harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\| \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \| _ { 1 } = \mathbb { E } \left[ \left| \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \right| \right] \le \sqrt { \mathbb { P } ( \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \ne 0 ) } \, \| \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \| _ { 2 } \le \sqrt { G ( \{ a \} ) ^ { - 1 } \mathbb { P } ( e \in \mathcal { E } _ { m i n } ( \mathfrak { j } _ { 0 } ) ) } \, \| \partial _ { e } \widetilde { \Phi } \| _ { 2 } .
\hat { A } _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( x ) = \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } \{ \mathrm { ~ C ~ R ~ O ~ P ~ } _ { i } \{ \mathrm { ~ I ~ F ~ F ~ T ~ } [ \mathrm { ~ P ~ A ~ D ~ } _ { i } ( x ) ] \} \}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle = } & { \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { - m } } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { m } \binom { m } { u } \times } \\ & { \ \ \left( \sum _ { i } { ( ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } ) _ { i i } } - \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j } { ( ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } ) _ { i j } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { L \to \infty } \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( V ( \mathcal { U } _ { L } ) , d _ { L } , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( 0 ) , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( n _ { L } ) ) , ( \mathbb { U } , D _ { \star } , \Pi _ { \star } ( 0 ) , \Pi _ { \star } ( \xi ) ) ) } \\ & { \qquad \leq \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( U _ { ( \delta ) } , d _ { \infty } , z _ { \delta } , z _ { \delta } ^ { \prime } ) , ( \mathbb { U } , D _ { \star } , \Pi _ { \star } ( 0 ) , \Pi _ { \star } ( \xi ) ) ) } \\ & { \qquad + \operatorname* { l i m s u p } _ { L \to \infty } \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( V ( \mathcal { U } _ { L } ) , d _ { L } , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( 0 ) , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( n _ { L } ) ) , ( \mathcal { V } _ { L , \delta } , d _ { L } , z _ { L , \delta } , z _ { L , \delta } ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { E } ( q ^ { 2 } ) = F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) + \frac { q ^ { 2 } } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 } - I } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , \mathtt { S } } \varepsilon ^ { 7 - 4 b } N _ { 0 } ^ { 2 \tau + 1 } + \varepsilon ^ { 5 } \gamma ^ { - 3 } N _ { 0 } ^ { 2 \tau + 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \overset \le 1 + \varepsilon ^ { 5 } \gamma ^ { - 3 } N _ { 0 } ^ { 2 \tau + 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le 1 + \varepsilon ^ { 7 - 4 b } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 0 } = } & { \frac { - \int _ { \Sigma } u \Delta u d A - \int _ { \Sigma } V u ^ { 2 } d A } { \int _ { \Sigma } u ^ { 2 } d A } } \\ { = } & { \frac { \int _ { \Sigma } \Vert \nabla u \Vert ^ { 2 } d A } { \int _ { \Sigma } u ^ { 2 } d A } - \frac { \int _ { \Sigma } V u ^ { 2 } d A } { \int _ { \Sigma } u ^ { 2 } d A } } \\ & { \geq - \operatorname* { m a x } _ { \Sigma } V = - \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m a x } _ { \Sigma } S ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J u } } ) d x = } & { \ 4 t \int _ { \mathbb { R } } x \ \frac { d } { d x } ( | u | ^ { 2 p } ) \ | u | ^ { 2 } d x + 8 t ^ { 2 } I m \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d x } ( | u | ^ { 2 p } ) \ u \overline { { u } } _ { x } d x } \\ { = } & { \ \frac { 4 p t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x \ \frac { d } { d x } \left[ ( | u | ^ { 2 p } ) ^ { \frac { ( p + 1 ) } { p } } \right] d x - 8 t ^ { 2 } I m \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } u \overline { { u } } _ { x x } d x } \\ { = } & { \ - \frac { 4 p t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x - 4 t ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } \ 2 I m ( u \overline { { u } } _ { x x } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { r } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { \approx } & { \frac { 1 6 } { 3 \hbar \, m _ { p } ^ { 2 } } \, \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \, \frac { \sqrt { k T _ { e } } } { n _ { p } ^ { 2 } \, \left( m _ { e } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, G \left( \frac { \hbar \omega _ { p } } { \sqrt { 2 } \, k T _ { e } } \right) } \\ & { } & { \times \, \sum _ { l = D , T , p , B , \alpha } Z _ { l } ^ { 2 } n _ { l } n _ { e } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F = \ } & { A \epsilon \mathrm { s i n } ( x - t ) + \Big [ \frac { \dot { x } _ { e } } { \epsilon } ( 1 + A \mathrm { s i n } ( x - t ) ) + 2 A \mathrm { c o s } ( x - t ) - A \epsilon \mathrm { s i n } ( x - t ) \Big ] e ^ { \frac { x - x _ { e } } { \epsilon } } } \\ { g _ { s } = \ } & { - ( 1 + A \mathrm { s i n } ( x _ { s } - t ) ) + \big [ A \epsilon \mathrm { c o s } ( x _ { s } - t ) + \dot { x } _ { s } ( 1 + A \mathrm { s i n } ( x _ { s } - t ) ) \big ] ( 1 - e ^ { ( x _ { s } - x _ { e } ) / \epsilon } ) } \\ { u _ { 0 } = \ } & { ( 1 + A \mathrm { s i n } ( x ) ) ( 1 - e ^ { ( x - x _ { e } ( 0 ) ) / \epsilon } ) , } \end{array}
P _ { \tau } ^ { 1 2 } [ m , n ; - 1 , \alpha ^ { \prime } , \beta , \beta ^ { \prime } ] = 2 \pi i P _ { \tau } ^ { 1 2 } [ m - 1 , n ; 0 , \alpha ^ { \prime } + 2 \sigma , \beta , \beta ^ { \prime } ] .
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y } & { = } & { ^ { H } \! ( \nabla _ { X } Y ) + \frac { 1 } { 2 } ^ { T } \! ( p R ( X , Y ) ) , } \\ { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { H } \! X } ^ { T } \! \theta } & { = } & { ^ { T } \! ( \nabla _ { X } \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , \tilde { \theta } ) X ) - \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , J \tilde { p } ) X ) \big ) , } \\ { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { T } \! \omega } ^ { H } \! Y } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , \tilde { \omega } ) Y ) - \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , J \tilde { p } ) Y ) \big ) , } \\ { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { T } \! \omega } ^ { T } \! \theta } & { = } & { - g ^ { - 1 } ( \theta , p ) ^ { T } \! \omega + \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { T } \! ( \theta J ) + g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { T } \! ( \omega J ) \big ) } \\ & { } & { - \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) g ^ { - 1 } ( \theta , p ) + g ^ { - 1 } ( \omega , p ) g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) \big ) ^ { T } \! ( p J ) , } \end{array}
p ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { c ( \mathbf { r } ) } \int _ { \Gamma } \Big ( p ( \mathbf { r } _ { a } ) \frac { \partial G ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { a } ) } { \partial \textbf { n } } - G ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { a } ) \frac { \partial p ( \mathbf { r } _ { a } ) } { \partial \textbf { n } } \Big ) d \Gamma
\begin{array} { r l } { \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi ( 1 ) ( U ( 1 ) - I ) u } & { = \varepsilon ^ { 2 } \underbrace { \Pi _ { S ^ { \perp } } \sum _ { j \in S } ( u , O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 1 } ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 2 } ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t ) d t \right) } _ { = : \mathcal { R } _ { 1 } [ u ] } } \\ & { \ + \underbrace { \Pi _ { S ^ { \perp } } \sum _ { j \in S } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u , \varepsilon f _ { 1 } ( t ) O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 1 } ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } R _ { \chi } ( t ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] d t } _ { \mathcal { R } _ { 2 , 1 } [ u ] } } \\ & { \ + \underbrace { \Pi _ { S ^ { \perp } } \sum _ { j \in S } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( u , R _ { g } ( \tau ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } \left( \varepsilon f _ { 2 } ( t ) O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 2 } ) ) + R _ { \chi } ( t ) \right) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] d t } _ { = : \mathcal { R } _ { 2 , 2 } [ u ] } . } \end{array}
\times \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { d z } { 2 } \left( \frac { G _ { 1 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) b _ { 1 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) } { 1 - B _ { 1 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) } \frac { 1 } { 2 } { \alpha } _ { 1 } ^ { ( c ) } ( s , s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) + \frac { G _ { 0 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) B _ { 0 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) } { 1 - B _ { 0 } ^ { ( c ) } ( s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) } \frac { 3 } { 2 } { \alpha } _ { 0 } ^ { ( c ) } ( s , s _ { 1 3 } ^ { \prime } ) \right)
\hat { \Phi } ( \hat { x } , \hat { y } , \hat { z } , \hat { t } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) \hat { x } ^ { 2 } + \left( \frac { \dot { b } } { b } \right) \hat { y } ^ { 2 } + \left( \frac { \dot { c } } { c } \right) \hat { z } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \mathcal { B } _ { 2 } ] } & { = \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \mathcal { B } _ { 2 1 } + \mathcal { B } _ { 2 2 } + \mathcal { B } _ { 2 3 } ] } \\ & { \le \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t } ] + \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { + \left( \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { 2 \xi _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \alpha } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } \left[ \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } \right] } \\ & { + \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t } ] + \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t - \tau } ] + 1 2 \xi _ { 2 } \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + ( 1 2 \xi _ { 2 } + \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } ) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + 2 \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } G ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { 2 } G + \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t - \tau } ] + \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G } \\ & { \le \left( \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } + 1 2 \xi _ { 2 } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \left( \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { 2 \xi _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \alpha } + 1 2 \xi _ { 2 } + \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } + \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t } ] + \left( \frac { 2 } { \xi _ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \right) \Delta _ { t - \tau } + \frac { \alpha } { 2 } \left[ \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \right] } \\ & { + 2 \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } G ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { 2 } G + \frac { 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G } \end{array}
I = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B _ { \mu } ^ { * } ( \partial _ { \nu } - i g a _ { \nu } ) B _ { \lambda } + M B _ { \mu } ^ { * } B ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \right) \; .
\sum _ { p , q = 1 } ^ { P } w _ { p } \frac { \partial \mathcal { S } } { \partial f _ { p } \partial f _ { q } } w _ { q } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { m , n } W _ { m } ^ { - } \Psi _ { m } C _ { m , n } ^ { - 1 } \Psi _ { n } W _ { n } ^ { - } .
\mathcal { R } ^ { ( s ) } \left( \boldsymbol { h } _ { i } ^ { ( s ) } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { k } W _ { k } ^ { ( s ) } h _ { i , k 0 0 } ^ { ( s ) } } & { \mathrm { i f } \; \; s < S } \\ { \mathrm { M L P } \left( \left\{ h _ { i , k 0 0 } ^ { ( s ) } \right\} _ { k } \right) } & { \mathrm { i f } \; \; s = S } \end{array} \right.
\Delta _ { p e } = \left| \left\{ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) - \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) \right\} / \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) \right|
\begin{array} { r l } { L ( \mu , \boldsymbol { \sigma ^ { 2 } } ) = } & { \prod _ { i } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { i } ^ { 2 } } } e ^ { - ( y _ { i } - \mu ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \times \prod _ { i } ^ { N } \frac { \beta _ { i } } { \Gamma ( \alpha _ { i } ) } v ^ { \alpha _ { i } - 1 } e ^ { - \beta _ { i } v _ { i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } ( f \, \tau ) = \mathrm { d } f \wedge \tau + f \, \mathrm { d } \tau = \frac 1 f \, \mathrm { d } f \wedge f \, \tau + f \, \tau \wedge \alpha = f \, \tau \wedge ( \alpha - \mathrm { d } \log | f | ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mathrm { P A } : n } & { = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { Q _ { 1 } } & { = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 1 } } & { = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \\ { \mathrm { P C } : n } & { = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { m } & { = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 2 } } & { = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \\ { \mathrm { C M } : n } & { = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { Q _ { 3 } } & { = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 3 } } & { = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \end{array}
k _ { p h } ^ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { N _ { q } V } \sum _ { \lambda } { \hbar } { \omega _ { \lambda } } { \frac { \partial { n _ { \lambda } ^ { 0 } } } { \partial { T } } } { v _ { \lambda } ^ { \alpha } } { v _ { \lambda } ^ { \beta } } \tau _ { \lambda } ^ { p h }
\left\{ \begin{array} { c } { \zeta _ { 1 0 } ^ { + } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } - \omega _ { e 0 } - \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 1 0 } , } \\ { \zeta _ { 1 0 } ^ { - } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } + \omega _ { e 0 } + \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 1 0 } , } \end{array} \right.
