harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { J } _ { \mu } ^ { ( \pm ) } \equiv \int d ^ { 3 } x \, j _ { \mu } ^ { ( \pm ) } ( x ) = \sum _ { { \bf k } } \frac { k _ { \mu } } { \omega _ { { \bf k } } } ( a _ { { \bf k } } ^ { \dagger } a _ { { \bf k } } \pm b _ { { \bf k } } ^ { \dagger } b _ { { \bf k } } ) .
\begin{array} { r } { c = \frac { { \hat { c } } _ { \varepsilon } } { \hat { c } _ { \mathrm { \tiny { i n } } } } , \quad \textbf { D } = \frac { { \hat { \mathbf D } } } { D } , \quad \mathbf x = \frac { { \hat { \mathbf x } } } { L } , \quad \mathbf v _ { \varepsilon } = \frac { \hat { \mathbf v } _ { \varepsilon } } { U } , \quad t = \frac { { \hat { t } } } { \tau _ { c } } , \quad p = \frac { { \hat { p } } l ^ { 2 } } { { \nu } U L } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } p ) _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } & { { } \approx \frac { g _ { S } \mu _ { B } B \langle \tau p \rangle } { [ I ] \hbar } \bigg [ - \alpha - \beta + \cos ( \theta ) \bigg ( \mu + \nu } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( k , \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) } & { { } = 2 \left\lceil \frac { 1 6 k } { \sqrt { \pi } \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } W \left( \frac { 5 1 2 } { \pi \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ^ { 2 } e ^ { 2 } } \right) \right] \right\rceil + 1 } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { U ( 1 ) _ { R } : X _ { j } \longrightarrow X _ { j } ^ { \prime } = X _ { j } } } \\ { { \qquad Y _ { j } \longrightarrow Y _ { j } ^ { \prime } = Y _ { j } } } \\ { { \qquad \eta _ { j } ^ { + } \longrightarrow \eta \prime _ { j } ^ { + } = e ^ { i \theta } \eta _ { j } ^ { + } } } \\ { { \qquad \overline { { { \eta } } } _ { j } ^ { + } \longrightarrow \overline { { { \eta } } } \prime _ { j } ^ { + } = e ^ { i \theta } \overline { { { \eta } } } _ { j } ^ { + } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ^ { ( m ) } \equiv ~ } & { \mathcal { H } ( m - 1 . 5 ) W ^ { ( m ) } - \delta _ { m , 2 } \nabla \psi \cdot \nabla \zeta + \mathcal { H } ( m - 2 . 5 ) W ^ { ( m - 2 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { T } ^ { ( m ) } \equiv ~ } & { - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { m , 2 } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } ( m - 1 . 5 ) \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } W ^ { ( n ) } W ^ { ( m - n ) } + } \\ & { ~ ~ \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } ( m - 3 . 5 ) ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { m - 3 } W ^ { ( n ) } W ^ { ( m - n ) } , } \end{array}
H _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { V _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad \Delta H = \left( \begin{array} { l l l } { - 2 k } & { - g } & { 0 } \\ { g } & { 0 } & { - g } \\ { 0 } & { g } & { 2 k } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \left\lVert f \right\rVert _ { C ^ { 1 , \gamma } \left( { \mathbb { R } ^ { 2 } } \right) } } & { \leq C \left\lVert f \right\rVert _ { C ^ { 1 , \gamma } \left( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \right) } , } \\ { \left\lVert \rho _ { n } f \right\rVert _ { C ^ { 1 , \gamma } \left( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \right) } } & { \leq \left\lVert \rho _ { n } f \right\rVert _ { C ^ { 1 , \gamma } \left( { \mathbb { R } ^ { 2 } } \right) } , } \\ { \left| f \right| _ { * } } & { \leq \left\lvert f \right\rvert _ { \circ , n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { - z x \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { - z y \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { z } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { 2 } } } ; } \end{array}
\operatorname { s v } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ a ~ t ~ } } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 3 \, , } & { \tau \geq 1 } \\ { \left( \frac { \tau ^ { 2 } } { 3 } - \tau + 1 \right) \tau \, , } & { \tau < 1 } \end{array} \right. \, ,
\begin{array} { l } { { m _ { c } ^ { 0 } / m _ { t } ^ { 0 } \cong \epsilon ^ { 2 } / 9 , } } \\ { { m _ { s } ^ { 0 } / m _ { b } ^ { 0 } \cong \epsilon \rho / 3 ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \sim \epsilon / 3 , } } \\ { { m _ { \mu } ^ { 0 } / m _ { \tau } ^ { 0 } \cong \epsilon \rho / ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \sim \epsilon , } } \\ { { m _ { \tau } ^ { 0 } \cong m _ { b } ^ { 0 } , \qquad m _ { \mu } ^ { 0 } / m _ { s } ^ { 0 } \cong 3 , } } \\ { { V _ { c b } \cong \epsilon \rho ^ { 2 } / 3 ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \sim \epsilon / 3 . } } \end{array}
\int _ { M } u _ { 1 } ( \Phi ( x , t ) , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { \Phi ( M , t ) } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } = \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 }
\dot { z } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 1 } } \\ { \dot { x } _ { 2 } } \\ { \dot { x } _ { 3 } } \\ { \dot { p } _ { 1 } } \\ { \dot { p } _ { 2 } } \\ { \dot { p } _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { - x _ { 1 } } \\ { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } \\ { - 4 p _ { 2 } } \end{array} \right] = : A _ { 1 } z _ { 1 } .
\mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } = 4 \left[ \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, .
( \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } - \mathcal { P } _ { 0 } ) \bar { f } = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { 0 } ) \bar { \mathcal { S } } ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { 0 } ) \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) ,
U _ { \omega } = \left( \begin{array} { c c c c } { { c _ { \omega } } } & { { s _ { \omega } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { \omega } } } & { { c _ { \omega } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ ,
H _ { \mu \nu } ^ { a b } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a b } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a b } + \frac { 1 } { 2 } f _ { c d e f } ^ { a b } A _ { \mu } ^ { c d } A _ { \nu } ^ { e f } ,
\begin{array} { r l } { ( b - a ) w ( c ) = } & { \; ( b - c ) w ( c ) + ( c - a ) w ( c ) } \\ { \leq } & { \; \int _ { c } ^ { b } w ( x ) \, \mathrm { d } x + ( b - c ) \int _ { c } ^ { b } | w ^ { \prime } ( x ) | \, \mathrm { d } x } \\ & { + \int _ { a } ^ { c } w ( x ) \, \mathrm { d } x + ( c - a ) \int _ { a } ^ { c } | w ^ { \prime } ( x ) | \, \mathrm { d } x } \\ { \leq } & { \; \int _ { a } ^ { b } w ( x ) \, \mathrm { d } x + ( b - a ) \int _ { a } ^ { b } | w ^ { \prime } ( x ) | \, \mathrm { d } x } \end{array}
L _ { 5 } = \frac { 1 } { 2 } b _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 k } \ln \left[ \frac { - k _ { 2 } - k } { k _ { 1 } - k } \cdot \frac { k _ { 1 } + k } { - k _ { 2 } + k } \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { \approx \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) + V _ { 1 } \Delta ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } + \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { + V _ { 2 } N \Omega ^ { 2 } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { 1 } ^ { \prime } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\sin { \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } } \bigg ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } \bigg ( \frac { 2 \pi n t } { T } \bigg ) ^ { ( 2 k + 1 ) } ,
\begin{array} { c } { { H _ { \mu \nu } = K _ { \mu \nu } = i F _ { \mu \nu } I _ { E } , } } \\ { { D _ { \mu } ^ { A } \Phi _ { A } = D _ { \mu } ^ { B } \Phi _ { B } = i E _ { \mu } I _ { E } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ s - } & { \frac { 1 } { \textrm { R e P r } } ( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \Big ] \Big [ s - \frac { 1 } { \textrm { R e } } ( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \Big ] ( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \bar { w } ( k , z , s ) - k ^ { 2 } \textrm { R i } \bar { w } ( k , z , s ) } \\ & { = k ^ { 2 } \left( \frac { g L } { U ^ { 2 } } \right) \hat { \rho } ( k , z , t = 0 ) + \Big [ s - \frac { 1 } { \textrm { R e P r } } ( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \Big ] ( D ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \hat { w } ( k , z , t = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \psi _ { n l m } ^ { \bullet } ( \omega ; \vec { r } ) } & { { } = \Bigl ( \frac { 4 \omega } { \pi } \Bigr ) ^ { 1 / 4 } J _ { l + \frac { 3 } { 2 } } ( \chi _ { n l } ) ^ { - 1 } \frac { \exp \bigl ( - \frac { 1 } { 8 } \omega r ^ { 2 } \bigr ) } { r } } \end{array}
\mathrm { S U } ( 2 ) \ni { \left[ \begin{array} { l l } { \alpha } & { \beta } \\ { - { \overline { { \beta } } } } & { { \overline { { \alpha } } } } \end{array} \right] } \mapsto { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } - { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { { \frac { i } { 2 } } \left( - \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { - \alpha \beta - { \overline { { \alpha } } } { \overline { { \beta } } } } \\ { { \frac { i } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { { \frac { i } { 2 } } \left( \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + { \overline { { \alpha ^ { 2 } } } } + { \overline { { \beta ^ { 2 } } } } \right) } & { - i \left( + \alpha \beta - { \overline { { \alpha } } } { \overline { { \beta } } } \right) } \\ { \alpha { \overline { { \beta } } } + { \overline { { \alpha } } } \beta } & { i \left( - \alpha { \overline { { \beta } } } + { \overline { { \alpha } } } \beta \right) } & { \alpha { \overline { { \alpha } } } - \beta { \overline { { \beta } } } } \end{array} \right] } \in \mathrm { S O } ( 3 ) .
\begin{array} { r l } { ( \mathsf { K } F _ { y } - \mathsf { K } F _ { x } ) ( \psi _ { x } ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } 2 ^ { - \beta n } ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \zeta _ { x } ^ { 2 ( \rho 2 ^ { - n } ) } ) \, + \sum _ { n = N _ { 1 } } ^ { + \infty } 2 ^ { - \beta n } ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \eta _ { x } ^ { 2 } ) } \end{array}
\left[ a _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { 1 } R _ { 1 } } { R _ { 0 } } b _ { 1 } \xi _ { 1 } \right] ^ { 3 } > - \frac { 2 7 } { 4 } \left[ \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { 1 } R _ { 1 } } { R _ { 0 } } a _ { 1 } b _ { 1 } \tilde { \xi } _ { 1 } \right] ^ { 2 } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { s } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi ^ { l } - \phi _ { p } ^ { l } ) } { d t } = - \Delta z ^ { l } F \mathcal { R } _ { l } + I _ { e x } , \mathbb { C } _ { p } \frac { \phi ^ { r } - \phi _ { p } ^ { r } } { d t } = - \Delta z ^ { r } \mathcal { R } _ { r } F - I _ { e x } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , ~ } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega \setminus \Gamma , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { \mathbb Q } \big [ \omega _ { x y } \big ] < \infty \quad \mathrm { a n d } \quad { \mathbb E } _ { \mathbb Q } \big [ \omega _ { x y } ^ { - 1 } \big ] < \infty \ , \qquad d = 1 , 2 \ , } \\ & { { \mathbb E } _ { \mathbb Q } \big [ \omega _ { x y } ^ { p } \big ] < \infty \quad \mathrm { a n d } \quad { \mathbb E } _ { \mathbb Q } \big [ \omega _ { x y } ^ { - q } \big ] < \infty \ , \qquad d \ge 3 \ \ , } \end{array}
[ q \mathbf { v } \times \mathbf { B } ] = \mathrm { C \cdot { \frac { m } { s } } \cdot { \frac { V \cdot s } { m ^ { 2 } } } } = \mathrm { \frac { C \cdot ( J / C ) } { m } } = \mathrm { { \frac { J } { m } } = N }
\begin{array} { r } { \langle \Phi _ { 0 } ^ { * } | ( H e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } T ^ { ( 1 ) } | \Phi _ { 0 } \rangle = - \langle \Phi _ { 0 } ^ { * } | ( H _ { W } e ^ { T ^ { ( 0 ) } } ) _ { l } | \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
m _ { M } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho _ { M } ( r ) r ^ { 2 } d r = \frac { \pi q _ { m } ^ { 3 / 2 } } { 4 \sqrt { 2 } \beta ^ { 1 / 4 } } \approx 0 . 5 6 \frac { q _ { m } ^ { 3 / 2 } } { \beta ^ { 1 / 4 } } .
\begin{array} { r l r } { T _ { c o s } ( t ) = f ( 0 ) + f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) t } & { + } & { \bigg ( \frac { 1 } { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( 0 ) - 2 f ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) t ^ { 2 } } \\ & { + } & { \bigg ( \frac { 1 } { 6 } f ^ { ( 3 ) } f ( 0 ) - 2 f ^ { ( 1 ) } ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) t ^ { 3 } } \\ & { + } & { \bigg ( \frac { 1 } { 2 4 } f ^ { ( 4 ) } ( 0 ) - f ^ { ( 2 ) } \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } f ( 0 ) \bigg ( \frac { \pi n } { T } \bigg ) ^ { 4 } \bigg ) t ^ { 4 } } \\ & { + } & { \cdots , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { x } \\ { p } \end{array} \right) _ { n } = \left( \begin{array} { c c } { \cos \mu } & { \sin \mu } \\ { - \sin \mu } & { \cos \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { x } \\ { p - \lambda x ^ { 2 } } \end{array} \right) _ { n - 1 } .
\begin{array} { r l } { \vert f ( x , v _ { 1 } ) - f ( x , v _ { 2 } ) \vert } & { = \left\vert q _ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 1 } ( x ) v _ { 1 } - q _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ( x ) v _ { 2 } \right\vert } \\ & { \le q _ { 2 } \left\vert v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } \right\vert + | q _ { 1 } ( x ) | \left\vert v _ { 1 } - v _ { 2 } \right\vert } \\ & { = \left[ q _ { 2 } \left\vert v _ { 1 } + v _ { 2 } \right\vert + \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta x + | a | \right) \right] \cdot \left\vert v _ { 1 } - v _ { 2 } \right\vert } \\ & { \le \left[ 2 M q _ { 2 } + \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta N + | a | \right) \right] \left\vert v _ { 1 } - v _ { 2 } \right\vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left. { \bf E } _ { t } \right| _ { z = 0 } = { \bf E } _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } \: , } \\ & { \left. B _ { z } \right| _ { z = 0 } = B _ { z } ^ { \mathrm { o u t } } \: , } \\ & { \left. { \bf B } _ { t } \right| _ { z = 0 } = { \bf B } _ { t } ^ { \mathrm { o u t } } \: , } \\ & { \left. \varepsilon \, E _ { z } \right| _ { z = 0 } = E _ { z } ^ { \mathrm { o u t } } \: . } \end{array}
{ \widehat { \sigma } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { i } x _ { j } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { q } ( \vec { k } , t ) } & { { } = \tilde { \rho } _ { q } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } ( \vec { k } , t ) + \tilde { \rho } _ { q } ^ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \vec { k } , t ) \, . } \end{array}
\frac { d \sigma } { d E _ { e } ^ { \prime } d \Omega _ { e } ^ { \prime } } = \frac { | \vec { p } _ { e } ^ { \, \prime } | } { | \vec { p } _ { e } | } \, \frac { \alpha ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, L ^ { \mu \nu } ( p _ { e } , s _ { e } , q ) \, W _ { \mu \nu } ( p _ { N } , s _ { N } , q ) ,
\centering D O P = \frac { W _ { x y } } { W _ { x x } } = \frac { \tan { \alpha } \left( \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } + 1 + 2 \eta _ { x y } \cos { \psi _ { x } } \sqrt { \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } } \right) } { \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } + 1 + 2 \eta _ { x x } \cos { \psi _ { x } } \sqrt { \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } } }
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \mathbf { F } ^ { T } \mathbf { F } - \mathbf { I } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left\{ ( \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } ) ^ { T } + \mathbf { I } \right\} \left( \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } + \mathbf { I } \right) - \mathbf { I } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } ) ^ { T } + \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } + ( \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } ) ^ { T } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } \mathbf { u } \right] } \end{array} }
I _ { D V C } \left[ A ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] \propto \frac { | \lambda | ^ { 2 } } { 2 ( \Delta E _ { A B } + \omega ^ { B } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { ~ B ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } | ^ { 2 }
\operatorname { s n } ( k , t ) \equiv \left\{ \begin{array} { c c c c l } { \frac { \sin ( \sqrt { k } t ) } { \sqrt { k } } } & { \textrm { f o r } } & { k > 0 } & { \& } & { 0 \leq t \leq \frac { \pi } { \sqrt { k } } } \\ { 0 } & { \textrm { f o r } } & { k > 0 } & { \& } & { \ \, \ \ \ \ t \geq \frac { \pi } { \sqrt { k } } } \\ { t } & { \textrm { f o r } } & { k = 0 } & { \& } & { \ \ \ \ \ \, t \geq 0 } \\ { \frac { \sinh ( \sqrt { - k } t ) } { \sqrt { - k } } } & { \textrm { f o r } } & { k < 0 } & { \& } & { \ \ \ \ \ \, t \geq 0 \ . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sharp \{ \alpha } & { : \mathcal { N } ^ { * } ( 1 0 0 \sqrt { n } q _ { \alpha } ) \geq \operatorname* { m a x } ( N \cdot 2 ^ { - c \log A / \log \log A } , C ) \} } \\ & { \lesssim _ { L } \sharp \{ j : \mathcal { N } ^ { * } ( q _ { j } ^ { \prime } ) \geq \operatorname* { m a x } ( N \cdot 2 ^ { - c \log A / \log \log A } , C ) \} \lesssim A ^ { n - 1 - c _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \Delta _ { c } } ( k _ { x } , k _ { y } ) } & { { } = \exp \bigg ( - \Big ( \frac { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } { 2 4 } \Big ) \Delta _ { F } ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ d ~ } } ( w ) } & { { } = w \Bigg | \! \Bigg | ( 1 + \delta _ { i j } ) ^ { 1 / 2 } \frac { \bar { \omega } _ { i j } } { \langle \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \rangle _ { \{ \alpha \} } } \Bigg | \! \Bigg | _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { t } } & { { } = - \hat { q } _ { x } + \hat { f } , } \\ { \hat { q } _ { t } } & { { } = \left[ \frac { 5 } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } + \left( \frac { 4 } { 7 } - \frac { 5 \cot { \theta } } { 3 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } \right) \partial _ { x } + \frac { 5 } { 6 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } \partial _ { x x x } \right] \hat { h } - \left[ \frac { 5 } { 2 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } + \frac { 3 4 } { 2 1 } \partial _ { x } \right] \hat { q } + \left[ \frac { 1 } { 3 } \right] \hat { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { U } } \mathcal { H } ( X ) \nu _ { B H } ^ { R _ { 0 } } } & { = \int _ { \mathcal { U } } \left. \frac { d } { d t } \nu _ { B H } ^ { R _ { t } } \right\vert _ { t = 0 } = \int _ { \mathcal { U } } \left( \frac { m } { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { \frac { m } { 2 } - 1 } \left. \frac { d } { d t } \lambda _ { t } \right\vert _ { t = 0 } \nu ^ { h _ { 0 } } + \lambda _ { 0 } ^ { \frac { m } { 2 } } \left. \frac { d } { d t } \nu ^ { h _ { t } } \right\vert _ { t = 0 } \right) } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } \left( \frac { m } { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { - 1 } \left. \frac { d } { d t } \lambda _ { t } \right\vert _ { t = 0 } + \Pi _ { X } ^ { h } \right) \nu _ { B H } ^ { R _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { j = 1 } ^ { d } ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) ( 1 - 2 \rho _ { j , 2 } ) | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | } & { \leq \frac { \mathbb { E } [ F ( w ^ { ( 0 ) } ) - F ( w ^ { ( T + 1 ) } ) ] \sqrt { L } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { L } } { 2 \sqrt { T } } } \\ & { \leq \frac { ( F ( w ^ { ( 0 ) } ) - F ^ { * } ) \sqrt { L } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { L } } { 2 \sqrt { T } } . } \end{array}
\int e ^ { i \int \frac 1 4 ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } - A _ { \mu } ^ { \, \times } A _ { \nu } ) ^ { 2 } } \, \Delta ( A ) \, \delta [ \partial _ { \mu } A _ { \mu } ] \, { \cal D } A _ { \mu }
g = g _ { \mu } \mu ^ { - \mathrm { \normalsize ~ \ e p s i l o n ~ } } \left[ 1 + \left( \frac { 1 1 } 3 - \frac 2 3 \frac { n _ { f } } N \right) \frac { \bar { g } _ { \mu } ^ { 2 } } { 2 \epsilon } \right] ~ , \, \, \, \bar { g } _ { \mu } ^ { 2 } = \frac { g _ { \mu } ^ { 2 } N \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + { \epsilon } } } ~ .
D _ { A B } q _ { C } = - u _ { 0 } ^ { * } ( ( q _ { A } ^ { 2 } q _ { B } ^ { 3 } + q _ { B } ^ { 2 } q _ { A } ^ { 3 } ) q _ { C } ^ { 1 } + ( q _ { A } ^ { 3 } q _ { B } ^ { 1 } + q _ { B } ^ { 3 } q _ { A } ^ { 1 } ) q _ { C } ^ { 2 } + ( q _ { A } ^ { 1 } q _ { B } ^ { 2 } + q _ { B } ^ { 1 } q _ { A } ^ { 2 } ) q _ { C } ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { { D } _ { \overline { { i } } } \phi ( t ) } & { { } \simeq \phi \left( { t } + { L } _ { { i } } \right) + \dot { \phi } \left( t + L _ { i } \right) \left( t + L _ { i } \right) \dot { L } _ { i } } \end{array}
\left[ \sigma ^ { \mu \nu } , \sigma ^ { \rho \tau } \right] = i \left( \eta ^ { \tau \mu } \sigma ^ { \rho \nu } + \eta ^ { \nu \tau } \sigma ^ { \mu \rho } - \eta ^ { \rho \mu } \sigma ^ { \tau \nu } - \eta ^ { \nu \rho } \sigma ^ { \mu \tau } \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { R } = \frac { R } { R _ { \mathrm { e n d o } } } , \hat { r } = \frac { r } { R _ { \mathrm { e n d o } } } , \delta = \frac { R - R _ { \mathrm { e n d o } } } { R _ { \mathrm { e n d o } } } , \Delta = \frac { R _ { \mathrm { e p i } } - R _ { \mathrm { e n d o } } } { R _ { \mathrm { e n d o } } } , \hat { V } = \frac { V } { V _ { 0 } } , } \end{array}
[ \delta _ { n m } + { \scriptstyle \sum _ { k } } q _ { n } ^ { k } q _ { m } ^ { k } ] ^ { - 1 } = \delta _ { n m } - \sum _ { k , h = 1 } ^ { K } S _ { k h } \, q _ { m } ^ { h } \, q _ { n } ^ { k } \ .
\begin{array} { r l } { v } & { = \log | \tilde { \Delta } _ { 3 } - \tilde { d } _ { 3 } | - \log | \tilde { \Delta } _ { 2 } - \tilde { d } _ { 2 } | } \\ & { = \log \left| ( \Delta _ { 2 } - d _ { 2 } ) + ( 2 + \sqrt { 3 } ) ( \Delta _ { 3 } - d _ { 3 } ) \right| - \log \left| ( 2 + \sqrt { 3 } ) ( \Delta _ { 2 } - d _ { 2 } ) + ( \Delta _ { 3 } - d _ { 3 } ) \right| } \\ & { = \log \left| \left[ \Delta _ { 2 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 3 } \right] - \left[ d _ { 2 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) d _ { 3 } \right] \right| - \log \left| \left[ ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } \right] - \left[ ( 2 + \sqrt { 3 } ) d _ { 2 } + d _ { 3 } \right] \right| . } \\ & { \in \left[ \log \left| \frac { \left| ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } \right| - \left[ ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } \right] } { \Delta _ { 2 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 3 } + B _ { 2 1 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 3 2 } } \right| , \ \log \left| \frac { \Delta _ { 2 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 3 } + B _ { 2 1 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 3 2 } } { \left| ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } \right| - \left[ ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } \right] } \right| \, \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \hbar \frac { { \partial N ( { \bf { r } } , t ) } } { { \partial t } } = - \frac { { { \hbar ^ { 2 } } } } { { 2 m } } \Delta N ( { \bf { r } } , t ) - e \phi ( { \bf { r } } ) N ( { \bf { r } } , t ) + \mu N ( { \bf { r } } , t ) , } \\ & { \Delta \phi ( { \bf { r } } ) = 4 \pi e \left[ { | N ( { \bf { r } } ) { | ^ { 2 } } - { n _ { 0 } } } \right] , } \end{array}