harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \mathcal { H } } ^ { 1 } ( \Omega \cap \overline { { J _ { u } \cup \partial ^ { * } E } } \setminus ( J _ { u } \cup \partial ^ { * } E ) ) \leq { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( \Omega \cap \overline { { J ^ { + } } } \setminus J ) \leq { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( \Omega \cap \overline { { J ^ { + } } } \setminus J ^ { + } ) + { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( J ^ { + } \setminus J ) = 0
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } _ { \pi } W _ { 2 } ( \pi , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) } \\ & { \leq \mathcal { C } _ { n } \frac { \log ( n ) } { n } \Big ( \sqrt { \log ^ { \kappa _ { 2 } - 1 } ( n ) \| \rho _ { t + \frac { 1 } { n } } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 1 } } } + \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \| \rho _ { t } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } + \sqrt { \frac { \log \log n } { \log n } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \delta \mathrm { \ m a t h c h a r ` - f u n c t i o n } } ( \omega ) } & { = 0 . 3 ~ \delta ( \omega - 1 ) + 0 . 5 ~ \delta ( \omega + 3 ) + 0 . 2 ~ \delta ( \omega - 4 . 5 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { G a u s s i a n } } ( \omega ) } & { = g ( \omega , 0 , 1 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { L o r e n t z i a n } } ( \omega ) } & { = l ( \omega , 0 , 1 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { t w o \, \, p e a k } } ( \omega ) } & { = 0 . 8 ~ g ( \omega , - 1 , 1 . 0 ) + 0 . 2 ~ g ( \omega , 3 , 0 . 7 ) , } \\ { \rho ^ { \mathrm { K o n d o \, \, r e s o n a n c e } } ( \omega ) } & { = 0 . 4 5 ~ g ( \omega , - 2 . 5 , 0 . 7 ) + 0 . 1 ~ g ( \omega , 0 , 0 . 1 ) + 0 . 4 5 ~ g ( \omega , 2 . 5 , 0 . 7 ) } \\ { \rho ^ { \mathrm { H u b b a r d \, \, g a p } } ( \omega ) } & { = 0 . 5 ~ g ( \omega , - 1 . 9 , 0 . 5 ) + 0 . 5 ~ g ( \omega , 1 . 9 , 0 . 5 ) } \end{array}
f ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q _ { 1 } \frac { J _ { m + m ^ { \prime } } ( U r ) } { J _ { m } ( U ) } } & { r < 1 \, , } \\ { q _ { 2 } \frac { K _ { m + m ^ { \prime } } ( W r ) } { K _ { m } ( W ) } } & { r > 1 \, , } \end{array} \right.
\zeta _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \frac { \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } \big \{ \lambda _ { e } [ ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 1 } - A _ { 1 } C _ { 2 } ] ^ { 2 } + \lambda _ { \mu } [ ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 2 } - A _ { 2 } C _ { 1 } ] ^ { 2 } \big \} + \omega ^ { 2 } ( \lambda _ { e } C _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { \mu } C _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \big \{ \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } [ A _ { 1 } A _ { 2 } - ( A _ { n } + A _ { p } ) ^ { 2 } ] - \omega ^ { 2 } \big \} ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ( \lambda _ { e } A _ { 1 } + \lambda _ { \mu } A _ { 2 } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { c c r c c } { { \varphi _ { I I } } } & { { \approx } } & { { - { m \Sigma / 2 \tau } } } & { { , } } & { { \alpha _ { I I } = 0 } } \\ { { \varphi _ { I I I } } } & { { \approx } } & { { { m \Sigma / 2 \tau } } } & { { , } } & { { \alpha _ { I I I } = \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf A } ( r , \phi , z ) } & { = } & { ( A ( r , \phi , z ) , 0 , 0 ) } \\ & { = } & { A ( r , \phi , z ) \hat { \bf x } } \\ & { = } & { A _ { 0 } \psi ( r , \phi , z ) \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } \hat { \bf x } } \\ & { = } & { A _ { 0 } u ( r , z ) \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } \hat { \bf x } } \\ & { = } & { A _ { 0 } \Psi ( r , \phi , z ) \hat { \bf x } , } \end{array}
J _ { \widetilde { P } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \mathrm { i } } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \gamma _ { \pm 2 } \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \mathrm { i } } \\ { - \mathrm { i } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \rho \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \qquad \lambda \in \gamma _ { 1 } \cap D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
x \Delta \overline { { { q } } } = N _ { \overline { { { q } } } } \frac { x ^ { \alpha _ { \overline { { { q } } } } } ( 1 - x ) ^ { \beta _ { s } } } { B ( \alpha _ { \overline { { { q } } } } + 1 , \beta _ { \overline { { { q } } } } + 1 ) } ,
\left( \begin{array} { l } { { f _ { \pm } ^ { q } } } \\ { { f _ { \pm } ^ { - q } } } \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array} { l } { { e ^ { - i q t } f _ { \pm } ^ { q } } } \\ { { e ^ { i q t } f _ { \pm } ^ { - q } } } \end{array} \right) .
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { E W } } = \sum _ { \psi } { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } \left( i \partial _ { \mu } - g ^ { \prime } { \frac { 1 } { 2 } } Y _ { \mathrm { W } } B _ { \mu } - g { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \tau } } _ { \mathrm { L } } { \vec { W } } _ { \mu } \right) \psi - { \frac { 1 } { 4 } } W _ { a } ^ { \mu \nu } W _ { \mu \nu } ^ { a } - { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \mu \nu } B _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { D } = \hat { R } _ { a , b } ^ { \dagger } ( 0 , \beta , \gamma ) \hat { R } _ { b , v _ { 2 } } ( 0 , - 2 c o s ^ { - 1 } ( 0 , \sqrt { r } , 0 ) ) } \\ { \hat { R } _ { a , v _ { 1 } } ( 0 , - 2 c o s ^ { - 1 } ( 0 , \sqrt { q } , 0 ) ) \hat { R } _ { a , b } ( 0 , \beta , \gamma ) . } \end{array}
i \frac { \partial b _ { \vec { k } } } { \partial t } = \omega _ { \vec { k } } b _ { \vec { k } } + \int T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } ^ { * } b _ { \mathbf 2 } b _ { \mathbf 3 } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 2 } d \vec { k } _ { 3 } ,
{ \frac { \displaystyle \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { N - 1 } ( y _ { j } ^ { 2 } - y _ { i } ^ { 2 } ) } { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } ( v _ { j } - y _ { i } ^ { 2 } ) } } \, d y _ { i } = - d x \, , \quad 1 \leq i \leq N - 1 ,
\Big ( \big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } h ) + h \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h = 0 ,
\begin{array} { r } { 1 = \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } | \lambda _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { y } ) | ^ { 2 } = \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } | \lambda _ { 1 } ( N g _ { 1 1 } \vec { x } , g _ { 0 0 } \vec { y } ) \lambda _ { 2 } ( - N g _ { 1 0 } \vec { x } , g _ { 0 1 } \vec { y } ) | ^ { 2 } } \\ { \leqslant \operatorname* { m i n } \left\{ \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } | \lambda _ { 1 } ( \vec { x } , \vec { y } ) | ^ { 2 } , \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } | \lambda _ { 2 } ( \vec { x } , \vec { y } ) | ^ { 2 } \right\} = 1 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bf { a } _ { c c } } & { { } = D _ { c } D _ { c } \bf { x } ( t ) = D _ { c } { \bf v } , } \\ { \bf { a } _ { s s } } & { { } = D _ { s } D _ { s } \bf { x } ( t ) = D _ { s } { \bf u } , } \\ { \bf { a } _ { c s } } & { { } = D _ { c } D _ { s } \bf { x } ( t ) = D _ { c } { \bf u } , } \\ { \bf { a } _ { s c } } & { { } = D _ { s } D _ { c } \bf { x } ( t ) = D _ { s } { \bf v } . } \end{array}
\alpha _ { 0 } ( u ) \approx \frac { \varepsilon _ { 1 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } + \frac { 1 } { 4 } u ^ { 2 } \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \ln ( u \gamma _ { 1 } ) .
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } & { \leq } & { ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \| T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { k + 1 } \| _ { \mu } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \beta L ( \theta ^ { k } , \hat { d } ^ { k } ) ^ { 1 / 2 } + \beta ^ { 2 } L _ { 2 } \| \hat { d } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { ( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta ) \| Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } + \beta \left( \varepsilon _ { \mathcal { F } } + M _ { 2 } \left[ \omega ^ { 1 / 2 } + \left( \log ( K / \delta ) / N \right) ^ { 1 / 2 } \right] + 4 \beta M _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R M S E } & { { } = \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( y _ { i } - f ( x _ { i } ) ) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { R ^ { 2 } } & { { } = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( y _ { i } - f ( x _ { i } ) ) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( y _ { i } - \bar { y } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
p _ { 1 } ^ { 2 } = - B _ { 0 } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } [ 1 + ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \Delta \eta ^ { - 2 } ( B _ { 0 } ^ { 2 } - \nu \eta - 2 \eta ^ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { s } \delta \phi _ { s } } & { { } = } & { i ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } / 2 \omega _ { + } ) \beta _ { s + } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \delta \phi _ { + } - i ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } / 2 \omega _ { - } ) \beta _ { s - } \delta \phi _ { 0 } \delta \phi _ { - } } \end{array}
\frac { \left( u + \frac { \xi ^ { 2 } } { \pi N } \right) \left( \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( \xi ) - \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( u ) \right) } { \left( 1 - \frac { u } { \pi N } \right) \left( \xi ^ { 2 } + u ^ { 2 } \right) } = \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( u ) ,
\operatorname* { P r } ( \lnot P \mid \lnot Q ) = { \frac { \operatorname* { P r } ( \lnot Q \mid \lnot P ) \, a ( \lnot P ) } { \operatorname* { P r } ( \lnot Q \mid \lnot P ) \, a ( \lnot P ) + \operatorname* { P r } ( \lnot Q \mid P ) \, a ( P ) } }
\begin{array} { r l r } { f } & { = } & { f _ { 1 } + f _ { 2 } \, , } \\ { f _ { 1 } } & { = } & { \hbar k \frac { 1 6 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 2 } \, \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \cos ^ { 2 } ( k z ) } { s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 2 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, , } \\ { f _ { 2 } } & { = } & { \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } \, \sin ( 2 k z ) \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) } { s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 2 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( L , \tau ) = - \frac { ( \alpha - 1 ) 2 ^ { \frac { 2 \gamma - \alpha D + 2 D } { D - \alpha D } } \left( ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } D \tau \right) ^ { \frac { 2 \gamma + D } { ( \alpha - 1 ) D } - 1 } L ^ { - \alpha + \frac { 2 \gamma } { D } + 1 } e ^ { - \frac { 2 L ^ { 1 - \alpha } } { ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } D \tau } } } { \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 2 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) } \qquad \alpha < 1 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { { } = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) | \mathrm { v a c } \rangle } \end{array}
m \ddot { \mathbf { r } } _ { i } = q _ { d } ( \mathbf { v } _ { i } \times \mathbf { B } ) - q _ { d } \mathbf { \nabla } \sum _ { j \neq i } ^ { N } V ( r _ { i j } ) - m \omega ^ { 2 } \mathbf { r } _ { i } ,
\begin{array} { r } { 1 / t _ { 3 } = \mathrm { s n } \left[ \eta _ { 1 } K ( k _ { 2 } ) , k _ { 2 } \right] \sqrt { \frac { 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } \mathrm { s n } ^ { 2 } \left[ \eta _ { 2 } K ( k _ { 2 } ) , k _ { 2 } \right] } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d I } { d E d \cos { \theta } } } & { { } = 0 . 1 4 \left[ \frac { E } { G e V } \left( 1 + \frac { 3 . 6 4 ( G e V ) } { E ( \cos \theta ^ { \ast } ) ^ { 1 . 2 9 } } \right) \right] ^ { - 2 . 7 } \left[ \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \theta ^ { \ast } } { 1 1 5 G e V } } + \frac { 0 . 0 5 4 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \theta ^ { \ast } } { 8 5 0 G e V } } \right] \; ; } \\ { \cos \theta ^ { \ast } } & { { } = \sqrt { \frac { ( \cos \theta ) ^ { 2 } + P { _ 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ( \cos \theta ) ^ { P _ { 3 } } + P _ { 4 } ( \cos \theta ) ^ { P _ { 5 } } } { 1 + P { _ 1 } ^ { 2 } + P { _ 2 } + P { _ 4 } } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \big ( \{ x \} | \{ \eta \} \big ) } & { : = \prod _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \prod _ { t } \Big \langle \delta \big ( \partial _ { t } x ( t , \tau ) + x ( t , \tau ) - \mathrm { t a n h } ( f ( t , \tau ) ) - \xi ( t , \tau ) \big ) \Big \rangle _ { * } \Big | _ { \displaystyle f ( t , \tau ) = \kappa } } \\ { \kappa } & { = m _ { * } ( t , \tau ) \mu ( \tau ) + \alpha \gamma _ { 0 } \int d t ^ { \prime } G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) x ( t ^ { \prime } , \tau ) + \eta ( t , \tau ) + \tilde { h } ( t , \tau ) } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \frac { 3 } { 2 \delta } g _ { 3 , 0 , { l _ { 3 \nu } } _ { x } } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \frac { 2 } { 9 6 \delta _ { \nu } \pi ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } } } \\ & { \displaystyle \times { { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - 3 \delta \frac { s ^ { \prime } } { R } \right) } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - 3 \delta \frac { s } { R } \right) } d s ^ { \prime } d s } } . } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l } { \hbar \omega _ { a } } & { 0 } & { 0 } & { - \Omega _ { C } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { 0 } & { \hbar \omega _ { b } } & { 0 } & { - \Omega _ { P } e ^ { - i \omega _ { P } t } } \\ { 0 } & { 0 } & { \hbar \omega _ { c } } & { - \Omega _ { C } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { - \Omega _ { C } e ^ { i \omega _ { C } t } } & { - \Omega _ { P } e ^ { i \omega _ { P } t } } & { - \Omega _ { C } e ^ { i \omega _ { C } t } } & { \hbar \omega _ { e } } \end{array} \right] .
\langle \Psi _ { f } | V | \Psi _ { i } \rangle = \frac { 2 \pi } { R } \lambda \frac { R ^ { y } } { ( 2 \pi ) ^ { y - 1 } } \langle \Psi _ { f } | \Phi ( 1 ) | \Psi _ { i } \rangle _ { \mathrm { p l a n e } } \ ,
\begin{array} { r l } { F ^ { ( l ) } ( \zeta , t ) } & { = k _ { 1 } ^ { l - 1 } \frac { \hat { M } _ { \mathrm { s o l } } ( x , t , k _ { 1 } ) Y ( \zeta , t ) m _ { 1 } ^ { X } Y ( \zeta , t ) ^ { - 1 } \hat { M } _ { \mathrm { s o l } } ( x , t , k _ { 1 } ) ^ { - 1 } } { z _ { \star } \sqrt { t } } + O ( t ^ { - 1 } ) } \\ & { = - i k _ { 1 } ^ { l } Z ( \zeta , t ) + O ( t ^ { - 1 } ) } \end{array}
c \, ( T T ) ^ { T } = { \frac { 1 } { 1 2 0 } } \left[ n _ { s } ( T T ) _ { s } ^ { T } + 6 \, n _ { f } ( T T ) _ { f } ^ { T } + 1 2 \, n _ { v } ( T T ) _ { v } ^ { T } \right] .
\begin{array} { r } { a ( \vec { A } _ { 0 } , \vec { \eta } ) = ( \vec { j } _ { a } , \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - ( \varepsilon \vec { \psi } ( x ) , \vec { \eta } ( 0 , . ) ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in \left[ 0 , t ^ { * } \right) } \left| \int _ { 0 } ^ { s } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( \mathbf { P } \left( b _ { i } U ^ { ( n ) } \right) - \mathbf { P } \left( b _ { i } U \right) , \partial _ { i } \phi \right) d \mathbb { W } _ { r } \right| \right] } \\ { \leq } & { C _ { B D G } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } \left\| \left( \mathbf { P } \left( b _ { i } U ^ { ( n ) } \right) - \mathbf { P } \left( b _ { i } U \right) , \partial _ { i } \phi \right) \right\| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } d r \right) ^ { 1 / 2 } \right] \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { a } _ { C } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle } \\ { B _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { b } _ { i } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle \qquad ( i , j = 1 , 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - E _ { 0 } | \ge \epsilon \right] } & { \le \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] | \ge \epsilon / 2 \right] + \mathbb { P } \left[ | \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] - E _ { 0 } | \ge \epsilon / 2 \right] \le 2 \delta / 3 + \delta / 3 = \delta , } \end{array}
\frac { \partial A _ { j } } { \partial q _ { i } } - \frac { \partial A _ { i } } { \partial q _ { j } } = \frac { q _ { 3 } } { { \bf q } ^ { 4 } } q _ { k } \epsilon _ { i j k } + \pi \delta ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) \Delta ( q _ { 3 } ) \epsilon _ { i j 3 } ,
\widehat { \pi } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta \gamma ^ { u } } & { \mathrm { i f ~ } u \geq u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) \widehat { \pi } ( u - c ) + \vartheta \widehat { \pi } ( u + r ) } & { \mathrm { i f ~ } c < u < u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) + \vartheta \widehat { \pi } ( u + r ) } & { \mathrm { i f ~ } 0 < u \leq c , } \end{array} \right.
\{ S ^ { a } ( \sigma ) , \, S ^ { b } ( \sigma ^ { \prime } ) \} = \{ { \tilde { S } } ^ { a } ( \sigma ) , \, { \tilde { S } } ^ { b } ( \sigma ^ { \prime } ) \} = \delta ^ { a b } \delta _ { m + n , 0 } \, \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \texttt { N O R : } \quad A \downarrow B } & { { } \phantom { : } = \overline { A } \wedge \overline { B } } \\ { \texttt { N A N D : } \quad A \uparrow B } & { { } : = \overline { A } \vee \overline { B } } \\ { \texttt { X O R : } \quad A \oplus B } & { { } : = ( A \wedge \overline { B } ) \vee ( \overline { A } \wedge B ) } \\ { \texttt { X N O R : } \quad A \odot B } & { { } : = ( A \wedge B ) \vee ( \overline { A } \wedge \overline { B } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P U ^ { \dagger } | 0 \rangle | \hat { g } \rangle } & { = ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } P _ { k } ) U ^ { \dagger } | 0 \rangle | \hat { g } \rangle + P _ { 0 } U ^ { \dagger } | 0 \rangle | \hat { g } \rangle } \\ & { = ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } P _ { k } ) U ^ { \dagger } | 0 \rangle | \hat { g } \rangle } \\ & { = ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } P _ { k } ) | 0 \rangle | \hat { g } \rangle } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { m c _ { \mathrm { h e a t } } \frac { \mathrm { d } T } { \mathrm { d } x } = \frac { 4 \pi a ^ { 2 } } { v } ( \Gamma - \Lambda _ { \mathrm { r a d } } - \Lambda _ { \mathrm { e v a p } } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { p ^ { v _ { 0 } } ( 1 + \alpha ^ { d } ) _ { 1 } } & { p ^ { v _ { 0 } } ( 1 + \alpha ^ { d } ) _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } & { p ^ { v _ { 1 } } ( \alpha ^ { 1 } + \alpha ^ { d - 1 } ) _ { 1 } } & { p ^ { v _ { 1 } } ( \alpha ^ { 1 } + \alpha ^ { d - 1 } ) _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { p ^ { v _ { 2 } } ( \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { d - 2 } ) _ { 1 } } & { p ^ { v _ { 2 } } ( \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { d - 2 } ) _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 1 } & { ( \alpha ^ { d / 2 } ) _ { 1 } } & { ( \alpha ^ { d / 2 } ) _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { p ^ { m } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { p ^ { m } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \| \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { t } ( x ) \| _ { n } ^ { 2 } \leqslant C \mathrm { m i n } \big \{ ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 } , \varepsilon ^ { - 2 } \big \} ( \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) + \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } C ^ { k + 2 } \varepsilon ^ { 2 ( k + 1 ) } \mathfrak { I } _ { k } ( t ) \; ( \mathsf { p } _ { t + k + 1 } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \check { P } _ { l } \check { P } _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \check { \beta } _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \check { \alpha } _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) , } \\ & { \check { P } _ { i } \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) , \ \ i = k + 1 , \dots , l - 1 , } \\ & { P _ { i } \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } \check { v } _ { l + 1 } } \end{array} \right) - ( \check { v } _ { l + 1 } ^ { T } g _ { i } ) p _ { i } , \ \ i = 1 , \dots , k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( X _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus X _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i } ) } . } \end{array}
\mathbf { G } _ { 1 } = \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { E ^ { 2 } + \mu _ { t } ^ { 2 } } \, d E \otimes d E + \frac { E ^ { 2 } + \mu _ { t } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d t \otimes d t \, ,
1 + { \frac { ( Q _ { p } b ) ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } = { \frac { b _ { * } ^ { 2 } } { Q _ { p } } } { \frac { 1 } { z } } ,
\begin{array} { r l } { ( \frac { \gamma } { \cos u } ) ^ { \prime } } & { = \frac { \gamma ^ { \prime } } { \cos u } + \tan u ( \frac { \gamma } { \cos u } ) ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { * } \nu \gamma \cos u + \theta _ { * } r U _ { \theta } \cos ^ { 3 } u - 2 \sin u \frac { \gamma ^ { 2 } } { \cos ^ { 3 } u } + \tan u ( \frac { \gamma } { \cos u } ) ^ { 2 } } \\ & { \ge \tan u \left( \theta _ { * } r U _ { \theta } \frac { \cos ^ { 4 } u } { \sin u } - ( \frac { \gamma } { \cos u } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \ge \tan u _ { 0 } \left( c _ { 3 } - ( \frac { \gamma } { \cos u } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \cal { M } } \left( { f _ { 2 } } \, \rightarrow \, \gamma \gamma \right) \; = \; - i \; 2 \, e ^ { 2 } \, \frac { g _ { { f _ { 2 } } \gamma \gamma } } { m _ { f _ { 2 } } } \; { { \cal { F } } ^ { \mu \delta } } \left( q , \lambda _ { \gamma } \right) { { { \cal { F } } _ { \delta } } ^ { \nu } } \left( q ^ { \prime } , \lambda _ { \gamma } ^ { \prime } \right) \; { { \varepsilon } _ { \mu \nu } } \, ( p , \Lambda ) \; ,
\begin{array} { r l } { \boxed { t _ { p / q } } = H _ { \O } ^ { a _ { 1 } } F _ { \O } \cdots H _ { \O } ^ { a _ { n } } F _ { \O } \boxed { t _ { \infty } } \Rightarrow \eta _ { p / q } } & { = \mu _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } r _ { 1 2 } \cdots \mu _ { x } ^ { a _ { n } } r _ { 1 2 } ( \eta _ { \infty } ) } \\ & { = ( s _ { 1 } r _ { 1 3 } ) ^ { a _ { 1 } } r _ { 1 2 } \cdots ( s _ { 1 } r _ { 1 3 } ) ^ { a _ { n } } r _ { 1 2 } ( \eta _ { \infty } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial t } = d _ { S _ { j } } \Delta S _ { j } + d _ { S } \sum _ { k \in \Omega } \left( \frac { L _ { j k } \bar { S } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } S _ { j } \right) + f _ { j } ( x , t ) , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial \nu } = 0 } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \end{array} \right.