harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \frac { { { \left| { \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { 2 } } { \delta _ { i j } } } \right| } ^ { 2 } } { \mathcal { B } \, P _ { t } } } { { \sigma ^ { 2 } } } = \frac { A ^ { 2 } { \mathcal { B } \, P _ { t } } } { \sigma ^ { 2 } } = A ^ { 2 } \, \mathcal { B } \, \Bar { \gamma } , } \end{array}
1 6 ~ { ^ < _ { \sim } } ~ { \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } } ~ { ^ < _ { \sim } } ~ 3 2 , \qquad 0 . 4 4 ~ { ^ < _ { \sim } } ~ { \frac { \mu _ { 3 } } { \mu _ { 4 } } } ~ { ^ < _ { \sim } } ~ 2 . 3 .
{ \frac { d } { d x } } \left( \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } f ( x , t ) \, d t \right) = f { \big ( } x , b ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } b ( x ) - f { \big ( } x , a ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } a ( x ) + \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } { \frac { \partial } { \partial x } } f ( x , t ) \, d t ,
\nabla _ { \perp } ^ { 2 } \hat { h } _ { \nu \mu } ( \rho , z ) + [ \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \nu \mu } ^ { 2 } - \frac { m _ { \nu \mu } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { h } _ { \nu \mu } ( \rho , z ) = { \vec { 0 } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } ( g , \tau ) } & { = } & { \langle \varphi \vert e ^ { i H _ { n p } ^ { \uparrow } \tau } \vert \varphi \rangle _ { c } } \\ & { = } & { \sum _ { m , n } c _ { m } ^ { \uparrow * } c _ { n } ^ { \downarrow } e ^ { i \omega \tau m \sqrt { ( 1 + g ^ { 2 } ) ( 1 + \gamma ^ { 2 } g ^ { 2 } ) } } \langle \psi _ { m } ^ { \uparrow } \vert \psi _ { m } ^ { \downarrow } \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { m } \vert c _ { m } ^ { \uparrow } \vert ^ { 2 } e ^ { 2 i m \pi L ( g ) } } \\ & { = } & { \sum _ { m } \vert c _ { m } ^ { \uparrow } \vert ^ { 2 } e ^ { 2 i m \pi \mathcal { L } ( g ) } . } \end{array}
\mathbb { P } \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big | g _ { x 1 } \Big ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big ) - g _ { x 1 } \Big ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big ) \Big | ^ { 2 } \geq \epsilon ^ { 2 } \Big ) \leq C C _ { k } e ^ { - c c _ { k } N \epsilon ^ { 2 } } .
f ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \eta _ { i j , k l } } } \\ { { 0 } } & { { \eta _ { i j , k l } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, \delta ( \vec { x } - \vec { y } )
\begin{array} { r l } { | f ( \xi ( t ) ) | \leq C t \operatorname* { s u p } _ { 0 < t _ { 1 } \leq t } | | D f | | ( \xi ( t _ { 1 } ) ) } & { \leq C t | | D f | | ( \xi ( t ) ) } \\ { \frac { | f | } { | g | ^ { c } } ( \xi ( t ) ) \leq C t \frac { | | D f | | } { | g | ^ { c } } ( \xi ( t ) ) } & { \xrightarrow [ ] { t \to 0 } 0 } \end{array}
\rho _ { s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 1 } } = \biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } ^ { \prime } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \biggr \rangle
{ \bar { \mathcal { D } } } ^ { \mu \nu } \, = \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \mu } } { \partial x ^ { \alpha } } } \, { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \nu } } { \partial x ^ { \beta } } } \, { \mathcal { D } } ^ { \alpha \beta } \, \operatorname* { d e t } \left[ { \frac { \partial x ^ { \sigma } } { \partial { \bar { x } } ^ { \rho } } } \right]
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { r l r l } { \partial y - \nabla \cdot \rho \nabla y + y } & { = f } & & { \mathrm { i n ~ } L ^ { s } ( I , W _ { D } ^ { - 1 , p } ) , } \\ { y ( \tau ) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } ( W _ { D } ^ { - 1 , p } , W _ { D } ^ { 1 , p } ) _ { 1 / s ^ { \prime } , s } , } \end{array} \quad \right\} } \end{array}
R / { \textstyle \bigcap _ { i = 1 } ^ { n } { { \mathfrak { a } } _ { i } } } \simeq \prod _ { i = 1 } ^ { n } { R / { \mathfrak { a } } _ { i } } , \qquad x \; \operatorname { m o d } \; { \textstyle \bigcap _ { i = 1 } ^ { n } { { \mathfrak { a } } _ { i } } } \mapsto ( x \; \operatorname { m o d } \; { \mathfrak { a } } _ { 1 } , \ldots , x \; \operatorname { m o d } \; { \mathfrak { a } } _ { n } )
\Psi \cdot \Psi ^ { \mathrm { T } } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 . 5 } & { - 0 . 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = ( \Psi \cdot \Psi ^ { \mathrm { T } } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { x \gamma _ { 0 } } & { { } = x ^ { 0 } + x ^ { k } \gamma _ { k } \gamma _ { 0 } } \\ { \gamma _ { 0 } x } & { { } = x ^ { 0 } - x ^ { k } \gamma _ { k } \gamma _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta t F _ { \psi , h } } & { = \Delta t \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \psi _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) \mathrm { d } t } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \psi _ { h } ^ { m } - \psi _ { h } ^ { m - 1 } , } \\ { \psi _ { h } ^ { m } - \psi _ { h } ^ { m - 1 } } & { = \frac { \Delta t } { M } \sum _ { p } ^ { P } b _ { p } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \hat { \psi } _ { h } ^ { p , m } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) , } \\ { \hat { \psi } _ { h } ^ { p , m } } & { = \psi _ { h } ^ { m - 1 } + \sum _ { q = 1 } ^ { p - 1 } a _ { p q } \mathcal { F } ^ { ( i ) } ( \hat { \psi } _ { h } ^ { q , m } ; \boldsymbol { u } _ { h } ^ { t } ) . } \end{array}
( \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { T } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } = \mathbf { v } _ { i } ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) ^ { T } \mathbf { R } \mathbf { W } \mathbf { v } _ { j } = \mathbf { v } _ { i } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { R } \mathbf { W } - \mathbf { R } \underbrace { \mathbf { W } \mathbf { R } } _ { = \mathbf { I } } \mathbf { W } ) \mathbf { v } _ { j } = \mathbf { v } _ { i } ^ { T } ( \mathbf { R } \mathbf { W } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { v } _ { j } = 0 .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { a b } = } & { { } \sum _ { C } J _ { C } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { C } } S _ { i _ { n + 1 } ^ { C } i _ { n } ^ { C } } \leq \sum _ { C } \frac { J _ { C } } { 4 N _ { C } \tan \frac { \pi } { N _ { C } } } \ell _ { C } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { { } \frac { \operatorname* { m a x } _ { C } \ell _ { C } } { 4 \pi } \sum _ { C } J _ { C } \ell _ { C } = \frac { \operatorname* { m a x } _ { C } \ell _ { C } } { 4 \pi } \sum _ { ( i , j ) } J _ { i j } \ell _ { i j } , } \end{array}
3 2 T = { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } [ \dot { \xi } ^ { 2 } + \tan ^ { 2 } ( \xi ) \dot { \phi } ^ { 2 } ] = { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } [ \dot { \xi } ^ { 2 } + \cot ^ { 2 } ( \xi ) p _ { \phi } ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 2 } } & { = } & { - \sum _ { l ^ { \prime } } \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } } \left[ e ^ { i Q _ { G } } \left( \delta \dot { \theta } _ { G } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { G } \partial _ { \cal E } \right) ^ { * } \right] e ^ { i l ^ { \prime } \vartheta _ { c } } } } \frac { 1 } { ( \omega _ { G I I } - l ^ { \prime } \omega _ { b } ) } } \\ & { } & { \times \overline { { e ^ { - i l ^ { \prime } \vartheta _ { c } } \left[ e ^ { i Q _ { G } } \left( \delta \dot { \theta } _ { G } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { G } \partial _ { \cal E } \right) \right] e ^ { i l \vartheta _ { c } } } } \; . } \end{array}
{ \cal H ^ { \prime } } = \frac { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { 2 \mu } - \Omega ( t ) ( x ^ { \prime } p _ { y } ^ { \prime } - y ^ { \prime } p _ { x } ^ { \prime } ) + \varepsilon ( r ) - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } f ( t ) ^ { 2 } [ \Delta \alpha ( r ) \cos ^ { 2 } \theta _ { l } + \alpha _ { \bot } ( r ) ] .
\mathcal { H } = \frac { 1 } { 2 } \ensuremath { \mathbf { p } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { p } } + U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) = K ( \ensuremath { \mathbf { p } } ) + U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( k ) } [ + ] } & { { } = \frac { 1 } { m _ { a } } \, \sum _ { j = 0 } ^ { k } \langle A ^ { ( j ) } | \sum _ { i } U ( i ) | A ^ { ( k - j ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { { T } } & { { = X - 2 s , } } \\ { { 2 S } } & { { = \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { s } ( x _ { i } - 2 ) ( x _ { i } - 3 ) + 2 \sum _ { 1 \le i < j \le s } ( x _ { i } - 1 ) ( x _ { j } - 1 ) , } } \\ { { } } & { { = X ^ { 2 } - ( 2 s + 3 ) X + s ( s + 5 ) , } } \\ { { P } } & { { = X - s . } } \end{array}
S ( \omega ) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \langle \mid F ( \omega ) \mid ^ { 2 } \rangle = \frac { A ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \langle \mid \sum _ { k } ^ { } e ^ { i \omega t _ { k } } \mid ^ { 2 } \rangle = \frac { n \times A ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } \, \boldsymbol { w } _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 } M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 2 } \, \boldsymbol { w } _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 } ( M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } ) , } \\ { p _ { 3 } \, \boldsymbol { w } _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 } ( M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 2 } ) , } \\ { p _ { 4 } \, \boldsymbol { w } _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = \boldsymbol { w } _ { 0 } ( M _ { 4 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } - p _ { 3 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 2 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 3 } ) . } \end{array}
| L , M _ { 1 } , M _ { 2 } \rangle _ { 2 } = \frac { 1 } { Z _ { 2 } ( L , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) } \sum _ { P } { \sum } _ { N _ { x z } , N _ { y z } , N _ { x x } \atop N _ { y y } , N _ { y x } , N _ { x y } } ^ { \prime } ( - 1 ) ^ { N _ { y z } + N _ { y y } + N _ { y x } } i ^ { L / 2 + N _ { y z } + N _ { y x } - N _ { x y } } | \underbrace { 0 _ { x } 0 _ { z } . . . } _ { N _ { x z } } | \underbrace { 0 _ { y } 0 _ { z } . . . } _ { N _ { y z } } | \underbrace { 0 _ { x } 0 _ { x } . . . } _ { N _ { x x } } | \underbrace { 0 _ { y } 0 _ { y } . . . } _ { N _ { y y } } | \underbrace { 0 _ { y } 0 _ { x } . . . } _ { N _ { y x } } | \underbrace { 0 _ { x } 0 _ { y } . . . } _ { N _ { x y } } \rangle ,
\mathbf { F } _ { i j } ^ { R 2 } = \left( - \frac { 2 0 \eta } { 3 } \frac { k _ { B } T } { \sigma _ { i } \sigma _ { j } r _ { i j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \right) ^ { 1 / 2 } d \overline { { \mathscr { W } } } _ { i j } \cdot \mathbf { e } _ { i j } ,
\begin{array} { r l r } { h } & { { } = } & { \theta _ { c } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) ( 1 - r ) + O ( ( 1 - r ) ^ { 2 } ) , } \\ { u } & { { } = } & { \frac { 2 \chi } { \theta _ { c } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) } ( 1 - r ) ^ { - 1 / 2 } + O \left( ( 1 - r ) ^ { 1 / 2 } \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { \frac { - \overline { { y } } } { \overline { { x } } _ { 1 } ^ { 2 } \cdot \overline { { x } } _ { 2 } \cdots \overline { { x } } _ { k } } } & { \cdots } & { \frac { - \overline { { y } } } { \overline { { x } } _ { 1 } \cdot \overline { { x } } _ { 2 } \cdots \overline { { x } } _ { k } ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \overline { { x } } _ { 1 } \cdots \overline { { x } } _ { k } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle } & { = } & { q _ { k k ^ { \prime } } ^ { s s ^ { \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } ) \, , } \\ { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \rangle } & { = } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \, , } \\ { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime \prime } } \rangle } & { = } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } s ^ { \prime \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) } \\ & { + } & { q _ { k k ^ { \prime } } ^ { s s ^ { \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } ) q _ { k ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } s ^ { \prime \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) } \\ & { + } & { q _ { k k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) q _ { k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) } \\ & { + } & { q _ { k k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) q _ { k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( \omega ) } & { = \int \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { * } ( \mathbf { x } , \omega ) \cdot \mathbf { P } ( \mathbf { x } , \omega ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { \rightarrow - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \int _ { V } \left| \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \mathbf { x } , \omega ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \left| \mathbf { E } _ { 0 } \right| ^ { 2 } V , } \end{array}
\frac { t _ { 0 } ( u ) } { Q ( u + \eta / 2 ) Q ( u - \eta / 2 ) } = R ( u ) + q ^ { \beta } \frac { A ( u + \eta / 2 ) } { Q ( u + \eta / 2 ) } - q ^ { - \beta } \frac { A ( u - \eta / 2 ) } { Q ( u - \eta / 2 ) } ,
\begin{array} { r } { \dot { \iota } ^ { ( T ) } = \sigma \left( \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } T } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { \sigma } \left( \frac { \mathrm { d } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \mathrm { d } T } \right) ^ { 2 } = \dot { \i } _ { N _ { T } } ^ { ( T ) } \left( 1 + \frac { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } + \frac { N _ { T } I _ { e } ^ { 2 } \tau _ { e } } { I _ { T } ^ { 2 } \tau _ { T } \varrho } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { H _ { M 2 } ( \rho ) ^ { 2 / 3 } } \left[ - d t ^ { 2 } + d x ^ { m } d x ^ { m } \right] + H _ { M 2 } ( \rho ) ^ { 1 / 1 1 } \left[ d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \Omega _ { 2 3 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { ( i ) } } { d t } = } & { - x _ { ( i - 1 ) } ( x _ { ( i - 2 ) } - x _ { ( i - 1 ) } ) - x _ { ( i ) } + F - \frac { h c } { b } \sum _ { j = J ( i - 1 ) + 1 } ^ { i J } y _ { ( j ) } } \\ { \frac { d y _ { ( j ) } } { d t } = } & { - c b \, y _ { ( j + 1 ) } ( y _ { ( j + 2 ) } - y _ { ( j - 1 ) } ) - c \, y _ { ( j ) } + \frac { h c } { b } x _ { ( \mathrm { i n t } [ ( j - 1 ) / J ] + 1 ) } , } \end{array}
f _ { 4 } ( e ) = \frac { X _ { 0 } ^ { - 6 , 0 } ( e ) - X _ { 0 } ^ { - 6 , 2 } ( e ) } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } = \frac { 1 + \frac 3 2 e ^ { 2 } + \frac 1 8 e ^ { 4 } } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 5 } } \ ,
\Omega _ { p } = ( p - 1 ) ! \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { \kappa _ { i _ { 1 } } \cdots \kappa _ { i _ { n } } } { ( n + p ) ! } } D _ { i _ { 1 } } \cdots D _ { i _ { n } } \omega _ { p } .
- \beta C _ { N i } ^ { j + 1 } - ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j + 1 } + ( 1 + 2 \lambda + 2 \beta ) C _ { i } ^ { j + 1 } - ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j + 1 } - \beta C _ { M i } ^ { j + 1 } = \beta C _ { N i } ^ { j } + ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j } + ( 1 - 2 \lambda - 2 \beta ) C _ { i } ^ { j } + ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j } + \beta C _ { M i } ^ { j } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 6 } { \sigma ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) \left[ \left( 2 M _ { F } + \sigma \right) ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } + 2 \left( 2 M _ { F } + \sigma \right) M _ { f } L _ { F } \beta _ { k } + ( M _ { f } L _ { F } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq { \alpha } \beta _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \textup { T V } } \left( \int \nu _ { \omega } ( \omega ^ { \prime } ) \mu ( \omega ) d \omega d \omega ^ { \prime } , \int P _ { 1 } ( \omega ) P _ { 2 , \omega } ( \omega ^ { \prime } ) d \omega d \omega ^ { \prime } \right) \le \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } , } \\ { D _ { \textup { T V } } \left( \int \nu _ { \omega } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } ) \mu ^ { \prime } ( \omega ) d \omega d \omega ^ { \prime } , \int Q _ { 1 } ( \omega ) Q _ { 2 , \omega } ( \omega ^ { \prime } ) d \omega d \omega ^ { \prime } \right) \le \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } . } \end{array}
{ \cal W } ( M _ { \alpha } ) = \int _ { M _ { \alpha } } H _ { \alpha } ^ { 2 } d A _ { \alpha } + \int _ { \partial M _ { \alpha } } \kappa ^ { \alpha } d s = \bar { \cal W } ( \bar { M } _ { \alpha } ) = \int _ { \bar { M } _ { \alpha } } \left( \bar { H } _ { \alpha } ^ { 2 } + \bar { R } _ { \alpha } \right) d \bar { A } _ { \alpha } + \int _ { \partial \bar { M } _ { \alpha } } \bar { \kappa } ^ { \alpha } d \bar { s } ,
\widehat { D } \theta = d \theta + \frac { 1 } { 4 } \hat { \omega } ^ { \hat { r } \hat { s } } \Gamma _ { \hat { r } \hat { s } } + \hat { e } ^ { \hat { r } } T _ { \hat { r } } { } ^ { \hat { s } \hat { t } \hat { u } \hat { v } } \widehat { F } _ { \hat { s } \hat { t } \hat { u } \hat { v } } \theta
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r } \cdot \frac { 1 } { r } B \right] } & { = } & { - 1 6 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ u \, + \, \frac { 1 } { 2 } X _ { 3 } \cdot u ^ { 3 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r } \cdot \frac { 1 } { r } B \right] } & { = } & { - 1 6 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \left[ \cos \theta \cdot u ^ { 2 } \, - \, \frac { 1 } { 2 } X _ { 3 } \cos \theta \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 6 } ) \right] , } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { k _ { 0 } r } \left[ \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { S } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T E } } ^ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) + c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { S } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T M } } ^ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) \right] ,
\dot { E } = n \, { \cal K } _ { t } \bigg [ \frac 1 2 \, f _ { 1 } ( e ) \left( \frac { \omega } { n } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \theta \right) - 2 \, f _ { 2 } ( e ) \, \frac { \omega } { n } \cos \theta + f _ { 3 } ( e ) \bigg ] \ .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \partial ^ { 2 } J _ { 0 } } { \partial t ^ { 2 } } } = } & { W _ { \perp { \mathrm { k i n } } } + \Delta W _ { E _ { z } } + \Delta W _ { B _ { z } } + \Delta W _ { k } - { \frac { \mu _ { 0 } } { 8 \pi } } I ^ { 2 } ( a ) } \\ & { - { \frac { 1 } { 2 } } G { \overline { { m } } } ^ { 2 } N ^ { 2 } ( a ) + { \frac { 1 } { 2 } } \pi a ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } \left( E _ { r } ^ { 2 } ( a ) - E _ { \phi } ^ { 2 } ( a ) \right) } \end{array} }
E ^ { 2 } = { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } , \qquad p ^ { 2 } = { \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } v ^ { 2 } } { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } .
\delta \omega \boldsymbol { b } = - \frac { \mu ^ { 2 } } { 1 + \mu } \boldsymbol { n } \times \left( \boldsymbol { v } _ { \mathrm { s h o c k } } \cdot \boldsymbol { K } + \frac { \partial C _ { r } } { \partial S } \right) _ { S }
\begin{array} { r } { { \Phi } _ { 0 } | _ { z \to 0 \pm } = { \Phi } _ { 0 \pm } , \quad \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 \pm } = \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { \pm } . } \end{array}
2 \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \partial _ { z } } } \\ { { \partial _ { \bar { z } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \; ^ { 0 } \chi _ { 1 } ( z , \bar { z } ) } } \\ { { \; ^ { 0 } \chi _ { 2 } ( z , \bar { z } ) } } \end{array} \right) = 0 .
\left\{ \begin{array} { c } { { \phi ^ { 1 } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } ) = 0 } } \\ { { \phi ^ { 2 } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } ) = 0 } } \\ { { \phi ^ { 3 } ( x ^ { 0 } , x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } ) = 0 } } \end{array} \right. .
V _ { k } ^ { R } [ \vec { V } ] \equiv R _ { k j } V _ { j } = \left( \delta _ { k j } ^ { T } - { \frac { M ^ { 2 } } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } \delta _ { k j } ^ { | | } \right) V _ { j } ~ .
\eta _ { \alpha \beta } = { \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
d _ { d } ^ { \gamma } = e \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } m _ { d } \mathrm { I m } ( \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } ^ { * } ) | V _ { t d } ^ { * } | \frac { x _ { t } } { ( 1 - x _ { t } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 3 } { 4 } - \frac { 5 } { 4 } x _ { t } + \frac { 1 - \frac { 3 } { 2 } x _ { t } } { 1 - x _ { t } } \log x _ { t } \right) ,
C = 3 - \frac { 2 + ( 1 + 2 \beta ) ^ { N } ( 1 - \beta ) ^ { 2 N } - 3 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ^ { N } } { 1 - 2 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ^ { N } + ( 1 - 2 \beta ^ { 2 } + \beta ^ { 3 } ) ^ { N } } .
- { \frac { \mu } { r ^ { 3 } } } \left( { \vec { r } } \times { \vec { h } } \right) = - { \frac { \mu } { r ^ { 3 } } } \left( \left( { \vec { r } } \cdot { \vec { v } } \right) { \vec { r } } - r ^ { 2 } { \vec { v } } \right) = - \left( { \frac { \mu } { r ^ { 2 } } } { \dot { r } } { \vec { r } } - { \frac { \mu } { r } } { \vec { v } } \right) = \mu { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { \vec { r } } { r } } \right)
{ \cal R } _ { c } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \int d ^ { 3 } r r ^ { 2 } P _ { c } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = 6 D \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] \bigr ] } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \Bigl [ \hat { C } _ { n } , \, \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m } \hat { \phi } _ { m \nu } ^ { \dagger } \Bigr ] } \end{array}