harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\langle \exp \left( \alpha _ { x } ^ { ( a ) } \right) U ^ { x _ { 0 } ^ { ( a ) } } \right\rangle = U ^ { | a \rightarrow b | } , \quad \left\langle \exp \left( \alpha _ { y } ^ { ( a ) } \right) U ^ { y _ { 0 } ^ { ( a ) } } \right\rangle = U ^ { - | a \rightarrow b | } , } \\ & { \left( \exp \left( \alpha _ { i } ^ { ( a ) } \right) \exp \left( \alpha _ { i } ^ { ( b ) } \right) \right) = \epsilon ( a , b ) ^ { \delta _ { a \neq b } } \left( \exp \left( \alpha _ { i } ^ { ( a ) } + \alpha _ { i } ^ { ( b ) } \right) \right) \quad ( i = x , y ) , } \\ & { \left( \exp \left( \alpha _ { i } ^ { ( a ) } \right) \exp \left( \alpha _ { j } ^ { ( b ) } \right) \right) = \varepsilon ( a , b ) ^ { \delta _ { a \neq b } } \left( \exp \left( \alpha _ { x } ^ { ( a ) } + \alpha _ { y } ^ { ( b ) } \right) \right) , \quad ( i \neq j ) } \\ & { \left\langle U ^ { \gamma _ { 0 } ^ { ( a ) } } \exp \left( \widetilde { \gamma } ^ { ( b ) } \right) \right\rangle = U ^ { \delta _ { a b } } . } \end{array}
\phi = A ( x - y ) \Sigma _ { l m } \int d \omega ( f _ { \omega l m } ^ { b } b _ { \omega l m } ^ { b } + \bar { f } _ { \omega l m } ^ { b } b _ { \omega l m } ^ { b \dagger } + f _ { \omega l m } ^ { a } b _ { \omega l m } ^ { a } + \bar { f } _ { \omega l m } ^ { a } b _ { \omega l m } ^ { a \dagger } ) ,
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 5 ; 2 } } & { = } & { Y _ { 5 , 3 } Y _ { 4 , 3 } \bar { y } } \\ & { = } & { 3 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { y } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 4 } \bar { 3 } \bar { 2 } \underline { { \bar { 3 } \cdot 2 3 } } \ \underline { { 1 2 1 } } y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \cdot \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { 3 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { y } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 4 } \underline { { \bar { 3 } \bar { 2 } 2 3 \bar { 2 } 2 } } 1 2 y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { = } & { 3 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { y } \bar { 3 } \underline { { \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 4 } 1 2 } } y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 3 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \underline { { \bar { y } \bar { 3 } \bar { 4 } y } } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { \underline { { 3 } } 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \to } } & { 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } 3 } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \underline { { \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } } } \ \underline { { \bar { 3 } \bar { 2 } 3 } } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { 2 3 4 1 2 3 y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \bar { 2 } \bar { 1 } \underline { { \bar { 2 } 2 } } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { = } & { 2 3 \underline { { 4 1 2 3 y } } 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 2 3 1 2 y 4 3 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 4 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname * { m i n } _ { \mathbf { t } , \eta } \quad } & { \Big [ \operatorname * { m a x } _ { k } ~ a _ { k } \Big ( t _ { k } ^ { u p } + \frac { v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) } { f _ { k } } \Big ) \Big ] } \\ { \mathrm { s . t . \quad } } & { t _ { k } ^ { u p } \geq t _ { k } ^ { \operatorname* { m i n } } , \: \forall k , } \\ & { a _ { k } \Big [ t _ { k } ^ { u p } p _ { k } ^ { u p } + \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) f _ { k } ^ { 2 } \Big ] \leq { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \: \forall k , } \\ & { 0 < \eta \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { s } J _ { 0 } = \hat { J } \frac { N _ { f p } } { | N _ { f p } N - M \iota | } \sqrt { \frac { \mu B _ { 0 0 } } { { \cal E } } } \left[ 2 \frac { \partial _ { s } | B _ { M } | } { \partial _ { s } B _ { 0 0 } } E ( \kappa ^ { 2 } ) - \left( 1 + \frac { \partial _ { s } | B _ { M } | } { \partial _ { s } B _ { 0 0 } } \right) K ( \kappa ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d v } { d t } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { C _ { k } } { h } \Big [ \alpha \beta V _ { p } ^ { 2 } m ^ { 3 } - ( 1 - \gamma m ^ { 3 } ) v ^ { 2 } \Big ] } \\ { \frac { d m } { d t } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { C _ { k } } { h } \Big [ ( 1 - m ) v - \chi S m \Big ] } \\ { \beta = } & { 1 - \epsilon - \kappa } \\ { \gamma = } & { \epsilon + \alpha \kappa } \\ { \epsilon = } & { \frac { T _ { s } - T _ { o } } { T _ { s } } } \\ { \kappa = } & { \frac { \epsilon } { 2 } \frac { C _ { k } } { C _ { d } } \frac { L _ { v } } { R _ { d } } \frac { q _ { s } ^ { * } } { T _ { s } } } \\ { \alpha = } & { 1 - 0 . 8 7 \exp ^ { - z } } \\ { z = } & { 0 . 0 1 \Gamma ^ { - 0 . 4 } h _ { m } u _ { T } V _ { p } v ^ { - 1 } } \\ { \chi _ { \mathrm { g r i d } } = } & { \frac { s ^ { * } - s _ { m } } { s _ { 0 } ^ { * } - s ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { V P _ { A } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } | \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } | + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { t } | s _ { t } ^ { ( A _ { 2 } ) } | \Big ( \sum _ { k } | \alpha _ { t k } ^ { ( A _ { 2 } ) } | \Big ) ^ { 2 } , } \\ { \lambda _ { V P _ { B } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } | \tilde { s } _ { l } ^ { ( B ) } | + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { t } | s _ { t } ^ { ( B _ { 2 } ) } | \Big ( \sum _ { l } | \alpha _ { t l } ^ { ( B _ { 2 } ) } | \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 5 } k _ { 2 } ^ { 3 } } n I _ { 0 } \Big ( J _ { 0 } ( k _ { 2 } r ) - J _ { 2 } ( k _ { 2 } r ) \Big ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) } { 2 \pi l ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ( \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) - \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) } , } \\ { B _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx - \frac { \sqrt { 2 r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 2 } ^ { 3 } } n I _ { 0 } \sec ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) J _ { 0 } ( k _ { 2 } r ) \Big ( k _ { 3 } \sin ( \omega _ { 0 } t ) + k _ { 2 } \tan ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) } { 2 \pi l \mu _ { 0 } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } \left( \vec { L } \, \vec { M } _ { 1 } \cdots \vec { M } _ { N - 2 } \; \vec { e } _ { j } \right) \; = \; - \, 2 \left( \frac i 2 \right) ^ { m } \ \hat { \vec { L } } \cdot \vec { e } _ { j }
\left. \int \, e ^ { i q A _ { b } } \, G ( A ) \, d \mu _ { I _ { \beta } } \, ( A ) = e ^ { - \tilde { E } _ { \beta } ( a , q ) } \, \int \, e ^ { i q A _ { b } } \, \left[ \prod _ { p : b \in \partial p } \, i _ { \beta } \, ( \epsilon ( b , p ) a , d A ) \right] \, G ( A ) \, d \mu _ { I _ { \beta } } \, ( A ) \ , \right.
