harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq - \partial _ { t } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) + \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \mathbb { \tilde { E } } [ \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \langle D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) , \tilde { \eta } _ { s } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle D _ { x } ^ { 2 } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) \tilde { \xi } _ { s } , \tilde { \xi } _ { s } \rangle ] s ^ { - 1 } . } \end{array}
E _ { k } ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { j ! } \left. \frac { \partial ^ { j } \, E _ { k } ( \lambda ) } { \partial \lambda ^ { j } } \right\vert _ { \lambda = 0 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Psi _ { k } ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { j ! } \left. \frac { \partial ^ { j } \, \Psi _ { k } ( \lambda ) } { \partial \lambda ^ { j } } \right\vert _ { \lambda = 0 } .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { I _ { n } ^ { F _ { 2 } } } { I _ { n } ^ { F _ { 1 } } } } = \frac { | Q _ { n } ^ { F _ { 2 } } | } { | Q _ { n } ^ { F _ { 1 } } | } = } & { \lambda ^ { \frac { D - 2 } { 4 } } \exp [ ( 1 - \lambda ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) x _ { 1 / 4 } } \\ & { + ( 1 - \lambda ^ { - \frac { 3 } { 2 } } ) x _ { 3 / 4 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { a _ { S _ { 2 } } ( \Omega , { \bf q } ) = F _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) \, \Big \{ \exp \big [ i k _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) L + i \varphi _ { S } ( \Omega ) + i \varphi _ { P _ { 1 } } \big ] } \\ & { } & { + R ^ { * } \exp \big [ - i k _ { I } ( - \Omega , - { \bf q } ) L + i \varphi _ { P _ { 2 } } - i \varphi _ { I } ( - \Omega ) \big ] \Big \} \int \d \omega _ { P } \, \d { \bf q } _ { P } \, E _ { P } ( \Omega _ { P } , { \bf q } _ { P } ) \, b _ { I } ^ { \dagger } ( \Omega _ { P } - \Omega , { \bf q } _ { P } - { \bf q } ) } \\ & { } & { + F _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) \, \exp \big [ i \varphi _ { P _ { 2 } } \big ] \, \int \d \Omega _ { P } \, \d { \bf q } _ { P } \, E _ { P } ( \Omega _ { P } , { \bf q } _ { P } ) \, f ^ { \dagger } ( \Omega _ { P } - \Omega , { \bf q } _ { P } - { \bf q } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathrm { ~ i s ~ a ~ g o o d ~ \textbf { l e f t } ~ s e g m e n t ~ o f ~ } \mathfrak { m } } & { \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{array} { l } { \mathrm { L C } ( \Delta , \mathfrak { m } ) , \mathrm { R C } ( \Delta , \mathfrak { m } ) , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \mathrm { L C } ( \Delta , \mathfrak { m } ^ { - } ) . } \end{array} , } \\ { \Delta \mathrm { ~ i s ~ a ~ g o o d ~ \textbf { r i g h t } ~ s e g m e n t ~ o f ~ } \mathfrak { m } } & { \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{array} { l } { \mathrm { L C } ( \Delta , \mathfrak { m } ) , \mathrm { R C } ( \Delta , \mathfrak { m } ) , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \mathrm { R C } ( \Delta , \mathfrak { m } ^ { - } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ \left| Q _ { i } ( g _ { n } ; x _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { l } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { i } \right| \leqslant \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 m ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { a b c d } ( k ) = \, Z \, \gamma _ { a } \gamma _ { b } ^ { * } \gamma _ { c } \gamma _ { d } ^ { * } ( - 1 ) ^ { m _ { a } + m _ { d } } \, \delta _ { m _ { a } - m _ { b } , m _ { d } - m _ { c } } \, [ ( l _ { a } + l _ { b } + k + 1 ) \mathrm { ~ m o d ~ } 2 ] \, [ ( l _ { c } + l _ { d } + k + 1 ) \mathrm { ~ m o d ~ } 2 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \cal L } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial q _ { x } } + i \frac { \partial } { \partial q _ { y } } \right) , } } \\ { { { \cal L } ^ { 0 } = \frac { \partial } { \partial q _ { z } } , } } \\ { { { \cal L } ^ { + 1 } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial q _ { x } } - i \frac { \partial } { \partial q _ { y } } \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma - \frac { \delta } { 2 } } } } & { \leq C \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } } ^ { 1 - \frac { \delta } { 4 \gamma } } \| q \| _ { L ^ { \infty } } ^ { \frac { \delta } { 4 \gamma } } \leq \varepsilon \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } } + C ( \varepsilon ) \| q \| _ { L ^ { \infty } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq } \\ & { \frac { 1 } { T + 1 } \Big \{ 2 U _ { 2 } \gamma + U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + 4 \gamma ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + \alpha U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } \\ & { + 2 P ( U _ { 1 } ^ { 2 } + 2 J K U _ { 3 } ^ { 2 } / \bar { \epsilon } ^ { 2 } ) / \alpha \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } + h \ast f _ { 2 } \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! H _ { 1 } ^ { - 1 } \ast u \ast ( H _ { 1 } \ast u ^ { - 1 } \ast f _ { 1 } + g _ { 2 } \ast f _ { 2 } ) } \\ { \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! H _ { 1 } ^ { - 1 } \ast u \ast ( H _ { 1 } \ast F _ { 1 } + g _ { 2 } \ast f _ { 2 } ) } \\ { \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \! H _ { 1 } ^ { - 1 } \ast u \ast ( \varepsilon + ( H _ { 1 } - G _ { 1 } ) \ast F _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { \hat { \textbf { p } ^ { 2 } } } { 2 } + V ( \textbf { r } ) \right] \psi _ { i , \textbf { k } } ( \textbf { r } ) = E _ { i } ( \textbf { k } ) \psi _ { i , \textbf { k } } ( \textbf { r } ) . } \end{array}
F _ { \mathrm { ~ B ~ e ~ t ~ h ~ e ~ } } = \sum _ { i \in V } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } | \partial i | - 1 \right) \log z _ { \Psi _ { i } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \in \partial i } \log z _ { \Psi _ { i } \to j } \right]
\mathcal { D } ^ { \star } \approx - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \ln \left[ \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { c } { \omega \delta _ { 0 } } \right) ^ { 2 } | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right] \, ,
2 N \theta _ { 1 } ( x _ { j } ) + \phi _ { b } ( x _ { j } ) = 2 \pi j + \sum _ { l \neq 0 , j } [ \theta _ { 2 } ( x _ { j } - x _ { l } ) + \theta _ { 2 } ( x _ { j } + x _ { l } ) ] + \theta _ { 2 } ( x _ { j } - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( x _ { j } + x _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l r l r l r } { \nu _ { \perp } = 3 \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \nu \frac { \Xi ( x ) - \Psi ( x ) } { x ^ { 3 } } , } & { } & { \nu _ { \parallel } = 3 \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \nu \frac { \Psi ( x ) } { x ^ { 3 } } , } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \nu = \frac { 4 \sqrt { \pi } Z ^ { 4 } e ^ { 4 } n \log \Lambda } { 3 T ^ { 3 / 2 } m ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \dot { E } _ { a } ( t ) = } & { - F _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { a } ( t ) = } & { ( w _ { 0 } ^ { 2 } - 2 H ) E _ { a } ( t ) } \\ { \dot { E } _ { b } ( t ) = } & { - F _ { b } ( t ) } & { \dot { F } _ { b } ( t ) = } & { 0 } \\ { \dot { E } _ { c } ( t ) = } & { E _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { c } ( t ) = } & { 0 } \end{array} .
| | \nabla R ^ { h } | | _ { g ( t ) } ^ { 2 } = g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial R ^ { h } } { \partial z ^ { i } } \frac { \partial R ^ { h } } { \partial \bar { z ^ { j } } } = \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } \frac { \partial R ^ { h } } { \partial z ^ { i } } \frac { \partial R ^ { h } } { \partial \bar { z ^ { j } } } = \frac { 1 } { f } | | \nabla R ^ { h } | | _ { h } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } = } & { \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) - \sum _ { k = x , y } \Big [ t _ { 0 } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { - i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow | \bigr ) } \\ & { + t _ { \mathrm { s o } } ^ { k } \bigr ( | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } + \vec { e } _ { k } \uparrow | - e ^ { i \vec { K } \cdot \vec { e } _ { k } } | \vec { j } + \vec { e } _ { k } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | \bigr ) + h . c . \Big ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { t , j } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) = c _ { A , \frac { \ell } { 2 } } \sigma _ { j } ^ { - \ell } 2 ^ { - \frac { \ell } { 2 } } ( - 1 ) ^ { \frac { \ell } { 2 } } q _ { R , t } ^ { \otimes \ell } ( \lambda _ { 1 : \ell } ) B ( \ell , \lambda _ { 1 : \ell } ) , } \end{array}
\tilde { F } _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \left( \frac { x } { z } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { 4 } { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( z , Q ^ { 2 } ) + 2 c \left( 1 - \frac { x } { z } \right) z g ( z , Q ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { | D F ( x ) - D F ( y ) | } & { \le C \operatorname* { m i n } \left\{ | x - y | ^ { \eta } , \frac { | x - y | } { R ^ { 1 - \eta } } \right\} , } \\ { | D F ( x ) - D F ( y ) - D ^ { 2 } F ( y ) ( x - y ) | } & { \le \frac { C } { R } | x - y | ^ { 1 + \eta } , } \\ { | F ( x ) - F ( y ) - ( D F ( y ) , x - y ) - \frac { 1 } { 2 } D ^ { 2 } F ( y ) [ x - y , x - y ] | } & { \le \frac { C } { R } | x - y | ^ { 2 + \eta } . } \end{array}
\phi ( 5 ) = ( h _ { d } , ~ \bar { D } ^ { c } ) ~ , ~ ~ ~ \overline { { { \phi } } } ( \bar { 5 } ) = ( h _ { u } , ~ D ^ { c } ) ~ , ~ ~ ~ H ( 1 0 ) ~ , ~ ~ ~ \bar { H } ( \overline { { { 1 0 } } } ) ~ ,
\begin{array} { r l } & { ( 4 0 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } - 9 \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 1 ) } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 1 ) } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } ^ { o } , ( \xi _ { 1 } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) ^ { 4 } } \\ { = } & { ( 4 0 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 3 } - 9 \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 2 ) } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 2 ) } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } ^ { o } , ( \xi _ { 1 } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f } & { = } & { \Lambda ^ { ( 1 ) } \left[ 2 a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda ^ { ( 1 ) } \left[ 2 b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } b _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell + 1 , m + 1 } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda ^ { ( 2 ) } \left[ 2 a _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda ^ { ( 2 ) } \left[ 2 b _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { i n c } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell + 1 , m - 1 } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda ^ { ( 3 ) } \left[ 2 a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } b _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { - } & { \Lambda ^ { ( 3 ) } \left[ 2 b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m + 1 } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { g _ { + } \left( t _ { 1 } \right) g _ { + } \left( t _ { 2 } \right) + g _ { - } \left( t _ { 1 } \right) g _ { - } \left( t _ { 2 } \right) } } & { { = } } & { { g _ { + } \left( t _ { 1 } + t _ { 2 } \right) , } } \\ { { * [ 1 m m ] g _ { + } \left( t _ { 1 } \right) g _ { - } \left( t _ { 2 } \right) + g _ { - } \left( t _ { 1 } \right) g _ { + } \left( t _ { 2 } \right) } } & { { = } } & { { g _ { - } \left( t _ { 1 } + t _ { 2 } \right) , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { p s i n } ( c _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } , \dots , c _ { n } \mathbf { v } _ { n } ) } & { = { \frac { \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l } { c _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } } & { c _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { c _ { n } \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \| c _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| } } } \\ & { = { \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } | c _ { i } | } } \cdot { \frac { \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \| \mathbf { v } _ { i } \| } } } \\ & { = \operatorname { p s i n } ( \mathbf { v } _ { 1 } , \dots , \mathbf { v } _ { n } ) . } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { k \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { 4 } } T r ( \gamma _ { \mu } K ^ { \mu } \Sigma _ { ( 2 ) } ^ { \prime } ) = g ^ { 2 } C _ { ( 2 ) } { \frac { T ^ { 2 } } { 8 } } + g ^ { 2 } C _ { ( 2 ) } \omega ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d p } { 8 \pi ^ { 2 } } } \biggl ( - { \frac { 1 } { \omega + p } } + { \frac { 1 } { \omega - p } } \biggr ) \left[ e ^ { p / T } - 1 \right] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \Theta _ { t } } & { : = \left\{ \frac { 2 k \pi } { N _ { t } } \: | \: k = 1 - \frac { N _ { t } } { 2 } , \dots , \frac { N _ { t } } { 2 } \right\} \subset ( - \pi , \pi ] \; , } \\ { \Theta _ { x } } & { : = \left\{ \frac { 2 k \pi } { N _ { x } } \: | \: k = 1 - \frac { N _ { x } } { 2 } , \dots , \frac { N _ { x } } { 2 } \right\} \subset ( - \pi , \pi ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } | D \varphi _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | > c _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } \, \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \; \; \theta _ { 1 } \in ( 0 , \theta ^ { \mathrm { s } } ) \, , } \end{array}
v ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) = v ( \mathbf { R } ) - \sum _ { \alpha = x , y , z } r _ { \alpha } v _ { \alpha } ( \mathbf { R } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \alpha = x , y , z } \sum _ { \beta = x , y , z } r _ { \alpha } r _ { \beta } v _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } ) - \cdots + \cdots
\begin{array} { r l } & { \phi _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } = \phi _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \phi } { \partial \xi } \right) _ { i } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) _ { i } } \\ & { \phi _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } = \phi _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \phi } { \partial \xi } \right) _ { i + 1 } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) _ { i + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \bar { x } _ { I ( T ) } ) - F ( x _ { * } ) \leq } & { O \left( \left( 1 + \log \frac { r + d _ { 1 } } { r } \right) \left( r + d _ { 1 } \right) \frac { \left( \frac { r + d _ { 1 } } { r } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } } { T \gamma _ { I ( T ) } } \right) } \\ { \leq } & { O \left( \left( 1 + \log \frac { r + d _ { 1 } } { r } \right) \left( r + d _ { 1 } \right) \frac { \left( \frac { r + d _ { 1 } } { r } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } } { T \gamma _ { T } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } * h \} [ k ] } & { \triangleq \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } g _ { _ { N } } [ m ] \cdot h _ { _ { N } } [ n - m ] \right) e ^ { - i 2 \pi k n / N } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } g _ { _ { N } } [ m ] \left( \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } h _ { _ { N } } [ n - m ] \cdot e ^ { - i 2 \pi k n / N } \right) } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } g _ { _ { N } } [ m ] \cdot e ^ { - i 2 \pi k m / N } \underbrace { \left( \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } h _ { _ { N } } [ n - m ] \cdot e ^ { - i 2 \pi k ( n - m ) / N } \right) } _ { { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] \quad \scriptstyle { \mathrm { d u e ~ t o ~ p e r i o d i c i t y } } } } \\ & { = \underbrace { \left( \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } g _ { _ { N } } [ m ] \cdot e ^ { - i 2 \pi k m / N } \right) } _ { { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] } \left( { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { k + 1 } } & { = \tilde { W } ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } ) - \tilde { W } \tilde { V } \mathbf { s } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } } \\ { \mathbf { s } _ { k + 1 } } & { = \tilde { W } \mathbf { s } _ { k } + \tilde { V } \left( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } \right) + \tilde { V } E _ { k } . } \end{array}
\textbf { N } = - \gamma \left[ \begin{array} { l } { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { u } - \Tilde { u } \Tilde { v } \ \tan ( \varphi ) } \\ { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { v } + \Tilde { u } ^ { 2 } \ \tan ( \varphi ) } \\ { \Tilde { \textbf { V } } \cdot \Tilde { \nabla } \Tilde { h } + \Tilde { h } \Tilde { \nabla } \cdot \Tilde { \textbf { V } } } \end{array} \right] \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { F } = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { \tau _ { R } } \Tilde { u } } \\ { - \frac { 1 } { \tau _ { R } } \Tilde { v } } \\ { Q - \frac { 1 } { \tau _ { N } } \Tilde { h } } \end{array} \right] \, .
\phi _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { \mathbf { T } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { T } } \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } - \mathbf { T } ) ,
\begin{array} { r l } { \langle ( | { \bf { M } } | - 1 ) ^ { 2 } \rangle _ { \rho } } & { { } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { J } ( ( | { \bf { M } } _ { i } ( t ) | - 1 ) ^ { 2 } W _ { i } ( 0 ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { J } W _ { i } ( 0 ) } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { x } ( x , w ) = { } } & { { } F _ { v _ { a } , u _ { a } } ( x , w ) - F _ { v _ { a } , u _ { b } } ( x , w ) - F _ { v _ { b } , u _ { a } } ( x , w ) + F _ { v _ { b } , u _ { b } } ( x , w ) , } \end{array}
C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { R } ( t , t _ { 1 } ) = \left( C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { L } ( t , t _ { 1 } ) \right) ^ { * }
\begin{array} { r } { \mu = \frac { e ^ { 2 } F _ { \mathrm { m a x } , 1 } ^ { 2 } } { 4 \hbar \omega ^ { 3 } } \frac { x _ { 1 / 4 } ^ { 4 } } { \{ \mathrm { I m } [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ] \} ^ { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { U _ { i } ( t ) < 0 \implies U _ { i } ^ { \prime } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ^ { \prime } ( t ) } & & { \le U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ( t ) } \\ & { U _ { i } ^ { \prime } ( t ) < 0 \implies U _ { i } ^ { \prime } ( t \! + \! 1 ) } & & { \le B } \\ & { U _ { i } ^ { \prime } \left( T _ { n } ^ { \prime } \right) - \frac { p } { q } \left( U _ { i } ( T _ { n } ) - C _ { 2 } \right) } & & { \le B . } \end{array}
\left[ \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } + q ^ { 2 } + 1 + \frac { 2 g N _ { 0 } } { \omega _ { q _ { 0 } } } - \frac { 2 g N _ { 0 } } { \omega _ { q _ { 0 } } } \cos ( 2 \omega _ { q _ { 0 } } \tau ) \right] \phi _ { q } ( \tau ) = 0 .
V _ { \mathrm { a n d } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \lambda _ { 1 } } & { \cdots } & { \lambda _ { 1 } ^ { L - 1 } } \\ { 1 } & { \lambda _ { 2 } } & { \cdots } & { \lambda _ { 2 } ^ { L - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \lambda _ { L } } & { \cdots } & { \lambda _ { L } ^ { L - 1 } } \end{array} \right] ,
\mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { * } ) \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \kappa } \frac { \lambda ( \mathrm { T r } _ { \partial \mathbb { S } ^ { 1 } } u _ { * } ( a _ { i } + \bar { \rho } \cdot ) ) ^ { 2 } } { 4 \pi } \, \leq \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \| \phi ( t , x , u ) - } & { \phi ( t , x , 0 ) \| _ { X } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } M \Big ( \big \| f \big ( \phi ( s , x , u ) , u ( s ) \big ) - f \big ( \phi ( s , x , 0 ) , u ( s ) \big ) \big \| _ { X } } \\ & { \qquad \qquad + \big \| f \big ( \phi ( s , x , 0 ) , u ( s ) \big ) - f \big ( \phi ( s , x , 0 ) , 0 \big ) \big \| _ { X } \Big ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { G ( F _ { v } ) } \int _ { U _ { 0 } ^ { \prime } ( F _ { v } ) } \omega _ { \pi _ { v } } ^ { 0 } ( g ) f _ { \mathcal { W } ( \tau _ { v } , 2 n , \psi _ { ( 2 n ) ^ { k } } ) , s } ^ { 0 } ( \delta _ { 0 } u _ { 0 } ( 1 \times { ^ { \iota } g } ) ) \psi _ { U } ( u _ { 0 } ) d u _ { 0 } d g = L ( s + \frac { 1 } { 2 } , \pi _ { v } \times \tau _ { v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \varepsilon \left( T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ T _ { p _ { 1 } } [ \mathfrak { b } _ { 1 } ] ] - \mathfrak { b } _ { 1 } \right) | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon \operatorname* { s u p } _ { j _ { k } \in S } | C _ { j _ { k } } | _ { - 2 , 0 , \eta _ { 0 } } \left( \rVert \tilde { p } _ { 1 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + | \mathfrak { p } _ { 2 } | _ { 0 , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { = \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha ^ { 2 } \Vert { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \tilde { \theta } _ { t } - { \theta } _ { t } , { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ^ { \mathrm { F R } } ( \rho ) \sigma = \psi _ { \sigma } - \int \psi _ { \sigma } \mathrm { d } \theta , \quad \forall ~ \sigma \in T _ { \rho } \mathcal { P } } \\ & { M ^ { \mathrm { F R } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi = \rho ( \psi - \mathbb { E } _ { \rho } [ \psi ] ) , \quad \forall ~ \psi \in T _ { \rho } ^ { * } \mathcal { P } . } \end{array}
\eta ( t ) = \ln ( r _ { i + 1 } / r _ { i } ) / \theta _ { s } ( t ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \eta \frac { \tau } { t } , } & { 0 < t < \tau } \\ { \eta \frac { \tau } { 2 \tau - t } \, } & { \tau < t < 2 \tau } \end{array} \right.