harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Phi = e ^ { - i ( m _ { 2 } x _ { 2 } ^ { 0 } + p _ { 1 0 } x _ { 1 } ^ { 0 } ) } \psi ( \bf { x } ) = e ^ { - i ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + E ) X ^ { 0 } } e ^ { - i ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) x ^ { 0 } / 2 } e ^ { - i E x ^ { 0 } / 2 } \psi ( \bf { x } ) , \ \ \ \ x ^ { 0 } < 0 ,
\begin{array} { r l } { v _ { t } - v _ { x x } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { ∞ } c _ { k } X _ { k } ( x ) T _ { k } ^ { \prime } ( t ) - \sum _ { k = 0 } ^ { ∞ } X _ { k } ^ { \prime \prime } ( x ) T _ { k } ( t ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { ∞ } X _ { k } ( x ) T _ { k } ^ { \prime } ( t ) - \sum _ { k = 0 } ^ { ∞ } ( - λ _ { k } X _ { k } ( x ) ) T _ { k } ( t ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { ∞ } X _ { k } ( x ) ( T _ { k } ^ { \prime } ( t ) + λ _ { k } T _ { k } ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { - \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } + \frac { \sqrt { A + B } } { A } - \frac { B } { 2 A ^ { 3 / 2 } } \log \left[ \frac { ( \sqrt { A + B } + \sqrt { A } ) ( \sqrt { A + B \sigma } - \sqrt { A } ) } { ( \sqrt { A + B } - \sqrt { A } ) ( \sqrt { A + B \sigma } + \sqrt { A } ) } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } c _ { i } + \frac { \partial _ { \tau } c _ { i } } { \epsilon ^ { 2 } } + \frac { \mathrm { P e } } { \epsilon } u \left( \mathbf { y } , \tau \right) \partial _ { x } c _ { i } = \kappa _ { i } \partial _ { x } \left( \partial _ { x } c _ { i } + z _ { i } c _ { i } \partial _ { x } \phi \right) + \frac { \kappa _ { i } } { \epsilon ^ { 2 } } \nabla _ { \mathbf { y } } \cdot \left( \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i } + z _ { i } c _ { i } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } | \mathbb { E } Z _ { 1 } | } & { \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 2 } , \qquad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 1 } ) \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \| \theta \| _ { 3 } ^ { 6 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { | \mathbb { E } Z _ { 2 } | } & { \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 2 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 2 } ) \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \, \| \theta \| _ { 3 } ^ { 3 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { | \mathbb { E } Z _ { 3 } | } & { = 0 , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 3 } ) \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { | \mathbb { E } Z _ { 4 } | } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim | \tilde { \lambda } | \lambda _ { 1 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 4 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { | \mathbb { E } Z _ { 5 } | } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 5 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 4 } \lambda _ { 1 } } \\ { | \mathbb { E } Z _ { 6 } | } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Z _ { 6 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { i } } & { = } & { 4 \pi r _ { d } ^ { 2 } e n _ { i } \left( \frac { T _ { i } } { 2 \pi m _ { i } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \frac { e \varphi _ { d } } { T _ { i } } \right) , } \\ { I _ { e } } & { = } & { - 4 \pi r _ { d } ^ { 2 } e n _ { e } \left( \frac { T _ { e } } { 2 \pi m _ { e } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left( \frac { e \varphi _ { d } } { T _ { e } } \right) . } \end{array}
S = - \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } \, ( R + \frac { a } { 2 } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 2 \phi } ( \nabla \Theta ) ^ { 2 } + e ^ { - \phi } \Lambda )
\begin{array} { r l r } { { \cal S } _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { d t } \left( { \begin{array} { c c } { P _ { c l } ( t ) , } & { P _ { q } ( t ) } \end{array} } \right) \Bigl [ { \begin{array} { c c } { 0 } & { D _ { A } ^ { - 1 } } \\ { D _ { R } ^ { - 1 } } & { D _ { K } ^ { - 1 } } \end{array} } \Bigr ] \Big ( { \begin{array} { c } { P _ { c l } ( t ^ { \prime } ) } \\ { P _ { q } ( t ^ { \prime } ) } \end{array} } \Big ) } \end{array}
\mathscr { G } \left( { \mathbf { x } , t } \right) = \mathscr { G } | _ { 0 } + \frac { \partial \mathscr { G } } { \partial \mathbf { x } } | _ { 0 } \cdot \mathbf { x } + \frac { \partial \mathscr { G } } { \partial t } | _ { 0 } t ,
\begin{array} { r l } { W _ { l m } ( \theta , \varphi ) } & { = \left( \partial _ { \theta } ^ { 2 } - \cot \theta \partial _ { \theta } - \frac { \partial _ { \varphi } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } \right) Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) , } \\ { X _ { l m } } & { = 2 \partial _ { \varphi } \left( \partial _ { \theta } - \cot \theta \right) Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | X _ { 6 } - \tilde { \lambda } ^ { 4 } | } & { \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell ( n o t \, d i s t . ) } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { i , j , k } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 4 } \theta _ { k } ^ { 4 } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 3 } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { t o t a l } = \sum \mathcal { L } _ { \mathcal { T } _ { i } } = \sum _ { \mathcal { T } _ { ( i ) } } \sum _ { \alpha _ { ( j ) } } \left\| f \left( \alpha _ { ( j ) } ; g \left( x _ { ( i ) } , \phi \right) \right) - C _ { L ( j ) } \right\| _ { 2 } ^ { 2 }
S = \int d t \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 0 } } - \rho _ { 0 } \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \delta b \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \rho _ { 0 } p \dot { q } + \epsilon ^ { i j } E _ { i } ( q \partial _ { j } \hat { \beta } - p \partial _ { j } \hat { \alpha } ) \right] .
\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \rho _ { 1 } \ldots \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \rho _ { N } \delta ( \sum \rho _ { \mu } - 1 ) \prod _ { \nu = 1 } ^ { N } \rho _ { \nu } ^ { n _ { \nu } } = \frac { \prod _ { \nu = 1 } ^ { N } n _ { \nu } ! } { \left( \sum _ { \nu = 1 } ^ { N } n _ { \nu } + N - 1 \right) ! } \: ,
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { d \hat { u } } { d t } = \ } & { \hat { D } ( \hat { u } , \hat { x } , t ) \hat { u } + \sqrt { J } F ( x ( \hat { x } , t ) , t ) , } & & { \hat { x } \in \hat { \Omega } , } & & { t _ { 0 } < t < T } \\ { \hat { B } ( \hat { u } , \hat { x } , t ) \hat { u } = \ } & { g ( x ( \hat { x } , t ) , t ) } & & { \hat { x } \in \partial \hat { \Omega } , } & & { t _ { 0 } < t < T } \\ { \hat { u } ( \hat { x } , t _ { 0 } ) = \ } & { \sqrt { J } u _ { 0 } ( x ( \hat { x } , t ) , t ) , } & & { \hat { x } \in \hat { \Omega } , } \end{array}
M _ { y } = { \frac { 1 6 q _ { 0 } } { \pi ^ { 4 } } } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } { \frac { { \frac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } + \nu { \frac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } { m n \left( { \frac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \sin { \frac { n \pi y } { b } }
{ \cal { L } } _ { N C } = - \frac { g _ { L } } { \cos \theta _ { W } } Z _ { L } ^ { \mu } \overline { { \Psi } } _ { i } \gamma _ { \mu } \frac 1 2 \left( V _ { i } - A _ { i } \gamma ^ { 5 } \right) \Psi _ { i } = - \frac { g _ { L } } { \cos \theta _ { W } } Z _ { L } ^ { \mu } \overline { { \Psi } } _ { i } \gamma _ { \mu } \left( L _ { i } P _ { L } + R _ { i } P _ { R } \right) \Psi _ { i } ,
\begin{array} { r l } { | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } - | | { \Theta } _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } = } & { | | { \Theta } _ { 0 k S _ { k } } ^ { - } + \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | { \Theta } _ { 0 k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \geq } & { | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - \Big | | | { \Theta } _ { 0 k S _ { k } } ^ { - } + \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | { \Theta } _ { 0 k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big | } \\ { \geq } & { | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } , } \end{array}
E = \int _ { \Omega } \sum _ { q \neq p } \left\{ \beta _ { p q } \left[ g \left( \phi _ { p } \right) + g \left( \phi _ { q } \right) - g \left( \phi _ { p } + \phi _ { q } \right) \right] + \frac { k _ { p q } } { 2 } \nabla \phi _ { p } \cdot \nabla \phi _ { q } \right\} d \Omega , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 1 \leq p , q \leq N .
