harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { 2 ( | \bar { u } | + | \bar { v } | ) \Delta t - 2 \Delta x - 2 \Delta t ( | \bar { u } | \cos \beta _ { x } + | \bar { v } | \cos \beta _ { y } ) } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 2 \Delta t | \bar { u } | \sin \beta _ { x } } \\ { 2 \Delta t | \bar { v } | \sin \beta _ { y } } \end{array} \right) } \\ { + \Delta t ^ { 2 } \frac { \Big ( \bar { u } ( 1 + \cos \beta _ { y } ) \sin \beta _ { x } + \bar { v } ( 1 + \cos \beta _ { x } ) \sin \beta _ { y } \Big ) } { 4 \Delta x ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { \bar { u } ( 1 + \cos \beta _ { y } ) \cos \beta _ { x } - \bar { v } \sin \beta _ { x } \sin \beta _ { y } } \\ { - \bar { u } \sin \beta _ { y } \sin \beta _ { x } + \bar { v } ( 1 + \cos \beta _ { x } ) \cos \beta _ { y } } \end{array} \right) } \end{array}
W ^ { ( 1 ) } = \frac { B ^ { \prime } } { 4 } x _ { 0 } ^ { 4 } + \frac { b _ { 3 } } { 4 } x _ { 3 } ^ { 4 } + \frac { b _ { 4 } } { 4 } x _ { 4 } ^ { 4 } + \frac { b _ { 5 } } { 4 } x _ { 5 } ^ { 4 } - \psi _ { 0 } x _ { 0 } x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } \ .
\begin{array} { r } { d _ { l } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi } } e ^ { i \frac { \mathrm { P } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i \frac { \mathrm { P } } { 2 } \cos ( 2 \phi ) } e ^ { i l \phi } d \phi \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { v \geq 0 } \, \left[ \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) + \bar { u } ( 0 ) \right] \, F _ { r } ( d v ; e , r ) } \\ & { = \int _ { v \geq 0 } \, \left[ \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) \right] \, F _ { r } ( d v ; e , r ) + \bar { u } ( 0 ) \int _ { v \geq 0 } \, F _ { r } ( d v ; e , r ) } \\ & { = \int _ { v > 0 } \, \left[ \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) \right] \, F _ { r } ( d v ; e , r ) } \\ & { = \int _ { v \in ( 0 , v _ { 0 } ) } \, \left[ \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) \right] \, F _ { r } ( d v ; e , r ) + \int _ { v > v _ { 0 } } \, \left[ \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) \right] \, F _ { r } ( d v ; e , r ) } \end{array}
\frac { \partial U _ { \Lambda } ( \varphi ) } { \partial \Lambda } = - \frac { K _ { D } } { 2 } \Lambda ^ { D - 1 } \ln \left[ Z _ { \Lambda } + \frac { U _ { \Lambda } ^ { \prime \prime } ( \varphi ) } { \Lambda ^ { 2 } } \right] \; ,
\begin{array} { r } { \int _ { \hat { E } _ { 0 } + \frac { L } { 2 } } ^ { \hat { E } _ { 0 } + 2 L } ( p \ast n _ { \sigma } ) ( x ) d x \leq c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
B o _ { c } = \left( \frac { 2 4 } { \pi } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { ( \cos { \theta _ { r } } - \cos { \theta _ { a } } ) ( 1 + \cos { \theta _ { a } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( 2 + \cos { \theta _ { a } } ) ^ { 1 / 3 } ( 1 - \cos { \theta _ { a } } ) ^ { 1 / 6 } }
{ \bar { H _ { 0 } } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } + V ( r _ { 1 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } + V ( r _ { 2 } )
{ \mathrm { w h e r e ~ } } f _ { 1 } ( n ) = { \frac { 1 } { 2 n } } , \ f _ { 2 } ( n ) = { \frac { n / 2 } { n ^ { 2 } + 1 } } , \ f _ { 3 } ( n ) = { \frac { ( n / 2 ) ^ { 2 } + 1 } { ( n ^ { 2 } + 5 ) n / 2 } } .
( \theta ^ { 0 } ) ^ { 2 } = \frac { q ^ { 2 } \mu } { \lambda } \theta ^ { 1 } \theta ^ { 2 } , ~ ~ ( \theta ^ { 1 } ) ^ { 2 } = ( \theta ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 0 , ~ ~ \theta ^ { 1 } \theta ^ { 2 } = - \theta ^ { 2 } \theta ^ { 1 } ,
G _ { \mathrm { ~ S ~ P ~ h ~ P ~ s ~ } } = \frac { \epsilon \sigma _ { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } a ( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { 3 } - T _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 3 } ) } { T _ { \mathrm { ~ h ~ } } - T _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { , }
{ \cal Q } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { m \neq 0 } ^ { m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } < N _ { w } ^ { 2 } } q _ { m } [ \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle ] W _ { m }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { i j } } & { { } : = - \left< u _ { i } u _ { k } \right> \frac { \partial \left< U _ { i } \right> } { \partial x _ { k } } - \left< u _ { j } u _ { k } \right> \frac { \partial \left< U _ { j } \right> } { \partial x _ { k } } \, , } \\ { \epsilon _ { i j } } & { { } : = 2 \nu \left< \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { k } } \right> \, , } \\ { C _ { i j } } & { { } : = - \frac { 1 } { \rho } \left< u _ { i } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } + u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } \right> \, , } \\ { T _ { i j } } & { { } : = - \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left< u _ { i } u _ { j } u _ { k } \right> \, , } \\ { D _ { i j } } & { { } : = \nu \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } \left< u _ { i } u _ { j } \right> \, . } \end{array}
\left\langle z _ { \alpha } ^ { 2 } \right\rangle , \left\langle z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) z _ { - } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle , \left\langle z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) z _ { - } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) \right\rangle = 0
\xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) = s \xi _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } ( \bar { \boldsymbol { r } } _ { B } ^ { \prime } , \bar { \boldsymbol { r } } _ { A } , t )
{ \mathrm P } ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ) = | \delta _ { { \alpha ^ { \prime } } \alpha } + \sum _ { i } U _ { \alpha ^ { \prime } i } U _ { \alpha i } ^ { * } \, ~ ( e ^ { - i \Delta m _ { i 1 } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } } - 1 ) | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \Phi ( H _ { i , 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \hbar ( W _ { n , n } ^ { ( 2 ) } t - W _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } t ) - \hbar ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l - 1 } \alpha _ { v } ) W _ { n , n } ^ { ( 1 ) } } \\ { \quad - \hbar ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l - 1 } \alpha _ { v } ) ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l } \alpha _ { v } ) + \hbar ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l } \alpha _ { v } ) \Phi ( H _ { 0 , 0 } ) - \hbar W _ { n , n } ^ { ( 1 ) } ( W _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } - ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l } \alpha _ { v } ) ) } \\ { \quad - \hbar \displaystyle \sum _ { w \leq m - n } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } W _ { n , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { u , n } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } W _ { 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { u , 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } i = 0 , } \\ { - \hbar ( W _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t - W _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 2 ) } t ) - \frac { i } { 2 } \hbar \Phi ( H _ { i , 0 } ) + \hbar W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } W _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { \quad + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } W _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } W _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \quad - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } W _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } W _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } i \neq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 / 4 - S R D } } & { = 0 . 3 7 9 5 9 4 + \frac { 0 . 1 0 6 9 9 6 \sin \left( \frac { \pi t } { 4 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { t ^ { 3 / 2 } } - \frac { 0 . 1 5 7 8 4 4 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = y = 1 / 8 } \\ { D _ { 1 / 4 - R R E } } & { = 0 . 3 8 9 8 8 9 + \frac { 0 . 