harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) } & { = \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { - 1 } d x } \\ & { = \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { \quad + \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } \times \left( \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { - 1 } - \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \right) d x } \\ & { = \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { \quad - \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x + o ( { \varDelta } x ) , } \end{array}
K _ { s s ^ { \prime } } = \frac { c r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } \left[ \frac { \omega _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega _ { s ^ { \prime } } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } \right] \cdot \left[ \frac { \omega _ { s } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s } ; \omega _ { s } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \right]
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { ~ \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } s ^ { m - 1 } d s + \int _ { s _ { 1 } } ^ { \infty } s ^ { m - 1 } \exp ( A - s ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } ) d s } \\ { = } & { ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { 2 } \int _ { s _ { 1 } } ^ { \infty } \left( \frac { s } { R _ { 1 } } \right) ^ { m - 2 } \exp ( A - s ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } ) d \left( \frac { s ^ { 2 } } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { 2 } \int _ { s _ { 1 } ^ { 2 } / R _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { \infty } t ^ { ( m - 2 ) / 2 } \exp ( A - t ) d t } \\ { \leq } & { ~ \frac { s _ { 1 } ^ { m } } { m } + \frac { R _ { 1 } ^ { m } } { m } \left( ( A + m / 2 ) ^ { m / 2 } - A ^ { m / 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \phi _ { n } } ( \xi _ { n } , A ) } & { { } = } & { Q _ { \theta _ { n } } ( A ) \mathrm { ~ , ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ , ~ } } \\ { \ Q _ { \theta _ { n } } ( A ) } & { { } : = } & { P ( \xi _ { n + 1 } \in A | \theta _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { L R } } } & { = } & { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \pi / 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \pi / 4 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { - i \pi / 4 } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { x } { U _ { e } u _ { * } } \frac { \partial ( \overline { { u ^ { 2 } } } - \overline { { v ^ { 2 } } } ) } { \partial x } = 2 \frac { x } { U _ { e } } \frac { d u _ { * } } { d x } ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } ) + \frac { { x } } { U _ { e } { u _ { * } } } u _ { * } ^ { 2 } y U _ { e } \big ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } - { \frac { 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } } \\ { + \frac { x } { U _ { e } u _ { * } } u _ { * } ^ { 2 } \frac { - u _ { * } } { U _ { e } x } \frac { \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ( \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } \frac { 1 } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } } \\ { = - 2 \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } + \frac { U _ { e } ^ { 2 } } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } \\ { + \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| ( v _ { I + \ell } - v ) \ast D \rho _ { \varepsilon _ { I + \ell } } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 \times 2 } ) } \leq \frac { \| D \rho \| _ { L ^ { 1 } ( B _ { 1 } ; \mathbb R ^ { 2 } ) } } { \varepsilon _ { I + \ell } } \| v _ { I + \ell } - v \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 } ) } \leq \frac { \| D \rho \| _ { L ^ { 1 } ( B _ { 1 } ; \mathbb R ^ { 2 } ) } | \Omega | } { \varepsilon _ { I + \ell } } \| v _ { I + \ell } - v \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 } ) } . } \end{array}
F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) \; = \; \int _ { 0 } ^ { 1 } \, d x \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, d y \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, { \frac { d b \; b } { 8 \pi } } \; \Psi _ { \pi } ( x , b ) \; T _ { H } ( x , y , b ; Q ^ { 2 } ) \; \Psi _ { \pi } ( y , b ) \; .
( B ) _ { j , j - 1 } = ( B ) _ { j - 1 , j } = \frac { j ( ( 2 j _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } - j ^ { 2 } ) } { 4 ( j _ { 0 } + 1 ) \sqrt { 4 j ^ { 2 } - 1 } } \; \; , \; \; j = 1 , 2 , \ldots , 2 j _ { 0 } .
\frac { 1 } { g ^ { 2 } } \left( i B _ { a } ( \partial _ { \mu } A _ { \mu a } ) + \frac { \alpha } { 2 } B _ { a } B _ { a } + i B _ { a } ( \bar { D } _ { \mu } A _ { \mu } ) _ { A } + \frac { \beta } { 2 } B _ { A } B _ { A } \right)
S _ { c l } = - \frac { T } { \pi \alpha ^ { \prime } } { \sqrt { 1 - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } } } ; \qquad W ( m ) = \frac { 4 \pi } { T \alpha ^ { \prime } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } } }
\log s _ { b } ( x ) \; = \; \frac { 1 } { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \biggl ( \frac { \sin 2 x t } { 2 \sinh b t \sinh b ^ { - 1 } t } - \frac { x } { t } \biggl ) \; \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { R } \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { 0 } , { \bf k } ) : = ( 1 - \tau ) \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { 0 } , { \bf k } ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( k _ { 0 } - k _ { F } ^ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial k _ { 0 } ( t ) } \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } + t ( k _ { 0 } - k _ { F } ^ { 0 } ) , { \bf k } ) + \sum _ { a , b = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( 1 - t ) } \\ & { \cdot } & { ( k ^ { ( a ) } - ( P _ { F } { \bf k } ) ^ { ( a ) } ) ( k ^ { ( b ) } - ( P _ { F } { \bf k } ) ^ { ( b ) } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial k ^ { ( a ) } ( t ) \partial k ^ { ( b ) } ( t ) } \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } , P _ { F } { \bf k } + t ( { \bf k } - P _ { F } { \bf k } ) ) \ , } \end{array}
\hat { \phi } \times ( \delta _ { 0 \rho } \hat { \rho _ { 0 } } + \delta _ { 0 z } \hat { z } ) = - \delta _ { 0 \rho } \cos ( \Delta \phi ) \hat { z } + \delta _ { 0 z } \cos ( \Delta \phi ) \hat { \rho _ { 0 } }
\vec { F } ^ { - T } \cdot \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } = \vec { F } ^ { - T } \cdot \frac { \partial \vec { A } _ { L } } { \partial t } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } + \frac { \partial \vec { F } ^ { - T } } { \partial t } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } + \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - 1 } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) .
\phi = \frac { 2 \pi \rho _ { 2 } } { k _ { 1 } } f ( E _ { 1 } , 0 ) ~ l = \frac { 2 \pi \rho _ { 2 } } { k _ { 1 } } f ( E _ { 1 } , 0 ) ~ v _ { r e l } ~ t ,
R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \mu \nu } R = \kappa ^ { 2 } T _ { \mu \nu } \, , \qquad \mathrm { o r \, \, e q u i v a l e n t l y } \qquad R _ { \mu \nu } = R _ { \mu \nu } ^ { T } \, .
\begin{array} { r l r } { U ( u , v ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { j k z } } { j \lambda z } e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ U ( x , y ) e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Big ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) } \\ & { \quad + b \, \textnormal { t r } \big ( \nabla \psi ( x ) ( \nabla \psi ( x ) ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \big ) \Big ) . } \end{array}
\frac { \delta g _ { L } ^ { b } } { g _ { L } ^ { b } } = \frac { \delta g _ { R } ^ { b } } { g _ { R } ^ { b } } = \frac { \kappa _ { 3 } } { 6 \pi } C _ { 2 } ( R ) \left[ \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { C } ^ { 2 } } \ln \frac { M _ { C } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } \right] .
E _ { \small C a s i m i r } ^ { \small s u r f a c e } = { \frac { 1 } { 6 \pi ^ { 2 } } } \; S \; \hbar c \; K ^ { 3 } \; \left[ { \frac { \xi _ { \small i n } } { n _ { \small i n } } } + { \frac { \xi _ { \small o u t } } { n _ { \small o u t } } } \right] .
A _ { 1 } ^ { i } ( D _ { s } , \phi ) = \pi \alpha _ { s } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \psi _ { D _ { s } } ( x ) \psi _ { \phi } ( y ) \left[ \frac { 1 } { y ( 1 - x \bar { y } ) } + \frac { 1 } { \bar { x } ^ { 2 } y } \right] \; ,
Z _ { \mathrm { h o r z } } ( \omega ) = \frac { 1 } { i \omega } \left[ \begin{array} { c c } { k _ { \mathrm { m a } } + k _ { \mathrm { m i } } - M _ { \mathrm { M A } } \omega ^ { 2 } } & { - k _ { \mathrm { m i } } } \\ { - k _ { \mathrm { m i } } } & { k _ { \mathrm { m i } } - M _ { \mathrm { M I } } \omega ^ { 2 } } \end{array} \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } : \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } \to { \mathrm { G L } } ( \mathbb { C } ^ { 2 } \otimes \mathbb { C } ^ { 3 } ) } \\ { ( \rho _ { 1 } \otimes \rho _ { 2 } ) ( k , l ) = \rho _ { 1 } ( k ) \otimes \rho _ { 2 } ( l ) } & { k \in \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } , l \in \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \biggr ( \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } ( \Delta \mu _ { n } ) _ { j } - \lambda _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } ( \Delta \mu _ { n } ) _ { j } \biggr ) / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } & { \to } & { 0 , } \\ { \biggr ( \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } ) _ { i } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { j } - \lambda _ { n } ^ { * } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { i } ( \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) _ { j } \biggr ) / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } & { \to } & { 0 . } \end{array}
\mathrm { v a r } ( \Delta \mathbf Y ) = \frac { 1 } { 5 1 2 ^ { 2 } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 1 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 5 1 2 } ( \Delta \mathbf Y _ { i j } - \overline { { \Delta \mathbf Y } } ) ^ { 2 } .
T ^ { \alpha \beta } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \epsilon _ { 0 } E ^ { 2 } / 2 + B ^ { 2 } / 2 \mu _ { 0 } } & { S _ { x } / c } & { S _ { y } / c } & { S _ { z } / c } \\ { S _ { x } / c } & { - \sigma _ { x x } } & { - \sigma _ { x y } } & { - \sigma _ { x z } } \\ { S _ { y } / c } & { - \sigma _ { y x } } & { - \sigma _ { y y } } & { - \sigma _ { y z } } \\ { S _ { z } / c } & { - \sigma _ { z x } } & { - \sigma _ { z y } } & { - \sigma _ { z z } } \end{array} \right) } \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big ( e _ { \upsilon } ( \widetilde { f } , f ^ { * } ) \geq \delta _ { n } \Big ) \leq \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) \equiv I , } \end{array}
\frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } ( \rho \frac { \partial } { \partial \rho } ) \hat { e } _ { \nu \mu } ( \rho ) + [ \epsilon _ { r } ( \rho ) k _ { \nu \mu } ^ { 2 } - \frac { m _ { \nu \mu } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { e } _ { \nu \mu } ( \rho ) = { \vec { 0 } }
\left( \frac { P _ { \mathrm { s u r f a c e } } } { 1 \mathrm { b a r } } \right) = 1 . 2 \times 1 0 ^ { 6 } \frac { M _ { \mathrm { a t m } } } { M _ { \mathrm { p } } } \left( \frac { M _ { \mathrm { p } } } { M _ { \oplus } } \right) ^ { 2 / 3 }
\begin{array} { r } { | P _ { - } | = 0 , ~ | P _ { + } | > 0 , ~ \Omega \approx \omega _ { + } , ~ ~ f o r ~ \Delta < \Delta _ { c } ; } \\ { | P _ { + } | = 0 , ~ | P _ { - } | > 0 , ~ \Omega \approx \omega _ { - } , ~ ~ f o r ~ \Delta > \Delta _ { c } . } \end{array}
\boldsymbol { A } = \boldsymbol { X } ^ { ' } \boldsymbol { X } ^ { \dag } = \boldsymbol { X } ^ { ' } \boldsymbol { V } _ { r } \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 } \boldsymbol { U } _ { r } ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { n x n } .
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) \cap \mathscr { S } ^ { * } , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { K } \left( \frac { d f ^ { * } } { d x } \right) ^ { 2 } d x + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 1 } \frac { \left( f ^ { * } ( a _ { k } ) - f ^ { * } ( b _ { k } ) \right) ^ { 2 } } { | b _ { k } - a _ { k } | } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } y ^ { 2 } \, \exp \left( - a y ^ { 2 } + b y \right) \mathrm { d } y } & { { } = \frac { 1 } { 2 a } \, \left( 1 + \frac { b ^ { 2 } } { 2 a } \right) \, \sqrt { \frac { \pi } { a } } \exp \left( \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \boldsymbol { \bar { P } } | \boldsymbol { \bar { \varphi } } , \mathcal { D } , \mathbb { M } ) } & { = \int \mathbb { P } ( \boldsymbol { \bar { P } } | \boldsymbol { \bar { \varphi } } , \boldsymbol { \vartheta } , \mathbb { M } ) \mathbb { P } ( \boldsymbol { \vartheta } | \mathcal { D } , \mathbb { M } ) d \boldsymbol { \vartheta } } \\ & { \approx \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { P } ( \boldsymbol { \bar { P } } | \boldsymbol { \bar { \varphi } } , \boldsymbol { \vartheta } ^ { ( m ) } ) . } \end{array}
\dot { F } _ { \mathrm { L O } } ^ { \gamma } = \frac { \alpha } { 2 \pi } \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \left[ k _ { q } ^ { ( 1 ) } + C _ { q } ^ { ( 1 ) } + \dot { C } _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } \right] + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) .
\gamma = \ln ( 2 \pi ) - 2 - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } G _ { n } ( 2 ) } { n } } = \ln ( 2 \pi ) - 2 + { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 2 4 } } + { \frac { 7 } { 5 4 0 } } + { \frac { 1 7 } { 2 8 8 0 } } + { \frac { 4 1 } { 1 2 6 0 0 } } + \ldots
D _ { \nu } ( z ) = \sqrt { { \frac { 2 } { \pi } } } 2 ^ { \nu } e ^ { - { \frac { \pi } { 2 } } \nu i } e ^ { { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { \nu } e ^ { - 2 x ^ { 2 } + 2 i x z } d x , \; \; \mathrm { R e } \, \nu > - 1 .
\begin{array} { r l } & { \left| 2 \int _ { \Omega } \varepsilon g ( u _ { \varepsilon } ) \eta \langle \nabla u _ { \varepsilon } , \nabla \eta \rangle \right| } \\ & { \leq 2 \delta \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \leq 1 - \delta \} } \varepsilon \eta | \nabla u _ { \varepsilon } | | \nabla \eta | + \left| \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} } \varepsilon W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) \langle \nabla u _ { \varepsilon } , \nabla \eta \rangle \right| } \\ & { \leq C \delta \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \leq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \varepsilon \delta r ^ { - 1 } \mathcal L ^ { n + 1 } ( \Omega ) + \tau \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + C \varepsilon \tau ^ { - 1 } r ^ { - 2 } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 - \delta \} } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } , } \end{array}
g C R P S ( \mathcal { N } ( \mu , \sigma ^ { 2 } ) , y ) = \frac { \sigma } { \sqrt { \pi } } \left( \sqrt { \pi } \frac { y - \mu } { \sigma } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { y - \mu } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) + \sqrt { 2 } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { ( y - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) - 1 \right)
P _ { { \nu } _ { e } \to { \nu } _ { e } } ^ { ( 4 ) } = \left( 1 - | U _ { e 3 } | ^ { 2 } - | U _ { e 4 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 4 | U _ { e 1 } | ^ { 2 } | U _ { e 2 } | ^ { 2 } } { \left( | U _ { e 1 } | ^ { 2 } + | U _ { e 2 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } { \Delta _ { s u n } } \right] + | U _ { e 3 } | ^ { 4 } + | U _ { e 4 } | ^ { 4 } .
\frac { \partial \rho } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial \rho } { \partial x } - \frac { k _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } ^ { x } } { m } x \frac { \partial \rho } { \partial v _ { x } } = \frac { \Gamma } { m } \frac { \partial v _ { x } \rho } { \partial v _ { x } } + \frac { \Gamma k _ { B } T } { m ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial v _ { x } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \operatorname { R e } \chi ( \omega ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega ^ { \prime } \operatorname { I m } \chi ( \omega ^ { \prime } ) } { ( \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, \mathrm { d } \omega ^ { \prime } . } \end{array}
\Lambda _ { \Delta } ^ { \prime } = \{ \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \Delta ( 1 , 0 , 0 ) ^ { T } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \Delta ( 0 , 1 , 0 ) ^ { T } + \lambda _ { 3 } ^ { \prime } \Delta ( 0 , 0 , 1 ) ^ { T } \mid \lambda ^ { \prime } \in { \mathbb { Z } } ^ { 3 } \}
{ \frac { \operatorname { A r e a } ( \partial B _ { \varepsilon } ( p ) \subset M ) } { \operatorname { A r e a } ( \partial B _ { \varepsilon } ( 0 ) \subset { \mathbb { R } } ^ { n } ) } } = 1 - { \frac { S } { 6 n } } \varepsilon ^ { 2 } + O \left( \varepsilon ^ { 4 } \right) .
K _ { 0 } - K _ { 1 } = ( m _ { 0 } - m _ { 1 } ) c ^ { 2 } \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} . \eqno ( 5 5 )
\begin{array} { r l } { \hat { \Omega } _ { i j } ^ { ( k - 1 ) } } & { = \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { k - 2 } \tilde { R } _ { - i j - } | _ { \rho = 0 , t = 1 } = \partial _ { \rho } ^ { k - 1 } \psi _ { i j } | _ { \rho = 0 } + \cdots } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \Gamma ( d / 2 - k ) } { 2 ^ { k - 1 } \Gamma ( d / 2 - 1 ) } ( \Delta _ { ( 0 ) } ^ { k - 1 } \hat { P } _ { i j } - \Delta _ { ( 0 ) } ^ { k - 2 } \hat { \nabla } _ { i } ^ { ( 0 ) } \hat { \nabla } _ { k } ^ { ( 0 ) } P _ { j } ^ { k } + { \cdots } ) \, , } \end{array}
\left( { \frac { \alpha } { \mathfrak { p } } } \right) _ { n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \alpha \in { \mathfrak { p } } } \\ { 1 } & { \alpha \not \in { \mathfrak { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \exists \eta \in { \mathcal { O } } _ { k } : \alpha \equiv \eta ^ { n } { \bmod { \mathfrak { p } } } } \\ { \zeta } & { \alpha \not \in { \mathfrak { p } } { \mathrm { ~ a n d ~ t h e r e ~ i s ~ n o ~ s u c h ~ } } \eta } \end{array} \right. }
\displaystyle \mathrm { l e v } B _ { \alpha } = \mathrm { { l e v } \underbrace { \prod _ { p = 1 } ^ { P } M _ { \ m u _ { p } , \ n u _ { p } } } _ { s c a l a r } = \sum _ { p = 1 } ^ { P } ( 2 + 4 \ m u _ { p } + \ n u _ { p } ) . }
\Delta ^ { [ \Gamma ] } = \frac { 1 } { 4 z _ { h } } \left. \int d k ^ { + } \; \mathrm { T r } [ \Delta \Gamma ] \right| _ { \zeta ^ { - } = 0 } = \frac { 1 } { 4 z _ { h } } \int d k ^ { + } \; \int d k ^ { - } \; \delta \left( k ^ { -- } \frac { P _ { h } ^ { - } } { z _ { h } } \right) \; \mathrm { T r } [ \Delta \Gamma ] \; .
\ln D _ { q } = ( q - 1 ) \ln { \frac { H _ { 0 } ( { \frac { \mid a \mid } { B ^ { 2 } } } , - \sqrt { s } B ) } { H _ { 1 } ( { \frac { \mid a \mid } { B ^ { 2 } } } , - \sqrt { s } B ) } } + \ln { \frac { H _ { q } ( { \frac { \mid a \mid - 1 } { B ^ { 2 } } } , - \sqrt { s } B ) } { H _ { 1 } ( { \frac { \mid a \mid - 1 } { B ^ { 2 } } } , - \sqrt { s } B ) } } \ .
V ^ { \tau } ( R , l , E ) = E - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( f _ { + } ) ^ { ( 3 k + c _ { 1 } - 1 ) / 2 } } { ( f _ { - } ) ^ { ( 3 k + c _ { 1 } + 1 ) / 2 } } \left[ E ^ { 2 } - \left( \frac { f _ { - } } { f _ { + } } \right) ^ { 2 k } - \frac { l ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \frac { ( f _ { - } ) ^ { k - 1 / 2 } } { ( f _ { + } ) ^ { k + 1 / 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ( s ) ) = \langle p ^ { \prime } ( s ) , f ^ { \prime } ( s ) \rangle = \frac { \lambda _ { F } \mathrm { d e t } ( T ) } { \lambda _ { p } } \langle T p ( s ) , T ^ { - T } f ( s ) \rangle } \\ { \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ( s ) ) = \frac { \lambda _ { F } \mathrm { d e t } ( T ) } { \lambda _ { p } } \Psi ( p ( s ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \frac { 3 \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 5 / 6 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { \sqrt [ 3 ] { 2 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } } \\ & { + \frac { 5 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 3 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } - \frac { \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 } } { 3 \ 2 ^ { 2 / 3 } } + \frac { 2 } { 3 } . } \end{array}
I ( z ) = 2 z ^ { 2 } \left[ \frac { 1 + z } { 1 - z } + \frac { 2 z \ln ( z ) } { ( 1 - z ) ^ { 2 } } + \frac { 1 - z } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } - \frac { 2 z ^ { 2 } \ln ( z ) } { ( 1 + z ) ^ { 3 } } \right]