harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \left[ y _ { i } - y _ { j } ^ { ( i ) } - B _ { j } ^ { ( i ) } \right] - z _ { 1 - \alpha / 2 } \Delta _ { \lambda } , \ \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \left[ y _ { i } - y _ { j } ^ { ( i ) } + B _ { j } ^ { ( i ) } \right] + z _ { 1 - \alpha / 2 } \Delta _ { \lambda } \right] ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { j k } ( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v ) } & { = \partial _ { j } \left[ ( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 2 } ) \partial _ { k } v + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v ^ { 2 } \partial _ { k } \overline { { v } } \right] } \\ & { = ( 2 f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) + f _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 2 } ) \partial _ { j } | v | ^ { 2 } \partial _ { k } v + ( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 2 } ) \partial _ { j k } v } \\ & { \quad + f _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v ^ { 2 } \partial _ { j } | v | ^ { 2 } \partial _ { k } \overline { { v } } + 2 f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v \partial _ { j } v \partial _ { k } \overline { { v } } + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v ^ { 2 } \partial _ { j k } \overline { { v } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( 2 \beta + \omega ) K } { 3 \sigma } } & { \le \left| \int _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k \right| } \\ & { \le ( \phi * f _ { * } ) ( x ) + \left| \sum _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } - \phi * f _ { * } ( x ) \right| } \\ & { < \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \frac { \tau ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } ) + \frac { K } { \sigma } \omega + \epsilon \frac { K } { \sigma } + \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) } \\ & { \le \frac { K } { \sigma } \left( \frac { \beta - \omega } { 6 } + \omega + \frac { \beta - \omega } { 6 } + \frac { \beta - \omega } { 6 } \right) = \frac { ( \beta + \omega ) K } { 2 \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 ( n _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } , } \\ & { \frac { 1 } { s _ { W } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { W } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle \leq n _ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array} \quad \quad \begin{array} { r l } { [ c ] } & { \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 n _ { \operatorname* { m a x } } , } \\ & { \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 n _ { \operatorname* { m a x } } . } \end{array}
V = \left[ \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { 2 a C _ { 1 } } } } & { { - \frac { a + b + \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { c _ { 2 } } } } & { { - \frac { a + b - \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { c _ { 3 } } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 a C _ { 1 } } } } & { { \frac { a - b - \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { c _ { 2 } } } } & { { \frac { a - b + \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { c _ { 3 } } } } \\ { { \frac { 1 } { C _ { 1 } } } } & { { \frac { 1 } { C _ { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { C _ { 3 } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { \psi ( \mathbf { r } , t ) } & { = } & { \psi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , t ) \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , t ) } & { = } & { \exp \left[ i \nu \int _ { t } d s \frac { \kappa } { | \mathbf { r } + \mathbf { p } ( s - t ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t ) | } \right] , } \end{array}
{ \cal A } ( p _ { B } , p _ { \pi } ) = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { u b } ( \bar { \ell } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu _ { \ell } ) \langle \pi ( p _ { \pi } ) | \bar { u } \gamma ^ { \mu } b | \bar { B } ( p _ { B } ) \rangle ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial v } { \partial z } } & { = } & { \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial z } + \epsilon \left( \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial Z } + \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial z } \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } } & { = } & { \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial z ^ { 2 } } + \epsilon \left( 2 \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial Z \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { 1 } = K ^ { 3 } ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) \left( \frac { 7 } { 2 0 } E - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K \right) + E ^ { 3 } \left( ( 2 k _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) E - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K \right) + K E ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) \left( ( \frac { 7 3 } { 2 0 } - 2 k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ^ { 2 } - 6 K E + 5 E ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { r - 1 } } & { : = C _ { r - 1 } - ( | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } ) C _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { i = 2 } ^ { ( r - 1 ) / 2 } ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 i + 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 i } ) C _ { i } } \\ & { - \sum _ { i = ( r + 1 ) / 2 } ^ { r - 2 } ( | \mathfrak { p } | ^ { i } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } + | \mathfrak { p } | ^ { i - \frac { r - 1 } { 2 } } - 1 ) ( C _ { i } - | \mathfrak { p } | C _ { i + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 1 } } & { { } = a _ { 1 1 } \Gamma , } \\ { m _ { 2 } } & { { } = a _ { 1 1 } S _ { 1 1 } , } \\ { m _ { 3 } } & { { } = b _ { 1 1 } \Gamma , } \\ { m _ { 4 } } & { { } = b _ { 1 1 } S _ { 2 2 } , } \\ { m _ { 5 } } & { { } = a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } S _ { 2 1 } S _ { 1 2 } , } \\ { m _ { 6 } } & { { } = \frac { a _ { 1 1 } \left( \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 1 1 } \right) } { \Gamma S _ { 2 2 } - 1 } , } \\ { m _ { 7 } } & { { } = \frac { b _ { 1 1 } \left( \Gamma S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } - \Gamma S _ { 1 2 } S _ { 2 1 } - S _ { 2 2 } \right) } { \Gamma S _ { 1 1 } - 1 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 4 } ) x + k t \mu - k \tau \mathrm { i } } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 2 } } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \tau \mathrm { i } } { | 1 + z | ^ { 2 } } } & { - \frac { ( 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 4 } ) \bar { x } + k t \mu + k \tau \mathrm { i } } { ( 1 + \bar { z } ) ^ { 2 } } } & { - \frac { 1 + \frac { k ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu } { 2 } } { ( 1 + \bar { z } ) ^ { 2 } } \bar { y } ^ { \top } I _ { p - 1 , q } } & { 0 } \end{array} \right) .
- \hbar \frac { Y _ { 2 } ( \lambda ) \partial _ { \lambda } Y _ { 1 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) \partial _ { \lambda } Y _ { 2 } ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) } \overset { \lambda \to \infty } { = } \frac { \hbar } { 4 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } \right)
\begin{array} { r l } & { \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } ^ { 2 } \lambda = 0 , \quad \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \mathbf n \cdot \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \lambda = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma , } \\ & { \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \quad \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { e s t } } & { = f _ { o n } \bigg ( - \frac { \beta } { b } \frac { e ^ { - \beta ( t _ { o n } + \tau ) } } { 1 - e ^ { - \beta \tau } } \ln { \bigg [ S _ { c } ( t _ { o n } , t _ { o n } + \tau ) - \mathrm { I F R } \bigg ] } \bigg ) ^ { \alpha / \beta } - f _ { o n } } \\ & { = f _ { o n } \bigg ( - \frac { \beta } { b } \frac { e ^ { - \beta ( t _ { o n } + \tau ) } } { 1 - e ^ { - \beta \tau } } \ln { \bigg [ \exp { \bigg ( - \frac { b } { \beta } e ^ { \beta ( t _ { o n } + \tau ) } ( 1 - e ^ { - \beta \tau } ) \bigg ) } - \mathrm { I F R } \bigg ] } \bigg ) ^ { \alpha / \beta } - f _ { o n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ ( H ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \right] ^ { \prime } ( 0 ) } & { = 2 \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \frac { H ^ { - 1 } ( s ) } { H ^ { \prime } \left( H ^ { - 1 } ( s ) \right) } = 2 \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \frac { H ^ { - 1 } ( s ) } { H ^ { \prime \prime } ( 0 ) H ^ { - 1 } ( s ) + o \left( H ^ { - 1 } ( s ) ^ { 2 } \right) } } \\ & { = 2 \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \frac { 1 } { H ^ { \prime \prime } ( 0 ) + \frac { o \left( H ^ { - 1 } ( s ) ^ { 2 } \right) } { H ^ { - 1 } ( s ) } } = \frac { 2 } { H ^ { \prime \prime } ( 0 ) } = \frac { 2 } { Q ^ { \prime } ( 0 ) } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { B } } & { { } = \gamma \left( \Delta t _ { A } - \frac { v \Delta x _ { A } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { \Delta x _ { B } } & { { } = \gamma \left( \Delta x _ { A } - v \Delta t _ { A } \right) } \end{array}
