harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathbb P \left( \frac { M _ { N } } { \mathfrak d } > \mathfrak c _ { 1 } \right) } & { \leqslant } & { \mathbb P \left[ \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( { \tt b } ( X _ { T } ^ { i } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ^ { i } ) ) \right| > \log \left( \frac { \mathfrak c } { \overline { \alpha } _ { H } T ^ { 2 H } \sigma ^ { 2 } \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } ^ { 2 } } \mathfrak d \right) \frac { \mathfrak d } { \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } } \right] } \\ & { \leqslant } & { \mathbb P \left[ \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ { \tt b } ( X _ { T } ^ { i } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ^ { i } ) - \mathbb E ( { \tt b } ( X _ { T } ^ { i } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ^ { i } ) ) ] \right| > \mathfrak u \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \emph { F } _ { g } ( \textbf { h } _ { k } ^ { ( 1 , k ) } ( g - 1 ) ) = \emph { F } _ { g } ( \textbf { h } _ { k } ^ { ( 2 , k ) } ( g - 1 ) ) = \ldots = \emph { F } _ { g } ( \textbf { h } _ { k } ^ { ( k - 1 , k ) } ( g - 1 ) ) } \\ & { = \emph { F } _ { g } ( \textbf { h } _ { k } ^ { ( k , k + 1 ) } ( g - 1 ) ) = \ldots = \emph { F } _ { g } ( \textbf { h } _ { k } ^ { ( k , q + 2 ) } ( g - 1 ) ) = \textbf { h } _ { k } ( g ) , } \end{array}
\small \left( \begin{array} { l l l } { \delta ^ { 2 } } & { 2 \gamma \delta } & { \frac { 1 } { n } \gamma ^ { 2 } } \\ { \beta \delta } & { \alpha \delta + \beta \gamma } & { \frac { 1 } { n } \alpha \gamma } \\ { n \beta ^ { 2 } } & { 2 n \alpha \beta } & { \alpha ^ { 2 } . } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } n } } & { \frac { 1 - \alpha } { \beta ^ { 2 } n } } & { \frac { \alpha } { 2 \beta ^ { 2 } n } } \\ { \frac { 1 - \alpha } { \beta n } } & { \frac { 1 } { 2 \beta n } } & { - \frac { 1 } { 4 \beta n } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } n } } & { \frac { 1 - \alpha } { \beta ^ { 2 } n } } & { \frac { \alpha } { 2 \beta ^ { 2 } n } } \\ { \frac { 1 - \alpha } { \beta n } } & { \frac { 1 } { 2 \beta n } } & { - \frac { 1 } { 4 \beta n } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k + 1 } \vert \| _ { k + 1 } ^ { 2 } + \widetilde { \rho } ( 1 - \frac { C _ { \epsilon } } { \alpha } ) \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k + 1 } , \boldsymbol { p } _ { k + 1 } ; \mathcal { T } _ { k + 1 } ) } } \\ & { } & { \leq ( 1 + \delta _ { 1 } ) \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { k } \vert \| _ { k } ^ { 2 } + \frac { C _ { 3 } } { \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \alpha } \bigg ( \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { k + 1 } , \boldsymbol { q } _ { k + 1 } ; \mathcal { T } _ { k + 1 } ) + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { k } , \boldsymbol { q } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) \bigg ) } \\ & { } & { \quad + \widetilde { \rho } ( 1 + \epsilon + \frac { C _ { \epsilon } } { \alpha } ) \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { T } _ { k } ) - \widetilde { \rho } ( 1 + \epsilon ) \lambda \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { k } , \boldsymbol { p } _ { k } ; \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { k } \rightarrow \mathcal { T } _ { k + 1 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \underbrace { \rho \pi \frac { c ^ { 2 } } { 4 } \left( U _ { \infty } \dot { \theta } + \frac { c } { 2 } \ddot { \theta } \right) } _ { \mathrm { a d d e d ~ m a s s } } + \underbrace { \rho \pi U _ { \infty } c \left( U _ { \infty } \theta + \frac { 3 c } { 4 } \dot { \theta } \right) } _ { \mathrm { q u a s i - s t e a d y } } + \underbrace { \left[ C ( k ) - 1 \right] \rho \pi U _ { \infty } c \left( U _ { \infty } \theta + \frac { 3 c } { 4 } \dot { \theta } \right) } _ { \mathrm { w a k e - i n d u c e d } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \exp \left( \log N - c n \frac { t ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) \wedge 1 \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { K ^ { 2 } \log N } { c n } } + \int _ { \sqrt { { K ^ { 2 } \log N } / { c n } } } ^ { \infty } 2 \exp \left( \log N - c n \frac { t ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \sqrt { \frac { K ^ { 2 } \log N } { c n } } + \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \exp \left( - c n \frac { t ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } - 2 \sqrt { c n \log N } \frac { t } { K } \right) } \\ & { \leq \sqrt { \frac { K ^ { 2 } \log N } { c n } } + \frac { K } { \sqrt { c n \log N } } } \\ & { \leq C K \sqrt { \frac { \log N } { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ h _ { n } ^ { - 1 } \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } \big ] } & { = \mathbb { E } \big [ h _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } \big ] \big ] } \\ & { = \mathbb { E } \Big [ \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ \big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } ) ^ { 2 } \big ] + \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ \big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { \quad - 2 \, \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } \big ] \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } \big ] \Big ] \, , } \end{array}
