harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta \mathcal { E } _ { E } = \frac { V _ { g } } { 8 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( { E _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } - E _ { j } ^ { 2 } \right) = \frac { V _ { g } } { 8 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( 2 c _ { j } \mathbf { E } _ { j } \Delta \mathbf { E } + c _ { j } ^ { 2 } \Delta E ^ { 2 } \right) ,
g \left( x \right) = f \left( x \right) * h \left( x \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } h \left( \alpha \right) f \left( x - \alpha \right) d \alpha = \int _ { - \infty } ^ { \infty } h \left( x - \alpha \right) f \left( \alpha \right) d \alpha .
\alpha _ { 1 } = e _ { 1 } - e _ { 2 } , \quad \cdots , \ \alpha _ { 2 n - 2 } = e _ { 2 n - 2 } - e _ { 2 n - 1 } , \quad \alpha _ { 2 n - 1 } = e _ { 2 n - 1 } - e _ { 2 n } \quad \alpha _ { 2 n } = e _ { 2 n - 1 } + e _ { 2 n }
\mathbf { E ( r ) } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \left( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } \right| ^ { 3 } } } \mathrm { d ^ { 3 } } \mathbf { r ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { C \{ u _ { x } ^ { ( 1 ) } \} _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j - \frac { 1 } { 2 } , k - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { h } \Big ( [ \! [ u ^ { ( 1 ) } ] \! ] + \xi _ { u ^ { ( 1 ) } } [ \! [ u _ { x } ^ { ( 1 ) } ] \! ] } & { + \frac { 1 } { 2 } \xi _ { u ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } [ \! [ u _ { x x } ^ { ( 1 ) } ] \! ] \Big ) , } \\ & { \mathrm { i f } \; ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , z _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) \in \Omega , } \end{array}
J _ { 4 } = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } v _ { i } } h \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu + \mu h \right) \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \partial _ { v _ { i } } \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } } h \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu + h \mu \right) \, \mathrm { d } v = J _ { 4 1 } + J _ { 4 2 } .
V ( S , \phi ) = \frac { 1 } { 2 } \left( Y _ { a } ^ { 2 } + F ^ { \dagger } F \right) \, \, \, \, , \, \, \, \, \, \, F \equiv e \left( S ^ { \dagger } - \frac { \mu } { e } \right) \phi \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \underline { { R } } ^ { ( \mu ) } ( p _ { X Y } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle p \in { \cal P } ( p _ { X Y } ) } \left\{ \bar { \mu } I _ { p } ( X ; U ) + \mu H _ { p } ( Y | U ) \right\} } \\ & { = } & { R ^ { ( \mu ) } ( p _ { X Y } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle p \in { \cal P } _ { \mathrm { s h } } ( p _ { X Y } ) } \left\{ \bar { \mu } I _ { p } ( X ; U ) + \mu H _ { p } ( Y | U ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \textbf { Q } + \textbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \textbf { Q } - \boldsymbol { \mathcal { W } } = \gamma \: \textbf { H } , } \\ & { \rho \left( \partial _ { t } + \textbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \textbf { u } = \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { \Pi } , \quad \boldsymbol { \nabla } \cdot \textbf { u } = 0 , } \\ & { \partial _ { t } \phi + \textbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \phi = \Gamma _ { \phi } \nabla ^ { 2 } \mu + K _ { d } \phi , } \\ & { \mu = \frac { \partial f } { \partial \phi } - \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { \nabla } \phi } ) , } \\ & { f = - \frac { C } { 2 } ( 1 + Q _ { i j } Q _ { i j } / 2 ) ^ { 2 } + \frac { A } { 2 } \phi ^ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) + \frac { K _ { \phi } } { 2 } \nabla _ { m } \phi \nabla _ { m } \phi + \frac { K _ { Q } } { 2 } \nabla _ { m } Q _ { i j } \nabla _ { m } Q _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ T \frac { \nabla n } { n } + \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \times { \mathbf B } _ { 0 } \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = - \frac { \nabla \times \left( { \mathbf B } _ { 0 } + \nabla \times { \mathbf A } \right) } { n } \times \left( { \mathbf B } _ { 0 } + { \nabla \times { \mathbf A } } \right) - \frac { \int ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } } { n } \times \left( { { \mathbf B } _ { 0 } + \nabla \times { \mathbf A } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F } & { = C _ { F , U } U } & { = \frac { 3 } { 3 G _ { S } ^ { ( 0 , 0 ) } + R ^ { 2 } \left[ \pi ^ { 2 } B ( \rho ) + 3 G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } \right] } U + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { D } & { = C _ { D , F } F } & { = 4 \pi ^ { 2 } \left( 1 + R ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } \right) F + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { Q } & { = C _ { Q , F } F } & { = 4 \pi ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } F + \mathcal { O } ( R ^ { 2 } ) , } \\ { O } & { = C _ { O , Q } Q } & { = - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 } Q + \mathcal { O } ( R ^ { 2 } ) } \end{array}
\iota _ { m } : { \mathcal { H } _ { S , T } ^ { ( p ^ { m } ) } } / { ( \mathcal { H } _ { T } ^ { \times } ) ^ { p ^ { m } } } \longrightarrow { \mathcal { H } _ { S , T } ^ { ( p ^ { m + 1 } ) } } / { ( \mathcal { H } _ { T } ^ { \times } ) ^ { p ^ { m + 1 } } } , \qquad \iota _ { m } ( \widehat f ) = \widehat { f ^ { p } } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ f \in ~ \mathcal { H } _ { S , T } ^ { ( p ^ m ) } ~ } ,
\left[ \frac { 1 } { 2 m _ { e } } ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) ^ { 2 } + V _ { 0 } ( \hat { \mathbf { r } } ) \right] | u \mathbf { k } \rangle = \epsilon _ { \mathbf { u k } } | u \mathbf { k } \rangle .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \Big [ \psi \Big ( \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } x ^ { k + 1 } \Big ) - \psi ( x ^ { \star } ) \Big ] \leq \frac { \| x ^ { 0 } - x ^ { \star } \| ^ { 2 } } { 4 \alpha ( \sqrt { K + 1 } - 1 ) } + \frac { \theta \beta \alpha ( 1 + \ln K ) } { 4 ( \sqrt { K + 1 } - 1 ) } . } \end{array}
\mathcal { B } \mathcal { A } \mathcal { B } p _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \Phi _ { q _ { i } q _ { j } } \Phi _ { q _ { k } } T _ { p _ { j } p _ { k } } ,
T _ { U \rightarrow W } ^ { i \rightarrow j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { I } } & { \mathrm { N o \ R o t a t i o n } } \\ { W ^ { j } \sqrt { S _ { j } } \sqrt { S _ { i } } \left( U ^ { i } \right) ^ { \dagger } } & { \mathrm { N o \ m e t r i c } } \\ { W ^ { j } g ^ { i j } \left( U ^ { i } \right) ^ { \dagger } } & { \mathrm { F u l l \ r o t a t i o n } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { t } & { > } & { \langle z _ { k } , a \rangle = \langle 2 x _ { k } + \frac { 1 } { k } u _ { k } - \omega _ { k } , a \rangle = 2 \langle x _ { k } , a \rangle + \frac { 1 } { k } \langle u _ { k } , a \rangle - \langle \omega _ { k } , a \rangle \geq 2 \langle x _ { k } , a \rangle + \frac { 1 } { k } \langle u _ { k } , a \rangle - t . } \end{array}
1 \; = \; { \frac { \int d A \exp \left\{ - N \beta \, \mathrm { T r } \, \left[ \left( A - \sum _ { i = 1 } ^ { d } U _ { i } \right) \left( A ^ { \dagger } - \sum _ { i = 1 } ^ { d } U _ { i } ^ { \dagger } \right) \right] \right\} } { \int d A \exp \left\{ - N \beta \, \mathrm { T r } \, \left[ A A ^ { \dagger } \right] \right\} } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \lambda _ { s } \big | \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \tilde { b } _ { s } ^ { * } ( \tilde { \mu } ) \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \tilde { b } _ { s } ^ { * } \left( \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right) \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \hat { \gamma } _ { s } \sim \tilde { \mathcal { P } } _ { s } } \left[ \hat { b } _ { s } ^ { * } \left( \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right) \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } _ { \hat { \gamma } _ { s } \sim \tilde { \mathcal { P } } _ { s } } \left[ \hat { b } _ { s } ^ { * } ( \tilde { \mu } ) \biggr | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \beta _ { s } \big | \ \tilde { \mu } ^ { ( - s ) } \right] \, , } \end{array}
\sum _ { j \in \mathbb Z } \sum _ { j ^ { \prime } \notin { L _ { j } ^ { \ell } } } ( \overline { { \xi _ { j } } } - \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \mathcal { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } = \sum _ { j \in \mathbb Z } ( \xi _ { j } - \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \Phi _ { j } ,
\sum _ { j = 1 } ^ { n } q ^ { \rho _ { j } - 2 ( n - j ) } \Lambda _ { j } ^ { 1 / 2 } \mu _ { j } ^ { - 1 / 2 } { \cal X } ^ { j } { \cal X } ^ { - j } + \frac { q ^ { - 2 n + 1 } } { 1 + q } { \cal X } ^ { 0 } { \cal X } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ~ .
\left( \left( 1 + \frac { \nu D _ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { \omega _ { u } } \right) { \bf { \mathcal { A } } } ^ { u } = - \frac { \nu d _ { 2 } ^ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \, { \bf \mu } \, , \qquad \left( \left( 1 + \frac { \nu D _ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { \omega _ { v } } \right) { \bf { \mathcal { A } } } ^ { v } = - \frac { \nu d _ { 2 } ^ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \, { \bf \eta } \, ,
\frac { Q ( x , \mu ^ { 2 } ) } { g ( x , \mu ^ { 2 } ) } \frac { 2 \pi } { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } \approx \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 2 } { n + 1 } + \frac { 2 } { n + 2 } \right) \ln \left( \frac { \mu } { m _ { Q } } \right) \approx 0 . 5 \ln \left( \frac { \mu } { m _ { Q } } \right) \, .
\mathcal { I } = \mathcal { K } - \mathcal { P } + \rho \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } [ \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] + \nabla \! \cdot \! \left\{ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } \right\} ] \phi ~ d \mathbf { x } ~ d t \ ,
\varepsilon _ { \alpha \beta } = w _ { ( \alpha , \beta ) } , \quad 2 \varepsilon _ { \alpha 3 } = \frac { 1 } { h } w _ { \alpha | \zeta } + w _ { , \alpha } , \quad \varepsilon _ { 3 3 } = \frac { 1 } { h } w _ { | \zeta } .
H ^ { ( n + 1 ) } Q _ { n , n + 1 } ^ { + } = Q _ { n , n + 1 } ^ { + } H ^ { ( n ) } , \qquad Q _ { n + 1 , n } ^ { - } H ^ { ( n + 1 ) } = H ^ { ( n ) } Q _ { n + 1 , n } ^ { - } ,
\begin{array} { r l } { \delta \phi ( f _ { n } ; m _ { a } ) } & { \simeq g _ { a \gamma \gamma } ( m _ { a } ) \frac { \sqrt { 2 \rho _ { a } } } { 2 k _ { 0 } } | H _ { a } ^ { \prime } ( m _ { a } ) | T } \\ & { ~ ~ \times \sqrt { \Delta _ { s } ( f _ { n } ; m _ { a } ) } ~ \left[ \frac { r _ { n } } { { \sqrt { 2 } } } e ^ { i \theta _ { n } } \right] , } \\ & { \equiv \delta \phi ( m _ { a } ) \frac { T } { 2 } \sqrt { \Delta _ { s } ( f _ { n } ; m _ { a } ) } \left[ \frac { r _ { n } } { { \sqrt { 2 } } } e ^ { i \theta _ { n } } \right] , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q \; q ^ { 4 } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - q - \theta } } \left[ \mathrm { e } ^ { 2 q t _ { 1 } - q - \theta } - \mathrm { e } ^ { - 2 q t _ { 1 } } \right] = 0 \; .
\begin{array} { r l } & { 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) > 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \in \overline { { \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } } } , \quad 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) > 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \in \overline { { \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } } } , } \\ & { f ( k ) > 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \in \overline { { \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } } } , \; f ( k ) > 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \in \overline { { \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } } \setminus \{ \omega \} , \; f ( \omega ^ { 2 } k ) > 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \in \overline { { \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } } } \setminus \{ \omega \} . } \end{array}
\sin \xi = - \cos \xi ^ { \prime } \sin \xi ^ { \prime } \left( \cos \xi \frac { \Delta m ^ { 2 } } { { m ^ { \prime } } _ { \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { 0 } } ^ { 2 } } + \frac { v _ { u } } { v _ { d } } \frac { \mu \Delta B } { { m ^ { \prime } } _ { \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { q : = \varepsilon \left( v _ { \varepsilon } - \bar { v } \right) + 3 \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( K _ { 2 } ( v _ { \varepsilon } , v _ { \varepsilon } ) - K _ { 2 } ( \bar { v } , \bar { v } ) \right) + \varepsilon ^ { b } z _ { 0 } + 6 \varepsilon ^ { 1 + b } \partial _ { x } \Pi _ { S } K _ { 1 } ( v _ { \varepsilon } , z _ { 0 } ) + \Phi _ { \ge 3 } ^ { W B } ( U _ { \zeta } ( i _ { \delta } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 } ( r ) = \frac { u _ { 0 } ( r ) } { r } } & { { } = } & { e ^ { i \delta _ { 0 } } ( \cos \delta _ { 0 } j _ { 0 } ( k r ) - \sin \delta _ { 0 } n _ { 0 } ( k r ) ) } \end{array}
\left( { \hat { E } } - c { \boldsymbol { \alpha } } \cdot { \hat { \mathbf { p } } } - \beta m c ^ { 2 } \right) \psi = 0 \quad \Leftrightarrow \quad { \hat { H } } = c { \boldsymbol { \alpha } } \cdot { \hat { \mathbf { p } } } + \beta m c ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) } & { = \int H ( x ) \frac { e ^ { - \frac { ( \theta - x ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { d } x \qquad H ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta } & { \gamma - \sigma < x < \gamma + \sigma } \\ { \alpha } & { \textrm { O t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \\ { \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \theta } - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } + c , } \end{array}
s _ { 2 i _ { 0 } } = { \textstyle \sum _ { j = 1 } ^ { i _ { 0 } } } y _ { j } ^ { t } - { \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } } y _ { i } ^ { b } , \; \; \; \ i _ { 0 } > 1
\begin{array} { r l } & { \left\| b ( t , x _ { 1 } , e _ { i } ) - b ( t , x _ { 2 } , e _ { i } ) \right\| + \left\| \sigma ( t , x _ { 1 } , e _ { i } ) - \sigma ( t , x _ { 2 } , e _ { i } ) \right\| } \\ & { + \left\| \eta ( t , x _ { 1 } , e _ { i } , z ) - \eta ( t , x _ { 2 } , e _ { i } , z ) \right\| _ { J } + \left\| \gamma ( t , x _ { 1 } , e _ { i } ) - \gamma ( t , x _ { 2 } , e _ { i } ) \right\| _ { S } } \\ & { \leq K \left\| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) = ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } ) + \biggr ( \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) + \lambda _ { n } ^ { * } ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) \biggr ) \times } \\ { \times \biggr ( | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } [ \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } & { \leq \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { m ^ { 3 } n } \left( \frac { 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } } + R _ { m } ^ { 2 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( 2 ( 1 - p ) ^ { 2 } ( f ( E ) ( 1 - f ( E + \hbar \omega ) ) + ( 1 - f ( E ) ) f ( E + \hbar \omega ) ) + 2 ( 1 - p ) p ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f ( E + \hbar \omega ) ) } \\ { + f ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f _ { 0 } ( E ) ) ) + 2 ( 1 + ( 1 - p ) ^ { 2 } ) ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) + f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f _ { 0 } ( E ) ) ) } \\ { + 2 ( 1 - p ) p ( f ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) + f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ( 1 - f ( E ) ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | \neq | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { i } } ) | \right) } \\ & { \leq E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } 2 \epsilon \Lambda _ { I _ { n } } ( t _ { n , I _ { n } } ) } \right] + P \left( \left| \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { I _ { n } } } - t _ { n , I _ { n } } \right| > \epsilon \right) } \\ & { \leq E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } 2 \epsilon \Lambda ( \chi ) } \right] + P \left( \left| \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { I _ { n } } } - t _ { n , I _ { n } } \right| > \epsilon \right) } \\ & { \to E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } 2 \epsilon \Lambda ( \chi ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } & { = \left( 1 - \frac { \kappa _ { 1 } } { ( \frac { \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 } ) } \right) ^ { 2 } , } \\ { | S _ { 2 1 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } & { = \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { \left( \frac { \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathscr { A } \left( \lambda \mathscr { U } ( 1 ) + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( 1 ) \right) \left( \lambda \mathscr { X } _ { 1 } ( 1 ) + \left( 1 - \lambda \right) \mathscr { X } _ { 2 } ( 1 ) \right) } \\ { + } & { \lambda \mathscr { U } ( 1 ) + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( 1 ) \neq \lambda \mathscr { X } _ { 1 } ( 2 ) + \left( 1 - \lambda \right) \mathscr { X } _ { 2 } ( 2 ) . } \end{array}
\int _ { \Omega _ { P } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } ( \boldsymbol { \xi } ) u _ { i } \right) l _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } = \sum _ { \iota = 1 } ^ { 2 ^ { \dim } } \int _ { \Omega _ { K _ { \iota } } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { l } _ { i } ( \boldsymbol { z } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \hat { u } _ { i } \right) l _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } .
X = \sum _ { n = 1 } ^ { N } q ^ { \frac 1 2 ( \sigma _ { 1 } ^ { z } + \ldots + \sigma _ { n - 1 } ^ { z } ) } \sigma _ { n } ^ { + } q ^ { - \frac 1 2 ( \sigma _ { n + 1 } ^ { z } + \ldots + \sigma _ { N } ^ { z } ) }
\textnormal { R e } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] + \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } + \sigma _ { \rho } } \textnormal { I m } [ \tilde { a } ( u _ { L } , u _ { L } ) ] \geq \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } } { ( s _ { 1 } + \sigma _ { \rho } ) ^ { 2 } } \big ( \| A \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s \alpha \beta u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \big )
\frac { \partial \vec { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = - \boldsymbol { \nabla } V + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \boldsymbol { \nabla } \frac { \nabla ^ { 2 } \sqrt { \rho } } { \sqrt { \rho } }
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { m \beta \tau \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } \bigg ( \tau + \bigg ( - t _ { e n d } + \frac { 1 } { \beta } \ln { \bigg ( \frac { \beta } { b } + e ^ { \beta t _ { e n d } } \bigg ) } \bigg ) \bigg ) } \\ & { = S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { m \beta \tau \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } \bigg ( \tau + \frac { 1 } { \beta } \ln { \bigg ( \frac { \beta } { \mu _ { e n d } } + 1 \bigg ) } \bigg ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { a i r } } } & { = { \sqrt { \gamma \cdot R _ { * } \cdot T } } = { \sqrt { \gamma \cdot R _ { * } \cdot ( \theta + 2 7 3 . 1 5 \, \mathrm { K } ) } } , } \\ { c _ { \mathrm { a i r } } } & { = { \sqrt { \gamma \cdot R _ { * } \cdot 2 7 3 . 1 5 \, \mathrm { K } } } \cdot { \sqrt { 1 + { \frac { \theta } { 2 7 3 . 1 5 \, \mathrm { K } } } } } . } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { \eta } ^ { 1 } } & { = - [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } , } \\ { d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) } & { = \ast \Big ( ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) + d \Big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \Big ) + [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } , } \\ { f _ { \Sigma } ^ { 1 } } & { = - e _ { \phi } ^ { 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert T ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) = } & { - \tilde { M } ( x _ { 1 } , \hat { \theta } ) x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ( x _ { 1 } ) \theta _ { j } - x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { 1 , j } ( x _ { 1 } ) \hat { \theta } _ { j } } \end{array}
W = { \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { { \frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { - i } & { { \frac { - 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { - 1 } & { { \frac { - 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { i } & { { \frac { 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } \\ { 1 } & { - i } & { - 1 } & { i } & { 1 } & { - i } & { - 1 } & { i } \\ { 1 } & { { \frac { - 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { i } & { { \frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { - 1 } & { { \frac { 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { - i } & { { \frac { - 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { { \frac { - 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { - i } & { { \frac { 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { - 1 } & { { \frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { i } & { { \frac { - 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } \\ { 1 } & { i } & { - 1 } & { - i } & { 1 } & { i } & { - 1 } & { - i } \\ { 1 } & { { \frac { 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { i } & { { \frac { - 1 + i } { \sqrt { 2 } } } } & { - 1 } & { { \frac { - 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } & { - i } & { { \frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right] }
\Gamma ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) : = \{ { \gamma } \in \mathscr { P } ( \Omega \times \Omega ) \} : \pi _ { \# } ^ { 1 } { \gamma } = \mu _ { 1 } , \pi _ { \# } ^ { 2 } { \gamma } = \mu _ { 2 } \} .
\boldsymbol \psi = \left[ { \frac { R _ { D } ^ { 2 } d ( R _ { A } + d ) } { \lambda ^ { 2 } ( R _ { D } - d ) ( d + R _ { A } - R _ { D } ) } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol \Psi = \left[ { \frac { R _ { D } ^ { 2 } d q } { \lambda ^ { 2 } ( R _ { D } - d ) ( q - R _ { D } ) } } \right] ^ { 1 / 4 } \boldsymbol \Psi \, ,
\begin{array} { r l } { \gamma ( t ) \gamma ( t ) ^ { \ast } } & { = \lVert a + t \alpha \rVert ^ { 2 } ( b + t \beta ) ( b + t \beta ) ^ { \ast } + \lVert b + t \beta \rVert ^ { 2 } ( a + t \alpha ) ( a + t \alpha ) ^ { \ast } } \\ & { - t \Bar t ( \beta ^ { T } \Bar \alpha ) ( a + t \alpha ) ( b + t \beta ) ^ { \ast } - t \Bar t ( \alpha ^ { T } \Bar \beta ) ( b + t \beta ) ( a + t \alpha ) ^ { \ast } } \\ & { = ( b + t \beta ) ( b + t \beta ) ^ { \ast } + ( a + t \alpha ) ( a + t \alpha ) ^ { \ast } + \mathcal { O } ( | t | ^ { 2 } ) , } \\ { \gamma ( t ) ^ { \ast } \gamma ( t ) } & { = \overline { { ( b + t \beta ) } } ( b + t \beta ) ^ { T } + \overline { { ( a + t \alpha ) } } ( a + t \alpha ) ^ { T } + \mathcal { O } ( | t | ^ { 2 } ) , } \end{array}