harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p ( [ n _ { X } R n _ { e } ] _ { t } | a _ { n } , b _ { n } ) } & { = \mathcal { I G } ( [ n _ { X } R n _ { e } ] _ { t } | a _ { n } , b _ { n } ) } \\ { p ( T _ { r o t } ^ { l o } { _ t } | a _ { r o t } , b _ { r o t } ^ { l o } ) } & { = \mathcal { I G } ( T _ { r o t } ^ { l o } { _ t } | a _ { r o t } , b _ { r o t } ^ { l o } ) } \\ { p ( T _ { r o t } ^ { h i } { _ t } | a _ { r o t } , b _ { r o t } ^ { h i } ) } & { = \mathcal { I G } ( T _ { r o t } ^ { h i } { _ t } | a _ { r o t } , b _ { r o t } ^ { h i } ) } \\ { p ( T _ { v i b } ^ { l o } { _ t } | a _ { v i b } , b _ { v i b } ^ { l o } ) } & { = \mathcal { I G } ( T _ { v i b } ^ { l o } { _ t } | a _ { v i b } , b _ { v i b } ^ { l o } ) } \\ { p ( T _ { v i b } ^ { h i } { _ t } | a _ { v i b } , b _ { v i b } ^ { h i } ) } & { = \mathcal { I G } ( T _ { v i b } ^ { h i } { _ t } | a _ { v i b } , b _ { v i b } ^ { h i } ) , } \end{array}
Z = \int [ D \phi ] [ D \psi _ { a } ] [ D \bar { \psi } _ { a } ] \exp \left\{ i \int _ { 0 } ^ { T } d t \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \ { \cal L } [ \phi , \psi _ { a } , \bar { \psi } _ { a } ] \right\}
D _ { g } ^ { \chi _ { c J } } ( z , \mu _ { 0 } ) = \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) } { m _ { c } ^ { 5 } } d _ { g } ^ { [ \, \underline { { { 1 } } } , { } ^ { 3 } \! P _ { J } ] } ( z ) \langle 0 | { \cal O } _ { 1 } ^ { \chi _ { c J } } ( { } ^ { 3 } \! P _ { J } ) | 0 \rangle + \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { 0 } ) } { m _ { c } ^ { 3 } } d _ { g } ^ { [ \, \underline { { { 8 } } } , { } ^ { 3 } \! S _ { 1 } ] } ( z ) \langle 0 | { \cal O } _ { 8 } ^ { \chi _ { c J } } ( { } ^ { 3 } \! S _ { 1 } ) | 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( \sigma _ { D } < t ; X _ { t } \in A ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { u \uparrow t } \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( \sigma _ { D } < u ; X _ { t } \in A ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { u \uparrow t } \ensuremath { \mathbb { E } } _ { x } \left[ \sigma _ { D } < u ; \int _ { A } p ( t - \sigma _ { D } , X _ { \sigma _ { D } } , y ) \, d y \right] } \\ & { = \ensuremath { \mathbb { E } } _ { x } \left[ \sigma _ { D } < t ; \int _ { A } p ( t - \sigma _ { D } , X _ { \sigma _ { D } } , y ) \, d y \right] } \\ & { = \int _ { A } \ensuremath { \mathbb { E } } _ { x } \bigg [ \sigma _ { D } < t ; p ( t - \sigma _ { D } , X _ { \sigma _ { D } } , y ) \bigg ] \, d y . } \end{array}
F = - \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } D _ { n } ^ { f f } ( \theta _ { o n } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \mathrm { m a x } \{ D _ { n } ^ { f f } ( \theta _ { o n } ^ { \mathrm { S L L } } ) - S _ { n } , 0 \} ,
u ( t , x ) = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { n N } } \zeta ( \Xi ) \, \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \widehat { f } _ { j } ( \xi _ { j } ) \, e ^ { i x \cdot \xi _ { j } + i r \varphi _ { j } ( \xi _ { j } ) } \right) \, e ^ { i ( t - r ) \varphi _ { 0 } ( \xi _ { 1 } + \cdots + \xi _ { N } ) } \, \mathrm { d } \Xi \, \, \mathrm { d } r .