F _ { h } ( \xi ) = \left[ F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } - F _ { h } ^ { \delta } ( 0 ) \right] g _ { L } ( \xi ) + F _ { h } ^ { \delta } ( \xi ) + \left[ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { h } ^ { \delta } ( 1 ) \right] g _ { R } ( \xi )
{ \mathcal { S } } = \int { d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left( { \mathcal { R } } - G _ { \mu \nu } \phi ^ { \mu \nu } + \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \left[ \phi _ { \mu \nu } \phi ^ { \mu \nu } - \phi ^ { 2 } \right] \right) } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \lambda } _ { 1 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 2 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 3 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 4 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 5 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 6 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 7 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \lambda } _ { 8 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) , } \end{array}
b _ { i } = \sum _ { \rho \in { \cal B } / \{ 0 \} } e _ { i } ^ { ( B , \rho ) } x _ { \rho } , \; \; r _ { i } = \sum _ { \rho \in { \cal R } / \{ 0 \} } e _ { i } ^ { ( R , \rho ) } y _ { \rho } ,
\begin{array} { r } { | \vec { A } | _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } ^ { 2 } \leq c _ { \phi } \| \vec { \phi } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { \Omega } ) } ^ { 2 } + c _ { \phi } ^ { c } T \| \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } \| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + c _ { \psi } T \| \vec { \psi } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { \Omega } ) } ^ { 2 } + c _ { f } \operatorname* { m a x } \{ T , T ^ { 2 } \} \| \vec { j } _ { a } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( { Q } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \nu = g ( L , L _ { \mathrm { t g t } } ) } & { \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { \mathrm { t h } } , } & { \! L < L _ { \mathrm { t g t } } , } \\ { \log ( L / L _ { \mathrm { t g t } } ) + \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { \mathrm { t h } } , } & { \! L \geq L _ { \mathrm { t g t } } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal J } _ { 2 } = \frac { - 3 6 } { b ^ { 2 } ( b + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u _ { 1 } u _ { 1 } ( 1 - u _ { 1 } ) ^ { b } \, { } _ { 2 } F _ { 1 } ( b , b + 1 ; b + 2 ; u _ { 1 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k + 1 } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( 1 + \beta _ { k } \mu _ { g } / 4 ) \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + O \left( \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { \beta _ { k } \mu _ { g } } \right) \cdot ( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] ) + O \left( \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 4 } \mu _ { g } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\int _ { \bigcup \mathcal A } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ; r ) ) ^ { p - 1 } \frac { \, \mathrm d r } { r ^ { p - 1 } } \geq \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ^ { * } ; r ^ { * } ) ) \int _ { 0 } ^ { \bar { T } } \frac { \, \mathrm d s } { s ^ { p - 1 } } = \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ^ { * } ; r ^ { * } ) ) \frac { { \bar { T } } ^ { 2 - p } } { 2 - p } .
C _ { K 3 } ^ { f u l l } \equiv e _ { A } \, \cap \, e _ { B } = \left( \begin{array} { l l } { { \begin{array} { l l l } { { \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sigma _ { 1 } } } \end{array} } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { \begin{array} { l l } { { - C ( E _ { 8 } ) } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { - C ( E _ { 8 } ) } } \end{array} } } \end{array} \right) \ ,
| V _ { 3 } \rangle = e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } b _ { i \, n } ^ { L \dag } b _ { i - 1 \, n } ^ { R \dag } } \Pi _ { i = 1 } ^ { 3 } | 0 \rangle _ { i } ^ { L } | 0 \rangle _ { i } ^ { R } .
