harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
x _ { k } = \left( d _ { u _ { k } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M + \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M \right) + d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left( k ^ { 2 } - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \omega ^ { 2 } \right) \phi _ { 0 } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \omega \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) + i \frac { \sigma } { \varepsilon } \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } - \frac { k ^ { 2 } } { \omega } \phi _ { 0 } \right) , } \\ { \left( k ^ { 2 } - \mu \varepsilon \omega ^ { 2 } \right) \mathbf { A } _ { 0 } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) \mathbf { k } + \mu \varepsilon \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } - 1 \right) \omega \mathbf { k } \phi _ { 0 } } \\ & { } & { + i \mu \sigma \left( \omega \mathbf { A } _ { 0 } - \mathbf { k } \phi _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \gamma ) } & { { } \propto { \sqrt { I ( \gamma ) } } = { \sqrt { \operatorname { E } \! \left[ \left( { \frac { d } { d \gamma } } \log f ( x \mid \gamma ) \right) ^ { 2 } \right] } } = { \sqrt { \operatorname { E } \! \left[ \left( { \frac { H } { \gamma } } - { \frac { T } { 1 - \gamma } } \right) ^ { 2 } \right] } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 4 / l _ { n } \cdot ( t - d _ { n } ) } } \cdot \Delta \gamma _ { n } } \\ { \Delta \gamma _ { n } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { \Delta \gamma } \right) \quad \forall n } \\ { \sigma _ { \Delta \gamma } } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } \left( 0 . 5 \right) } \\ { l _ { n } } & { = \log \left( 1 + \exp ( l _ { n } ^ { \dagger } ) \right) } \\ { l _ { n } ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( 4 , 1 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ( u n i t ~ i s ~ d a y s ) } } \\ { d _ { n } } & { = 2 7 ^ { \mathrm { t h } } \mathrm { ~ M a y ~ 2 0 2 1 } + 1 0 \cdot n + \Delta d _ { n } \quad \mathrm { f o r ~ } n = { 0 , \dots , 9 } } \\ { \Delta d _ { n } } & { \sim \mathcal { N } \left( 0 , 3 . 5 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ( u n i t ~ i s ~ d a y s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z = \sum _ { ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } e ^ { - \beta E ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } = \sum _ { s _ { 1 } } \sum _ { s _ { 2 } } e ^ { - \beta \big ( E _ { 1 } ( s _ { 2 } ) + E _ { 2 } ( s _ { 2 } ) \big ) } = \sum _ { s _ { 1 } } e ^ { - \beta E _ { 1 } ( s _ { 1 } ) } \sum _ { s _ { 2 } } e ^ { - \beta E ( s _ { 2 } ) } = Z _ { 1 } Z _ { 2 } } \end{array}
\Theta _ { \; x } ^ { x } = L ^ { 2 } \left( { \frac { T _ { ( 1 , q ) } \, u ^ { 4 } } { \sqrt { u ^ { 4 } + { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } - q T _ { \mathrm { F } } \, u ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { \phi _ { \jmath } ^ { R + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Delta x ^ { 2 } \left[ n _ { i } - n _ { e 0 } \left( 1 + \frac { q _ { e } \phi ^ { R } } { ( \kappa _ { e } - \frac { 3 } { 2 } ) k _ { B } T _ { e } } \right) ^ { - \kappa _ { e } + \frac { 1 } { 2 } } \right. \right. } \\ { \left. \left. + n _ { p 0 } \left( 1 + \frac { q _ { p } \phi ^ { R } } { ( \kappa _ { p } - \frac { 3 } { 2 } ) k _ { B } T _ { p } } \right) ^ { - \kappa _ { p } + \frac { 1 } { 2 } } \right] _ { \jmath } + \phi _ { \jmath + 1 } ^ { R } + \phi _ { \jmath - 1 } ^ { R + 1 } \right] . } \end{array}
\{ b ( \tilde { p } , h , x ^ { + } ) , b ^ { \dagger } ( \tilde { q } , h ^ { \prime } , y ^ { + } ) \} _ { x ^ { + } = y ^ { + } } = 2 p ^ { + } \delta ^ { 3 } ( \tilde { p } - \tilde { q } ) \delta _ { h h ^ { \prime } } = \{ d ( \tilde { p } , h , x ^ { + } ) , d ^ { \dagger } ( \tilde { q } , h ^ { \prime } , y ^ { + } ) \} _ { x ^ { + } = y ^ { + } } ~ ~
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { S _ { k } } \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { k } , \| x \| = 1 } ( A x , x ) } & { = \lambda _ { k } ^ { \downarrow } , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { S _ { k - 1 } } \operatorname* { m a x } _ { x \in S _ { k - 1 } ^ { \perp } , \| x \| = 1 } ( A x , x ) } & { = \lambda _ { k } ^ { \downarrow } . } \end{array} }
U _ { i } ( S ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } ) = F _ { i } ( S ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } ) - G _ { i } ( S ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { c } } ) , ~ ~ \forall S \subset { \mathcal { I } / i } ,
\omega ( x , y , 0 ) = \exp \left( - \rho \left[ ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] \right) + \exp { \left( - \rho \left[ ( x - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \right) } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { W _ { 1 } } } & { = \sqrt { \operatorname { E } [ W _ { 1 } ^ { 2 } ] - ( \operatorname { E } [ W _ { 1 } ] ) ^ { 2 } } = \sigma ^ { 2 } ( 1 + 2 | s | ^ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { C _ { 2 } } } & { = \sqrt { \operatorname { E } [ C _ { 2 } ^ { 2 } ] - ( \operatorname { E } [ C _ { 2 } ] ) ^ { 2 } } = \sqrt { P ( 1 - P ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } } } & { = - s _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \sum _ { j \neq i } \frac { p _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } { \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } } } \\ { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , i n } } } & { = - s _ { i } ^ { \leftrightarrow , i n } + \sum _ { j \neq i } \frac { p _ { i j } ^ { \leftrightarrow } } { \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , i n } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , o u t } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S \left( { \boldsymbol { \beta } } + { \boldsymbol { \delta } } \right) } & { { } \approx \left\| \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) - \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } \right\| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \lambda \times \lambda ) \circ \lambda \circ \mathsf { S } \left( c ^ { \times } \right) = } \\ & { = \left\langle \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) \circ \mathsf { S } \left( c ^ { \times } \right) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 6 } ) \circ \partial \circ \mathsf { S } \left( c ^ { \times } \right) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } ) \circ \partial \circ \mathsf { S } \left( c ^ { \times } \right) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } + \pi _ { 1 0 } + \pi _ { 1 6 } ) \circ \partial \circ \partial \circ \mathsf { S } \left( c ^ { \times } \right) \right\rangle } \\ & { = ~ \left\langle \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 6 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } + \pi _ { 1 0 } + \pi _ { 1 6 } ) \circ \mathsf { S } ( \left\langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 3 } , \pi _ { 2 } , \pi _ { 4 } \right\rangle ) \circ \partial \circ \partial \right\rangle } \\ & { = ~ \left\langle \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 6 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } + \pi _ { 1 0 } + \pi _ { 1 6 } ) \circ \partial \circ \partial \right\rangle } \\ & { = ~ c ^ { \times } \circ \left\langle \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 6 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } + \pi _ { 1 0 } + \pi _ { 1 6 } ) \circ \partial \circ \partial \right\rangle } \\ & { = ~ c ^ { \times } \circ ( \lambda \times \lambda ) \circ \lambda } \end{array}
\begin{array} { r l } { S G 2 \rightarrow G 1 : } & { { } \ \ [ \Delta t _ { s } \geq T _ { S G 2 } ] \ , } \\ { G 1 \rightarrow Q : } & { { } \ \ [ \Delta t _ { s } \geq T _ { G 1 } ] \ , } \\ { Q \rightarrow H : } & { { } \ \ [ u _ { n } < u _ { n } ^ { H } ] \ , \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { H \rightarrow Q : } & { { } \ \ [ u _ { n } \geq u _ { n } ^ { H } ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } ^ { s } } \\ { \sigma _ { y y } ^ { s } } \\ { \sigma _ { z z } ^ { s } } \\ { \sigma _ { x y } ^ { s } } \\ { \sigma _ { x z } ^ { s } } \\ { \sigma _ { y z } ^ { s } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { ( \lambda + 2 \mu ) } & { \lambda } & { \lambda } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \lambda } & { ( \lambda + 2 \mu ) } & { \lambda } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \lambda } & { \lambda } & { ( \lambda + 2 \mu ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } ^ { s } } \\ { \varepsilon _ { y y } ^ { s } } \\ { \varepsilon _ { z z } ^ { s } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } ^ { s } } \\ { 2 \varepsilon _ { x z } ^ { s } } \\ { 2 \varepsilon _ { y z } ^ { s } } \end{array} \right] } \end{array}
\Delta _ { r , s } = \frac { ( P ^ { \prime } r - P s ) ^ { 2 } - ( P ^ { \prime } - P ) ^ { 2 } } { 4 N P ^ { \prime } P } = \frac { [ ( N + N ^ { \prime } + 2 ) r - ( N ^ { \prime } + 2 ) s ] ^ { 2 } - N ^ { 2 } } { 4 N ( N + N ^ { \prime } + 2 ) ( N ^ { \prime } + 2 ) } .