{ \bf \nabla } { \bf v } = \frac { 1 } { 2 } ( { \bf \nabla } { \bf v } + { \bf \nabla } { { \bf v } } ^ { T } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf \nabla } { \bf v } - { \bf \nabla } { { \bf v } } ^ { T } ) = D + \Omega
\begin{array} { r l } { n ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) } & { = n _ { + } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) + n _ { - } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 - t } { \sqrt { 1 - t } } + g \tilde { r } \frac { 4 - 3 t } { 4 \sqrt { 1 - t } } \cos \tilde { \phi } } \\ & { = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } + g \tilde { r } \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 r _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \cos \tilde { \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Delta v ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } = } & { { } - ( \partial _ { x x } + \partial _ { z z } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } v ) ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + \partial _ { y x } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } u ) ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \theta } _ { r s } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } x _ { r s r ^ { \prime } s ^ { \prime } } ( \theta _ { r s } + \theta _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { I \dot { \boldsymbol \Omega } = [ I { \boldsymbol \Omega } , { \boldsymbol \Omega } ] + b [ R ^ { T } { \bf k } , { \bf z } ( 0 ) ] , \qquad \qquad } \\ { \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k m } \Omega _ { k } R _ { i m } , \qquad \mathrm { o r } \qquad \dot { \bf G } _ { i } = - [ { \boldsymbol \Omega } , { \bf G } _ { i } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \overline { { \mathbf { f } } } \rangle } & { \approx k \mathcal { E } _ { z } \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } [ \mathtt { a } \alpha _ { Z Y , X } ( f _ { \omega } ) + \mathtt { b } \alpha _ { X Z , Y } ( f _ { \omega } ) + \mathtt { c } \alpha _ { Y X , Z } ( f _ { \omega } ) } \\ & { + \mathtt { A } \alpha _ { Z Y } ( f _ { \omega } ) \mu _ { 0 X } + \mathtt { B } \alpha _ { X Z } ( f _ { \omega } ) \mu _ { 0 Y } + \mathtt { C } \alpha _ { Y X } ( f _ { \omega } ) \mu _ { 0 Z } ] \cos ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } , } \end{array}
\Omega ^ { A B } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \Omega ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } } } & { { = } } & { { \mathrm { f r e e ~ p a r a m e t e r s , ~ i f ~ A ^ { \prime } , B ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 , \cdots , d + 1 \} - \{ \hat { A } , \hat { B } \} ~ } , } } \\ { { \Omega ^ { A \hat { A } } } } & { { = } } & { { \Omega ^ { A \hat { B } } \; = \; 0 , } } \\ { { \Omega ^ { \hat { A } \hat { B } } } } & { { = } } & { { \mathrm { f r e e ~ p a r a m e t e r s } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { | \log | x - y | | \sum _ { k _ { x } , k _ { y } \geq A | \log | x - y | | } \sum _ { k _ { R } = A } ^ { | \log | x - y | | } \frac { k _ { x } ^ { - \theta + \eta } } { | \log | x - y | | + k _ { x } } \frac { k _ { y } ^ { - \theta + \eta } } { | \log | x - y | | + k _ { y } } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 1 + \theta + \eta } } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( \mathbf x ^ { ( 1 ) } , \mathbf x ^ { ( 2 ) } , \ldots , \mathbf x ^ { ( n ) } ) = \left[ \begin{array} { l } { g ( x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \ldots , x _ { 1 } ^ { ( n ) } ) } \\ { \vdots } \\ { g ( x _ { m } ^ { ( 1 ) } , x _ { m } ^ { ( 2 ) } , \ldots , x _ { m } ^ { ( n ) } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { - \eta _ { t } } \\ { - d \phi _ { t } } \\ { - \Sigma _ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - [ \eta , d N _ { \phi } ( \cdot ) ] _ { 1 } } & { 0 } \\ { \ast \big ( ( \ast \cdot ) \wedge \ast d \eta \big ) } & { A _ { 2 2 } } & { d \big ( \mathrm { l i } _ { \Sigma } ( E ( \cdot ) ) \big ) } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \eta } } \\ { \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ { \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { \ddot { P } } { P } } + { \frac { 1 } { \rho } } \, { \frac { \dot { P } } { P } } + { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } \, { \frac { \ddot { \Phi } } { \Phi } } + { \frac { \ddot { Z } } { Z } } = 0
