\begin{array} { r l } { G _ { \Phi } ( x , t ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { j ! } \left[ \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right) ^ { j } } { \rho } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( \Phi ( z ) ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { 1 } { \rho } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { 1 } { z } d z } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { j ! } \left[ \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( \Phi \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right) ^ { j } } { \rho } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( \Phi ( z ) ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z \right] } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { j ! } \left[ \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( q + b \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) ^ { j } } { \rho } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( q + b z ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z \right] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = j - 1 } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! ( k _ { 3 } + 1 ) ! } q ^ { k _ { 1 } } \mathfrak { b } ^ { k _ { 2 } } } \\ & { \times \left[ \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( \Phi ^ { \dagger } \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) \right) ^ { k _ { 3 } + 1 } } { \rho ^ { k _ { 3 } + 1 - ( k _ { 2 } + k _ { 3 } ) } e ^ { i ( k _ { 3 } - ( k _ { 2 } + k _ { 3 } ) ) } } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( \Phi ^ { \dagger } ( z ) ) ^ { k _ { 3 } + 1 } } { z ^ { k _ { 3 } + 1 - ( k _ { 2 } + k _ { 3 } ) } } e ^ { t z } d z \right] } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { j ! } \left[ \frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( q + b \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) ^ { j } } { \rho } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( q + b z ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z \right] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = j - 1 } ( - 1 ) ^ { j } \frac { x ^ { j } } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! ( k _ { 3 } + 1 ) ! } q ^ { k _ { 1 } } \mathfrak { b } ^ { k _ { 2 } } \frac { d ^ { k _ { 2 } + k _ { 3 } } } { d t } \mu ^ { \ast ( k _ { 3 } + 1 ) } ( t ) . } \end{array}