harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { r } ^ { \pm } } & { = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \mathcal { K } _ { 1 } ( r , z , t ) f ( t ) \pm \mathcal { K } _ { 2 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { G _ { z } ^ { \pm } } & { = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \pm \mathcal { K } _ { 3 } ( r , z , t ) f ( t ) + \mathcal { K } _ { 4 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { P ^ { \pm } } & { = \int _ { 0 } ^ { R } \big ( \mathcal { Q } _ { 1 } ( r , z , t ) f ( t ) \pm \mathcal { Q } _ { 2 } ( r , z , t ) g ( t ) \big ) \, \mathrm { d } t \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 5 } v _ { n } ^ { \tau } } & { \rightharpoonup } & { u ^ { \tau } \, } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } \, \left( L ^ { 2 } ( 0 , T ) \right) ^ { N - 1 } } \\ { y _ { n } ^ { \tau } } & { \rightharpoonup } & { y ^ { \tau } \, } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } \, L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb L ^ { 2 } ) . } \end{array}
E _ { i } \equiv E _ { i \, i + 1 } \, , ~ ~ ~ F _ { i } \equiv E _ { i + 1 \, i } \, , ~ ~ ~ q ^ { h _ { i } } \, , ~ ~ ~ \, h _ { i } \equiv E _ { i \, i } - E _ { i + 1 \, i + 1 } \, , \, 1 \leq i < n \, , ~ ~ ~ \, q ^ { E _ { n n } }
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { \nabla } d ^ { \nabla } \beta ( p ) } & { = } & { - \sum _ { i , j } e _ { i } \rfloor ( \alpha ^ { j } \wedge \nabla _ { e _ { i } } \nabla _ { e _ { j } } \beta ) ( p ) } \\ & { = } & { - \sum _ { i } \nabla _ { e _ { i } } \nabla _ { e _ { i } } \beta ( p ) + \sum _ { i , j } \alpha ^ { j } \wedge ( e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } \nabla _ { e _ { j } } \beta ) ( p ) } \\ & { = } & { - \sum _ { i } \nabla _ { e _ { i } , e _ { i } } ^ { 2 } \beta ( p ) + \sum _ { i , j } \alpha ^ { j } \wedge ( e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } \nabla _ { e _ { j } } \beta ) ( p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( b - c ) | w ( a ^ { + } ) | ^ { 2 } = } & { \; ( b - c ) \bigg | - \int _ { a } ^ { c } w ^ { \prime } ( x ) \, \mathrm { d } x - [ w ] ( c ) + w ( c ^ { + } ) \bigg | ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \; ( b - c ) ( c - a ) \int _ { a } ^ { c } | w ^ { \prime } ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { + ( b - c ) | [ w ] ( c ) | ^ { 2 } + \int _ { c } ^ { b } | w ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \end{array}
P _ { \mathrm { m i n } } ( z ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } z ^ { 3 / 2 } I _ { 3 / 2 } ( z ) e ^ { - { \frac { z ^ { 2 } } { 2 } } } } } & { { i f \nu = 0 } } \\ { { { \frac { 2 } { ( 2 \nu + 1 ) ! ( 2 \nu + 3 ) ! } } z ^ { 4 \nu + 3 } \mathrm { e } ^ { \frac { - z ^ { 2 } } { 2 } } T _ { \nu } ( z ^ { 2 } ) } } & { { i f \nu > 0 ~ . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \infty ; V ) } & { = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { m - 1 } } \int \hat { \mathcal { V } } _ { m } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } _ { 1 , m - 1 } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma \boldsymbol { t } _ { 1 , m - 1 } ^ { + } } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } e ^ { i \frac { 1 } { 2 } t _ { i } ( \eta _ { i } ^ { 2 } - p _ { 0 } ^ { 2 } ) } \, d \boldsymbol { \eta } _ { 1 , m - 1 } d \boldsymbol { t } } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { m - 1 } } \int \tilde { \mathcal { V } } _ { m } ( p _ { m } - p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } _ { 1 , m - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } e ^ { i \frac { 1 } { 2 } t _ { i } ( \eta _ { i } ^ { 2 } + i \gamma ) } e ^ { i t _ { i } \langle \eta _ { i } , p _ { 0 } \rangle } \, d \boldsymbol { \eta } _ { 1 , m - 1 } d \boldsymbol { t } , } \end{array}
U _ { i j } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { i j } ^ { ( L J ) } ( r ; \sigma _ { i j } , \epsilon _ { i j } ) - U _ { i j } ^ { ( L J ) } ( r _ { i j } ^ { ( c ) } ; \sigma _ { i j } , \epsilon _ { i j } ) , } & { r \leq r _ { i j } ^ { ( c ) } } \\ { 0 , } & { r > r _ { i j } ^ { ( c ) } , } \end{array} \right.
\mathbf T ( \mathbf x ) ^ { - 1 } = \left( j ^ { - 1 } \circ \operatorname { d e x p } _ { - j ( \mathbf x ) } \circ j \right) ^ { - 1 } = j ^ { - 1 } \circ \operatorname { d e x p } _ { - j ( \mathbf x ) } ^ { - 1 } \circ j = j ^ { - 1 } \circ \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { i } B _ { i } } { i ! } \operatorname { a d } _ { j ( \mathbf x ) } ^ { i } \circ j = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { i } B _ { i } } { i ! } \lceil \mathbf x \rfloor ^ { i } \, .
P _ { 1 } ( s ) = ( \eta _ { 1 } \ldots \eta _ { n } ) \left\{ ( \eta s + \alpha ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( \omega _ { i } + s ) + s \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \prod _ { j \ne i } ^ { n } ( \omega _ { j } + s ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 2 \zeta _ { g } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \right] } \\ & { = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } - \frac { 2 } { \omega ^ { 2 } } \mathbf { K } \left[ \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - 2 \mathbf { K } \right) ^ { - 1 } 2 \mathbf { K } + \mathbf { I } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \eta } \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } - \left( \mathcal E _ { K } ( \tilde { \eta } ) ^ { 2 } + \| \nabla V _ { K , \nu } ( p ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac 1 2 } } \\ & { \quad \mathrm { s . t } \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tilde { \eta } ( x ) = 1 , \; \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } x \, \mathrm { d } \tilde { \eta } ( x ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. { n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { \boldsymbol { X } , A } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { n } _ { \mathrm { i n d } } ( 2 m \boldsymbol { X } ) | _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , 2 m \boldsymbol { X } } } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { n } _ { \mathrm { i n d } } [ ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } ] | _ { A } \delta _ { \boldsymbol { x } , ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { X } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b d k a f h = } & { q ^ { - 2 } * a f h b d k + ( 1 - q ^ { - 2 } ) * a e k b f g } \\ & { + ( 1 - q ^ { - 2 } ) * a e k c d h - ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } / q ^ { 3 } * a e k c e g } \\ & { + \frac { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 } + 1 ) } { q ^ { 2 } } * a f h c e g - ( q ^ { 4 } - q ^ { 2 } ) * b f g c d h , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \alpha } { 2 } \left( q a _ { i } + p b _ { i } \right) } & { - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } ( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha ) } \\ { \ge } & { - \frac { 1 - \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \rho _ { \operatorname* { m i n } } + \alpha } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) - \frac { 1 + \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \alpha \frac { \rho _ { \operatorname* { m i n } } - 1 } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) } \\ { \ge } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 \! + \! \alpha ^ { 2 } } { 2 } \! - \! \alpha ^ { 2 } \right) \right) } \\ { \ge } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 \! + \! \alpha ^ { 2 } } { 2 } \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } \alpha \right) \right) } \\ { = } & { - \log _ { 2 } \left( \! 1 \! - \! \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \left( \rho _ { \operatorname* { m i n } } \frac { ( 1 \! - \! \alpha ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) \ge 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \theta _ { M } ^ { ( k ) } } & { = \frac 1 N \sum _ { j \ge k + 1 } \frac 1 { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } } } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { 2 + \kappa } \frac { d \hat { \mu } _ { M } ( \lambda ) } { \lambda _ { 1 } - \lambda } - \frac 1 N \sum _ { j \le k } \frac 1 { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } } 1 _ { \lambda _ { j } \le 2 + \kappa } } \\ & { = G _ { \sigma } ( \lambda _ { 1 } ) + O ( N ^ { - 1 / 2 + 2 \eta } ) + O ( \kappa ^ { - 1 } N ^ { - 1 / 2 + \eta } ) } \\ & { = G _ { \sigma } ( x ) + O _ { \kappa } ( \delta ) + O ( N ^ { - 1 / 2 + 2 \eta } ) } \end{array}
\Gamma _ { g , t r a n s } ( N _ { f } = 0 ) = \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } 1 6 \, n _ { B } ( k ) \, [ 1 + n _ { B } ( k ) ] \int d t \left( { \frac { d \sigma } { d t } } \right) _ { g g } { \frac { 2 t u } { s ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } 1 ) } & { = } & { \big ( \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } ^ { - 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( x _ { i } x _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 2 } ^ { - 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( z _ { i } z _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( x _ { i } ^ { - 1 } x _ { i + 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } ) ^ { 3 } \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) } & { = } & { \big ( \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( s _ { 1 } , \rho _ { i + 1 } ) \big ) ^ { 3 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 2 } ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i = 1 , } \\ { ( z _ { i } ^ { - 1 } z _ { i + 1 } ) ^ { 3 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { u _ { r } ^ { * } ( r ^ { * } , \theta , t ^ { * } ) = - \frac { \phi _ { 0 } ^ { * } ( t ^ { * } ) } { { r ^ { * } } ^ { 2 } } - \frac { 2 \phi _ { 1 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \cos \theta } { { r ^ { * } } ^ { 3 } } - \frac { 3 \phi _ { 2 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \left( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \right) } { 2 { r ^ { * } } ^ { 4 } } } \\ { u _ { \theta } ^ { * } ( r ^ { * } , \theta , t ^ { * } ) = - \frac { \phi _ { 1 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \sin \theta } { { r ^ { * } } ^ { 3 } } - \frac { 3 \phi _ { 2 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \sin \theta \cos \theta } { { r ^ { * } } ^ { 4 } } } \end{array} \right. .
\frac { 1 } { [ P ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] ^ { a } } = \frac { 1 } { \Gamma ( a ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d \alpha \, \alpha ^ { a - 1 } \, e ^ { - \alpha ( P ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ,
E _ { 3 } ^ { \prime } = \bigg ( \frac { \alpha \beta \mu _ { 0 } - \beta \mu _ { 0 } + \alpha + \beta } { \mu _ { 0 } ( \alpha \gamma - \beta ) } , \frac { - \beta \mu _ { 0 } + \gamma \mu _ { 0 } - \gamma - 1 } { \mu _ { 0 } ( \alpha \gamma - \beta ) } \bigg )
\mathbf { x } _ { \mathrm { 1 } } = \mathbf { x } _ { \mathrm { 0 } } + { \frac { \mathbf { F } ( \mathbf { x } _ { \mathrm { 0 } } ) } { | \mathbf { F } ( \mathbf { x } _ { \mathrm { 0 } } ) | } } d s
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 2 ( { \nu } + \mu ) + 1 , 2 \mu } ^ { + } \left( \chi _ { c } , \psi _ { c } \right) } & { { } = \frac { \partial \gamma _ { 2 ( \nu + \mu ) , 2 \mu } ^ { - } \left( \chi _ { c } , \psi _ { c } \right) } { \partial \chi _ { c } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \mathcal { L } _ { C E } ( \hat { y } _ { n : i } ^ { t } , f _ { \theta ^ { t } } ( x _ { n : i } ^ { t } ) ) + \alpha \mathcal { L } _ { S E } ( f _ { \theta ^ { t } } ( x _ { n : i } ^ { t } ) ) , ~ ~ \alpha = \frac { I _ { m a x } - I } { I _ { m a x } } { \alpha ^ { 0 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \\ { w } \\ { p } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \sin { x } \cos { y } \cos { z } } \\ { - \cos { x } \sin { y } \cos { z } } \\ { 0 } \\ { 1 0 0 + \frac { \left( \cos { ( 2 z ) } + 2 \right) \left( \cos { ( 2 x ) } + \cos { ( 2 y ) } \right) - 2 } { 1 6 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \delta P } & { { } = s \delta T + n \cdot \delta \mu + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } - { * \tilde { \mu } } \cdot \delta { * \tilde { n } } - { * \tilde { \mu } _ { \ell } } \cdot \delta { * \tilde { n } _ { \ell } } } \\ { \epsilon } & { { } = - P + T s + \mu \cdot n + \mu _ { \ell } \cdot n _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } D _ { 2 } \equiv \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { r _ { 2 3 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } \\ { r _ { 2 1 } e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } & { 1 } \end{array} \right| , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ^ { 1 } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) = \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \big ( 1 - e ^ { - \hbar ^ { - \frac { 4 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } ( s _ { m _ { 1 } } - s _ { m _ { 2 } } ) } \big ) \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \hat { l } _ { \mathrm { i n t r i n s i c } } ^ { 2 } \right\rangle \rightarrow \frac { 1 } { 2 } ( \hbar k w _ { 0 } ) ^ { 2 } - \hbar ^ { 2 } \sim \frac { 1 } { 2 } ( p w _ { 0 } ) ^ { 2 } - \hbar ^ { 2 } } \end{array}
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } } \left[ { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial \psi } { \partial r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial \psi } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \varphi ^ { 2 } } } \right] - { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r } } \psi = E \psi
\vartheta _ { f } = \bar { \vec { u } } _ { f } \cdot \mathbf { { n } } _ { f } - \hat { d } _ { f } \left( \left. \nabla p \right| _ { f } - \left. \overline { { \nabla p } } \right| _ { f } - \bar { \vec { s } } _ { f } + \bar { \vec { s } } _ { f } ^ { * } \right) \cdot \mathbf { { n } } _ { f } + \frac { \rho } { \Delta t } \hat { d _ { f } } \left( \vartheta _ { f } ^ { \mathrm { o } } - \bar { \vec { u } } _ { f } ^ { \mathrm { o } } \cdot \mathbf { { n } } _ { f } \right)
T ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } M ^ { ( i ) } { \dot { q } } _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } M ^ { ( \nu ) } \alpha _ { \nu } ^ { 2 }
P ( \beta | K , u , \beta _ { S } , n ) = \frac { P ( \beta | u , \beta _ { S } ) P ( K | \beta ) } { P ( K | u , \beta _ { S } , n ) } = \frac { P ( \beta | u , \beta _ { S } ) \exp ( - \beta K ) } { Z _ { n - 1 } ( \beta ) \, p _ { n - 1 } ( K ) } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } = } & { i [ H _ { \mathrm { e f f } } , \rho ] + \frac { \kappa } { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { A } } [ \rho ] + \frac { ( n _ { v } ^ { \mathrm { t h } } + 1 ) \gamma _ { r } } { 2 } \mathcal { L } _ { b } [ \rho ] + } & \\ & { \frac { n _ { v } ^ { \mathrm { t h } } \gamma _ { r } } { 2 } \mathcal { L } _ { b ^ { \dagger } } [ \rho ] + { n _ { v } ^ { \mathrm { t h } } \gamma _ { \mathrm { p d } } } \mathcal { L } _ { b ^ { \dagger } b } [ \rho ] . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \Lambda ( n ) } { n } f ( \log n ) \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { D } b _ { j } \cos ( j t \log n ) \right] } \\ & { \le - \Re \sum _ { j = 1 } ^ { D } b _ { j } \sum _ { | 1 + i j t - \rho | \le \eta _ { k } } \left\{ F ( 1 + i j t - \rho ) + f ( 0 ) \left( \frac { \pi } { 2 \eta _ { k } } \cot \left( \frac { \pi } { 2 \eta _ { k } } ( 1 + i j t - \rho ) \right) - \frac { 1 } { 1 + i j t - \rho } \right) \right\} } \\ & { \qquad \qquad + \frac { f ( 0 ) } { 4 \eta _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { D } b _ { j } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \log | \zeta ( 1 - \eta _ { k } + i j t + \frac { 2 \eta _ { k } u i } { \pi } ) | } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \log | \zeta ( 1 + \eta _ { k } + i j t + \frac { 2 \eta _ { k } u i } { \pi } ) | } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u \right] } \\ & { \qquad \qquad + b _ { 0 } F ( 0 ) + c ( R ) \lambda f ( 0 ) \left\{ b \left( 1 . 8 + \frac { \log t } { 3 } \right) + 1 . 8 b _ { 0 } + \sum _ { j = 1 } ^ { D } b _ { j } \sum _ { | 1 + i j t - \rho | \ge \eta _ { k } } \frac { 1 } { | 1 + i j t - \rho | ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
X _ { 1 } = L \; \mathrm { c o s } \psi \ , \ \ X _ { 2 } = L \; \mathrm { s i n } \psi \; \mathrm { c o s } \theta \ , \ \ X _ { 3 } + i X _ { 4 } = L \; \mathrm { s i n } \psi \; \mathrm { s i n } \theta \; e ^ { i \phi } \ ,
\mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } = \mathbf { \Phi } + \mathbf { \Phi } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { S S } } \mathbf { \Phi } + \left( \mathbf { \Phi } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { S S } } \right) ^ { 2 } \mathbf { \Phi } + \dots
M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( \mathrm { c o u n t . } ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \delta m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } { p _ { j } ^ { 2 } - m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { j \in \mathrm { p r o p . } } \delta m _ { j } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { j } ^ { 2 } } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } { \underbrace { \left| Q _ { t } ^ { u , v , r } - { q } _ { t } ^ { u , v , r } \right| } _ { \mathrm { L H S } } } & { \leq \left| Q _ { t } ^ { u , v , r } - { \mu } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) \right| + \left| { \mu } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) - { q } _ { t } ^ { u , v , r } \right| } \\ & { \leq \underbrace { \left| Q _ { t } ^ { u , v , r } - { \mu } _ { t } ^ { u , v , r } ( \boldsymbol { x } ) \right| + \epsilon _ { t } ^ { u , v , r } } _ { \mathrm { R H S } } } \end{array}
\mathbb { E } _ { s \sim \mathcal { P } _ { v } } \left[ f ( x ; s ) \right] - \mathbb { E } _ { s \sim \mathcal { P } _ { v } } \left[ f ( x _ { v } ^ { \star } ; s ) \right] \ge \frac { ( 1 - \frac 1 p ) \kappa D } { 2 d ^ { \frac 1 p } } \sum _ { j \in [ d ] } \mathbf { 1 } \left( \mathrm { s i g n } ( x _ { j } ) = \mathrm { s i g n } ( v _ { j } ) \right) .
