harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { B - L } \ = \ - \frac { \sqrt { 2 } m _ { M _ { i j } } } { 2 v _ { R } } \Big ( h _ { i j } \bar { L } _ { L _ { i } } ^ { C } \, \varepsilon _ { i j } \Delta _ { L } L _ { L _ { j } } ^ { \prime } \ + \ \bar { L } _ { R _ { i } } ^ { C } \, \varepsilon _ { i j } \Delta _ { R } L _ { R _ { j } } ^ { \prime } \Big ) \quad + \quad \mathrm { H . c . } ,
\sigma _ { a b } ^ { \mathrm { s } } = \rho \left[ 2 \eta ( d _ { a b } + d _ { c c } \delta _ { a b } ) + \beta \widehat { q } _ { a b } + \lambda \left( \delta _ { a b } + \kappa q _ { a b } \right) - L \nabla _ { a } q _ { c d } \nabla _ { b } q _ { c d } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \left\Vert u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } \leq C _ { 2 } \left\Vert u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { C _ { 2 } \left\Vert ( u - u ^ { * } ) ( u ^ { 2 } + u u ^ { * } + ( u ^ { * } ) ^ { 2 } ) \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { C _ { 2 } \left\Vert ( u - u ^ { * } ) u ^ { 2 } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } + C _ { 2 } \left\Vert ( u - u ^ { * } ) u u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } C _ { 2 } \left\Vert ( u - u ^ { * } ) ( u ^ { * } ) ^ { 2 } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { C _ { 2 } \left( \int _ { \Omega } ( u - u ^ { * } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } u ^ { \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } + C _ { 2 } \left( \int _ { \Omega } ( u - u ^ { * } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } u ^ { \frac { 4 } { 3 } } ( u ^ { * } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } + C _ { 2 } \left( \int _ { \Omega } ( u - u ^ { * } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } ( u ^ { * } ) ^ { \frac { 8 } { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \\ { \leq } & { C _ { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + C _ { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + C _ { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left( \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { L _ { u } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 0 } = \frac { f _ { 1 } + f _ { 2 } } { 2 } , \quad \eta _ { 0 } = \frac { ( \gamma _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ) + ( \gamma _ { 2 } - \kappa _ { 2 } ) } { 2 } , } \\ { \Delta f = \frac { f _ { 1 } - f _ { 2 } } { 2 } , \quad \Delta \eta = \frac { ( \gamma _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ) - ( \gamma _ { 2 } - \kappa _ { 2 } ) } { 2 } . } \end{array}
f _ { r } ( \omega ) = \frac { \delta d _ { r } ^ { * } ( \omega ) \delta \bar { d } _ { { r } } ^ { b } ( \omega ) } { | \delta d _ { { r } } ^ { b } ( \omega ) | ^ { 2 } + \epsilon } , \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \omega ,
\sigma _ { A } \sigma _ { B } \geq \left| { \frac { 1 } { 2 i } } \langle [ { \hat { A } } , { \hat { B } } ] \rangle \right| = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \langle [ { \hat { A } } , { \hat { B } } ] \rangle \right| ,
\begin{array} { r } { \gamma _ { U P W } = \frac { M ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } \bar { P } } { r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } G _ { e } \left( \theta _ { q } , \phi _ { q } \right) A F \left( \theta _ { q } , \phi _ { q } \right) \times G _ { e } \left( \theta _ { p } , \phi _ { p } \right) A F \left( \theta _ { p } , \phi _ { p } \right) , } \end{array}
D : = \eta _ { * } D _ { 0 } , \qquad \quad { \cal P } : = \eta _ { * } ( U { \cal P } _ { 0 } U ^ { \dagger } ) , \qquad \quad \boldsymbol { \cal X } : = \dot { \boldsymbol \eta } \circ \boldsymbol \eta ^ { - 1 } , \qquad \quad \xi : = \dot { U } U ^ { \dagger } \circ \boldsymbol \eta ^ { - 1 } .
\left\{ \begin{array} { l } { { T r \gamma _ { 1 , 3 , ( m , n , p ) } - \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 1 , \tilde { 7 } _ { 3 } , ( m ) } - \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 1 , 7 _ { 4 } , ( n ) } + \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 1 , 7 _ { 5 } , ( p ) } = 0 , } } \\ { { T r \gamma _ { 2 , 3 , ( m , n , p ) } + \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 2 , \tilde { 7 } _ { 3 } , ( m ) } + \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 2 , 7 _ { 4 } , ( n ) } + \frac { 1 } { 3 } T r \gamma _ { 2 , 7 _ { 5 } , ( p ) } = 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { i } ^ { ( l + 1 ) \alpha } } & { = \operatorname { t a n h } ( \mathbf { V } ^ { l } \mathbf { f } _ { i } ^ { l \alpha } + \mathbf { b } ^ { l } ) + \mathbf { h } _ { i } ^ { l \alpha } , } \\ { \mathbf { h } _ { i j } ^ { ( l + 1 ) \alpha \beta } } & { = \operatorname { t a n h } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \beta } + \mathbf { c } ^ { l } ) + \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \beta } , } \end{array}
\chi ^ { 0 } ( \mathbf { k } , \omega ) = - 2 \int \frac { d \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { f ( \varepsilon ( \mathbf { p } + \mathbf { k } ) ) - f ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) ) } { \varepsilon ( \mathbf { p } + \mathbf { k } ) - \varepsilon ( \mathbf { p } ) - ( \omega + i \delta ) }
\begin{array} { r } { \langle \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } \rangle _ { { \textstyle \mathstrut } j } ( \vec { r } ) = \frac { 2 \pi i \left( e ^ { i \left( k _ { \mathrm { ~ m ~ } } z + ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ( z _ { j } - 3 a ) \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } - e ^ { i \left( k _ { \mathrm { ~ m ~ } } z - ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } \right) } { ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } V } \, S _ { \ell } ( 0 ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } . } \end{array}
M _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { I } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { A } } & { { - B } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { B } } & { { A } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { I } } \end{array} \right) \: \: , \: \: I = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \: \: , A = \cos \frac { 2 \pi } { n } I \: , \: B = \sin \frac { 2 \pi } { n } I .
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { B , p } } ( \rho , z ) } & { { } = } & { P _ { 0 } \, \left| \frac { u _ { 0 , 0 } ( \mathbf { r } ) - u _ { 0 , 1 } ( \mathbf { r } ) } { \sqrt { 2 } } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { M } = \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right) ,
L \propto \frac { P } { \sqrt { k _ { 1 } k _ { 2 } d } } \; \; \; \; \mathrm { a t } \; \; \; \; N = \sqrt { \frac { k _ { 1 } d } { k _ { 2 } } } , \; \; \; \; D C = \frac { P } { 2 k _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = ( \kappa + 1 ) _ { m } z ^ { n } \overline { { z } } ^ { m } \sum _ { j = 0 } ^ { m \wedge ^ { * } ( n + \rho ) } \frac { ( - m ) _ { j } ( - n - \rho ) _ { j } } { ( \kappa + 1 ) _ { j } j ! } \left( 1 - \frac { 1 } { | z | ^ { 2 } } \right) ^ { j } } \\ & { = ( \kappa + 1 ) _ { m } z ^ { n } \overline { { z } } ^ { m } { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { - m , - n - \rho } \\ { \kappa + 1 } \end{array} \bigg | 1 - \frac { 1 } { | z | ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \gamma [ \mathbf { v } _ { p } ] \mathbf { v } _ { p } ( t ) } { \partial t } = \mathbf { a } _ { p } ( t ) = \frac { q } { m } \left( \mathbf { E } ( \mathbf { r } _ { p } , t ) + \mathbf { v } _ { p } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } _ { p } , t ) \right)
\big \langle f ( \eta ) \! - \! \omega , \, 1 \big \rangle ^ { 2 } = \langle \eta \! - \! \omega , \, 1 \rangle ^ { 2 } + \Big ( \big \langle f ( \eta ) \! - \! \omega , \, 1 \big \rangle ^ { 2 } - \langle \eta \! - \! \omega , \, 1 \rangle ^ { 2 } \Big ) ,
\begin{array} { r } { \Vert ( u - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } = \Vert ( u - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } + ( u - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } \mathcal { T } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } [ h _ { s , x } ( u , \cdot ) ] \leq g ( s , x , u ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { s e p } = [ D _ { \mathrm { y } } + 2 Z _ { \mathrm { I } } t g ( \theta _ { \mathrm { y } } ^ { \mathrm { m a x } } ) ] \frac { v _ { \mathrm { z } } m } { N _ { d o } \hbar k } } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 1 2 3 } ^ { ( 1 ) } = M _ { 3 1 2 } ^ { ( 1 ) } = M _ { 2 3 1 } ^ { ( 1 ) } = 1 } \\ { M _ { 1 3 2 } ^ { ( 1 ) } = M _ { 3 2 1 } ^ { ( 1 ) } = M _ { 2 1 3 } ^ { ( 1 ) } = - 1 } \end{array}
A ( u , v ) = \left( \frac { 2 \alpha ^ { 2 } } { 9 } - 1 \right) \frac { 1 } { 3 } \log ( f ( u ) + g ( v ) ) + \frac { 1 } { 2 } \log ( f ^ { \prime } ( u ) g ^ { \prime } ( v ) ) + a
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } } & { \lesssim ( 1 + \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } + \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } ) \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } \lesssim ( 1 + \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } ) \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \exp \big ( ( L - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon \big ) - 1 } { \exp \big ( ( L - 1 ) ^ { - 1 } \epsilon \big ) + 1 } \leq \frac { | 2 \widetilde { \eta } _ { i j } - 1 | } { | 2 \eta _ { i j } - 1 | } \leq \frac { \exp \big ( \frac { 2 L - 3 } { L - 1 } \epsilon \big ) - 1 } { \exp \big ( \frac { 2 L - 3 } { L - 1 } \epsilon \big ) + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { r } } \approx \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \frac { { { \lambda ^ { 2 } } \left[ { { { \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } ^ { 2 } } + \frac { \pi { { D _ { T } } } } { r } \frac { { \cos 2 \theta } } { { \cos \theta } } - 4 { { ( { \ln \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } - 1 } ) } ^ { 2 } } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta \right] } } { { 4 { \pi ^ { 2 } } M ^ { 2 } ( { \frac { { \pi { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } - 4 { { \ln } ^ { 2 } } \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { X , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) = } & { { } \sqrt { G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) } ( \hat { I } _ { X , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } ) + \hat { I } _ { X , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) ) , } \\ { \hat { I } _ { P , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) = } & { { } \sqrt { G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) } ( \hat { I } _ { P , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } ) + \hat { I } _ { P , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) ) . } \end{array}
\mathbf { T } [ \psi ] ( K ^ { \star } , - \nabla { \widetilde { \tau } } ) = \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } | W _ { 0 } \psi | ^ { 2 } + \frac { a _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } | K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } | \partial _ { \theta } \psi | ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } | \partial _ { \phi } \psi | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { h _ { i j } \propto \rho _ { i } \frac { \Delta p _ { i j } } { r _ { i j } } = \rho _ { i } \frac { p _ { i j } ( 1 - \rho _ { j } ^ { \kappa } ) } { a + b \rho _ { i } ^ { \gamma } } } \end{array}
{ \frac { 2 i \pi z } { N \sqrt { 2 } } } = \Bigl ( 1 + { \frac { 1 } { N } } \Bigr ) \Bigl ( \ln r - \sqrt { 1 - 1 / r ^ { 2 } } + \ln \left( 1 + \sqrt { 1 - 1 / r ^ { 2 } } \right) \Bigr ) .
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \lambda } ^ { \prime \prime } = \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbf { C _ { \lambda _ { 3 } } } = { ( e ^ { ( \log \mathbf { { A _ { \lambda _ { 1 } } } } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } ) } ) } ^ { T } \mathbf { R _ { \lambda _ { 3 } } } \mathbf ( e ^ { ( \log \mathbf { { A _ { \lambda _ { 1 } } } } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } ) } )
\begin{array} { r l r } & { } & { - i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - \frac { k _ { u } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } } { 2 } \left\{ \frac { 4 \sigma _ { \eta } ^ { 2 } [ B D ] - [ B D ] _ { \sigma _ { r } } ( T _ { \alpha } ^ { 2 } \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } - 4 T _ { \alpha } D \sigma _ { \eta } ^ { 2 } ) } { [ B D ] _ { y } } \right\} } \\ & { } & { \quad - \frac { k _ { u } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } T _ { \alpha } } { 8 } \left\{ \frac { T _ { \alpha } [ B D ] _ { \sigma _ { \phi } } + 8 i k ( T _ { \alpha } \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } - 2 D \sigma _ { \eta } ^ { 2 } ) } { [ B D ] _ { y } } \right\} } \end{array}
\left( T _ { \lambda \mu \nu } ^ { A \rightarrow V V } ( p , p ^ { \prime } ) \right) _ { p h y s } = T _ { \lambda \mu \nu } ^ { A \rightarrow V V } ( p , p ^ { \prime } ) - T _ { \lambda \mu \nu } ^ { A \rightarrow V V } \left( 0 \right) ,
\begin{array} { r l r l r l } { \phi ^ { s } } & { { } = 1 - \phi , } & { \phi ^ { \alpha } } & { { } = \phi S ^ { \alpha } , } & { \phi ^ { f } } & { { } = \phi ^ { 1 } + \phi ^ { 2 } = \phi , } \\ { \rho ^ { s } } & { { } = ( 1 - \phi ) \rho _ { s } , } & { \rho ^ { \alpha } } & { { } = \phi S ^ { \alpha } \rho _ { \alpha } , } & { \rho ^ { f } } & { { } = \rho ^ { 1 } + \rho ^ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \sigma } ^ { s } } & { { } = ( 1 - \phi ) \boldsymbol { \sigma } _ { s } , } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { \alpha } } & { { } = \phi S ^ { \alpha } \boldsymbol { \sigma } _ { \alpha } , } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { f } } & { { } = \boldsymbol { \sigma } ^ { 1 } + \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } | 0 ) \to \breve { 0 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { S } | 0 ) \to | 0 ) , \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad \tilde { \omega } \to 1 . } \end{array}
\mathcal { L } = \mathcal { L } _ { \mathrm { S M } } - \frac { 1 } { 4 } \, F _ { \mu \nu } ^ { \prime } F ^ { \mu \nu } + \frac { \epsilon } { 2 } \, F _ { \mu \nu } ^ { \prime } \, F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } \, m _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { 2 } \, A _ { \mu } ^ { \prime } A ^ { \mu } ~ ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { C } ( r _ { \textrm { s t r o n g } } ) } & { = - 2 ( \mathbb { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \cdots + \mathbb { D } _ { x _ { m } } ^ { 2 } ) ^ { T } \mathbb { W } _ { m , n } \big ( ( \mathbb { D } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \cdots + \mathbb { D } _ { x _ { m } } ^ { 2 } ) C + \mathfrak { f } \big ) \, , } \\ { \nabla _ { C } ( s _ { \textrm { s t r o n g } } ) _ { j } ^ { \pm } } & { = 2 \mathbb { W } _ { m - 1 , n } ( \mathbb { S } _ { m , n , j } ^ { \pm } C - \mathfrak { g _ { j } ^ { \pm } } ) \, , \quad j = 1 , \dots , m \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } v _ { i x } ^ { p } ( u _ { x } , T ) v _ { i y } ^ { q } ( u _ { y } , T ) v _ { i z } ^ { r } ( u _ { z } , T ) } & { { } = M _ { x ^ { p } y ^ { q } z ^ { r } } ^ { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } \leq } & { C \sum _ { 1 \leq j \leq k } \| \partial _ { t } ^ { j } \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { \infty } } \| \partial _ { t } ^ { k - j } u \| \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| \big ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { 1 \leq j \leq k } \| \partial _ { t } ^ { j } \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { \infty } } E _ { k - j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \big ( E _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda \simeq C _ { \textrm { N } } \left( { \frac { U _ { \textrm { c } } } { \sqrt { \langle { ( u ^ { \prime } { } ^ { x } ) ^ { 2 } } \rangle } } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { U _ { \textrm { c } } } \frac { \Delta \{ [ \langle { ( u ^ { \prime } { } ^ { x } ) ^ { 2 } } \rangle / \sqrt { \langle { \varepsilon _ { \textrm { i s o } } } \rangle } ] ^ { 2 } \} } { D \Delta ( x / D ) } \simeq 1 . 7 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \theta ( V , U ) = } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } U \| } \\ { = } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } ( U Q ^ { * } + R ) \| } \\ { = } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } U Q ^ { * } + V _ { \bot } ^ { \top } R \| } \\ { = } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } R \| } \\ { \leq } & { ~ \| V _ { \bot } ^ { \top } \| \| R \| } \\ { \leq } & { ~ \| R \| , } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal S } _ { 4 } } & { = } & { - \frac { \alpha } { 4 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t \left[ P _ { + } ^ { 4 } ( t ) - P _ { - } ^ { 4 } ( t ) \right] } \\ & { = } & { - \alpha \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t \left[ P _ { c l } ^ { 3 } ( t ) P _ { q } ( t ) + ( 1 / 4 ) P _ { q } ^ { 3 } ( t ) P _ { c l } ( t ) \right] , } \end{array}
\delta \hat { G } _ { l } \equiv \frac { 1 } { 2 \pi } \oint d \vartheta _ { c } e ^ { - i l \vartheta _ { c } } \left[ - \frac { e } { m } e ^ { i Q _ { z } } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { z } \right] = - \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } + i Q _ { z } } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { z } } } .
v _ { 0 } = 2 5 0 \frac { \mathrm { k m } } { \mathrm { s } } , v _ { 1 } = 9 4 5 \frac { \mathrm { k m } } { \mathrm { s } } , \alpha = 0 . 1 6 , \beta = 1 , \gamma = 0 . 6 , w = 0 . 0 2 \mathrm { r a d } , \delta = 1 . 7 5 , \psi = 3
G _ { 0 } ( a , r _ { 0 } ) = \left( \frac { r _ { 0 } } 2 \right) ^ { \alpha ^ { 2 } } \exp \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { \sinh ^ { 2 } ( \alpha t ) } { \sinh ^ { 2 } t } - \alpha ^ { 2 } e ^ { - 2 t } \right] \frac { d t } t
B ^ { - } ( \lambda ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + 2 x { \frac { d } { d x } } + x ^ { 2 } - { \frac { \lambda ( \lambda + 1 ) } { x ^ { 2 } } } + 1 \right\}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { R } r u _ { r } ^ { 2 } \, d r } & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } \int _ { 0 } ^ { R } r u _ { k , r } ^ { 2 } \, d r } \\ { \int _ { 0 } ^ { R } \frac { u ^ { 2 } } { r } \, d r } & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } \int _ { 0 } ^ { R } \frac { u _ { k } ^ { 2 } } { r } \, d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ( q ) - E _ { C } ( q , m ) = \frac { \left( \hbar \Omega _ { R } \right) ^ { 2 } } { 4 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d E _ { j } \frac { \rho ( E _ { j } ) } { E ( q ) - E _ { j } } } \\ & { = \frac { \left( \hbar \Omega _ { R } \right) ^ { 2 } \sqrt { \pi } } { 4 i \sigma } e ^ { - [ E ( q ) - E _ { M } ] ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } \mathrm { e r f c } [ - i [ E ( q ) - E _ { M } ] / \sigma ] , } \end{array}
\displaystyle { \sum _ { \lambda = - \infty } ^ { + \infty } \exp \left[ - { \frac { g _ { c } ^ { 2 } A _ { c } N } { 2 } } \left( \lambda + \frac { l } { N } \right) ^ { 2 } \right] = \sqrt { \frac { 2 \pi } { g _ { c } ^ { 2 } A _ { c } N } } \sum _ { \lambda = - \infty } ^ { + \infty } \exp \left[ - \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { g _ { c } ^ { 2 } A _ { c } N } \lambda ^ { 2 } - 2 \pi i \lambda \frac { l } { N } \right] } .
O _ { c \pm } ^ { j j ^ { \prime } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \epsilon _ { k } \langle j ^ { \prime } | \hat { p } _ { z } | \epsilon _ { k } \rangle \langle \epsilon _ { k } | \hat { p } _ { z } | j \rangle \frac { \mathrm { ~ p ~ . ~ v ~ . ~ } } { \omega \pm \epsilon _ { k j ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \Delta t \operatorname { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } \right) J } \\ { \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } } & { { } = \frac { 3 } { 4 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 4 } \Delta t \operatorname { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( 1 ) } \right) J } \\ { \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } + \mathbf { 1 } } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { \mathbf { n } } + \frac { 2 } { 3 } \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } + \frac { 2 } { 3 } \Delta t \mathbf { R e s } \left( \hat { \mathbf { Q } } ^ { ( \mathbf { 2 } ) } \right) J , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \lambda , t ) } & { = \widetilde { E } ( \lambda , t ) B \left( t ^ { 1 / 2 } ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - t g ( \lambda ) \sigma _ { 3 } } = P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \left( I + \mathrm { e } ^ { 2 t g _ { 0 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { B _ { k } } { t ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } } \right) } \end{array}
\eta ^ { 2 } - 1 = - \sum _ { s } \frac { \omega _ { p s } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \omega _ { c s } ) } + \xi _ { 1 } \left[ \left( \frac { E _ { 0 } } { E _ { c } } \right) ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) + \left( \frac { B _ { 0 } } { B _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \, .