harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \phi _ { m } ^ { \mathrm { D } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } } & { = - \int _ { - \infty } ^ { t } E _ { m } \textbf { ( } \textbf { k } ( \tau ) \textbf { ) } \mathrm { d } \tau , } \\ { \phi _ { m } ^ { \mathrm { B } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } } & { = - \int _ { - \infty } ^ { t } \textbf { F } ( \tau ) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { m } ^ { \textbf { k } ( \tau ) } \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } } & { { } P \left( \Delta ; t \right) } \\ { = } & { { } \left\{ \begin{array} { l c c } { \delta \left( \Delta + 1 - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q \leq q _ { c } ^ { - } } \\ { \delta \left( \Delta - \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 2 q - 1 \right) } { 2 \varepsilon } \right) } & { \mathrm { i f } } & { q _ { c } ^ { - } \leq q \leq q _ { c } ^ { + } } \\ { \delta \left( \Delta - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q \geq q _ { c } ^ { + } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d \, \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \, \mathrm { d } \Omega + \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ { = \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { d } \Omega - \int _ { \Omega } h _ { T } \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { X Y - i n - D F T } } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } ; \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] = } \\ { \newline } & { E _ { \mathrm { X Y } } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } ] + E _ { \mathrm { D F T } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } + \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] - E _ { \mathrm { D F T } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } ] } \\ { \newline } & { + \mathrm { t r } [ ( \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } - \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } ) \, \boldsymbol { v } _ { \mathrm { e m b } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] ] + \alpha \, \mathrm { t r } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { B } } ] } \end{array}
{ \frac { 1 } { e _ { \mathrm { e x p } } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { e _ { 0 } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 \pi } } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx } & { { \mathbb L } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { { } \approx } & { { \mathbb L } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { { } \approx } & { { \mathbb L } _ { 2 } . } \end{array}
x _ { i } ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } ( t ) \geq x _ { i } ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } ( t ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } y _ { i } ^ { \mathcal { P } _ { 1 } } ( t ) \geq y _ { i } ^ { \mathcal { P } _ { 2 } } ( t ) , \forall i \in V _ { 1 } .
\begin{array} { r l r } { T } & { = } & { 4 \sqrt { \frac { 2 m } { k } } \ A ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { A } d x \left[ 1 - \left( \frac { x } { A } \right) ^ { 4 } \right] ^ { - 1 / 2 } } \\ & { = } & { 4 \sqrt { \frac { 2 m } { k } } \ A ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \left( 1 - u ^ { 4 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { = } & { \left( 4 \sqrt { \frac { 2 m } { k } } I \right) A ^ { - 1 } } \\ & { \propto } & { A ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { 1 } { N _ { n } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { n } } \delta _ { x _ { i , n } } \rightharpoonup { \frac { 1 } { 4 \pi } } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { 1 } ( 0 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta p _ { 0 } ^ { 0 } } & { = } & { \Delta p _ { 0 } ^ { 2 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 1 } = \Delta p _ { 2 } ^ { 0 } = 0 , } \\ { \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i } p _ { i } ( 1 - { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ) + \frac { 2 D \eta } { \rho _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T R _ { 