harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { i j } ^ { n | 1 } = \frac { 2 } { 5 } \left( \sqrt { 2 n + 5 } \frac { \partial w _ { \langle i } ^ { n | 1 } } { \partial x _ { j \rangle } } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } \frac { \partial w _ { \langle i } ^ { n + 1 | 1 } } { \partial x _ { j \rangle } } \right) = \frac { 2 } { 5 } \frac { \sqrt { 2 n + 5 } b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } b _ { 1 1 , n + 1 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \frac { \partial w _ { \langle i } ^ { 1 | 1 } } { \partial x _ { j \rangle } }
\hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\{ \begin{array} { c c } { f _ { + + , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ & { \lambda _ { 2 i } - \delta \lambda _ { 2 i } \leq v _ { 2 } \leq \lambda _ { 2 i } + \delta \lambda _ { 2 i } , } \\ { f _ { - + , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq - \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ & { \lambda _ { 2 i } - \delta \lambda _ { 2 i } \leq v _ { 2 } \leq \lambda _ { 2 i } + \delta \lambda _ { 2 i } , } \\ { f _ { -- , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq - \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ & { - \lambda _ { 2 i } - \delta \lambda _ { 2 i } \leq v _ { 2 } \leq - \lambda _ { 2 i } + \delta \lambda _ { 2 i } , } \\ { f _ { + - , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { 1 i } - \delta \lambda _ { 1 i } \leq v _ { 1 } \leq \lambda _ { 1 i } + \delta \lambda _ { 1 i } , } \\ & { - \lambda _ { 2 i } - \delta \lambda _ { 2 i } \leq v _ { 2 } \leq - \lambda _ { 2 i } + \delta \lambda _ { 2 i } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right\}
u _ { M } ( t , \sqrt { 2 } t + x ) \geq \gamma _ { r } ^ { - 1 } \frac { e ^ { - \sqrt { 2 } x } } { \sqrt { 2 \pi ( t - r ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } u _ { M } ( r , y + \sqrt { 2 } r ) e ^ { \sqrt { 2 } y } e ^ { \frac { - ( y - x ) ^ { 2 } } { 2 ( t - r ) } } \bigl \{ 1 - e ^ { - 2 y \frac { x + \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \log ( t ) } { t - r } } \bigr \} d y .
\begin{array} { r l r } { f ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - 1 / z } - \frac { 1 } { 1 - 2 / z } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { k } } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 } { z } \right) ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - 2 ^ { k } \right) \frac { 1 } { z ^ { k } } } \end{array}
g _ { n M N } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } C _ { \xi } ^ { * k } C _ { \eta } ^ { k } e _ { k M } \otimes e _ { k - n , N } ( \frac { q ^ { - n } } { 1 - q ^ { 2 } } ) ^ { k } q ^ { k ^ { 2 } } \sqrt { \frac { [ - n ] _ { q ^ { 2 } } ! } { [ - n + k ] _ { q ^ { 2 } } ! [ k ] _ { q ^ { 2 } } ! } }
\begin{array} { r l r } { { \mathcal F } _ { E S } } & { = } & { - \frac { \epsilon _ { w } \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { V } d V \Bigg ( \left( \frac { d \psi ( r ) } { d r } \right) ^ { \! 2 } + \kappa _ { D } ^ { 2 } \psi ( r ) ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { } & { + \oint _ { A _ { 1 } } d A _ { 1 } ~ \psi \left( R _ { 1 } \right) \sigma _ { 1 } + \oint _ { A _ { 2 } } d A _ { 2 } ~ \psi \left( R _ { 2 } \right) \sigma _ { 2 } , } \end{array}
\boldsymbol { U } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } } X _ { i } \boldsymbol { E } _ { i } \right] = U _ { 1 } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { 1 } \left[ \mathsf { X } \right] + U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { 2 } \left[ \mathsf { X } \right] + U _ { 3 } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { 3 } \left[ \mathsf { X } \right] .
\mathbf { L } i ^ { * } \mathbb { L } _ { \mathcal { Q } ^ { \log } ( \mathbb { P } ) / \mathfrak { M } ^ { \log } } \rightarrow \mathbb { L } _ { \mathcal { Q } ^ { \log } ( X ) / \mathfrak { M } ^ { \log } } \rightarrow \mathbb { L } _ { i } \rightarrow \mathbf { L } i ^ { * } \mathbb { L } _ { \mathcal { Q } ^ { \log } ( \mathbb { P } ) / \mathfrak { M } ^ { \log } } [ 1 ]
{ \cal M } ( x , y , z ) \ni \left[ \bar { \psi } ^ { d } ( y ) \, \gamma ^ { \sigma } \, \psi ^ { e } ( y ) \right] \left[ \bar { \psi } ^ { c } ( x ) \hat { \epsilon _ { L } } \, S ^ { q ( c a ) } ( x - z ) \, \gamma ^ { \rho } \, \psi ^ { b } ( z ) \right] S _ { \sigma \rho } ^ { g ( B A ) } ( y - z ) \, t _ { a b } ^ { A } t _ { d e } ^ { B } .
\rho ( q ^ { 2 } ) \; = \; N _ { c } \, \frac { 2 m ^ { 2 } } { q ^ { 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } } \, + \, 2 \pi \langle 0 | m _ { u } \bar { u } u + m _ { d } \bar { d } d | 0 \rangle \, \delta ^ { \prime } ( q ^ { 2 } ) \; + \; { \cal O } \left( \frac { m ^ { 2 } } { q ^ { 6 } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { I _ { j } } u _ { j } ( x , t ) \mathop { d x } = } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { p } \dot { a } _ { j k } \int _ { I _ { j } } P _ { k } ( x ) \mathop { d x } } \\ { = } & { { } \sum _ { j } \dot { a } _ { j 0 } \Delta x _ { j } = - \sum _ { j } ( f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { j - \frac { 1 } { 2 } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { n , \nu } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { \hbar ^ { 3 } c ^ { 3 } \mathcal { N } ^ { 2 } } { 8 \lambda ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { \nu } } W _ { \nu } \bigg ( \frac { \hbar c \rho } { 2 \lambda } \bigg ) \Big \{ m _ { e } c ^ { 2 } \, \big [ Q _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho ) + Q _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { e ^ { - \frac { ( D / a ) ^ { 2 } } { 4 } \left( 2 p ^ { 2 } + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right) } } { \sum _ { j } e ^ { - 2 \left( \frac { j } { ( D / a ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \sum _ { m } e ^ { - \frac { 1 } { ( D / a ) ^ { 2 } } \left( m + \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } p } { 2 } + \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } u } { 4 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \mathcal L } _ { \mathrm b } = f _ { \mathrm r } \, n _ { 1 } n _ { 2 } \, \Omega _ { x } ( \rho _ { x 1 } , \rho _ { x 2 } ) \, \Omega _ { y } ( \rho _ { y 1 } , \rho _ { y 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { l e t ~ } a = \frac { y } { x } , b = \frac { x } { z } , c = \frac { z } { y } . } \\ & { \mathrm { S u b s t i t u t i n g ~ f o r ~ t h e ~ o r i g i n a l ~ F . E . : ~ } \displaystyle \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { ( \frac { y } { x } ) ^ { 3 } } { 1 + \frac { x } { y } } } \geq 2 \mathrm { ~ f o r ~ } x , y , z \in \mathbb { R } ^ { + } . } \\ & { \therefore \mathrm { E T S ) ~ } \displaystyle \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } y + x ^ { 4 } } } \geq 2 . } \\ { \ } \\ & { \mathrm { T w o ~ w a y s ~ t o ~ t h i n k : ~ } } \\ { \ } \\ & { ( 1 ) } \\ & { \therefore \mathrm { U s i n g ~ C a u c h y - S c h w a r z ~ i n e q u a l i t y , ~ } \displaystyle \Bigg ( \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } y + x ^ { 4 } } } \Bigg ) \Bigg ( \sum _ { c y c } \frac { x } { y } \Bigg ) \geq \sum _ { c y c } \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x y } } \\ & { \mathrm { E T S ) ~ } \displaystyle \sum _ { c y c } \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x y } \geq 2 \Bigg ( \sum _ { c y c } \frac { x } { y } \Bigg ) . \ } \\ & { ( 2 ) } \\ & { \therefore \mathrm { U s i n g ~ C a u c h y - S c h w a r z ~ i n e q u a l i t y , ~ } \displaystyle \Bigg ( \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } y + x ^ { 4 } } } \Bigg ) \Bigg ( \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { x + y } { y } } \Bigg ) \geq \sum _ { c y c } \frac { y ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } } \\ & { \mathrm { E T S ) ~ } \displaystyle \sum _ { c y c } \frac { y ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } \geq 2 \Bigg ( \sum _ { c y c } \sqrt { \frac { x + y } { y } } \Bigg ) . } \end{array}
H _ { n } = { } - \frac 1 2 \left( { \cal D } _ { r } ^ { 2 } + r ^ { - 2 } { \cal D } _ { \varphi } ^ { 2 } + r ^ { - 1 } { \cal D } _ { r } \right) + \frac n 2 B ( r ) \sigma _ { 3 } .
\begin{array} { r l } & { d _ { X } ( \gamma ( 0 ) , \gamma ( t ) ) - d _ { X } ( \eta ( 0 ) , \eta ( s ) ) } \\ & { \leq d _ { X } ( \gamma ( 0 ) , \eta ( 0 ) ) + d _ { X } ( \eta ( 0 ) , \eta ( s ) ) + d _ { X } ( \eta ( s ) , \gamma ( t ) ) - d _ { X } ( \eta ( 0 ) , \eta ( s ) ) } \\ & { = d _ { X } ( \gamma ( 0 ) , \eta ( 0 ) ) + d _ { X } ( \gamma ( t ) , \eta ( s ) ) . } \end{array}
\delta P _ { q q , \pm } ^ { ( U ) } ( \xi , \alpha _ { s } ) \; = \; \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) \delta P _ { q q , \pm } ^ { ( U ) , ( 0 ) } ( \xi ) \; + \; \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \delta P _ { q q , \pm } ^ { ( U ) , ( 1 ) } ( \xi ) \; + \ldots \; .
V ( t ) = i \frac { \sqrt { \left( \frac { t _ { i n } ^ { 1 s } - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } + \left( \frac { t - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } } - \sqrt { \left( \frac { t _ { i n } ^ { 1 s } - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } - \left( \frac { t - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } } } { \sqrt { \left( \frac { t _ { i n } ^ { 1 s } - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } + \left( \frac { t - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } } + \sqrt { \left( \frac { t _ { i n } ^ { 1 s } - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } - \left( \frac { t - t _ { 0 } ^ { s } } { t _ { 0 } ^ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } } }
[ { \boldsymbol { \nabla } } f ( \mathbf { x } ) ] \cdot \mathbf { c } = { \cfrac { \partial f } { \partial q ^ { i } } } ~ c ^ { i } = \left( { \cfrac { \partial f } { \partial q ^ { i } } } ~ \mathbf { b } ^ { i } \right) \left( c ^ { i } ~ \mathbf { b } _ { i } \right) \quad \Rightarrow \quad { \boldsymbol { \nabla } } f ( \mathbf { x } ) = { \cfrac { \partial f } { \partial q ^ { i } } } ~ \mathbf { b } ^ { i }
Q _ { 0 } ^ { \alpha \beta \mu \nu } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } { \bar { \cal S } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d { \bar { r } } ( \log { \bar { r } } ) \frac { \partial } { \partial { \bar { r } } } \left[ { \bar { r } } \frac { \partial } { \partial { \bar { r } } } \Bigl ( { \bar { r } } ^ { 2 } { \bar { \nabla } } _ { \bar { \mu } } { \bar { r } } \; { \bar { Z } } ^ { \bar { \mu } } \biggl | _ { i ^ { - } } \Bigr ) \right] + O [ R _ { . . } ^ { 2 } ] \; .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s _ { E } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { H ^ { 2 } \left[ d t ^ { 2 } - d \vec { y } _ { d - 2 } ^ { \ 2 } \right] + d x ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { \phi } } } & { { = } } & { { H ^ { - \frac { ( d - 2 ) } { 2 } } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } ( I - X _ { 0 } T ^ { 0 } ( \omega _ { 1 } ) ) = 0 , ~ \ldots , ~ \operatorname* { d e t } ( I - X _ { 0 } T ^ { 0 } ( \omega _ { n } ) ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial g } { \partial \phi } } ^ { H } = \sum _ { n } \mathrm { r e a l } ( - 4 \mathrm { d i a g } ( - j e ^ { - j \phi } ) { { \bf A } _ { n } } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ( { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ } } } & { { } \approx \frac { 2 \pi ^ { 2 } n I _ { 0 } } { l \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 4 } } \Big [ 1 + \frac { 1 } { \mu _ { 2 , r } } \Big ( 1 - \frac { 3 } { 8 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { x ^ { n + 1 } - 2 x ^ { n } + x ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } = E ( x ^ { n } ) + \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } \times B ( x ^ { n } ) } \\ & { \qquad \qquad + A ^ { \prime } ( x ^ { n } ) \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } - \frac { A ( x ^ { n + 1 } ) - A ( x ^ { n - 1 } ) } { 2 h } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathsf { c } } ( V ) } & { = } & { \mathsf { c } ( V ) \cup \big ( \mathsf { m s } ( z _ { i } \in V : \ell ( \mathcal { A } ( V ) , z _ { i } ) = 1 ) \; \setminus \; \mathsf { c } ( V ) \big ) } \\ & { = } & { \mathsf { c } ( U ) \cup \big ( \mathsf { m s } ( z _ { i } \in V : \ell ( \mathcal { A } ( U ) , z _ { i } ) = 1 ) \; \setminus \; \mathsf { c } ( U ) \big ) } \\ & { = } & { \mathsf { c } ( U ) \cup \big ( \mathsf { m s } ( z _ { i } \in U : \ell ( \mathcal { A } ( U ) , z _ { i } ) = 1 ) \; \setminus \; \mathsf { c } ( U ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ { \cal F } , { \cal G } \} _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \frac { { \bf B } ^ { * } } { B _ { \| } ^ { * } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \nabla ^ { * } { \cal F } \, \frac { \partial \cal G } { \partial P _ { \| } } - \frac { \partial \cal F } { \partial P _ { \| } } \, \nabla ^ { * } { \cal G } \right) } \end{array}
{ \beta _ { h } } ( g ) \equiv \mu { \frac { d } { d \mu } } \, g = - { \frac { g ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( 3 N _ { c } - \sum _ { i } T _ { F i } ( 1 - \gamma _ { i } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { S N R } } } & { = \frac { \widehat { P } _ { \mathrm { s i g n a l } } } { \widehat { P } _ { \mathrm { n o i s e } } } } \\ & { = \frac { \widehat { V } _ { \mathrm { R M S , ~ s i g n a l } } ^ { 2 } } { \widehat { V } _ { \mathrm { R M S , ~ n o i s e } } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \overline { { \left( \widehat { V } _ { \mathrm { s i g n a l } } ^ { 2 } \right) } } } { \overline { { \left( \widehat { V } _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } \right) } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { n } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } } & { = \partial _ { n } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } } \\ & { \quad - \sum _ { s = 1 } ^ { l } \Gamma _ { n j _ { s } } ^ { k } p _ { j _ { 1 } \cdots k \cdots j _ { l } n \cdots n } } \\ & { \quad - \sum _ { s = l + 1 } ^ { m - 1 } \Gamma _ { n n } ^ { k } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots k \cdots n } . } \end{array}
\Pi _ { m \ell } ( \tau , r ) : = { \mathfrak { h } } _ { m \ell } w _ { \infty , m \ell } ( r ) \left[ f _ { + } ^ { m \ell } ( \tau , r ) + f _ { - } ^ { m \ell } ( \tau , r ) \right] + { \mathfrak { h } } _ { m \ell } \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) \left[ E _ { + } f _ { + , \mathrm { e x p } } ^ { m \ell } ( \tau , r ) + E _ { - } f _ { - , \mathrm { e x p } } ^ { m \ell } ( \tau , r ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X _ { S } } ^ { \varepsilon } X _ { S } } & { = \nabla _ { ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } - ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } } ^ { \varepsilon } ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } - ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } } \\ & { = \left( ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } X _ { 2 } \delta - ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } X _ { 2 } \delta \right) X _ { 1 } } \\ & { \quad + \left( - ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } X _ { 1 } \delta + ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } X _ { 1 } \delta \right) X _ { 2 } } \\ & { \quad + ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { \varepsilon } X _ { 1 } + ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { \varepsilon } X _ { 2 } } \\ & { \quad - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) ( \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { \varepsilon } X _ { 2 } + \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { \varepsilon } X _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { 2 1 } H ^ { 2 } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \gamma _ { 2 2 } H ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } \frac { d \mathbf { u } } { d t } + \gamma _ { 2 3 } H ^ { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \frac { d \mathbf { u } } { d t } } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { D } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { D } + \frac { 1 } { 4 } \left( \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \right) ^ { 2 } \right) \frac { d \mathbf { u } } { d t } } \\ & { = \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } \frac { d \mathbf { u } } { d t } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \mathbf { D } ^ { 2 } \frac { d \mathbf { u } } { d t } , } \end{array}
\mathbf { B } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { B } _ { 1 1 } } & { \mathbf { B } _ { 1 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { B } _ { 1 r } } \\ { \mathbf { B } _ { 2 1 } } & { \mathbf { B } _ { 2 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { B } _ { 2 r } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { B } _ { s 1 } } & { \mathbf { B } _ { s 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { B } _ { s r } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ( \lambda l , \mu \to j ) = } & { { } \sum _ { q } | C ( l q , \mu \to j ) | ^ { 2 } , } \\ { C ( k q , \mu \to j ) = } & { { } \sqrt { 2 I _ { e } + 1 } \sum _ { m _ { e } , m _ { g } } \bigg [ ( - 1 ) ^ { I _ { e } - m _ { e } } } \end{array}
S ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \gets S ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \theta _ { \pm } ( X _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon )
0 < i \left[ e _ { \alpha } ^ { A } \bar { h } _ { A \bar { \beta } } - h _ { A \alpha } \bar { e } _ { \bar { \beta } } ^ { A } \right] = e _ { \alpha } ^ { A } \left[ i \bar { h } _ { A \bar { \gamma } } ( \bar { e } ^ { - 1 } ) _ { B } ^ { \bar { \gamma } } - i ( e ^ { - 1 } ) _ { A } ^ { \gamma } h _ { B \gamma } \right] \bar { e } _ { \bar { \beta } } ^ { B } = e _ { \alpha } ^ { A } \left[ i \bar { \Pi } _ { A B } - i \Pi _ { B A } \right] \bar { e } _ { \bar { \beta } } ^ { B } \ ,
\left\{ \begin{array} { l } { { F _ { + - } ^ { a } = \frac { \partial A _ { - } ^ { a } } { \partial x ^ { + } } + \epsilon ^ { a b c } \, A _ { + } ^ { b } \, A _ { - } ^ { c } \, , } } \\ { { F _ { + k } ^ { a } = \frac { \partial A _ { k } ^ { a } } { \partial x ^ { + } } + \epsilon ^ { a b c } \, A _ { + } ^ { b } \, A _ { k } ^ { c } \, , } } \\ { { F _ { - k } ^ { a } = \epsilon ^ { a b c } \, A _ { - } ^ { b } \, A _ { k } ^ { c } \, , } } \\ { { F _ { i j } ^ { a } = \epsilon ^ { a b c } \, A _ { i } ^ { b } \, A _ { j } ^ { c } \, . } } \end{array} \right.
\delta T _ { \mathrm { t r e e } } ( f _ { \mathrm { o u t } } , f _ { \mathrm { i n } } ) = \int \mathrm { d } k \, \left\{ \delta f _ { \mathrm { o u t } } ^ { * } ( { \bf k } ) h _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf k } ) + \delta f _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } ) h _ { \mathrm { i n } } ^ { * } ( { \bf k } ) \right\} \ .
J ^ { ( c o l l ) } = ( N - 1 ) R \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \, v _ { r e l } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \; \mathrm { c o s } \phi \, \big [ P _ { 2 } | _ { r e c } - P _ { 1 } ( \vec { r } , \theta , t ) \, P _ { 1 } ( \vec { r } _ { 2 } , \theta _ { 2 } , t ) \big ] \bigg | _ { \Delta r = R }
\begin{array} { r l } { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { 2 \mu ^ { ( l ) } } { r ^ { 2 } } \left[ ( n ^ { 2 } + n - \frac { 1 } { 2 } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } r ^ { 2 } ) J _ { n } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) - k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r J _ { n - 1 } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) \right] , } \\ { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { 2 \mu ^ { ( l ) } } { r ^ { 2 } } \left[ - \mathrm { i } n \left( ( n + 1 ) J _ { n } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) - k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r J _ { n - 1 } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) \right) \right] , } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { 2 \mu ^ { ( l ) } } { r ^ { 2 } } \left[ - \mathrm { i } n \left( ( n + 1 ) J _ { n } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) - k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r J _ { n - 1 } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) \right) \right] , } \\ { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { 2 \mu ^ { ( l ) } } { r ^ { 2 } } \left[ - ( n ^ { 2 } + n - \frac { 1 } { 2 } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } r ^ { 2 } ) J _ { n } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) + k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r J _ { n - 1 } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) \right] , } \\ { U _ { 1 } ^ { ( l ) } } & { = k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } J _ { n } ^ { \prime } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) , } \\ { U _ { 2 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { \mathrm { i } n } { r } J _ { n } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) , } \\ { V _ { 1 } ^ { ( l ) } } & { = \frac { \mathrm { i } n } { r } J _ { n } ( k _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } r ) , } \\ { V _ { 2 } ^ { ( l ) } } & { = - k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } J _ { n } ^ { \prime } ( k _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } r ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { m } ^ { \mathrm { S C } } ( r , \theta ) \propto \sin \left( \frac { 1 } { \hbar } \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r } q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r ^ { \prime } + \frac { \pi } { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } M [ f ] \, d v } & { = \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \pi ^ { \frac d 2 } \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) } \rho _ { f } \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } r ^ { d - 1 } \, d r } \\ & { = 2 \rho _ { f } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } r ^ { d - 1 } \, d r , } \end{array}
\frac { \partial A _ { 2 } } { \partial T _ { 1 } } = \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \mu _ { _ { D C } } } { 4 } F ^ { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } 2 \Lambda T _ { 1 } } , \ \ \ \ \ \frac { \partial B _ { 2 } } { \partial T _ { 1 } } = \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \mu _ { _ { D C } } } { 4 } F ^ { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } 2 \Lambda T _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \overline { { { \mathbf { F } } } } _ { m } } & { = [ { \mathbf { f } } _ { m 1 } , \ldots , { \mathbf { f } } _ { m S } ] \in \mathbb { C } ^ { N _ { t } \times S } , } \\ { \overline { { { \mathbf { X } } } } } & { = [ { \mathbf { x } } _ { 1 } , \ldots , { \mathbf { x } } _ { S } ] ^ { T } \in \mathbb { C } ^ { S \times L } . } \end{array}
\mathcal { M } _ { A B } ^ { ( \ell m ) } = { \sum _ { r s } } ^ { \prime } M _ { r s } ^ { ( \ell m ) } Q _ { s r } ^ { B A } + 2 \sum _ { x } ^ { \mathrm { c o r e } } M _ { x x } ^ { ( \ell m ) } - M _ { \mathrm { n u c } } ^ { ( \ell m ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } { \bf d } ^ { * } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } \frac { i \omega } { \pi \hbar } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } / 2 } d t \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } \end{array}
\nu _ { t } ^ { A } = C _ { A } \frac { \mathrm { m a x } \{ - \overbrace { ( \delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { i } ) ( \delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { j } ) S _ { i j } } ^ { \mathrm { ~ R ~ 4 ~ } } , 0 \} } { \underbrace { ( \partial _ { l } u _ { m } ) ( \partial _ { l } u _ { m } ) } _ { R 5 } } ,
= \left. \frac { d \sigma } { d T } \right\vert _ { s p i n - 0 } + \frac { G _ { F } ^ { 2 } ( 2 g _ { L } ^ { \nu } Q _ { W } ) ^ { 2 } M } { 4 \pi } \left( \frac { T ^ { 2 } } { 2 E _ { \nu } ^ { 2 } } \right) F ^ { 2 } ( q ^ { 2 } )
{ \frac { \delta \sigma } { \sigma _ { 0 } } } \Bigg \vert _ { ( ( \alpha ^ { 2 } ) ) } = - \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 2 } \left[ 4 \ln ^ { 2 } \varepsilon + 8 \ln \varepsilon \right] ,
J \nabla _ { \vec { X } } \cdot \vec { Z } = \nabla _ { \vec { \xi } } \cdot ( J A \vec { Z } ) , \quad \vec { U } \cdot \nabla _ { \vec { X } } = \vec { V } \cdot \nabla _ { \vec { \xi } } , \quad \nabla _ { \vec { X } } = A ^ { t } \nabla _ { \vec { \xi } }