harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x } & { { } = - \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \gamma _ { + } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \sqrt { \mathcal { X } ^ { 2 } + \mathcal { H } ^ { 2 } } } { Z } \times } \end{array}
V \ = \ V _ { 1 } + \gamma _ { 1 5 } \gamma _ { 2 5 } V _ { 3 } + \gamma _ { 1 } ^ { \mu } \gamma _ { 2 } ^ { \nu } ( g _ { \mu \nu } ^ { L L } V _ { 2 } + g _ { \mu \nu } ^ { T T } U _ { 4 } + \frac { x _ { \mu } ^ { T } x _ { \nu } ^ { T } } { x ^ { T 2 } } T _ { 4 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { W _ { \alpha } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } , z ) } & { { } = \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 6 \beta ^ { 8 } \lvert A \rvert ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } e ^ { - \frac { ( \sin { \alpha } + i \cos { \alpha } ) } { 4 \beta ^ { 2 } A \sigma ^ { 2 } } r _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { - } & { { } \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } A + r _ { 2 } ^ { 2 } A ^ { * } + ( A + A ^ { * } ) ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) } { 4 \lvert A \rvert ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { x c , P B E } } ^ { \mathrm { n a d , O A } } [ { \bf n } ] = S [ { \bf n } ] E _ { \mathrm { x c , P B E } } ^ { \mathrm { n a d } } , } \\ { S [ { \bf n } ] = \mathrm { e r f } \left[ \frac { C } { N _ { b } } \int d { \bf r } \left( n _ { A } ( { \bf r } ) n _ { B } ( { \bf r } ) \right) ^ { p } \right] , } \end{array}
\mathfrak { C } _ { g , n } ( H ) : = \mathrm { V e c t } _ { k } \left\lbrace \begin{array} { l l } { \mathrm { t h e ~ m a t r i x ~ c o e f f i c i e n t s ~ o f ~ t h e ~ m a t r i c e s ~ } \overset { W } { C } - \mathrm { i d } _ { W } } \\ { \quad \: \: \mathrm { f o r ~ a l l ~ f i n i t e ~ d i m e n s i o n a l ~ } H \mathrm { - m o d u l e s \ } W } \end{array} \right\rbrace .
s _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \ln p _ { i , j } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ o ~ u ~ t ~ c ~ o ~ m ~ e ~ } = \mathrm { ~ y ~ e ~ s ~ } } \\ { - \ln ( 1 - p _ { i , j } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ o ~ u ~ t ~ c ~ o ~ m ~ e ~ } = \mathrm { ~ n ~ o ~ } } \end{array} \right. \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } } { V _ { n } ( x ) \notin \mathcal K ^ { \ell } } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } & { = \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } } { V _ { n } ( x ) ( X \setminus \Gamma _ { \ell } ) \geq 1 / \ell } } \exp S _ { n } \phi ( x ) = \sum _ { \stackrel { x \in E _ { n } } { \exp \left( \ell ^ { 2 } n V _ { n } ( x ) ( X \setminus \Gamma _ { \ell } ) \right) \geq e ^ { \ell n } } } \exp S _ { n } \phi ( x ) } \\ & { \leq \frac { 2 ^ { n } n e ^ { \gamma _ { 0 } n } } { 1 - 4 \delta _ { \ell } } e ^ { - 2 \ell n } \sum _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { 2 \ell ^ { 2 } m } ( 4 \delta _ { \ell } ) ^ { m } \leq 2 ^ { n } n e ^ { \gamma _ { 0 } n } e ^ { - 2 \ell n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { m n } = \langle | J _ { m n } | ^ { 2 } \rangle } & { { } = \iiiint \langle E ( \vec { \rho } ) E ^ { * } ( \vec { \rho } ^ { \prime } ) \rangle \psi ( \vec { \rho } - \vec { r } ) \psi ^ { * } ( \vec { \rho } ^ { \prime } - \vec { r } ^ { \prime } ) \phi _ { m n } ^ { * } ( \vec { r } ) \phi _ { m n } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \ \mathrm { d } \vec { \rho } \mathrm { d } \vec { \rho } ^ { \prime } \mathrm { d } \vec { r } \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 2 0 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 + 3 \cos 2 \theta \Big ) C _ { 2 0 } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) - 3 \sin ^ { 2 } \theta \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { C _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { \cos \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + 2 \sin \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { C _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin ^ { 