harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
r _ { a } ( \alpha ) = r _ { X , Y } ( \alpha ) = \frac { ( P _ { a a } + \alpha P _ { a b } ) \rho - ( n _ { a } ^ { 2 } + 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) \rho } { \sqrt { \rho ( 1 - \rho ) } \sqrt { ( n _ { a } ^ { 2 } + 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) ( 1 - n _ { a } ^ { 2 } - 2 \alpha n _ { a } ( 1 - n _ { a } ) ) } }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { { } = \left\{ \frac { 1 } { N _ { H R } } { M ^ { \prime } ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } E _ { \sigma } W G _ { 2 } + G _ { 1 } E _ { \sigma } \mathcal { S } [ M _ { 2 } ] G _ { 2 } + G _ { 1 } \mathcal { S } [ M _ { 1 } E _ { \sigma } ] G _ { 2 } } \\ { = } & { G _ { 1 } E _ { \sigma } + G _ { 1 } \big ( E _ { \sigma } ( w _ { 2 } - \hat { { \Lambda } } + \mathcal { S } [ M _ { 2 } ] ) + \mathcal { S } [ M _ { 1 } E _ { \sigma } ] \big ) G _ { 2 } } \\ { = } & { G _ { 1 } E _ { \sigma } - G _ { 1 } \big ( E _ { \sigma } M _ { 2 } ^ { - 1 } - \mathcal { S } [ M _ { 1 } E _ { \sigma } ] \big ) G _ { 2 } = : G _ { 1 } E _ { \sigma } - G _ { 1 } \Phi _ { \sigma } G _ { 2 } \, , } \end{array}
2 s ^ { 2 } \cdot I ^ { ( c ) } \ = \ ( - 1 ) ^ { 2 } \sum _ { \lambda _ { i } } \bar { u } \hat { e } v \cdot \bar { v } \hat { p } ^ { \prime } v \cdot \bar { v } \hat { V } ^ { * } u \cdot \bar { u } \hat { p } ^ { \prime } u \cdot \, .
f ( \left| \boldsymbol { r } \right| ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 . 5 , \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \left| \boldsymbol { r } \right| < 0 . 2 , } \\ { 2 , \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ 0 . 2 \le \left| \boldsymbol { r } \right| < 0 . 4 , } \\ { \left| \boldsymbol { r } \right| + 1 . 6 , \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ 0 . 4 \le \left| \boldsymbol { r } \right| < 0 . 6 , } \\ { - ( \left| \boldsymbol { r } \right| - 0 . 6 ) ^ { 2 } + 2 . 2 , \qquad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { A _ { 1 } \widetilde { c _ { 1 } } + v _ { - 1 } = 0 , , } \\ { A _ { 2 } \widetilde { c _ { 2 } } + v _ { - 1 } \widetilde { c _ { 1 } } - \epsilon = 0 , } \\ { A _ { 1 } A _ { 3 } \widetilde { c _ { 3 } } + ( A _ { 1 } + A _ { 2 } ) v _ { - 1 } \widetilde { c _ { 2 } } + v _ { - 1 } ^ { 2 } \widetilde { c _ { 1 } } + A _ { 1 } v _ { 1 } = 0 , } \\ { A _ { 2 } A _ { 4 } \widetilde { c _ { 4 } } + ( A _ { 2 } + A _ { 3 } ) v _ { - 1 } \widetilde { c _ { 3 } } + v _ { - 1 } ^ { 2 } \widetilde { c _ { 2 } } + A _ { 2 } v _ { 1 } \widetilde { c _ { 1 } } + ( v _ { - 1 } v _ { 1 } + A _ { 2 } v _ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } ) = 0 , } \\ { \cdots \; \cdots \; \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q [ u ] = } & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } K ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) u ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , t ) u ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) u ( x , y , t ) u ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } . } \end{array}
\nu _ { x y } = \frac { C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } } { C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } + C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } } , \, \, \, \nu _ { y z } = \frac { C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } } { C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } + C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } } , \, \, \, \nu _ { z x } = \frac { C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } } { C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } + C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } } \left| f { ( i 1 , X _ { s - } ^ { i } , a ) } + f { ( i 2 , X _ { s - } ^ { i } , a ) } - f { ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) } \right| \mathcal N _ { i } ^ { b } ( \mathrm { d } s ) \leq 3 \| f \| _ { \infty } \widehat { \pi } _ { T } ( \mathcal I , C , \{ a , g \} ) \, . } \end{array}
