harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 3 } \big ( - 3 5 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( - 3 \big ( 4 2 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } + ( 2 8 1 \beta + 7 1 ) \lambda + 1 6 7 \beta + 4 1 \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle w _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { \beta } - \langle w _ { i } \rangle _ { \beta } ^ { 2 } } & { = \int d ^ { 3 } w \left| \mu _ { \beta } ( \vec { w } ) \right| \, w _ { i } ^ { 2 } = \int d ^ { 3 } w \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi _ { i } ^ { 2 } } e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \vec { w } } \right] F _ { \beta } ( \vec { \xi } ) } & { = - \left. \frac { \partial ^ { 2 } F _ { \beta } ( \vec { \xi } ) } { \partial \xi _ { i } ^ { 2 } } \right| _ { \vec { \xi } = 0 } } \end{array}
v _ { 0 } \ll \frac { r _ { c } } { 2 a } \frac { c _ { s } } { \delta \varphi } = \frac { r _ { c } } { 2 } \sqrt { \frac { J n _ { c } } { 2 \chi ( 1 - \Psi ) } } \equiv v _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } \, .
\begin{array} { r } { C _ { \mathrm { T o f f } } = \mathcal { O } \left( \frac { \lambda _ { F } } { \varepsilon _ { F } } \left[ \left( \frac { \lambda _ { A } } { \Delta _ { A } } C _ { A } + \frac { \lambda _ { B } } { \Delta _ { B } } C _ { B } \right) \log \frac { \lambda _ { F } } { \varepsilon _ { F } } + C _ { F } \right] \right) \, , } \end{array}
H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( \tilde { \tau } ) = 1 + H L \frac { 1 + \mathrm { c n } [ 2 H \sqrt { H L } \tilde { \tau } , \; k ] } { 1 - \mathrm { c n } [ 2 H \sqrt { H L } \tilde { \tau } , \; k ] } ,
\begin{array} { r l } { f ( r ) } & { { } = \nabla \omega ( r ) , \quad \omega ( r ) = \frac { \delta Y } { \delta l } ( l ( r ) ) , } \\ { Y ( l ) } & { { } \propto [ A _ { 0 } + \exp ( a _ { 1 } l - a _ { 2 } l ^ { 2 } ) ] \, l ^ { \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { z } } & { { } = } & { \hbar \left( \begin{array} { c c } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } , } & { \hat { a } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { B } ( \mathcal { C } ) : = \frac { \operatorname* { m i n } _ { ( i , j ) \notin E } d ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } ) - \operatorname* { m a x } _ { ( i , j ) \in E } d ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } ) } { \operatorname* { m i n } _ { ( i , j ) \notin E } d ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } ) + \operatorname* { m a x } _ { ( i , j ) \in E } d ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } _ { j } ) } \, , } \end{array}
\boldsymbol { C } ( \mathbf { A } , \mathbf { B } ) ( { \tau _ { 2 } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { i = 0 } ^ { l _ { 2 } - 1 - \tau _ { 2 } } a _ { i } b _ { i + \tau _ { 2 } } ^ { * } , } & { 0 \leq \tau _ { 2 } < l _ { 2 } , } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { l _ { 2 } + \tau _ { 2 } - 1 } a _ { i - \tau _ { 2 } } b _ { i } ^ { * } , } & { - l _ { 2 } < \tau _ { 2 } < 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
K = E ^ { \prime } - E = \tilde { E } _ { 0 } ^ { \prime } + \tilde { E } _ { \gamma } ^ { \prime } - E _ { 0 } ^ { \prime } - K _ { 0 } - E _ { \gamma } = \tilde { K } _ { 0 } - K _ { 0 } + \tilde { E } _ { \gamma } ^ { \prime } - E _ { \gamma }
f { \bf k } \times \rho { \bf v } + \rho _ { \star } \nabla B _ { h } ^ { i d e a l } = \rho _ { \star } { \bf P } _ { h } ^ { i d e a l } , \qquad { \bf P } _ { h } ^ { i d e a l } = \frac { g z \nabla \rho } { \rho _ { \star } } ,
\hat { K } _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } ) \phi ( \mathbf { x } ) = \psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } ) \int \frac { \psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } \ast } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \phi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq l \leq k ( q ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { p } ( q ) \cap \tilde { \mathcal { T } } _ { p } } r _ { t } ( \pi ^ { l } ( X _ { t } ) , X _ { t } ) - \tilde { R } _ { p } ^ { 1 } ( q ) } & { \leq c \sqrt { k ( q ) \ln k ( q ) ( T _ { p } ^ { q + 1 } - T _ { p } ^ { q } ) } ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 1 / 4 } } \\ & { \leq c ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 3 / 4 } \ln T _ { p } ^ { q + 1 } . } \end{array}
| k _ { \lambda } M | ^ { 2 } = k ^ { 2 } | M | ^ { 2 } = \frac { 3 2 e ^ { 2 } g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { k ^ { 4 } } U _ { \mu \nu } U _ { \alpha \beta } ^ { \dag } k _ { \sigma } k _ { \delta } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \sigma } \epsilon _ { \lambda } ^ { \; \; \alpha \beta \delta }
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 } \propto } & { { } \left[ t _ { \parallel } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + t _ { \perp } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { \mu } J _ { \nu } ( a x ) d x = 2 ^ { \mu } a ^ { - \mu - 1 } \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \nu + \frac { 1 } { 2 } \mu \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \nu - \frac { 1 } { 2 } \mu \right) } \quad - \Re \nu - 1 < \Re \mu < \frac { 1 } { 2 } , \quad a > 0
\begin{array} { r } { | \partial _ { t } ^ { m _ { 1 } } \nabla _ { x } ^ { m _ { 2 } } H ( x , t , y , s _ { 0 } ) | \le \frac { 1 } { r ^ { 2 m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \cdot \frac { Q } { ( t _ { 0 } - s _ { 0 } ) ^ { \frac n 2 } } \cdot \exp \left( - \frac { d _ { s _ { 0 } } ^ { 2 } ( x _ { 0 } , y ) } { Q ( t _ { 0 } - s _ { 0 } ) } \right) } \end{array}
\operatorname { e r f } ( z ) = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( z \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { - ( 2 k - 1 ) z ^ { 2 } } { k ( 2 k + 1 ) } } \right) = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { z } { 2 n + 1 } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { - z ^ { 2 } } { k } }
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { j } \binom { j + \ell } { j } S _ { i j } ^ { ( n ) } \overline { { g } } _ { k , i , j + \ell } ^ { ( n ) } . } \end{array}
m _ { B } ^ { 2 } = { \frac { \lambda } { 2 } } \left[ C + { \frac { 1 } { 2 V } } \sum _ { p \neq 0 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { { p } ^ { 2 } + m _ { B } ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { | p | } \right) \right] ~ ,
\begin{array} { r c l } { E _ { y } } & { = } & { A / \sqrt { 2 } \times \cos ( k x ) \sin ( \omega t ) , } \\ { E _ { z } } & { = } & { A / \sqrt { 2 } \times \cos ( k x ) \cos ( \omega t ) , } \\ { B _ { y } } & { = } & { - A / \sqrt { 2 } \times \sin ( k x ) \sin ( \omega t ) , } \\ { B _ { z } } & { = } & { - A / \sqrt { 2 } \times \sin ( k x ) \cos ( \omega t ) , } \end{array}
{ \cal A } _ { D - 2 } = \omega _ { s + 1 } L ^ { D - s - 3 } \sum _ { c } \prod _ { I } \left( \prod _ { a } Q _ { a c } ^ { ( I ) } \prod _ { b } P _ { b c } ^ { ( I ) } \right) ^ { \frac { \sigma ^ { ( I ) } } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \lceil ( K + R ) / g + \mu \rfloor } \\ { K } & { { } \sim \operatorname { P o i s s o n } ( H ) } \\ { R } & { { } \sim \mathcal N ( 0 , \sigma _ { R } ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ V _ { \mathrm { i n t } } ( x _ { j } - x _ { k } ) = \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { L } ^ { 2 } } \tilde { \beta } \, ( x _ { j } - x _ { k } ) ^ { 2 } = \beta \, ( x _ { j } - x _ { k } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { W ^ { 2 } ( \frac { \lambda ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } d x \llcorner B _ { R } + \bar { f } , } & { \frac { \mu ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } d x \llcorner B _ { R } + \bar { g } ) } \\ & { \le \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } \{ \frac { \lambda ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } , \frac { \mu ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } \} } \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { S M } } ( t _ { * } , \delta ) \| r - u \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } & { \le \langle \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) - \mathcal { A } ( t _ { * } + u ) , r - u \rangle \le \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + u ) ( r - u ) , r - u \rangle + \frac { 1 } { 2 } M _ { \delta } \| r - u \| _ { \mathbb { V } } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) \lvert p \rvert \right) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \lvert \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) p - g _ { 0 } ( x ) u \rvert } \\ { \leq } & { { } \left( \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) \lvert p \rvert \right) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) \lvert p \rvert + \lvert g _ { 0 } ( x ) u \rvert } \\ { \leq } & { { } \mu ( M , b , \operatorname* { m a x } ( | g _ { 0 } | ) ) \left( 1 + \lvert p \rvert \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } , \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, ] } & { = u \ \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, ( \, \varepsilon \, P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in { \mathcal { S } } _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \omega _ { i } ^ { ( k ) } \, u \ P ( t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \in \{ S _ { 2 } \cup S _ { 3 } \} ) \, ) } \\ & { \, = \, u \ \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, h ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } ( \Delta ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } p _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ l ~ y ~ } } ( x ) p _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ m ~ a ~ n ~ d ~ } } ( x - \Delta ) \, \mathrm { ~ d ~ } x .
{ \cal L } _ { Q C D } = - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { a \mu \nu } { F ^ { a } } _ { \mu \nu } + B ^ { a } { A ^ { a } } _ { - } + { \bar { c } } ^ { a } { \cal D } _ { - } ^ { a b } c ^ { b } + { \bar { \psi } } ^ { i } ( i \gamma ^ { \mu } { D ^ { i j } } _ { \mu } - m \delta ^ { i j } ) \psi ^ { j } . \nonumber
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \operatorname* { i n f } _ { \| \bar { y } - b \| _ { 2 } = 1 } \frac { 1 } { ( \bar { y } - b ) ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( 1 + \| b \| _ { 2 } ) ( 2 + \| b \| _ { 2 } ) } } \\ { L } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| \bar { y } - b \| _ { 2 } = 1 } \frac { ( \bar { y } - b ) ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { ( ( \bar { y } - b ) ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } = \frac { 2 - \| b \| _ { 2 } } { ( 1 - \| b \| _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( E _ { 0 } ) ^ { 2 } = ( E _ { x } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( E _ { y } ^ { 0 } ) ^ { 2 } = ( E _ { x \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( E _ { y \prime } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } \end{array}
t = { \frac { E - E ^ { \prime } } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } , \quad u _ { 1 } = { \frac { E - M } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } , \quad u _ { 2 } = { \frac { E + M } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } , \quad a = { \frac { k \pi } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ,
\mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] \leq \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha ( 1 - \gamma ) } { 4 } \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { \tilde { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + \frac { 5 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } \mathbb { E } \left[ \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { u \leftarrow \frac { { \mathcal { T } } ( \cdot , v , w ) } { \Vert { \mathcal { T } } ( \cdot , v , w ) \Vert } \quad v \leftarrow \frac { { \mathcal { T } } ( u , \cdot , w ) } { \Vert { \mathcal { T } } ( u , \cdot , w ) \Vert } \quad w \leftarrow \frac { { \mathcal { T } } ( u , v , \cdot ) } { \Vert { \mathcal { T } } ( u , v , \cdot ) \Vert } } \end{array}
\rho _ { \epsilon } = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \frac { \rho ^ { ( \epsilon ) } } { \omega _ { 0 } ( 1 - \boldsymbol { p } \cdot \boldsymbol { k } _ { 0 } / \omega _ { 0 } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle q \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { = } & { - \langle b _ { i j } \mu _ { j i } \rangle - \langle b _ { i j } \gamma _ { j i } \rangle - \frac { 1 } { 2 } \langle D _ { i j k l } D _ { j i k l } \rangle } \\ & { = } & { - \langle b _ { i j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \big ( 8 \langle q \rangle + 1 \big ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 1 6 \langle q ^ { 2 } \rangle + 4 \langle q \rangle + 4 \big ) } \\ { \frac { d \langle r \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { = } & { - \langle b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } \rangle - \langle b _ { i k } b _ { k j } \gamma _ { j i } \rangle - \langle b _ { i j } D _ { j k m n } D _ { k i m n } \rangle } \\ & { = } & { - \langle b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \bigg ( \frac { 2 7 } { 2 } \langle r \rangle \bigg ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 6 \langle r \rangle + 3 0 \langle q r \rangle - 6 \langle b _ { i j } b _ { j k } b _ { i k } \rangle \big ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { { \cal G } _ { R } } } \\ { { { \cal G } _ { A } } } & { { { \cal G } _ { K } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { G _ { R } } } \\ { { G _ { A } } } & { { G _ { K } } } \end{array} \right) + i \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { G _ { R } \Sigma _ { R } { \cal G } _ { R } } } \\ { { G _ { A } \Sigma _ { A } { \cal G } _ { A } } } & { { G _ { A } \Omega { \cal G } _ { R } + G _ { K } \Sigma _ { R } { \cal G } _ { R } + G _ { A } \Sigma _ { A } { \cal G } _ { K } } } \end{array} \right) .
| \mathcal { F } \mathcal { B } _ { l } ( x ) | ^ { 2 } ( \kappa ) \overset { d e f } { = } | \mathcal { F } ( x * \tilde { \phi } _ { l } ) | ^ { 2 } ( \kappa ) = | \mathcal { F } ( x \circ \Psi _ { r } ) | ^ { 2 } ( \kappa ) | \mathcal { F } ( \tilde { \phi } _ { l } ) | ^ { 2 } ( \kappa ) = | \mathcal { F } ( x ) | ^ { 2 } ( \kappa ) | \mathcal { F } ( \tilde { \phi } _ { l } ) | ^ { 2 } ( \kappa ) ,
S ^ { ( 1 ) } = { \frac { i g ^ { 2 } } { 2 \pi } } \ln { \frac { \sigma } { \sigma ^ { \prime } } } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \left( L _ { 1 } ^ { a } { \frac { 1 } { \vec { \partial } _ { \perp } ^ { 2 } } } L _ { 1 } ^ { a } + L _ { 2 } ^ { a } { \frac { 1 } { \vec { \partial } _ { \perp } ^ { 2 } } } L _ { 2 } ^ { a } \right) .
\Delta _ { \alpha , j } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { r o w } _ { \alpha } \left( M _ { \theta , k } ^ { - 1 } \right) \exp ( \mathrm { i } 2 \pi k j / N ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \delta _ { 0 , j , \alpha } } & { \delta _ { 1 , j , \alpha } } & { \cdots } & { \delta _ { \theta - 1 , j , \alpha } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \eta } } & { = } & { - \frac { \varsigma ( t ) } { N \cdot M } 1 _ { N \cdot M } ^ { T } \frac { \partial \tilde { f } ( y ) } { \partial y } } \\ & { = } & { - \frac { \varsigma ( t ) } { N \cdot M } \sum _ { i = 1 } ^ { N \cdot M } \frac { \partial f _ { i } ( y _ { i } ) } { \partial y _ { i } } } \\ & { = } & { - \frac { \varsigma ( t ) } { N \cdot M } \sum _ { i = 1 } ^ { N \cdot M } \frac { \partial f _ { i } } { \partial y _ { i } } ( ( U \psi ) _ { i } + \eta ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int \nabla _ { \mathbf { r } _ { 0 } } \cdot \left( \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \right) d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) \cdot d \mathbf { A } _ { 0 } } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } \, ,
I _ { 1 - q } ( u ) = \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ n ~ t ~ i ~ l ~ e ~ } _ { 1 - q } \left\{ \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] + \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ] + \hat { \delta } _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ E ~ } } ^ { 2 } } } : x \in \mathcal { M } ^ { * } \right\} ,
\mathbf { E } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ) = \frac { i { \omega } ^ { 3 } { \mu _ { 0 } } } { 8 { \pi } ^ { 2 } c } P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \kappa } { p } ( \hat { s } r ^ { s } \hat { s } + \hat { p } _ { + } r ^ { p } \hat { p } _ { - } ) e ^ { i \mathbf { \nu } \cdot \mathbf { r } _ { M } } \cdot \mathbf { p } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) d { \varphi } d { \kappa } ,
f ( k , \theta ) = \frac { \mu } { \hbar ^ { 2 } } \frac { - 1 } { 2 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \int \, \mathrm { ~ d ~ } q _ { z } \mathcal { H } ( - q _ { z } ) \mathcal { V } ( \mathbf { q } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { H ( \omega ) = \frac { N _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { N _ { z } } ( i \omega - i z _ { \ell } ) } { D _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { N _ { s } } ( i \omega - i p _ { \ell } ) } } \\ & { N _ { 0 } = \left[ \prod _ { \ell = 1 } ^ { N _ { z } } \frac { i } { z _ { \ell } } \right] ~ \omega ^ { m } ~ G ( 0 ) } \\ & { D _ { 0 } = \prod _ { \ell = 1 } ^ { N _ { s } } \frac { i } { p _ { \ell } } } \end{array} } \end{array}
\hat { \psi } _ { ( 1 , 0 ) } ( \hat { y } ) \sim - \frac { 1 } { 2 } \log { ( \hat { y } ) } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma { ( k ) } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } \quad \mathrm { a n d } \quad \hat { \psi } _ { ( 2 , 1 ) } ( \hat { y } ) \sim \frac { 1 } { 2 } \log { ( \hat { y } ) } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma { ( k ) } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } .
\begin{array} { r l } { \quad A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) = } & { { } \; 8 + \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } + 2 \alpha _ { 3 } + 2 \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 6 } , } \\ { B _ { 2 } ( \theta _ { B } ) = } & { { } - 4 \Big [ 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } + 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } - 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 5 } + 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 6 } \Big ] \cos { 6 \theta _ { B } } } \\ { C _ { 2 } ( \theta _ { B } ) = } & { { } - 8 \big ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 1 } \cos { 2 \theta _ { B } } \big ) \sin { \theta _ { B } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , F b } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 2 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { b } } \left\{ \left[ \langle \xi _ { P a } P b _ { 2 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P a a } ) | a n \rangle + \langle P a \xi _ { P b _ { 2 } } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P a a } ) | a n \rangle \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \langle P a P \xi _ { b _ { 2 } } ^ { \prime } | I ( \Delta _ { P a a } ) | a n \rangle \right] \langle n b _ { 1 } | I ( 0 ) | Q b _ { 2 } Q b _ { 1 } \rangle - \langle P b _ { 2 } P \xi _ { b _ { 1 } } ^ { \prime } | I ( 0 ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n a | I ( \Delta _ { a Q a } ) | Q b _ { 1 } Q a \rangle } \\ & { - } & { \left. \left[ \langle P b _ { 2 } \xi _ { P b _ { 1 } } | I ( 0 ) | b _ { 2 } n \rangle + \langle \xi _ { P b _ { 2 } } P b _ { 1 } | I ( 0 ) | b _ { 2 } n \rangle \right] \langle n a | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a Q a } ) | Q b _ { 1 } Q a \rangle \right\} \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { \Gamma \left( s \right) \zeta \left( \frac s 2 , \frac { D _ { B } } { \mu ^ { 2 } } \right) = \frac { \Gamma \left( s \right) } { \Gamma \left( \frac s 2 \right) } \left[ \Gamma \left( \frac s 2 \right) \zeta \left( \frac s 2 , \frac { D _ { B } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] = } } \\ { { = \frac { 2 ^ { s - 1 } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( \frac { s + 1 } 2 \right) \left[ \Gamma \left( \frac s 2 \right) \zeta \left( \frac s 2 , \frac { D _ { B } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } w _ { 1 } ^ { 2 k _ { 1 } } w _ { 2 } ^ { 2 k _ { 2 } } f ( a , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) \mathrm { d } w _ { 1 } \mathrm { d } w _ { 2 } } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ ( 2 k _ { 1 } - 1 ) ! ! \} \{ ( 2 k _ { 2 } - 1 ) ! ! \} \left( \frac { \operatorname { t a n h } ( x ) } { x } \right) ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \frac { \cos ( a x ) } { \cosh ( x ) } \mathrm { d } x } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \pi } \frac { ( 2 k _ { 1 } ) ! ( ( 2 k _ { 2 } ) ! ) } { ( k _ { 1 } ! ) ( k _ { 2 } ! ) 2 ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { \operatorname { t a n h } ( x ) } { x } \right) ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \frac { \cos ( a x ) } { \cosh ( x ) } \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r } { { U = \xi _ { x } \overline { { u } } + \xi _ { y } \overline { { v } } + \xi _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { , } } } \\ { { V = \eta _ { x } \overline { { u } } + \eta _ { y } \overline { { v } } + \eta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { , } } } \\ { { W = \zeta _ { x } \overline { { u } } + \zeta _ { y } \overline { { v } } + \zeta _ { z } \overline { { w } } \, \mathrm { . } } } \end{array}
A ^ { \prime } \, = \, A / \lambda \, = \, \operatorname * { l i m } _ { x _ { 0 } ^ { \prime } \to 0 } \, \frac { 7 } { 8 } \left( \, \int _ { x _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { \infty } \, \frac { d y ^ { \prime } } { y ^ { 2 } } \, R ( y ^ { \prime } ) F ^ { 2 \delta } ( y ^ { \prime } ) \, - \, b ^ { \prime } \, a ^ { 2 \delta } \, \frac { ( x _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { \kappa - 1 } } { 1 - \kappa } \right) \; .
\begin{array} { r l } { h ( X _ { 1 } \times X _ { 2 } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { k } , X _ { 1 } \times X _ { 2 } \right) \right| } { 1 + 2 + \cdots + 2 ^ { k } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \log \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( 2 ^ { m } ) ^ { a _ { k } ( j ) } } { 2 ^ { k + 1 } - 1 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { \log n + \left( \frac { m 2 ^ { k } } { n } + o ( 2 ^ { k } ) \right) \log 2 } { 2 ^ { k + 1 } - 1 } } \\ & { = \frac { m \log 2 } { 2 n } . } \end{array}
\epsilon d \phi - \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } \frac { d | | \overline { { U } } | | } { | | \overline { { U } } | | } - \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } \frac { T d S - d H } { | | \overline { { U } } | | ^ { 2 } } = 0 ,