harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } & { { } = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , 2 r - \frac { 1 } { 2 } \right) } \end{array}
< O _ { V , A } ^ { q } > _ { H } = < H | \bar { b } \Gamma _ { V , A } b \bar { q } \Gamma _ { V , A } q | H > ; ~ ~ ~ ~ ~ < T _ { V , A } ^ { q } > _ { H } = < H | \bar { b } \Gamma _ { V , A } t ^ { a } b \bar { q } \Gamma _ { V , A } t ^ { a } q | H >
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \displaystyle v ^ { \theta } ( r ) d r } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( r ) \mathcal { A } v ^ { \theta } ( 0 ) d r + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { A } \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d r d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \int _ { s } ^ { t } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { A } \overline { { G } } ( z , x , s - ) d r \tilde { N } ( d s , d z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \arg d _ { 0 } = } & { \; \arg d _ { 0 } ( \zeta , t ) : = \nu \ln \bigg | \frac { ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 1 } } - k _ { 1 } ) ( \frac { 1 } { \omega k _ { 1 } } - k _ { 1 } ) } { 3 ( \frac { 1 } { k _ { 1 } } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } z _ { \star } ^ { 2 } } \bigg | - \nu \ln t } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { i } ^ { k _ { 1 } } \ln \bigg | \frac { ( k _ { 1 } - s ) ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 1 } } - s ) ( \frac { 1 } { \omega k _ { 1 } } - s ) } { ( \frac { 1 } { k _ { 1 } } - s ) ^ { 2 } ( \omega k _ { 1 } - s ) ( \omega ^ { 2 } k _ { 1 } - s ) } \bigg | d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] } \Big | C _ { t } - C _ { k h _ { n } } - \smallint _ { k h _ { n } } ^ { t } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \, d W _ { s } \Big | } & { \le \operatorname* { s u p } _ { t \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] } \Big | \smallint _ { k h _ { n } } ^ { t } ( \sigma _ { s } - \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ) \, d W _ { s } \Big | } \\ & { \quad + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] } \int _ { k h _ { n } } ^ { t } | a _ { s } | d s \, . } \end{array}
H ( O ( t , \mathbf { x } ) - O _ { n } ) = \left\{ 1 \, , \, \textup { i f \, \, } O ( t , \mathbf { x } ) \geq O _ { n } ; \, 0 \, , \, \textup { i f \, \, } O ( t , \mathbf { x } ) < O _ { n } \right\}
\# _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 ~ ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { f o r } ~ n = 3 \, , } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { 4 n ^ { 2 } - 1 2 n ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { f o r } ~ n \geq 4 \, . } } \end{array} \right.
{ \frac { d { \hat { \mathbf { r } } } } { d t } } = { \dot { \hat { \mathbf { r } } } } = { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } , \qquad { \frac { d { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { d t } } = { \dot { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } = - { \dot { \theta } } { \hat { \mathbf { r } } }
\begin{array} { r l } { A ( \bar { X } ) } & { = \frac { q } { m } \left( \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } \operatorname* { i n f } _ { X \in \mathcal { C } } \left\langle - \tilde { A } , X \right\rangle } \\ & { = - \frac { q } { m } \left( \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } \operatorname* { s u p } _ { X \in \mathcal { C } } \left\langle \tilde { A } , X \right\rangle } \\ & { = - \frac { q } { m } \left( \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \gamma ^ { 2 } } { \sqrt { r _ { 0 } } } \operatorname* { s u p } _ { X \in \mathcal { G } ( d , r _ { 0 } ) } \left\langle \tilde { A } , X \right\rangle } \\ & { \leq - c q \left( \frac { d r _ { 0 } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } \epsilon _ { i } ^ { 2 ( q - 1 ) } } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \cdot \gamma ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathrm { c o s t } ( p + H | \mathcal { X } ) } & { = \mathbb { E } _ { N } \big [ \| ( x _ { n } - p ) - H \widehat { y } _ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ] } & & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \mathbb { E } _ { N } \big [ \| x _ { n } - p \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| H \widehat { y } _ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ] } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { = } \mathbb { E } _ { N } \big [ \| x _ { n } - p \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| P _ { H } ( x _ { n } - p ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ] } & & { \stackrel { \mathrm { ( c ) } } { = } \mathbb { E } _ { N } \big [ \| P _ { H } ^ { \perp } ( x _ { n } - p ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \big ] } \end{array}
\aligned \| L _ { Q } ( \chi _ { R } \epsilon ) + ( D _ { Q } - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } ) ( 1 - \chi _ { R } ) \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = \| L _ { Q } ( \chi _ { R } \epsilon ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \, + \| ( D _ { Q } - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } ) ( 1 - \chi _ { R } ) \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \langle L _ { Q } ( \chi _ { R } \epsilon ) , ( D _ { Q } - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } ) ( 1 - \chi _ { R } ) \epsilon \rangle . \endaligned
S _ { q , g } ^ { e x t } = { \frac { 1 } { 4 \sqrt { \pi } } } \int _ { \epsilon ^ { 2 } / l ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 3 / 2 } } } k _ { H } ( s ) \Theta _ { \Sigma _ { g } } ( s { \frac { l ^ { 2 } } { l _ { 1 } ^ { 2 } } } ) e ^ { - { s / 4 } } ~ ~
K \left( k \right) \approx { \frac { \pi } { 2 } } + { \frac { \pi } { 8 } } { \frac { k ^ { 2 } } { 1 - k ^ { 2 } } } - { \frac { \pi } { 1 6 } } { \frac { k ^ { 4 } } { 1 - k ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \psi _ { n } ( x _ { q } , z ) = \frac { 2 n \pi } { k ( z _ { b } - z _ { a } ) } } \\ { \partial _ { x } \psi _ { n } ( x _ { q } , z ) = \sqrt { \varepsilon ( x _ { q } , z ) - \left( \frac { 2 n \pi } { k ( z _ { b } - z _ { a } ) } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi } _ { a , k } } \\ { \dot { \psi } _ { b , k } } \end{array} \right) } & { = E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a . k } } \\ { \psi _ { b . k } } \end{array} \right) } \\ & { - \left( \begin{array} { c c } { E a / 2 } & { t + t ^ { \prime } e ^ { - i k } } \\ { t + t ^ { \prime } e ^ { i k } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { a . k } } \\ { \psi _ { b , k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { L } = } & { { } \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu i j } } \partial _ { i } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k j } \right) + \theta _ { l } \partial _ { \mu } \left( 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \mu t i } } \partial _ { t } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \bar { B } _ { j } \bar { B } _ { j } ^ { * } ) ^ { - 1 } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 ^ { T } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } I _ { p } } \end{array} \right] + \frac { 1 } { 2 p } \left[ \begin{array} { c } { 2 } \\ { e } \end{array} \right] [ 2 , \; e ^ { T } ] , \quad j = 1 , \ldots , q . } \end{array}
I _ { f i e l d } = \langle I \rangle = \int d ^ { 4 } x \, \left[ - m ^ { 2 } \sqrt { - { \frac { 1 } { 2 } } W ^ { \mu \nu } ( x ) W _ { \mu \nu } ( x ) } - { \frac { 1 } { 2 } } W ^ { \mu \nu } ( x ) \partial _ { [ \, \mu } A _ { \nu \, ] } \right] \ .
W _ { I I } = \frac { { \Psi } ^ { 3 } } { \eta ^ { 2 } ( S ) { \omega ( S ) } ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } { \ln { ( \omega ( S ) } } + 3 b \ln ( \frac { \Psi \eta ^ { 2 } ( T ) } { \mu } ) \right) .
\Omega ( \mathcal { L } ) = \int _ { \ell _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { 1 } \int _ { \ell _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { 2 } \cdots \int _ { \ell _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { k } \, \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \ell _ { i } - \mathcal { L } ) = \frac { ( \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! }
\mathcal { L } _ { a , \, e f f } ^ { c h } = \frac { 1 } { 2 } M _ { W } ^ { 2 } W _ { a } \cdot W _ { a } - g W _ { a } \cdot \left[ J _ { a } - s _ { \alpha } ^ { 2 } \, c _ { \theta } ^ { 2 } \, X \, J _ { a } ^ { K K } \right] - \frac { g ^ { 2 } } { 2 \, m _ { Z } ^ { 2 } } \, X \, J _ { a } ^ { K K } \cdot J _ { a } ^ { K K } \, ,
\frac { \partial ( \rho { k } ) } { \partial t } + \frac { \partial ( \rho { U _ { i } } k ) } { \partial x _ { i } } = P _ { k } - \beta ^ { * } \rho k \omega + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \Big [ ( \mu + \sigma _ { k } \mu _ { t } ) \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } \Big ] \,
\left[ K _ { 1 + } ( \epsilon ) \right] _ { r e s } \ = \ \Gamma \ \frac { m _ { \Delta } ^ { 2 } } { q _ { \Delta } ^ { 3 } \ W } \ \frac { q _ { c } ^ { 2 } } { m _ { \Delta } ^ { 2 } - W ^ { 2 } } \ \ \ ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ } } = \underbrace { \left( \begin{array} { l l } { \Gamma _ { z z } ^ { E E } } & { \Gamma _ { z y } ^ { E H } } \end{array} \right) } _ { \Gamma } \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \xi _ { z } ^ { E } } \\ { \xi _ { y } ^ { H } } \end{array} \right) } _ { \xi } h , } \end{array}
{ \bar { x } } + \left( { \bar { x } } - { \bar { y } } \right) { \frac { d p } { d t } } = \sum { \frac { d I ^ { h } } { d t } } + \left( \sum \pi _ { z } ^ { f } { \frac { d z ^ { f } } { d t } } - \sum E _ { z } ^ { h } { \frac { d z ^ { h } } { d t } } \right)
| M _ { t _ { 1 } } ^ { N } ( z ) - M _ { t } ^ { N } ( z ) | \leq \frac { 2 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { | \lambda _ { t } ^ { i } - \lambda _ { t _ { 1 } } ^ { i } | } { | \tilde { \eta } _ { t _ { 1 } } ^ { i } \tilde { \eta } _ { t } ^ { i } | } \leq \frac { \tilde { C } | t - t _ { 1 } | ^ { 1 / 2 - \epsilon } } { \mathrm { I m } ( z _ { 0 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { f ( i , j + 1 ) - f ( i , j ) } & { = { \frac { F _ { j + 1 } - 1 } { F _ { j - 1 } } } - { \frac { F _ { j } - 1 } { F _ { j - 2 } } } } \\ & { = { \frac { F _ { j + 1 } F _ { j - 2 } - F _ { j - 1 } F _ { j } + F _ { j - 1 } - F _ { j - 2 } } { F _ { j - 1 } F _ { j - 2 } } } } \\ & { = { { \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } + F _ { j - 3 } } { F _ { j - 1 } F _ { j - 2 } } } } \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { m a x i m i z e } } & { \mathrm x ^ { \top } \mathrm A \, \mathrm x } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathrm P _ { 1 } ^ { - 1 } } & { \mathrm x } & & \\ { \mathrm x ^ { \top } } & { q _ { 1 } } & & \\ & & { \mathrm P _ { 2 } ^ { - 1 } } & { \mathrm x } \\ & & { \mathrm x ^ { \top } } & { q _ { 2 } } \end{array} \right] \succeq \mathrm O _ { 2 n + 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d n } { d t } = F _ { 2 } ( t , V _ { m } ^ { j } , n , m , h ) , \qquad n ( t ^ { j } ) = n ^ { j } , \qquad t \in ( t ^ { j } , t ^ { j + 1 } ] , } \\ & { \frac { d m } { d t } = F _ { 3 } ( t , V _ { m } ^ { j } , n , m , h ) , \qquad m ( t ^ { j } ) = m ^ { j } , \qquad t \in ( t ^ { j } , t ^ { j + 1 } ] , } \\ & { \frac { d h } { d t } = F _ { 4 } ( t , V _ { m } ^ { j } , n , m , h ) , \qquad h ( t ^ { j } ) = h ^ { j } \qquad t \in ( t ^ { j } , t ^ { j + 1 } ] . } \end{array}
h ^ { - } ( m _ { 1 } ) = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p } _ { 1 } } | _ { \triangle ^ { - } , m ^ { - } } ^ { 2 } \, f _ { 1 p 2 , \triangle ^ { - } , m ^ { - } } \, k _ { 1 } k _ { 2 } / S _ { \triangle } ,
\phi _ { 0 } ^ { ( - 1 ) } = { \frac { 1 } { { J _ { H } ^ { - 1 } } ^ { \prime } } } , \qquad \; \phi _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = { \frac { J _ { H } ^ { - 1 } } { { J _ { H } ^ { - 1 } } ^ { \prime } } } , \qquad \; \phi _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } = { \frac { \left( J _ { H } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } { { J _ { H } ^ { - 1 } } ^ { \prime } } } .
c _ { c o e r } ^ { - 1 } \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \le \frac 1 2 a _ { h } ( \mathbf { v } _ { h } , \mathbf { v } _ { h } ) \le c _ { c o n t } \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \qquad \forall \mathbf { v } _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } ^ { k } ( \boldsymbol { \varphi } , \Phi ) .
\psi \to \psi - \ell c _ { \phi } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } \lambda , } & { \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { a , } & { \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \log \tilde { Q } _ { s s } ( s ) : } & { = } & { - \nu _ { 0 } s + \log \tilde { P } _ { s s } ( s , s ) \simeq - \frac { 2 \nu _ { 0 } \alpha } { \omega + 1 } \log s \quad ( s \sim 0 ) } \\ & { \Longleftrightarrow } & { P ( \lambda ) \sim \lambda ^ { - 1 + \frac { 2 \nu _ { 0 } \alpha } { \omega + 1 } } \quad ( \lambda \rightarrow \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { \mathrm { s y m } } } & { = \ell _ { \mathrm { s y m } } ^ { ( 1 ) } + \ell _ { \mathrm { s y m } } ^ { ( 2 ) } } \\ & { + \alpha ^ { ( 1 ) } | \| M ^ { ( 1 ) } \| _ { \mathrm { F } } + \| b ^ { ( 1 ) } \| _ { 2 } - 1 | ^ { 2 } } \\ & { + \alpha ^ { ( 2 ) } | \| M ^ { ( 2 ) } \| _ { \mathrm { F } } + \| b ^ { ( 2 ) } \| _ { 2 } - 1 | ^ { 2 } } \\ & { + \beta ^ { ( 2 ) } ( \langle M ^ { ( 2 ) } , M ^ { ( 1 ) } \rangle + \langle b ^ { ( 2 ) } , b ^ { ( 1 ) } \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Sigma } _ { x _ { k + 1 } } } & { = \bar { A } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \bar { A } ^ { \top } + \bar { A } \bar { \Sigma } _ { u x _ { k } } ^ { \top } \bar { B } ^ { \top } + \bar { B } \Sigma _ { u x _ { k } } \bar { A } ^ { \top } + \bar { B } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \bar { B } ^ { \top } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \tilde { A } _ { j } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } + \tilde { A } _ { j } \Sigma _ { u x _ { k } } ^ { \top } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } + \tilde { B } _ { j } \Sigma _ { u x _ { k } } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } } \\ & { + \tilde { B } _ { j } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } + \bar { \Sigma } _ { j k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { q , t + 1 } ^ { C } = ( 2 D _ { q , t + 1 } + D _ { z , t } ) ( 1 - \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ) \left( \left( 1 + ( 1 + \Lambda ) ( \frac { D _ { z , t } } { D _ { q , t + 1 } } + 1 ) \right) + \alpha _ { \operatorname* { m a x } } \right) } \\ & { L _ { z , t } ^ { C } = ( 2 D _ { q , t + 1 } + D _ { z , t } ) ( 1 - \alpha _ { \operatorname* { m i n } } ) ( 3 ( 1 + \Lambda ) + 1 ) . } \end{array}
E r r ( \alpha , y , m ) = \frac { \sqrt { \int \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left| { q _ { e s t } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) - { q _ { D 1 } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) \right| ^ { 2 } d t } } { { \sqrt { \int \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left| { q _ { D 1 } ^ { i } } \left( \alpha , y , m , t \right) \right| ^ { 2 } d t } } } \mathrm { , }
\operatorname* { l i m } _ { \sigma _ { b } \rightarrow + \infty } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , P ) = \mu _ { t _ { a } } e ^ { - \mu _ { t _ { a } } s } ,
{ \frac { g - 2 } { 2 } } \delta \alpha _ { i } = ( \sqrt { \kappa _ { m } } R ) ^ { 2 } \left( \beta _ { i } + { \frac { 1 } { 4 ( | \delta - m | - 1 ) } } \right) \quad ( m = 0 , 1 , \, . . . \, , N - 1 ) \,
P _ { \nu _ { T \rho _ { n } } } ^ { 1 } ( z _ { \lambda } ) B _ { \nu _ { F \rho _ { n } } } ^ { 2 } ( z _ { \lambda } ) - P _ { \nu _ { T \rho _ { n } } } ^ { 2 } ( z _ { \lambda } ) B _ { \nu _ { F \rho _ { n } } } ^ { 1 } ( z _ { \lambda } ) = 0 .
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha , \beta ) _ { P A } } } = \frac { 1 } { R + 1 } + \frac { R } { R + 1 } \frac { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha - \beta } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha - \beta } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } .
S _ { e f f } = N S _ { 0 } ( \sigma ^ { 0 } ) + S _ { 1 } ( \sigma ^ { 0 } ) + { \frac { i } { 2 } } B _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } A _ { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \sqrt { N ^ { n } } } } \big [ - i { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( n + 2 ) } } B _ { n + 2 } + i L ^ { d } \delta ^ { d } ( 0 ) { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } B _ { n } + { \frac { 1 } { ( n + 2 ) ! } } A _ { n + 2 } \big ]
\begin{array} { r } { 0 \leq a _ { 1 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - 1 \leq 2 k _ { 1 } - 2 , } \\ { 0 \leq a _ { 2 } ^ { 1 } \gamma _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 1 } + a _ { 2 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 \leq 2 k _ { 1 } - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \Theta } = \Omega } & { - \left( \boldsymbol { d } \mathbf { V } ^ { \top } \right) ^ { - } \sin ( \mathbf { V } \boldsymbol { \delta } \Theta + \mathbf { U } A _ { \uparrow } ) } \\ & { \, - \left( \boldsymbol { \delta } \mathbf { V } ^ { \top } \right) ^ { - } \sin ( \mathbf { V } \boldsymbol { d } \Theta + \mathbf { U } A _ { \downarrow } ) \, . } \end{array}
\delta v _ { x } \simeq - \frac { 1 } { 2 } \frac { u ^ { 2 } } { v } = - 3 2 \pi ^ { 2 } G ^ { 2 } \mu v \gamma ^ { 2 } [ \mu + J ^ { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { v ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } ) ] - 8 \pi ^ { 2 } G ^ { 2 } ( Q J ) ^ { 4 } v \gamma ^ { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { v ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { = 2 C _ { 1 } ^ { n } y ^ { 2 n - 1 } + \cdots + ( 2 n - 1 ) 2 n C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 ( n - 1 ) } y , } \\ { A _ { 2 } } & { = C _ { 0 } ^ { n } y ^ { 2 n + 1 } + \cdots + ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 n } y , } \\ { B _ { 2 } } & { = 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { n } y ^ { 2 n + 1 } + \cdots + 4 C _ { n } ^ { n } x ^ { 2 n } y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \sum _ { 2 \leq k \leq n - 2 } } & { \sum _ { \sigma \in S _ { k , n - k } } \epsilon ( \sigma ) \left\lbrace \left\lbrace Q _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , Q _ { \sigma ( k ) } \right\rbrace _ { k } ^ { \prime } , Q _ { \sigma ( k + 1 ) } , \ldots , Q _ { \sigma ( n ) } \right\rbrace _ { n - k + 1 } ^ { \prime } } \\ & { + \sum _ { \sigma \in S _ { n - 1 , 1 } , \sigma ( n ) \neq 1 } \epsilon ( \sigma ) \left\lbrace \left\lbrace Q _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , Q _ { \sigma ( n - 1 ) } \right\rbrace _ { n - 1 } ^ { \prime } , Q _ { \sigma ( n ) } \right\rbrace _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { + \sum _ { \sigma \in S _ { 1 , n - 1 } , \sigma ( 1 ) \neq 1 } \epsilon ( \sigma ) \left\lbrace \left\lbrace Q _ { \sigma ( 1 ) } \right\rbrace _ { 1 } ^ { \prime } , Q _ { \sigma ( 2 ) } \ldots , Q _ { \sigma ( n ) } \right\rbrace _ { n } ^ { \prime } } \\ & { + ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 2 } ^ { n } \lvert \partial _ { I _ { k } } \rvert } \left\lbrace \left\lbrace Q _ { 2 } , \ldots , Q _ { n } \right\rbrace _ { n - 1 } ^ { \prime } , Q _ { 1 } \right\rbrace _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { + \left\lbrace \left\lbrace Q _ { 1 } \right\rbrace _ { 1 } ^ { \prime } , Q _ { \sigma ( 2 ) } \ldots , Q _ { \sigma ( n ) } \right\rbrace _ { n } ^ { \prime } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) | T ^ { \prime } | ^ { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( z _ { 2 } ( x ) / \varepsilon ) \textrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial \beta } { \partial z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , 0 ) \textrm { d } z _ { 1 } .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { \ast } \! ( x _ { 1 } \ldots , x _ { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { r } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } x _ { 1 } , \ldots , x _ { r } \in [ n ] ; } \\ { + } & { \mathrm { ~ i f ~ } x _ { r } = n + 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \{ x _ { 1 } , \ldots , x _ { r - 1 } \} \in \cal { D } ; } \\ { - } & { \mathrm { ~ i f ~ } x _ { r } = n + 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \{ x _ { 1 } , \ldots , x _ { r - 1 } \} \not \in \cal { D } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } } & { = | | \Pi _ { m _ { r } } ( Y ) - \Pi _ { m _ { \ell } } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { r } ) } ( Y ) - \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( X _ { 1 } , \cdots , X _ { \ell } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \underset { \textit { ( * ) } } { = } | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { r } ) } ( Y ) - \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { \ell } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \Pi _ { \mathrm { S p a n } ( u _ { \ell + 1 } , \cdots , u _ { r } ) } ( Y ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = | | \underset { k = \ell + 1 } { \overset { r } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle u _ { k } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \underset { \textit { ( * * ) } } { = } \underset { k = \ell + 1 } { \overset { r } { \sum } } \langle Y , u _ { k } \rangle ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 ( N + 1 ) R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { = \sum _ { x \in S } [ N \tilde { l } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } x _ { 1 } + \theta _ { 2 } x _ { 2 } ) + \tilde { l } ^ { \alpha } ( - \theta _ { 1 } x _ { 1 } - \theta _ { 2 } x _ { 2 } ) ] } \\ & { = N \tilde { l } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } ) + \tilde { l } ^ { \alpha } ( - \theta _ { 1 } ) + 2 N \tilde { l } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } \gamma - \theta _ { 2 } \gamma ) + 2 \tilde { l } ^ { \alpha } ( - \theta _ { 1 } \gamma + \theta _ { 2 } \gamma ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + N \tilde { l } ^ { \alpha } ( \theta _ { 1 } \gamma + 5 \theta _ { 2 } \gamma ) + \tilde { l } ^ { \alpha } ( - \theta _ { 1 } \gamma - 5 \theta _ { 2 } \gamma ) . } \end{array}
\langle f ( \varphi ) \rangle _ { [ 0 , 1 ] } = \frac { 1 } { \varepsilon } e ^ { - \frac { u } { \varepsilon } } \left( \frac { f ( u _ { 1 } ) - f ( u _ { 1 } - 2 \varepsilon ) } { 2 } e ^ { \frac { u _ { 1 } } { \varepsilon } } + \int _ { u _ { 1 } } ^ { u } f ^ { \prime } ( s ) e ^ { \frac { s } { \varepsilon } } \, d s \right) ( x _ { 1 } - u ) + f ( u ) ,
N _ { _ { I I I , m a x } } ^ { \nu } \simeq V _ { U } \times \left( \frac { 3 6 F _ { I C } ^ { \nu } } { 1 3 \pi n _ { _ { I I } } L _ { m } ^ { \nu } } \right) ^ { 3 / 2 } \simeq 1 . 4 \times 1 0 ^ { 8 } ,
\begin{array} { r } { { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial ( r \, I _ { c } ) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r } } \, { \frac { \partial I _ { d } } { \partial \theta } } = - { \frac { 2 } { r } } \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \, \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \left( \frac { Q _ { m } } { r ^ { m } } \right) + \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { m + 1 } { \frac { \partial S _ { m } } { \partial \theta } } \right) } \end{array}