harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \textsc { p } \textsc { q } } v _ { \textsc { q } \textsc { q } } ^ { \textsc { p } \textsc { p } } + \frac { i } { 4 } \sum _ { \substack { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } f _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { ( A ) } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 1 } , 0 } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 2 } , 1 } } \end{array}
\Pi _ { h } ^ { i j } = - \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 2 h ^ { 2 } } } & { { 2 h ^ { 1 } } } \\ { { - 2 h ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { ( ( h ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( h ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 ) - e ^ { 2 h ^ { 0 } } } } \\ { { - 2 h ^ { 1 } } } & { { - ( ( h ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( h ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 ) + e ^ { 2 h ^ { 0 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \langle \overline { { \mathbf { f } } } \rangle } & { = \langle \psi | \overline { { \mathbf { f } } } | \psi \rangle } \\ & { \approx k \langle \alpha _ { y x } ( f _ { \omega } ) + \alpha _ { y x , z } ( f _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } \rangle \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } \cos ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { - , n } ( H _ { h , 0 } ^ { - , n } , E _ { h , 0 } ^ { - , n } ) = } & { \, \, \frac { \ell _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \int _ { S _ { 0 } } ( \mu ^ { - } \, \partial _ { t } H _ { h , 0 } ^ { - , n } + \partial _ { x } E _ { h , 0 } ^ { - , n } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { \, \, ( Z ^ { - } ) ^ { 2 } ( \epsilon ^ { - } \, \partial _ { t } E _ { h , 0 } ^ { - , n } + \partial _ { x } H _ { h , 0 } ^ { - , n } ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \left( \frac { \alpha } { 6 \pi \varepsilon } \right) } \\ { \times \sum _ { n _ { 1 } } \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | \Delta | \phi _ { n _ { a } } \rangle } { E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { B . } \, \mathcal { Z } = } & { \tilde { Z } ^ { 0 } \int \delta \left( \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { e x p \Bigg [ - R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \Bigg ] \prod _ { l } \left( \frac { l } { \sqrt { V _ { l } } } \right) D \left[ l \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 a ^ { 3 } I _ { 2 3 } } { m _ { 0 } R ^ { 5 } } } & { = } & { \sin \theta \sum _ { k } \Big [ K ( k n - \omega ) ( \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) - \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ) \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \\ & { } & { - K ( - k n + \omega ) ( \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) + \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ) \left( e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \lambda = - \frac { 1 } { 2 } \left( \beta P e _ { f } \sin 2 \theta _ { a } + \kappa \right) } \\ & { } & { \quad \quad \pm \bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( \beta P e _ { f } \sin 2 \theta _ { a } + \kappa \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad \quad - \kappa \beta P e _ { f } \sin 2 \theta _ { a } + 2 \Gamma \Delta _ { R } \frac { P e _ { s } } { \tilde { H } } \cos \theta _ { a } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot } \end{array}
+ { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } } ( \overline { { { \psi } } } _ { + } \Gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { + } + \overline { { { \psi } } } _ { - } \Gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { - } ) ^ { 2 }
{ n _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o n ) } } , n _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o f f ) } } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 0 ) ; \phi _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o n ) } } , \phi _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o f f ) } } \sim \mathcal { N } ( 0 , \frac { \pi } { 6 } ) } ; \newline { { f _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o n ) } } , f _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o f f ) } } \sim \mathcal { N } ( 0 , 2 0 ) ; \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o n ) } } , \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o f f ) } } \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o n ) } } , \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ( o f f ) } } \sim \mathcal { N } ( 1 , 1 0 ) } }
\psi _ { n } \sim \bigg [ \bigg ( A _ { 1 } + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ) \log ( n ) + \Biggl ( - \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 } \bar { y } } + A _ { 2 } - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } \log { ( \bar { y } ) } \bigg ) \bigg ] \Gamma \bigg ( \frac { n } { 2 } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { m a g } } } & { { } = D _ { e } \left( \mathbf { L } ^ { 2 } - \mathbf { m } ^ { 2 } \right) + 4 D _ { 0 } \textbf { A } \cdot \left( \textbf { L } \times \textbf { m } \right) + \sum _ { \eta = 1 } ^ { 2 } K _ { 1 } \left( \textbf { m } _ { \eta } \cdot \hat { \textbf { P } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\hat { T } _ { s } = \frac { \hat { p } _ { s } ^ { 2 } } { 2 \left( 1 + Q _ { s } \, \kappa _ { s } ( q ) \right) ^ { 2 } } \approx \frac { \hat { p } _ { q } ^ { 2 } } { 2 } = \hat { T } _ { q } \quad ,
E _ { 0 } = \frac { \sum _ { k w } W _ { k } ^ { w } \cos ( \theta _ { k } ^ { w } ) E _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) } { \sum _ { k w } W _ { k } ^ { w } \cos ( \theta _ { k } ^ { w } ) }
\begin{array} { r l } { \tau _ { 2 1 } g \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } + \tau _ { 2 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } ) } \\ & { = - \widetilde { \mathbf { D } } ( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } ) + \mathbf { D } ( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } } & { = } & { ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) + ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { } & { + ( f _ { y } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , v _ { h } ) + ( f _ { \boldsymbol { z } } ( u _ { h } ^ { k , 1 } ) \nabla ( E _ { k } - e _ { H } ^ { k } ) , v _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ^ { I } F _ { m n } } & { { } = h _ { m n } + \sum _ { j } ( 2 g _ { m n j j } - g _ { m j j n } ) } \\ { ^ { A } F _ { m n } } & { { } = \sum _ { v w } D _ { v w } ( g _ { m n v w } - \frac { 1 } { 2 } g _ { m w v n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha } = } & { ~ \phi _ { \alpha } \mu _ { \alpha } - \hat { \Psi } _ { \alpha } } \\ { \mu _ { \alpha } : = } & { ~ \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { P } _ { n } ( s ) } & { = \widehat { \Pi } _ { n } ( s ) - \widehat { \Pi } _ { n + 1 } ( s ) } \\ & { \sim - \partial _ { n } \widehat { \Pi } _ { n } ( s ) } \\ & { \sim - \partial _ { n } \left( \frac { 1 } { s \cosh \left( n ^ { 1 - a / 2 } s ^ { 1 / 2 } / \sqrt { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 2 - a } } } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial x } ( u ^ { 2 } ) + \frac { \partial } { \partial y } ( u v ) + \frac { \partial p } { \partial x } } & { = } & { 0 , \qquad ( x , y ) \in \Omega _ { 2 } , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } ( u v ) + \frac { \partial } { \partial y } ( v ^ { 2 } ) + \frac { \partial p } { \partial y } } & { = } & { 0 , \qquad ( x , y ) \in \Omega _ { 2 } , } \end{array}
\omega ^ { \alpha } { } _ { \gamma \beta } = \frac { 1 } { 2 } \left[ d \vartheta ^ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { \beta } , \mathbf { e } _ { \gamma } ) + d \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } , \mathbf { e } _ { \alpha } ) - d \vartheta ^ { \gamma } ( \mathbf { e } _ { \alpha } , \mathbf { e } _ { \beta } ) \right] \, .
\begin{array} { r l } { { \mathbf x } _ { n } } & { = { \mathbf x } _ { n - 1 } + { \boldsymbol \Delta } _ { n } } \\ { \mathbf { g } _ { n } } & { = \textsc { G r a d } ( { \mathbf x } _ { n } + ( s _ { n } - 1 ) { \boldsymbol \Delta } _ { n } , { \mathbf z } _ { n } ) } \\ { { \boldsymbol \Delta } _ { n + 1 } } & { = \mathrm { c l i p } _ { D } ( { \boldsymbol \Delta } _ { n } + \eta \mathbf { g } _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf V } _ { i \perp } = ~ 0 \qquad \mathrm { i n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ { { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } \qquad \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ { \boldsymbol { \tau } \times \mathbf { n } \qquad \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( X _ { t } ) } & { = F ( X _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } F _ { - } ^ { \prime } ( X _ { s - } ) d X _ { s } } \\ & { + \sum _ { 0 < s \leq t } \left[ F ( X _ { s } ) - F ( X _ { s - } ) - F _ { - } ^ { \prime } ( X _ { s - } ) \Delta X _ { s } \right] + \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } } L ( t , x ) F ^ { \prime \prime } ( d x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { = 2 c \frac 1 { \kappa \xi \eta ^ { \gamma _ { 2 } } } j ( k _ { 0 } \pm 1 , d ) + 2 c u _ { 3 } ( d ) } \\ & { + 2 \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m \vert } ( w + \frac 4 { \kappa \eta \xi } j ) ( k _ { m } , d ) } \\ { N _ { j } } & { = 4 ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \frac { c ^ { 2 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } j ( k _ { 0 } , d ) . } \end{array}
\frac { ( \frac { 3 } { 4 } m _ { D } ^ { 2 } F _ { 0 } ) ^ { 1 / 3 } } { \Lambda _ { \perp } } = \left( \frac { 2 \pi x _ { 0 } ^ { 2 } } { 6 c ( N _ { c } - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } \cong \left( \frac { 7 . 2 4 } { ( N _ { c } - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \int _ { X } \fint _ { B ( x , r ) } | f _ { n , \varepsilon } ( x ) - f _ { n , \varepsilon } ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \sum _ { j } \int _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } \fint _ { B ( x , r ) } | f _ { n , \varepsilon } ( x ) - f _ { n , \varepsilon } ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \sum _ { j } \sum _ { i \colon B _ { i } ^ { 2 \varepsilon } \cap B _ { j } ^ { 2 \varepsilon } \neq \emptyset } | f _ { n , B _ { i } ^ { \varepsilon } } - f _ { n , B _ { j } ^ { \varepsilon } } | ^ { 2 } \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \int _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } \fint _ { B ( x , r ) } | \varphi _ { i } ^ { \varepsilon } ( x ) - \varphi _ { i } ^ { \varepsilon } ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) . } \end{array}
{ \cal L } = { \cal L } _ { 0 } + { \cal L } _ { I } = \left\{ \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right\} + \left\{ - \frac { \lambda } { 4 ! } \, \Phi ^ { 4 } + { \cal L } _ { \mathrm { c t } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { V _ { k } ^ { 1 } } & { = \left\{ \mathrm { V a r } _ { \omega } ( \overline { T } _ { S _ { k } } ^ { r } - \overline { T } _ { S _ { 2 p _ { n } } } ^ { r } ) / { a _ { k + 1 } ^ { 4 } } \in ( d , D ) \right\} , \quad V _ { k } ^ { 2 } = \left\{ \mathrm { V a r } _ { \omega } ( \overline { T } _ { S _ { k } } ^ { l } - \overline { T } _ { S _ { 2 p _ { n } } } ^ { l } ) / a _ { k + 1 } ^ { 4 } \le \varepsilon \right\} , } \\ { V _ { k } ^ { 3 } } & { = \left\{ \big ( \mathrm { V a r } _ { \omega } \overline { G } _ { k } + ( \mathrm { E } _ { \omega } \overline { G } _ { k } ) ^ { 2 } \big ) / a _ { k + 1 } \le \varepsilon \right\} , \quad V _ { k + 1 } ^ { 4 } = \left\{ \xi _ { k + 1 } ^ { 4 } / a _ { k + 1 } ^ { 4 } \in ( b , B ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z ^ { - 1 } } & { { } = } & { 1 - \partial _ { z } \Sigma ( k _ { F } , 0 ) } \\ { \frac { m } { m ^ { * } } } & { { } = } & { Z \left( 1 + \frac { m } { k _ { F } } \partial _ { k } \Sigma ( k _ { F } , 0 ) \right) } \end{array}
\int d ^ { 4 } q { \frac { 1 } { [ q ^ { 2 } ] ^ { 1 + n \epsilon } ( q - p ) ^ { 2 } } } = { \frac { \Gamma ( 1 - \epsilon ) \Gamma ( ( n + 1 ) \epsilon ) \Gamma ( 1 - ( n + 1 ) \epsilon ) } { \Gamma ( 1 + n \epsilon ) \Gamma ( 2 - ( n + 2 ) \epsilon ) } } { \frac { 1 } { [ p ^ { 2 } ] ^ { ( n + 1 ) \epsilon } } }
\begin{array} { r l r } { T _ { m a x } } & { { } \approx } & { 1 . 4 \times 1 0 ^ { 3 } ( p _ { c o r } L _ { c o r } / 2 ) ^ { 1 / 3 } = 1 . 9 \times 1 0 ^ { 6 } ~ p _ { c o r } ^ { 1 / 3 } \left( \frac { L _ { c o r } } { \mathrm { ~ 5 ~ 0 ~ M ~ m ~ } } \right) ^ { 1 / 3 } ~ ~ ~ ~ \mathrm { K } , } \end{array}
\xi \rightarrow \infty : \ \ \frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \simeq 4 \xi ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 8 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } + { \cal O } ( 1 / \xi ^ { 6 } ) \right) , \ \ \frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \simeq 1 - \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } + \frac { 1 1 } { 8 } \cdot \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } + { \cal O } ( 1 / \xi ^ { 6 } ) ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j + 1 / 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j } + \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j + 1 } \right) + \frac { \alpha _ { v } } { 2 \Delta x } \left( u _ { j + 1 } - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j + 1 } - u _ { j } - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { j } \right) , } \end{array}
\sum _ { l = 0 } ^ { \infty } F ( l + \frac 1 2 ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu F ( \nu ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \nu } { 1 + e ^ { 2 \pi \nu } } \frac { F ( i \nu ) - F ( - i \nu ) } { i } ,
\delta q ^ { i } = { \cal F } \! L ^ { * } \{ q ^ { i } , \, G ^ { * } \} - v ^ { \mu _ { 0 } } ( { \cal F } \! L ^ { * } B _ { \mu _ { 0 } } ^ { \nu _ { 0 } } ) \gamma _ { \nu _ { 0 } } ^ { i } .
\begin{array} { r l } { \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 3 } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { { } = \frac { - i e ^ { 3 } } { m ^ { 3 } \Tilde { \omega } _ { 3 } \Tilde { \omega } _ { 1 } \Tilde { \omega } _ { 2 } } \sum _ { S S ^ { \prime } } \Bigg [ \frac { \alpha _ { 0 S } \beta _ { S S ^ { \prime } } \gamma _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } - \Omega _ { S } ) } + \frac { \beta _ { 0 S } \gamma _ { S S ^ { \prime } } \alpha _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } + \Omega _ { S } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } + \Omega _ { S ^ { \prime } } ) } - \frac { \gamma _ { 0 S } \alpha _ { S S ^ { \prime } } \beta _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 2 } + \Omega _ { S } ) } } \\ { + } & { { } \frac { \alpha _ { 0 S } \gamma _ { S S ^ { \prime } } \beta _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 1 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } - \Omega _ { S } ) } + \frac { \gamma _ { 0 S } \beta _ { S S ^ { \prime } } \alpha _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } + \Omega _ { S } ) ( \Tilde { \omega } _ { 3 } + \Omega _ { S ^ { \prime } } ) } - \frac { \beta _ { 0 S } \alpha _ { S S ^ { \prime } } \gamma _ { S ^ { \prime } 0 } } { ( \Tilde { \omega } _ { 2 } - \Omega _ { S ^ { \prime } } ) ( \Tilde { \omega } _ { 1 } + \Omega _ { S } ) } \Bigg ] } \end{array}
W = \log ( 1 + \vert z _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert z _ { 2 } \vert ^ { 2 } ) ^ { m } ( 1 + \vert z _ { 3 } \vert ^ { 2 } + \vert z _ { 2 } - z _ { 1 } z _ { 3 } \vert ^ { 2 } ) ^ { n }
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { i } \ensuremath { : = } Z _ { i } - \ensuremath { { \mathbb { E } } } [ Z _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ] , \quad \mathrm { a n d } \quad b ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) \ensuremath { : = } \ensuremath { { \mathbb { E } } } [ Z _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ] - \sigma ^ { 2 } ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) . } \end{array}
\int _ { \mathcal { Z } } | \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } ( \nu ; z , \tilde { z } ) | ^ { 2 } d \Upsilon ( \tilde { z } ) \geq \lambda ( \operatorname* { s u p } _ { \hat { \Upsilon } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Z } ) } \int _ { \mathcal { Z } } \mathcal { U } ( \nu ; z , \tilde { z } ) d \hat { \Upsilon } ( \tilde { z } ) - \int _ { \mathcal { Z } } \mathcal { U } ( \nu ; z , \tilde { z } ) d { \Upsilon } ( \tilde { z } ) ) .