0 9 5 5 9 2 2 \sin \left( \frac { \pi t } { 4 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { t ^ { 3 / 2 } } - \frac { 0 . 1 7 9 7 9 4 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = y = 1 / 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } ( K ) \! : \, } & { { } \psi \circ g _ { K } = \hat { \psi } , \, \hat { \psi } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } ( \hat { K } ) , } \\ { u \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ( K ) \! : \, } & { { } u \circ g _ { K } = J ^ { - T } \hat { u } , \, \hat { u } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ( \hat { K } ) , } \\ { w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } ( K ) \! : \, } & { { } u \circ g _ { K } = J \hat { w } / \operatorname* { d e t } J , \, \hat { w } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } ( \hat { K } ) , } \\ { \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } ( K ) \! : \, } & { { } \phi \circ g _ { K } = \hat { \phi } / \operatorname* { d e t } J , \, \hat { \phi } \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } ( \hat { K } ) , } \end{array}
R _ { 2 1 } = P R P = \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { q - q ^ { - 1 } } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { q } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { D } _ { \alpha } \hat { D } _ { \beta } = e ^ { i \mathrm { I m } ( \alpha \beta ^ { * } ) } \hat { D } _ { \alpha + \beta } , \ \ \hat { D } _ { \alpha } | \beta \rangle = e ^ { i \mathrm { I m } ( \alpha \beta ^ { * } ) } | \alpha + \beta \rangle . } \end{array}
- \! \! \left[ \begin{array} { l l l } { Q + \beta I _ { n } \! \! \! } & { \! \! P \! \! } & { \! P K ^ { \top } } \\ { P } & { 0 } & { 0 } \\ { K P } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \! \! + \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) } \\ { - x ( t ) } \\ { - u ( t ) } \end{array} \right) \! \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) } \\ { - x ( t ) } \\ { - u ( t ) } \end{array} \right) ^ { \! \! \top } \! d t \! \geqslant \! 0 .
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = \{ f ^ { * } \in L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) : { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) < \infty , } \\ & { \qquad \qquad f ^ { * } ( j ^ { * } ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } | j ^ { * } | = \infty , \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow j ^ { * } } | c _ { k } | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j ^ { * } = - p \mathrm { ~ o r ~ } q \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \sum _ { - p \leq k \leq q - 1 } \mu _ { k , k + 1 } \cdot ( f ^ { * } ( k + 1 ) - f ^ { * } ( k ) ) ^ { 2 } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / { \pi \gamma } \le \vert q ^ { ( a ) } \vert \le 1 , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad s ^ { ( a ) } = 0 , } \\ { { \gamma ^ { - s ^ { ( a ) } - 1 } } / { \pi } \le \vert q ^ { ( a ) } \vert \le \frac { \sqrt 2 } { \pi } \gamma ^ { - s ^ { ( a ) } } , \quad \ \mathrm { f o r } \quad 1 \le s ^ { ( a ) } \le j - 1 , } \\ { \vert q ^ { ( a ) } \vert \le \frac { \sqrt 2 } { \pi } \gamma ^ { - j } , \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad s ^ { ( a ) } = j . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c } { \mu _ { i } ( k ) = \log _ { 1 0 } \left( M _ { B H , i } \right) = 1 . 3 2 \times \log _ { 1 0 } M _ { \star , i } } \\ { - k \times \log _ { 1 0 } ( 1 + z _ { i } ) - 5 . 8 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 3 x } ^ { 1 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 x } ^ { 2 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ t ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ t ~ u - v ) ~ E _ { c } + v ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( v - \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ) ) } \\ { K _ { 3 x } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - v ^ { 3 } + 3 ~ t ~ u ~ v ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ H ~ \kappa - 2 ~ t ^ { 2 } ~ u ^ { 2 } ~ v + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ H ~ t ^ { 2 } ~ v } \\ & { - } & { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H ~ t ^ { 2 } ~ v + \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ \kappa ) } \\ { K _ { 3 x } ^ { 4 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
\mu ^ { j } = A ^ { j } + B ^ { j } \, \textrm { S o C } ^ { j } + C ^ { j } \, T ^ { j } + D ^ { j } \, \textrm { S o C } ^ { j , 2 } + E ^ { j } \, T ^ { j } \textrm { S o C } ^ { j } + F ^ { j } \, T ^ { j , 2 } \quad j = \{ + , - \}
m _ { p } = \sqrt { \alpha _ { G } } \sim 2 . 7 2 \times 1 0 ^ { - 2 0 } \approx 5 . 9 2 \times 1 0 ^ { - 2 8 } \, \mathrm { k g } \approx 0 . 3 5 4 \, m _ { p \ \mathrm { e x p } } \, .
d _ { \pm } ( x ^ { - } ) = { \frac { - 2 \rho ^ { - } - \tilde { \rho } _ { 0 } \pm 2 [ ( \rho ^ { - } + \rho _ { 0 } ^ { + } ) ( \rho ^ { - } - \rho _ { 0 } ^ { - } ) ] ^ { 1 / 2 } } { \rho _ { 0 } } } .
\hat { H } ( t ) = \hat { H } _ { 0 } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { - \Delta / 2 } & { \Omega ( t ) } \\ { \Omega ( t ) } & { \Delta / 2 } \end{array} \right] .
\mathbf { W } _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } = \mathbf { Q _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } D _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } } \mathbf { Q _ { \mathcal { \Bar { P } \Bar { P } } } } ^ { - 1 }
V _ { - } ( x , a _ { 0 } ) = \frac { ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) ( 3 \omega _ { 0 } + \omega _ { 1 } ) } { 4 { ( \omega _ { 0 } + \omega _ { 1 } ) } ^ { 2 } x ^ { 2 } } - \frac { \omega _ { 1 } } { 2 } + \frac { { ( \omega _ { 0 } + \omega _ { 1 } ) } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 1 6 } ~ .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \grave { \phi } _ { \alpha } + \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \cdot \grave { \overline { { \nabla \phi } } } _ { \alpha } + \partial _ { \mathbf { D } _ { \alpha } } \hat { \psi } _ { \alpha } \grave { \mathbf { D } } _ { \alpha } \right) - \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } } & { } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } \right) + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) } & { } \\ { + \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 + \gamma _ { \alpha } \psi _ { \alpha } } & { ~ \leq 0 . } \end{array}
a _ { c } ( E ) = a _ { c _ { 0 } } + a _ { c _ { 1 } } \ln \left( \frac { W _ { m a x } } { m _ { \mu } } \right) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W _ { m a x } = \frac { E } { 1 + { m _ { \mu } ^ { 2 } } / { ( 2 m _ { e } E ) } } ,
\begin{array} { r l } { f _ { A } } & { = - \hslash ^ { - 1 } \left\langle \gamma ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) , \mathbf { u } _ { A } \right\rangle = - \frac { \hslash ^ { - 1 } } { \sqrt { - g _ { 0 0 } ( x _ { A } ) } } \left\langle \gamma ^ { \prime } ( s _ { 1 } ) , \partial _ { t } \right\rangle , } \\ { f _ { B } } & { = - \hslash ^ { - 1 } \left\langle \gamma ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) , \mathbf { u } _ { B } \right\rangle = - \frac { \hslash ^ { - 1 } } { \sqrt { - g _ { 0 0 } ( x _ { B } ) } } \left\langle \gamma ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) , \partial _ { t } \right\rangle . } \end{array}
\psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { j } , . . . , \mathbf { r } _ { k } , . . . , \mathbf { r _ { N } } ) = + \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { k } , . . . , \mathbf { r } _ { j } , . . . , \mathbf { r } _ { N } )
\begin{array} { r l } { \Vert \mu _ { t + 1 } - \mu _ { t } \Vert } & { = \eta \Vert \Sigma _ { t } g _ { t } \Vert = \eta \Vert D _ { t } ( X _ { t } - \mu _ { t } ) \Vert \leq \eta \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } \textrm { W } _ { \operatorname* { m a x } } \Vert \Sigma _ { t } \Vert ^ { 1 / 2 } \leq \frac { r } { d } \, . } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } ) ^ { 2 } - \operatorname* { d e t } ( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } ) \operatorname* { d e t } ( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { { } = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \psi _ { d } \, , } & { } & { { } z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { { } = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { { } = \frac { R _ { p } } { R _ { r } } [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \partial _ { z } \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { D e t } ( U ) = \frac { 1 } { 3 } U \widetilde { U } \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } U \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } + \frac { 2 } { 3 } U \widetilde { U } ( ( \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } ) ^ { \bigtriangleup } ( ( \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } ) ^ { \bigtriangleup } ( U \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } , \, \, \, \, t = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { t } } & { = E _ { s } + E _ { b } + E _ { d } = \frac { \mu } { 2 } \sum _ { \langle i j \rangle } ( r _ { i j } - r _ { 0 } ) ^ { 2 } + } \\ & { \quad \frac { \kappa } { r _ { 0 } } \sum _ { \langle j i k \rangle } { 2 \sin ^ { 2 } ( \theta _ { j i k } / 2 ) } + \sum _ { \langle m n \rangle } \mathbf { F } \cdot \mathbf { l } _ { m n } } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { N } R _ { j k } ^ { N } ( t ) \frac { d } { d t } c _ { k } ^ { N } ( t ) = - \nu \alpha _ { j } c _ { j } ^ { N } ( t ) - \sum _ { k , l = 0 } ^ { N } \mathcal { N } _ { j k l } ^ { N } ( t ) c _ { k } ^ { N } ( t ) c _ { l } ^ { N } ( t ) - 2 \lambda S _ { j } ^ { N } ( t , c ^ { N } ) ,
H _ { \mathrm { ~ A ~ F ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q } \left[ \Omega _ { q , 3 / 2 } ( \mathbf { r } ) \Sigma _ { q , 3 / 2 } ^ { \dag } + \Omega _ { q , 1 / 2 } ( \mathbf { r } ) \Sigma _ { q , 1 / 2 } ^ { \dag } + h . c . \right]
Q _ { k } = C _ { k } \cos \alpha _ { k } \; \; , \; \; P _ { k } = - \omega _ { k } C _ { k } \sin \alpha _ { k } \; \; , \; \; C _ { k } = \frac { 1 } { \omega _ { k } } \sqrt { P _ { k } ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } }
\left( \frac { F ( 3 ) } { F _ { \pi } } \right) ^ { 2 } \leq \frac { 1 - \tilde { \eta } - \varepsilon _ { F } + \sqrt { \left( 1 - \tilde { \eta } - \varepsilon _ { F } \right) ^ { 2 } - 4 \phi X ( 3 ) } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } | \sum _ { a b } ( D _ { i a } ) ^ { * } D _ { j b } R _ { \xi , a b } | ^ { 2 } = \, } & { \sum _ { i \neq j } | \sum _ { a b } ( D _ { i a } ) ^ { * } D _ { j b } \sum _ { m n } r _ { \xi , m } \delta _ { m n } O _ { a m } ^ { \xi } O _ { b n } ^ { \xi } . | ^ { 2 } } \\ { = \, } & { \sum _ { i \neq j } | \sum _ { a b } ( D _ { i a } ) ^ { * } D _ { j b } \sum _ { m } r _ { \xi , m } O _ { a m } ^ { \xi } O _ { b m } ^ { \xi } . | ^ { 2 } } \\ { = \, } & { \sum _ { i \neq j } \sum _ { m } | ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } r _ { \xi , m } | ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma ^ { \pm } ( u ) = \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { - u } \psi ^ { \pm } ( u ) } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \phi ^ { \pm } ( u ) } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { e ^ { u } \psi ^ { \pm } ( u ) } } \end{array} \right) ,
2 P ^ { + } P ^ { - } | \varphi \rangle = \sqrt { 2 } P ^ { + } ( Q ^ { - } ) ^ { 2 } | \varphi \rangle = \sqrt { 2 } P ^ { + } ( g Q _ { \mathrm { S Y M } } ^ { - } + Q _ { \perp } ^ { - } + i \kappa Q _ { \mathrm { C S } } ^ { - } ) ^ { 2 } | \varphi \rangle = M _ { n } ^ { 2 } | \varphi \rangle
\nu ( x , \tau ) : = \Theta ( x - c _ { 0 } \tau + \alpha _ { d } ) e ^ { - \kappa _ { d } ( x - c _ { d } \tau + x _ { 0 } ) } + \Theta ( x - c _ { 0 } \tau - \alpha _ { d } ) e ^ { \kappa _ { d } ( x - c _ { d } \tau + x _ { 0 } ) } ,
O _ { \mathrm { s p e c } } = F _ { u 1 } ( z ) O _ { 1 } ^ { u } + G _ { u 1 } ( z ) T _ { 1 } ^ { u } + \sum _ { i = 1 , 2 ; q = d , s } \left( F _ { i q } ( z ) O _ { i } ^ { q } + G _ { i q } ( z ) T _ { i } ^ { q } \right) .
w _ { x > a } ( x ) = A _ { 3 } e ^ { - x / \lambda } \cos { \frac { x } { \lambda } } + A _ { 4 } e ^ { - x / \lambda } \sin { \frac { x } { \lambda } } + A _ { 5 } e ^ { x / \lambda } \cos { \frac { x } { \lambda } } + A _ { 6 } e ^ { x / \lambda } \sin { \frac { x } { \lambda } } .
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( - \pi / 2 ) } & { \sin ( - \pi / 2 ) } \\ { - \sin ( - \pi / 2 ) } & { \cos ( - \pi / 2 ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 7 } \\ { 7 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 7 } \\ { 7 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { - 7 } \\ { 7 } \end{array} \right] } .
M _ { \mathrm { s y s t } } ^ { e } = \sum _ { s } \left[ \left( M _ { \mathrm { l i q } } \alpha _ { s } p _ { s } ^ { \beta _ { s } } + \frac { 4 \pi R _ { p } ^ { 2 } } { g } p _ { s } \frac { \mu _ { s } } { \mu _ { \mathrm { a t m } } } \right) \frac { \mu _ { e } \lambda _ { s } ^ { e } } { \mu _ { s } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \lVert \mathbb { P } f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , s , n , \theta } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } \mathbb { P } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ^ { q } \frac { \mathrm { d } t } { t } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim _ { p , s , n , \theta } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathbb { P } \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ^ { q } \frac { \mathrm { d } t } { t } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim _ { p , s , n , \theta } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ^ { q } \frac { \mathrm { d } t } { t } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim _ { p , s , n , \theta } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { u _ { t } = - ( 1 + \Delta ) ^ { 2 } u - f ( u ) , } & { ~ ~ ( x , y ) \in \Omega , ~ 0 < t \le T , } \\ & { u ( 0 , y , t ) = u ( 1 , y , t ) , ~ u ( x , 0 , t ) = u ( x , 1 , t ) , } & { ~ ~ ( x , y ) \in \Omega , ~ 0 < t \le T , } \\ & { u ( x , y , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x , y ) , } & { ~ ~ ( x , y ) \in \overline { { \Omega } } , } \end{array}
{ \frac { \partial ( \tau _ { i j } ) } { \partial ( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } ) } } = i \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 3 } \, { \frac { a _ { 4 5 } a _ { 4 6 } a _ { 5 6 } } { ( \mathrm { d e t } K ) ^ { 3 } P ( a ) } } ,
\begin{array} { r l } { i \dot { u } _ { j } } & { { } = \omega _ { o } u _ { j } + \frac { E a } { 2 } \left( j - \frac { N } { 2 } \right) u _ { j } - t _ { j - 1 , j } u _ { j - 1 } + t _ { j , j + 1 } u _ { j + 1 } } \end{array}