harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \quad \left( H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } U - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } V \right) } & { \left( \left( - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } U V ^ { - 1 } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } V U ^ { - 1 } \right) \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) e _ { 0 } ^ { ( b ) } ( V ) \right. } \\ & { \left. \quad + \psi _ { \pm , 1 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) e _ { 0 } ^ { ( b ) } ( V ) + \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) e _ { 1 } ^ { ( b ) } ( V ) \right) } \\ { = \left( H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } U - V \right) } & { \left( \left( - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } U V ^ { - 1 } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } V U ^ { - 1 } \right) \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) e _ { 0 } ^ { ( b ) } ( V ) \right. } \\ & { \left. \quad + \psi _ { \pm , 1 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) e _ { 0 } ^ { ( b ) } ( V ) + e _ { 1 } ^ { ( b ) } ( V ) \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \left( C ^ { \mp 1 / 2 } U \right) \right) , } \end{array}
C _ { i } ^ { I I A } = h _ { 1 0 \; i } ^ { 1 1 } , \qquad h _ { 0 i } ^ { I I A } = h _ { 0 i } ^ { 1 1 } , \qquad B _ { i j } ^ { I I A } = A _ { 1 0 \; i j } ^ { 1 1 } , \qquad C _ { 0 i j } ^ { I I A } = A _ { 0 i j } ^ { 1 1 }
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ S ~ S ~ L ~ } } = \eta _ { \mathrm { ~ S ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ S ~ } } + \eta _ { \mathrm { ~ U ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ C ~ E ~ , ~ U ~ } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ C ~ } _ { \alpha \beta } } & { { } = \frac { 1 } { n _ { \alpha } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big [ d _ { G } ( i , j ^ { \ast } ( i , \beta ) ) - d _ { E } ( i , j ^ { \ast } ( i , \beta ) ) \Big ] \delta _ { c _ { i } , \alpha } , } \end{array}
\varepsilon _ { 2 } E _ { 2 } \frac { d \sigma _ { t } ^ { B } } { d ^ { 3 } k _ { 2 } d ^ { 3 } p _ { 2 } } = \frac { \alpha ^ { 2 } V ^ { 2 } \eta } { 8 ( 2 S _ { A } + 1 ) ( 2 \pi ) ^ { 3 } q ^ { 4 } } \sqrt { \frac { V } { z ^ { 2 } - 4 \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } } \Bigl [ \psi H _ { 3 } - \frac { z ^ { 2 } - 4 \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } { \sqrt { [ 1 ] } } H _ { 4 } \Bigr ] \ ,
\mathcal { C } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) = \mathbb { E } \left[ ( p ( \boldsymbol { x } ) - \bar { p } ( \boldsymbol { x } ) ) ( p ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) - \bar { p } ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) ) \right]
d f = { \frac { \left( { \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } } } + { \frac { s _ { 2 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { { \frac { \left( { \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } } { n _ { 1 } - 1 } } + { \frac { \left( { \frac { s _ { 2 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { n _ { 2 } - 1 } } } }
\begin{array} { r l } { \overline { { L } } ( \tau ) } & { { } = \left[ \ \langle L ( \tau ) \rangle \ \right] = \left[ L _ { 0 } ( \tau ) \right] + D \left[ \ \langle L _ { 2 } ( \tau ) \rangle \ \right] + \mathcal { O } ( D ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \mathcal { L } _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } ) \! \! \! \! \! } & { = \displaystyle \frac 1 2 b _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } + g , \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } + g ) - ( f , \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } + g ) _ { 1 } + \frac { \beta _ { D } } { 2 } \Big ( \lVert \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } + g \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle \ \ \ + \ \lVert \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } + g - u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \displaystyle = \mathcal { L } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } ) + b _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } , g ) - ( f , g ) _ { 1 } + \frac 1 2 b _ { 1 } ( g , g ) + \frac { \beta _ { D } } { 2 } \lVert g \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle \ \ \ + \ \beta _ { D } \left( ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } , g ) _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega ) } + ( \hat { u } _ { 1 } ^ { [ k ] } - u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } , g ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } \right) } \end{array}
{ \frac { \kappa } { 4 \pi } } \{ \xi _ { \alpha L } ( x ) , \xi _ { \beta R } ( z ) \} \; = \; \Bigl ( L ^ { T \; - 1 } ( x ) H ( z ) R ^ { - 1 } ( z ) \Bigr ) _ { \alpha \beta } \; + \; \Bigl ( \tilde { h } ( x ) R ^ { - 1 } ( z ) \Bigr ) _ { \alpha \beta } \quad ,
\begin{array} { r } { H _ { c } = - \xi _ { 4 } + p _ { 1 } \xi _ { 2 } + p _ { 2 } ( - u _ { 1 } \xi _ { 1 } - u ) + p _ { 3 } \xi _ { 4 } + p _ { 4 } u ~ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & & { } \\ { \mathbf { V } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & & { } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & & { } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \otimes \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \otimes \mathbf { V } , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & & { } \end{array} \right. ,
\gamma = \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } \left( \begin{array} { c c } { { 8 } } & { { 4 ( w r ( w ) - 1 ) } } \\ { { \frac 8 9 ( w r ( w ) - 1 ) } } & { { \frac 4 3 ( 7 - w r ( w ) ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { v } } = \operatorname { d i a g } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sigma ( \omega _ { j } ) ^ { b _ { j } } \right) \mathbf { v } = x ^ { s } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { d } \sigma ( \omega _ { j } ) ^ { b _ { j } } \right) \mathbf { g } \mathbf { v } ^ { ( 0 ) } = x ^ { s } \mathbf { g } \tilde { \mathbf { v } } ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\hat { V } = \sum _ { \nu = H , L } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } t _ { \mathrm { h y b } } \left( c _ { 0 \sigma } ^ { \dagger } c _ { \nu \sigma } + c _ { \nu \sigma } ^ { \dagger } c _ { 0 \sigma } \right) + U _ { \mathrm { e x t } } \delta \hat { n } _ { 0 } \delta \hat { n } _ { \mathrm { m o l } } .
\begin{array} { r l } { c ( x , y , t , T ) } & { = c _ { 0 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } c _ { 1 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } c _ { 2 } ( x , y , t , T ) + \hdots , } \\ { p ( x , y , t , T ) } & { = p _ { 0 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } p _ { 1 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } p _ { 2 } ( x , y , t , T ) + \hdots , } \\ { u ( x , y , t , T ) } & { = u _ { 0 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } u _ { 1 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } u _ { 2 } ( x , y , t , T ) + \hdots , } \\ { v ( x , y , t , T ) } & { = v _ { 0 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 2 } v _ { 1 } ( x , y , t , T ) + \epsilon ^ { 4 } v _ { 2 } ( x , y , t , T ) + \hdots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( f _ { 1 } + D _ { 1 } + f _ { 2 } + D _ { 2 } ) ^ { [ p ] } } \\ & { = } & { ( ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) + ( D _ { 1 } + D _ { 2 } ) ) ^ { [ p ] } = f _ { 1 } ^ { p } + f _ { 2 } ^ { p } + ( D _ { 1 } + D _ { 2 } ) ^ { [ p ] } + \delta _ { D _ { 1 } + D _ { 2 } } ^ { p - 1 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) } \\ & { = } & { f _ { 1 } ^ { p } + f _ { 2 } ^ { p } + D _ { 1 } ^ { [ p ] } + D _ { 2 } ^ { [ p ] } + \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } s _ { i } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) + \delta _ { D _ { 1 } + D _ { 2 } } ^ { p - 1 } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) } \\ & { = } & { f _ { 1 } ^ { p } + f _ { 2 } ^ { p } + D _ { 1 } ^ { [ p ] } + D _ { 2 } ^ { [ p ] } + \delta _ { D _ { 1 } } ^ { p - 1 } ( f _ { 1 } ) + \delta _ { D _ { 2 } } ^ { p - 1 } ( f _ { 2 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } s _ { i } ( f _ { 1 } + D _ { 1 } , f _ { 2 } + D _ { 2 } ) } \\ & { = } & { ( f _ { 1 } + D _ { 1 } ) ^ { [ p ] } + ( f _ { 2 } + D _ { 2 } ) ^ { [ p ] } + \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } s _ { i } ( f _ { 1 } + D _ { 1 } , f _ { 2 } + D _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } =
\tilde { D } _ { 1 } = \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { + } - \alpha _ { + } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { + ( T ) } ^ { [ 0 ] } = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 2 A _ { -- } \alpha _ { - } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { - ( T ) } ^ { [ 0 ] } ,
\left( \vec { \nabla } ^ { 2 } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \right) \vec { E } = \frac { \alpha } { \pi f } K _ { a \gamma \gamma } \vec { B } _ { o } \frac { \partial ^ { 2 } a } { \partial t ^ { 2 } } ~ .
{ \cal P } _ { \Lambda } ^ { 0 } \, = \, e ^ { \cal K } \, \left( \, F _ { \Delta } \, f _ { \phantom { \Delta } \Lambda \Sigma } ^ { \Delta } \, { \bar { X } } ^ { \Sigma } \, + \, { \bar { F } } _ { \Delta } \, f _ { \phantom { \Delta } \Lambda \Sigma } ^ { \Delta } \, { X } ^ { \Sigma } \right)
\mathrm { T r } \, d \Phi \, d \Phi ^ { \dagger } = \sum _ { i } d \lambda _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { \alpha , \beta } d t _ { \alpha } \, d t _ { \beta } \, \left( \sum _ { i } \lambda _ { i } \alpha _ { i } \right) \left( \sum _ { j } \lambda _ { j } \beta _ { j } \right) \, \mathrm { T r } \, E _ { \alpha } E _ { \beta } .
k _ { L } ( P _ { i } , \mu _ { 1 } ) \equiv L _ { i } \left[ L _ { N _ { f } } \left[ k ( \cdot , \cdot ) \right] \right] = L _ { N _ { f } } \left[ L _ { i } \left[ k ( \cdot , \cdot ) \right] \right] = \int _ { a } ^ { b } \int _ { a } ^ { b _ { i + 1 } } k ( z , z ^ { \prime } ) z \textrm { d } z \textrm { d } z ^ { \prime } .
\langle \delta _ { { \cal { C } } _ { i } , { \cal { C } } _ { j } } \rangle \sim | { \vec { r } } _ { i } - { \vec { r } } _ { j } | ^ { - 2 ( \Delta _ { \sigma , q = 1 } ^ { o } + { \bar { \Delta } } _ { \sigma , q = 1 } ^ { o } ) } ,
\begin{array} { r l r } { B } & { { } = } & { \quad 4 d \, m \alpha _ { + } \alpha _ { - } \left[ ( m ^ { 2 } - d ) ( R _ { + } + R _ { - } ) - ( m ^ { 2 } + d ) ( r _ { + } + r _ { - } ) \right] } \end{array}
\mathbb { P } _ { \mathcal { O } _ { 1 } } ( x _ { 2 } = k ) = \frac { 1 } { 2 } \times 0 + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 4 } = \mathbb { P } _ { \mathcal { O } _ { 2 } } ( x _ { 2 } = k )
\begin{array} { r } { \frac { F } { B _ { 0 } } = \frac { \left( v + v _ { \mathrm { A } } \right) ^ { 2 } U _ { \mathrm { A } } } { v _ { \mathrm { A } } B _ { 0 } } = \mathrm { c o n s t . } , } \end{array}
\chi _ { + } ( z ) = - \frac { \alpha e ^ { - \frac { 2 i \omega z } { c } } } { \beta c + 2 i \omega } \left[ - \beta c + e ^ { \frac { 2 i \omega z } { c } } ( \beta c ( \beta z + 1 ) + 2 i \omega ( \beta z - 1 ) ) + 2 i \omega \right] ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } } & { = w k \cos \theta + \frac { 2 u k } { 3 } \cos \theta \pm \frac { 2 k } { 3 } \sqrt { u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \frac { 3 } { 2 } u w \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \left( \begin{array} { l } { \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } \\ { \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } } \end{array} \right) } & { \propto \left( \begin{array} { l } { 3 w \sin \theta } \\ { - 2 u \cos \theta \pm \sqrt { 4 u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 6 u w \sin ^ { 2 } \theta } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { - M _ { \mathrm { M A } } \omega ^ { 2 } X _ { \mathrm { m a } } + k _ { \mathrm { m a } } X _ { \mathrm { m a } } + k _ { \mathrm { m i } } ( X _ { \mathrm { m a } } - X _ { \mathrm { m i } } ) } \\ { F } & { { } = } & { - M _ { \mathrm { M I } } \omega ^ { 2 } X _ { \mathrm { m i } } + k _ { \mathrm { m i } } ( X _ { \mathrm { m i } } - X _ { \mathrm { m a } } ) ~ , } \end{array}
\prod _ { a } ^ { b } { \big ( } 1 + f ( x ) \, d x { \big ) } { \overset { d e f } { = } } \prod _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \exp { \big ( } f ( s _ { k } ) \cdot ( y _ { k + 1 } - y _ { k } ) { \big ) } ,
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } R e _ { \Omega } \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \Omega _ { r } ^ { * } U _ { q } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } + \frac { ( \rho _ { p } - \rho ) g D ^ { 2 } } { \mu U } \cos \phi , } \\ { \bar { \rho } R e _ { \Omega } \left( \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } \right) } & { = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - \frac { ( \rho _ { p } - \rho ) g D ^ { 2 } } { \mu U } \sin \phi , } \\ { \bar { \rho } \left( \frac { R e _ { \Omega } } { R e } \right) ^ { 2 } J _ { q } ^ { * } \frac { d \Omega _ { r } ^ { * } } { d t ^ { * } } } & { = - \frac { 4 } { \pi } \left( T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + \frac { \mu \Omega } { \rho U ^ { 2 } } T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \Omega _ { r } ^ { * } \right) . } \end{array}
X _ { 2 } = \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 1 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 2 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 3 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 4 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \Delta _ { 2 , 1 } \Delta _ { 2 , 4 } ^ { * } \right\}
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { \Big \{ \Big ( 2 m _ { a } m _ { b } + k _ { a } k _ { b } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) + \Big ( k _ { a } m _ { b } + k _ { b } m _ { a } \Big ) \frac { b } { r ^ { 3 } } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } \frac { ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { + } ( t ) } & { = \Phi ( \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) - \Phi ( \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) ) } \\ & { \geqslant \frac { t } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - ( \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) ^ { 2 } / 2 \right) } \\ & { \geqslant \frac { t } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - ( \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) + t ) ^ { 2 } / 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 4 } : \, \, } & { \mathbf { F } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { - 1 . 6 9 5 2 + 1 . 7 2 4 4 i } & { - 0 . 5 1 9 6 - 0 . 1 1 9 4 i } \\ { 0 . 0 6 6 5 + 0 . 3 4 7 5 i } & { 0 . 1 1 0 5 + 0 . 3 2 3 7 i } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { F } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { - 0 . 0 2 3 3 + 0 . 6 5 3 9 i } & { 0 . 2 8 4 1 + 0 . 8 5 9 3 i } \\ { - 0 . 2 5 0 0 - 1 . 2 0 5 9 i } & { 0 . 8 4 9 4 + 0 . 5 0 4 7 i } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { C } _ { 5 } : \, \, } & { \mathbf { F } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 . 2 9 4 9 - 0 . 7 3 9 9 i } & { - 2 . 1 3 1 4 + 0 . 5 0 5 9 i } \\ { - 1 . 5 4 9 1 + 0 . 3 7 0 2 i } & { - 0 . 1 9 4 3 + 0 . 9 5 2 8 i } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { F } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { - 0 . 7 8 4 9 + 2 . 4 8 0 3 i } & { 0 . 0 5 2 2 - 0 . 0 6 8 1 i } \\ { - 1 . 5 0 2 2 + 0 . 1 0 3 4 i } & { 0 . 4 4 3 3 - 1 . 0 0 6 6 i } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = 1 - { \frac { e ^ { - { \frac { 4 } { 3 } } x ^ { 3 / 2 } } } { 3 2 \pi x ^ { 3 / 2 } } } { \biggl ( } 1 - { \frac { 3 5 } { 2 4 x ^ { 3 / 2 } } } + { \cal { O } } ( x ^ { - 3 } ) { \biggr ) } , } \\ { E ( x ) } & { = 1 - { \frac { e ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } x ^ { 3 / 2 } } } { 4 { \sqrt { \pi } } x ^ { 3 / 2 } } } { \biggl ( } 1 - { \frac { 4 1 } { 4 8 x ^ { 3 / 2 } } } + { \cal { O } } ( x ^ { - 3 } ) { \biggr ) } } \end{array} }
\gamma _ { y z } = \gamma _ { z y } = { \frac { \partial u _ { y } } { \partial z } } + { \frac { \partial u _ { z } } { \partial y } } \quad , \qquad \gamma _ { z x } = \gamma _ { x z } = { \frac { \partial u _ { z } } { \partial x } } + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial z } } \,
\int ( \sin b _ { 1 } x ) ( \sin b _ { 2 } x ) \, d x = { \frac { \sin ( ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) x ) } { 2 ( b _ { 2 } - b _ { 1 } ) } } - { \frac { \sin ( ( b _ { 1 } + b _ { 2 } ) x ) } { 2 ( b _ { 1 } + b _ { 2 } ) } } + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } | b _ { 1 } | \neq | b _ { 2 } | { \mathrm { ) } }
\xi = { \frac { r } { R ( t ) } } , \quad V ( \xi ) = { \frac { 5 t v } { 2 r } } , \quad G ( \xi ) = { \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } } , \quad Z ( \xi ) = { \frac { 2 5 t ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { a , b } ^ { b - a } \left( x \right) x ^ { b - a - 1 } d x } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { b - a - 1 } \left( 1 - \sum _ { n \ge 1 } \left( \frac { a } { b - a } n \right) _ { n - 1 } \frac { \left( x ^ { a } - x ^ { b } \right) ^ { n } } { n ! } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { b - a } - \sum _ { n \ge 1 } \frac { \left( \frac { a } { b - a } n \right) _ { n - 1 } } { n ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { b - a - 1 } \left( x ^ { a } - x ^ { b } \right) ^ { n } d x . } \end{array}
I ^ { \mathrm { { c o } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } } | ^ { 2 }
T ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { 1 } { \rho C _ { p } } \int _ { - \infty } ^ { t } Q ( \boldsymbol { r } , t ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d } t ^ { \prime } = \frac { 1 } { \rho C _ { p } } q ( \boldsymbol { r } ) \int _ { - \infty } ^ { t } e ^ { - \frac { t ^ { \prime 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } \mathrm { ~ d } t ^ { \prime } = T _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) ( 1 + \mathrm { e r f } ( \frac { t } { \sqrt { 2 } \tau } ) ) / 2 ,
\begin{array} { r l } { m _ { \phi } } & { { } = \sum _ { P \in S ^ { \mathrm { ( g e o ) } } } | X _ { P } | \leq \sum _ { P \in S ^ { \mathrm { ( g e o ) } } } \left( 2 \left\lceil \frac { \sqrt { C ^ { \prime } q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } } { \epsilon _ { 1 } } \right\rceil + 1 \right) ^ { q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } } \end{array}
\sum _ { \substack { p , q \geq 0 \, p + q \geq 2 } } \frac { 1 } { p ! q ! } \left\vert \sum _ { D \in \mathcal { L } _ { p , q } } \Gamma _ { D } \right\vert < \infty , \qquad \sum _ { p , q \geq 0 } \frac { 1 } { p ! q ! } \left\vert \sum _ { D \in \mathcal { L } _ { p , q } ^ { n , m } } \Gamma _ { D } ^ { n , m } \right\vert \leq C _ { n _ { 0 } , m _ { 0 } } \rho ^ { n + m } < \infty
\begin{array} { r l r } { \hat { f } _ { n } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { - i n \theta } f ( \vec { r } , \theta , t ) \, d \theta } \\ { f ( \vec { r } , \theta , t ) } & { { } = } & { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \hat { f } _ { n } ( \vec { r } , t ) \, \mathrm { e } ^ { i n \theta } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { r e l } , \mathrm { s t r } } } ( K , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) } & { \xrightarrow { \mathrm { r e s } _ { \mathfrak { p } } } { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( K _ { \mathfrak { p } } , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) } \\ & { \xrightarrow { p _ { f } ^ { - } } { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( K _ { \mathfrak { p } } , T _ { f } ^ { \vee , - } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { 1 3 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { n 0 } ) ( \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \rangle - 2 \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { 0 } - g _ { n 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle + { \cal C } _ { n } ^ { + } \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle } \\ { V _ { 1 4 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { n } ^ { + } } \\ { V _ { 1 5 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { - n 0 } ) ^ { * } ( \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { - n } ^ { - } \rangle - 2 \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { 0 } - g _ { - n 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { - n } ^ { - } \rangle ) ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle + { \cal C } _ { - n } ^ { + * } \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle } \\ { V _ { 1 6 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = { \cal C } _ { - n } ^ { + * } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 3 e l , C } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } } } & { = \big \langle \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } + \mu , } \\ & { = \frac { \frac { 1 } { N _ { k } ^ { \left( q \right) } } \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \exp \left( - \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } { \frac { 1 } { N _ { k } ^ { \left( q \right) } } \sum _ { \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) } + \mu , } \\ & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \alpha \left( \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } + 1 } \exp \left( - \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \mathsf { d } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \alpha \left( \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } } \exp \left( - \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \mathsf { d } \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } } + \mu , \; \exists \mu \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ - \left( k - i \lambda \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } + 2 \left\vert U _ { 1 , 2 } \right\vert ^ { 2 } \right] a _ { 1 , 2 } + U _ { 1 , 2 } ^ { 2 } b _ { 1 , 2 } + a _ { 2 , 1 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left[ - \left( k + i \lambda \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } + 2 \left\vert U _ { 1 , 2 } \right\vert ^ { 2 } \right] b _ { 1 , 2 } + \left( U _ { 1 , 2 } ^ { \ast } \right) ^ { 2 } a _ { 1 , 2 } + b _ { 2 , 1 } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}