\begin{array} { r l } & { \Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } - \Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } = \Big ( \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big ) ^ { 2 } - \Big ( \widetilde { f } _ { b } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big ) ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \Big ( \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) - \widetilde { f } _ { b } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big ) \Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( X \Big ( j ^ { * } \Big ) \Big ) \Big | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb { R } } \phi ( x ) d \mu _ { \Delta x } - \int _ { \mathbb { R } } \phi ( x ) d \mu \right| } & { = \left| \int _ { \mathbb { R } } \phi ^ { \prime } ( x ) F _ { \Delta x } d x - \int _ { \mathbb { R } } \phi ^ { \prime } ( x ) F d x \right| } \\ & { \leq \| \phi ^ { \prime } \| _ { \infty } \| F _ { \Delta x } - F \| _ { 1 } } \\ & { \leq 2 F _ { \infty } \| \phi ^ { \prime } \| _ { \infty } \Delta x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 2 , 2 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | d _ { u } = 2 , d _ { v } = 2 \} , } \\ { E _ { 2 , 3 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | d _ { u } = 2 , d _ { v } = 3 \} , } \\ { E _ { 3 , 3 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | d _ { u } = 2 , d _ { v } = 3 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ( t ) } & { = } & { e ^ { - \gamma B ( t ) } x ( t _ { 0 } ) + \gamma e ^ { - \gamma B ( t ) } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } y ( u ) ) d u } \\ & { = } & { e ^ { - \gamma B ( t ) } y ( t _ { 0 } ) + \gamma e ^ { - \gamma B ( t ) } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } b ( u ) e ^ { \gamma B ( u ) } y ( u ) d u , } \end{array}
- e \Gamma _ { \alpha \beta } ( p + k ) _ { \beta } - { \frac { i e \lambda } { 6 } } \gamma _ { 5 , \alpha \beta } q _ { \beta } + { \frac { e \kappa } { 6 M ^ { 2 } } } \gamma _ { 6 , \alpha \beta , \mu \nu } q _ { \beta } q _ { \mu } ( p + k ) _ { \nu } \quad ,
\begin{array} { r l } & { \log \Big [ \frac { p _ { \theta _ { * } + \delta _ { n } h } } { p _ { \theta _ { * } } } ( X ^ { n } ) \frac { \pi ( \theta _ { * } + \delta _ { n } h ) } { \pi ( \theta _ { * } ) } \Big ] + \omega _ { s t } ^ { - 1 } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } / 2 } \\ & { \quad - \log 2 F [ ( \delta _ { n } / 1 2 \eta ) \{ \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } + \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } \} ] + \delta = r _ { n , 4 } ( h ) , } \end{array}
x _ { 1 } \cdot \left( \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } } ) } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { T , p } + x _ { 2 } \cdot \left( \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } } ) } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { T , p } = 0
\widetilde { \varphi } _ { \alpha } ( E _ { \nu } ) = \sum _ { i = \mathrm { s t a b l e } } \sum _ { \beta } \varphi _ { \beta } ^ { 0 } ( E _ { \nu } ) | U _ { \beta i } | ^ { 2 } | U _ { \alpha i } | ^ { 2 } \; \; ,
\begin{array} { r l r } { R _ { k + 1 } ^ { 2 } } & { \leq } & { \bigg ( \frac { k ^ { * } } { k + 1 } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 2 } { k ^ { * } } \bigg ) ^ { k ^ { * } } R _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 4 \sigma _ { * } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( k + 1 ) ^ { 2 } } ( 8 k - 4 k ^ { * } ) } \\ & { \leq } & { \bigg ( \frac { k ^ { * } } { k + 1 } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 2 } { k ^ { * } } \bigg ) ^ { k ^ { * } } R _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 9 2 k \sigma _ { * } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( k + 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \bigg ( \frac { k ^ { * } } { k + 1 } \bigg ) ^ { 2 } \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } + \frac { 1 9 2 \sigma _ { * } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( k + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { y \mathrm { ~ - ~ b ~ r ~ e ~ a ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } ( x , y , t ) } & { { } = } & { \frac { - 2 k _ { 1 I } B _ { 2 } \left[ 4 k _ { 1 I } \cos ( E _ { 2 } ) + A \sin ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - \frac { k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( E _ { 2 } ) } { \left[ B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } } , \quad } \\ { Q _ { y \mathrm { ~ - ~ b ~ r ~ e ~ a ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } ( x , y , t ) } & { { } = } & { \frac { - 2 k _ { 1 I } B _ { 2 } \left[ 4 k _ { 1 I } \cos ( E _ { 2 } ) - A \sin ( E _ { 2 } ) \right] } { B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) } - \frac { k _ { 1 I } ^ { 2 } B _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( E _ { 2 } ) } { \left[ B _ { 1 } \cosh ( E _ { 1 } ) + B _ { 2 } \cos ( E _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } } . \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } / \mathcal { D } _ { s } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } / \mathcal { D } _ { s } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { \le } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 K - 2 } { k } ( t _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) } - 1 ) } & { = \int _ { 1 } ^ { t _ { 0 } } u ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } \mathrm { d } u < 1 . 3 1 8 \int _ { 1 } ^ { t _ { 0 } } t _ { 0 } ^ { 1 / ( 2 K - 2 ) } u ^ { - 1 } \mathrm { d } u } \\ & { = 1 . 3 1 8 t _ { 0 } ^ { 1 / ( 2 K - 2 ) } \log t _ { 0 } . } \end{array}