harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { s _ { i } } \bullet \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ( f ^ { a } x ^ { b } \mathrm { d } x _ { \widehat { j } } ) = \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ( f ^ { a - e _ { i } } x ^ { b } \mathrm { d } x _ { \widehat { j } } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \sigma _ { \nu _ { k } } \bullet \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ( f ^ { a } x ^ { b } \mathrm { d } x _ { \widehat { j } } ) = \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ( f ^ { a } x ^ { b + e _ { k } } \mathrm { d } x _ { \widehat { j } } ) .
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 g \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } } ~ \mathrm { T r } ~ \left( \left( { \dot { \Phi } } _ { i } - { \frac { i \lambda } { 2 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) } } \epsilon _ { i j k } \left[ \Phi _ { i } , \Phi _ { j } \right] \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 + \lambda ^ { 2 } } { 2 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left[ \Phi _ { i } , \Phi _ { j } \right] ^ { 2 } \right) ~ .
\left( { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \alpha , \beta \in \mathbb { N } ^ { n } : \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } p _ { \alpha , \beta } ( \phi _ { m } ) = 0 \right) \Longrightarrow \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } T ( \phi _ { m } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \gamma } ^ { \mathrm { S R M } } } & { = \frac { \hslash } { i } \sqrt { \gamma _ { 0 } } \left( 1 + \frac { \eta } { 2 } \hat { x } \right) \left( \hat { b } _ { i n } \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { c } \hat { b } _ { i n } ^ { \dag } \right) + } \\ & { \qquad + \frac { \hslash } { i } \sqrt { \gamma _ { 1 } } \left( \hat { c } _ { i n } \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { c } \hat { c } _ { i n } ^ { \dag } \right) + } \\ & { \qquad + \frac { \hslash } { i } \sqrt { \kappa _ { m } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \hat { g } ( \omega ) \hat { d } ^ { \dagger } - \hat { d } \hat { g } ( \omega ) ^ { \dag } \right) \, \frac { d \omega } { 2 \pi } , } \\ { b _ { i n } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { b } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } \frac { d \omega } { 2 \pi } , \quad c _ { i n } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { c } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } \frac { d \omega } { 2 \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { \mathrm { F R } } ( n l ; r ) = \sum _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } \neq n l } \sum _ { L = | l - l ^ { \prime } | } ^ { l + l ^ { \prime } } B _ { n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } , L } ^ { \mathrm { F R } } Y ^ { L } ( n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } ; r ) \phi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \eta \bigg ( \frac { 9 \hat { L } ^ { 2 } c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 8 L ^ { 2 } } + \frac { 9 c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } + \frac { c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 } + \frac { c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 b } + \frac { c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \end{array}
Z _ { \mathrm { S S } } = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { 1 } { \eta ^ { 4 } { \bar { \eta } } ^ { 4 } } } \left[ ( \Theta _ { 3 } ^ { 4 } - \Theta _ { 4 } ^ { 4 } - \Theta _ { 2 } ^ { 4 } ) ( { \bar { \Theta } } _ { 3 } ^ { 4 } - { \bar { \Theta } } _ { 4 } ^ { 4 } - { \bar { \Theta } } _ { 2 } ^ { 4 } ) \right] \quad ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { \prime } } & { = - \left( { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } x _ { 3 } ^ { 2 } + { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } x _ { 1 } ^ { 2 } - { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } x _ { 1 } ^ { 2 } \right) { h } ^ { 2 } x _ { 1 } - 4 { a _ { 1 } } h x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } - 4 x _ { 1 } x _ { 4 } ^ { 2 } , } \\ { x _ { 2 } ^ { \prime } } & { = - \left( { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } x _ { 3 } ^ { 2 } - { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } x _ { 2 } ^ { 2 } + { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } x _ { 1 } ^ { 2 } \right) { h } ^ { 2 } x _ { 2 } - 4 { a _ { 2 } } h x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } - 4 x _ { 2 } x _ { 4 } ^ { 2 } , } \\ { x _ { 3 } ^ { \prime } } & { = \left( { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } x _ { 3 } ^ { 2 } - { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } x _ { 2 } ^ { 2 } - { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } x _ { 1 } ^ { 2 } \right) { h } ^ { 2 } x _ { 3 } - 4 { a _ { 3 } } h x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } - 4 x _ { 3 } x _ { 4 } ^ { 2 } , } \\ { x _ { 4 } ^ { \prime } } & { = { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } { h } ^ { 3 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } + \left( { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } x _ { 3 } ^ { 2 } + { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } x _ { 2 } ^ { 2 } + { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } x _ { 1 } ^ { 2 } \right) { h } ^ { 2 } x _ { 4 } - 4 x _ { 4 } ^ { 3 } . } \end{array}
| \eta _ { B } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } + | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } \leq C \; \varepsilon ^ { 2 } t
\left( \frac { \partial } { \partial t } + \boldsymbol { \overline { { \mathbf { U } } } \cdot \nabla } \right) \left\langle \chi \right\rangle ^ { ( \mathrm { t o t } ) } = - \frac { \left\langle \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } \right\rangle } { R _ { m } \tau _ { c } } + \mathbf { \nabla \cdot } \eta _ { \chi } \mathbf { \nabla } \left\langle \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } \right\rangle ,
\varphi _ { \mathrm { p } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle S _ { m } ^ { n } ( x ) + \frac { A _ { m } ^ { n } h \nu } { ( \kappa ^ { 2 } \delta ^ { 2 } - 2 ) } ( t + t _ { 0 } ) ^ { 2 } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } , } \\ { \displaystyle S _ { m } ^ { n } ( x ) - \frac { 2 A _ { m } ^ { n } h t ^ { \prime } } { \kappa ^ { 2 } L ^ { 2 } } } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { g ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 k _ { \perp } \tan \theta _ { \mathrm { m } } } \sqrt { 1 + \cot ^ { 2 } \theta } , ~ ~ ~ ( \mathrm { f o r } ~ - \theta _ { \mathrm { m } } \leq \theta \leq \theta _ { \mathrm { m } } ) . } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \frac { m _ { i , j } ^ { k + 1 } - m _ { i , j } ^ { k } } { \Delta t } } & { = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } D _ { i } ^ { 2 } [ m _ { i , j } ^ { k } ] + \frac { 1 } { \Delta y ^ { 2 } } D _ { j } ^ { 2 } [ m _ { i , j } ^ { k } ] } \\ & { - \frac { \beta } { \Delta x } D _ { i } ^ { 1 } [ ( \phi _ { i , j } ^ { k } - ( m _ { i , j } ^ { k } ) ^ { 2 } ) \Tilde { J } _ { x , i , j } ^ { k } ] - \frac { \beta } { \Delta y } D _ { j } ^ { 1 } [ ( \phi _ { i , j } ^ { k } - ( m _ { i , j } ^ { k } ) ^ { 2 } ) \Tilde { J } _ { y , i , j } ^ { k } ] } \\ { \frac { \phi _ { i , j } ^ { k + 1 } - \phi _ { i , j } ^ { k } } { \Delta t } } & { = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } D _ { i } ^ { 2 } [ \phi _ { i , j } ^ { k } ] + \frac { 1 } { \Delta y ^ { 2 } } D _ { j } ^ { 2 } [ \phi _ { i , j } ^ { k } ] } \\ & { - \frac { \beta } { \Delta x } D _ { i } ^ { 1 } [ m _ { i , j } ^ { k } ( 1 - \phi _ { i , j } ^ { k } ) \Tilde { J } _ { x , i , j } ^ { k } ] - \frac { \beta } { \Delta y } D _ { j } ^ { 1 } [ m _ { i , j } ^ { k } ( 1 - \phi _ { i , j } ^ { k } ) \Tilde { J } _ { y , i , j } ^ { k } ] + F ( \phi _ { i , j } ^ { k } ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { l } { \hat { S } = p ^ { [ H ] } \sum _ { m } \frac { m } { \langle m \rangle } \hat { P } ( m ) \left[ 1 - ( 1 - S ) ^ { m - 1 } \right] , } \\ { S = p ^ { [ N ] } \sum _ { k } \frac { k } { \langle k \rangle } P ( k ) \left[ 1 - ( 1 - \hat { S } ) ^ { k - 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \leq } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, \tilde { Z } , } \\ { F } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, \tilde { F } = \sigma _ { \mathrm { S B } } T _ { 0 } ^ { 4 } - Z , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hbar \omega _ { \mathrm { i } } = \hbar ( \omega _ { \mathrm { s } } \ + \omega _ { \mathrm { m } } ) } \\ { \hbar \boldsymbol { k } _ { \mathrm { i } } = \hbar ( \boldsymbol { k } _ { \mathrm { s } } + \boldsymbol { k } _ { \parallel \mathrm { m } } ) . } \end{array}
a = m _ { W } ^ { 2 } + m _ { \tilde { l } } ^ { 2 } - s - \frac { 2 s m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } } { ( s - m _ { \tilde { \nu } } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } } { ( s - m _ { \tilde { \nu } } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { \int _ { t ^ { \ast } } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } ( b ( s ) - b ( t ^ { \ast } ) ) s ^ { n } ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { \int _ { t ^ { \ast } } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n + 1 } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \frac { \int _ { t _ { j } } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } ( b ( s ) - b ( t _ { j } ) ) s ^ { n } ( \tilde { f } ( s ) - f ( s ) ) \d s } { \int _ { t _ { j } } ^ { \infty } e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n + 1 } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } L _ { j } < \infty . } \end{array}
h _ { \ i } ^ { \underline { { { a } } } } \, \dot { \xi } _ { \underline { { { a } } } } - T _ { i 0 } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { \underline { { { a } } } } = T _ { i j } ^ { \underline { { { a } } } } \, \xi _ { \underline { { { a } } } } \, { \dot { x } j }
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { ~ E ~ x ~ p ~ C ~ u ~ t ~ o ~ f ~ f ~ } } ( \omega , n ) } & { { } = \frac { 2 \pi } { \Delta s ^ { 2 } } \hbar \xi \frac { \omega ^ { n } } { \omega _ { c } ^ { n - 1 } } \exp \left( - \frac { \omega } { \omega _ { c } } \right) , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } J _ { \mathrm { ~ D ~ r ~ u ~ d ~ e ~ L ~ o ~ r ~ e ~ n ~ t ~ z ~ } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 2 \lambda } { \Delta s ^ { 2 } } \frac { \gamma \omega } { \omega ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \tilde { A } } } & { { } = T _ { 0 } + A T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( L ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) + B ( J - L - S ) ^ { 2 } - D ( J - L - S ) ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } v ^ { 2 } ( t ) d t } & { = \frac 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } v ( t ) v ^ { \prime } ( t ) d t } \\ & { \leqslant \frac 2 \lambda \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } v ^ { 2 } ( t ) d t } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } ( v ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) d t } } \end{array}
\phi \equiv \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 } { \sqrt { \frac { q ^ { 2 } - q _ { - } ^ { 2 } } { q _ { + } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } } - \sqrt { \frac { q _ { + } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } - q _ { - } ^ { 2 } } } } \right) \, .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } E _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } } & { = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \lambda } } \langle \psi _ { \lambda } | { \hat { H } } _ { \lambda } | \psi _ { \lambda } \rangle } \\ & { = { \bigg \langle } { \frac { \mathrm { d } \psi _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } { \hat { H } } _ { \lambda } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } + { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \hat { H } } _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } \psi _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg \rangle } + { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } { \hat { H } } _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } } \\ & { = E _ { \lambda } { \bigg \langle } { \frac { \mathrm { d } \psi _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } + E _ { \lambda } { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } \psi _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg \rangle } + { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } { \hat { H } } _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } } \\ & { = E _ { \lambda } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \lambda } } \langle \psi _ { \lambda } | \psi _ { \lambda } \rangle + { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } { \hat { H } } _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } } \\ & { = { \bigg \langle } \psi _ { \lambda } { \bigg | } { \frac { \mathrm { d } { \hat { H } } _ { \lambda } } { \mathrm { d } \lambda } } { \bigg | } \psi _ { \lambda } { \bigg \rangle } . } \end{array} }
\left[ \begin{array} { c c } { \langle N ^ { m _ { 1 } } e _ { 1 } , e _ { 1 } \rangle } & { 0 } \\ { 0 } & { \langle N ^ { m _ { 2 } } e _ { 2 } , e _ { 2 } \rangle } \end{array} \right] \mathrm { ~ o r ~ } \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { \langle N ^ { m _ { 1 } } e _ { 1 } , e _ { 2 } \rangle } \\ { \langle N ^ { m _ { 2 } } e _ { 2 } , e _ { 1 } \rangle } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { g ( { \boldsymbol M } \odot { \boldsymbol W } ^ { ( T ) } , { \boldsymbol M } \odot { \boldsymbol b } ^ { ( 0 ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } ) } \\ { = } & { ~ \textstyle \frac { 1 } { K } \big ( \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { + } \cap \mathcal { K } _ { \beta } } \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( T ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { u } ~ \rangle ) - \sum _ { j \in \mathcal { B } _ { - } \cap \mathcal { K } _ { \beta } } \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { j } ^ { ( T ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { u } ~ \rangle ) \big ) } \\ { \ge } & { ~ \textstyle \frac { 1 } { K } \sum _ { i \in \mathcal { K } _ { + } } \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { i } ^ { ( T ) } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { u } ~ \rangle ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { j \in \mathcal { B } _ { - } \cap \mathcal { K } _ { \beta } } \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { - } } | \langle ~ { \boldsymbol w } _ { j } ^ { ( T ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle | } \\ { \ge } & { ~ \big [ \alpha | \mathcal { K } _ { + } | / K - ( 1 - \beta ) ( 1 + \sigma ) \sqrt { ( 1 + r ^ { 2 } ) / | \mathcal { D } | } \big ] c _ { \eta } T \quad > ~ 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { ( k + 1 ) \eta } \right| ^ { 2 } \right] } & { \le \gamma \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] + 2 \eta \Tilde { b } + 2 \eta ^ { 2 } \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + 2 \eta ^ { 2 } \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \frac { 2 \eta d } { \beta } . } \end{array}
t _ { b a } \approx \Delta y \sqrt { \frac { k _ { z } ^ { b } } { D _ { \mathrm { o u t } } } } e ^ { - i k _ { y } ^ { b } ( - \frac { D _ { \mathrm { o u t } } } { 2 } + \frac { \Delta y } { 2 } ) } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } E _ { x } ^ { a } ( y _ { n } , z = h ) e ^ { - i \frac { 2 \pi } { N } b n } ,
{ \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } { \frac { x g ( x , Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } } \simeq { \frac { r ^ { 0 } } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \left( { \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } ( x ) } } \right) ^ { { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \gamma _ { g g } ( \omega _ { 0 } ) - 1 } \; ,
\tilde { r } _ { 0 } ( x ) = \left\| \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { 1 } } x _ { i } , \ldots , \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { G } } x _ { i } \right] \right\| _ { 0 } = \mathbf { c a r d } \left( \left\{ g : \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { g } } x _ { i } \neq 0 \right\} \right) .
\begin{array} { r l } & { \| u _ { \varepsilon } - v _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \setminus \Omega ^ { \prime } ) } \leq \| g - v _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } } \\ & { \qquad + \frac { c _ { n } } { n } \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ^ { ( n - 1 ) / n } \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \Omega \setminus \Omega ^ { \prime } } } } \operatorname { d i s t } ( x , \partial \Omega ) ^ { 1 / n } \| f - f _ { h } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { - \Delta \varphi ^ { P } ( \boldsymbol { x } ) - \frac { \rho \kappa ^ { 2 } } { \lambda + 2 \mu } \varphi ^ { P } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 1 } { \lambda + 2 \mu } f ^ { P } ( \boldsymbol { x } ) } , } & { \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \displaystyle { - \Delta \varphi ^ { S } ( \boldsymbol { x } ) - \frac { \rho \kappa ^ { 2 } } { \mu } \varphi ^ { S } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 1 } { \mu } f ^ { S } ( \boldsymbol { x } ) } , } & { \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \partial _ { \mathbf { n } } \varphi ^ { P } ( \boldsymbol { x } ) - \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { S } ( \boldsymbol { x } ) = { g } _ { \mathbf { n } } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma , } \\ { \partial _ { \mathbf { n } } \varphi ^ { S } ( \boldsymbol { x } ) + \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { P } ( \boldsymbol { x } ) = { g } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } Z } } & { { } = - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } R ^ { 3 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } Z } } & { { } = \kappa _ { 2 } R ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \delta \! f + [ \mathcal { H } _ { 0 } , \delta \! f ] _ { P } } & { { } = } & { \nabla \big ( T \delta \rho [ \delta \! f ] / \rho _ { 0 } \big ) \cdot \partial _ { \vec { v } } f _ { 0 } ( \vec { v } ) } \\ { \delta \rho ( \vec { x } , t ) } & { { } = } & { \int _ { \Delta V _ { \vec { v } } } d \vec { v } \, \delta f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) + m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right] = 2 K ( m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \textsf { K n o w n - g } } : ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb R } & { \to ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } } \\ { ( \mathbf { z } ( 0 ) , \mathbf { q } _ { o } , \mathbf { g } , \Delta t ) } & { \mapsto \mathbf { \hat { z } } ( \Delta t ) } \end{array}
\hat { n } _ { m \sigma } ( t ) = \hat { c } _ { m \sigma } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { m \sigma } ( t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { q , q ^ { \prime } } \mathrm { e } ^ { i ( q - q ^ { \prime } ) m } \hat { c } _ { q \sigma } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { q ^ { \prime } \sigma } ( t ) \, ,
\frac { \partial v _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial w _ { 1 } } { \partial t } = - \frac { \gamma } { 3 \mu } h _ { 0 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial ^ { 4 } v _ { 1 } } { \partial x ^ { 4 } } \right)
Z _ { N } ^ { V , P } = \int \prod _ { 1 \leqslant i < j \leqslant N } \left| y _ { i } - y _ { j } + \frac { t } { \sqrt { N } } \big ( \phi ( y _ { i } ) - \phi ( y _ { j } ) \big ) \right| ^ { 2 P / N } . e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } V \left( y _ { i } + \frac { t } { \sqrt { N } } \phi ( y _ { i } ) \right) } . \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left( 1 + \frac { t } { \sqrt { N } } \phi ^ { \prime } ( y _ { i } ) \right) d ^ { N } \mathbf { y } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { \sum _ { m , j } \hat { \boldsymbol n } _ { i , j } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol n } _ { i , j } ( \boldsymbol r ) } & { { } = } & { q _ { i , j } \left( \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } - \boldsymbol R _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } f ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) + \lambda \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) ) \nabla y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) = - ( \nabla _ { x y } ^ { 2 } f ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) + \lambda \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \leq d ( y _ { 1 } , y _ { 4 } ) + d ( y _ { 2 } , y _ { 4 } ) < k + n ^ { \prime } - 5 \epsilon + n - n ^ { \prime } - 1 + \epsilon _ { y _ { 2 } } } \\ & { = ( k - \epsilon ) + ( n - 1 + \epsilon _ { y _ { 2 } } - 2 \epsilon ) - 2 \epsilon } \\ & { = d ( y , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 2 } ) - 2 \epsilon < d ( y , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\vec { Q } ^ { \dag } m _ { Q } ^ { 2 } \vec { Q } = ( \tilde { d } _ { L } , \tilde { s } _ { L } , \tilde { b } _ { L } ) ^ { * } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \lambda ^ { 3 } + i \theta _ { C P } \lambda } } & { { \lambda ^ { 3 } + i \theta _ { C P } \lambda ^ { 3 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } - i \theta _ { C P } \lambda } } & { { 1 + \lambda ^ { 2 } } } & { { \lambda ^ { 2 } + i \theta _ { C P } \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } - i \theta _ { C P } \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 2 } - i \theta _ { C P } \lambda ^ { 2 } } } & { { O ( 1 ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { d } _ { L } } } \\ { { \tilde { s } _ { L } } } \\ { { \tilde { b } _ { L } } } \end{array} \right) ,
\hat { \rho } = \frac 1 Z \exp \bigg ( - \frac 1 T \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int ~ d { \bf k } \Bigl [ ( \Omega _ { \bf k } - \mu _ { * } ) ~ b _ { \lambda { \bf k } } ^ { \dagger } b _ { \lambda , { \bf k } } + ( \Omega _ { \bf k } + \mu _ { * } ) ~ { \tilde { b } } _ { \lambda { \bf k } } ^ { \dagger } { \tilde { b } } _ { \lambda , { \bf k } } \Bigr ] \bigg ) .
( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) ^ { 2 } \gg 2 S _ { f } \left[ ( \mu B _ { f } - u _ { f } v _ { \parallel f } ) \left( B / B _ { f } - 1 \right) + Z e ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) / m \right] ,
\begin{array} { r l } { \underline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \underline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \underline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } > 0 \} } \\ { \overline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \overline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \overline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } < 0 \} } \end{array}