harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { N } _ { 1 } ^ { [ 0 ] } \Bigg ( \operatorname* { s u p } _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots ) \in \{ 1 , 2 \} ^ { \mathbb { N } } } \Bigg ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ell _ { a _ { ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } ) } } \Bigg ) > x \Bigg ) } & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathbb { N } _ { 1 } ^ { [ 0 ] } \Bigg ( \Big ( \operatorname* { s u p } _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } ) \in \{ 1 , 2 \} ^ { n } } \ell _ { a _ { ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } ) } } \Big ) > ( 1 - \alpha ) \alpha ^ { n } x \Bigg ) } \\ & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { n } \, \operatorname* { s u p } _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } ) \in \{ 1 , 2 \} ^ { n } } \mathbb { N } _ { 1 } ^ { [ 0 ] } \Big ( \ell _ { a _ { ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } ) } } > ( 1 - \alpha ) \alpha ^ { n } x \Big ) } \\ & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { n } \times ( ( 1 - \alpha ) \alpha ^ { n } x ) ^ { - 5 / 2 } \times \Big ( \frac { 2 4 } { 4 9 } \Big ) ^ { n + 1 } } \\ & { = c \, x ^ { - 5 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( P _ { \mathcal U , j } u ) ( x ^ { \prime } ) } & { = \phi _ { x ^ { \prime } } ^ { T } P _ { \mathcal U , j } u } \\ & { = e _ { x ^ { \prime } } ^ { T } \Phi _ { U , j } \Phi _ { U , j } ^ { T } ( \Phi _ { U , j } \Phi _ { U , j } ^ { T } ) ^ { - 1 } \Phi _ { U , j } u } \\ & { = e _ { x ^ { \prime } } ^ { T } \Phi _ { U , j } u } \\ & { = \phi _ { x ^ { \prime } } ^ { T } u = u ( x ^ { \prime } ) } \end{array}
C _ { a b } ^ { b } = E _ { i } ^ { b } ( \xi _ { b } ^ { j } \xi _ { a , j } ^ { i } - \xi _ { a } ^ { j } \xi _ { b , j } ^ { i } ) = A _ { ~ c } ^ { b } ( A _ { a , j } ^ { ~ c } \xi _ { b } ^ { j } - A _ { b , j } ^ { ~ c } \xi _ { a } ^ { j } ) .
\begin{array} { r l } { \chi ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } & { = \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \zeta ( { \mathbf { C } } ) \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { 2 \eta ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { [ 4 \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - 3 \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) - \widetilde { \eta } \widetilde { \gamma } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] \eta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( \zeta \widetilde { \gamma } ^ { 2 } + \widetilde { \zeta } \gamma ^ { 2 } - \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 4 } } + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( 2 \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 3 } + 2 \widetilde { \eta } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } - 3 \eta \widetilde { \eta } \gamma \widetilde { \gamma } - \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } ) } { \Delta ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { { \cal I } ( \vec { \nu } , \{ J \} ) } } & { { = } } & { { \displaystyle - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j } s _ { j } ^ { ( a ) } h _ { j } ^ { ( a ) } + \sum _ { b = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { s _ { j } ^ { ( b ) } } J _ { j , \alpha } ^ { ( b ) } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle - { \frac { L } { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { n - 1 } G _ { a 1 } ^ { - 1 } h _ { 1 } ^ { ( a ) } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a b \, ; \, j k } G _ { a b } ^ { - 1 } C _ { j k } h _ { j } ^ { ( a ) } h _ { k } ^ { ( b ) } + \sum _ { b = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { s _ { j } ^ { ( b ) } } J _ { j , \alpha } ^ { ( b ) } . } } \end{array}
\widehat { \Sigma } = \mathop { \mathrm { a r g } \, \mathrm { m i n } } _ { \Gamma \in \mathcal { H } } \operatorname* { s u p } _ { v \in S ^ { d - 1 } } { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \left| \operatorname { M e d } \left( | \langle X _ { 1 } , \theta \rangle | , \ldots , | \langle X _ { N } , \theta \rangle | \right) - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) \sqrt { \theta ^ { \top } \Gamma \theta } \right| .
\mathbf { F } _ { t } = \nabla \times \mathbf { A } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \nabla \times \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \times \mathbf { F } } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime }
D _ { j } \hat { \phi } = - i g e ^ { i g \Delta } \left[ e ^ { - i g \Delta } \left( A _ { j } + \frac { i } { g } \partial _ { j } \right) e ^ { i g \Delta } , \frac { \sigma ^ { 3 } } { 2 } \right] e ^ { - i g \Delta }
\begin{array} { r } { i \hbar \partial _ { t } \hat { e } _ { { \bf k } q } = \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } \hat { e } _ { { \bf k } q } + \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { c } _ { { \bf k } } + \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { x } _ { { \bf k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( \mathbf { H } ) } & { { } = - n \dot { \bar { H } } _ { 0 } } \\ { f _ { 2 } ( \mathbf { H } ) } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( \frac { H _ { 0 i } } { \Delta t _ { i } } - \dot { \bar { H } } _ { 0 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( f + g \right) \left( \overline { { x } } \right) - \left( f + g \right) \left( x _ { t + 1 } \right) \geq \frac { 1 } { 2 \alpha } \left( - \| x _ { t } - \overline { { x } } \| ^ { 2 } + \| x _ { t + 1 } - \overline { { x } } \| ^ { 2 } + \| x _ { t } - x _ { t + 1 } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad - \frac { \rho } { 2 } \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { L _ { g } } { 2 } \left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \varepsilon - \sqrt { \frac { 2 \varepsilon } { \alpha } } \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert } \\ & { \qquad = \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { L _ { g } } { 2 } \right) \| x _ { t } - x _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { \rho } { 2 } \right) \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \alpha } \| x _ { t } - \overline { { x } } \| ^ { 2 } - \varepsilon - \sqrt { \frac { 2 \varepsilon } { \alpha } } \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert . } \end{array}
G _ { \alpha } ( x , y ) \; = \; G _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } ( x , y ) \; + \; \sum _ { \beta } \, \int d ^ { 4 } x ^ { \prime } d ^ { 4 } x ^ { \prime \prime } \, G _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } ( x , x ^ { \prime } ) \, \Sigma _ { \beta } ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \, G _ { \alpha } ( x ^ { \prime \prime } , y ) \; ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { A x } _ { i } - \lambda _ { i } \mathbf { x } _ { i } \| } & { = \| \mathbf { A V } _ { k } \mathbf { y } _ { i } - \lambda _ { i } \mathbf { V } _ { k } \mathbf { y } _ { i } \| } \\ & { = \| \mathbf { V } _ { k } \left( \mathbf { H } _ { k } - \lambda _ { i } \mathbf { I } \right) \mathbf { y } _ { i } + \mathbf { v } _ { k + 1 } \beta \mathbf { e } _ { k } ^ { T } \mathbf { y } _ { i } \| } \\ & { = \vert \beta \vert \vert \mathbf { e } _ { k } ^ { T } \mathbf { y } _ { i } \vert . } \end{array}
{ \bar { \delta } } m ^ { a } - \delta { \bar { m } } ^ { a } = ( { \bar { \mu } } - \mu ) l ^ { a } + ( { \bar { \rho } } - \rho ) n ^ { a } + ( \alpha - { \bar { \beta } } ) m ^ { a } - ( { \bar { \alpha } } - \beta ) { \bar { m } } ^ { a } \, .
V _ { \alpha _ { 1 } } V _ { \alpha _ { 2 } } = \sum _ { \stackrel { i , j > 0 } { i \alpha _ { 1 } + j \alpha _ { 2 } \in \Phi } } c _ { i j } V _ { i \alpha _ { 1 } + j \alpha _ { 2 } } + V _ { \alpha _ { 2 } } V _ { \alpha _ { 1 } } \mathrm { ~ } ( \mathrm { m o d } \mathrm { ~ } \mathrm { F i l } ^ { \mathrm { h t } ( \alpha _ { 1 } ) + \mathrm { h t } ( \alpha _ { 2 } ) + 1 } ) .
K = { \omega ^ { 2 } } { ( { M _ { R T } } { I _ { T x } } + { { \mathbf { M } } _ { { \mathbf { R u } } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { u - t a r } } } } ) ^ { 2 } } \frac { { { R _ { L } } } } { { { { ( { R _ { L } } + { R _ { R x } } ) } ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho \equiv \sum _ { f _ { a } \leq f _ { n } \leq f _ { a } ( 1 + \kappa ^ { 2 } v _ { \mathrm { v i r } } ^ { 2 } ) } \frac { 4 | \tilde { \phi } ( f _ { n } ) | ^ { 2 } } { T S ( f _ { n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { i } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i j } \, \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { j } \bigr ) , \qquad i \in \{ 1 , \dots , s \} , } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \, \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { i } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L O P T _ { \lambda , \mu _ { 0 } } ( \hat { \mu } ^ { j } , \hat { \mu } ^ { j } ) = \| u ^ { i } - u ^ { j } \| _ { \hat { p } ^ { i } \wedge \hat { p } ^ { j } , 2 \lambda } + \lambda ( | \hat { p } ^ { i } - \hat { p } ^ { j } | ) \qquad \mathrm { a n d } } \\ & { L O P T _ { \lambda , \mu _ { 0 } } ( \mu ^ { j } , \mu ^ { j } ) = \| u ^ { i } - u ^ { j } \| _ { \hat { p } ^ { i } \wedge \hat { p } ^ { j } , 2 \lambda } + \lambda ( | \hat { p } ^ { i } - \hat { p } ^ { j } | ) + \lambda ( | \nu ^ { i } - \nu ^ { j } | ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) + \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) ] \; , } \\ { \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( 1 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) - \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } _ { * } , 1 , \vec { q } _ { * } ) ] \; . } \end{array}
I _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { ( 1 - x ) } \frac { 1 } { p ^ { 2 } - \frac { M ^ { 2 } } { x } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 - x } } \stackrel { \lambda \rightarrow \infty } { \longrightarrow } - \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } }
i ( 2 \pi ) ^ { 4 } G ( q . q ^ { \prime } ) = { \Delta _ { 1 } } ^ { - 1 } { \Delta _ { 2 } } ^ { - 1 } \int d { \hat { q } } ^ { \prime \prime } M d { \sigma } ^ { \prime \prime } K ( { \hat { q } } , { \hat { q } ^ { \prime } } ) G ( q , q ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { J _ { a } ^ { \alpha } f ( t ) } & { = c _ { \alpha } \int _ { a } ^ { t } \int _ { \Omega } ( \psi ( \omega ) ) ^ { n - 1 - \alpha } \mathrm e ^ { - ( t - \tau ) \psi ( \omega ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad \times ( t - \tau ) ^ { n - 1 } f ( \tau ) \psi ^ { \prime } ( \omega ) \, \mathrm d \omega \, \mathrm d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } } \\ { \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) } & { = \, \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) } \\ { \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a = - \frac { 2 ^ { 1 - 2 i \omega } \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 4 } } { \pi \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - i \omega \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
F = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { \tilde { \nu } _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \tilde { \nu } _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { \nu } _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \tilde { \nu } _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \tilde { \nu } _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \tilde { \nu } _ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { G ( \omega ) \approx \alpha ( G , z , - \nu _ { z } ) ( \omega - z ) ^ { \nu _ { z } } } \\ & { G ^ { \prime } ( \omega ) \approx \nu _ { z } ~ \alpha ( G , z , - \nu _ { z } ) ( \omega - z ) ^ { \nu _ { z } - 1 } } \\ & { F ( \omega ) = \frac { G ^ { \prime } ( \omega ) } { G ( \omega ) } \approx \frac { \nu _ { z } } { \omega - z } } \end{array} } \end{array}
F = { \frac { p } { 2 \pi } } \left[ \arctan \Bigl ( { \frac { m _ { 1 } - a _ { 1 } } { m _ { 2 } } } \Bigr ) - \arctan \Bigl ( { \frac { m _ { 1 } + a _ { 1 } } { m _ { 2 } } } \Bigr ) \right] \, .
[ Z ^ { n } ] = \int \int \left( \prod _ { i < j } d J _ { i j } P ( J _ { i j } ) \right) \left( \prod _ { i < j < k } d \Delta _ { i j k } P ( \Delta _ { i j k } ) \right) T r \exp \{ \beta \sum _ { i < j } J _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { j } ^ { \alpha } + \beta h \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } S _ { i } ^ { \alpha } \} T r \exp \{ \beta \sum _ { i < j < k } \Delta _ { i j k } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } S _ { i } ^ { \alpha } S _ { j } ^ { \alpha } S _ { k } ^ { \alpha } \} ,
V _ { D } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 . 0 4 } } & { { 0 . 0 3 } } \\ { { - 0 . 0 4 } } & { { 0 . 7 9 } } & { { 0 . 5 9 } } \\ { { 0 } } & { { - 0 . 6 0 } } & { { 0 . 8 0 } } \end{array} \right)
\frac { \partial ( \rho \vec { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho \vec { u } \otimes \vec { u } \right) + \nabla P = \nabla \cdot \left( \vec { m } ^ { * } \otimes \vec { u } \right) + \nabla \cdot ( \tau + \tau ^ { * } ) ,
d _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 1 ) } ( | \omega | r ^ { \prime } ) = e _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 1 ) } ( | \omega | r ^ { \prime } ) + f _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 2 ) } ( | \omega | r ^ { \prime } ) ,
{ \frac { \partial { \overline { { \rho } } } { \tilde { u _ { i } } } } { \partial t } } + { \frac { \partial { \overline { { \rho } } } { \tilde { u _ { i } } } { \tilde { u _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x _ { i } } } - { \frac { \partial { \tilde { \sigma } } _ { i j } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { \partial { \overline { { \rho } } } \tau _ { i j } ^ { r } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( { \overline { { \sigma } } } _ { i j } - { \tilde { \sigma } } _ { i j } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { U _ { t t } - c ^ { 2 } \Delta U = f ( t ) g ( \mathbf x ) , } & { \mathbf x \in R , } \\ { { \frac { \partial U } { \partial \mathbf n } } = 0 , } & { \mathbf x \in \partial R , } \\ { U ( \mathbf x , 0 ) = 0 , U _ { t } ( \mathbf x , 0 ) = 0 , } & { \mathbf x \in R , } \end{array} } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d \rho ^ { 2 } } ( 4 \sqrt { 2 } \chi ) = 4 Q _ { m } ^ { 2 } A ^ { 2 } e ^ { 2 \sqrt { 2 } ( \phi + \chi ) } + 4 Q _ { e } ^ { 2 } A ^ { 2 } e ^ { - 2 \sqrt { 2 } ( \phi - \chi ) } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) - ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) ) ^ { 2 } \big ) \nabla ^ { n , 1 } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim \bigg ( \frac { T \ell } { n } + \frac { T ^ { 2 } n } { \ell ^ { 2 } } \bigg ) \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \arctan \{ 2 \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } \big ( \hat { S } _ { y } , \hat { S } _ { z } \big ) / [ ( \Delta \hat { S } _ { y } ) ^ { 2 } - ( \Delta \hat { S } _ { z } ) ^ { 2 } ] \}
\int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } d r \sqrt { 2 \mu \left( E - \tilde { V } ( r ) - \frac { \eta + \frac { 1 } { 4 } } { 2 \mu r ^ { 2 } } \right) } = \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \pi . \; \; \; \; \; ( n = 0 , 1 , 2 , \cdots )
\begin{array} { r l r } { p _ { x } ^ { t o t } } & { = } & { \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \frac { - 2 \omega + \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - i \Gamma _ { 2 } / 2 + 2 ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } } E _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle m + 1 | e ^ { i t H _ { \mathrm { X X Z } } } \; \hat { X } \; e ^ { - i t H _ { \mathrm { X X Z } } } | m \rangle } & { { } \sim \mathrm { c o s } ( \Delta E \cdot t ) , } \\ { \langle m + 1 | e ^ { i t H _ { \mathrm { X X Z } } } \; \hat { Y } \; e ^ { - i t H _ { \mathrm { X X Z } } } | m \rangle } & { { } \sim \mathrm { s i n } ( \Delta E \cdot t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { = P ( \widehat { L } , t ) \left[ f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \right] } \\ & { \ \ \ + P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \left[ \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) \, P ( \widehat { L } , t ) - \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t ) \right] \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) } & { = \left( \textbf { I } + e ^ { - ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } - \mu \textbf { I } ) / k _ { B } T } \right) ^ { - 1 } = \left( \textbf { I } + e ^ { \mu / k _ { B } T } e ^ { - ( \boldsymbol { E } + h \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ) / k _ { B } T } \right) ^ { - 1 } \, , } \end{array}
S ( \mathbf { p } , t _ { i } , t _ { r } ) = \frac 1 2 \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { r } } d t ^ { \prime } \, \left[ \mathbf { p } + \mathbf { A } ( t ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } + I _ { p } ( t _ { r } - t _ { i } )
- 4 m ^ { d + 1 } \, \, \frac { q ( \vec { x } ) } { | \vec { v } ( \vec { x } ) | } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . } ^ { d / 2 } { \binom { \frac { d } { 2 } } { m } } ( \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } \, \partial _ { i } \hat { n } ^ { a } ) ^ { ( \frac { d } { 2 } - m ) } | \vec { v } ( \vec { x } ) | ^ { m }
\operatorname { T r } { \bigl ( } { \textstyle \bigwedge } ^ { k } \operatorname { a d j } A { \bigr ) } = { \textstyle \bigwedge } ^ { n } ( \operatorname { a d j } A ) ^ { k } = ( \operatorname* { d e t } A ) ^ { k - 1 } { \bigl ( } { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { n - k } { \bigr ) } = ( \operatorname* { d e t } A ) ^ { k - 1 } \operatorname { T r } { \bigl ( } { \textstyle \bigwedge } ^ { n - k } A { \bigr ) } .
\begin{array} { r l r } { S _ { b } } & { = } & { \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } = \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } \psi _ { b } } \\ { S _ { f } } & { = } & { \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } = \psi _ { f } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } \psi _ { f } \; . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \int _ { \mathbb { R } } x ^ { k } \mu _ { B _ { n } ^ { + } } ( d x ) \right] = \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { N } \sum _ { \substack { \mathrm { c l o s e d ~ w o r d s ~ } w : \, N _ { w } ( \tau ) \neq 1 , \forall \tau \in K ^ { d } \atop | \operatorname { s u p p } _ { d } ( w ) | \neq | \operatorname { s u p p } _ { o } ( w ) | - d } } \prod _ { \tau \in K ^ { d } } \mathbb { E } \left[ ( \chi - p ) ^ { N _ { w } ( \tau ) } \right] .
\begin{array} { r l } { { \bf m } _ { i } = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { j } \int d \tau e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \int d k e ^ { - k ^ { 2 } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } e ^ { i { \bf k } \cdot ( { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } ) } 2 \pi a J _ { 1 } ( k a ) \sigma _ { j } ( t ) } \\ { = } & { \frac { a } { 2 \pi } \sum _ { j } \int d \tau e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \int d k e ^ { - k ^ { 2 } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } J _ { 0 } \left( k \lvert { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } \rvert \right) J _ { 1 } ( k a ) \sigma _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { c _ { \mathrm { A I R } } ^ { ( k ) } } { 2 } = 1 - \frac { \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) ^ { 2 } } { 1 + \eta _ { k } } \quad \overset { k \to \infty } { \longrightarrow } \quad \frac { c _ { \mathrm { A I R } } } { 2 } = 1 - \frac { \rho ^ { 2 } } { 1 + ( c _ { \mathrm { A I R } } / 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { ( 1 ) } = S _ { n } } \\ { T ^ { \left( 2 \right) } = S _ { n } W _ { n } - W _ { n } S _ { n } } \\ { T ^ { \left( 3 \right) } = S _ { n } ^ { 2 } - 1 / 3 I . T r ( S _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { T ^ { \left( 4 \right) } = W _ { n } ^ { 2 } - 1 / 3 I . T r ( W _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { T ^ { \left( 5 \right) } = W _ { n } S _ { n } ^ { 2 } - S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } } \\ { T ^ { \left( 6 \right) } = W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } + S _ { n } W _ { n } ^ { 2 } - 2 / 3 I . T r ( S _ { n } W _ { n } ^ { 2 } } \\ { T ^ { \left( 7 \right) } = W _ { n } S _ { n } W _ { n } ^ { 2 } - W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } W _ { n } } \\ { T ^ { \left( 8 \right) } = S _ { n } W _ { n } S _ { n } ^ { 2 } - S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } S _ { n } } \\ { T ^ { \left( 9 \right) } = W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } ^ { 2 } + S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } ^ { 2 } - 2 / 3 I . T r ( S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { T ^ { ( 1 0 ) } = W _ { n } S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } ^ { 2 } - W _ { n } ^ { 2 } S _ { n } ^ { 2 } W _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { e } = \frac { \partial U } { \partial Q } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } & { { } } & { \Gamma = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { m } I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { \frac { \alpha _ { l } } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \end{array}