\delta _ { R } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \alpha } { 2 } \left( 1 - \cos \big ( \pi \frac { z - z _ { D } } { z _ { T } - z _ { D } } \big ) \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z \geq z _ { D } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z < z _ { D } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } } & { = 2 \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } } \\ & { : = \MakeUppercase { \romannumeral 1 } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { t } = \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) = \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) + \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \big ( \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \big ) ^ { - 1 } \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] . } \end{array}
m _ { \varphi { \bar { \varphi } } } ^ { 2 } \sim G _ { \varphi { \bar { \varphi } } } ^ { - 1 } \, \left( G ^ { i { \bar { \jmath } } } R _ { i { \bar { \jmath } } \varphi { \bar { \varphi } } } - G _ { \varphi { \bar { \varphi } } } \right) { \frac { m _ { 3 / 2 } ^ { 4 } } { M _ { p } ^ { 2 } } } { \cal J } \ ,
\widetilde { \Pi _ { \alpha \alpha } ^ { \mathrm { e q } } } = - \frac { \rho ( u _ { \alpha } - 1 ) ( 6 u _ { \alpha } \sqrt { 3 u _ { \alpha } ^ { 2 } + 1 } + 1 2 u _ { \alpha } ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 u _ { \alpha } ^ { 2 } + 1 } + 4 ) } { 6 ( 2 u _ { \alpha } + \sqrt { 3 u _ { \alpha } ^ { 2 } + 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } & { { } = \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } \end{array}
V ^ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { I - \frac 1 2 ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ^ { T } , } & { \mathrm { i f ~ } i , j \in \mathcal { V } _ { r } , } \\ { I - \frac 1 2 \textbf { e } _ { i } ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ^ { T } , } & { \mathrm { i f ~ } i \in \mathcal { V } _ { r } , j \in \mathcal { V } _ { s } , } \\ { I - \frac 1 2 \textbf { e } _ { j } ( \textbf { e } _ { j } - \textbf { e } _ { i } ) ^ { T } , } & { \mathrm { i f ~ } i \in \mathcal { V } _ { s } , j \in \mathcal { V } _ { r } , } \\ { I , } & { \mathrm { i f ~ } i , j \in \mathcal { V } _ { s } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Theta _ { V } [ f ] ( x , k , t ) } & { { } = \int _ { \mathbb { R } } V _ { w } ( x , k - { k ^ { \prime } } ) f ( x , k ^ { \prime } , t ) ~ \mathrm { d } k ^ { \prime } , } \\ { V _ { w } ( x , k ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } \hbar } \int _ { \mathbb { R } } \exp ( - \mathrm { i } k y ) \, \left[ V ( x + \frac { y } { 2 } ) - V ( x - \frac { y } { 2 } ) \right] \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { H } [ u , \mathbf { A } ] } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bar { h } _ { j } [ u , \mathbf { A } ] } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { 2 } - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \{ \nabla _ { j } , \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { j } ) \} + u ( \mathbf { r } _ { j } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { l } ( N _ { 1 } ) } & { \cong H _ { l } ^ { - 1 } ( q ) + H _ { l } ^ { - 1 } ( y ) \cdot \omega + \Xi ( \mathcal { I } _ { ( N _ { 1 } , - 1 ; \mathsf { B } ) } ( \mathfrak z ) ) + H _ { l } ^ { 1 } ( r ) \cdot \omega ^ { * } } \\ & { \cong L _ { 1 0 } + L _ { 1 2 } \cdot \omega + \Xi ( L _ { 1 1 } \cdot \omega ^ { * } + L _ { 1 0 } + L _ { 1 2 } \cdot \omega ) + L _ { 1 1 } \cdot \omega ^ { * } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } C ( G _ { i } ) \, p _ { q } ^ { q } ( G _ { i } , \psi _ { q } ^ { * } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } C ( G _ { m } ^ { * } ) \, p _ { q } ^ { q - 1 } ( G _ { m } ^ { * } , \psi _ { q } ^ { * } )
