harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
[ L ^ { m n } , L ^ { p k } ] _ { Q ( m n , p k ) } = g _ { q } ^ { m k } Q _ { m n } Q _ { p k } L ^ { n p } + g _ { q } ^ { n p } L ^ { m k } - g _ { q } ^ { m p } Q _ { m n } L ^ { n k } - g _ { q } ^ { n k } Q _ { p k } L ^ { m p } \ ,
\varphi ( p , E ) \, = \, { \frac { \left( 1 - { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 \pi } } \right) \, { \cal D } _ { S - P } ( p , E ) } { \left( 1 - { \frac { 8 \alpha _ { s } } { 3 \pi } } \right) { \cal D } _ { S - S } ( p , E ) } }
\begin{array} { r l } { E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 1 } \left| X _ { t } ^ { n + 1 } \right| ^ { p } \right] } & { \leq E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \left| X _ { t } ^ { n + 1 } \right| ^ { p } \right] + E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq 1 } \left| X _ { t } ^ { n + 1 } \right| ^ { p } \right] } \\ & { \leq C _ { p } \Bigg \{ E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( t ) \right| ^ { p } \right] + E \left[ \left| x _ { 0 } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \right] + E \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big | b \left( X _ { s } ^ { n } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { n } ) , \theta _ { 0 } \right) \Big | ^ { p } \, \mathrm { d } s \bigg ] } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { p } E \Bigg [ \bigg | \int _ { 0 } ^ { 1 } \sigma \left( X _ { s } ^ { n } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { n } ) , \theta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } W _ { s } \bigg | ^ { p } \Bigg ] \Bigg \} } \\ & { \leq C _ { p } \Bigg \{ E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( t ) \right| ^ { p } \right] + E \left[ \big | x _ { 0 } ^ { \varepsilon } \big | ^ { p } \right] } \\ & { \quad + K ^ { p } C _ { p } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 + E \big [ | X _ { s } ^ { n } | ^ { p } \big ] + \left( \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \right) ^ { p } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq \delta } \left| X _ { s - u } ^ { n } \right| ^ { p } \right] \right) \, \mathrm { d } s \Bigg \} } \\ & { \leq C _ { p } \Bigg \{ E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( t ) \right| ^ { p } \right] + E \left[ \big | x _ { 0 } ^ { \varepsilon } \big | ^ { p } \right] } \\ & { \quad + K ^ { p } C _ { p } ^ { \prime } \left( 1 + \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } E \left[ | X _ { s } ^ { n } | ^ { p } \right] + \left( \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \right) ^ { p } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq \delta } \left| X _ { s - u } ^ { n } \right| ^ { p } \right] \right) \Bigg \} } \\ & { \leq C _ { p } \Bigg \{ E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \left| \phi ^ { \varepsilon } ( t ) \right| ^ { p } \right] + E \left[ \big | x _ { 0 } ^ { \varepsilon } \big | ^ { p } \right] } \\ & { \quad + K ^ { p } C _ { p } ^ { \prime } \left( 1 + \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } E \left[ \left| X _ { s } ^ { n } \right| ^ { p } \right] + \left( \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \right) ^ { p } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq s \leq 1 } \left| X _ { s } ^ { n } \right| ^ { p } \right] \right) \Bigg \} , } \end{array}
G ( E _ { r } ; \vec { x } _ { b } , \vec { x } _ { a } ) = i \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau _ { f } \int { \cal D } \vec { p } { \cal D } \vec { x } e x p \{ i \int _ { 0 } ^ { \tau _ { f } } d \tau [ \vec { p } \dot { \vec { x } } - f ( \vec { x } ( \tau ) ) H ] \}
\nabla \zeta ^ { \bar { A } t } = d \zeta ^ { \bar { A } t } - { \frac { 1 } { 4 } } \gamma _ { a b } \omega ^ { a b } \zeta ^ { \bar { A } t } - \Delta _ { \bar { B } s } ^ { \bar { A } t } \zeta ^ { \bar { B } s } + { \frac { i } { 2 } } { \cal Q } \zeta ^ { \bar { A } t }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { i } { \hbar } \langle ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \mathbf { r } \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( x , B ) = \frac { 1 } { \mu ( x , B ) } \left( \begin{array} { c c } { \left( \frac { \partial \mu } { \partial x } \right) ^ { 2 } } & { \frac { \partial \mu } { \partial x } \cdot \frac { \partial \mu } { \partial B } } \\ { \frac { \partial \mu } { \partial B } \cdot \frac { \partial \mu } { \partial x } } & { \left( \frac { \partial \mu } { \partial B } \right) ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big [ \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } , \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } \big ] } & { { } = \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } - \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } . } \\ { \mathrm { ~ U ~ s ~ i ~ n ~ g ~ , ~ \ensuremath ~ { ~ \quad ~ } ~ } \tilde { a } \tilde { a } ^ { \dagger } = \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } \gamma ^ { - 1 } N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } } \\ & { \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
P _ { S } ( t , \Omega ; z ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \left| \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } A ( z , t ^ { \prime } ) h ( t ^ { \prime } - t ) e ^ { - i \Omega t ^ { \prime } } ~ \mathrm { d } t ^ { \prime } \right| ^ { 2 } .
{ \dot { q } } _ { 3 } = \pm \sqrt { C ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 1 } ^ { 2 } - { \dot { q } } _ { 2 } ^ { 2 } } = \alpha _ { 1 } ( { \dot { q } } _ { 1 } , { \dot { q } } _ { 2 } )
A = Q R = Q { \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { Q _ { 1 } , Q _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right] } = Q _ { 1 } R _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \arctan { \frac { 1 } { b } } } & { { } = { \frac { 1 } { b } } - { \frac { 1 } { b ^ { 3 } 3 } } + { \frac { 1 } { b ^ { 5 } 5 } } - { \frac { 1 } { b ^ { 7 } 7 } } + { \frac { 1 } { b ^ { 9 } 9 } } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { ( G ( { \eta ( \xi , \mu ) } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } & { \ge \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { ( G ( 0 ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } \\ & { = \int _ { \eta ( \xi , \mu ) } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { d z } { z \sqrt { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } s { g } _ { u } ( \tau s z ; \mu ) d s d \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { s q } } & { { } \simeq \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \mathfrak { R e } \left( \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { -- } i \omega _ { m } ) ( \gamma _ { + } - i \omega _ { m } ) } \right) } = } \\ { \Gamma _ { s q } } & { { } \simeq \kappa _ { m } + \frac { 1 } { \omega _ { m } } \mathfrak { I m } \left( \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { ( \gamma _ { -- } i \omega _ { m } ) ( \gamma _ { + } - i \omega _ { m } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } [ \tau _ { h } > t ] } & { \le } & { \mathbb { P } [ \tau _ { h } > n h ] } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \mathbb { P } [ R _ { i h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] , 0 \le i \le j - 1 ] } \\ & { } & { \cdot \big ( \mathbb { P } [ R _ { j h } > \sqrt { h } | R _ { ( j - 1 ) h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] ] \cdot \mathbb { P } [ \tau _ { h } ^ { ( 1 ) } \circ \theta ^ { j h } > t - j h | R _ { j h } > \sqrt { h } ] \big ) } \\ & { + } & { \mathbb { P } [ R _ { i h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] , 0 \le i \le n - 1 ] \cdot \mathbb { P } [ R _ { n h } > 0 | R _ { ( n - 1 ) h } \in ( 0 , \sqrt { h } ] ] , } \end{array}
\Pi ^ { \mu \nu } ( k ) = g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E } } \: p ^ { \mu } { \frac { \partial f ( { \bf p } ) } { \partial p _ { \lambda } } } \Bigg [ g ^ { \lambda \nu } - { \frac { k ^ { \lambda } p ^ { \nu } } { p ^ { \sigma } k _ { \sigma } + i 0 ^ { + } } } \Bigg ] \; .
\begin{array} { r } { d f ^ { \prime } \approx \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) T ^ { - T } S e = \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) } { \lambda _ { p } \lambda _ { q } } S ^ { \prime } T ^ { - T } e . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 2 } ( h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i } { 2 } } } \\ { = } & { t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { j - 1 , j } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 2 n } ^ { 2 } } & { { } { } = \left( r + { \frac { 1 } { 2 } } c _ { n } \right) 2 r } \\ { c _ { 2 n } } & { { } { } = { \frac { s _ { n } } { s _ { 2 n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert \leq m } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \left[ \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } , \varrho ( t , x ) v \cdot \nabla _ { v } \right] \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } f \lesssim ( 1 + M ( t ) ) \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } . } \end{array}
[ c _ { I r } ^ { i } ( \vec { k } ) , c _ { I s } ^ { j } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ^ { \dagger } ] _ { + } = \delta _ { r s } \delta ^ { i j } \delta ( \vec { k } - \vec { k } ^ { \prime } ) = [ \tilde { c } _ { I r } ^ { i } ( \vec { k } ) , \tilde { c } _ { I s } ^ { j } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ^ { \dagger } ] _ { + } ,
\begin{array} { r l } { S _ { a } ( \eta ) } & { = \sqrt { \frac { ( a - 1 ) ( a b - c ^ { 2 } ) - ( c - a ) ^ { 2 } } { 4 a \eta ( a - a \eta - 1 ) } } , } \\ { S _ { b } ( \eta ) } & { = \sqrt { \frac { ( b - 1 ) ( a b - c ^ { 2 } ) - ( c - b ) ^ { 2 } } { 4 b \eta ( b - b \eta - 1 ) } } , } \\ { S _ { c } ( \eta ) } & { = \sqrt { \frac { ( a - 1 ) \mu _ { 1 } ^ { 2 } + ( b - 1 ) \mu _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( c - 1 ) \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 4 \eta ( 1 - \eta ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( u _ { t + 1 } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t + 1 } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \tau \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 2 } ) + ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 2 } ) ) u _ { t } ^ { ( m ) } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \bigg ( \tau \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { f , 2 } ) + ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { g , 2 } ) ) u _ { t } ^ { ( j ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \tau \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) + ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) ) u _ { t } ^ { ( m ) } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \bigg ( \tau \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) + ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) ) u _ { t } ^ { ( j ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ \sum \frac { R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } } { r _ { i } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right] = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \sum \frac { 1 } { r _ { i } } \right] = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { d } } } \frac { 1 } { r } ( n \mathrm { ~ d } v ) \right] , } \end{array}
\frac { \partial _ { \Delta } f } { \partial r } = \frac { f ( r + \Delta , \ell ) - f ( r , \ell ) } { \Delta } ; \qquad \frac { \partial _ { \Delta } f } { \partial \ell } = \frac { f ( r , \ell + \Delta ) - f ( r , \ell ) } { \Delta } \ .
\begin{array} { r l } { \frac 1 5 \exp \Big ( - \frac { n } 4 } & { \| f _ { \pm 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ) \Big | E _ { f _ { \pm 1 } } [ \widehat f ( x _ { 0 } ) ] - E _ { 0 } [ \widehat f ( x _ { 0 } ) ] \Big | \leq E _ { f _ { \pm 1 } } \big [ \big | \widehat f ( x _ { 0 } ) - E _ { f _ { \pm 1 } } [ \widehat f ( x _ { 0 } ) ] \big | \big ] \vee E _ { 0 } \big [ \big | \widehat f ( x _ { 0 } ) - E _ { 0 } [ \widehat f ( x _ { 0 } ) ] \big | \big ] . } \end{array}
H _ { 0 } ( D D ) = \alpha ^ { \prime } \sum _ { j } \left( \frac { 2 \pi \omega ^ { + j } R ^ { + j } + Y ^ { + j } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 2 \pi \omega _ { - j } R _ { - j } + Y _ { - j } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \right) ,
\begin{array} { r } { \lambda \Psi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 a } \int _ { x - a } ^ { 1 } \Psi ( y ) d y + \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 - x } { 2 a } \right) \Psi ( x ) } & { ( x > - 1 + a ) } \\ { \frac { 1 } { 2 a } \int _ { - 1 } ^ { x + a } \Psi ( y ) d y + \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { x + 1 } { 2 a } \right) \Psi ( x ) } & { ( x < 1 - a ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\beta _ { 2 } = { \frac { ( \alpha + \beta ) ^ { 2 } ( 1 + \alpha + \beta ) } { n \alpha \beta ( \alpha + \beta + 2 ) ( \alpha + \beta + 3 ) ( \alpha + \beta + n ) } } \left[ ( \alpha + \beta ) ( \alpha + \beta - 1 + 6 n ) + 3 \alpha \beta ( n - 2 ) + 6 n ^ { 2 } - { \frac { 3 \alpha \beta n ( 6 - n ) } { \alpha + \beta } } - { \frac { 1 8 \alpha \beta n ^ { 2 } } { ( \alpha + \beta ) ^ { 2 } } } \right] .
\begin{array} { r l } { H ( \mathbf { k } ) } & { = ( \omega _ { 0 } - i \gamma _ { 0 } ) \mathbb { I } } \\ & { + \left( \begin{array} { l l } { u | \mathbf { k } | ^ { 2 } + v ( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } ) } & { 2 v k _ { x } k _ { y } } \\ { 2 v k _ { x } k _ { y } } & { u | \mathbf { k } | ^ { 2 } - v ( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } ) } \end{array} \right) } \end{array}
M ( { \cal { T } } ; { \cal { D } } ) = \sum _ { t , d } p _ { t | d } \cdot p _ { d } \cdot \mathrm { i d f } ( t ) = \sum _ { t , d } \mathrm { t f } ( t , d ) \cdot { \frac { 1 } { | D | } } \cdot \mathrm { i d f } ( t ) = { \frac { 1 } { | D | } } \sum _ { t , d } \mathrm { t f } ( t , d ) \cdot \mathrm { i d f } ( t ) .
{ \begin{array} { r l r l } { { \mathrm { B i l i n e a r ~ s y m m e t r i c ~ f o r m ~ i n ~ ( p s e u d o - ) o r t h o n o r m a l ~ b a s i s : } } \quad \varphi ( x , y ) = } & { { \pm } \xi _ { 1 } \eta _ { 1 } \pm \xi _ { 2 } \eta _ { 2 } \pm \cdots \pm \xi _ { n } \eta _ { n } , } & & { ( \mathbf { R } ) } \\ { { \mathrm { B i l i n e a r ~ s y m m e t r i c ~ f o r m ~ i n ~ o r t h o n o r m a l ~ b a s i s : } } \quad \varphi ( x , y ) = } & { \xi _ { 1 } \eta _ { 1 } + \xi _ { 2 } \eta _ { 2 } + \cdots + \xi _ { n } \eta _ { n } , } & & { ( \mathbf { C } ) } \\ { { \mathrm { B i l i n e a r ~ s k e w - s y m m e t r i c ~ i n ~ s y m p l e c t i c ~ b a s i s : } } \quad \varphi ( x , y ) = } & { \xi _ { 1 } \eta _ { m + 1 } + \xi _ { 2 } \eta _ { m + 2 } + \cdots + \xi _ { m } \eta _ { 2 m = n } } \\ & { - \xi _ { m + 1 } \eta _ { 1 } - \xi _ { m + 2 } \eta _ { 2 } - \cdots - \xi _ { 2 m = n } \eta _ { m } , } & & { ( \mathbf { R } , \mathbf { C } ) } \\ { { \mathrm { S e s q u i l i n e a r ~ H e r m i t i a n : } } \quad \varphi ( x , y ) = } & { { \pm } { \bar { \xi _ { 1 } } } \eta _ { 1 } \pm { \bar { \xi _ { 2 } } } \eta _ { 2 } \pm \cdots \pm { \bar { \xi _ { n } } } \eta _ { n } , } & & { ( \mathbf { C } , \mathbf { H } ) } \\ { { \mathrm { S e s q u i l i n e a r ~ s k e w - H e r m i t i a n : } } \quad \varphi ( x , y ) = } & { { \bar { \xi _ { 1 } } } \mathbf { j } \eta _ { 1 } + { \bar { \xi _ { 2 } } } \mathbf { j } \eta _ { 2 } + \cdots + { \bar { \xi _ { n } } } \mathbf { j } \eta _ { n } , } & & { ( \mathbf { H } ) } \end{array} }
E _ { K _ { s } } ( \omega _ { N } ) = \mathcal { I } _ { s , 1 } N ^ { 2 } + \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( N ^ { s + 1 } ) } & { s \in ( - 1 , 0 ) \cup ( 0 , 1 ) } \\ { - N \log ( N ) + \mathcal { O } ( N ) } & { s = 0 } \\ { \mathcal { O } ( \log ( N ) ) } & { s = - 1 } \\ { \mathcal { O } ( 1 ) } & { s \in ( - 2 , - 1 ) } \end{array} \right. .
\int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \rightarrow { \frac { i } { \beta } } \sum _ { n _ { q } } \int { \frac { d ^ { 3 } { \vec { q } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \; , \; \; \; \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \rightarrow { \frac { i } { \beta } } \sum _ { n _ { k } } \int { \frac { d ^ { 3 } { \vec { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } }
{ \left\{ \begin{array} { l } { x _ { n } } \end{array} \right\} } = q _ { 1 } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi } \end{array} \right\} } _ { 1 } + q _ { 2 } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi } \end{array} \right\} } _ { 2 } + q _ { 3 } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi } \end{array} \right\} } _ { 3 } + \cdots + q _ { N } { \left\{ \begin{array} { l } { \psi } \end{array} \right\} } _ { N } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { i } } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { i } } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { z } } & { = } & { \partial _ { x } a _ { y } - \partial _ { y } a _ { x } + t [ \partial _ { x } E _ { y } - \partial _ { y } E _ { x } ] } \\ & { - } & { [ a _ { x } + t E _ { x } , a _ { y } + t E _ { y } ] } \\ & { = } & { \partial _ { x } a _ { y } - \partial _ { y } a _ { x } - [ a _ { x } , a _ { y } ] } \\ & { + } & { t \left( \partial _ { x } E _ { y } - \partial _ { y } E _ { x } - [ E _ { x } , a _ { y } ] - [ a _ { x } , E _ { y } ] \right) - t ^ { 2 } [ E _ { x } , E _ { y } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle U _ { i \cdot } \Lambda - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle } & { = \left\langle ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle + \left\langle ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle } \\ & { = ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \left( \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right) ^ { T } + \left\langle ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle } \\ & { = ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \left( \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right) ^ { T } + \left\langle ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle } \\ & { = ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } \left( \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } \right) ^ { T } + ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) \left( U \hat { \theta } _ { a } ^ { T } - U ^ { * } \theta _ { a } ^ { * T } - U \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { T } + U ^ { * } \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * T } \right) } \\ & { \quad + \left\langle ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } , \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } \right\rangle , } \end{array}
p _ { i } ( E ) = \prod _ { k = 1 } ^ { m } p _ { k } ^ { ( i ) } ( E ) = \mathcal { Z } ^ { - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { m } \mathrm { e } ^ { - \beta E - \frac { ( E - < E _ { k } ^ { ( i ) } > ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { k } ^ { 2 } } }
d \left( \gamma \right) = 3 - \sum _ { \tilde { \Phi } = \Phi , \, g } d _ { \tilde { \Phi } } N _ { \tilde { \Phi } } \, \, , \, \, \, \, \, \mathrm { w i t h } \, \, \, \, \, d _ { g } = \frac 1 2 \, \, .
{ \bar { f } } _ { k } \left( { \boldsymbol { \pi } } _ { - k } \right) = \left\lbrace { \boldsymbol { \pi } } _ { k } \in \triangle \left( { \mathcal { A } } _ { k } \right) : \mathrm { P r } \left( a _ { k } \in f _ { k } \left( { \boldsymbol { a } } _ { - k } \right) | a _ { k } \sim { \boldsymbol { \pi } } _ { k } , { \boldsymbol { a } } _ { - k } \sim { \boldsymbol { \pi } } _ { - k } \right) = 1 \right\rbrace .
\begin{array} { r l } { s _ { l } } & { { } = \; \; \; \delta v _ { l } \; \frac { \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } } \\ { c _ { l } } & { { } = - \delta v _ { l } \; \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( z ) - \ell ( \widehat z ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } \frac { 1 } { k ! } D ^ { k } \ell ( \widehat z ) \left[ z - \widehat z \right] ^ { k } + \frac { 1 } { p ! } D ^ { p } \ell ( \widehat z + t \cdot ( z - \widehat z ) ) \left[ z - \widehat z \right] ^ { p } } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } \frac { 1 } { k ! } \| D ^ { k } \ell ( \widehat z ) \| \| z - \widehat z \| ^ { k } + \frac { 1 } { p ! } \| D ^ { p } \ell ( \widehat z + t \cdot ( z - \widehat z ) ) \| \| z - \widehat z \| ^ { p } } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { s l } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } ( m _ { b } - m _ { c } ) ^ { 5 } } { 6 0 \pi ^ { 3 } } \left( \eta _ { V } ^ { 2 } + 3 \eta _ { A } ^ { 2 } \right) | V _ { c b } | ^ { 2 } \cdot \left[ 1 + { \cal O } \left( \left( \frac { m _ { b } - m _ { c } } { m _ { b } + m _ { c } } \right) ^ { 2 } \right) \right] \; \; .