harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\ell _ { a } = ( \nu _ { a } , e _ { a } , E _ { a } ^ { -- } ) ^ { T } : ( 1 , 3 , - 1 ) , \quad e _ { a } ^ { c } : ( 1 , 1 , 1 ) , \quad E _ { a } ^ { + + } : ( 1 , 1 , 2 ) ,
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { h f } } = - \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 4 \pi } } & { } & { \int d ^ { 3 } r \left[ \frac { 8 \pi \delta ^ { 3 } \left( \mathbf { r } \right) } { 3 } \mathbf { M } \left( \mathbf { r } \right) \cdot \mathbf { I } \right. } \\ & { } & { + \left. \frac { 3 \left( \mathbf { M } \left( \mathbf { r } \right) \cdot \hat { \mathbf { r } } \right) \left( \mathbf { I } \cdot \hat { \mathbf { r } } \right) - \mathbf { M } \left( \mathbf { r } \right) \cdot \mathbf { I } } { r ^ { 3 } } \right] , } \end{array}
\langle { \cal T } _ { j _ { 1 } . m _ { 1 } } ^ { + } ( 0 ) { \cal T } _ { j _ { 2 } . m _ { 2 } } ^ { + } ( 1 ) \tilde { \cal T } _ { j _ { 3 } . m _ { 3 } } ^ { - } ( \infty ) \rangle \quad ,
\begin{array} { r l } { P _ { + } } & { = \frac { \gamma _ { 0 } } { \xi + \gamma _ { 0 } } \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } , P _ { - } = \frac { \xi } { \xi + \gamma _ { 0 } } \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } , } \\ { v _ { 0 } } & { = \frac { 2 B _ { 0 } } { \mu _ { 0 } e n _ { 0 } \delta } = 2 \sqrt { \frac { m \sigma c ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n _ { 0 } \delta ^ { 2 } } } , \gamma _ { 0 } = \left( 1 - \frac { 4 m \sigma } { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } n _ { 0 } \delta ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
X _ { \hat { H } ^ { ( q ) } } = \dot { \hat { I } } _ { 1 } ^ { ( q ) } \frac { \partial } { \partial I _ { 1 } } + \ldots \dot { \hat { I } } _ { n } ^ { ( q ) } \frac { \partial } { \partial I _ { n } } + \dot { \hat { \phi } } _ { 1 } ^ { ( q ) } \frac { \partial } { \partial \phi _ { 1 } } + \ldots + \dot { \hat { \phi } } _ { n } ^ { ( q ) } \frac { \partial } { \partial \phi _ { n } } .
< \psi _ { f } | e ^ { - i / \hbar ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } | \psi _ { i } > = i \delta _ { n , m } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \lambda \, \tilde { \psi } _ { f } ^ { * } ( \lambda ) \, e ^ { - i / \hbar \lambda ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ( \hbar \omega ( n + 1 / 2 ) - \Lambda ) } \, \tilde { \psi } _ { i } ( \lambda ) \ ,
\begin{array} { r } { \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n + 1 ) - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) = \sum _ { r } \left( \sum _ { ( a \mu , b \nu ) \neq ( i \alpha , j \beta ) } \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n ) \omega _ { ( a \mu , b \nu \rightarrow i \alpha , j \beta | r ) } - \Pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) \right) p ( r u l e = r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Xi _ { 1 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) } & { = } & { \delta ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \, , } \\ { \Xi _ { 2 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) } & { = } & { \delta ( \tilde { x } , \tilde { y } ) + q _ { \mathrm { e } } G \, \Lambda ( \tilde { x } , \tilde { y } ) I _ { 2 } \, , } \\ { \Xi _ { 3 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) } & { = } & { \delta ( \tilde { x } , \tilde { y } ) + q _ { \mathrm { e } } G \, [ \Lambda ( \tilde { x } , \tilde { y } ) I _ { 3 } + \Omega ( \tilde { x } , \tilde { y } , I _ { 3 } ) ] \, , } \end{array}
\partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle = \partial _ { \mu _ { g y } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \theta \left[ \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) - \left\langle \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) \right\rangle \right] ^ { 2 }
\Phi _ { 1 } ( k ^ { 2 } ; \mu ) = \frac { \mu } { 2 } \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } , \qquad \Phi _ { 2 } ( k ^ { 2 } ; a ) = \ln \left( 1 - e ^ { - a \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s \ p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s \ \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) = \left[ \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) \right] _ { 0 } ^ { \infty } - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } \ \frac { \mathrm { d } \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) } { \mathrm { d } s } = } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } P _ { S , u _ { f } | u _ { 0 } } ( s ) = \frac { 1 } { 2 } \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\tilde { a } ^ { c } \; \psi _ { \alpha \beta ( \Gamma ) } ( \{ \theta ^ { a } \} ) : = ( - 1 ) ^ { \tilde { f } ( d , c ) } ( \gamma ^ { c } ) _ { \alpha \gamma } \psi _ { \gamma \beta ( \Gamma ) } ( \{ \theta ^ { a } \} ) ,
E = \int \left( \frac { e ^ { - \omega k _ { F } ( \mathbf { r } ) | \mathbf { x } | } } { | \mathbf { x } | } - \displaystyle \sum _ { p = 1 } ^ { M } c _ { p } \frac { e ^ { - \omega _ { p } k _ { F } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) | \mathbf { x } | ^ { 2 } } } { | \mathbf { x } | } \right) ^ { 2 } \, d \mathbf { x }
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - { \overline { { x } } } \right) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } ^ { 2 } - 2 x _ { i } { \overline { { x } } } + { \overline { { x } } } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - 2 { \overline { { x } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \overline { { x } } } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - 2 n { \overline { { x } } } ^ { 2 } + n { \overline { { x } } } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - n { \overline { { x } } } ^ { 2 } } \end{array} }
\frac { \partial \bar { \rho } \widetilde { Y _ { k } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \bar { \rho } \widetilde { Y _ { k } } \widetilde { u _ { j } } \right) = - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \overline { { J _ { j , k } } } + { \overline { { J _ { j , k } } } ^ { t } } \right] + \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { F } } \dot { \omega } _ { k } ^ { c } + \dot { \omega } _ { k } ^ { p } \; \mathrm { ~ f o r ~ } k = 1 , N _ { s } \, \mathrm { , }
[ { \boldsymbol { \sigma } } ] \, = \, { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 3 3 } } \\ { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } \end{array} \right] } \, \equiv \, { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 } } \\ { \sigma _ { 2 } } \\ { \sigma _ { 3 } } \\ { \sigma _ { 4 } } \\ { \sigma _ { 5 } } \\ { \sigma _ { 6 } } \end{array} \right] } \, ; \qquad [ { \boldsymbol { \varepsilon } } ] \, = \, { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } \\ { \varepsilon _ { 3 3 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 2 3 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 1 3 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 1 2 } } \end{array} \right] } \, \equiv \, { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 } } \\ { \varepsilon _ { 3 } } \\ { \varepsilon _ { 4 } } \\ { \varepsilon _ { 5 } } \\ { \varepsilon _ { 6 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { X } _ { d } = \left\{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \dotsc , \mathbf { x } _ { N _ { d } } \right\} : \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , N _ { d } } \left[ d ( \mathbf { x } _ { c } , \mathbf { x } _ { i } ) \right] < d ( \mathbf { x } _ { c } , \mathbf { x } _ { j } ) , \ j \in \left\{ N _ { d } + 1 , \dotsc , N \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { t c a } ^ { \prime } = t _ { t c a } + \Delta t } \\ { \Rightarrow \left| \Delta \boldsymbol { r } \right| } & { = \left| \boldsymbol { r } _ { 2 } - \boldsymbol { r } _ { 1 } ^ { \prime } \right| } \\ & { = \left| \boldsymbol { r } _ { 2 , t c a } + \Delta t \boldsymbol { v } _ { 2 , t c a } - \boldsymbol { r } _ { 1 , t c a } ^ { \prime } - \Delta t \boldsymbol { v } _ { 1 , t c a } \right| } \\ & { \mathrm { \quad ~ i s ~ m i n i m u m } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { s } } & { { } = } & { H _ { s , 0 } + H _ { s , 1 } + H _ { s , 2 } } \\ { H _ { s , 0 } } & { { } = } & { \frac { m _ { s } v _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 } + \mu B } \\ { H _ { s , 1 } } & { { } = } & { e _ { s } J _ { s , 0 } \Phi } \\ { H _ { s , 2 } } & { { } = } & { - \frac { m _ { s } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } } | \nabla _ { \perp } \Phi | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { d q ( N , M , { \mathrm { R S , F S } } ) } { d \ln M } = q ( N , M , { \mathrm { R S , F S } } ) \gamma _ { N } ; \; \; \; \gamma _ { N } \equiv d _ { N } a ( M , { \mathrm { R S } } ) + d _ { N } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { F S } ) a ^ { 2 } ( M , { \mathrm { R S } } ) .
\begin{array} { r l } { \Big | \langle D ^ { \alpha } u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + D ^ { \alpha } w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } , D ^ { \alpha } v _ { n } \rangle \Big | } & { \leq C ( \| D ^ { \alpha } u _ { n } \| \| \partial _ { x } v _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } + \| D ^ { \alpha } w _ { n } \| \| \partial _ { z } v _ { n } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } } \\ & { \leq C \| u _ { n } \| _ { W ^ { 2 , \infty } } \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } , } \end{array}
\delta _ { \varepsilon _ { 2 } } \left( x \right) \star \delta _ { \varepsilon _ { 1 } } \left( p \right) = \frac { 1 } { \pi \sqrt { \theta ^ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } } \exp \left( - \left[ \frac { x ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } - 2 i x p \theta + p ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } } { \theta ^ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } \right] \right) ,
\gamma _ { M } ~ \stackrel { \mathrm { ( A ) } } { = } ~ \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \mathfrak { L } ~ \stackrel { \mathrm { ( B ) } } { = } ~ \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \mathfrak { L } ~ \stackrel { \mathrm { ( C ) } } { = } ~ \gamma _ { M } ^ { \ast } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d { s } } { d t } } & { = } & { - \frac { { s } ( 1 - { s } ) } { \tau _ { 0 } } - \beta \left( \frac { s \ln { s } } { \tau _ { 0 } } \right) = - \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } \frac { \partial U ( s ) } { \partial s } } \\ { U _ { S I R } ( s ) } & { = } & { \frac { s ^ { 2 } ( 1 - 2 s / 3 ) } { 2 } + \beta \left[ \frac { s ^ { 2 } ( 2 \ln { s } - 1 ) } { 4 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { { } - \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) + \frac { \sqrt { A + B } } { A } - \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
\varphi _ { p } ^ { o } ( x ) = { \frac { 2 a } { 3 ( 1 + \beta ^ { 2 } ) } } \left[ - \varphi _ { 1 } ^ { h } ( x ) \int _ { 0 } ^ { x } d y \left( h ( y ) \varphi _ { 2 } ^ { h } ( y ) \right) + \varphi _ { 2 } ^ { h } ( x ) \int _ { 0 } ^ { x } d y \left( h ( y ) \varphi _ { 1 } ^ { h } ( y ) \right) \right] ,
u _ { c m } , v _ { c m } , w _ { c m } , L _ { x } ^ { c m } , L _ { y } ^ { c m } , L _ { z } ^ { c m } , L _ { x } , L _ { y } , L _ { z } , E , V , D , C _ { 1 } , C _ { 2 } , C _ { 3 } , C _ { 4 }
\begin{array} { r l } { \rho ^ { - n - 1 } \xi _ { \varepsilon , + } ( B _ { \rho } ) } & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - n - 1 } \int _ { B _ { 2 \rho } ( x ) } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) + \tilde { C } _ { k } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + C \varepsilon ^ { - 1 } \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \tilde { C } _ { k } \rho ^ { 2 k \beta - 2 k } \varepsilon ^ { 2 k } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } + C \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - n - 1 } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) + \tilde { C } _ { k } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + C \left( \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } + \varepsilon ^ { - 1 } \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \varepsilon ^ { 2 k \beta } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - n - 1 } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) + \tilde { C } _ { k , \beta } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } \left( 1 + \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { D } _ { i } ^ { \left( n \right) } = \frac { 1 } { \left( n + 1 \right) ! } \sum _ { \{ i \} _ { n + 1 } \subset V } \prod _ { \omega \in S _ { n + 1 } ^ { \{ i \} } } \mathbf { M } _ { \omega } , } \end{array}
\frac { m _ { M 1 } ^ { 2 } \, t } { 2 \, p } \simeq \frac { A _ { C C } \, t } { 4 \, p } \left( 1 + \cos 2 \vartheta _ { 1 3 } \right) = \frac { V _ { C C } \, t } { 2 } \left( 1 + \cos 2 \vartheta _ { 1 3 } \right)
\begin{array} { r l } { f _ { a , b } ( \tau ) } & { = \frac { 1 - \tau } { 2 } \Bigl ( \cos ( \pi ( a + b ) \tau ) + \cos ( \pi ( a - b ) \tau ) \Bigr ) + \biggr ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { ( a + b ) } \biggr ) \frac { \sin ( \pi ( a + b ) \tau ) } { 2 \pi } } \\ & { + \left\{ \begin{array} { l l } { \Bigl ( \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { a - b } \Bigr ) \frac { \sin ( \pi ( a - b ) \tau ) } { 2 \pi } } & { \mathrm { ~ i f ~ } a \neq b , } \\ { \; \; \; \; \frac { 1 - \tau } { 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \widehat { S } _ { k } ^ { 1 } \right) _ { r q } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \vert f _ { 1 } ( x ) \vert \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( r - q ) x } \mathrm { d } x } \\ & { \simeq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left\vert \operatorname { R e } \left( F _ { n - 1 } ( x ) \right) \right\vert \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( r - q ) x } \mathrm { d } x . } \end{array}
Q = - 4 \chi ( \ln \rho _ { 1 } ) / 3 + \rho _ { 1 } ^ { 4 } / 6 + 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } / 3 - \chi ^ { 1 / 2 } \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta / 3 + 2 \rho _ { 2 } ^ { 4 } / 3 + ( 4 - \chi ) \rho _ { 2 } ^ { 2 } / 3 + 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } / 3 + 2 \chi ^ { 1 / 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta / 3
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( t ) } & { { } = e ^ { - b \frac { \gamma - \gamma _ { 1 } } { \gamma } t } = e ^ { \frac { - b ( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } ) } { \gamma } t } } \\ { P _ { 0 } ( t ) } & { { } = \frac { - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } } e ^ { \frac { - b ( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } ) } { \gamma } t } = \frac { - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } t } } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ } \\ { t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } x _ { 3 } } } \\ { 0 \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ } \\ { t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } x _ { 3 } } \ \ t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } \ } \end{array}
( v _ { 1 } ^ { 0 } , v _ { 2 } ^ { 0 } ) = ( - y _ { 0 } , x _ { 0 } ) f , ~ ~ f = \sqrt { \frac { \beta } { 1 + \beta r ^ { 2 } } } , ~ ~ \beta = \frac { 2 \gamma \alpha e ^ { 1 - r ^ { 2 } } } { 2 \gamma - 1 - \gamma \alpha e ^ { 1 - r ^ { 2 } } } .
\hat { g } _ { M N } d x ^ { M } d x ^ { N } = - n ^ { 2 } ( t , y ) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t , y ) \gamma _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } + b ^ { 2 } ( t , y ) d y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } } & { : = \sum _ { i \le n } \sum _ { k \le \pi _ { i } ( 1 ) } \ln ( 1 + | \operatorname { t a n h } ( \beta \hat { g } _ { i , k } ) | ) \ge 0 \, \, \mathrm { a n d } \, \, Z _ { 2 } : = \sum _ { i \le n } \sum _ { k \le \pi _ { i } ( 1 ) } - \ln ( 1 - | \operatorname { t a n h } ( \beta \hat { g } _ { i , k } ) | ) \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { \lambda ^ { \prime } } \frac { 4 \pi c ^ { 2 } } { \eta _ { 0 } } \int _ { 0 ^ { + } } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \frac { 1 } { ( \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) \sigma ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 3 } ) = \sigma ( \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 3 } ) \sigma ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } ) , \qquad \forall \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 3 } \in \pi _ { 1 } ( X )
\int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, \eta x \right) d x = { \frac { \eta ^ { - s } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma ( b _ { j } + s ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( 1 - a _ { j } - s ) } { \prod _ { j = m + 1 } ^ { q } \Gamma ( 1 - b _ { j } - s ) \prod _ { j = n + 1 } ^ { p } \Gamma ( a _ { j } + s ) } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { P } ( t ) } & { { } = } & { [ 1 - f ( t ) ] \sum _ { n } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes | n \rangle \langle n | + } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { W } ^ { t r o p } ( \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } ) } & { = { \bf G } _ { - } { \bf \Sigma } _ { W } \left( \mu _ { 2 } ( \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } ) - \Phi _ { { \gamma } J ^ { - 1 } \pi _ { W } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ) } ^ { W } \right) } \\ & { = { \bf G } _ { - } { \bf \Sigma } _ { W } \left( \mu _ { 2 } ( \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } ) - S _ { W } \pi _ { W } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { F E N E } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { k \Delta r _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { 2 } \ln \left( 1 - \left( \frac { r - r _ { 0 } } { \Delta r _ { \mathrm { m a x } } } \right) ^ { 2 } \right) } & { \mathrm { i f ~ } r \leq \Delta r _ { \mathrm { m a x } } } \\ { \infty } & { \mathrm { i f ~ } r > \Delta r _ { \mathrm { m a x } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } & { d X _ { t } ^ { i , N } = b _ { t } ( X _ { t } ^ { i , N } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { N } ) \, d t + \sigma _ { t } ( X _ { t ^ { - } } ^ { i , N } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { N } ) \, d Z _ { t } ^ { i } , \quad t \in [ 0 , T ] , \quad i \in \{ 1 , \dots , N \} , } \\ & { \overline { { \mu } } _ { t } ^ { N } : = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \delta _ { X _ { t } ^ { j , N } } , } \\ & { X _ { 0 } ^ { i , N } = \xi ^ { i } , } \end{array} \right.
