harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { A } _ { y } = \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { y } } & { 0 } & { \rho } \\ { 0 } & { u _ { y } } & { 0 } \\ { \varsigma ^ { 2 } + \frac { \partial _ { \rho } P _ { y } ^ { * } } { \rho } } & { \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { y y } ^ { * } } { \rho } } & { u _ { y } + \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { y y } ^ { * } } { \rho } } \end{array} \right] .
F = \mu \left[ ( z _ { + } - 1 ) \, \left( \frac { 1 + q } { 2 } \right) \, ( 1 - f ) + ( z _ { -- } 1 ) \, \left( \frac { 1 - q } { 2 } \right) \, ( 1 - f ) + ( z _ { 0 } - 1 ) \, f \right] \ .
M = \frac { \sqrt { 3 } \Gamma ^ { \prime } } { \pi ^ { 5 / 2 } } \frac { \alpha \beta { \cal C } } { \sqrt { N _ { e } N ( 1 + N _ { r } / ( 2 \kappa _ { M } N ) ) } \kappa _ { M } ^ { 3 / 2 } } M _ { p } .
\widehat { T } = \frac { 1 } { \eta ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \hat { C } _ { x y } ^ { 2 } = \frac { V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } } { \eta ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( \frac { \hat { C } _ { x y } } { \sqrt { V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } } } \right) ^ { 2 } .
q _ { G } = - ( v _ { 2 } + 1 ) \frac { B ^ { 2 } } { \omega _ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { n = 1 , 3 } \zeta _ { 2 n } ^ { 2 } \frac { 4 \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { \omega _ { n } ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } } \right) .
\Psi _ { 1 } \equiv \pi _ { a } \pi ^ { a } - m ^ { 2 } + { \frac { 2 e F _ { a b } \pi ^ { a } } { \pi ^ { 2 } } } \Theta _ { 2 } ^ { b } \approx 0 ~ ~ ; ~ ~ \Psi _ { 2 } \equiv \pi . S - { \frac { m j } { 2 } } + { \frac { e j F _ { a b } \pi ^ { a } } { 2 m \pi ^ { 2 } } } \Theta _ { 2 } ^ { b } \approx 0 ,
\begin{array} { r } { | \psi \rangle = N _ { A } | A \rangle | 0 \rangle + N _ { B } | B \rangle | 0 \rangle + \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega N _ { x , \omega } | 0 \rangle | x , \omega \rangle . } \end{array}
N _ { \ell } = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { T } d t \left[ \langle \partial _ { k } \widetilde { \ell } ( k , t ) | \partial _ { t } \ell ( k , t ) \rangle - \langle \partial _ { t } \widetilde { \ell } ( k , t ) | \partial _ { k } \ell ( k , t ) \rangle \right] .
( 2 ) \quad | | \phi ( x ) | | _ { 2 } = | | \psi ( x ) | | _ { 2 } = \left[ \int _ { a } ^ { b } | \phi ( x ) | ^ { 2 } d x \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left[ \int _ { a } ^ { b } | \psi ( x ) | ^ { 2 } d x \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 1 .
\left\langle H \right\rangle _ { \Phi } ^ { \left( 1 \right) } = \left\langle \Phi \right| \int { { d ^ { 3 } } x } \left[ { \frac { { { { \bf \Pi } ^ { 2 } } } } { { 2 \, { c _ { 1 } } } } - \frac { { { d _ { 2 } } } } { { 2 \, c _ { 1 } ^ { 2 } \operatorname* { d e t } D } } { { \left( { { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \Pi } } \right) } ^ { 2 } } } \right] \left| \Phi \right\rangle ,
q : \left\{ \begin{array} { l l } { D ( L ) \times V } & { \to \mathbb R , } \\ { ( I , m ) } & { \mapsto \displaystyle \int _ { \mathbb S ^ { 2 } } m ( \Omega ) L ( I ) ( \Omega ) \, \mathrm { d } \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { \Delta x , \mathrm { s i n g } } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \leq - \frac { 1 } { 2 } , } \\ { 1 - \alpha , } & { - \frac { 1 } { 2 } < x , } \end{array} \right. } \\ { G _ { \Delta x , \mathrm { s i n g } } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \leq - \frac { 1 } { 2 } , } \\ { 1 , } & { - \frac { 1 } { 2 } < x . } \end{array} \right. } \end{array}
\Pi _ { u s } = \Bigl \langle p _ { s } \frac { \partial u _ { s } } { \partial x } \Bigr \rangle _ { x , z } \quad , \quad \Pi _ { v s } = \Bigl \langle p _ { s } \frac { \partial v _ { s } } { \partial y } \Bigr \rangle _ { x , z } \quad , \quad \Pi _ { w s } = \Bigl \langle p _ { s } \frac { \partial w _ { s } } { \partial z } \Bigr \rangle _ { x , z } , \:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial y } } & { { } = } & { \frac { a } { 2 } \mathcal { P } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { P } } { \partial \hat { t } } } & { { } = } & { \mathcal { D } \mathcal { F } - \mathcal { P } , } \\ { \frac { \partial \mathcal { D } } { \partial \hat { t } } } & { { } = } & { \gamma \left[ 1 - \mathcal { D } - \mathcal { F } \mathcal { P } ) \right] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { z } ^ { 2 } } & { { } = w _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { z } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { z } { z _ { R } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\lambda ^ { 2 } = - \left( \frac { v _ { A } ^ { 2 } } { 2 \eta \nu } - i \omega \frac { \eta + \nu } { 2 \eta \nu } \right) \pm \sqrt { \frac { \omega ^ { 2 } } { \eta \nu } - \left( \omega \frac { ( \eta + \nu ) } { 2 \eta \nu } + i \frac { v _ { A } ^ { 2 } } { 2 \eta \nu } \right) ^ { 2 } }
k ( \textbf { x } _ { i } , \textbf { x } _ { j } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { x } _ { i } - \textbf { x } _ { j } ) ^ { \textrm { T } } M ( \textbf { x } _ { i } - \textbf { x } _ { j } ) \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { + } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \langle x ^ { k } \rangle _ { + } } { 2 z ^ { k + 1 } } \quad \Rightarrow \quad G _ { + } ^ { 2 } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \langle x ^ { l } \rangle _ { + } \langle x ^ { k - l } \rangle _ { + } } { 4 z ^ { k + 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { k } } & { { } = - \sum _ { i j } 2 \frac { \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } \lambda _ { j } ^ { k } } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } } \frac { C _ { i j } ^ { k } } { \vert \operatorname* { d e t } T ^ { k } \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { C _ { i j } ^ { k } } & { { } = \sum _ { n m } \bar { T } _ { m i } ^ { k } T _ { m j } ^ { k } \left( ( \bar { T } ^ { k } ) _ { i n } ^ { - 1 } \right) \left( T ^ { k } \right) _ { j n } ^ { - 1 } \left\vert \operatorname* { d e t } T ^ { k } \right\vert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } } & { { } = \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N } \lambda _ { i } } & { { } = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { K } ) = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { L } ) \operatorname* { d e t } ( \mathbf { U } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) } { \partial t } = \frac { \delta H } { \delta [ i \hbar \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } } & { = } & { \frac { 1 } { i \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] } \\ { \frac { \partial [ i \hbar \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] } { \partial t } = - \frac { \delta H } { \delta \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) } } & { = } & { - \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \partial _ { x } ^ { + } \rho _ { 1 } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Delta x } ( { \rho _ { 1 } } _ { i + 1 , j } - { \rho _ { 1 } } _ { i , j } ) , } & { \mathrm { i f ~ 1 \leq ~ i < n _ x ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ i = n _ x ~ } , } \end{array} \right. } \\ & { ( \partial _ { y } ^ { + } { \rho _ { 1 } } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Delta y } ( { \rho _ { 1 } } _ { i , j + 1 } - { \rho _ { 1 } } _ { i , j } ) , } & { \mathrm { i f ~ 1 \leq ~ j < n _ y ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ j = n _ y ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } = \frac { l _ { - } R \Delta c } { M c _ { + } \Delta \chi \Delta s ^ { \star } } \left[ \cosh \left( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \right) + \frac { l _ { + } \sinh \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } { l _ { - } \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \left[ \sinh \left( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \right) + \frac { l _ { - } \cosh \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } { l _ { + } \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { 2 , \sigma _ { 2 } , \alpha _ { 2 , 0 } } ^ { ( \sigma _ { 1 } ) } ( \underline { { X } } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f } \; \; X _ { 1 } - \sigma _ { 1 } \leq X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } } \\ { \alpha _ { 2 , 0 } ( X _ { 1 } - \sigma _ { 1 } ) + ( 1 - \alpha _ { 2 , 0 } ) ( X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \; \; X _ { 1 } - \sigma _ { 1 } > X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } } \end{array} \right. } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } , \alpha _ { 2 , 0 } ( X _ { 1 } - \sigma _ { 1 } ) + ( 1 - \alpha _ { 2 , 0 } ) ( X _ { 2 } - \sigma _ { 2 } ) \} . } \end{array}
\alpha _ { m } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { m } ) = \left( { \frac { 1 } { u } } , t _ { 1 } - { \frac { 2 t _ { 1 } } { u } } , { \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { u } } , t _ { 2 } , { \frac { t _ { 1 } t _ { 3 } } { u } } , t _ { 3 } , \cdots , { \frac { t _ { 1 } t _ { m } } { u } } , t _ { m } \right) ,
{ \hat { \cal C } } ^ { a } | Q _ { i } ^ { \prime } , { \cal C } ^ { \prime a } , \bar { \cal C } _ { a } ^ { \prime } , { \pi } _ { a } ^ { \prime } \rangle = \hat { \bar { \cal C } } _ { a } | Q _ { i } ^ { \prime } , { \cal C } ^ { \prime a } , \bar { \cal C } _ { a } ^ { \prime } , { \pi } _ { a } ^ { \prime } \rangle = { \hat { \pi } } _ { a } | Q _ { i } ^ { \prime } , { \cal C } ^ { \prime a } , \bar { \cal C } _ { a } ^ { \prime } , { \pi } _ { a } ^ { \prime } \rangle = 0 ,
z _ { p } ( z _ { 0 } , t ) = \frac { 1 } { k _ { z } } \arctan \left\{ \tan \left[ k _ { z } ( z _ { 0 } + \frac { w } { 2 } ) \right] \exp ( \frac { 4 \Phi } { 3 \eta } ( k _ { z } r ) ^ { 2 } E _ { a c } t ) \right\} - \frac { w } { 2 } .
D _ { \lambda \rho } \left( K \right) = \frac { 4 \pi } { K ^ { 2 } - m _ { \gamma } ^ { 2 } - \pi _ { l } } L _ { \lambda \rho } + \frac { 4 \pi } { K ^ { 2 } - m _ { \gamma } ^ { 2 } - \pi _ { t } } T _ { \lambda \rho } - \frac { 4 \pi } { m _ { \gamma } ^ { 2 } } h _ { \lambda } h _ { \rho } .
\begin{array} { r l } { a ( E _ { - } ) } & { = \int _ { - \sqrt { 2 E _ { - } } } ^ { \sqrt { 2 E _ { - } } } \frac { 2 ( 1 - E _ { - } ) + q ^ { 2 } } { \left[ ( 2 E _ { -- } q ^ { 2 } ) ( 4 - 2 E _ { - } + q ^ { 2 } ) \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q } \\ { } & { = \sqrt { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 + ( u ^ { 2 } - 1 ) E _ { - } } { [ ( 1 - u ^ { 2 } ) ( 2 + ( u ^ { 2 } - 1 ) E _ { - } ] ^ { 1 / 2 } } \, \mathrm { d } u , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\lbrack \Delta ( \varphi ) ] ( x ) : = - 2 \varphi ( x ) + \sum _ { z \in \mathbb { Z } , \mathrm { ~ } | z | = 1 } \varphi ( x + z ) \ , \mathrm { ~ \qquad ~ } x \in \mathbb { Z } , \ \varphi \in \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) \ .
p ( { \bf x } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d } | \Sigma | } } \frac { 2 } { \beta } \frac { K _ { ( d / 2 - 1 ) } \left( \sqrt { \frac { 2 } { \beta } { \bf x ^ { \prime } } \Sigma ^ { - 1 } { \bf x } } \right) } { \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } { \bf x ^ { \prime } } \Sigma ^ { - 1 } { \bf x } } \right) ^ { d / 2 - 1 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( z , t ) } & { { } = \mathrm { R e } \left[ E ( z ) e ^ { - i \omega t } \right] , } \\ { \mathcal { P } ( z , t ) } & { { } = \mathrm { R e } \left[ P ( z ) e ^ { - i \omega t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { 1 2 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 1 } , } \\ & { S _ { 1 3 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 1 } , } \\ & { S _ { 1 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 4 } ( \cos \theta - 1 ) } \equiv \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } I _ { 3 } , } \\ & { S _ { 2 3 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { - 4 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \sin ^ { 2 } \theta } = - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ & { S _ { 2 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { - 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta } \equiv - \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } , } \\ & { S _ { 3 4 } \equiv \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = \frac { ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 4 } ) ^ { 2 } } { - 2 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta } \equiv - \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { y = - \frac { 1 } { 8 } \Phi \tilde { k } - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { B \Phi ^ { 2 } } { 1 2 8 } \right) \tilde { k } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \tilde { k } ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I W B M } _ { T } ^ { p , q } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } ) } \\ { = } & { \left\langle \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \bar { \mu } \right) \right) \right. , } \\ & { \quad \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \bar { \eta } \! + \bar { \mu } ) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau ( \bar { \mu } ) \right) , } \\ & { \quad \left. \zeta ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \zeta ( \bar { \nu } ) \right) \right\rangle , } \end{array}
\dot { r } \equiv { \frac { d r } { d t } } = { \frac { d r } { d \tau } } { \frac { d \tau } { d t } } = { \frac { d r } { d \tau } } { \frac { U } { \sqrt { U + \left( { \frac { d r } { d \tau } } \right) ^ { 2 } } } } \; ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 2 + 6 i + 4 j } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 1 + 6 i + 4 j } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\left| H _ { c } \right\rangle = \frac 1 2 \left| T r ( Q G _ { 1 } G _ { 2 } ) \right\rangle D ^ { 1 2 } + \frac 1 2 \left| T r ( Q G _ { 2 } G _ { 1 } ) \right\rangle D ^ { 2 1 }
\bar { \alpha } _ { \pi ^ { \pm } } = - \bar { \beta } _ { \pi ^ { \pm } } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi { m _ { \pi } } } \frac { 2 ( 2 l _ { 5 } ^ { r } - l _ { 6 } ^ { r } ) } { F _ { \pi } ^ { 2 } } = ( 2 . 6 8 \pm { 0 . 4 2 } ) \times { 1 0 ^ { - 4 3 } } \mathrm { c m } ^ { 3 } ,
\mathrm { L i } _ { 2 } ( e ^ { a \hbar } ; e ^ { \hbar } ) = - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) + \log \frac { \Gamma ( a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + \frac { B _ { 2 } ( a ) } { 4 } \hbar \, + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 k + 1 } ( a ) B _ { 2 k } } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } \hbar ^ { 2 k }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { a } \! \! \! { x } f _ { | h _ { a w } ^ { m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( { x } ) d { x } \! = \! \! \sum _ { r = 1 } ^ { S _ { \mathbb { B } } } \! \binom { S _ { \mathbb { B } } } { r } ( - 1 ) ^ { r } \! \! \left[ a e ^ { - r \xi _ { \mathbb { B } } a } - \frac { 1 \! - \! e ^ { - r \xi _ { \mathbb { B } } a } } { r \xi _ { \mathbb { B } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { d \mathbb { E } [ S _ { t } ^ { p } ] = p ( r - q ) \mathbb { E } \left[ S _ { t } ^ { p } \right] d t + \frac { p ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \sigma ^ { 2 } S _ { t } ^ { p } \right] d t + p \mathbb { E } \left[ S _ { t } ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + \rho x ) { J } _ { Z } ( \lambda d t , d x ) \right] } \\ { + \frac { 1 } { 2 } p ( p - 1 ) \mathbb { E } \left[ S _ { t } ^ { p } ( \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + \rho x ) { J } _ { Z } ( \lambda d t , d x ) ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \big ( c _ { i \sigma } ^ { \dag } c _ { j \sigma } ^ { \phantom { } } + c _ { j \sigma } ^ { \dag } c _ { i \sigma } ^ { \phantom { } } \big ) \, . } \end{array}
\mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 1 } ) } = T _ { 1 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 1 } ) } \mathbf { e } _ { 1 } + T _ { 2 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 1 } ) } \mathbf { e } _ { 2 } + T _ { 3 } ^ { ( \mathbf { e } _ { 1 } ) } \mathbf { e } _ { 3 } = \sigma _ { 1 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + \sigma _ { 1 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \sigma _ { 1 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \widehat { G _ { T } } ( t ) { \left| { \sum _ { k = 1 } ^ { N } a _ { j } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } & { \geq } & { \int _ { { \mathbb { R } } } \widehat { G _ { T } } ( t ) { \left| { \sum _ { k = 1 } ^ { N } a _ { j } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { k } t } } \right| } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { k , \ell = 1 } ^ { N } a _ { k } \overline { { a _ { \ell } } } \int _ { { \mathbb { R } } } \widehat { G _ { T } } ( t ) e ^ { 2 i \pi ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) t } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { k , \ell = 1 } ^ { N } a _ { k } \overline { { a _ { \ell } } } G _ { T } ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N } | a _ { k } | ^ { 2 } G _ { T } ( 0 ) . } \end{array}
{ \cal H } _ { \nu } = \frac { 1 } { 2 E } \left[ V \left( \begin{array} { l l l } { { m _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) V ^ { \dagger } + \left( \begin{array} { l l l } { { A } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { 1 } \otimes _ { \epsilon , \pi } \cdots \otimes _ { \epsilon , \pi } \overline { E } _ { l } ) \geq \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { 1 } ) + \cdots + \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { l } ) - C \sum _ { i = 1 } ^ { l } \ln ( \dim _ { K } ( E _ { i } ) ) } \end{array}
\mathrm { 3 / 8 ~ B P S : } \qquad Q ^ { + + } | \ell , J , q _ { i } \rangle = Q ^ { ( + + ) } | \ell , J , q _ { i } \rangle = Q ^ { [ + ] \{ + \} } | \ell , J , q _ { i } \rangle = 0 \; .
\begin{array} { r l } { T _ { 3 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 1 6 } \, x \, a ( - k n ) \bigg [ 2 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + \frac 3 2 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\mathcal { X } ^ { \prime } = \mathrm { C o n c a t e n a t e } ( \{ \mathbf { x } _ { 0 } ^ { j } , \dots , \mathbf { x } _ { t _ { j } - N _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } ^ { j } \} _ { j = 0 } ^ { n } )
\begin{array} { r } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d E _ { q } d \theta } = \sin \theta \, \frac { q \varepsilon _ { q } } { \hbar c ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! d \varphi \; \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { a b } \left( b ^ { - 1 } \right) \theta _ { a } \left( b \right) \theta _ { a b } \left( b ^ { - 1 } \right) } & { = \theta _ { a b } \left( b ^ { - 1 } \right) \theta _ { a } \left( b b ^ { - 1 } \right) = b ^ { - 1 } b \, \theta _ { a b } \left( b ^ { - 1 } \right) = \theta _ { a b } \left( b b ^ { - 1 } \right) \theta _ { a b b ^ { - 1 } b } \left( b ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \theta _ { a b } \left( b ^ { - 1 } \right) . } \end{array}