harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi ( [ \hat { \mathbf { x } } _ { 1 k } ] _ { i } , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) - \mathbb { E } \{ \phi ( \hat { X } _ { 1 k } , X _ { 0 } ) \} \Big | \geq \epsilon \Big ) } \\ & { \qquad = \mathbb { P } \Big ( \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi ( g _ { x 1 } ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) - \mathbb { E } \{ \phi ( \hat { X } _ { 1 k } , X _ { 0 } ) \} \Big | \geq \epsilon \Big ) } \\ & { \qquad \leq \mathbb { P } \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big | \phi ( g _ { x 1 } ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) - \phi ( g _ { x 1 } ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) \Big | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad + \mathbb { P } \Big ( \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi ( g _ { x 1 } ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) - \mathbb { E } \{ \phi ( \hat { X } _ { 1 k } , X _ { 0 } ) \} \Big | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f ( x _ { t } + z ) - f ( x _ { t } ) \| _ { U } } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| f ( x _ { t } + z \frac { i } { N } ) - f ( x _ { t } + z \frac { i - 1 } { N } ) \| _ { U } } \\ & { \le N ~ 2 \left( \exp \left( \frac { e ^ { - t / 2 } } { v _ { t } } \frac { \| z \| _ { U } } { N } R \right) - 1 \right) ~ R . } \end{array}
( w - w _ { 0 } ) ^ { ( \beta - 1 ) ( q - 1 ) } ( w - v ) ^ { 1 - q p } \frac { d ^ { p } } { d v ^ { p } } \left[ ( w - v ) ^ { p - 1 } ( w _ { 0 } - v ) ^ { p / q - 1 } \right]
\begin{array} { r } { \sigma _ { y } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { \tau _ { 0 } ^ { 4 } } { 2 \tau ^ { 4 } ( M - 3 m + 2 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { M - 3 m + 2 } \left\{ \sum _ { i = j } ^ { j + m - 1 } \left( \sum _ { k = i } ^ { i + m - 1 } [ y _ { k + m } - y _ { k } ] \right) \right\} ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { E _ { D F T } + \sum _ { I } \frac { J _ { I } } { 2 } \sum _ { p } \Big ( - \sum _ { \sigma } n _ { I p \sigma } ^ { 2 } } \\ & { + } & { \Delta _ { I p } - \left( \Delta _ { I p } ^ { 2 } + 4 n _ { I p \uparrow } n _ { I p \downarrow } ( 1 - n _ { I p \uparrow } ) ( 1 - n _ { I p \downarrow } ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { - } & { 2 J _ { I } ^ { - 1 } E _ { X C } [ n _ { I p \uparrow } | \chi _ { I p \uparrow } | ^ { 2 } , n _ { I p \downarrow } | \chi _ { I p \downarrow } | ^ { 2 } ] \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { t r } ( \mu Z _ { 1 } ^ { \top } W Z _ { 1 } ) - \mathrm { t r } ( Z _ { 1 } ^ { \top } Z _ { 1 } \Lambda _ { p } ) + \mu \mathrm { t r } ( Z _ { 1 } ^ { \top } S _ { p } Z _ { 1 } ^ { \top } S _ { p } ) } \\ { = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { p } ( \mu w _ { i } - \lambda _ { i } ) z _ { i i } ^ { 2 } + \sum _ { j > i } \left( \begin{array} { l l } { z _ { i j } } & { z _ { j i } } \end{array} \right) M _ { i j } \left( \begin{array} { l } { z _ { i j } } \\ { z _ { j i } } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \kappa _ { T } ^ { m } = - \left. \frac { \partial ^ { m } } { \partial K ^ { m } } \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ( \theta , p ) ) \: K ^ { \gamma } \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \gamma } } \exp ( \beta K ^ { \alpha } p _ { \alpha } ) \right| _ { K = 0 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { W ( x , z , 0 ) } & { = V ( x ) \; , \quad \left. \frac { \partial W } { \partial \sigma } ( x , z , \sigma ) \right| _ { \sigma = 0 } = V ^ { \prime } ( x ) z \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \sigma ^ { 2 } } ( x , z , \sigma ) } & { = V ^ { \prime \prime } ( x ) z ^ { 2 } + V ^ { \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) \; , } \end{array}
\Delta m = \frac { m a q } { 2 k ^ { 2 } c ^ { 2 } } = 4 \eta \left( \frac { \pi } { \hbar k c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } ( k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } ) ^ { 3 } .
\nabla \times \left( \mathbf { A } \times \mathbf { B } \right) = \mathbf { A } \left( \nabla \cdot \mathbf { B } \right) - \mathbf { B } \left( \nabla \cdot \mathbf { A } \right) + \left( \mathbf { B } \cdot \nabla \right) \mathbf { A } - \left( \mathbf { A } \cdot \nabla \right) \mathbf { B }
\begin{array} { r l } { | ( \mathcal { K } _ { H } \ast \mathcal { J } _ { H } ) ( 0 ) - ( \mathcal { K } _ { H } \ast \mathcal { J } _ { H } ) ( \ell ) | } & { = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \left[ 1 - \cos \left( 2 \pi k \cdot \ell \right) \right] \, \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, | \Psi _ { d , H } ( | k | ) | \, d k } \\ & { \leq \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \frac { ( 2 \pi | k | \ell ) ^ { 2 } } { 2 } \, \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, | \Psi _ { d , H } ( | k | ) | \, d k } \\ & { \leq 2 \pi ^ { 2 } \, | \ell | ^ { 2 } \, \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } | k | ^ { 2 - ( 2 H + d ) } \, | \Psi _ { d , H } ( | k | ) | \, d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { a b c d } } & { { } = \int ( \mathrm { d } \vec { r } ) ( \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } ) \, V _ { \mathrm { i n t } } ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } ) \, \psi _ { a } ( \vec { r } ) \psi _ { b } ^ { * } ( \vec { r } ) \psi _ { c } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \psi _ { d } ^ { * } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } \end{array}
\mathbf { V } \lvert _ { \mathcal { Q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } } \stackrel { d } { = } \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } [ \mathbf { C } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } + \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } \widetilde { \mathbf { V } } [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { K _ { b b \alpha } ^ { - } } & { { } = h _ { b b } + 2 ( b b | a a ) - ( b a | b a ) } \\ { K _ { b b \beta } ^ { + } } & { { } = h _ { b b } + 2 ( b b | a a ) - ( b a | b a ) + ( b b | b b ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d s } \left( \begin{array} { l } { { \Theta } } \\ { { \Theta } ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ^ { \prime } } \\ { - f ( { \Theta } ) - c { \Theta } ^ { \prime } + { \mathcal M } { \Theta } } \end{array} \right) } \\ { \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ( - \infty ) = 0 } \\ { { \Theta } ^ { \prime } ( - \infty ) = 0 } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { l } { { \Theta } ( + \infty ) = 1 } \\ { { \Theta } ^ { \prime } ( + \infty ) = 0 } \end{array} \right) , } \end{array} \right.
\int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge \partial \omega = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \big ( \bar { \mathcal { F } } ( \omega + \epsilon \partial \omega ) - \bar { \mathcal { F } } ( \omega ) \big ) , \ \forall \partial \omega \in \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) .
