harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle \psi _ { R } ( \tau ) \bar { \psi } _ { L } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \psi _ { L } ( \tau ) \bar { \psi } _ { R } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle ^ { \dagger } = U ^ { - 1 } ( x _ { 0 } ) \theta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { \epsilon ( \omega ) = \left( 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \nu _ { m } ^ { 2 } } \right) - i \left( \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \nu _ { m } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \nu _ { m } } { \omega } \right) } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } , \ldots , \zeta _ { n } ) } { \partial { z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } } = { \frac { k _ { 1 } \cdots k _ { n } ! } { ( 2 \pi i ) ^ { n } } } \int _ { \partial D _ { 1 } } \cdots \int _ { \partial D _ { n } } { \frac { f ( \zeta _ { 1 } , \dots , \zeta _ { n } ) } { ( \zeta _ { 1 } - z _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } + 1 } \cdots ( \zeta _ { n } - z _ { n } ) ^ { k _ { n } + 1 } } } \, d \zeta _ { 1 } \cdots d \zeta _ { n } .
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } + \delta \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + m + 1 ) ^ { 2 } } + \delta \omega _ { 0 } ( 2 n + m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle - \epsilon _ { i } \right| ^ { q } - | \epsilon _ { i } | ^ { q } } & { \stackrel { ( d ) } { = } \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \left( \left( \epsilon _ { i } - \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right) ^ { q } - \epsilon _ { i } ^ { q } \right) } \\ & { \stackrel { ( e ) } { = } \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \sum _ { k = 1 } ^ { q } \binom { q } { k } \epsilon _ { i } ^ { q - k } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle ^ { k } } \\ & { { = } q \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \epsilon _ { i } ^ { q - 1 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle + \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \sum _ { k = 2 } ^ { q } \binom { q } { k } \epsilon _ { i } ^ { q - k } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle ^ { k } } \\ & { \leq q \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \epsilon _ { i } ^ { q - 1 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle + \sum _ { k = 2 } ^ { q } \binom { q } { k } | \epsilon _ { i } | ^ { q - k } \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right| ^ { k } } \\ & { \stackrel { ( f ) } { \leq } q \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \epsilon _ { i } ^ { q - 1 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle + \binom { q } { 2 } \left( \left| \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle \right| + | \epsilon _ { i } | \right) ^ { q - 2 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( g ) } { \leq } q \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \epsilon _ { i } ^ { q - 1 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle + 2 ^ { q - 2 } \binom { q } { 2 } | \epsilon _ { i } | ^ { q - 2 } \left\langle A _ { i } , U U ^ { \top } \right\rangle ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } } & { { } = ( 1 / 2 \tau _ { z } ) [ ( 1 + 8 \tau _ { z } / \tau _ { x } ) ^ { 1 / 2 } - 1 ] , } \\ { \lambda _ { - } } & { { } = - ( 1 / 2 \tau _ { x } ) [ ( 1 + 8 \tau _ { z } / \tau _ { x } ) ^ { 1 / 2 } + 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { m } \partial _ { m } s \left( \boldsymbol { x } \right) } & { = } & { \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } \right] e ^ { - i \sigma _ { 3 } \phi / 2 } \, s \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) } \\ & { = } & { \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) - \frac { 1 / 4 } { r ^ { 2 } } \right] s \left( \boldsymbol { x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \beta , \mathrm { c o n s } } ^ { \star } ( \Delta , \Lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f } \, \, \Delta \geq \Delta _ { \beta , \mathrm { c o n s } } ^ { \star } \, \ \mathrm { a n d } \, \ \Lambda \geq D ( \Delta ) , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { s } } ( \theta ) } & { \stackrel { \mathrm { \scriptsize ( a ) } } { = } \mathbb { E } _ { \Psi } ^ { o } \left[ \exp \left( - \frac { \theta \left( I + W \right) } { \ell ( \tau ) } \right) ~ \bigg | ~ \Phi \right] } \\ & { \stackrel { \mathrm { \scriptsize ( b ) } } { = } { \exp \left( - \frac { \theta W } { \ell ( \tau ) } \right) } \prod _ { x \in \Phi \setminus \{ t \} } \frac { 1 } { 1 + \theta \ell ( \| x \| ) / \ell ( \tau ) } } \\ & { = { \exp \left( - \frac { \theta W } { \ell ( \tau ) } \right) } { \exp \left( - \sum _ { x \in \Phi \setminus \{ t \} } \log ( 1 + \theta \ell ( \| x \| ) / \ell ( \tau ) ) \right) } . } \end{array}