2 } \theta \, C _ { 2 0 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 3 + \cos 2 \theta \Big ) \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { S _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 \theta \, C _ { 2 0 } + \cos 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) - \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { S _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sin \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + \cos \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \theta } } & { = \frac { ( 3 \rho T + \rho | U | ^ { 2 } ) \theta + 3 ( 1 - \theta ) - \rho _ { \theta } | U _ { \theta } | ^ { 2 } } { 3 \rho _ { \theta } } \leq \frac { \theta C _ { q } M _ { 0 } + 3 ( 1 - \theta ) } { 3 C _ { 0 } e ^ { - \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } } \leq C _ { q } M _ { 0 } e ^ { \nu _ { f _ { 0 } } ^ { m a x } t } . } \end{array}
\frac { d ^ { l } } { d x ^ { l } } \left\{ G _ { n } ^ { ( m ) } - \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) d t - \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } x ^ { \sigma _ { k } } f ^ { ( k ) } ( x ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \beta _ { i , k } } { x ^ { i } } \right\} = 0 , \quad l = 0 , 1 , \cdots , m n ,
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 _ { 1 } 0 _ { 2 } } } & { { } = } & { P _ { 1 _ { 1 } 1 _ { 2 } } = \langle \psi | \hat { P } _ { 0 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 0 _ { 2 } } | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { P } _ { 1 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 1 _ { 2 } } | \psi \rangle } \\ { P _ { 0 _ { 1 } 1 _ { 2 } } } & { { } = } & { P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } = \langle \psi | \hat { P } _ { 0 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 1 _ { 2 } } | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { P } _ { 1 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 0 _ { 2 } } | \psi \rangle } \end{array}
\theta _ { \mathrm { { B R } } } = \delta ^ { - 1 } \psi _ { \mathrm { { B R } } } = \delta ^ { - 1 } \left( \frac { z _ { c } \beta _ { 2 } x _ { \mathrm { { R } } } ^ { 2 } } { 2 } + A _ { 0 } x _ { \mathrm { { R } } } + c - \delta \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } x _ { \mathrm { { R } } } \right)
\Delta G _ { i j } ^ { \mathrm { ~ F ~ I ~ S ~ H ~ } } = - k _ { B } T \ln \frac { \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \mathrm { d } r _ { i j } P ( r _ { i j } ) } { \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \mathrm { d } r _ { i j } Q ( r _ { i j } ) } ~ .
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { 0 , } \\ { B } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { - 1 . 0 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 0 . 5 2 } \end{array} \right) , } \\ { f ( x , y ) } & { = } & { - 1 . 0 2 x y _ { 1 } - 8 . 1 6 x y _ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { g ( x , y ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l } { 0 . 7 6 5 x ^ { 2 } + 0 . 0 1 9 8 x y _ { 1 } - 1 . 0 4 y _ { 1 } ^ { 2 } - 5 . 1 x y _ { 2 } + 4 . 1 2 y _ { 1 } y _ { 2 } - 4 . 2 8 4 y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { 4 . 3 7 4 8 x y _ { 2 } + 0 . 4 8 y _ { 1 } y _ { 2 } - 1 . 0 6 2 y _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { b ^ { \prime } + { \frac { z ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { b ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } f ^ { \prime } \bar { f } ^ { \prime } - { \frac { i \omega ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { b ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ( f \bar { f } ^ { \prime } - \bar { f } f ^ { \prime } ) - { \frac { \omega ^ { 2 } z | f | ^ { 2 } } { b ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { = } & { f ^ { \prime \prime } - { \frac { z ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { b ^ { 2 } ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } f ^ { 2 } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 } { ( 1 - | f | ^ { 2 } ) } } \left( 1 - { \frac { i \omega ( b ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) } { 2 b ^ { 2 } ( 1 - | f | ^ { 2 } ) } } \right) \bar { f } f ^ { 2 } } \\ & { } & { + { \frac { i \omega ( b ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } ) } { b ^ { 2 } ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } f f ^ { \prime } \bar { f } ^ { \prime } + { \frac { 2 } { z } } \left( 1 + { \frac { i \omega z ^ { 2 } ( 1 + | f | ^ { 2 } ) } { ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ( 1 - | f | ^ { 2 } ) } } \right. } \\ & { } & { + \left. { \frac { \omega ^ { 2 } z ^ { 4 } | f | ^ { 2 } } { b ^ { 2 } ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ( 1 - | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right) f ^ { \prime } + { \frac { \omega ^ { 2 } z } { b ^ { 2 } ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } f ^ { 2 } \bar { f } ^ { \prime } + } \\ & { } & { { \frac { 2 i \omega } { ( b ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } } \left( \frac { 1 } { 2 } - { \frac { i \omega ( 1 + | f | ^ { 2 } ) } { 2 ( 1 - | f | ^ { 2 } ) } } \right. - \left. { \frac { \omega ^ { 2 } z ^ { 2 } | f | ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } ( - 1 + | f | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right) f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \Bigl \{ 1 + \frac { 1 } { z } \, \Bigl ( \frac { v } { w _ { u , r , \theta } } \Bigr ) ^ { \beta } \Bigr \} ^ { - 1 } \, v \, \mathrm { d } v } & { = \frac { w _ { u , r , \theta } ^ { 2 } \, z ^ { 2 / \beta } } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { 2 / \beta - 1 } } { 1 + t } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { \pi \, w _ { u , r , \theta } ^ { 2 } \, z ^ { 2 / \beta } } { \beta } \, \csc \frac { 2 \pi } { \beta } . } \end{array}
{ \frac { \partial u } { \partial t } } = \alpha \nabla ^ { 2 } u = \alpha \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } } & { { } = \mu _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \sum _ { i , j } \sum _ { k } \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } } { \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } + i \Omega \Gamma _ { i j k } } A _ { i } B _ { j } ^ { * } } \end{array}
< \phi ^ { a } ( x ) \phi ^ { b } ( y ) > = \left\{ \begin{array} { c c } { { C } } & { { \mathrm { ~ M | x - y | > \ m u ~ } } } \\ { { - \frac { \delta ^ { a b } } { \pi ^ { 2 } } \log [ M | x - y | ] + K } } & { { \mathrm { ~ M | x - y | < \ m u ~ } } } \end{array} \right.
\mathbf { A } = ( 1 , 1 , 1 , 0 ) = ( D _ { \alpha } = 1 \ensuremath { \, \mathrm { m ^ { 2 } / s } } , ~ t _ { \mathrm { ~ T ~ Q ~ } } = 1 \ensuremath { \, \mathrm { m s } } , ~ n _ { e 1 } = n _ { e 0 } , ~ n _ { \mathrm { ~ N ~ e ~ 1 ~ } } = 0 )
\int \csc ^ { n } { a x } \, d x = - { \frac { \csc ^ { n - 2 } { a x } \cot { a x } } { a ( n - 1 ) } } \, + \, { \frac { n - 2 } { n - 1 } } \int \csc ^ { n - 2 } { a x } \, d x \qquad { \mathrm { ~ ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
U _ { k + 1 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \gamma _ { k } U _ { k } + { \frac { 1 } { \gamma _ { k } } } \left( U _ { k } ^ { * } \right) ^ { - 1 } \right) , \qquad k = 0 , 1 , 2 , \ldots
\begin{array} { r l } { \mathfrak { f } _ { S } ( \alpha ) } & { = \nu _ { \alpha } ( J _ { 0 } ) } \\ & { = 1 - \nu _ { \alpha } ( J _ { - 1 } ) - \nu _ { \alpha } ( J _ { 1 } ) } \\ & { = 1 - \int _ { - 1 } ^ { - 1 / \beta } f _ { \alpha } ( x ) d \lambda ( x ) - \int _ { 1 / \beta } ^ { 1 } f _ { \alpha } ( x ) d \lambda ( x ) } \\ & { = 1 - \frac 2 C \sum _ { t = 0 } ^ { m - 1 } \left( \int _ { - 1 } ^ { - 1 / \beta } \frac 1 { \beta ^ { t + 1 } } 1 _ { [ S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 - \alpha ) , S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 ) ) } ( x ) d \lambda ( x ) + \int _ { 1 / \beta } ^ { 1 } \frac 1 { \beta ^ { t + 1 } } 1 _ { [ S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 - \alpha ) , S _ { \alpha } ^ { t } ( 1 ) ) } ( x ) d \lambda ( x ) \right) . } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \alpha n ^ { 2 } } = - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { \frac { \pi } { \alpha } } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } / \alpha }
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { ~ S ~ r ~ / ~ C ~ s ~ } } ^ { ( n ) } \approx d _ { m _ { e } } ^ { ( n ) } - d _ { g } ^ { ( n ) } + 0 . 0 7 ( d _ { q } ^ { ( n ) } - d _ { g } ^ { ( n ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { x } ^ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } } & { { } = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 1 } ( E _ { 1 x } E _ { 2 z } + E _ { 1 z } E _ { 2 x } ) - d _ { 2 2 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 x } + E _ { 1 x } E _ { 2 y } ) ] , } \\ { P _ { y } ^ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } } & { { } = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 1 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 z } + E _ { 1 z } E _ { 2 y } ) + d _ { 2 2 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 y } - E _ { 1 x } E _ { 2 x } ) ] , } \\ { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } } & { { } = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 3 } E _ { 1 z } E _ { 2 z } + d _ { 3 1 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 y } + E _ { 1 x } E _ { 2 x } ) ] , } \end{array}
c _ { - } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { C _ { - } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad c _ { + } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { C _ { + } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { k ( t ) } & { { } \equiv \mathcal { F } ^ { - 1 } \{ \tilde { g } _ { \ell \to x } ( \omega ) \} = \kappa N f ( 1 - f ) ( 1 - p ) X _ { \mathrm { T } } \frac { 1 } { 1 - { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( \frac { 1 } { { \tau _ { \mathrm { m } } } } e ^ { - \tau / { \tau _ { \mathrm { m } } } } - \frac { 1 } { { \tau _ { \mathrm { r } } } } e ^ { - \tau / { \tau _ { \mathrm { r } } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { e } \rangle = | \varphi , e \rangle } & { + \sum _ { q } \Big \{ \frac { | \phi _ { q } ^ { + } \rangle | g \rangle \langle g | \langle \phi _ { q } ^ { + } | \hat { H } _ { I } | \varphi , e \rangle } { \omega _ { e } - \omega _ { q } ^ { + } } } \\ & { + \frac { | \phi _ { q } ^ { - } \rangle | g \rangle \langle g | \langle \phi _ { q } ^ { - } | \hat { H } _ { I } | \varphi , e \rangle } { \omega _ { e } - \omega _ { q } ^ { - } } \Big \} + O ( g ^ { 3 } ) , } \end{array}
\gamma = \frac { \rho _ { p } } { \rho } = \frac { \frac { \pi } { 4 } D _ { p } ^ { 2 } H _ { p w } } { \frac { \pi } { 4 } D _ { p } ^ { 2 } H _ { p } } = \frac { H _ { p w } } { H _ { p } } = \phi .
\begin{array} { r } { 0 = b ^ { ( 1 ) } \sigma + a _ { 2 2 } p ^ { ( 1 ) } + a _ { 2 3 } p ^ { ( 2 ) } + a _ { 2 4 } p ^ { ( 3 ) } \, , } \\ { 0 = y b ^ { ( 1 ) } \sigma + a _ { 2 3 } p ^ { ( 1 ) } + x a _ { 2 2 } p ^ { ( 2 ) } + a _ { 3 4 } p ^ { ( 3 ) } \, . } \end{array}
\rho _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \int \mathrm { d } \mathbf r \mathrm { { e } } ^ { i ( \mathbf G - \mathbf q ) \cdot \mathbf r } \phi _ { p \mathbf k _ { r } + \mathbf q } ^ { \ast } ( \mathbf { r } ) \phi _ { r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf { r } )
p | p ^ { \prime } \rangle = \int d q ^ { \prime } | q ^ { \prime } \rangle \left[ i \hbar \delta ( q ^ { \prime } - q ^ { \prime \prime } ) \langle q ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } \rangle \right] | _ { q ^ { \prime \prime } = - \infty } ^ { q ^ { \prime \prime } = + \infty } - \int d q ^ { \prime } \int d q ^ { \prime \prime } | q ^ { \prime } \rangle \left[ \frac { \partial } { \partial q ^ { \prime \prime } } \langle q ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } \rangle \right] [ i \hbar \delta ( q ^ { \prime } - q ^ { \prime \prime } ) ]
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( \gamma ) } \\ { \sin ( \gamma ) \cos \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \\ { \sin ( \gamma ) \sin \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M \mathbb { E } \underline { { \mathrm { S I N R } _ { 1 } } } \underline { { \mathrm { E S N R } _ { i n , 1 } } } \xrightarrow [ ] { M \rightarrow \infty } \mathbb { E } ( a _ { 1 } a _ { 5 } V _ { A _ { 1 } } + a _ { 2 } a _ { 5 } V _ { A _ { 1 } , B _ { 1 } } } \\ & { + a _ { 1 } a _ { 4 } V _ { A _ { 1 } , G _ { 1 } } + a _ { 3 } a _ { 3 } V _ { B _ { 1 } , G _ { 1 } } ) , } \\ & { M \mathbb { E } \underline { { \mathrm { E S N R } _ { e x , 1 } } } \underline { { \mathrm { E S N R } _ { i n , 1 } } } \xrightarrow [ ] { M \rightarrow \infty } \mathbb { E } ( a _ { 3 } a _ { 5 } V _ { A _ { 1 } } + } \\ & { a _ { 4 } a _ { 5 } V _ { A _ { 1 } , E _ { 1 } } + a _ { 3 } a _ { 6 } V _ { A _ { 1 } , G _ { 1 } } + a _ { 4 } a _ { 6 } V _ { E _ { 1 } , G _ { 1 } } ) , } \end{array}
\mathbf { E } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( x , y , 0 ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } _ { \perp } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i ( k _ { x } \, x + k _ { y } \, y ) } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y } .
\nabla \! \cdot \! [ \bar { a } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } ) ) + \bar { b } D ^ { 3 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) ] = \nabla \! \cdot \! [ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } ] \ ,
\hat { \mathbf { x } } _ { 0 \mid t } = \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { y } + ( \mathbf { I } - \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { A } ) \mathbf { x } _ { 0 \mid t } \, = \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \mathbf { A } \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \mathbf { A } \mathbf { x } ) + \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { n } , \quad \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { n } \sim \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \sigma _ { \mathbf { n } } ^ { 2 } \mathbf { I } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le l _ { * , 0 } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \le l _ { * , 0 } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } ( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { j , \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , 1 } } & { \mathrm { i f ~ } \ell = 0 } \\ { a _ { j - 1 , 0 } + \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , 2 } } & { \mathrm { i f ~ } \ell = 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( a _ { j - 1 , \ell - 1 } + a _ { j - 1 , \ell + 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ } 1 < \ell < j } \\ { \frac { 1 } { 2 } a _ { j - 1 , \ell - 1 } } & { \mathrm { i f ~ } \ell = j } \end{array} \right. } \end{array}
+ 2 \beta ( 1 - \beta ) e _ { A \mu } ^ { \perp } e _ { A ^ { \prime } \nu } ^ { * \perp } - 2 \beta ( 1 - \beta ) \left( 1 - ( 1 + \epsilon ) \beta ( 1 - \beta ) \right) e _ { A ^ { \prime } \mu } ^ { * \perp } e _ { A \nu } ^ { \perp } \biggr ] R _ { 1 2 \perp } ^ { \prime \: \mu } R _ { 1 2 \perp } ^ { \nu } ~ ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq L ^ { 2 } \left\Vert \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { = L ^ { 2 } \left( \left\Vert \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } \right\Vert ^ { 2 } + n \left\Vert \bar { x } _ { k } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq n L ^ { 2 } \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + \left\Vert U _ { R } \right\Vert ^ { 2 } L ^ { 2 } \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\overline { { W } } _ { \mathrm { q s } } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { T _ { \mathrm { h } } - T _ { \mathrm { c } } } { T _ { 0 } } \ln \frac { k _ { \mathrm { m a x } } } { k _ { \mathrm { m i n } } }
\left\| | f _ { 1 } | ^ { \theta _ { 1 } } \cdots | f _ { n } | ^ { \theta _ { n } } \right\| _ { p } \leq \left\| | f _ { 1 } | ^ { \theta _ { 1 } } \right\| _ { \frac { p _ { 1 } } { \theta _ { 1 } } } \cdots \left\| | f _ { n } | ^ { \theta _ { n } } \right\| _ { \frac { p _ { n } } { \theta _ { n } } } = \| f _ { 1 } \| _ { p _ { 1 } } ^ { \theta _ { 1 } } \cdots \| f _ { n } \| _ { p _ { n } } ^ { \theta _ { n } } .
\begin{array} { r l } { \eta _ { 1 } } & { = \frac { ( 1 - \theta ) ( 1 + \epsilon _ { \tau } ) \bar { \tau } _ { - 1 } \left( 1 + \frac { \kappa _ { H } } { \zeta } \right) } { \sqrt { \kappa _ { l } \tau _ { \operatorname* { m i n } } } } } \\ { \eta _ { 2 } } & { = \sqrt { ( 1 - \theta ) ^ { 2 } \bar { \tau } _ { - 1 } \left( 1 + \frac { \kappa _ { H } } { \zeta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { ( 1 + \epsilon _ { \tau } ) ^ { 2 } \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } \tau _ { \operatorname* { m i n } } } + \epsilon _ { \tau } \right) + 4 \bar { \tau } _ { - 1 } \left( \frac { 1 + \epsilon _ { \tau } \omega _ { 2 } } { \kappa _ { l } } + \frac { ( 1 - \theta ) ^ { 2 } ( 1 + \epsilon _ { \tau } ) } { \zeta } \right) } } \\ { \eta _ { 3 } } & { = \frac { ( 1 - \theta ) \bar { \tau } _ { - 1 } \left( \bar { \tau } _ { - 1 } \left( 1 + \frac { 3 \kappa _ { H } } { \zeta } \right) + ( 1 - \sigma ) \tau _ { \operatorname* { m i n } } \left( 1 + \frac { \kappa _ { H } } { \zeta } \right) \right) } { ( 1 - \sigma ) \tau _ { \operatorname* { m i n } } \sqrt { \kappa _ { l } \tau _ { \operatorname* { m i n } } } } } \\ { \mathrm { a n d ~ } \eta _ { 4 } } & { = \sqrt { \frac { ( 1 - \theta ) ^ { 2 } \bar { \tau } _ { - 1 } ^ { 2 } \left( \bar { \tau } _ { - 1 } \left( 1 + \frac { 3 \kappa _ { H } } { \zeta } \right) + ( 1 - \sigma ) \tau _ { \operatorname* { m i n } } \left( 1 + \frac { \kappa _ { H } } { \zeta } \right) \right) ^ { 2 } } { ( 1 - \sigma ) ^ { 2 } \tau _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 3 } \kappa _ { l } } + \frac { 4 \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } } + 4 ( 1 - \theta ) ^ { 2 } \left( \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \kappa _ { H } } { \zeta } \right) } { ( 1 - \sigma ) \tau _ { \operatorname* { m i n } } \zeta } + \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } } { \zeta } \right) } } \end{array}
\mathcal { L } \left( \mathbf { r } , t \right) = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r \, \left[ \varepsilon \left( t \right) \mathbf { E } \left( \mathbf { r } , t \right) \cdot \mathbf { E } \left( \mathbf { r } , t \right) - \mu \left( t \right) \mathbf { H } \left( \mathbf { r } , t \right) \cdot \mathbf { H } \left( \mathbf { r } , t \right) \right]
\begin{array} { r l } { \| v _ { 2 } - \check { I } _ { h } v _ { 2 } \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { j } ^ { 1 } ) } + { d _ { j } } ^ { - 1 } \| v _ { 2 } - \check { I } _ { h } v _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { 1 } ) } } & { \leq C d _ { j } ^ { \frac { N } { 2 } - \frac { N } { p _ { 1 } } } \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , p _ { 1 } } ( D _ { j } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C d _ { j } ^ { \frac { N } { 2 } - \frac { N } { q _ { 1 } } } h \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , q _ { 1 } } ( \varOmega ) } } \\ & { \mathrm { f o r ~ s o m e } \, \, \, p _ { 1 } > N \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \frac { N } { q _ { 1 } } = \frac { N } { p _ { 1 } } + 1 , } \end{array}
{ \cfrac { d } { d t } } \left( \int _ { \Omega } \rho ~ \eta ~ { \mathrm { d V } } \right) \geq \int _ { \partial \Omega } \rho ~ \eta ~ ( u _ { n } - \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) ~ { \mathrm { d A } } - \int _ { \partial \Omega } { \cfrac { \mathbf { q } \cdot \mathbf { n } } { T } } ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \Omega } { \cfrac { \rho ~ s } { T } } ~ { \mathrm { d V } } .