harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Gamma ^ { t } \leq 2 \tilde { c } \cdot n ^ { 2 6 } } & { \Rightarrow e ^ { \alpha \cdot y _ { i } ^ { t } } + e ^ { - \alpha \cdot y _ { i } ^ { t } } \leq \tilde { c } \cdot n ^ { 2 6 } } \\ & { \Rightarrow y _ { i } ^ { t } \leq \frac { 2 7 } { \alpha } \log n \, \wedge \, - y _ { i } ^ { t } \leq \frac { 2 7 } { \alpha } \log n , } \end{array}
\Delta _ { 1 , 1 } = \rho _ { b } \sqrt { \rho _ { k } } \left( a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \Theta ^ { H } a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) a _ { N } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { N } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \right) \left( a _ { M } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \Theta \bar { \Theta } \right)
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \sigma _ { V l } } = \frac { \alpha } { 2 \pi } \Lambda _ { 1 } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) { \sigma _ { 0 } } , } } \\ { { \displaystyle { \sigma _ { V q } } = \frac { \alpha } { 2 \pi } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } ( Q ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } ) { \sigma _ { 0 } ^ { q } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } } & { { } = \sum _ { f = 1 } ^ { n } \hat { F } _ { f } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] \binom { n - 1 } { f - 1 } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f } } \end{array}
A _ { n } = \frac { p _ { a } } { \mathrm Ḋ i Ḍ \rho _ { 0 } ^ { Ḋ } \infty Ḍ \omega } \frac { 2 n + 1 } { 2 } \mathrm { i } ^ { n } \Big [ \mathrm { e } ^ { \mathrm Ḋ i Ḍ k _ { 0 } d } + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm Ḋ i Ḍ k _ { 0 } d } \Big ] .
D ( \alpha , { \alpha ^ { \prime } } ) = { \frac { \sum _ { i , j } p _ { i } ^ { \prime \prime } \langle \Phi _ { i } | C _ { \alpha } | \Psi _ { j } \rangle \langle \Phi _ { i } | C _ { \alpha ^ { \prime } } | \Psi _ { j } \rangle ^ { * } p _ { j } ^ { \prime } } { \sum _ { i , j } p _ { i } ^ { \prime \prime } | \langle \Phi _ { i } | C _ { u } | \Psi _ { j } \rangle | ^ { 2 } p _ { j } ^ { \prime } } } .
\frac { p _ { r } ^ { 2 } } { g _ { r r } } - \frac { { g ^ { \prime } } _ { t t } } { - \cal D } \left( p _ { \phi } + \frac { g _ { t \phi } + \Omega _ { 0 } g _ { \phi \phi } } { { g ^ { \prime } } _ { t t } } E \right) ^ { 2 } = - \left( \frac { E ^ { 2 } } { { g ^ { \prime } } _ { t t } } + V \right) ,
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 \theta } = \left( \frac { - \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } - \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } ( \gamma _ { 1 } - i \Omega ) } { Z ( \gamma _ { + } - i \Omega ) ^ { 2 } } \right) c _ { \theta } + . . . = } \\ & { = \frac { - \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } \times } \\ & { \times \frac { \left( \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { -- } i \Omega ) ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { m } \right) } { \left( \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { m } \right) } c _ { \theta } + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } _ { s } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } s } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] = - \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } _ { s } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } } { \mathrm { d } s } \left[ \mathscr { A } _ { s } \right] } \\ { = } & { - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \left( - \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 T } \right) \overline { { \mathscr { A } } } + 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \mu ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q ^ { \ast } \left[ \frac { u _ { 1 } \cdot v } { T } \mu , \mu ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathscr { A } \right] - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \mathcal { L } \left[ \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 T } \mathscr { A } \right] } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \left( \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 T } \right) \overline { { \mathscr { A } } } + 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } \Gamma \left[ \frac { u _ { 1 } \cdot v } { T } \mu ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \mathscr { A } \right] - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } \left( \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 T } \right) \mathscr { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { \downarrow } } & { : = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \lambda _ { \ell } ^ { \uparrow } - \lambda _ { \ell } ^ { \downarrow } = 0 , \ 1 \le \forall \ell \le k \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } ( \lambda _ { \ell } ^ { \uparrow } - \lambda _ { \ell } ^ { \downarrow } ) = 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { R } \mathrm { e } _ { \alpha } = } & { ~ \frac { \rho _ { \alpha } V _ { 0 } L _ { 0 } } { \nu _ { \alpha } } , } \\ { \mathbb { F } \mathrm { r } = } & { ~ \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { b L _ { 0 } } } , } \\ { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } = } & { ~ \frac { \varepsilon _ { \alpha } } { L _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } = } & { ~ \frac { \rho _ { \alpha } V _ { 0 } ^ { 2 } L _ { 0 } } { a _ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { T r } [ \hat { \sigma } ^ { 3 } ] } & { = } & { \frac { ( \tau _ { 1 } \coth \tau _ { 1 } - 2 \tau _ { 2 } \coth \tau _ { 2 } + 1 ) ( \tau _ { 2 } \coth \tau _ { 2 } - 2 \tau _ { 1 } \coth \tau _ { 1 } + 1 ) ( 2 - \tau _ { 1 } \coth \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } \coth \tau _ { 2 } ) } { 9 \left( \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { \sigma ^ { a b } W _ { a b } } & { = } & { \frac { 1 } { \left( { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( \tau _ { 1 } ^ { 3 } \frac { \cosh \tau _ { 1 } } { \sinh \tau _ { 1 } } + \tau _ { 2 } ^ { 3 } \frac { \cosh \tau _ { 2 } } { \sinh \tau _ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 3 } \theta \ . } \end{array}
\Delta p _ { 2 } = \Delta p _ { 1 } = { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + { \hbar ^ { 2 } / 1 6 \Omega ^ { 2 } } } } , ~ ~ ~ ~ \Delta y _ { 1 } = \Delta y _ { 2 } = { \sqrt { \Omega ^ { 2 } + \hbar ^ { 2 } / 1 6 \sigma ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { W } & { = } & { 4 \cdot 2 \pi \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } \int _ { \| { \bf { k } } \| \ge k _ { \mathrm { { C } } } } \! \! \! \! \! \! d k \ k ^ { - 5 / 3 } } \\ & { - } & { 4 \cdot 2 \pi \frac { \sigma _ { W 0 } } { \omega _ { \mathrm { s w } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } } \int _ { \| { \bf { k } } \| \ge k _ { \mathrm { C } } } \! \! \! \! \! \! d k \ k ^ { 4 / 3 } \frac { D } { D t } \left[ { \varepsilon ^ { - 1 / 3 } ( { \bf { x } } ; t ) \varepsilon _ { W } ( { \bf { x } } ; t ) k ^ { - 1 1 / 3 } } \right] } \\ & { + } & { 4 \cdot 2 \pi \frac { \sigma _ { W 0 } \omega _ { W 0 } } { ( \omega _ { \mathrm { { s w } } } \varepsilon _ { \mathrm { s w } } ^ { 1 / 3 } ) ^ { 2 } } \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } \int _ { \| { \bf { k } } \| \ge k _ { \mathrm { { C } } } } \! \! \! \! \! \! d k \ k ^ { - 3 } \frac { D } { D t } \left[ { \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } ( { \bf { x } } ; t ) k ^ { 2 / 3 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \tau ) } & { = \ln \left\{ \int D [ \hat { \mu } w m g ] \exp \left( i \hat { \mu } ( \tau + 1 ) \left[ N _ { t } \int d t \, m ( t , \tau + 1 ) g ( t , \tau + 1 ) + \sum _ { k \neq j } w _ { k j } ( \tau + 1 ) - \sum _ { k } \int d t \Big [ g x _ { k } + m \hat { f } _ { k } \Big ] _ { t , \tau + 1 } \right] \right) \right\} } \\ & { + \sum _ { k \neq j \in \mathcal { T } } \ln 2 \mathrm { c o s h } \, \left( \frac { \Psi _ { k j } ( \tau + 1 ) + \beta h _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) } { N _ { t } } - i w _ { k j } ( \tau + 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } \right] } & { \sim \left< u ^ { * 2 } \right> , } \\ { \Gamma \mathcal { L } \left[ u ^ { * 2 } u _ { S } ^ { + } + \mathcal { H } \left[ u ^ { * } \right] \mathcal { H } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] \right] } & { \sim \Gamma \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> ^ { 1 / 2 } \left< u ^ { * 2 } \right> , } \\ { \Gamma ^ { 2 } E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] } & { \sim \Gamma ^ { 2 } \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> \left< u ^ { * 2 } \right> . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { - \left( \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x \right) } & { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { 5 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { - 5 } x + \alpha ^ { 6 } x ^ { 2 } } & { - \left( \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } } & { \alpha ^ { - 3 } + \alpha ^ { 5 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { - 5 } x + \alpha ^ { 6 } x ^ { 2 } } & { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 5 } x } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , r ) } \fint _ { B ( x , r ) } | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ { \le } & { \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } \int _ { B ( y , r ) } \frac { | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } } { \mu ( B ( x , r ) ) } d \mu ( x ) \, d \mu ( y ) } \\ { \le } & { C \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , 2 r ) } | f ( y ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } d \mu ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { i } } & { { } = \Tilde { E } _ { i } \Tilde { E } _ { i } ^ { * } = I _ { 1 } \tau _ { i h } ^ { 2 } + I _ { 2 } \tau _ { i k } ^ { 2 } + \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { i h } U _ { i k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { i h } ^ { * } U _ { i k } } \\ { I _ { j } } & { { } = \Tilde { E } _ { j } \Tilde { E } _ { j } ^ { * } = I _ { 1 } \tau _ { j h } ^ { 2 } + I _ { 2 } \tau _ { j k } ^ { 2 } + \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { j h } U _ { j k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { j h } ^ { * } U _ { j k } } \end{array}
r _ { \kappa } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } P _ { k } d k = - i \Gamma _ { 0 } \sum _ { j , j ^ { \prime } } G _ { j , j ^ { \prime } } ( \omega _ { \kappa } ) e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( z _ { j } + z _ { j ^ { \prime } } ) } ,
\begin{array} { r l } { { v } ( x , ( l + 1 ) \Delta t ) } & { { } = \mathcal { L } ^ { \mathrm { I U F N O } } [ { v } ( { x } , l \Delta t ) ] : = { v } ( { x } , l \Delta t ) + \Delta t \sigma \left( c ( x , l \Delta t ) \right) , \quad \forall x \in D , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 4 } u ( t , x , y ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } u _ { k } ( t , y ) e ^ { i k x } , \quad u _ { k } ( t , y ) } & & { : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } u ( t , x , y ) e ^ { - i x k } d x , } \\ { v ( t , x , y ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } v _ { k } ( t , y ) e ^ { i k x } , \quad v _ { k } ( t , y ) } & & { : = - i k \int _ { 0 } ^ { y } u _ { k } ( t , z ) d z , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ { \times \; \delta ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \times \; \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } ) \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } ) . \phantom { x x x x x x x x x x x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon ( f \otimes g \otimes h ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 } & { \mathrm { i f ~ } ( \kappa , \lambda , \mu ) \in \mathcal { W } _ { 3 } ^ { \mathrm { b a l } } \mathrm { ~ a n d ~ } \prod _ { v \mid N } \varepsilon _ { v } ( f \otimes g \otimes h ) = - 1 \, } \\ & { \mathrm { o r ~ i f ~ } ( \kappa , \lambda , \mu ) \notin \mathcal { W } _ { 3 } ^ { \mathrm { b a l } } \mathrm { ~ a n d ~ } \prod _ { v \mid N } \varepsilon _ { v } ( f \otimes g \otimes h ) = + 1 \, , } \\ { - 1 } & { \mathrm { i f ~ } ( \kappa , \lambda , \mu ) \in \mathcal { W } _ { 3 } ^ { \mathrm { b a l } } \mathrm { ~ a n d ~ } \prod _ { v \mid N } \varepsilon _ { v } ( f \otimes g \otimes h ) = + 1 \, } \\ & { \mathrm { o r ~ i f ~ } ( \kappa , \lambda , \mu ) \notin \mathcal { W } _ { 3 } ^ { \mathrm { b a l } } \mathrm { ~ a n d ~ } \prod _ { v \mid N } \varepsilon _ { v } ( f \otimes g \otimes h ) = - 1 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
[ \mathbf { P } _ { k + 1 } ] _ { i , j } [ \mathbf { L } ] _ { i , j } \longrightarrow { \mathbf { K } _ { k + 1 } ^ { l o c } = [ \mathbf { L } ] _ { i , j } [ \mathbf { X } _ { k + 1 } ^ { f } ( \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } ] _ { i , j } \left( [ \mathbf { L } ] _ { i , j } [ \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ( \mathbf { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } ] _ { i , j } + \mathbf { R } _ { k + 1 } \right) ^ { - 1 } }
\begin{array} { r l } { \Xi _ { \rho \boxtimes \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) = } & { \Xi _ { \rho } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \Xi _ { \sigma } ( t \vec { p } , t \vec { q } ) } \\ { = } & { \Xi _ { \rho } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \Xi _ { \sigma } ( t \vec { p } , t \vec { q } ) \delta _ { w ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S } } \\ { = } & { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \Xi _ { \sigma } ( t \vec { p } , t \vec { q } ) \delta _ { w ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S } } \\ { = } & { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( ( 1 - s ) \vec { p } , ( 1 - s ) \vec { q } ) } \\ { = } & { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( \vec { p } , \vec { q } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( n ) \le R _ { * } ( 2 n ) \le \frac { 1 } { 2 } - c _ { 3 } ^ { \prime } n ^ { - \frac { 5 } { 2 } } } & { \Longleftrightarrow \gamma ( \omega _ { r } ) \ge c _ { 3 } ^ { \prime } | \frac { 1 } { 2 } - r | ^ { - \frac { 2 } { 5 } } } \\ { R ^ { p } ( n ) \le R _ { * } ^ { p } ( 2 n ) \le \frac { 2 } { \pi } - c _ { 2 } ^ { \prime } n ^ { - 4 } } & { \Longleftrightarrow \gamma ^ { p } ( \omega _ { r } ) \ge c _ { 2 } ^ { \prime } | \frac { 2 } { \pi } - r | ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { M } ( f ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( f ( 2 ) + f ( - 2 ) \right) - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { 0 } ( f ) + ( w _ { 2 } - 2 ) \tau _ { 2 } ( f ) + ( w _ { 4 } - 3 ) \tau _ { 4 } ( f ) } \\ & { \qquad + \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \sqrt { \omega _ { s } ^ { \ell } } \tau _ { \ell } ( f ) , } \end{array}
\partial _ { \kappa } F _ { \mathsf { f } } ( \mu , V + \kappa \varsigma _ { n } ) | _ { \kappa = 0 } = \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } w \rho _ { \mathsf { n } } ( w ) ( 1 - T \rho _ { \mathsf { n } } ) ^ { - 1 } \varsigma _ { n } ( w ) = \langle \rho _ { \mathsf { p } } \varsigma _ { n } \rangle = \langle Q _ { \mathsf { f } } ^ { [ n ] } ( 0 ) \rangle _ { \mu , V } ,
\begin{array} { r l } { A _ { m _ { 1 } } ^ { \ell _ { 1 } } { } _ { m _ { 2 } } ^ { \ell _ { 2 } } { } _ { m _ { 3 } } ^ { \ell _ { 3 } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \mathrm { d } \eta \mathrm { d } \phi \, Y _ { \ell _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } * } ( \eta , \phi ) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 2 \ell _ { 2 } + 1 } } Y _ { \ell _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } ( \eta , \phi ) Y _ { \ell _ { 3 } } ^ { m _ { 3 } } ( \eta , \phi ) } \end{array}
T ^ { [ \mu \nu ] } = i \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } q _ { \alpha } ( M S ) _ { \beta } \; { \frac { 2 e _ { q } ^ { 2 } } { \nu } } \; \int \, d x \, f _ { T } ( x ) \, \left( { \frac { 1 } { x - x _ { B } } } - { \frac { 1 } { x + x _ { B } } } \right) \; \; ,
\begin{array} { r } { \overline { { V _ { m a x } } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { L } V _ { m a x } ( z _ { i } ) e ^ { - \frac { z } { l } } d z _ { i } } { \int _ { 0 } ^ { L } e ^ { - \frac { z _ { i } } { l } } d z _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { A } \\ { C } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { C } \\ { B } \\ { B } \\ { D } \\ { A } \end{array} \right) _ { m a p } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { D } \\ { B } \\ { D } \\ { C } \\ { A } \end{array} \right) _ { b 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | a ( r , \xi , \tau ) | _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } ^ { 2 } = | a _ { 0 } | ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \xi ) } & { { } \left( 2 \epsilon _ { w } \Omega _ { s } \tau \sin ( \omega _ { w } \tau ) + \frac { 2 \Omega _ { s } \left[ \cos ( \omega _ { w } \tau ) - 1 \right] } { \omega _ { w } } \right) \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 1 0 } ( r ) \, , } \\ { \frac { \delta n _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } ( r , \xi , \tau ) } { n _ { 0 0 } } = \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } c ^ { 5 } } \frac { \omega _ { p 0 } W _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ i ~ v ~ e ~ } } ( \xi ) \lambda _ { L } ^ { 2 } } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { } \left( 2 \epsilon _ { w } \Omega _ { s } \tau \sin ( \omega _ { w } \tau ) + \frac { 2 \Omega _ { s } \left[ \cos ( \omega _ { w } \tau ) - 1 \right] } { \omega _ { w } } \right) \sin ( k _ { p 0 } \xi ) \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { ~ L ~ G ~ } _ { 1 0 } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { - 1 } W ( z ) } & { \geq \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid e _ { 1 } \big ) + \frac { 1 - \delta ^ { 1 + y } } { 2 } W _ { g } \big ( m \mid \frac { B } { \sqrt { 2 } } \big ) W _ { s } \big ( \frac { z } { m } \mid - e _ { 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \underset { \Lambda _ { 1 } , \ldots , \Lambda _ { p } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & & { f ( \boldsymbol { \Lambda } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { q } ( [ \boldsymbol { E } _ { z } ] _ { k } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \bar { \boldsymbol { E } } _ { z } ( \boldsymbol { \Lambda } ) ) ^ { 2 } } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } & & { \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } 0 . 5 ( \Lambda _ { i + 1 } + \Lambda _ { i } ) \Delta \xi _ { i } = Q , } \\ & { } & & { \boldsymbol { \Lambda } _ { l } \le \boldsymbol { \Lambda } \le \boldsymbol { \Lambda } _ { u } , } \end{array}
r _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { { r _ { 0 } ( x _ { \mathrm { m v a } } ) } } & { { \mathrm { \ \ i f \ } x _ { \mathrm { m v a } } \leq 0 . 9 0 4 \, R _ { \odot } \ , } } \\ { { R _ { \odot } / 1 8 . 9 } } & { { \mathrm { \ \ o t h e r w i s e } \ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \lambda } & { { } \leftarrow \lambda - \tau _ { \lambda } ( \nu \mathbf { 1 } + T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } ) , } \\ { \nu } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { \lambda } N _ { \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ } } } ( \mathbf { 1 } ^ { \top } \lambda - N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } - \tau _ { \lambda } \mathbf { 1 } ^ { \top } T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } ) . } \end{array}
\mathcal { V } _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } \left[ \rho \right] ( { \bf x } ) = \varepsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } ( \rho ( { \bf x } ) ) + \rho ( { \bf x } ) \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } } { \partial \rho } ( \rho ( { \bf x } ) ) .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ S ~ L ~ E ~ } ( Y _ { i } , \hat { Y _ { i } } ) = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \log { \frac { Y _ { i } } { { \hat { Y _ { i } } } } } \right) ^ { 2 } \; .
\lambda \Delta = \lambda \left( \mathbf { J ^ { \mathsf { T } } J } + \lambda \mathbf { I } \right) ^ { - 1 } \left( - \mathbf { J } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } \right) = \left( \mathbf { I } - \mathbf { J ^ { \mathsf { T } } J } / \lambda + \cdots \right) \left( - \mathbf { J } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } \right) \to - \mathbf { J } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r }
\frac { d f } { d p _ { k } } = \frac { \partial f } { \partial p _ { k } } + \sum _ { n = 1 } ^ { M _ { \mathrm { o u t } } } \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { \mathrm { i n } } } 2 \mathrm { R e } \left( \frac { \partial f } { \partial S _ { n m } } \frac { \partial S _ { n m } } { \partial p _ { k } } \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L } ( m , n ) } c _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | } & { \le \left( \log ( L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left| \Lambda ^ { L } ( m , n ) \right| ^ { 1 / r ^ { \prime } } \right) \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } } \\ & { { \prec _ { C ^ { m } } } \log ( m ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \binom { 2 n } { [ m - m ^ { \kappa } / 2 ] } ^ { 1 / r ^ { \prime } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } } \\ & { { \prec _ { C ^ { m } } } \log ( m ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \Big ( \frac { n } { m - m ^ { \kappa } / 2 } \Big ) ^ { m - m ^ { \kappa } / 2 } \right) ^ { 1 / r ^ { \prime } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } } \\ & { = \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( m ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m - m ^ { \kappa } / 2 } { n } \Big ) ^ { \frac { c m ^ { \kappa } } { r ^ { \prime } } } \Big ( \frac { m } { m - m ^ { \kappa } / 2 } \Big ) ^ { \frac { m } { r ^ { \prime } } } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r } } ^ { m } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \Big ( \frac { \log ( m ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } } { n ^ { \frac { m ^ { \kappa } } { 2 r ^ { \prime } } } } \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { v } \, \alpha _ { v } \wedge \mathrm { d } \alpha _ { v } } & { = \frac { 1 } { s _ { v } } \, \mathrm { d } ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \wedge \, ( \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } ) \wedge v ^ { \flat } } \\ & { \qquad \, - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \big ( ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \, v ^ { \flat } - \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } \big ) \wedge \Big ( \frac { \partial \xi } { \partial t } \, \lrcorner \, \mu \Big ) \ . } \end{array}
P _ { \mathrm { i n t e r } } = \rho _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sum \frac { R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { r _ { i } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) .
T _ { D u r } = { \frac { 1 } { 2 \, \Gamma } } \, \mathrm { l n } \Bigg \{ { \frac { \mathrm { s i n h } \big [ \mathrm { a s i n h } ( \mu ) + { \frac { 2 \, \Gamma R } { v _ { 0 } } } \, \mathrm { s i n } { \frac { c } { 2 } } \big ] } { \mu } } \Bigg \} \, .
K = \mathrm { T r } \left( \frac { 1 } { 2 } \bar { W } W + \tilde { q } ^ { + } \nabla ^ { -- } q ^ { + } - q ^ { + } \nabla ^ { -- } \tilde { q } ^ { + } \right) = \mathrm { T r } \left( \bar { \phi } \phi + \bar { q } ^ { i } q _ { i } \right) + \theta \ \mathrm { t e r m s } \ .