harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle - \frac { g ^ { 2 } } { 2 ! } \int d ^ { 4 } x _ { 3 } \int d ^ { 4 } x _ { 4 } ~ A , } } \\ { { A } } & { { = } } & { { \displaystyle < 0 | T \left( \varphi _ { 1 } \varphi _ { 2 } ( \chi \star \varphi \star \pi + \pi \star \varphi \star \chi ) _ { 3 } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \times \left. ( \chi \star \varphi \star \pi + \pi \star \varphi \star \chi ) _ { 4 } \right) | 0 > , } } \end{array}
\frac { d \eta } { d z } = \eta \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \eta ) \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \eta ) \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - \eta ^ { 2 } \right] \right\rbrace .
S p e c ( \alpha , S ) = \left[ \alpha ( S ) \underline { { \theta } } _ { \mu } ^ { s } ( z _ { 0 } ) , \alpha ( S ) \overline { { \theta } } _ { \mu } ^ { s } ( z _ { 0 } ) \right] \cup \left[ \frac { \alpha ( S ) } { P ^ { s } ( S ) } , \frac { \alpha ( S ) } { C ^ { s } ( S ) } \right] , \mathrm \alpha \in \mathcal { M } ^ { s } \lfloor _ { S } ,
H ^ { ( 2 ) } = { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + { \frac { m \omega ^ { 2 } } { 2 } } x ^ { 2 } + { \frac { \hbar \omega } { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \Psi ( \vec { w } _ { 1 } , \vec { w } _ { 2 } ) = \mu _ { c o r r } ( \vec { w } _ { 1 } + \vec { w } _ { 2 } ) \, U ( \vec { w } _ { 1 } ) V ( \vec { w } _ { 1 } ) e ^ { i k _ { p } l _ { c } } \, , \; \mathrm { w i t h } } \\ & { \mu _ { c o r r } ( \vec { w } ) = \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - i \vec { w } \cdot \vec { \xi } } \, \frac { \sinh { [ 2 g | { \alpha } _ { p } ( \vec { \xi } - \vec { \xi } _ { M } ) | ] } } { \sinh { 2 g } } e ^ { i \phi _ { p } ( \vec { \xi } - \vec { \xi } _ { M } ) } } \end{array}
A _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { , ~ i f ~ } 1 \leq i \leq 2 ^ { m } \mathrm { ~ a n d ~ } j = 2 ^ { m } + 1 , } \\ { 1 } & { \mathrm { , ~ i f ~ } 2 ^ { m } + 1 \leq i \leq 2 ^ { m } + n - 2 \mathrm { ~ a n d ~ } j = i + 1 , } \\ { 1 } & { \mathrm { , ~ i f ~ } i = 2 ^ { m } + n - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } 1 \leq j \leq 2 ^ { m } , } \\ { 0 } & { \mathrm { , ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
S = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } { \mathcal E } ^ { d - 1 } } \int d ^ { d + 1 } x \sqrt { | g | } \left[ R - \frac { \beta } { 2 } \left( \nabla \psi \right) ^ { 2 } - V \left( \psi \right) \right] \ ,
\begin{array} { r l r } { \delta a } & { { } = } & { \left[ \iiint _ { { \mathcal D } _ { t } } \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d w _ { x } \right] _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left\{ \iint _ { \Sigma _ { t } } \rho \, \boldsymbol { n } ^ { \star } \left( { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } + \left( h + \Omega - \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { 2 } \right) \boldsymbol 1 \right) \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d \sigma \right\} d t } \end{array}
\partial _ { z } W ( z ) \vert _ { z = z _ { 0 } } = - e ^ { W ( z _ { 0 } ) - \sqrt { 2 } b \kappa \Xi ( z _ { 0 } ) } \frac { \sqrt { 2 } } { 6 } \lambda _ { 0 } , \quad \partial _ { z } \Xi ( z ) \vert _ { z = z _ { 0 } } = - e ^ { W ( z _ { 0 } ) - \sqrt { 2 } b \kappa \Xi ( z _ { 0 } ) } b \kappa ^ { - 1 } \lambda _ { 0 } .
\begin{array} { r } { \int \left( \hat { \rho } _ { 1 } + \delta \hat { \rho } _ { 1 } \right) \left( \hat { \rho } _ { 2 } + \delta \hat { \rho } _ { 2 } \right) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y - \int \hat { \rho } _ { 1 } \hat { \rho } _ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ { \approx \int \left( \delta \hat { \rho } _ { 1 } \cdot \hat { \rho } _ { 2 } + \hat { \rho } _ { 1 } \cdot \delta \hat { \rho } _ { 2 } \right) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y , } \end{array}
\hat { E } _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( h ) = \left( \frac { 2 4 \pi h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } - \gamma \varepsilon ^ { 2 } \right) \log h ^ { - 1 } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } , \gamma \varepsilon ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { u ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) = u ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) - \Delta t \, l ( } & { u ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { v ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { w ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { p ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) ; \nu ) , } \end{array}
\nabla f ( \mathbf { x } ) = \left( \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } , \frac { \partial f } { \partial x _ { 2 } } , \cdots , \frac { \partial f } { \partial x _ { N } } , \frac { \partial f } { \partial t } \right) = \mathbf { 0 } , \quad \mathbf { x } \in \Omega , \quad t \in [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] .
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { x } } { d t } } & { { } = \Bigl [ - \alpha - i \delta _ { 0 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { x } | ^ { 2 } + B | \psi _ { y } | ^ { 2 } \right) \Bigr ] \psi _ { x } } \\ { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { y } } { d t } } & { { } = \Bigl [ - \alpha - i ( \delta _ { 0 } - \delta _ { \pi } ) + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A | \psi _ { y } | ^ { 2 } + B | \psi _ { x } | ^ { 2 } \right) \Bigr ] \psi _ { y } } \end{array}
W L ( Q _ { n } , C _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times C _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } ; f ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( F _ { j } ^ { n _ { 1 } } \times N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } ) ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } - 1 } } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } \times F _ { j } ^ { n _ { 2 } } ) ) .
T _ { \mu \nu } = g _ { \mu \nu } T - F _ { \mu \rho } \mathrm { } ^ { a } F _ { \nu } \mathrm { } ^ { \rho a } + D _ { \mu } \phi ^ { a } D _ { \nu } \phi ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } \ \phi ^ { 2 } \left( R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \ g _ { \mu \nu } R \right)
\mathcal { U } ( t , x ) \approx \mathcal { U } _ { \Theta } ( t , x ) = \sigma _ { K } \left( \mathcal { U } _ { \Theta , K } \circ \sigma _ { K - 1 } \circ \mathcal { U } _ { \Theta , K - 1 } \circ . . . \circ \sigma _ { 1 } \circ \mathcal { U } _ { \Theta , 1 } \right) ( t , x ) ,
{ \cal { L } } = \int d ^ { 2 } \theta d ^ { 2 } { \bar { \theta } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \bar { \Phi } } _ { i } \mathrm { e } ^ { 2 g V } \Phi _ { i } + \frac { 1 } { 8 \pi } I m \left[ \int d ^ { 2 } \theta \, \tau W ^ { \alpha } W _ { \alpha } \right]
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } = \frac { 1 } { 2 } \Big [ \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { i } ) | \psi _ { k } \rangle + \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( \varepsilon _ { k } ) | \psi _ { k } \rangle \Big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } { k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { \omega _ { 4 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 4 } ^ { 2 } + l _ { 4 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 2 } } { k _ { 4 } ^ { 2 } + l _ { 4 } ^ { 2 } + m _ { 4 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { h } ( t _ { n + 1 } ) } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { t _ { n + 1 } ^ { k } x _ { 0 } ^ { ( k ) } } { k ! } + \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 2 ) } F ( t _ { n + 1 } , x _ { h } ^ { P } ( t _ { n + 1 } ) ) } \\ & { + } & { \frac { h ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 2 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { n } F _ { j } \cdot a _ { n - j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { { 2 D } } } = H _ { \mathrm { { r e a l } } } + H _ { \mathrm { { s y n t h } } } + H _ { \mathrm { { d i a g } } } + H _ { \mathrm { { V } } } + H _ { \mathrm { { t i l t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { L } } & { { } = \Psi _ { R } } \\ { \Phi _ { L } } & { { } = - \Phi _ { R } } \\ { \rho _ { L } } & { { } = - \rho _ { R } } \\ { \mathbf { E } _ { L } ^ { * } } & { { } = - \mathbf { E } _ { R } ^ { * } + 2 ( \mathbf { E } _ { R } ^ { * } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } } \\ { \mathbf { B } _ { L } ^ { * } } & { { } = + \mathbf { B } _ { R } ^ { * } - 2 ( \mathbf { B } _ { R } ^ { * } \cdot \mathbf { \hat { n } } ) \mathbf { \hat { n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla } & { = \widehat { t } _ { s } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \varepsilon \xi \kappa \operatorname { c } ) ^ { k } \right) \nabla _ { s } + \frac { \hat { t } _ { \sigma } } { \varepsilon } \partial _ { \xi } + \frac { \hat { t } _ { \theta } } { \varepsilon \xi } \partial _ { \theta } , } \\ { \partial _ { t } } & { = \partial _ { \tau } - \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( \varepsilon \xi \kappa \operatorname { c } ) ^ { k } \right) { \left( v _ { t } - \varepsilon \xi \alpha ^ { \prime } \right) } \nabla _ { s } - \frac { v _ { \sigma } } { \varepsilon } \partial _ { \xi } - \frac { \left( v _ { \theta } + \varepsilon \xi \gamma ^ { \prime } \right) } { \varepsilon \xi } \partial _ { \theta } } \end{array}
\hat { a } \equiv \frac { \hat { x } ^ { 1 } + i \hat { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 | \theta ^ { 1 2 } | } } ~ , \qquad \hat { a } ^ { \dagger } \equiv \frac { \hat { x } ^ { 1 } - i \hat { x } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 | \theta ^ { 1 2 } | } } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \alpha \iiint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ( \mathbf { r } ) - \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \big ] - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 \approx \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } R ^ { 2 } r ^ { 2 } \, d r \approx \frac { B ^ { 2 } } { 2 } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \frac { d r } { p } . } \end{array}
E ( a _ { 0 } ^ { * } , a _ { 1 } ^ { * } , \beta ^ { * } ) = \frac { 4 \pi } { \beta ^ { 2 } } ( a _ { 0 } + a _ { 1 } ) \frac { B } { 2 } \equiv ( a _ { 0 } + a _ { 1 } ) ( 1 - B / 2 ) = E ( a _ { 0 } , a _ { 1 } , \beta ) ,
\begin{array} { r } { \Phi _ { A } ^ { * } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) = \sum _ { j } q _ { A j } g ( p _ { A \mathrm { W } } ; \mu _ { A \mathrm { W } j } , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } \sigma _ { A \mathrm { W } j } ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; \mu _ { A \mathrm { M } j } , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } \sigma _ { A \mathrm { M } j } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } u ( \vec { x } ) } & { { } \approx u ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) u _ { i } \, , \quad } & { } & { { } v ( \vec { x } ) \approx v ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) v _ { i } \, , } \\ { \overline { f } ( \vec { x } ) } & { { } \approx \overline { { f } } ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) \overline { f } _ { i } \, , \quad } & { } & { { } s ( \vec { x } ) \approx s ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) s _ { i } \, . } \end{array}
{ \cal M } _ { c } ^ { 2 } = \left( \lambda A _ { \lambda } x + \lambda k x ^ { 2 } - v _ { 1 } v _ { 2 } \left( \lambda - \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) \left( \begin{array} { c c } { { \tan \beta } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \cot \beta } } \end{array} \right) .
| V _ { 1 e } | ^ { 2 } \sim 1 \; , \; | V _ { 1 \mu } | ^ { 2 } \sim 0 . 0 0 5 \simeq 0 \; , \; 4 | V _ { 2 e } | ^ { 2 } | V _ { 3 e } | ^ { 2 } \sim 0 \; , \; 4 | V _ { 2 \mu } | ^ { 2 } | V _ { 3 \mu } | ^ { 2 } \sim 1
\sum _ { \sigma } \int d ^ { 3 } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) u _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) = \delta _ { i j } \; \; \; , \; \; \; \sum _ { i } u _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { E _ { \theta } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ \sqrt { ( l - m ) ( l + m + 1 ) } \mathrm { Y } _ { l , m + 1 } ( \theta , \phi ) e ^ { - i \phi } - \sqrt { ( l + m ) ( l - m + 1 ) } \mathrm { Y } _ { l , m - 1 } ( \theta , \phi ) e ^ { i \phi } \Big ] \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { k r } , } \\ { E _ { \phi } } & { = } & { \frac { i m } { \sin \theta } \mathrm { Y } _ { l , m } ( \theta , \phi ) \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { k r } , } \\ { E _ { r } } & { = } & { - i l ( l + 1 ) \mathrm { Y } _ { l , m } ( \theta , \phi ) \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { ( k r ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { u , v } = J _ { m , i } J _ { n , j } + J _ { n , i } J _ { m , j } ( 1 - \delta _ { m n } ) } \\ & { u = \frac { ( i - 1 ) ( 2 f _ { x } - i ) } { 2 } + j ~ ~ ( i , j \in \{ 1 , . . . , f _ { x } \} , ~ j \ge i ) } \\ & { v = \frac { ( m - 1 ) ( 2 f _ { q } - m ) } { 2 } + n ~ ~ ( m , n \in \{ 1 , . . . , f _ { q } \} , ~ n \ge m ) . } \end{array}
\left\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \hat { \theta } _ { i } \right\vert - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert \right\vert \overset { p } { \rightarrow } 0 .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } t ( p ( t , m = 0 ) - p _ { l o n g } ( t , m ) ) d t + \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } t ( p ( t , m = 0 ) - p ( t , m ) ) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \frac { \partial I } { \partial t } } + \ensuremath { \left[ I , \omega \right] } = \int _ { | k | = | k ^ { \prime } } \sigma ^ { \prime } ( x , k , k ^ { \prime } ) I ( x , k ^ { \prime } , t ) \ensuremath { \, \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { k } } ^ { \prime } - \Sigma ^ { \prime } ( x , k ) I ( x , k , t ) , } \end{array}
u _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } , s ) = ( \alpha _ { 1 } + s r ) \frac { \alpha _ { 1 } ^ { \gamma _ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \gamma _ { r } } + ( s r ) ^ { \gamma _ { r } } } + \left( ( 1 - \alpha _ { 1 } ) + ( 1 - s ) r \right) \frac { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + ( ( 1 - s ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } \; .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { R S } ) - { \mathbf { v } } _ { \mathrm { R S } } } & { { } = { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \; \; \mathrm { a n d } } \\ { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { F S } ) - { \mathbf { v } } _ { \mathrm { F S } } } & { { } = { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle u _ { \infty } , g _ { 1 } \rangle { \langle u _ { \infty } , g _ { 2 } \rangle } ] = } & { \ \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } [ \langle u ( t ) , g _ { 1 } \rangle { \langle u ( t ) , g _ { 2 } \rangle } ] } \\ { = } & { \ C \int _ { \mathbb R _ { x } } g _ { 1 } ( x ) \, g _ { 2 } ( x ) \, d x - \int _ { \mathbb R _ { x } \times \mathbb R _ { y } } \mathcal { I } ( x - y ) \, g _ { 1 } ( x ) \, g _ { 2 } ( y ) \, d x \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) } & { { } = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( u ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( u ) - \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \overline { { L } } ( \tau ) } _ { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ e ~ n ~ s ~ e ~ m ~ b ~ l ~ e ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } ~ } } = \underbrace { \left[ \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ( \tau ) \right] } _ { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ o ~ f ~ m ~ e ~ a ~ n ~ s ~ } ~ } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { \theta } ^ { * } ( y ) : = \frac { \operatorname* { m a x } \{ S _ { \theta } ( y ) , 1 \} } { { \bf E } _ { Y \sim P _ { \theta } } [ \operatorname* { m a x } \{ S _ { \theta } ( Y ) , 1 \} ] } \ \ , \ \ S _ { \theta } ^ { \circ } ( y ) : = \frac { 1 } { 2 } \cdot \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , S _ { \theta } ( y ) \right\} } \\ & { S _ { \theta } ^ { [ \gamma ] } ( y ) : = ( 1 - \gamma ) + \gamma S _ { \theta } ( y ) \mathrm { \ f o r ~ \ } \gamma = 1 / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { n + 2 } = ( A - 1 ) ^ { - 2 } \Big ( ( - [ J , \mathcal { H } _ { n } J \mathcal { H } _ { n } ^ { - 1 } ] - \mathcal { H } _ { n } ( A ^ { t } - 1 ) \mathcal { H } _ { n - 1 } ^ { - 1 } ( A - 1 ) + ( A - 1 ) \mathcal { H } _ { n + 1 } ( A ^ { t } - 1 ) \mathcal { H } _ { n } ^ { - 1 } ) ( A - 1 ) } \\ { - 2 - \mathcal { H } _ { n + 1 } J \mathcal { H } _ { n + 1 } ^ { - 1 } + \mathcal { H } _ { n } J \mathcal { H } _ { n } ^ { - 1 } + ( A - 1 ) [ J , \mathcal { H } _ { n + 1 } J \mathcal { H } _ { n + 1 } ^ { - 1 } ] + ( A - 1 ) \mathcal { H } _ { n + 1 } ( A ^ { t } - 1 ) \mathcal { H } _ { n } ^ { - 1 } ( A - 1 ) \Big ) \mathcal { H } _ { n + 1 } ( A ^ { t } - 1 ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { R ^ { 3 } } } & { \left[ \frac { J _ { \perp } } { 2 } \left( S _ { i } ^ { + } S _ { j } ^ { - } + \mathrm { h . c . } \right) + J _ { z } S _ { i } ^ { z } S _ { j } ^ { z } \right. } \\ & { \left. + W \left( \mathbb { I } _ { i } S _ { j } ^ { z } + S _ { i } ^ { z } \mathbb { I } _ { j } \right) + V \mathbb { I } _ { i } \mathbb { I } _ { j } \vphantom { \frac { J _ { \perp } } { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 4 } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } { = \langle \Delta I _ { 2 } ^ { \sigma } \Delta I _ { 4 } ^ { \sigma ^ { \prime } } \rangle ^ { s h } } , \quad \mathrm { ~ { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ } \quad { \sigma , \sigma ^ { \prime } = \uparrow / \downarrow } } \\ { { = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } } \\ { { \times T r ( s _ { 2 \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 2 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { 4 \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { 4 \gamma } ^ { \sigma \rho } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = 2 \int _ { 0 } ^ { R _ { 0 } } R U d R + 2 \int _ { R _ { 0 } } ^ { h } R U d R ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { = U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } + \frac { P _ { 1 } ^ { m } ( h - R _ { 0 } ) ^ { m + 1 } ( h ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + 3 m + 2 ) + 2 R _ { 0 } h ( m + 2 ) + 2 R _ { 0 } ^ { 2 } ) } { ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) } , ~ ~ m = \frac { 1 } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg ( i \frac { \partial } { \partial \tau _ { 1 } } + \Delta \bigg ) } & { { } \mathcal { A } _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \delta ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } F _ { 1 } + { \bf B } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \left( \frac { F _ { 1 } v _ { 1 } } { B } \right) - \frac { \mu } { L ^ { 2 } } ( F _ { 2 } - F _ { 1 } ) = S _ { 1 } ,
H \, = \, M _ { 0 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \sum _ { j = 1 } ^ { D - 2 } \, \omega _ { n } \, a _ { n } ^ { j + } a _ { n } ^ { j } \, + \, \frac { D - 2 } { 2 } \, M _ { 0 } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \omega _ { n } \, { , }
\begin{array} { r l } { U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) } & { = \log _ { 2 } ( 2 p ) - \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \frac { \Delta - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { \ge \log _ { 2 } ( 2 p ) \! - \! \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - ( q \! - \! p ) \frac { 2 \rho _ { j } ( y ^ { t } ) \! + \! 2 \rho _ { l } ( t ) \! - \! 1 - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { = \log _ { 2 } ( 2 p ) \! - \! \log _ { 2 } \left( \! 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \left( 1 \! - \! \frac { 2 \rho _ { l } ( t ) } { 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) \right) } \\ & { > \log _ { 2 } ( 2 p ) - \log _ { 2 } \left( 2 q \right) = - C _ { 2 } \, . } \end{array}
{ \frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \left[ { \frac { 1 } { n _ { \gamma } } } \int \left[ \bar { P } _ { 0 } ( 1 - \bar { P } _ { z } ) N _ { \bar { \nu } _ { \alpha } } ^ { e q } - P _ { 0 } ( 1 - P _ { z } ) N _ { \nu _ { \alpha } } ^ { e q } \right] d p \right] .
\operatorname* { g c d } ( a , \operatorname { l c m } ( b , c ) ) = \operatorname { l c m } ( \operatorname* { g c d } ( a , b ) , \operatorname* { g c d } ( a , c ) ) \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad \operatorname { l c m } ( a , \operatorname* { g c d } ( b , c ) ) = \operatorname* { g c d } ( \operatorname { l c m } ( a , b ) , \operatorname { l c m } ( a , c ) ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \ln \rho ( z ) } { \partial \beta } } & { { } = \frac { 1 } { \rho ( z ) } \left( \left< U \right> \rho ( z ) - \left< U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] \right> \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal F _ { \mathbf A _ { k , k , 2 } } ^ { \mathrm { l b , \it t } } ( \mathbf v _ { 2 } , \mu _ { k , 2 } ) \geq \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathbf v _ { 2 } ^ { H } \mathbf A _ { i , k , 2 } \mathbf v _ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } } , } \\ & { \forall k \in \mathcal K , } \\ & { \mathcal F _ { \mathbf A _ { k , k , 3 } } ^ { \mathrm { l b , \it t } } ( \mathbf v _ { 3 } , \mu _ { k , 3 } ) \geq \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathbf v _ { 3 } ^ { H } \mathbf A _ { i , k , 3 } \mathbf v _ { 3 } + \sigma _ { k } ^ { 2 } , \ \forall k \in \mathcal K , } \\ & { \zeta \tau _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathcal G _ { \mathbf A _ { i , k , 1 } } ^ { \mathrm { l b , \it t } } ( \mathbf v _ { 1 } ) + \zeta \tau _ { 2 } \left( 1 - \rho _ { k } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathcal G _ { \mathbf A _ { i , k , 2 } } ^ { \mathrm { l b , \it t } } ( \mathbf v _ { 2 } ) \geq E _ { k } , } \\ & { \forall k \in \mathcal K , } \end{array}
{ \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { k } = ( { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } + \delta _ { i j } ) { \hat { a } } _ { k } = { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { k } + \delta _ { i j } { \hat { a } } _ { k } = { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { k } + { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet } { \hat { a } } _ { k } = \, { \mathopen { : } } \, { \hat { a } } _ { i } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { k } \, { \mathclose { : } } + { \mathclose { : } } \, { \hat { a } } _ { i } ^ { \bullet } \, { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger \bullet } \, { \hat { a } } _ { k } { \mathclose { : } }