 2 ) } { ( \kappa / 2 ) ^ { d / 2 - 1 } } I _ { d / 2 } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \\ & { = \frac { I _ { d / 2 } ( \kappa ) } { I _ { d / 2 - 1 } ( \kappa ) } \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \\ & { = A _ { d } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | . } \end{array}
\boldsymbol { W _ { 2 } } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } , \texttt { r o t a t e } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } ) \}
A ^ { ( 6 ) } ( p , \delta ) = 1 - \frac { \alpha } { \pi ^ { 2 } N } \frac { 1 } { p ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \alpha } d k \frac { k } { k ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \{ f ( p , k ) + f ( k , p ) \}
\begin{array} { r l } { ( \mu \nu \vert K ) } & { = \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \phi _ { \mu } ( \vec { r } ) \phi _ { \lambda } ( \vec { r } ) \chi _ { K } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } } \\ { V _ { L K } } & { = \iint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } \mathrm { d } ^ { 3 } \ensuremath \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \chi _ { L } ( \vec { r } ) \chi _ { K } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \vert \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \vert } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 . { \overline { { 1 4 2 8 5 7 } } } } & { { } = { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 6 } } } + { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 1 2 } } } + { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 1 8 } } } + \cdots = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 6 n } } } } \\ { \implies } & { { } \quad { \frac { a } { 1 - r } } = { \frac { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 6 } } } { 1 - { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 6 } } } } } = { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 1 0 ^ { 6 } - 1 } } = { \frac { 1 4 2 8 5 7 } { 9 9 9 9 9 9 } } = { \frac { 1 } { 7 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) ( V - V _ { I } ) = - \frac { 2 \, a \, \alpha \, k ^ { 2 } \, r \, V _ { b } ^ { 2 } ( - \sqrt { \kappa } + a \, \alpha \, l o g ( a / r ) ) } { ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( - \sqrt { \kappa } + a \, \alpha \, l o g ( a / r ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ^ { \prime } : = u _ { ( 0 ) } , \qquad \eta ^ { \prime } : = \eta _ { ( 0 ) } , \qquad \mathcal { O } ^ { \prime } : = \mathcal { O } _ { ( 0 ) } , \qquad \mathfrak { R } ^ { \prime } : = \mathfrak { R } _ { ( 0 ) } , \qquad S ^ { \prime } : = S _ { ( 0 ) } , \qquad \mathcal { K } ^ { \prime } : = \mathcal { K } _ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \left( | \bar { \theta } _ { n + 1 } + \gamma ^ { - 1 } V _ { n + 1 } | ^ { 2 } - | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } \right) } & { \leq \lambda \frac { 8 } { m } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \lambda \frac { m } { 8 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } - \lambda \frac { m } { 2 } \gamma | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } } \\ & { + \lambda \gamma \frac { B } { 2 } + \lambda ^ { 2 } \frac { 1 } { 4 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \gamma ^ { 2 } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 \gamma \beta } } \langle \Delta _ { n } , \xi _ { n + 1 } \rangle + \frac { \lambda \gamma } { 2 \beta } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\eta = \left( \frac { \nu ^ { 3 } } { \varepsilon } \right) ^ { 1 / 4 } , \quad \lambda = \sqrt { \frac { 5 \nu } { \varepsilon } } u ^ { r m s } , \quad R e _ { \lambda } = \frac { u ^ { r m s } \lambda } { \sqrt { 3 } \nu } ,
\begin{array} { r l } { \langle \rho _ { a S , b S ^ { \prime } } ^ { k \, q } \rangle } & { = \sum _ { M M ^ { \prime } } \rho _ { a S M , b S ^ { \prime } M ^ { \prime } } \times } \\ { ( - 1 } & { ) ^ { S - M ^ { \prime } + q + 2 k } \sqrt { 2 k + 1 } \left( \begin{array} { l l l } { S ^ { \prime } } & { k } & { S } \\ { - M ^ { \prime } } & { - q } & { M } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\bar { x } = \frac { \int x \mathcal { F } ( x , y ) d x d y } { \int \mathcal { F } ( x , y ) d x d y } \mathrm { ~ a n d ~ } \bar { y } = \frac { \int y \mathcal { F } ( x , y ) d x d y } { \int \mathcal { F } ( x , y ) d x d y } .
\mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } = \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { x } _ { * } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \left\langle \mathbf { p } _ { k } , \mathbf { p } _ { i } \right\rangle _ { \mathbf { A } } = \alpha _ { k } \left\langle \mathbf { p } _ { k } , \mathbf { p } _ { k } \right\rangle _ { \mathbf { A } }