harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { S _ { n } } & { { } = } & { 1 . 7 \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { \ln [ \varepsilon + \exp ( 1 ) ] } { 1 + 6 . 8 \varepsilon + 3 . 4 \varepsilon ^ { 3 / 2 } } , \phantom { 1 . 7 } 0 . 0 1 \leqslant \varepsilon \leqslant 1 0 ; } \\ { S _ { n } } & { { } = } & { 0 . 5 \ln ( 0 . 4 7 \varepsilon ) / \varepsilon , \phantom { \varepsilon ^ { 1 / 2 } 0 . 5 \ln ( 0 . 4 7 \varepsilon ) / \varepsilon } \varepsilon > 1 0 . } \end{array}
T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } + T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - 1 - e ^ { j \varphi }
\nabla \bigl ( \, U ( t ) \, \tilde { \alpha } \, U ( t ) ^ { * } \bigr ) \; = \; \bigl ( U ( t ) \, \otimes \, U ( t ) \bigr ) \; \nabla \tilde { \alpha } \; \bigl ( U ( t ) ^ { * } \, \otimes \, U ( t ) ^ { * } \bigr ) ,
\left[ \delta ( \epsilon _ { 1 } ) , \delta ( \epsilon _ { 2 } ) \right] = \bar { \epsilon } _ { 2 } ^ { i } \gamma ^ { \mu } \epsilon _ { 1 i } \partial _ { \mu } + \bar { \epsilon } _ { 2 i } \gamma ^ { \mu } \epsilon _ { 1 } ^ { i } \partial _ { \mu } \ ,
\rho = { \frac { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \right| ^ { 3 } } { \sqrt { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \right| ^ { 2 } \; \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } \right| ^ { 2 } - \left( { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } \cdot { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } } } } \, .
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! > \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\mathsf { r } _ { F } ^ { i } ( \theta ) = \frac { P [ { \boldsymbol { x } } ^ { i } ( t ) \ \mathrm { f r o m } \ \theta ] } { P [ { \boldsymbol { x } } ^ { i } ( t ) \ \mathrm { f r o m } \ \theta ^ { i } ] } = e ^ { - \beta ( S [ { \boldsymbol { x } } ^ { i } ( t ) ; \theta ] - S [ { \boldsymbol { x } } ^ { i } ( t ) ; \theta ^ { i } ] ) } ,
A _ { L } ^ { W ^ { + } } = \frac { \Delta u ( x _ { 1 } ) \bar { d } ( x _ { 2 } ) - \Delta \bar { d } ( x _ { 1 } ) u ( x _ { 2 } ) } { u ( x _ { 1 } ) \bar { d } ( x _ { 2 } ) + \bar { d } ( x _ { 1 } ) u ( x _ { 2 } ) } , ~ ~ A _ { L } ^ { W ^ { - } } = \frac { \Delta d ( x _ { 1 } ) \bar { u } ( x _ { 2 } ) - \Delta \bar { u } ( x _ { 1 } ) d ( x _ { 2 } ) } { d ( x _ { 1 } ) \bar { u } ( x _ { 2 } ) + \bar { u } ( x _ { 1 } ) d ( x _ { 2 } ) } ,
{ \begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { S } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } f ^ { \prime } ( \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim } & { \| \partial _ { t } ^ { \ell } \phi \| _ { s } ^ { 2 } + \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 6 } } \\ { \lesssim } & { \| \Phi _ { \ell } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 2 } + E _ { \ell } ( t ) + \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } \big ( \| \Phi _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 6 } + E _ { j } ^ { 3 } ( t ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat { Q _ { k } ^ { 0 } ( f ) } ( \xi ) } & { = \phi _ { k } ( \xi ) \widehat { f } ( \xi ) , } & { b _ { 0 } ( \xi ) } & { = | \xi | ^ { m _ { 0 } } \chi _ { 0 } ( \xi ) , } \\ { \widehat { Q _ { k } ^ { u _ { 1 } } ( f ) } ( \xi ) } & { = | 2 ^ { - k } \xi | ^ { m - m _ { 0 } - m _ { 1 } } \psi _ { k } ( \xi ) e ^ { i 2 ^ { - k } \xi \cdot u _ { 1 } } \widehat { f } ( \xi ) , } & { b _ { 1 } ( \xi ) } & { = | \xi | ^ { m _ { 1 } } \chi _ { 0 } ( \xi ) , } \\ { \widehat { P _ { k } ^ { u _ { j } } ( f ) } ( \xi ) } & { = \theta _ { k } ( \xi ) e ^ { i 2 ^ { - k } \xi \cdot u _ { j } } \widehat { f } ( \xi ) , } & { b _ { j , k } ( \xi ) } & { = 2 ^ { k m _ { j } } \omega _ { k } ( \xi ) , } \end{array}
C _ { \mathrm { ~ D ~ t ~ 0 ~ } } = \frac { 2 4 } { R e _ { \mathrm { p } } } \left[ 1 . 0 2 + \frac { 0 . 0 7 } { 1 + 4 \delta ^ { 2 } } - \frac { 8 } { 5 } \ln \left( \frac { 2 7 0 \delta } { 1 3 5 + 2 5 6 \delta } \right) \right] .
X _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - a _ { 1 } } } & { { - a _ { 2 } } } & { { \dots } } & { { - a _ { N } } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { \dots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \dots } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { E u \otimes \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } } & { = \left( A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) + x _ { 3 } A _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) \right) \eta \otimes \mathcal { L } _ { x _ { 3 } } ^ { 1 } \otimes \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } , } \\ { E \, \mathcal { L } _ { x } ^ { 3 } \otimes \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } } & { = C ( x ^ { \prime } ) E ( x , y ) \, \eta \otimes \mathcal { L } _ { x _ { 3 } } ^ { 1 } \otimes \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } } \\ { P } & { = \eta \stackrel { \mathrm { g e n . } } { \otimes } P _ { x ^ { \prime } } . } \end{array}
S _ { \mathrm { F } } ( x ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mathrm { M i n } } \mathrm { d } ^ { 4 } k \frac { \slash { k } + m } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } e ^ { - i k _ { \mu } x ^ { \mu } } ,
\epsilon ( { \tilde { w } } \gg 1 ) \simeq \frac { C _ { \infty } } { \tau ^ { 4 / 3 } } \left( \frac { 4 \pi \eta } { s } a ^ { 1 / 4 } \right) ^ { \gamma } \left( \tau _ { 0 } ^ { ( \frac { 4 } { 3 } - \gamma ) / ( 1 - \gamma / 4 ) } \epsilon _ { 0 } \right) ^ { 1 - \gamma / 4 } .
\begin{array} { r l r } { A _ { i j } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { j } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t + \theta ^ { \star } \delta _ { i j } } \\ { b _ { i } ^ { k } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { k } ^ { p o d } ( t ) - a _ { k } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } \left( 0 , 0 , a ^ { p o d } \right) d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( I + N ) ^ { - 1 } } & { = \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { k } \left( - N \right) ^ { m } = I - N + N ^ { 2 } - N ^ { 3 } + N ^ { 4 } - N ^ { 5 } + N ^ { 6 } - N ^ { 7 } + \cdots + ( - N ) ^ { k } } \\ { ( I - N ) ^ { - 1 } } & { = \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { k } N ^ { m } = I + N + N ^ { 2 } + N ^ { 3 } + N ^ { 4 } + N ^ { 5 } + N ^ { 6 } + N ^ { 7 } + \cdots + N ^ { k } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \phi _ { \mathrm { C L } } ( P e ) } { \phi _ { \mathrm { T } } } = \frac { 1 } { 2 } \left( K + 1 \right) - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \left( K + 1 \right) ^ { 2 } + K C \lambda _ { \mathrm { e f f } } / \lambda } , } \\ & { \sigma _ { \mathrm { C L } } ( \theta , P e ) = \frac { \varepsilon \phi _ { \mathrm { C L } } } { \lambda _ { \mathrm { e f f } } g ( \theta ) } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } ( \pi ^ { n , s } , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) \leq } & { \, W _ { 2 } ( ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } , ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } ) } \\ & { + W _ { 2 } ( \pi ^ { n , s } , ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } ) . } \end{array}
I _ { n \mathbf k } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \sum _ { m } \int \frac { d \mathbf q } { \Omega _ { \mathrm { B Z } } } f _ { m n } ( \mathbf k , \mathbf q ) \, \delta ( \epsilon _ { m \mathbf k + \mathbf q } - \epsilon _ { n \mathbf k } ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { g } } & { = } & { \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \hat { h } _ { e } } & { = } & { \hbar ( \omega _ { e g } + \lambda ) + \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \sqrt { \frac { \lambda } { \omega _ { 0 } } } ( \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } ) + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } = \sum _ { i } d _ { i i } c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \equiv \sum _ { i } d _ { i i } \hat { n } _ { i } , \quad c _ { i } ^ { \dagger } = \sum _ { j } U _ { i j } f _ { j } ^ { \dagger } .
V ^ { 2 } = x { \frac { \partial } { \partial u } } - u { \frac { \partial } { \partial x } } + \rho ( x , u , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) { \frac { \partial } { \partial u _ { 1 } } } + \phi ( x , u , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } } } .
{ \cal L } = \frac { \pi \alpha } { 1 2 } \langle \theta ^ { 2 } \rangle [ F _ { \mu \nu } ^ { 0 } F ^ { 0 \nu \eta } F _ { \eta \rho } ^ { 0 } F ^ { 0 \rho \mu } - ( F _ { \mu \nu } ^ { 0 } F ^ { 0 \mu \nu } ) ^ { 2 } ] \, \, \, .
\tilde { B } _ { a 1 } = \widetilde { B A } + \widetilde { B B } + \widetilde { B C } + \widetilde { B D } , \qquad \tilde { B } _ { b 2 } = \widetilde { A B } + \widetilde { B B } + \widetilde { C B } + \widetilde { D B }
{ \begin{array} { r l } { V _ { a v g } } & { = { \frac { 2 } { R ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { R } u ( r ) r \mathrm { d } r } \\ & { = - { \frac { 2 } { R ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { R } { \frac { R ^ { 2 } } { 4 \mu } } { \frac { d P } { d x } } ( 1 - { \frac { r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } ) r \mathrm { d } r } \\ & { = - { \frac { R ^ { 2 } } { 8 \mu } } { \frac { d P } { d x } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle b _ { l , d + 2 } , b _ { j , 1 } \rangle } & { = C \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - i \xi \cdot x } f ( x ) \frac { | x - X _ { l } | ^ { 2 } } { L _ { l } ^ { 2 } } d x } \\ & { = \frac { C } { L _ { l } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - i \xi \cdot x } f ( x ) \left( | x | ^ { 2 } - 2 x \cdot X _ { l } + | X _ { l } | ^ { 2 } \right) d x } \\ & { = \frac { C } { L _ { l } ^ { 2 } } \left( \widehat { | x | ^ { 2 } f } - 2 X _ { l } \cdot \widehat { x f } + | X _ { l } | ^ { 2 } \widehat { f } \right) ( \xi ) } \end{array}
E _ { a } = ( \partial _ { \rho } a _ { 3 } + { \frac { 1 } { \rho } } a _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { z } a _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \rho } a _ { 2 } - \partial _ { z } a _ { 1 } ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { A C } _ { 1 } ^ { \epsilon } } & { = } & { \left[ ( N - 2 ) \cdot \omega _ { + } , ( 2 ) \omega _ { - } , ( N - 1 ) \cdot 2 \omega _ { - } \right] } \\ { \mathrm { A C } _ { 2 } ^ { \epsilon } } & { = } & { \left[ ( N - 1 ) \cdot \omega _ { + } , ( - 1 ) \omega _ { - } , ( N + 1 ) \cdot 2 \omega _ { - } \right] , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { r e l } } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 \mu } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial \theta } + i \omega _ { j } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { a c } ( 4 ) } & { = ( p ( 1 1 ) , p ( 1 2 ) , p ( 1 3 ) , p ( 1 4 ) , p ( 2 1 ) , p ( 2 2 ) , } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p ( 2 3 ) , p ( 2 4 ) , p ( 3 1 ) , p ( 3 2 ) , p ( 3 3 ) , p ( 3 4 ) , } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ p ( 4 1 ) , p ( 4 2 ) , p ( 4 3 ) , p ( 4 4 ) ) ^ { \mathrm { T } } } \\ & { = \left( 0 , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , 0 , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. 0 , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , \frac { 1 } { 1 2 } , 0 \right) ^ { \mathrm { T } } \in \mathbf { C } ( 4 ) . } \end{array}
\hat { z _ { 1 } } = \frac { \left( a \sqrt { 2 z _ { c } \beta _ { 1 } \left( z _ { c } - c \right) - 2 z _ { c } \delta C _ { 0 } } - z _ { c } \beta _ { 1 } \sqrt { \delta } \right) } { a z _ { c } \beta _ { 1 } } \epsilon .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \infty } ^ { o } } & { { } = 0 } \\ { \rho _ { \infty } ^ { \pm } } & { { } = \frac { - B } { 2 A } \pm \sqrt { \frac { C } { A } + \left( \frac { B } { 2 A } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \lambda = 2 \sin \theta ( 1 - \cos \theta ) , } & { \alpha _ { 1 } = - 2 \sin \theta ( \cos \varphi + \cos \theta ) , } \\ & { \alpha _ { 2 } = ( 1 + \cos \varphi ) \sin \theta + ( 1 - \cos \theta ) \sin \varphi , } & { \alpha _ { 3 } = ( 1 + \cos \varphi ) \sin \theta - ( 1 - \cos \theta ) \sin \varphi . } \end{array}
\psi _ { r } \to \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { i k } } \end{array} \right) e ^ { - i k x } + r ( k ) \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { - i k } } \end{array} \right) e ^ { i k x } , \qquad x \to \infty
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 1 } ( \kappa ) = \left\{ \begin{array} { c } { b _ { 1 } \kappa + \frac { b _ { 2 } } { \kappa } - \frac { 1 } { 8 } g r _ { b } ^ { 3 } \kappa ^ { 3 } ~ ~ \kappa < 1 } \\ { b _ { 3 } \kappa + \frac { b _ { 4 } } { \kappa } - \frac { 1 } { 1 6 } r _ { b } ^ { 3 } g \kappa \left\{ 2 \kappa ^ { 2 } - 2 \kappa \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } + \log \left[ \frac { \kappa + \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } { \kappa - \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \right] \right\} ~ ~ 1 < \kappa \ll \infty } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { l } { { Z _ { H _ { p } h } = \frac { H _ { p h } ( t _ { e } ) } { H _ { p h } ( t _ { i } ) } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \chi ( t _ { e } - t _ { i } ) } + \frac { 1 } { 2 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d f ( t , \mathbf { X } _ { t } ) } & { { } = { \frac { \partial f } { \partial t } } \, d t + \left( \nabla _ { \mathbf { X } } f \right) ^ { T } \, d \mathbf { X } _ { t } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( d \mathbf { X } _ { t } \right) ^ { T } \left( H _ { \mathbf { X } } f \right) \, d \mathbf { X } _ { t } , } \end{array}
\gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + t ^ { + } v ) ~ d \rho - ( \gamma u ( u + t ^ { + } v ) - 2 E _ { c } ) ~ d \rho u - ( \gamma v ( u + t ^ { + } v ) - 2 E _ { c } t ^ { + } ) ~ d \rho v + \gamma _ { 1 } ( u + t ^ { + } v ) ~ d \rho E = 0
\begin{array} { r l } { | E ( z ) | ^ { 2 } } & { { } = | E ( 0 ) | ^ { 2 } \, \exp \left( 2 k \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { R e } \left[ \mathcal { Z } ( z ^ { \prime } ) \right] d z ^ { \prime } \right) , } \\ { \mathcal { S } ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } c } \left| E ( z ) \right| ^ { 2 } \mathrm { I m } \left[ \mathcal { Z } ( z ) \right] . } \end{array}
\langle \varphi ^ { 2 } ( x ) \rangle _ { b } \approx - \frac { \Gamma ^ { - 2 } ( \nu _ { 0 } + 1 ) } { 2 ^ { 2 \nu _ { 0 } } \pi a ^ { D - 1 } S _ { D } \sigma ^ { D - 1 } } \left( \frac { r } { a } \right) ^ { 2 \nu _ { 0 } - n } \int _ { m a } ^ { \infty } d z \frac { z ^ { 2 \nu _ { 0 } + 1 } } { \sqrt { z ^ { 2 } - m ^ { 2 } a ^ { 2 } } } \frac { \bar { K } _ { \nu _ { 0 } } ( z ) } { \bar { I } _ { \nu _ { 0 } } ( z ) } , \quad r \to 0 ,
T r \left\{ \, \gamma _ { \mu } \, \hat { k } \, \gamma _ { \rho } \, \hat { k } \, \gamma _ { \nu } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon _ { m } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \, \right\} \, .
K ~ = ~ \frac { 8 \pi ^ { 2 \mu } ( 2 \mu - 1 ) ^ { 2 } ( \mu - 2 ) ^ { 2 } } { ( 2 \mu - 3 ) ^ { 2 } \Gamma ( \mu ) \Gamma ( \mu + 1 ) } ~ ~ , ~ ~ P ~ = ~ \frac { 1 6 \pi ^ { 2 \mu } ( 2 \mu - 1 ) ( 2 - \mu ) } { ( 2 \mu - 3 ) \Gamma ( \mu ) \Gamma ( \mu + 1 ) }
\sin \left( { \frac { \pi } { 6 0 } } \right) = \sin ( 3 ^ { \circ } ) = { \frac { ( 2 - { \sqrt { 1 2 } } ) { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + ( { \sqrt { 1 0 } } - { \sqrt { 2 } } ) ( { \sqrt { 3 } } + 1 ) } { 1 6 } }
\hat { \tau } _ { k } = 2 \frac { V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } } { [ \alpha \cos \left( 2 k \pi / N \right) ] ^ { 2 } } \frac { N } { m } \left( \sqrt { \frac { m } { N } } \frac { \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } } { \sqrt { V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } } } \right) ^ { 2 } .
\left( \begin{array} { l } { { \bf \xi } } \\ { { \bf \zeta } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { K _ { 1 1 } I } & { K _ { 1 2 } I } \\ { K _ { 1 2 } I } & { K _ { 2 2 } I } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \Theta _ { u } } & { 0 } \\ { 0 } & { \Theta _ { v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \bf \xi } } \\ { { \bf \zeta } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { g _ { \mathbf { \Omega } } ( t ) } & { { } = \iint _ { \mathbf { \Omega } } w _ { r } ( \textbf { r } ^ { \prime } ) p \left( \textbf { r } , t + \tau ( \textbf { r } ) \right) d \textbf { r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K T / \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } | Y _ { \tau _ { j } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - Y _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } > R \Big ) \leq \frac { K T C } { R } \leq \frac { \delta } { 6 } , \quad R \to \infty . } \end{array}
\rho ( E ) = \frac { g _ { N } 4 \pi ^ { 6 } ( 2 J + 1 ) m _ { C a } ^ { 6 } m _ { F } ^ { 6 } } { h ^ { 9 } ( 2 m _ { C a } + 2 m _ { F } ) ^ { 3 } g _ { C a _ { 2 } F _ { 2 } } } \int \frac { r _ { 1 3 } ^ { 4 } r _ { 2 4 } ^ { 4 } R ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } ) } { \operatorname* { d e t } \cal I ( { \bf q } ) \sqrt { \operatorname* { d e t } \cal A ( { \bf q } ) } } [ E - V ( { \bf q } ) ] ^ { 2 } d { \bf q }
\begin{array} { r l } { ( E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) ) ^ { \theta + 1 } } & { \leq \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } ( \hat { \rho } ( x , T ) ) ^ { \theta + 1 } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { \quad - \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x \right. } \\ & { \left. \quad - \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } r ( x , T ) d x \right) } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { K _ { p } ( \alpha + \mathrm { i } \beta ) } \\ { K _ { p } ( \alpha - \mathrm { i } \beta ) } & \end{array} \right] \cdot \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { K _ { p } ( \alpha ) } & { - \mathrm { i } \beta F _ { p } } \\ { \mathrm { i } \beta F _ { p } } & { - K _ { p } ( \alpha ) } \end{array} \right] , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l l } & { F _ { p } } \\ { F _ { p } } & \end{array} \right] \cdot \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { F _ { p } } & \\ & { - F _ { p } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { { } = \lvert ( \mathbf { R } \mathbf { a } ) ^ { \dag } \mathbf { R } \mathbf { t } _ { 1 } \rvert ^ { 2 p } + \lvert ( \mathbf { R } \mathbf { a } ) ^ { \dag } \mathbf { R } \mathbf { t } _ { 2 } \rvert ^ { 2 p } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] } & { = } & { \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \dot { u } _ { a } ^ { [ s ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \dot { u } _ { a } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { [ s ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) } \\ & { = } & { - \rho ^ { [ s ] } \int _ { D _ { b } } \big ( \ddot { u } _ { a } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) \, \dot { u } _ { a } ^ { [ s ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \dot { u } _ { a } ^ { [ s ] } ( { \pmb x } ) \, \ddot { u } _ { a } ^ { [ s ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \big ) d V ( { \pmb x } ) } \end{array}
\bar { \omega } _ { j } ^ { i } \ = \ - \, C _ { k } ^ { i } ( \omega _ { l } ^ { k } ) ^ { * } \, C _ { j } ^ { l } \ = \ C _ { k } ^ { i } ( \omega _ { \mu \, l } ^ { k } ) ^ { * } \, C _ { j } ^ { l } \, \gamma ^ { \mu } \ .
\begin{array} { r l } { \nu _ { d + } = } & { \nu _ { d + , d + } + \frac { m _ { e } } { m _ { d + } } \nu _ { e , d + } + n _ { d } \left< \sigma v \right> _ { c x } } \\ { \nu _ { e } = } & { \nu _ { e , d + } + \nu _ { e , e } } \\ { \nu _ { d } = } & { n _ { d + } \left< \sigma v \right> _ { c x } + n _ { d } a _ { 0 } \sqrt { 2 e T _ { d } / m _ { d } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } ( h ^ { 3 / 2 } \sqrt { n } + f ( | A | ) , h ^ { 3 / 2 } \sqrt { n } + f ( | B | ) ) } & { \leq } & { h ^ { 3 / 2 } \sqrt { n } + f ( | A | ) } \\ & { \leq } & { h ^ { 3 / 2 } \sqrt { n } + h ^ { 3 / 2 } \sqrt { 2 n / 3 } \left( \frac { 1 } { 1 - \sqrt { 2 / 3 } } \right) + \sqrt { n } } \\ & { = } & { h ^ { 3 / 2 } \sqrt { n } \left( \frac { 1 } { 1 - \sqrt { 2 / 3 } } \right) + \sqrt { n } } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { i j } \equiv \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \left[ { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { i j } - x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) \right] = \left[ g _ { k k } \delta _ { i j } - g _ { i j } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( x , } & { { } t _ { k } ) = \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { H _ { 0 } + \frac { e } { 2 m c } \mathrm { \bf ~ B } \cdot \sum _ { a } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } \times \mathrm { \bf ~ p } _ { a } ) + \frac { e ^ { 2 } } { 8 m c ^ { 2 } } \sum _ { a } ( \mathrm { \bf ~ B } \times \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ^ { 2 } + \frac { e } { m c } \mathrm { \bf ~ B } \cdot \sum _ { a } \mathrm { \bf ~ s } _ { a } } \\ & { = } & { H _ { 0 } + \mu _ { 0 } ( \mathrm { \bf ~ L } + 2 \mathrm { \bf ~ S } ) \cdot \mathrm { \bf ~ B } + \frac { e ^ { 2 } } { 8 m c ^ { 2 } } \sum _ { a } ( \mathrm { \bf ~ B } \times \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - [ \mathbf { A } _ { 1 } \cdot \nabla + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \cdot \mathbf { A } _ { 1 } ) , \mathbf { a } \cdot \nabla + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \cdot \mathbf { a } ) ] } \\ & { + [ \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } , \mathrm { i } \mathbf { a } \cdot \nabla + \frac { \mathrm { i } } { 2 } ( \nabla \cdot \mathbf { a } ) ] - [ u _ { 1 } , \mathrm { i } \mathbf { a } \cdot \nabla ] = 0 . } \end{array}