harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) f ( x + n \alpha ) - \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } f ( y ) d y } \\ & { = \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } \right) \widehat { f } ( m ) e ^ { 2 \pi i m \cdot x } . } \end{array}
0 = \int \left( { \frac { d x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \delta g _ { \mu \nu } + g _ { \mu \nu } { \frac { d \delta x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } + g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tau } } { \frac { d \delta x ^ { \nu } } { d \lambda } } \right) \, d \lambda = \int \left( { \frac { d x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \partial _ { \alpha } g _ { \mu \nu } \delta x ^ { \alpha } + 2 g _ { \mu \nu } { \frac { d \delta x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } \right) \, d \lambda
\left\{ \begin{array} { r l r } { \partial _ { t } f ( \mathbf { p } , t ) } & { { } = \nabla _ { p } \cdot \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } ^ { d } } W ( \mathbf { k } , t ) \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) d \mathbf { k } \right] \cdot \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) , } & { \mathrm { ~ ( ~ V ~ e ~ d ~ e ~ n ~ o ~ v ~ e ~ t ~ a ~ l ~ . ~ } ) } \\ { \partial _ { t } W ( \mathbf { k } , t ) } & { { } = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } ^ { d } } \left( \nabla _ { p } f ( \mathbf { p } , t ) \right) \cdot \Phi ( \mathbf { p } , \mathbf { k } ) \cdot \left( \nabla _ { p } E ( \mathbf { p } ) \right) d \mathbf { p } \right] W ( \mathbf { k } , t ) , } & { \mathrm { ~ ( ~ L ~ a ~ n ~ d ~ a ~ u ~ ) ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \rVert ( \Phi _ { i , \infty } ) ^ { \pm } h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert T ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) = } & { - \tilde { M } ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ( x _ { 1 } ) \bar { P } _ { j } ( \theta ) } \\ & { + x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ( x _ { 1 } ) ( \theta _ { j } - \bar { P } _ { j } ( \theta ) ) + x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ( x _ { 1 } ) \hat { \theta } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { 0 , 3 } \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { 3 } , } \\ & { \: \: \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { { Z } _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \: 2 \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { 1 } { \zeta _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ) } \Biggr \} . } \end{array}
w ^ { 2 } ( T ) = - \frac { a _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } } { 4 } = \frac { 1 } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } T ^ { M } ( 1 - T ) ^ { N - M + 1 } b \frac { \bar { r } ( 1 - \bar { r } ) \beta } { 2 } > 0
\mathrm { H } ^ { \mathrm { ( R o t ) } } = - \sum _ { k = 1 } \nu _ { i } \, \mathrm { I } _ { i z } + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ( H o m o ) ~ } } } J _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \mathrm { I } _ { i \alpha } \cdot \mathrm { I } _ { j \alpha } \right) + \sum _ { \substack { r < s \, \mathrm { ( H e t e r o ) ~ } } } J _ { i j } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \mathrm { I } _ { i \alpha } \cdot \mathrm { I } _ { j \alpha } \right) .
\left[ \begin{array} { l } { E _ { 5 } } \\ { H _ { 5 } } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { b } \left[ \begin{array} { l } { E _ { 6 } } \\ { H _ { 6 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { z _ { b } } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { E _ { 6 } } \\ { H _ { 6 } } \end{array} \right]
\frac { d W } { d \Omega } \left( t \right) \approx \sum _ { s , s ^ { \prime } } K _ { s s ^ { \prime } } \mathrm { t r } \left\{ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \rho } \left( t \right) \right\} .
f ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { n } } } \int _ { \partial D _ { 1 } } \cdots \int _ { \partial D _ { n } } { \frac { f ( \zeta _ { 1 } , \dots , \zeta _ { n } ) } { ( \zeta _ { 1 } - z _ { 1 } ) \cdots ( \zeta _ { n } - z _ { n } ) } } \, d \zeta _ { 1 } \cdots d \zeta _ { n }
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathscr Z } ^ { ( 2 , 0 ) } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } } & { \simeq \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathcal C } } \frac { \mathrm { d } \uppsi } { 2 \pi } \int _ { { \mathcal C } } \frac { \mathrm { d } \widetilde { \uppsi } } { 2 \pi } \, \exp \Bigg ( { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( \uppsi ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( \widetilde { \uppsi } ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( \uppsi ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( \widetilde { \uppsi } ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( \uppsi , \widetilde { \uppsi } ) + o ( g _ { \mathrm { s } } ) \Bigg ) , } \end{array}
I ( \Delta x _ { 1 } ^ { \prime } , \Delta x _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) = \Delta x _ { 1 } ^ { \prime } \Delta x _ { 1 } ^ { \prime \prime } 2 { \it R e } \overline { { { D \psi _ { i n } } } } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { * } \overline { { { D \psi _ { i n } } } } ( x _ { 1 } ^ { \prime \prime } )
\textbf { P } _ { i } \widetilde { \Lambda } _ { i } ^ { 2 } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = \widetilde { \lambda } _ { i } ^ { 2 } ( \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } + \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) = \widetilde { \lambda } _ { i } ^ { 2 } U _ { i } = ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } ) U _ { i }
\| e ^ { - \tau A _ { \varepsilon } } \mathcal { E } _ { A _ { \varepsilon } } [ \varepsilon ^ { - 2 } \sigma , \infty ) - e ^ { - \tau \sigma / \varepsilon ^ { 2 } } [ \varphi _ { \sigma } ^ { \varepsilon } ] e ^ { - t A _ { \sigma } ^ { \mathrm { h o m } } } [ \varphi _ { \sigma } ^ { \varepsilon } ] \| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { R } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \le C e ^ { - \tau \sigma / \varepsilon ^ { 2 } } \varepsilon ( \tau + \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } , \quad \tau > 0 ,
\begin{array} { l } { \cos \alpha = { \frac { \cos \alpha ^ { \prime } + { \frac { v } { c } } } { 1 + { \frac { v } { c } } \cos \alpha ^ { \prime } } } , \ \sin \alpha = { \frac { \sin \alpha ^ { \prime } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { 1 + { \frac { v } { c } } \cos \alpha ^ { \prime } } } , \ \tan \alpha = { \frac { \sin \alpha ^ { \prime } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { \cos \alpha ^ { \prime } + { \frac { v } { c } } } } , \ \tan { \frac { \alpha } { 2 } } = { \sqrt { \frac { c - v } { c + v } } } \tan { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } } \\ { \cos \alpha ^ { \prime } = { \frac { \cos \alpha - { \frac { v } { c } } } { 1 - { \frac { v } { c } } \cos \alpha } } , \ \sin \alpha ^ { \prime } = { \frac { \sin \alpha { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { 1 - { \frac { v } { c } } \cos \alpha } } , \ \tan \alpha ^ { \prime } = { \frac { \sin \alpha { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } { \cos \alpha - { \frac { v } { c } } } } , \ \tan { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } = { \sqrt { \frac { c + v } { c - v } } } \tan { \frac { \alpha } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } , k \in \mathbb { Z } } A _ { 1 } } & { \le \sum _ { n = 0 } ^ { \eta } C _ { n } \sum _ { k , l } \left| \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k , \ l _ { 1 } + l _ { 2 } = l } ( \langle l _ { 1 } \rangle + \langle j _ { 1 } \rangle ) ^ { s } | \partial _ { \xi } ^ { \eta - n } \widehat { \mathfrak { a } } ^ { \varphi , x } ( l _ { 1 } , j _ { 1 } , \xi + { j _ { 2 } } ) | ( \langle l _ { 2 } \rangle + \langle j _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } } | \partial _ { \xi } ^ { n } \widehat { \mathfrak { b } } ^ { \varphi , x } ( l _ { 2 } , j _ { 2 } , \xi ) | ( \langle l _ { 2 } \rangle + \langle j _ { 2 } \rangle ) ^ { - s _ { 0 } } \right| ^ { 2 } } \\ & { \le _ { s _ { 0 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \eta } C _ { n } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } \in \mathbb { Z } , \ l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } \left( ( \langle l _ { 1 } \rangle + \langle j _ { 1 } \rangle ) ^ { s } | \widehat { \partial _ { \xi } ^ { \eta - n } \mathfrak { a } } ( l _ { 1 } , j _ { 1 } , \xi + { j _ { 2 } } ) | ( \langle l _ { 2 } \rangle + \langle j _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } } | \widehat { \partial _ { \xi } ^ { n } \mathfrak { b } } ( l _ { 2 } , j _ { 2 } , \xi ) | \right) ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { n = 0 } ^ { \eta } C _ { n } \sum _ { l _ { 2 } \in \mathbb { Z } ^ { \nu } , j _ { 2 } \in \mathbb { Z } } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta - n } \mathfrak { a } ( \cdot , \cdot , \xi + j _ { 2 } ) \rVert _ { s } ^ { 2 } \left( ( \langle l _ { 2 } \rangle + \langle j _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } } | \widehat { \partial _ { \xi } ^ { n } \mathfrak { b } } ( l _ { 2 } , j _ { 2 } , \xi ) | \right) ^ { 2 } } \\ & { \overset { \le } \sum _ { n = 0 } ^ { \eta } C _ { n } \sum _ { | l _ { 2 } | + | j _ { 2 } | \le N } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { 2 } \langle \xi + j _ { 2 } \rangle ^ { 2 ( m - ( \eta - n ) ) } \left( ( \langle l _ { 2 } \rangle + \langle j _ { 2 } \rangle ) ^ { s _ { 0 } } | \widehat { \partial _ { \xi } ^ { n } \mathfrak { b } } ( l _ { 2 } , j _ { 2 } , \xi ) | \right) ^ { 2 } } \\ & { \le _ { N , m , \eta } \sum _ { n = 0 } ^ { \eta } C _ { n } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { 2 ( m - ( \eta - n ) ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { 2 ( m ^ { \prime } - n ) } } \\ & { \le _ { \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { 2 } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } , \eta } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { 2 ( m + m ^ { \prime } - \eta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d ( X _ { t } ^ { \xi } - X _ { t } ^ { \eta } ) } & { = } & { A ( X _ { t } ^ { \xi } - X _ { t } ^ { \eta } ) d t + ( F ( X _ { t } ^ { \xi } ) - F ( X _ { t } ^ { \eta } ) ) d t } \\ & { + } & { \int _ { H } ( f ( u , X _ { t } ^ { \xi } ) - f ( u , X _ { t } ^ { \eta } ) ) q ( d t , d u ) } \\ { X _ { 0 } ^ { \xi } - X _ { 0 } ^ { \eta } } & { = } & { \xi - \eta . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } + \bigl ( \bigl ( 1 + \frac { 1 } { s } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 2 } - \, \frac { s ^ { r } } { 4 } \le \frac { 1 } { 2 } + \bigl ( \bigl ( 1 + \frac { 1 } { s } \bigr ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 2 } - \bigl ( \frac { 5 } { 4 } \bigr ) ^ { \frac { r } { 2 } } \, \frac { s ^ { r } } { 4 } - \lambda \, \frac { s ^ { 2 } } { 1 6 }
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { { } \approx - \frac { n I _ { 0 } } { 1 6 \pi l } \frac { \pi \mu _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \alpha _ { 0 } } { c _ { 3 } ^ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ) } \\ { B _ { z } ( r _ { 2 } < r , t ) } & { { } \approx \frac { n I _ { 0 } } { 1 6 \pi l } \frac { \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big [ ( 2 \pi r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big ( r _ { 2 } ^ { 4 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 1 } ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { f } _ { 1 2 , 1 } ( \boldsymbol { u } ) : = | u _ { 1 } | ^ { \upsilon _ { 1 } } ( \widetilde T ( \boldsymbol { u } ) - \widetilde T ( u _ { 1 } , 0 ) ) , \qquad \tilde { f } _ { 1 2 , 2 } ( \boldsymbol { u } ) : = | u _ { 2 } | ^ { \upsilon _ { 2 } } ( \widetilde T ( \boldsymbol { u } ) - \widetilde T ( 0 , u _ { 2 } ) ) , \quad \widetilde T ( \boldsymbol { u } ) : = L ( \boldsymbol { u } ) T ( \boldsymbol { u } ) . } \end{array}
\frac { \partial ~ } { \partial x } \left( \nu \bar { \rho } H \frac { \partial \bar { u } } { \partial x } \right) + \frac { \partial ~ } { \partial y } \left( \nu \bar { \rho } H \frac { \partial \bar { u } } { \partial y } \right) ~ \quad \textrm { a n d } \quad ~ \frac { \partial ~ } { \partial x } \left( \nu \bar { \rho } H \frac { \partial \bar { v } } { \partial x } \right) + \frac { \partial ~ } { \partial y } \left( \nu \bar { \rho } H \frac { \partial \bar { v } } { \partial y } \right)
S _ { k } \approx - \frac { 1 } { 2 } C _ { T } ^ { \prime } A _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \left[ \frac { 4 } { 3 } k _ { \mathrm { ~ d ~ } } \overline { { u } } _ { \mathrm { ~ d ~ } , x } + \left( \frac { 2 } { 3 } k _ { \mathrm { ~ d ~ } } \right) ^ { 3 / 2 } \right] \frac { \gamma _ { j , l } } { V _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } ,
V _ { \mathrm { ~ m ~ } } = V _ { \mathrm { ~ s ~ 0 ~ } } \left[ 1 + \alpha \Delta T _ { \mathrm { ~ s ~ , ~ d ~ c ~ } } + \beta \Delta T _ { \mathrm { ~ s ~ , ~ d ~ c ~ } } ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } | T _ { \mathrm { ~ s ~ } , 2 \omega } | ^ { 2 } \right] { , }
\beta _ { \mathrm { \tiny { Q E D } } } ^ { \mathrm { \tiny { M S } } } ( \alpha ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \mu ^ { 2 } \frac { d \alpha } { d \mu ^ { 2 } } \biggr | _ { \alpha _ { \mathrm { \tiny { B } } } \mathrm { \scriptsize { ~ f i x e d } } } ,
R _ { 1 p + 1 } ( z ) R _ { 2 p + 1 } ( z \tau ^ { 2 } ) \cdots R _ { p p + 1 } ( z \tau ^ { 2 p - 2 } ) v ^ { ( i _ { 1 } \cdots i _ { p } ) } \otimes v _ { i } = \prod _ { j = 1 } ^ { p - 1 } b ( z \tau ^ { 2 j } ) v ^ { ( i _ { 1 } \cdots i _ { p } ) } \otimes v _ { i } .
\frac { { \cal E } ( g , M ) } { V } = M ^ { 4 } ( c _ { 0 0 } + c _ { 0 1 } g ^ { 2 } + c _ { 0 2 } g ^ { 4 } + . . . ) + M ^ { 3 } \Lambda ( c _ { 1 0 } + c _ { 1 1 } g ^ { 2 } + . . . ) + M ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } c _ { 2 0 } + . . . + M \Lambda ^ { 3 } c _ { 3 0 } + . . .
\begin{array} { r l } { 1 - \rho - ( q - p ) ( 3 \rho - 1 ) ( 1 - \rho + 4 p \rho ) \ge } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } - ( q - p ) \left( \frac { 3 } { 2 } - 1 \right) ( 1 - \rho ( 1 - 4 p ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 - 2 p } { 2 } ( 1 - \rho ( 1 - 4 p ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 - 2 p } { 2 } + \frac { 1 - 2 p } { 2 } \rho ( 1 - 4 p ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + p + \rho \frac { ( 1 - 2 p ) ( 1 - 4 p ) } { 2 } } \\ { = } & { p + \rho \frac { ( 1 - 2 p ) ( 1 - 4 p ) } { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { ~ \frac { \alpha } { \mu n ^ { * } } ( 1 - p _ { S } ) , } \\ { b = } & { ~ 1 - p _ { S } + 1 - \mathcal { R } _ { 0 } + \frac { \alpha } { r + \mu } p _ { S } ( \varepsilon _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } ) , } \\ { c = } & { ~ \frac { \mu n ^ { * } } { \alpha } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } = } & { \frac { 2 } { \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 3 } } \left( ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) - 2 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \frac { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } { \| \zeta \| ^ { 2 } } \right) \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { 2 \left( \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { \eta } \left( \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| } - \frac { 2 } { \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o f f } } } \left| \mathcal { S } _ { \mathrm { o f f } } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq } & { { \left\| { q } _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t + { L } \left\| q _ { \mathrm { o f f } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , T ] ) } , } \end{array}
I _ { S } ( 2 N - 2 ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { [ d x ] } { U _ { S } ^ { 2 } } , \qquad \qquad [ d x ] = d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { 2 N - 2 } \, \, \delta \! \left( 1 - \sum _ { j } ^ { 2 N - 2 } x _ { j } \right)
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \left( \frac { ( 1 - G ) m } { 2 G x - G m - x m + m } \right) ^ { \frac { G } { 2 G - 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle 1 - e ^ { - m x } , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \left( \frac { 2 G m ^ { - 1 } x - G - m ^ { - 1 } x + 1 } { 1 - G } \right) ^ { \frac { - G } { 2 G - 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle 1 - e ^ { - m x } , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \left( 1 + \frac { ( 1 - 2 G ) } { G - 1 } \frac { x } { m } \right) ^ { \frac { - G } { 2 G - 1 } } , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle 1 - e ^ { - m x } , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu , r , r ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) ^ { 2 l + 1 } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } e ^ { - ( r + r ^ { \prime } ) / a _ { \mathrm { B } } \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( r _ { a } ) } & { = \eta _ { p } \bigl ( \kappa + \kappa ^ { 2 } \bigl ( \eta _ { 4 5 } - 1 \bigr ) \bigr ) , } \\ { \eta _ { 4 5 } } & { = 6 \exp ( - 1 7 0 r _ { a } / \mathrm { m m } ) - } \\ & { 2 . 4 4 \exp ( - 8 . 0 8 ( r _ { a } / \mathrm { m m } ) ^ { 0 . 6 4 5 } ) + 3 . 2 , } \\ { \kappa } & { = \frac { r _ { a } ^ { 2 } } { ( r _ { a } - 0 . 0 0 0 5 5 \mathrm { m m } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { E } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) U - \overline { { p } } \xi _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \hat { \mathbf { F } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) V - \overline { { p } } \eta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ } } & { \hat { \mathbf { G } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } W } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } W + \overline { { p } } \zeta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } W + \overline { { p } } \zeta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } W + \overline { { p } } \zeta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) W - \overline { { p } } \zeta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { l c l l } { { \mathrm { f l o o r } } } & { { \mathrm { S U ( 4 / 1 ) } } } & { { \mathrm { f i e l d } } } & { { \mathrm { h e l i c i t y } } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ - \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { + 1 } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 1 ~ - \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { \overline { { 4 } } \lambda } } & { { + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 2 n d } > } } & { { ( 0 ~ 1 ~ 0 ~ - \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { 6 \phi } } & { { ~ 0 } } \\ { { \mid \mathrm { 3 r d } > } } & { { ( 1 ~ 0 ~ 0 ~ + \frac { 1 } { 2 } ) } } & { { 4 \lambda } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 4 t h } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ + \frac { 3 } { 2 } ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { - 1 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) } & { = T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) M _ { j } ( \mathbf { g } ) \quad F _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) = T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) F _ { j } ( \mathbf { g } ) } \\ { \alpha _ { i } ( \mathbf { g } ^ { \prime } ) } & { = T _ { i j } ^ { T } ( \mathbf { g } , \mathbf { g } ^ { \prime } ) \alpha _ { j } ( \mathbf { g } ) \quad T _ { i j } ( \mathbf { g } ^ { \prime } , \mathbf { g } ) = A _ { i k } \left( \mathbf { g } ^ { \prime } \right) A _ { k j } ^ { - 1 } \left( \mathbf { g } \right) , } \end{array}
\hat { \hat { S } } = \int d ^ { 1 1 } x \, s q r t { | \hat { \hat { g } } | } \ \left[ \hat { \hat { R } } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } } \hat { \hat { G } } { } ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 6 ^ { 4 } } } \frac { 1 } { \sqrt { | \hat { \hat { g } } } | } \hat { \hat { \epsilon } } \partial \hat { \hat { C } } \partial \hat { \hat { C } } \hat { \hat { C } } \right] \, .
V _ { \chi } ^ { T } ( r _ { i j } ) = \left\{ \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } V _ { \pi } ( r _ { i j } ) \lambda _ { i } ^ { a } \lambda _ { j } ^ { a } + \sum _ { a = 4 } ^ { 7 } V _ { K } ( r _ { i j } ) \lambda _ { i } ^ { a } \lambda _ { j } ^ { a } + V _ { \eta } ( r _ { i j } ) \lambda _ { i } ^ { 8 } \lambda _ { j } ^ { 8 } + \frac { 2 } { 3 } V _ { \eta ^ { \prime } } ( r _ { i j } ) \right\} S _ { i j } ^ { T }
\begin{array} { r l } & { t = \frac { v _ { A } } { L } \hat { t } , \qquad x = \frac { \hat { x } } { L } , \qquad y = \frac { \hat { y } } { L } , } \\ & { d _ { i } N _ { e , i } = \frac { \hat { N } _ { e , i } } { n _ { 0 } } , \qquad d _ { i } U _ { e , i } = \frac { \hat { U } _ { e , i } } { v _ { A } } , } \\ & { A _ { \parallel } = \frac { \hat { A } _ { \parallel } } { L B _ { 0 } } , \qquad d _ { i } B _ { \parallel } = \frac { \hat { B } _ { \parallel } } { B _ { 0 } } , \qquad \phi = \frac { c } { v _ { A } } \frac { \hat { \phi } } { L B _ { 0 } } , } \end{array}
u _ { m \ell } ( r ) = w _ { \infty , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \infty , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { 1 } ^ { r ^ { \prime } } w _ { \infty , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } F _ { m \ell } ( x ) \, d x \, d r ^ { \prime } .