harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \chi _ { A } ( x ) \oplus _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { = } & { 1 , } \\ { 1 \ominus _ { \mathbb { X } } \chi _ { A } ( x ) } & { = } & { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) , } \\ { \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { = } & { 0 , } \\ { \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A } ( x ) } & { = } & { \chi _ { A } ( x ) , } \\ { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { = } & { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { q } ^ { s } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( H - q t ) f _ { 0 } ( q ) } & { \mathrm { ~ H ~ - ~ q ~ t ~ > ~ 0 ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ H ~ - ~ q ~ t ~ \leq ~ 0 ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\varphi { \rightarrow } { \varphi } _ { + } \; \mathrm { a s } \; r { \rightarrow } { \infty } \; \; , \; \; \; \; { \partial } \varphi / { \partial } \tau = 0 \; \; \mathrm { ~ a t ~ } \; \; \tau = { \pm } \beta / 2 \mathrm { , ~ } 0 \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { g } _ { - 2 } : = } & { \operatorname { s p a n } ( \Delta _ { x } , \Delta _ { y } , \Delta _ { z } , \langle \underline { { \partial } } _ { x } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle , \langle \underline { { \partial } } _ { y } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle , \langle \underline { { \partial } } _ { x } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle ) } \\ { \mathfrak { g } _ { 0 } : = } & { \operatorname { s p a n } ( \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle , \langle \underline { { y } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle , \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle , \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle , \langle \underline { { y } } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle , \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle , \mathbb { E } _ { x } , \mathbb { E } _ { y } , \mathbb { E } _ { z } ) } \\ { \mathfrak { g } _ { + 2 } : = } & { \operatorname { s p a n } ( | \underline { { x } } | ^ { 2 } , | \underline { { y } } | ^ { 2 } , | \underline { { z } } | ^ { 2 } , \langle \underline { { x } } , \underline { { y } } \rangle , \langle \underline { { y } } , \underline { { z } } \rangle , \langle \underline { { x } } , \underline { { z } } \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ \Delta ^ { a , b } ( H _ { i , 1 } ) , \Delta ^ { a , b } ( H _ { j , 1 } ) ] } \\ & { = [ H _ { i , 1 } + B _ { i } , H _ { j , 1 } + B _ { j } ] \otimes 1 + [ ( H _ { i , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 , A _ { j } ] - [ ( H _ { j , 1 } + B _ { j } ) \otimes 1 , A _ { i } ] } \\ & { \quad + [ 1 \otimes H _ { i , 1 } , A _ { j } ] - [ 1 \otimes H _ { j , 1 } , A _ { i } ] + [ A _ { i } , A _ { j } ] } \\ & { \quad - [ ( H _ { i , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 , F _ { j } ] + [ ( H _ { j , 1 } + B _ { j } ) \otimes 1 , F _ { i } ] } \\ & { \quad - [ 1 \otimes H _ { i , 1 } , F _ { j } ] + [ 1 \otimes H _ { j , 1 } , F _ { i } ] - [ A _ { i } , F _ { j } ] + [ A _ { j } , F _ { i } ] + [ F _ { i } , F _ { j } ] . } \end{array}
\mathrm { c o C o m m } \{ 1 \} ( 2 ) \otimes _ { S _ { 2 } } \bigoplus _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times S _ { i _ { 2 } } } ^ { S _ { i _ { 1 } + i _ { 2 } } } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 2 } ) \longrightarrow \bigoplus _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \mathbb { P } _ { 1 } ( i _ { 1 } + i _ { 2 } ) [ 1 ]
\Gamma _ { t } ^ { 2 P M } \propto R _ { t } \cdot \frac { n _ { u } ^ { 2 } L _ { \parallel } ^ { 4 / 7 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 3 / 7 } } \propto R _ { t } \cdot \frac { \langle n _ { e } \rangle ^ { 2 } ( L _ { \parallel } ^ { O S P } ) ^ { 4 / 7 } } { P _ { S O L } ^ { 3 / 7 } }
\| \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } \leq \left[ \| \mathcal { V } _ { 0 } \| _ { L ^ { p } } + \int _ { 0 } ^ { t } \| d ( s , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } d s \right] G ^ { \lambda - 1 / p } ( 0 , t ) .
\begin{array} { r l } { \langle S _ { 1 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 4 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \Bigg \{ 3 A _ { 1 } \kappa ^ { 2 } \bigg ( - 2 C ^ { 4 } \kappa ^ { 2 } + C ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) ( - 2 } \end{array}
{ \cal F } _ { 1 } \simeq i \gamma \frac { { \cal A } _ { 1 } } { 4 \pi } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d s \exp ( - i y s ) \int d ^ { 3 } r \frac { z } { r } \phi ( { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } - s \hat { \mathrm { \boldmath ~ q ~ } } ) \phi ( { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } ) \simeq \frac { \gamma { \cal A } _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial y ^ { 3 } } { \cal F } _ { 0 } ( y )
\begin{array} { r l r } { \delta S _ { - } ^ { \phi } } & { = } & { 2 \left\vert \widetilde { a } \left( s \right) \right\vert \left[ \left( \mathrm { R e } \; \delta \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } + \left( \mathrm { I m } \; \delta \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { 2 \left\vert \widetilde { a } \left( s \right) \right\vert \delta \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \delta \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } \\ & { = } & { \left\vert \widetilde { a } \left( s \right) \right\vert \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \prime \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \prime } \left( s ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lbrace \begin{array} { l } { i u _ { t } + u _ { x x } = ( | u | ^ { 2 p } + \beta | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) u , } \\ { i v _ { t } + v _ { x x } = ( | v | ^ { 2 p } + \beta | v | ^ { p - 1 } | u | ^ { p + 1 } ) v , } \\ { u ( x , \, 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , \qquad v ( x , \, 0 ) = v _ { 0 } ( x ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { \lambda } ^ { \prime } ( a ) = - \frac { \Omega _ { r } ^ { \prime } ( a ) } { a ^ { 4 } } - \frac { \Omega _ { b } ^ { \prime } ( a ) } { a ^ { 3 } } - \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( a ) } { a ^ { 3 } } , \quad \Omega _ { \lambda } ( a ) = \Omega _ { \Lambda } ^ { 0 } + \int _ { a } ^ { 1 } \d b [ \frac { \Omega _ { r } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 4 } } + \frac { \Omega _ { b } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } + \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } ] , } \end{array}
\mathrm { S H F } ( x , y ) = \rho _ { 1 } ( x , y ) C _ { D } \sqrt { u _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } + v _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } } c _ { p } \left[ \mathrm { S S T } - T _ { 1 } ( x , y ) \right] ,
\int d ^ { 4 } x \sqrt { g _ { b r a n e } } \left[ R ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 3 } } R ^ { 2 } \right] = 4 \int d t { \frac { d } { d t } } [ ( { \frac { \dot { a } } { N } } ) ^ { 3 } ] = 0 \ .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \partial _ { - } M ^ { n } } ( f - \frac { n } { 2 ( n - 1 ) } H ) | \varphi | ^ { 2 } d A - \int _ { \partial _ { + } M ^ { n } } ( f + \frac { n } { 2 ( n - 1 ) } H ) | \varphi | ^ { 2 } d A } \\ { = } & { \int _ { M ^ { n } } \left( \frac { n } { n - 1 } \left( | \mathcal { P } \varphi | ^ { 2 } + \langle \varphi , \frac { R } { 4 } \varphi + \mathcal { R } ^ { \mathcal { E } } \varphi \rangle \right) + \langle \varphi , f ^ { 2 } \varphi + \nabla f \cdot \sigma \varphi \rangle \right) d V } \\ { \ge } & { \int _ { M ^ { n } } \left( \frac { n } { n - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 c } | \nabla | \varphi | | ^ { 2 } + \beta _ { 1 } f ^ { 2 } | \varphi | ^ { 2 } + \frac { R } { 4 } | \varphi | ^ { 2 } - \gamma _ { n } | R ^ { \mathcal { E } } | | \varphi | ^ { 2 } \right) + \langle \varphi , f ^ { 2 } \varphi + \nabla f \cdot \sigma \varphi \rangle \right) d V , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \check { S } ^ { K , L } \check { S } ^ { L , K } } } & { { = } } & { { \mathrm { i d . } , } } \\ { { ( \check { S } ^ { V _ { z _ { 1 } } , V _ { z _ { 2 } } ^ { * } } ) _ { j l ^ { * } } ^ { i ^ { * } k } } } & { { = } } & { { ( \check { S } ^ { V _ { z _ { 2 } } , V _ { z _ { 1 } } } ) _ { i j } ^ { k l } , } } \\ { { ( \check { S } ^ { V _ { z _ { 1 } } ^ { * } , V _ { z _ { 2 } } } ) _ { i ^ { * } j } ^ { k l ^ { * } } } } & { { = } } & { { ( \check { S } ^ { V _ { z _ { 2 } } , V _ { z _ { 1 } + n w } } ) _ { j l } ^ { i k } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { I \dot { \boldsymbol \Omega } = [ I { \boldsymbol \Omega } , { \boldsymbol \Omega } ] , } \\ { \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k p } \Omega _ { k } R _ { i p } , } \\ { \frac 1 2 \sum _ { i } I _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } = E = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , } \\ { R I { \boldsymbol \Omega } = { \bf m } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( L ^ { * } ) ^ { 2 M } c _ { 2 } ( x , y , \xi ) } & { \leq C _ { M } ( 1 + y ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } ) ^ { - M / 2 } h ^ { 2 ( 1 - \delta ) M } q _ { 2 M } ( u ) ( \alpha _ { n } h ) ^ { 1 / 4 } \left( 1 + ( x + y ) ^ { 2 } / \alpha _ { n } h \right) ^ { - 2 } } \\ & { \leq C _ { M } ( 1 + y ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } ) ^ { - M / 2 } h ^ { 2 ( 1 - \delta ) M } q _ { 2 M } ( u ) ( \alpha _ { n } h ) ^ { 1 / 4 } \left( 1 + x ^ { 2 } / \alpha _ { n } h \right) ^ { - 2 } \left( 1 + y ^ { 2 } / \alpha _ { n } h \right) ^ { - 2 } } \\ & { \leq C _ { M } ( 1 + y ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } ) ^ { - M / 2 } h ^ { 2 ( 1 - \delta ) M } q _ { 2 M } ( u ) ( \alpha _ { n } h ) ^ { 1 / 4 } \left( 1 + x ^ { 2 } / \alpha _ { n } h \right) ^ { - 2 } } \end{array}
\frac { \partial < \tilde { u } _ { n } > } { \partial x } + \underbrace { \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { \partial \tilde { v } _ { n } } { \partial y } \, \mathrm { ~ d ~ } y } _ { v \left( 1 / 2 \right) - v \left( - 1 / 2 \right) = 0 } + \frac { \partial < \tilde { w } _ { n } > } { \partial z } = \nabla \cdot < \tilde { \mathbf { u } } _ { n } > = 0 ,
2 0 , 0 0 0 p e r y e a r , a s h o u s e h o l d s i n p o v e r t y . M e a n w h i l e , t h e u p p e r t h r e e i n c o m e b r a c k e t s i n d i c a t e a f f l u e n t h o u s e h o l d s , w h i c h e a r n m o r e t h a n \ 1 2 5 , 0 0 0 p e r y e a r . W e d e f i n e t h e s e b r a c k e t s a s h i g h i n c o m e h o u s e h o l d s . M i d d l e c l a s s h o u s e h o l d s a r e r e f l e c t e d b y t h e m i d d l e 1 0 i n c o m e b r a c k e t s . T h u s , w e c a n c a t e g o r i s e e a c h o f t h e 1 6 i n c o m e b r a c k e t s i n t o 3 i n c o m e c l a s s e s : l o w - i n c o m e , m i d d l e - i n c o m e , a n d h i g h - i n c o m e . U s i n g t h e s e c u t o f f s t o d e f i n e i n c o m e c l a s s e s i s c o m m o n p r a c t i c e w h e n m e a s u r i n g I C E a t t h e C B G - l e v e l . H o w e v e r , S e c t i o n i n t h e S u p p l e m e n t a r y M a t e r i a l s c o n v e y s h o w I C E d i s t r i b u t i o n s w o u l d c h a n g e w i t h i n e a c h c i t y i f w e w e r e t o s h i f t t h e s e i n c o m e - b r a c k e t c u t o f f s . W i t h t h i s i n m i n d , w e d e f i n e
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { 2 } = \mathrm { i } \, } & { { } \Bigg [ \left( \mathcal { K } _ { a } + \mathcal { S } _ { a } \right) y _ { 2 } + 2 \mathcal { K } _ { b } \left( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \right) y _ { 2 } } \end{array}
