harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u _ { z A } ^ { \delta } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \Gamma _ { + } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \bigg ( ( \rho _ { + } - \rho _ { c } ) I _ { 1 A } ^ { \delta } + \rho _ { c } I _ { 2 A } ^ { \delta } \bigg )
\begin{array} { r c l } { { R _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi + \frac { 1 } { 1 2 } { \cal V } _ { 0 } e ^ { - \varphi } g _ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \nabla ^ { 2 } \varphi + \frac { 1 } { 2 } { \cal V } _ { 0 } e ^ { - \varphi } } } & { { = } } & { { 0 \, . } } \end{array}
\left\{ H _ { i } ^ { q , g } \atop \Delta H _ { i } ^ { q , g } \right\} \equiv \left\{ P _ { i } ^ { \alpha \beta } \atop \Delta P _ { i } ^ { \alpha \beta } \right\} \left[ \left| { \cal { M } } _ { \alpha \beta } ^ { q , g } ( + ) \right| ^ { 2 } \pm \left| { \cal { M } } _ { \alpha \beta } ^ { q , g } ( - ) \right| ^ { 2 } \right] d { \mathrm { P S } } _ { 2 } \; \; .
\mathbf { a } _ { s t } ^ { ( l _ { o } ) } = \mathbf { D } ^ { - 1 } \cdot \sum _ { l _ { i } , l _ { f } } \tilde { \mathbf { x } } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } \otimes _ { l _ { i } , l _ { f } } ^ { l _ { o } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { Y } ^ { ( l _ { f } ) } ( \mathbf { R } \cdot \hat { \mathbf { r } } _ { s t } )
K ^ { - 1 } d K | _ { \eta = 0 } = e _ { 0 } ^ { i } \Pi _ { i } + e _ { 0 } ^ { \hat { \alpha } } Q _ { \hat { \alpha } } + f _ { 0 } ^ { i } K _ { i } + f _ { 0 } ^ { \hat { \alpha } } S _ { \alpha } + E _ { 0 } ^ { A } T _ { A } ,
\mathbf { A } _ { \mathrm { q u a d . } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 4 } y _ { 3 } - x _ { 1 } y _ { 4 } )
\begin{array} { r l r } { \left[ \eta , \gamma , \xi \right] ^ { \left( p \right) } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 3 } } { d t d \tau d \tau ^ { \prime } } \exp \left( \tau \eta \right) \circ _ { p } \left( \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) \circ _ { p } \exp \left( t \xi \right) \right) \right\vert _ { t , \tau , \tau ^ { \prime } = 0 } } \\ & { } & { - \left. \frac { d ^ { 3 } } { d t d \tau d \tau ^ { \prime } } \left( \exp \left( \tau \eta \right) \circ _ { p } \exp \left( \tau ^ { \prime } \gamma \right) \right) \circ _ { p } \exp \left( t \xi \right) \right\vert _ { t , \tau , \tau ^ { \prime } = 0 } . } \end{array}
Z = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { R _ { a } \bar { \rho } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - \bar { p } } { R _ { a } \bar { \rho } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \cdot \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } = \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \frac { 1 } { R } = \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \cdot \left( \frac { \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) } { R } \right) - \frac { 1 } { R } \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \cdot \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) .
{ \frac { d D } { d t } } = { \frac { 9 } { 2 } } k _ { S } { \sqrt { \frac { G } { M _ { S } } } } { \frac { M { A _ { S } } ^ { 5 } } { D ^ { 1 1 / 2 } } } \sin ( 2 \alpha _ { S } )
\begin{array} { r l } { ( a + a ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } - a ^ { 2 } v ^ { m } - a ^ { 2 } v ^ { m } } & { \leq [ ( a + a ^ { \prime } ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } - a ^ { 2 } ] ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } + ( a ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } - a ^ { 2 } v ^ { m } - a ^ { 2 } v ^ { m } } \\ & { \leq 2 a a ^ { \prime } ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } + ( a ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } - v ^ { m } - v ^ { m } ] } \\ & { + ( a ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( v ^ { m } + v ^ { m } ) - a ^ { 2 } v ^ { m } - a ^ { 2 } v ^ { m } } \\ & { \leq 2 a a ^ { \prime } ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } + \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { m } } \binom { m } { k } ( a ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( v ^ { k } v ^ { m - k } + v ^ { m - k } v ^ { k } ) } \\ & { + a ^ { 2 } v ^ { m } + a ^ { 2 } v ^ { m } . } \end{array}
\bar { u } _ { \theta } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { u _ { \theta } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { A } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { r } & { \mathcal { S } ^ { \tau } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { Y _ { N } : = \textrm { s p a n } \left\{ \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x - a ) } , x \in \overline { { \Omega } } , \mu _ { l } = \frac { 2 \pi l } { b - a } , l \in { T } _ { N } \right\} , } \\ & { { T } _ { N } = \left\{ l \mid l = - \frac { N } { 2 } , - \frac { N } { 2 } + 1 , \ldots , \frac { N } { 2 } - 1 \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { n _ { 0 } = 0 , } & & { } \\ & { n _ { i } = \sum _ { k = 1 } ^ { i } m ( k ) , } & & { i = 1 , \ldots , r } \\ & { n = n _ { r } , } & & { } \\ & { \alpha _ { n _ { i - 1 } + j } = \gamma ( i ) _ { j } , } & & { 1 \leq i \leq r , \ 1 \leq j \leq m ( i ) } \\ & { \beta _ { n _ { i - 1 } + j } = c ( i ) . } \end{array} }
p ( \mathcal { L } ) = \frac { k ^ { k } } { \Gamma ( k ) } \frac { \left( \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { k - 1 } } { \left( \langle \mathcal { L } \rangle - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) ^ { k } } \exp { \left( - k \frac { \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } { \langle \mathcal { L } \rangle - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \right) }
\Gamma ( H _ { Q } \rightarrow f ) = \frac { G _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } m _ { Q } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } | V | ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 M _ { H _ { Q } } } \left[ \sum _ { D = 3 } ^ { D _ { c } } c _ { D } ^ { f } \frac { \langle H _ { Q } | O _ { D } | H _ { Q } \rangle } { m _ { Q } ^ { D - 3 } } + { \cal O } ( 1 / m _ { Q } ^ { D _ { c } - 2 } ) \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { { \partial C R { B _ { r } } } } { { \partial x } } = \frac { { { \lambda ^ { 2 } } } } { { 8 { \pi ^ { 2 } } \gamma L N } } } \\ & { \times \frac { { \arctan x - \frac { x } { { 1 + { x ^ { 2 } } } } + \frac { 2 } { { \sqrt { 1 + { x ^ { 2 } } } } } \ln \left( { x + \sqrt { 1 + { x ^ { 2 } } } } \right) - \frac { 2 } { x } { { \ln } ^ { 2 } } \left( { x + \sqrt { 1 + { x ^ { 2 } } } } \right) } } { { { { \left[ { \arctan x - \frac { 1 } { x } { { \ln } ^ { 2 } } \left( { x + \sqrt { 1 + { x ^ { 2 } } } } \right) } \right] } ^ { 2 } } } } } \end{array}
F _ { Q S } \ll F _ { L } \Rightarrow L _ { s } ^ { 2 } L _ { s R } \gg \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m _ { e } F _ { L } } \Rightarrow L _ { s } \gg \left\{ \begin{array} { c c } { \left( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m _ { e } F _ { L } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } & { L _ { s } \ll L _ { R } } \\ { \left( \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m _ { e } F _ { L } L _ { R } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { L _ { R } \ll L _ { s } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { ( f ( { x } ^ { t , M } ) - f ( { x } ^ { * } ) ) ^ { 2 } \le \ } & { D ^ { 2 } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) \| \Big ) ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { M D ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\gamma \gamma ^ { * } = ( r + { \vec { u } } ) ( r - { \vec { u } } ) = r ^ { 2 } - r { \vec { u } } + r { \vec { u } } - { \vec { u } } { \vec { u } } = r ^ { 2 } + { \vec { u } } \cdot { \vec { u } } - { \vec { u } } \times { \vec { u } } = r ^ { 2 } + { \vec { u } } \cdot { \vec { u } } = r ^ { 2 } + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 3 } ^ { 2 } .
\bar { \boldsymbol { \Sigma } } = \left( \bar { \bf Q } ^ { T } \bar { \bf Q } \right) ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \left( { \bf Q } _ { 1 } ^ { T } { \bf Q } _ { 1 } \right) ^ { - 1 } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { v _ { g } ^ { - 2 } } \end{array} \right] \, .
- J _ { 4 } = x ^ { i j } y _ { j k } x ^ { k l } y _ { l i } - { \frac { x ^ { i j } y _ { i j } x ^ { k l } y _ { k l } } { 4 } } + { \frac { \epsilon _ { i j k l m n o p } } { 9 6 } } ( x ^ { i j } x ^ { k l } x ^ { m n } x ^ { o p } + y ^ { i j } y ^ { k l } y ^ { m n } y ^ { o p } )
\begin{array} { r l } & { H _ { 3 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = - \left\{ \frac { k _ { 2 } } { 3 } \left[ H _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) H _ { 2 } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) + H _ { 1 } ( \omega _ { 2 } ) H _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } ) + H _ { 1 } ( \omega _ { 3 } ) H _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \right] \right. } \\ & { \left. + k _ { 3 } H _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) H _ { 1 } ( \omega _ { 2 } ) H _ { 1 } ( \omega _ { 3 } ) \right\} H _ { 1 } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } ) , ~ - \infty < \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } < \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( | X _ { \tau _ { n } + \delta _ { n } } ^ { \mu ^ { n } } - X _ { \tau _ { n } } ^ { \mu ^ { n } } | \geq \epsilon ) } & { \leq \mathbb { P } ( T _ { A } ^ { n } \leq T ) + \frac { 1 } { \epsilon ^ { \beta } } \mathbb { E } ( | X _ { \tau _ { n } + \delta _ { n } } ^ { \mu ^ { n } } - X _ { \tau _ { n } } ^ { \mu ^ { n } } | ^ { \beta } \mathbf { 1 } _ { T _ { A } ^ { n } \geq T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ ( L _ { 1 0 } ^ { + } + i L _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } + L _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ \textbf { L } _ { 2 0 } ^ { + } - i L _ { 2 } ^ { i + } + L _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ L 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { D + \alpha \tilde { D } + \frac { e } { 2 } E _ { I } | \sigma _ { I } | ^ { 2 } + k = 0 , } } \\ { { \tilde { D } + \alpha D + \frac { q } { 2 } Q _ { i } | \phi _ { i } | ^ { 2 } + \eta = 0 , } } \\ { { \bar { G } _ { i } = - \frac { \partial W } { \partial \bar { \phi } _ { i } } = - m \phi _ { i } , } } \\ { { \bar { F } _ { I } = - \frac { \partial W } { \partial \bar { \sigma } _ { I } } = - \tilde { m } \sigma _ { I } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 2 ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - ( \mu _ { t } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\Lambda ^ { ( n ) } ( \lambda ; \; \vec { \mu } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - i ) ^ { k } \, \mu _ { k } \, \lambda ^ { n - k } \, , \; \mu _ { 0 } = 2 , \; \mu _ { 1 } = 0 , \; \mu _ { 2 } = m ( m - 1 ) \, .
\; \left( \overline { { { \Gamma } } } _ { \kappa } ^ { ( 2 ) } ( q , - q ) \right) _ { \mu \nu } ^ { a b } \; \; = \; \; \delta ^ { a b } \left( \frac { } { } a _ { \kappa } ( q ^ { 2 } , \chi ) \; P _ { \mu \nu } ( q ) \; + \; b _ { \kappa } ( q ^ { 2 } , \chi ) \; Q _ { \mu \nu } ( q ) \right) \; ,
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { { g } } e ^ { - \phi } \Bigl \{ { R } + ( { \nabla } \phi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } T r \bigl ( { \cal L } \nabla { \cal M } \bigr ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { T } { \cal M } { \cal F } ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 1 2 } { H } _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } \Bigr \}
\left. \frac { 1 } { \left( k + Q \right) ^ { 2 } } \right| _ { Q _ { 0 } = | { \bf Q } | } = \frac { 1 } { 2 k \cdot Q } - \frac { k ^ { 2 } } { \left( 2 k \cdot Q \right) ^ { 2 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } q ( \xi ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { 0 } - \xi ) \right| } & { { } \le \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } \left( q ( \xi ) - r ( \xi ) \right) \right| + \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } r ( \xi ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { 0 } - \xi ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { h ( y ) } ^ { \infty } \bar { F } _ { H } ( y x ^ { - 1 / 2 } ) M _ { \beta } ( x ) d x } & { \leq \int _ { h ( y ) } ^ { \infty } M _ { \beta } ( x ) d x } \\ & { \leq \int _ { h ( y ) } ^ { \infty } \exp \big ( { - C } x ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta } } \big ) d x } \\ & { \leq \exp \big ( { - C } h ( y ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { R _ { i } ^ { ~ j } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \zeta ^ { a b } } } \\ { { \bar { \zeta } _ { a b } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ \zeta ^ { a b } \bar { \zeta } _ { b c } = \delta _ { ~ c } ^ { a } ~ ~ } } & { { ~ ~ \zeta ^ { a b } = \zeta ^ { b a } ~ ~ } } & { { ~ ~ \bar { \zeta } _ { a b } = ( \zeta ^ { a b } ) ^ { \ast } } } \end{array}
t ( z ) = \frac { h _ { 3 } h _ { 1 } } { h _ { 3 } h _ { 0 } - h _ { 2 } h _ { 1 } } + \frac { h _ { 3 } ^ { 2 } } { h _ { 3 } h _ { 0 } - h _ { 2 } h _ { 1 } } z ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \delta \phi _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\Upsilon _ { m } ( \vec { x } , \vec { y } ) = q ^ { - \binom m 2 + ( m - 1 ) \left( | \vec { x } | - | \vec { y } | \right) } \prod _ { 1 \le i < j \le m } \frac { q ^ { y _ { j } } - q ^ { y _ { i } } } { q ^ { x _ { j } } - q ^ { x _ { i } } } \underbrace { \prod _ { i = 1 } ^ { m } \bigl ( q ^ { x _ { i } } \mathbf { 1 } _ { y _ { i } = x _ { i } } + ( 1 - q ^ { x _ { i } } ) \mathbf { 1 } _ { y _ { i } = x _ { i } - 1 } \bigr ) } _ { \Upsilon _ { m , \mathrm { i n d } } ( \vec { x } , \vec { y } ) } .
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \Theta } \dot { \Theta } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } + \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } } & { = } & { \delta _ { \Theta \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } \theta + 4 \tau _ { \Theta } \Theta ^ { \lambda \langle \mu \nu \alpha } \omega ^ { \beta \rangle } _ { \lambda } + \tau _ { \Theta \Theta } \sigma _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \Theta ^ { \nu \alpha \beta \rangle \lambda } + \ell _ { \Theta \pi } \sigma ^ { \langle \mu \nu } \pi ^ { \alpha \beta \rangle } + } \\ & { + } & { \ell _ { \Theta \Omega } \nabla ^ { \langle \mu } \Omega ^ { \nu \alpha \beta \rangle } + \tau _ { \Theta \Omega } \dot { u } ^ { \langle \mu } \Omega ^ { \nu \alpha \beta \rangle } + \lambda _ { \Theta \Omega } \Omega ^ { \langle \mu \nu \alpha } \nabla ^ { \beta \rangle } \alpha _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \sum _ { \bf p } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \Re [ { \bf F } _ { u } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] = \sum _ { \bf p } - \Im \left[ { \bf \{ k \cdot B ( q ) \} \{ B ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \Re [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { D _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { 2 \nu k ^ { 2 } E _ { u } ( { \bf k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) ) } & { { } = \frac { d x _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d y _ { z } } { d y _ { 0 } } - \frac { d y _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d x _ { z } } { d y _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] = \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \cdot \mathbb { E } \left[ ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \biggr | \ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \right] \right] = \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \cdot \left( \mathbb { E } \left[ \beta _ { s } \biggr | \ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \right] - \mathbb { E } \left[ \lambda _ { s } \biggr | \ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \right] \right) \right] \leq 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { 3 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } & { { } \ne \frac { 1 } { 6 } , } \\ { \frac { 1 } { 6 } - c _ { 1 } a _ { 3 2 } a _ { 1 1 } - c _ { 1 } a _ { 3 3 } a _ { 2 1 } - c _ { 2 } a _ { 3 3 } a _ { 2 2 } } & { { } \ne 0 . } \end{array}
\mathrm { ~ C ~ R ~ C ~ } _ { H , d } = \frac { \frac { \mu _ { H , d } } { \mu _ { B , d } } - 1 } { \alpha - 1 } , \quad \mathrm { ~ C ~ R ~ C ~ } _ { C , d } = 1 - \frac { \mu _ { C , d } } { \mu _ { B , d } } ,
[ { \pmb u } ^ { \prime } , { \pmb w } ] = \int _ { \partial D _ { \infty } } \left( { \pmb \sigma } \{ { \pmb u } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb w } ( { \pmb x } ) - { \pmb \sigma } \{ { \pmb w } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb u } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \right) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } )
\begin{array} { r l } { \int _ { Y } C e _ { y } ( w _ { i j } ) : e _ { y } ( \phi ) d { y } + \int _ { Y } C e _ { i j } : e _ { y } ( \phi ) d { y } = 0 \qquad } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \qquad Y , } \\ { y \mapsto w _ { i j } ( { y } ) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } & { { } \mathit { Y - p e r i o d i c } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \theta ^ { s } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \Re ( K _ { s } ) } { 1 - \left| K _ { s } \right| ^ { 2 } } \right) , } \\ { 2 \eta ^ { s } = \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \Im ( K _ { s } ) } { 1 + \left| K _ { s } \right| ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { S e O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 7 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 7 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 7 } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { { \partial \omega } ^ { \mathrm { 6 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { { \partial \omega } ^ { \mathrm { 7 } } } } \right) = { - } { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 6 } } { \Bigl ( } \mathrm { 2 5 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 4 2 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 2 1 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 4 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 3 5 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\mathrm { ~ T ~ r ~ } \left( \log ( U _ { 1 } V _ { 1 } U _ { 1 } ^ { \dagger } V _ { 1 } ^ { \dagger } ) \right) = \log \left( \operatorname* { d e t } ( U _ { 1 } V _ { 1 } U _ { 1 } ^ { \dagger } V _ { 1 } ^ { \dagger } ) \right)
\big | | { \mathbf { w } } | ^ { \mathrm { p } - 2 } - | \widetilde { { \mathbf { w } } } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \big | \, = \, \big | | { \mathbf { w } } | ^ { \mathrm { p } - 3 } ( | { \mathbf { w } } | , { \mathbf { 0 } } ) - | \widetilde { { \mathbf { w } } } | ^ { \mathrm { p } - 3 } ( | \widetilde { { \mathbf { w } } } | , { \mathbf { 0 } } ) \big | \, \leq \, c _ { \mathrm { p } } \, \big ( | { \mathbf { w } } | + | \widetilde { { \mathbf { w } } } | \big ) ^ { \mathrm { p } - 3 } | { \mathbf { w } } - \widetilde { { \mathbf { w } } } | \, ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { F } } - \phi _ { \mathrm { R } } } & { { } = \mathrm { a r g } \left( \frac { \langle i _ { 1 } | \psi \rangle \langle \psi | U ^ { \dagger } | f _ { 1 } \rangle } { \langle i _ { 1 } | U ^ { \dagger } | \psi \rangle \langle \psi | f _ { 1 } \rangle } \right) = \mathrm { A r g } \left( \langle i _ { 1 } | \psi \rangle \right) + \mathrm { A r g } \left( \langle \psi | U ^ { \dagger } | f _ { 1 } \rangle \right) - \mathrm { A r g } \left( \langle i _ { 1 } | U ^ { \dagger } | \psi \rangle \right) - \mathrm { A r g } \left( \langle \psi | f _ { 1 } \rangle \right) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { { e = \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { ( \Gamma _ { 1 2 } - \Gamma _ { 3 4 } ) \eta = 0 } } \\ { { ( i + \Gamma _ { 1 2 } ) \eta = 0 } } \\ { { \partial _ { i } \eta = 0 \quad i = 1 , 2 , 3 , 4 } } \end{array} \right.
\mathrm { J } _ { l } ( l ~ a k _ { 0 } \cos \theta ) \sim \frac { e ^ { l \, ( \operatorname { t a n h } ( a _ { 0 } ) - a _ { 0 } ) } } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \pi \, l \, \operatorname { t a n h } ( a _ { 0 } ) } } \ \ , \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } a _ { 0 } = \mathrm { a r c c o s h } \left( \frac { 1 } { a k _ { 0 } \cos \theta } \right)
\begin{array} { r l } { ( u x ) ^ { 2 } = S q _ { C _ { 2 } } ^ { 4 } ( u x ) } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { 2 } S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 r } ( u ) S q _ { C _ { 2 } } ^ { 4 - 2 r } ( x ) + \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 s + 1 } ( u ) S q _ { C _ { 2 } } ^ { 3 - 2 s } ( x ) } \\ & { = u S q _ { C _ { 2 } } ^ { 4 } ( x ) + u a S q _ { C _ { 2 } } ^ { 3 } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { a a } } & { = ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a ) } ) _ { a a } + \frac { ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { a b } ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { b a } } { ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { b b } } } \\ & { = ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a ) } ) _ { a a } + z ^ { 2 } ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { a a } ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a ) } ) _ { a a } ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash b ) } ) _ { b b } ( { \texttt B } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a b } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i y } ( t ) = } & { { } \frac { c _ { i } } { 4 \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \end{array}