harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { K _ { x _ { p } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } & { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { y _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { y _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } & { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { z _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] , \ \ \ K _ { x _ { p } u _ { p } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { z _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { z _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { z _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } \end{array} \right] , \ \ \ K _ { u _ { p } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } & { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { z _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } & { \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } { w _ { p } ^ { \prime } } } } } & { \overline { { { w _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } } { c } \right) ^ { 2 } = \eta _ { y y } \left( k _ { x } + q k _ { y } \right) ^ { 2 } + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \boldsymbol { z } _ { t } = \frac { T \Delta \boldsymbol { z } _ { t } - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta \boldsymbol { z } _ { t } } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \Delta \boldsymbol { z } _ { t } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta \boldsymbol { z } _ { t } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \alpha ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) = \frac { \exp ( \mathrm { ~ L ~ e ~ a ~ k ~ y ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } ( e ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) ) ) } { \sum _ { k \in \mathcal { N } _ { i } ^ { \phi _ { p } } } \exp ( \mathrm { ~ L ~ e ~ a ~ k ~ y ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } ( e ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { k } ) ) ) } , } \end{array} } \end{array}
\prod _ { \substack { m , n \geq 1 \, m \leq n ; \, ( m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - y ^ { m } z ^ { n } } \right) ^ { \frac { m ^ { 3 } } { n ^ { 4 } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { n ^ { 3 } y ^ { n + 4 } + ( 3 n ^ { 3 } + 6 n ^ { 2 } - 4 ) y ^ { n + 2 } } { ( 1 - y ) ^ { 4 } } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { 4 } } \right\}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \phi , \lambda ) = F ( \phi ) + \lambda G ( \phi ) = - \int _ { \Gamma _ { \mathrm { o u t } } } \boldsymbol { t } \cdot \boldsymbol { u } _ { \phi } ( x ) \, \mathrm { d } \sigma + \lambda \underbrace { \left( \int _ { D } \chi _ { \phi } ( x ) \, \mathrm { d } x - G _ { \mathrm { m a x } } | D | \right) } _ { \le 0 } , } \end{array}
\mu _ { \uparrow } ^ { f } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { i } e _ { i } \right) = \operatorname* { m a x } \left\{ \left. \mu _ { \uparrow } ^ { f } ( e _ { i } ) \right| c _ { i } \neq 0 \right\} \quad \mathrm { a n d } \quad \mu _ { f } ^ { \downarrow } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { i } e _ { i } \right) = \operatorname* { m i n } \left\{ \left. \mu _ { f } ^ { \downarrow } ( e _ { i } ) \right| c _ { i } \neq 0 \right\} .
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } } & { = 0 } \\ { \mu _ { 2 } } & { = \kappa _ { 2 } } \\ { \mu _ { 3 } } & { = \kappa _ { 3 } } \\ { \mu _ { 4 } } & { = \kappa _ { 4 } + 3 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \mu _ { 5 } } & { = \kappa _ { 5 } + 1 0 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 2 } } \\ { \mu _ { 6 } } & { = \kappa _ { 6 } + 1 5 \kappa _ { 4 } \kappa _ { 2 } + 1 0 \kappa _ { 3 } ^ { 2 } + 1 5 \kappa _ { 2 } ^ { 3 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { C = \frac { P e _ { f } } { 2 P e _ { s } } \bigg ( \! \tilde { y } ( \tilde { t } ) \! - \! \frac { \tilde { y } ^ { 2 } ( \tilde { t } ) } { \tilde { H } } \bigg ) - f \left( \theta ( \tilde { t } ) \right) \, , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { v } _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - 2 \sum _ { j } m _ { j } \frac { \overline { { { p } } } _ { i j } } { \rho _ { i } \rho _ { j } } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \nu _ { i } V _ { j } \frac { \mathbf { v } _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial W _ { i j } } { \partial r _ { i j } } + \mathbf { g }
F = \sum _ { i , j } \left| K _ { i } R _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ p ~ ) ~ } } ( \lambda _ { j } , 2 5 0 ~ \mathrm { ~ K ~ } ) - R _ { t _ { i } + \Delta t _ { i } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ M ~ M ~ ) ~ } } ( \lambda _ { j } , 2 5 0 ~ \mathrm { ~ K ~ } ) \right| ^ { 2 } + \left| K _ { i } ^ { \prime } R _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ e ~ x ~ p ~ ) ~ } } ( \lambda _ { j } , 6 ~ \mathrm { ~ K ~ } ) - R _ { t _ { i } + \Delta t _ { i } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ M ~ M ~ ) ~ } } ( \lambda _ { j } , 6 ~ \mathrm { ~ K ~ } ) \right| ^ { 2 } ,
{ \frac { \partial \widetilde { A } _ { b } ^ { M i } ( { \bf x } ) } { \partial A _ { c } ^ { M i } ( { \bf x } ) } } = \delta _ { b c } + { \frac { \partial \, \delta A _ { b } ^ { M i } ( { \bf x } ) } { \partial A _ { c } ^ { M i } ( { \bf x } ) } } = \delta _ { b c } - g f _ { b d } ^ { c } \delta \Lambda _ { d } ^ { M } ( { \bf x } ) .
Q = s + \omega ^ { + } \delta ^ { + } + \omega ^ { - } \delta ^ { - } + \varepsilon ^ { + \mu } \delta _ { \mu } ^ { + } + \varepsilon ^ { - \mu } \delta _ { \mu } ^ { - } + v ^ { \mu } \partial _ { \mu } - ( \omega ^ { + } \varepsilon ^ { + \mu } + \omega ^ { - } \varepsilon ^ { - \mu } ) \frac \partial { \partial v ^ { \mu } } \, .
\mathbf { T } ^ { ( \mathbf { m } ) } ( \mathop { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { } ) = ( T _ { \mu \nu } } ^ { ( \mathbf { m } ) } ( \mathop { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { } ) ) _ { \mu \nu \in \{ p , s \} } }
\begin{array} { r l r } { k ( t ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \ e ^ { \frac { i } { \hbar } \int _ { \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { r e n } } } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { B } } } + { \frac { 1 } { 1 2 } } ~ { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } ~ \int _ { \epsilon ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 3 / 2 } } } e ^ { - \mu s / l ^ { 2 } }
\ddot { S } _ { t } \varphi ( \hat { \mathrm { x } } ) = \left( \frac { 1 } { 4 \pi i t } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \int e ^ { i \frac { | \hat { \mathrm { x } } - \dot { \hat { \mathrm { x } } } | ^ { 2 } } { 4 t } } \varphi \left( \dot { \hat { \mathrm { x } } } \right) d \dot { \hat { \mathrm { x } } } , \enspace \hat { \mathrm { x } } \in \mathbb { R } ^ { n } .
\hat { H } _ { \mathrm { e l } } ( \hat { \mathbf { x } } ) = h ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { d } ^ { \dag } \hat { d } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } \epsilon _ { k } \hat { c } _ { k } ^ { \dag } \hat { c } _ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } V _ { k } ( \hat { \mathbf { x } } ) ( \hat { d } ^ { \dag } \hat { c } _ { k } + \hat { c } _ { k } ^ { \dag } \hat { d } )
{ \begin{array} { r l } { \Delta } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { - a ^ { 4 } - b ^ { 4 } - c ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { ( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c ) } } } \\ & { = { \sqrt { s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { j } x _ { i , j } - \sum _ { j } x _ { j , i } } & { = s _ { i } } & & { \mathrm { f o r ~ i \in ~ S ~ \cup ~ T ~ } } \\ { 0 \le x _ { i , j } } & { \le u _ { i , j } y _ { i , j } } & & { \mathrm { f o r ~ i \in ~ S , \ j \in ~ T ~ } } \\ { y _ { i , j } } & { \in \{ 0 , 1 \} } & & { \mathrm { f o r ~ i \in ~ S , \ j \in ~ T ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } _ { R \leftrightarrow L } ( t ) } & { \equiv \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \dot { s } _ { R \leftrightarrow L } ( x , t ) } \\ & { \equiv \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ( x , t ) \log \left( \frac { P _ { L } ( x , t ) } { P _ { R } ( x , t ) } \right) } \end{array}
\ell ^ { \pm } ( \mathbf x ( \theta ) - \mathbf x ( \theta ^ { \prime } ) + \delta \mathbf v ( \theta ) , \omega ) = G _ { 0 } \big ( \theta - \theta ^ { \prime } + \delta \varphi _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \big ) \big ( \gamma _ { \lambda } ^ { \pm } ( \theta ) - \theta ^ { \prime } + i h \psi _ { \omega } ^ { \pm } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) \big )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \exp ( E _ { n + 1 } ) \, | \, \mathcal { F } _ { t _ { n } } ) } & { = \exp \left( \alpha \delta \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \sigma \eta _ { j } | ^ { 2 } \right) \mathbb { E } \exp \left( \alpha \delta | \sigma \eta _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \frac { ( n + 1 ) } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( 1 - 2 \alpha \delta Q _ { 0 } ) \right) } \\ & { = \exp \left( \alpha \delta \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \sigma \eta _ { j } | ^ { 2 } + \frac { n } { 2 } \mathrm { T r } \ln ( 1 - 2 \alpha \delta Q _ { 0 } ) \right) = \exp ( E _ { n } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \end{array} \right) = \frac { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } { f _ { j m } ^ { 2 } - g _ { j m } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { f _ { j m } } & { } & { g _ { j m } } \\ { g _ { j m } } & { } & { f _ { j m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } \\ { V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } \end{array} \right) ,
J = \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| - \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N f - 1 } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { q } _ { \mu } } { \mathrm { d } \eta ^ { 2 } } \Bigg / \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| \right) C _ { \mu j } ( \eta ) x _ { j } .
\xi = \frac { r _ { + } } { l } ( x _ { 3 } \partial _ { 4 } + x _ { 4 } \partial _ { 3 } ) , \ \ \, x i ^ { 2 } = \frac { r _ { + } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } ( - x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } ) ,
\kappa ^ { - 1 } = { \sqrt { \frac { \varepsilon _ { \mathrm { { r } } } \varepsilon _ { 0 } k _ { \mathrm { { B } } } T } { 2 \times 1 0 ^ { 3 } N _ { \mathrm { { A } } } e ^ { 2 } I } } }
\begin{array} { r l } { \mu _ { - x } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , - x } + u _ { i j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast x } + \mu _ { + x } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , + x } } & { = 2 u _ { i j } ^ { n } } \\ { \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , - y } + u _ { i j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , + y } } & { = 2 u _ { i j } ^ { n } } \end{array}
\Omega ^ { ( 1 ) } ( E ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { p = 0 } ^ { 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } A ( m , n , p ) \frac { e ^ { \beta _ { n } E } } { E ^ { 2 7 / 2 + m + p } } { \cal H } \left( E - \frac { 8 \pi n } { \beta _ { H } \varepsilon } \right)
w ( E ; \mu ) = \frac { 8 } { 3 \pi } \left( \frac { 2 \pi } { b } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } \ln { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } } - \frac { b } { 2 \pi } \ln { \frac { m _ { b } } { \mu } } \right]
\begin{array} { r l } { I _ { 5 } : = } & { \delta \frac { { { \overline { { \Lambda } } } } M ^ { n } } { 4 n ! } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } ( \tau + s ) ^ { n } \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , } \\ { I _ { 6 } : = } & { \delta \frac { { { \overline { { \Lambda } } } } M ^ { n } } { 2 n ! } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \tau + s ) ^ { n } \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , } \\ { I _ { 7 } : = } & { \delta \frac { \overline { { f } } M ^ { n } } { 4 n ! } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } ( \tau + s ) ^ { n } \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z , } \\ { I _ { 8 } : = } & { \delta \frac { \overline { { f } } M ^ { n } } { 2 n ! } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } ( \tau + s ) ^ { n } \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { S } } & { = - S + H ^ { - } ( N ) H ^ { - } ( C ) H ^ { + } ( S ) H ^ { + } ( W ) } \\ { \dot { N } } & { = - N + H ^ { + } ( S ) } \\ { \dot { D } } & { = - D + H ^ { + } ( S ) H ^ { + } ( C ) } \\ { \dot { W } } & { = - W + H ^ { - } ( C ) H ^ { + } ( D ) } \\ { \dot { C } } & { = - C + H ^ { + } ( N ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \lambda } _ { k } } & { = \operatorname* { m i n } _ { V \in \mathbb { R } ^ { n + 1 - k } } \operatorname* { m a x } _ { x \in V } { \frac { x ^ { H } ( A _ { n } + B _ { n } ) x } { x ^ { H } x } } \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in W } { \frac { x ^ { H } ( A _ { n } + B _ { n } ) x } { x ^ { H } x } } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in W } { \frac { x ^ { H } A _ { n } x } { x ^ { H } x } } + \operatorname* { m a x } _ { x \in W } { \frac { x ^ { H } B _ { n } x } { x ^ { H } x } } \leq \lambda _ { k } + \Vert B _ { n } \Vert _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = ( d _ { \uparrow } - d _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { { } = 2 d _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - | d _ { \uparrow \downarrow } ^ { + } | ^ { 2 } - | d _ { \uparrow \downarrow } ^ { - } | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \sec } { \Bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \Bigr ) } } & { = { \frac { \prod _ { i } \sec \theta _ { i } } { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } - \cdots } } } \\ { { \csc } { \Bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \Bigr ) } } & { = { \frac { \prod _ { i } \sec \theta _ { i } } { e _ { 1 } - e _ { 3 } + e _ { 5 } - \cdots } } } \end{array} }
\left\langle \mathcal { O } ^ { \textrm { a n h a r } } \right\rangle = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathcal { O } ( X _ { i } ^ { \textrm { a n h a r } } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } t } & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } 3 6 ( c _ { 1 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) - 2 c _ { 2 } ( 2 - \alpha ) ) } \\ & { = 7 2 ( c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 2 } t } & { = 3 6 c _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 3 } t } & { = 7 2 c _ { 2 } . } \end{array}
F _ { \beta } ( \mathbf { r } _ { g } ) = \sum _ { A } \sum _ { L } Y _ { L } ( \hat { \mathbf { r } } _ { g A } ) \sum _ { p = 0 } ^ { 3 } ( r _ { g A } - r _ { G } ) ^ { p } F _ { \beta , L , G , p } ^ { A } ,
\begin{array} { r l r } { f _ { \alpha } ^ { e q } = } & { { } } & { \rho w _ { \alpha } \bigg \{ 1 + \frac { { c } _ { \alpha } ^ { i } { U } ^ { i } } { T _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 T _ { 0 } } ( \frac { { c } _ { \alpha } ^ { i } { c } _ { \alpha } ^ { j } } { T _ { 0 } } - \delta ^ { i j } ) [ ( g ^ { i j } - \delta ^ { i j } ) T _ { 0 } + { \tilde { U } } ^ { i } { \tilde { U } } ^ { j } ] } \end{array}
\tilde { \rho } _ { 2 } ( T _ { \mathrm { e V } } ) \approx 0 . 4 9 1 7 + 0 . 8 4 6 \ln \left[ \frac { 1 + 8 . 4 9 2 / T _ { \mathrm { e V } } } { 1 + 2 5 . 8 3 / T _ { \mathrm { e V } } + 1 6 7 . 2 / T _ { \mathrm { e V } } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { j } = } & { \ \Psi _ { j } ^ { * } \left[ \hat { K } _ { j } + V ( \mathbf { x } ) - { \tilde { \mu } _ { j } } \right] \Psi _ { j } + \frac { G _ { j } } { 2 } | \Psi _ { j } | ^ { 4 } , } \\ { \mathcal { H } _ { I } = } & { \ G _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta ^ { \prime } \in \Theta } f ( \theta ^ { \prime } ) \ge f ( \theta ) + \operatorname* { m i n } _ { \theta ^ { \prime } \in \Theta } \left[ \nu \langle \nabla f ( \theta ) , \theta ^ { \prime } - \theta \rangle + \frac { \mu } { 2 } | | \theta - \theta ^ { \prime } | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
P _ { 2 } ^ { n } ( \vec { p } , \vec { q } ) = \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \frac { 1 } { \omega ( n ) } \sum _ { i = 2 , n } [ \sum _ { m = 1 , i - 1 } G _ { m } ( p , p ) G _ { i - m } ( q , q ) + G _ { m } ( p , q ) \cdot G _ { i - m } ( q , p ) ] \omega ( n - i ) ,
\frac { \partial { \overline { { T } } } } { \partial { t } } + \overline { { u _ { k } } } \frac { \partial { \overline { { T } } } } { \partial { x _ { k } } } = \frac { \partial } { \partial { x } _ { k } } \left[ \kappa \frac { \partial { \overline { { T } } } } { \partial { x } _ { k } } - \overline { { { u _ { i } ^ { \prime } } { T ^ { \prime } } } } \right] ,
\sigma \cdot \left[ \sigma _ { l } ^ { \left( j \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right] = \left[ \sigma \cdot \sigma _ { l } ^ { \left( j \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j \right) } \right]
\begin{array} { r l } { \| \nabla ^ { 2 } u \| _ { p } } & { = \| \nabla ^ { 3 } \phi \| _ { p } \leq \| \nabla ^ { 3 } \bar { \phi } \| _ { p } + h ^ { \prime \prime \prime } \frac { 1 } { | \Omega | } \int | u _ { 1 } | } \\ & { \leq C \left( \| \nabla ^ { 3 } \tilde { \phi } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla ^ { 2 } \tilde { \phi } \| _ { p } + ( \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + \| \kappa \| _ { \infty } ) \| \nabla \tilde { \phi } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { p } \right) } \\ & { \leq C \left( \| \nabla \omega \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \omega \| _ { p } + ( \| \kappa \| _ { \infty } + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ) \| u \| _ { p } \right) , } \end{array}
\frac { d u _ { * } } { u _ { * } } = - \frac { d y } { y } = - \frac { d x } { x ( \kappa \frac { U e } { u _ { * } } + 2 ) } = \frac { d V } { V ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 ) } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } = } & { { } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \mathcal { F } _ { S } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { I } } { \pi } \right) \left( \frac { \mathcal { F } _ { P } } { \pi } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \epsilon _ { 5 f } \sum _ { \gamma } a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ) a _ { 5 f } ( \gamma ) } \\ & { + } & { \epsilon _ { d } \sum _ { \mu } a _ { d } ^ { \dag } ( \mu ) a _ { d } ( \mu ) } \\ & { + } & { \epsilon _ { 4 f } \sum _ { \lambda } a _ { 4 f } ^ { \dag } ( \lambda ) a _ { 4 f } ( \lambda ) } \\ & { + } & { \sum _ { \sigma , \gamma } \epsilon _ { \upsilon } ( \sigma ) a _ { \upsilon } ^ { \dag } ( \sigma , \gamma ) a _ { \upsilon } ( \sigma , \gamma ) } \\ & { + } & { U _ { f f } \sum _ { \gamma > \gamma ^ { \prime } } a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ) a _ { 5 f } ( \gamma ) a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ^ { \prime } ) a _ { 5 f } ( \gamma ^ { \prime } ) } \\ & { - } & { U _ { f d } \sum _ { \gamma , \mu } a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ) a _ { 5 f } ( \gamma ) a _ { 3 d } ^ { \dag } ( \mu ) a _ { 3 d } ( \mu ) } \\ & { - } & { U _ { f c } \sum _ { \gamma , \lambda } a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ) a _ { 5 f } ( \gamma ) a _ { 4 f } ^ { \dag } ( \lambda ) a _ { 4 f } ( \lambda ) } \\ & { + } & { \frac { V } { \sqrt { N } } \sum _ { \sigma , \gamma } [ ( a _ { \upsilon } ^ { \dag } ( \sigma , \gamma ) a _ { 5 f } ( \gamma ) + a _ { 5 f } ^ { \dag } ( \gamma ) a _ { \upsilon } ( \sigma , \gamma ) ] } \\ & { + } & { H _ { m u l t i p l e t } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( X , a ) } & { = 0 } \\ { \operatorname { c o v } ( X , X ) } & { = \operatorname { v a r } ( X ) } \\ { \operatorname { c o v } ( X , Y ) } & { = \operatorname { c o v } ( Y , X ) } \\ { \operatorname { c o v } ( a X , b Y ) } & { = a b \, \operatorname { c o v } ( X , Y ) } \\ { \operatorname { c o v } ( X + a , Y + b ) } & { = \operatorname { c o v } ( X , Y ) } \\ { \operatorname { c o v } ( a X + b Y , c W + d V ) } & { = a c \, \operatorname { c o v } ( X , W ) + a d \, \operatorname { c o v } ( X , V ) + b c \, \operatorname { c o v } ( Y , W ) + b d \, \operatorname { c o v } ( Y , V ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k \in I _ { j } } \left| ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \right| } & { \leq } & { ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k \in I _ { j } } \frac { 1 } { ( \overline { { p } } ( | j | - \omega _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } } } \\ & { \leq } & { ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \frac { 2 \omega _ { \operatorname* { m a x } } } { ( \overline { { p } } ( | j | - \omega _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d E _ { t o t a l } } { d t } = } & { { } \frac { d E _ { k i n } } { d t } + \frac { d E _ { e s } } { d t } + \frac { d E _ { i o n } } { d t } + \frac { d E _ { m i x } } { d t } } \\ { = } & { { } I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } } \\ { = } & { { } - \Delta . } \end{array}
\omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + ) } = \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 1 ) } = \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { m } } } \\ & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 2 ) } = \frac { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } ) + \sqrt { ( \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } - \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } + 2 ( 2 \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } \omega _ { \mathrm { m } } + \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathrm { m } } ) } } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal H } ^ { ( n , m ) } = \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ n ~ } \Bigl ( \hat { b } _ { p _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { p _ { 2 } } ^ { \dagger } \cdots \hat { b } _ { p _ { n } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { q _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { q _ { 2 } } ^ { \dagger } \cdots \hat { d } _ { q _ { m } } ^ { \dagger } \ensuremath { \vert 0 \rangle } , \phantom { x x x x } } \\ { p _ { 1 } < p _ { 2 } < \cdots < p _ { n } \in \ensuremath { \mathrm { ~ P ~ S ~ } } , q _ { 1 } < q _ { 2 } < \cdots < q _ { m } \in \ensuremath { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } \Bigl ) . } \end{array}