harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l c l } { { B _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } ^ { - + } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { N / 2 } ( X \left( \stackrel { - } { \mathrm { \scriptsize \it { N / 2 } } } \right) _ { A ^ { \prime } } X \left( \stackrel { + } { \mathrm { \scriptsize \it { N / 2 } } } \right) _ { B ^ { \prime } } + X \left( \stackrel { - } { \mathrm { \scriptsize \it { N / 2 } } } \right) _ { B ^ { \prime } } X \left( \stackrel { + } { \mathrm { \scriptsize \it { N / 2 } } } \right) _ { A ^ { \prime } } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { N / 2 } ( X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } + \eta _ { N / 2 } q _ { N - 1 } X _ { N , A ^ { \prime } } ) ( X _ { N , B ^ { \prime } } + \eta _ { N / 2 } q _ { N } X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } ) + } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { N / 2 } ( X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } + \eta _ { N / 2 } q _ { N - 1 } X _ { N , B ^ { \prime } } ) ( X _ { N , A ^ { \prime } } + \eta _ { N / 2 } q _ { N } X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { N / 2 } ( X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } X _ { N , B ^ { \prime } } - X _ { N , A ^ { \prime } } X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } ) - } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { ( q ^ { N - 1 } X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } + q ^ { N } X _ { N , A ^ { \prime } } X _ { N , B ^ { \prime } } ) ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { N / 2 } ( X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } X _ { N , A ^ { \prime } } - X _ { , N B ^ { \prime } } X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } ) - } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { ( q ^ { N - 1 } X _ { N - 1 , B ^ { \prime } } X _ { N - 1 , A ^ { \prime } } + q ^ { N } X _ { N , B ^ { \prime } } X _ { N , A ^ { \prime } } ) ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { - H _ { N / 2 } g _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { A ^ { \prime \prime } B ^ { \prime \prime } } ( X _ { A ^ { \prime \prime } A ^ { \prime } } X _ { B ^ { \prime \prime } B ^ { \prime } } + X _ { A ^ { \prime \prime } B ^ { \prime } } X _ { B ^ { \prime \prime } A ^ { \prime } } ) } } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \cos ( 2 \pi { \frac { n ( k - 1 ) } { 3 } } ) / 3 = 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 . . .
\underset { | | f | | _ { L } \leq 1 } { \operatorname* { s u p } } \ \underset { x \sim P _ { r } } { \mathbb { E } } f ( x ) - \underset { y \sim P _ { \theta } } { \mathbb { E } } f ( y ) = \underset { \gamma \in \Pi } { \operatorname* { i n f } } \ \underset { ( x , y ) \sim \gamma } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 }
{ \begin{array} { r l } { \ln \Gamma ( x ) } & { = x \ln x - x + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { x } } + { \frac { 1 } { 1 2 ( x + 1 ) } } + { \frac { 1 } { 1 2 ( x + 1 ) ( x + 2 ) } } + } \\ & { \quad + { \frac { 5 9 } { 3 6 0 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) } } + { \frac { 2 9 } { 6 0 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) } } + \cdots , } \end{array} }
{ \cal L } = i \; { \bar { { \tilde { \chi } } _ { a } ^ { 0 } } } \; ( { \cal P } _ { L } \, a _ { a j } ^ { { f } { \tilde { f } } } + { \cal P } _ { R } \, b _ { a j } ^ { { f } { \tilde { f } } } ) \, { f } \, { \tilde { f } } _ { j } ^ { * } \, + \, i \; { \bar { { \tilde { \chi } } _ { a } ^ { 0 } } } \; ( { \cal P } _ { L } \, a _ { a j } ^ { { f ^ { \prime } } { \tilde { f } } ^ { \prime } } + { \cal P } _ { R } \, b _ { a j } ^ { { f ^ { \prime } } { \tilde { f } } ^ { \prime } } ) \, { f ^ { \prime } } \, { \tilde { f } } _ { j } ^ { \prime * } \, + \, ( h . c ) \, .
\begin{array} { r l } { N = N _ { j } } & { = \left\{ \left. \left( \begin{array} { l l } { 1 _ { j } } & { x } \\ { 0 } & { 1 _ { n - j } } \end{array} \right) \ \right| \ x \in M _ { j , ( n - j ) } ( \mathbf { C } ) \right\} } \\ { M = M _ { j } } & { = \left\{ \left. \left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { 0 } & { B } \end{array} \right) \ \right| \ A \in \mathrm { G L } _ { j } ( \mathbf { C } ) , \ B \in \mathrm { G L } _ { n - j } ( \mathbf { C } ) , \ | \operatorname* { d e t } ( A ) | = | \operatorname* { d e t } ( B ) | = 1 \right\} } \\ { A = A _ { j } } & { = \left\{ \left. a ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) : = \left( \begin{array} { l l } { t _ { 1 } 1 _ { j } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { 2 } 1 _ { n - j } } \end{array} \right) \ \right| \ t _ { 1 } , t _ { 2 } \in \mathbf { R } _ { > 0 } , \ \operatorname* { d e t } a ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( x , y ) = } & { \underbrace { \frac { 1 } { \rho _ { \delta } ( x ) } \int _ { t } ^ { 2 t } \mathrm { d } s \, e ^ { - s } ( p _ { s } ( \cdot , y ) - \rho _ { s } ) ( x ) + \int _ { t } ^ { \infty } \mathrm { d } s \, e ^ { - s } \mathrm { P } _ { s } \Big ( \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } ( p _ { t } ( \cdot , y ) - \rho _ { t } ) \Big ) ( x ) } _ { = : \mathcal { J } _ { 1 } ( x , y ) } } \\ & { + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \, e ^ { - s } \mathrm { P } _ { s } \Big ( ( \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } - \frac { 1 } { \rho _ { \delta } ( x ) } ) ( p _ { t } ( \cdot , y ) - \rho _ { t } ) \Big ) ( x ) } _ { = : \mathcal { J } _ { 2 } ( x , y ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \arcsin x + \operatorname { a r c c o s } x } & { { } = { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { \arctan x + \operatorname { a r c c o t } x } & { { } = { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { \arctan x + \arctan { \frac { 1 } { x } } } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \pi } { 2 } } , } & { { \mathrm { i f ~ } } x > 0 } \\ { - { \frac { \pi } { 2 } } , } & { { \mathrm { i f ~ } } x < 0 } \end{array} \right. } } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \mathcal { L } } _ { \textrm { m a t t e r } } ( \psi , \, A _ { \mu } ^ { a } ) - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a , \, \mu \nu } - ( i ( \partial ^ { \mu } { \bar { c } } ^ { a } ) D _ { \mu } ^ { a b } c ^ { b } + ( \partial ^ { \mu } B ^ { a } ) A _ { \mu } ^ { a } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { 0 } B ^ { a } B ^ { a }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } ) } & { \displaystyle \leq \mathcal { G } _ { 2 } ( \bar { u } _ { 2 } ) = c _ { 2 } ^ { 2 } \beta _ { N } ^ { - 2 } \int _ { \Omega _ { 1 } } \left( \frac { c _ { 1 } } { 2 } | \nabla \zeta | ^ { 2 } + \frac 1 2 | \zeta | ^ { 2 } \right) d x + \frac { \beta _ { N } } { 2 } \lVert u _ { 2 } ^ { [ k ] } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle \leq \frac { \hat { c } _ { 2 } } { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \beta _ { N } ^ { - 2 } \lVert \zeta \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\centering \frac { \partial \mathbf { U } } { \partial t } + \frac { \partial \mathbf { F } ^ { c } } { \partial x } + \frac { \partial \mathbf { G } ^ { c } } { \partial y } + \frac { \partial \mathbf { H } ^ { c } } { \partial z } + \frac { \partial \mathbf { F } ^ { v } } { \partial x } + \frac { \partial \mathbf { G } ^ { v } } { \partial y } + \frac { \partial \mathbf { H } ^ { v } } { \partial z } = 0 ,
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( 1 ) \cdot g _ { r } ( k - 1 ) } & { = \alpha \cdot { \binom { k - 1 + r } { r } } \cdot \alpha ^ { k - 1 - r } \cdot \sigma ^ { r } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ t h a t ~ \ensuremath { g _ { 0 } ( 1 ) \leq \alpha } ~ a n d ~ t h e ~ i n d u c t i v e ~ h y p o t h e s i s ~ f o r ~ t h e ~ s e c o n d ~ t e r m ] } } \\ & { \leq \alpha ^ { k - r } \cdot \sigma ^ { r } \cdot { \binom { k + r } { r } } \cdot \frac { { \binom { k - 1 + r } { r } } } { { \binom { k + r } { r } } } } \\ & { \leq \frac { k } { k + r } \cdot { \binom { k + r } { r } } \cdot \alpha ^ { k - r } \cdot \sigma ^ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to \infty , \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to 0 } } & { = } & { \frac { 3 Q } { 2 } - 2 \pi R ^ { 2 } \sigma _ { R } , } \\ { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to \infty , \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to \infty } } & { = } & { \frac { Q } { 2 } - \frac { 1 0 \pi R \sigma _ { R } } { \kappa _ { \mathrm { i n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { s } ( c _ { s , i } , T ) } & { { } = D _ { s } ( c _ { s , i } ) e ^ { \left( \frac { E _ { i } } { R \hat { T } } - \frac { E _ { i } } { R T } \right) } , } \\ { D _ { s } ( c _ { s , a } ) } & { { } = 8 . 4 \times 1 0 ^ { - 9 } e ^ { - 1 1 . 3 \left( \frac { c _ { s , a } } { c _ { s , a , m a x } } \right) } + 8 . 2 \times 1 0 ^ { - 1 2 } , } \\ { D _ { s } ( c _ { s , c } ) } & { { } = 3 . 7 \times 1 0 ^ { - 1 3 } - 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 3 } e ^ { - 1 2 \left( \frac { c _ { s , c } } { c _ { s , c , m a x } } - 0 . 6 2 \right) } } \end{array}
C ( m ) = A m = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { a _ { 0 } } & { a _ { 0 } ^ { 2 } } & { \dots } & { a _ { 0 } ^ { k - 1 } } \\ { 1 } & { a _ { 1 } } & { a _ { 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { a _ { 1 } ^ { k - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { a _ { n - 1 } } & { a _ { n - 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { a _ { n - 1 } ^ { k - 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { m _ { 0 } } \\ { m _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { m _ { k - 1 } } \end{array} \right] }
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \sigma ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \pi ) ^ { 2 } \nonumber \, - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) - \frac { \lambda } { 4 } ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + c \sigma \quad .
- \frac { i } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } d \theta \frac { t ^ { 2 } \left[ g ( - i t ) - g ( i t ) \right] \cos \theta } { ( t ^ { 2 } + z ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ) ^ { 3 / 2 } } = - \frac { i } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \frac { t [ g ( - i t ) - g ( i t ) ] } { ( t ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \xi _ { k } ( x ) } & { : = \sum _ { \ell \ge k + 1 } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) + \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) + \sum _ { y = 1 } ^ { x } r ( x ) } \\ & { = x - \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) + \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \end{array}
H _ { i j } ^ { s . o . ( t p ) } = - { \frac { 1 } { 2 r _ { i j } } } \; { \frac { \partial V ( r ) } { \partial r _ { i j } } } \; \left( { { \frac { \vec { S } _ { i } } { m _ { i } ^ { 2 } } } + { \frac { \vec { S } _ { j } } { m _ { j } ^ { 2 } } } } \right) \cdot \vec { L }
\begin{array} { r l } & { 2 \mu \int _ { C _ { a , b } } { \bf D } \Phi _ { k } : { \bf D } W \, d x d y + \lambda \int _ { C _ { a , b } } \left( \mathrm { d i v } \, \Phi _ { k } + \frac { \pi k } h \varphi _ { k } ^ { 3 } \right) \left( \mathrm { d i v } \, W + \frac { \pi k } h w ^ { 3 } \right) d x d y } \\ & { + \mu \int _ { C _ { a , b } } ( \nabla \varphi _ { k } ^ { 3 } - \frac { \pi k } h \Phi _ { k } ) \cdot ( \nabla w ^ { 3 } - \frac { \pi k } h W ) d x d y + 2 \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \int _ { C _ { a , b } } \varphi _ { k } ^ { 3 } w ^ { 3 } d x d y \! = \! \int _ { C _ { a , b } } \! \Psi _ { k } w ^ { 3 } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { D } M _ { j , i } a _ { i } ( t _ { n + 1 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { D } M _ { j , i } ( 2 a _ { i } ( t _ { n } ) - a _ { i } ( t _ { n - 1 } ) ) - \delta t ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { D } A _ { j , i } a _ { i } ( t _ { n } ) } \\ { - c \, \delta t \sum _ { i = 1 } ^ { D } B _ { j , i } ( a _ { i } ( t _ { n } ) - a _ { i } ( t _ { n - 1 } ) ) + \delta t ^ { 2 } \tilde { f } ( t _ { n } ) G _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal L } _ { \mathrm { g c } } } & { = } & { \delta \Lambda _ { \mathrm { g c V } } \; + \; \delta \Lambda _ { \mathrm { g c P M } } \; - \; \left( \varrho _ { \mathrm { g c } } \; \delta \Phi \; - \; \frac { { \bf J } _ { \mathrm { g c } } } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf A } \right) } \\ & { } & { + \; \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf E } \; - \; \frac { { \bf H } _ { \mathrm { g c } } } { 4 \pi } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf B } , } \end{array}
F ( u ) = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \left[ f + ( t - t _ { n } ) \partial _ { t } f + \ldots + \frac { ( t - t _ { n } ) ^ { N } } { N ! } \partial _ { t } ^ { N } f \right] \textrm { d } t
\begin{array} { r } { x _ { t - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { t } } } \left( x _ { t } - \frac { 1 - \alpha _ { t } } { \sqrt { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } } \tilde { \epsilon } _ { \theta } \left( x _ { t } , t , c \right) \right) + \frac { 1 - { { { \bar { \alpha } } } _ { t - 1 } } } { 1 - { { { \bar { \alpha } } } _ { t } } } \cdot { { \beta } _ { t } } \cdot z , z \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { n - 1 , } & { | g ( t ) | \leq 1 ~ \mathrm { a n d } ~ n ~ \mathrm { i s } ~ \mathrm { e v e n } , } \\ { n + 2 | g ( t ) | - 3 , } & { 1 < | g ( t ) | < 2 ~ \mathrm { a n d } ~ n ~ \mathrm { i s } ~ \mathrm { e v e n } , } \\ { n + | g ( t ) | - 1 , } & { | g ( t ) | < 2 ~ \mathrm { a n d } ~ n ~ \mathrm { i s } ~ \mathrm { o d d } , } \\ { n \left[ | g ( t ) | - 1 \right] + 1 , } & { | g ( t ) | \geq 2 . } \end{array} \right.
\frac { 2 ( \mathrm { ~ S ~ c ~ } + \kappa _ { 2 } ) \pi ^ { 3 } } { \sqrt { 1 6 \gamma ^ { 4 } \mathrm { ~ S ~ c ~ } \kappa _ { 2 } - ( \mathrm { ~ S ~ c ~ } - \kappa _ { 2 } ) ^ { 2 } \pi ^ { 4 } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ D _ { b } ^ { ( 0 , 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 1 } } & { = \frac { - 6 \Gamma ( 1 + u ) } { ( 1 - u ) \Gamma ( 3 - u ) } \left[ \mathcal { B } [ \Psi ^ { ( 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 1 } + . . . \right] } \\ & { = \frac { 6 \log ( 1 - u ) } { ( 1 - u ) ( 2 - u ) ( 3 - u ) } + . . . } \\ & { \equiv - \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 1 , 0 ) [ 1 ] } \frac { \log ( 1 - u ) } { 1 - u } - S _ { 1 , 0 } \mathcal { B } [ D _ { b } ^ { ( 1 , 0 ) [ 0 ] } ] ( u - 1 ) \frac { \log ( 1 - u ) } { 2 \pi \mathrm { i } } + . . . \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d U - \Delta U d t } & { = \varphi \left( \left\| U \right\| _ { p } \right) ^ { 2 } B ( U ) d t + G ( U ) d t + \left( \mathbf { P } ( b \cdot \nabla U ) + \varphi \left( \left\| U \right\| _ { p } \right) ^ { 2 } \sigma ( U ) \right) d \mathbb { W } _ { t } } \\ & { \nabla \cdot u = 0 , } \\ & { U ( 0 ) = U _ { 0 } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \check { q } } } & { \frac { 1 } { \check { q } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { H _ { X _ { 1 } , 1 } } \\ { H _ { X _ { 1 } , 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hbar \check { p } + ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } \\ { \check { p } ^ { 2 } + \frac { 2 \hbar } { \check { q } } \check { p } - 1 - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } t } { \check { q } ^ { 3 } } - \frac { t ^ { 2 } } { 4 \check { q } ^ { 4 } } } \end{array} \right) ,
\int e ^ { i S [ A ] + { \frac { i } { 2 g ^ { 2 } } } \int ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ) ^ { 2 } \, d ^ { \, 4 } x + i \int \partial _ { \mu } \bar { P } D _ { \mu } P \, d ^ { \, 4 } x } \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A \, { \cal D } \bar { P } \, { \cal D } P \, .
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \xi _ { _ { S C } } = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { d } r .
\begin{array} { r } { \Delta M _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } = \Delta x \Delta z \Delta t _ { n } \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i , j , k } ^ { n } v _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } , v _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } > 0 } \\ { D _ { i , j - 1 , k } ^ { n } v _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } , v _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } < 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { l ; 0 , j _ { 1 } } d \hat { X } _ { r } ^ { l ; 0 , j _ { 1 } } = \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; j _ { 1 } } d X _ { r } ^ { l ; j _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } ( X _ { t } ^ { l ; j _ { 1 } } - X _ { s } ^ { l ; j _ { 1 } } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( X _ { s , t } ^ { l ; j _ { 1 } } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \Pi \left( \sum _ { i , j } \pi _ { i j } \, d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } \right) } \\ & { + K \left( \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } k _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \, d ( x _ { i _ { 1 } } , x _ { i _ { 2 } } ) ^ { \beta } \right) + K \left( \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } k _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \, d ( y _ { j _ { 1 } } , y _ { j _ { 2 } } ) ^ { \beta } \right) } \\ & { + F \left( \sum _ { i } f _ { i } \, d ( x _ { i } , g ( x _ { i } ) ) ^ { \beta } \right) + F \left( \sum _ { j } f _ { j } \, d ( \Tilde { g } ( y _ { j } ) , y _ { j } ) ^ { \beta } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { N ^ { - 2 \vartheta } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { ( 2 \vartheta \sigma + d - 2 d \vartheta - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N ^ { - \frac { 2 \delta - d } { \sigma - d } } } & { \mathrm { i f ~ } \delta < \vartheta \sigma + d / 2 - d \vartheta , } \\ { c N ^ { - 2 \vartheta } \log ( N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta = \vartheta \sigma + d / 2 - d \vartheta , } \\ { c N ^ { - 2 \vartheta } } & { \mathrm { i f ~ } \delta > \vartheta \sigma + d / 2 - d \vartheta . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \bf J } _ { k } = \sum _ { i : r < r _ { 5 0 0 } } m _ { i } ~ \left( { \bf v _ { i } } - { \bf v _ { \mathrm { b u l k } } } \right) \times \left( { \bf r _ { i } } - { \bf r _ { \mathrm { C o P } } } \right) \Bigg | _ { k \in \{ \mathrm { g a s , ~ D M , ~ s t a r s } \} } .
\int _ { { D } } | e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta e ^ { - \mathsf { m } \varphi } w | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \geq C \int _ { { D } } \left( | A w | ^ { 2 } + \mathsf { m } \lambda ^ { 2 } | \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w | ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \mathsf { m } ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } | w | ^ { 2 } \varphi ^ { 3 } \right) \, \mathrm { d } x - C ^ { \prime } \mathsf { m } \lambda \int _ { D } | \nabla w | ^ { 2 } \varphi \, \mathrm { d } x .
\begin{array} { r } { \theta ( \bar { \tau } ^ { \prime } + \tau _ { 1 } ^ { * } ) = \delta _ { \theta } , \mathrm { ~ w ~ h ~ i ~ c ~ h ~ i ~ m ~ p ~ l ~ i ~ e ~ s ~ } \tau _ { 1 } ^ { * } = \frac { - l n \left( \frac { ( a \eta + 1 ) \delta _ { \theta } } { \eta } \right) } { C } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { z } = - \frac { 1 } { \sigma } \frac { \dddot { x } } { x } + \frac { 1 } { \sigma } \frac { \dot { x } \ddot { x } } { x ^ { 2 } } - \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \ddot { x } } { x } + \Big ( 1 + \frac { 1 } { \sigma } \Big ) \frac { \dot { x } ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } . } \end{array}
\tau = \frac { | L | } { v _ { b } } = \frac { 2 n _ { e } ( r ) } { v _ { b } } \left( \frac { \mathrm { d } n _ { e } ( r ) } { \mathrm { d } r } \right) ^ { - 1 } = \frac { 2 n _ { e } ( r ) } { v _ { b } } \frac { \lambda } { \delta n _ { e } }
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \textbf { i } \infty } ^ { \gamma + \textbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) \Bigg ] } \end{array}
( \overline { { { \nu _ { 1 L } } } } , \overline { { { \nu _ { 2 L } } } } , \overline { { { \nu _ { 3 L } } } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { 4 } v _ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { ( \nu _ { 1 L } ) ^ { C } } } \\ { { ( \nu _ { 2 L } ) ^ { C } } } \\ { { ( \nu _ { 3 L } ) ^ { C } } } \end{array} \right) .
\frac { \mathrm { D } \vec { J } } { \mathrm { D } t } = - \rho ( \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } ) \boldsymbol { u } - \hbar \boldsymbol { \nabla } ( \boldsymbol { \sigma } \cdot \boldsymbol { s } ) + \hbar \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } \cdot \boldsymbol { \sigma } - \rho \boldsymbol { \nabla } V + \frac { { \hbar } ^ { 2 } } { 2 } \rho \boldsymbol { \nabla } \frac { | \vec { \nabla } \vec { \psi } | ^ { 2 } } { \rho } - \rho \boldsymbol { \nabla } \frac { | \vec { u } | ^ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { \Big ( r _ { + } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) \left( r _ { + } \left( Q + r _ { + } \right) - a ^ { 2 } \right) \left( \delta \left( \log ( 1 6 \pi ) - \log \left( \frac { \left( a ^ { 2 } - r _ { + } \left( Q + r _ { + } \right) \right) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) } \right) \right) + \pi \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { - } & { \left( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \left( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \right) \right) \left( - \delta \log \left( \frac { \left( a ^ { 2 } - r _ { + } \left( Q + r _ { + } \right) \right) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) } \right) + a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } ^ { 2 } \right) \Big ) } \\ & { } & { \Big ( 4 \pi r _ { + } ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \Big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \ell _ { 1 } } ^ { \mathrm { s } } ( W ) - f _ { \ell _ { 1 } } ^ { \mathrm { s } } ( W ^ { \star } ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \bar { S } } \left| \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } + \Delta X _ { 2 } \right\rangle \right| + \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in S } \left( | \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } + \Delta X _ { 2 } \right\rangle + \epsilon _ { i } | - | \epsilon _ { i } | \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \bar { S } } \left| \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } + \Delta X _ { 2 } \right\rangle \right| - \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in S } | \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } + \Delta X _ { 2 } \right\rangle | } \\ & { \geq \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \bar { S } } \left| \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } \right\rangle \right| - \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in S } | \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 1 } \right\rangle | - \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } | \left\langle A _ { i } , \Delta X _ { 2 } \right\rangle | , } \end{array}