harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { \beta { \pmb \beta } _ { n } } \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } u _ { \alpha } ( { \pmb \xi } ) = \frac { [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] - [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] } { 8 \pi \mu }
E = { \frac { 3 } { 5 } } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { Q ^ { 2 } } { R } } = { \frac { 3 } { 5 } } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { ( Z e ) ^ { 2 } } { r _ { 0 } A ^ { 1 / 3 } } } = { \frac { 3 e ^ { 2 } Z ^ { 2 } } { 2 0 \pi \varepsilon _ { 0 } r _ { 0 } A ^ { 1 / 3 } } } \approx { \frac { 3 e ^ { 2 } Z ( Z - 1 ) } { 2 0 \pi \varepsilon _ { 0 } r _ { 0 } A ^ { 1 / 3 } } } = a _ { \mathrm { C } } { \frac { Z ( Z - 1 ) } { A ^ { 1 / 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } + \delta \mathcal { F } } & { = | \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) + \delta \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) | ^ { 2 } , } \\ & { = ( \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) + \delta \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) ) ( \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) + \delta \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) ) , } \\ & { = | \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } [ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \delta \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) ] + \mathcal { O } ( \delta \phi ^ { 2 } ) . } \end{array}
H _ { \mathrm { e } } = - \sum _ { i } { { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { i } ^ { 2 } } - \sum _ { i , A } { \frac { Z _ { A } } { r _ { i A } } } + \sum _ { i > j } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } + \sum _ { B > A } { \frac { Z _ { A } Z _ { B } } { R _ { A B } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad T _ { \mathrm { n } } = - \sum _ { A } { { \frac { 1 } { 2 M _ { A } } } \nabla _ { A } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathcal { F } } } _ { n } = } & { { } n ^ { 2 } \bigg [ \frac { 3 n ^ { 2 } + 2 n + 1 } { 3 n ^ { 2 } \left( n + 1 \right) ^ { 2 } } + \frac { n ^ { 2 } + 2 n - 1 } { \left( n ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } } \end{array}
\rho _ { \mathrm { P } } = { \frac { m _ { \mathrm { P } } } { l _ { \mathrm { P } } ^ { 3 } } } = { \frac { \hbar t _ { \mathrm { P } } } { l _ { \mathrm { P } } ^ { 5 } } } = { \frac { c ^ { 5 } } { \hbar G ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \ddot { y } _ { t + \Delta { t } } } & { = \frac { 1 } { \beta _ { n } \Delta { t } } \left[ ( y _ { { t } + \Delta { t } } - y _ { { t } } ) \frac { 1 } { \Delta { t } } - \dot { y } _ { { t } } \right] - \left( \frac { 1 } { 2 \beta _ { n } } - 1 \right) \ddot { y } _ { { t } } } \\ { \dot { y } _ { { t } + \Delta { t } } } & { = \dot { y } _ { { t } } + \left[ \left( 1 - \gamma _ { n } \right) \ddot { y } _ { { t } } + \gamma _ { n } \ddot { y } _ { { t } + \Delta { t } } \right] \Delta { t } } \\ { { y } _ { { t } + \Delta { t } } } & { = { y } _ { { t } } + \dot { y } _ { { t } } \Delta { t } + \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } - \beta _ { n } \right) \ddot { y } _ { { t } } + \beta \ddot { y } _ { { t } + \Delta { t } } \right] \Delta { t } ^ { 2 } , } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \frac { \dot { a } } { a } } & { { } = { \cal E } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 1 } { 1 6 } \, k \, b ( - k n ) \bigg [ 2 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + \frac 9 2 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma = ( s _ { 1 } - \mathrm { i } \xi _ { 1 } , s _ { 2 } + \mathrm { i } \xi _ { 2 } , s _ { 2 } - \mathrm { i } \xi _ { 2 } , \dots , s _ { N - 1 } + \mathrm { i } \xi _ { N - 1 } , s _ { N - 1 } - \mathrm { i } \xi _ { N - 1 } , s _ { N } + \mathrm { i } \xi _ { N } ) , } \\ { \bar { \gamma } = ( \bar { s } _ { 1 } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 1 } , \bar { s } _ { 2 } + \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 2 } , \bar { s } _ { 2 } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 2 } , \dots , \bar { s } _ { N - 1 } + \mathrm { i } \bar { \xi } _ { N - 1 } , \bar { s } _ { N - 1 } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { N - 1 } , \bar { s } _ { N } + \mathrm { i } \bar { \xi } _ { N } ) , } \end{array}
S _ { b } = \int d ^ { 4 } x ~ \psi _ { b } ^ { \dagger } \left[ \left( \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } v ^ { \mu } v _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) - i \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } v ^ { \mu } + v ^ { \mu } \partial _ { \mu } \right) \right] \psi _ { b } \; .
\Pi _ { T a ; R } ^ { T } ( p _ { 0 } = 0 ) = g ^ { 2 } \delta _ { a b } N _ { c } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { f ( \vec { q } ) } { | \vec { q } | } \cdot [ \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \hat { q } \cdot \hat { p } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( \infty ) = } & { \underset { t \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( t ) } \\ { = } & { - \boldsymbol { A } _ { u v } ^ { - 1 } \boldsymbol { H } _ { u v } } \\ { = } & { \frac { 1 } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } \left[ \begin{array} { l } { - \bar { f } \tilde { h } _ { y } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { x } } \\ { \bar { f } \tilde { h } _ { x } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { y } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { G ^ { \prime } ( \lambda ) = 1 } \\ { + \frac { A } { 6 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ^ { 2 } } \\ { - 3 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ) } \\ { - \frac { C } { 2 4 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 4 } ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ^ { 4 } } \\ { - 6 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ^ { 2 } + 3 ) } \end{array}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \frac { N - D } { N + D } = 0 . 0 7 \pm 0 . 0 7 ( \mathrm { s t a t } ) \pm 0 . 0 4 ( \mathrm { s y s t } ) \quad .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = - \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } \alpha k _ { 3 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ & { + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { A B } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 3 } \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = 0 , } \\ { \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \tau _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } } & { { } = \frac { \mathrm { d } \tau _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { x } } { m } } & { { } = - \omega _ { o s } ^ { 2 } x , \quad \omega _ { o s } ^ { 2 } = - \frac { \hslash \omega _ { 0 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \eta \xi B ^ { 2 } } { m \gamma _ { + } ^ { 2 } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - s ( \partial _ { t } \boldsymbol { \chi } _ { 0 } , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { \chi } } ) } & { { } = \langle \mathrm { D } \mathscr { F } _ { 0 } ( q _ { 0 } ) , \boldsymbol { v } _ { \boldsymbol { \chi } } \rangle _ { \mathcal { V } } \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathcal { A } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { B } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , \quad } & { \boldsymbol { x } \in \Gamma , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V ^ { \mathrm { P S } } ( \boldsymbol { r } ) } & { = V ^ { \mathrm { l o c } } ( r ) + A ( r ) } \\ & { + \sum _ { l m } \frac { \left. \left| \Delta V _ { l } ( r ) \, \widetilde { \psi } _ { n l m } ( \boldsymbol { r } ) \right. \right> \left< \left. \widetilde { \psi } _ { n l m } ( \boldsymbol { r } ) \Delta V _ { l } ( r ) \right| \right. } { \left< \left. \widetilde { \psi } _ { n l m } ( \boldsymbol { r } ) \right| \Delta V _ { l } ( r ) \left| \widetilde { \psi } _ { n l m } ( \boldsymbol { r } ) \right. \right> } . } \end{array}
P I _ { i } ^ { d } = 1 - [ ( 1 - P I _ { i } ^ { ' d } ) \times ( 1 - \Sigma _ { j = 1 \& j \ne i } ^ { n } ( p _ { i j } \times \beta _ { i } \times x _ { j } ^ { d } \times P I _ { j } ^ { ' d } ) ) ] ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) \hat { E } ( Q ) = } \\ & { { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) ( - u ^ { i , 1 } \delta _ { u ^ { i } } + \theta _ { i } { \partial } _ { x } \delta _ { \theta _ { i } } ) ( Q ) = } \\ & { { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \Big ( \delta _ { u ^ { j } } P { \partial } _ { x } ( \delta _ { \theta _ { j } } Q ) - { \partial } _ { x } ( \delta _ { \theta _ { j } } P ) \delta _ { u ^ { j } } Q \Big ) } \\ & { + { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( - u ^ { i , 1 } ) \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) \delta _ { u ^ { i } } Q } \\ & { + { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( - \theta _ { i } { \partial } _ { x } ) \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Big ( { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { u ^ { j } } P \big ) { \partial } _ { \theta _ { j } ^ { s } } + { \partial } _ { x } ^ { s } \big ( \delta _ { \theta _ { j } } P \big ) { \partial } _ { u ^ { j , s } } \Big ) \delta _ { \theta _ { i } } Q } \end{array}
{ \hat { F } } \Phi _ { 0 } - \langle \Phi _ { 0 } | { \hat { F } } | \Phi _ { 0 } \rangle \Phi _ { 0 } = 0 \implies { \hat { H } } _ { 0 } \Phi _ { 0 } = \langle \Phi _ { 0 } | { \hat { H } } | \Phi _ { 0 } \rangle \Phi _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { l ! } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 2 f _ { 0 } ( \boldsymbol { k } ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { l } \left[ \hbar { Z } - \frac { \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { i } \boldsymbol { q } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } + d _ { i } \boldsymbol { q } - i \boldsymbol { q } } } { i } \right] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \mathfrak { a } _ { j } - \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathfrak { b } _ { j } - \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } b \rVert _ { [ \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \xrightarrow [ j \rightarrow + \infty ] 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\theta _ { a b } = 4 5 ^ { \circ } , \; \theta _ { a b ^ { \prime } } = 1 3 5 ^ { \circ } , \; \theta _ { a ^ { \prime } b } = 4 5 ^ { \circ } , \; \theta _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } = 4 5 ^ { \circ }
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 1 } + _ { 2 } } \\ & { = \delta ( q > m - n ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - \delta ( j \leq m - n ) \delta ( q > m - n ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \quad _ { 4 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta ( j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } - \delta ( j > m - n , q \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \quad _ { 5 } + _ { 3 } + _ { 1 5 } + _ { 1 8 } } \\ & { = e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \delta ( q \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
_ p F _ { q } ( a _ { 1 } , \cdots a _ { p } ; b _ { 1 } , \cdots b _ { q } ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = 1 } ^ { p } ( a _ { k } ) ^ { ( n ) } } { \prod _ { k = 1 } ^ { q } ( b _ { k } ) ^ { ( n ) } } \frac { z ^ { n } } { n ! } \, ,
\begin{array} { r } { \Delta v _ { m a x } = \operatorname* { m a x } \left( \sqrt { \left( \tilde { v } _ { z } ( t ) - v _ { z , 0 } \right) ^ { 2 } + \left( \tilde { v } _ { \perp } ( t ) - v _ { \perp , 0 } \right) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { a u x } ( ( x , y ) , \mathsf { 0 } , ( x , y ) , \mathsf { 0 } ) + R _ { a u x } ( ( x , y ) , \mathsf { 0 } , ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } ) + R _ { a u x } ( ( x , y ) , \mathsf { 0 } , ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } ) = 1 , } \\ { R _ { a u x } ( ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } , ( x , y ) , \mathsf { 0 } ) + R _ { a u x } ( ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } , ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } ) + R _ { a u x } ( ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } , ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } ) = 0 , } \\ { R _ { a u x } ( ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } , ( x , y ) , \mathsf { 0 } ) + R _ { a u x } ( ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } , ( x - 1 , y ) , \mathsf { 1 } ) + R _ { a u x } ( ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } , ( x , y - 1 ) , \mathsf { 2 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { J = r [ u _ { 1 } ( i + 1 ) v _ { 1 } ( i ) + u _ { 1 } ( i + 1 ) v _ { 2 } ( i ) } \\ { - u _ { 2 } ( i ) v _ { 1 } ( i + 1 ) - u _ { 2 } ( i ) v _ { 2 } ( i + 1 ) ] } \end{array}
\frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } + \overline { { \mathcal { F } } } _ { i } .
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 3 } x \sqrt { - g } ( R - 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } + 2 \Lambda e ^ { b \phi } ) - \frac { 1 } { 8 \pi G } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - h } K ,
D _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } } ( \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p _ { \lambda } + \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { M } + M \delta _ { \mu \nu } ) \; , { } ~ ~ ~ ~ D _ { \mu \nu } ^ { - 1 } = - \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p _ { \lambda } + M \delta _ { \mu \nu } \; .
\nu _ { 8 } ^ { * } = \mu _ { m a x , P H } \frac { S _ { I C } ^ { * } } { K _ { P H , I C } + S _ { I C } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { P H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n , * } } { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n , * } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \frac { I _ { 0 } } { I _ { o p t , P H } } \ e ^ { ( 1 - \frac { I _ { 0 } } { I _ { o p t } } ) } \psi _ { d _ { P H } } ^ { * }
\begin{array} { r l } { e ^ { 0 } } & { \= \cosh ^ { 2 } \! { \rho } \; \mathrm { d } \tau + \sinh ^ { 2 } \! { \rho } \; \mathrm { d } \phi \ , } \\ { e ^ { 1 } } & { \= \cos { ( \tau { - } \phi ) } \; \mathrm { d } \rho + \sinh { \rho } \; \cosh { \rho } \; \sin { ( \tau { - } \phi ) } \; \mathrm { d } { ( \tau { + } \phi ) } \ , } \\ { e ^ { 2 } } & { \= - \sin { ( \tau { - } \phi ) } \; \mathrm { d } \rho + \sinh { \rho } \; \cosh { \rho } \; \cos { ( \tau { - } \phi ) } \; \mathrm { d } { ( \tau { + } \phi ) } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \int \mathscr { W } ^ { ( l ) } ( \{ l \} ) \prod _ { i = 1 } ^ { l } U _ { \mathrm { e x t } } ( i ) d ( i ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle Q _ { n } \left( \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } \right) | \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \langle \phi _ { i _ { \pi ( 1 ) } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { \pi ( n ) } } | \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi ^ { - 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \langle \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } | \psi _ { i _ { \pi ^ { - 1 } ( 1 ) } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { \pi ^ { - 1 } ( n ) } } \rangle } \\ & { = \langle \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } | Q _ { n } \left( \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \right) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar W ( x _ { i } , y _ { j } , t _ { n + 1 } ) = \Bar W ( x _ { i } , y _ { j } , t _ { n } ) - } & { { } \frac { \Delta t } { \Delta x \Delta y } [ \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y , t ) ) - F ( W ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y , t ) ) d y d t ] - } \end{array}
{ \boldsymbol \tau } _ { w } = \nu \left. \frac { d { \bf U } } { d y } \right| _ { y = 0 } = \nu \left( { \bf c } _ { 1 } \left. \frac { d \mathrm { L o W } } { d y ^ { + } } \right| _ { y = 0 } + { \bf c } _ { 2 } \left. \frac { d g } { d y ^ { + } } \right| _ { y = 0 } \right) \left. \frac { d y ^ { + } } { d y } \right| _ { y = 0 } = ( { \bf c } _ { 1 } + { \bf c } _ { 2 } ) u _ { \tau } \, ,
H _ { 2 } ( x , m ) = - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \biggl [ \frac { \{ [ ( 1 - \mathrm { i } x ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } - ( 1 - \mathrm { i } x ) \} ^ { 2 } } { [ ( 1 - \mathrm { i } x ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } + \mathrm { c . c . } \biggr ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \frac { \underline { { \alpha } } } { \mathrm { { R a } } } \left[ \frac { b } { 8 } - a _ { 0 } C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left( \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { { \mathrm { R a } } } \left( \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 } - C a _ { 0 } ^ { 2 } \right) \langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { b } { 4 \mathrm { { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\oint _ { C } L \, d x + M \, d y = \oint _ { \partial D } \! \omega = \int _ { D } d \omega = \int _ { D } { \frac { \partial L } { \partial y } } \, d y \wedge \, d x + { \frac { \partial M } { \partial x } } \, d x \wedge \, d y = \iint _ { D } \left( { \frac { \partial M } { \partial x } } - { \frac { \partial L } { \partial y } } \right) \, d x \, d y .
n _ { 3 } = { \frac { i \hbar } { 2 } } { \left( \Psi _ { 1 } \partial _ { \tau } \Psi _ { 2 } ^ { \ast } + \Psi _ { 2 } \partial _ { \tau } \Psi _ { 1 } ^ { \ast } - \Psi _ { 1 } ^ { \ast } \partial _ { \tau } \Psi _ { 2 } - \Psi _ { 2 } ^ { \ast } \partial _ { \tau } \Psi _ { 1 } \right) } .
\begin{array} { r } { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { i } = 1 + \beta _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \cdot \textit { i n f l u e n c e } _ { i } . } \end{array}
\mathcal { F } \left[ \left< u ( t ) ^ { 2 } \right> \right] ( \omega ) = \mathcal { F } \left[ \left< u ( t ) ^ { 2 } \right> \right] _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( \omega ) + \mathcal { F } \left[ \left< u ( t ) ^ { 2 } \right> \right] _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ q ~ } } ( \omega ) \, .
\begin{array} { r } { \int _ { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } ^ { \frac { n _ { 0 } } { \sqrt { n } } } e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { C } } d t \leq \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 0 } } e ^ { - \frac { j ^ { 2 } } { C n } } \leq \int _ { 0 } ^ { \frac { n _ { 0 } } { \sqrt { n } } } e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { C } } d t } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } ( | 0 \rangle ( | f ( 0 ) \oplus 0 \rangle - | f ( 0 ) \oplus 1 \rangle ) + | 1 \rangle ( | f ( 1 ) \oplus 0 \rangle - | f ( 1 ) \oplus 1 \rangle ) )
+ \frac { 2 } { l _ { p } ^ { 2 } } \int _ { S _ { + } } ^ { { } } d ^ { 2 } x \sqrt { \sigma } \left( k - k ^ { 0 } \right) - \frac { 2 } { l _ { p } ^ { 2 } } \int _ { S _ { - } } d ^ { 2 } x \sqrt { \sigma } \left( k - k ^ { 0 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { \pm } \delta \hat { \phi } _ { \pm } - \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { { } = \pm \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { \pm } } \left( \begin{array} { c } { \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \delta \hat { \psi } _ { 0 } } \\ { \Lambda _ { k _ { 0 } ^ { * } } ^ { k _ { z } } \delta \hat { \psi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \delta \hat { \phi } _ { z } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \left( 1 - \frac { \omega _ { * e } } { \omega } \right) _ { 0 } \right] } \end{array}
V ( \sigma ) = \frac { 1 } { D - 2 } \eta N N _ { f } \Omega _ { \mathrm { N D A } } \tilde { c } _ { 0 } ^ { 2 } \Lambda ^ { D } \left( \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) ^ { 1 + 2 \omega ( 1 - \tilde { \nu } ) } ,
\begin{array} { r l } & { η _ { ⊗ } : 𝕍 ( A ; B ⊗ C ) \overset { \lambda \, , \, \rho } { \to } 𝕍 ( A ; I ⊗ B ⊗ I ⊗ C ⊗ I ) \xrightarrow [ ] { φ _ { 0 } } 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ N ⊗ C ⊗ N ) , } \\ & { η _ { I } : 𝕍 ( A ; I ) \xrightarrow [ ] { φ _ { 0 } } 𝕍 ( A ; N ) , } \\ & { η _ { ◁ } : 𝕍 ( A ; B ◁ C ) \overset { \lambda \, , \, \rho } { \to } 𝕍 ( A ; ( I ⊗ B ⊗ I ) ◁ ( I ⊗ C ⊗ I ) ) \xrightarrow [ ] { φ _ { 0 } } 𝕍 ( A ; ( N ⊗ B ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ C ⊗ N ) ) , } \\ & { η _ { N } : 𝕍 ( A ; N ) \xrightarrow [ ] { \mathrm { i d } } 𝕍 ( A ; N ) . } \end{array}
| I _ { 1 } | \, \le \, C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \frac { C \epsilon ^ { 2 } } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, .
\begin{array} { r l } { i \partial _ { z ^ { \prime } } \psi _ { n } ( z ^ { \prime } ) } & { { } \approx - i \gamma _ { n } ^ { \prime } \psi _ { n } ( z ^ { \prime } ) + t _ { 1 } \psi _ { n - 1 } ( z ^ { \prime } ) + t _ { 1 } \psi _ { n + 1 } ( z ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d u + \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u \partial _ { x } u + w \partial _ { z } u + \partial _ { x } p - \nu \partial _ { z z } u ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u ) d W , } \\ & { \partial _ { z } p = 0 , } \\ & { \partial _ { x } u + \partial _ { z } w = 0 , } \\ & { u ( 0 ) = u _ { 0 } , } \end{array}