harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \Omega ^ { 2 } m _ { * } ^ { 2 } } V _ { + } = ( \frac { \mu } { m _ { * } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } x ^ { 2 } + { \cal O } ( x ^ { 2 / 3 } ) ,
\Vert \partial _ { k _ { 0 } ( t ) } \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } , { \bf k } ) \Vert \sim \gamma ^ { j _ { r } } \Vert \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } , { \bf k } ) \Vert
\begin{array} { r l } { \langle \lambda , \varphi \rangle = } & { - \int _ { \Omega \times \mathcal { Y } } \varphi ( x ^ { \prime } ) \, \Sigma : E \, d x d y + \int _ { \omega } \varphi \, \bar { \sigma } : E \bar { w } \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } \varphi \, \hat { \sigma } : D ^ { 2 } w _ { 3 } \, d x ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { \omega } \bar { \sigma } : \left( ( \bar { u } - \bar { w } ) \odot \nabla \varphi \right) \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { \omega } \hat { \sigma } : \big ( \nabla ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \odot \nabla \varphi \big ) \, d x ^ { \prime } } \\ & { - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega } ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \, \hat { \sigma } : \nabla ^ { 2 } \varphi \, d x ^ { \prime } . } \end{array}
\nabla \times \left( \frac { 1 } { \mu } ( \boldsymbol { r } ) \nabla \times \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) \right) - \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathit { \Pi } _ { I } } & { { } = \ \ \frac { 1 } { 2 } \delta u _ { i } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } ( u _ { k } ^ { + } u _ { k } ^ { + } - u _ { k } ^ { - } u _ { k } ^ { - } ) , } \\ { \mathit { \Pi } _ { H } } & { { } = - 2 \delta u _ { i } \frac { \partial } { \partial r _ { i } } ( u _ { k } ^ { - } u _ { k } ^ { + } ) . } \end{array}
W _ { \mathrm { m a s s , 1 0 } } ( K ) = \left( A _ { \overline { { { K } } } } , \overline { { { C } } } _ { \overline { { { K } } } } , \overline { { { C } } } _ { \overline { { { K } } } } ^ { \prime } \right) \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { K } } } & { { 0 } } & { { \langle \overline { { { C } } } \rangle \langle \overline { { { P } } } \rangle / \sqrt { 2 } M _ { P } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \alpha _ { K } a \langle \overline { { { P } } } \rangle / M _ { P } } } \\ { { \langle C \rangle \langle P \rangle / \sqrt { 2 } M _ { P } } } & { { \alpha _ { K } a \langle P \rangle / M _ { P } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { A _ { K } } } \\ { { C _ { K } } } \\ { { C _ { K } ^ { \prime } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } T + \mathrm { P e } _ { p } \bar { v } _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } T = \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( t ) \partial _ { y _ { 1 } } ^ { 2 } T , \quad \kappa _ { \mathrm { e f f } } = 1 + \mathrm { P e } _ { p } \left\langle v _ { 1 } T _ { 1 } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq 2 \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } + 2 \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg [ \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } + \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ] + 2 \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - i \hbar \mathrm { \bf ~ D } \psi } & { \equiv } & { \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { \bf ~ A } \right) \psi = S ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { \bf ~ A } ^ { \prime } \right) \psi ^ { \prime } = - i \hbar S ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) \mathrm { \bf ~ D } ^ { \prime } \psi ^ { \prime } \; , } \\ { i \hbar D _ { 0 } \psi } & { \equiv } & { \left( i \hbar \frac { \partial } { \partial t } - q A _ { 0 } \right) \psi = S ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) \left( i \hbar \frac { \partial } { \partial t } - q A _ { 0 } ^ { \; \prime } \right) \psi \ ^ { \prime } = i \hbar S ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) D _ { 0 } ^ { \; \prime } \psi ^ { \prime } } \end{array}
D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha } | _ { i } h ( f _ { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { F \operatorname* { l i m } _ { x _ { i } \rightarrow x _ { o , i } } \frac { S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x ) ] - S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x _ { o } ) ] } { x _ { i } - x _ { o , i } } ~ ~ ~ ~ x , x _ { o } \in \mathbb { F } \, , } \\ { 0 \qquad \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { f ( \hat { z } ^ { k } ) + \omega ( \hat { z } ^ { k } ) + \frac { \rho } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq f ( x ^ { k + 1 } ) + \omega ( x ^ { k + 1 } ) + \frac { \rho } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \rho - \lambda - \kappa } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { i } ( \sigma _ { i } ) } & { { } : = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i } ( 0 \to 1 ) \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \sigma _ { i } = 0 , } \\ { w _ { i } ( 1 \to 0 ) \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \sigma _ { i } = 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\beta \Delta G - \ln \left( \frac { n } { \rho ^ { \mathrm { ~ v ~ } } v _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right) = \frac { n N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } { 2 } - \ln \left[ \frac { ( 1 - \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } ) ^ { n N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } } { ( \phi ^ { \mathrm { ~ l ~ } } ) ^ { n ( 1 - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } / 2 ) } } \right] .