{ \begin{array} { r l } { { \bar { I } } _ { 1 } } & { = { \mathrm { t r } } ( { \bar { \boldsymbol { B } } } ) = J ^ { - 2 / 3 } { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { B } } ) = J ^ { - 2 / 3 } I _ { 1 } } \\ { { \bar { I } } _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \mathrm { t r } } ( { \bar { \boldsymbol { B } } } ) ^ { 2 } - { \mathrm { t r } } ( { \bar { \boldsymbol { B } } } ^ { 2 } ) \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( J ^ { - 2 / 3 } { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { B } } ) \right) ^ { 2 } - { \mathrm { t r } } ( J ^ { - 4 / 3 } { \boldsymbol { B } } ^ { 2 } ) \right) = J ^ { - 4 / 3 } I _ { 2 } } \\ { { \bar { I } } _ { 3 } } & { = \operatorname* { d e t } ( { \bar { \boldsymbol { B } } } ) = J ^ { - 6 / 3 } \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { B } } ) = J ^ { - 2 } I _ { 3 } = J ^ { - 2 } J ^ { 2 } = 1 } \end{array} }
\Psi _ { L } = \Sigma \left( \begin{array} { c } { { f _ { 1 } } } \\ { { f _ { 2 } } } \end{array} \right) _ { L } \; \; \; \; \longrightarrow \; \; \; \; \Psi _ { L } ^ { \prime } = L ~ \exp ( i y Y / 2 ) \Psi _ { L } ,
\Sigma _ { x } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \ \ \Sigma _ { y } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \ \ \Sigma _ { z } = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } } & { \leq \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert u _ { n } - \alpha _ { n } \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } } { 2 } L _ { g } ^ { 2 } \delta _ { n } ^ { 2 } ( C _ { a _ { u ^ { * } } } C _ { u } + \alpha _ { n } L _ { g } \delta _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) } & { \rightarrow p _ { T } ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 1 , 0 , 0 , p _ { T } ^ { \prime } , 0 , 0 ) } & { \rightarrow \eta ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 0 , 1 , 0 , p _ { T } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } , 0 ) } & { \rightarrow \phi ^ { \prime } , } \\ { ( p _ { T } , \eta , \phi , m , 0 , 0 , 0 , 1 , p _ { T } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } & { \rightarrow m ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { q } \dot { q } _ { i } + q _ { i } + \lambda \partial _ { i } T - \alpha _ { 2 1 } \partial _ { i } \Pi _ { k k } - \beta _ { 2 1 } \partial _ { i } \Pi _ { \langle i j \rangle } } & { = 0 , } \\ { \tau _ { S } \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + \Pi _ { \langle i j \rangle } + \mu \partial _ { \langle i } v _ { j \rangle } + \beta _ { 1 2 } \partial _ { \langle i } q _ { j \rangle } } & { = 0 , } \\ { \tau _ { \Pi } \dot { \Pi } _ { i i } + \Pi _ { i i } + \eta \partial _ { i } v _ { i } + \alpha _ { 1 2 } \partial _ { i } q _ { i } } & { = 0 , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { a } & { d } & { - b } & { - c } \\ { - d } & { a } & { c } & { - b } \\ { b } & { - c } & { a } & { - d } \\ { c } & { b } & { d } & { a } \end{array} \right] } = a { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } + b { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } + c { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } + d { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } .