harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { { A ^ { \prime } } ^ { a } T ^ { a } } } & { { = } } & { { U A ^ { a } T ^ { a } U ^ { - 1 } \ \ \ , \ \ \ { \pi ^ { \prime } } ^ { a } T ^ { a } = U \pi ^ { a } T ^ { a } U ^ { - 1 } \ \ \ , } } \\ { { { \phi ^ { \prime } } ^ { a } T ^ { a } } } & { { = } } & { { U \phi ^ { a } T ^ { a } U ^ { - 1 } \, + \, \frac { i } { g } U \frac { d } { d t } U ^ { - 1 } \ \ \ . } } \end{array}
[ \Tilde { u } , \Tilde { v } , \Tilde { h } ] ^ { T } ( \lambda , \phi , \Tilde { t } ) = \sum _ { k , n , l } \ \chi _ { n , l } ^ { k } ( \Tilde { t } ) \ \textbf { H } _ { n , l } ^ { k } ( \lambda , \phi ) \, ,
\langle \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } , z ) \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , z ^ { \prime } ) \rangle \approx \delta ( z - z ^ { \prime } ) A ( \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } , z ^ { \prime } )
\| \phi ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m \frac { b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } | \phi ( L ) | ^ { 2 } + m | u ( 0 ) | ^ { 2 } \geq ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \| \phi \| ^ { 2 } \geq \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { b } { a } + \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } ) } { L ^ { 2 } } \| \phi \| ^ { 2 } > \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 L ^ { 2 } } \| \phi \| ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { L = \frac { 3 h } { 4 } = 0 , 0 9 m , \qquad I _ { 1 } = I _ { 2 } = \frac { 3 } { 5 } \mu ( \frac { r ^ { 2 } } { 4 } + h ^ { 2 } ) = 9 1 8 \times 1 0 ^ { - 6 } , \qquad I _ { 3 } = \frac { 3 } { 1 0 } \mu r ^ { 2 } = 1 0 8 \times 1 0 ^ { - 6 } . } \end{array}
\frac { s ^ { 2 } V \mu ^ { \prime } } { E ^ { \prime } w ^ { 3 } } = g _ { \delta } \left( \frac { K ^ { \prime } s ^ { 1 / 2 } } { E ^ { \prime } w } , \frac { 2 s ^ { 1 / 2 } C ^ { \prime } } { w V ^ { 1 / 2 } } \right) ,
G ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } , t ) - f ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } , - t ) = \int _ { { \mathbb { S } _ { 0 } } } \int _ { - \infty } ^ { t } R ^ { \cup } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } , t - t ^ { \prime } ) f ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } , t ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } \mathrm { d } { \bf x } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { w _ { o p t } ^ { a } } = [ w _ { i } ] ; i = 1 , 2 , . . . 1 7 1 } \\ { \boldsymbol { w _ { o p t } ^ { p } } = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \lvert w _ { i } \lvert > \alpha _ { p } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { \tau } } & { = } & { \left( \frac { \tau \cdot \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } \mathbf { e } _ { z } + \xi \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } } \, , } \\ { \mathbf { e } _ { \xi } } & { = } & { \left( \frac { \xi \cdot \sqrt { \tau ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \tau \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } } \, } \end{array}
\frac { \dot { \varphi } _ { \delta } ( s ) } { \varphi _ { \delta } ( s ) } = - \frac { 1 } { z \cdot f _ { \delta } ^ { \prime } ( z ) } \bigg ( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { ( f _ { \delta } ^ { k } ) ^ { \prime } ( f _ { \delta } ( z ) ) } \bigg ) + \frac { \dot { \varphi } _ { \delta } ( T ^ { n } ( s ) ) } { \varphi _ { \delta } ( s ) \cdot ( f _ { \delta } ^ { n } ) ^ { \prime } ( \varphi _ { \delta } ( s ) ) } .
