harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { K ( i + 1 | i ) \frac { u ( i + 1 ) } { u ( i ) } [ S ( i + 1 ) - S ( i ) ] + K ( i - 1 | i ) \frac { u ( i - 1 ) } { u ( i ) } [ S ( i - 1 ) - S ( i ) ] = } & { - \frac { d S ( i ) } { d t } } \\ { K ( i | i + 1 ) \frac { v ( i + 1 ) } { v ( i ) } [ S ( i ) - S ( i + 1 ) ] + K ( i | i - 1 ) \frac { v ( i - 1 ) } { v ( i ) } [ S ( i ) - S ( i - 1 ) ] = } & { - \frac { d S ( i ) } { d t } } \\ { K ( i | i - 1 ) \frac { u ( i ) } { u ( i - 1 ) } P ( i - 1 ) + K ( i | i + 1 ) \frac { u ( i ) } { u ( i + 1 ) } P ( i + 1 ) - } & { } \\ { K ( i + 1 | i ) \frac { u ( i + 1 ) } { u ( i ) } P ( i ) - K ( i - 1 | i ) \frac { u ( i - 1 ) } { u ( i ) } P ( i ) = } & { \frac { d P ( i ) } { d t } . } \end{array}
E _ { \mathrm { T C } } = L _ { i k m } ^ { j l n } \left( - \frac { 1 } { 6 } \delta _ { i j } \delta _ { k l } \delta _ { m n } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i j } \delta _ { k n } \delta _ { m l } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i n } \delta _ { k j } \delta _ { m l } \right) ,
\operatorname { T r } ( \operatorname { S w a p } \hat { R } ) = \operatorname { T r } \big [ ( \hat { P } _ { + } - \hat { P } _ { - } ) \hat { R } \big ] = \langle \! \langle \hat { P } _ { + } | \hat { R } \rangle \! \rangle - \langle \! \langle \hat { P } _ { - } | \hat { R } \rangle \! \rangle ,
\begin{array} { r } { U ( \mathbf { r } _ { i } , \mathbf { r } _ { j } , \mathbf { \hat { u } } _ { i } , \mathbf { \hat { u } } _ { j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } d _ { i , j } \leq D \, , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } d _ { i , j } > D \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { s } ( \omega ) = \left( \begin{array} { l l } { S _ { \ell } ( \omega ) } & { S _ { \ell \to v } ( \omega ) } \\ { S _ { v \to \ell } ( \omega ) } & { S _ { v } ( \omega ) } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { S _ { \ell } ( \omega ) } & { i \omega S _ { \ell } ( \omega ) } \\ { - i \omega S _ { \ell } ( \omega ) } & { \omega ^ { 2 } S _ { \ell } ( \omega ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } } & { = | | \Pi _ { m _ { \ell } } ( Y ) - \Pi _ { m _ { r } } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { \ell } ) } ( Y ) - \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { r } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \underset { \textit { ( * ) } } { = } | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { \ell } ) } ( Y ) - \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { r } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { r + 1 } , \cdots , u _ { \ell } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \underset { k = r + 1 } { \overset { \ell } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle u _ { k } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \underset { \textit { ( * * ) } } { = } \underset { k = r + 1 } { \overset { \ell } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { D _ { y j } } \boldsymbol { \dot { a } _ { n } } } & { = \boldsymbol { J _ { j } } \dot { \textbf { p } } + \boldsymbol { K _ { j } } \textbf { p } + \boldsymbol { L _ { j } } \textbf { z } + ( r ( y ) ( \boldsymbol { W _ { y j } } + \boldsymbol { W _ { I y j } } ) - \boldsymbol { A _ { y j } } ) \boldsymbol { a _ { n } } } \\ { \dot { \textbf { z } } } & { = \boldsymbol { E _ { j } } \textbf { z } + \boldsymbol { F _ { j } } \textbf { p } + \frac { \textbf { G } } { U } ( \boldsymbol { W _ { y j } } + \boldsymbol { W _ { I _ { y } j } } ) \boldsymbol { a _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = \frac { x _ { 2 } \left( ( 2 - 2 \beta ) \lambda - 5 \beta - 1 + ( \beta + 1 ) ( x _ { 1 } ^ { 2 } + 5 x _ { 2 } ^ { 2 } + 5 x _ { 3 } ^ { 2 } ) \right) } { 2 ( \lambda + 1 ) } , } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } = - \sum _ { k = 2 } ^ { N } \int _ { \gamma } \frac { p _ { k } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { k } = - \sum _ { k = 2 } ^ { N } \int _ { S ( \gamma ) } \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { k } \wedge \, d \psi _ { k } \, .
\begin{array} { r } { - e \, \mathcal { E } \, = \, \mu - \mu ^ { \mathrm { R e f } } \, = \, \mu - \sum _ { i } \alpha _ { i } \mu _ { i } \, = \, \mu ^ { \mathrm { e f f } } - \sum _ { i } \alpha _ { i } \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } } \end{array}
\displaystyle \frac { \partial \mathcal { R } _ { i } } { \partial \mathbf { u } _ { j } } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \mathcal { R } ( . . . , \mathbf { u } _ { j } + \epsilon , . . . ) - \mathcal { R } ( . . . , \mathbf { u } _ { j } , \dots ) } { \epsilon } \approx \frac { \mathcal { R } ( . . . , \mathbf { u } _ { j } + \epsilon , . . . ) - \mathcal { R } ( . . . , \mathbf { u } _ { j } , \dots ) } { \epsilon } .
\begin{array} { r l } & { ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \\ & { = ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { P } } ( \theta , \alpha ) + ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \overline { { \chi } } _ { 1 } ( H _ { \mathrm { f } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t _ { k + 1 } } } & { = X _ { t _ { k } } e ^ { - \frac { \Delta t _ { k } } { 2 } } + \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } e ^ { - \frac { t _ { k + 1 } - s } { 2 } } d W _ { s } } \\ & { \sim X _ { t _ { k } } \sqrt { 1 - \beta _ { k } } + \sqrt { \beta _ { k } } N _ { k } , \quad N _ { k } \sim \mathcal { N } ( 0 , I _ { d } ) , } \end{array}
p _ { n } ( n , \alpha ) = \frac { \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha n + n } \right) ^ { n } } { n + 1 } \left\{ \alpha ^ { 2 } n + \alpha n - \alpha - n - 1 - \left[ ( \alpha + 1 ) ( ( \alpha - 1 ) n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \alpha n + n - 1 } + 1 \right) ^ { n } \right] \right\} .
\mathcal V _ { f f ^ { \prime } } ^ { \{ o _ { i } \} } ( \vec { Q } ) = \int _ { \mathrm { B Z } } \! \! \! \mathrm { d } \vec { k } \mathrm { d } \vec { k } ^ { \prime } V ^ { \{ o _ { i } \} } ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } ) \phi _ { f } ( \vec { k } ) \bar { \phi } _ { f ^ { \prime } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) \, \mathrm { . }
\begin{array} { r l r l r } { \mathbf { E } } & { = } & { 2 \mathrm { e x p } \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { x } \ } & { + } & { 1 . 5 \left( \frac { 2 e } { | l | } \right) ^ { | l | / 2 } \left( \frac { r } { w _ { 2 } } \right) ^ { | l | } \mathrm { e x p } \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \mathrm { e x p } ^ { i l \phi } \hat { \mathbf { e } } _ { y } , } \end{array}
h ^ { \alpha \beta } \equiv 2 \; \frac { \mathbb { F } ^ { \alpha \delta } \, g _ { \delta \gamma } \, \mathbb { F } ^ { \beta \gamma } } { \sqrt { \mathbb { F } ^ { \alpha \delta } \, g _ { \delta \gamma } \, \mathbb { F } ^ { \beta \gamma } \, g _ { \mu \beta } \, \mathbb { F } _ { \alpha \eta } \, g ^ { \eta \xi } \, \mathbb { F } _ { \; \; \xi } ^ { \mu } } }
\nabla _ { \sigma } ( \partial _ { \gamma } \phi \epsilon ^ { \gamma \delta \alpha \beta } \epsilon ^ { \rho \sigma \lambda \eta } R _ { \lambda \eta \alpha \beta } ) = \epsilon ^ { r t \varphi \theta } \epsilon ^ { t r \theta \varphi } R _ { \theta \varphi \varphi \theta } \nabla _ { r } \partial _ { r } \phi = ( * R * ) _ { \theta \varphi \varphi \theta } \bigg ( \phi ^ { \prime \prime } - \frac { B ^ { \prime } } { 2 } \phi ^ { \prime } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } } & { { } = e ^ { i \phi _ { \lambda } \left( s \right) } } \\ { I _ { z , \lambda } } & { { } = \left| f _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ } } \left( g _ { \lambda } , z , \lambda \right) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( P ^ { r } ) \left\| z \right\| ^ { 2 } \leq V ( z ^ { r } ) \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( P ^ { r } ) \left\| z \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
q ( \mathbf { x } , n ) \triangleq \mathbb { E } _ { \mathbf { X } _ { e } , \mathbf { h } _ { e } } [ q ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { e } , \mathbf { h } _ { e } , n ) ] = \frac { 1 } { 4 L ^ { 2 } } \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } \int _ { - L } ^ { L } \int _ { - L } ^ { L } \sum _ { i = 1 } ^ { n } q \left( \frac { \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { e , i } } { h } \right) p ( h ) d \mathbf { x } _ { e , i } d h .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } } & { { } = \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ^ { * } ) = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln Z _ { \mathbf { A } ^ { * } } = } \end{array}
\widehat { H } _ { \mathrm { I S F } } = \frac { | \widehat { \vec { p } } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { p } { \rho _ { 0 } } + V _ { F } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 \rho _ { 0 } ^ { 2 } } | \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } | ^ { 2 }
{ \mu } _ { t } \left( \mathbf { x } _ { t } , \mathbf { x } _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { t } } } \left( \mathbf { x } _ { t } - \epsilon \frac { 1 - \alpha _ { t } } { \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } } \right)
Q ( \theta | \theta ^ { ( t ) } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } \log \left( \frac { e ^ { - H } H ^ { k } } { k ! } \phi ( x _ { n } ; \mu + k / g , \sigma ^ { 2 } ) \right) ,
- \frac { 2 } { y q ( q - 1 ) ^ { 2 } } \phi ( q ^ { 2 } y ) + \Bigg [ \frac { 2 + q + q ^ { 2 } - 2 p q ( 1 - q ) } { q ( q - 1 ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { y } + \frac { 2 } { 1 - q } \Bigg ] \phi ( q y ) -
{ \frac { \partial W _ { 0 } } { \partial m ^ { 2 } } } = - { \frac { A T } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int { \frac { d k _ { 1 } d k _ { 2 } d k _ { 0 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s s ^ { \nu } e ^ { - i s ( - k _ { 0 } ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + m ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } } & { { } = \sum _ { n } \boldsymbol { \alpha } _ { E } \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) } \\ { \boldsymbol { M } } & { { } = \sum _ { n } \boldsymbol { \alpha } _ { H } \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) , } \end{array}
\sigma ( { \bf X } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \sigma _ { \bf K } e ^ { i ( { \bf K } \cdot { \bf X } - \omega _ { \bf K } t ) } + \sigma _ { \bf K } ^ { \star } e ^ { - i ( { \bf K } \cdot { \bf X } - \omega _ { \bf K } t ) } \right) d { \bf K }
\lambda ( \beta ) = \lambda _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \biggl ( \frac { m _ { 0 } } { \beta n } \biggr ) ^ { \frac { D } { 2 } - 2 } K _ { \frac { D } { 2 } - 2 } ( m _ { 0 } n \beta ) ,
W = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega _ { z } } & { - \omega _ { y } } \\ { - \omega _ { z } } & { 0 } & { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } & { - \omega _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } & { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) } \\ & { \leq F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ \frac { ( 1 - \eta ) u } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } \| ^ { 2 } + \frac { u - \xi M } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \leq F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ \frac { ( 1 - \eta ) u } { 2 M ^ { 2 } } \| \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) - \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { ( u - M \xi ) } { 2 } \| z _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \overset = F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ \frac { ( 1 - \eta ) u \xi ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \| \nabla F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \| ^ { 2 } + \frac { ( u - M \xi ) } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { x } d \theta _ { y } ( } & { { } \langle \partial _ { \theta _ { x } } \Psi ( \theta ) ^ { * } | \partial _ { \theta _ { y } } \Psi ( \theta ) \rangle } \end{array}
\langle F \rangle = { \frac { \int { \cal D } \phi \, e ^ { i c \! \int \! \phi ^ { 2 } } \! \! \! \int e ^ { i S [ \mathbb { A } , A _ { t } ] } \, F ( \mathbb { A } , A _ { t } ) \, { \cal D } ^ { \, 3 } \mathbb { A } \, { \cal D } A _ { t } \, \delta [ A _ { t } - \phi ] } { \int { \cal D } \phi \, e ^ { i c \! \int \! \phi ^ { 2 } } \! \! \! \int e ^ { i S [ \mathbb { A } , A _ { t } ] } \, { \cal D } ^ { \, 3 } \mathbb { A } \, { \cal D } A _ { t } \, \delta [ A _ { t } - \phi ] } }
F _ { q } = \sum _ { m = 0 } ( 2 + \alpha m ) ( 2 + \alpha m - \frac { 1 } { N } ) \dots ( 2 + \alpha m - \frac { q - 1 } { N } ) P _ { m } \left( \frac { \overline { { n } } ^ { h } } { \overline { { n } } ( s ) } \right) ^ { q }
\mathrm { f l u x } = v _ { r e l } 2 E _ { 1 } 2 E _ { 2 } , \quad v _ { r e l } = \left\vert { \frac { { \bf p } _ { 1 } } { E _ { 1 } } } - { \frac { { \bf p } _ { 2 } } { E _ { 2 } } } \right\vert ,
H _ { k , k + 1 } = \begin{array} { l } { { \left| + + \right\rangle } } \\ { { \left| + 0 \right\rangle } } \\ { { \left| + { \scriptsize \ } - \right\rangle } } \\ { { \left| 0 + \right\rangle } } \\ { { \left| 0 { \scriptsize \ } 0 \right\rangle } } \\ { { \left| 0 - \right\rangle } } \\ { { \left| - + \right\rangle } } \\ { { \left| - 0 \right\rangle } } \\ { { \left| -- \right\rangle } } \end{array} \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { { z _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \stackrel { \_ } { z } _ { 5 } } } & { { \ 0 } } & { { 1 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ \stackrel { \_ } { z } _ { 7 } } } & { { 0 } } & { { \ \stackrel { \_ } { z } _ { 6 } } } & { { 0 } } & { { \ z _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { \ 0 } } & { { z _ { 5 } } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon \stackrel { \_ } { z } _ { 6 } } } & { { 0 } } & { { \varepsilon z _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { \varepsilon z _ { 6 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { \stackrel { \_ } { z } _ { 5 } } } & { { \ 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ z _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { \ z _ { 6 } } } & { { 0 } } & { { \ z _ { 7 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 1 } } & { { \ 0 } } & { { z _ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { \ 0 } } & { { 0 } } & { { z _ { 1 } } } \end{array} \right) _ { k , k + 1 }
\chi _ { 0 ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \beta _ { 0 0 } ^ { 2 } ( t _ { d } ) \left\langle G _ { 0 } \right\rangle ^ { 2 } \left\langle \Delta G _ { 0 } ^ { 2 } \right\rangle
\left\{ { H } \left( { { S } _ { { \lambda } _ { 1 } } } \right) , { H } ( { { S } _ { { \lambda } _ { 2 } } } ) , \cdots , { H } \left( { { S } _ { { \lambda } _ { k } } } \right) , \cdots , { { H } } \left( { { S } _ { { \lambda } _ { n } } } \right) \right\}
\langle V _ { \mathrm { { M } } } \rangle = { \frac { \mu _ { \mathrm { { B } } } } { \hbar } } { \vec { J } } \left( g _ { L } { \frac { { \vec { L } } \cdot { \vec { J } } } { J ^ { 2 } } } + g _ { S } { \frac { { \vec { S } } \cdot { \vec { J } } } { J ^ { 2 } } } \right) \cdot { \vec { B } } .
R = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \mathbf { g } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { g } _ { m } } & { [ \mathrm { a d } _ { \mathbf { g } _ { i } } ^ { k } \mathbf { \mathbf { g } _ { j } } ] } & { \cdots } & { [ \mathrm { a d } _ { \mathbf { f } } ^ { k } \mathbf { \mathbf { g } _ { i } } ] } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { \overline { { { u ^ { 2 } } } } } & { = } & { u ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \Delta ^ { 4 } \right) , } \\ & { = } & { u ^ { 2 } + \frac { 2 } { 2 ! } \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } + u \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\mathbf { R } _ { \mu } = \frac { \alpha _ { \mu \nu } \alpha _ { \nu } - \alpha _ { \nu } \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } } { \alpha _ { \mu \nu } \alpha _ { \nu } + \alpha _ { \mu } \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } } \mathbf { R } _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } }
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { x c } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, , } \end{array}
T _ { \infty } \ \equiv \sum _ { l m } \langle a _ { l m } a _ { l m } ^ { * } \rangle \sim \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \frac { 1 } { l ( l + 1 ) + \mu ^ { 2 } } \ = \ \infty \ .
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + m + 1 } \Psi _ { n } ^ { m + 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { m } ( a ) } { L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) } \right) . } \end{array}
H ( \zeta , \omega _ { p e } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { * } ( \omega ) \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } ( \omega - \omega _ { p e } ) \exp ( i \omega \zeta ) d \omega ,
\begin{array} { r l } { { \cal { H } } _ { n } ^ { \sigma } } & { = \{ \ I \subset [ n ] : | I | = r - 1 , \ n \in I \ \} } \\ { { \cal { U } } _ { n } ^ { \sigma } } & { = \{ \ I \subset [ n ] : | I | = r - 1 , \ n \notin I , \ \sigma ( I \cup \{ n \} ) = - \ \} } \\ { { \cal { D } } _ { n } ^ { \sigma } } & { = \{ \ I \subset [ n ] : | I | = r - 1 , \ n \notin I , \ \sigma ( I \cup \{ n \} ) = + \ \} . } \end{array}
Z = \zeta J = \zeta \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
q _ { A } ^ { \mu } = \left( q _ { A } ^ { + } , - { \frac { Q _ { A } ^ { 2 } } { 2 \; q _ { A } ^ { + } } } , { \mathrm { \bf ~ 0 } } \right) \; \; , \; \; \; q _ { B } ^ { \mu } = \left( - { \frac { Q _ { B } ^ { 2 } } { 2 \; q _ { B } ^ { - } } } , q _ { B } ^ { - } , { \mathrm { \bf ~ 0 } } \right) \; \; .
\begin{array} { r l } & { \nabla M _ { f ^ { * } / t } ( x ) = t ^ { - 1 } \mathrm { P r o x } _ { t f } ( t x ) \quad a n d \quad \nabla M _ { t f } ( x ) = t \mathrm { P r o x } _ { f ^ { * } / t } ( x / t ) } \\ & { x = \mathrm { P r o x } _ { t f } ( x ) + t \mathrm { P r o x } _ { f ^ { * } / t } ( x / t ) \quad a n d \quad \frac { 1 } { 2 } \| x \| ^ { 2 } = M _ { t f } ( x ) + t ^ { 2 } M _ { f ^ { * } / t } ( x / t ) } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle { \sum _ { \nu = 3 / 2 } ^ { \infty } \nu ^ { - ( s - k - 1 ) } } \ \Re \left\{ \displaystyle { \frac { - e ^ { \displaystyle { - \imath \frac { \pi } { 2 } ( s + 1 ) } } } { \pi } } \, \displaystyle { \int _ { - \imath z } ^ { \infty - \imath z } } t ^ { - s } \, \displaystyle { D _ { T E } ^ { ( k ) } ( t ) } \ d t \right\} , } } \end{array}
\tilde { M } ( \tilde { v } \mid x , t ) = \frac { \varepsilon } { \sqrt { 2 \pi \tilde { \sigma } _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( \tilde { v } - \varepsilon u _ { p } ( x , t ) ) ^ { 2 } } { \tilde { \sigma } _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) } \right) = \varepsilon M ( \tilde { v } \mid x , t ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { d \xi g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) F ( \xi ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi \frac { d } { d \xi } g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) F ( \xi ) } \\ & { = - g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } , t ) F ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) \frac { d } { d \xi } F ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \log | { \cal X } _ { i } ^ { m _ { i } } | = \frac { m _ { i } } { n } \log | { \cal X } _ { i } | \leq R _ { i } , } \\ & { p _ { \mathrm { e } } ( \phi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { i } } ^ { n } ) \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { 2 | { \cal X } _ { i } | } } \\ & { \quad \times \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} \mathrm { e } ^ { - n E ( R _ { i } | p _ { X _ { i } } ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } _ { x \in X } } & { x _ { 3 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 3 } - 5 x _ { 1 } ^ { 2 } - 5 x _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ( - u _ { 1 } + u _ { 2 } + 5 ) - x _ { 2 } ( u _ { 1 } - u _ { 2 } + 3 ) } \\ { 0 . 2 - x _ { 1 } ^ { 2 } - u _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { 0 . 1 - x _ { 2 } ^ { 2 } - u _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \geq 0 } \\ & { \forall u \in U = [ - 0 . 2 , 0 . 2 ] ^ { 2 } , } \\ & { x \in X = [ - 1 0 0 , 1 0 0 ] ^ { 3 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \epsilon L u ^ { t + 1 } + \eta \Lambda ( u ^ { t + i } - y ) + c u ^ { t + 1 } + M ( u ^ { t + 1 } - u ^ { t } ) / k + ( u ^ { t + 1 } - u ^ { t } ) / k = \xi ^ { t } } \\ & { \Longleftrightarrow \kappa M ( u ^ { t + 1 } - u ^ { t } ) + ( I + k ( \epsilon L + \eta \Lambda + c I ) ) u ^ { t + 1 } = k ( \xi ^ { t } + \eta \Lambda y ) + u ^ { k } . } \end{array}