harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rVert \underline { { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { A } } } ) h \rVert _ { s } ^ { 2 } } & { = \sum _ { ( l , j ) \in \mathbb { Z } ^ { \nu + 1 } } \langle l , j \rangle ^ { 2 s } \left( \sum _ { ( l ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) \in \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } } | ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { A } ) ) _ { j } ^ { j ^ { \prime } } ( l - l ^ { \prime } ) | h _ { j ^ { \prime } } ( l ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { ( l , j ) \in \mathbb { Z } ^ { \nu + 1 } } \langle l , j \rangle ^ { 2 s } \left( \sum _ { ( l ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) \in \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } } | ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \mathcal { A } ) _ { j } ^ { j ^ { \prime } } ( l - l ^ { \prime } ) | | ( l - l ^ { \prime } ) ^ { \vec { b } } | \langle l - l ^ { \prime } \rangle ^ { s _ { 0 } } \langle j - j ^ { \prime } \rangle | h _ { j ^ { \prime } } ( l ^ { \prime } ) | \frac { 1 } { \langle l - l ^ { \prime } \rangle ^ { s _ { 0 } } \langle j - j ^ { \prime } \rangle } \right) ^ { 2 } } \\ & { \le _ { s _ { 0 } } \sum _ { ( l , j ) \in \mathbb { Z } ^ { \nu + 1 } } \langle l , j \rangle ^ { 2 s } \sum _ { ( l ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) \in \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } } | ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \mathcal { A } ) _ { j } ^ { j ^ { \prime } } ( l - l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \langle l - l ^ { \prime } \rangle ^ { 2 ( s _ { 0 } + | \vec { b } | ) } \langle j - j ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } | h _ { j ^ { \prime } } ( l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { ( l ^ { \prime } , j ^ { \prime } ) \in \mathbb { Z } ^ { \nu + 1 } } | h _ { j ^ { \prime } } ( l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \sum _ { ( l , j ) \in \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } } | ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \mathcal { A } ) _ { j } ^ { j ^ { \prime } } ( l - l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \langle l - l ^ { \prime } \rangle ^ { 2 ( s _ { 0 } + | \vec { b } | ) } \langle j - j ^ { \prime } \rangle ^ { 2 } \langle l , j \rangle ^ { 2 s } , } \end{array}
x = { \frac { \pi R ( \lambda ^ { \circ } - \lambda _ { 0 } ^ { \circ } ) } { 1 8 0 } } , \qquad \quad y = R \ln \left[ \tan \left( 4 5 + { \frac { \varphi ^ { \circ } } { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { u } } } & { { } = \mathbf { u } _ { i n } \; } & { o n \; \Gamma _ { 1 } ^ { f } , } \\ { J \left( \nu _ { f } \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } - \hat { p } I \right) \mathbf { F } ^ { - T } \cdot \hat { \mathbf { n } } _ { f } } & { { } = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 2 } ^ { f } , } \\ { \hat { \mathbf { u } } } & { { } = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 3 } ^ { f } , } \\ { \mathbf { d } _ { s } } & { { } = \mathbf { 0 } \; } & { o n \; \Gamma _ { 1 } ^ { s } , } \\ { J \hat { \sigma } _ { f } \mathbf { F } ^ { - T } \cdot \hat { \mathbf { n } } _ { f } } & { { } = \boldsymbol { \sigma } _ { s } \cdot \mathbf { n } _ { s } \; } & { o n \; \hat { \Omega } \cap \cal S , } \\ { \hat { \mathbf { u } } } & { { } = \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } \; } & { o n \; \hat { \Omega } \cap \cal S . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { f o c a l } } = - \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ y _ { n } ( 1 - \hat { p } _ { n } ) ^ { \gamma } \log \hat { p } _ { n } + ( 1 - y _ { n } ) \hat { p } _ { n } ^ { \gamma } \log ( 1 - \hat { p } _ { n } ) \right] .