C = \left( { \begin{array} { l l l } { { \frac { \sigma } { \epsilon } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { \sigma } { \epsilon } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { p , j } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { j } } } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \alpha _ { j } } } \biggr ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { t } { 2 \sqrt { \alpha _ { j } } } \biggr ) \cos ( \pi p \frac { t } { \sqrt { \alpha _ { j } } } ) e ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t , } \\ { S _ { p , j } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { j } } } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \alpha _ { j } } } \frac { 1 } { 2 \pi } \sin ( \pi p \frac { t } { \sqrt { \alpha _ { j } } } ) e ^ { - t ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { i j } } & { { } = } & { - \overline { { \rho } } \langle \left[ \left( u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \right) \left( u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \right) \right] \rangle } \\ { R _ { i j } } & { { } = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle + \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Y ( d , \delta , \sigma , N ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { \frac { d } { \sigma - d } ( \frac 1 2 - \frac \delta \sigma ) } } & { \mathrm { i f ~ } \delta / \sigma < 1 / 2 , } \\ { \log ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta / \sigma = 1 / 2 , } \\ { \log ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta / \sigma > 1 / 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { D i r a c } = } & { \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) \Big ] } \\ & { + t _ { \mathrm { s o } } \bigr ( | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { y } \uparrow | - e ^ { i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { y } } | \vec { j } + \vec { e } _ { y } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | \bigr ) + h . c . \Big ] \Big \} , } \end{array}
m _ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \tilde { v } _ { 0 } \hat { K } _ { 1 } v _ { i } ) ( \tilde { v } _ { i } \hat { K } _ { 1 } v _ { 0 } ) } { e _ { 0 } - e _ { i } }
D ^ { \ast } = G \left( { \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } + \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f } } { \partial x } } \right] , 0 \right\} } \right) ,
{ \begin{array} { r l r l r l } { e } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , } & { f } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } , } & { h } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\| ( \mathbf { A } - z _ { i } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { b } - \mathsf { l a n } _ { k } ( 1 / ( x - z _ { i } ) ) \| _ { | \vec { A } - z _ { i } \vec { I } | } = \operatorname* { m i n } _ { \deg ( p ) < k } \| ( \mathbf { A } - z _ { i } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { b } - p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { i } \vec { I } | } .
\begin{array} { r l r } { 1 } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \; , } \\ { K _ { i } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { i } \, f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \; , \; i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} \; , } \\ { K _ { i j } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { i } x _ { j } \, f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \; , \; ( i , j ) \in \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) \} \; , } \\ { K _ { i j k } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { i } x _ { j } x _ { k } \, f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \; , \; ( i , j , k ) \in \{ ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 ) \} \; , } \\ { K _ { 1 2 3 4 } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } \, f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \sigma ^ { 0 } = - { \bf 1 } _ { 2 \times 2 } = { \bar { \sigma } } ^ { 0 } , } } & { { \sigma ^ { 1 } = \tau _ { z } = - { \bar { \sigma } } ^ { 1 } , } } \\ { { \sigma ^ { 2 } = \tau _ { x } = - { \bar { \sigma } } ^ { 2 } , } } & { { \sigma ^ { 3 } = \tau _ { y } = - { \bar { \sigma } } ^ { 3 } , \quad ( \mathrm { o r } \quad \sigma ^ { y } = \tau _ { y } = - { \bar { \sigma } } ^ { y } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \xi _ { n } ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } = \| \xi _ { 0 } ^ { \nu } \ast \psi _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \leq \| \xi _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \| \psi _ { n } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } = C ( n , p ) \| \xi _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } \end{array}
N _ { M } = \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { ( \eta ^ { \prime } \Gamma ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { \beta ^ { 3 / 2 } ( 1 - \beta ^ { 1 / 2 } ) \kappa _ { M } ^ { 1 / 2 } N _ { e } ( N _ { r } + 2 \kappa _ { M } N ) ^ { 1 / 2 } } { \alpha ^ { 1 / 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) N ^ { 1 / 2 } } ,
\widehat { \mathbf { P } } _ { + } ^ { ( \infty ) } ( z ) = \widehat { \mathbf { P } } _ { - } ^ { ( \infty ) } ( z ) \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { - e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { - } , 0 ) , } \\ & { - \mathbf { I } , \quad } & { z } & { \in ( 0 , z _ { + } ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { + } , + \infty ) } \end{array} \right.
