harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tau _ { r } \frac { d u _ { k j i } } { d t } = - \bar { a } ( u _ { k j i } , u _ { 0 0 k } ) + c _ { k j i } \sum _ { l = 1 } ^ { N } w _ { l k i } \bar { a } ( u _ { l k i } , u _ { l 0 0 } ) + } \\ { + b _ { k j i } \bar { e } ( u _ { k j i } , u _ { 0 0 k } , u _ { k 0 1 } , \dots , u _ { k N N } ) + U _ { k j i } } \end{array}
( \Tilde { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { m a x } } \pm 1 0 0 , \Tilde { a } _ { 2 } ^ { \mathrm { m a x } } \pm 1 0 0 , \Tilde { a } _ { 3 } ^ { \mathrm { m a x } } \pm 1 0 0 )
\begin{array} { r l r } { a \frac { d } { d a } L _ { n } ( a ) } & { { } = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { n ! } { j ! ( n - j ) ! } j a ^ { j } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \begin{array} { l } { x } \\ { x - 1 } \end{array} } \right] } & { = { \binom { x } { 2 } } } \\ { \left[ { \begin{array} { l } { x } \\ { x - 2 } \end{array} } \right] } & { = { \binom { x } { 4 } } + 2 { \binom { x + 1 } { 4 } } } \\ { \left[ { \begin{array} { l } { x } \\ { x - 3 } \end{array} } \right] } & { = { \binom { x } { 6 } } + 8 { \binom { x + 1 } { 6 } } + 6 { \binom { x + 2 } { 6 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } c _ { i j } [ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ] \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { b } ^ { \mathrm { s s } } = \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } ( \gamma _ { \mathrm { o } } + \Gamma _ { \mathrm { m } } ) } { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } \cdot \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { \gamma _ { \mathrm { o } } + \Gamma _ { \mathrm { m } } } n _ { \mathrm { t h } } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ^ { n } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( n ) } , \qquad \hat { K } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ^ { n } } \hat { K } ^ { ( n ) } .
\begin{array} { l } { { \Gamma \left( \partial _ { Z ^ { I } } \right) \Psi _ { + + } = 0 , \; \; I = 1 , 2 , 3 } } \\ { { \Gamma ^ { \tau } \Gamma ^ { 5 } \Psi _ { + + } = i \Psi _ { + + } } } \end{array}
{ \frac { 1 6 } { 1 0 7 } } \ \beta _ { 3 , 0 } + \left( { \frac { 1 6 } { 1 0 7 } } \ \beta _ { 2 , 0 } \right) ^ { 2 } = g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 2 } \sim 3 1 . 4
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d \eta } { d z } = \left( 1 - \frac { \eta ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \eta \tilde { J } _ { 1 } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) \left[ G \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) - G \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) \right] , } \end{array}
\widehat { A } _ { \mu } \; = \; A _ { \mu } \, - \, \frac { \theta ^ { \rho \sigma } } { 2 } A _ { \rho } \{ \partial _ { \sigma } A _ { \mu } + F _ { \sigma \mu } \} \, + \, { \mathcal O } ( \theta ^ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r } { \langle S _ { + } \rangle = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \langle S _ { z } \rangle \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \left( b ^ { + } e ^ { i \omega t } \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + b ^ { - } e ^ { - i \omega t } \mathcal { A } _ { p } ^ { - } \right) e ^ { i p ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { b } \times \mathbf { y } } & { { } \equiv \left[ \mathbf { b } \right] \mathbf { y } } \\ { \left[ \mathbf { b } \right] } & { { } \equiv { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - b _ { z } } & { b _ { y } } \\ { b _ { z } } & { 0 } & { - b _ { x } } \\ { - b _ { y } } & { b _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( A _ { j } = a _ { j } ) } & { \approx ( - 1 ) ^ { 2 j - 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \big ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ^ { j - 1 : j } + \mathbf { e } _ { 2 } ] ) - [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ^ { j - 1 : j } ] \big ) \, d a _ { j - 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { 2 j - 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( \cfrac { 1 } { a _ { j - 1 } + \cfrac { 1 } { a _ { j } + 1 } } - \cfrac { 1 } { a _ { j - 1 } + \cfrac { 1 } { a _ { j } } } \right) d a _ { j - 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { 2 j - 1 } \left( \ln \left( 1 + \frac { 1 } { a _ { j } + 1 } \right) - \ln \left( 1 + \frac { 1 } { a _ { j } } \right) \right) } \\ & { = \ln \frac { ( a _ { j } + 1 ) ^ { 2 } } { a _ { j } ( a _ { j } + 2 ) } . } \end{array}
x = b ! \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } - \sum _ { n = 0 } ^ { b } { \frac { 1 } { n ! } } \right) = \sum _ { n = b + 1 } ^ { \infty } { \frac { b ! } { n ! } } > 0 ,
\begin{array} { r } { h _ { n , m } \left( r , \theta , \phi \right) = \eta _ { n , m } r ^ { n } P _ { n , | m | } \left( \cos \theta \right) \left( \begin{array} { l } { \cos \left( m \phi \right) } \\ { \sin \left( | m | \phi \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { p q r s } ^ { A } = \frac { 1 } { N _ { k } } \sum _ { k } \sum _ { \mu \nu \lambda \sigma } ^ { N } T _ { \mu p } ^ { k , A } T _ { \nu q } ^ { k , A } V _ { \mu \nu \lambda \sigma } ^ { k } T _ { \lambda r } ^ { k , A } T _ { \sigma s } ^ { k , A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( s ; a , b , 2 p ) = 1 } & { + e ^ { - ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) s } \sum _ { k = 1 } ^ { p } \frac { s ^ { k - 1 } } { \Gamma ( k ) } \left[ - ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { k - 1 } + ( - 1 ) ^ { p + 1 } ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } - \mu _ { b } - \sigma _ { b } ) ^ { k - 2 p } \right. } \\ & { \left. \times ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p - 1 } \binom { 2 p - k } { p - k + 1 } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 - p ; p - k + 2 ; \frac { \mu _ { a } + \sigma _ { a } } { \mu _ { b } + \sigma _ { b } } \right) \right] } \\ & { + e ^ { - ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) s } \sum _ { k = 1 } ^ { p } \frac { s ^ { k - 1 } } { \Gamma ( k ) } \left[ - ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { k - 1 } + ( - 1 ) ^ { p + 1 } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } - \mu _ { a } - \sigma _ { a } ) ^ { k - 2 p } \right. } \\ & { \left. \times ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p - 1 } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } \binom { 2 p - k } { p - k + 1 } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 1 - p ; p - k + 2 ; \frac { \mu _ { b } + \sigma _ { b } } { \mu _ { a } + \sigma _ { a } } \right) \right] \, , } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { \mathrm { s s } } ( r _ { i j } ) = \frac { k ^ { \mathrm { s s } } } { 2 } ( r _ { i j } ^ { \mathrm { s s } } - r _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { \mathrm { s s } } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { l } { { \Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = \left\langle \frac { c l _ { k } } { \varepsilon \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \mu ^ { \prime } e ^ { - \lambda _ { g } \left( t - t _ { n } \right) } I _ { g } \left( t _ { n } , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) \right) d t \right\rangle } } \\ { { + \frac { 2 \pi } { 3 } \left( D ^ { 1 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \frac { 2 \pi } { 3 } \left( D ^ { 2 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \delta _ { x ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } } } \end{array}
\psi _ { g . s . } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { \frac { N } { 2 } } ) = \prod _ { \alpha < \beta } ^ { \frac { N } { 2 } } ( z _ { \alpha } - z _ { \beta } ) ^ { 2 } \prod _ { \alpha = 1 } ^ { \frac { N } { 2 } } z _ { \alpha }
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } \cdot ( u , \xi , v , t , z , w ) } & { = ( u , \xi , v , t , z , w ) } \\ { K _ { 1 } \cdot ( u , \xi , v , t , z , w ) } & { = ( \epsilon ^ { 8 } u , \epsilon ^ { 2 } \xi , \epsilon ^ { 3 } v , \epsilon t , \epsilon z , w ) } \\ { K _ { 2 } \cdot ( u , \xi , v , t , z , w ) } & { = ( \epsilon ^ { 7 } u , \epsilon ^ { 4 } \xi , \epsilon ^ { 6 } v , \epsilon ^ { 2 } t , \epsilon ^ { 2 } z , w ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial \kappa _ { y } } { \partial { x } } } \, - \, { \frac { \partial \kappa _ { x } } { \partial { y } } } \, = \, 0 \qquad } & { { } { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \kappa _ { x } \, = \, { \frac { \partial \theta } { \partial { x } } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \kappa _ { y } \, = \, { \frac { \partial \theta } { \partial { y } } } , } \\ { \kappa ^ { 2 } \, = \, k ^ { 2 } \, + \, { \frac { \nabla \cdot \left( c _ { p } \, c _ { g } \, \nabla a \right) } { c _ { p } \, c _ { g } \, a } } \qquad } & { { } { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \kappa \, = \, { \sqrt { \kappa _ { x } ^ { 2 } \, + \, \kappa _ { y } ^ { 2 } } } \quad { \mathrm { ~ a n d } } } \\ { \nabla \cdot \left( { \boldsymbol { v } } _ { g } \, E \right) \, = \, 0 \qquad } & { { } { \mathrm { ~ w i t h ~ } } E \, = \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \rho \, g \, a ^ { 2 } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \boldsymbol { v } } _ { g } \, = \, c _ { g } \, { \frac { \boldsymbol { \kappa } } { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { E } } , \hat { \mathbf { b } } , \hat { \mathbf { c } } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { E } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } } \mathcal { L } ( { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } | { \mathbf { A } } ) } \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } : ~ ~ ~ c _ { d } \geq 0 , \forall d } & { = 1 , 2 , . . . , D } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { i d } } & { = 0 , \forall d = 1 , 2 , . . . , D } \\ { \big \| { \mathbf { E } } _ { : d } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = N , \forall d = 1 , 2 , . . . , D } \end{array}
\left( \frac { d \hat { R } } { d \hat { t } } \right) _ { J A 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \hat { t } \le \hat { t } _ { b a l } , } \\ { \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 1 2 8 } { a ^ { 2 } \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \right] \frac { \hat { t } _ { b a l } } { 2 } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \hat { t } > \hat { t } _ { b a l } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( u _ { 1 } ^ { 1 } u _ { 2 } ^ { 1 } - 2 x ^ { 2 } u ^ { 1 } \right) \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } & { { } = u _ { 1 } ^ { 1 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) u _ { 2 } ^ { 1 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) - 2 x ^ { 2 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) u ^ { 1 } \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \sum _ { k l } h _ { k } ^ { l } a _ { k } ^ { \dagger } a _ { l } + \sum _ { k l m n } g _ { k l } ^ { m n } a _ { k } ^ { \dagger } a _ { l } ^ { \dagger } a _ { m } a _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { M } } p _ { 0 } ( \mathbf { w } ) \, \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { w } = 1 = \int _ { \mathbb { R } ^ { M } } p _ { 1 } ( \mathbf { w } ) \, \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { w } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b > a = 1 } ^ { N } \left[ \hat { V } _ { a } , \hat { V } _ { b } \right] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b = 2 } ^ { N } \left[ \sum _ { a = 1 } ^ { b - 1 } \hat { V } _ { a } , \hat { V } _ { b } \right] , } \end{array}
{ \alpha } ( t ^ { 0 } \otimes h _ { { \alpha } _ { k } ^ { 0 } } ^ { 0 } ) = { \alpha } ^ { 0 } ( h _ { { \alpha } _ { k } ^ { 0 } } ^ { 0 } ) \; \mathrm { ( f o r ~ k ~ = ~ 1 , 2 , \ldots ~ , \ell ~ ) } , { \alpha } ( c ) = 0 , { \alpha } ( d ) = 0 .
\langle \tilde { P } \rangle = - \frac { 1 } { \mathrm { C a } } \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \tilde { r } \frac { \partial \tilde { h } } { \partial \tilde { r } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { h } } & { { } = } & { \hat { h } _ { F } + \hat { h } _ { A } + \hat { h } _ { I } } \\ { \hat { h } _ { F } } & { { } = } & { \sum _ { { \bf k } } \omega _ { { \bf k } } \hat { a } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } } } \\ { \hat { h } _ { A } } & { { } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \omega _ { j } \hat { \sigma } _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } ) | } & { = | \mathbb { E } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \mathbb { E } ( \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } | J ) ) | } \\ & { \le \mathbb { E } | \mathbb { E } ( \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } | J ) | } \\ & { \le \sqrt { \mathbb { E } [ ( \mathbb { E } ( \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } | J ) ) ^ { 2 } ] } } \\ & { \le e ^ { - t \operatorname* { m i n } \{ d ( i , j ) , d ( i , B ) + d ( j , B ) \} } . } \end{array}
I _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { 1 } { \Big ( 1 + k ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) \, \Big ( 1 + l ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) \, k ^ { 4 } l ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { | A \rangle } & { { } = \cos { \frac { \beta } { 2 } } | \leftrightarrow \, \rangle + \sin { \frac { \beta } { 2 } } | \updownarrow \, \rangle , } \\ { | B \rangle = } & { { } \cos { \frac { \beta } { 2 } } \, e ^ { - i \delta / 2 } | \leftrightarrow \, \rangle + \sin { \frac { \beta } { 2 } } \, e ^ { i \delta / 2 } | \updownarrow \, \rangle , } \end{array}
\operatorname { a r c o s h } x = \left| \operatorname { a r s i n h } \left( { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) \right| = \left| \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { x } } \right) \right|
- J ( \theta _ { t + 1 } ) \leq - J ( \theta _ { t } ) - \frac { \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { 8 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| d _ { t } - \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { L _ { g } \gamma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) - \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| \, .
\begin{array} { r l r } { S ( q ) } & { = } & { \frac { 1 } { V } \left\langle \tilde { \rho } ( q ) \tilde { \rho } ( - q ) \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { 2 q _ { H } ^ { 2 } } { V } \sum _ { i } \sum _ { j \leq i } \Big [ 4 \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { M _ { i } M _ { j } } } ) - 2 \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { M _ { i } H _ { 1 , j } } } ) - 2 \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 1 , i } M _ { j } } } ) - 2 \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { M _ { i } H _ { 2 , j } } } ) } \\ & { - } & { 2 \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 2 , i } M _ { j } } } ) + \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 1 , i } H _ { 1 , j } } } ) + \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 2 , i } H _ { 2 , j } } } ) + \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 1 , i } H _ { 2 , j } } } ) } \\ & { + } & { \cos ( \mathbf { q } \cdot \mathbf { d } _ { \mathrm { H _ { 2 , i } H _ { 1 , j } } } ) ) \Big ] \, , } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { 1 \mapsto 2 } ^ { 2 D } : \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } = \frac { \rho _ { 2 } } { b ( t _ { 2 } ) } , } \\ { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) d t _ { 1 } = \frac { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } { b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } d t _ { 2 } , } \\ { \psi _ { 2 } ( \rho _ { 2 } , \phi , t _ { 2 } ) = \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } \left( \rho _ { 1 } , \phi , t _ { 1 } \right) \chi ( \rho _ { 2 } , t _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } ( \mathbf { r } ) } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda ^ { 2 } r _ { 1 2 } ^ { 3 } r _ { 3 4 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 1 2 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 3 4 } ^ { 3 } + 4 \, ) - r _ { 1 2 } ^ { 3 } r _ { 3 4 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } \\ { A _ { 1 } ( \mathbf { r } ) } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda ^ { 2 } r _ { 1 4 } ^ { 3 } r _ { 2 3 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 1 4 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 2 3 } ^ { 3 } + 4 \, ) - r _ { 1 4 } ^ { 3 } r _ { 2 3 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } \\ { A _ { 2 } ( \mathbf { r } ) } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda ^ { 2 } r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 2 4 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 1 3 } ^ { 3 } + 2 \, \lambda r _ { 2 4 } ^ { 3 } + 4 \, ) - r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 2 4 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { U ( N ) } ( S ) \mathfrak { f } _ { ( a , b ) } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { c \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { - 2 \pi i a c / N } \frac { 1 } { N } \sum _ { \lambda , \mu \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i ( \lambda b + \mu c ) / N } \mathfrak { e } _ { ( \lambda , \mu ) } } \\ & { = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \lambda \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i \lambda b / N } \sum _ { \mu \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } \Big ( \sum _ { c \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i c ( \mu - a ) / N } \Big ) \mathfrak { e } _ { ( \lambda , \mu ) } } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \lambda \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i \lambda b / N } \mathfrak { e } _ { ( \lambda , a ) } } \\ & { = \mathfrak { f } _ { ( - b , a ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \tilde { \gamma } _ { x x } } & { { } = 1 , } & { \gamma _ { y y } } & { { } = 1 + b , } & { \gamma _ { z z } } & { { } = 1 - b } \\ { \alpha } & { { } = 1 , } & { K _ { y y } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } b , } & { K _ { z z } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } b , } \end{array}
\zeta _ { P { \cal K } ( c ) } ( s ) = \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ d \beta \beta ^ { s - 1 } \mathrm { T r } e ^ { - \beta P { \cal K } ( c ) } \qquad , \qquad \zeta _ { { \cal V } _ { 1 } } ( s ) = \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ d \beta \beta ^ { s - 1 } \mathrm { T r } e ^ { - \beta { \cal V } _ { 1 } } \quad .
\begin{array} { r l } { T _ { c } } & { \coloneq T \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } \{ l _ { i } t ~ | ~ t \in T _ { i } \} } \\ { \lambda _ { c } ( t ) } & { \coloneq \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda ( t ) } & { t \in T } \\ { \lambda _ { i } ( s ) } & { t = o _ { i } s \mathrm { ~ f o r ~ } s \in T _ { i } } \end{array} \right. } \\ { \delta _ { c } ( t ) } & { \coloneq \left\{ \begin{array} { l l } { \delta ( t ) } & { t \in \mathrm { d o m } ( \delta ) } \\ { \delta _ { i } ( s ) } & { t = o _ { i } s \mathrm { ~ f o r ~ } s \in T _ { i } \mathrm { ~ a n d ~ } s \in \mathrm { d o m } ( \delta _ { i } ) } \end{array} \right. } \\ { \beta _ { c } ( t ) } & { \coloneq \left\{ \begin{array} { l l } { \beta ( t ) } & { t \in \mathrm { d o m } ( \beta ) } \\ { o _ { i } \beta _ { i } ( s ) } & { t = o _ { i } s \mathrm { ~ f o r ~ } s \in T _ { i } \mathrm { ~ a n d ~ } s \in \mathrm { d o m } ( \beta _ { i } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \varepsilon _ { S S l } \log \left( 1 + \frac { C ^ { * } } { q } \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } & { = } & { \varepsilon _ { S S l } \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \left( \varepsilon _ { S S l } + \frac { C ^ { * } } { q } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { i \chi _ { f } = \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial \Delta f } \approx - \frac { 4 \pi i } { c } \frac { ( 1 - r _ { 2 } ) L _ { 1 } + ( 1 + r _ { 2 } ) L _ { 2 } } { 1 - r _ { 2 } } \frac { \gamma _ { 1 } } { 1 - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { 0 } ( \psi _ { 1 } ( z + \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) - c _ { 0 , 1 } ) z \, f _ { Z } ( z + \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) d z } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } z ^ { 2 } \, f _ { Z } ( z + \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) d z } = E _ { \lambda } [ k _ { 1 } ( S _ { 1 , \lambda } , \lambda ) ] , } \end{array}
{ \frac { g _ { 0 0 } ^ { 6 } } { \pi } } \left( \beta _ { 0 } ^ { 2 } \ln ^ { 2 } { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + 2 a _ { 1 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + a _ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } } & { = \frac { \phi _ { 1 } ^ { 3 } + \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { \phi _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \phi _ { 1 } + 3 } } \\ { \psi _ { 2 } } & { = \overline { { \psi _ { 1 } } } } \\ { \zeta _ { 1 } } & { = \frac { \phi _ { 1 } ^ { 3 } } { \phi _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \phi _ { 1 } + 3 } } \\ { \zeta _ { 2 } } & { = \overline { { \zeta _ { 1 } } } } \\ { \alpha } & { = \frac { k \phi ^ { 2 } + ( k + l ) \phi ^ { 3 } } { \phi ^ { 2 } + 2 \phi + 3 } } \\ { \beta e ^ { \gamma i } } & { = 2 ( k \psi _ { 1 } + l \zeta _ { 1 } ) \textrm { a n d } } \\ { e ^ { \delta i } } & { = \phi _ { 1 } \sqrt { \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } | V _ { \xi } } & { ( s , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( s , \xi ) | d s d \xi } \\ & { \leq \left( 1 + \alpha \right) \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \qquad + 2 \alpha \int _ { \Omega _ { d , d } ( 0 ) \cap \Omega _ { c , d } ( t ) } \left| U _ { \xi } ( 0 , \xi ) - U _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d \xi . } \end{array}
\dot { \sigma } _ { g e } ^ { n } = i \bigg ( \Delta + i \frac { \Gamma ^ { \prime } } { 2 } \bigg ) \sigma _ { g e } ^ { n } + i \Omega ( t ) e ^ { i k z _ { n } } - \frac { \Gamma _ { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { N } e ^ { i k | z _ { n } - z _ { m } | } \sigma _ { g e } ^ { m } .
\begin{array} { r l } { R _ { u _ { 1 } } \tau _ { u _ { 2 } } ^ { * } \psi ( x ) } & { = R _ { u _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 2 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 1 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 1 } } R _ { u _ { 2 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 1 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 2 } } R _ { u _ { 1 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { L } ( R _ { u _ { 1 } } \psi ) ( x ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 2 } } ( \mathcal { L } ( R _ { u _ { 1 } } \psi ) ) ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) + \frac { 1 } { 2 } R _ { u _ { 2 } } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) } \\ & { = \tau _ { u _ { 2 } } ^ { * } \psi ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { Q P } ^ { B A } } & { = } & { \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } | B \rangle , } \\ { \pi _ { R S , P Q } ^ { B A } } & { = } & { \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { R } | B \rangle , } \\ { \gamma _ { S T U , P Q R } ^ { B A } } & { = } & { \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { U } a _ { T } a _ { S } | B \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { R , M } } & { { } = - \frac { V _ { 0 } } { 2 \omega } \pm \sqrt { 1 + \left( \frac { V _ { 0 } } { 2 \omega } \right) ^ { 2 } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } } , } \\ { n _ { L , E } } & { { } = \frac { V _ { 0 } } { 2 \omega } \pm \sqrt { 1 + \left( \frac { V _ { 0 } } { 2 \omega } \right) ^ { 2 } - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \omega _ { c } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau } & { { } \partial _ { t } \int _ { \Omega } \delta \phi \mathrm { ~ d ~ } V = \oint _ { \partial \Omega } \left( \lambda _ { d } ^ { 2 } + \lambda _ { s } ^ { 2 } \tau \partial _ { t } \right) \nabla \delta \phi \cdot \mathrm { ~ d ~ } \vec { S } } \end{array}