harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \left( \kappa \phi \right) ^ { n } \left( d _ { \gamma } ^ { ( n ) } \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - d _ { m _ { e } } ^ { ( n ) } m _ { e } \bar { \psi } _ { e } \psi _ { e } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { = \left( \begin{array} { c } { \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } \\ { \mathcal { P } ( \vec { x } , z , \omega ) \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \cos ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \right\rangle } \\ { \mathcal { P } ( \vec { x } , z , \omega ) \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \sin ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \right\rangle } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d \Delta p _ { z ^ { \prime } } } = } & { { } \, \frac { n _ { g } \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { 2 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } 4 \pi R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } ^ { 2 } \theta \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \, \theta \, e ^ { - \Delta p _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } ^ { 2 } \theta \big / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { P } ( n ) = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } d ( \omega \tau ) e ^ { - i [ 2 { P ^ { 2 } } / { P _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } + 1 ) U _ { \mathrm { p } } - n { \hbar \omega } - ( i \Gamma + \Delta ) ] ( { \tau } / { \hbar } ) } } \\ & { \sum _ { n ^ { \prime } } J _ { 2 n ^ { \prime } } [ \frac { 8 U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \frac { P } { P _ { \mathrm { m a x } } } \sin \frac { \omega \tau } { 2 } ] } \\ & { J _ { n - n ^ { \prime } } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \sin ( \omega \tau ) ] i ^ { n - n ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { z } \approx \frac { c } { 2 } \left( \chi \Delta z _ { m } ( \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ i ~ n ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ , ~ i ~ n ~ } } + \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ , ~ i ~ n ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ i ~ n ~ } } ) + ( \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ 0 ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ , ~ i ~ n ~ } } + \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ , ~ i ~ n ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ 0 ~ } } ) \right) } \end{array}
I _ { k _ { 0 } } \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k _ { 0 } } { 2 \pi } \frac { 1 } { ( k _ { 0 } + i \varepsilon ) ^ { 2 } ( - k _ { 0 } ^ { 2 } + { \bf k } ^ { 2 } + M ^ { 2 } - i \varepsilon ) ^ { \beta } }
{ \begin{array} { r l r l r l } { x _ { 1 } ^ { ' } } & { = \gamma \left( x _ { 1 } - v t _ { 1 } \right) } & { \quad \mathrm { a n d } \quad } & { } & { x _ { 2 } ^ { ' } } & { = \gamma \left( x _ { 2 } - v t _ { 2 } \right) } \\ { t _ { 1 } ^ { ' } } & { = \gamma \left( t _ { 1 } - v x _ { 1 } / c ^ { 2 } \right) } & { \quad \mathrm { a n d } \quad } & { } & { t _ { 2 } ^ { ' } } & { = \gamma \left( t _ { 2 } - v x _ { 2 } / c ^ { 2 } \right) } \end{array} }
{ \cal K } ( z ) = \sum _ { \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } \in G _ { m } } \omega ^ { 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } u _ { 2 \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } ^ { ( n ) } ( z , v ) I _ { 2 \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } = \sum _ { \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } \in G _ { m } } u _ { 2 \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } ^ { ( n ) } ( z , v ) J _ { \mathrm { \footnotesize \boldmath ~ \ a l p h a ~ } } ,
\mathcal { F } \left\{ \left( 1 - \phi \right) ^ { 2 } \left. \frac { \partial \boldsymbol { P } } { \partial \boldsymbol { F } } \right| _ { i } : \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \delta \widehat { \mathbf { u } } \otimes i \boldsymbol { \upxi } \right\} \right\} \cdot i \boldsymbol { \upxi } = - \mathcal { F } \left\{ \left( 1 - \phi \right) ^ { 2 } \boldsymbol { P } _ { i } \right\} \cdot i \boldsymbol { \upxi }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \eta \cdot \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } ) + \tau ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { - \alpha / 2 } \right) , } \end{array}
{ \cal K } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) = \biggl ( \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) + \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) \biggr ) \: \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \: \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } \delta ^ { ( D - 2 ) } ( \vec { q } _ { 1 } - \vec { q } _ { 2 } ) + { \cal K } _ { r } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) \; ,
\begin{array} { r l } { ( \Delta _ { x } - | x | ^ { 2 } ) u } & { = \frac { A } { L ^ { 3 } } e ^ { i \gamma + i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } \left\{ \Delta _ { y } v - i B \left( \frac { d } { 2 } v + \Lambda v \right) - L ^ { 2 } \left( | \beta | ^ { 2 } + | X | ^ { 2 } \right) v \right. } \\ & { \qquad \left. + 2 i L \beta \cdot \nabla v + \left( L B \beta - 2 L ^ { 3 } X \right) \cdot y v + \left( - \frac { B ^ { 2 } } { 4 } - L ^ { 4 } \right) | y | ^ { 2 } v \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { u , d } : = \{ \mathbf { P } _ { N , d } \subset [ 0 , 1 ) ^ { d } : } & { D _ { N } ( \mathbf { P } _ { N , d } ( u ) ) \leq [ \frac { 6 | u | ^ { \frac { 3 } { 4 } } } { N ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 | u | } } } \cdot \sqrt { | u | \ln ( N + 1 ) + c ( | u | , \epsilon ) } } \\ & { + \frac { 2 c ( | u | , \epsilon ) } { 3 N } ] \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { c _ { 1 } : = 1 2 \left( s _ { 0 } + v _ { 0 } - s _ { f } + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \tau ) u ^ { - } ( \tau ) d \tau \right) - 6 \left( v _ { 0 } - v _ { f } + \int _ { 0 } ^ { 1 } u ^ { - } ( \tau ) d \tau \right) , } \\ & { } & { c _ { 2 } : = - 6 \left( s _ { 0 } + v _ { 0 } - s _ { f } + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \tau ) u ^ { - } ( \tau ) d \tau \right) + 2 \left( v _ { 0 } - v _ { f } + \int _ { 0 } ^ { 1 } u ^ { - } ( \tau ) d \tau \right) . } \end{array}
\bar { F } _ { ~ ~ ~ ~ \mu \nu ~ \alpha \beta } ^ { - 1 \sigma ~ ~ \lambda } \overline { { F } } _ { \lambda ~ ~ \rho } ^ { ~ \alpha \beta ~ \tau \epsilon } = \delta _ { \rho } ^ { \sigma } \delta _ { \mu } ^ { \tau } \delta _ { \nu } ^ { \epsilon }
\begin{array} { r } { e ^ { \hat { A } + \hat { B } } = e ^ { \hat { A } } \, e ^ { \hat { B } } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } = e ^ { \hat { B } } \, e ^ { \hat { A } } \, e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } , \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \qquad [ \hat { A } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] = 0 = [ \hat { B } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] , } \end{array}
\phi _ { i / j } ( x , \mu _ { f } ^ { 2 } ) = \delta _ { i j } \delta ( 1 - x ) + \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \left[ P _ { i j } ( x ) \frac { 2 } { \epsilon } + f _ { i j } ( x , \mu _ { f } ^ { 2 } ) \right] ,
B _ { n m } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { h } } \end{array} \right) , \qquad B ^ { n m } = \left( \begin{array} { c c } { { h } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad B ^ { n m } B _ { n m } = - 2 .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { f o r m u l a t i o n ~ I : } \quad \mathrm { f i r s t ~ o r d e r } \ \Phi _ { x p a } ^ { \Delta t } \Phi _ { a } ^ { \Delta t } , \ \mathrm { s e c o n d ~ o r d e r } \ \Phi _ { x p a } ^ { \Delta t / 2 } \Phi _ { a } ^ { \Delta t } \Phi _ { x p a } ^ { \Delta t / 2 } , } \\ & { \mathrm { f o r m u l a t i o n ~ I I : } \quad \mathrm { f i r s t ~ o r d e r } \ \Phi _ { x p } ^ { \Delta t } \Phi _ { a } ^ { \Delta t } , \ \mathrm { s e c o n d ~ o r d e r } \ \Phi _ { x p } ^ { \Delta t / 2 } \Phi _ { a } ^ { \Delta t } \Phi _ { x p } ^ { \Delta t / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { A } _ { 1 } = \texttt { d i a g } ( A _ { 1 } , \alpha _ { p + 1 } , \ldots , \alpha _ { p + s } ) = \texttt { d i a g } ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { p } , \alpha _ { p + 1 } , \ldots , \alpha _ { p + s } ) , } \\ & { \bar { B } _ { 1 } = \texttt { d i a g } ( B _ { 1 } , \underbrace { 0 , \ldots , 0 } _ { s \mathrm { ~ z e r o s ~ } } ) = \texttt { d i a g } ( \beta _ { 1 } , \ldots , \beta _ { p } , \underbrace { 0 , \ldots , 0 } _ { s \mathrm { ~ z e r o s ~ } } ) } \end{array}
\ifmmode \mathrm { N u } _ { \textrm { D } } \else \mathrm { N u } _ { \textrm { D } } \fi = - \Bigg \langle \left. \frac { \partial \tilde { T } } { \partial \tilde { z } } \right| _ { \tilde { z } = 0 } \Bigg \rangle _ { \tilde { A } } = - \Bigg \langle \left. \frac { \partial \tilde { T } } { \partial \tilde { z } } \right| _ { \tilde { z } = 1 } \Bigg \rangle _ { \tilde { A } }
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } \sum _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \mathbf { A } ^ { s } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n - 1 } } \prod _ { l = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { l } + 1 } } { l ^ { k _ { l } } k _ { l } ! } } \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ^ { l } ) ^ { k _ { l } } ,
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \prime } < \frac { 2 } { 9 } } & { \lor \bigl ( \frac { 2 } { 9 } \leq \ell ^ { \prime } \leq \frac { 1 } { 3 } \land \bigl ( k ^ { \prime } < 0 \lor k ^ { \prime } > \frac { 1 } { 6 } ( 9 \ell ^ { \prime } - 2 ) \bigr ) \bigr ) } \\ & { \lor \bigl ( \frac { 1 } { 3 } < \ell ^ { \prime } < \frac { 4 } { 3 } \land \bigl ( k ^ { \prime } < \frac { 1 } { 3 } ( 3 \ell ^ { \prime } - 1 ) \lor k ^ { \prime } > \frac { 1 } { 6 } ( 9 \ell ^ { \prime } - 2 ) \bigr ) \bigr ) } \\ & { \lor \bigl ( \ell ^ { \prime } \geq \frac { 4 } { 3 } \land \bigl ( k ^ { \prime } \leq \frac { 1 } { 2 } ( 3 \ell ^ { \prime } - 2 ) \lor k ^ { \prime } > \frac { 1 } { 6 } ( 9 \ell ^ { \prime } - 2 ) \bigr ) \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { 0 } \left( d ^ { 2 } + 4 \mu _ { + } \mu _ { - } \tilde { l } ^ { 2 } \right) = d ( \sin \varphi _ { 2 } - \sin \varphi _ { 1 } ) \quad \Rightarrow \quad \omega _ { 0 } = \frac { d ( \sin \varphi _ { 2 } - \sin \varphi _ { 1 } ) } { d ^ { 2 } + 4 \mu _ { + } \mu _ { - } \tilde { l } ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \pm } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( 1 + Q ^ { 2 } ) } } \left( \begin{array} { l } { \pm \sqrt { 1 + Q ^ { 2 } } } \\ { - 1 } \\ { - \mathrm { i } Q e ^ { \mathrm { i } \alpha } } \end{array} \right) \; ,
\ddot { \gamma _ { t } } ^ { k } = - \frac { 1 } { 2 } { H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) } ^ { - 1 } \Bigg ( 2 \left( I \otimes ( \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } ) ^ { \top } \right) \frac { \partial \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } [ H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) ] } { \partial \gamma _ { t } ^ { k } } \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } - \frac { \partial \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } [ H ( \gamma _ { t } ^ { k } ) ] ^ { \top } } { \partial \gamma _ { t } ^ { k } } \left( \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } \otimes \dot { \gamma _ { t } } ^ { k } \right) \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T \wedge T _ { \xi } } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t \right] } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] p _ { - u _ { T } } ( 0 , \xi , T , \eta ) \textrm { d } \eta \textrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta \textrm { d } t } \end{array}
| \eta ( \theta ) | ^ { 2 } = \left( \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 4 } + \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { 4 } \right) | \eta _ { \mathrm { p h m } } ( \theta ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \beta _ { m } ( \omega ) = \frac { \eta ( \omega ) } { i ( \omega _ { m } - \omega ) + \gamma _ { m } + \gamma _ { l } + \frac { \sum _ { j } g _ { j } ^ { 2 } } { \gamma _ { g } + i ( \nu - \omega ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { } & { - 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot [ m ( m + 1 ) \frac { 1 } { a } L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) + 2 L _ { n } ^ { - m + 1 } \left( a \right) } \\ & { } & { - ( 4 n - 2 m + 3 ) L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) + a L _ { n } ^ { - m } \left( a \right) ] , } \end{array}
h = \frac { 8 \pi } { 1 5 } \frac { l _ { p } ^ { 9 } } { R ^ { 2 } R _ { 9 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { Q _ { n } } { | \vec { r } - \vec { r } _ { n } | ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r } { F ^ { \prime \prime } ( \eta _ { j } ) = \frac { 1 } { ( \lvert \zeta \rvert ^ { 2 } + \lvert \eta _ { j } \rvert ^ { 2 } + h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } ( | \zeta | ^ { 2 } + h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } - \frac { | \eta _ { j } | ^ { 2 } | \zeta | ^ { 2 } } { | \eta _ { j } | ^ { 2 } + h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } } ) \geq C h ^ { 2 } \tilde { m } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = } & { { } - \nabla _ { I } { \cal U } _ { \mathrm { B O } } ( { \bf R , n } ) \big \vert _ { \bf n } } \\ { { \bf \ddot { n } } = } & { { } - \omega ^ { 2 } { \bf K } \left( { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } \right) . } \end{array}
\Gamma ( \tau \rightarrow a _ { 1 } \nu ) = \frac { G ^ { 2 } } { 8 \pi } c o s ^ { 2 } \theta _ { c } g _ { a } ^ { 2 } \frac { m _ { \tau } ^ { 3 } } { m _ { a } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { m _ { a } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 \frac { m _ { a } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } ) .
