harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { H } _ { n + 1 } ^ { \prime } } & { = x ^ { 3 } \Lambda _ { n + 1 } ( H _ { n + 1 } , x ) + x ^ { n + 3 } R _ { n + 1 } ( H _ { n + 1 } , \phi _ { n + 1 } , x ) , } \\ { \phi _ { n + 1 } ^ { \prime } } & { = \Omega _ { n + 1 } ( H _ { n + 1 } , x ) + x ^ { n + 1 } P _ { n + 1 } ( H _ { n + 1 } , \phi _ { n + 1 } , x ) , } \\ { x ^ { \prime } } & { = - 3 \delta x ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ( \left[ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right] ) } \\ { = } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } ( \mathbb { E } _ { s \sim \mu } [ \int _ { k = 0 } ^ { 1 } \sum _ { a _ { k } } \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) d k ] ) } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { s \sim \mu , k \sim \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( \cdot | s ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } [ \sum _ { a _ { k } } \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) ] ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { s \sim \mu , k \sim \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( \cdot | s ) , a _ { k } \sim \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( \cdot | s , k ) } [ \nabla _ { \theta _ { 2 } } \log \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( a _ { k } | s , k ) r ( s , a _ { k } ) ] , } \end{array}
f : = \mathcal { L } _ { X } E O M [ \phi _ { i } ; \phi _ { 1 } , . . , \phi _ { i - 1 } , \phi _ { i + 1 } , . . . , \phi _ { n } ] - E O M [ \phi _ { i } ; \phi _ { 1 } , . . , \phi _ { i - 1 } , \phi _ { i + 1 } , . . . , \phi _ { n } ]
\begin{array} { r l r } & { } & { Y ^ { p , + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \bar { F } ^ { p * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = W ^ { p , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) + \frac { 1 } { \omega \rho _ { 0 } } { \cal H } _ { 1 } ( { \bf x } _ { F } ) W ^ { p , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \\ & { } & { Y ^ { v , + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = - \bar { F } ^ { v * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = W ^ { v , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) + \frac { 1 } { \omega \rho _ { 0 } } { \cal H } _ { 1 } ( { \bf x } _ { F } ) W ^ { v , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
\langle \Lambda _ { c } ( v ^ { \prime } ) | \, \bar { h } _ { v ^ { \prime } } ^ { c } \, \Gamma \, i D _ { \beta } \, h _ { v } ^ { b } \, | \Lambda _ { b } ( v ) \rangle = \zeta _ { \beta } ( v , v ^ { \prime } , \mu ) \, \bar { u } ( v ^ { \prime } ) \, \Gamma \, u ( v ) \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } | \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { ( j _ { 1 } , \dots , j _ { N } ) } G | } \\ & { \leq \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \mathbb { E } | \Delta _ { ( j _ { 1 } , \dots , j _ { N } ) } G | } \\ & { = \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \mathbb { E } | \Delta _ { ( 1 , \dots , 1 ) } G | } \\ & { \leq \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } } \mathbb { E } | G _ { 1 - i _ { 1 } , \dots , 1 - i _ { N } } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } C _ { i j k \ell } e _ { k \ell } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } p _ { f } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( p ) } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { k \ell } ^ { ( p ) } e _ { k \ell } + \frac { 1 } { M ^ { ( p ) } } p _ { f } ^ { ( p ) } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { M ^ { ( p , q ) } } p _ { f } ^ { ( q ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { { - ( \mu ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 4 } - m _ { 1 1 } ^ { 2 } ) \sigma ^ { 3 } = \mu c _ { 3 J } \sigma ^ { J } + m _ { 1 3 } ^ { 2 } \sigma ^ { 1 } - m _ { 1 4 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } } \\ { { - ( \mu ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 4 } - m _ { 3 3 } ^ { 2 } ) \sigma ^ { 1 } = \mu c _ { 1 J } \sigma ^ { J } + m _ { 1 3 } ^ { 2 } \sigma ^ { 3 } + m _ { 3 4 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } } \\ { { - ( \mu ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 4 } - m _ { 4 4 } ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } = \mu c _ { 2 J } \sigma ^ { J } + m _ { 3 4 } ^ { 2 } \sigma ^ { 1 } - m _ { 1 4 } ^ { 2 } \sigma ^ { 3 } } } \end{array}
\textbf { E } ( r , \phi , z ) = \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } a _ { s } ( k _ { \perp } ) \textbf { e } _ { s } ( r , \phi , k _ { \perp } ) \exp { ( i \beta ( k _ { \perp } ) z ) } d k _ { \perp } ,
\begin{array} { r } { \frac { E ( k _ { \perp } ) } { E _ { 0 } ( k _ { \perp } ) } \sim \left( 1 - f _ { \mathrm { b u l k } } \frac { { \mathcal D } _ { k _ { \perp } } ^ { \mathrm { r a d } } } { { \mathcal D } _ { k _ { \operatorname* { m a x } } } ^ { \mathrm { r a d } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) = \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } } \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \mathbb { I } [ \sigma _ { i j } = 1 + \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } - \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { i j } ) ] } \end{array}
L = { \frac { 1 } { 2 } } [ ( \partial _ { \mu } S ) ^ { 2 } - 2 m ^ { 2 } S ^ { 2 } ] + \left( { \frac { v + S } { 2 } } \right) ^ { 2 } [ ( \partial _ { \mu } \vec { \phi } ) ^ { 2 } + { \frac { ( \vec { \phi } \cdot \partial \vec { \phi } ) ^ { 2 } } { v ^ { 2 } - \vec { \phi } ^ { 2 } } } ] - \lambda v S ^ { 3 } - { \frac { \lambda } { 4 } } S ^ { 4 } + . . . ,
[ K _ { x } \cos ( 2 \varphi ) + K _ { y } \cos ( 3 \varphi ) ] \} + t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) \sin ( 2 \varphi ) \{ - J _ { 0 } ( K _ { y } ) J _ { 1 } ( K _ { x } ) [ K _ { x } + K _ { y } \cos ( \varphi ) ] - J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } )
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } = } & { { } \sum _ { j } ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j \uparrow | - | j \downarrow \rangle \langle j \downarrow | \bigr ) - t _ { 0 } \bigr ( | j \uparrow \rangle \langle j + 1 , \uparrow | - e ^ { - i K } | j \downarrow \rangle \langle j + 1 \downarrow | + h . c . \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \partial _ { s } ^ { 2 } \gamma _ { j } ^ { + } + \nu \gamma _ { j } ^ { + } } & { = } & { 0 \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 ; 1 / 2 ) } \\ { \partial _ { s } ^ { 2 } \gamma _ { j } ^ { - } + \nu \gamma _ { j } ^ { - } } & { = } & { 0 \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( - 1 / 2 ; 0 ) } \\ { \gamma _ { j } ^ { - } ( - 1 / 2 ) } & { = } & { e ^ { i \eta _ { j } } \gamma _ { j } ^ { + } ( + 1 / 2 ) } \\ { \partial _ { s } \gamma _ { j } ^ { - } ( - 1 / 2 ) } & { = } & { e ^ { i \eta _ { j } } \partial _ { s } \gamma _ { j } ^ { + } ( + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \operatorname* { d e t } g _ { 1 } } { \operatorname* { d e t } g _ { k } } \right| ^ { n } \int _ { U _ { n ^ { k } } ( F ) } \Delta ( \tau \otimes \chi _ { T } , n ) ( g ) \xi \left( \mathrm { d i a g } [ g _ { k } , . . . , g _ { 1 } ] w _ { k , n } u \right) \psi _ { g _ { 1 } , . . . , g _ { k } } ^ { - 1 } ( u ) d u } \\ { = } & { \left| \frac { \operatorname* { d e t } g _ { 1 } } { \operatorname* { d e t } g _ { k } } \right| ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \chi _ { i } \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } g _ { k + 1 - i } ) | \operatorname* { d e t } g _ { k + 1 - i } | ^ { \frac { ( k - 2 i + 1 ) n } { 2 } } \int _ { U _ { n ^ { k } } ( F ) } \Delta ( \tau \otimes \chi _ { T } , n ) ( g ) \xi \left( w _ { k , n } u \right) \psi _ { g _ { 1 } , . . . , g _ { k } } ^ { - 1 } ( u ) d u } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } + \bar { u } _ { j } \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \bar { p ^ { \prime } } } { \partial x _ { i } } + 2 ( \nu + \nu _ { t } ) \frac { \partial S _ { i j } } { \partial x _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi } & { = k _ { \Omega } \left[ \boldsymbol { \phi } \cdot \left( \mathbf { x } _ { a } - \mathbf { x } _ { b } \right) - \frac { \boldsymbol { \phi } ^ { 2 } } { 2 } \left( z _ { a } - z _ { b } \right) \right] , } \\ { \Delta \Phi } & { = \Delta k \left[ \boldsymbol { \phi } \cdot \left( \mathbf { x } _ { a } - \mathbf { x } _ { b } \right) - \frac { \boldsymbol { \phi } ^ { 2 } } { 2 } \left( z _ { a } - z _ { b } \right) \right] , } \end{array}
\delta ^ { 2 } \rho ^ { ( N ) } = \frac { 2 ^ { N - 1 } } { d ^ { N } ( d - 1 ) ^ { N } } \sum _ { \forall n , a _ { n } \neq a _ { n } ^ { \prime } } \{ \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \rho _ { \mathcal { S } , \mathcal { S } ^ { \prime } } ^ { ( N ) } ] + \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \rho _ { \mathcal { S } , \mathcal { S } ^ { \prime } } ^ { ( N ) } ] \}
\left| { X } _ { A _ { 2 } } + i { P } _ { A _ { 2 } } \right\rangle = \left| \sqrt { \left( 1 \mathrm { ~ + ~ } \delta { { I } _ { { \lambda _ { i } } } ^ { \prime } } \right) } { { X } _ { A _ { 1 } } } \mathrm { ~ + ~ } i \sqrt { \left( 1 \mathrm { ~ + ~ } \delta { { I } _ { { \lambda _ { i } } } ^ { \prime } } \right) } { { P } _ { A _ { 1 } } } \right\rangle .
\frac { \partial \rho _ { i } } { \partial t } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \Gamma _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } \rho _ { i } } { \partial z ^ { 2 } } - \sum _ { j } k _ { i j } ( z _ { 0 } ) \rho _ { j } ( z _ { 0 } ) \rho _ { i } ( z _ { 0 } ) \xi
\hat { \mathbf { F } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x x } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { x y } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { x z } } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x y } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { y y } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { y z } } \\ { \eta _ { x } \hat { \tau } _ { x z } + \eta _ { y } \hat { \tau } _ { y z } + \eta _ { z } \hat { \tau } _ { z z } } \\ { \eta _ { x } { \beta } _ { x } + \eta _ { y } { \beta } _ { y } + \eta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\frac { \sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } } { 2 } U ^ { \frac { 2 } { 3 } } ( r ) - 4 \pi k _ { x _ { 0 } } ( r ) \varepsilon ^ { 2 } \leq 5 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) .
6 \times \phi _ { \mathrm { s e c t } | f = f _ { \mathrm { b } } } + 2 \times \phi _ { \mathrm { D _ { 1 } A } | f = f _ { \mathrm { b } } } + 2 \times \phi _ { \mathrm { O C } | f = f _ { \mathrm { b } } } = 3 \pi / 2
\nu _ { i } ^ { \mathrm { D } } \to \nu _ { i } ^ { s } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \nu _ { i } + \nu _ { i } ^ { \prime } \right) , \qquad ( \nu _ { i } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { c } \to \nu _ { i } ^ { a } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \nu _ { i } - \nu _ { i } ^ { \prime } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \Gamma ( z + 1 ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { z } e ^ { - t } \, d t } \\ & { = { \Bigl [ } - t ^ { z } e ^ { - t } { \Bigr ] } _ { 0 } ^ { \infty } + \int _ { 0 } ^ { \infty } z t ^ { z - 1 } e ^ { - t } \, d t } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left( - t ^ { z } e ^ { - t } \right) - \left( - 0 ^ { z } e ^ { - 0 } \right) + z \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { z - 1 } e ^ { - t } \, d t . } \end{array} }
\hat { a } _ { S } ( \textbf { u } _ { N } , \textbf { v } _ { N } ; \mu ) = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { 1 } } \sigma _ { k } ^ { S } ( \mu ) s ( q _ { k } ^ { S } , \textbf { u } _ { N } , \textbf { v } _ { N } ) ,
\begin{array} { r l } { x _ { u } } & { = \frac { \alpha } { \sqrt { 2 } } \left( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ( 1 + i ) E _ { 3 } - i ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } + \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } ) ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) + \lambda j ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) - \lambda k ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) \right) , } \\ { x _ { v } } & { = \frac { \alpha } { \sqrt { 2 } } \left( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ( i - 1 ) E _ { 3 } + i ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } - \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } ) ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) - \lambda j ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) - \lambda k ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\tan \theta _ { 2 3 } = \frac { 1 } { 2 w } \left[ \left( 1 + \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { m _ { 3 } } \right) - \sqrt { \left( 1 + \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { m _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + 4 w ^ { 2 } \left( \frac { m _ { 1 } - m _ { 2 } } { m _ { 3 } } \right) } \right]
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } & { { } = \tau \, \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) - \beta ^ { * } \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } & { { } = \tau \, \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) + \beta \, \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { x } & { } \\ { y } & { } \\ { z } & { } \end{array} \right] } \; = \; t _ { 1 } \! { \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { } \\ { 5 } & { } \\ { - 1 } & { } \end{array} \right] } + t _ { 2 } \! { \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { } \\ { - 4 } & { } \\ { 2 } & { } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { p \mathcal { G } ( \mathrm { s u s p } ( h \circ \varphi ) ) _ { \ast } } & { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( \lbrack P ^ { \mathrm { e x } } , \nabla _ { \partial _ { t _ { k } } } ^ { \mathfrak { S } _ { \mathrm { s u s p } h } } \rbrack ) \circ \varphi \cdot \partial _ { t _ { i } } \varphi _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( ( \partial _ { t _ { k } } p \mathcal { G } ( h ) _ { \ast } P ) \circ \varphi ) ^ { \mathrm { e x } } \cdot \partial _ { t _ { i } } \varphi _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { l } ( \vec { k } , \omega ) } & { { } = \frac { \beta N } { V \epsilon _ { 0 } k ^ { 2 } } \left[ S _ { q q } ( \vec { k } ) + i \omega \tilde { F } _ { q q } ( \vec { k } , \omega ) \right] \, , } \end{array}
{ \cal G } _ { \pm , z } ^ { s d _ { 1 } } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = { \cal G } _ { \pm , z } ^ { s d _ { 2 } } ( s , s _ { 2 } , s _ { 1 } ) = \mp { \cal G } _ { \pm , z } ^ { s u _ { 2 } } ( s , s _ { 2 } , s _ { 1 } ) = \mp { \cal G } _ { \pm , z } ^ { s u _ { 1 } } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { B } ( t + 1 ) = ~ } & { q _ { i } ^ { B } ( t ) + \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ( t ) - e _ { i } ( t ) } \\ { \ge ~ } & { E _ { i } - E _ { i } = 0 , } \\ { q _ { i } ^ { B } ( t + 1 ) = ~ } & { q _ { i } ^ { B } ( t ) + \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ( t ) - e _ { i } ( t ) } \\ { \le ~ } & { Q _ { i } ^ { B } - \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } M _ { i j } + \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } M _ { i j } = Q _ { i } ^ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r c l l } { [ \mathcal { A } ( u _ { h } ) , v _ { h } ] + [ \mathcal { B } ( v _ { h } ) , \sigma _ { h } ] } & { = } & { [ \mathcal { F } , v _ { h } ] } & { \forall \, v _ { h } \in X _ { h } \, , } \\ { [ \mathcal { B } ( u _ { h } ) , \tau _ { h } ] } & { = } & { [ \mathcal { G } , \tau _ { h } ] } & { \forall \, \tau _ { h } \in Y _ { h } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K ^ { 2 } \left( \frac { c ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } - \kappa ^ { 2 } \, \nu ^ { 2 } \right) \delta \widetilde { \Phi } } & { { } = } & { - \; \sqrt { \sigma } \; \kappa \, K \; \nu \; \delta \widetilde { A } _ { \| } , } \\ { \left( K ^ { 2 } + \sigma \right) \delta \widetilde { A } _ { \| } } & { { } = } & { \sqrt { \sigma } \; \kappa \, K \; \nu \; \delta \widetilde { \Phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| f _ { j } ^ { \nu } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } \sim \| \widehat { f } _ { j } ^ { \nu } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } = 2 ^ { j n \rho } \| \widehat { f } _ { j } ^ { \nu } ( 2 ^ { j \rho } \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } \lesssim 2 ^ { j n \rho } | \Gamma _ { j } ^ { \nu } \cap A _ { j } | } \\ & { \lesssim 2 ^ { j n \rho } \, 2 ^ { j n ( 1 - \rho ) - j \rho \kappa / 2 } = 2 ^ { j ( n - \rho \kappa / 2 ) } } \end{array}
a _ { n \ell } = a _ { n \ell } ^ { 0 E } + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } \sum _ { \ell ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) b _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { n \sigma } ^ { \dagger } = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { q } \mathrm { e } ^ { i q m } \hat { c } _ { q \sigma } ^ { \dagger } \, , } \\ { q = } & { { } \frac { \pi } { N } \cdot \left( - N \, , - N - 2 \, , \cdots \, , N - 2 \right) \, , } \end{array}
\kappa ( \beta , \sigma ) = k _ { 0 } + \frac { k _ { 1 } } { \sqrt { \sigma } } + k _ { 2 } \, \sigma ^ { - 6 / 1 0 } \, \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ k _ { 3 } \, \beta \, \sigma ^ { 1 / 3 } \right] \, ,
\frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 3 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| \ll \frac { \delta } { \varphi ( q ) } .
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } F _ { 2 } } & { \to } & { \Lambda ^ { 6 } \left( \frac { P ^ { 3 / 2 } } { \Lambda ^ { 3 } } \right) ^ { 2 P } \exp \left( - \frac { \pi P } { \Lambda ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 P } { \Delta \mathbf { R } _ { i } } ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { \Lambda ^ { 3 } \Lambda _ { \mu } ^ { 3 } } { 2 ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { ( 2 P ) ^ { 3 / 2 } } { \Lambda _ { \mu } ^ { 3 } } \right) ^ { 2 P } \exp \left( - \frac { \pi 2 P } { \Lambda _ { \mu } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 P } { \Delta \mathbf { R } _ { i } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \equiv } & { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { 2 ^ { 3 / 2 } } F _ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v ^ { * } ( x , 1 ) = \tilde { v } ^ { * } ( x , 1 ) + \int _ { 0 } ^ { x } \left\{ \eta _ { \ast } ( u ^ { * } ) - \alpha \rho ^ { * } + K \right\} d y , } \\ & { v _ { 0 } ^ { * } ( x ) = \tilde { v } _ { 0 } ^ { * } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { x } \left\{ \eta _ { \ast } ( u _ { 0 } ^ { * } ) - \alpha \rho _ { 0 } ^ { * } + K \right\} d y . } \end{array}
\begin{array} { c l } { { } } & { { \displaystyle \sum _ { r = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { r } q ^ { r ( ( 2 k + 1 ) r + 2 k - 2 i + 1 ) / 2 } \left[ \begin{array} { c } { { n } } \\ { { \left[ \frac { n - k + i - ( 2 k + 1 ) r } { 2 } \right] } } \end{array} \right] _ { q } } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k - 1 } \geq n _ { k } = 0 } \atop { 2 ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k - 1 } ) \leq n - k + i } } q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + n _ { i } + \cdots + n _ { k - 1 } } \times } } \\ { { \times } } & { { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \left[ \begin{array} { c } { { n - 2 ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { j - 1 } ) - n _ { j } - n _ { j + 1 } - \alpha _ { i j } ^ { ( k ) } } } \\ { { n _ { j } - n _ { j + 1 } } } \end{array} \right] _ { q } . } } \end{array}
X _ { t } ^ { n + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 0 } ^ { \varepsilon } + \int _ { 0 } ^ { t } b \left( X _ { s } ^ { n } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { n } ) , \theta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } s + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { t } \sigma \left( X _ { s } ^ { n } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { n } ) , \beta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } W _ { s } , \quad t \in [ 0 , 1 ] ; } \\ { \phi ^ { \varepsilon } ( t ) , \quad t \in [ - \delta , 0 ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { E [ u , \mathbf { a } , \mathbf { B } ] } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { p } , \mathbf { L } _ { \mathbf { G } } } \Big ( F _ { \mathrm { L D F T } } [ \rho , \mathbf { p } , \mathbf { L } _ { \mathbf { G } } ] + \langle u , \rho \rangle + \mathbf { a } \cdot \mathbf { p } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { B } \cdot \mathbf { L } _ { \mathbf { G } } \Big ) } \end{array}
f ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( \left( F ^ { \# } \right) ^ { - 1 } \circ \tau _ { \operatorname { M c G } } ^ { - } ( x ) , - 1 \big ) } & { \mathrm { f o r } \ x \in W ^ { - } , } \\ { \big ( \left( F ^ { \# } \right) ^ { - 1 } \circ \tau _ { \operatorname { M c G } } ^ { + } ( x ) , 1 \big ) } & { \mathrm { f o r } \ x \in W ^ { + } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { \mathrm { ~ P ~ P ~ } } \equiv \log f _ { \mathrm { S _ { 2 } } } ^ { \mathrm { P P } } = } & { { } - 1 6 0 7 3 \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K ~ } } \right) ^ { - 1 } + 1 5 . 7 4 } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } ^ { i j , k } ( \mathbf { x } , \omega ; \, \boldsymbol { \xi } ) \approx \sum _ { l } \mathcal { G } _ { l } ^ { i j , k } ( \mathbf { x } , \omega ; \, \boldsymbol { \xi } _ { 0 } ) \exp { [ - \imath \omega ( \boldsymbol { \xi } \cdot \gamma _ { l } ) / \alpha ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { x x } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { M _ { 2 , 1 } } { M _ { 2 , 2 } } + \frac { M _ { 4 , 3 } } { M _ { 4 , 4 } } \right) , r _ { y x } = \frac { 1 } { 2 i } \left( \frac { M _ { 2 , 1 } } { M _ { 2 , 2 } } - \frac { M _ { 4 , 3 } } { M _ { 4 , 4 } } \right) , } \\ & { t _ { x x } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \operatorname* { d e t } ( \hat { M } _ { \mathrm { L } } ) } { M _ { 2 , 2 } } + \frac { \operatorname* { d e t } ( \hat { M } _ { \mathrm { R } } ) } { M _ { 4 , 4 } } \right) , } \\ & { t _ { y x } = \frac { 1 } { 2 i } \left( \frac { \operatorname* { d e t } ( \hat { M } _ { \mathrm { L } } ) } { M _ { 2 , 2 } } - \frac { \operatorname* { d e t } ( \hat { M } _ { \mathrm { R } } ) } { M _ { 4 , 4 } } \right) , } \end{array}
u ^ { F } \textrm { d } _ { x } u ^ { F } \biggl [ ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { f f ^ { \prime \prime } } { 2 } - 1 \biggr ] - \frac { ( u ^ { F } ) ^ { 2 } f f ^ { \prime \prime } } { 2 x } = - \textrm { d } _ { x } \tau _ { x x } ^ { F } + \partial _ { x } \tau _ { x x } + \partial _ { y } \tau _ { x y } ,
\frac { Q _ { s } ( t ) } { \pi R ^ { 2 } U _ { t } O h ^ { - 0 . 1 2 } } ~ = ~ 0 . 1 2 + 0 . 1 5 \sin ^ { 2 } \left( \frac { 0 . 5 \pi t } { t _ { b c } } \right) ,
\begin{array} { r l } { U ( \mathbf { r } , t ) } & { = U _ { E } ( \mathbf { r } ) + \widetilde { U } _ { E } ( \mathbf { r } ) \cos ( \Omega t ) + \sum _ { i = 1 } U _ { D , i } ( \mathbf { r } ) \left[ 1 + \eta _ { i } \cos ( \Omega t ) \right] , } \\ & { = \Phi _ { 0 } ( \mathbf { r } ) + \Phi _ { 1 } ( \mathbf { r } ) \cos ( \Omega t ) } \end{array}
f ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } ) = \frac { 2 b \delta _ { 1 } ^ { \prime } } { 7 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) } - 2 2 \log ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) )