\begin{array} { c } { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \right) = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial t } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { u _ { j } } \right) + \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial { \tau } _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( { \delta } _ { i j } \sigma _ { k k } \right) = 0 \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \overline { { e } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) \widetilde { u _ { j } } \right] - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \delta _ { i j } { \sigma } _ { k k } \right) \widetilde { u _ { i } } \right] + \frac { \partial { q } _ { j } } { \partial x _ { j } } = 0 \, \mathrm { , } } \end{array}
\tilde { g } _ { m n } ^ { \prime } ( \tau ) = \dot { \tilde { g } } _ { m n } \tau ^ { \prime } , \qquad \tilde { g } _ { m n } ^ { \prime \prime } ( \tau ) = \ddot { \tilde { g } } _ { m n } + \dot { \tilde { g } } _ { m n } \tau ^ { \prime \prime }
v _ { g } ( \tau ) = V _ { 0 } \omega _ { 0 } \, \tau ^ { 2 \alpha } \, e ^ { - \tau / \tau _ { 1 } } \, \frac { \sin ( \Omega _ { 0 } \tau ) } { \Omega _ { 0 } \tau } \Theta ( \tau ) , \quad \left[ \frac { \mathrm { ~ V ~ } } { \mathrm { ~ s ~ } } \right]
\log N _ { i } = a - b M _ { i } , \footnote { T h i s i s t h e e q u a t i o n f o r G u t e n b e r g - R i c h t e r l a w , d e s c r i b i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n M a g n i t u d e a n d f r e q u e n c y o f e a r t h q u a k e s }
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } - \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle ) - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot ( \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , } \\ & { \quad \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma . } \end{array}
f ^ { { \cal D } } = \frac { \mathrm { g } ^ { u } - \mathrm { g } ^ { l } } { \mathrm { g } ^ { u } + \mathrm { g } ^ { l } } f ^ { 0 } + \frac { \Delta ^ { 0 } \Delta ^ { \cal D } } { f ^ { 0 } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { t } ^ { \mathrm { e f f } } = \mathbf { t } ^ { \mathrm { i m p o s e d } } ~ \mathrm { o n } ~ \Gamma _ { s } } \\ { \mathbf { u } ^ { s } = \mathbf { u } ^ { \mathrm { i m p o s e d } } ~ \mathrm { o n } ~ \Gamma _ { u } } \\ { p ^ { l } = 0 ~ \mathrm { o n } ~ \Gamma _ { p } } \\ { p ^ { b } = 0 ~ \mathrm { o n } ~ \Gamma _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 0 } } & { = } & { - ( 2 + u ) ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( 1 + { S } _ { i f } ) + u ^ { 2 } ( 1 - { S } _ { i f } ) } \\ & { } & { \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] + 2 u ^ { 2 } { S } _ { i f } \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - ( 4 u + 2 u ^ { 2 } ) } \\ & { } & { ( { \bf S } _ { f } + { \bf S } _ { i } ) \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - 2 u ^ { 2 } ( { \bf S } _ { f } - { \bf S } _ { i } ) \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) } \\ & { } & { - 4 u ^ { 2 } \left[ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) - \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right] ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) , } \end{array}
\left( k _ { \bot } ^ { 2 } \; + \; \frac { \omega _ { \mathrm { p } e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \delta \widetilde { A } _ { \| } \; = \; \left( \frac { k _ { \| } \omega _ { \mathrm { p } e } } { c } \right) \; \nu \; \delta \widetilde { \Phi } ,
\Phi _ { 1 } = 2 \sum _ { n / 1 } ^ { \infty } D _ { n } \sin ( \omega _ { n } \tau + \varphi _ { n } ) \left[ \tan \lambda \sigma \cos \left( \omega _ { n } \sigma + \frac { n \pi } { 2 } \right) - \, \frac { \omega _ { n } } { \lambda } \sin \left( \omega _ { n } \sigma + \frac { n \pi } { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { B ( y ) } & { = \frac { 1 } { q - 1 } \sum _ { \xi \in \mathfrak { G } } \Big ( \sum _ { s \in \mathbb { F } _ { q } } \xi ( s ) \chi ( 1 - s ) \Big ) \Big ( \sum _ { t \in \mathbb { F } _ { q } } \xi ( t ) \eta ( 1 - y t ) \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { q - 1 } \sum _ { \xi \in \mathfrak { G } } \xi ( y ^ { - 1 } ) J ( \xi , \chi ) J ( \xi , \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { k + 1 } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - 1 - i } ( h _ { k + 1 } \sigma _ { i } ^ { k } + h _ { k } \sigma _ { i } ^ { k - 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - i } ( \sigma _ { i } ^ { k } - h _ { k } \sigma _ { i - 1 } ^ { k - 1 } ) = } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - 1 - i } ( h _ { k + 1 } \sigma _ { i } ^ { k } + h _ { k } \sigma _ { i } ^ { k - 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - i } \sigma _ { i } ^ { k - 1 } } \end{array}
