harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U _ { a | b c } ^ { - , + } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) = - \int _ { \mathbb { S } _ { 0 } } U _ { a | b c } ^ { - , - } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , t ) * R _ { b c } ( \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) d \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } .
\phi ^ { A } \psi ^ { B } - \phi ^ { B } \psi ^ { A } = \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { 1 } { 2 ! } ( \phi ^ { T } \Gamma ^ { \mu \nu } \psi ) { \Gamma _ { \mu \nu } } ^ { A B } + \frac { 1 } { 6 ! } ( \phi ^ { T } \Gamma ^ { \mu \nu \alpha \beta \lambda \rho } \psi ) { \Gamma _ { \mu \nu \alpha \beta \lambda \rho } } ^ { A B } \right) .
\left( \begin{array} { c c } { ( \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { T } } & { - I } \\ { 0 } & { ( \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } A ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathbf { x } ^ { n + 2 } } \\ { \mathbf { x } ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \mathbf { x } ^ { n } } \end{array} \right)
\bigg \langle \sum _ { j } ( H _ { \infty } W ( n _ { j } ) ) \prod _ { i \not = j } W ( n _ { i } ) + { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { j } \sum _ { i \not = j } n _ { i } n _ { j } W ( n _ { i } + n _ { j } ) \prod _ { k \not = i , j } W ( n _ { k } ) \bigg \rangle = 0
\frac { d } { d \tau } \{ y ^ { T } { \cal L } ( n ) { \cal M } _ { \alpha \beta } { \cal L } ^ { T } \mathrm { p } + n _ { \mu } ( { \cal M } _ { \alpha \beta } ) ^ { \mu \nu } [ y ^ { T } S _ { \nu } \mathrm { p } + \pi _ { \nu } ] \} = 0 .
\begin{array} { r l r } { f _ { T } ( k , \tau ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { \lambda k ^ { 2 } / 4 } } { 2 \pi \beta } \int _ { 0 } ^ { + \infty } r d r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi H _ { Q \gamma } ^ { ( T ) } ( r \cos \phi , r \sin \phi ) e ^ { - i k r \cos ( \phi - \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \phi } } & { { } = \frac { \lambda _ { r e s } } { N _ { d m } } \sum _ { i } ^ { N _ { d m } } L _ { r e s } + \frac { \lambda _ { r e s } } { N _ { b d } } \sum _ { j } ^ { N _ { b d } } \lambda _ { b d } L _ { b d } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d r _ { 0 } \, f _ { 1 } ( r _ { 0 } ) = - \frac { \zeta ( 3 ) } { 1 2 8 \, \pi ^ { 4 } } - \frac { 4 5 \, \zeta ( 3 ) } { 5 1 2 \, \pi ^ { 6 } } + \frac { 1 5 \, \zeta ( 5 ) } { 1 2 8 \, \pi ^ { 6 } }
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l } { 1 ~ } & { { \frac { \mathrm { r a d } } { \mathrm { s } } } } & & { = } & { { \frac { 1 } { 2 \pi } } ~ } & { { \mathrm { H z } } } & & { = } & { { \frac { 6 0 } { 2 \pi } } ~ } & { { \mathrm { r p m } } } \\ { 2 \pi ~ } & { { \frac { \mathrm { r a d } } { \mathrm { s } } } } & & { = } & { 1 ~ } & { { \mathrm { H z } } } & & { = } & { 6 0 ~ } & { { \mathrm { r p m } } } \\ { { \frac { 2 \pi } { 6 0 } } ~ } & { { \frac { \mathrm { r a d } } { \mathrm { s } } } } & & { = } & { { \frac { 1 } { 6 0 } } ~ } & { { \mathrm { H z } } } & & { = } & { 1 ~ } & { { \mathrm { r p m } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { U } ^ { \dagger } \mathbf { h } _ { D } \mathbf { U } = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { h } _ { + + } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { h } _ { -- } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { d \phi _ { L } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \right) ( t , x ) + \sqrt { 2 } d B _ { t } ( x ) } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ( 0 , x ) } & { = \phi ( x ) } & { \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \quad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) , } \end{array}
\sum _ { n = r + 1 } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r + 1 , n ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| = \sum _ { n = r + 1 } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r , k - 1 ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| \prod _ { j = k + 1 } ^ { n } ( q ^ { r + 1 } - j ) .
\Delta t _ { \mathrm { j u m p } } < \frac { \Delta \gamma _ { \mathrm { t } } } { { \dot { \gamma } \left\{ 1 - \left( 0 . 7 6 \frac { S } { \Delta S } \frac { T _ { \mathrm { n l } } } { T _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 6 / 5 } \right\} } }
\begin{array} { r l } & { H _ { J } ( \sigma ( p ) ) - H _ { J ( p ) } ( \sigma ( p ) ) = - \sum _ { \{ i , j \} \in E } ( J _ { i j } - J _ { i j } ( p ) ) \sigma _ { i } ( p ) \sigma _ { j } ( p ) } \\ & { = p \sum _ { \{ i , j \} \in E } J _ { i j } ( p ) \sigma _ { i } ( p ) \sigma _ { j } ( p ) - \sqrt { 2 p - p ^ { 2 } } \sum _ { \{ i , j \} \in E } K _ { i j } \sigma _ { i } ( p ) \sigma _ { j } ( p ) . } \end{array}
( p , q , \alpha , c _ { 0 } , s ) \to \left\{ \begin{array} { c c } { { ( p , i q , i \alpha , i c _ { 0 } , - i s ) } } & { { \mathrm { i f } \; { \underline { { a } } } = 1 } } \\ { { ( p , q , \alpha , c _ { 0 } , s ) } } & { { \mathrm { i f } \; { \underline { { a } } } = 2 } } \\ { { ( i p , - i q , i \alpha , c _ { 0 } , s ) } } & { { \mathrm { i f } \; { \underline { { a } } } = 3 } } \\ { { ( - p , q , i \alpha , c _ { 0 } , s ) } } & { { \mathrm { i f } \; { \underline { { a } } } = 4 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } J ^ { t k _ { 1 } \ldots k _ { q } } + \partial _ { i } J ^ { i k _ { 1 } \ldots k _ { q } } } & { { } = - \ell L ^ { k _ { 1 } \ldots k _ { q } } , } \\ { \partial _ { i } J ^ { t i k _ { 2 } \ldots k _ { q } } } & { { } = \ell L ^ { t k _ { 2 } \ldots k _ { q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { = \mathcal { F } ^ { C } } \\ { \mathcal { F } ^ { 1 } } & { = \varphi _ { 1 } \circ \mathcal { F } _ { 1 } } \\ { \mathcal { F } ^ { k + 1 } } & { = \rho _ { k + 1 } \circ \mathcal { G } _ { k + 1 } ( \mathcal { F } ^ { k } , \ \varphi _ { k + 1 } \circ \mathcal { F } _ { k + 1 } ) . } \end{array}
F : \ { \vec { f } } _ { 0 } - { \frac { { \vec { f } } _ { 1 } \cdot { \vec { f } } _ { 2 } } { 2 f _ { 2 } ^ { 2 } } } { \vec { f } } _ { 1 } + { \frac { f _ { 1 } ^ { 2 } \, f _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 ( f _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { \vec { f } } _ { 2 } .
\mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ E ~ } } \right) = \mathcal { L } \left[ E _ { \gamma } ^ { 0 } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + \frac { 2 E _ { \gamma } ^ { 0 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \right) \right]
- \left( u , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } = \left( - \gamma ( \partial _ { x } u ) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( - \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \right) \partial _ { x } u ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( g _ { 0 } u , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le c \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 4 c } \mathbb { E } [ \| y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le c \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { c } \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } , } \end{array}
\frac { - c _ { 2 } + \sqrt { c _ { 2 } ^ { 2 } - 4 c _ { 1 } c _ { 3 } } } { 2 c _ { 3 } } = \frac { - 2 c _ { 1 } } { c _ { 2 } + \sqrt { c _ { 2 } ^ { 2 } - 4 c _ { 1 } c _ { 3 } } } < - \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } < - \frac { c _ { 1 } } { 0 . 2 E ^ { 2 } } .
\{ b _ { r } ^ { \dagger } , b _ { r ^ { \prime } } \} = \delta _ { r r ^ { \prime } } , ~ ~ ~ \{ d _ { s } ^ { \dagger } , d _ { s ^ { \prime } } \} = \delta _ { s s ^ { \prime } } , ~ ~ ~ \mathrm { o t h e r s ~ v a n i s h } .
x { \overline { { s } } } _ { N } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { Y } \tau _ { Y } \int _ { x } ^ { 1 } d y \, f _ { K Y } ( y ) \, \frac { x } { y } \, { \overline { { s } } } _ { K } ^ { v } ( \frac { x } { y } , Q ^ { 2 } ) \; .
\mathsf E _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - k } \sim \frac { 2 } { ( k - 1 ) ! } \frac { 1 } { ( \sqrt 2 \sigma _ { \hat { P } } ) ^ { k } } ( H _ { k - 1 } ( z _ { \hat { P } } ) \mathcal D ( z _ { \hat { P } } ) - P _ { k - 2 } ( z _ { \hat { P } } ) ) ,
( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { - n / 2 } = \bigg ( 1 - \frac { \bar { y } ^ { 2 } } { n } \bigg ) ^ { - n / 2 } \sim ~ \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad n \to \infty .
( \mathcal { D } ^ { i } ) _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \begin{array} { c c c c } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } & { \frac { x _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { y _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { z _ { i j } } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { f u l l } , } \\ { \{ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { r a d i a l - o n l y } , } \end{array} \right.
f ( T _ { 2 } , T _ { 3 } ) = { \frac { f ( T _ { 1 } , T _ { 3 } ) } { f ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } } = { \frac { 2 7 3 . 1 6 \cdot f ( T _ { 1 } , T _ { 3 } ) } { 2 7 3 . 1 6 \cdot f ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } } .
n _ { \nu } = \frac { d ^ { 4 } N _ { p a i r } } { d t d \omega _ { s } d \Omega _ { i } d \Omega _ { s } } ( \theta _ { i } , \varphi _ { i } , \omega _ { i } , \vec { d } _ { i } ^ { \nu } ; \theta _ { s } , \varphi _ { s } , \omega _ { s } , \vec { d } _ { s } ^ { \nu } )
\sin { ( 2 \phi _ { s } ) } = - \mathrm { I m } \left( { \frac { M _ { 1 2 } ^ { B _ { s } } } { | M _ { 1 2 } ^ { B _ { s } } | } } { \frac { V _ { c b } ^ { L * } V _ { c s } ^ { L } + x _ { L R } V _ { c b } ^ { R * } V _ { c s } ^ { R } } { V _ { c b } ^ { L } V _ { c s } ^ { L * } + x _ { L R } V _ { c b } ^ { R } V _ { c s } ^ { R * } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left( \mathop { \mathbb { E } } [ f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ^ { \star } ] + \frac { L } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { \sigma \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| } { \sqrt { n K } } + \left( \frac { L \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { 1 - \lambda } \right) ^ { 1 / 3 } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \\ & { \quad + \left( \frac { L \lambda ^ { 2 } } { 1 - \lambda } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \varsigma _ { \star } ^ { 2 } } { L ( 1 - \lambda ) } \right) \frac { C } { K } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V o l } ( B ^ { + } ( z ^ { \prime } , d ( z , z ^ { \prime } ) ) ) } & { \geq } & { c e ^ { \frac { d } { 2 } d ( 0 , z ^ { \prime } ) \wedge d ( z , z ^ { \prime } ) } \; \; \mathrm { ~ b y ~ ( ) } } \\ & { \geq } & { c e ^ { \frac { d } { 4 } d ( z , z ^ { \prime } ) } \; \; \mathrm { ~ s i n c e ~ d ( z , z ' ) ~ \leq ~ 2 ~ d ( 0 , z ' ) ~ } } \\ & { \geq } & { c e ^ { \frac { d } { 4 } c ^ { \prime } n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \textsc { G r a d } _ { U , T } ( \mathbf { y } , { \mathbf z } ) } & { = J [ \rho _ { R , d } ] ( { \mathbf x } ) ^ { \top } \widehat \textsc { G r a d } _ { T , U } ( { \mathbf x } , { \mathbf z } ) } \\ & { = J [ \rho _ { R , d } ] ( \rho _ { R , d } ^ { - 1 } ( \mathbf { y } ) ) ] ^ { \top } \widehat \textsc { G r a d } _ { T , U } ( { \mathbf x } , { \mathbf z } ) } \end{array}
\langle { \cal R } _ { c } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { s } ^ { \infty } d t _ { 2 } { \cal R } _ { c } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } ) { \cal W } _ { c } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ; s ) = 6 D s p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { s } ^ { \infty } d t _ { 2 } \left( 1 - \frac { s } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } \right) e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { B _ { t + 1 } - B _ { t } } & { \leq - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } B _ { t } } { 4 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } F _ { t } } { 4 } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } C _ { t } } { \mu } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } E _ { t } } { 2 \mu \gamma } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } D _ { \ell } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } G _ { \ell } } \end{array}
\frac { 1 } { { h } } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { j } } \left[ \frac { \partial \zeta _ { j } } { \partial x _ { i } } J ^ { - 1 } u _ { i } ^ { \star \star \star } \right] = \frac { \partial } { \partial \zeta _ { k } } \frac { \partial \zeta _ { k } } { \partial x _ { i } } \left[ \frac { \partial } { \partial \zeta _ { j } } J ^ { - 1 } \frac { \partial \zeta _ { j } } { \partial x _ { i } } \delta P ^ { { h } } \right]
W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n , t } , \mu ^ { n } ) \lesssim \frac { 1 } { n } + \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } + t \| \rho _ { t + \frac { 1 } { n } } - \rho _ { \frac { 1 } { n } } \| _ { \mathrm { L } ^ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \chi ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ( \mathbf { E } } & { { } : y ) = \sum _ { k = \pm } \left[ H ( \nu _ { k } ) - H ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ) \right] , } \\ { \chi ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ( \mathbf { E } } & { { } : y ) = \sum _ { k = \pm } \left[ H ( \nu _ { k } ) - H ( \nu _ { k } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ) \right] , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } I _ { \Gamma _ { R } } = 0 , \quad \mathrm { i f } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { 0 < \alpha < 1 , - 1 \leqslant \theta \leqslant 1 , } & { 0 \leqslant \varphi _ { 0 } \leqslant \pi - \epsilon } \\ { \alpha = 1 , - 1 < \theta < 1 , } & { 0 \leqslant \varphi _ { 0 } \leqslant \pi - \epsilon , } \\ { 1 < \alpha \leqslant 2 , | \theta | \leqslant 2 / \alpha - 1 , } & { - \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta + \epsilon \leqslant \varphi _ { 0 } \leqslant \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta . } \end{array} \right.
i s c o n n e c t e d . H e n c e f r o m T h e o r e m , t h e m e t h o d o f t r u n c a t i o n w i l l w o r k . W e w i l l n o w v e r i f y t h i s u s i n g t h e a l g o r i t h m w e h a v e d e v e l o p e d ( t h e n o t a t i o n s a r e a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m ) . T h e t a b l e b e l o w g i v e s t h e s y m p l e c t i c e i g e n v a l u e s o f t h e t r u n c a t e d o p e r a t o r
F _ { m } = \left[ { \frac { \mathrm { c o t a n h } ( 2 \pi \omega ) } { \pi \omega ( \omega ^ { 2 } + 1 / 1 6 ) } } \right] ^ { 1 / 2 } e ^ { - { \frac { 3 } { 4 } } p _ { 0 } } \cos \theta _ { 0 } \ ,
\begin{array} { r l } { S } & { { } = { \frac { 2 } { n } } \times \left( { \frac { 2 } { n } } \right) ^ { 2 } + \cdots + { \frac { 2 } { n } } \times \left( { \frac { 2 i } { n } } \right) ^ { 2 } + \cdots + { \frac { 2 } { n } } \times \left( { \frac { 2 n } { n } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
{ \hat { H } } _ { 2 } = \mu _ { 1 } ( t ) { \hat { a } } ^ { \dagger } { \hat { a } } + \mu _ { 2 } ( t ) { \hat { b } } ^ { \dagger } { \hat { b } } + J { \hat { \psi } } ^ { \dagger } { \hat { a } } { \hat { b } } + J ^ { * } { \hat { \psi } } { \hat { a } } ^ { \dagger } { \hat { b } } ^ { \dagger } ,
f \left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right) = { \sqrt { 2 } } , \qquad f \left( - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right) = - { \sqrt { 2 } } .
\frac { \partial \rho ^ { \sigma } } { \partial t _ { 1 } } = - \rho ^ { \sigma } \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial r _ { 1 \alpha } } - u _ { \alpha } ^ { \sigma } \frac { \partial \rho ^ { \sigma } } { \partial r _ { 1 \alpha } } ,
\begin{array} { r l } { T \cdot ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } } & { = \lambda \langle { \boldsymbol v } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } } \\ & { \qquad + \lambda \langle X ^ { T } { \boldsymbol u } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } } \\ & { \qquad + \lambda ^ { 2 } \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \langle { \boldsymbol v } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { c t } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left[ A _ { i } \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi _ { i } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } B _ { i } \phi _ { i } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } C _ { i } \phi _ { i } ^ { 4 } \right] - \frac { 1 } { 4 } C \phi _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { 2 } \; \;
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 1 } } ) } } & { = } & { - \frac { 2 \check { q } _ { 2 } } { 3 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } \, \, , \, \, \mu _ { 2 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 1 } } ) } = \frac { 2 \check { q } _ { 1 } } { 3 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } } \\ { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 2 } } ) } } & { = } & { \frac { 2 } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } \, \, , \, \, \mu _ { 2 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 2 } } ) } = - \frac { 2 } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 ^ { k } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - k } { m _ { 1 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } } & { = \frac { 2 ^ { k } m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { \underline { { \ell + k - 1 } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \underline { { \ell + k } } } } = \frac { 2 ^ { k } ( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } ) ^ { \ell + k - 1 } } { \big ( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \big ) ^ { \ell + k } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { 1 } { m _ { 2 } } } \big ) \Big ) , } \\ { \frac { 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - k - 1 } { m _ { 1 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } } & { = \frac { 2 ^ { k + 1 } m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { \underline { { \ell + k } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \underline { { \ell + k + 1 } } } } = \frac { 2 ^ { k + 1 } ( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } ) ^ { \ell + k } } { \big ( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \big ) ^ { \ell + k + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { 1 } { m _ { 2 } } } \big ) \Big ) , } \end{array}
\frac { 1 } { \pi } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { | D ( \nu , \alpha ) | } { \alpha + \tau } d \alpha \leq \frac { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 1 } ^ { \infty } \omega ( \nu , \alpha ) / \alpha d \alpha } { 1 + \frac { 1 } { \pi } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { \omega ( \nu , \beta ) } { \beta } d \beta } < 1 .
B = \frac 1 { N ! } \epsilon _ { i _ { 1 } . . . i _ { N } } \; Q ^ { i _ { 1 } } . . . Q ^ { i _ { N } } , \ \ \, w i d e t i l d e { B } = \frac 1 { N ! } \epsilon ^ { { \bar { \imath } } _ { 1 } . . . { \bar { \imath } } _ { N } } \;
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } { x _ { z } ( z ) x _ { z t } ( z ) + f \big ( x ( z ) \big ) x _ { t } ( z ) d z } } \\ & { = } & { \left[ x _ { z } x _ { t } \right] _ { z = 0 } ^ { z = \pi } + \int _ { 0 } ^ { \pi } { - x _ { z z } ( z ) x _ { t } ( z ) + f \big ( x ( z ) \big ) x _ { t } ( z ) d z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { \| } } & { = - \sigma \left( i k { \mu _ { \perp } } - i k A _ { t } ^ { \perp } - i \omega A _ { \| } \right) , } \\ { j _ { \perp } } & { = i \omega \sigma A _ { \perp } , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \| } } & { = \Gamma \big ( n _ { \| } - \chi A _ { t } ^ { \| } + i \omega \chi \Phi _ { \| } \big ) - \ell \sigma _ { \ell } \left( i k \mu _ { \ell } - i k \ell \Phi _ { t } ^ { \perp } \right) , } \\ { \ell j _ { \ell } ^ { \perp } } & { = \Gamma \big ( n _ { \perp } - \chi A _ { t } ^ { \perp } + i \omega \chi \Phi _ { \perp } \big ) . } \end{array}
\frac { \partial v } { \partial t } + ( \nabla ^ { \perp } \cdot v ) \cdot u ^ { \perp } + \frac { 1 } { 2 } \nabla ( u \cdot v ) + \frac { 1 } { 2 } \left( ( \nabla v ) ^ { T } u - ( \nabla u ) ^ { T } v \right) = 0 ,
\{ \rho , { \cal Q } \} ^ { ( 3 ) } = \Omega _ { s ^ { \prime } } V _ { - s ^ { \prime } } - \Omega _ { s ^ { \prime } } v _ { - s ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } + \omega _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } \eta _ { - t } \bar { \eta } _ { - s ^ { \prime } } [ G _ { s ^ { \prime } } , v _ { t } ^ { ( 2 ) } ] + i C _ { s ^ { \prime } t } ^ { u } \Omega _ { - s ^ { \prime } } \eta _ { - t } \pi _ { u } ,
\begin{array} { r l r } { N } & { { } \approx } & { \frac { 2 \pi \, R _ { r } \Delta R _ { r } } { A _ { r } } = \frac { E } { \epsilon _ { r } \, \Delta L _ { r } \, A _ { r } } \approx 5 \cdot 1 0 ^ { 7 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \eta } _ { \mathrm { s s } } } & { \triangleq \tilde { \eta } _ { \mathrm { s s } } ^ { \mathrm { x } } + \tilde { \eta } _ { \mathrm { s s } } ^ { \mathrm { y } } } \\ { \eta _ { \mathrm { s s } } } & { \triangleq \eta _ { \mathrm { s s } } ^ { \mathrm { x } } + \eta _ { \mathrm { s s } } ^ { \mathrm { y } } = \tilde { \eta } _ { \mathrm { s s } } N _ { s } ^ { 1 + \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { \gamma } _ { i j } } & { { } = \gamma ^ { - 1 / 3 } \gamma _ { i j } , } & { \phi } & { { } = \frac { 1 } { 1 2 } \log \gamma } \\ { \tilde { A } _ { i j } } & { { } = \gamma ^ { - 1 / 3 } \left( K _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \gamma _ { i j } K \right) , } & { \hat { K } } & { { } = K - 2 \Theta } \\ { \tilde { \Gamma } ^ { i } } & { { } = 2 \tilde { \gamma } ^ { i j } Z _ { j } + \tilde { \gamma } ^ { i j } \tilde { \gamma } ^ { k l } \partial _ { l } \tilde { \gamma } _ { j k } , } & { \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { i } } & { { } = \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { i } \tilde { \gamma } ^ { j k } } \end{array}
\partial _ { \nu } G _ { a } ^ { \nu \mu } + g \varepsilon ^ { a b c } G _ { b } ^ { \mu \nu } A _ { \nu } ^ { c } + \frac { m } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \alpha \beta } G _ { \alpha \beta } ^ { a } + g ^ { \mu 0 } \Pi _ { 0 0 } A _ { 0 } ^ { a } = 0 .
\begin{array} { r l } { I ( 2 ^ { k } ) } & { { } \leq 2 ^ { k } I ( 1 ) + 6 c ( \alpha ^ { k - 1 } + 2 \alpha ^ { k - 2 } + \cdots + 2 ^ { k - 1 } \alpha ^ { 0 } ) + k 2 ^ { k + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v e c } \left( R ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } \vec { v } \right) = } & { Q ( z ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { d } \Gamma _ { i } ^ { T } \otimes z ^ { i } I _ { n } \right) ^ { - 1 } \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) } \\ { = } & { \left( \left( R ^ { T } ( z ) \right) ^ { - 1 } \otimes I _ { n } \right) \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) = \mathrm { v e c } \left( \mathbf { v } ( R ( z ) ) ^ { - 1 } \right) , } \end{array}