V ^ { ( + 1 ) } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l } { { - 2 \cosh \alpha , \; \; \; \; \; \; K = + 1 } } \\ { { - 2 \sinh \alpha , \; \; \; \; \; \; K = - 1 } } \\ { { \; \; \; \; \; - e ^ { \alpha } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; K = 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l r l } { C } & { = \left[ \begin{array} { l } { I _ { 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 2 \times 3 } } \end{array} \right] , } & { D } & { = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 2 } } \\ { I _ { 2 } } \end{array} \right] , } & { E } & { = \left[ \begin{array} { l } { I _ { 2 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 1 \times 2 } } \end{array} \right] , } & { F } & { = \mathbf { 0 } _ { 5 \times 2 } . } \end{array}
I ^ { ( 1 ) } = \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v \delta ( x + y + r + s + u + v - 1 ) \frac { 1 2 0 } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } \, .
\Delta G _ { 1 , N } = - k _ { B } T \ln [ P ( 1 , N ) / P _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( 1 , N ) ] = k _ { B } T \ln N ^ { - 3 / 2 } + \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ }
\frac { d N } { d p } = \frac { N _ { 0 } p ^ { 2 } } { m ^ { 3 } c ^ { 2 } \Theta K _ { 2 } ( 1 / \Theta ) } e ^ { - \frac { \sqrt { 1 + \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } } { \Theta } } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf E } | X | ^ { p } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { P r } ( | X | ^ { p } \geqslant t ) ~ d t = \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { P r } ( | X | \geqslant t ) p t ^ { p - 1 } ~ d t \leqslant 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - K \operatorname* { m i n } \{ t ^ { 2 } , t \} ) p t ^ { p - 1 } d t } \\ & { \leqslant 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - K t ^ { 2 } ) p t ^ { p - 1 } d t + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - K t ) p t ^ { p - 1 } d t = \frac { 1 } { K ^ { p / 2 } } p \Gamma ( p / 2 ) + \frac { 1 } { K ^ { p } } 2 p \Gamma ( p ) } \\ & { \leqslant \frac { 3 p ( p / 2 ) ^ { p / 2 } } { K ^ { p / 2 } } + \frac { 2 p ^ { p } } { K ^ { p } } \leqslant \frac { 3 p ^ { p } } { K ^ { p / 2 } } + \frac { 2 p ^ { p } } { K ^ { p } } \leqslant \frac { 5 p ^ { p } } { K ^ { p / 2 } } , } \end{array}
\hat { r } _ { j l } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + 4 \hat { P } _ { j l } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } + ( \hat { P } _ { j l } + 2 \hat { r } _ { j l } ) \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } }
\begin{array} { r } { { \mathbf { M } } : = D ( { \mathbf { u } } ^ { L } + { \mathbf { R } } ( { \mathbf { x } } ) ) - N \nabla \phi \, , \qquad \pi : = \frac 1 2 | { \mathbf { u } } ^ { L } | ^ { 2 } + { \mathbf { R } } ( { \mathbf { x } } ) \cdot { \mathbf { u } } ^ { L } - g b z - p \, . } \end{array}
\chi ^ { \mathrm { ( T M ) } } = { \frac { i \hbar A } { \pi ^ { 2 } } } \int d \omega _ { \mathrm { i n } } \int _ { 0 } ^ { | \omega _ { \mathrm { i n } } | } d k _ { \| } \, k _ { \| } \, \frac { \left[ k _ { \| } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { i n } } ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) \right] ^ { 2 } } { \biggl [ ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } + i \varepsilon ) ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } \biggr ] ^ { 1 / 2 } \, \sqrt { { \omega _ { \mathrm { i n } } } ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } } } \, \left[ { \frac { 1 } { 2 } } + { \overline { { n } } } ( | \omega _ { \mathrm { i n } } | ) \right] .
\mathbf { M } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 . 2 0 7 4 1 1 } & { 0 . 3 9 3 8 0 8 } & { 0 . 1 5 2 1 7 8 } & { 0 } \\ { 1 . 3 5 6 } & { - 2 . 3 0 2 8 1 } & { - 0 . 4 4 4 9 3 3 } & { 0 } \\ { 7 . 7 0 3 8 3 } & { 7 1 . 6 3 7 4 } & { - 2 2 . 7 8 4 1 } & { 0 } \\ { - 8 9 8 6 . 2 3 } & { - 1 9 1 5 6 . 8 } & { 7 2 1 1 . 6 1 } & { 5 8 0 0 . 8 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \widehat { \boldsymbol { \Psi } } } ( s ) } & { = \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } ( s ^ { 2 } \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - s \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ) + \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { K } } } ( \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - s \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { - 1 } ) } \\ & { = ( s \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } - \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { K } } } \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { - 1 } ) ( s \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \left( \frac { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \right) \left( \frac { 6 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } + \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) - \frac { \left( 1 - 1 3 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } { n ^ { 2 } } , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \left( - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left. + n ^ { 2 } \left( 8 - 1 0 4 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \sqrt { - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } \; \right] , } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \pm \sqrt { - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { ( ( 1 / 2 + \varepsilon ) N ) } - F _ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \geqslant t ) } & { \leqslant \binom { N } { N / 4 } \left( \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } \geqslant \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) \right) ^ { N / 4 } } \\ & { \leqslant \binom { N } { N / 4 } \left( \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } \geqslant t ) \right) ^ { N / 4 } } \\ & { \leqslant 2 ^ { N } \exp ( - N t / 8 ) } \\ & { = \exp ( N \log ( 2 ) - N t / 8 ) } \\ & { \leqslant \exp ( - N t / 1 6 ) , } \end{array}
S = - \tau _ { 5 } { \frac { ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 } } \int _ { S ^ { 2 } } e ^ { - \Phi } \sqrt { g _ { \theta \theta } g _ { \varphi \varphi } } \int d ^ { 4 } x T r ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) + . . .
- \int _ { \mathcal { S } ( t ) } \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } \cdot \hat { \boldsymbol { n } } d S = \oint _ { \mathcal { C } ^ { + } ( t ) } \mathbf { E } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l + \oint _ { \mathcal { C } ^ { - } ( t ) } \mathbf { E } ^ { - } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l + \oint _ { \mathcal { C } ^ { \delta } ( t ) } \mathbf { E } ^ { \delta } \cdot \hat { \boldsymbol { t } } d l ~ .
\begin{array} { r l r } { \langle \Theta , \Phi | \mathrm { B l o c h } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \Phi } { 2 } } \cos ( \Theta / 2 ) \langle m | \mathrm { B l o c h } \rangle } \end{array}
\langle N \rangle _ { T } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathcal { C } } \frac { d z } { 2 \pi i } \, \textrm { T r } \, ( \frac { 1 } { H - z } ) \, \operatorname { t a n h } ( \frac { \beta z } { 2 } )
r _ { \pm } ( \theta , \beta _ { c } ( \theta ) + \epsilon ) - r _ { c } ( \theta ) \underset { \epsilon \to 0 ^ { + } } { \sim } \pm \frac { 1 - e ^ { - r _ { c } ( \theta ) ^ { \theta } } } { \theta r _ { c } ( \theta ) ^ { \theta ^ { - 1 } } \sqrt { e ^ { - r _ { c } ( \theta ) ^ { \theta } } \left( - \frac { \theta } { 2 } + \beta _ { c } ( \theta ) e ^ { - r _ { c } ( \theta ) ^ { \theta } } \right) } } \sqrt { \epsilon } .
Q _ { 1 } = \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 2 } \, \, , \, \, Q _ { 2 } = \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } \, \, , \, \, P _ { 1 } = \frac { \check { q } _ { 1 } \check { p } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } \check { p } _ { 2 } } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } \, \, , \, \, P _ { 2 } = - \frac { \check { p } _ { 1 } - \check { p } _ { 2 } } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { i \dot { \hat { c } } _ { m } } & { = m \omega _ { B } \hat { c } _ { m } - \frac { V N } { \beta } \left[ \hat { c } _ { m } , \frac { 1 } { \left( 1 + \beta \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } / N \right) } \right] } \\ & { = m \omega _ { B } \hat { c } _ { m } - \frac { V N } { \beta } \left[ \hat { c } _ { m } , 1 - \frac { \beta } { N } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } + ( \frac { \beta } { N } ) ^ { 2 } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } - \left( \frac { \beta } { N } \right) ^ { 3 } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } ^ { 3 } + \cdots \right] , } \end{array}
s _ { i } ( \mathbf { u } ) = \omega _ { i } \left[ \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left( \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } \right) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right] .
m _ { \nu _ { 3 } } \left| _ { \mathrm { m i n } } \right. \sim \frac { g ^ { 2 } m _ { b } ^ { 2 } } { M _ { 2 } } \left( \sin ^ { 2 } \xi ^ { \prime } h _ { b } ^ { 2 } \right) \left( \frac 3 { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { M _ { U } } { m _ { t } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { X _ { 1 2 } : = } & { \; g ( k ) e ^ { - t ( \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , \omega ) ) } - g _ { N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) e _ { 1 2 , N } ( x , t , z ) e ^ { 3 \alpha } } \\ { = } & { \; ( g ( k ) - g _ { N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) e ^ { - t ( \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , \omega ) ) } } \\ & { + g _ { N } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) e ^ { 3 \alpha } \Big ( e ^ { \beta - z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) } - e _ { 1 2 , N } ( x , t , z ) \Big ) , } \end{array}
X ^ { \mathrm { { V V } } } = X ^ { B S } + \underbrace { \frac { { \textrm { X } } _ { v a n n a } } { { \textrm { R R } } _ { v a n n a } } } _ { w _ { R R } } { R R } _ { c o s t } + \underbrace { \frac { { \textrm { X } } _ { v o l g a } } { { \textrm { B F } } _ { v o l g a } } } _ { w _ { B F } } { B F } _ { c o s t }
\hat { \rho } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } \rangle = c o n s t \, \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = c o n s t \, \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } \rangle
\begin{array} { r l } { \psi _ { s } \circ j _ { x } | _ { S ^ { 1 } \times \partial D _ { u } ^ { - } } } & { \leq ( 1 - \epsilon ) ^ { - 1 } \psi _ { 0 } \circ j _ { x } | _ { S ^ { 1 } \times \partial D _ { u } ^ { - } } } \\ & { \leq ( 1 - \epsilon ) ^ { - 1 } ( c + r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } ) } \\ & { < ( 1 - \epsilon ) c . } \end{array}
| | \bar { \pi } - \pi | | _ { 2 } \le | | \bar { \pi } | | _ { 2 } + | | \pi | | _ { 2 } = \sqrt { \sum _ { s } \sum _ { a , \eta } \bar { \pi } _ { 1 } ( a , \eta | s ) ^ { 2 } + \sum _ { s , \eta } \sum _ { a , \eta ^ { \prime } } \bar { \pi } _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) ^ { 2 } } + \sqrt { \sum _ { s } \sum _ { a , \eta } { \pi } _ { 1 } ( a , \eta | s ) ^ { 2 } + \sum _ { s , \eta } \sum _ { a , \eta ^ { \prime } } { \pi } _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) ^ { 2 } } \le \sqrt { \sum _ { s } \sum _ { a , \eta } \bar { \pi } _ { 1 } ( a , \eta | s ) + \sum _ { s , \eta } \sum _ { a , \eta ^ { \prime } } \bar { \pi } _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) } + \sqrt { \sum _ { s } \sum _ { a , \eta } { \pi } _ { 1 } ( a , \eta | s ) + \sum _ { s , \eta } \sum _ { a , \eta ^ { \prime } } { \pi } _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) } = 2 \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | }