harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \bigg ( \int d ^ { D } k \frac { D } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { ( p - k ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { [ k \cdot ( p - k ) ] ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { j } ^ { l } = \sum _ { i \in S ( j ) } \alpha _ { i } ^ { l } \odot \mathbf { h } _ { i } ^ { l } ; \ \ \vec { V } _ { j } ^ { l } = \sum _ { i \in S ( j ) } \beta _ { i } ^ { l } \odot \vec { \mathbf { v } } _ { i } ^ { l } ; \ \ \vec { P } _ { j } = \sum _ { i \in S ( j ) } \gamma _ { i } \vec { p _ { i } } , } \end{array}
\operatorname* { P r } ( | \overline { { \mathcal { L } } } _ { T } - \overline { { \mathcal { L } } } _ { \infty } | \geq \epsilon ) \leq \operatorname* { P r } ( | \overline { { \mathcal { L } ^ { \prime } } } _ { T } - \overline { { \mathcal { L } } } _ { \infty } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } ) + \operatorname* { P r } ( | \overline { { \mathcal { L } } } _ { T } ^ { \prime \prime } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } ) .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \operatorname* { d e t } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \xi ^ { n } Z _ { n } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \xi ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \binom { n } { m } \beta _ { m } Q ^ { n - m } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } b _ { m } \sum _ { n = m } ^ { \infty } \xi ^ { n } \binom { n } { m } Q ^ { n - m } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } b _ { m } \xi ^ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \xi ^ { n } \binom { n + m } { m } Q ^ { n } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } b _ { m } \xi ^ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \binom { n + m } { m } \left( \xi Q \right) ^ { n } = \frac 1 { 1 - \xi Q } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } b _ { m } \xi ^ { m } \big ( 1 - \xi Q \big ) ^ { - ( m + 1 ) } } \\ & { = \frac 1 { 1 - \xi Q } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { m } \left( y \xi \right) ^ { m } \big ( 1 - \xi Q \big ) ^ { - ( m + 1 ) } = ( 1 - \xi Q ) ^ { - 1 } \left[ 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { m } \left( \frac { y \xi } { 1 - \xi Q } \right) ^ { m } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \i _ { 1 } ^ { ( T ) } } & { { } = - \sum _ { x = 0 , 1 } p ( x | p _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) \partial _ { T } ^ { 2 } \log p ( x | p _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) = - ( 1 - p _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) \partial _ { T } ^ { 2 } \log ( 1 - p _ { \mathrm { ~ o ~ } } ) - p _ { \mathrm { ~ o ~ } } \partial _ { T } ^ { 2 } \log p _ { \mathrm { ~ o ~ } } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P _ { z } \left( \int _ { 0 } ^ { \varsigma _ { x _ { 1 } } } \bar { H } \left( X _ { s } \right) { \mathrm d } s \geq r \right) } & { \geq q \operatorname* { m i n } \{ ( ( x _ { 1 } + 1 ) ^ { p } - x _ { 1 } ^ { p } ) ( 1 - q ) ^ { p } / G ( r / \varepsilon ) ^ { p } , 1 \} } \\ & { \geq C _ { x _ { 1 } } / G ( r / \varepsilon ) ^ { p } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ r \in ( c _ 1 x _ 1 + c _ 2 , \infty ) ~ , } } \end{array}
F \; \; = \; \; { \cal { Y } } _ { [ p _ { 1 } + 1 , . . . , p _ { N } + 1 ] } \circ \left( \, \prod _ { i = 1 } ^ { N } \; d ^ { ( i ) } A \, \right) \; \; \equiv \; \; \prod _ { i = 1 } ^ { N } \; d ^ { ( i ) } A
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \bigr ) } \qquad } & { } \\ & { = \nabla \cdot \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigr ) } \\ & { = \nabla \cdot \Bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } + \kappa _ { m } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } - \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } \bigr ) \nabla { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \Bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { a t ~ } z = H , \, L ( x , y , z , \theta , \phi ) } & { = } & { \mathrm { I } _ { t } \, \delta ( \cos \theta - \cos \theta _ { 0 } ) \delta ( \phi - \phi _ { 0 } ) + \frac { B } { \pi } , \, \pi / 2 \le \theta \le \pi , } \\ { \mathrm { a t ~ } z = 0 , \, L ( x , y , z , \theta , \phi ) } & { = } & { 0 , \, \qquad 0 \le \theta \le \pi / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \vec { T } \in \mathcal { T } _ { \ell , k } } g ( \mathbf { H } \mathbf { T } p , \mathbf { H } \mathbf { T } q ) = \operatorname* { m a x } _ { \vec { T } \in \mathcal { T } _ { \ell , k } ^ { \textup { \texttt { t h r e s h } } } } g ( \mathbf { H } \mathbf { T } p , \mathbf { H } \mathbf { T } q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D } _ { \tau } ^ { \alpha } \rho _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } = \Delta _ { h } e _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } + \Upsilon _ { h } ^ { n } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N , } \\ & { \rho _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } = \delta _ { t } e _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } + r _ { h } ^ { n } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N , } \\ & { e _ { h } ^ { 0 } = 0 , ~ ~ \rho _ { h } ^ { 0 } = 0 , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \bar { \Omega } _ { h } . } \end{array}
C P T : \Psi ( \vec { x } , t ) \rightarrow - i L ^ { 0 } e ^ { i ( \alpha _ { P } + \alpha _ { C } + \alpha _ { T } ) } \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 5 } \bar { \Psi } ^ { T } ( - \vec { x } , - t ) ~ , ~ ~ ~ L ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { e ^ { i \eta } I _ { 4 } } } \\ { { e ^ { - i \eta } I _ { 4 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\gamma ( g _ { 1 } ) \, \gamma ( g _ { 2 } ) \, \gamma ( g _ { 1 } ) ^ { - 1 } = i \, \gamma ( g _ { 2 } ) ^ { - 1 } , \qquad \gamma ( g _ { 1 } ) ^ { 2 } = \gamma ( g _ { 2 } ) ^ { 4 } = 1 .
\begin{array} { r } { C ^ { 2 3 } - C ^ { 4 4 } = ( 1 / 4 ) A , \qquad C ^ { 4 5 } - C ^ { 3 6 } = 0 , } \\ { C ^ { 1 3 } - C ^ { 5 5 } = ( 1 / 4 ) A , \qquad C ^ { 4 6 } - C ^ { 2 5 } = 0 , } \\ { C ^ { 1 2 } - C ^ { 6 6 } = ( 1 / 4 ) A , \qquad C ^ { 5 6 } - C ^ { 1 4 } = 0 . } \end{array}
\scriptstyle { \begin{array} { r l } { x } & { { } = r \cos \varphi } \\ { y } & { { } = y ^ { \prime } } \\ { z } & { { } = z ^ { \prime } } \\ { l } & { { } = r \sin \varphi } \\ { \varphi } & { { } = i \psi , \ l = i c t } \end{array} }
\boldsymbol { \phi } _ { k } = ( m _ { k } , m _ { k } \boldsymbol { u } _ { k } , \frac { 1 } { 2 } m _ { k } \boldsymbol { u } _ { k } ^ { 2 } + { m _ { k } } { e _ { r } } + { m _ { k } } { e _ { v } } , { m _ { k } } { e _ { r } } , { m _ { k } } { e _ { v } } ) ^ { T }
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { c h i p s } } } & { = \left\lfloor \frac { \pi R _ { \mathrm { w a f e r } } ^ { 2 } } { A _ { \mathrm { c h i p } } } - \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { w a f e r } } } { \sqrt { 2 A _ { \mathrm { c h i p } } } } \right\rfloor } \\ & { = \left\lfloor \frac { \pi \cdot ( 1 5 0 \mathrm { m m } ) ^ { 2 } } { 1 3 . 6 1 \mathrm { m m } ^ { 2 } } - \frac { 2 \pi \cdot 1 5 0 \mathrm { m m } } { \sqrt { 2 \cdot 1 3 . 6 1 \mathrm { m m } ^ { 2 } } } \right\rfloor } \\ & { = \left\lfloor 5 0 1 3 . 0 2 3 \right\rfloor } \\ & { = 5 0 1 3 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \kappa \| \partial _ { t } ^ { k } p \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) D _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \psi \overline { { \zeta } } \, d \phi \, d t } & { = \sum _ { m } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \widehat { \psi } \overline { { \widehat { \zeta } } } \, d \omega , } \\ { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | \psi | ^ { 2 } \, d \phi \, d t } & { = \sum _ { m } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \widehat { \psi } | ^ { 2 } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \frac { 1 } { 2 } ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } - | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \pm \sqrt { \beta ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } - | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } ; \, - \beta \right\} } \\ & { = \left\{ \delta \beta _ { \mathrm { N L } } \pm \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ; \, - \beta \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d k _ { \parallel } } { d \omega _ { \bf k } } = \pm \frac { n _ { \mathrm { c } } \omega _ { \bf k } } { c \sqrt { \omega _ { \bf k } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\boldsymbol x _ { t + 1 } \sim \mathrm { ~ D ~ i ~ r ~ i ~ c ~ h ~ l ~ e ~ t ~ - ~ m ~ u ~ l ~ t ~ i ~ n ~ o ~ m ~ i ~ a ~ l ~ } ( N _ { t + 1 } , f _ { 1 } x _ { t } ^ { 1 } , \ldots , f _ { k } x _ { t } ^ { k } ) ,
\begin{array} { r } { \overline { { I } } _ { C } = \textrm { t r } ( \bar { \bf { C } } ) , \qquad \overline { { I I } } _ { C } = \frac { 1 } { 2 } \big [ \textrm { t r } ( \bar { \bf { C } } ) ^ { 2 } - \textrm { t r } ( \bar { \bf { C } } ^ { 2 } ) \big ] . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } & { 0 } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = - \frac { 1 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { z - \frac { 3 } { 2 } } + \frac { 1 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { z - 5 } } \\ & { = - \frac { 1 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { z - \frac { 3 } { 2 } } + \frac { 1 } { 7 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( - 5 ) ^ { n + 1 } } ( - z ) ^ { n } } \\ & { = - \frac { 1 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { z - \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 1 } { 7 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 5 ^ { n + 1 } } z ^ { n } } \end{array}
\mu \frac { d \alpha _ { c } ( \mu ) } { d \mu } = \Big \{ - \frac { 5 8 } { 3 \pi } - 8 \pi \mu \frac { d } { d \mu } \pi _ { s } ( \mu ) \Big \} \alpha _ { c } ^ { 2 } - \frac { 4 6 0 } { 3 \pi ^ { 2 } } \alpha _ { c } ^ { 3 } ( \mu ) ,
W _ { 0 } ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) = \exp \biggl [ - \frac { E _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 3 } } \biggl ( \cos ^ { 2 } ( \omega t _ { r } ^ { \prime } ) + \gamma ^ { 2 } ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) + \frac { 1 } { 2 } \biggr ) \sinh ^ { - 1 } \gamma ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) - \frac { 1 } { 2 } \gamma ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) [ 2 \cos ^ { 2 } ( \omega t _ { r } ^ { \prime } ) + 1 ] \sqrt { 1 + \gamma ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) ^ { 2 } } \biggr ]
\begin{array} { r l } { \textup { Y } _ { N } = } & { \{ G \in \textup { C } ( [ 0 , \tau _ { N } ] ; \mathscr { M } _ { + , \textup { b } } ^ { I } ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } ) ) : | | G | | _ { N } = \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq \tau _ { N } } \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } ( 1 + x _ { t , V } ^ { N } ( A ) ) G ( A , V , t ) \textup { d } V \textup { d } A \bigg | \leq 2 M _ { N } ; } \\ & { G ( \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } \setminus [ c _ { 0 } \epsilon ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \infty ) \times [ \epsilon , 2 R \textup { e } ^ { t } ) , t ) = 0 , \textup t \in [ 0 , \tau _ { N } ] \} } \end{array}
\boldsymbol { W } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \texttt { r o t a t e - b a c k } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } ) , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } \}
\left( E _ { x } \right) _ { i } ^ { n + 1 } = \left( E _ { x } \right) _ { i } ^ { n } - \sum _ { s } \frac { q _ { s } } { \epsilon _ { 0 } } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \left[ F _ { n } \left( \tilde { \vec { U } } \right) \right] _ { i , s } \mathrm { d } t ,
\mathrm { i } \frac { \partial \psi } { \partial z } = \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \mathrm { i } \beta _ { 3 } } { 6 } \frac { \partial ^ { 3 } \psi } { \partial t ^ { 3 } } - \gamma | \psi | ^ { 2 } \psi - \frac { \alpha } { 2 } \psi
W ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) = f _ { 3 } ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) \mathbf { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { 3 - i } ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) \sigma _ { i }
\begin{array} { r } { M _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } ( n ) \right) \xleftarrow { } \left( 1 - \frac { \Delta t } { \tau } \right) M _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } ( n ) \right) + \frac { \Delta t } { \tau } \Tilde { M } _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } ( n ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \Big \langle F ^ { s , e } - f ^ { s , e } , \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( F ^ { s , e } \Big ) - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \rangle } \\ { = } & { 2 \Big \langle F ^ { s , e } - f ^ { s , e } , \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( F ^ { s , e } \Big ) - \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \rangle + 2 \Big \langle Y ^ { s , e } - f ^ { s , e } , \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \rangle } \\ { = } & { ( I ) + 2 \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { \eta _ { k } - s } + \sum _ { i = \eta _ { k } - s + 1 } ^ { b - s } + \sum _ { i = b - s + 1 } ^ { e - s } \Big ) \Big ( F ^ { s , e } - f ^ { s , e } \Big ) _ { i } \Big ( \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big ) _ { i } } \\ { = } & { ( I ) + ( I I . 1 ) + ( I I . 2 ) + ( I I . 3 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r { \frac { d u } { d r } } } & { = r { \frac { \partial u } { \partial x } } \cos \varphi + r { \frac { \partial u } { \partial y } } \sin \varphi = x { \frac { \partial u } { \partial x } } + y { \frac { \partial u } { \partial y } } , } \\ { { \frac { d u } { d \varphi } } } & { = - { \frac { \partial u } { \partial x } } r \sin \varphi + { \frac { \partial u } { \partial y } } r \cos \varphi = - y { \frac { \partial u } { \partial x } } + x { \frac { \partial u } { \partial y } } . } \end{array} }
\xi ( q ) = - \frac { i \sqrt { \pi } \Gamma \left( - \frac { q } { 2 } \right) } { \Gamma \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { q } { 2 } \right) } - \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i ( 3 + q ) \pi } \Gamma \left( - \frac { q } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 + q } { 2 } \right) } { \sqrt { \pi } }
\begin{array} { r } { \frac { ( - 1 ) ^ { i + 1 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi | \tau | } { 2 } } \frac { d \ln v _ { i } } { d \eta ^ { \prime } } \ln \left| \frac { \vartheta _ { 1 } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } { \vartheta _ { 1 } ( \eta + \eta ^ { \prime } ) } \right| d \eta ^ { \prime } = - \frac { \pi } { 2 } - I _ { b i } ( \eta ) - I _ { v i } ( \eta ) - c _ { 1 } \eta - c _ { 3 } , } \\ { 0 \le \eta \le \pi | \tau | / 2 , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { B } ( g , f ) = \displaystyle \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \| \sqrt { g } - \sqrt { f } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ a m p l i t u d e ~ G a u s s i a n ~ m e t r i c ~ ( A G M ) ~ [ 7 1 ] } , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \langle g - f \circ \log ( g ) , \mathbf { 1 } \rangle , } & { \mathrm { ~ i n t e n s i t y ~ P o i s s o n ~ m e t r i c ~ ( I P M ) ~ [ 1 0 ] } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ( \kappa , \Gamma ) = \operatorname* { l i m } _ { k \to 0 } D _ { L } ( k ) / k ^ { 2 } \approx \frac { 4 } { 4 5 \Gamma } \left[ \left( a _ { 0 } + a _ { 2 } \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } \right. \right. } \\ { \left. \left. + 6 a _ { 4 } \kappa ^ { 4 } \right) \Gamma + \left( b _ { 0 } + b _ { 2 } \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } + 6 b _ { 4 } \kappa ^ { 4 } \right) \Gamma ^ { 1 / 3 } + \right. } \\ { \left. \left( c _ { 0 } + c _ { 2 } \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } + 6 c _ { 4 } \kappa ^ { 4 } \right) + \left( d _ { 0 } + d _ { 2 } \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } + 6 d _ { 4 } \kappa ^ { 4 } \right) \Gamma ^ { - 1 / 3 } \right] . } \end{array}
m ^ { * } = \frac { m _ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } ^ { * , 5 / 2 } + m _ { \mathrm { ~ l ~ h ~ } } ^ { * , 5 / 2 } } { m _ { \mathrm { ~ h ~ h ~ } } ^ { * , 3 / 2 } + m _ { \mathrm { ~ l ~ h ~ } } ^ { * , 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { Y } _ { t + 1 } = \mathbb { Y } _ { t } + \mathbb { W } _ { t + 1 } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \mathbf { \mathcal { H } } ^ { i j } = \left. \! \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial \mathbf { X } _ { i } } { \partial H _ { j } } } \\ { \frac { \partial \mathbf { V } _ { i } } { \partial H _ { j } } } \end{array} \right) \right| _ { \mathbf { H } = \mathbf { 0 } } = \left( \begin{array} { c } { \mathbb { Y } } \\ { \mathbb { W } } \end{array} \right) \! , \quad ( \mathbf { Y } ^ { j } ) _ { i } = \mathbb { Y } ^ { i j } , \quad ( \mathbf { W } ^ { j } ) _ { i } = \mathbb { W } ^ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { J } ^ { ( + ) } ( c ) = - \sigma ^ { \uparrow } \widetilde { \Lambda } \widetilde { V } ^ { * } \mathrm { d i a g } \left( \cos \left( \widetilde { V } c + \alpha _ { k + 1 } \right) \right) \widetilde { V } \, . } \end{array}
\mathrm { d } s _ { B } ^ { 2 } = \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } \log { \bf k } } { \partial z ^ { j } \bar { z } ^ { k } } } \, \mathrm { d } z ^ { j } \mathrm { d } \bar { z } ^ { k } .
\begin{array} { r l } & { R ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } \pi } { 2 V ^ { 4 } \hbar m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , u ^ { \prime } } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } D _ { u u ^ { \prime } , \beta \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( - n ) } D _ { u ^ { \prime } u , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } } \\ & { \times [ \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega - \hbar \omega ) - \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega + \hbar \omega ) ] \bar { n } _ { u } ( 1 - \bar { n } _ { u ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { \psi } _ { \pm } \rangle = } & { { } \frac { | \psi _ { \pm } \rangle } { \sqrt { \langle \chi _ { \pm } | \psi _ { \pm } \rangle } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 t _ { 0 } ( t _ { 0 } \mp d _ { 3 } ) } } \left( \begin{array} { c } { d _ { 3 } \mp t _ { 0 } } \\ { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \langle \tilde { \chi } _ { \pm } | = } & { { } \frac { \langle \chi _ { \pm } | } { \sqrt { \langle \chi _ { \pm } | \psi _ { \pm } \rangle } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 t _ { 0 } ( t _ { 0 } \mp d _ { 3 } ) } } ( d _ { 3 } \mp t _ { 0 } , d _ { 1 } - i d _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 1 - \xi ^ { 2 } ) L _ { N } ^ { \prime } ( \xi ) } & { { } = } & { ( N + 1 ) [ \xi L _ { N } - L _ { N + 1 } ] } \\ { ( 1 - \xi ^ { 2 } ) L _ { N + 1 } ^ { \prime } ( \xi ) } & { { } = } & { ( N + 1 ) [ L _ { N } - \xi L _ { N + 1 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { c } ^ { i } ( t ) } & { { } = } & { b ^ { i } + k _ { 1 } ^ { i \alpha } V _ { \alpha } ( t ) + k _ { 2 } ^ { i \alpha \beta } V _ { \alpha } ( t ) V _ { \beta } ( t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \gamma } y \, \mathrm { d } x + x \, \mathrm { d } y } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi - \tan ^ { - 1 } \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } ( ( 5 \sin t ) ( - 5 \sin t ) + ( 5 \cos t ) ( 5 \cos t ) ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi - \tan ^ { - 1 } \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } 2 5 \left( - \sin ^ { 2 } t + \cos ^ { 2 } t \right) \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi - \tan ^ { - 1 } \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } 2 5 \cos ( 2 t ) \mathrm { d } t \ = \ \left. { \frac { 2 5 } { 2 } } \sin ( 2 t ) \right| _ { 0 } ^ { \pi - \tan ^ { - 1 } \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \\ & { = { \frac { 2 5 } { 2 } } \sin \left( 2 \pi - 2 \tan ^ { - 1 } \! \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) \right) } \\ & { = - { \frac { 2 5 } { 2 } } \sin \left( 2 \tan ^ { - 1 } \! \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) \right) \ = \ - { \frac { 2 5 ( 3 / 4 ) } { ( 3 / 4 ) ^ { 2 } + 1 } } = - 1 2 . } \end{array} }
\varepsilon _ { \mathrm { e n e } } ^ { \prime } = \int _ { 1 } ^ { \infty } ( \gamma - 1 ) ( N _ { \kappa } ( \gamma ) - N _ { \kappa } ^ { \mathrm { M } } ( \gamma ) ) d \gamma / ( \Delta \varepsilon _ { i n t } + \int _ { 1 } ^ { \infty } ( \gamma - 1 ) ( N _ { \kappa } ( \gamma ) - N _ { \kappa } ^ { \mathrm { M } } ( \gamma ) ) d \gamma )
\left\lfloor { \frac { n } { p } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n } { p ^ { 2 } } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { n } { p ^ { 3 } } } \right\rfloor + \dots = { \frac { n - \sum _ { k } a _ { k } } { p - 1 } }
\cot { \frac { 2 \pi } { 1 5 } } = \cot 2 4 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \sqrt { 1 5 } } - { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 \left( 5 - { \sqrt { 5 } } \right) } } \right]
N ( { \bf x } _ { 2 } ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { ( \lambda _ { S } f ) ^ { 2 } } \int \d \Omega \, \left\langle a _ { S } ^ { \dagger } \left( \Omega , \frac { 2 \pi } { \lambda _ { S } f } \, { \bf x } _ { 2 } \right) \, a _ { S } \left( \Omega , \frac { 2 \pi } { \lambda _ { S } f } \, { \bf x } _ { 2 } \right) \right\rangle .