harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } } \\ { \| u \| _ { W ^ { 1 , p } } } & { { } \leq C \left( \| \omega \| _ { p } + \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 1 + \frac { 2 } { q } - \frac { 2 } { p } } \right) \| u \| _ { q } \right) } \\ { \| u \| _ { W ^ { 2 , p } } } & { { } \leq C \left( \| \nabla \omega \| _ { p } + ( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| \omega \| _ { p } + \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { p } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { x x } ( \Omega ) \right\} } = - \frac { 2 \pi \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { 2 4 \sqrt { 6 } \Omega } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \int d ^ { 2 } \tilde { k } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \hbar \Omega ) \right] \Bigg \{ 9 6 \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - g \right) \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - g - \hbar \Omega \right) - ( \hbar v _ { F } \tilde { k } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \hbar v _ { F } \tilde { k } \left[ 4 \sqrt { 6 } \left( 2 \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - 2 g - \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } + 5 \hbar v _ { F } k \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \Bigg \} \frac { \delta ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } \right) \left( \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } \right) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t } & { = \operatorname { t r } Q = Q _ { x x } + Q _ { y y } + Q _ { z z } } \\ { r } & { = { \sqrt { 1 + t } } } \\ { s } & { = { \frac { 1 } { 2 r } } } \\ { w } & { = { \frac { 1 } { 2 } } r } \\ { x } & { = \left( Q _ { z y } - Q _ { y z } \right) s } \\ { y } & { = \left( Q _ { x z } - Q _ { z x } \right) s } \\ { z } & { = \left( Q _ { y x } - Q _ { x y } \right) s } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { E _ { B } ( \theta ) = \frac { \mathrm { l n } ( 1 / \varepsilon ^ { u } ) } { D _ { m a x } { \mathrm { l n } ( \frac { T _ { f } \mathrm { l n } ( 1 / \varepsilon ^ { u } ) } { \lambda _ { q } D _ { m a x } } + 1 ) } } } \\ { \theta = \mathrm { l n } ( \frac { T _ { f } { \mathrm { l n } ( 1 / \varepsilon ^ { u } ) } } { \lambda _ { q } D _ { m a x } } + 1 ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle = } & { { } } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \pi / 2 ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { p } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , - 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { p } } ) } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } = B _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } \rho ) e ^ { - j m \phi } + \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { \infty } A _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } \psi _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \bar { S } , \bar { S } ^ { c } ) } { \pi _ { k } ^ { M C } ( \bar { S } ) } \geq \frac { \partial ( \bar { S } , \bar { S } ^ { c } ) } { | \bar { S } | } \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } \geq \iota ( \mathfrak { L } _ { k } ) \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m a x } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } } \end{array}
I _ { \mathrm { e } , n , s } ^ { ( f ) } \approx - \frac { 4 \delta _ { n } q ^ { 2 } v } { r _ { 0 } r _ { c } \varepsilon _ { 0 } } \frac { \left( 1 - \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } \right) ^ { - 2 } u _ { n , s } ^ { 3 } \gamma _ { 0 } e ^ { - 2 \left( 1 - r _ { 0 } / r _ { c } \right) \gamma _ { 0 } u _ { n , s } } } { \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } + \varepsilon _ { 0 } / \varepsilon _ { 1 } + 1 + 2 \beta _ { 0 } ^ { 2 } u _ { n , s } / \gamma _ { 0 } \right) ^ { 2 } } .
S _ { T } = 4 \pi \int _ { \delta } ^ { R } d r [ \partial _ { t } \omega ] _ { 0 } ^ { T } + 4 \pi \int _ { 0 } ^ { T } d t [ \partial _ { r } \omega ] _ { \delta } ^ { R } \qquad ( \delta \rightarrow 0 , R \rightarrow \infty )
\langle x _ { k } | e ^ { - i \hat { { \cal H } } ( \lambda _ { k } ) \Delta \tau } | x _ { k - 1 } \rangle \approx \langle x _ { k } | 1 { - i \hat { { \cal H } } ( \lambda _ { k } ) \Delta \tau } | x _ { k - 1 } \rangle ,
\eta _ { ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) } = 1 , \quad \eta _ { ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) } = - \eta _ { ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) } = i , \quad \eta _ { ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) } = - 1 .
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { { } : = g _ { L } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { L } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { { } : = g _ { H } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { H } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \otimes \left( 1 + d _ { f } \pmb { \lambda } \right) \right) } \end{array} .
{ S } ( \phi ^ { q } ) - { S } ( \phi ^ { r e f } ) = \left. \frac { \partial { S } ( \phi ) } { \partial \phi } \right\rvert _ { \phi = \phi ^ { r e f } } \left( \phi ^ { q } - \phi ^ { r e f } \right) + { \cal O } ( \lvert \delta \phi \rvert ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Delta \left( f _ { \vert _ { L ^ { \Psi } } } ^ { \mathrm { F W } ( k ) } , \mathcal { Y } _ { 0 } \right) } & { \ge \frac { \langle \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) , n ^ { \mathrm { F W } } ( \mathcal { Y } _ { 0 } ) \rangle _ { { ( n , k ) , \mathcal { Y } } } } { \vert \vert \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) \vert \vert _ { { ( n , k ) , \mathcal { Y } } } } } \\ & { = \frac { \langle \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) , - g ^ { \mathrm { F W } } ( \mathcal { Y } _ { 0 } ) \rangle _ { ( n , k ) } } { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \vert \vert \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) \vert \vert _ { ( n , k ) } } } \\ & { \ge \frac { \langle \Psi ^ { \dagger } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) , ( I , I , \ldots , I ) \rangle _ { ( n , k ) } } { \vert \vert n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) \vert \vert } } \\ & { = \frac { \mathrm { t r } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) ) } { \vert \vert n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) \vert \vert } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \Pi _ { C } = \frac { x + \frac { \rho } { 3 } - ( y + \frac { \rho } { 3 } ) r + ( z + \frac { \rho } { 3 } ) \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { D } = \frac { ( 1 + r ) ( x + \frac { \rho } { 3 } ) + ( z + \frac { \rho } { 3 } ) \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { L } = \sigma } \end{array} .
\begin{array} { r } { | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } - | \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } + | \zeta ^ { n } - \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } + \nu \delta | \nabla \zeta ^ { n } | ^ { 2 } \leq \tilde { c } \frac { \delta } { ( \nu \beta ) ^ { 1 / 2 } } | \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } | \nabla \xi ^ { n } | ^ { 2 } + \beta \delta | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } - 2 \beta \delta | \Pi _ { K } \zeta ^ { n } | ^ { 2 } . } \end{array}
+ i \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H T } \left\{ \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , - r , / , v _ { g } ) - \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , r , / , v _ { g } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \exp \left\{ - \frac { \eta } { \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 } + a x \right\} v _ { \beta } ( x ) } & { \geq - r - \frac { h } { \eta } + \frac { h } { \eta } \exp \left\{ - \frac { \eta } { \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 } + a x \right\} } \\ & { \quad + \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } \exp \left\{ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 \eta } a ^ { 2 } \right\} \left[ \Phi \left( \frac { \sqrt { 2 \eta } } { \sigma } x - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } \right) - \Phi \left( - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } \right) \right] } \\ & { \quad - \sigma \frac { h } { \eta } \exp \left\{ \frac { a ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 4 \eta } \right\} \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } \left[ \Phi \left( \frac { \sqrt { 2 \eta } } { \sigma } x - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } \right) - \Phi \left( - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \eta } } \right) \right] . } \end{array}
W = Y _ { a b } ^ { e } \hat { L } _ { a } \hat { H } _ { 1 } \hat { E } _ { b } ^ { c } + Y _ { a b } ^ { d } \hat { Q } _ { a } \hat { H } _ { 1 } \hat { D } _ { b } ^ { c } + Y _ { a b } ^ { u } \hat { Q } _ { a } \hat { H } _ { 2 } \hat { U } _ { b } ^ { c } - \mu \hat { H } _ { 1 } \hat { H } _ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { s } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right) = \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { t } ^ { s } \right) = \left\{ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { s } \left( \xi \right) \vert \xi \in \left[ 0 , \infty \right) \right\} , } \\ { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) = \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) = \left[ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { 1 } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right) , \ldots , \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } ^ { l } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { \mathfrak { b } } _ { 1 , s } ( \omega , \varphi , x , \xi ) : = \sum _ { j _ { k } \in S } \underbrace { C _ { \mathfrak { b } , j _ { k } } ( \xi + \frac { j _ { k } } 2 ) } _ { = : C _ { \mathfrak { b } _ { 1 , s } , j _ { k } } ( \xi ) } \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + j _ { k } x ) } . } \end{array}
\mathcal { E } = \frac { 1 } { 2 } \rho \left\vert \left\vert \mathbf { u } \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { 2 \rho } \left\vert \left\vert \j \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \rho \varepsilon ( \rho , \eta ) + \frac { 1 } { 2 } \rho \left\vert \left\vert \boldsymbol { \psi } \right\vert \right\vert ^ { 2 } ,
\mathbf { \widetilde { T } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } = \{ \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { j } } , \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { i } } , \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { i } } , \tilde { t } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { j } } \}
\mathrm { g h } ( \varphi _ { u } ) = \mathrm { g h } ( \varphi _ { \xi } ) = 0 , \quad \mathrm { g h } ( c _ { \xi } ) = \mathrm { g h } ( c _ { u } ) = 1 , \quad \mathrm { g h } ( \Phi ^ { * } ) = - \mathrm { g h } ( \Phi ) - 1 .
\operatorname * { l i m } _ { | x _ { 1 } | \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \kappa ^ { 2 } } { | x _ { 1 } | ^ { 2 } } \rho _ { i i } \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { | x _ { 1 } | ^ { 2 } } \right) G ( \kappa ^ { 2 } ) = 0 ,
\begin{array} { r } { I _ { 0 } ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) } G ( \lambda ) } \\ { ( 1 + \cos { ( \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { c } \frac { R ^ { 2 } \omega } { \lambda ( 1 - \frac { \omega ^ { 2 } R ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) } ) } ) } \end{array}
\sigma _ { j } ^ { D M M } = \overline { { \overline { { u } } _ { j } \overline { { \omega } } } } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } \overline { { \overline { { \omega } } } } + C _ { S } ^ { 4 } \overline { { \Delta } } ^ { \, 4 } | \overline { { S } } | \frac { \partial ( \nabla ^ { 2 } \overline { { \omega } } ) } { \partial x _ { j } } ,
\hat { \mathsf { K } } _ { 0 } = \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, , \qquad \mathbf { M } _ { a } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } , \qquad \mathbf { F } _ { a } = \omega ^ { 2 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
\mathcal { P } _ { \eta } ( x _ { A } , x _ { B } ) \propto e ^ { - \frac { x _ { A } ^ { 2 } + x _ { B } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( 2 \eta e ^ { 2 r } \sigma ^ { 2 } + ( 1 - \eta ) ( x _ { A } + x _ { B } ) ^ { 2 } ) ,
\frac { \partial \mathbf { a } } { \partial t } = \mathcal { P } _ { \mathbf { a } } ^ { \parallel } \left[ \mathbf { A } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ( t , \mathbf { x } ) + \underline { { \mathbf { L } } } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } \right] \, \right] .
\delta _ { \epsilon } b = - \bar { \epsilon } \Gamma _ { 1 1 } \Gamma _ { m } d \theta \left( d X ^ { m } + { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \theta } \Gamma ^ { m } d \theta \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \theta } \Gamma _ { 1 1 } \Gamma _ { m } d \theta \bar { \epsilon } \Gamma ^ { m } d \theta .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) } & { \geq \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \; \middle \vert \; \tau _ { A \cup B } \in A _ { i } \right) \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A \cup B } \in A _ { i } \right) } \\ & { \geq \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \operatorname* { i n f } _ { u \in G _ { n } \setminus ( A \cup B ) } \mathbb { P } _ { u } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \; \middle \vert \; \tau _ { A \cup B } \in A _ { 0 } \right) \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A \cup B } \in A _ { i } \right) } \\ & { \geq \frac { \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) } { \mathrm { C a p } _ { M } ( A ) + \mathrm { C a p } _ { M } ( B ) } \left( 1 + O \left( \frac { \delta ^ { - 3 } | B | M } { n } + \frac { t _ { \mathrm { m i x } } \cdot \log n } { \delta ^ { 2 } M } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } } \quad } & { \frac { 1 } { 2 \rho _ { 1 } } \left[ \mathrm { T r } ( \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } ) - \| \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } ^ { [ n - 1 ] } \| _ { 2 } - \mathrm { T r } ( \mathbf { \bar { v } } _ { [ \imath ] , k } ^ { [ n - 1 ] } ( \mathbf { \bar { v } } _ { [ \imath ] , k } ^ { [ n - 1 ] } ) ^ { H } ( \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } ^ { [ n - 1 ] } ) ) \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } \left( \tilde { \mathbf { x } } , \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { I } + \mathbf { R } \right) \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \mathbf { R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { G ( \omega ) \approx \frac { \alpha ( H , p , - \nu _ { p } ) } { ( \omega - p ) ^ { \nu _ { p } } } } \\ & { G ^ { \prime } ( \omega ) \approx \frac { - \nu _ { p } ~ \alpha ( H , p , - \nu _ { p } ) } { ( \omega - p ) ^ { \nu _ { p } + 1 } } } \\ & { F ( \omega ) = \frac { G ^ { \prime } ( \omega ) } { G ( \omega ) } \approx \frac { - \nu _ { p } } { \omega - p } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( X ^ { \dagger } ( u a + v ) , w ) } & { = ( - 1 ) ^ { \bar { X } \bar { v } } \varphi ( u a + v , X w ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \bar { X } \bar { v } + \bar { a } \bar { u } } a ^ { \star } \varphi ( u , X w ) + ( - 1 ) ^ { \bar { X } \bar { v } } \varphi ( v , X w ) } \\ & { = \varphi ( ( X ^ { \dagger } u ) a + X ^ { \dagger } v , w ) , } \end{array}
\quad ( 9 ) \qquad \qquad \int _ { v _ { i } } { \frac { \partial { \mathbf { u } } } { \partial t } } \, d v + \int _ { v _ { i } } \nabla \cdot { \mathbf { f } } \left( { \mathbf { u } } \right) \, d v = { \mathbf { 0 } } .
\begin{array} { r } { \frac { \delta ( \nu _ { E 3 } / \nu _ { E 2 } ) } { \nu _ { E 3 } / \nu _ { E 2 } } = - 1 . 2 ( 1 . 8 ) \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } \ \mathrm { ~ y ~ r ~ } ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\Delta { \tilde { H } } _ { i = 3 , 4 , 1 } ^ { q } ( \xi , \zeta , \mu _ { F } ^ { 2 } , \lambda ) = H _ { i = 1 , 2 , 3 } ^ { q } ( \xi , \zeta , \mu _ { F } ^ { 2 } , \lambda ) - 4 C _ { F } ( 1 - \xi ) \delta ( 1 - \zeta ) \ \ \ .
\begin{array} { r l r } { G ( t , \tau ) } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \left( \frac { 1 } { 1 - \tau } \right) ^ { j + m + 1 } \left( t \tau \right) ^ { j } } \\ & { = } & { \left( \frac { 1 } { 1 - \tau } \right) ^ { m + 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \left( - \frac { t \tau } { 1 - \tau } \right) ^ { j } } \\ & { = } & { \left( \frac { 1 } { 1 - \tau } \right) ^ { m + 1 } \exp \left( - \frac { t \tau } { 1 - \tau } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i } ^ { - 1 } ( z _ { i + 1 } , \chi ) } & { { } = m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) + ( 1 - m ^ { ( i ) } ) \left( z _ { i + 1 } + t ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) , \chi ) \right) e ^ { - s ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i + 1 } ) , \chi ) } } \\ { f _ { \theta } ^ { - 1 } ( \tilde { \phi } ) } & { { } = \left( g _ { n } ^ { - 1 } \circ \dots \circ g _ { 1 } ^ { - 1 } \right) ( \tilde { \phi } ) } \end{array}
\nu _ { 2 } = \mu _ { m a x , P H } \frac { S _ { I C } } { K _ { P H , I C } + S _ { I C } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } } { K _ { P H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } } \frac { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n } } { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n } + S _ { O _ { 2 } } } \frac { K _ { M } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M } \frac { I } { I _ { o p t } } \ e ^ { ( 1 - ( \frac { I } { I _ { o p t } } ) } \ f _ { P H }
\def \P { \operatorname { \mathsf P } } \begin{array} { r l } { \P ( A ^ { - } \mid B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } & { = \frac { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } { \P ( B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } } \\ & { = \frac { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) + \P ( A ^ { + } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } } \end{array}
V _ { L P } = \lambda \epsilon _ { L P } \sum _ { i j } \left[ 5 \left( \frac { r _ { 0 } ^ { i j } } { r ^ { i j } } \right) ^ { 1 2 } - 6 \left( \frac { r _ { 0 } ^ { i j } } { r ^ { i j } } \right) ^ { 1 0 } \right] + V _ { e x v }
\begin{array} { r } { \mathrm { C C } = \frac { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { R V M } } - \langle \tau ^ { \mathrm { R V M } } \rangle \right) \left( \tau ^ { \mathrm { F D N S } } - \langle \tau ^ { \mathrm { F D N S } } \rangle \right) \rangle } { \sqrt { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { R V M } } - \langle \tau ^ { \mathrm { R V M } } \rangle \right) ^ { 2 } \rangle } \sqrt { \langle \left( \tau ^ { \mathrm { F D N S } } - \langle \tau ^ { \mathrm { F D N S } } \rangle \right) ^ { 2 } \rangle } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { s _ { v , \mathrm { r e l } } } { n } } & { { } = } & { - \frac { 3 } { 2 } k _ { B } \ln \left[ \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { T _ { \perp } } { T _ { \parallel } } \right) ^ { 1 / 3 } + \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { T _ { \parallel } } { T _ { \perp } } \right) ^ { 2 / 3 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } } & { = I - \theta ^ { \sharp } \otimes \zeta _ { t } - ( I \theta ^ { \sharp } ) \otimes ( \zeta _ { t } \circ I ) , } \\ { g _ { t } } & { = g + d \zeta _ { t } \circ ( I \otimes \mathrm { I d } ) + \zeta _ { t } \otimes \theta ^ { c } + \theta ^ { c } \otimes \zeta _ { t } + \zeta _ { t } \otimes \zeta _ { t } . } \end{array}
( \delta _ { a b } \partial ^ { \mu } + g f _ { a b c } A _ { c } ^ { \mu } ) ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { b } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { b } + g f _ { b d e } A _ { \mu } ^ { d } A _ { \nu } ^ { e } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { D _ { E } } & { \equiv 1 . 0 1 8 9 6 \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { D _ 0 } { g ( \sigma ) } ~ } } \\ { \nu _ { E } } & { \equiv 1 . 0 1 6 \, \nu _ { 0 } \left[ \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { g ( \sigma ) } ~ } + 0 . 8 ( b n _ { 0 } ) + 0 . 7 6 1 5 ( b n _ { 0 } ) ^ { 2 } g ( \sigma ) \right] } \\ { \nu _ { b E } } & { \equiv \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 6 } { 5 \pi } ~ } \nu _ { 0 } ( b n _ { 0 } ) ^ { 2 } g ( \sigma ) } \end{array}
P _ { 0 } = \int \! d \, ^ { 3 } x T _ { e ^ { + } e ^ { - } } ^ { 0 0 } = \int \! d \, ^ { 3 } x [ \overline { { { \Psi } } } ( i \gamma _ { i } \partial _ { i } - e \gamma _ { i } A _ { i } + m ) \Psi + e \overline { { { \Psi } } } \gamma _ { 0 } A _ { 0 } \Psi ] = \int \! d \, ^ { 3 } x \overline { { { \Psi } } } i \gamma _ { 0 } \partial _ { 0 } \Psi \ ,
\begin{array} { l l } { \left| \Phi ^ { + } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle ) } & { \left| \Phi ^ { - } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 0 \rangle - | 1 1 \rangle ) } \\ { \left| \Psi ^ { + } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 1 \rangle + | 1 0 \rangle ) } & { \left| \Psi ^ { - } \right\rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 0 1 \rangle - | 1 0 \rangle ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { M _ { t } } ( m ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { m } f _ { M _ { t } , W _ { t } } ( m , w ) \, d w = \int _ { - \infty } ^ { m } { \frac { 2 ( 2 m - w ) } { t { \sqrt { 2 \pi t } } } } e ^ { - { \frac { ( 2 m - w ) ^ { 2 } } { 2 t } } } \, d w } \\ & { = { \sqrt { \frac { 2 } { \pi t } } } e ^ { - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 t } } } , \qquad m \geq 0 , } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) .
\frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } p ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } p ^ { \prime } = \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } }
{ \bf w } _ { 8 } = ( 0 ^ { 8 } , ( 1 / 2 ) ^ { 8 } ) , \quad { \bf w } _ { 9 } = ( 0 ^ { 4 } , ( 1 / 2 ) ^ { 4 } , 0 ^ { 4 } , ( 1 / 2 ) ^ { 4 } ) .
\frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 2 } \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } = \ln ( \rho ^ { \mathrm { ~ v ~ } } N _ { \mathrm { ~ p ~ } } v _ { 0 } ) + N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \ln ( 1 - \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } ) - \left( 1 - \frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 2 } \right) \ln \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } .
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e m b } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) = } & { \frac { \delta } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } ( E _ { \mathrm { t o t } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] - E _ { \mathrm { A } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] ) } \\ { = } & { \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } + \frac { \delta E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { t o t } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } - \frac { \delta E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { Q M } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } . } \end{array}