\Gamma _ { \mathrm { o d d } } ^ { \mu \nu \rho } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , m ) \sim - i \, \frac { 1 } { 4 \pi } \, \frac { m } { | m | } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } + O ( \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } )
W _ { k } ^ { m + n } = \prod _ { i = 1 } ^ { m + n } I ( \textbf { x } ^ { i } , \overline { { \textbf { x } } } ^ { i } , \phi _ { k } ^ { i } ) = \prod _ { i = n + 1 } ^ { m + n } I ( \textbf { x } ^ { i } , \overline { { \textbf { x } } } ^ { i } , \phi _ { k } ^ { i } ) \, W _ { k } ^ { n } \, .
f ( x ^ { 0 } ) = \frac { 1 } { 1 + ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) \frac { \sin ( \pi \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } ) } { \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } e ^ { x ^ { 0 } } } + \frac { 1 } { 1 + ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) \frac { \sin ( \pi \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } ) } { \sqrt { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } e ^ { - x ^ { 0 } } } - 1 .
\boldsymbol \sigma ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathscr { E } ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) = - p ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathscr { E } ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) \mathbf { I } + 2 G ^ { l } ( \rho ^ { l } ) \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } )
\dot { p } _ { \mu } \circ \delta q ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \dot { q } ^ { \mu } ( \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } \delta q ^ { \alpha } ) \dot { q } ^ { \nu } - \delta q ^ { \mu } \partial _ { \mu } U _ { q } + \frac { 1 } { 2 } [ \delta q ^ { \mu } , \dot { g } _ { \mu } ]
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { ( 3 ) } } & { = Z _ { 1 1 1 } \, W _ { 1 1 1 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 3 , 3 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 1 2 } \, W _ { 1 1 2 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 4 , 4 ) } \\ & { + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 2 2 } \, W _ { 1 2 2 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 4 , 5 , 4 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 1 3 } \, W _ { 1 1 3 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 5 , 5 ) } \\ & { + Z _ { 2 2 2 } \, W _ { 2 2 2 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 5 , 5 , 5 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 1 4 } \, W _ { 1 1 4 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 6 , 6 ) } \\ & { + S _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 2 3 } \, W _ { 1 2 3 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 4 , 6 , 5 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \dot { X } ( t ) - \nabla \phi ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi } } \\ & { = \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \dot { X } ( t ) | ^ { 2 } d t d \pi + \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \nabla \phi ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi } \\ & { - 2 \int _ { B _ { R } } \phi d ( \mu - \lambda ) - 2 \int _ { \partial B _ { R } } \phi d ( g - f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( u , w , T , p ) = ( \overline { { u } } , 0 , \overline { { T } } , \overline { { P } } ) + ( u ^ { \prime } , w ^ { \prime } , T ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) , } \\ & { ( u _ { m } , w _ { m } , T _ { m } , p _ { m } ) = ( 0 , 0 , \overline { { T } } _ { m } , \overline { { P } } _ { m } ) + ( u _ { m } ^ { \prime } , w _ { m } ^ { \prime } , T _ { m } ^ { \prime } , p _ { m } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\int _ { \Omega } { \frac { v _ { x } ^ { 2 } } { v } \, d x } \leqslant ( \frac { a } { c } ) ^ { 2 } \bigl [ \frac { 1 } { 1 - \epsilon } \int _ { \Omega } { v \, u ^ { 2 } \, d x } + \frac { 2 } { \epsilon } C _ { 1 } ( T ) \bigr ] \leqslant C _ { 3 } ( T ) ,