d s _ { \mathrm { s t r i n g } } ^ { 2 } = e ^ { f + \varphi } \left( - d \xi ^ { 2 } + d x ^ { 2 } \right) + \xi e ^ { \varphi } \left( e ^ { p } d y ^ { 2 } + e ^ { - p } d z ^ { 2 } \right)
\left\| \varphi _ { N , x } \right\| = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| D _ { N } ( x - t ) \right| \, d t = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| D _ { N } ( s ) \right| \, d s = \left\| D _ { N } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { T } ) } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } } & { = - i \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \cdot \sqrt { n _ { \mathrm { L } } } \sqrt { 1 - \frac { \tilde { n } _ { a } } { n _ { \mathrm { L } } } } \cdot b , } & \\ & { \approx - i \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { n _ { \mathrm { L } } } \cdot b , } & \\ { \frac { d } { d t } b } & { = - i \Omega _ { \mathrm { v } } b - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { { n } _ { \mathrm { L } } } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| Q ( \theta ^ { K } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) ^ { K } \| Q ( \theta ^ { 0 } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + } \\ & { \frac { \varepsilon _ { \mathcal { F } } + 4 \beta M _ { 1 } + M _ { 2 } \left[ \omega ^ { 1 / 2 } + \sqrt { \log ( K / \delta ) / N } \right] } { 1 - \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \phi _ { j } } { d t } = } & { \beta \left( - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } - 1 } { 2 ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \cos 2 \phi _ { j } \right) , } \\ { \frac { d \theta _ { j } } { d t } = } & { \beta \frac { ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) } { 4 ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \sin 2 \theta _ { j } \sin 2 \phi _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { a a } } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { L _ { a a } } { L } \right) } \\ & { = \left( \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } L - \frac { \partial L } { \partial t } L _ { a a } \right) L ^ { - 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { L } \left( \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } - \frac { \partial L } { \partial t } P _ { a a } \right) } \end{array}
\begin{array} { c } { { { \tilde { \cal H } } = g _ { A \bar { B } } V ^ { A } { \bar { V } } ^ { \bar { B } } + i V _ { , C } ^ { A } g _ { A \bar { B } } { \bar { V } } _ { , \bar { D } } ^ { \bar { B } } \theta ^ { C } { \bar { \theta } } ^ { \bar { D } } - } } \\ { { - R _ { A { \bar { B } } C { \bar { D } } } V _ { , C } ^ { A } { \bar { V } } _ { ; \bar { D } } ^ { \bar { B } } \theta ^ { A } \theta ^ { C } { \bar { \theta } } ^ { \bar { B } } { \bar { \theta } } ^ { \bar { D } } , } } \end{array}
I _ { 2 } = \Re i \int _ { 0 } ^ { c } \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 2 } u _ { 1 } | _ { x = \frac { b y } { c } } ^ { x = \frac { y ( b - a ) } { c } + a } d x - \Re i \int _ { 0 } ^ { b } \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 1 } u _ { 1 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x } { b } } d x - \Re i \int _ { b } ^ { a } \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 2 } u _ { 1 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x - a c } { b - a } } d x .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ^ { 2 } + 4 C _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { 4 } { \alpha ^ { 2 } \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 6 } } \left( \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \zeta ^ { T } \bar { y } + 4 \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\rho ^ { \mathrm { l i g h t } } ( s ) \to \rho _ { \mathrm { I R m o d } } ^ { \mathrm { l i g h t } } ( s ) = F _ { R } \delta ( s - m _ { R } ^ { 2 } ) + \rho ^ { \mathrm { l i g h t } } ( s ) \theta ( s - s _ { 0 } )
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n } \frac { e ^ { i k d _ { n } } } { i k d _ { n } } \left( 1 - \frac { z _ { n } ^ { 2 } } { d _ { n } ^ { 2 } } \right) } & { \to } & { \frac { 1 } { i a ^ { 2 } } \int \int \frac { e ^ { i k d } } { k d } \left( 1 - \frac { z ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \right) d y d z } \\ & { = } & { \frac { 2 \pi } { k ^ { 2 } a ^ { 2 } } e ^ { i k | x | } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { J } } & { = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { \mathrm { d } t } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \mathbf { p } _ { 1 } } ^ { \mathbf { p } _ { 2 } } \mathrm { d } \mathbf { p } } \\ & { = \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { p } _ { 1 } = \Delta \mathbf { p } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { \mathrm { ( S ) } } } & { = \frac { \alpha A ^ { \prime } ( t ) } { r } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } [ \alpha A ( t ) \Theta ( r ) ] ^ { k } \int _ { 0 } ^ { r } \tilde { r } \Theta ( \tilde { r } ) \, d \tilde { r } \, \mathbf { e } _ { r } } \\ & { \equiv \alpha A ^ { \prime } ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } + \alpha ^ { 2 } A ^ { \prime } ( t ) A ( t ) \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } + O ( \alpha ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } _ { \rho } } & { \quad \int _ { \Omega } F [ \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) ] \mathrm { d } \Omega } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad G _ { 0 } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) = \frac { \int _ { \Omega } \rho ( \mathbf { x } ) \mathrm { d } \Omega } { \int _ { \Omega } \mathrm { d } \Omega } - V _ { T } = 0 } \\ & { \quad \mathcal { L } ( \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) ) + \mathbf { b } = 0 } & & { \forall \mathbf { x } \in \Omega } \\ & { \quad \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) = \mathbf { u } _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) } & & { \forall \mathbf { x } \in \Gamma _ { D } } \\ & { \quad \mathbf { n } \cdot \nabla \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) = \mathbf { h } _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) } & & { \forall \mathbf { x } \in \Gamma _ { N } } \\ & { \quad G _ { j } ( \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) , \rho ( \mathbf { x } ) ) = 0 , \quad j = 1 , \dots m } \\ & { \quad H _ { k } ( \mathbf { u } ( \rho ( \mathbf { x } ) ) , \rho ( \mathbf { x } ) ) \leq 0 , \quad k = 1 , \dots , n } \end{array}
S t J _ { q } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } \phi ^ { * } } { d t ^ { * 2 } } + \frac { 4 } { \pi } T _ { \Omega } ^ { * } \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } + \frac { \pi } { 4 } \frac { T _ { i } ^ { * } } { F _ { q } ^ { * } F _ { p } ^ { * } } \phi ^ { * } = 0 .
\begin{array} { r l r } { R _ { + + } ( k _ { x } ) } & { = } & { R _ { -- } ( k _ { x } ) \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \\ { R _ { + - } ( k _ { x } ) } & { = } & { R _ { - + } ( k _ { x } ) \simeq - i \frac { \pi } { 2 } n _ { 2 } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \sigma m o e x \left( \mathcal { A } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { B } ( k ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { A } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { B } ( k ) \right) + \sigma m o e x \left( \mathcal { A } ( \ell ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { A } ( k ) \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } \sigma m o e x \left( \mathcal { B } ( k ) \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \big | \partial _ { k } ^ { j } \big ( s ( k ) - I - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { s _ { j } } { k ^ { j } } \big ) \big | = O ( k ^ { - N - 1 } ) , } & { k \to \infty , } \\ { \big | \partial _ { k } ^ { j } \big ( s ( k ) - I - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathcal { B } s _ { j } \mathcal { B } k ^ { j } \big ) \big | = O ( k ^ { N + 1 } ) , } & { k \to 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \, = \, \biggl ( \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } ( R , Z ) \, | \tilde { \eta } ( R , Z ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \biggr ) ^ { 1 / 2 } \, .
\Big ( H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { I } - E _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ } } ^ { I } \Big ) \nabla _ { \textbf { r } _ { I } } \Psi ^ { I } = - \left[ \nabla _ { \textbf { r } _ { I } } , H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { I } \right] \Psi ^ { I } \ ,
\begin{array} { r } { \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } E _ { c } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \textbf { x } _ { j ^ { \prime } } - \textbf { x } _ { j } = 0 , } \\ { E _ { c } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , s ) \textbf { ) } + \partial _ { s } \varphi _ { a _ { j ^ { \prime } } } ( s ) + \textbf { F } ( s ) \cdot \textbf { x } _ { j ^ { \prime } } = 0 , } \\ { E _ { c } ( \textbf { k } ) + \partial _ { t } \varphi _ { a _ { j } } ( t ) + \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { x } _ { j } = \omega , } \end{array}
\langle X | J _ { \mu } | B \rangle = \left( p _ { B } + p _ { X } - \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { X } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } k \right) _ { \mu } F _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) + \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { X } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } k _ { \mu } F _ { 0 } ( k ^ { 2 } ) \ ,
G _ { \mathrm { 1 D } } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 i } \sqrt { \frac { A ( x ^ { \prime } ) } { A ( x ) } \frac { 1 } { k ( x ) k ( x ^ { \prime } ) } } \exp [ - i \! \! \! \! \! \! \! \int _ { \operatorname* { m i n } ( x , x ^ { \prime } ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( x , x ^ { \prime } ) } \! \! \! \! \! \! \! \! { k ( \hat { x } ) d \hat { x } } ] \; .
\| f \| _ { L ^ { p } } ^ { p } = \int | f ( x ) | ^ { p } d \mu ( x ) \geq \int _ { \{ | f ( x ) | > t \} } t ^ { p } + \int _ { \{ | f ( x ) | \leq t \} } | f | ^ { p } \geq t ^ { p } \mu ( \{ | f | > t \} )
\begin{array} { r l } { \Delta _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } \arg p ( \zeta ( t ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \Delta \arg _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } g ( \zeta ( t ) ) + \frac { | c + p | \pi } { 2 } + \eta + C } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \Delta _ { \gamma _ { 1 } } \arg g ( \zeta ) + ( c + p + 1 ) \pi \right) + \frac { | c + p | \pi } { 2 } + \eta + C } \\ & { = - \frac { n \pi } { 2 } + \frac { c + p + | c + p | } { 2 } \pi + \eta + C . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} , } \\ & { } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \} , } \\ & { } & { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \} , } \end{array}
E _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 a } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \left( \ell + 1 \right) ^ { d - 2 } \left( \ell + 1 \right) = \frac { 1 } { 2 a } \zeta \left( 1 - d \right) .
N _ { b } = \lambda _ { b } { \frac { \partial { \cal Z } ( \beta , \lambda _ { b } , \lambda _ { \mathrm { S } } ) } { \partial \lambda _ { b } } } , \quad N _ { \mathrm { S } } = \lambda _ { \mathrm { S } } { \frac { \partial { \cal Z } ( \beta , \lambda _ { b } , \lambda _ { \mathrm { S } } ) } { \partial \lambda _ { \mathrm { S } } } } , \quad
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 1 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) } & { = } & { w ( N g _ { 1 1 } \vec { x } _ { 0 } , g _ { 1 } \vec { y } _ { 0 } ) \; , } \\ { \Lambda _ { 2 } ( w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) } & { = } & { w ( - N g _ { 1 0 } \vec { x } _ { 0 } , g _ { 0 1 } \vec { y } _ { 0 } ) \; , } \end{array}
L = L _ { G } ( \omega ^ { a b } , e ^ { a } ) + L _ { s u ( N ) } ( A _ { s } ^ { r } ) + L _ { u ( 1 ) } ( \omega ^ { a b } , e ^ { a } , A ) + L _ { F } ( \omega ^ { a b } , e ^ { a } , A _ { s } ^ { r } , A , \psi _ { r } ) ,
\begin{array} { r } { \eta = \frac { \left( \int _ { - w / 2 } ^ { w / 2 } d z \int _ { - t / 2 } ^ { t / 2 } E _ { 1 } E _ { 2 } d x \right) ^ { 2 } } { \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { 1 } ^ { 2 } d x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { 2 } ^ { 2 } d x \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 , 0 } } & { = 1 , } \\ { p _ { N , N } } & { = 1 , } \\ { p _ { i , i - 1 } } & { = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i } { 1 } \binom { N - i - 1 } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 i ( N - i - 1 ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N \} , } \\ { p _ { i , i + 1 } } & { = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i - 1 } { 1 } \binom { N - i } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 ( i - 1 ) ( N - i ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} , } \\ { p _ { i , i } } & { = 1 - p _ { i , i - 1 } - p _ { i , i + 1 } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\zeta ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } = { \frac { 1 } { 1 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + \cdots
\begin{array} { r } { i \hbar \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { c _ { j g } } \\ { c _ { j e } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { E _ { g } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } } & { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } \\ { \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x } & { E _ { e } + \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { j g } } \\ { c _ { j e } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \Phi _ { \Delta t } = - \nabla \cdot ( \Phi _ { N } \boldsymbol { U } _ { \Delta t } + \Phi _ { \Delta t } \boldsymbol { U } _ { N } ) + \Delta \mathcal { V } _ { \Delta t } - G _ { \phi } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { } & { \mathcal { V } _ { \Delta t } = \frac { \Phi _ { \Delta t } } { 1 + \Phi _ { N } } + \frac { \Phi _ { \Delta t } } { 1 - \Phi _ { N } } - \theta _ { 0 } \Phi _ { \Delta t } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta \Phi _ { \Delta t } , } \\ & { } & { ( - \Delta + I ) \boldsymbol { U } _ { \Delta t } = - \nabla P _ { \Delta t } - \gamma ( \Phi _ { N } \nabla \mathcal { V } _ { \Delta t } + \Phi _ { \Delta t } \nabla \mathcal { V } _ { N } ) - G _ { v } ^ { ( 0 ) } , \quad \nabla \cdot \boldsymbol { U } _ { \Delta t } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial g _ { t , a } ( \zeta ^ { * } , \overline { { \theta } } ) } { \partial \overline { { \theta } } _ { t + 1 , a ^ { \prime } } } \left\{ \mathbb E \left[ \left\{ \left( \alpha _ { t , a } { Y } _ { t , a } ( \overline { { \theta } } _ { t + 1 } ) + ( 1 - { \alpha } _ { t , a } ) \cdot \textstyle \frac { 1 } { 1 - \tau } \Big ( { Y } _ { t , a } ( \overline { { \theta } } _ { t + 1 } ) \mathbb { I } ( { Y } _ { t , a } ( \overline { { \theta } } _ { t + 1 } ) \leq \zeta _ { t , a } ^ { \top } \phi _ { t , a } ) \right. \right. \right. \right. } \\ & { \qquad \left. \left. \left. \left. - \zeta _ { t , a } ^ { \top } \phi _ { t , a } \cdot [ \mathbb { I } \{ { Y } _ { t , a } ( \overline { { \theta } } _ { t + 1 } ) \leq \zeta _ { t , a } ^ { \top } \phi _ { t , a } \} - ( 1 - \tau ) ] \Big ) \right) - { \overline { { \theta } } _ { t , a } } ^ { \top } \phi _ { t , a } \right\} \phi _ { t , a } ^ { \top } \mid A = a \right] \right\} } \\ & { = \mathbb E \left[ \alpha _ { t , a } ( \phi ( S _ { t + 1 } , a ^ { \prime } ) \phi ( S _ { t } , A _ { t } ) ^ { \top } ) + \frac { 1 - { \alpha } _ { t , a } } { 1 - \tau } \left( \int _ { - \infty } ^ { q } ( \phi ( S _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } ) ) d P _ { S _ { t + 1 } \mid S _ { t } , A _ { t } } \right) \phi ^ { \top } ( S _ { t } , A _ { t } ) \mid A _ { t } = a \right] } \\ & { = \mathbb E [ \alpha _ { t , a } ( \phi ( S _ { t + 1 } , a ^ { \prime } ) \phi ( S _ { t } , a ) ^ { \top } ) ] + \mathbb E \left[ ( { 1 - { \alpha } _ { t , a } } ) ( \mathbb E [ \phi ( S _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } ) \mid Y _ { t + 1 } \leq \zeta _ { t , a } ^ { \top } \phi _ { t , a } , S _ { t } , A _ { t } = a ] \phi ^ { \top } ( S _ { t } , a ) \right] } \end{array}
( { \bf M } ^ { \sharp } ) ^ { \mathrm { o r b } } = \left( \widetilde { { \bf M } } ^ { ( 0 ) } , \pi _ { 1 } ( { \bf B } ^ { ( 0 ) } , b _ { 0 } ) , \varphi _ { \widetilde { { \bf M } } ^ { ( 0 ) } } , { \bf M } ^ { ( 0 ) } \right) \bigcup _ { 1 \leq i \leq s } \left( \widetilde { M } _ { i } , { \bf Z } / N _ { i } { \bf Z } , \varphi _ { \widetilde { M } _ { i } } , M _ { i } ^ { \sharp } \right)
\frac { \partial n ( k , m ) } { \partial t } = \int _ { 0 } \displaylimits ^ { + \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { + \infty } \left[ \frac { h ^ { + } ( m _ { 1 } ^ { * + } ) } { | { g ^ { + } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ^ { * + } ) | } - 2 \frac { h ^ { - } ( m _ { 1 } ^ { * - } ) } { | { g ^ { - } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ^ { * - } ) | } \right] \, d k _ { 1 } \, d k _ { 2 } ,
V ( \Phi , X ) = \frac 1 2 m _ { \phi } ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + \frac 1 2 m _ { \chi } ^ { 2 } X ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } \Phi ^ { 4 } + \frac { \kappa } { 4 ! } X ^ { 4 } + \frac { g ^ { 2 } } { 4 } \Phi ^ { 2 } X ^ { 2 } \; .
\log \frac { p _ { \theta _ { * } + h / \sqrt { n } } ^ { n } } { p _ { \theta _ { * } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) = h _ { s } \frac { \ell _ { \theta _ { * } , s } ^ { ( 1 ) } } { \sqrt { n } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { j _ { s t } } { n } h _ { s } h _ { t } + \frac { 1 } { 6 \sqrt { n } } \frac { \ell _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) } } { n } h _ { s } h _ { t } h _ { l } + r _ { n , 1 } ( h ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } ( v , t ) } & { { } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { l a t } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l o n } } L ( i ) ( \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } - X _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } } { N _ { l a t } N _ { l o n } } } } \\ { \mathrm { ~ A ~ C ~ C ~ } ( v , t ) } & { { } = \frac { \sum _ { i , j } L ( i ) \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } X _ { i , j , t } ^ { v } } { \sqrt { \sum _ { i , j } L ( i ) ( \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } \sum _ { i , j } L ( i ) ( X _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } } } } \end{array}