harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Omega } { \partial t } = } & { { } - \frac { \rho _ { * } ^ { - 1 } } { B } \nabla \cdot \left( \left[ \phi , \mathbf { \omega } _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \right] + 2 \left[ \phi , \mathbf { \omega } _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \right] \right) - \nabla \cdot \left( v _ { \| \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \nabla _ { \| } \mathbf { \omega } _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } + v _ { \| \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \nabla _ { \| } \mathbf { \omega } _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { j } \frac { \partial f } { \partial x _ { j } } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \right\rangle } & { { } = \left\langle \frac { \partial f } { \partial x _ { j } } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \xi _ { j } \right\rangle = \sum _ { m , k = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { k ! } \frac { \partial w _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } } { \partial x _ { j } } \langle f _ { M } \psi _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \xi _ { j } \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int { \overline { { F } } } ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) } & { \approx _ { N \uparrow \infty } \int { \overline { { F } } } ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) { \widehat { p } } _ { b a c k w a r d } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) } \\ & { = { \frac { 1 } { n + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \underbrace { \left[ { \frac { 1 } { N } } , \cdots , { \frac { 1 } { N } } \right] } _ { N { \mathrm { ~ t i m e s } } } \mathbb { M } _ { n - 1 } \mathbb { M } _ { n - 2 } \cdots \mathbb { M } _ { k } { \left[ \begin{array} { l } { f _ { k } ( \xi _ { k } ^ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { f _ { k } ( \xi _ { k } ^ { N } ) } \end{array} \right] } } \end{array} }
G \left( \mathbf { r } ; \bar { \Delta } \right) = { { \left( \frac { 6 } { \pi { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } } \right) } ^ { 1 / 2 } } \exp \left( - \frac { 6 { { \mathbf { r } } ^ { 2 } } } { { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l r l } { N _ { k } } & { { } = 3 4 N _ { k - 1 } - N _ { k - 2 } + 2 , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } N _ { 0 } } & { { } = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } N _ { 1 } = 1 ; } \\ { N _ { k } } & { { } = \left( 6 { \sqrt { N _ { k - 1 } } } - { \sqrt { N _ { k - 2 } } } \right) ^ { 2 } , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } N _ { 0 } } & { { } = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } N _ { 1 } = 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { q ( \lambda ) } & { = \operatorname { p e r m } ( \lambda I _ { 2 } - A ) = \operatorname { p e r m } \! { \left( \begin{array} { l l } { \lambda - 1 } & { - 2 } \\ { - 3 } & { \lambda - 4 } \end{array} \right) } } \\ & { = ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 4 ) + ( - 2 ) ( - 3 ) = \lambda ^ { 2 } - 5 \lambda + 1 0 . } \end{array} }
\rho = 1 + \alpha T , \qquad \Delta \bar { s } _ { W } ^ { 2 } = { \frac { \alpha } { c _ { W } ^ { 2 } - s _ { W } ^ { 2 } } } \left( - c _ { W } ^ { 2 } s _ { W } ^ { 2 } T + { \frac { 1 } { 4 } } S \right) ,
\frac { \mathrm { ~ d ~ } E } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \Omega = \int _ { \Omega } - \frac { u } { 2 } \frac { \partial u ^ { 2 } } { \partial x } + u \nu \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \mathrm { ~ d ~ } \Omega = - \frac { 1 } { 3 } [ u ^ { 3 } ] _ { a } ^ { b } + \nu [ u \frac { \partial u } { \partial x } ] _ { a } ^ { b } - \nu \int _ { \Omega } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \Omega = - \underbrace { \nu \int _ { \Omega } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \Omega } _ { \geq 0 } ,
A _ { \alpha \beta } = - { \frac { i \lambda } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \langle \beta | V ( t _ { 1 } ) | \alpha \rangle e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } ( E _ { \alpha } - E _ { \beta } ) ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } ~ ,
\delta V _ { A } ^ { 2 } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) = \sum _ { k _ { \perp } = k _ { \perp } } ^ { k _ { \perp } \rightarrow \infty } \sum _ { k _ { \parallel } = k _ { \parallel } } ^ { k _ { \parallel } \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { V _ { A } } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } , f _ { s c } ) d f _ { s c }
{ \cal L } _ { f e r } = \bar { \Psi } \left( \begin{array} { c c } { { i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } + \mu \gamma ^ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \gamma ^ { \mu } \tilde { D } _ { \mu } - \mu \gamma ^ { 0 } } } \end{array} \right) \Psi , \qquad \tilde { D } _ { \mu } = \partial _ { \mu } + i g _ { s } A _ { \mu } ^ { A } \left( T ^ { A } \right) ^ { T } .
\Gamma _ { \mathrm { d } } ^ { ( 2 n + 1 ) } [ N _ { \bf p } ^ { l } ] = \int \! d { \cal T } ^ { ( 2 n + 1 ) } \, { \it w } _ { 2 n + 2 } ( { \bf p } , { \bf p } _ { 1 } , \ldots , { \bf p } _ { n } ; { \bf p } _ { n + 1 } , \ldots , { \bf p } _ { 2 n + 1 } ) \, N _ { { \bf p } _ { 1 } } ^ { l } \ldots N _ { { \bf p } _ { n } } ^ { l }
{ \frac { e ^ { \frac { \pi } { 2 } } + e ^ { - { \frac { \pi } { 2 } } } } { \pi e ^ { \gamma } } } = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( e ^ { - { \frac { 1 } { n } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } + { \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } } \right) \right) .
\sum _ { v \in B ( G , \mu ) _ { \mathrm { i n d e c } } } ( 1 - \mathbf { p } ) ^ { \sum _ { i \in \mathbb { S } / \langle \sigma \rangle } \lceil \langle \mu - v , \varpi _ { { \mathcal { O } } _ { i } } \rangle \rceil - \# ( \mathbb { S } / \langle \sigma \rangle ) } \mathbf { p } ^ { \# ( \mathbb { S } / \langle \sigma \rangle ) - \# ( I ( v ) / \langle \sigma \rangle ) } = 1 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { m } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = } & { { } - \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \times \Delta \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } - \alpha \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \times \left( \left( \tilde { h } \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } - \Delta \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } \right) \times \mathbf { e } _ { z } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \cal { H } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { V _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { V _ { 2 } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { V _ { 3 } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { V _ { L } } \end{array} \right) . } \end{array}
F _ { L } = \int _ { \mathcal { D } } \boldsymbol { \omega } \times \boldsymbol { u } \cdot \nabla \phi _ { L } d D + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \int _ { \partial \mathcal { D } } \boldsymbol { \omega } \times \boldsymbol { n } \cdot ( \nabla \phi _ { L } + \boldsymbol { e } _ { y } ) d l ,
< 0 | \phi _ { 1 } ^ { 0 } | 0 > _ { T } \: = \: \frac { \rho _ { 1 } ( z ) } { \sqrt 2 } e ^ { i \theta ( z ) } \, , \qquad < 0 | \phi _ { 2 } ^ { 0 } | 0 > _ { T } \: = \: \frac { \rho _ { 2 } ( z ) } { \sqrt 2 } e ^ { i \omega ( z ) } \, .
\begin{array} { r l } & { | \mathcal { X } _ { i } ( x + \ell ) - \mathcal { X } _ { i } ( x ) | ^ { 2 } = \theta ^ { 2 } { \theta ^ { 2 } } { { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 2 \frac { \theta ^ { 2 } } { { d ( d + 2 ) } } x ( X ) X ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x ) } \\ & { - 2 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X ( x ) X ( x + \ell ) \psi ( x ) } \\ & { - 2 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 2 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { - 2 X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { + \frac { \theta ^ { 2 } } { { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) } \\ & { - X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) } \\ & { + 2 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) \psi ( x ) } \end{array}
\langle S _ { h } ^ { 1 } ( x , y ) \rangle _ { 0 } = \theta ( x ^ { 4 } - y ^ { 4 } ) \, \delta ( \vec { x } - \vec { y } \/ ) \, { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \, \sum _ { w ^ { 4 } = y ^ { 4 } } ^ { x ^ { 4 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \Big \{ \delta ( \vec { x } + a \hat { \jmath } - \vec { y } \/ ) + \delta ( \vec { x } - a \hat { \jmath } - \vec { y } \/ ) - 2 \delta ( \vec { x } - \vec { y } \/ ) \Big \} \, .
\begin{array} { r l } & { \theta ^ { 3 } \mu _ { D } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } D ( x , | x - y | / 2 ) \setminus D ( x , r _ { x } ) \} ) \mu _ { D } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } D ( y , | x - y | / 2 ) \setminus D ( y , r _ { y } ) \} ) } \\ & { \times \mu _ { D } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ c r o s s i n g ~ } D ( x , R ) \setminus D ( x , 3 | x - y | / 2 ) \} ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { j _ { + \rho } = \frac { 1 } { \tau _ { \rho } } \exp \left( \sum _ { \sigma } \mu _ { \sigma } \, S _ { + \rho } ^ { \sigma } \right) , } & { { } \quad } & { j _ { - \rho } = \frac { 1 } { \tau _ { \rho } } \exp \left( \sum _ { \sigma } \mu _ { \sigma } \, S _ { - \rho } ^ { \sigma } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \rho _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } = \rho _ { j , g } ^ { n } - \frac { \Delta t } { V _ { j } } \sum _ { k } \Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 , s } + \frac { c \Delta t L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \left( 2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 , s } \phi _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } - \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 , s } \rho _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } \right) } } \\ { { C _ { V } \left( T _ { j } ^ { n + 1 , s + 1 } - T _ { j } ^ { n } \right) = \frac { \Delta t L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \sum _ { g } \left( \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 , s } \rho _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } - 2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j } ^ { n + 1 , s } \phi _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } \right) } } \\ { { \phi _ { j , g } ^ { n + 1 , s + 1 } = \phi _ { j , g } ^ { n + 1 , s } + \left( \frac { \partial \phi _ { g } } { \partial T } \right) _ { j } ^ { n + 1 , s } \left( T _ { j } ^ { n + 1 , s + 1 } - T _ { j } ^ { n + 1 , s } \right) } } \\ { { \frac { \partial \phi _ { g } } { \partial T } = \int _ { \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } ^ { \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \frac { \partial B \left( \nu , T \right) } { \partial T } d \nu } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H _ { v } ( n \omega _ { o } ) | _ { \omega _ { o } = 1 } } & { { } = \frac { 1 } { D _ { 0 . 5 } ( n ) } \angle - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) } \\ { H _ { i } ( n \omega _ { o } ) | _ { \omega _ { o } = 1 } } & { { } = \frac { 1 . 4 7 1 \sqrt { n } } { D _ { 0 . 5 } ( n ) } \angle \frac { \pi } { 4 } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { ( \alpha _ { 1 } X _ { 1 } + \alpha _ { 2 } X _ { 2 } ) , Y } ^ { 2 } Z } & { = \alpha _ { 1 } \nabla _ { X _ { 1 } , Y } ^ { 2 } Z + \alpha _ { 2 } \nabla _ { X _ { 2 } , Y } ^ { 2 } Z } \\ { \nabla _ { X , ( \alpha _ { 1 } Y _ { 1 } + \alpha _ { 2 } Y _ { 2 } ) } ^ { 2 } Z } & { = \alpha _ { 1 } \nabla _ { X , Y _ { 1 } } ^ { 2 } Z + \alpha _ { 2 } \nabla _ { X , Y _ { 1 } } ^ { 2 } Z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { O } } & { { } = } & { \sum _ { R S } o _ { R S } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { S } , } \\ { \hat { G } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { P Q R S } [ P Q | R S ] \, a _ { P } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { Q } . } \end{array}
\mathbb { P } \left( \operatorname* { m i n } \{ H _ { S , i } ^ { L } : \ i = \operatorname* { m i n } ( 0 , \tau ) , \dots , \operatorname* { m a x } ( 0 , \tau ) \} > u \ \Big | \ H _ { S , 0 } \in [ 1 1 . 5 , 1 2 . 5 ] \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ( \lambda _ { 1 } , \mu _ { 1 } , \phi ) \mathbf { T } ( \lambda _ { 2 } , \mu _ { 2 } , \phi ) } & { = \mathbf { T } ( \mu _ { 2 } - \phi , \mu _ { 1 } , \phi ) \mathbf { T } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } + \phi , \phi ) } \\ & { = \mathbf { T } ( \mu _ { 1 } - \phi , \mu _ { 2 } , \phi ) \mathbf { T } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 1 } + \phi , \phi ) } \\ & { = \mathbf { T } ( \lambda _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \phi ) \mathbf { T } ( \lambda _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \left| \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } 1 _ { \arg n \in [ \theta , \theta + h / X ) } - \frac { h } { \pi X / 2 } \sum _ { X < \textnormal { N } ( n ) \le 2 X } \beta _ { n } \right| ^ { 2 } \d \theta = o \left( \frac { h ^ { 2 } } { X ^ { 2 } ( \log X ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ( h ) } & { { } = } & { - 1 - \langle G _ { S } \rangle - \ln \left[ 4 \pi h A ^ { 2 } ( \rho ) s _ { \zeta } ^ { 2 } ( 1 , \rho ) \right] - 2 \rho \ln \rho \left[ \frac { A ^ { \prime } ( \rho ) } { A ( \rho ) } + \frac { s _ { \zeta , \rho } ( 1 , \rho ) } { s _ { \zeta } ( 1 , \rho ) } \right] , } \\ { \gamma ( h ) } & { { } = } & { - \frac { h G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } } { \pi } - \frac { h \pi } { 3 } \left( B ( \rho ) + 1 2 \langle G _ { D } \rangle \right) , } \\ { \beta ( h ) } & { { } = } & { - 4 \langle G _ { D } \rangle \left( G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } + G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } \right) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { C } & { I _ { m } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { A ^ { - 1 } B } \\ { 0 } & { D - C A ^ { - 1 } B } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { | u _ { 1 } ( d ) | } & { \le 2 M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } , } \\ { | u _ { 2 } ( d ) | } & { \le 2 M ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \vert u _ { 3 } \vert ( - d ) } & { \le 2 M _ { 1 } , } \\ { \vert w ( k _ { n } , - d ) \vert } & { \le 2 M _ { n } , } \\ { \vert j \vert ( k _ { 0 } , - d ) } & { \le \frac c \beta ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M \operatorname* { i n f } ( c , \kappa _ { k _ { 0 } } c ^ { - 2 } ) , } \\ { \vert j \vert ( k _ { \pm 1 } , - d ) } & { \le \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } M , } \\ { \vert j \vert ( k _ { n } , - d ) } & { \le \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } M _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varrho ( { x } , t ) / q } & { { } = } & { \mathrm { i } \left[ \phi ^ { + } ( { x } , t ) \dot { \phi } ( { x } , t ) - \dot { \phi } ^ { + } ( { x } , t ) \phi ( { x } , t ) \right] \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { i } ^ { n } ( t ) } & { = Z _ { i } ^ { n } ( 0 ) + q _ { i } \hat { \eta } t + q _ { i } \hat { N } _ { 0 } ^ { n } \left( \eta ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t } \bar { Q } _ { 0 } ^ { n } ( s ) \, d s \right) + \hat { \Psi } _ { i } ^ { n } \left( \bar { N } _ { 0 } ^ { n } \left( \eta ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t } \bar { Q } _ { 0 } ^ { n } ( s ) \, d s \right) \right) } \\ & { \quad - \sum _ { j \in \mathcal { C } _ { i } } \hat { N } _ { j } ^ { n } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \bar { \mu } _ { j } ^ { n } ( s ) \, d T _ { j } ^ { n } ( s ) \right) . } \end{array}
i \partial _ { t } \Psi [ \xi , t ) = \int d ^ { 2 } x \biggl [ i \biggl ( A _ { 0 } + { \frac { 1 } { \theta } } J _ { i } \epsilon _ { i j } { \frac { \partial _ { j } } { \nabla ^ { 2 } } } \biggr ) { \frac { \delta } { \delta \xi } } + A _ { 0 } \rho - \xi { \dot { \rho } } \biggr ] \Psi [ \xi , t ) \, ,
\ln 2 = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 6 } } + \cdots .
K = L n ( \frac { n ( n - 2 ) } { 4 n } ) + L = L [ \frac { n ^ { 2 } - 2 n + 4 } { 4 } ] = 2 \times \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } ( \frac { n - 3 } { 4 } ) [ \frac { n ^ { 2 } - 2 n + 4 } { 4 } ] .
\overline { { u } } = \frac { 2 m \mu ^ { 2 } } { K ( m ) } \int _ { 0 } ^ { K ( m ) } \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { 2 } ( x , m ) d x = 2 \mu ^ { 2 } \left( E ( m ) / K ( m ) - ( 1 - m ) \right)
\begin{array} { r l } & { \rho ( G _ { 1 } \circ \textbf { m } _ { 2 } ^ { \prime } ) = \rho ( H _ { 1 } \circ \textbf { m } _ { 2 } ) < \rho ( G _ { 9 } \circ \textbf { m } _ { 2 } ) , } \\ & { \rho ( G _ { 1 0 } \circ \textbf { m } _ { 3 } ^ { \prime } ) = \rho ( H _ { 2 } \circ \textbf { m } _ { 3 } ) < \rho ( G _ { i } \circ \textbf { m } _ { 3 } ) , i = 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 1 , 2 2 , } \\ & { \rho ( G _ { 1 0 } \circ \textbf { m } _ { 3 } ^ { \prime \prime } ) = \rho ( H _ { 3 } \circ \textbf { m } _ { 3 } ) < \rho ( G _ { 2 0 } \circ \textbf { m } _ { 3 } ) , } \\ & { \rho ( G _ { 1 0 } \circ \textbf { m } _ { 4 } ^ { \prime } ) = \rho ( H _ { 4 } \circ \textbf { m } _ { 4 } ) < \rho ( G _ { j } \circ \textbf { m } _ { 4 } ) , j = 2 3 , 2 4 , } \end{array}
\boldsymbol { x } ^ { D _ { j } - 1 } \ldots \boldsymbol { x } ^ { 1 } \boldsymbol { x } ^ { 0 } \underbrace { 0 } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ e ~ a ~ t ~ } \ \dim \cdot ( D _ { m a x } - D _ { j } ) } \underbrace { ( D _ { j } ) _ { 2 } } _ { m _ { b } \mathrm { ~ b ~ i ~ t ~ s ~ } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi } { \partial t } } & { { } = \Big ( \mathcal { M } - i \Sigma _ { 1 } \partial _ { 1 } - i \Sigma _ { 2 } \partial _ { 2 } \Big ) \psi ( \mathbf { r } , t ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } } & { = \frac { 1 } { c _ { p } } \left( c _ { p _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } - c _ { p _ { { \mathrm { C O } _ { 2 } } } } \frac { ( W ) _ { { \mathrm { C O } _ { 2 } } } } { ( W ) _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } - c _ { p _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } \frac { 2 ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } { ( W ) _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } \right) \ldots } \\ & { \ldots - \frac { 1 } { c _ { v } } \left( c _ { v _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } - c _ { v _ { { \mathrm { C O } _ { 2 } } } } \frac { ( W ) _ { { \mathrm { C O } _ { 2 } } } } { ( W ) _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } - c _ { v _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } \frac { 2 ( W ) _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } } { ( W ) _ { \mathrm { C H } _ { 4 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { n _ { \bullet } ^ { ( 1 , 2 , 1 ) } ( { \tilde { f } } _ { 1 } ( P ) ) } & { = ( 2 , 0 , 2 ) , } & { n _ { \bullet } ^ { ( 1 , 2 , 1 ) } ( { \tilde { e } } _ { 1 } ( P ) ) } & { = ( 0 , 0 , 2 ) , } \\ { n _ { \bullet } ^ { ( 1 , 2 , 1 ) } ( { \tilde { f } } _ { 2 } ^ { * } ( P ) ) } & { = ( 1 , 0 , 3 ) , } & { n _ { \bullet } ^ { ( 1 , 2 , 1 ) } ( { \tilde { e } } _ { 2 } ^ { * } ( P ) ) } & { = ( 1 , 0 , 1 ) } \\ { n _ { \bullet } ^ { ( 2 , 1 , 2 ) } ( { \tilde { f } } _ { 2 } ( P ) ) } & { = ( 2 , 1 , 0 ) , } & { n _ { \bullet } ^ { ( 2 , 1 , 2 ) } ( { \tilde { e } } _ { 2 } ( P ) ) } & { = ( 0 , 1 , 0 ) , } \\ { n _ { \bullet } ^ { ( 2 , 1 , 2 ) } ( { \tilde { f } } _ { 1 } ^ { * } ( P ) ) } & { = ( 1 , 1 , 1 ) , } & { n _ { \bullet } ^ { ( 2 , 1 , 2 ) } ( { \tilde { e } } _ { 1 } ^ { * } ( P ) ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { \mathrm { d e n } } : = } & { \cup _ { 1 \le i < j \le n } \{ \{ ( i , a ) , ( j , b ) \} : b < a \le j \} } \\ { \bigcup } & { \cup _ { 1 \le i < j \le n } \{ \{ ( i , a ) , ( j , b ) \} : a \le j < b \} } \\ { \bigcup } & { \cup _ { 1 \le i < j \le n } \{ \{ ( i , a ) , ( j , b ) \} : j < b < a \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mu \Delta w _ { a } ^ { ( 0 ) } ( { \pmb x } ) - \nabla _ { a } q ^ { ( 0 ) } ( { \pmb x } ) = 0 } \\ { \nabla _ { a } w _ { a } ^ { ( 0 ) } ( { \pmb x } ) = 0 , \qquad { \pmb x } \in D _ { f } } \\ { w _ { a } ^ { ( 0 ) } ( \pmb x ) = - U _ { b } \left( \delta _ { a b } + { \lambda } h _ { b c } ( { \pmb x } ) t _ { a c } ( { \pmb x } ) \right) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
\nu _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r } { \chi \sim \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } \frac { \big \vert \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\tilde { E } _ { a , b ; \mathscr { n } } = - \mathscr { n } ^ { 2 } + \left( 4 \sqrt { a b } - 1 \right) \mathscr { n } + 2 \sqrt { a b } - \frac { 1 } { 2 } + V _ { a , b } ^ { ( 0 ) } \; ,
\begin{array} { r l } { 2 \mathrm { { R a } } \left| \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \ d S \right| } & { { } \leq C \mathrm { { R a } } \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 1 } } \leq C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathbf { i j } } & { { } = \mathbf { k } \, , } & { \qquad \mathbf { j i } } & { { } = - \mathbf { k } \, , } \\ { \mathbf { j k } } & { { } = \mathbf { i } \, , } & { \mathbf { k j } } & { { } = - \mathbf { i } \, , } \\ { \mathbf { k i } } & { { } = \mathbf { j } \, , } & { \mathbf { i k } } & { { } = - \mathbf { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { i } \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 1 } } = \partial _ { i } \mathbf { E } _ { 0 } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 1 } } + } \\ & { + \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } } ( \partial _ { i } \mathbf { G } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ) ) _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 1 } } \mathbf { p } _ { 2 } ] \} } \\ & { \partial _ { i } \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 2 } } = \partial _ { i } \mathbf { E } _ { 0 } ( \mathbf { r } , \omega ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 2 } } + } \\ & { + \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } } ( \partial _ { i } \mathbf { G } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } ) ) _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } _ { 2 } } \mathbf { p } _ { 1 } ] \} } \end{array}