\Gamma ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { n } } \Gamma _ { 1 1 } = ( - ) ^ { n } \Gamma _ { 1 1 } \Gamma ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { n } } = { \frac { \epsilon ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { 1 0 } } } { ( 1 0 - n ) ! } } \; \Gamma _ { \mu _ { 1 0 } . . . \mu _ { n + 1 } }
\delta g _ { \mu \nu } ( \vec { x } , \eta ) = \delta g _ { \mu \nu } ^ { ( S ) } ( \vec { x } , \eta ) + \delta g _ { \mu \nu } ^ { ( V ) } ( \vec { x } , \eta ) + \delta g _ { \mu \nu } ^ { ( T ) } ( \vec { x } , \eta ) ,
\mathbf { b } \otimes \mathbf { a } = \mathbf { b } \mathbf { a } ^ { \intercal } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 } a _ { 1 } } & { b _ { 1 } a _ { 2 } } & { b _ { 1 } a _ { 3 } } \\ { b _ { 2 } a _ { 1 } } & { b _ { 2 } a _ { 2 } } & { b _ { 2 } a _ { 3 } } \\ { b _ { 3 } a _ { 1 } } & { b _ { 3 } a _ { 2 } } & { b _ { 3 } a _ { 3 } } \end{array} \right] } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal D ( \vec { w } ; \vec { w } _ { 0 } - \vec { w } ) } & { { } : = k _ { s z } ( \vec { w } ) + k _ { s z } ( \vec { w } _ { 0 } - \vec { w } ) - k _ { p z } ( \vec { w } _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle M ^ { N , a } \rangle _ { t } = } & { \frac { N ^ { 2 } } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x , y \in V } \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) r ( x , y ) \left( G _ { N } ^ { \lambda } ( y / N ) - G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x \in V } b \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } s \, . } \end{array}
+ \left( \Phi _ { m } ( P ) \right) ^ { - 1 } \, \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mu ^ { - k } \, f _ { k } ( P - k ) \, \Phi _ { m } ( P - k ) \prod _ { r = 1 } ^ { k } ( P - r ) ( P - r + 1 ) ( P - r - m + 1 ) \,
E \Big [ \frac { \partial \Omega _ { 0 } } { \partial \vec { x } } \tilde { n } \Big ( \vec { k } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , \vec { x } - \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { x } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } , t - T \Big ) \Big ] = 0 .
\operatorname* { P r } { \big ( } w ( s + t ) , t \mid w ( s ) , s { \big ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi D t } } } \exp \left( - { \frac { \| w ( s + t ) - w ( s ) \| ^ { 2 } } { 2 D t } } \right) .
\langle { u } _ { r } ^ { \prime } \mathrm { c u r l } _ { \theta } \vec { B ^ { \prime } } \rangle = - \langle { u } _ { \theta } ^ { \prime } \mathrm { c u r l } _ { r } \vec { B ^ { \prime } } \rangle = - \kappa ^ { \prime } { { \bar { B } } _ { \phi } } \, ,
\mathcal { D } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u _ { q ( i ) } } } \\ { \mathbf { u } _ { i } \mathbf { u } _ { q ( i ) } } \\ { \mathbf { u } _ { i + n z } \mathbf { u } _ { q ( i ) } } \\ { \mathbf { u } _ { q ( i ) } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { u } _ { q ( i ) } \otimes \mathbf { d } _ { s } } \end{array} \right] .
\ensuremath { E _ { 0 } = V _ { \mathrm { 1 2 } } ^ { \Lambda } n + \frac { \mathbf { P } ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { n } { V } \sum _ { \mathbf { k } } ^ { \Lambda } \frac { V _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } } { \omega _ { \mathbf { k } } + \frac { \hbar ^ { 2 } \mathbf { k } ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { \hbar \mathbf { k } \cdot \mathbf { P } } { m } } } .
\begin{array} { r } { H ( \theta , p _ { \theta } ) = \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } } + \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) \oplus \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \left( J _ { i } \right) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma _ { i } } \end{array} \right) } } \\ { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) \oplus \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \left( K _ { i } \right) } & { { } = { \frac { i } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { i } } \end{array} \right) } } \end{array}
f = 2 \zeta ( 3 ) \tau _ { 2 } ^ { 3 / 2 } + { \frac { \tau _ { 2 } ^ { 3 / 2 } } { \Gamma ( 3 / 2 ) } } \sum _ { n \neq 0 , p } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y y ^ { 1 / 2 } \exp \left\{ - y ( p + n \tau ) ( p + n \bar { \tau } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f _ { \ell } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { \ell } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) } & { { } = \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { \ell } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h _ { \ell } ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( D ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
( \rho _ { i } ^ { n + 1 } , \mathbf u _ { i } ^ { n + 1 } , h _ { i } ^ { n + 1 } , K _ { i } ^ { n + 1 } , \, p _ { i } ^ { n + 1 } , p _ { i } ^ { , n + 1 } , T _ { i } ^ { n + 1 } )
\begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { - 3 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 2 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \mathbf { u } ^ { \prime } - \nabla p ^ { \prime } } & { { } = } & { R e \left( \frac { \partial \mathbf { u } ^ { \prime } } { \partial t } + \bar { \mathbf { u } } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \bar { \mathbf { u } } + \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { \prime } \right) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } & { { } = } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { u } ^ { \prime } } & { { } = } & { \mathbf { U } _ { p } - \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \Omega _ { p } \times ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } ) \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { p } | = a / L } \end{array}
I m [ \varepsilon _ { i n t e r } ^ { \sigma } ( \omega ) ] = \left( \frac { e } { \pi m \omega } \right) ^ { 2 } \sum _ { i , f } \int d ^ { 3 } k \ | < i \mathbf { k } | P ^ { \sigma } | f \mathbf { k } > | ^ { 2 } \ f _ { i \mathbf { k } } ( 1 - f _ { f \mathbf { k } } ) \ \delta ( E _ { f } ( \mathbf { k } ) - E _ { i } ( \mathbf { k } ) - \hbar \omega ) ,
\begin{array} { r l } { E _ { t \mu } ^ { i } } & { { } = \sqrt { \frac { K + 1 } { 2 K } } F _ { t } \delta _ { \mu , 0 } } \\ { E _ { t \mu } ^ { o } } & { { } = E _ { t \mu } ^ { i } - \sqrt { \frac { 2 K } { K + 1 } } E _ { t \mu } = \sqrt { \frac { K + 1 } { 2 K } } ( F _ { t } \delta _ { \mu , 0 } - r _ { \textrm { E F } } E _ { t \mu } ) } \\ { r _ { \textrm { E F } } } & { { } = \frac { 2 K } { K + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ^ { ( 0 ) } \! } & { { } = } & { \! \frac { \alpha \, m ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { \prime } } \sum _ { n \geq n _ { 0 } } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { u _ { n } } \! \! \! \frac { d u } { u \sqrt { u ( u - 1 ) } } \big [ 2 J _ { n } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } = \left( \begin{array} { c c } { i \frac { \Gamma } { 2 } } & { i \omega _ { 0 } } \\ { - i \omega _ { 0 } } & { - i \frac { \Gamma } { 2 } } \end{array} \right) + i \left( \frac { \Gamma } { 2 } - \kappa \right) \mathbf { I } ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { \ell } \binom { j + \ell } { j } S _ { i j } ^ { ( n ) } \overline { { g } } _ { k , i , j + \ell } ^ { ( n ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } t } } & { = \Lambda - \beta \frac { S I } { N } - \mu S + \alpha R , } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } } & { = \beta \frac { S I } { N } - ( \gamma + \delta + \mu ) I , } \\ { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } } & { = \gamma I - ( \alpha + \mu ) R . } \end{array}
\left\lVert \int _ { r ^ { \star } \! } ^ { \infty } u _ { o u t } ( x ^ { \star } ) H ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } \right\rVert _ { L _ { \omega \in \mathcal { B } . ( m , \ell ) \in \mathcal { C } } ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq B ( r ^ { \star } \! , C _ { \mathcal { B } } , C _ { \mathcal { C } } ) \left( \int _ { \Sigma _ { 0 } } | \partial \Psi | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { S } [ { \widehat { u } } ] \right) .
\begin{array} { c c c c c c c c c } { \textmd { e t c . } } & & & & & & & & \\ { \langle 1 , 3 , 6 \rangle } & { \langle 2 , 3 , 7 \rangle } & { \langle 3 , 6 , 7 \rangle } & { \langle 4 , 6 , 8 \rangle } & { \langle 5 , 6 , 9 \rangle } & { \langle 6 , 8 , 9 \rangle } & { \langle 7 , 8 , 1 0 \rangle } & { \langle 8 , 9 , 1 0 \rangle } & \\ { \langle 1 , 2 , 6 \rangle } & { \langle 2 , 5 , 6 \rangle } & { \langle 3 , 5 , 7 \rangle } & { \langle 4 , 5 , 8 \rangle } & { \langle 5 , 7 , 8 \rangle } & { \langle 6 , 7 , 9 \rangle } & { \langle 7 , 8 , 9 \rangle } & & \\ { \langle 1 , 4 , 5 \rangle } & { \langle 2 , 4 , 6 \rangle } & { \langle 3 , 4 , 7 \rangle } & { \langle 4 , 6 , 7 \rangle } & { \langle 5 , 6 , 8 \rangle } & { \langle 6 , 7 , 8 \rangle } & & & \\ { \langle 1 , 3 , 5 \rangle } & { \langle 2 , 3 , 6 \rangle } & { \langle 3 , 5 , 6 \rangle } & { \langle 4 , 5 , 7 \rangle } & { \langle 5 , 6 , 7 \rangle } & & & & \\ { \langle 1 , 2 , 5 \rangle } & { \langle 2 , 4 , 5 \rangle } & { \langle 3 , 4 , 6 \rangle } & { \langle 4 , 5 , 6 \rangle } & & & & & \\ { \langle 1 , 3 , 4 \rangle } & { \langle 2 , 3 , 5 \rangle } & { \langle 3 , 4 , 5 \rangle } & & & & & & \\ { \langle 1 , 2 , 4 \rangle } & { \langle 2 , 3 , 4 \rangle } & & & & & & & \\ { \langle 1 , 2 , 3 \rangle } & & & & & & & & \end{array}
S [ A _ { \mu } , \alpha , \beta ] = \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } t \d { } } ^ { 2 } x \left( \frac { E ^ { 2 } } { 2 B } - \frac { 1 } { 2 } g B ^ { 2 } + f A _ { 0 } - \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } \beta \partial _ { \rho } \alpha \right) \, ,
A _ { \mu } ^ { \prime } \left( x \right) = \Omega _ { D } \left( x _ { \perp } \right) A _ { \mu } \left( x \right) \Omega _ { D } ^ { \dagger } \left( x _ { \perp } \right) + s _ { \mu } \left( x _ { \perp } \right) \quad , \quad \mu \neq 3
0 = - \frac { 1 } { r _ { c } ^ { 2 } } \partial _ { \phi } \left( e ^ { - 4 \sigma } \partial _ { \phi } \Phi \right) + m ^ { 2 } e ^ { - 4 \sigma } \Phi + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 4 } { r _ { c } } e ^ { - 4 \sigma } \lambda _ { i } \Phi \left( \Phi ^ { 2 } - v _ { i } ^ { 2 } \right) \delta \left( \phi - \phi _ { i } \right) .
F _ { 0 1 2 3 } = { \frac { \mu } { 2 } } { \frac { 1 - { \frac { F ^ { 2 } } { 2 } } } { 1 - { \frac { F ^ { 2 } } { 4 } } } } , H _ { 1 2 3 } = - { \frac { \mu } { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { - v _ { t } } \\ { - \Sigma _ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { i _ { ( \ast \cdot ) ^ { \sharp } } d v \quad } & { d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \cdot ) ) \big ) } \\ { ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Sigma } ( \cdot ) \quad } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { \delta H } { \delta v } } \\ { \frac { \delta H } { \delta \Sigma } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = } & { \sqrt { c _ { 1 } } \, v ^ { n } + \frac { \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n } + \frac { \sqrt { c _ { 3 } } } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } } \\ { r ^ { n + 1 } } & { = } & { r ^ { n } + \sqrt { c _ { 3 } } \, \Delta { t } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { v ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { c _ { 2 } } { \sqrt { c _ { 1 } } } \, u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \, \frac { \Delta { t } } { 2 m } \, f ^ { n + 1 } + \sqrt { \frac { c _ { 3 } } { c _ { 1 } } } \, \frac { 1 } { 2 m } \, \beta ^ { n + 1 } \, , } \end{array}
\sqrt { ( \Delta _ { 3 , x x x } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( 3 \Delta _ { 3 , x x y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( 3 \Delta _ { 3 , x y y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( \Delta _ { 3 , y y y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } }
g \left( U _ { i } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { f \left( U _ { i } \right) \left( 1 - f \left( U _ { i } \right) \right) } } } & { { x ^ { 2 i - 1 } \in \left[ 0 , \epsilon _ { i } \right] } } \\ { { 0 } } & { { x ^ { 2 i - 1 } \in \left[ \epsilon _ { i } , 1 \right] } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( \omega , X ) = } & { \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) + 1 6 \Omega ^ { 4 } X ^ { 4 } } \\ { = } & { \left( \omega ^ { 2 } - 4 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } + 8 \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } + \nu ^ { 4 } k ^ { 8 } > 0 , } \end{array}
\mathcal { L } _ { p r i o r } = \frac { 1 } { N _ { L } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L } } \sqrt { ( \boldsymbol { x } _ { i } - \overbar { \boldsymbol { x } } _ { i } ) ^ { T } \, \mathrm { c o v } [ \boldsymbol { x } , \overbar { \boldsymbol { x } } ] ^ { - 1 } \, ( \boldsymbol { x } _ { i } - \overbar { \boldsymbol { x } } _ { i } ) } ,
r = r _ { + } \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 + y ^ { 2 } } , \ \ \ y ^ { 2 } = - y _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 3 } ^ { 2 } .
H _ { i n } ^ { A O } = \hbar \left( \frac { g _ { p h } } { 2 } \hat { a } _ { 1 + } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 + } \hat { b } + \frac { g _ { p h } ^ { * } } { 2 } \hat { a } _ { 1 + } \hat { a } _ { 2 + } ^ { \dagger } \hat { b } ^ { \dagger } \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \xi } { 2 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } - \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { \xi } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ^ { - 1 } \partial _ { \xi } \mathbf { C } + \partial _ { \xi } \mathbf { D } ( \mathbf { C } ) \partial _ { \xi } \mathbf { C } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { 1 } _ { [ \hbar ^ { - 1 } ( s _ { \nu - 1 } - s _ { \nu } ) , \infty ) } ( \boldsymbol { t } _ { 1 , \alpha _ { \nu } } ^ { + } ) e ^ { - \gamma \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { t } _ { 1 , \alpha _ { \nu } } ^ { + } } \leq \frac { C } { | \gamma \hbar ^ { - 1 } ( s _ { \nu - 1 } - s _ { \nu } ) | ^ { d } } } \end{array}
