harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in \mathrm { S u p p } ( \Xi _ { \rho } ) : | \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \neq 1 } | \Xi _ { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } ^ { \dag } } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \geqslant \operatorname* { m a x } _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in \mathrm { S u p p } ( \Xi _ { \rho } ) : | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \neq 1 } | \Xi _ { \rho } ( \vec { p } , \vec { q } ) | \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } } & { { } = } & { \mathbf { W } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \Phi ( \boldsymbol \Delta _ { R } ) \left( \mathbf { W } _ { i + 1 } - \mathbf { W } _ { i } \right) , } \\ { \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } } & { { } = } & { \mathbf { W } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Phi ( \boldsymbol \Delta _ { L } ) \left( \mathbf { W } _ { i } - \mathbf { W } _ { i - 1 } \right) , } \end{array}
q _ { j + 1 } ^ { s } = q _ { j } ^ { s } - \frac { q _ { 0 } ^ { s } } { N } , \qquad q _ { j + 1 } ^ { p } = q _ { j } ^ { p } - \eta \phi _ { w , j } \frac { q _ { 0 } ^ { s } } { N } , \qquad \phi _ { w , j } = \frac { q _ { j } ^ { p } } { q _ { j } ^ { s } } .
u _ { \ell } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) = v _ { \ell } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) - \left[ \left( \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } \setminus \{ \ell \} } \left[ v _ { i } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - \sigma _ { i } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) + v _ { \ell } ^ { \prime } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right) - v _ { \ell } ^ { \prime } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] .
\partial _ { t } \boldsymbol { B } = \nabla \times ( \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { B } ) - \frac { m _ { i } c } { Z e } \nabla \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } - \frac { \nu _ { i e } m _ { i } c ^ { 2 } } { 4 \pi Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } \nabla \times \left( \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \right) .
A ( p ) = 1 - \frac { g _ { 0 } } { 3 } \int _ { \epsilon } ^ { \alpha } d k \frac { G ( k ^ { 2 } ) } { k A ( k ) } \{ ( \frac { k } { p } ) ^ { 3 } \Theta ( p - k ) + \Theta ( k - p ) \} .
{ \cal L } _ { 1 / m ^ { 3 } } ^ { ( 2 + 1 ) s c a l } = - \frac { \alpha } { 7 2 0 m ^ { 3 } } \left[ 6 F ^ { \nu \lambda } F _ { \nu \lambda , \mu } ^ { ~ ~ ~ ~ \mu } + 4 F ^ { \nu \lambda , \mu } F _ { \nu \lambda , \mu } + F _ { ~ ~ ~ \lambda } ^ { \nu \lambda , } F _ { \nu \mu , } ^ { ~ ~ ~ \mu } \right] ,
R _ { 1 1 } ^ { V } = \underbrace { \zeta _ { 1 1 1 1 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + \zeta _ { 1 1 2 2 } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } _ { a x i s y m m e t r i c } + \underbrace { \zeta _ { 1 1 1 2 } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } + \zeta _ { 1 1 2 1 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } _ { c e n t r o s y m m e t r i c } ,
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { + } \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { - } \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { 3 ^ { \frac { 5 } { 4 } } } { 2 \sqrt { 2 } } r \ell ( 1 + \epsilon ) \bigg ( s _ { 0 } ^ { * } ( 6 ) \ell ( 1 + \epsilon ) - s _ { 0 } \bigg ) , } \\ { \beta } & { { } = \frac { 3 } { 1 2 8 } 3 ^ { \frac { 1 } { 4 } } r \ell ( 1 + \epsilon ) \bigg ( 1 3 \sqrt { 2 } s _ { 0 } - 2 8 \times 3 ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( 1 + \epsilon ) \ell \bigg ) } \end{array}
\mathbf { T } ( z ) = \mathbf { T } _ { 1 } ( z ) z ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 2 \pi i \alpha } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) \left[ s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) \right] ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } e ^ { - x ^ { 2 } g ( z ) \sigma _ { 3 } } ,
\begin{array} { r } { N ( \mathcal L _ { \gamma } ) = \mathrm { s p a n } \{ \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \xi ) , w _ { 1 } \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \xi _ { 2 } \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \xi _ { 3 } \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } , | \xi | ^ { 2 } \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \} . } \end{array}
J = \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| - \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N f - 1 } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { q } _ { \mu } } { \mathrm { d } \eta ^ { 2 } } \Bigg / \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| \right) C _ { \mu k } ( \eta ) x _ { k } ,
\P _ { \frac { 1 } { 2 } } J ^ { i } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 1 } { 2 } } J ^ { j } G ^ { j 8 } \P _ { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 3 } { 4 } } \ \P _ { \frac { 1 } { 2 } } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 1 } { 2 } } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 1 } { 2 } } \ .
P = \frac { d W } { d t } = - \sum _ { \mu } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { \hbar \omega ^ { 2 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } \operatorname { I m } \left[ \Pi _ { \mu \mu } ^ { \mathrm { t o t } , < } ( \omega ) \right] ,
C ^ { ( k ) } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { A _ { 1 } ^ { 1 } } & { A _ { 2 } ^ { 1 } } & { A _ { 3 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 2 } ^ { 2 } } & { A _ { 3 } ^ { 2 } } & { A _ { 4 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { A _ { k - 2 } ^ { k - 2 } } & { A _ { k - 1 } ^ { k - 2 } } & { A _ { k } ^ { k - 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { A _ { k - 1 } ^ { k - 1 } } & { A _ { k } ^ { k - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { k } ^ { k } } \end{array} \right) .
\frac { \partial \hat { u } ^ { \prime } } { \partial t } + \hat { v } ^ { \prime } \frac { \mathrm { d } U } { \mathrm { d } y } = \frac { \mathrm { d } \nu _ { T } } { \mathrm { d } y } \hat { u } ^ { \prime } + \nu _ { T } \Delta _ { y , z } \hat { u } + \hat { f } _ { u } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { m , 1 } ( r ) = } & { - \frac { 4 ( m + 1 ) r \mu _ { \Omega _ { m } } ^ { 0 } ( r ) } { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) } F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } F _ { m , \Omega _ { m } } ( \tau ) \tau ^ { 2 n + 1 } \left\{ \Omega _ { m } - \frac { f _ { 0 } ( \tau ) } { 2 } \right\} d \tau d s , } \\ { \mathcal { H } _ { m , 2 } ( r ) = } & { - r ^ { 2 } , \quad \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) = \frac { r ^ { 1 - m } G _ { m } ( r ) } { G _ { m } ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { k } } & { = } & { \sum _ { l \neq k } m _ { l } Z _ { l k } , \quad k = 1 , \ldots , n , } \\ { w _ { k } } & { = } & { \sum _ { l \neq k } m _ { l } W _ { l k } , \quad k = 1 , \ldots , n , } \\ { 1 } & { = } & { \delta _ { k l } ^ { 2 } z _ { k l } w _ { k l } , \quad 1 \leq k < l \leq n , } \\ { z _ { 1 2 } } & { = } & { w _ { 1 2 } . } \end{array}
\boldsymbol { \chi } = - \boldsymbol { \eta } ^ { - 1 } + \frac { \boldsymbol { \eta } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \eta } ^ { - 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \eta } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } }
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } { { 7 } a _ { 1 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 1 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 2 n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 } \\ & { } & & { } & & { } & & { } & & { } & { \vdots \; \ } & { } & & { } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { m 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { m n } x _ { n } } & { } & { \; = \; } & { } & & { 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \phi ( \ensuremath { \mathbf { q } } - \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) \phi ( \ensuremath { \mathbf { q } } + \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { B } _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } = ~ } & { { } \Theta [ ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \cdot \mathbf { k } _ { 0 } ] \left\{ \hat { \bar { \Phi } } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm M } \frac { d V } { d t } } & { = } & { - g _ { \mathrm K } n ^ { 4 } ( V - E _ { \mathrm K } ) - g _ { \mathrm { N a } } m ^ { 3 } h ( V - E _ { \mathrm { N a } } ) } \\ & { } & { - g _ { \mathrm { \ell } } ( V - E _ { \mathrm \ell } ) + I _ { \mathrm { e x t } } ( t ) , } \\ { \frac { d n } { d t } } & { = } & { \alpha _ { n } ( 1 - n ) - \beta _ { n } n , } \\ { \frac { d m } { d t } } & { = } & { \alpha _ { m } ( 1 - m ) - \beta _ { m } m , } \\ { \frac { d h } { d t } } & { = } & { \alpha _ { h } ( 1 - h ) - \beta _ { h } h , } \end{array}
H _ { e } ( x ; { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \frac { { \mathbf { p } } _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { N _ { e } } \frac { { \mathbf { p } } _ { i } \cdot { \mathbf { p } } _ { j } } { 2 M _ { n } } + V _ { \mathrm { C o u l } } ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } ) ,
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial P } { \partial t } } } & { = } & { - { \frac { \partial ( v P ) } { \partial x } } - { \frac { 1 } { m } } { \frac { \partial ( f P ) } { \partial v } } + } \\ & { } & { { \frac { \gamma } { m } } { \frac { \partial ( v P ) } { \partial v } } + { \frac { \gamma T } { m ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial v ^ { 2 } } } } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \Omega _ { j } } \tilde { v } _ { j , l } = \left( \operatorname* { m a x } _ { \Omega _ { j } } \tilde { v } _ { j , l } ^ { \frac { 1 } { \beta _ { l } } } \right) ^ { \beta _ { l } } \leq \left( \operatorname* { m a x } _ { \Omega _ { j } } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { s - 1 } { \tilde { v } _ { j , m } } ^ { \frac { 1 } { \beta _ { m } } } \right) \right) ^ { \beta _ { l } } = \left( \lambda _ { j } \operatorname* { m a x } _ { \Omega } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { s - 1 } v _ { j , m } ^ { \frac { 1 } { \beta _ { m } } } \right) \right) ^ { \beta _ { l } } = 1 .
\Omega ^ { 2 } ( \Omega ^ { 2 } - 4 e ^ { 2 } \omega _ { 0 e } ^ { 2 } ) = 4 T _ { 0 } ^ { 2 } { \cal E } ( n _ { \nu } + n _ { \bar { \nu } } ) \left( \frac { \Omega ^ { 2 } - { \cal Q } ^ { 2 } } { { \cal Q } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \frac { { \cal Q } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { 4 { \cal E } ^ { 2 } ( \Omega - { \cal Q } \cos \theta ) ^ { 2 } - ( \Omega ^ { 2 } - { \cal Q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } s ( t , x ) = } & { \ a _ { - } ( t , x ) \frac { 1 - s ( t , x ) } { 2 } - a _ { + } ( t , x ) \frac { 1 + s ( t , x ) } { 2 } } \\ { - \frac { \partial } { \partial t } p ( t , x ) = } & { \ \sum _ { \sigma \in \mathbb { S } } \frac { \sigma } { 2 } h \big ( - \sigma \, p ( t , x ) \big ) - f \big ( x , s ( t , \cdot ) \big ) } \\ { a _ { \sigma } ( t , x ) = } & { \ h ^ { \prime } \big ( - \sigma \, p ( t , x ) \big ) . } \end{array}
\left( \partial _ { t } + { \frac { \vec { p } } { m } } \vec { \nabla } _ { x } - \vec { \nabla } _ { x } U ( t , \vec { x } ) \vec { \nabla } _ { p } \right) f ( t , \vec { x } , \vec { p } ) = I _ { \mathrm { c o l l } }
\begin{array} { r l r } { \tilde { \kappa } _ { c } ^ { 2 \ell + 1 } } & { = } & { \frac { R _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } } { a _ { \mathrm { c l o s e d } } ^ { 2 \ell + 1 } } } \\ & { + } & { \frac { 1 - a _ { \mathrm { o p e n } } ^ { 2 \ell + 1 } / a _ { \mathrm { c l o s e d } } ^ { 2 \ell + 1 } } { \frac { a _ { \mathrm { c l o s e d } } ^ { 2 \ell + 1 } } { R _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } } + \frac { a _ { \mathrm { o p e n } } ^ { 2 \ell + 1 } } { R _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } } \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { - } ^ { ( 0 ) 2 } - a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } } \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { - } ^ { ( 0 ) 2 } - a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
a ^ { 2 3 } + 2 5 3 a ^ { 1 6 } c ^ { 7 } + 5 0 6 a ^ { 1 5 } c ^ { 8 } + 1 2 8 8 a ^ { 1 2 } c ^ { 1 1 } + 1 2 8 8 a ^ { 1 1 } c ^ { 1 2 } + 5 0 6 a ^ { 8 } c ^ { 1 5 } + 2 5 3 a ^ { 7 } c ^ { 1 6 } + b ^ { 1 6 } ( 8 0 9 6 a ^ { 7 } + 5 6 6 7 2 a ^ { 6 } c + 1 7 0 0 1 6 a ^ { 5 } c ^ { 2 } + 2 8 3 3 6 0 a ^ { 4 } c ^ { 3 } + 2 8 3 3 6 0 a ^ { 3 } c ^ { 4 } + 1 7 0 0 1 6 a ^ { 2 } c ^ { 5 } + 5 6 6 7 2 a c ^ { 6 } + 8 0 9 6 c ^ { 7 } ) + b ^ { 1 2 } ( 2 5 7 6 a ^ { 1 1 } + 2 8 3 3 6 a ^ { 1 0 } c + 1 4 1 6 8 0 a ^ { 9 } c ^ { 2 } + 4 2 5 0 4 0 a ^ { 8 } c ^ { 3 } + 8 5 0 0 8 0 a ^ { 7 } c ^ { 4 } + 1 1 9 0 1 1 2 a ^ { 6 } c ^ { 5 } + 1 1 9 0 1 1 2 a ^ { 5 } c ^ { 6 } + 8 5 0 0 8 0 a ^ { 4 } c ^ { 7 } + 4 2 5 0 4 0 a ^ { 3 } c ^ { 8 } + 1 4 1 6 8 0 a ^ { 2 } c ^ { 9 } + 2 8 3 3 6 a c ^ { 1 0 } + 2 5 7 6 c ^ { 1 1 } ) + b ^ { 8 } ( 1 0 1 2 a ^ { 1 4 } c + 7 0 8 4 a ^ { 1 3 } c ^ { 2 } + 2 8 3 3 6 a ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 8 5 0 0 8 a ^ { 1 1 } c ^ { 4 } + 1 9 1 2 6 8 a ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 3 1 8 7 8 0 a ^ { 9 } c ^ { 6 } + 4 0 4 8 0 0 a ^ { 8 } c ^ { 7 } + 4 0 4 8 0 0 a ^ { 7 } c ^ { 8 } + 3 1 8 7 8 0 a ^ { 6 } c ^ { 9 } + 1 9 1 2 6 8 a ^ { 5 } c ^ { 1 0 } + 8 5 0 0 8 a ^ { 4 } c ^ { 1 1 } + 2 8 3 3 6 a ^ { 3 } c ^ { 1 2 } + 7 0 8 4 a ^ { 2 } c ^ { 1 3 } + 1 0 1 2 a c ^ { 1 4 } ) + c ^ { 2 3 }
\begin{array} { r l } { \Delta E _ { \mathrm { F S } , i a } = \left[ F ^ { ( 1 ) } ( R _ { a } ) + \delta _ { R _ { i } } F ^ { ( 1 ) } ( R _ { a } ) \right] } & { { } \delta R _ { i a } ^ { 2 } } \\ { + F ^ { ( 2 ) } ( R _ { a } ) } & { { } \left( \delta R _ { i a } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { p } _ { 2 } \cdot \nabla \eta _ { 1 } \, d \hat { x } } & { = - \int _ { \hat { \Omega } } j _ { y } ( \cdot , \hat { y } _ { 1 } ) \eta _ { 1 } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { 1 } \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \hat { \Omega } ) , } \\ { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { p } _ { 1 } \cdot \nabla \eta _ { 2 } \, d \hat { x } } & { = \int _ { \hat { \Omega } } \hat { p } _ { 2 } \eta _ { 2 } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { 2 } \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \hat { \Omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } ) } & { \leftarrow \mathrm { M M P } _ { { \cal D } , l } ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } , { \bf A } _ { l } ) , \quad l = L , \ldots , 0 . } \\ { ( { \bf V } _ { l - 1 } , { \bf E } _ { l - 1 } , { \bf A } _ { l - 1 } ) } & { \leftarrow \mathrm { u n p o o l } _ { l } ^ { l - 1 } ( { \bf V } _ { l } , { \bf E } _ { l } , { \bf A } _ { l } ) , \quad l = L , \ldots 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \prod _ { f } \gamma ^ { - r _ { f } / 2 } = \prod _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \ \prod _ { k = 1 } ^ { c ( r ) } \gamma ^ { - | e ( G _ { r } ^ { k } ) | / 2 } \ , } \\ & { } & { \prod _ { \ell \in { \cal T } } \gamma ^ { 2 r _ { \ell } } = \gamma ^ { - 2 r _ { m a x } - 2 } \prod _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \ \prod _ { k = 1 } ^ { c ( r ) } \gamma ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { L J } } ^ { \mathrm { g e n } } ( r ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \epsilon \left[ \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 9 6 } - 2 \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 4 8 } + c \right] } & { r < r _ { \mathrm { c } } } \\ { 0 } & { r \ge r _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right. , } \end{array}
c = \frac { Y _ { c } - Y _ { c , \mathrm { m i n } } ( Z _ { \mathrm { B i l g e r } } ) } { Y _ { c , \mathrm { m a x } } ( Z _ { \mathrm { B i l g e r } } ) - Y _ { c , \mathrm { m i n } } ( Z _ { \mathrm { B i l g e r } } ) }
( f ^ { ' } \cos \theta \cos 2 \theta + \frac { 2 } { r } f \sin \theta \sin 2 \theta ) \frac { \partial \gamma ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + ( f ^ { ' } \sin \theta \sin 2 \theta + \frac { 2 } { r } f \cos \theta \cos 2 \theta ) \frac { \partial \gamma ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \left[ \sum _ { a + b = 2 , b \geq 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | + | J | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b - 1 } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | + | J | } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } \right] \right| } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } | y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) | \leq C _ { 1 } ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + 4 N x _ { 0 } ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) A C } \\ & { \leq } & { 4 A C C _ { 1 } x _ { 0 } a _ { 2 } ( \delta ) \left[ 1 + \frac { 3 + c } { ( N - 1 ) ( 1 - c ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = } & { \psi ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , t ) \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \psi ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = } & { \exp \left[ i \nu \int _ { t } d s \frac { \kappa } { | \mathbf { r } + \mathbf { p } ( s - t ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t ) | } \right] , } \end{array}
P _ { 1 \sigma } ( b ) = 2 D \: \frac { ( 4 R _ { 0 } ) ^ { 2 - \delta } k ^ { \gamma - 1 } } { \pi \Gamma ^ { 2 } ( \delta / 2 ) } \: I _ { \gamma \delta } ( k , E _ { 1 \sigma } ^ { 0 } )
\begin{array} { r l } { J _ { \sigma , \sigma } ( L ) } & { = \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \int _ { | w _ { 1 } | } ^ { 2 d _ { 1 } L - | w _ { 1 } | } \frac { h ( p _ { L } | ( \tilde { w } _ { 1 } \mod 2 d _ { 1 } L , \pi _ { 1 } w ) | ) ^ { 2 } \prod _ { \ell \neq 1 } ( d _ { \ell } L - | w _ { \ell } | ) } { | w | } \frac { \mathrm { d } \tilde { w } _ { 1 } \mathrm { d } w } { 2 } } \\ & { = 8 d _ { 2 } d _ { 3 } L ^ { 2 } \int _ { Q _ { L } ^ { D } } \int _ { w _ { 1 } } ^ { d _ { 1 } L } \frac { h ( p _ { L } | ( \tilde { w } _ { 1 } , \pi _ { 1 } w ) | ) ^ { 2 } } { | w | } \mathrm { d } \tilde { w } _ { 1 } \mathrm { d } w + \mathcal { O } ( L \log L ) } \\ & { = 8 d _ { 2 } d _ { 3 } L ^ { 2 } \int _ { Q _ { L } ^ { D } } h ( p _ { L } | ( \tilde { w } _ { 1 } , \pi _ { 1 } w ) | ) ^ { 2 } \biggr ( \int _ { 0 } ^ { \tilde { w } _ { 1 } } \frac { 1 } { | w | } \mathrm { d } w _ { 1 } \biggr ) \mathrm { d } \tilde { w } _ { 1 } \mathrm { d } \pi _ { 1 } w + \mathcal { O } ( L \log L ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P } _ { p , q , r } ^ { \pm \mathrm { r a d } \; } } & { = } & { ( \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) \times } \cup \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) \times } ) ( \mathcal { G } ^ { 0 } \oplus \mathrm { r a d } \; \mathcal { G } _ { p , q , r } ) ^ { \times } } \\ & { = } & { \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \quad \widehat { T ^ { - 1 } } T \in ( \mathcal { G } ^ { 0 } \oplus \mathrm { r a d } \; \mathcal { G } _ { p , q , r } ) ^ { \times } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \langle v _ { 0 i } \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial x _ { i } } = - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \langle k _ { i j } \rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial x _ { j } } \right) = - \langle k _ { i j } \rangle _ { \mathcal { I B } } \frac { \partial ^ { 2 } P _ { 0 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \equiv 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 0 } \rangle } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle } \\ { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 1 } \rangle } & { { } = ( \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } + 1 ) \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle } \\ { \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i } ^ { 2 } \rangle } & { { } = ( \operatorname* { m i n } _ { \{ f _ { m } \} } + 2 ) \langle \bar { \epsilon } _ { 3 , i m } ^ { 0 } \rangle \, , } \end{array}
{ \frac { d } { d \tau } } \left( { \frac { g _ { \mu \nu } \delta ^ { \mu } { } _ { \lambda } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } \delta ^ { \nu } { } _ { \lambda } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \right) = { \frac { g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \qquad \qquad ( 2 )
\left. \begin{array} { c l l } { { \mathrm { a ~ l o c a l ~ m i n i m u m } } } & { { \phi = 0 } } & { { V ( 0 ) = 0 } } \\ { { \mathrm { a ~ l o c a l ~ m a x i m u m } } } & { { \phi = \phi _ { * } } } & { { V ( \phi _ { * } ) = 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \eta _ { 1 } + \psi _ { M + 1 } } & { = - \varphi _ { t _ { k } , 1 } - \varphi _ { 1 1 } - \varphi _ { r , 1 } - \Omega _ { k , 1 } + \Omega _ { 3 , 1 } , } \\ { \eta _ { m } + \psi _ { M + n } } & { = - \varphi _ { t _ { k } , m } - \varphi _ { m n } - \varphi _ { r , n } - \Omega _ { k , m } + \Omega _ { 3 , n } , } \\ { \eta _ { M } + \psi _ { M + N } } & { = - \varphi _ { t _ { k } , M } - \varphi _ { M N } - \varphi _ { r , N } - \Omega _ { k , M } + \Omega _ { 3 , N } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { H \left\vert \begin{array} { c } { { E , \left[ n \right] } } \\ { { \left[ q \right] } } \end{array} \right> = E \left\vert \begin{array} { c } { { E , \left[ n \right] } } \\ { { \left[ q \right] } } \end{array} \right> , } } \\ { { { U } _ { k } \left\vert \begin{array} { c } { { E , \left[ n \right] } } \\ { { \left[ q \right] } } \end{array} \right> = \left( n _ { k } + p _ { k } ^ { \mathrm { m i n } } \right) \left\vert \begin{array} { c } { { E , \left[ n \right] } } \\ { { \left[ q \right] } } \end{array} \right> , \quad k = 1 , \ldots , N - 1 , } } \end{array}