harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \tilde { \zeta } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } ) \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq } & { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { u } _ { h } - \mathcal { I } _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \mathcal { I } _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ) } \\ & { \lesssim } & { \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } \| [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } + \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \sum _ { f \in \mathcal { F } _ { h } } h _ { f } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { [ k ] } ^ { \mathrm { e f f } } = \mathrm { C o n t r } _ { k } ^ { \prime } } & { { } \left\{ T _ { s _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } W _ { s _ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { [ 1 ] } T _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { [ 1 ] * } \cdots T ^ { [ k - 1 ] } W ^ { [ k - 1 ] } T ^ { [ k - 1 ] * } W ^ { [ k ] } \right. } \end{array}
\tilde { \omega } _ { \pm } = \frac { \left( \frac { \omega _ { c } } { 1 + i \beta } + \frac { \omega _ { m } - \delta } { 1 + i \alpha } \right) \pm \sqrt { \left( \frac { \omega _ { c } } { 1 + i \beta } - \frac { \omega _ { m } - \delta } { 1 + i \alpha } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 \omega _ { c } \omega _ { s } K _ { F } K _ { A } } { ( 1 + i \alpha ) ( 1 + i \beta ) } } } { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \frac { 1 } { t } A ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { t } \right) I \right) ^ { 2 t } A } \\ & { = } & { U \left( \frac { 1 } { t } D ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { t } \right) I \right) ^ { 2 t } D U ^ { * } } \\ & { = } & { U \left[ \begin{array} { l l l } { \left( \frac { 1 } { t } \lambda _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { t } \right) \right) ^ { 2 t } \lambda _ { 1 } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \left( \frac { 1 } { t } \lambda _ { m } ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { t } \right) \right) ^ { 2 t } \lambda _ { m } } \end{array} \right] U ^ { * } . } \end{array}
G ( p ) \approx \frac 2 3 g ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac 1 { ( p - q ) ^ { 2 } } \left[ \frac { G ( q ) } { q _ { 4 } ^ { 2 } + | G ( q ) | ^ { 2 } + ( q _ { | | } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 \mu } ) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 2 } } & { \leq 2 L _ { f } ^ { 2 } ( 1 + L _ { \pi } ) ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } ( \rho ^ { 2 } ) ^ { t _ { j _ { s } } - t _ { j _ { s } - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } ^ { 2 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \gamma _ { 1 } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } ^ { 2 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \gamma _ { 1 } \gamma _ { 0 } ^ { j _ { s } - 1 - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } \frac { 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 0 } } + 2 L _ { f } ^ { 2 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 4 } } & { \leq 8 L _ { f } ^ { 4 } ( 1 + L _ { \pi } ) ^ { 4 } \kappa ^ { 4 } ( \rho ^ { 4 } ) ^ { t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| ^ { 4 } + 8 L _ { f } ^ { 4 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 4 } } \\ & { \leq 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| ^ { 4 } + 8 L _ { f } ^ { 4 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 4 } } \\ & { \leq 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { j _ { s } - 1 - j _ { s - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 4 } + 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \frac { 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } } { 1 - 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } + 8 L _ { f } ^ { 4 } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \kappa ^ { j } } \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , \kappa ^ { j } ] } } & { = \mathcal { T } _ { \kappa ^ { j } } \mu | _ { [ 1 , \kappa ^ { j } ] } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathcal { T } _ { \kappa ^ { j } } \mathcal { T } _ { \kappa ^ { k } } \mu | _ { [ 1 , \kappa ] } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { j } \mathcal { T } _ { \kappa ^ { k } } \mathcal { T } _ { \kappa ^ { j - k } } \mu | _ { [ \kappa ^ { j - k } , \kappa ^ { j - k + 1 } ] } + \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \mathcal { T } _ { \kappa ^ { k } } \mu | _ { [ 1 , \kappa ] } } \end{array}
\delta T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } = G \otimes \left[ { \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { i } } } \right) u _ { j } ^ { * } } \right] + G \otimes \left[ { u _ { i } ^ { * } \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } \right] - \left[ { G \otimes \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { i } } } \right) } \right] \; \overline { { u _ { j } ^ { * } } } - \overline { { u _ { i } ^ { * } } } \; \left[ { G \otimes \left( { H \otimes \delta { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } \right] .
