harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F ( \bar { x } _ { T } ) - F ( x _ { * } ) } & { \leq O \left( \log ^ { 2 } ( 1 / \delta ) \left( \frac { G ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } { \mu T } + \frac { M ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 p } M ^ { 2 - 2 p } + \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } } { \mu T ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p } } } \right) \right) ; } \\ { \left\Vert x _ { T + 1 } - x _ { * } \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq O \left( \log ^ { 2 } ( 1 / \delta ) \left( \frac { G ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } T } + \frac { M ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 p } M ^ { 2 - 2 p } + \sigma ^ { p } G ^ { 2 - p } } { \mu ^ { 2 } T ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p } } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 - \frac { i } { 2 } , \bar { j } + 1 - \frac { i } { 2 } ) } \} = \sum _ { m ^ { \prime } } \lambda _ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 , i } ^ { - 1 } C _ { m ^ { \prime } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } p \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } \bar { e } _ { m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( \bar { j } + 1 ) } \} } \\ & { = \sum _ { m ^ { \prime } } \lambda _ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 , i } ^ { - 1 } C _ { m ^ { \prime } , m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } \left( p M ( \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } \} , \bar { e } _ { m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( \bar { j } + 1 ) } ) + p M ( e _ { m ^ { \prime } } ^ { ( j _ { 2 } - 1 ) } , \{ e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 2 } + \bar { m } - m ^ { \prime } } ^ { ( \bar { j } + 1 ) } \} ) \right) . } \end{array}
{ \cal T } = { \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 } } { \cal R } _ { 0 } \cdot { \cal R } _ { 0 } - { \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } } \biggl [ { \cal R } _ { 0 } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } \; { \cal R } _ { 0 } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } - { \cal R } _ { 0 } \cdot { \cal R } _ { 0 } \; { \cal R } _ { \mathrm { i } } \cdot { \cal R } _ { \mathrm { i } } \biggr ]
\begin{array} { r } { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t + 1 ) = 1 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) } \end{array} \Bigg ) = b ( l - k ) } \\ { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t + 1 ) = 0 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) } \end{array} \Bigg ) = b k } \end{array} ,
o _ { p q } ^ { ( \ell m ) } = \langle p | \frac { X _ { \ell m } ( \hat { r } ) } { r ^ { \ell + 1 } } | q \rangle , \quad M _ { r s } ^ { ( \ell m ) } = \frac { 4 \pi \langle r | r ^ { \ell } X _ { \ell m } ( \hat { r } ) | s \rangle } { 2 \ell + 1 } .
\begin{array} { r l } { f \left( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { \ell _ { b } } , \boldsymbol { \ell _ { p } } \right) = } & { \frac { p _ { T A R G } } { N _ { T A R G } } \sum _ { i \in T A R G } \left( d _ { i } - \hat { d } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { p _ { R O B } } { N _ { R O B } } \sum _ { i \in R O B } d _ { i } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { p _ { T A R G } } { N _ { T A R G } } \sum _ { i \in T A R G } \left( D R _ { i } - \widehat { D R } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { p _ { T A R G } } { N _ { T A R G } } \sum _ { i \in T A R G } \left( L E T _ { i } - \widehat { L E T } \right) ^ { 2 } } \end{array}
F _ { 1 } \rightarrow F _ { 1 } ^ { ( E = 0 ) } + E \left. { \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial E } } \right\vert _ { E = 0 } \equiv F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + E F _ { 1 } ^ { \prime ( 0 ) } \; ,
\begin{array} { r l } { \Psi _ { t } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } & { : = \int _ { t } ^ { T } \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { r } \stackrel { d } { = } \int _ { 0 } ^ { T - t } \psi _ { T - u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { r } } \\ { \Psi _ { t } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) } & { : = \int _ { t } ^ { T } \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { \lambda } \stackrel { d } { = } \int _ { 0 } ^ { T - t } \psi _ { T - u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \frac { d ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } - \frac { q ^ { 2 } } { 2 } \left( \hat { \theta } _ { 1 } - T _ { 1 + } \right) \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } - T _ { 1 + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } } & { > f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) = \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } . } \end{array}
\{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} _ { P } : = \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial q } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial p } \ - \ \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial p } \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial q }
\begin{array} { r c l } { { \tilde { S } \ [ X ^ { \mu } , \hat { c } ^ { ( 0 ) } , \hat { b } _ { \hat { \imath } } , { \hat { a } } _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } ^ { ( 2 ) } ] } } & { { = } } & { { - T _ { M 2 } \int d ^ { 3 } \hat { \xi } \ e ^ { - \phi } \ \sqrt { | g _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } e ^ { 2 \phi } \hat { \cal G } ^ { ( 1 ) } { } _ { \hat { \imath } } { \cal G } ^ { ( 1 ) } { } _ { \hat { \jmath } } | } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \frac { T _ { M 2 } } { 3 ! } \int d ^ { 3 } \hat { \xi } \ \hat { \epsilon } ^ { \hat { \imath } \hat { \jmath } \hat { k } } \hat { \cal H } ^ { ( 3 ) } { } _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } \hat { k } } \, , } } \end{array}
\alpha _ { 0 } = \displaystyle \frac { 3 } { 2 } \left( \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right) ,
\mathbf { \bar { J } } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \triangleq \left[ \begin{array} { c c c } { \mathbf { \bar { J } } _ { 1 1 } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { \bar { J } } _ { 1 K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { \bar { J } } _ { 1 K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) ^ { T } } & { \cdots } & { \mathbf { \bar { J } } _ { K K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } \end{array} \right] \mathrm { , }
C _ { i , j } ^ { ( t ) } ( - \tau ) = \frac { \langle T _ { i } ( t ) T _ { j } ( t - \tau ) \rangle - \langle T _ { i } ( t ) \rangle \langle T _ { j } ( t - \tau ) \rangle } { \sqrt { \langle ( T _ { i } ( t ) - \langle T _ { i } ( t ) \rangle ) ^ { 2 } \rangle } \cdot \sqrt { \langle ( T _ { j } ( t - \tau ) - \langle T _ { j } ( t - \tau ) \rangle ) ^ { 2 } \rangle } }
J _ { Y } ^ { \mu } = \hat { J } _ { Y } ^ { \mu } + \biggl ( \sum _ { \hat { q } _ { L } , \ell _ { L } } \frac { Y } { 2 } \biggr ) \frac { K ^ { \mu } } { 2 } + \biggl ( \sum _ { \hat { f } _ { L } } \biggl ( \frac { Y } { 2 } \biggr ) ^ { 3 } \biggr ) \frac { L ^ { \mu } } { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } + } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - \frac { i \left( 2 I _ { p } \right) ^ { 1 / 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } d \eta \, { \cal S } ( \eta ) \, { \cal P } _ { + } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) } { r } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \tilde { x } _ { n } ^ { 2 } \right\rangle = \frac { k _ { B } T } { \kappa } \mathcal { F } ( \alpha ) \, , \quad \left\langle \tilde { x } _ { n } \tilde { x } _ { n + \ell } \right\rangle = \frac { k _ { B } T } { \kappa } \left[ \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } \right] ^ { 2 } e ^ { - | \tau _ { \ell } | / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \big ( \varrho s ( \varrho , \vartheta ) \big ) } & { + \mathrm { d i v } _ { x } \big ( \varrho s ( \varrho , \vartheta ) \textbf { \textup { u } } \big ) + \mathrm { d i v } _ { x } \left( \frac { \textbf { q } ( \vartheta , \nabla _ { x } \vartheta ) } { \vartheta } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \vartheta } \left( \varepsilon ^ { 2 m } \ \mathbb { S } ( \vartheta , \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } ) : \nabla _ { x } \textbf { \textup { u } } - \frac { \textbf { q } ( \vartheta , \nabla _ { x } \vartheta ) \cdot \nabla _ { x } \vartheta } { \vartheta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \dot { S } ( t ) } & { = } & { - \beta S ( t ) \frac { I ( t ) } { N } } \\ { \dot { R c } ( t ) } & { = } & { \gamma I ( t ) } \\ { \dot { D } ( t ) } & { = } & { \nu I ( t ) } \\ { \dot { I } ( t ) } & { = } & { \dot { S } ( t ) + \dot { R c } ( t ) + \dot { D } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } \frac { \Theta } { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } y f _ { 0 } ( y ; \Theta ) \ln { \left| \frac { x + 2 y } { x - 2 y } \right| } d y \, . } \end{array}
\lambda x _ { 1 } + x _ { 2 } = ( \lambda ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) + a _ { 2 } + b _ { 2 } , \lambda ( a _ { 1 } - b _ { 1 } ) + a _ { 2 } - b _ { 2 } , 2 a _ { 1 } + 2 a _ { 2 } ) = ( ( \lambda a _ { 1 } + a _ { 2 } ) + ( \lambda b _ { 1 } + b _ { 2 } ) , ( \lambda a _ { 1 } + a _ { 2 } ) - ( \lambda b _ { 1 } + b _ { 2 } ) , 2 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) )
\begin{array} { r } { W _ { e m } = \frac { 4 V _ { 3 } ^ { 2 } } { \Delta } \frac { 1 } { 1 - \exp \left[ - \frac { 2 \hbar c | \sin ( a | k | - \varphi ) | } { a k _ { B } T } \right] } \frac { \cos ( a | k | - \varphi ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - c ^ { 2 } / v _ { m a x } ^ { 2 } } } , ~ a | k | > \varphi , } \\ { W _ { a b s } = \frac { 4 V _ { 3 } ^ { 2 } } { \Delta } \frac { 1 } { \exp \left[ \frac { 2 \hbar c | \sin ( \varphi - a | k | ) | } { a k _ { B } T } - 1 \right] } \frac { \cos ( a k + \varphi ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - c ^ { 2 } / v _ { m a x } ^ { 2 } } } , ~ a | k | < \pi - \varphi , } \\ { \varphi = \sin ^ { - 1 } \left[ \frac { c } { v _ { m a x } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \operatorname* { m a x } \{ \langle \Psi _ { N } | \hat { P } _ { \Psi _ { \pm } } ^ { \, l l ^ { \prime } } | \Psi _ { N } \rangle \} = A + B , } \\ { r } & { { } = \langle \Psi _ { N } | \hat { P } _ { -- } ^ { \, l l ^ { \prime } } | \Psi _ { N } \rangle - t = 3 A - 3 B , } \end{array}
I _ { \mu \nu } \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } R ^ { 2 } } \Big ( \frac { \alpha _ { \nu } R } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { \mu \nu } } } \Big ) ^ { l _ { \mu } } \Big ( \frac { \alpha _ { \mu } R } { \alpha _ { \mu \nu } } + \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { \mu \nu } } } \Big ) ^ { l _ { \nu } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { 3 / 2 } .
\footnotesize \sigma _ { \eta } = \sqrt { \frac { \sum _ { i } E _ { i } ( \eta _ { i } - \bar { \eta } ) ^ { 2 } } { \frac { ( M - 1 ) } { M } \sum _ { i } E _ { i } } } , \sigma _ { \phi } = \sqrt { \frac { \sum _ { i } E _ { i } ( \phi _ { i } - \bar { \phi } ) ^ { 2 } } { \frac { ( M - 1 ) } { M } \sum _ { i } E _ { i } } }
\mathbf { u } * \mathbf { v } = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \mathbf { v } + \mathbf { u } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { \mathbf { u } } } { \gamma _ { \mathbf { u } } + 1 } } \mathbf { u } \times ( \mathbf { u } \times \mathbf { v } ) \right]
W _ { c l } = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \left( \int _ { M ^ { 4 } } R _ { ( 4 ) } + 2 \int _ { \partial M ^ { 4 } } K _ { ( 4 ) } + \int _ { M ^ { 4 } } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \Big ( \sigma ^ { - 2 } P ^ { 2 } ( b ) f ^ { ( 0 ) } + \sigma ^ { - 1 } P ^ { 1 } ( b ) f ^ { ( 0 ) } + P ^ { 2 } ( b ) ( i \sigma ^ { - 1 } f ^ { ( 1 ) } ) \Big ) + \sigma ^ { - 1 } P ^ { e } ( b , \sigma ) ( \chi ( \mathrm { R e \, } \sigma ) f ^ { ( 0 ) } ) } \\ & { = \Big ( ( \sigma ^ { - 2 } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \sigma ^ { - 1 } ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) ) + i \sigma ^ { - 1 } \big ( ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \big ) \Big ) } \\ & { \quad + i \sigma ^ { - 1 } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ( \sigma ) ) : = \MakeUppercase { \romannumeral 1 } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \omega } ( t _ { 0 } ) } & { { } \simeq A _ { \omega } ( \omega t _ { 0 } ) ^ { \alpha + 1 / 2 } \frac { ( 1 / 2 \sqrt { v _ { f } / v _ { i } } ) ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } } \end{array}
\mathcal { O } _ { \mathrm { s i n g l e } } = B \times I \bar { P } _ { \mathrm { e f f . } } + T \times \frac { I ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { b } } \sigma _ { \mathrm { x } } \sigma _ { \mathrm { y } } \sigma _ { \mathrm { z } } } + D ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \psi \mapsto ( \rho , \mathbf { j } ) } \left\{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle \right\} + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v - \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho \rangle } & { } \\ { = : F _ { 1 } [ \rho , \mathbf { j } ] + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v - \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho \rangle } & { , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho } & { { } = - \nabla \cdot \left( \rho \pmb { u } \right) } \\ { \partial _ { t } ( \rho \pmb { u } ) } & { { } = - \nabla \cdot \left( \pmb { u } \otimes \rho \pmb { u } + p \mathbb { I } \right) - \rho \nabla \Phi + \mathbf { S } _ { \rho \pmb { u } } \left( \rho , \rho \pmb { u } , \rho e \right) } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) } & { { } = - \nabla \cdot \left( \pmb { u } \left( p + \rho e \right) \right) + S _ { \rho e } \left( \rho , \rho \pmb { u } , \rho e \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq } & { C _ { \beta } \gamma _ { \beta , p } ( T , d ) + 2 \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left( \mathbb { E } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right| \geq \epsilon \right) } & { \leq C k ^ { 4 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } \epsilon ^ { 2 } / k ^ { 7 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right| \geq \epsilon \right) } & { \leq C k ^ { 4 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } \epsilon ^ { 2 } / k ^ { 7 } \right) , } \\ { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { p } _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot } { = } 0 , \qquad } & { \; \; \; \frac { 1 } { N } [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot } { = } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { 2 \int _ { V _ { - } } ^ { V _ { + } } \, \frac { ( { \mathcal V } - w ) ^ { 2 } } { ( { \mathcal V } - w ) ^ { 3 } + \mu w S _ { 0 } } \, { \mathcal E } ( { \mathcal V } ) \, d { \mathcal V } , } \\ { { \mathcal E } ( { \mathcal V } ) } & { = } & { \sqrt { \Psi ( { \mathcal E } ( 0 ) , { \mathcal V } ( 0 ) ) - S _ { 0 } { \mathcal V } ^ { 2 } + { w \mu S _ { 0 } ^ { 2 } } \, \frac { 2 { \mathcal V } - w } { ( { \mathcal V } - w ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\operatorname { C o v } \left( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ^ { \prime } \right) = \sigma _ { k } ^ { 2 } \exp \left( - \sqrt { \left( \frac { x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } } { l _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { \prime } } { l _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \eta _ { x } ^ ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle \eta _ { x } ^ , \varphi _ { k } ^ \rangle ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \varphi _ { k } ^ ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \eta _ { x } ^ , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) . } \end{array}
\int _ { x } ^ { + \infty } \frac { \rho _ { P } ( t ) } { t ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } V ^ { \prime } ( t ) ^ { 4 } } d t \leqslant \frac { \rho _ { P } ( x ) } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } V ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } \int _ { x } ^ { + \infty } \frac { d t } { V ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } } = \underset { x \rightarrow + \infty } { O } \Big ( \frac { \rho _ { P } ( x ) } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } V ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } \Big )
\begin{array} { r l } { \ell _ { i } ^ { - } \sim _ { \gamma } \ell _ { j } ^ { - } } & { \iff \ell _ { i } ^ { - } \in \mathfrak { p } _ { a } ^ { - } \mathrm { ~ a n d ~ } \ell _ { j } ^ { - } \in \mathfrak { p } _ { a } ^ { - } } \\ { \ell _ { i } ^ { - } \sim _ { \gamma } \ell _ { j } ^ { - } } & { \iff \gamma ( \ell _ { i } ^ { - } ) = \gamma ( \ell _ { j } ^ { - } ) ~ . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { G } \operatorname* { m a x } _ { D } V ( G , D ) = \operatorname* { m i n } _ { G } \operatorname* { m a x } _ { D } \mathbb { E } _ { x \sim P _ { r } } [ \log D ( x ) ] + \mathbb { E } _ { z \sim P _ { z } } [ \log ( 1 - D ( G ( z ) ) ) ] .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E } { \partial t } + \frac { c } { n _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } } \ \frac { \partial E } { \partial z } } & { { } = } & { \frac { 2 \pi \omega _ { 1 2 } } { n _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } n _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g ( \Delta ) \ P _ { a / g } ( \Delta , t , z ) \ d \Delta , } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ^ { f , d } \equiv \epsilon _ { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } } \tau _ { 2 } ^ { f _ { 2 } f _ { 3 } } ( C \gamma _ { 5 } ) ^ { d _ { 2 } d _ { 3 } } \delta ^ { f _ { 1 } f } { \Gamma } _ { d _ { 1 } d } ^ { ( 1 ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) ,
\operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { 1 } { k } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } f ( T ^ { j } \omega ) = \int _ { \Omega } f ( \omega ) d \mathbb P ( \omega ) \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { 1 } { k } \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } g ( T ^ { j } \omega ) = \int _ { \Omega } g ( \omega ) d \mathbb P ( \omega ) .
\begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { z } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { z } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } \end{array}
B ( t ) \leq B _ { 0 } { \int _ { t _ { i n } } ^ { t } { \Gamma ^ { \prime } ( t ^ { \prime } ) [ e ^ { - \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } { \Gamma ^ { \prime } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } } ] d t ^ { \prime } } } = B _ { 0 } \equiv | c _ { n } \mu _ { B } ( t ) T ^ { 2 } ( t ) | _ { m a x } .
\begin{array} { r l } { V _ { N } ( s _ { N } , \lambda ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { h _ { N } \in H _ { N } } r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda ) , } \\ { V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { h _ { k } \in H _ { k } } r _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda ) + V _ { k + 1 } ( f _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda ) , \lambda ) } \end{array}
M C E ( w , \underline { { x } } , \overline { { x } } , \underline { { y } } , \overline { { y } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { w \ge \underline { { x } } y + x \underline { { y } } - \underline { { x } } \underline { { y } } } \\ { w \ge \overline { { x } } y + x \overline { { y } } - \overline { { x } } \overline { { y } } } \\ { w \le \underline { { x } } y + x \overline { { y } } - \overline { { x } } \underline { { y } } } \\ { w \le \overline { { x } } y + x \underline { { y } } - \underline { { x } } \overline { { y } } } \end{array} \right.
\langle S ^ { ( 0 ) } \rangle = \int d ^ { 4 } z \int d \rho ~ n ( \rho ) \left( \frac { \kappa ( \rho ) } { 2 } ~ \dot { \rho } ^ { 2 } + \beta ( \rho ) + 5 \ln ( \Lambda \rho ) - \ln \widetilde \beta ^ { 2 N _ { c } } \right) ~ .
\left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i 1 , j 2 } + p _ { i 1 , j 3 } = \Phi _ { 1 } } \\ { p _ { i 2 , j 1 } + p _ { i 2 , j 3 } = \Phi _ { 2 } } \\ { p _ { i 3 , j 1 } + p _ { i 3 , j 2 } = \Phi _ { 3 } } \end{array} \right.
\phi ( z _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) = \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) + \epsilon \left( \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) \, \delta z + \delta \phi ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) \right) + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 2 } \right) .
M _ { t \wedge T _ { \delta } ( \epsilon ) , \delta } ( v _ { \delta } ) : = \frac { P _ { \Omega _ { L , \delta } ( t \wedge T _ { \delta } ( \epsilon ) ) } ( v _ { \delta } , \gamma _ { z , \delta } ( t \wedge T _ { \delta } ( \epsilon ) ) ) } { P _ { \Omega _ { L , \delta } ( t \wedge T _ { \delta } ( \epsilon ) ) } ( z _ { \delta } , \gamma _ { z , \delta } ( t \wedge T _ { \delta } ( \epsilon ) ) ) }
\begin{array} { r } { \Vert \nabla _ { x } \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } + \Vert \nabla _ { x } \mathcal { I } _ { i n } ^ { 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } \lesssim \Lambda ( T , R ) \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m + 1 } } . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { y \in \mathbb { R } ^ { N \cdot M } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ^ { [ \alpha ] } ( y _ { i } ^ { [ \alpha ] } ) + \frac { 1 } { 2 } \rho y ^ { T } \mathcal { L } y ,
1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - \cdots = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } } { n } } = \ln ( 2 ) \quad
\int { \cal D } y \, \mathrm { e x p } \left[ - \int _ { 0 } ^ { T } \left( { \frac { { \dot { y } } ^ { 2 } } { 4 } } \right) \right] = { \Bigl ( 4 \pi T \Bigr ) } ^ { - { \frac { D } { 2 } } }
\delta V _ { b } ^ { Z } = - \delta A _ { b } ^ { Z } = \frac { R _ { b } ^ { e x p } - R _ { b } ^ { S M } } { ( 1 - R _ { b } ^ { S M } ) R _ { b } ^ { S M } } \frac { v _ { b } ^ { 2 } + a _ { b } ^ { 2 } } { 2 ( v _ { b } - a _ { b } ) } ,
\rho ^ { N } ( t , x ) = \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y ^ { N } ( t , x ) \right) + 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { t } \Re \left( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) \left( \tau , y ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau .