harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
L _ { 0 } = - \rho \, \left\{ \zeta \, { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, F \, \left[ \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial { x } } } \right) ^ { 2 } \, + \, \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial { y } } } \right) ^ { 2 } \right] \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, G \, \varphi ^ { 2 } \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, g \, \zeta ^ { 2 } \, \right\} ,
{ \boldsymbol { \nabla } } \varphi = - { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ^ { 3 } } } \left[ \mathbf { n } _ { s } \left( 1 - { \beta _ { s } } ^ { 2 } + ( \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } ) \cdot { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } / c \right) - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \right]
\begin{array} { r l } { \| \nabla P ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } , x _ { k } , \gamma _ { k + 1 } ) \| } & { \leq \| \nabla { \mathcal { L } _ { \rho } } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) \| + + 2 { \gamma } _ { k + 1 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| + \frac { 1 } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { } { \leq } } ( \Gamma _ { \mathrm { m a x } } + D _ { S } + 2 \bar { \gamma } ) \left( \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \| \Delta x _ { k } \| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { 1 } = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) \bigr ] = \int H ( x ) \frac { m _ { \star \sigma } - m _ { \star } } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { ( x - m _ { \star } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x , } \\ & { A _ { 2 } = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) ^ { 2 } ] = \int H ( x ) \frac { C _ { \star \sigma } + ( m _ { \star \sigma } - m _ { \star } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } e ^ { - \frac { ( x - m _ { \star } ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 2 } + C _ { \star } ) } } \mathrm { d } x . } \end{array}
\partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma ^ { \mu } + \kappa \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma ^ { 5 } = 0 \, , \quad \partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma ^ { \mu } - \kappa \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma ^ { 5 } = 0 \, .
\begin{array} { r l } & { \hat { \Lambda } _ { 1 } = - \frac { u _ { 1 } } { T _ { 1 } } \left( 1 - \frac { \Pi _ { 1 } } { p _ { 1 } } \right) + \frac { u _ { 2 } } { T _ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Pi _ { 2 } } { p _ { 2 } } \right) , } \\ & { \hat { \eta } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 T _ { 1 } } \left( 1 - \frac { \Pi _ { 1 } } { p _ { 1 } } \right) - \frac { 1 } { 2 T _ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Pi _ { 2 } } { p _ { 2 } } \right) , } \\ & { \hat { \zeta } _ { 1 } = - \frac { 1 } { ( 5 - 3 \gamma _ { 1 } ) T _ { 1 } } \frac { \Pi _ { 1 } } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { ( 5 - 3 \gamma _ { 2 } ) T _ { 2 } } \frac { \Pi _ { 2 } } { p _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { m } = - \frac { \sqrt { 2 \tau ^ { F } } \Big [ \exp { \left( - \frac { \tilde { u } _ { y _ { m } } ^ { 2 } } { 2 } \right) } - \exp { \left( - \frac { \tilde { l } _ { y _ { m } } ^ { 2 } } { 2 } \right) } \Big ] } { \sqrt { \pi } \Big [ \mathrm { e r f c } ( - \frac { \tilde { u } _ { y _ { m } } } { \sqrt { 2 } } ) - \mathrm { e r f c } ( - \frac { \tilde { l } _ { y _ { m } } } { \sqrt { 2 } } ) \Big ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi } & { = V \sum _ { k } \sum _ { i } \left\langle \, \Delta \phi _ { i } ^ { - k } \Delta \phi _ { i } ^ { k } \, \right\rangle } \\ & { = - \sum _ { k } 2 \left\vert \boldsymbol { q } ^ { k } \right\vert ^ { 2 } \sum _ { i j n m } \frac { \bar { T } _ { n i } ^ { k } T _ { n j } ^ { k } \left( \bar { T } ^ { k } \right) _ { i m } ^ { - 1 } \left( T ^ { k } \right) _ { j m } ^ { - 1 } } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } } \, , } \end{array}
( { \bf { k } } \times { \bf { k } } \times { \bf { E } } ) _ { i } + \mu \, \epsilon \, \omega ^ { 2 } \, { { E } _ { i } } + \mathrm { i } \, \mu \, { \sigma } _ { i j } ^ { B } ( { \bf { k } } \times { \bf { E } } ) _ { j } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { x } + u _ { y } \partial _ { y } u _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { y } \right] + c _ { s } ^ { + } \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { y } \rho + \partial _ { y } u _ { y } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { y } \right] + c _ { s } ^ { - } \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { y } \rho + \partial _ { y } u _ { y } \right] } & { { } = 0 . } \end{array}
z _ { f } ^ { \Delta L = 2 } = \frac { 2 \sqrt { 5 } \pi ^ { 9 / 2 } g _ { * } ^ { 1 / 2 } M _ { 1 } } { 2 1 G _ { F } ^ { 2 } M _ { P l } m _ { 1 } ^ { 2 } T _ { R H } ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { K ( x _ { 1 } , y _ { \pi 1 } ) K ( x _ { 2 } , y _ { \pi 2 } ) \cdots K ( x _ { n } , y _ { \pi n } ) = } } \\ & { } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n } } [ L ( x _ { 1 } , k _ { 1 } ) L ( x _ { 2 } , k _ { 2 } ) \cdots L ( x _ { n } , k _ { n } ) ] } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ M ( k _ { 1 } , y _ { \pi 1 } ) M ( k _ { 2 } , y _ { \pi 2 } ) \cdots M ( k _ { n } , y _ { \pi n } ) ] ~ ~ . } \end{array}
\delta _ { \theta } = \int _ { - L _ { 2 } / 4 } ^ { L _ { 2 } / 4 } \left[ \frac { 1 } { 4 } - \left( \frac { \left\langle \bar { u } _ { 1 } \right\rangle } { \Delta U } \right) ^ { 2 } \right] d x _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { i + 2 , j , k } ^ { ( n ) } } & { = \sum _ { u = 0 } ^ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { u } } { r ^ { u + 1 } } \frac { 1 } { ( i + 1 ) ( i + 2 ) } \left[ \frac { ( u + 1 ) n ^ { 2 } } { r } \overline { { g } } _ { i - u , j , k } ^ { ( n ) } - ( i - u + 1 ) \overline { { g } } _ { i - u + 1 , j , k } ^ { ( n ) } \right] , } \end{array}
{ \cal L } \; = \; { \frac { 1 } { 2 } } ( \tilde { \Psi } \sp \ast ( i \tilde { \partial } _ { t } - \tilde { A } _ { 0 } ) \tilde { \Psi } \; + \; c . c . ) \; + \; \tilde { A } _ { 0 } - \; { \frac { 1 } { 2 } } \; | \tilde { D } _ { i } \tilde { \Psi } | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { 1 } { \beta } } { \bf \tilde { E } } \sp 2 - \tilde { \bf B } \sp 2 ) \; - \; { \frac { 1 } { 8 } } \kappa \sp 2 ( \tilde { \Psi } \tilde { \Psi } \sp \ast - 1 ) \sp 2
\mathrm { ( A ) } \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { a t m } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } } _ { \mathrm { L S N D } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathrm { ( B ) } \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { a t m } } } _ { \mathrm { L S N D } } \; .
\begin{array} { r } { \left\| u \right\| _ { L ^ { \infty } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } = \left\| \mathcal { F } ^ { - 1 } \widehat { u } \right\| _ { L ^ { \infty } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \lesssim \left\| \widehat { u } \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } = \left\| u \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { r , * } ( 1 ) } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { k - 1 } \binom { r k } { l } \frac { ( N - l ) ! } { ( N - r k ) ! r ! } \tau ^ { r ( k - 1 ) - l } h _ { 0 } \dots h _ { l } = } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { k - 1 } \binom { r k } { l } \frac { ( N - 2 k + 1 ) ! } { ( N - r k ) ! r ! } \tau ^ { ( r - 2 ) ( k - 1 ) } \Gamma _ { l } ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ^ { \mathrm { S C } } ( \mathbf { x } ) = \frac { \omega } { 1 6 \pi e ^ { 2 } } \frac { \partial \varepsilon _ { 0 } } { \partial \omega } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } , \omega \right) | \nabla V ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } Q ( s ) } & { = 1 + A ( s ) , \quad A ( s ) } & & { = \left( 1 - e ^ { - \tau _ { r \epsilon } s } \right) C _ { h } ( s ) , } \\ { \overline { { Q } } ( s ) } & { = 1 + \overline { { A } } ( s ) , \quad \overline { { A } } ( s ) } & & { = \left( 1 - e ^ { + \tau _ { r \epsilon } s } \right) C _ { h } ( s ) . } \end{array}
\langle \tau \rangle = \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \frac { \Gamma ( 2 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \tau _ { \mathrm { m i n } } ) } { \Gamma ( 1 - \alpha , \: \lambda _ { 2 } \tau _ { \mathrm { m i n } } ) } = 0 . 0 8 2
\begin{array} { r l } & { h _ { i } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } = h _ { i + 1 } h _ { i } t _ { i + 2 , i + 3 } , \quad t _ { i + 2 , i + 3 } h _ { i } h _ { i + 1 } = t _ { i , i + 1 } h _ { i + 1 } h _ { i } , } \\ & { h _ { i } h _ { i + 1 } = h _ { i + 1 } h _ { i } t _ { i , i + 1 } ^ { - 1 } t _ { i + 2 , i + 3 } , \quad h _ { i } h _ { i + 1 } = t _ { i , i + 1 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } h _ { i + 1 } h _ { i } , } \\ & { h _ { i + 1 } h _ { i } = h _ { i } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } , \quad h _ { i + 1 } h _ { i } = t _ { i , i + 1 } ^ { - 1 } t _ { i + 2 , i + 3 } h _ { i } h _ { i + 1 } . } \end{array}
O ( \varepsilon ^ { 1 } ) : D _ { 1 j } f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } = - \tilde { \Lambda } _ { j k } f _ { k , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \bar { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + F _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } ,
\Delta _ { S ^ { 2 } } f ( \theta , \phi ) = ( \sin \phi ) ^ { - 1 } { \frac { \partial } { \partial \phi } } \left( \sin \phi { \frac { \partial f } { \partial \phi } } \right) + ( \sin \phi ) ^ { - 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } f
{ \frac { \mathrm { p i n c h } } { \mathrm { r e g } } } \sim { \frac { \lambda _ { \mathrm { n o n \ e q } } ^ { - 1 } } { \mathrm { M a x } \Big ( \lambda _ { \mathrm { m e a n } } ^ { - 1 } , \lambda _ { \mathrm { c o h } } ^ { - 1 } \Big ) } } \; .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { A } } : = } & { { } \widehat { \mathcal { M } } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { - \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } U ^ { \prime } } & { \mathcal { L } _ { 2 2 } } \end{array} \right] , \; \widehat { \mathcal { M } } : = \left[ \begin{array} { l l } { \widehat { \nabla } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { I } } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { \widehat { B } } : = } & { { } \widehat { \mathcal { M } } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l l } { - \mathrm { ~ i ~ } k _ { x } \partial _ { y } } & { - ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { - \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \partial _ { y } } \\ { \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } } & { 0 } & { - \mathrm { ~ i ~ } k _ { x } } \end{array} \right] , } \\ { \mathcal { \widehat { C } } : = } & { { } \frac { 1 } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ i ~ } k _ { x } \partial _ { y } } & { - \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } } \\ { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \partial _ { y } } & { \mathrm { ~ i ~ } k _ { x } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i } & { { } = 1 \cdot e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } i \pi + i 2 \pi k } \mid k \in \mathbb { Z } , } \\ { i ^ { i } } & { { } = e ^ { i \left( { \frac { 1 } { 2 } } i \pi + i 2 \pi k \right) } } \end{array}
G _ { \mu \nu } ^ { a } = \partial _ { \mu } { \mathcal { A } } _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } { \mathcal { A } } _ { \mu } ^ { a } + g f ^ { a b c } { \mathcal { A } } _ { \mu } ^ { b } { \mathcal { A } } _ { \nu } ^ { c } \, ,
\langle \Psi | \Psi ^ { \prime } \rangle = \int _ { { \cal M } _ { L } \times { \cal E } _ { L } } { \cal D } ^ { e } e \; { \cal D } ^ { e } \widetilde { x } \left( \mathrm { V o l } _ { e } { \cal D } _ { L } \right) ^ { - 1 } \overline { { { \Psi } } } \Psi ^ { \prime } \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = } & { C \int e x p \big [ - \big ( S ^ { v } [ \tilde { \pi } _ { m } ^ { ( \Psi ) } ] + \frac { ( \pi ^ { ( s ) } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { s } } + S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] - S ^ { 0 } \big ) / \hbar \big ] } \\ & { d \pi ^ { ( s ) } \, D \left[ \tilde { \pi } ^ { ( \Psi ) } \right] \, D \left[ \Psi \right] } \end{array}
\vec { B } _ { 0 } = B _ { 0 } ( \cos \theta _ { \mathrm { B n } } , \sin \theta _ { \mathrm { B n } } \cos \varphi , \sin \theta _ { \mathrm { B n } } \sin \varphi ) = B _ { 0 } ( 0 . 5 , 0 , \sqrt { 3 } / 2 )
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) ] } } & { = ( D _ { n } \times S _ { n } ) ^ { T } Q _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) ] } } \\ & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l l l } { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } I _ { 1 , j } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } I _ { \ell , j } } \end{array} \right] } \\ { \vdots } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 5 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } I _ { 1 , j } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 5 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } I _ { \ell , j } } \end{array} \right] } \end{array} \right] \right) ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { 0 _ { \ell } } \\ { 0 _ { \ell } } \end{array} \right] + Z _ { 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 2 ] } + \dotsc + \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 2 ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i } ^ { \tilde { \mathbf { u } } } } & { = \mathbf { x } _ { i } ^ { \pi \mathbf { v } } - \bar { \mathbf { x } } ^ { \pi \mathbf { v } } } \\ & { = \mathbf { x } _ { \pi ( i ) } ^ { \mathbf { v } } - \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } } \\ & { = \mathbf { x } _ { \pi ( i ) } ^ { \mathbf { u } } } \end{array}
0 . 2 5 \mathrm { ~ A ~ } = \frac { 5 \mathrm { ~ V ~ } } { 1 0 \mathrm { ~ O ~ h ~ m ~ s ~ } } e ^ { - \frac { t _ { 2 } } { ( 1 0 \mathrm { ~ O ~ h ~ m ~ s ~ } ) ( 0 . 1 \mathrm { ~ F ~ } ) } }
y _ { t } ^ { i } = \frac { s ^ { i } x _ { 0 } ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } y _ { t - 1 } ^ { j } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } + \frac { s ^ { i } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } \epsilon _ { t } ^ { i } .
- i \Sigma _ { 1 2 } ( p ) = ( i e ) ( - i e ) \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } i \Delta _ { 2 1 } ^ { \mu \nu } ( k ) \gamma _ { \mu } i S _ { 1 2 } ( p ^ { \prime } ) \gamma _ { \nu } \, , }
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { \prime } } & { = \gamma + \frac { 1 } { 2 } \ln \left\vert \frac { \bar { T } + i T _ { x y } + \Delta T e ^ { - 2 i \theta } e ^ { - 2 \gamma } } { \bar { T } - i T _ { x y } + \Delta T e ^ { 2 i \theta } e ^ { 2 \gamma } } \right\vert } \\ { \theta ^ { \prime } } & { = \theta + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { A r g } \left( \frac { \bar { T } + i T _ { x y } + \Delta T e ^ { - 2 i \theta } e ^ { - 2 \gamma } } { \bar { T } - i T _ { x y } + \Delta T e ^ { 2 i \theta } e ^ { 2 \gamma } } \right) \, . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l r l r } { D _ { X } = \frac { D _ { 0 } } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ , } & { } & { \gamma _ { X } = \frac { \mu _ { D } + \mu _ { M } \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ , } & { } & { H _ { X } = \frac { \beta } { 1 + \frac { \tilde { X } _ { 1 } } { \tilde { X } _ { 2 } } } ~ . } \end{array}
- E \equiv 1 - \tilde { \omega } _ { m } ^ { 2 } = \left[ \sqrt { \frac { 2 5 } { 4 } + 4 \kappa ^ { 2 } \tilde { \omega } _ { m } ^ { 2 } } - \left( m + \frac 1 2 \right) \right] ^ { 2 } .
\hat { L } _ { i _ { 2 } , i _ { 3 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 4 } } f \equiv f ( q ^ { i _ { 1 } } x ^ { 1 } , q ^ { i _ { 2 } } x ^ { 2 } , q ^ { i _ { 3 } } x ^ { 3 } , q ^ { i _ { 4 } } x ^ { 4 } ) , \quad i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } , i _ { 4 } = 1 , \dots , 4 ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { p } ^ { J + | s | - k } [ { \tilde { \upphi } } _ { k } ] ( \tau ) } \\ & { \quad \leq B ( a _ { 0 } , m ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \Sigma _ { \tau ^ { \prime } } } r ^ { - 3 } \Big \{ \sum _ { J _ { 1 } = 0 } ^ { J } | T ^ { J _ { 1 } } \Phi | ^ { 2 } + B ( a _ { 0 } , m ) \sum _ { k = 0 } ^ { | s | - 1 } \sum _ { J _ { 1 } = 0 } ^ { 4 | s | - k - 1 } ( | T ^ { J _ { 1 } } \tilde { \upphi } _ { k } | ^ { 2 } + | T ^ { J _ { 1 } } \tilde { \upphi } _ { k } ^ { \prime } | ^ { 2 } ) \Big \} d r d \sigma d \tau ^ { \prime } } \\ & { \quad \quad + B ( a _ { 0 } , m ) \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { p } ^ { J + | s | - k } [ { \tilde { \upphi } } _ { k } ] ( 0 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( ( k * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) = \bigg ( k * \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \rho _ { t } \bigg ) \rho _ { t } + 2 \bigg ( k * \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \bigg ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } + ( k * \rho _ { t } ) \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \rho _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { e } _ { p , i } } & { = - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \partial W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t - W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t - W _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t } \\ & { = W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t - W _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t , } \\ { g _ { p , i } } & { = - \delta _ { p , i } \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad - \delta _ { p , i } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = - \sum _ { w \leq m - n } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } , } \\ { h _ { p , i } } & { = - \frac { \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + 1 } { 2 } \delta _ { i , p } \partial ^ { 2 } W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \partial ^ { 2 } W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \delta _ { p , i } \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t - 2 \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = - \alpha _ { 1 } W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , p } W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\mathcal { K } _ { _ \alpha } ( t ) u _ { 0 } = C \mathcal { S } _ { _ \alpha } ( t ) u _ { 0 } = \displaystyle \sum _ { i , j = 1 } ^ { + \infty } E _ { 0 . 5 } ( - \lambda _ { i , j } t ^ { 0 . 5 } ) \langle u _ { 0 } , \varphi _ { i , j } \rangle \displaystyle \iint _ { _ D } \varphi _ { i , j } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) f ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) d y _ { 1 } d y _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { y } _ { 0 } ( \theta ; \alpha ) } & { { } = } & { \alpha ^ { 2 / 3 } \sqrt { \sin ^ { 2 } \theta + \alpha ^ { - 2 } \cos ^ { 2 } \theta } \, , } \\ { \tilde { x } _ { 0 } ( \theta ; \alpha ) } & { { } = } & { \frac { \partial } { \partial \theta } \; \tilde { y } _ { 0 } ( \theta ; \alpha ) \, \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { N S } } = } & { { } - \hat { \mathbf { V } } + \frac { 3 a } { 4 } \left( \mathbf { G } + \frac { a ^ { 2 } } { 3 } \mathbf { D } \right) \cdot \hat { \mathbf { V } } } \end{array}
\frac { d \langle a \rangle } { d t } = \frac { 2 \pi \langle a \rangle } { \gamma } \left( \langle ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) \rangle + 0 + \langle \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } \rangle + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { I ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { q } \in M _ { d } ^ { * } } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { d } r _ { j } \log \rho - \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { d } r _ { j } \log \left( \frac { v _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { q _ { i } a _ { i j } } { v _ { i } } } { q _ { j } } \right) \right\} } \\ & { = } & { \log \rho - \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { q } \in M _ { d } ^ { * } } \sum _ { j = 1 } ^ { d } r _ { j } ( - 1 ) \log \left[ T ( \mathbf { q } ) \right] _ { j } } \\ & { = } & { \log \rho - \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { s } \in T ( M _ { d } ) } \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { d } r _ { j } \log s _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( D _ { n } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } } & { \leq \frac { C } { \mathcal { F } ^ { 2 } } + \frac { 2 C } { \mathcal { F } ^ { 4 } } + \frac { 2 C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } } } \\ & { \qquad + { \bf 1 } _ { i = 1 } \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , 1 } ^ { 2 } } \mathcal { F } ^ { 4 } + { \bf 1 } _ { i \geq 2 } \biggl ( \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \bigl ( \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } + \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \bigr ) + \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } \biggr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { V ^ { - 1 } = ( | E _ { 1 } ^ { 1 } \rangle \! \rangle , \dots , | E _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } \rangle \! \rangle , | E _ { 2 } ^ { 1 } \rangle \! \rangle , \dots , | E _ { 2 } ^ { d _ { 2 } } \rangle \! \rangle , \dots ) ^ { \dag } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) = } & { { } \exp \left\{ t \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { c _ { k } d _ { k } } { \alpha _ { k } } - \gamma \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } d _ { k } \frac { e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}