a _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } ( k _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } z - \omega _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } t ) \mathrm { e x p } \left[ - \frac { ( k _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } z - \omega _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } t ) ^ { 2 } } { 2 } \right]
{ \begin{array} { r l } { U ( x , y , z ) } & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i { \frac { 2 \pi } { \lambda } } ( l x ^ { \prime } + m y ^ { \prime } ) } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \\ & { \propto \iint _ { \mathrm { A p e r t u r e } } \, A ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) e ^ { - i k ( l x ^ { \prime } + m y ^ { \prime } ) } \, d x ^ { \prime } \, d y ^ { \prime } } \end{array} }
\stackrel { \rightarrow } { G } _ { 8 } = \frac { \lambda _ { q } ^ { 2 } ~ \mathrm { r o t } ~ \mathrm { r o t } \stackrel { \rightarrow } { A } + \sin ^ { 2 } \alpha \stackrel { \rightarrow } { A } } { \sin \alpha \cos \alpha } .
( d ) = - \frac { \lambda ^ { 2 } \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 2 } \int _ { - \frac { \beta } { 2 } } ^ { + \frac { \beta } { 2 } } d \tau \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x \; G _ { \beta } ^ { 3 } ( x , \tau ) \; .
\frac { \mathrm { d } \sigma _ { Z , A } } { \mathrm { d } \cos \theta } \; = \; \frac { \mathrm { d } \sigma _ { Z , A } ^ { 0 } } { \mathrm { d } \cos \theta } \Big [ 1 + \delta _ { Z , A } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ b o x } } \Big ]
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { f a s t } = } & { } & { \frac { | k | V _ { S } } { 2 | \cos \theta | } ( \frac { 1 } { 8 } \pi \frac { m _ { e } } { m _ { p } } ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \left( 1 + \frac { \cos 2 \theta [ ( V _ { S } ^ { 2 } / V _ { A } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta - 1 ] } { [ 1 + V _ { S } ^ { 4 } / V _ { A } ^ { 4 } - 2 ( V _ { S } ^ { 2 } / V _ { A } ^ { 2 } ) \cos 2 \theta ] ^ { 1 / 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d } { d t } \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) \frac { e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } } { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) - s } e ^ { - s t } d t } \\ & { = - \left( \frac { 1 } { 2 } \epsilon \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \int \! d \beta ^ { \prime } d \gamma ^ { \prime } \sigma _ { \beta } ^ { \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } z _ { \beta ^ { \prime } } z _ { \gamma ^ { \prime } } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t ^ { \prime } } } { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) - s } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma ^ { \prime } } + \omega _ { \beta ^ { \prime } } + \omega _ { \beta } \right) t ^ { \prime } } e ^ { - s t ^ { \prime } } d t + . . . } \end{array}
\Gamma ^ { \lambda } { } _ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \lambda \tau } \left( { \frac { \partial g _ { \tau \alpha } } { \partial x ^ { \beta } } } + { \frac { \partial g _ { \tau \beta } } { \partial x ^ { \alpha } } } - { \frac { \partial g _ { \alpha \beta } } { \partial x ^ { \tau } } } \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { j = 1 , 2 } \bigl ( \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, f _ { - , j } ^ { \infty } ( 0 ) - \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, g _ { + , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ^ { \infty } ( 0 ) ) \bigr ) , } \\ { 0 } & { = \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, f _ { + , j } ^ { \infty } ( L _ { j } ^ { \infty } ) - \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, g _ { - , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ^ { \infty } ( L _ { j } ^ { \infty } ) ) - c _ { j } \, h _ { j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } , L _ { j } ^ { \infty } ) , } \\ { 0 } & { = h _ { j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } , L _ { j } ^ { \infty } ) , } \end{array}
\gamma _ { M a } = \frac { a _ { 1 } k { M a } F _ { 0 } U } { \displaystyle H \left( \frac { 1 } { P e _ { I } } + \frac { a _ { 2 } L ^ { 2 } { B i } \chi } { \chi + { B i } { P e } \delta } + a _ { 1 } k { M a } F _ { 0 } \right) } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { m a t t e r } } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i } \int \! \mathrm { d } ^ { 2 } \theta \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { \theta } \, \bar { Q } _ { i } e ^ { V } Q _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \left\{ \int \! \mathrm { d } ^ { 2 } \theta \, { \cal W } ( Q _ { i } ) + \mathrm { H . c . } \right\} \, .
\begin{array} { r l } { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) } & { \leq ( 1 - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } ) \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 4 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \, | \bigl \{ \tilde { \phi } , \zeta _ { * } \bigr \} | \, | \tilde { \zeta } | \, \mathrm { d } X \, \le \, \frac { C } { \delta } \int _ { \mathcal { D } _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | \, | \tilde { \eta } | } { 1 + \epsilon R } \, ( 1 + \rho ) ^ { N } \, \mathrm { d } X \, = \, \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ^ { \infty } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, .
{ \frac { M _ { 0 } } { M _ { 1 } } } = \left( { \frac { ( - 2 I _ { \mathrm { s p } } \Delta v / c ^ { 2 } + 1 - a - { \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } + 4 a I _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) ( 1 - a + { \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } + 4 a I _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) } { ( - 2 I _ { \mathrm { s p } } \Delta v / c ^ { 2 } + 1 - a + { \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } + 4 a I _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) ( 1 - a - { \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } + 4 a I _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } ) } } \right) ^ { \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } + 4 a I _ { \mathrm { s p } } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ^ { 2 n } } & { { } = \left( { \cal R } _ { j } ^ { 2 n } \right) ^ { 2 } + { \cal I } _ { j } ^ { 2 n + 1 } { \cal I } _ { j } ^ { 2 n - 1 } , } \\ { \rho _ { j } ^ { 2 n + 1 } } & { { } = { \cal R } _ { j } ^ { 2 n + 2 } { \cal R } _ { j } ^ { 2 n } + \left( { \cal I } _ { j } ^ { 2 n + 1 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \hat { h } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d h _ { i } ^ { t } e ^ { \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } h _ { i } ^ { t } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } \right) } \right. \right. } \\ & { \left. \left. \qquad \times \sum _ { y _ { i } ^ { t } = 0 , 1 } e ^ { - \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } } \left[ 1 - e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { y _ { i } ^ { t } } \left[ e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { \left( 1 - y _ { i } ^ { t } \right) } \prod _ { j > i } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } \right) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d h _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } h _ { i } ^ { t } } \left[ \left( 1 - e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right) e ^ { - \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - 1 \right) } + e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] \right. \right. } \\ & { \left. \left. \qquad \qquad \times \prod _ { j > i } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 1 } } & { : = \left\{ ( e , u , \dot { e } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid e u \geq \frac { u ^ { 2 } } { k _ { h } } \wedge ( e , u , \dot { e } ) \not \in \mathcal { F } _ { 2 } \right\} , } \\ { \mathcal { F } _ { 2 } } & { : = \left\{ ( e , u , \dot { e } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid u = k _ { h } e \wedge f ( x _ { h } , e ) e > k _ { h } \dot { e } e \right\} } \end{array}
Q ^ { 3 } ( \Phi _ { j } ^ { c } ) + Q ^ { 3 } ( \Phi _ { j } ) = p _ { j } N \bigg ( 3 Q ^ { 2 } ( \Phi _ { j } ) - 3 p _ { j } N Q ( \Phi _ { j } ) + p _ { j } ^ { 2 } N ^ { 2 } \bigg ) , \ p _ { j } \in { \bf Z } .