\partial _ { J } ^ { I } u _ { i } ^ { K } = \delta _ { J } ^ { K } u _ { i } ^ { I } - { \frac { 1 } { N } } \delta _ { J } ^ { I } u _ { i } ^ { K } \; , \qquad \partial _ { J } ^ { I } u _ { K } ^ { i } = - \delta _ { K } ^ { I } u _ { J } ^ { i } + { \frac { 1 } { N } } \delta _ { J } ^ { I } u _ { K } ^ { i } \; .
V _ { s o f t } = ( m _ { 0 } ^ { 2 } ) _ { b } ^ { a } ~ \phi _ { a } \phi _ { b } ^ { \dag } + \biggl [ \frac { 1 } { 3 } { \tilde { A } } ^ { a b c } \phi _ { a } \phi _ { b } \phi _ { c } + \frac { 1 } { 2 } { \tilde { B } } ^ { a b } \phi _ { a } \phi _ { b } + h . c . \biggr ]
\begin{array} { r l } & { B ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 1 } \partial _ { x ^ { k } } ( \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } ) ( m , m , \tilde { x } ; s ) { \mathbf + } } \\ & { \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { k \geq 1 } } \partial _ { x ^ { k } } ( \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } ) ( m , m , \tilde { x } ; s ) + \frac { 1 } { 2 } { { \partial _ { m } ( \| A ^ { 1 } \| ^ { 2 } } { p _ { V } } ) } ( m , m , \tilde { x } ; s ) } \end{array}
m _ { e } / m _ { \tau } \cong ( \epsilon _ { 1 } / \epsilon _ { 3 } ) \frac { \left| \vec { L } _ { 1 } \cdot \vec { L } _ { 2 } \times \vec { L } _ { 3 } \right| \left| \vec { L } _ { 3 } \right| } { \left| \vec { L } _ { 2 } \times \vec { L } _ { 3 } \right| ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { e } _ { 1 } ^ { ( v ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 4 } } \\ { \hat { e } _ { 2 } ^ { ( v ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 5 } } \\ { \hat { e } _ { 3 } ^ { ( v ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \hat { \lambda } _ { 8 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } f ( \boldsymbol { r } , t ) \biggl ( } & { \cos ( \mathrm { u } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { \sin ( \mathrm { u } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { y } \biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } ^ { i } } & { { } = Y _ { 0 } ^ { i } + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t } 1 _ { \{ s < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \cdot \textrm { d } B _ { s } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Xi ( x ) } & { = \Gamma ( x ) \Lambda ( x ) = \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 4 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 5 } x ^ { 4 } } \\ { \Omega ( x ) } & { = S ( x ) \Xi ( x ) \equiv \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 5 } x ^ { 3 } { \bmod { x ^ { 6 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A _ { k } ^ { * } ( \zeta ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 k } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { j } v _ { j } \zeta ^ { - 3 j / 2 } U _ { 2 k - j } \big ( ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \big ) , } \\ { * [ 1 m m ] B _ { k } ^ { * } ( \zeta ) } & { = - \zeta ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 k + 1 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { j } u _ { j } \zeta ^ { - 3 j / 2 } U _ { 2 k - j + 1 } \big ( ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \big ) , } \end{array}
A _ { \Pi _ { T } B _ { 1 } B _ { 2 } } = \frac { S _ { \Pi _ { T } B _ { 1 } B _ { 2 } } } { 4 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } F _ { \Pi _ { T } } } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \varepsilon _ { 2 } ^ { \nu } k _ { 2 } ^ { \beta } ,
f ^ { * } ( p ) = \int _ { 0 } ^ { p } F ^ { - 1 } ( q ) \, d q = ( p - 1 ) F ^ { - 1 } ( p ) + \operatorname { E } \left[ \operatorname* { m i n } ( F ^ { - 1 } ( p ) , X ) \right] = p F ^ { - 1 } ( p ) - \operatorname { E } \left[ \operatorname* { m a x } ( 0 , F ^ { - 1 } ( p ) - X ) \right] .
