harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { s u p } _ { \ell \in \mathbb { R } } \left| \sigma \sqrt { 2 \pi n } \, { \mathbb { E } } _ { \xi _ { * } \mathfrak { m } } ( U \circ \xi \circ \psi ^ { n } \, V ( S _ { n } ( \overline { \chi } ) - \ell ) \, W \circ \xi ) - e ^ { - \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 n \sigma ^ { 2 } } } \, { \mathbb { E } } _ { \pi } ( U \circ \xi ) \, { \mathbb { E } } _ { \xi _ { * } \mathfrak { m } } ( W \circ \xi ) \int V ( x ) \, \mathrm { d } x \right| = o ( 1 ) \, .
\boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \eta } _ { i } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \beta } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \beta + 2 } } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } } { ( 2 \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \end{array} \right) ,
R = \left( \begin{array} { l l l } { { r _ { e e } } } & { { r _ { e \mu } } } & { { r _ { e \tau } } } \\ { { r _ { e \mu } ^ { * } } } & { { r _ { \mu \mu } } } & { { r _ { \mu \tau } } } \\ { { r _ { e \tau } ^ { * } } } & { { r _ { \mu \tau } ^ { * } } } & { { r _ { \tau \tau } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \partial ^ { \alpha } \Phi _ { \epsilon } \Bigl ( \frac { \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) - \partial ^ { \alpha } \Phi _ { \epsilon } \Bigl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) \, = \, } & { \, \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } \Bigl ( \frac { \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) \Bigl ( \partial ^ { \alpha } \Bigl ( \frac { \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) - \partial ^ { \alpha } \Bigl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) \Bigr ) } \\ & { + \Bigl ( \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } \Bigl ( \frac { \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) - \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } \Bigl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) \Bigr ) \, \partial ^ { \alpha } \Bigl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) \, , } \end{array}
\varepsilon \nabla ^ { 2 } \Phi ( \mathbf { r } ) = - \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } q _ { j } n _ { j } ^ { 0 } \, \exp \left( - { \frac { q _ { j } \, \Phi ( \mathbf { r } ) } { k _ { \mathrm { { B } } } T } } \right) - \rho _ { \mathrm { { e x t } } } ( \mathbf { r } )
\left( \begin{array} { c } { i \frac { d \psi _ { \uparrow } } { d t } } \\ { i \frac { d \psi _ { \downarrow } } { d t } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { v t } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - v t } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \psi _ { \uparrow } } \\ { \psi _ { \downarrow } } \end{array} \right) ,
P _ { 3 } = P _ { 2 } P _ { 1 } = P _ { 1 } P _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \eta + i \theta ) \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } ( \eta + i \theta ) \right) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \tilde { \omega } = \cos ^ { - 1 } ( 1 - \frac { ( \omega \delta t ) ^ { 2 } } { 2 } ) / \delta t } \\ { \tilde { A } = \frac { A \sin ( \omega \delta t ) } { \sin ( \tilde { \omega } \delta t ) } , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } - \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ) ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } }
\left( \log _ { e } ( N ) + m \cdot \log _ { e } ( 2 ) \cdot \log _ { e } { \big ( } \log _ { e } ( N ) { \big ) } + { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } - \delta \right) \cdot { \frac { e ^ { \gamma } } { \log _ { e } ( | b | ) } }
\theta = \theta _ { i } + ( \theta _ { o } - \theta _ { i } ) \frac { \ln { R / R _ { i } } } { \ln { R _ { o } / R _ { i } } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \rho = \frac { \rho _ { i } \theta _ { i } } { \theta } \exp \left[ \int _ { R _ { i } } ^ { R } \frac { \alpha ^ { 2 } r } { \theta ( r ) } d r \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle S _ { x } ( t ) \rangle = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 2 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } } \\ & { \times } & { \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( \mathcal { A } _ { p } ^ { + } b ^ { + } e ^ { i \omega t } + \mathcal { A } _ { p } ^ { - } b ^ { - } e ^ { - i \omega t } \right) e ^ { i p ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) } + \mathrm { c . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } ) _ { n } \textbf { u } _ { n } } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \\ & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot \textbf { R } _ { 2 } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { R } } _ { 2 } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \vert \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \vert \vert _ { L _ { \infty } } } & { \leq \vert \vert \widetilde { g } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \vert \vert _ { L _ { \infty } } + \sqrt { \eta _ { k } - s } \kappa _ { k } \leq \sqrt { \frac { \Big ( \eta _ { k } - s \Big ) \Big ( e - \eta _ { k + 1 } \Big ) } { \Big ( \eta _ { k + 1 } - s \Big ) \Big ( e - \eta _ { k } \Big ) } } \vert \vert \widetilde { g } _ { \eta _ { k + 1 } } ^ { s , e } \vert \vert _ { L _ { \infty } } + \sqrt { \eta _ { k } - s } \kappa _ { k } } \\ & { \leq \sqrt { \frac { c _ { 1 } \Delta } { \Delta } } \vert \vert \widetilde { g } _ { \eta _ { k + 1 } } ^ { s , e } \vert \vert _ { L _ { \infty } } + \sqrt { \eta _ { k } - s } \kappa _ { k } \leq \sqrt { c _ { 1 } } \vert \vert \widetilde { f } _ { \eta _ { k + 1 } } ^ { s , e } \vert \vert _ { L _ { \infty } } + 2 \sqrt { \eta _ { k } - s } \kappa _ { k } , } \end{array}
{ \cal L } _ { Y } \, = \; - Y _ { t } \biggl ( \bar { \Psi } _ { L } \Phi _ { T C } \, t _ { R } + \bar { t } _ { R } \Phi _ { T C } ^ { \dagger } \Psi _ { L } \biggr ) - \epsilon _ { t } \biggl ( \bar { \Psi } _ { L } \Phi _ { E T C } \, t _ { R } + \bar { t } _ { R } \Phi _ { E T C } ^ { \dagger } \Psi _ { L } \biggr ) ,
A _ { L } ^ { \prime } ( y _ { 0 } ) \, , \quad A _ { L } ( y _ { 0 } ) \, , \quad \phi _ { L } ( y _ { 0 } ) \, , \quad A _ { R } ^ { \prime } ( y _ { 0 } ) \, , \quad A _ { R } ( y _ { 0 } ) \, , \quad \phi _ { R } ( y _ { 0 } ) \, .
\sin \left( { \frac { \pi } { 6 4 } } \right) = \sin \left( 2 . 8 1 2 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { b _ { 0 } + b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } \equiv c _ { 0 } + c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } \pmod { 4 } } \\ & { \qquad \iff b _ { 0 } + b _ { 2 } + c _ { 0 } + c _ { 2 } \equiv b _ { 1 } + b _ { 3 } + c _ { 1 } + c _ { 3 } \pmod { 4 } } \\ & { \qquad \iff d _ { 0 } + d _ { 2 } \equiv d _ { 1 } + d _ { 3 } \pmod { 2 } . } \end{array}
\hat { x } = \frac { E ( \Delta V ) } { E ( \Delta N ^ { \star } ) } = \frac { 2 - 2 q } { 4 - 3 q } ; \quad \hat { y } = \frac { E ( \Delta F ) } { E ( \Delta N ^ { \star } ) } = \frac { 1 - q } { 4 - 3 q } .
\int \mathrm { d } \mu \int _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ p ~ e ~ d ~ } } \mathrm { d } w \: 2 \pi B g ^ { t } - \Bigg \langle \int \mathrm { d } \mu \int _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ p ~ e ~ d ~ } } \mathrm { d } w \: 2 \pi B g ^ { t } \Bigg \rangle _ { \psi } = 0 .
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { e f } } } & { \approx \frac { 2 \pi ^ { 2 } n I _ { 0 } } { l \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 4 } } \Big [ 1 + \frac { 1 } { \mu _ { 2 , r } } \Big ( 1 - \frac { 3 } { 8 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \quad - \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ^ { \mathrm { s } } = \theta ^ { \mathrm { d } } = \theta ^ { \mathrm { c r } } \quad } & { \Longleftrightarrow \quad v _ { 2 } \in ( v _ { \operatorname* { m i n } } , v _ { 2 } ^ { \mathrm { s } } ] \, , } \\ { \theta ^ { \mathrm { s } } < \theta ^ { \mathrm { d } } = \theta ^ { \mathrm { c r } } \quad } & { \Longleftrightarrow \quad v _ { 2 } \in ( v _ { 2 } ^ { \mathrm { s } } , v _ { 2 } ^ { \mathrm { d } } ] \, , } \\ { \theta ^ { \mathrm { s } } < \theta ^ { \mathrm { d } } < \theta ^ { \mathrm { c r } } \quad } & { \Longleftrightarrow \quad v _ { 2 } \in ( v _ { 2 } ^ { \mathrm { d } } , 0 ) \, . } \end{array}
\rho ( r ) = \rho _ { 0 } \bigg [ 1 + \frac { 1 } { T _ { 0 } } \left( h ( r ) - \frac { 2 H \left( R _ { 1 } , R _ { 2 } \right) } { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \bigg ] ,
\begin{array} { l } { E = \frac { 6 \sqrt { 2 \gamma \beta } } { \kappa \sqrt { \eta } } \frac { \arctan ( \frac { \sqrt { 3 } \sqrt [ 4 ] { \Sigma } } { \sqrt { 6 - 1 3 \sqrt { \Sigma } } } ) } { \sqrt { 6 - 1 3 \sqrt { \Sigma } } } , } \\ { C = 2 - 4 \sqrt { \Sigma } , } \\ { P _ { 0 } = \frac { 3 \sqrt { \Sigma } } { 2 \zeta } , } \\ { \Delta ^ { 2 } = \frac { 3 \gamma \sqrt { \Sigma } } { 2 \beta \zeta } , } \\ { \Xi ^ { 2 } = \frac { \gamma } { 2 \zeta \beta } ( 6 - 1 3 \sqrt { \Sigma } ) } \end{array}
{ \cal E } [ \phi ] = \int d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \phi _ { 1 } } { d x } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \phi _ { 2 } } { d x } \right) ^ { 2 } + \left( 4 \phi _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \sigma \phi _ { 2 } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } + 1 6 \sigma ^ { 2 } \phi _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { 2 } \right]
b ^ { ( n ) } ( x ^ { 2 } ) = \int _ { - \infty } ^ { x ^ { 2 } } d \lambda \, \int _ { - \infty } ^ { \lambda } d \lambda ^ { \prime } \, H ^ { \prime \prime } ( \lambda ^ { \prime } ) \, b ^ { ( n - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } ) \quad \mathrm { f o r ~ n ~ = ~ 1 , ~ 2 , ~ 3 , ~ \dots ~ . }
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x = { \frac { A \, x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q + 1 } } { a \, c ( m + 1 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { a \, c ( m + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m + n } \left( a \, B \, c ( m + 1 ) - A ( b \, c + a \, d ) ( m + n + 1 ) - A \, n ( b \, c \, p + a \, d \, q ) - A \, b \, d ( m + n ( p + q + 2 ) + 1 ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x } \end{array} }
d e t [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H ] = \int { \cal D } c ^ { a } { \cal D } { \bar { c } } _ { a } \exp \left\{ - \int { \bar { c } } _ { a } [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H ] c ^ { b } d t \right\} .
\begin{array} { r l } { C _ { c } \dot { V } _ { c } } & { { } = ( I _ { s - c } - I _ { c - s } ) + ( I _ { m - c } - I _ { c - m } ) + \frac { V _ { f } - V _ { c } } { R _ { c - f } } } \\ { C _ { f } \dot { V } _ { f } } & { { } = \frac { V _ { c } - V _ { f } } { R _ { c - f } } + \frac { V _ { m } - V _ { f } } { R _ { f - m } } . } \end{array}
g _ { 2 1 } \circ \varphi _ { 2 } ^ { - 1 } ( z ) = ( z / | z | ) ^ { N } , \ \ \ \ g _ { 1 2 } = 1 / g _ { 2 1 } \ , \ \ \ \ g _ { 1 1 } = g _ { 2 2 } = 1 \ .
\begin{array} { r } { \dddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \bar { \theta } _ { n } ) = \frac { 1 } { n _ { 2 } } \sum _ { i = n _ { 1 } + 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial \theta ^ { 3 } } \log \hat { q } _ { \theta } ( z _ { i } ) \bigg | _ { \theta = \bar { \theta } _ { n } } = \frac { 1 } { n _ { 2 } } \sum _ { i = n _ { 1 } + 1 } ^ { n } \left[ \frac { \dddot { \hat { q } } _ { \bar { \theta } _ { n } } } { \hat { q } _ { \bar { \theta } _ { n } } } - \frac { 3 \dot { \hat { q } } _ { \bar { \theta } _ { n } } \ddot { \hat { q } } _ { \bar { \theta } _ { n } } } { \hat { q } _ { \bar { \theta } _ { n } } ^ { 2 } } + \frac { 2 \dot { \hat { q } } _ { \bar { \theta } _ { n } } ^ { 3 } } { \hat { q } _ { \bar { \theta } _ { n } } ^ { 3 } } \right] ( z _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { E } ^ { 2 } } & { = } & { - F _ { 0 i } F ^ { 0 i } = - F _ { 0 i } F _ { \mu \nu } g ^ { 0 \mu } g ^ { i \nu } = - ( F _ { 0 i } F _ { 0 j } g ^ { 0 0 } g ^ { i j } + F _ { 0 j } F _ { i k } g ^ { 0 i } g ^ { j k } ) } \\ { 2 B } & { = } & { g ^ { i k } g ^ { k l } \epsilon _ { j l } F _ { i k } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \int _ { \mathcal { G } \left( \mathbb { R } ^ { d _ { \gamma } } \times T \right) } \Vert \widehat { \mathcal { K } } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { h } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { h } \left( \gamma _ { t } \right) \Vert _ { F } \mathsf { d } \mu = 0 , } \\ & { \forall \mathbf { h } \left( \cdot \right) \in \mathcal { G } \left( \mathbb { R } ^ { d _ { \gamma } } \times T \right) , } \end{array}
P _ { c } = \frac { \exp \left[ \pi \kappa \left( \frac { \cos 2 \theta _ { g } } { 1 - \cos 2 \theta _ { g } } \right) \right] - 1 } { \exp \left[ \pi \kappa \left( \frac { 2 \cos 2 \theta _ { g } } { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { g } } \right) \right] - 1 } \; ,
{ \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { + } ( { \bf r } ) } = { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } + i \frac { \beta \gamma } { 2 \Omega } { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } \hat { \sigma } _ { g e }
{ \cal C } ( z ) = ( 1 + \bar { K } | z | ) ^ { \frac { 8 } { 9 a ^ { 2 } - 4 } } , \ \ \ \ \ \phi = { \frac { 9 a } { 9 a ^ { 2 } - 4 } } \ln ( 1 + \bar { K } | z | ) + C ,
\begin{array} { r l r } { { \bf j } _ { e } } & { { } = } & { { \bf j } _ { \bot e } + j _ { \parallel e } \frac { { \bf B } } { B } = 4 \pi c \Lambda _ { e } \left( { - { \bf e } _ { l } \left( { \nabla _ { n } B _ { m } - \frac { { B _ { m } \nabla _ { n } B } } { B } } \right) + { \bf e } _ { m } \left( { \nabla _ { n } B _ { l } - \frac { { B _ { m } \nabla _ { n } B } } { B } } \right) } \right) } \end{array}
x _ { \Delta } = \sqrt { \frac { A } { 4 \pi } } \ \ \mathrm { w i t h } \ \ A = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \sin \theta x _ { h } ^ { 2 } \frac { \sqrt { l _ { 2 } ( x = x _ { h } , \theta ) m _ { 2 } ( x = x _ { h } , \theta ) } } { f _ { 2 } ( x = x _ { h } , \theta ) } \ .
P _ { F } ( q ) ^ { { \hat { \mu } } { \hat { \nu } } } = \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \sum _ { N _ { X } = 0 } ^ { \infty } } d ( N _ { X } ) \cdot { \frac { 1 \pm \Gamma _ { 1 1 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 \mp \gamma _ { 6 } } { 2 } } \cdot { \frac { q _ { \bar { \sigma } } \Gamma ^ { \bar { \sigma } } \eta ^ { { \bar { \mu } } { \bar { \nu } } } } { q ^ { \tilde { \delta } } q _ { \tilde { \delta } } + \left( { \frac { Q } { \alpha ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } + M _ { N _ { X } } ^ { 2 } } } \cdot { \frac { 1 \pm \gamma _ { 6 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 \mp \Gamma _ { 1 1 } } { 2 } } } } \\ { { \displaystyle { \sum _ { N _ { X } = 0 } ^ { \infty } } d ( N _ { X } ) \cdot { \frac { 1 \pm \Gamma _ { 1 1 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 \pm \gamma _ { 6 } } { 2 } } \cdot { \frac { q _ { \bar { \sigma } } \Gamma ^ { \bar { \sigma } } \eta ^ { { \mu } { \nu } } } { q ^ { \tilde { \delta } } q _ { \tilde { \delta } } + \left( { \frac { Q } { \alpha ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } + M _ { N _ { X } } ^ { 2 } } } \cdot { \frac { 1 \mp \gamma _ { 6 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 \mp \Gamma _ { 1 1 } } { 2 } } } } \end{array} \right.
