harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho \frac { D u } { D t } = - \partial _ { x } \tilde { p } + \eta _ { o } \partial _ { y } ( \partial _ { z } w ) , \quad \rho \frac { D v } { D t } = - \partial _ { y } \tilde { p } - \eta _ { o } \partial _ { x } ( \partial _ { z } w ) , \quad \rho \frac { D w } { D t } = - \partial _ { z } \tilde { p } + \eta _ { o } \partial _ { z } \zeta .
x ^ { - } = { \frac { 4 e } { a m } } { \frac { ( 1 + { \frac { \lambda } { 2 } } ( x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } ) ) } { ( x ^ { + } + { \frac { \lambda x _ { 0 } ^ { + } } { 2 } } ( x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } ) ) } }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \mu \nu } P _ { \mu } P _ { \nu } } & { = \varepsilon ^ { 0 \nu } P _ { 0 } P _ { \nu } + \varepsilon ^ { 1 \nu } P _ { 1 } P _ { \nu } } \\ & { = ( \varepsilon ^ { 0 0 } P _ { 0 } P _ { 0 } + \varepsilon ^ { 0 1 } P _ { 0 } P _ { 1 } ) + ( \varepsilon ^ { 1 0 } P _ { 1 } P _ { 0 } + \varepsilon ^ { 1 1 } P _ { 1 } P _ { 1 } ) } \\ & { = ( \varepsilon ^ { 0 \mu } P _ { 0 } P _ { \mu } ) + ( \varepsilon ^ { 1 \mu } P _ { 1 } P _ { \mu } ) } \\ & { = \varepsilon ^ { \nu \mu } P _ { \nu } P _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { t } _ { 3 } , \hat { t } _ { \pm } \right] } & { { } = } & { \pm \hat { t } _ { \pm } } \\ { \left[ \hat { t } _ { + } , \hat { t } _ { - } \right] } & { { } = } & { 2 \hat { t } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial B _ { k } } u ^ { + } } & { \leq C ( n , k ) \left( \int _ { B _ { k } } u ^ { + } \, d x + \int _ { B _ { k } } | \nabla u ^ { + } | \, d x \right) } \\ & { \leq C ( n , k ) \left( \operatorname* { s u p } _ { B _ { k } } u ^ { + } \int _ { B _ { k } } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x + \int _ { B _ { k } } \frac { 1 } { p } | \nabla u ^ { + } | ^ { p } + \frac { 1 } { p ^ { \prime } } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x \right) } \\ & { \leq C ( n , k ) \left( \Big ( \varepsilon \sqrt { k } + \frac { 1 } { p ^ { \prime } } \Big ) \int _ { B _ { k } } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x + \frac { 1 } { p } \int _ { B _ { k } } | \nabla u ^ { + } | ^ { p } \, d x \right) } \\ & { \leq C _ { 0 } \int _ { B _ { k } \cap \{ u > 0 \} } | \nabla u | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x , } \end{array}
E = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { 4 \pi r } } { \vec { v } } _ { 1 } \cdot \left[ 1 + { \hat { r } } { \hat { r } } \right] \cdot { \vec { v } } _ { 2 } \; e ^ { - \omega _ { p } r } \left\{ { \frac { 2 } { \left( \omega _ { p } r \right) ^ { 2 } } } \left( e ^ { \omega _ { p } r } - 1 \right) - { \frac { 2 } { \omega _ { p } r } } \right\} .
\begin{array} { r } { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = S \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } , P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) - S \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } y ( t - \tau , x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac { y ( t - \tau + \Delta t , x ) - y ( t - \tau , x ) } { \Delta t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac { x ( t + \Delta t , y ) - x ( t , y ) } { \Delta t } \cdot \frac { y ( t - \tau + \Delta t , x ) - y ( t - \tau , x ) } { x ( t + \Delta t , y ) - x ( t , y ) } } \\ & { = u ( t , x ) \cdot \frac { \partial _ { t } y ( t - \tau , x ) } { \partial _ { t } x ( t , y ) } = - u ( t , x ) \cdot \nabla _ { x } y ( t - \tau , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } W \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } , h \right) = \delta \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right) , \quad \int W \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } , h \right) d \mathbf { r } ^ { \prime } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d z } \left[ \prod _ { \tau } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right] = } & { { } \sum _ { \tau } \left[ \left( \frac { d } { d z } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right) \prod _ { \nu \neq \tau } H _ { i \leftarrow \nu } ( z ) \right] } \\ { = } & { { } \left( \prod _ { \tau } H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) \right) \left( \sum _ { \tau } \frac { H _ { i \leftarrow \tau } ^ { \prime } ( z ) } { H _ { i \leftarrow \tau } ( z ) } \right) . } \end{array}
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right\Vert _ { 2 }
\begin{array} { r l } { M ( \rho ) } & { = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 8 } \left( F _ { \mu } \rho F _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \{ F _ { \mu } ^ { 2 } , \rho \} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c c } { - 2 \rho _ { 1 1 } + \rho _ { 2 2 } + \rho _ { 3 3 } } & { - 3 \rho _ { 1 2 } } & { - 3 \rho _ { 1 3 } } \\ { - 3 \rho _ { 2 1 } } & { \rho _ { 1 1 } - 2 \rho _ { 2 2 } + \rho _ { 3 3 } } & { - 3 \rho _ { 2 3 } } \\ { - 3 \rho _ { 3 1 } } & { - 3 \rho _ { 3 2 } } & { \rho _ { 1 1 } + \rho _ { 2 2 } - 2 \rho _ { 3 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i i ) : \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } ^ { * } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le l _ { * , 0 } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \nabla _ { x } q _ { k } \| ^ { 2 } + \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \frac { y _ { 4 } - y _ { 1 } } { x _ { 4 } - x _ { 1 } } } - { \frac { y _ { 4 } - y _ { 2 } } { x _ { 4 } - x _ { 2 } } } = { \frac { y _ { 3 } - y _ { 1 } } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } } - { \frac { y _ { 3 } - y _ { 2 } } { x _ { 3 } - x _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } } & { { } = } & { t \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \xi } & { { } = } & { \xi \left( x , y , z , t \right) \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \eta } & { { } = } & { \eta \left( x , y , z , t \right) \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \zeta } & { { } = } & { \zeta \left( x , y , z , t \right) \ \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 } ( x , y ) } & { { } = \left( { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { 2 y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) } \\ { \varphi _ { 1 } ( x , y ) } & { { } = \left( { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { 2 y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , { \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { V } } ( t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \alpha _ { \mathrm { V } , i } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \frac { N _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } \cdot \sigma _ { \mathrm { e x t } } ( d _ { \mathrm { S } , i } , m ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \rho _ { \mathrm { N } , i } ( t ) \cdot \sigma _ { \mathrm { e x t } } ( d _ { \mathrm { S } , i } , m ) } \\ & { \stackrel { , } { = } \pi \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } q _ { \mathrm { e x t } } ( d _ { \mathrm { S } , i } , m ) \cdot \left( \frac { d _ { \mathrm { S } , i } } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdot X _ { N , i } ( d _ { \mathrm { S } , i } ) \cdot I _ { i } ( t ) \, . } \end{array}
\eta _ { 6 } ^ { 2 } = \frac { 5 + 2 \sqrt 5 } { 1 5 } , \ \eta _ { 1 6 } ^ { 2 } = \frac { 6 2 0 + 1 8 5 \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 0 \left( 1 2 9 0 5 + 5 7 0 1 \sqrt { 5 } \right) } } { 2 2 4 5 } , \ \eta _ { 4 6 } ^ { 2 } = \frac { 3 \left( 2 4 7 0 + 6 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 0 \left( 1 1 0 4 2 9 + 3 9 2 5 5 \sqrt { 5 } \right) } \right) } { 1 6 0 4 5 } ,
m ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, \sigma ^ { 2 } \left| \dot { \phi } _ { ( m k ) } \right| ^ { 2 } + k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, \sigma ^ { 2 } \left| \phi _ { ( m k ) } \right| ^ { 2 } \ge 0 ~ ,
\begin{array} { r l } & { - \frac { { \partial } v } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } v } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \xi > \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { - \frac { { \partial } v } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } v } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } v } { { \partial } \xi } + v \Big ) = 0 , \quad \xi < \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { v ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = v ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) = \gamma , \quad v _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = v _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } [ \tilde { \Sigma } _ { \tau } \setminus \mathbb { B } _ { R } ] } & { = R ^ { n } \int _ { ( \tilde { \Sigma } _ { \tau } / R ) \setminus \mathbb { B } _ { 1 } } ( 4 \pi ) ^ { - n / 2 } e ^ { - | y | ^ { 2 } ( R ^ { 2 } - 1 ) / 4 } \cdot e ^ { - | y | ^ { 2 } / 4 } \ d \mathscr { H } ^ { n } ( y ) } \\ & { \leq R ^ { n } e ^ { - ( R ^ { 2 } - 1 ) / 4 } \cdot \mathcal { F } [ \tilde { \Sigma } _ { \tau } / R ] \ \ \leq R ^ { n } e ^ { - ( R ^ { 2 } - 1 ) / 4 } \cdot \lambda [ \Sigma ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { m } ( t } & { + \Delta t ) } \\ { = ~ } & { \mathrm { \bf { N } } \left( \mathcal { X } _ { m } ( t ) e ^ { - \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } , \sigma _ { \mathcal { X } _ { m } } ^ { 2 } ( 1 - e ^ { - 2 \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } ) \right) } \\ { = ~ } & { \mathrm { \bf { N } } \left( \mathcal { X } _ { m } ( t ) e ^ { - \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } , \frac { k _ { B } T } { \kappa \lambda _ { m } } ( 1 - e ^ { - 2 \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } ) \right) } \\ { = ~ } & { \mathcal { X } _ { m } ( t ) e ^ { - \frac { \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } + \mathrm { \bf { N } } ( 0 , 1 ) \sqrt { \frac { k _ { B } T } { \kappa { \lambda } _ { m } } ( 1 - e ^ { - \frac { 2 \kappa } { \zeta } \Lambda _ { m } \Delta t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( D \gets C ) = } & { ~ \frac { ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot k _ { C } F _ { C | D } } { w _ { R } F _ { D } + ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot [ k _ { C } F _ { C | D } + ( k - k _ { C } ) F _ { D | D } ] } } \\ { = } & { ~ ( 1 - w _ { R } ) \frac { k _ { C } } { k } + w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D } ) \frac { k _ { C } } { k } \delta + ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | D } ) \frac { k _ { C } ( k - k _ { C } ) } { k ^ { 2 } } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
b _ { 0 } ( \xi ) = D ^ { 2 } \xi ^ { 4 } + ( \mu + \beta i _ { e } ) D \xi ^ { 2 } + \beta i _ { e } \left( \mu + \nu + \mu p ^ { \prime } ( i _ { e } ) \widehat { Q } _ { s p a c e } ( \xi ) \right) .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) \xrightarrow [ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ . ~ a ~ s ~ } ] { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ v ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } } G ( \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) ) \cong \mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( \mathcal { M } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) / H _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } . } \end{array}
a _ { 0 } ^ { I = 1 / 2 } ( \mathrm { g l u o n } \ \mathrm { e x . } ) = { \frac { \alpha _ { s } } { 9 m _ { q } ^ { 2 } } } \; { \frac { m _ { \pi } m _ { K } } { m _ { \pi } + m _ { K } } } \left[ ( 1 + ( 4 / 3 ) ^ { 3 / 2 } ) ( 1 + \rho ) - \frac 9 2 f \; \right] \ .
O _ { 2 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { 2 } ^ { \prime } } } & { { s _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { - s _ { 2 } ^ { \prime } } } & { { c _ { 2 } ^ { \prime } } } \end{array} \right)
\dot { \Theta } _ { B } = \sqrt { | { \cal B } | } \dot { \Theta } _ { B } e _ { i } ^ { ( B , 0 ) } , \; \; \dot { \Theta } _ { R } = \sqrt { | { \cal R } | } \dot { \Theta } _ { R } e _ { i } ^ { ( R , 0 ) } .
k _ { i n } ^ { \operatorname* { m a x } } \sim \nu A ( a r _ { m } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m a ^ { d - 1 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ E ~ u ~ c ~ l ~ i ~ d ~ e ~ a ~ n ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ ; ~ } \medskip } \\ { m e ^ { a } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ h ~ y ~ p ~ e ~ r ~ b ~ o ~ l ~ i ~ c ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
f _ { C _ { p _ { \mathbb { L } _ { 2 } } } ^ { \ast } ( \ell _ { \mathcal { C } } ( c ) ) } ^ { \ast } \colon \mathrm { { S u b } } _ { { \bf S h } ( \mathbb { L } _ { 2 } ) } ( C _ { p _ { \mathbb { L } _ { 2 } } } ^ { \ast } ( \ell _ { \mathcal { C } } ( c ) ) ) \rightarrow { \mathrm { S u b } } _ { { \bf S h } ( { \mathbb { L } _ { 1 } } ) } ( C _ { p _ { \mathbb { L } _ { 1 } } } ^ { \ast } ( \ell _ { \mathcal { C } } ( c ) ) ) ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { P } } \{ W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \le k \wedge T _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = \ell \} } \\ & { \quad = 2 ^ { - \ell } \cdot \left( 1 - e ^ { - \frac { k ( 2 d + k ) } { 4 m _ { 1 } } } \right) \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { d } { m _ { 1 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { k } { m _ { 1 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { k d ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { k ^ { 3 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } [ \Psi _ { N , L } ^ { \textnormal { P e r } } ] } & { { } = - c _ { x } \bar { \rho } ^ { 4 / 3 } | \Omega | L ^ { 3 } + c _ { x , 2 } ^ { \textnormal { P e r } } \bar { \rho } | \partial \Omega | L ^ { 2 } + \mathcal { O } ( L ^ { \frac { 4 5 } { 2 3 } + \epsilon } ) } \\ { E _ { x } ^ { \mathrm { L D A } } [ \rho _ { N , L } ^ { \textnormal { P e r } } ] } & { { } = - c _ { x } \bar { \rho } ^ { 4 / 3 } | \Omega | L ^ { 3 } + \mathcal { O } ( L ^ { \frac { 3 4 } { 2 3 } + \epsilon } ) } \\ { \Delta E _ { x } ^ { \mathrm { G G A } } [ \rho _ { N , L } ^ { \textnormal { P e r } } ] } & { { } = \mathcal { O } ( L ^ { \frac { 3 4 } { 2 3 } + \epsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { 2 } } & { { } = } & { 1 + 2 \xi + 2 \xi ^ { 2 } + \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \delta ^ { 2 } } & { { } = } & { 1 + 2 \xi - 2 \xi ^ { 2 } + \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \alpha } & { { } = } & { \xi + \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 3 } - \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 5 } + { \cal O } ( \xi ^ { 7 } ) , } \\ { \frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } & { { } = } & { 1 + 4 \xi + 4 \xi ^ { 2 } - 1 4 \xi ^ { 3 } + { \cal O } ( \xi ^ { 4 } ) , } \\ { \frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } & { { } = } & { 4 \xi ^ { 2 } \left( 1 - 4 \xi + 1 2 \xi ^ { 2 } - 1 8 \xi ^ { 3 } + { \cal O } ( \xi ^ { 4 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { j l p } ^ { ( \gamma j , j ) } ( r ) = } & { ( - 1 ) ^ { \frac { j - l } { 2 } } \frac { \Gamma \left( j + i \gamma j + 1 \right) } { \left| \Gamma \left( j + i \gamma j + 1 \right) \right| } \frac { \Gamma \left( l - i \gamma j + 1 \right) } { \left| \Gamma \left( l - i \gamma j + 1 \right) \right| } \frac { \sqrt { 2 j + 1 } \sqrt { 2 l + 1 } } { ( j + l + 1 ) ! } \left[ ( 2 j ) ! ( l + j ) ! ( l - j ) ! \frac { ( l + p ) ! ( l - p ) ! } { ( j + p ) ! ( j - p ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ \times e ^ { - ( j - i \gamma j + p + 1 ) r } \sum _ { s } \frac { ( - 1 ) ^ { s } \, e ^ { - 2 s r } } { s ! ( l - j - s ) ! } \, _ { 2 } F _ { 1 } [ l + 1 - i \gamma j , j + p + 1 + s , j + l + 2 , 1 - e ^ { - 2 r } ] \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { ( h , k ) \to ( 0 , 0 ) } { \frac { { \big | } f ( u + h , v + k ) - f ( u , v ) { \big | } ^ { 2 } - { \big ( } E h ^ { 2 } + 2 F h k + G k ^ { 2 } { \big ) } } { h ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } } & { = 0 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { ( h , k ) \to ( 0 , 0 ) } { \frac { { \big ( } f ( u + h , v + k ) - f ( u , v ) { \big ) } \cdot n - { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } L h ^ { 2 } + 2 M h k + N k ^ { 2 } { \big ) } } { h ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } } & { = 0 , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { m } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { m } _ { \vec { i } } } & { \mathrm { i f ~ o r d e r } = 0 } \\ { \frac { 3 } { 2 } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } } - \frac { 1 } { 2 } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } - 1 } } & { \mathrm { i f ~ o r d e r } = 1 } \\ { \frac { 1 5 } { 8 } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } } - \frac { 5 } { 4 } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } - 1 } + \frac { 3 } { 8 } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } - 2 } } & { \mathrm { i f ~ o r d e r } = 2 } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { { \sf G I } \, i j } ^ { a } ( { \bf r } ) = \partial _ { j } A _ { { \sf G I } \, i } ^ { a } ( { \bf r } ) - \partial _ { i } A _ { { \sf G I } \, j } ^ { a } ( { \bf r } ) - g f ^ { a b c } A _ { { \sf G I } \, i } ^ { b } ( { \bf r } ) A _ { { \sf G I } \, j } ^ { c } ( { \bf r } )
G _ { V } = \left[ ( g _ { V } ^ { p } + 2 \epsilon _ { V } ^ { u } + \epsilon _ { V } ^ { d } ) \cdot Z + ( g _ { V } ^ { n } + \epsilon _ { V } ^ { u } + 2 \epsilon _ { V } ^ { d } ) \cdot N \right] \cdot F _ { n u c } ^ { V } ( Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \left( \Lambda _ { f } \ast \Lambda _ { g } \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } \Lambda _ { f } ( d ) \Lambda _ { g } \left( \frac { n } { d } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha - 1 } \Lambda _ { f } ( p ^ { i } ) \Lambda _ { g } ( p ^ { \alpha - i } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha - 1 } \frac { f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } \frac { g ( p ) } { h _ { g } ( p ) } } \\ & { = \frac { ( \alpha - 1 ) f ( p ) g ( p ) } { h _ { f } ( p ) h _ { g } ( p ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t a n } \theta } & { : = } & { \frac { d \epsilon _ { i } } { d \epsilon _ { r } } } \\ & { = } & { ( i ^ { * } + \epsilon _ { i } ) \left( \frac { ( a m - b ) \epsilon _ { r } + a c } { ( \alpha p _ { r } m - l _ { i } ) \epsilon _ { r } + \alpha p _ { r } c } - u ( \epsilon _ { i } ^ { 2 } - \epsilon _ { r } \epsilon _ { i } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { 3 } = \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \Big ( [ \partial _ { x } ^ { \alpha } , \mathrm { d i v } _ { x } \, u \cdot ] ( \rho _ { f } ) + [ \partial _ { x } ^ { \alpha } , u \cdot ] ( \nabla _ { x } \rho _ { f } ) \Big ) = \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \left( \mathcal { C } _ { 3 , 1 } + \mathcal { C } _ { 3 , 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \rho _ { i } ( t ) } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { j i } ( 1 - \rho _ { i } ) h _ { j } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { i j } ( 1 - \rho _ { j } ) h _ { i } + x _ { i } ( 1 - \rho _ { i } ) - q _ { i } h _ { i } } \end{array}
{ \lambda _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \overline { { \lambda _ { \xi } } } \right) _ { ( i , j , k ) } + \left( \overline { { \lambda _ { \xi } } } \right) _ { ( i + 1 , j , k ) } \right] \, \mathrm { ~ , ~ } }
\begin{array} { r } { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 2 } } : x \in [ 0 , 1 ] ^ { p } , y \in \{ 0 , 1 \} ^ { p } \mapsto 1 - \frac { \langle x , y \rangle } { \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| y \| _ { 2 } ^ { 2 } - \langle x , y \rangle } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \sigma } } \\ { { f _ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \mathrm { c o s } \theta _ { s } } } & { { - \mathrm { s i n } \theta _ { s } } } \\ { { \mathrm { s i n } \theta _ { s } } } & { { \mathrm { c o s } \theta _ { s } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { N _ { 3 } ^ { 3 } } } \\ { { \frac { N _ { 1 } ^ { 1 } + N _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt 2 } } } \end{array} \right) .
\textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { L } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { j } \operatorname { T r } ( \hat { X } _ { i } \hat { U } _ { j } ^ { \dag } \hat { Y } _ { i } \hat { U } _ { j } ) + \sum _ { i = j + 1 } ^ { L } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle .
\begin{array} { r l } { \hat { I } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = 0 , \sigma = 1 0 ) } \\ { \tau } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { c } ^ { \dagger } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { I } , \sigma = \tau ) } \\ { \hat { \sigma } _ { c } } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } , c , s } ^ { \mathrm { m e a n } } } & { \sim \mathrm { S t u d e n t T } _ { \nu = 4 } \left( \mu = I _ { c } ^ { \dagger } , \sigma = \hat { \sigma } _ { c } \right) , } \end{array}
\sum \frac { f ( z _ { n } ) } { s ^ { \prime } ( z _ { n } ) } = w + \int _ { 0 } ^ { \infty } { f ( x ) d x } + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \left[ \frac { f ( i x ) } { e ^ { - 2 \pi i s ( i x ) } - 1 } - \frac { f ( - i x ) } { e ^ { 2 \pi i s ( - i x ) } - 1 } \right] d x } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { \qquad + a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - a \left[ 3 \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a C \left[ C _ { \epsilon } \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + 1 \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle - C _ { \epsilon } \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
{ \frac { 7 } { 1 5 } } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 2 } { 1 5 } } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } .
J _ { 1 } ( r ) = i \frac { 8 } { ( 4 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \; \frac { 1 } { D ^ { 2 } \; r } \int _ { \mu } ^ { \infty } d s \, s \, e ^ { - \frac { 2 s r } { D } } \; .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \textrm { d } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } m _ { i , d } v _ { 0 } ^ { 2 } n _ { d } ( v _ { 0 } - v _ { c } ) + \frac { 1 } { 2 } m _ { i , d } v _ { 1 } ^ { 2 } n _ { d } ^ { \prime } ( v _ { c } - v _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { w } _ { \perp } } & { = \sum _ { l m n } a _ { l m n } ( t ) j _ { l } \left( \frac { \alpha _ { l n } r } { R } \right) \vec { \Phi } _ { l m } \; , } \\ { \vec { w } _ { \parallel } } & { = \sum _ { l m n } { b } _ { l m n } ( t ) \nabla \left( j _ { l } \left( \frac { \alpha _ { l n } r } { R } \right) Y _ { l m } \right) \; , } \end{array}
\gamma \cdot \psi = ( k x ^ { 0 } ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } \left[ A ^ { ( 1 ) } K _ { C + \frac { 1 } { 2 } } ( k x ^ { 0 } ) + A ^ { ( 3 ) } K _ { C - \frac { 1 } { 2 } } ( k x ^ { 0 } ) \right]
\frac { \mathbf { B } \times \nabla B } { B ^ { 2 } } \cdot \nabla \alpha = \left( \kappa _ { n } - \kappa _ { g } \cot \vartheta _ { s } - \frac { \mu _ { 0 } | \nabla p | } { B ^ { 2 } } \right) \frac { B } { | \nabla \psi | } ,
\begin{array} { r l } { \Gamma T } & { = \ln \! 2 + \mu \Gamma T ( x _ { 0 } - c _ { 1 } ) + \frac { c _ { 2 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { c _ { 3 } \mu ^ { 3 } ( \Gamma T ) ^ { 3 } } { 6 } \; , } \\ { ( 2 - A - B ) c _ { 1 } } & { = ( A + B ) ( \lambda - c _ { 2 } \mu \Gamma T + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \Gamma T ) ^ { 2 } ) \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 2 } - 2 B ^ { 2 } ) c _ { 2 } } & { = ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) ( - 2 c _ { 3 } \mu \Gamma T ) + ( A - B ) ^ { 2 } ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) ^ { 2 } \; , } \\ { ( 4 - 2 A ^ { 3 } - 2 B ^ { 3 } ) c _ { 3 } } & { = 3 c _ { 2 } ( A - B ) ( A ^ { 2 } - B ^ { 2 } ) ( \lambda + c _ { 1 } - c _ { 2 } \mu \Gamma T ) \; . } \end{array}