\gamma = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { \left\lfloor \log _ { 2 } k \right\rfloor } { k } } = { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + 2 \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 7 } } \right) + 3 \left( { \frac { 1 } { 8 } } - \cdots - { \frac { 1 } { 1 5 } } \right) + \cdots
S _ { R ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi g ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x \bar { \psi } [ \sigma _ { i } ^ { \prime \prime } ( i \partial _ { i } + a _ { i } ^ { \prime \prime } ) + \phi \sigma _ { 3 } ] \psi ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { M } } _ { 1 } ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } & { \equiv } & { \hat { \mathcal { M } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta _ { \mathrm { f s } } ) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } & { - \sin ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } \\ { 0 } & { \sin ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } & { \ \ \ \cos ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { d \sigma _ { r } } { d r } \, = \, \frac { 2 } { r } \left( \sigma _ { \theta } - \sigma _ { r } \right) \, = \, \frac { 2 \sigma _ { y } } { r } + \frac { 2 h _ { \sigma } [ 2 \ln ( r / r _ { 0 } ) ] } { r }
d s ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } ( \rho ^ { 2 } + C \rho ^ { 4 } ) d \phi ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } + ( \gamma _ { i j } ( \theta ) + h _ { i j } ( \theta ) \rho ^ { 2 } ) d \theta ^ { i } d \theta ^ { j }
\begin{array} { r l r } { \| \phi ( t , x , u ) \| _ { X } } & { \leq } & { \psi _ { 1 } ^ { - 1 } \Big ( \beta ( \psi _ { 2 } ( \| x \| _ { X } ) , t ) + \int _ { 0 } ^ { t } 2 \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) d s \Big ) } \\ & { \leq } & { \psi _ { 1 } ^ { - 1 } \Big ( 2 \beta \big ( \psi _ { 2 } ( \| x \| _ { X } ) , t \big ) \Big ) + \psi _ { 1 } ^ { - 1 } \Big ( 4 \int _ { 0 } ^ { t } \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) d s \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle a _ { 1 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 2 } { 6 4 \pi } \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { N } { S _ { i } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D _ { W } ) _ { \omega } } & { = - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \bigg [ \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } + 2 \omega ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) \bigg ] } \\ { ( D _ { W } ) _ { k } } & { = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \bigg [ 2 c ^ { 2 } k ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) + \frac { v _ { | | } \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { 2 } } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } \bigg ] \, , } \\ { ( D _ { W } ) _ { v _ { | | } } } & { = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \, \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } k } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } } \\ { ( D _ { W } ) _ { n _ { 0 } } } & { = \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } ( \omega - v _ { | | } k ) } { n _ { 0 } c ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } } & { = \frac { \gamma ^ { 2 } R } { 4 \Gamma _ { 1 } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \omega ^ { 2 } + \left( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \left\{ \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 0 } } \left( \omega \Gamma _ { y z } + \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) \left( \omega ^ { 2 } + \left( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { - e ^ { - \Gamma _ { 1 } \tau } \left( \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \omega \Gamma _ { y z } - \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { z x } + \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) } \\ & { - e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \Gamma _ { 1 } \left( \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } - \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { z x } + \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { y z } \omega - 2 \Gamma _ { 2 } \omega \Gamma _ { y z } + \omega ^ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) \cos ( \omega \tau ) } \\ & { \left. - e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \Gamma _ { 1 } \left( \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { y z } - \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } \Gamma _ { y z } - \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { z x } \omega + 2 \Gamma _ { 2 } \omega \Gamma _ { z x } + \omega ^ { 2 } \Gamma _ { y z } \right) \sin ( \omega \tau ) \vphantom { \int _ { 0 } ^ { 0 } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { H } \} ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge \big ( - d \ast ( v \wedge \ast \omega ) \big ) + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) } \\ { = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge \omega _ { t } + \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge ( \phi _ { \partial } ) _ { t } + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \Sigma _ { t } } \\ { = } & { { } \dot { \bar { \mathcal { F } } } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( g _ { \widehat { j } } ) \leq \operatorname* { i n f } _ { \gamma > 0 } \bigg \{ ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { j \in [ m ] } \mathcal { L } ( g _ { j } ) + C ( 1 + \gamma ^ { - 1 } ) \bigg ( \mathcal { L } ( \mathbb { E } \widetilde { g } ) + \frac { V ^ { 2 } \log ( m / \delta ) } { n } \bigg ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } M ^ { \varepsilon } [ f _ { \varepsilon } ] \eta \, d x d v d t } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \iiint _ { E \times \mathbb R ^ { d } } M ^ { \varepsilon } [ f _ { \varepsilon } ] \eta \, d x d v d t + \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \iiint _ { E ^ { c } \times \mathbb R ^ { d } } M ^ { \varepsilon } [ f _ { \varepsilon } ] \eta \, d x d v d t } \\ & { = \iiint _ { E \times \mathbb R ^ { d } } M [ f ] \eta \, d x d v d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } M [ f ] \eta \, d x d v d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } } & { = } & { - \hbar k \frac { 8 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 2 } } { Q } \cos ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \left[ \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \sin ( 2 k z ) + 5 \right] \left[ 2 \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + \sin ( 2 k z ) \right] \, , } \\ { f _ { 2 } } & { = } & { - \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } } { Q } \cos ^ { 2 } ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \cos ( k z ) \left[ 2 \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + \sin ( 2 k z ) \right] \, , } \\ { Q } & { = } & { s _ { 1 } 9 \cos ^ { 2 } ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + s _ { 2 } \left[ 2 0 - \cos ( 4 k z ) - \cos ( 4 k z + 4 \Delta \phi ) + 1 4 \sin ( 2 k z ) \sin ( 2 k z + \Delta \phi ) \right] \, . } \end{array}
I m ( T _ { 1 2 3 } ( p ^ { 2 } ) ) = \frac { 1 } { 2 i } \Delta T _ { 1 2 3 } ( p ^ { 2 } ) = - \frac { \pi } { p ^ { 2 } } \int _ { x _ { 2 } } ^ { x _ { 3 } } { \frac { d t } { t } } \sqrt { ( t - x _ { 1 } ) ( t - x _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - t ) ( x _ { 4 } - t ) } \, ,
\begin{array} { r } { L L ( Y | \alpha , \beta , \xi ) = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha + \beta t _ { i } - \xi \mathcal { N } [ 0 , t _ { i } ) \right) } \\ { - \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { f i n } } e ^ { \alpha + \beta t - \xi \mathcal { N } [ 0 , t ) } d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { r } ( \theta | n _ { U } , n _ { R } ) } & { \triangleq \mathbb { P } \Big [ \log _ { 2 } \big ( 1 + P _ { S } / ( P _ { I } + N _ { 0 } ) \big ) > \theta \Big ] } \\ & { = \mathbb { P } \Big [ P _ { S } - \underbrace { ( 2 ^ { \theta } - 1 ) } _ { \Tilde { \theta } } P _ { I } - \underbrace { ( 2 ^ { \theta } - 1 ) } _ { \Tilde { \theta } } N _ { 0 } > 0 \Big ] } \\ & { = \mathbb { P } \Big [ \underbrace { P _ { S } - \Tilde { \theta } P _ { I _ { 1 } } } _ { P _ { S _ { - \Tilde { \theta } } } } - \Tilde { \theta } P _ { I _ { 2 } } \Tilde { \theta } N _ { 0 } > 0 \Big ] } \end{array}
\tilde { \rho } _ { 3 } ( \beta , z ) = 0 , \quad \mathrm { u n l e s s } \quad \beta \ge \left( m + \mu - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - | \zeta | ) \sqrt { P ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \; .
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \cos \left( { \frac { \alpha } { 2 } } - { \frac { \beta } { 2 } } \right) } { \cos \left( { \frac { \alpha } { 2 } } + { \frac { \beta } { 2 } } \right) } } = { \frac { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + 1 } { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) - 1 } } } \\ { = } & { { \frac { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + 2 \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } { \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) } } = { \frac { 4 s - a - b - 2 c } { 2 s - a - b } } . } \end{array} }