harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r c l } { d _ { t } { \tilde { C } } ( t , u ) } & { = } & { \left( - \tilde { \rho _ { t } } ( u ) + 2 h ( \tilde { D _ { t } } ) ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \tilde { \nu } _ { t } ( u ) + ( \alpha _ { t } ( u ) d t ) \tilde { T } _ { t } ( u ) } \\ { { \tilde { C } } ( 0 , u ) } & { = } & { C _ { 0 } ( u ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \forall \mathbf v \mathrm { ~ s ~ o ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \mathbf v \cdot \mathbf n _ { w } < 0 , } & { { } } & { } \\ { f ( \mathbf x _ { w } , \mathbf v , t ) } & { { } = } & { f ( \mathbf x _ { w } , \mathbf v - 2 ( \mathbf v \cdot \mathbf n _ { w } ) \mathbf n _ { w } , t ) . } \end{array}
\left. { \begin{array} { l c l c l } { { A _ { _ { - q , L } } ^ { \prime } \; | \Phi _ { q \; ; i n } ^ { a } > } } & { { = } } & { { A _ { _ { - q , L } } ^ { \prime \dagger } \; | \Phi _ { q \; ; i n } ^ { a } > } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { A _ { _ { q , L } } \; \; \; | \Phi _ { q \; ; o u t } ^ { a } > } } & { { = } } & { { A _ { _ { q , L } } ^ { \dagger } \; \; \; | \Phi _ { q \; ; o u t } ^ { a } > } } & { { = } } & { { 0 } } \end{array} } \; \right\} \; \; q < m
\begin{array} { r } { r = \underbrace { p { { \bf { f } } ^ { \mathrm { H } } } { \bf { \Theta g } } } _ { { \mathrm { R e f l e c t e d ~ l i n k } } } w s + \! \! \! \! \underbrace { p { { \bf { f } } ^ { \mathrm { H } } } { \bf { \Theta v } } } _ { { \mathrm { N o i s e ~ i n t r o d u c e d ~ b y ~ a c t i v e ~ R I S } } } + \! \! \underbrace z _ { { \mathrm { N o i s e ~ i n t r o d u c e d ~ a t ~ u s e r } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { c m } } } & { = t ( y _ { m } ) + x _ { m } t _ { 1 } ( y _ { m } ) + x _ { m } ^ { 2 } t _ { 2 } ( y _ { m } ) + x _ { m } ^ { 3 } t _ { 3 } ( y _ { m } ) } \\ & { = \left( 1 + \frac { y _ { m } ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 1 } { 9 } y _ { m } ^ { 2 } \ln y _ { m } \right) + } \\ & { x _ { m } \left( \frac { 2 5 } { 1 3 } - \frac { 2 3 7 } { 1 1 0 0 } y _ { m } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 8 0 } y _ { m } ^ { 4 } - \frac { 7 } { 1 2 0 0 } y _ { m } ^ { 2 } \ln y _ { m } \right) + } \\ & { x _ { m } ^ { 2 } \left( \frac { 7 0 } { 3 3 } + \frac { 5 8 9 } { 3 3 0 0 } y _ { m } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 8 } y _ { m } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 0 0 } y _ { m } ^ { 2 } \ln y _ { m } \right) + } \\ & { x _ { m } ^ { 3 } \left( - \frac { 1 2 3 } { 1 0 } + \frac { 2 9 2 9 } { 9 0 0 } y _ { m } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 9 } y _ { m } ^ { 4 } - \frac { 1 } { 9 0 } y _ { m } ^ { 2 } \ln y _ { m } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { p } } } & { { } = \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \Big [ - \boldsymbol { a } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) + \eta \, G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } \right) - \hat { \mathcal { A } } \, \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) \Big ] + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { i n t } } ( t ) = - \frac { 1 } { c } \int d ^ { 3 } { \bf r } \; \hat { { \bf j } } ( { \bf r } ) \cdot { \bf A } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
S _ { 3 1 } ( \omega _ { 0 } ) = \frac { P _ { d r o p } } { P _ { i n } } = \left( \frac { Q } { Q _ { w } } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { Q _ { i } } { Q _ { w } + Q _ { i } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { { \bf k } } g _ { p } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } , p } } & { = } & { W _ { j , p } \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \sum _ { { \bf k } } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } \hat { a } _ { { \bf k } , p } } \\ & { = } & { W _ { j , p } \hat { a } _ { j , p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf r } _ { j } , p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p a r e n t 1 } & { { } = [ m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } , . . . , m _ { N } ] } \\ { p a r e n t 2 } & { { } = [ d _ { 1 } , d _ { 2 } , d _ { 3 } , . . . , d _ { N } ] } \end{array}
\mathrm { r a n k } \, \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) = \mathrm { r a n k } \, \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } )
\operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { - i N } { 2 } G _ { l m , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { l ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } } \rightarrow g _ { l m , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { l ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } }
X ( w ) ^ { 2 } { \bf \tilde { h } } ^ { \dagger } { \bf T _ { v } } ^ { T } { \bf G } _ { 2 0 } ^ { \dagger } ( w ) { \bf S } _ { q q } ^ { - 1 } { \bf G } _ { 2 0 } ( w ) { \bf T _ { v } } { \bf \tilde { h } } = 1 .
