harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q ^ { * } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) - Q ^ { * } ( \eta _ { k } ) = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { \ \underrightarrow { \mathcal { D } } \ } & { \sum _ { t = 1 } ^ { \widetilde { r } } 2 \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , t } - f _ { t } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widetilde { r } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { \textbf { Z } } = \hat { \textbf { B } } _ { l o c a l } ^ { s } = \bigg [ \frac { < B _ { R } > _ { s } } { | \mathbf { B } _ { s } | } , \frac { < B _ { T } > _ { s } } { | \mathbf { B } _ { s } | } , \frac { < B _ { N } > _ { s } } { | \mathbf { B } _ { s } | } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow - c ( \alpha ) ^ { + } } y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow c ( \alpha ) ^ { - } } y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) = 1 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow 0 ^ { + } } y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) } & { = Y _ { - } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow 0 ^ { - } } y _ { + } ( e ^ { i \theta } ) } & { = Y _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial h } { \partial t } } } & { { } + H \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } + { \frac { \partial v } { \partial y } } \right) = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { { } - f v = - g { \frac { \partial h } { \partial x } } - b u , } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { { } + f u = - g { \frac { \partial h } { \partial y } } - b v . } \end{array}
D _ { i j } = 4 \pi \int d \vec { q } q _ { i } q _ { j } \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s m a l l } } d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } | T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 3 } } | ^ { 2 } n _ { 1 } n _ { 3 } \delta ( \vec { q } \cdot \partial _ { \vec { k } } \omega - \omega _ { 3 } + \omega _ { 1 } ) \delta ( \vec { q } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { D ( T ) } & { = \mathrm { d e t } \left( I - T A _ { 1 } ( f ) \right) , } \\ { D _ { i } ^ { \circ } ( T ) } & { = \mathrm { d e t } \left( I - T A _ { 1 } ( \Sigma _ { i } , f ^ { \overline { { \Sigma } } _ { i } } ) \right) , } \\ { D _ { i } ( T ) } & { = \mathrm { d e t } \left( I - T A _ { 1 } ( \overline { { \Sigma } } _ { i } , f ^ { \overline { { \Sigma } } _ { i } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( t = 0 ) = } & { { } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } ( C _ { 1 } \varepsilon _ { N } + C _ { 0 } ) + \kappa } \\ { = } & { { } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \varepsilon _ { N } + \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } ) + \kappa } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( 2 \kappa + 1 ) ^ { 2 } - 1 ) + \kappa } \end{array}
\langle { \vec { E } } ^ { ( + ) } ( { \vec { r } } , t ) \rangle = { \frac { \omega ^ { 2 } \mu s i n \psi } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } | { \vec { r } } | } } { \hat { x } } \langle \sigma _ { - } ( t - { \frac { | { \vec { r } } | } { c } } ) \rangle
\frac { \partial \hat { e } _ { n } } { \partial C } = \sum _ { j = 0 } ^ { n } \hat { A } _ { j } \frac { \partial \hat { d } _ { n - j } } { \partial C } + \hat { d } _ { n - j } \frac { \partial \hat { A } _ { j } } { \partial C } ,
H ( { \bf k } , t ) = \left\langle T _ { i } \int \frac { | g _ { \bf k } | ^ { 2 } } { F _ { i 0 } } d ^ { 3 } v - \sum _ { a } \frac { n _ { a } e _ { a } ^ { 2 } } { T _ { a } } | \delta \phi _ { \bf k } | ^ { 2 } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { \Lambda } \mathbb { P } [ \Lambda = \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } ] \cdot \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \middle | \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } \right] } \\ { \leq } & { \sum _ { \Lambda } \mathbb { P } [ \Lambda = \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } ] \cdot 2 \beta = 2 \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq \int _ { a } ^ { 0 } \int _ { \gamma \frac { b } { \vert a \vert } ( z - a ) } ^ { \tau - \gamma \frac { b } { \vert a \vert } ( z - a ) } x ^ { \top } ( z , t ) \mathcal { Q } ^ { - } ( z ) x ( z , t ) \, d t \, d z + \int _ { 0 } ^ { b } \int _ { \gamma ( b - z ) } ^ { \tau - \gamma ( b - z ) } x ^ { \top } ( z , t ) \mathcal { Q } ^ { + } ( z ) x ( z , t ) \, d t \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { 0 } F _ { 2 } ( z ) \, d z + \int _ { 0 } ^ { b } F _ { 1 } ( z ) \, d z } \\ & { \leq - a F _ { 2 } ( a ) e ^ { - \kappa a } + b F _ { 1 } ( b ) e ^ { \kappa b } } \\ & { = - a e ^ { - \kappa a } \int _ { 0 } ^ { \tau } x ^ { \top } ( a , t ) \mathcal { Q } ^ { - } ( a ) x ( a , t ) \, d t + b e ^ { \kappa b } \int _ { 0 } ^ { \tau } x ^ { \top } ( b , t ) \mathcal { Q } ^ { + } ( b ) x ( b , t ) \, d t } \\ & { \leq \frac { - a e ^ { - \kappa a } } { m } \int _ { 0 } ^ { \tau } \| \mathcal { Q } ^ { - } ( a ) x ( a , t ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \, d t + \frac { b e ^ { \kappa b } } { m } \int _ { 0 } ^ { \tau } \| \mathcal { Q } _ { 0 } ( b ) x ( b , t ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { = \alpha \, , } \\ { c _ { 4 } } & { = 0 . 3 0 5 8 2 7 \alpha ^ { 3 } \, , } \\ { c _ { 8 } } & { = \alpha ^ { 3 } [ 0 . 0 9 3 5 3 0 4 \alpha ^ { 2 } + 0 . 0 1 3 3 6 1 5 ] \, , } \\ { c _ { 1 2 } } & { = \alpha ^ { 3 } [ 0 . 0 2 8 6 0 4 2 \alpha ^ { 4 } + 0 . 4 3 7 2 3 6 \alpha ^ { 2 } + 0 . 0 0 0 1 8 4 6 4 3 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { e _ { i j } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { : = b _ { i j } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { \equiv S ^ { ( 1 ) } : = a _ { 2 2 } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 2 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { \equiv S ^ { ( 2 , 1 ) } : = a _ { 2 3 } = S ^ { ( 1 , 2 ) } \, , } \end{array}
d ( z ) \! \! = \! \! \left( \! \! q ^ { 2 j - 1 } x _ { + } z \! - \! 2 x _ { 0 } s k q ^ { j } \phantom { \frac { q ^ { j } } { s } } \! \! \! \! \! \! - \! x _ { - } k ^ { 2 } z ^ { - 1 } \! \right) \! \! \left( - q ^ { 2 j } y _ { + } z \! + \! \frac { 2 y _ { 0 } } { t k } q ^ { j } \! \! + q y _ { - } k ^ { - 2 } z ^ { - 1 } \! \right) ,
{ \begin{array} { r l } { a ^ { \prime } } & { = \left\| { \left( \begin{array} { l } { - a } \\ { K - b } \\ { - c } \end{array} \right) } - \left( { \left( \begin{array} { l } { - a } \\ { K - b } \\ { - c } \end{array} \right) } \cdot { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } \right) { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } \right\| } \\ & { = \left\| { \left( \begin{array} { l } { - a } \\ { K - b } \\ { - c } \end{array} \right) } - \left( 0 + { \frac { K - b } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { c } { \sqrt { 2 } } } \right) { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } \end{array} \right) } \right\| } \\ & { = \left\| { \left( \begin{array} { l } { - a } \\ { K - b - { \frac { K - b + c } { 2 } } } \\ { - c + { \frac { K - b + c } { 2 } } } \end{array} \right) } \right\| = \left\| { \left( \begin{array} { l } { - a } \\ { { \frac { K - b - c } { 2 } } } \\ { { \frac { K - b - c } { 2 } } } \end{array} \right) } \right\| } \\ & { = { \sqrt { { ( - a ) } ^ { 2 } + { \left( { \frac { K - b - c } { 2 } } \right) } ^ { 2 } + { \left( { \frac { K - b - c } { 2 } } \right) } ^ { 2 } } } = { \sqrt { a ^ { 2 } + { \frac { { ( K - b - c ) } ^ { 2 } } { 2 } } } } \, . } \end{array} }
\sigma _ { \theta } - \sigma _ { r } \, = \, \sigma _ { y } \, + \, h \left\{ 2 \ln \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) - \frac { 1 - 2 \nu } { E } \left( \sigma _ { r } + \sigma _ { \theta } \right) \right\} .
\begin{array} { r l } { \widetilde { C ^ { t o t } } } & { { } = \widetilde { C ^ { t o t } } ( t + d t ) \quad \widetilde { C _ { 0 } ^ { t o t } } = \widetilde { C ^ { t o t } } ( t ) \quad f ^ { \alpha } = f ^ { \alpha } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert e _ { t } \Vert ^ { 2 } } & { \overset { ( a ) } \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 2 \delta \Vert { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 2 \delta \Vert { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) - { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) + { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert { g } _ { t } ( \theta _ { t } ) - { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 1 6 \delta \Vert \theta _ { t } - \tilde { \theta } _ { t } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } + 1 6 \alpha ^ { 2 } \delta \right) \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + 4 \delta \Vert { g } _ { t } ( \tilde { \theta } _ { t } ) \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } \operatorname { d i v } ( \underline { { d } } \underline { { \sigma } } - \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } \nabla \phi ) \delta \phi \, d \Omega } & { = \int _ { \Omega } ( \underline { { d } } \underline { { \sigma } } - \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } \nabla \phi ) \cdot \nabla \phi \, d \Omega - \int _ { \Gamma _ { 4 } } q _ { 0 } \, \delta \phi \, d \Gamma = 0 . } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d z ~ d \phi } } = { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 s } } \bigg [ ( e _ { i j } + f _ { i j } ) \big ( P _ { i j } ^ { u u } + P _ { i j } ^ { t t } + 2 P _ { i j } ^ { u t } \cos \Delta _ { M o l l e r } \big ) + ( e _ { i j } - f _ { i j } ) \big ( { \frac { t ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } P _ { i j } ^ { u u } + { \frac { u ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } P _ { i j } ^ { t t } \big ) \bigg ] \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { P l a y e r ~ A ~ w i n s ~ s e t } } \mid \mathrm { \textnormal { P l a y e r ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \quad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { P l a y e r ~ A ~ w i n s ~ s e t } } \mid \mathrm { \textnormal { P l a y e r ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) , } \end{array}
\tilde { \phi } _ { k t } = \exp \{ - { \pi } \left| r _ { k t } \right| ^ { 2 } / M \} \exp \Biggl \{ - \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \biggl ( \phi \Bigl ( \Bigl | r _ { t k } \frac { 2 j } { M } + r _ { k t } + ( \zeta _ { j } ^ { k } - \zeta _ { j } ^ { t } ) \Bigr | \Bigr ) - { } \phi \Bigl ( \Bigl | r _ { k t } + ( \zeta _ { j } ^ { k } - \zeta _ { j } ^ { t } ) \Bigr | \Bigr ) \biggr ) \Biggr \} ,
\begin{array} { r l } { \langle x \rangle } & { = - \kappa _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \; | c _ { 1 } ( \epsilon t ^ { \prime } ) | \cos [ \omega t + \varphi _ { 1 } ( \epsilon t ^ { \prime } ) ] + \mathcal { O } ( \kappa _ { 1 } / \omega _ { \mathrm { r e l } } ) } \\ & { = - \kappa _ { 1 } | c _ { 1 } ( 0 ) | t \cdot \cos [ \omega t + \varphi _ { 1 } ( 0 ) ] + \mathcal { O } ( \kappa _ { 1 } / \omega _ { \mathrm { r e l } } , \epsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } ) } & { = \sum _ { I \subseteq [ n ] } \sigma _ { I } ( \mathbf { x } / \eta ) \prod _ { i \in I } ( 1 - ( x _ { i } / \eta ) ^ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { I \subseteq [ n ] } \sigma _ { I } ( \mathbf { x } / \eta ) \prod _ { i \in I } \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } ( \eta ^ { 2 } - x _ { i } ^ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { I \subseteq [ n ] } \eta ^ { - 2 | I | } \cdot \sigma _ { I } ( \mathbf { x } / \eta ) \prod _ { i \in I } ( \eta ^ { 2 } - x _ { i } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\int _ { X } \phi \mathrm { d } \mu + \int _ { Y } \psi \mathrm { d } \nu = \operatorname* { s u p } \left\{ \int _ { X } \phi ^ { \prime } \mathrm { d } \mu + \int _ { Y } \psi ^ { \prime } \mathrm { d } \nu : \begin{array} { r l } & { \phi ^ { \prime } \in C _ { b } ( X ) , \, \psi ^ { \prime } \in C _ { b } ( Y ) , } \\ & { \phi ^ { \prime } ( x ) + \psi ^ { \prime } ( y ) \leq c ( x , y ) \ \forall ( x , y ) \in X \times Y } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { b ^ { 2 } \gamma \frac { d V } { d z } } & { = - \frac { 1 } { \epsilon } \frac { d P } { d z } + b ^ { 2 } \nu \frac { d ^ { 2 } V } { d z ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d T } { d z } } & { = \frac { d ^ { 2 } T } { d z ^ { 2 } } + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( V \frac { d P } { d z } + \epsilon b ^ { 2 } \nu \left( \frac { d V } { d z } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { d Y } { d z } } & { = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } Y } { d z ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { k } ( \nabla u \cdot \nabla \phi ) \| \leq } & { C \sum _ { a + b = k } \| \nabla \partial _ { t } ^ { a } u \| _ { L ^ { 4 } } \| \nabla \partial _ { t } ^ { b } \phi \| _ { L ^ { 4 } } } \\ { \leq } & { C \sum _ { a + b = k } \| \nabla \partial _ { t } ^ { a } u \| ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { a } u \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } \big ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { b } \phi \| ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { b } \phi \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { b } \phi \| \big ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { a + b = k } E _ { a } ^ { \frac { 1 } { 8 } } ( t ) E _ { b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \| \Delta \partial _ { t } ^ { a } u \| ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \\ { \leq } & { \frac { \delta } { 3 } \sum _ { 0 \leq j \leq k } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| + C _ { \delta } \sum _ { 0 \leq j \leq k } E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } , \dots , a _ { p } } \\ { b _ { 1 } , \dots , b _ { q } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { L } { \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma ( b _ { j } - s ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( 1 - a _ { j } + s ) } { \prod _ { j = m + 1 } ^ { q } \Gamma ( 1 - b _ { j } + s ) \prod _ { j = n + 1 } ^ { p } \Gamma ( a _ { j } - s ) } } \, z ^ { s } \, d s ,
Z _ { Y M } \ \approx \ \int [ d A ] [ d Q ] \delta ( F ^ { \pm } ) \operatorname * { d e t } | | { \frac { \delta F ^ { \pm } } { \delta A } } | | \exp \{ \int - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } \ - \ Q _ { \mu } D _ { \nu } F _ { \mu \nu } \ - \, h a l f F _ { \mu \nu } [ Q _ { \mu } , Q _ { \nu } ]
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 1 } } & { = } & { - 2 \left[ 2 \theta + \left( \frac { ( r ^ { 2 } + k ) } { r ^ { 2 } } \sin { 2 \theta } \right) \right] , } \\ { \sigma _ { 2 2 } } & { = } & { 2 \left[ - 2 \theta + \left( \frac { ( r ^ { 2 } + k ) } { r ^ { 2 } } \sin { 2 \theta } \right) \right] , } \\ { \sigma _ { 1 2 } } & { = } & { 2 \left( \frac { ( r ^ { 2 } + k ) } { r ^ { 2 } } \right) \cos { 2 \theta } , } \\ { e _ { 1 1 } } & { = } & { 0 , } \\ { e _ { 2 2 } } & { = } & { \tan { \theta } , } \\ { e _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { \cos { 2 \theta } } { 4 \cos ^ { 2 } { \theta } } , } \\ { \mu } & { = } & { 4 \frac { ( r ^ { 2 } + k ) } { r ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } { \theta } , } \\ { \lambda } & { = } & { - 4 \theta \cot { \theta } - 4 \left( \frac { ( r ^ { 2 } + k ) } { r ^ { 2 } } \right) \cos ^ { 2 } { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \rho \boxtimes _ { s , t } \sigma } ( \vec { u } , \vec { v } ) = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( s ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , s ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma } ( t ^ { - 1 } ( \vec { u } - \vec { u } _ { 1 } ) , t ^ { - 1 } ( \vec { v } - \vec { v } _ { 1 } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( s ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , s ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma _ { 0 } } ( t ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } - t ^ { - 1 } \vec { u } , t ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } - t ^ { - 1 } \vec { v } ) } \\ { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( s ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , s ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) W _ { w ( t ^ { - 1 } \vec { u } , t ^ { - 1 } \vec { v } ) \sigma _ { 0 } w ( t ^ { - 1 } \vec { u } , t ^ { - 1 } \vec { v } ) ^ { \dag } } ( t ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , t ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma _ { \vec { u } , \vec { v } , t } } ( t ^ { - 1 } s \vec { u } _ { 1 } , t ^ { - 1 } s \vec { v } _ { 1 } ) \; , } \end{array}
h _ { p } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { a _ { 2 } } { 8 } + \frac { 1 } { 2 p } \log a _ { 2 } + O \left( \operatorname* { m a x } \{ 1 , \frac { 1 } { p } \log \frac { 1 } { p } \} \right) } & { \textrm { i f } p > 0 , } \\ { - \frac { a _ { 1 } } { 8 } + \frac { 1 } { 2 p } \log a _ { 1 } + O \left( \operatorname* { m a x } \{ 1 , \frac { 1 } { | p | } \log \frac { 1 } { | p | } \} \right) } & { \textrm { i f } p < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { F _ { e e } ( \mathbf { q } , \tau ) = \mathcal { L } \left[ S _ { e e } ( \mathbf { q } , \omega ) \right] = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \textnormal { d } \omega \ e ^ { - \hbar \omega \tau } S _ { e e } ( \mathbf { q } , \omega ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \jmath } } ^ { * } ( \iota _ { V } \mathrm { v o l } _ { \gamma } ) = \mu _ { a } V ^ { a } \mathrm { v o l } _ { \overline { { \gamma } } } , \quad \quad \quad \quad \overline { { \imath } } ^ { * } ( \iota _ { W } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) = \overline { { m } } _ { \overline { { \alpha } } } W ^ { \overline { { \alpha } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { \gamma } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { w } _ { j } : = \left[ \begin{array} { l } { a _ { j } ^ { i } } \\ { b _ { j } ^ { i } } \end{array} \right] _ { 1 \leq i \leq N } \in \mathbb { C } ^ { 2 N } , \quad \forall \, j \, - K \leq j \leq K , } \end{array}
\int x \operatorname { a r t a n h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r t a n h } ( a x ) } { 2 } } - { \frac { \operatorname { a r t a n h } ( a x ) } { 2 a ^ { 2 } } } + { \frac { x } { 2 a } } + C
\begin{array} { r l } & { T _ { ( t ^ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } H _ { i } ^ { - 1 } ( 0 ) } \\ { \supset } & { \mathrm { S p a n } \langle v _ { 1 } , \ldots , v _ { N } , \frac \partial { \partial x _ { 1 } } , \frac \partial { \partial x _ { 2 } } \rangle } \\ { = } & { \mathrm { S p a n } \langle \frac \partial { \partial t _ { 1 } } , \ldots , \frac \partial { \partial t _ { N } } , \frac \partial { \partial x _ { 1 } } , \frac \partial { \partial x _ { 2 } } \rangle } \\ { = } & { T _ { ( t ^ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } ( ( 0 , \delta ) ^ { N } \times F ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 2 E _ { 1 1 } } & { = { \frac { ( d x _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( d X _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( d X _ { 1 } ) ^ { 2 } } } } \\ { E _ { 1 1 } } & { = \left( { \frac { d x _ { 1 } - d X _ { 1 } } { d X _ { 1 } } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { d x _ { 1 } - d X _ { 1 } } { d X _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = e _ { ( \mathbf { I } _ { 1 } ) } + { \frac { 1 } { 2 } } e _ { ( \mathbf { I } _ { 1 } ) } ^ { 2 } } \end{array} }
\phi _ { i } ( t ) = \phi _ { i } + t \dot { \phi _ { i } } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \ddot { \phi _ { i } } + \ldots = \phi _ { i } + \frac { t } { 3 ! } \sum _ { j , k , l } J _ { i j k l } \phi _ { j } \phi _ { k } \phi _ { l } + \frac { 3 } { 2 ( 3 ! ) ^ { 2 } } t ^ { 2 } \sum _ { j , k , l , a , b , c } J _ { i j k l } J _ { j a b c } \phi _ { k } \phi _ { l } \phi _ { a } \phi _ { b } \phi _ { c } + \ldots ~ .
g = g _ { R } g _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { U } } \\ { { - V } } & { { B } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { a \tilde { a } - u \tilde { v } } } & { { a \tilde { u } + u \tilde { b } } } \\ { { - v \tilde { a } - b \tilde { v } } } & { { b \tilde { b } - v \tilde { u } } } \end{array} \right)
\left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( 0 ) } \\ { x _ { 2 } ( 0 ) } \\ { x _ { 3 } ( 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - 0 . 7 5 } \\ { 0 } \\ { 0 . 7 5 } \end{array} \right) \, , \quad w ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 . 1 } & { 0 } \\ { 0 . 1 } & { 1 } & { 0 . 1 } \\ { 0 } & { 0 . 1 } & { 1 } \end{array} \right) \, , \quad w ^ { ( 2 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 . 1 } & { 0 } \\ { 0 . 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) \, .
, f o r a s i n g l e o s c i l l a t o r ( b l u e l i n e ) . I n c o n t r a s t , t h e v a r i a n c e i n t h e d i f f e r e n c e o f t h e a c c u m u l a t e d p h a s e s o f a p a i r o f s y n c h r o n i z e d o s c i l l a t o r s s a t u r a t e s q u i c k l y d e m o n s t r a t i n g t h a t t h e i n t e r a c t i o n s a r e s t r o n g e n o u g h t o s u p p r e s s p h a s e d i f f u s i o n i n t h e s y n c h r o n i z i n g p a i r . T h e s t e a d y - s t a t e P D F o f
\begin{array} { r } { 0 \leq ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \langle n _ { - } \cdot \nabla T \, \rangle _ { \gamma ^ { - } } + \langle \partial _ { 2 } T - u _ { 2 } T \rangle } \end{array}
f _ { i } ^ { e q } = \rho \omega ( { \left| { { { \bf { e } } _ { i } } } \right| ^ { 2 } } ) \left[ { 1 + \frac { { { { \bf { e } } _ { i } } \cdot { \bf { u } } } } { { c _ { s } ^ { 2 } } } + \frac { { { \bf { u u } } : ( { { \bf { e } } _ { i } } { { \bf { e } } _ { i } } - c _ { s } ^ { 2 } ) } } { { c _ { s } ^ { 4 } } } } \right]
\begin{array} { r } { n _ { b } ( \xi , r ) / n _ { 0 } = \left( n _ { b } / n _ { 0 } \right) \, e ^ { - \xi ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { \xi } ^ { 2 } ) } \, e ^ { - r ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } ) } } \end{array}