\left( \begin{array} { c c } { { D _ { 4 } + m } } & { { \vec { \sigma } \cdot \vec { D } } } \\ { { \vec { \sigma } \cdot \vec { D } } } & { { - \epsilon D _ { 4 } + m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { u _ { 1 } } } \\ { { u _ { 2 } } } \end{array} \right) .
m _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 8 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { t } ,
U = u _ { * } \Big \{ \frac { 1 } { \kappa } \ln y ^ { + } + B + C _ { u } ( y ^ { + } ) ^ { - 1 } + B _ { u } R e _ { \delta } ^ { - 1 } y ^ { + } + A _ { u } R e _ { \delta } ^ { - 1 } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y ^ { + } \ln ^ { 2 } y ^ { + } + . . . \Big \} .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \varepsilon ^ { + } } { \partial t } = } & { { } - ( V + V _ { A } ) \frac { \partial \varepsilon ^ { + } } { \partial r } - \frac { 1 } { A } \frac { \partial } { \partial r } \left( A \left( V + V _ { A } \right) \right) \varepsilon ^ { + } } \end{array}
\bigg ( \langle \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } ) F _ { \rho \sigma } ( z _ { 1 } ^ { \prime } ) \rangle \rangle - \langle \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { 1 } ) \rangle \rangle \, \langle \langle F _ { \rho \sigma } ( z _ { 1 } ^ { \prime } ) \rangle \rangle \bigg ) = 0
\Upsilon _ { \mu \nu } ^ { 2 } \equiv \int _ { k } \frac { g _ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } - 2 \int _ { k } \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
L ^ { M N } \left( x \left( \tau \right) , p \left( \tau \right) , \tau \right) = X _ { 0 } ^ { M } \left( \tau \right) P _ { 0 } ^ { N } \left( \tau \right) - X _ { 0 } ^ { N } \left( \tau \right) P _ { 0 } ^ { M } \left( \tau \right) .
\begin{array} { r } { \left| Q _ { i } ( g _ { n } ; x _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { l } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { i } \right| \leqslant \left\{ \begin{array} { l c r } { \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 { m _ { 2 } } ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } & { 1 \leqslant i \leqslant n } \\ { \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 { m _ { 1 } } ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } & { { n + 1 } \leqslant i \leqslant 2 n } \end{array} \right. } \end{array}
g \left( x \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - \alpha ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \mathrm { ~ S ~ T ~ E ~ P ~ } \left( x - \alpha \right) d \alpha .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \Phi ( Y _ { r - } , \mathrm { d } r ) = \int _ { 0 } ^ { t } f ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } F ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \varphi ( Y _ { r - } , r , z ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| > 1 } \varphi ( Y _ { r - } , r , z ) \, N ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf V } _ { i \perp } = ~ 0 \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ { { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } \qquad \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ i ~ n ~ o ~ u ~ s ~ a ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ { \boldsymbol { \tau } \times \mathbf { n } \qquad \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ t ~ i ~ n ~ o ~ u ~ s ~ a ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } \quad \Gamma ^ { P W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) p \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } d x \bigg ) } \\ & { \leq \frac { 2 C p ( p - 1 ) } { \mathfrak { C } ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg | ^ { p } \bigg ) ( t ) } \\ & { + C _ { 0 } p ( p - 1 ) \varepsilon _ { 1 } \| \mathcal { K } \| _ { L _ { 1 } ( 0 , T ) } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } ( x , t ) \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) . } \end{array}
S ( 0 , a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) \ = \ ( - 1 ) ^ { n } ( n - 1 ) \, a _ { 1 } \, { \mathcal R } _ { Q , Q ^ { \prime } } + ( - 1 ) ^ { n } n \, a _ { 1 } \, { \mathcal R } _ { Q , Q ^ { \prime } } \ = \ ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n - 1 ) \, a _ { 1 } \, { \mathcal R } _ { Q , Q ^ { \prime } }
G _ { u u } ^ { K ^ { + } } = a _ { K } ( 1 - z ) ^ { \lambda + 2 ( \alpha _ { R } - \alpha _ { B } ) } \; , G _ { u d } ^ { K ^ { + } } = G _ { u u } ^ { K ^ { + } } \frac { 1 + ( 1 - z ) ^ { 2 } } 2 \; ,
\begin{array} { r l } & { t = \frac { d } { c } } \\ & { t = \frac { 1 5 \times 1 0 ^ { 3 } } { 3 \times 1 0 ^ { 8 } } = 5 \times 1 0 ^ { - 5 } s } \\ & { N ( t ) = N _ { 0 } e ^ { \frac { t } { \tau } } } \\ & { \frac { N } { N _ { 0 } } = e ^ { - \frac { 5 \times 1 0 ^ { - 5 } } { 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 6 } } } = 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 1 0 } } \end{array}
{ \left[ \frac { ( m _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } ) - f ( m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } ) } { ( m _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } ) - ( m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } ) } \right] } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { k _ { 0 } ^ { x } + k _ { 0 } ^ { y } + k _ { 0 } ^ { z } } & { { } = 0 , } \\ { k _ { 1 } ^ { x } + k _ { 1 } ^ { y } + k _ { 1 } ^ { z } } & { { } = 0 , } \end{array}
{ ( \tilde { J } _ { n } ^ { + } ) } ^ { n + 1 } \equiv ( x ^ { 2 } D _ { x } - \{ n \} x ) ^ { n + 1 } = q ^ { 2 n ( n + 1 ) } x ^ { 2 n + 2 } D _ { x } ^ { n + 1 } , n = 0 , 1 , 2 , \ldots
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \hat { \lambda } _ { i } } ^ { 2 } } & { \le \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \le i \le k } \{ \hat { \lambda } _ { i } \} - \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \lambda } _ { i } \right) \left( \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \lambda } _ { i } - \operatorname* { m i n } _ { 1 \le i \le k } \{ \hat { \lambda } _ { i } \} \right) + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \lambda } _ { i } \right) ^ { 2 } } \\ & { \le \left( \frac { k - 1 } { k } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le i \le k } \{ \hat { \lambda } _ { i } \} \right) \left( \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \lambda } _ { i } \right) + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \lambda } _ { i } \right) ^ { 2 } } \\ & { \le \left( \frac { k - 1 } { k } \lambda ^ { * } ( \mathcal { R } ) \right) \left( \frac { 1 } { k } \lambda ( \mathcal { R } ) \right) + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \lambda ( \mathcal { R } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \log Q } \\ & { = \frac { 2 u _ { t l } u _ { l } - 2 \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { l i } u _ { l j } - 2 \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { l i j } u _ { l } } { | \nabla u | ^ { 2 } } - \gamma \frac { u _ { t } - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i j } } { u } + \frac { \psi \dot { F } ^ { i j } | \nabla u | _ { i } ^ { 2 } | \nabla u | _ { j } ^ { 2 } } { | \nabla u | ^ { 4 } } - \gamma \frac { \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i } u _ { j } } { u ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 2 u _ { t l } u _ { l } - 2 \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { l i } u _ { l j } - 2 \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { l i j } u _ { l } } { | \nabla u | ^ { 2 } } - \gamma \frac { u _ { t } - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i j } } { u } - \left( \gamma - \gamma ^ { 2 } \right) \frac { \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i } u _ { j } } { u ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { R e } s ( \omega ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega ^ { \prime } \operatorname { I m } s ( \omega ^ { \prime } ) } { ( \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, \mathrm { d } \omega ^ { \prime } . } \end{array}
\tau \Vert \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \right) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } \lesssim \tau ^ { b _ { 0 } } \Vert \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \right) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 0 } } .