\begin{array} { r l } & { \underset { \theta } { \mathrm { a r g } \, \mathrm { m i n } } \: \mathbb { E } _ { \tilde { \mathbf { x } } \sim q _ { \theta } } \left[ | | s _ { \theta } ( \mathbf { x } , t _ { i } ) - \nabla _ { \tilde { \mathbf { x } } } \log q _ { \sigma } ( \tilde { \mathbf { x } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { = \quad } & { \underset { \theta } { \mathrm { a r g } \, \mathrm { m i n } } \: \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p _ { t _ { i } } , \tilde { \mathbf { x } } \sim p _ { \sigma } ( \cdot | \, \mathbf { x } ) } \left[ | | s _ { \theta } ( \mathbf { x } , t _ { i } ) - \nabla _ { \tilde { \mathbf { x } } } \log p _ { \sigma } ( \tilde { \mathbf { x } } | \, \mathbf { x } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\langle \phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \phi _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \phi _ { 4 } ( x _ { 4 } ) \rangle = f \left( \frac { x _ { 1 2 } x _ { 3 4 } } { x _ { 1 3 } x _ { 2 4 } } , \frac { x _ { 1 2 } x _ { 3 4 } } { x _ { 2 3 } x _ { 1 4 } } \right) \prod _ { i < j } ^ { 4 } x _ { i j } ^ { \Delta / 3 - \Delta _ { i } - \Delta _ { j } } ,
\underset { { \bf { a } } _ { 0 } } { \operatorname* { m i n } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { d } ^ { 2 } \left( { \bf { x } } _ { i } , L _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } { \bf { x } } _ { i } .
F _ { s m } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \iint _ { \mathcal { K } \times \mathcal { K } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , k _ { 1 } , k _ { 2 } , t ) \, \mathrm { d } k _ { 1 } \mathrm { d } k _ { 2 } ,
G _ { \kappa } ( x , { \bf q } _ { \perp } , q ^ { 2 } ) \; \equiv \; \frac { x P ^ { + } } { 1 + R _ { \kappa } ( q ^ { 2 } ) / q ^ { 2 } } \, \int d r ^ { - } d ^ { 2 } r _ { \perp } \; e ^ { i ( q ^ { + } r ^ { - } - \vec { q } _ { \perp } \cdot \vec { r } _ { \perp } ) } \; \; \; \langle \, P \, | \, { \cal A } ^ { i } ( 0 , r ^ { - } , \vec { r } _ { \perp } ) \; { \cal A } _ { i } ( 0 , 0 , \vec { 0 } _ { \perp } ) \, | \, P \, \rangle \; ,
\begin{array} { r l } & { \| v _ { 1 } - R _ { h } v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } \operatorname* { i n f } _ { \check { \chi } _ { h } \in \mathring S _ { h } ( \varOmega ) } \| v _ { 1 } - \check { \chi } _ { h } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } h \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 2 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } h \| f \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } , } \\ & { \| v _ { 2 } - R _ { h } v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } \leq C _ { q } h \| f \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { v } ^ { * } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { v } _ { i } + \textbf { v } _ { j } ) - ( U ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } ( U _ { L } + U _ { R } ) ) \cdot \textbf { e } _ { i j } } \\ { U ^ { * } } & { = \frac { ( \rho _ { L } c _ { L } U _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } U _ { R } + P _ { L } - P _ { R } ) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } } \\ { P ^ { * } } & { = \frac { \left( \rho _ { L } c _ { L } P _ { R } + \rho _ { R } c _ { R } P _ { L } + \rho _ { L } c _ { L } \rho _ { R } c _ { R } \left( U _ { L } - U _ { R } \right) \beta \right) } { \rho _ { L } c _ { L } + \rho _ { R } c _ { R } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \nabla B } } & { = \int _ { - L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } ^ { L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } \int _ { 0 } ^ { \Delta R } - \frac { 2 ( p - p _ { \mathrm { b g } } ) } { B R _ { \mathrm { m } } } \hat { Y } \cdot \hat { y } d R d z = \int _ { - L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } ^ { L _ { \mathrm { c l d } } / 2 } - \frac { 2 ( p - p _ { \mathrm { b g } } ) \Delta R } { B R _ { \mathrm { m } } } \cos { \left( \frac { z } { q R _ { \mathrm { m } } } \right) } d z } \\ & { = - \frac { 4 ( p - p _ { \mathrm { b g } } ) \Delta R q } { B } \sin { \left( \frac { L _ { \mathrm { c l d } } } { 2 q R _ { \mathrm { m } } } \right) } = - \frac { 4 ( \bar { n } T - L _ { \mathrm { c l d } } n _ { \mathrm { b g } } T _ { \mathrm { b g } } ) \Delta R q } { B L _ { \mathrm { c l d } } } \sin { \left( \frac { L _ { \mathrm { c l d } } } { 2 q R _ { \mathrm { m } } } \right) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \hat { e } } _ { 2 1 } = \hat { e } _ { 2 2 } + { 4 \omega _ { o } } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 2 1 } \right) } \\ { \dot { \hat { e } } _ { 2 2 } = \hat { e } _ { 2 3 } + 6 { \omega _ { o } } ^ { 2 } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 2 1 } \right) + b u } \\ { \dot { \hat { e } } _ { 2 3 } = \hat { e } _ { 2 4 } + 6 { \omega _ { o } } ^ { 3 } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 2 1 } \right) } \\ { \dot { \hat { e } } _ { 2 4 } = { \omega _ { o } } ^ { 4 } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 2 1 } \right) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { m a x } } ^ { 3 \omega } \approx } & { { } \left( \frac { 7 } { 4 5 } \right) ^ { 2 } \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { W ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } \omega ^ { 5 } w _ { 0 } ^ { 8 } } \frac { 2 ^ { 2 4 } } { 9 ^ { 3 } \sqrt { 3 3 } } \mathrm { e } ^ { - 3 } \left[ 1 + \left( \frac { 2 ^ { 1 1 } \sqrt { 3 } } { 9 ^ { 4 } } - 1 \right) \Theta _ { p q } ^ { 2 } \right] } \\ { \approx } & { { } 4 . 8 3 \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { W ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } \omega ^ { 5 } w _ { 0 } ^ { 8 } } \left[ 1 - 0 . 4 6 \Theta _ { p q } ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
o _ { i , k } = \lvert \mathcal { F } _ { 2 d } ( \frac { \mathbf { t } _ { i } ^ { * } } { \lvert \mathbf { t } _ { i } ^ { * } \rvert } \odot \frac { \mathbf { t } _ { k } } { \lvert \mathbf { t } _ { k } \rvert } ) \rvert ^ { 2 } ,
c _ { g , i j } ( f ) = ( \sqrt { ( x _ { i } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { i } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } - \sqrt { ( x _ { j } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { j } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } } ) / ( t _ { i } - t _ { j } )
\sum _ { \mathrm { c y c } } \, \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + 2 \, \sum _ { \mathrm { c y c } } \, \frac { 1 } { a ^ { 2 } b } \geq 9 \, \sqrt [ 9 ] { \left( \prod _ { \mathrm { c y c } } \, \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \right) \, \left( \prod _ { \mathrm { c y c } } \, \frac { 1 } { a ^ { 2 } b } \right) ^ { 2 } } = \frac { 9 } { ( a b c ) ^ { \frac { 8 } { 9 } } } \, .
\begin{array} { r l } { B _ { 6 1 } } & { \leq \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 4 } } \frac { \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \Omega _ { i j _ { 1 } } } { M _ { k } ^ { 2 } } = \sum _ { k } \frac { 1 } { M _ { k } } \mathbf { 1 } ^ { \prime } \Sigma _ { k } ^ { \circ 2 } \mu \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { M _ { k } } \| \mu \| _ { 3 } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { O A = V } & { = } & { A L \mathrm { \phantom { ~ \left( L - l \right) ~ } } = \mathrm { v o l u m e ~ o f ~ a i r ~ d e l i v e r e d ~ b y ~ \cal { H } ~ } } \\ { D A = v _ { 1 } } & { = } & { A l \mathrm { \phantom { ~ \left( L - l \right) ~ } } \; = \mathrm { v o l u m e ~ o f ~ a i r ~ s e n t ~ t o ~ { \cal { L } } ~ t o ~ l o w e r ~ t h e ~ p r e s s u r e } } \\ { O D = v _ { 2 } } & { = } & { A \left( L - l \right) \; \; = \mathrm { v o l u m e ~ o f ~ a i r ~ s e n t ~ t o ~ { \cal { L } } ~ t o ~ c l o s e ~ t h e ~ c y c l e . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( \psi ) } & { : = p _ { t } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - \dot { \gamma } _ { t } + ( i \hbar / 2 ) \operatorname * { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) } \\ & { ~ ~ ~ - p _ { t } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } / 2 , } \\ { C _ { 1 } ( \psi ) } & { : = A _ { t } \cdot \dot { q } _ { t } - \dot { p } _ { t } - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdotp _ { t } , } \\ { C _ { 2 } ( \psi ) } & { : = - \dot { A } _ { t } - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } . } \end{array}
\frac { \partial \omega _ { y } } { \partial t } = 2 \Omega \frac { \partial u _ { y } } { \partial z } + \frac { B _ { 0 } } { \mu _ { 0 } \rho } \frac { \partial j _ { y } } { \partial x } - \frac { g _ { z } } { c _ { p } } \frac { \partial S } { \partial x } + \frac { \mu } { \rho } \frac { \partial ^ { 2 } \omega _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial z } \frac { \mu } { \rho } \frac { \partial \omega _ { y } } { \partial z } ,
\Gamma _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) = - g _ { 3 } ^ { 2 } \frac { 3 } { 4 } ( 3 + \xi ) \left( \frac { 2 } { n - 4 } - \ln \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + C o n s t a n t \right) \, ,
\left( \begin{array} { l l } { \mathcal { A } ^ { * } } & { \mathcal { I } } \\ { 0 } & { \mathcal { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbb { R } ^ { m } } \\ { \mathbb { S } ^ { n } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { \{ 0 \} } \\ { \mathrm { l i n } ( \mathcal { T } _ { \mathbb { S } _ { + } ^ { n } } ( \bar { Z } ) ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbb { S } ^ { n } } \\ { \mathbb { S } ^ { n } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { e n t \rightarrow f } ( \eta , \beta ) = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { \ell , m _ { \ell } } \sum _ { \ell ^ { \prime } , m _ { \ell } ^ { \prime } } \Big | } & { \cos \eta \ T _ { m _ { 1 A } m _ { 2 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } } \\ { + } & { \sin \eta \ T _ { m _ { 2 A } m _ { 1 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } \Big | ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \Delta T _ { r h } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } { \delta _ { r h } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } = H ^ { * } ( 1 - D _ { L } ^ { v } ) + \frac { \Delta T _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } { \delta _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { 3 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } & { \ne \frac { 1 } { 6 } , } \\ { c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 1 } J \varphi _ { 2 } ( - c _ { 1 } h L ) + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 2 } J \varphi _ { 2 } ( - c _ { 2 } h L ) + c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 3 3 } J \varphi _ { 2 } ( - c _ { 3 } h L ) } \\ { - c _ { 1 } a _ { 3 2 } J a _ { 1 1 } ( - h L ) - c _ { 1 } a _ { 3 3 } J a _ { 2 1 } ( - h L ) - c _ { 2 } a _ { 3 3 } J a _ { 2 2 } ( - h L ) } & { \ne 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi ( z ) \geqslant \sqrt { \frac { c } { \sqrt { \kappa + \eta } N } } + \frac { 1 } { N \eta } \geqslant \left\{ \begin{array} { r l } { C N ^ { - 1 / 2 } \eta ^ { - 1 / 4 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \kappa \leqslant \eta } \\ { C N ^ { - 1 / 2 } \kappa ^ { - 1 / 4 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \kappa \geqslant \eta } \end{array} \right\} \geqslant C \tau ^ { 1 / 4 } N ^ { - 1 / 2 } , } \\ & { \Psi ( z ) \leqslant \sqrt { \frac { c ^ { - 1 } } { \sqrt { \kappa + \eta } N } } + \frac { 1 } { N \eta } \leqslant C \sqrt { \frac { 1 } { N ^ { - 1 / 2 + \tau / 2 0 } N } } + \frac { 1 } { N N ^ { - 1 + \tau / 1 0 } } \leqslant C N ^ { - 1 / 2 - \tau / 2 0 } , } \end{array}
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac 1 2 v _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad \hat { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac 1 2 v _ { z } } \end{array} \right] , \quad D _ { e } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { u _ { z } ^ { 2 } + v _ { z } ^ { 2 } } .
\delta F = 4 n M \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \sum _ { t } \int d ^ { 3 } x \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } G _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) \delta \textbf { u } ( x ^ { \prime } ) \left< \textbf { v } ^ { * } ( x ) \right> \right] > 0
\langle \chi _ { k ^ { \prime } } | P _ { A \alpha } | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } = { \frac { \langle \chi _ { k ^ { \prime } } | [ P _ { A \alpha } , H _ { \mathrm { e } } ] | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } } { E _ { k } ( \mathbf { R } ) - E _ { k ^ { \prime } } ( \mathbf { R } ) } } .
T _ { q q } ^ { A ( I ) } ( x ) = \int \frac { d y ^ { - } } { 2 \pi } d y _ { 1 } ^ { - } d y _ { 2 } ^ { - } e ^ { i x p ^ { + } y ^ { - } } \langle A | \bar { \psi } _ { q } ( 0 ) \frac { \gamma ^ { + } } { 2 } \psi _ { q } ( y ^ { - } ) \bar { \psi } _ { q } ( y _ { 1 } ^ { - } ) \frac { \gamma ^ { + } } { 2 } \psi _ { q } ( y _ { 2 } ^ { - } ) | A \rangle \theta ( - y _ { 2 } ^ { - } ) \theta ( y ^ { -- } y _ { 1 } ^ { - } )
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { f } } & { { } = } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \epsilon _ { 0 } \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } \cdot \delta \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } + \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ) \cdot ( \nabla \times \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \mathbb E \left[ \left. \lVert Q _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \le \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \sum _ { i \in [ K ] } \left( Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + M ^ { 2 } m ^ { 2 } \right) } \\ & { = m \lVert Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } + K M ^ { 2 } m ^ { 3 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le m \cdot K \cdot ( 2 M m ) ^ { 2 } + K M ^ { 2 } m ^ { 3 } } \\ & { \le 5 K M ^ { 2 } m ^ { 3 } , } \end{array}
X _ { 1 } = { \frac { x _ { 1 4 } } { x _ { 1 4 } ^ { 2 } } } - { \frac { x _ { 2 4 } } { x _ { 2 4 } ^ { 2 } } } \; , \quad X _ { 2 } = { \frac { x _ { 1 4 } } { x _ { 1 4 } ^ { 2 } } } - { \frac { x _ { 3 4 } } { x _ { 3 4 } ^ { 2 } } } \; , \quad X _ { 3 } = { \frac { x _ { 3 4 } } { x _ { 3 4 } ^ { 2 } } } - { \frac { x _ { 2 4 } } { x _ { 2 4 } ^ { 2 } } }
\frac { d W } { d w } = \frac { d W ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } } { d z } \cdot \frac { d z } { d w } \qquad \Rightarrow \qquad \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } + i \Psi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = \frac { \Phi _ { \alpha } + i \Psi _ { \alpha } } { x _ { \alpha } + i y _ { \alpha } } .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { E W M } } ( \varphi , \varphi _ { \mathrm { r e f } } ) } & { \sim \sin ^ { 4 } \left( \frac { A _ { C } } { 2 } \right) \cos \left( 2 \varphi + \varphi _ { \mathrm { r e f } } \right) } \\ { E _ { \mathrm { S W M } } ( \varphi , \varphi _ { \mathrm { r e f } } ) } & { \sim \sin ^ { 2 } \left( A _ { C } \right) \cos \left( \varphi + \varphi _ { \mathrm { r e f } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { u p } } } & { ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = \mathcal { J } _ { \mathrm { l o } } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { = { f } _ { - , \omega _ { 1 } } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 2 } } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 3 } } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } { f } _ { - , \omega _ { 4 } } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } \int _ { 0 } ^ { L _ { \mathrm { M Z I } } } i ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } e ^ { i \Delta k z } d z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } } { \mathrm { d } x } } & { = \dot { m } _ { t } , } \\ { c _ { p , g } \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } T _ { g } } { \mathrm { d } x } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } h _ { i } + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \, \left( \lambda _ { g } \frac { \mathrm { d } T _ { g } } { \mathrm { d } x } \right) + \dot { h } _ { t } - \varrho _ { g } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \, c _ { p , i } Y _ { i } V _ { i } \, \frac { \mathrm { d } T _ { g } } { \mathrm { d } x } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \, \dot { m } _ { g } Y _ { i } } { \mathrm { d } x } } & { = \omega _ { i } - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \, \left( \varrho _ { g } Y _ { i } V _ { i } \right) + \dot { Y } _ { i . t } , \; i = 1 , . . . , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathbf { u } , D _ { x } ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { M _ { x } } = u _ { P + 1 } \left( D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) _ { P + 1 } - u _ { 1 } \left( D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) _ { 1 } - \left\langle D _ { x } \mathbf { u } , D _ { x } \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { M _ { x } } , } \\ & { \left\langle \mathbf { u } , D _ { x } ^ { 3 } \mathbf { u } \right\rangle _ { M _ { x } } = u _ { P + 1 } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } \right) _ { P + 1 } - u _ { 1 } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } \right) _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { x } \mathbf { u } \right) _ { P + 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { x } \mathbf { u } \right) _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { 1 } \frac { \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) \right) } { T ^ { \frac n 2 } } \ge a \ge \sqrt { Q } \cdot \sqrt { Q } \frac { \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) \right) } { T ^ { \frac n 2 } } \exp \left( - \frac { d ^ { 2 } } { Q T } \right) . } \end{array}
\mathrm { I _ { b s c } } \propto \sqrt { \mathrm { P _ { I F O } P _ { b s c , i n } } } \Re \left[ \cosh r e ^ { i \phi } - \sinh r e ^ { - i \phi } ( 1 + \gamma e ^ { i \Omega t } - \gamma e ^ { - i \Omega t } ) \right] .
D _ { l } \beta _ { s t } \Big | _ { \rho = 1 ^ { - } } = D _ { h } \beta _ { s t } \Big | _ { \rho = 1 ^ { + } } \ , \ D _ { l } \partial _ { \rho } \beta _ { s t } \Big | _ { \rho = 1 ^ { - } } = D _ { h } \partial _ { \rho } \beta _ { s t } \Big | _ { \rho = 1 ^ { + } } \ .
\begin{array} { r l } { H \psi _ { j } ^ { n } } & { = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { j } ^ { n } } { \partial x ^ { 2 } } \right) + V _ { j } \psi _ { j } ^ { n } } \\ & { = \displaystyle - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \psi _ { j + \ell } ^ { n } + V _ { j } \psi _ { j } ^ { n } . } \end{array}
\int _ { u } ^ { \infty } ( x ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) ^ { \nu - 1 } e ^ { - \mu x } \, d x = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } ( \frac { 2 u } { \mu } ) ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma ( \nu ) K _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } ( u \mu ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \sigma } _ { n 1 } ( N = \pm 1 ) } { d \Omega } } & { { } = } & { \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \frac { I } { 2 q ^ { 4 } \omega ^ { 2 } } \left\{ \frac { 2 } { 3 } ( { \cal J } _ { n 1 2 } + { \cal J } _ { n 1 0 } ) ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = - \sum _ { i } \log \psi - \sum _ { i } \log \xi - \sum _ { i } \log \psi ^ { * } } \\ { U } & { { } = - \sum _ { i } \left\langle \log \psi \right\rangle - \sum _ { i } \left\langle \log \xi \right\rangle - \sum _ { i } \left\langle \log \psi ^ { * } \right\rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \upbeta ^ { * , \mathrm { m } } } } & { = \operatorname* { i n f } _ { 0 < \psi \in C ( { \mathcal { S } } ) } \, \operatorname* { s u p } _ { \mu \in { \mathcal { P } } ( { \mathcal { S } } ) } \frac { \int { \mathcal { T } } \psi \mathrm { d } \mu } { \int \psi \mathrm { d } \mu } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { 0 < \psi \in C ( { \mathcal { S } } ) } \, \operatorname* { i n f } _ { \mu \in { \mathcal { P } } ( { \mathcal { S } } ) } \frac { \int { \mathcal { T } } \psi \mathrm { d } \mu } { \int \psi \mathrm { d } \mu } . } \end{array}