harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { x _ { \bar { 2 } 1 } ^ { \mu } = x _ { 2 - } ^ { \mu } - x _ { 1 + } ^ { \mu } - 2 i \theta _ { 1 } ^ { a } \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } _ { 2 a } = x _ { 2 1 } ^ { \mu } + i \theta _ { 2 1 } ^ { a } \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } _ { 2 1 a } = ( x _ { 2 1 } ) _ { - } ^ { \mu } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { x _ { \bar { 1 } 2 } ^ { \mu } = x _ { 1 - } ^ { \mu } - x _ { 2 + } ^ { \mu } - 2 i \theta _ { 2 } ^ { a } \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } _ { 1 a } = x _ { 1 2 } ^ { \mu } + i \theta _ { 1 2 } ^ { a } \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } _ { 1 2 a } = ( x _ { 1 2 } ) _ { - } ^ { \mu } \, . } } \end{array}
\mathcal { E } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = [ \mathcal { E } _ { \bot } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \mathcal { E } _ { \| } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ] ^ { T } = F \Big ( \mathfrak { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } , \phi _ { 0 } , \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } , \mathfrak { n } _ { \mathrm { ~ S ~ } } , { \Psi } _ { \mathrm { ~ S ~ } } , \mathcal { E } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { | E _ { 1 } \rangle } & { = \frac { 2 \lambda ^ { \prime } | e e 1 \rangle + ( \Omega + \delta ) | e g 2 \rangle + ( \Omega - \delta ) | g e 3 \rangle + 2 \lambda ^ { \prime } | g g 4 \rangle } { \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } , } \\ { | E _ { 2 } \rangle } & { = \frac { | e e 1 \rangle - | g g 4 \rangle } { \sqrt { 2 } } , } \\ { | E _ { 3 } \rangle } & { = \frac { \delta | e e 1 \rangle - 2 \lambda ^ { \prime } | e g 2 \rangle + 2 \lambda ^ { \prime } | g e 3 \rangle + \delta | g g 4 \rangle } { \sqrt { 8 \lambda ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } } } , } \\ { | E _ { 4 } \rangle } & { = \frac { 2 \lambda ^ { \prime } | e e 1 \rangle - ( \Omega - \delta ) | e g 2 \rangle - ( \Omega + \delta ) | g e 3 \rangle + 2 \lambda ^ { \prime } | g g 4 \rangle } { \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \| A R x _ { T } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| A R ( x _ { T } - x ^ { * } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ O ( \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } ) \cdot \| A R ( x _ { 0 } - x ^ { * } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ O ( \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } ) \cdot ( \| A R x _ { 0 } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } ) + \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ O ( \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } ) \cdot ( O ( \epsilon _ { \mathrm { o s e } } ) \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } ) + \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ ( 1 + O ( \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } ) ) \cdot \| A R x ^ { * } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( \mathbf { r } ) = \frac { \lambda } { 8 \pi \epsilon _ { 0 } } \ln \left( \frac { \sqrt { l ^ { 2 } - 2 l c + b ^ { 2 } } + ( l - c ) } { \sqrt { l ^ { 2 } - 2 l c + b ^ { 2 } } - ( l - c ) } \cdot \frac { b + c } { b - c } \right) . } \end{array}
E ( a ) = { \frac { 1 } { 2 a \, \sigma \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - a } ^ { a } d x \ e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u \, { \frac { \sin a u } { a u } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } u ^ { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 a } } \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a } { \sigma \sqrt 2 } } \Big ] \, ,
\Vec { E } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) = \Vec { E _ { 0 } } ( z ^ { \prime } ) e ^ { - i \left[ k \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 q _ { x } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 q _ { y } } \right) + \phi _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ } } - \eta \right] }
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } x } & { = \left( L _ { x } \right) X , \quad \quad \quad } & & { 0 \leq x \leq L _ { x } \quad } & & { \mathrm { a n d } \quad 0 \leq X \leq 1 , } \\ { y } & { = \left( L _ { y } \right) Y = \left( \frac { L _ { x } } { r _ { x y } } \right) Y , \quad \quad \quad } & & { 0 \leq y \leq L _ { y } \quad } & & { \mathrm { a n d } \quad 0 \leq Y \leq 1 , } \\ { z } & { = h Z + z _ { 1 } = \left( \varepsilon L _ { x } \right) \left( H Z + Z _ { 1 } \right) , \quad \quad \quad } & & { z _ { 1 } \leq z \leq \left( h + z _ { 1 } \right) \quad } & & { \mathrm { a n d } \quad 0 \leq Z \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { f m } } & { = - \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { f } \bigl [ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \mathbf { d } _ { s } \cdot \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } _ { s } , \omega _ { f } \right) } \\ & { + \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \cdot \hat { \mathbf { E } } ^ { \dagger } \left( \mathbf { r } _ { s } , \omega _ { f } \right) \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { M } _ { \mathrm { c o n } } ( r ) } & { = } & { \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 4 } f _ { \mathrm { c o n } } ^ { ( 1 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 6 \pi ^ { 3 } m _ { e } } \mathbf { I } } \\ & { } & { + \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 2 } f _ { \mathrm { c o n } } ^ { ( 2 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 1 2 \pi ^ { 3 } \hbar ^ { 2 } } { \mathbf { I } \times \boldsymbol { \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \rightarrow } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { t } & { 0 } \\ { t _ { + - } } & { t } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } & { 0 } \\ { | t _ { + - } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } & { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } \end{array} \right] } \\ { \mathcal { R } _ { \leftarrow } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { r } \\ { r } & { r _ { -- } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { | r | \cdot e ^ { i \phi _ { r } } } \\ { | r | \cdot e ^ { i \phi _ { r } } } & { | r _ { -- } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Lambda } d ^ { 4 } x \, B _ { \Vert } ^ { 2 } \right) = \int { \cal D } \nu \, \exp \left( \int _ { \Lambda } d ^ { 4 } x \, \left( - \frac { 1 } { 2 } \nu ^ { 2 } + i \, \nu \, B _ { \Vert } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \Big | ( - i y _ { j } ) ^ { n } { \partial } _ { x } ^ { \beta } G ( t , x , y ) \Big | } & { = \Big | \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \left( \frac { | k | } { | k | + c t } \right) ^ { H + \frac { 1 } { 2 } - | \beta | } \widehat { \varphi } ( k ) \, e ^ { i 2 \pi \left( \frac { | k | + c t } { | k | } \right) k \cdot x } { \partial } _ { k _ { j } } ^ { n } e ^ { - i 2 \pi k \cdot y } \, d k \Big | } \\ & { \leq ( 2 \pi ) ^ { | \beta | } \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \Big | { \partial } _ { k _ { j } } ^ { n } \left[ \left( \frac { | k | } { | k | + c t } \right) ^ { H + \frac { 1 } { 2 } - | \beta | } \widehat { \varphi } ( k ) \, e ^ { i 2 \pi \left( \frac { | k | + c t } { | k | } \right) k \cdot x } \right] \, \Big | \, d k } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { 1 } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \qquad \qquad \qquad \quad \, \, \theta < 0 } \\ { \sigma ^ { 2 } ( e ^ { L \theta } - L \theta - 1 ) , \quad \theta \geq 0 } \end{array} \right. , } \\ & { g _ { 2 } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \qquad \quad \, \, \, \, \theta < 0 } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } \lambda L ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } { 1 - \lambda - 2 L \theta } , \quad 0 \leq \theta < \frac { 1 - \lambda } { 2 L } , } \\ { \infty , \qquad \quad \, \, \theta \geq \frac { 1 - \lambda } { 2 L } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { T = c _ { 3 } + c _ { 2 } z + c _ { 1 } z ^ { 2 } , \mathrm { w h e r e } \ } \\ { c _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 \mathrm { B i } k + h } ( - \frac { 3 \mathrm { B i } J } { 2 h } - \frac { 3 J } { 4 k } - \frac { 3 \Theta } { 2 h ^ { 2 } } + \frac { 3 T _ { W } } { 2 h } ) , } \\ { c _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 \mathrm { B i } k + h } ( \frac { h J } { 2 k } + \frac { 3 \Theta } { h } - 3 T _ { W } ) , } \\ { c _ { 3 } = \frac { 1 } { 3 \mathrm { B i } k + h } ( \frac { \mathrm { B i } h J } { 2 } + \frac { 3 \mathrm { B i } k \Theta } { h } + h T _ { W } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf { u } } _ { a b } ( x , t ) = { \mathbf { u } } _ { 0 } ( a \xi _ { 1 } , b \xi _ { 2 } ) \, , \qquad a \xi _ { 1 } > 0 \, , \quad b \xi _ { 2 } > 0 \, . } \end{array}
\delta _ { x } ^ { 2 } \delta _ { y } ^ { 2 } , \delta _ { x } , \delta _ { y } , \delta _ { x } \delta _ { y } , \delta _ { x } \delta _ { y } ^ { 2 } , \delta _ { x } ^ { 2 } \delta _ { y } , \delta _ { x } ^ { 2 } \delta _ { y } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } ] = \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } \cdot \mathbf { 1 } ( \Omega _ { \varepsilon } ) ] + \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } \cdot \mathbf { 1 } ( \Omega _ { \varepsilon } ^ { c } ) ] = \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } | \Omega _ { \varepsilon } ] \cdot \mathbb { P } ( \Omega _ { \varepsilon } ) + \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } \cdot \mathbf { 1 } ( \Omega _ { \varepsilon } ^ { c } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { \mathbf Z } } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \geq \prod _ { j = 1 } ^ { | \mathbb { B } | } P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq n - 2 \lceil n b \rceil + 1 } \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { Z } } _ { i , ( k - 1 ) | \mathbb { B } | + j } \right| \leq x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \sqrt { m \omega / \hbar } , \quad f = \alpha ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \omega t + \beta ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \omega t } \\ { \xi } & { = \beta [ \alpha ^ { 2 } ( x - A \cos \omega t ) - k \sin \omega t ] / f ^ { 1 / 2 } } \\ { { \cal T } } & { = \frac { 1 } { 2 f } \Big \{ \alpha ^ { 2 } [ ( \beta ^ { 4 } - \alpha ^ { 4 } ) x ^ { 2 } - k ^ { 2 } + \beta ^ { 4 } A ^ { 2 } ] \sin \omega t \cos \omega t } \\ & { + 2 [ \alpha ^ { 4 } k x \cos \omega t + \beta ^ { 4 } A ( k \sin \omega t - \alpha ^ { 2 } x ) \sin \omega t ] \Big \} } \\ { \theta } & { = \arctan \left( \frac { \beta ^ { 2 } \sin \omega t } { \alpha ^ { 2 } \cos \omega t } \right) + 2 \pi \nu , \quad \nu = \left\lfloor \frac { \omega t + \pi } { 2 \pi } - \epsilon \right\rfloor , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { R } ( u ) = u + a \tau _ { 0 } } \\ & { \eta _ { R } ( a ) = a } \\ & { | \xi _ { i } | = ( 2 ^ { i } - 1 ) \rho } \\ & { | \tau _ { i } | = 1 + | \xi _ { i } | } \\ & { \Delta ( \xi _ { i } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { i } \xi _ { i - j } ^ { 2 ^ { j } } \otimes \xi _ { j } , \ \mathrm { w h e r e } \ \xi _ { 0 } = 1 } \\ & { \Delta ( \tau _ { i } ) = \tau _ { i } \otimes 1 + \sum _ { j = 0 } ^ { i } \xi _ { i - j } ^ { 2 ^ { j } } \otimes \tau _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { h i j k } ( ( 3 \omega ) = } & { { } P _ { l } \sum _ { g , m , n , v } ^ { t r a n s i t i o n } \Big [ \frac { \mu _ { g v } ^ { h } \mu _ { v n } ^ { i } \mu _ { n m } ^ { j } \mu _ { m g } ^ { k } } { ( \omega _ { v g } - 3 \omega ) ( \omega _ { n g } - 2 \omega ) ( \omega _ { m g } - \omega ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| { \bf u } ( \cdot , t _ { n } ) - { \bf u } _ { N } ( \cdot , t _ { n } ) \| _ { C } } & { \leq } & { \| { \cal I } _ { N } { \bf u } ( \cdot , t _ { n } ) - { \bf u } _ { N } ( \cdot , t _ { n } ) \| _ { C } + \| ( I - { \cal I } _ { N } ) { \bf u } ( \cdot , t _ { n } ) \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \tilde { C } _ { 1 } \Delta t ^ { 2 } + \tilde { C } _ { 2 } \Delta x ^ { m - 1 } + \tilde { C } _ { 3 } \Delta x ^ { m } . } \end{array}
C _ { 1 } = P _ { 0 } \big [ \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } H ^ { \coth } [ \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] - \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \big ] , \qquad \qquad x _ { 0 } ( 0 ) = 0 .
\rho _ { f } \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \left( \langle \boldsymbol { \mathsf { U } } \boldsymbol { u } ^ { \star } \rangle + \langle \boldsymbol { u } ^ { \star } \boldsymbol { \mathsf { U } } \rangle \right) + \langle \boldsymbol { n } _ { 0 } \boldsymbol { \cdot } \left( - \mathsf { P } _ { f } \boldsymbol { I } + \mu _ { f } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \mathsf { U } } _ { f } \right) \delta _ { 0 } \rangle + \mu _ { f } \lambda ^ { 2 } \langle \boldsymbol { \mathsf { U } } \rangle + \boldsymbol { \lambda } \langle \mathsf { P } \rangle = 0 \, .
\varepsilon ( \mathbf { x } , z ) = \varepsilon _ { i } ( \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } ) , } & { z > 0 } \\ { \varepsilon _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { x } ) , } & { z < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } [ \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] = \operatorname* { d e t } [ \sum _ { \gamma = 1 } ^ { M } \phi _ { \gamma } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } ) \phi _ { \gamma } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) ] } \\ & { = \sum _ { 1 \le j _ { 1 } < j _ { 2 } < \cdots < j _ { p } \le M } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ) } & { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \uparrow } ) } \\ { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ) } & { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \uparrow } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { j _ { p } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ) } & { \phi _ { j _ { p } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { p } } ^ { \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \uparrow } ) } \end{array} \right) \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ) } \\ { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { 2 } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { j _ { p } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ) } & { \phi _ { j _ { p } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \downarrow } ) } & { \cdots } & { \phi _ { j _ { p } } ^ { \downarrow } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { d } { d l } \overline { { g } } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } , \vec { p } _ { 3 } ; l ) = - c ^ { 2 } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } , \vec { p } _ { 3 } ; 0 ) \ \overline { { g } } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } , \vec { p } _ { 3 } ; l ) ,
\mu _ { u } | u | \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \rho \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { x x } s - \partial _ { x x } p } \end{array} \right) } \end{array} + \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \gamma p } \end{array} \right) } \end{array} + \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { M ^ { 2 } u } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { M ^ { 2 } u } \end{array} \right) } \end{array}
M _ { u ^ { c } , \overline { { { u } } } ^ { c } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 2 { \cal A } K ( u ^ { 2 } + A ^ { 2 } ) - 2 \tilde { \lambda } _ { 7 } \Lambda } } & { { 2 i \tilde { \lambda } _ { 4 } \chi - 2 \bar { \lambda } a \chi } } & { { i \bar { \lambda } \chi ^ { 2 } } } \\ { { - 2 i \tilde { \lambda } _ { 4 } \chi - 2 \bar { \lambda } a \chi } } & { { - 4 \tilde { \lambda } _ { 4 } a ^ { \prime \prime } } } & { { - 2 \bar { \lambda } a ^ { \prime \prime } \chi } } \\ { { - i \bar { \lambda } \chi ^ { 2 } } } & { { - 2 \bar { \lambda } a ^ { \prime \prime } \chi } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \frac { \pi } { 2 } - \tan ^ { - 1 } \left( B _ { 2 3 } Z _ { 3 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( 2 X _ { 3 4 } / Z _ { 3 } \right) } \end{array}
\Delta E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } = \left\{ \begin{array} { l l } { E ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N ) - E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N - 1 ) } & { \mathrm { f o r ~ o c c u p i e d ~ o r b i t a l s } } \\ { E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N + 1 ) - E ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N ) } & { \mathrm { f o r ~ e m p t y ~ o r b i t a l s } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } { \frac { \delta { \cal L } } { \delta A _ { \mu } ^ { a } } } } & { { } = } & { { 2 } \mathrm { t r } \, \Big ( T _ { a } \, \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } + i [ T _ { a } , A _ { \nu } ] F _ { \mu \nu } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { m n } } & { = E _ { 0 } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { s } - 1 } { s _ { p } ^ { 2 } \delta _ { p m } \delta _ { p n } } } \\ & { \quad + E _ { 0 } \sum _ { p , q = 1 } ^ { N _ { s } - 1 } { s _ { p } \Delta \tilde { r } _ { q } \Big ( \delta _ { p m } \tilde { M } _ { p q n } + \delta _ { p n } \tilde { M } _ { p q m } \Big ) } } \\ & { \quad + E _ { 0 } G _ { N _ { s } } \tilde { M } _ { N _ { s } m n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ M \left( \vec { x } \right) \mathrm { s i n c } \left( x - 1 \right) \right] } & { = } & { L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ a \left( 1 - 2 \mathrm { s i n c } \left( 2 x \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( x - 1 \right) \right] } \\ & { = } & { a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( x - 1 \right) \right] - a L \left( \vec { \alpha } \right) \left( \mathrm { r e c t } \left[ \frac { \alpha } { 2 } \right] \ast \left( \mathrm { r e c t } \left[ \alpha \right] e ^ { 2 \pi i \left( 1 \right) \alpha } \right) \right) } \\ & { = } & { a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( x - 1 \right) \right] - a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathrm { s i n c } \left( 1 \right) } \\ & { = } & { a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( x - 1 \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { c ( \alpha ) } ^ { \pi } \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x ( x - \alpha ) ^ { 2 } - 4 } } \bigg \rvert _ { x = e ^ { i \theta } } \mathrm d \theta } & { = - \int _ { \gamma } ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { p _ { \lambda } ( x ) } } \mathrm d x = \left( \int _ { 0 } ^ { \gamma } - \int _ { 0 } ^ { - 1 } \right) \frac { 1 } { \sqrt { p _ { \lambda } ( x ) } } \mathrm d x , } \\ { \int _ { 0 } ^ { c ( \alpha ) } \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x ( x - \alpha ) ^ { 2 } - 4 } } \bigg \rvert _ { x = e ^ { i \theta } } \mathrm d \theta } & { = \int _ { 1 } ^ { \gamma } \frac { 1 } { \sqrt { p _ { \lambda } ( x ) } } \mathrm d x = \left( \int _ { 0 } ^ { \gamma } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \right) \frac { 1 } { \sqrt { p _ { \lambda } ( x ) } } \mathrm d x , } \end{array}
| \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { \sigma _ { 1 } , . . . \sigma _ { N } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \sigma _ { N } ) \hat { \psi } _ { \sigma _ { 1 } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } _ { \sigma _ { N } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) | 0 \rangle
i \, \frac { d } { d x } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { - } } } \end{array} \right) \simeq \cal { H } _ { S } ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { - } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } } & { \left[ \int _ { D _ { i } } ^ { D _ { i } + \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - e ^ { - 2 \theta _ { k } \left( t - \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) } \right) d t \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( { \mathbb { E } } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] - \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] \left( 1 - { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \right) \right] \right) . } \end{array}
Q ^ { 2 } = - ( q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } ) \geq 0 , \; \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \omega = ( q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } ) / ( q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } ) .
\mathsf { V a r } ( \Delta \mathbf Y _ { i j } ) = \mathsf { V a r } ( \mathsf E ( \Delta \mathbf Y _ { i j } | \sigma _ { D } ^ { 2 } ) ) + \mathsf E ( \mathsf { V a r } ( \Delta \mathbf Y _ { i j } | \sigma _ { D } ^ { 2 } ) ) = 2 \, \mathsf E ( \sigma _ { D } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial e _ { d } } { \partial t } + \frac { \partial e _ { b } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \mathbf q _ { d } - \nabla \cdot \mathbf q _ { b } , } \\ { \tau \frac { \partial e _ { b } } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf q _ { b } } & { = - e _ { b } , } \\ { \tau \frac { \partial \mathbf q _ { d } } { \partial t } + \mathbf q _ { d } } & { = - \frac { \lambda _ { d } } { C } \nabla e _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u - U \| _ { H ^ { 1 } ( I ) } ^ { 2 } \le C \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \displaystyle \frac { 1 } { r _ { n } ( r _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ( s ) = } & { { } 1 - \, _ { 2 } F _ { 1 } \left[ 1 , \alpha , \alpha + 1 , - \gamma _ { \mathrm { r } } / s \right] } \\ { \sim } & { { } 1 - \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \left( \frac { s } { \gamma _ { \mathrm { r } } } \right) ^ { \alpha } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { e _ { 1 } \equiv s ^ { + } - s ^ { - } \bmod p , } \\ { e _ { 2 } \equiv ( s ^ { + } - s ^ { - } ) + 2 ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 1 } ) \bmod p , } \\ { \vdots } \\ { e _ { s + 1 } \equiv ( s ^ { + } - s ^ { - } ) + ( s + 1 ) ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 1 } ) } \\ { \qquad + \dotsm + ( s + 1 ) ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { s } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { s } ) \bmod p . } \end{array} \right.
| f ^ { \prime } ( z ) | = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \left| \oint _ { C _ { r } } { \frac { f ( \zeta ) } { ( \zeta - z ) ^ { 2 } } } d \zeta \right| \leq { \frac { 1 } { 2 \pi } } \oint _ { C _ { r } } { \frac { | f ( \zeta ) | } { \left| ( \zeta - z ) ^ { 2 } \right| } } | d \zeta | \leq { \frac { 1 } { 2 \pi } } \oint _ { C _ { r } } { \frac { M | \zeta | } { \left| ( \zeta - z ) ^ { 2 } \right| } } \left| d \zeta \right| = { \frac { M I } { 2 \pi } }
\begin{array} { r l } { \omega _ { \pm } } & { { } = \omega \sqrt { 1 + 2 f \eta ( \pm \alpha - \alpha _ { z } ) } } \\ { \bar { \xi } _ { \pm } } & { { } = \frac { 2 ( \pm \alpha - \alpha _ { z } ) } { 1 + 2 f \eta ( \pm \alpha - \alpha _ { z } ) } \ . } \end{array}