harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 1 } { k _ { \mathrm { B } } } } = { \frac { 1 . 6 0 2 \ 1 7 6 \ 6 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 9 } { \mathrm { ~ J / e V } } } { 1 . 3 8 0 \ 6 4 9 \times 1 0 ^ { - 2 3 } { \mathrm { ~ J / K } } } } = 1 1 \ 6 0 4 . 5 1 8 \ 1 2 { \mathrm { ~ K / e V } } .
{ \cal O } _ { \mu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { \phi _ { \mu } ^ { ( 8 ) } } { \sqrt { 6 } } } } } & { { \rho _ { \mu } ^ { + } } } & { { K _ { \mu } ^ { * + } } } \\ { { \rho _ { \mu } ^ { - } } } & { { - { \frac { \rho _ { \mu } ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { \phi _ { \mu } ^ { ( 8 ) } } { \sqrt { 6 } } } } } & { { K _ { \mu } ^ { * 0 } } } \\ { { K _ { \mu } ^ { * - } } } & { { \overline { { K } } _ { \mu } ^ { * 0 } } } & { { - { \frac { 2 \phi _ { \mu } ^ { ( 8 ) } } { \sqrt { 6 } } } } } \end{array} \right] ,
d s ^ { 2 } = r _ { 0 } ^ { 2 } \bigg \{ R ^ { - 2 } ( - d u d v + d R ^ { 2 } ) + { \frac { p ( u ) } { r _ { 0 } ^ { 4 } } } d u ^ { 2 } + d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \biggr \} + d y _ { i } d y ^ { i }
\begin{array} { r l } { \langle e _ { I } , { { \mathbb Y } } _ { t } \rangle } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { { \mathbb Y } } _ { s } \rangle \circ { \mathrm { d } } \langle e _ { i _ { | I | } } , Y _ { s } \rangle } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { { \mathbb Y } } _ { s } \rangle { { \mathrm { d } } } \langle e _ { i _ { | I | } } , Y _ { s } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime \prime } } , { { \mathbb Y } } _ { s } \rangle { { \mathrm { d } } } [ \langle e _ { i _ { | I | - 1 } } , Y _ { s } \rangle , \langle e _ { i _ { | I | } } , Y _ { s } \rangle ] _ { s } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \langle { \mathbf b } _ { i _ { | I | } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s + \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \sigma _ { i _ { | I | } } ( Y _ { s } ) { \mathrm { d } } W _ { s } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \langle { \mathbf a } _ { i _ { | I | - 1 } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } \shuffle { \mathbf b } _ { i _ { | I | } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s + \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \sigma _ { i _ { | I | } } ( Y _ { s } ) { \mathrm { d } } W _ { s } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime \prime } } \shuffle { \mathbf a } _ { i _ { | I | - 1 } i _ { | I | } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \langle L e _ { I } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle { \mathrm { d } } s + \int _ { 0 } ^ { t } \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \sigma _ { i _ { | I | } } ( Y _ { s } ) { \mathrm { d } } W _ { s } , } \end{array}
\overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \, | _ { z = z _ { p } } \sim - Q _ { b } \qquad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \qquad h ^ { 2 } \sim \frac { Q _ { b } t } { N ^ { 2 } } \, ,
\sigma ^ { \prime } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { i } & { \cdots } & { n - 1 } & { n } \\ { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 1 ) ) } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 2 ) ) } & { \cdots } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( i + 1 ) ) } & { \cdots } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( n ) ) } & { n } \end{array} \right) }
\mathbf { V } = { \frac { \mathbf { p } _ { 1 } + \mathbf { p } _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } = { \frac { m _ { 1 } \mathbf { u } _ { 1 } + m _ { 2 } \mathbf { u } _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \zeta } ( k ) } { \partial t ^ { 2 } } + i \left[ \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) + \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \right] \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ) } { \partial t } - \Omega ^ { ( 1 ) } ( k ) \Omega ^ { ( 2 ) } ( k ) \tilde { \zeta } ( k ) } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { -- } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { - + } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } } \\ & { } & { + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { \prime } \; \tilde { W } _ { + + } ( k ^ { \prime } , k - k ^ { \prime } ) \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k ^ { \prime } ) } { \partial t } \frac { \partial \tilde { \zeta } ( k - k ^ { \prime } ) } { \partial t } = 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\vert \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 2 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } \right\vert } \\ & { \quad \leq C a ^ { 6 } \rho ^ { 4 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } \Bigl [ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log b / a ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \Bigr ] } \\ & { \qquad + C a ^ { 3 } \rho ^ { 3 + 2 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } \Bigl [ s ^ { 5 } a ^ { 1 2 } \rho ^ { 4 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 5 } ( \log N ) ^ { 1 6 } + b ^ { 2 } \rho ^ { 2 / 3 } + \log ( b / a ) \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ V ~ } \int \mathrm { d } \xi \frac { \xi ^ { 2 } } { \xi + y } f _ { M } } & { { } = - ( V _ { \parallel } + u ) \frac { n } { 2 \pi } \frac { m } { T } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) + ( V _ { \parallel } + u ) ^ { 2 } \mathcal { I } } \end{array}
H = \int d ^ { 2 } x \Biggl [ { \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { 0 } ^ { 2 } \varphi _ { \alpha } ^ { 2 } + ( \nabla \varphi _ { \alpha } ) ^ { 2 } ) + { \frac { \lambda } { 2 4 } } ( \varphi _ { \alpha } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Biggr ] , \,
\boldsymbol { \sigma } _ { p } + \frac { \tau } { f } \overset { \nabla } { \boldsymbol { \sigma } } _ { p } = \frac { b \eta _ { p } } { f } ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { T } ) - \frac { D } { D t } \left( \frac { 1 } { f } \right) [ \tau \boldsymbol { \sigma } _ { p } + b \eta _ { p } \mathbf { I } ] ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \langle N | \hat { H } ^ { ( 0 ) } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } Q _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \rho } } { d t } = - \frac { i } { \hbar } [ \hat { H } , \hat { \rho } ] } & { { } + \sum _ { j = 1 , 2 } \gamma _ { j } ( 2 \hat { a } _ { j } \hat { \rho } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { \rho } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } - \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { \rho } ) } \end{array}
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = \operatorname { v a r } ( \mathbf { X } ) = \operatorname { E } \left[ \left( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \right) \left( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \right) ^ { \mathrm { { T } } } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb T ^ { d } } g ( m \cdot \alpha ) \, d \alpha } & { = \int _ { \mathbb T ^ { d - 1 } } \bigg ( \int _ { \mathbb T } g ( h \beta + k \cdot \gamma ) \, d \beta \bigg ) \, d \gamma } \\ & { = \int _ { \mathbb T ^ { d - 1 } } \bigg ( \int _ { \mathbb T } g ( t ) \, d t \bigg ) \, d \gamma = \int _ { \mathbb T } g ( t ) \, d t . } \end{array}
u ( x , t ) = { \frac { 1 } { \gamma _ { n } } } \left[ \partial _ { t } \left( { \frac { 1 } { t } } \partial _ { t } \right) ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( t ^ { n - 2 } { \frac { 1 } { | \partial B _ { t } ( x ) | } } \int _ { \partial B _ { t } ( x ) } g d S \right) + \left( { \frac { 1 } { t } } \partial _ { t } \right) ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( t ^ { n - 2 } { \frac { 1 } { | \partial B _ { t } ( x ) | } } \int _ { \partial B _ { t } ( x ) } h d S \right) \right]
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) \sim \frac { ( x - t ) } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } \equiv \frac { 1 } { r } \mathbf { e } _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \Big [ \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { C } _ { \kappa } ( \varpi , p ) + \bar { C } _ { \kappa } ( - \omega + \varpi , p ) \Big ] \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ { \partial _ { s } \bar { R } _ { \kappa } ( \varpi , p ) } & { = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \Big [ \bar { R } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { R } _ { \kappa } ( \varpi , p ) + \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega + \varpi , p ) \Big ] \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { F F } } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } \left( 1 - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \\ { S ^ { \mathrm { M F } } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } ^ { 2 } } \left( \frac { i } { k _ { \mathrm { d } } } - \frac { 3 i x _ { l } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { d } } R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \\ { S ^ { \mathrm { N F } } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } ^ { 3 } } \left( - \frac { 1 } { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } + \frac { 3 x _ { l } ^ { 2 } } { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } R _ { l } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\widetilde { \phi } _ { i } = { \bf B } \phi _ { i } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( \phi ^ { 1 } ) - \operatorname* { m i n } ( \phi ^ { 1 } ) } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( \phi ^ { D } ) - \operatorname* { m i n } ( \phi ^ { D } ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { i } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { i } ^ { D } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \psi = 0 \quad \mathrm { a n d \ } \quad { \ensuremath { \boldsymbol } J } \cdot { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } } = 0 \quad \mathrm { a t \ } \quad z = 0 , H , } \\ { \frac { \partial { \psi } } { \partial { z } } = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \zeta = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = H , } \\ { \psi = 0 , ~ \zeta = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \ensuremath { \boldsymbol } J } \cdot { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } x } = 0 \quad \mathrm { a t } \quad } x = 0 , L , } \end{array}
\mathcal { L } _ { I } ( s | \varphi _ { c } , \phi _ { 0 } ^ { r } ) = \mathrm { { e x p } } \Big ( - \lambda _ { b s } \int _ { \mathbf { V } } \Big ( 1 - \Big ( 1 + \frac { s \, p \, K \, g _ { m a x } \, g _ { 3 g p p } ( | \phi _ { 0 } ^ { r } - \phi _ { x } | ) \, r _ { x } ^ { - \alpha _ { L } } } { m _ { x } } \Big ) ^ { - m _ { x } } \Big ) r _ { x } \mathrm { d } \mathbf { V } \Big ) ,
Y _ { m + k + 1 - n , n - 1 } = \Delta ^ { 2 } Z _ { m + k + 1 - n , n } - \Delta ^ { 1 } Z _ { m + k + 2 - n , n - 1 } + \xi _ { 1 } u ^ { i } C _ { i ( 2 n - m - k - 1 ) ( 1 ) } ( { \frac { \partial } { \partial u _ { 1 } ^ { * } } } ) ^ { 2 n - m - k - 1 } Q _ { 1 } ( { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } ^ { * } } } ) ^ { 1 } Q _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { f } ^ { \alpha } \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) = \hat { h } \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \left[ \mathcal { J } _ { i } ^ { \alpha } - \mathcal { K } _ { i } ^ { \alpha } \right] \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \, \mathcal { J } _ { i } ^ { \beta } \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha } + \mathcal { M } _ { i , j } ^ { \alpha } + \mathcal { N } _ { i , j } ^ { \alpha } - \mathcal { O } _ { i , j } ^ { \alpha } - \mathcal { P } _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha } - \mathcal { Q } _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha } \right] \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \alpha , \beta } - \mathcal { P } _ { i , j } ^ { \alpha , \beta } \right] \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \beta , \alpha } - \mathcal { Q } _ { i , j } ^ { \beta , \alpha } \right] \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \beta , \beta } - \mathcal { O } _ { i , j } ^ { \beta } \right] \, \phi _ { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \left( \mu _ { s } - \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \right) \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] + \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] } \\ & { \leq \frac { 4 \eta \bar { b } } { \sigma } \cdot \bar { b } + \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } ^ { ( - s ) } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \right] \, . } \end{array}
| \psi _ { \pm } ( \beta ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( \varepsilon _ { \pm } - \frac { \omega } { 2 } ) ( \varepsilon _ { \pm } - h _ { z } ) } } \left( \begin{array} { l } { h _ { x } + i \gamma / 2 } \\ { \varepsilon _ { \pm } - h _ { z } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { \perp } ( k , t ) } & { = e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \perp } } } , } \\ { C _ { \parallel } ( k , t ) } & { = e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left[ \cos ( \omega t ) - \beta \sin ( \omega t ) \right] , } \\ { C _ { \rho } ( k , t ) } & { = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } e ^ { \frac { t } { \tau _ { \mathrm { T } } } } + \frac { 1 } { \gamma } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left[ \cos ( \omega t ) + \beta \sin ( \omega t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - r _ { 2 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { r _ { 1 , a } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \; v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { r _ { 2 , a } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = I + v _ { 2 , r } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 2 , r } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) } & { g _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { - r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { g _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { g ( \omega k ) } & { h _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { - r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { h _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
E _ { z } ^ { a } = \frac { N ( z , t ) } { f ^ { \prime } ( z , t ) } \left( \begin{array} { c } { { f } } \\ { { 1 } } \\ { { f ^ { 2 } } } \end{array} \right) \; , \; \; E _ { u } ^ { a } = \frac { n ( u , t ) } { \dot { f } ( u , t ) } \left( \begin{array} { c } { { f } } \\ { { 1 } } \\ { { f ^ { 2 } } } \end{array} \right)
[ ( { \bf P } _ { m } + P ^ { a } \Pi _ { a } ^ { m } ) \Gamma ^ { m } ] ^ { 2 } = { \bf P } _ { m } { \bf P } ^ { m } + P ^ { a } G _ { a b } P ^ { b } + 2 { \bf P } _ { m } P ^ { a } \Pi _ { a } ^ { m } \ .
\rho _ { i } ^ { n } = \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } \rho _ { i } ( \vec { x } , t ^ { n } ) \mathrm { d } \vec { x } , \quad \phi _ { i } ^ { n } = \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } \phi _ { i } ( \vec { x } , t ^ { n } ) \mathrm { d } \vec { x } , \quad \sigma _ { i } ^ { n } = \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } \sigma _ { i } ( \vec { x } , t ^ { n } ) \mathrm { d } \vec { x } .
S _ { E \parallel } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x \sqrt { - h } h ^ { - 1 } \epsilon _ { a b } \epsilon ^ { \alpha \beta 2 } \partial _ { \alpha } ( \partial _ { 2 } X ^ { a } \partial _ { \beta } \partial _ { 2 } X ^ { b } ) ,
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 2 } \ f ( { \bf x } ) = { \frac { 1 } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 \pi } } } \, e ^ { - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } } \, .
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { w } - R _ { h } [ \mathbf { w } ] \| _ { H ^ { 1 } ( T ) } } & { \lesssim h _ { T } \| \nabla ( \mathbf { w } - \mathbf { p } ) \| _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( T ) } + h _ { T } \| Q _ { T } [ \mathbf { w } ] \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } } \\ & { \lesssim h _ { T } ^ { 2 } \| \mathbf { w } \| _ { H ^ { 3 } ( T ) } + h _ { T } | \mathbf { w } | _ { H ^ { 2 } ( T ) } \lesssim h _ { T } \| \mathbf { w } \| _ { H ^ { 3 } ( T ) } . } \end{array}
T _ { a b } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 i } } \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } { \frac { e ^ { i ( a x + { \frac { b } { x } } ) } } { x } } ( 1 - { \frac { \sin ( \pi x ) } { \pi x } } ) \delta ( x - p ) .
\mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ b ~ . ~ } \left( P _ { i m } = 1 | \alpha _ { i } , \beta _ { m } , \gamma , \phi _ { i } , \phi _ { m } \right) = \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ i ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } \left( \alpha _ { i } + \alpha _ { m } - \gamma \| \phi _ { i } - \phi _ { m } \| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { M } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { M } _ { p } } \\ { 0 _ { r \times r } \; \; \; \; \hat { M } _ { p } ( : , 1 : ( p - 1 ) r ) } \\ { 0 _ { r \times 2 r } \; \; \; \; \hat { M } _ { p } ( : , 1 : ( p - 2 ) r ) } \\ { \vdots } \\ { 0 _ { r \times ( f - 1 ) r } \; \; \; \; \hat { M } _ { p } ( : , 1 : ( p - f + 1 ) r ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = \frac { 1 } { T } [ 2 t - 1 + e ^ { - T } + e ^ { - t } - e ^ { t - T } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varsigma _ { n } ^ { \nu } = \exp \left[ i \left( \frac { 8 n } { 1 5 } + \left( \frac { i \Gamma _ { d } + \Delta _ { \mathrm { N I R } } } { \hbar \omega } \right) \right) \left( \frac { 7 2 n \hbar \omega ^ { 3 } \mu _ { \nu } } { e ^ { 2 } F _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | \big | \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 1 / 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) + \int \mathrm { d } x \int \mathrm { d } y } & { \frac { \big | \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G ( y - \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } ( E _ { - } \boldsymbol { y } ) } \big | } { \big ( | y - e _ { 2 } | + \eta _ { 2 } \big ) \, \big ( | y + x | + \eta \big ) \, \big ( | y + e _ { 3 } | + \eta _ { 3 } \big ) } } \\ & { \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 3 / 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) \left( 1 + \frac { 1 } { | e _ { 2 } + e _ { 3 } | + \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } } \right) \, , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial t ^ { 2 } } + i ( \Omega ^ { \left( 1 \right) } \left( k \right) + \Omega ^ { \left( 2 \right) } \left( k \right) ) \frac { \partial \eta } { \partial t } - \Omega ^ { \left( 1 \right) } \left( k \right) \Omega ^ { \left( 2 \right) } \left( k \right) \eta = 0
f _ { r } = \big ( 1 + c _ { r 1 } \big ) \frac { 2 \mathcal { S } } { \mathcal { S } + \Omega } \Bigg \{ 1 - c _ { r 3 } \tan ^ { - 1 } \Bigg [ c _ { r 2 } \frac { \Omega } { \mathcal { S } } \Bigg ( \frac { \Omega } { \mathcal { S } } - 1 \Bigg ) \Bigg ] \Bigg \} - c _ { r 1 }
\left\{ \begin{array} { r l } & { \quad - \gamma \bar { \mu } q = \partial _ { t } v - \phi q ^ { 2 } + \frac { | \partial _ { q } v ( t , q ) | ^ { 2 } } { 4 \kappa } , } \\ & { \quad \partial _ { t } \mu + \partial _ { q } \left( \mu \frac { \partial _ { q } v ( t , q ) } { 2 \kappa } \right) = 0 , } \\ & { \quad \bar { \mu } _ { t } = \int \frac { \partial _ { q } v ( t , q ) } { 2 \kappa } \mu ( t , d q ) , } \\ & { \quad \mu ( 0 , \cdot ) = \mu _ { 0 } , v ( T , q ) = - A q ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 1 2 } = \frac { \sqrt { 2 \pi } e ^ { \frac { \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { 3 \pi \nu } { 2 } } } { q \Gamma ( i \nu ) } , \quad d _ { 0 } ( \zeta , t ) = e ^ { 2 \pi \nu } e ^ { i \arg d _ { 0 } ( \zeta , t ) } , \quad | q | = \sqrt { e ^ { - 2 \pi \nu } - 1 } , \quad \bigg | \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k _ { 1 } ) } \bigg | = 1 , } \\ & { | \Gamma ( i \nu ) | = \frac { \sqrt { 2 \pi } } { \sqrt { - \nu } \sqrt { e ^ { - \pi \nu } - e ^ { \pi \nu } } } = \frac { \sqrt { 2 \pi } } { \sqrt { - \nu } e ^ { \frac { \pi \nu } { 2 } } | q | } , \quad \frac { \omega i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } } { \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = - \sqrt { - 1 - 2 \cos ( 2 \arg k _ { 1 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { q _ { 1 } } = } & { { } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } , } \\ { { q _ { 1 ^ { \prime } } } = } & { { } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } } \end{array}
E ( V ) = E _ { 0 } + \frac { 9 V _ { 0 } B _ { 0 } } { 1 6 } \left\{ \left[ \left( \frac { V _ { 0 } } { V } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - 1 \right] ^ { 3 } B _ { 1 } + \left[ \left( \frac { V _ { 0 } } { V } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - 1 \right] ^ { 2 } \left[ 6 - 4 \left( \frac { V _ { 0 } } { V } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right] \right\}
\ln \left( { \frac { x } { \ln x } } \right) - { \frac { \ln \left( { \frac { x } { \ln x } } \right) } { 1 + \ln \left( { \frac { x } { \ln x } } \right) } } \ln \left( 1 - { \frac { \ln \ln x } { \ln x } } \right) \leq W _ { 0 } ( x ) \leq \ln \left( { \frac { x } { \ln x } } \right) - \ln \left( \left( 1 - { \frac { \ln \ln x } { \ln x } } \right) \left( 1 - { \frac { \ln \left( 1 - { \frac { \ln \ln x } { \ln x } } \right) } { 1 + \ln \left( { \frac { x } { \ln x } } \right) } } \right) \right) .