harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { \infty } \left( \begin{array} { l } { c _ { \infty , r _ { \infty } - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { c _ { \infty , k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { c _ { \infty , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \alpha _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } { 2 r _ { \infty } - 3 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } - \frac { \alpha _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } } { 2 r _ { \infty } - 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } \\ { \vdots } \\ { \underset { m = k } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } \left( \frac { \alpha _ { \infty , 2 k + 2 r _ { \infty } - 2 m - 3 } } { 2 k + 2 r _ { \infty } - 2 m - 3 } t _ { \infty , 2 m } - \frac { \alpha _ { 2 k + 2 r _ { \infty } - 2 m - 2 } } { 2 k + 2 r _ { \infty } - 2 m - 2 } t _ { \infty , 2 m - 1 } \right) } \\ { \vdots } \\ { \underset { m = 1 } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } \left( \frac { \alpha _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 m - 1 } } { 2 r _ { \infty } - 2 m - 1 } t _ { \infty , 2 m } - \frac { \alpha _ { 2 r _ { \infty } - 2 m } } { 2 r _ { \infty } - 2 m } t _ { \infty , 2 m - 1 } \right) } \end{array} \right)
\sum _ { \mathbf { k } \lambda } \longrightarrow \sum _ { \lambda } \left( { \frac { 1 } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } \int d ^ { 3 } k = { \frac { V } { 8 \pi ^ { 3 } } } \sum _ { \lambda } \int d ^ { 3 } k
\begin{array} { r } { \Theta \left( u _ { i - 1 } \left. \rightarrow u _ { i } \right| \alpha ( T ) \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \Delta s } } e ^ { - \left( u _ { i } - u _ { i - 1 } - \Delta s \left( \alpha + u _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) \right) ^ { 2 } / \left( 2 \Delta s \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } _ { C H S H } ^ { \eta } ) } & { { } = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ; ~ B ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( t < \sigma _ { D } ; X _ { t } \in A ) } & { = \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( X _ { t } \in A ) - \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( \sigma _ { D } \leq t ; X _ { t } \in A ) } \\ & { = \int _ { A } p ( t , x , y ) \, d y - \ensuremath { \mathbb { P } } _ { x } ( \sigma _ { D } < t ; X _ { t } \in A ) . } \end{array}
p _ { B M I } \equiv ( ( 1 . 2 5 , 0 ) , ( 1 . 2 5 , 6 ) , ( 1 . 2 5 , 1 8 ) , ( 1 . 2 5 , 6 ) , ( 1 . 2 5 , 1 8 ) , ( 1 . 2 5 , 6 ) , ( 1 . 2 5 , 1 8 ) , ( 1 . 2 5 , 6 ) )
M ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \cos ( \psi _ { 1 } + \frac { \psi _ { 2 } } { 2 } ) \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \psi _ { 1 } \cos \frac { \psi _ { 2 } } { 2 } } { 2 ( \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { \psi _ { 1 } } { 2 } ) ^ { 2 } ( \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { \psi _ { 2 } } { 2 } ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { 0 } r _ { i } ( 2 \tau ^ { 2 } + 1 ) } \mathrm { d } \, t .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \dot { I } ^ { J _ { 2 } } } } & { { } = 4 0 \, 5 0 2 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \sigma _ { \dot { \Omega } ^ { J _ { 2 } } } } & { { } = 1 0 \, 9 8 3 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { w } _ { i \rightarrow \alpha } } & { = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - \hat { v } _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } } & { = } & { y _ { \alpha } \left[ 1 - \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } ( 1 - \hat { w } _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | u ( 0 , t ) | \geq 1 - \frac { \tau } { 2 } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ L \varepsilon \leq | t | \leq ~ 3 L \varepsilon ~ } } \\ & { \left| \frac { 1 } { \omega _ { n } ( L \varepsilon ) ^ { n } } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { L \varepsilon } ( 0 ) ) - \alpha \right| \leq \delta } \\ & { \left| \int _ { - L \varepsilon } ^ { L \varepsilon } W ( u _ { \varepsilon } ( 0 , t ) ) d t - \frac { \alpha } { 2 } \right| \leq \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { b } \left( x , p \right) = \mathcal { V } ^ { - 1 / 2 } e ^ { i p \cdot x } = \mathcal { V } ^ { - 1 / 2 } e ^ { - i \omega t } e ^ { i \overrightarrow { p } \cdot \overrightarrow { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \hat { Q } _ { t } - \overline { { \mathcal { T } } } _ { t } ^ { \star } \hat { Q } _ { t + 1 } \right\| _ { \mu _ { t } } ^ { 2 } } & { \leq \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } + \frac { 5 6 V _ { t , \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \log \{ { N ( \epsilon , \mathcal { Q } , \| \cdot \| ) N ( \epsilon , \mathcal { Z } , \| \cdot \| ) } / { \delta } \} } { 3 n } } \\ & { \qquad + \sqrt { \frac { 3 2 V _ { t , \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \log \{ { N ( \epsilon , \mathcal { Q } , \| \cdot \| ) N ( \epsilon , \mathcal { Z } , \| \cdot \| ) } / { \delta } \} } { n } \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } } + o _ { p } ( n ^ { - 1 } ) . } \\ & { \leq \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } + \frac { 5 6 V _ { t , \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \log \{ { N ( \epsilon , \mathcal { Q } , \| \cdot \| ) N ( \epsilon , \mathcal { Z } , \| \cdot \| ) } / { \delta } \} } { 3 n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { t } ( a _ { t , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \beta _ { l } = z _ { t } ^ { T } z _ { l } } \end{array} .
\langle ( X _ { \alpha } ) _ { j } ^ { i } ( X _ { \beta } ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } \rangle = \prod _ { \eta = 1 } ^ { l } \frac { 1 } { \Sigma [ 0 ] } \int [ d X _ { \eta } ] ( X _ { \alpha } ) _ { j } ^ { i } ( X _ { \beta } ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } e ^ { - \mathrm { T r } ( X _ { \eta } A _ { \eta } X _ { \eta } ^ { \dagger } ) } = \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { l } ^ { i } ( ( A _ { \alpha } ) ^ { - 1 } ) _ { j } ^ { k } = \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { l } ^ { i } ( B _ { \alpha } ) _ { j } ^ { k } \, .
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ( h ) } & { { } = \int _ { \infty } ^ { \infty } \mathop { } \mathrm { d } \epsilon \, A ( \epsilon , h ) f ( \epsilon ) } \\ { n _ { 2 } ( h ) } & { { } = \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } \mathop { } \mathrm { d } \epsilon \, ( \epsilon - h ) A ( \epsilon , h ) f ( \epsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \sum _ { j \neq i } x _ { j } + \sum _ { j \neq i } y _ { j } - \sum _ { j \neq i } x _ { j } y _ { j } , } \\ { b } & { { } = \sum _ { j \neq i } x _ { j } y _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ L ~ } ~ } } } } } ( { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
\omega = \left( \frac { 4 } { 9 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 3 6 } \right) .
\operatorname { d i s t } \left( \langle x _ { 1 } , y \rangle , \langle x _ { 2 } , y \rangle \right) = \operatorname { a r c o s h } \left( 1 + { \frac { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 y ^ { 2 } } } \right) = 2 \operatorname { a r s i n h } \left( { \frac { | x _ { 2 } - x _ { 1 } | } { 2 y } } \right)
\mathbf { r } _ { i } ^ { t + \Delta t } = \mathbf { r } _ { i } ^ { t } + \Delta t \mathbf { u } _ { i } ^ { t } + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } _ { i } } { \mathrm { D } t } ^ { t } \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \bf 1 } + i \sigma _ { y } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \| u \| ^ { 2 } = } & { - 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 1 } \partial _ { x } u ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } u ^ { 1 } + \partial _ { x } p ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u ^ { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } u ^ { 2 } + \partial _ { x } p ^ { 2 } ) , u \Big \rangle d t } \\ & { + \Big \| \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } d t } \\ & { + 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ^ { 2 } ) , u \Big \rangle d W } \\ { : = } & { I _ { 1 } d t + I _ { 2 } d t + I _ { 3 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , } & { { } n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) = \eta ( \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } } + \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } } + n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } } ) } \end{array}
F _ { 2 } ^ { \mathrm { c l a s s } } \left( \phi _ { 0 } , \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } \right) = \left[ a _ { 0 } \left( \phi _ { 1 } \right) - a _ { 0 } \left( \phi _ { 0 } \right) \right] \left[ a _ { 1 } \left( \phi _ { 2 } \right) - a _ { 1 } \left( \phi _ { 1 } \right) \right]
r _ { \mathrm { 3 d } } = \frac { s _ { 1 3 } + s _ { 2 3 } } { s _ { 1 3 } } = \frac { y + z } { y } , \qquad s _ { \mathrm { 3 d } } = - \frac { q ^ { 2 } } { s _ { 1 3 } } = - \frac { 1 } { y } \; ,
\left\{ \begin{array} { r l } { g _ { 1 1 } = g _ { 2 2 } } & { { } = 1 \, , } \\ { g _ { 1 2 } = g _ { 2 1 } } & { { } = 0 \, , } \\ { g _ { 1 3 } = g _ { 3 1 } } & { { } = \sin \psi \cos \phi \, , } \\ { g _ { 2 3 } = g _ { 3 2 } } & { { } = \sin \psi \sin \phi \, , } \\ { g _ { 3 3 } } & { { } = \chi ^ { 2 } \, . } \end{array} \right.
( - \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } - \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } + i \mathrm { ~ \bf ~ K ~ } ) \mathrm { ~ \bf ~ \underline { ~ } { ~ e ~ } ~ } _ { j } = \varepsilon _ { j } \mathrm { ~ \bf ~ \underline { ~ } { ~ e ~ } ~ } _ { j } ,
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { A _ { 2 1 } } & { \boldsymbol { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 1 } } & { A _ { 1 1 } ^ { - 1 } A _ { 1 2 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { A _ { 2 2 } - A _ { 2 1 } A _ { 1 1 } ^ { - 1 } A _ { 1 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\, + \, r _ { 4 } z ^ { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { { } } & { { \alpha ^ { 2 } z ^ { 3 } } } & { { } } \\ { { \alpha ^ { 2 } z ^ { 3 } } } & { { 2 \alpha \beta z ^ { 2 } } } & { { ( \alpha \gamma + \beta \delta ) z } } \\ { { } } & { { ( \alpha \gamma + \beta \delta ) z } } & { { 2 \gamma \delta } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { \nabla } ( \alpha \otimes \zeta ) } & { = } & { ( - 1 ) ^ { n k + n + 1 } * d ^ { \nabla } * ( \alpha \otimes \zeta ) } \\ & { = } & { ( \delta \alpha ) \otimes \zeta + ( - 1 ) ^ { n k + n + 1 } * ( - 1 ) ^ { n - k } ( * \alpha ) \wedge \nabla \zeta } \\ & { = } & { - \sum _ { i } e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } \alpha \otimes \zeta + \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { n k - k + 1 } * ( ( * \alpha ) \wedge \alpha ^ { i } ) \otimes \nabla _ { e _ { i } } \zeta } \\ & { = } & { - \sum _ { i } e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } \alpha \otimes \zeta - \sum _ { i } e _ { i } \rfloor \alpha \otimes \nabla _ { e _ { i } } \zeta } \\ & { = } & { - \sum _ { i } e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } ( \alpha \otimes \zeta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i j } ^ { a b } } & { = \frac { u _ { i } { u _ { j } } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k x } ^ { a } } = \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } } = \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } ( { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } ) + \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k } x } } \\ & { \stackrel { ( * ) } { = } \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ( { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } ) + \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } = \frac { \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x ) } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { J _ { 1 } } } & { { = } } & { { \{ 0 , 1 , \cdots , m \} \ni j _ { 1 } , } } \\ { { J _ { 2 } ( j _ { 1 } ) } } & { { = } } & { { \{ j _ { 1 } , m + 1 , \cdots , 2 m \} \ni j _ { 2 } , } } \\ { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { J _ { n - 2 } ( j _ { 1 } , \cdots , j _ { n - 3 } ) } } & { { = } } & { { \{ j _ { n - 3 } , ( n - 3 ) m + 1 , \cdots , ( n - 2 ) m \} \ni j _ { n - 2 } } } \\ { { J _ { n - 1 } ( j _ { 1 } , \cdots , j _ { n - 2 } ) } } & { { = } } & { { \{ j _ { n - 2 } , ( n - 2 ) m + 1 , \cdots , ( n - 1 ) m \} \ni j _ { n - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { N s , z } = k _ { \parallel } \frac { | E _ { x } | ^ { 2 } } { 8 \pi } \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \frac { \alpha \Omega ^ { 2 } } { ( \alpha ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { \perp } ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } \frac { \alpha ^ { 2 } + 3 \Omega ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
P _ { z } ( \omega ) = G P _ { 0 } / \{ G + 1 / T _ { 1 } + \alpha ^ { 2 } T _ { 2 } | \tilde { \bar { P } } _ { T } | ^ { 2 } / [ 1 + ( \omega - \omega _ { s } ) ^ { 2 } T _ { 2 } ^ { 2 } ] \}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { { } = - \nabla p + \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + R a \left( T + N C \right) \mathbf { \hat { z } } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla T } & { { } = \nabla ^ { 2 } T , } \\ { \frac { \partial C } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla C } & { { } = \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } C , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { m _ { 1 } , \ldots , m _ { r - M - 3 } \geq n + 1 } } \\ { { m _ { r - M + k - 3 } \geq n - k + 2 \qquad k = 1 , \ldots , n + 1 } } \\ { { m _ { r - M + n - 1 } = \ldots = m _ { r - 3 } = 0 } } \\ { { m _ { j } \equiv \operatorname * { m i n } ( a - 1 , r - j - 2 ) + \operatorname * { m i n } ( b - 1 , r - j - 2 ) . } } \end{array} \right.
\begin{array} { c c c } { { } } & { { \sigma } } & { { } } \\ { { \bar { \chi } _ { + } \, \, } } & { { } } & { { \, \, \chi _ { - } } } \\ { { } } & { { v _ { \mu } } } & { { } } \\ { { \bar { \chi } _ { - } \, \, } } & { { } } & { { \, \, \chi _ { + } } } \\ { { } } & { { \bar { \sigma } } } & { { } } \end{array}
\frac { \partial f ( \boldsymbol { E } ) } { \partial E _ { i j } } = \frac { 1 } { k _ { B } T } \left( \textbf { I } + e ^ { - ( \boldsymbol { E } - \mu \textbf { I } ) / k _ { B } T } \right) ^ { - 1 } e ^ { - ( \boldsymbol { E } - \mu \textbf { I } ) / k _ { B } T } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 k _ { B } T } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) \left( \textbf { I } + e ^ { - ( \boldsymbol { E } - \mu \textbf { I } ) / k _ { B } T } \right) ^ { - 1 } \, ,
A _ { C P } ^ { b \rightarrow s \gamma } = { \frac { B R ( \bar { B } \rightarrow X _ { s } \gamma ) - B R ( B \rightarrow X _ { s } \gamma ) } { B R ( \bar { B } \rightarrow X _ { s } \gamma ) + B R ( B \rightarrow X _ { s } \gamma ) } } . \,
\chi _ { X } \approx - { \frac { P _ { 1 } } { P } } \left[ \left( { \frac { Z _ { 2 } } { Z _ { 1 } } } \right) ^ { 5 / 3 } \left( { \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } } \right) - 1 \right] + { \frac { X } { Y _ { e } } } { \frac { \partial \ln P _ { e } } { \partial \ln Y _ { e } } } \left[ { \frac { Z _ { 1 } } { A _ { 1 } } } - { \frac { Z _ { 2 } } { A _ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } = } & { { } - \frac { k _ { j } } { R _ { 0 } } R _ { j } , } \\ { \Theta _ { j } = } & { { } - \frac { k _ { j } } { R _ { 0 } } \tilde { R } _ { j } . } \end{array}
\mathbf { H } ( \ell ) = \frac { 1 } { z _ { \ell } } \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } + d _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } \right]
\mu _ { A ^ { - } } ^ { \mathrm { { e x } } } = \mu _ { A H } ^ { \mathrm { { e x } } } - \Delta G _ { A H } ^ { \mathrm { { G P D } } } + \Delta G _ { A H } ^ { p K _ { a } } - \mu _ { H ^ { + } } ^ { \mathrm { { e x } } }
\begin{array} { r l } & { \tilde { \eta } _ { t } + \varepsilon ( \tilde { \mathbf { u } } \cdot \tilde { \nabla } \tilde { \eta } ) - \tilde { w } = 0 , \quad \tilde { p } = \frac { p _ { \mathrm { a t m } } } { \rho g D _ { 0 } } \quad \mathrm { o n } \quad \tilde { z } = \varepsilon \tilde { \eta } \ , } \\ & { \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + \tilde { \mathbf { u } } \cdot \tilde { \nabla } \tilde { D } + \tilde { w } = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \tilde { z } = - \tilde { D } \ . } \end{array}
\Pi ( p ) = f _ { 0 } p ^ { D - 2 } + f _ { 2 } p ^ { D - 4 } J ^ { 2 } + f _ { D } p ^ { - 2 } J ^ { D } + f _ { 4 } p ^ { D - 6 } J ^ { 4 } + O ( J ^ { 6 } , J ^ { D + 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = - \left( \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u _ { j } ) + 1 \right) \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + O ( \varepsilon ^ { 3 / 2 } v ^ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \left( - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + O ( \varepsilon ^ { 3 / 2 } v ^ { 3 } ) \right) } \\ & { = ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) v ^ { 2 } - ( u _ { i } - u _ { j } ) v + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) , } \end{array}
U _ { \mathrm { s u r f } } \propto \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { 2 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } \left[ \frac { n } { R } + n _ { \mathrm { n e c k } } ( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } ) \right] , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ & { ( 8 \pi ) ^ { 1 / 3 } ( \frac { 3 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 2 / 3 } ( n - n _ { \mathrm { n e c k } } ) ^ { 2 / 3 } + \frac { 2 v n _ { \mathrm { n e c k } } } { \phi R _ { \mathrm { n e c k } } } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ & { \frac { 2 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } \left[ \frac { n } { \delta } + n _ { \mathrm { n e c k } } ( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } ) \right] , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { 1 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { : = - ( w _ { 1 } + 1 ) x y + ( w _ { 2 } w _ { 7 } - w _ { 2 } ) x z + ( w _ { 1 } w _ { 3 } + r ) x } \\ & { \qquad + ( w _ { 1 } w _ { 4 } + c w _ { 1 } + a + c ) y + ( w _ { 2 } w _ { 6 } + c w _ { 2 } ) z + ( w _ { 2 } w _ { 5 } + b ) = 0 } \\ { \overline { { g } } _ { 2 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { : = ( w _ { 3 } - r ) x + ( w _ { 4 } - a ) y = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { | T _ { n } | - | T _ { n } \cap ( T _ { n } - h ) | } { | T _ { n } | } } \\ & { = 1 - \frac { 2 } { \pi } \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { \| h \| _ { 2 } } { 2 | T _ { n } | ^ { 1 / 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 | T _ { n } | ^ { 1 / 2 } } \| h \| _ { 2 } \sqrt { 4 - \left( \frac { \| h \| _ { 2 } } { | T _ { n } | ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { \| h \| _ { 2 } } { | T _ { n } | ^ { 1 / 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \frac 1 2 f _ { 0 } ( 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \ln ( x ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s ^ { 2 } f _ { 0 } ^ { \prime } ( s ) d s + { f _ { 0 } ( 1 ) } } } & { = 1 - \frac 1 2 \mu \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \mu - \ln x } = 1 - \frac 1 2 \mu \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \mu \tau } } { 1 + \tau } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 3 } } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } } & { = 2 \bigg ( \frac { r ^ { 3 } } { D - 2 } - \frac { 3 r ^ { 2 } } { D - 4 } + \frac { 3 r } { D - 6 } + \frac { 1 } { 8 - D } \bigg ) r ^ { \frac { D } { 2 } - 4 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \frac { 9 6 } { ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) } \, . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - G } \left[ R _ { G } + \nabla _ { M } \Phi \nabla ^ { M } \Phi - \frac { 1 } { 1 2 } H ^ { 2 } - \frac 1 4 { F ^ { I } } ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { C ( \mathbf { x } ) } & { { } \approx C ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \frac { \partial C ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } + O ( \big | \big | \Delta \mathbf { x } ^ { k } \big | \big | _ { 2 } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { V _ { i } ( \mathbf { x } ) } & { { } \approx V _ { i } ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \frac { \partial V _ { i } ( \mathbf { x } ^ { k } ) } { \partial \mathbf { x } } \cdot \Delta \mathbf { x } ^ { k } + O ( \big | \big | \Delta \mathbf { x } ^ { k } \big | \big | _ { 2 } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\partial _ { t } \left( \varphi S _ { o } c _ { o , C \left( - 4 \right) } \right) + \partial _ { x } \left( u c _ { o , C \left( - 4 \right) } f _ { o } \right) = \partial _ { x } \left( \mathcal { D } c _ { o , C \left( - 4 \right) } \partial _ { x } S _ { o } \right) + \partial _ { x } \left( \varphi D _ { o } S _ { o } \partial _ { x } c _ { o , C \left( - 4 \right) } \right) .