\varepsilon ( a , b ) = \sqrt { \frac { \langle [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } \rangle } { \sqrt { \langle [ E _ { a } ( V ) - \langle E _ { a } \rangle ] ^ { 2 } \rangle \langle [ E _ { b } ( V ) - \langle E _ { b } \rangle ] ^ { 2 } \rangle } } } .
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } ( P ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { \ell \in \Lambda } \operatorname* { m a x } _ { z \geq 0 } \operatorname* { m a x } _ { Q \ll P } \sum _ { x \in \mathcal { X } } g _ { z , Q , P } ( x ) \ell ( x ) } \\ & { \geq \operatorname* { m a x } _ { z \geq 0 } \operatorname* { m a x } _ { Q \ll P } \operatorname* { m i n } _ { \ell \in \Lambda } \sum _ { x \in \mathcal { X } } g _ { z , Q , P } ( x ) \ell ( x ) , } \end{array}
{ \bf S } _ { B H } = { \frac { \bf A } { 4 G _ { N } } } ; \qquad { \bf A } = 2 \pi ^ { 2 } ( r ^ { 2 } e ^ { 2 U } ) _ { r = 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } = 2 \pi ^ { 2 } \Big ( { \frac { Z _ { h o r } } { 3 } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } }
\begin{array} { r } { L ( Y | \alpha , \beta , \xi ) = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { \alpha + \beta t _ { i } - \xi \mathcal { N } [ 0 , t _ { i } ) } \right) \times } \\ { e ^ { - \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { f i n } } \exp ( \alpha + \beta t - \xi \mathcal { N } [ 0 , t ) ) d t } } \end{array}
\langle A ^ { ( 1 ) a } ( k ) { A ^ { ( 1 ) b } } ^ { * } ( k ^ { \prime } ) \rangle = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( k - k ^ { \prime } ) \delta _ { a } ^ { b } \langle { A ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } \rangle _ { { \bf k } \omega } ,
K _ { t } ( x ) = C ( \gamma ) \mathcal { F } ^ { - 1 } [ e ^ { - i t | \xi | ^ { \frac { \beta } { \alpha } } } ] + | x | ^ { - d } \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } C _ { k } \left( \frac { | x | ^ { \beta } } { t ^ { \alpha } } \right) ^ { k } + C _ { m } t ^ { - m \alpha } W _ { 1 } \left( \frac { x } { t ^ { \frac { \alpha } { \beta } } } \right) + t ^ { - \frac { d \alpha } { \beta } } W \left( \frac { x } { t ^ { \frac { \alpha } { \beta } } } \right) .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { { } = P ( \widehat { L } , t ) \left[ f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \right] } \end{array}
\{ L _ { 1 } ( u ) , L _ { 2 } ( v ) \} = [ r ( u - v ) , L _ { 1 } ( u ) + L _ { 2 } ( v ) ] , \quad r ( u ) = { \frac { 1 } { u } } \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { T _ { n , 1 } ^ { 1 } ( \theta ) = T _ { n , - 1 } ^ { 1 } ( \theta ) } & { = - \mu _ { n } \pi _ { n } ( \theta ) , } \\ { T _ { n , 1 } ^ { 2 } ( \theta ) = - T _ { n , - 1 } ^ { 2 } ( \theta ) } & { = - \mu _ { n } n ( n + 1 ) \sin ( \theta ) \pi _ { n } ( \theta ) , } \\ { T _ { n , 1 } ^ { 3 } ( \theta ) = - T _ { n , - 1 } ^ { 3 } ( \theta ) } & { = - \mu _ { n } \tau _ { n } ( \theta ) , } \end{array}
\| f _ { \ell } ^ { \mathrm { l o w } } \| _ { r ^ { - 1 } H _ { e } ^ { - 1 } ( B _ { n , \ell } ) } \leq \operatorname* { s u p } _ { \| u \| = 1 } \langle u , f _ { \ell } ^ { \mathrm { l o w } } \rangle _ { L ^ { 2 } } \leq \operatorname* { s u p } _ { \| u \| = 1 } \| u \| _ { r H _ { e } ^ { 1 } } \| r f _ { \ell } ^ { \mathrm { l o w } } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { n \ell } ) } \leq \| r f _ { \ell } ^ { \mathrm { l o w } } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { n \ell } ) }
{ \cal L } = - \, \frac { 1 } { 4 } \, F _ { \mu \nu } \, F ^ { \mu \nu } - \, \frac { 1 } { 1 2 } \, H _ { \mu \nu \rho } \, H ^ { \mu \nu \rho } \, + { \frac { m } { 4 } } \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda } \, B _ { \mu \nu } F _ { \rho \lambda } \, ,
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } ( x , y , z ) } & { { } = \left\| ( \mathbf { v _ { I } } . \mathbf { { t _ { 1 } } } ) \mathbf { { t _ { 1 } } } + ( \mathbf { v _ { I } } . \mathbf { { t _ { 2 } } } ) \mathbf { { t _ { 2 } } } \right\| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { D } ^ { \pm } } & { { } = i \frac { \kappa } { c \, \omega \mu } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } + \left( \varepsilon - \frac { \kappa ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \mu } \right) \vec { E } ^ { \pm } , } \\ { \vec { B } ^ { \pm } } & { { } = \frac { 1 } { \omega } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } , } \\ { \vec { H } ^ { \pm } } & { { } = \frac { 1 } { \omega \mu } \vec { k } _ { \pm } \wedge \vec { E } ^ { \pm } + i \frac { \kappa } { c \mu } \vec { E } ^ { \pm } . } \end{array}
L _ { D - v o l } = D _ { R } ( G _ { R } ( X ^ { d o w n } ) ) - D _ { R } ( Y ^ { d o w n } ) + \lambda * ( | ( | \nabla _ { ( } Y _ { m i x } ) ( D _ { R } ( Y _ { m i x } ) ) | ) | _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }
\Phi ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 } F _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \theta ^ { \beta } \quad \rightarrow \quad \frac { \partial \Phi } { \partial \theta ^ { \nu } } = \frac { F _ { \alpha \beta } } { 2 } \left( \delta _ { \nu } ^ { \alpha } \theta ^ { \beta } + \theta ^ { \alpha } \delta _ { \nu } ^ { \beta } \right) = F _ { \alpha \nu } \theta ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { M f \mathrel { \mathop : } = M _ { d } f } & { \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } _ { r } \big | \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } f ( x - t ^ { d } ) \ d t \big | = \operatorname* { s u p } _ { r } \big | \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r ^ { d } } f ( x - t ) \ \frac { 1 } { d t ^ { 1 - 1 / d } } \ d t \big | , } \end{array}
\mu _ { n } ^ { 2 } \phi _ { n } ( z ) = \left( m ^ { 2 } - \frac { g ^ { 2 } N } { 2 \pi } \right) \left( \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 1 - z } \right) \phi _ { n } ( z ) - \frac { g ^ { 2 } N } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z ^ { \prime } \frac { \phi _ { n } ( z ^ { \prime } ) } { ( z - z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ,
\langle \psi _ { { \xi } } ^ { m l } \vert \frac { { \bf { p } } ^ { 2 } } { 2 m } \vert \psi _ { { \xi } } ^ { m l } \rangle = \frac { 2 \sqrt { \beta } } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d p } { ( 1 + \beta p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } = \frac { 1 } { 2 m \beta } \quad .