harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ^ { \nu } ( W _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) = } & { \frac { \langle W _ { 0 } ^ { \nu } \pi + W _ { 0 } ^ { \nu _ { 2 } } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) + W _ { 0 } ^ { \nu _ { 1 } } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) + W _ { 0 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { 0 } ^ { 0 } \pi \rangle } } \\ & { - \frac { \langle W _ { 0 } ^ { \nu _ { 2 } } \pi + W _ { 0 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) \rangle \times \langle W _ { 0 } ^ { \nu _ { 1 } } \pi + W _ { 0 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) \rangle } { \langle W _ { 0 } ^ { 0 } \pi \rangle ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y c c ^ { T } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( y ^ { T } y y c ^ { T } + y ^ { T } y c y ^ { T } - c ^ { T } y y y ^ { T } ) + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y ^ { T } y c ^ { T } y c c ^ { T } + \| A y \| ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y I } { \| A y \| ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \left( \begin{array} { l l l l } { e ^ { - i \Omega _ { 1 } t _ { 1 } } } & { e ^ { i \Omega _ { 1 } t _ { 1 } } } & { - e ^ { - i \Omega _ { 2 } t _ { 1 } } } & { - e ^ { i \Omega _ { 2 } t _ { 1 } } } \\ { \chi _ { p 1 } e ^ { - i \Omega _ { 1 } t _ { 1 } } } & { \chi _ { h 1 } e ^ { i \Omega _ { 1 } t _ { 1 } } } & { - \chi _ { p 2 } e ^ { - i \Omega _ { 2 } t _ { 1 } } } & { - \chi _ { h 2 } e ^ { i \Omega _ { 2 } t _ { 1 } } } \\ { e ^ { - i \Omega _ { p } \tau _ { p } } } & { e ^ { - i \Omega _ { p } \tau _ { p } } } & { - e ^ { - i \Omega _ { 2 } \tau _ { p } } } & { - e ^ { i \Omega _ { 2 } \tau _ { p } } } \\ { \chi _ { p 1 } e ^ { - i \Omega _ { p } \tau _ { p } } } & { \chi _ { h 1 } e ^ { - i \Omega _ { p } \tau _ { p } } } & { - \chi _ { p 2 } e ^ { - i \Omega _ { 2 } \tau _ { p } } } & { - \chi _ { h 2 } e ^ { i \Omega _ { 2 } \tau _ { p } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( I _ { U } \left( \Phi _ { s } \right) \right) ( F _ { v , U } ) \right) ( s ) \right) ( m ) } & { = \left( I _ { U } \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( s ) \right) ( m ) } \\ & { = \delta _ { P } ( m ) ^ { 1 / 2 } \int _ { U ( F ) } \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( u m s ) d u . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial \check { I } _ { j } } { \partial t } = d _ { I _ { j } } \Delta \check { I } _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \frac { L _ { j k } { \bar { \check { I } } } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \check { I } _ { j } \right) + ( 1 - \varepsilon ) \beta _ { j } \check { I } _ { j } - \gamma _ { j } \check { I } _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > t _ { 1 } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \check { I } _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > t _ { 1 } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \check { I } _ { j } ( x , t _ { 1 } ) = \delta \varphi _ { j } ( x , t _ { 1 } ) , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { c } { { J _ { 1 0 } } = { a _ { 1 } } \cos \left( \theta \right) { I _ { 1 0 } } + { a _ { 1 } } \sin \left( \theta \right) { I _ { 1 0 } } + { b _ { 1 } } , } \\ { { J _ { 0 1 } } = - { a _ { 2 } } \sin \left( \theta \right) { I _ { 0 1 } } + { a _ { 2 } } \cos \left( \theta \right) { I _ { 0 1 } } + { b _ { 2 } } . } \end{array}
{ \textbf { A } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } ( R { \dot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } + { \dot { Z } } { \hat { k } } ) = - R { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \textbf { e } } _ { r } + R { \ddot { \theta } } { \textbf { e } } _ { \theta } + { \ddot { Z } } { \hat { k } } .
\frac { \partial h _ { 2 } } { \partial t } + \frac { \partial h _ { 3 } } { \partial t } = - \frac { \gamma h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu } \left( \frac { \partial ^ { 4 } h _ { 2 } } { \partial x ^ { 4 } } + \frac { \partial ^ { 4 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 4 } } \right) + \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu L _ { y } } } \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial x }
\| q _ { f } - q * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } \leq \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { f } } , \mu _ { q } ) + \epsilon / 3 = \operatorname { W F R } ( \hat { \mu _ { q } } , \mu _ { q } ) + \epsilon / 3 \leq \operatorname { W F R } ( \hat { \mu _ { q } } , \overline { { \mu _ { q } } } ) + \operatorname { W F R } ( \overline { { \mu _ { q } } } , \mu _ { q } ) + \epsilon / 3 < \epsilon ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \tau } { \tau ^ { 2 } } \, \mathrm { e x p } \left( - \frac { p } { 2 \tau } \right) \Gamma \left( q , \frac { c \tau } 2 \right) = \left( \frac p 4 \right) ^ { \frac { q - 2 } 2 } c ^ { \frac q 2 } K _ { q } ( \sqrt { p c } ) \, .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } \lambda _ { 3 , 4 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 3 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 5 , 6 } } ) } & { = \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } \Bigl ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { 1 } { \chi } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } e } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } e } ) \Bigr ) . } \end{array}
\int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \, \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } { \omega ^ { \prime } } \biggl ( 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \biggr ) f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } ) = - n _ { i } \frac { \omega } { \omega ^ { \prime } } \frac { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) - 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { { \mathrm { t f } } , 0 } ( \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } , \omega ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ^ { j } v _ { j } + \sum _ { \pm } H ( \pm \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ) ( \pm 1 ) ^ { k } | \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } | ^ { \lambda ^ { + } } u _ { \pm } ^ { \prime } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ^ { j } v _ { j } + \sum _ { \pm } \bigl ( \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \lambda ^ { + } + 2 } N _ { \mathrm { t f } } ^ { \pm } ( P ) \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ^ { - \lambda ^ { + } } \bigr ) ^ { - 1 } ( \hat { r } _ { \mathrm { t o t } } ^ { k } f _ { k , 0 } ) , } \end{array}
\phi ^ { * } = \left[ \frac { 2 m ( D n _ { 0 } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } { \Gamma } \right] ^ { 1 / 7 } , \ \, m u ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 m \Gamma ^ { 6 } ( D n _ { 0 } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 7 } .
{ L _ { 0 - 4 } } = \sqrt { ( { L _ { 0 - 2 } } ^ { 2 } + { L _ { 2 - 4 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 0 - 2 } } \cdot { L _ { 2 - 4 } } \cdot \cos ( { A _ { 0 , 1 } } ) ) }
N ^ { 3 \omega } \approx \left( \frac { 7 } { 4 5 } \right) ^ { 2 } \frac { \alpha ^ { 4 } } { m _ { e } ^ { 8 } } \frac { \omega W ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } ^ { 6 } } { 1 1 ^ { 3 } \sqrt { 3 3 } } \sum _ { p , q = 1 , 2 } \frac { ( 1 2 1 - 5 7 \Theta _ { p q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 2 1 - 1 3 \Theta _ { p q } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 7 \omega ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 8 1 6 } ( 1 1 - 2 \Theta _ { p q } ^ { 2 } ) \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } ^ { 2 } } \, .
\langle \delta Y \rangle = \delta Y \bigg ( \frac { \delta { \cal W } } { \delta { \cal J } _ { i } } + \frac { \hbar } { i } \frac { \delta } { \delta { \cal J } _ { i } } , \, \psi ^ { \alpha } , \, \phi _ { A a } ^ { * } , \, \bar { \phi } _ { A } \, ; ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { i } } \frac { 1 } { i \hbar } { \cal J } _ { i } , \,
\begin{array} { r c l } { \mathbf { p _ { e } } } & { = } & { \left( \gamma m _ { 0 } c , 0 , 0 , \beta \gamma m _ { 0 } c \right) , } \\ { \mathbf { p _ { \mathrm { p h } } } } & { = } & { \left( \frac { E _ { \mathrm { p h } } } { c } , 0 , 0 , - \frac { E _ { \mathrm { p h } } } { c } \right) . } \end{array}
F _ { Q S } \approx \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m } [ \frac { 1 } { L _ { s } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { L _ { s } ^ { 2 } L _ { R } } ] = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m L _ { s } ^ { 2 } } [ \frac { 1 } { L _ { s } } + \frac { 1 } { L _ { R } } ]
\langle ( u \overline { { { d } } } ) ( { \bf p } ) | \overline { { { u } } } d | 0 \rangle = 2 { \bf k } _ { \perp } \cdot \langle \mathrm { \boldmath { ~ \ s i g m a ~ } } _ { \perp } \rangle + 2 E _ { { \bf k } } \beta ( 2 x - 1 ) \langle \sigma _ { \parallel } \rangle ,
\underbrace { \partial _ { t } \rho ( x , t ) } _ { \substack { \mathrm { t r a n s i e n t } } } + \underbrace { \partial _ { x } ( u _ { p } ( x , t ) \rho ( x , t ) ) } _ { \substack { \mathrm { a d v e c t i o n } } } - \underbrace { \partial _ { x } ( D ( x , t ) \partial _ { x } ( \sigma _ { p } ^ { 2 } ( x , t ) \rho ( x , t ) ) ) } _ { \substack { \mathrm { d i f f u s i o n } } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \left( D g \right) _ { i j } = } & { \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 3 } \frac { \partial g _ { i } } { \partial P _ { j } } = \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { \partial \omega _ { i } } { \partial P _ { 0 } } \frac { \partial \alpha } { \partial P _ { j } } + \frac { \partial \omega _ { i } } { \partial P _ { j } } \right) - \hat { \omega } _ { 0 } \, \hat { \omega } _ { i } \left( \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } } \frac { \partial \alpha } { \partial P _ { j } } + \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial P _ { j } } \right) } \\ { = } & { - \hat { \omega } _ { 0 } \, \hat { \omega } _ { j } \frac { \partial \omega _ { i } } { \partial P _ { 0 } } + \hat { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial \omega _ { i } } { \partial P _ { j } } + \hat { \omega } _ { i } \, \hat { \omega } _ { j } \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } } - \hat { \omega } _ { 0 } \, \hat { \omega } _ { i } \frac { \partial \omega _ { 0 } } { \partial P _ { j } } } \\ { = } & { - \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } } \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { j } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } \partial P _ { i } } + \left( \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { j } \partial P _ { i } } + \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { i } } \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { j } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { 0 } } \frac { \partial \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { F } _ { 0 } } { \partial P _ { j } \partial P _ { 0 } } . } \end{array}
\Big ( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { \pm } } { \partial ( \tau ^ { \pm } ) ^ { 2 } } ( \tau ^ { \pm } , t ) - \frac { \partial \theta _ { \pm } } { \partial t } ( \tau ^ { \pm } , t ) \Big ) 1 _ { \{ \tau ^ { \pm } \geq 0 , n ^ { \pm } = 0 \} } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I I } } & { = } & { E \left\{ \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 } \right\} = { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \phi _ { j } \right\} = } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { i } \psi _ { k } - { \frac { i } { N } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \psi _ { \ell } \right) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { m } - { \frac { j } { N } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \psi _ { n } \right) \right\} = } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { k } \psi _ { m } + { \frac { i j } { N ^ { 2 } } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \psi _ { \ell } \psi _ { n } - { \frac { 2 i } { N } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { \ell } \psi _ { m } \right] \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ( X ^ { [ t ] } ) } & { \leq g | \mathrm { P e r } _ { z } ( X ) - t \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq g | \alpha - t | ^ { 2 } | \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq g \cdot \frac { \beta _ { i } ^ { 2 } } { 2 L ^ { 2 } } \cdot | \mathrm { P e r } _ { z } ( Y ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq g \cdot \frac { \beta _ { i } ^ { 2 } } { 2 L ^ { 2 } } \cdot g \mathcal { O } ( Y ) } \\ & { = \frac { g ^ { 4 } } { 2 L ^ { 2 } } \mathcal { O } ( X ^ { [ \alpha _ { i } ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle v _ { 1 i } , v _ { 2 i } , \ell _ { i } \lvert \mu \lvert v _ { 1 j } , v _ { 2 j } , \ell _ { j } \rangle \approx \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 1 } } \right| _ { Q _ { 1 , \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } \langle v _ { 1 i } \lvert Q _ { 1 } \lvert v _ { 1 j } \rangle + \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 2 } } \right| _ { Q _ { 2 , \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } \langle v _ { 2 i } , \ell _ { i } \lvert Q _ { 2 } \lvert v _ { 2 j } , \ell _ { j } \rangle , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { l _ { x } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| { \cfrac { d \mathbf { x } } { d s } } \right| ~ d s = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { { \cfrac { d \mathbf { x } } { d s } } \cdot { \cfrac { d \mathbf { x } } { d s } } } } ~ d s = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { \left( { \cfrac { d \mathbf { x } } { d \mathbf { X } } } \cdot { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \right) \cdot \left( { \cfrac { d \mathbf { x } } { d \mathbf { X } } } \cdot { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \right) } } ~ d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \cdot \left[ \left( { \cfrac { d \mathbf { x } } { d \mathbf { X } } } \right) ^ { T } \cdot { \cfrac { d \mathbf { x } } { d \mathbf { X } } } \right] \cdot { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } } } ~ d s } \end{array} }
Z ( x _ { 1 } , . . . , x _ { M } ; \Gamma ) = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { n _ { 1 } + . . . n _ { M } = N } \; d _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { M } } \, x _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdot \cdot \cdot x _ { M } ^ { n _ { M } } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { r } } & { = \left[ \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { 2 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \ldots , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { r - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - u _ { j } ^ { \star } \| _ { 2 } = \left\| \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \left( \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right) + \mathcal { F } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } ) - u _ { j } ^ { \star } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \| \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } } \| _ { 2 } + \| \mathcal { F } \left( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right) \| _ { 2 } + \left\| \mathcal { F } \left( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right) - \mathcal { F } ( \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { < \epsilon + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right\| _ { 2 } + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } - \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 \epsilon + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right\| _ { 2 } + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 \epsilon + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \right\| _ { \infty } \left\| z ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right\| _ { 2 } + \| z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \| _ { \infty } \| \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \| _ { 2 } } \\ & { < 4 \epsilon } \end{array}
S _ { 0 } ^ { 0 } ( s ) = e ^ { 2 i \delta _ { b g } ( s ) } \frac { { m ^ { \prime } } ^ { 2 } ( s ) - s + i \beta ^ { \prime } ( s ) } { { m ^ { \prime } } ^ { 2 } ( s ) - s - i \beta ^ { \prime } ( s ) } ,
\begin{array} { r l } { W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) } & { { } = \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { j } ^ { i } ( \psi , T ; 0 ) 1 _ { \{ T < \zeta ( \psi \circ \tau _ { T } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \int _ { \partial } \phi ( \rho ) \partial _ { i } \rho \partial _ { j } \rho v _ { i } n _ { j } , } \\ { J _ { 2 } ^ { \prime } } & { = \int _ { \partial } \phi ( \rho ) \partial _ { i j } \rho v _ { i } n _ { j } = - \int _ { \partial } \phi ( \rho ) v _ { i } \partial _ { i } n _ { j } \partial _ { j } \rho , } \end{array}
\overline { { { \delta u _ { j } ^ { \prime \prime } u _ { k } ^ { * } } } } \frac { \partial \delta U _ { i } } { \partial X _ { k } } = \overline { { { \delta u _ { j } ^ { \prime \prime } u _ { k } ^ { * } } } } \delta \left( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { k } } \right)
A _ { p p } \; = \; \left[ 1 + { \cal O } ( v ^ { 4 } ) \right] { \frac { \Delta { \cal L } _ { g g } } { { \cal L } _ { g g } } } \qquad \qquad ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } , \; { } ^ { 1 } P _ { 1 } \mathrm { \ q u a r k o n i a } ) ,
\Theta = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \theta _ { \eta ^ { \prime } } } } & { { ~ \sin \theta _ { \eta } } } \\ { { - \sin \theta _ { \eta ^ { \prime } } } } & { { ~ \cos \theta _ { \eta } } } \end{array} \right) d i a g ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r } { A ^ { \mathrm { ( o u t ) } } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } + \kappa _ { c } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } + \kappa _ { o } ^ { 2 } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { x } & { = ( q a _ { 0 } + \rho ) \cos \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \sin \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { y } & { = ( q a _ { 0 } + \rho ) \sin \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \cos \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { z } & { = z _ { 0 } + \rho \phi \cot { \theta } } \end{array} \right. ,
M _ { \delta } U D ( M _ { \delta } U ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { \delta t _ { 1 , 2 } } & { \delta ^ { 2 } t _ { 1 , 3 } } & { \dots } & { \delta ^ { s - 1 } t _ { 1 , s } } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { \delta t _ { 2 , 1 } } & { \dots } & { \delta ^ { s - 2 } t _ { 2 , s } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & & { \ddots } & { \lambda _ { s - 1 } } & { \delta t _ { s - 1 , s } } \\ { 0 } & { \dots } & { \dots } & { 0 } & { \lambda _ { s } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { u ( \vec { x } , t ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \left[ \mathcal { L } ( \vec { x } , t ) d t + e ^ { - \gamma d t } u ( \vec { x } + \vec { a } d t , t + d t ) \right] } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \left[ \mathcal { L } ( \vec { x } , t ) d t + e ^ { - \gamma d t } \left( u ( \vec { x } , t ) + \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } u ( \vec { x } , t ) d t \right) \right] } \\ & { \overset { \mathrm { I t o } } { = } \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \left\{ \mathcal { L } ( \vec { x } , t ) d t + ( 1 - \gamma d t ) \left[ u ( \vec { x } , t ) + d t \left( \partial _ { t } u + \vec { a } \cdot \vec { \nabla } { u } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u } \right) \right] \right\} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) } & { = f ( \mathbf { x } _ { k } + \alpha _ { k } \mathbf { p } _ { k } ) = : g ( \alpha _ { k } ) } \\ { g ^ { \prime } ( \alpha _ { k } ) } & { { \overset { ! } { = } } 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha _ { k } = { \frac { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { k } ) } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \theta _ { j } ^ { \prime } = } & { { } ( 1 - \cos \theta _ { j } ) + ( 1 + \cos \theta _ { j } ) \big [ \eta _ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } s _ { j k } \delta ( \theta _ { k } - \pi ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( r i ) } } ( \alpha ) = \int _ { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d \tau _ { 1 } \frac { d \Pi _ { n + 1 } ^ { \mathrm { ( r i ) } } ( \alpha ; \tau _ { 1 } ) } { d \tau _ { 1 } } } \\ & { = 1 - \sum _ { k = 0 } ^ { N } F _ { k } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { D O C } _ { m } ( { \bf r } ) = \bigg | \! \! \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \! \! \! d t \, | \psi ( { \bf r } , t ) | ^ { 2 } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \omega t } \bigg | ^ { 2 } \! \! \bigg / \bigg | \! \! \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \! \! \! d t \, | \psi ( { \bf r } , t ) | ^ { 2 } \bigg | ^ { 2 } \! \! , } \end{array}
k _ { c , \sigma } \approx \sqrt { \frac { 4 g _ { 0 } m } { N _ { \mathrm { ~ Q ~ W ~ } } \hbar ^ { 2 } } \frac { | X _ { \sigma } | ^ { 2 } } { | C _ { \sigma } | ^ { 2 } } n _ { X , \sigma } } ,
a _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 \kappa } ( \rho _ { 2 } - q ) \; \; \; , \; \; \; a _ { 0 } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 \kappa } ( \rho _ { 1 } - q ) \; \; .
\begin{array} { r l r } { r ^ { \mathrm { T M } } } & { { } = } & { \frac { \varepsilon _ { 1 } ( i \xi _ { n } ) k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) - \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } { \varepsilon _ { 1 } ( i \xi _ { n } ) k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) + \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi _ { n } ) k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } } \\ { r ^ { \mathrm { T E } } } & { { } = } & { \frac { k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) - k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } { k _ { 3 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) + k _ { 1 } ( i \xi _ { n } , k _ { \parallel } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } ) } + \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ) } \lesssim _ { p , q , n } ^ { s } \left\lVert f \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ) } + \left\lVert u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } } . } \end{array}
\left( - { \frac { 3 } { 2 } } \right) + \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 3 \left( - { \frac { 3 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) } { 2 } } = - { \frac { 3 } { 2 } } .