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { u } } } & { { } = \sigma ( - \mathbf { G } ) } \\ { u _ { t + 1 } } & { { } \sim Q ( \mathbf { u } _ { t + 1 } ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { u } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \| f g \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) } \leq \| f \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) } \| g \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M , s } ( [ a , b ] ^ { d } ) } . } \end{array}
\Omega _ { \delta } = \lbrace ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \ \vert \ 0 \leq y _ { 1 } \leq \Gamma , 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta \leq y _ { 2 } \leq 1 + h ( y _ { 1 } ) \rbrace
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r } { \operatorname { d i v } \left( \frac { Z ^ { h } } { { ( Y - Z ) } ^ { h } } \right) = ( 2 h \Omega _ { 1 } + 2 h \Omega _ { 2 } ) - ( 2 h O + 2 h \Omega _ { 1 } ) = 2 h \Omega _ { 2 } - 2 h O , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { ( Y + Z ) Z ^ { h } } { X { ( Y - Z ) } ^ { h } } \right) } & { = ( 2 O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + 2 h \Omega _ { 1 } + 2 h \Omega _ { 2 } ) - ( O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } + 2 h O + 2 h \Omega _ { 1 } ) = } \\ & { = O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + ( 2 h - 2 ) \Omega _ { 2 } - ( 2 h + 1 ) O , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } ^ { ( j ) } ( P ) } & { { } = \mathbf { U } _ { i _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( P ) } ^ { ( j ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \mathbf { F } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) \varphi \left( \left\| P - P _ { i } \right\| \right) , } \\ { \widehat { \mathbf { A } } ^ { ( j ) } ( P ) } & { { } = \widehat { \mathbf { A } } _ { i _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( P ) } ^ { ( j ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \mathbf { G } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) \varphi \left( \left\| P - P _ { i } \right\| \right) . } \end{array}
{ \mathsf { G } } _ { \mathtt { A } } = { \mathsf { G } } _ { \mathtt { G } } \cap { \mathsf { G } } _ { \mathtt { C } } = \Big \{ { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathsf { A } } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ \Big | \ { \mathsf { A } } \in { \mathsf { O } } ( n - 1 ) \Big \}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { W } ^ { j } = ( \mathbf { E } _ { 1 } ^ { j } , \cdots , \mathbf { E } _ { L } ^ { j } ) ^ { \mathrm { T } } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \\ & { \mathbf { E } _ { \ell } ^ { j } ( t ) = B _ { \ell } ^ { j } \cos ( 2 \pi \boldsymbol { \omega } _ { k } t + \boldsymbol { \theta } _ { \ell } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , \omega \right\rangle + \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \nabla \beta , \nabla \psi _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \beta , \omega \nabla ^ { \perp } \psi \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \beta \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
W _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \gamma _ { e } , \chi _ { e } ) = \frac { R _ { p e } ( \gamma _ { e } , \chi _ { e } ) } { \omega _ { r } } = \frac { \alpha } { \sqrt { 3 } \pi } \frac { \lambda _ { r } } { \lambda _ { C } } \frac { \chi _ { e } } { \gamma _ { e } } \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) ,
t ^ { \mathcal M } { } _ { \mathcal N } = f _ { \underline { { { [ I J ] } } } \mathcal { N } } { } ^ { \mathcal { M } } M ^ { \underline { { { [ I J ] } } } } { } _ { I } { } ^ { J } G ^ { \{ S O ( 1 6 ) \} I } { } _ { J } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } f } & { = \Big ( 2 ( \nabla _ { i } \nabla _ { j } ) ^ { \prime } f ^ { \prime } + \nabla _ { i } \nabla _ { j } f ^ { \prime \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = \Big ( - \nabla _ { i } u _ { t } \nabla _ { j } f ^ { \prime } - \nabla _ { j } u _ { t } \nabla _ { i } f ^ { \prime } + \langle \nabla u , \nabla f ^ { \prime } \rangle g _ { i j } + \nabla _ { i } \nabla _ { j } f ^ { \prime \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - \nabla _ { i } u \nabla _ { j } u + \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } g _ { i j } + ( \nabla ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ) \Big | _ { t = 0 } , } \end{array}
I _ { 2 } = - n ^ { 3 } \int _ { \sin ^ { - 1 } ( 1 / n ) } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sin ^ { 3 } \theta } { \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - 1 } } } \, | T _ { r g } | ^ { 2 } \, e ^ { - 2 \omega x \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - 1 } } d \theta ,
\begin{array} { r l } { F ( C ) } & { = \mathrm { i } \sum _ { i , j \in [ n ] } [ U \Sigma V ^ { \mathsf { T } } ] _ { i j } \widetilde { \gamma } _ { i } \gamma _ { j } } \\ & { = \mathrm { i } \sum _ { k \in [ n ] } \sigma _ { k } ( C ) \l ( \sum _ { i \in [ n ] } [ U ^ { \mathsf { T } } ] _ { k i } \widetilde { \gamma } _ { i } \r ) \l ( \sum _ { j \in [ n ] } [ V ^ { \mathsf { T } } ] _ { k j } \gamma _ { j } \r ) } \\ & { = { \mathcal { U } } _ { ( U , V ) } ^ { \dagger } \l ( \sum _ { k \in [ n ] } \sigma _ { k } ( C ) \mathrm { i } \widetilde { \gamma } _ { k } \gamma _ { k } \r ) { \mathcal { U } } _ { ( U , V ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ^ { \prime } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \mathbf { y } _ { 3 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } + 1 } } \\ { \mathbf { y } _ { 3 } } & { \mathbf { y } _ { 4 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } + 2 } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { y } _ { m _ { o } + 1 } } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + 2 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + m _ { p } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { C } \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } } \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { 3 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } + 1 } \mathbf { B } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } + 1 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } + m _ { o } - 1 } \mathbf { B } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } } & { = | x _ { n m } ^ { + } \rangle \langle x _ { n m } ^ { + } | - | x _ { n m } ^ { - } \rangle \langle x _ { n m } ^ { - } | } \\ { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } } & { = | \, y _ { n m } ^ { + } \rangle \langle y _ { n m } ^ { + } | - | \, y _ { n m } ^ { - } \rangle \langle y _ { n m } ^ { - } | . } \end{array}
\left\{ \frac { t _ { n } } { t _ { n } ^ { o } } \right\} ^ { 2 } + \left\{ \frac { t _ { s } } { t _ { s } ^ { o } } \right\} ^ { 2 } + \left\{ \frac { t _ { t } } { t _ { t } ^ { o } } \right\} ^ { 2 } = 1
Z _ { \pi } = 1 - { \frac { 8 m _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } } ( 2 L _ { 4 } + L _ { 5 } ) + { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { 2 } { d - 4 } } + \gamma - 1 - l n 4 \pi + l n { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right\}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } _ { \omega \in \mathcal { G } _ { m } } [ \mathrm { ~ T ~ f a i l s } ] } & { \geq \operatorname* { P r } _ { \omega \in \mathcal { G } _ { m } } [ \mathrm { ~ T ~ f a i l s } \mid E ( 0 , u _ { 0 } ) ] } \\ & { = \operatorname* { P r } _ { \omega \in \mathcal { G } _ { m - 1 } } [ \mathrm { ~ \tilde { ~ } T _ { 0 : \{ u _ 0 \} } ~ f a i l s } ] } \\ & { \geq \prod _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \left( 1 - \frac { 2 } { m - 2 i - 3 } \right) } \\ & { \geq \prod _ { i = 0 } ^ { d } \left( 1 - \frac { 2 } { m - 2 i - 2 } \right) . } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathbf { F } } ( \rho , \varphi , \theta ) = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial x } { \partial \rho } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \varphi } } } & { { \frac { \partial x } { \partial \theta } } } \\ { { \frac { \partial y } { \partial \rho } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \varphi } } } & { { \frac { \partial y } { \partial \theta } } } \\ { { \frac { \partial z } { \partial \rho } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \varphi } } } & { { \frac { \partial z } { \partial \theta } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { \sin \varphi \cos \theta } & { \rho \cos \varphi \cos \theta } & { - \rho \sin \varphi \sin \theta } \\ { \sin \varphi \sin \theta } & { \rho \cos \varphi \sin \theta } & { \rho \sin \varphi \cos \theta } \\ { \cos \varphi } & { - \rho \sin \varphi } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { B } _ { x } } & { { } = } & { B _ { L } e ^ { i \phi } + B _ { R } e ^ { - i \phi } , } \\ { \widetilde { B } _ { y } } & { { } = } & { i ( B _ { R } e ^ { - i \phi } - B _ { L } e ^ { i \phi } ) . } \end{array}
\boldsymbol { \Omega } _ { \mathrm { ~ T ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } = \left( \begin{array} { l } { \Omega _ { \parallel } \cos { [ 2 \omega t ] } } \\ { \Omega _ { \parallel } \sin { [ 2 \omega t ] } } \\ { \Omega _ { \perp } } \end{array} \right) ,
\eta _ { \mathrm { n } } = { \frac { \mathrm { a c t u a l ~ K E ~ a t ~ n o z z l e ~ e x i t } } { \mathrm { i s e n t r o p i c ~ K E ~ a t ~ n o z z l e ~ e x i t } } } = { \frac { V _ { 2 a } ^ { 2 } } { V _ { 2 s } ^ { 2 } } } \cong { \frac { h _ { 1 } - h _ { 2 a } } { h _ { 1 } - h _ { 2 s } } } .
\frac { p } { r } = 1 + \epsilon e \cosh \left( ( m _ { 2 } ^ { 2 } G ^ { 2 } - c ^ { 2 } M _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( c M _ { 3 } ) ^ { - 1 } ( \phi - \phi _ { 0 } ) \right)
\begin{array} { r } { ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { m , \parallel } ^ { 2 } ) m _ { z } = ( \gamma \omega _ { H } \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } + i \omega \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ) \frac { \partial u _ { x } } { \partial z } } \\ { ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { a } ^ { 2 } ) u _ { x } = - \Big ( \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { \rho M _ { s } } + \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ( \omega _ { H } + \omega _ { M } ) } { \rho M _ { s } i \omega } \Big ) \frac { \partial m _ { z } } { \partial z } , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l } { 0 } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n } } & { \to } & { 0 } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { 0 } & { \to } & { 0 } \\ { \uparrow } & & { \uparrow } & & { \uparrow } & & { \cdots } & & { \uparrow } & & { \uparrow } \\ { 0 } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n } } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n - 1 } } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { 1 } } & { \to } & { 0 } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \cdots } & & { \downarrow } & & { \downarrow } \\ { 0 } & { \to } & { 0 } & { \to } & { 0 } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { 0 } } & { \to } & { 0 } \end{array} }
{ \bf ( 3 , 1 ) _ { - x } \otimes ( 1 , 2 ) _ { - y } \rightarrow ( 3 , 2 ) _ { - ( x + y ) } } \qquad \quad { \bf ( \bar { 3 } , 1 ) _ { x } \otimes ( 1 , 2 ) _ { y } \rightarrow ( \bar { 3 } , 2 ) _ { x + y } }
P ( b , \sigma ) f = ( \sigma ^ { - 2 } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \sigma ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) ) + i \sigma ^ { - 1 } \big ( ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) \big ) + i \sigma ^ { - 1 } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) )
\begin{array} { r l } { | x _ { k } ( t ) - x ^ { k } | } & { < \frac { 1 } { 4 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, , } \\ { | x _ { k } ( t ) - x _ { k } ( t ^ { \prime } ) | } & { < \frac { 1 } { 4 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, . } \end{array}