harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \alpha ( \omega ) = - \frac { 1 } { 3 } \langle \Psi _ { 0 } | \mathbf { r } \, \frac { Q } { H - E _ { 0 } + \omega } \, \mathbf { r } | \Psi _ { 0 } \rangle + \mathrm { ~ g ~ . ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \leq R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t + 1 } \} \right) , } \end{array}
t _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l l } { \frac { \alpha _ { 0 } } { 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \left( 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \, \left[ \frac { \pi } { 2 } + \arctan \left( \frac { \alpha _ { 0 } } { \sqrt { 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \right] } & & { \mathrm { i f } \quad - 2 < \alpha _ { 0 } < 2 } \\ { \frac { 1 } { 3 } } & & { \mathrm { i f } \quad \alpha _ { 0 } = - 2 } \\ { - \frac { \alpha _ { 0 } } { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 } + \frac { 4 } { \left( \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 \right) ^ { 3 / 2 } } \, \, \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \sqrt { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 } } { \alpha _ { 0 } } \right) } & & { \mathrm { i f } \quad \alpha _ { 0 } < - 2 } \end{array} \right. \qquad .
\Psi _ { C } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 1 2 \pi } \cdot \frac { 1 } { ( d - 1 ) } [ a \Gamma ^ { A B } F _ { A B } ^ { i } \Gamma _ { C } + b \Gamma ^ { B } F _ { B C } ^ { i } ] \chi ^ { i } .
E [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] = T _ { s } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ] + \int v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \boldsymbol { r } ) n ( \boldsymbol { r } ) d \boldsymbol { r } + J [ n ] + E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n ^ { \alpha } , n ^ { \beta } ]
E _ { j } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { s } t } [ 2 \sqrt { \{ ( s - m _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + s t \} \{ ( s - m _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + s t \} } - ( s - m _ { i } ^ { 2 } ) \{ 2 ( s - m _ { j } ^ { 2 } ) + t \} ] ,
V ( r ) = - \frac { q } { r } + \frac { 4 \delta + 1 } { 4 \delta - 1 } A ^ { - 8 \delta } q \Lambda ^ { \frac { 4 \delta } { 4 \delta + 1 } } \cdot \, r ^ { \frac { 4 \delta - 1 } { 4 \delta + 1 } } .
\begin{array} { r l } { D _ { 1 1 1 } } & { = \langle { ( \delta u ) ^ { 3 } } \rangle , } \\ { D _ { 1 1 1 1 } } & { = \langle { ( \delta u ) ^ { 4 } } \rangle , } \\ { D _ { 1 1 2 2 } } & { = \langle { ( \delta u ) ^ { 2 } ( \delta v ) ^ { 2 } } \rangle , } \\ { C ( r , t ) } & { = - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 1 1 } ( r , t ) + \frac { 4 } { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } + \partial _ { r } \partial _ { r } D _ { 1 1 1 } , } \\ { Z _ { 1 1 1 } } & { = 3 \left\langle { \delta u \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } \right] } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { : = g _ { L } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { L } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { : = g _ { H } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { H } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \otimes \left( 1 + d _ { f } \pmb { \lambda } \right) \right) } \end{array}
Z \, = \: \sum _ { \textstyle i = 1 } ^ { N } \; \sum _ { \textstyle s _ { i } = \pm 1 } \exp \left\lbrace \vphantom { \frac { A } { A } } \right. \! - \frac { E } { T } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } \, \frac { 1 } { 2 } \, ( 1 - s _ { j } s _ { j + 1 } ) \left. \vphantom { \frac { A } { A } } \right\rbrace .
\begin{array} { r l r } { \| \phi ( t , x _ { 0 } , u ) \| _ { X } } & { = } & { \Big \| T ( t ) x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } { T ( t - r ) B u ( r ) d r } \Big \| _ { X } } \\ & { \leq } & { \| T ( t ) \| \| x _ { 0 } \| _ { X } + \int _ { 0 } ^ { t } { \| T ( t - r ) \| \| B \| \| u ( r ) \| _ { U } d r } , } \\ & { \leq } & { M e ^ { - \lambda t } \| x _ { 0 } \| _ { X } + M \| B \| \int _ { 0 } ^ { t } { e ^ { - \lambda ( t - r ) } \| u ( r ) \| _ { U } d r } . } \end{array}
I = \frac \hbar { 2 M e ^ { \eta t } } ( \psi \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial q } - \psi ^ { * } \frac { \partial \psi } { \partial q } ) = \frac \hbar { M e ^ { \eta t } } | \psi | ^ { 2 } ( 2 c _ { 2 } q + c _ { 1 } ) .
