harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\{ z ^ { A } , z ^ { B } \} = \begin{array} { c c c c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { } } & { { \tilde { L } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \tilde { \theta } } } \\ { { } } & { { \vline } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { | } } & { { k _ { 1 } { \bf 1 } _ { 8 } } } & { { \vdots } } & { { 0 } } & { { \vline } } \\ { { \tilde { L } } } & { { \vline } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { | } } & { { \cdots \cdots } } & { { \vdots } } & { { \cdots \cdots } } & { { \vline } } \\ { { } } & { { \vline } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { | } } & { { 0 } } & { { \vdots } } & { { k _ { 2 } { \bf 1 } _ { 8 } } } & { { \vline } } \\ { { } } & { { \vline } } & { { - - - } } & { { - } } & { { - - - } } & { { | } } & { { - - - } } & { { - } } & { { - - - } } & { { \vline } } \\ { { } } & { { \vline } } & { { k _ { 1 } { \bf 1 } _ { 8 } } } & { { \vdots } } & { { 0 } } & { { | } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \vline } } \\ { { \tilde { \theta } } } & { { \vline } } & { { \cdots \cdots } } & { { \vdots } } & { { \cdots \cdots } } & { { | } } & { { } } & { { * } } & { { } } & { { \vline } } \\ { { } } & { { \vline } } & { { 0 } } & { { \vdots } } & { { k _ { 2 } { \bf 1 } _ { 8 } } } & { { | } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \vline } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 3 1 } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) \alpha _ { 1 j } ( t ) \rangle \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) } \end{array}
\sum _ { j = 0 } ^ { m } ( - 1 ) ^ { j } \dim \wedge ^ { 2 j } \mathbb { C } ^ { 2 m + 1 } = ( - 1 ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } m ( m + 1 ) } 2 ^ { m } = ( - 1 ) ^ { { \frac { 1 } { 2 } } m ( m + 1 ) } ( \dim \mathrm { S } ^ { 2 } S - \dim \wedge ^ { 2 } S )
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { _ { S } } ^ { i } } & { { } = \int _ { - T } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! { } t \ \Delta x ^ { j } } _ { { E } } ( y , t ) \cdot \partial _ { j } u ^ { i } ( y , t ) } \end{array}
f _ { S B } T _ { c } ^ { 4 } + { \frac { N _ { f } } { 6 } } \mu _ { c } ^ { 2 } T _ { c } ^ { 2 } + { \frac { N _ { f } } { 1 0 8 \pi ^ { 2 } } } \mu _ { c } ^ { 4 } = { \frac { 3 } { N _ { f } + 1 } } \tilde { B } ,
{ } ^ { ( i ) } \langle \zeta _ { 1 } , \ldots , \zeta _ { N } | = { } ^ { ( i ) } \langle W ^ { * } | \Phi ^ { * ( i , 1 - i ) } ( \zeta _ { N } ) \otimes \cdots \otimes \Phi ^ { * ( 1 - i , i ) } ( \zeta _ { 1 } ) | V ^ { * } \rangle ^ { ( i ) } ,
W = \sum _ { n \ne 0 } \frac { a _ { n } } { \sqrt { 4 \pi | n | } } \, \left[ \frac { ( 1 + k _ { + } ) } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { z - k _ { - } } { - z + k _ { + } } \right) \right] ^ { 2 \pi n i / \gamma } \ \ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| G ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { C } \| G ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C ( \langle \| ( F _ { + } ^ { \varepsilon } , F _ { + } ^ { 0 } ) \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } + \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } ) + \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } A } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - \left( \sigma + \mathrm { ~ i ~ } \lambda \right) A + \mathrm { ~ i ~ } \, \mu \alpha _ { _ A } f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi | B | ^ { 2 } A ,
\boldsymbol { E } = \frac { m _ { i } } { Z e } \mathrm { d } _ { t } u - \frac { \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { B } } { c } + \frac { T _ { i } } { Z e } \nabla \ln ( n _ { i } / n _ { 0 i } ) + \frac { \nu _ { i e } m _ { i } c } { 4 \pi Z e ^ { 2 } } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } .
\begin{array} { r l } { D _ { A } ^ { z } = } & { ~ \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } \sigma _ { A } ^ { \dagger } + | 4 \rangle \langle 4 | - | 3 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 2 | - | 1 \rangle \langle 1 | , } \\ { D _ { B } ^ { z } = } & { ~ \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } \sigma _ { B } ^ { \dagger } + | 4 \rangle \langle 4 | - | 2 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 3 | - | 1 \rangle \langle 1 | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 2 } A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| } \\ & { \prec \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } \cdot \left| \left\langle { ( \Im G _ { 2 } - \Im m _ { 2 } ) A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + \Im m _ { 2 } \left\langle { A N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| \prec \frac { \Lambda _ { k } \rho _ { 2 } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 d ! } e ^ { \beta \phi } ( G _ { M M _ { 1 } . . . M _ { d } } G _ { N } ^ { M _ { 1 } . . . M _ { d } } - \frac { 1 } { 2 ( d + 1 ) } g _ { M N } G ^ { 2 } )
T _ { 1 , \Delta = 0 } = T _ { 1 , \mathrm { m a x } } e ^ { - \left( ( B d \theta _ { \mathrm { i n } } - C d \theta _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } + ( B d \phi _ { \mathrm { i n } } - C d \phi _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } + ( D d \theta _ { \mathrm { t r } } - E d \theta _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } + ( D d \phi _ { \mathrm { t r } } - E d \phi _ { \mathrm { b m } } ) ^ { 2 } \right) / \theta _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\omega ^ { i } = \phi ^ { j } \, ( \mathrm { 1 } + \frac { 1 } { 2 ! } A ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } A ^ { 4 } + \cdots ) _ { j } ^ { \, \, \, i } - d \xi ^ { \beta } \, ( \frac { 1 } { 2 ! } A + \frac { 1 } { 4 ! } A ^ { 3 } + \cdots ) _ { \beta } ^ { \, \, \, \, i }
x = { \left( \begin{array} { l } { c t } \\ { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 0 } c t ^ { \prime } } \\ { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 1 } c t ^ { \prime } } \\ { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 2 } c t ^ { \prime } } \\ { { \Lambda _ { 0 } } ^ { 3 } c t ^ { \prime } } \end{array} \right) } . .
\begin{array} { r } { \mathbf { r } _ { \mathrm { ~ r ~ } } = \left( \begin{array} { l } { \delta _ { \mathrm { ~ r ~ } } \cos ( 2 \pi f _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { - \delta _ { \mathrm { ~ r ~ } } \sin ( 2 \pi f _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { d } \end{array} \right) \quad , \quad \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \varphi _ { 0 } - 2 \pi f _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { \sin ( \varphi _ { 0 } - 2 \pi f _ { \mathrm { ~ r ~ } } t ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
K ( \mathbb { \chi } _ { i } , \mathbb { \chi } _ { j } ) = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { \| \mathbb { \chi } _ { i } - \mathbb { \chi } _ { j } \| ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { ~ k ~ P ~ C ~ A ~ } } ^ { 2 } } \right) ,
\left\{ \begin{array} { c c } { S _ { t } = d _ { 0 } S _ { x x } - S _ { x } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( f _ { i } ( S ) u _ { i } + g _ { i } ( S ) v _ { i } \right) , } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { { u _ { i } } _ { t } = d _ { u , i } { u _ { i } } _ { x x } - { u _ { i } } _ { x } + f _ { i } ( S ) u _ { i } - \frac { 1 } { y _ { u , i } } \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } + \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { i = 1 , . . . , m , } & \\ { { v _ { i } } _ { t } = d _ { v , i } { v _ { i } } _ { x x } - { v _ { i } } _ { x } + g _ { i } ( S ) v _ { i } + \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } - \frac { 1 } { y _ { v , i } } \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } , } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { i = 1 , . . . , m , } & \end{array} \right.
~ ~ ~ = - \frac { 1 } { 2 4 \pi } g _ { \gamma \delta } R \sigma ^ { ; \gamma } \sigma ^ { ; \delta } + \frac { 1 } { 9 6 \pi } g _ { \gamma \delta } R _ { ; \beta } \sigma ^ { ; \gamma } \sigma ^ { ; \delta } \sigma ^ { ; \beta } + O ( \sigma ^ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } \frac { 2 ^ { \ell } \lambda ^ { k + \ell } } { k ! \ell ! } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { 2 k } \frac { 2 ^ { n - k } \lambda ^ { n } } { ( n - k ) ! k ! } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { 2 k } \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } \binom { n } { k } 2 ^ { n - k } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = \lceil n / 2 \rceil } ^ { n } \frac { \lambda ^ { n } } { n ! } \binom { n } { k } 2 ^ { n - k } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { n } \lambda ^ { n } } { n ! } \sum _ { k = \lceil n / 2 \rceil } ^ { n } \binom { n } { k } 2 ^ { - k } } \end{array}
c _ { - } = ( { \frac { \alpha _ { s } ( m _ { c } ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ^ { 2 } ) } } ) ^ { 1 2 / 2 5 } ( { \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( M _ { W } ^ { 2 } ) } } ) ^ { 1 2 / 2 3 } ; \; \; \; \; \; c _ { + } = { \frac { 1 } { \sqrt { c _ { - } } } } .
\rho _ { a , a ^ { \prime } } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \hat { \sigma } _ { + } \rho _ { m , a ^ { \prime } } ) + \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \hat { \sigma } _ { - } \rho _ { m , a } ) } { 2 \sin ( 2 g ) } .
{ \begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { n + 1 } \lambda _ { n } = \varphi ^ { - 2 n } + C \cdot { \frac { \varphi ^ { - 2 n } } { \sqrt { n } } } + d ( n ) \cdot { \frac { \varphi ^ { - 2 n } } { n } } , } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } C = { \frac { { \sqrt [ { 4 } ] { 5 } } \cdot \zeta ( 3 / 2 ) } { 2 { \sqrt { \pi } } } } = 1 . 1 0 1 9 7 8 5 6 2 5 8 8 0 9 9 9 _ { + } ; } \end{array} }
{ \boldsymbol { P } } = { \boldsymbol { F } } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { E } } } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad P _ { i K } = F _ { i L } ~ { \frac { \partial W } { \partial E _ { L K } } } ~ .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \frac 1 2 \int d \boldsymbol r \left[ \epsilon _ { 0 } \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } \right] } \\ & { + } & { \int d \boldsymbol r \left[ - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } a \hat { \boldsymbol E } _ { c } \cdot \hat { \boldsymbol B } + \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \left( g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \right) ^ { 2 } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r \left[ \frac { \hat { \pi } ^ { 2 } } { \hbar c ^ { 3 } } + \frac { 1 } { c \hbar } \boldsymbol \nabla \hat { a } \cdot \boldsymbol \nabla \hat { a } + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { c ^ { 3 } \hbar ^ { 3 } } \hat { a } ^ { 2 } \right] } \\ & { + } & { \sum _ { \eta } \left[ \frac { \hat { \boldsymbol p } _ { \eta } ^ { 2 } } { 2 m _ { \eta } } + \frac { q _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { \eta } c ^ { 2 } } \hat { \boldsymbol A } ^ { 2 } ( \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } ) \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r \left[ \hat { \rho } \hat { \phi } + \boldsymbol J \cdot \hat { \boldsymbol A } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { a b } } & { { } = \mathbb { E } \left[ r _ { a b } \left( t \right) \right] , } \\ { r _ { a b } \left( t \right) \exp \left[ \mathsf { i } \psi \left( t \right) \right] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \exp \left[ \mathsf { i } \theta _ { a } \left( t \right) \right] + \exp \left[ \mathsf { i } \theta _ { b } \left( t \right) \right] \right\} , } \end{array}
f ( \omega ) = \frac { A _ { \mathrm { a } } \mathrm { e } ^ { - b \omega } } { \gamma _ { \mathrm { a } } ( 1 + ( 4 ( \omega - \omega _ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } / { \gamma _ { \mathrm { a } } } ^ { 2 } ) } + \frac { A _ { \mathrm { x } } \mathrm { e } ^ { - b \omega } } { \gamma _ { \mathrm { x } } ( 1 + ( 4 ( \omega - \omega _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } / { \gamma _ { \mathrm { x } } } ^ { 2 } ) } + A \mathrm { e } ^ { - b \omega } + c
m ( f ) : = ( 2 \pi i ) ^ { - n } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } / \Gamma } \log | f ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) | { \frac { d z _ { 1 } } { z _ { 1 } } } \dots { \frac { d z _ { n } } { z _ { n } } } .
\begin{array} { r l } { | \mathcal { E } _ { 3 } ^ { Q } | \leq } & { \left| \int _ { \mathbb { Q } } \left( \eta - \int _ { \mathbb { Q } } \eta \right) \langle \Phi ^ { \infty } , \phi \star ( \nu ^ { \infty } d \lambda ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } C ^ { s } ) \rangle d x \right| } \\ & { \quad + \left| \int _ { \mathbb { Q } } \eta \left( \int _ { \mathbb { Q } } \langle \Phi ^ { \infty } , \phi \star ( \nu ^ { \infty } d \lambda ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } C ^ { s } ) \rangle d x - \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x _ { \mathbb { Q } } } ^ { \infty } \rangle r _ { \mathbb { Q } } \right) \right| } \\ { \leq } & { \| \eta \| _ { L i p } \ \mathcal { L } ^ { n } ( \mathbb { Q } ) ^ { \frac { 1 } { n } } \ \| \Phi ^ { \infty } \| \int _ { \mathbb { Q } } \phi \star \lambda ^ { s } d x } \\ & { \quad + \| \eta \| _ { L i p } \int _ { \mathbb { Q } } \int _ { C ^ { s } } \phi ( x - y ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { y } ^ { \infty } - \nu _ { x _ { \mathbb { Q } } } ^ { \infty } \rangle d \lambda ^ { s } ( y ) d x . } \end{array}
R _ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } ~ ^ { ( 4 ) } R = - \ell _ { P } ^ { 2 } \left( \frac { \delta \stackrel { \sim } { \cal L } _ { m } ^ { \prime } } { \delta g ^ { \mu \nu } } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } \stackrel { \sim } { \cal L } _ { m } ^ { \prime } \right) - \ell _ { P } ^ { 2 } e ^ { - 1 } \frac { \delta { \cal L } _ { g } } { \delta g ^ { \mu \nu } } .
\begin{array} { r l r } { U ( \sigma ) } & { = } & { \frac { 1 } { N \sigma } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { \sigma u } ( \frac { 1 + \frac { \sigma } { 2 u } } { 1 - \frac { \sigma } { 2 u } } ) ^ { N } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { N ^ { k - 1 } } { k ! } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { \sigma u } [ \mathrm { l o g } ( \frac { 1 + \frac { \sigma } { 2 u } } { 1 - \frac { \sigma } { 2 u } } ) ] ^ { k } } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { o r b } } } & { { } = n \, { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 1 } { 6 4 } \, k \, b ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 9 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\Lambda ^ { \mu } { } _ { \nu } f ^ { \nu } = q \mathcal { F } ^ { \mu } { } _ { \beta } \Lambda ^ { \beta } { } _ { \alpha } V ^ { \alpha } \Rightarrow f ^ { \nu } = q \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } { } _ { \mu } \mathcal { F } ^ { \mu } { } _ { \beta } \Lambda ^ { \beta } { } _ { \alpha } V ^ { \alpha } .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } | A _ { k } B _ { k } | } & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Big ( \frac { 1 } { p } | A _ { k } | ^ { p } + \frac { 1 } { q } | B _ { k } | ^ { q } \Big ) = \frac { 1 } { p } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | A _ { k } | ^ { p } + \frac { 1 } { q } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | B _ { k } | ^ { q } = \frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { q } = 1 . } \end{array}
\theta ( \sum z _ { a } - 3 \Delta ) \prod _ { a < b } E ( z _ { a } , z _ { b } ) \prod \sigma ^ { 3 } ( z _ { a } ) Z _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ~ = ~ \operatorname * { d e t } h _ { a } ( z _ { b } ) Z _ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } _ { \tilde { \omega } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { 1 , i } \tilde { \dot { \omega _ { i } ^ { \prime } } } { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { 1 , i } \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D \tau } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = 2 q ^ { 2 } \left( c _ { 1 } ^ { + } - c _ { 1 } ^ { - } + c _ { 2 } ^ { + } - c _ { 2 } ^ { - } \right) + \alpha ^ { 2 } \left( c _ { 2 } ^ { + } - c _ { 2 } ^ { - } \right) \, , } \\ { B } & { = 2 q Q \left( c _ { 2 } ^ { + } + c _ { 2 } ^ { - } \right) + \left( 2 q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 1 } ^ { - } \right) \, . } \end{array}
0 = \int \left( - 2 g _ { \mu \nu } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \nu } } { d \tau ^ { 2 } } } + { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \mu } g _ { \alpha \nu } - 2 { \frac { d x ^ { \alpha } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } \right) \delta x ^ { \mu } d \tau
\begin{array} { r } { P _ { \mu \mu } ( \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ u ~ u ~ m ~ } , \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ f ~ l ~ a ~ v ~ o ~ r ~ } ) = 1 - \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 2 3 } \sin ^ { 2 } \Delta . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { _ { K _ { 0 } } \mathbf r _ { P _ { 0 } Q } } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { _ { K _ { 0 } } \mathbf r _ { P _ { 0 } P _ { 1 } } + \mathbf A _ { K _ { 0 } K _ { 1 } } \, _ { K _ { 1 } } \mathbf r _ { P _ { 1 } Q } } \\ { 1 } \end{array} \right) = \mathbf H _ { \mathcal { K } _ { 0 } \mathcal { K } _ { 1 } } \left( \begin{array} { l } { _ { K _ { 1 } } \mathbf r _ { P _ { 1 } Q } } \\ { 1 } \end{array} \right) \, .
\iiint _ { V } \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right] \, d V = \iiint _ { V } \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right] \, d V = \iint _ { S } \left[ G u _ { n } - u G _ { n } \right] \, d S .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \operatorname* { m i n } _ { P _ { \hat { X } _ { 1 } | X Y } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | X Y \hat { X } _ { 1 } } } \Big ( I ( X Y ; \hat { X } _ { 1 } ) + I ( X ; \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } ) } \\ { * } & { \qquad + \lambda _ { 1 } ( \mathbb { E } [ d _ { 1 } ( X , \hat { X } _ { 1 } ) - D _ { 1 } ] ) + \lambda _ { 2 } ( \mathbb { E } [ d _ { 2 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 2 } ^ { n } ) - D _ { 2 } ] ) \Big ) . } \end{array}
v _ { \mu = 1 } = - \frac { v _ { x } + i v _ { y } } { \sqrt { 2 } } \; \; , \; \; v _ { \mu = 0 } = v _ { z } \; \; , \; \; v _ { \mu = - 1 } = \frac { v _ { x } - i v _ { y } } { \sqrt { 2 } } = - v _ { \mu = 1 } ^ { * }
\hat { H } = \sum _ { p q } h _ { p q } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } g _ { p q , r s } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { q }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } a _ { \mathrm { c h } } } { \mathrm { d } x } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \rho _ { \mathrm { c h } } a _ { \mathrm { c h } } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { c h } } } { \mathrm { d } x } , } \end{array}
\sum _ { j } \left( \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x _ { j } } + F _ { i j } \right) \hat { L } _ { j k } \, + \, \left( \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial X ^ { \mu } } { \partial x _ { j } } - F _ { i j } \right) \hat { L } _ { k j } \, = \, 2 L \delta _ { i k }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \infty } ( b ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { c } - \alpha \lVert c \rVert _ { 1 } + \langle c , b \rangle \qquad \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \qquad \sum _ { a \in \mathcal { A } } c _ { a } = 1 , \quad c \succeq 0 . } \\ { = } & { \operatorname* { m a x } _ { c } - \alpha + \langle c , b \rangle \qquad \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \qquad \sum _ { a \in \mathcal { A } } c _ { a } = 1 , \quad c \succeq 0 . } \\ { = } & { - \alpha + \operatorname* { m a x } _ { i } b _ { i } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \xi _ { \lambda } ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \xi _ { \lambda } \cap \Lambda _ { n } } f ( \tau _ { x } \xi _ { \lambda } ) = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \lambda } [ f ( \xi _ { \lambda } ) ] = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \lambda } [ \xi _ { \lambda } ( B _ { 1 } ( 0 ) \setminus \{ 0 \} ) ] = c \quad { \ensuremath { \mathbb P } } _ { 0 , \lambda } - \mathrm { a . s . } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 2 } { q } \sum _ { r = 1 } ^ { q - 1 } \left( 1 - \frac { r } { q } \right) \left| S _ { g _ { r } } ( a , b - r - a ) \right| } & { \le \frac { 1 8 0 0 } { 2 9 1 1 } c _ { 3 } a ^ { - 1 / 5 } ( q t ) ^ { 1 1 / 3 0 } + \frac { 2 8 8 0 0 } { 5 4 4 8 1 } c _ { 4 } a ^ { - 1 1 / 2 0 } ( q t ) ^ { 6 1 / 1 2 0 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 8 } { 3 } E _ { 4 } \frac { a ^ { 3 / 2 } } { ( t q ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { 9 } { 1 4 } E _ { 5 } \frac { ( t q ) ^ { 1 / 3 } } { a ^ { 1 / 3 } } + E _ { 6 } . } \end{array}
\left| \frac { V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } } { V _ { u b } V _ { u d } ^ { * } } \right| \sim 1 \; , \; \; \; \; \left| \frac { V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } } { V _ { u b } V _ { u s } ^ { * } } \right| \sim \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { b _ { \lambda } ^ { \lambda } \approx } & { [ z ^ { 0 } ] \prod _ { i = 1 } ^ { l } D _ { i } ^ { \lambda _ { i } } m _ { \lambda } ( \Vec { z } ) \approx [ z ^ { 0 } ] \prod _ { i = 1 } ^ { l } D _ { i } ^ { \lambda _ { i } } z _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } . . . . z _ { M } ^ { \lambda _ { M } } } \\ { \approx } & { [ z ^ { 0 } ] \Big [ \partial _ { l } + \Big ( 2 ( M - 1 ) \theta + 2 ( N - M + 1 ) \theta - 1 \Big ) d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } } \Big [ \partial _ { l } + 2 ( M - 1 ) \theta d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } - 1 } \partial _ { l } } \\ & { \cdots \Big [ \partial _ { 1 } + \Big ( 2 ( M - 1 ) \theta + 2 ( N - M + 1 ) \theta - 1 \Big ) d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } } \Big [ \partial _ { 1 } + 2 ( M - 1 ) \theta d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - 1 } \partial _ { 1 } \Big [ z _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \cdots z _ { l } ^ { \lambda _ { l } } \Big ] } \\ { = } & { \Big [ \partial _ { l } + ( 2 N \theta - 1 ) d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } } \Big [ \partial _ { l } + 2 ( M - 1 ) \theta d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } - 1 } \partial _ { l } } \\ & { \cdots \Big [ \partial _ { 1 } + ( 2 N \theta - 1 ) d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } } \Big [ \partial _ { 1 } + 2 ( M - 1 ) \theta d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - 1 } \partial _ { 1 } \Big [ z _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \cdots z _ { l } ^ { \lambda _ { l } } \Big ] } \\ { \xrightarrow [ M \theta \rightarrow \gamma ] { N \theta \rightarrow q \gamma } } & { \Big [ \partial _ { l } + ( 2 q \gamma - 1 ) d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } } \Big [ \partial _ { l } + 2 \gamma d _ { l } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { l } } { 2 } - 1 } \partial _ { l } } \\ & { \cdots \Big [ \partial _ { 1 } + ( 2 q \gamma - 1 ) d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } } ] \Big [ \partial _ { 1 } + 2 \gamma d _ { 1 } \Big ] ^ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - 1 } \partial _ { 1 } \Big [ z _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \cdots z _ { l } ^ { \lambda _ { l } } \Big ] } \\ { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { l } ( \lambda _ { i } - 1 + 2 q \gamma - 1 ) ( \lambda _ { i } - 2 + 2 \gamma ) ( \lambda _ { i } - 3 + 2 q \gamma - 1 ) \cdots ( 2 + 2 \gamma ) ( 1 + 2 q \gamma - 1 ) } \\ { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { l } \lambda _ { i } ( \lambda _ { i } - 2 + 2 q \gamma ) ( \lambda _ { i } - 2 + 2 \gamma ) ( \lambda _ { i } - 4 + 2 q \gamma ) ( \lambda _ { i } - 4 + 2 \gamma ) \cdots ( 2 + 2 q \gamma ) ( 2 + 2 \gamma ) 2 q \gamma . } \end{array}
P ( N ) = \frac { I } { N ! } \, \operatorname * { l i m } _ { w \rightarrow 0 } \, \, \frac { d ^ { N } } { d w ^ { N } } \exp \{ - ( 2 J + 1 ) \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } p \, \, \log \, ( 1 - e ^ { - \varepsilon / T } w ) \} \; .