harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - ( 1 - p ) g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) \right) X ^ { [ 1 ] } \right] - \mathbb { E } [ X ^ { [ 1 ] } ] \| } \\ & { = \| \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - ( 1 - p ) g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) X ^ { [ 1 ] } \right] \| } \\ & { = \| \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - p - ( 1 - p ) g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) - ( 1 - p ) \right) X ^ { [ 1 ] } \right] \| } \\ & { = \| \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p \left( g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) - ( 1 - p ) \left( g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) \right) X ^ { [ 1 ] } \right] \| } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left| p \left( g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) - ( 1 - p ) \left( g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) \right| \| X ^ { [ 1 ] } \| \right] , } \end{array}
\rho ( s ) = { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { \Gamma _ { W } } { M _ { W } } } \; { \frac { s } { ( s - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + s ^ { 2 } \Gamma _ { W } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \! \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \bar { \mathbf { g } } ^ { t } \rVert _ { 1 } \right] } \\ & { \leq \! \frac { 1 } { \sqrt { T } } \! \left[ \! \sqrt { \lVert \mathbf { L } \rVert _ { 1 } } \! \left( \! \frac { f ^ { 0 } \! - \! f ^ { \star } } { \alpha ( M , \gamma ) } + \! \frac { 1 } { 2 } \right) \! + \! \frac { \beta ( M , \gamma ) } { \alpha ( M , \gamma ) } \frac { 2 } { 1 \! + \! \frac { \epsilon } { \sqrt { \gamma } } } \lVert \boldsymbol { \sigma } \rVert _ { 1 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { M } _ { \mathrm { d i p } } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 4 } f _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( 1 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 6 \pi ^ { 3 } m _ { e } } \left( 3 ( \mathbf { I } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { I } \right) } \\ & { } & { + \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 2 } f _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( 2 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 1 2 \pi ^ { 3 } \hbar ^ { 2 } } \boldsymbol { \mu } \times \left( 3 ( \mathbf { I } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { I } \right) , } \end{array}
I ( m _ { a } , m _ { b } , m _ { c } ) = \frac { 1 } { 4 } [ m _ { a } ^ { 2 } - ( m _ { b } + m _ { c } ) ^ { 2 } ] [ m _ { a } ^ { 2 } - ( m _ { b } - m _ { c } ) ^ { 2 } ] \, .
L _ { \textrm { e x p } } = \operatorname* { l i m } _ { p \rightarrow \infty } L _ { B I - \textrm { t y p e } } = \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left[ 1 - \textrm { e x p } \left( - \frac { c ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \, \mathcal { F } - \frac { c ^ { 4 } } { \beta ^ { 4 } } \, \frac { \zeta \, \mathcal { G } ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } { E x ( a ) } & { = \Lambda ^ { + } ( b , 0 ) \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } \left( \Lambda ^ { - } ( 0 ^ { - } , a ) x ( a ) \right) _ { 1 } + c _ { 2 } \left( \Lambda ^ { - } ( 0 ^ { - } , a ) x ( a ) \right) _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } \left( \Lambda ^ { - } ( 0 ^ { - } , a ) x ( a ) \right) _ { 1 } + c _ { 4 } \left( \Lambda ^ { - } ( 0 ^ { - } , a ) x ( a ) \right) _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left( \Lambda ^ { + } ( b , 0 ) C _ { 0 } \Lambda ^ { - } ( 0 ^ { - } , a ) \right) x ( a ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { a b , c d } } & { = \delta _ { a c } \delta _ { b d } ( \epsilon _ { a } + \epsilon _ { b } ) + \langle a b | | c d \rangle \mathrm { , } } \\ { B _ { a b , k l } } & { = \langle a b | | k l \rangle \mathrm { , } } \\ { C _ { i j , k l } } & { = - \delta _ { i k } \delta _ { j l } ( \epsilon _ { i } + \epsilon _ { j } ) + \langle i j | | k l \rangle \mathrm { , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } 2 x } & { + } & { y } & { - } & { z } & { = } & { 8 } & { } \\ & { } & { { \frac { 1 } { 2 } } y } & { + } & { { \frac { 1 } { 2 } } z } & { = } & { 1 } & { } \\ & { } & & { } & { - z } & { = } & { 1 } & { } \end{array} }
\tilde { \mathcal { H } } ( R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ^ { + } ) , \Gamma ( R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ^ { + } ) ) , n _ { K } ^ { + } ) = n _ { K } \cdot \mathcal { F } \left( \Gamma ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { 0 } ^ { + } ) \right) = ( 0 , n _ { 1 } \tilde { p } _ { \Gamma } , n _ { 2 } \tilde { p } _ { \Gamma } , 0 ) ^ { T } .