\begin{array} { r l r } { a _ { 0 } } & { { } = } & { \Delta P | _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } \Delta \varphi + \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 3 } } { 6 } , } \\ { a _ { 1 } } & { { } = } & { \left. \frac { d \Delta P } { d \mathrm { P e } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } + \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { a _ { 2 } } & { { } = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } \Delta P } { d \mathrm { P e } ^ { 2 } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } \Delta \varphi , } \\ { a _ { 3 } } & { { } = } & { \left. \frac { d ^ { 3 } \Delta P } { d \mathrm { P e } ^ { 3 } } \right| _ { \mathrm { P e } = 0 } = \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } . } \end{array}
R = \frac { ( \mu / e ) _ { \mathrm { \scriptsize ~ d a t a } } } { ( \mu / e ) _ { \mathrm { \scriptsize ~ M C } } } = \frac { P _ { \nu _ { \mu } \to \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { a t m } } + r ^ { - 1 } P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { a t m } } } { P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { e } } ^ { \mathrm { a t m } } + r P _ { \nu _ { \mu } \to \nu _ { e } } ^ { \mathrm { a t m } } }
F ^ { k } \! _ { i } \equiv \delta ^ { k } \! _ { i } - g ^ { k l } \left( D ^ { - 1 } \right) ^ { s t } \frac { \partial f _ { s } } { \partial q ^ { l } } \left. \frac { \partial f _ { t } } { \partial q ^ { i } } \right| _ { f = 0 } \; .
\mathcal { D } _ { k } = \{ \{ ( x _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) , f _ { k } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { f } } , \{ ( x _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) , u _ { k } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { u } } \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left( 1 + \Phi ( \varepsilon ) \right) ^ { \frac { 3 p + 4 } { 4 } } : \Phi ( \varepsilon ) \geq \frac { b } { c } \right] } & { \leq \mathbb { P } \left( \Phi ( \varepsilon ) \geq \frac { b } { c } \right) ^ { \frac { 4 - p } { 2 p + 8 } } \mathbb { E } \left[ \left( 1 + \Phi ( \varepsilon ) \right) ^ { \frac { p + 4 } { 2 } } \right] ^ { \frac { 3 p + 4 } { 2 p + 8 } } } \\ & { \leq C \, \mathbb { E } \left[ \Phi ( \varepsilon ) ^ { \frac { p + 4 } { 2 } } \right] ^ { \frac { 4 - p } { 2 p + 8 } } \left( 1 + \mathbb { E } \left[ \Phi ( \varepsilon ) ^ { \frac { p + 4 } { 2 } } \right] \right) ^ { \frac { 3 p + 4 } { 2 p + 8 } } } \\ & { \leq C \exp \left( - c \left( - \log \varepsilon \right) ^ { 1 - 3 \alpha } \right) . } \end{array}
e ^ { - s ( \gamma D ) ^ { 2 } } = e ^ { - s ( - D ^ { 2 } ) } { \frac { 1 + \gamma _ { 5 } } { 2 } } + \gamma D { \frac { 1 } { - D ^ { 2 } } } e ^ { - s ( - D ^ { 2 } ) } \gamma D { \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } } + P ,
\begin{array} { r } { V _ { F } ( r ) = - \frac { Z e ^ { 2 } } { r } + \frac { 4 \pi } { r } \, \int _ { r } ^ { \infty } \varrho _ { F } ( r ^ { \prime } ) \, r ^ { \prime } ( r ^ { \prime } - r ) \, d r ^ { \prime } = } \\ { Z e ^ { 2 } \left[ \frac { \mathrm { L i } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } - \frac { r } { a } } \right) } { r \, \mathrm { L i } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } } \right) } + \frac { \mathrm { L i } _ { 2 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } - \frac { r } { a } } \right) } { 2 a \, \mathrm { L i } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } } \right) } - \frac { 1 } { r } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { 2 } u _ { n d } ^ { s } } & { { } = \mu _ { n } u _ { n d } ^ { s } , } \\ { E ^ { 2 } } & { { } = \mu _ { n } ^ { 2 } + k _ { n , d } ^ { 2 } + q ^ { 2 } . } \end{array}
