harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { a _ { x } ( x , y , z ) = } & { \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - k _ { 0 } - U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } + f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { a _ { y } ( x , y , z ) = } & { \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - k _ { 0 } - U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } + f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { a _ { z } ( x , y , z ) = } & { \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ 2 k _ { 0 } + U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } M _ { 1 } + f _ { 2 } M _ { 2 } \right) + U _ { 0 } N ( z ) \left( f _ { 1 } + f _ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { g } } : = \frac { G m _ { \mathrm { p r } } ^ { 2 } } { \hbar c } = \left( \frac { m _ { \mathrm { p r } } } { m _ { \mathrm { P } } } \right) ^ { 2 } \approx 5 . 9 1 \times 1 0 ^ { - 3 9 } .
\begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n + 1 } \bar { z } _ { l } \left[ \mathcal { A } _ { w , w ^ { \prime } } ^ { \theta _ { 0 } } , z _ { l } \right] \right) Y _ { j , k } = \left( \lambda _ { j + 1 } ( w ) \lambda _ { k } ( w ^ { \prime } ) - \lambda _ { j } ( w ) \lambda _ { k } ( w ^ { \prime } ) \right) Y _ { j , k } } \\ & { + \frac { \lambda _ { j } ( w ) \lambda _ { k - 1 } ( w ^ { \prime } ) - \lambda _ { j + 1 } ( w ) \lambda _ { k } ( w ^ { \prime } ) } { n + j + k } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n + 1 } \bar { z } _ { l } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { l } } \mathcal { Y } _ { j , k } \right) \bigg | _ { S ^ { 2 n + 1 } } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } + \mathbf { i } x _ { 2 } } & { x _ { 3 } + \mathbf { i } x _ { 4 } } \\ { - x _ { 3 } + \mathbf { i } x _ { 4 } } & { x _ { 1 } - \mathbf { i } x _ { 2 } } \end{array} \right] } . \,
{ \left( \begin{array} { l l } { - \left( \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x \right) } & { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { 5 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { - 5 } x + \alpha ^ { 6 } x ^ { 2 } } & { - \left( \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { S ( x ) \Gamma ( x ) } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { - 2 } x + \alpha ^ { 0 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 2 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { - 6 } x ^ { 4 } } \\ { \alpha ^ { - 4 } + \alpha ^ { 4 } x + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { - 5 } x ^ { 3 } } \end{array} \right) } .
\left\langle \left\{ T _ { Q } ^ { 0 i } \left( \vec { r } , t \right) , T _ { Q } ^ { 0 j } \left( 0 , t \right) \right\} \right\rangle _ { Q } = \left( \frac { 1 } { a ^ { 4 } \left( t \right) } \right) \left\{ \partial _ { t j ^ { \prime } } ^ { 2 } G ^ { + } \partial _ { i t ^ { \prime } } ^ { 2 } G ^ { + } + \partial _ { i j ^ { \prime } } ^ { 2 } G ^ { + } \partial _ { t t ^ { \prime } } ^ { 2 } G ^ { + } + \left( \vec { r } \rightarrow - \vec { r } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \mathbf { R } ^ { V } d V - \frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \frac { 2 } { 3 } k \mathbf { I } d V } & { + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \mathbf { R } ^ { V } d A - \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \frac { 2 } { 3 } k \mathbf { I } d A } \\ & { = - \int _ { V } \mathbf { P } d V - \int _ { V } \mathbf { \Phi } d V - \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { D } d A + \int _ { V } \boldsymbol { \varepsilon } d V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } = } & { \frac 1 2 \mu ( \xi _ { A } ^ { L } C \xi _ { F } ^ { R } \left( \xi _ { F } ^ { L } T _ { 1 } ^ { F A } \chi ^ { R } + \chi ^ { L } T _ { 1 } ^ { F A } \xi _ { A } ^ { R } \right) } \\ & { + \xi _ { A } ^ { L } T _ { 1 } ^ { A A } \xi _ { A } ^ { R } + \xi _ { F } ^ { L } T _ { 1 } ^ { F F } \xi _ { F } ^ { R } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( \mathcal S _ { \pi } ^ { \dagger } \Lambda _ { \Delta t } \mathcal S _ { \pi } \mathcal S _ { 0 } ^ { \dagger } \Lambda _ { \Delta t } \mathcal S _ { 0 } \right) ^ { N } = e ^ { \bar { \mathcal L } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { - \frac { \pi a _ { 0 } } { 9 } - \frac { a _ { 0 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 0 } } { 3 } - a _ { 1 } - \frac { \pi a _ { 2 } } { 9 } - \frac { a _ { 2 } } { 6 } + } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } a _ { 2 } } { 3 } + \frac { a _ { 4 } } { 3 } - \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 0 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 0 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 0 } } { 6 } + } \\ & { \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 0 } } { 2 7 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 1 } } { 2 7 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 1 } } { 6 } + \frac { 5 \pi d _ { 1 } } { 1 8 } - \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 2 } } { 9 } - } \\ & { \frac { \pi d _ { 2 } } { 9 } - \frac { \sqrt { 3 } d _ { 2 } } { 6 } + \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 2 } } { 2 7 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 3 } } { 5 4 } + \frac { \pi d _ { 3 } } { 3 6 } + } \\ & { \frac { \sqrt { 3 } d _ { 3 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 3 } } { 9 } - \frac { \pi d _ { 4 } } { 9 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 4 } } { 3 } - \frac { \pi ^ { 2 } d _ { 5 } } { 5 4 } + } \\ & { \frac { \pi d _ { 5 } } { 3 6 } + \frac { \sqrt { 3 } d _ { 5 } } { 1 2 } + \frac { \sqrt { 3 } \pi d _ { 5 } } { 9 } - \frac { \pi } { 3 } + \frac { 4 \sqrt { 3 } \pi } { 9 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { a } ( \rho u _ { a } ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho u _ { a } + \partial _ { b } ( \rho u _ { a } u _ { b } + P \delta _ { a b } - \sigma _ { a b } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { a } \left( b c \right) } & { = \theta _ { a } \left( \varphi _ { f , f h } \left( b \right) \varphi _ { h , f h } \left( c \right) \right) = \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) } ^ { [ f h ] } \left( \varphi _ { f , f h } \left( b \right) \varphi _ { h , f h } \left( c \right) \right) } \\ & { = \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) } ^ { [ f h ] } \varphi _ { f , f h } \left( b \right) \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) \varphi _ { f , f h } \left( b \right) } ^ { [ f h ] } \varphi _ { f , f h } \left( c \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall n \in { \mathbb N } \ \exists ( x _ { n } , y _ { n } ) \in A } \\ & { \left( \| x _ { n } \| , \| y _ { n } \| \leq K \land \left\vert \langle y _ { n } , J ( x _ { n } - P x _ { n } ) \rangle \right\vert \leq \frac { 1 } { n + 1 } \land \| x _ { n } - P x _ { n } \| > \frac { 1 } { k + 1 } \right) . } \end{array}
G ( x , y ; \mathbf x ^ { * } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \exp \left( \frac { - ( x - x _ { \alpha } ^ { * } ) ^ { 2 } - ( y - y _ { \alpha } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \footnotesize \frac { \langle T ^ { G } \rangle } { \langle T _ { r ^ { \star } } ^ { G } \rangle } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { r ^ { \star } ( \alpha + \beta ) ( 2 D \beta + x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) } { \lambda \left[ r \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } e ^ { \frac { x _ { 0 } } { 2 D } \left( \mu _ { 1 } ^ { \star } + \mu _ { 2 } ^ { \star } \right) } + \left( \alpha + \beta \right) \left[ e ^ { \frac { x _ { 0 } \mu _ { 1 } ^ { \star } } { 2 D } } { ( \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } + \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) - \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \right] \right] } \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \lambda < \lambda _ { c } } \\ { 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \lambda \geq \lambda _ { c } , } \end{array} \right. } \end{array}
