harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { I } + 8 I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 4 I \hat { L } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \| \eta \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \underbrace { 1 2 8 I \bar { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } _ { T _ { 1 } } + 1 2 8 I \hat { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta } } { \partial \sigma _ { \tau } } } & { = 0 , \; \; \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \sigma _ { \tau } } = - 2 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } / ( k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 3 } ) - 1 6 \zeta _ { 2 } a _ { 1 } \vartheta _ { \tau } / \sigma _ { \tau } ^ { 3 } + 3 2 \zeta _ { 2 } / ( k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 5 } ) - \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } ( 8 / \sigma ^ { 2 } - k _ { 0 } \vartheta ) / ( k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 3 } ) , } \\ { \frac { \partial F _ { A } } { \partial \vartheta } } & { = - A \zeta _ { 1 } k _ { 0 } + ( 7 5 A ^ { 3 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } \sqrt { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta \sigma ^ { 2 } ) / 6 4 , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma } } { \partial \vartheta } } & { = 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \sigma + ( 1 3 c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta \sigma ^ { 3 } ) / 3 2 , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma _ { \tau } } } { \partial \vartheta } } & { = - ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta \sigma ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ) / 3 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } { x _ { i } y _ { i } } = x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { x _ { i } y _ { i } } } & { \le \quad \mathrm { ( b y ~ ( 2 ) ~ f r o m ~ i n d u c t i o n ~ h y p o t h e s i s ) } } \\ { x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } + \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { x _ { i } ^ { 2 } } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { y _ { i } ^ { 2 } } } } & { \le \quad \mathrm { b y ~ ( 1 ) ~ f r o m ~ p r o b l e m ~ 1 - 1 9 } } \\ { \sqrt { x _ { k + 1 } ^ { 2 } + \left( \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { x _ { i } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + y _ { k + 1 } ^ { 2 } + \left( \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { y _ { i } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } = } \\ { \sqrt { x _ { k + 1 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { x _ { i } ^ { 2 } } + y _ { k + 1 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { y _ { i } ^ { 2 } } } = } \\ { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } { x _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } { y _ { i } ^ { 2 } } } } \end{array}
l ( { \bf s } _ { \mathrm { t r u e } } , { \bf s } _ { \mathrm { o u t } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d e c } } } \left[ - { s } _ { \mathrm { t r u e } , i } \ln ( { s } _ { \mathrm { o u t } , i } ) - ( 1 - { s } _ { \mathrm { t r u e } , i } ) \ln ( 1 - { s } _ { \mathrm { o u t } , i } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { u } ( { \bf u , B } ) + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { { \bf B } } } & { = } & { \eta \nabla ^ { 2 } { { \bf B } } + { \bf F } _ { B } ( { \bf u , B } ) , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = \left. \frac { \partial \log f _ { \mathrm { A P } } } { \partial T } \right| _ { f _ { 0 } } \delta T } & { = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) } \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } T } \delta T = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) } \frac { \tau _ { s } \Delta V } { V _ { s } \tau _ { \mathrm { r e s t } } \Delta T } \delta T = } \\ & { = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) } \frac { \sqrt { 1 - 4 \rho } } { 2 \phi ^ { 2 / 3 } } \frac { \delta T } { \Delta T } = - \frac { M ^ { \prime } ( 0 ) } { M ( 0 ) ^ { 3 } } \frac { \sqrt { 1 - 4 \rho } } { 2 ( f _ { 0 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } ) ^ { 2 } } \frac { \delta T } { \Delta T } . } \end{array}
L \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } = \widehat \gamma { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ( { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ) + \widehat \gamma { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ( { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ) + \widehat \gamma ^ { 2 } { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ( { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } ) .
\delta \, \equiv \, \frac { g ^ { 2 } C _ { N } } { 6 \pi ^ { 2 } } \int \frac { d k } { k } \, = \, \frac { g ^ { 2 } C _ { N } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \mathrm { c o n } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 2 \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 3 } \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r } ) \mathbf { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \boldsymbol B _ { { a } , { b } } \big ) _ { r , s } } & { : = Q _ { n } \big ( \langle \boldsymbol K \nabla ( \chi _ { n , a } \xi _ { s } ) , \nabla ( \chi _ { n , b } \xi _ { r } ) \rangle - \langle \boldsymbol K \nabla ( \chi _ { n , a } \boldsymbol \xi _ { s } ) \cdot \boldsymbol n , \chi _ { n , b } \xi _ { r } \rangle _ { \Gamma _ { p } ^ { D } } \big ) \, , } \\ { \big ( \boldsymbol N _ { { a } , { b } } ^ { B } \big ) _ { r , s } } & { : = Q _ { n } \big ( b _ { \gamma } ( \chi _ { n , a } \xi _ { s } , \chi _ { n , b } \xi _ { r } ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { P r } = \frac { \tilde { c } _ { p } \tilde { \mu } _ { 0 } } { \tilde { \kappa } _ { 0 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { K n } = \frac { \tilde { \mu } _ { 0 } } { \tilde { \rho } _ { 0 } \sqrt { \tilde { \theta } _ { 0 } } \tilde { L } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / 2 k _ { 0 } ) \, d \nu ( x , y ) } \\ & { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / 2 k _ { 0 } ) \cdot \frac { 1 } { ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } ) _ { + } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ( \nu _ { 1 } ( x ) - \nu _ { 2 } ( x ) ) _ { + } ( \nu _ { 2 } ( y ) - \nu _ { 1 } ( y ) ) _ { + } } \\ & { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x \| / k _ { 0 } ) ( \nu _ { 1 } ( x ) - \nu _ { 2 } ( x ) ) _ { + } \leq 1 } \end{array}
T = { \frac { t } { 1 - { \frac { 1 } { 4 } } \alpha { } ^ { 2 } t ^ { 2 } } } , \quad X = { \frac { - \alpha t ^ { 2 } } { 2 \left( 1 - { \frac { 1 } { 4 } } \alpha { } ^ { 2 } t ^ { 2 } \right) } }
\begin{array} { r } { k _ { \pm } ^ { \prime } = \omega S _ { + } , \quad S _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { | g ( \omega ) | \left( 1 \pm \mathrm { s g n } [ g ( \omega ) ] \right) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { \mathrm { g e o } } = \Phi _ { \mathrm { t o t } } - \Phi _ { \mathrm { d y n } } = \mathrm { A r g } \langle A _ { 0 } | C _ { 2 \pi } \rangle \, \left( 1 - \mathrm { I m } \langle A _ { 0 } | B _ { \pi } \rangle \right) , } \end{array}
{ \mathrm G C } ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) = \frac { 2 } { N ( N - 1 ) - L } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \substack { j = 1 \, j \notin N ( i ) } } ^ { i - 1 } \frac { D I S T ( i , j ) } { P T S P ( i , j ) } ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { 2 3 } } & { { } = \frac { \Delta \omega } { 2 \gamma _ { 0 } \sqrt { g _ { 2 } g _ { 3 } } } = 0 . 3 3 9 } \\ { \beta _ { 1 2 } } & { { } = \frac { \Delta \omega } { 2 \gamma _ { 0 } \sqrt { g _ { 1 } g _ { 2 } } } = 0 . 2 7 0 . } \end{array}
\Delta Q _ { i } = \sqrt { \left( \frac { \Delta \mathbb { Q } _ { i } } { P } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \Delta \mathbb { M } _ { i , l } } { P } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \left( \mathbb { Q } _ { i } - \mathbb { M } _ { i , l } \right) \Delta P } { P ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { F L I C } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { { } = F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } \\ { + \phi _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { { } \left( F _ { i } ^ { L W } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) - F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) \right) } \\ { \phi _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = \frac { r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } + | r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } | } { 1 + r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { r _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = \frac { M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , n - 2 ; \mathbf { g } ) } { M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) } , } \end{array}
{ h } _ { 2 n } ^ { ( \alpha ) } = \frac { 1 } { N ^ { 2 \alpha } } { \Gamma ( \alpha + \frac 1 2 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { u ( t ) } \right) ^ { 2 \alpha } \sqrt { r ( t ) } + \mathrm { h i g h e r ~ o r d e r s ~ i n ~ } \frac 1 N .
\Xi : = \left( \begin{array} { c c c } { \xi { 1 } ( t ) } & { \xi { 2 } ( t ) } & { \xi { 3 } ( t ) } \\ { \frac { d } { d t } \xi { 1 } ( t ) } & { \frac { d } { d t } \xi { 2 } ( t ) } & { \frac { d } { d t } \xi { 3 } ( t ) } \\ { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \xi { 1 } ( t ) } & { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \xi { 2 } ( t ) } & { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \xi { 3 } ( t ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { m a x } [ L _ { \beta } ] = \sum _ { a } p ( a ) \ln p ( a ) + \sum _ { b } p ( b ) \ln p ( b ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { \beta } \mathrm { m a x } \left( \sum _ { a b } p ( a ) p ( b ) \ln \sum _ { c } \pi ^ { \beta } ( c | a , b ) \right) } \\ & { } & { \leq \sum _ { a } p ( a ) \ln p ( a ) + \sum _ { b } p ( b ) \ln p ( b ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a b } p ( a ) p ( b ) \, \mathrm { m a x } \left( \ln \sum _ { c } \pi ^ { \beta } ( c | a , b ) \right) . } \end{array}
( D \! \! \! \! / + m ) \Psi = 0 \ , \, \, \Psi = e ^ { - i ( k _ { + } x ^ { + } + k _ { - } x ^ { - } ) } \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \ .
{ \frac { d } { d \tau } } \mathbf { U } = ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { \partial } ) \mathbf { U } = \mathbf { U } \cdot \mathbf { \partial } [ \mathbf { U } ] = U ^ { \alpha } \eta _ { \alpha \mu } \partial ^ { \mu } [ U ^ { \nu } ]
\begin{array} { r } { m ^ { W } ( w ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { e ^ { - \frac { 5 \pi i } { 6 } } \infty } ^ { e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } \infty } \frac { s e ^ { 3 i ( 1 + \tilde { y } ) x ^ { 2 } } } { x - w } d x } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { e ^ { - \frac { 5 \pi i } { 6 } } \infty } ^ { e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } \infty } \frac { - s e ^ { 3 i ( 1 + \tilde { y } ) x ^ { 2 } } } { x - w } d x } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 8 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } \left\{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \right\} \right] \right| } \\ { T _ { 9 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \left\{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) - [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \right\} \right] \right| } \\ { T _ { 1 0 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \right] \right| } \\ { T _ { 1 1 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \right] \right| } \\ { T _ { 1 2 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \right] \right| } \\ { T _ { 1 3 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \right] \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { I _ { L } } ( s ) } & { = \exp \left\{ - 2 \: \pi \: \lambda _ { \mathrm { U C } } \sum _ { \epsilon = 1 } ^ { 4 } \mathbb { P } _ { \epsilon } \int _ { R } ^ { \infty } p _ { \mathrm { { L O S } } } \left( r \right) \right. } \\ & { \qquad \left. \left( 1 - \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon } ( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } } { m _ { L } } \right) ^ { - m _ { L } } \right) r d r \right\} . } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \exp \left( - \gamma \, ( n + 1 / 2 ) ^ { 2 } \right) \, \left[ \gamma \, ( n + 1 / 2 ) ^ { 2 } \right] ^ { p } = \left( { \frac { \pi } { \gamma } } \right) ^ { 1 / 2 } \, { \frac { ( 2 p - 1 ) ! ! } { 2 ^ { p } } } \left[ 1 + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \, \exp ( - \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } / \gamma ) \sum _ { l = 0 } ^ { p } \left( { \frac { - \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { \gamma } } \right) ^ { l } C _ { l } ^ { p } \right]
{ \frac { f _ { B } ^ { \mathrm { s t a t } } } { f _ { B ^ { * } } ^ { \mathrm { s t a t } } } } = 1 + { \frac { C _ { 2 } ( m _ { Q } ^ { 2 } ) } { C _ { 1 } ( m _ { Q } ^ { 2 } ) } } = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \tau \, \widehat w _ { 2 } ( \tau ) \, { \frac { \alpha _ { s } ( \tau e ^ { C } m _ { b } ^ { 2 } ) } { 4 \pi } } + \dots \, ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } ( Q ( F _ { - } ^ { 0 } , F _ { - } ^ { 0 } ) + Q _ { - + } ^ { 0 } ( F _ { + } ^ { 0 } , F _ { - } ^ { 0 } ) ) \ln ( F _ { - } ) d x d v } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \iiint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ) F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \quad \mathrm { t r } ( \Phi ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \{ \nabla _ { \xi } \ln ( F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ) ) - \nabla _ { \xi ^ { \prime } } \ln ( F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ^ { \prime } ) ) \} ^ { \otimes 2 } ) d x d \xi d \xi ^ { \prime } } \\ & { \quad - n _ { + } ^ { 0 } ( t , x ) \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ) \mathrm { t r } ( \Phi ( \xi ) \{ \nabla _ { \xi } \ln ( F _ { - } ^ { 0 } ( t , x , \xi ) ) \} ^ { \otimes 2 } ) d x d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \tilde { \phi } \| _ { W ^ { 3 , p } } \leq C \left( \| \nabla \tilde { f } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla ^ { 2 } \tilde { \phi } \| _ { p } + \| \nabla \tilde { \omega } \| _ { p } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ( \| u \| _ { p } + \| \nabla \tilde { \phi } \| _ { p } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \dot { \hat { c } } _ { m } } & { { } = m \omega _ { B } \hat { c } _ { m } - \frac { V N } { \beta } \left[ \hat { c } _ { m } , \frac { 1 } { \left( 1 + \beta \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } / N \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \| \eta \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla \eta \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \| \nabla J * \eta \| _ { \infty } \, \| B \| _ { 2 } \, \| \nabla \eta \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| \nabla J \| _ { 2 } \, \| \eta \| _ { 2 } \, \| B \| _ { 2 } \, \| \nabla \eta \| _ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } C _ { J } ^ { 2 } \, C _ { B } ^ { 2 } \, \| \eta \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \eta \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
a _ { \mathrm { T L S } } ^ { 3 \omega _ { 1 } - 2 \omega _ { 2 } } = i \frac { 3 G } { 8 \pi Q _ { i } } \frac { F _ { c } } { T _ { 1 } \kappa ^ { 2 } \bar { \Omega } _ { R } ^ { 2 } } \langle \Psi ^ { 3 \omega _ { 1 } - 2 \omega _ { 2 } } \rangle .
S ( { \vec { r } } , \omega _ { 0 } ) = { \frac { I _ { 0 } ( { \vec { r } } ) } { 8 \pi } } \left[ { \frac { 3 \Gamma / 4 } { ( \omega - \Omega _ { R } - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 3 \Gamma / 4 ) ^ { 2 } } } + { \frac { \Gamma } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \Gamma / 2 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 3 \Gamma / 4 } { ( \omega + \Omega _ { R } - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 3 \Gamma / 4 ) ^ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } , 0 \right) \varphi _ { 0 } e ^ { i S ( \mathbf { x } ) / \hbar } = \varphi _ { 0 } e ^ { i S ( \mathbf { x } ) / \hbar } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta V = \int _ { 0 } ^ { L } E ( x ) d x } & { = \frac { 1 } { \epsilon \epsilon _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { L } d x ( L - x ) \rho ( x , t ) + q _ { 0 } ( t ) L + \int _ { 0 } ^ { L } d x ( L - x ) q _ { L } ( t ) \delta ( x - L + \epsilon _ { \delta } ) \right] , } \\ & { = \frac { 1 } { \epsilon \epsilon _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { L } d x ( L - x ) \rho ( x , t ) + q _ { 0 } ( t ) L \right] , } \end{array}
\frac { \sqrt { 2 } } { 2 \pi } T _ { 2 } K | _ { M ^ { 1 0 } } = T _ { 2 } \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \hat { I } _ { 4 } = \frac { 1 } { m ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \hat { I } _ { 4 }
{ \frac { M } { M _ { P l } } } = { \frac { ( P _ { k } ^ { S } ) ^ { 1 / 4 } } { 2 \sqrt { L } u ^ { 1 / 2 } [ ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + 3 u ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 8 } } } \approx { \frac { 2 . 0 \times 1 0 ^ { - 4 } \left( 1 0 ^ { 1 0 } P _ { k } ^ { S } \right) ^ { 1 / 4 } \left( { 6 0 / L } \right) ^ { 1 / 2 } } { u ^ { 1 / 2 } [ ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + 3 u ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 8 } } } ;
\mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + 2 \Re \{ \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \}
\begin{array} { r l } { S ( f ) } & { { } = \Pi _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } , B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ( f ) m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { T _ { c } } , } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { { } = m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ^ { B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { T _ { c } } \mathrm { ~ d ~ } f . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { \alpha } - \pi _ { \mu } A _ { \alpha } ^ { \mu } ) g ^ { \alpha \beta } ( \pi _ { \beta } ^ { \dag } - A _ { \beta } ^ { \mu } \pi _ { \beta } ^ { \dag } ) + \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \mu } g ^ { \mu \nu } \pi _ { \nu } ^ { \dag } \, .
O ^ { j } = \prod _ { r = 1 } ^ { p } O _ { . . . . } ^ { j _ { r } } \, , \, \, \, \, j = \sum _ { r = 1 } ^ { p } j _ { r } = p + \omega \, , \, \, \omega = \sum _ { r = 1 } ^ { p } \omega _ { r } \, .
\begin{array} { r l } { C _ { t } ^ { * } C _ { t } \quad } & { = \quad \rho _ { t } ^ { B } \enspace , \qquad \mathrm { a n d } } \\ { C _ { t } C _ { t } ^ { * } \quad } & { = \quad \frac { 1 } { \binom n m } \sum _ { S , S ^ { \prime } \in [ n ] , | S | = | S ^ { \prime } | = k } \langle \psi _ { S ^ { \prime } } | \psi _ { S } \rangle ^ { t } \; | S \rangle \! \langle S ^ { \prime } | \enspace . } \end{array}
Z ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { \pm \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } - \Psi \sigma \left( 1 + \lambda \left( 2 r ^ { 2 } - 1 \right) \right) } { 2 \Psi \lambda \alpha ^ { 2 } \left( \lambda + 2 r ^ { 2 } - 1 \right) } \right] .
\begin{array} { r l } { I I } & { = \left( \mathbb { E } ( \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } ) + \mathbb { E } _ { h } ( \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } ) - \mathbb { E } ( \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \le 2 \mathbb { E } ( | \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } | ^ { 2 } ) + 2 \left( \mathbb { E } _ { h } ( \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } ) - \mathbb { E } ( \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \le C \mathbb { E } ( | \varphi - \varphi _ { h ^ { \prime } } | ^ { 2 } ) ( 1 + h ^ { 2 \eta _ { \mathcal { O } } r } ) } \\ & { \le C ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 \eta _ { \Psi } r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - k r _ { g } \bigg \{ 2 \Big \{ C _ { 2 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 2 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \Big ( { \vec { k } } \cdot ( { \vec { n } } - { \vec { n } } _ { 0 } ) \Big ) + } \end{array}
\psi ( { \xi } ) = \sqrt { \frac { 2 \sqrt { \beta } } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d p } { ( 1 + \beta p ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } e ^ { \frac { i { \xi } \tan ^ { - 1 } ( \sqrt { \beta } p ) } { \hbar \sqrt { \beta } } } \psi ( p )
{ \cal M } _ { 1 } = \{ M _ { 3 4 } = 0 \, , ~ M _ { 1 2 } \mathrm { ~ a r b i t r a r y } \} \, , \qquad { \cal M } _ { 2 } = \{ M _ { 1 2 } = 0 \, , ~ M _ { 3 4 } \mathrm { ~ a r b i t r a r y } \} \, .
\begin{array} { r } { 1 - \beta = \int _ { 0 } ^ { \rho _ { \mathrm { m e a } } ( m _ { a } ) } \mathrm { d } \rho ~ \mathcal { L } ( \rho | \delta \phi ^ { \mathrm { ( u p p ) } } ( m _ { a } ) ) , } \end{array}
| \lambda = U \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 1 \rangle - | 2 \rangle ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( a _ { L \uparrow } ^ { \dag } a _ { L \downarrow } ^ { \dag } - a _ { R \uparrow } ^ { \dag } a _ { R \downarrow } ^ { \dag } ) | \theta \rangle