harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { F ( x , y , z ) } & { = } & { - 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x - 7 5 K _ { 2 } r _ { 1 } z - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 2 } - 3 2 K _ { 2 } r _ { 1 } x y - 3 0 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x z } \\ & { } & { - 6 0 K _ { 2 } r _ { 1 } y z - 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } - 1 9 2 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 2 } y - 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 1 } x ^ { 3 } y - 2 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } x y z , } \\ { G ( x , y , z ) } & { = } & { \left( 8 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 1 2 0 r _ { 2 } \right) y + \left( 2 5 r _ { 2 } - 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) z + \left( 6 4 K _ { 2 } r _ { 2 } - 9 6 r _ { 2 } \right) x y } \\ & { } & { + \left( 2 0 r _ { 2 } - 8 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) x z + \left( 1 0 0 r _ { 2 } - 4 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) y z } \\ & { } & { + \left( 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 5 6 0 r _ { 2 } \right) y ^ { 2 } + \left( 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 4 4 8 r _ { 2 } \right) x y ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( 8 0 r _ { 2 } - 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \right) x y z - 3 2 0 r _ { 2 } y ^ { 3 } - 2 5 6 r _ { 2 } x y ^ { 3 } , } \\ { H ( x , y , z ) } & { = } & { 2 4 0 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } x + \left( 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 8 0 r _ { 2 } \right) y - 4 0 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) z } \\ & { } & { + \left( 1 9 2 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 6 4 r _ { 2 } \right) x y + \left( 2 4 0 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } - 3 2 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) \right) x z } \\ & { } & { + \left( - 3 2 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) + 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 8 0 r _ { 2 } \right) y z - 4 0 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) z ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( 1 9 2 c _ { 1 } K _ { 2 } r _ { 1 } - 2 5 6 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) + 2 5 6 K _ { 2 } r _ { 2 } - 6 4 r _ { 2 } \right) x y z } \\ & { } & { - 3 2 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) x z ^ { 2 } - 3 2 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) y z ^ { 2 } - 2 5 6 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) x y z ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { e x p } [ M _ { { \alpha } { \alpha } } ( x - y ) ] = \frac { 2 } { m _ { 0 } e ^ { \gamma } } \frac { i ( - 1 ) ^ { { \alpha } - 1 } } { x ^ { -- } y ^ { - } + i { \varepsilon } ( - 1 ) ^ { { \alpha } - 1 } } e ^ { F _ { \alpha } ( | x ^ { -- } y ^ { - } | ) } ,
K _ { \textrm { N } } = - \pi \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } k _ { \textrm { C } } ^ { - 4 / 3 } \varepsilon ^ { - 2 / 3 } \frac { D \varepsilon } { D T } + \frac { \pi } { 6 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } k _ { \textrm { C } } ^ { - 7 / 3 } \frac { D k _ { \textrm { C } } } { D T } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( \| X \| _ { s , p } ^ { p } ) \le \sum _ { ( j , k , l ) \in \mathbf { \mathcal { I } _ { \Psi } } } 2 ^ { - j p s } \mathbb { E } ( | X _ { j , k } ^ { l } | ^ { p } ) \le C \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - j p s } 2 ^ { d j } ( 2 ^ { d } - 1 ) \le C \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - j p ( s - \frac { d } { p } ) } < \infty , } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 } = - { \cal S } { \cal T } _ { 0 } { \cal S } ^ { - 1 } , \; \; \; { \cal L } _ { \pm } = ( 2 \omega ) ^ { \pm 1 } { \cal S } { \cal T } _ { \mp } { \cal S } ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ^ { \mathrm { p o l } } = } & { \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { R } } \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } { \mathbf { H } } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \theta } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { S } } + \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { R } } \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } { \mathbf { H } } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \phi } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \phi } } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { S } } } \\ & { + \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { R } } \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } { \mathbf { H } } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \theta } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { S } } + \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { R } } \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } { \mathbf { H } } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \phi } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \phi } } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { S } } } \\ { = } & { \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { R } } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } , \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \phi } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \theta } } & { \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \theta \phi } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \theta } } & { \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } ^ { \phi \phi } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } , \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \phi } } \end{array} \right] ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathrm { S } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { = \left[ - 1 + i ( | E | ^ { 2 } - \Delta _ { 0 } ) + i \hat { \beta } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \\ & { + S _ { + } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i a t } + S _ { - } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau - i a t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } , \mathbf { x } \right) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \Pi _ { \mathrm { ~ N ~ B ~ } } \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } \right) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { x } > \mathbf { x } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } , } \\ { \Pi _ { \mathrm { ~ F ~ B ~ } } \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } \right) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { x } \le \mathbf { x } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \tilde { p } _ { 2 } ( k , \omega ) \rangle = \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) \left( \int \frac { \mathrm { d } k ^ { \prime } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } k ( k - k ^ { \prime } ) \tilde { p } _ { 0 } ( k - k ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } ) \frac { S ( k ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) } { h _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) .
T _ { \, \, \, i } ^ { j } = \Big ( V - n V ^ { \prime } ( n ) \Big ) \, \delta _ { \, \, i } ^ { j } - \frac { \hbar n } { 2 } \left( \epsilon _ { i k } \partial ^ { k } v ^ { j } + \epsilon ^ { j k } \partial _ { i } v _ { k } \right) .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| ( L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + a _ { 1 | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, 0 } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle = } \\ { d _ { 0 | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + d _ { 1 | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 0 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \end{array}
\mathbf { A _ { E } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { A _ { 1 } } } & & & \\ & { \mathbf { A _ { 2 } } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \mathbf { A _ { N } } } \end{array} \right] , \mathbf { X _ { E } } = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { X _ { 1 } } } \\ { \mathbf { X _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { X _ { N } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \left[ E ^ { 2 } ( \omega , \omega _ { a } ) \right] _ { \mathrm { R I N } } } & { { } = \frac { \Delta X _ { a } ( \Delta \omega ) } { 2 X _ { a } } \left( \left( A ( \omega _ { a } ) \left[ A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + A ( \omega ) \right] + B ( \omega _ { a } ) \left[ B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + B ( \omega ) \right] \right) \cos ( \Delta \omega t + \phi _ { 0 } ) \, \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \hat { \gamma } ^ { 2 } ) \approx \frac { 2 ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \alpha T _ { w } } = \frac { \sigma ^ { 4 } } { 2 \alpha ^ { 3 } T _ { w } } ; \quad \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \hat { \rho } ) \approx \frac { 2 \alpha \Delta t ^ { 2 } } { T _ { w } } , } \end{array}
U ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { c c c c } { { c _ { 1 3 } / \sqrt { 2 } } } & { { c _ { 1 3 } / \sqrt { 2 } } } & { { s _ { 1 3 } } } & { { 0 } } \\ { { - ( 1 + s _ { 1 3 } ) / { 2 } \, } } & { { \; \, ( 1 - s _ { 1 3 } ) / 2 } } & { { c _ { 1 3 } / \sqrt { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { \; \, ( 1 - s _ { 1 3 } ) / 2 } } & { { - ( 1 + s _ { 1 3 } ) / 2 \, } } & { { c _ { 1 3 } / \sqrt { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; ,
\langle \Delta _ { \mathrm { G P E } } \rangle = ( 0 . 0 0 \pm 0 . 0 1 ) + ( 0 . 2 2 \pm 0 . 0 2 ) \, \nu + ( 0 . 0 8 \pm 0 . 0 2 ) \, \nu ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { d \nu _ { \Delta x , \mathrm { a c } } } & { = \left( u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \Delta x } \int _ { x _ { 2 j } } ^ { x _ { 2 j + 2 } } \left( f ( y ) - u _ { x } ^ { 2 } ( y ) \right) d y \right) d x } \\ & { = \left( u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } + \left( D G _ { \mathrm { a c } , 2 j } - D F _ { \mathrm { a c } , 2 j } \right) \right) d x , } \end{array}
\delta _ { \mathrm { s p } } ^ { L } \left( D _ { \alpha \beta } \Phi \right) ( X ) = \omega _ { L } \cdot \mathcal { D } \left( D _ { \alpha \beta } \Phi \right) ( X ) - \left( { \omega _ { L } } \cdot \mathcal { D } \right) _ { ( \alpha \beta ) } \Phi ( X )
Y = \frac { 1 } { 5 } X _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 5 } ,
Z _ { t + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { t } + 2 c , \quad } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ( 1 - \vartheta ) ^ { 2 } } \\ { Z _ { t } + c - r , } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 2 \vartheta ( 1 - \vartheta ) } \\ { Z _ { t } - 2 r , } & { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \vartheta ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P ( l ^ { i n t r a } = L ^ { i n t r a } ) } & { { } = \binom { L _ { m a x } ^ { i n t r a } } { L ^ { i n t r a } } p ^ { L ^ { i n t r a } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { i n t r a } - L ^ { i n t r a } } } \\ { P ( l ^ { i n t e r } = L ^ { i n t e r } ) } & { { } = \binom { L _ { m a x } ^ { i n t e r } } { L ^ { i n t e r } } p ^ { L ^ { i n t e r } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { i n t e r } - L ^ { i n t e r } } } \\ { P ( l ^ { r e p l i c a } = L ^ { r e p l i c a } ) } & { { } = \binom { L _ { m a x } ^ { r e p l i c a } } { L ^ { r e p l i c a } } p ^ { L ^ { r e p l i c a } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { r e p l i c a } - L ^ { r e p l i c a } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x _ { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right] , \: \: \: \mathbf { x _ { f r } } = \left[ \begin{array} { l } { 3 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 2 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \Delta _ { \alpha } ( \varphi / \alpha ) } & { = \alpha ^ { - 1 } \operatorname { d i v } ( \alpha ^ { 2 } \nabla ( \varphi / \alpha ) ) } \\ & { = \alpha ^ { - 1 } \operatorname { d i v } ( \alpha \nabla \varphi - \varphi \nabla \alpha ) } \\ & { = \alpha ^ { - 1 } ( \alpha \Delta \varphi - \varphi \Delta \alpha ) } \\ & { = \mathcal { L } \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , v ( \tilde { t } ) ) } , P ( \varphi ) _ { | E } ^ { ( n , v ( \tilde { t } ) ) } , \eta ^ { ( n , v ( \tilde { t } ) ) } ) } & { \leq \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n m , m v ( \tilde { t } ) ) } , P ( \varphi ) _ { | E } ^ { ( n m , m v ( \tilde { t } ) ) } , \eta ^ { ( n m , m v ( \tilde { t } ) ) } ) } \\ & { = - \ln \| \widetilde { t } ^ { m } \| _ { P ( \varphi _ { | E } ) ^ { ( n m , m v ( \tilde { t } ) ) } } + \ln \| \widetilde { t } ^ { m } \| _ { \eta ^ { ( n m , m v ( \tilde { t } ) ) } } } \\ & { \leq - \ln \| t _ { m } \| _ { \varphi ^ { n m , v ( t _ { m } ) } } + \ln \| t _ { m } \| _ { \eta ^ { ( n m , v ( t _ { m } ) ) } } + m \epsilon } \\ & { = \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n m , v ( t _ { m } ) ) } , \varphi ^ { ( n m , v ( t _ { m } ) ) } , \eta ^ { ( n m , v ( t _ { m } ) ) } ) + m \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { r } = } & { { } \frac { \frac { \partial \vec { r } } { \partial r } } { \big | \frac { \partial \vec { r } } { \partial r } \big | } = \left( \begin{array} { l } { \cos \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \\ { \sin \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \end{array} \right) ; } \\ { \hat { \theta } = } & { { } \frac { \frac { \partial \vec { r } } { \partial \theta } } { \big | \frac { \partial \vec { r } } { \partial \theta } \big | } = \left( \begin{array} { l } { - \sin \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \\ { \cos \bigg [ \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \triangle _ { \theta } \bigg ] } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { { \rho } _ { S , I } } ( t ) = { \mathcal { T } ^ { ( + ) } } \prod _ { k } ^ { K } { { { e } ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } { \mathcal { K } _ { I k } } ( \tau ) } } } { { \rho } _ { S , I } } ( 0 ) } \\ & { = { \mathcal { T } ^ { ( + ) } } \prod _ { k } ^ { K } { { { e } ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { d \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } { d t ^ { \prime } \Phi _ { I } ( t ^ { \prime } ) { { e } ^ { i { { \gamma } _ { k } } ( \tau - t ^ { \prime } ) } } { { \Theta } _ { I k } } ( t ^ { \prime } ) } } } } } \\ & { \times { { \rho } _ { S , I } } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { l o c a l ~ s y s t e m } \ } & { \rightsquigarrow \ \mathrm { S t o k e s ~ l o c a l ~ s y s t e m } } \\ { \mathrm { ~ f u n d a m e n t a l ~ g r o u p ~ ( o r ~ g r o u p o i d ) } \ } & { \rightsquigarrow \ \mathrm { w i l d ~ s u r f a c e ~ g r o u p ~ ( o r ~ g r o u p o i d ) } } \\ { \mathrm { f u n d a m e n t a l ~ g r o u p ~ r e p r e s e n t a t i o n ~ } \ } & { \rightsquigarrow \ \mathrm { S t o k e s ~ r e p r e s e n t a t i o n . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { r o t } } & { = \hbar \Delta _ { a } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ) + \hbar \Delta _ { m } m ^ { \dagger } m + \hbar \omega _ { b } b ^ { \dagger } b } \\ & { + \hbar J ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 1 } ) + \hbar g _ { m a } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } m + a _ { 1 } m ^ { \dagger } ) } \\ & { + \hslash g _ { m b } m ^ { \dagger } m ( b ^ { \dagger } + b ) + i \hbar \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { l } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } - a _ { 1 } ) } \\ & { + i \hbar \sqrt { 2 \eta _ { a } \kappa _ { 1 } } \varepsilon _ { p } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } e ^ { - i \delta t } - h . c ) , } \end{array}
F _ { L } ^ { ( \alpha ) } ( z | \tau ) = \Theta _ { \Lambda _ { 2 4 } } { \cal P } \left( z \left| \frac { 1 } { 2 } , \frac { \tau } { 2 } \right. \right) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 \zeta ( 1 4 ) } G _ { 1 4 } ,
f _ { x z ^ { 2 } } = N _ { 3 } ^ { c } { \frac { x ( 4 z ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { 2 r ^ { 3 } { \sqrt { 1 0 } } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { 3 } ^ { - 1 } - Y _ { 3 } ^ { 1 } \right)
\begin{array} { r l r } { k = \frac { \langle u \rangle } { \Delta p } } & { = } & { - \frac { h U + h \langle G _ { S } \rangle F + h \langle G _ { D } \rangle ( R ^ { 2 } D + R ^ { 4 } Q ) } { 4 F } + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) } \\ & { = } & { - \frac { h } { 4 C _ { F , U } } - \frac { h \langle G _ { S } \rangle } { 4 } - \frac { h \langle G _ { D } \rangle } { 4 } ( R ^ { 2 } C _ { D , F } + R ^ { 4 } C _ { Q , F } ) + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) } \\ & { = } & { \frac { U } { \Delta p } - \frac { h \langle G _ { S } \rangle } { 4 } - \frac { h \langle G _ { D } \rangle } { 4 } ( R ^ { 2 } C _ { D , F } + R ^ { 4 } C _ { Q , F } ) + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } _ { 1 } | \mathbf { x } ) ; p ( \mathbf { y } _ { 2 } | \mathbf { x } ) ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 1 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 2 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 2 1 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \end{array}
G ( x ) = \frac { 1 } { x \tilde { J } _ { 1 } ( x ) } \left\{ 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ x - \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( x ) \right] - g _ { L } \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( x ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } x \rangle } & { \geq \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } a _ { i , j } ^ { \prime } ( x _ { i } + x _ { j } ) ^ { 2 } \sum _ { i , j } a _ { i , j } ^ { \prime } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 8 } \left( \sum _ { i , j } \sqrt { a _ { i , j } ^ { \prime } } \left| x _ { i } - x _ { j } \right| \cdot \sqrt { a _ { i , j } ^ { \prime } } \left| x _ { i } + x _ { j } \right| \right) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ \mathrm { [ C a u c h y - S h w a r z ] } } \\ & { = \frac { 1 } { 8 } \left( \sum _ { i , j } a _ { i , j } ^ { \prime } \left| x _ { i } ^ { 2 } - x _ { j } ^ { 2 } \right| \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ^ { \beta } ( \pi , \pi ^ { m k t , b , a } , \sigma ^ { m k t , b , a } , F , F ^ { m k t } ) = } \\ & { \quad \left( \frac { \big ( \beta \tilde { 1 } _ { \{ \pi \notin [ \pi ^ { m k t , b } , \pi ^ { m k t , a } ] \} } + ( 1 - \beta ) \big ) \big | \pi - ( \pi ^ { m k t , a } + \pi ^ { m k t , b } ) / 2 \big | + \big | \delta ^ { m k t } e ^ { - r T } ( F - F ^ { m k t } ) \big | } { { \upsilon ^ { m k t } ( \sigma ^ { m k t , a } - \sigma ^ { m k t , b } ) } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
D \left( \mathbf { X ^ { ' } } \mid \mid \mathbf { X } \right) = \int P \left( \mathbf { X ^ { ' } } \right) \ln \left( \frac { P \left( \mathbf { X ^ { ' } } \right) } { P \left( \mathbf { X } \right) } \right) d \mathbf { X ^ { ' } }
{ \frac { d \widetilde m ^ { 2 } } { d t } } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left\{ - \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } c _ { i } g _ { i } ^ { 2 } M _ { i } ^ { 2 } + \alpha h _ { t } ^ { 2 } ( \sum _ { k } \widetilde m _ { k } ^ { 2 } ) \right\}
\begin{array} { r } { F _ { r } = - \frac { \partial \psi } { \partial r } \approx \frac { r } { 2 } + g \frac { r _ { b } ^ { 2 } \cos \phi } { 8 } \left\{ \frac { 1 } { 4 } - \log \left( \frac { 2 } { r _ { b } } \right) + \frac { 3 r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j } ^ { ( t ) } = } & { \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } ( \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } + q _ { t } ) \| } \\ { \geq } & { \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| - \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } q _ { t } \| } \\ { \geq } & { ( 0 . 9 - 2 . 1 C _ { 3 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ) \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } - 2 . 1 C _ { 3 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \sigma \; . } \end{array}
\Psi _ { j } \left( { \bf r } , t \right) = \frac { \mathrm { e } ^ { i { \bf k } _ { j } \cdot { \bf r } - i E _ { { \bf k } _ { j } } t } } { \sqrt { 2 \vert E _ { { \bf k } _ { j } } \vert \Omega } } \, , \quad \Phi \left( { \bf r } , t \right) = \frac { g } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { N } { 2 \vert E _ { { \bf k } _ { j } } \vert \Omega } \, , \quad \Omega \rightarrow \infty \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } } & { { } = \frac { i } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } } \\ { \frac { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } } & { { } = \frac { i } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n ^ { - 1 } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \mathcal { J } _ { 0 s } h _ { s } ^ { \prime } } & { { } = 0 , } & { \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } h _ { s } ^ { \prime } } & { { } = 0 . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \epsilon } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { 4 ! } } \left( { \frac { \epsilon } { 2 \pi } } \right) ^ { 4 } \left\{ { \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \epsilon - \mu ) } } } - \theta ( - \epsilon ) \right\} = { \frac { 1 } { 5 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 5 } + { \frac { 1 } { 3 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } { \frac { T ^ { 2 } } { 4 ! } } + \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) { \frac { 7 } { 8 } } { \frac { T ^ { 4 } } { 6 ! } } ,
\alpha _ { n } ( u ) \approx \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = \pm 1 } \left( 1 + \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } / n ^ { 2 } } - l } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } \gamma _ { 1 } ^ { 2 } / n ^ { 2 } } + l } \right) ^ { - 1 } .
\left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { + } } } \\ { { h ^ { + } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { v _ { 1 } } { v } } } & { { - \frac { v _ { 2 } ^ { * } } { v } W _ { 1 1 } } } & { { - \frac { v _ { 2 } ^ { * } } { v } W _ { 1 2 } } } \\ { { \frac { v _ { 2 } } { v } } } & { { \frac { v _ { 1 } ^ { * } } { v } W _ { 1 1 } } } & { { \frac { v _ { 1 } ^ { * } } { v } W _ { 1 2 } } } \\ { { 0 } } & { { W _ { 2 1 } } } & { { W _ { 2 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { w } ^ { + } } } \\ { { H _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { H _ { 2 } ^ { + } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { T _ { i j } = - \frac { 2 } { \sqrt { g } } \frac { \delta \hat { S } } { \delta g ^ { i j } } } & { { } = } & { - \frac { E _ { i } E _ { j } } { B } + \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { B } \delta _ { i j } + 2 B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \delta _ { i j } + \left( \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \right) \delta _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { m } \left( x \right) } & { = } & { n _ { m } ~ H _ { m } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w _ { 0 , m } } \right) e ^ { - \left( \frac { x } { w _ { 0 , m } } \right) ^ { 2 } } , } \\ { n _ { m } } & { = } & { \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \left( 2 ^ { m } m ! w _ { 0 , m } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}