\begin{array} { r l } & { N _ { \mathrm { s t } } ( g , q ) } \\ { = } & { 2 ^ { \frac { q + 1 } { q + 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { g } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { i } - \frac { q + 1 } { q + 3 } g } \times { ( q + 2 ) } ^ { q } \times } \\ & { { ( q + 2 ) } ^ { \frac { q ^ { 2 } + 2 q - 1 } { q + 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { g } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { i } + \frac { q + 1 } { q + 3 } g } } \\ { = } & { 2 ^ { \frac { 2 ( q + 1 ) } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } - \left( \frac { q + 1 } { q + 3 } \right) g - \frac { { ( q + 1 ) } ^ { 2 } ( q + 2 ) } { { q ( q + 3 ) } ^ { 2 } } } \times } \\ & { { ( q + 2 ) } ^ { \frac { 2 ( q ^ { 2 } + 2 q - 1 ) } { q { ( q + 3 ) } ^ { 2 } } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } + \left( \frac { q + 1 } { q + 3 } \right) g + \frac { q ^ { 3 } + 2 q ^ { 2 } - q + 2 } { { q ( q + 3 ) } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( f ) } ( s ) = \frac { H _ { 1 2 9 } ( s ) \Omega _ { 1 2 9 } ( s ) - R H _ { 1 3 1 } ( s ) \Omega _ { 1 3 1 } ( s ) } { 1 + R } ,
V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) = ( | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { + } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } - | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { - } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } ) / | E _ { 0 } | ^ { 2 }
L _ { 2 } ^ { * } = \int d ^ { 4 } x \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \bigg [ \dots + 2 i F _ { \mu \nu } ^ { a b } ( C _ { 3 } { ^ + } { \cal G } _ { \rho \sigma a b } - C _ { 4 } { ^ - } { \cal G }
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 2 ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( d ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \underbrace { \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 , 1 } } + \underbrace { \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } _ { T _ { 1 , 2 } } } \end{array}
\mu _ { j } ^ { t + 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i , j } ^ { t } X _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i , j } ^ { t } } \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \omega _ { i , j } ^ { t } = \frac { \omega _ { j } ^ { \star } \phi \left( X _ { i } ; \mu _ { j } ^ { t } , I _ { d } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \omega _ { l } ^ { \star } \phi \left( X _ { i } ; \mu _ { l } ^ { t } , I _ { d } \right) } \quad \forall \, i \in \left[ N \right] .
\begin{array} { r l r } { ( 1 + x ) } & { = } & { \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 1 - x } , } \\ { ( 1 + x ) ( 1 + x ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 - x ^ { 4 } } { 1 - x } , } \\ { ( 1 + x ) ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 1 + x ^ { 4 } ) } & { = } & { \frac { 1 - x ^ { 8 } } { 1 - x } , } \\ { ( 1 + x ) ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 1 + x ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 8 } ) } & { = } & { \frac { 1 - x ^ { 1 6 } } { 1 - x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 6 \pi \eta \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } } + \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon \right) } { n L } } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \frac { 2 \epsilon } { \sqrt { \pi } } - \frac { \pi } { L ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } } & { \mathrm { e } ^ { - i s ( k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) } d s = \frac { k _ { 1 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - i s ( k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) } d s + \frac { k _ { 2 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - i s ( k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) } d s } \\ & { = \frac { k _ { 1 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k k _ { 1 } ) } d s + \frac { k _ { 2 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k k _ { 2 } ) } d s } \\ & { \approx \frac { k _ { 1 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 2 } ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 1 } } - 1 \right) d s + \frac { k _ { 2 } } { k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 1 } ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 2 } } - 1 \right) d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \pm } = - \frac { i \, \mu } { 2 } \, ( \hat { { \bf k } } \cdot { \bf b } ) \pm \sqrt { \mu \, \epsilon ( \omega ) \, \omega ^ { 2 } - \frac { \mu ^ { 2 } } { 4 } ( \hat { { \bf k } } \cdot { \bf b } ) ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \mathcal { L } _ { m n } ^ { \tau } \varphi } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left[ \boldsymbol { c } \cdot \tau ^ { - 1 } \left( A _ { n } ^ { \tau } - \Theta _ { m } B _ { n } \right) B _ { n } ^ { \dagger } \boldsymbol { \psi } \right] + \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left[ \boldsymbol { c } \cdot \tau ^ { - 1 } \Theta _ { m } ( B _ { n } B _ { n } ^ { \dagger } - I ) \boldsymbol { \psi } \right] } \\ & { = \boldsymbol { c } \cdot \left( n ^ { - 1 } \Lambda _ { n } \Psi _ { n } ^ { \top } B _ { n } ^ { \dagger } \right) \boldsymbol { \psi } + \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left[ \boldsymbol { c } \cdot \tau ^ { - 1 } \Theta _ { m } ( B _ { n } B _ { n } ^ { \dagger } - I ) \boldsymbol { \psi } \right] } \\ & { = \mathcal { G } _ { m n } \varphi + \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left[ \boldsymbol { c } \cdot \tau ^ { - 1 } \Theta _ { m } ( B _ { n } B _ { n } ^ { \dagger } - I ) \boldsymbol { \psi } \right] . } \end{array}
\mathcal { K } = \frac { \rho } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } ( D + \eta ) | \mathbf { u } | ^ { 2 } - a D ^ { 3 } ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ^ { 2 } ~ d \mathbf { x } ~ d t \ ,
{ \sqrt { J _ { 2 } } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \cfrac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ~ \sigma _ { t } - 0 . 0 3 { \sqrt { 3 } } { \cfrac { \rho } { \rho _ { m } ~ \sigma _ { t } } } ~ I _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { - { \cfrac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ~ \sigma _ { c } + 0 . 0 3 { \sqrt { 3 } } { \cfrac { \rho } { \rho _ { m } ~ \sigma _ { c } } } ~ I _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right. }
V _ { r a d } = V _ { \| } \: \left[ \bf r \cdot \left( v _ { \mathrm { 1 } } + v _ { \mathrm { 2 } } \right) \right] ^ { \mathrm { 2 } } / 4 \mathrm { r ^ { 2 } \; + \; V _ { L } \: \left[ \bf r \cdot \left( v _ { \mathrm { 1 } } - v _ { \mathrm { 2 } } \right) \right] ^ { \mathrm { 2 } } / 4 \mathrm { r ^ { 2 } . } }
\psi _ { i j } \equiv \psi _ { i j } ^ { 0 } \otimes \sigma _ { 0 } + \psi _ { i j } ^ { 1 } \otimes \sigma _ { 1 } + \imath \psi _ { i j } ^ { 2 } \otimes \sigma _ { 2 } + \psi _ { i j } ^ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } \, ,
\begin{array} { r l r } { P _ { A } ( \nu , p ^ { * } , \gamma ) } & { = } & { \frac { \exp ( - p ^ { * } \nu ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( p ^ { * } \nu ) ^ { n } } { n ! } \left( 1 - \left( 1 - \gamma \right) ^ { n } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu \gamma ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } . } \end{array}
I \leq { \frac { 2 \pi c R M } { \hbar \ln 2 } } \approx 2 . 5 7 6 9 0 8 2 \times 1 0 ^ { 4 3 } \ { \frac { \mathrm { b i t } } { { \mathrm { k g } } \cdot { \mathrm { m } } } } \cdot M \cdot R ,
\begin{array} { r } { R ^ { 2 ( n - 1 ) } = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \binom { n - 1 } { m } \binom { m } { k } ( \xi _ { j } - \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 ( n - m - 1 ) } ( \eta _ { j } - \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 ( m - k ) } ( \zeta _ { j } - \zeta ^ { \prime } ) ^ { 2 k } , } \end{array}
\Delta { \bf r } _ { \parallel } \equiv { \bf r } _ { \parallel } ^ { \mathrm { a i r } } - { \bf r } _ { \parallel } = \left( z ^ { \mathrm { a i r } } \tan \theta _ { 0 } - h _ { 1 } \tan \theta _ { 1 } - z \tan \theta _ { 2 } \right) \frac { { \bf k } _ { \parallel } } { \left| { \bf k } _ { \parallel } \right| } , \quad \sin \theta _ { 0 } = n _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } = n _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } = \left| { \bf k } _ { \parallel } \right| / k _ { 0 } ,