harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { J _ { a b } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { , \; \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ h ~ } a \; \& \; b \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ o ~ r ~ o ~ d ~ d ~ ( ~ ` ~ s ~ a ~ m ~ e ~ p ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ ' ~ ) ~ } } \\ { \int \mathrm { d } \tilde { x } \, \tilde { x } \, \tilde { \psi } _ { M } ( \tilde { x } ) \tilde { \psi } _ { m } ( \tilde { x } ) = \sqrt { \frac { M } { 2 } } \delta _ { m , M - 1 } } & { , \; a \; \& \; b \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ p ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { S } _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { s _ { 1 2 } } & { s _ { 1 3 } } \\ { - s _ { 1 2 } } & { 0 } & { s _ { 2 3 } } \\ { - s _ { 1 3 } } & { - s _ { 2 3 } } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { = } & { \alpha \Big ( N _ { n } ( z ) \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \\ & { } & { \frac { P _ { n } ( z ) } { d _ { 1 2 } } \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) \Big ) , } \\ { N _ { n + 1 } ( z ) } & { = } & { \Big ( N _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) - } \\ & { } & { \frac { P _ { n } ( z ) } { d _ { 1 2 } } \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) \Big ) \ e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } + } \\ & { } & { N _ { 0 , g } \Big ( 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) , } \\ { P _ { n + 1 } ( z ) } & { = } & { \Big ( P _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \\ & { } & { d _ { 1 2 } N _ { n } ( z ) \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) \Big ) e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 2 } } , } \\ { 0 } & { \le } & { z \le L _ { \mathrm { c a v } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { c a v } } ) , } \end{array}
N _ { e } \Sigma = \left( \sum _ { \Phi \, = \, \mathrm { a l l \; f i e l d s } } d _ { \mathrm { W } } \left( \Phi \right) N _ { \Phi } + m \partial _ { m } + \frac 1 2 g \partial _ { g } \right) \Sigma \, \, ,
\begin{array} { r l } { { \varepsilon _ { 1 } } ^ { \beta ^ { \mathrm d _ { \gamma } / r + 1 } } } & { = { e ^ { - | \ln { \varepsilon _ { 1 } } | \beta ^ { \mathrm { d _ { \ g a m m a } } / r + 1 } } } } \\ & { = { e ^ { - | \ln { \varepsilon _ { 1 } } | \beta \log _ { { \beta } } ^ ( | \ln { \varepsilon _ { 1 } } { | ^ { \alpha - 1 } } ) + 1 } } \leq { e ^ { - { \beta } | \ln { \varepsilon _ { 1 } } { | ^ { \alpha } } } } \leq \frac { 1 } { \beta | \ln { \varepsilon _ { 1 } } { | ^ { \alpha } } } \leq \frac { 1 } { \beta } ( \ln | \ln \varepsilon _ { 1 } | ) ^ { - \alpha } . } \end{array}
A _ { 0 } ( x ) = \left[ \begin{array} { c } { { \frac { \pi T } g \exp \left\{ \frac g { \sqrt { \pi } } ( x - x _ { 0 } ) \right\} , \ \ \ x \leq x _ { 0 } } } \\ { { \frac { \pi T } g \left[ 2 - \exp \left\{ \frac g { \sqrt { \pi } } ( x _ { 0 } - x ) \right\} \right] , \ \ \ x \geq x _ { 0 } } } \end{array} \right.
{ \cal M } ( k , \bar { k } , \tau ; p , \bar { p } , \lambda , \bar { \lambda } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 9 } F _ { i , \tau } ( s , t ) \, j _ { \mu } ( k , \bar { k } , \tau ) T _ { i } ^ { \mu \alpha \beta } \epsilon _ { \alpha } ( p , \lambda ) ^ { \ast } \epsilon _ { \beta } ( \bar { p } , \bar { \lambda } ) ^ { \ast } \; ,
\begin{array} { r l r } { \sigma } & { { } = } & { \sigma ^ { ( 0 ) } + \epsilon \sigma ^ { ( 1 ) } + \cdots = | \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } | + \frac { \epsilon \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } \cdot \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 1 ) } } { | \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } | } + \cdots } \\ { \kappa } & { { } = } & { \kappa ^ { ( 0 ) } + \epsilon \kappa ^ { ( 1 ) } + \cdots } \\ { h _ { 3 } } & { { } = } & { h _ { 3 } ^ { ( 0 ) } + \epsilon h _ { 3 } ^ { ( 1 ) } + \cdots = \sigma ^ { ( 0 ) } + \epsilon \left[ \sigma ^ { ( 1 ) } - \sigma ^ { ( 0 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \bar { r } \cos \varphi ^ { ( 0 ) } \right] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } k d k J _ { 0 } [ k \rho ] \left( \mathrm { M a } ^ { ( f l ) } [ k ] - \mathrm { M a } \, h ^ { 2 } [ r ] \, \right) { a _ { + } [ k ] } \hat { \mathcal { T } } _ { k } \mathbf { c } _ { + } [ k ] \approx 0 \, , \
\begin{array} { r l r l r l } { \tau \frac { d \epsilon } { d \tau } + \frac { 4 } { 3 } \epsilon + \pi _ { d } } & { { } = 0 , } & { \tau \frac { \partial \pi _ { d } } { \partial \tau } + \left( \lambda + \frac { 4 \pi \tilde { w } } { 5 } + \frac { 2 \pi \tilde { w } } { 5 } \phi _ { 7 } \pi _ { d } \right) \pi _ { d } + \frac { 1 6 \epsilon } { 4 5 } } & { { } = 0 , } & { \lambda } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { \pi } } ( \delta _ { \pi \pi } + \tau _ { \pi \pi } / 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } ( \{ Q _ { \nu } \} ) } & { { } = \prod _ { \nu = 1 } ^ { \nu _ { c } } \psi _ { 0 } ( \beta _ { \nu } Q _ { \nu } ) = } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \mathrm { i } { ( \omega + n \Omega ) } \left( - \mathrm { i } \omega + \frac { \partial } { \partial t } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \right) \Hat { v } _ { n } - \left( \mathrm { i } \alpha + \frac { \partial } { \partial x } \right) \left( \frac { 1 } { \rho ( x , t ) } \left( \mathrm { i } \alpha + \frac { \partial } { \partial x } \right) \Hat { v } _ { n } \right) = 0 , } \\ & { x \mapsto \Hat { v } _ { n } ( x , \alpha ) \, \, \mathrm { i s } \, L \mathrm { - p e r i o d i c } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , t < 0 , } \\ { \sin ^ { 2 } ( \pi t / t _ { s } ) , 0 \leq t \leq t _ { s } / 2 , } \\ { 1 , t > t _ { s } / 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ^ { i } \partial _ { \mu } \phi ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \phi ^ { i } \phi ^ { i } - \frac { \lambda } { 4 ! N } ( \phi ^ { i } \phi ^ { i } ) ^ { 2 }
G ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c } { g _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { g _ { 1 , d _ { 1 } - 1 } } & { g _ { 1 , d _ { 1 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { g _ { 2 , 1 } } & { \cdots } & { g _ { 2 , d _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { g _ { 2 , d _ { 1 } + 1 } } & { \cdots } & { g _ { 1 , d _ { 2 } - 1 } } & { g _ { 2 , d _ { 2 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { g _ { k , 1 } } & { \cdots } & { g _ { k , d _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { g _ { k , d _ { 1 } + 1 } } & { \cdots } & { g _ { k , d _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { g _ { k , d _ { 2 } + 1 } } & { \cdots } & { g _ { k , d _ { k } } } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { B _ { I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } } ^ { 3 , 3 } } \\ & { = \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } = 1 } ^ { 3 } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle D _ { K ^ { 1 } , k ^ { 1 } } ^ { 1 } ( j , m _ { 1 } ) D _ { K ^ { 2 , 3 } , k ^ { 2 , 3 } } ^ { 2 , 3 } ( j , m _ { 2 } ) f _ { j } \rangle _ { I _ { j } } \langle f _ { 3 } , h _ { I _ { 3 } } \rangle . } \end{array}
( \hat { X } _ { 1 } , \hat { X } _ { 2 } , \hat { X } _ { 3 } ) = ( \hat { s } _ { 1 } , \hat { s } _ { 2 } , \hat { s } _ { 3 } ) / \hbar = ( \hat { \sigma } _ { 3 } , \hat { \sigma } _ { 1 } , \hat { \sigma } _ { 2 } ) / 2
\begin{array} { r l } { \xi \frac { d N _ { 1 } } { d t } } & { { } = - k N _ { 1 } ( t ) + f _ { 1 } ( t ) , } \\ { \xi \frac { d N _ { 2 } } { d t } } & { { } = - k N _ { 2 } ( t ) + f _ { 2 } ( t ) . } \end{array}
b _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , \lambda } ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 1 } \to \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \int \mathrm { d } { \omega } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ( t - t _ { 1 } ) } c _ { \lambda } ( \omega , t _ { 1 } )
g _ { s } = \rho _ { s } \left( \frac { \lambda _ { t , s } } { \pi } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \lambda _ { t , s } { \vec { c } } ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda _ { r , s } } { \pi } \right) e ^ { - \lambda _ { r , s } { \vec { \xi } } ^ { 2 } } \frac { 4 \lambda _ { v , s } } { K _ { v } ( \lambda _ { v , s } ) } e ^ { - \frac { 4 \lambda _ { v , s } } { K _ { v } ( \lambda _ { v , s } ) } \varepsilon _ { v } } .
E _ { 0 } = - \frac { \mu _ { e f f } ^ { 2 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 2 } } \sum _ { r \, n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } K _ { 2 } \left( 2 \pi n \mu _ { e f f } \right) + \frac { \mu _ { e f f } ^ { 3 } } { 2 \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } K _ { 3 } \left( 2 \pi n \mu _ { e f f } \right) .
{ \cal L } _ { W Z } ^ { ( 1 ) } \, = \, - \, { \frac { 1 } { 2 } } \, ( \, \dot { \theta } ^ { 2 } \, + \, 3 \, { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } \, ) \, - \, \lambda \, ( \, \dot { \theta } \, + \, \theta ^ { \prime } \, ) \, - \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \lambda ^ { 2 } \; \; ,
\mathcal { H } _ { R } ( \psi _ { 2 } , \cdots , \psi _ { N } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { N } ) = \frac { 1 } { 2 I _ { 1 } } \left( \mathsf { A } - \sum _ { k = 2 } ^ { N } p _ { k } \right) ^ { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { 2 I _ { j } } + \Pi \left( \psi _ { 2 } , \psi _ { 3 } , . . . , \psi _ { N } \right) \, ,
\operatorname* { l i m } _ { \nu \to \infty } \frac { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } + \overline { { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } - 1 \right) .
\begin{array} { r l r } { R e } & { { } \sim } & { ( { \ell } / { L } ) \, P r ^ { - 1 / 2 } R a ^ { 1 / 2 } , } \\ { N u - 1 } & { { } \sim } & { ( { \ell } / { L } ) ^ { 2 } \, P r ^ { 1 / 2 } R a ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
a _ { i } = e _ { i } + \tilde { q } \frac { e _ { i } ^ { 2 N - 1 } } { 2 \Delta _ { i } ( e _ { i } ) } \left( N - \sum _ { i \neq j } \frac { e _ { i } } { ( e _ { i } - e _ { j } ) } \right) ,
\operatorname { v a r } _ { \boldsymbol { \theta } } ( T _ { m } ( X ) ) = \left[ \operatorname { c o v } _ { \boldsymbol { \theta } } \left( { \boldsymbol { T } } ( X ) \right) \right] _ { m m } \geq \left[ I \left( { \boldsymbol { \theta } } \right) ^ { - 1 } \right] _ { m m } \geq \left( \left[ I \left( { \boldsymbol { \theta } } \right) \right] _ { m m } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| u ^ { ( s + 1 ) } \| _ { L _ { \omega ^ { s - 1 , s - 1 } } ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = s - 1 } ^ { \infty } a _ { i } L _ { i } ^ { ( s - 1 ) } ( x ) \Big ) ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { s - 1 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = s - 1 } ^ { \infty } a _ { i } ^ { 2 } \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( L _ { i } ^ { ( s - 1 ) } ( x ) ) ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { s - 1 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = s - 1 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 2 } { 2 i + 1 } \displaystyle \frac { ( i + s - 1 ) ! } { ( i - s + 1 ) ! } a _ { i } ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { 2 } ( { \bf x } , \omega ) = \omega ^ { 2 } \kappa \rho - \frac { 3 ( \partial _ { \alpha } \rho ) ( \partial _ { \alpha } \rho ) } { 4 \rho ^ { 2 } } + \frac { ( \partial _ { \alpha } \partial _ { \alpha } \rho ) } { 2 \rho } } \end{array}
W _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { D } x \hat { A } _ { k } ( ( - \partial _ { j } + \hat { \Gamma } _ { j } ) ( \partial _ { j } + \hat { \Gamma } _ { j } ) - g ^ { \rho \sigma } \partial _ { \rho } \partial _ { \sigma } ) \hat { A } _ { k }
L ^ { \xi } = p \cdot \hat { H } + X ^ { \xi } , \quad X ^ { \xi } = i \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } \, ( \rho \cdot \hat { H } ) \left( x ( \rho \cdot q ) - x ( \rho ^ { \vee } \! \cdot \hat { H } \xi ) \right) \hat { s } _ { \rho } ,
A ^ { - 2 } = \left[ \frac { j ! ( - 2 ) ^ { j } } { ( 2 j ) ! } \right] ^ { 2 } 2 ^ { 4 j } \sqrt { \frac { \sqrt { 2 \delta } } { \omega } } \Gamma \left( 2 j + \frac { 1 } { 2 } \right) \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( - 2 j , - 2 j , \frac { 1 } { 2 } - 2 j ; - \frac { 1 } { 2 } \right)
{ \frac { \partial \mathbf { \rho } ^ { * } u ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } + \nabla ^ { * } \cdot \left( \rho ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \otimes \mathbf { u } ^ { * } + { \frac { p _ { 0 } } { \rho _ { 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } } } p ^ { * } \right) = - { \frac { \tau _ { 0 } } { \rho _ { 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } } } \nabla ^ { * } \cdot { \boldsymbol { \tau } } ^ { * } + { \frac { f _ { 0 } r _ { 0 } } { u _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathbf { f } ^ { * }
{ _ { x _ { j } ^ { + } } } ^ { C } D _ { \infty } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \overline { { U _ { i } ^ { + } } } = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \infty } ( \xi - x _ { j } ^ { + } ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \frac { d \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ( \xi ) } { d \xi } d \xi
k _ { j _ { a } \rightarrow j _ { a } ^ { \prime } } ( T ) = \bigg ( \frac { 8 } { \pi \mu k _ { B } ^ { 3 } T ^ { 3 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sigma _ { j _ { a } \rightarrow j _ { a } ^ { \prime } } ( E _ { k } ) e ^ { - E _ { k } / k _ { B } T } E _ { k } d E _ { k } \, ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } b } & { \leq \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) + \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) } \\ & { + \mathbb { P } \left( L _ { p } \left[ \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \right] \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ | [ \mathbf { p } _ { j } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } | \left( 1 + \| ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } ) \| \right) \right] \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
0 = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { 2 t } \frac { 1 } { | \Omega | } \left( \| T \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| T _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) = - \langle | \nabla T | ^ { 2 } \rangle + \langle n \cdot \nabla T \rangle _ { \gamma ^ { - } } .
\frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } r ^ { 2 } \left( \langle \rho v _ { r } \rangle _ { \varphi } r \Omega + \langle \mathcal { T } _ { r \varphi } \rangle _ { \varphi } \right) + r \frac { \partial } { \partial z } \left( \langle \rho v _ { z } \rangle _ { \varphi } r \Omega + \langle \mathcal { T } _ { z \varphi } \rangle _ { \varphi } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \bigtriangleup } & { = } & { \Big [ \sum _ { b , c } p ( a | b , c ) ^ { 2 } p ( b , c ) - p ( a ) ^ { 2 } \Big ] - \Big [ \sum _ { b } p ( a | b ) ^ { 2 } p ( b ) - p ( a ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = } & { \sum _ { b , c } p ( a | b , c ) ^ { 2 } p ( b , c ) - \sum _ { b } p ( a | b ) ^ { 2 } p ( b ) } \\ & { = } & { \sum _ { b , c } p ( a | b , c ) ^ { 2 } p ( b , c ) - \sum _ { b , c } p ( a | b ) ^ { 2 } p ( b , c ) } \\ & { = } & { \sum _ { b , c } \Big ( p ( a | b , c ) ^ { 2 } - p ( a | b ) ^ { 2 } \Big ) p ( b , c ) } \\ & { = } & { \sum _ { b } p ( b ) \sum _ { c } \Big ( p ( a | b , c ) ^ { 2 } - p ( a | b ) ^ { 2 } \Big ) p ( c | b ) } \\ & { = } & { { E } _ { B } \Big [ \sum _ { c } \Big ( p ( a | b , c ) ^ { 2 } - p ( a | b ) ^ { 2 } \Big ) p ( c | b ) \Big ] } \\ & { = } & { { E } _ { B } \Big [ \sum _ { c } \Big ( p ( a | b , c ) ^ { 2 } p ( c | b ) \Big ) - { E } _ { C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b \Big ] ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = } & { { E } _ { B } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b \Big ] \Bigg ] \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } \left[ \frac { x \ln ( 1 + x \xi ( x ) ) } { \xi ( x ) } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq 4 \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x ( \gamma - \epsilon ) ) ^ { - 1 - \frac { 1 } { \gamma + \epsilon } } \left[ \frac { \ln ( 1 + x ( \gamma - \epsilon ) ) } { ( \gamma - \epsilon ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq 8 \frac { ( \gamma + \epsilon ) ^ { 3 } } { ( \gamma - \epsilon ) ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { p } ^ { - 2 } } & { { } = } & { { \frac { m _ { e } \epsilon _ { 0 } } { e ^ { 2 } n } } = { \frac { m _ { e } } { \mu _ { 0 } c ^ { 2 } e ^ { 2 } n } } } \\ { v _ { T x } ^ { 2 } } & { { } = } & { { \frac { P _ { x x } } { n m _ { e } } } } \\ { v _ { T y } ^ { 2 } } & { { } = } & { { \frac { P _ { y y } } { n m _ { e } } } } \\ { v _ { T z } ^ { 2 } } & { { } = } & { { \frac { P _ { z z } } { n m _ { e } } } } \\ { A ^ { x z } } & { { } = } & { \frac { P _ { x x } } { P _ { z z } } } \\ { A ^ { y z } } & { { } = } & { \frac { P _ { y y } } { P _ { z z } } } \\ { A _ { x } } & { { } = } & { 1 - A ^ { x z } } \\ { A _ { y } } & { { } = } & { 1 - A ^ { y z } } \\ { \tilde { \omega } } & { { } = } & { \frac { \omega } { \omega _ { p } } } \\ { \tilde { \mathbf k } } & { { } = } & { \frac { c \mathbf k } { \omega _ { p } } } \\ { u _ { x } } & { { } = } & { \frac { v _ { T x } } { c } } \\ { u _ { y } } & { { } = } & { \frac { v _ { T y } } { c } } \\ { u _ { z } } & { { } = } & { \frac { v _ { T z } } { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { r _ { 1 } } } & { = ( 1 - c ) s \left( \frac { 1 - \frac { c \lambda a } { a + b } } { ( 1 - c \lambda ) \left( 1 - c \lambda \left( \frac { a - b } { a + b } \right) \right) } - 1 \right) } \\ { r _ { 2 } } & { = ( 1 - c ) s \left( \frac { \frac { c \lambda b } { a + b } } { ( 1 - c \lambda ) \left( 1 - c \lambda \frac { a - b } { a + b } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\int _ { \Omega } \omega ( \mathbf { x } ) \nabla ^ { 2 } \omega ( \mathbf { x } ) \, d \mathbf { x } = \int _ { \partial \Omega } \omega ( \mathbf { x } ) \delta _ { \mathbf { n } } \omega ( \mathbf { x } ) \, d \mathbf { x } - \int _ { \Omega } | | \nabla \omega ( \mathbf { x } ) | | ^ { 2 } \, d \mathbf { x } = - \int _ { \Omega } | | \nabla \omega ( \mathbf { x } ) | | ^ { 2 } \, d \mathbf { x } = 0
\tilde { W ^ { \prime } } = \tilde { Y _ { 1 } } ^ { 1 2 } + \tilde { Y _ { 2 } } ^ { 6 } \tilde { Y _ { 5 } } + \tilde { Y _ { 3 } } ^ { 6 } + \tilde { Y _ { 4 } } ^ { 6 } + \tilde { Y _ { 5 } } ^ { 2 }
\operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol { \mu } _ { h } \in \Lambda _ { h } } \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { v } _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } ^ { k } ( \boldsymbol { 0 } , \boldsymbol { 0 } ) } \frac { b _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ; \mathbf { v } _ { h } , \boldsymbol { \mu } _ { h } ) } { \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } \| \boldsymbol { \mu } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \ge \beta _ { h } .
\ { \begin{array} { r l } { \sum F _ { x ^ { \prime } } } & { = \sigma _ { \mathrm { n } } d A - \sigma _ { x } d A \cos ^ { 2 } \theta - \sigma _ { y } d A \sin ^ { 2 } \theta - \tau _ { x y } d A \cos \theta \sin \theta - \tau _ { x y } d A \sin \theta \cos \theta = 0 } \\ { \sigma _ { \mathrm { n } } } & { = \sigma _ { x } \cos ^ { 2 } \theta + \sigma _ { y } \sin ^ { 2 } \theta + 2 \tau _ { x y } \sin \theta \cos \theta } \end{array} }
\alpha _ { 1 } = \left. \left( - \frac { \partial H \left( \delta _ { \mathrm { m } } , \lambda \right) / \partial \delta _ { \mathrm { m } } } { \frac { 1 } { 2 ! } \partial ^ { 2 } H \left( \delta _ { \mathrm { m } } , \lambda \right) / \partial \lambda ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right| _ { \delta _ { \mathrm { m } } = 0 , \, \lambda = \lambda _ { \mathrm { e } } } ,
\sum _ { I = 1 } ^ { q _ { m - 1 } } \lambda _ { I } \partial _ { 0 } \omega _ { ( m - 1 ) } ^ { I } = \partial _ { 0 } ( \sum _ { I = 1 } ^ { q _ { m - 1 } } \lambda _ { I } \omega _ { ( m - 1 ) } ^ { I } ) = 0
p V _ { \mathrm { m } } = R T \left[ 1 + { \frac { B ( T ) } { V _ { \mathrm { m } } } } + { \frac { C ( T ) } { V _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } } + { \frac { D ( T ) } { V _ { \mathrm { m } } ^ { 3 } } } + \ldots \right]
{ \begin{array} { r l } { A ( x ) } & { = \sigma \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } x ^ { 2 i } = \sigma { \frac { x ^ { 2 n } - 1 } { x ^ { 2 } - 1 } } , } \\ { B ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d } { d x } } A ( x ) , } \\ { C ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } A ( x ) + { \frac { 1 } { 4 x } } { \frac { d } { d x } } A ( x ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { H _ { t } - v _ { 0 } \frac { \xi } { s } H _ { \xi } + \frac { 1 } { s } ( U H ) _ { \xi } = 0 , } \\ { \left( U _ { \xi } H \right) _ { \xi } - \left( H ^ { 2 } P _ { \xi } \right) _ { \xi } = 0 , } \\ { P + \frac { \gamma } { 2 s ^ { 2 } } H _ { \xi \xi } = 0 , } \\ { H _ { \xi } ( 0 , t ) = 0 , \; P _ { \xi } ( 0 , t ) = 0 , \; ( 1 - \nu ) s H ( 1 , t ) + \nu H _ { \xi } ( 1 , t ) = 0 , } \\ { H ( \xi , 0 ) = a + b \cos ( 2 \pi k _ { 0 } \xi ) + c \xi ( \xi - 1 ) . } \end{array}
H = J \sum _ { i } \left( \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } \hat { \sigma } _ { i + 1 } ^ { x } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { y } \hat { \sigma } _ { i + 1 } ^ { y } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } \hat { \sigma } _ { i + 1 } ^ { z } \right) + h _ { z } \sum _ { i } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { c y c } } R \left( T \left( X , Y \right) , Z \right) } & { = \sum _ { \mathrm { c y c } } R \left( \nabla _ { X } Y - \nabla _ { Y } X - \left[ X , Y \right] , Z \right) \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } \\ & { = \sum _ { \mathrm { c y c } } \left( R \left( \nabla _ { X } Y , Z \right) + R \left( Z , \nabla _ { Y } X \right) - R \left( \left[ X , Y \right] , Z \right) \right) . } \end{array}
y _ { h } ( t _ { n + 1 } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \left\lceil { \alpha } \right\rceil } \frac { t _ { n + 1 } ^ { k } } { k ! } y _ { 0 } ^ { ( k ) } + \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 2 ) } f ( t _ { n + 1 } , y _ { h } ^ { P } ( t _ { n + 1 } ) ) + \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 2 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { j , n + 1 } f ( t _ { j } , y _ { h } ( t _ { j } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { M B } } } & { { } = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \theta , } \\ { \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { M B } } } & { { } = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } u _ { \gamma } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \theta \right] _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { M ( \chi _ { \gamma } ) = - \frac { 4 5 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \pi x ^ { 4 / 3 } \mathrm { G i } ^ { \prime } ( x ^ { 2 / 3 } ) \right] , ~ \mathrm { y i e l d i n g } } \\ { \mathrm { R e } ( n ) = 1 + M ( \chi _ { \gamma } ) \mathcal { D } \equiv 1 + M ( \chi _ { \gamma } ) \frac { \alpha } { 9 0 \pi } \frac { \chi _ { \gamma } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } / m ^ { 2 } } . } \end{array}