A ( t ) = \left\langle { e ^ { - i ( \omega _ { p _ { 1 } } + \omega _ { p _ { 2 } } ) t } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { 3 } + p _ { 4 } - p _ { 1 } - p _ { 2 } ) 2 I m [ T ( s , t ) ] _ { B W } } \right\rangle
\begin{array} { r l } { m ( x _ { n } , y _ { n } ) } & { = \left[ 1 - \delta _ { 0 } \left( \tilde { b } \tilde { d } \right) \right] \left( I _ { 1 } + I _ { 2 } \right) + \left[ 1 - \delta _ { 0 } \left( \tilde { a } \tilde { d } \right) \right] \left( I _ { 3 } + I _ { 4 } \right) } \\ & { + \left[ 1 - \delta _ { 0 } \left( \tilde { a } \tilde { c } \right) \right] \left( I _ { 5 } + I _ { 6 } \right) + \left[ 1 - \delta _ { 0 } \left( \tilde { b } \tilde { c } \right) \right] \left( I _ { 7 } + I _ { 8 } \right) } \end{array}
S _ { c h i r a l - f e r m i o n } ^ { 3 - b r a n e } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \{ \overline { { { \psi } } } _ { L } ~ i e _ { ~ \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } ~ \psi _ { L } + y \phi \psi _ { L } \psi _ { L } + \mathrm { h . c . } + . . . \} ,
\begin{array} { r l } { \left[ g ( z ) ^ { n } \right] ^ { - 1 } = \frac { 1 } { g ( z ) ^ { n } } } & { = \frac { 1 } { d _ { n } z ^ { n } + \cdots + d _ { 1 } z + d _ { 0 } + \frac { d _ { - 1 } } { z } + \cdots } } \\ & { = \frac { 1 } { d _ { n } z ^ { n } } \cdot \frac { 1 } { 1 + \cdots + \frac { d _ { 0 } } { d _ { n } z ^ { n } } + \frac { d _ { - 1 } } { d _ { n } z ^ { n + 1 } } + \cdots } } \\ & { = \frac { 1 } { d _ { n } z ^ { n } } \cdot \left[ 1 - ( \mathrm { p o w e r s ~ o f ~ 1 / z } ) + ( \mathrm { p o w e r s ~ o f ~ 1 / z } ) ^ { 2 } - \cdots \right] } \\ & { = \frac { \omega _ { n } } { z ^ { n } } + \frac { \omega _ { n + 1 } } { z ^ { n + 1 } } + \cdots } \end{array}
k _ { 0 } ^ { \prime } { \frac { d \sigma } { d { \bf k ^ { \prime } } } } = { \frac { i \alpha } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } { \frac { L _ { \mu \nu } ( k , k ^ { \prime } ) } { ( k P ) } } \Delta _ { r e t } ( q ) W ^ { \mu \nu } ( q ) \Delta _ { a d v } ( q ) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( u , \mathbf { Q } ) = \int _ { \Omega } \bigg ( f _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( u ) } & { { } + B \left| \mathcal { D } ^ { 2 } u + q ^ { 2 } \left( \mathbf { Q } + \frac { \mathbf { I } _ { 2 } } { 2 } \right) u \right| ^ { 2 } \! \! \! \! \! \! \! \! } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \left[ 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { \left( u _ { i } - \theta _ { i } \right) ^ { 2 } } { v _ { i } } \right] } } \\ & { = \left( 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \right) \frac { \left( u _ { i } - \theta _ { i } \right) ^ { 2 } } { v _ { i } } - \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { \left( u _ { i } - \theta _ { i } \right) ^ { 4 } } { v _ { i } ^ { 2 } } + \mathcal { O } _ { p } ( \varepsilon _ { i } ^ { 4 } ) \, . } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { b } } ( \mathcal { W } ) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { E } } \sum _ { \substack { \vec { k } , n \, \epsilon _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \vec { k } ) \in \mathcal { W } \, \epsilon _ { n } ^ { ( 2 ) } ( \vec { k } ) \in \mathcal { W } } } \left( \epsilon _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \vec { k } ) - \epsilon _ { n } ^ { ( 2 ) } ( \vec { k } ) \right) ^ { 2 } } ,
\rho ( s , s ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) | _ { H A D } = \frac { 1 } { 2 } \; f _ { \pi } ^ { 2 } F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) \delta ( s ) \delta ( s ^ { \prime } ) + \rho ( s , s ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) | _ { Q C D } [ 1 - \theta ( s _ { 0 } - s - s ^ { \prime } ) ] \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \alpha _ { i } ^ { o u t } } } & { = - k _ { i } ^ { o u t } + \sum _ { j \neq i } \left( \frac { x _ { i } ^ { o u t } x _ { j } ^ { i n } } { 1 + x _ { i } ^ { o u t } x _ { j } ^ { i n } } \right) ; } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \alpha _ { i } ^ { i n } } } & { = - k _ { i } ^ { i n } + \sum _ { j \neq i } \left( \frac { x _ { i } ^ { i n } x _ { j } ^ { o u t } } { 1 + x _ { i } ^ { i n } x _ { j } ^ { o u t } } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L _ { x } } & { = \int _ { V } \left( y v _ { z } - z v _ { y } \right) \mathrm { d } V = \int _ { V } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \left( \boldsymbol { 1 } _ { x } \times \boldsymbol { r } + \nabla \Psi _ { x } \right) \mathrm { d } V , } \\ { L _ { y } } & { = \int _ { V } \left( z v _ { x } - x v _ { z } \right) \mathrm { d } V = \int _ { V } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \left( \boldsymbol { 1 } _ { y } \times \boldsymbol { r } + \nabla \Psi _ { y } \right) \mathrm { d } V , } \\ { L _ { x } } & { = \int _ { V } \left( x v _ { y } - y v _ { x } \right) \mathrm { d } V = \int _ { V } \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \left( \boldsymbol { 1 } _ { z } \times \boldsymbol { r } + \nabla \Psi _ { z } \right) \mathrm { d } V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ^ { e * } = } & { \ \frac { f ^ { m a x } \sqrt { C ( M _ { n } ^ { * } ) } } { \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { 1 } } \sqrt { C ( M _ { i } ^ { * } ) } } , } \\ { t _ { n } ^ { * } = } & { \ \frac { \sqrt { \frac { M _ { n } ^ { * } } { R _ { n } } } } { \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { 1 } } \sqrt { \frac { M _ { i } ^ { * } } { R _ { i } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \overline { { p } } = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } ) g , \qquad \overline { { p } } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } ) \overline { { T } } , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \overline { { \rho } } _ { v s } ( \overline { { T } } ) = \frac { e _ { s } ( \overline { { T } } ) } { R _ { v } \overline { { T } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \phi _ { \mu , \nu } ( E ) P = } & { - { \frac { \partial P } { \partial z _ { 1 } } } \left( E _ { 1 1 } z _ { 1 } + E _ { 1 2 } z _ { 2 } \right) - { \frac { \partial P } { \partial z _ { 2 } } } \left( E _ { 2 1 } z _ { 1 } + E _ { 2 2 } z _ { 2 } \right) } \\ & { - { \frac { \partial P } { \partial { \overline { { z _ { 1 } } } } } } \left( { \overline { { E _ { 1 1 } } } } { \overline { { z _ { 1 } } } } + { \overline { { E _ { 1 2 } } } } { \overline { { z _ { 2 } } } } \right) - { \frac { \partial P } { \partial { \overline { { z _ { 2 } } } } } } \left( { \overline { { E _ { 2 1 } } } } { \overline { { z _ { 1 } } } } + { \overline { { E _ { 2 2 } } } } { \overline { { z _ { 2 } } } } \right) } \end{array} } , \quad E \in { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbf { C } ) .
\begin{array} { r l r } { Q ( \lambda ) } & { = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { g } p _ { i } \prod _ { j \neq i } \frac { \lambda - q _ { j } } { q _ { j } - q _ { i } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { g } P _ { i } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { g } \frac { \partial e _ { i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) } { \partial q _ { k } } \prod _ { j \neq k } \frac { \lambda - q _ { j } } { q _ { k } - q _ { j } } \right) } \\ & { \overset { \mathrm { P r o p ~ } } { = } } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { g } P _ { i } \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { j } Q _ { i - j - 1 } \lambda ^ { j } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { g - 1 } ( - 1 ) ^ { j - 1 } \left( \sum _ { i = j + 1 } ^ { g } P _ { i } Q _ { i - j - 1 } \right) \lambda ^ { j } } \end{array}
- \frac { 1 } { 4 } R ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \dot { \xi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } e \, \sqrt { 2 } \left( i \, \xi \dot { x } _ { i } { \cal { B } } _ { i } + i \, { \cal { B } } _ { i } \psi _ { i } \chi + R \Lambda \right)
{ \frac { 5 } { 2 } } \partial _ { z } \partial _ { 0 } b _ { z } ^ { 0 } - { \frac { 5 } { 2 } } { \frac { 1 } { z } } \partial _ { 0 } b _ { z } ^ { 0 } - { \frac { 5 } { 4 } } { \frac { 1 } { z } } \partial _ { z } b _ { i } ^ { i } - { \frac { 1 9 } { 2 } } { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } b _ { i } ^ { i } = 0 .
\frac { \partial \underline { { Q } } } { \partial t } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { e } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { e } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { e } } { \partial \zeta } = \frac { M _ { j } } { R e } \left( \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { v } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { v } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { v } } { \partial \zeta } \right) \, \mathrm { ~ . }
\begin{array} { r l } { P _ { k j } ( t _ { k } , t _ { j } ) } & { { } \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \tilde { s } _ { j } ( f ) \mathrm { e } ^ { - i \omega ( t _ { j } - t _ { k } ) } } { J ( f ) } , } \\ { q _ { k } ( t _ { k } ) } & { { } \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \mathrm { e } ^ { i \omega t _ { k } } \tilde { v } ( f ) } { J ( f ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( P | | T ) } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln \frac { P ( \mathbf { A } ) } { T ( \mathbf { A } ) } , } \\ { D _ { \mathrm { K L } } ( \overline { { Q } } | | \overline { { R } } ) } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) \ln \frac { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } { R ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } d \mathbf { W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { = N _ { J } = \left\{ \left( \begin{array} { l l l l } { 1 _ { j _ { 1 } } } & { * } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { 1 _ { j _ { 2 } } } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { j _ { r + 1 } } } \end{array} \right) \right\} } \\ { M } & { = M _ { J } = \left\{ \left. \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { r + 1 } } \end{array} \right) \ \right| \ A _ { k } \in \mathrm { G L } _ { j _ { k } } ( \mathbb { C } ) , \ | \operatorname* { d e t } ( A _ { k } ) | = 1 \right\} } \\ { A } & { = A _ { J } = \left\{ a ( t _ { 1 } , \ldots , t _ { r + 1 } ) \; : \; t _ { k } > 0 , \ \operatorname* { d e t } a ( t _ { 1 } , \ldots , t _ { r + 1 } ) = 1 \right\} , } \end{array}
\ddot { \theta } _ { l } + \omega _ { \mathrm { F M } } ^ { 2 } \theta _ { l } = m \gamma _ { \mathrm { e f f } } \xi _ { 1 } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } \right] \cos ^ { 2 } \varphi _ { 0 } \sin 2 \alpha .
H _ { n , n + 1 } = ( \cos \gamma ) \, { \cal P } _ { 1 } + \frac { \sin 3 \gamma } { \sin 2 \gamma } \, { \cal P } _ { 2 } + \Bigl ( \frac { \sin 3 \gamma } { \sin 2 \gamma } + ( \sin \gamma ) \frac { \cos 3 \gamma } { \sin 3 \gamma } \Bigr ) \, { \cal P } _ { 3 } \, .
O ( { \sqrt { d } } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \{ a + b { \sqrt { d } } \, | \, a , b \in \mathbb { Z } \} } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } d \equiv 2 { \mathrm { ~ o r ~ } } 3 \, \, ( \mathrm { m o d } \, \, 4 ) } \\ { \{ ( a + b { \sqrt { d } } ) / 2 \, | \, a , b \in \mathbb { Z } , a \equiv b \, \, \mathrm { m o d } \, \, 2 ) \} } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } d \equiv 1 \, \, ( \mathrm { m o d } \, \, 4 ) \} } \end{array} \right. }
{ \frac { 1 } { g ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } = { \frac { R } { g _ { 5 } ^ { 2 } } } + \lambda _ { k } ( 2 k ) + \lambda _ { T } ( T / 2 ) + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x x \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \ln N _ { + - } \left( { \frac { x \sqrt { q ^ { 2 } } } { 2 } } \right) ,
{ \frac { 1 } { 2 } } ( \Psi _ { n ^ { \prime } } ^ { * } ( \varphi + \lambda ) + \Psi _ { n ^ { \prime } } ^ { * } ( \varphi - \lambda ) ) \ + \ { \frac { 1 } { 2 } } ( \Psi _ { n ^ { \prime } + 1 } ( \varphi ) + \Psi _ { n ^ { \prime } - 1 } ( \varphi ) )
a \equiv a _ { D } = 4 \left\{ ( \omega _ { n } + i \mu _ { U } ) ^ { 2 } + { \stackrel { \rightharpoonup } { l } } ^ { 2 } + m _ { U } ^ { 2 } + ( \omega _ { n } + i \mu _ { U } ) [ \Omega _ { m } + i ( \mu _ { D } - \mu _ { U } ) ] + \stackrel { \rightharpoonup } { l } \cdot \stackrel { \rightharpoonup } { p } + m _ { U } ^ { 2 } ( m _ { D } ^ { 2 } - m _ { U } ^ { 2 } ) / ( m _ { U } ^ { 2 } + m _ { D } ^ { 2 } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { } & { \mathcal { R } ( x ^ { k } , y ^ { k } ) } \\ { = } & { \operatorname* { m a x } \big \{ \| R ^ { \mathsf { T } } y _ { 1 } ^ { k } + D ^ { \mathsf { T } } y _ { 2 } ^ { k } \| , \| R x ^ { k } - y _ { 1 } ^ { k } - b \| , \mathrm { d i s t } \left( D x ^ { k } , \partial \mathbb { I } _ { \| y _ { 2 } \| _ { \infty } \leq \lambda } ( y _ { 2 } ^ { k } ) \right) \! \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { X ( t ) + \varepsilon } } & { = \sqrt { x _ { 0 } + \varepsilon } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { X ( s ) } { ( X ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { b X ( s ) } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } d s + \frac { \sigma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \sqrt { X ( s ) } } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } d W ( s ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { L } _ { q , \mathfrak { J } _ { N } } \sigma _ { n } ( x ) = \frac { 2 n + 1 } { 2 n - 3 } x ^ { 2 n - 1 } \mathbf { L } _ { q } \left[ \frac { \sigma _ { n - 2 } ( x ) } { x ^ { 2 n - 3 } } \right] , \quad 0 < x < b , } \\ { \sigma _ { n } ( 0 ) = \sigma _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in F } p _ { i } \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x = \mathcal { O } ( \tau ^ { c } \log \left( \tau ^ { - 1 } \right) ) . } \end{array}
\mathbf { Q } = \left( 0 , \mathbf { v } \right) , \qquad \mathbb { F } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { v } , \, \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } - \nu \nabla \mathbf { v } + p \mathbf { I } \right) , \qquad \mathbb { B } \cdot \nabla \mathbf { Q } = \mathbf { 0 } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { R P } \right) } \left( t \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \left( - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \log ( F ( e ^ { - \frac { t \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } } ) ) = - \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { f _ { 0 } } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 n \alpha _ { n } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ^ { 2 } - \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { f _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) + o ( \frac { 1 } { n \alpha _ { n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | z _ { 0 } ) = \tilde { j } _ { H } ( s | z _ { 0 } ) + \tilde { j } _ { 0 } ( s | z _ { 0 } ) \tilde { \psi } ( s ) \tilde { j } _ { H } ( s | 0 ) + \ldots = \tilde { j } _ { H } ( s | z _ { 0 } ) + \frac { \tilde { j } _ { 0 } ( s | z _ { 0 } ) \tilde { \psi } ( s ) \tilde { j } _ { H } ( s | 0 ) } { 1 - \tilde { j } _ { H } ( s | 0 ) \tilde { \psi } ( s ) } \, , } \end{array}
\| r _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ m ~ } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \leq \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ m ~ } } , \quad \| r _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \leq \epsilon _ { \mathrm { ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } }