harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta \phi _ { \mu - } ^ { \quad + } = { \cal D } _ { \mu } \kappa _ { - } ^ { \enskip + } - \xi _ { K } ^ { z } \psi _ { \mu } + ( \lambda _ { l } + \lambda _ { d } ) \phi _ { \mu - } ^ { \quad + } + f _ { \mu } ^ { z } \varepsilon ,
\mathrm { S N R } ^ { \mathrm { { d } } } = \kappa \sqrt { T _ { \mathrm { o b s } } } \sqrt { \int _ { M _ { \mathrm { m i n } } } ^ { M _ { \mathrm { m a x } } } \int _ { z _ { \mathrm { m i n } } } ^ { z _ { \mathrm { m a x } } ^ { \mathrm { { d } } } ( M ) } \left[ \frac { M ^ { \alpha } ( 1 + z ) ^ { \alpha } } { D _ { \mathrm { L } } ( z ) } \right] ^ { 2 } \left[ \sum _ { \mathrm { { s o u r c e : s } } } \beta _ { s } P _ { s } ( M ) R _ { s } ( z ) \right] \left[ 4 \pi ( D _ { \mathrm { C } } ( z ) ) ^ { 2 } \frac { d D _ { \mathrm { { C } } } ( z ) } { d z } d z \right] d M }
\left( \begin{array} { c } { b e ^ { j k a / 2 } } \\ { c e ^ { - j k a / 2 } } \end{array} \right) _ { \mathrm { O u t g o i n g ~ } } = \left( \begin{array} { c c } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { a e ^ { j k a / 2 } } \\ { d e ^ { - j k a / 2 } } \end{array} \right) _ { \mathrm { I n g o i n g } }
A _ { r e s } ^ { - } = \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { K ^ { * } \rho } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf p } ^ { \rho } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \rho } } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } ^ { K ^ { * } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { K ^ { * } } } \langle { \bar { K } } ^ { 0 } \pi ^ { - } | K ^ { * } \rho \rangle \langle K ^ { * } \rho | B ^ { - } \rangle } ,
\begin{array} { r l } { | Y _ { \varepsilon ^ { \prime } } ( \sigma ) - Y _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ^ { m } } & { \leq 2 ^ { m } \bigl ( | Y _ { \varepsilon ^ { \prime } } ( \sigma ) | ^ { m } + | Y _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ^ { m } \bigr ) | Y _ { \varepsilon ^ { \prime } } ( \sigma ) - Y _ { \varepsilon } ( \sigma ) | } \\ & { = 2 ^ { m } \bigl ( | Y _ { \varepsilon ^ { \prime } } ( \sigma ) | ^ { m } + | Y _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ^ { m } \bigr ) | Y _ { \varepsilon } ( \sigma ) | \Bigl ( 1 - \prod _ { k : \varepsilon ^ { \prime } < | \xi _ { 1 , k } | \le \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { 1 , k } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 < 2 } \\ { \Rightarrow ~ ~ } & { 2 n + 1 < 2 n + 2 } \\ { \Rightarrow ~ ~ } & { \frac { 2 n + 1 } { n + 1 } < 2 } \\ { \Rightarrow ~ ~ } & { \frac { \left( 2 n + 1 \right) \left( 2 n + 2 \right) } { \left( n + 1 \right) \left( n + 1 \right) } < 4 } \\ { \Rightarrow ~ ~ } & { \frac { \left( 2 n + 1 \right) \left( 2 n + 2 \right) } { \left( n + 1 \right) \left( n + 1 \right) } \times \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { n } \end{array} \right) < 4 ^ { n } } \\ { \Rightarrow ~ ~ } & { \frac { \left[ 2 \left( n + 1 \right) \right] ! } { \left( n + 1 \right) ! \left( n + 1 \right) ! } < 2 ^ { 2 \left( n + 1 \right) - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { u = 0 , \quad w = 0 , \quad - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , \quad T = 0 , \quad C = 0 \quad \mathrm { ~ o n ~ } \quad x = 0 , } \\ { u = 0 , \quad w = 0 , \quad - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , \quad T = 1 , \quad C = 1 \quad \mathrm { ~ o n ~ } \quad x = 1 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { v , i k } n _ { k } = \left[ K u _ { v , l l } \delta _ { i k } + \left. 2 \mu \left( u _ { v , i k } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i k } u _ { v , l l } \right) \right. \right] n _ { k } = 0 } & { \mathrm { ~ F ~ r ~ e ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } } \\ { u _ { v , k } n _ { k } = 0 } & { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ t ~ a ~ c ~ t ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } } \end{array} \right.
V ( H , \Phi ) = \lambda _ { H } ( H ^ { \dagger } H - { \frac { v _ { H } ^ { 2 } } { 2 } } ) ^ { 2 } + \lambda _ { \phi } ( | \Phi | ^ { 2 } - { \frac { v _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 } } ) ^ { 2 } + f ( H ^ { \dagger } H - { \frac { v _ { H } ^ { 2 } } { 2 } } ) ( | \Phi | ^ { 2 } - { \frac { v _ { \phi } ^ { 2 } } { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { i } { \pi } \int _ { S ^ { 1 } \gamma } f ~ d \lambda } & { = - \frac { i } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \ell _ { g } ( \gamma ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( \tau , \theta ) \sin \theta ~ \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \tau = \int _ { 0 } ^ { \ell _ { g } ( \gamma ) } a _ { 1 } ( \tau ) \mathrm { d } \tau - \int _ { 0 } ^ { \ell _ { g } ( \gamma ) } a _ { - 1 } ( \tau ) \mathrm { d } \tau . } \end{array}
{ \frac { 1 _ { 1 0 } } { 3 _ { 1 0 } } } = { \frac { 1 _ { 2 } } { 1 1 _ { 2 } } } = 0 . 0 1 0 1 0 1 0 1 { \overline { { 0 1 } } } \ldots \, _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 r _ { t } \gamma _ { t } \Delta _ { t } \leq } & { \frac { D _ { \tau } r _ { \tau } + r _ { \tau } ^ { 2 } } { 8 } + d _ { 1 } ^ { 2 } - d _ { \tau + 1 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { D _ { \tau } r _ { \tau } + r _ { \tau } ^ { 2 } } { 8 } + \left( d _ { 1 } - d _ { \tau + 1 } \right) \left( d _ { 1 } + d _ { \tau + 1 } \right) } \\ { \leq } & { \frac { D _ { \tau } r _ { \tau } + r _ { \tau } ^ { 2 } } { 8 } + \left\Vert x _ { 1 } - x _ { \tau + 1 } \right\Vert \left( d _ { 1 } + d _ { \tau + 1 } \right) } \\ { \leq } & { \left( \frac { D _ { \tau } + r _ { \tau } } { 8 } + d _ { 1 } + d _ { \tau + 1 } \right) r _ { \tau + 1 } } \\ { \leq } & { \left( \frac { D _ { \tau } + \left( D _ { \tau } + d _ { 1 } \right) \lor r } { 8 } + d _ { 1 } + d _ { \tau + 1 } \right) r _ { \tau + 1 } } \\ { = } & { O ( d _ { 1 } + r ) r _ { \tau + 1 } . } \end{array}
\eta _ { \mathrm { ~ r ~ } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 2 } { \pi w ^ { 2 } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } e ^ { - i \Delta k x } d x d y = e ^ { - \frac { \Delta k ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 8 } } ,
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = q \left( \int f ( \mathbf { x } , \mathbf { v } , t ) \mathrm { d } \mathbf { v } - n _ { 0 } \right) } \\ { - \Delta \phi ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \rho ( \mathbf { x } , t ) } \\ { \mathbf { E } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = - \nabla \phi ( \mathbf { x } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \widehat { \tilde { u } _ { k } } - \widehat { u _ { k } ^ { n } } } { \Delta t } } & { = - \left[ \frac { \partial \widehat { ( \left. u ^ { n } u ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial x } + \frac { \partial \widehat { ( \left. v ^ { n } u ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial y } + \mathfrak { i } k \widehat { ( \left. w ^ { n } u ^ { n } \right) _ { k } } \right] + \nu \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { u _ { k } ^ { n } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { u _ { k } ^ { n } } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \widehat { u _ { k } ^ { n } } \right] } \\ { \frac { \widehat { \tilde { v } _ { k } } - \widehat { v _ { k } ^ { n } } } { \Delta t } } & { = - \left[ \frac { \partial \widehat { ( \left. u ^ { n } v ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial x } + \frac { \partial \widehat { ( \left. v ^ { n } v ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial y } + \mathfrak { i } k \widehat { ( \left. w ^ { n } v ^ { n } \right) _ { k } } \right] + \nu \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { v _ { k } ^ { n } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { v _ { k } ^ { n } } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \widehat { v _ { k } ^ { n } } \right] } \\ { \frac { \widehat { \tilde { w } _ { k } } - \widehat { w _ { k } ^ { n } } } { \Delta t } } & { = - \left[ \frac { \partial \widehat { ( \left. u ^ { n } w ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial x } + \frac { \partial \widehat { ( \left. v ^ { n } w ^ { n } \right) _ { k } } } { \partial y } + \mathfrak { i } k \widehat { ( \left. w ^ { n } w ^ { n } \right) _ { k } } \right] + \nu \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { w _ { k } ^ { n } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { w _ { k } ^ { n } } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \widehat { w _ { k } ^ { n } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \phi _ { m } - \Pi \right| ( \tau , r , \theta , \widetilde { \varphi } ) } & { } \\ { \leq } & { \: C _ { m } r ^ { - 1 } ( ( \tau + 1 ) ( 1 - r ^ { - 1 } ) + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \nu _ { m } } { 4 } + \eta } \sqrt { \sum _ { 2 k + l \leq 2 } D _ { 2 } ^ { ( 1 ) } [ Q ^ { l } K ^ { k } \phi ] } , } \\ { \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 2 } [ \phi - \Pi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C _ { m } ( 1 + \tau ) ^ { - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { \alpha \beta } \approx \sum _ { l } w _ { l } \chi _ { \alpha } ( \mathbf r _ { l } ) V _ { \mathrm { t o t } } ( \mathbf r _ { l } ) ( G _ { 0 } ( \pm \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } ) \chi _ { \beta } ) ( \mathbf r _ { l } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - v ) - { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) - w ) \| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq C ( M , M _ { 1 } , \| V \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ) \left( \| e \| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| { \delta _ { x } ^ { + } } e \| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
T _ { \gamma } \left( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ; \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } \right) = Q _ { f } \overline { { { V } } } _ { \lambda _ { 2 } } \left( p _ { 2 } , s _ { p _ { 2 } } \right) \gamma _ { \mu } U _ { \lambda _ { 1 } } \left( p _ { 1 } , s _ { p _ { 1 } } \right) \overline { { { U } } } _ { \nu _ { 1 } } \left( k _ { 1 } , s _ { k _ { 1 } } \right) \gamma ^ { \mu } V _ { \nu _ { 2 } } \left( k _ { 2 } , s _ { k _ { 2 } } \right) ,
\hat { \hat { K } } _ { \hat { \hat { a } } \hat { \hat { b } } \hat { \hat { c } } } \; = \; { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( \hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { a } } \hat { \hat { c } } \hat { \hat { b } } } \; + \; \hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { b } } \hat { \hat { c } } \hat { \hat { a } } } \; - \; \hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { a } } \hat { \hat { b } } \hat { \hat { c } } } \right) \; ,
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { t } ^ { i + 1 } = \mathbf { x } _ { t } ^ { i } + \epsilon \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { i } ) + \sqrt { 2 \epsilon } z _ { t } , } \end{array}
. T h e s e c o n f o r m a l f a c t o r s ( a n d t h e i r d i f f e r e n c e , r e s p e c t i v e l y ) a l l r e p r e s e n t t h e s a m e g e o m e t r i c o b j e c t s u p t o i s o m e t r y w i t h t h e s a m e e s t i m a t e s , b u t w i t h t h e p r o p e r t y t h a t t h e n e w c o n s t a n t c u r v a t u r e c o m p a r i s o n f a c t o r s
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { I } } \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) } & { = \left| r _ { o } \exp \left( - j 2 \pi \alpha y _ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { \lambda f } } H \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \right| ^ { 2 } } \\ & { = r _ { o } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } f ^ { 2 } } } \left| H \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \right| ^ { 2 } + { \frac { r _ { o } } { \lambda f } } H \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \exp \left( j 2 \pi \alpha y _ { 2 } \right) + { \frac { r _ { o } } { \lambda f } } H ^ { * } \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \exp \left( - j 2 \pi \alpha y _ { 2 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { y } , \eta } } & { \quad \eta } \\ { \mathrm { s . t } } & { \quad f ^ { j } + \left[ \nabla _ { \mathbf { y } } f ^ { j } + \nabla _ { \mathbf { y } } \mathbf { c } ^ { j ^ { \intercal } } \boldsymbol { \mu } ^ { j } \right] ^ { \intercal } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } ^ { j } ) \leq \eta } \\ & { \quad \mathbf { y } \in \mathcal { Y } \subseteq \mathbb { Z } ^ { n _ { y } } , \quad \eta \in \mathbb { R } , \quad j = 1 , \dots , k } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } = \cos ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \sin 2 \Delta , } \\ & { \mathbb { Q } = - 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } \frac { \sin ^ { 2 } ( \hat { A } - 1 ) \Delta } { ( \hat { A } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 2 } { \hat { A } - 1 } \sin ^ { 2 } 2 \ensuremath { \theta _ { 2 3 } } \left( \sin \Delta \cos \hat { A } \Delta \frac { \sin ( \hat { A } - 1 ) \Delta } { \hat { A } - 1 } - \frac { \hat { A } } { 2 } \Delta \sin 2 \Delta \right) , } \\ & { \mathbb { R } = 2 \sin 2 \theta _ { 1 2 } \sin 2 \theta _ { 2 3 } \cos \delta _ { \mathrm { C P } } \cos \Delta \frac { \sin \hat { A } \Delta } { \hat { A } } \frac { \sin ( \hat { A } - 1 ) \Delta } { \hat { A } - 1 } . } \end{array}
\Pi _ { \Phi } \equiv \frac { \delta { \cal L } } { \delta \partial _ { 0 } \Phi } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 0 } \Phi , { } ~ ~ ~ ~ \Pi _ { \Psi _ { \pm } } \equiv \frac { \delta { \cal L } } { \delta \partial _ { 0 } \Psi _ { \pm } } = \frac { 1 } { 2 } \bar { \Psi } _ { \pm } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { S } ^ { \mathrm { c l } } ( 1 ) = } & { \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! - \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \sqrt { \frac { A B } { 4 A B - C ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { = \tilde { S } ^ { \mathrm { c l } } ( 2 ) \, , } \\ { \tilde { S } ^ { \mathrm { c l } } ( 1 , 2 ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | C _ { n } ( t ) | ^ { \theta } ] = ( \sigma _ { n } ( t ) ) ^ { \theta } 2 ^ { \theta } \frac { \Gamma ( \frac { 1 + \theta } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { \alpha } ) } { \sqrt { \pi } \Gamma ( 1 - \frac { \theta } { 2 } ) } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \Gamma \mathrm { ~ d e n o t e s ~ t h e ~ u s u a l ~ G a m m a ~ f u n c t i o n } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { - \tilde { H } _ { v } } \\ { \tilde { H } _ { u } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { Y _ { 1 u u } } & { Y _ { 1 u v } } \\ { Y _ { 1 v u } } & { Y _ { 1 v v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { u } } \\ { \tilde { E } _ { v } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) = \overline { { \mathbf { v } } } _ { 0 } ( x , t ) + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \Gamma } ( x , t ) , \ \ \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) = \overline { { \mathbf { v } } } _ { 0 } ( x , t ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \Gamma } ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \} } & { { } = \{ 1 , u _ { x } , u _ { x } ^ { 2 } , u _ { x } ^ { 3 } , u _ { x } ^ { 4 } , u _ { r } ^ { 2 } , u _ { r } ^ { 4 } , u _ { x } u _ { r } ^ { 2 } , u _ { x } ^ { 2 } u _ { r } ^ { 2 } \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ^ { \prime } } & { = } & { 2 \pi i \left( \begin{array} { r r r } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( f _ { 2 } | _ { 2 } \gamma ^ { - 1 } ) ( \tau ^ { \prime } ) } & { 1 } \\ { ( f _ { 3 } | _ { 3 } \gamma ^ { - 1 } ) ( \tau ^ { \prime } ) } & { ( f _ { 4 } | _ { 4 } \gamma ^ { - 1 } ) ( \tau ^ { \prime } ) } & { - ( f _ { 2 } | _ { 2 } \gamma ^ { - 1 } ) ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array} \right) d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { ( k ) } } & { = \left[ w ^ { ( k ) } , x ^ { ( k ) } ; F \right] ^ { - 1 } \left[ v ^ { ( k ) } , z _ { 1 } ^ { ( k ) } ; F \right] } \\ & { = \left( I + X _ { 1 } e _ { k } + X _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) \right) \left( I + C _ { 2 } \left( 2 - \delta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) C _ { 2 } \left( I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) e _ { k } ^ { 2 } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) } \\ & { = I + X _ { 1 } e _ { k } + ( X _ { 2 } + C _ { 2 } \left( 2 - \delta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) C _ { 2 } \left( I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) ) e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) } \\ & { = I + X _ { 1 } e _ { k } + ( X _ { 2 } + C _ { 2 } \left( 2 - \delta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) C _ { 2 } \left( I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) ) e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) , } \end{array}
\mathbf { K } = { \frac { 2 \pi } { c } } \mathbf { N } = { \frac { 2 \pi } { c } } \nu ( 1 , { \hat { \mathbf { n } } } ) = { \frac { \omega } { c } } \left( 1 , { \hat { \mathbf { n } } } \right) \, .
d ( N ) = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { \alpha _ { n _ { 1 } , \cdots , n _ { l } + 1 , \cdots , n _ { K } } } { \alpha _ { n _ { 1 } , \cdots , n _ { K } } } \delta _ { n _ { 1 } + \cdots + n _ { K } , N - 1 } \ .
y ^ { \prime } = \frac { \sqrt { \frac { \alpha } { 2 \pi } } y \sqrt { y ^ { 2 } - 1 } } { 1 + \sqrt { \frac { 2 \alpha } { \pi } } \sqrt { y ^ { 2 } - 1 } } \ , \qquad y ( 0 ) = 1 \ .
\frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } = \overline { { S } } _ { i j } \overline { { S } } _ { i j } + \overline { { \Omega } } _ { i j } \overline { { \Omega } } _ { i j } = | \overline { { S } } | ^ { 2 } / 2 + \overline { { \omega } } ^ { 2 } / 2
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } ^ { - 1 } \partial _ { \bar { \rho } } ( \bar { \rho } \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } ) + \partial _ { \bar { z } } ^ { 2 } \bar { \psi } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \varrho _ { p } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } ( \bar { c } _ { + } - \bar { c } _ { - } ) , } \\ { \partial _ { \bar { t } } \bar { c } _ { \pm } } & { = - \bar { \rho } ^ { - 1 } \partial _ { \bar { \rho } } ( \bar { \rho } j _ { \bar { \rho } , \pm } ) - \partial _ { \bar { z } } j _ { \bar { z } , \pm } , } \\ { \bar { j } _ { \bar { \rho } , \pm } } & { = - \partial _ { \bar { \rho } } \bar { c } _ { \pm } \mp \bar { c } _ { \pm } \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } , } \\ { \bar { j } _ { \bar { z } , \pm } } & { = - \partial _ { \bar { z } } \bar { c } _ { \pm } \mp \bar { c } _ { \pm } \partial _ { \bar { z } } \bar { \psi } , } \end{array}
{ \cal H } ( \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ; \kappa _ { 1 } ^ { \prime } , \kappa _ { 2 } ^ { \prime } ) = \vert \kappa _ { 1 } \vert ^ { - 2 } \vert \kappa _ { 2 } \vert ^ { - 2 } { \cal H } ^ { ( 0 ) } ( \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } ; \kappa _ { 1 } ^ { \prime } , \kappa _ { 2 } ^ { \prime } ) - \delta ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ^ { \prime } ) \left( \alpha _ { G } ( \kappa _ { 1 } ) + \alpha _ { G } ( \kappa _ { 2 } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s _ { 1 } } + \frac { 1 } { s _ { 2 } } \cos ( \alpha L ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { 1 } { s _ { 2 } } \sin ( \alpha L ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\frac { \partial \zeta _ { i j k l } } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \zeta _ { i j k l } } { \partial x _ { m } } = P _ { i j k l } ^ { S t r a i n } + P _ { i j k l } ^ { V o r t i v i t y } + D _ { i j k l } ^ { \zeta } + S _ { i j k l } ^ { P o s i t i v e } + E _ { i j k l } ^ { D i s s i p a t i o n } ,
{ \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \phi ( p ) ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \phi ( - p ) K ^ { - 1 } ( p ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } } & { = } & { - 0 . 7 3 4 * \bar { I } \bar { I } I I } \\ & { } & { + 0 . 1 2 2 * \bar { Z } \bar { I } Z I } \\ & { } & { + 0 . 1 2 0 * \bar { Z } \bar { I } I Z } \\ & { } & { + 0 . 1 2 0 * \bar { I } \bar { Z } Z I } \\ & { } & { + 0 . 1 1 9 * \bar { I } \bar { Z } I Z } \\ & { } & { + 0 . 0 7 3 * \bar { X } \bar { X } Y Y } \\ & { } & { + 0 . 0 7 3 * \bar { Y } \bar { Y } X X } \\ & { } & { + 0 . 0 7 3 * \bar { X } \bar { X } X X } \\ & { } & { + 0 . 0 7 3 * \bar { Y } \bar { Y } Y Y } \\ & { } & { + 0 . 0 4 8 * \bar { I } \bar { I } I Z } \\ & { } & { + 0 . 0 4 8 * \bar { I } \bar { Z } I I } \\ & { } & { + 0 . 0 4 7 * \bar { I } \bar { I } Z Z } \\ & { } & { + 0 . 0 4 7 * \bar { Z } \bar { Z } I I } \\ & { } & { + 0 . 0 3 1 * \bar { I } \bar { I } Z I } \\ & { } & { + 0 . 0 3 1 * \bar { Z } \bar { I } I I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { z _ { j } } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { = \left\Vert \nabla _ { z _ { j } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq \left\Vert - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi ^ { 2 } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) m ^ { - 1 } } { \left[ m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right] ^ { 2 } } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \quad + \left\Vert \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \left[ e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \left( X _ { i } - z _ { j } \right) - e _ { k } \right] \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq 9 \left( \frac { m ^ { - 1 } } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } + \frac { 1 } { \delta \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } } \right) R ^ { 2 } + \frac { \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } { \delta } . } \end{array}
\psi _ { N } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dots , p _ { N } ) \equiv \frac { L ^ { N / 2 } } { 2 ^ { ( N + 2 ) / 2 } \pi ^ { N + 1 } } c _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { N } } .
2 [ A - B - 1 + 2 p ^ { \prime } ] x = [ 2 A ( 1 - p ^ { \prime } ) + 2 B p ^ { \prime } + p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) ] \pm \left[ [ 2 A ( 1 - p ^ { \prime } ) + 2 B p ^ { \prime } + p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } - 4 [ A - B - 1 + 2 p ^ { \prime } ] [ ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } A - p ^ { 2 } B ] \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { \xi _ { k } ^ { n } = ( { m _ { k + 2 } ^ { n } + m _ { k } ^ { n } } ) { \varDelta x } - \frac { 2 \varDelta t } { 3 } \left\{ \frac { ( m _ { k + 2 } ^ { n } ) ^ { 2 } } { \rho _ { k + 2 } ^ { n } } + p ( \rho _ { k + 2 } ^ { n } ) - \frac { ( m _ { k } ^ { n } ) ^ { 2 } } { \rho _ { k } ^ { n } } - p ( \rho _ { k } ^ { n } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } \approx } & { { } H _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } [ S , H _ { I } ] } \\ { = } & { { } H _ { 0 } - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta _ { A } } [ D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { z } a ^ { \dagger } a ] - \frac { g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta _ { B } } [ D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { z } b ^ { \dagger } b ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \sum _ { x \in \mathcal { N } _ { \ell } \cap T \cap \omega } \operatorname { m e a s } ( T ) w _ { \ell , T } ( x ) ( f ( x ) - 2 \chi _ { \mathcal { C } _ { v _ { h } } ^ { \ell } } ( x ) ( \operatorname* { d e t } \mathrm { D } _ { \mathrm { p w } } ^ { 2 } v _ { h } ( x ) ) ^ { 1 / 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { F ^ { \mathrm { c o m p . } } } _ { i j } ^ { - 1 } } & { = ( \hat { F } ^ { \mathrm { c o m p . } } - \delta F ) _ { i j } ^ { - 1 } } \\ & { \approx { \left. \hat { F } ^ { \mathrm { c o m p . } } \right. } _ { i j } ^ { - 1 } + { \left. \hat { F } ^ { \mathrm { c o m p . } } \right. } _ { i k } ^ { - 1 } \delta F _ { k m } { \left. \hat { F } ^ { \mathrm { c o m p . } } \right. } _ { m j } ^ { - 1 } , } \end{array}
\tilde { D } _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } ( k ) = \frac 1 { k ^ { 2 } } \left[ P _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } + \frac 1 { k ^ { 2 } } \tilde { \Pi } _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } ( k ) + \left( \frac 1 { k ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \tilde { \Pi } _ { \rho \sigma } ^ { \mu \nu } ( k ) \tilde { \Pi } _ { \alpha \beta } ^ { \rho \sigma } ( k ) + \dots \right]