\frac { d \hat { \sigma } } { d \cos \hat { \theta } } ( \gamma + q \rightarrow q ^ { \prime } + W ) = \frac { \pi \alpha ^ { 2 } ( Y - 1 / 4 ) } { 1 2 8 m _ { _ W } ^ { 2 } Y ^ { 2 } ( Y - X ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { _ W } } F ( | e _ { q } | ) ,
\begin{array} { r } { \left\| \left[ \begin{array} { l } { u - u _ { r } } \\ { y - y _ { r } } \end{array} \right] \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } = \left\| \bar { y } - \bar { y } _ { r } \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } \leq \sum _ { i = r + 1 } ^ { n } \left\| \bar { y } _ { k } - \bar { y } _ { k - 1 } \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { L ^ { 4 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } } & { \leq C \bigg ( \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + T _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \bigg ) } \\ & { \leq C ( R ) \big ( \ensuremath { \varepsilon } ^ { N - \frac { 1 3 } { 8 } } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { N - \frac { 3 } { 2 } } \big ) \leq C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N - \frac { 1 3 } 8 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { \bf K } _ { 1 y } ^ { 1 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ } & { \vert { \bf A } _ { 1 } } & { ~ ( { \bf B } _ { 2 } - t { \bf A } _ { 2 } ) } & { ~ ( { \bf B } _ { 3 } - t { \bf A } _ { 3 } ) } & { ~ ( { \bf B } _ { 4 } - t { \bf A } _ { 4 } ) } & { \vert } \\ { { \bf K } _ { 1 y } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ } & { \vert { \bf A } _ { 2 } } & { ~ ~ { \bf B } _ { 2 } ~ ~ } & { ~ ( { \bf B } _ { 3 } - t { \bf A } _ { 3 } ) } & { ~ ( { \bf B } _ { 4 } - t { \bf A } _ { 4 } ) } & { \vert } \\ { { \bf K } _ { 1 y } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ } & { \vert { \bf A } _ { 3 } } & { ~ ( { \bf B } _ { 2 } - t { \bf A } _ { 2 } ) } & { ~ ~ { \bf B } _ { 3 } ~ ~ } & { ~ ( { \bf B } _ { 4 } - t { \bf A } _ { 4 } ) } & { \vert } \\ { { \bf K } _ { 1 y } ^ { 4 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ } & { \vert { \bf A } _ { 4 } } & { ~ ( { \bf B } _ { 2 } - t { \bf A } _ { 2 } ) } & { ~ ( { \bf B } _ { 3 } - t { \bf A } _ { 3 } ) } & { ~ ~ { \bf B } _ { 4 } ~ ~ } & { \vert } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ b ~ o ~ t ~ h ~ M ~ E ~ G ~ 6 ~ a ~ n ~ d ~ M ~ I ~ G ~ 4 ~ : ~ } \quad \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) _ { i } = 2 \left( \hat { u } _ { i + 1 } - 2 \hat { u } _ { i } + \hat { u } _ { i - 1 } \right) - 0 . 5 \left( u _ { i + 1 } ^ { \prime } - u _ { i - 1 } ^ { \prime } \right)
= \frac { 1 } { V } \int \frac { d \vec { k } } { 2 \omega _ { k } } | u _ { k } ( t ) | ^ { 2 } \left[ < a ( \vec { k } ) a ^ { + } ( \vec { k } ) > _ { t h } + < a ( - \vec { k } ) a ^ { + } ( - \vec { k } ) > _ { t h } + \delta ( \vec { 0 } ) \right] e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } .
\begin{array} { r l } { \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ^ { 1 } ) - \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } + \lambda t _ { * * } ^ { \angle } ) ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } ) ^ { \dag } C ^ { \angle } \Phi _ { 0 } } } & { = \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , ( c _ { 0 } I + C ^ { 0 } + C ^ { \angle } ) \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = ( \mathcal { E } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) ) \langle e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } \Phi _ { 0 } , \Psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { 1 } [ \Psi ] = \widetilde { \varphi _ { 2 } } \partial _ { z z } \Psi + \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) \Big ( \widetilde { \varphi _ { 2 } } \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) \Psi \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in b _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } + b _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } a _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } + b _ { ( n - 2 ) n } a _ { n ( n - 1 ) } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { 0 } & { \in b _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } a _ { ( n - 2 ) n } + b _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } a _ { ( n - 1 ) n } + b _ { ( n - 2 ) n } a _ { n n } } \end{array}
A _ { \overline { { { x } } } } = i T \Big [ { \frac { \varepsilon } { 2 \overline { { { x } } } ^ { 1 / 2 } } } + { \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { \overline { { { x } } } } } + { \cal O } ( \varepsilon ^ { 3 } ) \Big ] .
{ \mathcal { I } } _ { j } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \lambda \mu _ { j } y ^ { 2 } } d y = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \lambda \left( { \sqrt { - \mu _ { j } } } y \right) ^ { 2 } } d y = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \lambda \left| { \sqrt { - \mu _ { j } } } \right| ^ { 2 } y ^ { 2 } \exp \left( 2 i \arg { \sqrt { - \mu _ { j } } } \right) } d y .
R _ { b } \equiv | ( 0 , 0 ) \leftrightarrow ( \tilde { \rho } , \tilde { \eta } ) | = \sqrt { \tilde { \rho } ^ { 2 } + \tilde { \eta } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \lambda } ( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } ) \frac { | V _ { u b } | } { | V _ { c b } | }
\operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { M } e _ { i } ( \Vec { c ^ { 2 } } ) ^ { k _ { i } } \right] \stackrel { ? } { = } \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow \theta } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left[ \mathbb { E } \left[ e _ { i } ( \Vec { c ^ { 2 } } \right] \right] ^ { k _ { i } } .
\int _ { - \pi / 2 } ^ { + \pi / 2 } ~ \frac { d \xi ^ { 1 } } { \pi } ~ O _ { M } ^ { c l } ( \{ \sigma _ { + } + \xi ^ { 1 } \} ; \{ \sigma _ { - } - \xi ^ { 1 } \} ) \equiv \int _ { - \pi / 2 } ^ { + \pi / 2 } ~ \frac { d \xi ^ { 1 } } { \pi } ~ O _ { M } ^ { c l } ( \{ \sigma ^ { 0 } \} ; \{ \sigma ^ { 1 } + \xi ^ { 1 } \} )
{ \begin{array} { r l } { \Phi _ { e l l } ( O P ^ { 2 } ) } & { = \int _ { O P ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 1 1 3 4 0 0 } } \left[ ( - 1 9 2 \delta ^ { 4 } + 1 7 2 8 \delta ^ { 2 } \epsilon + 1 5 1 2 \epsilon ^ { 2 } ) p _ { 4 } + ( 2 0 8 \delta ^ { 4 } - 1 8 7 2 \delta ^ { 2 } \epsilon + 1 5 1 2 \epsilon ^ { 2 } ) p _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \int _ { O P ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 1 1 3 4 0 0 } } { \big [ } ( - 1 9 2 \delta ^ { 4 } + 1 7 2 8 \delta ^ { 2 } \epsilon + 1 5 1 2 \epsilon ^ { 2 } ) ( 3 9 u ^ { 2 } ) + ( 2 0 8 \delta ^ { 4 } - 1 8 7 2 \delta ^ { 2 } \epsilon + 1 5 1 2 \epsilon ^ { 2 } ) ( 6 u ) ^ { 2 } { \big ] } } \\ & { = \int _ { O P ^ { 2 } } { \big [ } \epsilon ^ { 2 } u ^ { 2 } { \big ] } } \\ & { = \epsilon ^ { 2 } \int _ { O P ^ { 2 } } { \big [ } u ^ { 2 } { \big ] } } \\ & { = \epsilon ^ { 2 } * 1 = \epsilon ^ { 2 } } \\ & { = \Phi _ { e l l } ( H P ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} }
{ \frac { d \omega _ { n } ^ { F } } { d m } } = { \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } \left( m + k _ { n } { \frac { d k _ { n } } { d m } } \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } \left( m + { \frac { 1 } { L } } { \frac { k _ { n } ^ { 2 } } { m } } \left( \delta ^ { \prime } ( k ) + { \frac { \theta ^ { \prime } ( k ) } { 2 } } \right) \right)
\langle u ( \iota _ { \bar { Y } _ { u } } \, \iota _ { \bar { X } _ { u } } \Theta _ { u } ) , \tau _ { x } \rangle _ { T _ { x } M ^ { n } } = \iota _ { Y _ { x } } \, \iota _ { X _ { x } } ( \tau \wedge \alpha ) _ { x } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { P r } } \frac { d } { d t } } & { \| \omega \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \frac { d } { d t } \int _ { \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } + \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } - \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } \omega \partial _ { 1 } T } \\ & { = - 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p - \frac { 2 } { 3 \mathrm { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u \cdot ( u \cdot \nabla ) u } \\ & { \qquad - 2 \mathrm { { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } . } \end{array}
C _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = 1 - 2 i { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 2 } } { z _ { 1 } - z _ { 2 } } } - 2 i { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 3 } } { z _ { 1 } - z _ { 3 } } } + ( 2 i ) ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 2 } ) ( { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 3 } ) K _ { 1 }
{ \begin{array} { r l } { { \tan } { \Bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \Bigr ) } } & { = { \frac { { \sin } { \bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \bigr ) } / \prod _ { i } \cos \theta _ { i } } { { \cos } { \bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \bigr ) } / \prod _ { i } \cos \theta _ { i } } } } \\ & { = { \frac { \displaystyle \sum _ { { \mathrm { o d d } } \ k \geq 1 } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ 1 , 2 , 3 , \dots \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } \prod _ { i \in A } \tan \theta _ { i } } { \displaystyle \sum _ { { \mathrm { e v e n } } \ k \geq 0 } ~ ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } ~ ~ \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ 1 , 2 , 3 , \dots \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } \prod _ { i \in A } \tan \theta _ { i } } } = { \frac { e _ { 1 } - e _ { 3 } + e _ { 5 } - \cdots } { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } - \cdots } } } \\ { { \cot } { \Bigl ( } \sum _ { i } \theta _ { i } { \Bigr ) } } & { = { \frac { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } - \cdots } { e _ { 1 } - e _ { 3 } + e _ { 5 } - \cdots } } } \end{array} }
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\operatorname * { l i m } _ { \theta \to 0 } R _ { L } ^ { ( n ) } ( \theta ) R _ { R } ^ { ( n ) } ( \theta ) = \pm 1 , \qquad \operatorname * { l i m } _ { \theta \to \infty } \vert \log R _ { L } ^ { ( n ) } ( \theta ) R _ { R } ^ { ( n ) } ( \theta ) \vert < \infty
\begin{array} { r l r } { \Delta r _ { x } ( \tilde { t } ) - \Delta r _ { x } ( t ) } & { = } & { v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \big [ \mathrm { c o s } ( \theta _ { 2 } ( \hat { t } ) ) - \mathrm { c o s } ( \theta _ { 1 } ( \hat { t } ) ) \big ] = - 2 v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \, \mathrm { s i n } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } \, \mathrm { s i n } { \frac { \Delta ( \hat { t } ) } { 2 } } } \\ { \Delta r _ { y } ( \tilde { t } ) - \Delta r _ { y } ( t ) } & { = } & { v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \big [ \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } ( \hat { t } ) ) - \mathrm { s i n } ( \theta _ { 1 } ( \hat { t } ) ) \big ] = 2 v _ { 0 } \int _ { t } ^ { \tilde { t } } d \hat { t } \, \mathrm { c o s } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } \, \mathrm { s i n } { \frac { \Delta ( \hat { t } ) } { 2 } } \, . } \end{array}
f _ { i , p } \left( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) = f _ { i , p } \left( \mathbf { x } , t \right) - \Lambda _ { i j } ^ { p } \left[ f _ { i , p } \left( \mathbf { x } , t \right) - f _ { i , p } ^ { e q } \left( \mathbf { x } , t \right) \right] + \Delta t \left( \delta _ { i j } - \frac { \Lambda _ { i j } ^ { p } } { 2 } \right) R _ { j , p } \left( \mathbf { x } , t \right) , \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq p \leq N ,
{ \begin{array} { r l } { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { 1 . 4 1 4 } } } } } } & { \approx { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { 1 . 6 3 } } } } } \\ & { \approx { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { 1 . 7 6 } } } } \\ & { \approx { \sqrt { 2 } } ^ { { \sqrt { 2 } } ^ { 1 . 8 4 } } } \\ & { \approx { \sqrt { 2 } } ^ { 1 . 8 9 } } \\ & { \approx 1 . 9 3 } \end{array} }
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \frac { \Delta \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { N } ^ { 2 } \right> } \approx \alpha \frac { \Delta f _ { \pi } } { f _ { \pi } } + \beta \, \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \approx \alpha \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } + \beta \, \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } ( \mathbf { r } ) = \int \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \mathbf { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { F } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { F Q } _ { h } ( \alpha , R ; z ) } & { = ( - \alpha z ) ^ { h } \cdot h ! \times L _ { h } ^ { \left( R / \alpha - 1 \right) } \left( ( \alpha z ) ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { h } { \binom { h } { k } } \left[ \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( R + ( j - 1 - j ) \alpha ) \right] ( - z ) ^ { k } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \partial \Omega } \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, d \, \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) ] \bullet \widehat { \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { \leq f \left( \frac { n } { 3 2 } \right) = 3 \cdot \frac { n } { 3 2 } \cdot \left( \frac { 2 n } { n / 3 2 } \right) ^ { 3 2 / n } \log { \left( \frac { 2 n } { n / 3 2 } \right) } } \\ & { = \frac { 3 n } { 3 2 } \cdot 6 4 ^ { 3 2 / n } \cdot \log { 6 4 } \leq \frac { 1 8 n } { 3 2 } \cdot \frac 5 4 \leq \frac { 3 1 n } { 3 2 } . } \end{array}
u ^ { { m ( k ) } } \delta u _ { { m } } ^ { { ( n ) } } ( \Gamma _ { { ( k ) ( n ) } } ) _ { { b } } ^ { { a } } = D ( v ^ { - { 1 } } \delta v ) _ { { b } } ^ { { a } } + ( C \Gamma ^ { { ( k ) } } ( v ^ { - { 1 } } \delta v ) \Gamma _ { { ( k ) } } C ^ { - { 1 } } ) _ { { b } } ^ { { a } } \qquad
\begin{array} { r l } & { \widehat { K _ { k } ^ { \prime } } ( \beta ) = S ( A / Q ) \cdot \int \phi ( t ) \cdot e ( - 2 ^ { d k } ( \beta - A / Q ) \cdot t ^ { d } ) \ d t + O ( 2 ^ { - \mathbf { c } _ { d , \delta } k } ) } \\ & { \qquad = S ( A / Q ) \cdot \int \phi ^ { \prime } ( s ) \cdot e ( - 2 ^ { d k } ( \beta - A / Q ) \cdot s ) \ d s + O ( 2 ^ { - \mathbf { c } _ { d , \delta } k } ) , \; \; \; \; \; \; \phi ^ { \prime } ( s ) \mathrel { \mathop : } = \frac { \phi ( s ^ { 1 / d } ) } { d s ^ { 1 - 1 / d } } } \\ & { \qquad \qquad = S ( A / Q ) \cdot \widehat { \phi ^ { \prime } } ( 2 ^ { d k } ( \beta - A / Q ) ) + O ( 2 ^ { - \mathbf { c } _ { d , \delta } k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } u _ { i - 1 } ^ { T } u _ { i } } & { = u _ { i - 1 } ^ { T } ( Q _ { A } v _ { i } - \beta _ { i - 1 } u _ { i - 1 } ) = u _ { i - 1 } ^ { T } Q _ { A } v _ { i } - \beta _ { i - 1 } } \\ & { = v _ { i } ^ { T } ( \beta _ { i - 1 } v _ { i } + \alpha _ { i - 1 } v _ { i - 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \xi _ { j i } v _ { j } + g _ { i - 1 } ) - \beta _ { i - 1 } } \\ & { = v _ { i } ^ { T } g _ { i - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B = } & { { } - \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \left[ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \right\} + \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \right\} \right. } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { \sqrt { ( a + b \cos ^ { 2 } \psi ) ( c + b \cos ^ { 2 } \psi ) } } d \psi = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 - \varepsilon } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { \sqrt { a b ( 1 + \frac { b } { a } \cos ^ { 2 } \psi ) ( \frac { c } { b } + \cos ^ { 2 } \psi ) } } d \psi = \pi .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } = } & { \left( \frac { K _ { 1 } } { \alpha ^ { 2 } } - 2 \frac { K _ { 1 } + 2 K _ { 2 } \gamma _ { S } } { \alpha } \zeta ^ { T } \bar { y } \right) } \\ { = } & { \frac { 2 } { \alpha \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 3 } } \left( \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) - 2 \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \zeta ^ { T } \bar { y } \right) } \end{array}