harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u ( x , y , z ) } & { { } = 2 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } ( \pi x ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi y ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi z ) \ \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \\ { v ( x , y , z ) } & { { } = - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } ( \pi y ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi x ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi z ) \ \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \\ { w ( x , y , z ) } & { { } = - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } ( \pi z ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi x ) \ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 \pi y ) \ \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \frac { M } { [ z L \delta - ( N - M ) ] } - 1 ) ( \frac { 1 } { \delta } + \frac { z L \delta - ( N - M ) } { M } ) = \frac { L } { M } } \\ { 1 + \frac { \delta ( z L \delta - ( N - M ) ) } { M } - \frac { z L \delta - ( N - M ) } { M } - \frac { [ z L \delta - ( N - M ) ] ^ { 2 } \delta } { M ^ { 2 } } - \frac { L ( z L \delta - ( N - M ) ) \delta } { M ^ { 2 } } } \\ { z ^ { 2 } \rho \zeta f ^ { 2 } + ( z \zeta \rho + z \zeta - 2 \zeta ^ { 2 } \rho z ) f ^ { 2 } + ( \zeta - \rho ^ { - 1 } + z - ( \rho \zeta - 1 ) + \rho ( \zeta - \rho ^ { - 1 } ) ^ { 2 } ) f - 1 = 0 } \\ { ( \frac { M } { [ z L \delta - ( N - M ) ] } - 1 ) ( \frac { 1 } { \delta } + \frac { z L \delta - ( N - M ) } { M } ) = \frac { L } { M } } \\ { 1 + \frac { \delta ( z L \delta - ( N - M ) ) } { M } - \frac { z L \delta - ( N - M ) } { M } - \frac { [ z L \delta - ( N - M ) ] ^ { 2 } \delta } { M ^ { 2 } } - \frac { L ( z L \delta - ( N - M ) ) \delta } { M ^ { 2 } } } \\ { z ^ { 2 } \rho \zeta f ^ { 2 } + ( z \zeta \rho + z \zeta - 2 \zeta ^ { 2 } \rho z ) f ^ { 2 } + ( z - ( \rho \zeta - 1 ) + \rho \zeta ^ { 2 } - \zeta ) f - 1 = 0 } \end{array}
\delta A _ { \mu } = { \frac { 1 } { g } } ( [ \partial _ { \mu } , \alpha ] - i g [ A _ { \mu } , \alpha ] ) + { \mathcal { O } } ( \alpha ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { g } } [ D _ { \mu } , \alpha ] + { \mathcal { O } } ( \alpha ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { J ^ { y } ( \bar { q } ) \frac { \{ \{ \{ q \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j + \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | \bar { v } | [ q ] _ { i , j + \frac 1 2 } } & { - \Delta t f ^ { y } ( \bar { q } ) \left( - \frac { \bar { u } } { \bar { \rho } } , \frac { 1 } { \bar { \rho } } , 0 , 0 \right) \frac { \{ [ q ] _ { i \pm 1 } \} _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } } \\ & { - \Delta t f ^ { y } ( \bar { q } ) \left( - \frac { \bar { v } } { \bar { \rho } } , 0 , \frac { 1 } { \bar { \rho } } , 0 \right) \frac { [ \{ \{ q \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } ] _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } } \end{array}
U _ { \mathrm { r e p } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { ( Z - 1 ) e ^ { 2 } } { 2 r _ { b } } \bigg ( 3 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \bigg ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } } & { r \leq r _ { b } , } \\ { \displaystyle \frac { ( Z - 1 ) e ^ { 2 } } { r } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } } & { r > r _ { b } . } \end{array} \right.
G M _ { \oplus } = 3 9 8 \, 6 0 0 . 4 4 1 5 ~ \mathrm { k m } ^ { 3 } \mathrm { s } ^ { - 2 } , R _ { \oplus } = 6 \, 3 7 8 . 1 3 6 3 0 ~ \mathrm { k m }
m _ { 2 } \approx \frac { z } { 2 \pi } e ^ { - \frac { 3 ( a - l _ { m i n } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \left[ 1 + \frac { ( a - l _ { m i n } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] \ .
\mathbf { P } _ { 2 } = a r g m i n _ { r a n k ( \tilde { \mathbf { P } } _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left\lVert \mathbf { Q } _ { R } \tilde { \mathbf { P } } _ { 2 } - \mathbf { Q } _ { R } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } ,
{ \cal H } ^ { ( 1 ) } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 m } } \left| ( i \hbar \partial _ { i } - { \frac { e } { c } } A _ { i } ^ { [ 1 ] } ( x ) ) \psi ^ { ( 1 ) } ( x ) \right| ^ { 2 } \, ,
S _ { 1 } ^ { B W } [ \beta , \epsilon , r _ { B } ] = - \mathrm { T r } ( \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { H } ( \beta ) \log \hat { \rho } _ { \epsilon } ^ { H } ( \beta ) ) = \beta ^ { 2 } { \frac { \partial } { \partial \beta } } { \cal F } ( \beta ) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \partial _ { t } \partial _ { z } \nabla \psi + \varepsilon ( \nabla ^ { \perp } \psi \cdot \nabla ) \partial _ { z } \nabla \psi = } & { \varepsilon ( \partial _ { z } \nabla \psi \cdot \nabla - \Delta \psi \partial _ { z } ) \nabla ^ { \perp } \psi } \\ & { + \frac { 1 } { \textrm { W o } ^ { 2 } } \left( \Delta \partial _ { z } \nabla \psi + \partial _ { z z z } \nabla \psi \right) , } \end{array} } \\ & { \partial _ { t } \Delta \psi + \varepsilon ( \nabla ^ { \perp } \psi \cdot \nabla ) \Delta \psi = \frac { 1 } { \textrm { W o } ^ { 2 } } \left( \Delta ^ { 2 } \psi + \partial _ { z z } \Delta \psi \right) . } \end{array}
P ( \lambda ; \varepsilon ) = \frac { e ^ { - i \pi / 4 - S _ { \lambda } ( p _ { + } ) / \varepsilon } } { \sqrt { | S _ { \lambda } ^ { \prime \prime } ( p _ { + } ) | } } \operatorname* { d e t } ( V _ { + } ) \prod _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \frac { e ^ { i \theta _ { k } - S _ { \lambda } ( p _ { k } ) / \varepsilon } } { \sqrt { | S _ { \lambda } ^ { \prime \prime } ( p _ { k } ) | } } ,
G ( p , p _ { \perp } ) = \frac { 2 \sqrt { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } { ( 2 \mathcal { M } \sqrt { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } } + p ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( f , { \mathbf A } ) } & { = \int f \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta f } , \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta f } \right] _ { x p } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf p } - \int \frac { 1 } { n } \nabla \times \mathbf { A } \cdot \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { \mathbf A } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta { \mathbf A } } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } } & { \leq \mathbb { P } \Big [ ( \widehat { \vartheta } _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } - \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } > \frac { C r _ { n } } { n ^ { 2 } ( \log n ) ^ { 2 } } \Big ] + o ( r _ { n } ) \leq C n ^ { 4 } ( \log n ) ^ { 4 } r _ { n } ^ { - 2 } \mathbb { E } \Big [ ( \widehat { \vartheta } _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } - \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } ) ^ { 4 } \Big ] + o ( r _ { n } ) } \\ & { = n ^ { 5 } ( \log n ) ^ { 4 } O ( n ^ { - 6 } + n ^ { - 8 } h ^ { - d - 8 } ) + o ( r _ { n } ) = o ( r _ { n } ) . } \end{array}
d x _ { d } ^ { 2 } = - H ^ { \frac { 2 \Delta - 4 ( D - 3 ) } { ( D - 3 ) \Delta } } f d t ^ { 2 } + H ^ { \frac { 2 } { D - 3 } } \left[ f ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { = D _ { a } \nabla ^ { 2 } a + r _ { a } \frac { s ( \textbf { r } , t ) ( a ^ { 2 } b ^ { - 1 } + b _ { a } ) } { ( s _ { c } + c ) ( 1 + s _ { a } a ^ { 2 } ) } - r _ { a } a , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } } & { = \frac { r _ { b } } { | \Gamma ( b ) | } \oint a \mathrm { d } x - r _ { b } b , } \\ { \frac { \partial c } { \partial t } } & { = D _ { c } \nabla ^ { 2 } c + b _ { c } a - r _ { c } c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } & { { } = \sum _ { k } \frac { K _ { k } ^ { \prime \prime } ( 0 ) \sinh \left( \beta K _ { k } ( 0 ) \right) } { \cosh \left( \beta \left( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right) \right) + \cosh \left( \beta K _ { k } ( 0 ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa ^ { n } | d _ { \mathrm { ~ S ~ r ~ / ~ C ~ s ~ } } ^ { ( n ) } | \sigma _ { \phi ^ { n } } ( \tau ) \lesssim 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 3 } / \sqrt { \tau / \mathrm { s } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c _ { t } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = J _ { m } ^ { - 1 } \left( U \right) \, , } & { c _ { t } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = K _ { m } ^ { - 1 } \left( W \right) \, , } \\ { c _ { + } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = - \frac { i a \left( \beta n _ { 1 } ^ { 2 } \omega ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) + ( \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) \psi \right) } { \sqrt { 2 } \beta U ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) J _ { m } ( U ) } \, , } & { c _ { + } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = \frac { i a \left( \beta n _ { 2 } ^ { 2 } \omega ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) + ( \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) \psi \right) } { \sqrt { 2 } \beta W ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) K _ { m } ( W ) } \, , } \\ { c _ { - } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = \frac { i a \left( \beta n _ { 1 } ^ { 2 } \omega ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) - ( \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) \psi \right) } { \sqrt { 2 } \beta U ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) J _ { m } ( U ) } \, , } & { c _ { - } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = \frac { i a \left( \beta n _ { 2 } ^ { 2 } \omega ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) - ( \mu _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ) \psi \right) } { \sqrt { 2 } \beta W ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) K _ { m } ( W ) } \, , } \\ { c _ { z } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = 0 \, , } & { c _ { z } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = 0 \, . } \end{array}
\Delta E = E _ { \gamma } ^ { 0 } \left\{ \frac { \mathcal { L } \left[ E _ { \gamma } ^ { 0 } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + \frac { 2 E _ { \gamma } ^ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \right) \right] } { \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { N _ { \mathrm { C O M } } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { C O M } } } \mathcal { L } \left( E _ { \gamma } ^ { i - 1 } - E _ { \gamma } ^ { i } \right) } - 1 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 2 E _ { \gamma } ^ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \right\}
\mathbf { r } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } = { \frac { 1 } { \alpha _ { k } } } \mathbf { r } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } ) = - { \frac { 1 } { \alpha _ { k } } } \mathbf { r } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k + 1 }
= 1 + \frac { z } { 1 ! } + \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! }
\mu ^ { s i g n a l } ( \sigma ) = \sigma \cdot \epsilon \int _ { E _ { T } } ^ { E _ { m a x } } R ^ { s i g n a l } ( T ) d T \qquad \mu ^ { b a c k g r o u n d } ( \beta ) = \beta \cdot \epsilon \int _ { E _ { T } } ^ { E _ { m a x } } R ^ { b a c k g r o u n d } ( T ) d T
\frac { \partial S } { \partial B } = \frac { \partial V _ { \mathrm { r } } } { \partial B } \approx \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } V _ { 0 } \, C \, \epsilon \, \gamma _ { \mathrm { n v } } \, \tau _ { \mathrm { t o t } } .
\begin{array} { r l } { J ^ { 2 } ( \omega ; \alpha ) } & { = \left( \varepsilon _ { \mathrm { H , n } } ^ { \omega , \alpha } + \mathrm { I P } _ { \mathrm { n } } ^ { \omega , \alpha } \right) ^ { 2 } + \left( \varepsilon _ { \mathrm { H , a } } ^ { \omega , \alpha } + \mathrm { I P } _ { \mathrm { a } } ^ { \omega , \alpha } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\gamma ( \omega ) = \frac { N _ { c } g ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \, \omega } \, + \, \zeta ( 3 ) \, \left( \frac { N _ { c } g ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \, \omega } \right) ^ { 4 } + . . . \, \, ,
{ \frac { C ^ { \prime } } { C } } = { \frac { ( r ^ { d } + c _ { 1 } ) r ^ { d - 1 } } { ( r ^ { 2 d } - 2 b _ { 1 } r ^ { d } + b _ { 2 } ) } } - { \frac { 1 6 \phi ^ { \prime } } { ( d + 1 ) ^ { 2 } \alpha _ { e } } }
\begin{array} { r l } { \rVert \Delta _ { 1 2 } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] \rVert _ { m , s , \eta } } & { \le | \Delta _ { 1 2 } \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta + 1 } + | \Delta _ { 1 2 } \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta + 1 } } \\ & { + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta } | \Delta _ { 1 2 } \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta + 1 } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta } | \Delta _ { 1 2 } \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta + 1 } . } \end{array}
\mathcal { I } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { I } _ { \bf d d } } & { \mathcal { I } _ { \bf d u } } \\ { \mathcal { I } _ { \bf u d } } & { \mathcal { I } _ { \bf u u } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { C } _ { \bf d d } } & { \breve { 0 } } \\ { \breve { 0 } } & { \mathcal { C } _ { \bf u u } } \end{array} \right] .
H = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { \bf ~ E } _ { T } ^ { 2 } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \mathrm { \bf ~ p } _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] ^ { 2 }
\lambda _ { 2 } ( a ) = \lambda _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( a ) + k ^ { - 2 } \lambda _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( a ) g _ { a } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } + k ^ { - 4 } \lambda _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ( a ) g _ { a } ^ { \mu \nu } g _ { a } ^ { \rho \sigma } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \rho } \partial _ { \sigma } + \ldots ,
i [ K _ { k } , x _ { l } ] = \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { k } \frac { p _ { l } } { \omega } + \frac { p _ { l } } { \omega } x _ { k } \right) - t \delta _ { k l } + \lambda \epsilon _ { k l m } \frac { p _ { m } } { | { \bf p } | ^ { 2 } } ~ ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( I I ) } } & { = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) r ^ { 1 } , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle - \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ^ { 1 } , r ^ { 1 } ) , \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle \ge \gamma _ { \alpha } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \| \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } } \\ & { \ge ( \gamma _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| \Theta _ { \alpha } \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } ) } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ) \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \ge ( \gamma _ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| \Theta _ { \alpha } \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } ) } \delta ) \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \tau } = m \frac { d \kappa } { d \tau } = \frac { d t } { d \tau } \frac { p _ { x } } { u _ { 2 } } - m \frac { \dot { u _ { 2 } } } { u _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { d t } { d \tau } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \theta } { \mathrm { m i n } } \quad } & { \frac { 1 } { 2 T } \| \mathbf { w } _ { 1 : T } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta - Y \| _ { F } ^ { 2 } \ + \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ + \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { i , d _ { 1 } } + e _ { f _ { k , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { j , d _ { 1 } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta e _ { k , d _ { 1 } } ) , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \theta _ { i } \geq \mathbf { 0 } _ { T } , \ i \in [ d _ { 1 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = f ( 1 ) - f ( 0 ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } [ f ( k / n ) - f ( ( k - 1 ) / n ) ] } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ^ { \prime } ( c _ { k } ) [ k / n - ( k - 1 ) / n ] } \\ & { = \frac 1 { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ^ { \prime } ( c _ { k } ) } \\ { \implies } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ^ { \prime } ( c _ { k } ) = 0 } \end{array}
\lambda ^ { 1 0 } - 1 5 \lambda ^ { 8 } \langle \omega ^ { 2 } \rangle + 3 5 \lambda ^ { 6 } \langle \omega ^ { 4 } \rangle - 2 8 \lambda ^ { 4 } \langle \omega ^ { 6 } \rangle + 9 \lambda ^ { 2 } \langle \omega ^ { 8 } \rangle - \langle \omega ^ { 1 0 } \rangle
\frac { \Delta \rho ^ { j } } { \rho _ { 0 } ^ { j } } = \frac { \rho _ { T } ^ { j } \Delta T ^ { j } } { \rho _ { 0 } ^ { j } } + \frac { \rho _ { \textrm { S o C } } ^ { j } \Delta \textrm { S o C } ^ { j } } { \rho _ { 0 } ^ { j } } \quad j = \{ + , - \}
\rho _ { \infty } : = \frac { 1 } { | \sigma _ { 3 \mathrm { b } } | } = \mp \frac { 1 } { \sigma _ { 3 \mathrm { b } } } , \qquad \hat { \xi } _ { 3 \mathrm { b } } : = \frac { \xi _ { 3 \mathrm { b } } } { \sigma _ { 3 \mathrm { b } } } , \qquad \hat { \eta } _ { 3 \mathrm { b } } : = \frac { \eta _ { 3 \mathrm { b } } } { \sigma _ { 3 \mathrm { b } } } ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { A } = \phi _ { P _ { X } } ( f _ { A } ) } & { = \left\langle \mathbb { E } \left[ G _ { 1 } ( X ) \mid X _ { A } \right] - \mathbb { E } \left[ G _ { 1 } ( X ) \right] , \mathbb { E } \left[ G _ { 2 } ( X ) \mid X _ { A } \right] - \mathbb { E } \left[ G _ { 2 } ( X ) \right] \right\rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = { \normalfont \textrm { C o v } } \left( \mathbb { E } \left[ G _ { 1 } ( X ) \mid X _ { A } \right] , \mathbb { E } \left[ G _ { 2 } ( X ) \mid X _ { A } \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \mathbb { E } \| v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \xi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \mathbb { E } \| g _ { k } ( x _ { k - 1 } ) - g _ { k } ( x _ { k - 2 } ) + \widetilde v _ { k - 1 } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \xi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \mathbb { E } \| \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) + \widetilde v _ { k - 1 } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \mathbb { E } \| g _ { k } ( x _ { k - 1 } ) - g _ { k } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \xi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ ( 1 + 1 / K ) \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k - 1 } - \nabla f ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 + K ) \mathbb { E } \| \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \mathbb { E } \| g _ { k } ( x _ { k - 1 } ) - g _ { k } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \mathbb { E } \| \xi _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\psi _ { 1 } \left( r \right) = K _ { 1 - \mu } \left( k _ { 1 } r \right) \, , \; \psi _ { 2 } \left( r \right) = - K _ { \mu } \left( k _ { 1 } r \right) \, , \; 0 < \mu < 1 \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { i } } { \partial t } = } & { - \frac { 1 } { \mathcal { N } } \frac { \partial } { \partial x } \left( \left( I - \gamma x - w \frac { \chi _ { i } ^ { n } } { K ^ { n } + \chi _ { i } ^ { n } } \right) p _ { i } ( x , t ) \right) } \\ & { + \sum _ { k = 1 , k \neq i } ^ { N } \mathcal { W } _ { k \to i } p _ { k } ( x , t ) - \mathcal { W } _ { i \to k } p _ { i } ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \tilde { p } _ { S } \rangle = p _ { S } , \; \langle \tilde { p } _ { B } \rangle = p _ { B } , } \\ & { \sigma ^ { 2 } ( \tilde { p } _ { S } ) = \sigma ^ { 2 } ( \tilde { p } _ { B } ) = q _ { S } q _ { B } / ( N \delta ^ { 2 } ) , } \\ & { \textsf { c o v } ( \tilde { p } _ { S } , \tilde { p } _ { B } ) = - q _ { S } q _ { B } / ( N \delta ^ { 2 } ) \; \Longrightarrow \; \rho ( \tilde { p } _ { S } , \tilde { p } _ { B } ) = - 1 . } \end{array}
Y _ { \{ 1 , 2 , 3 , 5 \} } = V _ { \{ 1 , 2 , 3 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 2 \} , \{ 3 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 2 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 1 , 5 \} , \{ 2 , 3 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 5 \} } \oplus B _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} } \oplus T _ { \{ 2 , 5 \} , \{ 1 , 3 \} } \oplus B _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} } \oplus T _ { \{ 3 , 5 \} , \{ 1 , 2 \} }
\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } x ^ { \gamma - 1 } G ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \gamma > 1 , } \\ { \infty \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \gamma < 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { Z ( T ) } & { = } & { \frac { p \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathcal { R } _ { \mathrm { u } } T } } \\ { \Rightarrow \frac { \mathrm { d } Z ( T ) } { \mathrm { d } T } } & { = } & { Z ( T ) \bigg ( \frac { 1 } { p } \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } T } + \frac { 1 } { \nu _ { \mathrm { v } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } T } - \frac { 1 } { T } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { = } & { \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { \omega _ { i } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) + \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } + \omega _ { k } } f _ { i } f _ { j } f _ { k } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) ( f _ { k } + 1 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } - \omega _ { k } } f _ { i } f _ { j } ( f _ { k } + 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } + \omega _ { k } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) f _ { k } . } \end{array}
\mathrm { E } \; \propto \; \alpha _ { e } \frac { \Omega _ { e g , c } \Gamma _ { e e } ^ { r } } { \Omega _ { e g , c } ^ { 2 } + \Omega _ { p g } ^ { 2 } } \mathrm { I m } ( \rho _ { g e } ) + \alpha _ { p } \frac { \Omega _ { p g } \Gamma _ { p p } ^ { r } } { \Omega _ { e g , c } ^ { 2 } + \Omega _ { p g } ^ { 2 } } \mathrm { I m } ( \rho _ { g p } ) + \alpha _ { e } \frac { \Gamma _ { e e } ^ { r } } { \Omega _ { e g , u c } } \mathrm { I m } ( \rho _ { g e , u } ) ,
f _ { P } ^ { ( n , i _ { 1 } , i _ { 2 } , \dots , i _ { k } ) } \mathrm { t r } [ ( b ^ { \dagger } ) ^ { i _ { 1 } } a ^ { \dagger } \dots a ^ { \dagger } ] \dots \mathrm { t r } [ ( b ^ { \dagger } ) ^ { i _ { k } } a ^ { \dagger } \dots a ^ { \dagger } ] | 0 > ,
\begin{array} { r } { \mathcal { W } _ { \rho _ { 1 } } ( \mu , \mu ^ { \prime } ) \leq C \left[ \mathcal { W } _ { \rho _ { 2 } } ( \mu , \tilde { \mu } ) + \mathcal { W } _ { \rho _ { 3 } } ( \tilde { \mu } , \mu ^ { \prime } ) \right] \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mu , \mu ^ { \prime } , \tilde { \mu } \in \operatorname* { P r } ( X ) . } \end{array}