harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } = } & { - 4 { \bf { Q } } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } ) ( { \bf { I } } ^ { k } - \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } ) , } \\ { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } = } & { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } _ { x } ^ { k } } ^ { T } + j \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } _ { y } ^ { k } } ^ { T } , } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 0 ) } + { \cal L } ^ { ( 2 ) } = - \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } T r ( { \tilde { L } } _ { \mu } ^ { 2 } ) + \frac 1 4 \, T r \left( { \tilde { D } } _ { \mu } \pi \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 6 } \, T r ( [ { \tilde { L } } _ { \mu } , \pi ] ) ^ { 2 } \ ,
{ \mathcal R } _ { M } ^ { \dagger } ( x , \vec { k } _ { \perp } , m ) = \frac { m + x M _ { 0 } - i \sigma ( \hat { n } \times \hat { k } ) } { \sqrt { ( m + x M _ { 0 } ) ^ { 2 } + \vec { k } _ { \perp } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 1 } = 1 2 . 1 9 7 2 \left( \frac { \tau _ { T } } { \tau _ { q } } - 1 \right) ^ { 2 } + 0 . 0 0 0 3 ; \quad d _ { 1 } = 2 4 . 3 9 4 4 . } \end{array}
\Delta ^ { + } = \frac { - \sqrt { 2 } } { \pi } ~ \psi _ { 1 } ( 1 - 3 \psi _ { 2 } ^ { * } \psi _ { 2 } ) = \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } ~ \psi _ { 1 } ( 2 - 3 \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { e \, v _ { k } ^ { a } = } & { \sqrt { \frac { a } { 2 } \left( \frac { a } { 2 } + 1 \right) - \left( \frac { a } { 2 } - k + 1 \right) \left( \frac { a } { 2 } - k \right) } v _ { k - 1 } ^ { a } , } \\ { h \, v _ { k } ^ { a } = } & { ( a - 2 k ) v _ { k } ^ { a } , } \\ { f \, v _ { k } ^ { a } = } & { \sqrt { \frac { a } { 2 } \left( \frac { a } { 2 } + 1 \right) - \left( \frac { a } { 2 } - k - 1 \right) \left( \frac { a } { 2 } - k \right) } v _ { k + 1 } ^ { a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { R } } } & { ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { 4 } \Re ( { \mathfrak { X } } _ { * } \uppsi _ { m } \cdot \rho ^ { 2 } \overline { { F } } _ { \xi } ) \, d \sigma d r d t } \\ { \leq } & { \: C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } r ^ { - 1 } | { \mathfrak { X } } _ { * } \psi _ { m } | ( | \rho ^ { 2 } F _ { \xi } | + | \rho ^ { 2 } G _ { m } | ) \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: C \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 0 } [ \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r d \tau + C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \eta ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { - 1 - \epsilon } | { \mathfrak { X } } _ { * } \psi _ { m } | ^ { 2 } } \\ { + } & { \: \eta ^ { - 1 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } r ^ { - 1 + \epsilon } | \rho ^ { 2 } G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\Phi _ { \left( k \right) } \left( \tau , \theta ^ { + } , \theta ^ { - } \right) = q _ { 0 \left( k \right) } \left( \tau \right) + \theta ^ { + } \lambda _ { - } W ^ { - k } + \theta ^ { - } \lambda _ { + } W ^ { k } + \theta ^ { + } \theta ^ { - } \left( - W + \nu \frac { W ^ { \prime } } { 2 W } \right) .