\rho _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) = \tilde { \rho } _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) + \rho _ { p r \mathbf k _ { r } } ^ { 1 } ( \mathbf q , \mathbf G ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left\{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 2 } } = x _ { i _ { 2 } } , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \right\} = } \\ & { \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left\{ X _ { i _ { 2 } } = x _ { i _ { 2 } } | X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \right\} \cdot \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left\{ ( X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \right\} \geq \zeta \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left\{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial A } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = 0 } \\ & { \frac { \partial ( A u ) } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ^ { 2 } ) } { \partial x } + \frac { A } { \rho } \, \frac { \partial p } { \partial x } = 0 } \\ & { \frac { \partial p } { \partial t } + E _ { 0 } G ( A ) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = - \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left( p - p _ { 0 } \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \left[ R ( r , \varphi ) \, K _ { 1 } ( R ( r , \varphi ) ) \right] ^ { 2 } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left[ r ( I _ { n } \, K _ { n } ) ^ { \prime } ( r ) \right] ^ { 2 } \equiv F ( r ) ,
\bar { c } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) b \, \bar { d } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) u \times { \frac { ( i g _ { 2 } ) ^ { 2 } / 4 } { p ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } } } \, ,
\gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } \vdash g ^ { \Sigma } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) \equiv \langle g _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) , g _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) , q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) \rangle : \Sigma _ { x : A ( \gamma ) } B ( \gamma , x )
\begin{array} { r l } { \Delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \! - \! A ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) } & { = \Delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \! - \! \nabla \boldsymbol { X } _ { n } ( { \boldsymbol { \eta } } ) ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) \! + \! ( \nabla \boldsymbol { X } _ { n } ( { \boldsymbol { \eta } } ) - A ) ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) } \\ & { = - E ^ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) + ( A _ { n } ( { \boldsymbol { \eta } } ) - A ) ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { d ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \mathbb { R } } \ \gamma + \int _ { - \tau } ^ { 0 } \xi ( t ) d t } \\ & { \xi ( t ) + \phi ( t + \tau , x ) \geq 0 } & & { \forall ( t , x ) \in H _ { 0 } } \\ & { \gamma \geq v ( 0 , x ) } & & { \forall x \in X _ { 0 } } \\ & { v ( t , x ) \geq p ( x ) } & & { \forall ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times X } \\ & { \phi ( t , x ) \leq 0 } & & { \forall ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times X } \\ & { \mathcal { L } _ { f } v ( t , x _ { 0 } ) + \phi ( t , x _ { 1 } ) \leq \phi ( t + \tau , x _ { 0 } ) } & & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \in [ 0 , T - \tau ] \times X ^ { 2 } } \\ & { \mathcal { L } _ { f } v ( t , x _ { 0 } ) + \phi ( t , x _ { 1 } ) \leq 0 } & & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } ) \in [ T - \tau , T ] \times X ^ { 2 } } \\ & { \xi \in C ( [ - \tau , 0 ] ) } \\ & { v \in C ^ { 1 } ( [ 0 , T ] \times X ) } \\ & { \phi \in C ( [ 0 , T ] \times X ) . } \end{array}
A ( u ) ~ = ~ \mathrm { R e s } \vert _ { v = u } ^ { } \left( { \frac { 1 } { v - u } } \, R ( u , v ) \cdot L ( v ) \right) + \, { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \, \zeta ( 2 u ) \, L ( u )
p _ { i } = \frac { \delta S } { \delta \dot { x } ^ { i } } = - m \sqrt { e ^ { - 2 \sigma } } \frac { \eta _ { i j } \dot { x } ^ { j } } { \sqrt { \dot { x } ^ { 2 } } } , ~ ( \dot { x } ^ { 2 } = \eta _ { i j } \dot { x } ^ { i } \dot { x } ^ { j } )
L u = - ( p u ^ { \prime } ) ^ { \prime } + q u = - ( p u ^ { \prime \prime } + p ^ { \prime } u ^ { \prime } ) + q u = - p u ^ { \prime \prime } - p ^ { \prime } u ^ { \prime } + q u = ( - p ) D ^ { 2 } u + ( - p ^ { \prime } ) D u + ( q ) u . \;
{ \alpha _ { \mathrm { m i n } } } | _ { t _ { m } } = \operatorname* { m i n } _ { \sigma \in \mathscr { T } ^ { m } } \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \measuredangle { ( \sigma ) } } , \qquad \Psi _ { e } | _ { t _ { m } } : = \frac { \operatorname* { m a x } _ { j = 1 } ^ { J _ { \Gamma } } | \vec { X } ^ { m } ( \alpha _ { j } ) - \vec { X } ^ { m } ( \alpha _ { j - 1 } ) | } { \operatorname* { m i n } _ { j = 1 } ^ { J _ { \Gamma } } | \vec { X } ^ { m } ( \alpha _ { j } ) - \vec { X } ^ { m } ( \alpha _ { j - 1 } ) | } , \qquad v _ { \Delta } | _ { t _ { m } } : = \frac { \operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { m } ) } { \operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { 0 } ) } - 1 ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } i \left( k ^ { 2 } - \omega \right) t } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) - \frac { i \omega } { \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) \right] \widetilde { \varphi } _ { 1 } ( k ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega = } & { { } \Re \left[ - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } \sin { \alpha } ( i \cos \alpha \sigma ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sin { \alpha } ) } \right] ^ { \frac { - 1 } { 2 } } } \end{array}
v _ { r } = { \sqrt { \frac { ( \mathbf { v _ { 1 } } - \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v _ { 1 } } \times \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } } { 1 - \mathbf { v _ { 1 } } \cdot \mathbf { v _ { 2 } } } } } ,
S ( z , w ) = \frac { \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { \alpha } } \\ { { \beta } } \end{array} \right] ( z - w | \Omega ) } { \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { \alpha } } \\ { { \beta } } \end{array} \right] ( 0 | \Omega ) E ( z , w ) }
Q _ { \mathrm { e f f } } = Q \frac { 2 \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ( 1 + 2 H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) ) } { 2 ( \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } ) } - 2 \pi R ^ { 2 } \sigma _ { R } \frac { \eta _ { \mathrm { o u t } } H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) } { \eta _ { \mathrm { i n } } + \eta _ { \mathrm { o u t } } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { w h e r e : ~ } ~ ~ ~ ~ } & { } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { z s } \left( t \right) } \\ { \varepsilon _ { z c } \left( t \right) } \end{array} \right] } & { = \sum _ { k } \frac { q E _ { 0 } } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 3 } m \omega _ { k } ^ { 2 } } a _ { \left| k \right| } \left[ \mathrm { R } \left( - \tilde { k } \phi _ { \left| k \right| } \right) \right] \left[ \begin{array} { l } { \sin \left( \omega _ { k } t \right) - \omega _ { k } t } \\ { 1 - \cos \left( \omega _ { k } t \right) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 6 } } & { : = ( \Phi _ { 6 } ) ^ { - 1 } \circ \mathcal { L } _ { \omega } \circ \Phi _ { 6 } } \\ & { = \omega \cdot \partial _ { \varphi } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \xi ) \right) \right) } \\ & { \ + \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } ( \varphi ) ) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 3 } ( \varphi ) + R _ { 6 } ( \varphi ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu ( \mathbf { X } ) = \left( \begin{array} { l } { \mu ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { X } ) } \\ { \mu ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { X } ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) = \left( \begin{array} { l l } { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 2 } } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\langle \; A _ { \mu _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \; \ldots A _ { \mu _ { n } } ^ { a _ { n } } ( x _ { n } ) \; \rangle \ll \; \langle \; A _ { \mu _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \; \rangle \; \ldots \; \langle \; A _ { \mu _ { 1 } } ^ { a _ { n } } ( x _ { n } ) \; \rangle \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ n \ge ~ 2 ~ } \; ,
R _ { T } ^ { ( r ) } ( E , R _ { 0 } ) = 2 \pi \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, N _ { 2 } ^ { 2 } \, J _ { m } ^ { 2 } ( q R _ { 0 } ) \, \delta \left( E - \frac { m } { R _ { 0 } } \sinh \Omega R _ { 0 } + \omega \cosh \Omega R _ { 0 } \right) .
\log { \mathbb { E } ( \mathrm { C O V I D - 1 9 ~ \; d e a t h s } ) } = \beta _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { d e m } } \beta _ { i } ^ { ( d e m ) } p _ { i } ^ { ( d e m ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { m o b } } \beta _ { j } ^ { ( m o b ) } p _ { j } ^ { ( m o b ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e n v } } \beta _ { k } ^ { ( e n v ) } p _ { k } ^ { ( e n v ) }
\begin{array} { r } { { R _ { \alpha } \Bigg ( \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 0 \ell } \, \Bigg | \, \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 1 \ell } \, , \, \bigotimes _ { \ell = 1 } ^ { d } P _ { 2 \ell } \Bigg ) } = \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \Big ( { R _ { \alpha } } ( P _ { 0 \ell } | P _ { 1 \ell } , P _ { 2 \ell } ) + 1 \Big ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Lambda _ { \beta } } & { \to \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } } & { \to \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } - \pounds _ { \beta } \lambda , } \\ { \varphi } & { \to \varphi - \iota _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \varphi _ { \ell } } & { \to \varphi _ { \ell } - \iota _ { \beta } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad | \mathcal { D } _ { \mathrm { m i n } } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) | } \\ & { \geq - q ( q + 2 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } } | \mathcal { D } _ { \mathrm { m i n } } ( \mathcal { G } _ { q } ( g + 1 ) ) \cap \mathcal { G } _ { q } ^ { ( i ) } ( g ) | } \\ & { \geq - q ( q + 2 ) + \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } | \mathcal { D } _ { \mathrm { m i n } } ( \mathcal { G } _ { q } ( g ) ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \P \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } f ( x _ { n } ) \neq \operatorname* { i n f } f \right) } & { = \P \left( \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } | f ( x _ { n } ) - \operatorname* { i n f } f | > 0 \right) } \\ & { = \P \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } | f ( x _ { n } ) - \operatorname* { i n f } f | > \frac 1 k \right\} \right) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \P \left( \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } | f ( x _ { n } ) - \operatorname* { i n f } f | > \frac 1 k \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { r , \ \kappa \in H ^ { 4 } ( 0 , \ell ) , \, \Vert r \Vert _ { H ^ { 4 } ( 0 , \ell ) } \leq r _ { 3 } , \, \Vert \kappa \Vert _ { H ^ { 4 } ( 0 , \ell ) } \leq \kappa _ { 3 } } \\ { \rho , \ \mu \in H ^ { 2 } ( 0 , \ell ) , \, \Vert \rho \Vert _ { H ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } \leq \rho _ { 2 } , \, \Vert \mu \Vert _ { H ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } \leq \mu _ { 2 } } \\ { g \in H ^ { 3 } ( 0 , T ) , \, g ( 0 ) = g ^ { \prime } ( 0 ) = g ^ { \prime \prime } ( 0 ) = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { 1 } = \sum _ { m } A _ { m } ( z , t ) \vec { f } _ { m } ^ { ( 1 ) } ( r , \theta ) e ^ { i ( \omega _ { 1 } t - \beta _ { m } z ) } + \mathrm { c . c . } } \\ { E _ { 2 } = \sum _ { m } B _ { m } ( z , t ) \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) } ( r , \theta ) e ^ { i ( \omega _ { 2 } t + \gamma _ { m } z ) } + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | ( z ^ { s } ) ^ { \prime } | } & { \le } & { | z | ^ { - 1 } \cdot | s | \cdot { ( e ^ { \pi } | z | ) } ^ { | s | } \cdot } \\ & { \le } & { | z | ^ { - 1 } \cdot { ( e ^ { \pi + 1 } | z | ) } ^ { | s | } } \\ & { \le } & { 2 ( 1 + a ) ^ { - 1 } { \bigl ( e ^ { \pi + 1 } ( b + 1 ) \bigr ) } ^ { \operatorname* { m a x } _ { \kappa } | \beta _ { \kappa } | \cdot | W _ { M - n } | + 5 } = : C _ { 5 } \cdot C _ { 6 } ^ { | W _ { M - n } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) } & { = q _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ) ) } \\ & { = f _ { 1 } ( \gamma , p _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , f _ { 1 } ( \gamma , x ) ) ) ) } \\ & { = f _ { 2 } ( \gamma , x , \textnormal { e v } ( z , x ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { A , B } ^ { k } } & { = \arctan \frac { \mathrm { I m } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } { \mathrm { R e } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } \, , } \\ { \mathcal { A } _ { A , B } ^ { k } } & { = 2 \sqrt { \mathrm { R e } { \phi } _ { A , B } ^ { k } + \mathrm { I m } { \phi } _ { A , B } ^ { k } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ^ { - } } & { ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) = \frac { v ^ { - \, \prime } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { - } ( \lambda ) } { v ^ { - } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { - } ( \lambda ) } D ( \lambda ) } \\ & { + \int _ { - \infty } ^ { 0 } \Big ( ( A _ { \lambda } ( x ; \lambda ) - \mu _ { - } ^ { \prime } ( \lambda ) I ) u ^ { - } ( x ; \lambda ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( x ; \lambda ) d x . } \end{array}
( J _ { x } ) _ { i } ^ { n + { 1 / 2 } } = \sum _ { s } \frac { q _ { s } } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \left[ F _ { n } \left( \tilde { \vec { U } } \right) \right] _ { i , s } \mathrm { d } t .
