harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { T _ { L } ^ { c l } ( z ) \equiv { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \varphi ) ^ { 2 } + \partial ^ { 2 } \varphi \right] = { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { \delta _ { i } } { ( z - \xi _ { i } ) ^ { 2 } } } + { \frac { c _ { i } } { z - \xi _ { i } } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { L O S S } ^ { k } = } & { \left( \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } } ^ { k } ) - \ln ( \gamma _ { 1 } ^ { k } ) \right) ^ { 2 } + \left( \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } } ^ { k } ) - \ln ( \gamma _ { 2 } ^ { k } ) \right) ^ { 2 } } & { + \lambda \cdot \left( x _ { 1 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } } ^ { k } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } + x _ { 2 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } } ^ { k } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda x } d F ( \sqrt { x } ) = \lambda ^ { \frac { 5 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } F ( \sqrt { x } ) e ^ { - \lambda x } d x } & { = \lambda ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } F \bigl ( \sqrt { \frac { x } { \lambda } } \bigr ) e ^ { - x } d x } \\ & { \lesssim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { \frac { 3 } { 2 } } F \bigl ( \sqrt { \frac { n + 1 } { \lambda } } \bigr ) e ^ { - n } . } \end{array}
I = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \Big [ \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { n } { \cal L } _ { i j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \cal W } _ { i } \Big ] _ { t = - \infty } ^ { t = + \infty } .
\sin ^ { 2 } 2 \theta = { \frac { 8 ( m _ { 0 } + \epsilon \delta ) ^ { 2 } } { ( m _ { 0 } + 2 \epsilon ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 8 ( m _ { 0 } + \epsilon \delta ) ^ { 2 } } } .
\left( \begin{array} { l l } { \delta } & { \epsilon } \\ { \epsilon } & { r } \end{array} \right) \otimes p \otimes I _ { k } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \epsilon } \\ { \epsilon } & { 0 } \end{array} \right) \otimes p \otimes I _ { k } + \left( \begin{array} { l l } { \delta } & { 0 } \\ { 0 } & { r } \end{array} \right) \otimes p \otimes I _ { k } \in \mathcal { C } _ { 2 k } ^ { n }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { K } ^ { i } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { i } } & { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { i } } \\ { \mathbf { K } _ { 2 1 } ^ { i } } & { \mathbf { K } _ { 2 2 } ^ { i } } \end{array} \right] = \mathbf { S } ^ { i } \left( \mathbf { D } ^ { i } \right) ^ { - 1 } } & { } \end{array}
n _ { \gamma } = { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } { \left( { \frac { k _ { B } T } { \hbar c } } \right) } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 } } { e ^ { x } - 1 } } \operatorname { d } x = { \frac { 2 \zeta ( 3 ) } { \pi ^ { 2 } } } { \left( { \frac { k _ { B } T } { \hbar c } } \right) } ^ { 3 } \approx 2 0 . 3 \left( { \frac { T } { 1 { \mathrm { K } } } } \right) ^ { 3 } { \mathrm { c m } } ^ { - 3 }
\alpha _ { a b } = 4 { \cal E } \int \! \int \, d E \, d \theta \, \frac { \partial \sqrt { d ^ { 2 } \phi ( E , \theta ; { \bf s } ) / d E d \theta } } { \partial s _ { a } } \, \frac { \partial \sqrt { d ^ { 2 } \phi ( E , \theta ; { \bf s } ) / d E d \theta } } { \partial s _ { b } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ p ~ s ~ e ~ u ~ d ~ o ~ - ~ P ~ S ~ F ~ } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { F } ( I _ { 1 } ) } { \mathcal { F } ( I _ { 2 } ) } \right] } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { F } ( O \ast f _ { 1 } + \delta _ { 1 } ) } { \mathcal { F } ( O \ast f _ { 2 } + \delta _ { 2 } ) } \right] } \end{array}
H _ { \mu \nu } = \mu \delta _ { \mu , \nu } , \quad D _ { \mu \nu } = \delta _ { \mu , \nu } D _ { \mu } , \quad D _ { \mu } = - i \left( g _ { s } \, z ( \mu \cdot q ) + g \sum _ { \gamma \in \Delta , \ \gamma \cdot \mu = 1 } z ( \gamma \cdot q ) \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } } { \partial t } + u _ { 1 } \frac { \partial \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { 1 } } + u _ { 2 } \frac { \partial \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { 2 } } = } & { { } - \frac { \partial \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 1 } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { \partial \overline { { u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array}
\mathcal { Z } _ { p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { k } } ^ { [ k ] } = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \sigma ) \mathcal { Z } _ { \sigma ( p _ { 1 } ) , \sigma ( p _ { 2 } ) , \cdots , \sigma ( p _ { k } ) } ^ { [ k ] }
p ( \Phi _ { i } | \mathrm { D } , \mathrm { I } ) = \int \! \prod _ { i ^ { \prime } \neq i } \mathrm { d } \Phi _ { i ^ { \prime } } \int \! \mathrm { d } \mathbf { C } \int \! \mathrm { d } \! \log ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta ) \, \mathrm { d } \! \log ( \Delta { m } ^ { 2 } ) \, p ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } , \mathbf { \Phi } , \mathbf { C } | \mathrm { D } , \mathrm { I } ) \, .
