harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { y } ^ { ( j + 1 ) } = H _ { y } ^ { ( j ) } - H _ { y } ^ { ( j ) } \left( \frac { \vec { h } _ { \ast } } { \lVert \vec { h } _ { \ast } \rVert } \right) \left( \frac { \vec { h } _ { \ast } ^ { T } } { \lVert \vec { h } _ { \ast } \rVert } \right) .
A ( m _ { B } ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { ( m _ { B } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \mathrm d } z { \frac { \mathrm { I m } A ( m _ { B } ^ { 2 } , z + i \epsilon , m _ { 2 } ^ { 2 } ) } { z - m _ { 1 } ^ { 2 } - i \epsilon } } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \star } B _ { a } ^ { i d e a l } = \rho _ { \star } ( B _ { h } ^ { i d e a l } - B _ { r } ^ { i d e a l } ) = } & { p - p _ { 0 } ( z ) + p _ { 0 } ( z ) - p _ { 0 } ( z _ { r } ) + \rho g ( z - z _ { r } ) } \\ { = } & { p - p _ { 0 } ( z ) + \underbrace { \int _ { z _ { r } } ^ { z } g ( \rho - \rho _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) ) \, \mathrm { d } z ^ { \prime } } _ { \rho _ { \star } E _ { a } } } \end{array}
n _ { \mathrm { d i m } } = n _ { \mathrm { d i m } } + ( \ddot { \vec { k } } \cdot \vec { n } + 2 \dot { \vec { k } } \cdot \dot { \vec { n } } + \vec { k } \cdot \ddot { \vec { n } } ) \mathrm { d } t ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \mathrm { d } t ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } \frac { D K _ { T } } { D t } = } & { - \bar { \rho } \widetilde { u _ { k } ^ { \prime \prime } T ^ { \prime \prime } } \frac { \partial \widetilde { T } } { \partial x _ { k } } - \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left( \frac { \bar { \rho } \widetilde { u _ { k } ^ { \prime \prime } T ^ { \prime \prime 2 } } } { 2 } \right) + \gamma \overline { { T ^ { \prime \prime } } } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left( \frac { \bar { k } _ { T } } { c _ { p } } \frac { \partial \bar { T } } { \partial x _ { k } } \right) } \\ & { + \bar { \rho } D _ { T } - \bar { \rho } \varepsilon _ { T } + \bar { \rho } C _ { T } , } \end{array}
U = \int _ { 0 } ^ { L } \left( - \frac { \kappa _ { 0 } \kappa _ { s } } { 2 } { \left\lvert \frac { d \psi } { d x } \right\rvert } ^ { 2 } + z _ { + } e c _ { + } \psi - z _ { - } e c _ { - } \psi \right) d x
\frac { d \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } { d t } = \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 1 } & { 2 } \\ { - 2 } & { - 0 . 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] ,
\int { \frac { \delta J } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } \phi ( { \boldsymbol { r } } ) d { \boldsymbol { r } } = \int \left( \int { \frac { \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } | } } d { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } \right) \phi ( { \boldsymbol { r } } ) d { \boldsymbol { r } }
\begin{array} { r l } { ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } & { \xrightarrow { N } - C ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) \sum _ { n = 0 } ^ { N } B ^ { n } + B ^ { N + 1 } ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } \\ & { \xrightarrow { N \rightarrow \infty } - C ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } B ^ { n } } \\ & { = \bigg ( \frac { C } { B - 1 } \bigg ) ( a _ { 1 } ^ { \dagger } + a _ { 2 } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 } \left\| | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | - \sqrt { d _ { j } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left\| | u _ { j } ^ { \star } | - \sqrt { d _ { j } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left\langle | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | ^ { 2 } - d _ { j } \log | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | ^ { 2 } , \mathbf { 1 } \right\rangle = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left\langle | u _ { j } ^ { \star } | ^ { 2 } - d _ { j } \log | u _ { j } ^ { \star } | ^ { 2 } , \mathbf { 1 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \dots \times _ { p _ { n - 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } ^ { \top } \right) } \\ & { \quad - \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \dots \times _ { p _ { n - 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } ^ { \top } \right) \times _ { n } \left( { \bf Q } _ { p _ { n } } { \bf Q } _ { p _ { n } } ^ { \top } \right) } \\ & { \quad = \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \dots \times _ { p _ { n - 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } ^ { \top } \right) \times _ { n } \left( \mathbf { I } _ { I _ { p _ { n } } } - { \bf Q } _ { p _ { n } } { \bf Q } _ { p _ { n } } ^ { \top } \right) } \\ & { \quad = \left( \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \dots \times _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } ^ { \top } \times _ { n } \left( \mathbf { I } _ { I _ { p _ { n } } } - { \bf Q } _ { p _ { n } } { \bf Q } _ { p _ { n } } ^ { \top } \right) \right) \times _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } \dots \times _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underset { \mathbf { \theta } } { \min } \, \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { y } ) } \Bigl [ \mathbb { K L } \left( \, p ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) \, \, | | \, \, p _ { \theta } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) \right) \Bigr ] = \, \underset { \mathbf { \theta } } { \min } \, \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { y } ) } \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) } \Bigl [ - \log p _ { \theta } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) + p ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) \Bigr ] } \\ { = \, } & { \underset { \mathbf { \theta } } { \min } \, \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } \Bigl [ - \log p _ { \theta } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) + p ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } ) \Bigr ] } \end{array}
\frac { \partial g _ { \bf k } } { \partial t } + v _ { \| } \frac { \partial g _ { \bf k } } { \partial l } + i \tilde { \omega } _ { d } g _ { \bf k } + \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \sum _ { { \bf k } ^ { \prime } } { \bf B } \cdot ( { \bf k } \times { \bf k } ^ { \prime } ) \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } g _ { { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } = \frac { e _ { i } F _ { 0 } } { T _ { i } } \left( \frac { \partial } { \partial t } + i \omega _ { \ast } ^ { T } \right) \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } ,
d s ^ { 2 } = d X \cdot d X = - \left( \frac { r ^ { 2 } + 1 } { 2 r } \right) ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac 1 { r ^ { 2 } } d r ^ { 2 } + \left( \frac { r ^ { 2 } - 1 } { 2 r } \right) ^ { 2 } \left( d \Omega \right) ^ { 2 } { . }
( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, \int \! \mathrm { d } \rho ^ { 2 } \mathrm { d } ^ { 4 } x _ { 0 } \, \frac { \rho ^ { 8 } } { \left[ ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \right] ^ { 4 } \left[ ( x ^ { \prime } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \right] ^ { 4 } } \, .
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = \operatorname { E } [ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ^ { \mathrm { { T } } } ] = \operatorname { R } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ^ { \mathrm { { T } } }
S = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { i ^ { n } } { n ! } } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int d ^ { 4 } x _ { j } \right) { \mathcal { T } } \left\{ \prod _ { j = 1 } ^ { n } { \mathcal { L } } _ { V } \left( x _ { j } \right) \right\} \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } S ^ { ( n ) } \; .
\partial _ { t } \rho ( x , t ) + \partial _ { x } ( u _ { p } ( x , t ) \rho ( x , t ) ) - \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { R _ { c x } ( x , t ) } \partial _ { x } \left( \sigma _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) \rho ( x , t ) \right) \right) = 0 ,
v _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \int _ { 0 } ^ { t - \varepsilon } \mathcal { T } _ { \beta - 1 } ( t - s ) \left[ \mathcal { B } ( s ) - \mathcal { B } ( t ) \right] d s } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { t \geq \varepsilon } \\ & { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { t < \varepsilon . } \end{array} \right.
\mathbf { \Psi } _ { 1 } = A _ { 1 } ( Z , T _ { 1 } ) \bigg ( U _ { 1 } ( x ) , W _ { 1 } ( x ) , P _ { 1 } ( x ) , \Theta _ { 1 } ( x ) , L e \Theta _ { 1 } ( x ) \bigg ) ^ { T } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { \alpha } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } ) } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } ) + \partial _ { \beta } ( \rho \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } ) } & { { } = } & { - \partial _ { \alpha } p ^ { i } + F _ { \alpha } } \end{array}
\mathcal { T } _ { \mathrm { l a } } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } \bar { M } , g ^ { T { \bar { Z } } } , h ^ { \bar { F } } \right) ( T ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { S } } \left( T ^ { H } M _ { i } , g ^ { T Z _ { i } } , h ^ { F _ { i } } \right) - ( T - \log ( 2 ) ) \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) / 2 + o ( 1 ) ,
\mathbf F _ { k } ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = \left[ \begin{array} { l } { f _ { k } ( \zeta _ { 2 } ) + f _ { k } ( \zeta _ { 1 } ) } \\ { \displaystyle \frac { f _ { k } ( \zeta _ { 2 } ) - f _ { k } ( \zeta _ { 1 } ) } \Delta } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \langle H _ { 1 } ( t ) \rangle } & { { } = \mathrm { T r } [ \rho _ { M } e ^ { i t H } H _ { 1 } e ^ { - i t H } ] = \frac { h ^ { 2 } ( 1 - \cos ( 4 k t ) ) } { 2 \sqrt { h ^ { 2 } + k ^ { 2 } } } } \\ { \langle V ( t ) \rangle } & { { } = \mathrm { T r } [ \rho _ { M } e ^ { i t H } V e ^ { - i t H } ] = 0 , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { { } \propto \langle \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega ) + \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t + q } ) = \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t } ) + \mathbf { A } _ { 2 } \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t + 1 } ) + \dots + \mathbf { A } _ { q } \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t + q - 1 } ) , } \end{array}
\mathbf { x } ^ { ( t ) } = \frac { a - b } { n } \left( 1 + \frac { 2 a b \, ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } { n ^ { 2 } - 2 a b \, ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } \right) \cdot \mathbf { 1 } .
\mathcal { K } = \sum \frac { e } { c } \{ \textbf { v } ( \textbf { r H } ) - \textbf { H } ( \textbf { v r } ) \} = \sum \frac { e } { c } \{ \textbf { v } ( \textbf { r H } ) - \frac { 1 } { 2 } \textbf { H } \frac { d } { d t } \textbf { r } ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \sigma = \tau ) } & { = } & { \mathbb { P } ( \bar { \sigma } ( i ) = n + 1 - \tau ( n + 1 - i ) \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in [ n ] ) } \\ & { = } & { Z _ { n , \beta _ { n } } ^ { - 1 } \exp \Big ( - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | n + 1 - \tau ( n + 1 - i ) - i | \Big ) } \\ & { = } & { Z _ { n , \beta _ { n } } ^ { - 1 } \exp \Big ( - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \tau ( i ) - i | \Big ) = \mathbb { P } _ { n , \beta _ { n } } ( \tau ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c } & { = 1 \ l _ { \mathrm { S } } \cdot t _ { \mathrm { S } } ^ { - 1 } } \\ { G } & { = 1 \ l _ { \mathrm { S } } ^ { 3 } \cdot t _ { \mathrm { S } } ^ { - 2 } \cdot m _ { \mathrm { S } } ^ { - 1 } } \\ { k _ { \mathrm { e } } } & { = 1 \ l _ { \mathrm { S } } ^ { 3 } \cdot t _ { \mathrm { S } } ^ { - 2 } \cdot m _ { \mathrm { S } } \cdot q _ { \mathrm { S } } ^ { - 2 } } \\ { e } & { = 1 \ q _ { \mathrm { S } } } \end{array} }
\frac { e { \bf g } } { 4 \pi } = N { \mathrm { \boldmath ~ \ b e t a ~ } } _ { 1 } ^ { * } + \sum _ { j = 1 } ^ { j = N - 1 } ( N - j ) { \mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } } _ { j + 1 } ^ { * } .
\begin{array} { r l } { { \bf { V } } _ { N _ { T } } } & { { } = ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) { \bf { I } } _ { N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { R } } { \bf { I } } _ { N _ { R } } } \\ { { \bf { I } } _ { N _ { T } } } & { { } \approx ( { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } + { \bf { Z } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \end{array}
\frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } R ^ { 2 } ( x ) } \frac { d } { d x } \left[ R ^ { 2 } ( x ) \frac { d \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) } { d x } \right] - \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) = - S _ { m } ^ { n } ( x ) ,
G _ { l + \nu } ( r ^ { \prime \prime } , r ^ { \prime } ; E ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \, \prod _ { \alpha = 1 } ^ { n } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d r _ { \alpha } V ( r _ { \alpha } ) \right] \, \prod _ { \beta = 0 } ^ { n } \left[ G _ { l + \nu } ^ { ( 0 ) } ( r _ { \beta + 1 } , r _ { \beta } ; E ) \right] \; .
\underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = \int d \mathbf { v } M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { s } \right) f _ { M s } \left[ 1 + \delta f _ { s } \right] ,
\centering I \left( T \right) = \frac { I _ { 0 } } { 1 + B _ { \mathrm { 1 } } \exp \left( - E _ { \mathrm { a , 1 } } / k _ { \mathrm { B } } T \right) + B _ { \mathrm { 2 } } \exp \left( - E _ { \mathrm { a , 2 } } / k _ { \mathrm { B } } T \right) } ,
\begin{array} { r l } { P _ { \widehat { \mathcal { C } } } \left( z \right) } & { = z ^ { r } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( - 1 \right) ^ { i } \left( \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \widehat { \mathcal { C } } \right) } M \right) z ^ { r - i } , } \\ { P _ { \mathcal { C } } \left( z \right) } & { = z ^ { r } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( - 1 \right) ^ { i } \left( \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { i } \left( \mathcal { C } \right) } M \right) z ^ { r - i } , } \end{array}
{ \cal A } \propto \int d ^ { J - 1 } \theta \int _ { [ p ] } d z \oint d w \frac { 1 } { w ^ { n } } \eta _ { \mu \nu } \langle \ V _ { - 1 } ^ { \mu } ( 0 ) \ V _ { - 1 } ^ { \nu } ( \infty ) \ V _ { + 1 / 2 } [ u _ { a } ] ( w ) \ V _ { - 1 / 2 } [ \lambda _ { a } ] ( z ) \ \rangle
\Lambda = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { i } } \\ { { 1 } } & { { - i } } \end{array} \right) \quad \mathrm { { a n d } } \quad \tilde { { \cal G } } _ { a b } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
\rho ( r _ { l } , r _ { l } ^ { \prime } , r _ { t } , r _ { t } ^ { \prime } ; \epsilon ) = \frac { 1 } { \tilde { \lambda } ^ { 6 } } \exp \left[ - \frac { \pi } { \tilde { \lambda } ^ { 2 } } | r _ { l } - r _ { l } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right] \, \exp \left[ - \frac { \pi } { \tilde { \lambda } ^ { 2 } } | r _ { t } - r _ { t } ^ { \prime } | ^ { 2 } \right] \exp [ - \epsilon \Phi _ { l t } ^ { O D } ] \, .
b ^ { 2 } \left( \frac { 1 - A ^ { 2 } } { ( A ^ { 2 } b ^ { 2 } ) } m ^ { 2 } - \omega ( \omega \pm 4 ) \pm b ^ { - 2 } m \right) Y _ { m n } ^ { k \pm } + \partial _ { x } ( x ^ { 2 } \partial _ { x } Y _ { m n } ^ { k \pm } ) = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } A ( t ) } & { = - i g _ { \mathrm { c } } S _ { \mathrm { c } } ^ { * } ( t ) - i g _ { \mathrm { h } } S _ { \mathrm { h } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } S _ { \mathrm { c } } ( t ) } & { = - \frac { \gamma _ { \mathrm { c } } } { 2 } S _ { \mathrm { c } } ( t ) - i g _ { \mathrm { c } } A ^ { * } ( t ) D _ { \mathrm { c } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } D _ { \mathrm { c } } ( t ) } & { = 2 i g _ { \mathrm { c } } \left( A ^ { * } ( t ) S _ { \mathrm { c } } ^ { * } ( t ) - A ( t ) S _ { \mathrm { c } } ( t ) \right) - \gamma _ { \mathrm { c } } \left( D _ { \mathrm { c } } ( t ) + 1 \right) , } \\ { \frac { d } { d t } S _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { = - \frac { \gamma _ { \mathrm { h } } } { 2 } S _ { \mathrm { h } } ( t ) - i g _ { \mathrm { h } } A ( t ) D _ { \mathrm { h } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } D _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { = 2 i g _ { \mathrm { h } } \left( A ( t ) S _ { \mathrm { h } } ^ { * } ( t ) - A ^ { * } ( t ) S _ { \mathrm { h } } ( t ) \right) - \gamma _ { \mathrm { h } } \left( D _ { \mathrm { h } } ( t ) + 1 \right) . } \end{array}
- \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 4 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { a _ { \mathrm { y } } } a _ { \mathrm { x } } 2 ^ { 2 } \}
\left( \begin{array} { c } { \dot { \rho } _ { 1 } } \\ { \rho _ { 1 } \dot { \theta } _ { 1 } } \\ { \dot { \rho } _ { 2 } } \\ { \rho _ { 2 } \dot { \theta } _ { 2 } } \\ { \dot { \rho } _ { 3 } } \\ { \rho _ { 3 } \dot { \theta } _ { 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 0 . 3 0 5 8 \, { \rho _ { 1 } } ^ { 3 } + 2 . 0 8 8 \rho _ { 1 } \, { \rho _ { 2 } } ^ { 2 } - 3 . 0 9 1 \rho _ { 1 } } \\ { 1 0 2 . 0 \, { \rho _ { 1 } } ^ { 3 } + 8 2 . 7 0 \, { \rho _ { 2 } } ^ { 2 } \rho _ { 1 } + 6 5 7 . 2 \rho _ { 1 } } \\ { - 2 . 7 0 5 \, { \rho _ { 1 } } ^ { 2 } \rho _ { 2 } + 1 . 7 2 3 \, { \rho _ { 2 } } ^ { 3 } - 2 3 . 7 2 \rho _ { 2 } } \\ { 9 5 . 6 4 \, { \rho _ { 1 } } ^ { 2 } \rho _ { 2 } + 1 1 5 . 6 \, { \rho _ { 2 } } ^ { 3 } + 1 8 1 2 \rho _ { 2 } } \\ { - 8 . 9 6 8 \rho _ { 3 } \, { \rho _ { 1 } } ^ { 2 } - 1 3 . 2 7 \rho _ { 3 } \, { \rho _ { 2 } } ^ { 2 } - 8 8 . 4 7 \rho _ { 3 } } \\ { 1 1 5 . 9 \, { \rho _ { 1 } } ^ { 2 } \rho _ { 3 } + 8 5 . 0 4 \, { \rho _ { 2 } } ^ { 2 } \rho _ { 3 } + 3 5 5 8 \rho _ { 3 } } \end{array} \right) + \mathcal { O } ( 5 ) .
\begin{array} { r } { \nabla \, \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } = \partial _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \tau } \ensuremath { \underline { { u } } ^ { ( 0 ) } } + \nabla \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } = 0 } \\ { d _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \nabla \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \ensuremath { \underline { { u } } ^ { ( 0 ) } } = 0 } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { 3 2 } } = \iint _ { S _ { 3 } } \mathbf { F } \cdot ( - \mathbf { \hat { n } } ) \; d S = - \iint _ { S _ { 3 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } \; d S = - \Phi _ { \mathrm { 3 1 } }
= { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } } { 1 - n } } \left( \left( { \frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } } \right) ^ { n - 1 } - 1 \right) = { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } } { 1 - n } } \left( \left( { \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { n } } - 1 \right) = { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } } { 1 - n } } \left( { \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } } - 1 \right)
c _ { A } ^ { \circ } : = \varepsilon _ { { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } ( A ) } \circ \mathsf { T } ^ { \circ } ( \varepsilon _ { \mathsf { T } { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } ( A ) } ) \circ { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } ( c _ { { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } ( A ) } ) \circ { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } \mathsf { T } ( \eta _ { \mathsf { T } ^ { \circ } ( A ) } ) \circ { \mathsf { T } ^ { \circ } } ^ { 2 } ( \eta _ { A } )
\begin{array} { r l } { p ^ { \star } } & { \leftarrow \mathrm { m a x } \ w \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } \| x ^ { ( 0 ) } - x _ { c } \| _ { \infty } \leq r , \ \ \mathrm \| y ^ { ( 0 ) } - x _ { c } \| _ { \infty } \leq r } \\ { \mathrm { ( I ) } : } & { \left\{ \begin{array} { l l } { ( x ^ { ( 0 ) } - y ^ { ( 0 ) } ) \leq w \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } \leq ( x ^ { ( 0 ) } - y ^ { ( 0 ) } ) + 4 r ( \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } - F ) } \\ { - ( x ^ { ( 0 ) } - y ^ { ( 0 ) } ) \leq w \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } \leq - ( x ^ { ( 0 ) } - y ^ { ( 0 ) } ) + 4 r ( \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } - F ^ { \prime } ) } \\ { F + F ^ { \prime } \leq \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } , \mathrm { 1 } _ { n _ { 0 } } ^ { \top } ( F + F ^ { \prime } ) = 1 , F , F ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { 0 } } } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { ( I I ) } : } & { \ W ^ { ( \ell ) } x ^ { ( \ell ) } = W ^ { ( \ell ) } y ^ { ( \ell ) } } \\ & { \mathrm { f o r ~ } k = 0 , \cdots , \ell - 1 : } \\ { \mathrm { ( I I I ) } : } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { ( k + 1 ) } \geq W ^ { ( k ) } x ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } , y ^ { ( k + 1 ) } \geq W ^ { ( k ) } y ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } \leq W ^ { ( k ) } x ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } - l ^ { ( k ) } \odot ( 1 - t ^ { ( k ) } ) , y ^ { ( k + 1 ) } \leq W ^ { ( k ) } y ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } - l ^ { ( k ) } \odot ( 1 - t ^ { ( k ) } ) } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } \geq 0 , y ^ { ( k + 1 ) } \geq 0 , x ^ { ( k + 1 ) } \leq u ^ { ( k ) } \odot t ^ { ( k ) } , y ^ { ( k + 1 ) } \leq u ^ { ( k ) } \odot t ^ { ( k ) } ; t ^ { ( k ) } , s ^ { ( k ) } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { k } + 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) \left( \epsilon w ( y _ { \delta } ) - \Delta w ( y _ { \delta } ) - ( p - 2 ) \bigg \langle Y \frac { \frac { x _ { \delta } - y _ { \delta } } { \delta } } { \epsilon + | \frac { x _ { \delta } - y _ { \delta } } { \delta } | } , \frac { \frac { x _ { \delta } - y _ { \delta } } { \delta } } { \epsilon + | \frac { x _ { \delta } - y _ { \delta } } { \delta } | } \bigg \rangle \right) \geq f ( y _ { \delta } ) ,
\boxed { \begin{array} { r l } { \left\langle \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X , Y ) \right. } & { \left. ( \mathcal { O } _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X , Y ) ) ^ { \dagger } \right\rangle = } \\ & { m ! n ! \delta ^ { R S } \delta _ { R _ { 1 } S _ { 1 } } \delta _ { R _ { 2 } S _ { 2 } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { x } , B _ { y } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 u } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) | Q _ { i , n } | ^ { k } \| \nabla _ { \theta _ { i } } Q _ { i , n } \| _ { 1 } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 u } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) | Q _ { i , n } | ^ { k } \frac { 1 } { \phi ( Q _ { i , n } ) } \| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \| _ { 1 } } \\ & { = \sqrt { 2 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 - u } { 2 u } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) | Q _ { i , n } | ^ { k } \| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \| _ { 1 } , } \end{array}
- \pi _ { x z } = 3 \eta _ { 0 } \frac { b } { B _ { 0 } } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } \right) + O ( \epsilon ^ { 5 / 2 } )
i T _ { t \{ ( c ) + ( d ) \} } ^ { 3 / 2 } ( k , k , p , p ) = - 8 i g _ { \pi q q } ^ { 2 } g _ { K q s } ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { q s } ( k , k ) \left( \frac 2 3 M _ { 0 0 } - \frac { \sqrt 2 } 3 M _ { 0 8 } - \frac 2 3 M _ { 8 8 } \right) \Gamma _ { 1 } ^ { q q } ( p , p )