{ \frac { 1 } { m } } { \frac { d m } { d \tilde { \lambda } } } = g _ { \mu \nu } A ^ { \mu } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tilde { \lambda } } } = \sqrt { h } \left[ 2 - h \left( { \frac { d t } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \sum _ { i } \left( { \frac { d x ^ { i } } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } \right] \left[ { \frac { h ^ { \prime } } { 2 } } \left( { \frac { d t } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } - y \sum _ { i } \left( { \frac { d x ^ { i } } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } \right] .
\Psi _ { 4 ^ { * } } = \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 5 ^ { * } } ^ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 5 ^ { * } } ^ { 2 } } } \\ { { \psi _ { 5 ^ { * } } ^ { 3 } } } \\ { { \psi _ { 5 ^ { * } } ^ { 4 } } } \end{array} \right) , \qquad \qquad \Psi _ { 1 } = \psi _ { 5 ^ { * } } ^ { 5 } ,
\begin{array} { r l r } { P ( E _ { 0 } ) } & { { } = } & { \sum _ { f , i } \langle \psi _ { f } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \psi _ { f } \rangle \langle \psi _ { f } | \delta ( E _ { 0 } - ( \hat { H } _ { \mathrm { f } } - E _ { i } ) ) | \psi _ { f } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { z \in \Lambda / \Gamma } U _ { \tau _ { 1 } } ( x , z ) U _ { \tau _ { 2 } } ( z , y ) } & { = \sum _ { z \in \Lambda / \Gamma } \sum _ { \gamma _ { 1 } \in \Gamma } \sum _ { \gamma _ { 2 } \in \Gamma } D ( \gamma _ { 1 } ) D ( \gamma _ { 2 } ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 1 } } ( x , \gamma _ { 1 } z ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 2 } } ( z , \gamma _ { 2 } y ) } \\ & { = \sum _ { z \in \Lambda / \Gamma } \sum _ { \gamma _ { 1 } \in \Gamma } \sum _ { \gamma _ { 2 } \in \Gamma } D ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 1 } } ( x , \gamma _ { 1 } z ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 2 } } ( \gamma _ { 1 } z , \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } y ) } \\ & { = \sum _ { \gamma \in \Gamma } D ( \gamma ) \sum _ { z \in \Lambda / \Gamma } \sum _ { \gamma _ { 1 } \in \Gamma } \widetilde { U } _ { \tau _ { 1 } } ( x , \gamma _ { 1 } z ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 2 } } ( \gamma _ { 1 } z , \gamma y ) } \\ & { = \sum _ { \gamma \in \Gamma } D ( \gamma ) \sum _ { z \in \Lambda } \widetilde { U } _ { \tau _ { 1 } } ( x , z ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 2 } } ( z , \gamma y ) } \\ & { = \sum _ { \gamma \in \Gamma } D ( \gamma ) \widetilde { U } _ { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } } ( x , \gamma y ) } \\ & { = U _ { \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } } ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \hat { c } } \frac { \partial \hat { I } } { \partial \hat { t } } + \frac { 1 } { \varepsilon } \Omega \cdot \nabla \hat { I } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \hat { \sigma } \left( \hat { B } - \hat { I } \right) , } \\ & { \frac { \partial \hat { C _ { v } } \hat { T } } { \partial \hat { t } } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { R } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \hat { \sigma } \left( \hat { B } - \hat { I } \right) \mathrm { d } \vec { \omega } d \nu . } \end{array}
[ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb w } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] = [ { \pmb v } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] = 0
\begin{array} { r l } { { \frac { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } } - { \frac { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) + \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) - \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } } } & { { } = { \frac { 2 \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } } } \\ { [ \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { e x s e c } ( \theta ) ] \, [ \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { e x c s c } ( \theta ) ] } & { { } = \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) } \end{array}
\rho _ { 1 } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ) = N \int d r _ { 2 } . . d r _ { N } \Psi ^ { * } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } , . . , { \bf r } _ { N } ) \Psi ( { \bf r } , { \bf r } _ { 2 } , . . , { \bf r } _ { N } ) \, ,
G ( \epsilon ) = \left[ \begin{array} { l l l } { G _ { 1 } ( \epsilon ) } & { \dots } & { G _ { 1 } ( \epsilon + T - 1 ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { G _ { k } ( \epsilon ) } & { \ddots } & { G _ { k } ( \epsilon + T - 1 ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { G _ { K } ( \epsilon ) } & { \dots } & { G _ { K } ( \epsilon + T - 1 ) } \end{array} \right] .
C = { \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } } } G \cos \theta _ { C } \sin \theta _ { C } { \frac { < \psi ^ { s } | \delta ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) | \psi ^ { s } > } { m ^ { 2 } R ^ { 2 } \omega } }
\begin{array} { r l r l } { ( \mathbf { G } ) _ { \alpha \beta } } & { { } = P _ { 0 } m _ { \beta } , \quad } & { \textrm { f o r } \enskip \alpha = 1 , } & { { } } \\ { ( \mathbf { G } ) _ { \alpha \beta } } & { { } = \int _ { { P } } \nabla m _ { \alpha } \cdot \nabla m _ { \beta } \, d \mathbf { x } , \quad } & { \textrm { f o r } \enskip \alpha \geq 2 , } & { { } } \\ { ( \mathbf { B } ) _ { \alpha i } } & { { } = P _ { 0 } \varphi _ { \beta } , \quad } & { \textrm { f o r } \enskip \alpha = 1 , } & { { } \enskip i = 1 , . . . , N _ { { P } } ^ { \textrm { d o f } } } \\ { ( \mathbf { B } ) _ { \alpha i } } & { { } = \int _ { { P } } \nabla m _ { \alpha } \cdot \nabla \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , \quad } & { \textrm { f o r } \enskip \alpha \geq 2 , } & { { } \enskip i = 1 , . . . , N _ { { P } } ^ { \textrm { d o f } } , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { F _ { - 1 \mu } + F _ { n \mu } } } & { { = } } & { { ( X _ { - 1 \lambda } + X _ { n \lambda } ) { X _ { \mu } } ^ { \lambda } + ( X _ { n , - 1 } X _ { - 1 , \mu } - X _ { - 1 , n } X _ { n , \mu } ) - \frac { 1 } { 2 } n ( X _ { - 1 , \mu } + X _ { n \mu } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { P _ { \lambda } ( { X _ { \mu } } ^ { \lambda } + ( D + 1 - \frac { n } { 2 } ) \delta _ { \mu } ^ { \lambda } ) } } \end{array}
d \triangleq 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } } { 2 } \right) \right| = \big | e ^ { \mathrm { i } \varphi _ { 1 } } - e ^ { \mathrm { i } \varphi _ { 2 } } \big |
U = \left( \begin{array} { c c c c } { { e ^ { i \phi _ { 1 } } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \phi _ { 2 } } } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \phi _ { N _ { f } } } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \vec { \Omega } \cdot \nabla I = L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { a } \left( B \left( \nu , T \right) - I \right) + L _ { s } ^ { \varepsilon } \sigma _ { s } \left( \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 4 \pi } I d \vec { \Omega } - I \right) } } \\ { { C _ { V } \frac { \partial T } { \partial t } \equiv \frac { \partial U _ { m } } { \partial t } = \frac { L _ { a } ^ { \varepsilon } \sigma _ { a } } { \varepsilon } \int _ { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( I - B \left( \nu , T \right) \right) d \nu d \vec { \Omega } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \theta } _ { v \, i } ^ { l + 1 } = \boldsymbol { \theta } _ { v \, i } ^ { l } + \epsilon _ { l } \boldsymbol { \phi } \left( \boldsymbol { \theta } _ { v \, i } ^ { l } \right) , } \end{array}
\left[ B _ { \vec { k } } ^ { b } , \exp \sum _ { a } C _ { 3 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) B _ { \vec { p } } ^ { a + } A _ { \vec { p } } ^ { L , a + } \right] = - C _ { 3 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) B _ { \vec { p } } ^ { b + } \delta _ { \vec { k } , \vec { p } } \exp \sum _ { a } C _ { 3 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) B _ { \vec { p } } ^ { a + } A _ { \vec { p } } ^ { L , a + } .