harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
n ( k , d ) \leq \operatorname* { m a x } \left\{ \sum _ { j = 0 } ^ { k } \binom { d } { j } , \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { d - k - 3 } { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \big | B _ { k + 2 j } ^ { ( d ) } \big | + \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { d - k + 1 } { 2 } } } \big | B _ { d - 1 } ^ { ( d ) } \big | + 2 ^ { \frac { d + k - 1 } { 2 } } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \frac { d u } { d r } \bigg | _ { r = r _ { i } } } & { { } \approx } & { \frac { u _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } } { 2 \Delta r } , } \\ { \frac { d ^ { 2 } u } { d r ^ { 2 } } \bigg | _ { r = r _ { i } } } & { { } \approx } & { \frac { u _ { i + 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i - 1 } } { ( \Delta r ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \chi ( t , t ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } G ( t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } ) \epsilon ( t ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } \epsilon ( t ^ { \prime \prime } ) \int _ { t ^ { \prime \prime } } ^ { t } d t ^ { \prime } \chi ( t , t ^ { \prime } ) G ( t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
\Psi = \sqrt [ [object Object] ] ] { 2 } \, \left( \begin{array} { c } { { \chi _ { R } } } \\ { { \chi _ { L } } } \end{array} \right) \, , \quad \bar { \Psi } = \sqrt [ [object Object] ] ] { 2 } \; \left( \chi _ { R } ^ { \dag } , \chi _ { L } ^ { \dag } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { y } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 6 0 ( x _ { 1 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 2 } + 0 . 2 5 x _ { 1 } ) ( x _ { 2 } ^ { 3 } - x _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 2 5 x _ { 2 } ) } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , 0 . 5 ) ^ { 2 } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { \hat { \zeta } ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , - 2 | x _ { 1 } - 0 . 8 | - 2 | x _ { 1 } x _ { 2 } - 0 . 3 | + 0 . 5 ) , } \\ { y _ { d } ( x ) } & { = - \hat { y } - \hat { \zeta } + \Delta \hat { y } . } \end{array}
\mathcal { C } ( 3 ) \equiv q ( 1 1 ) , q ( 1 2 ) , q ( 1 3 ) , q ( 2 1 , q ( 2 2 ) , q ( 2 3 ) , q ( 3 1 ) , q ( 3 2 ) , q ( 3 3 ) ) ^ { \mathrm { T } }
\begin{array} { r } { G ^ { \lambda } ( { s } , { v } ; A ) : = \lambda ^ { - 1 } \, \int _ { A } \Big [ \mathcal { W } _ { \beta } \big ( { s } ( z ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( { s } ( z ) , \lambda \, { v } ( z ) \big ) + \frac { 1 } { 4 } \int _ { A } J ^ { \lambda } ( z - w ) \big ( { s } ( z ) - { s } ( w ) \big ) ^ { 2 } \, d w \Big ] d z } \end{array}
\kappa \mathbb { E } \left( \left| \tilde { X } _ { 1 } ( s , t ) \tilde { X } _ { 1 } ( u , v ) - \mathbb { E } \left[ \tilde { X } _ { 1 } ( s , t ) \tilde { X } _ { 1 } ( u , v ) \right] - \tilde { X } _ { 1 } ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \tilde { X } _ { 1 } ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) + \mathbb { E } \left[ \tilde { X } _ { 1 } ( s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \tilde { X } _ { 1 } ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \right] \right| \right) ^ { J }
\bar { \Phi } \approx \int { \frac { d k \ k ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 3 } } } { \frac { \pi } { k ^ { 2 } \vert { \mathrm { I m } } { \tilde { \Pi } } ^ { t } \vert } } \ 2 \ ( \frac { 2 { \mathrm { I m } } { \tilde { \Pi } } ^ { t } } { m _ { D } ^ { 2 } } ) ^ { 2 }
\partial ^ { \mu } F _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { c l } } = 2 e ^ { 2 } \partial ^ { \mu } k _ { \mu \nu } + e ^ { 2 } \mathrm { P T } _ { \nu \rho } \bar { \psi } ^ { \mathrm { c l } } \gamma ^ { \rho } \psi ^ { \mathrm { c l } } \ ,
\begin{array} { r l } { { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } } & { = - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } , } \\ { { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } } & { = - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } . } \end{array}
\langle v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { n } , \; w _ { 1 } \otimes \cdots \otimes w _ { n } \rangle _ { \sigma } = ( v _ { 1 } \cdot w _ { \sigma _ { 1 } } ) \cdots ( v _ { n } \cdot w _ { \sigma _ { n } } )
\begin{array} { r l } { R } & { = \int d ^ { 3 } r \Big [ \frac { 1 } { 2 } \nu \left( \partial _ { i } v _ { j } + \partial _ { j } v _ { i } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Gamma \left( 2 \Omega _ { i } - \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } v _ { k } \right) ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \frac { 1 } { 2 \tau } \left( M _ { i } - M _ { i } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
A _ { a h } ^ { - 3 / 2 } \, \left( \begin{array} { c c } { { \cos \left( \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } \ln ( A _ { a h } ) \right) } } & { { \sin \left( \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } \ln ( A _ { a h } ) \right) } } \\ { { - \sin \left( \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } \ln ( A _ { a h } ) \right) } } & { { \cos \left( \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } \ln ( A _ { a h } ) \right) } } \end{array} \right) \, { \cal A } ^ { - 1 } \, \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m s u p } } \; } & { \int _ { \Omega } 2 \left[ \int _ { Q } W ( y , u _ { n } + f _ { n } ^ { \eta } ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } \\ & { \leq \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m s u p } } \; \int _ { \Omega } 2 \left[ \int _ { Q } W ( y , \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { N } ^ { 2 } | N , M _ { N } \rangle } & { = N ( N + 1 ) | N , M _ { N } \rangle , } \\ { \hat { M } _ { N } | N , M _ { N } \rangle } & { = M _ { N } | N , M _ { N } \rangle , } \\ { \hat { N } _ { \pm } | N , M _ { N } \rangle } & { = \sqrt { N ( N + 1 ) - M _ { N } ( M _ { N } \pm 1 ) } | N , M _ { N } \pm 1 \rangle , } \\ { \vec { s } \cdot \vec { N } } & { = M _ { s } M _ { N } + \frac { 1 } { 2 } ( s _ { + } N _ { - } + s _ { - } N _ { + } ) . } \end{array}
F ^ { \mathrm { Q R C W } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 t ^ { 2 } } { t _ { r } ^ { 2 } } \cos ( \omega t ) } & { 0 \leq t < \frac { t _ { r } } { 2 } } \\ { \frac { t _ { r } ^ { 2 } - 2 ( t - t _ { r } ) ^ { 2 } } { t _ { r } ^ { 2 } } \cos ( \omega t ) } & { \frac { t _ { r } } { 2 } \leq t < t _ { r } } \\ { \cos ( \omega t ) } & { t _ { r } \leq t \leq t _ { \mathrm { t o t } } } \end{array} \right.
\ln \left( \prod _ { X } f ( x ) ^ { d \mu ( x ) } \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \ln ( a _ { k } ) \mu ( A _ { k } ) = \int _ { X } \ln f ( x ) \, d \mu ( x ) \iff \prod _ { X } f ( x ) ^ { d \mu ( x ) } = \exp \left( \int _ { X } \ln f ( x ) \, d \mu ( x ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { T S E } = \overline { { \mathrm { T S E } } } } & { = \frac { \ln ( e ^ { 2 } + 1 ) - \ln ( 2 ) } { 2 } } & { \approx 0 . 7 1 6 8 9 } \\ { \widetilde { \mathrm { T S E } } = \widetilde { \overline { { \mathrm { T S E } } } } } & { = \frac { \ln ( e ^ { 2 } + 4 ) - \ln ( 5 ) } { 2 } } & { \approx 0 . 4 1 1 6 1 } \\ { \mathrm { T R A } = \overline { { \mathrm { T R A } } } } & { = \tan ^ { - 1 } ( e ) - \frac { \pi } { 4 } } & { \approx 0 . 4 3 2 8 8 } \\ { \widetilde { \mathrm { T R A } } = \widetilde { \overline { { \mathrm { T R A } } } } } & { = \tan ^ { - 1 } ( e / 2 ) - \tan ^ { - 1 } ( 1 / 2 ) } & { \approx 0 . 4 7 2 8 2 } \end{array}
\displaystyle { } _ { r + 1 } E _ { r } ( a _ { 1 } , . . . a _ { r + 1 } ; b _ { 1 } , . . . , b _ { r } ; q , p ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( a _ { 1 } , . . . , a _ { r + 1 } ; q ; p ) _ { n } } { ( q , b _ { 1 } , . . . , b _ { r } ; q , p ) _ { n } } } z ^ { n }
\begin{array} { r } { C _ { \Delta X } ^ { \mathrm { ( t h ) } } ( t ; \delta t ) \simeq \frac { 2 } { \Gamma ( 1 / 4 ) \Gamma ( - 1 / 4 ) } ( \sigma Y ) ^ { 2 } ( \delta t / \tau ) ^ { 3 / 4 } \left( \frac { t } { \delta t } \right) ^ { - 5 / 4 } } \end{array}
I _ { 3 B } ^ { \delta } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 8 \cos ^ { 4 } \theta } { ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } d \theta = \frac { 2 } { 3 { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } } \Bigg ( ( 2 + { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) I _ { 2 A } ^ { \delta } - 8 E ( { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) \Bigg )
\mathbf { F } _ { \partial \Omega _ { k } } ( \mathbf { u } _ { i } ) = \sum _ { j \in I } \overline { { \mathbf { F } } } ( \mathbf { u } _ { j } ^ { - } , \mathbf { u } _ { j } ^ { + } , \mathbf { n } _ { j } ) \overline { { \phi } } _ { j } ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l l } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S ^ { k } } & { 0 } & { Z ^ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \dot { z } } \\ { \dot { \lambda } } \\ { \dot { s } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { c } { r _ { b } ( z ^ { k } ) } \\ { r _ { c } ( \lambda ^ { k } , s ^ { k } ) } \\ { z ^ { k } \circ s ^ { k } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S ^ { k } } & { 0 } & { Z ^ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \ddot { z } } \\ { \ddot { \lambda } } \\ { \ddot { s } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { - 2 \dot { z } \circ \dot { s } , } \end{array} \right] , } \end{array}
E ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { d } ) : = - \sum _ { i = 1 } ^ { d + 1 } \frac { \delta } { 2 } \bigg ( \frac { u _ { i } - u _ { i - 1 } } { h } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( 1 - u _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
Z _ { 2 } ( L , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) = M _ { 1 } ! M _ { 2 } ! \sqrt { \sum _ { N _ { x z } , N _ { x x } , N _ { y x } } C _ { L / 2 } ^ { N _ { x z } } C _ { L / 2 - N _ { x z } } ^ { N _ { y z } } C _ { L / 2 - N _ { x z } - N _ { y z } } ^ { N _ { x x } } C _ { L / 2 - N _ { x z } - N _ { y z } - N _ { x x } } ^ { N _ { y y } } C _ { L / 2 - N _ { x z } - N _ { y z } - N _ { x x } - N _ { y y } } ^ { N _ { y x } } C _ { L / 2 - N _ { x z } - N _ { y z } - N _ { x x } - N _ { y y } - N _ { y x } } ^ { N _ { x y } } } .
\delta _ { 5 } V _ { A } = \delta _ { 5 } V _ { \nu } = \frac { \bar { \alpha } } { 2 4 \pi } ( \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } ) \times \frac { 1 . 1 9 9 } { s ^ { 2 } } = 0 . 0 0 5 7
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { G , \mathrm { e q } } } & { { } = \rho _ { G } W _ { i } , } \\ { g _ { i } ^ { G , \mathrm { e q } } } & { { } = ( C _ { v } - \frac { D } { 2 } ) T _ { G } \rho _ { G } W _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } ^ { i } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } ^ { i - 1 } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { \kappa _ { l } ^ { i - 1 } \leq j \leq \kappa _ { l } ^ { i } + 1 } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } ^ { i - 1 } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } + 2 | \zeta ^ { \kappa _ { l } ^ { i - 1 } } | ^ { 2 } + \mathcal { A } _ { i } } \\ & { \leq 3 \operatorname* { s u p } _ { j \leq \kappa _ { l } ^ { i - 1 } } | \zeta ^ { j } | ^ { 2 } + \mathcal { A } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { ( N ) } } & { \simeq \sum _ { i } ^ { N } e ^ { ( 1 ) } ( \vec { p } _ { i } ) } \\ & { + \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i < j } ^ { N } e ^ { ( 2 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) \theta [ r _ { \mathrm { s h o r t } } - \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } - \vec { p } _ { j } ) ] } \\ & { + \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i < j } ^ { N } \sum _ { i < j < k } ^ { N } e ^ { ( 3 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) \theta [ r _ { \mathrm { s h o r t } } - \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } - \vec { p } _ { j } ) ] \theta [ r _ { \mathrm { s h o r t } } - \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { j } - \vec { p } _ { k } ) ] \theta [ r _ { \mathrm { s h o r t } } - \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { k } - \vec { p } _ { i } ) ] } \\ & { + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } } & { = } & { \psi _ { 1 } ^ { i , j } - i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha } ( \psi _ { 1 } ^ { i + 1 , j } - 2 \psi _ { 1 } ^ { i , j } + \psi _ { 1 } ^ { i - 1 , j } ) + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha } ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) } \\ & { - } & { \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 1 } ^ { i , j - k } ] , } \end{array}
\{ { \bar { \omega } } ^ { A ^ { \prime } } , \ { \bar { \omega } } ^ { B ^ { \prime } } \} = \{ { \bar { \omega } } ^ { A ^ { \prime } } , \ { \bar { \pi } _ { A } } \} = \{ { \bar { \pi } _ { A } } , \ { \bar { \pi } _ { B } } \} = \{ { \omega } ^ { A } , \ { \bar { \omega } } ^ { B ^ { \prime } } \} = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } \sigma ^ { \mathrm { ( t w , c i r c ) } } } { \mathrm { d } \Omega _ { p } } \left( \theta _ { p } , \phi _ { p } ; \, \theta _ { c } \right) = \mathcal { N } \frac { 2 \pi } { 2 J _ { i } + 1 } \times } \\ & { \times } & { \sum _ { L L ^ { \prime } p p ^ { \prime } } i ^ { L - L ^ { \prime } } \left( i \lambda \right) ^ { p - p ^ { \prime } } [ L L ^ { \prime } ] \times } \\ & { \times } & { \sum _ { J _ { t } J _ { t } ^ { \prime } \kappa \kappa ^ { \prime } } { \cal Z } \, [ l l ^ { \prime } ] [ J _ { t } J _ { t } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \left\langle ( \alpha _ { f } J _ { f } , \epsilon \kappa ) J _ { t } \left\vert \left\vert H _ { \gamma } ( p L ) \right\vert \right\vert \alpha _ { i } J _ { i } \right\rangle \times } \\ & { \times } & { \left\langle ( \alpha _ { f } J _ { f } , \epsilon \kappa ^ { \prime } ) J _ { t } ^ { \prime } \left\vert \left\vert H _ { \gamma } ( p ^ { \prime } L ^ { \prime } ) \right\vert \right\vert \alpha _ { i } J _ { i } \right\rangle ^ { \ast } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } ( C ) } & { = } & { \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } [ \tilde { \Omega } _ { 0 } ^ { ( 1 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \tilde { \Omega } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ] a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } . \ \ \ } \end{array}
[ \mathbf { A } ^ { - 1 } ] _ { I , J } \operatorname* { d e t } \mathbf { A } ( e _ { 1 } \wedge \ldots \wedge e _ { n } ) = \pm ( e _ { j _ { 1 } } ) \wedge \ldots \wedge ( e _ { j _ { k } } ) \wedge ( \mathbf { A } e _ { i _ { 1 } ^ { \prime } } ) \wedge \ldots \wedge ( \mathbf { A } e _ { i _ { n - k } ^ { \prime } } ) = \pm [ \mathbf { A } ] _ { J ^ { \prime } , I ^ { \prime } } ( e _ { 1 } \wedge \ldots \wedge e _ { n } ) .
\widetilde { b _ { k l } ^ { \prime } } \left( \vec { x } \right) = \left( - 1 \right) ^ { k } 2 \mathrm { s i n c } \left( 2 \left( x - k \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( y - l \right) \ \ \ \left( k , l \in \mathbb { Z } \right) ,
S = \int d t e ^ { - \bar { \phi } } \left[ 3 \dot { \alpha } ^ { 2 } - \dot { \bar { \phi } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \beta } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \varphi } \dot { \sigma } ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { I _ { 6 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 8 D \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } ( k \cdot p ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( A _ { j } = a _ { j } ) } & { = ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { a _ { j - 1 } = 1 } ^ { \infty } \dots \sum _ { a _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \big ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } + \mathbf { e } _ { j } ] - [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ] \big ) } \\ & { \approx ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { a _ { j - 1 } = 1 } ^ { \infty } \dots \sum _ { a _ { 2 } = 1 } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { \infty } \big ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } + \mathbf { e } _ { j } ] - [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ] \big ) \, d a _ { 1 } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { a _ { j - 1 } = 1 } ^ { \infty } \dots \sum _ { a _ { 2 } = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) \big ( \ln ( 1 + [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ^ { 2 : j } + \mathbf { e } _ { j - 1 } ] ) - \ln ( 1 + [ 0 ; \mathbf { a } _ { j } ^ { 2 : j } ] ) \big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { \Lambda } } - \frac { 1 } { 4 } \, \mathrm { L o g } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 6 } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } e ^ { - 4 / g _ { \Lambda } } + O \left( \frac { \Lambda ^ { 4 } } { M ^ { 4 } } e ^ { - 8 / g _ { \Lambda } } \right)
T ^ { p } S \left( a | n > + b | \widehat { n ^ { \prime } } > \right) = i \ \mathrm { e x p } ( - i \pi / 6 ) V \sum _ { m m ^ { \prime } } \frac { i } { 2 \epsilon } a | \widehat { m } > + ( 2 i \epsilon b + p ) | m ^ { \prime } >
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } { \bf u ( k ) } = - i \sum _ { \bf p } \{ { \bf k \cdot u ( q ) } \} { \bf u ( p ) } - i { \bf k } p ( { \bf k } ) - \nu k ^ { 2 } { \bf u ( k ) } + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( u _ { j } s _ { k } + a _ { j } s _ { k } ) \, , } \\ { e _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( u _ { j } e _ { k } + a _ { j } e _ { k } ) \, , } \\ { i _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( u _ { j } i _ { k } + a _ { j } i _ { k } ) \, , } \\ { r _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } ( u _ { j } r _ { k } + a _ { j } r _ { k } ) \, , } \\ { d _ { k } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } u _ { j } d _ { k } \, , } \end{array}
\gamma _ { l } ^ { I } = \sum _ { n } A _ { n } \gamma _ { l } ^ { ( n ) I } = \gamma _ { l } ^ { I } ( A ) = ( \lambda + 2 l - 1 ) \frac { \Gamma ( \lambda + l - 1 ) } { l ! ( n + 1 ) ! \, \Gamma ( \lambda - 2 ) } [ 1 + \frac { 1 } { 2 } ( - 1 ) ^ { l } \frac { ( l + 1 ) ! } { ( \lambda - 1 ) _ { l - 1 } } ]
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } g ( n , X ) } & { = \sigma ( n , X ) + g ( \dot { n } , X ) + g ( n , \dot { X } ) } \\ & { = \sigma ( n , n ) g ( n , X ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sigma ( n , \tau _ { i } ) g ( \tau _ { i } , X ) + g ( \dot { n } , n ) g ( n , X ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } g ( \dot { n } , \tau _ { i } ) g ( \tau _ { i } , X ) + g ( n , \dot { X } ) } \\ & { = \left( \sigma ( n , n ) + g ( \dot { n } , n ) \right) g ( n , X ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left( \sigma ( n , \tau _ { i } ) + g ( \dot { n } , \tau _ { i } ) \right) g ( \tau _ { i } , X ) + g ( n , \dot { X } ) . } \end{array}
\frac { \Delta E } { T } = \; - \Im \left[ k _ { 2 } ( i \omega ) \right] \frac { ( n R ) ^ { 5 } } { G } \left( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \times \frac { 2 1 } { 2 } e ^ { 2 } ,
W = h _ { 1 } \tilde { \cal Q } A _ { 1 } J _ { 1 } { \cal Q } - h _ { 1 } { \cal Q } A _ { 2 } J _ { 2 } \tilde { \cal Q } + h _ { 2 } q { \cal Q } p + h _ { 2 } \tilde { p } \tilde { \cal Q } \tilde { q } .
( \mathbf { A } _ { n \times n } + \mathbf { U } _ { n \times m } \mathbf { V } _ { m \times n } ) ^ { - 1 } = \mathbf { A } _ { n \times n } ^ { - 1 } - \mathbf { A } _ { n \times n } ^ { - 1 } \mathbf { U } _ { n \times m } \left( \mathbb { I } _ { m } + \mathbf { V } _ { m \times n } \mathbf { A } _ { n \times n } ^ { - 1 } \mathbf { U } _ { n \times m } \right) ^ { - 1 } \mathbf { V } _ { m \times n } \mathbf { A } _ { n \times n } ^ { - 1 } ,
P _ { \nu } = \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { \hbar } { c ^ { 2 } } \right) \alpha ^ { 2 } \dot { v } ^ { 2 } \left( 1 - \eta \frac { k _ { B } T _ { U } } { 2 m c ^ { 2 } } \right) ,
M ( x _ { 0 } , k ) \geqslant \frac { 1 } { 2 } \frac { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | f ^ { \prime \prime } ( x ) | } { \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { * } , x _ { 0 } ] } | f ^ { \prime } ( x ) | } \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ ( x _ 0 , k ) \in [ 0 , 1 ] \times \mathbb { N } ~ s a t i s f y i n g ~ | x _ * - x _ 0 | \leqslant ~ 2 ^ { 1 - k } ~ . }
m _ { \operatorname * { m i n } } < \langle m \rangle < m _ { 1 } \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \langle m _ { \operatorname * { m i n } } \rangle = ( \cos ^ { 2 } \theta _ { \odot } - \sin ^ { 2 } \theta _ { \odot } ) \, m _ { 1 } ^ { } .
S P _ { e / n } = S _ { e / n } \frac { 5 . 0 9 5 8 Z _ { \mathrm { H I } } Z _ { t } A _ { \mathrm { H I } } } { A _ { t } ( A _ { \mathrm { H I } } + A _ { t } ) ( Z _ { \mathrm { H I } } ^ { 2 / 3 } + Z _ { t } ^ { 2 / 3 } ) ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { E ( { \bf R } , D ) } & { = \sum _ { \sigma } \mathrm { T r } \left[ H _ { 0 } ^ { \sigma } ( D ^ { \sigma } - D _ { 0 } ^ { \sigma } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I , J } ^ { N } q _ { I } \gamma _ { I J } q _ { J } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } \sum _ { l } m _ { l } ^ { ( I ) } J _ { l } ^ { ( I ) } m _ { l } ^ { ( I ) } - \sum _ { \sigma } T _ { e } { \cal S } [ D ^ { \sigma } ] , } \end{array}
q _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ y ~ e ~ s ~ ( ~ + ~ 1 ~ ) ~ } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; V _ { j } > 0 } \\ { \mathrm { ~ n ~ o ~ ( ~ - ~ 1 ~ ) ~ } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; V _ { j } < 0 } \\ { 0 \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; V _ { j } = 0 \, } \end{array} \right. \, .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & & & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \lambda _ { r _ { i } } } & & \\ { \vdots } & { \vdots } & & & { 0 } & \\ { 0 } & { \vdots } & & & & { \ddots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & & & & { 0 } \end{array} \right] } .
P _ { \gamma + 1 1 } ( q , y ) = \mathrm { T r } _ { V ( D _ { 4 } + \Delta _ { \gamma } ) } \hat { e } _ { \Delta _ { 1 1 } } ^ { - 1 } q ^ { L _ { 0 } - 1 / 6 } y ^ { J _ { 0 } ^ { 1 1 } } \hat { e } _ { \Delta _ { 1 1 } } =
\begin{array} { r l } & { \quad \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf x _ { T } ) } \\ & { = \eta _ { T } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T - 1 } ) } \\ & { = \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) + \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } \left( D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T - 1 } ) - D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) \right) + ( \eta _ { T } ^ { - 1 } - \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } ) D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T } , \mathbf z _ { T - 1 } ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) + \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { K } \left( \theta _ { T , i } \ln \frac { \theta _ { T , i } } { z _ { T - 1 , i } } - \theta _ { T - 1 , i } \ln \frac { \theta _ { T - 1 , i } } { z _ { T - 1 , i } } \right) + ( \eta _ { T } ^ { - 1 } - \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } ) \ln \frac 1 { \beta _ { T - 1 } } } \\ & { \stackrel { ( b ) } \le \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) + \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \left( ( 1 - z _ { T - 1 , i } ) \ln \frac 1 { z _ { T - 1 , i } } \lvert \theta _ { T , i } - \theta _ { T - 1 , i } \rvert \right) + ( \eta _ { T } ^ { - 1 } - \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } ) \ln \frac 1 \beta } \\ & { \le \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf z _ { T - 1 } ) + \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { T } - \vec { \theta } _ { T - 1 } \rVert _ { 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T - 1 } } + ( \eta _ { T } ^ { - 1 } - \eta _ { T - 1 } ^ { - 1 } ) \ln \frac 1 { \beta _ { T - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \int d h _ { i } ^ { t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } W [ x _ { i } ^ { t + 1 } = S | \mathbf { x ^ { t } } ] + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } W [ x _ { i } ^ { t + 1 } = I | \mathbf { x ^ { t } } ] + \right. } \end{array}