harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { f ( T ) - f _ { 0 } } { f _ { 0 } } = \frac { F \delta _ { \mathrm { T L S } } ^ { 0 } } { \pi } \left[ \operatorname { R e \Psi } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \hbar f _ { 0 } } { j k _ { B } T } \right) - \log \frac { \hbar f _ { 0 } } { k _ { B } T } \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { F _ { i } \in \mathcal { F } _ { h } ^ { E _ { \mathrm { c u t } } } } \omega _ { i } = } & { \, \mathrm { I d } _ { m \times m } , } \\ { \sum _ { F _ { j } \in \mathcal { F } _ { h } ^ { E _ { \mathrm { c u t } } } } \int _ { F _ { j } } \omega _ { i } C _ { j } ^ { + } d s = } & { - \int _ { F _ { i } } C _ { i } ^ { - } d s \qquad \forall \: F _ { i } \in \mathcal { F } _ { h } ^ { E _ { \mathrm { c u t } } } . } \end{array}
\mathcal { R } _ { a } = - \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \alpha _ { 0 } b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( p + 1 ) } ( \alpha _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \varsigma ( x ; a , b , \bar { x } ) } & { = 1 - \exp \left( - \left( a + \frac { 1 } { 1 + \exp ( 2 \cdot b \cdot ( x - \bar { x } ) ) } \right) \Delta t \right) \ , \ \mathrm { a n d } } \\ { \varrho ( x ; c , \bar { x } ) } & { = 1 - \exp \left( - \operatorname* { m a x } \left( c \cdot \frac { x - \bar { x } } { 1 - \bar { x } } , 0 \right) \Delta t \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 \le r ( t ) \leq \bigg ( r ( \tau _ { 1 } ) - i ( \tau _ { 1 } ) \alpha p _ { r } \bigg ) e ^ { - l _ { i } ( t - \tau _ { 1 } ) } + i ( \tau _ { 1 } ) \alpha p _ { r } , \ \forall t \geq \tau _ { 1 } . } \end{array}
F ^ { 0 } \simeq - \frac { 2 q ^ { 2 } } 3 v ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial y ^ { 2 } } = - \frac { 2 q ^ { 2 } } 3 v ^ { 2 } \frac { M } { R ^ { 3 } } \, ,
\begin{array} { r l } { p = \frac { 1 } { 2 } ( p _ { o } + p _ { a } ) } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { s _ { c } } ^ { s } ( f _ { o } - f _ { a } ) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } ( f _ { o } - f _ { a } ) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int \eta ^ { c } ( s , c , \Gamma ) \left( \ensuremath { \frac { \partial c } { \partial x } } d x + \ensuremath { \frac { \partial c } { \partial y } } d y \right) - \frac { 1 } { 2 } \int \eta ^ { s } ( s , c , \Gamma ) \left( \ensuremath { \frac { \partial s } { \partial x } } d x + \ensuremath { \frac { \partial s } { \partial y } } d y \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int \eta ^ { \Gamma } ( s , c , \Gamma ) \left( \ensuremath { \frac { \partial \Gamma } { \partial x } } d x + \ensuremath { \frac { \partial \Gamma } { \partial y } } d y \right) + C , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { k , 2 } = \frac { \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { k , k , 2 } \mathbf a _ { k , k , 2 } ^ { H } \mathbf S _ { k , 2 } \right) } { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 2 } \mathbf a _ { i , k , 2 } ^ { H } \mathbf S _ { i , 2 } \right) + \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } } } , } \end{array}
A ^ { a _ { 2 } } { } _ { \alpha _ { 1 } } = S ^ { a _ { 2 } } { } _ { \alpha _ { 1 } } - S ^ { a _ { 2 } } { } _ { \alpha _ { 2 } } ( S ^ { - 1 } ) ^ { \alpha _ { 2 } } { } _ { \beta _ { 2 } } S ^ { \beta _ { 2 } } { } _ { \alpha _ { 1 } } \ .
\begin{array} { r l } & { V _ { x y } ( I _ { - x } ) \lvert { _ { H _ { x } = 0 } } = \Delta R _ { A H E } I _ { - x } \sqrt { - \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } + 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } \\ & { - \Delta R _ { A H E } I _ { - x } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } \frac { \sqrt { \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } + 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } + 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal O } _ { B } ( Z , \overline { { { W } } } ) = { \frac { \langle e _ { { \cal Q } } | \widehat { \cal O } | e _ { { \cal Q } ^ { \prime } } \rangle _ { \cal L } } { \langle e _ { { \cal Q } } | e _ { { \cal Q } ^ { \prime } } \rangle _ { \cal L } } } .
\begin{array} { r } { S _ { i i } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) , } \\ { i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A l k } & { = [ H C O _ { 3 } ^ { - } ] + 2 [ C O _ { 3 } ^ { - } ] = [ \ensuremath { \mathrm { C O _ { 2 } } } ( a q ) ] \left( \frac { k _ { 1 } } { [ H ^ { + } ] } + \frac { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } { [ H ^ { + } ] ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { C _ { U } } { \Lambda } \left( \frac { k _ { 1 } } { [ H ^ { + } ] } + \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } } { [ H ^ { + } ] ^ { 2 } } \right) \mathrm { ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Lambda _ { \beta } } & { { } \to \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } } & { { } \to \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } - \pounds _ { \beta } \lambda , } \\ { \phi } & { { } \to \phi - c _ { \phi } \, \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \varphi _ { \ell } } & { { } \to \varphi _ { \ell } - \iota _ { \beta } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } \Big ( \mathrm { I } _ { N _ { S } } - \frac 1 { 1 + \sum a _ { k } } ( a _ { j } ) _ { i , j } \Big ) } & { { } = \mathrm { I } _ { N _ { S } } + ( a _ { j } ) _ { i , j } - \frac 1 { 1 + \sum a _ { k } } ( a _ { j } ) _ { i , j } - \frac 1 { 1 + \sum a _ { k } } ( a _ { j } ) _ { i , j } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ x _ { T } ^ { l } \right] } \\ { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { l } \binom { l } { j } a ^ { j } ( K - 1 ) \mathbb { E } \left[ x ^ { j } ( K - 1 ) u ^ { l - j } ( K - 1 ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { l } \binom { l } { j } a ^ { j } ( K - 1 ) \mathbb { E } \left[ x ^ { j } ( K - 1 ) \right] \mathbb { E } \left[ u ^ { l - j } ( K - 1 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \frac { f ( X ( t ) ) - f ( X ( T ) ) } { ( T - t ) ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \frac { 1 } { 2 } \left\langle \frac { \dot { X } ( t ) } { t - T } , \nabla f ( X ) \right\rangle = \frac { 1 } { 4 } \left\Vert \nabla f ( X ( T ) ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \frac { X ( t ) - X ( T ) } { ( T - t ) ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \frac { \dot { X } ( t ) } { 2 ( t - T ) } = \frac { 1 } { 4 } \nabla f ( X ( T ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda ^ { \prime } } \sum _ { s , s ^ { \prime } } \big \lvert \overline { { u } } _ { p ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \Big ( \widetilde { \mathcal { M } } _ { n } ^ { \pm } \pm \widetilde { M } _ { n } ^ { \pm } \Big ) v _ { p , s } \big \rvert ^ { 2 } } \\ & { } & { = \big \lvert \widetilde { B } _ { - n } ^ { \pm } \big \rvert ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \bigg [ \bigg ( \big \lvert \widetilde { B } _ { - n } ^ { \pm } \big \rvert ^ { 2 } \pm \mathfrak { R e } \! \left[ \mathcal { B } _ { - n } ^ { \pm } \! \left( \widetilde { B } _ { - n } ^ { \pm } \right) ^ { \! \ast } \right] \frac { \tilde { a } } { a } } \\ & { } & { \ \ - \Big \lvert \mathcal { C } _ { - n } ^ { \pm } \, \frac { \tilde { a } } { a } \pm \widetilde { C } _ { - n } ^ { \pm } \Big \rvert ^ { 2 } - \Big \lvert \mathcal { D } _ { - n } ^ { \pm } \, \frac { \tilde { a } } { a } \pm \widetilde { D } _ { - n } ^ { \pm } \Big \rvert ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { } & { \ \ \times \bigg ( 1 - \frac { ( \kappa k ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 ( \kappa p ) ( \kappa p ^ { \prime } ) } \bigg ) \bigg ] . } \end{array}
x ( t ) = \sum _ { l } \Theta \left( t - t _ { l } \right) \left( \frac { \delta v _ { l } \; e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } } { \sqrt { \omega \left( t _ { l } \right) \omega ( t ) } } \right) \sin \left[ \phi ( t ) - \phi \left( t _ { l } \right) \right]
| D | \leq \delta _ { 0 } \ \ \ \mathrm { i m p l i e s ~ } \ \ C ( 2 + \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 \varepsilon } { \left\| h _ { \lambda _ { 0 } + 1 } \right\| } _ { L ^ { \frac { n } { n - \varepsilon } } ( D ) } + C | B _ { \lambda _ { 0 } + 1 } | ^ { \frac { 1 } { q } } { \left\| h _ { \lambda _ { 0 } + 1 } \right\| } _ { L ^ { \frac { q } { q - 1 } } ( D ) } \leq \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r } { J = \frac { \partial ( \rho , \rho U , G ) } { \partial ( \rho , U , T ) } = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { U _ { 1 } } & { \rho } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { U _ { 2 } } & { 0 } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { U _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { \rho } & { 0 } \\ { \frac { 3 T + | U | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { 2 \rho U _ { 1 } } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { 2 \rho U _ { 2 } } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { 2 \rho U _ { 3 } } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { 3 \rho } { \sqrt { 6 } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
\left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { i } ^ { \prime } \, \partial \theta _ { j } ^ { \prime } } } D ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \right) _ { \theta ^ { \prime } = \theta } = - \int f ( x ; \theta ) \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { i } ^ { \prime } \, \partial \theta _ { j } ^ { \prime } } } \log ( f ( x ; \theta ^ { \prime } ) ) \right) _ { \theta ^ { \prime } = \theta } d x = [ { \mathcal { I } } ( \theta ) ] _ { i , j } .
\begin{array} { r } { \eta _ { 1 } ( r ) = - C _ { 0 } \left[ \left( 1 - \frac { 2 \mathrm { i } \epsilon } { 3 } \right) k _ { c } r \right] - 2 \mathrm { i } \, \mathrm { H } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left[ \left( 1 - \frac { 2 \mathrm { i } \epsilon } { 3 } \right) k _ { c } r \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { \theta } ^ { S t k } [ \theta , z ] = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 2 d } R } \left( - \frac { z \sin \alpha _ { 0 } \sin \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { z } { R } } + \cos \alpha _ { 0 } \left( - | z | \frac { e ^ { - \frac { | z | } { R } } - \cos \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { | z | } { R } } - R ~ \log \left[ 1 - 2 e ^ { - \frac { | z | } { R } } \cos \theta + e ^ { - \frac { 2 | z | } { R } } \right] + \sqrt { 2 R \lambda } ~ e ^ { - \frac { \sqrt { 2 } | z | } { \sqrt { \lambda R } } } \right) \right) } \\ & { v _ { z } ^ { S t k } [ \theta , z ] = \frac { 1 } { 8 \pi \eta _ { 2 d } R } \left( - \frac { z \cos \alpha _ { 0 } \sin \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { z } { R } } + \sin \alpha _ { 0 } \left( | z | \frac { e ^ { - \frac { | z | } { R } } - \cos \theta } { \cos \theta - \cosh \frac { | z | } { R } } - R ~ \log \left[ 1 - 2 e ^ { - \frac { | z | } { R } } \cos \theta + e ^ { - \frac { 2 | z | } { R } } \right] \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } \bigg | _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ } } } & { { } = - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { D } } \! \! d \lambda ^ { \prime } \, \partial _ { 0 } \big [ h _ { 0 0 } ^ { \mathrm { P D } } \big ] _ { x ^ { \mu } = ( \lambda ^ { \prime } \omega _ { 0 } , \lambda ^ { \prime } \omega _ { 0 } , 0 , 0 ) } } \end{array}
\Gamma ^ { ( 2 ) } = \frac { n _ { 6 } } { g _ { s } ( 2 \pi ) ^ { 6 } } V _ { 6 } \int d t \left( - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } M ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } v ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } \epsilon M ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } v ^ { 4 } - \frac { M ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } v ^ { 6 } \right) .
\begin{array} { r } { \left| { \mathcal I } ^ { k , \alpha } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq \| B \| _ { \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) \frac { D } { \sqrt { ( t - s ) } } { \mathbf 1 } _ { m > x _ { 1 } } { \mathbf 1 } _ { m > b > \operatorname* { m a x } ( a ^ { 1 } , x _ { 0 } ^ { 1 } ) } } \\ { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { d + 1 } ( m - a ^ { 1 } , m - x ^ { 1 } , \tilde { x } - \tilde { a } ; t - s ) \phi _ { d + 1 } ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } , b - a ^ { 1 } , \tilde { a } - \tilde { x _ { 0 } } ; s ) d b d a d s . } \end{array}
\left( \Delta _ { r \theta } - \frac { { \hat { L } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta / 2 } - \frac { { \hat { J } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta / 2 } \right) \psi + \frac { 2 M } { \hbar ^ { 2 } } \left( \epsilon + \frac { e ^ { 2 } } { r } \right) \psi = 0
\begin{array} { r l } { u ( x , y , 0 ) } & { = \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cos \left( \operatorname { a t a n 2 } ( y , x ) - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) \right) , } \\ { v ( x , y , 0 ) } & { = \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \sin \left( \operatorname { a t a n 2 } ( y , x ) - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
\mathbf { Q } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { U } } & { \mathbf { V } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { U } = \left[ \begin{array} { l l } { h ( x _ { j } , t ) } & { h ( x _ { j } , t ) \, u _ { m } ( x _ { j } , t ) } \end{array} \right] _ { j } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } \times 2 } ,
\small \dot { \sigma } _ { \mathrm { i n t e r f } } = \frac { \varepsilon } { 2 } \int \d ^ { 4 } p \, W f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ) f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ) \left( \chi ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) + \chi ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) - \chi ( \vec { p } _ { 1 } ) - \chi ( \vec { p } _ { 2 } \right) \left( \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } + \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { S } } = \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } \to S } \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } + \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
L _ { e f f } = - \Biggl ( \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { ~ b \mu } ^ { a } F _ { a ~ ~ m } ^ { ~ b \mu ~ n \nu } \gamma _ { ~ n \nu } ^ { m } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { ~ \nu } ^ { b } D _ { b ~ a } ^ { ~ \nu ~ \mu } \lambda _ { ~ \mu } ^ { a } + \lambda _ { ~ n } ^ { m } \biggl ( G _ { m ~ ~ a } ^ { ~ ~ n j ~ b c } \nabla _ { j } + T _ { m ~ a } ^ { ~ n ~ b c } \biggr ) \gamma _ { ~ b c } ^ { a } \Biggr ) e
J _ { r _ { 1 } , \ldots , r _ { N } } ( z ) = \int \prod _ { \lambda = 1 } ^ { r _ { 1 } + \ldots + r _ { N } } [ d x _ { \lambda } x _ { \lambda } ^ { \epsilon _ { \lambda } } ] \delta \left( 1 - z - \sum _ { \lambda = 1 } ^ { r _ { 1 } + \ldots + r _ { N } } x _ { \lambda } \right)
\begin{array} { r l r } { p _ { + } ( \Gamma _ { t \rightarrow t + \tau } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; t ) } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \Omega _ { 0 , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } } } \\ & { \approx } & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d A } & { { } = } & { \frac { \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } + \delta \phi _ { \mathrm { p } } \rangle - \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } \rangle } { \langle \phi _ { \mathrm { p } } | \phi _ { \mathrm { p } } \rangle } \equiv \left\langle \frac { \delta } { \delta \phi _ { \mathrm { p } } } \right\rangle \cdot \delta \phi _ { \mathrm { p } } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \, R _ { 0 } ^ { - 1 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { * } ( \tau ^ { \prime } ) = \Gamma ^ { 1 , 0 } ( \tau ) + \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \, \Sigma ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { * } ( \tau ^ { \prime } ) + \sum _ { j \geq 2 } \Omega ^ { 1 , j } ( \tau )
p _ { \ell } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } , \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) \geq \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } v _ { i } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) - \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } \setminus \{ \ell \} } v _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) \right] + \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ \sigma _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sigma _ { i } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) \right] + \left[ \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( { \mathbf { b } _ { k } ^ { \ell } } ^ { * } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { \ z \left( \tilde { F } _ { \eta } ( x , z , u ^ { + } , \nabla u ^ { + } , z u _ { z } ^ { + } ) - \tilde { F } _ { \eta } ( x , z , u ^ { - } , \nabla u ^ { - } , z u _ { z } ^ { - } ) \right) } \\ { = } & { \ ( - \frac { X } { 2 } + \bar { o } ) \cdot ( \nabla _ { S } u ^ { + } - \nabla _ { S } u ^ { - } ) + ( H _ { S } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \bar { o } ) \cdot ( u ^ { + } - u ^ { - } ) } \\ { + } & { \ \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } z \tilde { F } _ { \eta \eta } ( x , z , u ^ { s } , \nabla u ^ { s } , z \partial _ { z } u ^ { s } ) \ d s \right) \cdot ( z u _ { z } ^ { + } - z u _ { z } ^ { - } ) . } \end{array}
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\hat { H } _ { s } ^ { d i r } = g \sum _ { b \neq b ^ { \prime } } U _ { s } ^ { b b ^ { \prime } b ^ { \prime } b } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b ^ { \prime } \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b ^ { \prime } } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b }
\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x \in \mathbb { Z } } \\ { 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x \not \in \mathbb { Z } } \end{array} \right. }
S : = \Pi _ { N } \mu ^ { 2 } = \frac { 2 i } { 3 } \sqrt { \pi } \widehat { T } _ { 0 , 0 } ^ { N } + \frac { 4 i } { 3 } \sqrt { \frac { \pi } { 5 } } \widehat { T } _ { 2 , 0 } ^ { N } .
C ^ { i j k l } u _ { k l } = \frac { 4 S - 5 A } { 3 0 } u ^ { i j } + \left( \frac 2 7 P ^ { i k } + Q ^ { i k } \right) u ^ { j } { } _ { k } + \left( \frac 2 7 P ^ { j k } + Q ^ { j k } \right) u ^ { i } { } _ { k } + \left( \frac 1 7 P ^ { k l } - Q ^ { k l } \right) u _ { k l } g ^ { i j } + R ^ { i j k l } u _ { k l } .
\begin{array} { r l } { G ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r _ { 1 } } } & { { } , \mathbf { r _ { 2 } } , \mathbf { r _ { 3 } } ) = { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 3 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { U } } } & { { } \approx \frac { ( \pi ^ { 2 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 l \mu _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ( \sin ( 2 k _ { 2 } r _ { 2 } ) - 1 \Big ) } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small \int _ { \Omega _ { h } } } & { { } \nabla \psi _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \omega _ { h } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \int _ { \Omega _ { h } } \psi _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \omega _ { h } = \int _ { \partial \Omega _ { o h } } \left[ g _ { 1 h } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) g _ { 2 h } ^ { n + 1 } \right] \omega _ { h } } \end{array}
\mathbf { u } _ { p } ^ { + } = \mathbf { u } _ { p } ^ { - } + \Delta _ { t } \frac { q _ { p } } { m _ { p } } \left( \mathbf { v } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } , t ^ { n + 1 / 2 } ) \right)
\frac { A ( \rho ) } { C } \, \le \, \Phi _ { 0 } ^ { \prime } \bigl ( \lambda \eta _ { 0 } ( \rho ) \bigr ) \, \le \, C A ( \rho ) \, , \qquad \bigl | \Phi _ { 0 } ^ { \prime \prime } \bigl ( \lambda \eta _ { 0 } ( \rho ) \bigr ) \bigr | \, \le \, C B ( \rho ) \, , \qquad
\mu ^ { 2 - 2 \omega } \int \frac { d ^ { 2 \omega } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 2 \omega } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( k ^ { 2 } + \frac { 1 } { L ^ { 2 } } \left( 2 \pi n + \chi \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } = - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 5 L ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { 1 5 } { 8 } \left( \left( \frac { \chi } { \pi } - 1 \right) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \right]
\left\{ \begin{array} { c } { { \delta _ { + } A _ { \mu } = \psi _ { \mu } } } \\ { { \delta _ { + } \psi _ { \mu } = \delta _ { g } ^ { \theta } A _ { \mu } = D _ { \mu } \theta } } \\ { { \delta _ { + } \chi _ { B \mu } ^ { I I } = H _ { B \mu } ^ { I I } } } \\ { { \delta _ { + } H _ { B \mu } ^ { I I } = \delta _ { g } ^ { \theta } \chi _ { B \mu } ^ { I I } = i [ \chi _ { B \mu } ^ { I I } , \theta ] } } \end{array} \right.
- \frac { \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { 2 1 } } { \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { 2 2 } } = \frac { \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { 2 1 } } { \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { 1 1 } }
\begin{array} { r l } { C _ { k } = } & { { } \bigg [ \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) + \left( 1 - \frac { 1 } { r _ { k } ^ { \ast } } \right) \bigg ( \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( G ^ { ( k ) } , G ^ { ( k - 1 ) } ) } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 3 } ^ { 2 } + v _ { 3 } ^ { 2 } ) + \lambda ( x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { L _ { a } ( t ) } & { = E _ { x g } \eta _ { a } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } | c _ { j e a } ( t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { L _ { b } ( t ) } & { = E _ { x g } \eta _ { b } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } | c _ { j e b } ( t ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { L _ { c } ( t ) } & { = \eta _ { c } \int _ { 0 } ^ { t } p ( t ^ { \prime } ) ^ { 2 } d t ^ { \prime } , } \\ { Y _ { b } ( t ) } & { = \frac { L _ { b } } { L _ { a } + L _ { b } + L _ { c } } , } \end{array}
{ G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) = \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { d B } } ^ { 3 } } g _ { 3 / 2 } \left( \mathrm { e x p } \left[ \frac { \mu - [ V ( \mathbf { r _ { 1 } } ) + V ( \mathbf { r _ { 2 } } ) ] / 2 } { k _ { B } T } \right] , \mathrm { e x p } \left[ - \pi \frac { ( \mathbf { r _ { 2 } - r _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { \lambda _ { \mathrm { d B } } ^ { 2 } } \right] \right) ,