harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { s } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \mathcal { R } ^ { l } = k _ { f , 0 } ^ { l } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ^ { l } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { l } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { l } e ^ { \frac { \Delta z ^ { l } F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ^ { l } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { e } ^ { l } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { - \Delta z ^ { l } } \left( \frac { C _ { i } ^ { l } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { l } } \\ { \mathcal { R } ^ { r } = k _ { f , 0 } ^ { r } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ^ { r } ) } \left( \frac { C _ { e } ^ { r } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z ^ { r } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { r } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { r } e ^ { \frac { \Delta z ^ { r } F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ^ { r } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { r } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { r } } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi ^ { l } - \phi _ { p } ^ { l } ) } { d t } = - \Delta z ^ { l } F \mathcal { R } ^ { l } + \frac { g } F ( \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } - \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ) , \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi ^ { r } - \phi _ { p } ^ { r } ) } { d t } = - \Delta z ^ { r } F \mathcal { R } ^ { r } - \frac { g } F ( \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } - \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { D } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } ^ { s } = \mathbb { C } _ { p } ( \phi ^ { s } - \phi _ { p } ^ { s } ) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi = \phi _ { r e f } ~ } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega \setminus \Gamma . } \end{array} \right.
\chi _ { \alpha } ( \boldsymbol { r } ) = R _ { n _ { \alpha } l _ { \alpha } } ( | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \alpha } | ) Y _ { l _ { \alpha } m _ { \alpha } } ( \widehat { \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } _ { \alpha } } ) ,
R _ { i j } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \tilde { \phi } _ { j } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { W } ( \tilde { \theta } , \theta ) } { \delta \theta _ { i } ( \tau ) \delta \tilde { \theta } _ { j } ( \tau ^ { \prime } ) } , \quad C _ { i j } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \phi _ { j } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { W } ( \tilde { \theta } , \theta ) } { \delta \theta _ { i } ( \tau ) \delta \theta _ { j } ( \tau ^ { \prime } ) }
\begin{array} { c l } { \displaystyle b _ { 0 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \sum _ { i , j = 1 , i , j \neq k } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \left( 2 \cot { 3 \pi \nu _ { x } } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \right. } } } \\ & { \displaystyle - \frac { 2 } { 3 \delta \pi } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - 3 \delta \frac { s ^ { \prime } } { R } \right) } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - 3 \delta \frac { s } { R } \right) } + \sin { 3 \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| } } \\ & { \left. + \sin { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ) } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| } \right. \right. } \\ & { \left. \left. + \sin { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right) \right) d s ^ { \prime } d s , } \end{array}
\left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } G ( x , t _ { i } ) \right) = \sum _ { m _ { 1 } = 0 } \sum _ { m _ { 2 } = 0 } \cdots \sum _ { m _ { N - 1 } = 0 } \sum _ { n _ { N } } \operatorname * { d e t } ( A _ { n _ { j } + i - j } ) \left( \operatorname * { d e t } U \right) ^ { n _ { N } } \chi _ { ( \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } , \cdots , \ell _ { N } ) } ( U ) .
\| x \| _ { \infty } \equiv \operatorname* { i n f } \{ C \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } : | x _ { i } | \leq C { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } i \in I \} = { \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { s u p } \operatorname { r a n g e } | x | } & { { \mathrm { i f ~ } } X \neq \varnothing , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } X = \varnothing . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { k e } ( \psi ) } & { { } \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \, v _ { e } ^ { 4 } \, \sin ^ { 4 } \frac { \psi } { 2 } } \, . } \end{array}
{ S _ { f } } = - \frac { N _ { 1 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \right) + \Delta N _ { 1 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \right) + \sqrt { 2 \epsilon } P _ { 2 } } { 1 + \frac { 1 } { \tau } + D _ { 1 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \right) + \Delta D _ { 1 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { t i } } \right) + \sqrt { 2 \epsilon } \left( P _ { 1 } - P _ { 2 } \right) }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) = } & { \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } ) \left( \vec { \psi } _ { i } { ^ { \vec { k } } } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right) ^ { \dagger } \textrm { d } ^ { 3 } k } \\ { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \rho ^ { \alpha \alpha } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } \\ { \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { \rho ^ { \beta \beta } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| e _ { 3 } ^ { 3 } \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \tau \| P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq \tau \| B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \tau , } \\ & { \| e _ { 3 } ^ { 4 } \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim h ^ { 2 } \| B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| E ( u + v ) - E ( u ) - \left( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u ) , v \right) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right| } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla v | ^ { 2 } + V | v | ^ { 2 } \right) + \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u | ^ { 2 } | v | ^ { 2 } + \beta | u | | v | ^ { 3 } + \frac { \beta } { 4 } | v | ^ { 4 } \right) } \\ { \leq } & { \frac { 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \left\Vert v \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { 3 \beta } { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert v \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \beta \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert v \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 3 } + \frac { \beta } { 4 } \left\Vert v \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 4 } } \\ { \leq } & { \frac { 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \left\Vert v \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { 3 \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert v \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert v \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } + \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } \left\Vert v \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \frac { d c _ { 0 } } { d t } } & { { } = } & { \int V _ { 0 \mu } c _ { \mu } e ^ { - i \omega _ { \mu 0 } t } \, d \mu } \\ { i \hbar \frac { d c _ { \mu } } { d t } } & { { } = } & { V _ { \mu 0 } c _ { 0 } e ^ { - i \omega _ { 0 \mu } t } + \int V _ { \mu \nu } c _ { \mu } e ^ { - i \omega _ { \nu \mu } t } \, d \nu } \end{array}
F _ { i \gamma } ^ { L C } ( Q ^ { 2 } ) = 2 \sqrt { 2 n _ { c } } \sum _ { q = u , d , s } C _ { i } ^ { q } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \sqrt { \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } } } \psi _ { i } ^ { q } ( x , k _ { \perp } ) T _ { H } ^ { q } ( x , k _ { \perp } , Q ) \ ,
\begin{array} { r l } { Z _ { q } = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \exp \left\{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ \mathbb { E } _ { q ( y ) } [ f ( x , y ) ] + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 } \right] \right\} \mathrm { d } x , } \\ { Z _ { p } = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } \exp \left\{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ - \mathbb { E } _ { p ( x ) } [ f ( x , y ) ] + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \right] \right\} \mathrm { d } y . } \end{array}
{ \cal R } \equiv C + \frac { H } { \rho + P } ( \dot { \varphi } _ { 1 } \delta \varphi _ { 1 } + \dot { \varphi } _ { 2 } \delta \varphi _ { 2 } ) = C + \frac { H } { \dot { \sigma } } \delta \sigma = \frac { H } { \dot { \sigma } } Q _ { \sigma }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } ( \mu \cdot \nu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { r - q } } } & { { } = \frac { 1 } { q ! } \mu ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } } \nu _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { r - q } } , } & { } & { { } \quad q \leq r , } \\ { ( \mu \cdot \nu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - r } } } & { { } = \frac { 1 } { r ! } \mu _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - r } \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { r } } \nu ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { r } } , } & { } & { { } \quad q \geq r . } \end{array}
{ \left| n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , n _ { 4 } \right\rangle } _ { V } = ( L ^ { 1 1 + } ) ^ { n _ { 1 } } ( L ^ { 1 2 + } ) ^ { n _ { 2 } } ( L ^ { 2 2 + } ) ^ { n _ { 3 } } ( T ^ { + } ) ^ { n _ { 4 } } { | 0 \rangle } _ { V }
\begin{array} { r c l } { K _ { M } ^ { - 1 } \left( \overline { { s } } - \underline { { s } } \right) } & { = } & { \displaystyle \int _ { \alpha } ^ { \beta } W ^ { \prime } ( x ) \, \mathrm { d } x = \int _ { \alpha } ^ { \beta } \frac { \mathrm { d } x } { x + \exp ( W ( x ) ) } } \\ & { \leq } & { \displaystyle \int _ { \alpha } ^ { \beta } \frac { \mathrm { d } x } { x + \exp ( W ( \alpha ) ) } = \log ( x + \exp ( W ( \alpha ) ) | _ { \alpha } ^ { \beta } } \\ & { = } & { \log \left( \frac { 1 + \beta e ^ { - W ( \alpha ) } } { 1 + \alpha e ^ { - W ( \alpha ) } } \right) = \log \left( 1 + \frac { \alpha e ^ { - W ( \alpha ) } ( e ^ { \delta T } - 1 ) } { 1 + \alpha e ^ { - W ( \alpha ) } } \right) } \\ & { \leq } & { \log \left( 1 + \alpha e ^ { - W ( \alpha ) } ( e ^ { \delta T } - 1 ) \right) } \\ & { = } & { \log \left( 1 + W ( \alpha ) ( e ^ { \delta T } - 1 ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { t a m , \gamma } ( x ) , x \rangle } & { \geq \langle f ( x ) , x \rangle + \frac { m } { 2 } | x | ^ { 2 } } \\ & { = \langle h ( x ) , x \rangle - \frac { m } { 2 } | x | ^ { 2 } + \frac { m } { 2 } | x | ^ { 2 } } \\ & { = \langle h ( x ) , x \rangle } \\ & { \geq \frac { m } { 2 } | x | ^ { 2 } - u ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \frac { I _ { 1 3 } } { 2 } \sin \theta \cos \theta \, \frac { 1 - \cos 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M } = \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta } & { } & \\ { \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) + \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \Big ] \left( 2 X _ { - k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { y } ( \tau ) = h _ { - 1 } } & { { } \bigg [ \frac { \cos { ( \omega _ { \mathrm { l } } \tau ) } - \cos { ( s \omega _ { \mathrm { l } } \tau ) } + \omega _ { \mathrm { l } } \tau ( 1 - s ) \sin { ( \omega _ { \mathrm { l } } \tau } ) } { ( 1 - s ) ( \omega _ { \mathrm { l } } \tau ) ^ { 2 } } } \\ { \Psi _ { y } ( 0 ) = h _ { - 1 } } & { { } \left[ \frac { 1 - s } { 2 } + \ln { \frac { \omega _ { \mathrm { h } } } { \omega _ { \mathrm { l } } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( z \left( + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - i k r \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) } \\ & { } & { = 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) \left( \frac { d } { d a } L _ { n } ^ { 0 } ( a ) - \frac { 1 } { 2 } L _ { n } ^ { 0 } ( a ) - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 z } L _ { n } ^ { 0 } ( a ) \right) } \\ & { } & { = - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) \left( L _ { n } ^ { 1 } ( a ) - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i 2 k \partial _ { z } W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { { } + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) W _ { i j } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad f ( x ^ { k + 1 } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k + 1 } ) \right) - ( m - 1 ) \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ^ { k } ) - \phi _ { i \tau } ^ { * } ( y _ { i \tau } ^ { * } ) \right) + \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \left( \phi _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { * } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k + 1 } ) - \phi _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { * } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) \right) + g ( x ^ { k + 1 } ) - g ( x ^ { * } ) } \\ & { \quad + \langle u ^ { * } , x ^ { k + 1 } \rangle - \langle u ^ { k } , x ^ { * } \rangle + m \langle u ^ { k } - u ^ { k + 1 } , x ^ { * } \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { P \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } B _ { t } \geq C \right] } & { = P \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \exp ( \lambda B _ { t } ) \geq \exp ( \lambda C ) \right] } \\ & { \leq { \frac { \operatorname { E } [ \exp ( \lambda B _ { T } ) ] } { \exp ( \lambda C ) } } } \\ & { = \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { 2 } T - \lambda C \right) } & & { \operatorname { E } \left[ \exp ( \lambda B _ { t } ) \right] = \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { 2 } t \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { = | E _ { A } | ^ { 2 } + | E _ { A ^ { \prime } } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { = | E _ { A } | ^ { 2 } - | E _ { A ^ { \prime } } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { = 2 \mathrm { R e } [ E _ { A } E _ { A ^ { \prime } } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { = 2 \mathrm { I m } [ E _ { A } E _ { A ^ { \prime } } ^ { \ast } ] \, , } \end{array}
\left( \frac { \partial T } { \partial t } \right) _ { w , x ^ { i } } / \left( \frac { \partial r } { \partial t } \right) _ { w , x ^ { i } } = - \left( \frac { \partial w } { \partial r } \right) _ { T , x ^ { i } } / \left( \frac { \partial w } { \partial T } \right) _ { r , x ^ { i } } = \mp \frac { \sqrt { f ( r ) + \dot { a } ^ { 2 } } } { f ( r ) \dot { a } ( t ) } .
\begin{array} { r l r } & { } & { R _ { N } ( \gamma , \lambda ) = \sum _ { z \in \mathrm { s p e c t r u m } } \frac { 1 } { \lambda - z } - 2 N \mathrm { t r } \, ( \Sigma ^ { - 1 } ) ; } \\ & { } & { \mathrm { s p e c t r u m } : z _ { 1 } , \dots z _ { 6 N - 3 } , \operatorname* { d e t } \left( \hat { M } _ { N } ( z _ { k } ) - \hat { I } \right) = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \varepsilon } ( u , v ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { u , \quad ( u , v ) \in [ - A \varepsilon , 0 ] \times \mathbb { R } ^ { n } , } \\ { u \Big ( 1 + 2 \varepsilon \beta ( v ) \Big ) + h _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u , v ) , \quad ( u , v ) \in ( 0 , A \varepsilon ] \times \mathbb { R } ^ { n } , } \end{array} \right. } \\ { \Psi ^ { \varepsilon } ( u , v ) } & { = v + \theta ( v ) u + h _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u , v ) , \quad ( u , v ) \in [ - A \varepsilon , A \varepsilon ] \times \mathbb { R } ^ { n } } \end{array}
\partial _ { \tau } \mu ( \tau ) = \dots - 2 \alpha ^ { 2 } k _ { 3 } k _ { 3 } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \, R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } )
\bar { \phi } _ { \mathrm { M } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \bar { \phi } _ { \mathrm { M } k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { 3 } \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \right)
\begin{array} { r l } { \lvert | Q ( k + 1 ) \rvert | } & { { } \leq 1 + \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } m _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 j } \leq \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - p _ { 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \cal K } ^ { L } ( \sigma = 2 ) = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 4 - \frac { 3 } { \cosh ^ { 2 } x } } } & { { \frac { 3 } { \cosh ^ { 2 } x } } } \\ { { \frac { 3 } { \cosh ^ { 2 } x } } } & { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 4 - \frac { 3 } { \cosh ^ { 2 } x } } } \end{array} \right) \qquad ,
\int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \ln [ p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } m ^ { 4 } \ln [ e ^ { - 3 / 2 } m ^ { 2 } ] .
\varepsilon _ { N } ( \lvert x \rvert , T ) = \left( \frac { i } { \lvert x \rvert } \right) ^ { N + 1 } \left[ f ^ { ( N ) } ( T ) \exp ( i \lvert x \rvert T ) + \int _ { T } ^ { \infty } f ^ { ( N + 1 ) } ( t ) \exp ( i \lvert x \rvert t ) \; d t \right]
E _ { r a d } = \frac { e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } [ \frac { \vec { n } \times ( \vec { n } \times \dot { \vec { \beta _ { p } } } ) } { c ( 1 - \beta _ { p } \mathrm { c o s } \theta ) ^ { 3 } R } ]
\begin{array} { r } { f _ { D } = \bigg ( \frac { c \pm v _ { r } } { c \pm v _ { t } } \bigg ) f = f + \bigg ( \frac { \pm v _ { r } \mp v _ { t } } { c \pm v _ { t } } \bigg ) f = f + \Delta f , } \end{array}
\psi _ { e } ^ { \pm } = \frac 1 2 \lambda \langle \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 3 } \rangle _ { { \pm } } ^ { 2 } + \mu ( \langle \varepsilon _ { 1 } \rangle _ { { \pm } } ^ { 2 } + \langle \varepsilon _ { 2 } \rangle _ { { \pm } } ^ { 2 } + \langle \varepsilon _ { 3 } \rangle _ { { \pm } } ^ { 2 } )
\sigma _ { d i s s \leftarrow { v _ { i } ^ { + } } } ^ { d i r e c t } = \frac { \pi \rho } { 4 \varepsilon } \frac { 4 ( \xi _ { { v } _ { i } ^ { + } } ) ^ { 2 } } { \left[ 1 + \sum _ { v ^ { + } } \left( \xi _ { v ^ { + } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } , \, \, \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \, \, \xi _ { v ^ { + } } = \pi \langle \chi _ { v ^ { + } } \left\vert V ^ { e l } ( R ) \right\vert F _ { d } \rangle .
\begin{array} { r } { \frac { \hbar \omega _ { m } } { k _ { B } T _ { 0 } } \frac { S _ { L P } } { 2 \kappa _ { m } } \simeq \frac { \hbar \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { m } k _ { B } T _ { 0 } \left( \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } \right) } \left( \mathcal { H } ^ { 2 } + \mathcal { X } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\frac { \bar { T } } { T _ { \infty } } = \frac { T _ { w } } { T _ { \infty } } + \frac { T _ { r g } - T _ { w } } { T _ { \infty } } \frac { \bar { u } } { U _ { \infty } } + \frac { T _ { \infty } - T _ { r g } } { T _ { \infty } } \left( \frac { \bar { u } } { U _ { \infty } } \right) ^ { 2 }
{ \cal T } _ { n l m } ^ { l ^ { \prime } } ( \Omega _ { 1 } ^ { \pm } , \Omega _ { n } ^ { \mp } , q ) = \boldsymbol { \varepsilon } \cdot \mathbf { V } _ { l ^ { \prime } l m } ^ { * } ( \hat { \mathbf { q } } ) { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } } ( \Omega _ { 1 } ^ { \pm } , \Omega _ { n } ^ { \mp } , q ) .
W [ \vec { x } ( s ) ] = \int _ { \left\{ \begin{array} { c } { { \vec { x } | _ { \partial D } = \vec { x } ( s ) } } \\ { { y | _ { \partial D } = ? } } \end{array} \right. } \mathcal { D } y ( \xi ) \mathcal { D } \vec { x } ( \xi ) e ^ { - S [ \vec { x } ( \xi ) , y ( \xi ) ] } \; .
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { D _ { 2 0 } } \left\{ - J _ { 3 0 } \left( n _ { 0 } \theta + \partial _ { \mu } n ^ { \mu } \right) + J _ { 2 0 } \left[ \left( \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } + \Pi \right) \theta - \pi ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } \right] \right\} , } \\ { \dot { \beta } _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { D _ { 2 0 } } \left\{ - J _ { 2 0 } \left( n _ { 0 } \theta + \partial _ { \mu } n ^ { \mu } \right) + J _ { 1 0 } \left[ \left( \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } + \Pi \right) \theta - \pi ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } \right] \right\} , } \\ { \dot { u } ^ { \mu } } & { = \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } \left( \nabla ^ { \mu } P - \Pi \dot { u } ^ { \mu } + \nabla ^ { \mu } \Pi - \Delta _ { \nu } ^ { \mu } \partial _ { \lambda } \pi ^ { \nu \lambda } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { { } : = b _ { 1 } \, x _ { 1 } + b _ { 2 } \, x _ { 2 } - c \, t + d \; , } \\ { \varphi ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 + \cos ( \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) + \pi ) \right] \bar { \varphi } ^ { * } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) < 0 } \\ { 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { = \sqrt { \Lambda _ { i } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - e _ { i } ^ { 2 } } } \mathrm { E } ^ { j \varpi _ { i } } , } \\ { y _ { i } } & { = \sqrt { 2 \Lambda _ { i } } \left( 1 - e _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \sin ( \mathcal { I } _ { i } / 2 ) \mathrm { E } ^ { j \Omega _ { i } } , } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { \vert \mathbf { E } \vert ^ { 2 } } { 8 \pi \omega } } \left( \left\vert \langle \mathrm { R } | \psi \rangle \right\vert ^ { 2 } - \left\vert \langle \mathrm { L } | \psi \rangle \right\vert ^ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { \omega } } { \mathcal { E } } _ { c } \left( \vert \psi _ { \mathrm { { R } } } \vert ^ { 2 } - \vert \psi _ { \mathrm { { L } } } \vert ^ { 2 } \right)
{ \cal F } ( \tau ) = \langle \tilde { \psi } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle = - i \tilde { G } ( \tau , \vec { x } ; \tau , \vec { x } ) = \int \! \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { | U _ { k } ( \tau ) | ^ { 2 } } { 2 \Omega _ { k 0 } } \; .
E ( 4 f ^ { 1 3 } 5 f ^ { n + 2 } \underline { { \upsilon } } ^ { 2 } ) - E ( 4 f ^ { 1 3 } 5 f ^ { n + 1 } \underline { { \upsilon } } ^ { 1 } ) = \Delta + U _ { f f } - U _ { f c }