harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \right. } & { \left. \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) F ( u ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y \right| } \\ & { \leq C _ { 1 } \operatorname* { m a x } \left\lbrace { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 \psi _ { 1 } } + c _ { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 h _ { 1 } ^ { * } / l } , { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 \psi _ { 2 } } + c _ { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 h _ { 2 } ^ { * } / l } \right\rbrace } \\ & { \leq C _ { 2 } ( \| u \| ^ { 2 \psi _ { 1 } } + \| u \| ^ { 2 h _ { 1 } ^ { * } / l } + \| u \| ^ { 2 \psi _ { 2 } } + \| u \| ^ { 2 h _ { 2 } ^ { * } / l } ) } \end{array}
y _ { c } ( t ) = \frac { \int _ { A } y u ( y , z , t ) ^ { 2 } \mathrm { d } A } { \int _ { A } u ( y , z , t ) ^ { 2 } \mathrm { d } A } , ~ ~ ~ z _ { c } ( t ) = \frac { \int _ { A } z u ( y , z , t ) ^ { 2 } \mathrm { d } A } { \int _ { A } u ( y , z , t ) ^ { 2 } \mathrm { d } A } .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \hat { h } _ { 0 } } & { { } = } & { D \, \Delta \hat { h } _ { 0 } } \\ { D } & { { } = } & { { \frac { 9 \pi ^ { 2 } R v _ { 0 } } { 6 4 M \, S c ^ { 2 } } } = { \frac { 9 \pi ^ { 2 } } { 6 4 } } { \frac { v _ { 0 } ^ { 3 } } { R \Gamma ^ { 2 } M } } } \end{array}
{ \boldsymbol { x } } , \mathsf { a } _ { \mu \nu } , \mathsf { b } _ { \mu } , \mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } , \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } \gets { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , 0 , 0 , 0 , 0
\begin{array} { r l } { F _ { \pi } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left| \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left[ U _ { \pi , \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ^ { \dag } R ( \Omega _ { 0 } , \delta ) \right] \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle L \rangle } & { { } \approx \biggr \langle \frac { P } { Z } \biggr \rangle \approx \frac { \langle P _ { f l a t } \rangle \sqrt { 1 - \frac { 1 } { N } } } { 6 - \frac { 1 2 } { N } } } \\ { \langle \tau \rangle } & { { } \approx 2 \langle P \rangle - 2 P _ { 0 } = \tau _ { f l a t } + A _ { \tau } \left( - 1 + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { N } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle } & { { } = \langle \hat { \psi } _ { a , R } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , R } ( \boldsymbol { r } ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } , } \\ { \langle \hat { \psi } _ { b , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , L } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = \langle \hat { \psi } _ { b , R } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , R } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { \infty } n _ { \alpha } \phi _ { \alpha } ^ { * } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \phi _ { \alpha } ( x _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } ( \hat { \mathcal { A } } , J | \boldsymbol { \lambda } ) } & { { } = \mathrm { P r } ( J | \boldsymbol { \lambda } ) \mathrm { p r } ( \hat { \mathcal { A } } | \boldsymbol { \lambda } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \ = \ } & { { } 2 5 6 a ^ { 3 } e ^ { 3 } - 1 9 2 a ^ { 2 } b d e ^ { 2 } - 1 2 8 a ^ { 2 } c ^ { 2 } e ^ { 2 } + 1 4 4 a ^ { 2 } c d ^ { 2 } e - 2 7 a ^ { 2 } d ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta F ( h ) = } & { - \frac { G _ { + } ( 0 ) ^ { 2 } h } { 2 \pi } \left( 1 - \frac { 2 d _ { 1 0 } } { \pi } v + \mathcal { O } ( v ^ { 2 } ) \right) \times } \\ & { \left( 1 - \rho ( i \pm \epsilon ) q ^ { 1 / \mu } + \frac { 2 \rho _ { 1 , \pm } } { \mu ( 1 - \mu ^ { 2 } ) } q - \frac { 2 \rho _ { 1 , \pm } \rho ( i \pm \epsilon ) } { \mu ( 1 + \mu ) } q ^ { 1 + 1 / \mu } + \mathcal { O } ( q ^ { 2 } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \underline { { \theta } } , \underline { { \delta } } _ { \alpha } ^ { M } ) } & { = p _ { 1 } E _ { \underline { { \theta } } } \left[ ( c _ { 0 , 1 } \theta _ { 1 } Z _ { 1 } - \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } \, I _ { \left( \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } , \infty \right) } ( Z ) \right] } \\ & { \quad + p _ { 1 } E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \{ \alpha ( c _ { 0 , 1 } \theta _ { 1 } Z _ { 1 } - c _ { 0 , 2 } \theta _ { 2 } Z _ { 2 } ) + c _ { 0 , 2 } \theta _ { 2 } Z _ { 2 } - \theta _ { 1 } \} ^ { 2 } \, I _ { \left( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) } ( Z ) \right] } \\ & { \quad + p _ { 2 } E _ { \underline { { \theta } } } \left[ ( c _ { 0 , 2 } \theta _ { 2 } Z _ { 2 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \, I _ { \left( \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } , \infty \right) } ( Z ) \right] } \\ & { \quad + p _ { 2 } E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \bigg \{ \alpha \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( c _ { 0 , 2 } \theta _ { 2 } Z _ { 2 } - c _ { 0 , 1 } \theta _ { 1 } Z _ { 1 } ) - \frac { p _ { 1 } - p _ { 2 } } { p _ { 2 } } c _ { 0 , 2 } \theta _ { 2 } Z _ { 2 } + \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } c _ { 0 , 1 } \theta _ { 1 } Z _ { 1 } - \theta _ { 2 } \bigg \} ^ { 2 } \, I _ { \left( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) } ( Z ) \right] , \; \underline { { \theta } } \in \Theta _ { 0 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \star ( d t \wedge d x ) } & { = - d y \wedge d z \, , } \\ { \star ( d t \wedge d y ) } & { = - d z \wedge d x \, , } \\ { \star ( d t \wedge d z ) } & { = - d x \wedge d y \, , } \\ { \star ( d x \wedge d y ) } & { = d t \wedge d z \, , } \\ { \star ( d x \wedge d z ) } & { = - d t \wedge d y \, , } \\ { \star ( d y \wedge d z ) } & { = d t \wedge d x \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 1 , l } \leq 2 \sqrt { R } + 2 R ^ { 1 \slash 3 } = 2 \sqrt { R } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ R , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( t - t ^ { \prime } ) = } & { { } \sum _ { i } \Biggl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } ( t - t ^ { \prime } ) \cos ( \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { - 1 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } - i q _ { \xi } ^ { * } q \ d \xi } \\ { H _ { - 3 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } - ( | q | ^ { 2 } + i | q | ^ { 2 } q q _ { \xi } ^ { * } ) \ d \xi } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \end{array}
{ \hat { \nu } } \approx { \frac { ( g _ { 1 } + g _ { 2 } ) ^ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } / ( n _ { 1 } - 1 ) + g _ { 2 } ^ { 2 } / ( n _ { 2 } - 1 ) } } \quad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } g _ { i } = s _ { i } ^ { 2 } / n _ { i } .
I m \, I _ { 1 _ { \beta } } \approx \frac { - g ^ { 2 } } { 8 } \int \frac { d ^ { 3 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } E _ { 1 } E _ { 2 } } 2 \delta ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) \Bigg ( \frac { 2 } { e ^ { \beta E _ { 1 } } - 1 } + \frac { 2 } { ( e ^ { \beta E _ { 1 } } - 1 ) ^ { 2 } } \Bigg ) .
\hat { S } = \exp \left[ \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \ \sum _ { j } \xi _ { j } ^ { s } \left( \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { j } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 , 1 ) } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle + \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 , 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle } \end{array}
\footnote { T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e , a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g , i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e . }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } ) } & { = } & { R _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \Psi } ) \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } R _ { \mathrm { H V } } ( - { \it \Delta \Psi } ) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 + \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { 1 - \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
V _ { 9 } \simeq \left( \begin{array} { l l l } { { - \l ^ { 4 } } } & { { 1 } } & { { \l ^ { 3 } } } \\ { { - \l ^ { 2 } } } & { { - \l ^ { 3 } } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \l ^ { 4 } } } & { { \l ^ { 2 } } } \end{array} \right) \ ,
Z = H _ { ( 3 ) } ^ { - 1 } [ ( 1 + ( \tan \lambda ^ { 3 } ) ^ { 2 } ) Z _ { 0 } + \tan \lambda ^ { 3 } ( 1 + W _ { 0 } - ( E _ { 0 } - z _ { 0 } ) \tan \lambda ^ { 3 } ) \sigma _ { 0 } ] ,
\begin{array} { r l } { J _ { \textnormal { i d } , \textnormal { i d } } ( L ) } & { { } = | Q ^ { D } | L ^ { 3 } \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \frac { h ( p _ { L } | w | ) ^ { 2 } } { | w | } \mathrm { d } w - L ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \biggr ( \prod _ { \ell \neq j } d _ { \ell } \biggr ) \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \frac { h ( p _ { L } | w | ) ^ { 2 } | w _ { j } | } { | w | } \mathrm { d } w } \end{array}
{ \cal M } _ { \pm \: \! \, \! \mp } ^ { 0 \: \! 0 } = \frac { 4 } { 2 2 5 } \, K f _ { 2 } f _ { 2 } ^ { \prime } \left\{ \, \frac { \langle \, ( e _ { 1 } - e _ { 2 } ) ^ { 2 } \rangle } { 1 - v ^ { 2 } } + 6 \, \langle e _ { 1 } e _ { 2 } \rangle \left[ 1 - 8 v ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } ) \right] \right\} \; .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { i n t } } ( \pm p ) } & { { } \approx \sum _ { k \geq 2 } - \frac { D _ { 1 } ^ { k } L \beta _ { k } } { t _ { \mathrm { R } } k ! } ( \pm p ) ^ { k } , } \end{array}
\Gamma _ { 1 1 } = 2 \pi \sum _ { n } \delta ( m _ { n } - m _ { n } ) \left| \left< n \left| { \cal C P T } H _ { W } ( { \cal C P T } ) ^ { \dagger } \right| \bar { K } ^ { 0 } \right> \right| ^ { 2 } ,
{ \cal J } _ { \mathrm { g c } } \; = \; \frac { e } { c } \, B _ { \| } ^ { * } \; = \; \frac { e } { c } \, B _ { 0 } \left( 1 \; + \; \frac { \epsilon _ { \delta } c } { B _ { 0 } \Omega _ { 0 } } \; \nabla _ { \bot } ^ { 2 } \delta \Psi \right) ,
\begin{array} { r } { I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] = m _ { \psi } = \mathrm { c o n s t } , } \\ { \frac { d } { d t } [ I _ { 2 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + m _ { \psi } \cos \theta ] + b \sin \theta \sin \varphi = 0 , } \\ { - I _ { 2 } \ddot { \theta } + I _ { 2 } \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta - m _ { \psi } \sin \theta \dot { \varphi } + b \cos \theta \cos \varphi = 0 . } \end{array}
\hat { C } _ { I } = c _ { 0 } + \sum _ { i a } c _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } c _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } + . . .
\begin{array} { r l } { \cos A } & { { } = - \cos B \, \cos C + \sin B \, \sin C \, \cos a , } \\ { \cos B } & { { } = - \cos C \, \cos A + \sin C \, \sin A \, \cos b , } \\ { \cos C } & { { } = - \cos A \, \cos B + \sin A \, \sin B \, \cos c . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat U _ { 1 } ( \theta ) } & { \sim \mathcal { N } ( U ( \theta ) , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) ) , } & { \widehat U _ { 2 } ( \theta ) } & { \sim \mathcal { N } ( U ( \theta ) , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) ) , } \\ { \widehat { \nabla U } _ { 1 } ( \theta ) } & { \sim \mathcal { N } ( \nabla U ( \theta ) , s _ { 1 } ( \theta ) s _ { 1 } ( \theta ) ^ { \top } ) , } & { \widehat { \nabla U } _ { 2 } ( \theta ) } & { \sim \mathcal { N } ( \nabla U ( \theta ) , s _ { 2 } ( \theta ) s _ { 2 } ( \theta ) ^ { \top } ) . } \end{array}
D = \nabla - \delta + \frac 1 { i \hbar } [ r , \cdot ] = \nabla + \frac 1 { i \hbar } [ \omega _ { i j } y ^ { i } d x ^ { j } + r , \cdot ] , \quad r = r _ { i } ( x , \theta \, , y , \hbar ) d x ^ { i } ,
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { ~ B ~ H ~ } } = - J \sum _ { \langle j , k \rangle } \left( b _ { j } ^ { \dagger } b _ { k } + b _ { k } ^ { \dagger } b _ { j } \right) + U \sum _ { j } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } b _ { j } + \sum _ { j } \mu _ { j } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { j } \, . } \end{array}
H _ { \mathrm { e l } } ^ { ( m ) } = E _ { m } + \mu _ { \mathrm { B } } g _ { J } \left( \begin{array} { c c } { \langle m | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | m \rangle } & { \langle m | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | \bar { m } \rangle } \\ { \langle \bar { m } | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | m \rangle } & { \langle \bar { m } | \mathbf { B } \cdot \hat { \mathbf { J } } | \bar { m } \rangle } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) } & { = w _ { 1 } ( t ) \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } w _ { 2 } + w _ { 2 } ( 0 ) \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } w _ { 1 } + w _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) I _ { t } ^ { 1 - \theta } ( w _ { 2 } - w _ { 2 } ( 0 ) ) ( t ) } \\ & { - \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \theta ) } \int _ { 0 } ^ { t } [ w _ { 2 } ( s ) - w _ { 2 } ( 0 ) ] \frac { \partial } { \partial t } \frac { [ w _ { 1 } ( t ) - w _ { 1 } ( s ) ] } { ( t - s ) ^ { \theta } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { k ( t ) } = \frac { i } { \hbar } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \tau e ^ { i \mathbb { S } ( P , t , \tau ) - i \Omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { A } - \widehat { \mathcal { A } } \| _ { F } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \left( 2 \cdot ( 1 + \lambda _ { n } ) I _ { n } \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } , 1 ) + \phi _ { n } \| \mathcal { A } \| _ { F } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { F } ( \rho , \phi ) \right| \leq } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \| \phi _ { t } ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \; d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| \beta ^ { i } \| _ { \infty } \| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \; d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| q ^ { i } \| _ { \infty } \| \phi ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \| \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \, d t } \\ { \leq } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { H _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( a , b _ { i } ) } \| \phi _ { t } ^ { i } ( , \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \; d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| \beta ^ { i } \| _ { \infty } \| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \; d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \| q ^ { i } \| _ { \infty } \| \phi ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \| \rho ^ { i } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } \, d t } \\ { \leq } & { C \left( \| \phi _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } + \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } \right) \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) , \mathbb { V } ) } . } \end{array}
\int ( \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } ~ \frac { Q _ { i } } { \theta _ { i } } ~ ( C ^ { ( 8 ) } + C ^ { ( 7 ) } ~ d ~ \tau + C ^ { ( 7 ) } ~ d ~ \chi + C ^ { ( 6 ) } ~ d ~ \tau ~ d ~ \chi ) )
\begin{array} { r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) = - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \omega ^ { 3 } \left( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) + \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ^ { * } ( \omega ) \right) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \psi _ { h } ^ { [ 2 ] } = \sum _ { a } \sum _ { b } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { 2 } \; \exp \big \{ i ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) x - i \left[ \Omega _ { 1 } ^ { ( a ) } + \Omega _ { 2 } ^ { ( b ) } \right] t \big \} } \\ & { } & { \times \bigg \{ \epsilon _ { c } ^ { ( a b ) } \cosh \left[ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ( z + h ) \right] + \epsilon _ { s } ^ { ( a b ) } \sinh \left[ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ( z + h ) \right] } \\ & { } & { \; \; + \mu _ { c } ^ { ( a b ) } \cosh \left[ q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } ( z + h ) \right] + \mu _ { s } ^ { ( a b ) } \sinh \left[ q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } ( z + h ) \right] \bigg \} \; , \quad } \end{array}
\mathrm { I m \, } { \Pi _ { \mu \nu } ( q ^ { 2 } ) } = { \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } } P _ { l } ( q ^ { 2 } ) + \left( { g _ { \mu \nu } } - { \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } } \right) P _ { t } ( q ^ { 2 } ) .
{ \frac { 1 } { ( 1 - z ) ^ { 5 } } } \equiv { \frac { 1 } { 1 - z ^ { 5 } } } { \pmod { 5 } } \qquad \iff \qquad { \frac { 1 - z ^ { 5 } } { ( 1 - z ) ^ { 5 } } } \equiv 1 { \pmod { 5 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ^ { 2 } U [ \phi ] } { \delta \eta ^ { 2 } } } & { { } = \frac { \delta } { \delta \eta } \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( D \frac { d \phi } { d x } \frac { d \eta } { d x } + \kappa \phi ^ { 3 } \eta + f \eta \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \oiiint _ { \mathcal { V } } { \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \left( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \right) } \, d \mathcal { V } } & { = \oiiint _ { \mathcal { V } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] \, d \mathcal { V } , } \\ { \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \left( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \right) \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } } & { = \oiint _ { \partial \mathcal { S } } \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] \cdot \vec { \boldsymbol { n } } \, d \mathcal { S } , } \end{array}
v _ { 1 } = N _ { 1 } \sqrt { s _ { 0 } - s + \epsilon } \, e ^ { r ( s - s _ { 0 } - \epsilon ) } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \sigma _ { i } ) } & { = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } h _ { i _ { k } } w _ { i _ { k } } ( \sigma _ { i } - \lambda _ { i _ { k } } ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } w _ { i _ { k } } ( \sigma _ { i } - \lambda _ { i _ { k } } ) } , } & { \mathrm { f o r ~ a l l } ~ 1 \leq i \leq r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U \to \widetilde Y _ { f } , \; \; \; } & { ( t _ { 1 } , \dotsc , t _ { k } ) \mapsto } \\ & { \left( t _ { 1 } , \dotsc , t _ { 2 a } , ( - \zeta _ { 2 ^ { a + 1 } } ) ^ { - \epsilon _ { 1 } } t _ { 2 a + 1 } , \dotsc , ( - \zeta _ { 2 ^ { a + 1 } } ) ^ { - \epsilon _ { k } } t _ { k } , t _ { k + 1 } , \dotsc , t _ { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \quad } & { { } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in D o m ( A ) } & { } & { { } \iff \exists x _ { n + 1 } [ ( ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , x _ { n + 1 } ) \in A ] } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { \prime } \equiv - \frac { \chi _ { 0 } } { M _ { 0 } \phi _ { 0 } \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } } \frac { f ^ { \prime } g } { g ^ { \prime } } = - \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } \frac { f ^ { \prime } g } { \phi _ { 0 } \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } g ^ { \prime } }
\psi _ { - } = \sqrt { { \frac { \mu } { 2 \pi } } } \, e ^ { i \sqrt { \pi } ( \tilde { X } + X ) } , \quad \psi _ { + } = \sqrt { { \frac { \mu } { 2 \pi } } } \, e ^ { i \sqrt { \pi } ( \tilde { X } - X ) } .
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \varepsilon \| \Delta _ { \xi } ^ { - 1 } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } ) \| _ { L _ { \xi } ^ { \infty } H _ { x } ^ { s } } \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } ) ^ { ( m _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } \| G ^ { ( m _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } } \\ & { \quad + \| \nabla _ { \xi } \Delta _ { \xi } ^ { - 1 } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } ) \| _ { L _ { \xi } ^ { \infty } H _ { x } ^ { s } } \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } ) ^ { ( m _ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| G ^ { ( m _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon \langle \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D } \rangle ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) } \\ & { \quad + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { A } u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } d _ { i } \Delta ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) d x d s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 3 y } ^ { 1 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ t ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 2 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ t ~ u - v ) ~ E _ { c } + v ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( v - \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ) ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ t ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( \gamma _ { 1 } ~ v - t ~ u ) - 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ v ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } + u ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 y } ^ { 4 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ t ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
\mathrm { L H F } ( x , y ) = \rho _ { 1 } ( x , y ) C _ { D } \sqrt { u _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } + v _ { 1 } ( x , y ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } } L _ { e } \left[ q _ { s } ^ { * } - q _ { 1 } ( x , y ) \right] ;