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) e ^ { - 2 i q \phi } } & { | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { \ell , \ell ^ { \prime } + 2 q } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { J + N + S } \sqrt { \frac { 5 } { 2 } } \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { S } & { J } \\ { S } & { N } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \\ & { \times \sqrt { 3 } \left\{ \begin{array} { c c c } { 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { N } & { N } & { N } \end{array} \right\} \sqrt { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - \ell } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N } \\ { - \ell } & { 2 q } & { \ell } \end{array} \right) ( 2 N + 1 ) } \\ & { \times \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { - } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } | x _ { 1 } ) } & { = \sum _ { x _ { 2 } \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { 2 } W ( y _ { 1 } | x _ { 1 } \oplus x _ { 2 } ) W ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) , } \\ { W ^ { + } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , x _ { 1 } | x _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } W ( y _ { 1 } | x _ { 1 } \oplus x _ { 2 } ) W ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { k , e } ( v ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left( - \frac { \frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } } { k _ { B } T } \right) } \\ { \rho _ { c , e } ( r ) } & { { } = } & { { \cal C } _ { c } \exp \left( - \frac { E _ { p } ( r ) } { k _ { B } T } \right) \, , } \end{array}
{ \cal I } _ { R e s } { \bf W } _ { 0 } = \sum _ { k , l = 1 } ^ { m } { \bf W } _ { k } M _ { k l } \langle { \bf W } _ { l } , { \bf W } _ { 0 } \rangle , ~ ~ { \bf M } = { \bf O } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \| q _ { k } ^ { x } - \nabla F ( x _ { k } ) \| } & { = \| q _ { k } ^ { x } - \nabla \mathcal { L } _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) + \nabla \mathcal { L } _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) - \nabla F ( x _ { k } ) \| } \\ & { \le \| \nabla _ { x } f ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } f ( x _ { k } , y _ { \lambda , k } ^ { * } ) \| + \lambda _ { k } \| \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { \lambda , k } ^ { * } ) \| } \\ & { \quad + \lambda _ { k } \| \nabla _ { x } g ( x _ { k } , z _ { k + 1 } ) - \nabla _ { x } g ( x _ { k } , y _ { k } ^ { * } ) \| + \| \nabla \mathcal { L } _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) - \nabla F ( x _ { k } ) \| . } \end{array}
a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \dots i _ { N } } \approx \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \dots , j _ { N } = 1 } ^ { I _ { 1 } , I _ { 2 } , \dots , I _ { N } } a _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \dots j _ { N } } ( \mathbf { P } _ { 1 } ) _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } ( \mathbf { P } _ { 2 } ) _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } \dots ( \mathbf { P } _ { N } ) _ { i _ { N } j _ { N } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { V C ( t ) } \rho v \, d \tau } & { { } = F } \\ { \int _ { V C ( t ) } \Big ( \rho ( \partial _ { t } v + ( v \cdot \nabla ) v ) \Big ) d \tau } & { { } = \int _ { V C ( t ) } \Big ( - \nabla p + \nabla \cdot \sigma ^ { \prime } + \rho g \Big ) d \tau } \end{array}
\langle \Theta _ { i } \rangle = 0 \, , \quad \langle \Theta _ { i } \Theta _ { j } \rangle = \langle \Theta _ { i } ^ { 2 } \rangle \delta _ { i j } , \, , \quad \langle \Theta _ { i } \Theta _ { j } \Theta _ { k } \rangle = 0 ,
\frac { \partial ^ { 3 } a _ { 1 } } { \partial t ^ { 3 } } - c _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } a _ { 1 } } { \partial t \partial z ^ { 2 } } = \frac { \kappa } { \rho _ { 0 } C _ { V } } \left( \frac { \partial ^ { 4 } a _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } \partial t ^ { 2 } } - c _ { \mathrm { S i } } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 4 } a _ { 1 } } { \partial z ^ { 4 } } \right) - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { V } } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { 1 } } { \partial t ^ { 2 } } - c _ { \mathrm { S } Q } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } a _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) .
\mathbf { e } ^ { ( \pm 1 ) } \equiv { \frac { \mp 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \mathbf { e } _ { x } \pm i \mathbf { e } _ { y } ) \qquad { \mathrm { w i t h } } \quad \mathbf { e } _ { x } \cdot \mathbf { k } = \mathbf { e } _ { y } \cdot \mathbf { k } = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { 0 } } { \partial t } = } & { { } - \sum _ { \nu } \frac { p _ { i } } { m _ { i } } \partial _ { \nu } \rho _ { 0 } + \sum _ { \nu } \partial _ { \nu } \tilde { U } _ { 0 } \partial _ { \nu } \rho _ { 0 } - \frac { \Gamma } { \hbar } f ( h ) \rho _ { 0 } } \\ { \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } = } & { { } - \sum _ { \nu } \frac { p _ { i } } { m _ { i } } \partial _ { \nu } \rho _ { 1 } + \sum _ { \nu } \partial _ { \nu } \tilde { U } _ { 1 } \partial _ { \nu } \rho _ { 1 } + \frac { \Gamma } { \hbar } f ( h ) \rho _ { 0 } } \end{array}
R _ { s 0 } = ( R _ { s 0 } ^ { g p } \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } + R _ { s 0 } ^ { c s } \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } ) / ( \Gamma _ { c 0 } ^ { g p } + \Gamma _ { c 0 } ^ { c s } )
\mathop { \sum \sum } _ { \substack { M \leq u , v \ll 2 M \, q _ { 1 } ^ { \prime } u - q _ { 1 } v = ( q _ { 1 } ^ { \prime } - q _ { 1 } ) p ^ { 2 } n } } \lambda _ { g } ( u ) \lambda _ { g } ( v ) W \left( \frac { u } { M } \right) V \left( \frac { v } { M } \right) \ll ( q _ { 1 } ^ { \prime } M + q _ { 1 } M ) ^ { 1 / 2 + \theta } \ll Q _ { 1 } ^ { 1 / 2 + \theta } M ^ { 1 / 2 + \theta } .
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { L } } ( \mathbf { \Phi } _ { 1 } ) = } & { \left( \frac { x _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { * } } - 1 \right) \dot { x } _ { 0 } + \dot { y } _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \left[ \left( \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } ^ { * } } - 1 \right) \dot { x } _ { 1 } + \dot { y } _ { 1 } \right] + ( 1 - p _ { I } ) \left[ \left( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { * } } - 1 \right) \dot { x } _ { 2 } + \dot { y } _ { 2 } \right] } \\ { = } & { \left( \frac { x _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { * } } - 1 \right) \left( \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \frac { \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } - \mu x _ { 0 } \right) + \frac { \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } } \\ & { - r y _ { 0 } - \mu y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } ^ { * } } - 1 \right) \left( \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \frac { \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } - \mu x _ { 1 } \right) } \\ & { + ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } - r y _ { 1 } - \mu y _ { 1 } \right) } \\ & { + ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { * } } - 1 \right) \left( \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \frac { \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } - \mu x _ { 2 } \right) } \\ & { + ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] } { n ^ { * } } - r y _ { 2 } - \mu y _ { 2 } \right) } \\ { = } & { - \frac { \mu } { x _ { 0 } ^ { * } } ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha } { x _ { 0 } ^ { * } n ^ { * } } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( r + \mu ) \left( \frac { \alpha x _ { 0 } ^ { * } } { r + \mu } \times \frac { y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) } { n ^ { * } } - y _ { 0 } \right) } \\ & { - \frac { \mu } { x _ { 1 } ^ { * } } ( 1 - p _ { I } ) ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha } { x _ { 1 } ^ { * } n ^ { * } } ( 1 - p _ { I } ) [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( r + \mu ) ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { \alpha x _ { 1 } ^ { * } } { r + \mu } \times \frac { y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) } { n ^ { * } } - y _ { 1 } \right) } \\ & { - \frac { \mu } { x _ { 2 } ^ { * } } ( 1 - p _ { I } ) ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha } { x _ { 2 } ^ { * } n ^ { * } } ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] ( x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( r + \mu ) ( 1 - p _ { I } ) \left( \frac { \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } ^ { * } } { r + \mu } \times \frac { y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) } { n ^ { * } } - y _ { 2 } \right) . } \end{array}
x ^ { + } = \frac { u _ { \tau } \Delta x } { \nu } \quad \Longrightarrow \quad \Delta x = \frac { x ^ { + } ( N + 1 ) \nu } { u _ { \tau } } = \frac { x ^ { + } ( N + 1 ) } { R e \sqrt { \frac { c _ { f } } { 2 } } }
\begin{array} { l l } { { < { \O 1 _ { i } } _ { \lambda } , { \O 1 _ { j } } _ { \tau } > = \varepsilon _ { i } \delta _ { i j } { } ^ { * } \delta _ { \lambda \tau } \qquad ( < { \O 1 _ { i } } ^ { \lambda } , { \O 1 _ { j } } ^ { \tau } > = \varepsilon _ { i } \delta _ { i j } { } ^ { * } \delta ^ { \lambda \tau } ) , } } \\ { { < { \O 1 _ { i } } ^ { \lambda } , { \O 1 _ { j } } _ { \tau } > = \varepsilon _ { i } \delta _ { i j } \delta _ { \tau } ^ { \lambda } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } \ge 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) _ { m _ { i } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle P ( \chi v ) , u ^ { * } \rangle } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \left( \langle P ( \chi v ) , \phi _ { \epsilon } u ^ { * } \rangle - \langle \chi v , \phi _ { \epsilon } P ^ { * } u ^ { * } \rangle \right) = - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \langle [ P , \phi _ { \epsilon } ] \chi v , u ^ { * } \rangle } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \langle [ N ( P ) , \phi _ { \epsilon } ] \chi v , \chi u ^ { * } \rangle = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \searrow 0 } \left( \langle \phi _ { \epsilon } N ( P ) ( \chi v ) , \chi u ^ { * } \rangle - \langle \phi _ { \epsilon } \chi u , N ( P ^ { * } ) ( \chi u ^ { * } ) \rangle \right) } \\ & { = \langle N ( P ) ( \chi v ) , \chi u ^ { * } \rangle - \langle \chi v , N ( P ^ { * } ) ( \chi u ^ { * } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 1 } ( x _ { e _ { 1 } } ^ { 1 } , \dots , x _ { e _ { 2 } } ^ { 1 } , \dots ) \stackrel { ! } { = } f _ { 2 } ( x _ { e _ { 3 } } ^ { 1 } , \dots , x _ { e _ { 4 } } ^ { 1 } , \dots ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Phi } ( x , t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \hat { f } ( x , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } \hat { F } ( x , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \hat { \varphi } ( x , r , z ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| > 1 } \hat { \varphi } ( x , r , z ) \, N ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) . } \end{array}