harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 8 } | w _ { 1 2 } | } [ \bar { y } _ { 2 } ( \bar { z } ) y _ { 2 } ( z ) - \bar { y } _ { 1 } ( \bar { z } ) y _ { 1 } ( z ) ]
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } d _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \frac { 2 D d _ { n + 1 } } { \gamma _ { n + 1 } } + \frac { D \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } d _ { n + 1 } ^ { 2 } \| g _ { k } \| ^ { 2 } } { 2 d _ { n + 1 } } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } d _ { n + 1 } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 D d _ { n + 1 } \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } D d _ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \| g _ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } D d _ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { = 2 D d _ { n + 1 } \sqrt { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } + D d _ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \| g _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { v v ^ { \prime } } ( \Omega ) = - \langle f _ { v } ^ { \Omega } ( r ) | \frac { d U _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { \Omega } ( r ) / d \Omega } { E _ { v } ^ { \Omega } - E _ { v ^ { \prime } } ^ { \Omega } } | f _ { v ^ { \prime } } ^ { \Omega } ( r ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \prime } ( t ) } & { = \int _ { \Omega } u ^ { q - 1 } \left[ \nabla \cdot ( D ( v ) \nabla u ) - \nabla \cdot ( S ( v ) u \nabla v ) + f ( u ) \right] } \\ & { + \int _ { \Omega } | \nabla v | ^ { 2 q - 2 } \nabla v \cdot \nabla \left( \Delta v + u - v \right) } \\ & { : = J _ { 1 } + J _ { 2 } . } \end{array}
\theta \left( t , \mathbf { x } \right) = \arctan { \left[ V \left( t + \tau , \mathbf { x } \right) - V _ { m e a n } \left( \mathbf { x } \right) , \ V \left( t , \mathbf { x } \right) - V _ { m e a n } \left( \mathbf { x } \right) \right] }
\begin{array} { r l } { H ( h ^ { * } , T ^ { * } ) - H ( h , T ) } & { { } \approx D _ { h } H ( h , T ) \Delta h + D _ { T } H ( h , T ) \Delta T } \\ { - H ( h , T ) } & { { } \approx D _ { h } H ( h , T ) \Delta h + g \left( G _ { T } ( h ) \right) \Delta T , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { T _ { i j } } { T _ { i } T _ { j } } \propto r _ { i j } ^ { - \gamma _ { k k ^ { \prime } } } \ \textrm { f o r } \ i \in G _ { k } \ \textrm { a n d } \ j \in G _ { k ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \{ \phi _ { k } | k \in [ 1 , N ] \} ) } & { { } = p ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } \dots \phi _ { N } ) = p ( \phi _ { 1 } ) p ( \phi _ { 2 } | \phi _ { 1 } ) \dots p ( \phi _ { N } | \phi _ { N - 1 } \dots , \phi _ { 1 } ) } \\ { \implies \log p ( \{ \phi _ { k } | k \in [ 1 , N ] \} ) } & { { } = \log p ( \phi _ { 1 } ) + \log p ( \phi _ { 2 } | \phi _ { 1 } ) + \dots \log p ( \phi _ { N } | \phi _ { N - 1 } \dots , \phi _ { 1 } ) } \end{array}
\mathrm { V o l u m e } = { \frac { 1 } { n ! } } \operatorname* { d e t } \left[ { \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } ^ { T } - v _ { 0 } ^ { T } } \\ { v _ { 2 } ^ { T } - v _ { 0 } ^ { T } } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } ^ { T } - v _ { 0 } ^ { T } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { v _ { 1 } - v _ { 0 } } & { v _ { 2 } - v _ { 0 } } & { \cdots } & { v _ { n } - v _ { 0 } } \end{array} \right) } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) \nabla _ { 3 } ^ { 2 } w ^ { ( 2 ) } - \mathbf { U } ^ { \prime \prime } \cdot \nabla w ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , z , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | R _ { + } | } & { \leq } & { \sum _ { j _ { \ell } \leq j \leq n } \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } | f _ { j } ( t ) | \, | g _ { j } ( t ) - 1 | \, | \varphi ( t ) | \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq } & { \| \varphi \| _ { \infty } \sum _ { j _ { \ell } \leq j \leq n } \frac { 1 } { | I _ { p } | } \| f _ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { p } ) } \| g _ { j } - 1 \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { p } ) } } \\ & { \leq } & { \eta \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \delta } - 1 } \frac { p ^ { 2 } + p } { p ^ { 2 } } \frac { | I _ { p } | + 1 } { | I _ { p } | } \sum _ { j _ { \ell } \leq j \leq n } \delta ^ { - j } } \\ & { \leq } & { \eta \frac { \sqrt { 2 } \delta } { ( \sqrt { \delta } - 1 ) ( \delta - 1 ) } \frac { p ^ { 2 } + p } { p ^ { 2 } } \frac { | I _ { p } | + 1 } { | I _ { p } | } \delta ^ { - j _ { \ell } } } \\ & { = } & { \eta \frac { \sqrt { 2 } \delta } { ( \sqrt { \delta } - 1 ) ( \delta - 1 ) } \frac { p ^ { 2 } + p + 1 } { p ^ { 2 } } \delta ^ { - j _ { \ell } } } \end{array}
{ \bf D } ^ { \alpha } = \partial ^ { \alpha } + i g [ { \bf A } ^ { \alpha } , \cdot ] \quad \mathrm { { a n d } } \quad { \bf F } ^ { \alpha \beta } = \partial ^ { \alpha } { \bf A } ^ { \beta } - \partial ^ { \beta } { \bf A } ^ { \alpha } + i g [ { \bf A } ^ { \alpha } , { \bf A } ^ { \beta } ] \; .
\mathbf { J } _ { m } ^ { \kappa } ( t ) - \kappa \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } = \bigl \langle \psi _ { m } \sigma \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m } ^ { \kappa } ( t , \cdot ) \bigr \rangle = \biggl \langle \, \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( t ) \zeta _ { m , k } ( t ) \psi _ { m , k } \sigma \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ( t , \cdot ) \biggr \rangle \, .
\delta : \Delta , \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) , \underline { { y } } : B ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) \vdash g _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) , ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ^ { * } \underline { { y } } ) = ( \alpha ( \delta ) , \alpha _ { 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ^ { * } g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } , \underline { { y } } )
\begin{array} { r l } & { \overline { { s _ { 1 2 } ( k ) } } = \overline { { s _ { 2 1 } ( \bar { k } ) } } , \quad \overline { { s _ { 1 1 } ( k ) } } = \overline { { s _ { 2 2 } ( \bar { k } ) } } , \quad s _ { 1 2 } ( \omega \bar { k } ) = s _ { 2 3 } ( \bar { k } ) = s _ { 1 3 } ( k ) , \quad s _ { 1 1 } ( \omega \bar { k } ) = s _ { 2 2 } ( \bar { k } ) = s _ { 1 1 } ( k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { * \xi } } & { = ( - ) ^ { q + 1 } \frac { 1 } { f _ { s } } \iota _ { u } \tilde { F } , } \\ { \mathrm { d } { * ( \mathrm { d } \xi - c _ { \phi } F ) } } & { = ( - ) ^ { q + 1 } \tilde { \ell } ^ { 2 } \tilde { \chi } _ { \ell } \left( f _ { s } { * \xi } - ( - ) ^ { q } \iota _ { u } \tilde { \Xi } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { k } , \lambda } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon ^ { p } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \Xi } \left( h ( \xi ) - \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ { i } ( g _ { i } ( \xi ) - b _ { i } ) - \lambda d ^ { p } ( \xi , \widehat { \xi } _ { i } ) \right) \leq s _ { i } } } & { \forall \: i = 1 , \ldots , N , } \\ & { \lambda \geq 0 . } \end{array} \right.
\frac { d } { d \lambda } \left( \dot { y } \frac { \partial L } { \partial \dot { y } } - L \right) = \ddot { y } \frac { \partial L } { \partial \dot { y } } + \frac { d } { d \lambda } \frac { \partial L } { \partial \dot { y } } - \left[ \ddot { y } \frac { \partial L } { \partial \dot { y } } + \frac { \partial L } { \partial y } + \frac { \partial L } { \partial \lambda } \right] .
A _ { i } ^ { \gamma } \, ^ { T } ( { \bf r } ) = { \delta } _ { { i } \, { \gamma } } \, { \cal T } _ { A } ( r ) + \frac { r _ { i } \, r _ { \gamma } } { r ^ { 2 } } \, { \cal T } _ { B } ( r ) + { \epsilon } _ { i { \gamma } n } \frac { r _ { n } } { r } \, { \cal T } _ { C } ( r )
\int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) ^ { \frac { p } { 2 ( 1 - \theta _ { d } ) } } \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } P _ { \mathbf { a } } ( s , x ) ^ { 2 } \, d s \leq \left( \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) ^ { \frac { p } { 2 ( 1 - \theta _ { d } ) } } \, d s \right) \mathcal { E } _ { t } \leq \mathcal { M } _ { 1 } ( t ) \mathcal { E } _ { t } .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \Delta _ { 1 } } = } & { \left( { - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - 1 } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } + 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } } \right) { \eta _ { 2 } } } \\ { - } & { \left( { 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 } } + \left( { { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + 1 } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { - } & { \left( { - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } + 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } + \left( { 2 { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\frac { | a | } { | A | } = \frac { | \overline { { { a } } } | } { | \overline { { { A } } } | } \approx \frac { 1 } { \lambda } \frac { | V _ { u b } | } { | V _ { c b } | } \times \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \approx 0 . 4 1 \times \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \approx 0 . 1 .
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , q D \right\rangle - \left\langle \gamma , f + \mathring { Z } + Z ^ { \prime } \right\rangle } & { = 0 , \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \gamma , \mathring { Z } \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i f ~ } } & { V \notin J _ { \varepsilon } \mathrm { ~ a n d ~ } r < \varepsilon , \mathrm { ~ t h e n ~ f o r ~ e v e r y ~ } x , y \in \mathbb R ^ { 2 } , \mathrm { ~ t h e ~ t u b e ~ } B ( V + x , r ) } \\ & { \mathrm { c a n ~ i n t e r s e c t ~ a t ~ m o s t ~ o n e ~ o f ~ t h e ~ b a l l s ~ } B ( y , \varepsilon ) , B ( y + \theta , \varepsilon ) . } \end{array}
{ \Omega } ^ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 2 m \theta } } \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 2 \theta \delta ^ { i j } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 2 \theta \delta ^ { i j } } } & { { 0 } } & { { { e } , \epsilon ^ { i j } \delta ( \vec { x } - \vec { q } ) } } & { { 0 } } & { { 2 \theta \, e \partial ^ { j } \delta ( \vec { x } - \vec { q } ) } } \\ { { 0 } } & { { { e } \epsilon ^ { i j } \delta ( \vec { x } - \vec { q } ) } } & { { m \epsilon ^ { i j } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { 0 } } & { { 2 m \theta \partial ^ { j } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 m \theta \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } \\ { { 0 } } & { { 2 \theta { e } \partial ^ { i } \delta ( \vec { x } - \vec { q } ) } } & { { 2 m \theta \partial ^ { i } \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { - 2 m \theta \delta ( \vec { x } - \vec { y } ) } } & { { 0 } } \end{array} \right)
S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l r } { \ln | c _ { i } | ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | c _ { i } | ^ { 2 } \gtrsim \Delta n } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | c _ { i } | ^ { 2 } \lesssim \Delta n } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \phi } ( x ^ { \prime } , t ) } & { \ge - | x ^ { \prime } - x _ { 0 } ^ { \prime } | \omega ( | x ^ { \prime } - x _ { 0 } ^ { \prime } | ) } \\ & { \ge - | ( x ^ { \prime } , t ) - ( x _ { 0 } ^ { \prime } , t _ { 0 } ) | \omega ( | ( x ^ { \prime } , t ) - ( x _ { 0 } ^ { \prime } , t _ { 0 } ) | ) , } \end{array}
\forall z \in { \mathcal { R } } _ { c , n } , \qquad { \mathcal { L } } _ { c } ( z ) = \sum _ { i = 0 } ^ { c ^ { n } - 1 } z ^ { c ^ { i } } + { \mathcal { L } } _ { c } ( z ^ { c ^ { n } } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { c ^ { n } - 1 } z ^ { c ^ { i } } + { \mathcal { L } } _ { c } ( 1 ) = + \infty .
\begin{array} { r l } { { \cal T } [ H ( { \bf k } ) ] { \cal T } ^ { - 1 } } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } { \cal K } \left\{ \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} { \cal K } ^ { - 1 } ( \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } ) ^ { - 1 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } \left[ C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } { \cal K } T { \cal K } ^ { - 1 } ( \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } ) ^ { - 1 } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } { \cal K } T ^ { \dagger } { \cal K } ^ { - 1 } ( \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } ) ^ { - 1 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right] } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } V _ { z } ( j _ { z } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } { \cal K } \left( \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } \right) { \cal K } ^ { - 1 } ( \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } ) ^ { - 1 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ \left[ m _ { 0 } - 4 t _ { z } \sin ^ { 2 } \frac { k _ { z } a } { 2 } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \\ & { \left. \! - \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! - \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \! - \! V _ { z } ( j _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! \sum _ { j _ { z } } \left[ C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } T ^ { \dagger } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right] } \\ & { \! = \! H ( - { \bf k } ) \! - \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } 2 V _ { z } ( j _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { 0 } C _ { { \bf k } , j _ { z } } , } \end{array}
S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } \subset S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \subset S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ } }
{ \cal L } = \frac { \rho \vec { u } ^ { 2 } } { 2 } - \rho \partial _ { 0 } \tilde { \mu } + \phi \left( \frac { D \rho } { D t } + \rho \vec { \nabla } \cdot \vec { u } \right) - \rho \beta _ { a } \frac { D \alpha ^ { a } } { D t } \; ,
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { p } , \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \, T ) } & { \xrightarrow { \sim } C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { p } , 1 \otimes T ) \oplus C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { p } , c \otimes T ) } \\ & { \xrightarrow [ { ( 1 \otimes x , c \otimes y ) \mapsto ( x \circ \iota _ { p } , y \circ \iota _ { p } ^ { c } ) } ] { \sim } C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { \mathfrak { p } } , c \otimes T ) \oplus C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { \mathfrak { p } ^ { c } } , c \otimes T ) } \end{array}
d _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ u ~ } } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { y _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \check { \mathbf { q } } ( x , y ) ^ { * } \mathbf { Q } _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ u ~ } } ( x , y ) \check { \mathbf { q } } ( x , y ) \, d y
\delta \kappa ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \Omega _ { m } ^ { N \pm 2 } ) \approx \sum _ { A < B < N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } } X _ { A B } ^ { N \pm 2 , m } \psi _ { A } ( x _ { 1 } ) \psi _ { B } ( x _ { 2 } ) + \sum _ { I < J < N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } } Y _ { I J } ^ { N \pm 2 , m } \psi _ { I } ( x _ { 1 } ) \psi _ { J } ( x _ { 2 } ) .
\partial _ { x } \Big ( V ^ { \prime } ( x ) \varrho _ { \mathfrak { s } } ( x ) - 2 \alpha \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } y \frac { 1 } { x - y } \varrho _ { \mathfrak { s } } ( y ) \varrho _ { \mathfrak { s } } ( x ) + \partial _ { x } \varrho _ { \mathfrak { s } } ( x ) \Big ) = 0 , \quad \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } x \varrho _ { \mathfrak { s } } ( x ) = 1 ,
\begin{array} { r l } & { \bar { \mathbb { E } } \| \hat { M } _ { j } ^ { [ 1 ] } - M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| + C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \frac { \log n } { n } } \\ { \le } & { C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \left( \sqrt { \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } } \bigvee \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } \right) + C \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| \frac { \log n } { n } } \\ { \le } & { C ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) \left[ \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) n } + \frac { \log n } { n } \right] , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { ( 2 ) } = \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ 1 ~ } } ^ { ( 2 ) } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ 2 ~ } } ^ { ( 2 ) } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ , ~ 3 ~ } } ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { T _ { m , x } ^ { \mathbb { K } } \bigl ( \mathscr { R } _ { f } ( e _ { \tau } ^ { \prime } ) \bigr ) } & { = T _ { m } ^ { \mathbb { K } } ( f _ { e _ { \tau } ^ { \prime } } ) ( x ) = ( e _ { \tau } ^ { \prime } \circ f ) ( m , x ) \to ( e ^ { \prime } \circ f ) ( m , x ) = T _ { m } ^ { \mathbb { K } } ( f _ { e ^ { \prime } } ) ( x ) } \\ & { = T _ { m } ^ { \mathbb { K } } \bigl ( \mathscr { R } _ { f } ( e ^ { \prime } ) \bigr ) ( x ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } e } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 1 a e } { G m _ { 1 } m _ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } K _ { i } \left[ \omega _ { e } ( e ) x _ { i } \frac { \Omega _ { i } } { n } - \frac { 1 8 } { 1 1 } N _ { e } ( e ) \right] ,
\left[ \psi ( x ) , \psi ( y ) \right] _ { \pm } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int \left( e ^ { - i p ( x - y ) } \pm e ^ { i p ( x - y ) } \right) \frac { d ^ { 3 } p } { 2 \omega } = i \Delta ^ { \left( + \right) } ( x - y ) \pm i \Delta ^ { \left( - \right) } ( x - y )
\begin{array} { r l } { e ( \tilde { \rho } ) } & { \leq \frac { 3 } { 5 } ( 6 \pi ) ^ { 2 / 3 } \rho ^ { 5 / 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 2 \pi } { 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } a ^ { 3 } \rho ^ { 8 / 3 } \biggl [ 1 - \frac { 9 } { 3 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 / 3 } + O \left( ( a ^ { 3 } \rho ) ^ { 2 / 3 + 1 / 2 1 } | \log ( a ^ { 3 } \rho ) | ^ { 6 } \right) \biggr ] } \\ & { = \frac { 3 } { 5 } ( 6 \pi ) ^ { 2 / 3 } \tilde { \rho } ^ { 5 / 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 2 \pi } { 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } a ^ { 3 } \tilde { \rho } ^ { 8 / 3 } \biggl [ 1 - \frac { 9 } { 3 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { \rho } ^ { 2 / 3 } + O \left( ( a ^ { 3 } \tilde { \rho } ) ^ { 2 / 3 + 1 / 2 1 } | \log ( a ^ { 3 } \tilde { \rho } ) | ^ { 6 } \right) \biggr ] } \end{array}
U _ { - m } ^ { ( m ) } = \sqrt { \alpha ^ { - m } - \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j - m } \big | U _ { - j } ^ { ( m ) } \big | ^ { 2 } } , \quad U _ { N } ^ { ( m ) } = 0 \ \ \textrm { f o r } \ \ N < - m .
{ \mathcal K } = \left( \begin{array} { l l } { K _ { 1 1 } I } & { K _ { 1 2 } I } \\ { K _ { 2 1 } I } & { K _ { 2 2 } I } \end{array} \right) = - J _ { c } ^ { - 1 } \, , \quad \mathrm { w h e r e } \quad J _ { c } \equiv \left( \begin{array} { l l } { f _ { \mu } ^ { c } I } & { f _ { \eta } ^ { c } I } \\ { g _ { \mu } ^ { c } I } & { g _ { \eta } ^ { c } I } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 1 } , j _ { k } ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ( \xi _ { 2 } , j _ { k } ) | } & { \overset { , , } { \le _ { \alpha } } \mathtt { M } ^ { \alpha - 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | \left( \frac { ( | i _ { \xi , 1 } | + | i _ { \xi , 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | i _ { \xi , 1 } | + | i _ { \xi , 2 } | + | \mathtt { j } _ { k } | ) ^ { 2 \alpha - 2 } } { ( | i _ { \xi , 1 } | + | \mathtt { j } _ { k } | ) ^ { \alpha - 1 } ( | i _ { \xi , 2 } | + | \mathtt { j } _ { k } | ) ^ { \alpha - 1 } } \right) } \\ & { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } } \mathtt { M } ^ { \alpha - 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | i _ { \xi , 1 } | + | i _ { \xi , 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } } \\ & { \overset = | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { a a } ^ { * } } & { = \frac { m n _ { a } M _ { a a } ^ { * } } { m n _ { a } ( M _ { a a } ^ { * } + M _ { a b } ^ { * } ) + m ( 1 - n _ { a } ) ( M _ { b a } ^ { * } + M _ { b b } ^ { * } ) } } \\ { P _ { b b } ^ { * } } & { = \frac { m ( 1 - n _ { a } ) M _ { b b } ^ { * } } { m n _ { a } ( M _ { a a } ^ { * } + M _ { a b } ^ { * } ) + m ( 1 - n _ { a } ) ( M _ { b a } ^ { * } + M _ { b b } ^ { * } ) } } \end{array}
e ^ { \sum _ { \mathbf { k } } \beta _ { \mathbf { k } } ( t ) \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } - \beta _ { \mathbf { k } } ^ { * } ( t ) \hat { b } _ { \mathbf { k } } } \simeq 1 + \sum _ { \mathbf { k } } \left[ \beta _ { \mathbf { k } } ( t ) \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } - \beta _ { \mathbf { k } } ^ { * } ( t ) \hat { b } _ { \mathbf { k } } \right]
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { z } ^ { k } } & { : = \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k } ; \phi _ { z } ^ { k } ) + ( 1 - \eta _ { k } ) \left( \tilde { h } _ { z } ^ { k - 1 } - \nabla _ { y } g ( x _ { k - 1 } , z _ { k - 1 } ; \phi _ { z } ^ { k } ) \right) , } \\ { \tilde { h } _ { f y } ^ { k } } & { : = \nabla _ { y } f ( x _ { k } , y _ { k } ; \zeta _ { y } ^ { k } ) + ( 1 - \eta _ { k } ) \left( \tilde { h } _ { f y } ^ { k - 1 } - \nabla _ { y } f ( x _ { k - 1 } , y _ { k - 1 } ; \zeta _ { y } ^ { k } ) \right) , } \\ { \tilde { h } _ { g y } ^ { k } } & { : = \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k } ; \phi _ { y } ^ { k } ) + ( 1 - \eta _ { k } ) \left( \tilde { h } _ { g y } ^ { k - 1 } - \nabla _ { y } g ( x _ { k - 1 } , y _ { k - 1 } ; \phi _ { y } ^ { k } ) \right) , } \end{array}
F _ { 2 } = \frac { ( D _ { -- } ^ { 2 } a _ { + } ) D _ { - } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ) + \frac { C _ { + } } { C _ { - } } a _ { c o } D _ { + } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ) } { ( D _ { -- } ^ { 2 } a _ { + } ) j _ { \ell } ( D _ { - } ) + \frac { C _ { + } } { C _ { - } } a _ { c o } j _ { \ell } ( D _ { + } ) } \; .