\rho ~ { \dot { \eta } } \geq - { \cfrac { 1 } { T } } ~ { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { q } + { \cfrac { 1 } { T ^ { 2 } } } ~ \mathbf { q } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } T + { \frac { \rho ~ s } { T } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \rho ~ { \dot { \eta } } \geq - { \cfrac { 1 } { T } } \left( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { q } - \rho ~ s \right) + { \frac { 1 } { T ^ { 2 } } } ~ \mathbf { q } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } T .
\begin{array} { r l } { \hat { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { \hat { a } _ { m } ^ { \mathrm { o u t } } | _ { m \to \infty } } \\ { = } & { ( s _ { 1 1 } + \frac { s _ { 1 2 } s _ { 2 1 } \sqrt { 1 - L } } { e ^ { i \theta _ { 0 } } - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } ) \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ & { + ( 1 + \frac { s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } { e ^ { i \theta _ { 0 } } - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } } ) s _ { 1 2 } \sqrt { L } \hat { v } _ { b } , } \\ { \hat { b } ^ { \mathrm { o u t } } = } & { \hat { b } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } | _ { m \to \infty } } \\ { = } & { \frac { s _ { 2 1 } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + \frac { s _ { 2 2 } \sqrt { L } } { 1 - s _ { 2 2 } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } } \hat { v } _ { b } . } \end{array}
L _ { B } = - { \frac { 1 } { 4 } } H ^ { 2 } { } _ { \mu \nu } ( B ) + { \frac { m } { 4 ! } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \omega } \, B _ { \mu } \, \partial _ { \, [ \, \nu } A _ { \rho \sigma \, ] } - { \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } } F ^ { 2 } { } _ { \mu \nu \rho } ( A )
\Delta ( x - x ^ { \prime } ) | _ { m = 0 } = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + i \pi \delta ( ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l } { 1 - \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) } \rangle } } & { = 1 - \ensuremath { \langle { \psi _ { 0 } } \rvert } U ^ { \dag } ( { \boldsymbol { \theta } } ) U ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) \ensuremath { \lvert { \psi _ { 0 } } \rangle } } \\ & { = \ensuremath { \langle { \psi _ { 0 } } \rvert } U ^ { \dag } ( { \boldsymbol { \theta } } ) [ U ( { \boldsymbol { \theta } } ) - U ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \lvert { \psi _ { 0 } } \rangle } } \\ & { \leq \lVert U ( { \boldsymbol { \theta } } ) - U ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { \prime } ) \rVert } \\ & { \leq \sum _ { j \in [ N ] } \lVert U _ { j } ( \theta _ { j } ) - U _ { j } ( \theta _ { j } ^ { \prime } ) \rVert } \\ & { = \sum _ { j \in [ N ] } \lVert e ^ { A _ { j } \theta _ { j } } - e ^ { A _ { j } \theta _ { j } ^ { \prime } } \rVert } \\ & { = 2 \sum _ { j \in [ N ] } \left\lVert \sin \left[ \frac { A _ { j } } { 2 } ( \theta _ { j } - \theta _ { j } ^ { \prime } ) \right] \right\rVert \leq \sum _ { j \in [ N ] } \lVert A _ { j } \rVert | \theta _ { j } - \theta _ { j } ^ { \prime } | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu } & { \equiv } & { \delta \left( \mathbf { P } \right) = \nu ^ { \left( 0 \right) } + \nu ^ { \left( 1 \right) } , } \\ { \nu ^ { \left( 0 \right) } } & { \equiv } & { \delta ^ { \left( 0 \right) } \left( \mathbf { P } \right) = \delta - \mathbf { k \cdot } \frac { \mathbf { P } } { M } , } \\ { \nu ^ { \left( 1 \right) } } & { = } & { - \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T , } \\ { \phi \left( \mathbf { P } \right) } & { = } & { \phi + \nu ^ { \left( 0 \right) } T - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { k \cdot g } - \alpha \right) T ^ { 2 } . } \end{array}
{ h } ( x , y , t ) = \tilde { h } _ { 0 } ( t ) + \tilde { h } _ { x } ( t ) x + \tilde { h } _ { y } ( t ) y + \frac { 1 } { 2 } \tilde { h } _ { x x } ( t ) x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \tilde { h } _ { y y } ( t ) y ^ { 2 } + \tilde { h } _ { x y } ( t ) x y ,
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb { R } } \psi ( x ) \left( u _ { x } ( t , x ) - u _ { \Delta x , x } ( t , x ) \right) d x \right| } & { = \left| \int _ { \mathbb { R } } \psi ^ { \prime } ( x ) \left( u ( t , x ) - u _ { \Delta x } ( t , x ) \right) d x \right| } \\ & { \leq \| \psi ^ { \prime } \| _ { 1 } \| u ( t ) - u _ { \Delta x } ( t ) \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta = C \cdot \mathrm { n } ^ { 2 } \cdot \sqrt { 2 } \cdot \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 \alpha - 2 ) } , \quad \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } , \quad C \in \mathcal { N } ( 0 , \mathrm { ~ I ~ } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \vert \partial _ { x } ^ { I } \partial _ { v } ^ { J } f ^ { \mathrm { i n } } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v \lesssim \Lambda ( T , R ) \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert \mathrm { V } ^ { t ; 0 } ( x , v ) \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \vert \partial _ { x } ^ { I } \partial _ { v } ^ { J } f ^ { \mathrm { i n } } ( x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { 1 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( J + 2 \mathcal { D } + C ) / 2 ; } & { { } ~ ~ I _ { 1 } = ( 1 - \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 2 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( J + 2 \mathcal { D } - C ) / 2 ; } & { { } ~ ~ I _ { 2 } = ( 1 + \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 3 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( - J - 2 \mathcal { D } + C ) / 2 ; } & { { } ~ ~ I _ { 3 } = ( 1 + \sin \xi ) / 2 } \\ { \nu _ { 4 } = \nu _ { o \! f \! f } + ( - J - 2 \mathcal { D } - C ) / 2 ; } & { { } ~ ~ I _ { 4 } = ( 1 - \sin \xi ) / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { e e ^ { \prime } } } { d t } } & { = } & { i \omega _ { e ^ { \prime } \! e } \rho _ { e e ^ { \prime } } + i \sum _ { e ^ { \prime \prime } } ( \chi _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } \rho _ { e e ^ { \prime \prime } } - \chi _ { e e ^ { \prime \prime } } \rho _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { + \frac { i } { 2 } \sum _ { g } ( \Omega _ { g e ^ { \prime } } \rho _ { e g } - \Omega _ { e g } \rho _ { g e ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g , e ^ { \prime \prime } } ( \gamma _ { e g e ^ { \prime \prime } \! g } \rho _ { e ^ { \prime \prime } \! e ^ { \prime } } + \gamma _ { e ^ { \prime \prime } \! g e ^ { \prime } \! g } \rho _ { e e ^ { \prime \prime } } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbb { E } \left[ Z _ { m _ { j } , 1 } ^ { d } \left( 1 - \exp \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \phi _ { d } \left( \widetilde { X } _ { m _ { j } - 1 , i } ^ { d } , Z _ { m _ { j } , i } ^ { d } \right) \right) \right) _ { + } \middle | \mathcal { F } \right] } } \\ { = \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \mathcal { G } \left( \widetilde { X } _ { m _ { j } - 1 , 1 } ^ { d } , \sum _ { i = 2 } ^ { d } \phi _ { d } \left( \widetilde { X } _ { m _ { j } - 1 , i } ^ { d } , Z _ { m _ { j } , i } ^ { d } \right) \right) \middle | \mathcal { F } \right] } \; , } \end{array}
{ \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { E } } { \partial t ^ { 2 } } } - \nabla ^ { 2 } \mathbf { E } = - \left( { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } } \nabla \rho + \mu _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { J } } { \partial t } } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { C } _ { \Theta } ^ { t } ( \mathfrak { g } _ { B } ) = \left( \tilde { \mathbf { C } } _ { 1 1 } - K \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 1 } \right) , } \\ & { \mathcal { D } _ { \Theta } ^ { t } ( \mathfrak { g } _ { B } , \xi _ { B } ) = \Bigg ( \left( K \tilde { S } _ { 2 2 } \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 1 } - \tilde { S } _ { 1 1 } \tilde { \mathbf { C } } _ { 1 1 } + K \tilde { \textbf { N } } _ { 2 1 } - \tilde { \textbf { N } } _ { 1 1 } \right) } \\ & { + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \displaystyle \sum _ { j \in \{ 1 , \dots , 4 \} } A _ { j } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \left( \widehat { J _ { i } \Omega _ { i } } A _ { i } ^ { \top } - m _ { i } \widehat { \hat { \kappa } _ { i } \Omega _ { i } } A _ { i } ^ { \top } \hat { \mu } _ { i } \right) } \end{array} \right] } \\ & { + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } m _ { i } A _ { B } \widehat { A _ { i } \hat { \kappa } _ { i } \Omega _ { i } } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } - \widehat { J _ { i } ^ { [ 2 3 ] } \Omega _ { i } } } \end{array} \right] \Bigg ) } \\ & { \mathcal { V } _ { \Theta } ^ { t } \left( \mathfrak { g } _ { B } \right) = \left( K \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 2 } - \tilde { \mathbf { C } } _ { 1 2 } \right) \dot { \xi } _ { w } + \Big ( K \tilde { S } _ { 2 2 } \tilde { \mathbf { C } } _ { 2 2 } - \tilde { N } _ { w } \Big ) \xi _ { w } + } \\ & { \tilde { F } _ { \mathrm { g } 1 } - K \tilde { F } _ { \mathrm { g } 2 } } \\ & { \mathcal { F } _ { \Theta } ^ { t } \left( \mathfrak { g } _ { B } , \xi _ { B } \right) = \tilde { F } _ { a 1 } - K \tilde { F } _ { a 2 } . } \end{array}
( E _ { 0 } ) _ { \mathrm { v a r } } = - m ^ { 2 } = \kappa ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { 1 } { { \frac { D } { 2 } } - 1 } } \right) = \kappa ^ { 2 } { \frac { D - 4 } { D - 2 } } \; \; \; ,
\varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert , \cos \theta \right) = \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } \sigma _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert , \cos \theta \right) \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \theta } ^ { G } } & { = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { y } ^ { 2 } } \iint \rho _ { 1 } ( x - \Delta _ { x } , y - \Delta _ { y } , \theta ) \rho _ { 2 } ( x , y , \theta ) \, d x \, d y } \\ & { = \Omega _ { \theta , x } ( \Delta _ { x } , \theta ) \, \Omega _ { \theta , y } ( \Delta _ { y } , \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \{ N _ { k } \} } = E _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } + \sum _ { k } \hbar \omega _ { k } N _ { k } \; \; , \; \; N _ { k } = 0 , 1 , 2 , . . . . } \\ & { \Psi _ { \{ N _ { k } \} } ( \{ Q _ { k } \} ) = \prod _ { k } \psi _ { N _ { k } } ( \beta _ { k } Q _ { k } ) \; \; , \; \; \beta _ { k } = \sqrt { \omega _ { k } / \hbar } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t _ { 2 } , t _ { 2 } - \tau ) [ w ( x , t _ { 2 } - \tau ) w _ { 1 } ( t _ { 2 } - \tau ) - w ( x , t _ { 1 } - \tau ) w _ { 1 } ( t _ { 1 } - \tau ) ] d \tau } { \tau ^ { \theta } } , } \\ { J _ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } \frac { [ \mathcal { W } ( \xi ; t _ { 2 } , t _ { 2 } - \tau ) - \mathcal { W } ( \xi ; t _ { 1 } , t _ { 1 } - \tau ) ] [ w ( x , t _ { 1 } - \tau ) w _ { 1 } ( t _ { 1 } - \tau ) - w ( x , 0 ) w _ { 1 } ( 0 ) ] d \tau } { \tau ^ { \theta } } , } \\ { J _ { 3 } } & { = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t _ { 2 } , t _ { 2 } - \tau ) [ w ( x , t _ { 2 } - \tau ) w _ { 1 } ( t _ { 2 } - \tau ) - w ( x , 0 ) w _ { 1 } ( 0 ) ] d \tau } { \tau ^ { \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | F _ { j } ^ { k } ( f \otimes f ) ( y , t _ { l } ) | } \\ & { \le 2 ^ { 4 j } \int _ { \mathbb { R } ^ { 4 } } \sum _ { \nu } | K _ { t _ { l } } ^ { \nu } ( y - z ) | \sum _ { \nu ^ { \prime } } | K _ { t _ { l } } ^ { \nu ^ { \prime } } ( y - w ) | | f ( w ) | | f ( z ) | d w d z } \\ & { \le 2 ^ { 4 j } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { ( w _ { 2 } , z _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } } | f ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) | | f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) | } \\ & { \quad \quad \times \sum _ { \nu } \int _ { \mathbb { R } } | K _ { t _ { l } } ^ { \nu } ( y _ { 1 } - z _ { 1 } , y _ { 2 } - z _ { 2 } ) | d z _ { 2 } \sum _ { \nu ^ { \prime } } \int _ { \mathbb { R } } | K _ { t _ { l } } ^ { \nu ^ { \prime } } ( y _ { 1 } - w _ { 1 } , y _ { 2 } - w _ { 2 } ) | d w _ { 2 } d z _ { 1 } d w _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { { \bf Y } } _ { 1 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { { \bf Y } } _ { 2 } ^ { + } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } & { { } = } & { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
{ \delta } ( q _ { - } ) \frac { - m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i { \varepsilon } } = { \delta } ( q _ { - } ) \left( 1 + \frac { n ^ { 2 } q _ { + } ^ { \; \; 2 } } { q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i { \varepsilon } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \operatorname* { i n f } _ { \| \bar { y } \| _ { p } = 1 } \frac { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| ^ { 3 } } { 2 ( \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } + \alpha ( \bar { y } ) \| \bar { y } \| ^ { 2 } - \sqrt { \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } + \alpha ( \bar { y } ) \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \alpha ( \bar { y } ) \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } \right) ^ { 3 } } \right) \ , } \\ { L } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| \bar { y } \| _ { p } = 1 } \frac { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| ^ { 3 } } { 2 ( \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } + \beta ( \bar { y } ) \| \bar { y } \| ^ { 2 } - \sqrt { \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } + \beta ( \bar { y } ) \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \beta ( \bar { y } ) \left( \frac { \nabla f ( \bar { y } ) ^ { T } \bar { y } } { \| \nabla f ( \bar { y } ) \| } \right) ^ { 3 } } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { 0 } } & { = \mathbf { x } } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , \qquad 1 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } \end{array}
\eta ^ { 2 } = 1 + \zeta \, \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } - \left( 1 + \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 p \, \beta ^ { 2 } } \right) ^ { 1 - p } \, \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \; \, .
\begin{array} { r } { \theta = \operatorname* { m i n } \left\{ \zeta , \frac { \nu } { 4 r } \left( \frac { \zeta } { C _ { f } } \right) ^ { r } \right\} , \quad K _ { 0 } = K = \left\lceil \frac { 4 R ^ { 2 } \operatorname* { m a x } \{ C _ { f } ^ { 2 } , C _ { g } ^ { 2 } \} } { \theta ^ { 2 } } \right\rceil , \quad \tau = \frac { R } { \operatorname* { m a x } \{ C _ { f } , C _ { g } \} \sqrt { K } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { \mathrm { { a b } } } ( t | z _ { 0 } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \beta _ { n } ^ { 2 } D t / H ^ { 2 } } \times } \\ & { \frac { 2 D \beta _ { n } } { H ^ { 2 } } \biggl [ \beta _ { n } \cos ( \beta _ { n } z _ { 0 } / H ) + \frac { \kappa _ { a } \beta _ { n } ^ { 2 } } { \beta _ { n } ^ { 2 } - \kappa _ { d } } \sin ( \beta _ { n } z _ { 0 } / H ) \biggr ] \times } \\ & { \footnotesize \biggl [ \biggl ( 1 + \frac { 2 \kappa _ { a } \kappa _ { d } } { ( \beta _ { n } ^ { 2 } - \kappa _ { d } ) ^ { 2 } } \biggr ) \beta _ { n } \sin \beta _ { n } - \biggl ( 1 + \frac { \kappa _ { a } \beta _ { n } ^ { 2 } } { \beta _ { n } ^ { 2 } - \kappa _ { d } } \biggr ) \cos \beta _ { n } \biggr ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } \{ \partial _ { x } u \} \ \to \ \sum _ { k } \hat { u } \cdot \overbrace { \left[ \imath \cdot k \right] } ^ { k _ { \mathrm { c o n v , e x } } } e ^ { \imath k x _ { i } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { F } \{ \partial _ { x } ^ { 2 } u \} \ \to \ \sum _ { k } \hat { u } \cdot \overbrace { \left[ - k ^ { 2 } \right] } ^ { k _ { \mathrm { d i f f , e x } } } e ^ { \imath k x _ { i } } \ . } \end{array}
n = n _ { \operatorname* { m a x } } \exp ( - x ^ { 2 } / w _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } ) \exp ( - y ^ { 2 } / w _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } ) \operatorname { t a n h } ( z ^ { \mathrm { { \ m u m } } } )
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = I ( X _ { 1 } ; X _ { 0 } ) = H ( X _ { 0 } ) + H ( X _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } ) } \\ & { \leq H ( X _ { 0 } ) + H ( X _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } | Y _ { 1 } ) , } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \leq I ( Y _ { 1 } ; X _ { 0 } , X _ { 1 } ) = H ( Y _ { 1 } ) + H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } , Y _ { 1 } ) } \\ & { \leq H ( Y _ { 1 } ) + H ( X _ { 0 } ) + H ( X _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } , Y _ { 1 } ) } \\ & { = H ( X _ { 0 } ) + H ( Y _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , Y _ { 1 } | X _ { 1 } ) , } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \leq I ( X _ { 1 } ; X _ { 0 } ) + I ( Y _ { 1 } ; X _ { 0 } , X _ { 1 } ) = H ( X _ { 1 } ) + H ( Y _ { 1 } ) - H ( X _ { 1 } , Y _ { 1 } | X _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } \right) = } & { { } \frac { \partial { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } \right) } { \partial { { \theta } _ { n } } } } \\ { = } & { { } 2 \alpha A \left\{ { { e } ^ { 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } - { { e } ^ { \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } \right\} } \\ { - } & { { } 2 \alpha A \left\{ { { e } ^ { - 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M o r s e } \right) } } - { { e } ^ { - \alpha \left( \Delta { { \theta } _ { n , m } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - \Delta \theta _ { M o r s e } \right) } } \right\} . } \end{array}
\mathcal { D } ( { \tiny \begin{array} { c } { 1 } \end{array} } ) = \left\{ \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) : y , z \in \mathbb { R } \right\} , \qquad \mathcal { D } ( { \tiny \begin{array} { c } { 2 } \end{array} } ) = \left\{ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { 0 } \\ { z } \end{array} \right) : x , z \in \mathbb { R } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { \omega } ( t ) = } & { { } \frac { 4 \pi ^ { 3 } } { \sqrt { \omega } } \int \operatorname* { m i n } \left( \sqrt { \omega } , \sqrt { \omega _ { 1 } } , \sqrt { \omega _ { 2 } } , \sqrt { \omega _ { 3 } } \right) n _ { \omega } n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 , 0 } } & { \! \! = \! \! \frac { p \! + \! ( 1 \! - \! p ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } } { 4 p \! + \! 2 p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - 2 p ) } \! , \! \pi _ { 0 , 1 } \! \! = \! \! \frac { p ( 1 \! - \! p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) } { 4 p \! + \! 2 p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - 2 p ) } \! , \! } \\ { \pi _ { 1 , 0 } } & { \! \! = \! \! \frac { p ( 1 \! - \! p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ) } { 4 p \! + \! 2 p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - 2 p ) } \! , \! \pi _ { 1 , 1 } \! \! = \! \! \frac { p \! + \! ( 1 \! - \! p ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } } { 4 p \! + \! 2 p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } ( 1 - 2 p ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle { f } _ { Q } \rangle ( x , y , z , t ) = - 2 \rho \langle { Q } \rangle \phi } \\ & { = - 2 \rho [ Q _ { \langle { u } \rangle \langle { u } \rangle } + 2 Q _ { \bar { u } \langle { u } \rangle } + 2 \langle { Q } _ { \langle { u } \rangle u ^ { \prime } } \rangle + \langle { Q } _ { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } \rangle ] \phi . } \end{array}
\begin{array} { r } { K = \frac { ~ \sum K _ { p } ^ { i } ~ } { ~ 3 ~ } = \frac { 1 } { 3 } \, \bigg [ - \frac { 2 } { R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}