harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { 2 } \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } = m _ { \beta { \pmb \beta } _ { 2 } \alpha { \pmb \alpha } _ { 2 } } = } \\ & { } & { R _ { p } ^ { 2 } \int _ { r = R _ { p } } \frac { h _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } ( { \pmb x } ) } { 8 \pi } \bigg [ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( 2 t _ { \alpha \gamma } n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 2 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 2 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 1 } } ( \pmb x ) ) \bigg ] d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { - \frac { R _ { p } ^ { 5 } } { 2 4 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \left\{ \delta _ { \alpha \beta } \left[ - 8 \hat { \lambda } ^ { 2 } \left( \frac { 4 + 2 1 \hat { \lambda } } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right) \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \delta _ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } + 5 ( 1 + 6 \hat { \lambda } ) ( \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 2 } } \delta _ { \beta _ { 1 } \alpha _ { 2 } } + \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } ) \right] \right. } \\ & { } & { + ( 1 + 6 \hat { \lambda } + 2 8 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } ( \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } \beta } + \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta } \delta _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 2 } } ) + \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } ( \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 2 } \beta } + \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta } \delta _ { \alpha _ { 2 } \beta _ { 1 } } ) ) } \\ & { } & { + ( 1 + 1 2 \hat { \lambda } + 5 6 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \delta _ { \beta \beta _ { 2 } } + \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } \delta _ { \beta \beta _ { 1 } } ) \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } + ( \mathrm { t e r m s ~ g i v i n g ~ v a n i s h i n g ~ c o n t r i b u t i o n ~ t o } \, \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { \textsf { T } } A } & { { } = Q ^ { \textsf { T } } Q \, R = R ; } \\ { R } & { { } = Q ^ { \textsf { T } } A = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 4 } & { 2 1 } & { - 1 4 } \\ { 0 } & { 1 7 5 } & { - 7 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 5 } \end{array} \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } \sum _ { i \in S _ { k } } N _ { i } ^ { 2 } \| \Omega _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } ^ { 2 } \bar { N } _ { k } ^ { 2 } } \sum _ { i , m \in S _ { k } } \bigg \langle ( \frac { N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } ) \Omega _ { i } , ( \frac { N _ { m } } { n _ { m } \bar { N } _ { m } } ) \Omega _ { m } \bigg \rangle } \\ & { = \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } ^ { 2 } \bar { N } _ { k } ^ { 2 } } \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - e } { C _ { \mathrm { e l } } } \, \rightarrow \, \frac { \partial \phi _ { \mathrm { e t r o d e } } } { \partial N } + \sum _ { i } \alpha _ { i } Z _ { i } \, \frac { \partial \phi _ { \mathrm { e l y t e } } } { \partial N } = \frac { \partial \phi _ { \mathrm { e t r o d e } } } { \partial N } - \frac { \partial \phi _ { \mathrm { e l y t e } } } { \partial N } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathbb { R } ^ { 5 \cdot 2 } } \tilde { f } ( y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } f ^ { [ 1 ] } ( y _ { i } ^ { [ 1 ] } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } f ^ { [ 2 ] } ( y _ { i } ^ { [ 2 ] } ) } \\ & { } & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \mathcal { L } y = 0 _ { 5 \cdot 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } = } & { { } \frac 1 2 \mu ( \xi _ { A } ^ { L } C \xi _ { F } ^ { R } \left( \xi _ { F } ^ { L } T _ { 1 } ^ { F A } \chi ^ { R } + \chi ^ { L } T _ { 1 } ^ { F A } \xi _ { A } ^ { R } \right) } \end{array}
\mu _ { T _ { 0 } } \otimes \delta _ { \bar { 0 } } \left[ \varphi \right] = \mu _ { T _ { 0 } } \left[ \varphi _ { 0 } \right] = \mu _ { R _ { 0 } } \left[ \varphi _ { 0 } \circ q \right] = \mu _ { R _ { 0 } } \otimes \delta _ { \bar { 0 } } \left[ \varphi _ { 0 } \circ q \right] = \mu _ { R _ { 0 } } \otimes \delta _ { \bar { 0 } } \left[ \varphi \circ Q \right] \ .
\begin{array} { r } { i q _ { \rho } \widetilde { { M ^ { \pm } } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = i q _ { \rho } { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) - i \sum _ { j } c _ { j } q _ { \rho } { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { 1 } ^ { j } , \alpha M _ { 1 } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \mathrm { ~ { ~ R ~ } ~ } } } & { { } = c l + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } \, c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { R } ( t ) } \\ { q _ { \mathrm { ~ { ~ I ~ } ~ } } } & { { } = c s + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } \, c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ^ { I } ( t ) } \\ { q _ { 0 } } & { { } = \frac { \lambda _ { 0 } \, c _ { 0 } ( t ) } { \sqrt { 2 \pi } } } \end{array}
\int _ { M } \alpha A = { \frac { 1 } { 2 } } \langle \int _ { M } \alpha ( { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } { \frac { \delta { S } ^ { - } } { \delta { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } } } + { \tilde { \Psi } } _ { L } { \frac { \delta { S } ^ { - } } { \delta { \tilde { \Psi } } _ { L } } } ) \rangle .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } \left( k , t + \Delta _ { t } \right) = \, } & { \mathrm { P r } _ { + } \left( k - \Delta _ { N } \right) \mathrm { P } \left( k - \Delta _ { N } , t \right) } \\ & { + \mathrm { P r } _ { - } \left( k + \Delta _ { N } \right) \mathrm { P } \left( k + \Delta _ { N } , t \right) } \\ & { + \left( 1 - \mathrm { P r } _ { + } - \mathrm { P r } _ { - } \right) \mathrm { P } \left( k , t \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \ddot { y } } } & { \equiv { \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { d y } { d t } } \right) = { \frac { d } { d t } } { \Bigl ( } { \dot { y } } { \Bigr ) } = { \frac { d } { d t } } { \Bigl ( } f ^ { \prime } ( t ) { \Bigr ) } = D _ { t } ^ { 2 } y = f ^ { \prime \prime } ( t ) = y _ { t } ^ { \prime \prime } } \\ { { \overset { . . . } { y } } } & { = { \dot { \ddot { y } } } \equiv { \frac { d ^ { 3 } y } { d t ^ { 3 } } } = D _ { t } ^ { 3 } y = f ^ { \prime \prime \prime } ( t ) = y _ { t } ^ { \prime \prime \prime } } \\ { { \overset { \, 4 } { \dot { y } } } } & { = { \overset { . . . . } { y } } = { \ddot { \ddot { y } } } \equiv { \frac { d ^ { 4 } y } { d t ^ { 4 } } } = D _ { t } ^ { 4 } y = f ^ { \mathrm { { I V } } } ( t ) = y _ { t } ^ { ( 4 ) } } \\ { { \overset { \, 5 } { \dot { y } } } } & { = { \ddot { \overset { . . . } { y } } } = { \dot { \ddot { \ddot { y } } } } = { \ddot { \dot { \ddot { y } } } } \equiv { \frac { d ^ { 5 } y } { d t ^ { 5 } } } = D _ { t } ^ { 5 } y = f ^ { \mathrm { { V } } } ( t ) = y _ { t } ^ { ( 5 ) } } \\ { { \overset { \, 6 } { \dot { y } } } } & { = { \overset { . . . } { \overset { . . . } { y } } } \equiv { \frac { d ^ { 6 } y } { d t ^ { 6 } } } = D _ { t } ^ { 6 } y = f ^ { \mathrm { { V I } } } ( t ) = y _ { t } ^ { ( 6 ) } } \\ { { \overset { \, 7 } { \dot { y } } } } & { = { \dot { \overset { . . . } { \overset { . . . } { y } } } } \equiv { \frac { d ^ { 7 } y } { d t ^ { 7 } } } = D _ { t } ^ { 7 } y = f ^ { \mathrm { { V I I } } } ( t ) = y _ { t } ^ { ( 7 ) } } \\ { { \overset { \, 1 0 } { \dot { y } } } } & { = { \ddot { \ddot { \ddot { \ddot { \ddot { y } } } } } } \equiv { \frac { d ^ { 1 0 } y } { d t ^ { 1 0 } } } = D _ { t } ^ { 1 0 } y = f ^ { \mathrm { { X } } } ( t ) = y _ { t } ^ { ( 1 0 ) } } \\ { { \overset { \, n } { \dot { y } } } } & { \equiv { \frac { d ^ { n } y } { d t ^ { n } } } = D _ { t } ^ { n } y = f ^ { ( n ) } ( t ) = y _ { t } ^ { ( n ) } } \end{array} }
\mathfrak { G } _ { n , \lambda , \gamma , \beta _ { G } } ( u ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n - m } \frac { \beta _ { G } i } { u + \lambda ( n - m - i ) i + \gamma i } \sum _ { \mathfrak { i } \in \mathcal { I } _ { n } ( 1 , m , i ) } \prod _ { j = 0 } ^ { m } q _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u ) g _ { n , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u )
a ^ { 2 } ( v ) \left( \overline { { { { \cal G } _ { 2 } ( \hat { \tau } ) } } } - \overline { { { { \cal G } _ { 2 } ( x ) } } } \right) = \overline { { { { a ^ { 2 } } ( v ) } } } \left( { \cal G } _ { 2 } ( \hat { \tau } ) - { \cal G } _ { 2 } ( x ) \right) .
U \, = \, e x p \bigl [ i \sqrt { 2 } { \frac { \pi ^ { 2 } \lambda _ { a } } { f _ { \pi } } } + i { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } { \frac { \eta ^ { \prime } } { f _ { \eta ^ { \prime } } } } \bigr ] \, ,
\omega _ { m } ^ { A } = \omega _ { m } ^ { B } = \omega _ { m } , \kappa _ { A } = \kappa _ { B } = \kappa , \gamma _ { m } ^ { A } = \gamma _ { m } ^ { B } = \gamma _ { m } , T _ { A } = T _ { B } = T , \Delta _ { A } = \Delta _ { B } = \Delta
\overline { { \frac { 1 } { 2 } ( { X } _ { i } - { \overline { { X } } } _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } + \overline { { \frac { 1 } { 2 } ( { P } _ { i } - { \overline { { P } } } _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } = T ,
\begin{array} { r l } { e ^ { \lambda \overline { { T } } } ( J ( s _ { 0 } , c ) - J ( s _ { 0 } , \alpha ) ) } & { \geqslant - \lambda ^ { - 1 } ( 1 + L ( c ) ) e ^ { - \lambda ( T _ { 1 } - \overline { { T } } ) } + \int _ { \overline { { T } } } ^ { \overline { { T } } + 1 } e ^ { - \lambda ( t - \overline { { T } } ( \alpha ) ) } \Bigl ( \widetilde { \Theta } ( s ^ { \alpha } ( t ) ) - { \Theta } ( s ^ { \alpha } ( t ) ) \Bigr ) \, d t } \\ & { \geqslant - \lambda ^ { - 1 } ( 1 + L ( c ) ) e ^ { - \lambda ( T _ { 1 } - \overline { { T } } ) } + e ^ { - \lambda } \frac { \Gamma _ { 0 , \operatorname* { m a x } } ( 0 ) } 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { n } } & { { } = \dot { x _ { 0 } } + \dot { y _ { 0 } } + \dot { z _ { 0 } } + \dot { x _ { 1 } } + \dot { y _ { 1 } } + \dot { z _ { 1 } } + \dot { x _ { 2 } } + \dot { y _ { 2 } } + \dot { z _ { 2 } } } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { 7 + 5 y - 2 z \leqslant { \frac { 1 0 + 5 y - 4 z } { 2 } } } \\ { 7 + 5 y - 2 z \leqslant { \frac { 9 + 6 y - 3 z } { 3 } } } \\ { { \frac { - 1 2 + 2 y + 6 z } { 3 } } \leqslant { \frac { 1 0 + 5 y - 4 z } { 2 } } } \\ { { \frac { - 1 2 + 2 y + 6 z } { 3 } } \leqslant { \frac { 9 + 6 y - 3 z } { 3 } } } \end{array} \right. }
\frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \left( q + b \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) ^ { j } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } ( q + b z ) ^ { j } e ^ { t z } d z = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon } } ( q + b z ) ^ { j } e ^ { t z } d z = 0 ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } } & { { } = - \frac { i } { 2 } p \sigma _ { i } \ln \left( \frac { z - z _ { i } } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \right) , } \\ { \mathcal F _ { 0 } } & { { } = - \frac { \pi p ^ { 2 } } { 2 } ( K + K ^ { \prime } ) \left( \sigma _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } \right) \varphi ( z _ { i } ) , } \\ { v } & { { } = \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot \sigma ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { P } \circ } & { H _ { j } \circ T _ { P } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ & { = ( \frac { \rho _ { j } } { \tilde { \rho } _ { j } } \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \cos ( \frac { \pi } { 2 } + \frac { \alpha _ { j } } { \pi } ( \arg ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \frac { \pi } { 2 } ) ) , \frac { \rho _ { j } } { \tilde { \rho } _ { j } } \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \sin ( \frac { \pi } { 2 } + \frac { \alpha _ { j } } { \pi } ( \arg ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \frac { \pi } { 2 } ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { n l n _ { z } } } & { = \frac { n ! ( m / \hbar ) ^ { l + 3 / 2 } \omega _ { \perp } ^ { l + 1 } \omega _ { z } ^ { 1 / 2 } } { 2 ^ { n } \pi ^ { 3 / 2 } ( n + l ) ! n _ { z } ! } , } \\ { E _ { n l n _ { z } } } & { = \hbar \left[ \omega _ { \perp } ( 2 n + l + 1 ) - l \frac { \omega _ { c } } { 2 } + ( n _ { z } + 1 / 2 ) \omega _ { z } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { j _ { 1 } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) : = \left( \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) x _ { 2 } } \\ { ( 2 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) ( - x _ { 1 } ) } \end{array} \right) + t ^ { 2 } \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( x _ { 1 } ( 5 - 1 2 x _ { 2 } ) + 1 0 x _ { 2 } - 4 ) } \\ { - x _ { 2 } ( - 2 x _ { 1 } ( 6 x _ { 2 } - 5 ) + 5 x _ { 2 } - 4 ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \delta n } { n _ { 0 } } = g _ { 0 , 0 } , \quad \frac { \delta p _ { \perp \mathrm { i } } } { p _ { \mathrm { i 0 } } } = g _ { 0 , 0 } - g _ { 1 , 0 } , \quad \frac { \delta p _ { \parallel \mathrm { i } } } { p _ { \mathrm { i 0 } } } = g _ { 0 , 0 } + 4 g _ { 0 , 2 } ,
\phi ( x , R ( t ) ) = l o g [ \frac { c o s ^ { 2 } x + R ( t ) ^ { 2 } ~ s i n ^ { 2 } x } { R ( t ) ^ { 2 } } ] - l o g [ { \frac { R ^ { \prime } ( t ) } { R ( t ) } } ] \phi _ { 0 } ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal L _ { \mathcal { C } } } \ : = } & { \ \{ \ell \in ( \mathbb C ^ { 3 } ) ^ { m } \mid f ( \ell ) = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } f \in \widetilde { I } _ { \mathcal C } \} } \\ { = } & { \ \widehat { \mathcal L _ { \mathcal { C } } } \cap \Big ( \bigcap _ { \sigma } \ \{ \ell \in ( \mathbb C ^ { 3 } ) ^ { m } \mid \operatorname* { d e t } \Phi _ { \mathcal C , f , \sigma } ( \ell ) = 0 \} \Big ) } \end{array}
\chi = \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } { \tau } = \xi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } + \frac { \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } { \tau } ,
f ( \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { X } ) = f ( \mathbf { A } ) + \varepsilon \sum _ { i } g _ { i } ( \mathbf { A } ) \mathbf { X } h _ { i } ( \mathbf { A } ) + { \mathcal { O } } ( \varepsilon ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { [ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ & { < \mathrm { l n } \left( \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right) \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] . } \end{array}
{ \frac { K ^ { 2 } } { Z _ { 2 } Z _ { 6 } } } \left[ \partial _ { r } ^ { 2 } \Psi _ { 3 } + \left( { \frac { K ^ { \prime } } { K } } + { \frac { 2 } { r } } \right) \partial _ { r } \Psi _ { 3 } \right] + \omega ^ { 2 } \Psi _ { 3 } = 0 .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ \left| { \widetilde { \bf { b } } } ^ { H } ( r _ { l } , \theta , \phi ) { \widetilde { \bf { b } } } ( r _ { m } , \theta , \phi ) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } e ^ { j k ( n _ { 1 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) + n _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi ) ) ( \frac { 1 } { 2 r _ { l } } - \frac { 1 } { 2 r _ { m } } ) } \right| , } \end{array}
q _ { j } = q _ { j } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x \rightarrow a _ { j } \atop x \in I } Q ( x ; a ) \ \ \mathrm { a n d } \ \ p _ { j } = p _ { j } ( a ) = \operatorname * { l i m } _ { x \rightarrow a _ { j } \atop x \in I } P ( x ; a ) , \ \ j = 1 , \ldots , 2 m .
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ( \partial _ { t } c - \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } ( c + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } a ) ) + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { j } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { j } ) b _ { j } + \sqrt { \frac { 5 } { 3 } } \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { j } } d _ { j } } \\ & { \ \ \ + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \langle \mathfrak h _ { j j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } = \varepsilon \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } e ^ { \gamma \psi } + \frac { e ^ { \gamma \psi } } { \sqrt { 6 } } \langle \mathfrak h _ { j j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) | _ { x _ { 3 } = { x _ { 3 , F } } } = { \bf I } \delta ( { { \bf x } _ { \mathrm { H } } } - { { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma = \gamma _ { 1 } + \sum _ { i = 2 } ^ { a } \gamma _ { i } \left( \prod _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { i - 1 } p _ { i _ { 1 } } ^ { m _ { i _ { 1 } } } \right) , } \\ & { \mu = \mu _ { 1 } + \sum _ { j = 2 } ^ { b } \mu _ { j } \left( \prod _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { j - 1 } q _ { j _ { 1 } } ^ { n _ { j _ { 1 } } } \! \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle } { d t } } & { { } = } & { [ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } ] \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle + i \frac { \Omega } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } \rangle } { d t } } & { { } = } & { - \Gamma \langle \hat { e } \rangle + i \frac { \Omega ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle - i \frac { \Omega } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 . 0 , 0 , - 0 . 0 2 5 \sqrt { 5 p \cos ( 8 \pi x ) / \left( 3 \rho \right) } , 2 y + 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq y < 0 . 5 , } \\ { ( 1 . 0 , 0 , - 0 . 0 2 5 \sqrt { 5 p \cos ( 8 \pi x ) / \left( 3 \rho \right) } , y + 1 . 5 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq y \leq 1 . } \end{array} \right.
\frac { d U _ { N } } { d \tau } = \mathcal { B } _ { N } ^ { ( S ) } [ U ] - U _ { N } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } ^ { ( S ) } [ U ] \right) ,
{ \cal A } _ { A A \phi \phi } = - \frac { G _ { o } ^ { 2 } } { \alpha _ { e } ^ { \prime } } \frac { \Gamma ( - t ) \Gamma ( - s ) } { \Gamma ( 1 - t - s ) } \frac { 1 } { \sin ( \pi u ) } \zeta \cdot \zeta ^ { \prime } \Big ( s u e \cdot e ^ { \prime } - 2 \alpha _ { e } ^ { \prime } u e \cdot p _ { 2 } e ^ { \prime } \cdot p _ { 3 } - 2 \alpha _ { e } ^ { \prime } s e \cdot p _ { 3 } e ^ { \prime } \cdot p _ { 2 } \Big ) \Phi _ { + }
\begin{array} { r l } { { \bf E n h C a t _ { k c } ^ { d g } } ( { \mathcal { D } } , { \mathcal { E } } ) \otimes { \bf E n h C a t _ { k c } ^ { d g } } ( { \mathcal { C } } , { \mathcal { D } } ) } & { \rightarrow { \bf E n h C a t _ { k c } ^ { d g } } ( { \mathcal { C } } , { \mathcal { E } } ) } \\ { ( M , N ) } & { \mapsto N { \; \overline { { \otimes } } } M , } \\ { ( f , g ) } & { \mapsto ( - 1 ) ^ { | f | | g | } g { \; \overline { { \otimes } } } f , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { n } \bigg ( \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \vert \bigg ) . } \end{array}
{ \cal A } ^ { \omega } = { \frac { \Gamma ( \tilde { e } _ { L } \rightarrow e _ { L } \omega ) - \Gamma ( { \bar { \tilde { e } } } _ { L } \rightarrow \bar { e } _ { L } \omega ) } { { \frac { 1 } { 2 } } [ \Gamma ( \tilde { e } _ { L } \rightarrow e _ { L } \omega ) + \Gamma ( \bar { \tilde { e } } _ { L } \rightarrow \bar { e } _ { L } \omega ) ] } } = - { \frac { \alpha \sin ( 2 \phi ) } { 2 \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } } { \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { s } } { \frac { s - m _ { 1 } ^ { 2 } } { s - m _ { 2 } ^ { 2 } } } \ \times \ { \cal I } \ .
\phi ^ { \mathrm { ~ v ~ d ~ W ~ } } ( r _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi ^ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ( r _ { i j } ) + ( 1 - \lambda _ { i j } ) \epsilon } & { \quad r _ { i j } \leq 2 ^ { 1 / 6 } \sigma _ { i j } } \\ { \lambda _ { i j } \phi ^ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ( r _ { i j } ) } & { \quad r _ { i j } > 2 ^ { 1 / 6 } \sigma _ { i j } } \end{array} \right.
\left( u _ { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } } ^ { k ^ { \prime } } | u , v \rangle \right) ^ { \dagger } \left( u _ { m , n } ^ { k } | u , v \rangle \right) = \delta _ { k , k ^ { \prime } } \delta _ { m , m ^ { \prime } } \delta _ { n , n ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { y } } \sum _ { k _ { R } \leq A } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { y } , k _ { R } } ^ { \infty , \infty } } \\ & { \leq C | \log | x - y | | ^ { - 2 + \theta + \eta } \sum _ { k _ { y } } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } p _ { k _ { y } } ^ { \infty } \leq C | \log | x - y | | ^ { - 1 + 2 \eta } . } \end{array}
\Delta r = \Delta \alpha - \frac { c _ { w } ^ { 2 } } { s _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } \Delta \bar { \rho } + \Delta r ^ { \mathrm { r e m } } ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ ~ \Delta \bar { \rho } = \frac { 3 G _ { \mu } m _ { t } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \sqrt { 2 } } .
= \; 2 ^ { N } \prod _ { a = 1 } ^ { N } \sum _ { n _ { a } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \beta ^ { ( a ) } ) ^ { 2 n _ { a } } } { ( 2 n _ { a } ) ! } \prod _ { b = 1 } ^ { N } \sum _ { q _ { b } = 0 } ^ { 2 n _ { b } } { \binom { 2 n _ { b } } { q _ { b } } } E ^ { \mu } ( \{ q , n \} ) \; ,
\left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } & { } \\ { \mathbf { - B } } & { \mathbf { - A } } & { } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { Y } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X } } & { \mathbf { Y } } \\ { \mathbf { Y } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \Omega } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { \Omega } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \log ( { \epsilon } + \sqrt { { \epsilon } ^ { 2 } - \omega ( \overline { { \mu } } , \ell ) ^ { 2 } } ) - \log \omega ( \overline { { \mu } } , \ell ) } \\ & { = \log [ { \epsilon } + \sqrt { { \epsilon } ^ { 2 } - \chi \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ^ { 2 } } ] - \log [ \sqrt \chi \{ \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \chi } } \} ] , } \end{array}
\mathbf { \mathbf { f } ^ { n } } = \int _ { \mathbf { \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } ) } \cup \Omega } \mu ( s , t ^ { n } ) \mathbf { C } ( \mathbf { \mathbf { x ^ { ' } } } - \mathbf { x } ) ( \mathbf { u } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } , t ^ { n } \right) - \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ^ { n } ) ) d V _ { \mathbf { \mathbf { x } ^ { \prime } } }