harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ^ { n } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( n ) } } \\ { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n } } { n ! } [ \stackrel { n \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \sum _ { p } \frac { 1 } { \omega ^ { p } } \hat { K } ^ { ( p ) } , [ \sum _ { q } \frac { 1 } { \omega ^ { q } } \hat { K } ^ { ( q ) } , . . . , \sum _ { r } \frac { 1 } { \omega ^ { r } } \hat { K } ^ { ( r ) } , [ \sum _ { s } \frac { 1 } { \omega ^ { s } } \hat { K } ^ { ( s ) } } , } \left( \hat { H } _ { 0 } + \sum _ { m \neq 0 } \hat { V } _ { m } e ^ { i m \omega t } \right) ] ] ] } \\ { + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n + 1 } } { n ! } [ \stackrel { ( n - 1 ) \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \sum _ { p } \frac { 1 } { \omega ^ { p } } \hat { K } ^ { ( p ) } , [ \sum _ { q } \frac { 1 } { \omega ^ { q } } \hat { K } ^ { ( q ) } , . . . , \sum _ { r } \frac { 1 } { \omega ^ { r } } \hat { K } ^ { ( r ) } , [ \sum _ { s } \frac { 1 } { \omega ^ { s } } \hat { K } ^ { ( s ) } } , } \partial _ { t } \sum _ { m } \frac { 1 } { \omega ^ { m } } \hat { K } ^ { ( m ) } ] ] ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } f } & { = \underbrace { \partial _ { t } f + \{ \phi , f \} } _ { \epsilon } + \underbrace { \nabla _ { \perp } \xi \cdot \nabla _ { \perp } f } _ { \epsilon ^ { 2 } } , } \\ { \boldsymbol { b } \cdot \nabla f } & { = \underbrace { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } f + \{ \psi , f \} } _ { \epsilon } , } \end{array}
{ A _ { 4 } ^ { Y M } = \langle T _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } ( 1 ) T _ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } ( 2 ) T _ { \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } } ( 3 ) T _ { \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } } ( 4 ) \rangle = N ^ { 2 } A _ { 4 } ^ { ( 1 ) } + \tilde { k } N ^ { 1 / 2 } f ^ { ( 0 , 0 ) } ( S , \bar { S } ) A _ { 4 } ^ { ( 2 ) } + \dots , }
\begin{array} { r l r } { w ( t , z ; R a , P r ) } & { { } \to } & { w ( t , 2 n z ; \frac { R a } { 2 n } , P r ) / ( 2 n ) } \\ { \theta ( t , z ; R a , P r ) } & { { } \to } & { \theta ( t , 2 n z ; \frac { R a } { 2 n } , P r ) / ( 2 n ) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \to 0 } \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) \Bigg ( 1 - \frac { \gamma } { \hphantom { e } \vphantom { \big | } \sqrt { k + \gamma ^ { 2 } } \hphantom { e } } \Bigg ) = 0 .
\mathbf { F } _ { 1 } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } } { | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } | ^ { 3 } } } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { \mathbf { \hat { r } } _ { 1 2 } } { | \mathbf { r } _ { 1 2 } | ^ { 2 } } }
\mathcal { H } _ { c W } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \left( u \mathcal { K } * u + \frac { 1 } { 2 } u ^ { 3 } - \frac { 1 } { 1 6 } u ^ { 4 } \right) d x ,
\boldsymbol { \Lambda } = \nabla _ { 0 } \times \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } = \sum _ { \mathrm { i } = 1 } ^ { \mathrm { N } _ { \mathrm { s } } } \rho _ { G s } ^ { \mathrm { i } } \mathbf { b } ^ { \mathrm { i } } \otimes \mathbf { s } ^ { \mathrm { i } } + \rho _ { G e } ^ { \mathrm { i } } \mathbf { b } ^ { \mathrm { i } } \otimes \mathbf { t } ^ { \mathrm { i } } \mathrm { ~ , ~ }
\ g ^ { 1 } ( q ; \tau ) = \exp \left( - { \bar { \Gamma } } \left( \tau - { \frac { \mu _ { 2 } } { 2 ! } } \tau ^ { 2 } + { \frac { \mu _ { 3 } } { 3 ! } } \tau ^ { 3 } + \cdots \right) \right)
\begin{array} { r l } { U } & { \equiv \left( 1 - \frac { k _ { \parallel } v _ { \parallel } ^ { \prime } } { \omega } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial v _ { \perp } ^ { \prime } } + \frac { k _ { \parallel } v _ { \perp } ^ { \prime } } { \omega } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial v _ { \parallel } ^ { \prime } } } \\ { z } & { \equiv \frac { k _ { \perp } v _ { \perp } ^ { \prime } } { \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big [ \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R _ { j } } ) \Big ] + \hat { H } _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \Big [ \hat { p } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \Big ( \hat { q } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } + { \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \bf k } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mu ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \Big ) ^ { 2 } \Big ] + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( s ) } & { = u _ { s , i } , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } + \mathcal { L } \theta _ { k + 1 } + \frac { \nabla f ( { { \theta } } _ { k } ) } { \sqrt { f ( { \theta } _ { k } ) + C } } \tilde { r } _ { k + 1 } - \mathcal { L } \theta _ { k } = 0 , } \\ { \frac { \tilde { r } _ { k + 1 } - r _ { k } } { \delta t } = \left( \frac { \nabla f ( { \theta } _ { k } ) } { 2 \sqrt { f ( { \theta } _ { k } ) + C } } , \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } \right) , } \\ { r _ { k + 1 } = \xi \tilde { r } _ { k + 1 } + ( 1 - \xi ) \sqrt { f ( \theta _ { k + 1 } ) + C } . } \end{array} \right.
c _ { n } ( \omega ) = \left| \frac { d \theta _ { \omega } } { \omega } \right| \mathrm { c o s } ^ { 2 } \left( \frac { \pi n } { 2 N _ { \mathrm { c h e b y } } } \right) \mathrm { c o s } ( n \theta _ { \omega } ) ,
\mathcal { T } _ { x x } \to a _ { 1 } \beta h ^ { 2 } [ 1 - 2 a _ { 2 } h ( 3 Y ) ^ { - 1 } + ( a _ { 1 } ^ { - 1 } + 2 a _ { 2 } - 3 ) Y ^ { - 2 } ] .
\Tilde { Q } ( x , t ) \approx \frac { 1 } { 2 L } \sum _ { \substack { j = - \infty \, | 3 k _ { j } ^ { 2 } t | < P } } ^ { \infty } \mathrm e ^ { \mathrm i k _ { j } x + \mathrm i k _ { j } ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k _ { j } ) + \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 L } \sum _ { \substack { j = - \infty \, | 3 k _ { j } ^ { 2 } t | > P } } ^ { \infty } \mathrm e ^ { \mathrm i k _ { j } x + \mathrm i k _ { j } ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k _ { j } ) .
\mathrm { ~ Z ~ } _ { \mathrm { ~ m ~ } \mathbf { k } } = 1 / \left. \partial _ { \omega } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \mathcal { T } ( \mathbf { k } , \omega ) \right] ^ { - 1 } \right| _ { \omega _ { \mathbf { k } \mathrm { ~ m ~ } } }
\begin{array} { l } { \varepsilon \frac { d \Gamma } { d t } = - \Gamma + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { ~ b ~ } } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \Gamma ) + \tilde { \alpha } _ { g } I _ { 0 \mathrm { ~ g ~ } } + \beta } + \gamma , } \\ { I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \Gamma ) = I _ { 0 \mathrm { ~ b ~ } } \Big \{ 1 + R ^ { 2 } + 2 R \cos ( 2 \phi _ { 0 } + \phi _ { 1 } + 2 \Gamma ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { { } = e ^ { - \beta \sigma } u _ { 0 } \quad } & { \textrm { i f i = j + 1 } } \\ { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { { } = j \quad } & { \textrm { i f i = j - 1 } } \\ { \left( \hat { W } _ { S } ( u _ { 0 } ) \right) _ { i j } } & { { } = 0 \quad } & { \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathrm { D } _ { 2 } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \Lambda ^ { k } ) , \mathrm { d } ^ { \ast } ) = \overline { { ( \mathrm { C } _ { c } ^ { \infty } ( \Omega , \Lambda ^ { k } ) , { \delta } ) } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad ( \mathrm { D } _ { 2 } ( { \delta } ^ { \ast } , \Lambda ^ { k } ) , { \delta } ^ { \ast } ) = \overline { { ( \mathrm { C } _ { c } ^ { \infty } ( \Omega , \Lambda ^ { k } ) , \mathrm { d } ) } } \mathrm { . ~ } } \end{array}
{ \mathcal { D } } = \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { T } \left\{ { \sqrt { \left( { \frac { \partial { \vec { r } } ( s , t ) } { \partial t } } \right) ^ { 2 } } } + \lambda \left[ { \sqrt { \left( { \frac { \partial { \vec { r } } ( s , t ) } { \partial s } } \right) ^ { 2 } } } - 1 \right] \right\} \, d s \, d t
\begin{array} { r } { G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n , i ) } ) - G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) \leq \eta \Big [ G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n , 0 ) } ) - G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { z } } & { { } = ( 1 - \phi ) u _ { z } ^ { \mathrm { s } } + \phi u _ { z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { \hat { u } _ { z } } & { { } = u _ { z } ^ { \mathrm { s } } - u _ { z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { p } & { { } = \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { s } } + \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { \hat { \sigma } _ { z z } } & { { } = \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { s } } / ( 1 - \phi ) - \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { f } } / \phi . } \end{array}
\Psi _ { x , d _ { \mathrm { m i n } } } ( m ) \in \left[ \left( P ( z ^ { \prime } ) \cap \bigcup _ { i \in \mathbb { N } } C _ { x , \overline { { \Psi _ { i } } } , \infty } \right) \setminus \left( P ( z ^ { \prime } ) \cap \bigcup _ { i \in \mathbb { N } } C _ { \mathcal { O } , \overline { { \Psi _ { i } } } , \infty } \right) \right] \cap C _ { \mathcal { O } , U , \infty } .
\operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \bar { F } ( b ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ( \xi + 1 ) } \right) ( 1 + \xi x ) ^ { \frac { 1 } { \xi } } } & { \mathrm { i f ~ } x \geq \frac { 1 } { \xi + 1 } ; } \\ { \left( 1 - x + \frac { \xi + 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) ( 1 + \xi x ) ^ { \frac { 1 } { \xi } } } & { \mathrm { i f ~ } x < \frac { 1 } { \xi + 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { - } & { \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u ( x ) | ^ { \zeta - 2 } ( b _ { n } ( \cdot , x ) \cdot \nabla ) u \, g _ { n } ( \cdot , x , u ( x ) ) \, d x } \\ & { \quad = \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } \normalfont { \mathrm { d i v } } ( b _ { n } ( \cdot , x ) ) \mathcal { G } _ { n } ( \cdot , x , u ( x ) ) d x + \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } b _ { n } ( \cdot , x ) \int _ { 0 } ^ { u ( t , x ) } | y | ^ { \zeta - 2 } \nabla _ { x } g _ { n } ( \cdot , x , y ) \, d y d x . } \end{array}
| \mathcal { G } | = \sum _ { y \in [ t ] ^ { r } } \sigma _ { \mathcal { H } } ( y ) \prod _ { i = 1 } ^ { t } \binom { | V _ { i } | } { m _ { y } ( i ) } \frac { m _ { y } ( i ) \, ! } { r \, ! } \ge \left( 1 - \frac { c _ { 1 } } { v ( \mathcal { G } ) } \right) g _ { \mathcal { H } , r } \left( \frac { | V _ { 1 } | } { v ( \mathcal { G } ) } , \dots , \frac { | V _ { t } | } { v ( \mathcal { G } ) } \right) \binom { v ( \mathcal { G } ) } { r }
2 \left( D _ { x } ^ { \dagger } D _ { x } \right) ^ { - 1 } ( z , z ^ { \prime } ) = ( \sigma _ { 0 } + i \sigma _ { 3 } ) e ^ { - \phi ( z ) } K _ { + } ( z , z ^ { \prime } ; x ) e ^ { - \phi ( z ^ { \prime } ) } + ( \sigma _ { 0 } - i \sigma _ { 3 } ) e ^ { \phi ( z ) } K _ { - } ( z , z ^ { \prime } ; x ) e ^ { \phi ( z ^ { \prime } ) } ,
\begin{array} { r } { F _ { g } ( x , y ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { L ( x , y ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = L _ { \pi } ( x , y ) , } \\ { g ( 0 ) L _ { \pi } ( x , y ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = 0 \textrm { a n d } L _ { \pi } ( x , y ) > 0 , } \\ { g \left( \frac { L _ { \pi } ( x , y ) } { L ( x , y ) } \right) L ( x , y ) , \quad \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { \Gamma _ { 0 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 3 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 5 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = 0 ,
\begin{array} { r } { t _ { 3 } = \frac { 1 } { \mathrm { s n } \left[ \eta _ { 1 } K ( k _ { 1 } ) , k _ { 1 } \right] } \sqrt { \frac { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { s n } ^ { 2 } \left[ \eta _ { 1 } K ( k _ { 1 } ) , k _ { 1 } \right] } { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I \Big ( ( \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) - \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) - I \Big ( ( \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \xi _ { N } ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) - \xi ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) | ^ { s } } & { \leq \left( \mathbb { E } | \xi _ { N } ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) - \xi ( n \delta ; \xi _ { 0 } ) | ^ { 2 } \right) ^ { s / 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { C e ^ { C ^ { \prime } t } } { N } \left[ \exp ( c \alpha ^ { \prime } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right] \right) ^ { s / 2 } } \\ & { \leq \frac { C e ^ { C ^ { \prime } t } } { N ^ { s / 2 } } \exp ( c \alpha ^ { \prime } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) ( 1 + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { s / 2 } , } \end{array}
\frac { \bar { H } _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( z ) } { \bar { J } _ { \nu } ( z ) } f ( z ) = \frac { \bar { H } _ { \nu } ^ { ( 2 ) } ( z e ^ { - \pi i } ) } { \bar { J } _ { \nu } ( z e ^ { - \pi i } ) } f ( z e ^ { - \pi i } ) .
\int r ^ { 1 + \alpha } \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \left| W \! \left( \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \! * \! ( \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right) - \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \! * \! W ( \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right| ^ { 2 } \lesssim \lVert \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } \rVert _ { { \mathbb { W } [ { 1 + \alpha } ] } } ^ { 2 } \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] .
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ e ~ d ~ d ~ y ~ } } } & { { } = \sigma ( \mathbf { E } _ { 1 } - \boldsymbol { \nabla } V + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) B _ { 0 } [ z \mathbf { \hat { x } } - x \mathbf { \hat { z } } ] } \end{array}
\mathbf { d } _ { \mathrm { i n t r a } } \left( t \right) = 2 \sum _ { \mu , \mu ^ { \prime } = N / 2 } ^ { N - 1 } \varrho _ { \mu \mu ^ { \prime } } \left( t \right) \mathbf { d } _ { \mu ^ { \prime } \mu } + 2 \sum _ { \mu , \mu = 0 } ^ { N / 2 - 1 } \varrho _ { \mu \mu ^ { \prime } } \left( t \right) \mathbf { d } _ { \mu ^ { \prime } \mu } ,
\sum _ { i , j = 1 } ^ { n } c _ { i } c _ { j } K ( x _ { i } , x _ { j } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \left\langle K _ { x _ { i } } , \sum _ { j = 1 } ^ { n } c _ { j } K _ { x _ { j } } \right\rangle _ { H } = \left\langle \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } K _ { x _ { i } } , \sum _ { j = 1 } ^ { n } c _ { j } K _ { x _ { j } } \right\rangle _ { H } = \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } K _ { x _ { i } } \right\| _ { H } ^ { 2 } \geq 0
{ R } _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( S E ) } = - 8 \pi \mu \, \gamma _ { \alpha \alpha _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } \gamma _ { \beta \beta _ { 1 } \gamma \gamma _ { 1 } } m _ { \delta \delta _ { 1 } \gamma \gamma _ { 1 } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } )
u { \frac { \partial u } { \partial x } } + \upsilon { \frac { \partial u } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial x } } + { \nu } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } \right)
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } } & { = \operatorname* { d e t } ( D ) \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } \underbrace { \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { I _ { m } } & { 0 } \\ { - D ^ { - 1 } C } & { D ^ { - 1 } } \end{array} \right) } } _ { = \, \operatorname* { d e t } ( D ^ { - 1 } ) \, = \, ( \operatorname* { d e t } D ) ^ { - 1 } } } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( D ) \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A - B D ^ { - 1 } C } & { B D ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { I _ { n } } \end{array} \right) } } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( D ) \operatorname* { d e t } ( A - B D ^ { - 1 } C ) . } \end{array} }
J = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial x ( R , \theta ) } { \partial R } } } & { { \frac { \partial x ( R , \theta ) } { \partial \theta } } } \\ { { \frac { \partial y ( R , \theta ) } { \partial R } } } & { { \frac { \partial y ( R , \theta ) } { \partial \theta } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { - R \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { R \cos \theta } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \rho L _ { f } } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| I _ { k } \leq } & { \frac { 2 \rho L _ { f } } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| } \\ { \leq } & { \frac { 4 \sqrt { \eta } \rho L _ { f } ( L _ { f } + L _ { \omega } ) \alpha } { \sqrt { K } \eta ^ { - 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( \tau _ { k } + 1 ) } \\ { \leq } & { \frac { 4 \eta ^ { 3 / 2 } \rho L _ { f } ( L _ { f } + L _ { \omega } ) m \alpha } { \sqrt { K } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } & { \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) \} } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ^ { * } ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ^ { * } ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ^ { * } ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ^ { * } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { \lambda _ { 1 } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { 1 \theta } , } \\ & { \vdots } & \\ { \alpha _ { \lambda _ { j } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { j \theta } , } \\ & { \vdots } & \\ { \alpha _ { \lambda _ { m } } } & { x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , } & & { t \in \Omega _ { m \theta } . } \end{array}
\int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } \int _ { \varphi = 0 } ^ { 2 \pi } Y _ { \ell } ^ { m } \, Y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } { } ^ { * } d \Omega = { \frac { 4 \pi } { ( 2 \ell + 1 ) } } \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \, \delta _ { m m ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { n } ( \mathbf { s } , \mathbf { x } , t , x ) = } & { \tilde { f _ { n } } ( s _ { 1 } , x _ { 1 } , \dots , s _ { n } . x _ { n } , t , x ) } \\ { = } & { \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \bigg ( Y ( t - s _ { \sigma ( n ) } , x - x _ { \sigma ( n ) } ) \cdots Y ( s _ { \sigma ( 2 ) } - s _ { \sigma ( 1 ) } , x _ { \sigma ( 2 ) } - x _ { \sigma ( 1 ) } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad \times J _ { 0 } ( s _ { \sigma ( 1 ) } ) { \mathrm { 1 \ m k e r n - 1 . 5 m u } \! \mathrm { I } } _ { \{ 0 < s _ { \sigma ( 1 ) } < \dots < s _ { \sigma ( n ) } < t \} } \bigg ) } \\ { = } & { \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } \bigg ( Y ( t - s _ { \rho ( n ) } , x - x _ { \rho ( n ) } ) \cdots Y ( s _ { \rho ( 2 ) } - s _ { \rho ( 1 ) } , x _ { \rho ( 2 ) } - x _ { \rho ( 1 ) } ) J _ { 0 } ( s _ { \rho ( 1 ) } ) \bigg ) , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \bar { A } } { \partial z \partial t } = \frac { i \omega } { 2 n _ { 2 \omega } c } A _ { \omega } ^ { 2 } e ^ { - i \Delta k z } \iint d x d y U _ { 2 \omega } ^ { * } \frac { \partial { \bar { \chi } } ^ { ( 2 ) } } { \partial t } U _ { \omega } ^ { 2 }
J ( \delta \textbf { m } ) = \frac { 1 } { 2 } \| \textbf { P } _ { p r e d } ^ { s c a t , T E } ( \delta \textbf { m } ) - \textbf { P } _ { o b s } ^ { s c a t , T E } \| _ { 2 } ^ { 2 } .
\| u - \tilde { u } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } \| _ { X } = \| u - \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } v _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } \| _ { X } \leq \| u - \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } u \| _ { X } + \| \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } u - \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } v _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } \| _ { X } \leq \| u - \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } u \| _ { X } + \| \mathcal { P } _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } \| _ { \mathcal { L } ( X , X ) } \| u - v _ { N } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { S E } } \| _ { X } .
( t _ { 1 } \cos ( q _ { x } b ) + t 3 \cos ( q _ { y } b ) ) \cos ( \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) - J _ { 1 } ( K _ { y 1 } ) J _ { 0 } ( K _ { y 2 } ) ( t _ { 1 } \sin ( q _ { x } b ) + t 3 \sin ( q _ { y } b ) ) \sin ( \varphi _ { y 1 } ) ]
i \frac { \partial \psi _ { \bf k } } { \partial t } - k ^ { 2 } \psi _ { \bf k } - \! \! \! \sum _ { { \bf k } _ { 1 } , { \bf k } _ { 2 } , { \bf k } _ { 3 } } \! \! \! W _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } \psi _ { { \bf k } _ { 1 } } \psi _ { { \bf k } _ { 2 } } \psi _ { { \bf k } _ { 3 } } ^ { * } \delta _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } = 0 .
E _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ } } = \underbrace { ( Z \, m _ { p } + N \, m _ { n } - m _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } ) } _ { \mathrm { ~ d ~ \' ~ e ~ f ~ i ~ c ~ i ~ t ~ d ~ e ~ m ~ a ~ s ~ s ~ a ~ } } \, c ^ { 2 } .
V _ { \alpha \beta } ^ { \astrosun } = - \mathcal { G } _ { \alpha \beta } \frac { e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d _ { \astrosun } } } { 4 \pi d _ { \astrosun } } \times \left\{ \begin{array} { l l l } { N _ { e , \astrosun } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu ~ \mathrm { o r } ~ e , \tau } \\ { N _ { n , \astrosun } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } = } & { 0 . 0 1 \Delta u ( x , t ) + u ( x , t ) - u ( x , t ) ^ { 3 } , } \\ & { x \in [ 0 , 1 ] , t \in [ 0 , 1 ] ; } \\ { \operatorname { D i r i c h l e t : } } & { \ u ( 0 , t ) = u ( 1 , t ) = 0 ; } \\ { \operatorname { N e u m a n : } } & { \ \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } \bigg | _ { x = 0 } = \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } \bigg | _ { x = 1 } = 0 ; } \end{array}
d s _ { p } ^ { 2 } = H _ { p } ^ { \frac { 4 - \Delta _ { p } } { \Delta _ { p } } } d { \bf x } \cdot d { \bf x } + H ^ { \frac { 4 } { \Delta } } H _ { p } ^ { \frac { 4 - \Delta _ { p } } { \Delta _ { p } } } d z ^ { 2 } .
( \frac { 1 } { c _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } - \nabla ^ { 2 } + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } ) \phi ( \vec { x } , t ) = 0
( \gamma _ { \mu \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } } ) ^ { ( c ) } = \delta _ { C } ^ { p + 1 } \gamma _ { \mu _ { p } \ldots \mu _ { 2 } \mu _ { 1 } \mu } = \delta _ { C } ^ { p + 1 } ( - 1 ) ^ { \frac 1 2 ( p + 1 ) p } \gamma _ { \mu \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } } ,
\begin{array} { r l r } { E _ { + } ( z ) } & { { } = } & { \exp \left( - \frac { \omega z ^ { 2 } } { 2 c L } \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } z \left( 1 - \frac { c } { \omega L } \right) \right] \, , } \\ { E _ { - } ( z ) } & { { } = } & { \exp \left( - \frac { \omega z ^ { 2 } } { 2 c L } \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } z \right] \, , } \end{array}
\small \mathcal { L } ( X _ { 0 : T } \mid f ) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \| f ( X _ { t } ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle f ( X _ { t } ) , X _ { t + \mathrm { ~ d ~ } t } - X _ { t } \rangle \mathrm { ~ d ~ } t \right] .