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ^ { * } ) } ^ { 2 } = \lVert \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } \leq } & { 2 C _ { 1 } \left( - \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( T ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } + \left( \frac { \gamma } { 4 } , \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right) ^ { 2 } \right) _ { \Omega } \right) } \\ & { + C _ { 1 } ^ { 2 } \left\lVert - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\Psi _ { \bf C } \rightarrow \exp { ( \phi _ { 1 } E _ { 1 } - \theta _ { 2 } E _ { 2 } + \phi _ { 3 } E _ { 3 } + \theta _ { 1 } F _ { 1 } + \phi _ { 2 } F _ { 2 } + \theta _ { 3 } F _ { 3 } ) } \cdot \Psi _ { \bf C } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta F [ \rho ] } { \delta \rho } } } & { = { \frac { \partial f } { \partial \rho } } - \nabla \cdot { \frac { \partial f } { \partial ( \nabla \rho ) } } + \nabla ^ { ( 2 ) } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( 2 ) } \rho \right) } } + \dots + ( - 1 ) ^ { N } \nabla ^ { ( N ) } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( N ) } \rho \right) } } } \\ & { = { \frac { \partial f } { \partial \rho } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { i } \nabla ^ { ( i ) } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( i ) } \rho \right) } } \ . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { F ( \tau ) } & { = \sum _ { n } \sum _ { a , b \in \mathbb Z / N \mathbb Z } \sum _ { \gamma \in L ^ { \prime } / L } c _ { ( a , b ) , \gamma } ( n ) q ^ { n } \mathfrak { e } _ { ( a , b ) } \otimes \mathfrak { e } _ { \gamma } } \\ & { = \sum _ { n } \sum _ { a , b \in \mathbb Z / N \mathbb Z } \sum _ { \gamma \in L ^ { \prime } / L } f _ { ( a , b ) , \gamma } ( n ) q ^ { n } \mathfrak { f } _ { ( a , b ) } \otimes \mathfrak { e } _ { \gamma } . } \end{array}
\Psi ( x , u ) = \left. \psi ( \frac { \partial } { \partial a _ { 1 } } , . . . , \frac { \partial } { \partial a _ { n } } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \phi _ { i } ( x + a _ { i } u ) \right| _ { a _ { m } = 0 }
\begin{array} { r l r } { - \textbf n \cdot \textbf { D } \nabla c _ { \omega } } & { = \mathrm { D a } ( c _ { \omega } ^ { a } - 1 ) , } & { \textbf x \in \Gamma ^ { \omega } , \quad t > 0 , } \\ { c _ { \omega } ( \textbf x , t = 0 ) } & { = c _ { \tiny \mathrm { i n } } ( \textbf x ) , } & { \textbf x \in \Omega _ { p } ^ { \omega } . } \end{array}
\hat { \cal R } _ { m n } = { \cal D } _ { [ m } \psi _ { n ] } + \frac { \kappa } { 2 } \gamma _ { a b [ m } \psi _ { n ] } v ^ { a b } + 2 i \kappa \gamma _ { [ m } \vec { \tau } \psi _ { n ] } \vec { t } - \frac { \kappa } { \sqrt { 3 } } \gamma ^ { a } \psi _ { [ n } \hat { F } _ { m ] a }
\begin{array} { r l } { \gamma \partial _ { t } Q } & { = - \frac { 1 } { \sqrt { g } } g ^ { z \bar { z } } g ^ { z \bar { z } } \frac { \delta \mathcal F } { \delta \bar { Q } } } \\ & { = g ^ { z \bar { z } } \left( K \nabla \bar { \nabla } + K ^ { \prime } \bar { \nabla } \nabla \right) Q + 2 \epsilon ^ { - 2 } S _ { 0 } ( 1 - S _ { 0 } | Q | ^ { 2 } ) Q , } \end{array}
\beta _ { 1 } = \left( \sqrt { Q } - \frac { q } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } , \quad a n d \quad \beta _ { 2 } = \left( - \sqrt { Q } - \frac { q } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }
\begin{array} { r } { E = \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } = \frac 1 2 g _ { i j } \dot { \bf R } _ { i } \dot { \bf R } _ { j } = \frac 1 2 ( { \boldsymbol \omega } , { \bf m } ) = \frac 1 2 ( R I R ^ { T } ) _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } = \frac 1 2 I _ { i j } \Omega _ { i } \Omega _ { j } = \frac 1 2 ( R I ^ { - 1 } R ^ { T } ) _ { i j } m _ { i } m _ { j } = \frac 1 2 I _ { i j } ^ { - 1 } M _ { i } M _ { j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { x } } } } = m { \ddot { x } } + q { \frac { \mathrm { d } A _ { x } } { \mathrm { d } t } } } & { = m { \ddot { x } } + { \frac { q } { \mathrm { d } t } } \left[ { \frac { \partial A _ { x } } { \partial t } } d t + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } } d x + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } d y + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } d z \right] } \\ & { = m { \ddot { x } } + q \left[ { \frac { \partial A _ { x } } { \partial t } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } } { \dot { x } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } { \dot { y } } + { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } { \dot { z } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sigma ( E _ { 2 } ) } & { = \frac { ( \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } - \lambda _ { 1 } ) } { a _ { 1 } } \zeta _ { \mu } ^ { \epsilon } E _ { 1 } + \zeta _ { m } ^ { \epsilon } \sum _ { \mu = 2 } ^ { d } \frac { t _ { \mu , 1 } ^ { ( \alpha ) } } { a _ { 1 } } E _ { \mu } } \\ & { = \frac { ( \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } - \lambda _ { 1 } ) } { a _ { 1 } } \zeta _ { \mu } ^ { \epsilon } E _ { 1 } + \zeta _ { m } ^ { \epsilon } \sum _ { \mu = 2 } ^ { d } \frac { A ( 1 , \mu - 2 ) L ( \alpha - ( \mu - 1 ) , 1 , \mu - 1 ) } { a _ { 1 } } E _ { \mu } } \\ & { = \frac { ( \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } - \lambda _ { 1 } ) } { a _ { 1 } } \zeta _ { \mu } ^ { \epsilon } E _ { 1 } + \zeta _ { m } ^ { \epsilon } \sum _ { \mu = 2 } ^ { d } \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { \mu - 1 } h _ { \alpha - ( \mu - 1 ) } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } { a _ { 1 } } E _ { \mu } . } \end{array}
{ d ^ { C G } } _ { H } { d ^ { D H } } _ { I } f ^ { I E F } f ^ { B A C } = \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { w ( \sigma ) } Y ^ { C } Y ^ { D } \{ Y ^ { E } \, , \, Y ^ { F } \} \{ Y ^ { B } \, , Y ^ { A } \} { } - f ^ { D E F } f ^ { B A C } .
\begin{array} { r } { \delta W ^ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } W ^ { \alpha } \delta g = - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \lambda \beta \zeta } ^ { \alpha \eta \sigma } g ^ { \beta \rho } g ^ { \zeta \phi } \delta g _ { \eta \rho } \wedge \nabla ^ { \lambda } \delta g _ { \sigma \phi } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \beta \mu } g ^ { \sigma \lambda } \nabla _ { \lambda } ( \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } ) , } \end{array}
\exp _ { \* } \left( i t \left( x + p ^ { 2 } \right) \right) = 2 \pi \int _ { - \infty } ^ { \infty } d E \, e ^ { i E t } \, \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 2 \pi } \, \mathrm { A i } \left( 2 ^ { 2 / 3 } \left( x + p ^ { 2 } - \frac { E _ { 1 } + E _ { 2 } } { 2 } \right) \right) = \exp \left( i t \left( x + p ^ { 2 } + t ^ { 2 } / 1 2 \right) \right) .
\lambda = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sigma _ { c } h \, d \sigma , = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \epsilon _ { 0 } \Delta V a } { 2 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) \sqrt { l ^ { 2 } - R ^ { 2 } } } \, d \sigma .
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = - 1 } ^ { 1 } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { \zeta _ { m } ^ { m a t } } } & { { } u _ { m } ^ { i n } ( \mu ^ { \prime } , \zeta ) \zeta ^ { 2 } d \zeta } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal R } ^ { 2 } = } & { { } \left( a ^ { 2 } - a \zeta + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \Delta \left( ( a - \zeta ) ^ { 2 } + \eta \right) , } \\ { \Theta ^ { 2 } = } & { { } a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \eta - \zeta ^ { 2 } \cot ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\mathbf { H } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \phantom { - } 1 } & { \phantom { - } 1 } & { \phantom { - } \mathbf { 1 } ^ { \top } } & { \phantom { - } \mathbf { 1 } ^ { \top } } \\ { \phantom { - } 1 } & { - 1 } & { \phantom { - } \mathbf { 1 } ^ { \top } } & { - \mathbf { 1 } ^ { \top } } \\ { \phantom { - } \mathbf { 1 } } & { \phantom { - } \mathbf { 1 } } & { \phantom { - } \mathbf { C } _ { \mathbf { v } } } & { \phantom { - } \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } } \\ { \phantom { - } \mathbf { 1 } } & { - \mathbf { 1 } } & { \phantom { - } \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } ^ { \top } } & { - \mathbf { C } _ { \mathbf { v } } ^ { \top } } \end{array} \right]
\omega _ { C } < 0 , \qquad \omega _ { N } > 0 , \qquad \omega _ { S } < 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) > \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) ,
\hat { H } _ { S } = \sum _ { \bf k } \left[ \epsilon _ { { \bf k } } ^ { C } \hat { c } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf k } } + \epsilon _ { { \bf k } } ^ { X } \hat { x } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { x } _ { { \bf k } } + g _ { R } \left( \hat { x } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf k } } + \hat { c } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { x } _ { { \bf k } } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { x \oplus y } & { = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) + f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \ominus y } & { = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) - f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \otimes y } & { = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \oslash y } & { = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) / f ^ { - 1 } ( y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( \phi ( x ) \cos ( \lambda f ( x ) ) - \phi ( y ) \cos ( \lambda f ( y ) ) \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \Big ( \phi ( x ) \big ( \cos ( \lambda f ( x ) ) - \cos ( \lambda f ( y ) ) \big ) + \cos ( \lambda f ( y ) ) \big ( \phi ( x ) - \phi ( y ) \big ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \phi ( x ) ^ { 2 } \big ( \cos ( \lambda f ( x ) ) - \cos ( \lambda f ( y ) ) \big ) ^ { 2 } + 2 \cos ^ { 2 } ( \lambda f ( y ) ) \big ( \phi ( x ) - \phi ( y ) \big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \lambda ^ { 2 } \phi ( x ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { y \in B ( x , r ) } | f ( x ) - f ( y ) | ^ { 2 } + 2 \operatorname* { s u p } _ { y \in B ( x , r ) } | \phi ( x ) - \phi ( y ) | ^ { 2 } } \end{array}