harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \delta \Sigma ( k ) \simeq } & { \, \pm \left( \frac { 2 \pi a } { m _ { r } } \right) ^ { 2 } \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { f } _ { \downarrow } ( \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \mathrm { f } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { q } \uparrow } ) - \mathrm { f } _ { \uparrow } ( \xi _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } \uparrow } ) } { \omega + i 0 _ { + } - \xi _ { \downarrow \mathbf { p } } + \xi _ { \uparrow \mathbf { q } } - \xi _ { \uparrow \mathbf { k } + \mathbf { q } - \mathbf { p } } } } \\ { = } & { \, \pm \left( \frac { 2 \pi a } { m _ { r } } \right) ^ { 2 } \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mathrm { f } _ { \downarrow } ( \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) \, \chi ( \mathbf { k } - \mathbf { p } , \omega - \xi _ { \mathbf { p } \downarrow } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } q _ { \eta } \delta \left( { \boldsymbol r } - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol J } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } q _ { \eta } \dot { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { \eta } \delta \left( { \boldsymbol r } - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right) + \mathrm { h . c . } , } \\ { \hat { \boldsymbol A } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } V } } \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } + \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \boldsymbol k } } { 2 \epsilon _ { 0 } V } } \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \parallel } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { - \boldsymbol \nabla \hat { \phi } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \phi } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { q _ { \eta } } { \left| \boldsymbol r - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right| } , } \\ { \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } V } } \left( \boldsymbol k \times { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \right) } \\ & { } & { \times \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) . } \end{array}
S _ { I I } = k ^ { 2 } ~ \frac { \sigma _ { 0 } } { \pi } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau _ { f } } d \tau ~ \sum _ { n \neq 0 } ^ { } ~ | F _ { \nu } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau , \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau _ { 0 } \right) | ^ { 2 } ~ | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 }
\begin{array} { l l l l } { { \delta _ { s } ( \xi - \varphi ) = 2 \eta , } } & { { \delta _ { s } \eta = 0 , } } & { { \delta _ { s } \lambda _ { z } = \partial _ { z } ( \pi + \chi ) , } } & { { \delta _ { s } ( \pi + \chi ) = 0 , } } \\ { { \delta _ { s } ( \pi - \chi ) = 2 \lambda , } } & { { \delta _ { s } \lambda = 0 , } } & { { \delta _ { s } \eta _ { z } = \partial _ { z } ( \xi + \varphi ) , } } & { { \delta _ { s } ( \xi + \varphi ) = 0 , } } \\ { { \delta _ { s } b _ { z z } ^ { \prime } = 0 , } } & { { \delta _ { s } \beta _ { z z } = - b _ { z z } ^ { \prime } , } } & { { \delta _ { s } c ^ { z } = \gamma ^ { z } , } } & { { \delta _ { s } \gamma ^ { z } = 0 , } } \\ { { \delta _ { s } b _ { z } = \beta _ { z } , } } & { { \delta _ { s } \beta _ { z } = 0 , } } & { { \delta _ { s } c ^ { \prime } = 0 , } } & { { \delta _ { s } \gamma = c ^ { \prime } . } } \end{array}
J _ { 1 } ^ { i } = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] \varPsi ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta
\begin{array} { r } { W = \int _ { \mathcal S ^ { + } } w _ { n } d V = \frac { 1 } { 1 5 } \alpha ( 8 { c _ { 1 } } + { c _ { 2 } } ) ( 3 a ^ { 2 } + 2 a ( b + c ) + 3 } \\ { b ^ { 2 } + 2 b c + 3 c ^ { 2 } + 4 ( d ^ { 2 } + f ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) ) , } \end{array}
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( L ) = \mu + \sigma { \frac { \nu + ( \mathrm { T } ^ { - 1 } ( \alpha ) ) ^ { 2 } } { \nu - 1 } } { \frac { \tau ( \mathrm { T } ^ { - 1 } ( \alpha ) ) } { 1 - \alpha } }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \right) + \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( \frac { 1 } { 3 } \cdot 1 + \frac { 1 } { 3 } \cdot 0 + \frac { 1 } { 3 } \cdot 1 \right) + \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \right) + } \\ { + \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( \frac { 1 } { 3 } \cdot 1 + \frac { 1 } { 3 } \cdot 0 + \frac { 1 } { 3 } \cdot 1 \right) = \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 9 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 9 } = \frac { 2 3 } { 3 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { { \bf { G } } ^ { \mathrm { { L O S } } } = \sqrt { { N _ { \mathrm { I } } } { N _ { \mathrm { A } } } } { \boldsymbol { \alpha } _ { \mathrm { I } } } \left( { { \vartheta } , { \theta } } \right) \boldsymbol { \alpha } _ { \mathrm { { A } } } ^ { H } \left( { { \phi } } \right) , } \\ & { \boldsymbol { h } _ { { \mathrm { I } } , k } ^ { \mathrm { { L o S } } } = \sqrt { { N _ { \mathrm { I } } } } { \boldsymbol { \alpha } _ { \mathrm { { I } } } } \left( { { \vartheta _ { { \mathrm { I } } , k } } , { \theta _ { \mathrm { { I } } , k } } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { M T F _ { s y s } ( \xi , \eta ) } = } & { \mathbf { M T F _ { a t m o s p h e r e } ( \xi , \eta ) \cdot M T F _ { l e n s } ( \xi , \eta ) \cdot } } \\ & { \mathbf { M T F _ { s e n s o r } ( \xi , \eta ) \cdot M T F _ { t r a n s m i s s i o n } ( \xi , \eta ) \cdot } } \\ & { \mathbf { M T F _ { d i s p l a y } ( \xi , \eta ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { w } _ { N _ { s } } } & { { } = d \left[ \frac { N _ { s } } { 1 + a _ { \ell } ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { b _ { \varepsilon } } & { { } = \frac { b } { d L _ { 0 } ^ { \ast } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< L _ { z } \right> } & { { } = \left< r \times m v \right> = \alpha \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> = \frac { \left< y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right> } { \left< \frac { m } { m ^ { * } } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right> } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \left( 6 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } + \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \mp \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } + \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle c _ { j l \sigma } ^ { \dagger } c _ { j ^ { ' } l ^ { ' } \sigma ^ { ' } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } ( n _ { l } + \sigma m _ { l } e ^ { i \mathbf { q } _ { \alpha } \cdot \mathbf { r } _ { j } } ) \delta _ { j j ^ { ' } } \delta _ { l l ^ { ' } } \delta _ { \sigma \sigma ^ { ' } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = \left( \begin{array} { l } { \mathrm { d } \boldsymbol { q } } \\ { \mathrm { d } \boldsymbol { \phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } \\ { R } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { R } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathrm { d } Q } \\ { \mathrm { d } \Phi } \end{array} \right) \, . } \end{array}
{ \hat { s } } : = - { \frac { 1 } { 2 } } ( { \bar { \pi } } _ { A } { \frac { \partial } { \partial { \bar { \pi } } _ { A } } } - \pi _ { A ^ { \prime } } { \frac { \partial } { \partial \pi _ { A ^ { \prime } } } } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { k } } & { { } = } & { \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { 2 } , } \\ { \Omega } & { { } = } & { \frac { \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } ^ { \ast } } { 2 \Delta } , } \\ { \phi \left( t \right) } & { { } = } & { \phi _ { 1 } \left( t \right) - \phi _ { 2 } \left( t \right) } \end{array}
C O R _ { x y } = \frac { \sum _ { t = 1 } ^ { N } ( x ( t ) ) - \bar { x } ) ( y ( t ) - \bar { y } ) } { \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { N } ( x ( t ) - \bar { x } ) ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { N } ( y ( t ) - \bar { y } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } u + \partial _ { y } v = 0 , } \\ & { \partial _ { t } u + c ^ { 2 } \partial _ { x } \rho + \omega _ { B } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) v = 0 , } \\ & { \partial _ { t } v + c ^ { 2 } \partial _ { y } \rho - \omega _ { B } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) u = 0 , } \\ & { ( \partial _ { x } v - \partial _ { y } u ) + \omega _ { B } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) \right) \rho = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } g ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) \psi = - 2 \frac { g } { v _ { 0 } } ( l + m + 1 ) \omega _ { 0 } \psi . } \end{array}
R _ { I } \sim ( 1 - z ) ^ { \beta } { \frac { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) \; \Gamma ( 1 - 2 \beta ) } { \Gamma ( 1 + \alpha - i \sqrt { D } - \beta ) \; \Gamma ( 1 + \alpha + i \sqrt { D } - \beta ) } } .
{ \frac { i } { ( k ^ { \prime } - k ) ^ { 2 } } } \left\langle k ^ { \prime } s ^ { \prime } \left| J _ { e } ^ { \mu } ( 0 ) \right| k s \right\rangle \left\langle X \left| J _ { q } ^ { \nu } ( 0 ) \right| P S \right\rangle g _ { \mu \nu } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( p _ { X } + k ^ { \prime } - P - k ) \; \; ,
\mathbf { J } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) = \left[ \begin{array} { c c c } { \mathbf { J } _ { 1 1 } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { J } _ { 1 K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { J } _ { 1 K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) ^ { T } } & { \cdots } & { \mathbf { J } _ { K K } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) } \end{array} \right] ,
\frac { B r ( K ^ { + } \rightarrow \pi ^ { + } \ \nu \ \bar { \nu } ) } { B r ( K ^ { + } \rightarrow \pi ^ { 0 } \ e ^ { + } \ \nu ) } = 6 \left( \frac { m _ { W } ^ { 2 } } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { | V _ { L b d } ^ { * D } V _ { L b s } ^ { D } | ^ { 2 } } { | V _ { u s } ^ { * } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { c l } { O P D ( \rho , z , \textbf { p } ) = } & { ( z + t _ { i } ) \sqrt { ( n _ { i } ) ^ { 2 } - ( N A \rho ) ^ { 2 } } + } \\ & { z _ { p } \sqrt { n _ { s } ^ { 2 } - ( N A \rho ) ^ { 2 } } - t _ { i } ^ { * } \sqrt { n _ { i } ^ { * 2 } - ( N A \rho ) ^ { 2 } } + } \\ & { t _ { g } \sqrt { n _ { g } ^ { 2 } - ( N A \rho ) ^ { 2 } } - t _ { g } ^ { * } \sqrt { n _ { g } ^ { * 2 } - ( N A \rho ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } \partial _ { s } X _ { t } } & { = d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \partial _ { u } X _ { t } \right) } \\ & { = d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \right) \partial _ { u } X _ { t } + \frac { 1 } { v _ { t } } \partial _ { u } d _ { t } X _ { t } + d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \right) d _ { t } ( \partial _ { u } X _ { t } ) } \\ & { = \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { u } X _ { t } + \partial _ { s } d _ { t } X _ { t } - \sqrt { 2 } \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } d B _ { t } \partial _ { u } d _ { t } X _ { t } } \\ & { = \rho _ { t } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { s } X _ { t } + \partial _ { s } d _ { t } X _ { t } - \sqrt { 2 } \rho _ { t } d B _ { t } \partial _ { s } d _ { t } X _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 0 } = } & { ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 0 } , } \\ { \dot { y } _ { 0 } = } & { ~ \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 0 } - \mu y _ { 0 } , } \\ { \dot { z } _ { 0 } = } & { ~ r y _ { 0 } - \mu z _ { 0 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } = } & { ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } = } & { ~ \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 1 } - \mu y _ { 1 } , } \\ { \dot { z } _ { 1 } = } & { ~ r y _ { 1 } - \mu z _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = } & { ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n } \\ & { - \mu x _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } = } & { ~ \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 2 } } \\ & { - \mu y _ { 2 } , } \\ { \dot { z } _ { 2 } = } & { ~ r y _ { 2 } - \mu z _ { 2 } . } \end{array}
\zeta ( 3 ) = \frac { 3 7 \pi ^ { 3 } } { 9 0 0 } - \frac { 2 } { 5 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left[ \frac { 4 } { e ^ { \pi n } - 1 } + \frac { 1 } { e ^ { 4 \pi n } - 1 } \right] ,
g _ { 0 i } = - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( 4 \gamma + 3 + \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } + \zeta _ { 1 } - 2 \xi ) V _ { i } - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \alpha _ { 2 } - \zeta _ { 1 } + 2 \xi ) W _ { i } - \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } ) w ^ { i } U - \alpha _ { 2 } w ^ { j } U _ { i j } + O ( \epsilon ^ { \frac { 5 } { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ( \overline { E } ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { s u p } _ { 0 \not = F \subset E } \widehat \mu ( F , \xi _ { F } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } E \not = 0 } \\ { - \infty , } & { \mathrm { ~ i f ~ } E = 0 } \end{array} \right. } \\ { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { i n f } _ { E \twoheadrightarrow G \not = 0 } \widehat \mu ( G , \xi _ { E \twoheadrightarrow G } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } E \not = 0 } \\ { + \infty , } & { \mathrm { ~ i f ~ } E = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal { H } } _ { e f f } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \left[ \sum _ { q = u , c } v _ { q } \left( C _ { 1 } ( \mu ) Q _ { 1 } ^ { q } ( \mu ) + C _ { 2 } ( \mu ) Q _ { 2 } ^ { q } ( \mu ) + \sum _ { k = 3 } ^ { 1 0 } C _ { k } ( \mu ) Q _ { k } ( \mu ) \right) \right] + h . c . ,
\partial _ { t } \ensuremath { \boldsymbol { v } } + \ensuremath { \boldsymbol { v } } \cdot \nabla \ensuremath { \boldsymbol { v } } + f ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } \times \ensuremath { \boldsymbol { v } } ) = - \mu \ensuremath { \boldsymbol { v } } + \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \ensuremath { \boldsymbol { v } } + \mathcal { \boldsymbol { F } } _ { \ensuremath { \boldsymbol { v } } } ( x , y ) \, .
d _ { f } \mathscr { F } ( c , 0 ) [ h ] ( \varphi ) = c \, \partial _ { \varphi } h ( \varphi ) + \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 0 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { 0 } ) h ( \varphi ) + \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ 0 \} [ h ] \big ) ( \theta _ { 0 } , \varphi ) \Big ) .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla \boldsymbol { \eta } _ { m } \mathbf { F } _ { m } - \nabla \mathbf { u } \mathbf { F } | ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla \boldsymbol { \eta } _ { m } ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) + \nabla ( \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } ) \mathbf { F } | ^ { 2 } } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } | | _ { L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla \boldsymbol { \eta } _ { m } | ^ { 2 } + C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \mathbf { F } | | _ { L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbf { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla ( \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \nabla \boldsymbol { \eta } _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \mathbf { F } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } \to 0 , } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \substack { { x } _ { 1 } \in { \mathcal X } _ { 1 } , \left( A , { a } \right) \in { \mathcal A } _ { P } ^ { \mathrm { v } } \left( { x } _ { 1 } , { \Xi } _ { P } ^ { \mathrm { v } } \right) , \, { \mu } \in { \mathcal M } \left( A \right) } } { c } _ { 1 } ^ { \top } { x } _ { 1 } + { c } _ { 2 } ^ { \top } \left( A \tilde { \xi } + { a } \right) + { c } _ { 3 , \Xi } ^ { \top } { \mu }
\begin{array} { r l } { \psi _ { \boldsymbol \theta } ^ { S } ( \mathbf { s } ) = } & { { } \sqrt { \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { S } ( \mathbf { s } ) } \exp \Big ( 2 \mathrm { ~ R ~ e ~ } \Big [ \chi _ { \boldsymbol \theta } \big ( \mathbf { s ^ { \prime } } \big ) \Big ] \Big ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | c _ { 0 } | ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \left[ 1 - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 8 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 8 } \cos ( 4 \pi / \epsilon + \pi \epsilon / 2 ) \right] | c _ { 0 } | ^ { 2 } , } \\ { | c _ { 1 } | ^ { 2 } } & { \rightarrow } & { \left[ 1 - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \cos ( \pi / \epsilon - \pi \epsilon / 2 ) \right] | c _ { 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\bigl | K _ { \epsilon } ( R , R ^ { \prime } , Z , Z ^ { \prime } ) \bigr | \, \le \, C \bigl ( 1 { + } \epsilon | R | \bigr ) ^ { a } \bigl ( 1 { + } \epsilon | R ^ { \prime } | \bigr ) ^ { a } \bigl ( \beta _ { \epsilon } + \bigl | \log D \bigr | + 1 \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } { u ( \widehat { L } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( T | \widehat { L } ) \; d T \quad \mathrm { w i t h } \quad u ( \widehat { L } _ { a } ) = 1 \ , \ u ( \widehat { L } _ { b } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \xi } _ { x } \right) = \frac { ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } - ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } } { \Delta \xi } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \Delta \xi } \left[ ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { L } + ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { R } \right] - \frac { 1 } { 2 \Delta \xi } \left[ ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { L } + ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { R } \right] } \end{array}
\overline { { { \partial } } } \chi - \chi \overline { { { \partial } } } \varphi _ { 2 } + ( { 1 \o { 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } } - 1 ) { { \chi ^ { 2 } \overline { { { \partial } } } \psi } \o \Delta } e ^ { - \varphi _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathcal { A } ^ { ( l ) } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } \left\{ \| A \| ^ { 1 / t } : \, A \in \left( \mathcal { A } ^ { ( l ) } \right) ^ { t } \right\} } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } \left\{ \| A \| ^ { 1 / t } : \, A \in \mathcal { A } ^ { ( l t ) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( i d \times T . \sigma ) \circ ( \sigma \times c ) \circ ( i d \times T . \hat { \lambda } ) \circ ( u , v ) } \\ & { = ( i d \times T . \sigma ) \circ ( \sigma \times c ) \circ ( u , T . \xi \circ T . \pi \circ v , T . \lambda v ) } \\ & { = ( i d \times T . \sigma ) \circ ( \sigma \circ ( u , T . \xi \circ \varrho \circ u ) , T . \lambda v ) } \\ & { = ( i d \times T . \sigma ) \circ ( \xi \circ \pi \circ u , 0 \circ \varrho \circ u , T . \lambda v ) } \\ & { = ( i d \times T . \sigma ) \circ ( \xi \circ \pi \circ u , 0 \circ T . \pi \circ v , T . \lambda v ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi \circ u , T . \sigma \circ \hat { \lambda } \circ v ) . } \end{array}
0 \longrightarrow \widetilde { C } _ { \mathrm { f } } ^ { \bullet } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) \longrightarrow \widetilde { C } _ { \mathrm { f } } ^ { \bullet } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \longrightarrow C ^ { \bullet } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \longrightarrow 0
\begin{array} { r l } { A _ { m } ^ { ( n ) } } & { \approx \alpha ^ { ( n ) } \exp ( \mathrm { i } q ^ { ( n - 1 ) } n W ) \mathbf { A } ^ { ( n - 1 ) + } + \beta ^ { ( n ) } \exp ( - \mathrm { i } q ^ { ( n - 1 ) } n W ) \mathbf { A } ^ { ( n - 1 ) - } } \\ { B _ { m } ^ { ( n ) } } & { \approx \alpha ^ { ( n ) } \exp ( \mathrm { i } q ^ { ( n - 1 ) } n W ) \mathbf { B } ^ { ( n - 1 ) + } + \beta ^ { ( n ) } \exp ( - \mathrm { i } q ^ { ( n - 1 ) } n W ) \mathbf { B } ^ { ( n - 1 ) - } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { P T } ^ { \prime } = k _ { x } \Gamma _ { 1 } + i \epsilon ( \Gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 4 } + \Gamma _ { 5 } ) + ( k _ { y } - i \epsilon ) \Gamma _ { 6 } - ( k _ { y } + i \epsilon ) \Gamma _ { 7 } - \frac { \epsilon } { 2 } ( \Gamma _ { 3 } + \sqrt { 3 } \Gamma _ { 8 } ) + \frac { \Gamma _ { 0 } - \sqrt { 6 } \Gamma _ { 1 5 } } { 4 } } \end{array}
\phi _ { n , n + k - 1 } ( x x ^ { * } ) = \phi _ { n , n + k - 1 } ( f _ { 1 } ) \Big ( \sum _ { g \in N } g ^ { * } \Big ) \Big ( \sum _ { v } v \Big ) \Big ( \sum _ { g \in N } g \Big ) \phi _ { n , n + k - 1 } ( f _ { 1 } ^ { * } ) = \phi _ { n , n + k - 1 } ( f _ { 1 } ) \Big ( \sum _ { g \in N ^ { \prime } } s ( g ) \Big ) \phi _ { n , n + k - 1 } ( f _ { 1 } ^ { * } ) ,
\begin{array} { r c l c l } { \overline { { s } } - \underline { { s } } } & { \leq } & { K _ { M } \log \left( 1 + W ( A e ^ { - T } ) ( e ^ { \delta T } - 1 ) \right) } & { \leq } & { K _ { M } W ( A e ^ { - T } ) ( e ^ { \delta T } - 1 ) } \\ { \overline { { s } } - \underline { { s } } } & { \leq } & { K _ { M } \log \left( 1 + A e ^ { - T } ( e ^ { \delta T } - 1 ) \right) } & { \leq } & { K _ { M } A e ^ { - T } ( e ^ { \delta T } - 1 ) } \end{array}