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { l } \right| \, , } \\ { \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, \vec { u } _ { k } + m _ { l } \, \vec { u } _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho \textbf { u } \right) = 0 } \\ & { \frac { \partial \rho \textbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho \textbf { u } \otimes \textbf { u } \right) + \nabla p = \nabla \cdot \boldsymbol { \tau } - \textbf { f } _ { q s } } \\ & { \frac { \partial \rho E } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \left( \rho E + p \right) \textbf { u } \right) - \nabla \cdot \left( \kappa \nabla T \right) = \nabla \cdot \left( \textbf { u } \cdot \boldsymbol { \tau } \right) - g _ { q s } - q } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow \ } & { { } ( - x - 1 ) \ 3 ^ { - x - 1 } = - { \frac { 1 } { 6 } } } \\ { \Leftrightarrow \ } & { { } ( \ln 3 ) ( - x - 1 ) \ e ^ { ( \ln 3 ) ( - x - 1 ) } = - { \frac { \ln 3 } { 6 } } } \end{array}
e = \frac { i } { 2 } \left\{ d \tau + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { S _ { a } } { 2 i } \left( { \tt \frac { 1 } { z - z _ { a } } } d z - { \tt \frac { 1 } { \bar { z } - \bar { z } _ { a } } } d \bar { z } \right) \right\} \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) + \frac { i } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { d z } } \\ { { d \bar { z } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, ,
\mathrm { ~ A ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) = \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) \Bigg ( 1 - \frac { \sigma _ { n } } { \hphantom { e } \vphantom { \bigg | } \sqrt { \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } [ t ] + \sigma _ { n } ^ { 2 } } \hphantom { e } } \Bigg ) ,
\Gamma ( \Lambda _ { b } \rightarrow \Lambda \gamma ) = 1 . 4 5 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \mathrm { M e V } ; ~ ~ \Gamma ( \Xi _ { b } \rightarrow \Xi \gamma ) = 2 . 1 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \mathrm { M e V } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } L _ { c } ^ { ( i ) } } & { \le L _ { \mathrm { m a x } } , } \\ { \kappa _ { i } } & { \le \kappa _ { \mathrm { m a x } } , ~ i = 1 , \ldots , N _ { c } , } \\ { \frac { 1 } { L _ { c } ^ { ( i ) } } \int _ { \gamma ^ { ( i ) } } \kappa _ { i } ^ { 2 } d l } & { \le \kappa _ { \mathrm { m s c } } , ~ i = 1 , \ldots , N _ { c } , } \\ { \| \Gamma ^ { ( i ) } - \Gamma ^ { ( j ) } \| } & { \geq d _ { \operatorname* { m i n } } ~ \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq j , . } \end{array}
\eta _ { d } = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { \mathrm { S t } \le 1 / 8 } \\ { 0 . 4 6 6 \left[ \log _ { 1 0 } ( 8 \mathrm { S t } ) \right] ^ { 2 } } & { 1 / 8 < \mathrm { S t } < 1 . 1 } \\ { \mathrm { S t } / ( \mathrm { S t } + \pi / 2 ) } & { 1 . 1 < \mathrm { S t } } \end{array} \right.
\mathcal { F } \left( \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \mathbf { u } _ { \chi } \right) = \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } * ( - i \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) + \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } * \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } + \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \theta } * \widetilde { \partial } _ { \theta } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } + \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { { \widetilde { \phi } } } * ( i m \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) + \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { 0 } * \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ,
\tilde { \mathcal { F } } , \tilde { \mathcal { G } } : \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \to \mathbb { R }
( \hat { \phi } _ { t } ) _ { \Bar { \xi } _ { N } } : = - ( 1 + \mu _ { t } ) \mathbb { E } _ { \hat { p } _ { t - 1 } } \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } G ( \cdot , y , \xi _ { t , i } ) \right] + \mu _ { t } \mathbb { E } _ { \hat { p } _ { t - 2 } } \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } G ( \cdot , y , \xi _ { t , i } ) \right]
- { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left( i { \frac { 2 m c ^ { 2 } } { \hbar } } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } + \left( { \frac { m c ^ { 2 } } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \phi \right) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t } \approx \left( \nabla ^ { 2 } - \left( { \frac { m c } { \hbar } } \right) ^ { 2 } \right) \phi \, e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t }
\begin{array} { r l } & { \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } w ) - \lambda _ { i } ( x + v t , v ) e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } } \\ & { \leq \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) ( 1 - e ^ { - t ( \lvert \partial _ { i } \psi ( x + t v ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + t v ) ) } ) } { \lvert \partial _ { i } \psi ( x + t v ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + t v ) } } \\ & { \leq t \lambda _ { i } ( x + v t , v ) } \\ & { \leq t \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , d , \, ( x , v ) \in C \times \{ \pm 1 \} ^ { d } , \, t \in ( 0 , 1 ) } \lambda _ { i } ( x + v t , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { 2 } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } ( x , t ) \mathrm { d } x + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \Delta u | ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t \leq \frac { 2 R ^ { 2 } } { 3 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } [ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } ] = \{ R _ { k i } R _ { k j } , H \} = ( R ^ { T } p g ^ { - 1 } ) _ { i j } + ( i \leftrightarrow j ) = 0 . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } c _ { n } } { \mathrm { d } t } } = { \frac { - i } { \hbar } } \sum _ { k } \langle n | V ( t ) | k \rangle \, c _ { k } ( t ) \, e ^ { - i ( E _ { k } - E _ { n } ) t / \hbar } ~ .
( m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { E M } } ^ { V } = ( m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { E M } } ^ { \omega } + ( m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { E M } } ^ { \phi } .
\mathrm { ~ \bf ~ a ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ b ~ } = \sum _ { \mu = - 1 , 0 , 1 } ( - 1 ) ^ { \mu } a _ { \mu } b _ { - \mu } = \sum _ { \mu = - 1 , 0 , 1 } a _ { \mu } b _ { \mu } ^ { * }
+ ( H _ { 2 } H _ { 3 } ) ^ { - 1 } d y _ { 4 } ^ { 2 } + ( H _ { 2 } H _ { 4 } ) ^ { - 1 } d y _ { 5 } ^ { 2 } + ( H _ { 3 } H _ { 4 } ) ^ { - 1 } d y _ { 6 } ^ { 2 } + d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } ]
\begin{array} { r l } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon ^ { p - 1 } = 1 \mathrm { ~ t h e n ~ } m _ { p } ^ { \prime } = \operatorname* { m i n } \left( m _ { p } , o _ { p } r _ { p } , \operatorname* { m a x } \left( r _ { p } , s _ { p } , r _ { p } \frac { s _ { p } o _ { p } } { n _ { p } } \right) \right) ; } \\ & { \mathrm { i f ~ } \epsilon = - 1 \mathrm { ~ t h e n ~ } m _ { 2 } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ e i t h e r ~ } o _ { 2 } \le 2 \mathrm { ~ o r ~ } m _ { 2 } \le 2 r _ { 2 } ; } \\ { \frac { m _ { 2 } } { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ } 4 \le o _ { 2 } < n _ { 2 } , 4 r _ { 2 } \le m , \mathrm { ~ a n d ~ i f ~ } s _ { 2 } \le n _ { 2 } r _ { 2 } \mathrm { ~ t h e n ~ } s _ { 2 } = m _ { 2 } < n _ { 2 } r _ { 2 } ; } \\ { m _ { 2 } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } } & { { } = 1 - \frac { \| x + y \| _ { 1 } - \| x - y \| _ { 1 } } { \| x + y \| _ { 1 } + \| x - y \| _ { 1 } } , } \\ { \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } } } & { { } = 1 - \frac { \langle x , y \rangle } { \langle x , y \rangle + \| x - y \| _ { 1 } } . } \end{array}
\frac { c } { 2 } \left( \mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \right) \leq C \left( \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \mathcal { N } _ { \sharp } [ H , H ] \right) + \mathcal { N } [ W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } , \mathcal { P } _ { H } ] \, .
{ \tilde { \alpha } } _ { e f f } ( q ^ { 2 } ) = { \frac { \alpha _ { s } ( \Lambda ) } { 1 - { \frac { 3 Z _ { 2 } ^ { 2 } ( \Lambda ) \alpha _ { s } ( \Lambda ) \beta _ { c } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } I ( q , \Lambda ; \omega ) } } .
\begin{array} { r l } { w _ { 3 i } } & { = g _ { 3 } g _ { i } g _ { 3 } ^ { - 1 } g _ { i } ^ { - 1 } , \quad i = 0 , 1 , 2 , } \\ { w _ { 1 2 } } & { = g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 1 } ^ { - 1 } g _ { 2 } ^ { - 1 } g _ { 3 } ^ { - r } , } \\ { w _ { 0 1 } } & { = g _ { 1 } ^ { n _ { 1 1 } } g _ { 2 } ^ { n _ { 1 2 } } g _ { 3 } ^ { p } g _ { 0 } ^ { - 1 } g _ { 1 } g _ { 0 } , } \\ { w _ { 0 2 } } & { = g _ { 1 } ^ { n _ { 2 1 } } g _ { 2 } ^ { n _ { 2 2 } } g _ { 3 } ^ { p } g _ { 0 } ^ { - 1 } g _ { 1 } g _ { 0 } . } \end{array}
\Omega ^ { 2 } = \frac { 4 } { q ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \omega _ { n } ^ { 2 } \ge \frac { 4 } { q _ { m } ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \omega _ { n } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { d _ { \theta } \bigg ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \bigg ) } \\ & { = d _ { \theta } \Bigg ( \bigg ( x , \hat { F } _ { j } ^ { k } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) ) \bigg ) , \bigg ( y , \hat { F } _ { j } ^ { k } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , h ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) ) \bigg ) \Bigg ) } \\ & { = d _ { \theta } \Bigg ( \bigg ( L _ { j } ( w ) , \hat { F } _ { j } ^ { k } ( w , g ^ { ( k ) } ( w ) ) \bigg ) , \bigg ( L _ { j } ( z ) , \hat { F } _ { j } ^ { k } ( z , h ^ { ( k ) } ( z ) ) \bigg ) \Bigg ) } \\ & { = d _ { \theta } \bigg ( \hat { W } _ { j } ^ { k } ( w , g ^ { ( k ) } ( w ) ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( z , h ^ { ( k ) } ( z ) ) \bigg ) . } \end{array}
\frac { \bar { e } } { \rho _ { \! \circ } } \, \sqrt { \bar { \mathcal { K } } } = \frac { \bar { e } } { r } + \frac { \bar { e } \, \rho _ { \! \circ } \, \sin \vartheta } { r ^ { 2 } } + \frac { \bar { e } \, \rho _ { \! \circ } ^ { 2 } \left( 1 - 3 \, \cos ( 2 \, \vartheta ) \right) } { 4 \, r ^ { 3 } } + \mathcal { O } \! \left( r ^ { - 4 } \right) _ { r \to \infty } \; .
\begin{array} { r l r } { \Vert B _ { w } ^ { [ n ] } x \Vert _ { k , p } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } _ { 0 } } \frac { 1 } { n } \left| \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left( \prod _ { t = 0 } ^ { m - 1 } w _ { j + t } \right) x _ { j + m } \right| a _ { j , k } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } _ { 0 } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { t = 0 } ^ { m - 1 } w _ { j - m + t } \right| a _ { j - m , k } } { n a _ { j , l } } | x _ { j } | a _ { j , l } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } _ { 0 } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { j - s } \right| a _ { j - m , k } } { n a _ { j , l } } | x _ { j } | a _ { j , l } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right| a _ { r - m , k } } { n a _ { r , l } } \Vert x \Vert _ { l , p } } \end{array}
S = { \frac { \sigma _ { \mathrm { b e t w e e n } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { w i t h i n } } ^ { 2 } } } = { \frac { ( { \vec { w } } \cdot { \vec { \mu } } _ { 1 } - { \vec { w } } \cdot { \vec { \mu } } _ { 0 } ) ^ { 2 } } { { \vec { w } } ^ { \mathrm { T } } \Sigma _ { 1 } { \vec { w } } + { \vec { w } } ^ { \mathrm { T } } \Sigma _ { 0 } { \vec { w } } } } = { \frac { ( { \vec { w } } \cdot ( { \vec { \mu } } _ { 1 } - { \vec { \mu } } _ { 0 } ) ) ^ { 2 } } { { \vec { w } } ^ { \mathrm { T } } ( \Sigma _ { 0 } + \Sigma _ { 1 } ) { \vec { w } } } }
\frac { c _ { n } } { c _ { s } } \approx \frac { 2 4 c _ { 1 } } { 2 4 c _ { 1 } + 4 c _ { 2 } \sqrt { { \cal R } _ { s } } + c _ { 3 } { \cal R } _ { s } } \frac { \eta _ { n } ^ { \prime } } { \kappa \rho _ { n } }
a ( \eta ) = a _ { \mathrm { e q } } \biggl [ b ^ { 2 } \biggl ( \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { e q } } } \biggr ) ^ { 2 } + 2 b \biggl ( \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { e q } } } \biggr ) \biggr ] .
F _ { l } ^ { ( \varepsilon ) } \sim 2 F _ { l } ^ { ( p _ { \perp } ) } \sim l ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) \frac { \pi } { 2 ( z x ) ^ { 4 } } \exp [ - 2 z ( 1 - x ) ] ,
) t o e n a b l e f u l l d e c a r b o n i z a t i o n o f t h e g r i d w a s c o n s i d e r e d . T h e p o w e r a v a i l a b i l i t y o f t h e h y p o t h e t i c a l s y s t e m w a s m o d e l e d u n d e r d i f f e r e n t s t o r a g e s i z e s a n d d i s c h a r g e c a p a c i t i e s . A d d i t i o n a l l y , t h e o p t i m i z a t i o n s c h e d u l e w a s r e p e a t e d u n d e r a h y p o t h e t i c a l f u t u r e s c e n a r i o i n w h i c h C O
{ \left[ \begin{array} { l l } { s } & { t } \\ { u } & { v } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname* { g c d } ( a , b ) } \\ { 0 } \end{array} \right] } .
{ \begin{array} { r l } { \langle x , y \rangle } & { = { \frac { \| x + y \| ^ { 2 } - \| x - y \| ^ { 2 } } { 4 } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \left( \sum _ { i } | x _ { i } + y _ { i } | ^ { 2 } - \sum _ { i } | x _ { i } - y _ { i } | ^ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 4 \sum _ { i } x _ { i } y _ { i } \right) } \\ & { = x \cdot y , } \end{array} }
\frac { 1 } { n ! } \{ \ldots \{ \{ \mathscr { Z } _ { 0 } + \mathscr { R } _ { \nu } ^ { ( 0 ) } , \underbrace { \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \} , \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \} , \ldots , \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } } _ { n \ge 3 } \} = \mathcal { O } ( \sigma ^ { \operatorname* { m i n } \{ n \nu - ( n - 2 ) , \, ( n + 1 ) \nu - ( n - 1 ) \} } ) = \mathcal { O } ( \sigma ^ { n ( \nu - 1 ) + 2 } )
u \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { \infty } L _ { d , x } ^ { 2 } \cap L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } \dot { H } _ { d , x } ^ { 1 } \quad , \quad \psi \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { \infty } \dot { H } _ { 0 , x } ^ { 1 } \cap L _ { [ 0 , T ] } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 4 } \quad , \quad B \psi \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } L _ { x } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } ( \lambda ) } & { = \frac { ( \lambda - 1 ) \, E _ { \underline { { \theta } } } [ h _ { 1 } ( Z ) ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda Z ) I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ h _ { 2 } ( Z ) ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda Z ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } ) } ( Z ) ] } \qquad \qquad } \\ & { = \frac { ( \lambda - 1 ) \, \int _ { 0 } ^ { \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } } h _ { 1 } ( z ) \, ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda z ) \, f _ { Z } \left( z \right) d z } { \int _ { 0 } ^ { \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } } h _ { 2 } \left( z \right) ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda z ) ^ { 2 } \, f _ { Z } \left( z \right) d z } } \\ & { = \frac { ( \lambda - 1 ) \, \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) \, ( 1 - t ) \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) d t } { c _ { 0 , 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) ( 1 - t ) ^ { 2 } \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) d t } } \\ & { = \frac { 1 } { c _ { 0 , 1 } } E _ { \lambda } [ k ( S _ { \lambda } , \lambda ) ] , \; \; \lambda \geq 1 ; } \end{array}
f _ { \mathrm { r a d } } = - \zeta \omega ^ { 2 } e ^ { - i \omega t } \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \frac { \pi \rho a } { k _ { p } } \frac { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { p } a ) } { \left[ H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { p } a ) \right] ^ { \prime } } \frac { \left[ \frac { d } { k _ { p } } \sinh ( k _ { p } d ) - \frac { 1 } { k _ { p } ^ { 2 } } ( \cosh ( k _ { p } d ) - 1 ) \right] ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 k _ { p } } \sinh ( 2 k _ { p } d ) + \frac { d } { 2 } }
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \infty , h } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - [ y ^ { \prime } ( \ell ) - h y ( \ell ) ] \, \delta ( x - \ell ) , } \\ & { { \mathbb A } _ { \infty , h } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - [ y ^ { \prime } ( \ell ) - \overline { { h } } \, y ( \ell ) ] \, \delta ( x - \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ) - F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) = } & { F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) - F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q ) - \left[ F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) - F _ { \hat { \phi } _ { t } } ^ { y } ( q _ { t } ) \right] } \\ { = } & { \tau _ { t } [ \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) ] - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) } \\ & { + \underbrace { \lambda _ { 1 } \int \| y \| ^ { 2 } ( q _ { t } - q _ { t } ^ { * } ) ( y ) d y + \lambda _ { 2 } ( \mathcal { E } ( q _ { t } ) - \mathcal { E } ( q _ { t } ^ { * } ) ) } _ { \mathrm { a } } } \\ & { + \underbrace { \int \hat { \phi } _ { t } ( y ) ( q _ { t } - q _ { t } ^ { * } ) ( y ) d y } _ { \mathrm { b } } . } \end{array}
\kappa ^ { 2 } \delta \rho = - 6 \left( \dot { \alpha _ { 0 } } \dot { \xi } _ { 0 } ^ { y } - \dot { \alpha } _ { 0 } ^ { 2 } \xi _ { 0 } ^ { y } - \dot { \alpha } _ { 0 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } l ^ { 2 } \phi _ { 0 } + \dot { \alpha _ { 0 } } \ddot { \alpha } _ { 0 } e ^ { \alpha _ { 0 } } l b _ { 0 } - \frac { \dot { \alpha } _ { 0 } \ddot { \alpha } _ { 0 } } { \alpha _ { 1 } } e ^ { 2 \alpha _ { 0 } } \dot { \hat { E } } _ { 0 } - \hat { \Psi } _ { 1 } \right) ,
q _ { e } ( \rho ) = c _ { i q } f _ { e } ( \rho ) P _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ } } \, \, \exp ^ { \left( \frac { \rho - \rho _ { 0 } } { w _ { 0 } } \right) ^ { n g _ { e } } }
\begin{array} { r } { \mathcal X _ { n } = \{ u \in W ^ { 1 , p _ { n } } ( \Omega ) : | u | ^ { p _ { n } } \leq p _ { n } \mathrm { ~ a ~ . ~ e ~ . ~ i ~ n ~ } \Omega \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ u ~ s ~ a ~ t ~ i ~ s ~ f ~ i ~ e ~ s ~ C ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ t ~ ~ ~ } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 } } & { = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 2 } } & { = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 3 } } & { = \epsilon ^ { - 1 / 2 } S _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + T _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \ast } ( x ) } & { = f ^ { \ast } ( y ) \mathrm { ~ i f ~ } | x | = | y | , } \\ { f ^ { \ast } ( x ) } & { \le f ^ { \ast } ( y ) \mathrm { ~ i f ~ } | x | \ge | y | , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { | x | \rightarrow | y | ^ { + } } } & { f ^ { \ast } ( x ) = f ^ { \ast } ( y ) , } \\ { \mathcal { L } ^ { d } \{ x : f ( x ) > t \} } & { = \mathcal { L } ^ { d } \{ x : f ^ { \ast } ( x ) > t \} , \mathrm { ~ } t > 0 . } \end{array}
k _ { \mathrm { ~ R ~ B ~ F ~ } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x ^ { \prime } } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } \cdot \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \Big ( \frac { - \lVert \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x ^ { \prime } } \rVert ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \Big ) ,
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \frac { Q } { k } \, \frac { \omega _ { 0 } } { \omega } \, \big ( F _ { \mathrm { d r i v e } } ^ { 0 } \, \sin ( \phi _ { \mathrm { d r i v e } } ) + F _ { \mathrm { p i e z o } } ^ { 0 } \, \sin ( \phi _ { \mathrm { R C } } ) \big ) } \\ & { = } & { \frac { \omega _ { 0 } } { \omega } \, \alpha \, X _ { \mathrm { d r i v e } } ^ { \prime } \, \sin ( \phi _ { \mathrm { d r i v e } } ) + Q \, \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } \, \beta \, \frac { 2 R \langle I _ { \mathrm { t } } \rangle } { \sqrt { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { \times \frac { \mathfrak { I } _ { 1 } ( 2 \kappa A ) } { \mathfrak { I } _ { 0 } ( 2 \kappa A ) } \sin \big ( \arctan ( \omega R C ) \big ) , } \end{array}