harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \nabla f _ { i } ( x ^ { * } ) , v \rangle } & { \leq 0 ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ i \in [ p ] , } \\ { \langle \nabla f _ { k } ( x ^ { * } ) , v \rangle } & { < 0 ~ \mathrm { f o r ~ s o m e } ~ k \in [ p ] , } \\ { \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { * } ) , v \rangle } & { \leq 0 ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ j \in J ( x ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } } \\ & { + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ T ( x ) ] } & { = \frac { \cos ( \varphi ) } { 2 } ( \mathbb { E } [ F ( x ) \otimes I _ { d } ] + \mathbb { E } [ I _ { d } \otimes F ( x ) ] ) } \\ & { = \frac { \cos ( \varphi ) } { 2 } ( \mathbb { E } [ F ( x ) ] \otimes I _ { d } + I _ { d } \otimes \mathbb { E } [ F ( x ) ] ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { B _ { m } ^ { - } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m } \sum _ { v = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { v } { \binom { k } { v } } { \frac { v ^ { m } } { k + 1 } } } \\ { B _ { m } ^ { + } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m } \sum _ { v = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { v } { \binom { k } { v } } { \frac { ( v + 1 ) ^ { m } } { k + 1 } } . } \end{array} }
e _ { i } + e _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { i + j - 1 } + e _ { 1 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ a n d ~ j ~ e v e n ~ a n d ~ } i + j \leq 2 r + 2 } \\ { e _ { ( i + j ) / 2 + r } + e _ { 1 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ a n d ~ j ~ e v e n ~ a n d ~ } i + j > 2 r + 2 } \\ { e _ { i + j - 3 } + e _ { 3 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ a n d ~ j ~ o d d ~ a n d ~ } i + j \leq 2 r + 4 } \\ { e _ { ( i + j ) / 2 + r - 1 } + e _ { 3 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ a n d ~ j ~ o d d ~ a n d ~ } i + j > 2 r + 4 } \\ { e _ { i + j - 2 } + e _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ j ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + j \leq 2 r + 4 } \\ { e _ { r + ( i + j - 1 ) / 2 } + e _ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d ~ a n d ~ j ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ } i + j > 2 r + 4 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| P _ { \xi } \right\rangle } & { = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \left| 0 \right\rangle , } \\ & { = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { A } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { a , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \left| 0 \right\rangle . } \end{array}
\tilde { { \cal L } } \rightarrow - \frac { 1 } { 4 } { \cal F } ^ { 2 } + { \cal A } J + a J - \frac { 1 } { 4 g } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \rho } + { \cal L } _ { M } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } J ^ { 2 }
{ \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { ( n ) } } \\ { y _ { 2 } ^ { ( n ) } } \\ { \vdots } \\ { y _ { m } ^ { ( n ) } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } \left( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n - 1 ) } \right) } \\ { f _ { 2 } \left( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n - 1 ) } \right) } \\ { \vdots } \\ { f _ { m } \left( x , \mathbf { y } , \mathbf { y } ^ { \prime } , \mathbf { y } ^ { \prime \prime } , \ldots , \mathbf { y } ^ { ( n - 1 ) } \right) } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } - 4 r \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } \right] } & { = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi ^ { 2 } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ 3 \! \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + 4 r \left( \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi p _ { r } \; , \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } - r \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 r \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left\{ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } - 4 r ^ { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial r } \right] \right\} } & { = } & { 8 \pi r ^ { 2 } p _ { \varphi } \; , } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + 2 r \left( 2 \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi r ^ { 2 } ( p _ { z } - p _ { \varphi } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i } ^ { e f f } = F _ { i } ^ { e x t } + F _ { i } ^ { f l o w } + F _ { i } ^ { p o l y } } \\ { T _ { i } ^ { e f f } = T _ { i } ^ { e x t } + T _ { i } ^ { f l o w } + T _ { i } ^ { p o l y } } \end{array}
\int \frac { d w _ { 2 } d w _ { 3 } d w _ { 4 } d w } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } } \frac { - ( w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) X _ { i } ^ { 8 } [ - ( w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) ] w _ { 2 } X _ { j } ^ { 8 } ( w _ { 2 } ) w _ { 3 } X _ { k } ^ { 8 } ( w _ { 3 } ) w _ { 4 } X _ { l } ^ { 8 } ( w _ { 4 } ) } { [ ( w + w _ { 2 } ) ^ { 2 } - R ^ { 2 } ] [ ( w + w _ { 2 } + w _ { 3 } ) ^ { 2 } - R ^ { 2 } ] [ ( w + w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) ^ { 2 } - R ^ { 2 } ] [ w ^ { 2 } - R ^ { 2 } ] }
\begin{array} { r l } & { T _ { 2 } \lesssim \frac { \log ( T ) } { m T h } + \frac { \log ^ { 4 \ell } ( m ) } { h m ^ { 1 - \ell } } \cdot \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \log ^ { 2 \ell } ( p ) p ^ { 2 \ell ( 1 - \beta ) } } { T ^ { 2 \ell } } + m ^ { - 2 \ell } , } & { 1 / 2 < \beta \leq 1 , } \\ { T ^ { - 2 \ell } + m ^ { - 2 \ell } , } & { 1 < \beta . } \end{array} \right. } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \eta \to - \infty } \mathrm { e } ^ { - \lambda \eta } \int _ { - \infty } ^ { \eta } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta } ( d \hat { \theta } _ { 1 } / d \eta ) d \eta = \lambda ^ { - 1 } d T _ { 0 } / d z | _ { - }
\begin{array} { r } { \dot { P } ( t ) | _ { u ( t ) = u , S ( t ) = S } = D _ { P } ^ { ( 1 ) } ( P ( t ) , u , S ) + \sqrt { D _ { P } ^ { ( 2 ) } ( P ( t ) , u , S ) } \cdot \Gamma ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \big [ \mathfrak { E } ( R _ { c r i t } ) } & { { } - } & { 2 \, h _ { 0 0 } ( R _ { c r i t } ) \big ] \, R _ { c r i t } ^ { 3 } - I _ { 0 0 } ( R _ { c r i t } ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { N - 3 } \big [ \gamma _ { 2 N - 3 - k } ^ { ( k ) } - \mathrm { i } x \big ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 3 } \big ( \big [ \gamma _ { 2 N - 3 - k } ^ { ( k ) } - \gamma _ { N } ^ { ( N - 3 ) } \big ] + \big [ \gamma _ { N } ^ { ( N - 3 ) } - \mathrm { i } x \big ] \big ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 3 } \big [ \gamma _ { 2 N - 3 - k } ^ { ( k ) } - \gamma _ { N } ^ { ( N - 3 ) } \big ] + ( N - 2 ) \big [ \gamma _ { N } ^ { ( N - 3 ) } - \mathrm { i } x \big ] . } \end{array}
a _ { p _ { 1 } p _ { 2 } . . . p _ { n } } ^ { q _ { 1 } q _ { 2 } . . . q _ { n } } = a _ { q _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { q _ { 2 } } ^ { \dagger } . . . a _ { q _ { n } } ^ { \dagger } a _ { p _ { n } } . . . a _ { p _ { 2 } } a _ { p _ { 1 } }
\begin{array} { r } { u _ { \xi } ^ { \tau } = \frac { g _ { \xi } ^ { \tau } } { 1 - \left( \beta _ { 1 } ^ { \tau } \right) ^ { \tau } } \left\{ \left[ \frac { h _ { \xi } ^ { \tau } } { 1 - \left( \beta _ { 2 } \right) ^ { \tau } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \epsilon \right\} ^ { - 1 } \ . } \end{array}
{ \cal F } ( { \vec { k } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } e ^ { \ensuremath { \mathrm { i } } / \hbar { \vec { k } } \cdot { \vec { s } ^ { ( 1 ) } } _ { i } } = e ^ { - \ensuremath { \mathrm { i } } \ell k _ { y } / \hbar } \left[ 1 + 2 e ^ { \ensuremath { \mathrm { i } } \frac { 3 } { 2 } \ell k _ { y } / \hbar } \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 \hbar } \ell k _ { x } \right) \right] \, ,
\mathbf { v } \cdot \textrm { c u r l } \mathbf { v } = \mp k | \mathbf { v } | ^ { 2 } \quad \textrm { a n d } \quad \mathcal { H } = \int _ { V } \mathbf { v } \cdot \textrm { c u r l } \mathbf { v } d V = \mp k | \mathbf { v } | ^ { 2 } V ,
\mathbb { E } \left[ \left( \sqrt { \frac { c _ { 1 } \left( \mathbf { U } _ { 1 } ^ { ( \ell ) } \right) \cdots c _ { k } \left( \mathbf { U } _ { k } ^ { ( \ell ) } \right) } { c \left( \mathbf { U } _ { 1 } ^ { ( \ell ) } , \dots , \mathbf { U } _ { k } ^ { ( \ell ) } \right) } } \right) ^ { 2 } \right] = \int _ { \mathbb { I } ^ { q } } c _ { 1 } ( \mathbf { u } _ { 1 } ) \cdots c _ { k } ( \mathbf { u } _ { k } ) d \mathbf { u } _ { 1 } \cdots d \mathbf { u } _ { k } = 1 ,
W _ { K } [ \tilde { \phi } ] = \frac { \varepsilon } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { k } \, \tilde { \phi } _ { A } ( \mathbf { k } ) K ( \mathbf { k } ) \tilde { \phi } _ { B } ( \mathbf { k } ) .
S ^ { i j } ( \theta - \sigma _ { i j } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { \eta _ { i j } ( - 1 ) _ { \theta } } } & { { \eta _ { i j } ^ { 2 } ( - 2 ) _ { \theta } } } & { { \eta _ { i j } ^ { 3 } ( - 3 ) _ { \theta } } } \\ { { \eta _ { i j } ^ { 2 } ( - 2 ) _ { \theta } } } & { { - ( - 3 ) _ { \theta } ( - 1 ) _ { \theta } } } & { { \eta _ { i j } ^ { 2 } ( - 2 ) _ { \theta } } } \\ { { \eta _ { i j } ^ { 3 } ( - 3 ) _ { \theta } } } & { { \eta _ { i j } ^ { 2 } ( - 2 ) _ { \theta } } } & { { \eta _ { i j } ( - 1 ) _ { \theta } } } \end{array} \right) ,
[ x \tilde { s } - 2 \vec { q } \cdot \vec { l } ] [ x \vec { q } ^ { 2 } + ( 1 - x ) 2 \vec { q } \cdot \vec { l } ] \; \, = \; \, x ^ { 2 } \vec { q } ^ { 2 } \tilde { s } - 4 ( \vec { q } \cdot \vec { l } ) ^ { 2 } - 2 x d _ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { l }
\left( \begin{array} { c } { \gamma _ { 1 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 1 } ^ { - } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { + } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { - } } \end{array} \right) _ { z } = \mathbf B ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z } .
G _ { r e t } ( k ) = - \int d \omega \frac { 1 } { k _ { 0 } - \omega + i \epsilon } \left( \frac { 1 } { \omega _ { + } } \delta ( \omega - \omega _ { + } ) - \frac { 1 } { \omega _ { - } } \delta ( \omega + \omega _ { - } ) \right)
\tilde { \beta } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, 2 ^ { n } \, \rho \, ( \rho - 1 ) } { ( n + 1 ) ( 1 + \rho ) ^ { n } } \, \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \rho , \frac { 1 - \rho } { 2 } ] .
p = \left( \sqrt { m _ { Q } ^ { 2 } + \vec { q } _ { 1 } ^ { \, 2 } } , \vec { q } _ { 1 } \right) \qquad \quad \bar { p } = \left( \sqrt { m _ { Q } ^ { 2 } + \vec { q } _ { 2 } ^ { \, 2 } } , \vec { q } _ { 2 } \right)
{ \tilde { \beta } } _ { \mu \nu } ^ { G } = R _ { \mu \nu } + 2 \gamma \nabla _ { \mu } \partial _ { \nu } \Phi , \qquad { \tilde { \beta } } ^ { \Phi } = - R + 4 \gamma ^ { 2 } ( \nabla _ { \mu } \Phi ) ( \nabla _ { \nu } \Phi ) G ^ { \mu \nu } - 4 \gamma \nabla ^ { 2 } \Phi + Q ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { J } & { = \parallel \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } - \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } \parallel _ { \mathsf { P } } ^ { 2 } + \parallel \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { a } } - \mathcal { H } ^ { \mathrm { a } } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } ] \parallel _ { \mathsf { R } ^ { \mathrm { a } } } ^ { 2 } } \\ { \mathsf { y } ^ { \mathrm { a } } } & { = [ \mathsf { y } ^ { u } , \mathsf { y } ^ { k } ] \mathrm { , } } \end{array}
\Phi _ { 1 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { { \phi _ { 1 } + i \phi _ { 2 } \atop \phi _ { 3 } + i \phi _ { 4 } } } \right) , \; \; \; \Phi _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { { \phi _ { 5 } + i \phi _ { 6 } \atop \phi _ { 7 } + i \phi _ { 8 } } } \right) \, .
\langle \Psi | V ^ { \prime } | \Psi \rangle = - { \frac { e ^ { 2 } } { P } } \int ^ { \prime } { \frac { d k _ { 1 } } { 4 \pi } } { \frac { d k _ { 2 } } { 4 \pi } } \left[ g { \frac { 1 } { ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { P ^ { 2 } } } \right] \phi ^ { * } ( k _ { 1 } ) \phi ( k _ { 2 } ) \ .
\Delta _ { o } ( T ) = \Delta _ { o } ( 0 ) \operatorname { t a n h } \left\{ \frac { \pi k _ { B } T _ { c } } { \Delta _ { o } ( 0 ) } \left[ \left( \frac { T _ { c } } { T } - 1 \right) \frac { 2 } { 3 } \frac { \Delta C } { C } \right] ^ { 1 / 2 } \right\} .
\hat { \rho } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \otimes _ { j = 1 } ^ { N } \vert \psi \rangle _ { j } \langle \psi \vert _ { j } = \otimes _ { j = 1 } ^ { N } \hat { \rho } _ { j , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ,
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho - \nabla \cdot ( 2 \mu _ { a } \boldsymbol { \epsilon } ( \mathbf u ) ) + \nabla \left( \frac { 2 } { 3 } \mu _ { a } \nabla \cdot \mathbf u \right) = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \\ & { \frac { \partial ( \rho h ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u h ) + \frac { \partial ( \rho K ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u K ) - \frac { \partial p } { \partial t } + \rho g \mathbf u \cdot \widehat { \mathbf k } - \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { a } } { P r } \nabla h \right) = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \end{array}
\chi _ { m } ^ { \ell , s } = \chi _ { m + 2 k + 4 } ^ { \ell , s } = \chi _ { m } ^ { \ell , s + 4 } = \chi _ { m + k + 2 } ^ { k - \ell , s + 2 } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \chi _ { m } ^ { \ell , s } = 0 \; \; \mathrm { u n l e s s } \; \; \ell + m + s \equiv 0 \; \; \mathrm { m o d } \; 2 ~ ,
\begin{array} { r } { \omega _ { ( a \mu , b \nu \rightarrow i \alpha , j \beta | r ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) } { L _ { m a x } ^ { \alpha \beta } - 1 } } & { \mathrm { i f ~ r ~ = ~ n o d e ~ } } \\ { \frac { \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) } { L _ { m a x } ^ { i j } - 1 } } & { \mathrm { i f ~ r ~ = ~ l a y e r ~ } } \\ { \frac { \delta ( a \mu , b \nu ) - \delta ( a \cdot , b \cdot = i \cdot , j \cdot ) - \delta ( \cdot \mu , \cdot \nu = \cdot \alpha , \cdot \beta ) } { L _ { m a x } - L _ { m a x } ^ { \alpha \beta } - L _ { m a x } ^ { i j } + 1 } } & { \mathrm { i f ~ r ~ = ~ t e l ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { l _ { 1 } x + m _ { 1 } y + n _ { 1 } } { \sqrt { l _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } } } = \pm { \frac { l _ { 2 } x + m _ { 2 } y + n _ { 2 } } { \sqrt { l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } } } .
\alpha ( \lambda _ { s } , \lambda _ { i } ) = \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { { 1 / \lambda _ { s } + 1 / \lambda _ { i } - 1 / ( \lambda _ { 0 } / 2 ) } } { { \Delta \lambda / [ ( \lambda _ { 0 } / 2 ) ^ { 2 } - ( \Delta \lambda / 2 ) ^ { 2 } ] } } \right) \right\} ,
J ( s \to 0 ) = \frac { U _ { c l } F ( \theta _ { m i c r o } ) } { \frac { G ( \theta _ { m i c r o } ) } { \theta _ { m i c r o } \rho _ { l } } + \frac { l _ { s } { \cal L } \theta _ { m i c r o } } { \mu k } \gamma } .
\tilde { \pmb { A } } ( \pmb { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { B } { 2 } ( - y + b , x - a , 0 ) , \begin{array} { c } { - L _ { x } / 2 < x - a < L _ { x } / 2 , } \\ { - L _ { y } / 2 < y - b < L _ { y } / 2 } \end{array} } \\ { 0 , \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { K _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { = K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { + K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ( k ) = \frac { ( - i ) } { k ^ { 2 } } \left( g _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } \right) \, \frac { 1 } { 1 + \Pi _ { 0 } ( k ^ { 2 } ) } + ( - i ) \, \xi \, \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 4 } } ,
n _ { 0 } ( E ) = { \frac { 2 } { 3 \pi } } \int _ { r _ { + } + \epsilon } ^ { r _ { E } } d r { \frac { r ^ { 2 } } { g ^ { 2 } ( r ) } } ( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } g ( r ) ) ^ { 3 / 2 }
f _ { H } ^ { * } ( D _ { H } ) = \left( \begin{array} { r l r } & { D _ { S , H _ { S } } \ } & { \beta } \\ & { - \beta ^ { * } \ } & { D _ { Q , H _ { Q } } } \end{array} \right) , \ \ \ \ f _ { H } ^ { * } ( \psi _ { H } ) = \left( \begin{array} { r l r } & { \psi _ { S , H _ { S } } \ } & { \beta } \\ & { \beta ^ { * } \ } & { \psi _ { Q , H _ { Q } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { S _ { 1 2 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 2 } \int d E [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) . } \end{array}
\mu q ( X ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } T } \, \left[ 1 - \frac { \mu ^ { \prime } } { \mu + \mu ^ { \prime } } \right] \, G \, H ( X ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \, \partial _ { X } p \, H ( X ) ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { K ( x - x ^ { \prime } ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \xi } { 2 \pi } \frac { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \xi \kappa ( x - x ^ { \prime } ) } } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< \Delta _ { g } u _ { n } , v \right> _ { x ^ { \beta _ { f } } \mathcal H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( X ) } } & { = } & { \left< x ^ { \varepsilon } \Delta _ { g } u _ { n } , x ^ { - \varepsilon } v \right> _ { x ^ { \beta _ { f } } \mathcal H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( X ) } } \\ & { \to } & { \left< x ^ { \varepsilon } \Delta _ { g } u , x ^ { - \varepsilon } v \right> _ { x ^ { \beta _ { f } } \mathcal H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( X ) } } \\ & { = } & { \left< \Delta _ { g } u , v \right> _ { x ^ { \beta _ { f } } \mathcal H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( X ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \mathbf { F } _ { R } } w _ { R } ( \phi _ { R } , \mathbf { F } _ { R } ) \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \frac { 3 0 - 4 p } { p - 1 } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 3 0 - 4 p } { p - 1 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ C _ { n } , G \} } & { = \left\langle n q \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } , \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle } \\ & { \qquad - \left\langle n \underbrace { \nabla \cdot \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } } _ { = 0 } , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle P _ { 2 } ( ( n - 1 ) q ^ { n } ) , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle , } \\ & { = \left\langle n q \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } , \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle + \left\langle ( n - 1 ) q ^ { n } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { F } } } & { = \frac { f _ { \mathrm { F } } } { c } \sum _ { L } \mathcal { T } _ { L l m } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { E } _ { L m } ^ { \mathrm { i n } } } \\ { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { F } } } & { = f _ { \mathrm { F } } c \sum _ { L } \mathcal { T } _ { L l m } ^ { \mathrm { E } } \mathcal { B } _ { L m } ^ { \mathrm { i n } } } \end{array}
Q _ { p } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int _ { \Omega _ { 8 - p } } * F _ { p + 2 } = \frac { ( 7 - p ) \Omega _ { 8 - p } \cos \theta } { 2 \kappa ^ { 2 } g } r _ { 0 } ^ { 7 - p } \sinh \alpha \cosh \alpha ,
n _ { \mathrm { p h } } ( E _ { g } ) = \int _ { E _ { \mathrm { g } } } ^ { \infty } { \frac { d n _ { \mathrm { p h } } } { d h v } } \, d h v = \sum _ { i = E _ { \mathrm { g } } } ^ { \infty } ( h v _ { i + 1 } - h v _ { i } ) { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { d n _ { \mathrm { p h } } } { d h v } } ( h v _ { i + 1 } ) + { \frac { d n _ { \mathrm { p h } } } { d h v } } ( h v _ { i } ) \right]
\begin{array} { r l } { I _ { g } ( t ) } & { { } = \frac { S _ { g } ( t ) } { N } \sum _ { g ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 } \mathbf { R } _ { \mathrm { e f f } , g , g ^ { \prime } } ( t ) \sum _ { \tau = 0 } ^ { 1 0 } I _ { g ^ { \prime } } ( t - 1 - \tau ) \, G ( \tau ) , } \\ { S _ { g } ( t ) } & { { } = S _ { g } ( t - 1 ) - E _ { g } ( t - 1 ) , } \\ { G ( \tau ) } & { { } = \mathrm { ~ G ~ a ~ m ~ m ~ a ~ } ( \tau ; \mu = 4 , \sigma = 1 . 5 ) . } \end{array}
\Phi _ { x } ^ { \mathrm { p h y s } } = \frac { \Phi _ { \alpha } x _ { \alpha } + \Psi _ { \alpha } y _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } , \qquad \qquad \Phi _ { y } ^ { \mathrm { p h y s } } = \frac { \Phi _ { \alpha } y _ { \alpha } - \Psi _ { \alpha } x _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial { \mathcal J } _ { 1 } } { \partial \xi } \right| \leq c _ { 1 } : = \frac { \operatorname* { m a x } _ { ( u , \mu ) \in [ \zeta , \alpha ( \bar { \mu } ) ] \times ( \overline { { \mu } } , \mu _ { r } ] } | g ( u ; \mu ) | ( \alpha ( \bar { \mu } ) - \zeta ) } { 2 \operatorname* { m i n } _ { \mu \in ( \overline { { \mu } } , \mu _ { r } ] } \{ G ( \xi _ { m } ; \mu ) - G ( \zeta ; \mu ) \} ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
p _ { 1 } , \; p _ { 2 } , \; m _ { 1 } , \; m _ { 2 } \quad \Longrightarrow \quad \{ p _ { 1 } , p _ { 2 } \} , \; \{ p _ { 1 } , m _ { 1 } \} , \; \{ p _ { 2 } , m _ { 2 } \} , \; \{ m _ { 1 } , m _ { 2 } \} .
\begin{array} { r l r } { | \Psi ^ { \pm } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \pm | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) , } \\ { | \Phi ^ { \pm } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \pm | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) , } \end{array}