\begin{array} { r l } { U ^ { * } ( s _ { 0 } ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { 0 } , \pi _ { 1 } } \, \mathbb { E } \Bigl [ r ( s _ { 0 } , \pi _ { 0 } ) + \gamma \, r ( s _ { 1 } ( \pi _ { 0 } ) , \pi _ { 1 } ) + \gamma ^ { 2 } \, U ^ { * } ( s _ { 2 } ( \pi _ { 0 } , \pi _ { 1 } ) ) \Bigr ] } \\ & { = \mathbb { E } \Bigl [ r ( s _ { 0 } , \nu ) + \gamma \, r ( s _ { 1 } ( \nu ^ { * } ) , \nu ^ { * } ) + \gamma ^ { 2 } \, U ^ { * } ( s _ { 2 } ( \nu ^ { * } , \nu ^ { * } ) ) \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } - d _ { 1 } ^ { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 r _ { t } \gamma _ { t } \Delta _ { t } \leq } & { D _ { \tau } r _ { \tau } \alpha _ { 2 } \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } \right) \log \frac { 4 } { \delta } + r _ { \tau } ^ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 3 2 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } \right) \log \frac { 4 } { \delta } } \\ & { + 4 D _ { \tau } r _ { \tau } \alpha _ { 2 } \log ( 4 / \delta ) W + r _ { \tau } ^ { 2 } \left( 8 0 \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \log ( 4 / \delta ) + 2 \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \right) W } \\ { = } & { D _ { \tau } r _ { \tau } \alpha _ { 2 } \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 4 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } + r _ { \tau } ^ { 2 } \left[ 2 \alpha _ { 1 } ^ { 2 } W + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 3 2 } { 3 } + 8 \sqrt { 5 W } + 8 0 W \right) \log \frac { 4 } { \delta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ m m \} } [ \left| a \middle > \middle < a \right| ] = 3 ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 } ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ( \lambda _ { x } \lambda _ { y } ) ^ { 2 a } \Bigg ( \bigg ( \sum _ { m = 0 , m \neq a } \lambda _ { x } ^ { 4 m } \Gamma ( \{ m , m \} ) _ { 1 , 1 } + \lambda _ { x } ^ { 4 a } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \Gamma ( \{ a , a \} ) _ { i , j } \bigg ) \left| a \middle > \middle < a \right| + } \\ { \sum _ { m = 0 , m \neq a } \lambda _ { x } ^ { 4 m } \sum _ { i = \{ 2 , 3 \} } \Gamma ( \{ m , m \} ) _ { i , i } \left| m \middle > \middle < m \right| \Bigg ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l r l } { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { D ( \tilde { \mathcal { C } _ { r } } ( \mathcal { P } ) ) = \operatorname* { m a x } _ { \sigma \in \mathrm { M E } ( A ; B ) } D ( \tilde { \mathcal { C } _ { r } } ( \mathcal { P } ) \| \sigma ) } \\ { \stackrel { ( a ) } { \le } } & { \operatorname* { m a x } _ { \sigma \in \mathrm { M E } ( A ; B ) } \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \mathcal { C } _ { r } ^ { ( 0 ) \ast } ( \mathcal { P } ) } \| \rho - \sigma \| _ { 1 } \stackrel { ( b ) } { \le } 2 \sqrt { \cfrac { 2 r } { 2 r + 1 } } . } \end{array}
\frac { \Lambda _ { e f f ( 1 ) } ^ { \mp } } { 6 M ^ { 3 } } = - \frac { \Lambda _ { e f f ( 2 ) } ^ { \pm } } { 6 M ^ { 3 } } = \mp \sqrt { \frac { - \Lambda _ { e f f } ^ { ( b ) } } { 6 M ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l } & { | \Psi _ { 1 } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle = \binom { u _ { 1 } ^ { ( b ) } } { v _ { 1 } ^ { ( b ) } } = \frac { \mathrm { s e c h } \sigma } { \sqrt { 2 } } \binom { 1 } { - 1 } , } \\ & { | \Psi _ { 2 } ^ { ( b ) } ( \sigma ) = \binom { u _ { 2 } ^ { ( b ) } } { v _ { 2 } ^ { ( b ) } } = \frac { \mathrm { s e c h } \sigma } { \sqrt { 2 } } \binom { 1 } { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Omega } } & { = \hbar ^ { - 2 } \Bigl | \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } e ^ { - i t ( \omega - \Omega / 2 ) } \langle \Phi | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } | \Psi \rangle \Bigr | ^ { 2 } - \hbar ^ { - 2 } \Bigl | \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( 2 \omega - \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } } \\ & { \times e ^ { - i t ( \omega + \Omega / 2 ) } \langle \Phi ^ { \prime } | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } | \Psi \rangle \Bigr | ^ { 2 } , } \\ { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega \approx \Omega } } & { = - 2 \hbar ^ { - 2 } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } \langle \tilde { \Phi } | - e \mathbf { r } \cdot ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) \mathbf { E } _ { \omega } / 3 | \tilde { \Psi } \rangle e ^ { - i t ( \omega - \Omega / 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } \tau \: e ^ { i ( \mathcal { T } - \tau ) ( \Omega / 2 + i \Gamma / 2 ) } } \\ & { \times \langle \Psi | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } ^ { \ast } | \Phi \rangle e ^ { i \tau ( \omega - \Omega / 2 ) } + 2 \hbar ^ { - 2 } \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } t \: e ^ { - i ( \mathcal { T } - t ) ( 2 \omega - \Omega / 2 ) } \langle \tilde { \Phi } ^ { \prime } | - e \mathbf { r } \cdot ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) \mathbf { E } _ { \omega } / 3 | \tilde { \Psi } \rangle } \\ & { \times e ^ { - i t ( \omega + \Omega / 2 - i \Gamma / 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { T } } \mathrm { d } \tau \: e ^ { i ( \mathcal { T } - \tau ) ( 2 \omega - \Omega / 2 ) } \langle \Psi | - g \mu _ { B } \mathbf { S } \cdot \mathbf { B } _ { \omega } ^ { \ast } | \Phi ^ { \prime } \rangle e ^ { i \tau ( \omega + \Omega / 2 + i \Gamma / 2 ) } , \quad \Gamma \mathcal { T } \gg 1 , } \end{array}
\Delta _ { D } \leq \operatorname* { m a x } _ { i } ( ( 1 - \frac { 1 } { J } ) \lambda _ { i } | | \bar { \mathbf { u } } | | _ { \Omega } ^ { 2 } + \lambda _ { i } | | \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } ) \leq 0 .
V _ { B ^ { \prime } B } ^ { i a } = \frac { - i } { f ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { ( k \cdot v ) ^ { 2 } } \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { m _ { b b ^ { \prime } } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } ( B ^ { \prime } | X ^ { \mu b } X ^ { i a } X ^ { \nu b ^ { \prime } } | B ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \underline { { \imath } } ^ { * } \Big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \jmath } } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \Big ) = \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \underline { { \imath } } ^ { * } \underline { { \widetilde { \Phi } } } ^ { * } \Big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \jmath } } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \Big ) = \Phi ^ { * } \int _ { ( \Sigma , \partial \Sigma ) } \Big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \jmath } } _ { \mathtt { ( E H ) } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \Big ) } \end{array}
+ [ n _ { 1 } ( n - n _ { 1 } - | m | ) ( n _ { 1 } + | m | + \delta _ { 1 } ) ( n - n _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } U _ { n q m } ^ { n _ { 1 } - 1 } ( R ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } )
{ \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \int w ( z ) \, d z = { \frac { \operatorname { e r f } ( z ) } { 2 } } + { \frac { i z ^ { 2 } } { \pi } } \, _ { 2 } F _ { 2 } \left( 1 , 1 ; { \frac { 3 } { 2 } } , 2 ; - z ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { c } \dot { q } _ { a b } } & { { } = \nabla _ { c } \left( \frac { D } { D t } { q } _ { a b } \right) = \nabla _ { c } \partial _ { t } q _ { a b } + \nabla _ { c } v _ { d } \nabla _ { d } q _ { a b } + v _ { d } \nabla _ { c } \nabla _ { d } q _ { a b } } \end{array}
g _ { t r } = \rho \left( \frac { \lambda _ { t r } } { \pi } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \lambda _ { t r } { \vec { c } } ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda _ { t r } } { \pi } \right) e ^ { - \lambda _ { t r } { \vec { \xi } } ^ { 2 } } \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } e ^ { - \frac { 4 \lambda _ { v } } { K _ { v } ( \lambda _ { v } ) } \varepsilon _ { v } } .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \psi _ { n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \psi _ { n } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } _ { n } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { d _ { i } \Psi _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n } } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + \gamma ^ { - 1 } N _ { n } ^ { \tau } \mathfrak { M } _ { d _ { i } \mathcal { R } _ { n } ( i _ { 0 } ) [ i \hat { ] } } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } | \nabla u ^ { + } | ^ { p - 2 } \nabla u ^ { + } \cdot \nabla \varphi \, d x } & { = \int _ { \{ u > 0 \} } | \nabla u ^ { + } | ^ { p - 2 } \nabla u ^ { + } \cdot \nabla \varphi \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon _ { k } \to 0 } \int _ { \{ u > \epsilon _ { k } \} } | \nabla u ^ { + } | ^ { p - 2 } \nabla u ^ { + } \cdot \nabla \varphi \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon _ { k } \to 0 } \int _ { \{ u = \epsilon _ { k } \} } | \nabla u ^ { + } | ^ { p - 2 } \left( \nabla u ^ { + } \cdot \frac { - \nabla u } { | \nabla u | } \right) \varphi \, d x } \\ & { \qquad \quad \, - \int _ { \{ u > \epsilon _ { k } \} } \Delta _ { p } u \, \varphi \, d x } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { \epsilon _ { k } \to 0 } \int _ { \{ u = \epsilon _ { k } \} } | \nabla u ^ { + } | ^ { p - 1 } \varphi \, d x \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } [ \xi _ { 2 } ( u , \beta ) ] } \\ & { \approx \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \exp { ( - K _ { z , \beta } \, \pi \lambda u ^ { 2 } ) } } { 1 + z } } \\ & { \qquad \mathrm \times \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } r \mathrm { e } ^ { - \pi \lambda \big \{ ( 1 + K _ { z , \beta } ) r ^ { 2 } - 2 K _ { z , \beta } \, u r \cos \theta \big \} } \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } z , } \end{array}
\int { \frac { x \, d x } { 1 + \sin a x } } = { \frac { x } { a } } \tan \left( { \frac { a x } { 2 } } - { \frac { \pi } { 4 } } \right) + { \frac { 2 } { a ^ { 2 } } } \ln \left| \cos \left( { \frac { a x } { 2 } } - { \frac { \pi } { 4 } } \right) \right| + C
\Gamma = { \frac { 2 \lambda \mu + \tau _ { 0 } - \sqrt { 4 \lambda ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + 4 \lambda \mu \tau _ { 0 } + \tau _ { 0 } ^ { 2 } - 8 \sigma ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \log 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } } .
\omega _ { C } > 0 , \qquad \omega _ { N } > 0 , \qquad \omega _ { S } < 0 \qquad \textnormal { a n d } \qquad 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) > \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r l } { \| \check { u } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( S _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) } } & { \leqslant 2 | ( \check { u } _ { h } , \varphi ) | } & & { \mathrm { ( h e r e ~ w e ~ h a v e ~ u s e d ~ ) } } \\ & { = 2 | ( \check { u } _ { h } - u , \varphi ) + ( u , \varphi ) | } \\ & { = 2 | ( A _ { h } \nabla ( \check { u } _ { h } - u ) , \nabla v ) + ( u , \varphi ) | } & & { \mathrm { ( h e r e ~ w e ~ h a v e ~ u s e d ~ ) } } \\ & { = 2 | ( A _ { h } \nabla \check { u } _ { h } , \nabla v ) + ( u , \varphi ) | } & & { \mathrm { ( h e r e ~ w e ~ h a v e ~ u s e d ~ ) } } \\ & { \leqslant 2 | ( A _ { h } \nabla \check { u } _ { h } , \nabla v ) | + 2 \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 1 } ( S _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) } } & & { \mathrm { ( s i n c e ~ \mathrm { ~ s u p p } ( \varphi ) \subset ~ S _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ~ ) } } \\ & { \leqslant 2 | ( A _ { h } \nabla \check { u } _ { h } , \nabla v ) | + C \rho ^ { \frac { N } 2 } \| \check { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( S _ { \rho } ( x _ { 0 } ) ) } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \left( - 2 \Lambda \right) + { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } } \left\{ c _ { N / 2 + 2 } \Lambda ^ { N / 2 + 2 } r ^ { N } \right\} = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 0 } } } \left( - 2 \Lambda _ { 0 } \right) ,
\Gamma ( P _ { 8 } ^ { M \; 0 } \longrightarrow t \bar { t } ) \approx \frac { m _ { t } ^ { 2 } M _ { P } N _ { D } } { 4 \pi v ^ { 2 } } \left( 1 - 4 \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { - ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { v } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } } & { = ( \vec { j } _ { a } , \vec { v } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - ( \varepsilon \vec { \psi } , \vec { v } ( 0 , \cdot ) ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}