harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } ) } & { \rightarrow \frac { n } { N } R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } , \bar { n } _ { B } ^ { \prime } ) , } \\ { R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 3 ) } ( \tau , \bar { n } ) } & { \rightarrow \frac { n } { N } R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 3 ) } ( \tau ^ { \prime } , \bar { n } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { u _ { r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial \theta } \chi = \frac { n } { r } \Upsilon ( r ) \, \big [ D \cos ( n \theta ) - C \sin ( n \theta ) \big ] \, e ^ { - \frac { \eta } { \rho } m ^ { 2 } t } \, , } \\ & { u _ { \theta } = - \frac { \partial } { \partial r } \chi = - \Upsilon ^ { \prime } ( r ) \, \big [ C \cos ( n \theta ) + D \sin ( n \theta ) \big ] \, e ^ { - \frac { \eta } { \rho } m ^ { 2 } t } \, . } \end{array}
\Delta _ { \widetilde { \chi } - \widetilde { t } } ^ { b } \simeq \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { A _ { t } t _ { \beta } } { \mu } f ( x _ { \widetilde { t } _ { 1 } } , x _ { \widetilde { t } _ { 1 } } ) ,
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) ) ^ { 2 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { { } = ( \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) ) ^ { 2 } ( y _ { 1 } , \bar { y } _ { 2 } ) + \int _ { \bar { y } _ { 2 } } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } \left( ( \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) ) ^ { 2 } \right) ( y _ { 1 } , z ) \ d z } \end{array}
- 2 i \underline { { { j _ { + } } } } h _ { + } ^ { m } - 2 i m j _ { + } \underline { { { h _ { + } } } } h _ { + } ^ { m - 1 } = - 2 i { \bf d } \left( j _ { + } h _ { + } ^ { m } \right) = 0 \, .
\ell ( \vec { p } , \vec { p } ^ { \prime } ) = \operatorname* { m a x } _ { \vec { p } ^ { \prime } \in \mathcal { P } } \{ { O _ { \mathrm { s i n g } } ( \vec { p } ^ { \prime } ) } \} - O _ { \mathrm { s i n g } } ( \vec { p } ) ,
\small \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } g _ { 2 } ( V , V ) = 2 g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { J F _ { \ast } X } F _ { \ast } X + \mathcal { S } _ { C V } F _ { \ast } X , B V ) - 2 g _ { 2 } \Big ( ( \nabla F _ { \ast } ) ( X , { ^ \ast } F _ { \ast } B V ) + \nabla _ { X } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X + \nabla _ { V } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X , C V \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L } & { = \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } { \sqrt { \left( r ^ { \prime } ( \varphi ) \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( \varphi ) } } \, d \varphi = \cdots } \\ & { = a \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } { \frac { \sqrt { 1 + \varphi ^ { 2 } } } { \varphi ^ { 2 } } } \, d \varphi } \\ & { = a \left[ - { \frac { \sqrt { 1 + \varphi ^ { 2 } } } { \varphi } } + \ln \left( \varphi + { \sqrt { 1 + \varphi ^ { 2 } } } \right) \right] _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } . } \end{array} }
r _ { s } = \mathbf { C o r r _ { p } } ( R ( \biguplus _ { i = 1 } ^ { M = 4 0 } ( \| x _ { i } \| _ { 0 } ) ) , R ( \biguplus _ { i = 1 } ^ { M = 4 0 } ( \| x _ { i } \| _ { 0 } ) ) ) ,
\begin{array} { r l } { i } & { = { \left\| { \frac { { \partial { \bf { b } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right\| } ^ { 2 } , s = { { \left\| { \frac { { \partial { \bf { b } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } } \right\| } ^ { 2 } } , f = \frac { { \partial { { \bf { b } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } { \bf { b } } ( r , \theta ) , } \\ { k } & { = \frac { { \partial { { \bf { b } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } \frac { { \partial { \bf { b } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } , h = \frac { { \partial { { \bf { b } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } { \bf { b } } ( r , \theta ) . } \end{array}
z { \frac { d } { d z } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } - 1 , a _ { 2 } , \dots , a _ { p } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) + ( a _ { 1 } - 1 ) \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n \geq 1 .
\begin{array} { r l } & { A _ { n } = D _ { n } ( \neq 0 ) , ~ n \geq 0 , } \\ & { K _ { n } = B _ { n } + d _ { n - 1 } A _ { n } = E _ { n } + \sigma _ { n - 1 } D _ { n } = 0 , ~ n \geq 1 } \\ & { X _ { n } = C _ { n } - e _ { n - 2 } A _ { n } = F _ { n } - \tau _ { n - 1 } D _ { n } = 0 , ~ n \geq 2 , } \\ & { G _ { n } = 0 , ~ n \geq 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \mathbf { A } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { V \to 0 } { \frac { \iint _ { \partial V } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { S } } { \iiint _ { V } d V } } } \end{array}
S ( t ) = \frac { E _ { 0 } t } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x } { x ^ { 2 } } e ^ { - E _ { 0 } t / x } \left[ 3 - e ^ { 2 \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } x } - 2 e ^ { - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } x } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } g ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) } { \partial \beta _ { k } ^ { 2 } } } & { = - \frac { \frac { 2 } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } - \frac { 2 \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \frac { 2 \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } { ( \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } ) ^ { 2 } \ln 2 } - \frac { 2 } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \ln 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { K N } } = } & { { } } & { \kappa _ { \mathrm { T h } } \left\{ \frac { 1 + \gamma } { \gamma ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 ( 1 + \gamma ) } { 2 \gamma + 1 } - \frac { 1 } { \gamma } \ln ( 2 \gamma + 1 ) \right] \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { I I , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) = } & { G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) [ S _ { X X } \left( \omega _ { n } \right) + S _ { P P } \left( \omega _ { n } \right) } \\ & { + \underbrace { 1 + S _ { I _ { X } I _ { X } , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) + S _ { I _ { P } I _ { P } , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) } _ { = 2 N _ { \mathrm { a d d } } } ] , } \end{array}
M _ { b } = \int _ { 0 } ^ { \infty } M _ { \lambda , b } d \lambda = \int _ { 0 } ^ { \infty } \pi L _ { \lambda , b } d \lambda = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \pi c _ { 1 } } { \lambda ^ { 5 } \left[ e ^ { \frac { c _ { 2 } } { \lambda T } } - 1 \right] } d \lambda \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { N ( 0 , l - k , t + 1 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { N ( 0 , l - k , t ) + 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma \leq \frac { k } { l } \leq 1 - \gamma \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } \ } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h } { \partial t } + \frac { \partial } { x } \left( ( H + h ) u \right) + \frac { \partial } { \partial y } } & { { } \left( ( H + h ) v \right) = 0 \ ; } \\ { \frac { \partial u } { \partial \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial x } + v \frac { \partial u } { \partial y } - f v = - g \frac { \partial h } { \partial x } - } & { { } k u + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \right) ; } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + u \frac { \partial v } { \partial x } + v \frac { \partial v } { \partial y } - f v = - g \frac { \partial h } { \partial y } - } & { { } k v + \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { a } _ { K } } & { = \frac { 1 } { N } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } a _ { K } \right) , } \\ { \bar { b } _ { K } } & { = \frac { 1 } { N } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \left( a _ { K } + b _ { K } \right) } { 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } a _ { K } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< \nabla f \right> _ { i } } & { = \mathbf { B } _ { i } \cdot \sum _ { j \in I } ( f _ { i } - f _ { j } ) W _ { i j } \mathbf { r } _ { i j } , } \\ { \left< \nabla ^ { 2 } f \right> _ { i } } & { = 2 d \frac { \sum _ { j \in I } ( f _ { j } - f _ { i } ) W _ { i j } \left( 1 - \mathbf { r } _ { i j } \cdot \mathbf { o } _ { i } \right) } { \sum _ { j \in I } \lVert \mathbf { r } _ { i j } \rVert ^ { 2 } W _ { i j } \left( 1 - \mathbf { r } _ { i j } \cdot \mathbf { o } _ { i } \right) } , } \end{array}
Z _ { N _ { s } } \sim \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \mathrm { d } \varepsilon _ { S } \; e ^ { - \beta \bar { F } } } = e ^ { - \beta \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ) } \sqrt { \frac { 2 \pi } { \beta \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ) } } ,
( m _ { a } ) _ { \mathrm { D F S Z } } \leq \frac { 1 0 ^ { - 2 } } { X _ { 2 } } \mathrm { e V } ~ ; ~ ~ ~ ( m _ { a } ) _ { \mathrm { K S V Z } } \leq \frac { 0 . 2 7 } { K _ { a \gamma \gamma } } \mathrm { e V } ~ .
\vec { P } ( \vec { \nu } , \{ J \} ) = { \cal I } ( \vec { \nu } , \{ J \} ) - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \sum _ { \mu = 1 } ^ { h _ { j } ^ { ( a ) } } L G _ { a 1 } ^ { - 1 } \delta _ { j 1 } .
\frac { \partial } { \partial \pi ^ { 2 } ( s , a ) } \mathcal L ( \pi ^ { 2 } ) = \sum _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { t - 1 } \left( \frac { \mathbb E [ \mathbf 1 _ { a _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } = a } | \mathcal F _ { t } ^ { 1 } \vee \widehat { \pi } _ { t } ^ { 2 , \ell } ] \mathbf 1 _ { s _ { t ^ { \prime } } = s } } { \pi ^ { 2 } ( s , a ) } + \lambda ( s ) \right) = 0 \ ,
\begin{array} { r l r } { \xi _ { j } ^ { i + 1 } = } & { { } } & { a r g \operatorname* { m i n } _ { \xi _ { j } } \left( g _ { 1 : i } - \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \xi _ { j } ^ { k } \right) \xi _ { j } + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 } } \end{array}
\mathscr { U } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) = \exp _ { + } \left( - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \! \! \! \mathscr { L } _ { 0 } ( \tau ) \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \tau \right) .
V = g \int \! d x _ { + } d ^ { 2 } x _ { \! \perp } \ \widetilde J _ { a } ^ { \mu } \widetilde A _ { \mu } ^ { a } , \qquad \mathrm { w i t h } \quad \widetilde J _ { a } ^ { \nu } ( x ) = \overline { { { \widetilde \Psi } } } \gamma ^ { \nu } T ^ { a } \widetilde \Psi + f ^ { a b c } \partial ^ { \mu } \widetilde A _ { b } ^ { \nu } \widetilde A _ { \nu } ^ { c } ,
\begin{array} { r l } { \hat { V } ( R , \theta ) } & { { } = \sum _ { L } P _ { L } ( \cos \theta ) \times \Big [ V _ { L } ^ { ( 0 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 2 } V _ { L } ^ { ( 1 2 ) } ( R ) } \\ { + } & { { } \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 1 3 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 2 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 2 3 ) } ( R ) + V _ { L } ^ { ( 3 b ) } ( R ) \Big ] , } \end{array}
T r ( W [ { \cal C } ] ) = T r ( e ^ { - \oint _ { \cal C } A _ { \ 2 } ^ { 0 } ( x ^ { 2 } ) T _ { 0 } d x ^ { 2 } } ) = T r ( e ^ { \oint _ { \cal C } \frac { 4 \pi } { k } J ^ { 0 } ( x ^ { 2 } ) T _ { 0 } d x ^ { 2 } } ) = 2 \cos ( { \frac { 2 \pi J _ { 0 } ^ { 0 } } { k } } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { H = \sum _ { q } \hbar \omega _ { q } a _ { q } ^ { \dagger } a _ { q } + \hbar \sum _ { n , q } \frac { g _ { n } ^ { q } } { 2 } \sigma _ { n } ^ { x } ( a _ { q } + a _ { - q } ^ { \dagger } ) + \frac { \hbar \Delta } { 2 } \sum _ { n } \sigma _ { n } ^ { z } } \\ & { } & { \omega _ { q } = \omega _ { 0 } - \frac { 2 J } { \hbar } \cos q b , \; \; g _ { n } ^ { q } = \frac { g e ^ { i q n b } } { \sqrt { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( a ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { 2 \pi i x } , b ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { - 2 \pi i x } ) = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( a ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { 2 \pi i x } ) ^ { m ( m + 1 ) / 2 } ( b ^ { ( 1 / 9 ) } e ^ { - 2 \pi i x } ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { m ( m + 1 ) } { 1 8 } } b ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 1 8 } } e ^ { 2 \pi i m x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m ^ { - p } \mathbb { E } | X | ^ { p } } & { = } & { p \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { p - 1 } \mathrm { P } \left( \frac { 1 } { m } | X | \geq u \right) d u } \\ & { \leq } & { p \int _ { 0 } ^ { a _ { m } ^ { m } / a _ { m - 1 } ^ { m - 1 } } u ^ { p - 1 } e ^ { - u ^ { m } / a _ { m } ^ { m } } d u + p \sum _ { n = 2 } ^ { m - 1 } \int _ { a _ { m - n + 2 } ^ { m - n + 2 } / a _ { m - n + 1 } ^ { m - n + 1 } } ^ { a _ { m - n + 1 } ^ { m - n + 1 } / a _ { m - n } ^ { m - n } } u ^ { p - 1 } e ^ { - u ^ { m - n + 1 } / a _ { m - n + 1 } ^ { m - n + 1 } } d u } \\ & { } & { + p \int _ { a _ { 2 } ^ { 2 } / a _ { 1 } } ^ { \infty } u ^ { p - 1 } e ^ { - u / a _ { 1 } } d u } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { m } p a _ { m } ^ { p } \Gamma ( p / m ) + \sum _ { n = 2 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { n } p a _ { n } ^ { p } \Gamma ( p / n ) + p a _ { 1 } ^ { p } \Gamma ( p ) } \\ & { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { n } p a _ { n } ^ { p } \Gamma ( p / n ) } \\ & { \leq _ { 1 } } & { \sum _ { n = 1 } ^ { m } m a _ { n } f _ { n } ( p ) p ^ { 1 / n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = \dot { \mathrm { H } } _ { { \mathfrak { t } } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \oplus \dot { \mathrm { H } } _ { \gamma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
T = - \frac { \rho } { 4 \pi } \underset { i \neq j } { \sum _ { i } \sum _ { j } } \, \Gamma _ { i } \Gamma _ { j } \ln r _ { i j } - \frac { \rho } { 4 \pi } \left( \sum \Gamma _ { i } ^ { 2 } \right) \ln \epsilon + \frac { \rho } { 4 \pi } \left( \sum \Gamma _ { i } \right) ^ { 2 } \ln R , \qquad R \rightarrow \infty , \epsilon \rightarrow 0 ,
{ \cal \gamma } _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { i j } + g ^ { M N } A _ { i M } A _ { j N } } } & { { \; \; \; A _ { i A } \; \; } } \\ { { A _ { j B } } } & { { \; \; \; g _ { A B } \; \; } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \alpha P _ { t t } + \beta P _ { y t } + P _ { x t } - P _ { y y } + P _ { x x x x } + \frac { 3 } { 2 } ( P _ { x } + Q _ { x } ) ^ { 2 } + 3 P ( P _ { x x } + Q _ { x x } ) + H ( P , Q ) } & { = 0 , } \\ { \alpha Q _ { t t } + \beta Q _ { y t } + Q _ { x t } - Q _ { y y } + Q _ { x x x x } + \frac { 3 } { 2 } ( P _ { x } + Q _ { x } ) ^ { 2 } + 3 Q ( P _ { x x } + Q _ { x x } ) - H ( P , Q ) } & { = 0 , } \end{array}
\mathcal { M } ^ { ( n ) } = \frac { ( 1 6 ) ^ { n } m _ { \mathrm { H } } ^ { 4 } } { 4 \cdot 6 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } v _ { n } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { ( p - k ) ^ { 4 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r } { J _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } ( r + 1 ) ^ { p } \widetilde { X } \left( \frac { ( r - 1 ) ^ { 2 } } { ( r + 1 ) ^ { 2 } } | \widetilde { X } \widetilde { u } | ^ { 2 } \right) = \widetilde { X } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( r - 1 ) ^ { p - 2 } ( r - 1 ) ^ { 2 } | \widetilde { X } \widetilde { u } | ^ { 2 } \right) + \frac { p } { 2 } ( r + 1 ) ^ { p - 1 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 2 } | X \widetilde { u } | ^ { 2 } . } \end{array}
Z : ~ E _ { 0 } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } \sqrt { H _ { 0 } + { \frac { 6 4 } { 3 } } \left( M _ { 2 } - M _ { 1 } \right) - 2 8 } , ~ y _ { 0 } = { \frac { 2 } { 3 } } \left( M _ { 2 } - M _ { 1 } \right) - 2
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { H } } _ { m \times n } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { 0 } \right) } & { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { n \varepsilon } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m - 1 \right) \varepsilon } \right) } & { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { m \varepsilon } \right) } & { \cdots } & { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n - 1 \right) \varepsilon } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { T _ { c } / m ( 0 ) = 1 / 2 \ln 2 , } } & { { \mathrm { i f } \ } } & { { \mu _ { c } = 0 } } \\ { { \mu _ { c } / m ( 0 ) = 1 , } } & { { \mathrm { i f } \ } } & { { T _ { c } = 0 } } \end{array}
e ^ { v { \mathbf { a } } \cdot { \mathbf { J } } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } { \sqrt { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } } { \frac { v ^ { \ell } { \lambda ^ { m } } } { \sqrt { ( \ell + m ) ! ( \ell - m ) ! } } } { \mathcal { Y } } _ { \ell } ^ { m } ( { \mathbf { J } } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } } & { = S _ { \mathrm { a } } H _ { 0 } \mathbf { \hat { y } } e ^ { - j \mathbf { k } _ { \mathrm { a } } \cdot \mathbf { r } } } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { a } } } & { = \frac { \eta _ { \mathrm { a } } } { k _ { \mathrm { a } } } \mathbf { H } _ { \mathrm { a } } \times \mathbf { k } _ { \mathrm { a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b , c , d } \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \int _ { - \Omega / 2 } ^ { \Omega / 2 } \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \sum _ { m , l , n , q = - \infty } ^ { \infty } [ v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { Q } ) y } ( \mathbf { k } ) ] _ { m l } } \\ & { \times [ v _ { c d \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \textrm { C } ) x } ( \mathbf { k } ) ] _ { n q } \Bigl \{ \frac { \partial [ G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { R } } ( \mathbf { k } , \omega ^ { \prime } ) ] _ { l n } } { \partial \omega ^ { \prime } } [ G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } , \omega ^ { \prime } ) ] _ { q m } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - [ G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { < } ( \mathbf { k } , \omega ^ { \prime } ) ] _ { l n } \frac { \partial [ G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { \textrm { A } } ( \mathbf { k } , \omega ^ { \prime } ) ] _ { q m } } { \partial \omega ^ { \prime } } \Bigr \} , } \end{array}
\{ f , g \} _ { \kappa } = i \left( \frac { \partial ^ { R } f } { \partial \bar { z } ^ { A } } g _ { \kappa } ^ { { \bar { A } } B } \frac { \partial ^ { L } g } { \partial z ^ { B } } - ( - 1 ) ^ { ( p ( A ) + \kappa ) ( p ( B ) + \kappa ) } \frac { \partial ^ { R } f } { \partial z ^ { A } } g _ { \kappa } ^ { { \bar { A } } B } \frac { \partial ^ { L } g } { \partial \bar { z } ^ { B } } \right) ,
r _ { i } ^ { 2 } = r _ { 0 } ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \alpha _ { i } = \sqrt { Q _ { i } ^ { 2 } + { \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 } } } - { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } , i = 1 , 5 , K .
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { \partial \widetilde { \rho } } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot ( b \widetilde { \rho } ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \cdot \nabla \cdot ( \sigma \sigma ^ { T } \widetilde { \rho } ) , \quad ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times X , } \\ { \widetilde { \rho } ( 0 , x ) } & { = \rho _ { 0 } ( x ) . } \end{array} \right.
{ \frac { d W _ { 1 } } { d t } } = - { \frac { 2 W _ { 1 } } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { q } } } \Bigg [ f _ { u } ^ { m n \dots o p } \left( \lambda _ { t } ^ { 2 ( n + \dots + o ) } \lambda _ { b } ^ { 2 ( m + \dots + p ) } \right) \Bigg ] + \dots \; .
\left\lbrace u , \, v , \, w , \, \tau , \, p \right\rbrace = \left\lbrace U , \, V , \, 0 , \, T , \, - 1 / 2 \right\rbrace + \varepsilon \left\lbrace \widetilde u , \widetilde v , \widetilde w , \widetilde \tau , \widetilde p \right\rbrace e ^ { \mathrm { i } \left( k _ { z } z - k _ { x } t \right) } + \mathrm { c . c . } ,
V ( \varphi , \pi ) = \frac { M _ { \varphi } ^ { 2 } } { 2 } \rho ^ { 2 } + \frac { 8 N _ { c } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } \Gamma ( D / 2 ) } \frac { \lambda _ { D } } { ( 4 - D ) D } \rho ^ { D } \ .
\begin{array} { r l } { A \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) } & { = \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { j _ { d } = 1 } ^ { N _ { d } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) \, } \\ { a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) } & { = \frac { 1 } { \prod _ { k = 2 } ^ { D } N _ { k } } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { n _ { D } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } A \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) \, . } \end{array}
\zeta \dot { { \mathsf { d } } } = e ^ { - { \mathsf { d } } } \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) - \hat { \alpha } ( { \mathsf { d } } ) + \psi ^ { * } \ell ^ { 2 } \triangle { \mathsf { d } } .
\frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } U ( \theta ) = \left( \prod _ { k = j } ^ { n _ { p } - 1 } U _ { k } ( \theta _ { k } ) V _ { k } \right) i A _ { j } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { j - 1 } U _ { k } ( \theta _ { k } ) V _ { k } \right) = i \tilde { A } _ { j } U ( \theta )
\begin{array} { r l } { d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } & { = \underbrace { D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ D G _ { \delta } ^ { - 1 } [ \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { \delta } ) ] , D G _ { \delta } ^ { - 1 } [ \hat { \textbf { \i } } ] ] } _ { = : \mathcal { E } _ { 2 } [ \hat { \textbf { \i } } ] } + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ L [ D G _ { \delta } ( \bar { i } ) ^ { - 1 } [ \hat { \textbf { \i } } ] ] } \\ & { = \mathcal { E } _ { 2 } [ \hat { \textbf { \i } } ] + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ L \circ D { G } _ { \delta } ( \bar { i } ) ^ { - 1 } [ \hat { \textbf { \i } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - \frac { 1 } { 2 } \bigtriangledown _ { i } ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } _ { i } ) \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j > i } ^ { N } \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right| } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { H } _ { 0 } ^ { i } + \hat { H } _ { 2 } = \hat { H } _ { 0 } + \hat { H } _ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { J } = e \left( \int d ^ { 3 } v \, \boldsymbol { v } f - n _ { e } \textbf { u } _ { e } \right) = \textbf { J } _ { k } - e n _ { e } \textbf { u } _ { e } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ( \tau ) } & { { } = } & { \int d E \; e ^ { - E \tau } I m \Pi ( E ) \; = \; \frac { 3 } { 8 m ^ { 2 } } \sum _ { n } 4 \pi | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } \; e ^ { - E _ { n } \tau } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \exp \left( \alpha b ^ { m - n } | \xi ^ { n } | ^ { 2 } \right) \leq \exp \left( 2 \alpha b ^ { m } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \exp \left( 2 \alpha \delta b ^ { m - j + 1 } | \sigma \eta _ { j } | ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } \left( \mathbb { E } \widetilde { M } _ { n } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}