harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } U - \dot { \Lambda } ( \psi _ { 2 } \; \xi _ { \delta } + \partial _ { x } U ) \xi _ { \delta } + ( 1 - \Lambda \xi _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 4 } \; \partial _ { x } ( ( a \xi _ { \delta } + 1 - \xi _ { \delta } + U ) ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } U ) = F _ { 2 } + F _ { 3 } \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } x > 0 , } \\ { \partial _ { x } U = 0 , \qquad \partial _ { x } ^ { 3 } U = 0 \quad } & { \mathrm { ~ a t ~ } x = 0 , } \\ { U \to 0 \quad } & { \mathrm { ~ a s ~ } \ x \to \infty , } \\ { U ( x , 0 ) = U _ { 0 } \equiv h _ { 0 } ( x ) - a ( x , 0 ) \quad } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \ x > 0 , } \end{array}
\operatorname { a r s e c h } x = \ln \left( { \frac { 1 } { x } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } - 1 } } \right) = \ln \left( { \frac { 1 + { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } { x } } \right)
V _ { \mathrm { ~ s ~ } } = R _ { \mathrm { ~ s ~ } } I _ { \mathrm { ~ d ~ c ~ } } = V _ { \mathrm { ~ s ~ 0 ~ } } \left[ 1 + \alpha ( T _ { \mathrm { ~ s ~ } } - T _ { 0 } ) + \beta ( T _ { \mathrm { ~ s ~ } } - T _ { 0 } ) ^ { 2 } + . . . \right] { . }
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \mathbf { m } ^ { 0 } ( \mathbf { x } , t ) + \epsilon \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
C ( t , p ) = C ( 0 , p ) \times \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \Big ( - \mu _ { 0 } \, \big ( p t \big ) ^ { 2 } \Big ) } & { t \ll \tau _ { c } } \\ { \exp \Big ( - \mu _ { \infty } \, p ^ { 2 } | t | \Big ) } & { t \gg \tau _ { c } } \end{array} \right. ,
I _ { 1 } = \frac { 2 } { \Theta } \left\{ \gamma ( 2 \kappa - 3 ) - 2 ( 3 + k + \kappa ^ { 2 } - 3 \kappa ) + 2 k \kappa \sigma \right\} , \quad I _ { 2 } = \frac { 1 2 k } { \Theta ^ { 2 } } ( 1 - \kappa \sigma ) ,
\mathbf { y } _ { c } ^ { o , i } = \mathbf { y } _ { c } ^ { o } + \boldsymbol { \epsilon } _ { c } \; \; \textnormal { w i t h } \; \; \boldsymbol { \epsilon } _ { c } \sim { \cal N } \left( { \bf 0 } , { \bf R } _ { c } \right) .
\begin{array} { r } { [ \dot { \mathrm { H } } _ { \mathcal { J } } ^ { s _ { 0 } , p } \cap { \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 1 } , p } } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \overline { { \mathrm { Y } _ { \mathcal { J } } } } ^ { \lVert \cdot \rVert _ { [ \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 0 } , p } \cap { \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 1 } , p } } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { N } } & { { = } } & { { 5 . 1 3 \cdot 4 \pi ^ { 2 } \alpha = 1 . 4 8 } } \\ { { m _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 0 . 8 9 \, \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } } } \\ { { \xi } } & { { = } } & { { 0 . 1 7 1 } } \\ { { a } } & { { = } } & { { 1 5 . 1 } } \end{array}
\hat { \phi } _ { 0 } ( x ; \bar { W } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { W } \sum _ { t = 1 } ^ { N } \mathcal { L } \left( \mathcal { Y } _ { i } , \hat { \phi } \left( \mathcal { X } _ { i } ; W \right) \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \! \int \! \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } q } { i ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { q ^ { 4 } } \left[ \bar { u } ( \ell ) L _ { \mu \nu } ( \ell , q ) u ( \ell ) \right] \left[ \bar { N } ( p ) T ^ { \mu \nu } ( p , q ) N ( p ) \right] \! , } \end{array}
- { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } } { d u ^ { 2 } } } \hat { \psi } ( u ) + { \cal V } ( u ) \hat { \psi } ( u ) = { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \hat { \psi } ( u ) ~ ,
\hat { H } _ { 0 } = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 2 - \mathrm { i } \gamma _ { 1 } } & { \kappa _ { 1 2 } } & { \kappa _ { 1 3 } } \\ { \kappa _ { 1 2 } } & { 2 - \mathrm { i } \gamma _ { 2 } } & { \kappa _ { 2 3 } } \\ { \kappa _ { 1 3 } } & { \kappa _ { 2 3 } } & { 2 - \mathrm { i } \gamma _ { 3 } } \end{array} \right) ,
I _ { 1 } = H \left( \frac { d S _ { 1 } } { d \lambda _ { 1 } } , \dots , \frac { d S _ { N } } { d \lambda _ { N } } , \lambda _ { 1 } , \dots , \lambda _ { N } \right) = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { H _ { a } } { f _ { a } ( \vec { \lambda } ) }
\frac { C _ { + } } { C _ { - } } = \frac { a _ { c o } } { ( a _ { - } - D _ { + } ^ { 2 } ) } \frac { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } \frac { i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell } ^ { ( + ) \prime } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } - D _ { - } \frac { j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } } { i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell } ^ { ( + ) \prime } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } - D _ { + } \frac { j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } } \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right] = { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { t } ^ { 1 * } , x _ { 0 } + W _ { t } ) \right] } \\ & { + } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \partial _ { m } F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { t } ^ { 1 * } , x _ { 0 } + W _ { t } ) { \mathbf 1 } _ { \{ W _ { s } ^ { 1 * } < W _ { t } ^ { 1 * } \} } Z _ { s } B ^ { 1 } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) \right] d s } \\ & { + } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \partial _ { k } F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { t } ^ { 1 * } , x _ { 0 } + W _ { t } ) Z _ { s } B ^ { k } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) \right] d s . } \end{array}
m > 0 \; \; \; \; \psi ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d p \; a _ { n p } \psi _ { n p } ^ { ( + ) } ( x ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d p \; b _ { n p } ^ { \dag } \psi _ { n p } ^ { ( - ) } \; .
\tilde { N } _ { i } = \frac { \operatorname* { m a x } _ { k } ( x _ { i , k } ) - \operatorname* { m i n } _ { k } ( x _ { i , k } ) } { \operatorname* { m i n } _ { k } ( x _ { i , k } - x _ { i , k + 1 } ) ) }
\begin{array} { r l } { C ( \overline { { p } } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 5 } } & { \frac { 1 } { 7 } } & { \frac { 1 } { 1 1 } } & { \frac { 1 } { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \frac { 1 } { 1 3 } } & { \frac { 1 } { 1 9 } } & { \frac { 1 } { 1 7 } } & { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { C ( \overline { { q } } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 7 } } & { \frac { 1 } { 5 } } & { \frac { 1 } { 4 1 } } & { \frac { 1 } { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \frac { 1 } { 1 9 } } & { \frac { 1 } { 1 7 } } & { \frac { 1 } { 1 3 } } & { 2 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \vec { x } , z ) } & { = E _ { X } ( \vec { x } , z ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } , z ) + E _ { Y } ( \vec { x } , z ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } , z ) } \\ { \vec { v } ( \vec { x } , z ) } & { = \frac { 1 } { k _ { 0 } } \nabla _ { X } \phi ( \vec { x } , z ) } \\ { \vec { \Omega } ( \vec { x } , z ) } & { = \frac { 1 } { k _ { 0 } } \nabla _ { X } \gamma ( \vec { x } , z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { I } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 0 } \rightarrow - \infty } e ^ { \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } t _ { 0 } } \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t _ { 0 } ) , } \\ { \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { O } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } e ^ { \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } t } \hat { e } _ { { \bf k } q } ( t ) , } \end{array}
\int d \tau e ^ { i \omega \tau } \mathcal { T } ( t , t ^ { \prime } ) = \mathrm { T r } \Big \{ i e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda ( \partial _ { T } ^ { G } \partial _ { \omega } ^ { \Phi } - \partial _ { \omega } ^ { G } \partial _ { T } ^ { \Phi } ) } \left( \tilde { G } ^ { < } \tilde { \Phi } ^ { A } + \tilde { G } ^ { R } \tilde { \Phi } ^ { < } \right) + i e ^ { \frac { 1 } { 2 i } \lambda ( \partial _ { T } ^ { \Psi } \partial _ { \omega } ^ { G } - \partial _ { \omega } ^ { \Psi } \partial _ { T } ^ { G } ) } \left( \tilde { \Psi } ^ { < } \tilde { G } ^ { A } + \tilde { \Psi } ^ { R } \tilde { G } ^ { < } \right) \Big \} ,
\Omega ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ; b _ { 0 } , b _ { 1 } ) = \left\langle { \frac { \mathrm { D e t } ( 1 - a _ { 1 } U ) \, \mathrm { D e t } ( 1 - b _ { 1 } \bar { U } ) } { \mathrm { D e t } ( 1 - a _ { 0 } U ) \, \mathrm { D e t } ( 1 - b _ { 0 } \bar { U } ) } } \right\rangle \; .
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { \sigma } ( t _ { 0 } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar } \delta _ { i j } n _ { i } ^ { \sigma } , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t _ { 0 } ) } } } & { { } = 0 , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t _ { 0 } ) ( \Delta G _ { l k } ^ { \lambda , \sigma ^ { \prime } } ( t _ { 0 } ) ) ^ { * } } } } & { { } = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta _ { n _ { j } ^ { \sigma } , 1 } \delta _ { n _ { i } ^ { \sigma } , 0 } \, . } \end{array}
\eta ^ { a } C _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n - 1 } } ^ { b } , \eta ^ { a } \eta ^ { b } \eta _ { c } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { n - 1 } } , \eta ^ { a _ { 1 } } \eta ^ { a _ { 2 } } \cdots \eta ^ { a _ { n } } ,
\int e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } A _ { i j } x _ { i } x _ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } B _ { i } x _ { i } } d ^ { n } x = \int e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { x } } ^ { T } \mathbf { A } { \vec { x } } + { \vec { B } } ^ { T } { \vec { x } } } d ^ { n } x = { \sqrt { \frac { ( 2 \pi ) ^ { n } } { \operatorname* { d e t } { A } } } } e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { B } } ^ { T } \mathbf { A } ^ { - 1 } { \vec { B } } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e p } = \hat { U } ^ { \dag } \hat { H } _ { p } \hat { U } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } \left[ ( \hat { p } _ { \alpha } + \boldsymbol { \lambda } _ { \alpha } \cdot \mathbf { D } ) ^ { 2 } + \omega _ { \alpha } ^ { 2 } ( \hat { q } _ { \alpha } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\tilde { g } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } < \tilde { g } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } \ll \tilde { g } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ U ~ S ~ } } \ll \tilde { g } _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } .
I \propto \sum _ { i < j } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \pm 1 ) _ { i } ( \pm 1 ) _ { j } 2 A _ { s } ^ { i } A _ { s } ^ { j } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { t _ { i } - t _ { j } } { \tau } ) ^ { 2 } } [ 1 - ( \frac { t _ { i } - t _ { j } } { \tau } ) ^ { 2 } ] + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { A _ { s } ^ { i } } ^ { 2 } ,
\omega _ { 4 } ^ { 3 } = - i \{ \frac { 1 } { 2 } d \ln ( \frac { d \overline { { { g } } } _ { 2 } } { d \overline { { { z } } } _ { 2 } } \frac { d z _ { 2 } } { d g _ { 2 } } ) + \frac { ( g _ { 2 } d \overline { { { g } } } _ { 2 } - \overline { { { g } } } _ { 2 } d g _ { 2 } ) } { ( 1 - g _ { 2 } \overline { { { g } } } _ { 2 } ) } \} ,
2 ( S _ { 1 } ^ { x } S _ { 2 } ^ { x } + S _ { 1 } ^ { y } S _ { 2 } ^ { y } ) = N ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } - 2 \times ( N / 4 ) ^ { 2 } + 2 ( S _ { 1 } ^ { z } ) ^ { 2 }
p _ { t } ( \boldsymbol { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { r = R } p _ { t } d \theta + \frac { 1 } { 2 \pi } \iint _ { A } \left( \boldsymbol { \nabla } p _ { t } \cdot \frac { \boldsymbol { e } _ { r } } { r } \right) d A .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \supset } & { } & { V _ { L L } ^ { \tau 3 \mu } \big ( \bar { \mu } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \mu \big ) \big ( \bar { \tau } \gamma _ { \mu } P _ { L } \mu \big ) } \\ & { } & { + V _ { L R } ^ { \tau 3 \mu } \big ( \bar { \mu } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \mu \big ) \big ( \bar { \tau } \gamma _ { \mu } P _ { R } \mu \big ) } \\ & { } & { + \big ( L \leftrightarrow R \big ) + \textrm { h . c . } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { j } \left( \vec { r } \right) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \phi _ { 2 } } d \Phi } & { { } \Big [ \gamma D ( \Phi ) + 2 \gamma r \cos { \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 1 } ( \Phi ) } } \end{array}
{ \it M } _ { u } ^ { d i a g } \sim \left( \begin{array} { c c r } { { \lambda ^ { 8 } ( \lambda ^ { 7 } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { t } ,
\hat { \rho } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) = \frac { 1 } { \omega _ { 1 } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } } , \hat { \rho } ^ { ( 0 ) } \right] A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { 1 } ) \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( \tau ) } } { \partial { ( \omega \tau _ { n } ) } ^ { 2 } } = } & { \frac { n } { 2 } [ \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) + \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { \omega \tau _ { n } \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \beta ( \omega \tau _ { n } ) } + 1 ] \cot [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] } \\ & { + \frac { n } { 2 } [ \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { 2 \alpha ( \omega \tau _ { n } ) \beta ( \omega \tau _ { n } ) } ] ^ { 2 } \tan [ \omega ( 2 t _ { n } - \tau _ { n } ) ] } \\ & { + \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } { \omega \tau _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] = } & { | H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \Omega ] + | H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] | ^ { 2 } \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ & { - 2 \mathrm { R e } \left[ H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] ^ { * } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 , G } [ \Omega ] \right] . } \end{array}
e = \dim _ { \mathbb { F } _ { p } } ( C ) - \dim _ { \mathbb { F } _ { p } } ( C \cap C ^ { \bot _ { s } } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { t _ { 1 } } 2 | Z _ { \alpha _ { l } } | + \sum _ { l = 1 } ^ { t _ { 2 } } | Z _ { \beta _ { l } } | + \sum _ { l = 1 } ^ { t _ { 3 } } 2 | Z _ { \gamma _ { l } } | + \sum _ { l = 1 } ^ { t _ { 4 } } 4 | Z _ { \kappa _ { l } } | + \sum _ { l = 1 } ^ { t _ { 5 } } 2 | Z _ { \sigma _ { l } } | .
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } \bar { f } y , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } y \, \tan ( \bar { f } t ) , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } h _ { 0 } \, \sec ( \bar { f } t ) . } \end{array}
\Delta \left( { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { E _ { 6 , 8 } } ^ { 2 } } } \right) = - b _ { E _ { 6 , 8 } } [ \log \left( T + T ^ { \ast } \right) + { \cal O } ( \log \alpha _ { i } ) ]
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( r _ { 1 2 } ^ { - 3 } - \lambda ) ( r _ { 3 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( r _ { 1 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) ( r _ { 2 3 } ^ { - 3 } - \lambda ) } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( r _ { 1 3 } ^ { - 3 } - \lambda ) ( r _ { 2 4 } ^ { - 3 } - \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ( \cdot , t ) \rVert _ { L ^ { q } ( \Omega ^ { * } ) } ^ { q } } & { { } = \int _ { \Omega ^ { * } } \lvert \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ( \cdot , t ) \rvert ^ { q } d x } \end{array}
\chi _ { 2 } ^ { i } ( F , G ; { \bf p ^ { \prime } , q } ) = - \frac { 1 } { 1 + \mu } \frac { q ^ { i } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \tilde { f } ( { \bf p ^ { \prime } } ) \tilde { g } ( { \bf - p ^ { \prime } - q } ) ,
\tilde { X } ^ { - } \left( \bar { z } \right) = \tilde { q } ^ { - } - \frac i k \int ^ { \bar { z } } d \bar { z } ^ { \prime } \tilde { P } ^ { - } ( \bar { z } ^ { \prime } ) \, e ^ { - \tilde { X } _ { 2 } \left( \bar { z } ^ { \prime } \right) }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle } { d t } } & { { } = } & { \left[ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } \right] \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } \rangle } { d t } } & { { } = } & { - \Gamma \langle \hat { e } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle - i \frac { \bar { \Omega } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ ( c \frac 1 \eta - a _ { 1 } ) u _ { 2 } e _ { 1 } ] } & { \le ( 1 + 1 0 c ^ { 2 } ) c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int \tau ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } 1 8 c \frac \tau { \eta ^ { 2 } } ( ( \frac \tau \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } c _ { 1 } ^ { \ast } + ( \frac \tau \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { \le 2 0 c ^ { 3 } c _ { 1 } ^ { \ast } + 2 0 c c _ { 2 } ^ { \ast } } \\ & { \le 2 0 c ^ { 2 } c _ { 1 } + 2 0 \tilde { c } _ { 1 } + 2 0 c ^ { 2 } c _ { 2 } + 2 0 c ^ { 4 } \tilde { c } _ { 2 } , } \\ { R _ { 2 } [ ( c \frac 1 \eta - a _ { 1 } ) u _ { 2 } e _ { 1 } ] } & { = ( 1 + 1 0 c ^ { 2 } ) \eta ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } \int \tau ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } 1 8 c \frac \tau { \eta ^ { 2 } } ( ( \frac \tau \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } c _ { 1 } ^ { \ast } + c ( \frac \tau \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } c _ { 2 } ^ { \ast } ) ) } \\ & { \le 2 0 c \vert \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta \vert ^ { \gamma } c _ { 1 } ^ { \ast } + 2 0 c c _ { 2 } ^ { \ast } } \\ & { \le 2 0 \vert \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta \vert ^ { \gamma } ( c _ { 1 } + 2 c ^ { 2 } \tilde { c } _ { 2 } ) + 2 0 \tilde { c } _ { 1 } + 2 0 c ^ { 2 } c _ { 2 } . } \end{array}
J ( s ) = \frac { g ^ { 2 } } { 4 8 \pi } \left\{ \frac { ( s - 4 m _ { \pi } ) ^ { 3 / 2 } } { s ^ { 1 / 2 } } \ln \left[ \frac { s ^ { 1 / 2 } + ( s - 4 m _ { \pi } ) ^ { 1 / 2 } } { s ^ { 1 / 2 } - ( s - 4 m _ { \pi } ) ^ { 1 / 2 } } \right] - \xi s \right\} ,
\begin{array} { r l } { \mathbf c ( \psi \circ \phi ) } & { = \mathbf c ( p \circ u ) - \mathbf c ( s \circ v ) } \\ & { = \mathbf c ( p \circ u ) - \mathbf c ( q \circ u ) + \mathbf c ( r \circ v ) - \mathbf c ( s \circ v ) } \\ & { = \mathbf c ( p ) - \mathbf c ( q ) + + \mathbf c ( r ) - \mathbf c ( s ) } \\ & { = \mathbf c ( \phi ) + \mathbf c ( \psi ) , } \end{array}
l _ { o r b } ^ { \pm } = \frac { L _ { o r b } ^ { \pm } } { \mathcal { P } _ { \pm } } \hbar \omega = \mp \frac { 2 A _ { 1 } A _ { 2 } } { A _ { 1 } ^ { 2 } + A _ { 2 } ^ { 2 } } \hbar \, .
P ( \nu \to \nu ^ { \prime } ) = \sin ^ { 2 } 2 \Theta \, \, \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \, \frac { \Delta m _ { \nu } ^ { 2 } } { \Delta m _ { \nu } ^ { 2 } } { e V ^ { 2 } } \, \frac { L } { \mathrm { k m } } \, \frac { \mathrm { G e V } } { E _ { \nu } } \right) .
\begin{array} { r } { v _ { g } ^ { \pm } = V _ { E } ^ { \pm } = \frac { \sqrt { \left| f ( \omega ) \right| \left( 1 + \mathrm { s g n } [ f ( \omega ) ] \right) } } { \displaystyle \mu \sqrt { 2 } \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { - 2 } ( i ) } & { = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i } \\ & { - \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 5 } ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } \sqrt { 5 } \cos i - \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , s ) } H ^ { - 1 } ( \mathrm { S p a n } \langle \frac { \partial } { \partial x } \rangle ) } \\ { \supset } & { \mathrm { S p a n } \langle v _ { 1 } , \ldots , v _ { N } , \frac \partial { \partial s } \rangle } \\ { = } & { \mathrm { S p a n } \langle \frac \partial { \partial t _ { 1 } } , \ldots , \frac \partial { \partial t _ { N } } , \frac \partial { \partial s } \rangle } \\ { = } & { T _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , s ) } ( ( 0 , \delta ) ^ { N } \times [ 0 , 1 ] ) , } \end{array}
H ^ { 1 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( - 1 ) \oplus \bigoplus _ { i = 3 } ^ { 7 } { \cal O } _ { { \cal S } } ( - i ) ) = H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( - 1 ) \oplus \bigoplus _ { i = 3 } ^ { 7 } { \cal O } _ { { \cal S } } ( - 2 + i ) ) ^ { * } .
Z _ { i } ( \beta _ { 1 } ) Z _ { j } ( \beta _ { 2 } ) = S _ { i j } ^ { k l } ( \beta _ { 1 2 } ) Z _ { l } ( \beta _ { 2 } ) Z _ { k } ( \beta _ { 1 } ) , \qquad \beta _ { 1 2 } = \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } y } & { { } = f ^ { \prime \prime } ( x ) \, ( d x ) ^ { 2 } + f ^ { \prime } ( x ) d ^ { 2 } x } \\ { d ^ { 3 } y } & { { } = f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) \, ( d x ) ^ { 3 } + 3 f ^ { \prime \prime } ( x ) d x \, d ^ { 2 } x + f ^ { \prime } ( x ) d ^ { 3 } x } \end{array}
\left. \left( \overline { { { g } } } ^ { a 1 } \partial _ { a } X _ { \mu } \mathcal { P } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \Pi ^ { ( U ) a 1 } \mathcal { P } ^ { \nu } \partial _ { a } X ^ { \lambda } A _ { \mu \nu \lambda } \right) \right| _ { \sigma _ { 1 } = 0 , \pi } \approx 0
\begin{array} { r l } { t _ { E } } & { { } = \kappa _ { E } \big ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \big ) } \\ { G _ { E } } & { { } = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon + 3 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { i j } ( q ) } & { { } = } & { \chi _ { \parallel } ( q ) \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } + \chi _ { \perp } \left( \delta _ { i j } - \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } \right) , \quad \chi _ { \parallel } ( q ) = \frac { \epsilon _ { w } - 1 } { \epsilon _ { w } } \frac { \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } { \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } , \quad \chi _ { \perp } ( q ) = \frac { 1 } { K + \kappa _ { t } q ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i } \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } s _ { i } ( c ) = k , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. \rightarrow \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { J _ { 0 } ( \alpha _ { s } ) } & { { } = e ^ { - b _ { s } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { L _ { n } \left( v _ { \perp } ^ { 2 } / 2 \right) } { n \mathrm { ~ ! ~ } } \left( \frac { b _ { s } } { 2 } \right) ^ { n } , } \\ { 2 \frac { J _ { 1 } ( \alpha _ { s } ) } { \alpha _ { s } } } & { { } = e ^ { - b _ { s } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { L _ { n } ^ { ( 1 ) } \left( v _ { \perp } ^ { 2 } / 2 \right) } { ( n + 1 ) \mathrm { ~ ! ~ } } \left( \frac { b _ { s } } { 2 } \right) ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( t ) = \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { s } n \left( \frac { 1 } { s } \right) e ^ { - s t } d s = \frac { 1 } { n } \mathcal { L } _ { 1 } \left[ \frac { 1 } { s } n \left( \frac { 1 } { s } \right) ; t \right] \Longleftrightarrow \frac { n ( x ) } { n } = \frac { 1 } { x } \mathcal { L } _ { 1 } ^ { - 1 } \left[ h ( t ) ; s \right] \bigg | _ { s = 1 / x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| B - \tilde { B } \| \le \| E _ { B } \| } & { \le \left( 1 + 6 \sqrt { ( k + p ) p \log p } \right) \sigma _ { k + 1 } ( U _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } B ) + 3 \sqrt { k + p } \sqrt { \sum _ { j > k } \sigma _ { j } ^ { 2 } ( U _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } B ) } } \\ & { \le \left( 1 + 6 \sqrt { ( k + p ) p \log p } \right) \sigma _ { k + 1 } ( B ) + 3 \sqrt { k + p } \sqrt { \sum _ { j > k } \sigma _ { j } ^ { 2 } ( B ) } , } \end{array}