G ( \mu , r ; z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } = 1 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { - ( l _ { 1 } + 1 ) } z _ { 2 } ^ { - ( l _ { 2 } + 1 ) } G ( \mu , r ; l _ { 1 } , l _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { g _ { 2 } \ell _ { 1 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { g _ { 2 } L _ { 1 } } U _ { 2 } = ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \partial _ { G _ { 1 } L _ { 2 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { \beta r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { G _ { 1 } \ell _ { 2 } } U _ { 2 } = ( \frac { r _ { 1 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) } \\ { \partial _ { g _ { 1 } L _ { 2 } } U _ { 2 } } & { = \frac { ( \beta r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { g _ { 1 } \ell _ { 2 } } U _ { 2 } = ( \frac { r _ { 1 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { ( n ) } ( x ) } & { = \int g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) , } \\ { p _ { j } ^ { ( \texttt { c } , n ) } ( t | x ) } & { = \frac { \int p _ { j } ^ { \texttt { c } } ( t | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) } { g ^ { ( n ) } ( x ) } , } \\ { p _ { j k } ^ { ( \texttt { c } , n ) } ( t | x ) } & { = \frac { \int p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) } { g ^ { ( n ) } ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i , j } \left[ \frac { \delta _ { i j } } { \omega } + \frac { i } { \omega ^ { 2 } } \, \left\langle V _ { i j } \right\rangle - \frac { 1 } { \omega ^ { 3 } } \sum _ { k } \left\langle V _ { i k } V _ { k j } + \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k j } } \right\rangle - \frac { i } { \omega ^ { 4 } } \sum _ { k , l } \left\langle V _ { i k } V _ { k l } V _ { l j } + V _ { i k } \frac { \delta V _ { k l } } { \delta \phi _ { l j } } + \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k l } } V _ { l j } \right\rangle + \cdots \right] _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } } \end{array}
( G _ { O M } ^ { - 1 } ) _ { a b } = { \frac { \left( ( 2 K ^ { 2 } - 1 ) - 2 K ^ { 2 } \sqrt { 1 - K ^ { - 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } } } { K } } \, \left[ \hat { \eta } _ { \hat { a } \hat { b } } + \, { \frac { 1 } { 4 } } ( \hat { { \cal H } } ^ { 2 } ) _ { \hat { a } \hat { b } } \right]
\begin{array} { c c l } { | \phi _ { j } \rangle } & { = } & { \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 2 } . . \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N } \rangle \otimes | 0 0 . . 0 \rangle } \end{array}
H _ { 0 } ( 1 ) = 0 , \qquad \frac { \d H _ { 0 } } { \d x } ( 0 ) = 0 , \qquad H _ { 1 } ( 1 ) = 0 , \qquad \frac { \d H _ { 1 } } { \d x } ( 0 ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { \le - \frac { \mu _ { g } \beta _ { k } } { 8 } \| y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } } \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } + O \left( \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { \beta _ { k } \mu _ { g } } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 4 } \mu _ { g } ^ { 3 } } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \beta _ { k } \mu _ { g } } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \right) , } \\ { ( i i ) } & { \le - \frac { \mu _ { g } \gamma _ { k } } { 8 } \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } } { l _ { g , 1 } } \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } + O \left( \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } \mu _ { g } } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \gamma _ { k } } { \mu _ { g } } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \right) , } \end{array}
Z _ { g } ^ { ( 1 ) } = \delta _ { A C \bar { C } } ^ { 2 } - Z _ { C } ^ { ( 1 ) } - \frac 1 2 Z _ { A } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 1 1 } 6 \frac { ( g \mu ^ { - \epsilon } ) ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { C _ { 2 } ( G ) } { \epsilon } .
\begin{array} { r } { F _ { z } \cong - \frac { e E _ { 0 } ^ { h f } } { J _ { 1 } \left( p _ { 0 1 } \right) } J _ { 1 } \left( k _ { \perp } r \right) \cos \varphi _ { p } ( t ) + e v _ { \varphi } \frac { E _ { 0 } ^ { h f } } { J _ { 1 } \left( p _ { 0 1 } \right) } \frac { \omega \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } \\ { \times \frac { J _ { 1 } \left( k _ { \perp } r \right) } { r } \cos \varphi _ { p } ( t ) - e v _ { \varphi } \left( \frac { 1 } { 2 } r \frac { d B _ { z } ^ { s } } { d z } \right) , } \end{array}
( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) \otimes ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) = \underbrace { \mathbf { 1 } } _ { \mathrm { t r a c e } } + \underbrace { ( 1 , 0 ) } _ { \mathrm { s e l f - d u a l ~ a n t i s y m m e t r i c } } + \underbrace { ( 0 , 1 ) } _ { \mathrm { a n t i - s e l f - d u a l ~ a n t i s y m m e t r i c } } + \underbrace { ( 1 , 1 ) } _ { \mathrm { t r a c e l e s s ~ s y m m e t r i c } } .
\left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \left\{ \alpha , a _ { 1 } , a _ { 2 } \right\} \right) \equiv \left\{ \alpha , a _ { 1 } , \psi _ { 2 } \alpha _ { 1 } \right\} .