\nu _ { \mathrm { { T } } } = \frac { 7 } { 1 5 } \int d { \bf { k } } \int _ { - \infty } ^ { t } \! \! \! d \tau _ { 1 } G ( k ; \tau , \tau _ { 1 } ) Q ( k ; \tau , \tau _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \langle \mathcal { J } _ { 0 } e ^ { 1 } , e ^ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle e ^ { 1 } , \mathcal { J } _ { 0 } e ^ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } = \langle e _ { \partial , e ^ { 2 } } , f _ { \partial , e ^ { 1 } } \rangle _ { 2 } + \langle e _ { \partial , e ^ { 1 } } , f _ { \partial , e ^ { 2 } } \rangle _ { 2 } - f _ { I , e ^ { 1 } } e _ { I , e ^ { 2 } } - f _ { I , e ^ { 2 } } e _ { I , e ^ { 1 } } . } \end{array}
\mathcal { D } ( k , \omega ) = 1 - \frac { \omega _ { e } ^ { 2 } ( 1 + k ^ { 2 } \lambda _ { D } ^ { 2 } ) } { \rho _ { 0 } k ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \frac { \partial f _ { 0 } ( v ) / \partial v } { v - \omega / k + i 0 }
r _ { 2 } = r _ { 1 } ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ t _ { 2 } = t _ { 1 } ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { 2 } = \phi _ { 1 } + \gamma ~ ~ ( \phi _ { 1 } > 0 ) ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ \phi _ { 2 } = \phi _ { 1 } - \gamma ~ ~ ( \phi _ { 1 } < 0 ) .
\begin{array} { r l } { \left| \bar { \mathbf { a } } _ { n + 1 } ^ { - 1 } p - \bar { \mathbf { a } } _ { n } ^ { - 1 } p \right| ^ { 2 } \leq C e ^ { - n } + C \frac { \tau _ { n } } { \delta _ { n + 1 } } \leq } & { \, C e ^ { - n } + C ( n + 1 ) ^ { \alpha } ( F _ { n } - F _ { n + 1 } ) } \\ { \leq } & { \, C e ^ { - n } + C n ^ { \alpha } \exp \left( - c n ^ { 1 - 3 \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { r e c } } ( x ) = w _ { 0 } P _ { 0 } ( x ) + w _ { \mathrm { L } } P _ { \mathrm { L } } ( x ) + w _ { \mathrm { C } } P _ { \mathrm { C } } ( x ) + w _ { \mathrm { R } } P _ { \mathrm { R } } ( x ) , } \end{array}
v ( T , n ) = v _ { 0 } ( T ) n ^ { 1 / 2 } + v _ { 1 } ( T ) n \ln \left( \kappa ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) + v _ { 2 } ( T ) n + v _ { 3 } ( T ) n ^ { 3 / 2 } \ln \left( \kappa ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) + v _ { 4 } ( T ) n ^ { 3 / 2 } + { \cal O } ( n ^ { 2 } \ln ( n ) ) .
\begin{array} { r l } & { \left| \left( \mathcal { G } _ { a _ { u } } u , u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \left( \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ { \leq } & { \left| \left( \mathcal { G } _ { a _ { u } } u , u - u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| + \left| \left( \mathcal { G } _ { a _ { u } } u - \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } \\ { \leq } & { \left\Vert \mathcal { G } _ { a _ { u } } u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\Vert \mathcal { G } _ { a _ { u } } u - \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert \mathcal { G } _ { a _ { u } } u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } + C _ { 3 } \left\Vert \mathcal { G } _ { a _ { u } } u - \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { \left( C _ { 3 } ^ { 3 } + C _ { 3 } L _ { \mathcal { G } } \right) \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } , } \end{array}
E ( x ) = c o n s t \, e x p ( - \frac { i m \tau } { 2 } ) f ( r ) \left\| \begin{array} { c } { { - e x p ( i ( \varphi - \tau ) ) r _ { \bot } / \sqrt { R ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } } \\ { { i e x p ( i ( \varphi - \tau ) ) r _ { \bot } / \sqrt { R ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } } \\ { { 1 } } \\ { { i } } \\ { { 0 } } \end{array} \right\|
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } q ^ { \frac { m ( m + 1 ) } { 2 } } } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { k + 1 } { 4 } } ) \left[ \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { 2 k + 3 } { 8 } } ) ( 1 - q ^ { \frac { 2 k - 1 } { 8 } } ) + \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { \frac { 2 k + 3 } { 8 } } ) ( 1 + q ^ { \frac { 2 k - 1 } { 8 } } ) ) \right] } \end{array}
\widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta = 0 } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \theta } \in \Theta _ { 0 } } \operatorname* { l i m } _ { \beta \rightarrow 0 ^ { + } } \widehat { H } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) = \arg \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \theta } \in \Theta _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log f _ { i , \boldsymbol { \theta } } ( Y _ { i } ) = \widetilde { \boldsymbol { \theta } } .
{ \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { v } = { \frac { \partial v ^ { i } } { \partial q ^ { i } } } + { \cfrac { 1 } { 2 g } } ~ { \frac { \partial g } { \partial g _ { m i } } } ~ { \frac { \partial g _ { i m } } { \partial q ^ { \ell } } } ~ v ^ { \ell } = { \frac { \partial v ^ { i } } { \partial q ^ { i } } } + { \cfrac { 1 } { 2 g } } ~ { \frac { \partial g } { \partial q ^ { \ell } } } ~ v ^ { \ell }
\varepsilon _ { \bullet } = \sqrt { \frac { \sum _ { \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathcal { D } _ { T } } { \left\| \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } ) - \mathbf { y } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } } { \sum _ { \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathcal { D } _ { T } } { \left\| \mathbf { y } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } } }
p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , P ) = ( 1 - P ) p _ { s } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } ) + P p _ { s } ( s ; \mu _ { t _ { b } } , \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { b } , \sigma _ { a } ) .
1 + 8 + 3 0 + 8 0 + \cdots + { \frac { n ^ { 2 } ( n + 1 ) ( n + 2 ) } { 3 ! } } = { \frac { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( 4 n + 1 ) } { 5 ! } }
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \overset \le | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | L _ { 3 } ( j _ { 1 } , k ) | | L _ { 4 } ( j _ { 1 } , k ) | } \\ & { \ + | j _ { 2 } | | L _ { 3 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 3 } ( j _ { 2 } , k ) | | L _ { 4 } ( j _ { 1 } , k ) | } \\ & { \ + | j _ { 2 } | | L _ { 3 } ( j _ { 2 } , k ) | | L _ { 4 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 4 } ( j _ { 2 } , k ) | } \\ & { \ + | L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) + L _ { 2 } ( j _ { 2 } , k ) | | L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 2 } ( j _ { 2 } , k ) | } \\ & { \ + | L _ { 5 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 5 } ( j _ { 2 } , k ) | + | L _ { 6 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 6 } ( j _ { 2 } , k ) | } \\ & { \overset { , - } { \le _ { \alpha } } | k | | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | j _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } n _ { R } } { \mathrm { d } t } } & { = P ( t ) - \left[ \gamma _ { R } + \alpha _ { 3 } ( n _ { 3 } + 1 ) + \alpha _ { 2 } ( n _ { 2 } + 1 ) + \alpha _ { 1 } ( n _ { 1 } + 1 ) \right] n _ { R } } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 3 } } { \mathrm { d } t } } & { = \alpha _ { 3 } n _ { R } ( n _ { 3 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 3 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 3 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 3 } \right) n _ { 3 } } \\ & { + \frac { 1 } { \tau _ { 3 2 } } \left[ e ^ { - \beta \Delta _ { 3 2 } } n _ { 2 } ( n _ { 3 } + 1 ) - n _ { 3 } ( n _ { 2 } + 1 ) \right] + \frac { 1 } { \tau _ { 3 1 } } \left[ e ^ { - \beta \Delta _ { 3 1 } } n _ { 1 } ( n _ { 3 } + 1 ) - n _ { 3 } ( n _ { 1 } + 1 ) \right] } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 2 } } { \mathrm { d } t } } & { = \alpha _ { 2 } n _ { R } ( n _ { 2 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 2 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 2 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 2 } \right) n _ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { \tau _ { 3 2 } } \left[ n _ { 3 } ( n _ { 2 } + 1 ) - e ^ { - \beta \Delta _ { 3 2 } } n _ { 2 } ( n _ { 3 } + 1 ) \right] + \frac { 1 } { \tau _ { 2 1 } } \left[ e ^ { - \beta \Delta _ { 2 1 } } n _ { 1 } ( n _ { 2 } + 1 ) - n _ { 2 } ( n _ { 1 } + 1 ) \right] } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { 1 } } { \mathrm { d } t } } & { = \alpha _ { 1 } n _ { R } ( n _ { 1 } + 1 ) - \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { r } } + \frac { 1 } { \tau _ { 1 } ^ { n r } } + \gamma ^ { ( 2 ) } n _ { 1 } \right) n _ { 1 } } \\ & { + \frac { 1 } { \tau _ { 3 1 } } \left[ n _ { 3 } ( n _ { 1 } + 1 ) - e ^ { - \beta \Delta _ { 3 1 } } n _ { 1 } ( n _ { 3 } + 1 ) \right] + \frac { 1 } { \tau _ { 2 1 } } \left[ n _ { 2 } ( n _ { 1 } + 1 ) - e ^ { - \beta \Delta _ { 2 1 } } n _ { 1 } ( n _ { 2 } + 1 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { d x ( t ) = } & { [ \bar { A } x ( t ) + B v ( t ) ] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { q } N _ { i } x ( t ) d W _ { i } ( t ) , } \\ { \bar { y } ( t ) : = } & { \left[ \begin{array} { l } { u ( t ) } \\ { y ( t ) } \end{array} \right] = \bar { C } x ( t ) + \left[ \begin{array} { l } { v ( t ) } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad t \geq 0 , } \end{array}
F _ { 1 1 } ^ { s } = F _ { 1 1 } ^ { c } = 4 N \left( \frac { 2 } { \pi \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \pi ^ { 2 } - 6 } { 9 } \, \frac { ( k h ) ^ { 2 } } { \alpha ^ { 3 } } ,
\pi ^ { a } { } _ { i } [ n ^ { \mu \, i } Y ^ { \nu } ] = \sqrt { - \gamma } \left( \Pi ^ { a } { } _ { i } [ n ^ { \mu \, i } Y ^ { \nu } ] - n ^ { \mu \, i } \Pi ^ { a } { } _ { i } [ X ^ { \nu } ] \right) \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } m r ^ { - 2 m - 2 } { \int _ { 0 } ^ { r } f _ { 0 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } d s } = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } m { \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { 0 } ( r s ) s ^ { 2 m + 1 } d s } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \frac { m } { m + 1 } { \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { 0 } ( r s ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } ) s d s } } \\ { = } & { \frac 1 2 f _ { 0 } ( r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \gamma ^ { \prime } ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { k } ^ { 0 } - x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } \gamma _ { k , i } ^ { \prime } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { \prime } | ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { k } ^ { 0 } - x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } \gamma _ { k , i } ^ { \prime } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | p ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { \prime } | ) + \lambda ( - | p ^ { j } | - | \gamma _ { 1 } ^ { j } | ) } \\ & { = C ( \gamma ^ { \prime } ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } , \lambda ) + \lambda ( - | p ^ { j } | - | \gamma _ { 1 } ^ { j } | ) . } \end{array}
s _ { 3 } = - ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } A _ { - } ) \, A _ { + } \partial _ { + } ^ { - 1 } A _ { + } - ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } A _ { + } ) \, A _ { - } \partial _ { - } ^ { - 1 } A _ { - } \, ,
\frac { 1 } { \ell _ { e } ( \omega ) } = \frac { 1 } { \ell _ { s } ( \omega ) } = \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } | \Delta \epsilon | ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 4 \pi } C ( k _ { r } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } - \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } ) ) \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime }
f _ { \mathrm { ~ 1 ~ J ~ F ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ \, ~ a ~ x ~ o ~ } } ( \ell ) = \frac { \lambda n _ { \mathrm { ~ D ~ } } } { \ell _ { 0 } } [ ( n _ { \mathrm { ~ S ~ } } - 2 ) \operatorname { t a n h } ( \ell / 2 n _ { \mathrm { ~ S ~ } } \ell _ { 0 } ) - 1 ]
\begin{array} { r l } { N _ { p o s t } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 F ^ { * } ( t _ { 0 } ) S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } - N _ { p r e } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } N _ { p r e } < \frac { F ^ { * } ( t _ { 0 } ) S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } } \\ { N _ { p r e } } & { \mathrm { ~ e l s e ~ } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\langle \lambda \vert \xi \rangle = \psi _ { \xi } ( \lambda ) = N \left( 1 - \vert \beta \vert \lambda ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( 1 - \sqrt { \vert \beta \vert } \lambda \right) ^ { i \xi / 2 } \left( 1 + \sqrt { \vert \beta \vert } \lambda \right) ^ { - i \xi / 2 }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = - \left( 1 + i ( \zeta _ { 0 } - \delta \zeta _ { \mathrm { N L } } + \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ) \right) a _ { + } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } f } \\ { 0 } & { = - \left( 1 + i ( \zeta _ { 0 } - \delta \zeta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ) \right) a _ { - } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } f } \end{array}
\left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \kappa } ( \mathbb { T } _ { L } ) } \leq C L ^ { \theta } \left\| \nabla f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \lambda } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { \theta } \left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \mu } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { 1 - \theta } + C \left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { T } _ { L } ) } .
A _ { \nu } = { \cal A } \left\{ \begin{array} { l l } { ( x _ { \pm } ) ^ { \pm \mathrm { i } \nu } } & { : \nu > 0 } \\ { ( - x _ { \pm } ) ^ { \pm \mathrm { i } \nu } } & { : \nu < 0 } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad x _ { \pm } = x \mp c t
\begin{array} { r l } & { f ( u ) = \frac { u } { 1 - u } , u \in [ 0 . 5 , 1 ) } \\ & { S ( x , \phi ) = n ( p _ { s } - p _ { d } ) \frac { \phi ( h _ { G } + 1 ) x + 1 - \phi } { \phi h _ { G } + 2 - \phi } + n p _ { d } , } \\ & { z _ { i } ( t ) = \frac { x _ { i } ( t ) } { 1 - x _ { i } ( t ) } , d _ { i } = n p _ { s } + n p _ { d } : = d , \forall i \in V . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } = \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 5 } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } - q \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 5 } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } } . } \end{array}
\Delta N / N = ~ 2 \sqrt { \langle ( N _ { \mathrm { a f t e r } } - N _ { \mathrm { b e f o r e } } ) ^ { 2 } \rangle _ { z } } / { \langle N _ { \mathrm { a f t e r } } + N _ { \mathrm { b e f o r e } } \rangle _ { z } }
\left( \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ s ~ T ~ o ~ K ~ e ~ e ~ p ~ } [ \mathrm { ~ i ~ d ~ x ~ } ] . \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } + \mathrm { ~ m ~ } . \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } \right)
X _ { m } ( t + n , x , s + n ) = X _ { m } ( t , x , s ) , \quad \forall m \in \ensuremath { \mathbb { N } } , \, n \in \ensuremath { \mathbb { Z } } , \, t , s \in \ensuremath { \mathbb { R } } , \, x \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } .
R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } ) = \beta I ( x : y ) _ { \tau , \bar { n } } - \chi ( \mathbf { E } : y ) _ { \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } } ,
\begin{array} { r l } { H _ { i n t } = - i \hbar \sum _ { n , q } } & { { } \left[ g _ { n q } \left( b _ { q } c _ { n } ^ { \dagger } v _ { n } + b _ { q } v _ { n } ^ { \dagger } c _ { n } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \frac { ( \beta - \alpha ) C _ { \star } } { \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } } \int _ { \gamma - \sigma } ^ { \gamma + \sigma } x \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { ( \beta - \alpha ) C _ { \star } } { \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } } \frac { 2 \gamma ^ { 2 . 5 } \sqrt { - \log \gamma } } { \sqrt { \pi } } ( 1 + \mathcal { O } ( \log \gamma \sqrt \gamma ) ) \quad ( \textrm { U s i n g } ) } \\ & { = \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 2 . 5 } ( - \log \gamma ) ^ { 0 . 5 } + \mathcal { O } \Bigl ( \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 3 } ( - \log \gamma ) ^ { 1 . 5 } \Bigr ) , } \\ { A _ { 2 } } & { = \alpha C _ { \star } + ( \beta - \alpha ) \int _ { \gamma - \sigma } ^ { \gamma + \sigma } \frac { C _ { \star \sigma } + m _ { \star \sigma } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x } \\ & { = \alpha C _ { \star } + ( \beta - \alpha ) \frac { 2 \sqrt { - \log \gamma } \gamma ^ { 3 . 5 } ( 1 + 2 \gamma \log \gamma ) ( 1 + \gamma + 2 \gamma \log \gamma ) } { \sqrt { \pi } } ( 1 + \mathcal { O } ( \log \gamma \sqrt \gamma ) ) \quad ( \textrm { U s i n g } ~ ) } \\ & { = \alpha C _ { \star } + \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 3 . 5 } ( - \log \gamma ) ^ { 0 . 5 } + \mathcal { O } \Bigl ( \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 4 } ( - \log \gamma ) ^ { 1 . 5 } \Bigr ) , } \\ { { C _ { \star } } ^ { - 1 } } & { = \alpha + ( \beta - \alpha ) \int _ { \gamma - \sigma } ^ { \gamma + \sigma } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x } \\ & { = \alpha + ( \beta - \alpha ) 2 \gamma ^ { 1 . 5 } \frac { \sqrt { - \log \gamma } } { \sqrt \pi } ( 1 + \mathcal { O } ( \log \gamma \sqrt \gamma ) ) \quad ( \textrm { U s i n g } ) } \\ & { = \alpha + \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 1 . 5 } ( - \log \gamma ) ^ { 0 . 5 } + \mathcal { O } \Bigl ( \frac { 2 ( \beta - \alpha ) } { \sqrt { \pi } } \gamma ^ { 2 } ( - \log \gamma ) ^ { 1 . 5 } \Bigr ) . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } + { \cal L } _ { \mathrm { c t } } \; ,