\sigma _ { i } ^ { Z } = { \bf 1 } \otimes \cdots \otimes \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) \otimes \cdots \otimes { \bf 1 } \; .
\beta = \beta ^ { \prime } / ( g _ { Y M } ^ { 2 } N ) ^ { 1 / 3 } \quad R = R ^ { \prime } ( g _ { Y M } ^ { 2 } N ) ^ { 1 / 3 } \quad \Delta _ { l } ^ { 2 } = ( g _ { Y M } ^ { 2 } N ) ^ { 1 / 3 } \Delta _ { l } ^ { \prime } { } ^ { 2 } / N \, .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \d ^ { 2 } F _ { \mathrm { i n } } } { \d \xi ^ { 2 } } } & { { } \to 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad \xi \to \infty \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \frac 3 2 < n < 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \boldsymbol { v } _ { p } \, , } \\ { V _ { p } \rho _ { p } \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \boldsymbol { F } _ { D } = \frac { \pi } { 8 } d _ { p } ^ { 2 } \rho _ { f } C _ { D } | \boldsymbol { u } _ { f @ p } - \boldsymbol { v } _ { p } | ( \boldsymbol { u } _ { f @ p } - \boldsymbol { v } _ { p } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = { \frac { 1 5 } { 4 } } a ^ { 2 } \cot { \frac { \pi } { 1 5 } } } & { { } = { \frac { 1 5 } { 4 } } { \sqrt { 7 + 2 { \sqrt { 5 } } + 2 { \sqrt { 1 5 + 6 { \sqrt { 5 } } } } } } a ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times { \boldsymbol { \alpha } } ) ] + { \boldsymbol { \omega } } \times - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times { \boldsymbol { \omega } } ) ] } \end{array}
\frac { \hat { \mathcal { A } } _ { R } ^ { [ i ] } } { \hat { \mathcal { A } } _ { L } ^ { [ i ] } } = \frac { \gamma } { \gamma + ( v - f - U ^ { [ i ] } ( x ) ) \hat { \lambda } _ { \mathcal { A } } ^ { [ i ] } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \mathcal { B } } _ { R } ^ { [ i ] } = \hat { \mathcal { B } } _ { L } ^ { [ i ] } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { E } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) U } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \hat { \mathbf { F } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) V } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \hat { l } _ { x } ( r , \phi , z ) \right\rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left\langle \hat { l } _ { y } ( r , \phi , z ) \right\rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left\langle \hat { l } _ { z } ( r , \phi , z ) \right\rangle } & { { } = } & { \hbar m . } \end{array}
\delta P _ { \mu ( 1 ) } ^ { A } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \sqrt { - \bar { G } } \left( ( \bar { D } _ { i j } \; ^ { A } \Phi _ { ( 1 ) } ^ { j } ) \bar { n } _ { \mu } ^ { i } + ( \bar { \Omega } _ { i } \; ^ { A B } - \bar { G } ^ { A B } \bar { \Omega } _ { i C } \; ^ { C } ) \Phi _ { ( 1 ) } ^ { i } \bar { x } _ { \mu , B } \right)
\begin{array} { r l r l } { { 2 } g ( y _ { i } ) \left( 1 - \delta _ { i N } \right) } & { { } = A _ { i 0 } f ( y = 0 ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } f ( y _ { j } ) - \delta _ { i N } g ( y = y _ { \infty } ) , \quad \quad \quad } & { } & { { } i = 1 , . . . , N } \\ { h ( y _ { i } ) } & { { } = A _ { i 0 } \, g ( y = 0 ) + A _ { i N } \, g ( y = y _ { \infty } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } A _ { i j } g ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & { } & { { } i = 1 , . . . , N - 1 } \\ { \mathcal { T } _ { x x } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { { } = A _ { i N } \mathcal { T } _ { x x } ( y = y _ { \infty } ) + \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { i j } \mathcal { T } _ { x x } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & { } & { { } i = 0 , . . . , N - 1 . } \\ { \mathcal { T } _ { x y } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } A _ { i j } \mathcal { T } _ { x y } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & { } & { { } i = 0 , . . . , N - 1 . } \\ { \mathcal { T } _ { y y } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { { } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } A _ { i j } \mathcal { T } _ { y y } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & { } & { { } i = 0 , . . . , N - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { n } = \bar { C } \mu ^ { D / 2 } Q _ { n } \left( \begin{array} { l l } { | d _ { - } | ^ { 2 } } & { d _ { - } ^ { * } d _ { + } } \\ { d _ { - } d _ { + } ^ { * } } & { | d _ { + } | ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } ( \pi a ^ { 2 } ( z , t ) ) = - \frac { \partial } { \partial z } \left( 2 \pi \int _ { 0 } ^ { a ( z , t ) } u _ { z } ( r , z , t ) r d r \right) = - \frac { \partial } { \partial z } \left( - \frac { \pi a ^ { 4 } } { 8 \mu } \frac { \partial p } { \partial z } \right)
\begin{array} { l c l } { { \partial _ { \overline { { z } } } \left< T \left( z , \overline { { z } } \right) \right> } } & { { = } } & { { - { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \, { \frac { 1 } { 3 ! } } \, \partial _ { z } ^ { 3 } h ^ { z z } \left( z , \overline { { { z } } } \right) \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { 2 } } \, d r ^ { 2 } \delta \left( r ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { - { \frac { 1 } { 9 6 } } \, \partial _ { z } ^ { 3 } h ^ { z z } \left( z , \overline { { { z } } } \right) \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge v \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ { = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge \ast \delta \big ( ( \ast \omega ) \wedge v \big ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge v \wedge d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) } \\ { = } & { { } - \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \wedge d \ast ( v \wedge \ast \omega ) + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast ( v \wedge \ast \omega ) . } \end{array}
C \Big [ i \pi \epsilon ( p _ { 0 } ) e ^ { - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 2 } } } } \Bigg ( \delta ( p ^ { 2 } ) + \theta ( p ^ { 2 } ) { \frac { m } { 2 \mu ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } } } } I _ { 1 } \Big ( { \frac { m \sqrt { p ^ { 2 } } } { \mu ^ { 2 } } } \Big ) \Bigg ) e ^ { - p ^ { 2 } / 2 \mu ^ { 2 } } \Big ] .
v _ { y , i j k } ^ { n + 1 } = \frac { \Pi _ { y , i j k } ^ { - } V _ { i j k } + \Pi _ { y , i j - 1 k } ^ { + } V _ { i j - 1 k } } { \rho _ { i j k } V _ { i j k } + \rho _ { i j - 1 k } V _ { i j - 1 k } } .
\boldsymbol { \hat { u } } ( \boldsymbol { k } ) = \boldsymbol { B } ^ { T } \boldsymbol { \hat { q } } ( \boldsymbol { k } ) = \boldsymbol { R _ { u } } ( \boldsymbol { k } ) \boldsymbol { \hat { f } } ( \boldsymbol { k } ) ,
\begin{array} { r l } & { \langle \mathcal { D } _ { r } F , G \rangle - \langle F , \mathcal { D } _ { r } G \rangle = \left[ x ( F ^ { \prime \prime \prime } ( x ) G ( x ) - F ( x ) G ^ { \prime \prime \prime } ( x ) ) \right. } \\ & { \qquad \left. + F ^ { \prime \prime } ( x ) G ( x ) - F ( x ) G ^ { \prime \prime } ( x ) + x ( F ^ { \prime } ( x ) G ^ { \prime \prime } ( x ) - F ^ { \prime \prime } ( x ) G ^ { \prime } ( x ) ) + ( 1 + r ^ { 2 } ) x ( F ( x ) G ^ { \prime } ( x ) - F ^ { \prime } ( x ) G ( x ) ) \right] _ { 0 } ^ { \infty } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y _ { p } } & { = \operatorname { R e } \left( { \frac { F _ { 0 } t e ^ { i \omega t } } { P ^ { \prime } ( \gamma ) } } \right) } \\ & { = \operatorname { R e } \left( { \frac { F _ { 0 } t ( \cos ( \omega t ) + i \sin ( \omega t ) ) } { 2 m i \omega } } \right) } \\ & { = \operatorname { R e } \left( { \frac { - F _ { 0 } t ( i \cos ( \omega t ) - \sin ( \omega t ) ) } { 2 m \omega } } \right) } \\ & { = { \frac { F _ { 0 } t \sin ( \omega t ) } { 2 m \omega } } } \\ & { = { \frac { F _ { 0 } } { 2 { \sqrt { k m } } } } t \sin ( \omega t ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \eta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \varepsilon \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s . } \end{array} } \end{array}
\phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial y } , \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x \partial y } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial y \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x \partial \tau } , \frac { \partial ^ { 3 } \phi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x \partial y \partial \tau } .
k ^ { \mu } M _ { \mu } ^ { \gamma } = 0 , \quad k ^ { \mu } M _ { \mu } ^ { Z } = i \sqrt { \mu _ { Z } } M ^ { \chi } , \quad k ^ { \mu } M _ { \mu } ^ { W ^ { \pm } } = \pm \sqrt { \mu _ { W } } M ^ { \phi ^ { \pm } } , \quad
\Pi ( q ^ { 2 } ) = { \frac { 2 } { q ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { D - 1 } } \int { \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } \left[ D - 2 + { \frac { ( q ^ { 2 } - 4 p ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } + 2 q \cdotp } } \right] s ( p ) .
\begin{array} { r l r } { B _ { U } ( \eta , x , \phi , p , y ) } & { { } = } & { \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d z d s \, \exp \left[ i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - 2 i k _ { u } \eta ( z - s ) + i k _ { u } T _ { \alpha } \left\{ ( x + y ) ( z - s ) + \frac { p } { 2 } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { = \eta _ { X } \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 2 , \eta _ { X } } \Psi _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) \Psi _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { = \eta _ { X } ( \eta _ { X } - 1 ) \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { 3 , \eta _ { X } } \Psi _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 3 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) \Psi _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 3 } , \cdots , \mathbf { x } _ { \eta _ { X } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { M \left[ g ( s D _ { y } ) - g ( 0 ) \right] } & { { } = M \left[ { \frac { g ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { 2 } } s ^ { 2 } D _ { y } ^ { 2 } + { \frac { g ^ { \prime \prime \prime } ( \xi ) } { 6 } } s ^ { 3 } D _ { y } ^ { 3 } \right] } & { } & { { } { \mathrm { a s ~ } } \xi \in [ 0 , s D _ { y } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } ^ { 0 } } & { = } & { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { e ^ { 2 } \rho _ { 0 } D } \frac { L } { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } G _ { 0 } , } \\ { I _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 ( k _ { \mathrm { B } } T ) ^ { 3 } \rho _ { 0 } } { e ^ { 2 } D } \frac { L } { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } G _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { \mathrm { ~ I ~ o ~ U ~ } } : x \in \{ 0 , 1 \} ^ { p } , y \in \{ 0 , 1 \} ^ { p } \mapsto 1 - \frac { | v | } { | u | } = \frac { | m | } { | y \cup m | } } \end{array}
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \delta ^ { ( 1 ) } x _ { \mu } ^ { i } } } & { { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \xi ^ { i } } } \\ { { \delta ^ { ( 1 ) } \xi ^ { i } } } & { { = 0 } } \end{array} \right. \right. ,
w ( s ) \equiv { \frac { 1 } { 6 4 \pi } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { 8 } } \sum _ { Q , Q ^ { \prime } , a , b } | { { \cal M } ( \phi ^ { Q \dagger } \phi ^ { Q ^ { \prime } } \rightarrow a \, b ) } | ^ { 2 } d \cos \theta
\begin{array} { r l } { f ( s ) = \pi + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) } & { \qquad \mathrm { a s } \qquad s \to 0 , } \\ { f ( s ) = - 2 \ln | s - 1 | + \mathcal { O } ( 1 ) } & { \qquad \mathrm { a s } \qquad s \to 1 , } \\ { f ( s ) = \frac { \pi } { s ^ { 3 } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { s ^ { 5 } } \right) } & { \qquad \mathrm { a s } \qquad s \to \infty . \ } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { \kappa + 1 } { 2 \mu } \left( \begin{array} { l } { A _ { 0 } } \\ { B _ { 0 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle N _ { 1 } ^ { 2 } ( N ) \right\rangle _ { c } \equiv \left\langle N _ { 1 } ^ { 2 } ( N ) \right\rangle - \left\langle N _ { 1 } ( N ) \right\rangle ^ { 2 } = \frac { N } { 1 2 } - \frac { 1 } { ( N - 1 ) ^ { 2 } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { ( 0 ) } = \frac { 3 \alpha } { 8 } } & { + ( n _ { 0 } ^ { 1 } + 2 n _ { 0 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 3 } + n _ { - 1 } ^ { 3 } + n _ { 0 } ^ { 4 } + n _ { - 1 } ^ { 4 } ) C _ { 0 } } \\ & { + ( n _ { - 1 } ^ { 1 } + 2 n _ { - 1 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 3 } + n _ { 1 } ^ { 3 } - n _ { 0 } ^ { 4 } + n _ { 1 } ^ { 4 } ) C _ { - 1 } } \\ & { + ( n _ { 1 } ^ { 1 } + 2 n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { - 1 } ^ { 3 } + n _ { 1 } ^ { 3 } - n _ { - 1 } ^ { 4 } - n _ { 1 } ^ { 4 } ) C _ { 1 } , } \\ { N ^ { ( 1 ) } = n _ { 0 } ^ { 1 } } & { + n _ { - 1 } ^ { 1 } + n _ { 1 } ^ { 1 } , } \\ { N ^ { ( 2 ) } = n _ { 0 } ^ { 2 } } & { + n _ { - 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 3 } + n _ { - 1 } ^ { 3 } + n _ { 1 } ^ { 3 } . } \end{array}
{ } F ( \lambda \to \infty ) ~ \approx ~ - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } N ^ { 2 } V _ { 3 } T ^ { 4 } \, \big [ \, \frac { 3 } { 4 } + \frac { 4 5 } { 3 2 } \zeta ( 3 ) ( 2 \lambda ) ^ { - 3 / 2 } \, \big ] \ .
\delta \pi ^ { t t } = - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \left[ \frac { 8 } { 3 } - \frac { 2 } { T } \frac { K _ { 3 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } + \frac { 2 } { T ^ { 2 } } \frac { K _ { 4 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } \right] T ^ { 3 } n _ { J } .
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 2 } = ( 2 c _ { 1 2 } s _ { 1 2 } ) ^ { 2 } = \frac { 8 M _ { e \mu } ^ { 2 } } { ( M _ { e e } - M _ { \mu \mu } + M _ { \mu \tau } ) ^ { 2 } + 8 M _ { e \mu } ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { h ^ { 2 } } & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \\ & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } - \left( r _ { 1 } + \frac { ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) r _ { 3 } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 2 ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) r _ { 1 } r _ { 3 } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } - \frac { ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { 3 } ^ { 2 } } { ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = 2 r _ { 1 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 2 ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) r _ { 1 } r _ { 3 } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } - \frac { ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { 3 } ^ { 2 } } { ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a \left( x _ { n } , t \right) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { N - 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \left( a _ { 1 } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } a _ { N } \right) + \sum _ { j = 2 } ^ { N - 1 } a _ { j } \left( t \right) \cos \left( \pi \frac { \left( j - 1 \right) \left( n - 1 \right) } { N - 1 } \right) \right) . } \end{array}
V ( \rho , \varphi , z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \, A _ { n r } J _ { n } ( k _ { n r } \rho ) \cos ( n ( \varphi - \varphi _ { 0 } ) ) \sinh ( k _ { n r } ( L - z ) ) \, \, \, \, \, z \geq z _ { 0 }
\mathrm { d } _ { t } E _ { k } = \int _ { V } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \left[ \boldsymbol { r } \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { \delta } \right] \mathrm { d } V + 2 E \left( \int _ { S } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathcal { T } } \, \mathrm { d } S - \mathcal { D } _ { \nu } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \\ { \rho \frac { d \mathbf { u } } { d t } } & { { } = - \nabla p + \nabla \cdot \mathbf { \tau } + \rho \mathbf { g } + \mathbf { S } , } \end{array}