harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c c c c } { { | I ( k ) | \simeq | \vec { k } | ^ { - 3 - \sigma } , } } & { { | \phi ( k ) | \simeq | \vec { k } | } } & { { \mathrm { \ a s \ } } } & { { | \vec { k } | \rightarrow \infty , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) ^ { 2 } - \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ^ { 2 } | } & { = | ( \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) + \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ) ( \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) - \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ) | \leq ( | y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y | + O ( | y | ^ { 4 } ) ) ( O ( | y | ^ { 3 } ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) } \\ & { \leq C | y | ^ { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { E } ( y ) : = } & { \; \hat { b } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } \int _ { Y _ { 6 } } m ^ { P } ( y , z ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { z e ^ { - 2 \beta } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) m ^ { P } ( y , z ) ^ { - 1 } d z } \\ & { + \hat { b } _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } \int _ { Y _ { 7 } } m ^ { P } ( y , z ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { z e ^ { 2 \beta } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) m ^ { P } ( y , z ) ^ { - 1 } d z , } \\ { Y _ { E } ( y , t ) : = } & { - \hat { b } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } \int _ { Y _ { 6 } } z e ^ { - 2 \beta } m _ { 1 2 } ^ { W } ( \tilde { y } , w ) ( m _ { 1 3 } ^ { P } + m _ { 3 3 } ^ { P } ) ( y , z ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { m _ { 1 3 } ^ { P } ( y , z ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { 3 3 } ^ { P } ( y , z ) } & { 0 } \end{array} \right) d z } \\ & { + \hat { b } _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } \int _ { Y _ { 7 } } z e ^ { 2 \beta } ( m _ { 1 2 } ^ { W } ( \tilde { y } , w ) ) _ { + } ( m _ { 1 1 } ^ { P } + m _ { 3 1 } ^ { P } ) ( y , z ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { m _ { 1 1 } ^ { P } ( y , z ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { 3 1 } ^ { P } ( y , z ) } & { 0 } \end{array} \right) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \hat { \alpha } _ { a } \leq \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) \cap \mathcal { K } _ { a , n } ] } & { \leq \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { s = 1 } ^ { n } y _ { a , s } - \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \geq \epsilon \right) } \\ { \mathbb { P } [ \hat { \alpha } _ { a } \geq \alpha _ { a } + \epsilon _ { a , u } ( \epsilon ) \cap \mathcal { K } _ { a , n } ] } & { \leq \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { s = 1 } ^ { n } y _ { a , s } - \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \leq - \epsilon \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Phi } _ { t - } } & { = \left[ \boldsymbol { \Phi } _ { t - 1 } ^ { \top } , \mathbf { 0 } _ { d } \right] ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { \Phi } _ { t } } & { = \boldsymbol { \Phi } _ { t ^ { - } } - \eta _ { t } \left( \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \mathbf { Q } _ { t } \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \boldsymbol { \Phi } _ { t - } \boldsymbol { \Phi } _ { t - } ^ { \top } - \mathbf { I } _ { m _ { t } } \right) \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } \boldsymbol { \Phi } _ { t - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a \left( x _ { n } , t \right) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { N - 1 } } \sum _ { j = 2 } ^ { N - 1 } a _ { j } \left( t \right) \sin \left( \pi \frac { \left( j - 1 \right) \left( n - 1 \right) } { N - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u _ { \epsilon } - u ] _ { s , \mathcal { H } } } & { = \left\| \frac { ( u _ { \epsilon } ( x ) - u ( x ) ) - ( u _ { \epsilon } ( y ) - u ( y ) ) } { | x - y | ^ { s } } \right\| _ { L ^ { \mathcal { H } } ( d \mu ) } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \| v \| _ { L ^ { \widehat { \mathcal { H } } } ( d \mu ) } \leq 1 } \left\lbrace \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { ( u _ { \epsilon } ( x ) - u ( x ) ) - ( u _ { \epsilon } ( y ) - u ( y ) ) } { | x - y | ^ { s } } v ( x , y ) d \mu \right| \right\rbrace } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \| v \| _ { L ^ { \widehat { \mathcal { H } } } ( d \mu ) } \leq 1 } 2 \| v \| _ { L ^ { \widehat { \mathcal { H } } } ( d \mu ) } } \\ & { \left\lbrace \int _ { | \xi | < 1 } \rho ( \xi ) d \xi \left\| \frac { ( u ( x - \epsilon \xi ) - u ( y - \epsilon \xi ) ) - ( u ( x ) - u ( y ) ) } { | x - y | ^ { s } } \right\| _ { L ^ { \mathcal { H } } ( d \mu ) } \right\rbrace } \\ & { = 2 \int _ { | \xi | < 1 } \rho ( \xi ) \left\| \frac { ( u ( x - \epsilon \xi ) - u ( y - \epsilon \xi ) ) - ( u ( x ) - u ( y ) ) } { | x - y | ^ { s } } \right\| _ { L ^ { \mathcal { H } } ( d \mu ) } d \xi . } \end{array}
M _ { 1 1 } + M _ { 2 2 } = 2 R e ( M _ { 1 1 } ) = - 2 [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) .
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } } & { = } & { a \left( \lambda + \beta _ { 1 } ( r ) + 2 x ^ { 2 } \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( r ) \right) + b \left( 2 x y \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( r ) \right) } \\ { b _ { 1 } } & { = } & { a \left( - 2 x y \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( r ) \right) + b \left( \mu - \beta _ { 2 } ( r ) - 2 y ^ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( r ) \right) } \end{array}
\bar { \alpha } _ { 1 } = \beta _ { 1 } ( \beta _ { 2 } ( \bar { \alpha } _ { 1 } ) ) \; \; \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; \; \bar { \alpha } _ { 2 } = \beta _ { 2 } ( \beta _ { 1 } ( \bar { \alpha } _ { 2 } ) ) \; .
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \grave { \phi } _ { \alpha } + \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \cdot \grave { \overline { { \nabla \phi } } } _ { \alpha } \right) = } & { ~ - \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \chi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } + \left( \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } \right) } \\ & { ~ - \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \left( \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) \right) } \\ & { ~ + \gamma _ { \alpha } \chi _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \gamma _ { \alpha } \phi _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \langle f ^ { P V } | d + u _ { i } ^ { + } | i \rangle + \langle f ^ { - } | h _ { w } + u _ { i } ^ { P V } | i \rangle } \\ & { } & { + \langle f | u _ { f } ^ { P V - } | i \rangle } \\ & { = } & { \langle f ^ { P V } | d + u _ { i } ^ { + } | i \rangle + \langle f ^ { - } | h _ { w } + u _ { i } ^ { P V } | i \rangle } \\ & { } & { + \langle f | u _ { i } ^ { P V + } | i \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial t _ { 1 } } = - \frac { \partial T ^ { \sigma } } { \partial r _ { 1 \alpha } } - \frac { T ^ { \sigma } } { \rho ^ { \sigma } } \frac { \partial \rho ^ { \sigma } } { \partial r _ { 1 \alpha } } - u _ { \beta } ^ { \alpha } \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial r _ { 1 \beta } } + G , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l c l l c l } { { \alpha } } & { { = } } & { { 1 . 0 5 1 , } } & { { \alpha ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 2 . 1 0 7 , } } \\ { { \beta } } & { { = } } & { { 0 . 9 7 0 , } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { a } } & { { = } } & { { 0 . 4 1 2 - 0 . 1 1 5 \, \sqrt { s } , } } & { { b } } & { { = } } & { { 4 . 5 4 4 - 0 . 5 6 3 \, s , } } \\ { { A } } & { { = } } & { { - 0 . 0 2 8 \, \sqrt { s } + 0 . 0 1 9 \, s ^ { 2 } , } } & { { B } } & { { = } } & { { 0 . 2 6 3 + 0 . 1 3 7 \, s , } } \\ { { C } } & { { = } } & { { 6 . 7 2 6 - 3 . 2 6 4 \, \sqrt { s } - 0 . 1 6 6 \, s ^ { 2 } , } } & { { D } } & { { = } } & { { 1 . 1 4 5 - 0 . 1 3 1 \, s ^ { 2 } , \quad \quad \quad \, \, } } \\ { { E } } & { { = } } & { { 4 . 1 2 2 + 3 . 1 7 0 \, s - 0 . 5 9 8 \, s ^ { 2 } , } } & { { E ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 1 . 6 1 5 \, s - 0 . 3 2 1 \, s ^ { 2 } \, , } } \end{array}
i _ { e } { } _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } N _ { 4 } } { } ^ { ( a ) } = \sum _ { \Lambda } \ M _ { e } { } _ { \Lambda } ^ { ( a ) } \ { C } _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } N _ { 4 } \, \Lambda } ,
\begin{array} { r l } { h ( 2 m + 3 ) } & { \leq \sqrt { \frac { \pi } { e } } \frac { 1 } { 2 ^ { m + 1 / 2 } } \frac { 2 ^ { m + 2 } } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { e } } \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) \leq \sqrt { 2 m + 3 } \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) . } \end{array}
{ E } _ { n m } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu \lambda ^ { 2 } } \left( 2 n + L _ { m } + 1 \right) - \frac { \hbar } { 2 } \left( 2 \Omega + \omega _ { c } \right) \left( m + \phi \right) - \frac { \mu } { 4 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } .
- { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta ^ { 2 } } } = \operatorname { v a r } [ \ln ( 1 - X ) ] = \psi _ { 1 } ( \beta ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \beta , \beta } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta ^ { 2 } } } \right] = \ln ( \operatorname { v a r _ { G ( 1 - X ) } } )
\widehat { s s d } ( k , l ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \kappa < \kappa _ { c } } \\ { \exp ( - 2 3 . 6 ( \Delta x ) ^ { 4 } ( \kappa - \kappa _ { c } ) ^ { 4 } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\mathbf { F } _ { \mathrm { r a y ~ } } = \frac { n _ { \mathrm { m } } P _ { \mathrm { i } } } { c } \hat { \mathbf { i } } - \frac { n _ { \mathrm { m } } P _ { \mathrm { r } } ^ { ( 1 ) } } { c } \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } - \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \frac { n _ { \mathrm { m } } P _ { \mathrm { t } } ^ { ( j ) } } { c } \hat { \mathbf { t } } _ { j } ,
\mathcal { L } _ { Z ^ { \prime } } = g _ { \alpha \beta } ^ { \prime } Z _ { \sigma } ^ { \prime } ( \bar { l } _ { \alpha } \gamma ^ { \sigma } l _ { \alpha } - \bar { l } _ { \beta } \gamma ^ { \sigma } l _ { \beta } + \bar { \nu } _ { \alpha } \gamma ^ { \sigma } P _ { L } \nu _ { \alpha } - \bar { \nu } _ { \beta } \gamma ^ { \sigma } P _ { L } \nu _ { \beta } ) \; ,
R i ^ { \prime } = \oint _ { ( \partial \mathcal { S } ) } \Vec { E } ^ { \prime } \cdot \overrightarrow { d l } ^ { \prime } \Rightarrow i ^ { \prime } = \gamma \frac { v \mu _ { 0 } I } { 2 \pi R } \left( \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { x + a } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \langle r _ { i } ^ { 2 } T \rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - \langle r _ { i } \partial _ { i } T \rangle } & { = \frac { m } { k _ { B } } \left( \frac { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } + \omega _ { i } ^ { 2 } \right) \langle r _ { i } ^ { 2 } \rangle } \\ & { \quad - \sum _ { j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { k } } { \sigma _ { \ell } } \delta _ { k , \ell } \int \frac { d ^ { 3 } r } { N k _ { B } } r _ { i } \partial _ { j } \mu _ { i j k \ell } ( T ) } \\ & { = \frac { m } { k _ { B } } \left( \frac { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } + \omega _ { i } ^ { 2 } \right) \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } \\ & { \quad - \sum _ { j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { k } } { \sigma _ { \ell } } \int \frac { d ^ { 3 } r } { N k _ { B } } r _ { i } \partial _ { j } \mu _ { i j k \ell } ( T ) \delta _ { k , \ell } . } \end{array}
s t a t e , w a s f i x e d t o t h e v a l u e f r o m t h e h i g h t e m p e r a t u r e a n a l y s i s . F i t s f l o a t i n g v a r i o u s p a r a m e t e r s w e r e p e r f o r m e d a n d a n f - t e s t w i t h a 9 5 \
\left( \bar { D } _ { 0 } ^ { - 1 } \right) _ { \Theta \Phi } ^ { a b } ( x , y ) = - i \delta ^ { a b } \left( \begin{array} { c c } { { { \cal O } _ { \mu \nu } ( x ) } } & { { x _ { \mu } } } \\ { { x _ { \nu } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ( x - y ) \, .
\chi _ { 1 } ( \omega ) = { \frac { 1 } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \chi _ { 2 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { \prime } - \omega } } \, d \omega ^ { \prime }
\begin{array} { r l } & { \int _ { D } \tilde { q } ( | \phi _ { n } ( x ) | + \xi ) ^ { q - 1 } \frac { \phi _ { n + 1 } - \phi _ { n } } { \varDelta t } ( x ) { \psi } ( x ) \, \mathrm { d } x + \int _ { D } \tau \nabla \phi _ { n + 1 } ( x ) \cdot \nabla { \psi } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { \qquad = \int _ { D } \rho \mathcal { L } _ { \eta } ^ { \prime } ( \phi _ { n } , \lambda ) \psi ( x ) \, \mathrm { d } x \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \psi \in V . } \end{array}
\mathrm { V _ { t h } } = \frac { \mathrm { V _ { t h } ^ { 0 } } ( \mathrm { A _ { G a t e 1 } + A _ { G a t e 2 } + A _ { C h a n n e l } ) } } { \mathrm { A _ { G a t e 1 } } } - \frac { \mathrm { V _ { G S 2 } A _ { G a t e 2 } } } { \mathrm { A _ { G a t e 1 } } }
- \varphi ^ { \prime \prime } ( z ) - \left( \frac { 2 \alpha ^ { 2 } - m _ { \mathrm { s c } } ^ { 2 } } { | 1 - \alpha ^ { 2 } z ^ { 2 } | } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { | 1 + \alpha z | } \delta ( 1 + \alpha z ) - \frac { \alpha ^ { 2 } } { | 1 - \alpha z | } \delta ( 1 - \alpha z ) + M _ { 5 } ^ { 2 } \right) \varphi ( z ) = 0 ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } & { = ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ) ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ) } \\ & { = \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \cdot e ^ { i \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } e ( \bar { \boldsymbol \chi } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - \bar { \boldsymbol \chi } ^ { * } ( { \bf R } _ { v } ) ) + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } e ( \bar { \boldsymbol \chi } ( { \bf R } _ { u } ) - \bar { \boldsymbol \chi } ( { \bf R } _ { v } ) ) } } \\ & { \approx \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \cdot e ^ { i e \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ( { \bf R } _ { u } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - { \bf R } _ { v } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { v } ) ) + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } ( { \bf R } _ { u } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) - { \bf R } _ { v } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { v } ) ) } } \\ & { = \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' } , } \end{array}
\mathbf { B } \mathbf { g } _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ^ { ( j ) } ( P ) = \left( \left[ \mathbf { Q } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) ^ { \top } \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { Q } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) - \widehat { \mathbf { A } } _ { i _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( P ) } ^ { ( j ) } \right] _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } \right) _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { P } } .
S _ { t } = \ln \sum _ { v _ { i _ { 0 } } , v _ { i _ { t } } } \left[ \left( \mathbf { A } ^ { c o u n t } \right) ^ { t } \right] _ { i _ { 0 } i _ { t } } \underset { t \rightarrow \infty } { \sim } t \ln \lambda ,
\mathcal { L } ^ { ( 0 ) } = \frac { \omega } { R } \left[ \lambda _ { L } ^ { 1 \, ( 0 ) } \lambda _ { L } ^ { 1 \, ( 0 ) } + \bar { \psi } _ { L } ^ { 2 \, ( 0 ) } \psi _ { R } ^ { 1 \, ( 0 ) } + h . c . \right] - \frac { 4 \omega ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } | H _ { 3 } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { - i \omega \delta n _ { + } + i k ( n _ { 0 } \delta v _ { + } ) = 0 , } & { \quad } & { - i \omega \delta n _ { - } ^ { \backprime } + i k ( n _ { 0 } \delta v _ { - } ) + i k v _ { 0 } \delta n _ { - } ^ { \backprime } = 0 , } \\ { - i \omega \bar { M } _ { + } \delta v _ { + } = e \delta E - i \frac { 1 } { n _ { 0 } } k \delta p _ { + } , } & { \quad } & { ( - i \omega + i k v _ { 0 } ) \bar { M } _ { - } ^ { \ast } \delta v _ { - } = - e \delta E - i \frac { 1 } { n _ { 0 } } k \left( 1 - \frac { v _ { 0 } \omega } { c ^ { 2 } k } \right) ^ { 2 } \delta p _ { - } ^ { \backprime } , } \\ { i k \cdot \delta E = e ( \delta n _ { + } - \delta n _ { - } ^ { \backprime } ) , } \\ { \delta p _ { + } = \Gamma _ { + } \frac { P _ { + } } { n _ { 0 } } \delta n _ { + } = \bar { M } _ { + } c _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } \delta n _ { + } , } & { } & { \delta p _ { - } ^ { \backprime } = \bar { M } _ { - } ^ { \ast } c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } \delta n _ { - } ^ { \backprime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { + } } & { = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { \pm } } & { = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { \mp } } & { = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { - } } & { = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) } \bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } s _ { j j } \in \{ 0 , 2 , 4 \} } & { \Rightarrow } & { s _ { i i } ^ { \prime } = \left\{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma \le \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } s _ { j j } \right\} , } \\ { \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } s _ { j j } \in \{ 1 , 3 , 5 \} } & { \Rightarrow } & { s _ { i i } ^ { \prime } = \left\{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma < \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } s _ { j j } \right\} , } \\ { \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } t _ { j j } \in \{ 0 , 2 , 4 \} } & { \Rightarrow } & { t _ { i i } ^ { \prime } = \left\{ \tau \in t _ { i i } | \tau \le \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } t _ { j j } \right\} , } \\ { \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } t _ { j j } \in \{ 1 , 3 , 5 \} } & { \Rightarrow } & { t _ { i i } ^ { \prime } = \left\{ \tau \in t _ { i i } | \tau < \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \neq i } t _ { j j } \right\} , } \end{array}
r _ { D } \cos \delta _ { D } = - \sqrt { r _ { D } ^ { 2 } - \left[ \frac { \tilde { \Gamma } _ { f _ { r } } \cos \phi _ { q } } { 2 \left( \eta _ { f _ { r } } \langle \tilde { S } _ { f _ { r } } \rangle _ { + } - \Gamma _ { + - } ^ { f _ { r } } \sin \phi _ { q } \right) } \right] ^ { 2 } } + { \cal O } ( r _ { D } ^ { 2 } ) ,
d ~ = ~ \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { h _ { m } = \frac { \rho _ { u s } h _ { u s } + \rho _ { m s } h _ { m s } + \rho _ { l s } h _ { l s } - \rho _ { w } h _ { s } } { \rho _ { m } - \rho _ { w } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G ^ { h , m } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad = \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \left( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { B } _ { R } } + \mathbf { 1 } _ { \mathcal { B } _ { R } ^ { c } } \right) \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G ^ { h , m } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad \le \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \mathbf { 1 } _ { \mathcal { B } _ { R } } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G ^ { h , m } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad \qquad + \mathbb { P } \left( \mathcal { B } _ { R } ^ { c } \right) ^ { 1 / 2 } \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G ^ { h , m } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 4 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \le \epsilon _ { m } ^ { h , R } + C _ { h } \frac { 1 } { R } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { - } } \! { \frac { \sin \theta } { \theta } } \ = \ \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { + } } \! { \frac { \sin ( - \theta ) } { - \theta } } \ = \ \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { + } } \! { \frac { - \sin \theta } { - \theta } } \ = \ \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 ^ { + } } \! { \frac { \sin \theta } { \theta } } \ = \ 1 \, .
p \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ^ { \prime } ( \sigma ) | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p } d \sigma \geq - \| h ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } f _ { p } ( r ) ,
f _ { a < x _ { 0 } } ( t ) = \frac { \Big ( x _ { 0 } - a \Big ) } { 2 \sqrt { \pi } } \frac { e ^ { - \frac { \big ( x _ { 0 } - a + M ( t ) \big ) ^ { 2 } } { 4 S ( t ) } } } { S ^ { 3 / 2 } ( t ) } \frac { d } { d t } S ( t ) ,
c _ { l } = \sqrt { \gamma _ { l } \bigg ( \frac { P + P _ { l } ^ { \infty } } { \rho _ { l } } \bigg ) } \quad \mathrm { a n d } \quad H _ { l } = \frac { ( P + P _ { l } ^ { \infty } ) \gamma _ { l } } { \rho _ { l } ( \gamma _ { l } - 1 ) } \quad \mathrm { f o r } \quad l = 1 , 2 .
\begin{array} { r l } & { \forall r \left\{ \begin{array} { r } { \frac { \partial u _ { r } } { \partial t } = u _ { r } \cdot \left( \mathbf { e } _ { r } ^ { T } \mathbf { A } \mathbf { u } - \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { A } \mathbf { u } \right) + k \left( \frac { 2 } { M } \nabla M \cdot \nabla u _ { r } + \Delta u _ { r } \right) } \end{array} \right. } \\ & { \frac { \partial M } { \partial t } = M \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { A } \mathbf { u } + k \Delta M . } \end{array}