\mathbf { E } \big [ \widehat { \Phi } ^ { t + d } ( \mu ) \, \big | \, \mathfrak { F } ^ { t } \big ] \leq \mathbf { E } \big [ \widehat { \Phi } ^ { t + d } ( \nu ) \, \big | \, \mathfrak { F } ^ { t } \big ] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { E } \big [ \widehat { \Psi } ^ { t + d } ( \mu ) \, \big | \, \mathfrak { F } ^ { t } \big ] \leq \mathbf { E } \big [ \widehat { \Psi } ^ { t + d } ( \nu ) \, \big | \, \mathfrak { F } ^ { t } \big ] .
\mathfrak { f } ( q ) : = \gamma + \log { 2 } + \left| \log { \frac { q } { \pi } } \right| + \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 0 2 7 \sqrt { q } \log { q } + 0 . 0 6 7 \sqrt { q } + 3 1 6 . 2 2 9 } & { \mathrm { i f ~ 3 \leq ~ q < 4 \cdot ~ 1 0 ^ 5 ~ , } } \\ { 3 . 7 1 5 ( \log { q } ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ 4 \cdot ~ 1 0 ^ 5 ~ \leq ~ q ~ < ~ 1 0 ^ { 1 0 } ~ , } } \\ { ( 0 . 5 9 3 \log \log q + 1 . 2 0 5 ) ( \log { q } ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ q \geq ~ 1 0 ^ { 1 0 } ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { { } \gamma _ { 1 } ( t ) = ( t , 0 ) } \\ { \gamma _ { 2 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { { } \gamma _ { 2 } ( s ) = ( 1 , s ) } \\ { \gamma _ { 3 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { { } \gamma _ { 3 } ( t ) = ( 1 - t , 1 ) } \\ { \gamma _ { 4 } : [ 0 , 1 ] \to D ; \quad } & { { } \gamma _ { 4 } ( s ) = ( 0 , 1 - s ) \partial D = \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } + \gamma _ { 3 } + \gamma _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq \frac { C _ { f } } { \mu } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq \frac { C _ { f } } { \mu } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg \| + \frac { C _ { f } } { \mu } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq \frac { C _ { f } \zeta _ { g , x y } } { \mu } + \frac { C _ { f } L _ { x y } } { \mu } \bigg \| y _ { x } ^ { ( m ) } - y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \leq \frac { C _ { f } \zeta _ { g , x y } } { \mu } + \frac { C _ { f } L _ { x y } \zeta _ { g ^ { \ast } } } { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf x } _ { 0 } = ( 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } } & { , } & { { \mathbf x } _ { N } = ( e - 1 , 2 ) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \dot { { \mathbf x } } ( t _ { 0 } ) = { \mathbf v } ( { \mathbf x } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = ( 1 , 1 ) ^ { { \mathrm T } } } & { , } & { \dot { { \mathbf x } } ( t _ { N } ) = { \mathbf v } ( { \mathbf x } _ { N } , t _ { N } ) = ( e , 3 ) ^ { { \mathrm T } } . } \end{array}
\nabla _ { \theta _ { e } } \Gamma _ { e } = \left\{ \begin{array} { l } { \nabla _ { \theta _ { e } } \log p \left( u _ { v } \mid v \right) , \mathrm { ~ i f ~ } u _ { v } \sim { \cal S } _ { \pi } ( u _ { v } | v ) ; } \\ { \nabla _ { \theta _ { e } } \left( 1 - \log p \left( \hat { u } _ { v } \mid \hat { v } \right) \right) , \mathrm { ~ i f ~ } \hat { u } _ { v } \sim { \cal D } _ { \pi _ { d } } ( \hat { u } _ { v } | \hat { v } ) . } \end{array} \right.
e x p \bigg ( - \int _ { X } \tilde { L } _ { \omega + } ^ { * * } \bigg ) = \int { \cal D } R ^ { + } e x p \Bigg ( - \int _ { X } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \big ( \tau ^ { + } R _ { \mu \nu } ^ { + a b } R _ { a b \rho \sigma } ^ { + } + i R _ { \mu \nu } ^ { + \ \ a b } G _ { \rho \sigma a b } ^ { + } \big ) \Bigg ) .
{ \cal H } _ { s } ( { \bf q } , { \bf p } ) = - \frac { 1 } { v } ( \cos \psi + { \bf h } \cdot \mathbf { q } ) \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } - \sin \psi ( { \bf p } \cdot { \bf a } _ { \phi } ) \, .
{ \cal L } = \left( \partial _ { \mu } \phi \right) ^ { \dagger } \left( \partial ^ { \mu } \phi \right) - ( m ^ { 2 } - k ^ { 2 } X ^ { 2 } ) \phi ^ { \dagger } \phi - i k X _ { \mu } [ \phi \partial ^ { \mu } \phi ^ { \dagger } - \phi ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } \phi ] - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { \mu \nu \rho } H ^ { \mu \nu \rho } ,
\Gamma _ { \bar { c } s } = \Gamma _ { 0 } \left( \frac { m _ { B } } { m _ { b } } \right) ^ { 4 } \int d x d y d y _ { 0 } c ( m _ { b } ) H \left( \frac { m _ { B } } { m _ { b } } x , \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } y , \frac { m _ { B } } { m _ { b } } y _ { 0 } \right) J \left( 1 - \frac { m _ { B } } { m _ { b } } y _ { 0 } + \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } y \right) \; ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \, = \, \left( \begin{array} { c } { \, c \, \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \, \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \, \cos [ \varphi ] } \\ { c \, \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \, \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } \, \sin [ \varphi ] } \\ { c \, u \, \xi \, } \end{array} \right) \ \ } \end{array}
V _ { 2 } ^ { - } ( x ) = \frac { S _ { 0 } ( S _ { 0 } + 1 ) } { x ^ { 2 } } , \qquad V _ { 2 } ^ { + } ( x ) = \frac { ( S _ { 0 } - 2 ) ( S _ { 0 } - 1 ) } { x ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \bar { t } - \mathbf { h } } & { \geq \Big ( \frac { 1 } { m } \sum _ { [ c _ { i } , d _ { i } ] } \beta ( d _ { i } ) - \beta ( c _ { i } ) \Big ) - \mathbf { h } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { [ c _ { i } , d _ { i } ] \mathrm { ~ t y p e ~ ( A ) } } \beta ( d _ { i } ) - \beta ( c _ { i } ) } \\ & { \geq \frac { ( 2 - s ) } { m } \sum _ { [ c _ { i } , d _ { i } ] \mathrm { ~ t y p e ~ ( A ) } } ( d _ { i } - c _ { i } ) \stackrel { \geq } ( 2 - s ) ( 1 - \mathbf { a } - O _ { s , t } ( \eta ) ) . } \end{array}
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { i n } \varphi ( 0 ) \, \mathrm { d } v - \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f \partial _ { t } \varphi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } \varphi : A [ f ] f \right) + 2 \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f ] f \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l r } { P _ { \infty , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 1 } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 1 } , } \\ { \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 1 } } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } - ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 1 } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 1 } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } + \hbar t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 1 } ) } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { d h } } = J _ { \eta , X Y } ^ { \mathrm { ( P ) } } \sum _ { ( i j ) } ( \hat { \eta } _ { i } ^ { x } \hat { \eta } _ { j } ^ { x } + \hat { \eta } _ { i } ^ { y } \hat { \eta } _ { j } ^ { y } ) + J _ { \eta , Z } ^ { \mathrm { ( P ) } } \sum _ { ( i j ) } \hat { \eta } _ { i } ^ { z } \hat { \eta } _ { j } ^ { z }
d s ^ { 2 } = d X ^ { M } d X _ { M } = \frac { R ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \left[ \left( d x ^ { \mu } \right) ^ { 2 } + \left( d y \right) ^ { 2 } \right] + \left( d \mathbf { \Omega } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { 4 ( \alpha P _ { t t } + \beta P _ { y t } + P _ { x t } - P _ { y y } + P _ { x x x x } ) + 3 ( P _ { x } + Q _ { x } ) ( 3 P _ { x } + Q _ { x } ) + 3 ( P + Q ) ( 3 P _ { x x } + Q _ { x x } ) = 0 , } \\ { 4 ( \alpha Q _ { t t } + \beta Q _ { y t } + Q _ { x t } - Q _ { y y } + Q _ { x x x x } ) + 3 ( P _ { x } + Q _ { x } ) ( P _ { x } + 3 Q _ { x } ) + 3 ( P + Q ) ( P _ { x x } + 3 Q _ { x x } ) = 0 . } \end{array}
\tilde { W _ { s } } ^ { N H } = \frac { \tilde { E _ { s } } } { 2 } \left( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ,