harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { i } = \left( \begin{array} { r r } { { - i \, \tilde { \sigma } _ { i } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \, \tilde { \sigma } _ { i } } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { 5 } = \left( \begin{array} { r r } { { \sigma _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial T } { \partial t } + \left( \mathbf { V } - \epsilon \bar { r } \frac { \partial \hat { \mathbf { r } } } { \partial t } \right) \cdot \nabla T = \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \; \mathrm { ~ P ~ r ~ } } \Delta T \, ,
\Delta m = 2 | M _ { 2 1 } | \left[ 1 + { \cal O } \left( \frac { m _ { b } ^ { 4 } } { m _ { t } ^ { 4 } } \right) \right] , \quad \Delta \Gamma = - \frac { 2 \mathrm { R e } ( M _ { 2 1 } ^ { * } \Gamma _ { 2 1 } ) } { | M _ { 2 1 } | } \left[ 1 + { \cal O } \left( \frac { m _ { b } ^ { 4 } } { m _ { t } ^ { 4 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \bar { u } ^ { 1 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 1 } u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } \mathrm { ~ i f ~ } u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } > 0 \mathrm { ~ e l s e ~ } \bar { u } ^ { 1 } = 0 \Rightarrow \bar { u } ^ { 1 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 1 } u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } } \\ & { \bar { u } ^ { 2 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \mathrm { ~ i f ~ } u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } > 0 \mathrm { ~ e l s e ~ } \bar { u } ^ { 2 } = 0 \Rightarrow \bar { u } ^ { 2 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \Xi \phi _ { N } d \mu _ { P } } & { = 2 P \iint \frac { \phi _ { N } ( x ) - \phi _ { N } ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \mu _ { P } ( y ) + \int ( \phi _ { N } ^ { \prime } - V ^ { \prime } \phi _ { N } ) d \mu _ { P } } \\ & { = 2 P \iint _ { J _ { N } ^ { 2 } } \frac { \phi ( x ) - \phi ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \mu _ { P } ( y ) + 2 P \iint _ { ( J _ { N } ^ { 2 } ) ^ { c } } \frac { \phi _ { N } ( x ) - \phi _ { N } ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \mu _ { P } ( y ) } \\ & { + \int _ { J _ { N } } ( \phi ^ { \prime } - V ^ { \prime } \phi ) d \mu _ { P } + \int _ { J _ { N } ^ { c } } ( \phi \chi _ { N } ^ { \prime } + \phi ^ { \prime } \chi _ { N } - V ^ { \prime } \phi \chi _ { N } ) d \mu _ { P } \, . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } \sigma \left( \sqrt { g } g ^ { \alpha \beta } \Pi _ { \alpha } \Pi _ { \beta } + 2 i \epsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { \mu } \bar { \theta } \Gamma _ { \mu } \partial _ { \beta } \theta \right)
{ U ( R ) } ^ { \dagger } { \widehat { V } } _ { q } U ( R ) = { \widehat { V } } _ { q } + i { \frac { \theta } { \hbar } } \left[ { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } , { \widehat { V } } _ { q } \right] + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } { \frac { \left( i { \frac { \theta } { \hbar } } [ { \hat { n } } \cdot { \vec { J } } , . ] \right) ^ { k } } { k ! } } { \widehat { V } } _ { q } = e x p \left( { i { \frac { \theta } { \hbar } } { \hat { n } } \cdot A d _ { \vec { J } } } \right) { \widehat { V } } _ { q }
P ( r _ { t } = 0 , \boldsymbol { z } _ { 1 : t } ) = \sum _ { r _ { t - 1 } } P ( r _ { t - 1 } , \boldsymbol { z } _ { 1 : t - 1 } ) \pi ( \boldsymbol { z } _ { t } ) H ( r _ { t - 1 } )
\begin{array} { r l r } { { \mathbf x } _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { { \mathbf o } + \frac { 3 } { 1 0 } \cos ( q \, t ) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin ( q \, t ) \, { \mathbf r } _ { 2 } } \\ { { \mathbf x } _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { { \mathbf o } + \frac { 4 } { 5 } \left( \frac { 3 } { 1 0 } \cos \left( q \, t - \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin \left( q \, t - \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 2 } \right) } \\ { { \mathbf x } _ { 3 } ( t ) } & { { } = } & { { \mathbf o } + \frac { 6 } { 5 } \left( \frac { 3 } { 1 0 } \cos \left( q \, t + \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } \sin \left( q \, t + \frac { 2 } { 3 } \pi \right) \, { \mathbf r } _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { \xi , s } = } & { { } \left. \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { z , s } , x ) \wedge \omega ( z , 0 ) \right] \mathrm { d } z + \int _ { 0 } ^ { t } \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { \xi , s } , x ) \wedge g ( \xi , s ) \right] \right| _ { x = X _ { t } ^ { \xi , s } } \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial \mathcal { T } } } \\ { \frac { \partial } { \partial \xi } } \\ { \frac { \partial } { \partial \eta } } \\ { \frac { \partial } { \partial \zeta } } \end{array} \right\} = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { x _ { \mathcal { T } } } & { y _ { \mathcal { T } } } & { z _ { \mathcal { T } } } \\ { 0 } & { x _ { \xi } } & { y _ { \xi } } & { z _ { \xi } } \\ { 0 } & { x _ { \eta } } & { y _ { \eta } } & { z _ { \eta } } \\ { 0 } & { x _ { \zeta } } & { y _ { \zeta } } & { z _ { \zeta } } \end{array} \right] \left\{ \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial t } } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } \\ { \frac { \partial } { \partial y } } \\ { \frac { \partial } { \partial z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { . }
\frac { d E _ { \mathrm { Q C D } } ^ { j m } \left( Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } , x \right) } { d \ln Q ^ { 2 } } = \sum _ { k } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \tilde { P } _ { k } ^ { m } \! ( z ) \: E _ { \mathrm { Q C D } } ^ { j k } \left( \frac { x } { z } , Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r } { \delta _ { j } ( v _ { j } ) ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { a - i b , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j = 1 , } \\ { a + i b , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j = 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \end{array} \right) } = - { \frac { f } { x _ { 3 } } } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \chi } & { { } = - \frac { \sigma _ { c } ^ { 2 } } { \sigma _ { d } ^ { 2 } } \frac { M _ { X } ^ { * } } { M _ { X } } \frac { M _ { N } } { M _ { R } } f } \\ { \nu } & { { } = - \frac { M _ { R } } { M _ { N } \sigma _ { c } ^ { 2 } } \frac { 1 } { f } } \\ { \kappa } & { { } = \frac { M _ { R } ^ { * } } { M _ { R } } \frac { 1 } { 1 + 1 / f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \triangle ( t ) = ( \bar { x } _ { 1 , n + 1 } ( t ) - \hat { \bar { x } } _ { 1 , n + 1 } ( t ) - \bar { u } _ { 1 } ( t ) + u _ { 1 } ( t ) - u _ { 0 } ( t ) , } \\ & { \cdots , \bar { x } _ { m , n + 1 } ( t ) - \hat { \bar { x } } _ { m , n + 1 } ( t ) - \bar { u } _ { m } ( t ) + u _ { m } ( t ) - u _ { 0 } ( t ) ) ^ { \top } , } \end{array}
\rho _ { \mu \nu } ( G ) = | \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } ) | \approx N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \alpha _ { \mu \nu } } } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } ( \frac { G } { 2 \alpha _ { \mu \nu } } ) ^ { l _ { \mu \nu } } ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } ) ^ { 3 / 2 }
S _ { P Q } ^ { [ n n ] } = \sum _ { \mu \nu } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { Q } )
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } _ { \mathrm { b a l } } ^ { 2 } } & { = \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( ( L - 2 x ) ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } \right) } \\ & { \cdot \frac { \left( - 4 y ^ { 2 } \left( L ^ { 2 } - 4 L x - 8 x ^ { 2 } \right) + \left( L ^ { 2 } + 2 L x + 4 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 1 6 y ^ { 4 } \right) \left( 3 L ^ { 2 } + 1 6 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \right) } { 6 L ^ { 2 } N \left( 5 L ^ { 4 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) - 4 L ^ { 3 } \left( x ^ { 3 } - 3 x y ^ { 2 } \right) - 2 8 L ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 6 4 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } - \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } } & { = } & { 0 , } \\ { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } } & { = } & { 0 , } \\ { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } } & { = } & { \delta _ { i j } . } \end{array}
I _ { n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } = \sum _ { k , l , m } \alpha _ { k \, l \, 2 n _ { 1 } } ^ { + + + } \alpha _ { k \, m \, 2 n _ { 2 } } ^ { + + + } \alpha _ { l \, m \, 2 n _ { 3 } } ^ { + + + } \; .
\begin{array} { r } { k _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \Gamma ( \beta ) ^ { m } \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G } ^ { - } } \left( \Gamma ( \beta - | \alpha _ { S } | ) \right) ^ { \nu _ { S } } } { \prod _ { i \in V } \Gamma ( \alpha _ { i } ) \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G } ^ { + } } \Gamma ( \beta - | \alpha _ { C } | ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { C } _ { a b , i } = \frac { 1 } { 2 \delta \theta _ { i } } \Big ( \hat { C } _ { a b } | _ { \theta = \theta _ { * } + \delta \theta _ { i } } - \hat { C } _ { a b } | _ { \theta = \theta _ { * } - \delta \theta _ { i } } \Big ) } \end{array}
G _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = \left\langle \hat { \psi } _ { a , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { a , \lambda } ( \boldsymbol { r } ) \right\rangle
f _ { \mathbf { x } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \pi \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } } } K _ { 0 } \left( { \sqrt { \frac { 2 \left( { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \rho x _ { 1 } x _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } + { \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) } { 1 - \rho ^ { 2 } } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { F _ { R _ { 0 , k } } \left( r \right) } & { = 1 - e ^ { - \bar { \Lambda } _ { k } \left( \left[ 0 , r \right] \right) } , \quad r \ge 0 , } \\ { f _ { R _ { 0 , k } } \left( r \right) } & { = \bar { \lambda } _ { k } \left( r \right) e ^ { - \bar { \Lambda } _ { k } \left( \left[ 0 , r \right] \right) } , \quad r \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { b } z } \mathcal { P } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( P ^ { \alpha } - P ^ { \beta } ) P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } = - \frac { 1 } { 2 } P ^ { \beta } Q ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { p B \alpha } ^ { \, s } } & { \approx } & { \frac { m _ { p } \, n _ { p } \, \vec { u } _ { p } + m _ { B } \, n _ { B } \, \vec { u } _ { B } + m _ { \alpha } \, n _ { \alpha } \, \vec { u } _ { \alpha } } { m _ { p } \, n _ { p } + m _ { B } \, n _ { B } + m _ { \alpha } \, n _ { \alpha } } \, . } \end{array}
\bigl \| \theta _ { 0 } - \tilde { \theta } _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \frac 1 2 \pi \sqrt { c _ { * } } R _ { \tilde { \theta } _ { 0 } } ^ { \frac { q ( \beta + \gamma ) } { 2 + \gamma } } \, .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { \leq \frac { 2 P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ( [ \textnormal { R e } \{ h \} ] ^ { 2 } + [ \textnormal { I m } \{ h \} ] ^ { 2 } \big ) } { 2 P _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } [ \textnormal { R e } \{ g \} ] ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ( [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ h \} ] ^ { 2 } + [ \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ h \} ] ^ { 2 } \big ) } { P _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ g \} ] ^ { 2 } } } \\ & { \leq P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } / P _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } \big [ \big ( \tilde { A } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } + \big ( \tilde { B } / \tilde { C } \big ) ^ { 2 } \big ] , } \end{array}
S = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { \triangle } ( l ) - S _ { \triangle } ( l - \Delta x \cos \alpha ) - S _ { \triangle } ( l - \Delta y \sin \alpha ) , \quad } & { \alpha \neq 0 , \, \alpha \neq \pi / 2 } \\ { l \Delta y , \quad } & { \alpha = 0 } \\ { l \Delta x , \quad } & { \alpha = \pi / 2 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ^ { ( a ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \Omega ^ { * \, 2 } } \left( \left( \Omega ^ { * \, 2 } + 3 \right) \frac { \arctan \Omega ^ { * } } { \Omega ^ { * } } - 3 \right) , } \\ { f _ { 2 } ^ { ( d ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Omega ^ { * \, 2 } } \left( \frac { \arctan \left( \Omega ^ { * } \right) } { \Omega ^ { * } } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa ^ { ( { \bf I I } ) } ( \lambda ) } & { = } & { \frac { 3 2 } { \pi } \left( 3 ^ { ( \frac { 3 } { 2 } - \frac { \lambda } { 4 } ) } \right) \cot ( \frac { \pi \lambda } { 2 } ) \tan \left( \frac { 3 \pi } { 4 } + \frac { \pi \lambda } { 1 2 } \right) \tan \left( \frac { \pi } { 6 } + \frac { \pi \lambda } { 1 2 } \right) } \\ & { \times } & { \frac { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 5 } { 6 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 3 } { 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 3 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - 1 - \frac { \lambda } { 4 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( 1 + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } } \end{array}
- \Delta { \mathbf u } + \nabla p = { \mathbf f } \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega , \qquad { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf u } = 0 \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega , \qquad { \mathbf u } = { \mathbf g } \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \partial \Omega ,
\left( \mu \frac { \partial } { \partial \mu } + \beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g } \right) S _ { n ; k } ^ { \pm } ( 0 ; \mu ^ { 2 } ) = - \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \sum _ { l = 0 } ^ { \kappa _ { n } ^ { \pm } } \left( \Gamma _ { n } ^ { T \pm } \right) _ { k , l } S _ { n ; l } ^ { \pm } ( 0 ; \mu ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \exp ( X ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { j ! } ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) ^ { j } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 j ) ! } ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) ^ { 2 j } } \\ & { \quad + ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) } \\ & { \quad \times \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 j + 1 ) ! } ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) ^ { 2 j } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u + v + w = j } \frac { k ^ { 2 u } a ^ { 2 v } l ^ { 2 w } j ! } { ( 2 j ) ! u ! v ! w ! } ( F _ { i } - E _ { i } ) ^ { 2 u } H _ { i } ^ { 2 v } ( F _ { i } + E _ { i } ) ^ { 2 w } } \\ & { \quad + ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) } \\ & { \quad \times \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u + v + w = j } \frac { k ^ { 2 u } a ^ { 2 v } l ^ { 2 w } j ! } { ( 2 j + 1 ) ! u ! v ! w ! } ( F _ { i } - E _ { i } ) ^ { 2 u } H _ { i } ^ { 2 v } ( F _ { i } + E _ { i } ) ^ { 2 w } } \\ & { = I \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u + v + w = j } \frac { ( \imath k ) ^ { 2 u } a ^ { 2 v } l ^ { 2 w } j ! } { ( 2 j ) ! u ! v ! w ! } } \\ & { \quad + ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u + v + w = j } \frac { ( \imath k ) ^ { 2 u } a ^ { 2 v } l ^ { 2 w } j ! } { ( 2 j + 1 ) ! u ! v ! w ! } } \\ & { = \cosh ( \rho ) I + ( k ( F _ { i } - E _ { i } ) + a H _ { i } + l ( F _ { i } + E _ { i } ) ) \rho ^ { - 1 } \sinh ( \rho ) , } \end{array}
A = \sum _ { n } \frac { 1 } { n ! } \int d s _ { 1 } \ldots d s _ { n } \Gamma _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ( s _ { 1 } , \ldots s _ { n } | y ) \bigl ( \phi _ { i _ { 1 } } ( s _ { 1 } ) \ldots \phi _ { i _ { n } } ( s _ { n } ) \bigl ) \; .
R _ { t } ( T ) = \frac { N _ { A } \cdot 1 0 ^ { 3 } } { A _ { t } } \int _ { E _ { m i n } ^ { \nu } ( T ) } ^ { E _ { m a x } ^ { \nu } } \frac { d \sigma _ { t } } { d T } ( E _ { \nu } ) \cdot \phi _ { \nu } ( E _ { \nu } ) d E _ { \nu } \qquad \left[ \frac { 1 } { \mathrm { ~ e ~ V ~ ~ ~ k ~ g ~ ~ ~ d ~ a ~ y ~ } } \right]
1 - \frac { \mu _ { + } } { \mu _ { - } } \alpha ^ { \mu _ { + } - \mu _ { 1 } } = \frac { \omega _ { d } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - N ^ { 2 } } \Big ( \mu _ { + } - \mu _ { + } \alpha ^ { \mu _ { + } - \mu _ { - } } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 } } & { { } = \bar { A } \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \tilde { L } \mathbf { y } _ { k } , } \\ { \mathbf { y } _ { k } } & { { } = C \hat { \mathbf { x } } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { I \ne f } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \frac { \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { ( E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } + \omega ^ { e x } ) } } \end{array}
\sigma _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } \rightarrow c ^ { \prime } } = \sum _ { a , b , c } \phi _ { a / a ^ { \prime } } \otimes \phi _ { b / b ^ { \prime } } \otimes \hat { \sigma } _ { a b \rightarrow c } ^ { ( F ) } \otimes D _ { c \rightarrow c ^ { \prime } } .
C _ { X } = \frac { F _ { X } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U ^ { 2 } c } , \qquad C _ { P } = \frac { P } { \frac { 1 } { 2 } \rho U ^ { 3 } c } , \qquad \eta = \frac { C _ { X } } { C _ { P } }
\begin{array} { r l } { [ u ] _ { W ^ { s , 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { \ge \left( 5 0 \, ( 2 - \sqrt { 2 } ) \right) ^ { \frac { 1 - 2 \, s } { 2 } } \, \frac { \mathfrak { m } _ { s } \, \phi ( 2 , 2 ) } { 2 0 0 \, \mathcal { A } } \, \sqrt { k } \, \delta ^ { - 1 - 2 \, s } \, \sum _ { ( i , j ) \in \mathbb { Z } _ { \Omega } ^ { 2 } } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { Q } _ { i j } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \left( 5 0 \, ( 2 - \sqrt { 2 } ) \right) ^ { \frac { 1 - 2 \, s } { 2 } } \, \frac { \mathfrak { m } _ { s } \, \phi ( 2 , 2 ) } { 2 0 0 \, \mathcal { A } } \, \sqrt { k } \, \delta ^ { - 1 - 2 \, s } \, \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \pi } } = \left( \frac { \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2 } } , \frac { i ( \hat { a } - \hat { a } ^ { \dagger } ) } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { \mathrm { T } } = \left( \hat { X } , \hat { P } \right) ^ { \mathrm { T } } , \; \; \left( \frac { \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } + \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2 } } , \frac { i ( \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } - \hat { \gamma } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \dagger } ) } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { \mathrm { T } } = \left( \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } , \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } } & { { } = \mathbf { u } ^ { ( 0 ) } + \beta \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } + \mathcal { O } ( \beta ^ { 2 } ) , } \\ { \Pi } & { { } = \Pi ^ { ( 0 ) } + \beta \Pi ^ { ( 1 ) } + \mathcal { O } ( \beta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \delta d _ { x } f ) _ { z } - ( d _ { x } \delta f ) _ { z } } & { = } & { ( - 1 ) ^ { z x + z f } d _ { z } d _ { x } f - \delta ( ( d _ { x } f ) _ { z } ) - d _ { x } ( \delta f ) _ { z } + ( - 1 ) ^ { x f } ( \delta f ) _ { [ x , z ] } } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { z x + z f } d _ { z } d _ { x } f - \delta d _ { x } f _ { z } + ( - 1 ) ^ { x f } \delta f _ { [ x , z ] } } \\ & { } & { - ( - 1 ) ^ { z f } d _ { x } d _ { z } f + d _ { x } \delta f _ { z } + ( - 1 ) ^ { z f } d _ { [ x , z ] } f - ( - 1 ) ^ { x f } \delta f _ { [ x , z ] } } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \Phi = } & { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } ( \sinh ^ { 2 } \mu + \sin ^ { 2 } \nu ) } } \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \mu ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \nu ^ { 2 } } } + \coth \mu { \frac { \partial \Phi } { \partial \mu } } + \cot \nu { \frac { \partial \Phi } { \partial \nu } } \right] } \\ & { + { \frac { 1 } { a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \mu \sin ^ { 2 } \nu } } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \varphi ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \mathbf { P } _ { x } \left( T _ { > x } < \infty , \exists \varepsilon > 0 \mathrm { ~ s . t . ~ } X _ { T _ { > x } + t } \leq x \mathrm { ~ f o r ~ } 0 \leq t \leq \varepsilon \right) } \\ & { = \mathbf { E } _ { x } \left( 1 _ { \Lambda } \circ \theta _ { T _ { > x } } ; T _ { > x } < \infty \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] \mu ( x , v ) } & { = \mu ( x , v ) \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle - \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \big ) - \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle \Big ) . } \end{array}
\theta ( z ^ { + } - y ^ { + } ) \theta ( y ^ { + } - x ^ { + } ) + \theta ( x ^ { + } - z ^ { + } ) \theta ( z ^ { + } - y ^ { + } ) + \theta ( z ^ { + } - x ^ { + } ) \theta ( x ^ { + } - y ^ { + } ) = \theta ( z ^ { + } - y ^ { + } ) \nonumber
\Delta _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } } ^ { ( 0 ) } = \left( 1 - \frac { \sigma ^ { 2 } } 2 \right) \cdot \frac { m - i \varepsilon \widehat { p } } { 2 m } \cdot \frac { m - i \overline { { { \varepsilon } } } \overline { { { p } } } } { 2 m } \cdot \left( 1 - \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) = \Psi _ { \varepsilon , , \overline { { { \varepsilon } } } } ^ { ( 0 ) } \cdot \overline { { { \Psi } } } _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } } ^ { ( 0 ) } ,
\Omega _ { \chi } h ^ { 2 } = { \frac { m _ { \chi } n _ { \chi } } { \rho _ { c } } } \simeq \left( { \frac { 3 \times 1 0 ^ { - 2 7 } \, \mathrm { c m } ^ { 3 } \, \mathrm { s e c } ^ { - 1 } } { \sigma _ { A } v } } \right) ,
\begin{array} { r } { \Psi = c _ { 1 } \Phi _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } + c _ { 2 } \Phi _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + c _ { 3 } \Phi _ { 1 } e ^ { m _ { 3 } x _ { 0 } } + c _ { 4 } \Phi _ { 2 } e ^ { m _ { 4 } x _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall ( n , m ) , } \\ { b _ { n m } } & { { } = 0 \quad \forall m \neq 0 , } \\ { b _ { n , 0 } } & { { } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { e } _ { p } \cdot \mathbf { N } _ { n , - m } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \end{array}
\mathrm { s i n h } \varphi ( x ) \mathrm { c o s h } \varphi ( x ) + \varphi ( x ) = x + { \frac { p \omega } { p _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } + \mathrm { s i n h } ^ { - 1 } \left( { \frac { p } { \sqrt { p _ { \perp } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } \right) \, ,
S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x , z ) = \sum _ { ( n , j ) \in \mathcal { I } } \mathfrak { s } _ { ( n , j ) } \sqrt { \frac { \sigma _ { ( n , j ) } } { \ell } } \, \mathrm { e } ^ { 2 i \pi n x / \ell } \Phi _ { ( n , j ) } ( z ) ,
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { = } & { \frac { \Delta } { 1 - 2 q + 2 \Delta } + \frac { 2 a } { h \varepsilon } , } \\ { \Sigma } & { = } & { \frac { - 2 \Delta ^ { 2 } \varepsilon + 2 q ( 1 + \varepsilon ) ( 1 - q ) - \Delta ( 1 + 2 \varepsilon ) ( 1 - 2 q ) + \frac { 2 a } { h } } { 1 + \frac { 4 a } { h } } . } \\ & { } & \end{array}