0 } b } , } \\ { \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } } & { = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } , } \\ { \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } } & { = } & { \sum _ { i } \left[ 3 F \left( H ; \beta _ { i } ( x ) { \rho _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) \right) - p _ { i } { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } \right] , } \\ { \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } } & { = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } , } \\ { \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } } & { = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 3 } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { x } ( x _ { 0 } ; t ) = v _ { x ; 0 } ^ { f } ( x _ { 0 } ; t ) + v _ { x ; R } ^ { f } ( x _ { 0 } ; t ) + v _ { x } ^ { t h } ( x _ { 0 } ; t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 1 } | _ { m + m ^ { \prime } - 2 , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } } & { \le _ { m , m ^ { \prime } , s , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } , } \\ { | \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 2 } | _ { m + m ^ { \prime } - 3 , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } } & { \le _ { m , m ^ { \prime } , s , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert \kappa _ { u } ( \Psi ) \rvert } & { \lesssim _ { s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \mathrm { d } \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { - s , p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { r , s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { 1 , r ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { 1 , r ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { r , s , p , n } ( \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ) \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { 1 , r ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \P ( Z _ { n } \leq y , G _ { n , ( 1 ) } \leq x _ { 1 } , \ldots , G _ { n , ( k ) } \leq x _ { k } ) } \\ & { = \, \P \Big ( Z _ { n } \leq y , N _ { n } ( x _ { 1 } , \infty ) = 0 , N _ { n } ( x _ { 2 } , \infty ) \le 1 , \ldots , N _ { n } ( x _ { k } , \infty ) \leq k - 1 \Big ) } \\ & { \to \P ( Z \leq y ) \, \P \Big ( N ( x _ { 1 } , \infty ) = 0 , N ( x _ { 2 } , \infty ) \le 1 , \ldots , N ( x _ { k } , \infty ) \leq k - 1 \Big ) \, , \qquad n \to \infty \, . } \end{array}
{ \mathbb E } \biggl [ \exp \biggl \{ \frac { c ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 2 n \mathrm { ! } } { n \mathrm { ! } n \mathrm { ! } } \frac { X _ { t } ^ { 2 n } } { 2 n \mathrm { ! } } \mathrm { d } t \biggr \} \biggr ] = { \mathbb E } \biggl [ \exp \biggl \{ \frac { c ^ { 2 } } { 2 ( n \mathrm { ! } ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } X _ { t } ^ { 2 n } \mathrm { d } t \biggr \} \biggr ] ,
\zeta ( s ) = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } = { \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 3 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 5 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 7 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 1 1 ^ { - s } } } \cdots
\begin{array} { r l } { T ( \theta ) } & { { } = \sum _ { p q } \theta _ { p q } \left( a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } - \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) + \sum _ { p q r s } \theta _ { p q r s } \left( a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } ^ { \dagger } a _ { r } a _ { s } - \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) \ldots , } \end{array}
{ \cal Z } = \int _ { \Lambda ( \infty ) = 0 } D \Lambda \int _ { { \vec { A } } _ { i } ( { \vec { x } } , \beta ) = { \vec { A } } _ { i } ^ { \Lambda } ( { \vec { x } } , 0 ) } { D } { \vec { A } } _ { i } D { \vec { \phi } } \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d ^ { 3 } x L \right) ,
\begin{array} { r l } { M ^ { ( 0 ) } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S [ X ^ { \mu } , { \hat { b } } _ { \hat { \imath } } , { \hat { V } } _ { \hat { \imath } } ] } } & { { = } } & { { - T _ { M _ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \hat { \xi } } e ^ { - \phi } \sqrt { | g _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) { \hat { \cal F } } _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } | } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { T _ { M _ { 2 } } } { 3 ! } \int d ^ { 3 } \hat { \xi } \epsilon ^ { \hat { \imath } \hat { \jmath } \hat { k } } \left[ C _ { \hat { \imath } \hat { \jmath } \hat { k } } ^ { ( 3 ) } - 3 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) C _ { \hat { \imath } } ^ { ( 1 ) } \hat { \cal F } _ { \hat { \jmath } \hat { k } } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + 6 m \pi \alpha ^ { \prime } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) { \hat { b } } _ { \hat { \imath } } \partial _ { \hat { \jmath } } { \hat { V } } _ { \hat { k } } - 3 \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } { \hat { b } } _ { \hat { \imath } } \partial _ { \hat { \jmath } } { \hat { b } } _ { \hat { k } } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + 3 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \partial _ { \hat { \imath } } \hat { a } ^ { ( 2 ) } { } _ { \hat { \jmath } \hat { k } } - 6 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } \partial _ { \hat { \imath } } { \hat { c } } ^ { ( 0 ) } \partial _ { \hat { \jmath } } V _ { \hat { k } } \right] \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { h ^ { ( t ) } ( y ) = \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } + \tau _ { t } } \left\{ \hat { \phi } _ { t } ( y ) + \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } + \tau _ { t } h ^ { ( t - 1 ) } ( y ) \right\} , } \\ { g ^ { ( t ) } ( x ) = \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \left\{ \hat { \psi } _ { t } ( x ) + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 } + \eta _ { t } g ^ { ( t - 1 ) } ( x ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { t + d t } } & { { } = x _ { t } - w _ { r } \, x _ { t } \, d t + \mu \, { \cal F } \, \theta _ { t } \, d t + \sqrt { 2 \, k _ { B } T \mu } \, d \mathcal { B } _ { t } ^ { x } } \\ { \theta _ { t + d t } } & { { } = \theta _ { t } + ( 1 - 2 \, \theta _ { t } ) \Theta _ { H } ( w _ { \theta _ { t } } d t - r ) } \end{array}
\sqrt { n } \left( \frac { 1 } { \tau + 1 } \frac { \partial H _ { n } ^ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \right) \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } ( \boldsymbol { 0 } _ { d } , \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ) ,
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 2 5 , 0 , 0 . 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq x \leq 1 , } \end{array} \right.
\frac { H ^ { c } \bar { H } ^ { c } } { M ^ { 2 } } \equiv \left( \frac { v _ { 0 } } { M } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \xi } \left( 1 - ( 1 - 4 \xi ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) , ~ ~ S = 0 , ~ ~ \frac { \phi } { M } = - \frac { \kappa ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \beta ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { v _ { 0 } } { M } \right) ^ { 2 } , ~ ~ \bar { \phi } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \sum _ { \alpha = 1 , 2 , 3 } \frac { \Delta _ { \alpha } - i \gamma / 2 } { | \nu _ { \alpha } | ^ { 2 } } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \right) ^ { \dagger } { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \, , } \\ { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \sum _ { \alpha = 4 , 5 } \frac { \Delta _ { \alpha } - i \gamma / 2 } { | \nu _ { \alpha } | ^ { 2 } } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \right) ^ { \dagger } { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle \frac { \partial c } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } = \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } + \omega \left( \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \right) + \mathcal O ( \omega ^ { 2 } ) . } \end{array}