\Sigma _ { A B } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } )
f ( x ) = \sqrt { \frac { 5 } { 1 3 } } \frac { 1 } { 1 3 } \frac { ( x ) ^ { 3 } } { ( x ^ { 2 } + 1 ) } + \frac { 1 } { 1 3 } \frac { ( y ) ^ { 2 } } { ( y ^ { 2 } + 1 ) } + \sqrt { \frac { 1 3 } { 5 } } \frac { 1 } { 1 3 ( y ) } \frac { ( z ) ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + 1 ) } - \frac { 1 + \sqrt { \frac { 5 } { 1 3 } } x + \sqrt { \frac { 1 3 } { 5 } } \frac { 1 } { y } } { 1 8 }
\tilde { \textbf { D } } ^ { \star } = \langle \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) \rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \langle \boldsymbol { \chi } \mathbf k ( \mathbf y ) \rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 }
\l _ { l } ^ { ( - ) } ( r , \bar { r } ) ~ = ~ ( - 1 ) ^ { \epsilon } ~ q ^ { C _ { l } / 2 } ~ ; ~ \l _ { m } ^ { ( + ) } ( r , r ) ~ = ~ ( - 1 ) ^ { \epsilon } ~ q ^ { 2 C _ { r } - C _ { m } / 2 } ~ ,
{ \cal C } : \qquad ( p ^ { \Lambda } , q _ { \Lambda } ) \rightarrow ( \tilde { p } ^ { \Lambda } , \tilde { q } _ { \Lambda } ) = ( p ^ { 0 } , - q _ { 1 } , p ^ { 2 } , p ^ { 3 } \, | \, q _ { 0 } , p ^ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \ .
\theta = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { a r c c o s } \left( \cos x \, | \! \cos z | ^ { 1 / 2 } \right) , \quad \Delta \phi = 4 \cos y \, | \! \cos z | ^ { 1 / 2 } \, \mathrm { s g n } ( \cos z ) .
\left\vert \nabla ^ { k } d b _ { s } \right\vert \leq f ^ { \left( k \right) } \left( s \right) \sum _ { \left( i _ { 1 } , . . . , i _ { k + 1 } \right) \in I } \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 1 } } \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { k } \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { k + 1 } }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { A _ { n + 1 } ( x ) } { x ^ { 2 n + 3 } } } } & { = U _ { n + 1 } ( x ) = - { \frac { U _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { x } } = - { \frac { 1 } { x } } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \left( { \frac { A _ { n } ( x ) } { x ^ { 2 n + 1 } } } \right) } \\ & { = - { \frac { 1 } { x } } \left( { \frac { A _ { n } ^ { \prime } ( x ) \cdot x ^ { 2 n + 1 } - ( 2 n + 1 ) x ^ { 2 n } A _ { n } ( x ) } { x ^ { 2 ( 2 n + 1 ) } } } \right) } \\ & { = { \frac { ( 2 n + 1 ) A _ { n } ( x ) - x A _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { x ^ { 2 n + 3 } } } } \end{array} }