harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { t } ( x ) \| _ { n } ^ { 2 } } & { \leqslant C \operatorname* { m i n } \big \{ \varepsilon ^ { - 2 } , ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 } \big \} ( \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) + C ^ { \prime } \sum _ { k \geqslant 0 } C ^ { k } \frac { ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { k / 2 } } { ( k / 2 ) ! } ( \mathsf { p } _ { t + k + 1 } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) } \\ & { \leqslant C ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 } \big ( ( \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) + 1 \big ) . } \end{array}
A _ { e x p } ( q _ { 0 } ) = \frac { \alpha _ { i 0 } } { q _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { i 0 } ^ { 2 } } \left\{ 1 - \alpha _ { i 0 } \frac { \Pi _ { i } ( q _ { 0 } ) } { q _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { i 0 } ^ { 2 } } - \alpha _ { i 0 } 2 \Gamma _ { i } ( q _ { 0 } ) - ( q _ { 0 } ^ { 2 } - m _ { i 0 } ^ { 2 } ) \alpha _ { i 0 } B _ { i } ( q _ { 0 } ) \right\} \, ,
\left[ \partial _ { 1 } - \lambda _ { 1 } \left( \frac { \lambda _ { 2 } } { z _ { 1 2 } } + \frac { \lambda _ { 3 } } { z _ { 1 3 } } \right) \right] \langle \mu _ { \lambda _ { 1 } } \mu _ { \lambda _ { 2 } } \mu _ { \lambda _ { 3 } } \rangle = 0 .
\begin{array} { r l r l } { r _ { 1 } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } & { { } \quad r _ { 2 } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } & { \cdots } & { { } \quad r _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } \\ { r _ { 1 } = r _ { 1 } ( t ) } & { { } \quad r _ { 2 } = r _ { 2 } ( t ) } & { \cdots } & { { } \quad r _ { n } = r _ { n } ( t ) } \end{array}
V _ { D } = { \frac { 1 } { \Phi ^ { 2 } } } { \frac { g _ { R } ^ { 2 } } { 2 } } \left\{ \left( Q _ { I } - { \frac { 2 } { 3 } } \right) z ^ { * I } z _ { I } + 2 \right\} ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \gamma [ B _ { z } ^ { 2 } + ( b _ { x } + B _ { m } \cos \omega _ { m } t ) ^ { 2 } + ( b _ { y } + B _ { m } \sin \omega _ { m } t ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \approx \gamma \sqrt { B _ { m } ^ { 2 } + B _ { z } ^ { 2 } } + \frac { \gamma B _ { m } b _ { x } } { \sqrt { B _ { m } ^ { 2 } + B _ { z } ^ { 2 } } } \cos \omega _ { m } t } \\ & { + \frac { \gamma B _ { m } b _ { y } } { \sqrt { B _ { m } ^ { 2 } + B _ { z } ^ { 2 } } } \sin \omega _ { m } t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { 4 } ^ { - 4 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 4 0 3 2 0 } } P _ { 4 } ^ { 4 } ( x ) } \\ { P _ { 4 } ^ { - 3 } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { 5 0 4 0 } } P _ { 4 } ^ { 3 } ( x ) } \\ { P _ { 4 } ^ { - 2 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 3 6 0 } } P _ { 4 } ^ { 2 } ( x ) } \\ { P _ { 4 } ^ { - 1 } ( x ) } & { = - { \frac { 1 } { 2 0 } } P _ { 4 } ^ { 1 } ( x ) } \\ { P _ { 4 } ^ { 0 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 8 } } ( 3 5 x ^ { 4 } - 3 0 x ^ { 2 } + 3 ) } \\ { P _ { 4 } ^ { 1 } ( x ) } & { = - { \frac { 5 } { 2 } } ( 7 x ^ { 3 } - 3 x ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \\ { P _ { 4 } ^ { 2 } ( x ) } & { = { \frac { 1 5 } { 2 } } ( 7 x ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - x ^ { 2 } ) } \\ { P _ { 4 } ^ { 3 } ( x ) } & { = - 1 0 5 x ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \\ { P _ { 4 } ^ { 4 } ( x ) } & { = 1 0 5 ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( L ^ { p ( \cdot ) } , \ell ^ { q } ) ^ { * } = \left( \prod ( L ^ { p ( \cdot ) } , \ell ^ { \bar { q } } ) , \ell ^ { q _ { n } } \right) ^ { * } } & { = \left( \prod ( L ^ { p ( \cdot ) } , \ell ^ { \bar { q } } ) ^ { * } , \left( \ell ^ { q _ { n } } \right) ^ { * } \right) } \\ & { = \left( \prod ( L ^ { p ( \cdot ) ^ { \prime } } , \ell ^ { \bar { q } ^ { \prime } } ) , \ell ^ { q _ { n } ^ { \prime } } \right) = ( L ^ { p ( \cdot ) ^ { \prime } } , \ell ^ { q ^ { \prime } } ) . } \end{array}
Z _ { \; \; A _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } Z _ { \; \; B _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } = 0 , \; Z _ { \; \; B _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } Z _ { \; \; \gamma _ { 1 } } ^ { B _ { 1 } } = 0 ,
C _ { i } = \frac { 0 . 5 \left[ ( \bf { W } + \bf { W } ^ { T } ) ( \bf { A } + \bf { A } ^ { T } ) ^ { 2 } \right] _ { i i } } { s _ { i } \left( d _ { i } - 1 \right) - 2 s _ { i } ^ { \leftrightarrow } }
E _ { n } \, = \, - \frac { M _ { Q } \, C _ { F } ^ { 2 } \, \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 4 \, n ^ { 2 } } + \frac { M _ { Q } \, C _ { F } ^ { 4 } \, \alpha _ { s } ^ { 4 } } { 4 \, n ^ { 4 } } \, \bigg [ \, \frac { 1 1 } { 1 6 } - \frac { 2 } { 3 } \, n \, \bigg ] \, .
\mathrm { I } _ { 2 x } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha \beta } } & { = \langle \chi _ { \alpha } | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { H _ { \alpha \beta } } & { = \langle \chi _ { \alpha } | - \frac 1 2 \Delta + V _ { \mathrm { t o t } } | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { K _ { i \alpha \beta } ^ { + } } & { = \langle \chi _ { \alpha } | V _ { \mathrm { t o t } } G _ { 0 } ( + \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } ) | \chi _ { \beta } \rangle } \\ { g _ { i \alpha } [ a , b ] } & { = \langle \chi _ { \alpha } | f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho [ a , b ] | \psi _ { i } \rangle } \\ { h _ { i \alpha } } & { = \langle \chi _ { \alpha } | \delta V _ { \mathcal P } | \psi _ { i } \rangle } \end{array}
\psi ( x , \tau ) _ { \mu } = \phi ( x ) _ { \mu } f ( \tau ) , \ \ \mu = 1 , \dots , 7 , \ \ \psi ( x , \tau ) _ { 8 } = \phi ( x ) _ { 8 } f ^ { * } ( \tau ) , \ \ Z ( \tau ) = | f ( \tau ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { v d W } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \mu _ { 2 \mathrm { b } } C _ { 6 } / \hbar ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } , } \\ { E _ { \mathrm { v d W } } } & { { } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 2 \mathrm { b } } r _ { \mathrm { v d W } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( X = x } & { | Y = y ) = \frac { \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } P ( X = x , Y = y , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) } { P ( Y = y ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } P ( Y = y | X = x , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) P ( X = x ) \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) } { P ( Y = y ) } } \\ & { = \frac { P ( X = x ) \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \mathbf { 1 } _ { \{ Y = y , X = x , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } \} } \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) } { P ( Y = y ) } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { P ( X = x ) \prod _ { i = 1 } ^ { B } \hat { y } _ { i } ! \prod _ { i = 1 } ^ { B } ( \frac { P } { B } - \hat { y } _ { i } ) ! } { \left( \frac { P } { B } \right) ! ^ { B } P ( Y = y ) } , } & { \mathrm { f o r ~ x , y : ~ \hat { x } _ i = \hat { y } _ i ~ , ~ \forall ~ i ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { P ( X = x ) } { P ( Y = y ) } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { \hat { y } _ { i } ! ( \frac { P } { B } - \hat { y } _ { i } ) ! } { \left( \frac { P } { B } \right) ! } , } & { \mathrm { f o r ~ x , y : ~ \hat { x } _ i = \hat { y } _ i ~ , ~ \forall ~ i ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { P ( X = x ) } { P ( Y = y ) } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } , } & { \mathrm { f o r ~ x , y : \hat { x } _ i = \hat { y } _ i ~ , ~ \forall ~ i ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
D _ { i \alpha } W _ { ~ \gamma } ^ { \beta } - \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta } D _ { i \gamma } W _ { ~ \delta } ^ { \delta } = - 5 ( D _ { i \gamma } W _ { ~ \alpha } ^ { \beta } - \delta _ { \gamma } ^ { ~ \beta } D _ { i \alpha } W _ { ~ \delta } ^ { \delta } )
\begin{array} { r l } { g } & { = \mathrm { S } \frac { r _ { \mathrm { o u t } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } ( L _ { \mathrm { i n } } + L _ { \mathrm { o u t } } ) \delta B _ { d } ^ { \mathrm { i n t } } } { 2 Q N _ { \mathrm { i n } } N _ { \mathrm { o u t } } V _ { \mathrm { i n } } \sqrt { 2 \rho _ { D M } } B _ { 0 } } } \\ & { = \mathrm { S } \Big ( \frac { \delta B _ { d } ^ { \mathrm { i n t } } } { 1 0 ^ { - 1 5 } ~ \mathrm { T } } \Big ) \Big ( \frac { \mathrm { G e V / c m } ^ { 3 } } { \rho _ { D M } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ( \frac { 1 0 ^ { 3 } } { Q } \Big ) \Big ( \frac { L } { \mu \mathrm { H } } \Big ) \Big ( \frac { \mathrm { T } } { B _ { 0 } } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { N _ { \mathrm { o u t } } } \Big ) } \\ & { \times \Big ( \frac { 1 } { N _ { \mathrm { i n } } } \Big ) \Big ( \frac { r _ { \mathrm { o u t } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \mathrm { c m } } \Big ) \Big ( \frac { \mathrm { m } ^ { 3 } } { V _ { \mathrm { i n } } } \Big ) ( 2 \times 1 0 ^ { - 1 6 } ~ \mathrm { G e V } ^ { - 1 } ) , } \end{array}
1 5 \mathrm { C l } _ { 2 } ( \theta _ { 1 1 } ) - 1 0 \mathrm { C l } _ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 1 } ) + \mathrm { C l } _ { 2 } ( 5 \theta _ { 1 1 } ) = Z _ { 1 1 } = 1 1 \sum _ { k = 1 } ^ { 5 } \left( \frac { k } { 1 1 } \right) \mathrm { C l } _ { 2 } \left( \frac { 2 \pi k } { 1 1 } \right)
\begin{array} { r l } { | \mathrm { ~ A ~ G ~ P ~ } \rangle } & { { } = \prod _ { p = 1 } ^ { M } \mathrm { ~ C ~ N ~ O ~ T ~ } _ { p , \bar { p } } | 0 \rangle ^ { \otimes M } \otimes \left( U _ { M N } | 0 \rangle ^ { \otimes M - N } | 1 \rangle ^ { \otimes N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { x } , t ) = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { V } \frac { 1 } { r } \Big [ \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \Big ] d \mathbf { y } } \\ { + } & { \int _ { \partial B } \frac { 1 } { 4 \pi r } \left[ \left( \frac { 1 } { c _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial t } + \frac { p } { r } \right) \frac { \mathbf { r } } { r } \cdot \mathbf { n } - \frac { \partial p } { \partial \mathbf { n } } \right] d \partial B , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { \mu } = } & { - ( 1 + i \zeta _ { \mu } ) a _ { \mu } + i \sum _ { \mu ^ { \prime } = \nu + \eta - \mu } a _ { \nu } a _ { \eta } a _ { \mu ^ { \prime } } ^ { * } + 2 i a _ { \mu } \sum _ { \eta } | b _ { \eta } | ^ { 2 } + } \\ & { + i \delta _ { \mu 0 } \frac { 2 \gamma } { \kappa } b _ { \mu } + f \delta _ { \mu 0 } } \\ { \partial _ { t } b _ { \mu } = } & { - ( 1 + i \zeta _ { \mu } ) b _ { \mu } + i \sum _ { \mu ^ { \prime } = \nu + \eta - \mu } b _ { \nu } b _ { \eta } b _ { \mu ^ { \prime } } ^ { * } + 2 i b _ { \mu } \sum _ { \eta } | a _ { \eta } | ^ { 2 } + } \\ & { + i \delta _ { \mu 0 } \frac { 2 \gamma } { \kappa } a _ { \mu } } \end{array}
I _ { N P C } \propto \ln \left( 1 - \frac { \alpha ^ { 2 } \exp ( - \gamma \tau ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \right) \approx - \frac { \alpha ^ { 2 } \exp ( - \gamma \tau ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } .
\overbrace { \phantom { \left. \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 ( \mathrm { d } _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ) \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ Q _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} \right| _ { 0 } ^ { T } } } ^ { = \; 0 }
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 2 } ( \alpha , \beta ) } & { { } = \langle [ \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) - \langle \Delta G ^ { ( 2 ) } ( I _ { 0 } , \alpha , \beta ) \rangle ] ^ { 2 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { t h e r m } ^ { * } } & { { } = \frac { 2 \lambda ^ { + } \lambda ^ { - } ( T ^ { + } - T ^ { - } ) } { \sqrt { \pi \Delta t } ( \lambda ^ { + } \sqrt { k ^ { - } } + \lambda ^ { - } \sqrt { k ^ { + } } ) } + \frac { \lambda ^ { + } \lambda ^ { - } ( \sqrt { k ^ { + } } T _ { \xi } ^ { + } + \sqrt { k ^ { - } } T _ { \xi } ^ { - } ) } { ( \lambda ^ { + } \sqrt { k ^ { - } } + \lambda ^ { - } \sqrt { k ^ { + } } ) } , } \end{array}
\hat { c } _ { 1 } = \left. \frac { \Gamma _ { w } } { 4 c _ { 0 } D _ { s } } \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial x } \right) ^ { 2 } \right| _ { t = 0 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 6 ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { 4 } \pi ^ { 4 } } e ^ { - ( 2 n \pi ) ^ { 2 } T } \cos 2 n \pi y .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M } } & { { } = \frac { 1 } { N + N _ { s } } \sum _ { k = 1 } ^ { N + N _ { s } } \mathcal { F } _ { M } ( \hat { p } _ { k } ^ { \prime } , \hat { u } _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { E } } & { { } = \frac { 1 } { N + N _ { s } } \sum _ { k = 1 } ^ { N + N _ { s } } \mathcal { F } _ { E } ( \hat { p } _ { k } ^ { \prime } , \hat { u } _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\vert m _ { d } \vert \approx \vert u \vert , \quad \vert m _ { s } \vert \approx \vert \Lambda _ { 3 } \vert , \quad \vert m _ { u } \vert \approx \frac { \vert a \Lambda _ { 2 } - b \Lambda _ { 1 } \vert } { \sqrt { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } \approx \vert b \vert , \quad \vert m _ { c } \vert \approx \sqrt { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } \approx \vert \Lambda _ { 1 } \vert .
\begin{array} { r l r } { { 2 } \partial _ { t } \omega + u \cdot \nabla \omega } & { { } = 0 } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad M , } \\ { \omega | _ { t = 0 } } & { { } = \omega _ { 0 } , } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad M , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { z _ { \alpha } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } e ^ { i \Omega _ { \alpha \beta \gamma } t } . } \end{array}
\Bigg ( \frac { q } { p } \Bigg ) ^ { 2 } = \frac { { M _ { 1 2 } ^ { S M } } ^ { * } } { M _ { 1 2 } ^ { S M } } \frac { ( 1 + y e ^ { - i \eta } ) } { ( 1 + y e ^ { i \eta } ) } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \nu _ { t } } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \nu _ { t } } { \partial x _ { m } } = } & { { } - \frac { S _ { i j } } { 2 S _ { k l } S _ { k l } } \underbrace { \left( \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { m } } \right) } _ { S e c o n d - o r d e r \ m o m e n t \ m o d e l } } \end{array}
\textbf { p } = \left[ p _ { \mathrm { ~ A ~ } , 0 } , \ p _ { \mathrm { ~ B ~ } , 0 } , \ p _ { \mathrm { ~ C ~ } , 0 } , \ p _ { \mathrm { ~ D ~ } , 0 } , \ p _ { \mathrm { ~ E ~ } , 0 } \right]
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { P \to A } ^ { ( H ) } = e ^ { \beta ( h - \Delta E ) } \Gamma _ { H } ^ { 0 } \quad \quad } & { { } \Gamma _ { A \to P } ^ { ( H ) } = \Gamma _ { H } ^ { 0 } } \\ { \Gamma _ { P \to A } ^ { ( I ) } = e ^ { - \beta \Delta E } \Gamma _ { I } ^ { 0 } \quad \quad } & { { } \Gamma _ { A \to P } ^ { ( I ) } = \Gamma _ { I } ^ { 0 } e ^ { \beta z ( s / N _ { S } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { p } ^ { n + \theta } } & { = \mathbf { E } ^ { n + \theta } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } ) = \sum _ { g } \mathbf { E } _ { g } ^ { n + \theta } W ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { x } _ { g } ) } \\ { \mathbf { B } _ { p } ^ { n } } & { = \mathbf { B } ^ { n + \theta } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } ) = \sum _ { g } \mathbf { B } _ { g } ^ { n } W ( \mathbf { x } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { x } _ { g } ) } \end{array}
\| \xi _ { m , k } \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } - \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } \bigr ) \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { x } & { { } = } & { L \sqrt { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } \cos \varphi } \\ { y } & { { } = } & { L \sqrt { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } \sin \varphi } \\ { z } & { { } = } & { L \eta \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 3 j } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { \Omega _ { c } ^ { \ast } \left( S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } - S _ { j j } ^ { ( 0 ) } \right) - d _ { 4 j } S _ { 4 3 } ^ { \ast ( 0 ) } } { X _ { j } } , } \\ { a _ { 4 j } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { d _ { 3 j } \left( S _ { j j } ^ { ( 0 ) } - S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } \right) + \Omega _ { c } S _ { 4 3 } ^ { \ast ( 0 ) } } { X _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \mathrm { m w } } ( t ) } & { { } = \tilde { \mathbf { B } } _ { \mathrm { m w } } e ^ { - i \omega _ { \mathrm { m w } } t } + \tilde { \mathbf { B } } _ { \mathrm { m w } } ^ { * } e ^ { i \omega _ { \mathrm { m w } } t } , } \end{array}
f ( w ) _ { \mathrm { s l o w r o l l } } = \frac { 7 } { 9 } + \frac { \tilde { \chi } _ { l } - \tilde { \chi } _ { \perp } } { 3 6 \tilde { \chi } } - \frac { 2 w } { 9 \tilde { \chi } } + \frac { \sqrt { \left( 4 w - ( \tilde { \chi } _ { l } + \tilde { \chi } _ { \perp } ) \right) ^ { 2 } + 1 2 \left( 3 \tilde { \eta } _ { \perp } + \tilde { \eta } _ { l l } \right) \tilde { \chi } } } { 1 8 \tilde { \chi } }
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 1 } - v _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 2 \sqrt { 2 } f _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) } \\ { \sqrt { 2 } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) \right] } \end{array} \right) . } \end{array}
F o M ( \omega , \Delta V ) = \frac { T _ { i } ^ { m } ( \omega , 0 ) } { T _ { i } ^ { m } ( 1 , 0 ) } \cdot \frac { T _ { i } ^ { g } ( \omega , \Delta V ) } { T _ { e } ^ { g } ( \omega , \Delta V } \qquad \omega = E _ { t } / E _ { d }
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { e } , \nu } } & { { } = \varepsilon M _ { \mathrm { e } , \nu } ^ { \circ } = { \frac { 2 \pi \mathrm { h } \varepsilon \nu ^ { 3 } } { c ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { e ^ { \frac { \mathrm { h } \nu } { \mathrm { k } T } } - 1 } } , } \\ { M _ { \mathrm { e } , \lambda } } & { { } = \varepsilon M _ { \mathrm { e } , \lambda } ^ { \circ } = { \frac { 2 \pi \mathrm { h } \varepsilon c ^ { 2 } } { \lambda ^ { 5 } } } { \frac { 1 } { e ^ { \frac { \mathrm { h } c } { \lambda \mathrm { k } T } } - 1 } } . } \end{array}
S = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { - R _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ e ~ e ~ t ~ } } ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { 2 } } \right] \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { - R _ { \mathrm { ~ t ~ u ~ b ~ e ~ } } ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } } \right] \right) \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { - R _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \right] \right) ,
\begin{array} { r l } & { \rho _ { r 1 } = - 1 . 0 5 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } x ^ { 5 } + 1 . 5 2 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } x ^ { 4 } y + 3 . 6 6 7 \cdot 1 0 ^ { - 9 } x ^ { 4 } + 3 . 2 8 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } x ^ { 3 } y ^ { 2 } , } \\ & { - 3 . 6 0 6 \cdot 1 0 ^ { - 9 } x ^ { 3 } y - 4 . 8 4 4 \cdot 1 0 ^ { - 8 } x ^ { 3 } - 6 . 4 0 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } - 3 . 3 5 9 \cdot 1 0 ^ { - 9 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } , } \\ & { + 2 . 7 9 7 \cdot 1 0 ^ { - 8 } x ^ { 2 } y + 2 . 9 8 0 \cdot 1 0 ^ { - 7 } x ^ { 2 } - 3 . 1 8 4 \cdot 1 0 ^ { - 9 } x y ^ { 4 } + 1 . 6 6 8 \cdot 1 0 ^ { - 8 } x y ^ { 3 } , } \\ & { - 6 . 7 5 \cdot 1 0 ^ { - 9 } x y ^ { 2 } - 7 . 3 2 \cdot 1 0 ^ { - 8 } x y - 8 . 2 2 \cdot 1 0 ^ { - 7 } x + 1 . 0 3 \cdot 1 0 ^ { - 8 } y ^ { 4 } - 4 . 6 6 \cdot 1 0 ^ { - 8 } y ^ { 3 } } \\ & { + 4 . 3 8 4 \cdot 1 0 ^ { - 8 } y ^ { 2 } + 5 . 3 5 \cdot 1 0 ^ { - 8 } y + 8 . 1 9 \cdot 1 0 ^ { - 7 } , } \end{array}
\gamma _ { 2 } ( \psi ; r ) \equiv \frac 1 2 ( ^ { 0 } \psi _ { 1 } ) ^ { 2 } + ^ { 0 } \psi _ { 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos [ n ( r - r _ { n } ) ] ^ { B } \Psi _ { n } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 2 } } & { { } = } & { V ~ 4 \pi r _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 3 } } & { { } = } & { V ~ 8 \pi ^ { 2 } ( r _ { 1 2 } r _ { 1 3 } ) ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } \mathrm { d } r _ { 1 3 } \mathrm { d } \cos \theta _ { 2 3 } } \\ { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 4 } } & { { } = } & { V ~ 8 \pi ^ { 2 } ( r _ { 1 2 } r _ { 1 3 } r _ { 1 4 } ) ^ { 2 } \times } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { W } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { W } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) = \mathbf { S } \cdot \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { W } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { W } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) .
M _ { i j } = \left( \begin{array} { c c } { { { \frac { \partial \beta _ { ( 2 i ) } ^ { \lambda } } { \partial \lambda _ { ( 2 j ) } } } } } & { { { \frac { \partial \beta _ { ( 2 i ) } ^ { \lambda } } { \partial \xi _ { ( 2 j ) } } } } } \\ { { { \frac { \partial \beta _ { ( 2 i ) } ^ { \xi } } { \partial \lambda _ { ( 2 j ) } } } } } & { { { \frac { \partial \beta _ { ( 2 i ) } ^ { \xi } } { \partial \xi _ { ( 2 j ) } } } } } \end{array} \right) .
{ \mathcal A } _ { 0 } \ = \ \Bigl \{ \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \; e ^ { i \theta P } \, a \, e ^ { - i \theta P } \ \Bigg | \ a \, \in \, { \mathcal A } \, \Bigr \} \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \mathcal { G } _ { 1 } - \mathcal { G } _ { T } + \frac { T \eta \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \frac { 3 6 T \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } } \\ & { \qquad + C _ { 1 } \eta ^ { 3 } \bigg ( 9 6 T \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 6 T \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 6 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 3 2 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 6 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 2 0 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \\ & { \qquad + C _ { 1 } \gamma ^ { 2 } \eta \bigg ( 2 4 T \zeta _ { f } ^ { 2 } + 8 T \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 4 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 5 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \\ & { \leq \Delta + \frac { 9 \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma } + \frac { 9 \eta L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau } + \frac { T \eta \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \frac { 3 6 T \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } } \\ & { \qquad + C _ { 1 } \eta ^ { 3 } \bigg ( 9 6 T \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 6 T \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 6 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 3 2 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 6 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 2 0 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \\ & { \qquad + C _ { 1 } \gamma ^ { 2 } \eta \bigg ( 2 4 T \zeta _ { f } ^ { 2 } + 8 T \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 4 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 T C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 5 T \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } \bigg ) } \end{array}