\bar { \Lambda } \equiv 8 \pi \bar { G } _ { N } [ V w + \frac { 6 k ^ { 2 } } { k _ { 5 } ^ { 2 } \bar { \sigma } ^ { 2 } } ( \frac { ( y - \bar { y } ) ^ { 2 } } { \bar { \sigma } ^ { 2 } } - 1 ) - 2 \Lambda ] .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { I } } & { = } & { \left( x ^ { 3 } e ^ { - x } \right) y \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } , } \\ { \mathbf { I I } } & { = } & { 3 \left( x ^ { 2 } e ^ { - x } \right) y ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } , } \\ { \mathbf { I I I } } & { = } & { 2 \left( x e ^ { - x } \right) y ^ { 3 } \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } . } \end{array}
( \partial _ { 0 } E ^ { i } - c \varepsilon ^ { i j k 0 } \partial _ { j } B _ { k } + j ^ { i } / c \varepsilon _ { 0 } ) \gamma _ { i } - ( \partial _ { k } E ^ { k } - j ^ { 0 } / c \varepsilon _ { 0 } ) \gamma _ { 0 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left\| a \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } } } & { \lesssim \left\| a \right\| _ { H _ { x } ^ { \frac { d } { 2 } + } } \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , \varepsilon ^ { 2 p - 2 n - } \} , } \\ { \left\| D _ { x } ^ { j } a \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } } } & { \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , \varepsilon ^ { 2 p - 2 n - j - } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | S _ { 1 } ( r ) | - 2 { \binom { k } { 2 } } | \mathcal { E } | ^ { 3 } } \\ { \geq } & { q ^ { 2 d - 1 } t ^ { 4 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 3 d / 2 } - q ^ { 2 d - 1 } t ^ { 2 } - 4 q ^ { 2 d - 2 } t ^ { 4 } - 4 q ^ { 2 d - 1 } t ^ { 3 } - 2 { \binom { k } { 2 } } t ^ { 3 } q ^ { 3 d / 2 } } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { d } \left( t ^ { 2 } q ^ { d - 1 } - 2 t q ^ { d / 2 } - q ^ { d - 1 } - 4 q ^ { d - 2 } t ^ { 2 } - 4 q ^ { d - 1 } t - 2 { \binom { k } { 2 } } t q ^ { d / 2 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { d } \left( t ^ { 2 } q ^ { d - 1 } - 2 t q ^ { d / 2 } - q ^ { d - 1 } - \frac { 4 } { 5 } q ^ { d - 1 } t ^ { 2 } - 4 q ^ { d - 1 } t - 2 { \binom { k } { 2 } } t q ^ { d / 2 } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 5 } t ^ { 2 } q ^ { 3 d / 2 } \left( \left( t ^ { 2 } - 2 0 t - 5 \right) q ^ { ( d - 2 ) / 2 } - 1 0 t - 1 0 { \binom { k } { 2 } } t \right) } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { 5 } t ^ { 2 } q ^ { 3 d / 2 } \left( \left( t ^ { 2 } - 2 1 t \right) q ^ { ( 2 - 2 ) / 2 } - 1 0 t - 1 0 { \binom { k } { 2 } } t \right) } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { 5 } t ^ { 2 } q ^ { 3 d / 2 } \left( t ^ { 2 } - 3 1 t - 1 0 { \binom { k } { 2 } } t \right) \geq 0 . } \end{array}
\left( \frac { C - \dot { R } } { R } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \right) \left[ \frac { R ^ { 2 } } { C } \left( \frac { 1 } { 2 } \dot { R } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } v ^ { 2 } + h \right) \right] = 2 R \dot { R } ^ { 2 } + R ^ { 2 } \ddot { R } \, ,
K _ { r } ( u ) = \left( \begin{array} { l l } { { 2 y _ { 0 } ( q t u - q ^ { - 1 } t ^ { - 1 } u ^ { - 1 } ) \; } } & { { y _ { + } ( q u ^ { 2 } - q ^ { - 1 } u ^ { - 2 } ) } } \\ { { y _ { - } ( q u ^ { 2 } - q ^ { - 1 } u ^ { - 2 } ) \; } } & { { - 2 y _ { 0 } ( t ^ { - 1 } u - t u ^ { - 1 } ) } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { i \frac { 1 + k / k _ { L } } { k _ { L } } \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { p m } } { \partial \eta } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { k _ { L } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \frac { \delta n _ { s } } { n _ { 0 0 } } \sum _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \alpha _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \exp \left[ - i \left( \tilde { k } _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } - \tilde { k } _ { k } ^ { p m } \pm ( k _ { p 0 } / k _ { L } ) \tilde { k } _ { 0 } ^ { 0 0 } \right) \eta \right] \langle \mathrm { L G } _ { p m } | \mathrm { L G } _ { 0 0 } ^ { 2 } | \mathrm { L G } _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \rangle } \end{array}
\Delta \sigma _ { 1 } ^ { ( c o n ) } ( \omega , \tau _ { d } ) = \Delta \sigma _ { 1 } ( \omega , \tau _ { d } ) _ { ( 0 S \mathrm { ~ - ~ } 0 S ) } + \Delta \sigma _ { 1 } ( \omega , \tau _ { d } ) _ { ( 1 S \mathrm { ~ - ~ } 1 S ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ^ { 2 } Z [ q ] } { \delta q ( x ) \delta q ( x ^ { \prime } ) } } & { { } = \frac { \delta } { \delta q ( x ^ { \prime } ) } \left\{ Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \Bigg \{ \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , R ) , \underset { \Tilde { p } \in P } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { p } , Q ) \right\} , \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , P ) , \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , Q ) \right\} , \ } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , P ) , \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , R ) \right\} \Bigg \} \leq H _ { b } ( P , R , Q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } , \mathrm { R B } , n _ { \mathrm { t } } } \rangle = \frac { g } { 2 } } & { \left( \frac { a } { 2 } - \frac { b } { a } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - g ) ^ { m - 1 } } \\ & { \times \left[ \Psi ( 2 n _ { \mathrm { t } } m + 1 ) - \Psi ( 2 n _ { \mathrm { t } } m - 1 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d S ( t ) } { d t } } & { { } = - \delta I ( t ) S ( t ) / N } \\ { \frac { d I ( t ) } { d t } } & { { } = \delta I ( t ) S ( t ) / N - \gamma I ( t ) } \\ { \frac { d R ( t ) } { d t } } & { { } = \gamma I ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { - , { \kappa = } 0 , { \nu ^ { \prime } = 0 } , + } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = e ^ { \nu w } e ^ { w \sqrt { \nu ^ { 2 } - 4 } } } \\ { \dot { y } } & { = e ^ { \nu w } e ^ { - w \sqrt { \nu ^ { 2 } - 4 } } } \\ { \dot { w } } & { = \frac { 1 } { 2 } u } \end{array} \right. ; } \end{array}
< \prod _ { i = 1 } ^ { N } s _ { \pm } ( w _ { i } ) > _ { \pm N } ^ { \mu = 0 } = ( - m e ^ { \gamma } / 4 \pi ) ^ { N } \exp ( - 2 \sum _ { i > j } K _ { 0 } ( m \vert w _ { i } - w _ { j } \vert ) )
\begin{array} { r } { \Delta A _ { i } ( x ) = \frac { f } { g } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 2 } } x ^ { \prime } \ G _ { i j } ( x - x ^ { \prime } ) \Delta \gamma _ { j } ( x ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } = \frac { \partial } { \partial t } + { \boldsymbol { v } } _ { E } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } _ { \perp } = \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \rho _ { e } v _ { \mathrm { t h } e } } { 2 } \left\{ \varphi , \dots \right\} , \quad \varphi = \frac { e \phi } { T _ { 0 e } } , } \end{array}
{ \cal R } _ { 0 } ^ { I } ( \tau ) \equiv \frac { 1 } { \tau } \hat { B } \left[ \Pi _ { I } \left( Q ^ { 2 } \right) \right] = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } I m \Pi _ { I } ( t ) e ^ { - t \tau } \, d t
c _ { d } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = d \left\{ m _ { 1 } \lambda _ { 2 } - m _ { 2 } \lambda _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \biggl ( \frac { d \tilde { f } _ { 1 } } { d \sigma } \tilde { f } _ { 2 } - \frac { d \tilde { f } _ { 2 } } { d \sigma } \tilde { f } _ { 1 } \biggr ) d \sigma \right\} .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) , } \\ { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { j } u _ { i } + \partial _ { i } u _ { j } \right) , } \\ { R _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { j } u _ { i } - \partial _ { i } u _ { j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { e x t } } & { { } = \int _ { S _ { p } } \tau _ { i j } n _ { j } d S } \\ { T _ { i } ^ { e x t } } & { { } = \int _ { S _ { p } } \epsilon _ { i j k } x _ { j } \tau _ { k m } n _ { m } d S } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } = X _ { i } ^ { t } + \mathbb { E } \Big [ \sum _ { \tau = t + 1 } ^ { T } X _ { i } ^ { \tau } \Big ] + \frac { \sqrt { T - t } } { \sqrt { \xi } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } \\ & { \underbar { Y } _ { i } ^ { t } = X _ { i } ^ { t } + \mathbb { E } \Big [ \sum _ { \tau = t + 1 } ^ { T } X _ { i } ^ { \tau } \Big ] - \frac { \sqrt { T - t } } { \sqrt { \xi } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } \end{array}