harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \delta \tilde { T } _ { s } = \lambda ^ { 2 } \delta T _ { s } ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) , \quad \tilde { \phi } = \lambda ^ { 2 } \phi ( x / \lambda ^ { 2 } , y / \lambda ^ { 2 } , z / \lambda ^ { 2 / \alpha } , t / \lambda ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { F = \alpha + \beta , \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { A = - 2 \mathrm { d } u \mathrm { d } v + ( 1 + \varepsilon f _ { + } ( t - z ) ) \mathrm { d } x ^ { 2 } + ( 1 - \varepsilon f _ { + } ( t - z ) \mathrm { d } y ^ { 2 } + 2 \varepsilon f _ { \times } ( t - z ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ { \beta = \lambda \, \mathrm { d } u } \end{array} \right. . } \end{array}
\langle { \bf \Psi } , { \bf \Xi } \rangle = \frac 1 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ \psi ^ { * } ( x ) \tan ( - i \partial _ { x } ) \xi ( x ) - \xi ( x ) \tan ( - i \partial _ { x } ) \psi ^ { * } ( x ) ] \; d x
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \sigma } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \sigma _ { r r } } & { \sigma _ { \theta \theta } } & { \sigma _ { \Theta \Theta } } & { \sigma _ { r \theta } } & { \sigma _ { r \Theta } } & { \sigma _ { \theta \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { \Sigma } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \Sigma _ { r r } } & { \Sigma _ { \theta \theta } } & { \Sigma _ { \Theta \Theta } } & { \Sigma _ { r \theta } } & { \Sigma _ { r \Theta } } & { \Sigma _ { \theta \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { s } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { s _ { r r } } & { s _ { \theta \theta } } & { s _ { \Theta \Theta } } & { s _ { r \theta } } & { s _ { r \Theta } } & { s _ { \theta \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { S } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { S _ { r r } } & { S _ { \theta \theta } } & { S _ { \Theta \Theta } } & { S _ { r \theta } } & { S _ { r \Theta } } & { S _ { \theta \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { \Delta } = \left[ \begin{array} { l l l } { \Delta _ { r } } & { \Delta _ { \theta } } & { \Delta _ { \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } } \end{array}
- \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \, \partial _ { R } \tilde { \phi } \, \mathrm { d } X \, = \, \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \frac { | \nabla \tilde { \phi } | ^ { 2 } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } X \, .
\{ \mathbf { z } ^ { ( i ) } ( t _ { 1 } ^ { ( i ) } ) , \mathbf { z } ^ { ( i ) } ( t _ { 2 } ^ { ( i ) } ) , \ldots , \mathbf { z } ^ { ( i ) } ( t _ { T } ^ { ( i ) } ) \} _ { i = 1 } ^ { N }
\begin{array} { r l } { H [ v - \frac 1 2 | \mu \mathbf { A } | ^ { 2 } , \mu \mathbf { A } ] } & { { } = \frac 1 2 ( - \mathrm { i } \nabla + \mu \mathbf { A } ) ^ { 2 } + v - \frac 1 2 | \mu \mathbf { A } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ( t , t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } ) } & { = ( \cot \alpha ^ { \prime } + \cot \alpha ^ { \prime \prime } ) t ^ { 2 } + ( \cot \alpha + \cot \alpha ^ { \prime \prime } ) ( t ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \cot \alpha + \cot \alpha ^ { \prime } ) ( t ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { \phantom { = } - 2 ( \cot \alpha \, t ^ { \prime } t ^ { \prime \prime } + \cot \alpha ^ { \prime } \, t t ^ { \prime \prime } + \cot \alpha ^ { \prime \prime } \, t t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } \tilde { V } _ { t } = - \gamma \tilde { V } _ { t } \mathrm { ~ d } t - \nabla u \left( \tilde { \theta } _ { t } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 \gamma } { \beta } } \mathrm { d } B _ { t } , } \\ & { \mathrm { ~ d } \tilde { \theta } _ { t } = \tilde { V } _ { t } \mathrm { ~ d } t , \quad t > 0 . } \end{array}
d \sigma = H ^ { 0 } \otimes f _ { 2 } \otimes f _ { 2 } ^ { ' } + { \frac { 1 } { Q ^ { n } } } H ^ { 1 } \otimes f _ { 2 } \otimes f _ { 2 + n } ^ { ' } + { \cal O } { \left( { \frac { 1 } { Q ^ { n + 1 } } } \right) } ,
\forall u , v , w \in V : \qquad z ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { y - x } { z } } \right) Y ( u , x ) Y ( v , y ) w - z ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { - y + x } { z } } \right) Y ( v , y ) Y ( u , x ) w = y ^ { - 1 } \delta \left( { \frac { x + z } { y } } \right) Y ( Y ( u , z ) v , y ) w ,
\begin{array} { r l } { L ( z ) \cdot { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } } & { = { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } ) + { \mathcal G } ( z ) Q ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } ) } \\ & { \quad + { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } \widehat \Gamma ( { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol U } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 { E [ u ^ { 0 } ] } \geq } & { 2 \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| ^ { 2 } + \| u ^ { n } \| _ { 4 } ^ { 4 } - \frac { 4 \mathrm { g } } { 3 } \left\langle ( u ^ { n } ) ^ { 2 } , u ^ { n } \right\rangle - 2 \epsilon \| u ^ { n } \| ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \, 2 \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| ^ { 2 } + \| u ^ { n } \| _ { 4 } ^ { 4 } - \frac { 2 } { 9 } \big \| u ^ { n } \big \| _ { 4 } ^ { 4 } - 2 \mathrm { g } ^ { 2 } \| u ^ { n } \| ^ { 2 } - 2 \epsilon \| u ^ { n } \| ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \, 2 \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| ^ { 2 } + \frac { 7 } { 9 } \| u ^ { n } \| _ { 4 } ^ { 4 } - 2 ( \mathrm { g } ^ { 2 } + \epsilon ) \| u ^ { n } \| ^ { 2 } , ~ ~ n \ge 1 . } \end{array}
\mathcal { S } _ { N } ^ { + } : = \{ ( \mathbf { j } , \mathbf { k } ) \in ( \mathbb { Z } ^ { d } ) ^ { 2 } \, : \, - 2 ^ { N b } \leq \operatorname* { m i n } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } , \, 0 \leq \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } < N , \, \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } | k _ { \ell } | \leq 2 ^ { N + 1 } T \}
\eta = 2 \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
G _ { 1 } \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } m ^ { 2 k + 4 } \alpha _ { m } ^ { - 2 k - 9 } , \; G _ { 2 } \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } m ^ { 2 k + 3 } \alpha _ { m } ^ { - 2 k - 9 } , \; k = 0 , 1 , 2 . . . ,
\chi ^ { 2 } / N _ { p } = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i } \frac { \left\langle \left[ \left( \bar { O } _ { i } + \Delta O _ { i } \right) - O _ { i } ^ { a } \right] ^ { 2 } \right\rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + \eta \alpha _ { t } A _ { t } + 4 \tilde { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } + 4 L ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } I _ { t } } \\ & { \qquad + 2 \tilde { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 4 \tilde { L } ^ { 2 } I \gamma ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } G _ { l } } \end{array}
{ \cal Z } _ { B o s o n s } = \left\{ \left. \operatorname * { d e t } [ - ( \partial _ { 0 } + A _ { 0 } + i \mu ) ^ { 2 } - ( \partial _ { i } ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } ] \right| _ { P } \right\} ^ { - 1 } \; .
\eta _ { 3 } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, = \, \beta _ { \epsilon } \Bigl ( R ^ { 3 } \eta _ { 3 0 } + R \eta _ { 3 1 } \Bigr ) + R ^ { 3 } \eta _ { 3 2 } + R \eta _ { 3 3 } \, ,
\mathbf { H } ( \mathbf { x } ; \omega ) - \mathbf { H } _ { 0 } ( \mathbf { x } ; \omega ) \big | _ { ( \mathbf { x } , \omega ) \in \Gamma \times \mathbb { R } _ { + } } \longrightarrow \bigcup _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } B _ { l } ,
\mathbf { A } ( \mathbf { x } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } { \frac { \nabla _ { y } \times \mathbf { v } ( \mathbf { y } ) } { \left\| \mathbf { x } - \mathbf { y } \right\| } } \, d ^ { 3 } \mathbf { y } .
\begin{array} { r l r } { a _ { i i } = 1 } & { \Longrightarrow } & { s _ { i i } ^ { \prime } = s _ { i i } \cap \{ 5 \} , } \\ { b _ { i i } = 1 } & { \Longrightarrow } & { t _ { i i } ^ { \prime } = t _ { i i } \cap \{ 5 \} , } \\ { a _ { i i } = 0 } & { \Longrightarrow } & { s _ { i i } ^ { \prime } = s _ { i i } \cap \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \} , } \\ { b _ { i i } = 0 } & { \Longrightarrow } & { t _ { i i } ^ { \prime } = t _ { i i } \cap \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { i } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } , \dot { \bf x } _ { N } ] _ { i } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } , [ { \boldsymbol \omega } , { \bf x } _ { N } ] ] _ { i } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } ( \omega ^ { i } ( { \bf x } _ { N } , { \bf x } _ { N } ) - x _ { N } ^ { i } ( { \boldsymbol \omega } , { \bf x } _ { N } ) ) = \qquad \qquad } \\ { \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ ( { \bf x } _ { N } ( 0 ) , { \bf x } _ { N } ( 0 ) ) \delta _ { i j } - R _ { i a } R _ { j b } x _ { N } ^ { a } ( 0 ) x _ { N } ^ { b } ( 0 ) ] \omega _ { j } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta _ { a b } - x _ { N } ^ { a } ( 0 ) x _ { N } ^ { b } ( 0 ) ] R _ { i a } ( R ^ { T } { \boldsymbol \omega } ) _ { b } = } \\ { R _ { i a } I _ { a b } ( R ^ { T } { \boldsymbol \omega } ) _ { b } . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { a } \left( b \right) \theta _ { a b } \left( c \right) } & { = \theta _ { \epsilon _ { e , f } \left( a \right) } ^ { [ f ] } \left( b \right) \theta _ { \epsilon _ { e f , h } \left( a b \right) } ^ { [ h ] } \left( c \right) = \varphi _ { f , f h } \theta _ { \epsilon _ { e , f } \left( a \right) } ^ { [ f ] } \left( b \right) \varphi _ { h , f h } \theta _ { \epsilon _ { e f , h } \left( a b \right) } ^ { [ h ] } \left( c \right) . } \end{array}
( m _ { \pi ^ { \pm } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { E M } } = \frac { 3 \mathrm { l o g } 2 } { 2 \pi } \alpha _ { \mathrm { E M } } m _ { \rho } ^ { 2 } ,
\left[ \begin{array} { c c c } { { 2 . 1 0 ^ { - 6 } } } & { { 0 . 0 0 1 } } & { { 6 . 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { 0 . 0 0 1 } } & { { 0 . 0 3 } } & { { 6 . 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { 6 . 1 0 ^ { - 5 } } } & { { 0 . 0 3 } } & { { 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } = \big \{ g : ( 0 , \infty ) \rightarrow \mathbb { R } | } & { \; g \mathrm { ~ i s ~ d i f f e r e n t i a b l e } , g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { ~ a n d ~ } \big ( \eta b e ^ { b x } - b \big ) g ( x ) \mathrm { ~ a r e ~ b o u n d e d , ~ a n d } } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { x \downarrow 0 } g ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \downarrow 0 } g ( x ) f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } g ( x ) f ( x ) = 0 \big \} , } \end{array}
f ( \boldsymbol x ) = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol v ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol v = \int _ { \left[ - \frac M 2 , \frac M 2 \right) ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol v ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol v , \quad \boldsymbol x \in \mathbb R ^ { d } .
m \ \mathrm { s a m p l e s } \left\{ \begin{array} { c c c c c } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , } & { x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , } & { \ldots , } & { x _ { 1 } ^ { ( n ) } ; } & { y _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } & { x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } & { \ldots , } & { x _ { 2 } ^ { ( n ) } ; } & { y _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { x _ { m } ^ { ( 1 ) } , } & { x _ { m } ^ { ( 2 ) } , } & { \ldots , } & { x _ { m } ^ { ( n ) } ; } & { y _ { m } } \end{array} \right. \, .
E _ { B S } ^ { ( m o d i f i e d ) } \ = \ \left( 2 \hbar M B \left( \frac { 1 } { 2 } , M \right) \left( n _ { r } + \frac { d } { 4 } + \gamma \right) \right) ^ { \frac { 1 } { M } } \ , \quad M \ = \ \frac { 1 } { m } \ + \ \frac { 1 } { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { h ( x , y , z ) } & { = h ( \langle x \rangle , \langle y \rangle , \langle z \rangle ) + ( x - \langle x \rangle ) h _ { x } + ( y - \langle y \rangle ) h _ { y } + ( z - \langle z \rangle ) h _ { z } } \\ & { + 1 / 2 ( x - \langle x \rangle ) ^ { 2 } h _ { x x } + 1 / 2 ( y - \langle y \rangle ) ^ { 2 } h _ { y y } + 1 / 2 ( z - \langle z \rangle ) ^ { 2 } h _ { z z } } \\ & { + ( x - \langle x \rangle ) ( y - \langle y \rangle ) h _ { x y } + ( x - \langle x \rangle ) ( z - \langle z \rangle ) h _ { x z } } \\ & { + ( y - \langle y \rangle ) ( z - \langle z \rangle ) h _ { y z } + \mathrm { H . O . T . } , } \end{array}
\sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } | \Omega _ { i } | ^ { \frac { 2 } { 3 } } - 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } \leq 2 C ^ { \prime } \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } \varepsilon ^ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { P } } ^ { ( e _ { \alpha } ) } } & { = } & { \sum _ { \mu _ { e _ { \alpha } } = - F _ { e _ { \alpha } } } ^ { F _ { e _ { \alpha } } } | F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e _ { \alpha } } \rangle \langle F _ { e _ { \alpha } } , \mu _ { e _ { \alpha } } | , \, \, \; \alpha = 1 \dots 5 } \\ { { \hat { P } } ^ { ( g _ { n } ) } } & { = } & { \sum _ { \mu _ { g _ { n } } = - F _ { g _ { n } } } ^ { F _ { g _ { n } } } | F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } \rangle \langle F _ { g _ { n } } , \mu _ { g _ { n } } | , \, \, \; n = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \widehat { \mathcal { V } } \left( ( \widehat { U } _ { t } ^ { ( i ) } ) ^ { * } \left( k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } \right) \right) } & { < } & { 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } b _ { j j } ^ { ( i ) } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) } \\ & { < } & { - \operatorname* { m i n } _ { j } \left\lbrace b _ { j j } ^ { ( i ) } \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| \right\rbrace \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { - \operatorname* { m i n } _ { j } \left\lbrace b _ { j j } ^ { ( i ) } \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| \right\rbrace \widehat { \mathcal { V } } \left( ( \widehat { U } _ { t } ^ { ( i ) } ) ^ { * } \left( k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 1 } } & { { } = r ( 1 - y _ { i } ) y _ { t } [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } - 1 } } \\ { J _ { 1 2 } } & { { } = \frac { ( 1 - y _ { i } ) \left( r \left\{ [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } - 1 \right\} + N _ { I } ( w - 1 ) y _ { i } \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } , } \\ { J _ { 2 1 } } & { { } = \frac { N _ { I } ( r - 1 ) ( 1 - y _ { t } ) y _ { t } [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } - 1 } } { N _ { T } } , } \\ { J _ { 2 2 } } & { { } = \frac { ( 2 y _ { t } - 1 ) ( r - 1 ) \left\{ 1 - [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { T } ( w - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { m } v _ { 0 } ^ { b , c , \mu } } & { = C G ( \frac { a + m } { 2 } , \frac { a + m } { 2 } ; \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } \, | \, \frac { \mu } { 2 } , \frac { \mu } { 2 } ) \, C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } ; \, \frac { a + m } { 2 } , - \frac { a + m } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , - \frac { m } { 2 } ) \, v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } } \\ & { = \sqrt { \frac { m + 1 } { a + m + 1 } } \; v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \sigma _ { x y } ( t _ { 1 } ) , \sigma _ { x y } ( t _ { 2 } ) ) } & { \leq d ( \sigma _ { x y } ( t _ { 1 } ) , \sigma _ { x y } ( r _ { 1 } ) ) + d ( \sigma _ { x y } ( r _ { 1 } ) , \sigma _ { x y } ( s _ { 2 } ) ) } \\ & { \phantom { \leq } + d ( \sigma _ { x y } ( s _ { 2 } ) , \sigma _ { x y } ( t _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\sqrt { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( { \mathcal E } _ { T } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } { \mathcal E } _ { T } ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } } \le \left( \frac { K - 1 } { K } \right) \epsilon .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { L } { - s } } } & { = { \frac { \left( { \frac { - s ^ { \prime } - V } { 1 + { \frac { s ^ { \prime } V } { c ^ { 2 } } } } } + V \right) T } { \frac { - s ^ { \prime } - V } { 1 + { \frac { s ^ { \prime } V } { c ^ { 2 } } } } } } } \\ & { = { \frac { \gamma _ { _ { V } } } { \nu ^ { \prime } } } { \frac { - s ^ { \prime } - V + V ( 1 + { \frac { s ^ { \prime } V } { c ^ { 2 } } } ) } { - s ^ { \prime } - V } } } \\ & { = { \frac { \gamma _ { _ { V } } } { \nu ^ { \prime } } } \left( { \frac { s ^ { \prime } \left( 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } { s ^ { \prime } + V } } \right) } \\ & { = { \frac { \gamma _ { _ { V } } } { \nu ^ { \prime } } } \left( { \frac { s ^ { \prime } \gamma ^ { - 2 } } { s ^ { \prime } + V } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { \gamma _ { _ { V } } \nu ^ { \prime } } } \left( { \frac { 1 } { 1 + { \frac { V } { s ^ { \prime } } } } } \right) . } \end{array} }
\mathrm { l . h . s \ o f \ ( \ r e f { t h 1 } ) } \ \leq \ P _ { 1 } ( \, \vert \vec { p } \vert \, ) + \int _ { \hat { \alpha } } ^ { \alpha } d \alpha _ { s } \Bigl \{ \int d ^ { \, 4 } p \ e ^ { \, - \alpha _ { s } ( \, p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } \, P _ { 1 } ( \, \vert \vec { p } \vert , \vert p _ { 0 } \vert , \ldots , \vert p _ { 3 } \vert \, )
\begin{array} { r } { \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 1 } \, \gamma _ { k , k ^ { \prime } } ^ { * } \ge \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 1 } \, \gamma _ { k , k ^ { \prime } } \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \gamma _ { k , k ^ { \prime } } ^ { * } \ge \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \gamma _ { k , k ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Omega } & { { } = I + \frac { 1 } { 2 } ( C ^ { T } + C ) + \frac { 1 } { 4 } \left[ ( C ^ { 2 } ) ^ { T } + 2 C ^ { T } C + C ^ { 2 } \right] + \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ b _ { 0 } \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ 0 } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \ \ d _ { 0 } \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \lambda _ { 0 } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 1 } \end{array}
r _ { \mathrm { I } } \equiv \frac { \sum _ { ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \notin \mathrm { R O I } } \, [ \Xi _ { 2 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) - \Xi _ { 1 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) ] } { \sum _ { ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \notin \mathrm { R O I } } \, [ \Xi _ { 3 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) - \Xi _ { 1 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) ] } = \frac { I _ { 2 } } { I _ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r l } { [ t ] J _ { \pmb { r _ { j } } } ^ { k } = } & { \Delta t \cdot L ^ { - 1 } S ( \pmb { v _ { k - 1 } } ) R ( \pmb { r _ { k - 1 } } ) \cdots L ^ { - 1 } S ( \pmb { v _ { j + 1 } } ) R ( \pmb { r _ { j + 1 } } ) L ^ { - 1 } S ( \pmb { v _ { j } } ) \mathrm { d i a g } ( \pmb { \rho _ { i } } \odot \pmb { \chi _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \tilde { H } } { d t } } & { { } = \langle \frac { d \Psi } { d t } | H | \Psi \rangle + \langle \Psi | H | \frac { d \Psi } { d t } \rangle + \langle \Psi | \frac { d H } { d t } | \Psi \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } z _ { D } = \operatorname* { m i n } \ } & { c ^ { \top } x } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { y ^ { j } \in \mathrm { c o n v } ( Q ^ { j } ) , \quad } & & { j \in J , } \\ & { y ^ { j } = x _ { I ( j ) } , } & & { j \in J , \quad } & & { \qquad ( \pi ^ { j } ) } \\ & { A x \geq b . } & & { } & & { \qquad ( \beta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } = \iint _ { \Omega \times \left[ 0 , T \right] } \mathcal { L } \left( \dot { u } , \nabla \dot { u } , \dot { P } , \nabla u , P , \right) \, \mathrm { ~ d ~ } x \, \mathrm { ~ d ~ } t \, , } \end{array}
\mathbf { G } = \mathbb { K } - \left[ \begin{array} { l l l l } { k _ { s _ { 1 } } } & { 0 } & { \hdots } & { 0 } \\ { 0 } & { k _ { s _ { 2 } } } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { . . . } & { k _ { s _ { 6 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial { \mathcal P } ( x , a , t ) } { \partial a } + \frac { \partial { \mathcal P } ( x , a , t ) } { \partial t } + \delta ( a ) { \mathcal P } ( x , 0 , t ) } \\ & { } & { \quad = \gamma ^ { - 1 } \frac { \partial } { \partial x } \left[ \partial _ { x } U ^ { \epsilon } ( x ) { \mathcal P } ( x , a , t ) \right] + D \frac { \partial ^ { 2 } { \mathcal P } ( x , a , t ) } { \partial x ^ { 2 } } } \end{array}
\hat { S } _ { M C S } = \int d ^ { 3 } x [ - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \alpha } ( \hat { A } + \hat { a } ) _ { \beta } - \partial _ { \beta } ( \hat { A } + \hat { a } ) _ { \alpha } ) * \partial ^ { \alpha } ( \hat { A } + \hat { a } ) ^ { \beta } + \frac { 2 \pi } { g ^ { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } ( \hat { A } + \hat { a } ) _ { \alpha } * \partial _ { \beta } ( \hat { A } + \hat { a } ) _ { \gamma } ] .
\begin{array} { r } { Q = \operatorname* { m a x } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\{ Q _ { \mathbf { f } } , Q _ { \mathbf { g } } , C _ { \mathbf { f } } R _ { \mathbf { f } } , 1 6 d C _ { \mathbf { f } } R _ { \mathbf { g } } \aftergroup \egroup \right\} \, . } \end{array}
\tilde { G } ( t , t ^ { \prime } ; \{ \sigma _ { p } \} ) = \sum _ { h } \int _ { C _ { h } } \tilde { \Delta } ^ { ( h ) } ( t , t _ { 1 } ) d t _ { 1 } G ^ { 0 } ( t _ { 1 } , t ^ { \prime } ; \{ \sigma _ { p } \} )
V _ { e ^ { + } e ^ { - } } = - { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi R } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi R } } \left[ { \dot { \vec { z } } } _ { 1 } \cdot { \dot { \vec { z } } } _ { 2 } + { \frac { ( { \dot { \vec { z } } } _ { 1 } \cdot \vec { R } ) ( { \dot { \vec { z } } } _ { 2 } \cdot \vec { R } ) } { R ^ { 2 } } } \right] \equiv V _ { D } .
\left( - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \{ \nabla , \mathbf { a } \} + U \right) \phi _ { k } = \left( - \mathrm { i } \mathbf { a } \cdot \nabla + \widetilde { U } \right) \phi _ { k } = \sum _ { l } \omega _ { k l } \phi _ { l } .
n _ { 0 } ^ { \mu } \cdot n _ { 0 } ^ { \nu } - n _ { 1 } ^ { \mu } \cdot n _ { 1 } ^ { \nu } - n _ { 2 } ^ { \mu } \cdot n _ { 2 } ^ { \nu } - n _ { 3 } ^ { \mu } \cdot n _ { 3 } ^ { \nu } = g ^ { \mu \nu }
f _ { j } ^ { t + 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { t } { p } _ { i j } ^ { t } + \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { t } { p } _ { i j } ^ { t } ( 1 - { p } _ { i j } ^ { t } ) } \epsilon _ { j } ^ { t }
( x ^ { * } , y ^ { * } , z ^ { * } ) = ( x , y , z ) L _ { c } ^ { * } ; ~ ~ t ^ { * } = \frac { L _ { c } ^ { * } } { u _ { c } ^ { * } } t ; ~ ~ \mathcal { V } ^ { * } = u _ { c } ^ { * } \mathcal { V } ;