harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u _ { 4 k n + i } = } & { u _ { i } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 + B \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { u _ { \tau ( i ) + 4 j } } \right) ( k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor ) } { 1 + B \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { u _ { \tau ( i ) + 4 j } } \right) ( k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor + 1 ) } } \\ { = } & { u _ { i } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \left( 1 - \frac { B \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { u _ { \tau ( i ) + 4 j } } \right) } { 1 + B \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { u _ { \tau ( i ) + 4 j } } \right) ( k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor + 1 ) } \right) } \\ { = } & { u _ { i } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \Theta ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 0 } } & { { } = \left\{ \phi \in \mathbb { W } ^ { 0 } : \phi = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \right\} , } \\ { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 1 } } & { { } = \left\{ u \in \mathbb { W } ^ { 1 } : u \times n = 0 \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \right\} , } \\ { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 3 } } & { { } = \mathbb { W } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \boldsymbol { q } , \Omega } ^ { ( m , l ) } } & { { } = \mathcal { S } \mathscr { W } ^ { ( l ) } ( \underbrace { \boldsymbol { q } , \Omega ; \cdots ; \boldsymbol { q } , \Omega } _ { \frac { l + m } { 2 } \, \mathrm { t e r m s } } ; \underbrace { - \boldsymbol { q } , - \Omega ; \cdots ; - \boldsymbol { q } , - \Omega } _ { \frac { l - m } { 2 } \, \mathrm { t e r m s } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { u } , \delta \vec { u } } & { \in \ \{ \vec { u } _ { h } \in [ W _ { h } ] ^ { 3 } : \vec { u } _ { h } = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \} , } \\ { \phi , \delta \phi } & { \in \ \{ \phi _ { h } \in W _ { h } : \phi _ { h } = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 3 } \} , } \\ { \mathrm { w i t h ~ } W _ { h } } & { : = \ \{ w : w | _ { T } \in P ^ { k } ( T ) , w \mathrm { ~ c o n t i n u o u s } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) = } & { \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , ( \tau _ { 1 } \hbar ) ^ { - 1 } t ] } \big ( \sum _ { i = 1 , i \neq i ^ { * } } ^ { k _ { 2 } } s _ { i } \big ) \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , ( \tau _ { 1 } \hbar ) ^ { - 1 } t ] } \big ( \sum _ { i = 1 , i \notin \sigma ^ { 2 } } ^ { k _ { 2 } } \tilde { s } _ { i } \big ) \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , ( \tau _ { 0 } \hbar ) ^ { - 1 } t ] } \big ( \sum _ { i = k _ { 2 } + 1 } ^ { k } s _ { i } \big ) \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , ( \tau _ { 0 } \hbar ) ^ { - 1 } t ] } \big ( \sum _ { i = k _ { 2 } + 1 , i \notin \sigma ^ { 2 } } ^ { k } \tilde { s } _ { i } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \relax [ \beta _ { i } ^ { \nu t } , \beta _ { i + 3 ^ { ( \lambda \mathrm { - } 1 ) } } ^ { \nu t } , \beta _ { i + 2 \times 3 ^ { ( \lambda \mathrm { - } 1 ) } } ^ { \nu t } ] = } & { [ \beta _ { i } ^ { \nu t _ { l } } \oplus \beta _ { i } ^ { \nu t _ { c } } , \beta _ { i } ^ { \nu t _ { l } } \oplus \beta _ { i } ^ { \nu t _ { r } } , \beta _ { i } ^ { \nu t _ { l } } } \\ { \oplus \beta _ { i } ^ { \nu t _ { c } } \oplus \beta _ { i } ^ { \nu t _ { r } } ] . } \end{array}
Q _ { i } ^ { o } ( \sigma ) = \bar { Q } _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) + Q _ { i } ^ { o } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } \quad \mathrm { a n d } \quad Q _ { i } ( \sigma ) = \bar { Q } _ { i - 1 } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) + Q _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } .
\begin{array} { r l r } { u ^ { N } } & { \rightharpoonup } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) , } \\ { u ^ { N } } & { \rightarrow } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) , } \\ { u ^ { N } } & { \rightarrow } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { s } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ a n d ~ a . e . ~ i n ~ } \Omega _ { T } , } \\ { \partial _ { t } u ^ { N } } & { \rightharpoonup } & { \partial _ { t } u _ { \theta } \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial p } { \partial x } + \eta \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } & { { } = 0 , } \\ { - \frac { \partial p } { \partial y } + \eta \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial p } { \partial z } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { m } } & { = } & { u , } \\ { P _ { e } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u ^ { 3 } , } \\ { Q _ { m } } & { = } & { 3 u ^ { 2 } + u _ { x x } + \epsilon \left( \frac { 1 } { 3 } c _ { 1 } u ^ { 3 } + c _ { 3 } u u _ { x x } + \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 2 } - c _ { 3 } \right) u _ { x } ^ { 2 } + c _ { 4 } u _ { x x x x } \right) , } \\ { Q _ { e } } & { = } & { 2 u ^ { 3 } + u u _ { x x } - \frac { 1 } { 2 } u _ { x } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } c _ { 1 } u ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } u ^ { 2 } u _ { x x } + c _ { 4 } u u _ { x x x x } - c _ { 4 } u _ { x } u _ { x x x } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 4 } u _ { x x } ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm + \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } - c _ { 3 } \right) u ^ { 4 } \right] , } \end{array}
- \frac { 4 N _ { c } g _ { t } ^ { 2 } g _ { b } ^ { 2 } D 6 } { 3 } \Phi ^ { \dag } D _ { j } i \tau _ { 2 } \Phi ^ { * } ( D _ { j } i \tau _ { 2 } \Phi ^ { * } ) ^ { \dag } \Phi \, .
\begin{array} { r } { Z _ { q } ( ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \alpha _ { 1 } } g _ { \beta _ { 1 } + 1 } \cdots ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \alpha _ { r } } g _ { \beta _ { r } + 1 } ) = Z _ { q } ( ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \beta _ { r } } g _ { \alpha _ { r } + 1 } \cdots ( e _ { 1 } - g _ { 1 } ) ^ { \beta _ { 1 } } g _ { \alpha _ { 1 } + 1 } ) } \end{array}
{ \hat { v } } _ { \mathrm { c o m m o n - m o d e } } = V _ { \mathrm { p e a k } } - { \frac { { \sqrt { 3 } } \cdot V _ { \mathrm { p e a k } } \cdot \sin 6 0 ^ { \circ } } { 2 } } = V _ { \mathrm { p e a k } } \cdot { \Biggl ( } 1 - { \frac { { \sqrt { 3 } } \cdot \sin 6 0 ^ { \circ } } { 2 } } { \Biggl ) }
\alpha _ { s } ( \mu ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } } \frac { 1 } { L } \left\{ 1 - \frac { 2 \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \ln L } { L } + \frac { 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \left[ \left( \ln L - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 2 } \beta _ { 0 } } { 8 \beta _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 5 } { 4 } \right] \right\} + O \left( \frac { \ln ^ { 2 } L } { L ^ { 3 } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { A } & { { } \sim \mathcal { U } [ - \sqrt { 3 } / 2 , \sqrt { 3 } / 2 ) } \\ { B , C } & { { } \sim \mathcal { U } [ - \sqrt { 3 } , \sqrt { 3 } ) } \\ { D , F } & { { } \sim \mathcal { U } [ - 2 . 5 , 2 . 5 ) } \\ { E } & { { } = 0 } \\ { \beta } & { { } = 2 ^ { - p } } \\ { p } & { { } \sim \mathcal { U } [ 0 , 2 8 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma = \sqrt { \frac { k _ { b } T } { m _ { H e } c ^ { 2 } } } \nu _ { 0 } , \quad \gamma = \frac { A } { 4 \pi } , \quad \nu = \nu _ { 0 } \left( 1 - \frac { u _ { x } } { c } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| D ( x _ { 1 } ) - D ( x _ { 2 } ) \| } & { = \| B ( x _ { 1 } ) ^ { T } A ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } - B ( x _ { 2 } ) ^ { T } A ^ { - 1 } ( x _ { 2 } ) \| } \\ & { \leq \| B ( x _ { 1 } ) \| \| A ( x _ { 1 } ) ^ { - 1 } - A ( x _ { 2 } ) ^ { - 1 } \| + \| A ( x _ { 2 } ) ^ { - 1 } \| \| B ( x _ { 1 } ) - B ( x _ { 2 } ) \| } \end{array}
{ \underset { i } { \mathop { \sum } } } \, d _ { i } ^ { 2 } = { \underset { i } { \mathop { \sum } } } \, \left[ { { \left( p - { { a } _ { i } } \right) } ^ { T } } * \left( p - { { a } _ { i } } \right) - { { \left[ { { \left( p - { { a } _ { i } } \right) } ^ { T } } * { { n } _ { i } } \right] } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { F } ( x ) - \operatorname* { i n f } \mathcal { F } } & { \geq \eta \, \| x - x ^ { * } \| _ { \infty } ^ { \gamma } \quad } & { \forall x \in \mathbb R ^ { \textup { d } } \, , \; } & { \| x - x ^ { * } \| _ { \infty } \leq R _ { 0 } } \\ { \mathcal { F } ( x ) - \operatorname* { i n f } \mathcal { F } } & { \geq \eta \, R _ { 0 } ^ { \gamma } \quad } & { \forall x \in \mathbb R ^ { \textup { d } } \, , \; } & { \| x - x ^ { * } \| _ { \infty } > R _ { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \psi } _ { \alpha } - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) } & { { } } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \theta s _ { \alpha } - r _ { \alpha } \right) + \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 + \gamma _ { \alpha } \psi _ { \alpha } } & { { } ~ \leq 0 . } \end{array}
B _ { 0 } ( M ^ { 2 } , m ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \hat { \epsilon } } } - \ln { \frac { M ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + ~ \mathrm { c o n s t } ~ + { \cal O } \left( { \frac { m ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 4 } ^ { q } } & { { } = { S _ { 1 4 } ^ { t h } } = S _ { 2 3 } ^ { q } = { S _ { 2 3 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) , } \\ { S _ { 1 2 } ^ { q } } & { { } = S _ { 3 4 } ^ { q } = \frac { 1 - R } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } , } \\ { S _ { 1 3 } ^ { q } } & { { } = 0 , } \\ { S _ { 2 4 } ^ { q } } & { { } = { S _ { 2 4 } ^ { s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { c s } } ( H _ { \mathrm { s } } , T _ { \mathrm { z } } ) = f _ { \mathrm { w b l } } ( H _ { \mathrm { s } } ; \alpha _ { \mathrm { c s } } , \beta _ { \mathrm { c s } } , \gamma _ { \mathrm { c s } } ) \cdot f _ { \mathrm { l o g n } } \left[ T _ { \mathrm { z } } ; \mu _ { \mathrm { c s } } ( H _ { \mathrm { s } } ) , { \sigma _ { \mathrm { c s } } } ^ { 2 } ( H _ { \mathrm { s } } ) \right] \, , } \end{array}
\Sigma _ { \mathrm { m i n } } = \Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 1 ) } + \Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 2 ) } + \Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 3 ) } = \Sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { \ell ( \mu , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma _ { u } ^ { 2 } } ) = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } + \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \end{array}
C ( l ^ { a } ) \Psi ( l ^ { a } ) = \sum _ { n } u _ { n } ( l ^ { a } ) \psi _ { n } ( l ^ { a } ) + u _ { c } ( l ^ { a } ) e ^ { i \phi } \psi _ { c } ( l ^ { a } ) + u _ { c c } ( l ^ { a } ) e ^ { - i \phi } \psi _ { c c } ( l ^ { a } )
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { D } ^ { s } \varepsilon ^ { b } } { \mathrm { D } t } - \nabla \cdot ( \frac { k ^ { b } } { \mu ^ { b } } \mathbf { \nabla } p ^ { b } ) + \varepsilon ^ { b } \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \end{array}
\mathbf { y } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { P _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \eta _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { P _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \eta _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \mathsf { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { v - f - U ^ { [ i ] } } { D } } & { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } & { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { - v - f - U ^ { [ i ] } } { D } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { | \alpha - \alpha _ { i } | } & { \leq g \sqrt { \frac { \mathcal { O } ( X ^ { [ \alpha _ { i } ] } ) } { \mathcal { O } ( Y ) } } } \\ & { \leq g \sqrt { \frac { 2 ^ { - i } \mathcal { O } ( X ^ { [ \alpha _ { 0 } ] } ) } { \mathcal { O } ( Y ) } } } \\ & { \leq g \sqrt { 2 ^ { - i } \cdot g ( n ! ) ^ { 2 } \cdot g M ^ { 2 } } } \\ & { \leq g ^ { 2 } \cdot n ! \cdot M \cdot 2 ^ { - i / 2 } . } \end{array}
\sum _ { k = \chi _ { 2 } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { 2 } ( k ) } = \sum _ { k = \chi _ { 2 } ( 0 ) N } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { k ^ { \beta } } + \frac { 1 } { k ^ { \beta + \delta } } \right) \sim \sum _ { k = \chi _ { 2 } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ^ { \beta } } = \sum _ { k = \chi _ { 2 } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { 1 } ( k ) }
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { F _ { N } ( \mu ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 2 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } } & { \mathrm { i f } \ \mu = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { x _ { i } } , } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\vartheta _ { 2 } ^ { \operatorname* { s u p } , \operatorname* { l i m } } ( A ( \omega , \rho ) ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { [ 0 , \pi ] ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } \Big ( \frac { \rho _ { 1 } \omega _ { 1 } } { \cos ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } ) + \rho _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } ) } , \frac { \rho _ { 2 } \omega _ { 2 } } { \cos ^ { 2 } ( \tau _ { 2 } ) + \rho _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \tau _ { 2 } ) } \Big ) d ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { J } ^ { ( K ) } = } & { ( - 1 ) ^ { K + J + 1 } \sqrt { 2 K + 1 } \sum _ { i } \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { K } & { 1 } \\ { J } & { J _ { i } } & { J } \end{array} \right\} } \\ & { \times \frac { | \langle J _ { i } \| \hat { D } \| J \rangle | ^ { 2 } } { \hbar } \left( \frac { 1 } { \omega _ { i } - \omega } + \frac { ( - 1 ) ^ { K } } { \omega _ { i } + \omega } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 2 } \right] ^ { 2 } = 1 6 \eta ^ { 5 } \left( 1 - \frac { \eta ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! d x \, \frac { \sinh ^ { 2 } ( 2 x ) } { \left[ ( 1 - \eta ^ { 2 } / \eta _ { m } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \cosh ( 2 x ) + 1 \right] ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \mathcal { E } ( C + \epsilon \chi ) - \mathcal { E } ( C ) } { \epsilon } = \int _ { \Omega } \delta ( C ) \ \frac { \nabla C } { | \nabla C | } \cdot \chi \ d \mathbf { x } + \int _ { \Omega } \delta ^ { ' } ( C ) \ | \nabla c | \ \chi \ d \mathbf { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { j , 0 } ( k ) } & { = q _ { d , j _ { 0 } } } \\ { \beta _ { j , 1 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 5 } ( \dot { q } _ { d , j _ { 0 } } + 5 \beta _ { j , 0 } ) } \\ { \beta _ { j , 2 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 2 0 } ( \ddot { q } _ { d , j _ { 0 } } + 4 0 \beta _ { j , 1 } - 2 0 \beta _ { j , 0 } ) } \\ { \beta _ { j , 3 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 2 0 } ( 0 + 4 0 \beta _ { j , 4 } - 2 0 \beta _ { j , 5 } ) } \\ { \beta _ { j , 4 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 5 } ( 0 + 5 \beta _ { j , 5 } ) . } \end{array}
t _ { 0 } = t - \tau = t - \frac { R ( t _ { 0 } ) } { c } ; \quad \{ ( R ^ { 2 } = ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \}
\left\langle T A ( x _ { 1 } ) . . . . A ( x _ { n } ) \right\rangle = Z ^ { - 1 } \left\langle T A _ { 0 } ( x _ { 1 } ) . . . . A _ { 0 } ( x _ { n } ) e ^ { i \int W ( A _ { 0 } ( x ) ) d ^ { 4 } x } \right\rangle _ { F o c k }
{ \begin{array} { r l } { { \ddot { \theta } } _ { 1 } + { \ddot { \theta } } _ { 2 } + { \frac { g } { L } } ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } & { = 0 } \\ { { \ddot { \theta } } _ { 1 } - { \ddot { \theta } } _ { 2 } + \left( { \frac { g } { L } } + 2 { \frac { k } { m } } \right) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) } & { = 0 } \end{array} }
\prod _ { \substack { l , m , n \geq 1 \, l , m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( l , m , n ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - x ^ { l } y ^ { m } z ^ { n } } \right) ^ { \frac { 1 } { l ^ { a } m ^ { b } n ^ { c } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac { x ^ { l } } { l ^ { a } } \right) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { y ^ { m } } { m ^ { b } } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { c } } \right\} .
\begin{array} { r l } & { - \phi _ { 1 } + \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \phi _ { n + 1 } = 0 \, , } \\ & { \qquad \cdots \cdots } \\ & { - \phi _ { n } + \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \phi _ { n + 1 } = 0 \, , } \\ & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \phi _ { 1 } + \cdots + \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \phi _ { n } = h } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \deg ( m ) \leq Q } \operatorname* { m a x } _ { M \leq N } \operatorname* { m a x } _ { ( m , l ) = 1 } S _ { 1 } } & { \ll \frac { q ^ { N } } { N ^ { A } } \sum _ { \d ( g ) \leq A ^ { \prime } \log N } \tau _ { k } ( g ) } \\ & { \ll \frac { q ^ { N } } { N ^ { A } } ( A ^ { \prime } \log N ) ^ { k - 1 } q ^ { A ^ { \prime } \log N } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho _ { m } u _ { i } ) } { \partial t } + \frac { \partial ( \rho _ { m } u _ { i } u _ { j } ) } { \partial x _ { j } } } \\ { = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } [ ( \mu _ { m } + \mu _ { t } ) ( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } \delta _ { i j } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos \phi \, \log \biggr ( \frac { \sin \phi + 1 } { \cos \phi } \biggr ) \underbrace { \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( s ) h ( s \sin \phi ) s ^ { 2 } \mathrm { d } s } _ { = \frac { 3 \pi } { 2 } } \mathrm { d } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { 2 } \langle u _ { \lambda _ { 0 } } ^ { i } \rangle [ a _ { \lambda _ { 0 } } ] [ u _ { \alpha } , u _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle } \\ { \oplus } & { \mathbb { F } _ { 2 } \langle u _ { \lambda _ { 0 } } ^ { i } \rangle [ a _ { \lambda _ { 0 } } ] \frac { [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \pm } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] } { [ u _ { \alpha } , u _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ] } \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle . } \end{array}
\Psi _ { K _ { Y } } ( Y , T ) = e ^ { i K _ { Y } Y - i \sqrt { K _ { Y } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } T } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k _ { y } } { 2 \pi } e ^ { \frac { \pi k _ { y } } { 2 H _ { 5 } } } H _ { i k _ { y } / H _ { 5 } } ^ { ( 2 ) } ( m t ) e ^ { i k _ { y } ( y - H _ { 5 } ^ { - 1 } \sinh ^ { - 1 } ( \frac { K _ { Y } } { m } ) ) }
\begin{array} { r l r } { \hat { R } _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { S \notin \gamma } ^ \frac { | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { S } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { S } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { S } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { D \notin \gamma } ^ \frac { | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D } ^ { ( 0 ) } } = \sum _ { D } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { h } } ( - d \tau ^ { 2 } + d x _ { 6 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } ) + \sqrt { h } ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 5 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \rho ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) = A \int d x _ { 2 } \ldots d x _ { A } } & { { } \Psi ^ { * } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { A } ) } \\ { \times } & { { } \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { A } ) . } \end{array}
\nabla \cdot \mathbf { F } = \left( \mathbf { e } _ { x } { \frac { \partial } { \partial x } } \cdot \mathbf { F } \right) + \left( \mathbf { e } _ { y } { \frac { \partial } { \partial y } } \cdot \mathbf { F } \right) + \left( \mathbf { e } _ { z } { \frac { \partial } { \partial z } } \cdot \mathbf { F } \right) = { \frac { \partial F _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \boldsymbol { \chi } } { \partial \tau } - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) + \omega ^ { - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } - \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle ) = 0 , \qquad \mathbf y \in \mathcal B , } \\ & { - \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \qquad \mathbf y \in \Gamma . } \end{array}
a ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) = { \bar { \eta } } ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) a ( { \tilde { n } } _ { 1 } { \tilde { n } } _ { 2 } n k ) ^ { * } / F ( { \tilde { n } } _ { 1 } { \tilde { n } } _ { 2 } n k )
\begin{array} { r } { ( \rho , U , V , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 . 1 , 0 . 1 , 1 ) , } & { x > 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 1 9 7 , - 0 . 6 2 5 9 , 0 . 1 , 0 . 4 ) , } & { x < 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 8 , 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 4 ) , } & { x < 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 1 9 7 , 0 . 1 , - 0 . 6 2 5 9 , 0 . 4 ) , } & { x > 0 . 5 , y < 0 . 5 . } \end{array} \right. } \end{array}