harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \vec { y } } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { 2 } } \\ { y _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 2 } ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } + h \cdot y _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } + h \cdot y _ { 1 } ^ { \prime \prime } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime } + h \cdot f \left( t _ { 1 } , y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 . 5 + 0 . 5 \cdot 0 . 5 } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \cdot 2 } \\ { 2 + 0 . 5 \cdot \left( \sin { 0 . 5 } + ( \cos { 0 . 5 } ) \cdot 1 . 5 + 0 . 5 ^ { 2 } \cdot 0 . 5 - 4 \cdot 0 . 5 \cdot 2 \right) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 . 7 5 } \\ { 1 . 5 } \\ { 0 . 9 6 0 4 } \end{array} \right) }
H _ { 0 , { \mathrm { I } } } ( t ) = e ^ { i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } H _ { 0 , { \mathrm { S } } } e ^ { - i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } = H _ { 0 , { \mathrm { S } } } .
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { t } \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ( \Omega ) ^ { \prime } ) } + \| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { H ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) } } \\ & { \qquad \leq C _ { 0 } ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac 1 4 } + C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } ( T ^ { \frac 1 2 } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac 1 4 } ) , } \\ & { \| \mathbf { w } _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| \partial _ { t } \mathbf { w } _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) ) } \leq C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt n \left( S _ { n } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right) } & { = \frac 1 { \sqrt n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( X _ { i } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right) - 2 \sqrt n \overline { { X _ { n } } } ^ { 2 } + \sqrt n \overline { { X _ { n } } } ^ { 2 } } \\ & { = \frac 1 { \sqrt n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( X _ { i } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right) - \sqrt n \overline { { X _ { n } } } ^ { 2 } . } \end{array}
\delta x = \dot { x } \xi \, \, , \, \, \, \, \, \, \delta e = \frac { d } { d t } ( e \xi ) \, \, , \, \, \, \, \, \, \delta \psi ^ { n } = \dot { \psi } ^ { n } \xi \, \, , \, \, \, \, \, \, \delta \chi = \frac { d } { d t } ( \chi \xi ) \, ,
\begin{array} { r } { \overline { c } \in D ^ { t } ( \overline { a } , \overline { b } ) \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } \overline { c } \in \overline { a } + \overline { b } } \\ { \overline { c } \in D ( \overline { a } , \overline { b } ) \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } \overline { c } \in D ^ { t } ( \overline { c } ^ { 2 } a , \overline { c } ^ { 2 } b ) . } \end{array}
X ^ { h k } ( { \bf r } ) p _ { i } ^ { h } p _ { j } ^ { k } \longrightarrow X ^ { h k } ( { \frac { { \bf r } _ { s } + { \bf r } _ { s - 1 } } { 2 } } ) p _ { i s } ^ { h } p _ { j s } ^ { k } .
E ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } g \eta ^ { 2 } + ( D + \eta ) | \mathbf { u } | ^ { 2 } - \left[ c g D ^ { 2 } | \nabla \eta | ^ { 2 } + a D ^ { 3 } ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ^ { 2 } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta ^ { ' } \sin ( \phi ^ { ' } + \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ { \cos \theta ^ { ' } } \\ { \sin \theta ^ { ' } \cos ( \phi ^ { ' } + \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \cal E } = \frac { 1 } { 2 } \, \mu ^ { 1 - 2 \nu } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left\{ { \bf p } ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \left[ ( n + s ) ^ { 2 } + \frac { g } { 3 } \right] \right\} ^ { \nu } \Bigg | _ { \nu = 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e f f } } = \hat { H } _ { \mathrm { A } } + \hat { v } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e m b } } = \hat { H } _ { \mathrm { A } } + \int \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) { v } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e m b } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \mathrm { d } \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } | \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) = W ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } | \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } ( c _ { [ 1 , \infty ] } | s _ { 1 } ) = } & { c _ { 1 } + \gamma \rho _ { 2 } ^ { s _ { 1 } } ( c _ { 2 } ) + \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \sum _ { t = 3 } ^ { T } \gamma ^ { t - 1 } \mathbb { E } _ { s _ { [ 1 , t - 1 ] } } \left[ { \rho _ { t } ^ { s _ { [ 1 , t - 1 ] } } } ( c _ { t } ) \right] , } \end{array}
p _ { n } ( n , g ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n - 1 } { k } \left( \frac { n } { n + g } \frac { 1 } { k + 1 } + \frac { g } { n + g } \frac { 1 } { k + 2 } \right) \left( \frac { n + g - 1 } { n + g } \right) ^ { n - k - 1 } \left( \frac { 1 } { n + g } \right) ^ { k } .
\Delta _ { A } ^ { B } = \Delta _ { \left( a i \alpha \right) } ^ { \left( b j \beta \right) } = \delta _ { \alpha } ^ { \beta } \Delta _ { \left( a i \right) } ^ { S \, \left( b j \right) } \, + \left( \gamma _ { 5 } \right) _ { \alpha } ^ { \beta } \, \Delta _ { \left( a i \right) } ^ { P \, \left( b j \right) } .
Q _ { \mathrm { e v } } = 4 \pi R { \cal D } ( T _ { \mathrm { i } } ) c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) \left( \frac { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \mathrm { i } } ) } { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) .
\begin{array} { r } { C = - \frac { \sigma _ { i c } } { k _ { z } } , \quad \lambda = \frac { 2 \pi } { \left( m ^ { 2 } / r ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } , \quad \psi = - \tan ^ { - 1 } \left( { \frac { m } { r k _ { z } } } \right) . } \end{array}
\kappa \left( \mathcal { T } _ { \delta , \delta _ { 1 } } \cap \mathcal { W } _ { \mathbf { q } } ^ { - } \right) \subset \bigcup _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \bigcup _ { j = 1 } ^ { N _ { i , u } } [ x _ { i , j } - C h ^ { \delta _ { 1 } } , x _ { i , j } + C h ^ { \delta _ { 1 } } ] \times [ \xi _ { i , j } - C h ^ { \delta _ { 1 } } , \xi _ { i , j } + C h ^ { \delta _ { 1 } } ]
\langle 1 _ { - } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { - } \rangle = \langle \hat { \Theta } 1 _ { - } | \hat { \Theta } \hat { W } _ { j } \hat { \Theta } ^ { - 1 } | \hat { \Theta } 1 _ { - } \rangle = - \langle 1 _ { + } | \hat { W } _ { j } | 1 _ { + } \rangle .
\frac { 1 } { \mathrm { R e } \left( S \right) } = F _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } F _ { 2 } T _ { p } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( T ^ { 4 } \delta ^ { 4 } \right) ,
- \Gamma _ { \natural } ^ { 2 } + 2 \Delta _ { \natural } \Gamma _ { \natural } + ( r _ { \natural } + r ) ^ { 2 } \Delta _ { \natural } = \frac { ( - 4 r _ { \natural } ^ { 2 } + 4 r _ { \natural } ( r _ { \natural } - M ) ) \Delta _ { \natural } ^ { 2 } + ( r _ { \natural } - M ) ^ { 2 } ( r _ { \natural } + r ) ^ { 2 } \Delta _ { \natural } } { ( r _ { \natural } - M ) ^ { 2 } } .
\dot { \rho _ { 1 } } = \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \sqrt { \chi } } - \rho _ { 1 } , \quad \dot { \rho _ { 2 } } = - \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { 4 \rho _ { 2 } } + \frac { \zeta ( t ) } { \sqrt { 2 } } ,
{ \Big | } \sum _ { k } z _ { k } { \Big | } \; { \overset { ( i ) } { = } } \; c { \Big ( } \sum _ { k } z _ { k } { \Big ) } = \sum _ { k } c z _ { k } \; { \overset { ( i i i ) } { = } } \; \sum _ { k } \mathrm { R e } ( c z _ { k } ) \; { \overset { ( i i ) } { \leq } } \; \sum _ { k } | c z _ { k } | = \sum _ { k } | c | | z _ { k } | = \sum _ { k } | z _ { k } |
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \hat { f } ( X _ { i j } ) - f ^ { \circ } ( X _ { i j } ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { \int _ { \Omega } \left( f - f ^ { \circ } \right) ^ { 2 } d \mathcal { P } _ { X } + \frac { 2 } { n m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } U _ { i } ( X _ { i j } ) \hat { f } ( X _ { i j } ) \right] + \frac { 2 } { n m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \epsilon _ { i j } \hat { f } ( X _ { i j } ) \right] . } \end{array}
\chi _ { 5 } ^ { \prime } \rightarrow \gamma _ { 5 } \left[ \underbrace { ( p _ { 0 } + Q F ) \gamma _ { 0 } - \sqrt { m ^ { 2 } + \alpha } } _ { d i a g o n a l } + \underbrace { Q G \gamma _ { 5 } \gamma _ { 0 } } _ { s k e w - d i a g o n a l } \right] .
I . \left[ \begin{array} { c } { { \xi _ { Y } } } \\ { { \xi _ { Z } } } \\ { { \xi _ { v } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { { i \xi _ { Y } } } \\ { { i \xi _ { Z } } } \\ { { i \xi _ { v } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { \operatorname { U } ( N ) } } & { \mathrm { d } U \, \hat { U } \otimes \hat { U } \otimes \hat { U } ^ { \dag } \otimes \hat { U } ^ { \dag } } \\ & { \ = \quad \ \frac { 1 } { N ^ { 2 } - 1 } \quad \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } } \Big ( | i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } \rangle \langle j _ { 1 } , j _ { 2 } , i _ { 1 } , i _ { 2 } | + | i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 2 } , j _ { 1 } \rangle \langle j _ { 1 } , j _ { 2 } , i _ { 2 } , i _ { 1 } | \Big ) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { N ( N ^ { 2 } - 1 ) } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } } \Big ( | i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 2 } , j _ { 1 } \rangle \langle j _ { 1 } , j _ { 2 } , i _ { 1 } , i _ { 2 } | + | i _ { 1 } , i _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 2 } \rangle \langle j _ { 1 } , j _ { 2 } , i _ { 2 } , i _ { 1 } | \Big ) } \\ & { \ = \frac { 1 } { N ^ { 2 } - 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { N } \operatorname { S w a p } _ { 3 , 4 } \right) \left( \operatorname { S w a p } _ { 1 , 3 } \operatorname { S w a p } _ { 2 , 4 } + \operatorname { S w a p } _ { 1 , 4 } \operatorname { S w a p } _ { 2 , 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p _ { i } } { \partial t } = } & { - \frac { 1 } { \mathcal { N } } \frac { \partial } { \partial x } \Big ( ( I - \gamma x ) p _ { i } ( x , t ) \Big ) + \frac { 1 } { \mathcal { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial p _ { i } } { \partial x } \frac { w \xi ^ { n } } { K ^ { n } + \xi ^ { n } } p ( \xi , t - \tau _ { i } , \tau _ { j } ) d \xi } \\ & { + \sum _ { k = 1 , k \neq i } ^ { N } \mathcal { W } _ { k \to i } p _ { k } ( x , t ) - \mathcal { W } _ { i \to k } p _ { i } ( x , t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = 0 } \\ & { g _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \neq 0 } \\ { x _ { 3 } } & { = { \frac { g _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { g _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } } } \\ & { \ \vdots } \\ { x _ { n } } & { = { \frac { g _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { g _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } } } \end{array} }
\tau _ { p } \sim 6 \times 1 0 ^ { - 1 3 } ~ \mathrm { s e c } \left( \frac { m _ { \tilde { s } } } { m _ { \tilde { s } } } { 1 ~ T e V } \right) ^ { 4 } \frac { 1 } { \lambda ^ { \prime 4 } } .
1 / \alpha _ { U } + { \displaystyle \cfrac { 2 1 } { 6 \pi } } \ln ( 2 m _ { t } / M _ { U } ) = 1 / \alpha _ { s } ( 2 m _ { c } ) - { \displaystyle \cfrac { 2 5 } { 6 \pi } } \ln ( m _ { c } / m _ { b } ) - { \displaystyle \cfrac { 2 3 } { 6 \pi } } \ln ( m _ { b } / m _ { t } ) .
\begin{array} { r l } { \chi ^ { ( 2 ) } } & { { } = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 2 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 3 ) } } & { { } = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 3 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 4 ) } } & { { } = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 4 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 6 ) } } & { { } = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 6 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \end{array}
a _ { i , 0 } ( x , \theta ) \ = \ \sum _ { p = 0 } ^ { k + i } a _ { i , 0 , p } \ x ^ { p } \ + \ \theta \sum _ { p = 0 } ^ { k + i - 1 } \overline { { { a } } } _ { i , 0 , p } \ x ^ { p }
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ } } ( \phi _ { i } ) } & { { } = F _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ } } \left[ 1 + \sum _ { n } ^ { \infty } A _ { n } \cos ( n \phi _ { i } ) + B _ { n } \sin ( n \phi _ { i } ) \right] , } \\ { \Gamma ( \phi _ { i } ) } & { { } = \Gamma _ { 0 } \left[ 1 + \sum _ { n } ^ { \infty } C _ { n } \cos ( n \phi _ { i } ) + D _ { n } \sin ( n \phi _ { i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \theta \, d | D u | \geq } & { \int _ { \Omega } ( \theta \psi _ { \varepsilon } ) \cdot d D u = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \int _ { \Omega } \theta \psi _ { \varepsilon } \cdot D \chi _ { D _ { k } } \, d x = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \int _ { G _ { k , \varepsilon } } \theta \psi _ { \varepsilon } \cdot D \chi _ { D _ { k } } \, d x - \varepsilon } \\ { \geq } & { \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \int _ { G _ { k , \varepsilon } } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \varepsilon } \\ { \geq } & { \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \left( \int _ { \Omega } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \int _ { \Omega \setminus G _ { k , \varepsilon } } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | \right) - \varepsilon } \\ { = } & { \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \int _ { \Omega } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \frac { 2 \varepsilon - \varepsilon ^ { 2 } } { 1 + \varepsilon } . } \end{array}
h _ { i n t r i n s i c } = { \frac { 3 2 } { 3 3 - 2 N _ { f } } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } { \frac { d k } { k } } { \frac { p } { \ln ( 1 + p ( { \frac { k ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } ) ^ { p } ) } } \ln { \frac { M + \sqrt { M ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } { M - \sqrt { M ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } } ( 1 - J _ { 0 } ( b k ) ) ,
H = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { 0 } \iiint _ { V } { \left( { { \left| E ( \mathbf { r } , t ) \right| } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } { { \left| B ( \mathbf { r } , t ) \right| } ^ { 2 } } \right) } { { \mathrm { d } } ^ { 3 } } \mathbf { r } = V \epsilon _ { 0 } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { \mu = \pm 1 } \omega ^ { 2 } \left( { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) + a _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) { \bar { a } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( \mu ) } ( t ) \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mathcal { K } _ { \psi } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { W _ { f } ( w , x ) } { \sqrt { w } } \mathrm { d } w } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { k \neq 0 } \hat { f } ( k ) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hat { f } ( k ) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k } \\ & { \quad - \operatorname* { l i m } _ { \delta k \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { { - } \delta k / 2 } ^ { { + } \delta k / 2 } \hat { f } ( k ) e ^ { - i k x } \mathrm { d } k } \\ & { = f ( x ) - \operatorname* { l i m } _ { \delta k \rightarrow 0 } \frac { \delta k } { 2 \pi } \hat { f } ( 0 ) } \\ & { = f ( x ) - \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \frac { 1 } { L } \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } f ( x ) \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d M _ { e x } } { d t } } & { { } = - ( q ^ { 2 } D _ { e } + k _ { e x } ) M _ { e x } + k _ { i } M _ { i } , } \\ { \frac { d M _ { i } } { d t } } & { { } = k _ { e x } M _ { e x } - ( q ^ { 2 } D _ { i } + k _ { i } ) M _ { i } , } \end{array}
\int _ { | \beta | = R } \frac { \mathrm { d } \beta } { 2 \pi i \beta } \beta ^ { x - y } \frac { P _ { j , a b } ( \beta ) } { \omega - E _ { j } ( \beta ) } \to \int _ { \mathrm { ~ G ~ B ~ Z ~ } _ { j } } \frac { \mathrm { d } \beta } { 2 \pi i \beta } \beta ^ { x - y } \frac { P _ { j , a b } ( \beta ) } { \omega - E _ { j } ( \beta ) }
p _ { 2 } > \left| p _ { 1 } \left( 1 + \frac { Q ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } \right) - Q \sqrt { \left( 1 + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \left( 1 + \frac { Q ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } \right) } \right| ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { H } ( 0 , R ) } \| G ^ { h , m } ( t , u ) - \hat { G } ^ { h } ( t , u ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { H } ( 0 , m ) } \| G ^ { h , m } ( t , u ) - \hat { G } ^ { h } ( t , u ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { N _ { h } } } ( 0 , m ) } | \left( 1 - \frac 1 m \right) \psi ^ { h , k _ { m } } ( t , u ) - g ^ { h } ( t , u ) | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { N _ { h } } } ( 0 , m ) } \left( 1 - \frac 1 m \right) | \psi ^ { h , k _ { m } } ( t , u ) - g ^ { h } ( t , u ) | + \frac 1 m | g ^ { h } ( t , u ) | } \\ & { < \frac { 2 K } { m } < \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \Big ( \gamma ( r ) , \left( \int _ { 0 } ^ { r } \lvert D \gamma ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner C ( s ) \right) \, e \Big ) } & { = r d \Big ( \delta _ { 1 / r } ( \gamma ( r ) ) , \left( \frac { 1 } { r } \int _ { 0 } ^ { r } \lvert D \gamma ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner C ( s ) \right) \, e \Big ) } \\ & { = r d \Big ( \bar { \gamma } ( 1 ) , \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \lvert D \bar { \gamma } ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) \right) \, e \Big ) } \\ & { \leq \bar { \mathfrak { c } } r \left| \bar { \gamma } ( 1 ) - \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \lvert D \bar { \gamma } ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) \right) e \right| ^ { 1 / s } \leq \bar { \mathfrak { c } } \mathfrak { c } ^ { 1 / s } \sigma ^ { 1 / s } r . } \end{array}
\left( { \frac { \Lambda } { \mu } } \right) ^ { - c _ { 2 } } = c _ { 1 } + c _ { 2 } f = { \frac { - c _ { 2 } } { 2 5 6 q ^ { 2 } } } + \left( c _ { 1 } + { \frac { 3 c _ { 2 } } { 3 2 } } \right) - { \frac { 6 9 c _ { 2 } } { 6 4 } } q ^ { 2 } + \dots .
\begin{array} { r l } { \left\vert I _ { \Gamma _ { 4 } } \right\vert } & { { } \leqslant \int _ { - \pi } ^ { \pi } r ^ { \xi } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { r t \mathrm { \cos } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } 1 ) } & { = } & { \big ( \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 2 } ^ { - 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } y _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { 2 } ^ { - 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( \beta _ { i } \beta _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 2 } ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( \alpha _ { i } ^ { - 1 } \alpha _ { i + 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } y _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { 2 } ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( \beta _ { i } ^ { - 1 } \beta _ { i + 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { M A F } } ^ { * } ( K , f _ { \operatorname* { m a x } } , \epsilon , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } ) = \operatorname* { m a x } \left\{ G _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } } ^ { - 1 } \left( \beta \right) , \frac { 1 } { ( 1 - \epsilon ) } H ^ { - 1 } \left( \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right) \right\} . } \end{array}
\ln 2 \approx 0 . 6 9 3 \, 1 4 7 \, 1 8 0 \, 5 5 9 \, 9 4 5 \, 3 0 9 \, 4 1 7 \, 2 3 2 \, 1 2 1 \, 4 5 8 .
\hat { M } { } _ { k l } ^ { i j } = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { } \hat { a } _ { k } ^ { } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { } \hat { a } _ { k } ^ { } } \end{array} \right] ,
| \alpha ( t ) \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - i \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \omega t } | n \rangle \langle n | \alpha \rangle = e ^ { \frac { - \hbar \omega } { 2 } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } | \alpha | ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( \alpha e ^ { - i \hbar \omega } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } } | n \rangle = e ^ { - i { \frac { \hbar \omega } { 2 } } } | \alpha e ^ { - i \omega t } \rangle
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \psi } & { { } = } & { S - ( 1 + i \theta ) \psi + i ( | \psi | ^ { 2 } + 2 \langle | \psi | ^ { 2 } \rangle ) \psi - i \partial _ { \zeta } ^ { 2 } \psi } \end{array}
[ ( \Gamma , h ) _ { p } \cdot ( \Gamma ^ { \prime } , h ^ { \prime } ) _ { p ^ { \prime } } ] = | D ( h \big | _ { e } ) _ { p } \wedge D ( h ^ { \prime } \big | _ { e ^ { \prime } } ) _ { p ^ { \prime } } | , \quad \mathrm { w h e r e } \ ( \eta _ { , } \eta _ { 2 } ) \wedge ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } ) = \left| \begin{array} { l l } { \eta _ { 1 } } & { \eta _ { 2 } } \\ { \zeta _ { 1 } } & { \zeta _ { 2 } } \end{array} \right| ,
\theta \, f _ { 1 , \ell } = \frac { \theta } { 4 } \, \sqrt { \frac { i \pi } { 2 } } \, e ^ { i \frac { \Phi } { 2 } } \, \, k ^ { 3 / 2 } \, \, \left( 1 + \frac { \Phi } { 2 \pi \ell } + { \cal O } ( \ell ^ { - 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \Psi _ { V } ^ { U T } = \, } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Lambda _ { 1 2 } \big ( 1 - \Lambda _ { 2 3 } \big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \big ) \big ( 1 - \frac { 2 } { 3 } \Lambda _ { 2 3 } \big ) } \end{array}
R _ { W } ^ { 2 } = { \frac { \int d ^ { 3 } x < \! \psi | T _ { 0 0 } | \psi \! > r ^ { 2 } } { \int d ^ { 3 } x < \! \psi | T _ { 0 0 } | \psi \! > r ^ { 2 } } } = R _ { 2 } ^ { 2 } + \Re \left( { \frac { 2 C } { E _ { 2 } } } { \frac { \alpha } { \beta } } \right) .