S _ { I _ { T E S } } ( \omega ) = 4 k _ { B } T _ { 0 } R _ { 0 } ( 1 + \beta ) ^ { 2 } \left| \frac { \partial I } { \partial V } ( \omega ) - I _ { 0 } \frac { \partial I } { \partial P } ( \omega ) \right| ^ { 2 } .
e _ { _ { \mu } } ^ { \; a } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \rho \frac { 1 } { \beta } \cos \phi } } & { { \rho \frac { 1 } { \beta } \sin \phi } } \\ { { 0 } } & { { - \rho \frac { \sin \alpha \theta } { \alpha } \sin \phi } } & { { \rho \frac { \sin \alpha \theta } { \alpha } \cos \phi } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( x _ { 0 } ; \ell _ { \tau } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | \ell _ { \tau } } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\sigma _ { i j } = \mu \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad S _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \, ,
I _ { 2 } ( k = 1 ) = - \frac { 9 \pi } { 8 1 9 2 } K _ { c } \approx - 0 . 0 9 6 8 3 , \; \; \; K _ { c } \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( k _ { c } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 3 } ( k _ { c } ^ { 2 } + 9 ) ^ { 2 } } { ( k _ { c } ^ { 2 } + 1 3 ) \cosh ^ { 2 } \frac { k _ { c } \pi } { 2 } } \approx 2 8 . 0 5 4 9 .
\overline { { \Omega } } ( \theta ) = \omega _ { 1 } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 1 } } + \omega _ { 2 } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 1 } \leqslant \theta < \theta _ { 2 } } + \ldots + \omega _ { M - 1 } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { M - 2 } \leqslant \theta < \theta _ { M - 1 } } + \omega _ { M } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { M - 1 } \leqslant \theta < \pi } ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 0 } } & { = \frac { A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) } { 1 - k r ^ { 2 } } , \quad \Gamma _ { 2 2 } ^ { 0 } = r ^ { 2 } A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) , \quad \Gamma _ { 3 3 } ^ { 0 } = r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, A ( t ) A ^ { \prime } ( t ) , } \\ { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } } & { = \frac { k r } { 1 - k r ^ { 2 } } , \quad \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } = - r ( 1 - k r ^ { 2 } ) , \quad \Gamma _ { 3 3 } ^ { 1 } = - r ( 1 - k r ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta , } \\ { \Gamma _ { 0 1 } ^ { 1 } } & { = \Gamma _ { 1 0 } ^ { 1 } = \frac { A ^ { \prime } ( t ) } { A ( t ) } , \quad \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } = \Gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { r } , \quad \Gamma _ { 3 3 } ^ { 2 } = - \sin \theta \cos \theta , } \\ { \Gamma _ { 0 2 } ^ { 2 } } & { = \Gamma _ { 2 0 } ^ { 2 } = \frac { A ^ { \prime } ( t ) } { A ( t ) } , \quad \Gamma _ { 1 3 } ^ { 3 } = \Gamma _ { 3 1 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { r } , \quad \Gamma _ { 2 3 } ^ { 3 } = \Gamma _ { 3 2 } ^ { 3 } = \cot \theta , } \\ { \Gamma _ { 0 3 } ^ { 3 } } & { = \Gamma _ { 3 0 } ^ { 3 } = \frac { A ^ { \prime } ( t ) } { A ( t ) } . } \end{array}
{ \cal L } = - g _ { 2 } \left\{ \overline { { { \widetilde { H } } } } \left[ v _ { 1 } ( x ) P _ { L } + \mathrm { e } ^ { i \theta _ { \mu } } v _ { 2 } ( x ) P _ { R } \right] \widetilde { W } \right\} + \mathrm { h . c . } ,
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { I V } } } & { { } = \exp \Big \{ \frac { \xi } { 4 } \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \, \left( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) + \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \right) \left( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) + \mathrm { i } \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( p _ { C } ) = } & { { } ~ \exp { \left( - \int { \frac { 2 m ( p _ { C } ) } { v ( p _ { C } ) } } \, \mathrm { d } p _ { C } \right) } } \\ { = } & { { } ~ \exp { \left( - \frac { N } { k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta p _ { C } + C _ { 0 } \right) } } \\ { = } & { { } \left( 1 - \frac { N } { k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta p _ { C } \right) \tilde { C } _ { 0 } + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } ( \tau ) = \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \tau } , ~ \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } ( \tau ) = \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \pi \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } C ^ { - 1 } l _ { \mathrm { ~ W ~ } } ,