L _ { d } = \frac { 1 2 \mathrm { R e } } { k _ { | | } ( a _ { 0 } / v _ { A } ) ^ { 2 } } \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } } { ( 1 - 3 \beta ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { S } _ { n , n - 1 } ( n _ { 0 } , \mathbf { C } ) } & { { } = ( 1 - C _ { n - 1 } ) \times P _ { n , n - 1 } ( 1 - q _ { n - 1 } ( n _ { 0 } ) ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( X ; Y ) } & { = ( 1 + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sqrt { \gamma } } ) ) \cdot \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \gamma } { 4 \pi e } \right) ~ + ~ \mathcal { O } \left( ( \frac { 1 } { \sqrt { \gamma } } ) ^ { \alpha } \right) \sim \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \gamma } { 4 \pi e } \right) , ~ ~ ~ \forall \alpha \in ] 0 , 1 [ . } \end{array}
Q = \int _ { 0 . 8 1 \, \mathrm { M e V } } ^ { 8 . 1 9 \, \mathrm { M e V } } \, ~ \sigma _ { \nu _ { e } C l } ( E ) \, X ^ { ^ 8 B } ( E ) \, ( P ( \nu _ { e } \to \nu _ { e } ) \, ~ \Phi _ { \nu _ { e } } ^ { { ^ 8 B } 0 } - \Phi _ { \nu _ { e } } ^ { S N O } ) \, ~ d E
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] } & { { } = \delta _ { i j } , } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } ^ { \dagger } \right] } & { { } = \left[ \hat { \textmd a } _ { I } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n + 1 , k } } & { = P _ { n , k } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left| O _ { n , k } \right| ^ { 2 } } O _ { n } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) } \\ { O _ { n + 1 , k } } & { = \frac { \gamma } { \gamma + 2 \mu \beta } O _ { n , k } + \frac { \beta P _ { n , k } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n , k } \right) + \beta \mu \left( O _ { n , k + 1 } + O _ { n , k - 1 } \right) } { \gamma + 2 \mu \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 , 1 } } & { = \alpha _ { 2 } ( 1 ) } \\ & { = \frac { 1 } { c _ { 0 , 2 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) \left( \psi ^ { * } \left( \frac { \beta t } { c _ { 0 , 2 } } \right) - c _ { 0 , 2 } \right) \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta t } { c _ { 0 , 2 } } \right) f _ { Z } \left( \frac { \beta t } { c _ { 0 , 2 } } \right) d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) ^ { 2 } \, \psi _ { 4 } \left( \frac { \beta t } { c _ { 0 , 2 } } \right) f _ { Z } \left( \frac { \beta t } { c _ { 0 , 2 } } \right) d t } } \\ & { = \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } \left( \alpha _ { 1 } + 1 + \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { \alpha _ { 1 } + 1 } { ( \alpha _ { 2 } + 1 ) t } \right) ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 2 } } \frac { 1 } { t ^ { \alpha _ { 1 } + 1 } } d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { t } - 1 \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { \alpha _ { 1 } + 1 } { ( \alpha _ { 2 } + 1 ) t } \right) ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 2 } } \frac { 1 } { t ^ { \alpha _ { 1 } + 1 } } d t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z ( \eta _ { I } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } - \eta _ { I } ( { \mathbf { C } } ) \gamma \widetilde { \gamma } ) \Delta + z \eta \gamma ( { \mathbf { C } } ) \gamma _ { I } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } - z \eta ( { { \mathbf { C } } } ) \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma _ { I } \gamma = ( \eta ( { \mathbf { C } } ) \gamma - \eta \gamma ( { \mathbf { C } } ) ) \widetilde { \gamma } ( \widetilde { \delta } \Delta - z \widetilde { \gamma } \gamma _ { I } ) } \\ & { = ( \eta ( { \mathbf { C } } ) \gamma - \eta \gamma ( { \mathbf { C } } ) ) \widetilde { \gamma } ( \widetilde { \delta } - \delta \widetilde { \gamma } + \widetilde { \delta } \gamma \widetilde { \gamma } - \widetilde { \delta } \gamma \widetilde { \gamma } ) = ( \eta ( { \mathbf { C } } ) \gamma - \eta \gamma ( { \mathbf { C } } ) ) \widetilde { \gamma } \widetilde { \gamma } _ { I } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } } } & { = } & { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { H } } } { \omega _ { \mathrm { M } } } + l _ { \mathrm { e x } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) \left( 1 + \frac { \omega _ { \mathrm { H } } } { \omega _ { \mathrm { M } } } + l _ { \mathrm { e x } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { - \xi ( k d ) \Big [ 1 - \xi ( k d ) + \frac { \omega _ { \mathrm { H } } } { \omega _ { \mathrm { M } } } + l _ { \mathrm { e x } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \Big ] \cos ^ { 2 } { \varphi } } \\ & { } & { + \xi ( k d ) \Big [ 1 - \xi ( k d ) \Big ] } \end{array}
f _ { \mathrm { 3 D } } ( v ) = N _ { \mathrm { 3 D } } 4 \pi v ^ { 2 } \left( 1 + ( q - 1 ) \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - q } }
M _ { n f } ( \bar { B } _ { s } ^ { 0 } \rightarrow K ^ { + } K ^ { - } ) = \sqrt { 2 } G _ { F } V _ { u b } V _ { u s } ^ { * } c _ { 2 } A ^ { ( \widetilde { O } _ { 1 } ) } - \sqrt { 2 } G _ { F } V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } ( c _ { 3 } + c _ { 9 } ) A ^ { ( \widetilde { O } _ { 1 } ) } ,
< \zeta > _ { { \bf R } } ( t ) = \frac { 1 0 0 } { \mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } \, { \bf R } } \sum _ { { \bf R } } \frac { | \zeta ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t ) _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } - { \zeta } _ { \mathrm { ~ D ~ D ~ F ~ F ~ o ~ r ~ e ~ c ~ a ~ s ~ t ~ } } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t ) | } { | \mathrm { ~ M ~ a ~ x ~ } \, \zeta _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } - \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ } \, \zeta _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } | }
\eta = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { 2 } } } \\ { { - a _ { 1 } ^ { * } } } & { { - a _ { 2 } ^ { * } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
g _ { R } ^ { 2 } ( \mu ) = { \frac { g _ { R } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) } { 1 + { \frac { 2 2 } { 3 } } { \frac { C _ { 2 } ( G ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } g _ { R } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) \ln { \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } } } } = { \frac { 1 } { { \frac { 2 2 } { 3 } } { \frac { C _ { 2 } ( G ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \ln { \frac { \mu } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } } }
\begin{array} { r l } { \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { { } = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } { 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \textup { b } } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ \nabla \boldsymbol { u } ^ { b } + \left( \nabla \boldsymbol { u } ^ { b } \right) ^ { T } \Big ] } \\ { \Omega ^ { \textup { b } } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ \nabla \boldsymbol { u } ^ { b } - \left( \nabla \boldsymbol { u } ^ { b } \right) ^ { T } \Big ] } \end{array}
\delta { \cal E } ( h ) = - { \frac { h ^ { 2 } } { 2 g } } - { \frac { h ^ { 2 } } { \pi } } \ln 2 + { \frac { h ^ { 2 } n } { 4 \pi } } \left[ 1 - \ln { \frac { h ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right] .
\begin{array} { r l r } { f ( u _ { 1 } / \lambda , u _ { 2 } / \lambda ^ { \gamma } ) } & { \sim } & { \frac { \lambda ^ { \upsilon _ { 1 } } } { | u _ { 1 } | ^ { \upsilon _ { 1 } } } \times \ell \Big | \frac { \frac { u _ { 2 } } { \lambda ^ { \gamma } } } { | \frac { u _ { 1 } } { \lambda } | ^ { \upsilon _ { 1 } / \upsilon _ { 2 } } } \Big | ^ { \mu } \ = \ \ell \lambda ^ { 2 H ( \gamma ) - 1 - \gamma } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } | u _ { j } | ^ { 1 - 2 H _ { j } ^ { + } } } \end{array}
f _ { s } ^ { + } \left( z = z _ { 0 } , v _ { z } > 0 , \Tilde { \mu } , t \right) = n _ { s } ^ { * } \left( \frac { m _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } ( T _ { \| s } ^ { * } ) ^ { - 1 / 2 } ( T _ { \perp } ^ { * } ) ^ { - 1 } \exp \left( - \frac { m _ { s } v _ { z } ^ { 2 } } { 2 T _ { \| s } ^ { * } } \right) \exp \left( - \frac { m _ { s } \Tilde { \mu } B _ { 0 } } { T _ { \perp s } ^ { * } } \right) , \quad s = i , e
z _ { g c } = \left[ \begin{array} { c } { \textbf { x } _ { g c } } \\ { \mathbf { v } _ { s , \parallel } } \\ { \mathbf { v } _ { s , \perp } } \\ { \theta } \end{array} \right] , Z _ { g c } = \left[ \begin{array} { c } { X _ { g c } } \\ { V _ { \parallel } } \\ { V _ { \perp } } \\ { \Theta } \end{array} \right] , \mathcal { Z } _ { g c } = \left[ \begin{array} { c } { \chi } \\ { \mathcal { V } _ { \parallel } } \\ { \mathcal { V } _ { \perp } } \\ { \Omega } \end{array} \right] , \{ S _ { g c } , Z _ { g c } \} = \left[ \begin{array} { c } { ( \hat { b } \boldsymbol { \cdot } \chi ) \hat { b } - \frac { \hat { b } } { m } \frac { \partial S _ { g c } } { \partial V _ { \parallel } } } \\ { 0 } \\ { \frac { e B } { m ^ { 2 } V _ { \perp } c } \frac { \partial S _ { g c } } { \partial \Theta } } \\ { \frac { e B } { m ^ { 2 } V _ { \perp } c } \frac { \partial S _ { g c } } { \partial V _ { \perp } } } \end{array} \right] ,
{ \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { 1 } } \end{array} \right\} } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { 2 } } \end{array} \right\} } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { { \left\{ \begin{array} { l } { - 0 . 7 0 7 } \\ { - 0 . 7 0 7 } \end{array} \right\} } _ { 1 } { \left\{ \begin{array} { l } { 0 . 7 0 7 } \\ { - 0 . 7 0 7 } \end{array} \right\} } _ { 2 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { | D ^ { \ell } p _ { \alpha } ( t , x - w ) - D ^ { \ell } p _ { \alpha } ( t , x - z ) | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| D ^ { \ell + 1 } p _ { \alpha } ( t , x + \lambda ( z - w ) - z ) \cdot ( z - w ) \right| \mathrm { d } \lambda } \\ & { \lesssim \frac { | z - w | } { t ^ { \frac { \ell + 1 } { \alpha } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \bar { p } _ { \alpha } ( t , x + \lambda ( z - w ) - z ) \right| \mathrm { d } \lambda } \\ & { \lesssim \frac { | z - w | ^ { \zeta } } { t ^ { \frac { \ell + \zeta } { \alpha } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { p } _ { \alpha } ( t , x + \lambda ( z - w ) - z ) \mathrm { d } \lambda , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { \mathrm { e x } } ( x , \, y , \, t ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \sin ( 2 \pi \, x ) \sin ( 2 \pi \, y ) } \\ { \cos ( 2 \pi \, x ) \cos ( 2 \pi \, y ) } \end{array} \right] e ^ { - 8 \nu \pi ^ { 2 } t } \, , } \\ { p _ { \mathrm { e x } } ( x , \, y , \, t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \sin ^ { 2 } ( 2 \pi x ) + \cos ^ { 2 } ( 2 \pi y ) \bigg ) e ^ { - 1 6 \nu \pi ^ { 2 } t } \, . } \end{array}
Q ^ { 2 } = Q _ { z } ^ { 2 } + Q _ { s i d e } ^ { 2 } + Q _ { o u t } ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) , \ \ \ \mathrm { { w h e r e } } \ \ \ \beta = \frac { p _ { 1 , o u t } + p _ { 2 , o u t } } { E _ { 1 } + E _ { 2 } } \ .
T _ { \alpha } = - \varepsilon _ { \alpha \gamma _ { 1 } \gamma } \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \gamma _ { 1 } } \, { \sigma } _ { \gamma \beta } ( { \pmb x } ) \cdot { n } _ { \beta } ( { \pmb x } ) \, d S
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { S } } ( \mathbf { x } ) } & { { } { } = - ( j \omega \mathbf { A } ( \mathbf { x } ) + \nabla \Phi ( \mathbf { x } ) ) , } \\ { \mathbf { H } ^ { \mathcal { S } } ( \mathbf { x } ) } & { { } { } = \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { x } ^ { n + 1 } ( x , y ) = H _ { x } ^ { n } ( x , y ) - \frac { \Delta t } { \mu _ { 0 } } } & { \mathcal { L } _ { y } ( E _ { z } ^ { n } ) ( x , y ) , } \\ { H _ { y } ^ { n + 1 } ( x , y ) = H _ { y } ^ { n } ( x , y ) + \frac { \Delta t } { \mu _ { 0 } } } & { \mathcal { L } _ { x } ( E _ { z } ^ { n } ) ( x , y ) , } \\ { E _ { z } ^ { n + 1 } ( x , y ) = E _ { z } ^ { n } ( x , y ) + \frac { \Delta t } { \varepsilon _ { 0 } } ( } & { \mathcal { L } _ { x } ( H _ { y } ^ { n + 1 } ) ( x , y ) } \\ { - } & { \mathcal { L } _ { y } ( H _ { x } ^ { n + 1 } ) ( x , y ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { { } = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi \eta \alpha ^ { 2 } } \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda n L } } { n L } \right] - \frac { 1 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } } d \xi ^ { 0 } d \xi ^ { 0 } - ( 1 - \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } ) \frac { d { \bf x } ( I - { \bf x } ^ { \prime } { \bf x } ) ^ { - 1 } d { \bf x } ^ { \prime } } { 1 - { \bf x } { \bf x } ^ { \prime } } ~ ,
{ \boldsymbol { N } } = J ~ { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad { \boldsymbol { N } } ^ { T } = { \boldsymbol { P } } = J ~ { \boldsymbol { \sigma } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { - T }
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { 2 } } & { { } = \gamma _ { \mathrm { { R B M } } } ^ { 2 } \frac { \mathcal { C } ( \kappa , \delta , q ) } { 3 } , } \\ { k _ { y } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } k _ { \mathrm { { R B M } } } ^ { 2 } \mathcal { C } ( \kappa , \delta , q ) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { s } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial \psi _ { s } } = e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \beta ( \kappa - \kappa ^ { * } ) ^ { 2 } + ( v _ { s } - v _ { i } ) \kappa i } \\ { \dot { v } _ { i } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial \psi _ { i } } = e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \alpha + v _ { i } } \end{array}
\lambda = \sqrt { \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , \quad T _ { \nu } ( z ) = \frac { z } { ( z ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } ) J _ { \nu } ^ { 2 } ( z ) + z ^ { 2 } J _ { \nu } ^ { ' 2 } ( z ) } .
\begin{array} { r l r } { N _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { N _ { 0 } \ \cos \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + \Theta _ { 0 } \Big ) , } \\ { P _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { d _ { 1 2 } N _ { 0 } \ \sin \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + \Theta _ { 0 } \Big ) , } \end{array}
I _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) U _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } ) \propto \exp \left[ - \frac { \left( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } / \kappa \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { P S F } } ^ { 2 } } \right]
- \sum _ { \rho { \mathrm { ~ I r r } } } \deg ( \rho ) \log \operatorname* { d e t } \left[ I - N \left( { \mathfrak { p } } ^ { - s } \right) \rho \left( \mathbf { F r o b } _ { \mathfrak { p } } \right) \right] = n \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { N ( { \mathfrak { p } } ) ^ { - s f m } } { f m } } = - \log \left[ \left( 1 - N ( { \mathfrak { p } } ) ^ { - s f } \right) ^ { \frac { n } { f } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { o } } f ( G , o , i ) \right) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ N ] P ( k - 1 ) \mathbb { E } \left( f ( G , o , 1 ) \big | N _ { o } = k d \right) } \\ & { = \mathbb { E } [ N ] \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } P ( k ) \mathbb { E } \left( f ( G , o , 1 ) \big | N _ { o } = ( k + 1 ) d \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \bar { \Lambda } \left| \bar { A } C _ { \alpha } \right\rangle = \left| C _ { \alpha } \left( { C ^ { 2 } } - { 5 } \right) \right\rangle , } \\ & { \bar { \Lambda } \left| \bar { B } \left( 3 C _ { \alpha } C _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) \right\rangle = \left| 3 C _ { \alpha } C _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { p } } ^ { } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } \mathrm d \mathbf y - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \int _ { \Gamma } \mathbf { n } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) \mathrm d \mathbf y + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \int _ { \Gamma } \mathbf n \cdot ( c _ { 0 } \mathbf v _ { 0 } ) \mathrm d \mathbf y = 0 . } \end{array}
\omega _ { C } > 0 , \qquad \omega _ { N } < 0 , \qquad \omega _ { S } > 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) > \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) ,