\phi _ { k } ^ { \mathrm { u } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } , \qquad \phi _ { k } ^ { \mathrm { d } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \psi _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; \delta _ { p _ { i } , k } } \quad .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { \alpha _ { 1 } } ^ { d u a l } } & { = } & { [ \frac { T } { N } \sum _ { 2 , 3 , 4 } G _ { \alpha _ { 3 } } ^ { d u a l } \gamma _ { 1 2 3 4 } ( \delta _ { \alpha _ { 2 } ; \alpha _ { 3 } } - \delta _ { \alpha _ { 1 } ; \alpha _ { 2 } } ) - \frac { T ^ { 2 } } { 2 N ^ { 2 } } \sum _ { 2 , 3 , 4 } G _ { \alpha _ { 2 } } ^ { d u a l } G _ { \alpha _ { 3 } } ^ { d u a l } G _ { \alpha _ { 4 } } ^ { d u a l } \gamma _ { 1 2 3 4 } \gamma _ { 4 3 2 1 } ] \delta _ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } ; \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } } . } \end{array}
R _ { x } ( \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { 1 0 } } & { 0 } & { - \sqrt { 6 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sqrt { 6 } } & { 0 } & { \sqrt { 1 0 } } & { 0 } \\ { - \sqrt { 1 0 } } & { 0 } & { - \sqrt { 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { - \sqrt { 1 5 } } \\ { \sqrt { 6 } } & { 0 } & { - \sqrt { 1 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { 1 5 } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\left( T ^ { A } \right) ^ { a } { } _ { b } \left( T ^ { A } \right) ^ { c } { } _ { d } = \frac { 1 } { 2 } \delta _ { d } ^ { a } \, \delta _ { b } ^ { c } - \frac { 1 } { 2 N } \delta _ { b } ^ { a } \, \delta _ { d } ^ { c } \qquad \left( S U ( N ) \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { l o n g } ( t ) } & { { } = 1 } \\ { \implies ( 1 - S ( t _ { e n d } , m = 0 ) ) + Z _ { 2 } ^ { - 1 } S ( t _ { e n d } , m ) } & { { } = 1 } \\ { \implies Z _ { 2 } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { S ( t _ { e n d } , m ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi = \sqrt { \frac { 2 B } { P _ { 0 } } ( \sin \phi _ { 1 } - \sin \phi _ { 0 } ) } , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \rho ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { { } = } & { ( \rho ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( u ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { { } = } & { ( u ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( v ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { { } = } & { ( v ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( w ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { { } = } & { ( w ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( e ) _ { i , j , K _ { M A X } } } & { { } = } & { ( e ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { x } ( u , t ) } & { = } & { u _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left[ u _ { 2 n } \cos ( \omega _ { n } t ) + u _ { 2 n - 1 } \sin ( \omega _ { n } t ) \right] \, , } \\ { g _ { y } ( u , t ) } & { = } & { u _ { 2 M + 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \left[ u _ { 2 M + 1 + 2 n } \cos ( \omega _ { n } t ) + u _ { 2 M + 2 n } \sin ( \omega _ { n } t ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( \beta ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { x } _ { i } \sigma ^ { \prime } ( \hat { x } _ { i } ^ { T } \beta ) \hat { x } _ { i } ^ { T } } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \sigma ( u _ { i } ) - \sigma ^ { 2 } ( u _ { i } ) ) \hat { x } _ { i } \hat { x } _ { i } ^ { T } } \end{array}
P ( \beta | u , \beta _ { S } ) = \frac { 1 } { u \beta _ { S } \; \Gamma ( 1 / u ) } \exp \left( - \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \right) \left( \frac { \beta } { u \beta _ { S } } \right) ^ { \frac { 1 } { u } - 1 } ,
\begin{array} { r } { { \frac { \partial R _ { 1 } ( r , \theta ) } { \partial Y } } = \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \; { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } + 2 \gamma + \left( \gamma \, r + { \frac { 2 } { r } } \right) \, { \frac { \partial } { \partial r } } \right] \, R _ { 1 } + { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial ( r \, I _ { c } ) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial I _ { d } } { \partial \theta } } } \end{array}
\left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \mu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \left\langle \theta ^ { \mu } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \frac { \delta _ { \nu } ^ { \mu } } { \beta } = \frac { n } { \beta } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left\langle p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \mu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \left\langle p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \nu } } \right\rangle = \sum _ { \mu \nu } \frac { \delta _ { \mu } ^ { \nu } } { \beta } = \frac { n } { \beta } .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 0 ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 1 } = \frac { ( a - 1 ) ( b - 1 ) - ( c - 1 ) ^ { 2 } } { ( a b - c ^ { 2 } ) } } \\ { ( \frac { a b - c ^ { 2 } } { b - c } \mu _ { 1 } , 0 ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 2 } = \frac { ( b - c ) ^ { 2 } } { \left( a b - c ^ { 2 } \right) b } } \\ { ( c \mu _ { 1 } , b \mu _ { 2 } ) , } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 3 } = \frac { 1 } { b } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { \Big \{ \Big ( 2 m _ { a } m _ { b } + k _ { a } k _ { b } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) + \Big ( k _ { a } m _ { b } + k _ { b } m _ { a } \Big ) \frac { b } { r ^ { 3 } } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } . } \end{array}
\gamma _ { 0 1 } ( Z ) = \Phi _ { 0 } ( Z ) \Phi _ { 1 } ( Z ) ^ { - 1 } = - \delta ^ { - 1 } \alpha \beta \gamma ^ { - 1 } = - b _ { + } ^ { - 1 } b _ { - } = - ( ( b _ { 3 } - 1 ) b _ { 3 } ) ^ { - 1 } b _ { - } ^ { 2 }
\langle t r \Phi ^ { n } \rangle = N ^ { 2 } ( g _ { c } - g ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left( A _ { 1 } ^ { ( n ) } + A _ { 2 } ^ { ( n ) } \frac { 1 } { N ^ { 2 } ( g _ { c } - g ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } } + \cdots \right)
\int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } z ^ { n } d _ { q } z = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \mathrm { f o r ~ o d d } } } & { { n , } } \\ { { \frac { 1 - q } { 1 - q ^ { n + 1 } } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } } & { { \mathrm { f o r ~ e v e n } } } & { { n , } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } & { A _ { p , q } = \hat { A } _ { p , q } , \quad \quad q \neq p } \\ & { A _ { p , p } = - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } A _ { p , q } = - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \hat { A } _ { p , q } \neq - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } _ { p } ) } \hat { A } _ { p , q } = \hat { A } _ { p , p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 0 } } & { { } = c ^ { 2 } - 3 b d + 1 2 a e } \\ { \Delta _ { 1 } } & { { } = 2 c ^ { 3 } - 9 b c d + 2 7 b ^ { 2 } e + 2 7 a d ^ { 2 } - 7 2 a c e } \end{array}
\langle 0 | 0 \rangle _ { J } = \exp { \left( { \frac { i } { 2 } } \int d x ~ d x ^ { \prime } \left[ J _ { \mu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) J ^ { \mu } ( x ^ { \prime } ) + { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } \partial _ { \mu } J ^ { \mu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \nu } ^ { \prime } J ^ { \nu } ( x ^ { \prime } ) \right] \right) }
\zeta _ { \pm } ^ { 2 } ( z ) = N _ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { z ^ { \frac { 1 - M } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { - \frac { M } { 2 } } F ( \frac { 3 } { 2 } - M , - \frac { 1 } { 2 } - M , \frac { 3 } { 2 } - M ; z ) } } \\ { { \mp i ( \frac { 1 } { 2 } - M ) z ^ { - \frac { M } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { \frac { M } { 2 } } F ( - 1 , 1 , \frac { 1 } { 2 } - M ; z ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { c v } = } & { { } \frac { 1 } { N k } \sum _ { n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } } ( \mathrm { P } _ { \mathrm { ~ C ~ } \rightarrow \mathrm { ~ D ~ } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { ~ C ~ } \rightarrow \mathrm { ~ D ~ } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { ~ D ~ } \rightarrow \mathrm { ~ C ~ } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { ~ D ~ } \rightarrow \mathrm { ~ C ~ } } } \end{array}
H = \frac { 4 \hat { G _ { F } } } { \sqrt { 2 } } ( a J _ { L \rho } ^ { \dagger } J _ { L } ^ { \rho } + b J _ { L \rho } ^ { \dagger } J _ { R } ^ { \rho } + c J _ { R \rho } ^ { \dagger } J _ { L } ^ { \rho } + d J _ { R \rho } ^ { \dagger } J _ { R } ^ { \rho } )
\mathcal { G } _ { \mathrm { m i n } } = \mathrm { S O } ( 4 ) \times \mathrm { S O } ( 3 ) = \mathrm { S O } ( 3 ) _ { 1 } \times \mathrm { S O } ( 3 ) _ { 2 } \times \mathrm { S O } ( 3 ) _ { 3 } ~ .
\begin{array} { r l } { P _ { \mu \nu } ( \rho ) } & { = \int \, d \Omega \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) , } \\ { Q _ { \mu \nu } ( \rho ) } & { = \int \, d \Omega \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) , } \\ { P _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( \rho ) } & { = - \int \, d \Omega \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \mu } ^ { * } ( \rho ; \Omega ) \frac { \partial } { \partial \rho } \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) . } \end{array}
\boldsymbol { q } ^ { * c } = - I ^ { 0 } \cos { \alpha } _ { 0 } \exp { \left( \frac { \tau _ { h } } { \cos { \alpha } _ { 0 } } \int _ { 1 } ^ { x _ { 3 } } n _ { b } ( x _ { 3 } ^ { \prime } ) d x _ { 3 } ^ { \prime } \right) } \left( \frac { \tau _ { h } } { \cos { \alpha } _ { 0 } } \int _ { 1 } ^ { x _ { 3 } } n ^ { * } d x _ { 3 } ^ { \prime } \right) \boldsymbol { k } ,
x \equiv \hat { k } ^ { 2 } / \hat { k } _ { m a x } ^ { 2 } = \frac { 4 ( s _ { 4 } + m ^ { 2 } ) \hat { k } ^ { 2 } } { s _ { 4 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } } \; \; .
b = { \frac { - d } { D } } { \left| \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } } & { 1 } & { z _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } & { 1 } & { z _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } & { 1 } & { z _ { 3 } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l r } { \vert \psi ( t ) \rangle } & { } & { = \left[ \cos \left( \frac { \Omega _ { \delta } } { 2 } \Delta t \right) - i \frac { \delta } { \Omega _ { \delta } } \sin \left( \frac { \Omega _ { \delta } } { 2 } \Delta t \right) \right] e ^ { i \frac { \delta } { 2 } \Delta t } \vert g \rangle } \\ & { } & { - i \frac { \Omega } { \Omega _ { \delta } } \sin \left( \frac { \Omega _ { \delta } } { 2 } \Delta t \right) e ^ { - i \frac { \delta } { 2 } \Delta t } \vert e \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } ) } & { = g ( Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } ) + \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla g ( \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } ) d \lambda \right) \cdot \left( Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } - Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } \right) } \\ & { \leq g ( Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } ) + \eta _ { k } K ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | ^ { 2 } } { | \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | } \, d \lambda } \\ & { + \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \nabla g ( \lambda Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } + ( 1 - \lambda ) Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } ) \right| d \lambda \right) \bar { c } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } ^ { G G } ( t _ { d } ) = } & { \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 2 } f _ { G } ( t _ { 1 } ) f _ { G } ( t _ { 2 } ) } \\ & { \hphantom { \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 2 } f _ { G } } \times \left\langle \Delta \boldsymbol { x } ( t _ { 1 } ) \Delta \boldsymbol { x } ( t _ { 2 } ) \right\rangle } \\ { = } & { \gamma ^ { 2 } \int _ { \mathbb { - \infty } } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \left| F _ { G } ( \omega , t _ { d } ) \right| ^ { 2 } \boldsymbol { S } ( \omega ) , } \end{array}
\frac { d w _ { \varkappa } } { d \mathcal { E } } = \alpha \Omega _ { \varkappa , - 1 } ^ { 2 } ( g _ { \varepsilon } + f _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } E ( t ) e ^ { i ( \mathcal { E } - \mathcal { E } _ { 0 } ) t } \: d t \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { X _ { T } } & { = X _ { 0 } + \left[ \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t + \left( \frac { \rho k } { \sigma } - \frac { 1 } { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t + \frac { \rho } { \sigma } \left( V _ { T } - V _ { 0 } - k \theta T \right) \right. } \\ & { \quad \left. + \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } N \right] } \end{array}
W ( x ) = \exp \left( i \frac { x } { \Sigma } \right) \ \ \left( \begin{array} { c c c c c c } { { \mathrm { } ^ { \ddots } } } & { { e ^ { - 2 \pi i / N } } } & { { } } & { { } } & { { \phi } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { e ^ { 2 \pi i / N } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \phi } } & { { } } & { { } } & { { e ^ { 4 \pi i / N } } } & { { \mathrm { } _ { \ddots } } } \end{array} \right)
( D _ { \bar { i } } Q _ { i } ) ( { \overline { { Q } } } ^ { j } { \overline { { D } } } ^ { \bar { j } } ) \epsilon _ { j k } \epsilon _ { { \bar { j } } { \bar { k } } } \left( C _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } \Sigma _ { a _ { 1 } } ^ { i { \bar { i } } } \Sigma _ { a _ { 2 } } ^ { k { \bar { k } } } + C _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { \prime } \Sigma _ { a _ { 1 } } ^ { i { \bar { k } } } \Sigma _ { a _ { 2 } } ^ { k { \bar { i } } } \right) ~ ,
\left[ L \left( \alpha ^ { A } , { \alpha ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) - L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \right] = { \frac { \partial L } { \partial \varphi ^ { A } } } { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } + { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } \, .
\begin{array} { r l } & { p \{ w _ { 1 } w _ { 2 } ^ { 2 } , h \{ w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } , \epsilon \} \} = p \{ w _ { 1 } w _ { 2 } ^ { 2 } , h ( - 4 w _ { 1 } w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } + 2 w _ { 1 } ^ { 2 } \bar { w } _ { 1 } ) \} } \\ & { = p \{ w _ { 1 } w _ { 2 } ^ { 2 } , 2 w _ { 1 } \bar { w } _ { 1 } \bar { w } _ { 2 } - w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } ^ { 2 } \} } \\ & { = p \left( w _ { 2 } ^ { 2 } ( - 4 w _ { 1 } \bar { w } _ { 1 } \bar { w } _ { 2 } ^ { 2 } - \bar { w } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } ^ { 3 } ) - 2 w _ { 1 } w _ { 2 } ( 2 \bar { w } _ { 1 } \bar { w } _ { 2 } - 4 w _ { 1 } \bar { w } _ { 1 } ^ { 2 } \bar { w } _ { 2 } + 2 w _ { 2 } \bar { w } _ { 1 } \bar { w } _ { 2 } ^ { 2 } ) \right) } \\ & { = - \frac { 3 } { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ } & { { } \frac { x ^ { 1 - b } - ( 1 - x ) ^ { 1 - b } } { x ( 1 - x ) ^ { 1 - b } - ( 1 - x ) x ^ { 1 - b } } , } & { x \in ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] , 0 < b < 1 , } \\ { ~ } & { { } \frac { 2 } { b } - 2 , } & { x = \frac { 1 } { 2 } , 0 < b < 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathrm { O p } ( p ) ( x ) } } } & { = \overline { { \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \xi \rangle ) p ( x , \xi ) \hat { u } ( \xi ) \mathrm { \dj } \xi } } = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \overline { { \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \xi \rangle ) p ( x , \xi ) \hat { u } ( \xi ) } } \mathrm { \dj } \xi } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \xi \rangle ) \overline { { p ( x , \xi ) } } \overline { { \hat { u } ( \xi ) } } \mathrm { \dj } \xi } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , - \xi \rangle ) p ( x , - \xi ) \hat { u } ( - \xi ) \mathrm { \dj } \xi } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } | \operatorname* { d e t } ( - \mathrm { i d } ) | \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \xi \rangle ) p ( x , \xi ) \hat { u } ( \xi ) \mathrm { \dj } \xi = \mathrm { O p } ( p ) ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall l \geq 0 , \quad } & { \eta _ { l + 1 } - \eta _ { l } \leq w ( R _ { l } ) , } \\ { \forall k \geq 0 , \quad } & { \xi _ { k + 1 } - \xi _ { k } \leq \alpha _ { 1 } \log ( \alpha _ { 2 } ( k + 1 ) ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \forall k \in [ \eta _ { l } , \eta _ { l + 1 } ) , \quad } & { \| S _ { k } \| \geq \delta ( R _ { l } ) R _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } = } & { { } \sum _ { i \sigma } \epsilon _ { i } \hat { n } _ { i \sigma } + { \sum _ { i j \sigma } } ^ { \prime } t _ { i j } \, \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dag } \, \hat { a } _ { j \sigma } + \sum _ { i } U _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \, \hat { n } _ { i \downarrow } + \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { i j \sigma { \sigma } ^ { \prime } } } ^ { \prime } K _ { i j } \hat { n } _ { i \sigma } \, \hat { n } _ { j { \sigma } ^ { \prime } } } \end{array}
| s _ { i } | \leq \left\lfloor { \frac { b } { 2 \operatorname* { g c d } ( a , b ) } } \right\rfloor \quad { \mathrm { a n d } } \quad | t _ { i } | \leq \left\lfloor { \frac { a } { 2 \operatorname* { g c d } ( a , b ) } } \right\rfloor
c = b _ { n } U \in R G S S _ { W } ( G a b _ { k } ( g ) ) \Rightarrow ( w _ { 1 } , \cdots , w _ { s _ { n } } ) \in \mathcal { B } _ { W } \Rightarrow | R G S S _ { W } ( G a b _ { k } ( g ) ) | \leq | \mathcal { B } _ { W } | = q ^ { m ( s _ { n } - d + 1 ) } = q ^ { m ( s _ { n } - d + 1 ) } = q ^ { m ( \operatorname* { m a x } _ { i } ( s _ { i } ) - d + 1 ) }
\gamma { \cal P } _ { 1 a } = 0 , \; \gamma { \cal P } _ { 2 a } = f _ { \; \; a b } ^ { c } { \cal P } _ { 2 c } \eta _ { 2 } ^ { b } , \; \gamma { \cal P } _ { 1 i } = 0 , \; \gamma { \cal P } _ { 2 i } = 0 , \; \gamma { \cal P } = 0 .
\mathcal { I } = \mathbb { E } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] = \mathbb { E } _ { \chi ^ { \prime } } \bigg [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) \frac { \chi ( \sigma , \eta ) } { \chi ^ { \prime } ( \sigma , \eta ) } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { = \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \eta _ { p } \frac { \eta _ { p } ^ { * } } { \hat { \Delta } _ { t } } + \eta _ { p } ^ { * } \frac { \eta _ { p } } { \hat { \Delta } _ { t } } + \left( \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } / \Delta _ { 0 } - \Delta _ { c } \right) \frac { \left| \eta _ { p } \right| ^ { 2 } } { \hat { \Delta } _ { t } ^ { 2 } } } \\ & { = \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + 2 \frac { \left| \eta _ { p } \right| ^ { 2 } } { \hat { \Delta } _ { t } } - \hat { \Delta } _ { t } \frac { \left| \eta _ { p } \right| ^ { 2 } } { \hat { \Delta } _ { t } ^ { 2 } } } \\ & { = \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \frac { \left| \eta _ { p } \right| ^ { 2 } } { \Delta _ { c } - \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } / \Delta _ { 0 } } } \\ & { \equiv \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \hat { V } _ { \mathrm { c a v } } ( \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } ) } \end{array}