harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \leq \lvert ( M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } \rvert \lvert [ ( N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } ) ( z ^ { ( k ) } - z ^ { * } ) \rvert + ( \lvert ( A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } ) z ^ { ( k ) } } \\ & { + \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { ( k ) } ) \rvert - \lvert ( A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } ) z ^ { * } + \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { * } ) \rvert ) + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { ( k ) } ) } \\ & { - \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { * } ) ] \rvert } \\ & { \leq \lvert ( M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } \rvert [ \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \phi _ { 2 } G ] \lvert z ^ { ( k ) } - z ^ { * } \rvert } \\ & { \leq L \lvert z ^ { ( k ) } - z ^ { * } \rvert } \end{array}
{ a } \, { b } \, { { f } _ { 2 } } \, \mathrm { \& * } \left( \! \, { { Q } _ { 1 } } , { { Q } _ { 2 } } , { { Q } _ { 2 } } + { { f } _ { 1 } } + { { f } _ { 2 } } \, \! \right)
\begin{array} { r l } { \ker ( f _ { n } ) } & { = A ( F _ { n } ) [ p ^ { \infty } ] \big / { p } \simeq \left( \mathbb Z / p \mathbb Z \right) ^ { 2 d } , } \\ { \ker ( \gamma _ { n } ) } & { = \bigoplus _ { v _ { n } \in S ( F _ { n } ) } A ( F _ { n , v _ { n } } ) [ p ^ { \infty } ] \big / p \simeq \bigoplus _ { v _ { n } \in S _ { f } ( F _ { n } ) } \left( \mathbb Z / p \mathbb Z \right) ^ { 2 d } , } \end{array}
\Gamma _ { k } \sim \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { \hbar } \left( \frac { k } { k _ { \operatorname* { m a x } } } \right) ^ { 3 } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ O ~ } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ A ~ } } ) \frac { 1 } { \epsilon _ { k } } \sim 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { ~ R ~ y ~ } \sim 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { ~ p ~ s ~ } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right) } & { = { \mathbb E } \left[ F ( X _ { 0 } ^ { 1 } , X _ { 0 } ) \right] + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ { \mathcal L } \left( F \right) ( M _ { s } , X _ { s } ) \right] d s } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } { \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ \partial _ { m } F ( X _ { s } ^ { 1 } , { X _ { s } } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { s } ) \| ^ { 2 } \frac { p _ { V } ( X _ { s } ^ { 1 } , { X _ { s } } ; s ) } { p _ { X } ( X _ { s } ; s ) } \right] d s . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, C L } } = \sum _ { \pm } \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \right] } \\ & { \times \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 2 } \, k _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 2 } } \frac { d - 1 } { d } \right] \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } \right. \right. } \\ & { \times \left. \left. r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } - k _ { 2 } } r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathcal { E } _ { k } * \varphi _ { Q , N } \| _ { \ell ^ { 2 } } = \| \widehat { \mathcal { E } _ { k } } \cdot \widehat { \varphi _ { Q , N } } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } \leq \mathbf { C } \cdot 2 ^ { - k \delta / 4 } \cdot \| \widehat { \varphi _ { Q , N } } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } = \mathbf { C } \cdot 2 ^ { - k \delta / 4 } \cdot \| { \varphi _ { Q , N } } \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot { \boldsymbol { u } } } & { { } = { \frac { 1 } { r \, \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } ( u _ { \theta } \, \sin \theta ) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } { \Bigl ( } r ^ { 2 } \, u _ { r } { \Bigr ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } ) } & { = \frac { 1 } { k } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq l \leq k } \mathcal { P } ^ { ( 1 ) } ( R _ { d } ^ { \otimes n l } \otimes \mathcal { E } _ { 1 / 2 , d } ^ { \otimes k - l } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 n } \\ { \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } \frac { 1 } { 2 } \log d } \\ { 0 } \end{array} \right. } \\ & { = \frac { 2 n } { k } + \frac { ( k - 1 ) n ^ { \alpha } } { 2 k } . } \end{array}
G _ { \mathrm { S H E } } = \sigma \frac { w l } { t } \frac { 2 \theta _ { \mathrm { S H E } } ^ { 2 } + \frac { t } { \lambda } \mathrm { c o t h \frac { t } { 2 \ l a m b d a } } } { 1 + \frac { \lambda \theta _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ E ~ } } ^ { 2 } } { t } \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \frac { t } { \lambda } } \left( 1 - \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } \frac { t } { \lambda } \right)
C \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = C \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cup \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! C \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { - \tau ^ { \left( q \right) } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \log \left( \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \right) = } & { { } - \tau ^ { \left( q \right) } \frac { 1 } { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } \frac { \mathsf { d } } { \mathsf { d } \tau ^ { \left( q \right) } } \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) , } \\ { = } & { { } \tau ^ { \left( q \right) } \frac { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } { \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \tau ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } , } \\ { = } & { { } \tau ^ { \left( q \right) } \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \varphi ) : = } & { ( U _ { h + g } \circ f _ { h + g } ) ( e ^ { i \varphi } ) - ( U _ { h } \circ f _ { h } ) ( e ^ { i \varphi } ) - D _ { h } ( U _ { h } \circ f _ { h } ) [ g ] ( e ^ { i \varphi } ) } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \left[ - \frac { | f _ { h + t g } ^ { \prime } ( e ^ { i \varphi } y ) | ^ { 2 } } { d _ { h + t g } ( \varphi , y ) } \right] \, d t d y } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \left[ T _ { h + t g , g } ^ { 0 } ( \varphi , y ) + T _ { h + t g , g } ^ { 1 } ( \varphi , y ) + T _ { h + t g , g } ^ { 2 } ( \varphi , y ) \right] \, d t d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E r f } _ { \mathrm { S } ^ { \ast } < 0 } \left( R ^ { 2 } \right) } & { = \mathrm { E r f } _ { \mathrm { S } ^ { \ast } = 0 } \left( R ^ { 2 } + \mathrm { S } ^ { \ast } t \right) } \\ & { = \mathrm { E r f } _ { \mathrm { S } ^ { \ast } = 0 } \left( R ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( A ^ { 2 } / B ^ { 2 } ) t } } e ^ { - B ^ { 2 } R ^ { 2 } / 2 A ^ { 2 } t } \right) \mathrm { S } ^ { \ast } t + \mathcal { O } \left( { \mathrm { S } ^ { \ast } } ^ { 2 } t ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\lbrace A , B \rbrace { } ^ { * } = \lbrace A , B \rbrace - i [ \lbrace A , \pi _ { \theta \, i } + { \frac { i } { 2 } } \theta _ { i } ^ { * } \rbrace \lbrace \pi _ { \theta ^ { * } \, i } + { \frac { i } { 2 } } \theta _ { i } , B \rbrace + \lbrace A , \pi _ { \theta ^ { * } \, i } + { \frac { i } { 2 } } \theta _ { i } \rbrace \lbrace \pi _ { \theta \, i } + { \frac { i } { 2 } } \theta _ { i } ^ { * } , B \rbrace ] ,
\begin{array} { r l } { \eta ( \tau ) } & { = q ^ { \frac { 1 } { 2 4 } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n } ) , } \\ { \vartheta ( \tau , z ) } & { = q ^ { \frac { 1 } { 8 } } ( e ^ { \pi i z } - e ^ { - \pi i z } ) \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n } e ^ { 2 \pi i z } ) ( 1 - q ^ { n } e ^ { - 2 \pi i z } ) ( 1 - q ^ { n } ) , \quad z \in \mathbb C . } \end{array}
\begin{array} { r } { V ^ { 2 } ( r ) \sim V _ { 0 } ^ { 2 } - \left| 3 w + 1 \right| \left( \frac { r _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { r } \right) ^ { 3 w + 1 } \sim V _ { 0 } ^ { 2 } \left[ 1 - \Big ( \frac { r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ r ~ i ~ } } } { r } \Big ) ^ { 3 w + 1 } \right] \approx V _ { 0 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } ^ { i } } & { = q _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } r _ { k } ^ { i j } ( \eta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } + \alpha _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \sum _ { j \in - i } b _ { k } ^ { j } \eta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } - \alpha _ { k } ^ { i } - \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } } \\ & { = q _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } r _ { k } ^ { i j } ( \eta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } + \alpha _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } b _ { k } ^ { j } \eta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } - \alpha _ { k } ^ { i } - \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } } \\ & { \quad - 2 \alpha _ { k + 1 } ^ { i } \big ( a _ { k } + \sum _ { j \in - i } b _ { k } ^ { j } \eta _ { k } ^ { j } \big ) b _ { k } ^ { i } \eta _ { k } ^ { i } - ( r _ { k } ^ { i i } + \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( b _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } ) ( \eta _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { = q _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } r _ { k } ^ { i j } ( \eta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } + \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( \mathsf { A } _ { k } ) ^ { 2 } } \\ & { \quad - \alpha _ { k } ^ { i } - \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } + 2 \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } - \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c } { 4 } & { 2 } & { 2 } & { 0 } \\ { 3 } & { 2 } & { 2 } & { 0 } \\ { 2 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { c c c c c c } { 4 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 0 } \\ { 3 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { c c c c } { 6 } & { 4 } & { 2 } & { 0 } \\ { 5 } & { 4 } & { 2 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \end{array}
[ { \mathfrak { h } } , { \mathfrak { h } } ] \subset { \mathfrak { h } } , \; [ { \mathfrak { h } } , { \mathfrak { m } } ] \subset { \mathfrak { m } } , \; [ { \mathfrak { m } } , { \mathfrak { m } } ] \subset { \mathfrak { h } } .
\begin{array} { r l } { a ^ { \mathcal { E } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = j \omega \mu \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S - \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S } \nabla \cdot \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S , } \\ { b ^ { \mathcal { E } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { { } { } = \int _ { S } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) \cdot \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) d S . } \end{array}
S _ { g a u g e d } = S _ { L R } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } z \; \left( \frac { 1 } { 2 } A \bar { A } ( 1 + B ( x ) \sin 2 \alpha ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } A \bar { L } _ { R } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } L _ { L } \bar { A } \right) ,
\begin{array} { l l l } & { ( { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } f ) ( x ) : = D ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } f ) ( x ) = \displaystyle \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \int _ { a } ^ { x } ( x - t ) ^ { - \alpha } f ( t ) \mathrm { d } t , \quad ( x > a ) } \\ & { ( { \mathbb D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } f ) ( x ) : = - D ( I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } f ) ( x ) = \displaystyle \frac { - 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \int _ { x } ^ { b } ( t - x ) ^ { - \alpha } f ( t ) \mathrm { d } t , \quad ~ ~ ( x < b ) , } \end{array}
S _ { e f f } = - 8 \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \, \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho \alpha } a _ { \mu } \partial _ { \nu } b _ { \rho \alpha } = - 8 \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \, { \cal S } _ { B F } ( { \cal A } ) .
\begin{array} { r l r } { P _ { t } } & { { } \equiv } & { m _ { o } c \gamma + \frac { q } { c } \Phi + 2 \frac { q } { c } \overline { { A } } _ { t } ^ { ( R R ) } ( r ) , } \\ { P _ { z } } & { { } \equiv } & { m _ { o } \gamma v _ { z } + \frac { q } { c } A _ { z } + 2 \frac { q } { c } \overline { { A } } _ { z } ^ { ( R R ) } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { r } = 2 \arctan \Big [ e ^ { \alpha \int _ { 0 } ^ { L _ { g } } N ^ { * } ( z ^ { \prime } , \Phi ^ { * } ( 0 ) ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) \Big ] . } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d \Omega } } = { \frac { 1 } { 2 } } r _ { e } ^ { 2 } \left( { \frac { \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left[ { \frac { \lambda } { \lambda ^ { \prime } } } + { \frac { \lambda ^ { \prime } } { \lambda } } - \sin ^ { 2 } ( \theta ) \right]
- \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \right) - 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } .
s _ { N } ( x ) = \sum _ { n = - N } ^ { N } c _ { _ { R n } } \cdot e ^ { i { \frac { 2 \pi n x } { P } } } + i \cdot \sum _ { n = - N } ^ { N } c _ { _ { I n } } \cdot e ^ { i { \frac { 2 \pi n x } { P } } } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \left( c _ { _ { R n } } + i \cdot c _ { _ { I n } } \right) \cdot e ^ { i { \frac { 2 \pi n x } { P } } } .
\begin{array} { r l } { \Re \left( e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } \right) } & { = - \sin \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { 1 - \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } } \\ & { - \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { \sin \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = Z ^ { 0 } \int e x p \Bigg [ - \Bigg ( R \left( \mathcal { M } \right) + \sum _ { ( i , j ) } 3 \left( \frac { f _ { i } - f _ { j } } { l _ { i j } } \right) ^ { 2 } V _ { l } } \end{array}
\mathrm { T r } e ^ { i F _ { 9 } } - \mathrm { t r } e ^ { i F _ { 9 } } \, \mathrm { t r } e ^ { i F _ { \bar { 9 } } } + \mathrm { T r } _ { S } e ^ { i F _ { \bar { 9 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \, ( \mathrm { S t r } e ^ { i F _ { 9 } } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { S t r } e ^ { 2 i F _ { 9 } } .
\begin{array} { r l } { ( c _ { n } ) _ { n \in \omega } \in ( a _ { n } ) _ { n \in \omega } + ( b _ { n } ) _ { n \in \omega } } & { \mathrm { ~ i f f ~ } \forall \, n ( c _ { n } \in a _ { n } + b _ { n } ) } \\ { ( c _ { n } ) _ { n \in \omega } \in ( ( a _ { n } ) _ { n \in \omega } \cdot ( b _ { n } ) _ { n \in \omega } } & { \mathrm { ~ i f f ~ } \forall \, n ( c _ { n } \in a _ { 0 } \cdot b _ { n } + a _ { 1 } \cdot b _ { n - 1 } + . . . + a _ { n } \cdot b _ { 0 } ) } \\ { - ( a _ { n } ) _ { n \in \omega } } & { = ( - a _ { n } ) _ { n \in \omega } } \\ { 0 } & { : = ( 0 ) _ { n \in \omega } } \\ { 1 } & { : = ( 1 , 0 , . . . , 0 , . . . ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { ( \rho , U , T ) } \left( \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \mathcal { M } ( F ) \right) = \left[ { \begin{array} { c } { \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } } \\ { \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { T } } \\ { - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho T } \right) + \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { - \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T ^ { 2 } } + \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) } \end{array} } \right] \mathcal { M } ( F ) , } \end{array}
C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } = C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }
M = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \mu _ { e \mu } } } & { { \mu _ { e \tau } } } \\ { { - \mu _ { e \mu } } } & { { 0 } } & { { \mu _ { \mu \tau } } } \\ { { - \mu _ { e \tau } } } & { { - \mu _ { \mu \tau } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\sum _ { \gamma \ p o l s } \left| \frac { p . \epsilon ^ { * } } { p . k } - \frac { d . \epsilon ^ { * } } { d . k } \right| ^ { 2 } = \frac { | \vec { p } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \omega ^ { 2 } ( E - | \vec { p } | \cos \theta ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { \tilde { t } _ { 2 } } \int _ { d } ^ { \tilde { R } } \rho ^ { - n - 1 } \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap \{ y _ { n + 1 } = t \} } \left| \mathcal S _ { y , x } \right| d \mathcal H _ { \{ y _ { n + 1 } = t \} } ^ { n } d \rho d t } \\ & { = \int _ { d } ^ { \tilde { R } } \rho ^ { - n - 1 } \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap S _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { \tilde { t } _ { 2 } } } \left| ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - \varepsilon \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \right| d y d \rho } \\ & { \leq \int _ { d } ^ { \tilde { R } } \rho ^ { - n } \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap S _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { \tilde { t } _ { 2 } } } \left| \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right| + \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \sqrt { 1 - \nu _ { \varepsilon , n + 1 } ^ { 2 } } d y d \rho } \\ & { \leq \int _ { d } ^ { \tilde { R } } \rho ^ { - n } \omega \rho ^ { n } d \rho } \\ & { \leq \omega \tilde { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { A ( q ) } { 4 } } & { = \big . f ( t ) \cos \left( q t \right) \big | _ { t = 0 } ^ { t = R } - \int _ { 0 } ^ { R } f ^ { \prime } ( t ) \cos ( q t ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { \frac { B ( q ) } { 4 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \prime } ( t ) \sin ( q t ) \, \mathrm { d } t - g ( R ) \sin \left( q R \right) . } \end{array}
| M , 0 \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { M ! } } } ( a _ { 0 } ^ { \dagger } ) ^ { M } | 0 \rangle , \quad J _ { + } | M , 0 \rangle = 0 , \quad J _ { 0 } | M , 0 \rangle = { \frac { M } { 2 } } | M , 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { h _ { 3 } ( x , t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { i } ( t ) \varphi _ { i } ( x ) } \\ & { + N _ { 1 } ( t ) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } \right) \left( 1 - \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 1 0 } \frac { x } { L _ { x } } \right) } \\ & { + N _ { 2 } ( t ) \frac { x } { L _ { x } } \left( \frac { x } { L _ { x } } - u _ { 2 0 } ( 1 - \frac { x } { L _ { x } } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; \Lambda ; S , \Sigma ; J , P , M | T _ { p } ^ { 1 } ( d ) } & { | \ell ^ { \prime } ; \Lambda ^ { \prime } ; S , \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , P ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { \Sigma , \Sigma ^ { \prime } } \delta _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J - M } \left( \begin{array} { c c c } { J } & { 1 } & { J ^ { \prime } } \\ { - M } & { p } & { M ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times \sqrt { ( 2 J + 1 ) ( 2 J ^ { \prime } + 1 ) } ( - 1 ) ^ { J - M } } \\ & { \times \sum _ { q } \left( \begin{array} { c c c } { J } & { 1 } & { J ^ { \prime } } \\ { - P } & { q } & { P ^ { \prime } } \end{array} \right) \delta _ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } + q } } \\ & { \times \langle \Lambda | | T _ { q } ^ { 1 } ( d ) | | \Lambda ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { M } _ { \P } ^ { h } \hat { \mathbf { v } ^ { \ast } } _ { x , \P } + \Delta t \mathbf { K } _ { \P } ^ { h } \hat { \mathbf { v } ^ { \ast } } _ { x , \P } = \mathbf { F } _ { m _ { x } , \P } ^ { n , h } , } \\ { \mathbf { M } _ { \P } ^ { h } \hat { \mathbf { v } ^ { \ast } } _ { y , \P } + \Delta t \mathbf { K } _ { \P } ^ { h } \hat { \mathbf { v } ^ { \ast } } _ { y , \P } = \mathbf { F } _ { m _ { y } , \P } ^ { n , h } , } \\ { \Delta t \mathbf { K } _ { \P } ^ { h } \hat { \mathbf { p } } _ { \P } ^ { n + 1 } = \mathbf { F } _ { c , \P } ^ { n , h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } - I _ { 1 } J _ { 1 } J _ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t - \frac { 1 } { I _ { 2 } } \Bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \ge \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \mu } } & { { = } } & { { m _ { D ^ { * } } , } } \\ { { m _ { d } } } & { { = } } & { { 0 . 3 \ \mathrm { G e V } , } } \\ { { m _ { c } } } & { { = } } & { { 1 . 5 \ \mathrm { G e V } \ \mathrm { a n d } } } \\ { { w ( c \to D ^ { * } ) } } & { { = } } & { { 0 . 2 2 . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \left( \rho _ { L } , u _ { L } , p _ { L } \right) = ( 3 . 8 5 7 1 4 3 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 2 . 6 2 9 3 6 9 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 0 . 3 3 3 3 \mathrm { ~ P a } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { x < 1 \mathrm { ~ m } , } \\ { \left( \rho _ { R } , u _ { R } , p _ { R } \right) = ( 1 + 0 . 2 \sin ( 5 x ) \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 . 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 0 \mathrm { ~ P a } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { x \geq 1 \mathrm { ~ m } } \end{array} \right.
w = \frac { 2 \gamma _ { p } } { k \sin ( \theta / 2 ) \Omega _ { 2 s w } } ; \quad \quad \quad \quad U _ { 0 } = \frac { \hbar \Omega _ { 1 } ^ { 4 } } { 8 \Delta \gamma ^ { 2 } } . \quad \quad \quad